Введение

Методические указания будут полезны студентам первого курса специальностей “Математика”, “Прикладная математика”, “Компьютерная безопасность” и “Физика” при изучении курсов “Линейная алгебра и геометрия”, “Аналитическая геометрия”, “Аналитическая геометрия и высшая алгебра”.

Над полем действительных чисел обычно рассматривают:

линейную классификацию квадратичных форм и родственную ей аффинную классификацию квадрик;

ортогональную классификацию квадратичных форм и родственную ей классификацию квадрик с помощью движений.

Изложение сопровождается примерами, которые позволяют иллюстрировать способы классификации и показывают практическое нахождение канонического вида квадратичных форм и квадрик в соответствующей классификации. Классификации квадратичных форм и квадрик требуют некоторых знаний, умений и навыков: действий с многочленами от нескольких переменных и матрицами, нахождения собственных значений и собственных векторов, ортогонализации и нормирования векторов, вычисления определителей.

В конце указаний приводится список литературы, в котором можно найти теоретический материал о классификациях квадратичных форм и квадрик.

Постановка задач о классификациях квадратичных форм и квадрик

Два способа задания квадратичных форм и квадрик и связь между ними

Рассматриваем квадратичные формы только над полем действительных чисел R. Можно определить квадратичную форму над R двумя способами.

Определение 1 (квадратичная форма как многочлен).

Квадратичной формой f(x1 ,...,xn) над R от неизвестных x1, ..., xn называется однородный многочлен

n^ ' aijxixji,j=1n^ ' aijxixji,j=1n

n

^ ' aijxixj

i,j=1

n

^ ' aijxixj

i,j=1

f (x1, - - - , xn)^ ' aiixi + 2^ 'aijxixj

i=11Ci<jCn

степени 2, где aij = aji, 1 ^ i, j X n, и не все коэффициенты aij нулевые.

Определение. Пусть V — действительное векторное пространство. Симметричной билинейной формой на V называется такое отображение

Ф : V х V ^ R,

что для любых X, X, X е V, а е R справедливы равенства

ф(х,Х) = Ф(Х,х),

Ф(Х + у, X) = Ф(Х, X) + Ф(у, X), Ф(ах, у) = аФ(х, у)-

Определение 2 (квадратичная форма как функция).

Пусть Ф — ненулевая симметричная билинейная форма на действительном векторном пространстве (для некоторых X, b е V имеем Ф(Х, Х) = 0). Тогда квадратичная форма f : V ^ R на V, ассоциированная с Ф, определяется равенством

f (x) = Ф(Х, x).

Как связаны два этих способа?

Переход от задания многочленом к заданию функцией.

Заметим, что всю информацию о квадратичной форме как многочлене несёт квадратная матрица A = (aij) порядка n, которая является действительной, симметричной и ненулевой. Пусть V — n-мерное действительное векторное пространство, и пусть ei,... ,en — некоторый базис пространства V. Для произвольных векторов x = xiei + • • •+xnen и у = yiei + • • • + ynen пространства V положим

yi

Ф(х, у) = (xi,..., Xn)A I . I .

\ Уп)

Тогда Ф : V х V ^ R — ненулевая симметричная билинейная форма и f (x) = Ф(х, х) — ассоциированная с ней квадратичная форма.

Переход от задания функцией к заданию многочленом.

Пусть f : V ^ R — квадратичная форма на n-мерном векторном пространстве V над R, ассоциированная с билинейной формой Ф, и пусть el,... ,en — некоторый фиксированный базис пространства V. Тогда матрицей квадратичной формы f в базисе el,... ,en называется матрица

[/U....A = (Wi,ej))nj=i .

Если A — матрица квадратичной формы f в базисе ei,...,en, тогда однородный многочлен

п

f (xi, .. .,xn) = У^ йгз xi xj i,j=i

задаёт квадратичную форму как многочлен.

Определение. Аффинным пространством над векторным пространством V называется непустое множество A, элементы которого называются точками и на котором определено отображение

' : A х A ^ V,

обладающее следующими двумя свойствами:

От любой точки можно отложить любой вектор и притом единственным способом. Это означает, что для любой точки A ∈ A и любого вектора ^v ∈ V существует и единственна --→

точка B е A, для которой AB = v.

Выполняется равенство треугольника, то есть для любых точек A, B, C ∈ A

--→ --→-→--→ --→-→AB + BC = AC.AB + BC = AC.

--→ --→-→

--→ --→-→

AB + BC = AC.

AB + BC = AC.

Определение. Квадрикой или гиперповерхностью второго порядка в аффинном пространстве называется множество решений уравнения

f (x1, ...,xn) + 2a(x1,. .. , xn) + a0 = 0,

где f (x1,..., xn) — квадратичная форма, a(x1,..., xn) — линейная или нулевая форма и a0 — действительное число. Это уравнение называется уравнением квадрики.

Пусть f задаётся как многочлен. Тогда a зададим как многочлен a1x1 + • • • + anxn, где a1,..., an — действительные числа, которые могут быть все нулевыми. Пусть f задаётся как функция. Тогда а зададим как линейную функцию a : V ^ R.

Зафиксируем некоторую точку O в аффинном пространстве (обычно O — начало системы координат). Точка X аффинного пространства принадлежит квадрике с уравнением

--→--→--→--→f (x1,. .. , xn) + 2a(x1,. .., xn) + a0 = 0

--→

--→

--→

--→

тогда и только тогда, когда f (OX) + 2a(OX) + ao = 0.

Зафиксируем некоторую систему координат (O; e1,... ,en) в аффинном пространстве. Матрицей квадрики в системе координат (O; e1, .. ., en) назовём матрицу

[f ]ei,...,en[f ]ei,...,ena1 . . . ana1 . . . ana1.= f Ч^ \anу a ao уa0a1.= f Ч^ \anу a ao уa0,,

[f ]ei,...,en

[f ]ei,...,en

a1 . . . an

a1 . . . an

a1

.= f Ч^ \

anу a ao у

a0

a1

.= f Ч^ \

anу a ao у

a0

,

,

где [f]e1,...,en = A — матрица квадратичной формы в базисе ci,..., en, вектор a = (ai, .. ., an) составлен из коэффициентов многочлена а, если f — многочлен, и a i = a(e1),. .. , an = a(en), если f — функция.

Легко переходить от одного задания квадрики к другому, так как всю информацию об уравнении квадрики несёт её матрица.

Допустимые преобразования

Пусть f : V → R — квадратичная форма на конечномерном действительном векторном пространстве V, e1,... ,еп и fi,..., fn — два базиса пространства V и T — матрица перехода от базиса ei, .. ., е„ к базису fi,..., fn.

n

T = (Tij) , где для любого j = 1,...,n fj = ^T^jei.

i=i

Транспонированную матрицу к T обозначим через Tt, тогда

[f ]Л,...,/пTtff l5!--^ T.

Это можно найти в [3, гл. IV, § 3, 4] или [6, гл. 1, § 4, п. 3].

В случае линейной классификации квадратичных форм матрицей T может быть любая обратимая матрица, а в случае ортогональной классификации квадратичных форм матрицей T может быть только ортогональная матрица.

Пусть в аффинном пространстве задана квадрика уравнением f (х) + 2a(x) + a0 = 0,

M =M =/ A at \ \ a ao у/ A at \ \ a ao у

M =

M =

/ A at \ \ a ao у

/ A at \ \ a ao у

— матрица квадрики в системе координат (O; ei,..., en). Пусть дана другая система координат (O'; fi,..., fn), T — матрица перехода от el, .. ., en к fi,... ,fn и x0 = (x0, .. ., хП) — координаты точки O' в системе координат (O; el,..., en), то есть

OO' = x0ei ++ хПеП.

Тогда, согласно [3, гл. XI, § 2, 3] или [6, гл. 5, § 2, п. 4], матрицу

квадрики в системе координат (O’; fi,..., fn) равна:

t

TtMT, где T = 1 —— I.

Матрицу T будем называть матрицей преобразования координат.

Заметим, что при аффинной классификации квадрик матрица T обратима, а в случае классификации квадрик с помощью движений матрица T ортогональна (под движением будем понимать такое преобразование системы координат, при котором матрица перехода ортогональна). Движения переводят ортонор- мированную систему координат в ортонормированную.

Заметим, что при умножении уравнения квадрики на ненулевое число получим уравнение той же самой квадрики, при этом матрица квадрики также умножится на это число.

Точные формулировки задач классификаций квадратичных форм и квадрик

Линейная классификация квадратичных форм

Рассмотрим квадратичные формы как функции. Пусть V — конечномерное действительное векторное пространство и f : V ^ R — квадратичная форма на V. Тогда согласно [1, ч. 2, § 3], [6, гл. 1,§ 4, п.7] или [3, гл. IV, § 6, 7] существует базис пространства V , в котором матрица квадратичной формы f имеет вид

/ Es

O

0 'l

O

r-s

O

V

O

O

0 /

Es и Er-s — единичные матрицы порядков s и r — s, соответственно, и для формы f такая матрица единственна.

Рассмотрим квадратичные формы как многочлены.

Пусть f (xi,..., xn) — квадратичная форма, заданная как мно-

гочлен, тогда, согласно [2, гл. VI, § 21, 22], существует такая обратимая матрица T (которую назовём матрицей преобразования или замены неизвестных), что, если

где X1, . . . , Xn — новые неизвестные, то при подстановке выражений x1, ..., xn через X1,..., Xn в f (x1,..., xn) получим

f (xi,..., Xn) = f (Xi, ..., Xn) =

2222

= Xi + ••• + AsXs+1••• Xr ,

причем для формы f такой вид единствен.

Аффинная классификация квадрик

Пусть уравнение квадрики в аффинном пространстве над n- мерным действительным векторным пространством задано в виде

f (x1, .. ., xn) + 2a(x1,. .. , xn) + a0 = 0,

где f (xi,..., xn) — квадратичная форма, a(x1,..., xn) — линейная форма и a0 ∈ R. Тогда, согласно [1, ч. 3, § 5], [3, гл. XI, § 8] или [6, гл. 5, § 2, п. 3], существует такая система координат в аффинном пространстве, что уравнение квадрики

{

1

1

0,

причём s > r — s, и для квадрики такое уравнение единственно.

Задание квадрики функциональным уравнением не будем рассматривать. Проделайте всё самостоятельно с помощью этого раздела и пункта 1.1.

ПРИМЕРЫ. В качестве приложения аффинной классификации рассмотрим плоскость (размерность 2) и обычное пространство (размерность 3).

Плоскость.

В этом случае квадрика является кривой второго порядка. С помощью аффинной классификации получаем, что кривая второго порядка может иметь уравнение одного из следующих видов:

r = s = 2.

X2 + X2 = 1 — эллипс,

X2 + X2 = — 1 — мнимый эллипс (0 множество),

X2 + X2 = 0 — пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (точка);

r = 2, s = 1.

X2 — X2 = 1 — гипербола (уравнение X2 — X2 = — 1 умножением на — 1 сводится к этому же случаю),

X2 — X2 = 0 — пара пересекающихся прямых;

r = s = 1.

X2 = 1 — пара параллельных прямых,

X2 = —1 — пара мнимых параллельных прямых (0 множество),

X2 = 0 — пара совпадающих прямых (прямая),

X1 = 2X2 — парабола.

Пространство.

В этом случае квадрика является поверхностью второго порядка. С помощью аффинной классификации получаем, что поверхность второго порядка может иметь уравнение одного из следующих видов:

r = s = 3.

Xi + X2 + X3 = 1 — эллипсоид,

X2 + X2 + X2 = — 1 — мнимый эллипсоид (0 множество),

X2 + X2 + X2 = 0 — мнимый конус с действительной вершиной (точка);

r = 3, s = 2.

X2 + X2 — X2 = 1 — однополостный гиперболоид,

X2 + X2 — X2 = — 1 — двуполостный гиперболоид,

X2 + X2 — X2 = 0 — конус второго порядка;

r = s = 2.

X2 + X2 = 1 — эллиптический цилиндр,

X2 + X2 = — 1 — мнимый эллиптический цилиндр (0 множество),

X2 + X2 = 0 — пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой (прямая),

X2 + X2 = 2X3 — эллиптический параболоид;

r = 2, s = 1.

X2 — X2 = 1 — гиперболический цилиндр (умножением на — 1 уравнение X2 — X2 = — 1 сводится к этому случаю),

X 2 —X22 = 0 — пара плоскостей, пересекающихся по прямой,

X 2 — X22 = 2X3 — гиперболический параболоид;

r = s = 1.

