1 Тригонометрические функции

Единичная окружность

Пусть имеется прямоугольная система координат Оху (рис. 1.1.1). Проведём окружность радиуса 7? = 1 с центром в начале координат. Эту окружность будем называть единичной окружностью. Часть плоскости, ограниченную единичной окружностью будем называть единичным кругом.

Координатные оси Ох и Оу прямоугольной системы координат делят координатную плоскость на четыре части. Эти части называют квадрантами. Единичный круг также делится на четыре равные части. Их мы тоже будем называть квадрантами. В центре окружности поместим вектор ОА такой, что |ох| = 1. При вращении этого вектора вокруг точки О в плоскости хОу, конец вектора всегда будет находится на единичной окружности. Угол ос = Z АОВ образован вращением подвижного единичного радиуса-вектора в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Другими словами под

углом мы понимаем часть единичного круга, ограниченную двумя положениями подвижного радиуса-

вектора (рис. 1.1.1).

Другая часть единичного круга также называется углом. Он получается при вращении единичного радиус-вектора против часовой стрелки от положения ОВ к положению ОА. Если начальное положение ОА и конечное положение ОВ подвижного радиус-вектора лежат на диаметре как указано на рис. 1.1.2, то каждый из двух углов образуемых ими совпадает с половиной единичного круга. Такие углы мы будем называть развёрнутыми. Если начальное положение ОА и конечное положение ОВ подвижного радиус-вектора совпадают (рис. 1.1.3), то один из углов называется нулевым, а другой полным углом. Полный угол занимает весь единичный круг. Угол, равный одной трёхсотшестидесятой (1/360) части полного угла, принимают за единицу измерения углов. Эту единицу измерения углов называют градусом. Ясно, что полный угол равен 360°, а развёрнутый угол - 180°. В первом квадранте угол изме-

няется в пределах от 0° до 90° (0° < а < 90° ), во втором - от 90° до 180° (90° < а < 180°), в третьем - от 180° до 270° (180° < а< 270°), в четвёртом - от 270° до 360° (270° <а<360°).

Если подвижный радиус-вектор описал угол Z АОВ, то его конец описал дугу окружности АВ. Дуги также как и углы измеряются в градусах.

Существует другая единица измерения углов и дуг. Эта единица называется 1 радиан. Угол в один радиан - это центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. Прямой угол равен тс/2 радиан, развёрнутый - тс радиан и полный угол - 2л: радиан. Очевидно, что 2л = 360°. Отсюда л радиан = 180°.

Угол, больший полного, представляют в виде 2ли + а, гдеп - число полных оборотов ра

диуса-вектора.

Вращение подвижного радиуса вектора против часовой стрелки принято считать положительным, а по часовой стрелке - отрицательным. Угол, описанный при положительном вращении радиуса-вектора, называется положительный. Положительный угол измеряется положительным числом. Угол, описанный при отрицательном вращении радиуса-вектора, называется отрицательным. Отрицательный угол измеряется отрицательным числом.

Упражнения и задания

Углом какого квадрата является угол, равный: 75°; 320°; 135°; 280°; 92°; 280°; -35°; -135°; -92°; -300°;-89°;-271°.

Запишите угол а в виде а = 360°, п + р, где п - целое число, a 0° < р< 360°; 270°; 415°;835°; 960°; 1,600°; -475°;-920°; -1,340°.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть радиус-вектор R-OA точки А образует угол а с осью Ох. Абсциссу и ординату точки А обозначим х и у соответственно. Величину угла а будем измерять в градусах или радианах.

Определение 1. Синусом угла а называется отношение ординаты у к длине радиуса-вектора R. Синус угла а обозначается так: sin а . Итак,

Рис. 1.2.1

Определение 2. Косинусом угла а называется отношение абсциссы х к длине радиуса-вектора R. Косинус угла а обозначается так: cos а. Итак,

cosa = —.(1-2.2)

У

Определение 3. Тангенсом угла а называется отношение ординаты у к абсциссе х. Тангенс угла а

обозначается так: tg a . Итак,

tg a = —.(1.2.3)

X

Определение 4. Котангенсом угла а называется отношение абсциссы х к ординате у. Котангенс угла а обозначается так: ctg а . Итак,

Легко убедиться (проделайте это самостоятельно), что

ctga = —.(1-2.4)

У

sin aZ1 _

tga =;(1.2.5)

cos a

cos aZ1 _

ctga =.(1.2.6)

sin a

Определение 5. Секансом угла а называется величина обратная cos а. Секанс угла а обозначается

sec a. Итак,

seca =—-—.(1-2.7)

cos a

Определение 6. Косекансом угла а называется величина обратная sin а . Косеканс угла а обозна-

чается cosec a . Итак,

cosec a =—-—.(1.2.8)

sin a

Мы рассматриваем единичную окружность. Её радиус-вектор R = 1. Поэтому определения тригонометрических функций перепишем в виде:

sina = y;cosa= x;(1-2.9)

tg a = —;ctga= —;(1.2.10)

xу

sec a = —;coseca = —.(1.2.11)

Мы видим, что синус угла а равен ординате конца подвижного единичного радиуса-вектора. Косинус угла а равен абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов (рис. 1.2.2 и 1.2.3).

Рис. 1.2.2Рис. 1.2.2Рис. 1.2.3

Рис. 1.2.2

Рис. 1.2.2

Осью тангенсов называется перпендикуляр, восстановленный в точке А (рис. 1.2.2) к радиусу- вектору ОА.

Положительное направление на оси тангенсов - это направление снизу вверх. Введём понятие соответствующей точки оси тангенсов. Рассмотрим угол а = Z АОВ . Если точка В единичной окружности расположена справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов называем точку В\ (рис. 1.2.4).

Рис. 1.2.4

Если точка В единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовём точку В\ (рис. 1.2.5).

Тангенс угла а всегда численно равен ординате yi соответствующей точки оси тангенсов, т.е. tg ос = у,. Докажем это для углов первой и второй четвертей.

0° < а < 90° (рис. 1.2.4). tg « = — = — = у, > 0 , где vi - ордината точки By.

90° < а<180° (рис. 1.2.5). tg а = —<0, где х-> и щ - абсцисса и ордината точки М. Из рис. 1.2.5 хг'

МЭВВ-, ~ \OB\A. Поэтому 12^J. — 12jJ. — 12J-L или= —— или—=vt. Итак, и в этом случае

''Н2 |1 “И 1 X, '

tg а =J— = vt < 0. Аналогично доказывается, что tg ос = V] для углов третьей и четвертой четвертей.

Если точка В лежит на оси ординат, то соответствующей ей точки оси тангенсов не существует. В этих точках tg а не существует.

Осью котангенсов называется перпендикуляр, восстановленный в точке В конца радиуса-вектора ОВ, образующего с осью Ох угол 90°. За положительное направление оси котангенсов принимаем направление слева направо. Введём понятие соответствующей точки оси котангенсов. Если точка С единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующая ей точка оси котангенсов это точка С) (рис. 1.2.6).

Рис. 1.2.6

Если точка С единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов называют точку С) (рис. 1.2.7).

Можно легко доказать, что всегда котангенс угла а равен абсциссе %i соответствующей точки оси котангенсов, т.е. ctg а = л,. Если точка С лежит на оси абсцисс, то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует. В этом случае ctg а не существует.

Упражнения и задания

Может ли синус угла быть равным:

i. I- ^3 ■ 21- 21. ^5 ■ _21. ^3 ■

2’ 6’ 5’ 7’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 3 ’ 2 ’ 2 ’ 4’5’

Может ли косинус угла быть равным: 0,2; 0,5; 0,75; 0,9; 1,05; 1,52; -0,3; -0,7; -0,99; -2,3; -1,25.

Углом какого квадранта является угол а , у которого: a) sin а < 0, cos а > 0; б) sin а > 0, cos а < 0; в) tg а > 0, sin а < 0 ?

Как изменяется секанс и косеканс при изменении угла от 0° до 360°?

Возрастающие и убывающие функции

Функция у = f (х) называется возрастающей в некотором промежутке, лежащем в её области определения, если для любых двух значений х/ и х? из этого промежутка из неравенства xi < Х2 следует/(xi) < f (хз). Другими словами, функция у = /(х) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Например, функция, график которой изображён на рис. 1.3.1 возрастает в интервале ]хц Х2 [.

Функция у = /(х) называется убывающей в некотором промежутке, лежащем в области её определения, если для любых двух значений xi и Х2 из этого промежутка из неравенства xi < Х2

Рис. 1.3.1

следует/(х1) >/(х2). Другими словами, функция у =/(/) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Например, функция, график которой изображён на рис. 1.3.1 убывает в интервале ]х2; хз [.

Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции. Для функции, график которой изображён на рис. 1.3.1 интервалами монотонности служат интервалы ]хц Х2 [ и ]х2; хз [. На первом из них функция монотонно возрастает, на втором монотонно убывает.

Характер изменения тригонометрических функций

Теперь выясним, как изменяются введённые нами тригонометрические функции по абсолютной величине и знаку при изменении угла а от 0° до 2л .

sin а . Мы знаем (см. 1.2.9), что sin а = у, где у - ордината конца подвижного единичного радиуса-вектора (см. рис. 1.2.1).

0<a< — (первый квадрант). Если а, и а2 таковы, что 0<а!<а2< — (рис. 1.4.1), то yi<V2.

Следовательно, sinoq < sinocD. Другими словами при возрастании угла а от 0 до у sin а монотонно возрастает от 0 до 1.

-у<а<л (второй квадрант). Углы су и а2 удовлетворяют неравенствам у<а.|<аэ<л (рис.

1.4.2). Из рисунка видим, что yi > у2. Следовательно, sin a, >sina2. При возрастании угла а от до л sin а монотонно убывает от 1 до 0.

Рис. 1.4.2

в) Третий квадрант ^л<ос<^^. Углы а1 и a^ удовлетворяют неравенствам л<а1 <а? -~ (рис. 1.4.3). Из рисунка видно, что yi > у2. Следовательно, sin a, >sina2. При возрастании угла а от л до — sin а монотонно убывает от 0 до -1.

ЗтгЗтгг) Четвёртый квадрант Г-^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^•<а1 <ос2 <2лг) Четвёртый квадрант Г-^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^•<а1 <ос2 <2л22

Зтг

Зтг

г) Четвёртый квадрант Г-^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^•<а1 <ос2 <2л

г) Четвёртый квадрант Г-^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^•<а1 <ос2 <2л

2

2

Зтг

(рис. 1.4.4). Из рисунка видим, что yi <yi. Следовательно, sin ос 1 <sina2. При возрастании угла а от —

до 2 л sin а монотонно возрастает от -1 до 0.

Итак: sin а - это монотонная функция угла а и при любом угле а абсолютная величина sin а не превосходит единицы, -1 < sin ос < 1.

Рис. 1.4.4Рис. 1.4.4

Рис. 1.4.4

Рис. 1.4.4

cos а. Из 1.2.9 cos а = х, где х - это абсцисса конца подвижного единичного радиуса-вектора.

Первый квадрант ^0<а<^. Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам 0<ос, <а2 -~ (рис. 1.4.5). Из рисунка видно, что xi > хэ. Следовательно, cos а2 < cos ai- При возрастании угла ос от 0 до cos ос монотонно убывает от 1 до 0.

Второй квадрант ^<а<л^. Углы а1 и а2 удовлетворяют неравенствам |<а|<ат<л (рис. 1.4.6). Из рисунка видим, что ОВ\ < ОВч или х2 < хд. Следовательно, cos ос2 < cos а,. При возрастании угла ос от — до л cos ос монотонно убывает от 0 до -1.

Рис. 1.4.7

в) Третий квадрант ( к < а < ^-в) Третий квадрант ( к < а < ^-. Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам л<а1 <а2 <^ (Рис-

в) Третий квадрант ( к < а < ^-

в) Третий квадрант ( к < а < ^-

1.4.7). Из рисунка видно, что xi < хэ. Следовательно, cos a^cos а2. При возрастании угла а от л до

— cos а монотонно возрастает от -1 до 0.

г) Четвёртый квадрант ^^-<а<2л^. Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ~-а1 <°C -2л

Зтт

(рис. 1.4.8). Из рисунка видим, что xi < хэ. Следовательно, cosa, <cosa2. При возрастании угла а от — до

л cos а монотонно возрастает от 0 до 1.

Рис. 1.4.8Рис. 1.4.8

Рис. 1.4.8

Рис. 1.4.8

Итак, cos a - это монотонная функция угла а и при любом угле а абсолютная величина cos а не превосходит единицы, т.е. -1 < cos a < 1.

) tg a. Тангенс угла а численно равен ординате соответствующей точки оси тангенсов, так как для всех точек оси тангенсов х = 1 (см. 1.2.10).

Первый квадрант ^0<а<^. Углы а1 и а2 удовлетворяют неравенствам 0<а1 <а9 <у (рис. 1.4.9). Из рисунка видно, что уз > уь Следовательно, tg a2>tg а,. При возрастании угла а от 0 до л — tg а неограниченно возрастает.

Второй квадрант — <а<к .Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам — <а1<а?<л (рис.

. Из рисунка

видно, что yi <V2. Следовательно tg a, < tg a2 . При возрастании угла а от до л tg а возрастает до

в) Третий квадрант f л < а < ^-в) Третий квадрант f л < а < ^-нуля. Если угол а стремится к , оставаясь больше -|-, то 18 а неограниченно возрастает по абсолютной величине, но всегда отрицателен.

в) Третий квадрант f л < а < ^-

в) Третий квадрант f л < а < ^-

. Углы а1 и аэ удовлетворяют неравенствам л <04 <а? <~ (рис.

. Из рисунка видно, что yi < V2. Следовательно, tg a, < tga2 . Тангенс в третьем квадранте при возрастании угла а от л до -^ возрастает от 0 до +со. Если угол а приближается к ^ , оставаясь

Злг

меньше — , то tg а стремится к плюс бесконеч- пости.

ЗлЗлх .у ••~i Зл _ )Зл_

Зл

Зл

22г) Четвертый квадрант I—<а<2л I. Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам — <ах<аэ <2л

2

2

(рис. 1.4.12). Из рисунка видим, что yi < уэ- Следовательно, tg а, < tga2 . При возрастании угла а от

— до 2 л: tg а возрастает от -со до 0. Если а приближается к —, оставаясь больше —, то tg а стремится к минус бесконечности.

ctg а. Котангенс угла а численно равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов, так как для всех точек оси котангенсов у = 1 (см. 1.2.10).

