Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Н.А. БУЛГАКОВ, И.А. ОСИПОВА
ОСНОВНЫЕЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКАВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАФИЗИКА
• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •
Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»
Н.А. БУЛГАКОВ, И.А. ОСИПОВА
ОСНОВНЫЕЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКАВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАФИЗИКА
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
ТамбовИздательство ТГТУ2007
УДК 531(075)
ББК В3я73 Б907
Р е ц е н з е н т
Доктор технических наук, профессор кафедры«Автоматизированные системы и приборы» ТГТУ,заслуженный изобретатель России
М.М. Мордасов
Б907 Булгаков, Н.А.
Основные законы и формулы по математике и физике : справ. пособие / Н.А. Булгаков, И.А. Осипова. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. – 136 с. – 500 экз. – ISBN 978-5-8265-0618-9.
Представлены в сжатой форме основные законы и формулы по всему курсу физики, а также по школьной и высшей математике, знание которых необходимо для решения задач и осмысления физической сущности явлений.
Основное назначение – помочь быстро найти или восстановить в памяти необходимые законы и формулы. Используется современная терминология и обозначения.
Привлекателен в качестве справочного материала при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам. Помимо студентов вузов может быть полезен инженернотехническим работникам и учащимся колледжей и школ.
УДК 531(075)
ББК В3я73
ISBN 978-5-8265-0618-9 © ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» (ТГТУ), 2007
Справочное издание
БУЛГАКОВ Николай Александрович,ОСИПОВА Ирина Анатольевна
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКАВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Справочное пособие
Редактор Е.С. Мордасова
Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова
Подписано в печать 8.08.2007.
Формат 60 х 84 / 32. 5,9 усл. печ. л.
Тираж 500 экз. Заказ № 501
Издательско-полиграфический центрТамбовского государственного технического университета,392000, Тамбов, Советская 106, к. 14
Числовые неравенства:
Если a > b , то b < a .
Если a > b и b > c , то a > c .
Если a > b , то a + c > b + c .
Если a> bиc > 0 , тоac > bc .
Если a> bиc < 0 , тоac < bc .
Если a> bиc > d , тоa + c > b + d.
Если a> 0,b > 0 , c > 0 , d > 0 , причем a > b и c > d , то ac > bd .
Если a > b > 0 и n - натуральное число, то a” > bn .
Разложение на множители:
a2 -b2 =(a -b)(a + b);a2 ± 2ab + b2 =(a ±b)2;
a3 ± b3 =(a ± b)(a2 m ab + b2);
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 =(a ± b)3;
ax2 + bx + c = a (x - x1)(x - x 2),
где x1 и x2 - корни уравнения ax2 + bx + c = 0 .
Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0:
- b ± Dd- b ± Vb2 - 4ac
xi 2 == - формула корней квадратного уравнения.
,2a2a
..bc
.
.
Теорема Виета: x1 + x2 =, x1 x2 = —
aa
• Арифметическая прогрессия:
a1 , a2 , ..., an , ... – члены арифметической прогрессии;
d – разность арифметической прогрессии;
an+1 = an + d - определение арифметической прогрессии;
an = a1 + d (n -1) - формула n-го члена;
an-1 + an+t
an = " 1 2—~ - характеристическое свойство;
S = ai + an n = 2ai + d (n—0 n - формула суммы n первых членов. n22
• Геометрическая прогрессия:
a1 , a2 , ..., an , ... – члены геометрической прогрессии;
q – знаменатель геометрической прогрессии;
bn+i = bq, b * 0, q * 0 - определение геометрической прогрессии;
bn = b1 q" 1 - формула n-го члена;
bn = bn-ibn+i - характеристическое свойство;
b„q -bi bi (qn -1)
Sn == — - формула суммы n первых членов;
q -1 q-1
S = —1— - формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при | q | < 1.
- q
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Свойства тригонометрических функций:
sin(-x) = - sin x ; cos(-x) = cos x ;tg (-x) = -tg x ; ctg (-x) = -ctg x ;sin(-x) = - sin x ; cos(-x) = cos x ;tg (-x) = -tg x ; ctg (-x) = -ctg x ;sin(x + 2nk) = sin x ;
sin(-x) = - sin x ; cos(-x) = cos x ;
tg (-x) = -tg x ; ctg (-x) = -ctg x ;
sin(-x) = - sin x ; cos(-x) = cos x ;
tg (-x) = -tg x ; ctg (-x) = -ctg x ;
cos(x + 2nk) = cos x ;tg (x + nk ) = tg x;
ctg (x + nk) = ctg x ,
где k – любое целое число.
Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов
Аргумент a
Функция
0
n
П
П
П
П
3n
6
4
3
2
2
sin a
0
1
2
2
2
3
2
1
0
–1
cos a
1
3
2
2
2
1
2
0
–1
0
Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: 1° = п /180 рад.Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: 1° = п /180 рад.••Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:
Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: 1° = п /180 рад.
Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: 1° = п /180 рад.
•
•
. 22sin аcos а
sin а + cos а = 1; tg а =; ctg а =;
cos аsin а
11
1 + tg а =т—; 1 + ctg а = ..
cos аsin а
Формулы двойного угла:
■ о т ■2tg а
sm2a = 2sm а cos а = —;
1 + tg2a
32• 2,• 21 - tg2а
cos2a = cos а-sin а = 1 -2sin а =—;
tg2а =tg2а =2tg а . ;1 - tg2a2tg а . ;1 - tg2a, ,ctg2 а -1ctg 2а = — 2ctg а, ,ctg2 а -1ctg 2а = — 2ctg а..1 + tg2 а
tg2а =
tg2а =
2tg а . ;
1 - tg2a
2tg а . ;
1 - tg2a
, ,ctg2 а -1
ctg 2а = — 2ctg а
, ,ctg2 а -1
ctg 2а = — 2ctg а
.
.
Формулы тройного угла:
sin3a = 3sinа-4sin3а; cos3a = 4cos3а-3cosа.
Формулы понижения степени:
sin2 а =
1 - cos2a2;
21 + cos2a
cos а =
Формулы сложения и вычитания аргументов:
sin(a ± в) = sin а cos в ± cos а sin в;
cos (а±в) = cos а cos в m sin а sin в ;
tg (а±в) =tg (а±в) =tg а± tg в
tg (а±в) =
tg (а±в) =
1 m tg а tg в '
Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:
sin а + sin в = 2sin а + в cos а—-;
22
sin а - sin в = 2 sin а—в cos а + в ;
22
cos а + cos в = 2 cos а + в cos а—в ;
22
cos а - cos в = -2sin а + в sin а—в;
22
, п sin(а±в)tg а m tg в =.
cos а cos в
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:
sin а sin в = 2 (cos(a - в) - cos(a + в));
cos а cos в = 2 (cos(a-в) + cos(a + в));
sin а cos в = 2 (sin(a - в) + sin(a + в)).
• Знаки тригонометрических функций по четвертям
Функция
Четверть
I
II
III
IV
sin
+
+
–
–
cos
+
–
–
+
tg
+
–
+
–
ctg
+
–
+
–
Формулы приведения
Аргумент t
Функция
7t a
2
7t
— + a
2
n-a
n + a
3n a
2
3n
— + a
2
2n-a
sin t
cos a
cos a
sin a
- sin a
- cos a
- cos a
- sin a
cos t
sin a
- sin a
- cos a
- cos a
- sin a
sin a
cos a
tg t
ctg a
- ctg a
- tg a
tg a
ctg a
- ctg a
- tg a
ctg t
tg a
- tg a
- ctg a
ctg a
tg a
- tg a
- ctg a
Решение простейших тригонометрических уравнений:
sinx = a, |a|< 1, x = (-1)n arcsina + nn ;cos x = a, |a| < 1, x = ± arccos a + 2n n ;
tg x = a, x = arctg a + nn ;ctg x = a, x = arcctg a + nn ,
n – целое число.
Обратные тригонометрические функции:
ПП
< arcsin x < —, 0 < arccos x <n ;
22
- - < arctg x <-,- - < arctg x <-,0 < arcctg x < n;0 < arcctg x < n;
- - < arctg x <-,
- - < arctg x <-,
0 < arcctg x < n;
0 < arcctg x < n;
arcsin(-x) = -arcsin x; arccos(-x) = n - arccos x ;arctg (-x) = -arctg x; arcctg (-x) = n - arcctg x .
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ТРЕУГОЛЬНИКАХ
Обозначения: a, b, c - длины сторон A ABC , h - высота, p = a +b+c - полупериметр, 5 - площадь, R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей.
Теорема синусов. В любом треугольнике
abcsin a sin в sin у '
Теорема косинусов. В любом треугольнике
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a .
Формулы площади любого треугольника:
ahbhch1abc
= —- = —b = —-, 5 = —ab sin у, 5 = pr, 5 =,
22224R
= 4P (P - a)(P - b)(p - c) - формула Герона.
ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХФУНКЦИЙ
Линейная функция у = ах + b.
Графиком этой функции является прямая линия. Функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Оси координат пересекаются прямой в точках A(– b/a; 0) и B(0; b). В случае b = 0 получаем прямую пропорциональность у = ах. График функции проходит через начало координат.
Квадратичная функция у = ах2 + bх + с.
Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина параболы С имеет координатыОсь ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина параболы С имеет координаты
Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина параболы С имеет координаты
Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина параболы С имеет координаты
Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 – вниз.
4ac - b2 )
I. Абсциссы x i, x2 точек пересечения параболы
с осью Ох определяют по формуле х1,2 =с осью Ох определяют по формуле х1,2 =- b ± Vb2 - 4 ac- b ± Vb2 - 4 ac2a2a. Величины х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том случае, когда. Величины х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том случае, когда4 aJ
с осью Ох определяют по формуле х1,2 =
с осью Ох определяют по формуле х1,2 =
- b ± Vb2 - 4 ac
- b ± Vb2 - 4 ac
2a
2a
. Величины х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том случае, когда
. Величины х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том случае, когда
оно имеет решения на множестве действительных чисел.
Многочлен третьей степени y = ax3 + bx2 + cx + d.
Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и Δ = 3ас – b2. В случае Δ ≥ 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же Δ < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку пере-Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и Δ = 3ас – b2. В случае Δ ≥ 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же Δ < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку пере-гиба K. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума x4 и х5 определяют по формулегиба K. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума x4 и х5 определяют по формуле- b ± V-A3 a- b ± V-A3 a. Абсцисса. Абсциссаточки перегиба х6 равна [|. Касательная к графику в точке перегиба наклонена к оси Ох под углом а таким, что tg а = — V 3 a J3 aточки перегиба х6 равна [|. Касательная к графику в точке перегиба наклонена к оси Ох под углом а таким, что tg а = — V 3 a J3 a..• Степенная функция у = ахn (n > 1 – целое)• Степенная функция у = ахn (n > 1 – целое)
Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и Δ = 3ас – b2. В случае Δ ≥ 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же Δ < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку пере-
Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и Δ = 3ас – b2. В случае Δ ≥ 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же Δ < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку пере-
гиба K. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума x4 и х5 определяют по формуле
гиба K. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума x4 и х5 определяют по формуле
- b ± V-A3 a
- b ± V-A3 a
. Абсцисса
. Абсцисса
точки перегиба х6 равна [|. Касательная к графику в точке перегиба наклонена к оси Ох под углом а таким, что tg а = — V 3 a J3 a
точки перегиба х6 равна [|. Касательная к графику в точке перегиба наклонена к оси Ох под углом а таким, что tg а = — V 3 a J3 a
.
.
• Степенная функция у = ахn (n > 1 – целое)
• Степенная функция у = ахn (n > 1 – целое)
Графиком функции является парабола n-го порядка, которая проходит через точки О(0; 0) и А(1; а) и касается оси Ох в начале координат.
При n четном график функции симметричен относительно оси Оу и в начале координат имеет минимум при а > 0 и максимум при а < 0. При n нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯНА ПЛОСКОСТИ
•••••• d = \( x 2 — xi )2 +(y 2 — yi )2 - расстояние между точками M i(xi; yi) и M 2 (x 2; y 2 )
x = xi—Xx2, y = A—^У2 — координаты точки, делящей отрезок с концами M 1( xi; yi) и M 2 (x 2; у 2 ) в отношении Х = | M 1 M |:| MM 2|. 1+ Х 1 +х
Ax + By + C = 0 - общее уравнение прямой ( A, B, C - любые вещественные числа, A2 + B2 0) .
y = kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k (b - величина отрезка, отсекаемого прямой по оси Oy).
у — yi = k (x — xi) - уравнение прямой с угловым коэффициентом к , проходящей через точку Mi(xi; yt) .
y — y.x — x.,, ,,,, ,,
— =iуравнение прямой, проходящей через точки M i (xi; yi) и M 2 (x2; y2 ) .
У 2 — yix 2 — xi
••••xy
•
•
•
•
—+ — = i - уравнение прямой в отрезках (a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy). ab
, IAx0 + Bx0 + Clxz-x A
d =J00 —L - расстояние от точки M 0 (x0; y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 .
V A2 + B2
••tg ф =tg ф =22k2 — klформула вычисления одного из углов между прямыми y = k^x + b и y = k2x + b2 . i + kik22k2 — klформула вычисления одного из углов между прямыми y = k^x + b и y = k2x + b2 . i + kik22••xy—2 + ^-у = i - каноническое уравнение эллипса ( a, b - полуоси).xy—2 + ^-у = i - каноническое уравнение эллипса ( a, b - полуоси).••ax2a2ax2a22-b2- = i - каноническое уравнение гиперболы.2-b2- = i - каноническое уравнение гиперболы.
•
•
tg ф =
tg ф =
2
2
k2 — kl
формула вычисления одного из углов между прямыми y = k^x + b и y = k2x + b2 . i + kik2
2
k2 — kl
формула вычисления одного из углов между прямыми y = k^x + b и y = k2x + b2 . i + kik2
2
•
•
xy
—2 + ^-у = i - каноническое уравнение эллипса ( a, b - полуоси).
xy
—2 + ^-у = i - каноническое уравнение эллипса ( a, b - полуоси).
•
•
a
x2
a2
a
x2
a2
2
-b2- = i - каноническое уравнение гиперболы.
2
-b2- = i - каноническое уравнение гиперболы.
••y2 = 2px, y2 = —2px - каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ox (p > 0 - параметр).
•
•
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
X = x2 — xi, Y = y2 — yi, Z = z 2 — zi - выражение координат вектора AB через координаты точек A (xi; yi; zi) и B (x2 ; y2; z2 ) .
| a | = VX2 + Y2 + Z2 - выражение длины вектора a = {X; Y; Z} через его координаты.
d = V (x2 — xi )2 + (y2 — yi )2 + (z2 — zi )2 - расстояние между точками Mi (xi; yi; zi) и M2 (x2; y2; z2).
a • b = | a | • |b | cos ф - определение скалярного произведения векторов a и b (ф - угол между векторами).
a • b = Xi X2 + Yi Y2 + Zi Z2 - выражение скалярного произведения векторов a = {Xi; Y ; Zi} и b = {X2 ; Y2 ; Z2 } через их координаты.
X.X2 + YY2 + Z.Z2
cos ф =i 2 i 2 i 2- выражение угла между векторами.
