Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
В настоящее время наука уделяет вопросам организации и управления все больше внимания; это обусловлено совокупностью большого числа различных причин. Быстрое развитие новых видов техники и их постоянное усложнение, увеличение масштабов и стоимости проводимых мероприятий, широкое внедрение новых методов и автоматических устройств в практику управления — все это приводит к необходимости разработки способов научного анализа структуры и организации сложных процессов. От науки требуются рекомендации по наилучшему (оптимальному) управлению такими процессами.
Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые объединяются под общим названием «Исследование операций». Под этим подразумевается применение математических, количественных методов для обоснования оптимальных решений в различных областях человеческой деятельности.
Сложно принимать решения, когда речь идет о крупномасштабных мероприятиях типа разработки перспективного плана развития отрасли промышленности или экономического региона. При этом обычно предполагается, что будут использованы новые технологии, связанные с производством прогрессивных изделий. При планировании приходится опираться на большое количество данных, относящихся как к прошлому опыту, так и к планируемому будущему. Выбранное решение должно по возможности гарантировать от ошибок, связанных с неточным прогнозированием, и быть достаточно эффективным для широкого круга условий. Для обоснования такого решения используется сложная система математических расчетов, которая позволяет обеспечить правильное решение, позволяющее избежать ненужных затрат и потерь при планировании.
В настоящее время исследование операций — одна из быстро развивающихся отраслей науки, проникающая во все более широкие области применения: промышленность, сельское хозяйство,
торговля, транспорт, финансовые операции и т.п. Задачи исследования операций во всех областях, где они возникают, имеют общие черты, и при их решении используются сходные методологические приемы. Например, методика количественного исследования, выработанная для анализа процессов образования очередей в системах массового обслуживания (ремонтных мастерских, автозаправочных станциях и т.д.), может быть использована для организации работы сетей электронно-вычислительных машин и строительных организаций.
Для того чтобы ближе познакомиться с особенностями задач исследования операций, рассмотрим некоторые примеры таких задач.
Организуется снабжение сырьем группы промышленных предприятий. Возможные поставщики сырья расположены в различных географических пунктах страны и связаны с предприятиями группы различными путями сообщения с различными тарифами. Требуется разместить заказы на сырье таким образом, чтобы все потребности предприятий были удовлетворены в заданные сроки, а затраты на перевозки были минимальными.
Для реализации определенного количества сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется определить основные параметры этой сети: число точек, их размещение, численность персонала, продажные цены товаров и т.д. таким образом, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.
Предприятие производит определенного типа изделия. Для обеспечения высокого качества этих изделий создается система выборочного контроля. Требуется организовать такой контроль наиболее рациональным образом, для чего нужны следующие параметры: размер контрольной партии, последовательность контрольных операций, правила выбраковки изделий и т.п. При этом следует сделать эти расчеты таким образом, чтобы обеспечить заданный уровень качества при минимальных расходах.
Имеется сложное техническое устройство, которое при некоторых условиях может выходить из строя. Для того, чтобы исправить повреждение, необходимо его локализовать и обнаружить его причину. Требуется разработать систему тестов, позволяющую с достаточно большой вероятностью ликвидировать неисправность за минимальное время.
В каждом приведенном примере речь идет о некотором мероприятии, направленном на достижение определенной цели. Заданы
условия, характеризующие обстановку мероприятия, которые не подлежат изменению (например, сроки поставки сырья в примере 1). В рамках принятой системы условий требуется найти такое решение, которое позволит провести намеченное мероприятие с наибольшей выгодой или за минимальное время.
В соответствии с этими общими чертами конструируются и общие приемы решения описанных и подобных им задач, которые в совокупности составляют методологическую основу исследования операций.
Для решения конкретных практических задач исследование операций располагает большим набором разнообразных математических средств. Сюда относятся математические методы оптимизации, начиная от способов нахождения экстремальных значений функций (максимумов и минимумов), известных из курса высшей математики, и включая такие современные методы, как линейное и нелинейное (выпуклое) программирование, динамическое программирование и многие другие. В этот набор входит также теория вероятности с ее новейшими разделами теория случайных процессов, теория информации, теория массового обслуживания и др.).
В данном учебном пособии освещаются по преимуществу те методы, которые реально используются в процессе решения и анализа актуальных экономических задач.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИССЛЕДОВАНИЯОПЕРАЦИЙ
Операция — это любое мероприятие (действие или система действий), подчиняющиеся определенному замыслу и направленное на достижение конкретной цели.
Операция всегда является управляемым мероприятием, т.е. выбор того или иного способа ее организации зависит от лица, принимающего решения (ДПР). Здесь термин «организация» понимается в смысле выбора значений параметров, от которых зависит успех планируемого мероприятия.
Любой набор всех необходимых параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Решения, которые согласно последующей оценке оказываются предпочтительнее других возможных вариантов, называются оптимальными.
Основное назначение исследования операций состоит в предварительном количественном обосновании оптимальных решений. Дело в том, что процесс принятия реального решения выходит за рамки
теории исследования операций и относится к компетенции ответственного лица (или группы лиц), которым предоставлено право окончательного выбора способа действий. Может оказаться, что наряду с рекомендациями, следующими из математических расчетов, необходимо принимать во внимание ряд факторов формального и неформального характера, которые не были учтены в расчетах.
Таким образом, исследование операций не ставит перед собой задачу полной автоматизации процессов принятия решений, а проводит тщательную подготовку количественных данных и рекомендаций, облегчающих Л ПР принятие оптимального решения.
Помимо основной задачи — обоснования оптимальных решений — к области исследования операций относятся следующие задачи:
сравнительная оценка вариантов организации операции (решений);
оценка влияния на результат операции параметров (заданных условий и определяемых параметров);
исследование так называемых «узких мест», т.е. таких элементов управляемой системы, нарушение действий которых особенно существенно повлияет на успешность операции.
Эти задачи исследования операций становятся особенно важными, когда предлагаемая операция рассматривается не изолированно, а как составная часть некоторой системы операций. В этом случае системный подход к задаче требует учета взаимной зависимости и обусловленности всего комплекса операций в целом.
Пусть рассматривается некоторая операция Q. Естественным требованием к принимаемому решению является эффективность операции, понимаемая как степень ее готовности к выполнению своего предназначения.
Для того чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между собой различные варианты решений, разрабатывается некоторый численный критерий оценки или показатель эффективности, который часто также называется «целевой функцией».
Конкретный вид показателя эффективности W. которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от особенностей изучаемой операции, от ее целевой направленности, а также от постановки самой задачи исследования, которая может быть выражена в той и иной форме.
Многие операции выполняются в условиях, содержащих определенные элементы случайности. Особенно это относится к рыночным операциям, связанным с колебаниями спроса и предложения, курсов акций, валют и т.п. В этих ситуациях исход операции, если
даже она была организована строго определенным образом, не может быть точно предсказан, а остается случайным. В таких случаях, в качестве показателя эффективности ^выбирается не отдельная величина исхода операции, а ее среднее значение (математическое ожидание). В частности, если целью операции является получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффективности используется средняя прибыль.
Правильный выбор показателя эффективности следует признать необходимым условием полезности исследования, выполняемого для обоснования выбора оптимального решения.
Приведем несколько примеров, в каждом из которых показатель эффективности выбран в соответствии с целевой направленностью операции.
Исследуется рентабельность промышленного предприятия, причем предлагается осуществить ряд мер с целью повышения эффективности его работы. В качестве показателя эффективности предлагается прибыль (или средняя прибыль), полученная предприятием за хозяйственный год.
На некотором предприятии организуется комплекс мероприятий по экономии сырья при производстве определенной группы изделий. Здесь показатель эффективности — это количество (или среднее количество) сэкономленных средств за определенный промежуток времени.
Мастерская занимается ремонтом автомобилей; ее доходность определяется числом машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности — среднее число машин задень. Здесь среднее число существенно, так как фактическое число есть случайная величина.
Предпринимается ряд мер по повышению надежности сети компьютеров. Цель операции состоит в том, чтобы уменьшить частоту появления неисправностей («сбоев») сети, или, что равносильно, увеличить средний промежуток времени между сбоями (так называемую «наработку на отказ»), В качестве показателя эффективности выбирается среднее время безотказной работы сети или среднее относительное время исправной работы.
В этих примерах показатель эффективности требуется максимизировать, т.е. найти такое решение, которое дает наибольшее его значение. Аналогично существуют задачи, где требуется минимизировать значение целевой функции, т.е. определить наименьшее значение параметров. В примере 1 в качестве показателя эффективности можно выбрать объем производственных затрат при выпол-
нении данного комплекса работ, который требуется сделать как можно меньше. Любую задачу нахождения минимума можно превратить в задачу максимизации, для чего достаточно изменить знак величины Wна обратный.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ
Для применения количественных методов исследования необходимо построить математическую модель исследуемого объекта или процесса. При построении математической модели изучаемая операция упрощается, схематизируется (среди факторов, влияющих на данное явление, выделяется некоторое число наиболее важных, полученная схема их взаимодействия описывается с помощью адекватного математического аппарата). В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и выходным результатом — показателем эффективности решения.
Чем лучше данная математическая модель отражает характерные черты и особенности операции, тем успешнее будет планируемое исследование и тем полезнее будут полученные рекомендации.
Необходимо иметь в виду, что общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и формулировки проблемы научного исследования. При этом обязательно учитывается требуемая точность решения, а также точность, с которой получены исходные данные.
Требования, предъявляемые к модели, обычно довольно противоречивы. С одной стороны, она должна быть достаточно полной для того, чтобы в ней были учтены все факторы, от которых зависит исход операции. С другой стороны, модель должна быть простой, чтобы можно было установить зависимости (по возможности аналитические) между входящими в нее переменными и параметрами. Модель не должна содержать множества мелких, второстепенных факторов, это усложняет ее анализ и нахождение оптимального решения, а также теряется наглядность полученных результатов исследования.
В исследовании операций часто встречаются ситуации, когда при анализе особо сложных задач модель многократно совершенствуется: после выполнения определенного цикла расчетов анализируют недостатки полученного решения, в модель вносят необходимые изменения и дополнения, и процесс повторяется с уточненными данными.
Построение математической модели — это наиболее важная и ответственная часть исследования, она требует глубокого понимания сути моделируемого явления и возможности привлечения адекватного и надежного математического аппарата. Математические модели, применяемые в исследовании операций, можно условно разделить на два основных класса: аналитические и статистические.
Для аналитических моделей характерно установление формульных, аналитических зависимостей между переменными и параметрами задачи. Они записываются в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, разностных и т.п. уравнений или систем уравнений. Опыт показывает, для того чтобы такое описание стало возможным, необходимо принять значительные упрощения и допущения, а это может отразиться на точности получаемого решения. Поэтому с помощью аналитических моделей удается описать с хорошей точностью лишь сравнительно несложные операции, где число взаимодействующих элементов не очень велико.
В сложных операциях, в которых взаимодействуют большое число важных факторов, в том числе и случайных, наиболее часто применяется метод статистического моделирования. Он состоит в том, что выполнение операции «повторяется» на компьютере, по возможности вместе со всеми сопровождающими его случайностями. В результате многократного проведения этой процедуры удается получить нужные выходные характеристики операции с высокой степенью точности.
Статистические модели имеют перед аналитическими преимущество в том, что дают возможность учесть взаимодействие большого числа факторов и не требуют дополнительных упрощений и допущений. Однако результаты статистического моделирования обычно представляются в виде таблиц и графиков, не простых для анализа и осмысления. Аналитические модели, как правило, более грубые, описывают явление очень приближенно и позволяют получить представление результатов скорее, на качественном уровне. Но зато аналитическая форма представления наиболее полно отражает присущие явлению основные закономерности. Опыт показывает, что наилучшие результаты достигаются при совместном использовании аналитических и статистических моделей. В этом случае с помощью сравнительно простой аналитической модели описывают основные взаимосвязи между параметрами и переменными операции, а дальнейшие уточнения результатов осуществляют при помощи статистических моделей.
Пусть Q — некоторая операция (управляемое мероприятие), на исход которой можно повлиять, выбирая те или иные значения управляющих параметров. Эффективность операции характеризу-
ется показателем эффективности ^(прибыли, чистого дохода и т.п.), который заранее известен. Требуется максимизировать эффективность операции при определенных ограничивающих условиях.
Допустим, что построенная некоторым способом математическая модель операции дает возможность вычислить значение показателя эффективности при любом возможном управленческом решении для той совокупности условий, в которых выполняется операция.
Рассмотрим простейший случай, когда факторы, от которых зависит успешность выполнения операции, можно разбить на две группы:
заданные, известные факторы (параметры) ах, а^ ..., они представляют собой числовые характеристики неизменяемых условий проведения операции;
факторы (элементы решения) хь х2, ... , которые подлежат определению в процессе выбора решения.
Случай, когда факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо могут быть определены лицом, принимающим решение, называется детерминированным.
Следует заметить, что в общем случае под параметрами (заданными условиями) операции могут пониматься не только обычные числа, но и некоторые функции, выражающие ограничения, наложенные на элементы решения. Элементы решения также могут быть и числами, и функциями.
Показатель эффективности является функцией, зависящей от обеих групп факторов — и от параметров, и от элементов решения. Эту зависимость можно представить в виде формулы общего вида:
W = И/(ах, а2, ...; хь х2, ...).
Так как согласно условиям задачи, математическая модель построена, следовательно указанная зависимость лицу, принимающему решение, известна и для любых значениях аь а2, ...; хм х2, ... можно вычислить значение W.
Теперь задачу исследования операций математически можно сформулировать следующим образом: при заданных условиях а,, а2, ... найти элементы решения X], х2, ..., которые максимизируют показатель W.
С точки зрения математики — это задача, относящаяся к так называемым вариационным проблемам. Методы решения отдельных классов таких задач хорошо исследованы. Наиболее простые способы направлены на решение экстремальных задач (задач на нахождение максимума или минимума) при помощи средств высшей ма-
тематики. Для нахождения экстремума функции нужно найти ее первые производные по всем аргументам, приравнять их нулю и решить полученную систему уравнений. В результате будут получены так называемые критические точки функции. Дополнительный анализ позволяет определить среди них те, которые являются точками экстремума.
Однако этот простой метод в задачах исследования операций имеет очень ограниченное применение, чему имеется несколько различных причин.
В задачах исследования операций обычно имеется большое количество элементов решения (аргументов функций) и поэтому совместное решение системы уравнений, полученных дифференцированием имеющихся зависимостей, как правило, оказывается очень сложным, иногда даже более сложным, чем прямой, непосредственный поиск экстремальной точки.
Если на аргументы функции накладываются дополнительные ограничения, которые ограничивают область их изменения, то во многих случаях экстремум достигается не в той точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области возможных решений. В этом случае характерная для исследования операций математическая задача нахождения экстремума при наличии ограничений не вписывается в классические схемы решения вариационных задач.
На практике часто встречаются ситуации, когда из-за некоторых особенностей исследуемых функций или из-за дискретного, а не непрерывного изменения аргумента производные не существуют.
Следует иметь в виду, что общих математических методов отыскания экстремумов функций произвольного вида при наличии любых ограничений не существует. Однако для случаев, когда функции и ограничения обладают некоторыми дополнительными свойствами, разработано большое количество специальных способов решения задач. В частности, если показатель эффективности линейно зависит от аргументов (элементов решения) и имеющиеся ограничения задачи, наложенные на аргументы, также имеют вид линейных равенств или неравенств, то экстремум функции можно отыскать с помощью методов линейного программирования.
Если показатель эффективности является выпуклой или квадратичной функцией своих аргументов, то методы выпуклого или квадратичного программирования дают возможность получить искомое решение достаточно быстро и точно, несмотря на то, что эти методы являются более сложными по сравнению с методами линейного программирования.
Если исследуемая операция естественным образом разделяется на ряд этапов или шагов (например, операция планирования продолжительностью в несколько лет), а показатель эффективности может быть выражен в виде суммы частных показателей, достигнутых за отдельные этапы, то решение, дающее максимальную эффективность, позволяет получить метод динамического программирования.
Если ход операции описывается дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функцию с известными свойствами, то в этом случае применяют методы, основанные на так называемом принципе максимума.
Таким образом, в рассмотренном детерминированном случае проблема нахождения оптимального решения управления операцией может быть сформулирована как математическая задача отыскания экстремума показателя эффективности. При большом количестве аргументов эта задача может оказаться сложной, но здесь сложность связана с обработкой больших массивов чисел, и при помощи компьютерной техники ее обычно удается решить тем или иным способом с удовлетворительной точностью. Трудности, как правило, связанны с проведением вычислений и не имеют принципиального значения.
ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХНЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Иногда имеет место ситуация, когда не все условия выполнения операций, известны до ее начала, т.е. некоторые условия содержат элементы неопределенности. Например, успех экономической операции зависит от трудно предсказуемых колебаний спроса и предложения или от поведения конкурентов. В подобных случаях эффективность операции складывается уже не из двух, как в детерминированном случае, а их трех групп факторов:
условия выполнения операции а^ аъ ..., которые известны J1 ПР заранее и изменены быть не могут;
неизвестные заранее условия и факторы у,, у2, • ••-
элементы решения хн х2, ..., которые надлежит определить.
Предположим, что эффективность операции характеризуется некоторым показателем W, зависящим от трех групп факторов:
W(ab а7, ...; у,, уъ ...; х,, х2, ...).
Если бы условия у,, у2, ••• были известны, то можно было бы заранее рассчитать область значений показателя эффективности и выбрать такое решение, при котором он достигает максимального значения, так как мы имели бы дело с детерминированным случаем. Но так как указанные параметры неизвестны, то, следовательно, неизвестна и связь между предлагаемым решением и значением показателя эффективности.
Тем не менее задача выбора оптимального решения по-прежнему остается актуальной и ее можно сформулировать следующим образом: при заданных условиях ах, аг, ... с учетом неизвестных факторов У], у2, ••• найти такие элементы решения х(, х2, ..., которые по возможности бы максимизировали показатель эффективности W.
Таким образом, возникает уже не чисто математическая задача, поскольку в ее формулировке присутствует выражение «по возможности». Дело в том, что наличие неизвестных факторов переводит поставленную задачу в другую категорию — она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.
Поскольку условия операции неизвестны, то нет возможности организовать ее так же успешно, как это можно было бы сделать, если бы руководитель операции располагал большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого в полностью определенной обстановке. Для того чтобы выбрать решение в условиях неопределенности, руководитель операции может воспользоваться математическим расчетом. Обоснованное таким образом решение будет лучше решения, выбранного произвольным образом.
Задачи о выборе решения в условиях неопределенности очень часто встречаются в практической деятельности людей и организаций. Простым примером может служить организация выезда группы сотрудников в экспедицию. Вес вещей и приборов, которые можно взять с собой, не может превышать определенного предела (условия о,, а2, ...). Погода в районе дислокации экспедиции заранее неизвестна (условия у,, у2, ...). Требуется определить, какие предметы одежды (х,, х2, ...) следует взять с собой.
Обычно такую задачу решают без использования какого-либо математического аппарата, хотя без опоры на такие данные, как вероятность дождливой или морозной погоды в районе экспедиции в данное время года, обойтись нельзя.
Однако если нужно принять более ответственное и серьезное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков), то выбор решения обязательно должен быть обоснован математическими расчетами, которые делают его аргументированным.
Выбор методов существенно зависит от природы неизвестных факторов у,, у2, ... и от того, какими хотя бы приблизительными, ориентировочными сведениями о них располагает руководитель операции.
Наиболее простой для расчетов является ситуация, когда неизвестные факторы представляют собой случайные величины, о которых имеются статистические данные, характеризующие распределение их вероятностей.
Рассмотрим работу железнодорожной сортировочной станции, где руководитель операции стремится оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на станцию грузовых поездов. Заранее неизвестны ни точное время прибытия поездов, ни число вагонов в поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Эти характеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из них может быть определен на основе предшествующего опыта, по имеющимся данным обычными методами математической статистики.
В случае, когда неизвестные факторы, выступающие в операции, являются обычными случайными величинами или случайными функциями, распределение которых известно (хотя бы приблизительно), то для оптимизации решения может быть использован или способ искусственного сведения к детерминированной схеме, или способ «оптимизации в среднем».
При способе искусственного сведения к детерминированной схеме вероятностная обстановка, в которой происходит явление, приближенно заменяется полностью детерминированной. С этой целью все участвующие в данной операции случайные факторы у,, у2, ... приближенно заменяются неслучайными величинами. Обычно для такой замены используются математические ожидания случайных факторов.
Этот способ применяется, как правило, при проведении ориентировочных расчетов, направленных не столько на оценку количественной стороны операции, сколько на выявление качественного результата (например, получится или нет задуманная операция). Следует заметить, что этот способ оказывается эффективным, когда диапазон случайных изменений (дисперсия) случайных величин достаточно мал, тогда эти величины без большой погрешности могут рассматриваться как неслучайные. Замену случайных величин их математическими ожиданиями можно использовать в ситуациях, когда величины уь у2, ... имеют большой разброс, но показатель эффективности РИ линейно или почти линейно зависит от их значений.
Способ «оптимизации в среднем» является более сложным и применяется, когда замена случайных величин уь у2, ... на их математи-
ческое ожидание приводит к значительным погрешностям результатов. Реализация этого способа состоит из нескольких этапов.
На первом этапе рассматривается плотность распределения случайных факторов — функция /(у,, у2, ...) — и с ее помощью определяется математическое ожидание показателя эффективности — величина
Wm= М[^], которая зависит от элементов решения.
На втором этапе выбирается решение х,, х2, ..., при котором величина Wm будет иметь максимальное значение.
Обоснование эффективности применения этого способа состоит в том, что хотя успешность каждой отдельной операции, осуществляемой при случайных, заранее неизвестных значениях факторов, может заметно отличаться от ожидаемого среднего значения как в большую, так и в меньшую сторону, но при многократном осуществлении данной операции эти различия сглаживаются и результат получается вполне удовлетворительным.
Как видно из описания приведенного способа, для уверенной работы в условиях неопределенности и оценки величины возможной погрешности полезно кроме математического ожидания показателя эффективности определить разброс его значений (дисперсию или среднее квадратическое отклонение).
Наиболее трудным для исследования операции представляется случай неопределенности, когда случайные факторы у,, уъ ... не могут быть описаны и изучены при помощи статистических методов. Такая ситуация возникает, если отсутствуют необходимые статистические данные о законах распределения этих величин или когда законов распределения просто не существует. Как правило, это ситуации, когда исследуемое явление не обладает свойством статистической устойчивости. Например, ожидаемый доход от некоторой внешнеторговой операции зависит от наличия и качества аналогичного товара у предполагаемого конкурента в момент начала продаж на рынке. Очевидно, что здесь нет никакой возможности вычислить вероятности каких-либо гипотез, их приходится назначать произвольно или путем экспертных оценок, что может заметно испортить объективность исследования и оценок оптимального решения.
В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с последующей «оптимизацией в среднем», можно рассмотреть весь диапазон возможных вариантов случайных условий или наиболее вероятное его подмножество и получить данные о том, какова эффективность исследуемой операции в этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия.
Описанный подход позволяет получить решение, оптимальное для некоторой выбранной совокупности неизвестных условий, такое решение называется локально-оптимальным. Совокупность локально-оптимальных решений для всего диапазона случайных условий дает представление о том, как руководитель операции должен поступать в том случае, когда неизвестные ранее условия у,, у2, ••• становятся ему известны. Поэтому в случае неопределенности локально-оптимальное решение, на нахождение которого обычно тратится много времени и средств, имеет весьма ограниченную ценность. В большинстве случаев становится ясным, что необходимо выбрать не строго оптимальное для каких-то определенных условий решение, а некоторое компромиссное решение, которое, не являясь строго оптимальным ни для каких условий, оказывается приемлемым в некотором диапазоне условий.
Обычно окончательный выбор компромиссного решения осуществляется человеком (лицом, принимающим решения). Опираясь на расчеты, он может оценить и сопоставить сильные и слабые стороны каждого варианта решения в различных условиях и на основе этого сделать окончательный выбор. При этом необязательно (хотя зачастую и очень полезно) знать точный локальный оптимум для каждой совокупности условий у,, у2, ... Это означает, что классические вариационные и новейшие оптимизационные методы математики в данной ситуации не имеют определяющего значения и отступают на второй план.
Далее рассмотрим случай, который проявляется в так называемых конфликтных ситуациях, когда неизвестные параметры ун у2, ... зависят не от объективных обстоятельств, а от действий активно противостоящего руководству операции конкурента. Такие ситуации являются весьма характерными для действий предприятия в сложной экономической обстановке, в особенности в условиях внешней торговли, когда идет спор за рынки сбыта. Здесь при выборе оптимальных решений оказывается полезным аппарат математической теории конфликтных ситуаций — теории игр. Модели конфликтных ситуаций, изучающиеся теорией игр, основаны на предположении, что руководитель операции имеет дело с разумным и дальновидным противником, который выбирает свое решение (поведение) наилучшим для себя (и наихудшим для «нашей» операции) способом. Такой взгляд на конфликтную ситуацию в значительном числе случаев позволяет руководству операции найти наименее рискованное, решение, которое необязательно должно быть принято, но которое полезно иметь в виду.
Полезным может оказаться следующий подход. Если при обосновании оптимального решения в условиях неопределенности при
любых действиях руководства операции влияние неопределенности остается весьма значительным, то совершенно необязательно проводить большое количество расчетов для получения высокоточного результата. Вместо этого предлагается определить некоторую область (множество) допустимых и подходящих решений, которые при любом способе оценки оказываются лишь незначительно хуже решений, полученных с высокой точностью. Затем руководители операции легко могут сделать окончательный выбор оптимального решения среди элементов этого множества.
ОЦЕНКА ОПЕРАЦИИ ПО НЕСКОЛЬКИМПОКАЗАТЕЛЯМ
До этого момента мы рассматривали задачи исследования операций, в которых требовалось выбрать оптимальное решение таким образом, чтобы определить максимальное (или минимальное) значение одного единственного показателя эффективности W. Однако на практике часто встречаются случаи, когда эффективность операции приходится оценивать сразу по нескольким показателям Wv W7, ..., Wk, причем некоторые показатели (например показатели объема выпуска) желательно сделать как можно больше, а другие (например, затратные показатели) как можно меньше.
Как правило, эффективность больших по объему, сложных операций не может быть охарактеризована с помощью одного показателя, поэтому приходится привлекать дополнительные оценочные критерии. Например, при оценке деятельности промышленного предприятия нужно учитывать такие показатели, как объем произведенной продукции, себестоимость единицы продукции, прибыльность (рентабельность) производства, трудовые затраты и др.
Следует заметить, что во многих случаях выдвигаемые требования максимизации и минимизации показателей эффективности оказываются просто несовместимыми. Например, требование «достижение максимального эффекта при минимальных затратах» не является корректным для научного анализа. Правильной постановкой задачи может быть стремление достичь «максимального эффекта при заданном уровне затрат» или «определенного эффекта при минимальных затратах».
В общем случае не существует такого решения, которое обращало бы в максимум один показатель и одновременно в максимум (или минимум) другой показатель; тем более, такого решения не существует для нескольких показателей. Однако количественный анализ эффективности позволяет отбросить явно нерациональные
варианты решений, уступающие лучшим вариантам по всем показателям. Процедура предварительной отбраковки неконкурентоспособных вариантов решения всегда должна предшествовать решению задачи исследования операций с несколькими показателями. Ее проведение, хотя и не снимает необходимости компромисса, но значительно уменьшает размер множества возможных решений, в пределах которого выполняется выбор оптимального решения.
Поскольку комплексная оценка решения сразу по нескольким показателям является весьма трудоемкой и требует дополнительных размышлений, на практике стараются объединить несколько показателей в один обобщенный показатель (или критерий). Наиболее распространенный способ формирования такого «составного критерия» состоит в образовании «взвешенной суммы» различных показателей эффективности:
U = а. И/, + а^г + ... + anWm
где коэффициенты а,, а^ .... а„ положительные или отрицательные натуральные числа. Положительные коэффициенты ставятся при показателях, которые требуется максимизировать, а отрицательные — при показателях, подлежащих минимизации. Абсолютные значения коэффициентов, называемые «весами», соответствуют степени относительной важности показателей, которая определяется путем неформального анализа.
В ряде случаев задачу с несколькими показателями эффективности можно свести к задаче с одним показателем. Например, если выделить только один (главный) показатель и стремиться получить его максимальное значение, а на остальные, вспомогательные показатели наложить специальные ограничения (на максимизируемые показатели ограничения типа «больше или равно», а на минизиру- емые — «меньше или равно»). Все эти ограничения добавляются в комплекс исходных условий задачи.
При такой постановке задачи все показатели эффективности, кроме главного, переходят в совокупность заданных условий проведения операции. Варианты решений, не удовлетворяющих специальным ограничениям, сразу же отбрасываются, как недопустимые. Очевидно, что в этой обстановке разработанные рекомендации будут существенно зависеть от того, как были выбраны ограничения для вспомогательных показателей. Для определения влияния выбора на получение оптимального решения, следует варьировать параметры специальных ограничений в некоторых подходящих пределах.
Такой подход может быть использован при поиске оптимального режима работы промышленного предприятия по трем критериям:
максимизация прибыли, выполнение определенного заказа и минимизация себестоимости. Главным критерием считается прибыль; ограничение по заказу записывается в виде равенства, а ограничение по себестоимости выглядит в виде требования «не выше заданной величины»; после чего задача решается как задача с одним критерием на достижение максимума прибыли.
Существует способ построения компромиссного решения «методом последовательных уступок», который состоит из нескольких этапов.
На первом — показатели эффективности располагаются в порядке убывания важности: сначала идет главный показатель, а затем вспомогательные. Для простоты изложения можно считать, что все показатели нужно максимизировать. Процесс построения компромиссного решения выглядит следующим образом. Сначала находится решение, максимизирующее главный показатель, затем исходя из практических соображений, назначается некоторая «уступка» (уменьшение значения главного показателя) и решается задача нахождения максимума второго по важности показателя при соответствующем специальном ограничении на значение главного и т.д. В результате получается решение, в значительной мере удовлетворяющее требованию одновременной максимизации всех показателей.
Следует иметь в виду, что при любом способе формализации, задача количественного обоснования решения по нескольким показателям остается не до конца определенной, и окончательный выбор решения определяется действиями руководителя операции (лица или коллектива, принимающего решение).
СТРУКТУРА УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
Для облегчения восприятия во всех главах учебного пособия выдержана единая структура изложения материала. Каждая глава содержит следующие разделы.
Цели. Дается краткая характеристика целей главы. Перечисляются основные понятия, которые должны быть изучены, и навыки, которые должны быть приобретены после изучения материала главы.
Модели. Приводится описание экономико-математических моделей, необходимых для выполнения заданий поданной теме. Формулируются утверждения, обеспечивающие теоретическую основу для применения этих моделей. Материал этого раздела можно рассматривать как краткий конспект лекции по теме.
Примеры. Демонстрируется, как данные модели могут использоваться для решения экономических задач. Приводятся формулировка задачи, описание модели, необходимой для анализа задачи, результаты расчетов по модели и анализ этих результатов.
Контрольные вопросы. Предлагаю несколько вопросов множественного выбора. Это — наиболее простая для обучаемого форма контроля знаний.
Задачи. Данный раздел является основной формой контроля результатов обучения по программе подготовки бакалавров. Он состоит из задач для самостоятельного решения. Решение любой задачи предполагает построение соответствующей модели, проведение необходимых расчетов и получение ответов на поставленные в задаче вопросы.
Ситуации. Данный раздел является основной формой контроля результатов обучения по программе подготовки магистров. Анализ ситуаций позволяет научиться решать задачи, возникающие при исследовании сложных экономических проблем. Заметим, что не может быть однозначных ответов на все вопросы, содержащиеся в описании любой ситуации. В этом ее принципиальное отличие от задачи. Как правило, в описании конкретной ситуации не дается вся необходимая информация. Обучаемым приходится делать предположения и вносить необходимые добавления. Поэтому в процессе анализа ситуации могут быть получены разные результаты, и каждый из них будет верен. Цель анализа ситуации не сводится к получению ответа — важен не столько результат, сколько процесс анализа.
Глава 1
РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГОПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Рассмотрен случай, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь составлять и применять для экономического анализа:
целевую функцию;
ограничения;
допустимый план;
множество допустимых планов;
модель линейного программирования;
оптимальный план;
двойственные оценки;
границы устойчивости.
Общая постановка задачи планирования производства: определить план производства одного или нескольких видов продукции, обеспечивающий наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой
план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — максимум прибыли, минимум затрат на производство и т.д.
МОДЕЛИ
Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования;
И
д Су Xj -> шах;
(1)
У-1'
п
I ayxj 5 ЬИ
i = 1,
m;
(2)
У =1
Xj > 0, j = 1,
..., п.
(3)
где п —число выпускаемых продуктов;
т —количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);
ау —объем затрат ресурса / на выпуск единицы продукта у;
Су — прибыль от выпуска и реализации единицы продукта j;
. b, — количество имеющегося ресурса /";
Ху —переменная (variable) — объем выпуска продуктау;
— целевая функция (максимум прибыли);
— система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;
— система общих ограничений (условие неотрицательности переменных).
Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.
Задача линейного программирования в стандартной форме на минимум имеет вид
^cvxv^min;(4)
j = \
^ауХу>Ь;, i = \,...,m;(5)
У = |
Ху > О, j = 1, ..., п.(6)
Вектор х = (xh ..., х„), компоненты Xj которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) [(5) и (6) в задаче на минимум], называется допустимым решением или допустимым планом задачи линейного программирования. Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.
Допустимое решение задачи линейного программирования, на котором целевая функция (1) [(3) в задаче на минимум] достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.
С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и которая называется двойственной задачей ЛП.
Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача:
ТЛУ1 min;
/ = 1
(7)
т
^ауУ1>с,, j = \,...,n;
(8)
у, > 0,/ = 1, ..., т.
(9)
Соответственно, двойственной к задаче (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.
Компонента у, оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется двойственной оценкой {Dual Value) огра-
И
ничения ^ayXj < b, исходной задачи ЛП.
/ = |
п
Пусть <р = тах(^суХу), где Xj — компонента допустимого У = 1
решения задачи (1)-(3). Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие неравенства:
= ун I = V
Изменим значение одного основного ограничения Ь, в правой части исходной задачи ЛП. Пусть Ь'; — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у двойственной задачи не изменится. Тогда величину Ь', называют нижней границей (.Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.
Пусть Ь'^ — максимальное значение правой части Ь, основного ограничения задачи, при котором решение двойственной задачи у* не изменится. Тогда величину Ь" называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.
Изменим значение одного коэффициента Cj целевой функции исходной задачи ЛП.
Пусть c'j — минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи остается прежним. Тогда величину cj называют нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.
Пусть c'j — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение /исходной задачи не изменится. Тогда величину c’j называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Графическое решение задачи линейного программирования
Рассмотрим задачу планирования производства.
Кооператив по производству строительных материалов выпускает два вида стройматериалов: жидкое стекло и пенопласт. Трудозатраты на производство 1 т стекла — 20 ч, пенопласта — 10 ч. В кооперативе работают 10 рабочих по 40 ч в неделю. Оборудование Позволяет производить не более 15 т стекла и 30 т пенопласта в неделю. Прибыль от реализации 1 т жидкого стекла — 50 руб.; 1 т пенопласта — 40 руб. Сколько стройматериалов каждого вида следует выпускать кооперативу для получения максимальной прибыли?
Решение .
Данная задача может быть сведена к задаче линейного программирования. Формальная математическая модель имеет вид:
50 х X, + 40 х х2 -> шах;
(Ю)
20 х X] + 10 х х2 < 400;
(Н)
х, <15;
(12)
х2 < 30;
(13)
X] > 0, х2 > 0.
(14)
Обозначения:
X, (т) — объем производства жидкого стекла в неделю;
х2 (т) — объем производства пенопласта в неделю.
Это переменные модели, значения которых нужно определить так, чтобы прибыль была максимальной. Прибыль выражается целевой функцией (10).
При определении плана выпуска стройматериалов необходимо учитывать, что в процессе производства нельзя затратить ресурсов больше, чем имеется в наличии, т.е. должны выполняться ограничения модели (11)—(14). В правой части ограничений указывается объем затрат соответствующего ресурса на производство Х| (т) жидкого стекла и х2 (т) пенопласта. В правой части ограничений (12), (13) стоят объемы соответствующих ресурсов, которыми располагает кооператив.
Ограничение (II) представляет собой ограничение на фонд рабочего времени. Коэффициенты при переменных определяют трудозатраты на производство 1 т жидкого стекла и пенопласта, соответственно. В правой части стоит недельный фонд рабочего времени — 400 ч (40 х 10 = 400).
Ограничение (12) — это ограничение на мощность оборудования по производству жидкого стекла. Имеющееся оборудование позволяет производить не более 15 т жидкого стекла в неделю.
Ограничение (13) — это ограничение на мощность оборудования по производству пенопласта. Имеющееся оборудование позволяет производить не более 30 т пенопласта в неделю.
Группа ограничений (14) — это условие на неотрицательность переменных.
Данная модель является задачей линейной оптимизации. Целевая функция (10) и ограничения (11)—(14) являются линейными. Прибыль и величины затраченных ресурсов можно представить как сумму прибыли и затрат на производство каждого вида стройматериалов. Они, в свою очередь, пропорциональны объему выпуска. Например, общие трудозатраты складываются из рабочего времени, затраченного на производство жид-
кого стекла — 20xj ч, затрат рабочего времени на производство пенопласта — 20х2 ч.
Допустимыми решениями задачи являются пары (х,, х2), которые удовлетворяют всей системе ограничений модели.
Каждому решению задачи соответствует определенное значение целевой функции (10). Допустимое решение, обеспечивающее получение максимального значения целевой функции (прибыли), является оптимальным.
Геометрическая интерпретация. На рис. 1.1 показано множество допустимых решений рассматриваемой задачи. Оно получено как совокупность точек, удовлетворяющих каждому ограничению. Так, ограничению (11) удовлетворяют все точки координатной плоскости, которые лежат ниже прямой 20 х х, + + 10 х х2 = 400. Ограничению (12) — все точки координатной плоскости, которые лежат левее прямой Х] = 15, а ограничению (13) — точки, лежащие ниже прямой х2 = 30.Ограничения на неотрицательность переменных (14) отсекает все точки, лежащие в I, III, IV квадрантах координатной плоскости (множество допустимых решений в задачи линейного программирования всегда лежит в I квадранте координатной плоскости).
Допустимое решение х, = 5, х2 =5, которому соответствует значение целевой функции, равное 450 руб., является точкой на прямой 50 х X, + 40 х х2= 450 (рис. 1.2).
Каждая точка данной прямой соответствует решению задачи, при котором прибыль равна 450 руб. Поэтому с точки зрения максимизации прибыли для кооператива безразлично, какое из этих допустимых решений будет выбрано. Например, решение о производстве 6 т жидкого стекла и 3,75 т пенопласта [точка (6; 3,75)] или производство 4 т жидкого стекла и 6,25 т пенопласта [точка (4; 6,25)] дают одинаковую прибыль 450 руб.
Любые точки области допустимых решений, лежащие выше линии уровня 50 х х, + 40 х х2 = 450, обеспечивают большее значение целевой функции. Например, в точке (10; 10) значение целевой функции равно 900. Эта точка лежит на прямой 50 х X] + 40 х х2 = 900, параллельной прямой 50 х х, + 40 х х2 = 450. Любое параллельное смещение линии уровня целевой функции увеличивает ее значение. Смещение производится до тех пор, пока данная линия имеет общие точки с областью допустимых решений. Точка (5; 30) является наиболее удаленной точкой области допустимых решений, принадлежащей линии уровня целевой функции, соответствующей значению 1450. Следовательно, производство 5 т жидкого стекла и 30 т пенопласта в неделю, обеспечивает кооперативу максимальную прибыль, равную 1450 руб.
В нашем примере многогранник OABCD, определяющий область допустимых значений, имеет пять вершин: (0; 0), (4; 30), (5; 30), (15; 10), (15; 0).
Если оптимальное решение существует и единственно, то оно лежит в вершине области допустимых значений (если существует множество оптимальных решений, то оно содержит по крайней мере одну угловую точку). Вершина многогранника, в которой целевая функция принимает максимальное значение, является оптимальным решением. Чтобы получить оптимальное решение задачи, необходимо осуществить перебор вершин и выбрать ту, в которой целевая функция принимает максимальное значение. В нашем примере оптимальным решение является вершина с координатами (5; 30).
Это положение лежит в основе симплекс-метода, позволяющего получить численное решение в задачах линейной оптимизации. Программа, реализующая процедуру симплекс-метода, будет использоваться нами для решения и анализа различных задач.
Оптимальное решение может быть не единственным. Так, например, если целевая функция в рассматриваемой задаче имеет вид 50 х X, + 25 х х2 ^ шах, то оптимальным решением задачи будет являться любая точка, лежащая на отрезке ВС (рис. 1.3).
Двойственные оценки. Рассмотрим двойственную задачу к сформулированной выше задаче планирования производства стройматериалов.
Формальная математическая модель записывается следующим образом:
400 х у, + 15 х у2 + 30 х у3 —> min;
(15)
20 х у, + у2 > 50;
(16)
10 х у, + уз > 40;
(17)
у, > 0, у2 > 0, Уз > 0..
(18)
Переменные модели у,, у2, у3 называются двойственными переменными. Каждая двойственная переменная соответствует одному ограничению в прямой задаче. Оптимальные значения двойственных переменных характеризуют скорость изменения целевой функции (10) прямой задачи при изменении правой части соответствующего ограничения.
В нашем примере двойственные оценки показывают, на какую величину возрастает прибыль, если объем соответствующего ресурса увеличится на единицу. Их значения: у, = 2,5; у2 = 0; Уз = 15. Это означает, что дополнительный час рабочего времени приносит 2,5 руб. прибыли; а увеличение производственной мощности по пенопласту на 1 т приводит к повышению прибыли на 15 руб. Равенство нулю двойственной оценки у2 ограничения (12) прямой задачи показывает, что производственные мощности для изготовления жидкого стекла не являются лимитирующими. Их расширение не приведет к росту прибыли в оптимальном плане.
Величины двойственных оценок характеризуют предельный уровень цен, по которым кооперативу имеет смысл покупать производственные ресурсы, чтобы выпуск продукции (в соответствии с оптимальным планом) оставался выгодным. Так, например, двойственная оценка ограничения (13) на производственную мощность по выпуску пенопласта, равная 15 руб., определяет верхнюю границу затрат на увеличение мощностей на одну тонну. Если дополнительная единица производственной мощности (1 т) будет обходиться дороже 15 руб., то расширение мощностей невыгодно.
Двойственную задачу можно интерпретировать следующим образом. Известна прибыльность и удельный расход ресурсов
(труда и производственных мощностей) по каждому виду стройматериалов, а также общий объем имеющихся в наличии ресурсов. Необходимо рассчитать цены ресурсов так, чтобы суммарные издержки на производство, исчисленные в этих ценах, были минимальными. Такая Задача может оказаться весьма актуальной, например, при расчете арендной платы за использование оборудования и заработной платы рабочих.
Целевая функция (15) определяет суммарные издержки на выпуск стройматериалов. Согласно ограничениям (16), (17) цены на ресурсы нужно выбирать так, чтобы удельные затраты ресурсов, исчисленные в этих ценах (левые части ограничений), были бы не ниже удельной прибыли от выпуска соответствующего стройматериала (правые части ограничений).
Пример 2. Сколько производить?
Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства 2-х видов продукции. Ниже указаны затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов.
Ресурс
Расход ресурса
Запас ресурса
продукт 1
продукт 2
Сырье, т
3
5
120
Трудозатраты,ч
14
12
400
Прибыль на единицу продукта, тыс. руб./ т
30
35
Ответьте на следующие вопросы.
Сколько единиц продукта 1 следует производить для того, чтобы предприятие могло получить максимальную прибыль?
Сколько единиц продукта 2 следует производить для того, чтобы предприятие могло получить максимальную прибыль?■
Чему равна максимальная прибыль?
На сколько возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья увеличатся на 1 т?
На сколько возрастет максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 ч до 500 ч?
Решение
Пусть Х| — объем выпуска продукта 1 (в тоннах), х2 — объем выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описана в виде следующей модели линейного программирования:
ЗОх, + 35х2 -> max;
Зх, + 5х2 < 120; 14х, + 12х2 < 400; х, > 0; х2 > 0.
Для решения задачи здесЬ и далее используем пакет «РОМfor WINDOWS» (далее — POMWIN). Исходную информацию для решения этой задачи можно представить слежующим образом.
Продукт 1
Продукт 2
Знак ограничения
Запас ресурса (RHS)
Maximize
30
35
Сырье
3
5
<=
120
Трудозатраты
14
12
400
Результат решения этой задачи представлен в следующей таблице. В нижней строке указаны объемы выпуска каждого продукта, удовлетворяющие ограничениям на ресурсы и обеспечивающие максимальную прибыль.
Продукт 1
Продукт 2
Знак ограничения
Залас ресурса (RHS)
Двойственная оценка (Dual)
Maximize
30
35
Сырье
3
5
120
3,82
Трудозатраты
14
12
<=
400
1,32
Solution
16,47
14,12
988,24
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 16,47 т продукта 1.
Ответ на вопрос 2
Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 14,12 т продукта 2.
Ответ на вопрос 3
Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. руб.
В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки для каждого ограничения. Так, величина 3,82 показывает, что при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное значение целевой функции для нового оптимального плана увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. руб. Аналогично можно интерпретировать значение двойственной оценки 1,32 для второго ресурса.
Ответ на вопрос 4
Если запасы сырья увеличатся на 1 т, то максимальная прибыль возрастет на 3,82 тыс. руб.
Ниже в таблице содержится дополнительная информация, предоставляемая пакетом «POMWIN». Два правых столбца таблицы указывают на границы устойчивости по значениям ко- • эффициентов целевой функции и правых частей ограничений. Так, если прибыль, получаемая от реализации 1 т продукта 1 изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83 тыс. руб., количество продукта I в оптимальном плане не изменится. Если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71 до 166,66 т, двойственная оценка этого ресурса не изменится.
Variable
Value
Reduced Cost
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Продукт 1
16,47
0
30
21
40,83
Продукт 2
14,11
0
35
25,71
50
Constraint
Dual Value
Slack / Surplus
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Сырье
3,82
0
120
85,71
166,66
Tрудозатраты
1,32
0
400
288
560
Аналогично, если допустимый объем трудозатрат изменится в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ресурса не изменится.
Ответ на вопрос 5
Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. руб.
Пример 3. Производить или покупать?
Фирма «Л. Nirsha & Со» производит два типа химикатов. На предстоящий месяц фирма заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов.
Тип химикатов
Продажи по контракту, т
1
100
2
120
Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже указан фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе (ч/т).
Реактор
Время на обработку 1 т химикатов, ч
Фонд времени, ч
тип 1
тип 2
1
4
2
300
2
3
6
400
Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма «Л. Nirsha & Со» не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Но если она купит какое-то количество этих химикатов у других производителей, то сможет выполнить взятые на себя обязательства. Далее приведены затраты на производство химикатов самой фирмой «Л. Nirsha & Со» и на покупку их у других фирм.
Тип химикатов
Затраты на производство, тыс. руб./т
Затраты на закупку, тыс. руб./т
1
35
45
2
56
66
Цель фирмы «Л. Nirsha & Со» состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько купить у других фирм для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками. .
Ответьте на следующие вопросы.
Сколько химикатов типа I следует производить фирме «А. Nirsha & Со»?
Сколько химикатов типа 2 следует производить?
Сколько химикатов типа 1 следует закупать у других фирм?
Сколько химикатов типа 2 следует закупать у других фирм?
Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?
Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 у других фирм, если их цена возрастет до 75 тыс. руб. за тонну?
На сколько увеличатся минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч?
Решение
Модель линейного программирования. Опишем переменные
модели:
%, — количество продукта 1, производимого компанией;
г, — количество продукта 1, закупаемого компанией;
х2 — количество продукта 2, производимого компанией;
г2 — количество продукта 2, закупаемого компанией.