Первый квадрант ^0<ос< — у Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам 0<а1<а2< — (рис.

. Из рисунка видно, что xi > хэ. Следовательно, ctg а, > ctg а2. При возрастании угла а от 0 до

ctg а убывает до 0. Если а стремится к нулю, оставаясь больше нуля, то ctg а стремится к плюс бесконечности.

Второй квадрант — <а<к . Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам — <а1<а2<л (рис.

. Из рисунка видно, что Xi > хэ. Следовательно ctg а, > ctg а2. При увеличении угла а от — до

л ctga убывает от 0 до -со. Если угол a

приближается к к, оставаясь меньше к, то ctg а стремится к минус бесконечности.

в) Третий квадрант ^л<а<^в) Третий квадрант ^л<а<^. Углы а1 и а2 удовлетворяют неравенствам л<а1 <а2 ~^~ (Рис-

в) Третий квадрант ^л<а<^

в) Третий квадрант ^л<а<^

. Из рисунка видно, что %i > хч. Следовательно, ctg а, > ctg а2. При увеличении угла а от л до 3 л

— ctg а убывает +со до 0. Если угол а приближается к л, оставаясь больше л, то ctg а стремится к плюс бесконечности.

ЗлЗлг) Четвёртый квадрант С^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^■<а1 <а2 <2лг) Четвёртый квадрант С^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^■<а1 <а2 <2л22

Зл

Зл

г) Четвёртый квадрант С^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^■<а1 <а2 <2л

г) Четвёртый квадрант С^-<а<2л\ Углы а, и а2 удовлетворяют неравенствам ■^■<а1 <а2 <2л

2

2

(рис. 1.4.16). Из рисунка видно, что %i < Xi. Следовательно, ctg а, > ctg а2. При увеличении угла а от Зл

— до 2л ctg а убывает от 0 до -оо. Если угол а приближается к 2л, оставаясь меньше 2л, то ctg а стремится к минус бесконечности.

Рис. 1.4.16Рис. 1.4.16Рис. 1.4.15Рис. 1.4.15«2«2oqoq

Рис. 1.4.16

Рис. 1.4.16

Рис. 1.4.15

Рис. 1.4.15

«2

«2

oq

oq

1.51.5Чётные и нечётные функции

1.5

1.5

Функция у =f(x), область определения которой симметрична относительно начала отсчёта называется чётной, если для любого значения независимой переменной выполняется равенство / (-х) = / (х). Например, функция у = х“ - чётная. Действительно/(-х) = (-х)“ = х“ = f (х). С функцией у = х“ мы хорошо знакомы. Её графиком является парабола (рис. 1.5.1). Она симметрична относительно оси Оу. Это общее свойство графиков чётных функций.

Функция у = / (х), область определения которой симметрична относительно начала отсчёта называется нечётной, если для любого значения независимой переменной выполняется равенство / (-х) = -/ (х). В качестве примера рассмотрим функцию у = ^-х3. Её графиком является кубическая парабола (рис. 1.5.2). Кубическая парабола симметрична относительно начала координат. Это общее свойство нечётных функций.

Рис. 1.5.1

Рис. 1.5.2

Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными. Например, функция у = х2 + х не является ни чётной, ни нечётной.

1.6 Чётность и нечётность тригонометрических функций

Применим представления о чётности и нечётности функций к тригонометрическим функциям.

Теорема. Функции cos а и sec а являются чётными, а функции sina, tg a, ctg а и cosec а являются нечётными.

Доказательство:

В начале докажем чётность cos а и sec a . Для этого достаточно убедиться, что cos (-a) = cos a . С этой целью обратимся к рис. 1.6.1. На этом рисунке а = Z СОА и -а-А СОВ.

Мы видим, что абсцисса х точек А и В одна и та же. Согласно определения косинуса угла имеем: cos a = х и cos (—ос) = х. Следовательно cos (-a) = cos a . Это равенство справедливо для любого числа a . Итак, мы доказали, что:

Рис. 1.6.1Рис. 1.6.1cos (-а) = cos а.

Рис. 1.6.1

Рис. 1.6.1

т.е. функция у = cos а является чётной функцией.

Чётность функции у = sec а доказывается следующим образом

х11

sec (-ос) === sec ос.

cos (-ос) cos а

Итак:

sec (-ос) = sec а.

(1.6.1)(1.6.1)(1.6.2)(1.6.2)Теперь докажем нечётность sin а, tg а, ctg а и cosec а. По определению since = А С и sin(—ос) = ВС. Но АС = у и ВС = -у. Поэтому sin ос = у и sin(-oc) = -у. Отсюда следует, что

(1.6.1)

(1.6.1)

(1.6.2)

(1.6.2)

sin(-oc) =-since.(1.6.3)

Другими словами функция у = sin ос является нечётной.

Доказательство нечётности остальных трёх функций основывается на только что доказанных свойствах sin ос и cos ос.

, . sin(-a) -sin a

tg(-a) =—- == -tg ос.

cos(-a) cos a

Итак:

tg(-a) = -tga;(1.6.4)

,. cos (-a) cos a

ctg (-oc) =:== -ctg a .

' sin (-a) -sin a ~

Итак:Итак:(1.6.5)(1.6.5)ctg (-а) = -ctg а ;

Итак:

Итак:

(1.6.5)

(1.6.5)

cos ес (-а) === -cosec а .

sin(-oc) - sin а

Итак cosec(-a) = -cosec а.(1.6.6)

Таким образом, теорема полностью доказана.

Упражнения и задания

Покажите, что следующие функции являются чётными:

у = х2 + ctg2x;

у = sin|x|;

у = |sinx|; . l + 2cosx

т =^—;

х

х sin х • cos хд) т=-—;

tg X + ctg X х sin х - tg х е) у = -—•

sin X + ctg X

Покажите, что следующие функции являются нечётными: а) у = х + tg х;

y = -tgx;

у = ctg\v;

X 1+ cosX

д)д)е)е)• 3’

д)

д)

е)

е)

sin X

x2ctg X ,

1 + secx ’ x + sin x

tg2a + ctg2x

е) у = tg х + sin2 х .

Периодичность тригонометрических функций

Функция у = / (х) называется периодической с периодом Т ^ 0, если для любого х выполнено условие/(х + 7) =/(х). Число Т называется периодом функции у = /(х). Если Т период функции у = f (х), то любое из чисел пТ, где п = -1; ±2; ±3; ±4; ..., также является периодом функции у = / (х). Наименьший положительный период Т функции у = / (х) называется основным периодом.

Периодичность - это одно из важных свойств тригонометрических функций. Функции sin a, cos а, sec а и cosec а являются периодическими функциями с основным периодом 2л. Функции tg а и ctg а также являются периодическими функциями. Основной период tg а и ctg а равен л.

Упражнения и задания

Какие из следующих функций являются периодическими?

а) у=со^х; б) у = xtg х ; в) у = sinx + cosx; г) y = ctgx + 2.

Укажите основной период (если он существует) следующих функций:

ч 1 •

у = —sinx;

у = xtg х ;

х. X

y = sin-,

у = cos х + ctg х;

у = 2tg х + sinx ;

е)у = 2tg х + 3ctg х .

Свойства функции у = sin х и ее график

Свойства функции у = sinx

1 Область определения функции - множество всех действительных чисел: £>(у) = 7?.

2 Множество значений - промежуток [-1; 1]: 7?(у) = [-1; 1].

Функция у = sinx является нечетной: sin(-x) = -sinx.

Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2л: sin(x + 2л) = sinx.

График функции пересекает ось Ох при х = ли, п е Z .

Промежутки знакопостоянства: у > 0 при (2ли+0; л+2ли), neZ и у < 0 при (л + 2лщ 2л + 2ли), п 6 Z.

Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (sinx) = cosx.

Функция у = sinx возрастает при хе(-тУ2+2ля; л/2+2ли), neZ, и убывает при хе(л/2 + 2ли; Зл/2 + 2ли ), n^Z.

Функция имеет минимум при х = - л/2 + 2 ли , и е Z и максимум при х = л/2 + 2 ли, п е Z.

График функции у = sinx называется синусоидой и имеет следующий вид:

Слова и словосочетания

Область определения функции Промежуток знакопостоянства

Множество значенийСинусоида

? 1 Что называется синусом?

Какова область определения синуса?

Каково множество значений синуса?

Четная или нечетная функция у = sin х?

Чему равен наименьший положительный период синуса?

В каких точках график синуса пересекает ось 0x1

Каковы промежутки знакопостоянства синуса?

При каких значениях аргумента синус имеет производную?

Чему равна производная синуса?

При каких значениях аргумента синус возрастает? Убывает?

При каких значениях аргумента синус имеет минимум? Максимум?

Как называется график функции у = sin х?

Свойства функции у = cos х и ее график

Свойства функции у = cos х

Область определения функции - множество всех действительных чисел D(y) = R .

Множество значений - промежуток Е(у) = [-1; 1].

Функция у = cosx является четной: cos (-%) = cos х.

Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2л: cos (х + 2л) = cos х .

График функции пересекает ось Ох при х = л/2 + ин , н eZ .

Промежутки знакопостоянства: у>0 при хе(-л/2 + 2л7?; л/2 + 2л7? ), heZ и у<0 при хе(л/2 + 2л?7; Зл/2 + 2л?г ), heZ .

Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (cos л ) = -sinx.

Функция у = cosx возрастает при (- л + 2 л?;; 2л?7), п е Z, и убывает при (2л??, л + 2л?;), п е Z .

Функция имеет минимум при х = л + 2кп , п eZ и максимум при х = 2л?;, п е Z.

График функции у = cost имеет следующий вид:

Зтг ТЗтг Т

Зтг Т

Зтг Т

1 Что называется косинусом?

Какова область определения косинуса?

Каково множество значений косинуса?

Четная или нечетная функция у = cos х?

Чему равен наименьший положительный период косинуса?

В каких точках график косинуса пересекает ось Ох?

Каковы промежутки знакопостоянства косинуса?

При каких значениях аргумента косинус имеет производную?

Чему равна производная косинуса?

При каких значениях аргумента косинус возрастает? Убывает?

При каких значениях аргумента косинус имеет максимум? Минимум?

Как называется график функции у = cos х ?

Свойства функции у = tg х и ее график

Основные свойства функции у = tgx

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел х = л/2 + ин .

Множество значений - множество всех действительных чисел

Функция у = tgx является нечетной: tg (- х) = -tg х.

Функция периодическая, наименьший положительный период равен л: tg(x + л) = tgx.

График функции пересекает ось Ох при х = ин, н е Z .

Промежутки знакопостоянства: у > 0 при х е ^ин; л/2 + ин ), н е Z и у < 0 при х е (- л/2; ин ), н е Z .

Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения функции: (tgx) = l/cos2x.

Функция у = tg х возрастает в каждом промежутке (- л/2 + лл; л/2 + лл), п eZ .

График функции у = tg х называется тангенсоидой и имеет следующий вид:

2 1 Что называется тангенсом?

Какова область определения тангенса?

Каково множество значений тангенса?

Четная или нечетная функция у = tg х?

Чему равен наименьший положительный период тангенса?

В каких точках пересекает ось Ох график тангенса?

Каковы промежутки знакопостоянства тангенса?

При каких значениях аргумента тангенс имеет производную?

Чему равна производная тангенса?

В каких промежутках функция у = tg х возрастает?

Свойства функции у = ctg х и ее график

Котангенсом числа а называется отношение косинуса этого числа к его синусу: ctg а = cos а / sin а .

Основные свойства функции у = ctgx

Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел х = таг.

Множество значений - множество всех действительных чисел.

Функция у = ctgx является нечетной: ctg (- х) = -ctg х .

Функция периодическая, наименьший положительный период равен л: ctg (х + л) = ctg х .

Нули функции: у = О при х = л/2 + таг, п е Z.

Промежутки знакопостоянства:у > О при хе^кп; л/2 + л77 ), heZ и у < О при

х е (л/2 + таг; к(п +1) ), п е Z .

Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения функции: (ctgx) = — 1 /sin2 х.

Функция у = ctg х убывает в каждом промежутке (tuz; k(zz +1)), п е Z .

График функции у = ctg х имеет следующий вид:

2 1 Что называется котангенсом?

Какова область определения котангенса?

Каково множество значений котангенса?

Четная или нечетная функция у = ctg х?

Чему равен наименьший положительный период котангенса?

В каких точках график котангенса пересекает ось Ох?

Каковы промежутки знакопостоянства котангенса?

При каких значениях аргумента котангенс имеет производную?

Чему равна производная котангенса?

В каких промежутках убывает котангенс?

1.12 Обратные тригонометрические функции

Арксинус (у = arcsin х). Арксинус - это функция обратная функции у = sin х. На всей оси Ох функция у = sin х однозначной

Рис. 1.12.1

обратной функции иметь не может. Это станет очевидным, если вспомнить некоторые свойства функции у = sinx. Область определения функции у = sinx вся ось Ох, а область значений - отрезок [-1; +1] оси Оу. Пусть у = sin х = а, где -1 < а < 1. Сколько значений х удовлетворяет этому уравнению? Таких значений бесчисленное множество. Действительно, любое из значений (хц хэ, хз, ...) удовлетворяют этому уравнению (см. рис. 1.12.1). Поэтому об обратной функции по отношению к функцииу = sinx можно говорить только на отрезке [-1; +1] оси Оу и на отрезке оси Ох, где функция у = sin х монотонно возрастает или монотонно убывает. Функция у = sinx монотонно возрастает от -1 до +1 на лю

бом отрезке оси Ох вида - — + 2лл, — + 2лл , где п = 0; ±1; ±2; ...