222222
•у X i + Yi + Z i •д/ X 2 + Y2 + Z 2
••Ax + By + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости ( A, B, C - любые вещественные числа, A2 + B2 + C2 * 0 ).
•
•
••d=d=| Ax0 + By0 + Cz0 + D || Ax0 + By0 + Cz0 + D |A2 + B2 + C2A2 + B2 + C2- расстояние от точки M0 (x0; y0; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .- расстояние от точки M0 (x0; y0; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .••x—lx—lx 0 = У — У 0 = zx 0 = У — У 0 = z——mmnn—° - каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a ={ l; m; n} , проходящей через точку M 0 (x 0; y 0; z 0 ) .—° - каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a ={ l; m; n} , проходящей через точку M 0 (x 0; y 0; z 0 ) .
•
•
d=
d=
| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B2 + C2
A2 + B2 + C2
- расстояние от точки M0 (x0; y0; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .
- расстояние от точки M0 (x0; y0; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .
•
•
x—
l
x—
l
x 0 = У — У 0 = z
x 0 = У — У 0 = z
—
—
m
m
n
n
—° - каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a ={ l; m; n} , проходящей через точку M 0 (x 0; y 0; z 0 ) .
—° - каноническое уравнение прямой с направляющим вектором a ={ l; m; n} , проходящей через точку M 0 (x 0; y 0; z 0 ) .
•
222
•
xyz
—2 +—2" +—2" = i - каноническое уравнение эллипсоида ( a, b, c - полуоси).
2 b2c2
a
•
x2
2
-Т+^ a2
b
2
z2
—= i - каноническое уравнение однополосного гиперболоида.
c2
•
x2
2
•
•
a
+^
x2
b
2
—
2
z2
c2
— + У- = z
2p 2q
x2
2p 2q
-2=z
—i - каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.
– каноническое уравнение эллиптического параболоида (p > 0, q > 0 – параметры).
– каноническое уравнение гиперболического параболоида.
•
222
xyz
—У +—zу = 0 - каноническое уравнение конуса второго порядка.
a2 b2c2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
•
sin x
lim= 1 - первый замечательный предел.
x ^0 x
•
•
Г, 1 jx
lim I 1 +— I = e - второй замечательный предел.
x ^v x )
f(xo + Ax)-f(xo)
f (x0 )= lim——-- определение производной функции y = f (x) в точке x0.
Ax ^0Ax
•
•
–
dy = f'(x0 )dx - дифференциал функции f (x) в точке x0.
Производные простейших элементарных функций:
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
(u ± v) = u ± v ;
(uv) = u'v + uV ;
3)
–
(uAu 'v - uv'„
I I =2—, v * 0.
V v )v2
Производная постоянной функции
У = f (x ) = C ^ У ' = 0,
(Cu) = Cu ‘.
–
Производная степенной функции
) = nx 1;
(Vx j=( x2 j = -1= v V 2V x
;
1 x2 .
––Производная показательной функции
–
–
––Производная логарифмической функцииПроизводная логарифмической функции••Производные тригонометрических функций:Производные тригонометрических функций:••••••••(ax) = ax In a ;(ax) = ax In a ;1(log ax) =-.—; xlna1(log ax) =-.—; xlna‘‘= ex= ex(ln x) = 1. x(ln x) = 1. x(sin x) = cos x ;1(arcsin x) = ,V1 - x x(cos x) =- sin x;1(arccos x) =—:=V1 - x1(tg x) == sec x;cos2 x1(arctg x) =;1 + x2<12(ctg x) = —-"2— = -cosec x ;1(arcctg x) =2(sin x) = cos x ;1(arcsin x) = ,V1 - x x(cos x) =- sin x;1(arccos x) =—:=V1 - x1(tg x) == sec x;cos2 x1(arctg x) =;1 + x2<12(ctg x) = —-"2— = -cosec x ;1(arcctg x) =2..xx;2;2;;y’(to) = f'(xо) ф'(tо) - правило дифференцирования сложной функции y = f [(p(t)] в точке 10; здесь x0 = p(10).ф'(У о) = — правило дифференцирования обратной функции x = p(y) в точке y0 = f (x0) .f'(x 0)y’(to) = f'(xо) ф'(tо) - правило дифференцирования сложной функции y = f [(p(t)] в точке 10; здесь x0 = p(10).ф'(У о) = — правило дифференцирования обратной функции x = p(y) в точке y0 = f (x0) .f'(x 0)(uv)(”)= u(”)v + nu*” 1)V + n(n 2 ^ u(” 2)v" +... + + uv(”) - формула Лейбница.(uv)(”)= u(”)v + nu*” 1)V + n(n 2 ^ u(” 2)v" +... + + uv(”) - формула Лейбница.f (b)-f (a)f (b)-f (a)b-ab-a= f '(c) - формула Лагранжа; c e(a, b) .= f '(c) - формула Лагранжа; c e(a, b) .
–
–
Производная логарифмической функции
Производная логарифмической функции
•
•
Производные тригонометрических функций:
Производные тригонометрических функций:
•
•
•
•
•
•
•
•
(ax) = ax In a ;
(ax) = ax In a ;
1
(log ax) =-.—; xlna
1
(log ax) =-.—; xlna
‘
‘
= ex
= ex
(ln x) = 1. x
(ln x) = 1. x
(sin x) = cos x ;
1
(arcsin x) = ,
V1 - x x
(cos x) =- sin x;
1
(arccos x) =—:=
V1 - x
1
(tg x) == sec x;
cos2 x
1
(arctg x) =;
1 + x2
<12
(ctg x) = —-"2— = -cosec x ;
1
(arcctg x) =2
(sin x) = cos x ;
1
(arcsin x) = ,
V1 - x x
(cos x) =- sin x;
1
(arccos x) =—:=
V1 - x
1
(tg x) == sec x;
cos2 x
1
(arctg x) =;
1 + x2
<12
(ctg x) = —-"2— = -cosec x ;
1
(arcctg x) =2
.
.
x
x
;
2
;
2
;
;
y’(to) = f'(xо) ф'(tо) - правило дифференцирования сложной функции y = f [(p(t)] в точке 10; здесь x0 = p(10).
ф'(У о) = — правило дифференцирования обратной функции x = p(y) в точке y0 = f (x0) .
f'(x 0)
y’(to) = f'(xо) ф'(tо) - правило дифференцирования сложной функции y = f [(p(t)] в точке 10; здесь x0 = p(10).
ф'(У о) = — правило дифференцирования обратной функции x = p(y) в точке y0 = f (x0) .
f'(x 0)
(uv)(”)= u(”)v + nu*” 1)V + n(n 2 ^ u(” 2)v" +... + + uv(”) - формула Лейбница.
(uv)(”)= u(”)v + nu*” 1)V + n(n 2 ^ u(” 2)v" +... + + uv(”) - формула Лейбница.
f (b)-f (a)
f (b)-f (a)
b-a
b-a
= f '(c) - формула Лагранжа; c e(a, b) .
= f '(c) - формула Лагранжа; c e(a, b) .
••f (b)- f (а) f'(c)/
•
•
——— = ——- - формула Коши; c e(a, b).
g(b)- g(a ) g (c)
••f'(a)/f"(a)/\2
•
•
f (x ) = f (a) +(x - a) + -yy-(x - a ) +
f (”)(a)f (”+1)(A
+... +(x - a)” +——(x - a) ”+ - формула Тейлора; ^e( a, x).
n!(n +1)!
f (x ) = f (0) +
f(0L01+
x + x ++
1!
2!
f(n )(0) x (n) +n!
•
–
–
–
–
–
•
•
•
•
•
•
•
•
+ f (”+1)(0) x(n+1)
.
(n +1)!
Неопределенный и определенный интегралы
Табличные интегралы:
rx а+1
[xаdx =+ C (а*—1);
Jа +1
f axdx = -a- + C (0 < a * 1); ln a
J sin x dx = — cos x + C;
( dx = ln| x| + C;x
J exdx = ex + C;
J cos x dx = sin x + C;
dx
. 2=—ctgx + C;
sin2 x
dxx
.= arcsin — +
J V a2 — x2a
—dxy = arctg x + C; I"
J 1 + xJ
j- ^a-i x^ i+C(a *0);
J x^r=M T—r 1+C;
dx1 xdx
—=у = —arctg— + C (a * 0);—=— = arctgx + C;
x2 + a2a ax2 + 1
J . ^= ln| x + V x2 ± k | + C;
V x2 ± k
J , dx= In | x + V x2 ± 1 | + C.
3 V x2 ± 1
C;
J
dx cos2 x dx Ti—x^
dx
a2 + x2
= tg x + C;
= arcsin x + C;
1x
= —arctg— + C;aa
J f (x)dx|x=ф(t) = J f [ф(t)]ф'(t)dt - формула замены переменной в неопределенном интеграле.
b
J f (x)dx = J f [ф(t)]ф'(t)dt - формула замены переменной в определенном интеграле; ф(а) = a , ф(в) = b .
a
Ju(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - Jv(x)u'(x)dx - формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
bb
J u dv = uvb — J v du - формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
aa
b
J f (x )dx = f (c)(b — a) - формула среднего значения; c e[a, b ].
a
b
J f (x)dx = F(b) — F(a) = F(x) b - формула Ньютона-Лейбница.
a
b
5 = J f (x)dx - площадь криволинейной трапеции a
0 < у < f (x), a < x < b .
в
' = Jv( t )ф'( t )d t - площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически: x = ф(t), у = ф(t), а < t < в .
а
1β
5 = — I р2 (ф)dф - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах: р = р (ф), а < ф < в .
2
α
L = J V1 + (f'(x))2 dx - длина дуги кривой, заданной уравнением у = f (x) , a < x < b .
a
L = J V(ф'( t ))2 +(ф'( t ))2 dt - длина дуги кривой, заданной параметрически: x = ф(t), у = ф (t), а < t < в -
α
L = J V (р(ф))2 + (р'(ф))2 dф - длина дуги кривой, заданной в полярных координатах: р = р(ф), а<ф<в -
α
•
•
b
V =nj f2(x)dx - объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 < y < f (x), a < x < b .
a
b2
P = 2nJ f (x)-\/1 + (f'(x))2 dx — площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 < y < f (x), a < x < b .
a
ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРАХ И СКАЛЯРАХ.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
• Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скаля-
ром, называется величина, не обладающая направлением.
Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например: a = AB, a = AB или a = AB .
Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные.
Сложение векторов по правилу треугольников. Суммой векторов а и b называется третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL , равный а; из точки L, как из начала, строим вектор LM , равный b. Вектор с = OM есть сумма векторов а и b.
• Сложение векторов по правилу параллелограмма. Если слагаемые а и b не коллинеарны, то сумму а + b можно найти следующим построением: из любого начала О строим векторы OA = а и OB = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ, Вектор диагонали OC = с есть сумма векторов а и b (так как AC = OB = b и OC = OA + AC ). Обозначение: a2 – a1.
• Вычитание векторов. Вычесть вектор a1 (вычитаемое) из вектора а2 (уменьшаемое) значит найти новый вектор х (разность), который в сумме с вектором а1 дает вектор а2. Отсюда следует, что вычитание векторов есть действие, обратное сложению.
Из определения вытекает такоепостроение: из произвольного начала О строим векторы OA1 = a1, OA2 = a2.
Вектор А1A2 (проведенный из концавычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть разность a2 – a1:
„„„0
А1A2 = OA2 – OA1 .
Другое построение. Чтобы построить разность a2 – a1 векторов a2 и a1, можно взять сумму векторов a2 и –a1, т.е. a2 – a1 = a2 + (–a1).
Умножение вектора на число. Умножить вектор a (множимое) на число х (множитель) значит построить новый вектор (произведение), модуль которого получается умножением модуля вектора а на абсолютное значение числа х, а направление совпадает с направлением вектора а или противоположно ему, смотря по тому, положительно число х или отрицательно. Если же х = 0, то произведение есть нуль- вектор.
Обозначение: ах или ха.
Деление вектора на число. Разделить вектор а на число х значит найти такой вектор, который, будучи умножен на число х, даст в произведении вектор а.
Обозначение: a : х или.
x
Вместо деления можно выполнить умножение а ×.
xx
Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
ab = | a I ■ | b I ■ cos (a, b).
Векторным произведением вектора a (множимое) на не коллинеарный с ним вектор b (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:
Положительные направления на осях принято выбирать так, чтобы поворот на 90°, совмещающий положительный луч ОХ с лучом ОY, казался происходящим против часовой стрелки, если наблюдать его со стороны луча OZ. Такая система координат называется правой. Иногда пользуются и левой системой координат. В ней упомянутый поворот совершается по часовой стрелке.
Правая и левая системы трех векторов.
Пусть a, b, с – три (ненулевые) вектора, не параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке (т.е. а – первый вектор, b – второй и с – третий.) Приведя их к общему началу О, получим три вектора OA , OB , OC , не лежащие в одной плоскости. Система трех векторов a, b, с называется правой, если поворот вектора OA , совмещающий его по кратчайшему пути с вектором OB , совершается против часовой стрелки для наблюдателя, глаз которого помещается в точке С.
Если же упомянутый поворот совершается по часовой стрелке, то система трех векторов a, b, с называется левой.
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
асрасрn ∑аi i=1nn ∑аi i=1nАбсолютная ошибка отдельного измеренияСредняя квадратичная ошибкаАбсолютная ошибка отдельного измеренияСредняя квадратичная ошибка∆аi = аср - аi .∆аi = аср - аi .Среднее арифметическое из n равноточных измерений величины a
аср
аср
n ∑аi i=1
n
n ∑аi i=1
n
Абсолютная ошибка отдельного измерения
Средняя квадратичная ошибка
Абсолютная ошибка отдельного измерения
Средняя квадратичная ошибка
∆аi = аср - аi .
∆аi = аср - аi .
S=S=n∑∆ai2i=1
S=
S=
n(n -1)
∆а = t(α, n)S ,∆а = t(α, n)S ,Абсолютная погрешность результата измерения
∆а = t(α, n)S ,
∆а = t(α, n)S ,
где t – коэффициент Стьюдента; α – надежность.
Относительная погрешность
∆ааср
Таблица коэффициентов Стьюдента
Число измерений
Надежность
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,98
2
1,00
1,38
2,0
3,1
6,3
12,7
31,8
5
0,74
0,94
1,2
1,5
2,1
2,8
3,7
10
0,70
0,88
1,1
1,4
1,8
2,3
2,8
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ• Средняя и мгновенная скорости материальной точки• Средняя и мгновенная скорости материальной точкиФИЗИКАФИЗИКАArAtArAtAsAtAsAtdrdrv dt ’v dt ’
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
• Средняя и мгновенная скорости материальной точки
• Средняя и мгновенная скорости материальной точки
ФИЗИКА
ФИЗИКА
Ar
At
Ar
At
As
At
As
At
dr
dr
v dt ’
v dt ’
где Ar - элементарное перемещение точки за промежуток времени At; r - радиус-вектор точки; As - путь, пройденный точкой за промежуток времени At.