Исходные данные задачи можно представить в виде следующей таблицы.
Целевая функция
35 х, + 56х2 + 45zi + 66 z2 -> min
Ресурсные ограничения реактор 1 реактор 2
4Xi + 2x2 — 300
Зх! + 6x2 < 400
Ограничения на спрос: продукт 1 продукт 2
x, + z, = 100 x2 + z2 = 120
Условия неотрицательности переменных х, > 0; х2 > 0; ^ > 0; г2 > 0..
В следующей таблице приведена исходная информация, подготовленная для расчетов в «POMWIN».
Переменные
х,
х2
Zt
^2
Знак ограничения
RHS
Minimize
35
56
45
66
Реактор 1
4
2
0
0
<=
.300
Реактор 2
3
' 6
0
0
<=
400
Химикат 1
1
0
1
0
100
Химикат 2
0
1
0
1
=
120
Далее приведены результаты расчетов.
Переменные
Х7
х2
Z<
7.2
Знак ограничения
RHS
Dual
Minimize
35
56
45
66
Реактор 1
4
2
0
0
<=
300
1,66
Реактор 2
3
6
0
0
<=
400
1,11
Химикат 1
1
0
1
0
=
100
-45
Химикат 2
0
1
0
1
120'
-66
Solution —>
55,55
38,89
44,44
81,11
11 475,56
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Фирме следует производить 55,55 т химикатов типа 1.
Ответ на вопрос 2
Фирме следует производить 38,89 т химикатов типа 2.
Ответ на вопрос 3
Фирме следует закупать 44,44 т химикатов типа 1.
Ответ на вопрос 4
Фирме следует закупать 81,11 т химикатов типа 2.
Ответ на вопрос 5
Минимальные издержки на выполнение контракта равны 11 475,56 тыс. руб.
Далее приводятся двойственные оценки и границы устойчивости. Согласно полученным результатам, оптимальный план не изменится, если изменение закупочной цены на химикат типа 2 останется в пределах от 61 до 76 тыс. руб. (ее фактическое значение 66 тыс. руб.).
Variable
Value
Reduced Cost
Original Value
Lower
Bound
Upper Bound
Xi
55,55
0
35
25
40
х2
38,88
0
56
46
61
z.
44,44
0
45
40
55
z2
81,11
0
66
61
76
Constraint
Dual Value
Slack/ Surplus
Original Value
Lower
Bound
Upper Bound
Реактор 1
1,66
0
300
133,33
433,33
Реактор 2
1,11
0
400
225
765
Химикат 1
-45
0
100
55,55
Infinity
Химикат 2
-66
0
120
38,88
Infinity
Ответ на вопрос 6
Если закупочная цена химиката 2 возрастет до 75 тыс. руб. за тонну, то изменять объем его закупок не следует.
Данные из результирующей таблицы показывают, что изменение ресурса времени работы реактора 2 в пределах от 225 до 765 не приведет к изменению двойственной оценки соответствующего ограничения.
Ответ на вопрос 7
Если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч, то минимальные издержки фирмы увеличатся на 111 тыс. руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Задача линейного программирования имеет вид:
Юх, + 15х2 -* min;
4Х| + Зх2 480;
2х, + Зх2 > 360;
X] > 0, х2 > 0.
Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно-.
1600; 2) 1200; 3) 1440; 4) 1800; 5) 1520.
Вопрос 2
Рассмотрим задачу линейного программирования:
12х + Юу -> max;
4х + Зу < 480;
2х + Зу < 360;
х > 0, у > 0.
Какая из следующих точек с координатами (х, у) не является допустимой-.
(0,100); 2) (100, 10); 3) (70, 70); 4) (20, 90); 5) ни одна из указанных выше.
Вопрос 3
Рассматривается задача оптимизации плана производства двух видов изделий х, и х2, проходящих обработку в двух цехах. Критерий — максимум прибыли (прибыль измеряется в рублях). Ресурсным ограничением является фонд рабочего времени. Задача дана в стандартной форме. После расчетов по программе «POMWIN» были получены следующие результаты.
Variable
Value
Reduced Cost
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Х1
70
0
1500
1333,333
2000
Х2
20
0
2000
1500
2250
Constraint
Dual Value
Slack 1 Surplus
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Цех 1
833,3
0
120
108
162
Цех 2
500
0
90
66,6
100
Анализ полученной информации позволил сделать заключение о том, что:
мощности первого цеха недогружены;
при увеличении прибыли от изделия х, на 120 руб. план выпуска данного изделия следует изменить на 108 единиц;
увеличение фонда рабочего времени во втором цехе на 3 ч приведет к увеличению прибыли на 60 руб.;
уменьшение прибыли от изделия х2 на 100 руб. не изменит план выпуска данного изделия;
для изменения плана выпуска изделия х, прибыль должна возрасти на 162 руб.
Вопрос 4
Рассматривается задача оптимизации плана производства нефтепродуктов. Объем производства измеряется в тоннах. Решается задача минимизации издержек. Учитывается ограничение на время использования оборудования. В каких единицах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого ограничения?
Возможные ответы:
1) т/ч; 2) ч/т; 3) руб./т; 4) т/руб.; 5) руб./ч.
Вопрос 5
Рассматривается задача оптимизации плана производства двух видов изделий х, и х2, проходящих обработку в двух цехах. Критерий — максимум прибыли (прибыль измеряется в рублях). Ресурсным ограничением является фонд рабочего времени. Задача дана в стандартной форме. После расчетов по программе «POMWIN» были получены следующие результаты.
Variable
Value
Reduced Cost
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
х.
3000
0
10
2,7
Infinity
х2
0
11
4
-Infinity
15
Constraint
Dual Value
Slack 1 Surplus
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Цех 1
500
0
60
0
70
Цех 2
0
10
70
60
Infinity
Анализ полученной информации, позволил сделать заключение о том, что:
с увеличением фонда рабочего времени во втором цехе на
3 ч прибыль останется без изменений;
мощности первого цеха недогружены;
при увеличении прибыли от изделия х, на 5 руб. план выпуска данного изделия следует изменить на 10 единиц;
при увеличении прибыли от изделия х2 на 2 руб. следует изменить план выпуска данного изделия;
для изменения плана выпуска изделия х, прибыль должна возрасти на 10 руб.
Вопрос 6
Задача линейного программирования имеет вид:
Юх, + 20х2 min;
4Х| + Зх2 > 480;
4х, + 5х2 > 360;
X, > 0, х2 > 0.
Выберите, чему равно оптимальное значение целевой функции в этой задаче:
1600; 2) 1200; 3) 1440; 4) 1800; 5) 1520.
Вопрос 7
Рассматривается задача оптимизации производственной программы. Критерий — максимум прибыли. Оптимальное значение критерия — 100. Двойственная оценка ограничения по трудозатратам равна 0,5; по объему производства — 1,5. Чему будет равна максимальная прибыль, если общий объем трудозатрат сократится на 30 единиц?
Возможные ответы;
1)85; 2)90; 3)95; 4)100; 5)110.
Вопрос 8
Для всякого ли многогранника существует задача линейного программирования, допустимым множеством которой он является?
Возможные ответы;
да, для всякого;
нет, только для многогранника, имеющего более трех вершин;
нет, только для многогранника с положительными координатами вершин;
нет, только для выпуклого многогранника с неотрицательными координатами вершин;
нет, только для выпуклого многогранника.
Вопрос 9
Какое из следующих утверждений истинно?
Допустимое решение задачи линейного программирования;
должно одновременно удовлетворять всем ограничениям задачи;
должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем, ограничениям задачи;
должно быть вершиной множества допустимых решений;
должно обеспечивать наилучшее значение целевой функции;
не удовлетворяет указанным выше условиям.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Василий Иванов — владелец небольшого мебельного цеха. Цех производит столы трех моделей: А, Б и В. Каждая модель требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производство заготовок, сбор заготовок и покраска.
Василий имеет возможность продать всю произведенную продукцию. Больше того, модель В может быть продана и без покраски. При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за штуку. Василий нанимает необходимое число рабочих, которые работают у него по совместительству, поэтому трудозатраты на каждый вид работ меняется от месяца к месяцу.
Постройте модель линейного программирования, которая помогла бы Иванову найти программу выпуска продукции, способную максимизировать прибыль от производства столов в следующем месяце. Предполагается, что по каждому виду работ возможны трудозатраты до 100 чел. х ч. В таблице указано время, необходимое для выполнения операций по производству столов каждого вида и прибыль, которая может быть получена от реализации каждого изделия.
Заготовка, ч
Сборка, ч
Покраска, ч
Прибыль, руб.
5
2
5
450
1
2
5
400
4
5
6
500
Ответьте на следующие вопросы:
Какую максимальную прибыль может получить Василий в течение месяца (в руб.)?
Сколько столов модели А следует производить?
Следует ли продавать неокрашенные столы типа В (да — 1, нет — 0)?
На сколько увеличится максимальная прибыль (в руб.), если допустимый объем трудозатрат на этапе сборки возрастет на 10%?'.
На какую минимальную величину должна возрасти прибыль (в руб.) от производства и продажи окрашенного стола модели В, чтобы стало выгодно их производить?
Задача 2
После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко» испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов.
Производство мангалов ограничивается мощностью участка производства деталей, участка сборки и участка упаковки. В таблице приведены данные показывающие, какие трудозатраты возникают на каждом участке на каждую единицу продукции, а также допустимый ежемесячный объем трудозатрат.
Участок
Трудозатраты
Фонд времени, чел. х ч
на угольный мангал
на газовый мангал
Производство
5
8
2600
Сборка
0,8
1,2
400
Упаковка
0,5
0,5
200
Фирма «Давидко» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Давидко» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы «Давидко» состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.
Ответьте на следующие вопросы.
Каковы минимальные издержки на выполнение контракта (в тыс. руб.)?
Сколько угольных мангалов следует ежемесячно производить фирме «Давидко»?
Сколько газовых мангалов следует ежемесячно производить фирме «Давидко»?
Сколько газовых мангалов следует приобретать?
Следует ли сохранить объемы производства и закупок газовых мангалов, если компания, выполняющая заказы для фирмы «Давидко», поднимет цену на газовые мангалы до 5,5 тыс. руб., (да — I, нет — 0)?
Задача 3
Компания «Видео», производитель видеомагнитофонов, планирует производство и запасы продукции на первое полугодие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие шесть месяцев отражен в таблице. Компания «Видео» хотела бы иметь такой план, который не предусматривал бы отсрочки поставок.
Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость продукции (затраты на единицу продукции) изменяется от месяца к месяцу. Максимальный уровень производства компании «Видео» также колеблется из месяца в месяц из-за неравномерного ремонта оборудования и числа рабочих дней в месяце.
Компания не проводит политику частого изменения числа рабочих. Поэтому, чтобы предотвратить простои, она устанавливает минимальный уровень производства, составляющий 50% максимального уровня. В таблице представлены также максимальный и минимальный уровни запасов на каждый месяц.
Месяц
Прогноз спроса
Себестоимость 1 ед. продукции, РУб.
Максимальный объем производства
Максимальный уровень запасов
Минимальный уровень запасов
Январь
1000
460
7000
7000
2500
Февраль
4000
470
5000
7000
2500
Март
6000
480
4000
7000
2500
Апрель
5000
' 500
8000
7000
2500
Май
3000
500
6000
7000
2500
Июнь
2000
500
3000
7000
2500
Предполагаемый запас видеомагнитофонов на 1 января составил 3500 штук. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддерживать, —'2500 штук; это означает, что в конце каждого месяца 2500 штук видеомагнитофонов должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако плошади складов позволяют хранить
7000 магнитофонов (это отражено в предпоследнем столбце таблицы).
Бухгалтерия компании «Видео» подсчитала, что хранение одного видеомагнитофона на складе обходится в 8 руб. в месяц. Чтобы подсчитать затраты на хранение всех магнитофонов, нужно их количество определять как среднемесячное, т.е. среднее между запасами на начало и конец месяца, и умножить это значение на 8.
Задача состоит в том, чтобы определить объемы производства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) минимальны при условии удовлетворении спроса на продукцию без отсрочки поставок.
Ответьте на следующие вопросы;
Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?
Каков запас на складе на конец апреля?
Каковы минимальные издержки на выполнение контракта (в тыс. руб.)?
СИТУАЦИИ
Ситуация 1. Производство обмоточной проволоки
Ярослав Алексеев работает в фирме «Электрокабель» в качестве стажера-менеджера. Поработав неделю на заводе и встречаясь по службе со многими людьми, ему удалось получить общее представление о процессе производства.
Один из основных видов продукции, выпускаемой фирмой «Электрокабель», — обмоточная проволока. Она используется в производстве электрических трансформаторов. Эдуард Третьяков, менеджер, отвечающий за контроль производства, описал Алексееву стандартную процедуру обмотки. Последовательность производства проволоки следующая: чертеж, протяжка, наматывание, осмотр и упаковка. После прохождения технического контроля хороший товар упаковывается и отсылается на склад готовой продукции, а дефектная продукция хранится отдельно до тех пор, пока не будет отдана на переработку.
В понедельник Борис Лагутин, первый вице-президент фирмы «Электрокабель» попросил персонал собраться в его кабинете в 13 часов.
«Ну что ж, давайте начнем», — сказал Лагутин, открывая собрание. «Вы уже знакомы с Ярославом Алексеевым, нашим новым менеджером-стажером. Ярослав закончил магистратуру экономического факультета РУДН, поэтому я думаю, что он достаточно компетентен, чтобы помочь нам разобраться с проблемой, которую мы не можем решить уже длительное время. Я уверен, что каждый из вас согласится помочь Ярославу разобраться в ситуации».
Лагутин обратился к Эдуарду Третьякову, менеджеру, отвечающему за производственный контроль. «Эдуард, почему бы тебе не описать вкратце проблему, с которой мы столкнулись». «Ну, дела сейчас идут хорошо, — начал Третьяков, — мы получаем больше заказов, чем можем выполнить. В течение нескольких месяцев нам еще удастся решать проблемы за счет использования нового оборудования, но уже в апреле это нам не поможет. Я связался с несколькими работниками из чертежного отдела, которых мы сократили в прошлом году, и собираюсь снова пригласить их на работу по совместительству, чтобы повысить на этом участке объем производства. Так как планируется рефинансировать нашу долгосрочную задолженность по предоставленным нам кредитам, то необходимо оценить величину апрельской прибыли.
Я нахожусь в затруднительном положении, подсчитывая и оценивая, какие заказы осуществлять, а какие отложить, поэтому надо сформировать настолько хороший план производства, насколько это возможно. Надеюсь, Ярослав Алексеев сможет мне помочь?»
Ярослав был удивлен и несколько озадачен, получив такое важное поручение в самом начале своей карьеры. Сдержав свое волнение, он сказал: «Дайте мне данные и через один-два дня я дам вам ответ». Ему были предоставлены следующие данные. ■
Продукт
Объем заказов на апрель, ед.
NW0075C
1400
NW0033C
250
NW0005X
1510
NW 0007X
'1116
Примечание. Борис Лагутин дал слово основному поставщику, что фирма произведет для него в апреле 600 ед. (катушек) продукта NW0007^ и 150 ед. продукта NW0075 С.
Продукт
Материал
Труд ^производство')
Труд (контроль-)
Цена продажи
Средние издержки, руб./ед.
Л/И/0075С
330
99,0
231,0
1000
Л/И/0033С
250
75,0
175,0
800
Л/И/0005Х
350
105,0
245,0
1300
Л/И/0007Х
750
112,5
637,5
1750
Процесс
Продукт
Чертеж
Протяжка
Наматывание
Упаковка
Трудоемкость, ч/ед.
NW0075C
1
1
1
1
Л/И/0033С
2
1
3
0
Л/И/0005Х
0
4
0
3
Л/И/0007Х
1
1
0
2
Примечание. Объем работы по контролю качества не является проблемой, так как коллектив может работать сверхурочно, чтобы приспособиться к любому графику.
Средняя производственная выработка в месяц — 2400 ед.
Среднее использование машинного времени — 63%.
Средний процент посланной на переработку продукции — 5% (большей частью из намоточного отдела).
Средний отказ, число единиц брака, которые могут быть направлены на переработку, — 850 (большей частью из намоточного отдела).
Используя пакет «POMWIN» проведите детальный анализ проблемы.
Ответьте на следующие вопросы-.
Какие рекомендации должен дать Ярослав Алексеев? Предоставьте необходимые таблицы и графики для обоснования решения.
Есть ли необходимость в использовании временных работников в чертежном отделе?
Есть ли необходимость в использовании временных работников в отделе упаковки?
Следует ли расширять парк машин?
Ситуация 2. Западно-сибирская корпорация «Химикаты и удобрения»
В Декабре 2004 г. Василий Маслов, генеральный директор западно-сибирского отделения корпорации «Химикаты и удоб-
рения», получил письмо от Юрия Черноусова из компании «Сибирьгаз» — поставщика природного газа для корпорации. В письме находилось уведомление о новом порядке подачи природного газа. «Сибирьгаз» сокращала поставки газа на 40% в течение зимних месяцев. Одобрение Федеральной комиссии по энергетике было уже получено.
Сокращение подачи газа подчинялось следующим приоритетам (от самого нежелательного до более приемлемого): 1) отопление жилья и рабочих мест;
коммерческие пользователи, использующие природный газ в качестве сырья;
коммерческие пользователи, использующие природный газ в качестве промышленного топлива.
Практически все производство корпорации подпадало под приоритеты 2 и 3, следовательно, сокращение поставок было неминуемым.
Причины происходящего сокращения поставок природного газа были следующими.
Во-первых, «Сибирьгаз» является частью системы газопроводов, по которым газ поставляется для отопления жилья и рабочих мест на Дальний Восток и в Казахстан. Следовательно, зимой ожидается рост потребления газа. Во-вторых, спрос на природный газ постоянно увеличивался, потому что газ — самое экологически чистое и наиболее эффективное топливо. При его использовании исчезают проблемы с загрязнением окружающей среды, камеры сгорания загрязняются меньше, а компьютеризированный контроль за сжиганием газа проще, чем при других видах топлива. В-третьих, добыча газа уменьшилась — традиционно низкая цена на газ не стимулировала разработку новых месторождений.
Руководство корпорации «Химикаты и удобрения» знало о возможных сокращениях подачи газа и разрабатывало способы замены газа нефтью и углем. Однако их исследования все еще находились в стадии разработки, поэтому незамедлительно требовался план для минимизации негативных последствий сокращения поставок газа для заводов корпорации. Федеральная комиссия по энергетике и компания «Сибирьгаз» предоставили самой корпорации решать, как ей перераспределить поставки между заводами, а Юрий Черноусов из компании «Сибирьгаз» добавил: «Это ваш пирог, и нам все равно, как вы его разделите, если он станет меньше».
Этим пирогом стал газ для шести западно-сибирских заводов корпорации «Химикаты и удобрения». Заводы выпускали следующую продукцию, которая требовала значительных затрат газа: фосфорную кислоту, мочевину, фосфат аммония, нитрат аммония, хлор, каустическую соду, мономер винилхлорида, гидрофосфорную кислоту.
Корпорация провела совет технического персонала для того, чтобы обсудить возможные варианты перераспределения газа между производствами в случае сокращения подачи газа. Целью была минимизация потерь прибыли. После детального обсуждения принятие решения было отложено.
Двумя неделями позже совет возобновил работу. На этот совет были представлены данные в виде таблицы. Согласно контракту с компанией «Сибирьгаз» корпорация потребляла 36 х Ю6 м3 природного газа в неделю для всех шести заводов. Технологически допустимый минимум производства каждого продукта составляет 30% проектной мощности.
Совет предложил новую модель потребления газа, которая установила изменения объемов производства при сокращении поставок природного газа.
Продукты
Цена за 1 т, руб.
Проектная мощность производства, т в неделю
Эффективная (максимально возможная) норма производства, % проектной мощности
Потребление газа, 1000 м3 на т
Фосфорная кислота
600
400
80
5,5
Мочевина
800
250
80
7,0
Фосфат аммония
900
300
90
8,0
Нитрат аммония
1000
300
100
10,0
Хлор
500
800
60
15,0
Каустическая сода
500
1000
60
16,0
Мономер винилхлорида
650
500
60
12,0
Гидрофосфорная кислота
700
400
80
11,0
Ответьте на следующие вопросы".
Постройте модель и найдите объемы производства при сокращении поставок газа:
а) на 20 %; б) на 40 %.
Постройте график функции, характеризующей зависимость величины дохода от объема поставок газа.
Объясните, какой продукт требует наибольшего внимания с точки зрения энергосбережения.
Какие проблемы можно предвидеть, если производство не будет сокращено запланированным образом?
Какое влияние окажет сокращение поставок газа на прибыль компании?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы 1-4, 2-3, 3-4, 4-3, 5-1, 6-2, 7-1, 8-4, 9-1.
Ответы на задачи
Задача 1
12 000 руб.
8.
Следует.
На 500 руб.
Не менее чем на 182,5 руб.
Задача 2
1700 тыс. руб.
200.
200.
100.
Нет, объемы производства и закупок следует изменить. Задача 3 1. 4000.
2500.'
9840 тыс. руб.
Глава 2
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач оптимального смешения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложения модели линейного программирования. Модели оптимального смешения имеют много общего с моделями оптимального планирования производства, но в то же время имеют и свои характерные особенности.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
смесь;
ингредиент смеси;
компонента смеси;
рецепт смешения.
МОДЕЛИ
Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь определенные свойства, которые определяются свойствами исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимостные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Задачи оптимального смешения встречаются
во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство и др.). Например, необходимо составить кормовой рациона скота на животноводческих фермах или разработать рецептуру шихты на металлургическом производстве.
Однопродуктовые модели оптимальногосмешения
Модель Л
^CyX^min;(I)
./ = 1
п
lLaiixj
i = 1, .
.., т;
(2)
7 = 1
Ху > 0,
j = V
..., я,
(3)
гдеп —число исходных ингредиентов;
т —число компонент в смеси;
Xj —количество ингредиента j, входящего в смесь;
а^ —доля компоненты / в ингредиенте j;
Cj — стоимость единицы ингредиента j;
b, — минимально допустимое количество компоненты i в смеси;
— целевая функция (минимум затрат на получение смеси);
— группа ограничений, определяющих содержание компонент в смеси;
— ограничения на неотрицательность переменных.
Также в задаче могут присутствовать ограничения на общий объем смеси и ограничения на число используемых ингредиентов. Эти группы ограничений и ограничения вида (2) характерны для задачи планирования производства, рассмотренной в главе 1.
Модель В
^CjXj^mm;(4)
7 = 1
£ кау - b^Xj > О, / = 1, .,., т;(5)
7 = 1'
Е drjXj > О, г = 1, ..., w;(6)
7 = 1
i = i;
Xj > 0, j = 1,/7,
где л —число исходных ингредиентов;
т —число компонент в смеси;
w — число условий, отражающих содержание ингредиентов в смеси;
Xj —количество ингредиента j, входящего в смесь;
ац —доля компоненты / в ингредиенте j;
bj —минимально допустимая доля компоненты / в смеси;
Cj —стоимость единицы ингредиента у;
drj —коэффициент, отражающий условие г на содержание ингредиента j в смеси;
— целевая функция (минимум затрат на получение смеси);
— группа ограничений, определяющих содержание компонент в смеси;
(6)—группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси.
Ограничения вида (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей в этих ограничениях равны нулю. Вектор х = (х,, х2, ... , х„), являющийся решением этой оптимизационной задачи, называют рецептом приготовления смеси, или рецептом смешения.
Многопродуктовые модели оптимальногосмешения
В многопродуктовых задачах ингредиенты используются для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной xkjрассматривается количество ингредиента у, используемое для приготовления смеси к. Критерии задачи — максимизация прибыли.
Модель С
к = 1, ..., s;к = 1, ..., s;(7)(8)(7)(8)Ц(Рк ~ CjXj -> max;
к = 1, ..., s;
к = 1, ..., s;
(7)
(8)
(7)
(8)
к = I j = I
f^. -/^Jx^ > 0,/ = 1, ..., m,
i = \
(9)(9)£ drkjxkj > 0, г = 1, w, к = 1, ..., s; 7 = 1
(9)
(9)
Z xkj иг k = v —
j = \
xkj > О, у = 1, n, к = 1,5,
где n — число исходных ингредиентов;
т —число компонент в смеси;
w — число условий, отражающих содержание ингредиентов в смеси;
5 —число смесей;
xkj —количество ингредиента у, входящего в смесь к;
ац —доля компоненты / в ингредиенте у;
bik — минимально допустимая доля компонента / в смеси к;
Cj —стоимость единицы ингредиента у;
рк — стоимость единицы смеси к;
drkj■ — коэффициент, отражающий условие г на содержание ингредиента у в смеси к;
Uj —количество ингредиента у;
— целевая функция (максимум прибыли);
— группа ограничений, определяющих содержание компонент в смеси;
— группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси.
ПРИМЕР
Сочинский винный завод производит две марки сухого вина: «Черный лекарь» и «Букет роз». Оптовые цены за 1 литр, по которым реализуется-готовая продукция, равны 68 и 57 руб., соответственно. Для приготовления этих вин используются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за 1 литр. В среднем сочинский винзавод получает ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.
В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. В вине «Букет роз» красного вина должно быть не более 60%, а белого — не менее 15%.
Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу максимальную прибыль.
Ответьте на следующие вопросы;
Какую максимальную прибыль можно получить за I день?
Сколько вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?
Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?
Сколько вина «Букет роз» следует производить ежедневно?
Сколько процентов розового вина должен содержать «Букет роз»?
На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?
На сколько уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л?
Решение
Пусть xkj — количество ингредиента j (j = 1, 2, 3), входящего в смесь к(к = 1,2). Например, х23 — количество красного вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Букет роз». Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид.
Критерий максимизации прибыли:
(68 - 70)Х] । + (68 - 50)х|2 + (68 - 40)х|3 + (57 - 70)х21 +
+ (57 - 50)х22 + (57 - 40)х23 -> max.
Ограничения на поставки ингредиентов:
хн + х21 < 2000;
х|2 + х22 < 2500;
Х|3 + х23 < 1200.
Ограничения, отражающие условия на содержание ингредиентов в смеси:
хи > 0,6(Хц + х12 + х|3); х-|3 < 0,2(хц + х|2 + х|3); х23 < 0,6(х2) + х22 + х23); х2| > 0,15(х2| + х22 + х23)
Эти ограничения можно записать в виде:
0,4^| । + 0,6Х|2 + 0,6Х|3 < 0;
0,2хи -0,2Х|2 + 0,8Х|3 < 0;
0,бх2| - о,бх22 + о,4^?з - 0;
0,85х2| + 0,15х22 + 0,15х23 < 0.
Кроме того, к модели следует добавить ограничения на неотрицательность переменных.
Используя пакет «POMWIN», исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы.
X11
X12
X,3
x2i
X22
X23
Знак ограничения
RHS
Maximize
-2
18
28
-13
7
17
Constraint 1
1
0
0
1
0
0
2000
Constraint 2
0
1
0
0
1
0
2500
Constraint 3
0
0
1
0
0
1
<=
1200
Constraint 4
-0,4
0,6
0,6
0
0
0
<=
0
Constraint 5
-0,2
-0,2
0,8
0
0
0
0
Constraint 6
0
0
0
-0,6
-0,6
0,4
0
Constraint 7
0
0
0
-0,85
0,15
0,15
<=
0
Решая эту задачу, получаем следующий результат.
Maximize
-2
18
28
-13
7
17
Знак ограничения
Constraint 1
1
0
0
1
0
0
2000
7,8
Constraint 2
0
1
0
0
1
0
2500
3,3
Constraint 3
0
0
1
0
0
1
<=
1200
13,3
Constraint 4
-0,4
0,6
0,6
0
0
0
<=
0
24,4
Constraint 5
-0,2
-0,2
0,8
0
0
0
0
0
Constraint 6
0
0
0
-0,6
-0,6
0,4
0
0
Constraint 7
0
0
0
-0,85
0,15
0,15
<=
0
24,4
Solution ->
1526,7
1017,8
0
473,3
1482,2
1200
39 888,9
Дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений содержится в следующей таблице.
Constraint
Dual Value
Slack/Surplus
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Constraint 1
7,8
0
2000
652,9
3300
Constraint 2
3,3
0
2500
1633,3
10 133,3
Constraint 3
13,3
0
1200
0
4666,7
Constraint 4
24,4
0
0
-538,8
520,0001
Constraint 5
0
508,9
0
- 508,9
Infinity
Constraint 6
0
693,3
0
-693,3
Infinity
Constraint 7
24,4
0
0
-1145
4
Таким образом, максимальная ежедневная прибыль винного завода достигает 39 888,9 руб. При этом производится 1526,7 + 1017,8 = 2544,5 л вина «Черный лекарь» и 473,3 + 1482,2 + + 1200 = 3155,5 л вина «Букет роз». Поставляемые ингредиенты используются полностью.
Процент белого вина в вине «Черный лекарь» составляет 1526,7 : 2544,5 = 0,6.
Процент розового вина в вине «Букет роз» 1482,2 : 3155,5 = 0,47.
Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 13,3, определяем, что прибыль увеличится на 13,3 х 100 = 1330 руб. Заметим, что объем поставок красного вина при этом остается в границах устойчивости решения.
Если закупки белого вина будут сокращены до 1800 л в день, прибыль уменьшится на 7,8 х 200 = 1560 руб. Заметим, что объем поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Максимальная прибыль составляет 39 889,9 руб.
Ответ на вопрос 2
Ежедневно следует производить 2544,5 л вина «Черный лекарь».
Ответ на вопрос 3
Вино «Черный лекарь» должно содержать 60% белого вина.
Ответ на вопрос 4
Ежедневно следует производить 3155,5 л вина «Букет роз».
Ответ на вопрос 5
Вино «Букет роз» должно содержать 47% розового вина.
Ответ на вопрос 6
Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то прибыль винного завода увеличится на 1330 руб.
Ответ на вопрос 7
Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то прибыль завода уменьшится на 1560 руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Определить объемы производства четырех видов лакокрасочных изделий, в состав которых входят три ингредиента: олифа, краситель и белила. Объемы поставок ингредиентов ограничены. Спрос на готовую продукцию не ограничен. Требуется максимизировать прибыль от реализации выпускаемой продукции. Какое минимальное число переменных и ограничений содержит задача оптимального смешения?
Возможные ответы;
четыре переменных и три ограничения;
три переменных и четыре ограничения;
три переменных и двенадцать ограничений;
двенадцать переменных и три ограничения;
двенадцать переменных и четыре ограничения.
Вопрос 2
Для приготовления вина «Букет роз» используется смесь из белого и красного сухих вин. Белого вина в готовой смеси должно быть не более 30%. Пусть х— количество белого вина, которое следует использовать для приготовления смеси, у — количество красного вина. Тогда условие на содержание ингредиентов в готовой смеси может быть формализовано следующим образом.
Возможные ответы;
х < 30;
0,Зх < 0,7у;.
0,7х + 0,Зу < 0;
— 0,7х + 0,Зу > 0;
0,7х > 0,Зу.
Вопрос 3
Какая из следующих фраз правильно отражает результаты решения задачи оптимального смешения?
Возможные ответы:
Использованные для получения смеси компоненты не содержат необходимых ингредиентов.
Рецепт смешения предполагает использование четырех ингредиентов.
Для получения смеси надо использовать три компоненты.
Рецепт смешения предполагает использование трех компонент.
Рецепт смешения не предполагает использования этой компоненты для приготовления смеси.
Вопрос 4
В задаче смешения исходными ингредиентами являются бензины марок А, В и С, октановые числа которых 76, 93 и 98, соответственно. Октановое число смеси должно быть не менее 93.
Какое из неравенств правильно формализует это условие, если X], х2 и х3 — это количества бензина марок А, В и С, доступные для смешения?
Возможные ответы:
76х| + 93х2 + 98х3 > 93;
76х| + 93х2 + 98х3 < 93;
5х3 - 17Х| > 0;
17х| - 5х3 < 0;
76xj + 98х3 < 93.
Вопрос 5
Ингредиенты у, у = 1, ..., и, используются для приготовления смесей к, к = 1, ..., т. Пусть fy — количество ингредиента у, входящего в смесь к; ск — цена, по которой производитель продает готовую смесь к; Pj — цена, по которой закупается ингредиенту. Тогда критерий максимизации прибыли в задаче оптимального смешения будет иметь следующий вид.
Возможные ответы:
Tckxjk -> max;
к
Y^PjXjk -> max;
j
ILckxjk + YPixjk ->max; кj
'LPjXjk ~HckXjk -> max; jк
^kXjk "^PjXjk max. кj
ЗАДАЧИ
Задача 1
На кондитерской фабрике изготавливают два продукта, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Миндаль покупается фабрикой по цене 75 руб. за кг, фундук — 60 руб., арахис — 45 руб. Продукт 1 должен содержать не менее 12% миндаля и не более 18% фундука, продукт 2 — не менее 25% миндаля.
Цены готовых продуктов соответственно 70 и 65 руб. за 1 кг. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля — 33 кг, фундука — 80 кг, арахиса — 60 кг.
Ответьте на следующие вопросы.
Какое количество (кг) фундука следует использовать при производстве продукта 1?
Какое количество (кг) продукта 2 следует производить ежедневно, чтобы фабрика получала максимальную прибыль?
Каков общий объем (кг) ежедневно производимой продукции? 4. Какова максимальная прибыль (руб.)?
На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля на 5 кг?
Задача 2 .
Сочинский винный завод производит три марки сухого вина: «Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция, соответственно 68, 57 и 60 руб. за 1 л. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за 1 л. В среднем на сочинский винный завод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.
В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не больше 60% красного вина и не меньше 15% белого. Суммарное содержание красного и розового вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90%.
Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи», обеспечивающие заводу максимальную прибыль.
Ответьте на следующие вопросы.
Какую максимальную прибыль (в руб.) можно получить за 1 день?
Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?
Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?
Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?
Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить ежедневно?
Сколько процентов розового вина должны содержать «Белые ночи»?
На сколько возрастет прибыль завода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?
На сколько уменьшится прибыль завода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л?
СИТУАЦИЯ
Компания «Синьор Помидор»
2 сентября 2002 г. Михаил Горский — вице-президент компании «Синьор Помидор», пригласил начальника отдела сбыта, начальника отдела технического контроля и начальника производственного отдела, чтобы обсудить объемы заготовок консервов из помидоров. Закупленный на корню урожай томатов начал поступать на консервный завод, и операции по заготовке консервов должны были начаться в следующий понедельник. «Синьор Помидор» — средних размеров компания, занимающаяся производством и реали- зацйей различной продукции высшего качества из овощей и фруктов.
Владимир Панкратов, начальник ОТК, и Павел Лукин, отвечающий за сбыт, первыми пришли в офис вице-президента Горского. Несколькими минутами позже подошел начальник производственного отдела Василий Пузиков и заявил, что он захватил с собой последние результаты оценки качества поступающих томатов. Ожидаемый урожай — 3 млн кг. Согласно полученным данным, около 20% урожая имеет высшее качество «А», а оставшаяся часть — качество «В».
Горский поинтересовался у Лукина о спросе на продукцию из томатов на следующий год. Лукин заявил, что компания может продать столько томатов в собственном соку, сколько сможет произвести. В то же время ожидается, что спрос на томатный сок и томатную пасту будет ограничен. Начальник отдела сбыта предоставил последний прогноз спроса на продукцию фирмы. Он напомнил собравшимся, что цены на продукты, производимые компанией, были установлены, исходя из долгосрочной рыночной стратегии, и что прогноз будущих продаж основывается на этих ценах.
Прогноз спроса на продукцию компании
Продукт
Цена за 1 упаковку, руб.
Величина спроса, число упаковок
Томаты в собственном соку
40
800 000
Джем из персиков
54
10 000
Персиковый сок
46
5000
Томатный сок
45
50 000
Яблочный полуфабрикат
49
15 000
Томатная паста
38
80 000
После того, как Панкратов ознакомился с оценками спроса, сделанными Лукиным, он отметил: «Похоже, в следующем году у компании не будет-проблем с реализацией продуктов из томатов». Причем вычисления, проведенные с помощью недавно внедренной системы финансовых расчетов, показали, что удельная прибыль от производства томатов в собственном соку выше, чем от других продуктов из томатов. Ниже в таблице приведены полученные Лукиным результаты расчетов удельной прибыли для всех продуктов, производимых компанией. Эти расчеты были выполнены в мае 2002 г. сразу после того, как компания подписала контракт на закупку урожая томатов по цене в среднем 0,6 руб. за 1 кг.
Расчет удельной прибыли от продажи одной упаковки продукта, руб.
Томаты в собственном соку
Джем из персиков
Персиковый
* сок
Томатный сок
Яблочный полуфабрикат
Томатная паста
Цена продажи
40
54
46
45
49
38
Переменные издержки:
прямые трудозатраты
11,8
14,0
12,7
13,2
7,0
5,4
накладные расходы
2,4
3,2
2,3
3,6
2,2
2,6
расходы по реализации
4,0
3,0
4,0
8,5
2,8
3,8
упаковочный материал
7,0
5,6
6,0
6,5
7,0
7,7
сырье
10,8
18,0
17,0
12,0
9,0
15,0
Итого переменные издержки:
36,0
43,8
42,0
43,8
28,0
34,5
Прибыль
4,0
10,2
4,0
1,2
11,0
3,5
Последующие накладные расходы
2,8
7,0
5,2
2,1
7,5
2,3
Чистая прибыль
1,2
3,2
-1,2
-0,9
3,5
1,2
Данные о количестве сырья (свежих томатов), необходимого для производства одной упаковки продукции, приведены ниже в таблице.
Количество сырья для производства 1 единицы продукта
Продукт
Количество свежего сырья,'необходимого для производства 1 упаковки продукта, кг
Томаты в собственном соку
18
Томатный сок
20
Томатная паста
25
Василий Пузиков обратил внимание вице-президента на то, что, несмотря на имеющиеся резервы мощностей, нельзя производить только томаты в собственном соку, так как лишь небольшая часть урожая имеет качество «А». Компания использует шкалу количественных оценок качества как сырья,
так и готовой продукции. Это шкала от 1 до 10, причем чем выше номер, тем выше качество продукта. По этой шкале каждый килограмм томатов качества «А» оценивается в девять баллов, а томатов качества «В» — в пять баллов. Пузиков напомнил, что минимально допустимый уровень качества готовой продукциии — восемь баллов на 1 кг томатов в собственном соку и шесть баллов на 1 кг томатного сока. Томатная паста может производиться целиком из томатов качества «В». Это означает, что томатов в собственном соку может быть произведено не более 800 000 кг.
Вице-президент заявил, что не считает это реальным ограничением. Недавно он потерпел неудачу в попытке приобрести 80 000 кг томатов качества «А» по цене 0,85 руб. за 1 кг. Однако он считает, что томаты качества «А» еще можно купить. Лукин, проделавший в это время некоторые расчеты, сказал, что согласен с тем, что компанию ожидает благополучие, однако достичь его удастся не за счет продажи консервированных помидоров в собственном соку. Ему представляется, что издержки на закупку должны быть распределены не только с учетом количества, но и качества томатов. Результаты проведенных им расчетов предельной прибыли приведены далее в таблице. Из этих результатов следует, что компания должна использовать 2 млн кг томатов качества «В» для производства томатной пасты. Оставшиеся 400 000 кг томатов качества «В» и все томаты качества «А» следует использовать для производства томатного сока. Если прогноз спроса на продукцию компании оправдается, то переработка урожая томатов принесет компании 480 000 руб.
Предельная прибыль одной упаковки продукта, руб.
Томаты в собственном соку
Томатный сок
Томатная паста
Цена продажи
40
45
38
Переменные издержки (без учета стоимости сырья)
25,2
31,8
19,5
Прибыль
14,8
13,2 .
18,5
Стоимость сырья (томатов)
14,9
12,4
13,0
Предельная прибыль
-0,1
0,8
5,5
Пояснения. Пусть z — стоимость закупки 1 кг томатов качества «А», у — стоимость закупки 1 кг томатов качества «В». Решая систему двух линейных уравнений:
600 000г + 24 000 ОООу = 3 000 000 х 0,6
' = у’
9 5
получаем z = 0,932 руб., у = 0,518 руб.
Задания:
Структурируйте задачу. Постройте модель.
Определите наилучшую производственную стратегию компании.
Проанализируйте вариант, который предусматривает возможность приобретения фирмой дополнительно 80 000 кг томатов качества «А».
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 -4, 2-4, 3-2, 4-3, 5-4.
Ответы на задачи
Задача 1
15,4 кг.
86,1 кг.
171,8 кг.
1710,5 руб.
Прибыль не увеличится.
Задача 2
51 880 руб.
2860 л.
60 %.
Вино «Букет роз» производить не следует.
2840 л.
47,7 %.
На 1840 руб.
На 880 руб.
Глава 3
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСКРОЯ
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта область приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича, задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
материал;
заготовка;
отходы;
способ раскроя;
рациональный способ раскроя;
оптимальный способ раскроя.
МОДЕЛИ
Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм, нуждающихся в дополнительных преобразованиях для участия в процессе производства. Задачи такого типа возникают в металлургии, машиностроении, лесной и лесообрабатывающей, легкой промышленности. Например на швейное производство, выпуска-
ющее изделия различных ассортиментных групп, ткань поступает в виде больших рулонов, из которых затем выкраиваются детали, необходимые для пошива одежды. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала. Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать и при каком способе концевые остатки минимальны.
Решение задачи оптимального раскроя проводится в два этапа. На первом этапе определяются рациональные способы раскроя материала. На втором — решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.
Определение рациональных способов раскрояматериала
В задачах этого типа рассматриваются так называемые рациональные (парето-оптимальные) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала называется рациональным (парето-оптимальным), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.
Пусть к — индекс вида заготовки, к = I, ..., q; / — индекс способа раскроя единицы материала, / = 1, ..., р; aik — количество (целое число) заготовок вида к, полученных при раскрое единицы материала способом /.
Приведенное выше определение рационального способа раскроя может быть формализовано следующим образом.
Способ раскроя v называется рациональным (парето-оптимальным), если для любого другого способа раскроя /' из соотношений aik > avk, к = 1, ..., q, следуют соотношения aik = avk, к = 1, ..., q.
Определение интенсивности использованиярациональных способов раскроя
Введем следующие обозначения:
j — индекс материала, j = 1п;
к —индекс вида заготовки, к = 1, ..., q;
i — индекс способа раскроя единицы материала, / = I, ..., р; ajjk — количество заготовок вида к (целое число), полученных при раскрое единицы материала j способом /;
bk —число заготовок вида к в комплекте, поставляемом заказчику;
dj — количество материала вида у;
Xjj — количество единиц материала j, раскраиваемых по способу /(интенсивность использования способа раскроя);
су, —величина отхода, полученного при раскрое единицы материала j по способу z;
у —число комплектов заготовок различного типа, поставляемых заказчику.
Модель А раскроя с минимальным расходомматериалов
И Р
^ ^ху, -> min;(1)
у = I / = I
п Р
ТТЛ^Л^1^ к = q;(2)
у = 1/= 1
ХЛ 0, j = 1, ..., zz, i = 1, ..., р,(3)
где (1) — целевая функция — минимизация числа используемых материалов;
— система ограничений, определяющая количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;
— условия неотрицательности переменных.
Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения вида (2).
Модель В раскроя с минимальными отходами
п р
£ ХсЛхЛmin’(4)
> = lz = l
И Р
Цалкхл bk’ к = q;(5)
; = । / = 1
ху7 > О, j = 1, ..., и, i = 1, ..., р,(6)
где (4) — целевая функция — минимизация отходов при раскрое материалов;•
— система ограничений, определяющая количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;
(6)—условия неотрицательности переменных.
Модель С раскроя с учетом комплектации
у -> max;(7)
^Xj^dj,j = 1, s;(8)
7 = 1
n p
ЕЕ^Л M, k = \,...,q;(9)
у = 1/- 1
y>0, хд >0, j =i = \, ..., p, (10)
где (7) — целевая функция — максимальное количество получаемых комплектов (с учетом заготовок различных видов); (8) — ограничения по количеству материалов;
— система ограничений, определяющая число заготовок, необходимое для формирования комплектов;
—условия неотрицательности переменных.
Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения вида (9).
ПРИМЕРЫ
Пример 1
Требуется определить все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов: длиной 50, 30 и 20 см, а также указать величину отходов для каждого способа.
Все рациональные способы раскроя приведены в следующей таблице.
Способы раскроя
Заготовка длиной 50 см
Заготовка длиной 30 см
Заготовка длиной 20 см
Величина отходов, см
1
2
0
0
0
2
1
1
1
0
3
1
0
2
10
4
0
3
0
10
5
0
2
2
0
6
0
1
3
10
7
0
0
5
0
Для данного материала и указанных заготовок существует семь различных рациональных способов раскроя.
Пример 2
Требуется определить все рациональные способы раскроя прямоугольника кожи размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см и указать величину отходов для каждого способа.
Все рациональные способы раскроя приведены в следующей таблице.
Способы раскроя
Заготовка со стороной 50 см
Заготовка со стороной 40 см
Заготовка со стороной 20 см
Величина отходов, см2
1
2
0
0
1000
2
1
1
2
1100
3
1
0
6
1100
4
0
2
7
0
5
0
1
11
0
6
0
0
15
0
Для данного материала и указанных заготовок существует шесть различных рациональных способов раскроя.
Пример 3
При изготовлении парников используется материал в виде металлических стержней длиной 200 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120 см, 100 см и 70 см. Для выполнения заказа требуется изготовить 80 стержней длиной 120 см, 120 стержней длиной 100 см и 102 стержня длиной 70 см.
Ответьте на следующие вопросы-.
Сколько существует рациональных способов раскроя?
Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?
Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении заказа?
Решение■
Определяем все рациональные способы раскроя материала на заготовки. Таких способов оказывается пять.
Способы раскроя
Заготовка длиной 120 см
Заготовка длиной 100 см
Заготовка длиной 70 см
Величина отходов, см
1
1
1
0
0
2
1
0
1
30
3
0
2
0
20
4
0
1
1
50
5
0
0
3
10
Эта задача относится к задачам раскроя с минимальным расходом материалов (модель/!). Перед нами случай раскроя одного вида материала. Тогда Xj — число единиц материала, раскраиваемых по способу /. Получаем следующую модель линейного программирования с критерием — минимизация общего количества используемого материала.
Xi
Х2
Хз
х4
х5
Знак
RHS
Minimize
1
1
1
1
1
Заготовка 120 см
1
1
0
0
0
>=
80
Заготовка 100 см
1
0
2
1
0
>=
120
Заготовка 80 см
0
1
0
1
3
>=
102
Решая задачу, получаем следующий результат:
Xi
хг
Хз
Х4
х5
Знак
RHS
Dual
Minimize
1
1
1
1
1
Заготовка 120 см
1
1
0
0
0
>=
80
-0,5
Заготовка 100 см
1
0
2
1
0
>=
120
-0,5
Заготовка 80 см
0
1
0
1
3
>=
102
-0,33
Solution ->
80
0
20
0
34
134
Тогда на вопросы поставленные в условии задачи можно ответить следующим образом-.
Существует пять рациональных способов раскроя.
Следует разрезать 134 единицы материала.
При выполнении заказа следует использовать три из пяти рациональных способа раскроя.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Способ раскроя называется рациональным, если;
он является безотходным;
он обеспечивает минимум отходов;
отходы меньше любой из заготовок;
он позволяет получить наибольшее число заготовок;
нет другого способа, дающего не меньше заготовок каждого типа.
Вопрос 2
Рассматривается задача оптимального раскроя деревянных брусьев на заготовки для строительства дома. Длина брусьев измеряется в сантиметрах. В модели линейного программирования неизвестными являются интенсивности рациональных способов раскроя материала, значения которых измеряется в штуках. В качестве критерия рассматривается минимизация отходов. В каких единицах измеряется значение коэффициента целевой функции?
Возможные ответы;
шт.; 2) см; 3) шт./см; 4) см/шт.; 5) безразмерная величина.
