Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Национальный институт
ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ
В. И. Соловьев
МАТЕМАТИКА
Часть 2ОСНОВЫМАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ СТУДЕНТА
Москва — 2005
УДК 51 (075.8)
ББК 22.17я73
Ф., и., о. студента
(регион)
(группа)
© В. И. Соловьев, 2005
© НИ-ВШУ, 2005
Предисловие
Настоящая рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям 080507 — «Менеджмент организации», 080504 — «Государственное и муниципальное управление».
В первой части рабочей тетради по дисциплине «Математика» изучались методы линейной алгебры и аналитической геометрии. Данная книга содержит материал второй части дисциплины «Математика», посвященной методам м а т е м а т и ч е - с к о г о а н а л и з а, на которых основывается материал теории вероятностей, математической статистики, методов оптимизации и исследования операций.
Тетрадь состоит из глав и параграфов, примеры, теоремы, рисунки, таблицы и формулы нумеруются трехступенчато: номер главы, номер параграфа, номер теоремы, примера, рисунка и т. п. Конец доказательства или решения обозначается знаком □. В конце каждого параграфа приводятся контрольные вопросы для самопроверки и задачи для решения на практических занятиях и дома.
По итогам изучения дисциплины студент должен выполнить и н д и в и д у а л ь - н о е контрольные задание, которое приводится в конце рабочей тетради. Для решения задач на практических занятиях, выполнения домашних заданий и индивидуального контрольного задания в рабочей тетради отведены чистые страницы.
В подготовке решений ряда примеров принимала участие асп. М. В. Самоявчева.
Глава 1. Дифференциальное исчисление
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Функции
В экономике часто приходится исследовать различные зависимости, связывающие одну переменную величину с другой или с другими. Для изучения таких зависимостей используется понятие функции.
Пусть задано множество действительных чисел X с Ж. Если задано правило, по которому любому x е X соответствует одно действительное число y = f (x) е Ж, то говорят, что величина у является функцией от величины x. При этом переменная x называется аргументом или независимой переменной, а множество X называется областью определения данной функции.
Так, например, потребительских спрос на некоторый товар зависит в общем случае от большого числа факторов: цены товара, сезона, дохода покупателя и т. д. Если считать все факторы, кроме цены p, неизменными, то полученную зависимость спроса D от цены p можно рассматривать как ф у н к ц и ю спроса D = D(p).
Точно также можно рассмотреть ф у н к ц и ю п р е д л о ж е н и я товара S = S(p)— зависимость количества товара S, предлагаемого к продаже производителями, от цены товара p, которая сложилась на рынке.
В экономике часто встречаются и другие функции:
функция полезности u = u(x), которая выражает числовую оценку потребителем обладание некоторым товаром в количестве x единиц;
однофакторная производственная функция у = f(x), которая выражает зависимость количества выпускаемой продукции y от количества ресурсов x, затраченных на выпуск этой продукции;
функция издержек, которая выражает зависимость производственных издержек от объема выпуска.
Этот список можно значительно продолжить.
Множество точек плоскости с декартовыми координатами (x, f(x)), где x е X, называется графиком функции f, определенной на множестве X с Ж.
Если задана формула, указывающая последовательность математических действий, которые следует выполнить с аргументом x, чтобы получить значение y, то говорят, что функция определена явным аналитическим способом: y = f (x).
Если задано соотношение F(x, y) = 0, где x е X, из которого y для каждого x е X определяется в результате решения уравнения F(x, y) = 0, то говорят о неявном способе задания функции.
При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и им сопоставляются соответствующие значения функции с помощью таблицы.
Графическим способом задания функции называют тот, при котором зависимость y от x определяется линией на плоскости xOy. Заметим, что этот спо
соб — приближенный: точность задания функции зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика.
Если аргумент x функции y = f (x) является функцией другого аргумента s:
x = g (s),
то говорят, что задана сложная функция
У = f (g (s))
независимого аргумента s.
Функция y = f (x) называется взаимно однозначной, если каждому x е X ставится в соответствие некоторое значение у = f (x) е R при этом разным значениям x соответствуют разные значения у: если x1 * x2, то f (x1) * f (x2).
Если задана взаимно однозначная функция у = f (x), то уравнение у = f (x) можно разрешить относительно x, при этом зависимость x = f -1(у) определяет функцию, обратную к функции у = f (x).
Из определения обратной функции следует, что
(f Т = f, f-1 (f(x)) = x, f(f-1(у)) = у.
Замечание. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы у = x первой и третьей четвертей координатной плоскости xOy.
ПРИМЕР 1.1.1. Функция спроса имеет вид Q = 90 –3p. Найти зависимость максимально возможной цены товара, при которой этот товар может быть продан на рынке в количестве Q, от Q.
Решение. Выразим p через Q и получим функцию, обратную к функции спроса:
p = (90 — Q)/3 или p = 30 — Q/3. □
Функция у = f (x) называется четной, если для всех x е X
у (-x) = у (x),
и нечетной, если для всех x е X
у(-x) = - у( x) .
График четной функции симметричен относительно оси Oy, а область допустимых значений аргумента четной функции симметрична относительно точки x = 0.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат, а область допустимых значений аргумента нечетной функции симметрична относительно точки x = 0.
Функция y = x2 является четной, а функция y = x3 — нечетной.
Функция у = f (x), определенная на множестве X с R, называется периодической , если существует такое число T > 0, что для всех x е X справедливо равенство f(x + T) = f (x). Наименьшее из положительных чисел T * 0, доставляющих такое равенство для периодической функции у = /(x), называется периодом этой функции.
Из школьного курса математики Вам известны периодические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Функции y = sin x и y = cos x имеют период, равный 2п, а функции y = tg x и y = ctg x имеют период, равный п.
Рассмотрим функцию y = 15. Очевидно, она является периодической, но ее период не определен!
График периодической функции получается из графика y = f (x), построенного на промежутке протяженностью в один период, путем параллельного переноса графика y = f(x) в направлении и против направления оси Ox на расстояния, кратные периоду.
Функция y = f(x) называется возрастающей, если при x1 < x2 f(x1) < f(x2). Функция y = f(x) называется неубывающей, если при x1 < x2 f(x1)< f(x2). Функция y = f (x) называется убывающей, если при x1 < x2 f (x1) > f (x2). Функция y = f (x) называется не возрастающей, если при x1 < x 2 f (x1) > f (x 2). Во всех этих четырех случаях функция y = f (x) называется монотонной. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Так, производственная функция, функция полезности и функция предложения являются возрастающими, а функция спроса — убывающей.
Функция y = f (x) называется выпуклой вниз на интервале (a, b) с X, если для любых x1, x2 е (a, b) и любого X е [0,1] выполняется неравенство
f (X Xi + (1 -X) x 2) ^ f (X Xi ) + f ((1 -X) x 2)
и выпуклой вверх, если для любых x1, x2 е (a, b) и любого X е [0,1]
f (X Xi + (1 -X) x 2) > f (X Xi ) + f ((1 -X) x 2).
Если знаки неравенств в этих формулах строгие, то соответствующие функции называются строго выпуклыми.
Производственная функция является выпуклой вверх, а функция спроса — выпуклой вниз.
Геометрический смысл этих понятий заключается в том, что на участке выпуклости вниз [выпуклости вверх] середина любой хорды располагается над графиком y = f (x) [соответственно под графиком y = f (x) ].
Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз (или выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх), называются точками перегиба.
Простейшими элементарными функциями называются следующие:
степенная функция y = xa, где ае R;
показательная функция y = ax, где a > 0 и a ^ 1;
логарифмическая функция y = log ax, где a > 0 и a ^ 1;
тригонометрические функции y = sin x, y = cos x.
Элементарными называются функции, получающиеся из простейших элементарных с помощью четырех арифметических действий, а также с помощью взятия функции от функции или объединением этих операций.
В частности, к элементарным относятся следующие функции: sinxcosx
y = tg x =, y = ctg x =, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
cos xsin x
Класс функций , не относящихся к элементарным, называется классом неэлементарных функций.
Простейшими неэлементарными функциями являются составные функции, то есть функции, которые на разных интервалах (полуинтервалах, отрезках) представлены несовпадающими элементарными функциями. Например, функция
У = 1У = 1x2 +1, X < 0, x, x > 0x2 +1, X < 0, x, x > 0
У = 1
У = 1
x2 +1, X < 0, x, x > 0
x2 +1, X < 0, x, x > 0
является неэлементарной.
К важнейшим неэлементарным функциям относятся следующие.
функция модуля
-x, если x < 0, y =| x |= 1 0, если x = 0, x, если x > 0;
функция знака
y = sign x = <y = sign x = <-1, если x < 0, 0, если x = 0, 1, если x > 0;
y = sign x = <
y = sign x = <
функция целой части y = [x];
функция дробной части y = {x}.
Вопросы для самопроверки
Что такое вектор?
Сформулируйте определение функции. Приведите примеры.
Какие существуют способы задания функций? Приведите примеры.
Что такое область определения функции?
Какая функция называется четной? Приведите примеры.
Какая функция называется нечетной? Приведите примеры.
Какая функция называется периодической? Приведите примеры.
Какая функция называется сложной? Приведите примеры.
Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
Приведите примеры элементарных функций, естественной областью определения которых является: а) вся числовая прямая, за исключением двух точек x1 = 2 и x2 = 3; б) все положительные значения x, за исключением тех же двух точек x1 = 2 и x2 = 3.
Как по данному графику функции y = f(x) можно построить графики функций y = f(kx), y = f(kx + b), y = Af(kx + b) + C? Приведите примеры.
Приведите примеры функциональных зависимостей, встречающихся в экономике.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Найдите область определения следующих функций:
a) y = lg(2 - V1 + x); б) y = V2 - V1+x ; в) y = arccos—-—
3 x -1
.
2.
Проверьте, является ли функция y = | |x| – 2| четной или нечетной.
§ 1.2. Числовые последовательности
Последовательностью называется функция
Xn = f (n), n e N,
определенная на множестве натуральных чисел. Обозначаются последовательности так: {xn }. Число xn при конкретном n называется членом последовательности, а n — его номером.
Примерами последовательностей являются известные из школьного курса математики арифметическая прогрессия, определяемая по правилу
xi = ai, xn = xn-1 + b ,
откуда
xn = a1 + (n - 1)b,
и геометрическая прогрессия, определяемая как
xi = ai, xn = qxn-i,
откуда
xn = ai qn-1.
Еще одним примером последовательности является сумма, которая находится на банковском счете.
Пусть в начальный момент времени на банковском счете лежит сумма B0, и на эту сумму в конце каждого года начисляется процент i (т. е. доля от первоначальной суммы B0), тогда в конце первого года сумма на счете составит
B1 = B0 + B0i = B0(1 + i),
в конце второго года —
B2 = B0(1 + i) + B0i = B0(1 + 2i),
в конце t-го года (t — натуральное) —
Bt = B0(1 + ti).
Такая схема называется схемой простых процентов.
Исторически такая схема была самой первой, но она допускает простую возможность для владельца банковского счета заработать больше, чем предлагает банк: например, за два года можно увеличить сумму не до B0(1 + 2i), а до B0(1 + i)2 = B0(1 + 2i + i2) > B0(1 + 2i), а за t лет (t — натуральное) не до B0(1 + ti), а до B0(1 + i)t > B0(1 + ti), для этого нужно в конце каждого года снимать со счета всю сумму, включая только что начисленные проценты, и тут же открывать новый счет и класть на него всю эту сумму!
Банки, конкурирующие между собой, естественно, предоставили вкладчикам возможность проводить такую операцию «переоткрытия счета» автоматически; такая схема называется схемой сложных процентов и предполагает начисление процента не на первоначальную сумму B0, а на сумму, лежащую на счете после последнего начисления процентов, таким образом, через (натуральное число) t лет при использовании схемы сложных процентов на счете будет лежать сумма
Bt = B0(1 + i)t.
Таким образом, сумма на счете в конце года в случае простых процентов описывается последовательностью {Bt = B0(1 + ti)}, а в случае сложных процентов — последовательностью {Bt = B0(1 + i)t}.
Рис. 1.2.1, на котором представлены графики функций vt(прост.) = (1 + ti) и vt(непр.) = (1 + i)t, дает возможность убедиться в том, что при t < 1 простые проценты растут быстрее, чем сложные и непрерывные, а при t > 1 — медленнее.
Рис. 1.2.1. Сравнение силы роста простых процентов (тонкая линия) и сложных процентов (жирная линия)
Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует такое число M, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера N e N, удовлетворяют неравенству | xn |< M. Символически это записывается так:
3M > 0, 3N e N : (Vn > N) ^ (| xn |< M).
Последовательность {xn } называется неограниченной, если для любого M > 0 существует такое N e N, что все члены последовательности, начиная с номера N, удовлетворяют неравенству | xn | > M. Символически это записывается так:
VM > 0 3n e N : (Vn > N) ^ (| xn |> M).
Так, например, последовательность {xn = 1/n} является ограниченной, а последовательность {xn = 2 n} — неограниченной.
Последовательность {xn } называется строго возрастающей [строго убывающей], если при m < n выполняется неравенство xm < xn [xm > xn].
Последовательность {xn } называется неубывающей [невозрастающей], если при m < n выполняется неравенство xm ^ xn [xm ^ xn ].
Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.
Приведем примеры монотонных последовательностей. Последовательность {xn = 2n} является строго возрастающей, а последовательность {xn = 1/n} — строго убывающей.
Число a называется пределом последовательности {xn }, если для любого сколь угодно малого в > 0 существует такое натуральное число K = K(в), зависящее от г, что как только начнет выполняться неравенство n > K(в), станет справедливо и неравенство | xn - а |< в.
Запишем это определение символически:
Vb > 0 3K = K(в) е N: (Vn > K(в)) ^ (| xn - а |< в)
Обозначается предел последовательности так:
a = lim x„.n ^^
Геометрический смысл предела последовательности таков (см. рис. 1.2.2).
x nx nа + вaа - ва + вaа - вРис. 1.2.2. Иллюстрация к понятию пределаРис. 1.2.2. Иллюстрация к понятию предела
x n
x n
а + в
a
а - в
а + в
a
а - в
Рис. 1.2.2. Иллюстрация к понятию предела
Рис. 1.2.2. Иллюстрация к понятию предела
Отложим по оси абсцисс номера членов последовательности: а по оси ординат — значения xn и около горизонтальной прямой у = а проводим сколь угод- 13
но узкую полосу шириной 2г. Эта полоса разбивает все множество точек последовательности на два подмножества: одно подмножество, содержащее бесконечное число членов, начиная с номера K(е), будет содержаться внутри этой полосы, другое подмножество, содержащее конечное число первых членов [до номера (K(г)-1)], находится вне этой полосы.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.
ПРИМЕР 1.2.1. Убедиться в том, что если последовательность {xn = 1/п}, то
lim x„ = 0. n ^^
Решение. Возьмем произвольное, сколь угодно малое положительное число г. Пусть K — это такое натуральное число, что K > 1/ г. Тогда при п ^ K будет, очевидно, выполняться неравенство | xn - 0|=| 1/ п - 01=| 1/n |< 1/ K <г , значит, нуль действительно является пределом последовательности {xn = 1/ п}. □
В данном случае мы догадались, чему равен предел данной последовательности и проверили, выполняется ли определение предела. В тех случаях, когда неизвестно значение предела и требуется проверить, является ли последовательность в принципе сходящейся, может выручить следующая теорема, которую приведем без доказательства.
ТЕОРЕМА 1.2.1. Если последовательность является монотонной, то для того чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
При вычислении пределов помогает такая теорема.
ТЕОРЕМА 1.2.2. Если lim xn = a, limyn = b, Xe R, то последовательности n ^^ n ^^
{xn + Уп}, {Xxn}, {xn - yn}, {xnyn},{xn /yn} являются сходящимися (последняя последовательность сходится при условии, что все уп * 0, п e N и b * 0)), при этом справедливы следующие формулы:
lim(Xn + yn) = a + b, n ^^
(1.2.1)
lim(Xxn) = Xa, n ^^
(1.2.2)
lim(xn - Уп ) = a - b , n ^^
(1.2.3)
lim(xnyn ) = ab , n ^^
(1.2.4)
xa lim n-= = — n^” Уп b
(1.2.5)
(последняя формула справедлива при условии, что все уп * 0, n e N и b * 0).
Доказательство. Докажем формулу (1.2.1). Доказательство формул (1.2.2)— (1.2.5) проводится аналогично.
Пусть задано г> 0. Тогда для числа г /2 существуют номера K 1(г /2) и K2(г/2), такие что при n > K 1(г/2) выполняется неравенство | xn - a |<г/2, а при n > K2(г/2) выполняется неравенство | yn - b |<г/2. Возьмем K (г) = max{ K 1(г/2), K 2(г/2)}. Тогда
при n ^ K(s) одновременно выполняются неравенства | xn - a |<s/2 и | yn - b |<е/2. Отсюда следует, что |( xn + yn) - (a + b )|<| xn - a | +1 yn - b |<e/2 + s/2 = s , т. е. lim(xn + yn) = a + b, что и требовалось доказать. □ n ^Л
Приведем без доказательства еще две полезные теоремы.
Теорема 1.2.3 (Теорема о предельном переходе в неравенствах). Если limxn = a, n ^Л
lim y^ = b и x_ ^ y_, то a < b. nnn
n ^^
Теорема 1.2.4 (Теорема о двух милиционерах). Если xn < yn < zn и limxn = limzn = a, n^лn^л
то lim yn = a. n ^л
Опишем теперь так называемую паутинообразную модель рынка. В этой модели рассматривается рынок некоторого товара. Предполагается, что зависимость предложения товара от его цены p описывается возрастающей функцией предложения S(p), а зависимость спроса на этот товар от цены описывается убывающей функцией спроса D(p).
Пусть в начальный момент времени продавцы установили цену на товар, равную p1. При этом предложение товара составило s1 = S(p1), а спрос на товар составил d1 = D(p1), как показано на рис. 1.2.2, а. Поскольку спрос больше предложения, то в следующий раз продавцы увеличивают цену до p2, чтобы удовлетворить спрос d1 [здесь S(p2) = d1]. Но при цене p2 спрос уменьшится до d2 = D(p2) и становится уже меньше предложения. Тогда продавцы вынуждены снизить цену до p3 [так чтобы S(p3) = d2] и т. д. В результате этого процесса устанавливается равновесная цена, равновесный спрос и равновесное предложение.
В зависимости от того, какие на рынке сложились функции спроса и предложения, может оказаться так, что сходимости к равновесию не будет, а будут колебания цены между двумя значениями (как показано на рис. 1.2.2, б) или расходимость (1.2.2, в).
Вопросы для самопроверки
Что такое арифметическая прогрессия?
Как выражается n-й член арифметической прогрессии через (n – 1)-й?
Как выражается n-й член арифметической прогрессии через первый?
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии?
Что такое геометрическая прогрессия?
Как выражается n-й член геометрической прогрессии через (n – 1)-й?
Как выражается n-й член геометрической прогрессии через первый?
Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии?
В чем разница между простыми и сложными процентами?
Каких процентов начисляется больше, если деньги лежат в банке более года, — простых или сложных? Почему?
Каких процентов начисляется больше, если деньги лежат в менее более года, — простых или сложных? Почему?
Что такое числовая последовательность?
Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Приведите примеры.
в) расходимость цен
Рис. 1.2.3. Паутинообразная модель рынка
Задачи для самостоятельного решения
Докажите, что предел последовательности {xn = -1/n2} равен нулю.
Найдите предел последовательности {xn =1/n-1/n2}?
2n
Найдите lim .
n→∞ 3n
§ 1.3. Теория пределов
Число A называется пределом функции y = f(x) при x, стремящемся к a (обозначается так: x > a), если для любого сколь угодно малого е > 0 существует такое зависящее только от е положительное число 5 = 5(е), что как только начнет выполняться неравенство 0 <| x - а |<5(е), станет справедливо и неравенство | f (x) - A |<е.
Символически это определение записывается так:
Vs > 0 35 = 5(е) е R: (0 <| x - а |< 5(е)) ^ (| f (x) - A |< е).
Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к а, так:
A = lim f (x).x > a
ПРИМЕР 1.3.1. Убедиться в том, что
lim x2 = 0.
x >0
Решение. Зафиксируем произвольное число е > 0 и выберем в зависимости от е положительное число 5 = 5(е) = Vs . Тогда при выполнении неравенства 0 <| x - 01< 5(е) (или 0 <| x |< Vs ), станет справедливо и неравенство | x2 -01=| x21=| x |2< (Vs) = е. Значит, limx2 = 0 , что и требовалось доказать. □ x >0
Число A называется пределом функции y = f(x) при x, стремящимся к а слева (обозначается так: x > а - 0), если для любого сколь угодно малого е > 0 существует такое зависящее только от s положительное число 5 = 5(е), что как только начнет выполняться неравенство а -5(е) < x < а, станет справедливо и неравенство | f (x) - A |< е :
Vs > 0 35 = 5(s) е R: (а - 5(е) < x < а) ^ (| f (x) - A |< е).
Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к а слева, так:
A = lim f (x).
x > а-0
Число A называется пределом функции y = f(x) при x, стремящимся к а справа (обозначается так: x > а + 0), если для любого сколь угодно малого е > 0 существует такое зависящее только от s положительное число 5 = 5(е), что как только начнет выполняться неравенство а < x < а + 5(е), станет справедливо и неравенство | f (x) - A |< е :
Vs > 0 35 = 5(s) е R: (а < x < а + 5(е)) ^ (| f (x) - A |< s).
Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к а справа, так:
A = lim f (x).
x > а+0
Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящимся к плюс бесконечности (обозначается так: x ^+да), если для любого сколь угодно малого £ > 0 существует такое зависящее только от £ положительное число K = K(£), что как только начнет выполняться неравенство x > K(£), станет справедливо и неравенство | f (x) - A |< £ :
V£ > 0 3K = K(£) e R: (x > K(£)) ^ (| f (x) - A |< e).
Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, так:
A = lim f (x).x ^+да
Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящимся к минус бесконечности (обозначается так: x ^-да), если для любого сколь угодно малого £ > 0 существует такое зависящее только от £ положительное число K = K(£), что как только начнет выполняться неравенство x < -K(£), станет справедливо и неравенство | f (x) - A |< £ :
V£ > 0 3K = K(£) e R: (x < -K(£)) ^ (| f (x) - A |< e).
Обозначается предел функции y = f (x) при x, стремящемся к минус бесконечности, так:
A = lim f (x).x ^-да
Функция y = f (x) называется положительной (отрицательной) бесконечно большой в точке a, если для любого сколь угодно большого M > 0 существует такое зависящее только от £ положительное число 5 = 5(M), что как только начнет выполняться неравенство 0 <| x - a |< 5(M), станет справедливо и неравенство f(x) > M [для отрицательных бесконечно больших функций — f (x) <-M ]:
VM > 0 35 = 5(M) E R: (0 <| x - a |<5(M))^( f (x) > M[ f (x) <-M]).
Аналогично определяются положительные и отрицательные бесконечно большие функции слева и справа от точки a, а также на плюс бесконечности и на минус бесконечности.
Если функция y = f (x) является положительной или отрицательной бесконечно большой в точке a, то это обозначается так:
lim f (x) = +да,lim f (x) = -да.
x ^-даx ^-да
Функция y = f (x) называется бесконечно малой в точке a, если
lim f (x) = 0.x ^ a
Аналогично определяются бесконечно малые функции слева и справа от точки a, а также на плюс бесконечности и на минус бесконечности.
Пусть f(x) и g(x) — две функции, бесконечно малые в точке a, и при этом существует предел
= h.= h.f(x)lim
= h.
= h.
x ^a g (x)
Тогда если h = 1, то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначается это так: f ~ g); если 0 <| h |< кт , то функции f (x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости [обозначается это так: f ~ O(g) или g ~ O(f)]; если h = 0, то функция f(x) называются бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g(x) [обозначается это так: f ~ o(g)]; если же | h |= +т , то функция g(x) называются бесконечно малой более высокого порядка, чем функция f(x) [это обозначается так: g ~ o(f)].
Гораздо легче вычислять пределы не путем проверки определения предела, а с помощью теорем, аналогичных теоремам о пределах последовательностей.
Теорема 1.3.1. Если lim f(x) = a, lim g(x) = b, Xe R, то справедливы следую- x ^ ax ^ a
щие формулы:
lim [ f (x) + g(x)] = a + b , x ^ a
lim [Xf (x)] = Xa ,x ^ a
lim [ f (x) - g(x)] = a - b, x ^ a
lim [ f (x)g(x)] = ab, x ^ a
f(x) a
lim-= —
x ^a g (x) b
(последняя формула справедлива при условии, что g(x) # 0 в некоторой окрестности точки a и b * 0)
Доказательство. Докажем формулу (1.3.1). Доказательство очень похоже на доказательство аналогичной теоремы о пределах последовательностей. Пусть задано 8> 0. Тогда для числа £ /2 существуют номера 51(8 /2) и 52(8 /2), такие что при 0 <| x - a |< 51(е/2) выполняется неравенство | f (x) - a |<8/2, а при 0 <| x - a |<52(s/2) выполняется неравенство | g(y) - b |<8/2. Возьмем 5(8) = min{51(8/2), 52(8/2)} . Тогда при 0 <| x - a |< 5(8) одновременно выполняются неравенства | f(x) - a |< 8 /2 и | g(y) - b |< 8/2. Отсюда следует, что
| [f(x) + g(x)] - (a + b) |<| f(x) - a | +1 g(x) - b |< 8 /2 + 8 /2 = 8 ,
т. е. lim [ f (x) + g(x)] = a + b , что и требовалось доказать. Доказательство формул x ^ a
(1.3.5) проводится аналогично. □
Приведем без доказательства еще две полезные теоремы.
Теорема 1.3.2 (Теорема о предельном переходе в неравенствах). Если limf(x) = a, x ^ a
lim g(x) = b и f (x) < g(x), то a < b.
x ^ a
Теорема 1.3.3 (Теорема о двух милиционерах). Если f(x) < g(x) ^ h(x) и lim f(x)=limhx)=a, то lim g(x) = a. x >ax >ax > a
sinxlim= 1x >0 xsinxlim= 1x >0 xКроме того, при вычислении пределов часто используются так называемые замечательные пределы:
sinx
lim= 1
x >0 x
sinx
lim= 1
x >0 x
(первый замечательный предел);
x
lim I 1 +— x >X 1 xlim I 1 +— x >X 1 x= e= e(второй замечательный предел).(второй замечательный предел).
lim I 1 +— x >X 1 x
lim I 1 +— x >X 1 x
= e
= e
(второй замечательный предел).
(второй замечательный предел).
Иррациональное число e = 2,7182818289… называется основанием натурального логарифма.
Справедливы такие следствия из замечательных пределов:
arcsin xtgxarctgx
lim= 1; lim—— = 1; lim— = 1;
x >0x >0x >0
tAzcAzvAz
t \ т ln(1 + x)e — 1a — 1
lim(1 + x)x = e; lim= 1; lim= 1; lim= ln a.(1.3.6)
x >0x >0x >0x >0
tAztAztAz
Конкуренция банков за вклады привела к схеме непрерывных процентов. Пусть сложные проценты начисляются n раз в год, а t = m/n — рациональное число (m и n — натуральные), тогда
Bt = Bo(1 + in) m = Bo ((1 + i )l/n) m = Bo(1 + i) m /n = B0(1+i) t.
Поскольку любое действительное положительное число t может быть сколь угодно точно приближено рациональным числом m/n, и предполагая зависимость Bt от i и t непрерывной, получим формулу начисления непрерывных процентов:
Bt = B0(1 + i)t(1.3.7)
для любого t > 0.
При этом интенсивностью процентов 5 называется мгновенная относительная скорость накопления средств на банковском счете при непрерывном начислении процентов:
яBt+—- Bt r Bo (1 + i) t+A t — Bo (1 + i) t .. (1 + i )A t — 1
5 = lim _^±AtL = lim _0= lim.
At >0 Bt AtAt >0B0(1 + i)t AtAt >0At
Используя последний из пределов (1.3.6), заключаем, что
5 = ln (1 + i).(1.3.8)
Из формул (1.3.7)—(1.3.8) следует, что
Bt = B0 e5 t.
Рассмотрим еще несколько примеров.
ПРИМЕР 1.3.2. Вычислить предел
limx>3 xlimx>3 x2 x2 — 5 x — 3
lim
x>3 x
lim
x>3 x
— 3 x — 5 x +15
Решение. По свойству предела функции:
limx >3limx >32 x2 — 5 x — 3_xm (2x 2 — 5 x — 3)
lim
x >3
lim
x >3
x3 — 3 x2 — 5 x +15 lim (x3 — 3 x2 — 5 x +15x>3 '
Обозначим
f (x) _ 2x2 — 5x — 3, g(x) _ x3 — 3x2 — 5x +15.
Для того чтобы вычислить предельное значение многочлена в точке достаточно вычислить частное значение многочлена в этой точке:
lim f (x) = f (3) = 2 • 32 — 5 • 3 — 3 = 0, lim g (x) _ g (3) = 33 — 3 • 32 — 5 • 3 +15 = 0. x >3x >3
Таким образом, имеем неопределенность вида .
Поскольку число x _ 3 является корнем многочлена f (x), в чем легко убедиться непосредственным вычислением f (3) _ 0 , то данный многочлен можно представить в виде произведения множителей, один из которых равен (x — 3), а другой представляет собой многочлен f1(x) на единицу меньшей степени, чем f(x):
f (x) = (x — 3) f1( x).
Аналогично замечаем, что
g (x) = (x — 3) g1( x),
где g1(x) — многочлен степени на единицу меньшей, чем g(x).
Таким образом, числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель. Чтобы выяснить, что представляют собой многочлены f1(x) и g1(x), разделим соответственно f (x) и g(x) столбиком на (x — 3):
2 x2 — 5 x — 3
x — 3x3 — 3 x2 — 5 x +15
x — 3
2 x2 — 6 x
2 x +1x3 — 3 x2
x2 — 5
x — 3
—5 x +15
x — 3
—5 x +15
0
0
Таким образом,
f (x) _ 2x2 — 5x — 3 _ (x — 3)(2x +1), g(x) _ x3 — 3x2 — 5x +15 _ (x — 3)(x2 — 5).
При x ^ 3 числитель и знаменатель дроби можно сократить на (x — 3). Это означает, что
limМ _ lim(x"3)f-(x) _ limf^’x’.x >3 g(x) x >3 (x — 3)g1 (x) x >3 g1 (x)
Заметим, что x = 3 не является корнем многочленов f1(x) = 2x +1 и g1(x) = x2 - 5.
Поэтому
lim fx = f1(3) = 2 • 3+1 = 7.x >3 gi(x) gi(3) 32 - 5 4
ПРИМЕР 1.3.3. Вычислить предел
limx >+—limx >+—3 x4 - 7 x x
lim
x >+—
lim
x >+—
4 x3 + 2 x +1
Решение. Числитель и знаменатель дроби представляют собой многочлены соответственно четвертой степени и третьей степени, причем оба эти многочлена стремятся к бесконечности при x > +— :
lim (3x4 - 7x2) = lim [x2 (3x2 - 7)] = +—, lim (4x3 + 2x +1) = +—. x >+—x >+—x >+—
Таким образом, речь идет о неопределенности вида —.
—
Разделим числитель и знаменатель дроби на x4:
3 x4 - 7 x x3 x4 - 7 x xlimx >+—limx >+—3 x4 - 7 x x4 x3 + 2 x +13 x4 - 7 x x4 x3 + 2 x +1= lim —3-x x >+— 4 x + 2 x +1= lim —3-x x >+— 4 x + 2 x +1limx >+—limx >+—3377--x4x4421.1:■ '1'P 'P™xx x421.1:■ '1'P 'P™xx x
3 x4 - 7 x x
3 x4 - 7 x x
lim
x >+—
lim
x >+—
3 x4 - 7 x x
4 x3 + 2 x +1
3 x4 - 7 x x
4 x3 + 2 x +1
= lim —3-x x >+— 4 x + 2 x +1
= lim —3-x x >+— 4 x + 2 x +1
lim
x >+—
lim
x >+—
3
3
7
7
-
-
x4
x4
421.
1:■ '1
'P 'P™
xx x
421.
1:■ '1
'P 'P™
xx x
Далее, воспользовавшись свойствами пределов, получим
3 -3 -77limx >+—limx >+—lim I 3x >+—\lim I 3x >+—\421+~+“txx x421+~+“txx xlimx >+—limx >+—7lim 3 - lim —x >i—x > i— 'p2x421lim —+ lim — + lim —x >+— 'Y x >+— 7*3 x >+— 7^4tAzдаUy7lim 3 - lim —x >i—x > i— 'p2x421lim —+ lim — + lim —x >+— 'Y x >+— 7*3 x >+— 7^4tAzдаUy
3 -
3 -
7
7
lim
x >+—
lim
x >+—
lim I 3
x >+—\
lim I 3
x >+—\
421
+~+“t
xx x
421
+~+“t
xx x
lim
x >+—
lim
x >+—
7
lim 3 - lim —
x >i—x > i— 'p2
x
421
lim —+ lim — + lim —x >+— 'Y x >+— 7*3 x >+— 7^4
tAzдаUy
7
lim 3 - lim —
x >i—x > i— 'p2
x
421
lim —+ lim — + lim —x >+— 'Y x >+— 7*3 x >+— 7^4
tAzдаUy
Окончательно имеем:
limx >+—limx >+—3x4 - 7x24 x3 + 2 x +13x4 - 7x24 x3 + 2 x +1= +—. □= +—. □
lim
x >+—
lim
x >+—
3x4 - 7x2
4 x3 + 2 x +1
3x4 - 7x2
4 x3 + 2 x +1
= +—. □
= +—. □
Замечание. При вычислении пределов такого типа возможны случаи, когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковых степеней или степень знаменателя больше степени числителя. В первом случае предел при x > — конечен и отличен от нуля, во втором случае предел равен нулю. Например,
2
lim — = —,lim —x— = 0.
x >+— 5 x - 2 x22x >+— 3 x3 + 6
ПРИМЕР 1.3.4. Вычислить предел
limx >2limx >2V7 — V x + 51 - V 3 - xV7 — V x + 51 - V 3 - x
lim
x >2
lim
x >2
V7 — V x + 51 - V 3 - x
V7 — V x + 51 - V 3 - x
Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при x > 2 : lim(V? - Vx + 5) = V? - V2+5 = 0, lim(1 - V3-x) = 1 -73-2 = 0. x >2x >2
Таким образом, мы имеем дело с неопределенностью вида , для раскрытия которой воспользуемся следующим приемом. Умножим числитель и знаменатель дроби на один и тот же многочлен так, чтобы дополнить стоящие в числителе и знаменателе выражения до разложения некоторой разности квадратов на множители. Умножение числителя и знаменателя дроби на отличное от нуля число относится к эквивалентным преобразованиям, в результате которого мы получаем выражение, эквивалентное исходному.
Чтобы дополнить числитель (V7 — Vx + 5) до разложения разности квадратов на множители, необходимо умножить его на сумму (V7 + Vx + 5):
( V7 — V x + 5 )( V? + V x + 5 ) —( V7 ) — ( V x + 5 ) — 7 — (x + 5) — 2 — x.
Аналогично, чтобы дополнить знаменатель (1 — V3 — x) до разложения разности квадратов на множители, необходимо умножить его на сумму (1 + V3 — x):
(1 — V 3 — x )(1 + V 3 — x) — 12 —(V 3 — x )2 — 1 — (3 — x) — x — 2.
Таким образом, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби
1 — V3 — x
на произведение (V7 + Vx + 5 )(1 + V3 — x):
(V7 — V x + 5)(V7 + V x + 5 )(1 + V 3 — x)(2 — x )(1 + V 3 — x)—(x — 2)(1 + V 3 — x)
(1 — V 3 — x )(1 + V 3 — x)(V7 + V x + 5 )(x — 2)( V? + V x + 5 ) (x — 2)( V7 + V x + 5 )
При x ^ 2 можно сократить числитель и знаменатель дроби на (x — 2). Значит:
„ V7—Vx+5,. —(x—2) (1+V3—x)„—(1+V3—x)—(1+Va—2)1V7
lim, — lim1x — limFE / x — / x — —г —
x^2 1 — V3 — xx^2(x — 2)(V? + Vx + 5)x^2(V7 + Vx + 5)(V7 + V2+5)V77
Итак, мы получили, что
v V7 — Vx + 5 V7 _lim—. U
x ^2 1 — V3 — x7
ПРИМЕР 1.3.5. Вычислить предел
cos2 x — 1
lim
x ^03 x2
Решение. При x ^ 0 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю:
lim(cos2 x — 1) — 0,lim (3 x2) — 0.
x ^0x ^0
Воспользовавшись тем, что
sin x
cos2x — 1 — 2sin x, lim— 1, x ^0 x
получим:
limlim00cos2 x -1cos2 x -13x23x2= lim= lim00-2sin2 x-2sin2 x3x23x2= lim= limx ^0x ^02 f sin x2 f sin x--VV33xxJJ2 lr—I lim2 lr—I lim3 V x ^o3 V x ^osin xsin x2222--xx33..
lim
lim
0
0
cos2 x -1
cos2 x -1
3x2
3x2
= lim
= lim
0
0
-2sin2 x
-2sin2 x
3x2
3x2
= lim
= lim
x ^0
x ^0
2 f sin x
2 f sin x
-
-
V
V
3
3
x
x
J
J
2 lr
—I lim
2 lr
—I lim
3 V x ^o
3 V x ^o
sin x
sin x
2
2
2
2
-
-
x
x
3
3
.
.
Итак,
limlimx ^0x ^0cos2 x -1cos2 x -13x23x2-2. □-2. □33
lim
lim
x ^0
x ^0
cos2 x -1
cos2 x -1
3x2
3x2
-2. □
-2. □
3
3
ПРИМЕР 1.3.6. Вычислить предел
limx ^—xlimx ^—xx +1x - 2x +1x - 2
lim
x ^—x
lim
x ^—x
x +1
x - 2
x +1
x - 2
Решение. Для вычисления пределов функций такого типа необходимо воспользоваться вторым замечательным пределом.
limx ^+Xlimx ^+Xf x + 1 \V x - 2 Jf x + 1 \V x - 2 Jlim I 1 +x ^+X\lim I 1 +x ^+X\4 \x - 2 J4 \x - 2 J
lim
x ^+X
lim
x ^+X
f x + 1 \
V x - 2 J
f x + 1 \
V x - 2 J
lim I 1 +
x ^+X\
lim I 1 +
x ^+X\
4 \
x - 2 J
4 \
x - 2 J
Далее удобно сделать замену 1 = (x - 2)/4, тогда x = 41 + 2. Ясно, что 1 ^ + / при x > I/ .
В результате получим, что
lim I 1 +x ^+/1 x - 2lim I 1 +x ^+/1 x - 2f1 \41+2= lim I 1 + - I1 ^+/\1 Jf1 \41+2= lim I 1 + - I1 ^+/\1 J
lim I 1 +
x ^+/1 x - 2
lim I 1 +
x ^+/1 x - 2
f1 \41+2
= lim I 1 + - I
1 ^+/\1 J
f1 \41+2
= lim I 1 + - I
1 ^+/\1 J
Продолжим вычисления, используя свойства предела функции:
/.. \ 41+2lim I 1 + - Ii ^+/V1J/.. \ 41+2lim I 1 + - Ii ^+/V1J= lim1 ^+«= lim1 ^+«lim1 ^+«lim1 ^+«lim1 ^+«lim1 ^+«442424— e 1 — e .2424— e 1 — e .
/.. \ 41+2
lim I 1 + - I
i ^+/V1J
/.. \ 41+2
lim I 1 + - I
i ^+/V1J
= lim
1 ^+«
= lim
1 ^+«
lim
1 ^+«
lim
1 ^+«
lim
1 ^+«
lim
1 ^+«
4
4
2
424
— e 1 — e .
2
424
— e 1 — e .