Среднее и мгновенное ускорения материальной точки
AvA t ’AvA t ’dvdva = —.a = —.dtdt
Av
A t ’
Av
A t ’
dv
dv
a = —.
a = —.
dt
dt
• Полное ускорение при криволинейном движении• Полное ускорение при криволинейном движении22aт + an ,22aт + an ,duгде a = — - тангенциальная составляющая ускорения; a тd tnduгде a = — - тангенциальная составляющая ускорения; a тd tn– нормальная составляющая ускорения (r – радиус кривизны траектории в данной– нормальная составляющая ускорения (r – радиус кривизны траектории в даннойточке).• Путь и скорость для равнопеременного движенияточке).• Путь и скорость для равнопеременного движенияs = uo t ± —;u = Uo ± at,s = uo t ± —;u = Uo ± at,где Uo - начальная скорость.где Uo - начальная скорость.• Угловая скорость• Угловая скорость
• Полное ускорение при криволинейном движении
• Полное ускорение при криволинейном движении
22
aт + an ,
22
aт + an ,
du
где a = — - тангенциальная составляющая ускорения; a тd tn
du
где a = — - тангенциальная составляющая ускорения; a тd tn
– нормальная составляющая ускорения (r – радиус кривизны траектории в данной
– нормальная составляющая ускорения (r – радиус кривизны траектории в данной
точке).
• Путь и скорость для равнопеременного движения
точке).
• Путь и скорость для равнопеременного движения
s = uo t ± —;u = Uo ± at,
s = uo t ± —;u = Uo ± at,
где Uo - начальная скорость.
где Uo - начальная скорость.
• Угловая скорость
• Угловая скорость
dm to =—L.dm to =—L.dtdt
dm to =—L.
dm to =—L.
dt
dt
• Угловое ускорение• Угловое ускорениеdto e = —.dtdto e = —.dt• Угловая скорость для равномерного вращательного движенияto• Угловая скорость для равномерного вращательного движенияtoP 2n— = — = 2n n, tTP 2n— = — = 2n n, tTгде T - период вращения; n - частота вращения ( n = N /1 , где N - число оборотов, совершаемых телом за время t).где T - период вращения; n - частота вращения ( n = N /1 , где N - число оборотов, совершаемых телом за время t).• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения
• Угловое ускорение
• Угловое ускорение
dto e = —.
dt
dto e = —.
dt
• Угловая скорость для равномерного вращательного движения
to
• Угловая скорость для равномерного вращательного движения
to
P 2n
— = — = 2n n, tT
P 2n
— = — = 2n n, tT
где T - период вращения; n - частота вращения ( n = N /1 , где N - число оборотов, совершаемых телом за время t).
где T - период вращения; n - частота вращения ( n = N /1 , где N - число оборотов, совершаемых телом за время t).
• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения
• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения
e t2 p = too t ±—;e t2 p = too t ±—;to = to01 ± e t,to = to01 ± e t,
e t2 p = too t ±—;
e t2 p = too t ±—;
to = to01 ± e t,
to = to01 ± e t,
где too - начальная угловая скорость.
Связь между линейными и угловыми величинами
s = Rp; v = Rto; aт = Re; an =to2R , где R – расстояние от оси вращения.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Импульс (количество движения) материальной точки
p = m v .
Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)
dv dp
F = ma = m— = — .dtdt
Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки
dvmv2
FT = maT = m—; F„ = ma„ == mto R .
т т dt n n R
Сила трения скольжения
Ftp = N ,
где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.
Сила трения качения
Fmp = f (N / r ,
где f – коэффициент трения качения; r – радиус качающегося тела.
Закон сохранения импульса для замкнутой системы n
p = E m' = const-i=1
где n – число материальных точек (или тел), входящих в систему.
Координаты центра масс системы материальных точек:
_ SmiXi __ Smiyi __ SmiZi
xC =; yC =; zC =-
SmiSmiSmi
где mi – масса i-й материальной точки; xC , yC , zC – ее координаты.
Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)
m a = F + Fp ,
где реактивная сила Fp =где реактивная сила Fp =dm
где реактивная сила Fp =
где реактивная сила Fp =
—u (u - скорость истечения газов из ракеты).dt
Формула Циолковского для определения скорости ракеты
m
v = u ln—0 ,m
где m0 – начальная масса ракеты.
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Работа, совершаемая постоянной силой
dA = Fdr = Fsds = Fds cos a -
где Fs - проекция силы на направление перемещения; a - угол между направлениями силы и перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой, на пути s
A = JFsds =JF cos ads .
ss
Средняя мощность за промежуток времени At
(N = AA / At.
Мгновенная мощность
dA
N = — , или N = Fv = F,и = Fucos a .dts
•
•
•
П = mgh, где g – ускорение свободного падения.
Сила упругости
F = — kx ,
где х – деформация; k – коэффициент упругости.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела
П = kx 2/2.
Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)
T + П = Е = const.
Коэффициент восстановления
£ = Un / u n -
где un и un - соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.
Скорости двух тел массами m1 и m2 после абсолютно упругого центрального удара:
_ (mi — m2 )ui + 2m2Uu1 =;
m1 + m2
, _ (m2 — mi )u2 + 2miUi
U2 =,
mi + m2
где ui и u2 - скорости тел до удара.
Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара
miUi + m 2U2
mi + m2
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент инерции материальной точки
J = mr2,
где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.
Момент инерции системы (тела)
n
J=E m-r2 -
i=1
где ri – расстояние материальной точки массой mi до оси вращения.
В случае непрерывного распределения масс J = J r2dm .
Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m – масса тела):
Тело
Положение оси вращения
Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R
Ось симметрии
mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R
Ось симметрии
1 mR2
2
Прямой тонкий стержень длиной l
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
1 ml2
12
Прямой тонкий стержень длиной l
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
1 ml2
3
Шар радиусом R
Ось проходит через центр шара
2 mR2 5
• Теорема Штейнера
J = Jc + ma2,
где JC – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,
Твр = J z ш2/2-
где Jz - момент инерции тела относительно оси z ; ш - его угловая скорость.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
11
T = —. m и с + — Jc ш ,
где m - масса тела; и с - скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ш - угловая скорость тела.
Момент силы относительно неподвижной точки
M = [rF],
где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.
Модуль момента силы
M = Fl, где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
Работа при вращении тела
dA = Mz d9 ,
где dф - угол поворота тела; Mz - момент силы относительно оси z .
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения
L_ = У m,и r = J_,
ziiiz
где r- - расстояние от оси z до отдельной частицы тела; m-u- - импульс этой частицы; Jz - момент инерции тела относительно оси z ; ш - его угловая скорость.
Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
dL_ dш
M = —-, M z = Jz —- = Jz S -dtdt
где s - угловое ускорение; Jz - момент инерции тела относительно оси z .
Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы
L = const.
Напряжение при упругой деформации
а = F/5,
где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.
Относительное продольное растяжение (сжатие)
S = Al /1, где Al - изменение длины тела при растяжении (сжатии); l - длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие)
s' = Ad / d,
где Ad - изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d - диаметр стержня.
Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) s' и относительным продольным растяжением (сжатием) s
s' = цs,
Ц
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
о = Es,
где Е – модуль Юнга.
Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня
П = [fdx = 1 ES (Al)2 = — V ,02l2
где V – объем тела.
ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Третий закон Кеплера
Tt=R3 T22 R23 ,
где T1 и T2 – периоды обращения планет вокруг Солнца; R1 и R2 – большие полуоси их орбит.
Закон всемирного тяготения
F = Gmxm2 r
r2 r
где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами m1 и m2 , r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.
Сила тяжести
P = mg ,
где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.
Напряженность поля тяготения
g = F / m ,
где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг от друга,
П = - Gmx m 2 / r .
Потенциал поля тяготения
Ф = П / m ,
где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.
Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью
где i, j, k – единичные векторы координатных осей.
Первая и вторая космические скорости
и = VgR"> и=V2 gR о.
где R0 – радиус Земли.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета
ma' = ma + FHH,
где a и a' - соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, ЕИн - силы инерции.
Силы инерции
F =1 +F +Fин и ц к ,
где Fи – силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением а0: Fи = –ma0; Fц – центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Ец = -mф2R; Ек - кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v' во вращающейся системе отсчета:
Fk = 2 m [v'toj.
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ
Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h
Р = Pgh ,
где р – плотность жидкости.
Закон Архимеда
Fa = PgV,
где FА – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости.
Уравнение неразрывности
Sи = const,
где S - площадь поперечного сечения трубки тока; и - скорость жидкости.
Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости
ри2
r2— + рgh + p = const,
где р - статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; и - скорость жидкости для этого же сечения; ри2 /2 - динамическое давление жидкости для этого же сечения; h - высота, на которой расположено сечение; рgh - гидростатическое давление.
Для трубки тока, расположенной горизонтально,
ри2
г— + p = const.
2
Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,
где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.
Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости
F =nF =nI £lsI £ls
F =n
F =n
I £ls
I £ls
где n - динамическая вязкость жидкости; Au / Ax - градиент скорости; S - площадь соприкасающихся слоев.
Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,
Re = р < u > d / n ,
где р - плотность жидкости; < и > - средняя по сечению трубы скорость жидкости; d - характерный линейный размер, например, диаметр трубы.
Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,
F = 6nnrи ,
где r - радиус шарика; и - его скорость.
Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l, V = nR4Apt/(8nl),
где R - радиус трубки; Ap - разность давлений на концах трубки.
Лобовое сопротивление
Rx = Cx ^ S ,
где Сх - безразмерный коэффициент сопротивления; р - плотность среды; и - скорость движения тела; S - площадь наибольшего поперечного сечения
тела.
Подъемная сила
Ry = Cy '-, S ,
где Cy – безразмерный коэффициент подъемной силы.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Преобразования Лоренца
,_ x-иtX ~ V".-и2/c2,_ x-иtX ~ V".-и2/c2,,11у = у, z = z,11у = у, z = z,иx / c2иx / c2t ' = t- V1 -и2/ct ' = t- V1 -и2/c,2,2
,_ x-иt
X ~ V".-и2/c2
,_ x-иt
X ~ V".-и2/c2
,
,
11
у = у, z = z,
11
у = у, z = z,
иx / c2
иx / c2
t ' = t- V1 -и2/c
t ' = t- V1 -и2/c
,
2
,
2
где предполагается, что система отсчета K ' движется со скоростью и в положительном направлении оси x системы отсчета K , причем оси x ' их совпадают, а оси у' и у , z' и z - параллельны; c - скорость распространения света в вакууме.
Релятивистское замедление хода часов
T
V1 -и2/c2
где T - промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; т' - промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.
Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
l = 10V1 -и2/c2 ,
где l0 – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью и .
Релятивистский закон сложения скоростей
, u -и ,Uy V1 — u2 /c2
u x = —x—г;u y = ■v;
1 — и ux / c2y1 — и ux / c2
, _ uz V1 — u2/ ccz1 — uux / c2 ’
где предполагается, что система отсчета K ‘ движется со скоростью и в положительном направления оси х системы отсчета K , причем оси х ‘ их совпадают, оси у ‘и у , z ‘и z - параллельны.
Интервал s12 между событиями (инвариантная величина)
522 _ c2122 — 722 _ inv,
где t12 – промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 – расстояние между точками, где произошли события.
Масса релятивистской частицы и релятивистский импульс
m _m _m041 — u2/c2m041 — u2/c2p _m 0v41 — u2 /ccp _m 0v41 — u2 /cc
m _
m _
m0
41 — u2/c2
m0
41 — u2/c2
p _m 0v
41 — u2 /cc
p _m 0v
41 — u2 /cc
где m0 – масса покоя.
Основной закон релятивистской динамики
dpF _df
где p – релятивистский импульс частицы.
Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы
E _ mc2 _ mоc2 + T, T _ (m — mо)c2.
Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
E2 _ m 0 c4 + p2 c2, pc _ 4 T (t + 2 m о c 2) -
Энергия связи системы
ECB _£ m0ic2 — Mоc2,
i _1
где m0i – масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; M0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц.
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И
ТЕРМОДИНАМИКИ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Закон Бойля-Мариотта
рV = const при Т = const, m = const, где р – давление; V – объем; Т – термодинамическая температура; m – масса газа.
Закон Гей-Люссака
V = V0 (1 + a t), или V1/V2 = T1/T2при p = const, m = const;
Р = Ро (1 + at), или P1 / P2 = T1 / T2при V = const, m = const,где t - температура по шкале Цельсия; Vо и pо - соответственно объем и давление при 0 °С; коэффициент a = 1/ 273 К 1 ; индексы 1 и 2 относятся к
произвольным состояниям.
Закон Дальтона для давления смеси п идеальных газов
n
p=Е р- ,i=1
где pi – парциальное давление i-го компонента смеси.
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева)
pVm = RT (для одного моля газа),
pV = (m/M)RT (для произвольной массы газа),
где Vm - молярный объем; R - молярная газовая постоянная; M - молярная масса газа; m - масса газа; m/M = v - количество вещества.
Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры
p = nkT,
где к - постоянная Больцмана (k = R / Na , Na - постоянная Авогадро).
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
12
Р = -3nmо(икв? -
или
= 2 E3= 2 E3pV = - Nf m'^'2- 1
= 2 E
3
= 2 E
3
3 I 2 J
или
1212
pV = -Nm0(vKB) = -mvKB) -
где (u№) — средняя квадратичная скорость молекул; Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; n - концентрация
молекул, mо - масса одной молекулы; m = Nmо - масса газа; N - число молекул в объеме газа V.
Скорость молекул:
– наиболее вероятная
ив = 72RT / M = 72kT / mо ;
– средняя квадратичная
(икв) = 73RT /M = 43kT / mо ;
– средняя арифметическая
и = 48 RT/(пM) = 48 kT/(п m о),
где m0 – масса одной молекулы.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа
(во) = 3kT.
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям
f (и)= dN(u) = 4nf ma У/2 y2e—m ои2/(2 kT)
Ndu12пkTJ
где функция f (u) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул dN(u)/ N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от и до u + du.
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения
f (s) —f (s) —^) = 2 (kTr3/2el/2e-e/(kT)
f (s) —
f (s) —
Nds7Л
где функция f (s) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул dN(s)/ N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии s = moU2 / 2 , заключенные в интервале от s до s + ds.
Барометрическая формула
п _ п р - Mg (h - ho)/(RT) ph = p oe
где ph и p0 – давление газа на высоте h и h0
Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
n-n -- Mgh/(RT) - и e-mogh/(kT) или n-n е-П/(kT)n — noe— noe, или n — noe,
где пи no - концентрация молекул на высоте h и h — o ; П — mo gh - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.
Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с,
(z) — V2nd2n(и),
где d - эффективный диаметр молекулы; п - концентрация молекул; (и) - средняя арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
Закон теплопроводности Фурье
Q —-X—St,dx
где Q - теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT /dx - градиент температуры; X - теплопроводность:
X—3 cv pH (0,
где Cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; р - плотность газа; (и) - средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; l – средняя длина свободного пробега молекул.
Закон диффузии Фика
M — -D-dpSt,dx
где М - масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; dp /dx - градиент плотности, D - диффузия:
D — 3(и) 1П .
Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)
du
F —-п—Sdx
где F- сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; du/dx - градиент скорости; п - динамическая вязкость:
п —3pH У).
••ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
•
•
Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,(sj—2 kT.
••Средняя энергия молекулыСредняя энергия молекулы
•
•
Средняя энергия молекулы
Средняя энергия молекулы
(s) — -kT,
где - - сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы (- — nПоСТ + nВращ + 2nколеб ).