л _ Зл _„— + 2/7л, — + 2/7л , где п — 0;л _ Зл _„— + 2/7л, — + 2/7л , где п — 0;±1; ±2; ... Выберем один из этих отрезков. Пусть это будет отрезок оси Ох вида±1; ±2; ... Выберем один из этих отрезков. Пусть это будет отрезок оси Ох видал л2’2л л2’2. На этом от. На этом отрезке функция у = sin х монотонно возрастает отрезке функция у = sin х монотонно возрастает от-1до+1. Следовательно, для любого уо из от-1до+1. Следовательно, для любого уо из отрезка [-1, +1] оси Оу существует единственное значение хо из отрезкарезка [-1, +1] оси Оу существует единственное значение хо из отрезкал л2’2л л2’2оси Ох такое, что уо = sinоси Ох такое, что уо = sin

л _ Зл _„

— + 2/7л, — + 2/7л , где п — 0;

л _ Зл _„

— + 2/7л, — + 2/7л , где п — 0;

±1; ±2; ... Выберем один из этих отрезков. Пусть это будет отрезок оси Ох вида

±1; ±2; ... Выберем один из этих отрезков. Пусть это будет отрезок оси Ох вида

л л

2’2

л л

2’2

. На этом от

. На этом от

резке функция у = sin х монотонно возрастает от

резке функция у = sin х монотонно возрастает от

-1до+1. Следовательно, для любого уо из от

-1до+1. Следовательно, для любого уо из от

резка [-1, +1] оси Оу существует единственное значение хо из отрезка

резка [-1, +1] оси Оу существует единственное значение хо из отрезка

л л

2’2

л л

2’2

оси Ох такое, что уо = sin

оси Ох такое, что уо = sin

Функция у = sin х убывает от -1 до +1 на любом отрезке оси Ох вида

хо. Другими словами для функции у = sin х на рассматриваемом отрезке существует однозначная обратная функция. Эту функцию принято называть арксинусом и обозначать у = arcsin х. Известно, что график обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов. Поэтому график функции у = arcsin х будет иметь вид, пока

занный на рис. 1.12.2.

Перечислим свойства функции у = arcsin х:

л л2’2л л2’2Область определения: отрезок [-1, +1].

л л

2’2

л л

2’2

Область значений: отрезок

Функция у = arcsin х нечётная: arcsin (-х) = -arcsin х.

Функция у = arcsin х монотонно возрастающая.

График функции у = arcsin х проходит через начало системы координат. ,х ..[>0 при 0<х<1;

Arcsin х <.

[< 0 при -1 < х < 0.

Рис. 1.12.3

Арккосинус (у = arccos х). Функция у = cos х определена на всей оси Ох и принимает значения на отрезке [-1, +1] оси Оу. Пусть у = cos х = а. Этому уравнению удовлетворяет бесчисленное множество значенийх. Это можно видеть на рис. 1.12.3.

Это означает, что для определения функции, обратной функции у = cos х, нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она монотонно возрастает или монотонно убывает. Функция у = cosx монотонно возрастает от -1 до +1 на каждом отрезке вида [(2/г - 1)л, 2/гл], где п = 0, ±1, ±2, ±3... . Эта функция монотонно убывает от -1 до +1 на каждом отрезке вида [2/гл, (2/г + 1)л]. Выберем в качестве отрезка, на котором будет определяться обратная функция отрезок [0, л]. На этом отрезке функция у = cos х монотонно убывает от значения +1 до -1. Следовательно, для любого уо Е [-1, 1] оси Оу существует только одно значение хо Е [0, л], такое, что уо = cos хо.

Другими словами, на отрезке [0, л] для функции у = cosx существует однозначная обратная функция. Эту функцию называют арккосинусом и обозначают у = arccos х. График функции у = arccos х симметричен с графиком функции у = cos х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (рис. 1.12.4).

Рис. 1.12.4

Свойства функции у = arccos х следующие:

Область определения: отрезок [-1, +1].

Область значений: отрезок [0, л].

Функция у = arccos х ни чётная, ни нечётная. Для неё выполняется тождество arccos (-х) = л -

arccosх.

Функция у = arccos х монотонно убывающая.

График функции у = arccos х пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке 0, —

У = arccos х >0 на всём отрезке [-1, 1].

3 Арктангенс (у = arctg х). Функция у = tg х определена всюду на оси Ох, за исключением точек вида х„ =-|"(2л +1), где п = 0, ±1, ±2, ±3... . Область значений функции у = tg х - вся ось Оу. Поэтому об обратной функции по отношению к функции у = tg х можно говорить для всей оси Оу. Пусть tg х = а. Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. В этом легко убедиться, рассматривая рис. 1.12.5.

Для нахождения однозначной обратной функции нужно выбрать какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором функция у = tg х монотонно возрастает. Функция у = tg х монотонно возрастает от -со до +со на любом интервале вида [-^- + 277л:, у + 2?пг], где п = 0; ±1; ±2; ... . В качестве интервала оси, на котором функция у = tg х, а также однозначная обратная функция существуют одновременно выберем интервал ]““’ “[• На этом интервале функция у = tg х монотонно возрастает от -со до +со. Следовательно, для любого уо, лежащего на оси Оу существует единственное значение хо из интервала ] - ~, ~ [ такое, что уо = tg xq. Другими словами, для функции у = tg х на интервале ]- ~, ~ [ СУ" ществует однозначная обратная функция. Эту функцию называют арктангенсом и обозначают у = arctgx. График функции у = arctgx симметричен с графиком функции у = tgx относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (рис. 1.12.6).

Рис. 1.12.6

Функция у = arctg х обладает следующими свойствами, вытекающими из соответствующих свойств функции у = tg х:

Область определения: интервал ]-оо, +со [.

Область значений: интервал ] -[•

Функция у = arctg х нечётная: arctg (-х) = -arctg х.

Функция у = arctg х монотонно возрастающая.

График функции у = arctg х проходит через начало координат.

Функция arctgх < 0 при-со <х < 0 и arctgx>Onpn 0<х<+со.

jТС7Т

Функция у = arctg х имеет две горизонтальные асимптоты у = — и у = — .

Арккотангенс (у = arcctg х). Функция у = ctg х определена всюду на оси Ох за исключением точек вида х„ = пк, где п = 0, ±1, ±2,... . Область её значений - это вся ось Оу. Рассматривая рис. 1.12.7 легко убедиться, что уравнение у = tg х имеет бесчисленное множество решений.

Рис. 1.12.7

Поэтому для нахождения функции обратной к функции у = tg х, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно убывает. В качестве интервала оси Ох, на котором рассматривается функция у = ctg х и обратная к ней функция берут обычно интервал ]0, л[. На этом интервале функция у = ctg х монотонно убывает от + оо, -оо. Следовательно, для каждого уо, лежащего на оси Оу, существует единственное значение хо е ]0, л[, такое, что уо = ctg хо. Другими словами, на интервале ]0, л[ существует однозначная функция обратная к функции у = ctg х. Эту функцию называют арккотангенсом и обозначают у = arcctg х. График функции у = arcctg х симметричен с графиком функции у = ctgx относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (рис. 1.12.8).

Функция у = arcctg х обладает следующими свойствами:

Область определения: интервал ]-оо, +оо[.

Область значений: интервал ]0, л[.

Функция у = arcctg х ни чётная, ни нечётная. Для неё выполняется тождество arcctg (-х) = л - arcctg х.

Рис. 1.12.8

Функция у = arcctg х монотонно убывающая.

График функции у = arcctg х пересекает ось Оу в точке ^0,.

Функция у = arcctg х > 0 при любых значениях х.

Функция у = arcctg х имеет две горизонтальные асимптоты у = 0 и у = л.

1.13 Операции над обратнымитригонометрическими функциями

Из свойств тригонометрических функций вытекают следующие формулы:

sin (arcsin х) = х, |х| < 1;

(1.13.1)

cos (arccos x) = х, |х| < 1;

(1.13.2)

tg (arctg х) = х, - оо < х < + оо ;

(1.13.3)

ctg (arcctg х) = х, - ос < х < + ос ;

(1.13.4)

sin (arccos х) = +V1 - х2, |х| < 1;

(1.13.5)

cos (arcsin х) =+V1 - х2, |х| < 1;

(1.13.6)

tg (arctgx) =—, х * 0;

'X

(1.13.7)

ctg (arcctg x) = —, x * 0 ;

"X

(1.13.8)

tg (arcsin x) = , Л , Ixl < 1;

"Vl- x2

(1.13.9)

sin (arcctg х) = ,,

Vl + x2

— oo < х < + oo ;

(1.13.10)

sin (arcctg х) = , Vl + x2

, - ао < х < +ао ;

(1.13.11)

,. V1-X2

tg (arccos х) =

X

, 0<|х|<1;

(1.13.12)

cos (arctg х) = ,,

Vl + X2

-ос<х< + оо ;

(1.13.13)

cos (arcctg x) = —=, -co<x< + co; (1.13.14)

Vi + x2

ctg(arcsinx) =—, 0<|x|<l;(1.13.15)

ctg(arccos x) = —. *, |x|<l;(1.13.16)

VI-x2

Доказательство этих формул достаточно простое. Продемонстрируем это на примере формул (1.13.5), (1.13.7) и (1.13.9).

у = sin (arccos х). Положим arccos х = а. Отсюда х = cos а . Итак, sin(arccosx) = sin а = +V1-COS2 а = +V1-X2 .

у = tg (arcctg х). tg (arcctg х) =— -.

ctg (arcctg х) х

....... sin(arcsin х) х

у = tgiarcsin х). tg(arcsinx) == , г.

7cos(arcsinx)

С помощью формул (1.13.16) получаются следующие формулы:

sin(2arcsinx) = 2xVl - х2 , |х

|<i;

(1.13.17)

sin(2 arccos х) = 2xVl - х2 , |х

si;

(1.13.18)

cos (2 arccos x) = 2x2 -1, |x| <

i;

(1.13.19)

tg (2arctg x) =|x| 1;

1 -x

(1.13.20)

•\ 2x

sin (2arctg x) =, - oo < x <

1 + x

+ oo;

(1.13.21)

1-x2

cos (2arctg x) =, - oo < x <

1 + x2

: + oo;

(1.13.22)

Теперь получим формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометриТеперь получим формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометрической функции. Рассмотрим cos — arccos х . Обозначим arccos х = а. Тогда cos — = ±.ческой функции. Рассмотрим cos — arccos х . Обозначим arccos х = а. Тогда cos — = ±.алала = arccosx , то 0 < а < л. Значит, 0 < — < —. Поэтому перед корнем нужно взять знак "+".Итак:а = arccosx , то 0 < а < л. Значит, 0 < — < —. Поэтому перед корнем нужно взять знак "+".Итак:1।/1 + х1।/1 + хcos —arccos х = л, х < 1;J V 2 1 1cos —arccos х = л, х < 1;J V 2 1 1(1.13.23)(1.13.23)Аналогично,Аналогично,■ Г1 sin —arccos 12■ Г1 sin —arccos 12(1.13.24)(1.13.24)

Теперь получим формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометри

Теперь получим формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометри

ческой функции. Рассмотрим cos — arccos х . Обозначим arccos х = а. Тогда cos — = ±.

ческой функции. Рассмотрим cos — arccos х . Обозначим arccos х = а. Тогда cos — = ±.

ал

ал

а = arccosx , то 0 < а < л. Значит, 0 < — < —. Поэтому перед корнем нужно взять знак "+".

Итак:

а = arccosx , то 0 < а < л. Значит, 0 < — < —. Поэтому перед корнем нужно взять знак "+".

Итак:

1।/1 + х

1।/1 + х

cos —arccos х = л, х < 1;

J V 2 1 1

cos —arccos х = л, х < 1;

J V 2 1 1

(1.13.23)

(1.13.23)

Аналогично,

Аналогично,

■ Г1 sin —arccos 12

■ Г1 sin —arccos 12

(1.13.24)

(1.13.24)

Используя формулы сложения для тригонометрических функций можно получить следующие фор

мулы:

(1.13.25)(1.13.25)sin (arcsinx + arcsiny) = x-Vl-y2 + y-Vl-x2 ;

(1.13.25)

(1.13.25)

sin (arccos x + arccos y) = y • VI -x2 + x • -^/1 -y2 ;(1.13.26)

cos(arccosx+arccosy) = y-Vl-x2 +x-Vl-y2, H^l и M-U (1.13.27)

(1.13.28)(1.13.28)/X X + у.

(1.13.28)

(1.13.28)

tg (arctg x + arctg y) =, xy * 1;

1 - xy

и многие другие.

? 1 Что называется арксинусом?

Какова область определения функции у = arcsin х ?

Каково множество значений функции у = arcsin х 7

Четная или нечетная функция у = arcsin х 7

Что называется арккосинусом?

Какова область определения функции у = arccos х ?

Каково множество значений функции у = arccosх?

Что называется арктангенсом?

Какова область определения функции у = arctg х ?

Каково множество значений функции у = arctg х?

Четная или нечетная функция у = arctg х ?

Упражнения и задания

а) Вычислите значения следующих функций:

1) sin (arcsin0,35); 2) cos (arccos (-0,24)); 3) tg (arctg25);4) ctg (arcctg(-245)); 5) sin arccos— ; 6)

cos arcsin -cos arcsin -tg arcctg—tg arcctg—tg arcsintg arcsinsin arccos— ;sin arccos— ;10)10)

cos arcsin -

cos arcsin -

tg arcctg—

tg arcctg—

tg arcsin

tg arcsin

sin arccos— ;

sin arccos— ;

10)

10)

cos arcsin— 11) cos arcsin72 A15) ctg arccos— .б) Проверьте равенства:cos arcsin— 11) cos arcsin72 A15) ctg arccos— .б) Проверьте равенства:13) tg arccos13) tg arccosв) Вычислите:в) Вычислите:

cos arcsin— 11) cos arcsin

72 A

15) ctg arccos— .

б) Проверьте равенства:

cos arcsin— 11) cos arcsin

72 A

15) ctg arccos— .

б) Проверьте равенства:

13) tg arccos

13) tg arccos

в) Вычислите:

в) Вычислите:

sin 2arctg

ctg f 2 arccos—|;I 13/г) Вычислите:(з4sin arcsin—+ arcsin— I55.• ( t 9 + my sin I arctg2 - arctg I I I;ctg f 2 arccos—|;I 13/г) Вычислите:(з4sin arcsin—+ arcsin— I55.• ( t 9 + my sin I arctg2 - arctg I I I;П 1cos —arccos— 2П 1cos —arccos— 2— + arccos— ; 23 '— + arccos— ; 23 'tg 2 arcsintg 2 arcsin11—arccos——arccos—1. 1— arcsin—221. 1— arcsin—22(13sin I—arccos—-arctg(-2)(13sin I—arccos—-arctg(-2)55;=- arccos —2613.;=- arccos —2613.

ctg f 2 arccos—|;

I 13/

г) Вычислите:

(з4

sin arcsin—+ arcsin— I55.

• ( t 9 + my sin I arctg2 - arctg I I I;

ctg f 2 arccos—|;

I 13/

г) Вычислите:

(з4

sin arcsin—+ arcsin— I55.