Таким образом,
r f x + 1 )4 n
lim II = e . □
x ^+/ V x - 2 J
ПРИМЕР 1.3.7. Вычислить предел
lnV1 + 2 xlim
x ^0x
Решение. Преобразуем выражение под знаком предела, воспользовавшись свойством логарифма степени:
ln V1 + 2 x ,. ln(1 + 2 x )1/2ln(1 + 2 x)
lim= lim= lim
x ^0xx ^02 xx ^0 2 x
Далее сделаем замену 1 = 2x, тогда x = 1 /2. Ясно, что 1 ^ 0 при x ^ 0. Получим:
ln(1 + 2 x)ln(1 +1)
lim= lim= 1.
Таким образом,Таким образом,x >02x 1 >01
Таким образом,
Таким образом,
ln71 + 2 xlim= 1. □
x ^0x
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение предела функции в точке. Приведите примеры.
Сформулируйте определение предела функции на бесконечности. Приведите примеры.
Как связано понятие предела функции в точке с понятиями пределов слева и справа?
Какая функция называется бесконечно малой?
Какими свойствами обладают бесконечно малые функции?
Какая функция называется бесконечно большой?
Какими свойствами обладают бесконечно малые функции?
Какова связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями?
Покажите, что при x > 0 бесконечно малые функции sin x и tg x эквивалентны друг другу.
Задачи для самостоятельного решения
Найдите lim ( x 2 — 1).x >2Найдите lim(e2 — 1)x >0Найдите lim .x >0 xНайдите lim ( x 2 — 1).x >2Найдите lim(e2 — 1)x >0Найдите lim .x >0 xНайдитеНайдитеlimxlimx' x +1A x v x + 2 у' x +1A x v x + 2 у
Найдите lim ( x 2 — 1).
x >2
Найдите lim(e2 — 1)x >0
Найдите lim .
x >0 x
Найдите lim ( x 2 — 1).
x >2
Найдите lim(e2 — 1)x >0
Найдите lim .
x >0 x
Найдите
Найдите
lim
x
lim
x
' x +1A x v x + 2 у
' x +1A x v x + 2 у
Пусть x > 0. Выясните, при каком значении а бесконечно малые функ-
ции asin2 x и 1 – cos x эквивалентны?
Непрерывность функций
Функция называется непрерывной в точке, если предел функции в данной точке существует и совпадает со значением функции в этой точке. Если функция непрерывна во всех точках некоторого отрезка, то она называется непрерывной на этом отрезке.
Точки разрыва — точки, в которых нарушается определение непрерывности. Точки разрыва бывают трех типов (табл. 1.4.1).
Т а б л и ц а 1.4.1
Классификация точек разрыва
Тип разрыва
Определение
Схематический график
Устранимый разрыв
lim f(x) = lim f(x) ≠ f(a) x→a+0x→a-0
<с< +
X
Разрыв первого рода
lim f(x) ≠ lim f(x) x→a+0x→a-0
X
Разрыв второго рода
Предел функции в точке слева и/или справа равен ±∞: lim f(x) =±∞, либо не существует. x→a±0
\1X
Функции спроса, функции предложения, функции полезности, функции издержек и производственные функции, как правило, являются непрерывными, однако при некоторых условиях могут быть и разрывными.
Зависимость налоговой ставки от дохода, наоборот, как правило, является разрывной — ступенчатой, однако может быть и непрерывной.
Пусть x1 и x2 — два значения аргумента. Назовем приращением аргумента разность
∆x=x2-x1,
а приращением функции, соответствующим этому приращению аргумента — разность
∆f(x)=f(x2)-f(x1).
Справедливы следующие теоремы о непрерывности функций. Любознательный читатель без труда может доказать их самостоятельно.
ТЕОРЕМА 1.4.1. Функция f(x) является непрерывной в точке a тогда и только тогда, когда
lim Af (x) = 0.
Ax .0
ТЕОРЕМА 1.4.2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в некоторой точке a, то функции f(x) + g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) также являются непрерывными в этой точке (последняя функция — при условии, что g(a) * 0).
ТЕОРЕМА 1.4.3. Если функции g(s) непрерывна в точке a, а функция f(x) непрерывны в точке g(a), то сложная функция f (g(s)) является непрерывной в точке a.
ТЕОРЕМА 1.4.4 (ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
ТЕОРЕМА 1.4.5 (ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО — КОШИ). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает в концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется такая точка c, что f (c) = 0.
ПРИМЕР 1.4.1. Исследовать на непрерывность функцию y = x2.
Решение. Приращение функции y = x2, соответствующее приращению аргумента Ax = x2 - x1, равно
Af (x) = f (x2) - f (Xi) = f (Xi + Ax)- f (xj = (Xi + Ax)2 - x2 =
= x1 + 2x1Ax + (Ax)2 - x12 = Ax(2x1 + Ax),
и потому
lim A f (x) = lim [ Ax(2x. + Ax)] = lim Ax lim (2x. + Ax) = 0 • 2x. = 0 ,
Ax .0 JAx ,0L1Ax.0 Ax .011
откуда по теореме 1.4.1 получаем, что функция y = x2 является непрерывной в каждой точке x. □
Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой, если
(1.4.1)(1.4.1)lim f(x) = k, lim (f(x) - kx ) = b.
(1.4.1)
(1.4.1)
x .±^ xx .±^ x
Наклонная асимптота y = 0x + b (т. е. просто y = b) называется горизонтальной асимптотой.
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если
(1.4.2)(1.4.2)lim f(x) = ±го.
(1.4.2)
(1.4.2)
x . a ±0
ПРИМЕР 1.4.2. Найти асимптоты графика функции
y =y =x2 + 3 x + 5x -1x2 + 3 x + 5x -1
y =
y =
x2 + 3 x + 5x -1
x2 + 3 x + 5x -1
Решение. Данная функция имеет наклонную асимптоту. Действительно, по формуле (1.4.1)
x2 + 3 x + 5k = limx-1x ^±^ Xx2 + 3 x + 5k = limx-1x ^±^ XlimX ^±даlimX ^±даx2 + 3 x + 5x2 - xx2 + 3 x + 5x2 - x[^x2 qxx — x[^x2 qxx — x4 x + 54 x + 522limx ^±^limx ^±^x2 - x x2 - xx2 - x x2 - x+ limx ^±^+ limx ^±^4 x + 5x2 - x4 x + 5x2 - x1 л 14 x + 5= 1 + 0 = 1, b = lim x^±да x -11 л 14 x + 5= 1 + 0 = 1, b = lim x^±да x -14 x - 494 x - 49x -1x -14( x -1)9lim- + lim= 4 + 0 = 4,x^±^ x 1 x^±^ x 14( x -1)9lim- + lim= 4 + 0 = 4,x^±^ x 1 x^±^ x 1
x2 + 3 x + 5
k = limx-1
x ^±^ X
x2 + 3 x + 5
k = limx-1
x ^±^ X
lim
X ^±да
lim
X ^±да
x2 + 3 x + 5x2 - x
x2 + 3 x + 5x2 - x
[^x2 qx
x — x
[^x2 qx
x — x
4 x + 5
4 x + 5
2
2
lim
x ^±^
lim
x ^±^
x2 - x x2 - x
x2 - x x2 - x
+ lim
x ^±^
+ lim
x ^±^
4 x + 5x2 - x
4 x + 5x2 - x
1 л 14 x + 5
= 1 + 0 = 1, b = lim x^±да x -1
1 л 14 x + 5
= 1 + 0 = 1, b = lim x^±да x -1
4 x - 49
4 x - 49
x -1
x -1
4( x -1)9
lim- + lim= 4 + 0 = 4,
x^±^ x 1 x^±^ x 1
4( x -1)9
lim- + lim= 4 + 0 = 4,
x^±^ x 1 x^±^ x 1
значит, данная функция имеет при x ^ +да и при x ^ -да наклонную асимптоту y = x + 4.
Кроме того, поскольку
x2 + 3 x + 5 limx ^1±°x -1x2 + 3 x + 5 limx ^1±°x -1= limx ^1±0= limx ^1±0[ x2 - a k x -1[ x2 - a k x -14 x - 4+x -14 x - 4+x -1+I = ±да ,x -1J+I = ±да ,x -1J
x2 + 3 x + 5 lim
x ^1±°x -1
x2 + 3 x + 5 lim
x ^1±°x -1
= lim
x ^1±0
= lim
x ^1±0
[ x2 - a k x -1
[ x2 - a k x -1
4 x - 4
+
x -1
4 x - 4
+
x -1
+I = ±да ,x -1J
+I = ±да ,x -1J
данная функция имеет вертикальную асимптоту x = 1. Точка x = 1 является точкой разрыва второго рода. □
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке.
Сформулируйте теорему об области непрерывности элементарных функций.
Исследуйте на непрерывность функцию y = arctg—. Найдите пределы x
этой функции слева и справа в точке x0 = 0.
Приведите примеры непрерывных и разрывных функций, встречающихся в экономике.
Как найти наклонные асимптоты графика функции?
Как найти вертикальные асимптоты графика функции?
Задачи для самостоятельного решения
Докажите, что функция y = x3 является непрерывной во всех точках ее области определения.
Исследуйте на непрерывность кривые Торнквиста, описывающие спрос на предметы первой необходимости и предметы роскоши:
. ax _.ax(x - с)
а) у =, б) у =—
x + bx + b
(здесь a, b, с — числовые параметры).
Найдите вертикальные и наклонные асимптоты кривых Торнквиста.
Производная и дифференциал
Производной функции y = f (x0) в данной фиксированной точке x0 называется предел отношения приращения функции
Ay (x о) = f (x о + A x) - f (x 0)
к приращению аргумента
Ax = x - x 0
при стремлении приращения аргумента к нулю и если такой предел существует (конечный или бесконечный):
..(1.5.1)(1.5.1). .. A y(xn)y (xn) = lim ———
.
.
(1.5.1)
(1.5.1)
0Ax >0 Ax
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной заключается в следующем. Производная f'(x0) в точке (x0, f (x0)) численно равна тангенсу того угла, который образует касательная к графику функции y = f (x) в этой точке с положительным направлением оси абсцисс.
Действительно, рассмотрим две точки: A(x0, f(x0)) и B(x0 +Ax, f(x0 +Ax)). Угловой коэффициент прямой AB равен тангенсу угла в, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ox. С другой стороны из B (x0 + Ax, f (x0 + Ax)), изображенного на рис. 1.5.1, видно, что
..p= f ( x 0 +Ax ) - f ( x 0)Ax
.
.
Если приближать точку B к точке A, то прямая AB будет стремиться к своему предельному положению — к касательной к графику функции y = f (x) в точке A.
Поэтому производная численно равна тангенсу угла а, который образует касательная к графику функции y = f (x) в точке A с положительным направлением оси Ox.
Пример 1.5.1. Найти производную функции y = x2.
Решение. По определению производной (1.5.1) имеем:
y'(x0) = lim /(xL+^xl-flxo) = lim (x ■ Ax) . x =
A x >0AxA x >0Ax
= lim x2 + 2x°Ax +(Ax)2 - x2 = lim(2x0 + ax) = 2x0.
Ax >0AxAx >0
Итак, (x2) = 2x. □
ПРИМЕР 1.5.2. Найти производную функции y = ex.
Решение. По определению производной (1.5.1) имеем:
так кактак какy'(xQ) = lim0A x ^0y'(xQ) = lim0A x ^0f (x 0 + A x) - f (xo)Axf (x 0 + A x) - f (xo)Ax= limAx ^0= limAx ^0e xo+A x - e xoAxe xo+A x - e xoAxAx= ex0 lime= ex0,Ax^0 AxAx= ex0 lime= ex0,Ax^0 AxlimAx ^0limAx ^0eAx -1AxeAx -1Ax=1=1
так как
так как
y'(xQ) = lim
0A x ^0
y'(xQ) = lim
0A x ^0
f (x 0 + A x) - f (xo)Ax
f (x 0 + A x) - f (xo)Ax
= lim
Ax ^0
= lim
Ax ^0
e xo+A x - e xo
Ax
e xo+A x - e xo
Ax
Ax
= ex0 lime= ex0,
Ax^0 Ax
Ax
= ex0 lime= ex0,
Ax^0 Ax
lim
Ax ^0
lim
Ax ^0
eAx -1Ax
eAx -1Ax
=1
=1
согласно предпоследнему из равенств (1.3.6). Итак, (ex) = ex. □
Аналогичным образом можно вычислить и другие производные. Производные простейших элементарных функций собраны в табл. 1.3.1.
Рис. 1.5.1. Геометрический смысл производнойРис. 1.5.1. Геометрический смысл производной
Рис. 1.5.1. Геометрический смысл производной
Рис. 1.5.1. Геометрический смысл производной
Т а б л и ц а 1.5.1
Производные некоторых функций:
Функция
Производная
xn
nxn-1
sinx
cosx
cosx
- sin x
tgx
1 cos2 x
ctgx
1 sin2 x
ex
ex
ax
axlna
lnx
1
x
loga x
1 xlna
arccosx
-1
V1 - x x
arcsinx
1
'J 1 - x X
arctgx
1
1 + x x
arcctgx
- 1
1 + x x
Если производная у'(x) является дифференцируемой функцией, то производная от у ‘(x) называется второй производной:
УЧx) = ( У ‘(x))'.
Аналогично определяется производная n-го порядка:
у'”-(x) = (у"-1)(x)) .
Пределы (конечные или бесконечные)
AУ (xn), / хAУ (xn)
у - (x 0) = lim 0 ,у + (x 0) = lim 0
Ax ^0-0 A xAx ^0+0 Д x
называются соответственно левой и правой производными функции у = f (x) в данной фиксированной точке x0 .
Функция у = f(x) называется дифференцируемой в данной фиксированной точке x, если ее приращение Aу(x) может быть представлено в виде
A у (x) = A Ax + a(A x),(1.5.2)
где A— конечное число, а
a(Ax)
lim= 0.(1.5.3)
Ax >0 Ax
Если функция у = f (x) дифференцируема в данной точке, то величина dy (x) = A Ax ,
называется дифференциалом функции у = f (x) в этой точке.
ТЕОРЕМА 1.5.1. Для того чтобы функция у = f (x) была дифференцируемой в данной точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция у = f (x) является дифференцируемой, тогда справедливо представление (1.5.2), откуда
A У (x) = A + a(A x)AxAx
Переходя в этом равенстве к пределу при Ax ^ 0 и учитывая (1.5.3), получим, что„ . .. Aу(x) ... .. a(Ax).
у (x) = lim= lim A + lim= A.
Ax ^0 AxAx ^0Ax ^0 A x
Достаточность. Пусть существует производная
..A у (x)у (x) = limAx^° Ax
.
.
Тогда положим
, k .A у (x),. .
a(A x) = —у (x),Ax
при этомпри этомVX v lA y( x)lim а(Д x) = lim IД x ^0Д x ^0l Д xVX v lA y( x)lim а(Д x) = lim IД x ^0Д x ^0l Д x- y'(x) 1 = 0,- y'(x) 1 = 0,откудаоткуда
при этом
при этом
VX v lA y( x)
lim а(Д x) = lim I
Д x ^0Д x ^0l Д x
VX v lA y( x)
lim а(Д x) = lim I
Д x ^0Д x ^0l Д x
- y'(x) 1 = 0,
- y'(x) 1 = 0,
откуда
откуда
Д y (x) = y'(x )Д x + а(Д x )Д x,
т. е. получено представление приращения функции Дy(x) в виде (1.5.2). Теорема полностью доказана. □
Попутно мы доказали еще одну теорему.
Теорема 1.5.2. Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке, то ее дифференциал в этой точке равен
dy (x) = y'(x )Д x.
Докажем еще одну теорему.
Теорема 1.5.3. Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Доказательство очень простое. Так как функция является дифференцируемой в данной точке x, ее приращение Дy(x) может быть представлено в виде (1.4.2): Дy(x) = AДx + а(Дx), и поэтому
lim Д y( x) = lim [ A Д x + а(Д x)] = A lim Д x + lim а(Д x) = 0,
Д x ^0Д x ^0LД x ^0Д x ^0
откуда по теореме 1.4.1 получаем, что данная функция в данной точке является непрерывной. □
Поскольку dx = Дx, то последнее соотношение можно переписать так: dy(x) = y'(x)dx, и поэтому производную y'(x) часто обозначают так:
dy y (x) = — dx
Геометрический смысл дифференциала таков: дифференциал dy(x) равен приращению ординаты касательной к кривой y = f (x) в точке (x0; f (x0)), когда приращение аргумента равно dx = Дx (см. рис. 1.5.1).
При вычислении производных часто используются правила, выраженные в следующих теоремах.
ТЕОРЕМА 1.5.4. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых в данной точке функций равна сумме (разности) производных:
(u ± v)' = u' ± v'.
Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда по определению производной (1.5.1) имеем:
y'(x0) = lim0Д x ^0y'(x0) = lim0Д x ^0f (x 0 +Д x) - f (x 0)Д xf (x 0 +Д x) - f (x 0)Д xu (x 0 + Д x) + v (x 0 + Д x) -(u (x 0) + v (x 0))
y'(x0) = lim
0Д x ^0
y'(x0) = lim
0Д x ^0
f (x 0 +Д x) - f (x 0)Д x
f (x 0 +Д x) - f (x 0)Д x
Д x ^0Д x
= u'(x 0) + v'(x 0).= u'(x 0) + v'(x 0).lim u(x0 + Дx) - u(x0) + lim v(x0 + Дx) - v(x0)
= u'(x 0) + v'(x 0).
= u'(x 0) + v'(x 0).
Д x ^0Д xД x ^0Д x
Формула (u — v)‘ = u' — v1 доказывается аналогично. □
ТЕОРЕМА 1.5.5. Производная постоянной величины равна нулю:
c ' = 0.
ТЕОРЕМА 1.5.6. Производная произведения двух дифференцируемых в данной точке функций u(x) и v(x) равна
(uv)‘ = u' v + uv ‘.
ТЕОРЕМА 1.5.7. Производная частного двух дифференцируемых в данной точке функций u(x) и v(x) ^ 0 равна
u ) = u' v - uv'v ) v v
Теорема 1.5.8 (Теорема о производной сложной функции). Если y = y(g), где g = g(x), т. е. y = y(g(x)), причем функция g = g(x) дифференцируема в точке х, функция y = y(g) дифференцируема в точке g = g(x), то
y'(x) = y '(g) g'(x).
ТЕОРЕМА 1.5.9 (ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ). Если функция y = y(x) дифференцируема в точке х и существует обратная функция x = x(y), дифференцируемая в точке y, то
y '(x) =y '(x) =1x'(y)1x'(y)
y '(x) =
y '(x) =
1
x'(y)
1
x'(y)
Теперь разберем ряд примеров с использованием этих теорем.
ПРИМЕР 1.5.3. Вычислить производную функции
y=y=1 + Vx2 +1x1 + Vx2 +1x
y=
y=
1 + Vx2 +1
x
1 + Vx2 +1
x
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки x = 0. Обозначим
u (x) = 1 + 4 x2 +1,v (x) = x.
Вычислим производные функций u(x) и v(x), используя правило вычисления производной сложной функции и таблицу производных:
u'(x) = (1 + 4x2 +1) = 0 + —,(x2 +1) = —x = . x ,v'(x) = 1.
2V x2 +12V x2 +1Vx2 +1
Теперь воспользуемся правилом вычисления производной отношения:
(\', xx-(1 + 4x2 +1)1 + Vx2 +1 = V x2 + 1V x )x x(\', xx-(1 + 4x2 +1)1 + Vx2 +1 = V x2 + 1V x )x xx — xx +1 —(x +1)1 + Vx +1,=,•.x2 V x2 +1x2 V x2 + 1x — xx +1 —(x +1)1 + Vx +1,=,•.x2 V x2 +1x2 V x2 + 1
(\', xx-(1 + 4x2 +1)
1 + Vx2 +1 = V x2 + 1
V x )x x
(\', xx-(1 + 4x2 +1)
1 + Vx2 +1 = V x2 + 1
V x )x x
x — xx +1 —(x +1)1 + Vx +1
,=,•.
x2 V x2 +1x2 V x2 + 1
x — xx +1 —(x +1)1 + Vx +1
,=,•.
x2 V x2 +1x2 V x2 + 1
Итак, производная
1 + V x2 +1
к
x
7
1 + V x2 +1x2 V x2 +1
при x* 0.□
ПРИМЕР 1.5.4. Вычислить производную функции
sin2 x2
у=, ,—.
