ПРЕДИСЛОВИЕ

Зта брошюра по своему характеру немного отличается от предыдущих изданий Заочной математической школы при МГУ. Если в других наших брошюрах был изложен материал, который в школе или совсем не изучают, или изучают в очень небольшом объеме, то в этой книжке рассматриваются,в основном, те же вопросы, что и в школьном курсе тригонометрии.

Коротко о содержании брошюры.

В первой главе рассматриваются основные определения и формулы тригонометрии. Правда, кое-где нам пришлось подняться на одну - две ступеньки повыше обычного школьного уровня, чтобы получше охватить эти понятия. Даже если при первом чтении в этой главе будет что-нибудь непонятно, в этом нет ничего страшного, надо еще раз вернуться к этому материалу и постараться его осмыслить. Зато задачи первой главы надо решить обязательно, их немного, но все они очень полезны.

Главы вторая и третья носят ярко выраженный технический характер. В них разобрано довольно большое количество упражнений, иногда достаточно трудных, сделана некоторая систематизация методов решения; особое внимание обращено на обычно "слабые месте" школьников: исследование решений в зависимости от параметров, нахождение допустимых значений, решение и доказательство неравенств.

В ТУ главе помещено много задач для самостоятельного решения, большинство этих задач предлагались на конкурсных экзаменах. Конечно, не нужно решать все задачи подряд. Надо внимательно разобрать решенные в главах П и Ш примеры и постараться решить самостоятельно наиболее интересные и трудные задачи главы ТУ. Для облегчения работы над брошюрой в конце мы поместили вкладку с основными тригонометрическими формулами, которую советуем постоянно иметь перед глазами при прора-

ботке второй и третьей глав. Автор надеется, что после такой тренировки школьнику не будет страшен никакой тригонометрический пример на экзамене.

В главе пятой рассмотрены приложения тригонометрии, там довольно подробно иэучаютЛ’армоиические колебания, затронуты вопросы, свезенные с гармоничеоким анализом, а также рассказано об интерференции и дифф ракции света. Применение тригонометрии к решению геометрических задач не рассматривается, так как этому уделяется большое внимание в обычной школе.

В целом брошюра призвана помочь школьнику лучше осмыслить основные понятия тригонометрии и дать ему необходимые навыки в решении задач.

Приводу глубокую благодарность редакторам брошюры Н.Б.Васильеву и З.Л.Гутенмахеру за большую помощь при написании книги, Е.Г.Глаголевой, Л.Е.Евтушику и С.ИЛварцбурду - за высказанные замечания, которые способствовали•улучшению брошюры, а также П.Р.Кантор, Т.й.Кузнецовой, А.Л.Тоому и И.Х.Сиваяинс- кому - за помощь в подборе задач. Благодарю также учащихся ЗИЙ, указавших на опечатки в предыдущем издании.

Просьба ко всем читателям брошюры приодеть свои замечания, пожелания, и в особенности новые задачи, по адресу: Москва, В-234, МГУ, мехмат, ЗМШ, Рабботу Ж.М.

Ж.М.РАББОТ

ГЛАВА I

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ.

§ I. Определения тригонометрических

функций.

Впервые мы встречаемся в школьном курсе с такими определениями тригонометрических функций острого угла:

Синусом острого угла <^ называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе любого прямоугольного треугольника с углем cL .

Аналогично определяются косинус, тангенс и котангенс острого угла.

Указанные отношения не зависят от размеров треугольника с острым углом J- , который мы выбираем (все такие треугольники подобны), так что отношения в действительности зависят только от угла аС ,то есть являются функциями угла оС , Именно поэтому нави определения имеют смысл.

Особенно просто выражаются тригономет

рические функции угла через стороны прямо

угольного треугольника с гипотенузой длины I.

Пусть катеты этого треугольника - ос.

(прилежащий к углу =Z ) и ^ .

Тогда 4in.«t-=i^-, coi=t-oc.-, ^.Х = ^^с^«С=-^-

Теперь дадим более общие определении.

Для атого мы будем использовать “тригономет

рический круг" - круг радиуса I на координатной плоскости Озе^ с центром в начале координат. Точнее, нам понадобится не круг, а окружность ос -с^ =

Итак, мы хотим определить, что такое ^Z , COloC и т.д. для любого угла Z .

А что такое "угол" ?

В планиметрии углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Пока остановимся на этом, хотя ниже - в § 2 - мы поговорим о несколько более общем понятии угла.

Заметим, что у каждого угла на плоскости есть правая и левая сторона: если стоять в вершине лицом внутрь угла (например,

смотреть по направлению биссектрисы), то

справа будет правая сторона, слева - левая.

Put 5Put 5V" VV" VПусть дан угол »6 . Расположим тригонометрический круг так, чтобы.его центр их находился в вершине угла, а осьмина направлена по правой стороне угла. Пусть ле

Put 5

Put 5

V" V

V" V

вая сторона угла пересекает окружность tr2+i/2=/ в точке Т ( ос. , ^. ).

Тогда, по определению:

Тангенс можно определить еще так: провести

прямую, касающуюся тригонометрического круга в точке ( I; 0 ) -"ось тангенсов". Пусть точка пересечения левой стороны угла с этой прямой ( I; р ), тогда tc^-Z^p. Проверьте это. Дайте аналогичное определение котангенса.

Тригонометрические функции позволяют очень удобно записать соотношения, существующие между стеронами и углами произвольного треугольника (отсюда ш название "Тригонометрия"), и вообще, бывают очень полез-

ны при решении самых различных геометрических задач.

Заметим, что функции, которые мы только что определили, - не совсем обычные функции. До сих пор мы называли функцией правило, по которому каждому числу (из некоторого множества чисел) ставится в соответствие другое число, то есть, как говорят математики, отображение некоторого

множества чисел во множество чисел, а тригонометрические функции, кек мы их пока определили, ставят в соответствие каждому углу некоторое вещественное число; другими словами, каждая тригонометрическая Функция осуществляет отображение множества углов во множество (вещественных) чисел.

Рис 7Рис 7В роли аргумента, тригонометрических функций выступают не только углы. Наиомним определения тригонометрических с№ншй дуги окружности.

Рис 7

Рис 7

Синусом дуги называется синус центрального угла, соответот- Г вующего этой дуге.

Аналогично выглядят определении для косинуса, тангенса и котангенса.

Рис <0.Рис <0.Таким образом, эти тригонометрические функции отображают множество дуг во множество вещественных чисел. Без них также было бы трудно обойтись в геометрии, особенно в "сферической геометрии" (геометрии на поверхности шара). Например, теорема синусов для треугольника АВС на сфере внтдядиф так:

Рис <0.

Рис <0.

^г/г. CL StH- 6 _ Sin с

Стороны сс , 6, с треугольника на сфере - дуги больших кругов, и вместо их длин, которые участвуют в формуле для плоского треугольника, здесь фигурируют синусы.

Еще чаще, чем тригонометрические функции углов и дуг, встречаются тригонометрические функции числа. Это уже самые обычные функции, то есть отображения множества чисел во множество чисел; их можно изучать, как мы зто делали раньше с другими функциями: строить графики, находить точки, где они обращаются в нуль, достигают максимума и минимума и т.д. Но дать определение тригонометрических функций числа труднее,чем

соответствующих функций утла и дуги.

Мы не будем подробно останавливаться на том, что такое (вещественное) число, и считаем известным ( см. брошюру "Метод координат" ), что вещественные числа вза

имно-однозначно соответствуют точкам пря

мой - "числовой оси".

Будем обозначать числа (и соответствующие им точки) буквой t. Определить,

что такое синус числа t, косинус t

и т.д., нам снова поможет тригонометрический круг .

Расположим ось t так, чтобы

она касалась тригонометрического круга в точке ( I, 0 ) и чтобы эта точка касания являлась на оси "t началом отсчета:

£ = 0. Теперь намотаем числовую ось t

на наш круг (верхняя полсвина оси будет наматываться слой за слоем против часовой стрелки, нижняя - по часовой стрелке).*)

Pur ftPur ftи) Мы, естественно, считаем ось

Pur ft

Pur ft

Ри с. 12.Ри с. 12."не имеющей ширины", то есть бесконечно тонкой.

Ри с. 12.

Ри с. 12.

Поставим в соответствие каждой точке t числовой оси ту точку Р на окружности, в которую она перейдет при наматывании.

Пусть ( я: , ^ ) - координаты этой точки < л и у - функции t ). Положим, по определение.

Длина окружности радиуса единица равна

2 ^ , так что отрезок оси t от 0 до 2 st образует первой слой на окружности, отрезок ^2 ST ,491^ - следующий слой

и т.д.; аналогично для отрицательных t

Таким образом, соответствие между точками t и точками окружности вовсе не

взаимнооднозначно: в каждую точку окружности попадает бесконечное множество точек t , отличающихся друг от друга на 2^>г.

( л - любое целое число).*)

и) Отсюда сразу вытекает, что значение тригонометрических функций во всех этих точках одно и то же, - как говорят, функции имеют период 2 Ж .Мы займемся исследованием периодичности и других свойств этих функций ниже.

Заметим вообще, что когда мы исследуем тригонометрические функцииили

просто ищем значение какой-либо тригонометрической функции в точке t , ось t удобно представлять себе намотанной на три-

Тритинометрические функции числа, которые мы только что определили, очень часто встречаются в физике, особенно при описании всевозможных периодических процессов, колебаний,волн и т.п. Они, конечно, исполь- « зуются и в геометрии, посиоль'-у они очень у просто связаны с тригонометрическими функ- ^-^^Т циями угла (и дуги), а именно:

синус числа Т равен синусу угла (ду- I 5 г--^ ги) в t радиан; аналогично для осталь- 1 U| ных функций.

Обычно именно этопринимается

за определение синуса числа. Иаше определение удобнее по двум причинам: вс—первых, чтобы определить синус для всех чисел t , нам не пришлось рассматривать "отрицательных углов" и "углов, больших полного" (см. § 2), и, во-вторых, мы обошлись без понятия "мера угла", которое само по себе достаточно сложно (см. § 3)^®^ х) гонометрический круг так, как мы описали выше. Только когда мы захотим построить графики тригонометрических функций, ось Т придется размотать и превратить в обычную ось абсцисс.

их) Впрочем, в нашем определении неявно используется понятие "длины дуги" - без этого нельзя объяснить, что значит"намотать ось на круг".

Во всяком случае, это свойство позволяет все рассуждения, которые мы будем проводить ниже для тригонометрических функций числа, моментально переносить на тригоноиетричес- кие функции углов и дуг.

Чтобы подвести итог всем определениям, которые мы дали в этом параграфе, и их взаимоотношениям, нарисуем такую диаграмму:

откладыЬание

АУ2Л4/

'^уг«\

’ Числа

на тригонометрическом

>* точки> ед

окружности ^ t-

^Наматыбание оси

НО окрупеность

Каждая стрелка здесь изображает некоторое отображение одного множества в другое. Разберитесь, какое именно отображение!

Эта диаграмма, как говорят, "коммутативна". Это означает, что если вы возьмете любой элемент из этих множеств и посмотрите,

куда он попадает после одного или нескольких последовательных отображений, обозна-

ченных стрелками, то результат не будет зависеть от того, по какому пути вдоль стрелок вы пошли, - другими словами, все эти отображения "согласованы"

друг с другом.

Одна такая "коммутативная диаграмма" заменяет сразу несколько теорем или формул, связывающих различные отображения, и на этом языке оказалось удобным излагать целые разделы современной математики.

§ 2. Обобщение понятия угла.

Разберемся сначала, что мы умеем делать с углами, какие "отношения" и "операции" определены для углов.

Во-первых, два угла мы можем сравнить либо они равны (если их можно совместить друг с другом), либо один из них меньие ' (если его можно полностью поместить внутри другого так, что вершины совпадут).

Во-вторых, два угла можно сложить: если приставить друг к другу два угла так, чтобы они лежали по разные стороны от их общей стороны, то получится новый угол, на зываемый суммой углов.

В школьных задачах по геометрии обычно нужны только углы, не превосходящие развернутого угла (то есть такого, у которого стороны составляют продолжение друг друга).

Что касается отношения "больше - меньше", то тут все в порядке: любые два такие угла можно сравнить. Но сумма двух таких углов уже может быть больше развернутого.

Если мы хотим, чтобы операция сложения была определена для любых двух углов, то нам придется расширить наше понятие угла: например, естественно считать, что сумма двух углов АОВ и ВОС, изображенных на рисунке, составляет "один полный угол" и еще угол АОС.

В общем случае нужно будет считать,

что угол состоит из части плоскости, заключенной между двумя лучами, и еще нескольких полных углов.

Можно представить себе, что такой угол склеен из нескольких слоев плоскости, сходящихся в вершине 0, причем краями служат стороны угла ОА и ОВ.

Чтобы задать угол, нужно задать два

, луча ОА и ОВ и целое неотрицательное уголу

число т- , показывающее, сколько "пол-

ных углов" содержит наш угол.

После того, как мы расширили таким образом понятие угла, мы уже можем складывать любые два угла.

Если потребовать, чтобы и операция вы

читания была выполнена всегда, то придется>

ввести в рассмотрение "отрицательные углы" v X (разрешить т- принимать и отрицательные значения). Еоли мы приняли вращение против к“у часовой стрелки за "положительное", то "отрицательные углы" будут задавать вращениелг = -2

по часовой стрелке.

Удобно представить себе это так: угол^Об^ги показывает, насколько нужно повернуть сто-■

рону ОА, чтобы она совпала со стороной ОВ./

Тогда случай т>о соответствует пово-А

роту на угол, больший полного оборота против часовой стрелки: луч ОА должен сделать т полных оборотов (и еще повернуться

на некоторый угол), прежде чем он совпадет ^-2 с ОВ. После этого мы приходим к следующему общему понятию угла.

Углом называется пара лучей ОА и ОВ, для которых указано, сколько (полных) оборотов и в каком направлении надо сделать, чтобы перейти от луча ОА к лучу ОВ.

Для двух таких "углов" нетрудно опреде

лить, какой из них больше, а также определить сумму и разность. Тригонометрические

х функции таких углов определяются точно так-

Я же, как это сделано в § I для обычных уг

лов, с той разницей, что отрицательные углы нужно прикладывать к оси Ох левой стороной (а положительные - правой). J

Заметим, что для двух углов ^ и

, отличающихся на целое число полных

углов, соответствующие им точки ( х , ч. )

на окружности ^ * ^^ = ^’ а слеД°ва” тельно, и значения всех тригонометрических

Л функций, совпадают.

Конечно, все сказанное про обобщение понятия угла полностью переносится и на дуги окружности.

О

СС§ 3, Измерение углов.

С

С

Мы нарочно в § 2 нигде не говорили о величине угла - об углах 180°, 360° и т.п., потому что для этого надо знать, что такое "численная величина" угла, а зто совсем не очевидное понятие. Сейчас мы остановимся коротко на этом вопросе.

Вам не раз приходилось сталкиваться в курсе геометрии с задачей "измерения", например, с измерением длин отрезков, площадей фигур и т.д.

е юе юДлина отрезка.

е ю

е ю

ееВыберем какой-нибудь отрезок С и назовем его единицей измерения. Пусть АВ - отрезок, который мы хотим измерить, целиком и пусть отрезок е укладываетсяУв- отрезке АВ ^0 раз (до точки С, см. рис. 14, на отрезке ВС - отрезок е не укладывается). Пусть, далее, kz1 - число, показывающее, сколько раз отрезок^- укладывается в отрезке АВ (в указанном выше смысле), к, показывает, сколько раз 5l_ укладывается в АВ и т.д.,

е

е

Рис. *4.

Площадь фигуры.Площадь фигуры.

Площадь фигуры.

Площадь фигуры.

^показывает, сколько раз отрезок •^ укладывается в отрезке АВ.

Таким образом, мы получили числовую последовательность зс^= -^ (так как этот процесс можно неограниченно продолжить), которая возрастает и ограничена (объясните - почему?), а значит (см. брошюру А.А.Кириллова "Пределы"), имеет предел.

Длиной отрезка АВ с единицей измерения 6 называется число

Выберем в качестве единицы площади

квадрат со стороной е . Пусть /с0 число таких квадратиков, укладывающихся целиком внутри фигуры, к-1 - число квадратиков со стороной , и т.д.,>6^-

число квадратиков со стороной,

укладывающихся целиком внутри фигуры.

Площадью фигуры называется

/<92

Длина дуги кривой.

Длиной дуги АВ (см. рис. 15) называется предел, к которому стремится длина ломаной

артр2 . . . Рп В, вписанной в эту дугу, когда наибольший из отрезков этой ломаной

АР:, PlP2, • • • Рп В стремится к нулю.

Определение объема тела Вы, конечно, без

труда сможете дать сами. А вот аналогичное

определение площади произвольной ("кривой")

поверхности, оказывается, дать не так-то просто.

Но главное не в этом. Можно,конечно, дать другие, равносильные этим, определения,

но важно следующее:

Каждому"геометрическому объек ту" (отрезку, дуге, кривой, углу и т.п.) мы ставим в соответствие некоторое число, которое называем его "мерой", т.е. на множестве этих "объектов" определяем некоторую функцию, причем эта

рр

р

р

функция обладает следующими свойствами:

равные геометрические объекты имеют равную меру;

если объект разбить на не- пересекающиеся части, то мера объекта равна сумме мер его частей (как говорят, аддитивность меры);

мера неотрицательна (вместо этого можно потребовать, чтобы мера целого была больше меры части).

Когда мы используем-понятие площади фигу

ры, длины дуги и т.д., нам бывают нужны

только эти свойства "меры", но совершенно

не важно, как именно "мера" определяется.

Интересно, что во всех перечисленных выше случаях эти свойотва позволяют одно

значно определить меру после того, как задана единица измерения (т.е. для одного и того же объекта разные функции, удовлетворяющие этим условиям, пропорциональны).

Теперь подробнее поговорим о мере углов. В школе вы сначала привыкли измерять углы в градусах: за единицу измерения при

IDIDРис. /7,Рис. /7,ри с. 18.ри с. 18.

ID

ID

Рис. /7,

Рис. /7,

ри с. 18.

ри с. 18.

этом принимается ^р часть полного угла. Это не очень естественная единица, и во многих случаях, особенно в математическом анализе, удобнее другая - радианная мера углов, при которой за единицу принимается центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. При этом, конечно,

./80 >.

в радианах у-иса -6

Радианную меру углов - причем для оЛ&цеяных угле» - можно естествен

ным образом ввести о помощью наматывания числовой оси на окружность, которое уже при-

годилось нам в § I. Покажем, как это сде

Рис <9.Рис <9.лать

Рис <9.