X 2 = 1 — пара параллельных плоскостей,

X2 = —1 — пара мнимых параллельных плоскостей (0 множество),

X2 = 0 — пара совпадающих плоскостей (плоскость),

X 2 = 2X2 — параболический цилиндр.

Ортогональная классификация квадратичных форм

Пусть V — конечномерное евклидово пространство. Рассматриваем только ортонормированные базисы. Удобно встать на функциональную точку зрения. Пусть f : V ^ R — квадратичная форма и A — матрица квадратичной формы в некотором ортонормированном базисе пространства V. Тогда согласно [2, гл. VI, § 22] или [3, гл. IX, § 3, 4] существует ортонормированный базис пространства V , в котором матрица квадратичной формы диагональна, и на диагонали стоят собственные значения матрицы A. Такая диагональная матрица A единственна для f с точностью до порядка следования чисел по диагонали.

Классификация квадрик с помощью движений

Пусть задано аффинное пространство над евклидовым пространством. Будем рассматривать уравнения квадрики в орто- нормированных системах координат. Тогда матрица преобразования ортонормированной системы координат T имеет вид

T (У

где T — ортогональная матрица. Можно (как увидим в п. 3.2) ограничиться только собственными движениями, то есть рассматривать только матрицы T, для которых определители det T = det T = 1. Каждое собственное движение является суперпозицией поворота, определяемого матрицей T , параллельного переноса, определяемого вектором x0. Поэтому можно сказать, что классифицируем квадрики с помощью поворотов и переносов.

Итак, пусть квадрика имеет в некоторой ортонормированной системе координат уравнение

f (x1, ...,xn) + 2a(x1,. .. , xn) + a0 = 0,

где f (xi,..., xn) — квадратичная форма, a(x1,..., xn) — линейная форма и ao e R. Тогда существует такая ортонормированная

система координат, в которой квадрика имеет уравнение

(1,

X22Xs2X2+1Xr21-1,

1ss+r

bl ++ b2b2+ibr10,’

l2Xr+i,

где s > r — s, и такое уравнение единственно с точностью до порядка следования b1, . . . , br .

ПРИМЕРЫ. Как и ранее, рассмотрим плоскость (размерность 2) и обычное пространство (размерность 3). Допущение о переходе с помощью собственных движений от одной ортонорми- рованной системы координат к другой равносильно сохранению ориентации системы координат.

Плоскость.

Классификация с помощью движений даёт, что кривая второго порядка может иметь уравнение одного из следующих видов:

22

—1 + -г#- = 1 — эллипс; a2b2

X2 X2

а1 + -^2- = — 1 — мнимый эллипс;

X2 X2

а1 + -^2- = 0 — мнимые пересекающиеся прямые;

X2 X2

а2ь#- = 1 — гипербола;

X2 X2

a#ь#- = 0 — пара пересекающихся прямых;

X2

^1 = 1 — пара параллельных прямых;

X2

^1 = — 1 — пара мнимых параллельных прямых;

X2

^1 = 0 — пара совпадающих прямых;

X2

a1 = 2X2 — парабола.

Пространство.

Классификация с помощью движений даёт, что поверхнсть второго порядка может иметь уравнение одного из следующих видов:

1)1)V2 v2 v2X1 XX3a2 + b2 + c2 =V2 v2 v2X1 XX3a2 + b2 + c2 =1 — эллипсоид;1 — эллипсоид;

1)

1)

V2 v2 v2

X1 XX3

a2 + b2 + c2 =

V2 v2 v2

X1 XX3

a2 + b2 + c2 =

1 — эллипсоид;

1 — эллипсоид;

X2X2X2

a1 + -22- + -23- = — 1 — мнимый эллипсоид;

X1 + -Xr + X- = 0 — мнимый конус;

X2 X2X2

a1 + -2- —c23 = 1 — однополостный гиперболоид;

X2X2X2

a1 + -2- —c23 = — 1 — двуполостный гиперболоид;

X2X2X2

a1 + -22- —c23 = 0 — конус второго порядка;

X2 X2

a1 + -2- = 1 — эллиптический цилиндр;

X2 X2

a1 + -2- = — 1 — мнимый эллиптический цилиндр;

X2 X2

а1 + -2- = 0 — пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой;

X2X2

а1 + -2- = 2Хз — эллиптический параболоид;

X2X2

а1ь22 = 1 — гиперболический цилиндр;

X2X2

а1ь22 = 0 — пара пересекающихся плоскостей;

X2X2

а1ь22 = 2X3 — гиперболический параболоид;

X2

а1 = 1 — пара параллельных плоскостей;

X2

а1 = — 1 — пара мнимых параллельных плоскостей;

X2

о1- = 0 — пара совпадающих плоскостей;

X2

о1- = 2X2 — параболический цилиндр.

2 Линейная классификация квадратичных форм и аффинная классификация квадрик

Квадратичные формы

Будем рассматривать квадратичные формы как многочлены. Изложим способы приведения квадратичных форм к виду

V2 II V2 V2V2

Xi ++ Xs Xs+1Xr .

Такой вид будем называть каноническим.

Сначала избавимся от смешанных произведений, то есть приведём квадратичную форму к виду

aiz2 + • • • + anzn.

Такой вид квадратичной формы называется диагональным. Затем перестановкой неизвестных соберём сначала квадраты с положительными коэффициентами, затем с отрицательными и в конце с нулевыми. После этого избавимся от коэффициентов при квадратах при помощи замен неизвестных вида

y = Vaz при a > 0,

y = V —az при a < 0,

y = z при a = 0.

Для приведения квадратичной формы к диагональному виду укажем два способа — алгоритм Лагранжа и метод Якоби.

Алгоритм Лагранжа

Подробно алгоритм Лагранжа изложен в [2, гл. VI, § 22], [6, гл. 1, § 4, п. 6] и [3, гл. IV, § 5]. Суть этого алгоритма состоит в том, что, выделяя квадраты, переходим к квадратичной форме

nnПусть задана квадратичная форма f =Пусть задана квадратичная форма f =aji . Возможны два случая.aji . Возможны два случая.i,j=ii,j=iaij xixj , где aijaij xixj , где aijот меньшего числа неизвестных.

n

n

Пусть задана квадратичная форма f =

Пусть задана квадратичная форма f =

aji . Возможны два случая.

aji . Возможны два случая.

i,j=i

i,j=i

aij xixj , где aij

aij xixj , где aij

Хотя бы один из коэффициентов aii при квадратах неизвестных ненулевой.

Без ограничения общности считаем, что all = 0. Соберём все слагаемые с x1 вместе и запишем

f = aii(xi + 2ОЦХ1Х2 ++ 2a1nXlXn) + fl(X’,. .., Xn),

n

где fi(x2,..., Xn) = У^ a,XiXj. Далее

i,j=2

f = au(x1 + 2xi (— X2 ++ anXn)) + fi(x2, ...,xn) =

= all (’^ + 2xi fa12x2 + • • • + a1nXn) + a11a11

(an X2+•••+an xn)2 -

( ail x2 + ••• + an xn) ^ + fl (x’, . . . , Xn) =

= ail У’ + 2xi fa12x2 + • • • + a1nxO) + a11a11

(OSX2 + ••• + anXn)’) -

all ( ailx’ + ^ ^ ^ + ahxn) + f1(x’, . . . , xn) =

= all (xl + aHx’ + • • • + ahxn) + f’(x’, . . . , xn),

где

f’(X’, . . . , Xn) = -all( an X’ ++ an Xn)’ + fl(X’, ..., Xn).

Обозначим

yl = Xl+ Oh X’+ •••+ an Xn.

Итак,

f = ally’ + f’(X’, .. ., Xn),

мы перешли к квадратичной форме

f’(X’ , . . . , Xn)

от меньшего числа неизвестных, с которой поступаем так же, как с формой f .

Все квадраты при неизвестных имеют нулевые коэффициенты.

Не ограничивая общности, считаем, что a12 = 0. Выполним замену неизвестных

Г xi = У1 + У2,

[x2 = У1 - У2,

и получим

f = 2ai2xix2 + • • • = 2ai2y2 — 2ai2y2 + • • • ,

а с этой квадратичной формой можно поступить, как в случае 1.

Метод Якоби

Иногда трудно следовать алгоритму Лагранжа, например, если число неизвестных достаточно велико. Тогда можно воспользоваться методом Якоби. Подробное изложение метода Якоби можно найти в [3, гл. IV, § 8].

Рассмотрим матрицу A квадратичной формы f :

a1a12a12a22A =......a1n a2na1a12a12a22A =......a1n a2na1na2na1na2nannann//

a1a12

a12a22

A =

..

..

..

a1n a2n

a1a12

a12a22

A =

..

..

..

a1n a2n

a1n

a2n

a1n

a2n

ann

ann

/

/

Вычислим определители

△1 = aii, Л2 =△1 = aii, Л2 =a11a12a11a12a12a22a12a22, ^3 =, ^3 =a11a12a13a11a12a13a12a22a23a12a22a23a13a23a33a13a23a33,..., An = |A|.,..., An = |A|.

△1 = aii, Л2 =

△1 = aii, Л2 =

a11

a12

a11

a12

a12

a22

a12

a22

, ^3 =

, ^3 =

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a12

a22

a23

a12

a22

a23

a13

a23

a33

a13

a23

a33

,..., An = |A|.

,..., An = |A|.

Метод Якоби применим, если

A1 = 0, A2 = 0, A3 = 0, . . . , An = 0.

При выполнении этого условия квадратичную форму f можно привести к одному из следующих видов:

f = 51У2+ 52 У2+ •••+ ^^ уП , или

2∆2 2∆n 2

f = Aizi + 51 z2 ++ 5П-1 zn

От первого вида ко второму можно перейти заменой неизвестных

yi = Aizi,

∆2y251 z2,

< Уз = д2z3,

. . .

An _tyn = An-1 zn.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Привести квадратичную форму f = 2xix4 + 6х2хз к каноническому виду и найти матрицу преобразования неизвестных.

Решение. Действуем по алгоритму Лагранжа. Сделаем замену неизвестных

Xi = yi + У4, X2 = У2 + Уз, Хз = У2 - Уз, X4 = yi - У4

или в матричном виде

x1

(1

00

1

y1

x2

0

11

0

y2

x3

= 0

1 -1

0

y3

x4

\1

00

-1

y4

Матрица преобразования неизвестных

1

0

0

1

Ti =

0

1

1

0

0

1

-1

0

1

0

0

-1

Получим

f = 2(yi + У4)(У1 - У4) + 6(y2 + Уз)(У2 - Уз) =

= 2У2 - 2у4 + 6У2 - 6У2.

Выполним ещё одно преобразование неизвестных:

X1 = V2yi, X2 = V6y2, Хз = V6y3, X4 = V2y4

или в матричном виде

(yi\

√12

0

1

0

0

(Xi\

У2=

0

√6

0

0

Х2

Уз

0

0

1 √6

0

X3

y4

0

0

0

√12

X4

Матрица преобразования неизвестных в этом случае

ПолучимПолучимT2 =T2 =√12000√1200001√60001√60000 00;тб 00 ;Ы00 00;тб 00 ;Ыf = Х1 + Х2 - Х32 - X2.f = Х1 + Х2 - Х32 - X2.

Получим

Получим

T2 =

T2 =

√12

0

0

0

√12

0

0

0

0

1√6

0

0

0

1√6

0

0

00 00

;тб 0

0 ;Ы

00 00

;тб 0

0 ;Ы

f = Х1 + Х2 - Х32 - X2.

f = Х1 + Х2 - Х32 - X2.

Искомая матрица T замены неизвестных:

000

0

0

T = T1T2T = T1T2000061616161006600006600

T = T1T2

T = T1T2

0

0

0

0

6

1

6

1

6

1

6

1

0

0

6

6

0

0

0

0

6

6

0

0

потому что

x1Х2x3x4x1Х2x3x4T1T1y1У2 y3 y4y1У2 y3 y4X1X1T1 · T2T1 · T2X3X4X3X4

x1

Х2

x3

x4

x1

Х2

x3

x4

T1

T1

y1

У2 y3 y4

y1

У2 y3 y4

X1

X1

T1 · T2

T1 · T2

X3

X4

X3

X4

Пример 2. Привести квадратичную форму

2xi + • • • + 2Xn — 2xiX2 — 2x2X3 — • • • — 2xn-iXn

к каноническому виду.

Решение. Действуем по методу Якоби. Пусть

A =A =2—102—10— 1— 12211..001122000000000000

A =

A =

2

—10

2

—10

— 1

— 1

2

2

1

1

.

.