1 - tg x
Решение. Решениями уравнения
1 - tg x = 0.
являются числа
п
x = —+ 2пk, k e Z .
4
Таким образом, функция
sin2 x2
1 - tg x
определена на всей числовой прямой, кроме точек
x = —+ 2пk, k e Z .
4
В точках области определения функции производная
, = 7 sin2 x2 ^ = (sin2 x2) (1 - tgx) - sin2 x2(1 - tgx)'=
к 1 - tg x 7(1 - tg x )2
22sin2 x2
2sinx cosx • 2x(1 -tgx) +2 <•2 A2
cos2 x = 2 x sin2 x+ sin x |
(1 - tg x)2" 1 - tg xк cos x - sin x 7 .
Итак,
( • 2 „2 A sin x
к 1 - tg x 7
n2/•2 A2
2 x sin 2 xsin x
+
1 - tg xк cos x - sin x 7
П
x * —+ 2nk, k e Z. □ 4
ПРИМЕР 1.5.5. Вычислить производную функции
1
y = In sin —.
x
Решение. Необходимо потребовать, чтобы x * 0. Кроме того, поскольку логарифм — функция, определенная на положительной полупрямой, для того, чтобы найти область определения функции y, решим неравенство:
111
sin — > 0 ^ sin— > 0 ^ 2пk < — < п + 2пk, k e Z ^
x
^ x e
x
11
2пk’ п + 2пk
k e Z, k * 0.
Точка x = 0 не попадает в область решений данного неравенства.
В точках области определения функции
' 11-31у = I lnsin —I x' 11-31у = I lnsin —I x1sin3 11sin3 1xx1sin3 1x1sin3 1x/ X f о • 2 1 Г 1 ) 3sin —I sin—I/ X f о • 2 1 Г 1 ) 3sin —I sin—I——- 3sin2—cos— -| —sin3!x x Ix——- 3sin2—cos— -| —sin3!x x Ixxx
' 11-31
у = I lnsin —
I x
' 11-31
у = I lnsin —
I x
1
sin3 1
1
sin3 1
x
x
1
sin3 1x
1
sin3 1x
/ X f о • 2 1 Г 1 ) 3sin —I sin—I
/ X f о • 2 1 Г 1 ) 3sin —I sin—I
——- 3sin2—cos— -| —sin3!x x Ix
——- 3sin2—cos— -| —sin3!x x Ix
x
x
Окончательно:Окончательно:131 sin3x131 sin3x113sin2 cos113sin2 cos2113sin — • cos —231x sin3x2113sin — • cos —231x sin3x
Окончательно:
Окончательно:
1
31 sin3
x
1
31 sin3
x
11
3sin2 cos
11
3sin2 cos
211
3sin — • cos —
231
x sin3
x
211
3sin — • cos —
231
x sin3
x
‘ 1■ 3 1 ^lnsin — I x )‘ 1■ 3 1 ^lnsin — I x )2113sin — • cos —2113sin — • cos —231x2 sin3x231x2 sin3xx Gx G——;|u| —; да], k g Z, k Ф 0. □2nk n + 2nk) In )——;|u| —; да], k g Z, k Ф 0. □2nk n + 2nk) In )
‘ 1■ 3 1 ^
lnsin — I x )
‘ 1■ 3 1 ^
lnsin — I x )
211
3sin — • cos —
211
3sin — • cos —
231x2 sin3
x
231x2 sin3
x
x G
x G
——;|u| —; да], k g Z, k Ф 0. □
2nk n + 2nk) In )
——;|u| —; да], k g Z, k Ф 0. □
2nk n + 2nk) In )
ПРИМЕР 1.5.6. Вычислить производную функции
у = arccos x.
Решение. Обозначим
x (у) = cos у, у G R,
тогда
у (x) = arccos x, x g [-1;1], cos(arccos x) = x,(cos у )' = - sin у.
Воспользуемся правилом вычисления производной обратной функции:
у'(x) =у'(x) =11111111x'(у)sin уV1 H cos2 у\l 1 H x 2x'(у)sin уV1 H cos2 у\l 1 H x 2
у'(x) =
у'(x) =
1
1
1
1
1
1
1
1
x'(у)sin уV1 H cos2 у\l 1 H x 2
x'(у)sin уV1 H cos2 у\l 1 H x 2
Окончательно получаем, что
(arccos x)' = —., x g [h1;1]. □
V1H x x
ПРИМЕР 1.5.7. Вычислить производную функции
Решение. Чтобы найти область определения функции, решим систему уравнений
h1 < xx < 1,x ^ 0h1 < xx < 1,x ^ 0
h1 < xx < 1,x ^ 0
h1 < xx < 1,x ^ 0
и получим: x g [0; 1]. Таким образом, функция определена на отрезке [0; 1].
Для вычисления производной дважды воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и учтем, что
1
(arccos x) =—,.
1HxxX
По правилу дифференцирования сложной функции
у' = (arccos2 лХ) = 2arccosVx(arccosVx) = -2arccosVx , ^(Vx) =
V1 - x
11 arccos x
= -2 arccos V x .—=.
V1 - x 2V xд/x(1 - x)
Таким образом,
( г 'arccos Vxn n
(arccos Vx) =—,, x e [0;1]. □
V x (1 - x)
Пусть функция у = у(x) задана неявно, т. е. с помощью уравнения вида F(x, у) = 0, и необходимо вычислить производную y' = у'(x) (найти уравнение для производной). Для этого находят производную F'(x, у), пользуясь правилом вычисления производной сложной функции, а затем разрешают уравнение F'(x, у) = 0 относительно у';
ПРИМЕР 1.5.8. Записать уравнение для вычисления производной функции y = y(x), заданной уравнением
у = exy.
Решение. Воспользуемся правилом вычисления производной от неявно заданной функции. Обозначим
F(x, у) = у - e"у,
тогда функция у = у(x) будет задаваться уравнением
F (x, у) = 0.
Найдем F'(x, у), учитывая, что у = у(x):
F' (x, у (x)) = у'- e "у (xy)' = у' - e "у (у + xy').
exyy1 - e xyxexyy1 - e xyxРешим уравнение F'(x, у) = 0 относительно у':
exyy
1 - e xyx
exyy
1 - e xyx
F'(x, у) = 0 ^ у' - eжу xy' = eжу у ^ у,(1 - eжу x) = eжу у ^ у' =
Учитывая, что eжу = у , получим:
ууy2
у
у
.
1 - xy
Искомая производная является решением этого уравнения. □
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение производной.
В чем состоит геометрический смысл производной?
Что такое касательная к кривой?
Как составить уравнение касательной к кривой в данной точке?
Что такое нормаль кривой?
Как составить уравнение нормали кривой в данной точке?
Приведите примеры использования производной в экономических задачах.
Может ли функция иметь производную в точке, в которой она терпит разрыв? Приведите примеры.
Следует ли из дифференцируемости функции в некоторой точке ее непрерывность в этой точке?
Перечислите общие правила дифференцирования функций.
Перечислите формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Что такой дифференциал функции?
Что такой дифференциал независимой переменной?
В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции?
Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?
Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?
Задачи для самостоятельного решения
Найдите производную функции
y =y =xx -1,xx -1,
y =
y =
x
x -1,
x
x -1,
пользуясь только определением производной.
Найдите производную функции
f (x) = 43x + -5.x2
Найдите производную функции
f (x) = x7 e3 x.
Найдите производную функции
f (x) = x4 cos x.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
В этом параграфе мы обсудим основные свойства дифференцируемых функций.
Точка a называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки a выполняется неравенство
f (a) > f (x) [ f (a) ^ f (x)].
Теорема 1.6.1 (Лемма Ферма). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке a и эта точка является точкой локального максимума (минимума), то
У‘(a) = 0.
Доказательство. Предположим, что точка a является точкой локального максимума, т. е. f (a) > f (x) для всех x из некоторой окрестности точки a. Тогда
f (a + Ax) - f (a) ^ 0.
При этом Ax < 0 , если Ax ^ 0 - 0, и Ax ^ 0 , если Ax ^ 0 + 0 , значит,
,f (a + A x) - f (a),f (a + A x) - f (a)
y - (a) = lim — > 0,y + (a) = lim —< 0
Ax ^0-0AxAx ^0+0Ax
Но функция является дифференцируемой, значит, y-(a) = y+(a), а это возможно только в том случае, когда y-(a) = y + (a) = 0. Поэтому y'(a) = y-(a) = y + (a) = 0 , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что y'(a) = 0, если a является точкой локального минимума. □
Теорема 1.6.2 (Теорема Ролля). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), и при этом f (a) = f (b) = 0, то найдется такая точка c е (a, b), что
y'(c) = 0.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса (по теореме 1.4.4) функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m. Если M = m, то данная функция является константой, и значит, y'(c) = 0 в любой точке отрезка. Если же M > m, то хотя бы одно из этих значений достигается не в концах отрезка [a, b], а в одной из точек интервала (a, b), значит, в этой точке c функция терпит локальный экстремум, и тогда по лемме Ферма y'(c) = 0, что и требовалось доказать. □
Теорема 1.6.3 (Теорема Лагранжа). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то найдется такая точка c е (a, b), что
f (b) - f (a) = y‘(c)(b - a).
Доказательство. Функция
w(x) =f(x) -w(x) =f(x) -f(b) -f(a) xf(b) -f(a) xb-ab-a
w(x) =f(x) -
w(x) =f(x) -
f(b) -f(a) x
f(b) -f(a) x
b-a
b-a
непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b),
w(a) = f(a) -w(a) = f(a) -f(b) -f(a)f(b) -f(a)b-ab-aa=0,w(b)=f(b)-f(b)-f(a)b=0 b-aa=0,w(b)=f(b)-f(b)-f(a)b=0 b-a
w(a) = f(a) -
w(a) = f(a) -
f(b) -f(a)
f(b) -f(a)
b-a
b-a
a=0,w(b)=f(b)-f(b)-f(a)b=0 b-a
a=0,w(b)=f(b)-f(b)-f(a)b=0 b-a
значит, по теореме Ролля найдется такая точка c∈ (a, b), что w′(c) = 0. Но
w′(x) =f′(x) -f(b) -f(a),b-a
поэтому равенство w′(c) = 0 означает, что
f′(c) =f′(c) =f(b) -f(a)f(b) -f(a)b-ab-a
f′(c) =
f′(c) =
f(b) -f(a)
f(b) -f(a)
b-a
b-a
или
f(b) -f(a) =y′(c)(b-a),
что и требовалось доказать. □
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что между точками A и B графика функции y = f(x) найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB (рис. 1.6.1).
Рис. 1.6.1. Геометрический смысл теоремы ЛагранжаРис. 1.6.1. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Рис. 1.6.1. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Рис. 1.6.1. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
ТЕОРЕМА 1.6.4 (ТЕОРЕМА КОШИ). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем g′(x) ≠ 0, то найдется такая точка c∈ (a, b), что
f(b) - f(a) = f′(c)g(b) - g(a) g′(c).
Доказательство. Функция
w(x) = f(x)- f(a)- f(b) f(a.) (g(x)- g(a))g(b)- g(a)
непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b),
w(a) = f (a) - f (a) — f(b) f'a.' (g(a) — g(a)) = 0, w(b) = f (b) - f (a) - f(b) f'a1 (g(b) - g(a)) = 0 g (b) - g (a)g (b) - g (a)
значит, по теореме Ролля найдется такая точка c е (a, b), что w'(c) = 0. Но
w'(x) = f'(x) - f(b) fa' g'(x),g (b) - g (a)
поэтому равенство w'(с) = 0 означает, что
f‘(c) = f (Ь) f (a) g'(c)g (b) - g (a )
или
f (b) - f (a) = № g (b) - g (a) g'(c /
что и требовалось доказать. □
Теорема 1.6.5. Если функции f(x) и g(x) n +1 раз дифференцируемы в не
которой окрестности точки а, причем
f (a) = f‘(a) = f"(a) = • • • = f(n)(a) = g(a) = g‘(a) = g"(a) = — = g(n)(a) = 0 ,
а для некоторого x ^ a из этой окрестности
g(x)^0, g‘(x)^0, g"(x)^0, „., g(n)(x)^0, g(n+1)(x)^0,
то в этой окрестности найдется такая точка c [зависящая, вообще говоря, от x], что
f (x) = f'n+1,( c)
g(x) g1 n+1|(c)
Доказательство. Пусть для определенности x > a. Рассмотрим отрезок [a, x]. По
теореме Коши (по теореме 1.6.4) найдется такая точка c е (a, b), что
f (x) - f (a) = fc) g(x) - g(a) g'(c) ’
и поскольку f (a) = g(a) = 0 ,
f (x) = fM
g(x) g'(c)
Применим теперь доказанный результат к f'(c)/ g'(c) и получим, что
f X c) = f‘‘(d) g'(c) g"(d),
и так — n раз. Случай x > а рассматривается аналогично. □
Факториалом натурального числа n называется произведение
n! = 1-2 • 3— n.
Теорема 1.6.6 (Формула Тейлора). Если функция f(x) n+1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки а, то для любого x из этой окрестности справедлива формула
х х f‘(аLA f"(а),f(n)(a),^nл l
f (x) = f (a) +—(x - a)+—t~ (x - a) +1.—(x - a) + o (( x - a) ).
1!2!n!
Доказательство. Рассмотрим многочлен
Pn (x) = f (a) + f^ (x - a) + f^ (x - a)2 + ™ + f (a) (x - a)n.1!2!n!
Очевидно,Pn(a) = f(a), Pn(a) = f'(a), Pn(a) = f"(a), .„, Pnn)(a) = f(n)(a), поэтому
функция s(x) = f(x) - Pn (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки а, причем
s( a) = s'(a) = s"(a) = • • = s(n)(a) = 0.
Рассмотрим также функцию t(x) = (x - a)n+1. Очевидно,
t (a) = t'(a) = t"(a) = • = t(n)(a) = 0,
а для любого x * a из этой окрестности
t(x) * 0, t'(x) * 0, t"(x) * 0, „., t(n)(x) * 0, t(n+1)(x) * 0.
Тогда по предыдущей теореме в этой окрестности найдется такая точка c, что
s (x) = s(n+1)( c)
t(x) = t(n+1)(c).
Учитывая, что s(n+1)(c) = f(n+1)(c), t(n+1)(c) = (n +1)!, а
f(n+1)fp\
f—(c) (x - a)n+1 = o ((x - a)n),(n +1)!
так как
limx ^ alimx ^ af(n+1)( c)+1(n +1)! ()= f(n+1)(c)f(n+1)( c)+1(n +1)! ()= f(n+1)(c)(x - a)n(x - a)n(n +1)!(n +1)!lim(x - a) = 0 , x ^ alim(x - a) = 0 , x ^ a
lim
x ^ a
lim
x ^ a
f(n+1)( c)+1
(n +1)! ()= f(n+1)(c)
f(n+1)( c)+1
(n +1)! ()= f(n+1)(c)
(x - a)n
(x - a)n
(n +1)!
(n +1)!
lim(x - a) = 0 , x ^ a
lim(x - a) = 0 , x ^ a
n— + o (xn); n!n— + o (xn); n!
n
— + o (xn); n!
n
— + o (xn); n!
получаем результат теоремы. □
Приведем разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора в точке a = 0 (в этом случае формула Тейлора носит название формулы Маклорена):
xx2
e = 1 +1+... +
1!2!
352 n-1
sin x = x - x + — - — +... + (-1)n-1 —+ о (xn);
1!3!5!(2 n -1)!
2462n
cos x = 1 - — + x— — +... + (-1)n x— + o(xn);
2!4!6!(2n)!
(1 + x)m = 1 + mx + ... +1!(1 + x)m = 1 + mx + ... +1!m(m -1)(m - 2)...(m - n +1)m(m -1)(m - 2)...(m - n +1)(2 n -1)!(2 n -1)!xn + о (xn);xn + о (xn);
(1 + x)m = 1 + mx + ... +1!
(1 + x)m = 1 + mx + ... +1!
m(m -1)(m - 2)...(m - n +1)
m(m -1)(m - 2)...(m - n +1)
(2 n -1)!
(2 n -1)!
xn + о (xn);
xn + о (xn);
.-J.-Jn■1 — + о (xn).nn■1 — + о (xn).nlim f (x) = lim g (x) = 0,lim f (x) = lim g (x) = 0,x ^ ax ^ ax ^ ax ^ a
.-J
.-J
n
■1 — + о (xn).
n
n
■1 — + о (xn).
n
lim f (x) = lim g (x) = 0,
lim f (x) = lim g (x) = 0,
x ^ a
x ^ a
x ^ a
x ^ a
234
ln(1 + x) = x - x- + x- - x- +... + (-1)n
ТЕОРЕМА 1.6.7 (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ). Если функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, причем
то если существует (конечный или бесконечный) предел
lim fx,x ^a g'(x)
то существует и предел
f(x) lim
x ^ a g (x)
причем
..f (x). f'(x)
.
.
lim2-^ = lim
x ^ a g (x) x ^a g'(x)
Доказательство. Поскольку функции f(x) и g(x) дифференцируемы, то по определению (1.5.2)
f (x) - f (a) = f'(a)(x - a) + o(x - a),g(x) - g(a) = g'(a)(x - a) + o(x - a)
или, учитывая, что f(x) и g(x) непрерывны (так как дифференцируемы — см. теорему 1.5.3) и потому f (a) = lim f (x) == 0, g(a) = limg(x) = 0, x ^ ax ^ a
f (x) = f'(a)(x - a) + о(x - a), g(x) = g'(a)(x - a) + o(x - a).
Поэтому
lim f (x) = lim f'(a)(x - a) + o(x - a) = f'(a)x^ag(x) x^ag‘(a)(x - a) + o(x - a) g'(a)’
что и требовалось доказать. □
Следующую теорему приведем без доказательства.
ТЕОРЕМА 1.6.8 (ВТОРОЕ ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ). Если функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, причем
lim f (x) = lim g(x) = да , x ^ ax ^ a
то если существует (конечный или бесконечный) предел
f′(x)
lim ,x→a g′(x)
то существует и предел
f(x)limx→a g(x)
причем
..f(x)f′(x)
.
.
lim = lim
x→a g(x) x→a g′(x)
Правила Лопиталя позволяют существенно упростить вычисление многих пределов. Решим с их помощью примеры 1.3.2—1.3.3.
ПРИМЕР 1.6.1. Вычислить с помощью правила Лопиталя предел
lim x→3 x3lim x→3 x32x-5x-3-3x-5x+152x-5x-3-3x-5x+15
lim x→3 x3
lim x→3 x3
2x-5x-3
-3x-5x+15
2x-5x-3
-3x-5x+15
из примера 1.3.2.
Решение. Для раскрытия неопределенности вида воспользуемся правилом Ло- питаля. Поскольку многочлены f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на всей числовой прямой (а значит и всюду в некоторой окрестности точки x = 3), причем
f′(x) =4x-5,g′(x) = 3x2 -6x-5,
а производная g′(x) отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки x = 3, то по правилу Лопиталя
f(x)f′(x)2x2 -5x-34x-5
lim = lim , т. е. lim= lim.
x→3 g(x) x→3 g′(x)x→3x3-3x2-5x+15x→33x2-6x-5
Многочлены f′(x) и g′(x) не имеют общих множителей, отличных от постоянной, и g′(3) ≠ 0 , поэтому
limf(x)=f(3)=4⋅3-5=7.
x→3 g′(x) g′(3) 3⋅32-6⋅3-5 4
Окончательно получаем
7. □47. □42x2 -5x-3lim
7. □
4
7. □
4
x→3 x3-3x2-5x+15
ПРИМЕР 1.6.2. Вычислить с помощью второго правила Лопиталя предел
lim x→+∞lim x→+∞3x4-7x24x3 +2x+13x4-7x24x3 +2x+1
lim x→+∞
lim x→+∞
3x4-7x2
4x3 +2x+1
3x4-7x2
4x3 +2x+1
из примера 1.3.3.