Рис <9.

Пусть АОВ - угол, не превышающий полного, причем, как всегда, луч ОА направлен по оси ОХ ("неподвижная сторона угла"). Поставим в соответствие углу АОВ ту точку "t числовой оси, которая при наматывании попадет в точку окружности, лежащую на стороне ОВ. Таким образов, каждому углу, не превыиающему полного, мы поставим в соответствие число "первого витка" -

от 0 до 2 ас « при этом каждому углу

ставится в соответствие его радианная мера.

Можно распространить это соответствие и на "обобщенные" углы. Для этого положительным углам от одного до двух оборотов аналогичным образом поставим в соответствие числа от 2 я:до 4 яг , углам от двух до

трех оборотов - числа от 4згдс бя: ,

и т.д., а отрицательным углам аналогичным образом поставим в соответствие отрицательные числа.

Советуем Вам теперь еще раз вернуться к диаграмме, которую мы начертили в конце § I. Напомним еще раз - и это хорошо видно на диаграмме, - что понятия, которые мы ввели, связаны следующим образом:

(синус угла Z ) (синус числа Z ), где под \ оС ) понимается величина угла оС в радианах, и аналогично для других тригонометрических функций.

Пользуясь этим, мы будем ниже допускать некоторую вольность; хотя всвду речь идет о тригонометрических функциях вещественного числа t , мы будем иногда считать, что аргумент есть угол в t ради-

§ 4, Формулы приведения.§ 4, Формулы приведения.

§ 4, Формулы приведения.

§ 4, Формулы приведения.

ан, - мы будем говорить просто "угол Z ", или соответствующая точка на единичной окружности. Вполне естественно, что это удобно делать при исследовании тригонометрических функций - ведь мы и определяем их с помощью точек окружности.

Теперь, когда с определениями покончено, мы-займемся более подробно изучением тригонометрических функций и формулами, связывающими эти функции.

Тригонометрический круг симметричен относительно осей координат и биссектрис координатных углов. Отсюда для тригонометрических функций получается целый ряд соотношений, которые называются "формулами приведения".

Оси координат разбивают единичный круг на 4 части, которые называются четвертями

и нумеруются,как показано на рис. Необходимо отметить, что иногда гово- / СТС

рят, например, что угол 9. = -^ лежит „9Л

в первой четверти, a j,-—^-- нет.

Неверно! Угол^ тоже e I четверти.

В первой четверти лежат углы =6,

удовлетворяющие неравенству

(Укажите углы, лежащие в остальных четвертях).

Выясним, какие знаки имеют тригонометрические функции в различных четвертях.

^четверть функция"'-'^

I

п

ш

1У

+

+

-

-

+

-

-

+

+

-

+

-

<zt^ al

+

-

+

-

Эти результаты легко получаются из определения функций.

Теперь рассмотрим группу формул приведения. Заметим, что формулы приведения

верны не только для острых, но и для любых углов (объясните это!), хотя первоначально,

как это видно из названия формул, они при

менялись для приведения функций к функциям острых углов. Конечно, запоминать все формула приведения (а их 32) нет никакой необходимости. Восотанавливать их можно по

такой схеме:

а/ смотрим, в какой четверти находится аргумент приводимой функции (считая oL острым углом);

б/ выясняем знак приводимой функции в этой четверти, его и надо ста

вить перед результатом;

в/ если мы работаем о горизонтальным диаметром круга, то есть с 7Е+3,тог

или с Zacn- , то название приводимой и приведенной функции одинаковы, а если с вертикальным, то есть с ^ + 2-%п- или с ^у Злп , то

название функции меняется.

Например, мы хотим преобразовать ^(^^.„с).

( ^^ + oL ) - угол в четвертой четверти, в ней котангенс отрицательный, -g- на вертикальном диаметре, поэтому мы по

лучим:

Доказательство формул приведения легко получается (причем не только для острых, а для любых»^ если применить наглядные геометрические соображения симметрии.

Так, например, точки единичной окружности, соответствующие углам с2 и ^-<=2 , симметричны относительно оси ординат, поэтому синусы этих углов равны, а косинусы - противоположны по знаку (на рис. 20 точка А соответствует углу =2, точка В -

углу Tt-dL ; точка . %- углу у5 ,

точка С - углу Лу5 ; разберитесь, почему углу X-^5 соответствует точка С ?).

Действительно, точки, симметричные от

носительно оси ординат, имеют координаты

(, ^ ) и ( - ^ , ^), откуда

и следуют равенства: 5,in_ (зг-=1)=-ЗчпоС, сеэ(л -Л.) = -ceool

Из этих равенств следует такое:

iriK. nL-C«oLiriK. nL-C«oL

iriK. nL

-C«oL

iriK. nL

-C«oL

Точно также

(^-«l) -- ct^ 2

Аналогично получаются остальные формулы приведения, например:

точки соответствующие углам =Z и 3t + =Z , симметричны относительно начала координат (точки А и В, С и 2) на рис. 21):

точки, соответствующие углем ^-к^ получаются из точек, соответствующих углам

2 , в результате произведения двух симметрий: сначала относительно оси ординат, а потом относительно биссектрисы П и 1У координатных углов (на рис. 22 точка А ( х , ^ )переходит в точку С ( - ^ , ^ ), а потом точка С переходит в точку В ( -^ , ^).

Вам необходимо проследить, как полу

чаются из точек, соответствующих углам »L ,

точки соответствующие углам

^ в ah-gS 1га^ в ah-gS 1гаВыпишем формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:Выпишем формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

^ в ah-gS 1г

а

^ в ah-gS 1г

а

Выпишем формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

Выпишем формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

§ 5. Основные Формулы.

Из определения тригонометрических

функций легко получается первая основная формула:

+ с^)г2 = /(j)

(^H^d-b ^rTjd'e'L ^CsoVCtoV(^H^d-b ^rTjd'e'L ^CsoVCtoVОтсюда

(^H^d-b ^rTjd'e'L ^

CsoVCtoV

(^H^d-b ^rTjd'e'L ^

CsoVCtoV

Аналогично

Прежде всего,перечисленные формулы позволяют, зная значение одной из тригонометрических функций некоторого числа и промежуток, в котором это число расположено, найти

значения всех остальных тригонометрических функций этого числа.

Пример. Дано: ^>i<V - - j:J ^ <о^ 777' Найти: csdoL, c^oL.

Решение: Попробуем найти сез=£..

Из тождества 4u^oZ + сез3-^ = / следует, что / с« <Z) =/7^~ёмЛ=/ (напомним, что корни четной степени всегда рассматриваются арифметическими, поэтому

Теперь надо воспользоваться тем, что о/ находится в Ш четверти (ясно, что без

этого знак косинуса определить невозможно, и задача имеет два решения), поэтомуcmoL<о;

Теперь уже легко найти значения остальных функций: "U Л == —;

Если промежуток, в которой находится

доказывается не так просто, как первая

(см. школьный учебник).

Все остальные тригонометрические формулы можно вывести из двух основных (I) и (2) (как, например, это делается в школьном учебнике). Более того, оказывается, что эти две формулы вполне определяют функции

у = ЭС и

ж) Точнее, пусть две функции u = S(xj и у = С <х) определены на всей прямой и удовлетворяют следующим условиям:

а/ 5^^;= S(x)C(^)*C(x) S(^,C(x^Q) = С(х)С(^) -S^Sfy)

Зал been X му ; (см law с гр,

И еще одно замечание. Вое тригонометрические формулы являются тождествами. Тождество - это соотношение, верное при всех допустимых значениях входящих в него величин, поэтому и формулы верны при тех значениях аргумента, при которых обе части равенства имеют смысл. Это всегда надо иметь

в виду. Нельзя, например, применять форму-в виду. Нельзя, например, применять форму-

в виду. Нельзя, например, применять форму-

в виду. Нельзя, например, применять форму-

и и= аа—а 2ри и= аа—а 2р

и и= аа—а 2р

и и= аа—а 2р

и S(x)>oпри 0<х<^.-

Тогда можно доказать, что

S(x) = hnx^ С(х)=сбэж

Отметим еще, что если в условии "в" заменить на любое р>о , то получатся функции имеющие период 4р.Др

Графики тригонометрическихфункций.

Часто при решении тригонометрических уравнений, неравенств или доказательстве каких-либо соотношений, особенно в тех случаях, когда в них участвуют тригонометрические функции различных аргументов, бывает ^полезно работать не с тригонометрическим кругом, который пока был в центре нашего внимания, а с графиками этих функций.

Мы не будем приводить эти графики - они есть во всех учебниках, да и Вы сами без труда построите их, исходя из определения тригонометрических функций.

Мы советуем Вам начертить эти графики для каждой их функций: ^= Кнх , ^=с®зх ,

и обратить внима

ние на следующее:р

а/ где функции не определены?

б/ где они обращаются в нуль? Положи

тельны? Отрицательны? в/ в каких интервалах функции монотон

но возрастают? Убывают? (Докажите это!).

г/ четные эти функции или нечетные (или ни то, и ни другое?).

Пользуетесь ли Вы этим свойством при построении графиков?

д/ каков период каждой функции?' (напомним, что функция j/ = /^ называется периодической, еоли существует такое положительное число Т, что вместе с любой точкой ^ из области определения функции точка зс+Т также принадлежит области определения функции и

Наименьшее из таких чисел Т называется периодом (или главным периодом) функции £ ). Найдите главный период указанных функций (со строгим доказательством!).

Будем измерять углы в радианах.

Укажем еще одно важное свойство графика ^= ^t^t ; касательная к графику в точке х =0 составляет ^ с осью абсцисс. (Если бы выбрали другую единицу для измерения углов, то это свойство не сохранилось бы). Это свойство.эквивалентно следующему соотношению:

д^ jr^K _ у, ^X-qucAo'), х-»о а

которое играет важную роль в математическом анализе. Мы вернемся к нему в третьей главе.

Задачи к главе I.

Задача ft I. Постройте графики следую

щих функций:

а/ ^&Си-(-х),

б/ ^ = | t^3C | ^

в/ ^ = ыу Зх^ г/ у = sTd+Sih-^X ,

Найдете периоды этих функций (если они периодические).

Задача № 2. Докажите, что если^=/(<г)— ионотонная функция (то еоть либо возрастает, либо убывает) или имеет конечное число промежутков монотонности, то она непериодическая. Как в этом смысле обстоит дело у тригонометрических функций ?

Задача № 3. Если на стеклянный цилиндр намотать прозрачную бумагу®^, на которой нарисован график функции и= /()

как показано на рис. 23.

у = to- <х.

Рис. 23.

и посмотреть на цилиндр сбоку (со стороны оси зс ), то мы увидим график функции

= to ^(х).

Докажите это и представьте с помощью этого способа графики:

а/ Srin-Xj

1/ -4хП XZ}

*г/ ^^Ь-

Задача № 4, Если намотать на прямой круговой цилиндр лист бумаги и эатем распилить цилиндр под углом 45° к его ови, то край бумаги будет иметь форму графика функции с&зх . Доказать.

. Задача № 5. а/ Дано:

^ Х+Зжп. < ot < ^- + 2хп.

Найти: сез «L+juioZ., б/ Возможно ли равенство

"5пл.оС— ^. -ИЛо^ ?

в/ Предлагаем Вам следующие рассужде ния:

Пусть о<<< < 5L ; имеем тождество

х— монотонно возрастаю-

а так как

пая функция, то

Деля обе части на <^<7 > о , получаем

Согласны ли Вы с таким доказательством?

Если нет, то найдите в нем ошибку.

Задача № б. В этой задаче иопольэуют-

ся формулы:

4tn_<^з cotoL = — 7 j

Первые две из этих формул позволяют получить полезное взаимно-однозначное отоб-

ражение оси

- Oo < t < + оо на окружность

х1+у1= / без точки (-1, 0):

Действительно, для любого значения^ существует единственное значение угла ^ -x<fot , такое, что t^Xr = t . Соответствующая этому t точка будет иметь координаты ceif и ^= Sin^f. Проверьте, что t можно выразить через ж и ^ по такой простой формуле:

1+х

Это отображение интересно тем, что оно переводит рациональные числа t в точки ( ■ х ,^ ) с рациональными координатами и обратно. Докажите это. Выведите отсюда общую формулу для сторон всех пифагоровых треугольников (пифагоровыми называются прямоугольные треугольники с целыми сторонами, например: 3, 4, 5; 5, 12, 13 и т.Д.).

Ответ: стороны треугольника - 'т.2--игг7 т1-^1,2тп,

где ^п - произвольные целые числа, у

Задача № 7. Что больше:

а/ -Зиг/?0 им- c&j 35° 2

б/ ^.(-80)или с^ 3 ?

Задача № 8. Можно ли в диаграмме, приведенной в конце параграфа I, заменить некоторые стрелки —»чавамаг «—^ ?

(Стрелка -е—у показывает, что отображение взаимно-однозначно, то есть каждому элементу первого множества ставится в coot- (h ветствие ровно один элемент второго, и / наоборот).Л

Укажите, какие именно стрелки можно 4 ЧП заменить. (Ответ на этот вопрос будет различным в зависимости от того, рассматриваем \ ли мы только "обычные" углы и дуги, то есть положительные и не превосходящие 2 71. , или "обобщенные" - как в § 2).

Задача 1 9. а/ Докажите, что график функции у = ^(х) симметричен относительно прямой х=а. тогда и только тогда, когда fM = £(а-+х) для всех х из области определения функции (причем, если х

принадлежит области определения, то 2а-х тоже должно ей принадлежать).

б/ Докажите, что график функции у - ({$.) симметричеи относительно точки V а, о ) тогда ш только тогда, когда

f(x) = - /(2а-х).

ъ/ Какие сишетршш графиков тригонометрических функций вытекают иа формул приведения?

г/ Докажите, что график ^ - #М2- сдвинутый на у вправо график^=&yjE, --- сдвинутый на ^

вправо и отраженный (относительно оси Ох ) график у = /-^ .

Задача № 10. Пусть колесо радиуса I катится по оси х со скоростью I. Какую траекторию описывает точка Р обода (в момент времени t=O она находится в начале координат х = о, = 0 )?

Запишите х и ^- координаты

этой точки, - как функции времени / (заметьте, как удобно измерять углы и дуги в радианах!).

Начертите эту кривую. Она называется

"циклоидой" и обладает целым радом интересных свойств (см. например, брошюру Бермана "Циклошда").

Рис 28.

ГЛАВА П

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

В этой главе мы рассмотрим ряд приемов, используемых при проведении тригонометрических преобразований. С такими преобразованиями Вы часто сталкивались в школе при упрощении ответов к геометрическим задачам, для приведения какого-либо выражения к виду, в котором его наиболее удобно исследовать, И т.д.

В § I мы рассмотрим задачи, близкие тем, которые Вы решали в школе, может быть,чуть более сложные.

В § 2 мы займемся несколько необычными вещами: будем вычислять некоторые суммы и произведения. Такого рода вычисления приходится проводить в "гармоническом анализе", при изучении комплексных функций и т.д.

Одна из часто встречающихся задач - доказательство тождеств. С понятием тождества Вы уже познакомились в брошюре М.И.Баимакова "Уравнения и неравенства". Мы сейчас напомним некоторые положения, связанные с доказательством тождеств.

Прежде всего,надо указать допустимые значения входящих в тождество величин. При использовании каких-либо формул нужно следить за допустимыми значениями этих величин.

Имеются следующие способы доказательства тождеств: а/ преобразовать левую часть тождества к правой или наоборот;

б/ показать, что разность между левой и правой частью равна нулю;

в/ от очевидного тождества придти к доказываемому;

г/ одновременно преобразовывая обе части данного тож

дества, придти к очевидному тождеству; но в этом случае надо всегда проверять, возможен ли обратный переход в каждом из

преобразований (например, верно: J--& =^ ип.^ — -^ъ

записать:записать:, так как здесь надо, так как здесь надоC^2qcL=C^2qcL=но неверно ^<2 = 4*>уЗ => <Z =ув

записать:

записать:

, так как здесь надо

, так как здесь надо

C^2qcL=

C^2qcL=

СЫкЛ^ОИ^

^иЛгЛ Ч^л^

J~-Jb-=27tl<- <Л^-=2яп.oL-^^K. ol-jl=7ik

сЛ-^Зуиг cL+p=x(2k.+l)

двух последних случаях ^ ^ (2#г-нУ? ^Л ^ (2п. + 1^.

И последнее замечание. При доказательстве токдества не старайтесь наугад применять все известные Вам формулы, надеясь как-нибудь получить требуемый результат.

Выбирайте для проведения преобразования именно те формулы, которые быстрее ведут к цели (и вообще к ней ведут). Иногда одно и то же выражение преобразовывают по-разному, в зависимости от того, что нужно получить.

Простой пример. Докажем тождество: "ta у = чТ,-, J^^•7Г^/г *'

Имеем:

сез j • 2 cos ^

-Я#юС

4 4-ClHol

При доказательстве тождества ^ т - —тг >- поступаем так:<7

M^M^(при =1 = 25itl бх«^=о, но ^"^^ тоже не сУ'Чествует).

M^

M^

В первом случае мы умножаем числитель и знаменатель на 2 «у

чтобы в числителе получился ^'^ - то, что стоит в числителе результата, который надо получить, а во втором - на

2 ^у , чтобы получить в знаменателе &п.»с .(Кстати, Это тождество верно при А^згк1)

Теперь мы перегодим к решению задач.

$ I. Доказательство тождеств, преобразование тригонометюичесжих выражений в произведение.

Рассмотрим некоторые примеры.

а/ Доказать тождество:

§гп.6</ -г сез£<=С + 3 Яп.2'оСс&1Чб = /.

Преобразуем левую часть:

-§г/г^ + ceVV. +3 зегЗьЗсезг=6 = //г/г"UJ + (cei2;/)3^ + 3 hXl-VcejV -(•Hn^oC + CeiVjC-Sih.Vot.-•i-i'n2=<.«9oV + 4 c&a^Z) + 3 ixn'J-cerV. = j^n?^ +2 ^мЗ-бсм2^ ^сез^ = Z

б/ Доказать тождество:

f<9d Зх Се16х .

— = 2(cel 2. X -сезбх).

ОМХ CejZX2

Допустимые значения _х :

J х Z у С2п +Л, +^(2к + ^?

