ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Новое изложение релятивистской теории тяготения, пред- дагаемое вниманию нашего читателя,"строится главным образом на глубоких- физических идеях, без привлечения мощных математических методов. Здесь уместно вспомнить, что именно таким был (особенно на первых этапах) и творческий метод самого создателя теории относительности, включающей всебя релятивистскую теории1дуию№ния."Альбертя .Эйн- щтейна ’), с сотой годовщиной со дня рождения которого почти совпадает выход в свет русского издания данной книги. Теперь, когда прошло 60 с лишним лет со времени создания общей теории относительности, достигнута значительно большая ясность в оценке ее основных принципов, что и нашло отражение в книге проф. Боулера.

Книга обращена к молодежи. Ее автор, физик-ядерщик, -сам не являющийся теоретиком, счел нужным включить в курс общей физики основы релятивистской теории тяготе- яия (общей теории относительности). Чтение таких лекций для второкурсников Оксфордского университета и привело к созданию книги. В самом деле, курс общей физики должен ввести студентов в здание современной науки. В нем, безусловно, должны быть представлены все основные ее разделы, отражены все руководящие физические идеи, и этот курс должен постоянно совершенствоваться. Молодые люди должны получить в нем не только знакомство с такими основами, как законы Ньютона (хотя и это ведь тоже может быть ярким открытием даже после школьной физики!), но и широкие, ясные горизонты и ощущение вечного прогресса науки.

Книга проф. Боулера проста — если он-и пользуется векторами, а потом и тензорами, то лишь в самом элементарном смысле, не касаясь правил переноса, ковариантного дифференцирования и уж тем более кривизны пространства-вре-' мени. Все, чем отличается его пространство-время от

*) См. его труды [1], в частности т. IV, где имеются ценные указания относительно генезиса теории.

плоского мира Минковского,— это деформация системы отсчета и замедление хода часов в полях тяготения. Сквозь такое ЙртЛбарительное построение/конечно же, проглядывают контуры настоящей общей теории относительности, и читатель приходит к ней после этого курса вполне созревшим. Очень важно, что при всей своей простоте книга проф. Боулера далека от вульгаризации высокой теории.

Правда, методика изложения физической теории все время совершенствуется, и получилось так, что некоторые приемы автора уже относятся ^ пройденному этапуЗГТгмШо в виду использование^шимой четвертой координаты и нижнее написание "индексов^при координатах. Сейчас большей частью пишут ха, что отвечает смыслу дифференциалов dxa как компонент контравариантного вектора. При этом, если все координаты * выбраны действительными, то контрава- риантные компоненты пространственно-временных векторов- отличаются от их ковариантных компонент. Координаты х^- часто трактуются как «компоненты 4-мерного радиус-вектора». .Это выражение неудачно (достаточно рассмотреть хотя бы закон преобразования от декартовых координат к сферическим в плоском мире): совокупность ха образует в действительности четверку настоящих скалярцв. Таким образом, даже в плоском 3-мерном случае «радиус-вектор» вообще не вектор (формально он похож на него при линейных однородных преобразованиях). Что же касается let, то такая конструкция была введена еще Минковским, заметившим, что при этом псевдоевклидовы соотношения переходят в евклидовы (хотя введение мнимости лишает силы многие теоремы геометрии Евклида). Вытекающее отсюда упрощение оказалось непринципиальным, и теперь «мнимое^цремя» все реже и реже встречается в литературе (другоедеДог—.современная «евклидова квантовая теория поля»).

Автор опирается прежде всего на простые физические представления и на частную теорию относительности. Начи- нающим может шжазЗтес^ что последняя прймепима"к описатшю/уск^ однако в этом не больше трудностей^ чем в «парадоксе близнецов». С координатной точки зрения вопрос о применимости, частной теории относительности в ускоренных-(и вообще произвольных' системах) исследовал Фок ^]ГМожет быть, читателю будет полезно для лучшего понимания проблемы ускорения познакомиться с весьма основательной — и совсем не трудной — книгой JVLapдepa «Парадокс часов» J3], где, наряду с всесторонним бб*збром, имеется и обширная библиография по этим вопросам. Частная теория относительности отличается ясностью, простотой и глубоким проникновением в сущность

основных физических законов (эти качества от нее унаследовал групповой подход в теоретической физике). Из немногих основных -принципов следуют столь обязывающие заключения, что они предрешают почти всю структуру физики. В книге Боулера эта мощь теории продемонстрирована сначала на примере «марсианской электродинамики» (все ведь сводится к тому, что магнитное поле — это релятивистское проявление электрического^ а затем при построении обобщенной теории тяготения. Читатель должен, конечно, правильно подходить к таким выражениям, как «масса пре- врдщается_в _ан.ергию»_лли__жэнер1щя_ имеет массуД и понимать, что принятая терминология неточна. Какэнергия^так и масса — качества материи_(вещества или пшТЙУГ'а не.самая €£ сущность, и их «тождество» (в определенном смысле^ есть неизменное сопутствие~друг другу, ajie взяимопревр^йгеЯие Твот. масса покоя может «переходить» в кинетическую энергию— мы констатируем тем самым переход анергии покоя в энергию движения, в рамках энергии и одновременно — массы покоя в кинетическую часть массы движения~в~рамках массы). Читателю — особенно студенту — полезно разобраться в этих методологических аспектах по имеющейся литературе (см., например, [4, 5]).

В этой книге главный предмет исследования — тяготение,. и автор прекрасно вводит читателя в новую область, делая это к тому же нешаблонно. В предисловии мне хотелось бы только дополнить его почти не геометризованный подход замечаниями о связи между гравитацией и геометрией. Удивительно, что такую связь предполагали еще болееста лет назад Риман [6] и Клиффорд [7], касаясь даже тех проблем геометриимикромира, которые начинают вырисовываться лишь в последние годы («предгеометрия» Уилера [8, 9]). Ё£ли_ гравитация — это самое универсальное взаимодействие ^-ДПИПОде (насколько мы можем сейчас судитьГ'й^сли она генерируется "распределением энергии-импульса-натяжений (см. гл. 4 этой книги), то наиболее общим «субстратом» при описании всех видов мазерй^Г'являётСЯ''"^^ а его движенйя'порождаютГкак "разГ"ту величину, компонента мй_ которой являются энергия, импульс и натяжения (к этой величине нее-сохранению приводит теорема Нетер [10]). Если к тому же мы обнаруживаем (что и случилось в общей теории относительности!), что величины, описывающие - гравитацию, одновременно служат"" для описания локальных свойств пространства-времени (кривизна; связность, мет- ЕикаЬто все складывается в стройное целое" Становится естественным, что гравитация проявляется в геометрии, а геометрия — в гравитации, и только грузом старых

предрассудков можно объяснить недоумения по этому поводу. Геометрия физического мира —не априорная наука, и если даже ее основывать «исключительно» на постулатах, она не станет менее физической, чем, скажем, термодинамика с ее Началами хотя последнюю никто не отрывает от физики. 1^ак, в общей теории относительности геометрия простран- Рта^рё^геш^раздеТ"^^^ о~~чемдогадывались когда-то Лоб^гёщжМПй-^^^ писали более явно Риман и^лиффорд; правда, они имели в виду только пространство, р Эйнштейн добавил к шёму~ещеивремя7^

Термин «гравитация»^Подразумевает два разных, хотя и взаимосвязанных понятия: гравитационное взаимодействие и гравитационное поле. Автор этой~Пснйги'рассматрив'ает и то, и другое. Взаимодействие проявляется как в поведении объектов (будь то частицы, их системы или поля) в присут

ствии гравитационного поля, так и в порождении ими этого поля (если обобщенно понимать III закон Ньютона, то объект, на который какое-то поле действует, сам должен изменять и порождать поле такого типа). Гравитационное пп№. есть один—ид видов физцыеской реальности (материи)^ .Его внутренняя структура и связь с источниками описываются системой уравнений Эйнштейна, к которым проф. Боулер с большим тактом и мастерством подводит читателя. Близкую (хотя более сложную математически) программу предлагал Гупта [11]. Он тоже исходил из линейного приближения, ^откуда определялся тензор энергии-импульса гравитационного поля этого приближения (квадратичный по гравитационным переменным). Такой тензор присоединялся к числу источников поля (принцип эквивалентности), в результате чего, возникали уравнения первого нелинейного_при- ближения. Из них по тому же рецепту, что_и раньше^нахо- дился новый Тензор энергий-импульса__гравитационного поля (включающий уже кубичный член); он вновь подставлялся в уравнения в-гоставе источников, и требовалось продолжить такую итерационную процедуру, чтобы получитьГппднор разложение уравнений по веем степеням нелинейности. Пока что- остаётся спорным вопрос о том, будет ли ответ единственным, но один результат нам заведомо известен: если подойти к этой задаче с другого конца и разлагать.уравнения Эйн- щтейня по степеням гравитационных переменных, то такое ^разложение наверняка дает искомый ответ. Это становится ч особенно ясным, если исходтъ~йз~ псевдотензораПТапГапетру

[10]* Приведенный пример вместе с тем показывает, насколько актуальна проблема гравитационной энергии в общей теории относительности.

к этой же проблеме имеет прямое отношение сильный принцип эквивалентности (гл. 7). Автор справедливо отме- ч^7питглабораторныё~эксперименты типа Этвеша — Пик- ке _ Брагинского не могут ответить на вопрос об эквивалентности инертных и тяготеющих свойств гравитационной части энергии связи. Однако, как заметил ^Дикке [12]. для ана л из а самых тонких теоретических проблемсовременному исслелователюприходится обрашатьсяне к лабораторным прйбор^^Ск^а^офизическимоб’ьщЕтам. Таковы, например, нейтронные .звезды ~ПгульсарЩ7~В^Ш1х~(в значительной .мере на счет гравитапяояногр-взаимодействия) становится энергетически выгодной коаФЙищацияГв которой имеются повди одни только нейтроны. Этп-соответсхвует. вкладу-гравитации в дефект_массы1 и если для нейтронных, звезд..бу дут достаточно точно выполняться «законы релятивистской—небесной

механики—то-мы.. получим подтверждение, принципа—эквивалентности и_в этей-невой. области (см. также наше примечание на стр. 51).

Вращательные гравитационные эффекты, о которых кратко упомянул автор и к которым имеет отношение-принцип Маха, раскрывают н^ньютоновские аспекты тяготения (квазимагнитное гравитационное поле в нерелятивистской теории Ньютойа, конечно, отсутствует). Кроме эффекта прецессии гироскопа (гл. 4, § 3), можно указать на специфику движения невращаюшихся чистин около болыпит вращающихся масс: период*обращения по одной й той же экваториальной орбите, но. В-противоправныy направлениях, 6v- Зе^^цтгяТтихразнымП^, 14]. Замечательно, что разность та- их периодов Д7 вообще не зависит от радиуса орбиты и от гравитационной постоянной, да и масса центрального тела при этом сокращается:

Д7 = 2л-^-.

Здесь L — момент импульса центрального тела, иг— его масса, а с — скорость’света. Проблема вращения в общей теории относительности еще далеко не исчерпана.

Что касается узла проблем, связанных с релятивистской космологией, топологическими . яспрктями теории тягптриия и сингулярностями, то читатель может почерпнуть многое как в литературе, указанной в последней главе книги, так и в статьях сборника [15]. Одна_ из л^ликих загадок при- Р<даи==^размепность нашего ^мираЩиШТ" ее исследование и попытки обобщения уводят далеко за рамки традиционных представлений и, возможно, перебрасывают мостик от кляв- сической физики к квантовой; если читатель не боится

небольшой дозы математики, ему можно порекомендовать юш№-Еумера «Исследования па 5-оптике» [16].

' Предоставляя, наконец, слово Самому автору, напомним,, что книга проф, Боулера написана как введение в одну h3l ^кгуальнейших^облас^й теории поля, а понятие физического доля играет^важную роль в формировании представлений студента-физика. И хотя она потребует большей сосредоточенности и труда, чем книги по другим разделам общей физики, будем надеяться, что ее изучат многие молодые читатели, несмотря на отсутствие этого раздела в учебных программах.

В заключение хочется выразить автору благодарность за. присылку дополнений и списка замеченных опечаток.

Н. Мицкевич:

ЛИТЕРАТУРА

Эйнштейн Л., Собрание научных трудов, «Наука», М„ 1967.

Фок В. Л., Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, М., 1961.

Мардер Л., Парадокс часов, «Мир», М., 1974.

Тейлор Э., Уилер Дж., Физика пространства-времени, «Мир», М., 1971,

Терлецкий Я. П., Парадоксы теории относительности, «Наука», М., 1967..

Риман Б., Сочинения, ОГИЗ, М. — Л., 1948, стр. 279.

Clifford W. K.t Matematical Papers, Macmillan, London, New York, 1968, p. 21.„

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, т. 3, «Мир», М., 1977,

Рис М., Руффини Р., Уилер Дж., Черные дыры, гравитационные волны и космология, «Мир», М., 1977.

Мицкевич Н. В., Физические поля в общей теории относительности, «Наука», М., 1969.

Gupta S. N. Phys. Rev., 96, 1683 (1954).

Дикке Р., Гравитация и Вселенная, «Мир»г М., 1972.

Мицкевич Н. В., Пулидо Гарсия И., ДАН СССР, 192, 1263 (1970).

Мицкевич Н. В., Вращение в общей теории относительности, в сб, «Проблемы теории гравитации и элементарных частиц», вып. 7, Атом- издат, М., 1976, стр. 15.

Философские проблемы астрономии XX века, под ред. В. В. Казютин* ского, М. Э. Омельяновского, Ю. В. Сачкова, «Наука», М., 1976.

Ру мер Ю. Б., Исследования по 5-оптике, ГИТТЛ, М., 1956.

ПРЕДИСЛОВИЕ

К концу изучения курса общей физики большинство студентов уже основательно знакомы с электромагнетизмом, частной теорией относительности и квантовой механикой, но практически ничего не знают о современных теориях тяготения. Тяготение же — это сейчас одна из самых, интересных областей физики как в экспериментальном, так и в теорети- "ческом отношении, не говоря уже о том, что тяготение играет особую роль в вопросе о структуре пространства щ времени, по крайней мере крупномасштабной. После почти сорокалет- SerO Прозябания в космологии релятивистская теория тяготения проникла в астрофизику "и заняла более подобающее "место-1з науке после открытия нейтронных звезд и — совсем уже недавно — компактных рентгеновских источников. У£пещ- ,нре объяснение Jno менщцейТмере качественных сторон^ДвезУ рой эвоупощнГивиднмои^^ гравитационного" кол- лапсУВ' конце ЖизПбЙногсГ иут1ГТм?Плйе о^ звезд~~вы- йВОо новИЙ ‘ Интерес тёоретикбв^гТртгаИтацйй, а благодаря успехам техники второй половины нашего столетия стали возможными эксперименты неслыханной доселе точности в области тяготения, в том числе и принципиально новые. Эйнштейновская теория тяготения (общая теория относительности) прошла "успешную проверку с "точностью до* 1 %, ведется настойчивый поиск гравитационных волн, а в компакт- ~ной~рентгеновском источнике" Лебедь X—17 по-видимому, действительно обнаружена звезда, сколлапсировавшая_цастолько, чт,о_из нее не может исходить даже свет, т. е. это черная Дыра.

Любознательные младшекурсники не могут познакомиться со всем этим иначе как через полупопулярные статьи: ведь они (как и большинство физиков-профессионалов-нетеор^ти- ков) не владеют математикой общей теории относительности'' н^не обладают интуицйёй и опытом,7н^бдодимыми"для~2тото, ■чтобы Усмотреть за этой" математикои^изичёскую '^реаль- ност^ЗПГаписал свою книгу в Надежде, что смогу передать в ней ощущение физической реальности, обойдясь^ без но-^ soro для читателей математического аппарата. В основу ее

положены лекции, которые я впервые прочитал студентам-второкурсникам в Оксфорде в 1974 г. Мои слушатели уже прошли к тому времени электромагнетизм и'частную^еорию относительности. и я решил рассказать им о гравитации, необра- цгаясь ни к общим криволинейным координатам, ни к лагранжевой формулировке теории Поля. Чтобы дать обобщение теории тяготения .Ньютона, я воспользовался элементарными средствамй~~частной теории. относитёльностиТТСлабое-место такого подхода состоит в том, что он не позволяет продви- 'йутБёя' дальше приближения слабого поля для уравнений Эйнштейна (хотя яг и^1рйдумал( как "вывести "величину смещения "перигелия Меркурия) и не годится, когда речь идет о космологщь-Сила же его в'томГчто^н строится на мате- ртгалё,"основном для каждого физического курса, и должен,.

как я надеюсь, не только углубить понимание этих основ, нои перебросить мостик через—пропасть^. отделяющую-грави- тацию отостальной физики. У него еще и то"преимущество, чтог^бтя^т^готенйе1_цассмат£ивается_ках классическое поле (и притом соответствующее без массовым гравитонам со едином 2). при таком подходе во^ущёЯиеЧщостранбтващремени П^за*наличия массы выступает как желательный способ истолкования результатов.

Такой подход может вызвать упреки в том отношении, что

он отодвигает сроки усвоения единственно правильной точки зрения, "а. именно" геометричесУогЭ^описанияТобщеи^теории ртнрситАПь^сти^Мои оправдания в связи с такого рода обвинением в основном уже приведены выше, но я отметил бы

еще, что при полевом подходе к гравитации мы почти неиз- б.ежно_прщходим к-обшей теории-относительности. если учи

тываем-разложение по степеням гравитационного потенциала НО^дсехТпорялкахТ^и^ посколькущцзика — наука'~эксперймен- тальнаяТлде исключёвб7'что—£Го^^ день чисто геометрический подход окажется неадекватным. Тому, кто решит заниматься гравитацией профессионально, обязательно придется изучить математически язык "обшей теории относи- тельнбсТП, а я наДеюсь лишь, что мне удалось написать некое введение в эту теорию, доступное для еще не владеющих таким языком, будь то студенты или физики-профессионалы с теми же огранчирниями в образовании и-способе мышле-

дшя,что и у меня самого.

План книги таков. В гл. 1 дан краткий обзор частной теории относительности с упором на лоренц-ковариантность физических ураинений.^3атем~там же вкратце обсуждаются в рамках частной теорйи относительности у£коренны£_£0- стемы отсчета. Гравитация появляется только к йонцуТлавы, когда читатель сталкивается с двумя задачами. Дополнив

теорию тяготения Ньютона принципом эквивалентности массы и энергии, удается правильйо рассчитать эффект^гра- 5йтационного красного смещения и с ошибкой в" 2 раза вы- «дйупптГЧуткЗТот светового луча Солнцем. Наивное применение принципа одинакового ^ускорения-"всех тел в^поле тяжести—(зачаст)оо "вблыЮПТазываемого'прцнципом^эквива- Лёнтности) дает в точности те же результаты. Две уномяну- тые'зйдачи сводятся к следующему. Во-первых, как гравитационное отклонение луча света может быть вдвое больше, чем следует из вычислений, которые дают правильное красное смещение (разность энергий)? Во-вторых, если свет действительно отклоняется вдвое сильнее, чем это предсказывают наивные расчеты, то как может статься, чтобы при наблюдении в свободно падающей лаборатории было все- таки невозможно заметить гравитационное ускорение?

Глава 2, посвящена опытам Этвеша — Дикке — Брагин- ского, на основании которых было установлено тождество инертной и тяготеющей масс, а также подробному анализу вытёкающих из нёгб следствий. В гл 3 мы выводим уравнения электродинамики, исходя из уравнений электростатики и требования, чтобы более общие уравнения были-лоренц- ковариан^ными. Электродинамика служит нам моделью теории "гравитации, и в гл. 4 мы повторяем такую процедуру в применении ж тяготеййК), выводя уравнения поля, имеющие своим источником сохраняющийся тензор энергии-импульса. Выбор между различными"возможными априори видами гра

витационного потенциала делается на основе экспериментально наблюдаемого отклонения лучей света Солнцем. В гл. 5 такая процедура применяется к проблеме силы и получаются уравнения движения, дающие решение первой задачи, поставленной в гл. 1: существует_сил^_аавцсящая_ qt скорости _и действующая под npgMtJM^rjjQ^

движения, котора$Готмоняёт^несения _eg

энергии. р2}л~67мы нахо}щм2ш^е[щеГвт^учиты

вая, замедление света в травитационнрм поле и исходя из уравнений движения_длнесвободного^падения. При подходе, принятом в нашей книге, вывод оказывается таким- наличие гравитационного потенциала приводит к физическому замед- часов и к физическому сокращению длины изм$- ВИтелцных стеожней.т.^ к эффектам, которые или желанйу -^Ре„ТОЛКОВ?.Т^ЛЯ\ рр^мущ^йне пространства-воемени.

~ поскольку ожидается, что гравитационная энергия тоже является источником поля тяготения, полные уравнения гравитационного поля должны быть нелинейными, так что анализ, проведенный в гл 4—6, верен лишь в приближении слабого поля. В этом приближении можно рассматривать

гравитационное красное смещение, отклонение лучей света и задержку отраженного радиолокационного сигнала, но .не четвертый знаменитый—аффект обшей _теории одж&ительнр- ст1Г—смещение перигелия Меркурия, ^му посвящена гл—7г Тде -уравн^ния^движеди^Для слабого пОжШюполняются не-. ;щЕнеинМ1ГЧЛ№(й11?Т1и^ находится из"требования, чтобы ]^щнйй гравйтацйонный_цотенпиял действовал на харауер- ньщ~и§тбрвалы времени иотрезки длины гравитационно свя- занных систем так же, как на атомные периоды и размеры, что представляет собой выражение сильного принципа экви- валентности. Ввиду того что небесная механика обычно не входит в общий курс физики, мы рассчитываем смещение перигелия как радиальные колебания, накладывающиеся на круговую орбиту.

ВглГЯмы вочвряшярмся к уравнениям слабого дюля. рас- г.матривая вопрос о природегравйтационнбго излучения, его генерировании и детектирован1Шг~То~О'бстбятельство, что поля излучения в теории, приводящей к удвоенному по сравнению с ньютоновским отклонению лучей света, калибровочно-инвариантны, служит теоретическим обоснованием выбора этой теории и обеспечивает ее связь с безмассовыми гравитонами со спинам-2. - -

"Две последние главы по необходимости оказались оторванными от остального содержания книги. В гл. 9 сделана попытка установить связь изложенной теории с общей теорией относительио£1и_хотяуравнения поля УйнштейнаДдесь ire выводятся и не решаются. Обсуждается связь между метрическим трняпрпм и гравитационными потенциалами, а для анализа опытной проверки общей теории относительности используется решение Шварцшильда как в обычных, так и в изотропный координатах. В последней главе краткозатра- пбаётсяТ1роблема черных дыр. На основе решения Шварцшильда рассмотрено распространение света и движение частиц в очень сильных полях, и в заключение кратко говорится о том, как астрономы могут обнаружить черные дыры.

При разработке данного подхода к тяготению мне особенно помогли следующие работы: «Альтернативный подход к теории тяготения» В. Тирринга, Annals of Physics, 16, 96 (1961); «Лекции по гравитации» Р. Фейнмана, 1962—1963 (неопубликованные записи лекций); «Гравитация без принципа эквивалентности» Р. Дикке, Rev. Mod. Phys., 29, 363 (1957). В последней главе я воспользовался статьей «Физика черных дыр» Р. Зексля, Cern Report TH 1759 (1973).

Я весьма обязан И. Айтчисону, С. Гэнну, Дж. Миллеру и Ф. Робинсону, которые критически прочитали черновик этой книги и сделали очень много ценных замечаний.

Глава 1

ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И УСКОРЕНИЯ

ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ВКРАТЦЕ

Принцип относительности утверждает, что не существует разумного способа определить абсолютную скорость В подобном виде он малосодержателен с физической точки зрения, но его можно перефразировать так: законы, физики одинаковы для всех наблюдателей, равномерно движущихся Т^носитёльнр~7^1^Ц)уг^находятся в инерциальных ^истемахотсчета, так как инерциальной называется система, в которой частица движется по прямой линии и с постоянной скоростью, если на нее не действует сила. "В данном утверждении нет замкнутого круга — ведь чтобы существовала сила, нужно иметь нечто, вызывающее ее.

Йаблюдатели в разных системах отсчета связаны друг с другом преобразованием координат. Если принцип относи- тельнострг верен (а решить это должен эксперимент),"то любая система уравнений, выражающих в одной" системе координат нечто «физическое», должна при таком преобразовании сохранить свой вид и численное значение входящих в нее констант, В ньютоновой механике уравнение

F = ma,

которое можно представить как

(1.1.1)(1.1.1)Ft = таь

(1.1.1)

(1.1.1)

сохраняет свой вид и числовое значение коэффициента поо- порциональности при произвольных сдвигах и поворотах координат. То и другое не изменяются и после преобразования Галилея^^связывающего две инерциальные системы отсчета.

(1.1.2)(1.1.2)х' = х — vt, z' = z, у' = у, f = t

(1.1.2)

(1.1.2)

(при желании его можно дополнить сдвигами и поворотами). Такое преобразование связывает координаты любого данного события в инрихованной инерциальной системе с его же координатами в иештрйхиианной системе. Коэффициент а есть скорость одной системы относительно другой, так как тЯ^7^ JH=+7<LL3>

Расртояние-в-прорт-ранстне между событиями. происшедшими в одно и то же времЯг одинаково в'б^ейх системах (т. е. это инвариантная величина); одинаково по ведичине и ускорение, пробной частицы, массы т вне зависимости' от того, какую рзять систему координат.-Таким образом, прй'дадаиной силе любые два наблюдателя, равномерно движущиеся относи

тельно друг друга, в результате измерения получают одно

и то же значение ускорения. Фжущеский закон.'сохраняющий при некотором преобразовании свой вйд"и"численные значе

ния коэффициентов, называется ковариантным по отношению к этому преобразованию.

Уравнения электромагнитного поля не ковариантны относительно преобразования Галилея. Рассмотрим, например,

электрическое поле плоской волны

Е = Eosin (Ах — at). Ее фаза равна

Ф = Ах — at, а фазовая скорость есть

(1.1.4)(1.1.4)dx I о

(1.1.4)

(1.1.4)

dt 1ф— к —с’

Магнитное поле меняется в фазе с электрическим — когда \фаза равна нулю, нет и поля, и все наблюдатели в этом согласны. Фаза должна быть инвариантом, и на этом основании можно опрёделить, что происходит с к и © при преобразовании Галилея, т. е. связать между собой значения длины волны и частоты, воспринимаемые одним наблюдателем и другим, движущимся относительно первого. Поскольку фаза инвариантна во всех точках и в любые моменты времени, должно выполняться равенство

• к'х' — to't' = кх — tot.

Подставив сюда х' и t', выраженные через х и t на основе преобразования Галилея, и приравняв коэффициенты при х и t слева и справа, получим

к' —к, .

ук' + ©' — ©, откуда

^ = (0(1--^),причем фазовая скорость в штрихованной системе такова:

С = -ТГ= с — У.

Мы получили выражение для доплеровского смещения и ожидаемое соотношение между значениями скорости света в двух системах отсчета. То обстоятельство, что скорость получается разной, уже само по себе указывает на нековариантность уравнений электромагнитного поля по отношению к преобразованию Галилея. Это бросается в глаза, если взять у-* с, б/—>0; тогда в штрихованной системе электрическое поле синусоидально меняется в пространстве и постоянно во времени. Такое поле не удовлетворяет уравнениям Максвелла.

Как показывает опыт, скорость света, если ее измерять реальными приборами, является универсальной константой, единой для всех неускоренных наблюдателей. Приходится считать, что либо скорость делает что-то странное с часами и измерительными стержнями, либр- преобразование, связывающее между собой координаты (х', f) и (х, /), не является преобразованием Галилея. Если скорость света — универсальная постоянная, не зависящая от природы используемой аппаратуры, то эти две возможности становятся практически неразличимыми. Выбирая вторую возможность, мы можем получить правильные преобразования, опираясь на универсальное постоянство скорости света, как на следствие уравнений Максвелла.

Рассмотрим две системы отсчета с одинаковыми приборами в каждой, движущиеся, однако, относительно другой вдоль общей оси х со скоростью у. (Чтобы достигнуть этого, всегда можно произвести должный поворот координат.) Примем для удобства х' = х = 0 при f = t = 0.

Пусть координата х' будет связана с нештрихованными координатами соотношением

х' = ОцХ + «12</ + «132 + «1V,

так что вообще

4 = Wv« 0-1.5)

где производится суммирование по повторяющимся индексам (такие повторяющиеся индексы называются немыми). Предполагается, что коэффициенты ацу зависят только от относительной скорости и. Мы пришли к линейному преобразованию, связывающему координаты данного события (например, приход фронта волны к тому или иному приемнику) в одной инерциальной системе с координатами того же события в другой инерциальной системе. Преобразование линейно, потому что при линейных преобразованиях движение частицы, неускоренное в одной системе, в другой системе также ‘будет неускоренным (гл. 9).

Уравнение расширяющегося волнового фронта в нештрихованной системе имеет вид

л^ + ^ + г2 —с2/2 = 0.(1.1.6>

Если обозначить координаты символом хц = (х, у, 2, ict), то данное уравнение примет компактный вид

ХцХц = 0.(1.1.7)

В штрихованной системе, связанной с нештрихованной соотношением (1.1.5)

должно выполняться равенство ^< = 0,

так что

Отсюда сразу же следует равенство

apn°pv = 6^,(1.1.8)

где 6gV — дельта-символ Кронекера, равный 1 при ц = v, а при р ^ v равный нулю.

В случае преобразований вдоль общей оси х это равенство упрощается. Из (1.1.5) мы имеем

Дифференцируя по х4 при фиксированном хн получаем

an=-^;+«i4 = 0.(1.1.9)

Этим уравнением коэффициенты преобразования связаны с относительной скоростью двух систем отсчета, что вместе с равенством (1.1.8) определяет все преобразование. Заметим сначала, что при движении вдоль общей оси х комбинируются друг с другом только координаты х и t (иначе возникали бы противоречия), так что соотношение

х[2 + х'2 = Х^ + х2

(х'2 - сЧ'^ X2 - с2/2)

дает, если приравнять коэффициенты,

^ + 4 = i.

ИИаИ^14 + ^41^44 = О-

И

И

Это просто явная запись равенства (1.1.8) для данного случая.

Обозначив параметр скорости через V,

^1= у = —

dxtic ’

имеем

1144 Vi + v2 -vi - v2/c2 ’

— V— х)Цс

14°41 Vl + V2 Vl - d2/c2 ’

так что

t Xi — Vxt

1 “ -Vl + и2 ’

, . vx, + xt(1.1.Ю)

^ +

или

r x — и/

Vl — ^!c2 *,

VT — У2/с2 *

это уже знакомые всем преобразования Лоренца. Отметим теперь, что любая величина

Ахц Дхц

численно одинакова в любой инерциальной системе и поэтому является инвариантом. Величина Дхц преобразуется

по правилу

^ = а^^

и служит прототипом 4-вектора, а ее длина — прототипом инварианта.

Рассмотрим частицу, покоящуюся в одной системе отсчета. За любой промежуток времени Дт ее пространственные координаты в этой системе не изменяются, так что

Дх' Дх' = Г Ах')2 = — с2 Дт2.

В любой другой системе, движущейся со скоростью и вдоль оси х, частица пройдет за время А/ путь Ах, так что

Ах2 — с2 А/2 = — с2 Ат2.

Подставляя -^- = у, имеем

А/ =

Ат

V1 — О2/с2 ’

(1.1.12)

где Дт — интервал собственного времени, т. е. время, протекшее в системе центра масс частицы. Мы получили знаменитую формулу замедления хода часов. В лабораторной системе время (измеряемое нашими обычными часами) течет быстрее, чем в системе покоя частицы с высокой энергией, пролетающей через лабораторию.

Этот же вывод можно получить непосредственно из уравнения (1.1.11), если заметить, что координата х неизменна в системе покоя. Результат вполне однозначен: среднее время жизни частицы, движущейся относительно наблюдателя, больше среднего времени жизни такой же частицы, покоящейся относительно него же:

Д/' =Д/' =., 10 ^*А/5—С2., 10 ^*А/5—С2V1 — v2/c2V1 — v2/c2А/V1 — у2/с2 ’А/V1 — у2/с2 ’

Д/' =

Д/' =

., 10 ^*

А/5—

С2

., 10 ^*

А/5—

С2

V1 — v2/c2

V1 — v2/c2

А/

V1 — у2/с2 ’

А/

V1 — у2/с2 ’

если Дх = 0, когда Д/ — интервал собственного времени Дт.

Пусть в момент t = V — О частица с высокой энергией пролетает через счетчик, расположенный в точке х' = х = 0. Сигнал счетчика представляет собой одно событие. Позже эта частица попадает во второй счетчик и распадается в нем. Одновременные сигнал второго счетчика и распад частицы образуют второе событие. В системе отсчета частицы это событие тоже произошло в точке х' = 0, но уже в момент Л В лабораторной системе ему соответствуют х, /. Тогда

оох — vt,

о

о

,„ -, т. е. х = vt,

-\j\ — Р2/с2

t_22L

t' = . —с._ - = t V1 —- V^C2.

V1 - »2/с2

В момент f точка х = 0 будет смещена назад на расстоя-ние vt' в системе покоя частицы. Поэтому в данной системерасстояние между двумя счетчиками измеряется величинойх' = vt V1 — у2/с2 = х^\ — v2/c2.

Это формула лоренцева сокращения, которое, однако, не поддается столь прямому измерению, как эффект замедления хода часов.

Введем теперь понятие 4-вектора как четырехкомпонентной величины Ум, компоненты которой комбинируются между

собой при преобразованиях Лоренца по закону

=(1-1-13)*

Тогда

V'V=a а V V = V V ,ц ц № ул * р r a r vr v>

если воспользоваться равенством (1.1.8). Длина любого 4-вектора — инвариант. Если имеется два разных 4-вектора, то аналог скалярного произведения обычных двух векторов имеет вид

и также является инвариантом.

Поэтому в частной теории относительности сразу же видно, что величины ku ^к, -у) образуют 4-вектор, так как ■разность

к • х — cot

должна быть инвариантом. Отсюда непосредственно следует релятивистская формула эффекта Доплера.

Мы не показали здесь, что уравнения электромагнитного поля лоренц-ковариантны (это будет сделано в гл. 3, обычный же подход см., например, в работах [1, 2]), и пока ограничимся лишь полями 4-векторов Уц(хр) и 4-скал^ров £(хц). Нас интересуют действия дифференциальных операторов на эти поля. Можно ожидать, что четверка величин

dS/дХц

образует 4-вектор. Напишем равенство

=(1.1.14)

дх^ dxv дх^

Для вычисления производной dxv/dx' необходимо преобразование, обратное преобразованию (1.1.5)

Умножим эти 4 равенства на ацр и сложим; получим

Так как [формула (1.1.8)]

^pp^pv ^pv’

(1.1.15)(1.1.16)(1.1.17)(1.1.15)(1.1.16)(1.1.17)-отсюда следует искомое преобразование ^gV^g *v

(1.1.15)

(1.1.16)

(1.1.17)

(1.1.15)

(1.1.16)

(1.1.17)

В результате

dS' _dS

д / — agv .>

дх^dxv

так что 4 величины dS/дх^ и в самом деле образуют 4-вектор, а потому уравнение вида

лоренц-ковариантно.

Аналогично можно показать, что дУц/дхц — инвариант.

Написав

(1.1.19)(1.1.19)„ д т, х „ dv^ дхо _ dV- _ dV^ я ' , '(^gV^v) ^gV ,д Z ^gV^gp Д,»

(1.1.19)

(1.1.19)

dx^dx^dxpdx^“M dxpdxv

мы убеждаемся, что это действительно инвариант. Значит, уравнение вида

5=S(1.1.20)

лоренц-ковариантно.

Подобным же образом легко доказать, что величинад д sдхи дх^

представляет собой скалярное поле, а величина

JLJLyдх^ дх^ v

есть 4-векторное поле. Инвариантный оператор

(М.21)(М.21)дд „1 д2

(М.21)

(М.21)

дх^ дх^с2 dt2

является обобщением оператора Лапласа (лапласиана) и называется оператором Даламбера (даламбертианом); его обычно обозначают символом □.

Если мы примем, что уравнения электромагнитного поля справедливы для всех инерциальных наблюдателей и лоренц- ковариантны, то нам придется либо отказаться от принципа относительности, либо потребовать лоренц-ковариантности и уравнений механики частиц. Законы Ньютона ковариантны по отношению к преобразованию Галилея и поэтому должны

быть видоизменены, если придерживаться принципа относительности.

Так как собственное время т, прошедшее в системе покоя частицы, является инвариантом, величины dx^dx (где хи— координаты этой частицы в любой инерциальной системе) образуют 4-вектор. Когда частица движется медленно, мы имеем т —И, и первые три компоненты такого 4-вектора дают обычную скорость. Поэтому полученную величину можно назвать 4-скоростью. Второе дифференцирование снова дает 4-вектор — 4-ускбрение ^x^dx1. Умножив 4-скорость на инвариантную величину с размерностью массы, получим 4-вектор, носящий название 4-импульса,

P, = mQ^.(1.1.22)

При медленных движениях его первые три компоненты можно отождествить с импульсом ньютоновой механики, который сохраняется. Так как ри есть 4-вектор, для системы частиц

2 Рц = 2 ^HVpV/ ~ aUV 2 Pv^ (1.1.23) (О * (0 ' (О ‘

Если 4-импульс сохраняется для какого-то наблюдателя в некоторой инерциальной системе, то он должен сохраняться для всех подобных наблюдателей. Величину ptt можно выразить через скорость частицы и в любой данной инерциальной системе:

'dx„ dx4.

(1.1.24)

где х4 = ict; а так как dx = V1 — y2lc2 dt, мы имеем

р = —^=, р4= ."^у-. '(1.1.25)

^\ — о2 (с1л/\ — о2 (с2•

Положив р4 = 1Е/с, получим

Е = - т^=- « т0с2 +1 «ри2 4- ...(1.1.26)

VI— <П(Г2

(разложение дано для малых скоростей). Из полученных соотношений вытекает, что энергия «имеет» инертную массу и, обратно, что инертная масса — это проявление энергии, причем они связаны друг с другом равенством Е = тс2. Тогда аналог второго закона Ньютона записывается так:

где F^— 4-сила.

Е№ = т0-^г.

(1.1.27)

Инвариантная величина то— собственная масса (масса покоя) —определяется квадратом 4-импульса:

„ dx„ dxa

P^ = ^-^-dT=-^c\(1.1.28)

т. е.

Р2~^ =^2-(1-1-29)

Отметим, что ввиду инвариантности квадрата 4-вектора независимыми будут здесь только три компоненты. В частности, если

dt " то

# = F-v. где V—£.(1.1.30)

Выбирая систему чаем р = Ev иПоэтомуВыбирая систему чаем р = Ev иПоэтомуединиц измерения, в которой с= 1, полу- dp о dv . dE

Выбирая систему чаем р = Ev и

Поэтому

Выбирая систему чаем р = Ev и

Поэтому

F-v(v-F) = £^-,

а значит,а значит,dv dtdv dt^--^ (F-4(vF)km0 I c1 x ' J^--^ (F-4(vF)km0 I c1 x ' J(1.1.31)(1.1.31)

а значит,

а значит,

dv dt

dv dt

^--^ (F-4(vF)k

m0 I c1 x ' J

^--^ (F-4(vF)k

m0 I c1 x ' J

(1.1.31)

(1.1.31)

Частица, на которую в лабораторной системе действует постоянная сила, ускоряется все слабее и слабее по мере того, как возрастает ее скорость.

ЧАСТНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И УСКОРЕНИЯ

Приняв принцип относительности и преобразования Лоренца, которые Эйнштейн объединил с ним, мы пришли к новым представлениям о свойствах пространства и времени. Параллельно изменились и наши представления о скорости, ускорении, силе, массе, импульсе и энергии. Каждый эксперимент с элементарными частицами, проводимый при энергиях, существенно превышающих энергию массы покоя этих частиц, свидетельствует о применимости преобразований Лоренца к законам механики. Конечно, физика элементарных частиц говорит нам еще о многом. Эвристически формулируемые гипотезы о взаимодействиях «обитателей» микромира всегда записываются так, чтобы они были ковариантными

относительно преобразований Лоренца и отвечали требова- ниям как квантовой механики, так и частной теории относительности. И так —в квантовой электродинамике (которая проверена детальнее, чем все другие физические теории), в теории слабых взаимодействий, ответственных за бета-распад, в множестве теорий полей большего или меньшего физического значения, при описании сильных взаимодействий, обеспечивающих устойчивость атомного ядра, посредством матрицы рассеяния, а сейчас и при первых шагах в описании внутренней структуры самих сильно взаимодействующих частиц. И ничто не дает указаний на то, что преобразования Лоренца теряют свою применимость, даже если речь идет о частицах, энергии которых в сотни раз превышают их массы покоя (например, о протонах в Национальной ускорительной лаборатории имени Ферми в г. Батавия, шт. Иллинойс) или превышают их в десятки тысяч раз (электроны Стэнфордского линейного ускорителя в Калифорнии).

Преобразования Лоренца дают связь между координатами данного события, рассматриваемого в двух разных инерциальных системах отсчета. Мы уже определили инерциальную систему отсчета как такую, в которой пробная частица, когда на нее не действуют силы, движется с постоянной скоростью; образно говоря, это такая система отсчета, в которой возможна игра в трехмерный биллиард.

Система отсчета, связанная с ускоряющими ее ракетными двигателями, конечно, уже не будет инерциальной. На этой почве возникло ложное мнение, будто частная теория относительности непригодна для описания законов физики в восприятии ускоренно движущихся наблюдателей. Это в корне неправильно: в рамках постулатов частной теории относительности содержатся однозначные правила анализа и таких наблюдателей. Решающим здесь является то обстоятельство, что интервалы пространства и времени, измеряемые разными наблюдателями, зависят только от их относительных скоростей, но не от ускорений. Это утверждение содержится в определениях 4-скорости и 4-ускорения, на основе которых строятся ковариантные уравнения движения, содержащие ускорения. Поэтому, хотя часовой механизм и может сломаться от большого ускорения, темп, с которым течет время для движущейся частицы, отличается от темпа лабораторного времени множителем, зависящим лишь от скорости, но не от ускорения. Это явствует уже из применимости к физике лоренц-ковариа^тных уравнений движения.

Ошибочность мнения о том, что частная теория относительности будто бы не способна обращаться с ускорениями, наиболее четко выявляется в так называемом парадоксе

близнецов. Астронавт Кастор ) улетает на достаточно удаленную звезду, например на Сириус, а затем возвращается. В первом варианте он совершает свое путешествие с очень большой постоянной скоростью, а короткими периодами ускорения по отношению к его брату-близнецу Поллуксу, остающемуся на Звездной базе где-то в окрестностях Плутона, мы пренебрегаем. Можно заключить, что при возвращении все самопишущие хронографы у Кастора зарегистрируют лет на 20 меньше, чем такие же приборы в космическом центре, а его брат Поллукс станет старше его примерно на 20 лет. Во втором варианте Кастор движется с каким-либо приемлемым ускорением,- например 1g, на протяжении первой половины пути, а затем поворачивает свой космический корабль задом наперед и оставшуюся половину пути «замедляется» аналогичным образом; так же он поступает при возвращении. Конечный результат остается почти прежним.

Этот вывод можно получить следующим путем. Поллукс вычисляет замедление темпа собственного времени у Кастора по частнорелятивистской формуле для замедления хода часов, в которую входит лишь относительная скорость. Находясь в инерциальной системе отсчета, он знает, что если частная теория относительности правильна, то часы Кастора должны идти в том же темпе относительно мгновенно сопутствующей инерциальной системы, как его собственные, если их подвергнуть ускорению Кастора с точки зрения сопутствующей системы. Он может проэкспериментировать с такими часами и найдет, что при ускорениях, терпимых для человеческого организма, часы должной конструкции измеряют время вне зависимости от их ускорения (хотя, конечно, не независимо• от скорости). Так Поллукс получает однозначное решение задачи об относительном старении.

Кастор же не может непосредственно использовать формулы частной теории относительности, так как часть пути он движется ускоренно, и он знает это — ведь наряду с часами у него есть акселерометры. Наличие ускорений лишает положение двух наших наблюдателей симметрии (иначе различия в темпе старения были бы устранены), но не влияет на ход собственного времени для ускоренных часов. Кастор может пользоваться формулами частной теории относительности, если примет во внимание, что в период ускорения он все время переходил от одной мгновенной инерциальной сопутствующей системы отсчета к другой.

Братья-близнецы могли бы разработать программу этих действий еще до того, как Кастор вылетел со Звездной базы.

Составление такой сводки правил (см., например, [3, задачи 27, 49, 81]) опирается, конечно, на пространственно-временные преобразования теории относительности, не зависящие (мгновенно) от ускорений. С точки зрения наблюдателя, находящегося в инерциальной системе, ускорение можно понимать так, как если бы ускоренная система меняла одну за другой инерциальные системы отсчета, и за ней можно бы было следовать, непрерывно меняя скорость в преобразовании Лоренца. При таком толковании физика в системах с ускорениями описывается безоговорочно лоренц-ковариант- ными уравнениями движения, и это описание сохраняет силу как при очень больших скоростях, так и при огромных ускорениях. Релятивистские определения энергии и импульса (1.1.22) действительны и при больших ускорениях, а значит, при этих гигантских ускорениях сохраняет свой смысл и релятивистское определение пространственно-временного интервала.

Полезно оценить ускорение, которому подвергаются самые обычные физические системы, хорошо описываемые частной теорией относительности.

/. Атомные, и ядерные структуры

В атоме водорода быстрота изменения скорости v электрона такова:

у2 е2г mer2

Подставив значения соответствующих констант, получим ~ 1026 см • с-2 (скорость электрона составляет и ~ 2 • 108 см • с-1, а период обращения по орбите равен ~ 10-1® с).

Прецизионные опыты по проверке квантовой электродинамики, проведенные с атомами водорода, согласуются с теорией с точностью примерно 5-10~5 для лэмбовского сдвига и 5 • Ю—6 для сверхтонкой структуры [4, 5].

Сюда же можно отнести и томасовскую прецессию спина электрона в атоме. Двигаясь в электрическом поле атомного ядра, электрон в своей мгновенной системе покоя оказывается в переменном магнитном поле, действующем на его магнитный момент и вызывающем прецессию спина. Вычисленная в сопутствующей системе отсчета частота такой прецессии превышает вдвое частоту, наблюдаемую в лаборатории. Причина этого кроется в члене, обязанном не какому-либо конкретному взаимодействию, а просто частной теории относительности, и эта добавочная прецессия называется томасовской. При полуклассическом вычислении прецессии спина электрона момент сил и угловая скорость

прецессии определяются в мгновенной системе покоя элек* трона. Но сама мгновенная система покоя прецессирует отно* -сительно лабораторной системы, в которой ядро покоится, и ■скорость такой прецессии непосредственно дается частной теорией относительности (см., например, [1, гл. 11.5; 3, задача 103]). Определение угловой скорости прецессии в мгновенной сопутствующей инерциальной системе для электрона после обратного преобразования к лабораторной системе с использованием преобразований Лоренца дает правильную величину полной прецессии, наблюдаемой в лаборатории; более того, как и должно быть, оно согласуется с результатами, следующими из уравнений Дирака (см., например, [6, 7]), где взаимодействие частицы, несущей спин ’/г, с электромагнитным полем дано в явно лоренц-ковариантном виде. При этом ускорение электрона с точки зрения лабораторной системы ■отсчета равно 1025 см •с-2.

Нуклоны в ядре. За счет сильных взаимодействий нуклоны сосредоточены в ядре в области пространства с поперечником ~10~13 см. Их импульс дается принципом неопределенности:

Р-4’ (L212)

что соответствует скорости ~1010 см-с-1. Значит, они испытывают ускорения порядка 1033 см*с-2. В связанных системах возможны очень большие ускорения на протяжении больших отрезков времени.

Процессы столкновений

При упругом рассеянии за счет сильных взаимодействий скорость частицы, равная величине порядка с, может измениться на величину порядка с под действием сил, радиус действия которых меньше 10“13 см. Соответствующее ускорение превышает ~1034 см*с-2.

Квантово-электродинамические опыты со встречными пучками электронов энергии в несколько ГэВ не указывают на нарушения в передаче импульса, отвечающего длинам ~10-15 см, т. е. ускорениям (для рассеяния на 90°) ~1036 см*с"2 [8].