Решение. Для раскрытия неопределенности вида ∞ воспользуемся вторым прави- ∞
лом Лопиталя. Обозначим
f(x)=3x4-7x2,g(x)=4x3+2x+1.
Поскольку многочлены f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на всей числовой прямой, причем
f′(x)=12x3-14x, g′(x)=12x2+2≠0,
то по правилу Лопиталя
f(x)f′(x)lim = lim , x→+∞ g(x) x→+∞ g′(x)f(x)f′(x)lim = lim , x→+∞ g(x) x→+∞ g′(x)т. е.т. е.lim x→+∞lim x→+∞3x4-7x24x3+2x+13x4-7x24x3+2x+1lim x→+∞lim x→+∞12x3-14x12x2+212x3-14x12x2+2
f(x)f′(x)
lim = lim , x→+∞ g(x) x→+∞ g′(x)
f(x)f′(x)
lim = lim , x→+∞ g(x) x→+∞ g′(x)
т. е.
т. е.
lim x→+∞
lim x→+∞
3x4-7x2
4x3+2x+1
3x4-7x2
4x3+2x+1
lim x→+∞
lim x→+∞
12x3-14x12x2+2
12x3-14x12x2+2
Вновь получили неопределенность вида ∞ , поэтому применим правило Лопиталя∞
еще раз.
Функции f′(x) и g′(x) определены и дифференцируемы, причем:
f′′(x) = 36x2 -14,g′′(x) = 24x.
Функция g′′(x) принимает значения, отличные от нуля, всюду на числовой прямой, кроме точки x = 0.
Значит,
f′(x)f′′(x)12x3-14x36x2-14
lim = lim , т. е. lim= lim.
x→+∞ g′(x) x→+∞ g′′(x)x→+∞ 12x2 + 2x→+∞ 24x
Продолжая аналогичные рассуждения, получим:
f′′(x)f′′′(x)lim = lim или limx→+∞ g′′(x) x→+∞ g′′′(x)x→+∞f′′(x)f′′′(x)lim = lim или limx→+∞ g′′(x) x→+∞ g′′′(x)x→+∞36x2 -36x2 -24x24x1472x= lim=lim 3x =+∞,x→+∞ 24x→+∞1472x= lim=lim 3x =+∞,x→+∞ 24x→+∞
f′′(x)f′′′(x)
lim = lim или limx→+∞ g′′(x) x→+∞ g′′′(x)x→+∞
f′′(x)f′′′(x)
lim = lim или limx→+∞ g′′(x) x→+∞ g′′′(x)x→+∞
36x2 -
36x2 -
24x
24x
1472x
= lim=lim 3x =+∞,
x→+∞ 24x→+∞
1472x
= lim=lim 3x =+∞,
x→+∞ 24x→+∞
и исходный предел
3x -7xlim — = +<». U
∞ и∞∞ и∞..x→+∞ 4x3 +2x+1
∞ и
∞
∞ и
∞
.
.
0
Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида
На практике встречаются и другие виды неопределенностей, но они сводятся к указанным двум. Например, неопределенность вида 0⋅∞ сводится к неопределенности 0 так:
00
0⋅∞⇔⇔ .
1/∞0
Для раскрытия неопределенностей вида 00, 0∞, 1∞ вместо f(x)g(x) рассматривается логарифм: lnf(x)g(x)= g(x)lnf(x), и тогда неопределенности указанных видов превращаются в 0 ⋅∞ .
Вопросы для самопроверки
Как формулируется теорема Ролля? В чем состоит ее геометрический смысл?
Как формулируется теорема Лагранжа? В чем состоит ее геометрический смысл?
Перечислите типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя. Приведите примеры.
Напишите формулу Тейлора. В каком случае эта формула совпадает с формулой Маклорена?
Напишите формулы Маклорена для функций ex, sin x, cos x, ln x.
Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.
Задачи для самостоятельного решения
Разложите функцию f (x) = 2x4 - 5x3 - 3x2 + 8x + 4 по формуле Тейлора в точке x = 2.
С помощью правила Лопиталя вычислите пределы:
а) limа) limln(x2 - 3)ln(x2 - 3)x>2’ xx>2’ x•2 - 3 x + 2’•2 - 3 x + 2’x3б) lim x .x ^+^ 2x3б) lim x .x ^+^ 2
а) lim
а) lim
ln(x2 - 3)
ln(x2 - 3)
x>2’ x
x>2’ x
•2 - 3 x + 2’
•2 - 3 x + 2’
x3б) lim x .
x ^+^ 2
x3б) lim x .
x ^+^ 2
§ 1.7. Приложения производной
Обсудим теперь ряд приложений дифференциального исчисления в экономике.
Рассмотрим фирму, которая производит определенную продукцию и использует для этого некоторые ресурсы. В наиболее упрощенном случае можно считать, что основным ресурсом, используемым фирмой, является человеческий труд, который измеряется численностью занятых x на этой фирме.
Пусть y — объем выпуска продукции в единицу времени. Производственная функция, как мы уже говорили описывает зависимость выпуска y от затраченного труда x: y = f(x). Пусть численность занятых на данной фирме составляет в настоящий момент a человек.
Рассмотрим выражение
Ay (a) = f (a + Ax) - f (a) = f'(a )A x + o (Ax)
и запишем приближенное равенство
f (a + Ax)» f (a) + f'(a)Ax ,
в котором положим Ax = 0. Получили, что
f (a +1)» f (a) + f‘(a).
Это означает, что увеличение численности занятых на единицу (от a до a + 1) приводит к увеличению объема выпуска на величину f ‘(a). Таким образом, экономический смысл производной таков: f'(a) — это объем добавочной продукции, произведенной новым сотрудником за единицу времени. Пусть цена единицы продукции составляет p (точнее, прибыль, которую приносит реализация единицы продукции, она меньше рыночной цены на величину издержек), а заработная плата одного работника w. Тогда очевидно, что принятый на работу новый сотрудник будет приносить фирме сумму pf'(a) в единицу времени и получать за ту же самую единицу времени заработную плату в размере w. Очевидно, что если pf'(a) > w, то прием нового сотрудника фирме выгоден, а если pf'(a) < w — то невыгоден.
Величина f'(a) называется предельной производительностью труда (в отличие от средней производительности труда f(a)/a).
Точно так же производная функции издержек равна предельным издержкам — величине, на которую увеличатся суммарные издержки при производстве дополнительной единице продукции, производная функции спроса равна увеличению спроса при увеличении цены продукции на единицу (эта производная для большинства товаров отрицательна, а положительна — для предметов роскоши), производная функции предложения равна увеличению предложения продукции при увеличении цены на единицу (эта производная для всех товаров положительна).
Предельная полезность (производная от функции полезности) — это дополнительная полезность от приобретения еще одной единицы товара.
В экономических задачах часто удобнее оперировать не абсолютными величинами, а относительными, рассматривать вопросы следующего типа: на сколько процентов увеличится f(x), если x увеличится на 1%? Например, на сколько процентов увеличится спрос, если снизить цену на 1%? Такие вопросы приводят к понятию эластичности функции.
Эластичностью функции f(x) по аргументу x называется предел
..(1.7.1)(1.7.1)εxf =lim∆f(x)/f(x)
.
.
(1.7.1)
(1.7.1)
∆x→0∆x/x
В числителе этой формулы стоит относительное изменение функции f(x), в знаменателе — относительное изменение аргумента x (относительное — по отношению к текущему значению). Преобразуем формулу (1.7.1):
li ∆f(x)
εf =lim ∆f(x)/f(x)=x∆xm→0 ∆x =xf′(x)=f′(x) .x ∆x→0 ∆x/xf(x)/xf(x)f(x)/x
ПРИМЕР 1.7.1. Функция спроса на некоторый товар такова: D(p) = 500 – 25p. Текущая цена товара равна 5. На сколько процентов увеличится спрос, если снизить цену на 1%?
Решение. Вычислим эластичность спроса по цене. Так как D′(p) = (500 -25p)′ = -25 , получаем:
D = pD′(p) =-25p
pD(p)500-25p.
При p = 4
εpDεpD-100500-100-100500-100-0,25,-0,25,
εpD
εpD
-100500-100
-100500-100
-0,25,
-0,25,
т. е. снижение цены на 1% приведет к увеличению спроса на 0,25%. □
Поговорим теперь об исследовании функций, с которыми придется сталкиваться при анализе экономических процессов и систем.
В этом исследовании помогает ряд теорем, которые читатель может доказать самостоятельно, опираясь на теоремы предыдущего параграфа.
ТЕОРЕМА 1.7.1. Для того, чтобы функция y = f (x), имеющая конечную или бесконечную производную на интервале (a, b), возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале выполнялись два условия:
f ‘(x) ^ 0 (f ‘(x) < 0);
f ‘(x) > 0 не обращается в нуль ни на одном отрезке [а, в] с (a, b).
ТЕОРЕМА 1.7.2 (НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ). Если точка a является точкой максимума или минимума функции y = f (x), то в этой точке должно выполняться одно из условий:
либо f ‘(a) = 0,
либо производная в этой точке не существует, но функция y = f (x) в этой точке непрерывна.
Точки, которые удовлетворяют необходимому условию экстремума, называются критическими точками первого рода.
ТЕОРЕМА 1.7.3 (ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА). Если при переходе слева направо через критическую точку первого рода первая производная меняет свой знак с плюса на минус, то эта точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс — то точкой минимума.
ТЕОРЕМА 1.7.4 (ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА). Если вторая производная имеет в критической точке первого рода знак плюс f"(x) > 0, то в этой точке минимум, если же — минус f"(x) < 0 , то в этой точке максимум.
ТЕОРЕМА 1.7.5. Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на концах отрезка, либо во внутренних точках локальных экстремумов.
Теорема 1.7.6. Если f"(a) > 0 [ f"(a) > 0, f"(a) < 0, f\a) < 0 ], то функция f"(a) > 0 является в точке а строго выпуклой [соответственно нестрого выпуклой вниз, строго выпуклой вверх и нестрого выпуклой вверх].
Обсудим практику применения теорем для исследования функций и построения их графиков. Общая схема исследования функции такова.
Найти область определения функции, исследовать на непрерывность, определить точки разрыва, если есть;
Найти асимптоты функции, если есть;
Исследовать функцию на четность/нечетность;
Исследовать на периодичность;
[Найти нули функции, промежутки знакопостоянства;]
Найти промежутки возрастания/убывания, исследовать функцию на экстремумы;
Найти промежутки выпуклости/вогнутости, точки перегиба;
[Определить область значений функции;]
Найти характерные точки функции, построить график.
ПРИМЕР 1.7.2. Исследовать функцию
y = x3 - 3 x +1
и построить ее график.
Решение. Решение задачи проведем согласно схеме исследования функций.
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Наклонных асимптот нет, так как
limlimx — 3 x +1x — 3 x +1x ^±^x ^±^xx121 I= lim I x — 3 +— I = +x ,x ^±^\x )121 I= lim I x — 3 +— I = +x ,x ^±^\x )
lim
lim
x — 3 x +1
x — 3 x +1
x ^±^
x ^±^
x
x
121 I
= lim I x — 3 +— I = +x ,x ^±^\x )
121 I
= lim I x — 3 +— I = +x ,x ^±^\x )
а вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.
Поскольку y(—x) = (—x)3 — 3(—x) +1 = — x3 + 3x +1, т. е. y(—x) * y(x) и y(—x) ^ — y(x), функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не является периодической.
Вычислим производную:
y' = 3 x2 — 3 .
Критические точки найдем из уравнения
y ' = 0 или 3x2 - 3 = 0.
Таким образом, функция имеет две критические точки: х1 = -1, x2 = 1.
Т а б л и ц а 1.7.1
Промежутки возрастания и убывания функции y = x3 - 3x +1
x
(– ; –1)
–1
(–1; 1)
1
(1; )
sgn y'(x)
+
0
—
0
+
y(x)
возрастает
3
убывает
–1
возрастает
Тип экстремума
max
min
Итак, при x е (да; -1) и (1; да) функция возрастает, при x е ( -1;1) функция убывает.
Точка (–1; 3) является точкой максимума, точка (1; –1) — точкой минимума.
Вычислим вторую производную:
y" = 6 x.
Критические точки второго рода найдем из уравнения
y" = 0 или 6x = 0.
Таким образом, функция имеет единственную критическую точку второго рода: x = 0.
Т а б л и ц а 1.7.2
Промежутки выпуклости и вогнутости функции y = x3 - 3x +1
x
(– ; 0)
0
(0; )
sgn y ’’(x)
—
0
+
y(x)
вогнута
1
выпукла
точка перегиба
Таким образом, при x е (-да; 0) функция является вогнутой, при x е (0; да) функция является выпуклой. Точка (0; 1) является точкой перегиба.
Областью значений функции является множество всех действительных чисел.
Составим таблицу нескольких промежуточных значений функции (табл. 6)
Т а б л и ц а 1.7.3
x
-да
–2
–1
0
1
2
+да
y = x3 - 3 x +1
-да
–1
3
1
–1
3
+да
Теперь можно построить график функции (рис. 1.7.1). □
Пример 1.7.3. Исследовать функцию y = xe1/x и построить ее график.
Решение. 1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки x = 0. Односторонние пределы в этой точке
lim xe1/xx —0+0lim xe1/xx —0+0= +да,= +да,e«x ,. (e«x)'(V x /e1 x„
lim xe1/x
x —0+0
lim xe1/x
x —0+0
= +да,
= +да,
lim= lim= lim = lim e1
x—0+01 x x—0+0 (1 x )' x—0+0 (1 x )' x—0+0
1e1xlim x e x = lim= limx —0-0x —0-0 1 x x —0-01e1xlim x e x = lim= limx —0-0x —0-0 1 x x —0-0(e )(1/ x)'(e )(1/ x)'= lim (1 x) e1 x = lim e1 x = 0x —>0-0 ^1/ ^‘x —*0-0= lim (1 x) e1 x = lim e1 x = 0x —>0-0 ^1/ ^‘x —*0-0
1e1x
lim x e x = lim= limx —0-0x —0-0 1 x x —0-0
1e1x
lim x e x = lim= limx —0-0x —0-0 1 x x —0-0
(e )
(1/ x)'
(e )
(1/ x)'
= lim (1 x) e1 x = lim e1 x = 0
x —>0-0 ^1/ ^‘x —*0-0
= lim (1 x) e1 x = lim e1 x = 0
x —>0-0 ^1/ ^‘x —*0-0
(здесь мы избавились от неопределенности типа — с помощью правила Лопиталя). да
Таким образом, точка x = 0 является точкой разрыва второго рода.
yyРис. 1.7.1. График функции y = x3 - 5x +1Рис. 1.7.1. График функции y = x3 - 5x +1
y
y
Рис. 1.7.1. График функции y = x3 - 5x +1
Рис. 1.7.1. График функции y = x3 - 5x +1
1
Вертикальная асимптота задается уравнением x = 0 (так как lim xex = +/ ). По- x ^0+0
скольку
limlimxe1xe1x ^±/ xx ^±/ x=1,=1,
lim
lim
xe1
xe1
x ^±/ x
x ^±/ x
=1,
=1,
существует наклонная асимптота, которая задается формулой y = kx + b, где
x e1 xe1 x -1et -1
k = lim= 1, b = lim (x e1 -1 x ) = lim [ x (e1 -1)] = lim= lim= 1,
x ^±« xx ^x ^x ^ 1 xt ^o t
т. е.
y = x + 1.
Данная функция не является ни четной , ни нечетной, так как y(-x) = -x e-1 x, и y(-x) * y(x) и y(-x) * -y(x).
Функция не является периодической.
Уравнение xe1 x = 0 решений не имеет, так как точка x = 0 лежит вне области допустимых значений (и вне области определения функции). При этом при x е (-/; 0) функция принимает отрицательные значения, а при x е (0; /) — положительные.
Производная
y' =(x e1 x)y' =(x e1 x)
y' =(x e1 x)
y' =(x e1 x)
Критические точки найдем из уравнения
y ' = 0 или e1 x | 1 - -1| = 0
I x)
Решением этого уравнения является точка x = 1. Критической является также точка x = 0, в которой производная y' не определена.
Таблица 1.7.4
Промежутки возрастания и убывания функции у = x e1 x
x
(– ; 0)
(0; 1)
1
(1; )
sgn y'(x)
+
—
0
+
y(x)
возрастает
убывает
e
возрастает
Тип экстремума
min
Таким образом, при x e (-да; 0) и (1; да) функция возрастает, при x e (0;1) функция убывает. Точка (1; е) является точкой минимума.
Вторая производная
у "= eу "= e1 -1x1 -1x‘‘LPv x 1_11+x2 e I 1 l+ 2 e 3 e .xxxxLPv x 1_11+x2 e I 1 l+ 2 e 3 e .xxxx
у "= e
у "= e
1 -1
x
1 -1
x
‘
‘
LPv x 1_11+x
2 e I 1 l+ 2 e 3 e .
xxxx
LPv x 1_11+x
2 e I 1 l+ 2 e 3 e .
xxxx
Критической точкой второго рода является точка x = 0 , в которой функция у" не определена.
Таблица 1.7.5
Промежутки выпуклости и вогнутости функции y = xe1 x
x
(– ; 0)
(0; )
sgn y''(x)
—
+
y(x)
вогнута
Выпукла
Таким образом, при x e (-да; 0) функция является вогнутой, при x e (0; да) функция является выпуклой.
Область значений функции E(у) = {x: x e (-да; 0) и [e; да)}
Составим таблицу нескольких промежуточных значений функции.
Таблица 1.7.6
x
-да
–2
–1
0 – 0
0 + 0
1
2
+да
y = x e1 x
-да
-2e-12 «-1,21
- e-1 «-0,37
0
+да
e « 2,72
2e12 « 3,30
+да
Теперь мы можем построить график данной функции (рис. 1.7.2). □
Вновь вернемся к обсуждению задачи одноресурсной фирмы, с которой мы начали этот параграф. Вычислим прибыль фирмы:
z = pf (x) - wx.
Задача руководства — подобрать размер фирмы (x) таким образом, чтобы обеспечить наибольшую прибыль z. Иными словами, нужно найти максимум функции z(x) = pf (x) - wx при x e [0, +да). Вычисляем производную и вторую производную функции z: z'(x) = pf'(x) - w, z"(x) = pf"(x).
Необходимое условие максимума требует, чтобы z'(x) (так как производная f'(x), следовательно, и z'(x) существует — будем считать — везде). Отсюда pf'(x) = w или
w
f (x) = —.p
Как правило, вторая производная производственной функции f"(x) < 0 при любом x, поэтому достаточное условие максимума выполняется: z"(x) < 0.
Вопросы для самопроверки
Каковы признаки возрастания и убывания функций?
Покажите, что функция y = ex возрастает на любом числовом промежутке.
Что называется экстремумом функции?
Как найти максимумы и минимумы функции? Сформулируйте два правила.
Приведите пример, который показывает, что равенство производной нулю не является достаточным условием экстремума функции.
Чем отличается максимум функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего значения?
Чем отличается минимум функции, заданной на некотором отрезке, от ее наименьшего значения?
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Всегда ли они существуют?
Какая функция называется выпуклой (выпуклой вниз)?
Какая функция называется вогнутой (выпуклой вверх)?
Как найти интервалы выпуклости и вогнутости функции?
Что такое точка перегиба графика функции?
Как найти точки перегиба графика функции?
Что такое кривая Лаффера?
Задачи для самостоятельного решения
Постройте график функции y = x3-2x2 + x.
Исследуйте кривые Торнквиста (описывающие спрос на предметы первой необходимости и предметы роскоши):
х 2 x х 3 x (x -1)а) У = —-, б) У =—
x + 3x + 2
и постройте их графики.