• ( t 9 + my sin I arctg2 - arctg I I I;

П 1

cos —arccos— 2

П 1

cos —arccos— 2

— + arccos— ; 23 '

— + arccos— ; 23 '

tg 2 arcsin

tg 2 arcsin

1

1

—arccos—

—arccos—

1. 1

— arcsin—

22

1. 1

— arcsin—

22

(13

sin I—arccos—-arctg(-2)

(13

sin I—arccos—-arctg(-2)

5

5

;=- arccos —

2613.

;=- arccos —

2613.

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Основ-ные тригонометрические тождества и определения

sin2 а + cos2 а = 1.(1.14.1)

sin a лtg oc =, a + —H mi,' cos a 2cos actg a =, a * таз,sin asin a лtg oc =, a + —H mi,' cos a 2cos actg a =, a * таз,sin a

sin a лtg oc =, a + —H mi,

' cos a 2

cos a

ctg a =, a * таз,

sin a

sin a лtg oc =, a + —H mi,

' cos a 2

cos a

ctg a =, a * таз,

sin a

Рис. 1.14.1

Пусть а - произвольный угол. Отметим на единичной окружности точку Ра (см. рис. 1.14.1). В треугольнике ОАРа : ОА = cos а, Л/, = sin а, ОРа = 1. По теореме Пифагора ОА2 + АРа2 = ОРа2, т.е. cos2 ос + sin2 ос = 1.

neZ по определению. (1.14.2)

77 eZ по определению. (1.14.3)

Из (1.14.2) и (1.14.3) следует:

tga-ctga = l a^—, n^Z .

Разделив почленно (1.13.1) на cos2 а О получим:

l + tg2a =—,

cos a

Разделив же на sin2 а ^ 0, получим:

1 + ctg а = —-—. sin a

Выражение одних тригонометрических функций

через другие

(1.14.4)(1.14.5)(1.14.6)(1.14.4)(1.14.5)(1.14.6)Из (1.14.1) следует sin a = ±V1 - cos2 a

(1.14.4)

(1.14.5)

(1.14.6)

(1.14.4)

(1.14.5)

(1.14.6)

Из (1.14.6) следует

.1

sin a = —.r

±Vl + ctg2a

так как ctg a = (см. (1.13.4)).tg aИз (1.14.1) следует cos a = ±Vl-sin2 aИз (1.14.5) следуеттак как ctg a = (см. (1.13.4)).tg aИз (1.14.1) следует cos a = ±Vl-sin2 aИз (1.14.5) следует11cos a = —..± Vl + tg2acos a = —..± Vl + tg2aОтсюда вытекает, чтоОтсюда вытекает, чтоcos a =cos a =ctg a±Vl + ctg2actg a±Vl + ctg2aОтсюда вытекает, что

так как ctg a = (см. (1.13.4)).

tg a

Из (1.14.1) следует cos a = ±Vl-sin2 a

Из (1.14.5) следует

так как ctg a = (см. (1.13.4)).

tg a

Из (1.14.1) следует cos a = ±Vl-sin2 a

Из (1.14.5) следует

1

1

cos a = —..

± Vl + tg2a

cos a = —..

± Vl + tg2a

Отсюда вытекает, что

Отсюда вытекает, что

cos a =

cos a =

ctg a±Vl + ctg2a

ctg a±Vl + ctg2a

так как tg a =(cm. (1.14.4)).ctg a

Понятно, что

sin atga = —,;

±VI-sin a

± Vl-cos2atga =;

cos a

1tga = -—.ctga

Заметим, что в формулах, содержащих радикалы, знак следует брать в зависимости от того, в какой четверти оканчивается угол а.

Упражнения и задания

Докажите тождества:

Л • 2211

а) sin ос + tg a =--—

cos2a sec2 a

б)б)в)в)+ ctg a _ tg a +1

б)

б)

в)

в)

- ctg a tg a -1 ’

sin2 a cos2 a , i+i= ^

sec a-1 cosec a-1

• 2• 2

cos a - sin a sin a

ctg2a-tg2a sec2a

д)ДЦ-.5£^=1;

— tg a ctg a

e) tg2a - sin2a = tg2a • sin2a.

Упростите выражения:

sin4 a + cos4 a + 2sin2 a • cos2 a;

(l + ctg2a)(sec2a-l)

(l + tg2a) cosec a ’

tg2a-sin2a-sin4a-sec2a.

Получите формулы, выражающие sin a, cos a, ctg a через tg a.

Вычислите, sin a, cos a, ctga, если sin a = 0,8 и ^<а<л.

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции от аргументов

лЗл

-а, — ±а, л±а, —±а, 2л± а

22

через функции от аргумента a.

Таблица формул приведения

Угол

Функция

-a

2,- a

2

2 + a

2

л - a

л +

a

3л _

2

a

3л -|-

2

a

2л - a

2л + a

sin

-sin a

cos a

cos a

sin a

-sin a

-cos

a

-cos

a

-sin a

sin a

cos

cos a

sin a

-sin a

-cos

a

-cos

a

-sin a

-sin a

cos a

cos a

tg

-tg a

etg a

-etg a

-tg a

tg a

etg a

-etg a

-tga

tga

etg

-etg a

tg a

-tg a

-etg a

etg a

tga

-tg a

-etg a

etg a

При пользовании формулами приведения можно пользоваться правилами-.

если угол а откладывается от горизонтального диаметра, то в обоих частях формулы функция имеет одно и то же название; от вертикального - функция меняет название на сходное;

знак приведенной функции совпадает со знаком приводимой функции, т.е. чтобы определить знак, с которым следует брать функцию в правой части, достаточно, считая угол острым, определить знак по знаку левой части.

Формулы приведения в особом доказательстве не нуждаются. Так, формулы первого столбца выражают свойства четности и нечетности функции. Последние два столбца получены с учетом периодичности тригонометрических функций.

Другие формулы вытекают из теорем сложения для тригонометрических функций. И так далее... Например,

f ЗяЗл ,3л._..

cosна = cos—cos а-sin—sina = 0 + sina = sina, ( 2 J 22'

т.е.

f 3л) .

cos — + а = sina;

I 2)

sin(n + a) = sin л cos a + cos л sin a = 0 - sina = - sina,

т.е.

т.е.т.е.sin(n + a) = - sina;sin(n + a) = - sina;- cos a—:= etg a,- sina- cos a—:= etg a,- sina

т.е.

т.е.

sin(n + a) = - sina;

sin(n + a) = - sina;

- cos a

—:= etg a,

- sina

- cos a

—:= etg a,

- sina

= ctg a.= ctg a.

= ctg a.

= ctg a.

Упражнения и задания

1Зя

Дан угол a =. Найдите sin a, cos a, tg a, ctg a.

Дан угол a = -1410°. Найдите sin a, cos a, tg a, ctg a.

Доказать тождество.

а)а)7cos — + a127cos — + a12cos2(2л - a)cos2(2л - a)sec2(n + a)-l cosec2 (2л + a) -1sec2(n + a)-l cosec2 (2л + a) -1= 1;= 1;

а)

а)

7

cos — + a12

7

cos — + a12

cos2(2л - a)

cos2(2л - a)

sec2(n + a)-l cosec2 (2л + a) -1

sec2(n + a)-l cosec2 (2л + a) -1

= 1;

= 1;

6) sin46) sin43Л |X' 6 I IX 1

6) sin4

6) sin4

22—-a l+sin (Зл+а) -2 sin I —+ a l+sin (5л-а) =1.

2

2

-xГ 3л)10

Найдите ctg I — + a I, если ctg a = —

Вычислите:

x _ . л . 2л , . 13ла) 3 sin — + 4 cos — + 6 sin;

236

2tgl80° -^sin(-270°) + |cosl80°.

Упростите выражение:

cos a• cosa

I 4 J (4

• 7

sin ан—

I 4

1.16 Формулы для синуса и косинуса суммыдвух аргументов

Рассмотрим единичную окружность с центром в 0(0, 0), а на ней точки Ра, Pa+p,6Lp (см. рис. на стр. 56). Им соответствуют углы a, a + Р, -р. Очевидно, что

K^H^a+pl-(1.16.1)

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками Л/Дх^уД и М2(х2,у2).

« = Vfe -^1)2 +(У2 "И)2 •

р-р

У нас

Ра (cos a, sin а), Р_р (cos Р,- sin р), Ра+р (cos(a + Р), sin(a + р));

и теперь из равенства (1.15.1) получаем:

cos(a + P)-l)1 + (sin(a + Р)-О)1 =

V(cosa - cosP)1 + (sin a + sinp)1,

т.е.

cos2 (a + P) - 2 cos(a + P) +1 + sin2 (a + P) =

= cos2 a - 2 cos a cos P + cos2 P + sin2 a + 2 sin a sin P + sin2 p.

т.е. -2cos(a + p) + 2 = 2-2cosacosP + 2sinasinP,

т.е.

cos(a + P) = cos a cos P - sin a sin p.

Заменим P на -p, получаем:

cos(a - P) = cos a cos p + sin a sin p.

Получим теперь формулу для синуса суммы двух аргументов:

sin(a + Р) = cos

= cosa cos Р + sina sin p = sin a cos P + cos a sin p,

т.е.

sin(a + P) = sin a cos P + cos a sin p.

Заменяя P на -p и учитывая, что

sin(-p) = -sinp, cos(- P) = cos P,

получаем:

sin(a - P) = sin a cos P - cos a sin p.

Упражнения и задания

Вычислите cos; cos 105°; cos285°.

12

13 л

Вычислите sin; sin 105°; sin285°.

12

1.17 Формула тангенса суммы двух аргументов

Имеет место формула

tg(a + p)=s

1-tgatgP

Л„Ло Л

a * — + ли, Р * — + ли, a + Р * — + ли.

222

/х _ sin (a + Р) _ sin a cos Р + cos a sin Р

cos(a + p) cos a cos Р - sin a sin р sin a cos Р cos a sin р

_ cos a cos Р cos a cos Р _ tga + tgP

cos a cos Р sin a sin р1 - tg a tg р

cos a cos Р cos a cos Р

При выведении формулы учитывали, что cos a cos Р * 0, т.е. функции tg а и tg р определены.

Заменяя Р на -р и учитывая, что tg (- р) = -tg Р получим

+ tg atg р

Упражнения и задания

1 \13л, _5л

Вычислите tg—; tgl05 ; tgl5 ; tg—.

-x13л, _5л

Вычислите ctg^-; ctgl05 ; ctgl5 ;ctg—.

1.18 Тригонометрические функции двойного аргумента

cos2a = cos2 а - sin2 а.(1.18.1)

cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a-sin a sin a = cos2 a-sin2 a .

Заменив cos2 a на 1 - sin2 a, получим

cos2a = 1 - 2sin2 a .(1.18.2)

Заменив sin2 a на 1 - cos2 a, получим

cos2a = 2cos2 a-1.(1.18.3)

Наконец, получим еще одну формулу для косинуса двойного угла:

_ cos 2а

cos 2а =

1

cos2 а - sin2 а _ 1 - tg2acos2 а + sin2 a l + tg2a

(разделили числитель и знаменатель на cos2 а 0), т.е.

cos2a = -—a, a^ —+ ли, neZ. (1.18.4) l + tg2a 2

2) sin 2a = 2 sin a cos a.(1.18.5)

sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a .

И еще:

._ 2 sin a cos a _ 2 sin a cos a _ 2 tg a

1 sin2 a + cos2 a l + tg2a

(разделили числитель и знаменатель на cos2 a 0), т.е.

‘ о2 tg CtЛ/1 1 о

sin2a =—, a^—или, neZ. (1.18.6)

l + tg2a 2

ч2tga л , л л

3) tg2a =—, a^—i-лк, a^—и — к, keZ.

l-tg2a 24 2

+ ~+\ tga + tga 2tga ,_

tg2a = tg(a + a) ==— .(1.18.7)

1-tgatga 1-tg a

Заметим, что аналогично рассуждая, можно получить формулу

ctg 2a =

ctg2a -12 ctg a

Упражнения и задания

Докажите:

sin4 a + cos4 a = 1 - -^-sin2 2a ;

sin6 a + cos6 a = 1 - —sin2 2a ;

ctg a - tg a - 2 ctg 2a - 4 tg 4a = 8 ctg 8a .

Упростите:

2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a);

Д( a a

1 + tg a-tg- : ctg- + tg-

1.19 Тригонометрические функцииполовинного аргумента

Положим а = — в формулах

cos2oc = 2cos ос-1, cos2a = 1-2sin2 а.

Получим

„7 i

cos тс = 2 cos — 1, 2

.• 7

cos тс = 1 - 2 sin —

2

Отсюда находим, что

cos— = ±2

1 + cos тс

2

sin— = ±2

1 - cos тс

Стало быть,

. тсsin —

2

1 - cos тс

1 + cos тс

тс Ф л + 2л£, k^Z.тс Ф л + 2л£, k^Z.тс /1 - cos тс т.е. tg— = ±,

тс Ф л + 2л£, k^Z.

тс Ф л + 2л£, k^Z.

2 у 1 + cos тс

Знак перед радикалом зависит от того, в какой четверти оканчивается угол а. Например,

Упражнения и заданияУпражнения и задания

Упражнения и задания

Упражнения и задания

1)

2)

exЗя

Найдите sin— и cos—, зная, что sin a = -0,8 , где — < a < 2л.

222

а

2

3)

5

Упростите: — •

1

7 a

cos —

2

1

5tg- + 4

3

2 '

4)

а)

Докажите тождества: cos2a 1 . _ =—sin 2 ос;

a a 4 ctg--tg-

б)

(1 +since) (tg—-—) = ctg a. sin a

Преобразование в сумму выражений sin а • cos р, cos ос • cos р и sin а • sin р

Возьмём формулы для синуса суммы и разности двух углов:

sin (ос + р) = sin а cos Р + cos а sin р ;

sin (а - р) = sin а cos Р - cos ос sin р .