Преобразуем левую часть :

ce-i Зх Ссабх _ СйЗх се12х - Сезбх CejX _

CejX ceoZx-сезх- се) 2х

х( ^ 2х + ceix)~ ^( ^ 7x4 c&J Ух) _ у сбзх ~сез 7х

”седх сез2х~2 сазх*э2х

■/ 2#ih^x1u-i3x _ ^Япхсезхcej2x ЯиЗх_

2. сезх с&12хсеэх №12х

-^ Hiinx iin,3x = 2,( cej 2х- сез ^х)

в/ Доказать тождество:

$-йгЗоС = ^K»V.oL n»v(60 +<Л) O*L-(60 -at),

9ф№ь легче преобразовать правую часть к левой:

4 Kn«L 4гк (Ьо'+^-Кк (ЬО"-Л) = 2,SuioL (се)2 <2 - Се) 120°) =

= 2,din»<2. с&э2<2 +2-О>ье2. ■ ^ = din.3=L — 5vt<Z+ fin Л = ЗйгЗоС.

т/ Доказать, что если Says = a^-^v у^ t т0 ^ Г^ з

Предполагая, что ^j6 £^ ^/г/УЛ ^ / ^ А^^Л

Я- ,= 0, + I, + 2, . . . , имееи

tg(dl+j3) ^л.(^)сезЛ _ •Яи.(2<2.4уЗ)+4О^ _ San^+a»^ _ j ^^' Ce)(ot+y) апЛ kH.p.e(.(is)--1^ .Tays - ап 9 z

Воя трудность решения этой, казалось бы необычной, задачи состошт в ток, чтобы привести —5—к такому виду, oL

чтобы можно было использовать данное в задаче условие.

д/ Начертить график функции

С ' * d-i-tot* V d-Mx Л» 1-f-uMX. 4 1-ce)3c J

Рассмотрим с < х < 2тт.

Так кан | h«x ) ^ / и l^x | < ^ , то все подкореннме выражения неотрицательны.

Кроме того, надо, чтобы J Wnxl *4 t*) Тогда имеют

I |663JC| # 1

смысл дроби под знаками радикалов.

Теперь преобразуем и , учитывая (м):

<-Ках J1 + ^->1 х"{!-мх)-(^дпх) _ 2s^x_ ^

1 + 4хпХ Vt-^x х/Т-У^'

Аналогично получим:

2 «зхI <Tihx^2 «зхI <Tihx^

2 «зх

I <Tihx^

2 «зх

I <Tihx^

Итак, имеем:

4iedX j.nX

| ce-jxl-1 jxi xj

м) Еще раз напоминаем, что метические корни четной степени,

рассматриваются только ариф-

ПОЭТОМУ ^[^г^1<^х) !

Учитывая теперь, что

&ИЗС&ИЗС€Сахл_€Сахл_

&ИЗС

&ИЗС

€Сахл_

€Сахл_

_ - ИпХ

|с«эх|с«эхоео хоео х-СеэХ-СеэХ€ми. 5€ми. 5ЗлЗл

|с«эх

|с«эх

оео х

оео х

-СеэХ

-СеэХ

€ми. 5

€ми. 5

Зл

Зл

и что период функции равен эе , постройте ее график само

стоятельно.

е/ Вычислить -^15° (без таблиц).

Имеем:

32л. 15°= £н, (25°- 30°} = М £#5°саз30°- &п.30°йю45° =

Л /,\_ Jz(J3-'U

ж/ Вычислить:

Cej 5L ■ СЙЗ ~ • СИCej 5L ■ СЙЗ ~ • СИ4JT94JT9

Cej 5L ■ СЙЗ ~ • СИ

Cej 5L ■ СЙЗ ~ • СИ

4JT

9

4JT

9

Заметим, что аргументы у косинусов увеличиваются последовательно вдвое и применим сведущий эффективный приеи (запомните его!): умножим и разделим данное выражение на 2 ^”-^-

(очевидно

33СОЗ д

3

3

9»

Чл 9

**^^

aj Преобразовать в произведение:

■Sind -+Яп/3 + jin у- -&H_(<j-+j3 +У).

Поступаем следующим образом:

-Яп^Сч- -кп^ч Ип У - -Яп^ч^а +Х) ЦдйгоСч Япр)-

[■^(аС+^+У)- Яп^^З-АгЛ ^^ «У ^г- -

2 ^ ( ^ 4- г) ^п ^. д^п ^.^±2 _

сед (<^1А + y)J = Ч jin ^£- 5чг. yy-s,>! -^^ ■

5 2. Вычисление некоторых сумм. а/ Найти сумму

S - "Srin о< 4- Яп 2<< + ■ + Ain Hol

Замечание. Для подобных сумм в математике принято еле дующее удобное сокращение:

5 =и с

Знак " X ” указывает на то, что происходит суммирование, каждое слагаемое имеет вид ^ъ12, границы изменения " Z "

указаны под и над знаком "2 ". В дальнейаем мы будем пользоваться такими сокращениями.

Решение. Умножим и разделим данное выражение на 2^п^- Тогда 5 = —*(9. jin 2 Jm^ + 2 ып jin 2=2 + ■ ■ + 2 нп ^ -^ot^

2 м -~222

Л .ndL , . П ,

< ' И -z-jin -Т-

Мы умнола м « лишь при s= о.Мы умнола м « лишь при s= о.делия Sна 2 ^п ^. это можно сделать

Мы умнола м « лишь при s= о.

Мы умнола м « лишь при s= о.

/ 2.Jtn ,^ = 0, + I, +2,... При = 2лп

Попробуйте оешить эту задах; Другим способом (группируя подходящим образом слагаемые).

Задача № II. Найти сумму

i = !

м) Строго говоря, здесь надо было применить метод индук- . ции (см., например, брошюру М.И.Башмакова "Последовательности".)

Задача №12. Доказать следующие формулы:

оо4

о

о

Замечание: Формулу "б" можно доказать аналогично тому, как доказана формула "а”.

Эти формулы помогают без труда вычислить многие суммы. Приведем примеры.

б/ Вычислить следующею сумму: п"'# гтй 5 = 21

Решение, Полагая в формуле "а” задачи /2^=о

И /2 = ^- «подучаем 5ТСЛ2_.

у 2,п-

в/ Вычислить суммы:

t-d

Решение. Заметив, что се?"к^ + Hnzkol^ кз сложим S и S' :5 + S' = п- (I).

Так как cej^ k<Z - 4in.zk<Z = tea Zkd } ro S-S'- Си ZJ. + ся 4=1 + ■ ■ -+CBO 4nd.

Применяя формулу задачи №11 (не забывайте, при каких ^ это можно делать!), получим:

^ ^> _ уп Z^'MjfZHfJZ 4^г<<(2)

Итак, из (I) и (2), имеем

,^ WrZnV. • CS) (Zd+ ()<£

Z £in.oC 1

,^ ^гЛ 2 d.d ' Св"Д С^- *Т ^ ()d-

-5 Jn/leZ

г/ Показать, что

Реиение, Преобразуем левую часть; заметив, что справа стоят котангенсы углов, постараемся представить

Та ок =Та ок =через ^d,c^.^-,.

Та ок =

Та ок =

_ С^ЗоС

С^ЭоС "4i_n.oL

—=^"a ^ '

Таким образом, имеем

аналогично получаем

^3г"-с^ г" 1с<3 г”"2

ИИУмножая эти равенства последовательно на ^ ■£, •

И

И

складывая почленно, получаем искомый результат (обратите вни

мание на допустимые значении *.).

Приведем еще пример на вычисление произведений, д/ Вычислить произведение

। = Сез-Счез 24 i&3^2 си 2 <•

е) Для таких произведений также есть специальное обозначение:р - П CO5 2V

Решение. Умножим это произведение на 2 ^п^. Пользуясь последовательно формулами

2 Sot ^ c#i<Z ™ л '^г ^^

2 Л/г 2о1 С^З 2.^- = Sin ^<^^

2 Sin. *#«L с&э РЛ ■=. Sin 8 Л,

2 Sin.2Л2 сезZ^ot = Яп. 2” 2, получаем

Л,4?/z V *р —2_<2^

откуда и^

2. Zin 2.

В частности, если <2 =. то sin 2 п*'<z =

2п +1

в) Волив) Волиsinz-f о. Как найти р , если ап^ = о

в) Воли

в) Воли

ш следовательно, получим для такого ^L

В частности, при

«- = I ; од ^-од =

(сравните с задачей ж) § I ).

* , * b § 3, Задачи для оамостоятельного решения.

/А Задача № 13. Доказать тождества:

а/ ^^+^-1^=С = /+ ^(^+^)-^а6,

б/ ceiSol - ^сей <<.c&i(^+«L)-csi(^-=<.),

г/ t^2.=l to(30-=<.)г/ t^2.=l to(30-=<.)to (60-<z) +to (60-<z) +

г/ t^2.=l to(30-=<.)

г/ t^2.=l to(30-=<.)

to (60-<z) +

to (60-<z) +

+ tg(60°-eL')-t^ (30-«Z) = i.

Задача № 14. Показать, что:

ceiGCjjLQ c^(JCi-l^} свй(х+Ь4/) а, еоли,

ccто -2d^-- 6t^_.

c

c

Указание. Использовать следующее свойство пропорций:

а_ _ с_6 dа_ _ с_6 d

а_ _ с_

6 d

а_ _ с_

6 d

Здесь необходимо найти допустимые значения х , ^ а % в , с « t/ ;

б/ если о< x<.ZL , тоб/ если о< x<.ZL , то

б/ если о< x<.ZL , то

б/ если о< x<.ZL , то

в/ если Мп (х — d. t ^^ ( х - х ) _ с.

4 т (х-^ в ces (х - ^) d

аоС+бс^С , то

aU ^ 6с

г/ еоли ct^x = сеж- l^js , эс на ^ (Zk. -Н^Эи , € f(zk+l}j(, А = 0, + I, +, 2,..., ТО

l + LqТа - - = -7 >"6 ’

Д/ если 0<-<<ad-, r</3- f ; С<^Т t

без X ч- cei ^ + ^oi (J =■ J 4 4 Sia ^ - Ьчг — ^^ ^, ТО

to, 15°, ^ 7,5°;to, 15°, ^ 7,5°;Задача № 15. вычислить: <-<*1 15е,

to, 15°, ^ 7,5°;

to, 15°, ^ 7,5°;

^ 22°30' .

Задача № 16. Доказать:

а/ c^f-^^-w ^ = /^

б/б/се» 55° сел 65е-со» 175° —се» 55° сел 65е-со» 175° —

б/

б/

се» 55° сел 65е-со» 175° —

се» 55° сел 65е-со» 175° —

-в, си^ + си ^- = ^;

г/ c-у ^ -t- сел ~L + сел -—- = ~ £•

Задача № 17. Преобразовать в произведение:

а/ ( CW X + Селу^-A ( ii^t х ч Ain#)"',

6! taZ + taA+taY-

/ Уг У cejot c«y5 сел^

Задача № 18. Доказать, что при ^.-t;з ч- у =. л имеют меото следующие равепотва:

а/ Pictol + Я-п.^ + Мп.у= ^cs»6^-се» & си ^

б! си =1 -+си^ + солу = / ч-ц Мп.*^- Sin-^-Ain -^-;

в/ t^.=i+t^.^>+ t^.y = t^,x-t^,^i^.yx

tj Un 2 У ч Airt 2/S * Aire 2У = 4 MnoC- Ainfi- Ain У;

Задача М» 19. Показать, что

2_ Ясс ( 2 с - /) о^-2

Задача te 20. Вычислить:

а/ 2 (- <) <V ;

i=c

i-1

б/ 2_ (-1) t oL

Ь = 1 п в! S. i cestoL ',

И

Д/ 2. -35гЛ ТГ ,

е/ 2_ 3се? -тс

ж/ 'ceil^i-(<- n^ewfV + c^)

Указание. Использовать формулу:

3/^

c=t

£«Z* ^(IzL+l')*,

2 > о,образуют2 > о,образуют

2 > о,образуют

2 > о,образуют

Задача > 21. Даяо:2* ^ + X = ^

^ > о, у > о, ^-^- । ^y& » ^^^ арифметическую прогрессию. Найти сад =2- eta ^

ГЛАВА Ш

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Эту главу мы начнем с изучения простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Для этого, прежде всего, необходимо разобраться в определениях обратных тригонометрических функций.

Затеи мы приступим к решению более сложных уравнений и неравенств. В тексте будет разобрано некоторое число примеров а в конце главы мы приведем больное количество задач для самостоятельного решения. Заметим еще, что общих методов решения уравнений и неравенств нет; умение их решать достигается путем большой практики.

§ I, Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

В этой главе мы часто рассматриваем тригонометрические функции и углов, и числовых аргументов, не оговаривая каждый раз, что слово "угол" всегда можно заменить словом "число" и наоборот (см. главу I).

Решим уравнение Яп-я. = а (I). Для этого рассмотрим тригонометрический круг. Проведем прямую ^=CL-

Если | а |>1, прямая не пересекает

окружность нашего круга, если laj^l , то пересекает её в двух ( 1^1 < / ) или —Х< -5 в одной ( |й| = I) точке.'•I - ^

Из рис. 29 ясно, что если (сЦ > f , \с/ р то наше уравнение не имеет решений, при

I а | = I оно имеет одну, а при | а|< /-

„Рас

две серии решений.

Рассмотрим случай /а| < 1 .Из рис.

29 видно, что решения нашего уравнения

можно записать так :

5C.=otf 13tn у X. =Д + 2Jlz2,

(случай о & а < t , здесь ^б[ц ^)^ е ^,л\ ) йли гак:

= Z+ 1лп,

a.z=/ + 2лп_;

(z*)

п- цсл?е

(это случай - •! < а. <о

здесь ^(^ (~^’ o') ■> ^ € (-^, ^)

Таким образом, при /я/ ^ / уравнение (I) имеет бесконечное множество реше-

НИЙ.

Ясно, что вместо <=2 можно в формулах (2) и (2*) написать любой угол, левая сторона которого пересекает окружность в точке А, нанример, ^ + 2 л- , вместо уЗ - любой угол, левая сторона которого пересекает окружность в точке В и т.д, Выбор промежутков для ot,ol,^,^' условен и обменяется только соображениями удобства.

Итак, реиение нашего уравневия^иохно записать в виде (2), если считать

Перепиием еще раз формулы (2):

Я^^уЗ-^ 2Ллг,

/г - целое. Оказывается, что все реиения можно выразить не через два угла ( =Z и

3), как в формулах (2), а только через

один (удобнее через =1), если заметить, что £=л-о1. Действительно,

формула ос = (- i)k -t-^-k. ,

/С - целое (3),

заменяет формулы (2). Проверим это. Если

А = 2/г , то

эс = (-1) -Z+Jt-Zn = ol-f- %лп = х , а если А = 2 п + I, то

эс = 7l-<Z + Z7i.n = /3 +2тсп = ^ .

Удобно ввести специальное название:

Число <A^f-^;^J , синус которого равен <х , обозначается cvcc-Srina,.

Теперь окончательно выпишем решение урав

нения (I):

х ^^l^cc^&ina ч-atk.^ к-О,± i.+ Z,,

Сделаем еще несколько замечаний относительно введенного здесь понятия алсип,а

Ясно, что выбор промежутка для алаига не случаен, а обусловлен тем, что, во-первых, в нем Stn d принимает все свои значения от -I до I, причем каждое значение принимается ровно один раз (выбрав промежуток от 0 до 7t , мы не смогли бы записать через №csina решение уравнения (I) при а <о , a cvtc$tna при сс^о имел бы два значения); во-вто-

которых функция ^ - м X МОНОТО1 числа, лежащие на отрезке У-^, -j Укоторых функция ^ - м X МОНОТО1 числа, лежащие на отрезке У-^, -j Урых, из всех промежутков длиной я , на которых функция и- iuix монотонна,

которых функция ^ - м X МОНОТО1 числа, лежащие на отрезке У-^, -j У

которых функция ^ - м X МОНОТО1 числа, лежащие на отрезке У-^, -j У

имеют наименьшую абсолютную величину, поэтому этот отрезок наиболее удобен.

Отметим еще, что можно выразить все решения уравнения (I) через угол Л^о,^]- Это делается при помощи формулы

<ис Sf>i(-a) - - лт< ji/id ,

легко получаемой из рис. 29. Например, решение уравнения

~ (- /) С - лто,/г ^. ; + ^ _

С помощью введенного понятия еыгг^^щ легко решаются и простейшие неравенства типа

И т.д.И т.д.5Т/г х » 6 ; ' Нп х I ^ сх

И т.д.

И т.д.

(Знак ^ означает, что левая часть сравниваемся с правой).

Покажем, например, как решается вера-

венство

ь«1 х < а

Воспользуемся снова рис. 29. Решение выглядит так: при со << е ()

ппи а 5 - <решений нет,

при а е (- f /]

г€- ( (2п-t^Tt - ахила, аМс5<ла + 27/м), п = О± !,*2 ,

Подобные неравенства (и уравнения) можно такие решать, пользуясь графиками тригонометрических функций.

С помощью рассуждений, аналогичных приведенным в п.п. I, 2, легко получить решение других простейших уравнений.(,

Г95Х -( ус-ч Цис 3!)f

П х - - <? ч< си С т* 2 л#?, а = С,±2 ,/'.

ахссе-^ 6 6 [с^J\

сч ic <еА -в ) = JT-а тс cej €

Рис 51

( C«XZ.. ^.<ЛС_.32.)

2C-= алс-t^c +тгп-) n = o,± -<,±5.,. .

сиге tq (-с) = - anctaC.

CVec

Здесь уместно заметить следующее. Реиение уравнений мы не доводили "до числа", а ограничивались линь нахождением ответа в общем виде. На самом деле этого достаточно, так как имеются таблицы, по кото- нужны^ рым из общей формулы можно получи неконкретный ответ.

Приведем решения часто встречающихся частных случаев простейших уравнений

(попробуйте получить их сами):

а) -^л х - о, S') -Япх = 1, У) oeix =о, г) Cel X = 4, д) t^x- О? е) ct^_x = o, Зи.) CeiX = -4, J) W X = -4,здесь вездеа) -^л х - о, S') -Япх = 1, У) oeix =о, г) Cel X = 4, д) t^x- О? е) ct^_x = o, Зи.) CeiX = -4, J) W X = -4,здесь вездеx = M ;

а) -^л х - о, S') -Япх = 1, У) oeix =о, г) Cel X = 4, д) t^x- О? е) ct^_x = o, Зи.) CeiX = -4, J) W X = -4,

здесь везде

а) -^л х - о, S') -Япх = 1, У) oeix =о, г) Cel X = 4, д) t^x- О? е) ct^_x = o, Зи.) CeiX = -4, J) W X = -4,

здесь везде

^ ' ?^ ^№' x = ^(zn+iy,

X = Zxn J

X = Лее j,

x=x(Zn+O> x-'^+ 2xm;

n. = 0, + I, + 2

Объясните совпадение решений уравнений а/ и д/; в/ и е/.