В процессе тормозного излучения электрон испускает фотон, ускоряясь в поле атомного ядра. При этом изменение скорости электрона с энергией Е равно ^meC^IE, а изменение импульса равно тес. Время протекания такого процесса М~г[с, где г — расстояние наибольшего сближения электро

на и ядра, и

Ьр~^-Ы

Ze® с1 М *

Поэтому

А/

z^

mec3 *

(1.2.3)

что дает ~ 10~23 с при Z = 1 и ~ Ю-21 с при Z = 100. Для электронов с энергией 1 ГэВ мы имеем Ао-^,'107 см-с-1, а среднее ускорение составляет лишь ~1030 см-с-3.

При столкновениях возникают очень большие ускорения в течение, однако, весьма малых промежутков времени.

Ускорители элементарных частиц

Возникающие здесь ускорения меньше поражают воображение, но интересны тем, что если бы лоренц-ковариантные законы физики нарушались при больших ускорениях, то наши ускорители не могли бы действовать. Правда, тот факт, что они работают, еще нельзя считать строгим подтверждением лоренц-ковариантной физики, так как нарушение лоренц- ковариантности физических законов, не превышающее 1%, вероятно, удалось бы устранить путем наладки. Мы приведем лишь несколько примеров ускорения.

а. В церновском или брукхейвенском протонном синхротроне протоны достигают энергии ~30 ГэВ (30-кратной массы покоя протона) за вромя ~ 1 с. Так как конечная скорость порядка с, среднее ускорение составляет ~3-10|0см-с~2, а если учесть, что частицы реально испытывают действие ускоряющих электрических полей лишь в течение ~ 10-2 всего цикла, то пиковые ускорения равны ~1012 см-с-2. Благодаря сдерживающим их магнитным полям протоны движутся по круговым орбитам с радиусом ~ 104 см, и при полном значении энергии протонов их ускорение, перпендикулярное направлению движения, равно ~1017 см-с-2.

б. В стэнфордском линейном ускорителе электроны несутся на «гребне» волны электрического поля, бегущей по волноводу. Волновод нагружается так, чтобы скорость волны все время была равна скорости разгоняемых электронов, вычисленной по формулам частной теории относительности (1.1.30). И ускоритель работает! После более чем трехкилометрового пути по волноводу электроны вылетают в лаборатории с энергией, в 4-104 раз превышающей энергию их массы покоя, и со скоростью, отличающейся от с лишь на 10~9. Скорость проверялась с точностью до нескольких единиц на 10-7 [9].

Такие успехи частной теории относительности в описании физических явлений при огромных ускорениях дают нам право уверенно утверждать, что ускоренные часы отстают от

неускоренных в соответствии с формулой (1.1.12). Этот эф* фект можно измерять непосредственно с помощью цернов- ского м‘ю-мезонного накопительного кольца.

Мю-мезон (р-мезон) — это чйстица с массой 105,7 МэВ/с2 (206,8 массы электрона), которая во всех отношениях ведет себя как тяжелый электрон. В частности, электромагнитное взаимодействие р-мезонов подчиняется законам квантовой электродинамики до самых коротких исследованных до сих пор расстояний (~10-15 см), и даже на этом пределе р-ме- зоны ведут себя как точечные заряды квантовой электродинамики. Так как масса р-мезона больше массы электрона, он способен распадаться за счет слабых взаимодействий на электрон и два нейтрино, обладая собственным временем жизни т = 2,2-10-6 с. Закон распада точечной частицы представляется идеальной основой для устройства часов: насколько нам известны слабые взаимодействия, в них нет ничего, на что могли бы повлиять ускорения, а точечной частице в каждое мгновение можно сопоставить только одну сопутствующую инерциальную систему отчета. (Совсем другое дело— протяженный объект; см. гл. 9.)

В церновском эксперименте «^-2» р-мезоны вводились в кольцо радиусом 5 м и удерживались там на почти круговых орбитах магнитным полем, несколько превышающим 17 кГс. Целью эксперимента было точное измерение магнитного момента р-мезона, но попутно были получены в высшей степени интересные данные о времени жизни р-мезонов на орбите [10]. Импульс р-мезонов в накопителе составлял 1,27 ГэВ/с, а их энергия — порядка 12 масс покоя. Если темп хода времени в ускоренной системе покоя р-мезона действительно не зависит от ускорения, то наблюдаемое в лаборатории время жизни частиц должно быть равно

т(1 — о2/^)-1''1~ 12 т,

т. е. 26, а не 2,2 мкс.

Мю-мезоны удерживались на орбите в течение свыше 150 мкс, за которые они делали более 105 оборотов. Измеренное в лаборатории время жизни оказалось равным 26,37 ± 0,05 мкс, тогда как вычисленное значение равно 26,69 мкс. Такое расхождение согласуется с расчетом эффекта потери р-мезонов при движении по орбите. Ускорение р-мезонов в лабораторной системе было равно ~4-1018 см-с-2; Это было последним ударом эксперимента по необычайно живучему парадоксу близнецов.

Лоренц-ковариантные законы физики отлично выполняют-^ ся не только при скоростях, лишь на 10-9 отличающихся от скорости света, но и при ускорениях свыше 1030 см-с-2. Мгно-

венно от ускорения не зависят ни масса, ни энергия, ни импульс, ни скорость. Электрическое и магнитное поля действуют на ускоренную частицу по обычным стандартам, и мы располагаем прямыми опытными данными о том, что темп течения собственного времени тоже не зависит от ускорения.

Поэтому если мы желаем описать физические процессы в ускоренной лаборатории (как эти процессы воспринимаются в ней наблюдателем), то нам достаточно лишь описать их в данной инерциальной системе, а затем произвести преобразование в мгновенно сопутствующую систему, и мы узнаем, какую картину видит мгновенно ускоренный наблюдатель. В точности то же самое делается, конечно, и при анализе физических законов в ускоренной лаборатории в рамках ньютоновой физики, когда вводятся центробежная и кориолисова силы. Теперь, однако, мы должны опираться на лоренц-кова- риантные законы физики и на преобразования Лоренца, по крайней мере если исследуются процессы при больших скоростях. Следует также учитывать, что вдобавок к непрерывному переходу от одной сопутствующей системы к другой, происходящему при ускорении, разные части протяженной физической системы могут обладать разными сопутствующими системами отсчета. Переход от частной теории относительности к общей теории относительности и состоит в объединении всех этих сопутствующих систем отсчета в одну, зависящую от пространственных и временной координат. Но только в общую теорию относительности входит и теория тяготения. Пока что мы вообще не упоминали о гравитации, так как еще не делали попытки записать ее лоренц-кова- риантные законы.

УСКОРЕНИЕ И ТЯГОТЕНИЕ

В рамках частной теории относительности физические теории дают правильное описание физических процессов даже при огромных ускорениях, если только наблюдать эти процессы из инерциальных систем отсчета, где стрелка акселерометра стоит на нуле и можно играть в 3-мерный биллиард. Находясь в ускоренной лаборатории, физик знает, что он ускорен, так как стрелка его акселерометра стоит на ненулевом делении, а игра в 3-мерный биллиард невозможна. Он не может воспользоваться преобразованиями Лоренца, не добавив к ним правила, описывающие непрерывное изменение его сопутствующей инерциальной системы.

Допустим, однако, что наш физик ускоряется гравитационным полем, свободно падая. Его акселерометр показывает отсутствие ускорения, -и он может играть в 3-мерный

биллиард. Гравитация обладает особенным свойством — по крайней мере оно кажется необычным физику, воспитанному главным образом на теории электромагнитного поля и структур, удерживаемых как целое электромагнитными силами. Гравитационное поле ускоряет все объекты в равной степени, а потому в свободно падающей лаборатории малой протяженности невозможно заметить ускорение в чисто внутреннем эксперименте. Сейчас этот факт стал всеобщим достоянием — его ощущают, по меньшей мере, "глядя на экран телевизора. И наоборот, физик в лаборатории, видя показание акселе- рометр*а (например, массы на пружине), равное 1 g, не может без внешней информации сказать, покоится ли его лаборатория на поверхности Земли или ускоряется (двигателями, не вызывающими вибрации и шумов) где-то за орбитой Юпи- 'тера. Итак, гравитация находится в особой связи с ускорением и с инерцией; может быть, нам следует сказать иначе — что ускорение и инерция тесно связаны с тяготением.

Эти утверждения основываются на законах Ньютона, справедливых в пределе малых скоростей, и на опытах Этвеша — Дикке — Брагинского, в которых не удалось обнаружить различий в гравитационном ускорейии разных объектов с точностью порядка 10-11—10~12 (гл. 2). (Опыт космонавтов, как бы впечатляющ он ни был, не может служить, сколько-нибудь точным обоснованием для этого утверждения.) Обратившись к гравитации и теории относительности, мы должны выяснить, будет ли принцип эквивалентности выполняться и при больших скоростях. Наивысшая достижимая скорость равна с, и мы посмотрим, какое действие на свет оказывают гравитация и ускорение (создаваемое, например, ракетами).

Чтобы упростить задачу, рассмотрим сначала ракету в период ускорения, когда ее ускорение а не очень отличается от g. Решим с точностью до первого порядка по ускорению две задачи: сдвиг частоты световой волны вследствие ускорения и отклонение направления распространения света от прямолинейного.

Пусть источник, находящийся в носу ракеты, в момент t = 0 по часам, сопутствующим в это мгновение носу ракеты, испускает свет. Свет распространяется к хвосту ракеты, и его скорость в данной системе отсчета постоянна и равна с. Так как ракета ускоряется, она набирает за время / скорость at относительно рассматриваемой начальной системы и проходит при этом расстояние ^Uat2-, эти формулы механики Ньютона вполне пригодны ввиду медленного изменения скорости. Если расстояние между источником и приемником све-, та равно h, то оно покрывается со скоростью с за интервал

времени / = h/c и скорость приемника относительно системы отсчета, в которой мгновенно покоился источник, будет в момент поступления сигнала равна ah/c (фиг. 1). Поэтому к моменту прихода сигнала в хвост ракеты частота световой волны в системе, сопутствующей приемнику, приобретает доплеровское смещение

М- ил»

Поправки, учитывающие то, что расстояние, пройденное в системе источника, несколько меньше h, а также эффекты ло- ренцевского сокращения и замедления хода часов, являются

Фиг. 1. Влияние ускорения системы отсчета на частоту фотона.Фиг. 1. Влияние ускорения системы отсчета на частоту фотона.

Фиг. 1. Влияние ускорения системы отсчета на частоту фотона.

Фиг. 1. Влияние ускорения системы отсчета на частоту фотона.

малыми второго порядка. Если ускорение а равно g, a h составляет 10 м, то

(1.3.2)(1.3.2)^ « КГ15.V

(1.3.2)

(1.3.2)

При квантовом описании, конечно, получаются те же результаты, так как преобразования энергии и частоты совпадают — и энергия, и частота ведут себя как четвертая компонента 4-вектора.

Рассмотрим теперь световой луч, испущенный под прямым углом к направлению ускорения в соответствующей мгновенно сопутствующей системе. В этой системе он распространяется прямолинейно со Скоростью с и за время А/ проходит расстояние Ах = сМ. Ракета же за то же время продвигается вперед на расстояние

At/=la(A/r = |a(^). (1.3.3)

Чтобы луч мог пройти через ряд отверстий в переборках ракеты, расположенных при разных значениях Ах, эти отвер-

стия должны лежать не на прямой, а все сильнее отклоняться к хвосту ракеты, образуя параболу (фиг. 2)

Тогда угол отклонения луча света, наблюдаемый физиком- пассажиром ракеты, равен д Ду a^x О — ТКх~ с1 •

Видимо, можно сказать, что если к свету, имеющему скорость с, применим принцип эквивалентности, то в гравита-Видимо, можно сказать, что если к свету, имеющему скорость с, применим принцип эквивалентности, то в гравита-t-ot-o!=2Д1!=2Д1Фиг» 2. В ускоренной системе отсчета фотон движется по параболической траектории, что соответствует прямолинейному движению в исходной инерциальной системе.Фиг» 2. В ускоренной системе отсчета фотон движется по параболической траектории, что соответствует прямолинейному движению в исходной инерциальной системе.

Видимо, можно сказать, что если к свету, имеющему скорость с, применим принцип эквивалентности, то в гравита-

Видимо, можно сказать, что если к свету, имеющему скорость с, применим принцип эквивалентности, то в гравита-

t-o

t-o

!=2Д1

!=2Д1

Фиг» 2. В ускоренной системе отсчета фотон движется по параболической траектории, что соответствует прямолинейному движению в исходной инерциальной системе.

Фиг» 2. В ускоренной системе отсчета фотон движется по параболической траектории, что соответствует прямолинейному движению в исходной инерциальной системе.

ционном поле с напряженностью g электромагнитные волны, «падая» с высоты А, Должны испытывать сдвиг частоты

Ду gh

и лучи света, пройдя расстояние Ах в направлении, перпендикулярном ускорению силы тяжести, должны отклоняться на угол

Аа = -^-Ах. ' (1.3.6)

Теперь можно посмотреть, насколько это вяжется с альтернативным подходом, когда свет рассматривается непосредственно в гравитационном поле. На этот раз нужно будет взять принцип эквивалентности в несколько иной фор- мулировкё*. В частной теории относительности инертная масса системы (частицы, атома, светового импульса или чего

угодно другого) равна ее полной энергии, деленной на с8. Таким образом, световой импульс энергии Е обладает инертной массой Е1<?, и если, как мы полагаем, гравитационное взаимодействие определяется инертной массой, то потенциальная энергия светового импульса в точке, где гравитационный потенциал равен ф, составит (£/с2)ф, причем ускорение этого импульса будет равно —¥ф.

Тогда импульс, приобретаемый в поперечном направлении при прохождении расстояния Дх под прямым углом к направлению действия поля, равен

др = ^-¥ф^, (1.3.7)

а так как полный импульс есть Efe, угол отклонения составляет

Да = ¥ф^- = ^(1.3.8)

в согласии с результатом, который мы получили ранее, рассматривая ракету, движущуюся с собственным ускорением g в инерциальной системе отсчета.

Мы можем также найти гравитационное смещение частоты. Покоящийся атом обладает внутренней энергией Е, так что в точке с гравитационным потенциалом ф его полная энергия равна £(1 + ф/с2). В силу закона сохранения энергии при переходе между уровнями, разность энергий которых в отсутствие потенциала равна Д£, энергия испущенного фотона будет теперь равна Д£(1 + ф/с2). Разность энергий фотонов, испущенных при значениях потенциала ф1 и ф2, составляет

Д£2 - Д£, = Д£ ф8 ~ ^ = ЕЕ-^-,(1.3.9)

что совпадает с результатбм вычисления доплеровского смещения в случае ускоренной ракеты. Важно отметить, что теперь вывод основан на законе сохранения энергии и на том, что вес энергии связи S равен ^/с2; последнее означает,что энергия связи ведет себя как в инертном, так и гравитационном отношении подобно (отрицательной) массе. В гл. 2 мы остановимся на самом убедительном доказательстве этого положения (опытах Этвеша — Дикке — Брагинского).

ИЗМЕРЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО СДВИГА ЧАСТОТЫ

Эффект гравитационного отклонения лучей света не наблюдался в лаборатории, но наличие гравитационного сдвига частоты было подтверждено с точностью до 1% путем измерения эффекта Месёбауэра [11]. В этих опытах, проводившихся в Гарварде (США), фотоны с энергией 14,4 кэВ, ис-

пускаемые ядрами 67Fe (время жизни т = 10~7 с), проходили расстояние 22,5 м вверх и вниз. Относительная разность частот фотонов, распространяющихся вверх (красное смещение) и вниз (голубое смещение), должна составлять 4,905 X X Ю-15. Ее измеряют, добиваясь резонанса за счет эффекта Доплера: чтобы резонанс восстановился, источник должен двигаться со скоростью 7-10—6 см-с-1. Чтобы оценить трудности проведения такого эксперимента, нужно учесть, что при излучении без отдачи относительная ширина линии излучения составляет ~10~12. Практически измерение эффекта состояло в определении различий в асимметрии резонансной линии для фотонов с красным и голубым смещением в зависимости от скорости источника. Полученные результаты дают 0,9990 ожидаемого эффекта со случайной ошибкой ±0,0076, к которой следует добавить возможную суммарную систематическую ошибку ~0,01. Поэтому можно заключить, что гравитационный сдвиг частоты (1.3.9) подтвержден с точностью 1% (12).

Гравитационное красное смещение частоты фотона при подъеме его на башню высотой 22,5 м равно всего лишь 2,5 •10~18. Астрономическим путем можно обнаружить более значительные эффекты. Частота фотона, улетающего от Солнца, смещается в красную сторону на величину GMqIRqC1 = = 2-10~6, а фотоны от белого карлика с массой ~МО и радиусом ~104 км испытывают красное смещение ~ 1,5-10-4. Наблюдения гравитационного красного смещения от Солнца подтверждают выводы теории с точностью ~5% (см. работу [13] и краткое обсуждение вопроса в работе [141, стр. 1059). Чтобы сравнить измеренное значение красного смещения от белых карликов с теоретическим, нужно, кроме непосредственных измерений, знать массу и радиус звезды, и здесь точность согласия теории и опыта снижается до ^15%' [14]. Таким образом, в земных экспериментах, основанных на эффекте Мессбауэра, гравитационное смещение частоты измерено наиболее точно, а астрономические наблюдения допускают лишь более грубую проверку предсказаний первого порядка в сильных полях.

ГРАВИТАЦИОННОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ЛУЧА СВЕТА

В лабораторных условиях гравитационное отклонение лучей света не было измерено; гравитационное отклонение лучей света Солнцем впервые было измерено в 1919 г. и явилось одной из триумфальных проверок эйнштейновской теории тяготения — общей теории относительности. Мы уже вычислили угол, на который свет отклоняется, проходя в ло-

кально постоянном гравитационном поле малое расстояние Ах; опираясь на этот результат, найдем отклонение луча Солнцем1). Ввиду чрезвычайной малости отклонения нам не требуется рассчитывать орбиту — достаточно найти лишь, насколько изменится импульс фотона, путем интегрирования нормальной компоненты силы вдоль прямой линии (фиг. 3).

Фиг. 3. Поперечную составляющую импульса, приобретаемую фотоном при прохождении мимо Солнца, можно вычислить путем интегрирования компоненты гравитационной силы, перпендикулярной приблизительно прямолинейной траекторииФиг. 3. Поперечную составляющую импульса, приобретаемую фотоном при прохождении мимо Солнца, можно вычислить путем интегрирования компоненты гравитационной силы, перпендикулярной приблизительно прямолинейной траекторииПри ЭТОМПри ЭТОМdPndPnЕ GMQ г • пЕ GMQ г • пdt <? г2 г *. _ Е с ом© г ” я,*Р* ?■ J ~^ — «1dt <? г2 г *. _ Е с ом© г ” я,*Р* ?■ J ~^ — «1(1.5.1)(1.5.2)(1.5.1)(1.5.2)

Фиг. 3. Поперечную составляющую импульса, приобретаемую фотоном при прохождении мимо Солнца, можно вычислить путем интегрирования компоненты гравитационной силы, перпендикулярной приблизительно прямолинейной траектории

Фиг. 3. Поперечную составляющую импульса, приобретаемую фотоном при прохождении мимо Солнца, можно вычислить путем интегрирования компоненты гравитационной силы, перпендикулярной приблизительно прямолинейной траектории

При ЭТОМ

При ЭТОМ

dPn

dPn

Е GMQ г • п

Е GMQ г • п

dt <? г2 г *. _ Е с ом© г ” я,*Р* ?■ J ~^ — «1

dt <? г2 г *. _ Е с ом© г ” я,*Р* ?■ J ~^ — «1

(1.5.1)

(1.5.2)

(1.5.1)

(1.5.2)

где dt = dxjc и р = Efe, так что

(1.5.3)(1.5.3)Этот интеграл можно взять непосредственно или исходя из теоремы Гаусса (он равен нормальному потоку через бесконечно длинный цилиндр радиусом Ь, умноженному на*/2л6). ТогдаЭтот интеграл можно взять непосредственно или исходя из теоремы Гаусса (он равен нормальному потоку через бесконечно длинный цилиндр радиусом Ь, умноженному на*/2л6). Тогдаа(6)а(6)2GMg “ be* *2GMg “ be* *(1.5.4)(1.5.4)а для луча, проходящего по краю диска Солнца,а для луча, проходящего по краю диска Солнца,а (Яо)а (Яо)2GMe2GMe

(1.5.3)

(1.5.3)

Этот интеграл можно взять непосредственно или исходя из теоремы Гаусса (он равен нормальному потоку через бесконечно длинный цилиндр радиусом Ь, умноженному на*/2л6). Тогда

Этот интеграл можно взять непосредственно или исходя из теоремы Гаусса (он равен нормальному потоку через бесконечно длинный цилиндр радиусом Ь, умноженному на*/2л6). Тогда

а(6)

а(6)

2GMg “ be* *

2GMg “ be* *

(1.5.4)

(1.5.4)

а для луча, проходящего по краю диска Солнца,

а для луча, проходящего по краю диска Солнца,

а (Яо)

а (Яо)

2GMe

2GMe

При этом выводе мы использовали релятивистское соотношение между энергией и импульсом фотона (или светового импульса), силу положили равной —(£/с2)¥ф на основании релятивистской взаимосвязи между энергией и инертной мае-

определяются какопределяются какd4yGMO r-n"dF™г5 У’d4yGMO r-n"dF™г5 У’(1.5.5>(1.5.5>сой и приравняли эту силу скорости изменения импульса, В точности такой же результат получается, если предположить, что в ящике, свободно падающем в гравитационном поле, не наблюдается отклонения от прямолинейности у луча света, идущего поперек поля. В целом траектория света определяется последовательностью свободно падающих ящиков, ускорения которых при наблюдении извне Солнечной системы

определяются как

определяются как

d4yGMO r-n

"dF™г5 У’

d4yGMO r-n

"dF™г5 У’

(1.5.5>

(1.5.5>

поэтому при таком наблюдении уравнение траектории све* тового луча тоже принимает вид

d^yGMO г • пdx1с1^ гd^yGMO г • пdx1с1^ г(1.5.6>(1.5.6>

d^yGMO г • п

dx1с1^ г

d^yGMO г • п

dx1с1^ г

(1.5.6>

(1.5.6>

При этом угол отклонения равен

dy dxdy dxOMoсгOMoсг(1.5.7>(1.5.7>

dy dx

dy dx

OMoсг

OMoсг

(1.5.7>

(1.5.7>

так что мы снова имеем а (6) = 2GMolb(?.

Подставляя сюда соответствующие численные значения- параметров Мо= 1,99* 10м г, Яо = 6,96-1010 см, G =) = 6,67-10~8 СГС, находим

a (Ro) = 4,245 • 10"6 рад = 0,875".

Все экспериментальные данные (данные наблюдений) согласуются с величиной

а (Яо) =1 >75",

которая, как почти всем известно, дается формулой теории тяготения Эйнштейна

"«О)О1„-^(1.5.8>

и вдвое превышает полученное выше ньютоновское значение. Угол а (Яо) был экспериментально измерен двумя методами.

Фотографировали звездное поле вокруг Солнца во время полного затмения и измеряли сдвиги изображений звезд по сравнению с их положениями на снимках, сделанных, когда эти же звезды наблюдаются на ночном небе (по прошествии ~6 месяцев). Результаты для а (Яо) оказались в пределах ~\,3"—2,7", что согласуется с ,а(Яо)ото в пределах ошибки -~25% [14 (гл. 40), 16 (разд. 8.5)]. Трудности нат блюдений состоят в том, что а) из-за блеска солнечной ко-

роны наблюдения ограничены значениями а(>2/?о). б) обсерватории с большими телескопами обычно не попадают в полосу полного затмения, а размеры дифракционного пятна для изображения звезды при объективе диаметром 10 см составляют ~5-10~® рад, в) приходится сравнивать фотопластинки, экспонированные и проявленные независимо одна от другой с промежутком в несколько месяцев.

Методом интерференции с большой базой определялось изменение видимого положения на небе квазизвездного радиоисточника ЗС279 при его ежегодном покрытии Солнцем. Относительная фаза сигналов, принятых от него двумя радиотелескопами, непрерывно сравнивалась с относительной фазой сигналов от квазара 3C273, находящегося в 9,5° от ЗС279 и не покрывавшегося Солнцем. Использовались радиоволны в диапазоне 3—15 см, а база составляла в большинстве случаев 1—20 км. Относительное изменение фазы при базе^ равно ~(2nd/X)a, так что сдвиг по фазе на 1 рад соответствует a ~ X/(2nd) и угол а при длине волны 10 см и базе 20 км составляет ^Ю-6 рад. Вследствие преломления волн на свободных электронах в солнечной короне измерения в своем большинстве ограничивались значениями прицельного параметра ~3/?о Поскольку коэффициент преломления солнечной короны зависит от частоты, а ожидаемое отклонение тяготением радиоволн от нее не зависит, одновременные измерения на двух или более частотах позволяют уменьшить прицельный параметр, а использование базы порядка тысяч километров должно позволить определять а(/?о) с точностью, много большей 1%. Первоначальные результаты согласовались с а(^о)= 1.75" с точностью 10% [16].

Самые последние наблюдения покрытия ЗС279 дали a = = (0,99 ± 0,03) аото, причем база интерферометра составляла 845 км [17].

Недавно методом двухчастотной интерферометрии был получен наиболее точный известный результат [18, 19]. Вместо обычного квазара ЗС279 в нем были использованы три радиоисточника, лежащих почти на одной прямой: 0119+11, 0116 + 08 и 0111 + 02. Покрытие испытывал источник 0116+ + 08, а два других, лежащих по разные стороны видимого пути Солнца на расстояниях ~4 и 6°, наблюдались с тем, чтобы исключить случайные местные эффекты. База была равна 35 км, и найденное отклонение луча составило

a = (1,015 ± 0,011) Сото-

Таким образом, наблюдения отклонения электромагнитного излучения в гравитационном поле Солнца превосходно согласуются с предсказанием теории Эйнштейна, сделанным

~60 лет назад, и полностью противоречат значению, полученному из теории тяготения Ньютона, дополненной принципом эквивалентности массы и энергии. В дальнейшем мы почти всюду будем исходить из того, что отклонение света вдвое превышает ньютоновское значение.

5 6. КАЖУЩИЙСЯ ПАРАДОКС

Мы пришли к тому, что наши простые расчеты не только расходятся с наблюдениями, но и приводят, казалось бы, к парадоксальным выводам. Мы рассчитали гравитационное- красное смещение и отклонение луча света Солнцем двумя разными способами: на основе теории тяготения Ньютона, дополненной принципом эквивалентности массы и энергии, и исходя из принципа эквивалентности действия поля тяжести и ускорения. Для каждого эффекта оба метода дают одно и то же, но результат для первого эффекта подтверждается опытом (случай красного смещения), а в случае гравитационного отклонения луча света мы ошиблись в 2 раза. Наблюдаемая величина отклонения луча света показывает,,что, хотя гравитационное красное смещение в свободно падающем ящике не наблюдается, луч света все же искривляется соответственно локальному гравитационному полю в.противоречии с принципом эквивалентности. Все знают, однако, что общая теория относительности основывается на принципе эквивалентности и это не мешает ей правильно предсказывать оба эффекта:

Avgh.Vс1Avgh.Vс1и о (/?©) =и о (/?©) =4GM04GM0

Avgh.

Vс1

Avgh.

Vс1

и о (/?©) =

и о (/?©) =

4GM0

4GM0

Выход из такого парадоксального положения, когда теория тяготения Ньютона правильно дает энергию фотона в гравитационном поле, но неправильно — отклонение луча света в гравитационном поле Солнца, можно видеть в следующем. Вычисляя отклонение пути фотона, мы интегрировали компоненту силы, перпендикулярную направлению его движения. Если тяготение дает дополнительную силу, всегда перпендикулярную направлению движения и равную ньютоновской силе при и = с, но пренебрежимо малую при и < с, то все понятно, так как сила, действующая под прямым углом к движению, не совершает работы и потому не может изменить энергию. Примером может служить движение заряженной частицы в магнитном поле, причем магнетизм — это релятивистский эффект электрических полей. Поэтому мы будем искать гравитационный аналог магнитного поля и пока оставим в стороне кажущееся нарушение принципа эквива-

лентности. К поискам мы приступим в гл. 4 после того, как в гл. 2 проанализируем подтверждения эквивалентности инерциальной и тяготеющей масс, а в гл. 3 — связь между электромагнетизмом и теорией относительности.

ЛИТЕРАТУРА1)

Jackson J. D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962, ch. 11. (Имеется перевод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир», М., 1965.)

Muirhead Н., The Special Theory of Relativity, Macmillan, 1973, ch. 6.

Taylor E. F., Wheeler J. A., Spacetime Physics, Freeman, San Francisco, 1963. (Имеется перевод: Э. Тейлор, Дж. Уилер, Физика пространства- времени, «Мир», М., 1971.)

Brodsky S. J., Drell S. D., Ann. Rev. Nucl. Sci., 20, 147 (1970).

Lautrup В. E. et al., Phys. Rep., 3C, 196 (1972).

Schiff L. I., Quantum Mechanics, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1968, sect. 52. (Имеется перевод предыдущего издания: Л. Шифф, Квантовая механика, ИЛ, М., 1959.)

Mandi L., Quantum Mechanics, 2nd ed., Butterworth, 1957, ch. X.

Augustin J.-E. et al, Phys. Rev. Lett., 34, 233 (1975).

Guiragossidn Z. G. T. et al., Phys. Rev. Lett., 34, 335 (1975).

Combley F., Picasso E., Phys. Rep., 14C, 3 (1974).

The Mossbauer Effect, ed. H. Frauenfelder, Benjamin, Asterdam, 1962.

Pound R. V., Snider J. L., Phys. Rev, 140, B788 (1965).

Blamont J. E., Roddier F., Phys. Rev. Lett., 7, 437 (1961).

Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилеру Гравитация, т. 1—3, «Мир», М., 1977.)

Greenstein J. L., Trimble V., Astrophys. Journ., 149, 283 (1967).

Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972. (Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология, «Мир», М., 1975.)

Counselman С. С. et al., Phys., Rev. Lett., 33, 1621 (1974).

Fomalont E., Sramek R., Physics Today, 28, No. 4, 17 (1975).

Fomalont E., Sramek R., Astrophys. Journ., 199, 749 (1975).

^♦.Soldner J., Ann. der Phys., 65, 593 (1921).

9 Литература, помеченная звездочкой, добавлена при переводе.— Прим. ред.

Глава 2

ОПЫТЫ ЭТВЕША-ДИККЕ-БРАГИНСКОГО

ТЯГОТЕЮЩАЯ И ИНЕРТНАЯ МАССА

Mg\Mg^—-^Mg\Mg^—-^До сих пор в качестве источника гравитационного взаимодействия мы брали инертную массу системы. Прежде чем двинуться дальше, необходимо обосновать это предположение, так как возможно, что тяготеющая масса Mg и инертная масса М( — это не одно и то же. Тогда закон тяготения Ньютона следовало бы писать в виде

Mg\Mg^

—-^

Mg\Mg^

—-^

(2Л.1>

и приравнивать эту силу величине М.а, где а — возникающее ускорение. Поэтому уравнение движения математического* маятника имело бы вид

Mt^—Mg^Mt^—Mg^(2.1.2)(2.1.2)

Mt^—Mg^

Mt^—Mg^

(2.1.2)

(2.1.2)

и давало бы круговую частоту

мв в Mt I •

Если Mg = ^Mi, где у — универсальная постоянная, то можно было бы, переопределив G, приравнять у единице. При определении G как коэффициента в соотношении

F = GF = GMt\Mtiг1Mt\Mtiг1(2.1.3)(2.1.3)

F = G

F = G

Mt\Mtiг1

Mt\Mtiг1

(2.1.3)

(2.1.3)

зависимость у от точки пространства, момента времени или от природы вещества экспериментально проявлялась бы как переменность коэффициента G, который в теории Ньютона считается универсальной постоянной. При разном значении у у разных веществ период маятника зависел бы от материала груза как

®= VYT

ОПЫТЫ ЭТВЕША-ДИККЕ - БРАГИНСКОГО

Таким образом, в опытах по проверке универсальности коэффициента у сравниваются ускорения разных объектов, падающих в одном и том же гравитационном поле. Наибольшая точность была достигнута в «нулевых экспериментах», впервые проведенных Этвешем в начале нашего столетия и Дикке с сотрудниками — в начале 1960-х гг. Группа Дикке искала различий в ускорении пар разных объектов, падающих в гравитационном поле Солнцу. Идея опыта очень проста. Рассмотрим идеализированную «Землю», ось вращения которой составляет прямой угол с плоскостью орбиты. Пусть на экваторе установлены крутильные весы, на концах плеч которых, ориентированных по линии север — юг, подвешены две одинаковые массы разных веществ. На восходе Солнца на каждую из масс действует сила

направленная к востоку. Чтобы масса не сошла с орбиты, требуется другая сила, направленная к западу и равная Af,o2/r, где v — скорость движения Земли по орбите. Если для двух масс на концах плеч крутильных весов коэффициенты у неодинаковы, то одна масса будет падать немного быстрее другой в сторону Солнца, пока ее не удержит закручивающий момент подвеса. Таким образом, на каждую из масс в системе покоя прибора действуют две эффективные силы: гравитационная сила '

Fg = MgG^-,

направленная на восток, и центробежная

направленная на запад. Через 12 ч, на заходе Солнца, гравитационная сила действует на запад, а центробежная — на восток. Если отношение Mg к Mt для наших двух масс разное, то крутящий момент подвеса будет периодически изменяться с периодом 24 ч (фиг. 4).

Такое изменение момента привело бы к крутильным колебаниям плеча весов с периодом 24 ч. В опытах Дикке, поставленных с наибольшей чувствительностью, массы были из золота и алюминия, а измерения проводились с точностью ~10-9 рад; колебания отсутствовали, откуда следовало равенство коэффициента пропорциональности у для золота и алюминия с точностью 10~н (в литературе говорится, что

разница значений у с доверительной вероятностью 95% не- превышает 3«10~н). Этвеш искал нарушений равновесия ме« жду силами тяготения в гравитационном поле Земли и цент* робежными силами, вызванными вращением Земли вокруг оси. Его установку нужно было периодически поворачивать (тогда как Дикке предоставил это самой Земле), а поворот плеча крутильных весов контролировался при помощи светового зайчика, зрительной трубы и простого человеческого глаза (в опытах Дикке использовались световой зайчик, зрительная труба и электронный фотоприемник). Тем не менее

На рассветеНа рассветеНа закатеНа закате

На рассвете

На рассвете

На закате

На закате

Фиг. 4. Принцип, на котором основывались опыты Дикке по проверке- эквивалентности инертной и тяготеющей масс.

Этвеш установил тождество значений у для широкого ассортимента веществ с точностью до нескольких единиц на 10~V Подробный отчет об опытах Дикке и обзор данных предыдущих исследований, устанавливавших равенство инертной и тяготеющей масс, в основном выполненных Этвешем, можно- найти в работе [1]. Измерение, в принципе аналогичное проделанному Дикке с сотрудниками, было проведено Брагинским и Пановым [2], которые сообщили, что значения у для алюминия и платины с доверительной вероятностью 95% различаются не более чем на 0,9-10-12.

СЛЕДСТВИЯ НУЛЕВОГО РЕЗУЛЬТАТА ОПЫТОВ ЭТВЕША - ДИККЕ — БРАГИНСКОГО

Рассмотрим теперь следствия, которые вытекают из этих нулевых результатов. Вспомним, что при вычислении гравитационного красного смешения на основе теории тяготения (а не принципа эквивалентности тяготения и ускорения) мы приняли, что энергия системы (например, атома) в грави-

тационном поле зависит лишь от ее полной энергии (т. е. массы) и гравитационного потенциала, а закон сохранения энергии при переходах локально выполняется. Опыт Этвеша— Дикке в варианте Брагинского приводит к результату |vp,-Va,|<io-!.

Известно, что в инертную массу атома дают вклад по крайней мере следующие составляющие: 1) масса покоя электронов; 2) кинетическая энергия электронов; 3) потенциальная энергия электронов (электростатическая энергия); 4) массы покоя протонов и нейтронов; 5) кинетическая энергия протонов и нейтронов; 6) потенциальная энергия протонов и нейтронов, обязанная ядерным силам; 7) электростатическая энергия ядра. Таким образом,

//

где Afg — тяготеющая масса /-й составляющей, a Mi — ее инертная масса. Тогда

6Y/ = ^76Y.(2.3.2)

Введем обозначение т) = ум — yaG аномалия, связанная с /‘-й составляющей, будет иметь вид

если, конечно, знаменатель не обращается в нуль, что крайне маловероятно.

Атомы платины и алюминия различаются главным образом относительным содержанием нейтронов и протонов. Состав этих атомов таков:

Платина: 78 протонов, 78 электронов, 117 нейтронов.

Алюминий: 13 протонов, 13 электронов, 14 нейтронов.

Таким образом, относительное содержание нейтронов равно 0,65 для Pt и 0,52 для А1.

Итак, аномалия по у Для нейтронов меньше 10-11; подобным же образом оценивается аномалия и для протонов. Если существует аномалия, связанная с различием масс нейтрона и протона (равным примерно 0,15%),то она должна быть менее Ю-9. Точно так же, если отношение тяготеющей массы к инертной у электрона не равно единице, то аномалия должна быть меньше 10*8.

Теперь можно перейти от энергии массы покоя атомов к вкладам энергии связи и кинетической энергии. При объ- единении электронов, протонов и нейтронов в ядро и электронные оболочки атома эти составные части приобретают кинетическую энергию, но теряют намного большее количество потенциальной энергии, образуя стабильную систему, масса покоя которой меньше суммы масс покоя ее частей. Средняя энергия связи равна абсолютной величине суммы этих двух слагаемых, деленной на массовое число атома (число нуклонов в ядре). Средняя энергия связи для Pt и А1 различается примерно на 0,3 МэВ (около 3-10-4 энергии массы покоя нуклона). Поэтому аномалия у для энергии связи не превышает ~3-10~9; с такой относительной точностью равны друг другу тяготеющая и инертная массы, эквивалентные энергии связи. Из этой величины можно выделить теперь ее компоненты.

Ядерная электростатическая собственная энергия

Электростатическая собственная энергия ядра S достаточно хорошо описывается выражением

8 = ^Т* ^ = ^>(2.3.4)

где А — массовое число атома, Z — его порядковый номер в периодической системе, a Ro « 10-13 см. Вклад этой энергии в инертную массу равен (+) ~8-10-3для Pt и (+) ~3-10-3 ДЛЯ А1, так ЧТО 6уЭл- стат^ 2-10~10.

Энергия связи

Энергия связи ядра достаточно правильно дается полу- эмпирической формулой (см., например, [3])

В (Z, А) = «А - MVi - V (^Т^ У - ^ ± д,(2.3.5)

где 8 — приведенный выше электростатический член, а 6 —• меняющая знак поправка для ядер с четным значением А. Доля массы, которую дает первый член', одинакова для Pt и А1; она представляет собой первое приближение для разности кинетической и потенциальной энергии. Второй член дает поправку, учитывающую то, что нуклоны, находящиеся вблизи поверхности ядра, взаимодействуют с иным числом соседей, нежели нуклоны на большей глубине. Этот второй член можно принять в качестве меры величины бу, обусловленной потенциалом сильного взаимодействия. Постоянная 0

равна примерно 18 МэВ, и член с р дает относительный вклад в инертную массу -~3-10—3 для Pt и ~6-10-3 для А1, так что для сильных взаимодействий бу^З-10-10. Оценка бу для кинетической энергии нуклона, по-видимому, примерно такая же, и ее можно провести с помощью третьего члена, приближенно учитывающего избыток кинетической энергии, навязываемой нуклонам принципом Паули в ядре с разным числом протонов и нейтронов. Этот член дает вклад в инертную массу ~ 10~2 для Pt и ~ 10-5 для'А1, так что величина бу, соответствующая кинетической энергии нуклона, ограничена пределом ~ 10~10. (Постоянная у, которую не следует путать с отношением тяготеющей и инертной масс, в полуэмпирической формуле для массы равна приблизительно 23 МэВ.)

Электронные оболочки

Энергию связи для атомных электронов можно оценить на основе модели атома Томаса — Ферми (см., например, [4]):

Вв (2) = 15,732 А.

Она равна ~6 кэВ для А1 и ~0,41 МэВ для Pt. Поэтому относительный вклад в инертную массу со стороны энергии связи электронов составляет ~2-10”7 для А1 и ~2-10-6 для Pt. Значит, для нее буЭн. св^ 5-10^7 при подобных же значениях в отдельности для аномалий, связанных с потенциальной и кинетической энергией электронов.

Гравитационная собственная энергия

Опыты Этвеша — Дикке — Брагинского не дают информ мации о тяготеющей и инертной массах, эквивалентных гравитационной собственной энергии. Собственная гравитационная энергия однородной сферы массой М и радиусом R равна —3kGM^!R, что для Pt составляет ~10-38 эрг. Поэтому относительный вклад в инертную массу равен ~3-10-38.

Антиматерия

Это более экзотический случай, представляющий, однако, интерес ввиду часто высказываемых предположений о том, что материя и антиматерия, возможно, испытывают гравитационное взаимное отталкивание. Инертная масса антиматерии (позитронов, антипротонов и пр.), несомненно, положи-

тельна, так что при этом предполагается отрицательность тяготеющей массы. Как известно, в атомах допускается кратковременное существование виртуальных электрон-позитрон- ных пар, что приходится учитывать поправками к электростатическому потенциалу (см., например, [5]), и если бы позитроны отталкивались гравитационным полем обычной материи, в тяготеющей массе наблюдалась бы аномалия порядка [6]

/ Ze1 X2~т4"йГ) '

где (Z^/fic)2— безразмерная величина порядка вероятности обнаружить пару в поле ядра. К выводу о том, что здесь должна быть зависимость именно от Ze2 (а не от Z2e2), можно прийти путем таких же простых рассуждений, как и при вычислении порядка величины ядерных сил, обусловленных л-мезонами (пионами), но caveat emptor1).

Для разделения электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра требуется энергия Ze2A(l/r). Если она равна 2тес2, то вклад виртуальных пар должен быть существенным. Интервал времени А/, в котором неопределенность энергии составляет ДЕ, дается соотношением ДЕ At ~ й, причем Аг < с А/« й/тес. Эта величина равна также комптоновской длине волны электрона; если нельзя локализовать электроны точнее, то можно положить г ~ Дг ~ Ь]тес и счи- чать, что роль пар должна быть существенной при ,

Ze1 ,

Такого рода эффект известен под названием поляризации вакуума. Наличие виртуальных электрон-позитронных пар реально проявляется в теории электромагнетизма, так как изменяет эффективное распределение заряда вблизи источника электрического поля [5] и дает вклад в лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный момент электрона. Поэтому можно утверждать, что тяготеющая и инертная массы позитрона одинаковы с точностью

»V.+ <10-,!^!-fe)",~2.10-.е те \ 13/ /

Подобных же эффектов следует ожидать и для сильных взаимодействий — на короткое время должны возникать виртуальные протон-антипротонные пары (как и пары других

9 Это требует каждый раз проверки (буквально: «на страх и риск покупателя», лат.у— Прим, ped»

сильно взаимодействующих частиц). Мы не располагаем развитой теорией, которая позволила бы рассчитать такие возможные эффекты, но известно, что глубина потенциальной ямы сильного взаимодействия в ядре в среднем равна 10-1MpC2, так что вероятность появления нуклон-антинуклон- ной пары должна быть порядка 10~2. На основании опыта Брагинского можно было бы с уверенностью заключить, что для таких античастиц бур и т. д. < Ю-6, и, хотя остается большой простор для ошибок, нет никакого сомнения, что антиматерия не «падает» вверх. Самая тонкая проверка принципа эквивалентности для материи и антиматерии была проведена путем анализа явлений интерференции для К0- и ^-мезонов [7] >).

Слабые взаимодействия

Мы рассмотрели вопрос о потенциальной энергии сильного, электромагнитного и гравитационного взаимодействий. В первых двух случаях опыты Этвеша — Дикке — Брагинского позволяют с высокой степенью точности заключить, что

•Фиг. 5. Диаграмма, соответствующая матричному элементу (2.3.6).

соответствующие инертная и тяготеющая массы равны друг другу. В отношении гравитационной энергии эти опыты нам ничего не дают. Остался еще один известный сейчас класс взаимодействий — слабые взаимодействия, ответственные за p-распад ядер. Основное взаимодействие, приводящее к p-распаду, можно изобразить в виде диаграммы (фиг. 5), соответствующей матричному элементу

фЖ^И,(2.3.6)

где g— постоянная Ферми, равная ~ 1,4-10-49, эрг-см3 (см., например, [3]).

В ядерной физике имеются данные и об аналогичном взаимодействии между двумя нуклонами (фиг. 6), которому

*) Проблема распада К°-мезона рассматривается в монографии [8].

соответствует энергия, определяемая диагональным матричным элементом вида

е\шму~г (213J)

где V — объем ядра. Тогда энергия слабого взаимодействия на пару нуклонов в ядре А1 составляет ~ 10~12 эрг« « 6-10~7 МэВ или ~3-10-и инертной массы.

Если полная энергия пропорциональна числу пар нуклонов, то для целого ядра вклад слабых взаимодействий в инертную массу равен ~ 10~8. Предполагая разность таких вкладов для А1 и Pt равной ~1%, получим т)« 10~10, если энергия слабого взаимодействия не обладает тяготеющей массой. Если бы такое различие отвечало одной паре нуклонов в ядре А1, то это давало бы r]& 3-Ю-11. Поэтому

Фиг. 6. Диаграмма, соответствующая матричному элементу (2.3.7).

опыт Этвеша — Дикке в варианте Брагинского требует буслаб < Ю-1—10~2, хотя запас точности здесь невелик [11].

Итак, отношение тяготеющей массы к инертной для энергии связи равно единице с точностью 3-10А Взятые порознь потенциальная и кинетическая энергия дают с еще большей степенью точности отношение, равное единице. Сейчас мало что можно сказать о гравитационных свойствах слабых взаимодействий и уж совсем ничего — о гравитационных свойствах гравитационной энергии.

Закон сохранения энергии и соотношение между массой и энергией в частной теории относительности проверены в рамках ядерной физики с точностью порядка Ы0~4. Для этого проводилось сравнение масс ядер, определенных масс- спектрометрически, с соответствующими значениями разностей энергий, вычисленными на основе кинематики ядерных реакций. Так как эквивалентность тяготеющей и инертной масс установлена с точностью ~10*"9, а инертной массы и энергии — с точностью 1-Ю-4 [9], было бы крайне удивительно, если бы опыты по гравитационному красному смещению разошлись с предсказаниями теории более чем на 1%.

Теперь можно с уверенностью опираться на нерелятивистское соотношение

F = Q

где Mi и Mi — инертные массы, и пытаться найти отсюда релятивистские законы тяготения. Наше положение здесь аналогично положению «марсианского физика», у которого нет металлов и магнитных руд, но который изучил тем не менее электростатику и открыл преобразования Лоренца в частной террии относительности. До того как обратиться к релятивистским законам тяготения, мы сначала попытаемся проделать «марсианский» труд — вывести все законы элек- тродинамики из закона Кулона и частной теории относительности !)-

ЛИТЕРАТУРА)

Roll Р. G., Krotkov R., Dicke R. Н„ Ann. of Phys. 26, 442 (1964).

Брагинский В. Б., Панов В. И., ЖЭТФ, 34, 464 (1971).

Bowler М. G., Nuclear Physics, Pergamon Press, Oxford, 1973.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика (нерелятивистская теория), изд. 2, Физматгиз, М., 1963, § 70.

Bjorken J. D., Drell S. D., Relativistic Quantum Mechanics, McGraw- Hill, New York, 1964. (Имеется перевод: Дж. Д. Бьёркен, С. Д. Дрелл, Релятивистская квантовая теория, т. 1, Релятивистская квантовая механика, «Наука», 1978.)

SchiU L. /., Phys. Rev. Lett., 1, 254 (1958).

Good M. L., Phys. Rev., 121, 311 (1961).

Perkins D. H., Introduction to High Energy Physics. AddisomWesley, New York, 1971, sect. 4.11. (Имеется перевод: Д. Перкинс, Введение в физику высоких энергий, «Мир», М., 1975.)

Wapstra А. Н., в книге Handbuch der Physik, Bd. 38/1, Springer-Verlag, Heidelberg, 1958, S. 1.

. Гравитация и относительность, под ред. X. Цзю и В. Гоффмана, «Мир», М., 1965.

Haugen М. Р., Will S. М., Phys. Rev. Lett., 37, 1 (1976).