Сложим их и разделим на 2. Тогда получим:

.sin(a + Р) + sin(a - Р),.

sin ос • cos р = — —.(1.20.1)

Возьмём формулы для косинуса суммы и разности двух углов:

cos(a + p) = cos a cos Р - sin a sin р

cos(a - Р) = cos а cos р + sin ос sin р

Сложим их и разделим на 2. Тогда получим:

COS(CC + Р) + COS(CC - Р) cos а • cos р =-.(1.20.2)

Возьмём из формулы 2 (*) формулу 1 (*). Тогда получим:

.. cos(cc - Р) - cos(cc + Р)

sin ос • sin р =—.(1.20.3)

Упражнения и задания

Вычислите:

sin52°30' • cos7°30';

cos52°30'-cos7°30';

sin52°30'-sin7°30';

sin20° sin40° sin80°;

sin 20° sin50° cos80°;

coslO°cos50°cos70°;

ч л2 л

cos—-cos—. 25

Преобразование в произведение сумм

sin а ± sin 0, cos а ± cos 0, tg а ± tg 0, и ctg а ± ctg 0

Сумма синусов

Перепишем формулу:

sin а' • cos 0' = ^ [sin(a' + 0') + sin(a' - 0')]

в виде: sin(a' + 0') + sin(a' - 0') = 2 sin а' • cos 0'.

„, а + 0ос-0

Положим: а = и 0 =-.

2

Очевидно, а' + 0' = а, а'-0' = 0.

Тогда:

(1.21.1)(1.21.1)(1.21.2)(1.21.2)косинус полу-косинус полу-sin а + sin 0 = 2 sin а + . cos _—&

(1.21.1)

(1.21.1)

(1.21.2)

(1.21.2)

косинус полу-

косинус полу-

22

Сумма двух синусов равна удвоенному произведению

синуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов

Разность синусов

Заменим в формуле (1.21.1) 0 на -0 и учтём нечётность синуса. Тогда получим:

.. „ „ . ос-0 а + 0

sin а - sin 0 = 2 sincos

22

Разность двух синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на суммы их аргументов

Сумма косинусов

Запишем формулу:

,cos(a' + 0') + cos(a'-0')

cos a • cos 0 =——

2

в виде:

cos(a' + 0') + cos(a' - 0') = 2 cos a' • cos 0'.

Положим в этой формуле a' = “^ ^ и Р' = “2 ^ 1

Тогда:

। Q o Ct + P Ot P~ ~

cos ot + cos p = 2 cos—-—cos—-—.

Сумма двух косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.

Разность косинусов

Запишем формулу:

., . т cos(a'-P')-cos(a' + P')

sin a • sin Р =——

2

в виде:

cos(a' - Р') - cos(a' + Р') = 2 sin а* • sin Р'.

Положим: a' = “^ и Р' = “^ ^ • Тогда получим:

„_ . Ct + P . Ot — Р

cos a - cos р =-2 sin—-—sin—-—.(1.21.4)

Разность двух косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности их аргументов, взятому со знаком минус.

Сумма тангенсов

„ sin a sinP sin a cos Р + cos a sin Р tg a + tg p =+^- =

cos a cospcosot-cos p

Отсюда:

1.21.51.21.5„ sin (a + P) tg a + tg p =-.

1.21.5

1.21.5

cos a ■ cosp

Сумма двух тангенсов равна частному от деления синуса суммы их аргументов на произведение косинусов этих же аргументов.

Разность тангенсов

Заменим в формуле (1.21.5) р на -р. Тогда с учётом чётности косинуса и нечётности тангенса получим:

(1.21.6)(1.21.6)_ sin (a - Р) tg a - tg p =-.

(1.21.6)

(1.21.6)

cos a ■ cosp

Разность двух тангенсов равна частному от деления синуса разности их аргументов на произведение косинусов этих же аргументов.

Сумма котангенсов

n cosot cosP cos a sin Р + sin a cos Р sin(a + P)ctg a + ctg p =+=— .

sin a sin P sin a ■ sin P sin a ■ sin P

Итак:Итак:

Итак:

Итак:

(1.21.7)(1.21.7)n sin (a + В) ctg a + ctg p =.

(1.21.7)

(1.21.7)

sin a • sin 3

Сумма двух котангенсов равна частному от деления синуса суммы их аргументов на произведение синусов этих же аргументов.

Разность котангенсов

Заменим в формуле (1.21.7) р на -р. Тогда с учётом нечётности синуса и котангенса. Тогда получим:

(1.21.8)(1.21.8)n sin(a - Р) ctg a - ctg р =.

(1.21.8)

(1.21.8)

sin a ■ sin Р

Разность двух котангенсов равна взятому со знаком минус частному от деления синуса разности их аргументов на произведение синусов этих же аргументов.

Упражнения и задания

Упростите:

. Д9 a) ,sin — Л + — -cos18

sin5a • sin4a + sin4a • sin3a - sin2asina ;

ctg8O° + tg40° + ctg40° + tg8O°;

41

r) sin7a-sin5asin9a + —sin3a .

33

Доказать тождества:

x 1 + cosa + cos2a + cos3a _

-= 2 cos a;

cosa + 2cos2 a -1

,x .. „3a .a

sina - sin2a + sin3a = 4cos—cosasin—;

22

x, ex5

cosa + cos2a + cos3a + cos4a = 4cos—cosacos—a .

22

Использование вспомогательного аргумента

Рассмотрим некоторые виды сумм, которые можно свести к произведениям, подобрав подходящим образом вспомогательный аргумент.

а • sin a + b • cos a где a + 0 и b + 0. Подберём аргумент ср и положительный множитель р, так, чтобы:

а = р • cos ср и b = р • sinep .

Возведём выражения для а и b в квадрат и сложим полученные равенства. Мы получим р2 = а1 + Ь2 . Отсюда:

р = +yla2 + b2 .

Вспомогательный аргумент ср найдём из соотношений:

а а. Ъ Ъ

cos ф = — = —и simp = — = —.

Р + 7 а 2 + b2Р + 4 а2 + Ь2

Теперь выражение а • sin а + Ъ • cos а преобразуем так:

а • sin а + b • cos а = р cos ср sin а + р sin ср cos а =

= p(sin а cos ф + cos а sin ф) = р sin(a + ф).

Итак:Итак:

Итак:

Итак:

a -sina + 6 • cos а = psin(a + ф).(1.22.1)

выражение.выражение.a- sin а + Ь и а-cosа+ 6, 0<|6|<|а|. Вначале преобразуем первое

выражение.

выражение.

•1„b „а .

а • sin а + о = а • sin а + — . По предположению — < 1. Поэтому можно положить — = sin ф .

V а)аb

гр., z,. а + ф а-ф

1 огда а • sin а + b = а • (sin ос + sin ф) = 2а • sincos

Итак:

* г. ОС + ф ОС ф~

а • sina + b = 2а • sin—-—cos—-—.(1.22.2)

Второе выражение преобразуем аналогично. Положим — = cos ф . Тогда а

а • cosa+b = а • (cosa н—) = а • (cosa + созф) = 2а • coscos

а22

Итак:

7 п a + ф а —ф~

а • cosa + b = 2а • cos--cos-.(1.22.3)

22

а • tg а + b, а^О. Так как тангенс угла изменяется в пределах от -оо до + оо, то можно положить b

- = tg ф .

Тогда:

,( Ъ\ .. а • sin (a + ф)

а • tg a + b = а • tg a + — = a • (tg a + tg ф) =( a)cos a-cos ф

Итак:

, a • sin (a + ф)

cosa • созфcosa • созфa ng a+ 6 =—.(1.22.4)

cosa • созф

cosa • созф

Упражнения и задания

Преобразуйте в произведение:

2sina+l; 2cosa+V2; 3-4cos2a; 3tga+V3; sina-V3cosa;

sina-cosa:V3-2sina; 3-4sin2a; V3tg2a + 3; l-3tg2a; 3-9tg24a.

Тождественные преобразованиятригонометрических выражений

Тождественным преобразованием называется замена одного выражения другим, ему тождественно равным (например, а2 - 2аЬ + Ь2 можно заменить на (a - б)2 ).

При решении примеров на упрощение тригонометрических выражений производят ряд тождественных преобразований с использованием формул параграфов 1.14 - 1.22.

При доказательстве тригонометрических тождеств используются приемы:

Более громоздкая часть доказываемого тождества с помощью тождественных преобразований приводится к менее громоздкой, простой;

Если обе части тождества громоздкие (не упрощенные), то их преобразуют до полного совпадения;

В ряде случаев удобно (целесообразно) найти разность между доказываемыми частями тождества и убедиться, что она равна нулю.

В отдельных случаях применяются специальные приемы.

Примеры. 1) Доказать тождество

tg2 a + ctg Зр _ tg 2actg2 a + tg 3p tg 3p

Решение. Обозначим, для краткости записи, левую часть доказываемого тождества через А, а правую через В и найдем их разность:

tg 2atg Зр + ctg 3ptg 3p - tg 2actg 2a-tg 2atg 3p(ctg 2a + tg 3p)tg 3P

= -—= 0.

(ctg 2a + tg 3p)tg 3P

значит A = В. Тождество доказано.

) Доказать тождество

. 4= tg a.. 4= tg a.3-4cos2a + cos4a

. 4

= tg a.

. 4

= tg a.

3 + 4cos2a + cos4a

Решение. Преобразуем левую, более громоздкую, часть:

3-4 cos 2a + cos 4a _ 3 - 4 cos 2a + 2 cos 2a -1 _

+ 4 cos 2a + cos 4a 3 + 4 cos 2a + 2 cos2 2a -1

.. l-tg2a (l-tg2aV

l + tg2a (l + tg2a, _

. . 1 -tg2a . (1 -tg2aУ

l + tg2a (l + tg2aj

1 + 2tg2a + tga - 2 + 2tg4a +1 - 2tg2a + tg4a _ t 4a 1 + 2tg2a + tg4a + 2 - 2tg4a +1 - 2tg2a + tg4a

В ходе решения воспользовались формулой 1.18.4. Тождество доказано.

Доказать тождество

Д 5 2sin —л + аД 5 2sin —л + аcos (Зл-2а)cos (Зл-2а)

Д 5 2sin —л + а

Д 5 2sin —л + а

cos (Зл-2а)

cos (Зл-2а)

Решение. Упрощаем левую часть доказываемого тождества:

cos(3n-2a) _ cos(n-2a) _ -cos2a _

2sin2|—л + а| 2sin2 [ л +1 — + a | ] 2sin2|—+ a|

tgtg-cos2a _ -cos2a _ cos2 a-sin2 a _ cosa-sina

tg

tg

Решение. Применим искусственный прием-, умножим и разделим левую часть тождества на 2sin—,Решение. Применим искусственный прием-, умножим и разделим левую часть тождества на 2sin—,а затем воспользуемся формулой 1.20.1.2л4л6лCOSHCOSHCOS— =777_ . л2л_ . л4л_ . л6л2 sin—cosн 2 sin—cosн 2 sin—cos—777777а затем воспользуемся формулой 1.20.1.2л4л6лCOSHCOSHCOS— =777_ . л2л_ . л4л_ . л6л2 sin—cosн 2 sin—cosн 2 sin—cos—777777,3л .л . 5л ,3л.. 5лsinsin— + sinsin1- sin л - sin—77777,3л .л . 5л ,3л.. 5лsinsin— + sinsin1- sin л - sin—777772sin— 72sin— 7. л -sin—7. л -sin—72sin—2sin—2’2’77Итак, тождество доказано.Итак, тождество доказано.5) Доказать, что tg20° • tg40° • tg80° - V3 .5) Доказать, что tg20° • tg40° • tg80° - V3 .Решение. Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части тождества, sin 20° • sin 40° • sin 80° - ^ (cos 20° - cos 60°) • sin 80° =Решение. Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части тождества, sin 20° • sin 40° • sin 80° - ^ (cos 20° - cos 60°) • sin 80° == — | sin 80° • cos 20° - — sin 80° 2v2= — | sin 80° • cos 20° - — sin 80° 2v2-sin 80° 2-sin 80° 21 1sin 80°2 21 1sin 80°2 21122/3 1—— sin 80°22/3 1—— sin 80°22/38 ’/38 ’

Решение. Применим искусственный прием-, умножим и разделим левую часть тождества на 2sin—,

Решение. Применим искусственный прием-, умножим и разделим левую часть тождества на 2sin—,

а затем воспользуемся формулой 1.20.1.

2л4л6л

COSHCOSHCOS— =

777

_ . л2л_ . л4л_ . л6л

2 sin—cosн 2 sin—cosн 2 sin—cos—

777777

а затем воспользуемся формулой 1.20.1.

2л4л6л

COSHCOSHCOS— =

777

_ . л2л_ . л4л_ . л6л

2 sin—cosн 2 sin—cosн 2 sin—cos—

777777

,3л .л . 5л ,3л.. 5л

sinsin— + sinsin1- sin л - sin—

77777

,3л .л . 5л ,3л.. 5л

sinsin— + sinsin1- sin л - sin—

77777

2sin— 7

2sin— 7

. л -sin—

7

. л -sin—

7

2sin—

2sin—

2’

2’

7

7

Итак, тождество доказано.

Итак, тождество доказано.

5) Доказать, что tg20° • tg40° • tg80° - V3 .

5) Доказать, что tg20° • tg40° • tg80° - V3 .

Решение. Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части тождества, sin 20° • sin 40° • sin 80° - ^ (cos 20° - cos 60°) • sin 80° =

Решение. Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части тождества, sin 20° • sin 40° • sin 80° - ^ (cos 20° - cos 60°) • sin 80° =

= — | sin 80° • cos 20° - — sin 80° 2v2

= — | sin 80° • cos 20° - — sin 80° 2v2

-sin 80° 2

-sin 80° 2

1 1

sin 80°

2 2

1 1

sin 80°

2 2

1

1

2

2

/3 1

—— sin 80°

22

/3 1

—— sin 80°

22

/3

8 ’

/3

8 ’

(воспользовались равенством sin 100° = sin80° ).

cos20°•cos40°•cos80° =

_ 2sin 20°•cos20°•cos40°•cos80° 2 sin 20°

•лпо ono —sin80°cos80°л •л

2sin20°8 sin 20°82sin20°8 sin 20°82 sin 20°2 sin 20°sin 40 cos 40 cos 8021 sin 1601

2sin20°8 sin 20°8

2sin20°8 sin 20°8

2 sin 20°

2 sin 20°

sin 20° sin 40° sin 80° cos 20°cos 40°cos 80°sin 20° sin 40° sin 80° cos 20°cos 40°cos 80°Таким образом,

sin 20° sin 40° sin 80° cos 20°cos 40°cos 80°

sin 20° sin 40° sin 80° cos 20°cos 40°cos 80°

tg 20° ■ tg40° ■ tg80° =

Тождество доказано.

Замечание: Если воспользоваться формулами 1.21.1 и 1.21.5, то легко получить

tg3a = tg a-tg(60°-a)-tg(60° + a).

Положив здесь a = 20°, получаем сразу V3 = tg 20° • tg 40° • tg 80°.