Не надо рассматривать введенные величины axewa. , а-чссаа и т.д. только как удобные обозначения для решения соответствующих уравнений.

Функция у= нпх не имеет обратной, т.к. одно и то яе значение ^ соответствует многим различным значениям х . Но если

МУМУРчс 3^Рчс 3^

МУ

МУ

Рчс 3^

Рчс 3^

взять кусок графика от - ^ ДО j , то для этого куска, т.е. для функции у =- |<z <-■>

обратная функция уже существует. Это как раз функция у = ихслт .с , её график симметричен графику функции

-^sX'^ относительно прямой у = ^

Уравнения и неравенства вида

Wi /(jc)^aj iin j- (z) ^ Л- ,

сез ^[х)=^ «^ {(z)^

и т.д. приводятся к алгебраическим с помощью формул, выведенных при решении прос- тейиих уравнений и неравенств. Рассмотрим два примера.

а/ Решить уравнение -№l(Sx + °^)=- ^ Вводя обозначение у = 5".с + Jg~ 1 получаем уравнение 4<а / = - ^ , решаем его: </ - Г- /) j +л"к', а затем на

ходим (X. х = (_ ,)к* ! 2L + ^ _

б/ Решить неравенство

" I ct^(iz- -^)\< V'T

Обозначая ^^5х~ ^- , получаем:

I eta и f .

Решаем полученное неравенство (см. рис.

36):^е ^ + агп ; ^+хги),

л = 0, + I, +2,... Теперь, решая неравенство А+ < зд._ ^ < 1^-+^, получаем ответ:

В заключение параграфа мы хотим пре

достеречь Вас от такой часто встречающейся /

ошибки. Пусть решается уравнение vnx =—-^ Механически_ выписывается ответ: х = (- «^анс-Уп- '‘-^^-^ лп Но ведь ^-^> / / (Ответ: уравне- <

ние решений не имеет).

Теперь мы переходим к решению более

сложных уравнений.

§ 2. Некоторые типы тригонометрических

уравнений.

В этом параграфе мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы уравнений.

Напомним также, что при решении тригонометрических уравнений надо соблюдать об-

щие правила решения уравнений: надо следить за равносильностью переходов, не допускать потери корней, отбрасывать посторонние корни, шсследовать наличие решений в зависимости от параметров и т.д. (с этими вопросами Вы уже сталкивались при изучении брошюры М.И.Башмакова "Уравнения и неравенства").

^Т?) Начнем с уравнений, содержащих тригонометрические функции одного и того же аргумента и приводящиеся к ним. Первый, довольно распространенный метод решения состоит в сведении данного тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно некоторой тригонометрической функции (для этого, естественно, надо привести уравнение к такому виду, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию). Рассмотрим примеры.

а/ ^тгх * to! X =о

Преобразуем это уравнение, заменив

2 на I - mi , тогда получится уравнение алгебраическое относительно сах (можно свести это уравнение и к алгебраическому относительно , но оно будет гораздо более сложным): се^х-сеох-1=о.

ъ

Полагая ^ е седх , получимг ,4^

g&jx =

ранений нет, так как

/Е=— cvtccm —-— + 2 тгл.

б/ Рассмотрим уравнение вида

аоЯп х +atim хсих+а^^ сй)х+..+

П-fл

+ а. 4<пхсез х + а „ сед х =с, гг>

где ao1...tCL^ - вещественные числа, аоФ 0. Такое уравнение называется однородным относительно 4wx и седх (здесь в каждом слагаемом сумма степеней рииуоа и косинуса одна и та же, а именно, п ). Предположим, что седх = о. Тогда, подставляя седх = 0 в уравнение, получим

а0 Яилх^о , а т.к. а0Ф о, то

«пх = 0. Получили противоречие, так как -Яп.х и седх одновременно в нуль обратиться не могут ( Згн^х * сед2х = I).

ИтакИтакceix f 0, поэтому мы можем обе

Итак

Итак

части ураннения поделить почленно на после чего получим алгевраичеокое уравнение п -ой степени относительно tgx;

aottpc ^а^'1 jc + -- +«.п , t^jc +<1^= С,

решив которое, мы найдем ответ. Заметим еще, что совершенно аналогично можно было показать, что нлл^ О и деля >1/Лт , получить алгебраическое уравнение относительно ctq х .

Можно рассматривать уравнения однородные относительно любой пары тригонометрических функций, причем зти функции могут быть от разных аргументов, например,

ао ^l* *°ч У"’iin ( j" ^)*

Эти уравнения решаются аналогично показанному выше (только здесь могут быть случаи, когда функции, на которые мы делим, обращаются в нуль). Так, последнее уравнение приводится к виду

, Получим урав-, Получим урав-ПолагаянениеПолагаянение* cl„ - с.* cl„ - с.

, Получим урав-

, Получим урав-

Полагая

нение

Полагая

нение

* cl„ - с.

* cl„ - с.

из которого определяем ^,..., ^№ Теперь наша задача свелась к нахождению решений /г таких уравнений:

^7 -2х_Ту 2л

Из полученных решений надо выбросить корни уравнения ( у - ^)-°

Отметим еще, что начиная решать пос

леднее уравнение, надо было сразу нависать, что значения л - ^~(^'ъ + •) являются недопустимыми, так как при этих значениях неизвестного t<^ zx не определен.

в/ Теперь рассмотрим группу уравнений, приводящихся к уравнениям с одной тригонометрической функцией с помощью так называемой "универсальной" подстановки:

^^-r+tr^^-r+tr

^^-r+tr

^^-r+tr

Решим, например, такое уравнение:

лт 2х * t^x — 2.

Допустимые значения неизвестного: хфу(2Ы), к,- целое. Пользуясь формулами ( и ), преобразуем данное уравнение к виду

Далее, полагая t^x=^ получаем: уЧ^Зу-г-о (**)

Разложим левую часть уравнения ( и ) на множители: ^-^’V^1'-^-t^^-Zi =0

А = О\А = О\

А = О\

А = О\

n=.o±t.n=.o±t.

n=.o±t.

n=.o±t.

if йст£«тсльны риисицй ист

Заметим теперь, что формулы ( * ) можно применять тогда, когда и правые, и левые части входящих в- них выражений имеют смысл. Мы применили только первую из них (в виде =), она имеет смысл при

х*^-(1* + #) , н0 х^^С^ + Л не входят в область определения уравнения, поэтому найдены все решения.

Вообще же в подобных случаях надо проверять. не являются ли такие исключительные значения неизвестного реиениями.

Замечание, Отметим, что вместо того, чтобы раскладывать левую часть уравнения ( зе зе ) на множители (часто зто бывает очень трудно), можно было применить одну теорему из алгебры: если у многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице, есть целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена (включая и "тривиальные делители", то есть единицу и сам свободный член). Выписав целые делители свободного члена уравнения ( зе зе ), то есть I, -I, 2, -2, прямой подстановкой находим, что ^ = I - корень ( зе зе ), а затем поделив левую часть ( зе зе ) на и. - I, получим квадратное уравнение уг-у +2 = 0 для определения других корней.

(^2?) Многие уравнения реиаются с помощью разложения на множители. Для такого разложе

ния, если его нельзя провести сразу, применяют различные тригонометрические формулы:

преобразования суммы тригонометрических

функций в произведение и наоборот; формулы

удвоения, деления аргумента пополам и т.д.

Приведем примеры.

а/ 9.11<'-2хсезх - 4iin.?A t сил -Z =0,

(t^x-z'lQZs^t.Zx * f^C,

смх=2, jtftueHuu нетсмх=2, jtftueHuu нетkn 2x -"2’ГЛkn 2x -"2’ГЛ

смх=2, jtftueHuu нет

смх=2, jtftueHuu нет

kn 2x -"2’

ГЛ

kn 2x -"2’

ГЛ

6/ fin 3z = tin 2z •/ tin x

4m 3x - tut 2.x - Цп. X = 0.

Преобразуем разность клЗх- tmx в произведение, а 41П.2х к функциям " х " :

^ Jin.xce) 2х - Qimхсезх =0,

^ Jf/Z X ( СИ 2х - СМ X ) - О.

Преобразуем см 2х - ода в произведение:

7 ivi X7 ivi XVnx -ОVnx -Оjin hn ~^--0jin hn ~^--0ЗхЗхЯп ^=С'Яп ^=С'^ -у-^ -у-х^ - *2.7tm,х^ - *2.7tm,

7 ivi X

7 ivi X

Vnx -О

Vnx -О

jin hn ~^--0

jin hn ~^--0

Зх

Зх

Яп ^=С'

Яп ^=С'

^ -у-

^ -у-

х^ - *2.7tm,

х^ - *2.7tm,

Здесь надо обратить внимание на часто

встречающуюся ситуацию: третья серия реше- ни: содержится в первой (см. рис. 37, там значком х обозначены точки окружности,

соответствующие решениям первой серии, а

значком о - третьей серии). Поэтому окончательно ответ записывается так:

. 2лгк Х^Яп.. Л,у- .

п, к -<о, * /,..

в/ 2 tm г - Яп ^'х . V’J _1.г

Преобразуем левую часть уравнения в сумму: г« г 5.Т cos Зх

ГМ SX - О

г/ Мы сейчас приведем пример уравне

ния, решаемого с помощью "боевых формул

тригонометрии":-

iч-anol = Иж^-, 1-сио1 = 2 Яп^ ^ ■

Эти формулы очень часто применяются для понижения степени уравнения, а также для перехода к двойному или половинному аргументу :

Решим уравнение:^сих-2с«2х = 2 си2 2х

£casx - сси2х(1+ 6е^2.х)=0

2 Мх - 2^«2хсе1гх = 0

% сезх\ 1-си 2х-сих) =0

оах = о,3C. = ^k+f\К = о+1,±2,оах = о,3C. = ^k+f\К = о+1,±2,c&i 2х-сих = /.

оах = о,3C. = ^k+f\

К = о+1,±2,

оах = о,3C. = ^k+f\

К = о+1,±2,

Так как ]си2х ^ /, lc&sx\£ 1 это равенство выполняется тогда и только тогда когда оба множителя равны либо единице, либо минус единице:

teiX = i,teiX = i,C«2x = I;C«2x = I;MX = -I м2л = -IMX = -I м2л = -IХ^^Тси., Tx = 5ятХ^^Тси., Tx = 5ятte^(2P+^>te^(2P+^>X^ 2ЛП, n^tl,..X^ 2ЛП, n^tl,..Эта система решений не имеет, так как при при каких целых р и ср оба равенства одновременно не выполняются.Эта система решений не имеет, так как при при каких целых р и ср оба равенства одновременно не выполняются.Разберем еще один пример: как решается уравнениеРазберем еще один пример: как решается уравнение

teiX = i,

teiX = i,

C«2x = I;

C«2x = I;

MX = -I м2л = -I

MX = -I м2л = -I

Х^^Тси., Tx = 5ят

Х^^Тси., Tx = 5ят

te^(2P+^>

te^(2P+^>

X^ 2ЛП, n^tl,..

X^ 2ЛП, n^tl,..

Эта система решений не имеет, так как при при каких целых р и ср оба равенства одновременно не выполняются.

Эта система решений не имеет, так как при при каких целых р и ср оба равенства одновременно не выполняются.

Разберем еще один пример: как решается уравнение

Разберем еще один пример: как решается уравнение

Уравнение имеет решения при тех "а ", при которых (2а-Л € [о, У] , то есть

а е f j 7 VJ . Тогда

_ toyccM^^a-l'VZxk , к=О±^

Можно было решить данное уравнение по-другому, более искусственным путем:

•уйг^Х * смчх -(с^Лс + 6in1jt)^-24<n:LxceSLX -

^Ix12^Ix12тт

^Ix

12

^Ix

12

т

т

Еще раз обратим внимание на то, что при решении уравнений с параметрами необходимо исследовать, сколько решений и ка

кие решения имеет уравнение при различных

значениях параметров.

(ST) Рассмотрим уравнения вида cc-^inx * Ьедх^с . Их можно решить с помощью "универсальной подстановки" (см. п. I в настоящего параграфа), но мы сейчас укажем другой метод - метод введения

вспомогательного угла.

Мы предполагаем, что а т 6 одновременно не обращаются в нуль, то есть что »z + ^г / 0. Тогда получаем такое

уравнение, равносильное исходному:

(■—===,—Япх+-—"=г • ля лг) = с

\>[а?Тбг’/

— Япх + - 6ceia = -~=7

\jal + 6^^Ja^+e^ ija^+ в2-

Так как

а _ ^ ^ * б

4 1

k I

^дЛ+б2 I

ТО МОККО ПОЛОЖИТЬ -у— -=; - ему ;

g2-

у , ,.' = w"f f причем эти ооотно- уяг *6

нения определяют угол f о точностью

до целого кратного 2х , поэтому

KnxeeiVf ч-седх-4гиу = -.^-.-j \jcS7e2

^(X+v) = -Д="^а1* б2-

Ответ: если I С—I > 1 . решений нет; ' 'ja2'* g1- 1

если I -—С - I^ У, х =Н) n«xes(n -£_=т ч-Тси-^

(^ Здесь мы рассмотрим уравнения о обратными тригонометрическими функциями. При решении этих уравнений мы используем лишь определения тригонометрических функций и с их помощью сводим данное уравнение к обычному тригонометрическому или к алгебраическому уравнению.

OH.e^t(4-x)=Ji ,

получим:

Л+^=^, ПОЭТОМУ Z?!^^ = /

пользуясь формулой

б/ алеем (х-#) = 2 олесв! ос.

Ицем допустимые значениа со :

Обозначим evtti^ (4 ■#■$.) через ^ , тогда tg <л - 1+х. Аналогично

а/ Решим уравнение

cutely. (d+x) + cutely (4-ос) = ^

По условию

(]ос- f | ^ 1, I |xl <1 ;

О— XiX

-A &X6t

\О о<хб <. ’s

Обозначая: art.eeeo(x-i)=^, алссеоос-^^ получим: ^ °^ = х-4, е^в = зс.

Из уравнения следует, что

<^=2^ Ф4> св)=4. = cn2fi}

НО сез 2j4=un!y-4<n2'^=A,ana^-4 = 1хг- 4.

Итак,

^х^-х =0

x(2.x-d')=0

X^Oy X^ 4^

^ ajtt*tn.(J-x) = MM64('fi-x').

Ищем допустимые значения х :

Допустимое значение х одно, х = О, поэтому уравнение может иметь только одно решение; проверим, является ли х = о реиением:

ахд^-О)=^> аиыы^+о^О.

Итак, уравнение решений не имеет.

В заключение этого параграфа мы еще раз хотим обратить Вайе внимание на уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Они обычно простые, но га них проверяется очень многое: знание определений аркфункций, тригонометрических формул, умение реиать обычные

уравнения. Поэтому мы советуем Вам прорешать самостоятельно все примеры такого типа, приведенные в конце главы.

Тригонометрические неравенства.

Решение неравенств,содеркащих тригонометрические функции, обычно сводятся к решению алгебрамческих неравенств и элементарных тригонометричесних, такого типа, как рассмотренные в § I. При решении неравенств не забывайтё^бласть определения я множество значений тригонометрических функций. Разберём несколько примеров.

а/ Решить неравенство:

^сихх -2( I- vz)аих - 'll >О.

Обозначим ceix = t . Тогда наше неравенство можно переписать так:

tyt1-^ l-ft)t - & >о (*)

Решаем это неравенство:

’л-g -

4- У1

Рис. 38Рис. 38ТГ V X L

Рис. 38

Рис. 38

Решение неравенства ( к ):

Теперь решение исходного неравенства свелось к решению двух элементарных неравенств:

I) смх<--^-, 2)

Решаем неравенство I):,

^ х < -

^ + 2 эгл- < х <+ Или. .

П-0,11,...

Теперь решим неравенство 2)

С№ X > 4: >

к=О, ± 1, .

Ответ: ^.+ 2.тгп <х< у у 2лпf 2лк< х <4+ Zjlk,

б/ Решить неравенство:

>0.

3

Л

Обозначим: Япх + 2 Л ceix =t.

Тогда t >о , иначе ^ t не существу-

0

ет. Исходное неравенство перепиием так:

(*)

РисЛ!

Обозначая ^t=i( ^q^-чяя fo-u^O.

Из рис. 41 видно, что о <и < / .

Итак, < ^^ 4 /•

Из р' 42 получаем, что I<t ^ 4.

1

Это и . Итак, К» &^

еоть реиение неравенства ( и ). нам надо решить неравенство

Рис. иг.

/< Кп_х + ХЛсезх *Ц.

Преобразуем Яп х+ 2 Л сео^ •

Я^Х + 2Л.СМХ. = 3яп (х + Ч),

где угол Ч определяется из условий

сезЧ -

Яп-Ч =

7

3 '

2Л

3

Обозначим а. + ^ = «L . Тогда наие неравенство примет вид:

ИЛИ /,2//\

5°

Правая часть ( $ $ ) выполняется для любых d , поэтому окончательно запишем:

-4in.oZ > J

На нашем рис. 43 у? = алыш j- ;

X ~ л - ол.еЯп.-^. поэтому получаем

такое решение:

амеИпу+Uin. < ol< зг-cvtMin.^ + 1лп. Dd

Теперь имеем:

+ 2,лп < х ч^Ч <3t-cutt4in^+2зтл

откуда получаем

Ответ: але^^ ■t+2'лл -^- <х<Л-яЛсЦм^+ З^лл - ^j

где Ч- Cvlecm i.

в/ Доказать неравенства

5t>ix < х < t^x , где О^х< ^.

Из рис. 44 видно, что

5<54 3(*-**)

ДОЛС Сект ОЛС Д.0Л6

?ис.ЧЧ.?ис.ЧЧ.Вычислим теперь эти площади:

?ис.ЧЧ.

?ис.ЧЧ.

ДОАс г16

(так как 0А = I);

акт ОАс 2jt -2, ’

Итак, получаем, подставляя найденные выражения для площадей в ( и и * ):

-^ Мп х < ^ х <

z5»^

откуда, деля на положительное число -g- , получим доказываемое неравенство

Задача № 22.

Докажите, что c&ixy-t- ~ (2). Из этих двух неравенств(f) и (2) легко получается одно из замечательных

соотношений

Попробуйте получить его.

Еще два интересных предела:

(докажите это).