0

0

1

1

2

2

00

00

00

00

00

00

000000Вычисляем определители:000000Вычисляем определители:2—1—122—1—12

000

000

Вычисляем определители:

000

000

Вычисляем определители:

2—1

—12

2—1

—12

△1 =2, Д2 =△1 =2, Д2 =2—12—11122= 3, Д;= 3, Д;3=3=221100—1—122—1—100—1—1= 4.= 4.22

△1 =2, Д2 =

△1 =2, Д2 =

2

—1

2

—1

1

1

2

2

= 3, Д;

= 3, Д;

3=

3=

2

2

1

1

0

0

—1

—1

2

2

—1

—1

0

0

—1

—1

= 4.

= 4.

2

2

Докажем по индукции, что Дк = к + 1.

База индукции. При к = 1 Д1 = 1 + 1 = 2.

Предположим, что Дт = m + 1 для m < к.

Докажем, что Дк = к + 1. Для этого разложим определитель

Дк по первой строке:

2211000000—1—122—1—10000Дк =Дк =0012120000= 2Дк-1 — Дк-2.= 2Дк-1 — Дк-2.00000022—1—10000001122

2

2

1

1

0

0

00

00

—1

—1

2

2

—1

—1

00

00

Дк =

Дк =

0

0

12

12

00

00

= 2Дк-1 — Дк-2.

= 2Дк-1 — Дк-2.

0

0

00

00

2

2

—1

—1

0

0

00

00

1

1

2

2

Имеем

△к = 2Дк-1 — Дк-2 = 2(к — 1 + 1) — (к — 2 + 1) = к + 1, и всё доказано.

Так как все Ak — 0, то применим метод Якоби и данную квадратичную форму запишем в виде

2 У2 + 3 У2 + ••• + n+1 уП .

Замена неизвестных

Xii+iyi, i 1,2, ' ' ' , n,

приводит форму к виду

X12 + • • • + Xn2 .

□

2.2 Квадрики

Пусть уравнение квадрики имеет вид

nn

aij — aji, 1 ^ i, j ^ naij — aji, 1 ^ i, j ^ n^ ' aijxixj + 2 ^ ' akxk + a00,

aij — aji, 1 ^ i, j ^ n

aij — aji, 1 ^ i, j ^ n

,j=1k=1

Применяя методы, изложенные в пункте 2.1, можно добиться того, что уравнение квадрики примет вид

y2 + • • • + y2 - y2+i — • • • — y2 + 2biyi + • • • + 2bnyn + ao — 0.

Можно считать, что s > r — s. Если это не так, умножим уравнение квадрики на — 1 и сделаем переобозначения. Геометрически это означает, что мы изменяем оси координат, но не меняем начало координат. Далее выполним параллельный перенос по формулам:

zi — У1 + bi,zs+i — ys+i — bs+i,Zr+1 — Уг+1,

zs — ys + bs,zr — yr — br ,zn — yn

Уравнение квадрики примет вид

z2 + • • • + z2 — z2+i — • • • — z2 + 2br+iZr+i + • • • + 2bnZn + bo — 0.

Возникают два случая:

br+1 — br+2 — • • • — bn — 0.

Это выполняется, например, когда n — r.

Пусть bo — 0. Уравнение

2222

Z1 + • • • + zs — zs+i — • • • — zr — 0

уже находится в требуемом виде.

Пусть bo — 0. В этом случае получаем

2222

z1zszs+1zr b0

Tb0T ++ bbЫ — b —

{

1 при b0 < 0, — 1 при b0 > 0.

Нужно лишь сделать замену

zi

Xi — —- для каждого г — 1, 2,..., n,

TboT

и получим

Xi +... + Xs2 — Xs2+1x — {—1 ,

что и нужно.

Для k > r существует bk — 0.

Выберем наименьшее k, для которого bk — 0. Тогда

2222

z1 + • • • + zs — zs+1 — • • • — zr —

— 2 (—br+lzr+1 — • • • — bnzn — b0) —

— 2 ( —bkzk — • • • — bnzn — b0) .

Пусть k — r + 1. В этом случае положим

Xi — zi для каждого i — r + 1,

Xr+1 — —br+1zr+1 —Xr+1 — —br+1zr+1 —bnznbnznb02 .b02 .

Xr+1 — —br+1zr+1 —

Xr+1 — —br+1zr+1 —

bnzn

bnzn

b0

2 .

b0

2 .

ОтсюдаОтсюда

Отсюда

Отсюда

zr+1zr+1— br+1 (Xr+i + br+2Xr+2 + • • • + bnXn + b0) = cr+iXr+i + cr+2Xr+2 + • • • + cnXn + c0,

zr+1

zr+1

где

cr+i = -= 0, co = — 770-7, br+12br+1

b

Cr+i = — br+1 для i = 2,...,n — r.

Тогда

Xi + ••• + Xs2 — Xs2+1Xr2 = 2Xr+i.

Пусть k > r + 1. Теперь положим

Xi = zi для каждого i = r + 1, i = k, Xr+i = —bkzk — • • • — bnzn — b0, Xk = zr+i.

Следовательно,

zk = — bk (Xr+i + bk+iXk+i • • • + bnXn + b0) == cr+iXr+i + ck+iXk+i + • • • + cnXn + co,где cr+i = — bk = 0, co = — 2bk,Ck+i = — bk+1 для i = 1,2, .. ., n — k.

k

В результате такой замены неизвестных получим

Xi + ••• + Xs2 — Xs2+iXr2 = 2Xr+i.

Пример 3. Привести уравнение квадрики

2х1х2+2х1хз—2х1Х4—2х2хз+2х2Х4+2хзХ4—2x2—4x3—6x4+5=°

в четырёхмерном аффинном пространстве к виду

1

2222Xi + ••• + Xs Xs+i •••Xr =2222Xi + ••• + Xs Xs+i •••Xr =-1

2222

Xi + ••• + Xs Xs+i •••Xr =

2222

Xi + ••• + Xs Xs+i •••Xr =

0,

2Xr+i

где s > r — s, и указать соответствующее преобразование координат.

Решение.

Рассмотрим из уравнения квадрики квадратичную форму

f = 2x1x2 + 2x1 Х3 — 2x1x4 — 2х2хз + 2x2x4 + 2x3x4.

x3 = y3,x4 = y4,x3 = y3,x4 = y4,Действуя по алгоритму Лагранжа, выполним преобразование

x3 = y3,

x4 = y4,

x3 = y3,

x4 = y4,

xi = У1 + У2,x2 = y1 - y2 ,

или в матричном виде

x1x2x3x4x1x2x3x4111111-1-1000000001000100y10У20y10У20y31y40y31y4T1T1y1У2y3y4y1У2y3y4

x1

x2

x3

x4

x1

x2

x3

x4

1

1

1

1

1

1

-1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0y1

0У2

0y1

0У2

0y3

1y4

0y3

1y4

T1

T1

y1

У2

y3

y4

y1

У2

y3

y4

Квадратичная форма f примет вид

f = 2(yi + У2)(У1 — У2) + 2(yi + У2)Уз - 2(У1 + У2)У4 —

— 2(У1 — У2)У3 + 2(У1 — У2)У4 + 2У3У4 =

= 2У2 — 2У2 + 4У2Уз — 4У2У4 + 2У3У4.

Выделим квадрат с членами, содержащими y2 :

f = 2y2 — 2 (y2 — 2y2y3 + 2y2y4) + 2y3y4 =

= 2y2 — 2 (y2 + 2y2( — y3 + y4)) + 2y3y4 =

= 2y2 — 2 (y2 + 2y2( —y3 + y4) + ( — y3 + y4)2—

— (—У3 + У4)2) +2УзУ4 =

= 2y2 — 2 (y2 + 2y2( —y3 + y4) + ( —y3 + y4)2) +

+ 2( —y3 + y4)2 + 2y3y4 =

= 2y2 — 2 (y2 — y3 + y4)2 + 2 (y2 — 2y3y4 + у4) + 2y3y4 =

= 2y2 — 2 (y2 — y3 + y4)2 + 2y2 — 2y3y4 + 2y4.

Выделим квадрат с членами, содержащими y3 :

f = 2y2 — 2 (y2 — y3 + y4)2 + 2 (y2 — y3y4) + 2y4 =

= 2y2 — 2 (y2 — y3 + y4)2 +

+ 2 (y2 - 2уз • У4 + y2 - y2) + 2y42 =

= 2yl — 2 (y2 — y3 + y4)2 + 2 (y3 — y4) + 2y42.

Выполним преобразование неизвестных

zl = У1, z2 = У3 - y4, z3 = y4,z4 = y2 - y3 + y4zl = У1, z2 = У3 - y4, z3 = y4,z4 = y2 - y3 + y4илиили1 = zl,2 = z2 — z3 + z4,3 = Z2 + zf, y4 = z3.1 = zl,2 = z2 — z3 + z4,3 = Z2 + zf, y4 = z3.

zl = У1, z2 = У3 - y4, z3 = y4,

z4 = y2 - y3 + y4

zl = У1, z2 = У3 - y4, z3 = y4,

z4 = y2 - y3 + y4

или

или

1 = zl,

2 = z2 — z3 + z4,

3 = Z2 + zf, y4 = z3.

1 = zl,

2 = z2 — z3 + z4,

3 = Z2 + zf, y4 = z3.

Матрица T2 этого преобразования имеет вид

/1000T2 =0112121010к0010/1000T2 =0112121010к0010здесьздесьy1У2y3y4y1У2y3y4= T2= T2z1Z2z3z4z1Z2z3z4

/1

0

0

0

T2 =

0

1

1

2

1

2

1

0

1

0

к0

0

1

0

/1

0

0

0

T2 =

0

1

1

2

1

2

1

0

1

0

к0

0

1

0

здесь

здесь

y1

У2

y3

y4

y1

У2

y3

y4

= T2

= T2

z1

Z2

z3

z4

z1

Z2

z3

z4

а квадратичная форма

f — 2z1 + 2z2 + 2 Z3 — 2z4.

ПоложимU1 = V2zi,ПоложимU1 = V2zi,

Положим

U1 = V2zi,

Положим

U1 = V2zi,

U2 = V2Z2,U4 = V2Z4

или/zAZ2z3z4или/zAZ2z3z4√12000√1200001√20001√20000V3000V30000√12000√12u1U2u3u4u1U2u3u4= T3= T3u1U2u3u4u1U2u3u4

или

/zA

Z2

z3

z4

или

/zA

Z2

z3

z4

√120

0

0

√120

0

0

0

1√2

0

0

0

1√2

0

0

00V3

0

00V3

0

0

0

0

√12

0

0

0

√12

u1

U2

u3

u4

u1

U2

u3

u4

= T3

= T3

u1

U2

u3

u4

u1

U2

u3

u4

Итак, получаем квадратичную форму канонического вида

2222

f — ui + u2 + u3 — u4,

а матрица T замены неизвестных

T — T1T2T3 —

11100100-1-10000112200000010 000010 0010001010001021210000001111001 12 21 12 211100100000000000■^ 0 00 V3 00 0 ^)000■^ 0 00 V3 00 0 ^)6161616166110000//

1

1

1

0

0

1

0

0

-1

-1

0

0

0

0

1

1

2

2

0

0

0

0

001

0 00

001

0 00

100

010

100

010

2

1

2

1

0

0

00

00

1

1

1

1

0

0

1 12 2

1 12 2

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

000

■^ 0 0

0 V3 0

0 0 ^)

000

■^ 0 0

0 V3 0

0 0 ^)

6

1

6

1

6

1

6

1

6

6

1

1

0

0

0

0

/

/

2 12 16161√12 1√12 1+ (0, —2, —4, —6)+ (0, —2, —4, —6)61610000232300//u1U2 u3 u4u1U2 u3 u4+ 5 —+ 5 —— ui + u2 + u3 — u2 + (—V2, — V2, —sV6, V2)— ui + u2 + u3 — u2 + (—V2, — V2, —sV6, V2)u1U2 u3 u4u1U2 u3 u4+ 5 —+ 5 —

2 1

2 1

6

1

6

1

√12 1

√12 1

+ (0, —2, —4, —6)

+ (0, —2, —4, —6)

6

1

6

1

0

0

0

0

23

23

0

0

/

/

u1

U2 u3 u4

u1

U2 u3 u4

+ 5 —

+ 5 —

— ui + u2 + u3 — u2 + (—V2, — V2, —sV6, V2)

— ui + u2 + u3 — u2 + (—V2, — V2, —sV6, V2)

u1

U2 u3 u4

u1

U2 u3 u4

+ 5 —

+ 5 —

— —1 + —2 + —3 — —4 — ^2ui — ^2^2 — 3 V6-3 + ^2-4 + 5 — 0.