Вопрос 3
Рассматривается задача оптимального раскроя кожи для пошива перчаток. Данная модель линейного программирования учитывает ограничение на количество материала. Правая часть ограничения измеряется в штуках кожи. Целевая функция — максимизировать число пар пошитых перчаток. В каких единицах измеряется двойственная оценка ресурсного ограничения? '
Возможные ответы;
шт.; 2) пара; 3) пара/шт.; 4) шт./пара; 5) безразмерная величина.
Вопрос 4.
Сколько существует рациональных способов раскроя металлического стержня длиной 100 см на стержни длиной 50, 20 и 10 см?
Возможные ответы;
более десяти; 2) десять; 3) девять; 4) восемь; 5) менее восьми.
Вопрос 5
Какое из следующих утверждений является верным?
Безотходный способ раскроя является рациональным.
Безотходный способ раскроя может быть рациональным.
Безотходный способ раскроя не является рациональным. 4. Рациональный способ раскроя является безотходным.
Рациональный способ раскроя не является безотходным.
ЗАДАЧИ
Задача 1
На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.
Ответьте на следующие вопросы;
Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?
Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
Какова величина отходов (в см)?
Если количество стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт.:
Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом случае?
На сколько увеличится количество отходов в см?
Задача 2
Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем число отрезков разной длины в комплекте должны быть в соотношении 1:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы число комплектов было максимальным?
Ответьте на следующие вопросы;
Сколько существует рациональных способов раскроя?
Сколько комплектов стержней будет выпущено?
Какова при этом величина отходов (в см)?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 - 5, 2-4, 3 - 3, 4- 2, 5 - 1.
Ответы на задачи
Задача 1
385.
0.
3850 см.
295.
На 5300 см.
Задача 2
1.9.
30.
250 см.
Глава 4
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕФИНАНСОВ
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения некоторых задач планирования финансов. При определенных предположениях становится возможным выбрать такие способы вложения денег под проценты, совокупность которых позволяет минимизировать первоначальный вклад, необходимый для выплаты займа, или максимизировать доход. При решении задач финансового планирования можно учитывать риск и другие факторы, влияющие на выбор способов вложения денег.
После выполнения заданий, предлагаемых в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
вклад;
целевой фон;
балансовое ограничение;
индекс риска по вкладу.
МОДЕЛИ
Модель Л. Минимизация целевого фонда
Предположим, что в определенные моменты времени необходимо выплачивать известные суммы денег по сделанному ранее займу. Чтобы накопить эти суммы, можно заранее создать целевой фонд, а средства из этого фонда использовать для срочных
вкладов. Каждый срочный вклад характеризуется моментом времени вложения, сроком погашения и доходностью. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать, чтобы сделать выплату по займу.
Введем следующие обозначения:
у —размер целевого фонда, создаваемого в момент времени 0;
/ —текущий момент времени, t = 0, 1, ..., Г;
dt — размер выплаты по займу, которую надо произвести в момент времени f = 1, ..., Т;
j —индекс срочного вклада, j = 1, ..., п;
Vj —момент времени вложения по срочному вкладу j;
Wj —срок выплаты по срочному вкладу j;
г- —доходность срочного вклада j (процент по вкладу);
Xj —объем вложений по срочному вкладу j.
Предполагается, что для любого срочного вклада момент времени вложения фиксирован. Если по срочному вкладу j сделаны вложения в размере ху-, то через Wy единиц времени вкладчику выплачивается сумма (1 + Гу) Xj. Без ограничения общности можно считать, что для любого момента времени существует такой вклад, выплата по которому производится в следующий момент времени. При этом доходность такого вклада может быть нулевая. Использование вклада с нулевой доходностью означает, что деньги остаются на руках у владельца.
Пусть Gt — множество индексов jтаких, что / = гу-, т.е. по вкладу j сделано вложение в момент времени t;
Q, — множество индексов j таких, что t = vy- + Wj, т.е. по вкладу j получена выплата в момент времени /.
Заметим, что для любого / множества G, и Q( известны. Тогда
модель имеет следующий вид:
у-> min;(1)
~t = 0;(2)
j е 6,
+rj^xj ” xj = df t = \, ..., Г-1;(3)
j е G,jeG,.
£ (1 + r^x = dT t;(4)
i e G,
у > 0, x7 > 0, j = 1, ..., n,(5)
где (1)—целевая функция — минимальный размер целевого вклада;
— условие, характеризующее распределение целевого фонда по вкладам в нулевой момент времени;
— соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;
— условие, обеспечивающее выплату по займу;
— условия неотрицательности переменных.
Модель Б. Максимизация дохода
Предположим, что инвестор собирается делать вклады для того, чтобы через определенный период времени получить максимальный доход. Задача состоит в том, чтобы определить величину максимального дохода при фиксированном размере целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать.
Сохраним принятые выше обозначения и введем новые:
— размер дохода, который может получить вкладчик в момент времени Т;
—размер вклада в момент времени /, / = 0, 1, ..., Т — 1. Тогда модель имеет следующий вид:
г -> max;
(6)
Е xj = и” 1 = °;
(7)
j e G,
Y xj - E о + r^xj = un 1 = ь
(8)
j eG,j e Q,
E <* + r^Xj - г = 0, t = T;
(9)
J sQ,
г > 0, Xj > 0, j = 1, ..., n,
(10)
где (6) — целевая функция — максимизация размеров дохода;
— условие, характеризующее распределение вклада в нулевой момент времени;
— соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;
— условие, определяющее величину дохода;
(10)—условия неотрицательности переменных.
ПРИМЕР
Петр Перфилов — управляющий компанией, которая только что заключила контракт на покупку нового оборудования для консервирования овощей. В соответствии с договором, компания должна выплатить поставщику в обшей сложности 750 тыс. руб. Причем 150 тыс. руб. необходимо уплатить через 2 месяца, а остальные 600 тыс. руб. — через 6 месяцев после того, как оборудование будет поставлено и испытано. Петр считает, что сразу после подписания договора следует образовать целевой фонд и использовать эти средства для вложения денег под проценты. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Петр понимает, что целевой фонд должен быть меньше, чем 750 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.
Проанализировав имеющиеся варианты, Петр решил сосредоточиться на 12 возможных способах вложения денег под проценты. Виды вкладов, их продолжительность, возможные сроки вложения и проценты по вкладу приведены в следующей таблице.
Вид вклада
Срок вклада данного вида, мес.
Возможные моменты вложения данного вида (начало месяца')
Процент по вкладу
А
1
1, 2, 3, 4, 5, 6
1,5
В
2
1, 3, 5
3,5
С
3
1, 4
6,0
D
6
1
11,0
С учетом этих возможностей необходимо минимизировать размер целевого фонда, обеспечивающего возможность оплатить закупленное' оборудование.
Ответьте на следующие вопросы.
Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты?
Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через 6 месяцев)?-'
Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале пятого месяца (через 4 месяца)?
Данные о возможностях вложений и возврата денег (в руб.) представлены в следующей таблице.
Вклады
Начало месяца
1
2
3
4
5
6
7
А в месяце 1
1,00 ->
1,015
А в месяце 2
1,00 ->
1,015
А в месяце 3
1,00 ->
1,015
А в месяце 4
1,00 -»
1,015
А в месяце 5
1,00 -»
1,015
А в месяце 6
1,00 ->
1,015
В в месяце 1
1,00 ->
->
1,035
В в месяце 3
1,00 -»
->
1,035
В в месяце 5
1,00 ->
->
1,035
С в месяце 1
1,00 ->
->
—>
1,06
С в месяце 4
1,00 ->
—>
->
1,06
D в месяце 1
1,00
->
->
->
->
->
1,11
Решение
Пусть:
у — размер целевого фонда;
А, —размер вклада типа А в месяце /;
5, —размер вклада типа В в месяце /';
Cj —размер вклада типа С в месяце /';
Dj —размер вклада типа D в месяце /.
Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, то предприятию не выгодно хранить деньги на руках. С учетом этого условия, задача может быть описана следующей моделью:
у -> min;(11)
У — Ах — 5, — С, — D^ = 0;
1,015/4, - Д2 = 0;
1,015/12 + 1,035 5, - А3 - В3 = 150;
1,015Д3 + 1,060 С, - /14 -С4 = 0;
1,015Л4 + 1,035 53 - Д5 - S5 = 0;
■ 1,015/4; - А6 = 0;
1,015Д6 + 1,035 5; + 1,060 С4 + 1,1 ЮД, = 600.
Здесь уравнение (11) — это уравнение целевой функции, а остальные уравнения описывают ограничения модель. Запишем модель в виде табл. 1.
Проведя вычисления, получаем следующие результаты (табл. 2 и 3).
Таблица 3
Variable
Value
Reduced Cost
Original Value
Lower
Bound
Upper Bound
У
678,9
0
1
0
Infinity
A^
0
0
0
-4.6E-03
Infinity
в.
144,9
0
0
-4.3E-03
4.6E-03
С, .
534,0
0
0
-1
4.3E-03
о.
0
1,2Е —02
0
-1.2E-02
Infinity
Аг
0
4.5Е-03
0
-4.5E-03
Infinity
Аз
0
8.6Е-03
0
-8.6E-03
Infinity
Вз
0
4.2Е-03
0
-4.1E-03
Infinity
а4
0
0
0
-8.4E-03
4.1E-03
с4
566,0
0
0
- Infinity
8.5E-03
Дб
0
0
0
-1.2E-02
Infinity
В5
0
8,ЗЕ-ОЗ
0
-8.3E-03
Infinity
4е
0
1.2Е-02
0
-1.2E-02
Infinity
Constraint
Dual Value
Slack / Surplus
Original Value
Lower
Bound
Upper Bound
Начало месяца 1
-1
0
0
-678,9
Infinity
Начало месяца 2
-0,9852217
0
0
0
Infinity
Начало месяца 3
-0,9661836
0
150
0
Infinity
Начало месяца 4
-0,9433963
0
0
-566,0
Infinity
Начало месяца 5
-0,9294544
0
0
0
Infinity
Начало месяца 6
-0,9157187
0
0
0
Infinity
Начало месяца 7
-0,8899965
0
600
0
Infinity
В этом примере особый интерес представляет интерпретация двойственных оценок. Например, двойственная оценка последнего ограничения равна —0,89. Это означает, что для выплаты через полгода одного дополнительного рубля необходимо увеличить размер целевого фонда на 0,89 руб. Таким образом, величина двойственной оценки есть стоимость одного рубля, выплачиваемого через полгода, приведенная к начальному моменту времени.
Таблица 1
У
А,
в,
С,
о,
Аг
Аз
Вз
а4
с4
Аз
в5
Дб
Знак
RHS
Minimize
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Начало месяца 1
1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
Начало месяца 2
- 0
1,015
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
=
0
Начало месяца 3
0
0
1,035
0
0
1,015
-1
-1
0
0
0
0
0
=
150
Начало месяца 4
0
0
0
1,06
0
0
1,015
0
-1
-1
0
0
0
=
0
Начало месяца 5
0
0
0
0
0
0
0
1,035
1,015
0
-1
-1
0
=
0
Начало месяца 6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,015
0
-1
=
0
Начало месяца 7
0
0
0
0
1,11
0
0
0
0
1,06
0
1,035
1,015
=
600
Таблица 2
У
А,
в,
с,
D,
Аз
Аз
Вз
Д4
с4
As
Bs
Де
Знак
RHS
Dual
Minimize
У
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Начало месяца 1
1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
-1
Начало месяца 2
0
1,015
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
=
0
-0,985
Начало месяца 3
0
0
1,035
0
0
1,015
-1
-1
0
0
0
0
0
=
150
-0,966
Начало месяца 4
0
0
0
1,06
0
0
1,015
0
-1
-1
0
0
0
=
0
-0,943
Начало месяца 5
0
0
0
0
0
0
0
1,035
1,015
0
-1
-1
0
=
0
-0,929
Начало месяца 6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,015
0
-1
=
0
-0,916
Начало месяца 7
0
0
0
0
1,11
0
0
0
0
1,06
0
1,035
1,015
=
600
-0,889
Solution ->
678,93
0
144,927
533,998
0
0
0
0
0
566,038
0
0
0
678,93
Ответы на вопросы;
Минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, составляет 678 925,5 руб.
Один рубль, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через 6 месяцев), в начальный момент времени стоит 0,89 руб.
Один рубль, который надо выплатить в начале пятого месяца (через 4 месяца), в начальный момент времени стоит 0,93 руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Срочный вклад характеризуется;
суммой вклада и процентом по вкладу;
моментом вложения, сроком погашения, прибылью и процентом по вкладу;
размером вклада, моментом вложения, сроком погашения и процентом по вкладу;
размером вклада, моментом вложения, сроком погашения, прибылью и процентом по вкладу.
Вопрос 2
Целью модели минимизации целевого фонда является;
минимизация целевого фонда, необходимого для накопления определенной суммы;
максимизация целевого фонда, необходимого для накопления определенной суммы;
минимизация размера срочного вклада, необходимого для накопления определенной суммы;
максимизация размера срочного вклада, необходимого для накопления определенной суммы;
минимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода.
Вопрос 3
Целью модели максимизации дохода является;
максимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода;
минимизация целевого фонда, необходимого для получения максимального дохода;
выбор срочного вклада с максимальной доходностью;
максимизация прибыли при фиксированной величине целевого фонда;
максимизация дохода при фиксированной величине целевого фонда.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Константин Иванов — управляющий компанией «Золотой колос», специализирующейся на выпуске пива. Компания закупила оборудование для выпуска популярного сорта пива «Двойное золотое». Стоимость оборудования — 900 тыс. руб. В соответствии с условиями контракта 200 тыс. руб. необходимо выплатить через два месяца, когда оборудование будет поставлено, а оставшиеся 700 тыс. руб. — через шесть месяцев, когда оборудование будет смонтировано.
Чтобы расплатиться полностью, Константин предполагает тотчас же образовать целевой фонд, который можно использовать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Константин знает, что ему следует отложить меньше, чем 900 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.
Константин решил сосредоточиться на 12 возможностях инвестирования. Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу. Данные для задачи финансового планирования представлены в следующей таблице.
Вид вклада
Срок вклада данного вида, мес.
Возможные моменты вложения данного вида (начало месяца')
Процент по вкладу
Индекс риска
А
1
1, 2, 3, 4, 5, 6
1,7
3
В
2
1, 3, 5
3,5
10
С
3
1,4
5,5
7
. D
6
1
10,5
9
Составьте модель линейного программирования для определения минимального размера целевого фонда, позволяющего сделать необходимые выплаты.
Ответьте на следующие вопросы".
Каков минимальный размер целевого фонда в руб., позволяющий сделать необходимые выплаты без учета риска?
Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через 6 месяцев)?.
Каков минимальный размер целевого фонда в руб., позволяющий сделать необходимые выплаты, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать 6?
Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?
Задача 2
У Василия Иванова есть 50 тыс. руб., которые можно инвестировать. Необходимо максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Возможные виды инвестиций представлены в таблице. Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.
Вид вклада
Срок вклада данного вида, мес.
Возможные моменты вложения данного вида (начало месяца)
Процент по вкладу
Индекс риска
А
1
1,2, 3,4, 5,6
1,7
3
В
2
1, 2
3,5
9
С
3
3,4
6,5
8
D
6
1
11,5
5
Составьте модель линейного программирования для определения максимального размера дохода, который может получить Василий Иванов через полгода, использовав имеющиеся у него возможность для вложения 50 тыс. руб.
Ответьте на следующие вопросы:
Каков максимальный размер дохода через полгода (в руб.)?
Какой максимальный доход (в руб.) можно получить через полгода от вложения одного рубля в начальный момент времени?
Каков максимальный размер дохода можно получить через полгода (в руб.), если средний риск в каждый момент времени не должен превышать 6?
Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?
Если в начале четвертого месяца Василий предполагает вложить еще 20 тыс. руб., то на сколько возрастет его доход через пол года с учетом риска?
Задача 3
Пять проектов конкурируют за получение инвестиционных фондов компании:
Проект 1 предполагает в 2003 г. вложить деньги, в 2004 г. получить по вкладу 30% и возвратить вложенные средства (без процентов) в 2005 г.
Проект 2 предполагает в 2004 г. вложить деньги, в 2005 г. получить по вкладу 30% и возвратить вложенные средства (без процентов) в 2006 г.
Проект 3 предполагает в 2003 г. вложить деньги, в 2006 г. получить по вкладу 1,75 руб. на каждый вложенный рубль.
Проект 4 предполагает в 2005 г. вложить деньги, в 2006 г. получить по вкладу 1,4 руб. на каждый вложенный рубль.
Проект 5 предполагает в 2003 г. вложить деньги, в 2005 г. получить по вкладу 1,2 руб. на каждый вложенный рубль.
Максимальная сумма, которая может быть вложена в любой проект, не должна превышать 10 млн руб. Деньги, полученные в результате инвестиций в один проект, можно реинвестировать в другие проекты. Компания также может получать 6% годовых по краткосрочному (на 1 год) банковскому вкладу. К началу 2003 г. инвестиционный фонд компании составит 20 млн руб. Целью компании является максимизация дохода от инвестиций к 2006 г.
Ответьте на следующие вопросы-.
Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2006 г. (в млн руб.)?
Какую сумму следует вложить во второй проект (млн руб.)? 3. В каком году следует вложить деньги в банк?
Какой максимальный доход можно получить в 2006 г., вложив 1 руб. в 2003 г.?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы 1 -4, 2- 1,3-5.
Ответы на вопросы задач
Задача 1
822 150 руб.
0,9 руб.
8 231 519 руб.
1002 руб.
Задача 2
56 050 руб.
1,12 руб.
55 850 руб.
200 руб.
. 5. 77 070 руб.
Задача 3
35,45 млн руб.
3 млн руб.
В 2005 году.
1,45 руб.
Глава 5
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
ЦЕЛИ
В данной главе рассматривается задача доставки продукта, который в определенных количествах предлагается различными производителями. Известно какой объем продукта нужен потребителям. Требуется определить, от каких производителей и в каких объемах потребителям выгоднее получать продукт. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы совокупные издержки на транспортировку продукта были наименьшими.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа:
замкнутую транспортную задачу;
открытую транспортную задачу;
транспортную задачу с запретами;
транспортную задачу с фиксированными перевозками;
транспортную задачу с ограничениями на пропускные способности;
транспортную таблицу;
потенциалы.
МОДЕЛИ
Введем следующие переменные:
а, —величина предложения продукта в пункте /, / = 1, ..., п;
Ь( —величина спроса на продукт в пункте j, j = 1, ..., m;
Су — затраты на транспортировку единицы продукта из пункта / в пункт у;
Ху — количество продукта, перевозимого из пункта i в пункт у.
В сделанных обозначениях транспортную задачу можно записать следующим образом:
т п
min’О)
7 = । ' = 1
£^=ф,/ =(2)
-7 = 1
Hxij=bj,j =(3)
/ = i
Хц > 0;/ = 1, ..., п, j = 1, ..., т.(4)
Существует несколько вариантов транспортной задачи.
Замкнутая транспортная задача
Общий спрос равен общему предложению.
пт
ix = та
/ = I У = 1
Это равенство является необходимым и достаточным условием существования допустимого плана задачи (1)—(4).
Открытая транспортная задача
А. Пусть существует излишек продукта, т.е.
пт
IX > ТА
/ = I 7 = 1
Такую задачу можно свести к замкнутой задаче.
Способ сведения к замкнутой задаче
Пусть.п т
bm+i —величина избытка продукции, Ьт + 1 = ^-Ць.
/ = 17 = 1
с, т+1 —штраф за единицу не реализованного продукта в пункте /;
у, — объем продукта, не реализованного в пункте L Замкнутая транспортная задача имеет вид
т пп
ТТсихи + Т^.^у, min;
j=। i=i/=।
^Xy + y^a^ i = \,...,n;
1>у=Ьг j = m;
ty,-bm+v, i= I
Xy > 0; yj > 0; i = I, n, j = 1, m.
Б. Пусть существует дефицит продукта, т.е.
пт
< ^ь?
/ = 1 у = I
Такую задачу можно свести к замкнутой задаче.
Способ сведения к замкнутой задаче
Пусть:
ап + ] — величина дефицита продукции — штраф за единицу продукта, недопоставленного в пункт j;
тт
ап + \ = 2>у - £ aiCn + Vj-
yj — объем продукта, недопоставленного в пункт у. Замкнутая транспортная задача имеет вид:
т пт
Z Hcijxij + Исп + \уУ: min;
у = 1 / = 1У = 1
5 Ху = i = 1, п;
llxy+y^bj, j =
Z - I m
Цу, =a„,6
У = 1
' Xy > 0; yj > 0; i = 1, ..., n, j = 1, ..., m.
Транспортная задача с фиксированными перевозками
Если объем перевозок между пунктами 7 и j задан, то в задаче (I)—(4) вводится дополнительное ограничение х,у = v^, где v,y — заданный объем перевозок.
Задача с ограничениями на пропускные способности
Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен величиной w^, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограничение Хц < Wjj.
Транспортная задача с фиксированными доплатами
Предположим, что в открытой транспортной задаче имеет место дефицит продукта и для его устранения в пунктах i = п + I, ..., к, возможно создание новых мощностей d,. Пусть г, = I, если в пункте 7, i= п + 1,..., к, вводятся мощности d,; z, = О, если в пункте / мощности не вводятся. Издержки на ввод мощностей d, в пункте 7, 7 = и + 1, ..., к, составляют и,. С учетом возможности создания новых мощностей транспортная задача может быть записана в
следующем виде:
^Тлха + L «, £, -> min;(5)
У = I / — I/ = п + I
§ ^ = ah i = 1, п;(6)
^х$< d^, i = n + 1, k;(7)
7-1
к
^.x,y = bp j = 1, ..., m;(8)
/ = i '
x^ > 0;7 = 1, ..., k, j = 1, ..., m.[9)
Помимо непрерывных переменных хц в модель включены булевы переменные t;- Задача (5)—-(9) является задачей линейного программирования со «смешанными» переменными.
Модель агрегированного планирования производства
Обозначим:
Т — продолжительность периода планирования;
/= I, ..., T— число интервалов времени в периоде планирования;
п —число видов мощностей, которые могут быть использованы для производства продукта;
/— вид мощности, который может быть использован для
производства продукта, / = 1, ..., п; ■
аи —максимальный объем производства продукта в момент времени / на мощности вида /';
Ьт —количество продукта, которое следует отгрузить в момент времени т, т = 1, ..., Т;
cif —издержки производства единицы продукта на мощности вида / в момент времени t;
и —издержки хранения единицы продукта в течение единицы времени;
v —издержки дефицита единицы продукта в единицу времени;
xilx — количество продукта, которое следует произвести на мощности вида / в момент времени t для отгрузки в момент т.
В принятых обозначениях модель агрегированного планирования производства может быть описана следующим образом:
/ = 1 / = 1
Z xh. + Z Z
V т = 1) i=11 = 1
_r= t + 1_
+
п Г
; = 1 т = 1
■ Т■
Z Х»ЛГ~^
V = t + I.
-> min;
(10)
fx<
т = 1
«Ю/ = 1, ...,
n, / = 1, T;
(H)
iL^LxHT = b^ =
/=1 /=1
T;
(12)
> 0;
i = 1, ..., n.
t = 1, ..., T, т
= 1, ...,
T.
Первое слагаемое целевой функции (10) — совокупные издержки на производство продукта за весь период планирования; второе слагаемое — совокупные издержки на хранение продукта; третье слагаемое — совокупные издержки дефицита.
Левая часть неравенства (11) характеризует фактический объем производства продукта на мощности вида / в момент времени /, правая часть — максимально возможный объем производства.
Левая часть равенства (12) характеризует фактический объем продукта, отгруженный в момент т; правая часть — потребность в продукте.
Оптимальный план |х,-,т}этой задачи показывает, на каких мощностях следует производить продукт для удовлетворения спроса. При этом продукт можно производить: а) непосредственно в момент отгрузки (хранения не требуется); б) заранее (требуется хранение); в) позднее момента отгрузки (задержка поставок и, как следствие, — дефицит продукта).
Эта модель представляет особый интерес, так как позволяет формировать план производства, позволяющий обеспечить удовлетворение спроса с минимальными совокупными затратами, учитывающими как издержки хранения, так и издержки дефицита.
Все приведенные выше модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами линейного программирования, например, с помощью симплекс-метода. Но для решения транспортной задачи могут быть использованы более быстрые (по объему вычислений) алгоритмы. Например, метод потенциалов. Большинство специальных алгоритмов решения транспортной задачи используют исходную информацию в форме транспортной таблицы:
Пункты производства
Пункты потребления
Предложение
1
2
i
т
1
Си
С12
см
Clm
di
2
С21
С22
Cz>
Czm
82
/
с,1
CiZ
С.)
Cfm
. a'
п
Сп1
Сп2
Cll)
Опт
a„
Спрос
Ь,
bz
bl
Ьщ
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Определение плана перевозок '
Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера Ch С2, С3, С4. Производительность карьеров
соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики 5b S2 , 83, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц. Транспортные затраты на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице.
Транспортные затраты, тыс. руб.
3
8
С,
5
4
6
с2
4
5
9
Сз
6
2
5
с4
S,
з2
s2
Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
Ответьте на следующие вопросы-.
Сколько руды (тыс. т) следует перевозить с карьера С, на обогатительную фабрику 52?
Сколько тыс. т руды следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику 5,?
Какой объем мощностей (тыс. т) по добыче руды окажется неиспользованным?
Каковы минимальные совокупные транспортные издержки?
Решение
Запишем условия этой задачи в табличном виде.
Транспортная таблица
Фабрика 1
Фабрика 2
Фабрика 3
Предложение
Карьер 1
7
3
5
170
Карьер 2
5
4
6
130
Карьер 3
4
5
6
190
Карьер 4
3
2
5
200
Спрос
250
150
270
Объемы перевозок и остаток невывезенной руды приведены в следующей таблице.
Фабрика 1
Фабрика 2
Фабрика 3
Предложение
Карьер 1
10
160
Карьер 2
110
20
Карьер 3
190
Карьер 4
60
140
В следующей таблице указаны объемы перевозок, а в скобках — соответствующие издержки.
Фабрика 1
Фабрика 2
Фабрика 3
Карьер 1
10(30)
160 (800)
Карьер 2
110 (660)
Карьер 3
190 (760)
Карьер 4
60(180)
140 (280)
Минимальные совокупные издержки составляют 2710 тыс. руб.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
С карьера С, на обогатительную фабрику 52 следует перевозить 10 тыс. т руды.
Ответ на вопрос 2
С карьера С4 на обогатительную фабрику 5, следует перевозить 60 тыс. т руды.
Ответ на вопрос 3
Мощности третьего карьера в объеме 20 тыс. т окажутся неиспользованными.
Ответ на вопрос 4
Минимальные совокупные транспортные издержки составят 2710 тыс. руб.
Пример 2. Задача агрегированного планирования
Компания «Родник» производит и реализует в России концентрат для приготовления фруктового напитка «Солнышко». Производство осуществляется на заводе в г. Самаре. Отдел сбыта компании «Родник» заключил договора на поставку концентрата в объемах: апрель — 55 т, май — 70 т, июнь — 75 т. При работе в две смены на собственном оборудовании компания может производить в месяц до 50 т концентрата. Если использовать сверхурочное время, можно увеличить объем производства на 5 т в месяц. В апреле начальный запас
концентрата на складе составит Ют. Но несмотря на запасы концентрата и использование сверхурочного времени, производственных мощностей не хватает для выполнения договора. Поэтому для выполнения договорных обязательств было принято решение арендовать оборудование у акционерного общества «Волжанка». За счет аренды появляется возможность увеличить производство концентрата на 12 т в апреле, на 12 т в мае и на 10 т в июне.
Отделу планирования компании «Родник» предложено разработать план использования собственных и арендуемых мощностей с целью выполнения договоров во втором квартале с минимальными издержками. Известно, что производство 1 т концентрата в регулярном режиме двухсменной работы оборудования обходится в 60 тыс. руб. При использовании сверхурочного времени издержки увеличиваются на 20 тыс. руб. за тонну. Производство 1 т концентрата на арендованном оборудовании обходится в 90 тыс. руб. Издержки хранения I т концентрата в течение месяца — 1 тыс. руб. Заключенные договора предусматривают штрафные санкции в случае несвоевременной поставки концентрата. При задержке поставок на один месяц штрафные санкции составляют 3 тыс. руб. за тонну.
Составьте план использования собственных и арендуемых мощностей для компании «Родник» на каждый месяц второго квартала.
Ответьте на следующие вопросы-.
Чему равно значение коэффициента транспортной таблицы, соответствующего регулярному использованию собственных мощностей в апреле для удовлетворения спроса на май? (61 тыс. руб./т).
Чему равно значение коэффициента транспортной таблицы, соответствующего регулярному использованию собственных мощностей в мае для удовлетворения спроса на апрель? (63 тыс. руб./т).
При каких минимальных издержках можно выполнить заключенные на второй квартал договора?
Какое количество концентрата следует производить в апреле на арендуемом оборудовании?
Какой размер штрафных санкций за несвоевременную поставку концентрата предусмотрен планом?
Какая величина запаса концентрата на начало июня предусмотрена планом?
Чему равны издержки выполнения договоров на июнь?
Решение
Для составления плана используем модель транспортной задачи. Транспортная таблица в этом случае имеет вид:
Апрель
Май
Июнь
Резерв мощности
Мощность
Начальный запас
0
1
2
0
10
Регулярное время (апрель)
60
61
62
0
50
Сверхурочное время (апрель)
80
81
82
0
5
Арендное время (апрель)
90
91
92
0
12
Регулярное время (май)
63
60
61
0
50
Сверхурочное время (май)
83
80
81
0
5
Арендное время (май)
93
90
91
0
12
Регулярное время (июнь)
66
63
60
0
50
Сверхурочное время (июнь)
86
83
80
0
5
Арендное время (июнь)
96
93
90
0
10
Спрос
55
70
75
9
Дадим пояснения к таблице. Значение «1» в строке «Начальный запас» для удовлетворения спроса в мае означает, что издержки хранения 1 т концентрата в течение месяца (апрель) составят 1 тыс. руб., а для июня они составят 2 тыс. руб. (коэффициент «2», так как хранение концентрата происходит в течение двух месяцев [апрель, май]).
Значение «60» в строке «Регулярное время» означает, что использование собственных мощностей в апреле для удовлетворения спроса в этом месяце связано с производственными издержками, равными 60 тыс. руб./ т., а аналогичный коэффициент для июня равен «66» (производственные издержки 60 тыс. руб./т плюс штрафные санкции 6 тыс. руб./т за опоздание на 2 месяца).
Решая транспортную задачу, получаем следующую таблицу.
Апрель
Май
Июнь
Резерв мощности
1
2
3
4
5
Начальный запас
10
Регулярное время (апрель)
45
5
Сверхурочное время (апрель)
5
Арендное время (апрель)
3
9
Регулярное время (май)
50
Сверхурочное время (май)
5
1
2
3
4
5
Арендное время (май)
2
10
Регулярное время (июнь)
50
Сверхурочное время (июнь)
5
Арендное время (июнь)
10
В соответствии.с этим решением из 50 т концентрата, произведенного на регулярных мощностях в апреле, 45 т следует использовать при выполнении договоров, заключенных на апрель, 5т — при выполнении договоров, заключенных на май.
В апреле на арендуемых мощностях следует произвести 3 т концентрата. При этом резерв мощности составит 9 т.
В мае арендуемые мощности следует использовать полностью (12 т). При этом 2 т следует использовать для выполнения договоров, заключенных на май, а 10 т — для договоров, заключенных на июнь.
Минимальные совокупные издержки, соответствующие оптимальному плану использования мощностей, равны 12 473 тыс. руб. В нижеследующих таблицах приведена их спецификация по различным статьям расходов.
Апрель
Май
Июнь
Резерв мощности
Начальный запас
10/0
Регулярное время (апрель)
45/2700
5/305
Сверхурочное время (апрель)
5/405
Арендное время (апрель)
3/273
9/0
Регулярное время (май)
50/3000
Сверхурочное время (май)
5/400
Арендное время (май)
2/180
10/910
Регулярное время (июнь)
50/3000
Сверхурочное время (июнь)
5/400
Арендное время (июнь)
10/900
Источники обеспечения спроса
Месяц
Объем производства
Удельные издержки
Совокупные издержки
1
2
3
4
5
Начальный запас
Апрель
.10
0
0
Регулярное время (апрель)
Апрель
45
60
2700
Регулярное время (апрель)
Май
5
61
305
Сверхурочное время (апрель)
Май
5
81
405
Арендное время (апрель)
Май
3
91
273
1
2
3
4
5
Арендное время (апрель)
Резервная мощность
9
0
0
Регулярное время (май)
Май
50
60
3000
Сверхурочное время (май)
Май
5
80
400
Арендное время (май)
Май
2
90
180
Арендное время (май)
Июнь
10
91
910
Регулярное время (июнь)
Июнь
50
60
3000
Сверхурочное время (июнь)
Июнь
5
80
400
Арендное время (июнь)
Июнь
10
90
900
ИТОГО:
12 473
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
При использовании регулярных мощностей удельные производственные издержки составляют 60 тыс. руб./т. В случае регулярного использования собственных мощностей в апреле для выполнения договоров, заключенных на май, значение коэффициента транспортной таблицы превышает производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину удельных транспортных затрат на хранение концентрата (1 тыс. руб./т). Значение коэффициента равно 61 тыс. руб./т.
Ответ на вопрос 2
При использовании регулярных мощностей удельные производственные издержки составляют 60 тыс. руб./т. В случае регулярного использования собственных мощностей в апреле для выполнения договоров, заключенных на май, значение коэффициента транспортной таблицы превышает производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину штрафных санкций (3 тыс. руб./т) за несвоевременную (с опозданием на 1 месяц) поставку каждой тонны концентрата. Значение коэффициента равно 63 тыс. руб./т.
Ответ на вопрос 3
Минимальные издержки выполнения заключенных на второй квартал договоров составляют 12 473 тыс. руб.
Ответ на вопрос 4
В апреле на арендуемом оборудовании следует производить 3 т концентрата.
Ответ на вопрос 5
Планом не предусматриваются штрафные санкции за несвоевременную поставку концентрата. Штраф — 0 руб.
Ответ на вопрос 6
Запас концентрата на начало июня предусмотрен в объеме 10 т.
Ответ на вопрос 7
Издержки выполнения договоров на июнь должны составить 5210 тыс. руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Транспортная задача является частным случаем задачи, известной как:
задача линейного программирования;
регрессионная задача;
статистическая задача;
имитационная задача;
ни одна из вышеперечисленных задач.
Вопрос 2
Рассматривается открытая транспортная задача, в которой суммарные запасы М поставщиков больше, чем суммарные потребности N потребителей. На сколько увеличится число переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?
Возможные ответы:
на N; 2) на М; 3) на N + М; 4) на N х М; 5) останется без изменения.
Вопрос 3
Рассматривается транспортная задача, сформулированная как задача линейного программирования. Объемы перевозок измеряются в тоннах, значение целевой функции — в рублях. В каких единицах измеряется значение коэффициента целевой функции?
Возможные ответы:
руб.; 2) руб./т; 3) т/руб.; 4) т; 5) безразмерная величина.
Вопрос 4
Рассматривается открытая транспортная задача, в которой суммарные запасы М поставщиков меньше, чем суммарные потребности N потребителей. На сколько увеличится число переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?
Возможные ответы:
на /V; 2) на М; 3) на N + М; 4) на N х М; 5) останется без изменения.
Вопрос 5
В открытой транспортной задаче:
величина совокупного предложения больше величины совокупного спроса;
величина совокупного предложения меньше величины совокупного спроса;
величина совокупного предложения равна величине совокупного спроса;
величина совокупного предложения не равна величине совокупного спроса;
ограничения сформулированы в виде неравенств.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Компания, занимающаяся добычей железной руды (см. пример 1), имеет четыре карьера С,, С2, С3, С4. Производительность карьеров соответственно 170, 150, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики: 5Н S2, 53,
7
3
8
Ci
5
4
6
c2
4
5
9
C3
6
2
5
c4
Si
s2
s2
мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц. Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице.
Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
Ответьте на следующие вопросы: .
Сколько руды (тыс. т) следует перевозить с карьера С, на обогатительную фабрику S^
Сколько руды (тыс. т) следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику S^
Какова общая минимальная стоимость перевозок (тыс. руб.)?
Позже стало известно, что поставки с карьера С, на обогатительную фабрику S2 нужно ограничить объемом 50 тыс. т. К тому же из-за плохого состояния дороги перевозки с карьера С4 на обогатительную фабрику 53 невозможны. Определите новый план перевозок, учитывающий эти условия.
На сколько возрастет стоимость перевозок (в тыс. руб.)?
Сколько тыс. т руды следует перевозить с карьера С4 на обогатительную фабрику 52?
Задача 2
Фирма «Мой-до-дыр» оценила спрос на производимый ею лосьон для каждого из четырех следующих месяцев: 100 ящиков в июне, 140 ящиков в июле, 170 ящиков в августе и 90 ящиков в сентябре. Без использования сверхурочного времени фирма может производить до 125 ящиков лосьона в месяц. В сверхурочное время может быть произведено еще 25 ящиков в месяц, но производство каждого ящика обходится при этом на 1 тыс. руб. дороже. Хранение одного ящика в течение месяца стоит 100 руб. Используя модель транспортной задачи, определите, сколько ящиков лосьона следует производить ежемесячно, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами?
Ответьте на следующие вопросы;
Сколько ящиков лосьона следует произвести в июне?
Сколько часов сверхурочного времени следует использовать в сентябре?
Задача 3
Фирма «Время-вперед» хочет разработать план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года показан в таблице.
Квартал
Величина спроса
1
1000
II
700
III
3100
IV
2500
При работе в одну смену фирма может каждый квартал собирать 1200 компьютеров. Издержки по сборке одного компьютера составляют 10 тыс. руб. Если ввести вторую смену,
то ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров. Но сборка каждого компьютера во вторую смену обходится дороже — 11 тыс. руб. Компьютер может быть произведен в одном квартале, а реализован в любом последующем квартале. Хранение каждого компьютера обходится в 500 руб. за квартал.
Используя модель транспортной задачи, ответьте на следующие вопросы;
Сколько компьютеров следует собрать в первом квартале, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами?
Насколько процентов следует использовать мощности второй смены в первом квартале?
Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале?
Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале во вторую смену для сбыта в третьем квартале?
Каковы минимальные издержки (руб.)?
СИТУАЦИИ
Ситуация 1. «Фургоны под жилье»
Фирма «Фургоны под жилье» занимается переделкой стандартных фургонов в передвижные домики для жилья. В зависимости от объема работы, такая переделка обходится заказчику от 1000 до 5000 долл. За последние четыре года Николай Дмитриев расширил свое небольшое дело в Ульяновске и открыл филиалы в Самаре, Москве и Ростове-на-Дону.
Нововведения — основной фактор, позволивший добиться успеха в превращении маленькой фирмы в процветающее предприятие. Николаю удалось придумать и создать множество приспособлений, пользующихся повышенным спросом у покупателей, например, душевую кабину, сконструированную им через шесть месяцев после того, как была создана фирма. Эта кабина занимает вдвое меньше места, чем обычная и может быть размещена не только в фургонах любого типа, но и в других местах рядом с фургоном. Душевая кабина сделана из фибергласса и снабжена вешалкой для полотенец, встроенным душем и держателем для шампуня. На производство каждой душевой кабины уходит двадцать килограммов фибергласса и три часа рабочего времени.
Большинство душевых кабин производилось в Ульяновске, где была основана фирма. Фабрика в Ульяновске может производить до 300 душевых кабин в месяц, но этого количества всегда было недостаточно. Фирма владеет четырьмя магазинами, где продает свою продукцию. Все магазины выражали недовольство недостаточным объемом поставок душевых кабин. Три магазина имели преимущество в снабжении по сравнению с четвертым в Ростове-на-Дону, который находился дальше всех от Ульяновска. Это приводило в бешенство менеджера фирмы в Ростове-на-Дону и после длительных дискуссий Николай решил открыть еще одну фабрику по производству душевых кабин в Новгороде. Эта фабрика способна производить 150 душевых кабин в месяц. Но она все же не смогла полностью обеспечить спрос на душевые кабины. Николай знал, что в ближайшие годы спрос на них может только увеличиваться. После консультаций Николай принял решение как можно скорее открыть еще две фабрики. Каждая фабрика должна иметь такую же производительность, как фабрика в Новгороде. Был проведен предварительный анализ возможных мест расположения новых фабрик, и Николай решил, что фабрики могут быть размещены в Смоленске, Воронеже или Туле. Николай знал, что выбрать место для расположения новых фабрик непросто. Важно учесть транспортные издержки для каждого возможного варианта размещения.
Магазин в Самаре управлялся Сергеем Крапивиным. Этот фирменный магазин был первым филиалом, открытым Николаем, и его возможности продаж превосходили возможности других магазинов. Фабрика в Ульяновске поставляла туда 200 душевых кабин в месяц, в то время как Сергей знал, что может продать 300 кабин. Издержки на транспортировку одной душевой кабины из Ульяновска в Самару составляют 10 долл. Несмотря на то, что удельные транспортные издержки от Новгорода вдвое выше, Сергей хотел добиться поставки из Новгорода как минимум еще 50 кабин. А открытие двух новых фабрик могло обеспечить Сергею поставку 100 кабин. Транспортные издержки, разумеется, будут зависеть от того, где Николай откроет фабрики. Для Смоленска удельные транспортные издержки составят 30 долл., для Воронежа — 5 и для Тулы — 10 долл.
Ирина Бородина, менеджер фирменного магазина в Москве, также была недовольна объемом поставок душевых
кабин. В настоящее время спрос составлял 100 кабин и лишь наполовину удовлетворялся поставками с фабрики в Новгороде. Она не могла понять, почему Николай не присылает ей необходимое количество кабин из Ульяновска. Удельные транспортные издержки для Ульяновска составляют 20 долл., в то время как для Новгорода — 30 долл. Ирина надеялась, что одним из мест размещения новой фабрики станет Тула. Тогда она сможет получать необходимое количество душевых кабин при транспортных издержках всего 5 долл. Если местом размещения новых фабрик будет не Тула, то новая фабрика в Воронеже тоже может удовлетворять потребности ее магазина. Правда, транспортные издержки в этом случае вдвое выше, чем для Тулы. Ирина не питает надежды иметь поставки из Смоленска. Если новую фабрику откроют там, то транспортные издержки составят 40 долл.
Управляющим фирменным магазином в Ростове-на-Дону был Вадим Кузнецов. Он получал 100 душевых кабин с фабрики из Ульяновска. Спрос составлял 150 штук. Вадим имел наибольшие удельные транспортные издержки. Для Ульяновска они составляли 40 долл. Если бы душевые кабины транспортировались из Новгорода, удельные транспортные издержки были бы на 10 долл, больше. Вадим надеялся, что в Смоленске новой фабрики не будет, так как в этом случае транспортные издержки составили бы 60 долл, за одну кабину. Для Воронежа и Тулы они будут 30 и 35 долл, соответственно.
Положение магазина в Смоленске было таким же, как в Москве, только спрос удовлетворялся всего наполовину. Все 100 душевых кабин, которые получал Смоленск, поступают из Новгорода. Для Новгорода транспортные издержки составляли 15 долл, за штуку, а для Ульяновска — 25 долл. Андрей Попов, менеджер магазина в Смоленске, высоко оценивал шансы строительства новой фабрики именно в этом городе. Она размещалась бы в пригороде, и удельные транспортные издержки составили бы всего 2 долл. Он мог бы получать 150 душевых кабин с новой фабрики в Смоленске, а оставшиеся 50 кабин — из Новгорода. Два других места размещения фабрик представлялись Андрею неудачными. Воронеж имел удельные транспортные издержки 35, а Тула — 40 долл.
Перед тем как созвать на совещание менеджеров магазинов, Николай несколько недель размышлял над проблемой
размещения новых фабрик. Проблема была комплексной, но цель ясна — минимизация общих издержек. Совещание, на котором были представлены все менеджеры, кроме Ирины, состоялось в Ульяновске.
Николай: Благодарю за то, что приехали. Как вам известно, я решил открыть две новых фабрики. Они могут быть размещены в Воронеже, Туле или Смоленске. Это, разумеется, изменит положение, и вы сможете получить недостающее количество душевых кабин. Я знаю, что вы могли бы продавать больше, чем сейчас, и чувствую себя ответственным за то, что не могу полностью удовлетворить спрос на мою продукцию.
Андрей: Николай, я много размышлял над этой проблемой и считаю, что местом размещения одной из новых фабрик должен стать Смоленск. Как вы знаете, сейчас я получаю лишь половину того количества кабин, которые могу продать. Мой брат Петр мог бы помочь в организации производства. Я думаю, он хорошо справился бы с этой работой.
Вадим: Андрей, я убежден, что Петр прекрасно справился бы с этой работой. Однако нам следует принимать во внимание издержки, а не персоналии. Я убежден, что новые фабрики надо открыть в Воронеже и Туле. Мой магазин слишком удален от других фабрик, и такое размещение позволит существенно снизить транспортные издержки.
Андрей: Может быть, это и верно, но надо учитывать другие факторы. Смоленск — один из основных потребителей фибергласса, и я интересовался ценами на него. Новая фабрика в Смоленске сможет получать фибергласс, необходимый для производства одной кабины, по цене на 2 долл, ниже, чем в любом другом месте.
Вадим: В Туле прекрасная рабочая сила и большая потребность в новых рабочих местах. Там рабочие согласятся получать на 1 долл, в час меньше.
Сергей: Хватит спорить. Ясно, что так мы не договоримся о месте размещения новых фабрик. Давайте проголосуем и выберем два города.
Николай: Не думаю, что голосование — лучший способ выбора. К тому же Ирина не смогла приехать. Нам следовало бы учесть все эти факторы формальным образом.
Ответьте на следующие вопросы;
Оцените избранную Николаем стратегию поставок при двух действующих фабриках в предположении, что существующий объем поставок душевых кабин в магазины фирмы не может быть уменьшен. Обеспечивает ли она минимальные транспортные издержки?
Разработайте модель математического программирования, учитывающую все факторы, влияющие на принятие решения.
Проведите расчеты и определите наилучшие пункты для размещения новых фабрик. Обоснуйте ваши выводы результатами расчетов.
Ситуация 2. «Мечта автомобилиста»
Фирма «Мечта автомобилиста» изготовляет сменные стекла для всех типов российских автомобилей. Фирма разработала и внедрила сложную систему прогнозирования спроса, использующую данные за последние годы для определения фактора сезонности и долгосрочных трендов. В таблице представлен агрегированный (для всех видов стекол) понедельный прогноз спроса на текущий год (в кг).
Неделя
Спрос
Неделя
Спрос
Апрель
15
1,829
Август
5
2,317
22
1,820
12
2,222
29
1,887
19
2,134
Май
6
1,958
26
2,065
13
2,011
Сентябрь
2
1,973
20
2,063
9
1,912
27
2,104
16
1,854
Июнь
3
2,161
23
1,763
10
'2,258
30
1,699
17
2,307
Октябрь
7
1,620
24
2,389
14
1,689
Июль
1
2,434
21
1,754
8
2,402
28
1,800
15
2,385
Ноябрь ’
4 .
1,865
22
2,330
11
1,989
29
2,323
18
2,098
25
2,244
Окончание таблицы
Неделя
Спрос
Неделя
Спрос
Декабрь
2
2,357
Февраль
3
2,168
9
2,368
10
2,086
16
2,387
17
1,954
23
2,402
24
1,877
30
2,418
Март
3
1,822
Январь
6
2,417
10
1,803
13
2,324
17
1,777
20
2,204
24
1,799
27
2,188
31
1,803
Апрель
7
1,805
Фирма использует прогнозы спроса для планирования объемов производства. При составлении плана производства она учитывает издержки найма или увольнения рабочих; оплаты сверхурочных, субподряда; издержки хранения готовой продукции.