г/ Доказать,что при ос х^ ^

Соз зйгх > Япхезх

Учитывая, что С ^ х £ ^, получаем

О 4- сезх ^ / < ^^ поэтому, согласно предыдущему неравенству, Кп. СОЗ .Г 4 С 63 х(I)

но по тому же неравенству

О - X £ X 6=>

поэтому

СОЗ X < СОЗ $(П х

(2)

х) То есть для любой последовательности хп , стремящейся к нулю, ^^ 3<n xh __ у

(в I-й четверти седх - убывающая функция).

Объединяя (I) и (2), получим требуемое неравенство:

д/ Доказать, что при о< х < 2

СИХ

ИпХХ(сиХ -&XZ)

Имеем:

с<у 2с^ _ calx-Зи^х-сих+Залх Яп2х (сих - Яп X)Япгх(сИХ-Япх)

On^xfcnx- Jinx) \ Яп3х /

- _• сих (4- 8аи2х)+8j. сих-анх Jf/

Первый множитель положителен, так как при

о<х<^ апх >о, »смх>япх

(докажите это!)

Далее, при о<х<3- все три выражении:

-1— >мх 4- 8 ап.1 х

Ип3Х

убывают, позтому наименьшее значение

—j- ( 4-8«п1х') кп^х

получится при

^, оно равно 2,

следовательно,следовательно,_^8>О,

следовательно,

следовательно,

4inAx (се^х- Лпх)

а значит,^^— >8-

&п.хх(с«х-Лих)

В этом примере, в отличие от предыдущих, нам пришлось существенно воспользоваться монотонностью тригонометрических функций на некоторых участках изменения аргумента.

е/ Теперь докажем, что если ^ , / , У - углы остроугольного треугольника, то

•l^al-h Яп2ув -f ЛпгУ>2.

Условие, ЧТО at , ^ И Y - углы треугольника, записывается так;

=И-^-+Г=зг-,

отсюда получаем:

Y- Ti- (»с^).

Преобразуем лп iZ + -Лп^З + Ллху>

учитывая последнее равенство:

.2 у /- cei2ol 1-eeila, .

•^п «L * ^ S-+ лп if =-t+ / - cei g -

cei(aL-*^)c«(nZ-^) = ce)1- (-L+JS^

9L-cei(.*i-^\ce^(«L-^') + c«(=t+^V\ =

= f- f CM/jT-^jCAI^aH/» =

= 2+ZceialwjSce)^.

Теперь используем то, что =< , ft ш^

- острые углы:

^=/>5^ ceiji>03 с«У>О,

поэтому

2, + 2 ce)<2ce)ft cei у ^ 2,

что и решает поставленную задачу.

Задача № 23, МФТИ.

Доказать неравенства:

al^^-lXb^JC-Mc^5xt^2x-<V-i->

Tf toi ^. ».лА. ^L г±, Д+В + С^л;

eiyu-^^, t^^A

Задача fc 24. Решить неравенства: а/ д ипгх -ь 3t^x -2 иа^х >0, б/ се^х-аиЗх - Ии4х • a>z Зх ^ ^ >

• в/ см X - tinx-cei 2х>0,

(Указание. Применить "универсальную"

подстановку.)

д/ otg -к *т » о, z / се^х-2

е/ ^['^^ (^)] -у

» ж/» ж/(й tax < 2 Со Vnx 1, Омх »aigx

» ж/

» ж/

Задача № 25. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

у = asoizx* 6i»i>?^rsiX ^гго^а:.

§ 4. Системы тригонометрических

уравнений.

При решении системы тригонометрических уравнений надо стараться свести её к системе алгебраических уравнений или попытаться сразу исключить одно из неизвестных системы тригонометрических уравнений.

Рассмотрим пример.

а/а/X + у = 75®

а/

а/

3.23

■Ц/г ос + im ^.= -^

Второе уравнение системы перепишем в виде

г2‘ V

или

2, (сез Zx + саз Zy) - /

ИЛИ ^# С« (х+у)сез (х-у) = /

Но так как х + ^ = 75°, то имеем

4сез ?5°cs3(x-i^) = /,

откуда:

,.//<« fs°

сот гх-и)- — =— ~

4ceitS” 4 sin <5° 4tftH$^.n«-°

2кп30°

Итак, <^ч ( ж - у ) = сеЗ 15 .

На основании условия равенства двух косинусов имеем:

ж - у = 15°+360°/г

х - у = -I5°+360°w .

Таким образом, имеем две системы:

а-Ц 57 15 360 ft, 1ж -у = -15 +360 т

Дальше ясно.

ОТВЕТ :

Х3 = 45° ( 4п +/)з y.t- 50 (1'6 •г),Х3 = 45° ( 4п +/)з y.t- 50 (1'6 •г),х^=30о('бм + /)) уг = N5c(l-4m).х^=30о('бм + /)) уг = N5c(l-4m).

Х3 = 45° ( 4п +/)з y.t- 50 (1'6 •г),

Х3 = 45° ( 4п +/)з y.t- 50 (1'6 •г),

х^=30о('бм + /)) уг = N5c(l-4m).

х^=30о('бм + /)) уг = N5c(l-4m).

б) Решим теперь такую систему:

C^^ (Zk+f),

Применив формулу

Та «I + tn з =,

a s' =2 сезв

запишем второе уравнение так:

$<>г (г + у) - т ,

Cej jr Г 0! у

Далее, заменив ceix^ на №1У^№ и -с* у на , получим

сезоС

HIM

с03 (j(-^) =- £И.2

Это уравнение зквивалентно такому:

ЭС-у - ±cwccei ^ ^ Х'~" ^^^^ли (*)

Присоединяя к ( х ) уравнение л+(у-<2- , получаем

Ответ: Г ос =^[^ ^гг^сги^^'^-се^+Л^

/ и ахсс«(

Отметим еще, что для того, чтобы уравнение (ж) имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы:

2^^ _ WoL I с 4

х ^ (^k+i^ ^Т^Р + О, X. СО) <Z ■+СО)(Х-у) ^0 . '

Решение этой системы неравенств мы предоставим читателю.

5 5, Разные задачи,

В атом параграфе мы рассмотрим более сложные уравнения, чем раньше. Для их решения приходится комбинировать рассмотренные ранее способы.

Кроме того, мы разберем несколько примеров, в которых приходится проводить довольно кропотливое исследование существования и количества решений в зависимости от параметров, а также несколько нестандартных задач.

а/ Решим уравнение

■дгп(9ГСО5Х) - to^Ti «П ЭС*).

Перепишем это уравнение так:

^ ^ ^ - Л^х)- ой (ляпх) =о^

( ЗОвйгх+Лее)эе. Л\-п

(2^/'°

^ + ^^:)^0

^ (см -гл.3 ton 3)

2</Г Так как lan^l^i то к может принимать е^инстьемное Значение, равное нулю. Итак,

X^^-^Taxcaaltl +2тгп.

d) 4tn3x ч- cei^x = 1.

Л-кп^лсмх л _ ^.

^итх + C&iX =2

1 2Я

Cto(x-2L\- -1_- ^2

1 Ц' 2Д Ч

ЭС^-^ -Ьахссез^ ь2лт

I способ.

jut3X + св?х = Я^х + сигх

(^n3X -*Л2'х)+ ( LH^X -Ф42х)-0

Яп1" х (ап х - 1)+ch\(chx~j) =о

(/- смх)(1- Ял X^l + hnX + с&х) =0.

Выражение 2 + Япх + сих £ 0, так как в противном случае должно быть яп.х=сих--^, что невозможно.

Таким образом, имеем два уравнения;

I/ -Яп_х=^,2/ ceix-i.

Из I/ следует ^ = ^ ^ 2^, а из

2/ находим х^= IxiC.

способ.

Известно, что 4гЛ2Х си^х = Z Поскольку \Hn-X | ^ У и (сих J -/ для всех х , то • | Яп?х\ <■ Япгх и ( си3х | £• сигх ^).

Отсюда следует, что

14i'#i3^ + гбЭ3^I <(Нп3х\ + 1сез3х1 ^/

причем знаки равенства здесь могут быть только для тех х ,. для которых они стоят в неравенствах (х), то есть для

х = ^п_ .

Поэтому все решения нашего уравнения -а^х ч-се?х = /

содержатся среди х = ^п .

Непосредственно убеждаемся, что из этих х уравнению удовлетворяет только х = к лк и х=^+2_л6 .

в/ сетЗх с&?х + НмЗх зт3х - о

Известно, что

I/ сезЗ>х - к<-&i3x - Зсюх,

2/ НпЗх = 31tXiX - кЯп^Х,

откуда

, сезЗх+Зсмх з ЗНпх-япЗх се х з нм х =

737

Подставляя значения <хч х и «х^х

в заданное уравнение, получаем

oyj Зх (смЗх+Зсмх )ч Яп3х(3 Яп.х - Нп Зх)-О

f сеаЗхсезх ^ янЗх Япх)+ св^Зх - Япг3х =о

3 064 2х +се)6х =0.

Но поскольку

се^ 2х - -^ ( омбх + Зсм 1х),

то окончательно имеем:

Цсе? 2х - О

се) 2х - О

г/ ->t?L^ar • *пх +сб)гх - ^Гх #in^x +ce5L 9х

Имеем•ч H^-12L - о^^-^9^ ч lH^^L

2222-

После преобразования получаем:^лА 15к

се) 2х -се4 Зх + см 9x-cei8x - О\\ м2Х

(св)2х -ап 8х) +(св49х-се13х)-О

^.п. Sx ■ wi Зх - 2 yxi 6х ип Зх - О

-Яп Зх (яп Sx- Яи6х) = 0

2ЯиЗх'-Нп^ c«^-=O.

Таким образом, задача свелась к решению трех уравнений:

I) *и,3х = о) Зх = т,к; хр^-,

2) Яп ^ = о, ^лп ., х^ йтиг,

З^си^^о, И^- = хт.+й •> х (гт+1) АхЛ/^^11Z

Поскольку при ^=6/г

X, - З-тиг , то х^ входит в ^

Ответ:

д/ 1аЗх-1^2

х - 1^,х =0,0^-. x^^^n+t), Х?£ (2/п+<) ,Х4^(2р+1)

Перепиием данное уравнение в виде

2х-t"t^x -

7

4i«

Умножим и поделим левую часть этого уравне-

Далее:

ос. -0.

Таким образом, задача свелась к решению

трех уравнений:

t^ix^o^ ix=rf!c,^у>

"t^lx-Oj 2х=л£;ху-р

^ х =о; х^ xrt.

Множествосостоит из двух множеств

^у=у + ^И^=^>

Так как хц не могут служить решениями уравнения, а множество х =лк. входит в z = -^, то решениями заданного урав

нения являются только х = -у (объясните, почему можно умножить и разделить данное уравнение на d-toZx tqx ).

е/ Решить уравнение

•АНгх + ^ ■ЯеЗ'Зх = &игх■ анг^Зх

Если решать это уравнение обычными способами, то после преобразований Вы придете к уравнению высокой степени, которое решить

довольно трудно.

Мы сейчас покажем способ, иногда применяемый при реиёнии уравнений.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, затем прибавим и отнимем З/^п^Зх , тогда получим:

w3x - Япх jinг3х + 4 Зчг^Зх - ^м *3х +

4 4] ЬяЧх =О $

(-^ях- 4>^гЗх)+4 ti^3x(1 -^П23х) = о

(h<n.X- Зт^Зх^ 4frin?3x с&^3х=о v х"А

(м х - 4 ^Зх f+ ( 4 Sin 6хТ= О

Теперь Вам станет ясной суть способа решения: сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа равны нулю, поэтому мы получаем такую систему уравнений(куда более простую, чем исходное уравнение!):

WlX - -J ^г^Зх =0,м6х=0

(*)

Заметим, что эта система двух уравнений с одним неизвестным.

Её можно решить двояко; либо решить каждое из уравнений и выбрать общие решения, либо решить какое-либо из этих уравнений (естественно, более простое!), затем подставить его решения во второе и посмотреть, удовлетворяется ли второе уравнение.

Обычно школьники почему-тс забывают о втором способе, а как раз здесь он наиболее удобен.

Итак, решаем второе уравнение системы (*):

Подставляем эту серию решений в левую часть

(*):= 0, п = Zk. , п = Z к +1(*):= 0, п = Zk. , п = Z к +1первого уравнения системы

(*):

= 0, п = Zk. , п = Z к +1

(*):

= 0, п = Zk. , п = Z к +1

у= { L

Посмотрим, когда ^п -g- равен нулю или -i- :ат „

2^/г —g- - о,

Я£- = лк , п. - 6 к,.

В этом случае и wi -^ = u, поэтому сг - ^- (п=€к) , то есть эс^лк - есть серия решений исходного уравнения.

„ ЛЛ / Далее, ^ ^ - ^

— = С- z)"1? -+7trri

6

/?6 м —нечетно

Х2 = (- /)- JTm

ж/ Найти все пары чисел » , ^ , для которых всякая пара чисел ж, ^.

^ ^ ^ + дг/г ? ^ ^+этт

где и- = 0, +1, +2,...,

т = 0, +1, +2,...}, удовлетворяющая уравнению х +^. ^ а удовлетворяет также уравнению

Преобразуем данное уравнение:

fr'nfx+y) сяа «и и,fr'nfx+y) сяа «и и,ИИХ-ИП.^ _ ^ сез х г «чуИИХ-ИП.^ _ ^ сез х г «чу

fr'nfx+y) сяа «и и,

fr'nfx+y) сяа «и и,

ИИХ-ИП.^ _ ^ сез х г «чу

ИИХ-ИП.^ _ ^ сез х г «чу

Или

&п.(х+у)- 6с«х <жу * бкпх Яп.у. = = 6 М.Х }<Лу - f^HX Л*/-

Иначе:

•ип (х-су)- 6ce)(x+y) = (€—#')-*t,ix ^/z.

Заменяя яс-^ на а , получим:

toxa - бее)a =(6-f')SeHX iift^

Правая часть уравнения зависит от х и у , а левая - не зависит, то есть если мы будем менять л и у .(конечно, так, чтобы х+^. = cl ), то правая часть будет меняться, а левая - нет. Это возможно лишь при ( -6^1V z

( ни а - сма = сLfq, а= /

/ Z7 - ^L-t-СХ к У /,

в/ Решить уравнение

Данное уравнение равносильно такому: сисг-ь4 - ± ахесез € + 2кэт , откуда

I. <М=о, хг=-t-^+ccxccej'6-4 * 2кл) .

Рассмотрим теперь различные случаи: а/ а>о

Тогда уравнение имеет реиения при ±CUteCe4^ - 4 ^2кзт ^. О

Если взять перед ансом 6* знак плюс, то получим серию решений, при которых ах.ес»з6 - / + 2.кл ^О , к = 0,4,2^,

в случае, если ахесез 6 ^. / , то есть

1& ам4 и при к = I, 2,..., если £>см 7 .

Взяв Перед алеет 8 знак минус, получим серию реиений, для которых

- ахесез $ - 4 + 2кэг ^° , к = 4, 2, 3,.

Таким образом, при со о

х — + >j-L^i. axcc&s ^ - 4 + 2kar) , где

[0,1,2k="\ 1,2,3G,2,3[0,1,2k="\ 1,2,3G,2,3если &<££</) для первой серии если в>см1.

[0,1,2

k="\ 1,2,3

G,2,3

[0,1,2

k="\ 1,2,3

G,2,3

для второй серии

б/ «. < 0; аналогично случаю а/

получаем:

х = ^(1ссчсст£- l+Zkxr), где

I О,-I,-2,...,если ^ ст 1 )для первой серии к =л -1,-2,..., если ^< см 1 J

(О,-1,-2,...для второй серии

П. (X = 0. Уравнение принимает вид

ст ! - 6 . Если £ 4= t®^ i , то решений нет, а при I = гя / уравнение обращается

Iq 6х - 4Iq 6х - 4в тождество.

Iq 6х - 4

Iq 6х - 4

и/ Решить уравнение ^ сис Допустимые значения неизвестного:

а/х ^ ^(Zk + i), 6х 4 %(Zn + ^ ,а/х ^ ^(Zk + i), 6х 4 %(Zn + ^ ,f x^2L(2k + f)A vf x^2L(2k + f)A v

а/х ^ ^(Zk + i), 6х 4 %(Zn + ^ ,

а/х ^ ^(Zk + i), 6х 4 %(Zn + ^ ,

f x^2L(2k + f)

A v

f x^2L(2k + f)

A v

Здесь предполагается, что /^^^ иначе уравнение решений не

имеет.

Теперь преобразуем уравнение

t^-ax = ^(^- ^x)>

azx - ^- ^ +*>*',

x (a+8) = ^^^*« 3 x(a+g1 =L__2—.

Если a = - 8, то уравнение репе

ний не имеет, в противном случае

2(а + <) Посторонние решения определяются из уело- •ВИЯл- ,/

ЛГП + / _ 2fc +1

0-4-^Л

ИЛИ

2т.+ ^2п+<

OL+ 6<^

их надо исключить.

к/ Решить уравнение

-4гп.чх+№5Мх + #т. 2х -ta=o.

Uц

Так как %иг х с^ х- = (^i'/i^jk ^ toi2x) - 2 wt^x w^x = = •/- -^ fr-^X,

то получим уравнение

из

^in^Zx - ZiinZx - Z(4+a^=0

ИЛИ -tin Zx = 4± \iZCL+3.

Для существования решения необходимо выполнение следующих условий:

Г 2й*3^о, (О

L Hi \/2а*3 I ^•/ (-2) Из (1) имеем; а »- -j (*) Далее, I + V 2 а + 3 » I,

I - V 2 а + з ' ^ I, поэтому I + V 2 а + 3 удовлетворяет уравнению только при а=-^--

Найдем, когда

-/ — \! Za +3 ^ —4

ИЛИ /2а^Ъ s Z.

Так как обе части неравенства неотрицательны, обе его части

можноZa + d 44можноZa + d 44возвести в квадрат:возвести в квадрат:

можно

Za + d 44

можно

Za + d 44

возвести в квадрат:

возвести в квадрат:

Учитывая (и), получим

X = -^~ CW,-iftn ( /- /10+3 ) + ^-1

если - v -6 a ~ т 5 ZZ

при других а- уравнение решений не имеет.

л/ Решить уравнение

Юг x+cejx + Югх -се^х - i

Здесь можно применить "универсальную" подстановку, но решение получится громоздким. Покажем два других способа решения.

I способ.

Юис + c&^x = ^ - Ипх се^х

Возведем обе части уравнения в квадрат, подучим:

7 + Юг Zx - 'l- Юг 2х 4- X Юг 22х

Юг2х (5-Юг2х)=О

Так как 8-юг 2 х >о , имеем одну серию реиений

юп. 2х=о , то есть х = ^^-

При возведении обеих частей уравнения в квадрат (:;ак и в любую четную степень) могли получиться посторонние корни, поэтому необходима проверка:

I приI приI приI приk,= 4 и, /с = 4 n+^ к, = 4n. + 2,

I при

I при

I при

I при

^-1 при к = 4 n +3

Итак: к. = kn ;k.= 4n + 1, отсюда

ос, = k.7in,

32 = ^ч-Зл/г, п.= оц .