В левой части уравнения выделим полные квадраты:

(-1 — V2) + ("2 —(-1 — V2) + ("2 —72) + ("3 — 3Vi) — ("4 — 72)72) + ("3 — 3Vi) — ("4 — 72)++

(-1 — V2) + ("2 —

(-1 — V2) + ("2 —

72) + ("3 — 3Vi) — ("4 — 72)

72) + ("3 — 3Vi) — ("4 — 72)

+

+

+ 5 — 1 — 2 — 9 • 2 + 2 —

— (u1 — 72 )2 + (u2 — 72 )2 + (u3 — 3V2)2 — (u4 — x12 )2 — 9 — 0’

Получаем уравнение

— 1.— 1.(U1 — T2)2 ("2 — ^ (-3 — 3 VD2 (-4 — A)2

— 1.

— 1.

32 + 32 +3232

Выполним преобразование неизвестных

X1 —X1 —"1 —"1 —1√21√233X2 —X2 —"2 —"2 —33X3 —X3 —"3 — 3 У!3"3 — 3 У!3X4X4—4 ——4 —331√21√21√21√2

X1 —

X1 —

"1 —

"1 —

1√2

1√2

3

3

X2 —

X2 —

"2 —

"2 —

3

3

X3 —

X3 —

"3 — 3 У!

3

"3 — 3 У!

3

X4

X4

—4 —

—4 —

3

3

1√2

1√2

1√2

1√2

или в матричном виде

"1"2"3"4"1"2"3"43030030300000000003000300X10X20X10X20X33X40X33X4++√121√23 yi√12√121√23 yi√12

"1

"2

"3

"4

"1

"2

"3

"4

30

30

03

03

00

00

00

00

0

0

3

0

0

0

3

0

0X1

0X2

0X1

0X2

0X3

3X4

0X3

3X4

+

+

√12

1

√2

3 yi

√12

√12

1

√2

3 yi

√12

Получим уравнение квадрики требуемого вида

X1 + X22 + X32 — X42 — 1.

Запишем матрицу последнего преобразования координат в

видевиде30000 3 0 00 0 3 00 0 0 330000 3 0 00 0 3 00 0 0 31√21√23 \p1√21√23 \p√2√20011

виде

виде

3000

0 3 0 0

0 0 3 0

0 0 0 3

3000

0 3 0 0

0 0 3 0

0 0 0 3

1

√21

√2

3 \p

1

√21

√2

3 \p

√2

√2

0

0

1

1

Вычислим матрицу преобразования координат, связываю-

точки с ко-точки с ко-щую первоначальные координаты x1, x2, X3, X4 ординатами X1, X2, X3, X4:

точки с ко-

точки с ко-

1√2

0

1 √2 1

2

1 √6 1 √6

1√6

1√2

1√20

0

0

0

0

0

0

/

3

0

0

0

0

3

0

0

0

0

3

0

0

0

0

3

1

2

1

2

—♦

0

1

—♦

0

3√2

0

0

0

3 √2

3√2

3 √2

0

0

3√2

3√2

0

6

0

0

0

1

0 \

1

2

3

1

□

Пример 4. Привести уравнение квадрики

4x1x2+4x1X3+4x1X4+4x2X3+4x2X4+4x3X4+3x44+14x4+11=0

в четырёхмерном аффинном пространстве к виду

1

Xi + • • • + X2 - X2+1Xi + • • • + X2 - X2+1······X2X2-1-100,,

Xi + • • • + X2 - X2+1

Xi + • • • + X2 - X2+1

···

···

X2

X2

-1

-1

0

0

,

,

2Xr+i

где s > r — s, и указать соответствующее преобразование координат.

Решение.

1. Рассмотрим квадратичную форму

f = 4x1x2 + 4x1 X3 + 4x1X4 + 4x2X3 + 4x2X4 + 4x3X4 + 3x2.

Выделим полные квадраты сначала с членами, содержащими x4 , а затем с членами, содержащими x3 :

3x2 + 4x3x4 + 4x2x4 + 4x1x4 + 4x2x3 + 4х1хз + 4x1x2 =

= 3 (x2 + 3x4x3 + 3x4x2 + 3x4x1) +4x2x3 + 4x1x3 + 4x1x2 == 3 (x2 + 2x4 (Ix3 + 3x2 + 3xl)) +4x2x3 + 4x1x3 +4xix2 == 3 ^x2 + 2x4 (2x3 + 3x2 + 3xl) + (3x3 + 3x2 + 3xi)2) -

- 3 (3x3 + 3x2 + 3xi)2 + 4x2x3 + 4x1x3 + 4x1x2 =

= 3 (x4 + 3x3 + 3x2 + 3xl) —

- 3 (9x3 + 9x2 + 9xl + 9x3x2 + 9x3xi + 9x2xi) +

+ 4x2x3 + 4x1x3 + 4x1x2 =

q(r„2^2т-,)24-r24-r2_ 4,.2_

3yx4^+3x3 —+3 x2—+ 3x1 у3 x33x23 x1

3 x2x3 — 3 x1x3 — 3 x1x2 + 4x2x3 + 4x1x3 + 4x1x2 =

= 3 (x4 + 3x3 + 3x2 + 3x1)2 — 3 (x3 — x2x3 — x1x3) —

3 x2 — 3 x1 + 3 x1x2 =

2222

3 (^4 + 3x3 + 3x2 + 3x1 j —

3 (x3 + 2x3 (—X2 — xi) + (—X2 — xi)2 — (—X2 — xi)2) —

3 x2 — 3 x1 + 3 x1x2 =

Q(m. I 2-2-2-Л24 (-„x2xi )2 I

3^4 + 3x3+ 3 x2+ 3x1)— 3 ^322-) +

1212242424

1 3 ^x 21 3 ^x 11 3 ^x 1 ^x 23 ^x 23 ^x 11 3 ^x 1 ^x 2

(тл222т,)24 („,x2xi )2

3 ^4 + 3x3 + 3 x2 + 3x1) — 3 ^322-—

— (x1 — x2)2 .

Выполним преобразование неизвестных:

У1 = x1 — x2,

У2 = ^23 (x3 — x2 — x1) = —^73x1 — V3x2 + ^23x3,

У3 =Vs (x4+ 2x3 + 2x2 + 2x1)= -2= x1+ -2= x2+ -2= x3+ V3x4,

333333

y4 = x1,

получим квадратичную форму

f = -y2 — У2 + y2.

Так как число отрицательных коэффициентов квадратичной формы f больше числа положительных, то уравнение квадрики умножим на — 1, и далее будем рассматривать уравнение

— 4x1x2 — 4x1x3 - 4x1x4 - 4х2хз — 4x2x4 — 4x3x4 — 3x2 —

— 14x4 — 11 = 0.

Выразим x1, x2, x3, x4 через y1, y2, y3, y4:

xl = У4,

x2 = —У1 + У4,

x3 = — y1 + ^ y2 + у4,

x4 = У1 — ;1з У2 + 73 Уз — У4

или в матричном виде

x1x2x3x4x1x2x3x400—1000—101√31√311222211330 001√30 001√3111111—2/—2/y1У2y3y4y1У2y3y4

x1

x2

x3

x4

x1

x2

x3

x4

00

—10

00

—10

1√3

1√3

1

1

2

2

2

2

1

1

3

3

0 0

0

1√3

0 0

0

1√3

11

11

1

1

—2/

—2/

y1

У2

y3

y4

y1

У2

y3

y4

/

0

0

yl+y2—y3 + (0, 0, 0, —14)

1

0

1

1

2

√3

0 0

01√3

1

1

1

\

2

y1

У2 y3

y4

—11=

= y2 + y2 — y3 — 14y1 + "13з у2 — -143 y3 + 28y4 — 11 = 0.

Выделим полные квадраты в левой части уравнения квад-

рики:

(У1 — 7)2 + (У2 + ;7з)2 — (У3 + -73)2 + 28y4-

- 72 — (-s )2 + (— )2 —11 =

= (У1 — 7)2 + (У2 + 773)2 — (Уз + -73)2 — 2(-14y4 + 30) = 0.

Выполним замену неизвестных:

zi = У1 — 7,z2 = У2 + -^,z3 = Уз + -73,zi = У1 — 7,z2 = У2 + -^,z3 = Уз + -73,илиилиZ4 = — 14у4 + 30Z4 = — 14у4 + 30У1 = zi + 7,У2 = z2 — ;73,У3 = z3 — ;73, y4 = —114 z4 + 14.У1 = zi + 7,У2 = z2 — ;73,У3 = z3 — ;73, y4 = —114 z4 + 14.

zi = У1 — 7,

z2 = У2 + -^,

z3 = Уз + -73,

zi = У1 — 7,

z2 = У2 + -^,

z3 = Уз + -73,

или

или

Z4 = — 14у4 + 30

Z4 = — 14у4 + 30

У1 = zi + 7,

У2 = z2 — ;73,

У3 = z3 — ;73, y4 = —114 z4 + 14.

У1 = zi + 7,

У2 = z2 — ;73,

У3 = z3 — ;73, y4 = —114 z4 + 14.

В матричном виде

У1У2У3У4У1У2У3У400000000100100001001000 \ ЛЛ (77 \0z2 + — V30z3—-73—ij w0 \ ЛЛ (77 \0z2 + — V30z3—-73—ij w

У1

У2

У3

У4

У1

У2

У3

У4

0

0

0

0

0

0

00

10

01

00

00

10

01

00

0 \ ЛЛ (77 \

0z2 + — V3

0z3—-73

—ij w

0 \ ЛЛ (77 \

0z2 + — V3

0z3—-73

—ij w

Получим уравнение квадрики требуемого вида

222

Z1 + Z2 — Z3 — 2Z4.

Запишем матрицу последнего преобразования координат в

видевиде10000 1000 0 100 0 0 —1410000 1000 0 100 0 0 —14—>0—>07777771133//..

виде

виде

1000

0 100

0 0 10

0 0 0 —14

1000

0 100

0 0 10

0 0 0 —14

—>

0

—>

0

7

7

7

7

7

7

1

1

3

3

/

/

.

.

Матрица преобразования координат, связывающая первоначальные координаты x1; x2, X3, X4 точки с координатами z-^ z2, Z3, Z4:

0011111122000022331133—♦—♦000000001133111111220000000011100100000000110000001100—♦—♦00000000111414777777771133////000000111100001141141122112233001111333314141111411477—♦—♦0015734157343743741971977711..

0

0

1

1

1

1

1

1

2

2

0

0

0

0

2

2

3

3

1

1

3

3

—♦

—♦

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

3

3

1

1

1

1

1

1

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

100

100

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

—♦

—♦

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

14

14

7

7

7

7

7

7

7

7

1

1

3

3

/

/

/

/

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

114

114

1

1

2

2

1

1

2

2

3

3

0

0

1

1

1

1

3

3

3

3

14

14

1

1

114

114

7

7

—♦

—♦

0

0

15

734

15

734

374

374

197

197

7

7

1

1

.

.

□

3 Ортогональная классификация квадратичных форм

и классификация квадрик

с помощью движений

Квадратичные формы

Рассмотрим квадратичную форму f как функцию на евклидовом пространстве V. Пусть A — матрица квадратичной формы в некотором ортонормированном базисе пространства V. Согласно [2, гл. VI, § 21–22] и [3, гл. IX, § 4], поиск ортонормированного базиса пространства V, в котором матрица квадратичной формы диагональна, можно осуществить следующим образом:

Вычисляем характеристический многочлен det (A—AE) матрицы A и его корни.

Для каждого корня р кратности к характеристического многочлена det(A — AE) находим к линейно независимых собственных векторов матрицы A.

При к ^ 2 проводим ортогонализацию собственных векторов, соответствующих р.

Нормируем все собственные векторы и получаем ортонор- мированный базис в V .

Пишем диагональную матрицу квадратичной формы f в полученном ортонормированном базисе, располагая по диагонали собственные значения матрицы A в соответствии с раcположением собственных векторов в базисе.

Пример 5. Для квадратичной формы

f = 2x1x2 + 2x1x3 — 2x1 X4 — 2х2хз + 2x2x4 + 2x3x4

найти ортонормированный базис, в котором её матрица диаго- нальна.