Издержки хранения составляют 0,12 руб. за I кг в неделю. Согласно смете, производственные издержки в настоящее время — 20 руб. за 1 кг. в неделю. Сумма затрат на каждого нанимаемого рабочего составляет 5,63 руб. на 1 кг выпускаемой продукции (данные издержки рассчитываются на основе затрат на обучение и средней производительности труда одного рабочего). Сумма затрат на каждого увольняемого составляет 15,73 руб. на 1 кг продукции (рассчитывается исходя из размера компенсационных выплат при увольнении и уменьшения престижа фирмы). При нормальном режиме работы (без сверхурочных) фирма может производить до 1900 кг стекла в неделю. Кроме того, может быть произведено до 100 кг при использовании субподряда и еще 250 кг стекла в неделю «Мечта автомобилиста» может произвести на своих мощностях сверхурочно. Издержки для стекла, производимого сверхурочно на 8 руб. за 1 кг больше, чем для производимого в обычное время. Издержки производства по субподряду больше на 2 руб. за 1 кг, чем при производстве сверхурочно (то есть на 10 руб. за I кг выше, чем при производстве в обычном режиме).
В настоящее время запасы стекла на складе составляют 73 кг. Производство работает на полную мощность, вы-
пуская 1900 кг продукции в неделю. Составьте агрегированный план производства для фирмы с целью минимизации совокупных издержек. Примите во внимание различные предположения и варианты реализации производственной политики и продемонстрируйте, как эти различия отразятся на вариантах планов.
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
I - 1, 2 - 2, 3 - 2, 4 - 1, 5 - 4.
Ответы на задачи
Задача 1
130 тыс. т.
180 тыс. т.
2930 тыс. руб.
На 360 тыс. руб.
140 тыс. т.
Задача 2
1. 125.
0 ч.
Задача 3
1.1300.
На 12,5 %.
2000.
800.
Приложение к главе 5
ЦЕЛИ
В процессе управления производством зачастую возникают задачи назначения исполнителей на различные виды работ. Например, подбор кадров и назначение кандидатов на вакантные должности, распределение источников капитальных вложений между различными проектами научно-технического развития, распределение экипажей самолетов между авиалиниями.
Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо выполнить М различных работ. Для их выполнения можно привлечь Л/рабочих. Каждый из рабочих за определенную плату готов выполнить любую работу. Выполнение любой работы следует поручить одному рабочему. Требуется так распределить работы между рабочими, чтобы общие затраты на выполнение всех работ были минимальными.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа:
задачу о назначениях в стандартной форме;
открытую задачу о назначениях;
таблицу задачи о назначениях;
матрицу назначений;
эффективность назначений.
МОДЕЛИ
Задача о назначениях в стандартной форме
При рассмотрении задачи о назначениях в стандартной форме предполагается, что количество рабочих равно количеству работ.
Обозначения:
т —число работ;
си —показатель эффективности назначения рабочего / на ' работе у, например, издержки выполнения рабочим
/" работы У;
Хц —переменная модели, ху = 1, если рабочий / используется на работе у, хи = 0 в противном случае.
Модель задачи о назначениях:
т т
Е Исиха -> min;
У = 1 / - I
(1)
5^ = 1, у = 1, ..., т;
У = |
(2)
т
£ Ху = 1, i = 1, ..., т; j-\ '
(3)
Ху > 0, i - 1, ..., т, у = 1,
..., т.
(4)
где (1) — целевая функция (минимум издержек на выполнение всех работ);
(2), (3)—система ограничений, отражающая следующие условия:
— каждая работа должна быть выполнена одним рабочим;
— каждый рабочий может использоваться на одной работе;
— условия неотрицательности переменных.
Для решения задачи о назначениях представим исходную информацию в табличном виде. Для задачи о назначениях, записанной в стандартной форме, количество строк этой таблицы совпадает с количеством столбцов.
Работа 1
Работа j
Работа т
Рабочий 1
Ci 1
с„
Cim
Рабочий/
С,1
Су
Рабочий т
Ст1 ,
С my
Стт
Результатом решения задачи (1)—(4) является вектор х* = |х*|, компоненты которого являются целыми числами.
Оптимальный план задачи о назначениях (1)—(4) можно представить в виде квадратной матрицы назначений, в каждой строке и в каждом столбце которой находится ровно "одна единица. Такую матрицу иногда называют матрицей перестановок. Значение целевой функции (I), соответствующее оптимальному плану, называют эффективностью назначений.
Задача о назначениях в открытой форме
Когда в задаче о назначениях число рабочих не равно числу работ, то возникает задача о назначениях в открытой форме. Такая задача может быть сведена к задаче, сформулированной в стандартной форме.
Пусть, число рабочих равно п , а число работ т, причем п > т. Тогда для решения задачи введем дополнительные фиктивные работы с индексами j = т + 1, ..., п. Для этих работ коэффициенты таблицы назначений Су, / = 1, ..., п; j = т + 1, ..., л, положим равными нулю. Это позволяет нам свести задачу в открытой форме к задаче в стандартной форме.
Если в оптимальном плане задачи исполнитель i назначается на выполнение фиктивной работы — это означает, что он остается без работы. Заметим, что оптимальное значение целевой функции исходной задачи совпадает с оптимальным значением задачи, приведенной к стандартной форме. Таким образом эффективность назначений в результате такого преобразования не меняется.
Следует особо отметить тот факт, что задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, в которой количество пунктов производства совпадает с количеством пунктов потребления, а все величины спроса и величины предложения равны.
ПРИМЕРЫ
Пример 1
Фирма получила заказы на разработку пяти программных продуктов. Для выполнения этих заказов решено привлечь пятерых наиболее опытных программистов. Каждый из них должен написать одну программу. В следующей таблице приведены оценки времени (в днях), необходимого программистам для написания каждой программы. Оценки даны самими программистами, и у фирмы нет основания им не доверять.
Программа 1
Программа 2
Программа 3
Программа 4
Программа 5
Галкин
46
59
24
62
67
Палкин
47
56
32
55
70
Малкин
44
52
19
61
60
Чалкин
47
59
17
64
73
Залкинд
43
65
20
60
75
Как распределить работы между программистами, чтобы общее количество человеко-дней, затраченное на выполнения всех пяти заказов, было минимальным?
Ответьте на следующие вопросы'.
Какое минимальное количество человеко-дней необходимо для выполнения всех пяти заказов?
Какую программу следует поручить Малкину?
Какую программу следует поручить Залкинду?
Решение
Таблица задачи о назначениях имеет вид:
Программа 1
Программа 2
Программа 3
Программа 4
Программа 5
Галкин
46
59
24
62
67
Палкин
47
56
32
55
70
Малкин
44
52
19
61
60
Чал кин
47
59
17
64
73
Залкинд
43
65
20
60
75
Решая поставленную задачу, получаем следующий результат:
Программа 1
Программа 2
Программа 3
Программа 4
Программа 5
Галкин
0
0
0
0
1
Палкин
0
0
0
1
0
Малкин
0
1
0
0
0
Чалкин
0
0
1
0
0
Залкинд
1
0
0
0
0
Матрица назначений имеет вид:
Галкин
Программа 5
67
Палкин
Программа 4
55
Малкин
Программа 2
52
Чалкин
Программа 3
17
Залкинд
Программа 1
43
Итого:
234
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Минимальное количество человеко-дней, необходимое для выполнения всех пяти заказов, равно 234.
Ответ на вопрос 2
Малкину следует поручить программу 2.
Ответ на вопрос 3
Залкинду следует поручить программу 1.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Задача о назначениях относится к классу задач-.
линейного программирования;
эконометрических;
статистических;
имитационных;
ни к одному из указанных классов.
Вопрос 2
Имеются две работы г,, г2 и двое рабочих /и /2. Каждый рабочий может выполнить любую работу. Элемент а^ матрицы А показывает время, необходимое рабочему i для выполнения работы j. Решите задачу о назначениях. Чему равно минимальное время выполнения всех работ?
Матрица А имеет вид:
Г2
А4
/26
5
6
Возможные ответы;
1) 9; 2) 10; 3) И; 4) 12; 5) 13.
Вопрос 3
Как известно, задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Укажите наиболее правильную, из приведенных ниже, характеристику транспортной таблицы, построенной для задачи о назначениях.
Возможные ответы;
объемы потребления равны единице, объемы поставок отличны от единицы;
объемы поставок равны единице, объемы потребления отличны от единиц;
матрица транспортных затрат квадратная, объемы поставок отличны от единиц;
матрица транспортных затрат квадратная, объемы потребления отличны от единиц;
матрица транспортных затрат прямоугольная, объемы поставок равны единице.
Вопрос 4
Оптимальный план задачи о назначениях можно представить в виде;
квадратной матрицы, в каждой строке которой находится одна единица;
квадратной матрицы, в каждом столбце которой находится одна единица;
квадратной матрицы, в каждой строке и в каждом столбце которой находится одна единица;
квадратной матрицы, в каждой строке которой находится хотя бы одна единица;
квадратной матрицы, в каждом столбце которой находится хотя бы одна единица.
Вопрос 5
Имеются две работы г,, г2 и трое рабочих /,, /2, /3. Каждый рабочий может выполнить любую работу. Элемент а^ матрицы А показывает время, необходимое рабочему / для выполнения работы j. Решите задачу о назначениях. Чему равно минимальное время выполнения двух работ?
Матрица А имеет вид:
Га
Г2
/1
5
6
/г
2
3
4
7
Возможные ответы;
5; 2) 6; 3) 7; 4) 8; 5) 9.
ЗАДАЧИ .
Задача 1'
Фирма получила заказы на разработку пяти программных продуктов.
На фирме работают шесть квалифицированных программистов, которым можно поручить выполнение этих заказов. Каждый программист дал оценку времени, требующегося ему для разработки программ. Эти оценки приведены в следующей таблице.
Программа 1
Программа 2
Программа 3
Программа 4
Программа 5
Галкин
46
59
24
62
67
Палкин
47
56
32
55
70
Малкин
44
52
19
61
60
Чал кин
47
59
17
64
73
Залкинд
43
65
20
60
75
Кузьмин
41
53
28
54
68
Выполнение каждого заказа фирма решила поручить одному программисту. Ясно, что один из программистов не получит заказа.
Программист, занятый выполнением заказа, будет получать 1 тыс. руб. в день. Как фирме следует распределить работу между программистами, чтобы минимизировать общие издержки на разработку программ?
Ответьте на следующие вопросы'.
Каковы минимальные предполагаемые издержки фирмы на выполнения всех пяти заказов?
Какую программу следует поручить Малкину?
Какую программу следует поручить Залкинду?
Кто из программистов не получит заказа?
Стало известно, что не все программисты согласились с условиями оплаты, обосновывая это тем, что имеют разную квалификацию. В результате была достигнута договоренность о следующих размерах оплаты в случае, если программист получит заказ.
Программист
Оплата, тыс. руб. в день
Галкин
1
Палкин
2
Малкин
1,5
Чалкин
2
Залкинд
1,5
Кузьмин
2
Изменится ли распределение работ между программистами при новых условиях оплаты труда?
Каковы будут в этом случае общие минимальные издержки?
Кто из программистов в этом случае не получит заказа?
Задача 2
Пять учебных групп экономического факультета РУДН собираются посетить во время производственной практики 10 предприятий и НИИ. Каждая учебная группа может посетить две организации. В результате опроса студентов выявлены предпочтения каждой группы («1» означает «наибольшее предпочтение», а «10» — «наименьшее предпочтение). Предпочтения каждой группы показаны в таблице.
Гоуппа 1
Гоуппа 2
Гоуппа3
Гоуппа4
Гоуппа 5
Предприятие 1
3
2
1
4
2
Предприятие 2
2
5
3
3
5
Предприятие 3
1
1 .
2
1
1
Предприятие 4
4
3
5
2
3
Предприятие 5
6
7
4
6
6
НИИ-1
7
4
8
7
4
НИИ-2
10
8
6
10
9
НИИ-3
5
6
7
5
10
НИИ-4
9
9
10
9
8
НИИ-5
8
10
9
8
7
Требуется определить, какие две организации должна посетить каждая группа так, чтобы в максимальной степени учесть предпочтения всех студентов?
Ответьте на следующие вопросы;
Чему равна сумма баллов, соответствующая наилучшему распределению групп по организациям?
Укажите номер группы, которая должна посетить НИИ-2?
Какую еще организацию должна посетить эта группа?
Деканат внес предложение, чтобы каждая группа посетила одно предприятие и одно НИИ. Укажите вариант распределения посещений для этого случая.
Чему равна сумма оценочных баллов в этом случае?
Укажите номер группы, которая должна посетить НИИ-5?
Какую еще организацию должна посетить эта группа?
Задача 3
Самолеты компании «Аэрофлот» летают между Москвой и Сочи. Полеты беспосадочные. График движения показан в таблице.
Рейсы из Москвы в Сочи
Рейсы из Сочи в Москву
Номер рейса
Время отправления
Время прибытия
Номер рейса
Время отправления
Время прибытия
110
6:00
9:00
210
7:00
10:00
120
8:00
11:00
220
10:00
13:00
130
12:00
15:00
230
13:00
16:00
140
15:00
17:00
240
16:00
19:00
150
19:00
22:00
250
21:00
24:00
160
23:00
2:00
260
0:00
3:00
Рейсы могут обслуживаться экипажами из московского или сочинского отрядов. Экипаж выполняет пару рейсов — «туда и обратно». Время, необходимое для подготовки самолета к очередному рейсу — один час. Требуется определить, какую пару рейсов следует выполнять каждому экипажу и из какого отряда, московского или сочинского, должен быть соответствующий экипаж. Распределение рейсов необходимо осуществить таким образом, чтобы суммарное время ожидания вылета в «чужом» городе было минимальным. Время ожидания не включает тот час, который уходит на подготовку самолета к очередному рейсу.
Ответьте на следующие вопросы.
Верно ли, что рейс 210 должен выполняться московским экипажем?
Верно ли, что рейсы 240 и 160 должны выполняться одним экипажем?
Верно ли, что рейс 160 должен обслуживаться сочинским экипажем?
Каково минимальное общее время пребывания экипажей в «чужих» городах?
Какое количество рейсов должны выполнять московские экипажи?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 - 1, 2 - 2, 3 - 5, 4 - 3, 5 - 3.
Ответы на задачи
Задача 1
228 тыс. руб.
Программу 5.
Программу 1.
Заказа не получит Галкин.
351 тыс. руб.
Заказа не получит Палкин.
Задача 2
Группа 3.
Предприятие 5.
42.
Группа 5.
Предприятие 1.
Задача 3
Нет, рейс 210 должен выполняться сочинским экипажем.
Да.
Да.
9 часов.
8 рейсов.
Глава 6
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования метода динамического программирования для решения нелинейных оптимизационных задач путем их декомпозиции и многоэтапного решения. На каждом этапе решается упрощенная задача. Результаты решения этих задач сохраняются и используются для решения исходной задачи.
Метод динамического программирования достаточно универсален. Он с успехом используется при решении задач распределения ресурсов, загрузки и замены оборудования, выбора оптимального управления предприятием.
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
оптимальное управление;
метод динамического программирования;
распределение ресурсов в динамике.
МОДЕЛИ
Постановка задачи динамического программирования
Динамическое программирование представляет собой специальный метод оптимизации решений, приспособленный к многошаговым или многоэтапным операциям.
Предположим, что исследуемая операция представляет собой процесс, развивающийся во времени и состоящий из серии этапов
(или шагов). Существуют операции, которые распадаются на ряд шагов совершенно естественным образом (например, при разработке плана хозяйственной деятельности фирмы (предприятия) на долгосрочный период естественно принять год за один шаг). В других операциях такое деление можно выполнить искусственно, выбирая некоторую длину, интервал времени, в качестве продолжительности шага. Так как изучаемый процесс является управляемым, то на каждом шаге должно приниматься решение, от которого зависит успешное выполнение данного шага и операции в целом. Таким образом, управление всей операцией складывается из ряда элементарных, «пошаговых» управлений.
Рассмотрим пример многошаговой операции планирования хозяйственной деятельности объединения (группы) промышленных предприятий П,, П2, ..., ПА на некоторый период времени Т, состоящий из m хозяйственных лет.
Предположим, что в начале периода планирования на развитие группы предприятий выделены капитальные средства в размере Ко, которые предназначены для расходования в процессе функционирования системы. Эти средства определенным образом должны быть распределены между предприятиями рассматриваемой группы. Считается, что предприятие за год приносит доход, величина которого зависит от вложенных средств. В начале каждого хозяйственного года сумма имеющихся средств должна быть перераспределена между предприятиями — каждому предприятию выделяется определенная доля средств.
При разработке операции планирования возникает вопрос: как в начале года нужно распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всей группы предприятий за весь период Т был максимальным?
Приведенный пример является типичной задачей динамического программирования, поскольку здесь рассматривается управляемый процесс. Управление состоит в распределении и перераспределении средств в ходе процесса. Шагом управления является выделение определенных средств каждому предприятию в начале хозяйственного года. Математическая формулировка задачи выглядит следующим образом.
Предположим, что в начале некоторого года /" предприятиям П|, П2, ..., ПА. выделяются соответственно средства Хп, Х^, ..., Xik. Совокупность этих значений представляет собой не что иное, как управление на шаге h
U^^X^X^, _XikY
А управление операцией в целом выражается как совокупность всех шаговых управлений:
и = (U„ иъ ..., и т\
Управление может удовлетворительным и неудовлетворительным, оно может быть эффективным или неэффективным. Как правило, эффективность управления оценивается при помощи того же самого показателя W, что и эффективность самой операции в целом. В рассматриваемом нами примере показатель эффективности операции (целевая функция задачи) выражается как суммарный доход от всего комплекса предприятий за определенное количество (т) лет. Величина этого показателя зависит от качества управления за весь период времени U, т.е. от всей совокупности пошаговых управлений:
w = W<UVW<Uv иъ ..., ит\
Возникает вопрос: как выбрать пошаговые управления Ux, иъ ..., Um, чтобы величина показателя эффективности была наибольшей (максимальной) из всех возможных?
Поставленная таким образом проблема называется задачей оптимизации управления, а управление, при котором показатель становится максимальным, носит название оптимального управления. В дальнейшем мы будем обозначать оптимальное управление (в отличие от управления в общем случае (/) буквой и. Таким образом, оптимальное управление и многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:
и = (ф, и2, umY
Задача оптимизации управления выглядит следующим образом: определить оптимальное управление на каждом шаге процесса м, (/" = 1, 2, ..., /и) и, следовательно, оптимальное управление всей операцией и.
Заметим, что в рассматриваемом нами примере (управление распределением финансовых средств группы предприятий) показатель эффективности представляет собой сумму доходов за все отдельные годы исследуемого периода времени:
W = W, + w2 + ... + wm,
где w, — доход от всей системы за год L
Показатель, обладающий таким свойством, называется аддитивным. Далее будут обсуждаться свойства задач оптимизации управления только с аддитивными показателями эффективности.
Рассмотрим задачу динамического программирования в общем виде. Предположим, что исследуется операция с аддитивным показателем эффективности, состоящая из некоторого количества (т) шагов. Пусть на каждом шаге используется некоторое управление U, и требуется определить оптимальное управление
и = (и,, и2, ..., ww),
при котором показатель эффективности Ц/ = w, + w2 + ... + wm становится максимальным.
Поставленную задачу можно решать разными способами:
сразу искать оптимальное управление для всего периода;
строить его постепенно, шаг за шагом, таким образом, что на каждом этапе расчета оптимизируется только один шаг процесса.
Обычно второй способ оптимизации оказывается существенно проще, чем первый, особенно при большом числе шагов процесса. Реализация такого подхода составляет основное содержание метода динамического программирования. При этом управление на каждом шаге не является изолированным (независимым от других шагов); а определяется с учетом возможных последствий в будущем. Оно должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Управление, при котором эффективность данного шага максимальна, но при этом расходуется слишком много ресурсов, вследствие чего на следующих шагах нельзя получить хорошие результаты, является неправильным, ошибочным.
Возьмем следующий пример: пусть требуется составить план работы группы промышленных предприятий, часть которых занята выпуском тканей, а остальные производят ткацкие станки для предприятий первой подгруппы. Задача состоит в получении за планируемый период максимально возможного объема выпуска тканей. Рассмотрим планирование распределения средств (капитальных вложений) на первый год. Если исходить из локальных интересов первого года (шага), то нужно было бы все имеющиеся средства вложить в производство тканей, пустить все имеющиеся станки на полную мощность и добиться к концу года максимального выпуска потребительской продукции. Однако при таком режиме работы некоторые станки выйдут из строя, и мы не сможем их отремонтировать или заменить, поскольку на это не выделено средств. Следовательно, необходимо выделить
определенную долю средств для группы предприятий, которые выпускают новые машины и ремонтируют старые.
Планируя многошаговую операцию нужно выбирать управление на каждом шаге с учетом его последствий для будущих периодов времени. Но из этого правила есть одно исключение: есть шаг, который можно планировать без учета будущих последствий, а именно последний шаг планируемого периода. Действительно, его план можно рассчитывать так, чтобы он принес наибольший локальный эффект. Рассчитав оптимальный план для последнего периода, подобные рассуждения можно повторить, считая последним этапом — предыдущий. Подобную процедуру можно произвести для всей цепочки шагов.
Таким образом, процесс динамического программирования осуществляется от конца к началу: сначала находится оптимальный план для последнего шага т. На этом шаге делаются предположения (гипотезы) относительно плана предпоследнего шага <т - 1), и для каждой гипотезы ищется управление, при котором эффект на последнем шаге будет максимальным. Решив эту задачу, получим так называемое условное оптимальное управление шага т, т.е. такое управление, которое нужно применить, если шаг (/и — I) получил данный вариант плана.
Предположим, что вышеописанная процедура выполнена и для каждого варианта плана на шаге (m - 1) известно условное оптимальное управление на шаге т и соответствующий ему условный оптимальный выигрыш. Далее происходит переход к оптимизации управления на предпоследнем шаге (w - 1). Для этого делаются все возможные предположения о тех вариантах плана, которые могут быть выполнены для шага (/и - 2), и для каждого из них находится управление шаге (/и - 1), чтобы эффект за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. После чего оптимизируется управление на шаге (/и - 2) и т.д. То есть на каждом шаге процесса ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого (или запланированного) в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение в указанном выше смысле, называется условным оптимальным управлением на данном шаге.
Далее будем исходить из того, что условное оптимальное управление известно на каждом шаге, тем самым нам 'известно, что делать дальше (или как планировать) при любом состоянии операции к началу каждого шага. Тогда можно определить
уже не «условное», а истинное оптимальное управление на каждом шаге.
В самом деле, предположим, что нам известно начальное состояние процесса (операции), обозначим его 50. Мы знаем, что делать на первом шаге — нужно использовать то условное оптимальное управление, которое выработано для первого шага при условии, что в начале было состояние 50. В результате выполнения этого управляющего воздействия оптимизируемая система перейдет после первого шага в некоторое состояние 5Н но для этого состояния уже известно условное оптимальное управление на втором шаге и т.д. Таким образом, будет найдено оптимальное управление процессом
и = Ц, и2, ..., и^,
приводящее к максимально возможному эффекту И-^.
Приведенное описание показывает, что в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс выполняется дважды:
первый раз он идет от конца к началу, в результате чего находятся условные оптимальные управления на всех шагах и условный оптимальный выигрыш на каждом шаге, начиная от первого и до конца процесса;
второй раз он проходит от начала к концу, при этом определяются истинные (не условные) управления на всех шагах операции и тем самым находится оптимальное управление всей операцией в целом.
На практике очень часто встречаются многоэтапные операции, связанные с необходимостью найти эффективное распределение некоторых видов и запасов ресурсов (сырья, рабочей силы, денежных средств и т.п.) между предприятиями одной отрасли или региона, а также между различными отраслями промышленности. Важное место занимают задачи распределения капитальных средств во времени, в формулировку которых включается требование получение максимального дохода за фиксированный период времени.
Моделирование многошаговых процессов
Многошаговый процесс принятия решения часто применяется при решении задачи распределения определенного количества ресурса (/?) во времени (по годам) или между предприятиями одной фирмы с целью получения наибольшего полезного эффекта.
При этом целевая функция задачи является нелинейной, обычно заданной в виде таблицы, а возможные варианты планов оказываются дискретными величинами.
В обшей форме задача динамического программирования трактуется как проблема управления экономической системой на некотором промежутке времени (в несколько лет). Путем осушествления некоторого управления система (например, фирма) переходит из некоторого начального состояния в заданное конечное состояние.
Например, выполнен некоторый инвестиционный проект, построен новый производственный объект. Этот переход может быть реализован различными способами. Задача состоит в том, чтобы из множества возможных уравнений выбрать то, которое дает максимальное значение полезного эффекта (дополнительного дохода, прибыли и т.п.).
Применительно к проблеме распределения ресурсов задача динамического программирования может быть представлена в следующей форме.
Фирма выделяет капитальные средства в размере R рублей для использования их для строительства крупного промышленного объекта в течение и лет (/,, ..., tn). Этот объект вводится в эксплуатацию по частям и, таким образом, фирма получает дополнительный доход по мере готовности той или иной части объекта.
Обозначим объем средств, выделяемых для стройки в году tj через Хр а ожидаемый дополнительный доход (локальную целевую функцию) — через fj(Xj).
Требуется найти распределение капиталовложений по годам, обеспечивающее максимальное увеличение дополнительного дохода фирмы.
Математическая постановка задачи состоит в определении наибольшего значения нелинейной функции
£/Дх,)max (1)
7 = 1
при условиях
= (2)
Xj > 0; j = 1, ..., п. (3)
План распределения капиталовложений являющийся решением поставленной задачи, называется оптимальным планом распределения.
Принцип оптимальности
При решении математической задачи (1)—(3) исходят из того, что максимальный доход за п лет может быть представлен как максимум суммы максимального дохода за (и - 1) первых лет и дохода года и. Максимум определяется по всем возможным вариантам капиталовложений хп в течение года п. Таким образом, -
Fopl = о™Л/Д(х") + ^'^"^V (4)
где Fn , — функция максимального дохода за (я - I) лет, которая строится по формуле аналогичной (4). Здесь существенным является то, что в формуле (4) фигурирует не максимальный доход за (я - I) лет, а значение функции максимального дохода (интервальной целевой функции), зависящее от решения на последнем шаге (величины хпУ
Это замечание распространяется на любой шаг j процесса принятия решений (определение величины х^ и формулируется обычно в виде принципа оптимальности Р. Беллмана.
Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом у, надо выбрать уравнение (Xj) на этом шаге так, чтобы полезный эффект на данном шаге плюс оптимальный полезный эффект на всех предыдущих шагах был максимальным.
(8)(8)Исходя из принципа оптимальности можно построить следующие рекуррентные соотношения:
(8)
(8)
F^x) = max {/(^)};
0 < .v, < .v
(5)
F^x^ max {/^(x - x2) +/2(х2)};
0 < < x
(6)
^(^ = oT/L^-'^ ’^+ ^^^V
(7)
F„(x) = max ^Fn_tU - х„) + /Дх,,^, 0&х <х
которые определяют функции максимального дохода для каждого шага (года периода).
Решение задачи распределения инвестициймежду предприятиями фирмы
Рассмотрим производственную фирму, в составе которой находятся и предприятий. Руководство фирмы принимает решение о выделении средств в размере R, которые предназначены для осуществления инновационных мероприятий на всех предприятиях фирмы в течение года. В результате проведенных исследований для каждого предприятия известна зависимость между объемом инвестиций (х^ и ожидаемой величиной прироста дохода fj(x). Зависимость задана в табличной форме.
Требуется найти такое распределение инвестиций между предприятиями, которое позволило бы получить максимум ожидаемого прироста дохода.
Математическая модель задачи имеет вид:
п
F = ^ fjUj)-> max(9)
7 = 1'
при условиях:
=(10)
7 = 1
х, > 0.
Данная задача является задачей динамического программирования.
Рассмотрим следующую задачу.
Имеется производственная фирма, в состав которой входят 3 предприятия. Руководство фирмы принимает решение о выделении 500 млн руб. для осуществления инновационных мероприятий на всех предприятиях фирмы в течение года. Функции дохода fj заданы для каждого объема инвестиций х в табличной форме.
Объем инвестиций х (млн руб.)
Прирост дохода
б
h
h
0
0
0
0
10
3
6
4
20
5
8
5
30
9
9
11
40 '
11
15
12
50
17
19
18
Для решения этой задачи составляются рекуррентное соотношение Беллмана. В данном случае оно состоит из трех уравнений:
F|(x> =(И)
^(•Y) = 0<max^{/2(x2) + F|(x - х2)};(12)
^(^ = ()тах^{/з(х3) + F2(x - х3)}.(13)
Для расчета функций ожидаемого максимального дохода используем значения функции дохода fj(xj).
X
0
10
20
30
40
50
F,
0
3
5
9
11
17
В силу монотонности значения функции F|(x,) совпадают со значениями /|(х,).
Г2(0) = 0.
F2(IO) = max{/2(0) + ^(10);/2(10) + ^(0)} = max{3; 5;} = 5.
F2(20) = max{/2(0)+ ^(20);/2(10) + ^(10);/2(20) + ^ (0)} = = max {5; 9; 8} = 9.
F2(30) = max {/2(0) + F,(30);/2(10) + ^(20); /2(20) + ГДЮ); /2(30) + ^(O)} = max{9; 10; H; 9} = 11.
F2(40) = max {/2(0) + F,(40);/2(10) + F,(30);/2(20) + F,(20); /2(30)+F,(10);/2(40) +F,(0)} = max{ll; 14; 13; 12; 15} = 15.
F2(50) = max {/2(d) + F,(50);/2(10) + ^(40);/2(20) + F,(30); /2(30) + ^(20);/2(40) + ^(10);/2(50) + F,(0)} = = max{17; 16; 17; 14; 18; 19} = 19.
Значения функции /Д-Д можно представить в виде таблицы.'
X
0
10
20
30■
40
50
f2
0
5
9
11
15
19
Для того чтобы получить оптимальный план распределения достаточно найти значение F^R), в данном случае F3(50), поскольку все выделенные средства должны быть освоены.
F3(50) = max {/3(0) + F2(50);/3(10) + F2(40);/3(20) + F2(3O);
/3(ЗО) + F2(20);/3(40) + F2(10);/3(50) + F2(0)} =
= max{19; 19; 16; 20; 17; 18} = 20.
Отсюда следует, что оптимальный план распределения средств выглядит следующим образом:
х, = 10; х2 = 10; х3 = 30 (млн руб.).
При этом ожидаемый годовой прирост дохода Fopl = 20 млн руб.
ПРИМЕРЫ
Пример 1
Имеется производственная фирма, в состав которой входят 2 предприятия. Руководство фирмы принимает решение о выделении 300 млн руб. для осуществления инновационных мероприятий на предприятиях фирмы в течение года. Функции дохода^ заданы для каждого объема инвестиций хв табличной форме.
X,, х2
0
100
200
300
6
0
30
50
90
6
0
50
80
90
Определить функции максимального дохода.
Решение
Запишем модель задачи:
F = f\kxx> + /2(х2) ~> max(14)
при условиях
х, + х2 = 300;(15)
X; > 0; х2 > 0.(16)
Вычислим функции максимального дохода. В данном примере Fx совпадает с /|(х,). Согласно принципу оптимальности можно записать следующие соотношения [см. (6)]:
Т2(0) = 0.
F2(l00) = max{F,(100) + /2(0); ^ (0) + /2(100)} =
= max {30 + 0; 0 + 50) = 80.
F2(200) = max {^(200) + /2(0); ^(100) + /2(100);
^(0) + /2(200)} = max{50; 30 + 50; 80} = 80.
F2(300) = max {F,(300) + /2(0); ^(200) + /2(100);
F,(100) + /2(200); ^(0) + /2(300)} =
= max {90; 50 + 50; 80 + 30; 90} = 110.
Таким образом, оптимальный план задачи (14)—(16) следующий:
X; = 100; х2 = 200; Fop, = 110 (млн руб.).
Пример 2
Нефтедобывающая компания выделила 3 млрд руб. на разработку новых месторождений. Проект будет осуществляться в течение двух лет. Данные о затратах и ожидаемом чистом доходе (в млрд руб.) для первого и второго года представлены в таблице.
/1, x2
0
1
2
3
0
0,3
0,5
0,9
f2(X2)
0
0,5
0,8
0,9
Требуется определить оптимальный план распределения имеющихся средств по суммам и по годам, который обеспечивает наибольшее значение чистого дохода в течение двух лет.'
Решение
Подставим исходные данные в формулу для вычисления интервальной функции дохода для первого года:
= max /(х,),■
0 < А') < Л- получаем:
F,(0) = 0;F,(l) = 0,3;F,(2) = 0,5; ТДЗ) = 0,9.
Затем построим интервальную характеристику дохода для всего периода времени (первый и второй годы):
С2(х, х2) = /2(х2) + F^x-x2\
Интервальная функция дохода для всего периода рассчитывается по формуле:
F^x) = max G(x, х7),О - х2- х
тогда имеем
^(О) = 0;
F2(l) = ^axjo + 0,3; 0,5 + 0} = 0,5;
^(2) = отахДО + 0,5; 0,5 + 0,3; 0,8 + 0} = 0,8;
^(З) = max {0 + 0,9; 0,5 + 0,5; 0,8 + 0,3; 0,9 + 0} = 1,1.
Из последнего соотношения вытекает, что наибольший чистый доход за два года будет получен при использовании всех выделенных средств (3 млрд руб.) и составит 1,1 млрд руб.
При этом оптимальный план распределения имеет вид:
л, = 1; х2 = 2.
Это означает, что в течение первого года следует освоить вложения в сумме 1 млрд руб., а на второй год 2 млрд руб.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
План распределения имеет вид х, = 1; х2 = 2.
Ответ на вопрос 2
Чистый доход составит 1,1 млрд рублей.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ•
Вопрос 1
Требуется определить точку максимума локальной функции дохода. Предполагается, что эта функция непрерывная и дифференцируемая на всем отрезке изменения аргумента — объема
производства продукции. Каковы необходимые и достаточные условия того, что некоторая точка является точкой локального максимума данной функции?
Возможные ответы;
равенство нулю первой производной от функции в данной точке;
первая производная в точке равна нулю, а вторая производная отрицательна;
первая производная равна нулю, а вторая производная положительна;
точка является правой границей отрезка изменения аргумента и первая производная неотрицательна.
Вопрос 2
Требуется построить интервальную функцию дохода по заданным локальным функциям дохода для всех шагов процесса. При каких условиях эти функции совпадают (имеют одинаковые выражения)?
Возможные ответы;
всегда для первого шага процесса;
для первого шага процесса, если локальная функция дохода на первом шаге монотонно возрастающая;
предполагаемое совпадение невозможно, так как аргументы функций различные.
Вопрос 3
Предположим, что локальная функция дохода задана в дискретной форме и определена в четырех точках отрезка изменения аргумента. Требуется найти представление этой функции в непрерывном виде. Какую из формул интерполирования следует применить в этом случае?
Возможные ответы;
формулу линейной интерполяции;
формулу квадратичной интерполяции;
формулу кубичной интерполяции (многочлен третьей степени).
Вопрос 4.
Пусть требуется найти оптимальный план дискретной задачи распределения ограниченного количества ресурса между предприятиями. Для решения этой задачи строится интер-
вальная функция дохода. Для каких значений аргумента достаточно провести расчет ее значений, чтобы получить оптимальный план распределения ресурса?
Возможные ответы;
для всех значений аргумента, представленных в таблице определения локальных функций;
только для двух последних табличных значений аргумента;
только для последнего значения аргумента.
Вопрос 5
Предположим, что некоторая функция является монотонно возрастающей на всем отрезке своего определения. В какой точке достигается максимальное значение такой функции?
Возможные ответы;
в начальной точке отрезка (на левом конце отрезка);
в некоторой внутренней точке отрезка;
в конечной точке отрезка (на правом конце отрезка).
ЗАДАЧИ
Задача 1
Используя исходные данные-задачи 1, построить при помощи кубической интерполяции непрерывные функции пошагового дохода (локальные целевые функции) /|(х,) и /2(х2) для 2 лет рассматриваемого периода.
Задача 2
Используя исходные данные задачи 1 и результаты решения задачи 2, разработать постановку и выполнить нахождение непрерывного варианта оптимального плана распределения средств нефтедобывающей компании по годам периода.
Задача 3
Погрузить в самолет грузоподъемностью 8,3 т груз, состоящий из предметов 4 типов таким образом, чтобы стоимость всего груза была максимальной.
Данные по каждому типу груза приведены в таблице.
Тип груза
1
2
3
4
Количество, т
2,4
2,2
1,6
1,0
Стоимость, тыс. руб.
960
850
500
200
Задача 4
Требуется распределить между тремя предприятиями фирмы капитальные вложения в сумме 50 млн руб. так, чтобы величина прироста чистого дохода была бы максимальной.
Данные по приросту дохода в зависимости от суммы инвестиций приведены в таблице.
Инвестиции, млн руб.
Прирост дохода, млн руб.
Объект 1
Объект 2
Объект 3
0
0
0
0
10
3
6
4
20
5
8
5
30
9
9
11
40
11
15
12
50
17
19
18
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
- 2, 2 - 2, 2 - 3, 4 - 3, 5 - 3.
Ответы на вопросы задач
Задача 1
/2(х2) = —0,1х2 + 0,6х2.
Задача 2
X] = 1; х2 = 2, результат совпадает с решением поставленной задачи 1 в дискретном варианте.
' Задача 3
Х| = 3; х2 = х3 = 0; х4 = 1. Оптимальная стоимость груза 3080 тыс. руб.
Задача 4
Х| = 10; х2 = 10; х3 = 30 млн руб. Оптимальный суммарный прирост чистого дохода — 20 млн руб.■
Глава 7
СЕТЕВОЙ АНАЛИЗ ПРОЕКТОВ.МЕТОД СРМ
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования метода СРМ (Critical Path Method — метод критического пути) для контроля сроков выполнения проекта. Таким проектом может быть разработка нового продукта или производственного процесса; строительство предприятия, здания или сооружения; ремонт сложного оборудования и т.д. При реализации проекта составляется график выполнения работ. Для того чтобы проект был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки выполнения этих работ. Взаимосвязанность работ (операций) является усложняющим фактором. Некоторые операции зависят от выполнения других работ и не могут начаться, пока предшествующие работы не будут завершены.
Важной предпосылкой применения метода СРМ является предположение о том, что время выполнения каждой работы точно известно. В результате использования метода СРМ удается получить ответы на следующие вопросы.
За какое минимальное время можно выполнить проект?
В какое время должны начаться и окончиться отдельные работы?
Какие работы являются «критическими» и должны быть выполнены точно в установленное время, чтобы не сорвать срок выполнения проекта?
На какое время можно отложить срок выполнения «некритической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполнения проекта?
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:
наиболее раннее время начала работы;
наиболее раннее время окончания работы;
наиболее позднее время начала работы;
наиболее позднее время окончания работы;
критический путь;
длину критического пути;
запас времени на выполнение работы.
МОДЕЛИ
Исходным шагом для применения метода СРМ является описание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Существует два способа описания проекта: табличный и графический.
Рассмотрим следующую таблицу, содержащую описание проекта.
Работа
Непосредственно предшествующая работа
Время выполнения
А
-
1а
В
-
1в
С
в
tc
D
А, С
to
В первом столбце таблицы указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во втором столбце указаны работы предшествующие данной. У работ А и В нет предшествующих. Работе С предшествует работа В. Это означает, что работа С может быть начата только после завершения работы В. Работе D предшествуют две работы: А и С. Это означает, что работа D может быть начата только после завершения работ А и С. В третьем столбце для каждой работы указано время, необходимое для ее выполнения.
По этим данным можно построить графическое описание проекта (рис. 7.1).
Здесь проект представлен в виде графа с вершинами 1, 2, 3, 4 и дугами А, В, С, D. Каждая вершина графа отображает определенное событие. Событие 1 означает начало выполнения проекта [иногда такое событие обозначают буквой s (start)]. Событие 4 означает завершение проекта [обозначается буквой f (finish)].
Любая работа проекта — это упорядоченная пара двух событий. Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3). Работа D — упорядоченная пара событий (3, 4). Событие проекта состоит в том, что завершены все работы, «входящие» в соответствующую вершину. Например, событие 3 состоит в том, что завершены работы А и С.
Рассмотрим другой проект, представленный далее в виде таблицы.
Работа
Непосредственно предшествующая работа
Время выполнения
А
-
В
-
tn
С
в
tc
D
А, С
to
Е
С
tE
F
С
tF
G
D, Е, F
to
Графическое описание проекта, построенное по этой таблице, имеет следующий вид (рис. 7.2).
В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, которые указаны в таблице, использованы две «фиктивные» работы (3, 4) и (5, 6) (на рисунке они показаны пунктиром). Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются
в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами.
Получив графическое представление проекта, мы обеспечили возможность проведения расчетов по методу СРМ. Дадим некоторые определения.
Путь — последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину. Например (см. рис. 7.2), {Л, D, G} и {С, F} — два различных пути.
Длина пути — суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.
Критический путь — путь, суммарная продолжительность выполнения всех работ которого является наибольшей.
Минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта равно длине критического пути. Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время, то время окончания проекта будет отложено на такое же время. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя бы одной работы на критическом пути.
Для того чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот или те из них, которые имеют наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для больших проектов реализация такого подхода связана с вычислительными трудностями. Метод СРМ позволяет получить критический путь намного проще.
Пусть i и j — события проекта (вершины графа), (/, у") — работа проекта, s — событие «начало проекта» {start), f— событие «окончание проекта» {finish), Т — длина критического пути.
Введем следующие обозначения:
tv jy —время выполнения работы (/, у);
ES(i,n — наиболее раннее время начала работы {i,j);
EF^ jy —наиболее раннее время окончания работы (/, у);
LS^ jy — наиболее позднее время начала работы(/, у);
LF^ jy — наиболее позднее время окончания работы {i,j);
Е, —наиболее раннее время наступления события i;
Lj —наиболее позднее время наступления события /;
R(l ^ —полный резерв времени на выполнение работы U, j) (время, на которое может быть отложена работа (/,у) без увеличения продолжительности выполнения всего проекта);
r^jy — свободный резерв времени на выполнение работы {i, j) (время, на которое может быть отложена ра-
бота (z, у) без увеличения наиболее раннего времени Ej наступления последующего события у).
Если (z,y) — работа проекта, то имеют место следующие соотношения:
для любого у справедливо ESy ^ = Еу
для любого /" справедливо LFy ^ = Ly
Для того чтобы использовать метод СРМ для нахождения критического пути, необходимо для каждой работы (/, у) определить величины:
наиболее раннее время начала работы — ESy у);
наиболее раннее время окончания работы — EFy у,
наиболее позднее время начала работы — LSy ^
наиболее позднее время окончания работы — LEy jy
Метод СРМ описывается следующими соотношениями.
ESy,jy = 0 для любой работы (s, у"), выходящей из стартовой вершины s проекта.
ЕЕи ^ = ESy J} + ty Z) = Е, + ty jy наиболее раннее время окончания любой работы (z, у) превышает наиболее раннее время начала этой работы (время наступления предшествующего события z) на время ее выполнения.
ES{q j} = max EFy ^ = Eq, наиболее раннее время начала работы (у, z) равно наибольшему значению наиболее раннего времени окончания непосредственно предшествующих ей работ..
Т = Еу = max ЕЕу уу длина критического пути равна наиболее раннему времени завершения проекта.
LEy у) = Т, наиболее позднее время окончания любой работы, завершающей проект, равно длине критического пути.
LSy ^ = LEy j^ - ty у = Lj - ty jy наиболее позднее время начала любой работы меньше наиболее позднего времени окончания этой работы (времени наступления последующего события) на время ее выполнения.
LEy q) = min LS^q j^ = L наиболее позднее время окончания работы (z, q) равно наименьшему из значений наиболее позднего времени начала непосредственно следующих за ней работ.
RUJ)= LS(iJ) ~ ESy^ = LFUа) - EFy j} = Lj-ty - Ly полный резерв времени выполнения любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала или разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее окончания.
ru.n = 1Г ESu.n - Чм> = Lr EEu.h = Lr E- - ЧмУ свободный резерв времени выполнения любой работы равен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания работы.
Из приведенных соотношений следует:
длина критического пути равна Т;
если Ry = 0, то работа (/, у) лежит на критическом пути; если Ry ^ > 0, то работа (/,у) не лежит на критическом пути;
если время начала работы (/, у), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем Гу jy то наиболее раннее время наступления последующего события не изменится;
если время начала работы (7, у), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем Ryjy то время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.
ПРИМЕР
Департамент Юго-Западного округа Москвы рассматривает возможность реконструкции торгового центра у станции метро «Юго-Западная». После сноса старых палаток проектом предусматривается строительство павильонов с последующей сдачей их в аренду торговым фирмам. Работы, которые необходимо выполнить при реализации проекта, а также взаимосвязь работ и время их выполнения указаны в таблице.
Работа
Содержание работы
Предшествующая работа
Время выполнения, недели
А
Подготовить архитектурный проект
-
5
В
Определить будущих арендаторов
-
6
С
Подготовить проспект для арендаторов
А
4
D
Выбрать подрядчика
А
3
Е
Подготовить документы для получения разрешения
А
1
F
Получить разрешение на строительство
■ Е
4
G
Осуществить строительство
D, F
14
Н
Заключить контракты с арендаторами
В, С
12
1
Вселить арендаторов в павильоны
G, Н
2
Ответьте на следующие вопросы:
Сколько работ на критическом пути?
Какова длина критического пути?
На сколько можно отложить начало выполнения работы Е, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта?
На сколько можно отложить начало выполнения работы В, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта (полный резерв времени)?
На сколько можно отложить начало выполнения работы В, чтобы это не изменило наиболее ранний срок наступления последующего события (свободный резерв времени)?
Решение
Для того чтобы определить срок выполнения проекта, достаточно найти длину критического пути. Для этого построим графическое представление проекта.
Критический путь для этого проекта может быть найден с помощью прямых расчетов по методу СРМ, описанному в разделе «Модели». Те же результаты можно получить, воспользовавшись программой «POMWIN». Для этого достаточно ввести в программу исходную информацию, описывающую проект в виде следующей таблицы с указанием предшествующих работ.
Работа
Время выполнения
Предшествующие работы
1
2
3
А
5
-
В
6
-
С
4
А
■ D
3
А
Е
1
А
Окончание таблицы
1
2
3
F
4
Е
G
14
D, F
Н
12
В, С
1
2
G, Н
Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы.
Project
26
Работа
Время выполнения
ES
EF
LS
LF
R
А
5
0
5
0
5
0
В
6
0
6
6
12
6
С
4
5
9
8
12
3
D
3
5
8
7
10
2
Е
1
5
6
5
6
0
F
4
6
10
6
10
0
G
14
10
24
10
24
0
Н
12
9
21
12
24
3
1
2
24
26
24
26
0
Эта таблица содержит информацию, позволяющую ответить на все вопросы задачи. Строка «Project» указывает на то, что длина критического пути равна 26. На критическом пути лежат все работы, значения резерва времени которых, указанные в последнем столбце, равны нулю. Это работы А, Е, F, G, 1.
Таким образом, если отложить начало работы Е, то срок выполнения проекта увеличится. В то же время работу В можно начать не в нулевой момент времени, а в момент 6, т.е. начало выполнения работы В можно отложить на 6 недель. Критический путь для этого проекта показан на рисунке жирной линией.
Возможен другой способ введения исходной информации в программу «P0MW1N». Этот способ использует графическое представление проекта и, как следствие, описывает дуги в виде вары вершин. Соответствующее описание проекта приведено в следующей таблице.
Работа
Вершина-начало
Вершина-конец
Время выполнения
А
1
2
5
В
1
3
6
С
2
3
4
D
2
5
3
Е
2
4
1
F
4
5
4
G
5
6
14
К
3
6
12
/
6
7
2
Результаты расчетов будут представлены в виде таблицы.
Project
26
Работа
Вершина- начало
Вершина- конец
Время выполнения
ES
EF
LS
LF
R
А
1
2
3
0
5
0
5
0
В
1
3
3
0
6
6
12
6
С
2
3
3
5
9
8
12
3
D
2
5
3
5
8
7
10
2
Е
2
4
1
5
6
5
6
0
F
4
5
4
6
10
6
10
0
G
5
6
14
10
24
10
24
0
К
3
6
12
9
21
12
24
3
1
6
7
2
24
26
24
26
0
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
На критическом пути 5 работ.