В данной главе автор обсуждает проверку принципа эквивалентности лишь на основе опытов Этвеша — Дикке — Брагинского, что, конечно, не' дает никакой информации о гравитационных свойствах энергии гравитационного поля (что то же — вклада гравитации в потенциальную энергию). В астрономии, однако, имеются независимые каналы информации, подтверждающие принцип эквивалентности и в этом отношении, хотя и со сравнительно небольшой степенью точности. Такую возможность дает сравнение предсказаний небесной механики с наблюдениями, если учесть, что отношение вкладов сильного, электромагнитного, слабого и гравитационного взаимодействий в энергию объектов составляет для типичного атома 1 : 10~2: 10"12: 10“40, для лабораторного макроскопического тела —

Глава 3

МАРСИАНСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

поля

Представим себе марсианского физика, который в сухой атмосфере Марса превосходно изучил законы электростатики. Ничего еще не зная об электромагнетизме, он тем не менее решил попробовать измерить скорость движения Марса относительно гипотетической среды, в которой распространяются световые волны, получил нулевой результат, пользуясь интерферометрами как с равными, так и с неравными плечами, и вынужден признать преобразования Лоренца. Он находит принцип относительности интересным в философском отношении и приступает к выявлению системы физических законов, ковариантных относительно преобразований Лоренца и сводящихся к законам электростатики в предельном случае малых скоростей. В данной главе мы проследим ход гипотетических рассуждений нашего гипотетического марсианина.

Запишем закон Кулона для электрического поля точечного заряда q в виде соотношения

Е,(г) = ^.(3.1.1)

Интеграл от Е, по некой замкнутой поверхности S равен

(3.1.2)(3.1.2)J Eq-ndS = q ^^-dS = 4«q, s

(3.1.2)

(3.1.2)

если заряд q находится внутри поверхности, и нулю, если он находится вне ее. При наличии многих точечных зарядо» можно написать, пользуясь принципом суперпозиции электрических полей,

$E-ndS = 4rt £ qb(3.1.3)

Sвнутри S

а из определения локальной плотности заряда

р= Пт У —(3.1.4)

и-*о v

следует закон

Е • n dS = 4л р dV, sv

где через V обозначен объем, ограниченный замкнутой поверхностью S. Тогда

$E-ndS = J V-EdV = 4n jpdV SVV

и ввиду произвольности этого объема

V-E = 4np.(3.1.5)

Если к тому же ввести скалярную функцию точки ф, такую, что

Е= — ¥ф,'

то мы придем к уравнению Пуассона

¥2ф = —4лр,(3.1.6)

т. е. к записи законов электростатики, удобной для того, чтобы приступить к построению электродинамики.

Это уравнение явно нековариантно относительно преобразований Лоренца, так как оператор V2 содержит производные лишь по х, у и z. Нужно заменить V2 оператором, хорошо преобразующимся при преобразованиях Лоренца, чтобы в него входили симметрично х, у, z и let и чтобы в статическом пределе он превращался в V2. Поэтому заменим оператор Лапласа V2 оператором Даламбера —даламбертианом [формула (1.1.21)]'

* u — дх2 ду1 дг1 сг dt4 — с1 dt1 ’ Хола) Мы получим уравнение

ф = — 4лр.(3.1.8)

В той области пространства, где плотность заряда р равна нулю, оно сводится к уравнению

^Ф-^^ = 0,(3.1.9).

решение которого имеет вид

Ф = / (к • х — ф/), где

Итак, замена лапласиана V2 оператором, в который х, у, г и let входят симметрично, сразу же дала нам уравнение, решение которого для свободного поля имеет вид волны, бегущей со скоростью света.

Нашему гипотетическому марсианину, несомненно, захотелось бы отождествить свои теоретически предсказанные электрические волны со световыми, но тут он сразу же столкнулся бы с затруднением. Соответствующее потенциалу ф электрическое поле равно

Е = -УФ=-кГ.

Если, например,

Ф = фд^ (k'X-tot), ТО

Е = -кф0е/(к>х-“/).

Такое электрическое поле ориентировано по направлению распространения волны, и существует только одна поляризация. Если наш марсианин знает оптику, то ему известно также, что у света две степени свободы — две независимые поляризации.

Поэтому рассмотрим уравнение

Ф = — 4лр

более критически. Так как даламбертиан — четырехмерный скалярный оператор, это уравнение в целом будет кова- риантно относительно преобразований Лоренца лишь в том случае, когда ф и р обладают одинаковыми трансформационными свойствами. Если ф представляет собой 4-скаляр, то и плотность р должна быть 4-скаляром. Заряд частицы равен

q = ^ р dV = р dx dy dz.

При движении такой частицы мимо наблюдателя, пользую-щегося системой координат х', t', наблюдаемый заряд равенq' = ^ р' dx' dy' dz'.

Если р— 4-скаляр, то р' = р. Мы имеем Ду' = Ду, Дз' = Дз, однако, Дх'= Дх V1 — v2/c2t т. е. имеет место лоренцево сокращение масштабов (фиг. 7). Поэтому

у' = q V1 — и2!с2

и если р — 4-скаляр, то заряд зависит от скорости и стремится к нулю при и-* с. Если наш марсианин уже экспериментировал с электронами высоких энергий (неважно при

каких обстоятельствах), «о -мот вариан! он забракует, а если еще не экспериментировал, то он пополнит список решающих экспериментов этим эффектом, чтобы проверить его, когда созреют технические возможности

Если отказаться от предположения о том, что ф и р — это 4-скаляры, то можно рассмотреть случай, когда уравнение

ф = — 4лр

связывает одинаковые компоненты двух 4-векторов Если р — четвертая компонента 4 вектора, то она будет преобразовываться аналогично интервалу времени. Поскольку

// О2 V*'2// U2 X ^

А/ = А/М— j , мы имеем р = р(1—— )

и плотность заряда возрастает именно так, что лоренцево сокращение пространства, занимаемого зарядом, компенси-

з'з'

з'

з'

Фиг 7. Лоренцево сокращение движущегося распределенного заряда.

руется, полный заряд остается инвариантным:

^ = \ pz dx' dy' dz' =

(3.1.10)(3.1.10)

(3.1.10)

(3.1.10)

Это очень интересная возможность, и она становится еще интереснее, если допустить, что наш марсианин знаком с законом сохранения заряда. Из закона сохранения заряда и общего положения, что законы физики одинаковы для всех наблюдателей во всех инерциальных системах отсчета, вытекает требование локального сохранения заряда: заряд не может исчезнуть в одной точке пространства, одновременно возникнув в другой точке, так как нет единого критерия одновременности событий, имеющих разные координаты в пространстве, для разных наблюдателей. Поэтому заряд в каком- то объеме в пространстве может исчезнуть, лишь вытекая

непрерывным образом через ограничивающую его поверхность. Локальный закон сохранения заряда выражается уравнением непрерывности

v,7+^=0’ (ЗЛЛ1)

где угде у— плотность тока: ^ = pv.

где у

где у

Известно, что let является четвертой компонентой 4-вектора. Считая четверку величин (^,icp) компонентами другого 4-вектора, можно записать уравнение непрерывности в явно ковариантном виде:

^-0.(3.1.12)

где

Zu = (^. ^р);= (X, let),

a д^^дх^ есть сумма

dxi дхг дх3 дх< *

поскольку мы условились о суммировании по повторяющимся (немым) индексам. Таким образом, уравнение непрерывности утверждает, что 4-дивергенция 4-тока равна нулю, причем данное утверждение справедливо для всех наблюдателей, находящихся в инерциальных системах отсчета. Раз плотность заряда — четвертая компонента 4-вектора, ясно, что заряд инвариантен и локально сохраняется.

В такой векторной теории электричества и связанных с ним явлений можно написать уравнения

□ А^-^-^, ЛЦ = (А,/Ф),(3.1.13)

откуда уравнение для ф получается, если взять ц = 4. Теперь поле обладает четырьмя внутренними степенями свободы, хотя у света всего две поляризации. Эти четыре степени свободы сводятся к трем, если заметить, что, так как Ац ~ Уи и

должно также выполняться равенство

^ = 0,(3.1.14)

накладывающее одну связь. Правда, у нас еще на одну степень свободы больше, чем нужно для света, но она отсеивается калибровочной инвариантностью уравнений; этот вопрос мы отложим до гл. 8.

§ 2. СИЛЫ

Следующая задача, которая стоит перед нашим марсианином,— исследовать силы, действующие на заряженную частицу в поле. Пока что он нашел только потенциалы. В той электростатике, которая была доступна для него экспериментально, у марсианина вместо плотности энергии распределенного заряда во внешнем потенциале ф были 3-скаляр- ная величина

# = РФ(3.2.1)

и плотность силы

^ = _рУф.(3.2.2)

Поэтому он полагает, что в общем случае в выражение для силы должна входить 4-скалярная функция

(3.2.3) соответствующая взаимодействию между токами для двух распределенных зарядов:

~ WW f (х - У),(3.2.4)

а также оператор дифференцирования d/dxv. Так как в статическом случае сила, действующая на точечную частицу, равна

Р = -^- = -9?ф,(3.2.5)

в общем случае должно быть

%-(3.2.6)

плюс, возможно, другие члены, причем

/ц = j ^d?x; J = qv, J4 = icq.

Очевидно, что уравнение (3.2.6) записано нековариантно, так как оно связывает 3-векторы, а дифференцирование производится по t. Чтобы привести его к ковариантному виду, можно начать с того, что заменить 3-векторы р и V 4-векторами:

= "7 Ai 57" А + дРУгие члены- (3.2.7)

Теперь pv = (p, iE/c), так что обобщенное уравнение для силы дает наряду со скоростью изменения импульса и ско-

росгь изменения энергии [формула (1.1.30)]:

^ = F-v „ри>3.2.8)

так что при v = 0 мы имеем dE/dt = 0.

Так как /^ = (qv, icq), при v = 0 отличается от нуля лишь компонента /4. Поэтому

1= — 4^- + другие члены = 0.(3.2.9)

dt |v=0 с дхх 1 J

Добиться этого можно, положив

где скобка тождественно обращается в нуль при ц = v.

Нам еще нужно что-то сделать с дифференцированием по / в левой части уравнения, и беспокойство внушает величина J^= ^ ^^х, так как /'р —это 4-вектор. Однако можно переписать уравнение (3.2.10) в явно ковариантном виде, учитывая, что

dpv dp^ dxdtdx dt

И y dxn ~ dx^ dx dt

так что

dpM _ q dx^ Г 0AuЭАм j

dt c dx X dxvdxu J 10.2. П)

Это уравнение явно ковариантно, ибо заряд частицы инвариантен, а ее 4-импульс есть 4-вектор, так же как и его производная по скалярной величине т — собственному времени, измеренному в мгновенно покоящейся системе отсчета частицы. Производная 4-координаты частицы dx^dx— также 4-вектор (4-скорость), и правая часть уравнения представ-' ляет собой 4-вектор, построенный из двух 4-векторов и одного 4-векторного оператора. Величину

дА^ дз4удх» дх^

часто обозначают через Fvu и называют электромагнитным тензором напряженности [1].

Привычные выражения для сил можно получить, выделив из уравнений (3.2.10) пространственно- и временноподобные составляющие:

(3.2.12>(3.2.12>^.„{-Уф-А^ + АуХТХа}.

(3.2.12>

(3.2.12>

^„„уЛ-Уф-А™.).

dtIс dt )

Член, содержащий V X А, дает силу, всегда действующую под прямым углом к скорости и поэтому не изменяющую энергию заряженной частицы; это — магнитный член. Вводя

определенияопределенияB = VXA,B = VXA,Е = -ГФ + 7^гЬЕ = -ГФ + 7^гЬ(3.2.13)(3.2.13)

определения

определения

B = VXA,

B = VXA,

Е = -ГФ + 7^гЬ

Е = -ГФ + 7^гЬ

(3.2.13)

(3.2.13)

мы получаем знакомые уравнения

(3.2.14)(3.2.14)^.-,{е + 1,хв},dE в-5F = 9v-E.

(3.2.14)

(3.2.14)

Ускорение частицы можно вычислить, пользуясь соотношением между импульсом и энергией

это дает

ш

^ = тХ = \ —*

dv _ dt

_ dpv

dtc3

dE dt '

(3.2.15)

так что

dv q dttn

(E-

v-E .

-v —+

TVXB},

(3.2.16)

где '

Итак, наш гипотетический марсианин, желая найти систему релятивистски ковариантных законов, сводящихся в пределе малых скоростей к знакомым законам электростатики, открыл законы электродинамики. Мы попытаемся в гл. 4 и 5 точно так же отыскать законы теории гравитации, для которых закон всемирного тяготения Ньютона был бы лишь приближением малых скоростей.

§ 3. ЛАНГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ (ДЛЯ ЗНАТОКОВ)

4-скаляр Щс^цА»» представляющий взаимодействие, имеет размерность плотности энергии, но преобразуется иначе, чем плотность энергии. Его можно толковать как инвариантную плотность функции Лагранжа, соответствующую взаимодействию плотности тока Уц с внешним полем А№. Для точечной частицы интегрирование по пространственным переменным дает лагранжиан взаимодействия

(3.3.1)(3.3.1)<7 d*n .

(3.3.1)

(3.3.1)

с dr ^

"Уравнения (3.2.11) можно сразу получить, если инвариантный лагранжиан

L~ 2 7710 dr dr + с dr А*(3.3.2)

подставить в ковариантные уравнения Эйлера — Лагранжа = °<3-3-3)

(см., например, [2, 3]), где и» dr~-

ЛИТЕРАТУРА

Jackson J. D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962, ch. 11. (Имеется перевод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир», М., 1965.)

Goldstein Н., Classical Mechanics, Addison-Wesley, New York, 1950, sect. 6.6. (Имеется перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, «Наука», М., 1975.)*

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, «Наука», М., 1973, § 23.

Глава 4

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ

ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ

§ L ГРАВИТАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

Прежде всего выведем гравитационный вариант уравне- ния Пуассона. Исходя из закона тяготения Ньютона, напряженность гравитационного поля, создаваемого точечной массой М, определим как

Н (г) = — САГ-^-.Н (г) = — САГ-^-.(4.1.1)(4.1.1)

Н (г) = — САГ-^-.

Н (г) = — САГ-^-.

(4.1.1)

(4.1.1)

Интеграл от этой напряженности Н по замкнутой поверхности равен

J Н -ndS = — AnGM.J Н -ndS = — AnGM.(4.1.2)(4.1.2)

J Н -ndS = — AnGM.

J Н -ndS = — AnGM.

(4.1.2)

(4.1.2)

(4.1.3)(4.1.4)(4.1.3)(4.1.4)J H.ndS = -4nG^Mz,J H.ndS = -4nG^Mz,(4.1.5)(4.1.5)

(4.1.3)

(4.1.4)

(4.1.3)

(4.1.4)

J H.ndS = -4nG^Mz,

J H.ndS = -4nG^Mz,

(4.1.5)

(4.1.5)

Чтобы получить отсюда уравнение типа Пуассона, рассмотрим объем ДУ, содержащий полную массу М, которая состоит из ряда меньших масс Мь причем каждая из них дает свое поле

ТогдаТогдаН,(г)GAf,^^.

Тогда

Тогда

J H,-ndS = -4nGMf.

Если Н = У, Но то

причем отметим, что мы ввели здесь предположение о применимости к гравитационным полям принципа суперпозиции, т. е. приняли, что они складываются векторно. Это, безусловно, верно в приближении слабого поля, но потребует пересмотра, когда мы перейдем к сильным полям.

Введем плотность массы р:

р= hm-дтг-,ДУ-»0 аи

и тогда, применив в уравнении (4.1.5) теорему Гаусса, получим

$H-ndS = ^ -HdV=-W}^pdV(4.1.6)

или

V-H = —4лСр.(4.1.7)

Введем теперь гравитационный скалярный потенциал h, такой, что Н = —^h\ тогда

V2/i = 4nGp,(4.1.8)

что и представляет собой уравнение Пуассона для гра« витации.

Чтобы построить ковариантный вариант этого уравнения, произведем сначала замену,

V2->D

и напишем

□ А = 4л6р.(4.1.9)

Тогда в густоте

(?2-^5-)А = 0-<4Л1°)

Решения этого уравнения имеют вид волн, бегущих со скоростью с, и мы сразу же приходим к выводу, что должны существовать гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света.

СВОЙСТВА ИСТОЧНИКОВ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

Так как оператор □ есть 4-скаляр, гравитационный потен* циал h должен обладать теми же трансформационными свойствами, что и плотность массы р, и чтобы выяснить свойства гравитационного потенциала, нужно исследовать величину р. Но у нас больше экспериментальных данных, чем у нашего гипотетического марсианина, открывавшего электромагнетизм,— мы знаем, что частицы, движущиеся со скоростью с (свет), отклоняются гравитационным полем.

Предположим, что гравитационный потенциал h есть 4-скаляр. Тогда и плотность массы р должна была бы быть 4-скаляром. Но в таком случае вышло бы

Ж' = J р' dx' dy' dz =

= $Р ^l-^dxdydz^^-^M, (4.2.1)

так что при и—с тяготеющая масса стремилась бы к нулю и частица, летящая со скоростью с, не отклонялась бы гравитационным полем.

Может быть, h — это четвертая компонента 4-вектора hu, подобно скалярному электромагнитному потенциалу — четвертой компоненте Лц? При такой трактовке плотность массы р была бы четвертой компонентой 4-вектора и масса М оказалась бы инвариантом. Но инертная масса частицы не инвариант. Инвариантна собственная масса, но у фотона собственная масса равна нулю, и тогда, опять-таки, свет не стал бы отклоняться в гравитационном поле1). И даже частица с любой массой покоя т0 не будет отклоняться, когда ее скорость стремится к с, так как для гравитационной силы было бы справедливо соотношение F ~ то, а для импульса —

р = ту= . >

V1 — «г1сг

так что при v->c

tip С F dt Л

—— = \*-0;

Р 3 Р

электрон в кулоновском поле ядра отклоняется на все меньшие и меньшие углы, когда и -* с.

Чтобы получше разобраться в свойствах плотности массы р, мы снова обратимся к законам сохранения. У нас есть принцип эквивалентности инертной массы и энергии и закон сохранения энергии. Релятивистская ковариантность требует выполнения локального закона сохранения энергии, который мы выразим уравнением непрерывности

(4.2.2)(4.2.2)

(4.2.2)

(4.2.2)

где ^^sv#, причем $—плотность энергии. Не нужно спешить с выводом, что совокупность величин (^, icS^ образует 4-вектор, так как мы знаем, что энергия и импульс вместе взятые являются компонентами 4-вектора. Но сохраняется и каждая компонента импульса ^р, так что для его х-й компоненты имеем

V-(v^) + 4^ = 0, (4.2.3)

а для 1-й компоненты —

V-W + ^-O,

что можно также записать в виде

а^ + т-о.а^ + т-о.(4.2.4)(4.2.4)

а^ + т-о.

а^ + т-о.

(4.2.4)

(4.2.4)

Эти уравнения можно объединить с законом сохранения энергии и написать (в отсутствие внешних сил)

(4.2.5)(4.2.5)^цуп

(4.2.5)

(4.2.5)

дх» ■

где ^"цу — тензор плотности энергии-импульса.

Так как ^= м<8 )с?\ = vp), тензор Т^ можно следующим образом представить в явном виде:

^х«уУх^z^xк*с2с2с1СОхОу^у2^®_toyс2с2с1с№гVy^z^гtozс2с2С1сtoxtoy№г— 1Ссс^х«уУх^z^xк*с2с2с1СОхОу^у2^®_toyс2с2с1с№гVy^z^гtozс2с2С1сtoxtoy№г— 1Ссс^mv — ^^mv — ^(4.2.6)(4.2.6)

^х

«уУх

^z^x

к*

с2

с2

с1

С

ОхОу

^у

2^®_

toy

с2

с2

с1

с

№г

Vy^z

^г

toz

с2

с2

С1

с

tox

toy

№г

— 1

С

с

с

^х

«уУх

^z^x

к*

с2

с2

с1

С

ОхОу

^у

2^®_

toy

с2

с2

с1

с

№г

Vy^z

^г

toz

с2

с2

С1

с

tox

toy

№г

— 1

С

с

с

^mv — ^

^mv — ^

(4.2.6)

(4.2.6)

или, полагая (v, ic) = и№,

UV— с2UV— с2(4.2.7)

UV— с2

UV— с2

Такая запись преследует, однако, лишь цель краткости, так как введенная здесь величина бц не 4-вектор, ибо 6U = dxyjdt, соответствующий же 4-вектор — это «^ = dx^dr.

Любой тензор второго ранга t^ преобразуется по закону

^HV ^P^vo^ ОО .

(так, символ бцу Кронекера является тензором); поэтому, если ^"nv — тензор, то ^4 = a4pa4oSrpa. Если система покоя описывается нештрихованными координатами (там отли* чается от нуля лишь 9"44), то

^*44 = °44°44^"44 = 1 — o2jc2 *(4.2.8)

Тогда'

(4.2.9)(4.2.9)Е' = — ( ^4 dx' dy' dz' =—\ —^=== dx dy dz = J 4J — tr/c2

(4.2.9)

(4.2.9)

= \ — : - .■ ■ dx dy dz = —==.

J ^/l—V^fc2'\/i—V2lc2

Действительно, энергия частицы преобразуется как четвертая компонента 4-вектора, а сама величина S^y— как 4-тензор.

ВОЗМОЖНЫЕ ОПИСАНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ

Итак, можно было бы принять, что истинным источником гравитационного поля является тензор ^^у, и писать уравнения поля в виде

' 0^ = ^^, (4.3.1)

где Лиу—16-компонентная величина. Ввиду симметрии тензора ^gv тензор h^ также симметричен, что снижает число независимых компонент до 10. К дальнейшему уменьшению числа независимых компонент приводят законы сохранения; так как

мы имеем

-^ = 0,(4.3.3)

так что независимыми остаются 6 компонент.

Сравним уравнение

□ h^ = А^у с уравнением

А = 4л6р = 4лС -^- = — ^- ^44.

Следует отождествить h и А44, так что к = 4л6/с2, в результате чего■

Qhw = -^^"(4.3.4)

4-скаляр, описывающий взаимодействие между полем, которое соответствует члену ^цу104”^, и распределенными пробными массами, сводящийся в пределе малых скоростей к —Ар, равен

/?цу^~ цу

С2

3 Зак. 1169

(ср. с электромагнитным скаляром взаимодействия — (1Л)/цЛи), что после интегрирования по объему дает для малой пробной частицы массы т выражение

кцмТ^мь 5n5v/л n рх

с2"цу с2 ^-(4.3.5)

Выберем систему отсчета, покоящуюся относительно источника гравитационного поля. Тогда

Л44 = -

и так как мы в системе отсчета источника покоимся, все прочие компоненты тензора ^уточннк равны нулю, если этот источник не обладает внутренними свойствами движения. Когда эти компоненты равны нулю, они не могут порождать поле, и поэтому бесструктурный источник, покоящийся относительно наблюдателя, дает лишь компоненту Ки гравитационного потенциала. Если поле не зависит от времени, то

^источник,

а решением этого уравнения является именно ньютонов потенциал. Взаимодействие с распределением пробной материи описывается в этом случае выражением

^7^" M-V/144^ 44

С2С2 ’

совпадающим с известным в теории Ньютона. Поэтому уравнения (4.3.4) и (4.3.5) приводят к ньютоновской величине эффекта отклонения лучей света Солнцем, и мы снова сталкиваемся с трудностью, так как в этом конкретном случае разработанная нами релятивистская теория дает те же результаты, что и наивные рассуждения гл. 1, противоречащие опыту.

Несмотря на это, прежде чем попытаться разрешить противоречие, нелишне отметить, что в такой теории, когда сверх 44 компонент тензоров h^ и Т^ отличны от нуля и другие, возникают неньютоновы эффекты. В точности так, как это было для электромагнетизма, здесь появляются отклонения от закона Ньютона, если либо источник, либо наблюдаемая частица движутся относительно наблюдателя. Даже при покоящемся центре масс источника его вращение генерирует дополнительные члены в huv, откуда следуют как спин-орби- тальное, так и спин-спиновое (если вращается вокруг своей оси и пробная частица) взаимодействия. Вот почему представляет интерес изучение прецессии гироскопа, движуще* гося по орбите [1].

Посмотрим теперь, не существуют ли другие виды источников гравитационного поля, дающие величину #7с2 в пределе малых скоростей. Мы уже говорили о возможности связи скалярного поля с 4-скаляром. Можно ли построить такое поле, взяв в качестве источника тяготения тензор ^цу?

Раньше мы отметили, что

— д л, ^"(система покоя)

так чтотак что44w'44u'44t/ 441

так что

так что

^(система покоя)

1 — У2/с2

Поэтому величина ^(1 — v2/c2}—плотность собственной энергии — является инвариантом, как и ^(1 — п2/с2)/с2— плотность массы покоя. Тогда

Е = ( 8 йх dti dZ = ( ^(система покоя) д д д = JJ 1 — о2/с2у

S

’^(система покоя) / * i «х -^система покоя)

^___ (ахауаг)(СИСТема покоя)— ^—у2/с2

[здесь просто повторяется вывод уравнения (4.2.9)].

4-скаляр ^(1 — v2/c2) можно построить с помощью тензора ^uv как

^(1-^-) = -^.(4.3.6)

где 9"№— сумма диагональных элементов тензора 9"uv, которую называют его следом.

Итак, можно указать два вида скалярного взаимодействия плотности источника £Гц"0ЧНИК с другим тензором 9" w, приводящих к нерелятивистскому ньютонову пределу. Первый из них дает результаты, тождественные ньютоновым, когда наблюдатель покоится в системе отсчета одной из этих двух масс, и в общем случае равен скалярному произведению двух тензоров

6Г (^-ИСТОЧНИК

j p,V >

тогда как второй имеет вид произведения двух- скаляров,

источник VVисточник VV

источник VV

источник VV

Этот второй инвариант можно представить и как произведение двух тензоров (ввиду тензорного характера дельтасимвола Кронекера):

о ^источник

«/ lAVOpW 00<

Мы пришли ко второму возможному виду гравитационного поля, обладающему скалярным источником1). Запишем урав- нения «ньютоновского» и «скалярного» полей в следующем виде:

(4.3.7)(4.3.8)(4.3.7)(4.3.8)EJAp,v— км9" ц^,D Ац,у === ksb^9* qq.

(4.3.7)

(4.3.8)

(4.3.7)

(4.3.8)

Второе из них — это уравнение для скалярного поля, замаскированного под тензор.

Находясь в системе покоя источника, не обладающего внутренним движением, мы имеем отличные от нуля лишь Н^ и все Ли, А22, А33 и А^. Скалярное поле приводит к взаимодействию, содержащему вклад, который зависит от вели-* чины и2/с2 для частицы, рассматриваемой относительно системы покоя источника, и, конечно,

p,vAp,Vp,vAp,V^ ЦЦЛ7 QQ ~^ ЦЦЛ7 QQ ~(1-£) ^(1-£) ^(4.3.9)(4.3.9)

p,vAp,V

p,vAp,V

^ ЦЦЛ7 QQ ~

^ ЦЦЛ7 QQ ~

(1-£) ^

(1-£) ^

(4.3.9)

(4.3.9)

в системе источника, так что свет в скалярной теории не отклоняется. Отметим также, что скалярное поле лишено недиагональных компонент.

Можно сформулировать более общую теорию, взяв в качестве гравитационного потенциала некоторую комбинацию Auv и h^. В пределе малых скоростей должна действовать теория тяготения Ньютона, тогда как в пределе больших скоростей требуется получить удвоенное ньютоново взаимодействие. Обоим требованиям можно удовлетворить, положив

□(^“у^аа)(4.3.10)

или

□ д = _ &Е£ gr

с2 U |IV>

где

и [XV —!лv2оа*

(Заметим, что 9*аа — скаляр, a 6UV — тензор.)

Эти уравнения описывают «ту самую» тензорную теорию тяготения, которая отличается от всех остальных теорий с тензорными полями одним совершенно особенным свойством; Поле Auv, определяемое уравнениями (4.3.10), представляет собой классический вариант поля, которое в квантовой теории описывается обменом безмассовыми квантами со спи-

4) Здесь приведено скалярное взаимодействие с прямой связью. Скалярное поле с косвенной связью обладает совсем другими свойствами [2, 3].

ном 2 (гравитонами) примерно так же, как векторное электромагнитное поле описывается обменом безмассовыми квантами со спином 1—фотонами. Гравитационная волна, создаваемая источником ^uv, имеет лишь две поляризации (подробнее об этом см. гл. 7). В дальнейшем, говоря о тензорной теории, мы будем иметь в виду теорию с уравнением (4.3.10). Скалярная теория — правда, замаскированная под тензорную, — сводится к уравнению (4.3.8), а «ньютонова» теория, выражаемая уравнением (4.3.7), является отчасти тензорной, а отчасти — скалярной, и мы будем условно называть ее «полутензорной» теорией. Уравнение (4.3.10) можно записать в виде

8л6 Г VhVv 1/ у2 М м

□V =?"L^ + T6^(1 -^г)]^ (4-3.11)

Тогда в статическом случае тензорная теория дает поле

8nG Г уцУм 1/ у2 \1

V4v =— L-^2 + у ^v (1 - tfJJ ^,(4.3.12)

V2A44V2A448jiG $ сг 2 ’8jiG $ сг 2 ’(4.3.13)(4.3.13)& если йь 62» Уз = 0 и 54= 1с, то

V2A44

V2A44

8jiG $ сг 2 ’

8jiG $ сг 2 ’

(4.3.13)

(4.3.13)

18лО ^

и аналогично для й22 и Азз- Решив эти уравнения в случае

■сферически симметричного источника с массой М, получим

,,•. GM

и\\ = п^ = п^ = Л—— •

В трех рассматриваемых теориях статические поля, создаваемые массой М, имеют тогда следующий вид: в скалярной теории

— —ООО

Г

о _ ^L оо

hs — «цу —

оо —— о

,(4.3.14)

г

ООО — — г

в ньютоновой («полутензорной») теории

ООО0

ООО0

hN

ООО0•(4.3.15)

ООО — —

г ,

в тензорной теории

—000

г

0

-^ 00

^\Г» =

Г см(4.3.16)

0

00

г

0

о о —2Л.

Г .

"(в системе покоя сферически симметричного источника). В скалярном и тензорном случаях быстрая частица характеризуется скаляром гравитационного взаимодействия, который зависит как от ее импульса, так и энергии. В скалярном случае это взаимодействие «освобождает» быструю частицу, в тензорном же при и—* с оно действует с удвоенной силой. Если записать скаляр взаимодействия для частицы как —T^h^/c2, то мы получим, подставив выражения (4.3.14) —(4.3.16),

_ V^v _ _ Л _ °2 A GMm_

с2\ с2 / г

(4Я.18)(4Я.18)Т^уGMm

(4Я.18)

(4Я.18)

С2г

с*с*^uv^nv^uv^nvGMm г *GMm г *(4.3.19)(4.3.19)

с*

с*

^uv^nv

^uv^nv

GMm г *

GMm г *

(4.3.19)

(4.3.19)

Силы взаимодействия будут, несомненно, выражаться через градиент этих величин, и тензорная теория должна давать отклонение света, удвоенное по сравнению с полученным для исходной ньютоновой конструкции.

Итак, сформулированная тензорная теория в сумме даетг лоренц-ковариантные уравнения, связывающие источники с полями, ньютоново взаимодействие в пределе малых скоростей и удвоенное взаимодействие по сравнению с ньютоновым для быстрых частиц. Все же нам требуется еще поД-

робно разработать законы динамики частиц и проверить, дает ли эта теория правильное гравитационное красное смещение для фотонов, несмотря на наличие во взаимодействии дополнительного члена, который, по-видимому, должен давать вдвое большее отклонение лучей света, нежели наивные расчеты. К тому же нужно проверить, сможет ли свет, несмотря на дополнительное отклонение, все же распространяться прямолинейно в свободно падающем лифте. Этим вопросам посвящены две следующие главы. Данную же главу мы завершим указанием на возможные пробелы в нашей трактовке тяготения.

§ 4. НЕЛИНЕЙНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ

Мы построили теорию, в. которой источником гравитационного поля является плотность энергии-импульса. Но в состав этого источника должна входить и энергия самого гравитационного поля и, строго говоря, следовало бы писать

ПЙцу = ^2~ l^uv (гравит) 4* ^~uv (все прочее)]» (4.4.1)

предполагая, что тензор ^цусгравит) построен из билинейных произведений («квадратов») производных самой величины Ацу Значит, чтобы полностью избежать внутренних противоречий, мы должны рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения для Auv, а тогда принцип суперпозиции не будет выполняться. Но в случае слабых полей, который нас в основном интересует, это несущественно. Линеаризованные уравнения общей теории относительности (для слабого поля) действительно записываются в форме (4.3.10).

Такого рода проблемы нет в теории электромагнетизма, где источником электромагнитного поля является заряд, а само это поле, будучи нейтральным (фотоны заряда не несут) , не дает вклада в свой собственный источник.

Можно указать две очевидные трудности, с которыми сталкивается линеаризованная теория. Во-первых, гравитационное поле должно отклонять гравитационные волны так же, как оно отклоняет свет. Поэтому тяготение должно быть источником тяготения же. Во-вторых, гравитационная энергия массы М, сосредоточенной в сфере радиусом R, есть величина порядка —GM2IR, так что полная энергия — порядка

и становится отрицательной при конечном значении отношения M/R. Но при увеличении отрицательной гравитационной

массы (по абсолютной величине) тяготеющая масса уменьшается, и, если даже для гравитационной энергии будет по- прежнему выполняться принцип эквивалентности инертной и тяготеющей масс, полная энергия может оставаться положительной*

ЛИТЕРАТУРА

Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, Sait Francisco, 1973, sect. 40.7. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн». Дж. Уилер, Гравитация, «Мир», М., 1977, т. 3, стр. 370).

Dicke R. И, Rev. Mod. Phys., 29, 363 (1957).

Brans С. Н.» Dicke R. H., Phys. Rev., 124, 925 (1961).

Глава 5

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ

ГРАВИТАЦИОННЫЕ СИЛЫ

§ 1. СКОРОСТЬ СВЕТА

Используя плотность энергии-импульса в качестве источника релятивистских гравитационных полей, мы останови- лись на тензорном поле с источником Т^. В этом случае скаляр взаимодействия сферически симметричного поля, создаваемого источником с массой М, с пробной частицей, масса которой равна т, дается выражением

(5.1.1)(5.1.1)Z^v _ Л ! °2 GMfnс2V + с2 ) г

(5.1.1)

(5.1.1)

ч^о в нерелятивистском пределе приводит к знакомому по теории’ Ньютона результату. Градиент этой величины дает при vic <^i 1 ньютонову силу, а при vlc-*\—вдвое большую

Фиг. 8. Ввиду зависимости величины фазовой скорости от у вектор нормали к плоскости постоянной фазы поворачивается на угол Да на отрезке пути Дх.Фиг. 8. Ввиду зависимости величины фазовой скорости от у вектор нормали к плоскости постоянной фазы поворачивается на угол Да на отрезке пути Дх.силу, и можно с полным основанием предполагать, что из этого инварианта будет следовать удвоенная величина отклонения для быстрых частиц (или для лучей света). Прежде чем приступить к ^построению динамики частиц, нам будет очень полезно рассмотреть одно необходимое следствие эффекта гравитационного отклонения лучей света: локальная скорость света должна зависеть

Фиг. 8. Ввиду зависимости величины фазовой скорости от у вектор нормали к плоскости постоянной фазы поворачивается на угол Да на отрезке пути Дх.

Фиг. 8. Ввиду зависимости величины фазовой скорости от у вектор нормали к плоскости постоянной фазы поворачивается на угол Да на отрезке пути Дх.

от локального гравитационного потенциала.

До сих пор мы рассматривали силы, действующие на релятивистские частицы или на локализованные световые импульсы. Если вместо этого говорить о протяженном волновом фронте, то отклонению лучей света будет соответство-

вать поворот на некоторый угол плоскости постоянной фазы (нормальной к направлению распространения волны) при прохождении световой волны в гравитационном поле. Пово

рот обусловлен уменьшением фазовой скорости волны при увеличении потенциала гравитационного поля (фиг. 8): свет, проходящий вблизи поверхности Солнца, распространяется в

среднем медленнее, чем свет, проходящий вдали от Солнца»

Таким образом, гравитационное поле играет роль преломляющей среды и можно рассчитать эффективный показа* тель преломления. Положим

Да = £(У±А^(у).Д/== Ax=ZLAx,

Ду’ос’

так что

=(5.1.2)

п dy

Это выражение можно сопоставить с аналогичным выраже- нием для релятивистской частицы

af , V2 \ GM г • У А оGMу А1 OYAct( 1 4” 2 ) Г3С2 и ^^22с2г ^Х,(5.1.3)\С / I и уI и <af , V2 \ GM г • У А оGMу А1 OYAct( 1 4” 2 ) Г3С2 и ^^22с2г ^Х,(5.1.3)\С / I и уI и <

af , V2 \ GM г • У А оGMу А1 OY

Act( 1 4” 2 ) Г3С2 и ^^22с2г ^Х,(5.1.3)

\С / I и уI и <

af , V2 \ GM г • У А оGMу А1 OY

Act( 1 4” 2 ) Г3С2 и ^^22с2г ^Х,(5.1.3)

\С / I и уI и <

Фиг. 9.

нение даетнение даетгде мы приняли, что нормальная компонента силы дается гра* диентом тензорного взаимодействия (фиг. 9; гл. 1, § 5). Срав

нение дает

нение дает

(5.1.4)(5.1.4)1 dn и GM уп dyг2с2 г *

(5.1.4)

(5.1.4)

а так как отклонение релятивистской частицы, определяемое градиентом инварианта (5.1.1), нс зависит от ее энергии, угол отклонения фотона не должен зависеть от его частоты. Если же отклонение луча света не зависит от спектральной частоты света, то дисперсия в гравитационном поле должна отсутствовать, т. е. эффективный показатель преломления не должен зависеть от частоты.

Интегрируя уравнение (5.1.4) в приближении слабого поля, находим

и (у) — л (о°) =Д 2dy = 2. (5.1.5)

w3 с2 U2-Vy^uгс2'

Требуется, чтобы при г->оо скорость света стремилась к величине с, а п — к единице, так что при

1 . п GMп = 1 + 2—г1 ГС2

мы приходим к соответствию между представлением света в виде плоских волн и представлением его в виде импульсов (или фотонов). Сразу же становится видно, что полное динамическое описание частицы едва ли может быть дано градиентом величины (5.1.1), ибо здесь мы имеем замедление света при попадании его в гравитационное поле, тогда как член с градиентом ускоряет частицу.

На этом этапе у нас закрадывается подозрение, что построение релятивистской теории тяготения — не такое простое дело, как нам начинало казаться, поскольку постоянство скорости света лежит в самой основе частной теории относительности !).

радиолокационные измерения В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ

Теперь должно быть ясно, что необходимым следствием гравитационного отклонения электромагнитных волн должно быть уменьшение скорости их распространения в отклоняю-

ПланетаЗемля

Фиг. 10.

\

щем поле. Это наблюдаемый эффект, и он обеспечивает дополнительную возможность опытной проверки релятивистской теории тяготения.

При отражении радиолокационного импульса от планеты, близкой к положению верхнего соединения, так что луч зрения проходит рядом с диском Солнца, в интервале времени между отправлением и приемом отраженного сигнала возникает добавочная задержка. Так как изменение длины пути вследствие отклонения радиолокационного луча в поле Солнца является величиной второго порядка малости по GMQ!rc\ этот интервал времени можно рассчитать, взяв прямолиней-

ную траекторию (фиг. 10):

1 Г г х 2GMn г dx

t = —\ndx = --\- \тг. (5.2.1)

с J с с3 J (х2 + Ь2) ^

Здесь добавочная задержка описывается вторым слагаемым, которое мы будем оценивать, разбив на части. Добавочная задержка на отрезке пути от Земли до точки наибольшего сближения траектории с Солнцем равна

а от точки наибольшего сближения с Солнцем до планеты —

2GM,2GM,.22

2GM,

2GM,

план °

Значит, на пути в одну сторону от Земли до планеты добавочная задержка составляет

-73—In-73—In'Земл '"план 4~ 'у'план ^

-73—In

-73—In

)ь

а полная добавочная задержка на пути туда и обратно равна

4GMQ , ^доб — с3 In4GMQ , ^доб — с3 In L (5.2.2) L (5.2.2)(5.2.3)(5.2.3)(5.2.4).(5.2.4).цель Мерку.цель Мерку./'Земл ^ 'план + у 'план6ь

4GMQ , ^доб — с3 In

4GMQ , ^доб — с3 In

L (5.2.2)

L (5.2.2)

(5.2.3)

(5.2.3)

(5.2.4).

(5.2.4).

цель Мерку.

цель Мерку.

так что при b С гпЛан, /"земл мы имеем 4GMq / 'земл'план Л /доб= 1П ^4^j,

д'доб8GModb,Ьс3

Если рассматривать как ридолокационную рий, то следует взять параметры

Гземл== 1,495 • 1013 см,Гплан = 0,565 • 1013 СМ,b = Ro = 7. ю10 см,

Afo = 2.1033 r, ■откуда получается добавочная задержка/доб = 220 мкспри полном времени распространения сигнала^2 >мл + /'план »22 мин.

С

Отметим, что свет проходит за 100 мкс всего 30 км. Кроме

того,

^^доб Iк 7п1

чт — — О,/ • 10 С • СМ •

ОО Ь?©

Радиолокационные измерения проводились с планетами Меркурий, Венера и Марс, а также с некоторыми космическими аппаратами, и сейчас эффект, предсказываемый общей теорией относительности, проверен с точностью не ниже ~3% [1, 2]. Заметим, что при измерении величины (5.2.4) не нужно очень точно знать радиусы орбит планет (их лучше всего4 находить методом радиолокации), а также можно не разбирать тонкий вопрос о соотношении между использованными в расчетах идеализированными координатами и реальной системой координат, связанной с Землей и помещенной в гравитационное поле Солнца (гл. 9, § 9).

Как отмечалось в гл. 1, измерение гравитационного отклонения радиоволн усложняется преломлением радиоволн в солнечной короне; то же касается и добавочной задержки, вносимой гравитационным полем Солнца в ходе локации. Мы приведем здесь некоторые конкретные данные.

видвидЕсли пренебречь радиационным трением, то уравнение движения свободного электрона в электрическом поле имеет

вид

вид

(5.2.5)(5.2.5)d2x еЕ dt2m *

(5.2.5)

(5.2.5)

так что при фиксированной частоте о еЕ Х то? *

и отдельный колеблющийся электрон отвечает осциллирую*

е2Е то? *е2Е то? *щему дипольному моменту

е2Е то? *

е2Е то? *

— ех =

Если на единицу объема приходится N электронов, то ди* польный момент в единице объема равен

_ Ne2Eто? ’

и электрическая восприимчивость газа свободных электронов

выражается как

= _ Ne2

% то? 1

откуда для диэлектрической проницаемости имецм . 4nNe2 8=1г- ,

то?

а для показателя преломления —а для показателя преломления —пе= Vе ^ 1пе= Vе ^ 12nNeA mto2 ’2nNeA mto2 ’(5.2.7)(5.2.7)тогда как для.показателя преломления, обусловленного тяготогда как для.показателя преломления, обусловленного тяготением, мы имелитением, мы имели2GMnПС=1+ -^2-2GMnПС=1+ -^2-

а для показателя преломления —

а для показателя преломления —

пе= Vе ^ 1

пе= Vе ^ 1

2nNeA mto2 ’

2nNeA mto2 ’

(5.2.7)

(5.2.7)

тогда как для.показателя преломления, обусловленного тяго

тогда как для.показателя преломления, обусловленного тяго

тением, мы имели

тением, мы имели

2GMn

ПС=1+ -^2-

2GMn

ПС=1+ -^2-

В гравитационном поле фазовая скорость становится меньше, и оно представляет собой среду без дисперсии. В электронном облаке же фазовая скорость становится больше, и это диспергирующая среда. Пучок радиоволн отклоняется электронами короны в сторону от Солнца, причем импульс распространяется в этой диспергирующей среде с групповой скоростью

2лУе2 X

Поэтому нам следует сравнивать величины 2GMalrc2 и 2лУУе2/то)2. Если принять ^ = 5•105 (V^o)-2 см-3 [3], то их отношение будет равно.

2nNe2lm^2 Q - 1 n8 V2GMQ[rc2 ' г

т. е. примерно 0,5 при X = 10 см и г = RQ. Сразу же становится * ясно, почему при таких исследованиях берутся прицельные расстояния не менее нескольких радиусов Солнца (в работе [4] при измерении отклонения лучей на длине волны X = 3,7 см прицельные параметры были не менее 10/?о).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

О МЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТИ СВЕТА*

В тензорной теории мы получили для эффективного показателя преломления выражение

- , 2GM, 2ф

и = 1 Н2” = 1г

ГС2с2

в случае сферически симметричного поля и установили, что, попав в гравитационное поле, свет распространяется медленнее, хотя градиентные члены приводят к росту импульса частиц. Чтобы записать ковариантные законы динамики, нам следует во всяком случае искать добавочные члены в выражении для силы; при этом полезно вспомнить, что скоростью может убывать при возрастании импульса ти, если достаточно быстро изменяется сама масса т. (В частной теории относительности в случае постоянной силы мы имеем du/dt-^O

при и-* с вследствие релятивистского возрастания инертной массы.) Это может служить намеком на вероятную зависимость массы от локального гравитационного потенциала, если уж мы обнаружили, что скорость света зависит от него.

Отметим еще одно интересное обстоятельство. Безразмерная величина 2GM/rc2 характеризует отклонение показателя преломления пустого пространства от единицы вблизи массивного тела, например Солнца. Однако мы приводим все наши эксперименты, уже находясь в сфере действия гравитационных полей всех остальных тел Вселенной. Потенциал в центре сферы с постоянной плотностью р равен

я

— G ^^dr = _2iiGpR2GM, О’

так что

^Фвсел _^ДОРВсел^Всел

С2 ~С2*

Если взять 7?всел равным радиусу Хаббла («1028 см), а для средней плотности материи принять (очень ненадежное еще значение) рвсел ~ Ю-31 г-см-3, то мы получим

С2

что удивительно близко к единице, если учесть космологически огромные числа, подставленные в формулу. Это может указывать на то, что наша локальная физика определяется свойствами удаленных частей Вселенной [5] благодаря гравитационному взаимодействию большого радиуса действия, которое в противоположность эффектам.электромагнетизма не остается скомпенсированным ввиду отсутствия отрицательных гравитационных зарядов (гл. 10, §5).-

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СИЛ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Чтобы найти уравнения движения пробной частицы в гравитационном поле, нужно определить силу, действующую на частицу (не плотность силы), причем одна из ее составляющих должна обобщать выражение

р- T^h^ -> — mVq) (ньютоновский предел).

Тогда

иначе говоря, производная по времени от 4-вектора энергии- импульса имеет вид

1^^pv

■^г 7^-^--+ другие слагаемые. (5.4.2)

«Другие слагаемые» должны, по-видимому, быть вида с2 1 дхи

ибо единственная возможная альтернатива для силового поля, взаимодействующего с Т^, а именно дк^/дх», не приводит ни к чему новому ввиду симметрии тензоров Т^ и h^. Тогда мы имеем

dPp _ 1 т дЧ"» , ° т MPV,, . ох

dt — сг дхр т с2

и для установления вида уравнений движения остается найти коэффициент а.

Рассмотрим случай сферически симметричных полей, обусловленных источником Af и не зависящих явно от времени. В этом случае

,,1,GM

— “22 — ^33 — — ^44 — — Ф —>

так что, полагая для удобства с= 1, можно написать

^Рр ~ ~ dh^ _ w dh^

=+(5.4.4)

где dx.

(компоненты и^ не образуют 4-вектора). Так как dq/dt = 0, отсюда получим

-у- = — m (1 + у2) ?ф — amvv • Vqp,(5.4.5а)

-^- = /amv -Уф, -^ = ату-Уф.(5.4.56)

Эти уравнения удалось написать, обойдясь одним-единствен- ным скалярным потенциалом ф, только потому, что мы перешли к исключительно простому случаю сферически симметричного источника, покоящегося в нашей системе отсчета. Нужно все время помнить, что гравитационный потенциал представляет собой (16-компонентный) тензор второго ранга.

Скорость изменения кинетической энергии есть скалярное произведение силы на скорость:

dEdp

■ - — - ——1 v • — —,dtdt *

Это соотношение известно из классической механики и продолжает выполняться в релятивистской механике, поскольку f2—-р2 = то (в единицах, для которых с= 1) и, следовательно,

п dE dp

Для того чтобы это равенство выполнялось, нужно положить а = —1, и тогда уравнения (5.4.5а) и (5.4.56) примут вид

^ = — tn (1 + v2) Vqp + mvv • ¥ф,(5.4.6а)

_ mv . Vф.(5.4.66)

Заметим, что при переходе к ньютоновскому пределу уравнение (5.4.66) не изменяется, тогда как уравнение (5.4.6а) при у~*0 меняет свой вид, превращаясь в известный закон Ньютона. Переписав уравнение (5.4.6а) в виде

= —- mV^ — щ (и2¥ф — уу • Vф),

мы видим, что второе слагаемое можно представить как mN X (v X ^ф),

т. е. как вектор, который всегда перпендикулярен направлению движения. Такая сила работы не совершает.