2 способ.

ПУСТЬ Ceix ч Лпх = t

Так как "t2-- i-f-3-imx с«х

ТО -ХПХ WX = —^

Данное уравнение принимает вид:

1г4-3t-3 =0 , откуда ^/^^

а/ 4<л х + свэх - /

Это уравнение уже реиалось нами:

Зкэт,Хх = 31+1к"Л

б/ Лхпх у сеэх= -3

Так как [ *.п.хч-с«>х \ 4 'ГГ , то это уравнение не имеет решений.

Как Вы уже убедились, многие уравнения

допускают несколько способов решения. Из них,разумеется, надо выбирать самый рациональный.

Теперь разберем еце несколько задач

м/ 4vz |х| = 1,

Очевидно, что |х| = ^ + lark, где k = о, I, 2,...

а/ Если ос>о , то х = ^+2хк где к « О, I, 2, ...

б/ Если х<о , то -х = ^ + 2.лк где к я О, I, 2,...

х = -^- 2.тгк, к =0,1,2,..

Ответ: х=±'^(4к-н’), -up. к=о, 1,2,...

и/ Xz-t-2x -ЮгХ^.+ ^=0.

Так как / = Ип2'^ + то заданное уравнение можно переписать в виде xL+ 2.x ■ -Юг ^^1х^ =

\_X1- Югэс^-t- to)2,х^ =0.

Поскольку оумма квадратов может быть равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно слагаемые равны нулю, то имеем:

х * Оъху. -о,

Из уравнения ced лу =0 следует, что ^=- ^+ -лк.

Подставим это значение х^ в уравнение

х + Цпхи — О :

х=- Ип (^+хгк)-

Ясно, что если Z= 2 м + I, то(X = /Ъ = ^+^-

Если к ж 2 п , то

Г ж - ~1>

I и

о. Решить уравнение

-Япх ^x^+x+l.

Найдем сначала те значения х , при которых ■

| XZ+X+1 I >1(*)

(ати значения х нас не устраивают).

Так как х z+x+1 =^ 70.

то \хг-+х-и | = хг+х+4

и неравенство (я) равносильно такому;

X1 + Х4 / > 1,xz +

Х6 (-<*>,-4) и (О; + оо).

Осталось исследовать только х е [- V, О] , но при таких х iinx io , ax2+x+-/»-^i поэтому ясно, что уравнение решений не имеет (см. рис. 45).

Рис 4S.

п/ Решить уравнение

2,е«^2ЛГХ

известное получим, какизвестное получим, как-X /

известное получим, как

известное получим, как

Так как 2 = -рс , то учитывая неравенство <^+^2 (<х>о) , х -х что 2*2 з- 2 , в то время

2 си j ^ 2 t поэтому равенство может

выполняться при таких условиях:

"2^С\ z

( ^ J =/

Первому уравнению системы (*) удовлетворяется только х = 0; он удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ:х = 0.

р/ На координатной плоскости указать все точки, координаты которых ( х , ^ ) таковы, что выражение

Л = cei[2(t+x)^+ 2i№ (t+x}cei^-i(un^- if-Них

при всяком значении t меньие 1/2, и

изобразить область, образуемую этими точками.

о о оо о о' k'n.1' k'n.1(* *)(* *)

о о о

о о о

' k'n.1

' k'n.1

(* *)

(* *)

Так как cei[2(t-#-x)^ 1-2яп4"t+x) ,то

А = 1-2 Ял^С t*x) + 2.•Kn(t+x)cety —

Преобразуем теперь выражение

Л -^ =-5. [*ji(1"#-^.)-^cei^^-t 1+

= -2[ 44n(t +xV ^Сез^^+сез^-Япх

Так как -2[^n(ttx)-^cej^]^о , то

для выполнения требуемого в задаче соотношения необходимо и достаточно, чтобы

Срз^ - яих <0(I)

Решим теперь неравенство (I):

Н>гХ - *<«-(^~^)>О,2 Як ( 22±А - ZIV с&\( 2ИА. И

fr-n( 12tj'_ 5)>л

г 4 ’ (*)

Решает систему (я): f 2%n < 3±t_ 2? < 3s+ 2эт

(31 + 4лп < ЭС+4 < 4xth

^ *Чт>к < x-y < ^ + 4ЛЙ.

Рассмотрим подробно область, образуемую

При остальных значениях п и к получаются аналогичные "клетки".

Мы предоставляем Вам закончить этот пример и нарисовать картинку ("косая" шахматная доска).

с/ Решить неравенство

CeiX -у‘- > '^ .Z1- / э-0

ОООООО/_ у- /у-у'^о <—> о^о ./_ у- /у-у'^о <—> о^о .а , при котоа , при которых уравнениярых уравненияравносильны.равносильны.

ООО

ООО

/_ у- /у-у'^о <—> о^о .

/_ у- /у-у'^о <—> о^о .

а , при кото

а , при кото

рых уравнения

рых уравнения

равносильны.

равносильны.

Перепивем неравенство так:

7 у - х2-- /' 6 сез х -yz

Ищем допустимые значения х и у:

^бсезх (*)

смхсмху >, Хг4- /(2)

смх

смх

Из (I) следует, что | у| ^ /, из (2) - что у ^ /, поэтому у = 1,

тогда X = U. Итак, ственная допустимая пара значений х и у. . Проверим, является ли она решением:

Ответ: Г х^о, т/ Найти те значения

2 -Нг?х ^У* ^п.эта')них +амАгс (:)

и

(я-<)( f"*-C6i х)-(-2д(п6^ =24iflj'x+2(<i--'У^ (2)

Заметим, что Нпх=о <=ф х =яп.

решения (I). Найдем при каких значениях •’

эти х будут реиеними (2).

(&-■<)(4-юе!?'этп?) + 24<п.6лп = 2н^лл +2 (a- 1)^

2(а-0- 2(а- <t=0

2(а-<Х{-а2+2а- /)=О

а(а- /)(а-2)=0

d^O,С1г=1, ^^^

Проверим теперь эти значения л

« = 0.

Уравнение (I) примет вид

2 4<^Х - tin X -О

Уравнение (2) примет вид:

l-Wi^JC+liiM^X. = ^Яп^Х -2

2 «*5х - 2 tif^x + / -e«zx =0

18i*ix -Xn^x =0

шгх( ^ял^х-^-О

Япх=О

Ясао, что a = о не годится

<х = I.

Уравнение (I) примет вид:

2 Uh Xr = Я*г X -C fin3x

Япх(2 Iwa - Япгх -l)-O

$wX ^O, 'j*^ X - ± 1

(подумайте, почему нет других решений). Уравнение (2) примет вид:

2Un6x = 2tvt:tX.

^X(4in.‘,X-^-0

Мпх=О, tox = H

Итан, а = I годится.

я = 2.

Уравнение (I) примет вид:

2 ЯП?X — Япх *2 -fin^X

ЯпХ=ОЯпХ=ОЯпх(1Я11х-2 ап?х-l) =0

ЯпХ=О

ЯпХ=О

2и<гх-2-Нп1х - 4-0.

Пусть *иггх=^..

Перепишем уравнение так:

Из графинов правой и левой частей уравнения видно, что нри о fe^, s / (а йас интересуют только такие у ) решений нет.

Уравнение (2) примет вид: l+ces^x + l^x = 2Яп2х±2

Лги. X =0,Лги. X =0,2 ИПХ - 3 Irin^X =0

Лги. X =0,

Лги. X =0,

Э-тс урабнемие pewewuu их имеят.

Ответ:^= I;

№2.

ГЛАВА I У

УПРАЖНЕНИЯ

Задачи письменного экзамена.

В этом параграфе собрано много задач, предлагавшихся в последние годы на письменных вступительных экзаменах в различные вузы. Рядом с некоторыми задачами указано, где они предлагались (МГУ - Московский университет , ЛГУ - Ленинградский университет, МФТИ - Московский физико-технический институт, МИФИ - Московский инженерно-физический институт).

а/а/Задача № 26. Решить системы уравнений:

а/

а/

4игх = c&itt^a -t hn^CeJX = ЯХ.Х + CW у,

б/=

I -knx - C85 1l^

»/

' Яп. (у -Зх) = 2 Ям 5? . М ^ "^ = -^ ^^

г/ ( 4яп (За 4 2у,) * Яп.х —О

С 4 Яп.(2х43^)4 Япу = 0

(мети, 1968г.)

д/ г csia + 3 япх ■= 21®1^-

С cAiу *3-Яп.у = 2,cesx

(МФТИ, 1968г.)

е/

CLC№

aceS(x-f-2^-)=CtoX

(МФТИ, 1968г.) ба>^)

х/ х ctoX _

I ш.(х+^) ^

ап(х+^ ^

(МФТИ, 1968г.)

з/

Зсй'Ь: 4 ^^(х+^+Зсе^^ =-4 Ипх 4 Як^рЦсйХ+ипу,^ /

(МФТИ, 1968г.)

и/ Г ^ мпгх- 3 м (х+у) + ^)<>?^/ = /( 3>(Мпх +im^-Ceix-ce>y. = 2

(МФТИ, 1968г.)

к/ i^cenx-t^- 2сел2х - ^^ = ^

.^2 t^x + ct^i^)• (2 кпх+t^^) = /

(МФТИ, 1967г.)

л/

^У + ceix Мп 2^. = / (МФТИ, 1967г.)

м/ J МПХ + МН^. - Mnd

I Мп 2х+Мп 2и^ Мп 1<к

(МИИ, 1967г.)

н/ f сезх + сеМс ^, = j (а+2) I ceix cwt у - а, +ча

(МФТИ, 1967г.)

о/ г i-in х * 2

l^nyl

!=2(2x+i)

(МФТИ, 1967г.)

Max • 2

п/ f S-йг а * мяу. = 2а,

I Шхсе^ = агСаг-^)

8 р/ Г Ш.Х- СОЛ у. -а?" I Му.- С«Х = си

с/с/т/т/'Мх • см^ = J-a3'Анх ■ ^^у = /-2а,

с/

с/

т/

т/

lin.x + 4fe^. = 2(« + /)iin-X-Kt/^. ^a^ + Sa-i

Решить уравнения (задачи К= № 27 - 36).

Задача № 27, (МИФИ)

а/ ^ес х-t-сакс х = Х^Х

б/ 1^( */0^ х)б/ 1^( */0^ х)

б/ 1^( */0^ х)

б/ 1^( */0^ х)

ъ/ ct^x + 6 с&цс,2.x -8catxc32х - О

ип^х с«2х tq2x cia^x kc'x саке2х

Д/ &(«Д.х) €п(СИХ)= 1

эгэг<f*nx ceixО 4ie.it стх4

эг

эг

е/ axoct^f х +-L амеис Sx =

Задача е 28. (МФТИ)

а/ ^ce^lx-^y ^^х-г^бх = ст2х + jtn^x

б/ *п2х-с«2х = 2/?с®г^-V-SS

ъ/ tin 2х + 4гп 6х - 4хН ЙХ 4 СОЗ^Х 4 2 4иг ZX

г/ при каких В уравнение

Ain. 2х -4 2.ЫТ (япх -tax') + /- ^В =0

имеет решения? Найти их.

д/ cei 1 х = соз ах - Ин Зх

е/ хх =сезх. + с№Х*соз х

х( Qio 7х 4 tei 7x}Z-^ 2 h'n2-11 х

al при каких В уравнение

Сез^Х • йез Их -+Е> ( сез^х - titz^x) = (26 4/)2

имеет решения? Найти их.

Задача № 29 (ЛГУ)

а/ -ио^х - ^х = 7

б/ f3* 5<ап.х с<ца - cei2a ^=9

г л 1^'п2х -«3 С«Х

в/в/U+J5) frn 2х +(1-<з)се12х = Н—- C&\ZX + vSsin

в/

в/

г/ 1+Ices Zx* Zw^x * lteiGx-0

nJ lt^x + c^x\=-^=nJ lt^x + c^x\=-^=xj 4im 2x + 3 c^ Zx - axj 4im 2x + 3 c^ Zx - a

nJ lt^x + c^x\=-^=

nJ lt^x + c^x\=-^=

xj 4im 2x + 3 c^ Zx - a

xj 4im 2x + 3 c^ Zx - a

<"^(х-Л^

и/ 3^(ji"^x)fcei[<7l(l^-t + !yc^x)]= 3 c^(^-JTcJ^x)

к/ a#<n.2x + 6i-tit (2x- ^•)+VrJ-+81- *in.6x—O

л/ ^.tx + cejff x + Ие x. сруьх - a. (a 4:0)

Задача № 30, (МФТИ, I966-6Sr. г.)

6/ h'n.(5-x)sin (^-2x)j,)i(^- 3x)-t $T*i(^-f-x)imf^-t2x)-Sin^3x)cO

"3/'(J - cZ^ x)( I+ $ui 2x)- I + et^ X

t[ tr^x+2)t^(t + 24) t<j^ + 3Z)= I

в/ ^^с* емйх = О х/ •№г.8х-сеьх-см2х,=о

sj ‘facet'Зх + Яп.5х = !

х/ fa ^"х + -^ с^2х = /

к/ 3■ - 2 ее?х-V

ч 9ч 9т*°т*°ж/ -Юс^х- е»43х - см^х-кп3х = ся 2.x Зх-t^ 2х-

ч 9

ч 9

т*°

т*°

1/ 3$bt«jLx-b3 Нп.2х_ Чстх_ ^cesx+шхО1х

о/ *>L^X - #ih-3x-2*>l2x-h3»tiLX=O

п/ /- М VOX - 2*ih?"18x

^4X^9VS"

Задача № 31. (Мех-мат МГУ)

При каких значениях ос уравнение

имеет единственное решение (не одну серию, а единственное решение! ).

Задача № 32. (МФТИ)

Пусть <9. < ^п 4 .5 -

Доказать, что

с 1 СОо ol^* * бел ^"

Задача № 33, (МФТИ)

Пусть п - целое число, большее единицы ш

Wh-i)

Доказать,что 1^ nd > п^^

Указание , Применить метод полной математической индукции.

Задача № 34.

Найти, при каких d функция у. = Зтх -<м2х -/ принимает наименьшее значение.

Задача № 35,

ГГ2схуг^ -3v3 <£>j X - jnn jx2схуг^ -3v3 <£>j X - jnn jxtStS

Г

Г

2схуг^ -3v3 <£>j X - jnn jx

2схуг^ -3v3 <£>j X - jnn jx

tS

tS

Найти U и и, , а также те значения х

<fnvcux,(flvtcn.

при которых зти значения функции принимаются.

Задача № 36. (Мех-мат МГУ)

Найти все пары чисел х и ^, удовлетворяющие

уравнениям:

а/ с«х * eiMip + cel (х+р) -^

@^гх + 7^ ^"*" ^Ч ^Ж^^-Т ^

Задача № 37, (Мех-мат МГУ)

имеет урав-имеет урав-Сколько решений на отрезке о < а <л ненше

имеет урав-

имеет урав-

Цпх 4-2 <*ъ1Х = 3 ■+ МгЗх ^

Задача № 38. (Мех-мат МГУ)

Найти все такие числа р , при которых уравнение

1 + р WX х ■=• pZ- j-tH ^x

имеет решение. Последовать количество решений при равных р

Задача X» 39.

Найти все решения уравнения 2-к'п -^ ^>t -g" = 3c ^^з.'

Задача № 40. Ревить уравнения:

а/ ;г-

б/ алхлш (-х) - але-си 1-х)

х = 2.cute.t^, jp

г/ ww ^" - ^ ап-с^, (х-1)

Д/ ал-ех&з х ч- ал£Ш( 1-х) =. cuteesi (- х)

tj ^ але-япбх = cvxetoi 25л1-

в/ (V<-e^. ).х + сь\е.^ Эх- ктг*^

к/ 1т\л (але с^х^З ' "X

л/л/м/м/н/н/CLK e.8rin (х1- X х +1) - ^-^-<хлл-^с (^х + пле-ип ^_ у - ^ a/tef^. Vx(x*7) Vcutevm \/хЛ+х*7 - ^। <жаез ^-Д> toi2^)-artc^n (^-х^-х-^) ^^CLK e.8rin (х1- X х +1) - ^-^-<хлл-^с (^х + пле-ип ^_ у - ^ a/tef^. Vx(x*7) Vcutevm \/хЛ+х*7 - ^। <жаез ^-Д> toi2^)-artc^n (^-х^-х-^) ^^

л/

л/

м/

м/

н/

н/

CLK e.8rin (х1- X х +1) - ^-^-

<хлл-^с (^х + пле-ип ^_ у - ^ a/tef^. Vx(x*7) Vcutevm \/хЛ+х*7 - ^

। <жаез ^-Д> toi2^)-artc^n (^-х^-х-^) ^^

CLK e.8rin (х1- X х +1) - ^-^-

<хлл-^с (^х + пле-ип ^_ у - ^ a/tef^. Vx(x*7) Vcutevm \/хЛ+х*7 - ^

। <жаез ^-Д> toi2^)-artc^n (^-х^-х-^) ^^

Задача №41. (Мех-мат МГУ)

На координатной плоскости указать все точки, координаты ( 2 , ^ ) которых таковы, что соотноиения:

а,[ -^nHt+a) -Htn (t4^+-iin(t*2x-^.j* ^ >o

й/ (2c®t+^c®xc«^ceja c®^ 4-14-eoix-ce)^ + t&)2t>o

выполняются при всяком значении "t , и изобразить область, образуемую этими точками.

Задача № 42, (Мех-мат МГУ)

На координатной плоскости указать все точки с координатами ( а л у ), для каждой из которых существует хотя бы одно значение t , при котором выполняются соотноиения:

a/^cei2/ 4 L)нп. 2а -«nt4 2 «п (х +^- (-«nix- 4)^> 1

б, с® (^^Зх4-^)-с®>(^-^х-^,)-^2^ +2х)->^

ъ/ -«ntt с®гх 4 c&i^t«пгХ + ^ пл 2t tin 2z+ 2(а*2х#-te>^)^о и изобразить область, образуемую этими точками.