Ответ на вопрос 2
Длина критического пути 26.
Ответ на вопрос 3
Начало выполнения работы Е отложить нельзя. Ответ — 0.
Ответ на вопрос 4
Полный резерв времени работы В составляет 6 недель.
Ответ на вопрос 5
Свободный резерв времени работы В составляет 3 недели.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Метод СРМ разработан для:
описания проектов путем указания всех работ, предшествующих данной работе;
описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;
минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;
нахождения критического пути проектов с заданным временем выполнения каждой работы;
нахождения критического пути проектов с неопределенным временем выполнения работ.
Вопрос 2
Узел-событие сетевого графика выражает результат:
начаты все работы, выходящие из узла;
закончены все работы, входящие в узел;
начата хотя бы одна работа, выходящая из узла;
закончена хотя бы одна работа, входящая в узел;
закончены все работы, входящие в узел, и начата хотя бы одна работа, выходящая из узла.
Вопрос 3
Наиболее раннее время наступления события равно:
минимальной длине пути из данного узла в конечный;
максимальной длине пути из данного узла в конечный;
максимальной длине пути из начального узла в данный;
максимальному времени наиболее раннего окончания работ, входящих в данный узел;
минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла.
Вопрос 4
Наиболее позднее время наступления события равно:
минимальной длине пути из данного узла в конечный;
максимальной длине пути из данного узла в конечный;
максимальной длине пути из начального узла в данный;
максимальному времени наиболее раннего начала работ, выходящих из данного узла;
минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла.
Вопрос 5
Для того чтобы сократить время выполнения проекта необходимо".
сократить время выполнения каждой работы на критическом пути;
сократить время выполнения одной работы на критическом пути;
сократить время выполнения каждой работы проекта;
сократить время выполнения одной работы проекта;
увеличить длину критического пути.
Вопрос 6
Полный резерв времени выполнения работы равен разности между.
наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала;
наиболее поздним временем ее начала и наиболее ранним временем ее окончания;
наиболее ранним временем ее начала и наиболее поздним;
временем ее окончания;
наиболее ранним временем ее окончания и наиболее поздним временем ее начала;
наиболее поздним временем ее окончания и наиболее ранним временем ее начала.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Работа
Предшествующая работа
Время выполнения
1
2
3
А
-
5
■ В
-
3
С
А
7
Рассмотрите следующую сеть проекта (продолжительность ра
бот показана в неделях).
1
2
3
D
А
6
Е
В
7
F
D, Е
3
G
D, Е
10
К
С, F
8
Найдите критический путь и ответьте на следующие вопросы-.
За какое минимальное время может быть выполнен проект?
Сколько работ находится на критическом пути?
На сколько недель можно отложить выполнение работы D без отсрочки завершения проекта в целом?
На сколько недель можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?
Задача 2
Проект пуско-наладки компьютерной системы состоит из восьми работ. Непосредственно предшествующие работы и продолжительность выполнения работ показаны ниже.
Работа
Предшествующая работа
Время выполнения, дни
А
-
3
В
-
6
С
А
2
D
В, С
5
Е
D
4
F
Е
3
G
В, С
9
К
F, G
3
Найдите критический путь и ответьте на следующие вопросы:
Сколько времени потребуется для выполнения проекта?
Сколько работ на критическом пути?
Чему равно наиболее раннее время начала работы С?
На сколько можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?
Чему равно наиболее позднее время окончания работы F?
На сколько можно отложить выполнение работы F без отсрочки завершения проекта?
Задача 3
Ректорат РУДН рассматривает предложение о строительстве новой библиотеки. Работы, которые следует выполнить перед началом строительства, представлены ниже. Продолжительность работ показана в неделях.
Работа
Содержание работы
Предшествующая работа
Время выполнения, недели
А
Определить место строительства
-
6
В
Разработать первоначальный проект
-
8
С
Получить разрешение на строительство
А, В
12
D
Выбрать архитектурную мастерскую
С
4
Е
Разработать смету затрат на строительство
С
6
F
Разработать проект строительства
D, Е
15
G
Получить финансирование
Е
12
К
Нанять подрядчика
F, G
8
Найдите критический путь и ответьте на следующие вопросы;
Сколько работ находится на критическом пути (фиктивные работы не учитываются)?
Через какое минимальное время после принятия решения о реализации проекта можно начать работу по строительству библиотеки?
На сколько недель можно отложить выбор архитектурной мастерской?
Чему равно наиболее позднее время завершения работы по обеспечению финансирования?
СИТУАЦИЯ
Программа «Здоровье пригородной зоны»
Программа «Здоровье пригородной зоны» основана более года назад как коммерческий проект, который должен стать основой организации здравоохранения открытого типа ОЗОТ. Целью ОЗОТ является обеспечение абонентов из пригородной зоны услугами платной медицинской помощи.
В соответствии с постановлением правительства работы по планированию и организации ОЗОТ обеспечиваются
федеральными грантами. Три обязательные фазы органи-за- ционных работ включают фазу основания (6 месяцев), фазу планирования (12 месяцев) и фазу начального развития (12 месяцев). Правительственные гранты выделяются на каждую фазу и автоматически не продлеваются.
В соответствии с постановлением предусмотрено два типа корпораций ОЗОТ — закрытый и открытый. Закрытый тип ОЗОТ организуется на базе медицинского центра, обеспечивающего амбулаторное обслуживание. Как правило, врачи работают в ОЗОТ закрытого типа на постоянной основе и получают заработную плату.
ОЗОТ открытого типа не имеет своего медицинского центра. В этом случае ОЗОТ заключает контракт с Независимой ассоциацией практикующих врачей (НАПВ). С целью обеспечения своих абонентов медицинским сервисом медицинское обслуживание осуществляется на производстве и в домашних условиях. Обычно работа по контракту с ОЗОТ открытого типа составляет лишь небольшую долю практики врачей из независимой ассоциации.
Для контроля издержек и выполнения налоговых обязательств новые ОЗОТ создают отдел маркетинга, который возглавляет директор по маркетингу. Задачей этого отдела является привлечение новых абонентов, как индивидуальных, так и коллективных. Причем не только частных лиц и персонала фирм, работающих в сфере действия ОЗОТ, но и предпринимателей. Сотрудник любой фирмы может воспользоваться либо услугами ОЗОТ, либо услугами альтернативной медицинской помощи, которую предоставляет наниматель. Поэтому для ОЗОТ важно заключить контракт с предпринимателем прежде, чем предложить свои услуги персоналу фирмы.
Программа «Здоровье пригородной зоны» ориентирована на создание ОЗОТ открытого типа и поэтому предполагает сотрудничество с НАПВ. Услуги, связанные с госпитализацией, предоставляются по контракту с окружным госпиталем.
В текущем году Федеральный грант был представлен Программе для выполнения работ по планированию. Этот грант предоставлен на 12 месяцев. Следующая фаза начального развития должна начаться после этапа планирования и также
должна быть выполнена за 12 месяцев. Таким образом, работа ОЗОТ может начаться после завершения обоих этапов, общая продолжительность которых составляет два года. В настоящее время руководство Программы готовит заявку на грант для выполнения работ на этапе начального развития.
Дмитрий Тимофеев, исполнительный директор Программы, весьма озадачен разработкой перечня мероприятий, которые необходимо провести на этапе начального развития компании с тем, чтобы этот этап действительно мог быть завершен в 12-месячный срок. На предыдущем этапе планирования деятельность Дмитрия Тимофеева была связана в основном с организацией и координацией работы врачей. Пришлось потратить значительные усилия для создания НАПВ. На этапе планирования он использовал сети СРМ/ PERT для координации работ и собирался вновь применить их на этапе начального развития, который должен был начаться через месяц. Он был убежден, что на этапе начального развития можно и нужно разработать сети СРМ/ PERT для анализа работ в области маркетинга и финансов. Однако несмотря на то, что эти виды деятельности связаны друг с другом, он сомневался в том, что удастся провести их комплексный анализ. Поэтому он попросил директора по маркетингу и директора по финансам независимо друг от друга разработать сети СРМ/ PERT для контроля мероприятий в соответствующей сфере деятельности.
Планирование. В следующей таблице описана сеть СРМ для мероприятий, проводимых независимой ассоциацией врачей на этапе планирования. В ней указано время выполнения работ в неделях. Это время заранее известно, так как существует опыт проведения подобных работ. Определив критический путь для данной сети, Дмитрий Тимофеев пришел к выводу, что данный этап проекта — этап планирования — действительно может быть завершен за год (52 недели). Он установил также, какие работы могут быть отложены и на какой срок без увеличения срока выполнения данного этапа проекта.
Дмитрий Тимофеев попросил директоров по маркетингу и финансам определить все работы, которые должны быть выполнены на этапе начального развития, оценить время, необходимое для их выполнения, и установить взаимозависимость этих работ.
Мероприятия на этапе планирования
Работа (в виде пары вершин сети)
Время выполнения работы
Предшествующая работа
Наименование работы
1-2
6
-
Установление связи с организацией врачей
2-3
10
1-2
Утверждение нормативов оплаты медицинских услуг
2-4
8
1-2
Учреждение руководящего комитета НАПВ
3-5
4
2-3
Утверждение набора услуг медицинской помощи
3-6
7
2-3
Подготовка и печатание брошюр НАПВ
4-7
9
3-5
Регистрация НАПВ
5-8
9
3-5
Разработка контрактов для врачей- членов НАПВ
5-9
5
3-5
Утверждение порядка оплаты труда врачей
6-9
13
3-6
Привлечение практикующих врачей в НАПВ
7-10
6
4-7
Подготовка контракта O3OT — НАПВ
8-9
0
5-8
Фиктивная работа
9-11
8
8-9
5-9
6-9
Сбор заявок врачей на вступление в НАПВ
10-11
9
7-10
9-11
Создание арбитражного комитета НАПВ
11-12
4
10-11
Создание формы и знаков отличия для врачей НАПВ
12-13
4
11-12
Подготовка персонала для офиса врачей
Маркетинг. Борис Хитров, директор по маркетингу, решил составить список всех работ и затем предоставить их в виде сети. Первая из намеченных работ — работа А — нанять и обучить новый персонал, занимающийся маркетингом. На выполнение этой работы требуется 5 недель.
После завершения этой работы, вместе с подготовленным персоналом, планируется провести одновременно четыре работы: ■ '
В —сформировать набор медицинского оборудования дляпредоставления медицинской помощи (3 недели);
С — организовать информирование местного населения и формирование общественного мнения (10 недель);
D —связаться с предпринимателями в сфере действия ОЗОТ (6 недель);
Е — разработать рекламный проспект для предпринимателей (3 недели).
Разработка планов ежемесячной регистрации абонентов (работа F, продолжительность — 4 недели) может быть начата после завершения работ В и D.
После того как будет разработан рекламный проект для предпринимателей, он должен быть распространен (работа G, продолжительность — 4 недели). После того как будет распространен рекламный проект и разработаны планы ежемесячной регистрации абонентов, могут одновременно выполняться две работы:
Н — провести переговоры о заключении контрактов с предпринимателями на обслуживание персонала фирм (8 недель);
/ — подготовить рекламные материалы для персонала фирм (6 недель).
После выполнения работы Н могут быть заключены контракты с предпринимателями (работа J, продолжительность — 6 недель). После выполнения работы / следует напечатать рекламные материалы для персонала фирм (работа К, продолжительность — 3 недели).
После работы «заключение контрактов с предпринимателями и печатание рекламных материалов» для персонала фирм можно начать работу L по привлечению частных лиц. Эта работа может проводиться до конца этапа начального развития, но требует не менее 16 недель на ее выполнение. Остается предусмотреть выполнение двух работ. Это организация симпозиума ОЗОТ (работа М, продолжительность — 16 недель) и проведение этого симпозиума (работа N, продолжительность — 2 недели). Организация симпозиума не может начаться до того, как будет завершена работа С.
Финансы. Василий Дружинин, финансовый директор Программы, составил перечень из 12 работ, которые должны быть выполнены на этапе начального развития. Перечень этих работ, предшествующие работы и их продолжительность указаны в таблице ниже.
Список проводимых работ
Работа
Предшествующая работа
Ожидаемое время выполнения работы
Наименование работы
А
-
11
Оценка административных расходов
В
-
7
Сбор статистики занятости
С
-
9
Сбор статистики заболеваний
D
в, с
8
Проведение актуарных расчетов
Е
D
4
Расчет месячных потоков доходов
F
D
3
Расчет месячных потоков расходов
G
А, Е, F
5
Подготовка месячного отчета о доходах
Н
А, Е, F
6
Расчет месячных потоков наличности
/
G
3
Подготовка годового отчета о доходах
J
К
2
Подготовка годовой балансовой таблицы
К
1, J
3
Определение ставки процента
L
G
5
Анализ неблагоприятных факторов
Вы приглашены в качестве помощника Дмитрия Тимофеева, исполнительного директора, чтобы помочь провести расчеты времени выполнения комплекса работ по маркетингу и по финансам на начальной стадии развития центра.
Нарисуйте сеть работ на этапе планирования, приведенную в таблице. Определите критический путь и резерв времени для каждой работы. Верен ли вывод Дмитрия Тимофеева о том, что этап планирования можно выполнить за год (52 недели)?
Нарисуйте сеть работ по маркетингу. Подсчитайте критический путь для этой сети. Могут ли работы по маркетингу быть выполнены в течение года (52 недели)?
Нарисуйте сеть работ по финансам. Подсчитайте критический путь для этой сети. Могут ли работы по финансам быть выполнены в течение года?
После координационного совещания Тимофеева, Хитрова и Дружинина выяснилось, что работы по маркетингу и финансам взаимосвязаны: работа D финансового отдела может проводиться только после того, как завершена работа / отделом маркетинга. Определите критический путь для всех работ на этапе начального развития центра. Можно ли утверждать, что весь комплекс работ может быть выполнен за год (52 недели)? Если нет, то какова вероятность этого события?
ОТВЕТЫ
Ответы на вопросы
1 - 4, 2 - 2, 3 - 4, 4 - 5, 5 - 2, б - 1.
Ответы на задачи
,Задача 1
За 22 недели.
4.
Работу D нельзя отложить без отсрочки завершения проекта в целом.
Задача 2Задача 2На 2 недели.
Задача 2
Задача 2
1.21 день.
5.
3.
На 1 день.
18.
Выполнение работы F откладывать нельзя.
1.5.1.5.Задача 3
1.5.
1.5.
Через 49 недель.
На 2 недели.
Не позднее, чем на 41-й неделе.
Глава 8
СЕТЕВОЙ АНАЛИЗ ПРОЕКТОВ.МЕТОД PERT
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования метода PERT {Program Evaluation and Review Technique — метод оценки и обзора программы) для контроля сроков выполнения проекта. Метод PERT ориентирован на анализ проектов, для которых продолжительность выполнения всех или некоторых работ не удается определить точно. Он применяется при проектировании и внедрении новых систем. В таких проектах многие работы не имеют аналогов. В результате возникает неопределенность в сроках выполнения проекта в целом.
Применение метода PERT позволяет получить ответы на следующие вопросы.
Чему равно ожидаемое время выполнения работы?
Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?
С какой вероятностью проект может быть выполнен за указанное время?
После выполнения заданий, предлагаемых в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
оптимистическое время выполнения работы;
пессимистическое время выполнения работы;
наиболее вероятное время выполнений работы;
ожидаемое время выполнения работы;
вариацию времени выполнения работы;
вариацию времени выполнения проекта.
МОДЕЛИ
Для того чтобы использовать метод PERT, для каждой работы /, время выполнения которой является случайной величиной, необходимо определить три оценки:
оптимистическое время о, — время выполнения работы i в наиболее благоприятных условиях;
наиболее вероятное время т, — время выполнения работы / в нормальных условиях;
пессимистическое время Ь, — время выполнения работы i в неблагоприятных условиях.
Учитывая, что время выполнения работы хорошо описывается p-распределением, среднее или ожидаемое время t; выполнения работы i может быть приближенно оценено по формуле
а. + 4 т. + Ь;
"6"
Если время выполнения работы / известно точно и равно dh то t; = а, = т,= bj = dp
Располагая указанными оценками времени выполнения работы, мы можем также рассчитать общепринятую статистическую меру неопределенности — дисперсию о, времени выполнения работы к
X7
Если время выполнения работы / известно точно, то о2 = 0.
Пусть Т— время, необходимое для выполнения проекта. Если в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения, то Тявляется случайной величиной. Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени выполнения проекта Е(Т) равно сумме ожидаемых значений времени выполнения работ, лежащих на критическом пути. Для определения критического пути проекта может быть использован метод СРМ. На этом этапе анализа проекта время выполнения работы полагается равным ожидаемому времени /,. Дисперсия общего времени, необходимого для завершения проекта, в предположении о независимости времен выполнения работ равна сумме дисперсий времен выполнения работ критического пути. Если же две или более работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближенное представление о дисперсии времени выполнения проекта.
Распределение времени Т завершения проекта является асимптотически нормальным со средним £(Г) и дисперсией о2(Г). С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения проекта в установленный срок Го. Для определения вероятности того, что Т < То, следует использовать таблицу распределения величины
7^£(П
которая имеет стандартное нормальное распределение.
ПРИМЕР
Новый продукт Московского часового завода
Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ) разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.
Руководство МЧЗ приняло решение провести работу по изучению возможности реализации нового продукта. Конечным результатом этого исследования должен стать доклад с рекомендациями относительно действий, которые должны быть предприняты для организации производства и сбыта нового продукта. Перечень работ и характеристики времени их выполнения (в неделях) указаны в следующей таблице.
Работа
Содержание работы
Непосредственно предшествующая работа
Оптимистическое время (а()
Наиболее вероятное время (т.)
Пессимистическое время (Ь,)
1
2
3
4
5
6
А
Подготовить конструкторский проект
-
4
5
12
В
Разработать маркетинговый план
1
1,5
5
С
Подготовить маршрутные карты
А
2 '
3
4
D
Построить прототип
А
3
4
11
Окончание таблицы
1
2
3
4
5
6
Е
Подготовить рекламную брошюру
А
2
3
4
F
Подготовить оценки затрат
С
1,5
2
2,5
G
Провести предварительное тестирование
D
1,5
3
4,5
Н
Выполнить исследование рынка
В, Е
2,5
3,5
7,5
1
Подготовить доклад о ценах
К
1,5
2
2,5
J
Подготовить заключительный доклад
F, G, 1
1
2
3
Определите критический путь для данного проекта и ответьте на вопросы;
Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?
С какой вероятностью проект может быть выполнен за 20 недель?
Решение
На рисунке показано графическое представление этого проекта.
Первый способ решения
Используя информацию, указанную в таблице, определим ожидаемое время и вариацию времени выполнения каждой работы проекта. Например, для работы А;
1Од + 4 тд + Ьд 4 + 4x5 + 12
12-4V6 J12-4V6 J1,78.1,78.
12-4V
6 J
12-4V
6 J
1,78.
1,78.
Проводя аналогичные расчеты для других работ, получаем таблицу.
Работа
Ожидаемое время ti
Дисперсия
А
6
1,78
В
2
0,44
С
3
0,11
D
5
1,78
Е
3
0,11
F
2
0,03
G
3
0,25
Н
4
0,69
1
2
0,03
J
2
0,11
Полагая время выполнения работы равным ожидаемому времени ее выполнения tb находим критический путь, используя метод СРМ в виде следующей таблицы с указанием предшествующих работ.
Работа
Время выполнения
Предшествующие работы
А
6
-
В
2
-
С
3
А
D
5
А
Е
3
А
F
' 2
С
G
3
D
Н
4
В, Е
/
2
Н
J
2
F, G, /
Результаты расчетов представлены в таблице.
Project
17
Работа
Время выполнения
ES
EF
LS
LF
R
А
6
0
6
0
6
0
В
2
0
. 2
7
9
7
С
3
6
9
10
13
4
D
5
6
11
7
12
1
Е
3
6
9
6
9
0
F
2
9
11
13
15
4
G
3
11
14
12
15
1
Н
4
9
13
9
13
0
1
2
13
15
13
15
0
J
2
15
17
15
17
0
Критический путь для данного проекта включает работы А, Е, Н, 1, J. Длина критического пути равна 6+3+4+2+2= 17. Это означает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.
Предполагая, что распределение времени выполнения проекта является нормальным, мы можем определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель. Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее значение равно сумме значений дисперсий времен выполнения работ на критическом пути:
о2(П = 1,78 + 0,11 + 0,69 + 0,03 + 0,11 = 2,72.
Учитывая, что о(7) = vo^T1) = v х 2,72 = 1,65, находим значение г для нормального распределения при То = 20:
То - Е(Т) 20-17 1S2о(Т) 1,65 ’ '
По таблице нормального распределения (см. с. 150) находим вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале Е(Т) < Т < То. Она стоит на пересечении столбца «1,8» и строки «0,02», и равна 0,4656.
Следовательно, искомая вероятность того, что время выполнения проекта не превышает Го, т.е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.
Таблица нормального распределения
г
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,6
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2518
0,2549
0,7
0,2580
0,2612
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
1,0
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
0,4798
0,4803
0,4808
0,4812
0,4817
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
0,4842
0,4846
0,4850
0,4854
0,4857
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
0,4878
0,4881
0,4884
0,4887
0,4890
2,3
0,4893
0,4896
0,4898
0,4901
0,4904
0,4906
0,4909
0,4911
0,4913
0,4916
2,4
0,4918
0,4920
0,4922
0'4925
0,4927
0,4929
0,4931
0,4932
0,4934
0,4936
2,5
0,4938
0,4940.
0,4941
0,4943
0,4945
0,4946
0,4948
0,4949
0,4951
0,4952
2,6
0,4953
0,4955
0,4956
0,4957
0,4959
0,4960
0,4961
0,4962
0,4963
0,4964
2,7
0,4965
0,4966
0,4967
0,4968
0,4969
0,4970
0,4971
0,4972
0,4973
0,4974
2,8
0,4974
0,4975
0,4976
0,4977
0,4977
0,4978
0,4979
0,4979
0,4980
0,4981
2,9
0,4981
0,4982
0,4982
0,4983
0,4984
0,4984
0,4985
0,4985
0,4986
0,4986
3,0
0,4986
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
0,4989
0,4989
0,4990
0,4990
Второй способ решения
Перепишем исходные данные в виде:
Работа
Оптимистическое время
Нормальное время
Пессимистическое время
Предшествующие работы
А
4
5
12
-
В
1
1,5
5
-
С
2
3
4
А
D
3
4
11
А
Е
2
3
4
А
F
1,5
2
2,5
С
G
1,5
3
4,5
D
Н
2,5
3,5
7,5
В, Е
/
1,5
2.
2,5
Н
J
1
2
3
F, G, 1
Проведя расчеты, получаем следующие результаты:
Project
17
Работа
Время выполнения
ES
EF
LS
LF
R
Q
1,649916
А
6
0
6
0
6
0
1,333333
В
2
0
2
7
9
7
0,6666667
С
3
6
9
10
13
4
0,3333333
D
5
6
11
7
12
1
1,333333
Е
3
6
9
6
9
0
0,3333333
F
2
9
11
13
15
4
0,1666667
G
3
11
14
12
15
1
0,5
Н
4
9
13
9
13
0
0,8333333
1
2
13
15
13
15
0
0,1666667
J
2
15
17
15
17
0
0,3333333
Последний столбец таблицы содержит значения стандартных ошибок времени выполнения проекта (первое значение а СП = = 1,6499) и всех работ проекта.
Также как в первом способе, находим значение г для нормального распределения при То = 20:
Г,-Em 20-17
1"ТбГ '-82-
Используя таблицу нормального распределения, находим вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале Е(Т) < Т< Го На пересечении столбца «1,6» и строки «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4656.
Следовательно, искомая вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.
Критический путь составляют работы И, Е, Н, I, J.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.
Ответ на вопрос 2
Вероятность выполнения проекта за 20 недель равна 0,9656.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Метод PERT разработан для;
описания проектов, путем указания всех работ, предшествующих данной работе;
описания проектов, путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;
минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;
нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы;
нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ.
Вопрос 2
В сетевом графике с неопределенным временем выполнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 12, оптимистическое время 6. Ожидаемое время выполнения работы равно 10.'•
Чему равно наиболее вероятное время t выполнения работы А"?
Возможные ответы.
/= 6; 2) / = 10; 3) t= 10,5; 4) t = 12; 5) /= 12,5.
Вопрос 3
В сетевом графике с неопределенным временем выполнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 8, оптимистическое время 2. Величина запаса времени (полный резерв времени) работы А оказалась равной 3. Наиболее раннее время ее начала 2, а наиболее позднее время окончания 8.
Чему равно наиболее вероятное время t выполнения работы А?
Возможные ответы:
/ = 2; 2) / = 4; 3) / = 5; 4) / = 6; 5) / = 8.
Вопрос 4
В сетевом графике с неопределенным временем выполнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 16, оптимистическое время 4.
Чему равна дисперсия (вариация) времени выполнения работы А?
Возможные ответы;
о2(/1) = I; 2) <т2(/1) = 2; 3) <т2(/1) = 4; 4) <т2(Л) = 12;
<т2(/1) = 16.
Вопрос 5
Ожидаемое время выполнения проекта равно 14 неделям. Дисперсия времени выполнения проекта равна 4. Проектировщиков интересует вероятность, с которой проект может быть завершен за 16 недель.
Определите соответствующее пороговое значение г случайной величины, имеющей стандартной нормальное распределение.
Возможные ответы:
1) г= 5; 2) г= 1; 3) ?= 2; 4) г = 4; 5)16.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Рассмотрите следующий проект (оценки времени выполнения работ указаны в неделях).
Работа
Непосредственно предшествующая работа
Оптимистическое время (а,)
Наиболее вероятное время (т,)
Пессимистическое время №
А
-
' 4
5
6
В
-
2,5
3
3,5
С
А
6
7
8
D
А
5
5,5
9
Е
В
5
7
9
F
D, Е
2
3
4
G
D, Е
8
10
12
Н
С, F
6
7
14
Ответьте на следующие вопросы;
Какова ожидаемая продолжительность проекта?
Какова вероятность того, что проект будет завершен за 21 неделю?
Какова вероятность того, что проект будет завершен за 25 недель?
Задача 2
Деканат экономического факультета РУДН предполагает провести летние курсы переподготовки преподавателей экономической теории в одном из загородных домов отдыха. Для подготовки курсов необходимо выполнить следующие работы (оценки времени указаны в неделях).
Работа
Содержание работы
Непосредственно предшествующая работа
Оптимистическое время (а,)
Наиболее вероятное время (т,)
Пессимистическое время (Ь)
1
2
3
,4
5
6
А
Определить темы занятий
-
1,5
2
2,5
В
Договориться с лекторами
А
2
2,5
6
1
2
3
4
5
6
с
Определить возможные места проведения курсов
-
1
2
3
D
Выбрать место проведения курсов
с
1,5
2
2,5
Е
Разработать график работы лекторов
в, D
0,5
1
1,5
F
Получить окончательное согласие лекторов
Е
1
2
3
G
Подготовить и разослать приглашения
В, D
3
3,5
7
Н
Зарезервировать места для участников
G
3
4
5
/
Выполнить последние приготовления
F, Н
1,5
2
2,5
Ответьте на следующие вопросы:
Каково ожидаемое время завершения проекта?
Сколько работ на критическом пути?
Если деканат хочет добиться того, что к заезду преподавателей все подготовительные мероприятия будут выполнены с вероятностью 0,975, то в какие сроки следует ожидать их завершение?
Задача 3
Менеджер плавательного бассейна РУДН разрабатывает план подготовки к первой тренировке команды пловцов. Тренировку предполагается провести 1 сентября. Данные о подготовительных мероприятиях приведены в таблице.
Работа
Содержание работы
Непосредственно предшествующая работа
Оптимистическое время (а,)
Наиболее вероятное время (т,)
Пессимистическое время to)
1
2
3
4
5
6
А
Согласовать вопрос с зав. кафедрой физического воспитания
-
1
1
2
1
2
3
4
5
6
в
Нанять тренеров
А
4
6
8
с
Зарезервировать плавательный бассейн
А
2
4
6
D
Объявить программу тренировки
В, С
1
2
3
Е
Встретиться с тренерами
В
2
3
4
F
Заказать костюмы для пловцов
А
1
2
3
G
Зарегистрировать пловцов
D
1
2
3
Н
Собрать взносы
G
1
2
4
/
Подготовить план проведения первой тренировки
Е, Н, F
1
1
1
Ответьте на следующие вопросы:
Какова ожидаемая продолжительность проекта?
Сколько работ на критическом пути?
Если менеджер планирует начать проект 11 августа, то какова вероятность того, что программа тренировки пловцов будет завершена к 1 сентября за 16 рабочих дней?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 - 5, 2 - 3, 3 - 1,4 - 3, 5 - 1.
Ответы на вопросы задач
1) 22 недели.
2)0,2611.
Задача 2Задача 23)0,9726.
Задача 2
Задача 2
1)15 недель.
2)5.
Задача 3Задача 3За 17,02 недели.
Задача 3
Задача 3
14,33 дня.
2)6.
3)0,9573.
Глава 9
АНАЛИЗ ЗАТРАТ НА РЕАЛИЗАЦИЮПРОЕКТА
ЦЕЛИ
Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас не устраивает, и мы хотели бы его уменьшить. Сокращение времени выполнения проекта, как правило, связано с использованием дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количества рабочих или работа во внеурочное время. Следовательно, сокращение срока выполнения проекта приводит к увеличению затрат на его реализацию. В результате требуется искать компромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией дополнительных затрат на проект. Для расчета минимальных затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта, может быть использована модель линейного программирования.
Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля за этим расходованием может быть использован метод анализа затрат PERT/COST. Конечная цель применения метода PERT/COSTсостоит в том, чтобы затраты на реализуемый проект соответствовали принятой смете. Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно предполагает выявление всех затрат на проект, а затем распределение этих затрат во времени. На этапах выполнения проекта фактические затраты могут быть сравнены с планируемыми или сметными. Если фактические затраты превышают планируемые, то могут быть предприняты необходимые действия, направленные на то, чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планом.
Применение метода минимизации затрат и метода PERT/COST позволяет получить ответы на следующие вопросы.
При каких минимальных затратах можно уменьшить время выполнения проекта до заданной величины?
На сколько следует сократить продолжительность времени выполнения каждой работы проекта?
Соответствуют ли фактические затраты на выполнение проекта сметным затратам?
Соответствуют ли фактические затраты запланированному сроку реализации проекта?
После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:
затраты на выполнение работы в условиях нормального ее выполнения;
затраты на выполнение работы в условиях максимального сокращения ее продолжительности;
нормальную продолжительность работы;
продолжительность работы при максимально возможном ее сокращении;
сокращение времени выполнения работы;
сокращение времени выполнения проекта;
затраты на сокращение времени выполнения проекта.
МОДЕЛИ
Минимизация затрат, необходимых для сокращениявремени реализации проекта
Пусть:
(/’, у) — работа проекта в соответствии с определениями, данными в главе 7 «Анализ проектов. Метод СРМ»;
Ту — нормальная'продолжительность работы (/", у") (продолжительность работы при детерминированном подходе — метод СРМ, или ожидаемое время выполнения работы при стохастическом подходе — метод PERT);
т'у — продолжительность работы (/,у) при максимально возможном ее сокращении;-
М —величина максимально возможного сокращения продолжительности работы (/, у) за счет дополнительных ресурсов; М = ту - т^;
Су —расчетные затраты на выполнение работы U,j) в условиях нормального или ожидаемого времени;
Су —расчетные затраты на выполнение работы (/", у") в условиях максимального сокращения ее продолжительности за счет дополнительных ресурсов;
Ку —удельные затраты на сокращение продолжительности работы (/, у) (на единицу времени);
К =К =МуМу
К =
К =
Му
Му
Введем предположение о пропорциональности: любая дополнительная доля сокращаемого времени на выполнение работы потребует постоянной (неизменной во времени) доли дополнительных затрат. При таком предположении для решения проблемы минимизации затрат на сокращение времени реализации проекта можно использовать модель линейного программирования.
Для формулировки модели дополнительно введем следующие обозначения:
Xj —время наступления события / (событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);
у У —величина сокращения времени работы (/, у);
То —желательное время выполнения проекта;
/ = 1 — номер начального события для сети, описывающей проект;
i = п — номер конечного события для сети, описывающей проект.
При данных обозначениях модель линейного программирования имеет вид:
ТЛиУи min; ij
(1)
Xj^Xj + Ty -Уу;
(2)
У У - Му,
(3)
(4)
х, > 0, уу > 0;
(5)
ij = \,...,n, i * j.
Если m — число работ, п — число событий, то описанная модель имеет и + m переменных, m ограничений вида (2), m огра-
ничений вида (3), п + т ограничений вида (5) и одно ограничение вида (4). Итого п + т переменных и 3/и + л + 1 ограничения.
Если^х*, j^J— оптимальный план, полученный для модели (1)—(5), то Уу — время, на которое следует сократить продолжительность выполнения работы (/', у); ^^уУу — минимальная
У
сумма издержек, необходимая для сокращения времени выполнения проекта до То.
Метод анализа затрат PERT/ COST
Метод основан на построении области допустимых затрат, при которых проект может быть реализован за определенное время. В результате применения метода СРМ или метода PERT можно рассчитать наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Далее строятся два графика: график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ и график совокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри области, очерченной этими графиками, то проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Минимизация затрат на сокращение времени реализации проекта
Проект пуско-наладки компьютерной системы состоит из восьми работ. В следующей таблице указана взаимосвязь работ, нормальное время их выполнения и данные, характеризующие возможность сокращения продолжительности работ.
Работа
Непосредственно предшествующие работы
Нормальное время, неделя
Минимальное время
Затраты при нормальном времени, Р.уб.
Затраты при минимальном времени, руб.
1
2
3
4
5
6
А
-
3
1
■900
1700
В
-
6
2
2000
4000
1
2
3
4
5
6
с
А
2
1
500
1000
D
В, С
5
3
1800
2400
Е
D
4
3
1500
1850
F
Е
3
1
3000
3900
G
В, С
9
4
8000
9800
Н
F, G
3
2
1000
2000
Определите минимальную продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ. Можно ли уменьшить продолжительность проекта при дополнительных затратах?
Ответьте на следующие вопросы.
Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?
Сколько работ в этом случае являются критическими?
Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ?
С какими минимальными дополнительными затратами можно выполнить этот проект за 16 недель?
Решение
Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этого метод СРМ. Вводим в программу «P0MW1N» исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ.
Работа
Время выполнения
Предшествующие работы
А
3
-
В
6
-
С
2
А
D
5
В, С
Е
4
D
F
3
Е
G
9
в, С
Н
3
F, G
Выполнив расчеты, получаем следующие результаты.
Project
21
Работа
Время выпопнения
ES
ЕР
LS
LF
R
А
3
0
3
1
4
1
В
6
0
6
0
6
0
С
2
3
5
4
6
1
D
5
6
11
6
11
0
Е
4
11
15
11
15
0
F
3
15
18
15
18
0
G
9
6
15
9
18
3
Н
3
18
21
18
21
0
Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 21 неделю. На критическом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных. В результате получаем, что затраты равны 18 700 руб.
Для определения минимальных дополнительных издержек, необходимых для снижения продолжительности проекта до 16 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании исходных данных нарисуем граф проекта.
Теперь мы можем определить удельные затраты Ку на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты .
Работа
Нормальное время, недели
Минимальное время
Затраты при нормальном времени, руб.
Затраты при минимальном времени, руб.
Удельные затраты, руб./недепи
А
3
1
900
1700
400
В
6
2
2000
4000
500
С
2
1
500
1000
500
D
5
3
1800
2400
300
Е
4
3
1500
1850
350
F
3
1
3000
3900
450
G
9
4
8000
9800
360
Н
3
2
1000
2000
1000
Обозначим: х, — время наступления события /" (событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел); уу — величина сокращение времени работы (i,j). Тогда модель линейного программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжительности проекта с 21 недель до 16 недель, имеет вид:
400у|2 + 500у,з + 500у2з + 300у34 + 350у45 + 450у56 +
+ 360у36 + 1000у57 -> min;
х2 > X] + 3 - у|2, х4 > х3 + 5 - у34, х6 > х3 + 9 - у36,х2 > X] + 3 - у|2, х4 > х3 + 5 - у34, х6 > х3 + 9 - у36,х3 > X, + 6 - у13, х5 > х4 + 4 - у45, х? - %б+ з - Тб?;х3 > X, + 6 - у13, х5 > х4 + 4 - у45, х? - %б+ з - Тб?;х3 > х2 + 2 - у23; х6 > х5 + 3 - у56;х3 > х2 + 2 - у23; х6 > х5 + 3 - у56;
х2 > X] + 3 - у|2, х4 > х3 + 5 - у34, х6 > х3 + 9 - у36,
х2 > X] + 3 - у|2, х4 > х3 + 5 - у34, х6 > х3 + 9 - у36,
х3 > X, + 6 - у13, х5 > х4 + 4 - у45, х? - %б+ з - Тб?;
х3 > X, + 6 - у13, х5 > х4 + 4 - у45, х? - %б+ з - Тб?;
х3 > х2 + 2 - у23; х6 > х5 + 3 - у56;
х3 > х2 + 2 - у23; х6 > х5 + 3 - у56;
Т12 - 2, У)3 < 4, у23 < 1;
Т342,Т45 52;
Тб7 - 5, У121;
х7 < 16;
X,- > 0, уу > 0;
j = 1, п, i * j.
Для решения этой задачи линейного программирования используем программу «POMW1N». Запишем модель в формате программы «POMW1N».
Xi
хг
х3
X»
*5
Хб
х?
У12
У13
У23
У34
У45
У56
Узе
Уб7
RHS
Min
0
0
0
0
0
0
0
400
500
500
300
350
450
360
100
С,
-1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
>-
3
С2
-1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
>=
6
С3
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
>=
2
С4
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
>=
5
с5
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
>=
4
Сб
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
>=
3
с.
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
>-
9
с8
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
>=
3
Сд
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
<=
2
Сю
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
<=
4
С„
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
<=
1
Сю
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
<=
2
С13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
<=
1
С14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
С15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
<-
5
Сю
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
<=
1
Cl7
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
<=
16
Выполнив расчеты, получаем следующие результаты.
Project
2260
Variable
Value
Reduced Cost
Original Value
Lower Bound
Upper Bound
Xi
0
810
0
810
Infinity
х2
3
0
0
-310
90
хз
5
0
0
-310
90
х4
8
0
0
-150
90
х5
11
0
0
-100
90
х6
13
0
0
-190
810
X?
16
0 '
0
-Infinity
810
У12
0
90
400
310
Infinity
Утз
1
0
500
410
810
У23
0
190
500
310
Infinity
У34
2
0
300
-Infinity
450
У45
1
0
350
■ -Infinity
450
У56
1
■ 0
450
350
540
Узе
1
0
360
50
450
УБ7
0
190
1000
810
Infinity
Итак, минимальные затраты, необходимые для сокращения продолжительности проекта с 21 недель до 16 недель, составляют 2260 руб. Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сокращается на 1 неделю. Продолжительность работы (3, 4) сокращается на 2 единицы.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ равна 21 неделе.
Ответ на вопрос 2
Критическими являются 5 работ.
Ответ на вопрос 3
При нормальном времени выполнения работ затраты на выполнение проекта составляют 18 700 руб.
Ответ на вопрос 4
За 16 недель проект может быть реализован с дополнительными затратами 2260 руб.
Пример 2. Контролъ затрат на выполнение проекта
Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки затрат на выполнение работ отражены в следующей таблице.
Работа
Ожидаемое время выполнения, месяц
Непосредственно предшествующие работы
Сметные затраты, тыс. руб.
Удельные затраты, тыс. руб. в месяц
А
2
-
10
5
В
3
-
30
10
С
1
А
3
3
D
3
В
6
2
Е
2
В
20
10
F .
2
С, D
10
5
G
1
Е
8
8
Удельные затраты определены в предположении о том, что они производятся равномерно в течение срока выполнения работы.
Требуется определить, в каком диапазоне могут меняться фактические затраты на выполнение проекта при условии, что проект будет выполнен за минимальное время.
Ответьте на следующие вопросы;
За какое минимальное время может быть выполнен проект?
При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 недели реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
Решение
Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Для этого используем программу «POMWIN». Вводим в программу информацию о предшествующих работах и времени их выполнения.
Работа
Время выполнения
Предшествующие работы
А
2
-
В
3
-
С
1
А
D
3
В
Е
2
В
F
2
С, D
G
1
Е
Результаты расчетов представлены в следующей таблице:
Project
8
Работа
Время выполнения
ES
ЕЕ
LS
LF
R
А
2
0
2
3
5
3
В
3
0
3
0
3
0
С
1
2
3
5
6
3
D
3
3
6
3
. 6
0
Е
2'
3
5
5 '
7
2
F
2
6
8
6
8
0
G
1
5
6
7
8
2
Ожидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.
Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее ранним началом всех работ.
Месяц
Работа
1
2
3
4
5
6
7
8
А
5
5
В
10
10
10
С
3
D
2
2
2
Е
10
10
F
5
5
G
8
Затраты в месяц
15
15
13
12
12
10
5
5
Затраты общие
15
30
43
55
67
77
82
87
Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее поздним началом всех работ.
Месяц
Работа
1
2
3
4
5
6
7
8
А
5
5
В
10
10
10
С
3
D
2
2
2
Е
10
10
F
5
5
G
8
Затраты в месяц
10
10
10
7
7
15
15
13
Затраты общие
10
20
30
37
44
59
74
87
На рис. 9.1 показано два графика. Выше проходит график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ. Ниже — график совокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри очерченной области, то проект может быть выполнен за 8 недель. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.
Таким образом, менеджер может контролировать фактические затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены или допущен перерасход, необходимо осуществлять корректи-
руюшие воздействия, сдвигая время начала выполнения отдельных работ и/или сокращая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.
" Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Минимальное время выполнения проекта равно 8 месяцам.
Ответ на вопрос 2
Максимальное значение совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, при котором проект может быть выполнен за 8 месяцев, равно 43 тыс. руб.
Ответ на вопрос 3
Минимальное значение совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, при котором проект может быть выполнен за 8 месяцев, равно 43 тыс. руб.
Ответ на вопрос 4
Максимальное значение совокупных затрат, сделанных за первые 6 месяцев реализации проекта, при котором проект может быть выполнен за 8 месяцев, равно 77 тыс. руб.
Ответ на вопрос 5■
Минимальное значение совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, при котором проект может быть выполнен за 8 месяцев, равно 59 тыс. руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Для определения минимальных затрат, необходимых для выполнения проекта за фиксированное время, следует использовать: 1) метод СРМ;
метод PERT;
модель линейного программирования;
модель транспортного типа;
все вышеперечисленное.
Вопрос 2
Пусть в графе, описывающем проект, т работ и п событий число переменных в модели линейного программирования для определения минимальных затрат, необходимых для выполнения проекта за фиксированное время, равно:
т;
п;
т + п;
т - п;
т х п.
Вопрос 3
Пусть:
(/, у") — работа проекта;
т,у —нормальное время выполнения работы (/, У);
т'у —минимально возможное время выполнения работы;
Су —затраты на выполнение работы (/, У) при нормальном времени;
Су —затраты на выполнение работы (/,У) при минимальном времени.
Тогда величина удельных затрат Ку на сокращение продолжительности работы С Л определяется по формуле:
Су - Су
К = Ц
С - с
к =
К = т(/
К = Ь
к =
Вопрос 4
Какое из указанных далее соотношений является верным? Возможные ответы.
Совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ.
Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ.
Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ равны совокупным затратам при наиболее позднем времени начала работ.
Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ превышают совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ на величину сметной стоимости проекта.
Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала работ и совокупные затраты при наиболее позднем времени начала работ постоянны.
Вопрос 5
Для осуществления контроля за расходованием средств на выполнение проекта используется:
метод СРМ; -
метод PERT,
модель линейного программирования;
все вышеперечисленное;
метод PERT/COST.
ЗАДАЧИ ■
Задача 1
В следующей таблице представлена информация о продолжительности работ проекта и затратах на их выполнение.
Работа
Предшествующая работа
Нормальное время выполнения, месяц
Минимальное время выполнения, месяц
Затраты при нормальном времени, тыс. руб.
Затраты при минимальном времени, тыс. руб.
А
-
4
2
50
70
В
-
6
3
40
55
С
А
2
1
20
24
D -
А
6
4
100
130
Е
С, В
3
2
50
60
F
С, В
3
3
25
25
G
D, Е
5
3
60
76
Найдите критический путь и продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ. Можно ли выполнить проект за год? Можно ли выполнить проект за 10 месяцев?
Ответьте на следующие вопросы:
Какова продолжительность проекта (мес.) при нормальном времени выполнения работ?
Каковы затраты на выполнение проекта (тыс. руб.) при нормальном времени выполнения работ?
Каковы минимальные затраты (тыс. руб.) на выполнение проекта за один год?
За какое минимальное время может быть выполнен проект?
Задача 2
Отдел «ЭВМ» экономического факультета РУДН разработал предложения по внедрению новой компьютерной системы для нужд администрации факультета. В предложения включен перечень работ, которые необходимо выполнить, чтобы ввести систему в действие. Соответствующая информация представлена в следующей таблице. Время в неделях, затраты — в тыс. руб.
Работа
Содержание работы
Предшествующая работа
Нормальное время выполнения, неделя
Минимальное время выполнения, неделя
Затраты при нормальном времени, тыс. руб.
Затраты при минимальном времени, тыс. руб.
1
2
3
4
5
6
7
А
Определить потребности
-
10
8
30
70
В
'Заказать оборудование
А
8
6
120
150
1
2
3
4
5
6
7
с
Установить оборудование
в
10
7
100
160
D
Создать компьютерный класс
А
7
6
40
50
Е
Провести курс обучения
D
10
8
50
74
F
Опробовать систему
С, Е
3
3
60
60
Ответьте на следующие вопросы:
Какова продолжительность проекта (в неделях) при нормальном времени выполнения работ?
Каковы затраты на выполнение проекта (тыс. руб.) при нормальном времени выполнения работ?
Каковы минимальные затраты (тыс. руб.) на выполнение проекта за 24 недели?
За какое минимальное время может быть выполнен проект?
Задача 3
Ниже представлена сеть, отражающая проект реконструкции склада, в также данные о времени (в неделях) и затратах (в тыс. руб.).
Работа
Предшествующая работа
Время выполнения работы
Затраты на выполнение работы
А
-
1
6
В
А
2
4
С
-
3
15
D
с
3
18
Е
в, D
2
30
F
С
2
20
G
Е, F
1
2
Н
Е, F
3
6
/
G
2
12
J
G
1
2
К
Н, /
з ■
9
Определите критический путь для данного проекта, наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Определите динамику роста общих затрат на проект,
основанную на данных о наиболее раннем и наиболее позднем времени начала работ. Используйте полученные оценки сметных расходов для контроля за фактическим расходованием средств. Установите, были ли перерасходованы или сэкономлены средства в указанные моменты времени:
в конце 4-й недели фактические затраты составили 35 тыс. руб.;
в конце 8-й недели фактические затраты составили 90 тыс. руб.
Предположим, что финансирование всех работ осуществляется пропорционально времени их выполнения.
Ответьте на следующие вопросы;
За какое минимальное время может быть выполнен проект?
Чему равно максимальное значение совокупных затрат на конец 4-й недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?
Чему равно минимальное значение совокупных затрат на конец 4-й недели, при котором проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критического пути?
Какова величина недостатка или перерасхода средств в конце 4-й недели?
Какова величина недостатка средств в конце 8-й недели?
СИТУАЦИИ
Ситуация 1. Компания «Космо»
В рамках подготовки старта космического корабля по программе совместных исследований с Национальным бюро аэронавтики (НБА) США, российская компания «Космо» готовит к подписанию проект модернизации ракетного стартового комплекса на космодроме Байконур. Этот контракт предусматривает строительство Центрального здания телеуправления (ЦЗТ). Финансирует проект американская сторона.