Внутренняя энергия идеального газа
U — v-RT —RT ,
2 M2
где v - количество вещества; m - масса газа; М - молярная масса газа; R - молярная газовая постоянная.
Первое начало термодинамики
Q—AU+A,
где Q - количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; A U - изменение ее внутренней энергии; А - работа системы против внешних сил.
Первое начало термодинамики для малого изменения системы
dQ — dU + SA.
Связь между молярной Cm и удельной с теплоемкостями газа
Cm = CM ,
где М – молярная масса газа.
Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении
Cv = ^R, Cp = -22R.
Уравнение Майера
Cp = Cv + R.
Изменение внутренней энергии идеального газа
d U = — Cv dT .M V
Работа, совершаемая газом при изменении его объема,
SA = pd V.
Полная работа при изменении объема газа
V2
A = J pd V ,
V1
где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа.
Работа газа:
– при изобарном процессе
a = p(V2 - V), или A = mR(T2 - T);
M
– при изотермическом процессе
mVmp
A = —RTln—, или A = —RTln—.
MV1Mp2
Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)
pVY = const, TV1-1 = const, TYp1-Y = const, где Y = Cp / Cv =(г + 2) / - – показатель адиабаты.
Работа в случае адиабатического процесса
A = mCvT -T2)-
M
или
Y-1Y-1
RT m Г V )_ piV , ( Vi )
A =1 - I I =1 - I I ,
Y-1 MI V2 JY- 1I V2 J
где T1 , T2 и V1 , V2 – соответственно начальные и конечные температура и объем газа.
Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)
„ AQ1 - Q21 Q2
П = — == 1,
Q1Q1Q1
где Q1 – количество теплоты, полученное системой; Q2 – количество теплоты, отданное системой; А – работа, совершаемая за цикл.
Термический коэффициент полезного действия цикла Карно
n =n =T1T1--T2T2T1T1,,где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.• Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.• Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 222А5,^2 = S2 - S1 =J dQ = J1T 122А5,^2 = S2 - S1 =J dQ = J1T 1d U + SATd U + SAT..2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ ИТВЕРДЫЕ ТЕЛА• Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газаp + 772" |(Vm -b) = RT , Vm Jгде Vm – молярный объем; а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ ИТВЕРДЫЕ ТЕЛА• Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газаp + 772" |(Vm -b) = RT , Vm Jгде Vm – молярный объем; а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.• Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа• Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газаv2 a p+V2v2 a p+V2VvVv--илиили2p + Vr l(V-vb) = RT ,2p + Vr l(V-vb) = RT ,
n =
n =
T1
T1
-
-
T2
T2
T1
T1
,
,
где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.
• Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2
где T1 – температура нагревателя; T2 – температура холодильника.
• Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2
22
А5,^2 = S2 - S1 =J dQ = J
1T 1
22
А5,^2 = S2 - S1 =J dQ = J
1T 1
d U + SA
T
d U + SA
T
.
.
2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
• Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа
p + 772" |(Vm -b) = RT , Vm J
где Vm – молярный объем; а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.
2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
• Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа
p + 772" |(Vm -b) = RT , Vm J
где Vm – молярный объем; а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.
• Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа
• Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа
v2 a p+
V2
v2 a p+
V2
V
v
V
v
-
-
или
или
2
p + Vr l(V-vb) = RT ,
2
p + Vr l(V-vb) = RT ,
где v = т / М - количество вещества.
Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,
p ‘=a / Vm.
Связь критических параметров (объема, давления и температуры) с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса
V, = 3b, pк = a/(27b2), T = 8a/(27 Rb).
Внутренняя энергия реального газа
U =v(CVT - a / V),
где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Энтальпия системы
U1 + pV =U 2 + p 2V2,
где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы.
Поверхностное натяжение
Q = F /1 , или Q = AE / AS ,
где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; АЕ - поверхностная энергия, связанная с площадью AS поверхности пленки.
•
Ap = Q(1/R +1/R2 ) ,
где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сферической поверхности
Ap = 2q / R .
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
, 2q cos 9
h =,
Pgr
где 9 - краевой угол; r - радиус капилляра; р - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.
Закон Дюлонга и Пти
Cv = 3 R ,
где CV – молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел.
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса, позволяющее определить изменение температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе,
dp =L
dT ” T (V2 - Vi),
где L - теплота фазовогоперехода;(V2 - Vi)- изменение объема вещества при переходе его из первой фазы
во вторую; Т – температура перехода (процесс изотермический).
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона
F = 1 I Qi I IQ2 I r4ns0r2r ’
где F - сила взаимодействия двух точечных зарядов Qi и Q2 в вакууме; r - расстояние между зарядами; So - электрическая постоянная, равная 8,85 • 10–12 Ф/м.
Напряженность и потенциал электростатического поля
E = F/Qo; Ф = П/Qo или Ф = A® /Qo, где F - сила, действующая на точечный положительный заряд Qo , помещенный в данную точку поля; П - потенциальная энергия заряда Qo ; A® - работа перемещения заряда из данной точки поля за его пределы.
Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда
..1 Qr 1 Q
.
.
E .2 ; ф л
4п£о r r4п£о r
Поток вектора напряженности через площадку
dФe = EdS = EndS,
где dS = dSn - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; En - составляющая вектора E по направлению нормали к площадке.
Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S
Ф e = J EdS = J En dS.
SS
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей nn E=EE; ф=Еф-, i=1/=1
где E/, ф/ - соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом.
Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
jГ дф. дф . дф,
E =-gradф или E = -ILi +j +Lk( дxдудz
где i, j, k – единичные векторы координатных осей.
В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,
E = -^Ф. dr
Электрический момент диполя (дипольный момент)
P = IQ |1, где I – плечо диполя.
Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов
T = ^S ; a= dQ ; p = dQ , dldSdV
т.е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
n
Ф e =f EdS =f En dS =—£ Q/= — Jpd V ,
S S80 /=18o V
n
где So - электрическая постоянная; ^ Q/ - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S ; n - число зарядов; p - =1
объемная плотность зарядов.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью
E = o/(2s о ).
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями
E = ^/So .
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R c общим зарядом Q на расстоянии r от центра сферы
E = 0 при r < R (внутри сферы);
e=—Q4ns0 r2e=—Q4ns0 r2при r > R (вне сферы).при r > R (вне сферы).
e=—Q
4ns0 r2
e=—Q
4ns0 r2
при r > R (вне сферы).
при r > R (вне сферы).
Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра шара
E = —— Q 4ns0 r3E = —— Q 4ns0 r3при r < R (внутри шара);при r < R (внутри шара);
E = —— Q 4ns0 r3
E = —— Q 4ns0 r3
при r < R (внутри шара);
при r < R (внутри шара);
E = — Q 4п£о rE = — Q 4п£о rпри r > R (вне шара).при r > R (вне шара).
E = — Q 4п£о r
E = — Q 4п£о r
при r > R (вне шара).
при r > R (вне шара).
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,
E = 0 при r < R (внутри цилиндра);
_1 тn
E =при r > R (вне цилиндра). 4п£о r
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура
J Edl = J El dl = 0,
LL
где El – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl. Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2
22
A12 = Q0 (Ф1 -Ф2), или A12 = Qo J Edl = Qo J El dl ,
11
где El – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dl.
Поляризованность
p=2 pjv,
i
где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i-й молекулы.
Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля
P = XSoE ,
где x - диэлектрическая восприимчивость вещества.
Связь диэлектрической проницаемости £ с диэлектрической восприимчивостью x :
s =1+x.
Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью E0 внешнего поля
E = Eо - P/£о, или E = Eо/е.
Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля
D = SoSE .
Связь между D , E и P
D = SoE + P .
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
n
Ф d = J DdS = J Dn dS = 2 Qi,S Sl=1
n
где 2 Qi — алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных электрических зарядов; Dn - составляющая вектора D по
I=1
направлению нормали к площадке – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.
Напряженность электростатического поля у поверхности проводника
E = ^/(Sos),
где а - поверхностная плотность зарядов.
Электроемкость уединенного проводника
C = Q / ф,
где Q - заряд, сообщенный проводнику; ф - потенциал проводника.
Емкость плоского конденсатора
C = SoSS / d , где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.
Емкость цилиндрического конденсатора
C = 2nSoS lln(r2/ r1) ,где l – длина обкладок конденсатора; r1 , r2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.
Емкость сферического конденсатора
r2 - r1r2 - r1C = 4ns0s -r1r2-,
r2 - r1
r2 - r1
где r1 и r2 – радиусы концентрических сфер.
Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении nn
i = 21 и C = 2 C
C i=1 Cii=1
где Ci – емкость i-го конденсатора; n – число конденсаторов.
Энергия уединенного заряженного проводника
W = Сф2 = > = Q
222C
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов n
w = ? 2 Qw-.
2 i=1
где фi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i-го.
Энергия заряженного конденсатора
W = C (Аф)2 = Q Аф = Q2
222C ,
где Q - заряд конденсатора; C - его емкость; Аф - разность потенциалов между обкладками.
Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора
IF = Q2 _а25 _ £о£E25
1 1 2sos5 2sos2"
Энергия электростатического поля плоского конденсатора
W = SoSE2 5d . SoS5U2 = 80SE2 V
222,
где S – площадь одной пластины; U – разность потенциалов между пластинами; V = Sd – объем конденсатора.
Объемная плотность энергии
sos E2 w = —
2
ED
2,
где D – электрическое смещение.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Сила и плотность электрического тока
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Плотность тока в проводнике
i=dQ;
dt
I
j = 5 ’
j = nekv),
где v – скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; n – концентрация зарядов.
• Электродвижущая сила, действующая в цепи,
Е = A / Qо или Е = £ECTdl,
где Q0 – единичный положительный заряд; A – работа сторонних сил; Ест – напряженность поля сторонних сил.
• Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость G проводника и удельная электрическая проводимость у вещества провод-
ника
R = р l / 5; G = 1/R; у = 1/р,
где р - удельное электрическое сопротивление; 5 - площадь поперечного сечения проводника; l - его длина.
• Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении
n
R = У R и — 2i=1 i R
n
21
i=1 Ri
где Ri – сопротивление i-го проводника; n – число проводников.
Зависимость удельного сопротивления р от температуры
р = ро (1 + а t), где а - температурный коэффициент сопротивления.
Закон Ома:
– для однородного участка цепи
I = U / R ;
– для неоднородного участка цепи
I - (ф1 -ф2 + E12 )/ R ;
– для замкнутой цепи
I - E/R ,
••где U - напряжение на участке цепи; R - сопротивление цепи (участка цепи); (ф1 — ф2) - разность потенциалов на концах участка цепи; E12 - э.д.с. источников тока, входящих в участок; E – э.д.с. всех источников тока цепи.
•
•
Закон Ома в дифференциальной форме
j -YE ,
гдегдеEE••– напряженность электростатического поля.Работа тока за время t– напряженность электростатического поля.Работа тока за время t
где
где
E
E
•
•
– напряженность электростатического поля.
Работа тока за время t
– напряженность электростатического поля.
Работа тока за время t
2
A - lUt -12Rt - —t.R
••Мощность токаМощность тока
•
•
Мощность тока
Мощность тока
2P - IU - 12 R - — R2P - IU - 12 R - — R..
2
P - IU - 12 R - — R
2
P - IU - 12 R - — R
.
.
гдегдегдегде••Закон Джоуля-ЛенцаЗакон Джоуля-ЛенцаQQ••ww••Q -12Rt - IUt ,– количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t .Q -12Rt - IUt ,– количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t .Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной формеЗакон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме– удельная тепловая мощность тока.Правило Кирхгофа– удельная тепловая мощность тока.Правило Кирхгофа3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, В ВАКУУМЕ И ГАЗАХ3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, В ВАКУУМЕ И ГАЗАХгдегдегдегдегдегдеw - jE - YE2,w - jE - YE2,£Ii - 0; £IR-£Ei .£Ii - 0; £IR-£Ei .nnnnnni-1i-1i-1i-1i-1i-1• Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2• Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2Ф1 -Ф2 -Ф1 -Ф2 -A — A2 kT _ n —2 +—ln—,e e n2A — A2 kT _ n —2 +—ln—,e e n2A1 , A2 – работы выходов свободных электронов из металлов; k – постоянная Больцмана; n1, n2 – концентрации свободных электронов в металлах.A1 , A2 – работы выходов свободных электронов из металлов; k – постоянная Больцмана; n1, n2 – концентрации свободных электронов в металлах.• Термоэлектродвижущая сила• Термоэлектродвижущая сила(T — T2 ) - разность температур спаев.• Формула Ричардсона-Дешмана(T — T2 ) - разность температур спаев.• Формула Ричардсона-ДешманаE - А (T1 — T2) ln nL,E - А (T1 — T2) ln nL,een2n2i = CT 2e—A/(kT j насe ,i = CT 2e—A/(kT j насe ,jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии; C – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов; A – работа выхода элек-jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии; C – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов; A – работа выхода элек-трона из металла.трона из металла.3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ••Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, M -[PmB] ,Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, M -[PmB] ,гдегдеBB– магнитная индукция; pm – магнитный момент контура с током:Pm - ISn ,– магнитная индукция; pm – магнитный момент контура с током:Pm - ISn ,гдегдеSS••– площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к поверхности контура.Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля в -ЦоЦН ,– площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к поверхности контура.Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля в -ЦоЦН ,
где
где
где
где
•
•
Закон Джоуля-Ленца
Закон Джоуля-Ленца
Q
Q
•
•
w
w
•
•
Q -12Rt - IUt ,
– количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t .
Q -12Rt - IUt ,
– количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t .
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
– удельная тепловая мощность тока.
Правило Кирхгофа
– удельная тепловая мощность тока.
Правило Кирхгофа
3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, В ВАКУУМЕ И ГАЗАХ
3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, В ВАКУУМЕ И ГАЗАХ
где
где
где
где
где
где
w - jE - YE2,
w - jE - YE2,
£Ii - 0; £IR-£Ei .
£Ii - 0; £IR-£Ei .
n
n
n
n
n
n
i-1
i-1
i-1
i-1
i-1
i-1
• Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2
• Контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2
Ф1 -Ф2 -
Ф1 -Ф2 -
A — A2 kT _ n —2 +—ln—,
e e n2
A — A2 kT _ n —2 +—ln—,
e e n2
A1 , A2 – работы выходов свободных электронов из металлов; k – постоянная Больцмана; n1, n2 – концентрации свободных электронов в металлах.
A1 , A2 – работы выходов свободных электронов из металлов; k – постоянная Больцмана; n1, n2 – концентрации свободных электронов в металлах.
• Термоэлектродвижущая сила
• Термоэлектродвижущая сила
(T — T2 ) - разность температур спаев.
• Формула Ричардсона-Дешмана
(T — T2 ) - разность температур спаев.
• Формула Ричардсона-Дешмана
E - А (T1 — T2) ln nL,
E - А (T1 — T2) ln nL,
e
e
n2
n2
i = CT 2e—A/(kT j насe ,
i = CT 2e—A/(kT j насe ,
jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии; C – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов; A – работа выхода элек-
jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии; C – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов; A – работа выхода элек-
трона из металла.
трона из металла.