Решение. Найдём характеристический многочлен матрицы A квадратичной формы. Для этого третий столбец прибавим к четвертому и вычтем его из второго:

-λ11—1—A011-λ—1111—A —11—1-λ1= 1λ-1 —A—111-λ— 101-λ11—1—A011-λ—1111—A —11—1-λ1= 1λ-1 —A—111-λ— 101det(A — AE) =det(A — AE) =11110000λ λλ λ

-λ

1

1

—1

—A

0

1

1

-λ

—1

1

1

1—

A —1

1

—1

-λ

1

= 1

λ-

1 —A

—1

1

1

-λ

— 1

0

1

-λ

1

1

—1

—A

0

1

1

-λ

—1

1

1

1—

A —1

1

—1

-λ

1

= 1

λ-

1 —A

—1

1

1

-λ

— 1

0

1

det(A — AE) =

det(A — AE) =

1

1

1

1

0

0

0

0

λ λ

λ λ

(вынесем (1 — A) из второго и четвертого столбцов и разложим определитель по первой строке)

—A

0

1

0

= (1

— A)2

1

1

1

—1

—1

-λ

0

1

=

— 1

0

1

1

1

—1

0

1

1

0

= (1

— A)2

1 —A

— 1

-λ

1

+

1

—1

1

0

1

1

—1

0

1

= (1 — A)2 (—A(—A — 1 — 1) + (—1 — 1 — 1)) =

= (1 — A)2(A2 + 2A — 3) =

= (1 — A)2 (A — 1)(A + 3) = (A — 1)3 (A + 3).

Получили два корня: A1 = 1 кратности 3 и A2 = —3 кратности 1.

Находим собственные векторы матрицы A. Для Al = 1 решаНаходим собственные векторы матрицы A. Для Al = 1 решаем систему (A — E)xем систему (A — E)x= Ot.= Ot.A — E =A — E =—111—111111111111111—1—11111—111<—> (—1, 1, 1,-1).—1—111<—> (—1, 1, 1,-1).—1

Находим собственные векторы матрицы A. Для Al = 1 реша

Находим собственные векторы матрицы A. Для Al = 1 реша

ем систему (A — E)x

ем систему (A — E)x

= Ot.

= Ot.

A — E =

A — E =

—1

1

1

—1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

—1

—1

1

1

1

1

—11

1<—> (—1, 1, 1,-1).

—1

—11

1<—> (—1, 1, 1,-1).

—1

Находим фундаментальную систему решений

el = (1,1,0, 0),62 = (1, 0,1, 0),63 = (—1,0, 0,1).

Для A2 = —3 решаем систему (A + 3Е)т4 = Ot.

3113A + 3E =1-1—11/1 3<—>0 1003113A + 3E =1-1—11/1 3<—>0 100—1—13131111133←→←→00003—8—443—8—44—1 11 0 0— 1 0<—>0 1011)\0 0 1—1 11 0 0— 1 0<—>0 1011)\0 0 1—114—44004—1\1, 1—114—44004—1\1, 1

31

13

A + 3E =1-1

—11

/1 3

<—>0 1

00

31

13

A + 3E =1-1

—11

/1 3

<—>0 1

00

—1

—1

3

1

3

1

1

1

1

1

3

3

←→

←→

0

0

0

0

3

—8

—44

3

—8

—44

—1 11 0 0

— 1 0<—>0 10

11)\0 0 1

—1 11 0 0

— 1 0<—>0 10

11)\0 0 1

—11

4—4

40

04

—1\

1, 1

—11

4—4

40

04

—1\

1, 1

64 = (1, — 1, — 1, 1).

Так как 64 и векторы 6l, 62, 63 соответствуют разным собственным значениям, то 64 ортогонален векторам 61, 62 и 63. Применим процесс ортогонализации к векторам 61, 62 и 63. Положим

fl = 61 = (1,1, 0,0),

тогда

f _-(62,fi) ff(ез,А) 7(e3,f2) f

f2 =62 — (f fl’f3= 63 —(ff) f1— (f f2'

Получим

(e2, .fl) = 1, (.fl, .fl) = 2, f2 = 62 — 2 • .fl = (2, — 2, 1, 0) ,

(63,.fl) = —1, С/^Л^ 2 , (6 3,.f2) = — 2 ,

f3 = e3 - -21 • A - "3722 • f2 = (-3, 3, 3, 1) .

Положим

gi =fi,g =2f2= (1,-1,2, 0),g =3f3= (-1,1,1,3).

Система векторов g1, g2, дз, 64 остаётся ортогональной, норми-

руем её, для этого находим длины этих векторов:

Ш\ =V2,Ш\ =V2,ПдзН = V1 + 1 +1 + 9 = V12,ПдзН = V1 + 1 +1 + 9 = V12,Ш\ = V1 + 1 + 22 = V6,\ 164 \ = V1 + 1 + 1 + 1 = 2.Ш\ = V1 + 1 + 22 = V6,\ 164 \ = V1 + 1 + 1 + 1 = 2.

Ш\ =V2,

Ш\ =V2,

ПдзН = V1 + 1 +1 + 9 = V12,

ПдзН = V1 + 1 +1 + 9 = V12,

Ш\ = V1 + 1 + 22 = V6,\ 164 \ = V1 + 1 + 1 + 1 = 2.

Ш\ = V1 + 1 + 22 = V6,\ 164 \ = V1 + 1 + 1 + 1 = 2.

Система векторов

= ^(1,-1,2, 0), = 2 (1,-1,-1,1)= ^(1,-1,2, 0), = 2 (1,-1,-1,1)hi = ^ (1, 1, 0, 0), h2

= ^(1,-1,2, 0), = 2 (1,-1,-1,1)

= ^(1,-1,2, 0), = 2 (1,-1,-1,1)

h3 = V12 (-1,1,1, 3), h4

ортонормирована, и матрица квадратичной формы в этом базисе

имеет вид

[f],-=

LJ -1 hi,h2,h3,h4,

1000

0100

0 0 10

0 0 0 -3/

□

Пример 6. Для квадратичной формы

f = 4x1x2 + 4x1x3 + 4x1x4 + 4х2хз + 4x2x4 + 4x3x4 + 3x2

найти ортонормированный базис, в котором её матрица диаго- нальна.

Решение. Найдём характеристический многочлен матрицы A квадратичной формы. Для этого вычтем третью строчку из первой и второй, вынесем из первой и второй строчек по (А + 2), затем полученные первую и вторую строчки умножим на 2 и сложим сначала с третьей, а потом с четвертой:

-А222

det(A - АЕ) =

2-А22

22-А2

2223 -А

-A - 2022-A - 2022(A + 2)2(A + 2)2= (A + 2)2= (A + 2)2= (A + 2)2= (A + 2)20-A - 2220-1220-A - 2220-12211022022-1-12 + A02 + A0-A223 -A1010-A223 - A2 + A02 + A0-A223 -A1010-A223 - A00-A + 420063-A00-A + 420063-A00110-110-1100000-A+42-1 •63 - A0-A+42-1 •63 - A-10-10

-A - 2

0

2

2

-A - 2

0

2

2

(A + 2)2

(A + 2)2

= (A + 2)2

= (A + 2)2

= (A + 2)2

= (A + 2)2

0

-A - 2

2

2

0

-1

2

2

0

-A - 2

2

2

0

-1

2

2

1

1

0

2

2

0

2

2

-1

-1

2 + A0

2 + A0

-A2

23 -A

10

10

-A2

23 - A

2 + A0

2 + A0

-A2

23 -A

10

10

-A2

23 - A

0

0

-A + 4

2

0

0

6

3-A

0

0

-A + 4

2

0

0

6

3-A

0

0

1

1

0-11

0-11

0

0

0

0

0-A+42

-1 •63 - A

0-A+42

-1 •63 - A

-10

-10

= (A + 2)2 ((4 - A)(3 - A) - 12) = = (A + 2)2A(A - 7).

Получим корни: A1 = -2 кратности 2, A2 = 7 и A3 = 0.

Находим два собственных вектора матрицы A для A1 = -2:

A + 2E =A + 2E =22222222222222222222222222222525■(0 0 0 1),■(0 0 0 1),

A + 2E =

A + 2E =

2222

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

25

25

■(0 0 0 1),

■(0 0 0 1),

тогдатогдаei = (-1,1, 0,0), 62 = (-1,0,1,0).Находим собственный вектор матрицы A для A2ei = (-1,1, 0,0), 62 = (-1,0,1,0).Находим собственный вектор матрицы A для A2= 7:= 7:

тогда

тогда

ei = (-1,1, 0,0), 62 = (-1,0,1,0).

Находим собственный вектор матрицы A для A2

ei = (-1,1, 0,0), 62 = (-1,0,1,0).

Находим собственный вектор матрицы A для A2

= 7:

= 7:

AA7E7E-7222←→-7222←→2-7222-72210010022-7213022-72130222-4222-4←→←→00001010999911-909-909-266-12-266-12←→←→10310322222233←→0 30033←→0 300303303622622←→←→

A

A

7E

7E

-7

2

2

2

←→

-7

2

2

2

←→

2

-7

2

2

2

-7

2

2

1

0

0

1

0

0

2

2

-7

2

1

3

0

2

2

-7

2

1

3

0

2

2

2

-4

2

2

2

-4

←→

←→

0

0

0

0

1

0

1

0

9

9

9

9

1

1

-909

-909

-2

6

6

-12

-2

6

6

-12

←→

←→

1

0

3

1

0

3

2

2

2

2

2

2

33

←→0 3

00

33

←→0 3

00

3

0

3

3

0

3

6

2

2

6

2

2

←→

←→

тогдатогда←→←→300300030030003003222222e3 = (2, 2, 2, 3).

тогда

тогда

←→

←→

3

0

0

3

0

0

0

3

0

0

3

0

0

0

3

0

0

3

2

2

2

2

2

2

AA022 02 222022 02 22222022202←→←→←→←→000/100000/1002223010001022230100010←→←→11-4-211-4-220001 \120001 \122-1-12-1-120010010222222 -2 02010222222 -2 02011011←→0 1 1 100211011←→0 1 1 10021←→←→Находим собственный вектор матрицы A для Аз = 0:

A

A

02

2 0

2 2

22

02

2 0

2 2

22

2

2

0

2

2

2

0

2

←→

←→

←→

←→

0

0

0

/1

0

0

0

0

0

/1

0

0

2

2

2

3

0

1

0

0

0

1

0

2

2

2

3

0

1

0

0

0

1

0

←→

←→

1

1

-4

-2

1

1

-4

-2

2

0

0

0

1 \

1

2

0

0

0

1 \

1

2

2

-1

-1

2

-1

-1

2

0

0

1

0

0

1

022

222

2 -2 0

201

022

222

2 -2 0

201

1011

←→0 1 1 1

0021

1011

←→0 1 1 1

0021

←→

←→

тогда

64 = (1,1,1, -2).

Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны, поэтому необходимо ортогонализовать только векторы el и б2. Положим

fi = 61 = (-1,1, 0,0),

тогда

f2e2 —f2e2 —(№/;■ (мг(№/;■ (мг

f2e2 —

f2e2 —

(№/;■ (мг

(№/;■ (мг

Вычислим скалярные произведения

—* —*—♦

(fi,fi)=2, (C2,fi) = 1

и получим

./2 = e2— 2 • .fi =(—1,0,1,0) — (—1,2,0,0) = (—2,— 2,1,0) ■

ПоложимПоложимg2 = 2f2 = (-1,-1, 2, 0).

Положим

Положим

Нормируем векторы fl, g2, 63 и 64:

hi =if»=75 (-1' °0)'' 2=-.=76 H,-1'2- 0).

h» =~=7i (2-2- 2- 3)'h4=тйт=7 (1.1-1- -2).

[fb r r rL^ -Ihi,h2,h3,h4[fb r r rL^ -Ihi,h2,h3,h4-2000-20000 -20 00 -20 000700070000000..□□Запишем матрицу квадратичной формы в этом базисе:

[fb r r r

L^ -Ihi,h2,h3,h4

[fb r r r

L^ -Ihi,h2,h3,h4

-2000

-2000

0 -2

0 0

0 -2

0 0

0

0

7

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

.

.

□

□

Квадрики

В ортонормированной системе координат задано уравнение

квадрикиквадрикиnnnn

квадрики

квадрики

n

n

n

n

■y^ aijxixj + 2 УУ aixi + ao = 0.

Обозначим через A матрицу квадратичной формы, и пусть a = (a1 ' ... ' an) ■

X2drX2dr1,-1,0,2Xr+i,1,-1,0,2Xr+i,Найдем ортонормированную систему координат, в которой уравнение квадрики будет иметь вид

X2dr

X2dr

1,

-1,

0,

2Xr+i,

1,

-1,

0,

2Xr+i,

222

Xi ,, Xs — Xs+1

did2d2+1

где s b r — s, сохранив исходную ориентацию системы координат.

Сформулированную задачу решаем по следующему плану:

Поворотом системы координат приведём квадратичную форму квадрики к виду

а1У1 + • • • + asyS — as+1x2+i — агУ2

где ai > 0 для всех г = 1,..., г.

Если необходимо, дополнительным поворотом оставим в полученном уравнении квадрики не более одного линейного члена с номером большим, чем г.