Задача № 43. (МГУ) Решить уравнения:

а/ to 2 to 3 « я.

tl«nxl 2-«пгх

6/ \Cei2x\ - \Цп2а-а\ ( ОбХ & 2тг)

V Л& ^ ~ ^ ]емх)

г/ «п,Чзс=#п"^х

jk/ ^a"«n.x-2a.-^.*>Lr-6LZ+2=o

е/

L «КХ«КХ

Ч -+т£4

=о

»!

»/

к/

Л/

■Ил.^х + се^х* <ш2х 4а. =О

^4 1^-30=0

(Яп2х-<)сиЗх («Kx-cexf-81J ^о

«п.2х4 Ъсезгх1-»гк1Х4 2«^х

3Ч- 3— 2,8

, 1-«УЗх _«n6x«к23х

125' У - 5=0

сет л

ZIXom^x

2Т4=3^2Т4=3^(^х-ОО^хГ^-^х) ЪаУх ( ^х -</-

2Т4=3^

2Т4=3^

-ЯпХ-ЯпХо/-—L—^2te)x-4tn.a)c^x+2«nx+c«x^j-t ая2х[2(1~ t'MX сих) + («кХ + toix)1']

-ЯпХ

-ЯпХ

6 (tvix+ceox)2, (1- *'л х сб>х)

-у1 1И

п/ М -^("^<и.х + 4ся2х + " +-ии 8С,Ох)= -£ tin

^/ 4inX3C +-ИИ.2Х ЯнЛх-f-' + in ПХ Чгп-П^х - /

с/ -бхм^х + cei^cx = ^се>*2х

Задача № 44. (МГУ, 1968г.) Решить уравнения:

а/ iruix + с&з (а+х)+ с«(а.-х)= 2.

б/ irW х 4 1^ -an (x-x) = t otglx xactax

^1 Iceix |= /

г/(-c&x-^3x}= ^€x^ (-c^2x)

°a Ю

e/14 ^3< ',лх^ Чэх->^В/ ^^-^

(n(c«x-ceijx) = ^Qit'n lx

/4-х1-1х.(/‘t^iLz^X

Задача № 45. (МГУ), Решить неравенства:

(о < х < ^)

б) JS- 2 Кпх >, 64in х- 1

1*0

V/ Jl-t4<*x "^ i+3ceix

nJ l^-Jt^X^^

4<KX-tei 2x

e/ TlTTt^lyx ^ ±3^^.

C« zx-t Ce>x

к/ Mi [х(хл- /Ох)} - из 4in [а[(х г- /Ох)] > /

Со(ха--8х+13)> -т-^-

6Щкх\)4t#iX^

la(хх+1х-и) >хО

к/к/С<1^,(еб hnx+Clceix)^ /

к/

к/

^(iv\X^cetx) '7

о/

п/

г(лях-Jcax)^ /

чжх -анх

^1

c«(2-^x) + tm

у/ C^fj-tx)! .U^t 3- x) 6 cf<£ '^ VhhXX

Задача № 46. (МГУ) Решить неравенства:

а/ 4 ^Ч-!2^ V 4 i4'" 2. х > сн 2х 77

б/ ^<in3c4'+5 $ 4т и 2А ь SjriKnl

в/ >vi I > i^/- j?/t -2 х

(ЛГУ) ;(ЛГУ);(ЛГУ);(ЛГУ);(ЛГУ) ;(ЛГУ);(ЛГУ);(ЛГУ);(Физ-фаи 7ГУ)

(ЛГУ) ;

(ЛГУ);

(ЛГУ);

(ЛГУ);

(ЛГУ) ;

(ЛГУ);

(ЛГУ);

(ЛГУ);

KhX

и/_^”21_ 4(«>с)

к/ чч2х + J^n 2х т> а

и/ ЯиЗх 6 а^^иг^Зх(а>°)

. (ЛГУ);

н/ Vknx + хГсмх >1

фиэ-фак МГУ);

о/ — 4

L 2Jz-i<nx-ceix.

(фиэ-фак МГУ);

п/|-3p -2

(Мех-мат МГУ);

(Мех-мат МГУ);

с/ алсллх < мссмх

т/ <vt«rin4<kx < aheceiwx

Задача fc 47, (ЛГУ) Доказать неравенства:

а/ 4im-4x + ^х >z^-

^ ^- < ^^х ^ frnX ceix ^ ,+12-'г

в/ *Кх + 2-4ik2x с 3 •* 2«3х^О£х&х<)

Задача № 48, (Мех-мат МГУ, 1968г.)

Найти все значения а , при которых следупщие пары уравнений равносильны:

а/ -ни Зх - «-кпx + f^-SlaQM2х, Кп Зх + с»з2х - ! + 2jinx с^2а

б/ 2 *ь^х-('#-ftY^^x 4 (2а3-2а-*)4»^х =о, 2, -hh, 6x + 6й2х = / 4a~ 2 a3 4 otces^x

в/ асл2х 4 la I tet^x 4 св» 6a = /, 4<л xt&2x = м^х с«3аг- i-uo5"x

t/ 9cm2x-c«3x = аима-^а-Ц^!» ceijx^ 2c«x c«2a = I 4 сю 2a 4 се» 3x

R/ (2a*l)ee^X4 (^6a3-^a + y)c«x -2t&x = o, cw6x = (<4а1с«гх 4^a3-2a

Вопроси устного экзамена.

Для успешного реиення задач этого параграфа нужно уверенно владеть.школьным курсом тригонометрии. Задачи, помещенные здесь, как правило, не требуют больших вычислений.

Задача № *9. (ЛГУ)

а/ Вычислить: ипаЧеХ^X ; аЧС/t^ ^ 4 CXhlC-tc^X (x/o)j

OMiih X 4 аче toix (IxjGi)^

CUtti^- / 4 CLiet^ -y 4 an<t^ у

б/ Найти области определения функций;

i^- Confix ; ^ = Пк4лп (очесах) е

Задача № 50, (МГУ)

а/ Вычислить с точностью до 0,1№. 80° ;

б/ Что болиде wmi или c»j ал /:

соке j или 4(1 - -М ^)?

в/ Доказать непериодичность функций: ^ - ^ ^

; y^coix reifvTx) ;; y^coix reifvTx) ;tj. - ЛлХ^

; y^coix reifvTx) ;

; y^coix reifvTx) ;

Задача № 51.

Дано, что coi^t ■fpcoit + ср >оПрИ всех t

Следует ли отоюда, что х^+рх+ср^опри всех эо ?

Задача № 52. (МГУ)

Найти на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим соотношениям:

а/ (сах^ -e^jutjc^-1 й) у г+ te^х » (а/ (сах^ -e^jutjc^-1 й) у г+ te^х » (г/ НйХ < ^'Чг/ НйХ < ^'Ч

а/ (сах^ -e^jutjc^-1 й) у г+ te^х » (

а/ (сах^ -e^jutjc^-1 й) у г+ te^х » (

г/ НйХ < ^'Ч

г/ НйХ < ^'Ч

"М K»L (xz+^) =1

Задача № 53. Найти периоды функций:

а/ ^= *-«x +

б/ ^ - 3iH Ml X

в/ у = кп^х * к1г £х

Задача * 54, Построй» графики функций:

^ ^м. х^ ^м. ха/ / =

^ ^м. х

^ ^м. х

6/ г а*1^17

т/ ^- сез (2. йм« с&з а)

Чг-^ -Дх« -

^ Г'

киг

ГЛАВА У

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ

§ I. Гармонические колебании

Ч^сть по окружности X +^ -Jt против часовой стрелки равномерно движется точка, делая один полный оборот за Т секунд(то есть с угловой скоростью^ = ^ ) Тогда проекции этой точки на любую прямую, например на ось 5у , совериает колебательное движение, которое называется

гармоническим колебанием о и амплитудой А.

Задача 1! I, Докажите, ионическое колебание можно

частотой к-4=

что любое гар-

эаписать как 4(t)=

=aceitot+ -б^ииТ (I) или, что одно и то хе, как(2), где ^

называется

разите а К и V

начальной фазой колебания. Вы- и ^ из выражения (I) через из выражения (2) и обратно.

Гармонические колебания часто ветре-

чаются в природе и технике. Приведем некоторые примеры

Если измерять давление воздуха при

распространении звуковых колебаний, соот- ветствуадих чистому тону (звуки на рояле - до, соль и т.д., свист и т.п.), то график давления будет синусоидой.

Измеряя напряженность электромагнитного поля, создаваемого в простейием колебательном контуре или при прохождении монохроматического света (то есть света, который содержит электромагнитное поле с одной длиной волны), мы снова получим си-

нусоидальную зависимость напряженности от

времени

Зависимость тока или напряжения, по- / лучаемого в генераторе переменного тока от времени - опять-таки синусоида.

При изучении гармонических колебаний нам поможет прибор, называемый осциллографом. Этот прибор имеется в физическом кабинете почти любой школы. Мы сейчас коротко опишем принцип его действия.

Основная часть осциллографа - электронно-лучевая трубка (см. рис. 47).

WQ\WQ\Рис. ^Рис. ^

WQ\

WQ\

Рис. ^

Рис. ^

Трубка откачивается до высокого вакуума. Катодом А испускаются электроны,которые разгоняются и летят к аноду А. Почти все электроны ударяются об анод и остаются на нем, но в центре анода сделано небольиое отверстие, и в это отверстие проходит узкий пучок электронов (такое устройство

называется электронной пушкой). Пучок ударяется о флуоресцирующий (светящийся) под действием электронов экран. Если бы в трубке не было больше никаих устройств, то на экране мы видели бы только светящуюся точку. 0. Но на пути электронов ставят еще две пары отклоняющих пластин, вертикальную и горизонтальную, на которые подаются независимо друг от друга отклоняющие напряжения. Эти пластины отклоняют пучок в вертикальном и горизонтальном направлениях, и пучок рисует на экране "картинку" \

на экране?на экране?

на экране?

на экране?

Пусть мн подели на вертикальные пластины напряжение Л$-<п tot , а на горизонтальные - Лей tot . Что мы увиден

В момент времени t щучок будет

отклонен от точки 0 на экране в горизонтальном направлении на -fleet tot (то есть абсцисса светящейся точки будет равна Л cat tot ), а в вертикальном направлении - на Лаи tot (ордината равна

Л^-игео! ). Итак, светящаяся точка К на экране осциллографа будет иметь координаты х = Лее» tot , ^ Л an tot , удовлетворяющие уравнению xS-^^Л2" , то есть точка М будет равномерно двигаться по окружности радиуса А. Если взять круговую частоту достаточно большой (например, 100^), то на экра

не мы увидем эту окружность (человеческий глаз не успевает регистрировать столь быстрое движение точки и поэтому мы увидим

сразу всю ее траекторию '

*) Если х и у , координаты точки М, заданы как функции некоторого параметра t , то говорят, что уравнения rx^/'/'W

\У=к№ РисЛ9

параметрические уравнения некоторой линии.(См. след, стр.)

Задача № 2. Изменим отклоняющие напряжения. Напишите уравнение линий, которые мы увидим на экране, если подать на пластины такие напряжении:

а/ /я = a-csitot

[ ^ ~ 6 Ял tit

(эллипс)

gy х = 6 с®?я>Т ^ - 6 Ял3 tit (астроида) ^

х) Если из этой системы уравнений исключить /.то получится самое обычное уравнение этой линии (правда, исключить t удается далеко не всегда). Мы получили, таким образом, что уравнения (х = Лс<люТ _

( у- Л hn Wt

параметрические уравнения окружности.

/ хх) Если заставить окружность радиуса 7 катиться по неподвижной окружности радиуса в без скольжения (причем по внутренней её части), то фиксированная точка малой окружности опишет астроиду. Астроида - представитель интересного семейства кривых, называемых гипоциклоидами.

Гипоциклоида - траектория фиксированной точки окружности радиуса а , катящейся изнутри по неподвижной окружности радиуса 6 <1 астроиды 4 = 4 л ). Если же окружность радиуса а катится по внешней стороне окружности радиуса 6 , то траектория фиксированной точки первой окружности называется эпициклоидой. Эти кривые обладают целым рядом интересных свойств Приведем их параметрические уравнений (см.след, стр,):

Рис 51Рис 51Га^б)Га^б)

Рис 51

Рис 51

Га^б)

Га^б)

Вообще, изменяя частоту, амплитуду и фазу отклоняющих напряжений, можно получить на экране целый ряд линий, называемых фигурами Леесажу. (Рис. 48, 49)

Задача 6 3. Равносторонний треугольник вписан в окружность радиуса v и вращается вокруг своего центра о угловой скоростью и) = 100. Пусть ^ (t) ,

^(^ и у (t)- ординаты его вер

шин Ар &2 и А^ в момент времени t . Нарисуйте графики этих трех функций один

под другим (пусть, для определенности, при £ = О вершина Aj находится в точке ( 0; 2Г ).

Г X = (-g-a^cei t * а вез —Т^- t

и ^(-6-a,) iuit-a.Hn ^5- t кол

(эпициклоида)

J X =(<х+6) ceit ~ cuces—^ t у. - (tx*6) Hitt - a-Un. ^~-1

(гипоциклоида)

Попробуйте вывести эти параметрические уравнения.

Задача В 4. У стандартного генератора электрического тока частота 50 герц с тремя обмотками графики зависимости напряжения на каждой обмотке от времени выглядят в точности так же, как и графики, построенные Вами в задаче В 2. Докажите, что разность напряжений в двух любых обмотках тоже представляет собой гармоническое колебание с частотой 50 герц. Во сколько раз амплитуда напряжения х^ между двумя обмотками больше, чем амплитуда напряжения в одной обмотке "относительно нуля” ?

Задача № 5. Докажите, что сумма двух гармонических колебаний J^-toi^ tot + tf^ и ^x-Hn(tot + ^ с одинаковой частотой со есть снова гармоническое колебание с частотой ю , выразите его амплитуду А через амплитуды Ар А2 и раз- gС ность фаз У7 данных колебаний. Докажи-

А^^/ Тв* ЧТ° амплитуду А можно определить / графически так, как показано на рис. 52.

Л ^я) Мы обычно называем "напряжением в

сети" 127 в, 220 в и т.п.; это не макси- p., , 57мальное, а "среднее квадратичное значение

напряжения, оно в ГТ раза меньие амплитуды.

Это не случайно. Если вращать параллелограмм ОВС2) вокруг точки 0 с угловой скоростью v и омотреть, как меняются абсциссы его вершин Х^ , Хс , , ,0 правда параллелограмма да да жения гармонических колебаний становится очевидным: Хс = Хв + Х^ .

Задача № 6. На рис. 53 изображена одна октава рояля и обозначены отнсиения частот для некоторых пар звуков '•

2 ■ Цо1г№>лЙ1) —

Рис. 53.

и) Эти числа приблизительно соответствуют так называемым "чистым интервалам" В современной двеяадцатиступенной системе чтобы получить в октаве 12 одинаковых "по лутонов'^ эти отношения слегка изменены (см. брошюру Г.Е. Шилова "Простая гамма" из серии "Популярные лекции по математике").

Начертите график звуковых колебаний, соответствующих аккорду "до-ми-сольп (мажорное трезвучие), если все три клавиши нажать одновременно в момент времени t=o

'Зтю»еи№. Если частоту "до" обозначить за 4 к , то нужная функция выглядит так: у = н>1ЧкГ+ Ип Skt + jmGfct Найдите нули этой функции!

Задача ft 7. Передача звука по радио осуществляется так: высокочастотные колебания электромагнитного поля с частотой кс [lO^, IO® j герц, как говорят, "модулируются” колебаниями звуковой частоты Ke [l5, 30.000] герц, так чтс в результате получаются колебания такого вида: bnkt ип Kt • Чтобы представить себе, как это выглядит, начертите примерно ГрафИК ФУНКЦИИ у = -^н t ■ jj; /Ot Объясните, почему, если две радиостанции работают на двух близких частотах, в приемнике слыпен свист (считайте, что станции ничего не передают).

Указание. Если сложить два колебания с близкими частотами а) и << , то

после преобразовамй мы получим произведение двух множителей, один из которых

to.+ ч

меняется с частотой —-— , близкой ин w, , и к ^, а второй множи

тель меняется с очень малой частотой

———. В результате получается

zи. d- о,

колебание с частотой—7—- , амп

литуда которого медленно меняется с час-

I и). — U)^ I

ТОТОЙ j —- 2~|* 3,а вт°Рая час~

тота как бы "модулирует" первую (сравните с -Ни kt • -Un Rt ). Такое явление называется "биением".

Задача №8. Докажите, что функция

у, - w ic^t + н i^t - периодическая тогда и только тогда, когда отношение — рационально (^+ю^)>0.

Задача № 9, Получите более общий результат: докажите, что функция п

— ас + Л ( Ct. c&)it а t Сх) (*)

- периодическая. Найдите её наименьший

период.

Итак, если складывать гармонические колебания с соизмеримыми частотами, то

получаются периодические функции - "тригонометрические многочлены" тана (и).

Возникает вопрос: хак велик запас пе- риодичеоких функций, получаемых подобным образом ?

Задача 6 10. Представьте в виде (и) следующие периодические функции и найдите их период:■

а/ ^ = *ihbX +се?Х

й] ^-{ l-tonx+^Hnx-X'i- Ких)

В/ ^ = (^ /* tol - СИх)

у, у - сед^5"х ■ сю 15"х - i^n^x tin ^х

Из задачи № 10 мы видим, что периодических функций, представленных в виде тригонометрического многочлена, довольно много. Оказывается, однако, что такими функциями далеко не исчерпывается весь запас периодических функций. Рассмотрим, например, такую простую функцию: у = х при с ь х < JT , далее функция продолжается периодически с периодом х (см. рис. 54).

Рис. 54. -

Эта функция оказывается очень полезной

в радиотехнике. График пилообразного

напряжения, подаваемого на горизонтальные отклоняющие пластины телевизионной трубки, имеет именно такой вид. Эта функция уже не представима в виде тригонометрического многочлена (хотя бы потому, что она разрывна).

Можно привести еще много примеров функций (даже непрерывных), которые не представимы в виде суммы гармоник

++ ctn пх + их.++ ctn пх + их.a^fl^X-l- (^ кп с + Ct^COj2.X + 6 ytnjjc +

++ ctn пх + их.

++ ctn пх + их.