Глава 2. Дифференциальное исчислениеФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 2.1. Функции многих переменных
Ранее мы рассматривали функции одной переменной, возникающие в экономической деятельности: функции спроса, предложения, издержек, полезности, производственные функции, зависящие от единственного фактора. Так, мы считали, что спрос на товар целиком определяется ценой этого товара. На самом деле такое допущение в большинстве случаев является очень грубым: ведь спрос на товар, как правило, существенным образом зависит не только от цены данного товара, но и от цены других товаров, прежде всего, товаров — заменителей, и дополняющих товаров. Так, спрос на яблоки зависит не только от цены яблок, но и от цены груш и апельсинов; спрос на автомобили зависит не только от цен на автомобили, но и от цен на бензин; спрос на принтеры зависит не только от цен на принтеры, но и от цен на компьютеры и т. п.
Также мы рассматривали однофакторную производственную функцию, описывающую зависимость объема продукции, выпускаемого фирмой в единицу времени, от количества единственного используемого ресурса — труда. Однако очевидно, что очень многое определяют и другие факторы, прежде всего, капитал, который можно измерить стоимостью фондов фирмы.
Таким образом, мы приходим к понятию функции нескольких переменных.
Пусть Х — множество точек n-мерного евклидова пространства Еn. Если каждой точке P(x1, x2, .., xn) e X ставится в соответствие по определенному правилу число y e R, то это означает, что на множестве Х задана функция n переменных y = f (P) или y = f (x1, x2,.., xn).
Множество {Р} точек пространства Еи, удовлетворяющих условию
Р( Po, P) <5,
где 5 > 0, называется 5-окрестностью точки Р0.
Точка Р называется внутренней точкой множества X с En, если она принадлежит Х вместе с некоторой своей 5-окрестностью.
Множество X с En называется открытым, если каждая его точка — внутренняя. Множество X с En называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Открытое связное множество X с En называется областью.
Точка Р называется граничной точкой области X с En, если в любой 5- окрестности точки Р есть как точки, принадлежащие X, так и не принадлежащие X. Множество всех граничных точек области X называется границей этой области и обозначается дX. Область X вместе с ее границей называется замкнутой областью и обозначается Х. Всякое открытое множество, содержащее точку Р, называется ее окрестностью.
Множество {Р} точек, расстояние от каждой из которых до некоторой точки
Р0 удовлетворяет соотношению
Р(Po,P) = r ,
называется n-мерной сферой радиуса r с центром в точке Р0.
Множество {Р} точек, расстояние от каждой из которых до некоторой точки
Р0 удовлетворяет соотношению
Р(Po,P) < r,
называется n-мерным шаром радиуса r с центром в точке Р0.
Множество (область) X с En называется ограниченным, если существует сфера, внутри которой содержится это множество (область).
При исследовании функций нескольких переменных на первом его этапе обычно исследуют область определения функции. Возникающие при этом ограничения значений независимых переменных х1, х2, …, хn — того же происхождения, что и в случае функций одной переменной.
Рассмотрим несколько примеров на нахождение области определения функций нескольких переменных.
ПРИМЕР 2.1.1. Найти область определения функции
2222
у = rr - Xi - x2 - xз .
Решение. Область определения данной функции определяется условием x2 + x2 + x2 < r2, которое задает n-мерный шар радиуса r с центром в начале координат. □
В отличие от функций одной переменной, допускающих геометрическое изображение, геометрическое изображение функций нескольких переменных на том же уровне наглядности возможно только для функций двух переменных.
В случае функций трех и более переменных геометрическая интерпретация на том же уровне наглядности функции уже невозможна, так как размерность пространства, где такая наглядность возможна равна четырем. Для получения представления о поведении функции трех и более переменных используют поверхности уровня.
Поверхностью уровня функции у =f(x1, x2, …, xn) называется множество точек из области определения функции D(f), удовлетворяющих условию
f(x1, x2,f(x1, x2,■, xn ) = c,■, xn ) = c,
f(x1, x2,
f(x1, x2,
■, xn ) = c,
■, xn ) = c,
где c — постоянная. Следовательно, поверхности уровня функции f — это множества точек из области определения функции на которых она принимает заданные постоянные значения; каждому постоянному значению функции соответствует своя поверхность уровня. В случае двух переменных поверхности уровня превращаются в линии уровня.
ПРИМЕР 2.1.2. Найти поверхности уровня функции у = ^36 - х^ - х2 - х2 и значение этой функции в точке Р(1, 1, 3).
Решение. В соответствии с определением поверхностей уровня имеем:
yi36 — Xi — х2 — х з — с,
где с ^ 0. Откуда следует, что 36 — х2 — х2 — х2 — с2 или х2 + х2 + х2 — 36 — с2 (очевидно, что 0 < с < 6). Полученное уравнение задает трехмерные сферы радиуса V36 — с2 с центром в начале координат. При с = 6 поверхность уровня вырождается в точку — начало координат.
Найдем теперь значение данной функции в точке Р(1, 1, 3):
y — V 36 —12 —y — V 36 —12 —12 — 32 — V 36—ii — 725 — 5. □
y — V 36 —12 —
y — V 36 —12 —
Линии уровня производственной функции называются изоквантами. Изокванты определяют все такие сочетания ресурсов, которые обеспечивают одинаковый объем выпуска продукции.
Пример 2.1.3. Найти изокванты производственной функции Кобба — Дугласа f (x1, x 2) — Ax^ x 1—a при A — 2, a — 2/3 (x1 — численность занятых, x2 — стоимость фондов, f(x1, x2) — объем выпуска).
Решение. Изокванты задаются уравнением Ax^x 1—a — с или
x 2 —x 2 —1/(1—a)1/(1—a)
x 2 —
x 2 —
1/(1—a)
1/(1—a)
В случае A — 2, a — 2/3 изокванты будут такими:
338x128x12
3
3
8x12
8x12
это квадратичные гиперболы.. □
Линии уровня функции полезности называются кривыми безразличия. Кривые безразличия определяют все такие наборы товаров, которые потребителю кажутся одинаково полезными.
Линии уровня функции издержек называются изокостами. Изокосты определяют все такие планы производства, которые приносят одинаковые суммарные издержки.
Определение предела обобщается на случай функций нескольких переменных следующим образом.
Пусть функция f(P) определена в некоторой окрестности точки P0(x0, x0,.., x°n) за исключением, быть может, точки Р0. Функция f(P) имеет в точке Р0 предел, равный А, если для любого £ > 0 существует такое 5 — 5(e) > 0, что для всех точек Р(х1, х2, …, хn) из области определения функции, для которых 0 < Р(P, P,) < 5(e) выполняется неравенство | f (P) — A |< e .
Обозначаться такой предел может одним из следующих способов:
lim f(P)P > P0lim f(P)P > P0— A; lim f(P) — A; lim f(x1,x2,...,xn) — A.
lim f(P)
P > P0
lim f(P)
P > P0
p(P, Pl) >°x1 ^x0
x2 > x0
xn > xnn
Теоремы о пределах функции одной переменной легко обобщаются и остаются справедливыми и для функций нескольких переменных. Необходимо при этом иметь в виду, что данное выше определение предела предполагает одновременное стремление аргументов х1, х2, …, хn к своим пределам, т. е., соответственно, к x10,x20,…,xn0. Поэтому указанный предел называется также n- кратным. Наряду с n-кратным, в приложениях рассматриваются и повторные пределы, получаемые в результате предельных переходов по каждому аргументу в отдельности. В общем случае оба вида пределов функций нескольких переменных в точке приводят к различным результатам, что необходимо иметь в виду при нахождении n-кратного предела функции переменных.
ПРИМЕР 2.1.4. Выяснить, имеет ли предел функция
f (X1, x 2) =f (X1, x 2) =2x12x22x1 + x 22x12x22x1 + x 2
f (X1, x 2) =
f (X1, x 2) =
2x12x22
x1 + x 2
2x12x22
x1 + x 2
в начале координат.
Решение. Из определения предела следует, что результат предельного перехода не должен зависеть от способа его реализации. Пусть, например, точка P(x1, x2) стремится к точке О(0, 0) по прямой x2 = kx1. Имеем:
2x2x2lim f (xn x2) = lim 1 2'.'. x1+ x 2x 2 = kx1x 2 = kx12x2x2lim f (xn x2) = lim 1 2'.'. x1+ x 2x 2 = kx1x 2 = kx12x2k2x22k2lim ———-J— = limx1 >0 x14 + k4 x14 x1 ^0 1 + k42x2k2x22k2lim ———-J— = limx1 >0 x14 + k4 x14 x1 ^0 1 + k4
2x2x2
lim f (xn x2) = lim 1 2
'.'. x1+ x 2
x 2 = kx1x 2 = kx1
2x2x2
lim f (xn x2) = lim 1 2
'.'. x1+ x 2
x 2 = kx1x 2 = kx1
2x2k2x22k2
lim ———-J— = limx1 >0 x14 + k4 x14 x1 ^0 1 + k4
2x2k2x22k2
lim ———-J— = limx1 >0 x14 + k4 x14 x1 ^0 1 + k4
Как видно, результат имеет различные значения в зависимости от k, и поэтому рассматриваемая функция в точке Р(0, 0) предела не имеет. □
Функция f(P) называется непрерывной в точке P0(x10,x20,…,xn0), если она оп-
ределена как в самой точке Р0, так и в некоторой ее окрестности, существует
предел lim f (P) и этот предел равен lim f (P) = f (P0).
P ^ P0P ^ P0
Функция f (P) называется непрерывной на множестве X с En, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Свойства непрерывных функций нескольких переменных аналогичны свойствам непрерывных функций одной переменной.
ПРИМЕР 2.1.5. Исследовать на непрерывность функцию
f ( xi, x 2) =f ( xi, x 2) =2x12x22
f ( xi, x 2) =
f ( xi, x 2) =
.
x1 + x 2
Решение. Данная функция не определена в точке О(0, 0) и не имеет предела в этой точке (см. пример 2.1.4). В остальных точках функция непрерывна, так как представляет собой отношение непрерывных функций. □
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение функции нескольких переменных.
Что такое область определения функции нескольких переменных?
Каково геометрическое изображение области определения функции двух переменных?
Каково геометрическое изображение области определения функции трех переменных?
Что такое линия уровня функции двух переменных?
Что такое поверхность уровня функции нескольких переменных?
Какие существуют способы задания функций двух переменных?
Каковы способы изображения функции двух переменных?
Что называется линиями уровня?
Каковы способы изображения функции трех переменных?
Что называется поверхностями уровня?
Как определяется понятие предела функции нескольких переменных?
Как определяется понятие непрерывности функции нескольких переменных?
Приведите пример функции двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки окружности x2 + y2 = 1.
Задачи для самостоятельного решения
Найдите lim2x2x2.
x1 >012
x 2 >0
2x2
Исследуйте функцию f (x1, x2) = ——1— на непрерывность.
x4 + x 4
Частные производные
Пусть задана функция n переменных
f (X1, x2, ..., Xn).
Зафиксируем значения переменных x1, x2, .., xi-1, xi+1,.., xn (всех переменных, кроме xi ) и рассмотрим функцию одной переменной
f( xi) = f(x1,x 2,., xn).
Ее производная называется частной производной функции f (x1, x2,., xn) по переменной xi и обозначается
df ( xv x 2,., xn) = dfi (xi)dxidxi
Экономический смысл частных производных такой же, как и производных функций одной переменной.
Частная эластичность функции f (x1, x2,., xn) по аргументу xi рассчитывается так же, как и в случае функции одной переменной, производная функции одной переменной заменяется соответствующей частной производной:
££f xif xixidf ( xn x 2,..., xn)
£
£
f xi
f xi
f ( xv x 2,., xn)dxi
ПРИМЕР 2.2.1. Найти эластичность выпуска по труду и по капиталу для производственной функции Кобба — Дугласа из примера 2.1.3.
Решение. Эластичности таковы:
. f _x14-1/3 1/32fx 22 2/3 -2/31 □
■ x19r2 3r;:^ /1x2 q,£x29-p2/3-p1/3 /1x2Q. u
x1x2x1x2
Градиент функции f(x1, x2,., xn) — это вектор, координаты которого равны частным производным функции по соответствующим переменным:
grad f (x1, x 2,., xn) =grad f (x1, x 2,., xn) =f^f 5 x1 d^ dx 2f^f 5 x1 d^ dx 2
grad f (x1, x 2,., xn) =
grad f (x1, x 2,., xn) =
f^f 5 x1 d^ dx 2
f^f 5 x1 d^ dx 2
^fdx.
Теорема 2.2.1. Градиент функции f (x1, x2,., xn), вычисленный в точке P, перпендикулярен линии уровня функции, проходящей через эту точку, и показывает направление наибольшего роста функции в этой точке.
Производная функции f(x1, x2,…, xn) по направлению а в точке P равна скалярному произведению единичного вектора по направлению а и градиента, вычисленного в точке А:
;;dfda
;
;
единичный вектор по направлению а можно вычислить как
a
e=й.
ПРИМЕР 2.2.2. Найти в точке A(1,2) производную функции z = x^ + 2x-x2 по направлению
Решение. Длина вектора a равна
| a|= (-4)2 + 32 = 5.
Найдем единичный вектор в направлении a:
a f-4/5)
e ==•
Ia| I 3/5 J
Частные производные функции z = x4 + 2x-x2 в точке A(1; 2)
azaza x1a x1A(1; 2)A(1; 2)= ( 4x3 + 6x2x, )|= 4-13 + 6-12 • 2 = 16,112A(1; 2)= ( 4x3 + 6x2x, )|= 4-13 + 6-12 • 2 = 16,112A(1; 2)azazax 2ax 2A(1; 2)A(1; 2)= 2 x?|= 2 x?|A(1; 2)A(1; 2)= 2-13 = 2,= 2-13 = 2,
az
az
a x1
a x1
A(1; 2)
A(1; 2)
= ( 4x3 + 6x2x, )|= 4-13 + 6-12 • 2 = 16,
112A(1; 2)
= ( 4x3 + 6x2x, )|= 4-13 + 6-12 • 2 = 16,
112A(1; 2)
az
az
ax 2
ax 2
A(1; 2)
A(1; 2)
= 2 x?|
= 2 x?|
A(1; 2)
A(1; 2)
= 2-13 = 2,
= 2-13 = 2,
поэтому
gradz =gradz =г16 лv 2 >г16 лv 2 >
gradz =
gradz =
г16 л
v 2 >
г16 л
v 2 >
Производная функции z по направлению а, вычисленная в точке А, равна скалярному произведению единичного вектора по направлению а и вектора-градиента в точке А.
dz— = < e, grad z da ,dz— = < e, grad z da ,43
dz
— = < e, grad z da ,
dz
— = < e, grad z da ,
— 16 + - • 2 = -
555
Окончательно получаем:
dz 58
_
.
da 5
ПРИМЕР 2.2.3. В условиях примера 3.5.1 из первой части рабочей тетради цены на продукцию равны 10 ден. ед. и 20 ден. ед. Определить план производства, который обеспечит предприятию наибольшую выручку.
Решение. Множество возможных планов производства было построено нами в примере 3.5.1 и изображено на рис. 3.5.1 (см. первую часть рабочей тетради). Выручка предприятия описывается функцией z = 10x1 + 20x2, градиент которой
,^0)
gradz=,
I 20 J,
указывает направление наибольшего возрастания функции z.
Линии уровня функции z образуют семейство параллельных прямых, перпендикулярных градиенту (они обозначены пунктиром на рис. 2.2.1).
Будем двигать линию уровня в направлении градиента — наибольшего значения функция z достигает в точке B(30, 20). Это и есть оптимальный план производства. □
Рис. 2.2.1. Решение задачи оптимального планирования производства
Данную задачу мы смогли решить графическим способом, поскольку данное предприятие выпускает всего два наименования продукции. Ассортимент у реальных предприятий гораздо богаче, и для оптимизации деятельности таких предприятий графическим методом не обойтись. Методам решения таких, оптимизационных, задач будет посвящена третья часть нашего курса (третий семестр).
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение частных производных функции нескольких переменных.
Что такое производная по направлению?
Что такое градиент функции нескольких переменных?
Куда направлен градиент функции нескольких переменных?
Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор направления?
Покажите, что производная функции нескольких переменных по направлению линии уровня этой функции равна нулю.
Задачи для самостоятельного решения
Найдите частные производные функции
..2x2y = -Tx22
.
.
по всем переменным.
Найдите частные производные функции
2x2
f (Xi, x2) = 4 14.
X1 + X 2
по всем переменным.
Докажите, что функция
f (x; y) = In V x2 + y2
удовлетворяет уравнению
52 f 52 f _ -^7 + = 0. 5 x 5 y
Глава 3. Интегралы и дифференциальные уравнения
Неопределенный интеграл
Вначале напомним некоторые факты, известные из школьного курса математики. Операция, обратная дифференцированию, называется и н т е г р и - рованием. Точнее, функция F(x), такая что F'(x) = f(x) (или, что то же самое, dF(x) = f (x)dx), называется первообразной функции f (x). Поскольку производная константы равна нулю, то если F(x) — первообразная функции f (x), то и F(x) + c — также первообразная функции f (x). Таким образом, первообразная определена с точностью до константы.
Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается
Легко проверяются простейшие свойства неопределенного интеграла:
(J f (x)dx) = f (x); d(J f (x)dx) = f (x)dx ;
;
;
Имея перед глазами таблицу производных, можно выписать некоторые интегралы:
f 0dx = c; [dx = x + c;[x”dx = x— + c;= ln | x | + c; faxdx = —— + c ;
JJ•* n +1 x xXln a
J sin xdx = - cos x + c; J cos xdx = sin x + c ;
JJdxdxsinxsinx= lntg x + c; f2= lntg x + c; f2dxdxcosxcosxI x П 1= ln tg —+ — + c;I 2 4 )I x П 1= ln tg —+ — + c;I 2 4 )
J
J
dx
dx
sinx
sinx
= lntg x + c; f2
= lntg x + c; f2
dx
dx
cosx
cosx
I x П 1
= ln tg —+ — + c;
I 2 4 )
I x П 1
= ln tg —+ — + c;
I 2 4 )
dx—-— = - ctg x + c; sin2 xdx—-— = - ctg x + c; sin2 xdx— = tg x + c ;cos2 xdx— = tg x + c ;cos2 x
dx
—-— = - ctg x + c; sin2 x
dx
—-— = - ctg x + c; sin2 x
dx
— = tg x + c ;
cos2 x
dx
— = tg x + c ;
cos2 x
JJdxdxx2 + 1x2 + 1= arctg x + c = -arcctg x + c ;= arctg x + c = -arcctg x + c ;
J
J
dx
dx
x2 + 1
x2 + 1
= arctg x + c = -arcctg x + c ;
= arctg x + c = -arcctg x + c ;
dx
,= arcsin x + c = - arccos x + c ;
J Vi-x2
dxdxx2 + ax2 + a= ln x += ln x ++ a + c;+ a + c;
dx
dx
x2 + a
x2 + a
= ln x +
= ln x +
+ a + c;
+ a + c;
dx 1= lnJ x x -1 2dx 1= lnJ x x -1 2x -1x +1x -1x +1+ c;+ c;a2xa - x +arcsin—+ c;2aa2xa - x +arcsin—+ c;2axa= — Vx + a + —ln x + Vx + a + c.xa= — Vx + a + —ln x + Vx + a + c.2222Опишем основные методы интегрирования.Метод замены переменной основан на формуле:Опишем основные методы интегрирования.Метод замены переменной основан на формуле:I f (x)dx = j f (ф(t))d^(t) = J f ^(t))ф‘(t)dt,I f (x)dx = j f (ф(t))d^(t) = J f ^(t))ф‘(t)dt,где x = ф(t). Этот метод интегрирования иллюстрируется примером 3.1.1.Пример 3.1.1. Найти неопределенный интегралгде x = ф(t). Этот метод интегрирования иллюстрируется примером 3.1.1.Пример 3.1.1. Найти неопределенный интегралsinxcosxdxV sin2 x - 5sinxcosxdxV sin2 x - 5..
dx 1
= ln
J x x -1 2
dx 1
= ln
J x x -1 2
x -1
x +1
x -1
x +1
+ c;
+ c;
a2x
a - x +arcsin—+ c;
2a
a2x
a - x +arcsin—+ c;
2a
xa
= — Vx + a + —ln x + Vx + a + c.
xa
= — Vx + a + —ln x + Vx + a + c.