Первоначальный граф проекта строительства ЦЗТ выглядит следующим образом (на схеме работы, лежащие на критическом пути, отмечены жирной линией):
Руководитель проекта, менеджер компании «Космо» Владимир Алексеев определил время выполнения и сметные затраты для каждой работы проекта. Оказалось, что критический путь для данного проекта составляют работы Л, D и G. При нормальном времени выполнения всех работ проект может быть реализован за 12 недель. Сметная стоимость проекта в этом случае составляет 61 тыс. долл.
Работа
Нормальное время выполнения работы
Затраты при нормальном времени выполнения работы
А
3
5
В
6
14
С
2
2,5
D
5
10
Е
-2
8
F
7
11,5
G
4
10
Итого:
61
Заказчика не устраивает срок работ, предлагаемый компанией «Космо». Все работы необходимо завершить за 9 недель. При этом бюджет проекта не должен превысить 80 тыс. долл. Проведя дополнительные расчеты, Владимир Алексеев оценил минимальное время на выполнение каждой работы и
затраты на выполнение работы при минимальном времени выполнения. Результаты его расчетов приведены в таблице.
Затраты на проект строительства ЦЗТ, тыс. долл.
Работа
Нормальное время выполнения работы
Минимальное время выполнения работы
Затраты
при нормальном времени выполнения
при минимальном времени выполнения
А
3
2
5
10
В
6
4
14
26
С
2
1
2,5
5
D
5
3
10
18
Е
2
2
8
8
F
7
5
11,5
17,5
G
4
2
10
24
Итого:
61
108,5
Используйте метод PERT/COST для анализа продолжительности проекта и затрат на его реализацию.
Вопросы для обсуждения:
Можно ли выполнить проект за 9 недель?
Если «да», то с какими минимальными затратами?
Сколько критических путей будет в этом случае и какие работы будут критическими?
Можно ли выполнить проект за 7 недель?
Если «да», то с какими минимальными затратами?
Ситуация 2. Строительная компания «КАМЕЛОТ»
Строительная компания «КАМЕЛОТ» активно занимается подготовкой нового проекта строительства фабрики для корпорации «СУП РЕМ». Пару лет назад президенту корпорации «СУПРЕМ» Эрику Клячкину понравился предварительный план проектирования и строительства фабрики, подготовленный президентом «КАМЕЛОТ» Казимиром Хвостовым, и он решил отдать предпочтение его строительной компании.
Хвостов поручил начальнику проектного отдела Дмитрию Виноградову провести сетевой анализ работ в рамках проекта с учетом предполагаемых издержек. Виноградов дал указание своим сотрудникам разделить проект строительства фабрики на отдельные работы и установить их взаимосвязь. Для каждой работы следовало определить нормальное время ее
выполнения и затраты, соответствующие этому времени. Требовалось также оценить кратчайшее время выполнения работы и соответствующие этому времени затраты. Результаты, представленные сотрудниками отдела, приведены в таблице.
Работа
Содержание работы
Нормальное время, недели
Нормальные затраты, тыс. долл.
Кратчайшее время, недели
Максимальные затраты, тыс. долл.
А
Проектирование фабрики
12
125 000
10
141 000
В
Подготовка спецификации машин и оборудования для строительных работ
8
56 000
8
56 000
С
Организация бригады строителей
5
12 000
2
15 000
D
Закупка стандартных фрагментов заводских конструкций
13
180 000
10
210 000
Е
Подготовка места для строительства здания фабрики
4
37 000
4
37 000
F
Закупка фабричного оборудования
10
62 000
8
70 000
G
Строительство фундамента фабрики
6
18 000
4
19 000
Н
Подготовка зоны парковки
10
80 000
6
180 000
/
Возведение здания фабрики
18
450 000
13
585 000
J
Проведение испытания всех систем
3
20 000
2
35 000
К
Уборка и передача фабрики корпорации «СУПРЕМ»
4
8000
4
8000
Взаимосвязь работ выглядит следующим образом. Начальная работа (/1) — спроектировать фабрику. После выполнения проектных изысканий следует (8) — подготовить спецификацию машин и оборудования для строительных работ, (С) — организовать бригаду строителей и (D) — закупить стандартные фрагменты заводских конструкций. После завершения работ (8) и (С) строительной бригаде необходимо под-
готовить место для строительства здания фабрики (£). В то же время, когда ведется подготовка места для строительства, можно приступить к работам: (£) — закупка фабричного оборудования и (G) — строительство фундамента фабрики. После подготовки места для строительства необходимо подготовить зону парковки (Н). Работу по возведению здания фабрики (/) можно выполнить после того, как закуплены стандартные фрагменты заводских конструкций, подготовлено место для строительства, закуплено фабричное оборудование и построен фундамент фабрики. После завершения строительства здания фабрики и подготовки зоны парковки компания «КАМЕЛОТ» (J) — проводит испытания всех систем. Затем проводится уборка (£), и фабрика передается корпорации «СУПРЕМ».
Корпорация «СУПРЕМ» крайне заинтересована в том, чтобы строительство фабрики было завершено как можно быстрее. По предложению Эрика Клячкина в контракт включен пункт, предусматривающий премию в 25 000 тыс. долл, за каждую неделю сокращения срока выполнения проекта. В то же время, контрактом предусмотрен штраф в 25 000 тыс. долл, за каждую неделю превышения этого срока.
После подписания контракта Хвостов озабочен тем, чтобы завершить проект как можно раньше. По его указанию расчетный отдел провел калькуляцию накладных расходов. Первый тип накладных расходов — обычные накладные расходы в размере 22,5% от прямых затрат на выполнение работ. Второй тип накладных расходов зависит от продолжительности проекта в целом. Эти накладные расходы увеличиваются на 1500 тыс. долл, каждую неделю. Например, сокращение продолжительности проекта на 10 недель означает сокращение накладных расходов второго типа на 15 000 тыс. долл.
Прибыль строительной компании оценивается в размере 10% стоимости контракта. В стоимость контракта включаются прямые затраты на выполнение работ, премиальные и штрафные санкции и накладные расходы двух типов.
Выполните следующие задания'.
Нарисуйте сетевой график проекта и найдите критический путь, время на критическом пути и общую стоимость контракта при нормальной продолжительности работ.
Определите продолжительность выполнения проекта, при которой прибыль строительной компании оказывается мак-
симальной. Сроки выполнения каких работ следует максимально или частично сократить по сравнению с нормальными?
Как изменятся ответы на вопросы предыдущего пункта, если при определении стоимости контракта не будут учитываться накладные расходы второго типа.
За какое минимальное время можно выполнить проект?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
I - 3, 2 - 3, 3 - 1,4 - 2, 5 - 5.
Ответы на задачи
Задача 1
15 месяцев.
345 тыс. руб.
319 тыс. руб.
За 9 месяцев.
Задача 2
31 неделя.
400 тыс. руб.
288 тыс. руб.
За 25 недель.
Задача 3
14 недель.
41 тыс. руб.
27 тыс. руб.
Недостатка или-перерасхода средств в конце четвертой недели нет.
3 тыс. руб.
Глава 10
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
ЦЕЛИ
В данной главе показаны возможности использования одного из классов игровых моделей — так называемых стратегических игр — для решения задач принятия решений преимущественно экономического характера в условиях неопределенности. Дается общее описание стратегической игры и ее место в классификации игр. Подробно рассматриваются класс стратегических игр двух лиц с нулевой, а также с постоянной ненулевой суммой. Определяется понятие равновесия в игре в чистых и смешанных стратегиях. Представлен общий подход к решению игры указанного выше типа — сведение ее к задаче линейного программирования. Описание проводится на примерах принятия решений в экономической и военной областях.
После того, как вы выполните предлагаемые в этой главе задания, вы будете уметь строить для определенных ситуаций принятия экономических решений соответствующую игровую модель, определяя:
игроков;
стратегии игроков;
матрицу выигрышей;
наличие или отсутствие седловых точек в чистых стратегиях;
доминирующие стратегии;
эквивалентную модель линейного программирования;
оптимальные стратегии игроков;
цену игры.
МОДЕЛИ
Методы, основывающиеся на теории игр, используются для принятия решений в условиях неопределенности. Игра — это математическая модель конфликтной ситуации, которая предполагает наличие следующих компонент:
заинтересованных сторон;
возможных действий каждой стороны;
интересов сторон.
В игре заинтересованные стороны называются игроками, каждый из которых может предпринимать не менее двух действий (если игрок имеет в своем распоряжении только одно действие, то он фактически не участвует в игре, поскольку заранее известно, что он предпримет). Само слово «игра» применяется для обозначения некоторого набора правил и соглашений, составляющих данный вид игры, например: футбол, карточная игра, шахматы. В экономике модель поведения лиц в виде игры возникает, например, при попытке нескольких фирм завоевать наиболее выгодное место на конкурентном рынке, или, например, при желании нескольких лиц (кампаний) разделить некоторое количество продукта (ресурса, финансовых средств) между собой так, чтобы каждому досталось как можно больше. Игроками в конфликтных экономических ситуациях, моделируемых в виде игры, являются производственные и непроизводственные фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические агенты. В военных приложениях модель игры используется, например, для наилучшего выбора средств (из имеющихся или потенциально возможных) поражения военных целей противника или защиты от его нападения.
Для игр характерна неопределенность результата (исхода). Причины или источники неопределенности относятся к трем группам:
комбинаторные источники (шахматы);
влияние случайных факторов (игра в орлянку, кости, карточные игры, где расклад является случайным);
стратегическое происхождение неопределенности: игрок не знает, какого образа действий придерживается его противник; здесь неопределенность исходит от другого лица; соответствующие игры называются стратегическими.
Таким образом, в стратегической игре действия предпринимают две или более стороны, в отличие от нестратегической игры, в которой действия предпринимает одна сторона, а остальные являются заинтересованными сторонами.
Классификации стратегических игр
Игры различают по:
числу игроков (игра 2-х лиц, игра л лиц [и > 2]);
количеству игроков и их стратегиям (конечные, бесконечные);
количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов (игры с полной, игры с неполной информацией); шахматы — пример игры с полной информацией;
принципу деления выигрыша (коалиционные, бескоалиционные).•
Ниже рассматривается модель конечной стратегической игры с полной информацией, в которой участвуют две стороны, имеющие противоположные интересы. Такую игру принято называть конечной игрой двух лиц с нулевой суммой.
Конечная игра двух лиц с нулевой суммой
В игре двух лиц с нулевой суммой (такую игру называют также антагонистической) принимают участие два игрока: игрок 1 и игрок 2. В распоряжении каждого игрока имеется множество стратегий. Под стратегией понимают совокупность правил (принципов), определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации. Пусть А = {о,, ..., а,,,) и В= ^Ь^ ..., Ь^ — множества стратегий игрока 1 и 2, соответственно. Множество А содержит т элементов, множество В — п элементов. Условия игры представлены так называемой функцией выигрыша игрока 1: Ща,, Ьф, где Qj е А — стратегия / игрока 1, Ь.• е В — стратегия j игрока 2. В игре с нулевой суммой выигрыш игрока 2 равносилен проигрышу игрока 1 и равен -H)ah bj). Предполагается, что функция выигрыша обоим игрокам известна. Поскольку игроков двое и игра антагонистическая, коалиции невозможны. Игра, в которой множества стратегий игроков конечны, т.е. |Л|.< оо, |8| < ж, называется матричной. В этом случае функция выигрышей игрока 1 имеет вид матрицы, называемой матрицей игры (матрица выигрышей, платежная матрица) Н = ^и^жп, / = 1, ..., т; / = 1, ..., п. Строки этой матрицы соответствуют стратегиям аь ..., ат игрока 1, столбцы — стратегиям bv ..., bn игрока 2. Элемент матрицы и^ = Н^а^ Ьф — это выигрыш игрока 1 в случае, когда он применит стратегию а^ а его противник — стратегию bj, / = 1, ..., т; j = 1п. Элементы матрицы могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Случай, когда элемент матрицы положителен, означает, что игрок 2 в определенной ситуации должен уплатить игроку 1 сумму, рав-
ную значению этого элемента. Если элемент отрицателен, игрок 1 уплачивает игроку 2 сумму, равную абсолютному значению этого элемента. И, наконец, если этот элемент равен нулю, выплаты не производится. Таким образом, в игре двух лиц с нулевой суммой один игрок выигрывает столько же, сколько проигрывает другой (все выплаты производятся из «карманов» противников). Это и объясняет название — игра с нулевой суммой. Игрок 1 стремится к максимальному выигрышу, игрок 2 — к минимальному проигрышу. Решить игру — значит найти оптимальные стратегии игроков и их выигрыши.
В игре двух лиц с нулевой суммой, как и в любой другой стратегической игре, исход зависит от поведения обоих игроков, которое основывается на так называемых правилах игры. Допустим, что согласно правилам игры, игрок 1 может выбрать произвольную строку матрицы и, следовательно, может выбрать одно из чисел I, ..., т. Аналогично, игрок 2 имеет возможность выбора произвольного столбца матрицы выигрышей и, следовательно, одно из чисел 1, ..., п. Исход (результат) игры и, следовательно, сумму, которую игрок 2 должен уплатить игроку 1, определяет элемент матрицы выигрышей, находящийся на пересечении строки, выбранной игроком 1, и столбца, выбранного игроком 2. Существенно, что ни один из партнеров не знает, какую стратегию применит его противник. Таким образом, имеет место ситуация полной неопределенности, при которой теория вероятности не может помочь игрокам в выборе решения.
Рассмотрим процесс принятия решений обеими сторонами, предполагая, что игроки действуют рационально. Если игрок 1 не знает, как поступит его противник, то, действуя наиболее целесообразно, не желая рисковать и считая, что противник также будет действовать целесообразно, он выберет такую стратегию, которая гарантирует ему наибольший из наименьших выигрышей при любой стратегии противника. Принято говорить, что при таком образе действий игрок 1 руководствуется принципом максиминного выигрыша. Этот выигрыш определяется формулой а = max min и,у. Величина а называется нижней ценой игры, мак- симинным' выигрышем, или сокращенно максимином.
В свою очередь игрок 2, действуя рационально, выберет такую стратегию, которая гарантирует ему наименьший из возможных проигрышей при любых действиях противника. Принято говорить, игрок 2 руководствуется принципом минимаксного проигрыша. Этот проигрыш определяется выражением р = minmaxWy. Величина р называется верхней ценой игры или минимаксом.
Принцип осторожности, который определяет выбор партнерами стратегий, соответствующих максиминному выигрышу или минимаксному проигрышу, часто называют принципом минимакса, а стратегии, вытекающие из этого принципа, — минимаксными стратегиями.
Для любой игры с нулевой суммой а < р чем и объясняются названия «нижняя цена» и «верхняя цена». В случае, когда нижняя цена игры равняется ее верхней цене, их общее значение называется ценой игры. При этом результат стратегической игры двух лиц с нулевой суммой можно определить, не приступая к фактической игре: вполне реален сценарий, когда партнеры, взглянув на матрицу, рассчитываются, пожимают друг другу руки и расходятся. Очевидно, что исход такой игры не изменится, если она будет повторена многократно, поскольку ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своих минимаксных стратегий. Ситуация, в которой нижняя и верхняя цены игры совпадают, называется седловой точкой.
Определение. Кортеж стратегий или ситуация (а*, Ь*) е Ах В называется седловой точкой, если
Ща,, b*) = max{//(<7,, b*); i = 1, ..., m^ =
= min|//(t7*, bp; j = 1, n^.
В седловой точке элемент матрицы и* = Ща], Ь*) является одновременно наименьшим в строке и наибольшим в столбце и, следовательно, соответствует цене игры.
Однако существуют матрицы игры двух лиц с нулевой суммой (и таких игр большинство), для которых а * р, т.е. определенная выше седловая точка отсутствует. Исход такой игры определить труднее, поскольку какой-либо одной, так называемой чистой оптимальной стратегии ни для одного игрока не существует. В таких случаях говорят, что решение игры в чистых стратегиях отсутствует, и рассматривают так называемое смешанное расширение игры, решение которой ищут в смешанных стратегиях. Смешанная стратегия игрока — это случайная величина, значениями которой являются его чистые стратегии. Задание смешанной стратегии игрока состоит в указании вероятностей (частот), с которыми выбираются его первоначальные (чистые) стратегий. При этом предполагается, что игра повторяется многократно.
Для матричной игры т хи обозначим через Р = (ръ ..., р„д смешанную стратегию игрока 1, где рх > 0, ..., рт > 0, ^ р, = 1, через Q = (qx, ..., q^ — смешанную стратегию игрока 2, где Ч\ >0, q„>A Yqj = 1.
7 = 1
Здесь/?।, рт — вероятности использования игроком 1 в смешанной стратегии своих чистых стратегий ах, ..., ат; qx, ..., qn — вероятности использования игроком 2 в смешанной стратегии своих чистых стратегий Ьх, ..., Ьп.
Математическое ожидание выигрыша игрока 1: М(Р, Q) = и т
= 11aijPjqj- Смешанная стратегия, которая гарантирует игроку 1 наибольший возможный средний выигрыш (или наименьший возможный средний проигрыш), называется его оптимальной смешанной стратегией, а стратегии, из которых складывается оптимальная смешанная стратегия, определяются как выгодные стратегии. Пусть Р — смешанная стратегия игрока 1,0 — смешанная стратегия игрока 2. Ситуацию (Р , Q ), при которой М^Р, Q*) < М^Р*, Q*) < М(Р*, 0), называют седловой точкой смешанного расширения игры, а математическое ожидание выигрыша v = М(Р , 0 ) — ценой игры, причем всегда а < v < р.
Доминирование стратегий
Если платежная матрица такова, что каждый элемент некоторой строки / не меньше соответствующего элемента строки к и по меньшей мере один ее элемент строго больше соответствующего элемента строки к, то говорят, что стратегия й, игрока 1 доминирует его стратегию ак. Доминируемая стратегия ак не может быть оптимальной чистой стратегией игрока 1, или войти в его оптимальную смешанную стратегию с ненулевой вероятностью, поэтому ее можно исключить из рассмотрения, вычеркнув из матрицы строку к. Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца j не больше соответствующего элемента столбца г и по меньшей мере один его элемент строго меньше соответствующего элемента столбца г, то говорят, что стратегия bj игрока 2 доминирует его стратегию Ьг Поэтому столбец г матрицы можно вычеркнуть.
Сведение игры двух лиц с нулевой суммойк задаче линейного программирования
При отсутствии седловой точки общим методом нахождения решения игры любой (конечной) размерности является сведение игры двух лиц с нулевой суммой к задаче линейного программирования. Из основного положения теории стратегических игр следует, что при использовании смешанных стратегий существует, по меньшей мере, одно оптимальное решение с ценой игры v, причем а < v < р, т.е. цена игры находится между верхним и нижним значениями игры. Величина v неизвестна, но всегда можно предположить, что v > 0. Это условие выполняется, поскольку всегда можно путем соответствующего преобразования матрицы сделать все ее элементы положительными. Таким образом, если в исходной платежной матрице имеется хотя бы один неположительный элемент, то первым шагом в процедуре сведения игры к задаче линейного программирования должно быть ее преобразование к матрице, все элементы которой строго положительны. Для этого достаточно увеличить все элементы исходной матрицы на одно и то же число d > max max| aj^ |, где а^< 0. При таком преобразовании матрицы оптимальные стратегии игроков не изменяются.
Допустим, что смешанная стратегия игрока 1 складывается из стратегий ах, ..., ат с вероятностями, соответственно, рь ..., рт (^ р, = 1, Р; > 0). Оптимальная смешанная стратегия игрока 2 складывается из стратегий Ьх, .... bnc вероятностями qv ..., qn, (^q, = 1, q, > 0). Условия игры определяются платежной мат- yi f , рицей |, йц > 0, / = I, ..., т; j = 1, ..., п.
Если игрок I применяет оптимальную смешанную стратегию, а игрок 2 — чистую стратегию Ьр то средний выигрыш игрока 1 (математическое ожидание выигрыша) составит Р\ «\j +■■■ + Рт атр У = L и-
Игрок 1 стремится к тому, чтобы при любой стратегии игрока 2 его выигрыш был не менее чем цена игры v, и сама цена игры была максимальной. Такое поведение игрока 1 описывается следующей моделью линейного программирования:
v -> max;
Мп + ...+ ртатХ > v;
рх ап * ... + pmamI > v;
Р\а\\ + + рт ати > v; р\ +■•• + рт = *;
р, > О, i = 1, ..., т
или, обозначив Xj - —, задачу можно переписать в виде:
х, + ... + хт -» min; .
«и Х| + ... + атХ хт > 1;
(1) а\пХ\ + •■• + атпхт - h
xz > О, i = 1, ..., т,
1 причем v =.
X] + ... + хт
Поведению игрока 2 соответствует двойственная задача: у, + ... + ут -» max, ^пУ! + - + «1«У„ 5 V -(2)
^т 1^1 + • • • + ^т п У и — 1’
У, > О, / = !,..., И,
где у, = —, а целевая функция второго игрока эквивалентна v.
v -> min, т.е. игрок 2 стремится минимизировать свой средний проигрыш).
Задача (1) всегда имеет решение. Получив ее оптимальное решение х^, ..., х*т, можно найти цену игры v =——,
,,х1+...+ Хт
оптимальные значения рх, ..., рт и, следовательно, оптимальную стратегию игрока 1. Если исходная матрица увеличивалась на d, то для получения цены первоначальной игры значение v нужно уменьшить на d.
Матричная игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой
Конечная игра, в которой сумма выигрышей обоих игроков не равна нулю и постоянна для всех сочетаний их чистых стратегий, называется матричной игрой двух лиц с ненулевой постоянной суммой. Пусть (йЛ — матрица выигрышей игрока 1 и Ьи >— матрица выигрышей игрока 2. Причем аи + bh = с для
всех / = 1, ..., т; j = 1, ..., п.
Такого рода игра сводится к игре двух лиц с нулевой сум
мой следующим образом:
каждому игроку выплачивается сумма —;
решается игра с нулевой суммой с матрицей выигрышей игрока 1 аи >, где ай = аи - -.
X у ) т, пJ J 2
Действительно, в игре с преобразованной таким образом „~с
матрицей выигрыша игрок 2 получает сумму — а- для всех 2 J
/ = 1, ..., т; j = 1, ..., и, т.е. новая игра является игрой с нулевой
с2с2сменьше, поскольку по — они полу-сменьше, поскольку по — они полу-суммой. При этом каждый игрок ничего не теряет, так как каж
с
2
с
2
с
меньше, поскольку по — они полу-
с
меньше, поскольку по — они полу-
дый игрок получает на чили перед игрой.
ПРИМЕРЫ
Пример 1
Пусть матрица некоторой игры имеет вид:
6
А
bi
Ьг
Ьз
Ь4
Минимальный выигрыш игрока 1
31
10
40
12
9
9
32
17
16
13
14
13
Зз
23
8
10
25
8
Максимальный проигрыш игрока 2
23
40
13
25
В этой игре партнер 1 имеет три возможные стратегии: аь а2, й3, а партнер 2 — четыре возможные стратегии Ьх, Ь2, Ь3, Ь4. Рассмотрим процесс принятия игроками решения (предполагается, что они принимают в данной ситуации рациональные решения). Взглянув на матрицу игры, можно заметить, что если игрок 1 не знает, как поступит его против-
ник, то действуя наиболее целесообразно и, считая, что противник будет действовать подобным же образом, он выберет стратегию аъ которая гарантирует ему наибольший из трех возможных наименьших выигрышей: 9, 13, 8. Другими словами, игрок I руководствуется принципом максиминного выигрыша. Этот выигрыш а = maxmlnOj есть нижняя цена
i j J
игры. Для нашего примера он равен 13.
Игрок 2 рассуждает аналогично: если он выберет стратегию Ьх то потеряет самое большее 23, если стратегию Ь^ то — 40 и т.д. В результате он выберет стратегию Ьу которая гарантирует ему наименьший из четырех возможных проигрышей: 23, 40, 13, 25. Принято говорить, что игрок 2 руководствуется принципом минимаксного проигрыша. Этот проигрыш Р = min тахо,.. Для нашей матрицы р = 13.
j i J
Ситуация (й2, 63) есть седловая точка, и а = р = 13 есть цена игры.
При наличии седловой точки ни одному из участников игры невыгодно отклоняться от своей минимаксной стратегии: он будет наказан противником, тем, что получит меньший выигрыш.
Пример 2. Где строить?
Две конкурирующие крупные торговые фирмы Ф1 и Ф2, планируют построить в одном из четырех небольших городов П, Г2, ГЗ, и Г4, лежащих вдоль автомагистрали, по одному универсаму. Взаимное расположение городов, расстояние между ними и численность населения показаны на следующей схеме.
30 тыс.50 тыс.40 тыс.30 тыс.
человекчеловекчеловекчеловек
Распределение оборота, получаемого каждой фирмой, определяется численностью населения городов, а также степенью удаленности универсамов от места жительства потенциальных покупателей. Специально проведенное исследование показало, что торговый оборот в универсамах будет распределяться между фирмами так, как это показано в следующей таблице.
Условия
Распределение оборота между фирмами, %
Ф1
Ф2
Универсам фирмы Ф1 расположен к городу ближе универсама фирмы Ф2
75
25
Универсамы обеих фирм расположены на одинаковом расстоянии от города
60
40
Универсам фирмы Ф1 расположен от города дальше универсама фирмы Ф2
45
55
Например, если универсам фирмы Ф1 расположен к городу П ближе универсама фирмы Ф2, то оборот фирм от покупок, сделанных жителями данного города, распределится следующим образом: 75% получит Ф1, остальное — Ф2.
Представьте описанную ситуацию, как игру двух лиц и определите, в каких городах целесообразно фирмам построить свои универсамы.
Решение
Составим платежную матрицу игры, в которой игроком 1 будет фирма Ф1, а игроком 2 фирма Ф2. Стратегии обоих игроков: строить свой универсам в городе П, строить в городе Г2 и т.д. Элементы матрицы — объемы оборотов фирмы Ф1 (в тыс. руб.), которые, как предполагается, пропорциональны (причем с одним и тем же коэффициентом) числу покупателей. Величина указанного коэффициента пропорциональности, с точки зрения выбора оптимального места размещения универсамов, значения не имеет, поэтому примем его равным единице.
Платежная матрица имеет вид:
П
Г2
ГЗ
Г4
И
90
76,5
91,5
91,5
Г2
103,5
90
91,5
103,5
ГЗ
88,5
88,5
90
103,5
Г4
88,5
76,5
76,5
90
Рассмотрим примеры расчета значений элементов (П, Г2) и (ГЗ, Г4) платежной матрицы.
Ситуация (П, Г2) означает, что фирма Ф1 строит универсам в городе П, а фирма Ф2 — в городе Г2. Число покупателей фирмы Ф1 складывается из покупателей четырех городов. Для
ситуации (П, Г2) число покупателей из П равно 0,75 x 30; из Г2: 0,45x50; из ГЗ: 0,45x40; из Г4: 0,45x30, т.е. число покупателей из четырех городов равно 76,5. Для ситуации (ГЗ, Г4) число покупателей из П: 0,75x30; из Г2: 0,75x50; из ГЗ: 0,75x40; из Г4: 0,45x30, т.е. число покупателей из четырех городов равно 103,5. Элементы матрицы выигрышей фирмы Ф2 — дополнения до числа 150 (общее число жителей в четырех городах). Таким образом, имеет место игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой, оптимальные стратегии которой те же, что и для соответствующей игры с нулевой суммой. Полученная платежная матрица имеет седловую точку (Г2, Г2). Соответствующий элемент матрицы равен 90.
Таким образом, обеим фирмам следует строить свои универсамы в одном и том же городе Г2, при этом, число покупателей (оборот) Ф1 составит 90 тыс., а у фирмы Ф2 — 60 тыс.
Пример 3. Двухпалъи.евая игра мора
Каждый игрок показывает один или два пальца и называет число пальцев, которое, по его мнению, показал его противник (ни один из игроков не видит, какое число пальцев на самом деле показывает его противник). Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме числа пальцев, показанных им и его противником. В противном случае (если никто не угадывает), — ничья. Если оба угадали, то оба платят друг другу одинаковую сумму, в результате также ничья.
Ответьте на следующие вопросы;
Существует ли в данной игре седловая точка в чистых стратегиях?
Кто из игроков в среднем выигрывает и сколько?
Как часто игрок 1 должен говорить, что его противник показал два пальца?■
Как часто игрок 2 должен показывать 1 палец?
Решение
Прежде всего, определим стратегии игроков и построим платежную матрицу.
Стратегиями игрока 1 (строки таблицы) являются четыре пары чисел. Первое число каждой пары — это число пальцев, показанное им, второе — число пальцев, которое, как он предполагает, показал его противник. Такие же стратегии имеет игрок 2.
Платежная матрица размером 4x4 и другая информация представлена в нижеследующей таблице:
в
А
(1, 1)
(1,2)
(2, 1)
(2, 2)
Минимальный выигрыш игрока 1
(1,1)
0
2
-3
0
-3
(1,2)
-2
0
0
3
-2
(2,1)
3
0
0
-4
-4
(2,2)
0
-3
4
0
-3
Максимальный проигрыш игрока 2
3
2
4
3
Нижняя цена игры а = -2, верхняя цена игры р = 2. Так как а * р, поэтому седловой точки не существует и решение в чистых стратегиях отсутствует. Для решения данной игры построим соответствующую задачу линейного программирования. Для этого сначала преобразуем платежную матрицу так, чтобы все ее элементы были положительными. Максимальная по абсолютной величине величина неположительного элемента платежной матрицы равна 4, поэтому к матрице надо прибавить число 5, чтобы все элементы ее стали положительными:
В
А
(1, 1)
(1,2)
(2, 1)
(2, 2)
Минимальный выигрыш игрока 1
(1.1)
5
7
2
5
2
(1,2)
3
5
5
8
3
(2,1)
8
5
5
1
1
(2, 2)
5
2
9
5
2
Максимальный проигрыш игрока 2
8
10
9
13
Оптимальная стратегия игрока 1 находится решением следующей задачи линейного программирования (см. [1]):
х, + х2 + х3 + х4 -» min;
5Х| + Зх2 + 8х3 + 5х4 I,
7Х| + 5х2 + 5х3 + 2х4 > 1;
2х, + 5х2 + 5х3 + 9х4 > 1;
5Х] + 8х2 + 1х3 + 5х4 > 1,
х,. > 0,/ = 1, ..., 4.
Исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы.
Стратегии игрока 1
Стратегии игрока 2
1
2
3
4
Знак
Minimize
1
1
1
1
1
5
3
8
5
>=
1
2
7
5
5
2
>=
1
3
2
5
5
9
>=
1
4
5
8
1
5
>=
1
Используя пакет «P0MW1N», получаем:
Minimize
1
1
1
1
Знак
Двойственная оценка
1
5
3
8
5
>=
1
0
2
7
5
5
2
>=
1
-0,1142857
3
2
5
5
9
>=
1
-0,0857143
4
5
8
1
5
>=
1
2,611694Е-09
Решение
0
0,1143
0
0,0857
0,2
Решение задачи (в нижней строке таблицы): х, = 0; х2 = 0,1143; х3 = 0; х4 = 0,0857; оптимальное значение целевой функции равно 0,2.
Переходя к переменным исходной задачи и учитывая, что
v == 5 и Р;■ = x,v, получаем: рх = 0, р2 = 0,5715,
X [ + X 2 + X ^ + X
р3 = 0, р^ = 0,4285. Это означает, что при многократном повторении игры первая стратегия (1, 1) и третья стратегия (2, 1) игроком 1 не должны использоваться; вторая стратегия (1, 2) — использоваться с частотой 0,5715; четвертая стратегия — с частотой 0,4285.
Аналогично определяем оптимальную стратегию игрока 2: qx = 0; q3 = 0,5715 (5 х0,1143); q3 = 0,4285 (5x0,0857); ^4 = 0, т.е. игрок 2 должен использовать лишь свою вторую стратегию (1, 2) с частотой 0,5715 и третью стратегию (2, 1) с частотой 0,4285.■
Так как исходная матрица была увеличена на 5 единиц, цена первоначальной игры равна 0. Таким образом, исход игры — ничья.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Седловой точки в чистых стратегиях в данной игре не существует.
Ответ на вопрос 2
Ничья.
Ответ на вопрос 3
Всегда.
Ответ на вопрос 4
0,572.
Пример 4. Доминирование стратегий
Пусть платежная матрица для двух игроков имеет вид:
Стратегии игрока 2
Стратегии игрока 2
1
2
3
4
5
1
3
4
-8
0
5
2
4
3
1
2
0
3
5
4
-8
0
5
4
4
3
0
0
-1
5
-2
3
0
2
0
6
0
0
1
1
0
Для игрока I: вторая стратегия (строка 2 матрицы) доминирует четвертую и шестую стратегии, поэтому четвертую и шестую строки можно вычеркнуть. Для игрока 2: третья стратегия (столбец 3) доминирует четвертую стратегию, по
Стратегии игрока 1
Стратегии игрока 2
1
2
1
1
0
2
-8
5
этому столбец 4 можно вычеркнуть и т.д. Результирующая матрица имеет вид:
Пример 5. Как завоевать рынок?
Два конкурирующих друг с другом предприятия, выпускающие стиральные машины, имеют следующие доли общего
сбыта своей продукции на местном рынке: предприятие 1 — 53% и предприятие 2 — 47%. Оба предприятия пытаются увеличить объем своих продаж. Для этого у них есть следующие альтернативы: а, (Ь0 — расширить сеть сбыта; о2 (Ь2) — реклама; о3 (/>3) — увеличить ассортимент (число моделей стиральных машин); а4 (Ь4) — ничего не предпринимать. Анализ показал, что изменения доли (в %) предприятия 1 на рынке стиральных машин в случае осуществления обоими предприятиями указанных мероприятий, могут быть следующими:
Стратегии предприятия 1
Стратегии предприятия 2
bi
b?
Ьз
Ь4
-4
-1
-3
6
92
-5
0
1
5
а3
-1
-3
-5
5
94
-8
-7
-6
0
Сформулируйте данную ситуацию в виде игры и ответьте на вопросы-.
Какое мероприятие предприятия 1 наиболее эффективно?
Как изменится доля предприятия 1 на рынке?
Какое мероприятие предприятия 2 наиболее эффективно?
С какой частотой следует предприятию 2 использовать стратегию «реклама»?
Решение
Приведенную выше таблицу можно рассматривать как платежную матрицу игры двух лиц с нулевой суммой. Альтернативы, имеющиеся в распоряжении предприятий, — стратегии игроков. Прежде всего, следует исключить доминируемые стратегии игроков: ц4 игрока'1 и Ь4 игрока 2.
Стратегии игрока 1
Стратегии игрока 2
Ь,
bz
Ьз
Й1
-4
-1
-3
8г
-5
0
1
а3
-1
-3.
•-5
Увеличив все элементы матрицы на 6, решим следующую задачу линейного программирования:
%, + %2 + %3 -> m*n;2%] + 5х2 + Зх7 > 1;
%, + 6х2 + 7х3 > 1;
5х, + Зх2 + х3 > 1;
%, > О, / = 1, 2, 3.
Используя пакет «P0MW1N», получаем следующий результат:
Minimize
1
1
1
Знак
Двойственная оценка
Constraint 1
2
5 ’
3
>=
1
-0,1052631
Constraint 2
1
6
7
>=
1
0
Constraint 3
5
3
1
>=
1
-0,1578947
Solution ->
0,105
0,158
0
0,26
Переходя к переменным исходной задачи и учитывая, что v =5= 3,85 и Pj = x,v, получаем рх = 0,4; р^ = 0,6; р3 = 0;
X, +х2 +х3
р4 = 0. Цена игры, соответствующая первоначальной матрице, равна -2,15 (3,85 - 6). Таким образом, предприятие 1 при многократном повторении игры должно использовать с частотой 0,4 стратегию а, (расширить сеть сбыта), с частотой 0,6 — стратегию о2 (реклама), а стратегии о3 (увеличить ассортимент) и о4 (ничего не предпринимать) — не использовать вовсе. При этом доля сбыта предприятия на рынке уменьшится на 2,15%. Оптимальная смешанная стратегия предприятия 2: с частотой 0,4 использовать стратегию /^(расширить сеть сбыта) и с частотой 0,6 — стратегию Ь3 (увеличить ассортимент). Стратегии о2 (реклама) и о4 (ничего не делать) не применять вовсе. Доля предприятия 2 на рынке увеличится на 2,15%. Казалось бы, поскольку в результате осуществления своих мероприятий предприятие 1 «теряет рынок», ему не следует ничего предпринимать, однако в этом случае оно потеряет еще больше (в соответствии со стратегией о4) из-за действий предприятия 2, которому они выгодны.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Наиболее эффективным мероприятием для предприятия 1 является «реклама».
Ответ на вопрос 2
Доля предприятия 1 на рынке уменьшится на 2,15%.
Ответ на вопрос 3
Наиболее эффективным мероприятием для предприятия 2 является увеличение ассортимента.
Ответ на вопрос 4
С нулевой частотой, т.е. мероприятие «реклама» предприятием 2 вообще не должно применяться.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Пусть d — нижняя цена матричной игры Nay Nmn. Значение d определяется следующей формулой:
minoy;
min Оу
min minoy;
max min <?у;
max min Оу.
Вопрос 2
Пусть и — верхняя цена матричной игры NayNmn. Значение и определяется следующей формулой:
max о,-,;'
max о,-,-;
max min Оу;
max max ozy;.
min max Оу.
j i
Вопрос 3
Найти верхнюю цену следующей игры:
Ситуации игрока 1
Ситуации игрока 2
1
2
3
1
1
-4
3
2
-4
4
6
3
3
-6
5
Возможные ответы:
1) 1; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 6.
Вопрос 4
Указать нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы:
Ситуации игрока 1
Ситуации игрока 2
1
2
3
4
5
1
4
2
-3
-1
0
2
8
3
5
2
-2
3
7
4
2
-4
8
4
3
5
4
10
5
Возможные ответы.
1) (-4, 10); 2) (0, 5); 3) (2, 4); 4) (3, 5); 5) (2, 8).
Вопрос 5
Указать значение элемента матрицы игры в седловой точке:
Ситуации игрока 2
Ситуации игрока 1
1
2
3
4
1
40
40
8
15
2
1
-5
6
25
3
50
55
3
1
Возможные ответы;
1) 6; 2) 8; 3) 15; 4) 25; 5) седловая точка отсутствует.
Вопрос 6
Используя свойство доминирования стратегий игроков, максимально редуцировать следующую матрицу игры:
Ситуации игрока 1
Ситуации игрока 2
1
2
3
4
5
1
4
7
2
3
4
2
3
5
6
8
9
3
4
4
2
2
8
4
3
6
1
2
4
5
! 3
5
6
8
9
Какова размерность результирующей матрицы?
Возможные ответы;
1) 1 х 2; 2) 2 х 1; 3) 2 х 2; 4) 3 х 2; 5) 3 х 3.
Вопрос 7
Найти цену следующей игры (без использования пакета «POMWIN»Y
Ситуации игрока 1
Ситуации игрока 2
1
2
3
1
1
2
3
2
2
3
1
3
3
1
2
Возможные ответы;
1) 1; 2) 1,5; 3) 2; 4) 2,5; 5) 3.
Вопрос 8
Два игрока одновременно и независимо показывают 0, 1, 2 или 3 пальца. Игрок, доказавший большее число пальцев, платит другому игроку сумму, равную разности чисел пальцев, показанных им и его соперником. Какова цена такой игры?
Возможные ответы;
3; 2) 2; 3) 1; 4) 0; 5) -1.
Вопрос 9-
Два игрока одновременно и независимо показывают 1, 2 или 3 пальца. Пусть 5— сумма чисел пальцев, показанных
обоими противниками. Если s— нечетное, то игрок 1 платит другому игроку сумму s, если же s— четное, эту сумму выплачивает игрок 2.
Чему равна цена такой игры?
Возможные ответы:
-1; 2) 0; 3) 1; 4) 1,3; 5) 1,7.
Вопрос 10
Построить следующую игру: игрок 2 прячет в одном из п мест предмет стоимостью Су, у = 1, ..., п; игрок 1 ищет этот предмет и если находит, то получает с-, в противном случае получает 0. Пусть л = 4 и вектор стоимости предметов с = (5, 7, 3, 12). Чему равна цена игры?
Возможные ответы:
1,75; 2) 1,57; 3) 1,32; 4) 1,23; 5) 1,12.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Известный актер обдумывает, где бы ему провести в текущем году отпуск. Он рассматривает 6 возможных вариантов: Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские острова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ). Единственный критерий для выбора места отдыха — это стремление избежать журналистов, которые могут испортить ему отдых. Если они его «выследят», отдых будет испорчен (полезность равна 0). В противном случае, все будет, как запланировано (полезность равна 1). Вследствие различных географических условий, актера можно обнаружить на территории, где находятся и актер и журналисты, с определенной (известной) вероятностью: в Монте-Карло с вероятностью 0,34; на Гавайских островах с вероятностью 0,12; на Багамских островах с вероятностью 0,16; на Канарских островах с вероятностью 0,4; в Сочи с вероятностью 0,5; на озере Байкал с вероятностью 0,2.
Опишите данную ситуацию, как игру двух лиц с нулевой,суммой (актер — это игрок 1). Вычислите цену игры и определите минимаксные стратегии обоих игроков.
Ответьте на вопросы:
Чему равна максимальная ожидаемая полезность отпуска актера?
С какой вероятностью актер поедет в отпуск на Байкал?
Чему равна верхняя цена игры?
В каком из мест наиболее вероятно будет отдыхать актер? (Считать, что 1 соответствует М К, 2 — Г, 3 — Б, 4 — К, 5- С, 6- ОБ).
Задача 2
На «Диком Западе» имела место следующая ситуация. Группа из пяти индейцев осадила лагерь, охраняемый четырьмя белыми. У лагеря два входа Е1 и Е2. Белый разведчик установил, что перед входом Е1 находится как минимум один индеец, а перед входом Е2 как минимум два индейца. Остальное распределение неизвестно. Командир осажденных может распределить своих людей около Е1 и Е2, причем у каждого входа должен быть как минимум один человек. Предполагается, что численно превосходящая (у каждого входа) группа берет в плен всю группу противника без собственных потерь, в то время как при равенстве сил перед каким-либо входом потерь с обеих сторон нет. В качестве платежа (выигрыша) выступает разность числа пленных.
Определите все чистые стратегии обоих противников.
Б) Постройте платежную матрицу, считая игроком 1 обороняющуюся сторону.
Редуцируйте матрицу насколько это возможно и найдите оптимальные стратегии сторон.
Ответьте на следующие вопросы:
С какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить по два человека у каждого входа?
Кто больше в среднем захватит пленных белые или индейцы? (1 — белые, 2 — индейцы)?
Какова абсолютная величина разности числа захваченных обеими сторонами пленных?
С какой частотой следует белым использовать стратегию: расположить у первого входа одного человека, а у второго — трех человек?.
С какой частотой следует индейцам использовать стратегию: расположить у первого входа трех, а у второго двух воинов?
Задача 3. Военная игра
Сторона В засылает подводную лодку в один из п регионов. Сторона А, располагая т противолодочными кораблями, стремится обнаружить лодку противника. Сторона В стремится этого избежать. Вероятность обнаружения подводной лодки в регионе j одним противолодочным кораблем равна pj, j = 1, ..., п.
Предполагается, что обнаружение лодки каждым кораблем является независимым событием. Сторона А может посылать в различные регионы разное количество кораблей (распределение т кораблей по регионам и есть ее стратегия).
Пусть т = 3; п = 2; р{ = 0,4; р^ = 0,6.
Считая сторону А игроком 1, построить игру и найти оптимальное распределение противолодочных кораблей по регионам.
Ответьте на следующие вопросы.
Каков средний выигрыш стороны А?
С какой частотой стороне А следует посылать в регион 2 три противолодочных корабля?
С какой частотой стороне А следует посылать в регион 1 один противолодочный корабль?
С какой частотой стороне В следует посылать подлодку в регион 2?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
- 4, 2 - 5, 3 - 3, 4 - 4, 5 - 2, 6 - 3, 7 - 3, 8 - 4, 9 - 2, 10-2.
Ответы на задачи
Задача 1
Максимальная ожидаемая полезность отпуска актера равна цене игры, т.е. 0,96.
0,19.
1.
На Гавайских островах.
Задача 2
0.
Индейцы.
1.
0,2.
0,6.
Задача 3
Средний выигрыш стороны А равен 0,61, т.е. цене игры.
Стороне А не следует посылать в регион 2 три противолодочных корабля.
Стороне А следует посылать в регион 1 один противолодочный корабль с частотой 0,92.
Стороне В следует посылать подлодку в оба региона с равной (0,5) вероятностью.'
Глава 11
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ЦЕЛИ
В данной главе описываются оптимизационные задачи нелинейного программирования (НЛП), математические модели которых содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники нелинейностей относятся в основном к одной из двух категорий:
реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные соотношения, такие, например, как непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами; между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса; между выручкой и объемом реализации и др.;
установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости, такие, например, как формулы или правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг; эвристические правила определения страховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере вероятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин; различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.
Решать линейные задачи значительно проще и, если линейная модель обеспечивает адекватность реальным ситуациям, то ее и следует использовать. В практике экономического управления имеется большой опыт успешного применения моделей линейного программирования даже в условиях нелинейности. В не-
которых случаях нелинейности были несущественными и ими можно было пренебречь, в других — производилась линеаризация нелинейных соотношений или применялись специальные приемы, например, строились так называемые линейные аппроксимационные модели, благодаря чему достигалась указанная выше адекватность. Тем не менее имеется большое число ситуаций, где нелинейность является существенной и ее нужно учитывать в явном виде.
Ниже даются общая модель задачи нелинейного программирования и классы задач НЛП, описываются условия оптимальности решения, рассматриваются примеры, предлагаются формулировки вопросов и задач для самостоятельного решения.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа:
целевую функцию;
ограничения;
допустимый план;
множество допустимых планов;
модель нелинейного программирования;
оптимальный план;
двойственные переменные;
а также:
определять выпуклость функции;
строить функцию Лагранжа задачи нелинейного программирования;
проверять оптимальность полученных решений.
МОДЕЛЬ
В общем виде задача нелинейного программирования описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования:
FU) -л max;(1)
g(x) < Ь„ i = 1, ..., пт,(2)
x > О,(3)
где х= (xh ..., х„) — вектор переменных задачи.
Задача (1)—(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.
Аналогично может быть сформулирована задача НЛП на минимум.
Вектор х = (хь ..., х„), компоненты х, которого удовлетворяют ограничениям (2)—(3), называется допустимым решением или допустимым планом задачи нелинейного программирования.
Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.
Допустимое решение задачи нелинейного программирования, на котором целевая функция (1) достигает максимального значения, называется оптимальным решением задачи НЛП.
Возможные местонахождения максимального значения функции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяются следующим общим принципом. Максимальное значение FCx1). если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать:
—множеству внутренних точек области допустимых решений, в которых все первые частные производные функции Нравны нулю;
S2 —множеству точек границы допустимой области;
53 — множеству точек допустимой области, в которой функция не дифференцируема.
В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена с помощью симплекс-метода, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Некоторый алгоритм может оказаться эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа. Эффективность алгоритма может даже существенно зависеть от постановки задачи, например, от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. При этом программы, ориентированные на решение определенного класса задач, как правило, не гарантируют правильность решения любых задач данного класса, и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.
В экономических приложениях рассматриваются следующие классы задач нелинейного программирования.
Оптимизация нелинейной функции с ограничениямина неотрицательность значений переменных
/•"(х) —> max;
'х > О,
где х = (xh ..., х„) — вектор переменных задачи.
Пусть F(x) — дифференцируемая функция. Необходимые условия того, что в точке х° достигается максимум функции F(x) имеют вид:
8F дх.8F дх..о 9F‘ дх,-.о 9F‘ дх,-i = 1,i = 1,п.п.
8F дх.
8F дх.
.о 9F‘ дх,-
.о 9F‘ дх,-
i = 1,
i = 1,
п.
п.