Отдельно взятый член с уу-Уф не имеет проекции, перпендикулярной направлению движения, и единственный член в выражении для силы, который имеет составляющую, направленную под прямым углом к направлению движения,— это

— т(1 + у2) Vф>

так что мы действительно получим удвоенное значение ньютоновского отклонения лучей света, если проведем вычисления, о которых говорилось в гл. 1, § 5.

Итак, можно заключить, что уравнение (5.4.4) следует писать в виде

dp^ „ _ dh^y ~ _ dhpv

"Ж" = "Жд ^Vv

в случае произвольного гравитационного поля. Однако, хотя импульс рр и есть 4-вектор, он дифференцируется по времени, а в правой части равенства стоит произведение

dx^ дх^^4 = —t dT*

Поэтому, несмотря на всю привлекательность полученного уравнения, еще требуется проверить его на лоренц-кова- риантность. Можно написать

dpp dpp dxdtdx dt

Собственное время т — инвариант, так что dpp,dx есть 4-вектор. Взяв

dxp,dx^ dx

dtdx dt 9

получим

dpp dx dx^ dxv / dh^d/zpv \

dxm dt dx dx \ dxpdx^ / *

Коэффициент m представляет собой инертную массу частицы, и, так как

Д/ = Дт(1 -vT'h. мы имеем

т = т (1 — у2) = A7i0.

Поэтому уравнение (5.4.7) можно представить в виде

dpp dx№ dx^fdh^ dhp^X

—-d^)'<5-4-7a>

и в самом деле явно ковариантном.

Теперь можно рассчитать ускорение частицы в гравита* ционном поле. У нас есть уравнения (5.4.6), описывающие скорости изменения энергии и импульса; их нужно скомбинировать, имея в виду, что скорость изменения скорости будет меньше, чем скорость изменения импульса, так как масса растет со скоростью. Взяв

p = £v = mv,(5.4.8)

найдем

Т - Т Т - Т # - - (1 + ^ + 2™ ■ V»

И

v • -гг = — v • Уф + y2v • ¥ф->0(5.4.9)

при ««•>!.

Однако в предыдущем параграфе мы установили, что последовательное описание распространения света в гравитационном поле возможно лишь при

сФ = ^-=с(1 +2ф),

т. е. при сФ = 1 + 2<р, когда с = 1 вдали от источников. Тогда

_£/с2\ = 2с ^ = 4 —dt Vc<pJ zc<p • dt dt

при сф » 1. Так как

мы имеем

сф.-^- = 2сф.¥ф,(5.4.10)

и этот результат также сохраняет силу для частицы в пределе у->Сф. Значит, уравнения (5.4 9) и (5.4.10) несовместны и нужно разобраться в предположениях, использованных при выводе (5.4.9).

Уравнение (5.4.9) было получено из (5.4.7) подстановкой р = Ev, а уравнение (5.4.7) мы получили, приняв а = —1. Это предположение вытекало из равенства

п dE dp

которое является следствием соотношения

£2 — р2с2 = пг2с\

В частной теории относительности связь р = £v дает

Е =Е =тос2тос2Vi — у2/с2Vi — у2/с2(5.4.11)(5.4.11)

Е =

Е =

тос2

тос2

Vi — у2/с2

Vi — у2/с2

(5.4.11)

(5.4.11)

тос2тос2Е =Е =V1 — n2v2/c2 *V1 — n2v2/c2 *(5.4.12)(5.4.12)Здесь-то и кроется источник расхождений, ибо из равенства (5.4.11) вытекает ограничение у ^ с Мы установили, что в гравитационном поле локальная скорость света уменьшается, и было бы безнадежно требовать совпадения формы физических законов во всех свободно падающих системах отсчета, если бы в гравитационном поле частицы могли двигаться быстрее света. Заменив равенство (5.4.11) выражением

тос2

тос2

Е =

Е =

V1 — n2v2/c2 *

V1 — n2v2/c2 *

(5.4.12)

(5.4.12)

мы найдем, что максимальная скорость частицы равна с^ = = с/п. Если сохранить соотношение

Е? — р2с2 = т^е4,

то равенство (5.4.12) будет выполняться, если

p = n£v = (l — 2qp)£v,(5.4.13)

— здесь-то мы и отходим от обычной частной теории относительности! Тогда

пЕпЕdv dtdv dtdp dtdp dtЧПЧПdE dtdE dtEn — v dt ’En — v dt ’

пЕ

пЕ

dv dt

dv dt

dp dt

dp dt

ЧП

ЧП

dE dt

dE dt

En — v dt ’

En — v dt ’

(5.4.14)(5.4.14)так что в первом порядке по потенциалу ф мы имеем-^- = — (1 + у2) Тф + 4vv • Тф,v • -^- = — v • ¥ф + 3v2v • Тф,

(5.4.14)

(5.4.14)

а это как раз дает нужное притормаживание при у->1. Таким образом, мы по крайней мере добились соответствия с уравнением (5.4.10) в первом порядке по ф и нашли

уравнения

(5.4.15)(5.4.15)(5.4.16)(5.4.17)(5.4.16)(5.4.17)^- = — Е (1 + у2) Vф + Evv • V^,^ = -Ev-^

(5.4.15)

(5.4.15)

(5.4.16)

(5.4.17)

(5.4.16)

(5.4.17)

и новые кинематические соотношения

р = пЕч, Е2 — р2 = т2,

которые можно переписать в виде

г m0mQnv

Vi — ^2^2^ i — л2и2

Второе из этих соотношений показывает, что величина пт^ играет роль инертной массы. Однако истолкование этих уравнений несколько сложнее, чем прежде, и для их понимания будет полезно рассмотреть действие гравитационного потенциала на физические процессы в малой пространственной области.

§ 5. ДЕЙСТВИЕ ЛОКАЛЬНЫХ СИЛ

Поместим в гравитационное поле частицу, на которую, кроме силы тяготения, будет действовать еще некоторая произвольная сила F; пусть это будет, например, электрон

в атоме. Уравнения движения такой частицы имеют вид

^-^-fd + ^Vcp + fw.Vcp + F, (5.5.1)

^ = -£v-Vv + v.F.(5.5.2)

При F = 0 в первом порядке по ф имеем

4^(1 + <p)1 = -^ + £v-¥ф.

Тогда при свободном падении будет сохраняться величина Е (1 + ф). Аналогично в первом порядке по ф

^.-Еуу.?Ф = ^[р(1-Ф)], так как

^ = ^- + у.уФdt dt

Поэтому можно думать, что при наличии силы

4[£(1+t)] = v.F.(5.5.3)

Итак, когда речь идет о реакции частицы на локальные поля, в качестве энергии выступает величина Е(1 + ф). Когда никаких локальных полей, кроме гравитационного, нет (случай свободного падения), эта величина сохраняется, что, конечно, соответствует балансу потенциальной и кинетической энергии.

Такое отождествление означает, что при осторожном погружении системы, подвешенной на нити, в гравитационное поле ее энергия изменяется по закону Е-»Е(1 -j-ф), и именно так мы подошли к расчету красного смещения в теории тяготения Ньютона. Поэтому запишем энергию частицы со скоростью и поле потенциала Ф в виде

Е-»Еф —Е(1 4-ф) =(5-5.4)

Аналогичные рассуждения подсказывают возможность записи

-А(р(1_ф)) = _£(1+у2)¥ф + р,

и когда сила F значительно больше гравитационной силы, в качестве импульса частицы выступает величина рф = = р(1 — ф), т. е. при постепенном погружении атомной си-

стемы в область действия гравитационного потенциала ее реакция на внешнюю силу изменяется и следует положить

р->рф = р(1-ф) = Я^^о=11^1^.(5.5.5)

Эти результаты можно толковать как зависимость массы покоя от локального значения гравитационного потенциала:

т0 -> тОф = m0 (1 — Зф).

Поскольку величина ф отрицательна, масса в гравитационном поле должна возрастать, и частица действительно может замедляться, хотя ее импульс будет расти.

Опираясь на эти новые определения энергии, импульса и массы покоя, мы видим, что

Ш^ = m0 о — 3Ф) с2 ^ + 4Ф) = "V^ О + ф)>

тогда как £ф = £ (1 + ф), т. е. роль энергии, соответствующей массе покоя, играет величина тОфсф. Кроме того,

(5.5.6)(5.5.6)/72 — у2 р2, —— ууЛ г^

(5.5.6)

(5.5.6)

^ф ”фСф ^0фСф

я, конечно,я, конечно,Рф =Рф =^ф^ф«офУ«ОфСф«офУ«ОфСф(5.5.7)(5.5.7)(5.5.8)(5.5.8)

я, конечно,

я, конечно,

Рф =

Рф =

^ф

^ф

«офУ

«ОфСф

«офУ

«ОфСф

(5.5.7)

(5.5.7)

(5.5.8)

(5.5.8)

Таким образом, все кинематические соотношения частной теории относительности локально выполняются в областях пространства, в пределах которых ф заметно не меняется.

Уравнения свободного падения можно также записать как

-^ = - £(1 + V2) Уф = _ £Ф (1 + У2) Уф,

dt

в первом порядке по ф; если подставить сюда

то мы снова получим

-^L — — (1^ уф _|_ 4VV . уф,

где последнее слагаемое получается при дифференцировании скорости Сф по потенциалу ф.

Равенство /поф=(1—Зф)т0 означает, что в гравитационном поле могут существовать силы, зависящие от ускорения, чего мы не учитывали. К этому вопросу мы вернемся в гл. 6, § 5- можно спросить, не обязана ли вообще инертная масса своим существованием гравитационному потенциалу Вселенной (принцип Маха [5])?

§ 6. ГРАВИТАЦИОННОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ЛУЧЕЙ И ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ

Итак, мы примирили два факта, казалось бы, противоречащих друг другу, а именно, что наблюдаемое гравитационное красное смещение соответствует результатам примитивных расчетов, тогда как наблюдаемое гравитационное отклонение лучей света вдвое превышает наивный результат. Сила, действующая на частицу, содержит релятивистский член порядка (о/с)2, одна часть которого действует в направлении —Тф, а другая — в направлении движения частицы. Гравитационное отклонение вызывается той компонентой силы, которая нормальна к пути, а эта компонента имеет множитель (1+о2/с2), приводящий в случае света к требуемому множителю 2. Нежелательный множитель в выражении для энергии не появляется, так как обе части релятивистской поправки, взятые вместе, всегда действуют под прямым углом к направлению движения, не изменяя энергии.

Если стать на точку зрения волновой природы света, тов координатах плоского пространства нужно рассуждать следующим образом. Гравитационное поле играет роль диэлектрика, и в гравитационном поле, не зависящем от времени, диэлектрическая проницаемость не зависит явно от времени. Следовательно, частота постоянна. Поэтому частота, с которой свет излучается, смещается, приобретая множитель (1+фУ- Например, предположим, что мы опускаем- в гравитационную потенциальную яму электрон и позитрон. Энергия покоя пары изменяется в (1 + ф) раз. Полагая Av= = тс2, мы видим, что энергия и частота фотонов, рождающихся при аннигиляции, смещены за счет множителя (1+ф) по отношению к аналогичным фотонам, родившимся вне потенциальной ямы, полная же их энергия не изменяется при свободном падении, когда они покидают поле.

Частота излучения, испускаемого при классическом процессе, равна частоте осциллятора Поэтому в гравитационном поле частота осциллятора должна уменьшаться под действием гравитационного потенциала- соответственно и часы идут медленнее в такой потенциальной яме. В рассмотренных нами тензорной и в скалярной теориях механизм, которым

обусловлены эти эффекты, влияет и на длину измерительных стержней: гравитационный потенциал деформирует приборы, с помощью которых мы проводим измерения в системах от- счета. Но это уже предмет следующей главы.

ЛИТЕРАТУРА

Shapiro I. I. et al., Phys. Rev. Lett., 26, 1132 (1971).

Anderson J. D. et at, Astrophys. Journ., 200, 221 (1975).

Counselman С. C., Rankin J. M., Astrophys. Journ., 185, 357 (1973).

Counselman С. C. et al, Phys. Rev. Lett., 33, 1621 (1974).

.5. Dicke R. H., The Theoretical Significance of Experimental Relativity, Gordon and Breach, New York, 1965. .

Глава 6

ДЕФОРМАЦИЯ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей главе мы установили, что под действием' гравитационного потенциала скорость света изменяется по- закону

с-»сф = с(1 + 2ф),

причем изменяется и энергия покоя частицы:

£—>£ф = £(1 + ф).

Из последнего соотношения следует, что в гравитационном, поле изменяется частота периодических процессов:

CD —> СО (1 + ф)

и, значит, замедляется ход часов.

Если мы хотим обобщить принцип эквивалентности инертной и тяготеющей масс (который, пожалуй, было бы лучше называть принципом универсальности гравитационного ускорения) так, чтобы получился принцип, утверждающий, что

«Локально во всех свободно падающих системах отсчета законы физики одинаковы, лоренц-ковариантны и* содержат одни и те же численные значения констант», то мы должны получить одно и то же численное значение для скорости света в любой свободно падающей локальной системе. Вдали от источника гравитационного поля мы определяем по часам время прохождения светового импульса па некой траектории в лаборатории, а длину пути здесь же измеряем эталонным стержнем. Затем вся лаборатория погружается в гравитационную потенциальную яму и там все- измерения повторяются. Скорость света теперь меньше, чем: в системе отсчета вдали от источника:

с->сф = с(1 +2<р),причем замедляется и ход часов, хотя и в меньшей степени:

CD —> <Х> (1 +ф).

Скорость света определяется отношением длины измерительного стержня к числу N «тиканий» часов за время распро-

хранения света от одного конца стержня до другого, N - о)-1:

L Аф Аф

с —W_*W7~ Л ОН-ф).

Если

-то-тоцNgцNgL ^d + 2(p)L ^d + 2(p)

-то

-то

ц

Ng

ц

Ng

L ^d + 2(p)

L ^d + 2(p)

и измерительный стержень сокращается, так что, измеряя величину сф при помощи эталонного стержня и часов, помещенных в одно и то же поле, мы получим то же самое значение скорости света, что и вдали от источника потенциала ф.

Это можно показать еще иначе. Мы заключили, что атомные часы в гравитационном поле замедляют свой ход, ©-* ->(о(1+ф). Можно сконструировать часы, работающие на принципе многократного отражения светового импульса между двумя зеркалами, расстояние между которыми известно. Если в любой локальной свободно падающей системе отсчета физические законы одинаковы, то такие часы должны идти синхронно с атомными часами, когда те и другие падают в гравитационном поле с потенциалом ф. Скорость света уменьшается: с-* с(1 + 2ф), и если бы просвет между зеркалами не сокращался, то световые часы замедлили бы свой ход на ту же величину, сод->сол(1 + 2ф)- Если же L -* —»Л(1+ф), то <ol -> wl(1 + ф), и тогда атомные и световые часы будут показывать одинаковое время.

Поэтому необходимо разобраться в физике атомных процессов при наличии гравитационного потенциала. Мы предполагаем, что атомные частоты и атомные размеры будут изменяться соответственно множителю 1 + ф.

$ 2. АТОМЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ: ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБОВ

Рассмотрим атом в потенциальной яме ф, пренебрегая действием гравитационной силы (что всегда можно сделать, взяв атом в состоянии свободного падения) и действием приливных сил, которые ничтожно малы в- масштабах атома. Тогда импульс частицы с массой т0 имеет вид

П = mod — Зф)уРф -VI - nV ’

причем тф = (1—Зф)т. Для того чтобы гравитационный потенциал менял структуру атома, достаточно было бы изменения одной только массы, но это не может быть единственным эффектом.

Для наших целей достаточно воспользоваться просто боровской моделью атома. Его структура определяется уравнениями

-^ = 4, £ =(6.2.1)

и условием Бора

mvr = Й.(6.2.2)

[Если бы мы рассматривали классическую модель, то условие (6.2.2) следовало бы заменить законом сохранения момента импульса mvr = const.]

Характерный размер атома — боровский радиус

причемпричемЕ~Е~гвгвте*У •те*У •Уте1 *Уте1 *(6.2.3)(6.2.3)те* У •те* У •(6.2.4)(6.2.4)

причем

причем

Е~

Е~

гв

гв

те*У •

те*У •

Уте1 *

Уте1 *

(6.2.3)

(6.2.3)

те* У •

те* У •

(6.2.4)

(6.2.4)

Электрическое поле, удерживающее все части атома вместе, должно измениться при наличии гравитационного потенциала, так как оно определяется произведением тензора энергии-импульса электромагнитного поля на потенциал йцу. Влияние такой связи на электромагнитные волны выражается эффективным показателем преломления n = 1 — 2ф. Кроме того, как известно, опыты Этвеша — Дикке — Брагинского указывают на то, что электростатическая энергия системы пропорциональна величине 1 + ф. Плотность энергии электрического поля равна

(6.2.5)

кроме того, в классической теории электромагнетизма

V-(eE) = 4np.(6.2.6)

Тогда

и энергия ^, заключающаясяи энергия ^, заключающаясяв системе с размерами порядв системе с размерами порядка г, равнака г, равнае2 ег *е2 ег *

и энергия ^, заключающаяся

и энергия ^, заключающаяся

в системе с размерами поряд

в системе с размерами поряд

ка г, равна

ка г, равна

е2 ег *

е2 ег *

Такой системой может быть и конденсатор, и атомное ядро. Если предположить, что влияние гравитационного потен-

циала на данное поле выражается в изменении е, то изменение е вместе с изменением г, вызванным гравитационным потенциалом, приведут к умножению S на 1 + ср. Поэтому, если размеры физического объекта, согласно нашим предположениям, изменяются как 1 + ф, то

е=1~2ф.(6.2.7)

Введем этот множитель в соотношения, описывающие атом, заменив е2 в уравнениях (6.2.1) величиной е2/е; тогда

Гв те2 *

При определении размеров орбиты электрона в поле с потенциалом ф следует также заменить т величиной т(1—Зф); как мы и ожидали,

r5-*es(l + ф).

В итоге получаем

£, ф ~-^ ~ 0 + ф) ^е4

и приходим к полностью согласованной картине.

Отметим также, что, поскольку плотность магнитной энергии равна

цЯ28л

И

VXH= —с

где с — скорость света вдали от источников гравитационного поля, мы имеем

\Н\~е^-

и магнитная энергия Ж системы ведет себя так:

(6.2.9)

Если г ~ 1 + ф и у ~ г It ~ 1 + 2<р, то р ~ 1 —2ф и магнитная энергия реальной физической системы тоже изменяется как 1 + ф. Поэтому мы получим вполне согласованную картину, положив е = р = 1—2ф; тем самым мы найдем и эффективный показатель преломления для электромагнитных волн, как

п=-х/ец-(6.2.10)

Величины е и р играют обычную роль как в статических полях, так и в полях излучения, и атомная система действи-

тельно сокращается и замедляется при погружении в потенциальную яму сферически симметричного гравитационного поля. Конденсатор при этом сжимается, а его электрическое поле ослабевает, так что 8 ~(1+ф), а на основании опытов Этвеша — Дикке — Брагинского мы заключаем, что ядро, удерживаемое в виде единого целого силами, здесь не рассматривавшимися, сжимается точно так же.

При первой попытке расчета отклонения лучей света гравитационным полем мы воспользовались двумя подходами, которые привели к одинаковому результату. В первом постулировался принцип прямолинейного распространения света в свободно падающей системе отсчета. Во втором подходе отклонение лучей оценивалось по изменению импульса фотона под действием ньютоновской силы. Одинаковый резуль-' тат, к которому привели оба эти подхода, в 2 раза меньше наблюдаемого эффекта. Теперь можно сказать, что при изложенном выше подходе к гравитации свет отклоняется в гравитационном поле вдвое сильнее, чем это предсказывала теория Ньютона, и тем не менее распространяется прямолинейно в свободно падающем лифте. Система измерительных стержней так деформируется под действием гравитационного поля, что это устраняет ту часть искривления луча, которая не была скомпенсирована гравитационным ускорением. И наблюдатель, находящийся в такой системе отсчета, не может обнаружить эту деформацию.

В тензорной теории гравитационное отклонение луча на пути Дх равно

Аа = -^-Дх.. (6.2.11)

Эта величина уменьшается вдвое, когда система отсчета находится в состоянии свободного падения.

Величина (6.2.11)—это отклонение, измеряемое относительно недеформированной системы отсчета на большом удалении от источников гравитационного потенциала. Возьмем ящик, имеющий кубическую форму при наблюдении в такой олимпийской системе отсчета, и поместим его в гравитационную потенциальную яму. С точки зрения олимпийского наблюдателя дно ящика сократится сильнее, чем его крышка, но локальный наблюдатель, находящийся в ящике, не сможет заметить того, что его прямоугольная система координат согнулась, точно банан. Он насчитывает ровно столько же атомных диаметров на длине крышки ящика, как и на его дне, а свет затрачивает одинаковое время (по локальным часам) на прохождение и дна, и крышки. Если в олимпийской системе ребро ящика было равно Д£, то при значениях потенциа

да фКр на крышке и фдн на дне соответствующие длины ока*

жутся равны

AL (1 + <ркр/с2)

и

А£(1+Фди/с2)

(фиг. 11). Тогда угол между стенками равен

-^al

Аф

Ду

с2 Х dr

GM ггсг

Ах.

Если в свободно падающей системе свет был испущен из одной стенки под углом 90°, то он достигнет другой стенки

?—?—GMгGMг&х=Ду = ДЬ (/+•£ )&х=Ду = ДЬ (/+•£ )УУ

?—

?—

GMг

GMг

&х=Ду = ДЬ (/+•£ )

&х=Ду = ДЬ (/+•£ )

У

У

Фиг. 11. Деформация первоначально прямоугольного ящика вследствие неодинакового сокращения его дна и крышки в гравитационном поле.

тоже под углом 90°. Поэтому локальный наблюдатель будет утверждать, что в его системе отсчета свет распространяется прямолинейно. Олимпийский наблюдатель соглашается с этим и вычисляет теоретическое гравитационное отклонение света, наблюдаемое на больших расстояниях, как суммарный эффект ускорения наблюдателя и деформации локальной системы отсчета.

Если локальная система отсчета не падает, а покоится, то локальный наблюдатель обнаружит отклонение луча на угол

Аа = Ах-^-, (6.2.12)

а его акселерометр будет показывать «ускорение» GM/r2. Эти данные будут такими же, как если бы наблюдения проводились вне гравитационного поля в космическом корабле, движущемся с этим ускорением. Значит, именно деформация гравитационным полем измерительных стержней внесла то новое, что позволило получить локально эквивалентную физическую картину в гравитационном поле и в ускоренном космическом корабле, обеспечив при этом удвоенный по срав-

нению с первоначально ожидавшимся эффект отклонения лучей света. Система координат плоского пространства, в которой мы работали, четко определена, но не поддается наблюдению в рамках современной физики, и нам понадобились бы какие-то «гиперволны» из области научной фантастики, чтобы обнаружить путем локальных измерений деформацию измерительных стержней и изменение хода часов.

Можно посмотреть, что будет происходить в скалярной и в ньютоновой теориях в сферически симметричном поле

GM а —0000GM а -у0000GM а — г0000_ GM гGM а —0000GM а -у0000GM а — г0000_ GM г(6.2.13)(6.2.13)

GM а —

0

0

0

0

GM а -у

0

0

0

0

GM а — г

0

0

0

0

_ GM г

GM а —

0

0

0

0

GM а -у

0

0

0

0

GM а — г

0

0

0

0

_ GM г

(6.2.13)

(6.2.13)

при ф = —GM/r, где а = +1 для тензорной теории, а = —1 для скалярной и а = О для теории Ньютона. Уравнения (5.4.5) тогда примут вид

= — tn (1 + а2у2) Уф — aamvv • Уф,

dE„<6-'>

Чтобы выполнялось соотношение

С dt * dt *

следует положить а = —1, и мы получим

-у- = — tn (1 + оу2) Уф + cunvv • Уф,

4т = — mv • Уф. аг

Следовательно, масса ведет себя здесь как 1 + ф и Для атома

гв ~ —Цг; £, cd ~ те4.

Поскольку свет не претерпевает отклонения, эффективная диэлектрическая проницаемость вероятно равна 1, так что г в ~ (1 —ф) и £, cd ~ (1 + ф). Значит, длины увеличиваются, а часы замедляются. Ясно, что гравитационное красное смещение остается без изменения.

Свет снова распространяется в свободно падающем лифте прямолинейно с точки зрения наблюдателя в лифте — ведь, хотя для олимпийского наблюдателя свет не отклоняется, дно ящика (лифта) расширяется сильнее его крышки, что приводит к эффекту, обратному по сравнению с полученным в случае тензорного поля.

В ньютоновском случае мы имеем а = 0. Потребуем, чтобы выполнялось равенство п =Л —ф, и положим

р = пЕх = (1 — ф) Ех.

Тогда

4г= — V<p + 2w ¥ф,

и при и —► 1

. v • -^ -^ v2v • ¥ф,

что дает правильную величину замедления.* t

Затем мы получим

£ф = Е (1 + ф) (как обычно),

Рф=(1 -а^)пЕу = {\-ф)р и т^ = (1-ф)/га0,Сф =с(1 +ф).

При е = 1 —ф и тф = m (1 —ф) боровский радиус гв остается неизменным. Теперь опять £, со ~ те4 ~ те-2 ~ 1 + ф- В ньютоновой теории (т. е. смешанной, наполовину тензорной и наполовину скалярной) отсутствует деформация измерительных стержней, так что элементарные рассуждения гл. 1 сохраняют силу. Замедление хода часов, конечно, сохра; няется.'

ВЕС АТОМА

В нескольких последних главах мы рассматривали поля и реакцию на них со стороны точечных масс и установили, что гравитационное поле умножается на тензор энергии-им-

пульса, который в случае частицы интегрально равен т __ р ^Ххк ^Xv dt dt •

Как в скалярном, так и в тензорном случаях сила зависит от скорости; в частности, на частицу, движущуюся под прямым углом к напряженности поля —V(p, действует сила

— т(1+^2)^Ф в тензорном случае,

—/п(1 — у2)¥ф в скалярном случае.

Мы неявно предполагали, что связанная составная система, например атом, ведет себя подобно частице; ясно, что это должно быть именно так в случае опытов Этвеша — Дикке — Брагинского. В частности, мы видели в гл. 2, что тяготеющая и инертная массы, связанные с кинетической энергией ' нуклонов в ядре, должны быть одинаковыми с точностью до 1 • 10-10. Импульс нуклона в ядре — это величина порядка рг ~ й, где г ~ 10-13 см. Скорость такого нуклона составляет ~109—1010 см-с-1. Релятивистская поправка к силе тяжести, действующая на такой нуклон, очевидно, не проявляет себя, когда нуклон является связанным, — она чем-то компенсируется.

Мы можем сказать, чем могло бы быть это «что-то». Когда мы рассматривали только свободные частицы, то постулировали, что гравитационный потенциал умножается на сохраняющийся тензор энергии-импульса. Теперь же этот тензор стал малой частью тензора связанной системы (например, для нуклона в ядре) и отдельно не сохраняется. Вместо равенства

мы должны написать

=(6.3.1)

где 5TV — плотность силы. Сохраняющийся тензор должен быть некоторой конструкцией 37 №, такой,' что

-ЗГ =о,(6.3.2)

и если гравитационный потенциал должен умножаться на некую сохраняющуюся величину, то это должна быть величин а 2^5 ц v.

Кинетическая энергия нуклона в ядре не сохраняется — сохраняется только сумма его кинетической и потенциальной энергий. На эту сумму и умножается гравитационное поле* Какая же аналогия имеется для импульса?

Будем рассматривать нуклоны в ядре как газ, находящийся в ящике. Для одной его частицы выполняется уравнение (5.4.4)

Др» - - д t. - - д кdt myn°v dXp A^v mv^Vv дх^ /ipv.

Отсюда для dipldt следует выражение

-^- = — т (1 4~ у2) Уф + mw • Уф,

где член —тТф получается из ТцНи, прочие же — из Ни (i= 1,2,3). При суммировании по всем нуклонам произведение mv,vi, очевидно, дает не нуль, а величину, соответствующую среднеквадратичной скорости. Сумма же (по всем нуклонам) членов типа mviv/ соответствует скорости, с которой импульс «падает» в данном направлении. У стенок ядерного «ящика» этот импульс поворачивается назад механическими напряжениями в стенках (их можно назвать внешними силами, если речь идет о нуклонах, заключенных в ящике). Сумма давлений, оказываемых нуклонами, и напряжений, сдерживающих их, должна давать нуль при интегрировании по всему объему ядра для связанной системы. Если система покоится, то часть величины Ж и, отвечающая частицам, представляет собой давление; гравитационный потенциал умножается и на него, и на напряжения, и когда мы интегрируем, чтобы получить Жи, эти два слагаемых взаимно уничтожаются для связанной системы.

Картину можно представить себе наглядно, если рассмотреть уравнение движения частицы в гравитационном поле

^ = -w(l +ау2)¥ф + Р,(6.3.3)

где а = 4-1 для тензорной теории и а =—1 для скалярной. Величина F — это сила действия «пружинных весов», на которых висит частица, и при равновесии

F = m (1 4~ «У2) Уф.

Заключим газ из таких частиц в ящик объемом V. Пусть в единице объема будет п частиц. Тогда

F = nmV (1 4- ЦУ2) Уф,(6.3.4)

если игнорировать напряжения. Величина пти2 есть давление, оказываемое газом на стенки: пти2 = ЗР.

Если ящик опустить на бесконечно малую глубину в потенциальную яму, то размеры его изменятся (с точки зрения

олимпийской системы отсчета) и мы получим

У->У(1+ЗаДф) или АУ = ЗУаАф,

так как L —*L(1 + аф) в поле с потенциалом ф. Тогда

Р ДУ = nmx?aV Аф = лто2аУУф • Ах.

Поэтому работа, совершаемая при перемещении на бесконечно малое расстояние Ах, равна

" Р.Дх = (птУУф-Дх + РДУ).(6.3.5)

Весу соответствует здесь только первое слагаемое справа, так как второе компенсируется напряжениями, удерживающими всю систему в связанном состоянии.

Проводя измерения в лаборатории, в пределах которой гравитационный потенциал существенно не изменяется, мы не можем почувствовать разницы между скалярной и тензорной теориями и даже между любыми их комбинациями. Выбор правильного обобщения теории тяготения Ньютона может быть сделан лишь на основании измерения релятивистских поправок в области пространства, где гравитационный потенциал существенно изменяется.

КОВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Мы установили, что уравнение движения частицы в сферически симметричном гравитационном поле имеет вид

^ = — (1 + о2) Уф + 4w • Уф.

Хотелось бы найти соответствующие ему ковариантные уравнения. Важным моментом был наш вывод о замедлении ско-' рости распространения света, которую (тоже в случае сферически симметричного поля) нам удалось представить как с -> с(п при n = 1 — 2ф.

В более общем случае лучше исходить из явно ковариантных уравнений (5.4.7а)

dpo dx» dx^ ( дд X

dx — dx dr Gxp A^v дхи(6.4.1)

которые были выведены в гл. 5, § 4 на основании равенств

£2 — р2 = т2 и р = £V)

а также E(dx/dt) = m0 (соотношений, которые мы уже были вынуждены видоизменить).

В релятивистской механике 4-вектор энергии-импульса может быть записан в виде

Рр = ^o-^f dr2= — dx^ dx^ dx.dt

p, = m0 — ,E=m0-^.

При таких определениях мы имеем обычные соотношения

ахр ахр

PoPo^^-dT-dT^""^'

dx dx. dx,

Pi== Е "dT-dx- = Е ^dr” EUi

Напишем, сохраняя эти определения,

<Рхр _ dx№ dxv / 9hpVdh0V X

dx2 — dx dx \ dxpdxu /'(0.4.2)

Мы получили четверку уравнений, из которых мы выделим ускорение:

d2x^^^у,^^Г ^^v&h,y \ е

dx2dxdx\ dx,dx^ ) *

d2x,dxndx„/ dhyVdh^ X

dx2dxdx\ dxtdxtt /'

Тогда

d2x,d /dx, dt\_ d2t dx, d2x, / di у

dx2dx \ dt dx ) dx2 dt *" dt2 \ dx ) '

Подставив x^ = it, получим

^Xp dx^ / dhp^ dx dx \ dx.^Xp dx^ / dhp^ dx dx \ dx.d2x, / dt X2 "d^Vdx)

^Xp dx^ / dhp^ dx dx \ dx.

^Xp dx^ / dhp^ dx dx \ dx.

++dh^ dxpdh^ dxp. dx, dx^ dx^ / dhuv

+

+

dh^ dxp

dh^ dxp

1 dt dx dx \ dxt

что непосредственно дает

d2x, dxu dxv Г dftpVdhw . / dftuvdh^ X dx, "j

~dP~ — ~dT ~dF L-^dx^" + 1 V~^dx^") 1Г J 1

(6.4.3)

dx^ dx^ dh^dt dt dxtldx^ dx^ dh^dt dt dxtl-^т = — (1 + о2) V<p + vv • V<p — iv-^т = — (1 + о2) V<p + vv • V<p — ivПерейдем к не зависящему от времени сферически симметричному полю:

dx^ dx^ dh^dt dt dxtl

dx^ dx^ dh^dt dt dxtl

-^т = — (1 + о2) V<p + vv • V<p — iv

-^т = — (1 + о2) V<p + vv • V<p — iv

(6.4.4)(6.4.4)= — (1 +1>2) Vф 4- 2vv • Vy.

(6.4.4)

(6.4.4)

Это, конечно, соответствует уравнению (5.4.9), полученному при подстановке р = Ev и оказавшемуся непригодным. Нам нужно ковариантно обобщить такую кинематическую подстановку.

Сохраним соотношение

и положим

dxoРр = ^Хро*^"*

Из уравнений (6.4.2) и -(6.4.4) видно, что необходимо отыскать уравнения типа

d2xp dx^ dx» / dh^o dApv X

dx2dx dx \ dxp dx^

эквивалентные уравнениям

d2xpdxu dx» f dh^»dhp»dh^p X

dx2dx dx x dxpdx^dx» )*

Тогда, продифференцировав импульс по т, получим dppd2xa dxo dxpO

dx —m<oo dx4 + ° dx dx ~

d4x0 dx„ dxu dxpa ,c . ,.

= m^pa(6.4.5)

Представив x^ в виде 6p0 + hp0, найдем

(^ I h \ dlx° — dX№ dXv ( dh*N 9 dApv(R A RX

(бра + *₽<,)= "ST -5Г Vd^ - 2 ~d^) • (6Л-6>

Это уравнение явно ковариантно и отличается от нужного нам только множителем у величины сРха!с№. В первом порядке по /iuv мы, очевидно, имеем то самое уравнение движения, которое искали. Поправочный член слева соответствует 4-силе, зависящей от ускорения, и эта сила определяется гравитационным потенциалом.

Итак, теперь уравнение движения (5.4.14) в случае сферически симметричного потенциала ф в первом порядке по ф удалось получить из солидного общего уравнения. Посмотрим, какие следствия вытекают из него для энергии и импульса. Мы имеем

РА=-то’dxo

Эти соотношения явно ковариантны, и можно написать

(Xpa) Рр = m0-df«

В сравнительно простом случае, когда тензор h^ диагона* лен, получаем

dx,

Е=т<А\-Н^.

Тогда

Р = (1 + Md ^-h^E^,

и если р2 — Е? = —то, то

£—т0_

Vl-(l+AZi)2(l+A44)~2t/

что опять-таки согласуется с прежними определениями. При более общем виде величины h^ получилось бы похожее, хотя и гораздо более сложное уравнение.

Отметим следствия, вытекающие из соотношений

Р^о = - "& р0 = т^ -^-.

Если т0 — инвариант олимпийской системы отсчета, то они могут выполняться лишь при условии, что

Хро dxaXpo. dxa =(/т2.(6.4.7)

Мы сохраним обычные кинематические соотношения частной теории относительности, если произведем переопределение координат

Хра dxQ ► dXp.

что отражает сделанные ранее переопределения £ф ^* £(1+ф)' и Гф—*Т(1—ф) в случае не зависящего от времени сферически симметричного поля. Длина £ф измеряется в олимпийской системе отсчета и равна £ф = £(1 +ф), где L — длина, измеренная очень далеко от источника потенциала ф. Величина

dxt = XiOdXa

дает XioL<$ = (1—ф)£Ф = £ (в первом порядке по ф). Напишем уравнение (6.4.7) в виде1

(1 + huf dx2 - (1 + Л44)2 dt2 = - dx2.

Взяв (dr)2 = 0 (случай света в обычной частной теории относительности), имеем в тензорной теории

14г I = о + М (1+Ли)-' « 1 + 2ф.

В более общем случае

а+ад^У-^+^-Чтг)’’ так что

М = — Ат=_,

Vd + h«t - (1 + hu? х? V1 - (1 + huf (1 + Ли)-2 о2 ’

(6.4.8)

а это обычный результат для замедления хода часов, но с добавочным множителем (1 Ч-^)-1.

Отметим также, что при dr2 = 0 в случае диагонального тензора /iuv (хотя поле не обязательно сферически симметрично) выполняется соотношение

(1 + hny dx2 4- (1 + М2 dy2 4- (1 + йзз)2 dz2 = (14- W dt2.

Скорость света в направлении х необязательно равна скорости света в направлении у, так как ясно, что при Лц =А 0 изменяются длины вдоль оси х и т. д. Действительно, можно видеть, что в скалярной, ньютоновой и тензорной теориях часы замедляют свой ход одинаково (&44 = ф), причем в ньютоновой теории длины не изменяются (к» = 0). В тензорной теории длины сокращаются (Л« =—ф), а в скалярной— растягиваются (Л1( = ф).

Теперь можно сделать еще один шаг. Если написать

ииРфр = (дра4-2Лро)т0-^(6.4.9)

и

и

(6.4.10)(6.4.10)^Рфр^^ц dxy dh^

(6.4.10)

(6.4.10)

dr ^ dx dx дхр

то уравнение для ускорения при свободном падении

(6pa4-2Apa) dT2 — dT dT dXpdXv )(6.4.11)

в первом порядке no Auv снова даст нам уравнение движения в сферически симметричном поле. Преимущество такого определения состоит в том, что в отсутствие внешних сил (кроме гравитационных) величина

Рф4 = 04а4-2/14а)то-^-(6.4.12)

сохраняется, если dh^dx^ = 0, а величина

Pvi = (6to4-2/tia)/no^Pvi = (6to4-2/tia)/no^(6.4.13)(6.4.13)

Pvi = (6to4-2/tia)/no^

Pvi = (6to4-2/tia)/no^

(6.4.13)

(6.4.13)

сохраняется, если dh^ldxi = 0. Именно эти величины ведут себя как импульс и энергия, когда в присутствии гравита-

ционного поля прилагаются внешние силы (например, электромагнитные). Когда тензор h^ диагоналей *),

(6.4.14)(6.4.15)(6.4.14)(6.4.15)g Wo (1 + А44)

(6.4.14)

(6.4.15)

(6.4.14)

(6.4.15)

Ф Vl-(1 +Й(1)(1 +А44)~2О2 ’

ф‘ V1 — (1 + Az.)2 (1 + Л44)-2 У2 '

Расчеты, проведенные нами в гл. 5 и гл. 6, § 1 и 2, дополненные соображениями данного параграфа, показывают, как появляются дополнительные множители, обусловленные гравитационным полем, отсутствовавшие в частной теории относительности. Масштабные изменения, выражающиеся соотношением (6.4.7), не должны использоваться совместно с теми, которые рассчитываются на основе обобщенных выражений для массы и энергии, так как это разные способы выражения одних и тех же физических эффектов.

ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ (ОПЯТЬ ДЛЯ ЗНАТОКОВ)

Явно ковариантные уравнения (6.4.11) содержат в более общем виде все выводы, сделанные в гл. 5 и гл. 6, § 1 и 2. Эти уравнения можно вывести, записав инвариантный лагранжиан для частицы, находящейся во внешнем гравитационном поле, как

dx» dx.L dxn dx^

и подставив его в ковариантные уравнения Эйлера — Лагранжа (3.3.3). При таком подходе просто и естественно получаются и силы, зависящие от ускорения, что основывается на определении скаляра взаимодействия

h

как инвариантной плотности функции Лагранжа.

Диктуемое наличием гравитационного поля обобщение уравнений электродинамики также может быть получено, если к функции Лагранжа свободных полей (см., например, [1]) с источниками добавить член взаимодействия, в котором гравитационный потенциал h,^ умножается на тензор энергии-импульса электромагнитного поля [2] 2) (см. также изложение данного вопроса на языке обычной общей теории относительности в монографиях [1 (разд. 88), 3 (гл. 5, 12)].

Такой подход не только обобщает наши результаты на случай общего тензорного поля, но и дает автоматически ковариантные уравнения электродинамики в присутствии гравитации. Результаты справедливы для слабых гравитационных полей, но могут быть распространены на случай сильных полей [2], давая в конце концов полную теорию Эйнштейна.

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, «Наука», М., 1973.

Т birring W. Е., Ann. of Physics, 16, 96 (1961).

Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972. (Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология, «Мир», М., 1975.)

Глава 7

СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей главе мы изложили такой взгляд на тяготение, при котором ускорение тел в гравитационном поле универсально и эффекты гравитационного красного смещения, отклонения лучей света Солнцем и задержки отраженного радиолокационного сигнала по величине согласуются как с общей теорией относительности, так и с экспериментом. Мы выяснили также, как в такую теорию включается принцип эквивалентности для физических процессов во всех свободно падающих локальных системах отсчета. Таким образом, мы вывели три из четырех знаменитых эффектов, служащих для проверки общей теории относительности (и даже любой теории тяготения). Четвертый эффект — смещение перигелия Меркурия. Этот эффект особенно важен, ибо он пока остает< ся единственным критерием правильности выбора нелинейных членов в данной формулировке теории тяготения1).

В поле, силовое действие которого точно подчиняется закону обратного квадрата расстояния, планета движется, согласно ньютоновой механике, по эллиптической орбите. Оси этого эллипса неподвижны относительно абсолютного пространства ньютоновой механики, которое практически определяется как система отсчета, связанная с весьма удаленными звездами. Если гравитационное поле, в котором движется планета, не обеспечивает идеального закона обратных квадратов, то положение изменяется и наряду с прочими эффектами возникает медленное вращение осей эллипса относительно удаленных звезд. Перигелием называется точка орбиты, ближайшая к Солнцу, и если эллипс вращается, происходит и медленный поворот перигелия относительно удаленных звезд. (В Солнечной системе такое вращение вызывается в основном возмущениями со стороны остальных планет.) Проще всего исследовать это явление, рассматривая круговое движение планеты вокруг Солнца (или другого центрального тела) и накладывая на это круговое движение малые радиальные колебания. Если периоды этих двух скла-

9 Локация Луны дала дополнительные данные [И, 12].

Фиг. 12. Частица на орбите с большим эксцентриситетом, поворачивающейся с течением времени (показана траектория за ~ 2 V4 оборота).Поворот орбиты сильно преувеличен.Фиг. 12. Частица на орбите с большим эксцентриситетом, поворачивающейся с течением времени (показана траектория за ~ 2 V4 оборота).Поворот орбиты сильно преувеличен.

Фиг. 12. Частица на орбите с большим эксцентриситетом, поворачивающейся с течением времени (показана траектория за ~ 2 V4 оборота).

Поворот орбиты сильно преувеличен.

Фиг. 12. Частица на орбите с большим эксцентриситетом, поворачивающейся с течением времени (показана траектория за ~ 2 V4 оборота).

Поворот орбиты сильно преувеличен.

дывающихся движений совпадают, то планета возвращается в точку перигелия, пройдя 2л радиан. В этом весьма частном случае орбита является замкнутой и повторяется без изменения при каждом обороте планеты вокруг Солнца. Если же периоды неодинаковы, но соизмеримы, то прежняя орбита повторяется после некоторого числа оборотов, а при несоиз

меримости периодов выход на прежнюю орбиту не происходит никогда.

Если период радиальных колебаний равен TR) а период обращения (прохождения 2л радиан)—Те, то за время TR планета проходит 2л(Тя)/Т0 радиан. Поэтому за каждый оборот точка перигелия сдвигается на угол

2л — 1) радиан (фиг. 12).

СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ В МЕХАНИКЕ НЬЮТОНА

Мы покажем сначала, что в ньютоновой механике в случае потенциала, изменяющегося по закону 1/г, смещение перигелия отсутствует.

Гравитационный потенциал имеет вид

GM

а уравнения движения —

=(7.2.1)

Движение происходит в одной плоскости, и, разлагая уравнение (7.2.1) на радиальную и касательную компоненты, мы имеем

Р-2.3)

ИЛИ

74 (г2 37") "°-<7-2-4)

Интегрирование уравнения (7.2.4) дает

r^ = h*(7.2.5)

где Л — константа, равная, очевидно, моменту импульса на единицу массы, ибо угловая скорость равна dQ/dt. Таким образом, уравнения (7,2.3) и (7.2.4) выражают закон сохранения момента импульса.

Поскольку h— константа движения, из уравнения (7.2.2) можно исключить угловую часть и написать

Фиг. 13. Эффективный потенциал, которым определяется характер радиального движения в поле с потенциалом типа 1/лКруговая орбита соответствует отношению r{R=\. Исследование почти круговой орбиты сводится к анализу малых колебаний около этой точки.Фиг. 13. Эффективный потенциал, которым определяется характер радиального движения в поле с потенциалом типа 1/лКруговая орбита соответствует отношению r{R=\. Исследование почти круговой орбиты сводится к анализу малых колебаний около этой точки.

Фиг. 13. Эффективный потенциал, которым определяется характер радиального движения в поле с потенциалом типа 1/л

Круговая орбита соответствует отношению r{R=\. Исследование почти круговой орбиты сводится к анализу малых колебаний около этой точки.

Фиг. 13. Эффективный потенциал, которым определяется характер радиального движения в поле с потенциалом типа 1/л

Круговая орбита соответствует отношению r{R=\. Исследование почти круговой орбиты сводится к анализу малых колебаний около этой точки.

что соответствует одномерному движению в поле с циалом_ Л2GMФэфф 2г2 гчто соответствует одномерному движению в поле с циалом_ Л2GMФэфф 2г2 гпотен-(7.2.7)потен-(7.2.7)(фиг. 13). Первое слагаемое в выражении (7.2.7) отвечает центробежному отталкиванию точно того же типа, как в задачах квантовой механики. При круговом движении *(фиг. 13). Первое слагаемое в выражении (7.2.7) отвечает центробежному отталкиванию точно того же типа, как в задачах квантовой механики. При круговом движении *

что соответствует одномерному движению в поле с циалом

_ Л2GM

Фэфф 2г2 г

что соответствует одномерному движению в поле с циалом

_ Л2GM

Фэфф 2г2 г

потен-

(7.2.7)

потен-

(7.2.7)

(фиг. 13). Первое слагаемое в выражении (7.2.7) отвечает центробежному отталкиванию точно того же типа, как в задачах квантовой механики. При круговом движении *

(фиг. 13). Первое слагаемое в выражении (7.2.7) отвечает центробежному отталкиванию точно того же типа, как в задачах квантовой механики. При круговом движении *

dedeI =о,I =о,

de

de

I =о,

I =о,

так чтотак что(7.2.8)(7.2.8)№ _ GM R3 ~ R2 *

так что

так что

(7.2.8)

(7.2.8)

где R— радиус круговой орбиты. Введем радиальные колебания, положив

г = Р + р;

тогда уравнение (7.2.6) примет вид

d2p _ A2GM

d/2 ~ (Я + р)3 (R + р)2 •

d2p"di2"d2p"di2"ЗА2R4ЗА2R42GMR32GMR3УУРазложение по степеням р/Р дает

d2p"di2"

d2p"di2"

ЗА2

R4

ЗА2

R4

2GMR3

2GMR3

У

У

а подстановка величины Л2 из равенства (7.2.8) —

(7.2.9)(7.2.9)d2p _GM

(7.2.9)

(7.2.9)

dt2 —R3 Р‘

Тогда

Р = Ро sin д/ -^- t

и период малых радиальных колебаний оказывается равным

(7.2.10)(7.2.10)TR — 2л aJ qm .