Выполним параллельный перенос системы координат и получим уравнение квадрики вида

a2 Xi + ••• + asX^-

р = о,

- as+iX2+1 — • • • — arXr = < о,

I 2PXr+i, Г > 0.

Разделим уравнение на |Г| = 0.

видвидНапомним, что под поворотом системы координат понимаем такое ортогональное преобразование координат, которое оставляет начало координат на месте и переводит ортонормированную систему координат в ортнормированную с сохранением ориентации. В этом случае матрица преобразования координат имеет

вид

вид

(о

где T — ортогональная матрица, то есть TtT = TTt = E и det T = 1. Заметим, что произведение двух поворотов является поворотом. Под параллельным переносом системы координат понимаем такое преобразование координат, которое изменяет только начало координат. Параллельный перенос — это преобразование координат с матрицей преобразования координат

((En—♦оEn—♦оf°t1f°t1))

(

(

En

—♦

о

En

—♦

о

f°t

1

f°t

1

)

)

Переход к уравнению квадрики вида

X22Xs2Xs+1Xr21-1,

s s+r

di + + ''d2+idr| 0,

[2Xr+i

осуществляется при помощи поворотов, переносов и делений уравнения на ненулевые числа.

Умножение уравнения квадрики на -1

Находим характеристический многочлен матрицы A квадратичной формы квадрики и его корни. Если число отрицательных корней больше, чем число положительных, то уравнение квадрики умножим на — 1. При этом матрица A перейдет в —A, отрицательные корни характеристического многочлена матрицы A перейдут в положительные корни характеристического многочлена матрицы -A и наоборот, поэтому можно далее считать, что число положительных корней характеристического многочлена не менее числа отрицательных его корней.

Поворот системы координат

Расположим корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы так: положительные, отрицательные и нулевые. Вычислим соответствующий ортонормированный базис из собственных векторов и запишем матрицу перехода T , столбцами матрицы T яляются координаты векторов из полученного базиса.

Проверим, равен ли 1 определитель матрицы T. Если он равен — 1, то один из собственных векторов заменим на противоположный, после этого определитель матрицы перехода станет равным 1. Формулы преобразования координат имеют вид

Обозначим через α1, . . . , αs положительные корни, через

-αs+1, . . . , -αr отрицательные корни характеристического мно-

гочлена матрицы A. Тогда получаем

/ «1

0

0

.

.

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

as

0

0

0

0

0

0

0

0

0

— as+1

0

0

0

0

0

TtAT =

0

0

0

0

.

.

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

— Or

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

.

.

.

0

вычисляем aT

0

—>

= b

0

= (31

0

, . .

0

.,3n).

0

0

0

0

0

Уравнение квадрики в системе координат, полученной таким поворотом исходной системы координат, имеет вид

а1у2 + • • • + аМ2 - as+iy2+iarУ2+

+ 2(3iyi + • • •+ ЗпУп) + ао = о.

Дополнительный поворот

Пусть el,..., en — ортонормированный базис, полученный при приведении квадратичной формы к диагональному виду.

Дополнительный поворот необходим, если существует Pi = 0 при i > г. Введём вектор a = вг+1е'г+1 + • • • + Зпёп, nогда

If = Vвг+1 + ••• +> 0.

Положим v = ^-. Выбираем ортонормированный базис следующим образом:

n — г р 2.

Пусть /1 = el,..., fr = ef. Положим fr+1 = —v. Пусть fr+2,..., fn — дополнение /1,..., .fr+1 до ортонормирован- ного базиса. Матрица M, столбцами которой являются координаты векторов /1,..., fn в базисе el,..., en, имеет вид

( Er| 0 )

M V о I Ml }’

и векторы ,fr+2,..., fn можно выбрать так, чтобы det M = det M1 = 1. Формулы преобразования координат имеют вид

Подсчитаем коэффициенты при линейных членах после этого дополнительного поворота:

2(в1,...,вг ,Pr+1,...,Pn)M =

= 2(в1,...,вг,вг+1,...,вп) ("= 2(в1,...,вг,вг+1,...,вп) ("Er0Er00Mi0Mi))

= 2(в1,...,вг,вг+1,...,вп) ("

= 2(в1,...,вг,вг+1,...,вп) ("

Er

0

Er

0

0

Mi

0

Mi

)

)

= 2(в1,...,вг, (вг+1,...,вп)М1).

Вычислим

/ вг+1\

ИЯ ...

(вг+1,...,вп)М1 = (вг+1,...,вп)..

X ИЯ

Векторы fr+2,..., fn ортогональны fr+1, поэтому

(3r+i,..., 3n)Mi = (— er+f - • • • - -Ц-, 0,..., 0) =

= - (М2,0,...,o) = -(||<0,...,0).

Получим после дополнительного поворота уравнение квадрики

2222

ai zi + ••• + aszs — as+izs+i — ••• — ar Zr +

+ 2(^iZi + ••• + вг Zr) — 2^u^Zr+i + ao — 0.

При n = 3 удобно воспользоваться векторным произведением, так как в этом случае r = 1, fi = ei, f2 = —v, f3 = [fi,f2] = [ex, —vl, или в координатах, если f2 = (0,72,73),

—73,72). Нормировать—73,72). Нормироватьто f3 = (“’ - |о ^^ yW^0' не нужно (поймите почему).

—73,72). Нормировать

—73,72). Нормировать

n — r = 1. В этом случае u = (0,..., 0, en), v = lenTen = sign enen. Выберем ортонормированный базис

—*—♦

/1 = el, . . . , fn-2 = en—2,

fn-1 = - sign 3n£n-1, /n = — sign Рпёп.

Матрица M, составленная из координат векторов /1,..., /n в базисе el,..., en, имеет вид

/ En-2

0

0

M=

0

— sign 3n

0

0

0

— sign 3n

и det M = 1. Формулы преобразования координат имеют

вид

/ У1 \/zi\

......

Уп —2=zn-2.

Уп-1—(sign 3n)Zn-1

\ Уп /\ —(sign 3n)Zn /

В рассматриваемом случае \|й\ = |вп |, и получаем уравне

ние квадрики

«1zl ++ a8zs — as+izS+ian-1z2-1+

+ 2(31z1 + • • • + en-2zn-2) — 2(sign Зп)Зп-1 zn-1 —

— 21|й\\ zn + a0 = 0

после дополнительного поворота.

Параллельный перенос

В системе координат (O; /1,..., /n) в качестве исходного возь-

мём уравнение

2222

aiZi + ••• + asZs — as+iZs+i — ••• — ar Zr +

+ 2(eiZi + ••• + вг Zr) — 25zr+i + ao — 0,

где 6 ^ 0, причём 6 — 0, если дополнительный поворот не был нужен, и 6 — ||u|, если выполняли дополнительный поворот.

Осуществим параллельный перенос выделением полных квадратов, преобразуя левую часть уравнения:

2222

ai Zi + ••• + as Zs — as+iZs+i — ••• — ar Zr +

+ 2(eiZi + ••• + er Zr) + ao — 26Zr+i —

—ai (Zi+ai) ++ as (Zs+as)—

— as+i (Zs+i — Ts+T) — • • • — ar (Zr — £r) I A — 26Zr+i —αs+1αr

— aiX2 + • • • + asX2 — as+iX2+i — • • • — ar Xr2 + A — 26Zr+i,

где Zi + Oli — Xi при i — 1,..., s и Zi — ai — Xi при i — s +1,..., r,

A — Vs e2 -i- Vr e2 -i- n

A — — 2^i=i ai + 2^i=s+i ai + ao.

Возникают два случая:

6 — 0.

При A — 0 положим Г — —A, тогда

— ar X"r. —— ar X"r. —alX2 + • • • + asXs — as+iX2+i —

— ar X"r. —

— ar X"r. —

Г, Г — 0, 0.

Перенос зададим вектором

-w —-w —β ^β ^βs ^ βs+fs +αs αs+βs ^ βs+fs +αs αs+.fs+1 + • • • + ~ fr • αr.fs+1 + • • • + ~ fr • αr

-w —

-w —

β ^

β ^

βs ^ βs+

fs +

αs αs+

βs ^ βs+

fs +

αs αs+

.fs+1 + • • • + ~ fr • αr

.fs+1 + • • • + ~ fr • αr

6 > 0.

Положим Xr+1 — Zr+1 — 2^, Г — 6 и получим

alX2 + • • • + asys — as+1X2+1 — • • • — arXr — 2rXr+1.

Перенос определим вектором

w =

—♦

β1 f1

•

•

•

α1

es — +

α

s

βs+1

αs+1

fs+1 + • • • + ~“ fr

αr

5. Деление уравнения на |Г| = 0.

Получили уравнение квадрики

а-Х2 + ••• + asX;

2

s

αs+1Xs2+1

•

•

•

αrX

2

r

0

Г,

2ГХг+1,

—♦

А,+ wU1.

Г = 0,

Г > 0.

Если правая часть нулевая, то уравнение примет вид

X12

1/ai

+h

Xs2

1/a.

Xs2+1

s

1/as+1

•

•

•

Xr2

1/аг

=0

или

X2X2

—- + • • • +—sd21ds2

Xs2+1

2ds+1

•

•

•

Xr2

dr0,

где d2 = a~ > 0 для i = 1,..., r.

При ненулевой правой части уравнения квадрики поделим обе

части уравнения на |Г|:

X

2

1

|Γ|/α1

+ ••• +

X

2

s

|Γ|/α

s

Xs2+1

|Γ|/αs+1

•

•

•

X

2

r

|Γ|/α

r

1,

1,

2Xr+1,

при Г > 0,

при Г < 0,

Г > 0.

Полагая d2 =

|Γ|

αi

> 0, получим

X12 d2 +

•

•

•

X2 s

+ d2

Xs2+1

2ds+1

•

•

•

Xr2

dr2

1,

1,

2Xr+1.

xrdrxrdr0,1,—1,2Xr+i.0,1,—1,2Xr+i.ственный вектор h4. Пусть T ——* —*—♦h2, Ьз и h4, тогдаственный вектор h4. Пусть T ——* —*—♦h2, Ьз и h4, тогдаматрица перехода к базису h1,матрица перехода к базису h1,det T =det T =1√21√201√21√20001√61√6 2 √6 01√61√6 2 √6 0121√3121√323232√32√311111111221 21 21 21 212121212110011001-12 01-12 0-1113-111311111111

xrdr

xrdr

0,

1,

—1,

2Xr+i.

0,

1,

—1,

2Xr+i.

ственный вектор h4. Пусть T —

—* —*—♦

h2, Ьз и h4, тогда

ственный вектор h4. Пусть T —

—* —*—♦

h2, Ьз и h4, тогда

матрица перехода к базису h1,

матрица перехода к базису h1,

det T =

det T =

1

√21

√20

1

√21

√20

0

0

1√6

1

√6 2 √6 0

1√6

1

√6 2 √6 0

121√3

121√3

23

23

2√3

2√3

1

1

1

1

11

11

2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

0

0

1

1

0

0

1

-1

2 0

1

-1

2 0

-1

1

1

3

-1

1

1

3

1

1

1

1

1

1

1

1

Пример 7. Для уравнения квадрики

2x1x2 + 2x1x3 — 2x1x4 — 2х2хз + 2x2x4 + 2хз x4—

— 2x2 — 4x3 — 6x4 + 5 = 0,

заданной в некоторой ортонормированной системе координат, найти такую ортонормированную систему координат с той же ориентацией, что и исходная, в которой уравнение квадрики имеет вид

У + ..•+XS — Xd1d2d2+1

Решение. Воспользуемся примером 5. Характеристический многочлен матрицы квадратичной формы данной квадрики равен

(A — 1)3(A + 3).

Положительных собственных значений больше, чем отрицательных, поэтому нет необходимости умножать уравнение квадрики на -1. Выполним поворот для приведения квадратичной формы к диагональному виду. Расположим собственные значения и соответствующие им собственные векторы в следующем порядке: для Ai,s,3 = 1 собственные векторы h1, h2, Ьз, для A4 = —3 соб- *

(сложим первую строчку со второй и третьей, затем разложим

определитель по второй строке)

11-1112000= 241300003111-1112000= 241300003124 (-1)2+1 • 2 3024 (-1)2+1 • 2 3011-1-10 30 3101101

1

1

-1

1

1

2

0

0

0

= 24

1

3

0

0

0

0

3

1

1

1

-1

1

1

2

0

0

0

= 24

1

3

0

0

0

0

3

1

24 (-1)2+1 • 2 30

24 (-1)2+1 • 2 30

1

1

-1

-1

0 3

0 3

1

0

1

1

0

1

(разложим по второй строке)

112 (-1)2+1 • 3112 (-1)2+1 • 3Так как det T =Так как det T =11111133—♦—♦1, умножим h41, умножим h4116611T1 =T1 =221121√321√3002266232311= 4 (-1 - 3)= 4 (-1 - 3)нана111 и получим1 и получим212122111.1.0066002√32√3222121,,det T1 = 1.det T1 = 1.