2
2
2
2
Опишем основные методы интегрирования.
Метод замены переменной основан на формуле:
Опишем основные методы интегрирования.
Метод замены переменной основан на формуле:
I f (x)dx = j f (ф(t))d^(t) = J f ^(t))ф‘(t)dt,
I f (x)dx = j f (ф(t))d^(t) = J f ^(t))ф‘(t)dt,
где x = ф(t). Этот метод интегрирования иллюстрируется примером 3.1.1.
Пример 3.1.1. Найти неопределенный интеграл
где x = ф(t). Этот метод интегрирования иллюстрируется примером 3.1.1.
Пример 3.1.1. Найти неопределенный интеграл
sinxcosxdx
V sin2 x - 5
sinxcosxdx
V sin2 x - 5
.
.
Решение. Используем метод замены переменной. Пусть
u = sin2 x - 5 ,
тогда
du = 2sin x cos xdx.
Получаем:
sinxcosxdxV sin2 x - 5sinxcosxdxV sin2 x - 5U + c = Vsin2 x - 5 + c.U + c = Vsin2 x - 5 + c.
sinxcosxdx
V sin2 x - 5
sinxcosxdx
V sin2 x - 5
U + c = Vsin2 x - 5 + c.
U + c = Vsin2 x - 5 + c.
Таким образом,
sinxcosxdx
—,— = V sin x - 5 + c. □
V sin2 x - 5
В основе метода интегрирования по частям лежит формула
J u (x) v ‘(x) dx = J u (x) dv (x) = u (x) v (x) - J v (x) du (x) == u(x)v(x) - J v(x)u'(x)dx.
Метод интегрирования по частям применяется в примере 3.1.2.
Пример 3.1.2. Найти неопределенный интеграл
ln2 xdxJ x xln2 xdxJ x x..
ln2 xdx
J x x
ln2 xdx
J x x
.
.
Решение. Введем обозначения
dx
dv = —-, u = ln x,x2
тогда
12lnxdx
v =, du =.
2xx
Интегрируем по частям:
r ln2 xdx = ln2 x + r In xdx
22xxx
Для вычисления интеграла
ln xdx
J x x
снова воспользуемся методом интегрирования по частям: Обозначим
dxdv = —r, x2dxdv = —r, x2u = In x,u = In x,
dx
dv = —r, x2
dx
dv = —r, x2
u = In x,
u = In x,
тогда
1v =,2x1v =,2xdxdu = —.xdxdu = —.x
1
v =,
2x
1
v =,
2x
dxdu = —.
x
dxdu = —.
x
Интегрируем по частям:
ln xdxx2ln xdxx2ln xln x2x2xdx+ J 2x2.dx+ J 2x2.
ln xdxx2
ln xdxx2
ln x
ln x
2x
2x
dx
+ J 2x2.
dx
+ J 2x2.
Теперь вычислим интеграл
dx
J 2 x2 ’
используя табличную формулу интеграла от степенной функции:
dx2x2dx2x2-1-11111x= — x dx =2J2 -24x11x= — x dx =2J2 -24x..
dx2x2
dx2x2
-1
-1
1
1
11x
= — x dx =
2J2 -24x
11x
= — x dx =
2J2 -24x
.
.
В результате получим
ln2 xdxln2xln xdxln2x lnx dxln2x lnx 1
5 =+ ;;— =+ 7 =. 222
xxxxxxxxx
Окончательно получаем, что
ln2 xdx _ 2ln2 x + 2lnx +1x24x
Опишем теперь метод интегрирования рациональных дробей, т. е. дробей вида
Pn (x)
Qm(x),
где Pn(x), Qm(x) — многочлены степени n и m соответственно).
Известно, что всякая правильная рациональная дробь
Pn (x)
Qm(x)
(где Pn(x), Qm(x) — многочлены степени n и m, причем n < m) может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей вида
11 hx +1 hx +1
x - a’ (x - a)k ; x2 + px + q ’ (x2 + px + q)k '
При этом возможны три случая.
Все корни знаменателя действительны и различны, т.е. знаменатель можно представить в виде
Qm ( x) = ( x - x1)( x - x 2)^( x - xm ).
Тогда рациональную дробь можно представить в виде
P(x)A AA
n ' ' 1।2।। m
Qm (x) (x - xj (x - x 2) ”’ (x - xm)
Все корни знаменателя действительны, но есть кратные, т. е. знаменатель можно представить в виде
Qm(x) = (x-x.)a1(x -x9)“2 ...(x -x,)“k, a1+a9 ++ a,= m, k < m.
m12k12k
Тогда рациональную дробь можно представить в виде
Pn(x) _An+A12+ + Ai.k +
Qm (x) (x - x,)*' (x - x,)”1"‘x - x
.
+ Ak 1+Ak 21+Aka k
akk-1k-1
xxkxxkxxk
Знаменатель имеет комплексные корни, т. е. знаменатель можно представить в виде произведения множителей, среди которых будут множители вида: (x2 + px + q)a. Таким множителям в сумме разложения будут соответствовать слагаемые
h1 x +11+h2 x +12+ + h a x + la
(x2 + px + q )a (x2 + px + q )a-1(x2 + px + q)
Коэффициенты, с которыми простые дроби входят в сумму, определяются методом неопределенных коэффициентов, который будет рассмотрен в примере 3.1.3.
Пример 3.1.3. Найти неопределенный интеграл
г (x + 2)dx
^ x2 + 3 x - 4
Решение. Найдем корни многочлена, стоящего в знаменателе:
x2x2+ 3 x — 4 — 0 ^o x+ 3 x — 4 — 0 ^o x-3 ± 732^-3 ± 732^4 • (-4)4 • (-4)—3 ± 52—3 ± 52o x1 — —4, x2 — 1.o x1 — —4, x2 — 1.
x2
x2
+ 3 x — 4 — 0 ^o x
+ 3 x — 4 — 0 ^o x
-3 ± 732^
-3 ± 732^
4 • (-4)
4 • (-4)
—3 ± 5
2
—3 ± 5
2
o x1 — —4, x2 — 1.
o x1 — —4, x2 — 1.
Таким образом, x2 + 3x — 4 — (x + 4)(x — 1).
Разложим подынтегральную рациональную дробь на сумму простых дробей:
x + 2 A B
—1.
x + 3 x — 4 x + 4 x — 1
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Из последнего равенства следует, что для всех x из области определения подынтегральной функции
A (x — 1) + B (x + 4) — x + 2
Пусть x = -4, тогда A(—4 — 1) — —4 + 2, откуда A — 2/5. Пусть теперь x = 1, тогда B(1 + 4) — 1 + 2, значит, B(1 + 4) — 1 + 2. Таким образом,
(x + 2) —23
x2 + 3 x — 45( x + 4) 5( x — 1)
и мы можем найти искомый интеграл:
(x + 2) dxx2 + 3 x — 4(x + 2) dxx2 + 3 x — 4Г Г 23 )I тг + т:~J ( 5(x + 4) 5(x — 1) JГ Г 23 )I тг + т:~J ( 5(x + 4) 5(x — 1) J2dxdx — J 5(x + 4)2dxdx — J 5(x + 4)3dx5( x — 1)3dx5( x — 1)
(x + 2) dxx2 + 3 x — 4
(x + 2) dxx2 + 3 x — 4
Г Г 23 )
I тг + т:~
J ( 5(x + 4) 5(x — 1) J
Г Г 23 )
I тг + т:~
J ( 5(x + 4) 5(x — 1) J
2dx
dx —
J 5(x + 4)
2dx
dx —
J 5(x + 4)
3dx
5( x — 1)
3dx
5( x — 1)
r 2 d (x + 4)г 3 d (x — 1)J 5(x + 4) + j 5(x — 1)r 2 d (x + 4)г 3 d (x — 1)J 5(x + 4) + j 5(x — 1)23
r 2 d (x + 4)г 3 d (x — 1)
J 5(x + 4) + j 5(x — 1)
r 2 d (x + 4)г 3 d (x — 1)
J 5(x + 4) + j 5(x — 1)
— —ln | x + 41 +—ln | x —1| + c.
55
Итак,
f (x + 2)dx2, ,3, ,
—— — ln | x + 4| +—ln | x —1| + c. □
J x2 + 3 x — 4 55
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение первообразной функции.
Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции могут
отличаться только на постоянное слагаемое.
Что такое неопределенный интеграл?
Постройте три первообразных функции y = x, проходящие соответст-
венно через точки M1(2; 1), M2(2; 2), M3(2; 3).
Перечислите формулы интегрирования основных элементарных функций.
Напишите формулу интегрирования по частям.
Укажите, какие из приведенных ниже интегралов целесообразно интег-
рировать по частям:рировать по частям:dxxlnxdxxlnxx3dxV 4 — x xx3dxV 4 — x xJ Vsin3 x cos2 xdx, J x2 exx dx, J cos x ln(sin x)dx.J Vsin3 x cos2 xdx, J x2 exx dx, J cos x ln(sin x)dx.
рировать по частям:
рировать по частям:
dxxlnx
dxxlnx
x3dx
V 4 — x x
x3dx
V 4 — x x
J Vsin3 x cos2 xdx, J x2 exx dx, J cos x ln(sin x)dx.
J Vsin3 x cos2 xdx, J x2 exx dx, J cos x ln(sin x)dx.
В чем заключается метод интегрирования рациональных функций?
Задачи для самостоятельного решения
Найдите
xdx
J 4 x4 +1
Найдите
3. Найдите3. Найдите
3. Найдите
3. Найдите
JJ2 x + 3x2 + x - 22 x + 3x2 + x - 2dx .dx .
J
J
2 x + 3
x2 + x - 2
2 x + 3
x2 + x - 2
dx .
dx .
JJexex3e2 x +13e2 x +1dx .dx .
J
J
ex
ex
3e2 x +1
3e2 x +1
dx .
dx .
§ 3.2. Определенный интеграл
Пусть f(x) — непрерывная функция, а F(x) — одна из ее первообразных. Разность
F(b) – F(a)
называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается
b
(3.2.1)(3.2.1)j f (x) dx = F (b) - F (a).
(3.2.1)
(3.2.1)
a
Определение (3.2.1) носит название формулы Ньютона — Лейбница.
Если функция f(x) в промежутке от a до b терпит конечное или счетное число разрывов (в точках x1, x2, …), то определенный интеграл функции f(x) в промежутке от a до b вычисляется как
bx1x2
j f (x) dx = j f (x) dx + j f (x) dx +—
aax1
Простейшие свойства неопределенного интеграла таковы:
a
j f (x) dx = 0 ;
a
j X f (x) dx = xj f (x) dx;j X f (x) dx = xj f (x) dx;bbbbabababababbj f (x) dx + j g (x) dx;aaaabbj f (x) dx + j g (x) dx;aaaj f (x)dx = - j f (x)dx ;abbcbj f (x) dx = j f (x) dx + j f (x) dx;aacj f (x)dx = - j f (x)dx ;abbcbj f (x) dx = j f (x) dx + j f (x) dx;aac
j X f (x) dx = xj f (x) dx;
j X f (x) dx = xj f (x) dx;
b
b
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bb
j f (x) dx + j g (x) dx;
aa
a
a
bb
j f (x) dx + j g (x) dx;
aa
a
j f (x)dx = - j f (x)dx ;
ab
bcb
j f (x) dx = j f (x) dx + j f (x) dx;
aac
j f (x)dx = - j f (x)dx ;
ab
bcb
j f (x) dx = j f (x) dx + j f (x) dx;
aac
b
Если f (x) > 0 для всех x e [a, b] (где a < b), то j f (x)dx > 0;
a
b
Если m ^ f (x) ^ M для всех x e [a, b] (где a < b), то
a
Основные методы интегрирования в случае определенного интеграла принимают следующий вид:
метод замены переменной:
bьв
J f (x) dx = j f (v(t)) d ф( t) = J f (ф( t ))ф'(t) dt
aaa
(здесь под интегралом должна стоять непрерывная функция, ф(а) = a, ф(в) = b);
метод интегрирования по частям:
J u(x)v'(x)dx = J u(x)dv(x) = u(x)v(x)|a - J v(x)du(x) =J u(x)v'(x)dx = J u(x)dv(x) = u(x)v(x)|a - J v(x)du(x) =bbv(b)v(b)u(b)u(b)aav(a)v(a)u(a)u(a)
J u(x)v'(x)dx = J u(x)dv(x) = u(x)v(x)|a - J v(x)du(x) =
J u(x)v'(x)dx = J u(x)dv(x) = u(x)v(x)|a - J v(x)du(x) =
b
b
v(b)
v(b)
u(b)
u(b)
a
a
v(a)
v(a)
u(a)
u(a)
b
= u(x) v(x)|a - J v(x)u'(x)dx
a
(здесь f(x) — функция, непрерывная на [a, b])
Рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов.
Пример 3.2.1. Вычислить определенный интеграл
П
J ex sin xdx.
л/ 3
Решение. Поскольку функция y = ex sin x непрерывна на всей числовой прямой, а значит и на заданном отрезке [3; 5], то применима формула Ньютона — Лейбница (3.2.1).
Найдем первообразную функции y = ex sin x, для этого воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть
dv = sin xdx, u = ex.
тогда
v = - cos x, du = exdx.
Интегрируя по частям, получим:
Jex sinxdx = -ex cosx + Jex cosxdx .(3.2.2)
Для вычисления интеграла J ex cos xdx применим метод интегрирования по частям еще раз.
Если обозначить
dv = cos xdx, u = ex , то
v = sin x, du = exdx.
Интегрируем по частям:
Jex cosxdx = ex sinx - Jex sinxdx.(3.2.3)
Подставим (3.2.3) в (3.2.2), получим
j ex sin xdx = - ex cos x + j ex cos xdx = - ex cos x + ex sin x - j ex sin xdx. Разрешим это уравнение относительно j ex sin xdx, получим, что
2 j ex sin xdx = - ex (sin x - cos x)
или
j ex sin xdx = -^ex (sin x - cos x) + c
F(x) = -1 ex (sin x - cos x).
По формуле Ньютона — Лейбница (3.2.1)
[ ex sin xdx = F(n) - F(п/3) = -—en (sin n - cos n) + — en 3 f sin—- cos—) = -—en+— en 3 ——
J'2 v} 2(33 J 222
— 3
Итак,
П1\
j ex sin xdx = —(e—3 (V3 -1)- eп). □ — 3
Очень важна в приложениях следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.2.1. Определенный интеграл
b
a
численно равен площади фигуры, ограниченной линиями
y = f (x), y = 0, x = a, x = b.
Пример 3.2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями:
x2
y = x и y = —+ 3.
Решение. Построим графики функций (рис. 3.2.1). Найдем точки пересечения графиков функций:
x23
x =+ 3 ^ —x2 = 3 ^ x = 4 ^ x, = -2; x9 = 2.
4412
На отрезке [—2; 2] функция y = x2/4 + 3 принимает значения, не меньшие чем функция y = x2. Поэтому для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, необходимо вычислить разность определенных интегралов
2222Г x , o , —+3 dx и-- 21 4JГ x , o , —+3 dx и-- 21 4J2j x2 dx .-22j x2 dx .-2
2
2
2
2
Г x , o , —+3 dx и
-- 21 4J
Г x , o , —+3 dx и
-- 21 4J
2
j x2 dx .
-2
2
j x2 dx .
-2
222222J — + 3 dx - jx2 dx = jJ2 к 47--2--2 кJ — + 3 dx - jx2 dx = jJ2 к 47--2--2 кx2x244^^^^™^^^^™лл22x +3 dx I 3x +3 dx I 33 x2)3 x2)^^^^H^^^^H77-2-2кк44dx = 3 xdx = 3 x77кк^^^^H^^^^H3 x3 x447722x=-2x=-2= 8.= 8.Таким образом, искомая площадь равна восьми. □Таким образом, искомая площадь равна восьми. □x2Рис. 3.2.1. Графики функций y = x2; у = —+ 3x2Рис. 3.2.1. Графики функций y = x2; у = —+ 3
2
2
2
2
2
2
J — + 3 dx - jx2 dx = j
J2 к 47--2--2 к
J — + 3 dx - jx2 dx = j
J2 к 47--2--2 к
x2
x2
4
4
^^^^™
^^^^™
л
л
2
2
x +3 dx I 3
x +3 dx I 3
3 x2)
3 x2)
^^^^H
^^^^H
7
7
-2
-2
к
к
4
4
dx = 3 x
dx = 3 x
7
7
к
к
^^^^H
^^^^H
3 x
3 x
4
4
7
7
2
2
x=-2
x=-2
= 8.
= 8.
Таким образом, искомая площадь равна восьми. □
Таким образом, искомая площадь равна восьми. □
x2
Рис. 3.2.1. Графики функций y = x2; у = —+ 3
x2
Рис. 3.2.1. Графики функций y = x2; у = —+ 3
Замечание. В некоторых случаях следует рассматривать х как функцию y: x = x (у) .
Обсудим теперь экономический смысл определенного интеграла. Пусть, например, функция f(t) описывает изменение мощности технологического процесса в зависимости от времени t. Тогда
t2
I f(t)dt —
t1
это суммарный выпуск за время от t1 до t1, а
t2
I f(t)dt —
t1
средний выпуск продукции в единицу времени.
Аналогичным образом можно использовать определенные интегралы для вычисления суммарных и средних значений других экономических показателей.
Вопросы для самопроверки
Что такое определенный интеграл?
Каковы основные свойства определенного интеграла?
Каков геометрический смысл определенного интеграла?
Запишите формулу Ньютона — Лейбница.
При каких условиях возможна замена переменных в определенном интеграле?
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить
2
∫ x2dx.
-3
Вычислить
ln2
∫ xe-xdx.
1
Вычислить
10 ∫ 6
xdx
x-5
§ 3.3. Понятие о дифференциальных уравнениях
Рассмотрим упрощенную ситуацию. Пусть y(t) — это выпуск фирмы в момент t, p — (постоянная) цена продукции, и фирма производит инвестиции в свой основной капитал таким образом, чтобы чистые инвестиции I(t) (т. е. суммарные инвестиции за вычетом расходов на амортизацию оборудования) составляли долю a от выпуска фирмы в денежном выражении:
I (t) = apy (t).
(3.3.1)
Будем считать, что скорость роста объема выпуска (т. е. производная по времени) находится в прямой пропорциональности с объемом чистых инвестиций:
dyt- = X I (t).dt
(3.3.2)
Подставляя в (3.3.2) выражение I(t) из (3.3.1), получим:
dyt) = aX py (t). dt
(3.3.3)
Перепишем уравнение (3.3.3) в виде
dy(t)
—— = aXpdt y(t)
(3.3.4)
и проинтегрируем левую и правую части. Интегралы должны совпасть:
fdy(t) = f aXpdt + c
J y(t) J
или
In y(t) = aXpt + c.
Из последней формулы следует, что
y (t) = eaXpt+c
или
y(t) = A ept,
(3.3.5)
где A = ec, а c — произвольная постоянная.
Получили множество решений. Чтобы выбрать из них то, которое соответствует нашей ситуации, необходимо еще учесть, что выпуск в настоящий момент времени известен: он равен
У( t о) = Уо.
(3.3.6)
Подставим в формулу (3.3.5) t0 вместо t:
y(t0)=Aeαλpt0,(3.3.7)
Сравнение (3.3.6) и (3.3.7) дает
y0 =Aeαλpt0 ,
откуда
A= y0 e-αλpt0 .(3.3.8)
Подставляя это выражение A в формулу (3.3.5), получим окончательно: y(t)=y0eαλp(t-t0).
На самом деле описанная модель применима к описанию роста фирмы только на этапе ее становления, так как в дальнейшем коэффициент λ уже не будет постоянным, а будет уменьшаться со временем.
Описанная модель дает пример дифференциального уравнения, такие уравнения очень важны для анализа экономической динамики.
Мы сталкивались с дифференциальными уравнениями и раньше в нашем курсе: в примере 5.5.8, когда мы искали производную функции, заданной неявно.