Упростить

<3)(3 )

ctg —л-a I, s tg a +—л

) l-cos(4a-n) (2 J

2cos2fa-—)s'n ^a 2sin2fa-—л

Решение. Обозначим, для краткости записи, данное выражение через А. Прежде всего, воспользуемся формулами приведения.

г) Преобразовать в произведение.

3 + 4 cos 4a + cos 8a;

„ 2fa(5)

2 cos+ V3 cos — л + a -

U 2 )J

Jl + sin—- Jl - sin—, 0<a<180°;

V 2 V 2

2 - tg 4a - ctg 4a;

9A/5

— л-2a + 2 sin2 2aл

2JI2

- sin 4a+ sin 6aл II 2

2sina+l;

2cos a+V5;

3-4cos2a;

3tg a+V3;

sina-V3cosa;

sina-cosa: V3 -2 sin a;

3-4sin2a;

>/з tg2a+3;

l-3tg2a;

3-9tg2 4a.

1.24 Решение уравнений sin x = a, cosx = a, tgx = a

sin% = a.

Уравнение имеет смысл при -1 < a < 1. Так как функция у = sinx имеет период 2л, то доста

точно найти решение уравнения sinx = a на участке длиной 2л.

Возьмем участокВозьмем участокл Зл 2’ 2л Зл 2’ 2Он состоит из двух участковОн состоит из двух участковл л2’2л л2’2л Зл 2’ 2л Зл 2’ 2. Если х 6. Если х 6л л2’2л л2’2

Возьмем участок

Возьмем участок

л Зл 2’ 2

л Зл 2’ 2

Он состоит из двух участков

Он состоит из двух участков

л л

2’2

л л

2’2

л Зл 2’ 2

л Зл 2’ 2

. Если х 6

. Если х 6

л л

2’2

л л

2’2

(1.24.1)(1.24.1)то решением уравнения smx = a является

(1.24.1)

(1.24.1)

х = arcsina,

по определению арксинуса.

Если х еЕсли х е, то уравнение sinx = a запишем в виде sin(n-x) = a. Это верно, так как

Если х е

Если х е

sin х = sin(n - х), но аргумент л - х еsin х = sin(n - х), но аргумент л - х ел л 2’2л л 2’2, что вытекает из следующей цепочки, что вытекает из следующей цепочки

sin х = sin(n - х), но аргумент л - х е

sin х = sin(n - х), но аргумент л - х е

л л 2’2

л л 2’2

, что вытекает из следующей цепочки

, что вытекает из следующей цепочки

Из равенства sin(n - х) = a, л - х еИз равенства sin(n - х) = a, л - х ел л 2’2л л 2’2следует, что л - х = arcsin a, т.е.следует, что л - х = arcsin a, т.е.

Из равенства sin(n - х) = a, л - х е

Из равенства sin(n - х) = a, л - х е

л л 2’2

л л 2’2

следует, что л - х = arcsin a, т.е.

следует, что л - х = arcsin a, т.е.

(1.24.2)(1.24.2)х = л - arcsin a.

(1.24.2)

(1.24.2)

Все решения уравнения sinx = а получим, прибавив к найденным решениям (1.24.1) и (1.24.2) выражение 2кк, к е Z. Получим:

х = arcsin a + 2тк и х = - arcsin a + л + 2ик.

Найденные решения обычно записывают в виде одной формулы:

х = (-1)” arcsina +ли, и е Z.

(При п = 2к получается первое решение, при и = 2к + 1 - второе решение.)

cos х = a, -1 < a < 1.

Найдем решение этого уравнения на участке [-л, л]. На второй его половине, (х е [0, л]) решением уравнения cosx = а является

х = arccos a(1.24.3)

по определению арккосинуса.

Если х е [—л, 0], то уравнение cosx = а перепишем в виде cos(-x) = a, так как cos(-x) = cosx, но при этом -х е [0, л]. По определению арккосинуса находим - х = arccos a, т.е.

х = - arccos a.х = - arccos a.(1.24.4)

х = - arccos a.

х = - arccos a.

Прибавив к полученным решениям (1.24.3) и (1.24.4) числа 2лА. к е Z. получим все решения уравнения, а именно:

х — ± arccos a + 2кк, k^Z.

tg х = a.

Найдем решение уравнения tg х = а на участке длиной л.

(1.24.5)(1.24.5)Возьмем участок ^_'|'’^ • Тогда из равенства tg х = a, хе ^_^’^ следует х = arctg a,

(1.24.5)

(1.24.5)

по определению арктангенса. Прибавив к найденному решению (1.24.5) числа ли, п е Z получим все решения уравнения tg х = a, а именно:

х = arctg a + ли, и е Z.

2 Тригонометрические уравнения.

Основные методы решений

2.1 Простейшие уравнения

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида sin х = a, cos х = а, tg х = а, ctg х = а. Они решаются по формулам:

sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg х = а,

-1 < а < 1,

-1 < а < 1,

х = (-1)” arcsin а + та, n^Z;

х = ± arccos а + 2л&, к е Z;

х = arctg а + Н, leZ;

х = arcctg а + лт, meZ.

В частных случаях при а = 0, а = 1, а = -1 решение уравнения можно находить не по готовой формуле, а исходя из тригонометрического круга. Так,

cosх = 0 =^ х =—t та, n^Z2

по формуле х = ± — + 2 л/с

sinx = l =х х = — + 2та, neZ 2

^по формуле х = (- 1)” ^ + та^;

sin х = -1

cosx = -1

=^ х =12та, n^Z'

2

=^ х = л + 2та, neZ.

При использовании формул решения тригонометрических уравнений учитывать, что

arcsin (- а) = - arcsin а, arccos (- а) = л - arccos а, arctg (- а) = -arctg а, arcctg (- а) = л - arcctg а.

Примеры. 1) tg3x = 1995.

Решение.

1л/

Зх = arctgl 995 + л/, т.е. х = — arctgl995 + —, 1<eZ.

2) cosfx-—| = —-.

Решение.

л( 1А(1А ,

х= ± arccos+ 2та = ± л - arccos— + 2лк,

4( 2)(2)

т.е. хл - — | + 2л& = ± —л + 2л&,

4(3

л 2_ ,

х = — ± — л + 2 л/с.

4 3

Полученное решение можно записать в виде двух формул:

х =— л + 2кк и х =л + 2ик, k^Z. 1212

■ 1 л

sin—х = —.

23

Решение: х е так как — > I.

3

sinх = —.

J 2

Решение. Запишем уравнение иначе sin^x -^ = -^-.

тг( 1 А

I -1) arcsin+ то,

( 2)

т.е. х = — + (-1)”+1 — + лн, neZ.

3’6

Полученное решение можно записать в виде двух формул:

если п-2к (четное), то х = — + 2л&

если п = 2к -1 (нечетное), то х = - — + 2кк, k^Z.

5)5)

5)

5)

„1л

Решение: x = arcctg—= +лт, т.е. х = — + лт, m^Z.

3

Решить уравнения.

\ ' I О ^ I 1

sin Зх + — =1;

cosx2 = 1;

tg 2х= — —==

-V2

л. л . л

cos— -cosx-sin — -sinx = —;

666

2\х - 2|cosx = х - 2.

2.2 Общий прием

Он заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.

Примеры. 1) 2cos2 x + 5sinx-4 = 0.

Решение. Заменяем cos2 х на 1 - sin2 х.

2 (1 - sin2 х)+ 5sinx - 4 = 0, т.е. 2sin2 х - 5sinx + 2 = 0.

Отсюда sinx = — и sinx = 2. Так как 2 > 1, то остается только вариант sinx = —, из которого получаем

Ответ: х = (-1)” — + кп, и е Z.

4sin4 х - 2sin xcosx + 4cos2x = 2cos x - sin2 2x + 2.

Решение. Перейдем к функции cosx.

4(1 - cos2 х)" - 2(1 - cos2 x)cosx + 4(2 cos2 x -1) = 2 cos3 x -

4 cos2 x(l - cos2 x)+ 2,

t.c. 4 - 8cos2 x + 4cos4 x - 2cosx + 2cos3 x + 8cos2 x - 4 -

2cos3 x + 4cos2 x - 4cos4 x - 2 = 0,

t.c. 4cosx - 2cosx - 2 = 0, t.c. 2cos2 x - cosx -1 = 0 =+

,1

S x = 1 и cos x = —.

2

2

Ответ: х = 2кк, keZ и x = ± — к + 2кп, neZ.

3

Решить уравнения.

cos2x-3cosx = 4cos2 —;

2

3sin3 x + sin2 x + 3cos2 x = 2cos2x - 3sinxcos2 x;

6ctg2x - 2cos2 x = 3;

sin4 x + cos4 x - 2sin2x + sin2 2x = 0;

8 sin6 x + 3cos2x + 2cos4x +1 = 0 (перейти к cos 2x);

25sin2 x +100cosx = 89.

Методы группировки

Путем группировки слагаемых уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна нулю. Уравнение распадается на несколько более простых уравнений.

Примеры. 1) sin х + sin 2х + sin Зх = 1 + cos х + cos 2х.

Решение. Запишем уравнение в другом виде

(sin х + sin Зх) + sin 2х = (1 + cos 2х) + cos х, т.е. 2sin2хcosх + sin2х = 2cos2 х + cosх, т.е. sin 2х (2 cosx + 1)- cosx(2cosx +1) = 0, т.е. (2cosx + l)(sin2x-cosx) = 0,

но sin2х = 2sinхcosх, поэтому (2cosx + l)-cosx-(2sinx-l) = 0.

Отсюда

cos х = 0;cos х = 0;7Гх =—н ял,27Гх =—н ял,2

cos х = 0;

cos х = 0;

7Г

х =—н ял,2

7Г

х =—н ял,2

cosx + 1 = 0;

1 cos x = —;

2

sin х -1 = 0;

.1

sin x = —;

2

x = (-l) — + кт.

Ответ:

х = ± —л + 2лС к е Z:

3

л

х = —н ли, neZ;

2

х = (-1)“ ^ + нт, meZ.

2) cos4 —-sin4 —= sin 2л.

22

Решение.

cos2 — + sin2 — | [ cos2 — - sin2 — I = 2sinxcosx,

22J I 22J

t.c. 1 cos x - 2 sin x cos x = cos x (1 - 2 sin x) = 0.

Отсюда cosx = 0 и sinx =—. Следовательно, получаем

Ответ:лх = —н ли, и eZ;2Ответ:лх = —н ли, и eZ;2х = (-1)“ ^7 + пт, meZ.х = (-1)“ ^7 + пт, meZ.

Ответ:л

х = —н ли, и eZ;

2

Ответ:л

х = —н ли, и eZ;

2

х = (-1)“ ^7 + пт, meZ.

х = (-1)“ ^7 + пт, meZ.

Решить уравнения.

1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0;

3sin2 х = 5sinx;

sinx - 1 = sinxcosx - cosx;

sin3x + sin4x + sin5x = 0;

о

sin3x = 2cosx .

12 J

Уравнения, решаемые понижением степени

Если тригонометрическое уравнение содержит sinx, cosx в четной степени, то применим формулы

понижения степени

sin2 а = ^-(1 - cos 2а), cos2 а = ^-(1 + cos 2а).

Примеры. 1) sin2 Зх + sin2 4х = sin2 5х + sin2 6х.

Решение.

l-cos6x l-cos8x 1-coslOx l-cos!2x

+=+, T.C.

2222

2 - cos 6x - cos 8x - 2 + cos Юх + cos 12x = 0, t.c.

(cos 1 Ox + cos 12x) - (cos 8x + cos 6x) = 2 cos 1 lx cos x - 2 cos 7x cosx =

= 2cosx(cosl lx - cos7x) = -2cosxsin9xsin2x = 0.

Отсюда

cos

х = 0;sin 9х = 0;sin 2х = 0;

п9х = кк;2х = к1;

X =

h КН,

2ккк1

х = —,х =—.

92

Решение x = — + кп 2

является частью множества корней х = -^ (при 1 = 2/? +1).

Ответ: х =—, k^Z; х =—, l^Z. 92

4 + 2cosx = 3cos2| — - —

Решение.

4 + 2 cos х = 3 • — 1 + cos х, т..е.

8 + 4 cos л" = 3(1 + sin л"), т.е. 3sinx - 4cosx = 5.

Это уравнение можно решать разными способами (см. 5). Решим его, перейдя к функции cosx (см. 2):

± Зл/1 - cos2 х - 4cosx = 5, т.е. 5 + 4cosx = Зл/1 - cos2 х

(берем знак "+", так как слева выражение положительное).

25 + 40cosX + 16cos2 х = 9 - 9cos2 х, 25cos2 х + 40cosx + 16 = 0, т.е. (5cosx + 4)2 = 0,

4

отсюда 5cosX + 4 = 0, cosx = и получаем

Ответ; х = ± л-arccos— +2л£, keZ.

I 5/

Решить уравнения.

cos2 — + cos2 —х = sin2 2х + sin2 4х;

22

6tg2x - 2cos2 x = cos2x;

з \44 Г Я) 1

cos x + cos x=—;

I 4

sin3x + sin5x = 2 (cos2 2x - sin2 2x);

sin — +1 = sin t + sin1

Универсальная подстановка

х „.2?tg— = t. 1огда sinx =-, а21 + Дх „.2?tg— = t. 1огда sinx =-, а21 + ДПри решении уравнений вида a cos х + b sin х - с удобно применять универсальную подстановку

х „.2?

tg— = t. 1огда sinx =-, а

21 + Д

х „.2?

tg— = t. 1огда sinx =-, а

21 + Д

cos х =- . Уравнение становится рациональным. После нахождения его

1 + Г

решения надо проверить, не удовлетворяют ли исходному уравнению числа х = л + 2ли, и е Z.

(Делая подстановку tg ^- = 0, считаем, что cos~ + 0, т.е. х^л+2л£).

Примеры. 1) 3sinx-4cosx = 5 (см. 4, и. 2).

Решение. Сделаем подстановку tg^- = t ^cos^-^O

Тогда

——--1-2 = 5, т.е. t2-6t + 9 = 0, Д-3)2=0, t = 3.

1 + t2 1 + t2

Значит tg^- = 3 . Отсюда х = 2arctg3 + 2л&, k&Z.

Проверяем, является ли х = л + 2ли решением данного уравнения:

Ззт(л+ 2ли)-4соз(л+ 2ли) = 4^5,

значит, не является.