Это означает, что — < 0 для х = х в случае х; = 0, — = 0 dXjдх,-
для х = х° в случае х° > 0.
Если F(x) вогнутая функция (в случае задачи минимизации — если выпуклая), то эти условия являются также достаточными.
Функция Fc числовыми значениями, определенная на выпуклом множестве точек К, называется вогнутой, если для любой пары точек х1, х2 и для всех чисел X, 0 < X < 1, выполняется неравенство F^x1 + [1 - Х]х2) > XF(x') + (1 - X)F(x2).
Если F(Xx' + [I - Х]х2) > XF(x’) + (1 - X)F(x2), то функция F называется выпуклой. Если имеют место строгие неравенства, то говорят, что функция строго вогнутая или строго выпуклая.
Данное определение вогнутости (выпуклости) функции годится для любого типа функции. Однако на практике его трудно применить. Для дважды дифференцируемой функции Лимеет место следующий критерий.
Дифференцируемая функция F^x) строго вогнутая в некоторой окрестности точки х° = (х®, ..., х^), если выполняются следующие условия:
^i(x°)<0;
F22(x°) < 0;
Л1(х°)
/^(х0)
> 0;
(4)
^l^0)
^(х0)
^Лх0)
^(х0)
Лз(х°)
6ЛХ0)
F>2(х°)
^(х0)
< 0
F3I(x°)
^(х0)
^(х°)
и так далее, т.е. если знаки этих определителей чередуются указанным образом. Здесь F,(x°) — частная производная второго J о
порядка, вычисленная в точке х .
Матрица размерности п х п , составленная из элементов /*у(х°), называется матрицей Хессе. По значениям ее главных миноров можно судить о выпуклости или вогнутости функции. Функция ^х) строго выпуклая в малой окрестности точки х°, если все главные миноры ее матрицы Хессе строго положительны. Если имеют место нестрогие неравенства (> или <), то функция в окрестности точки х° выпуклая. Если при этом главные миноры матрицы Хессе от х не зависят, то функция всюду (строго) выпуклая.
Оптимизация нелинейной функциис линейными ограничениями
К данному типу, относятся модели квадратичного программирования, в которых целевая функция £(х) является квадратичной функцией переменных х,, ..., хп. Существует большое число алгоритмов решения такого типа задач, в которых функция F(x) вогнутая (для задач минимизации — выпуклая).
Модели выпуклого программирования
К таким моделям относятся задачи НЛП, в которых F(x) — вогнутая (выпуклая) функция; g^x) — выпуклые функции. При данных условиях локальный максимум (минимум) является и глобальным.
Пусть F(^ и g^x), / = 1, ..., т — дифференцируемые функции. Необходимые и достаточные условия оптимальности решения — выполнение условий Куна—Таккера.
Рассмотрим задачу нелинейного программирования (1)-(3) т
и функцию Лагранжа £(х, X) = F^ + ^ Мь; - &(*)]• Условия Куна—Таккера оптимальности решения х°для задачи максимизации F(x) имеют вид:
£ху(х°, Х°) > 0, x^Lxj^x0, Х°)= 0,j=1,..., п;(5)
gAx°) - b, < 0, Х°[^(х°) -ЬД =0 /=1,...,т;(6)
х® > 0, j = 1, ..., п;(7)
X» > О, i = 1, ..., т,(8)
где LxXx0, Х°) — частная производная функции Лагранжа по переменной Ху , при х = х и X = X .
Пусть максимальное значение F(x) равно ^(х0) = Fft. Числа X*- связаны с F° следующими соотношениями:
X; = ,/ = 1, ..., т.
Из этих соотношений видно, что числа X1* характеризуют реакцию значения F° на изменение значения соответствующего Ь,. Например, если X, < 0, то при уменьшении Ь, (в пределах устойчивости X®) значение F° увеличится, аХ” =0 указывает на несущественность соответствующего ограничения g^x) < b, , которое может быть без ущерба для оптимального решения из системы ограничений исключено.
ПРИМЕРЫ
Пример 1.
Предприятие располагает двумя видами сырья и рабочей силой, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в таблице.
Ресурс
Расход ресурса на продукт 1
Расход ресурса на продукт 2
Запас ресурса
Сырье 1, т
3
5
120
Сырье 2, т
6
4
150
Трудозатраты,ч
14
12
400
Цена единицы продукта, тыс. руб./т
25
30
Стоимость (тыс. руб.) одной тонны сырья 1 по формуле (9 — 0,02г,), а сырья 2 — (5 — 0,01 г2), где г, и г2 — затраты сырья на производство продукции.
Ответьте на следующие вопросы-.
Сколько продукта I следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?
Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль? •
Какова максимальная прибыль?
На какую величину возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья 2 увеличатся на 1 тонну?
На какую величину возрастет максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч?
Решение
Пусть X] — объем выпуска продукта 1 (в тоннах); х2 — объем выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описана в виде следующей модели нелинейного программирования.
I lx, + 16х2 + 0,1Х|Х] + 0,12х2х2 + 0,22х,х, -* max;
3 X, + 5х2 < 120;
4 х, + 6х2 < 150;
14 х, + 12х2 < 400;
X], х2 > 0.
Для решения задачи воспользуемся программой «GINO», предназначенной для решения задач нелинейного программирования. Исходную информацию для решения этой задачи следует представить в следующем виде:
MODEL:
MAX(I lx; + 16х2 + 0.1Х|Х] + 0.12х2х2 + 0.22х!Х2);
3 X; + 5х2 < 120;
4 X, + 6х2 < 150;
14 х, + 12х2 < 400;
х, >0;
х2 > 0;
END
LEAVE
Получаем следующий результат:
значение целевой функции 507,407;
значения переменных приведены в таблице:
Variable
Value
16,667
Х2
13,889
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 16,67 т продукта 1.
Ответ на вопрос 2
Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 13,89 т продукта 2.
Ответ на вопрос 3
Максимальная прибыль равна 507,407 тыс. руб.
Ответ на вопрос 4
Если запасы сырья 2 увеличатся на 1 т, то максимальная прибыль возрастет на 3,148 тыс. руб.
Ответ на вопрос 5
Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 ч до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 136,11 тыс. руб.
Пример 2. Формирование портфеля ценных б^маг
Некий клиент поручил брокерской конторе купить для него на 1 млн руб. акций трех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован, чтобы, с одной стороны, получить максимальную среднюю прибыль на вложенный капитал, а с другой — минимизировать риск, поскольку величина прибыли, получаемая в конце года от акции каждой компании, является случайной величиной. Известно, что чем прибыльнее акция, тем выше связанный с ней риск, поэтому оба критерия противоречат друг другу. Клиенту это обстоятельство разъяснили и попросили его указать относительную значимость («вес») критериев. Клиент, будучи человеком осторожным, высказал пожелание, чтобы риск учитывался с весом в три раза большим, чем прибыль. Получив такие указания, в брокерской конторе была сформулирована следующая модель нелинейного программирования:
33
У - 3 Уmax;
= 1iJ = \
3■
У Xj = 1000;■
= 1
, > 0, j = 1, 2, 3,
где Ху —объем средств, затраченных на покупку акций типа у (тыс. руб.);
р.у —математическое ожидание процента прибыли от вложения одной тыс. руб. в акции типа у;
<3jj —дисперсия указанного выше процента прибыли;
су — ковариация между процентами прибыли от вложения одной тыс. руб. в акции типа / и у (/ * j).
Первая сумма в целевой функции — ожидаемое значение прибыли, обеспечиваемой пакетом акций, вторая — дисперсия прибыли пакета акций, взятая с «весом» 3. Дисперсия прибыли пакета акций служит мерой риска.
Пусть средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8, 10 и 13%. Дисперсии он = 0,1; о22 = 0,15; о33 = 0,19. Ковариации О|2 = 0,01; о|3 = 0,02; о23 = 0,03.
Ответьте на следующие вопросы:
Является ли целевая функция строго вогнутой?
Каково оптимальное значение критерия?
Какую сумму следует вложить в акции типа 1?
Какую сумму следует вложить в акции типа 3?
Как изменится значение целевой функции, если инвестируемая сумма увеличится на 0,2%?
Решение
Модель нелинейного (в данном случае — квадратичного) программирования имеет вид:
F(xx, хъ х3) = 0,08xt + 0,1х2 + О,13х3 - 0,Зх,х, - 0,45х2х2 -
- 0,57х3х3 - 0,06Х]Х2 - О,12Х|Х3 - 0,18х2х3 -> max;
х, + х2 + х3 = 1000;
X], х2, х3 > 0.
Найдем все частные производные второго порядка целевой функции F: F" =-0,6; F” =-0,9; F" = -1,14; F" =-0,06;
= -0,12; F^ = -0,18.
Рассчитав значения соответствующих определителей (главных миноров матрицы Хессе), можно убедиться, что выполняются условия (4), откуда следует, что целевая функция строго выпукла для любых значений хн х2, х3 (значения определителей не зависят от значений переменных).
Используя программу «GINO», исходную информацию для решения этой задачи представляем в следующем виде:
MODEL:
МАХ(0.08х, + 0.1 х2 + 0.13х3 - г, - г2);
Г| = О.ЗХ|Х] + 0.45х2х2 + О.57х3х3;
г2 = 0.06х,х2 + 0.12Х|Х3 + 0.18х2х3;
х, + х2 + х3 = 1000;
х, > 0;
х2 > 0;
х3 > 0;
END
LEAVE
Получаем следующий результат:
• значение целевой функции — 169 988,211;
• значения переменных приведены в таблице:
Variable
Value
Xf
496,808739
х2
305,263160
х3
197,928101
О
138 309,250999
г2
31 774,961878
Непосредственной подстановкой полученного решения в условия (5)—(8) можно убедиться, что условия Куна—Таккера выполняются, причем решение обеспечивает глобальный максимум целевой функции, поскольку Л строго вогнута.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Целевая функция является строго вогнутой при любых значениях переменных.
Ответ на вопрос 2.
Оптимальное (в данном случае максимальное) значение критерия равно —169 988.
Ответ на вопрос 3
В акции типа 1 следует вложить 496,8 тыс. руб.
Ответ на вопрос 4
В акции типа 3 следует вложить 197,93 тыс. руб.
Ответ на вопрос 5
Двойственная оценка ограничения 4 равна —340,1, поэтому при увеличении инвестируемой суммы на 2 тыс. руб. значение целевой функции уменьшится приблизительно на 680.
Пример 3
Молокозавод производит для местного рынка три вида продуктов: сметану, творог и сыр. Молоко поступает ежедневно из двух ферм. Технологические и экономические данные о производимых продуктах приведены в таблице.
Продукт
Коэффициенты выхода продуктов из 1 кг молока, в кг/кг
Максимальный объем суточного производства продуктов, кг
Цена продукта, руб./кг
ферма 1
ферма 2
Сметана
0,1
0,2
75
40
Творог
0,25
0,1
100
30
Сыр
0,1
0,08
50
100
Затраты, связанные с приобретением сырья (молока), являются кусочно-линейной функцией закупаемого количества. Пусть у, ун ..., у5 и z, Z|, ..., Z5 — возможные объемы закупки молока на ферме 1 и 2, соответственно.
Затраты для фермы 1
У
У,
Уг
Уз
У4
У5
Количество, кг
0
200
300
500
600
Затраты, руб.
0
2000
2700
3900
4400
Затраты для фермы 2
Z
Z,
z2
z3
Z4
Количество, кг
0
200
300
600
Затраты, руб.
0
1600
2200
3400
Ответьте на следующие вопросы:
Чему равна максимальная ежедневная прибыль молокозавода?
Сколько молока следует закупать на ферме 1?
Сколько молока следует закупать на ферме 2?
Как изменится максимальная прибыль, если максимальное суточное производство творога увеличить на 1 кг?
Как изменится максимальная прибыль, если максимальное суточное производство сыра уменьшить на 2 кг?
Решение
Задача описывается моделью сепарабельного программирования, которая сводится к модели линейного программирования следующим образом. Пусть х, — количество молока, закупаемого на ферме 1, х2 — количество молока, закупаемого на ферме 2:
Х| = «, + «2 + и3 + М4>
где О < и, < у/+| - у^
Согласно исходным данным имеем:
О < их < 200, 0 < «2 < 100, 0 < «з < 200, 0 < w4 < 100;
х2 = V| + v2 + v3>
где 0 < у, < г/+, - ^;
0 < У| < 200, 0 < v2 ^ ЮО, 0 < v3 < 300.
Тогда стоимость молока, закупаемого на ферме 1, описывается функцией
С](Х]) = Юм, + 7и2 + б«3 + 5«4, а стоимость молока, закупаемого на ферме 2:
С2 (X 2 ) — 8 V । + 6 V 24 V3.
Окончательно модель линейного программирования имеет вид:
21,5х, + 19х2 - (Зи, + 6w2 + 7w3 + 10w4) -
- (4V| + 6v2 + 8v3) -> max;
X| - W| - w2 - M3 - w4 = 0;
x2 - г, - v2 - v3 = 0;
0,lX| + 0,2x2 < 75;.-
0,25X| + 0,lx2 < 100;
0,lx, +0,08x2 < 50;
и} < 200;
«2 < 100;
«з < 200;
«4 < 100;
. vl < 200; '
v2 < 100;
v3 < 300.
Используя для решения этой задачи программу «P0MWIN», получаем следующие ответы.
Ответы на вопросы примера
Ответ на вопрос 1
Максимальная прибыль составляет 8512,5 руб.
Ответ на вопрос 2
На ферме 1 следует закупать 312,5 кг молока.
Ответ на вопрос 3
На ферме 2 следует закупать 218,75 кг молока.
Ответ на вопрос 4
При увеличении значения максимального производства творога на 1 кг оптимальный размер прибыли увеличится на 45 руб.
Ответ на вопрос 5
При уменьшении значения максимального производства сыра на 2 кг оптимальный размер прибыли уменьшится на 80 руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Задана действительная функция /(х), определенная на отрезке действительных чисел S = [0, 100]. Пусть х, и х2 — точки этого отрезка и 0 < X < 1. Какое из нижеприведенных условий является условием выпуклости функции?
Возможные ответы:
Жх, + [1 - Ж2) > ХКхО + (1 - XW1Y
ХЖ,) + (1 - Х)Ж2) > Жх, + [1 - Х]х2);
ДХХх + [1 - Х]х2) 5 V(X2) + (1 - ^/(Х;).
\/<xxV (I - М/(х2) > /(Кх, + [1 - Х]х2).
хМ) + (1 - хад < Жх, + [1 - Мх2).
Вопрос 2
При сформулированных в вопросе I условиях, какой из нижеприведенных ответов является условием строгой вогнутости функции?
X/W + (1 - Х)/(Х2) < ДХхх + [1 - Мх2).
Х/(х,) + (1 - М/(х2) > Жхх + [1 - Мх2).
ДХх. + [1 - Мх,) < ХДхх) + (1 - Х)/(х2).
ХДхд + (1 - М/(х2) < ДХхх + [1 - Мх2).
Жхх + [I - Х]х2) > ХДхх) + (1 - XWiY
Вопрос 3
Если функция имеет вид:
/(X], х^ = 4х, + 8х2 + S^x-, - Зх,х, - Зх2х2,
то она:
выпуклая;
строго выпуклая;
вогнутая;
строго вогнутая;
выпуклая и вогнутая.
Вопрос 4
Если функция имеет вид:
/(X], х2) = 3 - бХ] + 13х2
то она:
выпуклая;
и выпуклая и ни вогнутая;
вогнутая;
строго вогнутая;
выпуклая и вогнутая.
Вопрос 5'
Функция /(хи х2) = Юх, + Зх2- Зх3 всюду:
выпуклая;
и выпуклая и ни вогнутая;
вогнутая;
строго вогнутая;
выпуклая и вогнутая.
Вопрос 6
Новая модель скоростного мотоцикла «Комета» продается предприятием по цене (30 — 2х) тыс. долл, за штуку, где х — количество проданных мотоциклов. Переменные производственные затраты составляют б тыс. долл, за штуку, фиксированные затраты составляют 30 тыс. долл. Необходимо максимизировать прибыль предприятия за неделю. Предположим, что в результате изменения ставки налогов с продаж, налог составил дополнительно 4 тыс. долл, на каждый проданный мотоцикл. Как изменится оптимальный выпуск мотоциклов по сравнению с начальной ситуацией? Решить, используя функцию Лагранжа.
Возможные ответы:
увеличится на 2;
уменьшится на 2;
не изменится;
увеличится на 1;
уменьшится на 1.
Вопрос 7
Предположим, что у вас есть 2 недели (14 дней) отпуска, которые вы можете провести на Канарских островах и в Ницце. Пусть функция полезности вашего отдыха имеет вид: 2KN - 3 К2 - 4 N2, где К и N — число дней, которое вы проводите на Канарских островах и в Ницце, соответственно. Сколько дней вы должны провести в Ницце, чтобы максимизировать свою функцию полезности? (Для решения использовать функцию Лагранжа. Результат округлить до ближайшего целого. Проверить, выполняются ли условия оптимальности Куна—Таккера.)■
Возможные ответы:
1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.
Вопрос 8
Для условий, сформулированных в вопросе 7, найти значение двойственной оценки ограничения. Результат округлить до ближайшего целого.
Возможные ответы;
41; 2) 34; 3) 29; 4) 39; 5) 44.
Вопрос 9
Монополист планирует программу производства и реализации продукции на некоторый период. Цены на продукт 1: рх = 14 - 0,25хн на продукт 2: р2 = 14 - 0,5х2, где Х| и х2 — объемы реализации продуктов. Предположим, что вся произведенная продукция реализуется. Максимальный суммарный объем сбыта — 57.
Каков оптимальный выпуск продукта 2? Использовать программу «GINO».
Возможные ответы;
36,4; 2) 30,7; 3) 26,3; 4) 20,6; 5) 41,8.
Вопрос 10
Владелец небольшого предприятия располагает на ближайший месяц 100 тыс. руб., которые может потратить на увеличение основных фондов (закупки оборудования) Кпо цене 1 тыс. за единицу либо для покупки дополнительной рабочей силы L по цене 50 руб./ч. Увеличение готовой продукции, которая может быть продана по 10 тыс. за единицу, определяется производственной функцией F^K, L) = L2^ К2^.
Как потратить деньги оптимальным образом?
Сколько средств необходимо потратить на увеличение основных фондов?
Для решения использовать программу «GINO». Возможные ответы;
74,36; 2) 58,33; 3) 63,44; 4) 45,66; 5) 39,77.
ЗАДАЧИ
Задача 1
На кондитерской фабрике «Десерт», вследствие уменьшения спроса на ряд ее изделий, освободилась часть производственных мощностей. Чтобы избежать сокращения численности рабочих, специалисты фабрики разработали технологию про-
изводства двух новых видов шоколадных конфет: шоколадных бочонков с коньяком, получивших название «Братец Иванушка» (БИ), и шоколадных шариков с вишней, названных «Сестрица Аленушка» (СА). Новые виды конфет производятся на трех производственных линиях: 1) производство шоколада, 2) изготовление конфет, 3) упаковка и контроль. Первая и третья линии — общие для конфет обоих наименований. Доля шоколада в общем весе одной конфеты БИ составляет 70%, а в конфете СА — 80%. Максимально доступная для производства новой продукции мощность линии по изготовлению шоколада составляет 250 кг в сутки. Производительность линии по изготовлению конфет БИ — 170 кг в сутки, конфет СА — также 170 кг. Удельные переменные затраты составляют: для конфет БИ —- 180 руб./ кг, для конфет СА — 150 руб./ кг. Предполагается, что все изготовленные в течение суток конфеты будут проданы. Ввиду исключительности новых изделий, внешней конкуренции для них нет, однако они конкурируют друг с другом. В результате проведенного исследования были получены следующие зависимости объемов сбыта от цен:
X, = 500 - /?| + 0,2р2, х2 = 500 + 0,3/>| - р^, гдех, — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет БИ (кг);
х2 — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет СА (кг);
рх — цена конфет БИ (руб./кг);
р2 — цена конфет СА (руб./кг).
Определить производственную программу, при которой суточная прибыль фабрики от производства новой продукции максимальна.
Ответьте на вопросы;
Какова максимальная прибыль фабрики (тыс.руб.)?
Каков оптимальный выпуск конфет БИ (кг)?
Каков оптимальный выпуск конфет СА (кг)?
Какова оптимальная цена конфет БИ (руб.)?
Какова оптимальная цена конфет СА (руб.)?
Задача 2
На молочном комбинате помимо других продуктов производится сырковая масса трех наименований: «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» жирности соответственно б, 5 и 3%.
В качестве основных исходных продуктов используются творог жирности 8, 7 и 2%, объемы суточных поставок которого составляют по 200 кг каждого вида, и сахар, имеющийся в количестве 70 кг в сутки. По технологии для получения 1 кг сырковой массы «Изюминка» требуется сахара 30 г, для «Ваниль» — 40 г и для «Орешек» — 60 г. Цена сырковой массы «Изюминка» равна 36 руб./ кг, «Ваниль» — 35 руб./кг и «Орешек» — 33 руб./кг. Закупочная цена творога жирности 8% определяется зависимостью (29 - 0,003х) руб./кг, где х — объем закупки (кг). Аналогичные зависимости для творога жирности 7%: (27 - 0,008х); для творога жирности 2%: (26 - 0,005х). Минимальный выпуск сырковой массы «Изюминка» — 100 кг, «Ваниль» — 50 кг, «Орешек» — 50 кг.
Постройте производственную программу, максимизирующую общую суточную прибыль.
Ответьте на вопросы;
Какова максимальная прибыль (руб.)?
Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Орешек» (кг)?
Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Ваниль» (кг)?
Каковы размеры оптимальных затрат (руб.)?
На сколько рублей уменьшится прибыль, если ресурс творога жирности 8% уменьшится на 3%?
Задача 3
Завод производит два вида высококачественного паркета из дуба, отличающиеся формой и толщиной деталей. Дефицитными ресурсами служат дубовая доска и специальная жидкость, которой детали пропитываются. Для производства 1 м2 паркета вида 1 требуется 0,01 м3 дубовой доски и 0,05 кг жидкости для пропитки. Для производства 1 м2 паркета вида 2 потребности в ресурсах составляют соответственно 0,02 м3 и 0,15 кг. Максимальное количество ресурсов за месяц: 20 м3 дубовой доски и 150 кг жидкости для пропитки. Затраты на закупку 1 м3 дубовой доски составляют (1000 - Зг,) руб., где г, — объем дубовых досок, использованных в производстве паркета. Затраты на закупку 1 кг жидкости для пропитки составляют (500 - 0,5г2) руб., где г2 — количество использованной в производстве паркета жидкости для пропитки. Предполагается, что других затрат нет. Оба вида паркета могут частично заменять друг друга, поэтому величины спроса на
них взаимозависимы. Цена 1 м2 паркета (руб./м2) вида 1 определяется зависимостью рх = 100 - 0,04%, - 0,01х2, а цена 1 м2 паркета вида 2 зависимостью р^ = 210 - 0,008х, - О,ОЗх2, где xh х2 — объемы производства (м2) паркета вида 1 и 2, соответственно.
В предположении, что весь паркет может быть продан, определите производственную программу завода, обеспечивающую максимум прибыли.
Ответьте на следующие вопросы.
Какова максимальная прибыль предприятия (тыс. руб.)?
По какой цене следует продавать паркет первого вида (руб./м2)?
По какой цене следует продавать паркет второго вида (руб./м2)?
Какое количество жидкости для пропитки используется в производстве (кг)?
Каков оптимальный выпуск паркета второго вида (м2)?
Задача 4
Данная задача является одним из вариантов рассмотренной выше задачи формирования портфеля ценных бумаг.
Некий клиент поручил брокерской конторе купить для него на 3 млн руб. акции четырех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован в минимальном риске при условии, что средний процент прибыли, обеспечиваемый портфелем акций к концу года, был бы не менее 9%. Известно, что средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8, 5, 13, 9 и 10%.
Дисперсии процентов прибыли: пн = 0,1, о22 = 0,19, СУ33 = 0,1 3, СУ44 = 0,14.
Ковариации: су12 = 0,05, о,3 = 0,02, <у14= 0,03, <у23 = 0,04, о24 = 0,03, <у34= 0,01.
Ответьте на следующие вопросы.
Какова величина средней годовой прибыли (тыс. руб.)?
На какую сумму следует купить акции компании 1 (тыс. руб.)?
На какую сумму следует купить акции компании 2 (тыс. руб.)?
Какова минимальная дисперсия портфеля акций?
ОТВЕТЫ
Ответы на вопросы
- 4, 2 - 1, 3 - 4, 4 - 5, 5 - 2, б - 5, 7 - 4, 8 - 2, 9 - 4, 10-2.
Ответы на задачи
Задача 1
Максимальная прибыль фабрики составляет 93 тыс. руб.
Оптимальный выпуск конфет БИ равен 163 кг.
Оптимальный выпуск конфет СА 170 кг.
Оптимальная цена конфет БИ 429 руб.
Оптимальная цена конфет СА 459 руб.
Задача 2
Максимальная прибыль равна 6175 руб.
Оптимальный объем производства сырковой массы «Орешек» составляет 50 кг.
Оптимальный объем производства сырковой массы «Ваниль» составляет 61,5 кг.
Оптимальный объем затрат 15 960 руб.
При уменьшении на 3% ресурса творога жирностью 8% прибыль уменьшится на 58 руб.
Задача 3
Максимальная прибыль предприятия — 99,074 тыс. руб.
По какой цене следует продавать паркет первого вида 82,78 руб./м2.
Паркет первого вида следует продавать по цене 181,44 руб./м2.
В производстве используется 144,84 кг жидкости для пропитки.
Оптимальный выпуск паркета второго вида 897 м2.
Задача 4
Величина средней годовой прибыли составляет 282 тыс. руб.
Акции компании 1 следует купить на 1043 тыс. руб.
Акции компании 2 следует купить на 240 тыс. руб.
Минимальная дисперсия портфеля акций 475 780.
Глава 12
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
ЦЕЛИ
Возникновение теории управления запасами можно связать с работами Ф. Эджуорта и Ф. Харриса, появившихся в конце XIX — начале XX в., в которых исследовалась простая оптимизационная модель для определения экономичного размера партии поставки для складской системы с постоянным равномерным расходом и периодическим поступлением хранимого продукта.
Запасом называется любой материальный ресурс, который хранится на предприятии для удовлетворения будущих потребностей. Например, полуфабрикаты, готовые изделия, материалы, запчасти для ремонта оборудования.
Существуют причины, побуждающие фирмы создавать запасы:
дискретность поставок при непрерывном потреблении;
упущенная прибыль в случае отсутствия запаса;
случайные колебания:
спроса за период между поставками;
объема поставок;
длительности интервала между поставками;
предполагаемые изменения конъюнктуры:
сезонность спроса;
сезонность производства.
Существуют также причины, побуждающие предприятия стремиться к минимизации запасов на складах:
плата за хранение запаса;
физический износ запаса;
моральный износ продукта.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
запас;
заказ;
издержки выполнения заказа (издержки заказа);
издержки хранения;
упущенная прибыль (издержки дефицита);
срок выполнения заказа;
точка восстановления.
МОДЕЛИ
Существует проблема классификации имеющихся в наличии запасов. Для решения этой задачи используется методика административного наблюдения. Цель ее заключается в определении той части запасов фирмы, которая требует наибольшего внимания со стороны отдела снабжения. Для этого каждый компонент запасов рассматривается по двум параметрам — его доля в общем количестве запасов фирмы и в общей стоимости запасов предприятия.
Методика 20/80
В соответствии с этой методикой компоненты запаса, составляющие 20% его общего количества и 80% его общей стоимости, должны отслеживаться отделом снабжения более внимательно.
Методика АВС
В рамках этой методики запасы, имеющиеся в распоряжении предприятия, разделяются на три группы:
группа А; 10% общего количества запасов и 65% его стоимости;
группа В-. 25% общего количества запасов и 25% его стоимости;
группа С: 65% общего количества запасов и около 10% его стоимости..•
Именно наименьшая по объему и наиболее ценная часть запасов может стать предметом особого контроля и математического моделирования.
Необходимо отметить, что классификация запасов может быть основана не только на показателях доли в общей стоимости и в общем количестве. Некоторые виды запасов могут быть причислены к более высокому классу на основании таких характеристик, как специфика поставок, проблемы качества и т.д. Преимущества методики деления видов запасов на классы заключается в возможности выбора порядка контроля и управления для каждого из них. Если в ходе классификации мы основывались на методе АВС анализа, имеет смысл обратить внимание на следующие моменты политики управления запасами.
Виды запасов группы А требуют более внимательного и частого проведения инвентаризации состояния запасов, правильность учета запасов этой группы должна подтверждаться чаще.
Планирование и прогнозирование, касающееся запасов группы А, должно характеризоваться большей степенью точности, нежели относящееся к запасам группы В и С.
Для группы А нужно стараться создать страховой запас, чтобы избежать больших расходов, связанных с отсутствием запасов этой группы.
Методы и приемы управления запасами, рассматривающиеся далее, должны прежде всего применяться к запасам групп А и В. Что касается запасов группы С, обычно момент возобновления заказа по ним определяют исходя из конкретных условий, а не на основе количественного метода, чтобы свести до минимума расходы на их контроль.
Рассмотрим определяющие понятия теории управления запасами.
Издержки выполнения заказа (издержки заказа) — накладные расходы, связанные с оформлением заказа. В промышленном производстве такими издержками являются затраты на переналадку оборудования и подготовительные операции.
Издержки хранения — расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютных единицах, или в процентах от закупочной цены и связываются с определенным промежутком времени.
Упущенная прибыль (издержки дефицита) — издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающем в результате отсутствия продукта на складе.
Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенной прибыли. Иногда к ним прибавляются издержки на закупку товара.
Срок выполнения заказа — время с момента заказа до момента его выполнения.
Точка восстановления — уровень запаса, при котором делается новый заказ.
Детерминированные модели
Простейшая модель Ml оптимального размера заказа
Предпосылки-, темп спроса на товар известен и постоянен; получение заказа мгновенно; закупочная цена не зависит от размера заказа; не допускается дефицит.
Исходные данные; темп спроса, издержки заказа и хранения.
Результат; оптимальный размер заказа, время между заказами, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.
Размер заказа является постоянным. Заказ выполняется мгновенно. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигает нулевого значения. В этот момент времени делается и мгновенно выполняется заказ. Уровень запаса восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.
Динамика изменения количества продукта на складе показана на рис. 12.1.
Пусть:
Q — размер заказа;
Т — протяженность периода планирования;
D — величина спроса за период планирования;
d — величина спроса в единицу времени;
К — издержки заказа;
Н — удельные издержки хранения за период;
h — удельные издержки хранения в единицу времени. Тогда:
„ В „
Сг=^Н-С = С, + СэСг=^Н-С = С, + Сэиздержки хранения;издержки хранения;С] = —К — издержки заказа;
Сг=^Н-С = С, + Сэ
Сг=^Н-С = С, + Сэ
издержки хранения;
издержки хранения;
D „ Q
= "q^ + у" — совокупные издержки.
Кривые издержек заказа, издержек хранения и совокупных издержек приведены на рис. 12.2.
Определив минимум функции совокупных издержек, получаем: / 2dK I2DK
U = J —:— = J -■"■ — оптимальный размер заказа;
N = — — оптимальное число заказов за период;
Т,
ddвремя цикла (оптимальное время между зака- ^ зами).
d
d
Следует обратить внимание на то, что оптимальный размер заказа не зависит от цены продукта.
Модель М2 оптимального размера заказаС ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЕГО ВЫПОЛНЕНИЯ
Предпосылки-, темп спроса на товар известен и постоянен; время выполнения заказа известно и постоянно; закупочная цена не зависит от размера заказа; не допускается дефицит.
Исходные данные-, темп спроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.
Результат-, оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.
Размер заказа и время выполнения заказа являются постоянными. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигает точки восстановления R.
Точка восстановления — запас продукта, при котором нужно сделать очередной заказ. В этот момент времени делается заказ, который выполняется за время L. К моменту поступления заказа размер запаса на складе равен нулю. Оптимальным решением задачи будет такой размер заказа Q\ при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.
Динамика изменения количества продукта на складе показана на рисунке. Горизонтальной линией отмечено количество продукта, равное точке восстановления (рис. 12.3).
Пусть:
Q — размер заказа;
Т — протяженность периода планирования;
D — величина спроса за период планирования;
d — величина спроса в единицу времени;
К — издержки заказа;
Н — удельные издержки хранения за период;
И — удельные издержки хранения в единицу времени;
L — время выполнения заказа.
Тогда:
D v
— К — издержки заказа;
IяIя— издержки хранения;— издержки хранения;
Iя
Iя
— издержки хранения;
— издержки хранения;
с D v Qu
С = —К + —п — совокупные издержки.
I 2DK
U = J —;— = Л —т;— — оптимальный размер заказа; V п N Н
R = dL — точка восстановления;
D
/V = —^ — оптимальное число заказов за период;
Q* Т,
t = — = — — время цикла (оптимальное время между зака- d N х
зами).
Модель М3 с производством
Предпосылки-, темп спроса на товар известен и постоянен; темп производства товара известен и постоянен; время выполнения заказа известно и постоянно; закупочная цена не зависит от размера заказа; дефицит не допускается.
Исходные данные-, темп спроса, темп производства, издержки заказа, издержки хранения, время выполнения заказа.
Результат-, оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.
Фирма производит продукт самостоятельно, хранит его на складе и расходует в постоянном темпе. Если темп производства выше темпа спроса, то излишки продукта накапливаются на складе. Когда количество продукта на складе достигает максимального значения, производство прекращается и продукт расходуется со склада. Когда запас на складе достигает точки восстановления, производство возобновляется. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа Q , при котором
минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек на возобновление производства.
Динамика изменения количества продукта на складе показана на рис. 12.4.
Пусть:
Q — размер заказа;
Р — темп производства;
Т — протяженность периода планирования;
D — величина спроса за период планирования;
d — величина спроса в единицу времени;
К — фиксированные издержки на запуск производства;
Н — удельные издержки хранения за период;
h — удельные издержки хранения в единицу времени;
L — время, необходимое для запуска производства.
Тогда:
D
— К — издержки на запуск производства;
HQ (. d\
—— 1— издержки хранения;
2 I Р)
2d К2d К2D К2D К— оптимальный размер заказа;— оптимальный размер заказа;
2d К
2d К
2D К
2D К
— оптимальный размер заказа;
— оптимальный размер заказа;
максимальный уровень запасов;максимальный уровень запасов;R = dL — точка восстановления;R = dL — точка восстановления;
максимальный уровень запасов;
максимальный уровень запасов;
R = dL — точка восстановления;
R = dL — точка восстановления;
/V = — — оптимальное число заказов за период;
Q* Т,
t = — =время цикла ( оптимальное время между зака-
d N , зами).
В этой модели оптимальный размер заказа также не зависит от цены продукта.
Модель М4 оптимального размера заказа с дефицитом
Предпосылки', темп спроса на товар известен и постоянен; время выполнения заказа известно и постоянно; закупочная цена не зависит от размера заказа.
Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, издержки дефицита.
Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.
Размер заказа является постоянным. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью. Допускается дефицит продукта. После получения заказа фирма компенсирует дефицит и восстанавливает запас продукта на складе. Заказ делается тогда, когда дефицит продукта на складе достигает оптимального размера. Оптимальным решением задачи будет такой размер заказа Q*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.
Динамика изменения количества продукта на складе показана на рис. 12.5.
Пусть:
Q — размер заказа;
Т — протяженность периода планирования;
D — величина спроса за период планирования;
d — величина спроса в единицу времени;
К — издержки заказа;
.Н — удельные издержки хранения за период;
’ h — удельные издержки хранения в единицу времени;
В — упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;
5 — запас за единицу времени;
b — упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта.
Тогда:
D v
— К — издержки заказа;
52
2qH — издержки хранения;
^2^ ^ " издеРжки Дефицита;
D 52 (О - S)2
С = — К + ^qH + ~—^—В — совокупные издержки.
\2dK b + h I 2DK B + H
U = 1 —.г— = , —77„— — оптимальный размер за-
V h b \ В
каза;
V2dK \2DK В"
о = J—,— -,—г = J „ ——— — максимальный размер
V и b+h V И В+Н
запаса;
R* = Q*- S* — максимальный дефицит.
R = dL — точка восстановления запаса.
Модель М5 с количественными скидками
Предпосылки-, темп спроса на товар известен и постоянен; время выполнения заказа известно и постоянно.
Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, цена товара, количественные скидки в случае закупки крупных партий товара.
Результат; оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.
Пусть:
Q — размер заказа;
Т — протяженность периода планирования;
D — величина спроса за период планирования;
d — величина спроса в единицу времени;
К — издержки заказа;
Н — удельные издержки хранения за период;
h — удельные издержки хранения в единицу времени.
Предположим, что известны числа с,, а,, / = 1, ..., и, где с, — цена продукта при размере заказа Q в интервале «z l < Q < а,. Будем считать, что а0 = 0 и ап = +«.
Тогда:
D „
— К — издержки заказа;
QQ— издержки хранения;— издержки хранения;
Q
Q
— издержки хранения;
— издержки хранения;
c.D — издержки на закупку товара.
Оптимальный размер заказа определяется в результате решения и задач. Каждая из этих задач сводится к определению такого размера заказа Qh / = 1, ..., п, при котором функция совокупных издержек С, = — А + —/У + c(D достигает минимума при
ограничениях а,_х < Q < а,. Решение исходной задачи определяется из условия Q* = arg max {С, (Q,)}.
На рис. 12.6 изображены функции совокупных издержек для трех значений цен продукта.
Ci(Q)
C2(Q)
C3(Q)
Q
Qi а!а2
Рис. 12.6
Значение цены:
с, определено на интервале 0 < Q < сц ;
с2 определено на интервале ах < Q < а2;
с3 определено на интервале а2 < Q < +«.
Соответственно, функция общих издержек:
C|(Q) определена при значении цены с, на интервале 0 < Q< ах;
С2(0) определена при значении цены с2 на интервале ах < Q< а2;
С3(0 определена при значении цены с3 на интервале а2 < Q< + /. Минимальное значение функции:
С,(0 в области ее допустимых значений достигается в точке о,;
С2(0 в области ее допустимых значений достигается в точке Q2;
C3(Q) в области ее допустимых значений достигается в точке о2.
Оптимальный размер заказа следует выбирать из величин Qx, а} а2 по формуле:
Q* = arg max {С, (Q), С2(ах), С3(о2)}.
Стохастическая модель
Дискретная стохастическая модель Мб
В данном случае мы отказываемся от предположения о постоянстве и детерминированности величины спроса на товар и предполагаем известным распределение величины спроса.
Пусть:
5— размер запаса;
Т— протяженность периода планирования;
D — величина спроса за период планирования (целое число);
Н — удельные издержки хранения за период;
В — удельные издержки дефицита за период;
^( Д) — вероятность того, что величина спроса за период планирования -составит У;
F(x) — функция распределения величины спроса:
/ДМ = p{D< х) = £ /?(£)).
д = о
В случае, когда величина спроса за период планирования превышает размер запаса, возникает дефицит и соответствующие издержки дефицита. Если заказ больше, чем величина спроса, то возникают издержки хранения. Для величины запаса 5 ма-
тематическое ожидание издержек хранения за период планирования определяется по формуле:
Q
cv(S) = н у, is - пшоу
D = 0
математическое ожидание издержек дефицита за период планирования:
C2(S) = B Y (D - S)p(D);
D = S + \
математическое ожидание совокупных издержек:
С(5) = С,(5) + С2(5).
В стохастической модели оптимальным является такой размер заказа 5 , при котором математическое ожидание совокупных издержек С(5 ) имеет минимальное значение.
Оптимальным является такой размер заказа S*, который удовлетворяет условию:
ЕслиЕслиF(5*) =F(5*) =ЛЛ <ЛЛ <ВН + ВВН + В< F(S* + 1).< F(S* + 1).ВИ + В’ВИ + В’то С(5*) = С(5*+ 1) и оптимальнымито С(5*) = С(5*+ 1) и оптимальными
Если
Если
F(5*) =
F(5*) =
ЛЛ <
ЛЛ <
В
Н + В
В
Н + В
< F(S* + 1).
< F(S* + 1).
В
И + В’
В
И + В’
то С(5*) = С(5*+ 1) и оптимальными
то С(5*) = С(5*+ 1) и оптимальными
являются как размер заказа .5'*, так и размер заказа 5*+ 1.
ПРИМЕРЫ
Пример 1
Андрей Удачливый является торговым агентом компании «VOLVO» и занимается продажей последней модели этой марки автомобиля. Годовой спрос оценивается в 4000 единиц. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. руб., а годовые издержки хранения составляют 10% цены самого автомобиля. Андрей произвел анализ издержек заказа и понял, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. руб. на заказ. Время выполнения заказа равно 8 дням. В течение этого времени ежедневный спрос на автомобили равен 20 шт.
Ответьте на вопросы;
Чему равен оптимальный размер заказа?
Чему равна точка восстановления?
Каковы совокупные издержки?
Каково оптимальное количество заказов в год?
Каково оптимальное время между двумя заказами, если предположить, что количество рабочих дней в году равно 200?
Решение
Исходные данные
Решение
Издержки заказа К = 25
Точка восстановления R = 91,4
Издержки хранения = 9/200
Число заказов за год N = 26,83
Цена за единицу с = 90
Совокупные издержки С = 1341
Время выполнения заказа L = 8
Стоимость продаж = 360 000
Ежедневный спрос d = 20
Число дней между заказами t = 7,45
Число рабочих дней Т = 200
Пример 2
Магазин «Лада» закупает духи «Ландыш» на одной из парфюмерных фабрик города. Годовой спрос на этот продукт составляет примерно 600 шт. Издержки на заказ равны 850 руб., издержки на хранение — 510 руб. на 1 упаковку (20 шт.) в год. Магазин заключил договор на поставку с фиксированным интервалом времени. Количество рабочих дней в году — 300. Время поставки товара — 6 дней. Стоимость одного флакона 135 руб. Чему равно оптимальное число заказов в течение года, точка восстановления заказа и минимальные совокупные издержки?
РешениеОптимальный размер заказа составит. _ I2DK _ J 2 х 600 х 850 _У " V Н \25,5’Число заказов в течение года равно'= 200 шт.РешениеОптимальный размер заказа составит. _ I2DK _ J 2 х 600 х 850 _У " V Н \25,5’Число заказов в течение года равно'= 200 шт.
Решение
Оптимальный размер заказа составит
. _ I2DK _ J 2 х 600 х 850 _
У " V Н \25,5’
Число заказов в течение года равно'
= 200 шт.
Решение
Оптимальный размер заказа составит
. _ I2DK _ J 2 х 600 х 850 _
У " V Н \25,5’
Число заказов в течение года равно'
= 200 шт.
n"600 _
Поскольку среднесуточный спрос равен = 2 шт., за время поставки товара спрос составит 12 шт. Минимальные издержки на заказ и на хранение равны:
С = — А' + —// = 3 х 850 + 100 х 25,5 = 5100 руб.
Q 2
Пример 3 .
На некотором станке производятся детали в количестве 12 000 единиц в год. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производительностью 3600 единиц в год. Оставшиеся детали образуют запас. Издержки хранения составляют 0,5 руб. за одну деталь в год. Стоимость производственного цикла на первом станке равна 800 руб. Рассчитайте оптимальный размер партии на первом станке.
Решение
Оптимальный размер партии
2DK2DK2 х 3600 х 8002 х 3600 х 800360012 000)360012 000)= 4056,7 шт.= 4056,7 шт.
2DK
2DK
2 х 3600 х 800
2 х 3600 х 800
3600
12 000)
3600
12 000)
= 4056,7 шт.
= 4056,7 шт.
Пример 4
Используя условия примера 2, рассмотрим вариант планирования дефицита. Допустим, по оценке менеджера упущенная прибыль, связанная с отсутствием товара и утратой доверия клиентов, составляет 20 руб. в год за один флакон духов «Ландыш». Издержки на заказ и на хранение товара не меняются. Определить оптимальный размер заказа при плановом дефиците. Нужно ли вводить менеджеру систему с плановым дефицитом?
Решение
Оптимальный размер партии равен
2DK В + Н
О = .= 200 х 1,5 = 300 шт.
N Н В
Максимальный размер запаса за один цикл равен:
5 = J= 200 x 0,66 = 132 шт.
V H В + Н
Совокупные издержки составят
С = — К + — Н + w ’ В = 1700 + 740,5 + 940,8 = 3381,3 руб.
Q 2Q 2Q
Совокупные издержки при плановом дефиците меньше издержек без дефицита на 1718,7 руб.
Пример 5
Рассмотрим пример, объясняющий принцип принятия решения в условиях скидки. Магазин «Медвежонок» продает игрушечные гоночные машинки. В зависимости от объема заказа фирма имеет скидки, приведенные в таблице.
Варианты скидок
1
2
3
Количество, при котором дается скидка
0:1000
1000 ;2000
выше 2000
Размер скидки, %
0
4
5
Цена со скидкой, руб.
5,00
4,80
4,75
Издержки заказа составляют 49 руб. Годовой спрос на машинки равен 5000 шт. Годовые издержки хранения в процентном отношении к цене составляют 20% или 0,2. Необходимо найти размер заказа, минимизирующий общие издержки.
Решение
Рассчитаем 0*для каждого вида скидок: Q\ = 700, Q\ = 714, Q3 =718. Так как 0| находится в интервале между 0 и 1000, то его необходимо взять равным 700. Оптимальный объем со скидкой 02 меньше количества, необходимого для получения скидки, следовательно, его необходимо принять равным 1000 единиц. Аналогично, Q3 берем равным 2000 единиц. Тогда получим: Qi = 700, 02 = 1000, Q3 = 2000. .
Рассчитаем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выберем наименьшее значение. Расчеты приведены в таблице.
Варианты скидок
1
2
3
Цена со скидкой, руб.
5,00
4,80
4,75
Размер заказа
700
1000
2000
Стоимость товара за год
25 000
24 000
23 750
Годовые издержки заказа, руб.
350,0
245,0
122,5
Годовые издержки хранения, руб.
350
480
950
Общие годовые издержки, руб.
25 700,0
24 725,0
24 822,5
Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизировать совокупные издержки.
Пример 6
Небольшой салон специализируется на продаже видеомагнитофонов стоимостью 2000 руб. Затраты на хранение единицы продукции составляют 500 руб. Изучение спроса, проведенное в течение месяца, дало распределение числа покупаемых видеомагнитофонов.
Спрос, шт.
3
4
5
6
7
Вероятность
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Найти оптимальный размер запаса.
Решение
Суммарные затраты вычисляются по формуле:
C(S) = H^(S-D)p(D)+B (J)-SMD\
D - 0D = S+l
Доказано, что при дискретном случайном спросе C(S) минимальны при S , удовлетворяющем неравенству
где р = — плотность убытков, F(S) = p^D < 5) — функ-
Н + В
ция распределения спроса. Вычислим плотность убытков
В, 2000ж
р = ——— = 25QQ = 0,8. Найдем значения функции распределе
ния спроса:
Запас, шт.
3
4
5
6
7
>7
Спрос, шт.
3
4
5
6
7
> 7
F(S)
0,0
0,1
0,3
0,6
0,9
1,0
Оптимальный размер заказа удовлетворяет неравенству F(6) < 0,8 < F(l). Следовательно, размеры запасов в 6 единиц и в 7 единиц, будут оптимальными.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
В детерминированной модели управления запасами оптимальный размер заказа:
прямо пропорционален величине спроса на продукт за период и обратно пропорционален удельным издержкам хранения за период и стоимости заказа;
прямо пропорционален величине спроса на продукт за период и стоимости заказа и обратно пропорционален удельным издержкам хранения за период;
прямо пропорционален величине спроса на продукт за период и удельным издержкам хранения за период и обратно пропорционален стоимости заказа;
прямо пропорционален стоимости заказа и удельным издержкам хранения за период и обратно пропорционален величине спроса на продукт за период;
прямо пропорционален удельным издержкам хранения за период и обратно пропорционален величине спроса на продукт за период и стоимости заказа.