(7.2.10)

(7.2.10)

При касательной скорости

и периметре орбиты ~2лР получим период обращения

Т6 — 2л л / QM ,Т6 — 2л л / QM ,(7.2.11)(7.2.11)

Т6 — 2л л / QM ,

Т6 — 2л л / QM ,

(7.2.11)

(7.2.11)

такой же, как и период радиальных колебаний. Смещение перигелия отсутствует.

Понятно, что это лишь частный случай. Допустим, что потенциал типа 1/г возмущен (центральным) добавком с другой радиальной зависимостью:

Ф=-(1 +тг).

Тогда при круговом движении

Л2 _ GM г. (л+ 1)а1

R3 — Я2 I? + Rtt J

и радиальное уравнение имеет вид

dt11 — (/? + р)3№ + р)2 L1 (Я + Р)" J ~

GM Г. (л2 - 1)а 1

так что

^V^-t^]

(при п = 0 оба периода, конечно, совпадают). Смещение перигелия теперь равно

(7.2.12)(7.2.12)( т р\/ а

(7.2.12)

(7.2.12)

2л 1-^— 1 1 = лм(п+ 1)-о7Г.

X 1 в/

Единственный случай, когда такое простое возмущение представляет интерес, это п = 2, что соответствует поведению поля квадруполя в экваториальной плоскости.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ И НЕОБХОДИМОСТЬ ВВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЧЛЕНОВ

В гл. 5 мы получили [формула (5.4.14)] уравнение движения

2^_(1 + у2)7ф + 4уу.Уф, (7.3.1)

которое переходит в (7.2.1) при и—>0 и дает правильное отклонение лучей света в поле Солнца. Это уравнение было выведено с учетом только членов, линейных по потенциалу. Очевидно, что оно приводит к отклонению от ньютоновой механики в порядке п2 (при с= 1), и мы могли бы сразу же применить методы предыдущего параграфа, чтобы найти скорость движения орбиты планеты, связанную с ним.

Однако для планеты

у2 GMг ~ г2 ’

так что безразмерные величины v2[c2 и GM/rc2— одного порядка. Значит, если мы будем рассматривать релятивистское воздействие тяготения на орбиты планет, то наряду с поправками типа и2Уф следует учитывать также поправки типа фУф. Как мы уже видели, уравнения гравитационного поля должны быть нелинейными, что приведет к появлению в любых возможных уравнениях движения членов ~фУф. Иссле-

дуем поэтому эффект смещения перигелия, исходя из уравнения движения вида

^ = — (1 -|_ у2) уф _. аУф2 + 4vv • ¥ф,(7.3.2)

которое отличается от уравнения (7.3.1) тем, что в нем величина ф заменена величиной ф(1 + аф), а члены типа сАр2, имеющие порядок малости ф3, отброшены. Прежде всего требуется найти правильное значение коэффициента а. Он отчасти обусловлен нелинейностью уравнений поля, но следует иметь в виду, что, даже пренебрегая нелинейностью, мы получим а=1, исходя из самого солидного вида уравнений свободного падения в тензорной теории уравнения (6.4.11). [В этом нетрудно убедиться, проделав с уравнением (6.4.11) те же преобразования, что и при выводе уравнения (6.4.4) из (6.4.2), и сохранив все члены до второго порядка малости включительно.]

СИЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЧЛЕНЫ

Мы не будем пытаться строить последовательную нелинейную теорию тяготения даже во втором порядке по потенциалу ф. Вместо того чтобы распутывать этот гордиев узел, мы разрубим его, опираясь на сильный принцип эквивалентности.

В гл. 2 мы видели, что инертная и тяготеющая массы с высокой степенью точности пропорциональны друг другу, если учитывать также энергию, содержащуюся в электромагнитном поле и полях сильного взаимодействия. Опыты Этвеша— Дикке — Брагинского мало что говорят о слабых взаимодействиях и уж совсем ничего — об инертных и тяготеющих массах самих гравитационных полей1). Принцип эквивалентности утверждает, что в любой локальной свободно падающей системе отсчета выполняются одни и те же ло- ренц-ковариантные законы физики с одними и теми же численными значениями коэффициентов. Такого рода принцип представляет собой обобщение данных частной теории относительности и результатов опытов Этвеша — Дикке — Брагинского и не вызывает особых сомнений в применении к законам электромагнетизма и сильных взаимодействий, но в приложении к законам тяготения — это лишь гипотеза. Сильный принцип эквивалентности предполагает, что все законы физики, в том числе и сам закон тяготения, одинаковы во

’) См., однако, наше примечание на стр. 51 о соответствующих астрономических данных. — Прим, peck

всех локальных свободно падающих системах отсчета. Опираясь именно на такой постулат, Эйнштейн пришел к уравнениям поля общей теории относительности. Наши цели более скромны, и мы воспользуемся ими, чтобы найти константу а в уравнении (7.3.2), приняв, что в строго последовательной тензорной теории содержится и принцип сильной эквивалентности (как это и есть на самом деле).

Если сильный принцип эквивалентности верен, то, осторожно погружая маленькую солнечную систему в гравитационную потенциальную яму намного больших масштабов, например в поле галактического потенциала, мы обнаружим, что характерные размеры и частоты этой системы, если их измерять локально, не изменяются. С точки зрения олимпийской системы отсчета атомы сократятся в размерах и процессы в них замедлятся в равной пропорции. При погружении нашей маленькой солнечной системы в поле галактического потенциала Ф ее линейные размеры должны измениться в пропорции 1 + Ф, а характерные интервалы времени — в пропорции 1—Ф. Тогда скорости изменятся как 1 + 2Ф, и для величины и2/г мы получим

+ зф.

Так как и2 ф 4г г ’

где ф— внутренний потенциал маленькой солнечной системы, для него должно выполняться соотношение

Ф 1 *Т" 4Ф, т. е.

ф->ф(1 + 4Ф).

Тот же результат можно получить, если учесть, что энергия тела массой т в поле с потенциалом ф равна —тор и что т меняется как (1—ЗФ), тогда как в соответствии с сильным принципом эквивалентности энергия должна меняться как 1 +Ф.

Величина 2фФ — это удвоенное произведение первого члена на второй в квадрате суммы (ф + Ф)2, так что анализ свойств малой тяготеющей системы в поле потенциала более крупных масштабов подсказывает общую замену

как способ получения поправки второго порядка к потенциалу ХР в уравнении (7.3.1).

Это разумно. Возьмем две массы т в поле с потенциа-

лом Т, для которых разность потенциалов составляет АТ. Разность их энергий равна mAV. Сравним ее с разностью атомных энергетических уровней в поле Ч1*. При изменении Ч7 последняя ведет себя как 1 + Ч7, так что принцип сильной эквивалентности удовлетворяется, если тАЧ1- изменяется как 1 +ЧГ. Поскольку т изменяется по закону 1—349 А47 изменяется пропорционально 1 + 449 т. е.

АФ -> AW (1 + 449 = А ^ + 24г2).

Чтобы рассчитать движение планеты с точностью до членов "второго порядка малости в рамках сильного принципа эквивалентности, следует заменить потенциал ф (=—GM/r) в уравнении (7.3.1) величиной ф + 2ф2, т. е. положить а = 2 в уравнении (7.3.2).

РАСЧЕТ СМЕЩЕНИЯ ПЕРИГЕЛИЯ

Возьмем уравнение движения в виде (7.3.2),

= — (1 + v2) ¥ф — а¥ф2 + 4vv • Уф, (7.5.1)

и разложим его на компоненты.

Угловая компонента имеет вид

1А(г2^ = 4г(7.5.2)

г dt у dt ) у dt J dt dr4'

Отметим, что это уравнение, соответствующее закону сохранения момента импульса, отличается от своего ньютоновского прототипа: его правая часть не равна нулю.

Так как потенциал ф не зависит явным образом от времени, уравнение (7.5.2) можно записать как

7"4-(r2"S")=4r (^-S--(7.5.3)

г dt X dt )\ at J atх '

Пусть

хг2-$- = й,(7.5.4)

d^ dx "dt"~dtd^ dx "dt"~dtгде А — константа, а х—неизвестная релятивистская поправка, для которой мы будем искать уравнение. Дифференцирование уравнения (7.5.4) по времени дает

d^ dx "dt"~dt

d^ dx "dt"~dt

(7.5.5)

Тогда из уравнений (7.5.3) и (7.5.5) получим

9 d^ dxr ~dt~di9 d^ dxr ~dt~di

9 d^ dxr ~dt~di

9 d^ dxr ~dt~di

или

dt — dt '

Поскольку мы ограничиваемся порядком малости, только на единицу превышающим ньютоновский предел, достаточно будет положить

х = 1 — 4ф

(при ф —► О должно получаться х->1), и уравнение для угловой составляющей принимает вид

г2-^-«й(1-4^-).(7.5.6)

Поскольку ранее была введена величина

(1—Зф)т0

V1 — (1 -2<р)2 у2

[формула (5.5.5)], можно предполагать, что величина

(1-3Ф)г2-^-

сохраняется. Но это не верно. Момент импульса равен

J = mv X г-

Так как

vx4y = vXv = 0,

мы имеем

\ dm .( dv X

-ЗГ-^Хг)—+ -»(тХг).

Из уравнений (7.3.1) и (7.5.1)

^ X г = 4 (v X г) v • Гф, так что

-g.:=(vXr)[^- + 4mv.VV].

С точностью до малых первого порядка

т = то (1 — Зф + ^ v2).

и поэтому

^. = Wo(v-^--3v.Vv).

Главный член в выражении для dsldt равен —Тф, а, значит, в первом порядке по ф величина dJIdt действительно обра* щается в нуль, когда vXr дается уравнением (7.5.6).

Следующее из уравнения (7.5.1) радиальное уравнение движения имеет вид

d^r / d6 V Г, । < dr V । (. de ^П (

rVdt) =—L1 + (^r) + (r^r)J+

(7.5.7)(7.5.7). 2a / GM \2 . . / dr V QM

(7.5.7)

(7.5.7)

+ —(—) + 4Ы —•

В случае круговой орбиты величины dr/dt и cPrldt2 равны нулю. Если на эту круговую орбиту наложить малые радиальные колебания, то можно пренебречь членами с (dr/dt)2, которые к тому же ангармоничны, так что не изменяют основного периода и уничтожаются при усреднении по нескольким оборотам. Отбросив их, получим -

(7.5.8)(7.5.8)d2r ( dO X2г / </0 \2-| ом 2a / GM X2

(7.5.8)

(7.5.8)

^—ГШ «-U + v^r)]—+-(—)

Исключим отсюда d^[dt с учетом равенства (7.5.6). Так как

A2 GM

R2~ R

и так как достаточно ограничиться членами порядка (GMJR)2, мы получим

d2r _(. . А2 X GM . 2а f GM V . А2 /.8 GM X ,„ - m

+—U—T-)- (7-5-9)

Положим теперь г = R + p, где R такое, что

"^-\ =0 —I =0

и с точностью до членов порядка (GM/r)2 получим

d2p _GM /.9GM X

dt4 ~R3 VR )P*

так что период радиальных колебаний будет равен

r.-^VwC + TT-)'<7-510>

Постоянная а здесь исчезла в результате подстановки величины h, полученной из уравнения (7.5.9) при d?r]dt2 = 0, т. е.

A2 GM Г, I /n о . GAfl ^г= —[1+(9 —2a)—J.(7.5.11)

Орбитальная скорость следует из уравнения (7.5.6) и равна

n d0 А 4GM X ГОМ Г. . / 1 X GM4

R-B—RV-—)-\—V + V2-a)-rV

так что период обращения составляет

^"VsH1 -G—*) Т]<7-5'12>

Мы видим, что за одно обращение перигелий смещается на

/ TD XGM

2"(-^-1) = 2л(5-а)—(7.5.13)

радиан.

При а = 2 (т. е. при значении а, полученном как следствие сильного принципа эквивалентности) мы имеем 6n,GMfR радиан за одно обращение, что совпадает с эйнштейновским результатом. При а = 1 (тензорная теория без учета эффектов самодействия гравитационного поля) получается SuGM/R радиан за одно обращение, т. е. 4/з результата общей теории относительности.

СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ

Ближайшая к Солнцу планета — Меркурий. На орбите Меркурия сильнее всего сказываются релятивистские поправки, о которых мы говорили, и к тому же наблюдениям благоприятствует ее большой эксцентриситет е = 0,206. В том приближении, в котором выводилось уравнение (7.5.13), такой эксцентриситет не влияет на скорость смещения перигелия, но облегчает ее практическое измерение. Уже более ста лет известно, что после учета влияния возмущений со стороны других планет остается еще аномальное смещение перигелия Меркурия на 43" (угловые секунды) в столетие.

Полученное нами выражение для смещения перигелия (за одно обращение) после внесения в него в явном виде множителя 1/f2 (ранее для удобства приравненного единице) таково:

где Rm — некий параметр, соответствующий радиусу орбиты Меркурия.

Большая полуось орбиты Меркурия равна а = 0,3871 а. е. (а. е. = астрономическая единица = 1,496-1013 см). Эксцентриситет орбиты равен

е = 0,206,и малая полуось

& = а V1 — е2

на 2% короче большой полуоси. Наш упрощенный анализ, основанный на исследовании малых радиальных колебаний,

не дает прямых указаний относительно того, какую величину взять за Rm. Заметим, однако, что смещение перигелия дается также выражением

— 6л-^-,

где фк— потенциал в точке R. При движении планеты по эллиптической орбите она проходит лишь в узкой области изменения потенциала, и мы, заменив ф« его средним значением (ф), получим

Уравнение эллипса имеет вид

у = 1 + е cos 6,

где 0 — угол, отсчитываемый от большой оси, так что усреднение по 0 дает (l/r) = 1//, где / — расстояние от фокуса эллипса до его кривой перпендикулярно большой оси:

/ = а(1 — в2)

или, иначе,

/2 \ гмакс гмин /

Поэтому окончательно мы имеем для смещения перигелия за одно обращение выражение

представляющее собой результат более полного анализа уравнения (7.5.1) при а = 2, который может быть также получен из общей теории относительности [1, разд. 9.5].

При

/ = 0,555- 1013 см,

МО=1,99- 1033 г

мы получаем

6л—-^-=0,501 • IO-6

радиан за одно обращение. Период обращения Меркурия вокруг Солнца равен 0,241 года, так что смещение перигелия Меркурия, даваемое выражением (7.6.1), составляет 43" за столетие.

Смещение перигелия Меркурия измеряется относительно системы отсчета, связанной с Землей. Эту систему нельзя непосредственно связать с системой отсчета удаленных звезд^

так как ось вращения Земли в этой системе не остается неподвижной, а прецессирует с периодом около 26000 лет (предварение равноденствий) из-за действия приливных гравитационных сил на квадрупольный момент Земли. Наблюдаемое смещение перигелия Меркурия (~5600"± ~0,5" за столетие) складывается из части, соответствующей предварению равноденствий (~5025" за столетие), части, обусловленной планетарными возмущениями (~532" за столетие), и остаточного аномального смещения, равного (подробнее см. [1 (разд. 8.6), 2]) ~43" ± 1" за столетие в согласии с общей теорией относительности (которую можно назвать иначе теорией безмассового поля со спином 2 и с самодей- ствием). Смещение перигелия измерялось и для других планет, но точность измерения не превышала 10%.

Таким образом, согласие между вычисленным и наблюдаемым смещениями перигелия Меркурия за столетие с точностью 2% подтверждает правильность уравнения движения (7.5.1) с значением а = 2, а-не с значением а= 1, которое давала теория со спином 2 до того, как мы ввели нелинейные члены, отвечающие самодействию; это единственное подтверждение правильности выбора нелинейных членов1). Правда, такое заключение справедливо только в том случае, если мы не забыли чего-нибудь, и в этой связи мы коснемся в § 7 квадрупольного момента Солнца.

Недавнее открытие пульсара в двойной звездной системе [3] (о релятивистских эффектах см. [4, 5]) сделало возможным исследование намного более сильных гравитационных полей, чем существующие в Солнечной системе. Период пульсаций пульсара PSR 1913 +16 равен 59 мс, и он входит в состав двойной системы с периодом обращения 7,75 ч. Эксцентриситет орбиты очень велик. Предполагается, что сам пульсар — это нейтронная звезда с массой ~MO и массы обоих компонентов не сильно различаются. Имеются данные о том, что второй компонент намного более плотный, чем звезды главной последовательности, т. е. белый карлик, нейтронная звезда, а может быть даже черная дыра.

Таким образом, величина

делает в принципе легко наблюдаемыми релятивистские вариации доплеровского смещения и гравитационного красного смещения частоты пульсаций, а также дает смещение пе-

*) Можно, однако, построить теорию тяготения без самодействия, которая давала бы яравильное смещение перигелия Меркурия [6].

риастра, равное нескольким градусам в год. Оказывается возможным также наблюдение эффектов спин-орбитального взаимодействия.

СПЛЮСНУТОСТЬ СОЛНЦА

В гл. 7, § 2, было отмечено, что смещение перигелия можно получить в рамках механики Ньютона, если ввести возмущающий потенциал, изменяющийся с радиусом как r-("+i) (п=/=0). Такие члены имелись бы в потенциале, если бу Солнце не было идеально сферически симметричным, причем единственным существенным членом был бы потенциал квадрупольного момента масс, ведущий себя при изменении радиуса как г-3. Наличие квадрупольного момента отразилось бы на фигуре Солнца: диск Солнца был бы слегка сплющен (уплощен у полюсов). Некоторая сплюснутость может быть обусловлена самим вращением Солнца. Интерес к этому вопросу пробудился вновь около 10 лет назад, когда Дикке и Гольденберг [7] провели измерения, давшие для квадрупольного момента Солнца во много раз большую величину, чем должно быть в случае равномерного вращения; эта величина была бы достаточна, чтобы приводить к смещению перигелия Меркурия примерно на 3" за столетие.

В ньютоновой теории гравитационный потенциал тела, локальная плотность массы которого равна р, имеет вид

<7-7Л>

Проводя разложение до квадрупольного члена включительно, получим для тела вращения

- ^ (4 cos2 6 -1) 5 р (г') (4 cos2© -1) rW, (7.7.2) где 0 — полярный угол вектора г, а © — полярный угол вектора г' (оба угла отсчитываются от оси симметрии квадруполя). Данное выражение удобнее переписать в виде

ф (Г) = - ^1 [1 - Р2 (cos 0) Q (-^)2],(7.7.3)

где Q — параметр, характеризующий квадрупольный момент тела,

Для эллипсоида с однородной плотностью этот интеграл равен

а если a = b-V\ (сплющенный эллипсоид), то Q = 2ta\!r^

Плотность Солнца, конечно, неоднородна, и для него соотношение между квадрупольным моментом и параметром сплюснутости А сложнее. Вблизи поверхности Солнца эффективный потенциал равен сумме гравитационного потенциала (7.7.3) и члена, даваемого центробежной силой,

Фэфф = - -^ [1 - Р2 (cos 6) Q (^)2] -1(7.7.4)

где R— координата, измеряемая перпендикулярно оси вращения, а со — угловая скорость вращения на поверхности. До тех пор пока поверхность Солнца поддерживается в равновесии давлением, она совпадает с эквипотенциальной поверхностью уравнения (7.7.4).

Приравняв друг другу значения фЭфф на полюсах и на экваторе Солнца, получим равенство

А 3^ t 1 CD^gА 3^ t 1 CD^g(7.7.5)(7.7.5)

А 3^ t 1 CD^g

А 3^ t 1 CD^g

(7.7.5)

(7.7.5)

Если бы квадрупольный момент был пренебрежимо мал, то сплюснутость поверхности определялась бы полем вида 1/г плотного ядра Солнца и центробежной силой и мы имели бы

(7.7.6)(7.7.6)A(Q = O)_1 со2^f о 2 GMq

(7.7.6)

(7.7.6)

Так как период вращения поверхности Солнца составляет приблизительно 26 сут, получаем

г о

что и соответствует пренебрежимо малому квадрупольному моменту. Другая крайность — взять равномерно вращающееся Солнце с однородной плотностью и положить в формуле (7.7.5)

Это дает сплюснутость

△однГ0△однГ05 о2Гд5 о2Гд= 2,5 • 10~5= 2,5 • 10~5

△одн

Г0

△одн

Г0

5 о2Гд

5 о2Гд

= 2,5 • 10~5

= 2,5 • 10~5

и квадрупольный момент Q = 10~5. Любая равномерно вращающаяся модель Солнца намного ближе соответствует первому случаю, чем второму. В экваториальной плоскости P2(cos 6) = —7г, и положив и = 2 и а = M^Qr^ в формуле (7.2.12), можно сказать, что смещение перигелия Меркурия за столетие, обусловленное квадрупольным моментом Солнца, должно быть намного меньше Г'.

Дикке и Гольденберг в результате своих измерений получили сплюснутость, равную 4,5-10~5, что соответствует значению Q = 2,5-10~5 и смещению перигелия Меркурия за столетие на З". Дикке объяснил такой неожиданно большой квадрупольный момент Солнца тем, что его внутренние части находятся в быстром вращении, тогда как внешние слои тормозятся взаимодействием с солнечным ветром [8].

Но более поздние измерения дали сплюснутость, соответствующую пренебрежимо малому квадрупольному моменту [9, 10]. При этом было показано, что существуют периоды избыточной экваториальной яркости, чем и можно объяснить результаты Дикке и Гольденберга. Итак, сейчас нет данных, которые говорили бы за то, что смещение перигелия Меркурия в сколько-нибудь значительной мере обусловлено квадрупольным моментом Солнца.

ЛИТЕРАТУРА

Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972. (Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология, «Мир», М., 1975.)

Misner С. W., Thorne К. S., Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер* Гравитация, «Мир», М., 1977.)

Hulse R. A., Taylor L Н., Astrophys. Journ. Lett., 195, L51 (1975).

Esposito L. W., Harrison E. R., Astrophys. Journ. Lett., 196, LI (1975).

Wil С. M., Astrophys. Journ. Lett., 196, L3 (1975).

Deser S., Laurent B., Annals of Phys., 50, 76 (1968).

Dicke R. H., Goldenberg H. M., Astrophys. Journ. Suppl., 27, 131 (1974).

Dicke R. H., Ann. Rev. Astron, and Astrophvs., 8, 297 (1970).

Hill H. A. et al., Phys. Rev. Lett., 33, 1497 fl974).

Hill H. A., Stebbins R. T., Astrophys. Journ., 200, 471 (1975).

Williams J. et al, Phys. Rev. Lett., 36, 551 (1976).

Shapiro I. et al., Phys. Rev. Lett., 36, 555 (1976).

Глава 8

ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

$ 1. ВВЕДЕНИЕ

При обобщении гравитационного уравнения Пуассона (4.1.8)

V2A = 4nGp

мы сразу же пришли к уравнению

(?2--^"^)/1 = 4я(7Р*

из которого непосредственно вытекает предсказание о существовании гравитационных волн, распространяющихся со скоростью света с и являющихся решением уравнения для свободного поля

К с2 di2)’

т. е. в случае тензорного поля

h^ = 0.

Его можно сравнить с уравнением для электромагнитного поля

4 = 0.

В электромагнитном случае источником поля Лц является ток 4> и мы имеем, полагая с = 1,

4 = ~ 4л4

с частным интегральным решением

Г ^Г^ц (г', / ~ I г - г' I )

г. 0 = ^

(общеизвестные запаздывающие потенциалы).

В нашей тензорной теории для поля со спином 2

4v = — SnG ^nV — ~дЦу^аа) = — влС^у,

и решение типа запаздывающих потенциалов имеет вид

/г„V (Г, о = 26 $ -^—|r Jy--^,(8.1.1)

где, конечно, содержится радиационная составляющая, для которой производные потенциала убывают как 1/г.

ПОПЕРЕЧНЫЙ ХАРАКТЕР ВОЛН

Закон сохранения

в случае электромагнетизма требует выполнения условия Лоренца

В случае гравитации мы имеем

^ЦУ

и поэтому можно ожидать аналогичных требований. Однако ^цу^^" цу = (^" цу2~^v^~ 00)»(8.2.1}

так что аналогичным условием будет не равенство

^^цу п дх^ а равенство

-^ = 0,(8.2.2)

где

^ЦУ = ^ЦУ ~ ”2 ^^ОО*

Так как

™ЦУ и ЦУ 200

и

^аа ~ ^~аа *2* ^аа^рр>

мы имеем

А

* ьLaLa аг

цу — f»цу2 ицу"аа и цу 2 ^^у*7 °о

”2 ®цу^"аа + f ^цу^аа^"рр =

В этих уравнениях а, а и 0 — немые индексы (индексы суммирования), а 6аа = 4 (т. е. это 611 + 622 + 633 + 644), так что выражение в скобках равно нулю и потому

а значит,а значит,(8.2.3)(8.2.3)(8.2.3а)(8.2.3а)^HV = ^^*2~ fyiv^aa ~ ^"|iv>

а значит,

а значит,

(8.2.3)

(8.2.3)

(8.2.3а)

(8.2.3а)

^1 = 0

дхи.

Мы знаем, что условие Лоренца дЛц/дх|1 = 0 связано с поперечным характером электромагнитных волн, а поэтому из уравнения (8.2.3а) должна, по-видимому, следовать какая-то информация о поперечности гравитационных волн. В электромагнитном случае условие Лоренца дА№/дх№ = 0 накладывается на потенциал Ац, являющийся 4-вектором. На первый взгляд из этого должно было бы следовать существование трех независимых поляризаций электромагнитной волны, но известно, что их существует только две (такое же заключение сделал бы, вероятно, и наш марсианин из гл. 3). Рассмотрим же плоскую волну

(8.2.4)(8.2.4)Лц = аце<<к‘х-е<) = ам<А>+

(8.2.4)

(8.2.4)

где аи — постоянный 4-вектор. Для нее из уравнения □ Лц = 0 следует Avfcv = 0,

а из уравнения дЛ -^- = 0 следует 6иаи = 0.

Но если заменить Яц величиной Яр. + Мц, то эти условия не нарушатся, так что без ограничения общности можно подставить вместо ац вектор д', где д' = а^ + 6^, причем b — произвольный скаляр. Для волны, распространяющейся в направлении оси z, условие £цдц = 0 дает д4 = —ia3. Выбрав д3 + bk» = 0, получим

a' = др а'а = 0,

^21^2’^4^,

так что остается только две поляризации. Переход аи"*в»"к + Ьк№ соответствует преобразованию

A^A^-V-^» где B = -ibelk^,

так что уравнения движения, определяемые полями

Е—(^+^).

B = VXA,

не изменяются при переходе аи -»а^ + bh№ и можно заключить, что для плоской (а значит, и для любой другой) волны физический смысл имеют только две поляризации.

Очевидно, что преобразование потенциала ац -* а^ 4- bk^, называемое калибровочным преобразованием (см., например, [1]), находится в тесной связи с законом сохранения источника электромагнитного поля.

При

л удА

а3 = а4 = 0, Е = —-^-

электроны колеблются в поле волны лишь в направлении оси х, если существует только компонента А], и лишь в направлении оси у, если существует только Аз. В общем случае, конечно, обе компоненты вектора поляризации (яь а2) могут иметь произвольные амплитуды и любую относительную фазу колебаний, так что получается все известное множество поляризационных эффектов1)- Характер колебаний в основном повторяется при повороте на 180° около направления распространения волны (при изменении фазы на л), и поэтому говорят о фотонах со спином 1 и с двумя состояниями поляризации я, и йз или с двумя состояниями спиральности (1/V2) (Si±d2).

В случае тяготения из условия dh^ldx^ = 0 следует подобная же картина; этим-то фактически и обусловлен выбор тензорной, а не ньютоновой теории при обобщении.

Рассмотрим плоскую волну

(8.2.5)

В вакууме Dhuv = 0, так что

Мл = 0-(8.2.6)

Из условия

"дх^ (^uv — у ^nv^ao) = 0

9 Напомним, что два указанных случая соответствуют линейным поляризациям, такие волны не переносят момента (число фотонов с противоположными спинами одинаково). Чистые по спину состояния описываются волнами круговой поляризации как для электромагнетизма, так и для гравитации. — Прим. ред.

вытекает

^u®uv 2 e°”^v — 0.

(8.2.7)

Если теперь заменить еДУ величиной e'v = 8^ + ец6у + e^k^ (по аналогии с заменой а^—>а' = аи + 6^ с тем лишь различием, что у e^v два индекса, а не один, как у а^, то мы получим

^Лл> "2" eaa^v ^ii6|iv "2" ®oo^v +

4* ^u^u^v "~Н е^к^к^ 2 к-^вдкд 2 ^ба^о — О,

где подчеркнутые члены равны нулю в силу уравнений (8.2.6) и (8.2.7).

Четверку величин ец можно выбирать произвольно, так что из 10 независимых компонент йцу, если учесть уравнение (8.2.3а), останется 6, тогда как калибровочная инвариантность оставит для плоской волны (а значит, для всякой волны) лишь две независимые поляризации. В случае волны, распространяющейся в направлении оси х3 = г, их выбирают обычно так, чтобы это были Лц и Ai2. Соответствующие расчеты элементарны.

Из условия Ацвцу—’/геаабу = 0 [формула (8.2.7)] следует

^3®3v + i<№4v — у (вц + е22 + е33 + е44) kv = 0

(поскольку к\ = 63 = 0). По компонентам:

v = 1: 63е31 = — /©е41 или е31 = — /е41;

v = 2: 63е32 = — /©е42 или е32 = — /е42;

v = 3: у ка (833 — бц — е32 — е44) = — /®в43

о-(8.2.7а)

ИЛИ 833 — 8ц — 822 — 844 — — 2^843,

V = 4: 63834 + ime^ — ^ I<Й (8И + 822 + 833+е44) = 0

или вп + е22 + 833 — в44 = — 2/834.

Последним двум уравнениям можно придать вид

8п4~822 = 0,833 — 844 = —2/843.(8.2.76)

8n„= в 4- е к + е к И» HV • JA V * V |4e8n„= в 4- е к + е к И» HV • JA V * V |4eЭти уравнения снижают число независимых компонент с десяти до шести, но сохраняют силу и при замене euv величиной

8n„= в 4- е к + е к И» HV • JA V * V |4e

8n„= в 4- е к + е к И» HV • JA V * V |4e

Имея в виду, что отличаются от нуля только А3 и к^ найдем

8П 81Ре22е22 И 812812*

Тогда

831 = 831 + Мз841= 841 + ^V

832 = 832 + ^2^3842= 842 + ^2»

8зз= 8зз + 2^з^з843= е43 + /сое3 + к^е^

е34 = 834 + ^3 + 1(й^<4= 644 + ^^

Выберем еь е^ е^ и г4 так, чтобы первый столбец в формуле (8.2.8) обратился в нуль. Это и есть 4 дополнительные связи. Определенные тем самым в1 и е^ дают в первых двух строках формулы (8.2.7а)

841 = 842 = ®*

Когда должный выбор е3 и е4 дал е'4 = 0, автоматически обратилась в нуль и компонента е'3. Тогда второе уравнение (8.2.76) дает е^ = 0. Остались только две независимые компоненты:

к\\ =— h^» h\2~h2\*

Мы снова пришли к двум независимым поляризациям, которые соответствуют спину 2, так как характер колебаний теперь в основном повторяется при повороте на 90° (а не на 180°) вокруг оси 2. Это чрезвычайно важно — ведь из частной теории относительности известно, что у безмассовой частицы может быть только два состояния спина: по направлению ее движения и в обратном направлении (см., например, [2]).Мы знали фотон как безмассовую частицу со спином 1, а теперь предсказываем существование гравитона как безмассовой частицы со спином 2.

В полутензорной (ньютоновой) теории из закона сохранения для источника следовало

= 0 или = 0.

Полагая

8ЦУ 8ЦУ + Vv + ^мв\имы имеемк ъ = к е 4-ккеЦ-кке.Ц ЦУ Ц ЦУ • Ц Ц V 1 цуц*

Условие к^вц, = 0 не удовлетворяется автоматически ни при каком ец. Независимы только три из четырех компонент ец, и поэтому вместо восьми связей, накладываемых на 10 неза-

висимых переменных, что давало бы две поляризации, мы получаем семь связей для 10 независимых переменных и приходим к трем поляризациям. Таким образом, полутензорная (ньютонова) теория представляет собой смесь тензорной (со спином 2) теории и скалярной (со спином 0), а при, казалось бы, искусственном построении теории со спином 2 мы фактически исключили скалярную часть из полутензорной теории. Из соображений простоты и изящества мы отдаем предпочтение теории гравитации, соответствующей спину 2 или спину 0, а не смеси обоих спинов, и в таком контексте удвоенное по сравнению с ньютоновским отклонение лучей света в поле Солнца становится, наконец, совершенно естественным.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

Чтобы понять, каков физический смысл наличия двух поляризаций, нужно рассмотреть физическое воздействие излучения. Какими физическими эффектами будет сопровождаться прохождение через лабораторию цуга гравитационных волн? В первую очередь нужно иметь в виду, что заметить локальное гравитационое поле невозможно, так как для обнаружения его действия нужно рассматривать относительное движение по меньшей мере двух объектов. Электроны в проводах позволяют обнаружить электрическое поле электромагнитного излучения, потому что в таком поле они движутся в одну сторону, а положительно заряженная решетка металла — в противоположную. В одинаковых же гравитационных полях все объекты ускоряются одинаково, и нам потребуется два пространственно разделенных объекта — таких, чтобы их относительное движение определялось не первыми, а вторыми производными потенциала, т. е. приливными силами.

Поэтому нужно в качестве прототипа гравитационной антенны взять две точечные массы, лежащие на некотором расстоянии друг от друга, и измерять это расстояние. Рассчитаем действие гравитационной волны с поляризацией Ац> А22 = —Ац или А12, А2] = А12 на расстояние между двумя объектами.

Вернемся к уравнениям движения (5.4.4), полученным первоначально для анализа движений в Солнечной системе:

"dF = ту^^ - mW ~^ •"dF = ту^^ - mW ~^ •(8.3.1)(8.3.1)

"dF = ту^^ - mW ~^ •

"dF = ту^^ - mW ~^ •

(8.3.1)

(8.3.1)

На первый взгляд мы сталкиваемся здесь с серьезной трудностью. Для покоящейся массы все компоненты Т^ равны

нулю, кроме Т44. У рассматриваемой же волны имеются лишь компоненты Ли, Л22, Л12 и Л2Ь и поэтому при ее действии на покоящуюся массу получается, что

Но такая картина имеет место в идеальной системе отсчета, построенной независимо от действия всех гравитационных полей. В такой системе две покоившиеся первоначально массы нс испытывают ускорений и в дальнейшем. Неясно, однако, так ли это будет с точки зрения наблюдателя, измеряющего расстояние между массами эталонным стержнем. Вспомним, что в случае потенциалов, не зависящих от времени, компонента Л44 одинакова в тензорной, полутензорной и скалярной теориях и часы в этих теориях замедляются одинаково. Компоненты же hu в тензорной и скалярной теориях противоположны по знаку, что дает в первой сокращение, а во второй удлинение измерительных стержней, тогда как в полутензорной теории эти компоненты равны нулю и измерительные стержни неизменны. Поэтому можно заключить, что изменение длины измерительных стержней определяется компонентами Ни и, хотя в идеальной системе отсчета обе массы неподвижны, меняется длина эталонного стержня рядом с ними. Однако локальный наблюдатель никак не может заметить этих колебаний длины своего измерительного стержня, так что будет толковать свои наблюдения как колебания расстояния между двумя массами, вызванные периодической приливной силой со стороны проходящей гравита- ционой волны. Такое толкование неявно, уже содержится в более формальном анализе, проведенном в гл. 6, § 5.

Примем в уравнении (8.3.1) Л^ = hu (х3, х4). Тогда

dp0 пЛ

-dT^^-d^-^1(8-3-3)

т. е. уравнения движения частицы с массой m таковы:

^Е, = my^hxx — mvx (v • VAn + -^-),(8.3.4)

dt ~ at 1

Чтобы вывести следствия из этих уравнений, нужно сначала найти выражения для импульса и энергии. Рассмотрим движение в направлении оси Хь Прежде всего заметим, что производная dE/dt пропорциональна е|, а потому в пределе малых скоростей Е не изменяется. Поэтому естественно на-

писатьписатьЕЕЕоЕоЛ^\ — у\кЛ^\ — у\кпричемпричемdE dtdE dt-W Vх dt + 1 dt Г-W Vх dt + 1 dt Г

писать

писать

Е

Е

Ео

Ео

Л^\ — у\к

Л^\ — у\к

причем

причем

dE dt

dE dt

-W Vх dt + 1 dt Г

-W Vх dt + 1 dt Г

Тогда с точностью до членов первого порядка малости

Кроме того,Кроме того,du\ , 9 dk "i-dT + ^i-dTdu\ , 9 dk "i-dT + ^i-dTl-vfl-vf2 ^11 = — V? 1 dt2 ^11 = — V? 1 dt(8.3.5)(8.3.5)

Кроме того,

Кроме того,

du\ , 9 dk "i-dT + ^i-dT

du\ , 9 dk "i-dT + ^i-dT

l-vf

l-vf

2 ^11 = — V? 1 dt

2 ^11 = — V? 1 dt

(8.3.5)

(8.3.5)

(8.3.6)(8.3.6)так чтотак что(8.3.7)(8.3.7)ииЕЕЕ.Е."V i — ^"V i — ^„ _ kE0ViРх л/Г=^?х '„ _ kE0ViРх л/Г=^?х '

(8.3.6)

(8.3.6)

так что

так что

(8.3.7)

(8.3.7)

и

и

Е

Е

Е.

Е.

"V i — ^

"V i — ^

„ _ kE0Vi

Рх л/Г=^?х '

„ _ kE0Vi

Рх л/Г=^?х '

dt 1 дх3

направлениинаправленииПоэтому световой луч, распространяющийся в

направлении

направлении

оси Хь отклоняется вдоль оси Хз, причем его отклонение зависит от градиента йц. При волновом описании это требует ускорения в направлении оси Хь Если положить

kEvi — pi,

TO

EJ^—dp\__ dE__g dk_ (_ ?hu. -L. уз j^L!—у BLAp c dt dt U1 dt U| dt k at i at vi at )c’

откуда при умножении на vi снова получается (8.3.5).

Показатель преломления, необходимый для того, чтобы получить отклонение в направлении оси х3, соответствующее уравнению (8.3.6), дает

с, = 1 — йн,

к — 1 ~|- Ац.

Для медленных движений

^-0

В присутствии других силdpi„ дкп

(8.3.8)(8.3.8)dt —P1 at

(8.3.8)

(8.3.8)

dE D

и в согласии с тем, что говорилось в гл. 5, § 5, вводится но

вое определение

Pl (1 + Йц) р\ = 11+2^^.,Vl-Af

Тогда энергия покоя не меняется, скорость света в направлении оси Xi равна ci = 1 —йц, а масса покоя mOi переходит в т0(1 + 2йц). Величина /п01с2 представляет собой локально определенную энергию покоя и действительно не изменяется. Неизменность энергии влечет за собой неизменность атомных частот, так что изменение скорости света приводит к умножению длин в направлении оси xt на 1 —йи. Для окончательной проверки напишем для одномерного движения в боровском атоме

у mo| ~ ~ — const,

что, конечно, верно с точностью до членов первого порядка по йц, если Х1->%1(1 — йц) и е2->е2/(1 + йц).

(8.3.9)(8.3.9)Итак, мы пришли к полностью согласованной картине в духе сказанного в гл. 5, § 5. Действие гравитационных волн, оказываемое на расстояние между двумя первоначально покоившимися массами, сводится к тому, что они приобретают относительное ускорение

(8.3.9)

(8.3.9)

at1 ~ i at1 *

где х^ есть /-составляющая расстояния между массами в отсутствие волны, а все измерения производятся локально.

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

Две независимые поляризации гравитационных волн таковы: Йц = —Й22 и Й12 = Й2Ь

Рассмотрим систему четырех частиц, расположенных по углам квадрата в плоскости, перпендикулярной направлению распространения гравитационной волны. Это минимальное число частиц, необходимое для выявления общих характеристик волны, так как нам нужно две частицы, чтобы наблюдать влияние волны, а каждая поляризация влияет на результаты измерения длин сразу в двух направлениях. Колебания частиц показаны на фиг. 14.

В случае волны общего вида можно рассматривать комбинацию этих двух поляризаций с любыми амплитудами и любой относительной фазой. Очевидно, что это квадруполь-

ные колебания и что элементарная мода колебаний, индуцируемых гравитационными волнами, также квадрупольная, подобно тому, как элементарная мода колебаний, индуцируемых электромагнитными волнами, является дипольной (в случае гравитации дипольных колебаний не может быть, так как отрицательных масс не существует и поэтому нет гравитационных диполей).

^тг ^zt^тг ^ztФиг. 14. Положение и скорости четырех пробных частиц в плоскости, перпендикулярной направлению распространения монохроматической гравитационной волны, при локальном наблюдении.Показаны конфигурации через каждую четверть периода.Фиг. 14. Положение и скорости четырех пробных частиц в плоскости, перпендикулярной направлению распространения монохроматической гравитационной волны, при локальном наблюдении.Показаны конфигурации через каждую четверть периода.

^тг ^zt

^тг ^zt

Фиг. 14. Положение и скорости четырех пробных частиц в плоскости, перпендикулярной направлению распространения монохроматической гравитационной волны, при локальном наблюдении.

Показаны конфигурации через каждую четверть периода.

Фиг. 14. Положение и скорости четырех пробных частиц в плоскости, перпендикулярной направлению распространения монохроматической гравитационной волны, при локальном наблюдении.

Показаны конфигурации через каждую четверть периода.

$ 5. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

Итак, наша элементарная гравитационная антенна будет представлять собой две массы М, связанные между собой пружиной, если мы хотим, чтобы антенна была резонансной;

СУ^птгттчЭ

Фиг. 15. Схема резонансной антенны.

следует предусмотреть и средства измерения расстояния ме- жду массами (фиг. 15). В случае когда антенна расположена вдоль одной из главных осей натяжений, она будет описываться уравнением

d4x dt4

. dxVN-ar

d4h

dt4 хо»

вана, тована, тогде Xq — расстояние между массами в состоянии покоя, ах— изменение этого расстояния. Если частота волны фиксиро

вана, то

вана, то

(8.5.2)(8.5.2)©2Ах0

(8.5.2)

(8.5.2)

X22•

toy — © — г^

Коэффициентом жесткости пружины определяется резонансная частота, а коэффициентом затухания у — добротность детектора Q. Когда коэффициент у мал, у антенны узкая полоса пропускания и высокая добротность Q, а при увеличении у полоса пропускания расширяется. Если частотный интервал гравитационной волны намного меньше у, то чувствительность детектора на частотах, близких к соо, обратно пропорциональна у. Если же гравитационное излучение характеризуется широким спектром частот, то поглощенная энергия не зависит от у.

Заметим также, что антенна подобного типа обладает определенной направленностью. При повороте оси антенны вокруг направления распространения волны на угол ф, измеряемый относительно оси х, величина Ах0 изменяется как cos 2ф в случае поляризации А1Ь А22 и как sin 2ф в случае поляризации А!2, А2Ь Если изменять угол между осью антенны и направлением распространения волны, то приливные силы будут действовать на проекции расстояния между массами L, так что появится множитель sin 6. Приливная сила hL sin 6 действует в направлении, нормальном к направлению распространения волны, но компонента этой силы, действующая вдоль оси детектора, вносит продольные колебания амплитуды /, а это приводит к появлению второго множителя sin 0. Поэтому

-^- ~ hL sin2 0 cos 1ф,

•если берется поляризация Ац> А22. Данный случай представлен на фиг. 16.

Вопрос о детектировании гравитационных волн подробно разбирается в недавно вышедших книгах Мизнера, Торна и Уилера [3, гл. 37] ц Вейнберга [4, разд. 10.7]. Мы остановимся здесь только на отдельных важных результатах. Рассмотрим случай детектора, ориентированного по направлению одной из осей натяжений гравитационной волны, так что

_to2hx0 ~х,2^0Нх0~ .

— /у©© — ©0 + /у/2

Тогда

dx,Q , .х

dt ~ «о - tog + Z?/2 '(8.5.4)

(Следует помнить, что в этих выражениях h—величина с та* кой же размерностью, как и у величины GM/Lc2, т. е. она безразмерна.)

Строго ограничиваясь локальной системой отсчета, определенной с помощью реальных измерительных стержней, получим для стационарного значения колебательной энергии антенны в монохроматической гравитационной волне

Ео —2 2 ^ 2 J ~ 16 (а>-а>0)2 + тг/4 ’ (8.5.5)Ео —2 2 ^ 2 J ~ 16 (а>-а>0)2 + тг/4 ’ (8.5.5)Фиг. 16. Чувствительность элементарного детектора гравитационных волн зависит от угла.Фиг. 16. Чувствительность элементарного детектора гравитационных волн зависит от угла.Детектор'ориентирован под углом 10 к направлению распространения волны, азимутальный угол откладывается от направления hu. Волна имеет поляризацию Ап> Аг2= — Ан.Детектор'ориентирован под углом 10 к направлению распространения волны, азимутальный угол откладывается от направления hu. Волна имеет поляризацию Ап> Аг2= — Ан.

Ео —2 2 ^ 2 J ~ 16 (а>-а>0)2 + тг/4 ’ (8.5.5)

Ео —2 2 ^ 2 J ~ 16 (а>-а>0)2 + тг/4 ’ (8.5.5)

Фиг. 16. Чувствительность элементарного детектора гравитационных волн зависит от угла.

Фиг. 16. Чувствительность элементарного детектора гравитационных волн зависит от угла.

Детектор'ориентирован под углом 10 к направлению распространения волны, азимутальный угол откладывается от направления hu. Волна имеет поляризацию Ап> Аг2= — Ан.

Детектор'ориентирован под углом 10 к направлению распространения волны, азимутальный угол откладывается от направления hu. Волна имеет поляризацию Ап> Аг2= — Ан.

Рассеиваемая мощность равна Еу/т, где т = 1/у, так что

энергия волны, мени, равнаэнергия волны, мени, равнапоглощаемая детектором за единицу вре-

энергия волны, мени, равна

энергия волны, мени, равна

(8.5.6)(8.5.6)1 М^ю^о

(8.5.6)

(8.5.6)

16 (<о - <оо)2 + у2/4 -

При усреднении выражения (8.5.6) по широкому диапазону частот зависимость от у устраняется. Далее,

G

— это величина с размерностью потока энергии. Мы перепишем выражение для энергии, поглощаемой за секунду, в виде

(8.5.7)(8.5.7)1 Г Myco^XgG 1 / ^о^

(8.5.7)

(8.5.7)

16 L (со — (оо)2 + Y2/4 с3 J \ G ) *

Величина в квадратных скобках имеет размерность площади, причем в нее входят лишь параметры детектора. Это — эффективное сечение детектора, характеризующее его способ-

ность поглощать энергию из волны. Множитель в круглых скобках имеет размерность плотности потока энергии, это — плотность потока энергии, переносимой волной (с точностью до постоянного множителя).

Можно предположить, что мгновенная плотность потока энергии, переносимой волной с поляризацией Лц, h^^ равна

с3 Г/ dhxxV । ( дНИ V1

8лб IV at У k dt ) J •

Это довольно правдоподобно в свете теории тяготения Ньютона, так как при к, имеющем размерность GMIR, энергию гравитационного самодействия можно записать в виде

- -^ё S (VW dV,

а при безразмерном Л — в виде

-^r\^h«?dV.

J '

Тогда, приняв — h22 = hxx = hoe‘ (»•>•-“<>, получим для средней по времени плотности потока энергии

s=—(8.5.8)

в случае безразмерных компонент /i, а в случае h с размерностью GM/R

SG=-^Gh>2-(8-5-8а>

Исходя из этих нестрогих определений (подчеркнем, что мы даже не пытались по всей форме вывести выражение для плотности потока гравитационного излучения), мы найдем окончательно выражение для эффективного сечения рассмотренной простой антенны в виде

л G Afycog^g° 2 с1 (со — соо)2 + у2/4

на одной частоте вблизи резонанса. В этом выражении не учтена угловая зависимость эффективного сечения, которую можно-ввести, умножив его на sin4 6 cos2 2<р, где ср — угол, измеряемый от одной из главных осей натяжений излучения.

Поэтому в широком спектре частот мощность, поглощаемая ежесекундно, равна

^GM^FQ^,^GM^FQ^,(8.5.10)(8.5.10)

^GM^FQ^,

^GM^FQ^,

(8.5.10)

(8.5.10)

где F(to)dto — плотность потока энергии падающего излучения в частотном интервале от со до со + dm.

Теперь мы можем перейти к краткому обзору имеющихся на сегодня (1975 г.) экспериментальных данных, но чтобы увидеть эту проблему в более широкой перспективе, остановимся сначала на вопросах о генерировании гравитационных волн и о возможных астрофизических источниках такого излучения.

ГЕНЕРИРОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

Мы кратко рассмотрим квадрупольное гравитационное излучение; намного более подробный анализ можно найти в книгах Мизнера, Торна и Уилера [3, гл. 36] и Вейнберга [4, разд. 10.5].

Вспомним решение неоднородного волнового уравнения [формула (8.1.1)]:

0 = 20$^ (г', / — |г — г'I) |7^тр.

Если г )> г', то его можно переписать в виде

Mr- O^-^J^v^, /-|r-r'|)d3r'.(8.6.1)

При фиксированной частоте

0=^v(r')e-^

и если при этом длина волны велика по сравнению с размерами источника, то разностями фаз в Auv(r, /) при разных г' можно пренебречь, и тогда

h^ (г, 0 ~ 25_е^г-^ J ^v (r<) ^(8.6.2),

Такое приближение должно соответствовать квадрупольному излучению, точно так же как аналогичное приближение в теории электромагнетизма соответствовало дипольному излучению.

Мы имеем

где т" = (

причем нас интересуют компоненты Ли, Н^ и hi2* Для частицы с массой М

Ти = 5(г') dV = yi^iM'<8*6-3^

Для одной данной частоты

ТИ - - юЧ^М, так что

hu (г, /) « - -5-^ ^--^to2Qlp(8.6.4)

где С^ц — амплитуда изменения квадрупольного момента.

Если перейти к системе единиц измерения, в которой величины h безразмерны, а с записывать в явном виде, то

к,Дг,(8.6.5)

Тогда мощность, излучаемая на этой частоте, равна

PW~G^|Q|2,(8.6.6)

где Q — квадрупольный момент системы.

Теперь можно провести некоторые численные оценки. Возьмем тесную двойную звездную систему, имеющую период Т ~ 10 ч и массы каждого из компонентов ~МО. Тогда Q ~ MOR2, где

fGM^X'b

Q«10Mr-cV, т~3-10-5с~’

И

Р ^ 1030 эрг • с"1,

что составляет ~10-4 светимости Солнца. Энергия орбитального движения равна ~1046 эрг, так что время распада за счет излучения гравитационных волн равно ~1016 с^109лет. Этот пример вполне реален — система, в которую входит пульсар PSR 1913 + 16, характеризуется почти такими параметрами.

Менее реальную крайность представляет собой система двух нейтронных звезд с массами ~МО) находящихся одна от другой на расстоянии всего лишь ~107 см. В этом случае период будет равен ~10~2 с, Q ^ 1047 г-см2, а излучаемая мощность ^ 1046 эрг-с-1. Энергия орбитального движения равна ~1053 эрг, и соответствующее время распада ~1 год. (Это лишь одна из причин того, почему данный пример нереален.)

Наконец, пусть имеется нейтронная звезда, вращающаяся с частотой со ^ 104 с**1. Частота будет такого порядка, если взять звезду с массой, радиусом и периодом обращения вокруг оси такими же, как у Солнца, и заставить ее сколлап- сировать до значения радиуса ~106 см при сохранении мо-

мента импульса как у замкнутой системы. Подобный же ре* зультат получится, если экстраполировать в прошлое ско* рость замедления вращения пульсара NP 0532 в Крабовидной туманности до момента ее рождения (1054 г. н. э.); теперешний период пульсаций равен 33 мс. Тогда имеем

10-36|Q|2 эрг-с-1.

Примем Q ~ 1045 е, где е — коэффициент эллиптичности, характеризующий отклонение от фигуры вращения; получим

Р « 1054е2 эрг • с-1,

причем вращательная энергия равна ~ 1053 эрг. При этом звезда находится почти на пределе прочности, так что на ранних этапах образования нейтронных звезд на протяжении около 1 с можно ожидать мощности излучения ~ 1053 эрг-с-1. Если нейтронная звезда избежит разрушения и стабилизируется сею 10—4, то мощность излучения будет равна

Р ю 1046 эрг • с-1,

а период замедления составит ~ 1 год.

Эти данные можно сопоставить с полной энергией, выделяющейся при гравитационном коллапсе звезды типа Солнца до ядерных плотностей, когда R ю 106 см. Эта энергия равна ~ 1053 эрг. Превращение Шо в гравитационную энергию дало бы 1054 эрг.

По-видимому, нет оснований ожидать существования источников гравитационного излучения, дающих более чем ~1054 эрг за ~ 1 с или более чем ~1046 эрг-с-1 на протяжении ~ 1 года, по крайней мере, если ограничиваться рассмотрением простых звездных систем.

ПОПЫТКИ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

Допустим, что происходит всплеск гравитационного излучения продолжительностью ~ 1 с. Энергия, поглощаемая простой резонансной антенной, равна

Р, = $ р at« 1 O^CMe^F (б)0).(8.7.1)

где М, coo и х0— характеристики антенны.

Первые попытки детектирования гравитационного излучения были предприняты Вебером [5], который взял в качестве детекторов несколько алюминиевых цилиндров в шт. Мэриленд и в Аргонне (вторая установка — на расстоянии при* мерно 1000 км от первой).

Масса каждого цилиндра была равна 1,4* 106 г, длина — 153 см, а собственная частота низшей моды продольных колебаний— 1660 Гц. Для такого цилиндра

Pz« 1О",9Е(с»о) эрг.

Если в качестве грубой оценки для сигнала, различимого на фоне шумов, принять

Р^кТ 10“14 эрг

при температуре шума 300 К, то условие детектирования импульса принимает вид 1

F ((D0) ^ 104 эрг • см-2 • с"1 за одно колебание.

Полный поток энергии должен быть не меньше ~107 эргХ Хем-2-с-1 за период всплеска. Если источник расположен в центре Галактики и его излучение изотропно, то такой всплеск отвечает высвобождению энергии более ~1053 эрг. Это не невозможно, однако лежит на самом верхнем пределе, рассмотренном в предыдущемлараграфе.

Но пусть частота 1660 Гц соответствует вращению деформированной сколлапсировавшей звезды. Тогда мощность, поглощаемая резонансной антенной, зависит от ее добротности Q; для веберовских цилиндров коэффициент у « 0,1 с-1.

Ежесекундно антенна поглощает энергию ~ (10~19/у) Г эрг, где F — плотность падающего потока. Если для детектирования этого сигнала нужна стационарная энергия колебаний ~/?Т, а естественное время релаксации колебаний в цилиндре равно ~10 с, то F « 104 эрг-см-2-^1. Соответствующий изотропный источник в центре Галактики должен был бы излучать ~1048 эрг-с-1.

Итак, если мы в состоянии выделять вынужденные колебания при таком уровне шумов, то сможем регистрировать катастрофические явления вблизи центра Галактики, но устойчивые монохроматические сигналы типа тех, которые могли бы возникать на протяжении нескольких первых лет с момента образования нейтронной звезды, удалось бы принимать лишь от довольно близкого источника, например в радиусе 5000 световых лет.

Полезно рассчитать амплитуду колебаний, соответствующих энергии 10-14—10~15 эрг:

10“14 - 10"15« ж; (Ах)2 « 10|2(Ах)2.

так что Ах ^ 10~13—10~14 см. Это меньше диаметра атомного ядра. Соответствующие относительные деформации равны

~ 10-15— 10-16. Существует ряд способов измерять смещения и деформации такого порядка величины. В детекторах Вебера использован пьезоэлектрический эффект — на боковых поверхностях алюминиевых цилиндров наклеены пьезоэлектрические датчики. В других аналогичных антеннах половины цилиндров соединены между собой пластинами пьезоэлектрического материала. Сначала Вебер взял в качестве пьезоэлектрика кварц, который при деформации х приобретает поверхностный заряд 0,16х Кл-м-2. Это соответствует электрическому дипольному моменту в 1 см3, равному 10~2есм при относительной деформации 10-16 (дипольный момент,, приходящийся на одну молекулу, равен ~10~25е см). Таким

К усилителю

К

Фиг. 17. Эквивалентная схема антенн Вебера.

дипольным моментом обладает система двух электронных зарядов, разнесенных на расстояние ~10-17 атомного диаметра, равное относительному смещению заряда того же порядка, что и деформация.

В своем последнем эксперименте Вебер пользовался керамическими датчиками из титаната бария; их было 44, каждый с размерами 5X5XL2 см3. Датчики крепились на экваторе цилиндра, где деформация максимальна [6]. При относительной деформации, равной 10-16, на поверхности датчиков ~200 см2 наводился полный заряд ~10~19 Кл (один заряд электрона). Изменения такого заряда регистрировались по падению напряжения на большом импедансе. На фиг. 17 представлена эквивалентная схема установки Вебера [7], для которой С = 6-10~9 Ф, L=1,6T, R = 0,1 Ом, Импеданс такого параллельного резонансного контура равен

У R + ioL

Z " RitoC - to2LC + 1 ’

что при резонансе, т. с. при со = сод = 1/LC, дает приблизительно L]RC. При указанных выше значениях параметров схемы мы имеем

toR = Ю4 Гц, v^ = 1660 Гц, ZR = 3 • 109 Ом.

Так как V = 1Z = itoqZ, при заряде 10-19 Кл возникает переменное напряжение с амплитудой ~10-6 В. Оно подается на усилитель с низким уровнем шумов.

Применялся и другой метод, при котором относительное смещение торцов цилиндра определялось по изменению емкости плоского конденсатора, одна пластина которого прикреплена к цилиндру. Относительному смещению торцов цилиндра с амплитудой 4-Ю-14 см соответствовало радиочастотное переменное напряжение с амплитудой 4-Ю-7 В [8].

Смещения ~10-13 см измерялись также при помощи лазеров. Синхронизующие импульсы дают точность всего лишь 10 см, а смещение интерференционных полос в оптической области спектра измеряется с точностью ~10-6 см, но по биениям света, проходящего при отражении изменяющееся расстояние, и света, проходящего нс меняющееся расстояние, можно измерять очень малые амплитуды. Таким образом измерялись колебания с частотой 5000 Гц с амплитудой 3-10_13 см [9]. Измерения проводились при помощи лазерного луча, а два пути представляли собой плечи интерферометра Майксльсона. После того как расщепленный луч снова воссоединялся, его амплитуда принимала вид

A [sin со/ + sin (со/ + ср)],(8.7.2)

где ф — разность фаз лучей, прошедших по активному и пассивному плечам интерферометра:'

Ф = ^-х(/) + ф0,

причем х— мгновенное значение амплитуды колебания. Воссоединенный луч регистрируется фотоприемником, выходное напряжение которого пропорционально квадрату выражения (8.7.2), что после усреднения по колебаниям оптической частоты дает

2X2sin2co/ (1 + cos ф).

Чтобы чувствительность была максимальна, выберем фо = = л/2; тогда сигнал биений равен■

~ 2 Л2 sin2 со/ sin х (/)j.

При х = х0 sin a/t и малых х0/Х имеем

~ 2Л2 sin2 tot ^~ sin to't, и амплитуда сигнала биений прямо пропорциональна отношению х0/к Порог чувствительности при этом определяется фотонным шумом [9].

По сообщениям Вебера [5, 7], с частотой ~100 за год наблюдались совпадения на установках в шт. Мэриленд и в Аргонне, которые можно было интерпретировать лишь как всплески гравитационного излучения. В 1973 г. он сообщил [10] о наблюдении 7 случаев в день, когда сигнал превышал уровень АТ/100. Чтобы найти направление на источник, он воспользовался пропорциональностью эффективного сечения sin4 6 и обнаружил, что частота наблюдения сигналов коррелирует с сидерическим (звездным), а не с солнечным временем. Вебер утверждал, что наблюдается отчетливое преобладание всплесков, идущих по линии, соединяющей Солнечную систему с центром Галактики [11] (при помощи простой квадрупольной антенны невозможно выяснить, в какую сторону распространяются эти импульсы).

Такие результаты вызывают удивление. Взрывы сверхновых в нашей Галактике наблюдаются с Земли раз в несколько сотен лет. По наблюдениям других галактик найдена общая частота их появления, равная 1 сверхновой за 30 лет. При изотропном излучении 100 поддающихся детектированию всплесков за каждый год в центре Галактики должны давать выход энергии более 1055 эрг в год. Это превышает энергию, излучаемую в виде света звездами Галактики, и соответствует превращению в гравитационные волны более 100 Мо ежегодно. Галактика же состоит из ~10н звезд и существует ~1010 лет; рассмотренный эффект должен был бы заметно влиять на динамику Галактики [12].

Если истолкование Вебером его экспериментальных данных правильно, то либо излучение должно быть сильно анизотропным (лежать в плоскости Галактики), либо активность ядра Галактики включилась лишь недавно. В том и другом случае ядро нашей Галактики должно быть несравнимо более активным объектом, чем у нас когда-либо были основания полагать.

За последние несколько лет был создан ряд других детекторов гравитационного излучения [8, 13—19]. При этом не было ни одного случая, чтобы какой-либо независимый эксперимент подтвердил удивительные наблюдения Вебера, и потому их далеко нельзя считать доказанными.

В настоящее время детекторы гравитационных волн вторгаются в область регистрации относительных деформаций ~10-18, и пределом желаний было бы достигнуть чувствительности, достаточной для детектирования катастрофических событий, происходящих в гигантском скоплении галактик в созвездии Девы.

ЛИТЕРАТУРА

Jackson J. D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962. (Имеется перевод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир», М., 1965.)

Muirhead Н., Special Relativity, Macmillan, London, 1974.

Misner C. ^W., Thorne K. S., Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, «Мир», М., 1977.)

Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972. (Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология, «Мир», М., 1975.)

Weber J., Phys. Rev. Lett., 20, 1307 (1968); 22, 1320 (1969).

Weber J., Lett., Nuovo Cimento, 4, 653 (1970).

Weber J., Physics Today, 21 (4), 34 (1968).

Брагинский В. Б., Манцкин А. Б., Попов Е. И., Руденко В. Н., Хорев А. А., Письма ЖЭТФ, 16, 157 (1972).

Moss G. Е. et al., Appl. Optics, 10, 2495 (1971).

Weber J., Phys. Rev. Lett., 31, 779 (1973).

Weber J., Phys. Rev. Lett., 25, 180 (1970).

Field G. B. et al., Comments on Astrophysics and Space Physics, 1, 187 (1969).

Levine J. L., Garwin R. L., Phys. Rev. Lett., 31, 173 (1973); 31, 176 (1973); 33, 794 (1974).

Tyson J. A., Phys. Rev. Lett., 31, 326 (1973).

Dreuer R. W. P. et al., Nature, 246, 340 (1973).

Hough J. et al., Nature, 254, 498 (1975).

Douglass D.H. et al., Phys. Rev. Lett., 35, 480 (1975).

Billing H. et al., Lett. Nuovo Cimento, 12, 111 (1975).

Logan J., Physics Today, 26 (3), 266 (1973); 26 (10), 17 (1937).

Глава 9

ТЯГОТЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

ВВЕДЕНИЕ

Почти во всей книге мы пользовались обычными (декартовыми) системами координат частной теории относительности. Мы вывели лоренц-ковариантные уравнения тензорного гравитационного поля и рассчитали отклонение лучей света относительно такой олимпийской системы отсчета, а также задержку отраженного радиолокационного сигнала, обусловленную взаимодействием электромагнитных волн с гравитационным полем. Мы были вынуждены принять такие уравнения движения, которые вдобавок к очевидному переопределению энергии в присутствии тяготения потребовали еще и переопределения импульса, после чего мы обнаружили, что гравитационный потенциал вызывает деформацию физических измерительных стержней и замедление хода часов по отношению к нашей олимпийской системе отсчета. В свободно падающей лаборатории, размеры которой таковы, что на их протяжении можно пренебречь изменением гравитационного потенциала, скорость света (при измерениях) оказалась постоянной. Мы обнаружили также, что, будучи выражены через локально измеренные величины, кинематические уравнения частной теории относительности сохраняют свой^обыч- ный вид. Результатом этого является выполнение принципа эквивалентности (по крайней мере, для света и в релятивистской кинематике), а олимпийская система отсчета оказывается локально ненаблюдаемой.

При таком положении вещей нам остается принять либо ту точку зрения, что тяготение деформирует измерительные стержни и замедляет часы в пространстве-времени частной теории относительности, либо ту, что эта аппаратура погружена в пространство-время, которое само' искажено под действием масс. В первом случае, может быть, было бы более предпочтительно строить теорию гравитации, оперируя локально измеренными величинами, а не сидя в ненаблюдаемой системе отсчета; со второй точки зрения, это единственно необходимый путь.

За основу можно принять принцип эквивалентности в следующей формулировке. В достаточно малой области про-

странства-времени физические законы в свободно падающей лаборатории — это законы частной теории относительности, включая и их числовые константы. В любой другой системе отсчета (обычно удобнее всего брать систему отсчета, привязанную к тяготеющему телу) законы физики могут быть получены просто преобразованием координат, и такое преобразование сопряжено с конкретными гравитационными полями.

Собственно преобразования Лоренца связывают между собой две инерциальные системы отсчета и не содержат никакого вклада тяготения. В ускоренной системе отсчета возникают силы инерции, отраженные в преобразованиях координат, и метод работы состоит тогда в переходе от данной инерциальной системы к мгновенно сопутствующей. При этом силы инерции можно рассматривать как гравитационные силы, хотя и особого типа. Существует преобразование (обратно к исходной инерциальной системе или к любой другой инерциальной системе), устраняющее их полностью — повсюду и во все времена. Для истинных гравитационных полей таких преобразований нс существует. Свободно падающий у поверхности Земли космический корабль движется с ускорением ~g, если измерять его в земной системе координат. В системе отсчета, падающей вместе с кораблем, нет (локально) никаких гравитационных эффектов. Обе системы связаны между собой преобразованием координат. Но если один такой корабль падает в Атлантический океан, а другой— на территории Сибири, то соответствующие две свободно падающие системы отсчета сближаются со скоростью ~20 км-с-1. С точки зрения одной свободно падающей системы другой космический корабль движется с ускорением ~2g, вызванным гравитационным полем Земли. При наличии неустранимых гравитационных полей мы говорим об искривленном пространстве-времени, потому что, какие бы глобальные преобразования координат ни производились, невозможно глобально устранить тяготение.

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ СВОБОДНОМ ПАДЕНИИ

Обратимся к динамике частиц и распространению света в гравитационных полях. Рассмотрим свободно падающую частицу с точки зрения локальной свободно падающей системы отсчета. Принцип единственности ускорения гласит, что в локальной свободно падающей системе у любой такой частицы ускорение отсутствует. Введем в такой системе обычные оси частной теории относительности Хи = (х, у, 2,

d2X«d2X«ict), где индекс ц пробегает значения от 1 до 4. Отсутствие ускорения выражается уравнением

d2X«

d2X«

(9.2.1)

где / пробегает значения от 1 до 3. Интервал собственного времени, прошедшего в системе покоя частицы, лоренц-инва- риантен и при с = 1 дается соотношением

dx2 = —dX^dX^. (9.2.2)

Ввиду отсутствия ускорения интервал собственного времени Дт строго пропорционален интервалу координатного времени Ы в локальной свободно падающей системе отсчета, так что уравнение (9.2.1) можно переписать в виде

d2X„

-^ = 0.(9.2.3)

Для удобства переопределим координаты в свободно Падающей системе отсчета так:

|а = (с/, X, у, 2),

и тогда вместо уравнения (9.2.3) получим

4^ = 0,(9.2.4)

(9.2.5)(9.2.5)причем инвариантный интервал, соответствующий собственному времени частицы, дается равенством

(9.2.5)

(9.2.5)

гдегде^2 Лар^а^р

где

где

при а = р= 1, 2, 3, при а = р = 0, при а^р.

Произведем теперь преобразование к другой системе отсчета, в которой наша частица обладает координатами хи, где р пробегает значения от 0 до 3. На данном этапе мы не придаем никакого значения этой новой системе координат. Преобразование могло бы означать и нечто столь же тривиальное, как переопределение координат исходной системы, например xi = lngb если бы для этого были какие-то основания. (Преобразования такого типа производятся, когда строятся графики в логарифмическом масштабе.) Это преобразование могло бы сводиться к переходу к другой системе, связанной с исходным преобразованием Лоренца, или

к ускоренной системе в отсутствие истинных гравитационных полей, или к системе отсчета, привязанной к гравитационному объекту, например к Солнцу. Это пока не играет роли. Принципиально то, что преобразованные законы физики сохраняют свою форму и численные значения входящих в них констант. В частности, не изменяют своего численного значения такие инварианты, как собственная масса или интервал собственного времени. Если физические законы сохраняют свой вид и численные коэффициенты при таких общих преобразованиях, их называют общековариантными (а не просто ло- ренц-ковариантными); отсюда и происходит название общей теории относительности.

Как старый набор координат £а, так и новый набор хц достаточны для полного описания движения пробной частицы. Поэтому можно написать

=(9.2.6)

Это просто запись через частные производные. Поэтому

dx — Hap d^a d^^ — Пар дх^ dXv dx^ dx^ —

■—~^!p,v ^^ia dx^^ (9.2.7)

где

—(9.2.8)

Очевидно, что величина g^ симметрична. Важно то обстоятельство, что конструкция dr2 есть инвариант относительно общих преобразований, численные значения которого одинаковы как в g-, так и в х-системе. Например, в инерциальной (локальной свободно падающей) системе для света инвариантный интервал равен нулю. Поэтому в произвольной системе координат распространение света должно подчиняться уравнению

gy^ dx^ dx^ = О,

которое общековариантно. Поскольку dt2— инвариант, уравнение (9.2.4) можно преобразовать следующим образом:

dr2 dx \ dx / dx \ dxy, dx /

_ d^a d2x^ dxp, d Z^a\_дхц dr2 ~*~ dr dr \дхц/

_ <^a, <<Хц dxv d2ga

dx^ dx2 "** dx dx дх^дху ’

Здесь снова все сводится к записи через частные производные, так как ни £а, ни хц не зависят явно от т: ga = £а(*ц) И Хц = Хц(^а).

Итак, мы располагаем четверкой уравнений, связывающих 4 компоненты 4-ускорения с 4-скоростями и с коэффициентами, являющимися частными производными. Всю эту систему можно решить и получить 4-ускорение. Умножим каждое из четырех уравнений, в котором лишь один индекс а не был немым, на величину dxjd^ в которой X имеет любое значение от 0 до 3, и сложим все вместе. Результат легко записать, пользуясь правилом суммирования по повторяющемуся индексу:

(9.2.9)(9.2.9)Заметим, чтоЗаметим, чтодхХ д^а ^хи ■ ^ц dS дхХ ^г»о . д^а дх^ dx2 dx dx д^а дх^дху

(9.2.9)

(9.2.9)

Заметим, что

Заметим, что

— ^Лц,— ^Лц,dx. dE dx.dga дх^ — dxp,

— ^Лц,

— ^Лц,

так как каждая координата одной системы является функцией 4 координат другой системы. Поэтому при суммировании по а в первом члене уравнения (9.2.9) сохранится лишь слагаемое с р = X:

(9.2.10)(9.2.10)d2x- дх- d2L dxu dx^ dx2 "^ dga дх^ дх^ dx dx ’

(9.2.10)

(9.2.10)

где

dx2 = — g^ dx^ dxv.

В уравнении (9.2.10) присутствует только один коэффициент, составленный из частных производных, и мы напишем

(9.2.11)(9.2.11)</2х.. dx.. dx.,

(9.2.11)

(9.2.11)

—А-|-Гх —-—- = 0dx2 ' 1 w dx dx '

где этот коэффициент Г^ представляет собой функцию лишь координат (хо, Xi, х2, Хз).

Заметим теперь, что преобразование

(9.2.12)(9.2.12)дхк дхх \ °$ дх^ dxvJ'

(9.2.12)

(9.2.12)

Чдр^дх,^ dxv + дхкдх^ dx^)’

очевидно, связано co структурой Г^- П-видимому, компоненты величины r£v могут быть выражены через величину g^ и ее первые производные, так что напрашивается вывод

об истолковании компонент gy,v как гравитационных потенциалов, а компонент Г^ — как гравитационных напряженностей.

Умножая конструкцию

dxp d2ga рЭ^а дхр,дх^M,v

на ^а/^Хр и суммируя по р, прежде чем пытаться суммировать по а, получим слева

д£у дхр _ д^ _

дхр дЫ _ д^а так что

дх^ дху дхр ^

Подставляя результат в уравнение (9.2.12), найдем

^-=gA + £₽Л-(9.2.1з>

Здесь единственный немой индекс — это р, так что уравнение (9.2.13) представляет собой короткую запись системы 64 уравнений, связывающих 64 первых производных тензора g^ с 64 компонентами величины Г^. (Ввиду симметрии тензора gp,^ у него имеется лишь 10 независимых компонент, так что на самом деле здесь записано 40 уравнений, связывающих 40 производных с 40 независимыми компонентами Г^.) Эту систему ^ожно решить относительно^и получить [1 (гл. 3)j

+<9.2.м>

где gXo— величина, обратная ga^ она определяется равенством g^gap = 6ХР.’

(9.2.15)(9.2.16)(9.2.15)(9.2.16)Таким образом, мы имеем

(9.2.15)

(9.2.16)

(9.2.15)

(9.2.16)

dr2 2\ дх^ ’ дхр, дха / dr dr

ИЛИ

^^Х1 (д8№ ■ д^руdg^Xdx,, dxv

®P^ dx22 \ dxv дхр,dxp J dx dx "

Теперь можно отказаться от частных производных компонент £а, определенных только локально, и пользоваться уравнениями свободного падения, в которые входят лишь чисто геометрическая величина g^ и ее первые производные. Вели-

чина g^ называется метрическим тензором, а Г^ — афин- ной связностью.

Напишем уравнение (6.4.11) с теми же индексами, что и в уравнении (9.2.16), чтобы их легче было сравнивать:

б?2Хл / 0hnv dh..n\ dxu dx„

(60, 4-2/ioX) —A= —^ -^ -V2-)-^^-- (9.2.17)

v pA i рл/ ^T2^x^ dxv dx^ J dx dx v 1

Уравнение (9.2.16), записанное через чисто геометрические величины, очень похоже на уравнение (9.2.17), записанное через гравитационный потенциал. Если положить

^Spx —брх + 2Лра,

то эти уравнения совпадут друг с другом. Не следует забывать, что в уравнении (9.2.16) мы приняли

хц = (с/, х, у, z),

тогда как в (9.2.17) сохранились переменные частной теории относительности

Хр = (X, К, Z, icT\

Очевидно, что выше мы могли бы пользоваться вторым выбором координат, но тогда в отсутствие гравитации ^Цу->бЦу, а не ^у-^тщу.

Итак, оба уравнения совпадают друг с другом, если их записать в одних и тех же обозначениях (включая временную переменную ict^ и положить

£iiv ~ fyiy 4~ 2Ац^

[С тем же успехом мы могли бы переписать уравнение (6.5.11) и другие соотношения, приняв х0 = ct.\ Таким образом, компоненты метрического тензора — это гравитационные потенциалы, а их производные — напряженности гравитационного поля, так что результаты данного параграфа и гл. 6, § 5 сказываются тесно связанными друг с другом. Правда, у нас лока нет способа определять значения g^ соответствующие истинному (неустранимому) гравитационному полю.

$ 3. ОБ УРАВНЕНИЯХ ПОЛЯ

В гл. 4 мы рассматривали вопрос о нахождении гравитационных потенциалов в рамках частной теории относительности. Решая эту задачу, мы искали лоренц-ковариантные уравнения с правильным ньютоновским пределом, а окончательный выбор производили ца основании данных наблюдения за отклонением лучей света в поле Солнца. Построенная нами тензорная теория оказалась (гл. 8) удовлетворяющей

свойству калибровочной инвариантности и соответствующей наличию гравитонов со спином 2. Уравнения Эйнштейна для поля g^ определяются из требования, чтобы их источником был тензор энергии-импульса и чтобы получался правильный ньютоновский предел. Значит, эти уравнения должны быть вида

+ ?HV =^ ^V.(9.3.1)

где 9"^— тензор энергии-импульса всех источников, кроме самого гравитационного поля, а „□“ — записанный в общих координатах аналог известного в декартовых координатах оператора Даламбера. Член ?^ учитывает возможность включения в левую часть уравнений произведения производных тензора g^v, так как энергия гравитационного поля также является источником гравитационного потенциала. Сильный принцип эквивалентности обеспечивается требованием, чтобы уравнения, описывающие гравитационное поле, сами были общековариантными, как и все другие уравнения. Тогда оказывается, что может существовать лишь единственное выражение для левой части уравнений (9.3.1), дающее правильный ньютоновский предел1). Кроме того, тензор 9"^ сохраняется в локальной свободно падающей системе отсчета, где отсутствует влияние гравитации. Для этого левая часть уравнений (9.3.1) должна удовлетворять условиям (тождествам), что возможно лишь при единственном соотношении двух входящих в нее составляющих. Система десяти независимых уравнений (9.3.1) (16 минус 6, так как тензор 9"^ симметричен) с'наложенными тождествами имеет теперь 4 степени свободы, так что, если ^цУ(^)—решение, решением будет и 6uv (х')> пРичем компоненты g^v (х') можно вычислить из ^nv(x), зная конкретный вид преобразования х-х'. Это преобразование связывает каждую компоненту xw со всем набором х^ и, безусловно, не может повлиять сразу повсюду на неустранимое гравитационное поле, соответствуя лишь переопределению координат в конкретном искривленном пространстве-времени. Это условие необходимо для соблюдения общей ковариантности уравнений (9.3.1), которые (если справедлив сильный принцип эквивалентности) должны в равной мере действовать во всех системах координат. В теории, развитой нами в плоском пространстве-времени, это условие выражалось в виде калибровочной инвариантности. Принцип

общей ковариантности в приложении к уравнениям гравита-* ционного поля (сильный принцип эквивалентности) достато- чен для того, чтобы, во-первых, в приближении слабого поля уравнения сводились к нашей тензорной теории (тем самым предсказывая отклонение лучей света Солнцем, а не исходя из этого эффекта) и, во-вторых, чтобы полные уравнения поля были определены вполне однозначно, включая нелинейные члены, описывающие гравитацию как источник гравитации. Основной математический аппарат, необходимый для реализации этих построений, можно найти во многих публикациях (например, [1—5]). Следует, однако, уяснить себе, что в теории гравитации при решении конкретных задач (скажем, о движении планет или отклонении лучей света) .необходимо прежде всего задать 4 условия, эффективно определяющих систему координат, в которой выражаются компоненты g^. Тогда движение частицы или фотона описывается в этой системе координат уравнениями (9.2.15) и (9.2.7). В задании системы координат имеется, однако, элемент произвола, и уж во всяком случае она не поддастся локальному наблюдению. Мы посвятим дальнейшие параграфы этой главы выяснению истинного смысла уравнений движения в таких координатах и методов предсказания результатов реальных физических измерений.

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

В НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ

Мы хотим связать с реальными измерениями систему координат, в которой выражаются компоненты g^ и записываются уравнения движения. Для этого мы воспользуемся выражением для инвариантного интервала

dr2 = — g^ dx^ dx^. (9.4.1)

В бесконечно малой области пространства-времени, определенной координатами х^ физические законы имеют тот же вид, что и в лоренцевой системе отсчета, мгновенно покоящейся относительно этой координатной карты. Так частная -теория относительности рассматривает ускорения, и так она работает вообще (гл. 1). В частности, длина короткого реального измерительного стержня одна и та же в обеих системах, а одинаковые часы, покоящиеся в каждой из систем, указывают одинаковые отрезки истекшего времени. В лоренцевой системе отсчета

^2 Лар ^а ^р»

(9.4.2)

Малый эталонный стержень заданного устройства (например, длиной в 108 атомов углерода) имеет в состоянии покоя длину

dll = d^.(9.4.3)

где i пробегает значения от 1 до 3. Покоящиеся часы отсчитывают интервал времени

d/2 = ^2 = dT2e(9 4 4)

Возьмем

ИЛИ

Величина д^/дхо равна нулю, так как лоренцева система локально покоится по отношению к нашей произвольной системе. Тогда'

d^1 — dxt dxi’

и длина покоящегося измерительного стержня дается выражением

W—g-dx.-^-dx,.(9.4.5)

Поскольку

8|iv Лар gx^ gx^ gx^ gXv gx^ gXv >

мы имеем (ввиду равенства нулю производной д^/дхр)

Если d^oldXj = 0, то, очевидно, (d^2 = gjkdxjdxk. Этого могло бы и не быть, если бы равнялись нулю производные дудх0. Кроме того,•

g№<^о дхк дх0 dxk ’

^ХА 'V ^00^ХА 'V ^00так что в случае, когда д^/дх0 = 0, мы имеем ^о 8рк"

^ХА 'V ^00

^ХА 'V ^00

Поэтому собственная длина бесконечно короткого измерительного стержня [4, разд. 8.8] дается выражением

dP = dx, dxk (g,k - ^-),(9.4.7)

а интервал собственного времени, измеряемый часами заданного устройства, покоящимися относительно произвольной данной системы отсчета, — выражением

dv^-g^dx2.(9.4.8)

Эти выражения должны быть всеобщими, ибо мы с самого начала определили g^ через произведение частных производных, связывающих между собой свободно падающую локально лоренцеву систему отсчета и эту произвольную систему (относительные скорости систем не конкретизировались). Этот же результат можно получить и другим способом [5, стр. 299]. При dx, = 0, конечно, dx2 = — g^ dx^. Для измерения расстояния мы будем пользоваться световым сигналом, который испускается, отражается от зеркала и вновь принимается в исходной точке, а прошедшее при этом время измеряется обычными часами. Расстояние между источником света и зеркалом равно А/ и совпадает с длиной того же отрезка в сопутствующей инерциальной системе. Поэтому его собственная длина равна Дт/2с, где Ат — интервал времени, измеренный любыми обычными часами, между отправлением светового сигнала и приемом отраженного. Законы распространения света подчиняются во всех системах координат соотношению

gp-v dx^ dxv О, или

goo dx2 + gu dxt dX] + 2g0i dx0 dxt = 0, откуда

dx0 = — -^ [goz dxt ± Vgot dxtgoj dx, — g№gu dxt dx, ].(9.4.9)

На пути «туда» дифференциал dxi положителен, на пути «юбратно»— отрицателен (или наоборот). Таким образом, полное координатное время, протекшее на этом весьма малом пути, равно

Ах° = — -^- л/got dx,gOi dx, — googa dxt dx,.

Отвечающий ему элемент собственного времени, зарегистрированный часами у источника света, равен

Ат = Д— -VgM dxigo, dx, — g№gtl dxt dx,, (9.4.10) Soo

а так как Дт = 2Д/ (мы приняли с = 1), мы имеем

M^dXidx^ga-^L),(9.4.11)

как и прежде. Отсюда должно быть ясно, что измеряемая локально скорость света всегда имеет одно и то же численное значение с (представленное либо как 1 световая секунда в секунду, либо как 3-10’° см-с-1), даже если координатная скорость света совсем другая. Но если мы хронометрируем распространение света на таком отрезке пути, где приближение постоянного метрического тензора g^ неправомерно, то измеренное среднее значение скорости света не будет равно с1).

Рассмотрим теперь некоторые простые случаи, когда данная произвольная система отсчета х№ движется относительно некой заданной инерциальной системы Хх прямолинейно. Прежде всего возьмем

х-^- т-^в- х-«- г-=- <9-4-12>

Вычислив с помощью таких преобразований g^, мы, конечно, получим gnv= t)uv. Координатное время совпадает с собственным временем, а пространственные метки располагаются равномерно с промежутками, равными строго определенной собственной длине. Скорость света равна с(= 1) в любом направлении и на любом расстоянии — как координатная, так и реально измеренная — ведь мы взяли преобразование Лоренца, для которого

dx I

Примем теперь

X = x-vt, T = t, Y = y, Z = z. (9.4.13)

Здесь снова

но это — преобразование Галилея, отвергнутое в частной теории относительности. В общей теории относительности оно вполне допустимо! Мы сразу же найдем

goo = —(1—У2), 5п=522 = 5зз= L 5oi =5ю = —и (9.4.14)

*) Причина этого несовпадения в том, что время измеряется в месте расположения источника сигнала, а пройденные светом отрезки пути лежат вдали от источника (где гравитационное поле, т. е. ^v, совсем другое, и вступает в игру неоднородность пространства-времени).— Прим. ред.

(прочие компоненты равны нулю). Производные метрического тензорд равны нулю, так что инертные и гравитационные силы отсутствуют. Численные значения компонент метрики не зависят от координат, так что скорость света равна с в любом направлении и на любом расстоянии, если ее измерять при помощи реальных часов и реальных измерительных стержней. Однако «измеренная» координатная скорость света, хотя и не зависит от точки, отличается от с и неодинакова в разных направлениях:

dx goo_ 1 — у2 = ±,

^-^о ^т2=0 goi i Vgoigoi googu ^ 1 y

(9.4.15)

5-1=(9.4.16)

Собственное время связано с координатным в каждой точке как

dT=Vl-y2^.(9.4.17)

так что

A/X=^L_, MU = M, M2 = bz. (9.4.18)

Ситуация совершенно ясна1). Как в предыдущем, так и в этом случае мы просто переходили из одной инерциальной системы отсчета к другой, тоже инерциальной. В первом случае использовалось преобразование Лоренца, связывающее кординаты, измеренные в стандартных собственных единицах, с координатами другой системы, также измеренными в стандартных собственных единицах. Во втором случае обе системы отсчета те же, что и в первом, но во второй системе отсчета все координатные часы идут быстрее, чем стандартные часы, причем так, чтобы, несмотря на замедление темпа времени, выполнялось равенство Т = /, а х-координата выбрана растянутой, чтобы, несмотря на лоренцево сокращение масштабов, получалось Х = х— *ot. Переопределение координат снова приводит нас от этой системы отсчета к первому случаю [4, разд. 8.14]. Данный пример поможет понять некоторые закономерности, связанные с ускоренным движением.

ПРИМЕР ПОЛЯ СИЛ ИНЕРЦИИ

Рассмотрим космический корабль, двигатели которого обеспечивают постоянное ускорение g по показаниям бортового акселерометра. Иначе говоря, акселерометр движется с ускорением g относительно сопутствующей инерциальной системы отсчета. Проследим за движением такого космического корабля с точки зрения некоторой заданной инерциальной системы отсчета, рассматривая его 4-скорость и 4-ускорение. В локальной мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета с координатами £а собственное время совпадает с собственным временем корабля, так что

(9.5.1)

причем это единственная отличная от нуля компонента 4-ускорения. Применив в этому 4-ускорению преобразование Лоренца, получим в заданной инерциальной системе отсчета

(9.5.2)(9.5.2)d2X _ g

(9.5.2)

(9.5.2)

dx2 V1 — и2 ’

где и — скорость движения сопутствующей инерциальной системы относительно этой заданной. В сопутствующей системе 4-скорость имеет всего одну компоненту

dx ’

так чтоТогдаоткудагдетак чтоТогдаоткудагдеdX = уdx V1 — у2d (dX\ = g ,dx \ dx / V1 — у2 ’dT dу gdx dT ^ \ — y2V1 ~ y2 ’dX = уdx V1 — у2d (dX\ = g ,dx \ dx / V1 — у2 ’dT dу gdx dT ^ \ — y2V1 ~ y2 ’(9.5.3)(9.5.3)(9.5.4)(9.5.4)

так что

Тогда

откуда

где

так что

Тогда

откуда

где

dX = у

dx V1 — у2

d (dX\ = g ,dx \ dx / V1 — у2 ’

dT dу g

dx dT ^ \ — y2V1 ~ y2 ’

dX = у

dx V1 — у2

d (dX\ = g ,dx \ dx / V1 — у2 ’

dT dу g

dx dT ^ \ — y2V1 ~ y2 ’

(9.5.3)

(9.5.3)

(9.5.4)

(9.5.4)

Это — уравнение движения космического корабля в Х-системе, а также уравнение движения частицы, на которую действует

постоянная сила (например, электрон в постоянном электрическом поле).

Для большего удобства воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютная величина (модуль) 4-ускорения есть

инвариант:

/ d2X \2 к dx2 )

/ d2T V 2

(лг) = 8-

(9.5.5)

Взяв

' dT\2_ , . dx ) ~ 1

(9.5.6)

и продифференцировав:

d2X dX d2T dT „ dx2 dxdx2 dx’

найдем

d2XdTd2TdX- -

dx2 g dx И dx2 8 dT •(9.5.7)

Производя повторное дифференцирование и исключая поочередно каждую из неизвестных функций, получаем дифференциальные уравнения. Их решения выражаются через экспоненты, которые объединяются в гиперболические функции. Поскольку при ^т—>0 мы имеем Г—>т, a X-^x[2g^1 решения таковы:

•X = g-I(chgT—1),

Т = g~' sh gx, и = th gx

[это явствует уже из вида уравнения (9.5.6)]. Переменная х есть собственное время, измеряемое часами, которые расположены там, где находится акселерометр, показывающий ускорение g. Снабдим космонавта в космическом корабле системой стержней и часов, показывающих координатное время |о = т(О)—собственное время в системе, мгновенно сопутствующей этому наблюдателю. В этой сопутствующей системе отсчета мы имеем координаты g0, Bi (а также &>, Вз) и мгновенный снимок ситуации дает

(9.5.9)(9.5.9)VV ^1 + О^о

(9.5.9)

(9.5.9)

у у __ ^0 ^£1

0— уГ^ ’

где Х,Т — новые общие координаты в данной инерциальной системе, а Хо, То — опорные точки, связанные с мгновенно сопутствующей системой. Координаты космонавта X (0) и Г(0) совпадают с X и Т в формулах (9.5.2) — (9.5.8); ^, (0) = 0, a go

вместе со значениями X и Т, соответствующими произвольным значениям ^, следуют из уравнений (9.5.8) и (9.5.9):

X - X (0) = g, ch gx (0) = ^ ch ^,r-T(O) = ^shgT(O) = ^shglo

в один и тот же момент координатного времени, причем

(9.5.10)(9.5.10)X^tg-'+^chg^-g"1,^ = (g-1 + 6i) sh g^o).

(9.5.10)

(9.5.10)

Наши действия сводились к тому, что мы снабдили (на базе частной теории относительности) космонавта системой отсчета, которая совпадает в координатном отношении с сопутствующей инерциальной системой с лоренцевыми координатами, почему мы и сохранили обозначения |а. (Если бы ускорение не было постоянным, то ввести такую эквивалентную систему было бы намного сложнее.) Из уравнения (9.5.10) следует, что

dP - dX2 = (1 + gg,)2 d^ - d^v (9.5.11)

Единственная компонента тензора g^v, отличающаяся от соответствующей компоненты величины т^, равна goo = = —(l+^i)2- Поэтому интервал собственного времени зависит в этой чрезвычайно естественной системе координат от положения часов, а ускорение, измеряемое при любом данном значении ^, отличается от g множителем (l + g|i).

Найдем ускорение как функцию точки. С этой целью выведем уравнения движения свободно падающей частицы, опираясь на уравнения (9.2.11) и (9.2.14). Метрический тензор ^yv имеет лишь одну компоненту, производная которой отлична от нуля:

^-=-2g(l+g^). (9.5.12)

Если исключить из уравнения (9.2.11) собственное время падающей частицы, то мы получим

(9.5.13)(9.5.13)£к=-г' -^k^ka-r0 ^k^k^L

(9.5.13)

(9.5.13)

<* d^ d^ vX d^ d^ d^ 1

Отличны от нуля только следующие компоненты аффинной связности:

r»--i4tr«n,=s(1 + «M.

г»-=г!. = |^а| = в(‘+гМ’1-

Поэтому искомое уравнение движения свободно падающей частицы таково:

^= - gd + 5^1) + 2 (1 + ^1Г* f-^-V• (9.5.14)

Особо отметим, что в этом поле сил инерции ускорение не зависит от поперечных компонент скорости.

Ускорение, измеряемое акселерометром в точке gi, будет соответствовать равенству (d£i/dgo) = 0, но интервал координатного времени d£,o отличается от интервала собственного времени dr локальной системы отсчета, если £ =# 0. При фиксированном значении ^ выполняется равенство dr2 = = (1 + g^2 d^, так что акселерометр будет показывать ускорение

d^ X dr )(1 + &\Y d^

при

d^d^= 0.= 0.

d^

d^

= 0.

= 0.

Пространственные координаты, измеряемые при помощи реальных эталонных стержней, однородны и изотропны, так что причины отличия ускорения от g для ^i =/= 0 следует усматривать в продольном сжатии полученной системы координат космического корабля, когда он ускоряется, с точки зрения данной инерциальной системы отсчета (прогрессирующее ло- ренцево сокращение). Если бы при всех значениях & ускорение равнялось g, как это было бы в случае, когда метки всех значений gi нанесены на разные ракеты, ускоряющиеся одинаково, то данный отрезок A|i растягивался бы со временем при измерении его стандартными эталонными стержнями.

При малых ^i и 5|о

X ~ §i + Г4- 5^о) 1о,

м .(9.5.16)

Г~£о + (у glo)li-

Это, очевидно, то же самое, как если бы мы положили

Х = ^ + ^о,

Г = 1о + ^1(9.5.17)

в преобразованиях Лоренца (пренебрегая величиной и2), а не в преобразованиях Галилея

Г = &).

Поэтому-то и равен нулю член с g*oi; если бы мы положили (при малых ggo), что

x=^+4^

т=^,

то получилось бы

5ц = 1 > 5оо = - (1 - 52^о)> 5oi = gio-

В обоих случаях собственное ускорение одинаково, если его измерять как ускорение пробной частицы, первоначально удерживаемой в состоянии покоя в ^-системе и затем предоставленной самой себе.

Система координат, найденная путем преобразований частной теории относительности, обладает тем преимуществом, что сила инерции имеет в ней вид градиента потенциала, нс зависящего от времени, что во многом напоминает свойства напряженности постоянного гравитационного поля.

Ограничиваясь областью, достаточно близкой к акселерометру, показывающему ускорение g, можно положить goo — — (1 + 2^1).

Тогда координатная скорость света дается равенствами да-(1+2^])^ = 0, -^-=1 + ^,

где £— «радиус-вектор» с началом в точке расположения акселерометра. Поскольку при данном |i имеет место равенство dx = (1 + g^d^o, измерение времени прохождения сигналом туда и обратно весьма малых расстояний всюду даст, очевидно, локальную скорость с= 1.

Пользуясь координатной скоростью, можно рассчитать искривление луча света в координатах £. Если взять плоскую волну, распространявшуюся первоначально под прямым углом к направлению ускорения (скажем, вдоль оси ^), то в силу сказанного в гл. 5, § 1 получим

и угол "317 = —,

после прохождения расстояния Д^2.

Данное выражение согласуется с результатом гл. 1, § 2. Заметим, что это именно то угловое отклонение, которое должно реально измеряться в локальном опыте, так как

6 Зак, 1169

масштаб вдоль координатной оси £i однороден, если проводить измерения при помощи стандартных эталонных стержней.

По goo можно также рассчитать красное смещение. Величина £о есть всеобщее координатное время. Возьмем двое стандартных часов, находящихся в покое по отношению к системе координат ^, причем пусть одни из них будут в точке £1 = 0, а другие — при каком-то ином значении £ь Соответствующие интервалы собственного времени определяются так:

^(^-(l+g^i)^

du (0) = d^,

Возьмем атом с собственной частотой v. Пусть Дт(0) будет интервалом времени между двумя следующими один за другим импульсами излучения этого атома, покоящегося при £1 = 0. Так как в этих координатах компоненты g^ не зависят от £0, а атом покоится, интервал между этими двумя импульсами в точке £i равен Д£о = Дт(О). Этот интервал координатного времени соответствует интервалу собственного времени в £ь равному Дт(£1) = (1 + g£i)Ar(0), причем такой же атом, покоящийся в точке £ь испускает за этот срок l + g£i импульсов излучения. Тогда

^=1+^ь (9.5.20)

что опять-таки согласуется с результатами гл. 1, § 2. Заметим, что величина g может быть получена как измеренное ускорение в точке ^ = 0, a £i — это расстояние, которое можно непосредственно измерить реальным эталонным стержнем.

В данном параграфе мы рассматривали внутреннее поле, возникающее в ускоренной лаборатории. В присутствии неустранимого гравитационного поля возникают добавочные эффекты ввиду того, что пространственная часть метрического тензора уже не выражается как 6Z/.

ВНЕШНЕЕ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна связывают метрический тензор g^ с тензором энергии-импульса ^^v, определяя величины g^ с точностью до преобразования координат. Конструкция в левой части уравнения (9.3.1) содержит вторые производные g^v, соответствующие ПА^, и билинейное произведение их первых производных, соответствующее тензору энергии-импульса самого гравитационного поля.