3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
•
•
Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, M -[PmB] ,
Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, M -[PmB] ,
где
где
B
B
– магнитная индукция; pm – магнитный момент контура с током:
Pm - ISn ,
– магнитная индукция; pm – магнитный момент контура с током:
Pm - ISn ,
где
где
S
S
•
•
– площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к поверхности контура.
Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля в -ЦоЦН ,
– площадь контура с током; n – единичный вектор нормали к поверхности контура.
Связь магнитной индукции B и напряженности H магнитного поля в -ЦоЦН ,
гдегдеЦо - магнитная постоянная; ц - магнитная проницаемость среды.
где
где
• Закон Био-Савара-Лапласа
dB - ЦоЦ I[dl, r]
4nr2’
гдегдеdB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dl проводника с током I ; r – радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой
где
где
определяется магнитная индукция.
• Модуль вектора dB
цоц Idl sin adB - 2— >
4nr2
где а - угол между векторами dl и r .
Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
B = Z B,,
i
где B – магнитная индукция результирующего поля; Bi – магнитные индукции складываемых полей.
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током
B = цц 2I
4n R ’
где R – расстояние от оси проводника.
Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
B = HoH, 2R
где R – радиус кривизны проводника.
Закон Ампера
dF = I [di, B],
где dF – сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I , помещенный в магнитное поле с индукцией В.
Модуль силы Ампера
dF = IB1 sin а , где а - угол между векторами dl и В.
Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I2
dF = № А//.,
4пR
где R – расстояние между проводниками; dl – отрезок проводника. • ••
HoH Qvr]B,
4nr3
где r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.
Модуль магнитной индукции
„ Цац Qv .
B = 0^sin а ,
4n r2
где а - угол между векторами v и r.
Сила Лоренца
F = Q [vB],
где F – сила, действующая на заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v. • Формула Лоренца
F = QE + Q [v, B],
где F – результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q, если на него действует электрическое поле напряженностью Е и магнитное поле индукцией В.
Холловская поперечная разность потенциалов
IB
Аф = R— ,d
где В- магнитная индукция; I - сила тока; d - толщина пластинки; R = 1/( en) - постоянная Холла (п - концентрация электронов).
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)
n
f Bdl = f B,d1 = Ho ^ Ik ,
L Lk=1
где Ho - магнитная постоянная; dl - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; B, = B cos а - составляющая вектора В в
n
– алгебраиче-– алгебраиче-направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранного направления обхода); угол между векторами В и dl; Z Ik
– алгебраиче-
– алгебраиче-
k=1
ская сумма токов, охватываемых контуром.
Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,
B = HoNI /1, где l – длина соленоида.
Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)
B = HoNI / 2nr .
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS dФ B = BdS = Bn dS ,
где dS = dS n – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; Bn – проекция вектора В на направление нормали к площадке.
Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S
Ф B = J BdS = J Bn dS .
SS
Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида)
2
Ф = ЦоЦNpS, где ц - магнитная проницаемость среды.
Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
dA = IdФ ,
где dФ - магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
dA = IdФ',
где dФ' - изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Закон Фарадея
dФ
E = -17 ’
где Ei – э.д.с. индукции.
Э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B , Et = BSrosin го t,
где to t - мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.
Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,
Ф= LI.
••Э.д.с. самоиндукцииЭ.д.с. самоиндукции
•
•
Э.д.с. самоиндукции
Э.д.с. самоиндукции
dI
£ 5 =-L’
dt
где L – индуктивность контура.
Индуктивность соленоида (тороида)
N2S
L = ЦоЦ "у.
где N – число витков соленоида; l – его длина.
Токи при размыкании и при замыкании цепи
I = 10 e - t /т; I = 10 (1 - e - t /т),
где т = L / R -время релаксации (L - индуктивность; R - сопротивление).
Э.д.с. взаимной индукции (э.д.с., индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре) dI
E = L12d t ’
где L12 – взаимная индуктивность контуров.
Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2 , намотанных на общий тороидальный сердечник, N1N2
L12 = L21 = Ц0Ц i S ,
где Цо - магнитная проницаемость сердечника; I - длина сердечника по средней линии; S - площадь сердечника.
Коэффициент трансформации
N2 = £2 = 11
N1 = £1 = 12 ,
где N, £, I - соответственно число витков, э.д.с. и сила тока в обмотках трансформатора.
Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,
W=LI2/2.
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида
B2 = цоцЯ2 = BH
2ЦоЦ22
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Связь орбитального магнитного pm и орбитального механического Le моментов электрона
e
pm =-gLe =-^— Le ,2m
где g = e/(2m) - гиромагнитное отношение орбитальных моментов.
Намагниченность
J = Pm/V = XРа/V ,
где Pm =E Ра – магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул.
Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля
J = XH ,
где X - магнитная восприимчивость вещества.
Связь между векторами B, H, J
B = Цо (H + J),
где Цо - магнитная постоянная.
Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества
Ц = 1 + X .
Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)
|Bdl = | Bldl = ц0 (I +1'), LL
где dl – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; Bl – составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной формы; I и I' – соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
| Hdl = I,
L
где I – алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
д E д P1, д t д tд E д P1, д t д t• Плотность тока смещения
д E д P
1, д t д t
д E д P
1, д t д t
•- dD-
jсм ~ S0д t
д Eд P
где D - электрическое смещение; Soплотность тока смещения в вакууме;плотность тока поляризации.
0 дtдt
• Полная система уравнений Максвелла:
– в интегральной форме
| Edl = -J—dS ;|DdS = Jpd V ;
LS д tSV
fHdl =ffj + — )dS ;fBdS = 0.
LSVд t VS
– в дифференциальной форме
д B
rot E =; div D = p ;
д t
rot H = j + -д^;div B = 0,
д t
где D = SoSE; B = ЦoцH; j = yE (So и Цо - соответственно электрическая и магнитная постоянные; (S и ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости; у – удельная проводимость вещества).
. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
МЕХАНИЧЕСКИЕ И
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение гармонических колебаний
s = A cos (m0t + ф),
где s - смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А - амплитуда колебаний; Mq = 2п / T = 2nv - круговая (циклическая) частота; v = 1/T - частота; Т - период колебаний; фо - начальная фаза.
Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,
ds. • / . . \ Г я^
— = -A to0 sin (to0t + ф) = A tog cos m ot + ф+— ;dt2 ;
d2s
у = - A tog COS (togt + ф) = -togS . dt2
Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m
mv2mA2tog . 2/\
T = — =/'in (mqt + ф) .
Потенциальная энергия
mA 2tog
П=g—0COS (toot + ф) .
Полная энергия
E = mA 2mQ
2.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой т
mx = -kxилиx + mQx = 0 ,
где k - коэффициент упругости (k = mQm ).
Период колебаний пружинного маятника
T = 2п Vm / k ,
где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины.
Период колебаний физического маятника
T = 2n 7J/(mgl) = 2п 7L / g ,
где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L = J / (ml) – приведенная длина физического маятника; g – ускорение свободного падения.
Период колебаний математического маятника
T = 2n ijTTg ,
где l – длина маятника.
Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью контура С,
T=2nVIC.
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:
Q& + ICQ = 0; Q = QmCOS(m0t + ф) ,
где Qm - амплитуда колебаний заряда; Mq = 1/ VLC - собственная частота контура.
Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,
A2 = A12 + A2 + 2A1 A2 cos(фg -ф1),
где A i и A2 - амплитуды складываемых колебаний; ф1 и ф2 - их начальные фазы.
Начальная фаза результирующего колебания
tg ф = JALsinфL^Agsinфg
Ai COS ф1 + A2 COS ф2
Период биений
T = 2п / Ato.
Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,
x2 2xyy2
+ ——cosф + Ат = sin ф .
A2ABB2
где А и В - амплитуды складываемых колебаний; ф - разность фаз обоих колебаний.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:
d—5 + 08 — + ю2 5 = 0;5 = Ae8 t cos(ю t + ф),
dt2dt
где 5 - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; 8 - коэффициент затухания (8 = r / (0m) в случае механических колебаний и 8 = R/(0L) в
––—(—(8t– амплитуда затухающих колебаний.8t– амплитуда затухающих колебаний.случае электромагнитных колебаний); ю0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ю = ю0 — 82
–
–
—(
—(
8t
– амплитуда затухающих колебаний.
8t
– амплитуда затухающих колебаний.
частота затухающих колебаний; A0e • Декремент затухания
A(t) = e8T
A (t + T ),
где A(t) и A (t + T) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.
Логарифмический декремент затухания
, A (t)T 1
© = ln—, ' =8 T = — = —,A (t + T) т N
где т = 1 / 8 - время релаксации; N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
• Добротность колебательной системы
Q = ^= ^0©08Q = ^= ^0©08..
Q = ^= ^0
©08
Q = ^= ^0
©08
.
.
•
d2sds
—У + 28— + ю05 = x0 cos ю t; 5 = A cos (ю t — ф), dt2dt
где 5 - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс ( xо = Fg / m ных колебаний);
в случае механических колебаний, x0 = Um / L в случае электромагнит-
A =
x0;
— ю0)+ 480ю0
ф = arctg
28®
ю0
.
ю
••Резонансная частота и резонансная амплитуда
•
•
••юрез = Vю0 — 080 ;Aрезюрез = Vю0 — 080 ;Aрезx0ю 80x0ю 80..Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью LПолное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью Lи конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U = Um cos tot ,и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U = Um cos tot ,2Z = . R0 +|юLI = RR0 +(R, — Rr)0LCV Vю с;2Z = . R0 +|юLI = RR0 +(R, — Rr)0LCV Vю с;,,где Rl = toL - реактивное индуктивное сопротивление; Rc = 1 / (юC - реактивное емкостное сопротивление.где Rl = toL - реактивное индуктивное сопротивление; Rc = 1 / (юC - реактивное емкостное сопротивление.••Сдвиг фаз между напряжением и силой токаСдвиг фаз между напряжением и силой токаtg ф =tg ф =ю L — 1/(ю C)ю L — 1/(ю C)RR..••Действующие (эффективные) значения тока и напряженияДействующие (эффективные) значения тока и напряженияmmmm••Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,(P = 11mUm cos Ф .(P = 11mUm cos Ф .гдегдеRRcos ф = ।2J R0 +1 ю LIV Vю C)cos ф = ।2J R0 +1 ю LIV Vю C)..4.2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ4.2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ• Связь длины волны X, периода Т колебаний и частоты v:• Связь длины волны X, периода Т колебаний и частоты v:X = u T; u = Xv ,X = u T; u = Xv ,где и - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).• Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,£(x, t) = A cos (юt — kx + фо),где ^(x, t) - смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А - амплитуда волны; ю - циклическая (круговая) частота; k = 0п / X = 0п/(иT) = ю/ и - волновое число ( X - длина волны; и - фазовая скорость; Т - период колебаний); фо - начальная фаза колебаний.• Связь между разностью фаз Аф и разностью хода Агде и - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).• Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,£(x, t) = A cos (юt — kx + фо),где ^(x, t) - смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А - амплитуда волны; ю - циклическая (круговая) частота; k = 0п / X = 0п/(иT) = ю/ и - волновое число ( X - длина волны; и - фазовая скорость; Т - период колебаний); фо - начальная фаза колебаний.• Связь между разностью фаз Аф и разностью хода Ал э ААф = 0п—.Xл э ААф = 0п—.X
•
•
юрез = Vю0 — 080 ;Aрез
юрез = Vю0 — 080 ;Aрез
x0
ю 80
x0
ю 80
.
.
Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L
Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L
и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U = Um cos tot ,
и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U = Um cos tot ,
2
Z = . R0 +|юLI = RR0 +(R, — Rr)0
LC
V Vю с;
2
Z = . R0 +|юLI = RR0 +(R, — Rr)0
LC
V Vю с;
,
,
где Rl = toL - реактивное индуктивное сопротивление; Rc = 1 / (юC - реактивное емкостное сопротивление.
где Rl = toL - реактивное индуктивное сопротивление; Rc = 1 / (юC - реактивное емкостное сопротивление.
•
•
Сдвиг фаз между напряжением и силой тока
Сдвиг фаз между напряжением и силой тока
tg ф =
tg ф =
ю L — 1/(ю C)
ю L — 1/(ю C)
R
R
.
.
•
•
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения
Действующие (эффективные) значения тока и напряжения
m
m
m
m
•
•
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
(P = 11mUm cos Ф .
(P = 11mUm cos Ф .
где
где
R
R
cos ф = ।
2
J R0 +1 ю LI
V Vю C)
cos ф = ।
2
J R0 +1 ю LI
V Vю C)
.
.
4.2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
4.2. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
• Связь длины волны X, периода Т колебаний и частоты v:
• Связь длины волны X, периода Т колебаний и частоты v:
X = u T; u = Xv ,
X = u T; u = Xv ,
где и - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).
• Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,
£(x, t) = A cos (юt — kx + фо),
где ^(x, t) - смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А - амплитуда волны; ю - циклическая (круговая) частота; k = 0п / X = 0п/(иT) = ю/ и - волновое число ( X - длина волны; и - фазовая скорость; Т - период колебаний); фо - начальная фаза колебаний.
• Связь между разностью фаз Аф и разностью хода А
где и - скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).
• Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,
£(x, t) = A cos (юt — kx + фо),
где ^(x, t) - смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А - амплитуда волны; ю - циклическая (круговая) частота; k = 0п / X = 0п/(иT) = ю/ и - волновое число ( X - длина волны; и - фазовая скорость; Т - период колебаний); фо - начальная фаза колебаний.
• Связь между разностью фаз Аф и разностью хода А
л э ААф = 0п—.
X
л э ААф = 0п—.
X
••Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн
•
•
Amax =±2m ^ Amin = ±(2m + 1)j>
где m•где m•= 0, 1, 2,
где m
•
где m
•
Фазовая u и групповая u скорости, а также связь между ними todto.du
u = —; u = —; u = u-X— .
kdkdX
••Уравнение стоячей волныУравнение стоячей волны
•
•
Уравнение стоячей волны
Уравнение стоячей волны
2п
^(x, t) = 2A cos—x cos tot = 2A cos kx cos tot.
••••Координаты пучностей и узлов
•
•
•
•
X Г 1 AX
x„ = ±m—; x„ = ± m + — — , m = 0,1, 2,....
п 2 п I2) 2
Уровень интенсивности звука
L = lg (I /1 о), где I – интенсивность звука; I0 – интенсивность звука на пороге слышимости (I0 = 1 пВт/м2).
Скорость распространения звуковых волн в газах
u = VyRT / M ,
где R - малярная газовая постоянная; М - молярная масса; у = Ср /Cv - отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме; Т - термодинамическая температура.
Эффект Доплера в акустике
v= (u±Uпр ) Vou m иИСтv= (u±Uпр ) Vou m иИСт,,
v= (u±Uпр ) Vou m иИСт
v= (u±Uпр ) Vou m иИСт
,
,
где v - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; Vo - частота звука, посылаемая источником; иПр - скорость движения приемника; Uuct - скорость движения источника; и - скорость распространения звука. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак – в случае их взаимного удаления.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде
11 c
u= //=,
V£оЦоVSH
где c = 1/^SoHo - скорость распространения света в вакууме; So и Цо - соответственно электрическая и магнитная постоянные; S и ц - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического (Е) и магнитного (H) полей электромагнитной волны
VS0S E =H ,
где Е и Н – соответственно мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей волны.