112 (-1)2+1 • 3

112 (-1)2+1 • 3

Так как det T =

Так как det T =

1

1

1

1

1

1

3

3

—♦

—♦

1, умножим h4

1, умножим h4

1

1

6

6

1

1

T1 =

T1 =

2

2

1

1

21√3

21√3

0

0

2

2

6

6

23

23

1

1

= 4 (-1 - 3)

= 4 (-1 - 3)

на

на

1

1

1 и получим

1 и получим

21

21

2

2

1

1

1.

1.

0

0

6

6

0

0

2√3

2√3

2

2

21

21

,

,

det T1 = 1.

det T1 = 1.

Посчитаем, как изменятся линейные члены квадрики после

поворота:

2—T1 = (0, -2, -4, -6)T1 = (-V2, -V6, -4V3,0).

Тогда уравнение квадрики в новой системе координат, полученной поворотом, будет такое:

y1 + y2 + y2 - 3y2 - V2y1 - V6y2 - 4V3y3 + 5 = 0.

Выполним параллельный перенос, выделяя полные квадраты:

y1 + y2 + y2 - 3y4 - V2y1 - V6y2- 4V3y3I5

= (y2 - 2 • y1 + 2) - 2 + (y2 -2 • ^26 y2 +44)-44+

+ (y2 - 2 • 2V3y3 + 12) - 12 - 3y2 + 5 =

= (y1 - ^22)2 + (y2 - ^26)2 + (y3 - 2V3)2 -3y42-9 =

= X2 + X2 + X3 - 3X42 - 9 = 0 или

x? + x? + X32 - зх42 = 9.

Параллельный перенос в этом случаем задается вектором

(V2, V6,2V3,0)

в базисе h1, h2, Нз и — Н4.

В итоге получаем следующую формулу преобразования коор-

динатЛЛx?Хз\ xvдинатЛЛx?Хз\ xvT1T1УЛУ2Уз\ У4/УЛУ2Уз\ У4/= T1= T1(XAX2X3V X4/(XAX2X3V X4/+ T1+ T1√22V622V30√22V622V30= T1= T1X1X2X3X4X1X2X3X4++012 з012 зПоделим последнее уравнение квадрики на 9:Поделим последнее уравнение квадрики на 9:2222X1 + X? + X3 — X49 + 9 + 932222X1 + X? + X3 — X49 + 9 + 93Получили требуемое уравнение квадрики в системе координат с началом (0,1,2, 3) и базисными векторамиПолучили требуемое уравнение квадрики в системе координат с началом (0,1,2, 3) и базисными векторами(т?, V2, о, о),(т?, V2, о, о),( 2^3 ’ 2^3 , 2^3 , 2^3 ),( 2^3 ’ 2^3 , 2^3 , 2^3 ),1111( 2 , 2 , 2 , 2 )1111( 2 , 2 , 2 , 2 )□□Пример 8. Для уравнения квадрикиПример 8. Для уравнения квадрики4x1x2 + 4x1x3 + 4x1x4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 4x3 $4 + 3x2++ 14x4 + 11 = 0,4x1x2 + 4x1x3 + 4x1x4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 4x3 $4 + 3x2++ 14x4 + 11 = 0,заданной в некоторой ортонормированной системе, координат найти такую ортонормированную систему координат с той же ориентацией, что и исходная, в которой уравнение квадрики имеет видзаданной в некоторой ортонормированной системе, координат найти такую ортонормированную систему координат с той же ориентацией, что и исходная, в которой уравнение квадрики имеет видX? + ••. + XS — Xskd1d2 d2+1X? + ••. + XS — Xskd1d2 d2+1Xr2drXr2dr0,1,—1,2Xr+1.0,1,—1,2Xr+1.

динат

ЛЛx?

Хз

\ xv

динат

ЛЛx?

Хз

\ xv

T1

T1

УЛ

У2

Уз

\ У4/

УЛ

У2

Уз

\ У4/

= T1

= T1

(XA

X2X3

V X4/

(XA

X2X3

V X4/

+ T1

+ T1

√22

V6

2

2V30

√22

V6

2

2V30

= T1

= T1

X1

X2

X3

X4

X1

X2

X3

X4

+

+

0

1

2 з

0

1

2 з

Поделим последнее уравнение квадрики на 9:

Поделим последнее уравнение квадрики на 9:

2222

X1 + X? + X3 — X49 + 9 + 93

2222

X1 + X? + X3 — X49 + 9 + 93

Получили требуемое уравнение квадрики в системе координат с началом (0,1,2, 3) и базисными векторами

Получили требуемое уравнение квадрики в системе координат с началом (0,1,2, 3) и базисными векторами

(т?, V2, о, о),

(т?, V2, о, о),

( 2^3 ’ 2^3 , 2^3 , 2^3 ),

( 2^3 ’ 2^3 , 2^3 , 2^3 ),

1111

( 2 , 2 , 2 , 2 )

1111

( 2 , 2 , 2 , 2 )

□

□

Пример 8. Для уравнения квадрики

Пример 8. Для уравнения квадрики

4x1x2 + 4x1x3 + 4x1x4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 4x3 $4 + 3x2+

+ 14x4 + 11 = 0,

4x1x2 + 4x1x3 + 4x1x4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 4x3 $4 + 3x2+

+ 14x4 + 11 = 0,

заданной в некоторой ортонормированной системе, координат найти такую ортонормированную систему координат с той же ориентацией, что и исходная, в которой уравнение квадрики имеет вид

заданной в некоторой ортонормированной системе, координат найти такую ортонормированную систему координат с той же ориентацией, что и исходная, в которой уравнение квадрики имеет вид

X? + ••. + XS — Xskd1d2 d2+1

X? + ••. + XS — Xskd1d2 d2+1

Xr2dr

Xr2dr

0,

1,

—1,

2Xr+1.

0,

1,

—1,

2Xr+1.

Решение. Воспользуемся примером 6. Для данной квадрики характеристический многочлен её квадратичной формы равен

А(А + 2)2(А - 7).

Так как два отрицательных корня, один положительный, один нулевой, то необходимо умножить уравнение квадрики на (-1), после умножения получим

— 4x1x2 — 4x1x3 — 4x1x4 — 4x2x3 — 4x2x4 — 4x3x4 — 3x2 —

— 14x4 — 11 = 0.

Выполним поворот для приведения квадратичной формы к диагональному виду. Расположим собственные значения и соответствующие им собственные векторы в следующем порядке. Для A1,2 = 2 собственные векторы h1, h2, для A3 = —7 собственный вектор h3, для A4 = 0 собственный вектор h4. Пусть T — матрица перехода к базису h1, h2, h3 и h4, тогда

2121616121221211√71√71det T =det T =00626221221271710066002132137 27 2

2

1

2

1

6

1

6

1

21

2

21

2

1

1

√71

√71

det T =

det T =

0

0

6

2

6

2

21

2

21

2

7

1

7

1

0

0

6

6

0

0

21

3

21

3

7 2

7 2

(выносим из каждого столбца общие множители)

-1-1-1-12211111111262172621711-1-12211110000202023231122

-1

-1

-1

-1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

26217

26217

1

1

-1

-1

2

2

1

1

1

1

0

0

0

0

2

0

2

0

2

3

2

3

1

1

2

2

(вторую и третью строчки прибавим к первой, вычтем удвоенную четвертую из первой, разложим по первому столбцу)

00001111-1-14242002262262231131100000077000033-2-2142142101000-12 0-12 0222233111122

0

0

0

0

1

1

1

1

-1

-1

42

42

0

0

2

2

6

2

2

6

2

2

3

1

1

3

1

1

0

0

0

0

0

0

7

7

0

0

0

0

3

3

-2

-2

1

42

1

42

1

0

1

0

0

0

-1

2 0

-1

2 0

2

2

2

2

3

3

1

1

1

1

2

2

(-1)2+1(-1)2+1424202002002302371-271-2,7 2 242 0 3,7 2 242 0 3-1.-1.Так как det T = — 1, то воТак как det T = — 1, то вовтором столбце матрицы Tпоменяемвтором столбце матрицы Tпоменяемзнаки на противоположныезнаки на противоположныеи получим матрицу поворотаи получим матрицу поворота--1122T1 =T1 =\\21216161212212110000626200662122127171213213212177

(-1)2+1

(-1)2+1

42

42

0

2

0

0

2

0

0

2

3

0

2

3

7

1

-2

7

1

-2

,7 2 2

42 0 3

,7 2 2

42 0 3

-1.

-1.

Так как det T = — 1, то во

Так как det T = — 1, то во

втором столбце матрицы Tпоменяем

втором столбце матрицы Tпоменяем

знаки на противоположные

знаки на противоположные

и получим матрицу поворота

и получим матрицу поворота

-

-

1

1

2

2

T1 =

T1 =

\

\

2

1

2

1

6

1

6

1

21

2

21

2

1

1

0

0

0

0

6

2

6

2

0

0

6

6

21

2

21

2

7

1

7

1

21

3

21

3

21

21

7

7

После поворота вектор линейных членов имеет вид

2aTi = (0, 0, 0, — 14)Ti = (0, 0, —2V21,4/7).

Уравнение квадрики в новой системе координат, полученной поворотом первоначальной, будет такое:

2y2 + 2У2 — 7Уз — 2 Vy + 4V7y4 — 11 = 0.

Выполним дополнительный поворот. Так как число квадратов меньше на 1 размерности пространства, то дополнительный поворот задается матрицей (см. с. 44)

1000

0 100

0 0 —10

0 00-1

Левая часть уравнения квадрики примет вид

2z^ + 2:2 — 7zj + 2V21Z3 — 4^7z4 — 11 =

= 2z12 + 2z^ — 7 (z^ — 2^721 z3) — 4V7Z4 — 11 =

= 2z^ -2:2 — 7 (z3 — ^ )2 + 21 — 4V7z4 — 11 =

= 2z2 + 2z2 — 7 (z3 — ^p ^ — 4V7 (z4 + ^27 ^ .

Выполним параллельный перенос:

Xi — zi,Xi — zi,X2 — Z2,√21X3 — z3 - 7-,X4 — Z4 + -2?X2 — Z2,√21X3 — z3 - 7-,X4 — Z4 + -2?илиилиzi — Xi,Z2 — X2, z3 — X3 + ^21, z4 — X4 — 77=.zi — Xi,Z2 — X2, z3 — X3 + ^21, z4 — X4 — 77=.

Xi — zi,

Xi — zi,

X2 — Z2,

√21

X3 — z3 - 7-,

X4 — Z4 + -2?

X2 — Z2,

√21

X3 — z3 - 7-,

X4 — Z4 + -2?

или

или

zi — Xi,

Z2 — X2, z3 — X3 + ^21, z4 — X4 — 77=.

zi — Xi,

Z2 — X2, z3 — X3 + ^21, z4 — X4 — 77=.

Уравнение квадрики примет вид

2X2 + 2X22 -7X32— 4V7X4

илиилиXi2V7Xi2V7X2+ V? -X2+ V? -X32X322V7/72V7/7— 2X4.— 2X4.

или

или

Xi2

V7

Xi2

V7

X2

+ V? -

X2

+ V? -

X32

X32

2V7/7

2V7/7

— 2X4.

— 2X4.

Параллельный перенос в этом случаем задается вектором

(0,0,, —^2?)