Таким образом, Т^ представляет собой тензор энергии-импульса всех объектов, кроме гравитационного поля, а решение уравнений Эйнштейна в области, где ^uv = 0, соответствует решению уравнения тяготения Ньютона в пустоте,

V2qp = 0.

Последнее уравнение решается тривиальным образом в случае сферической симметрии и дает потенциал

где К — константа, которую мы полагаем равной — GM, причем М — сферически симметричная масса, расположенная в начале координат.

Соответствующее решение уравнений Эйнштейна выводится следующим образом (см., например, любой учебник из числа [1—5]). Во-первых, примем ^^v = 0. Во-вторых, выберем систему координат. Если предполагается, что она связана с системой покоя источника, то, по-видимому, естественно выбрать координаты так, чтобы компоненты тензора ^ulv не зависели от времени. Хотелось бы также, чтобы время было ортогонально другим координатам, т. е. чтобы компоненты gOl были равны нулю. В случае сферически симметричного поля естественно оставить угловую часть бесконечно малого интервала в обычном виде и написать

dx2 = в (г) di2 - А (г) dr2 - г2 (d62 + sin2 6 d<p2)(9.6.1)

в сферических координатах, так что

£гг = Д(г), g96 = r2, 5фф = г28Ш2е, goo= — В (г).

Действие гравитационного поля проявляется в компонентах grr и goo-

При таком выборе координат уравнения Эйнштейна для случая Т ^ = 0 удовлетворяются, если

£оэ — " (^ +"7") ’

Так как в ньютоновском пределе напряженность гравитационного поля равна x]^g^ постоянную К положим равной —2MG, где М—масса, заключенная в сфере радиусом г,

когда г—>оо. Таким образом, мы получили внешнее решение Шварцшильда в обычных координатах :

г2 = Г1 _ ^L) ДР^лГ - г2 d^ - г2 sin2 0 dtp2. (9.6.3)

X/* х| _ 2U/H'''

Г

Отсюда видно, что изменилось время, изменились радиальные длины, но отрезки, касательные к концентрическим сферам, не претерпели изменения. В гл. 6 мы установили, что гравитационное поле одинаково влияет на малые отрезки независимо от их ориентации. Поэтому не удивительно, что можно так переопределить радиальную координату г, чтобы это свойство было явно выражено в решении Шварцшильда. Положим

г-р(1+^У.(9.6.4)

причем

ZMG х2

адм _| 12р |

1 г “I IV + 2р /

И

^(l+^i,-^)., тогда

/1 MG у

dr2=|| dt2-

— (1 + -^-)4 (Ф2 + Р2 d№ + р2 sin2 6 d<p2). (9.6.5)

Так решение Шварцшильда выражается в изотропных коор< динатах. Если пользоваться метрикой Шварцшильда в обычном виде, то следующие из нее уравнения движения близки по виду к ньютоновым уравнениям движения. Если же пользоваться изотропными координатами, то результаты измерения малых длин реальными линейками связаны с координатными интервалами просто изотропным изменением масштаба. При этом в приближении слабого поля мы получаем в точ-

’) Такие координаты (где угловая часть входит в интервал так же, как в плоском мире при сферических координатах) носят название координат кривизн, координаты для интервала (9 6.5) называются одородными (или изотропными). — Прим. ред.

пости тензорную теорию тяготения, изложенную в первой части книги и основанную на уравнениях

□ h^ = 8nG^"nV,

Обе приведенные системы координат широко используются, й ни одна из них не является в каком-либо смысле «более основной». Часто можно встретить и третью систему координат — так называемые гармонические координаты [1, стр. 179, 197], в которых

. МО

*9.6.6

, , МОГ MOV / MG\2} +—р~ х,х,Во = С1 + ~ТГ) ^и + (~g~) “мо"~r*~ •

R

С точностью до величин первого порядка по GMJR или GM/p (обычно малых) компоненты g4 и goo в изотропных и гармонических системах координат согласуются. Вид goo одинаков в обеих системах также до второго порядка малости. Значит, обе системы эквивалентны с точки зрения рассмотренных нами измерений в солнечной системе, так что мы не будем больше останавливаться на гармонических координатах. Однако компоненты метрики goo и gw в первом порядке и goo во втором порядке различаются в обычных и изотропных координатах. Тем не менее их физическое содержание совпадает. Мы рассчитаем теоретически наблюдаемые (измеримые) эффекты, о которых уже говорили раньше, а именно гравитационное красное смещение, отклонение лучей света в поле Солнца, задержку отраженного радиолокационного сигнала и смещение перигелия Меркурия с точки зрения обеих систем координат.

ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ

Сначала рассмотрим эффект гравитационного красного смещения. Интервал собственного времени связан с интервалом координатного времени соотношением

если часы покоятся относительно системы координат. На двух разных уровнях гравитационного потенциала одному и тому же отрезку координатного времени соответствуют разные ин* тервалы собственного времени. Пусть некоторый источник даст два световых импульса в точке с радиальной координатой Л, разделенных промежутком в координатном времени М. Компоненты метрического тензора не зависят от временной координаты, так что в точке с радиальной координатой г^ промежуток в координатном времени между импульсами останется равным АЛ Так как

д/ = Ат£00 V1) мы имеемд/ = Ат£00 V1) мы имеемииДт(г2) = V—SooMAt,Дт(г2) = V—SooMAt,

д/ = Ат

£00 V1) мы имеем

д/ = Ат

£00 V1) мы имеем

и

и

Дт(г2) = V—SooMAt,

Дт(г2) = V—SooMAt,

Дт (л)Дт (rjДт (л)Дт (rj8йй V2) Яоо^О ‘8йй V2) Яоо^О ‘(9.7.2)(9.7.2)

Дт (л)

Дт (rj

Дт (л)

Дт (rj

8йй V2) Яоо^О ‘

8йй V2) Яоо^О ‘

(9.7.2)

(9.7.2)

С точностью до слагаемых первого порядка по GMjr компо- нента goo одинакова в изотропных и обычных координатах; в обычных координатах она дает

Дт (г2)Дт (г,)Дт (г2)Дт (г,)(9.7.3)(9.7.3)

Дт (г2)

Дт (г,)

Дт (г2)

Дт (г,)

(9.7.3)

(9.7.3)

Частота сигналов v2, принимаемая в точке г2, если ее измерять реальными стандартными часами, связана с частотой тех же сигналов, испускаемых в точке л при измерении реальными стандартными часами, соотношением

2GAf« 1 +GM(-

2GM 1\ r2 гх )

ИЛИ

Частоты vi и v2— величины, которые можно измерить. Однако в правой части этого соотношения стоят координаты г^ и л, а также масса М. Чтобы вычислить красное смещение, нам нужно выразить через наблюдаемые (измеримые) вели* чины и правую часть соотношения. На малых расстояниях

V2 — У1VV2 — У1VGMг2GMг2Дт,Дт,где Дг = г2 —гьгде Дг = г2 —гь

V2 — У1V

V2 — У1V

GMг2

GMг2

Дт,

Дт,

где Дг = г2 —гь

где Дг = г2 —гь

Величина Дг—координатное расстояние. Радиальное расстояние Д£, измеренное между точками л и г2 реальным из-

мерительным стержнем, связано с Аг равенством

^L = V5^ Ar ~ Ar,(9.7.5)

если в выражении для красного смещения ограничиться величинами первого порядка малости. Поэтому координатный интервал Аг можно заменить величиной АЛ — интервалом, измеренным при помощи реального эталонного стержня. Наконец, ускорение свободно падающей частицы дается уравнением (9.2.11) и при пренебрежимо малой скорости равно

Измеренное ускорение равно g = d^r/dt^, если пренебречь поправками порядка GM/r и выше, так что с точностью до первого порядка по гравитационному потенциалу красное смещение дается выражением

(9.7.7)

(в него входят только наблюдаемые величины). Очевидно, что такой сдвиг частоты равен нулю, если лаборатория, в которой находятся источник излучения и детектор, свободно падает, а не покоится относительно использованных координат.

ОТКЛОНЕНИЕ ЛУЧЕЙ СВЕТА СОЛНЦЕМ

Отклонение луча света мы рассчитаем, положив t/т2 = О для импульса излучения или для волнового фронта, распространяющегося со скоростью света. В таком случае координатная скорость света определяется уравнением

Sp,v dx^ dxv — 0. (9.8.1)

Локальная скорость света, измеренная хронометрированием на бесконечно малом отрезке пути с использованием обычных часов и линеек, всегда равна с.

Возьмем плоскую волну, распространяющуюся в лаборатории малых размеров под прямым углом к гравитационному полю. Обозначим радиальную координату через у, а перпендикулярную ей — через х. Тогда угол поворота на пути Ах дается уравнением

<9-8.2)

где и — координатная скорость света в направлении х.

В изотропных координатах координатная скорость света в любом направлении равна

(1-^)(1+-^)"3«1-^(9.8.3)

так что угол отклонения равен

(9.8.4)(9.8.4)dy _ 2GM Л 2GM л dx — у2 Х — г2

(9.8.4)

(9.8.4)

Поскольку взяты 'Изотропные координаты, таким же будет угол отклонения и в реальных единицах. Но мы измеряем его при помощи зрительной трубы, прикрепленной к дальней стене лаборатории, размером Ах. Тогда

AL, = (1 +-^-)2 Ах ~ (1 +-^-) Ах. (9.8.5)

Таким образом, стены лаборатории расположены под малым углом к координатным линиям, как раз чтобы зрительная труба могла измерить угол (ср. гл. 6, § 2)

GM л г-з-ДЬGM л г-з-ДЬXfXf

GM л г-з-ДЬ

GM л г-з-ДЬ

Xf

Xf

где AL*— расстояние, измеренное поперек лаборатории, а величина (GM/r2) = g— измеренное ускорение свободно падающей частицы. (Этот результат снова верен до первого порядка по GM/r). Изменением множителя (1 + GAf/2r)2, связывающего измеряемые величины с координатными, можно пренебрегать только в том случае, если можно пренебречь первой производной GM]r, а в этом случае в данном приближении отклонение отсутствует.

В обычных координатах картина несколько иная. Скорость в направлении х равна

так что

^ = 5^\х.(9.8.7)

Длина \LX = Ах ввиду того, что компоненты метрики g^ и ^фф имеют те же значения, что и в плоском пространстве. Длина ^Ly связана с координатным отрезком At/ равенством л г —ДУ_■

2GM *

Г я поэтому

dy _ GM м dx — г2

если результат требуется знать с точностью до малых первого порядка. Боковые стены лаборатории в этом случае параллельны оси у, а зрительная труба снова измеряет угол gkLx.

Итак, при вычислении результатов измерения отклонения луча света в малой лаборатории, покоящейся по отношению к источнику поля с массой М, мы получаем один и тот же результат независимо от того, в какой системе координат велся расчет, и этот результат удовлетворяет принципу эквивалентности.

Координатное отклонение луча света, испущенного очень далеко от отклоняющей массы и наблюдаемого также очень далеко от нее, можно найти интегрированием отклонения по (приблизительно) прямому пути, как это делалось в гл. 1, § 4. В изотропных координатах скорость равна с точностью до малых первого порядка 1 — 2GM)r. Сравнение с тем, что было сказано в гл. 5, § 1, показывает, что в изотропных координатах угол отклонения дается формулой а = 4GM/b, где b— прицельный параметр, приблизительно равный расстоянию наибольшего сближения луча й притягивающей массы.

В обычных координатах координатная скорость света зависит от направления, что несколько усложняет рассуждения. Можно было бы либо решать уравнения движения (9.2.15), либо попросту воспользоваться изменением координатной скорости света. В этом последнем случае для света dv2 = 0 = (l -^-^dt2-

-^ - г2 (de2 + sin2 9 dep2),(9.8.8)

r причем

da 1 du д T dx \ dxи dy ~ dy \ dt ) ’

как и ранее. Здесь х— расстояние вдоль пути; dx/dt« 1. Возьмем 6 = 90°, так что d9 = 0, и получим

Г

Это уравнение можно переписать в виде я 2 f AV

О-У# + гЧ5)г^-(1-^)^ (9.8-5)

Г

(фиг. 18), где

о-drхУ dmи

X + У ,= —, COS Ф = —,.

у ’dxг’г’ dxг2

Теперь

0 ?ti dx2 (1 + ™—) - (1 - ^т^) dt2 (9.8.10)

(до малых первого порядка), так что скорость света на его почти прямолинейном пути равна

(9.8.11)(9.8.11)dx . GM /. . х2 X_« 1_^ +__J.

(9.8.11)

(9.8.11)

При х = 0 эта скорость ориентирована в угловом направлении и равна 1 — GM[r, а при х« г это — радиальная скорость, равная 1 — 2GM!r.

Фиг. 18. Координаты, принятые при расчете отклонения лучей света в поле Солнца [уравнение (9.8.9)].Фиг. 18. Координаты, принятые при расчете отклонения лучей света в поле Солнца [уравнение (9.8.9)].

Фиг. 18. Координаты, принятые при расчете отклонения лучей света в поле Солнца [уравнение (9.8.9)].

Фиг. 18. Координаты, принятые при расчете отклонения лучей света в поле Солнца [уравнение (9.8.9)].

Тогда снова

Таким образом, зависимость угла относительно заданного направления (например, когда источник не подвергается существенному воздействию) от b дается как в обычных, так и в изотропных координатах выражением 4GM/b (в первом порядке по GMIb). Это изменение угла совпадает с тем, которое действительно измеряется в изотропных координатах; в обычных координатах координатный и измеряемый углы различаются на О(СЛ1//?), где R— радиус земной орбиты. Эта поправка может быть здесь отброшена, так как она имеет порядок ЫО'8,

§ 9. ЗАДЕРЖКА ОТРАЖЕННОГО

РАДИОЛОКАЦИОННОГО СИГНАЛА

Задача об избыточной временной задержке в экспериментах по радиолокации космических объектов интереснее. Время, за которое сигнал распространяется от Земли до Мерку*

рия и обратно, равно

гМерк

^ = 2 ^Y'dx.(9.9.1)

г3емл

В изотропных координатах положим, как и в гл. 5, § 2, dx. _ ЮМ

dt1 г *

что дает

', = 2(^.л+ '«.,.)+ 4C«Bln(^S=),(9.9.2)

где b— величина (фиг. 10), приближенно совпадающая с прицельным параметром.

Исходя из уравнения (9.8.11), в обычных координатах получим

ГМгРК GM /х2\

^ = 2Аземл + ^Мерк)+2 $(1 + -7") dx, (9.9.3)

г3емл

= 2(-=з... + 4„ерк) + 40Мо In [tSs^K.] - 4СМ»

В этих выражениях мы положили хземл, хмерк равными гземл> ^мерк под знаком логарифма. В члене нулевого порядка хземл и хМерк можно выразить по формуле X = ^Г2 — Ь2, НО' лучше воспользоваться расстоянием кратчайшего сближения с Солнцем го- Поскольку при переходе от х = 0 к х» г0 про' исходит поворот примерно на угол 2GMIr0, мы получим

(ЮМ . о\(ЮМ„х

Г0 ” ( Го + U *Мерк — X ГоР) Х3емл •

где р ^ 0, так как г3емл ^ гмерк. Тогда

*3емл = л/ГЗемл-62 =

так что

Х3емл + ХМерк * д/ГЗемл — Г0 + УГкй\>У1 — Г0 + 4GM,

И

= 2 (д/ГЗемлГ0 "Ь VrMepK Го) +

4GMGln + /"-^“^рЛ + 8GMe< (9.9.4) \ го /

^3 ~ 2 (Vr3eMfl Г0 + VrMepK Го) “Ь

+ 4GMQ\n(±3£И^р«А + 4GMO. (9.9.5)

X г0 /

Эти два результата неодинаковы, но различие сразу же сни^ мается, если вспомнить, что изотропные координаты г/ связаны с обычными координатами rs преобразованием

Ч = г1^^~^ ~rAGM(9.9.6)

(меняется только радиальная координата).

Величины t, гземл, ^мерк и г0 непосредственно не могут быть измерены и должны рассматриваться как удобные параметры, связанные с непосредственно измеримыми величинами. Промежуток времени между отправлением и приемом радиолокационного сигнала измеряется по атомным часам на Земле, ход которых отличается от хода координатного времени. Переход требует учета двух этапов. Так как часы находятся в поле Солнца (и, конечно, в поле Земли), следует учесть множитель ~(1— GMQ!rземл), а так как Земля движется по своей орбите со скоростью и относительно используемых нами координат, следует добавить еще множитель V1 — ^[с2. причем

о2 GMO

С^ г3емл

Поэтому измеренный интервал собственного времени ZCo6 связан с интервалом координатного времени /Коорд соотношением

/3GM~X

<9-9-7) р X2 'Земл /

(в первом порядке по GMO).

Полное время распространения сигнала на пути Земля — Меркурий — Земля составляет ~1,2-103 с, а относительная поправка равна ~1,5-10~8, что вносит различие между /Соб и /коорд около 20 мкс, которым нельзя пренебрегать, так как полная дополнительная задержка сигнала, вызванная тяготением, равна ~200 мкс.

Нельзя измерить непосредственно и параметры гземл и гмерк; их нужно свести к чему-то, поддающемуся измерению. Например, измерение задержки, когда ,Меркурий находится в нижнем соединении (между Землей и Солнцем) и когда он находится в верхнем соединении, дает две точки, по которым можно оценить г3еМл и гмерк, пользуясь, конечно, уравнением движения света в поле Шварцшильда. Можно наблюдать временную задержку в течение года или нескольких лет и сравнивать полученные результаты с уравнением движения света, рассматривая Гземл и гМерк как подгоночные параметры, такие же, как и многие другие. Можно также определять

гземл и гмерк, исходя из непосредственно измеримых периодов обращения планет и из уравнений их движения (в координатах Шварцшильда). В изотропных координатах уравнения движения имеют тот же вид, что и уравнения, использованные нами в гл. 7 при вычислении смещения перигелия Меркурия, так что период обращения равен

где а = 2. Подстановка R = Rq—GM даст переход к обычным координатам, в которых результат совпадает с ньютоновским выражением * •

|9-9-

Таким образом, мы видим (косвенно), что период в координатном времени связан с координатным радиусом орбиты соотношением, следующим из закона тяготения Ньютона, если пользоваться нс изотропными, а обычными координатами. Здесь также не следует забывать, что Те— координатное время и что измеренный по атомным часам на Земле период обращения планеты можно сравнивать с Те лишь после введения поправок. Величина GMQ соответствует расстоянию 1,5 км или времени движения со скоростью света 5 мкс.

Подчеркнем, что задача проверки предсказаний теории гравитации относительно задержки отраженного радиолокационного сигнала вполне четко формулируется на основе измеримых величин, хотя и оказывается очень сложной технически (а нс принципиально). Укажем здесь на интересные и подробные статьи [8, 9] и отметим лишь, что предсказания теории Эйнштейна в этом отношении сейчас подтверждаются с точностью примерно 3% [10, 11].

В обычных координатах

4т = (1 — 22^.^ df2 — г2 sin2 9d<p2 — r2d02 —

(9. ЮЛ)(9Л0.2)(9. ЮЛ)(9Л0.2), 2 /i 2GM x-*,,

(9. ЮЛ)

(9Л0.2)

(9. ЮЛ)

(9Л0.2)

U7г /^jav dx^ dx^^

так что

§» = — (!—) . £<рф = г2 sin2 0;

Поскольку grr — потенциал, который умножается на квадрат скорости, очевидно, что grr достаточно брать лишь в первом порядке, по GM)r, а в gtt нужно учитывать и второй порядок. Но в отличие от случая изотропных координат, компонента в обычных координатах не содержит нелинейного члена. Мы выведем уравнения движения в обычных координатах и найдем смещение перигелия приближенным методом, которым мы пользовались в гл. 7. При этом мы будем работать в сферических координатах, так как они больше соответствуют сути задачи, а метрика g^ в них диагональна (в обычных координатах, если сделать их декартовыми, метрика перестает быть диагональной).

В приципе следовало бы вычислить компоненты афинной связности, а затем решить уравнения движения (9.2.11),

d2xx 1 dxn dxv

■^+Г^^=0,(9.10.3)

но мы пойдем по более короткому пути1). Для плоскости орбиты выберем 0 = л/2, так что уравнение для координаты

^ Этот путь можно сделать еще более коротким, что избавит от необходимости вычислять компоненты связности (9.10.6) и (9.10.8). Исходя из уравнения геодезической линии (9.10.3), найдем

■dx убиК дх ) 8хк Дх2 + dx dx

Гх dx»dx'> | 98«kdxud4

tiv ^т ^т "• ^^ ^т ^т 1

куда подставим явный вид компонент связности (9.10 4) и получим альтернативное [и эквивалентное уравнению (9.10.3)] уравнение

6 выпадает. Затем, определив величины dt/dx и dq/dx, их можно подставить в выражение для собственного времени и получить уравнение, связывающее г и t. Поэтому достаточно сосчитать отличные от нуля компоненты тензоров Г^ и Гф^.

Согласно формуле (9.2.14),

Р<т 1 а-»0(Idg^x \......

причем, когда метрика gxa диагональна, компоненты обратной метрики gva попросту обратны по величине ^а(=/=0). мы имеем

5-+(Г;, + Г!,)^^ = 0(9.10.5)

(остальные слагаемые равны нулю), причем pt pt1 dgtt1GM

(9.10.6)

lrt — 4r — 2gtt дг — t _ 2GM r2 ‘ r

так как d^/dx = 0 (угол 6 не изменяется), 42ф । (рФ । рф \ 4ф dr . "dx2 1 ^гф-1 Чг) dx dxU

(9.10.7)

(остальные слагаемые равны нулю), причем

рф рф 1 ^^фф 1

Тогда d2t2GM

(9.10.8)

dx2 ।г2dr ~

dt + _ 2GM dx U ’ dxr

i dt , . / , 2GM \ '.

ln^-+ Ini 1-—J = const,

(9.10.9)

(9.10.10)

и получается эквивалент равенства (9.10.11): dt

gtt "dr = Const

ИЛИ

dx = К ^\ - ^-^ dt,(9.10.11)

где К—постоянная интегрирования, которая определяется скоростью частицы. Аналогично

</2Ф

-4^- + — -^= о,(9.10.12)

6*Ф1 г dxх7

da

откуда1

ln-^+21nr = const,■(9.10.13)

ИЛИ

Г2 5" = const = Я.(9.10.14)

Ясно, что это уравнение выражает закон сохранения момента импульса. Взяв

dT^^l -^l)d/2-dr2(l --^-yY-гЧч?.

можно записать радиальное уравнение движения в переменных t или т так:'

2GM \-1

л2(1-л2(1-2GM V2GM Vили

л2(1-

л2(1-

2GM V

2GM V

я2 /. 2GM У г2 Vг )

Будем пока работать с последним видом уравнения, который

записывается как1 2GMзаписывается как1 2GM

записывается как

1 2GM

записывается как

1 2GM

приприА = г24г(1 -dt \А = г24г(1 -dt \2GM у12GM у1(9.10.17)(9.10.17)

при

при

А = г24г(1 -dt \

А = г24г(1 -dt \

2GM у1

2GM у1

(9.10.17)

(9.10.17)

Дифференцируя (9.10.16) по времени, находим

q12GM dr 2 ^2r dr / 2GM \ ~3 .

2GM у r2 dt 14 dt2 dt V r )+

'+2ТГ^ +o[(^)’“]- (9.10.18)

Если отбросить последний член, то получим

d2r"di2d2r"di2_^_(1_2^.) + ^(1_^)3. (9Ло.19)

d2r

"di2

d2r

"di2

Для круговой орбиты d?r/dt2\R = 0, так что

(9.10.20)(9.10.20)h2 _ GM (2GM X”2

(9.10.20)

(9.10.20)

/?3Я2 V R )

Из уравнений (9.10.17) и (9.10.20) следует, что

dq / GM

dt У/ г* 9

а потому выражение для периода обращения в обычных координатах

T^kaJ^(9.10.21)

оказывается таким же, как и в теории Ньютона [формула (9.9.9)]. Положим теперь г = р + R и получим

5=_р™(1_««).(9.,0.22)

так что период радиальных колебаний TR дается выражением

^-^V^C'+t)'<9J0-23>

Мы снова приходим к смещению перигелия за одно обращение, равному

2л (^_ - 1)=6лМ

X ф/

ЛИТЕРАТУРА1)

Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972. (Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология, «Мир», М., 1975.)

Atwater Н. A., Introduction to General Relativity, Pergamon Press, Oxford, 1974.

Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, «Мир», М., 1977.)

Moller С., The Theory of Relativity, 2nd ed, Crarendon Press. Oxford, 1972. (Имеется перевод: К. Меллер, Теория относительности, Атом- издат, М., 1975 )

Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М., Теория поля, изд. 6-е, «Наука», М, 1973. 6*. Зельманов А. Л, Доклады АН СССР, 107, 815 (1956).

. Мицкевич Н. В., Физические поля в общей теории относительности, «Наука», М., 1969.

Shapiro 1. L, Phys. Rev, 141, 1219 (1966); 145, 1005 (1966).

Ross D. К., Schiff L. L, Phys. Rev., 141, 1215 (1966).

Shapiro I. L, Phys. Rev. Lett., 26, 1132 (1971).

Anderson J. D. et al., Astrophys. Journ., 200, 221 (1975).

Глава 10

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

СИЛЬНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ

Излагая релятивистскую теорию гравитационного поля^ мы ограничились членами первого порядка по гравитационному потенциалу. Задачу о смещении перигелия планеты мы- решали, предполагая, что гравитация подчиняется сильному принципу эквивалентности, чтобы учесть члены второго порядка, но мы не показали при этом, что получается внутренне непротиворечивая теория.

В принципе уравнения гравитационного поля Эйнштейна точны и потому дают возможность рассчитывать эффекты при сколь угодно сильных гравитационных полях. Следует, правда, признать, что все поставленные до сих пор эксперименты обеспечивают чувствительность не более чем до второго порядка по GM/rc2, а эта величина не превышает 10~6. В данной главе мы займемся рассмотрением сильных гравитационных полей, для которых GM/rc2 ~ 1.

Мы уже знаем об астрономических объектах, вблизи которых существуют столь сильные поля, хотя у нас пока что не было возможности непосредственно исследовать физические процессы, протекающие там. Имеются в виду пульсары, названные так, потому что они необычайно регулярно «пульсируют»— испускают импульсы радиоволн (а в некоторых случаях — и видимого света) с периодами порядка от 50 мс до 1 с (см. обзор [1]). Необычайная регулярность испускания' импульсов говорит о том, что это часы со звездной массой^ тогда как малый период повторения импульсов требует, чтобы размеры области, в которой происходит процесс излучения, не превышали ст, т. е. 1500 км при т = 50 мс. Предполагается, что такие объекты суть нейтронные звезды, вращающиеся с частотой, равной частоте следования наблюдаемых импульсов, причем последние возникают при взаимодействии магнитного дипольного поля звезды с окружающей ее плазмой [2]. Хотя механизм образования таких нейтронных звезд еще не вполне ясен, можно считать, что они образуются в результате гравитационного коллапса «выгоревшего» звездного ядра. Когда в звездном ядре подходят к концу ядерные запасы энергии, тепловое давление уже не в

состоянии сдерживать вещество, а если масса тела превышает ~1,5Л1О, то сила тяжести нс может быть скомпенсирована и давлением фермиевского электронного газа, так что коллапс становится неизбежным. Электроны впрессовываются в протоны, и получается гигантское «атомное» ядро, почти целиком состоящее из нейтронов. Период пульсации пульсара NP0532, находящегося в центре Крабовидной туманности и являющегося вместе с ней остатком взрыва Сверхновой в 1054 г. н. э., bqc время увеличивается, и скорость уменьшения вращательной энергии (если принять, что пульсар— это на самом деле нейтронная звезда) почти в точности совпадает с энергией излучаемой в единицу времени туманностью.

На поверхности объекта с массой Л4О и ядерной плотностью (3-1014 г/см-3) при радиусе объекта ~10 км гравитационный потенциал равняется

В данной главе мы ограничимся тем, что рассмотрим свойства сильных гравитационных полей, описываемых решением Шварцшильда для уравнений Эйнштейна. Эти поля сферически симметричны, так что соответствуют невращаю- щемуся источнику. Конечно, намного больший интерес для астрофизики представляют поля вращающихся источников, но мы здесь постараемся лишь разъяснить, что понимают под «дырой» и почему она «черная».

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В СИЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Рассмотрим выражение для интервала собственного времени в поле Шварцшильда в обычных координатах [формула (9.5 3)]

dx2 = (1 — -^ ^dt2 — г2 sin20d<p2 — r2d02 —

- (1 --^-)~'</г2.(Ю.2.1)

Координатную скорость света в радиальном направлении получим отсюда, если положим dx2 = 0 при tZq> = cfe = 0:

dr I. 2GM№ = 0rdr I. 2GM№ = 0r(10.2.2)(10.2.2)

dr I. 2GM

№ = 0r

dr I. 2GM

№ = 0r

(10.2.2)

(10.2.2)

Конечно, понятие поля Шварцшильда относится лишь к пустому пространству (вакууму) вне сферически симметричного источника. Если такой источник находится внутри сферы

с координатным радиусом, не превышающим 2ОЛ1/с2, то на

Rs =Rs =2GMс22GMс2радиусе

Rs =

Rs =

2GMс2

2GMс2

называемом радиусом Шварцшильда, координатная радиальная скорость света обращается в нуль. Часы наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от источника, показывают ход координатного времени; он «видит», как свет проходит последовательные координатные метки на оси г через все большие и большие интервалы его времени, почти совсем останавливаясь, когда r-*Rs. К истолкованию этого вывода нужно, конечно, подходить с осторожностью, пока мы не исследовали смысла радиальной координаты.

Собственная длина бесконечно малого измерительного стержня, ориентированного вдоль радиальной оси и покоящегося при значении радиальной координаты г, определяется соотношением

dl2 = grrdr2,

так что

V

;2GM*

—.

При г—>Rs метки г неограниченно сближаются друг с другом.

Время, необходимое свету для того, чтобы пройти от ri до г2, можно найти, интегрируя (10.2.2):

'= )—+00-2.3)

■—

При ri -> Rs это время стремится к бесконечности, каким бы ни был радиус г2 > гь

Значит, если решение Шварцшильда остается применимым при r->Rs, мы приходим к неизбежному выводу: свет не может выйти из сферы г = Rs, равно как оттуда не может выйти ничто, способное нести информацию.

Могло бы показаться, что этот вывод связан с особенностью функции grr. Но мы видели, что ход покоящихся стандартных часов таков:

25лГ

1— dt,

и поэтому при наблюдении с любого радиуса, большего Rs, часы при г = Rs будут казаться идущими бесконечно медленно, а свет источника при г — Rs — имеющим бесконечное красное смещение.

Рассмотрим те же эффекты, исходя из изотропных координат, для которых [формула (9.6 5)]

(

1 MG

I б#2 — (1 + Y (^2 + г2 dO2 + r2sin2 0 dq)2).

< । ми IX Zf /

”2r"/

(10.2.4)

Теперь — в изотропных координатах — у пространственной части метрики особенности нет. Тем не менее координатная величина скорости света стремится к нулю при г-^Rb где

п - GM

*1— 2с2 ’

и часы останавливаются на этом же радиусе. В изотропных координатах радиальный интервал длины

й=(1 + ^

ведет себя абсолютно нормально везде, кроме точки г = 0.

Время радиального распространения света равно~

? 0+™Уг

t = ) dr~Йг" = ^ - г-> - 2GM 1птг +

Г| * 2г

и стремится к бесконечности при л -> Ri.

С точки зрения наблюдателя, расположенного вдали от источника гравитационного поля, красное смещение света,, испущенного при радиусе г, становится все сильнее, а время распространения этого луча — все больше, если г стремится к критическому радиусу. Если г равняется этому критическому радиусу или меньше его, то световой сигнал не может выйти наружу, так что источник тяготения, целиком лежащий под критическим радиусом, оказывается окруженным «горизонтом событий», делающим его связь с внешним миром невозможной. На каком расстоянии от внешнего наблюдателя находится такой горизонт событий, можно вычислить, исходя из соотношения

d/ = ——^=-

/, 2GM

(в обычных кординатах), где dl— длина реального измерительного стержня между координатными метками г и г-V.dr. Тогда

= [Vr2 - 2rGM + 2GMIn (VF + -Vг - 2GM )J. (10.2.6)

При ri->Ks и r2 > GM

r8 +ам (m

(величина конечная при конечном значении г2). В изотроп ных координатах при r\-*Ri найдем

причем разница между результатами просто-напросто отражает соотношение

r1 = rs-V GM при O*GM.

Речь не идет, конечно, о том, чтобы в такие гравитационные поля погружать отвес и проводить его с помощью измерения!

Это не единственный случай в общей теории относительности, когда возникает односторонний горизонт событий. Рассмотрим ракету, на которой акселерометр показывает ускорение g. С точки зрения инерциальной системы отсчета ее уравнение движения имеет вид [формула (9.5.4)]

Vf^F =(Ю.2.7)

так что

'-S v^-7<VT+^-l).(10.2.8)

Световой сигнал, испущенный в точке х = 0 в момент t\ к моменту I окажется в точке xL = t— f. Если f > \]g, то свет никогда не достигнет ракеты, так что космонавты никогда не примут сигналов из центра полетов: этот центр лежит за горизонтом событий. Тем не менее космонавты могут посылать сообщения на свою базу и жизнь будет протекать, как обычно, и в центре полетов, и на космическом корабле. Последний снова станет получать сигналы, как только будут выключены его двигатели.

В случае горизонта событий, окружающего тяготеющую массу, поле, обуславливающее горизонт, невозможно «отключить». Но если и метрика Шварцшильда, и уравнения движения сохраняют силу даже при радиусе г, не превышающем критического радиуса, то жизнь будет протекать нормально н в космическом корабле, пересекающем этот радиус. Законы физики будут локально теми же, что и в лаборатории, находящейся далеко от источника поля (при условии, что можно будет пренебрегать приливными силами) 9-

§ 3. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ

В ПОЛЕ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ [3, гл. 25]

Рассмотрим теперь уравнение движения частицы, падающей радиально внутрь. Момент импульса такой частицы равен нулю, так что уравнение (9.10 15) можно переписать

1К21К22GM2GMв виде

1

К2

1

К2

2GM

2GM

(10.3.1)

где т — собственное время на траектории, измеряемое часами, падающими вместе с частицей. Величина 1/К2—1, очевидно, равна квадрату скорости при r-^оо (не координатной скорости на бесконечности), так что

Г dr у 9 . 2GM

(ср. ньютоновское соотношение Ч^ти2 = Чгти» + GMmlr) и dT = / 2 , 2GM VA -(Ю.3.2)

0 Добавим к этому еще одну немаловажную деталь Поле Шварцшильда как в обычных, так и в изотропных координатах объединяет, не делая различия, два математически связанных друг с другом решения классической теории Эйнштейна — «черную» и «белую» дыры В «белой» дыре горизонт событий действует «шиворот-навыворот», пропуская сигналы и объекты только наружу Автор рассмотрел здесь лишь случай черной дыры, который можно выделить, перейдя к новым системам координат— Крускала — Новикова или Леметра В черной дыре на космическом корабле все может быть «хорошо» при критическом радиусе (за исключением сознания бесповоротности события перехода через него), но — если теория будет работать и до г = 0 — неминуемо наступит момент, когда приливные силы станут сколь угодно сильными и разрушат корабль любой конструкции Ждать этого момента космонавтам придется очень и очень недолго (по их часам), но для внешнего наблюдателя такое событие вообще никогда не произойдет* оно лежит существенно за бесконечностью во времени в будущем! — Прим, ред.

Поэтому собственное время между прохождением через точки Л и г2 равно

Эта величина конечна при всех л, даже если л = 0. Значит, свободно падающая частица достигает критического радиуса за конечное время, а затем также за конечное собственное время достигает и сингулярности в начале координат, если последняя достижима. Скорость dr/dx все время возрастает в согласии с формулой Ньютона. Однако следует подчеркнуть, что dr/dx— это скорость прохождения координатных меток вдоль радиальной оси, хотя и измеренная при помощи «бортового» хронометра. Если бы вместо собственного времени частицы в качестве временного параметра было взято координатное время, являющееся вместе с тем собственным временем наблюдателя на бесконечности, то нам пришлось бы на основании уравнения (9.10.16) написать

„^-^^-^(l-^)], (10.3.4)

где 1 — К2 — квадрат координатной скорости на бесконечности, одновременно являющейся и измеряемой величиной на бесконечности. При г—»2GM скорость dr/dt стремится к нулю, как и следовало ожидать, ибо даже координатная величина скорости света стремится к нулю на критическом радиусе. Время, необходимое для достижения критического радиуса, выражается как

2GM

VT^^Ti 2GM\ /. , аомх’11 - (10,3-5)V г Д + 1 - № г )

Рассмотрим здесь два предельных случая.

8 Зак, 1169

I. Пробная частица движется со скоростью света, 1 — 7<2—►!« Тогда

/ = r2-r1 + 2GMln(-^^-),(10.3.6)

что при л -*- 2GM стремится к бесконечности. II. В пределе при 1 — /<2-*0 имеем

+ (2<W.ln( ^7^S^ )Г' I10-3'7) \+ A/2GM / Jn

что при r\->2GM тоже стремится к бесконечности.

Итак, с точки зрения внешнего наблюдателя при приближении к критическому радиусу частица замедляется и затрачивает бесконечное время, чтобы достичь его. С точки зрения наблюдателя, падающего вместе с частицей, прохождение через критический радиус совершается через конечное время, и жизнь течет, как обычно. Значит, с точки зрения внешнего наблюдателя все, что проходит через критический радиус (если брать в качестве временного параметра собственное время падающего объекта), эффективно теряется навсегда, и мы покажем теперь, что такова неумолимая судьба большого класса падающих объектов. Для такого анализа удобнее всего привлечь уравнение (9.10.15). Мы апеллируем к стандартному виду решения Шварцшильда, так как в этих координатах уравнения движения особенно просты и существует тесная аналогия между ними и известными из теории Ньютона. Напишем

№^-('-^)-^(>-Т). 00.3.8) где

Г2^Ф =Я.d%

Дифференцирование по т дает

=(10.3.9)

dx2 г3 г2 г-х ’

Уравнение (10.3.8) — аналог ньютоновского уравнения для закона сохранения энергии, а уравнение (10.3.9)—аналог ньютоновского выражения для радиального ускорения. Мы трактуем уравнение (10.38) следующим образом. При г->оо

I dT) К2 11

где

/ dt V1

( dr )К2 *

Поскольку

dx№Рм — то ~dT" ’

где /По — масса покоя, величину 1JK2 следует понимать как квадрат полной энергии на бесконечности, приходящейся на единицу собственной массы (£«,). Тогда

.ПОЛЮ)

В ньютоновском пределе заменим т временем /, а £«>— величиной 1 + Too и найдем

/ dr\2_t)T Н2 . 2GM \dt) — 2,1=0 г2 + г *

где Too — кинетическая энергия, приходящаяся на единичную массу. Мы отбросили здесь члены, которые малы в ньютоновском пределе.

Из уравнения (10.3.9) видно, что величину

■ Н2 /. 2GM \ GM

2r2 V г ) г

можно рассматривать как эффективный потенциал в уравнении, дающем связь между г и т. В релятивистских задачах мы, однако, чаще имеем дело с полной, а не с кинетической энергией, и удобнее написать

/2<7МЧ/(10.3.11)

^«-([-^(l+^r).

где Еоо — полная энергия на единицу массы на бесконечности (не обязательно превышающая единицу), а И—момент импульса на единицу массы.'

Потенциал V2^ содержит три члена: притягивающий большого радиуса действия, меняющийся как г-1; отталкивающий меньшего радиуса действия, меняющийся как г*2; наконец, притягивающий еще более короткого радиуса действия, меняющийся как г-3. При очень больших г мы имеем V2(r)~ 1. При уменьшении г потенциал падает ниже 1, достигая при достаточно больших значениях Н минимума, после чего растет с уменьшением г. Этот рост описывает просто центробежное отталкивание, что вполне характерно и для теории Ньютона. Но при очень малых г появляется

«центробежное притяжение», которое не дает величине ^(г) неограниченно возрастать при г—>0, она проходит через максимум, за которым в начале координат зияет дыра. Можно отметить, что «центробежное притяжение» наличествует даже в уравнении движения, полученном нами в случае слабого поля [уравнения (5.4.14), (7.3.2)] — такой член пришлось ввести, чтобы описать отклонение лучей света в поле Солнца.

Максимумы и минимумы потенциала можно найти из уравнения

дУЧг) nН2 ( .3GM \GM п /щ о ю\

—tH-l=O или —г I 1Iт- = 0. (10.3.12) orг3 \ г ) г2'

Тривиальным решением этого уравнения, конечно, будет г = оо. Другие два решения таковы:

г 3GM ± Л/ (3GM)2 ЗН2 * (10.3.13) При

зн2 •> 9G2M2 ’ т‘ е’ V3 GM,

не будет ни минимума, ни максимума. Когда вместо знака неравенства здесь стоит знак равенства, максимум и минимум сливаются в одну точку перегиба при г = 6GM, изображающую последнюю возможную устойчивую круговую орбиту.' Таким образом, при любом значении энергии частицы на бесконечности не существует отталкивания, которое предотвращало бы падение пробной частицы с Н < 2 л/ЗСМ на критический радиус г = 2GM, и такая частица захватывается источником гравитационного поля. В теории Ньютона, конечно, достаточен любой отличный от нуля момент импульса, чтобы пробная частица не достигла точки г = 0.

При любом данном значении H>2-\/3GM максимум центробежного барьера имеет место в точке гМакс, для которой

(10.3.14)

Если полная энергия частицы достаточна для преодоления барьера, то эта частица заглатывается дырой. Условие такого захвата:

^>^2СМакс)- (10.3.15)

Если частица падает из бесконечности, то момент импульса, приходящийся на единицу ее массы, можно выразить через прицельный параметр и энергию на бесконечности. Вдали от

источника движение будет практически прямолинейным, так что

г cos ф — Ь, г sin ф = х,

где ф—азимутальный угол, измеряемый от вектора Ь; сле

довательно,

2 d^ , dx гтr -d?=b-d?=H

Ш2+--^.№ = »=№-1).Ш2+--^.№ = »=№-1).(10.3.16)(10.3.16)

Ш2+--^.

№ = »=№-1).

Ш2+--^.

№ = »=№-1).

(10.3.16)

(10.3.16)

При В.» -> оо (что соответствует частице, движущейся со скоростью света) условие (10.3.15)

£2 =у2(г)

оо V макс/

принимает видпринимает вид62.2 макс62.2 макс2GMгмакс2GMгмакс= 1.= 1.

принимает вид

принимает вид

62

.2 макс

62

.2 макс

2GM

гмакс

2GM

гмакс

= 1.

= 1.

Если Гмакс = 3GM, то мы имеем

л62 = 27л(С/И)2,(10.3.17)

а эта величина есть эффективное сечение захвата реляти* вистских частиц объектом с массой М, достаточно компактным, чтобы он находился ниже горизонта событий. Ясно также, что при этом у релятивистских частиц не существует устойчивых орбит, однако при гмаКс = 3GM существует неустойчивая круговая орбита.

Если с бесконечности падает нерелятивистская частица, то, конечно,

Я2 = 62[(1 + ^) ~

Условие для энергии получается, если положить . Е2„’ — 1 « 0:

ПримемПримем2GM ,№2GAf2=ь2гмаксгмаксгмакс^макс2GM ,№2GAf2=ь2гмаксгмаксгмакс^макс1 агмакс^^1 агмакс^^(10.3.18)(10.3.18)

Примем

Примем

2GM ,

№

2GAf

2

=ь

2

гмакс

гмакс

гмакс

^макс

2GM ,

№

2GAf

2

=ь

2

гмакс

гмакс

гмакс

^макс

1 а

гмакс^^

1 а

гмакс^^

(10.3.18)

(10.3.18)

и, решая относительно а, найдем

1 = 1гмакс 4GM

Ь + ^-'ЧтУУ

Сравнение с условием (10.3.14), определяющим гмакс из макси* мума потенциала:

7^Г = ‘бёлг[1 +д/! -12(^г)2] дает

Я = 4СЛ1 = о=ой.

Тогда

л^=16л-^1.(10.3.19)

Итак, можно указать свойства, которыми должен обла* дать объект, достаточно плотный для того, чтобы он полно* стью находился под своим критическим (шварцшильдовским) радиусом. Внутри сферы г = 6GM не существует устойчивых круговых орбит, и каждая пробная частица, не обладающая достаточным моментом импульса,, необратимо падает внутрь этой критической сферы; чтобы попасть туда, ей требуется бесконечное время (с точки зрения внешнего наблюдателя). Для внешнего наблюдателя нс имеет смысла вопрос о том> что произойдет после пересечения частицей этой сферы. Именно в этом смысле такой сколлапсировавший объект представляет собой дыру в пространстве. Свет не может вырваться из этой критической сферы, и при приближении к ее радиусу свет приобретает бесконечное красное смещение 9* Дыра действительно черная.

ПОИСКИ ЧЕРНЫХ ДЫР

Возможно, что черные дыры формировались на ранних этапах эволюции Вселенной и что очень массивные черные дыры возникли в результате коллапса звездных скоплений или галактических ядер. Но мы здесь лишь кратко остановимся на вопросе о том, как могли бы проявлять себя черные дыры, образовавшиеся при коллапсе звезд [4] (элементарный анализ эволюции звезд см. в книге [5], гл. 5).

Молодые звезды состоят главным образом из водорода. Все начинается с того, что сжимается облако межзвездного газа и пыли; оно разогревается, излучая одновременно с этим избыток энергии, выделяющейся при сжатии. Наконец, внутренняя часть облака становится такой горячей, что начинают протекать ядерные реакции превращения водорода в гелий (преодолевается кулоновское отталкивание ядер, обычно пре»

9 Приближаясь к критической сфере извне, свет, конечно, приобретает фиолетовое смещение; здесь же речь идет об источнике света, взятом вблизи сферы. — Прим. ред.

пятствующее таким реакциям), и звезда вступает в метаста- бильную фазу своего развития. На этом этапе излучение энергии с ее раскаленной поверхности компенсируется ядер- ными источниками в недрах звезды. Когда там истощаются запасы водорода, начинается сжатие звездного ядра, останавливающееся при включении реакции синтеза углерода и кислорода из гелия. Однако большая часть ядерной энергии уже была исчерпана при образовании гелия, так что массивное ядро звезды быстро превращает свое вещество в железо, после чего ядерная энергия уже не может выделяться. Если плотность получившегося ядра так велика, что электроны в нем движутся ультрарелятивистски, то давление фермиевского электронного газа не может воспрепятствовать дальнейшему коллапсу. Соответствующая критическая масса называется пределом Чандрасекара и составляет около l,5Afo.

Если масса вырожденного ядра звезды не превышает этого предела, то электроны остаются нерелятивистскими, давление фермиевского электронного газа не позволяет произойти коллапсу и звезда остывает, проходя стадию белого карлика, на которой кинетическая энергия атомных ядер теряется за счет излучения. Если масса звездной сердцевины превышает предел Чандрасекара, сжатие продолжается в неустойчивом режиме, минимальная энергия электронов возрастает до такого уровня, что они вступают в реакцию с протонами

р + е~ —> п + v,

и сжатие останавливается лишь тогда, когда давление нейтронов уравновесит силу тяготения. Теперь плотность ядра звезды равна плотности атомного ядра. Минимальная масса нейтронной звезды равна ~0,Шо. (Любопытно отметить — хотя по сути это игра случая, — что такой результат можно получить, просто добавив в полуэмпирическую формулу для массы атомного ядра член с гравитационной энергией.)

Если принять плотность такой нейтронной звезды, равной 3-1014 г-см-3, то при массе 1 MQ ее радиус будет равен 10 км, a GM]t «0,1. Если при постоянной плотности увеличивать массу, то значение 2GMIr « 1 достигается при массе ~4МО.