Уравнения плоской электромагнитной волны
E = Eocos (tot - kx + ф); H = Hocos (tot - kx + ф),
где Eo и Ho - соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; to - круговая частота; k = to / u - волновое число; ф - начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.
Объемная плотность энергии электромагнитного поля
w =s>E , цoцн222.
•
S = [EH].
ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ
Законы отражения и преломления света
i‘ = ii; sin ii / sin i2 = n21,
где i1 - угол падения; i‘ - угол отражения; i2 - угол преломления; n21 = n2/ П1 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой; n1 и n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй среды.
Предельный угол полного отражения при распространении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную
sin iпр. = n2 / n1 = n21 .
Преломление на сферической поверхности (для параксиальных лучей)
П 2 П1 _n 2 - П1
ba R,
где R – радиус сферической поверхности; n1 и n2 – показатели преломления сред по разные стороны сферической поверхности; а – расстояние от точки,
лежащей на оптической оси сферической поверхности, до преломляющей поверхности; b – расстояние от поверхности до изображения. В формуле R > 0 – для выпуклой поверхности, R < 0 – для вогнутой.
Формула сферического зеркала
1211— — — — —I,fRab
где a и b – соответственно расстояния от полюса зеркала до предмета и изображения; f – фокусное расстояние зеркала; R – радиус кривизны зеркала.
Оптическая сила тонкой линзы
Ф —Ф —1 f1 f— (N —1)| — + — IR i R 2.— (N —1)| — + — IR i R 2.11— ”+T -ab11— ”+T -ab
Ф —
Ф —
1 f
1 f
— (N —1)| — + — IR i R 2.
— (N —1)| — + — IR i R 2.
11
— ”+T -
ab
11
— ”+T -
ab
где f - фокусное расстояние линзы: N — n / n - относительный показатель преломления ( n и n1 - соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды); R1 и R2 – радиусы кривизны поверхностей (R > 0 для выпуклой поверхности; R < 0 для вогнутой); a и b – соответственно расстояния от оптического центра линзы до предмета и изображения.
Сила излучения
Ie —Ф e / Ю -
где Ф e - поток излучения источника; Ю - телесный угол, в пределах которого это излучение распространяется.
Полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источником,
Фо —4пI -
где I – сила света источника.
Светимость поверхности
R — Ф / 5, где Ф - световой поток, испускаемый поверхностью; 5 - площадь этой поверхности.
Яркость В светящейся поверхности в некотором направлении ф
Bф — I/(5 cos ф) -
где I - сила света; 5 - площадь поверхности; ф - угол между нормалью к элементу поверхности и направлением наблюдения.
Освещенность Е поверхности
E — Ф / 5 , где Ф - световой поток, падающий на поверхность; 5 - площадь этой поверхности.
Связь светимости R и яркости B при условии, что яркость не зависит от направления,
R — пB.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Скорость света в среде
и — c / n -
где с – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления среды.
Разность фаз двух когерентных волн
8 — —(L, -L) — —А -ХоХо
где L = sn - оптическая длина пути (s - геометрическая длина пути световой волны в среде; п - показатель преломления этой среды); А — L2 — L1 - оптическая разность хода двух световых волн; Хо - длина волны в вакууме.
Условие интерференционных максимумов
А — ±mХо- m — 0-1- 2-....
Условие интерференционных минимумов
А —±(2 m + 1>Хр m — 0,1,2,....
Ширина интерференционной полосы
l
Ах — — Хо-d
где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии l от экрана, параллельного обоим источникам, при условии l >> d.
Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пленки, находящейся в воздухе (n0 = 1),
2dncos r ± Хо — 2d Vn2 — sin2 i ± Хо — mХп -
220
m — о-1- 2-...;
2dn cos r ± — — 2d -Jn2 — sin2 i ± — — (2m +1)—-
222,
m — о-1- 2-... -
где d - толщина пленки; n - показатель ее преломления; i - угол падения; r - угол преломления. В общем случае член ±Хо / 2 обусловлен потерей полувол
ны при отражении света от границы раздела: если n > n0, то необходимо употреблять знак «плюс», если n < n0 – знак «минус».
Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем свете)
rm = 7 (m -1/2)X0 R , m = 1,2,3,...,
где m – номер кольца; R – радиус кривизны линзы.
•
г* = \ mX о R , m = 1,2,....
В случае «просветления оптики» интерферирующие лучи в отраженном свете гасят друг друга при условии n=vnr,
где nc – показатель преломления стекла; n – показатель преломления пленки.
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны
ab
rm = 4Tm X '
v a + b
где m - номер зоны Френеля; X - длина волны; а и b - соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается.
Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:
а sin ф = ±(2 m + 1)-X-, а sin ф = ±2 m у, m = 1,2,3,...,
где а - ширина щели; ф - угол дифракции; m - порядок спектра; X - длина волны.
Условия главных максимумов и дополнительных минимумов дифракционной решетки, на которую свет падает нормально:
d sin ф = ±2 m 2, m = 0,1,2,...;
dsinф = ±2m'—, m' = 0,1, 2, 3,..., кроме 0, N, 2N,...,
N
где d – период дифракционной решетки; N – число штрихов решетки.
Период дифракционной решетки
d = 1/Nо,
где N0 – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.
Условие дифракционных максимумов от пространственной решетки (формула Вульфа-Брэггов)
2 d sin 3 = m X, m = 1,2,3,...,
где d - расстояние между атомными плоскостями кристалла; 3 - угол скольжения.
Угловая дисперсия дифракционной решетки
D = ^Ф = mф 6X dcosф
Наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек могут быть разрешены в фокальной плоскости объектива,
Ф> 1,22X / D .
где D - диаметр объектива; X - длина волны света.
Разрешающая способность дифракционной решетки
R = — = mN ,6X
где X, (X + SX) - длины волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решеткой; m - порядок спектра; N - общее число штрихов решетки.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ
Связь угла ф отклонения лучей призмой и преломляющего угла А призмы
Ф = A (n -1),
где n – показатель преломления призмы.
Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества
n = Vc .
Уравнение вынужденных колебаний оптического электрона под действием электрической составляющей поля волны (простейшая задача дисперсии)
eE
x + «2x = Ocostot ,m
где еЕо - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны; Фо - собственная частота колебаний электрона; ф - частота внешнего поля; т – масса электрона.
Зависимость показателя преломления вещества п от частоты ф внешнего поля, согласно элементарной электронной теории дисперсии, n0ie2 /m
n = 1 +—2 -22,еоФ0i - Ф
где £о - электрическая постоянная; nо i - концентрация электронов с собственной частотой Фо i; m - масса электрона; е - заряд электрона.
Закон ослабления света в веществе (закон Бугера)
I = Iое-ах ,
где Iо и I - интенсивности плоской монохроматической световой волны соответственно на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х; а -
коэффициент поглощения.
Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме
V1 — и2/ c1
V = VO,, . .-,
1 + (u / c )cos 9
где Vo и v - соответственно частоты электромагнитного излучения, испускаемого источником и воспринимаемого приемником; и - скорость источника электромагнитного излучения относительно приемника; с - скорость света в вакууме; 9 - угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.
Поперечный эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме (9 = п /2)
V = Vo V1 — и2/c2 .
Эффект Вавилова-Черенкова
cos 9 = c/(n и),
где 9 - угол между направлением распространения излучения и вектором скорости частицы; n - показатель преломления среды.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Степень поляризации света
1— —
р = max min
Imax + Imin
где Imax и Imin – соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.
Закон Малюса
I = Iocos2 a ,
где I – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; I0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; a - угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.
Закон Брюстера
tg iB = n 21,
где iB – угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным; n21 – относительный показатель преломления.
Оптическая разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами на пути l в ячейке Керра
A = l (no — ne ) = klE2,
где no, ne – показатели преломления соответственно обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси; Е – напряженность электрического поля; k – постоянная.
Оптическая разность хода для пластинки в четверть волны
A = (no — ne) d = ±( m + 1/4)Xo, m = 0,1,2,...,
где знак «плюс» соответствует отрицательным кристаллам, «минус» - положительным; Xo - длина волны в вакууме.
Угол поворота плоскости поляризации:
– для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей
Ф = а d ;
– для оптически активных растворов
Ф = [a]Cd,
где d - длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; ao[a] - удельное вращение; С - массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Закон Стефана-Больцмана
Re = О T 4, где Re - энергетическая светимость (излучательность) черного тела; о - постоянная Стефана-Больцмана; Т - термодинамическая температура.
Связь энергетической светимости Re и спектральной плотности энергетической светимости rv т (г^т ) черного тела
отот
Re = J rv,TdV = J rX,TdX .
00
Энергетическая светимость серого тела
RT = AT о T4,
где AT – поглощательная способность серого тела.
Закон смещения Вина
Xmax = Ь / T , где Xmax - длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b - постоянная Вина.
Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела от температуры
(Гх, т ) = CT 5,
где С = 1,3O ■ 1O-5 Вт/(м3 ■ К5).
Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела
2nv2 , тrv, т =kT ,
c
где k – постоянная Планка.Энергия квантаФормула Планкагде k – постоянная Планка.Энергия квантаФормула ПланкаSo = hv = hc / X .So = hv = hc / X .2nv2hv2nv2hvrvTTc 2 ehv/(kT )-1’rvTTc 2 ehv/(kT )-1’„ _ 2nc2hhvrx,t 4 X5ehc/(ктх) -i .„ _ 2nc2hhvrx,t 4 X5ehc/(ктх) -i .
где k – постоянная Планка.
Энергия кванта
Формула Планка
где k – постоянная Планка.
Энергия кванта
Формула Планка
So = hv = hc / X .
So = hv = hc / X .
2nv2hv
2nv2hv
rvTTc 2 ehv/(kT )-1’
rvTTc 2 ehv/(kT )-1’
„ _ 2nc2hhv
rx,t 4 X5ehc/(ктх) -i .
„ _ 2nc2hhv
rx,t 4 X5ehc/(ктх) -i .
T, 4 ATTт,T, 4 ATTт,Связь радиационной Тp и истинной Т температур
T, 4 ATTт,
T, 4 ATTт,
где Ат – поглощательная способность серого тела.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
= h v= A + Tmax-
где S = hv — энергия фотона, падающего на поверхность металла; А - работа выхода электрона из металла; Tmax = mи^^ /2 - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
«Красная граница» фотоэффекта для данного металла
v0 4 A / h; Xo 4 hc / A ,
где Xo - максимальная длина волны излучения (vo - соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен.
Масса и импульс фотона
S m y4 "гS m y4 "гhvc2 ;hvc2 ;hvРу 4.
S m y4 "г
S m y4 "г
hv
c2 ;
hv
c2 ;
c
где hv - энергия фотона.
Р 4 Ee^ (1 + Р)4 W (1 +р) , c
где Ee = Nhv - облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); р - коэффициент отражения; w - объемная плотность энергии излучения.
Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском рассеянии
h.2h.А .А
АХ 4 X' - X 4(1 - cos А) 4sin2 — 4 2XC sin2 — ,
m0cm0c22
где Хи X' - длины волн падающего и рассеянного излучения; m 0 - масса электрона; А - угол рассеяния; X с 4 h/(m 0 c) - комптоновская длина волны.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ТЕОРИЯ АТОМОВ ВОДОРОДА ПО БОРУ
• Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода,
где v - частота спектральных линий в спектре атома водорода; R - постоянная Ридберга; m определяет серию (m = 1, 2, 3,...); n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m +1, m + 2, ...): т = 1 (серия Лаймана), m = 2 (серия Бальмера), m = 3 (серия Пашена), m = 4 (серия Брэкета), m = 5 (серия Пфунда), т = 6 (серия Хэмфри).
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)
me и rn = nh, n = 1,2, 3,...,
где me - масса электрона; и - скорость электрона по n-й орбите радиусом rn.
Второй постулат Бора (правило частот)
h V = En - Em .
где En и Em - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения).
Энергия электрона на n-й стационарной орбите
EEnn1 Z2 mee 4n2 8h2S0 ’1 Z2 mee 4n2 8h2S0 ’n = 1,2,3,...,n = 1,2,3,...,
E
E
n
n
1 Z2 mee 4n2 8h2S0 ’
1 Z2 mee 4n2 8h2S0 ’
n = 1,2,3,...,
n = 1,2,3,...,
где Z - порядковый номер элемента в системе Менделеева; £о - электрическая постоянная.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Связь дебройлевской волны частицы с импульсом p
X = h / p = h/(mи), где m - масса частицы; и - ее скорость.
Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью и частицы массой т
Офоз = м / k = E / p = c2 / и,
где E = hm - энергия частицы (м - круговая частота); p = hk - импульс ( k = 2 п / X - волновое число).
Групповая скорость свободно движущейся частицы
dm dEu ==.
dkdp
Соотношения неопределенностей:
для координаты и импульса частицы
Ах Apx > h, AyАpy > к, Az Apz > h,
где Ax, Ay, Az - неопределенности координат; Apx, Apy, Apz - неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат;
для энергии и времени
AE A t > h ,
где AE - неопределенность энергии данного квантового состояния; At - время пребывания системы в данном состоянии.
Вероятность нахождения частицы в объеме dV
dW = YY dV = | Y |2dV ,
где Y = Y(x, y, z, t) - волновая функция, описывающая состояние частицы; Y* - функция, комплексно сопряженная с Y; |Y|2 = YY* - квадрат модуля волновой функции;
для стационарных состояний
dW = WdV = | V |2dV,
где V = V(x, y, z) - координатная (амплитудная) часть волновой функции.
• Условие нормировки вероятностей
ототY |2dV = 1,Y |2dV = 1,
от
от
Y |2dV = 1,
Y |2dV = 1,
-от
где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x, y, z от -от до +от.
• Вероятность обнаружения частицы в интервале от x 1 до х2
V(x) |2 dx.V(x) |2 dx.
V(x) |2 dx.
V(x) |2 dx.
+х
(L = JL V |2dV.
-ОТ
• где V = V (x, y, z, t) - волновая функция, описывающая состояние частицы; h = h /(2 п) ; т - масса частицы; А - оператор Лапласа
AVAVд2V д2V 52V^ ;дx2ду2дz2 Jд2V д2V 52V^ ;дx2ду2дz2 Ji = -i 1 - мнимая единица; U = U (x, у, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.i = -i 1 - мнимая единица; U = U (x, у, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.
AV
AV
д2V д2V 52V^ ;
дx2ду2дz2 J
д2V д2V 52V^ ;
дx2ду2дz2 J
i = -i 1 - мнимая единица; U = U (x, у, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.
i = -i 1 - мнимая единица; U = U (x, у, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.
• Уравнение Шредингера для стационарных состояний
2m
Ау + —(E - U)v = 0,h2
--
-
-
где U(r) - координатная часть волновой функции (v(x, у, z, t) = v(x, У, z)e энергия частицы.
•
i(E /h) t) ; U = U (x, у, z) - потенциальная энергия частицы; Е - полная
где А - амплитуда волн де Бройля; px = kh - импульс частицы; E = h to - энергия частицы.
Собственные значения энергии Еn частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»,
2 п h. - ,
En = n 2, n = 1, 2, 3, ...,
2ml2
где l – ширина ямы.
Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии,
V n (x ) = 2S smnn x, n = 1,2,3,....
Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l,
D = D0expl - —V2m(U-E)l I,
L hJ
где D0 – множитель, который можно приравнять единице; U – высота потенциального барьера; Е – энергия частицы.
Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике
22 mtoox222 mtoox2--д2v 2m ( „
22 mtoox
2
22 mtoox
2
-
-
' E
дx2h2 (
где mto2x2 /2 = U - потенциальная энергия осциллятора; too - собственная частота колебаний осциллятора; m - масса частицы.
Собственные значения энергии гармонического осциллятора
E„ =| n +—|hton, n = 1, 2, 3, ....n L 2 / O
Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора
1E0 = -2 hto1E0 = -2 hto0.0.
1
E0 = -2 hto
1
E0 = -2 hto
0.
0.
ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме
U(r )=U(r )=--Ze24nSor ’Ze24nSor ’
U(r )=
U(r )=
-
-
Ze2
4nSor ’
Ze2
4nSor ’
где r - расстояние между электроном и ядром; Z - порядковый номер элемента; So - электрическая постоянная.
••Собственное значение энергии Еn электрона в водородоподобном атоме
•
•
EnEn--1 Z2me4n2 8h2S2 ,1 Z2me4n2 8h2S2 ,n = 1, 2, 3,....n = 1, 2, 3,....
En
En
-
-
1 Z2me4
n2 8h2S2 ,
1 Z2me4
n2 8h2S2 ,
n = 1, 2, 3,....
n = 1, 2, 3,....
••••Энергия ионизации атома водорода
•
•
•
•
4
Ei =- E1 =Ei =- E1 =me
Ei =- E1 =
Ei =- E1 =
8h 2s0 "
Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона
Ll = h 71 (l +1),
где 1 - орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n следующие значения: 1 = 0,1, ..., n -1 (всего n значений).
Проекция момента импульса на направление z внешнего магнитного поля
Llz = h ml .
где mi - магнитное квантовое число, принимающее при заданном l следующие значения: mi = 0, ±1, ..., ±l (всего (21 + 1) значений).
Правила отбора для орбитального и магнитного квантовых чисел
Al = ±1 и A ml = 0, ± 1.
Нормированная волновая функция, отвечающая ls-состоянию (основному состоянию) электрона в атоме водорода,
V100 (r ) =V100 (r ) =11e■4 na3e■4 na3r/ar/a
V100 (r ) =
V100 (r ) =
1
1
e
■4 na3
e
■4 na3
r/a
r/a
где a — 4n£oh2 /(me2 ) - величина, совпадающая с первым боровским радиусом.
Вероятность обнаружить электрон в атоме водорода, находящемся в ls-состоянии, в интервале от r до r + dr dW = 1 V100 12 dV = V100 12 4пr2dr .
Спин (собственный механический момент импульса) электрона
Ls — h-Js (s +1),
где s – спиновое квантовое число (s = 1/2).
Проекция спина на направление z внешнего магнитного поля
Lsz = h ms .
где ms – магнитное спиновое квантовое число (тs = ±1/2).
Принцип Паули
Z (n, l, ml, ms) = 0 или 1,
где Z(n, l, ml , ms) – число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n – главного, l – орбитального, ml – магнитного, тs – магнитного спинового.
Максимальное число электронов Z(n), находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом n,
Z (n ) = nT2(21 +1) = 2 n 2.
l=0
Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра
Xmin = ch/(eU),
где е – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.
Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характеристического рентгеновского излучения,
v — R(Z -о)2 f 2"2") ,V mn J
где R - постоянная Ридберга, Z - порядковый номер элемента в периодической системе; о - постоянная экранирования; m определяет рентгеновскую серию (т = 1, 2, 3, ...); n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m + 1, т + 2, ...).
Закон Мозли для линии Kа (о = 1)
v — R (Z-1)2Iг I.
V12 22 J
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
Распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
к Nil = e (E-ц)/(kT)- 1 иNil) = e (Ei -И)/( kT) + 1 ’
где Ni – соответственно средние числа бозонов и фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei ; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая
(E-ц)/(kT
температура; ц - химический потенциал. При e 1>> 1 оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана
(N^ = Ae-Ei/(kT>, где A = eЦ/(kT’.
Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в металле
( N ( E )> = e ( e - ef )/(kT)+ 1 -
где EF – энергия Ферми. – При Т = 0 К
(N (E )) =(N (E )) =1 при E < Ff,0 при E > FF.
(N (E )) =
(N (E )) =
Характеристическая температура Дебая (при T << TD)
TD = hroD / k ,
Электрическая проводимость металла, согласно квантовой теории электропроводности металлов,
y= ne2 (lF)
m uF
где n – концентрация электронов проводимости в металле; lF – средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми; uF – средняя скорость теплового движения такого электрона.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
•
и — c p-(E2-EF)/(kT)ыи — C -~EE1-EF )/(kT)
ne — ^1 eиnp — ^ 2 e,
где Е2 – энергия, соответствующая дну зоны проводимости; E1 – энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны; EF – энергия Ферми; Т – термодинамическая температура; C1 и С2 – постоянные, зависящие от температуры и эффективных масс электронов проводимости и дырок (при равенстве последних С1 = С2).
• Уровень Ферми в собственном полупроводнике
EF = ДЕ/2.
где ДЕ - ширина запрещенной зоны.
• Удельная проводимость собственных полупроводников ,, -ДЕ/(2 kT)
Y = Y0 e( ),
где Yo - постоянная, характерная для данного полупроводника.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
• Радиус ядра
R = Ro A1/3,
где Ro = 1,4 -10 15 м; А - массовое число (число нуклонов в ядре).
Энергия связи нуклонов в ядре
Есв = [Zmp + (A - Z) mn - mя ]с2 =
= [ Zm Н +(A - Z) mn - m ] с2, где mp, mn, mя - соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z - зарядовое число ядра (число протонов в ядре); А - массовое число; mн = mp + me , масса атома водорода (1н); m - масса атома.
Дефект массы ядра
Д m = [Zmp +(A - Z) mn ]-m я = [ Zm н +(A - Z) mn ]-m .
Удельная энергия связи (энергия связи, отнесенная к одному нуклону)
бEсв = Eсв / A .
Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + dt,
dN = -XNdt, где N - число нераспавшихся ядер к моменту времени t; X - постоянная радиоактивного распада.
Закон радиоактивного распада
N = N0e-Xt, где N - число нераспавшихся ядер в момент времени t; Nо - начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0); X - постоянная радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время t,
ДN = N0 - N = N0 (1 - e-X‘).
Связь периода полураспада Т1/2 и постоянной радиоактивного распада X
T1/2 = (ln 2)/X .
Связь среднего времени жизни т радиоактивного ядра и постоянной X радиоактивного распада
Активность нуклида
Правила смещения:
для а-распада
для р--распада
для в+-распада
Символическая запись ядерной реакции
т = 1/X .
A=1 dN hN.
Z X > Z "2Y ■ 4He ;
Z X >Z+1Y+-0e;
Z X >Z-Y++0e.
Z X + a > AZY + bилиZ X( a, b)ZY ,
где Z X и AZY - исходное и конечное ядра соответственно с зарядовыми числами Z и Z’ и массовыми числами А и А', а и b - соответственно бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.
Энергия ядерной реакции
Q = с2 [(m1 + m2) - (m3 + m4)], где m 1 и m2 - массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; (m3 + m4) - суммы масс покоя ядер продуктов реакции. Если Q > 0 - экзотермическая реакция, Q < 0 - эндотермическая реакция.
Энергия ядерной реакции представляется также в виде
Q = ( T1 + T2)-(T3 + T4),
где T1, T2, T3, T4 – соответственно кинетические энергии ядра-мишени, бомбардирующей частицы, испускаемой частицы и ядра продукта реакции.
d\ _ N(k-1) dt ~ Td\ _ N(k-1) dt ~ T
d\ _ N(k-1) dt ~ T
d\ _ N(k-1) dt ~ T
• Скорость нарастания цепной реакции
откуда N _ N0c1k-1) t / T ,
где N0 – число нейтронов в начальный момент времени; N – число нейтронов в момент времени t; T – среднее время жизни одного поколения; k – коэффициент размножения нейтронов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Основные физические постоянные(округленные значения)
Физическая постоянная
Обозначение
Значение
Нормальное ускорение свободного падения
g
9,81 м/c2
Гравитационная постоянная
G
6,67 ⋅ 10–11 м3/(кг ⋅ с2)
Постоянная Авогадро
NA
6,02 ⋅ 1023 моль–1
Постоянная Фарадея
F
96,48 ⋅ 103 Кл/моль
Молярная газовая постоянная
8,31 Дж/моль
Молярный объем идеального газа при нормальных условиях
Vm
22,4 ⋅ 10–3 м3/моль
Постоянная Больцмана
k
1,38 ⋅ 10–23 Дж/К
Скорость света в вакууме
с
3,00 ⋅ 108 м/с
Постоянная
Стефана-Больцмана
σ
5,67 ⋅ 10–8 Вт/(м2 ⋅ К4)
Постоянная закона смещения Вина
b
2,90 ⋅ 10–3 м ⋅ К
Постоянная Планка
h
ħ = h/2π
6,63 ⋅ 10–34 Дж ⋅ с 1,05 ⋅ 10–34 Дж ⋅ с
Постоянная Ридберга
R
1,10 ⋅ 107 м–1
Радиус Бора
а
0,529 ⋅ 10–10 м
Масса покоя электрона
me
9,11 ⋅ 10–31 кг
Масса покоя протона
mp
1,6726 ⋅ 10–27 кг
Масса покоя нейтрона
mn
1,6750 ⋅ 10–27 кг
Масса покоя α-частицы
mα
6,6425 ⋅ 10–27 кг
Атомная единица массы
а.е.м.
1,660 ⋅ 10–27 кг
Отношение массы
протона к массе электрона
mp/me
1836,15
Элементарный заряд
e
1,60 ⋅ 10–19 Кл
Отношение заряда электрона к его массе
e/me
1,76 ⋅ 1011 Кл/кг
Комптоновская длина волны электрона
Λ
2,43 ⋅ 10–12 м
Энергия ионизации атома водорода
Ei
2,18 ⋅ 10–18 Дж (13,6 эВ)
Магнетон Бора
µВ
0,927 ⋅ 10–23 А ⋅ м2
Электрическая постоянная
ε0
8,85 ⋅ 10–12 Ф/м
Магнитная постоянная
µ0
12,566 ⋅ 10–7 Гн/м
Единицы и размерности физических величин в СИ
Величина
Единица
Выражение через основные и дополнительные единицы
Наименование
Размерность
Наименование
Обозначение
Основные единицы
Длина
L
метр
м
Масса
M
килограмм
кг
Время
T
секунда
с
Сила электрического тока
I
ампер
A
Термодинамическая температура
Θ
кельвин
K
Количество вещества
N
моль
моль
Сила света
J
кандела
кд
Дополнительные единицы
Плоский угол
–
радиан
рад
Телесный угол
–
стерадиан
ср
Производные единицы
Частота
T –1
герц
Гц
с–1
Сила, вес
LMT –2
ньютон
Н
м ⋅ кг ⋅ с–2
Давление, механическое напряжение
L–1MT –2
паскаль
Па
м–1 ⋅ кг ⋅ с–2
Энергия, работа, количество теплоты
L2MT –2
джоуль
Дж
м2 ⋅ кг ⋅ с–2
Мощность, поток энергии
L2MT –3
ватт
Вт
м2 ⋅ кг ⋅ с–3
Количество электричества (электрический заряд)
TI
кулон
Кл
с ⋅ А
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
L2MT –3I –1
вольт
В
м2 ⋅ кг ⋅ с–3 ⋅ A–1
Электрическая емкость
L–2M –1T 4I 2
фарад
Ф
м–2 ⋅ кг–1 ⋅ с4 ⋅ A2
Электрическое сопротивление
L2MT –3I –2
ом
Ом
м2 ⋅ кг ⋅ с–3 ⋅ A–2
Электрическая проводимость
L–2M –1T 3I 2
сименс
См
м–2 ⋅ кг–1 ⋅ с3 ⋅ A2
Магнитный поток
L2MT –2I –1
вебер
Вб
м2 ⋅ кг ⋅ с–2 ⋅ А–1
Магнитная индукция
MT –2I –1
тесла
Тл
кг ⋅ с–2 ⋅ А–1
Индуктивность, взаимная индуктивность
L2MT –2I –2
генри
Гн
м2 ⋅ кг ⋅ с–2 ⋅ А–2
Световой поток
J
люмен
лм
кд ⋅ ср
Освещенность
L–2J
люкс
лк
м–2 ⋅ кд ⋅ ср
Активность изотопа (активность нуклида в радиоактивном источнике)
T –1
беккерель
Бк
с–1
Поглощенная доза излучения
L–2T –2
грей
Гр
м–2 ⋅ с–2
Соотношения между единицами измерения СИи некоторыми единицами других систем,а также внесистемными единицами
Физическая величина
Соотношения
Длина
1 Å = 10–10 м
Масса
1 а.е.м. = 1,66⋅10–27 кг
Время
1 год = 3,16⋅107 с
1 сутки = 86 400 с
Объем
1 л = 10–3 м3
Скорость
1 км/ч = 0,278 м/с
Угол поворота
1 об = 6,28 рад
Сила
1 дин = 10–5 Н
1 кГ = 9,81 Н
Давление
1 дин/см2 = 0,1 Па
1 кГ/м2 = 9,81 Па
1 ат = 9,81⋅104 Па
1 атм = 1,01⋅105 Па
1 мм рт. ст = 133,3 Па
Работа, энергия
1 эрг = 10–7 Дж
1 кГ⋅м = 9,81 Дж
1 эВ = 1,6⋅10–19 Дж
1 кал = 4,19 Дж
Мощность
1 эрг/с = 10–7 Вт
1 кГ⋅м/с = 9,81 Вт
Заряд
1 СГСЭq = 3,33⋅10–10 Кл
Напряжение, э.д.с.
1 СГСЭU = 300 В
Электрическая емкость
1 см = 1,11⋅10–12 Ф
Напряженность магнитного
1 Э = 79,6 А/м
поля
Астрономические величины
Космическое тело
Средний радиус, м
Масса, кг
Средняя плотность, г/см3
Период вращения вокруг оси, сутки
Солнце
6,95 ⋅ 108
1,99 ⋅ 1030
1,41
25,4
Земля
6,37 ⋅ 106
5,98 ⋅ 1024
5,52
1,00
Луна
1,74 ⋅ 106
7,35 ⋅ 1022
3,30
27,3
Расстояние от центра Земли до центра Солнца: 1,49 ⋅ 1011 м.
Расстояние от центра Земли до центра Луны: 3,84 ⋅ 108 м.