Ответ", х = 2arctg3 + 2л&, keZ.

Замечание. Сравнивая найденный ответ с ответом в предыдущем примере (4, и. 2), видим лишь

внешнее различие. Но если tg — = 3 , то

ЛX

4747“tg 2 1-9 cos x ==

4

7

4

7

. . 21 + 9

1+ g 2

2) 3sin5z-2cos5z = 3.

Решение. Можно положить 5z = x, а затем сделать подстановку tg— = t. Тогда

6t 2(1-CJ

1 + t2 1 + t2

Далее ясно.

„л 2л^22л^,

Ответ". z = — +, z = —arctg5 +, keZ.

10555

Решить уравнения.

1)1)2)2)3)4)5)3)4)5)2 + cosx = 2tg —;2sinx + cos2 — + 2 + cosx = 0: 2V7 sin x + cos x - 2 = 0;sin3x + 5cos3x = -l;4sinx + cosx = 4.2 + cosx = 2tg —;2sinx + cos2 — + 2 + cosx = 0: 2V7 sin x + cos x - 2 = 0;sin3x + 5cos3x = -l;4sinx + cosx = 4.

1)

1)

2)

2)

3)

4)

5)

3)

4)

5)

2 + cosx = 2tg —;

2sinx + cos2 — + 2 + cosx = 0: 2

V7 sin x + cos x - 2 = 0;

sin3x + 5cos3x = -l;

4sinx + cosx = 4.

2 + cosx = 2tg —;

2sinx + cos2 — + 2 + cosx = 0: 2

V7 sin x + cos x - 2 = 0;

sin3x + 5cos3x = -l;

4sinx + cosx = 4.

Однородные уравнения и приводимые к ним

Однородные уравнения, т.е. уравнения вида

a cos х + b sin х = О, a cos2 х + b sin х cos х + с sin2 х = О

и т.д. (у всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно tg х путем деления обеих частей уравнения на cosх * 0 и cos2 х * 0 соответственно.

Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на cos2 х + sin2 х, путем различных преобразований функций, входящих в уравнение и т.д. Например:

, .(2 X . 2 хЛX X

(2 X • 7-с cos — + sin —=^>(2-(a + c)sin2 —= 0,(2 X • 7-с cos — + sin —=^>(2-(a + c)sin2 —= 0,я cosх + о sinx = с =^ a cos —sin — +2osin—cos—= 2у 22

(2 X • 7

-с cos — + sin —=^>

(2

-(a + c)sin2 —= 0,

(2 X • 7

-с cos — + sin —=^>

(2

-(a + c)sin2 —= 0,

a - c)cos — + 2o sin—cos— 7222

получили однородное уравнение (сравнить с 5 и. 2, 4 и. 2).

Примеры. 1) sin2 х - 2sinxcosx-3cos2 х = 0.

Решение. Делим обе части уравнения на cos2x*0 (если cos х = 0, то получим, что и sinx = 0, что невозможно: sin2 х + cos2 х = 1). Получаем

tg2x - 2tgx - 3 = 0, tgx = 3, tgx = -l.

Отсюда сразу следует

Ответ", х = arctg3 + та и х = --^ + л^, k,n^Z.

3sinxcosx-2cos2 х = 0.

Решение. Это однородное уравнение, но делить на cos х нельзя, так как cos х может быть равен нулю. Запишем уравнение иначе: cos х (3sin х - 2cos х) = 0. Отсюда cos х = 0, ^х = -^ + та^ и 3sinx- 2 cos х = 0 - однородное уравнение 1-ой степени. Разделим на cos х * 0 .

22

3tgx-2 = 0, tgx = —, x = arctg— + ик.

л2

Ответ: х = — +та, neZ; x = arctg— + ик, keZ.

sinxcosx-cos2 х = 1.

Решение. Так как 1 = sin2 х + cos2 х, то уравнение принимает вид

sinxcosx - cos2 х = sin2 х + cos2 х,

т.е. sin2 х - sinxcosx + 2cos2 х = 0;

это уравнение - однородное! Делим на cos2 х 0 :

tg2x-tgx + 2 = 0 =^ tgX =, X 6 0.

Ответ: Решений нет.

2cos3 x + sinx-3sin2 xcosx = 0.

Решение. Это уравнение легко привести к однородному, заменив sinx на sinx (sin2 х + cos2

2 cos3 х + sin3 х + sin х cos2 x - 3 sin2 x cos x = 0 ,

делим на cos3 x 0:

2 + tg3x + tg x - 3tg2x = tg3x - 3tg2x + tg x + 2 = 0.

Перепишем это уравнение так:

tg3x - 2tg2x - tg2x + 2tg x - tg x + 2 = 0, T.e.

tg2x • (tg x - 2) - tg x • (tg x - 2) - (tg x - 2) = (tg x - 2)(tg2x - tg x -1) = 0. Отсюда tg x = 2

x = arctg2 + так, keZ

Ответ:

xY = arctg2 + uk,xY = arctg2 + uk,keZ;keZ;x2j3 = arctgx2j3 = arctg1±V521±V52+ ли,+ ли,n 6 Z.n 6 Z.

xY = arctg2 + uk,

xY = arctg2 + uk,

keZ;

keZ;

x2j3 = arctg

x2j3 = arctg

1±V5

2

1±V5

2

+ ли,

+ ли,

n 6 Z.

n 6 Z.

40 sin — cos —

(22.

= sin Л

' t „ t

Iosin—25cos—

22

Решение. Из условия следует

40 sincos — = Iosin25cos— sint,

I 2I 2

t tt 25

Iosin— + 25cos—, t.c. tg—^—.

222 16

Заменим sint на 2sin — -cos—. Получаем 22

л t з П I tt t

40 sin —cos — = 16sm—25cos— -2sm—-cos—,<2(22)22

20sin3 — - 16sin2 —cos— + 25sin—cos2 — - 20cos3 — = 0,222222

T.e. однородное уравнение. Делим на cos — ^ 0 :

20х3 - 16х2 + 25х - 20 = О, где x = tgy;

4х2 (5х - 4) +5 (5х - 4) = О, (5% - 4) (4%2 + 5)= 0 => 5х = 4 и 4х2 +5 = 0

4

х = —хе И.

5

t 4

Итак, tg — = —, т.е. получаем

4

Ответ; ? = 2arctg—+ 2тг&, keZ.

Решить уравнения.

sinx - 2cosx = 0;

1 - 3cos2 х = sin2x;

cos6 x + sin6 x = —sin2 2x:

4

8 sin2 — + 3sinx-4 = 0;

2

2sin3x = cosx;

sin2 x-3sinxcosx + 2cos2 x = 0;

—-— = 4sinx + 6cosx.

cosx

Способ подстановки

Рассмотрим уравнения, для решения которых удобно применить различные подстановки.

Примеры. 1) sin4 х + cos4 х - sin 2х + ^-= 0.

Решение.

Воспользуемся формулой а4 + 64 = (а2 + Ь2У -l^b2 и перепишем данное уравнение иначе:

/\21

(sin2 х + cos2 х) - 2sin2 xcos2 х - 2sinxcosx + — = 0,

V72

т.е. 2 (sin x cos x)2 + 2(sin x cos x) - ^ = 0.

Обозначим sinxcosx-t, т.е. sin2x = 2?. Тогда получаем

2?2+2?-- = 0, т.е. 4?2+4?-3 = 0, 2

_ -2±V4 + 12_1_ 3

6 9 ~5 б — 5 И 11 —.

1,24’ 1 22

Тогда

sin 2x = 1и sin 2x = -3

2x = —+ 2л^X6 0.

2

Ответ; х = — +кк, keZ.

4

5(l-sin2x)-16(sinx-cosx) + 3 = 0 .

Решение. В примере встречаются разность синуса и косинуса и их произведение. Обозначим sin х - cosx = t. Отсюда следует

sin2 х - 2sinxcosx + cos2 х = ?2, т.е. 2sinхcosx = sin2x = 1 -f2.

Уравнение принимает вид 5(1 - (1 - f2)) -16f + 3 = 0.

Решаем его. 5?2 -16? + 3 = 0, tx = 3, tT = —. Стало быть, sinx-cosx = 3 => X6 0, так как | sinx - cosx | < V2 и sinx-cosx = —, т.е. V2sin х = —.

5(5

Отсюда х - — = (-1)” • arcsin^- + та.

410

Ответ; х = —н 1)” • arcsinн та, п е Z.

410

Замечание. Можно было бы сразу уравнение переписать: 5(sinx - cosx)2 - 16(sinx - cosx) + 3 = 0, так как 1 - sin 2х = (sin х - cos х)2.

2(1 + sin2x) = tg

Решение. Обозначим х + —= ?, т.е. x-t- —.

44

Тогда получаем

т.е. 2 - 2 cos 2? = 2 (1 - cos 2?) = tg t =^> 2-2sin2? = cos?

Отсюда:

sin? = 0, ? = т.е. x = - —+ л^ и 4

4sin?cos? = l, sin2? = —,

т.е. sin 2 x + — = sin 2x + — = cos 2x = —, (2

2x = ± —h 2л^ т.е. x = ± —h n^.

36

Ответ; x = — + n^, x = ± —+ n^, k^Z. 46

Решить уравнения.

1)1)2)2)sin 2л + 12 = 12(зшл - cos л);

1)

1)

2)

2)

3)3)+ созЗл+ созЗл- cos 3 л- cos 3 л= 2cos2 3л;= 2cos2 3л;4)4)5)5)V2-tgл + ^/7 +tg л = 3; . ( л 3л f 3л sin1= 2 sinV2-tgл + ^/7 +tg л = 3; . ( л 3л f 3л sin1= 2 sin10210210 210 2— (sin4 л + cos4 л)= sin2 л cos2 л + sin л cos л:

3)

3)

+ созЗл

+ созЗл

- cos 3 л

- cos 3 л

= 2cos2 3л;

= 2cos2 3л;

4)

4)

5)

5)

V2-tgл + ^/7 +tg л = 3; . ( л 3л f 3л sin1= 2 sin

V2-tgл + ^/7 +tg л = 3; . ( л 3л f 3л sin1= 2 sin

102

102

10 2

10 2

Введение вспомогательного угла

Суть метода в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента ф, а затем производят тригонометрические преобразования. Поясним на примерах.

V3 sin л - cost = 1.

Решение.

Данное уравнение можно решить многими способами: свести к однородному; применить универсальную подстановку; сгруппировать и разложить на множители и т.д. Решим уравнение следующим образом: введем угол ф такой, что tgcp = V3, т.е. ср = 60°. Тогда получаем:

tg60° • sin л - cos л — 1,

т.е. sin 60° • sin л - cos л • cos 60° = cos 60°,

т.е. cos л • cos 60° - sin л • sin 60° =—, 2

т.е. cos (л+ 60°) = -1 => л+ 60° = ±120°+ 360%,

илиилил = -180° + 360%, л = 60°+ 360%.

или

или

Ответ; л = -60° ±120° + 360%, к е Z.

8 cos л+ 15 sin л = 17.

Решение. Разделим обе части уравнения на 15:

8.17

СО8Л + 8ШЛ =.

g т.е. ф = arctg—® 28°.g т.е. ф = arctg—® 28°.1515

g т.е. ф = arctg—® 28°.

g т.е. ф = arctg—® 28°.

„~8

Введем угол ф такой, что tgcp = —,

Тогда получаем

.17

tg ф cos л + sin л = —,

..17

т.е. sin ф cos л + cos ф sin л = — cos ф,

17171171,

но — COS ф =,=,= = 1.

1515 ^i + tg^ 15 V1 + 64/225

Имеем:

sin (х + ср) = 1, т.е. х + ср =—н 2 ли, х = -ф +—н 2 ли.

Ответ: х = -areteIн2ли, neZ. 15 2

Решить уравнения.

2sinl7x +V3cos5x + sin5x = 0;

Vs sin2x + cos2x - 2 = 0;

sin5x - cos2x = V3(cos5x + sin2x);

4sin2x - 3cos2x = 5;

V3V3

— sinx +cosx =.

222

2.9 Искусство

Ищем решение данного нестандартного тригонометрического уравнения путем рассуждений, путем сведения к системе уравнений и т.д.

Примеры. 1) 2COSI=cosxH—.

cosx

Решение. Левая часть уравнения не больше 2, т.е. 2COSX < 2, так как | cosx | < 1. Равенство возможно лишь при условии, что cos х = 1.

Правая часть должна быть положительна, так как 2COSX > 0, а значит, cosx > 0. Кроме того, из этого

следует, что cosx н— > 2. Равенство возможно лишь при условии, что cosx = 1.

cosx

Таким образом, исходное уравнение имеет решение только при условии, что cosx = l. (тогда

21 = 1 + j). Отсюда следует

Ответ-, х = Ink, к ^Z.

sin2 5х +1 - cos2 Зх = 0, т.е. sin2 5х + sin2 Зх = 0. Но это воз-sin Зх=0, т.е. данное уравнение равносильно системе урав-sin2 5х +1 - cos2 Зх = 0, т.е. sin2 5х + sin2 Зх = 0. Но это воз-sin Зх=0, т.е. данное уравнение равносильно системе урав-sin2 5х + 1 = cos2 Зх.

sin2 5х +1 - cos2 Зх = 0, т.е. sin2 5х + sin2 Зх = 0. Но это воз-

sin Зх=0, т.е. данное уравнение равносильно системе урав-

sin2 5х +1 - cos2 Зх = 0, т.е. sin2 5х + sin2 Зх = 0. Но это воз-

sin Зх=0, т.е. данное уравнение равносильно системе урав-

Решение. Перепишем уравнение в виде можно лишь при условии, что sin 5х = 0 и

нений<нений<sin5x = 0, sin Зх = 0,sin5x = 0, sin Зх = 0,[5х = л^, отсюда 1I Зх = ли,[5х = л^, отсюда 1I Зх = ли,keZ,т.е. neZ,keZ,т.е. neZ,^к 7 Vх =—, keZ,5ли х =—, neZ. .3^к 7 Vх =—, keZ,5ли х =—, neZ. .3(1)(1)

нений<

нений<

sin5x = 0, sin Зх = 0,

sin5x = 0, sin Зх = 0,

[5х = л^, отсюда 1

I Зх = ли,

[5х = л^, отсюда 1

I Зх = ли,

keZ,

т.е. neZ,

keZ,

т.е. neZ,

^к 7 Vх =—, keZ,5

ли х =—, neZ. .3

^к 7 Vх =—, keZ,5

ли х =—, neZ. .3

(1)

(1)

Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение ^ = ^-, т.е. Зк = 5п, где к и п -

\к = 5/, целые числа. Это уравнение имеет решение ( где I &Z.. Подставляя значения к и п в равенства

[и = 3/,

(1), получаем х = л/.