Оказывается,однако, что для любой "не слитком плохой" функции У = ■{ f s) с периодом Рхт можно написать талой ряд (сумму бесконечного числа слагаемых):

a,o-+ ct^ ceix * 8, anx + az c«2x +£д^а 1x+

-+ а^се13х4 ^ #tn 3x-+ •■ *anceinx +

4-8>KStH ПХ-I-,

сумма которого дает эту функцию, то есть воли брать тригонометрические многочлены

3(?с) = Я.о+а, сезх + -б^пх, S^x.)- ао+ а.1 се»х + ^ ^м х +

* алс^2х^8^ап2х>

S^ (г) = ао+ а1 сих + 8^ jinx + / ад се>2х+ ^ бек 2х ■+ / а^сбзЗх-# 8j#t>t3x)

4 = а. + Z. (а. сви'х+ 6. *огex)

то графики функций ^. = •^^ « ^-V^ • у = 23 (х) ,..., ^= SJx) ,... все точнее приближаются к графику функции jZ = //^

Таной ряд называют рядом фурье данной периодической функции ^-f(x) по имени французского математика Х.Б.фурье, работавшего в этой области математики. Так как каждый член ряда фурье есть гармоническое колебание, то такой ряд называют гармоническим, слагаемые - гармониками, а область

математики, занимающуюся этими вопросами - гармоническим анализом (сейчас, правда, предмет гармснического анализа вышел далеко за свои первоначальные рамки). Мы не будем приводить здесь точных теорем о рядах фурье, а ограничимся несколькими примерами.

Рассмотрим такую функцию:

для -л< х < л дальне функция про

должается периодически (см. рис. 55).

Ряд фурье для наией функции выглядит так:

Ниже нарисованы графики сумм S^x) , ^(tr), Ss(x) , ряда (I) (то есть график суммы трех первых членов ряда (I).

Посмстрите, как постепенно,- с увеличением

числа слагаемых график ^W принима

ет вид, близкий к графику суммы всего ря-

Задача 6 II. Ниже помещены графики нескольких периодических функций, а над ними указаны разложения их в ряд Фурье. Постройте графики первых трех приближений для указанных периодических функций.

_ 4а у м[(2<:*у)х]

'- Л к=о1к + 1

«Ж*). Ь.^и««*Я^З£,^55?±й.

-зм.v--зм.v-<^^-нУУ<*1(1 k-tl)xf

-зм.v-

-зм.v-

IT Л-V ' |я*»<

-a.

sj ^ X , -ЭЕ 6 X S3 ^(x) =

Рис 5gc«2x. с^Зх )*+* C№(kx)kz

Put 59

-2л-2л

-2л

-2л

2л

Г/ ^ = | 4t#tx |

6, X и ( W2xce)6x

Пх)=лЬ.З Л 3 У + Г-7

-

'^иУНОИ

Задача № 12. Разложите в ряд ЯурьеЗадача № 12. Разложите в ряд Яурье

Задача № 12. Разложите в ряд Яурье

Задача № 12. Разложите в ряд Яурье

следующие функции (укажите период!):

а/а/3 з-Lej JC-^nJc3 з-Lej JC-^nJc

а/

а/

3 з

-Lej JC-^nJc

3 з

-Lej JC-^nJc

б/ ^-(Япх-hn2x+ млх)(иях-

ъ/ъ/кп Ьи? —кп Ьи? —

ъ/

ъ/

кп Ьи? —

кп Ьи? —

Отметим, что функции, рассмотренные в задачах II (а, б), часто встречаются в радиотехнике - их графики изображают прямоугольные импульсы тока или напряжения.

§ 2. Интерференция и

дм^акдаядм^акдаясвета.света.

дм^акдая

дм^акдая

света.

света.

В этом параграфе мы рассмотрим еще один важный пример гармонических колебаний.

Речь будет идти сб интересном явлении, называемом интерференцией (монохроматичес- кого)света. Совершим небольшой экскурс в

историю.

Физиков давно волновал вопрос о природе света. В ХУП веке были выдвинуты две теории света: одна Ньютоном, другая Гюйгенсом.

Ньютон считал, что свет представляет

собой поток быстро летящих маленьких частиц - корпускул, распространяющихся по прямым линиям, и приводил множество примеров, подтвержающих его теорию: наличие чет

кой тени предмета при его освещении,законы

отражения, преломления света и т.п.

Гюйгенс считал, что природа света - волновая. В пользу своей теории он также приводил много аргументов: он показал,что волновая теория света тоже хорошо объясняет и закон преломления, и закон отражения,

рнс (,/ и существование "полутени" предмета и др. Долгое время физики не могли понять,какая из этих теорий соответствует истине.

Один из самых мощных ударов по корпускулярной теории света нанес английский физик Томас Юнг. Он поставил такой опыт (см. рис. 62).

Юнг направил яркий сиет на плотный экран, в которой были прорезаны две узкие щели, расстояние между которыми было равно I - 2 мм.

Если бы была справедлива теория Ньюто- /] на, то эа экраном должны были быть две S Z яркие нолоски как раз напротив щелей, а остальная часть второго экрана У дслж- ^ на была быть темной (см.рие. 62а).

На самом деле обнаружилась совершенно неожиданная и, казалось, странная иартина. Там, где ожидались световые полосы, оказались - темные. Весь экран У оказался покрытым темными и светлыми полосами. Свойство света, обнаруженное в этом опыте, назвали интерференцией. Интерференцию могла объяснить лишь волновая теория света *\

Мы сейчас опишем математически интер-

и) В настоящее время волновая теория света уже не может удовлетворительно объяснить все извеотные сейчас свойства света. Современная теория синтезирует корпускулярную и волновую теории и считает, что свет обладает и корпускулярными, и волновыми свойствами.

Тах получаются сЬетлые полосы.Тах получаются сЬетлые полосы.темные полосытемные полосыпереходные доны.переходные доны.Рис 63.Рис 63.

Тах получаются сЬетлые полосы.

Тах получаются сЬетлые полосы.

темные полосы

темные полосы

переходные доны.

переходные доны.

Рис 63.

Рис 63.

ференци», но сначала рассмотрим это явление качественно.

Через щели в экране S проникают световые волны. При достижении экрана SP волна, прошедиая через щель АВ, накладывается на волну, прошедщую через щель С2 (рис. 62). Волны имеют одинаковые частоты, но разные фазы, так как их путь до экрана Т различен. В той точке экрана J , в которой накладывается максимум одной волны на максимум другой, получается яркая полоса; там, где волны находятся в противофазе, получается темная полоса, между темными и светлыми полосами расположены переходные з'оны (рис. 63).

Теперь рассмотрим интерференцию света математически. Нам надо сложить две волны:.Йу@ЦLot4-Чи Л^ C£o(Cot 4- ^у

Сделать это можно, например так, как это делалось в гл. 1У, § I, задача № 5. Предоставим читателю произвести все вычисления и приведем лишь окончательный результат. Мы уже знаем (см. гл. 1У, § I), что сумма гармонических колебаний есть снова гармоническое колебание. Еслч обоэначить амплитуду

суммы волн через Ар то /£=^^^i^-fa-

Из приведенной формулы видно, что результат зависит от разности фаз, а не от их абсолютных значений.

Выясним теперь, где будут темные, а где светлые полосы в опыте Юнга. Мы можем предполагать (Чпринцип Гюйгенса"), что у нас имеется два источника света с одинаковой частотой w , амплитудой А и фазой велцы, расположенные в мелях экрана 6? . Нам надо посчитать разность фаз колебаний, пришедших в точку Е экрана (см.рио.64а).

Так как расстояние между источниками света

^ и ^ много меньие расстояния между источниками и экраном 3 , то можно считать, что волны из точек ^ и ^

идут в точку Е параллельно,под углом ^ к оси ММ1 (см. рис. 64 б ). Тогда разность фаз колебаний, очевидно, будет равна числу длин волн, укладывающихся на отрезке S К , умноженному на ,2-тг , то есть ^— , где л - длина

световой волны.

Итак, интенсивность (то есть квадрат амплитуды) результирующей световой волны вычисляется так:

где А - амплитуда волн, идущих из источников £; и S, . Теперь для того, чтобы окончательно выяснить расположение

интерференционных полос, надо только знать

расстояние ^ между щелями. Если, нап

ример, это расстояние равно нечетному числу половин длин волн, т.е. -^-(2^/-/) , 10

= 2Л'[ ! •+с№(я( 2<+f) ytn«t)\

Найдем, когда.получатся темные полосы.

се^[эт(2к+ i)^^J “- /

j(2k + i)MM^= С 2п+/)л

Очевидно, здесь должно быть рЛ>/| >|2м+/|.

(Ясно, что знака равенства быть не может). Аналогично, можно найти расположение светлых полос. Если, например, d-'A , ^ = f , то t- f^^A^ и А^-МЯ1

Задача № 13. Свет с длиной волны /I падает на три щели с интервалом Я между соседними щелями. Докажите, что максимум интенсивности получится под тем же углом, что и в случае двух таких же щелей.

Явление диффракции света ничем по существу не отличается от интерференции, только при диффракции обычно рассматривается очень много источников света. Пусть у

нас имеется п источников света одинаковой частоты, фазы и амплитуды, расположенных на равных расстояниях друг от друга и мы хотим выяснить, какая картина будет наблвдаться на эиране Т в точке Е, находящейся под углом к оси ММ7 (см. рис. 66 ).

Рассуждая так же, как и раньше, мы придем к выводу, что нам надо вычислить

£м£м

£

м

£

м

РиС 66,

сумму:

R •( со^ wA cel (ict ■+ Ч) + Lei(wt + 2^)+ + + с&( (ct + (r.-/)vj ^

где 4- разность фаз между соседними

источниками 7 V - ^21^Д1!1^

В данном случае интенсивность 7 сум

марной волны выражается так: "

Jo —а ^<ь 7= ^* 7 ^z)

^7

Попробуем нарисовать график интенсивности

при больиих /’ и малых, близких к нулю

/ . При Ч = 0 мы получаем неопреде-ленное отношение £•, но можно учесть,

■/г У пЧ"

что при очень малых положительных Jm -у~ — ^ у■_

и л/г у % —, так как Iw -—- / '

(см. гл. Ш, § 3, зад. №22), поэтому при

/ = 0 можно считать

О ^z ^0 П

Попробуйте осмыслить этот результат с физической точки зрения.

С ростом У отношение двух синусов уменьиается и впервые обращается в нуль при

^~ ^ (то^есть при ^у""^)»

поэтому первый минимум получается при

Будем исследовать налу функцию дальне. Так как при большом п ^и ^ меняет- ся намного медленнее, чем -кп , то условие М1^-^ дает условие следующего максимума с большой точностью:

^4^ 1^4^ 1«4- ^L ^7 О-^ 5772 - 2и

^4^ 1

^4^ 1

Оценим приближенно величину этого максимума: kh1' ^Т _ 9 И1

Итак, при Ч -^

у ЛУкУ-^1 У)- —0 9 л1° 9л1

откуда видно, что второй максимум составляет меньше 5% главного максимума!

Рассуждая дальше подобным образом, мы

получим следующую интересную картину зависи

мыимыимости У от Ч (для удобства откладывали по осям величины -ут; /' ^ ^. п ^с

мы

и

мы

и

ная выше система источников посылает пучки волн в разных направлениях, причем каждый

пучок имеет высокий центральный максимум и ряд слабых максимумов (в каждом пучке график интенсивности такой же, как на рис. 68).

Указание. Обратите внимание на то, что при изменении У на 2 т, т ж

О, + I, + 2,... значение интенсивности не меняется; отсюда следует, что при ^= 2.л#п

появляются такие же максимумы, как вря ^ = 0. Максимумы, появляющиеся при *<^2%^

называются максимумаминазываются максимумамииг -то перждагаиг -то перждагаМожно было бы рассказать о других при

называются максимумами

называются максимумами

иг -то перждага

иг -то перждага

менениях тригонометрии: в комплексных чио-

лах, в геометрии, при решении различных физических задач. Mb рассчитываем это сде-

лать в наших последующих выпусках

^LcWdl OL = u*d- AT = ^ MK=dy< OK-a»adC^LcWdl OL = u*d- AT = ^ MK=dy< OK-a»adC

^LcWdl OL = u*d- AT = ^ MK=dy< OK-a»adC

^LcWdl OL = u*d- AT = ^ MK=dy< OK-a»adC

ОТ = MeZ

Тригонометрические друм»иу<и основных. умов

\yw

t^>)

"^

«7^

*a

501

0

5 2

A

COS

A

T

i

0

*9

0

f

a

6»

Oft

Аз

<

3

0

Формул/ сложения

Sin (d+p) = dMeitaty# * and tin^

Sin(d-p) - Sind cosp-told-tinp

ап(d-p) = cosdom^* sin deihjS ' z *-^/

i+tgdtgrp

.Softs' ггрр.аммс i-co^d- ^Sa^^.

f->CO-je<.= Pa^1 —

Тригонометрические

'~^we^M

I

n

Ш

jV

зй^семе

4-

—

w, see. ,-

—

4-

•A*

4-

4-

OcwoiwejugKtpwg^

UH3^ 4 CBSZd=A y^,^. ^ *=** Si' "”•‘*-55

У^-1

1 + t^dt = StC^et

4+ cttfZd = losetii. дррмуаы 2~6«, 3~«*x и -вех yiao^

4in 2.*- - 2 SinJanJ-

COS 2ol = COS^eC - Sut^

“1-^-V

siniel=aSinai- NsinV txrtM- Afcos1^ - 3a««t .

<«^tlp^,w^;/5g

jtfl»< <-tOScl 14On<k "" Hhd.

j-KJOjd _ Si»cd_ Sitid. S-CMd

Приложение

^^1, tqd-^ ^±A CMj.wyd о Г tOidtaip^^1, tqd-^ ^±A CMj.wyd о Г tOidtaipссмйсадр «^[сад^й-р^сад^рУ*} ।41>1о^С^? = ^[-И'й^-^б)*Л<4р/^)] ’I Зкц€греа»анв&. подср»амо4к« iссмйсадр «^[сад^й-р^сад^рУ*} ।41>1о^С^? = ^[-И'й^-^б)*Л<4р/^)] ’I Зкц€греа»анв&. подср»амо4к« iААФорумам» Эла решена^ еппесцолькое»^ВФорумам» Эла решена^ еппесцолькое»^ВОйднссчисч:Й.-райи^ описанной с*з ■' X-fiec^uye €писхчмсй -Кр ~। р- 2^(i #. с^cj- полургри.уг;Ойднссчисч:Й.-райи^ описанной с*з ■' X-fiec^uye €писхчмсй -Кр ~। р- 2^(i #. с^cj- полургри.уг;"S"Sa+g_ _ ф a-6 = "T~a+g_ _ ф a-6 = "T~

^^1, tqd-^ ^±A CMj.wyd о Г tOidtaip

^^1, tqd-^ ^±A CMj.wyd о Г tOidtaip

ссмйсадр «^[сад^й-р^сад^рУ*} ।

41>1о^С^? = ^[-И'й^-^б)*Л<4р/^)] ’

I Зкц€греа»анв&. подср»амо4к« i

ссмйсадр «^[сад^й-р^сад^рУ*} ।

41>1о^С^? = ^[-И'й^-^б)*Л<4р/^)] ’

I Зкц€греа»анв&. подср»амо4к« i

А

А

Форумам» Эла решена^ еппесцолькое»^

В

Форумам» Эла решена^ еппесцолькое»^

В

Ойднссчисч:

Й.-райи^ описанной с*з ■' X-fiec^uye €писхчмсй -Кр ~

। р- 2^(i #. с^cj- полургри.уг;

Ойднссчисч:

Й.-райи^ описанной с*з ■' X-fiec^uye €писхчмсй -Кр ~

। р- 2^(i #. с^cj- полургри.уг;

"S

"S

a+g_ _ ф a-6 = "T~

a+g_ _ ф a-6 = "T~

Формулы 51рео^ю^акие с^йк в прои^декмй *ih«c +4v»/ = 24oi ^-^-coi

садй. + еадр = 2«4^^- w-^2

j 3ipeo?p«^a#<«e проилб'еЭеи.’-’я

Jtn<2 fcinp - -^.[см ^z-p)-сад(R*e) i

’ j' nAcx^oic i-Apotpev., l->v

‘ -'fC^CW ^HAOsj*

:lp»-S ~ 5»яЛ ' J--4?

^p^sia Ч-:Л'- ‘ а4=1*7Д-Т^' -^ Я.

Тесоема талгг-у ■оД

Пшенце npocmeuutux триадоке- Memfuotgtjciix ррсгбменой

HnX=el 4фЖ=^Л*р?)а!К-5сА«2

вия =a <^x=2ктг±а.юсадр

tioyuct

сад

сворпулы:

"^(p-a)

fy,^?2 jv»Sfy,^?2 jv»S= ^«8 e««C== ^«8 e««C=R-R-Ssi^A = ^SSsi^A = ^S

fy,^?

2 jv»S

fy,^?

2 jv»S

= ^«8 e««C=

= ^«8 e««C=

R-

R-

Ssi^A = ^S

Ssi^A = ^S

G^rx-cT<t=^x - kst^axcot^.S' ападлп(-«1.) - -асе^йгй оаеои(-е<) = ST- анссадс/ wtetg (-*.)=- exct^oi.

^ 2 f p(p-a) Р(р-й) ^^ ^р-аУр^бКр^ =

Т = -^= !/А-кл 4^Д^ $’" f-

ПОДП. К ПЕЧАТИ 15/1Х-68 Г. Л-24612. Ф. 60x90/16

ФИЗ.П.Л. 11,0. УЧ.-ИЗД.Л. 7,35. ЗАК. 2553. ТИР. 6 000

ЦЕНА 20 КОП.

ОТПЕЧА1АНО НА РОТАПРИНТАХ В ТИП. ИЗД. МГУ МОСКВА, ЛЕНГОРЫ.

МШМШ1

Ж. М. РА6БОГ

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Издание треньеисправленное и дополненное

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВА

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Рисунки Т.И.Кузнецовой

Издание третье,исправленное и дополненное

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

19 6 9

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр

Предисловие 4

ГЛАВА I, Тригонометрические функции и основные формулытригонометрии 6

Определения тригонометрических функций 6

Обобщение понятия угла15

Измерение углов19

Формулы приведения25

Основные формулы30

Графики тригонометрических

функций39

Задачи к главе I36

ГЛАВА П, Преобразование тригонометрических выражений 99

Доказательство тождеств, преобразование тригонометрических выражений в произведение 96

Вычислениенекоторыхсумм 51

Задачи длясамостоятельного

решения 51

ГЛАВА Ш. Тригонометрические уравнения и неравенства 62

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства 62

Некоторые типы тригонометрических уравнений 7/

3.Тригонометрическиенеравенства 86

Системы тригонометрических уравнений96

Разные задачи99

ГЛАВА ТУ,Упражнения/27

Задачи письменного экзамена /27

Вопроси устного экзамена/43

ГЛАВА У. Некоторые приложения тригонометрии ... .146

Гармонические колебания/46

Интерференция и диффракциясвета/63

Приложение. Таблица основных формул/^