Познакомимся с простейшими фактами теории дифференциальных уравнений. Начнем, как обычно, с определений.
Уравнение, связывающее независимую переменную x с неизвестной функцией y(x) и ее производными до n-го порядка включительно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая имеет производные до n-го порядка включительно и, будучи подставлена в данное обыкновенное дифференциальное уравнение, обратит его в тождество.
Как мы видели в рассмотренном примере, дифференциальное уравнение в общем случае имеет мо бесконечно много решений. Формула, описывающая все эти решения, называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения (3.3.3) описывается формулой (3.3.5).
Чтобы из множества решений уравнения выбрать одно (нужное), необходимо указать какое-либо дополнительное условие. Чаще всего такое условие задается в виде начального условия (3.3.6).
Задача отыскания решений обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющих начальному условию, называется задачей Коши.
Если задача Коши имеет единственное решение, то это решение называется частным.
Простейший вид дифференциальных уравнений — это уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид
dy = f(x)g(y),(3.3.9)
dx
где f(x) и g(y) — непрерывные функции.
Алгоритм решения таких уравнений состоит в том, что вначале разделяют переменные, перенося все множители, зависящие от y и не зависящие от x, в одну часть уравнения, а все множители, зависящие от x и не зависящие от y — в другую часть уравнения:
(3.3.10)(3.3.10)dy
(3.3.10)
(3.3.10)
—— = f (x) dx, g(y)
затем от обеих частей полученного уравнения берется интеграл:
(3.3.11)
который выражает общее решение уравнения.
Частное решение получают определением конкретного значения постоянной интегрирования с путем подстановки в общее решение начального условия.
Вопросы для самопроверки
Что такое дифференциальное уравнение?
Что такое общее решение дифференциального уравнения?
Что такое частное решение дифференциального уравнения?
Что такое задача Коши?
Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными?
Как найти решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?
Задачи для самостоятельного решения
Найдите общее решение уравнения xdx + ydy = 0.
Найдите частное решение уравнения xdx + ydy = 0, соответствующее условию y(0) = 1.
Найдите общее решение уравнения
dy = 5 x+y
dx
Контрольные задания
Организация выполнения контрольных заданий
По дисциплине «Математика» в каждом семестре предусмотрено выполнение контрольных заданий. В процессе работы над контрольным заданием студент активно закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и практических занятиях.
В первом семестре студент должен выполнить 2 задачи по линейной алгебре и 7 задач по математическому анализу. Условия задач по математическому анализу приведены далее, а конкретные числовые данные для каждого варианта — в приложениях. Номер варианта выбирается по последней цифре номера зачетной книжки студента.
При выполнении контрольного задания следует строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.
Контрольное задание выполняется аккуратно в рабочей тетради. Графики либо строятся при помощи компьютера и вклеиваются в работу (рекомендуется использование пакета Microsoft Excel), либо вычерчиваются от руки (черными или цветными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге). Листы с текстом контрольного задания и графики должны быть сшиты.
В работу должны быть включены все требуемые задачи строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие задания не своего варианта, не засчитываются.
Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее условие. В том случае, когда формулировка задачи одна для всех вариантов, а различаются лишь исходные данные, необходимо переписывая общее условие задачи, заменять общие данные конкретными, соответствующими своему варианту.
Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. Обязательны оглавление и сквозная нумерация всех листов.
Контрольное задание сдается преподавателю до экзамена для проверки. На экзамене студент должен показать, кроме владения теоретическим материалом, умение математически ставить, решать и анализировать конкретные задачи, в первую очередь, те, которые он решал при выполнении контрольного задания. При указании рецензента работы на требуемую переработку все необходимые дополнения студент прилагает к первоначальному тексту работы, не делая в нем никаких исправлений.
Содержание контрольного задания
Пределы. Требуется вычислить предел, заданный для каждого варианта в прил. 1.
Указание. См. решения примеров 1.3.2—1.3.7, 1.6.1, 1.6.2.
Производные. Требуется вычислить производные функций, заданных для каждого варианта в прил. 2.
Указание. См. решения примеров 1.5.3—1.5.7.
Применение производной к исследованию функций. Требуется исследовать функцию и построить ее график (конкретная функция для каждого варианта дана в прил. 3.
Указание. См. решения примеров 1.7.2—1.7.3.
Производная по направлению и градиент. В прил. 4 для каждого варианта приведены: функция z = f(x1, x2), точка A(a1, a12) и вектор b = (b1, b2). Требуется найти в точке A производную функции f(x1, x2) по направлению b.
Указание. См. решение примера 2.2.2.
Неопределенный интеграл. Требуется вычислить неопределенный интеграл (конкретный интеграл для каждого варианта приведен в прил. 5).
Указание. См. решения примеров 3.1.1—3.1.3.
Определенный интеграл. Требуется вычислить определенный интеграл (конкретный интеграл для каждого варианта приведен в прил. 6).
Указание. См. решение примера 3.2.1.
Применение определенного интеграла к вычислению площадей. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя линиями (уравнения конкретных линий для каждого варианта приведены в прил. 7).
Указание. См. решение примера 3.2.2.
Литература
Босс В. Лекции по математике: Анализ. – М.: УРСС, 2005.
Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов. – М.: Физматлит, 2001.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Учебник для вузов. – М.: Велби; Проспект, 2004.
Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика: Учебное пособие для вузов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2003.
Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. – М.: Физматлит, 2002.
Малыхин В. И. Математика в экономике: Учебное пособие для вузов. – М.: ИНФРА-М, 2001.
Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Математика в экономике: Учебник для вузов. – М.: Финансы и статистика, 2003.
. ..2x3 + 7x2 -23x2 -4x +1 . ..2- Vx
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" 6x - 4x + 3xx' x - 3x + 2x '4X 6 x +1 - 5
.1 - cos 8 x .( x + 5 Yx
г) lim; д) lim 11 .
x'0 1 -cos4xx'"V x )
Вариант 2.
10x -x +1n.x -4. n. V9 + x - V9-x
а) lim; б) lim; в) lim
x'" 5x2 + 6x - 2x'2 x2 - 3x -10x '0x2 + 6x
2x+1
sin3x x ( x-2 1
г) lim; д) lim 11.
x'0 6xx'" V x )
Вариант 3.
x4 +1x2 + 8x +15, ,3x-3 ,
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" x2 + 3x - 2x'-5 x2 + 3x -10x'1 V8 + x - 3
10x2Г 4 ,Я
г) lim; д) lim —(ln(2 + x)-ln2) .
x '0 1 - cos xx '0 L x_
Вариант 4.
2x -x-6~. x -4. n. V5-x - V3 + x
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" x + 7x +10x '2 x + x - 6x '1x - x
г) lim ^x ^gx; д) limL(x - 3) (ln(2x +1) - ln(2x))].
x '0 sin2 xx'"
Вариант 5.
3x + 7x-2_.3x + 4x +1 . _. V7 + x -V7-x
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" 5x - 3x +1x '-l x + 3x + 2x '05x
г) lim xtgx ; д) lim(1 + 3sin2 x)1-cos2x .
x '0 1 - cos xx '0
Вариант 6.
.... 4 x2 + x + 7...x2 + 5 x + 6.... V4 + x - V4 - x
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" 5 x2 - 4x'-3 x2 - 3x -18x '03 x2 + x
.cosx - cos5 x. .Г 2 x -1.x
г) lim; д) lim ln(1 + 3x) .
x '04x2x '0 L 5x_
Вариант 7.
12x + 3 x +1x + 3x -10. Vx - 7 - 3
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" 6x + x + x - 2x'2 2x + x -10x '4 x - 4x
2
г) lim; д) lim ln(1 + 5x) .
x '0 1 -cos4xx '0 L 4x_
Вариант 8.
3 x2 - 2....x2 - x - 6 , ...3 x - 3 ,
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" x +1x '2 x + 7x +10x '1 V8 + x - 3
г) lim —^x—; д) lim (1 - cos x)5tgx.
x'0 sin2 5xx'n
2
Вариант 9.
.5x3 + 4x-2x3 + x2 -x-1 . „ V4x-x
а) lim; б) lim; в) lim;
x'" x + 2x +1x' x + 4x - 5x'4 x -16
2x
г) lim—; д) lim(7 - 6x)3x-3.
x '0 10 x2x '1
Приложение 1. Пределы для вычисления
Вариант 1.Вариант 1.
Вариант 1.
Вариант 1.
а) limX ^toа) limX ^to2 x5 - 4 x2 + 3.x2 + 4 x + 3....2 x
а) lim
X ^to
а) lim
X ^to
; б) lim; в) lim;
x5 + 3 x +1 x ^-3 x3 + 3 x2 + x + 3x ^0710 + x - 710 - x
2x
г) limxctg3x; д) lim(2-x)1x ^0x ^1
Приложение 2. Производные для вычисления
Вариант 1.
a) y = x"J^xr; б) y = (ecosx + 3)2; в) y = In sin(2x + 5); г) y = xx.
V 1 - x
Вариант 2.
x 1 + xsin xx , 1 + x x
a) y = 3; б) y =cos 3x; в) y = In; г) y = e g .
N1 - x 1 + tg x1 - x
Вариант 3.
x2 x -11 + sin2 x5~ x , x2 + 64 x (. x
a) y = ,; б) y =cos 3x; в) y = ln—; г) y = I arcsin—
71 - x1 - sin2 xx+ 64 V 3
Вариант 4.
x12sinx-xx„ x
a) y = ;, ; б) y = ; в) y = e lnx; г) y = 3arctg—.
74 x - x21 + cos x2
Вариант 5.
a) y = 2V(2- x3) ; б) y = x2 sin3 x; в) y = In(x2 + 5x + Vx); г) y = arcsin—.
x
Вариант 6.
a) y = . x; б) y = 2tg3 (x2 +1); в) y = xln2 x; г) y = 1arctgx.
7 x2 + 422
Вариант 7.
x + 4
a) y =; б) y = xsinx ; в) y = lnsin(2x + 5); г) y = arcsm71 -x .
x + 2
Вариант 8.
53xarcsinx
a) y = ,-; б) y = ( e1) ; в) y = lntgo; г) y = , .
7 (x2 + 2)32V1 - x2
Вариант 9.
1 - 4 x2
a) y =2—; б) y = cos 2x - 2 sin2 x; в) y = ln(2 - cos x); г) y = arccos71 - 4x.
x2
Вариант 0.
1 + xx42a:
a) y = .; б) y =2—; в) у = ln sin x; г) y = arctge .
71-xcos x
Приложение 3. Функции для исследования
Вариант 1.
a) y = 2x4 - x2 +1; б) y = x e-x .
Вариант 2.
a) y = x3 - 3x2 + 4; б) y = x e-x.
Вариант 3.
a) y = 12x - x3; б) y = ln (4 - x2).
а) У = ~(x4 -6x2 + 5); б) y = ln(1 -2x).
Вариант 5.
а) y = x4 -2x2 +10; б) y = x2 -2lnx.
Вариант 6.
а) У =io(x3 -6x2 -36x + 5); б) У = x-ln(x +1).
Вариант 7.
13
а) y =—x - 4x + 7; б) y = xln x.
Вариант 8.
1ex а) y = —(x3 - 3x2 + 4); б) y = —.
4x
Вариант 9.
12
а) y = 2 + x2 --x^; б) y = (2 + x2)e.
Вариант 0.
а) y =—x3 + 2x2 + 6x; б) y = ln(x2 - 9). 6
Приложение 4. Производная по направлению и градиент
Вариант 1.z = 3x^ + 2x1 x2 + x2; A(1;2); b = (4; 3).Вариант 2.z = x2 + 3x1 x2; A(1; 3); b = (1;2).Вариант 3.z = arctg(x2x2); A(1; -1); b = (5; -12).Вариант 4.z = ln(5x1 + 3x2); A(2; 2); b = (2; - 3).Вариант 5.z = 2x13x2 + 3x2x2; A(1; - 2); b = (6; - 8).Вариант 1.z = 3x^ + 2x1 x2 + x2; A(1;2); b = (4; 3).Вариант 2.z = x2 + 3x1 x2; A(1; 3); b = (1;2).Вариант 3.z = arctg(x2x2); A(1; -1); b = (5; -12).Вариант 4.z = ln(5x1 + 3x2); A(2; 2); b = (2; - 3).Вариант 5.z = 2x13x2 + 3x2x2; A(1; - 2); b = (6; - 8).Вариант 6.z = arcsin —x—; A(5; 5); b = (-12; 5).x1 + x 2Вариант 7.z =; A(1; - 2); b = (1; - 2).x1 + x 2Вариант 8.z = 2x4 + 8x2x3; A(2; -1); b = (1; - 2).Вариант 9.z = 2x2 + 3x1 x2 + 4x2; A(2; - 2); b = (1;3).Вариант 0.z = arctg x2; A(-1;1); b = (-1; -1).x1Вариант 6.z = arcsin —x—; A(5; 5); b = (-12; 5).x1 + x 2Вариант 7.z =; A(1; - 2); b = (1; - 2).x1 + x 2Вариант 8.z = 2x4 + 8x2x3; A(2; -1); b = (1; - 2).Вариант 9.z = 2x2 + 3x1 x2 + 4x2; A(2; - 2); b = (1;3).Вариант 0.z = arctg x2; A(-1;1); b = (-1; -1).x1
Вариант 1.
z = 3x^ + 2x1 x2 + x2; A(1;2); b = (4; 3).
Вариант 2.
z = x2 + 3x1 x2; A(1; 3); b = (1;2).
Вариант 3.
z = arctg(x2x2); A(1; -1); b = (5; -12).
Вариант 4.
z = ln(5x1 + 3x2); A(2; 2); b = (2; - 3).
Вариант 5.
z = 2x13x2 + 3x2x2; A(1; - 2); b = (6; - 8).
Вариант 1.
z = 3x^ + 2x1 x2 + x2; A(1;2); b = (4; 3).
Вариант 2.
z = x2 + 3x1 x2; A(1; 3); b = (1;2).
Вариант 3.
z = arctg(x2x2); A(1; -1); b = (5; -12).
Вариант 4.
z = ln(5x1 + 3x2); A(2; 2); b = (2; - 3).
Вариант 5.
z = 2x13x2 + 3x2x2; A(1; - 2); b = (6; - 8).
Вариант 6.
z = arcsin —x—; A(5; 5); b = (-12; 5).
x1 + x 2
Вариант 7.
z =; A(1; - 2); b = (1; - 2).
x1 + x 2
Вариант 8.
z = 2x4 + 8x2x3; A(2; -1); b = (1; - 2).
Вариант 9.
z = 2x2 + 3x1 x2 + 4x2; A(2; - 2); b = (1;3).
Вариант 0.
z = arctg x2; A(-1;1); b = (-1; -1).
x1
Вариант 6.
z = arcsin —x—; A(5; 5); b = (-12; 5).
x1 + x 2
Вариант 7.
z =; A(1; - 2); b = (1; - 2).
x1 + x 2
Вариант 8.
z = 2x4 + 8x2x3; A(2; -1); b = (1; - 2).
Вариант 9.
z = 2x2 + 3x1 x2 + 4x2; A(2; - 2); b = (1;3).
Вариант 0.
z = arctg x2; A(-1;1); b = (-1; -1).
x1
Приложение 5. Неопределенные интегралы
Вариант 1.
. г sin xdx_x r (3x -1)dxx г
а); б); в) x3 ln xdx.
J V5 - 2 cos xJx2 - 6x +10 J
Вариант 2.
, r xdx _ ч г (x + 2)dxx г , ,
а); б); в) xcos5xdx.
J 2- X J3 + 2x-xJ
х С cosxdx г (x +1)dxх Г 3, . ,
а) J №x’w J4x! -12x+13; в) Jx arctgxdx.
Вариант 4.
. sin2xdx _ x г (8x + 3)dxr1
а); б)2; в) arctg dx.
J 31 + cos2 xJ5 + 2x - xJx
Вариант 5.
x г xdx „ x г (x +1)dx x rln xdx a) ' 4-x?: б ' x2 -2x+3; в J x 2 •
Вариант 6.
r sin3xdx . г (x+3)dx . г,
а); б); в)xln xdx.
J 7-5cos3xx ж2 -6x +10J
Вариант 7.
dx(3x - 1)dxxdx
а); б) 2; в)2.
J x 4- - ln2 xJx+ 2 x + 2 J cos x
Вариант 8.
rdxr( x - 2) dx. x x V
a) 5—; б) ; в) arcsinl —j= dx•
J (3 + tgx)cos2 x x2c2 + x +1J( V2 )
Вариант 9.
x г ln2 xdx „ x r( x + 4) dx x г
а); б); в) x2 ln xdx.
J x1 x2 + x + 2J
Вариант 0.
x f dxr(2x-8)dx x xccosxdx
а); б)2; в)3.
52 - 5x2 - x - x2sin3 x
Приложение 6. Определенные интегралы
Вариант 1.
9 xdx
4 Vx -1
Вариант 5.Вариант 9.
3 dx0,5
3.arcsin xdx.
3
1 ^x । ^xо
Вариант 2.
3
J ln( x + 3) dx • 0
Вариант 6.Вариант 0.
1 ex dx9
.x2 sin xdx.
2x
0 ± + e4
Вариант 3.
1
J x e-2x dx•
0
Вариант 7. n/3
J tg3 xdx•
4
Вариант 4.
3
J x \(9 - x2 dx •
0
Вариант 8.
1 x3dx
J x +1
Вариант 1.
Вариант 5.
y = x3 и y = 4 x.
y = x5 и y = 3 x.
Вариант 2.
Вариант 6.
22
y = ,2 и y = x .
1 + x
32
y1 + 2 x2y.
Вариант 3.
Вариант 7.
xy = 4 и x + y - 5 = 0.
xy = 8 и x + y - 4 = 0.
Вариант 4.
Вариант 8.
y2 = 16 - 8x и y2 = 24x + 48.
y2 = 12 + 4x и y2 = 15x - 30.
Приложение 7. Фигуры для подсчета площадей
Вариант 9.y = x5 и y = 4 x 3.
Вариант 0.y = x2 и y = 4 x 5.
Оглавление
Предисловие3
Глава 1.Дифференциальное исчисление функций одной переменной4
Функции 4
Числовые последовательности 11
Теория пределов 19
Непрерывность функций 30
Производная и дифференциал 35
Основные теоремы о дифференцируемых функциях45
Приложения производной 54
Глава 2.Дифференциальное исчисление функций многих переменных...65
Функции многих переменных 65
Частные производные 71
Глава 3.Интегралы и дифференциальные уравнения76
Неопределенный интеграл 76
Определенный интеграл 84
Понятие о дифференциальных уравнениях 91
Контрольные задания95
Литература111
Приложения112
Владимир Игоревич Соловьев
Декан факультета информационных технологий, заведующий кафедрой математики и естествознания Института гуманитарного образования, доцент кафедры прикладной математики Государственного университета управления.
Выпускник факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, кандидат экономических наук, доцент.
Специалист по математическим методам исследования экономики, область научных интересов — математические мето
ды управления финансовыми рисками, теория вероятностей и математическая ста-
тистика, теория оптимального управления.
Автор и соавтор более 70 опубликованных научных и учебно-методических работ, среди которых учебные пособия «Компьютерный практикум по прикладной статистике» (2005), «Математические методы управления рисками» (2003), «Введение в многомерный статистический анализ» (2003), «Прикладная математика» (2002), «Стохастические модели математической экономики и финансовой математики» (2001), «Теория вероятностей в примерах и задачах» (2001), «Математическая статистика в примерах и задачах» (2001) и др.
Читает лекции и проводит практические занятия по теории вероятностей, математической статистике, многомерным статистическим методам, эконометрике, методам оптимизации, исследованию операций, теории игр, финансовой математике, математической экономике, управлению финансовыми рисками, финансовому менеджменту, экономической теории и другим дисциплинам для студентов Института гуманитарного образования и Государственного университета управления. Руководит курсовым и дипломным проектированием, аспирантами.
Успешно реализовал ряд информационно-технологических и консалтинговых проектов в крупнейших банках, финансовых и производственных компаниях.