Такие расчеты позволяют лишь очень грубо оценить ту массу, при которой нейтронная звезда уходит за горизонт событий. Ясно, что для более точных вычислений нужно взять некое соответствующее действительности уравнение состояния нейтронной материи и рассчитывать условия равновесия, исходя из общей теории относительности, а не из теории, тяготения Ньютона [6, (гл. 11), 7 (гл. 10)]. Нейтронная звезда с массой менее ~0,Шо расширится и превратится в белый

карлик, а при массе в несколько солнечных масс она будет неустойчива по отношению к окончательному гравитацион* ному коллапсу. Следовательно, черная дыра должна, по-ви- димому, возникать в результате коллапса звездного ядра с массой, превышающей несколько солнечных масс1). Поэтому поиски черных дыр как конечного этапа звездной эволюции— это поиски объекта с массой в несколько солнечных масс или более, который невидим и дает о себе знать лишь своим гравитационным полем далекого радиуса действия. Еще лучше, если имеются прямые указания на малые размеры объекта (вспомним, что GMQ « 1,5 км) и его сильное гравитационное поле. Искать изолированные черные дыры, по- видимому, занятие безнадежное, однако около 85% всех звезд — компоненты кратных систем [8]. Поэтому поиски со* средоточились на двойных системах, содержащих один ком* понент нормального вида. По параметрам его орбиты можно определить массу невидимого компонента. Примером может служить необычная двойная затменная система е Возничего, Орбитальная скорость первого компонента равна 14 км*с~1 (определена по доплеровскому смещению), а период составляет 27,1 лет (определен по доплеровскому смещению и по данным наблюдения затмений). Скорость первого компонента и период дают массу невидимого второго компонента, выраженную в долях массы первого. Последнюю можно оценить по данным визуальных наблюдений: по-видимому, наблюдаемая звезда находится на сравнительно позднем этапе эволюции и ее масса лежит в пределах ~12— 25А1О; значит, масса второго компонента равна ~12— 18AfG, что явно слишком много для нейтронной звезды. Но затмение продолжается примерно 400 дней, и если второй компонент невелик по размерам, то его должен окружать достаточно непрозрачный диск пыли, который и вызывает затмение. Хотя такая модель и объясняет ход кривой изменения яркости при затмениях, все же нельзя заключить, что данный объект в е Возничего может с полным правом претендовать на название черной дыры — ведь возможно, что просто яркость второго компонента недостаточна для его наблюдения [9—12].

Сейчас наилучшая кандидатура в черные дыры — это рентгеновский источник Лебедь X— 1. В нем видимая звезда (HDE 226868) обнаруживает все признаки сверхгиганта с

9 Как видно из предыдущего, полностью сформировавшаяся (ушедшая под свой шварцшильдовский радиус) черная дыра никогда не может образоваться с точки зрения внешнего наблюдателя — это будет либо «изначальная» черная дыра, всегда бывшая таковой, либо «почти» черная дыра. Последнее состояние, впрочем, по своим внешним признакам мало отличается от «изначальной» черной дыры. — Прим, ред.

массой 20—3(ШО, а скорость ее первого компонента, вычисленная ‘по доплеровскому смещению, равна ~75 км-с-1; период же равен 5,6 дням [13]. Масса второго компонента не меньше ~5MQ. Свойства рентгеновского источника в этой системе говорят о том, что второй компонент компактен (см. обзор по компактным рентгеновским источникам [14] и по- лупопулярные статьи на эту тему [15, 16]). Во-первых, наблюдаются сильные беспорядочные флуктуации интенсивности излучения с характерным временем ~0,1 с и беспорядочное мерцание со временем порядка миллисекунд [17]. Значит, рентгеновское излучение исходит из одной или нескольких областей с поперечником лишь в несколько сотен километров. Во-вторых, энергия большинства излучаемых рентгеновских фотонов лежит в пределах 10—100 кэВ. Предполагается, что такое рентгеновское излучение возникает, когда вещество обширной газовой оболочки сверхгиганта перетекает через точку равновесия двух накладывающихся друг на друга гравитационных полей и падает на второй компонент, образуя турбулентный диск аккреции, разогревающийся и излучающийся [14—16]. Если масса т граммов падает за 1 с до значения радиуса г прежде, чем она разогреется, то рентгеновскую светимость 2?х можно грубо приближенно выразить через массу второго компонента М и температуру Т излучающей области как

^«-^^-«ог^4,(10.4.1)

где о — постоянная Стефана — Больцмана. Светимость в рентгеновском диапазоне определяется по интенсивности рентгеновского излучения в месте нахождения приемника и по расстоянию до Лебедя X—1. Расстояние же можно оценить по яркости первого компонента и по типу его спектра. В этом кроется определенная опасность, так как первый компонент системы может оказаться аномальным, а потому дополнительно привлекается метод определения расстояния по покраснению света первого компонента под влиянием межзвездной пыли [18]. Наилучшая оценка расстояния дает ~6000 св. лет, чему соответствует 2?х = Ю37 эрг-с-1 (около 103^o).

Если взять Т ~ 107 К (что соответствует тепловой энергии

1 кэВ для газа, вращающегося вокруг второго компонента), то

и прии приг« 100 км

и при

и при

М = 6МО

получим для скорости аккреции значение т « 1017 г • с”1 « 10~9Л4о в год.

Такая скорость аккреции вполне приемлема, поскольку нужно иметь в виду, что более холодная внешняя часть газового диска не должна быть чрезмерно плотной, иначе она не будет пропускать рентгеновского излучения.

Действие такого механизма превосходно иллюстрируется на примере рентгеновского источника Геркулес X—1 [14— 17]. Период этой двойной системы составляет 1,7 дня, а период рентгеновской пульсации немного превышает 1,2 с, так что лежит в диапазоне (радио) пульсаров. Пульсация обусловлена, видимо, вращением нейтронной звезды; скорость второго компонента, вычисленная по периодическому доплеровскому смещению, накладывающемуся на пульсации, равна 169 км-с-1 [19]. Доплеровское смещение частоты видимого света, испускаемого первым компонентом (HZ Геркулеса), соответствует его скорости ~ 80 км • с-1 [20].

Отсюда сразу же можно найти массы обоих компонентов. Считая эксцентриситет малым (на что указывает детальный анализ доплеровских смещений), мы имеем

(10.4.2)(10.4.2)масс си*(10.4.3)масс си*(10.4.3)M^f _ GMtM2 М2у2 _ GMXM2

(10.4.2)

(10.4.2)

масс си*

(10.4.3)

масс си*

(10.4.3)

Г1 ~ "(гГ+г^Г ’ Г2 — (г 1 + г2)2 ’

где ri и г2— расстояния компонентов от центра стемы. Кроме того, г\ _ г2%

th у22л ’

где т — период. Тогда

^ = 3,6- 1033 г (1,8Мо),^ = 3,6- 1033 г (1,8Мо),М2=1,8- 1033 г (0,9Л1о).М2=1,8- 1033 г (0,9Л1о).(10.4.4)(10.4.4)

^ = 3,6- 1033 г (1,8Мо),

^ = 3,6- 1033 г (1,8Мо),

М2=1,8- 1033 г (0,9Л1о).

М2=1,8- 1033 г (0,9Л1о).

(10.4.4)

(10.4.4)

Полученное таким образом значение массы первого компонента согласуется с видом звезды HZ Геркулеса, масса же второго компонента действительно лежит в диапазоне возможных масс нейтронных звезд.

Расстояние до источника Геркулес X—1 равно ~104св. лет, а рентгеновская светимость составляет ~ 1037 эрг-с”Ч В этой затменной системе наблюдается еще один любопытный эффект. Первый компонент со стороны источника рентгеновских лучей выглядит ярче и «голубее», а когда он затмевает рентгеновский источник, то мы видим его противоположную сторону, и он тускнеет и краснеет [21]. Видимо, его атмосфера разогревается под действием рентгеновских лучей Геркулеса X—1.

Подобные же явления наблюдаются в рентгеновском источнике Центавр X—3 [14—16] с периодом обращения 2,1 дня и периодом рентгеновских пульсаций 4,84 с; по-види- мому, его второй компонент, на который происходит аккреция,— тоже нейтронная звезда.

Конечно, мы не можем сделать заключения, что в источнике Лебедь X—1 находится черная дыра. Не исключено, что масса объекта, на котором происходит аккреция, меньше 5МО. Может быть, например, что это — нейтронная звезда, вращающаяся вокруг звезды с массой 5А1О, которая в свою очередь вращается вокруг первого компонента, хотя это очень маловероятно. Но даже если масса, на которую присходит аккреция, равна ~5МО, все процессы, наблюдаемые рентгеновскими телескопами, локализованы в области, удаленной от центра на сотню километров, тогда как гипотетический критический радиус составлял бы в этом случае ~15 км. Итак, характерная черта черной дыры, отличающая ее от других источников сильных гравитационных полей, — критический радиус — остается, по крайней мере на данном этапе, i вне досягаемости для наблюдения.

ВСЕЛЕННАЯ

В больших Масштабах плотность массы во Вселенной приблизительно постоянна1). Если эта плотность достаточно велика, то гравитационное поле не даст свету уходить на бесконечность и Вселенная будет замкнутой. Чтобы последовательно рассуждать о космологии, нужно исходить из решений уравнений Эйнштейна в предположении об однородном распределении материи (см., например, [3 (часть VI), 6 (гл. 11), 22 (гл. 7)]. Здесь мы лишь отмстим, что условием замкнутости Вселенной грубо приближенно можно считать равенство\

(10.5.1)

•^Всел^

Радиус Вселенной /?Всел следует принять равным ~ 1028 см, что соответствует расширению приблизительно со скоростью света на протяжении примерно Ю10 лет. Условие (10.5.1)

0 Имеются в виду масштабы, превышающие размеры скоплений галактик (конечно, в более узких рамках неоднородность распределения вещества очень заметна). Если выражаться математически, то при увеличении размеров пространственной области средняя плотность массы (энергии), заключающейся в ней, стремится к определенному и отличному от нуля пределу. При бесконечном разнообразии все более крупных и разреженных вложенных друг в друга структур могло бы оказаться, что такой предел равен нулю.— Прим, перев.

выполняется при р « 10*29 г*см“3. Но наилучшие из известных сейчас оценок плотности дают р « 10~31 г-см*3, так что левая часть условия (10.5.1) по крайней мере на порядок меньше единицы и Вселенная должна быть открытой, а не представлять собой абсолютную черную дыру [23] ).

ЛИТЕРАТУРА )

Н ewish A., Ann. Rev. Astronomy and Astrophysics, 8, 179 (1970).

Cameron A. G. IF., Ann. Rev. Astronomy and Astrophysics, 8, 265 (1970).

Misner C. IF., Thorne K. S, Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер* Гравитация, «Мир», 1977.)

Clayton D D., Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis, McGraw-Hill, New York, 1968.

Bowler M. G., Nuclear Physics, Pergamon, Oxford, 1973.

Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972< (Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология, «Мир», М., 1975.)

Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Релятивистская астрофизика, «Нау» ка», М., 1967.

Allen С. W., Astrophisical Quantities, Athlone Press, London, 1973* 9. Cameron A. G. W., Nature, 229, 178 (1971).

Stothers R., Nature, 229, 180 (1971).

Demarque P., Morris S. C., Nature, 230, 516 (1971).

Cameron A. G. IF., Nature Physical Science, 231, 148 (1971).

Brucato R., Kristian L, Astrophys. Journ., 179, LI29 (1973).

Blumenthal G. R., Tucker W. H., Ann. Rev. Astronomy and Astrophysics, 12, 23 (1974).

Thorne K. S., Scientific American, 231 (6) 32 (1974).

Gursky H, Heuvel E. P. J. van den, Sci. Am., 232 (3), 24 (1974).

Rothschild R. E. et al., Astrophys. Journ., 189, L13 (1974).

Bregman J. et al., Astrophys. Journ., 185, LI 17 (1973).

ТйпйпЬаит n. et at, Astrophys. Journ., 174, LI43 (1972).

Crampton D., Hutchings J. B., Astrophys. Journ., 178, L65 (1972).

Bahcall J. N., Bahcall N. A., Astrophys. Journ., 178, LI (1972).

Atwater H. A., Introduction to General Relativity, Pergamon, Oxford, 1974.

Gott J R. et al., Astrophys. Journ., 194, 543 (1974).

24*. Рис M., Руффини P., Уилер Дж., Черные дыры, гравитационные волны и космология, «Мир», М., 1977.

25*. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Теория тяготения и эволюция звезд, «Наука», М., 1971.

26*. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Строение и эволюция Вселенной, «Наука», М., 1975.

27*, Саакян Г. С., Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс, «Наука», М., 1972.

Iben /., Sci. Am., 223 (1), 26 (1970).

Ostriker J. P., Sci. Am., 224 (1), 48 (1971).

Ruderman M. A., Sci., Am., 224 (2), 24 (1971).

Will С. M, Sci. Am., 231 (5), 24 (1974).

Will C. M„ Physics Today, 25 (10), 23 (1972).

Thorne K. S., Sci. Am., 217 (5), 88 (1967).

Ruffini R., Wheeler J. A., Physics Today, 24 (1), 30 (1971).

Penrose R., Sci. Am. 226 (5), 38 (1972).

36*. Озерной Л. M., Достижения современной астрофизики, «Знание», М., 1977.

Дополнение

Гравитация и вращение

Н. В. Мицкевич

КРУГОВЫЕ ТОКИ ЗАРЯДОВ И МАСС

В природе и технике важную роль играет вращательное движение. Оно проявляется как в механических, так и в электромагнитных эффектах. Релятивистская теория тяготения также предсказывает ряд вращательных эффектов, находящихся сейчас на грани экспериментального обнаружения. Однако в общей теории относительности эти эффекты отражают нечто совершенно.фундаментальное, а именно явление увлечения систем отсчета вращающимися телами и (в определенном понимании) принцип Маха. Последний можно трактовать как утверждение об обусловленности локальных инерциальных свойств материи ее глобальным (в пространстве и времени) распределением во Вселенной, хотя первоначально, еще до создания общей теории относительности, сам Э. Мах формулировал свой принцип как предположение о связи абсолютно4 невращающейся системы отсчета с далекими «неподвижными звездами». Мы не будем здесь подробно обсуждать принцип Маха (см. литературу по этому вопросу [1—4]), а ограничимся приближенным расчетом основных вращательных эффектов релятивистской теории гравитации, приводящих к явлению увлечения.

Для облегчения анализа и более широкого подхода к этим проблемам мы привлекаем аналогию между электромагнетизмом и гравитацией, частично уже использованную в этой книге. Эта аналогия предполагает сопоставление таких величин, как ток и импульс, магнитный момейт и момент импульса, и соответствующих им электромагнитных и гравитационных полей. Мы начнем здесь с параллельного определения этих понятий.

Взяв плотность электрического тока в виде

Zu = p5u = (^, ^р)(Д.1.1)

(стр. 56), где Зц = dx^/dt = (и, ic), х^ = (х, let), мы определим 4-ток, как это сделано на стр. 57:•

7ц = $ Zu d3x = (.qu, icq).

Рассмотрим конструкцию ^ Xj^kd3r в случае стационарных токов, т. е. когда

div^ = 0.(Д.1.2)

Введем для симметричной и антисимметричной частей двух- индексной величины //д *) обозначения /</»> = */2 (^» + ^/), ^[/6] = */2(^6 —^/) и напишем

$ х^к d3r = ху^ d3r + хи/ц d3r.

Так как d(XjXk)/dxi = ^уХк-, (пусть 6/Z = 6/ = d9> первое слагаемое можно представить в виде

\ху?№ d3r = j j ^- V (xjXk) d3r

и, в силу (Д.1.2),

§ ху^юd3r = 7 ^ V • UiXk^ d3r =^ XjXkfnds = О, (Д. 1.3) где мы воспользовались теоремой Гаусса и предположили, что нормальная составляющая плотности тока /л на границе области интегрирования отсутствует (случай замкнутых или кольцевых токов). Тогда при сделанных предположениях

$ х^к d3r = ^ ху^ d3r,(Д. 1.4)

Введем теперь 3-мерный символ Леви-Чивиты &цк, определяемый свойствами

8цк = 8(i/fe], 6123 = + 1(Д.1.5)

и удобный при явной записи векторного произведения и операции ротора (а также определителя квадратной ЗХ 3-матрицы):

[М X В]/ = ZijkMjBk = ецкМуВку ■

Bt = (rot A)z = [V X AL = BukdAkldXj.

Из (Д.1.5) следуют, в частности, равенства eZ/fcepg6 =2dfz6fj и 6ijkBPik = 2df, которые легко проверить, так что

МуВкх =^№[МХВ].-.

Поэтому выражению (Д.1.4) можно придать вид

$ х^к d3r = 1 гИк $ [г X L d^3r.(Д. 1.6)

!) При большем числе индексов эти определения легко обобщаются; читателю предлагается самостоятельно выполнить антисимметризацию в случае трех индексов в формуле (Д.1.5).

Сюда явно входит величина, которую называют вектором магнитного момента системы замкнутых электрических токов [5, формула (57.4)],

M=iJ[rX^^.(Д.1.7)

Ее аналогом является вектор момента импульса

L^^rX^ldV.(Д.1.8)

Здесь мы сохранили традиционное различие в коэффициентах правых частей выражений (Д.1.7) и (Д.1.8), а также воспользовались определением плотности импульса вещества

^ = v^/c2 = ^^ (Д.1.9)

в согласии с выражением (4.2.7) ^^v = v^v^/c2. Отметим существенное различие в свойствах обоих введенных моментов: для момента импульса («механического момента») изолированной системы должен выполняться закон сохранения, а ее магнитный момент, вообще говоря, может изменяться за счет внутренних процессов. Простая связь между моментами существует лишь в некоторых частных случаях [6, § 44].

ПОЛЕ МАГНИТНОГО ДИПОЛЯ И КВАЗИМАГНИТНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Рассмотрим уравнения для векторного электромагнитного потенциала (3.1.13) в случае, когда источники в целом нейтральны (причем А4 = 0): □ А = ~(4л/с)^. Пусть к тому же система стационарна; тогда в решении, данном на стр. 122, запаздывание не играет роли и мы имеем

d3r'.

Если в среднем токи отсутствуют j^ d3r = 0, т. е. все элементарные токи замкнуты), то поле А на больших расстояниях от ограниченной системы токов в первом неисчезающем приближении имеет вид

л‘ = 4^(7)5#‘(гЖ

т. е. в силу равенства (Д.1.6),

A = -[MXV]1= ^rl .(Д.2.1)

Здесь принято во внимание, что V(l/r) = —г/г3. Соответствую-

щее магнитное поле имеет вид

В = го1А = -^{з(м-^)-^-м}.(Д.2.2)

Тем самым мы получили решение для стационарного поля магнитного диполя (элементарного кольцевого тока) на расстоянии, значительно превышающем размеры диполя.

Соответствующее обобщение для гравитационного тензорного поля таково:

= ^ nUv + ^- [L X -^]У б'*,(Д.2.3)

его главное отличие от выражения (Д.2.1)—наличие первого слагаемого, обусловленное тем, что масса всегда имеет один и тот же знак и не существует тел, нейтральных в гравитационном смысле. Как и предыдущее, это решение справедливо в вакууме, вдали от источников; остается проверить, действительно ли эти последние сводятся в данном случае к компактной массе с собственным моментом импульса (как иногда говорят даже в неквантовой теории, «спином»). Чтобы продемонстрировать это свойство поля Лензе — Тирринга (Д.2.3) [7], воспользуемся теоремой Гаусса в духе § 1 гл. 3.

Согласно (4.3.13),

V2/i44 = 4nG^/c2.

Подставив в левую часть этого уравнения 44-компоненту выражения (Д.2.3) и проинтегрировав по объему с использованием теоремы Гаусса, нетрудно получить аналог формул (3.1.2) и (3.1.3), т. е. заключить, что источником этой составляющей поля является масса пг, сосредоточенная около начала координат. При этом роль напряженности Е играет величина (4.1.1),

Н = -¥Ф = -Ст-^, ф = /г44.(Д.2.4)

Чтобы оценить момент импульса источника, рассмотрим М-компоненты уравнения (4.3.10), которые, согласно (Д.1.9), можно выразить как

^к==-^_^к_1д [lx 41 .

в 8лС м 8л dxidxi L г J*

и подставим полученный вектор в определение (Д.1.8), учитывая, что в декартовой системе d2r/dxmdxi = 0:

Применяя здесь теорему Гаусса, находим

L=_if{[rX "Д' [L х Я] ~ [■Д’х [L х Л]}»/ <is. Легко убедиться, что при суммировании по немому индексу xidr/dxi = г и x/d(r/r3) /dxi = —2г/г3, так что

L=-8^(£[yX[LXy]sin0d0d<p,

если учесть выражения для единичного вектора нормали и для элемента площади сферы, окружающей источник: гц =s = Xi/r и ds = г2 sin 0 d0 dtp. Окончательно интегральный момент импульса системы записывается в виде

L =И£-7(7’ L)}sin0dedtp.

Не ограничивая общности, систему координат можно выбрать так, чтобы ось г была направлена вдоль вектора L: L = = (0,0, L). Тогда простое интегрирование действительно дает Lx ==: Ly = 0 и

Lz = -~L-2ii ((1 — cos20) sin0d0 = L,о

что оправдывает выбор постоянного коэффициента в (Д.2.3) < Итак, первое и второе слагаемые в выражении для гравитационного потенциала (Д.2.3) следует толковать как квази- электрическое поле, обусловленное массой т, и квазимагниг- ное поле, вызванное моментом импульса L вращающегося источника, расположенного в начале координат. Эти выводы вполне аналогичны сделанным ранее в отношении электромагнитных полей с потенциалами ф и А.

КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРОБНЫХ ЗАРЯДОВ

И МАСС В МАГНИТНЫХ И КВАЗИМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

В магнитных и квазимагнитных полях дипольного типа существует выделенное направление (мы будем ориентировать по нему ось 2), что и соответствует аксиальной симметрии поля. При движении в таких полях пробных зарядов (в гравитационном случае — масс) они ведут себя по-разному в зависимости от того, движутся ли они в прямом или в обратном направлении. В полях центральной симметрии (кулоновском или ньютоновском) подобные эффекты отсутствуют. Мы рассмотрим их на примере движения частиц по круговой экваториальной орбите (г = 0,, или, что то же, 6 = л/2), когда картина становится особенно ясной.

В чисто магнитном поле такое движение не может быть реализовано — необходим притягивающий центр, масса или заряд со знаком, противоположным знаку заряда, движущегося по орбите. Мы рассмотрим центр с зарядом V > 0 (для пробной частицы пусть ^<0). Тогда уравнение (8,2.16) сведется к виду

dv/cZ/ = ^-(E + ^[vXB]),(Д.3.1)

причем v = [юХг],о) = const, где ю — круговая частота движения по орбите. Из сказанного в начале этого параграфа ясно, что мы принимаем М = (0,0, М), о = (0,0, со), так что

dNfdt = [со X v] = — со2г.

В свою очередь, вследствие (3.1.1) и (Д.2.2) Е = Qrtr3 и В = —М/г3, причем ввиду принятой взаимной ориентации векторов

[v X В] = - (Мсо/г3) г.

Итак, все слагаемые в уравнении движения (Д.3.1) коллинеарны вектору г, который поэтому можно не писать, и мы имеем одно скалярное уравнение

(О2-^-<о + -^. = 0(Д.з.2)

emr4 1 mr47

для определения круговой частоты движения пробного заряда по орбите. Эта частота равна

со » ± а/-(Д.3.3)

у2cmr37

(мы приняли здесь, что второе слагаемое намного меньше первого, и пренебрегли малыми величинами второго порядка и выше). Переходя к периодам обращения, получаем отсюда в том же приближении

Т = Тс ± АТ, где величины

Гс = 2л д/-^-, М = 2л ^(Д.3.4)

— это период обращения в чисто кулоновском поле и добавка к нему, обусловленная взаимодействием магнитного момента центрального тела с орбитальным магнитным моментом пробного заряда. Мы имеем здесь классическую модель одноэлектронного атома, ядро которого обладает магнитным моментом. Отметим, что АТ не зависит от радиуса орбиты, по которой движется пробный заряд, равно как и от самой величи-

ны q. Мы увидим сейчас, что аналогичный эффект имеет ме* сто также в гравитационном случае.

Сначала напишем выражение для гравитационного потенциала (Д.2.3) в сферических координатах; это нам нужно потому, что мы выбрали путь расчета, который смог бы затем воспроизвести сам читатель, перейдя от слабого (приближенного) поля (Д.2.3) к точному выражению для гравитационного поля Керра (Д.3.11). Вспомним (стр. 150), что

dx2 = ^^gv Ч ^т ^gv^ dx^ dxv.(Д.3.5)

Перейдя от декартовых координат к сферическим по обычным формулам

х + iy = ге1ф sin 0, z = г cos 0,(Д.3.6)

найдем сначала

^Т(0) = —" ^gv ^g ^v = с2 ^2 — ^ ~=

= с2 dt2 — dr2 — г2 d№ — г2 sin2 0 dtp2.

Этот интервал соответствует плоскому миру, и его можно получить из выражения (9.6.1), положив А = В=1. Как и в случае магнитного поля, направим ось г по вектору момента импульса центрального тела L. Тогда, представив смешанное произведение (dr-[LXrl) в виде определителя, получим — "^ ^gv dx^ dxv = — ^р (с2 dt2 + dr2 + г2 d92+г2 sin2 6 d<p2)—

46c2r346c2r3dx dy dzx у z

46c2r3

46c2r3

0 0 L

а так как, согласно (Д3 6),

у dx — x dy = \m [(x + iy) d^x — iy)} = — r2 sin2 0 dtp,

окончательно имеем

dx2 = (1 - -^) c2 dt2 - (1 4~^) (dr2+r2 d62+r2 sin2 0 d<p2)+

+ 2 ^-sin20d<pd/.(Д.3.7)

В качестве уравнения движения, соответствующего (Д.3.1), возьмем выведенное нами в примечании на стр. 174 уравнение

dx V»^ dx J 2 дхн dx dx ‘" '

Рассмотрим круговые орбиты (г = const), лежащие в экваториальной плоскости (0 = л/2). При х = 2 уравнение (Д.3.8)

выполняется тождественно. Его компоненты х = 4 и х = 3 представляют собой законы сохранения энергии и орбитального момента импульса пробной частицы и дают выражения для этих сохраняющихся величин, приходящихся на единицу массы покоя частицы. Они нас здесь не интересуют. Наконец, компонента х = 1 уравнения (Д.3.8) приводит к уравнению, аналогичному (Д.3.2) в магнитном случае, и мы воспользуемся им для определения частоты и периода обращения пробной частицы. Итак, при х = 1

q^ц,у ^^ ^ху

2 dr dx dx *

и после расшифровки суммирования по ц и v —

^фф 9 I л • ^ф42 ^44 Л

со2 + 2zc со — с2 — = 0. дг 1 дгдг

Здесь со — круговая частота: со = dq/dt. Подставляя сюда из выражения для интервала (Д.3.7) производные компонент метрического тензора, взятых при 0 = л/2,

/. . 2Gm\ 2. 2GL

5фФ V ' с2г )Г ’^Ф4 —1 с3г ’

. 2Gm

мы получаем квадратное уравнение для со

/ । Gm X 2 । л GL Gm А(г+— р + 2^<о— = 0,

решение которого в том же приближении, что и (Д.3.3), та* ково:

V

Gm GLо

—7273-•(Д-3.9)

Аналогами величин (Д.3.4) будут здесь [8, 9]

т-2^ ”(Д.3.10)

(ньютоновский период и поправка к нему, обусловленная взаимодействием момента импульса центрального тела с орбитальным моментом импульса пробной частицы), так что пол» ный период складывается из них, как и прежде: Т = Ту ± АД

Здесь снова обнаруживается универсальность поправки АТ: она не зависит ни от гравитационной постоянной, ни от радиуса орбиты, и даже масса центрального тела фактически сокращается при делении L на тс2. Физически этот эффект означает, что вращение центрального тела увлекает за собой локальные инерциальные системы отсчета. Окружающее про»

странство увлекается не как твердое тело [поправка для угловой скорости в формулах (Д.3.3) и (Д.3.9) в отличие от поправки для периода обращения зависит от расстояния от центра: она обратно пропорциональна его кубу]; в силу универсальности гравитационного взаимодействия, это увлечение должно в равной мере влиять на все физические процессы, а не только на рассмотренное нами движение пробных тел.

Оценим предсказываемый эффект для конкретных астрономических объектов [8,9]—Солнца и предельно быстро вращающейся нейтронной звезды. Если на круговую экваториальную орбиту радиусом около 1,5 радиуса центрального тела запустить в противоположных направлениях пробные тела, то точка их встречи будет дрейфовать в сторону, противоположную направлению вращения центрального тела, со скоростью 600" за 100 лет (для Солнца) и 90 рад/с (для нейтронной звезды).

Мы исходили из приближенных решений, но это делалось лишь ради простоты. Как уже отмечалось в предисловии, выражения (Д.3.10) точно следуют из метрики Керра, являющейся точным решением уравнений Эйнштейна [8, 9]. Читатель может попытаться провести такие вычисления самостоятельно (путь вывода намечен выше), исходя из интервала метрики Керра [10] в координатах Бойера— Линдквиста [9,11] Ят2 _ f 1 _ tomrlc1 \ 2 , 2 _ г2 + a2 cos2 0 . 2 _

I г2 + а2 C0S2 е ) с аг rl — 2Gmric2 + а2 аг

(г2 + а2 + sin2 б) sin2 6 ^ф2 - к 1 1 г2 + a2 cos2 6 /

(г2 + а2COS2е) d92 + 2 T^So"sin26^dt> <Д-3'1 0 где а = Lime.

§ 4. ДВИЖЕНИЕ МАГНИТНЫХ И КВАЗИМАГНИТНЫХ ДИПОЛЕЙ

В данном параграфе мы выведем приближенно законы движения в магнитных и квазимагнитных полях локализованных пробных систем, обладающих магнитным моментом или собственным моментом импульса. В гравитационном случае такими системами могут быть вращающиеся гироскопы, орбитальные эксперименты с которыми находятся в предва-* рительной стадии с США [12].

Если поместить в магнитное поле нейтральную в целом среду с распределенными электрическими токами, то, исходя из силы Лоренца (Д.3.1) для плотности тока (Д.1.1), мы получили интегральную силу F = (1/с) ^[^ X в] d3r. Если токи в системе замкнуты, а сама она мала по сравнению с неоднО'

родностями поля, то, ограничиваясь первым членом разложения в ряд Тейлора, можно вынести из-под интеграла градиент поля, отнесенный к «центру» системы:

На основании равенства (Д.1.6) отсюда получаем

Fi = eijk®RljBk, iMp.

Так как div В = В*, * = 0 (уравнение Максвелла), то по свойствам символов Леви-Чивиты имеем

F£ = № - б^дО Вк. tMp = Вк, tMk

или, так как магнитный момент по определению не зависит от точки,

F = V(M-B).(Д.4.1)

Кроме силы со стороны неоднородного магнитного поля на магнитный диполь действует еще (и тогда, когда поле однородно) момент сил

N = y $ tr X [^Х В]] d?r = 1 {^(г • В) - В (г • 3-)} d3r.

Вследствие формулы (Д.1.3) второе слагаемое здесь равно нулю (оставим только член нулевого порядка из ряда Тейлора), и

Nt = у Вк ftxk d3r = epktMpBk, что окончательно дает искомый момент сил в виде

N = [MXB).(Д.4.2)

Рассмотрим аналогичные эффекты в теории тяготения. Сначала преобразуем уравнение движения пробной массы в поле с потенциалом (Д.2.3) так, чтобы оно приняло 3-мерный векторный вид в приближении, учитывающем лишь первый порядок по у/с. Введя величины

=g = ^|LXr](Д.4.3)

(ср. [6, формулы (99,4) и (105,19)]), можно написать

Чм = — <p%v + Sigi^A-(Д.4.4)

Здесь взяты декартовы координаты, так что слагаемые, описывающие в метрическом тензоре «фон» плоского пространства, постоянны — это 6UV. Физически наиболее содержательны контравариантные компоненты импульса (с верхними индексами). Они имеют вид р» = m0(dxu/di;) = ту№ и проще, чем

компоненты (6.4.9). Уравнение для них можно получить, взяв за основу умноженное на т^ уравнение геодезической линии (9.2.15). Для его пространственных компонент

dp1тй fn ^ dh^ f dhaNdh^ ^ dxw dx^

dxc2 8 \ dx^ ’ dx^dxa ) dx dx *

Подставив сюда (Д.4.4) и ограничась членами первого по-* рядка малости (по т и L), найдем

»Р1Г дФ I П °/ Г 9gi dgi М

dx т |_ дх1 с \<?Xj dxj J J "

Используя определения

Н = — ¥ф, Q = lrotg,(Д.4.5)

переходим к векторной записи:

$ = m(H-2[vXQD.(Д.4.6)

Рассмотрим силу, действующую в неоднородном квазимаг- нитном поле Й на пробную частицу с внутренним моментом импульса. Представим «спиновую» часть последнего слагаемого в (Д.4.6) как

2 J р [О X v]z d3r = ^ц^ь t J ^kXt d3r. (Д.4.7)

Здесь применима теорема типа (Д.1.6), в силу которой величина (Д.4.7) равна

^ilk^mlk^j, l.Lm == йд k^i^6, iLfe

[ср. аналогичные выкладки при выводе формулы (Д.4.1)]. Согласно определению (Д.4.5), Qft|ft = 0, так что окончательно

-^- = m(H-2[vXfi])-V(L.Q).(Д.4.8)

Последнее слагаемое описывает взаимодействие внутреннего («спинового») момента L пробной частицы и квазимагнитного гравитационного поля. Первый член в скобках перед ним дает ньютоновское притяжение частицы к массивному центру, а второй характеризует эффект взаимодействия орбитального момента частицы с квазимагнитным полем центрального тела, уже рассмотренный в § 3. Теперь этому орбитальному взаимодействию придан вид силы Кориолиса, действующей на частицу в неинерциальной системе отсчета (см., например,

[13, формула (4.107)]), когда система вращается с угловой скоростью, локально равной

0=^(3l).

С2Г3 (\ г) г J

Переходя к уравнению для момента импульса, запишем сначала силу (Д.4.6) как интеграл от ее плотности:

F = J (pH — 2 [<^ X Q]) d?r.

Отсюда в полной аналогии с расчетом, проведенным для магнитного случая, следует момент сил «спин-спинового» взаимодействия [14]:

N = [QXL]. (Д.4.9)

Структура момента сил этим не исчерпывается, так как в него еще дают вклад спин-орбитальное взаимодействие и прецессия Томаса (что можно проследить и в магнитном варианте) .

Член спин-орбитального взаимодействия просто получить, рассматривая квазимагнитное поле, которое возникает из сфе- рически-симметричного тензорного поля в системе, сопутствующей пробному телу. Тензор б^у не меняет своего вида при преобразованиях Лоренца, так что в интервале (Д.3.5) изменится лишь второе слагаемое. Оно в свою очередь распадается на две части соответственно (Д.4.4), и только первая часть дает заметный вклад. Мы представим ее в виде

Gm Gm (» ОК4Х4\

"Huv — —~ Wiv 2o|1Ov),

где остается рассмотреть преобразование

— -^- dx'4 = — ^L ^ dx^ _|_ 2а44а41 dx4 dxx + а^ dx^).

Последний член имеет порядок (и/с)2 и может быть поэтому отброшен. По той же причине г' « г. Используя вид коэффициентов преобразования (1.1.10), получаем

2Gm . ,, ^^42Gm . ,, ^^4Г \41014 7Г \41014 7

2Gm . ,, ^^4

2Gm . ,, ^^4

Г \41014 7

Г \41014 7

Перейдем к произвольному направлению скорости v: (Gm V Gm 4iGm $J ,,

Для круговой орбиты добавка к g принимает вид

*2Gm®or*2Gm®or2 G гп г v у -j— Iю X Г],2 G гп г v у -j— Iю X Г],

*2Gm

®or

*2Gm

®or

2 G гп г v у -j— Iю X Г],

2 G гп г v у -j— Iю X Г],

так что вклад спин-орбитального взаимодействия в О равен

Qcn.-op6 = 4rotSg = - ^-ш = ^[уХг]. (Д.4.10)

Рассмотрим упрощенный вывод эффекта прецессии Тома” са, основываясь на методе, данном в книге Голдстейна [13, стр. 237] (результат указан там с опечаткой). Применим формулы сложения малых неколлинеарных скоростей [6, стр. 27] ♦ Пусть одна скорость (Av) намного меньше другой (vx), причем скорость vx направлена вдоль оси х, а у скорости Av имеются составляющие как вдоль х, так и вдоль у. Тогда сложение скоростей в разных последовательностях приводит к разным углам наклона суммарной скорости к оси х соответствующих систем, а именно при «у + Ау»:

а « tg а = —-~г— J 1 — t^/c2

6 vx + Аух V х!

я при «Ас + и»

а ~ tg а ~г-т— .

6 vx + Аух

Такие два варианта сложения скоростей соответствуют переходам К-^К' и К"если через К и К" обозна

чить системы отсчета, движущиеся относительно К' со скоро-* стями — vx и +Av* Угол между направлениями осей х и х" есть разность величин а и а : Аа = —ихМу/2с21 т. с. оси х и у при изменении скорости поворачиваются в своей плоскости, если в ней лежат vx и Av. Такой поворот в единицу времени составляет

dajdt = — vxayl2c\

где аи— ускорение системы отсчета. Отсюда при произвольных ориентациях векторов следует общее выражение для угловой скорости прецессии Томаса:

=(Д.4.11)

Подставляя сюда гравитационное ускорение тела из задачи Кеплера а = —Gmv/r\ получаем в сумме с йсп.-орб угловую скорость прецессии (более строгий расчет см. в учебнике по теории поля [6, § 106, задача 4])

«' = ^-[vXr](Д.4.12)

и окончательно полное выражение для угловой скорости пре* цессии гироскопа на орбите

O" = Q + e' + [a'Xv]/2c2,(Д.4.13)

где а'— ускорение гироскопа, обусловленное силами негравитационного происхождения. При этом прецессия гироскопа происходит по закону

17- = [Q"XL]. (Д.4.14)

Эксперименты по обнаружению этих эффектов находятся в стадии активной подготовки в США, и на 1980 г. намечен первый запуск бессносового спутника с гироскопами [12]. Бес- сносовый спутник был впервые запущен военно-морскими силами США в июле 1972 г., и неинерциальность его движения нс превышала б-Ю-12^ т. е. удалось эффективно скомпенсировать влияние как «хвоста» земной атмосферы, так и солнечного ветра. Гироскоп будет представлять собой шарик диаметром 4 см из очень однородного плавленого кварца, закручиваемый струей газа (который затем откачивается) до частоты вращения 400 Гц. Шарик покрыт тонким слоем ниобия и поддерживается при температуре жидкого гелия, так что сверхпроводящий ниобий приобретает лондоновский магнитный момент. Информация о направлении оси вращения гироскопа «считывается» посредством сверхпроводниковой петли, охватывающей шарик, при помощи магнитометра, основанного на эффекте Джозефсона. При круговой орбите на высоте 500 км от поверхности Земли спин-орбитальная прецессия будет происходить в плоскости орбиты и составлять около 7" в год. Спин-спиновая прецессия зависит от наклона плоскости орбиты и будет равна +0,05" в год на полярной орбите (-*-0,1" в год на экваториальной; знак указывает направление прецессии относительно вращения Земли). Оба эффекта с высоким уровнем доверия могут быть измерены при помощи описанного устройства, причем другие конкурирующие эффекты малы [это — следующее приближение для спин-орбитальной прецессии типа (Д.4.13), спин-орбитальная прецессия за счет движения вокруг Солнца и отклонение лучей света в гравитационном поле Солнца, влияющее на систему ориентации спутника относительно неподвижных звезд].

В то же время спин-орбитальное взаимодействие даст вклад не только в момент сил, а и непосредственно в силу, действующую на гироскоп, в чем легко убедиться, подставив в последнее слагаемое уравнения (Д.4.8) квазимагнитное поле, возникающее из ньютоновского при преобразовании Лоренца к мгновенно сопутствующей гироскопу системе отсчета [ср. аналогичную процедуру при выводе формулы (Д.4.13)]. Отсюда следует относительный дрейф двух гироскопов, движущихся в поле Шварцшильда по одной и той же орбите, но с

антипараллельными спинами, перпендикулярными плоскости орбиты. Относительный импульс таких гироскопов равен

так что при движении по низкой околоземной орбите для дрейфа на 1 А за виток требуется скорость собственного вращения гироскопа со ^ Ю6/-1^1 (/ — момент инерции гироскопа). Этот эффект был рассчитан как в квантовом [15], так и в классическом варианте [16].

Несомненно, ближайшие годы принесут новые экспериментальные результаты, связанные с вращательными эффектами общей теории относительности, и в первую очередь это касается эффектов, обсуждавшихся выше.

ЛИТЕРАТУРА

Гравитация и относительность: Сборник статей/Под ред. X. Цзю и В. Гоффмана. — М.: Мир, 1965.

Dicke R. Н. in: Magic Without Magic: John Archibald Wheeler/Ed* J. R. Klauder. — San Francisco: W. H. Freeman, 1972, p. 297.

Кузнецов Б. Г. Эйнштейновский сборник— 1967. — М.: Наука, 1967, с. 134.

Хёнлъ Г. Эйнштейновский сборник — 1968. — М.: Наука, 1968, с. 258.

Тамм И. Е. Основы теории электричества. 5-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1954.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 6-е изд. — М.: Наука, 1973, 7. Lense J., Thirring Н. — Phys. Zeits., 1918, Bd. 19, S. 156.

Мицкевич H. В., Пулидо Гарсия И. — ДМА СССР, 1970, т. 192, с. 1263.

Мицкевич Н. В. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, в. 7. — М.: Атомиздат, 1976.

Kerr R. Р. — Phys Rev. Letters, 1963, v. 11, p. 237.

Boyer R. H, Lindquist R. W.— Journ. Math. Phys. 1967, v. 8, p. 265.

Everitt C. W. F in: Proceedings of the 1st Marcel Grossman Meeting on General Relativity/Ed. Remo Ruffini, Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 545.

Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975.

Schiff L. 1. in: Relativity Theory and Astrophysics. 1. Relativity and Cosmology/Ed. Jurgen Ehlers. — Providence: American Mathematical Society, 1967, p. 105.

Мицкевич H. В. Физические поля в общей теории относительности.— М.: Наука, 1969.

Епихин Е. Н., Пулидо И., Мицкевич Н. В. Тезисы докладов 3-й Совет* ской гравитационной конференции. — Ереван: Изд-во ЕГУ, 1972, с. 380*

Предисловие редактора перевода5

Предисловие11

Глава 1.Частная теория относительности и ускорения15

Частная теория относительности вкратце15

Частная теория относительности и ускорения24

Ускорение и тяготение31

Измерение гравитационного сдвига частоты35

Гравитационное отклонение луча света . .36

Кажущийся парадокс40

Литература 41

Глава 2.Опыты Этвеша — Дикке — Брагинского42

Тяготеющая и инертная масса42

Опыты Этвеша —- Дикке — Брагинского43

Следствия нулевого результата опытов Этвеша — Дикке —

Брагинского44

Литература . 51

Глава 3.Марсианская электродинамика 52

Поля52

Силы57

Лагранжев формализм (для знатоков)60

Литература60

Глава 4. Релятивистские гравитационные поля61

Гравитационное уравнение Пуассона61

Свойства источников гравитационного поля62

Возможные описания релятивистских гравитационных полей 65

Нелинейность уравнений поля71

Литература72

Глава 5. Релятивистские гравитационные силы73

Скорость света 73

Радиолокационные измерения в Солнечной системе ,75

Дополнительные замечания о меняющейся скорости света . . 78

Выражения для сил и уравнения движения79

Действие локальных сил84

Гравитационное отклонение лучей и гравитационное красное смещение 87

Литература 88

Глава 6.Деформация систем отсчета89

Введение89

Атомы в гравитационном поле: изменениемасштабов . .. 90

Вес атома96

Ковариантные уравнения движения.99

Лагранжев формализм (опять длязнатоков)104

Литература 105

Глава 7. Смещение перигелия Меркурия106

Введение106

Смещение перигелия в механике Ньютона .. 107

Релятивистская теория и необходимость введения нелинейных ПО членов

Сильный принцип эквивалентности и нелинейные члены . . .111

Расчет смещения перигелия113

Смещение перигелия Меркурия .. 116

Сплюснутость Солнца119

Литература121

Глава 8.Гравитационные волны 122

Введение122

Поперечный характер волн123

Физические воздействия гравитационныхволн128

Поляризационные свойства гравитационных волн131

Детектирование гравитационных волн132

Генерирование гравитационных волн136

Попытки детектирования гравитационныхволн138

Литература143

Глава 9. Тяготение и геометрия пространства-времени144

Введение144

Метрический тензор и уравнения движения при свободном падении .. . 145

Об уравнениях поля 150

Метрический тензор в некоторых простых случаях . . . . 152

Пример поля сил инерции157

Внешнее сферически симметричное гравитационное поле . . 162

Гравитационое красное смещение 165

Отклонение лучей света Солнцем.167

Задержка отраженного радиолокационного сигнала . . . . 170

Смещение перигелиев планет173

Литература•177

Глава 10. Черные дыры 179

Сильные гравитационные поля179

Распространение света в сильныхполях180

Движение частицы в поле чернойдыры184

Поиски черных дыр190

Вселенная195

Литература196

Дополнение. Гравитация и вращение ^Н. В. Мицкевич)198

Круговые токи зарядов и масс198

Поле магнитного диполя и квазимагнитное гравитационное поле200

Круговое движение пробных зарядов и масс в магнитных и квазимагнитныхполях202

Движениемагнитныхи квазимагнитных диполей206

Литература., 212

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬГ

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим посылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изд-во <Мир>.

М, Боулер

ГРАВИТАЦИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ

Редактор Е. Куранский Художник В. МасленниковХудожественный редактор Л. Безрученков Технический редактор Н. БорисоваКорректор С. Денисова ’

ИБ № 1610

Сдано в набор 01.06.78. Подписано к печати 14.12.78. Формат 60X90Vie. Бумага типографская № 2. Латинская гарнитура. Высокая печать. Объем 6,75 бум. л., 13,50 усл.

печ. л. 11,29 уч.-изд. л. Тираж 17000 экз. Цена 80 коп. Зак. № 1169. Изд. № 2/9825

Издательство «Мир»* 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

*) В рамках теории Ньютона эффект отклонения лучей света в поле Солнца в корпускулярной теории был впервые рассчитан И. Зольднером «це в 1801 г. (см. перепечатку его работы в 1921 г. [20]). — Прим, ред»

1 : 10~2 : 10“12: 10~29, а для средней звезды (Солнца)—уже 1 :10~2: : 10“12 : Ю”6 («мигрирующий» характер силы гравитационного взаимодей? ствия); см., например, [10]. — Прим. ред.

Прим. ред.

*) Постоянство скорости света лежит в основе и общей теории относительности, только здесь речь должна идти строго о локальной величине скорости, т. е. длина пройденного пути и интервал времени, за который этот путь совершается, должны измеряться в одном и том же месте, локально. Если же наблюдатель измеряет время по своим часам на Земле, а пройденное светом расстояние берется вблизи поверхности Солнца, то картина будет соответствовать обрисованной автором. — Прим, ред*

В скалярной теории отклонение лучей света отсутствует, так

как а = —1. Поэтому можно положить р = Ev (т. е. р =

= nEv, где п = 1), и при и->с ускорение будет обращаться

в нуль. Поэтому в скалярной теории

ps = р (1 — оф) = р (1 + ф);

Ч Предполагается также, что hw = А22 = ^зз — Прим ред»

6 10. СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЕВ ПЛАНЕТ

Смещение перигелиев планет труднее вычислить, так как

приходится опираться на уравнения движения до второго

1 dg^dx^dx^,

Возьмем в нем х -> Г; так как dg^/dt = 0, то

^(gtA^/^)=O

Взяв далее х -► ф и учитывая dg^v/dq> = 0, имеем

откуда следует эквивалент равенства (9.10 14):

-г- = const.фф dx

После этого можно производить подстановку требующих исключения величин в выражение для dx2, как это делает и автор. — Прим. ред.

м юулер ГРАВИТАЦИЯ и ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ

ИЗДАТЕЛЬСТВО-МИР-

GRAVITATION AND RELATIVITY

by M. G. Bowler

Department of Nuclear Physics Oxford University

Pergamon Press

Oxford • New York • Toronto • Sydney

Paris • Frankfurt

1976

#Л. Боулер

ГРАВИТАЦИЯ

И ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО

А. А. Бейлинсона

РЕДАКЦИЯ и ДОПОЛНЕНИЕ

Н. В. Мицкевича

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1979

Книга представляет собой монографию учебного характера по общей теории относительности и ее экспериментальным основам, дополняющую курс общей физики. Несмотря на простоту используемого в ней математического аппарата, она отличается строгостью и последовательностью изложения.

Книга рассчитана на широкий круг читателей-физиков — от специалистов по общей теории относительности до преподавателей, аспирантов и студентов физико-математических и физических факультетов.

Редакция литературы по физике

1704020000

20402—072^Б 041(01)—7920402—072^Б 041(01)—7972—7972—79g Pergamon Press, 1976

20402—072^

Б 041(01)—79

20402—072^

Б 041(01)—79

72—79

72—79

Перевод на русский язык с дополнением «Мир», 1979