Ответ: х = л/, I &Z.

cos3x + cos—х = 2.

2

Решение. Так как |cos3x|<l иРешение. Так как |cos3x|<l и555.5~cos — х <1, то сумма cos3x + cos—х равна 2 только в том случае,5.5~cos — х <1, то сумма cos3x + cos—х равна 2 только в том случае,22когда cos3x = lкогда cos3x = lии5,~cos—х = 1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе5,~cos—х = 1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Решение. Так как |cos3x|<l и

Решение. Так как |cos3x|<l и

5

5

5.5~

cos — х <1, то сумма cos3x + cos—х равна 2 только в том случае,

5.5~

cos — х <1, то сумма cos3x + cos—х равна 2 только в том случае,

2

2

когда cos3x = l

когда cos3x = l

и

и

5,~

cos—х = 1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

5,~

cos—х = 1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

уравнений

cos3x = 1,5 , cos — X = 1, I 2cos3x = 1,5 , cos — X = 1, I 2т.е.т.е.Зх = 2л£,„— х = 2 ли, 12Зх = 2л£,„— х = 2 ли, 12т.е.т.е.2 , х = — лк,34х = — ли.52 , х = — лк,34х = — ли.5Отсюда получаем -|л& = -|ли,Отсюда получаем -|л& = -|ли,т.е.т.е.5к = би, где к и и - целые числа. Это уравнение имеет реше-5к = би, где к и и - целые числа. Это уравнение имеет реше-[^ = 6/,ние < где I &Z. Следовательно, исходное уравнение имеет решение х = 4л/. [и = 5/,Ответ-, х = 4л/, I &Z.[^ = 6/,ние < где I &Z. Следовательно, исходное уравнение имеет решение х = 4л/. [и = 5/,Ответ-, х = 4л/, I &Z./9 Э /4) cos х +— Д1 +V cos х)Решение. Очевидно, что/9 Э /4) cos х +— Д1 +V cos х)Решение. Очевидно, что21COS х +-cos21COS х +-cosl + tg22y>l, 3 + sin3z>2.l + tg22y>l, 3 + sin3z>2.Перемножив почленно эти неравенства, получаемПеремножив почленно эти неравенства, получаем21cos х +—cos2 X21cos х +—cos2 XЛевая часть равна правой лишь при условии, что cos2 х = 1 и tg22y = О и sin3z = -1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравненийЛевая часть равна правой лишь при условии, что cos2 х = 1 и tg22y = О и sin3z = -1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравненийcos2 X = 1,< tg22y = 0,sin3z = -1,cos2 X = 1,< tg22y = 0,sin3z = -1,отсюдаотсюдах = О,< у = 0, z = -30°.х = О,< у = 0, z = -30°.ЗАДАЧИЗАДАЧИДоказать тождества-.Доказать тождества-.sec —на -secа =2sec2a.sin (2а + В) z „ sin В 2) —-2cos (а + р)=-.sin asin ао о । о ct а2 cos ес 2а + ctg 2а = ctgtg —.sec —на -secа =2sec2a.sin (2а + В) z „ sin В 2) —-2cos (а + р)=-.sin asin ао о । о ct а2 cos ес 2а + ctg 2а = ctgtg —.cos а + sin а.= tg (45° + а).cos а - sin аcos а + sin а.= tg (45° + а).cos а - sin а

cos3x = 1,

5 , cos — X = 1, I 2

cos3x = 1,

5 , cos — X = 1, I 2

т.е.

т.е.

Зх = 2л£,

„

— х = 2 ли, 12

Зх = 2л£,

„

— х = 2 ли, 12

т.е.

т.е.

2 , х = — лк,

3

4

х = — ли.

5

2 , х = — лк,

3

4

х = — ли.

5

Отсюда получаем -|л& = -|ли,

Отсюда получаем -|л& = -|ли,

т.е.

т.е.

5к = би, где к и и - целые числа. Это уравнение имеет реше-

5к = би, где к и и - целые числа. Это уравнение имеет реше-

[^ = 6/,

ние < где I &Z. Следовательно, исходное уравнение имеет решение х = 4л/. [и = 5/,

Ответ-, х = 4л/, I &Z.

[^ = 6/,

ние < где I &Z. Следовательно, исходное уравнение имеет решение х = 4л/. [и = 5/,

Ответ-, х = 4л/, I &Z.

/9 Э /

4) cos х +— Д1 +

V cos х)

Решение. Очевидно, что

/9 Э /

4) cos х +— Д1 +

V cos х)

Решение. Очевидно, что

21

COS х +-

cos

21

COS х +-

cos

l + tg22y>l, 3 + sin3z>2.

l + tg22y>l, 3 + sin3z>2.

Перемножив почленно эти неравенства, получаем

Перемножив почленно эти неравенства, получаем

21

cos х +—

cos2 X

21

cos х +—

cos2 X

Левая часть равна правой лишь при условии, что cos2 х = 1 и tg22y = О и sin3z = -1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений

Левая часть равна правой лишь при условии, что cos2 х = 1 и tg22y = О и sin3z = -1 одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений

cos2 X = 1,< tg22y = 0,sin3z = -1,

cos2 X = 1,< tg22y = 0,sin3z = -1,

отсюда

отсюда

х = О,

< у = 0, z = -30°.

х = О,

< у = 0, z = -30°.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ

Доказать тождества-.

Доказать тождества-.

sec —на -secа =2sec2a.

sin (2а + В) z „ sin В 2) —-2cos (а + р)=-.

sin asin а

о о । о ct а

2 cos ес 2а + ctg 2а = ctgtg —.

sec —на -secа =2sec2a.

sin (2а + В) z „ sin В 2) —-2cos (а + р)=-.

sin asin а

о о । о ct а

2 cos ес 2а + ctg 2а = ctgtg —.

cos а + sin а.

= tg (45° + а).

cos а - sin а

cos а + sin а.

= tg (45° + а).

cos а - sin а

cos a + sin a_

= tg (45° + a).

cos a - sin a

3 (л ). 9 (л) sin 2a

sin —н a — sina = —=— .

J) V2

2cos2-l

2tg —a -sin —+ a

8) tg2f—-a)

1-sin 2a

1 +sin 2a

m cos2a 1 . 2

9) — =—sin2 2a .

ctg a-tg a 4

H)H)12)12)13)13)sin a + cos (20-a) cos a-sin (20-a)sin a + cos (20-a) cos a-sin (20-a)cos 2a 1 . 2 „-— =—Sin2 2a .ctg a-tg a 4sin a + cos (20-a) fix. '— = ctg0 cos a-sin (20-a)\4,1 + sin 2a 1 + tg a ( л== tg — + acos 2a 1 - tg a v 4cos 2a 1 . 2 „-— =—Sin2 2a .ctg a-tg a 4sin a + cos (20-a) fix. '— = ctg0 cos a-sin (20-a)\4,1 + sin 2a 1 + tg a ( л== tg — + acos 2a 1 - tg a v 4

H)

H)

12)

12)

13)

13)

sin a + cos (20-a) cos a-sin (20-a)

sin a + cos (20-a) cos a-sin (20-a)

cos 2a 1 . 2 „

-— =—Sin2 2a .

ctg a-tg a 4

sin a + cos (20-a) fix. '

— = ctg0 cos a-sin (20-a)\4,

1 + sin 2a 1 + tg a ( л

== tg — + a

cos 2a 1 - tg a v 4

cos 2a 1 . 2 „

-— =—Sin2 2a .

ctg a-tg a 4

sin a + cos (20-a) fix. '

— = ctg0 cos a-sin (20-a)\4,

1 + sin 2a 1 + tg a ( л

== tg — + a

cos 2a 1 - tg a v 4

sin a + cos (20 - a) _ 1 + sin 20

cos a-sin (20-a) cos 20

tg2a-tg20 = sin (a + 0)-sin (a-0) - sec2 a-sec2 0 .

2(sin2a + 2 cos2 a -1) = cosec a. cos a - sin a - cos 3a + sin a

17)17)19)19)( л a) 1-sina , tg - + —= 1.

17)

17)

19)

19)

14 2) cos a

2(sin2a + 2 cos2 a -1) = cosec a. cos a - sin a - cos 3a + sin a

sin a - sin 3a + sin 5a„

= tg 3a. cos a - cos 3a + cos 5a

sin(a - 0) + sin(a - y) + sin(0 - y) = 4cosa2 ^ sin ^ ^cos^ ^

2(sin6 a + cos6 a)-3(sin4 a + cos4 a) + l = 0.

(2л А(4л A

sin a + sin al+ sin an= 0.

V3 )(3 J

sin —Ha -sina -sin—cosH2a =sin2a. U ; U ;12 U2 )

cos2 0 + cos2(a + 0) - 2cos a cos 0 cos (a + 0) = sin2 a.

Решить уравнения:

sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 .

sinx + sin2x + sinЗх = cosx + cos2x + cos3x .

cos2x-cos8x + cos6x = 1.

cos x - cos 2x = sin 3x.

sin 5л + sinx + 2 sin 2 л = 1.

со$4л+ 2cos2 л = 0.

7)

sin л + cos л =

sin л.

sin 3 л = cos 2 л.

. 4 Л 4 X 5

sin — + cos — = —.

33 8

Зtg2л-sec2 x = 1.

sin4 л + cos4 x = cos 4 л.

3 cos2 л - sin2 л-sin 2л = 0.

б8т2л + 38тлсо8л-5со82л = 2.

sin2 x + — cos2 x = — зтлсозл. 22

зтл + V3 созл = 1.

sin x + cos x = 1.

sinx + cosx = 1 + 8т2л.

sin 3 л + cos 3 л = 41.

sin л-sin 7л = sin 3л-sin 5л.

cos л-sin 7л = cos 3л-sin 5 л.

sin л • sin 2л • sin 3л = — sin4x

2cos2л + 4созл = 3sin2x.

5 cos lx = 4 sin x.

tg [ -^ + x 1 + tg x - 2 = 0.

8tg2^■ = l + secл.

sinx-cosx-4cos2xsinx = 4sin3x

28)

sin( л - л) + ctg + л j = sec(-x) - cos (2л - x\

sec2 x-tg2x + ctg^ + л^ = cos2xsec2 x.

sin3 x(l + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = cos 2л.

tg л + tg 2л = tg 3л.

о о \ ii л л)

2 42 41 + sin л + cos л = 2 cos.

2 4

2 4

1-cos2 2л = sin3л-cos —+ л

(sin л + cos л)2 = 2 sin —ил -sinx

(1 - tg л)(1 + sin 2л) = 1 + tg x.

(1 + sin 2 л) (cos л-sin л) = l-2sin2 л.

sin 3% = 4 sin % cos 2%.

tg

tg (x + a) + tg (x - a) = 2ctg x.

Вычислить:

1)

sin

1( 3

arctg

sin — arcsin

1 ctg — arccos

4

7

V31V3

tg 5 arctgarcsin 342

sin

cos

7M

3 arcsinH arccos

2 I 2

Доказать тождества:

л/2" л

arctg(3 + 2V2) - arctg-^- = —.

[2Vd +1 л

arccos,arccos^ = —.

V 32 7з6

.4.5. 16 л

arcsin—H arcsinH arcsin— = —.

51365 2

Г 0 Г 13

arccos—H arccos= arccos

2II 14

5 )2 arctg — + arctg — = arctg—.

_1111л

о) arctg — + arctg — + arctg — + arctg — = —.

Решите уравнения:

4arctg(x2 - Зх - 3) - л = 0.

6 arcsin (х2 - 6х + 8,5) = л.

arctg (х + 2) - arctg (х +1) = -^. 1л

2 arctg — - arctg х =—.

arcsin - arcsin V1 - х = arcsin—. з7^з

arcsin Зх = arccos 4х.

„х..Юх

arcsinx = arcsin.

13

Список литературы

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федоро- ва Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа. М.: Просвещение, 1998.

Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабу-нин М.Н., Федосова Б.В. Задачи по элементарной математике. М.: Наука, 1973.

Дерофеева Г.В. Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. М.: Наука, 1973.

Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике. М.: Наука, 1983.

а) у = sin х + tg х ;

б) у = sinx + cosx;

в) у = х4 +sin2x + l;

г) х3 + sin3 х +1;

д) у = xtg X ;

Найдите sin a, cos а, tg а, ctg а если а = 22°30.

1 _ co/" + 2a) 1 + sin2a (cosa + sina)2 cosa + sina’

a—л = -tg л чa = -tga

2л4л6л1

cos— + cos— + cos— = —.

7772

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Издательство ТГТУ

Министерство образования Российской федерацииТамбовский государственный технический университет

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Учебное пособие

ТамбовИздательство ТГТУ

2003

УДК 514(083)

ББК В151.я73

Г87

Рецензент

Доктор технических наук, профессор

В.М. Тютюник

Авторы:

Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, ОТ. Иванова,Ю.А. Костылев, А.В. Лагутин, А.Ю. Сизикин

Г87 Тригонометрия: Учебное пособие / Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, ОТ. Иванова и др. Тамбов: Изд- во Тамб. гос. техн, ун-та, 2003. 104 с.

ISBN 5-8265-0088-3

Учебное пособие знакомит иностранных учащихся с основными тригонометрическими функциями и их свойствами, также в нем приводятся основные методы решения тригонометрических уравнений. Пособие содержит тексты, лексико-грамматический материал и задачи, позволяющие студентам-иностранцам овладеть основами курса математики на русском языке.

Учебное пособие предназначено для студентов-иностранцев, проходящих предвузовскую подготовку.

УДК514(083)

ББКВ151.я73

ISBN 5-8265-0088-3

© Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2003

© Авторы, указаны на обороте титульного листа, 2003

Учебное издание

Громов Юрий Юрьевич,Земской Николай Александрович,Иванова Ольга Геннадьевна,Костылев Юрий Александрович,Лагутин Андрей Владимирович,Сизикин Александр Юрьевич

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Редактор В. Н. МитрофановаКомпьютерное макетирование Е. В. Кораблевой

Подписано к печати 7.07.2003

Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Печать офсетнаяОбъем: 6,04 усл. печ. л.; 6,00 уч.-изд. л.

Тираж 150 экз. С. 463

Издательско-полиграфический центр ТГТУ

392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14