в базисе h1, —h2, — Нз и —/14. В итоге получаем следующую формулу преобразования координат:

xi^Х2Хз\ Х4)xi^Х2Хз\ Х4)(у1\(у1\zizi— Ti— TiУ2У2У3У3У4У4— TiT2— TiT211220000— TiT2— TiT2XiXiX2X2X3X3X4X411z2z2z3z3z4z4+ TiT2+ TiT266220066000021217722212122212111XiXi2277212111X2X23377X3X32121X4X4000\—V000\—V

xi^

Х2

Хз

\ Х4)

xi^

Х2

Хз

\ Х4)

(у1\

(у1\

zi

zi

— Ti

— Ti

У2

У2

У3

У3

У4

У4

— TiT2

— TiT2

1

1

2

2

0

0

0

0

— TiT2

— TiT2

Xi

Xi

X2

X2

X3

X3

X4

X4

1

1

z2

z2

z3

z3

z4

z4

+ TiT2

+ TiT2

6

6

2

2

0

0

6

6

00

00

21

21

7

7

2

2

21

21

2

2

21

21

1

1

Xi

Xi

2

2

7

7

21

21

1

1

X2

X2

3

3

7

7

X3

X3

21

21

X4

X4

0

0

0

\—V

0

0

0

\—V

Получили требуемое уравнение квадрики в системе координат с началом (0, 0, 0, — 1) и базисными векторами

(—:!2 • ;!2 • °’0) •(—:!2 • ;!2 • °’0) •;2б ■ 0);2б ■ 0)

(—:!2 • ;!2 • °’0) •

(—:!2 • ;!2 • °’0) •

;2б ■ 0)

;2б ■ 0)

□

Пример 9. Для уравнения квадрики

2x1 + 4xi + 4x2 + 4хз + 2x4 + 14 = 0

XdrXdr0,1,-1;2Xr+i.0,1,-1;2Xr+i.в некоторой ортонормированной системе координат найти такую ортонормированную систему координат с той же ориентацией, что исходная, в которой уравнение квадрики имеет вид

X

dr

X

dr

0,

1,

-1;

2Xr+i.

0,

1,

-1;

2Xr+i.

5 + - XX+

d 2 ++ d2d2

didsds+i

Решение. Квадратичная форма уже имеет требуемый вид, но ли-

нейных членов много, поэтому сделаем дополнительный поворот (см. с. 42). Имеем u = (0, 2, 2,1), ||u| = 3 и v = (0, |, |, |). Надо дополнить векторы f1 = (1,0, 0, 0), f2 = —v = (0, — |, — |, — i) до ортнормированного базиса пространства R4 так, чтобы матрица

перехода имела определитель 1.

Дополним f1 и f2 векторами e| = (0, 0,1,0) и e4 = (0, 0, 0,1) до базиса R4 и ортогонализуем этот базис. Положим

из = e| — а. — «2/2,

тогда ai = (e|, fi) = 0, a2 = (e|, /2) = — 2 и

u3 = (0, 0,10) + 2 (0, — 2, — 2, — i) = (0, — 4, 5, — 2) •3333999

Нормируем U3:

/16 + 25 + A = i . V45 = V5Nu31 у 81 + 81 + 819 V45 з ,

/з =из = f0,3П“зП 3,/з =из = f0,3П“зП 3,45зУ5, зУ5,45зУ5, зУ5,2зУб2зУб)•)•

/з =из = f0,

3П“зП 3,

/з =из = f0,

3П“зП 3,

45зУ5, зУ5,

45зУ5, зУ5,

2зУб

2зУб

)•

)•

Положим U4 = e4 - «i/i - «2/2 - «3/3, тогда «i = (e4,/i) = 0, «2 = (^4, /2) = — 1, «3 = (e4,/3) = --725 и

u4 = (0,0, 0,1) + 1 (0, -2, --, -3) + 325(0, -, .5., -37) =

= (0, -2,0, 5).

Нормируем U4:

11^411 = V25 + 25 = 2"5"5,-^ = (0,-;15,0, ;25) ■

Вычислим определитель матрицы, составленной из векторов /1, -2, /3, /4:

1100000000232313232313043√553√523√5043√553√523√50011005522√5√5= (- 1) • (--^75) • (-;1б) •= (- 1) • (--^75) • (-;1б) •11000000000000242422115 05 01212-2-2-1.-1.

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2

3

2

3

1

3

2

3

2

3

1

3

0

4

3√5

5

3√5

2

3√5

0

4

3√5

5

3√5

2

3√5

0

0

1

1

0

0

5

5

2

2

√5

√5

= (- 1) • (--^75) • (-;1б) •

= (- 1) • (--^75) • (-;1б) •

1

1

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0

24

24

2

2

1

1

5 0

5 0

12

12

-2

-2

-1.

-1.

Заменим /4 на противоположный вектор, тогда матрица допол-

нительного поворота

00Ti =Ti =00002 323 132 323 13043√553√523√5043√553√523√575075022

0

0

Ti =

Ti =

0

0

0

0

2 3

2

3 1

3

2 3

2

3 1

3

0

4

3√5

5

3√52

3√5

0

4

3√5

5

3√52

3√5

750

750

2

2

Вычислим коэффициенты при линейных членах:

002aT1 = 2(2, 2, 2,1)2aT1 = 2(2, 2, 2,1)002 323 132 323 13043√553√523√5043√553√523√5√50√5022= 2(2, -3, 0,0).= 2(2, -3, 0,0).

0

0

2aT1 = 2(2, 2, 2,1)

2aT1 = 2(2, 2, 2,1)

0

0

2 3

2

3 1

3

2 3

2

3 1

3

0

4

3√5

5

3√5

2

3√5

0

4

3√5

5

3√5

2

3√5

√5

0

√5

0

2

2

= 2(2, -3, 0,0).

= 2(2, -3, 0,0).

Левая часть уравнения квадрики примет вид

2y2 + 4yi - 6y2 + 14 = 2(yi + 1)2 - 2 - 6y2 + 14 = = 2(y1 + 1)2 — 2 • 3(y2 — 2),

а уравнение квадрики

.+= 2(ю - 2).

X1 = У1 + 1, X2 = У2 - 2,X3 = У3, X4 = У4X1 = У1 + 1, X2 = У2 - 2,X3 = У3, X4 = У4Параллельный перенос задается равенствами

X1 = У1 + 1, X2 = У2 - 2,

X3 = У3, X4 = У4

X1 = У1 + 1, X2 = У2 - 2,

X3 = У3, X4 = У4

У1 = X1 - 1, У2 = X2 + 2, или

y3 = X3 , y4 = X4.

В итоге получаем формулу преобразования координат

x1X2x3x4x1X2x3x4= T= Ty1У2y3y4y1У2y3y4= T= TX1X2X3X4X1X2X3X4+ T1+ T1-120\ °/-120\ °/T1T1X1X2X3X4X1X2X3X4++(и(и- 23- 23..

x1

X2

x3

x4

x1

X2

x3

x4

= T

= T

y1

У2

y3

y4

y1

У2

y3

y4

= T

= T

X1

X2

X3

X4

X1

X2

X3

X4

+ T1

+ T1

-1

2

0

\ °/

-1

2

0

\ °/

T1

T1

X1

X2

X3

X4

X1

X2

X3

X4

+

+

(и

(и

- 23

- 23

.

.

Получили уравнение квадрики

X123/2X123/22X22X2в системе координат с началомв системе координат с началом(-1,- 4,(-1,- 4,43,43,32и32ибазиснымибазисными

X12

3/2

X12

3/2

2X2

2X2

в системе координат с началом

в системе координат с началом

(-1,- 4,

(-1,- 4,

4

3,

4

3,

32и

32и

базисными

базисными

векторами

(1,0 0 0),(0,2, 3, 3) ,(0,34^5,3^5,3^5),(0, ^5,0,^ ■

□

Пример 10. Для поверхности второго порядка, заданной уравнением

2x2 + 3y + 4z + 5 = 0

в правой прямоугольной системе координат, найти такое движение, чтобы уравнение имело вид

Решение. Положим и = (0, 3, 4) и /2 = - jijи = (0, — 5, — 5), а /1 = (1,0, 0). Вычислим векторное произведение

7г 7 71(п1010\/4 з\

/з =[/1, /2]= ^0, -0 -5’0-5) = (0’ 5’ -5^ ’

Переход к новому базису /1, /2, /3 задает поворот вокруг оси абсцисс Ox. После этого поворота получим коэффициенты при линейных членах

1(0, 3,4)001(0, 3,4)0000354535450453504535= (0, —5,0),= (0, —5,0),

1

(0, 3,4)0

0

1

(0, 3,4)0

0

0

0

3

54

5

3

54

5

0

4

53

5

0

4

53

5

= (0, —5,0),

= (0, —5,0),

и уравнение поверхности

2x'2 — 5y' + 5 = 0.

Выполним параллельный перенос:

x' = X, y' = Y + 1, z' = Z,

тогда получим уравнение поверхности

2X2 — 5Y = 0 или X2 = 2 • 4 Y.

В итоге получаем следующую формулу преобразования коор-

динат

xУ zxУ z100100005455450453504535x' У' z'x' У' z'++100100005455450453504535X Y ZX Y Z100100000054554544553355010010100100005455450453504535XXYY++00ZZ545545

x

У z

x

У z

1

0

0

1

0

0

0

0

54

5

54

5

0

4

53

5

0

4

53

5

x' У' z'

x' У' z'

+

+

1

0

0

1

0

0

0

0

54

5

54

5

0

4

53

5

0

4

53

5

X Y Z

X Y Z

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

54

5

54

5

4

4

5

5

3

3

5

5

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

54

5

54

5

0

4

53

5

0

4

53

5

X

X

Y

Y

+

+

0

0

Z

Z

54

5

54

5

Получили требуемое уравнение квадрики в системе координат с началом (0, — 5, — 5) и базисными векторами

(1,0, 0), (0, — 3, — 4) , (0, 5, — 5) .

4 Задания для самостоятельной работы

Прежде чем приступать к изучению классификации квадратичных форм и квадрик, необходимо изучить следующий материал.

Книга [1]:

часть 1, § 8(п. 3–6); часть 2, § 2(п. 2–7), § 8(п. 1, 4, 5); часть 3, § 1(п. 1–8, 14, 15), § 2(п. 4–5).

Книга [2]:

§ 11(п. 11.3–11.4), § 17(п. 17.1–17.3), § 19(п. 19.4).

Книга [3]:

глава III, § 2; глава VII, § 3, 4, 6, 7; глава IX, § 2, 4.

Полезно решить несколько задач из книги [4], например, № 1465– 1474, 1357–1363, 1571–1577, 1585–1587. Разумеется, необязательно решать все задачи, достаточно решить по одной из каждого раздела.

Теорию классификаций квадратичных форм и квадрик можно изучить по следующим книгам.

Книга [1]:

часть 2, § 3 и § 10, часть 3, § 5.

Заметим, что изложение в этой книге ведется в большей общности, чем в данных указаниях.

Книга [2]:

§ 21, 22, 24.

Книга [3]:

глава IV, § 1–8; глава IX, § 4; глава XI, § 1–8.

Полезно решить следующие задачи из задачника [4] или хотя бы часть из них:

Линейная классификация квадратичных форм — № 1175–1198, 1201, 1202, 1854.

Ортогональная классификация квадратичных форм — № 1243– 1264, 1266, 1267.

Желательно решить задачи по классификации кривых и поверхностей 2-го порядка из книги [5]:

№ 805, 807, 1041–1046, 1751, 1752, 1760, 1761, 1763.

Необходимо решить задачи по классификации квадратичных форм и квадрик из книги [7]:

№ 37.6, 38.18, 52.18, 52.21, 52.22.

Список литературы

Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и гео- метрия.М.: Наука, 1986.

Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.М.: Наука, 1975.

Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.

Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976.

Кострикин А.И. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000.

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М.: Физматлит, 2001.

Редактор Е.П. Иванова

Подписано в печать .02.04. Формат 60x841/16.

Бумага газетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 3,3 . Уч.-изд. л. 2,3.

Тираж 120 экз. Заказ .

Бесплатно

Челябинский государственный университет

454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ

454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б

2. Запишем уравнение квадрики от неизвестных u1, u2 , u3 , u4:

2222

Ui + U2 + U3 — U4 +

X2 = 2pY (параболический цилиндр).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Челябинский государственный университет»Кафедра компьютерной топологии и алгебры

КЛАССИФИКАЦИИ

КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ И КВАДРИК

Методические указания

Челябинск

2004

Одобрено учебно-методической комиссией математического факультета Челябинского государственного университета.

Рассматриваются линейная и ортогональная классификации квадратичных форм и квадрик с помощью движений и даются задания на самостоятельную работу.

Указания предназначены студентам первого курса специальностей “Математика”, “Прикладная математика”, “Компьютерная безопасность” и “Физика” при подготовке к практическим занятиям.

Составители: д-р физ.-мат. наук, доц. Р.Ж. Алеев;

канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Кораблева;

ст. преподаватель О.В. Митина

РецензентРецензентканд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Ушаков

Рецензент

Рецензент

Содержание

Введение4

Постановка задач о классификациях квадратичных форм и квадрик5

Два способа задания квадратичных форм и квад

рик и связь между ними 5

Допустимые преобразования 8

Точные формулировки задач классификаций квадратичных форм и квадрик 9

Линейная классификация квадратичных форм и аффинная классификацияквадрик16

Квадратичные формы 16

Квадрики 22

Ортогональная классификация квадратичных форм и классификация квадрик с помощью движений33

Квадратичные формы 33

Квадрики 39

Задания для самостоятельной работы57

Список литературы58