Планета Солнечной системы
Среднее расстояние от Солнца, 106 км
Период обращения вокруг Солнца, в годах
Масса в единицах массы Земли
Меркурий
57,87
0,241
0,056
Венера
108,14
0,615
0,817
Земля
149,50
1,000
1,000
Марс
227,79
1,881
0,108
Юпитер
777,8
11,862
318,35
Сатурн
1426,1
29,458
95,22
Уран
2867,7
84,013
14,58
Нептун
4494
164,79
17,26
Плотности веществ
Твердое вещества
г/см3
Жидкость
г/см3
Алмаз
3,5
Бензол
0,88
Алюминий
2,7
Вода
1,00
Вольфрам
19,1
Глицерин
1,26
Графит
1,6
Касторовое масло
0,90
Железо (сталь)
7,8
Керосин
0,80
Золото
19,3
Ртуть
13,6
Кадмий
8,65
Сероуглерод
1,26
Кобальт
8,9
Спирт
0,79
Лед
0,916
Тяжелая вода
1,1
Медь
8,9
Эфир
0,72
Молибден
10,2
Газ
Натрий
0,97
(при нормальных
кг/м3
Никель
8,9
условиях)
Олово
Платина
Пробка Свинец Серебро
7,4
21,5 0,20 11,3 10,5
Азот Аммиак Водород Воздух
1,25
0,77
0,09
1,293
Кислород
1,43
Титан
4,5
Уран
Метан
0,72
19,0
Углекислый газ
1,98
Фарфор
2,3
Хлор
3,21
Цинк
7,0
Упругие постоянные. Предел прочности
Материал
Модуль Юнга Е, ГПа
Модуль сдвига G, ГПа
Коэффициент Пуассона µ
Предел прочности на разрыв σm, ГПа
Сжимаемость β, ГПа–1
Алюминий
70
26
0,34
0,10
0,014
Медь
130
40
0,34
0,30
0,007
Свинец
16
5,6
0,44
0,015
0,022
Сталь (железо)
200
81
0,29
0,60
0,006
Стекло
60
30
0,25
0,05
0,025
Вода
–
–
–
–
0,49
Тепловые постоянные твердых тел
Вещество
Удельная теплоемкость с, Дж/(г ■ К)
Дебаевская температура θ, К
Температура плавления, °С
Удельная теплота плавления q, Дж/г
Алюминий
0,90
374
660
321
Железо
0,46
467
1535
270
Лед
2,09
–
0
333
Медь
0,39
329
1083
175
Свинец
0,13
89
328
25
Серебро
0,23
210
960
88
Примечание. Значения удельных теплоемкостей соответствуют нормальным условиям.
Коэффициент теплопроводности
Вещество
X, Дж/(м ■ с ■ К)
Вода
0,59
Воздух
0,023
Дерево
0,20
Стекло
2,90
Некоторые постоянные жидкостей
Жидкость
Вязкость
П, мПа ■ с
Поверхностное натяжение a, мН/м
Удельная теплоемкость с, Дж(г ■ К)
Удельная теплота парообразования q, Дж/(г ■ К)
Вода
10
73
4,18
2250
Глицерин
1500
66
2,42
–
Ртуть
16
470
0,14
284
Спирт
12
24
2,42
853
Примечание. Приведенные значения величин соответствуют: П и a - комнатной температуре (20 °С), с - нормальным условиям, q – нормальному атмосферному давлению.
Постоянные газов
Газ (относительная молекулярная масса)
CP
Y
CV
Теплопроводность
мВт
X- —т м^К
К
5
m
§ S S I ^^
Ч
Постоянные Ван-дер-Ваальса
а,
Па^м6
моль2
b,
-6 м3
10
моль
Не (4)
1,67
141,5
18,9
0,20
–
–
Аr (40)
1,67
16,2
22,1
0,35
0,132
32
Н2 (2)
1,41
168,4
8,4
0,27
0,024
27
N2 (28)
1,40
24,3
16,7
0,37
0,137
39
О2 (32)
1,40
24,4
19,2
0,35
0,137
32
СО2 (44)
1,30
23,2
14,0
0,40
0,367
43
Н2О (18)
1,32
15,8
9,0
0,30
0,554
30
Воздух (29)
1,40
24,1
17,2
0,35
–
–
Примечание . Значения Y, X и П — при нормальных условиях.
Давление водяного пара, насыщающего пространство при разных температурах
t, °C
pн, Па
t, °C
pн, Па
t, °C
pн, Па
–5
400
8
1070
40
7 335
0
609
9
1145
50
12 302
1
656
10
1225
60
19 817
2
704
12
1396
70
31 122
3
757
14
1596
80
47 215
4
811
16
1809
90
69 958
5
870
20
2328
100
101 080
6
932
25
3165
150
486240
7
1025
30
4229
200
1 549 890
Диэлектрические проницаемости
Диэлектрик
ε
Диэлектрик
ε
Вода
81
Полиэтилен
2,3
Воздух
1,00058
Слюда
7,5
Воск
7,8
Спирт
26
Керосин
2,0
Стекло
6,0
Парафин
2,0
Фарфор
6,0
Плексиглас
3,5
Эбонит
2,7
Удельные сопротивления проводников и изоляторов
Проводник
Удельное сопротивление (при 20°С), нОм ⋅ м
Температурный коэффициент а, кК–1
Изолятор
Удельное сопротивление, Ом ⋅ м
Алюминий
25
4,5
Бумага
1010
Вольфрам
50
4,8
Парафин
1015
Железо
90
6,5
Слюда
1013
Золото
20
4,0
Фарфор
1013
Медь
16
4,3
Шеллак
1014
Свинец
190
4,2
Эбонит
1014
Серебро
15
4,1
Янтарь
1017
Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков
Парамагнетик
µ – 1, 10–6
Диамагнетик
µ – 1, 10–6
Азот
0,013
Водород
–0,063
Воздух
0,38
Бензил
–7,5
Кислород
1,9
Вода
–9,0
Эбонит
14
Медь
–10,3
Алюминий
23
Стекло
–12,6
Вольфрам
176
Каменная соль
–12,6
Платина
360
Кварц
–15,1
Жидкий кислород
3400
Висмут
–176
Показатели преломления n
Газ
n
Жидкость
n
Твердое тело
n
Азот
1,00030
Бензол
1,50
Алмаз
2,42
Воздух
1,00029
Вода
1,33
Кварц плавленый
1,46
Кислород
1,00027
Глицерин
1,47
Стекло (обычное)
1,50
Сероуглерод
1,63
Примечание. Показатели преломления зависят и от длины волны света, поэтому приведенные здесь значения n следует рассматривать как условные.
Для кристаллов с двойным лучепреломлением
Длина волны λ, нм
Цвет
Исландский шпат
Кварц
ne
no
ne
no
687
Красный
1,484
1,653
1,550
1,541
656
Оранжевый
1,485
1,655
1,551
1,542
589
Желтый
1,486
1,658
1,553
1,544
527
Зеленый
1,489
1,664
1,556
1,547
486
Голубой
1,491
1,668
1,559
1,550
431
Сине-фиолетовый
1,495
1,676
1,564
1,554
400
Фиолетовый
1,498
1,683
1,568
1,558
Вращение плоскости поляризацииЕстественное вращение в кварце
Длина волны λ, нм
Постоянная вращения α, град/мм
275
120,0
344
70,6
373
58,8
405
48,9
436
41,5
49
31,1
590
21,8
656
17,4
670
16,6
Магнитное вращение (X = 589 нм)
Жидкость
Постоянная Верде V, угл. мин/А
Бензол
2,59
Вода
0,016
Сероуглерод
0,053
Спирт этиловый
1,072
Примечание. Приведенные значения постоянной Верде соответствуют комнатной температуре
Работа выхода электрона из металлов
Металл
А, эВ
Металл
А, эВ
Металл
А, эВ
Алюминий
3,74
Калий
2,15
Никель
4,84
Барий
2,29
Кобальт
4,25
Платина
5,29
Висмут
4,62
Литий
2,39
Серебро
4,28
Вольфрам
4,50
Медь
4,47
Титан
3,92
Железо
4,36
Молибден
4,27
Цезий
1,89
Золото
4,58
Натрий
2,27
Цинк
3,74
Энергия ионизации
Вещество
Ei, Дж
Ei, эВ
Водород
2,18 ⋅ 10–18
13,6
Гелий
3,94 ⋅ 10–18
24,6
Литий
1,21 ⋅ 10–17
75,6
Ртуть
1,66 ⋅ 10–18
10,4
Подвижность ионов в газах, м2/(В • с)
Газ
Положительные ионы
Отрицательные ионы
Азот
1,27 ⋅ 10–4
1,81 ⋅ 10–4
Водород
5,4 ⋅ 10–4
7,4 ⋅ 10–4
Воздух
1,4 ⋅ 10–4
1,9 ⋅ 10–4
Край K-полосы поглощения
Z
Элемент
λк, пм
Z
Элемент
λк, пм
23
Ванадий
226,8
47
Серебро
48,60
26
Железо
174,1
50
Олово
42,39
27
Кобальт
160,4
74
Вольфрам
17,85
28
Никель
148,6
78
Платина
15,85
29
Медь
138,0
79
Золото
15,35
30
Цинк
128,4
82
Свинец
14,05
42
Молибден
61,9
92
Уран
10,75
Массовые коэффициенты ослабления
(рентгеновское излучение, узкий пучок)
λ, пм
Массовый коэффициент ослабления µ / ρ, см2/г
Воздух
Вода
Алюминий
Медь
Свинец
10
0,16
0,16
0,36
3,8
20
0,18
0,28
1,5
4,9
30
0,29
0,47
4,3
14
40
0,44
1Д
9,8
31
50
0,48
0,66
2,0
19
54
60
0,75
1,0
3,4
32
90
70
1,3
1,5
5,1
48
139
80
1,6
2,1
7,4
70
90
2Д
2,8
11
98
100
2,6
3,8
15
131
150
8,7
12
46
49
200
21
28
102
108
250
39
51
194
198
Константы двухатомных молекул
Молекула
Межъядерное расстояние d, 10–8 см
Частота колебаний ω, 1014 с–1
Молекула
Межъядерное расстояние d, 10–8 см
Частота колебаний ω, 1014 с–1
Н2
0,741
8,279
HF
0,917
7,796
N2
1,094
4,445
HCl
1,275
5,632
О2
1,207
2,977
НВr
1,413
4,991
F2
1,282
2,147
HI
1,604
4,350
S2
1,889
1,367
СО
1,128
4,088
Cl2
1,988
1,064
NO
1,150
3,590
Вr2
2,283
0,609
ОН
0,971
7,035
I2
2,666
0,404
Периоды полураспада радионуклидов
Кобальт 60Со
5,2 года (β)
Радон 222Rn
3,8 сут (α)
Стронций 90Sr
28 лет (β)
Радий 226Ra
1620 лет (α)
Полоний 10Ро
138 сут (α)
Уран 238U
4,5 ⋅ 109 лет (α)
Массы легких нуклидов
Z
Нуклид
Избыток массы нуклида М–А, а.е.м.
Z
Нуклид
Избыток массы нуклида М–А, а.е.м.
0
n
0,00867
6
11С
0,01143
1
1Н
0,00783
12С
0
2Н
0,01410
13С
0,00335
3Н
0,01605
7
13N
0,00574
2
3Не
0,01603
14N
0,00307
4Не
0,00260
15N
0,00011
3
6Li
0,01513
8
15О
0,00307
7Li
0,01601
16О
–0,00509
4
7Ве
0,01693
17О
–0,00087
8Ве
0,00531
9
19F
–0,00160
9Ве
0,01219
10
20Ne
–0,00756
10Ве
0,01354
11
23Na
–0,01023
5
10Ве
0,01294
24Na
–0,00903
11Ве
0,00930
12
24Mg
–0,01496
Примечание. Здесь М – масса нуклида в а.е.м., А – массовое число.
Множители и приставки для образованиядесятичных кратных и дольных единиц
Мно- житель
Приставка
Обозначение приставки
Мно- житель
Приставка
Обозначение приставки
международное
русское
международное
русское
10–18
атто
a
а
101
дека
da
да
10–15
фемто
f
ф
102
гекто
h
г
10–12
пико
p
п
103
кило
k
к
10–9
нано
n
н
106
мега
M
М
10–6
микро
µ
мк
109
гига
G
Г
10–3
милли
m
м
1012
тера
T
Т
10–2
санти
c
с
1015
пета
P
П
10–1
деци
d
д
1018
экса
E
Э
Греческий алфавит
Обозначения букв
Название букв
Обозначения букв
Название букв
Α, α
альфа
Ν, ν
ню
Β, β
бета
Ξ, ξ
кси
Γ, γ
гамма
Ο, ο
омикрон
∆, δ
дельта
Π, π
пи
Ε, ε
эпсилон
Ρ, ρ
ро
Ζ, ζ
дзета
Σ, σ
сигма
Η, η
эта
Τ, τ
тау
Θ, θ, ϑ
тета
Υ, υ
ипсилон
Ι, ι
йота
Φ, φ
фи
Κ, κ
каппа
Χ, χ
хи
Λ, λ
ламбда
Ψ, ψ
пси
Μ, µ
мю
Ω, ω
омега
ОГЛАВЛЕНИЕ
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА …………………3
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ……………………..13
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ………………28
ФИЗИКА …………………………………………...29
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ……29
Элементы кинематики ……………………29
Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела 31
Работа и энергия ………………………….32
Механика твердого тела ………………….35
Тяготение. Элементы теории поля ………39
Элементы механики жидкостей …………41
Элементы специальной (частной) теории относительности ………………………….44
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И
ТЕРМОДИНАМИКИ …………………………47
Молекулярно-кинетическая теория
идеальных газов …………………………..47
Основы термодинамики ………………….52
Реальные газы, жидкости и твердые тела 55
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ ……….59
Электростатика …………………………...59
Постоянный электрический ток …………66
Электрические токи в металлах, в вакууме и газах ……………………………………..69
Магнитное поле …………………………..70
Электромагнитная индукция …………….75
Магнитные свойства вещества …………..77
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля …………………79
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ …………………….80
Механические и электромагнитные колебания ………………………………….80
Упругие волны ……………………………85
Электромагнитные волны ………………..87
ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ ………………………………….89
Элементы геометрической и электронной оптики ……………………………………..89
Интерференция света …………………….91
Дифракция света ………………………….93
Взаимодействие электромагнитных волн с веществом ……………………………….95
Поляризация света ………………………..97
Квантовая природа излучения …………...99
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ ….102
Теория атомов водорода по Бору ………..102
Элементы квантовой механики ………….103
Элементы современной физики атомов и молекул ……………………………………107
Элементы квантовой статистики ………...110
Элементы физики твердого тела ………...112
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА 113
Элементы физики атомного ядра ………..113
ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………..116
• При a = 0 получаем формулу Маклорена
1) его модуль численно равен площади параллелограмма(AOBLначертеже),построенного на векторах
Л a и b, т.е. он равен |a| ■ |b| ■ sin (a, b);
2) его направление перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма;
3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы а, b, с составляли правую систему.
• Прямоугольная система координат в пространстве.
Три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ, проходящие через некоторую точку О, образуют прямоугольную систему координат. Точка О называется началом координат, прямые OX, OY, OZ – осями координат (OX – ось абсцисс; OY – ось ординат; OZ – ось апликат), а плоскости XOY, YOZ, ZOX – координатными плоскостями. Какой-либо отрезок UV принимается за единицу масштаба для всех трех осей (см. рис. ниже). Отложив на осях OX, OY, OZ в
положительном направлении отрезки ОА, ОВ, ОС, равные единице масштаба, получим три вектора OA , OB , OC . Они называются основными векторами и обозначаются соответственно i, j, k.
• Правая и левая системы координат.