Вопрос 2
Для определения оптимального размера заказа в модели с производством необходимо знать:
величину спроса, издержки заказа и темп производства;
издержки дефицита, величину спроса и издержки хранения;
издержки заказа, темп производства и упущенную прибыль;■
время выполнения заказа, издержки дефицита и издержки заказа;
издержки хранения и размеры скидок.
Вопрос 3
Для определения оптимального размера заказа в модели с дефицитом необходимо знать:
время выполнения заказа;
темп производства;
цену продукта;
размеры скидок;
издержки заказа.
Вопрос 4
Уменьшение размера заказа в модели управления запасами приведет к:
увеличению числа упущенных продаж и увеличению затрат на хранение;
уменьшению числа упущенных продаж и увеличению затрат на хранение;
уменьшению затрат на хранение и росту издержек на оформление заказов;
уменьшению затрат на хранение и снижению издержек на оформление заказов;
увеличению затрат на хранение и снижению издержек на оформление заказов.
Вопрос 5
Для определения оптимального размера заказа в модели с ценовыми скидками необходимо знать:
величину спроса, издержки заказа и темп производства;
издержки дефицита, величину спроса и издержки хранения;
издержки заказа, величину спроса и упущенную прибыль;
издержки хранения, издержки заказа и цену продукта;
издержки хранения и размеры скидок.
Вопрос 6
Модель называется стохастической, если:
функции пополнения запасов и расхода не являются случайными величинами;
функция пополнения запасов изменяется во времени;
хотя бы одна из функций пополнения запасов и расхода является случайной величиной;
функция расхода изменяется во времени;
функция пополнения запасов линейно возрастает.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Анна Васильева из компании «Сюрприз» продает 400 водяных кроватей в год, причем издержки хранения равны 1 тыс. руб. за кровать в день, а издержки заказа — 40 тыс. руб. Количество рабочих дней равно 250, время выполнения заказа — 6 дней. Каков оптимальный размер заказа? Чему равна точка восстановления запаса? Каков оптимальный размер заказа, если издержки хранения равны 1,5 тыс. руб.?
Задача 2
Мекки Мессер является владельцем маленькой компании, которая выпускает электрические ножи. В среднем Мекки может производить 150 ножей в день. Дневной спрос на ножи примерно равен 40 штук. Фиксированные издержки производства равны 100 тыс. руб., издержки хранения — 8 тыс. руб. за нож в год. В году 250 рабочих дней. Каков оптимальный размер заказа? Чему равны издержки хранения? Чему равны совокупные издержки за год?
Задача 3
Годовой объем продаж тостера «Слава» для магазина Марии равен 3000 единиц или — 10 единиц в день. Издержки заказа равны 25 тыс. руб., издержки хранения — 0,4 тыс. руб. в день. Так как тостер «Слава» является очень популярной моделью, то в случае отсутствия товара в магазине покупатели обычно согласны подождать, пока не подойдет следующий заказ. Однако издержки от дефицита равны 0,75 тыс. руб. за тостер в день. Каков оптимальный размер заказа для Марии? Каков максимальный дефицит? Чему равны совокупные издержки?
Задача 4
Мебельный салон «Антика» продает в год около 1000 спальных гарнитуров по цене 50 млн руб. Размещение одного заказа на поставку гарнитуров обходится в 40 млн руб. Годовая стоимость хранения гарнитура составляет 25% его цены. Салон может получить у поставщика скидку в 3%, если размер заказа составит не менее 200 гарнитуров. Следует ли салону воспользоваться этой скидкой? Каков оптимальный размер заказа?
СИТУАЦИИ
Ситуация 1. Профессиональные видеосистемы
С тех пор, как появились первые видеомагнитофоны, Владимир Алексеев начал мечтать о собственном производстве видеосистем для профессионалов. Владимир планировал производство видеосистемы, потенциальными потребителями которой являлись бы телевизионные станции, рекламные агентства и другие группы профессионалов, использующие технику самого высокого качества.
Базовая модель новой видеосистемы состоит из блока комплексного контроля, видеодиска, двух отдельных видеомагнитофонов и профессиональной телевизионной установки. Кроме того, к базовой модели прилагается усовершенствованное устройство дистанционного управления. Это устройство управляет всей системой, посылая инфракрасные сигналы блоку комплексного контроля, который, в свою очередь, управляет всеми остальными устройствами. Для этой видеосистемы Владимир самостоятельно разработал блок комплексного управления, который представляет собой микропроцессор, способный координировать функционирование и использование подсоединенных элементов системы.
Модель Владимира обладает рядом преимуществ над аналогичными системами. Образы с видеодиска, телевизионной установки или одной видеосистемы можно легко переместить на вторую видеосистему. Кроме того, к блоку контроля можно подключить компьютер фирм «Macintosh», «IBM PC», «Radio Shack Mode! 3000» или «Zenith computer system», что позволяет использовать графические редакторы для создания видеопродуктов. Для улучшения качества звука имеется возможность подключения стереосистемы. Две видеосистемы обеспе-
чивают значительное увеличение возможностей при монтаже видеопродуктов. Розничная цена предлагаемой базовой модели профессиональной видеосистемы составляет 1950 у.е.
Владимир Алексеев нашел в США производителей телевизионных установок, панели управления, видеодиска и заключил с ними договора о поставках. Что касается выбора видеосистемы, то возникла проблема выбора поставщика. После тщательного исследования рынка предложений Владимир остановил свой выбор на двух японских компаниях — «Toshiki» и «Копу».
«Toshiki» — это новая компания, расположенная в Японии недалеко от Токио. Как и другие поставщики, «Toshiki» предлагает скидки оптовым покупателям:
Объем заказа, шт.
от 0 до 2000
от 7000 до 8000
от 8000 до 20 000
более 70 000
Цена, долл./шт.
250
230
220
210
Другим японским поставщиком может стать компания «Копу». Хотя эта компания также создавалась в Японии, сегодня она имеет сеть филиалов по всему миру, один из которых расположен в России. «Копу» также предлагает скидки оптовикам:
Объем заказа, шт.
от 0 до 1000
от 1000 до 5000
более 5000
Цена, долл./шт.
230
240
220
Поскольку «Копу» имеет производственные мощности в России, то издержки на размещение заказа и время его выполнения более предпочтительны, чем в компании «Toshiki»-.
Компания
Издержки заказа, долл.
Срок выполнения заказа, месяц
Toshiki
90
3
Колу
40
2
Владимир оценивает издержки хранения в 30% закупочной цены. Эта величина учитывает хранение, уход за оборудованием, а также включает потенциальные издержки от морального износа видеосистем.
В первый год Владимир начал продавать.базовую модель (блок контроля, видеодиск, телевизионную установку и две видеосистемы) и в течение первых шести месяцев спрос на нее был примерно постоянным (в июне было продано 7970.
в июле — 8070, в августе — 7950, а в сентябре — 8010 шт.). Предполагается, что такая тенденция сохранится в течение нескольких следующих месяцев.
Ответьте на следующие вопросы-.
Найдите точки восстановления запаса для закупки видеосистем у обеих компаний.
Если бы Вы были на месте Владимира, то какую компанию, производящую видеосистемы, Вы бы выбрали?
Владимир рассматривает несколько альтернативных стратегий. Первая предполагает продажу всех составляющих по отдельности. Вторая стратегия предусматривает модификацию блока контроля, что позволит использовать видеосистемы разных фирм. Какое влияние повлечет за собой реализация этих стратегий на точки восстановления запаса (возможно, выбор стратегии повлияет на величину спроса)?
Предположим, что компания «Toshiki» открыла филиал на Украине, что позволило сократить издержки одного заказа до 50 долл. Как это может повлиять на выбор поставщика видеосистем?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 - 2, 2 - 1, 3 - 5, 4 - 3, 5 - 4, б - 3.
Ответы на задачи
Задача 1
1)11,3 шт.
9,6 шт.
3)9,2 шт.
Задача 2
1)583,9 шт.
1 712,8 шт.
3 425,4 тыс. руб.
Задача 3
1)43,8 шт.
15,3 шт.
3 426 тыс. руб.
Задача 4
Стоит воспользоваться скидкой на товар.
Оптимальный размер заказа 200.
Глава 13
СИСТЕМЫ МАССОВОГООБСЛУЖИВАНИЯ
ЦЕЛИ
Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией очередей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Очереди — обычное явление. Они могут носить форму ожидания ремонта автомобиля в центре автосервиса или ожидания студентами консультации у профессора. В таблице перечислены примеры возникновения очередей в системах массового обслуживания.
Ситуация
Ожидающие в очереди
Процесс обслуживания
Супермаркет
Покупатели
Прием кассиром оплаты за покупки
Приемная врача
Пациенты
Прием доктором и медсестрой
Компьютер
Компьютерные программы
Выполнение программ процессором
Телефонная компания
Абоненты
Выполнение заказов на междугородние переговоры
Модели очередей нашли свое применение в управлении материальным производством, сфере обслуживания, вычислительной технике и т.д. Анализ очередей в терминах длины очереди, среднего времени ожидания, среднего времени обслуживания и других факторов, помогает нам лучше понять принципы организации системы обслуживания. Ожидание пациента в приемной врача и ожидание починки сломанной дрели в ремонтной мастерской имеют много общего с точки зрения управления процессом обслуживания. Оба эти процесса используют человечес-
кие ресурсы и ресурсы оборудования для удовлетворения потребностей клиентов.
Профессиональный менеджер, принимая решение о совершенствовании системы массового обслуживания, оценивает изменения, возникающие в затратах на функционирование системы и в издержках, связанных с ожиданием клиентов. Одним из способов уменьшения времени ожидания является увеличение числа сотрудников, которые обслуживают клиентов. Например, для того чтобы уменьшить очереди в кассы, администратор супермаркета может увеличить количество продавцов и кассиров в часы пик. Но эта мера влечет за собой увеличение издержек на создание и оснащение рабочих мест и оплату труда дополнительного персонала и эти издержки могут быть весьма значительны.
Конечно, можно сэкономить на трудозатратах. Но тогда клиент будет вынужден стоять в огромной очереди, ожидая обслуживания. Он может потерять терпение, покинуть магазин и больше не возвращаться в этот супермаркет. В этом случае система массового обслуживания будет нести потери, которые можно назвать издержками ожидания. В некоторых системах обслуживания (например, в скорой помощи) затраты, связанные с длительным обслуживанием, могут оказаться чрезвычайно высоки. Основной экономический принцип совершенствования систем массового обслуживания основывается на оценке общих ожидаемых затрат, включающих затраты на обслуживание и потери, которые несет система в результате ожидания клиента.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
система массового обслуживания;
заявка;
очередь;
темп поступления заявок;
темп обслуживания;
среднее время, которое заявка проводит в очереди;
средняя длина очереди;
среднее время, которое заявка проводит в системе обслуживания;
среднее число клиентов в системе обслуживания;
издержки функционирования системы обслуживания;
издержки ожидания.
МОДЕЛИ
В системах массового обслуживания различают три основных этапа, которые проходит каждая заявка:
появление заявки на входе в систему;
прохождение очереди;
процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.
На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.
Характеристики входа
Вход в любую систему массового обслуживания имеет три основные характеристики:
число заявок на входе (размер популяции);
режим поступления заявок в систему обслуживания;
поведение клиентов.
Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неограниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента начала процесса обслуживания до любого заданного момента времени является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как неограниченная. Примерами неограниченных популяций могут служить автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.
Если число заявок, которое может поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящимся в системе массового обслуживания, популяция считается ограниченной. Примером ограниченной популяции могут служить компьютеры, принадлежащие конкретной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.
Режим поступления в систему
Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (один пациент на прием к стоматологу каждые пятнадцать минут, один автомобиль на конвейере каждые двадцать минут), или они появляются случайным
образом. Появления клиентов считаются случайными, если они независимы друг от друга и точно не предсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью распределения вероятностей, известного, как пуассоновское распределение. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час, или четыре грузовика в минуту), дискретное распределение Пуассона описывается следующей формулой:
. . е Л Xхп .
р\х) = для х = 0, 1, ...,
х!
где р(рс) — вероятность поступления х заявок в единицу времени;
х —число заявок в единицу времени;
X — среднее число заявок в единицу времени (темп поступления заявок);
е = 2,7183 (основание натурального логарифма).
Соответствующие значения вероятностей р(х) нетрудно определить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Например, если средний темп поступления заявок равен двум клиентам в час, то вероятность не поступления в систему в течение часа ни одной заявки равна 0,13; вероятность появления одной заявки ~0,27; двух — также около 0,27; три заявки могут появиться с вероятностью 0,18; четыре — с вероятностью около 0,9 и т.д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 и более заявок близка нулю.
На практике вероятности появления заявок не всегда подчиняются пуассоновскому распределению. Поэтому, сначала следует провести предварительные исследования будет ли пуассоновское распределение давать хорошую аппроксимацию для данного процесса.
Поведение клиентов
Большинство моделей очередей основывается на предположении, что каждая поступающая в систему заявка встает в очередь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока не будет обслужена. Это означает, что клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую. На практике клиенты могут покинуть очередь потому, что она показалась им слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются своей очереди,
но по каким-то причинам уходят не обслуженными. Эти случаи также являются предметом исследования теории массового обслуживания, однако, в данном пособии рассматриваться не будут.
Характеристики очереди
Основными характеристиками очереди являются:
длина;
правило обслуживания.
Длина очереди может быть ограничена либо не ограничена. Длина очереди (очередь) ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений), не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и заявке отказывается в допуске. В данном пособии рассматриваются модели с отказами, когда очередь имеет нулевую длину. Длина очереди не ограничена, если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.
Вторая характеристика очереди — правило обслуживания. Большинство реальных систем использует правило FIFO («первым пришел — первым ушел»), В некоторых случаях к этому правилу добавляются приоритеты в обслуживании. Например, в приемном покое больницы, пациент с инфарктом, по-види- мому, будет обслужен раньше, чем пациент, сломавший палец. Порядок запуска компьютерных программ — другой пример установления приоритетов в обслуживании.
Характеристики процесса обслуживания
Основными характеристиками процесса обслуживания являются:
конфигурация системы обслуживания;
режим обслуживания.
Конфигурация системы обслуживания. Системы обслуживания различаются по числу каналов обслуживания. Обычно количество каналов можно определить как число клиентов, обслуживание которых может быть начато одновременно. Например, число мастеров в парикмахерской. Другая характеристика системы — число фаз обслуживания или последовательных этапов обслуживания одного клиента.
Примером одноканальной однофазной системы (рис. 13.1) обслуживания может служить банк, в котором открыто единствен-
ное окошко для обслуживания клиентов. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания, и клиент, ожидая в общей очереди, подходит к первому освободившемуся окну, то мы имеем дело с многоканальной однофазной системой обслуживания (рис. 13.2). Большинство банков, также как почтовые отделения и авиакассы, сейчас являются многоканальными системами обслуживания. '
Однофазными являются системы, в которых клиент обслуживается в одном пункте (на одном рабочем месте) и затем покидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилистов, в котором официант получает деньги и приносит заказ в автомобиль, является примером однофазной системы. Если же в ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в другом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело с многофазной системой обслуживания (рис. 13.3, 13.4).
Рис. 13.2. Двухканальная однофазная системаРис. 13.2. Двухканальная однофазная системаРис. 13.3. Одноканальная двухфазная системаРис. 13.3. Одноканальная двухфазная системаРис. 13.4. Двухканальная двухфазная системаРис. 13.4. Двухканальная двухфазная системаРис. 13.1. Одноканальнаяоднофазная система
Рис. 13.2. Двухканальная однофазная система
Рис. 13.2. Двухканальная однофазная система
Рис. 13.3. Одноканальная двухфазная система
Рис. 13.3. Одноканальная двухфазная система
Рис. 13.4. Двухканальная двухфазная система
Рис. 13.4. Двухканальная двухфазная система
Режим обслуживания, так же как режим поступления заявок, может характеризоваться постоянным или случайным временем обслуживания. При постоянном времени на обслуживание любого клиента затрачивается одинаковое время. Такая ситуация может наблюдаться на автоматической мойке автомобилей. На практике часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению с функцией распределения:
F(t) = p(t < т) = 1 - е~тр,
где: p(J < т) — вероятность того, что фактическое время /обслуживания заявки не превысит заданной величины т;
ц —среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
е = 2,7183 (основание натурального логарифма).
Параметры моделей очередей
При анализе систем массового обслуживания наиболее часто используются следующие технические и экономические характеристики:
среднее время, которое клиент проводит в очереди;
средняя длина очереди;
среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания (время ожидания плюс время обслуживания);
среднее число клиентов в системе обслуживания;
вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;
вероятность определенного числа клиентов в системе.
Среди экономических характеристик наибольший интерес представляют:
издержки ожидания в очереди;
издержки ожидания в системе;
издержки обслуживания.
В зависимости от сочетания приведенных выше характеристик, могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания. Здесь мы познакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:■
пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;
стандартное поведение заявок;
правило обслуживания FIFO;
единственная фаза обслуживания.
Модели систем массового обслуживанияМодель А
Модель одноканальной системы массового обслуживания с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.
Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним сотрудником.
Предположим, что для систем этого типа выполняются сле
дующие условия:
заявки обрабатываются по принципу «первым пришел — первым обслужен», причем каждый клиент ожидает своей очереди до тех пор пока не будет обслужен, независимо от длины очереди;
появление заявки является независимым событием, однако,
среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно;
процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества;
время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей;
темп обслуживания выше темпа поступления заявок.
Если эти условия выполняются, то модель А описывается следующими уравнениями:
М/М/\ — простая система;
X — число заявок в единицу времени;
m — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;
, X
Ls = — среднее число клиентов в системе;
‘ ц - X
WsWsц - Xц - X— среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время об-— среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время об-X2ц(ц - X)X2ц(ц - X)служивания);— среднее число клиентов в очереди;служивания);— среднее число клиентов в очереди;
Ws
Ws
ц - X
ц - X
— среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время об-
— среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время об-
X2
ц(ц - X)
X2
ц(ц - X)
служивания);
— среднее число клиентов в очереди;
служивания);
— среднее число клиентов в очереди;
wqwqp(p - X)p(p - X)— среднее время ожидания клиента в очереди;— среднее время ожидания клиента в очереди;
wq
wq
p(p - X)
p(p - X)
— среднее время ожидания клиента в очереди;
— среднее время ожидания клиента в очереди;
г = — — параметр утилизации (загруженности системы);
До = I - — — вероятность отсутствия заявок в системе;
। ~\ И। ~\ И— вероятность более чем к заявок в системе;
। ~
\ И
। ~
\ И
п — число заявок в системе.
Модель В
МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ (M/M/S}
В многоканальной системе для обслуживания с двумя и более каналами. Предполагается, что клиенты ожидают в обшей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания.
Пример такой многоканальной однофазной системы можно увидеть во многих банках. Из обшей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания. '
В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания —экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Для многоканаль- нои системы из п каналов должно выполняться условие - < 1,
где г— параметр загрузки системы, п— минимальное количество каналов, при котором очередь не будет расти до бесконечности. В противоположном случае предельные вероятности существовать не могут.
Формулы для описания системы:
и! и!(и-г).и! и!(и-г).вероятность того, что система свободна;
и! и!(и-г).
и! и!(и-г).
о — вероятность того, что в системе находится п заявок;
п'Лп - г)п'Лп - г)Ру — вероятность того, заявка окажется в очереди;
п'Лп - г)
п'Лп - г)
к = — = г — среднее число занятых каналов;
г * 1 Р
Ln =—7 — среднее число заявок в очереди;
г Г
ПП'- 1 -
п)
Ls = Lq + г — среднее число заявок в системе;
Wq = т-Lq — время нахождения заявки в очереди;
И^ = —Ls — время нахождения заявки в системе.
Модель С
МОДЕЛЬ С ПОСТОЯННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ (Л//О/1)
Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, W, Ls и ^ меньше, чем соответствующие значения в модели Д, имеющей переменный темп обслуживания.
Формулы, описывающие модель С;
Lq = -— — — средняя длина очереди;
2ц(ц - л)
W = -— среднее время ожидания в очереди;
2ц(ц - X)
Ls = L + — — среднее число клиентов в системе:
И^ = W + — — среднее время ожидания в системе.
Модель D
МОДЕЛЬ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПОПУЛЯЦИЕЙ
Сюда относятся модели с ограниченным числом потенциальных клиентов системы обслуживания. Примером может служить определение оптимального обслуживания оборудования фабрики, имеющей пять станков.
Особенность этой модели, по сравнению с тремя рассмотренными ранее, заключается в том, что существует взаимоза-
висимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.
Модель Е
Модель с ограниченной очередью
Модель отличается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограничено.В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все каналы обслуживания заняты, покидает систему не обслуженной, т.е. получает отказ. Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очереди сократить до нуля.
Сравнительная характеристика различных моделей систем массового обслуживания приведена в табл. 1.
ПРИМЕРЫ
Пример 1
Иванов, механик магазина, может заменить масло в среднем в трех автомобилях в течение часа (т.е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, приезжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия и их число не ограничено.
На основе этих данных мы можем получить основные характеристики этой системы обслуживания:
X = 2 — число машин, поступающих в час;'
р = 3 — число машин, обслуживаемых за час;
X 2
Ls = ——■ =' = 2 — среднее число машин, находящихся
ц - X 3-2в системе.
Jr5 == = 1 — среднее время ожидания в системе;
р- X 3-2
^222
Lq = —- = —— = 1,33 — среднее число машин, ожи-
~ )3( - )дающих в очереди;
А. 2'
W == ——— = 40 (мин) — среднее время ожида-
ц(ц-^) 3(3-2)ния в очереди;
Таблица 1
Модель
Название (обозначение)
Пример
Число каналов
Число фаз
Темп поступления заявок
Темп обслуживания
Число клиентов
Порядок прохождения очереди
А
Простая система (М!МН)
Справочное бюро в магазине
Один
Одна
Пуассоновское распределение
Экспоненциальное
Неограниченное
FIFO
В
Многоканальная (MIMIS)
Кассы Аэрофлота
Несколько
Одна
Пуассоновское распределение
Экспоненциальное
Неограниченное
FIFO
С
Равномерное обслуживание (М/ОП)
Автоматическая мойка
Один
Одна
Пуассоновское распределение
Постоянный
Неограниченное
FIFO
D
Ограниченная популяция
Самолеты небольшой авиакомпании
Один
Одна
Пуассоновское распределение
Экспоненциальное
Ограниченное
FIFO
Е
Ограниченная длина очереди
Количество посадочных мест в парикмахерской
Несколько
Одна
Пуассоновское распределение
Экспоненциальное
Ограниченное
FIFO
r = — = — = 66.6% — время, в течение которого механик занят; и 3
Ptt = 1 - — = 1 - - = 0.33 — вероятность того, что в системе нет ц 3
ни одного клиента.
Ниже в таблице приведены значения вероятностей, что в системе находится более чем к машин, к = 17.
Число машин
/ о . * - 1
р= 1'
" >кх 3 /
Комментарии
0
0.667
Обратите внимание, что это значение равно
1 -Ро
1
0,444
2
0,296
3
0,198
Существует 19,8% шансов на то, что в системе находится более трех машин
4
0,132
5
0,088
-
6
0,058
7
0,039
После того, как мы получили основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ. Как уже отмечено выше, задачей менеджера является сопоставление возрастающих затрат на улучшение обслуживания и снижающихся затрат, связанных с ожиданием. Рассмотрим чему равны затраты в данном случае.
Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с временем ожидания выражаются в снижении спроса в связи с неудовлетворенностью клиентов и равны 100 руб. за час ожидания в очереди. Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 часа (И^) и вдень обслуживается приблизительно 2x8= 16 машин (две машины в час в течение 8-часового рабочего дня), то суммарное число часов, которое проводят 2322
в очереди все клиенты, равно — х 16 = — = Юу (ч). Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют 1066 руб. в день.
Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса —заработная плата механика. Он получает 70 руб. в час
или 560 руб. в день. Следовательно, общие затраты составляют 1066 + 560 = 1626 руб. в день.
Пример 2
Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час. Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом равным 12 машин в час (5 минут на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром X = 8 машин в час. Если новый компактор будет использоваться. то амортизацонные затраты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Фирма пригласила студента, который провел следующий анализ для оценки целесообразности использования компактора.
Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют:
И^ х 6 = ^ х 6 = 1.5 (тыс. руб).
В системе с компактором время ожидания в очереди при X = 8 автомобилей/час и ц = 12 автомобилей/час будет равно:
=== — (ч .
42ц(ц-Х)2 х 12 х (12-8)12
Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят:
(К х 6 = — х 6 = 0,5 (тыс. руб). q 12
Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат от простоя одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 - 0,5 = 1 (тыс. руб.).
При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0.3 = 0,8 (тыс. руб.).
Система с компактором дает экономию в 1,5 - 0,8 = = 0,7 (тыс. руб.).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Одна работница обслуживает тридцать ткацких машин, обеспечивая их запуск после разрыва нити. Модель такой системы массового обслуживания можно характеризовать как:
многоканальную, однофазную с ограниченной популяцией;
одноканальную, однофазную с неограниченной популяцией;
одноканальную, многофазную с ограниченной популяцией;
одноканальную, однофазную с ограниченной популяцией;
многоканальную, однофазную с неограниченной популяцией.
Вопрос 2
В теории массового обслуживания для описания простейшего потока заявок, поступающих на вход системы, используется распределение вероятностей:
нормальное;
экспоненциальное;
пуассоновское;
биномиальное;
ни одно из приведенных выше утверждений не является верным.
Вопрос 3
В теории массового обслуживания предполагается, что количество заявок в популяции является: ^фиксированным или переменным;
ограниченным или неограниченным;
известным или неизвестным;
случайным или детерминированным;
ни одно из приведенных выше утверждений не является верным.
Вопрос 4
Двумя основными параметрами, которые определяют конфигурацию системы массового обслуживания, являются: 1)темп поступления и темп обслуживания;
длина очереди и дисциплина обслуживания;
распределение времени между заявками и распределение времени обслуживания;
число каналов и число фаз обслуживания;
ни одно из приведенных выше утверждений не является верным.
Вопрос 5
В теории массового обслуживания для описания времени, затрачиваемого на обслуживание заявок, обычно используется распределение вероятностей:
нормальное;
экспоненциальное;
пуассоновское;
биномиальное;
ни одно из приведенных выше утверждений не является верным.
Вопрос 6
Ремонт вышедших из строя компьютеров на экономическом факультете осуществляют три специалиста, работающие независимо друг от друга. Модель такой системы массового обслуживания можно характеризовать как:
многоканальную с ограниченной популяцией;
одноканальную с неограниченной популяцией;
одноканальную с ограниченной популяцией;
одноканальную с ограниченной очередью;
многоканальную с неограниченной популяцией.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Справочная университетской библиотеки получает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в среднем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания — 12 запросов в час.
Определите-.
вероятность того, что в системе нет запросов;
среднее число запросов в очереди;
среднее время ожидания;
среднее время, которое запрос проводит в системе;
вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.
Задача 2
Контора принимает заказы, прибывающие по закону Пуассона со средней скоростью 6 заказов в день. Заказы обрабатываются одним клерком. Время на их обработку распределено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8 заказов в день.
Определите;
среднее число заказов в системе;
среднее время ожидания начала обработки заказа клерком;
среднее время, которое заказ проводит в системе.
Задача 3
Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть 2 кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт работы и может быть нанят за 7 долл, в час. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать 3 клиента в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить 4 клиента в час, но его можно нанять на работу за 10 долл, в час. Клиенты прибывают со скоростью 2 человека в час. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 долл, в час. Предполагая пуассоновское распределение прибытия и экспоненциальное — времени обслуживания, определите;
среднее время, которое клиент проводит в очереди;
среднюю длину очереди;
среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
среднее число клиентов в системе обслуживания;
вероятность того, что система обслуживания окажется свободной, при условии найма одного или другого механика.
Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?
Задача 4
«У Петра» —маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время
обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания — 20 покупателей в час. Рассчитайте'.
среднее время, которое покупатель проводит в очереди;
среднюю длину очереди;
среднее время, которое покупатель проводит в магазине;
среднее число покупателей в магазине;
вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.
Владелец магазина установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса и равны 2 долл, за один час ожидания. Он решил ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Этого можно достигнуть с помощью реализации одной из следующих альтернатив:
Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (часовая оплата каждого — 3 долл.). Это позволит увеличить среднюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час. Будет ли в данном случае достигнута искомая цель?
Нанять второго кассира (часовая заработная плата — 3 долл.), тем самым создав в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час для каждого из работников). Какое решение следует принять?
Задача 5
А) В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Судно может остановиться в новом доке для заправки и ремонта. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 10 судов в час.
Какова вероятность того, что док будет пуст?
Каково среднее число судов в очереди?
Каково среднее время ожидания обслуживания?
Каково среднее время пребывания в доке?
Б) Администрация станции рассматривает возможность введения в строй еще одного дока с той же скоростью обслуживания. Есть ли в этом необходимость, если в среднем издержки по простою речного судна составляют 100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч.
Задача 6
А) Рассмотрим двухканальную очередь с пуассоновским потоком требований и экспоненциальным распределением времени обслуживания. Скорость прибытия 14 единиц в час, скорость обслуживания 10 единиц в час для каждого канала.
Определите;
вероятность того, что в системе нет требований;
среднее число требований в очереди;
среднее время ожидания;
среднее время, которое требование проводит в системе;
вероятность того, что прибывающему требованию придется ждать обслуживания;
процент ожидающих.
Б) Пусть цель обслуживания состоит в том, чтобы обеспечить состояние, при котором в среднем не более 25% требований вынуждены ждать. Предположим, что система расширилась до трехканальной. Выполняется ли в данном случае это условие?
Задача 7
Крупная страховая компания имеет в своем распоряжении центральную расчетную систему, содержащую разнообразную информацию, необходимую клиентам. Страховые агенты, находящиеся на территории шести различных штатов, используют телефонные линии для доступа к базе данных. В настоящий момент центральная система обеспечивает возможность одновременного доступа к ней до 3-х пользователей. Если агенту не удается сразу получить доступ к системе, то он вынужден повторить запрос, так как ожидание ответа не предусмотрено. Компания предполагает, что ее бизнес расширится, и данная техническая реализация центральной системы не будет соответствовать масштабам деятельности. Запросы распределены по закону Пуассона со средним — 42 звонка в час. Средняя скорость обслуживания — 20 звонков в час для каждой линии.
Какова вероятность того, что 0, 1, 2, 3 линии будут заняты?
Какова вероятность того, что агент не получит доступа к системе?
Ожидается, что скорость поступления звонков возрастет до 50 в час. Сколько линий должна иметь система для того, чтобы вероятность того, что все линии заняты, не увеличилась?
Задача 8
Издательство «Наука» публикует учебные материалы. Потенциально 800 агентов по продаже книг могут интересоваться будущими публикациями, запрашивать копии работ, размешать свои заказы. Используется 2 телефонные линии. Если обе линии заняты, то доступ в издательство закрыт. Каждый сотрудник способен обработать в среднем 12 звонков в час. Средняя скорость поступления звонков — 20 в час.
Какой процент звонящих услышит сигнал «занято»?
Сколько необходимо дополнительных линий для обеспечения немедленного ответа по крайней мере на 90 % звонков?
Задача 9
Компания «Жалюзи на дом» решила довести число машин, обслуживающих доставку товаров, до 8. Президент компании интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу второго механика. Средняя скорость прибытия на ремонт равна 0,05 раз в час для каждой машины, средняя скорость обслуживания — 0,5 машин в час.
Рассчитайте следующие операционные характеристики, если компания оставляет единственного механика;
вероятность того, что все машины работают, и механик простаивает;
среднее число ожидающих ремонта машин;
среднее число машин в системе (машины в очереди и на обслуживании);
среднее время ожидания начала ремонта;
среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).
Используя компьютерную программу, рассчитайте те же характеристики для случая с двумя механиками.
Каждый механик получает 20 долл, в час, а стоимость простоя машины составляет 80 долл, в час. Сколько механиков следует нанять с экономической точки зрения?
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 - 4, 2 - 3, 3 - 2. 4 - 4. 5 - 2. 6 - 1.
Ответы на задачи
Задача 1
Вероятность того, что в системе нет запросов Р^ = 0.167.
Среднее число запросов в очереди Lq = 4,167.
Среднее время ожидания W = 0.417 ч.
Среднее время, которое запрос проводит в системе И^ = 0,5 ч.
Вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания г = 0,833.
Задача 2
Среднее число заказов в системе Ls = 3.
Среднее время ожидания начала обработки заказа клерком Wq = 0,375 дня.
Среднее время, которое заказ проводит в системе И/ = 0,5 дня.
Задача 3
Первый механик;
X = 2. ц = 3, Смех = 7 долл./ч, Сож = 15 долл./ч. .
1)Среднее время, которое клиент проводит в очереди Wq = 0.667 ч:
средняя длина очереди Ц = 1.333:
среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания Ws = 1 ч:
среднее число клиентов в системе обслуживания Ls = 2:
вероятность того, что система обслуживания окажется свободной. равна: 1 - r = 1 - 0.667 = 6.333:
совокупные издержки по ожиданию в очереди и оплате механику равны'27 долл./ч.
Второй механик;
X = 2, ц = 4. Смех = 10 долл./ч. Сож = 15 долл./ч.
1)Среднее время, которое клиент проводит в очереди Wq = 0.25 ч;
средняя длина очереди L = 0.5;.
среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания Ws = 0.5 ч:
среднее число клиентов в системе обслуживания Ls = 1;
вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой, равна: 1 - г = 1 - 0,5 = 0,5.
По результатам расчетов можно сделать вывод, что следует нанять второго механика.
Задача 4
Среднее время, которое покупатель проводит в очереди И^= 0,15 ч = 9 мин;
средняя длина очереди Lq = 2,25;
среднее время, которое покупатель проводит в магазине Ws = 0,2 ч;
среднее число покупателей в магазине Ls = 3;
вероятность того, что в магазине не окажется покупателей Ро = 0,25.
Если нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем, получим, что среднее время, которое покупатель проводит в очереди, в этом случае Wq = 2 мин, издержки по ожиданию в очереди и обслуживанию канала составят 7 долл.
Если нанять второго работника, то среднее время, которое покупатель проводит в очереди составит Wq = 0,49 мин, издержки — 6,24 долл.
Следовательно, имеет смысл нанять второго работкика.
Задача 5
Для одноканальной системы;
вероятность того, что док будет пуст, ^ = 1 - 0,5 = 0,5;
среднее число судов в очереди Lq = 0,5;
среднее время ожидания обслуживания Wq = 6 мин;
среднее время пребывания в доке Ws = 12 мин.
Для двухканальной системы совокупные издержки увеличились на 28 долл./ч.
Задача 6
Для двухканальной системы:
вероятность того, что в системе нет требований Ро = О,176;
среднее число требований в очереди Lq = 1,34;
среднее время ожидания Wq = 5,765 мин;
среднее время, которое требование проводит в системе Ws = 11,765 мин;
вероятность того, что прибывающему требованию придется ждать обслуживания, равна 0,7;
процент ожидающих составляет 49%.
В трехканальной системе процент ожидающих сократился до 11 %.
Задача 7
Вероятность того, что к линий будут заняты: к = 0: вероятность — 0,146;
к= 1: вероятность — 0,307;
^ = 2: вероятность — 0,322;
к = 3: вероятность — 0,225.
Вероятность того, что агент не получит доступа к системе-0,225.
Ожидается, что скорость поступления звонков возрастет до 50 в час. Для того чтобы вероятность загруженности всех линий не увеличилась, необходимо иметь 4 линии. В этом случае вероятность равна 0,1499.
Задача 8
34% звонящих услышит сигнал «занято».
Для того чтобы по крайней мере 90% звонков получили немедленный ответ, необходимо иметь две дополнительные линии, т.е. должно быть 4 канала. Вероятность того, что система занята, в этом случае равна 0,06.
Задача 9
А) Если нанять одного механика;
вероятность того, что все машины работают, и механик простаивает — 0,33;
среднее число ожидающих ремонта машин — 0,721;
среднее число машин в системе — 1,383;
среднее время ожидания начала ремонта — 2,18 ч;
среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт) — 4,18 ч.
Б) Если нанять второго механика;
вероятность того, что все машины работают, и механик простаивает — 0,45;
среднее число ожидающих ремонта машин — 0,064;
среднее число машин в системе — 0,786;
среднее время ожидания начала ремонта — 0,179 ч;
среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт) — 2,179 ч.
С экономической точки зрения выгоднее иметь двух ме
хаников.
Глава 14
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЦЕЛИ
Имитация — это попытка дублировать особенности, внешний вид и характеристики реальной системы. Идея имитации реализуется в:
математическом описании реальной ситуации;
изучении ее свойств и особенностей;
формировании выводов и принятии решений, связанных с воздействием на эту ситуацию и основанных на результатах имитации.
Важно, что реальная система не подвергается воздействию до тех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных управленческих решений не будут оценены с помощью модели этой системы.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
имитация;
интервал случайных чисел;
метод Монте-Карло;
таблица случайных чисел.
МОДЕЛИ
Имитация с помощью метода Монте-Карло(метода статистических испытаний)
Метод состоит из четырех этапов.
Построение математической модели системы, описывающей зависимость моделируемых характеристик от значений стохастических переменных.
Установление распределения вероятностей для стохастических переменных.
Установление интервала случайных чисел для каждой стохастической переменной, генерация случайных чисел, имитация поведения системы путем многих попыток и получение опенки моделируемой характеристики системы.
Оценка точности результата.
Дадим развернутое описание этих этапов.
ЭТАП
Стохастическая имитационная модель (ИМ) некоторой реальной системы может быть представлена как динамическая система, которая под воздействием внешних случайных входных сигналов (входные переменные) изменяет свое состояние (случайные переменные состояния), что. в свою очередь, приводит к изменению выходных сигналов (выходные переменные):
S/-i = F(S„ I,.,).
U, = R(S,).
где F. R— вектор-функнии:
. U(, S,— векторы соответственно входных, выходных переменных и переменных состояния системы в тактовый момент моделирования /.
ИМ — это экспериментальная модель системы, в которой искусственно воспроизводятся случайности, имеющие место в реальной системе. Она представляет собой совокупность математических соотношений, между входными, выходными переменными и переменными состояния в сочетании с алгоритмической реализацией некоторых зависимостей.
В имитационном моделировании динамических процессов существует два основных подхода. Первый заключается в том, что весь период моделирования разбивается на равные промежутки времени (такты моделирования), анализ состояния системы, а также значений выходных переменных производится через одинаковые промежутки времени. При этом возникает проблема выбора «правильной» продолжйтельности такта. Кроме того, не исключается появление тактов, в которых состояние системы по сравнению с предыдущим не изменилось. При втором подходе продолжительность такта моделирования не фиксиру-
ется, а определяется моментом наступления одного из «существенных» событий. Например, при моделировании производственного процесса на предприятии такими событиями могут быть освобождение или начало загрузки станка, поступление на обработку детали, невыход на работу станочника, исчерпание запаса необходимых комплектующих деталей на складе и др. Именно второй подход чаше всего используется на практике и поддерживается современными языками моделирования.
ЭТАП
Случайные величины, используемые в ИМ, могут быть дискретными или непрерывными. В первом случае необходимо знать их распределения, во втором — плотности распределений. Эти зависимости могут быть определены в результате специальных исследований или заданы в качестве гипотезы. Точность модели, при прочих равных условиях, зависит от того, насколько точно заданы указанные распределения (плотности распределений).
ЭТАП
Моделирование случайных величин при компьютерных имитационных экспериментах производится с помощью датчика псевдослучайных чисел, предоставляемого любым современным языком программирования. Обычно это датчик случайных чисел с равномерным распределением на интервале [0,1]. Если известны вероятности наступления событий, то, используя такой датчик, можно отвечать на вопросы типа «Какое из N возможных событий произошло?» или «Какое значение приняла случайная величина?».
Предположим, что в ИМ используется случайная переменная X, принимающая дискретные значения xh ..., xN с вероят- N
ностями соответственно р,, ..., pN ( £ рк = 1). Получение неко- к = I
торой реализации этой переменной в модели производится следующим образом. Строится функция распределения случайной величины X. Указанная функция определяется по форму-
N'
ле F(x) = £ рк, в которой суммирование проводится по всем к = I
индексам, для которых хк < х. С помощью датчика случайных чисел получают случайное число и из отрезка [0,1]. Из равномерности распределения получаемых случайных чисел следует, что вероятность получения случайного числа из произвольного
интервала, включенного в [0,1], равна длине этого интервала. Поэтому вероятность реализации X = хк равна вероятности попадания полученного отдатчика случайного числа и в произвольный интервал в [0,1] длиной рк. Таким образом, можно утверждать, что если очередное число и датчика удовлетворяет неравенствам 0 < и < ph то имеет место реализация X = х,; в случае р{ < и < рх + рг — реализация X = хг и т.д. В общем случае для к - Iк
к = 2, ..., N, если Z Р. < и 5 Z pv , то Х = хк.
Заметим, что границы указанных неравенств совпадают со значениями построенной выше функцией распределения F(x\ Однако удобнее иметь дело не с дробными значениями границ интервалов, в которые попадают случайные значения и, а с их целочисленными значениями, тем более, что с помощью датчиков случайных чисел можно генерировать числа из любого диапазона. Чтобы получить целые значения границ интервалов, достаточно умножить все рк на Ю^, где d — целое, минимальное значение которого равно максимальной точности (максимальному числу знаков после десятичной точки) чисел рк, к = 1, ..., N. Например, если {pj = {0,3; 0,153; 0,5; 0,047}, то минимальное значение d равно 3 (все рк нужно умножить на 1000). Таким образом, 10^ определяет длину интервала значений рассматриваемой случайной переменной в ИМ.
ЭТАП
Точность статистических оценок параметров реальной системы зависит от числа наблюдений (объема выборки). Погрешности в оценках обусловлены как статистическим характером самой модели, так и влиянием начальных данных (начального состояния имитационной системы), возможной автокорреляцией последовательных значений некоторого параметра в процессе моделирования. Очевйдно, что с увеличением числа испытаний точность моделирования должна увеличиваться. Ввиду того, что увеличение объема выборки связано с ростом затрат на моделирование, важно уметь определять минимальное число испытаний, необходимое для достижения заданной точности оценки с заданной вероятностью.
Широкое распространение получили два метода статистических испытаний. Один из них предполагает проведение достаточно большого числа Т последовательных наблюдений в течение одного прогона модели (одного сеанса имитирования). Другой
метод заключается в реализации т независимых прогонов модели, т.е. в m-кратном повторении одного и того же цикла имитирования. При этом если мы хотим получить в сумме Тнаблюде-
-Т ,
нии, в течение каждого прогона можно делать по — (допустим, m
что полученное число — целое) наблюдений. Оба подхода приводят примерно к одинаковым результатам.
Пусть значения у„ t = 1,..., Т представляют собой результаты Т последовательных измерений значений случайной величины у во время одного и того же сеанса имитирования. Среднее по времени значение Ет(у) определяется выражением:
т
ЕНу) = ^.
Обозначим через ц математическое ожидание случайной величины у. Тогда для достаточно большого Т получаем £г(у) ® ц.
Если известна дисперсия £(у) случайной величины у, то дисперсия Z)(£r[y]) среднего значения £г[у] может быть оценена по формуле:
D(ETVyM = ^-.
Оценка точности математического ожидания случайной величины, полученного методом Монте-Карло, определяется на основе следующего общего подхода.
Предположим, что г — характеристика, которая должна быть определена (вероятность события, математическое ожидание, дисперсия и т.п.), а С, — ее значение, уточняемое по мере накопления данных, остающееся случайным вследствие ограниченности числа Т проведенных наблюдений. В этих условиях можно говорить о вероятности р (|г- £| < е) по отношению к интересующей нас характеристике. Здесь |г - ^| представляет собой погрешность в оценке г, а е — некоторый допустимый ее предел. Из неравенства Чебышева следует
£
Из этого неравенства следует £Т(О < (1 - ^)е2, откуда при заданных р и е и при известной зависимости £>Т(О можно найти предельно необходимое Т.
Известно, что истинная дисперсия выборочного распределения для расчетного среднего обратно пропорциональна суммарному числу наблюдений Т, т.е. DT^ = у, где d не зависит от Т. Обычно в начале имитационного процесса необходимое число наблюдений определить не удается, поскольку d неизвестно. Поэтому, как правило, эксперимент проводят в два этапа. На первом этапе выбирается относительно небольшое число испытаний; в результате моделирования определяется величина d. Затем можно рассчитать какое число дополнительных наблюдений нужно провести, чтобы достигнуть необходимой точности. Предельное число наблюдений То определяется формулой
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Моделирование объелла спроса на автоллашины
Наблюдения за объемом продаж автомобилей в салоне «Логоваз» в течение 200 дней показало, что величина спроса изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализации значений стохастической переменной приведена во втором столбце таблицы. Требуется построить модель, позволяющую имитировать значение величины спроса.
Стохастическая переменная (.величина спроса)
Частота реализации значений
Вероятность реализации
Значение функции распределения
Интервалы случайных чисел
0
10
10/200 = 0,05
0,50
01—05
1
-20
20/200 = 0,1
0,15
06—15
2
40
40/200 = 0,2
0,35
16—35
3'
60
60/200 =0,3
0,65
36—65
4
40
40/200 = 0,2
0,85
66—85
5
30
30/200 = 0,15
1,00
86—00
Построим функцию распределения величины спроса и интервалы случайных чисел для значений стохастической переменной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом столбцах таблицы.
Решение
Построим функцию распределения величины спроса и интервалы случайных чисел для значений стохастической переменной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом столбцах вышеприведенной таблицы. Сымитируем спрос на автомашины в салоне «Логоваз» в течение 10 последующих дней. Случайные числа из таблицы случайных чисел мы выбираем. начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в первом столбце.
Номер дня
Случайное число
Имитированный дневной спрос
1
52
3
2
37
3
3
82
4
4
69
4
5
98
5
6
96
5
7
33
2
8
50
3
9
88
5
10
90
5
Получаем:
39 — спрос за 10 дней:
39
— = 3,9 — средний ежедневный спрос.
Оценка 3.9 средней величины спроса, полученная в результате имитационного эксперимента, существенно отличается от значения 2,95 (математического ожидания этой случайной величины). Но эта разница уменьшается с ростом числа испытаний.
Пример 2
Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док. колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода барж в док показана в таблице. Там же указаны интегральные вероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможного значения.
Число ежедневно прибывающих барж и интервалы случайных чисел
Число барж
Вероятность
Интегральная вероятность
Интервал случайных чисел
0
0,13
0,13
От 01 до 13
1
0,17
0,30
От 14 до 30
2
0,15
0,45
От 31 до 45
3
0,25
0,70
От 46 до 70
4
0,20
0,90
От 71 до 90
5
0,10
1,00
От 91 до 100
Аналогичная информация дана о числе разгружаемых барж.
Ежедневный темп разгрузки
Вероятность
Интегральная вероятность
Интервал случайных чисел
1
0,05
0,05
От 01 до 05
2
0,15
0,20
От 06 до 20
3
0,50
0,70
От 21 до 70
4
0,20
0,90
От 71 до 90
5
0,10
1,00
От 91 до 100
Проведем эксперимент, имитирующий очередь на разгрузку барж в порту Астрахани.
День
Число барж, простаивающих с предыдущего дня
Случайное число
Число прибывших за день барж
Число барж, ожида
ющих разгрузку
Случайное число
Число разгруженных барж
1
-
52
3
3
37
3
2
0
6
0
0
63
0
3
0
50
3
3
28
3
4
0
88
4
4
2
1
5
3
53
3
6
74
4
6
2
30
1
3
35
3
7
0
10
0
0
24
0
8
0
47
3
3
3
1
9
2
' 99
5
7
29
3
10
4
37
2
6
60
3
11
3
66
3
6
74
4
12
2
91
5
7
85
4
13
3
35
2
5
90
4
14
1
32
2
. 3
73
3
15
0
0
5
5
59
3
20 — общий простой
41 — всего прибыло
39 — всего разгружено
В результате эксперимента получены:
оценка среднего числа барж, простаивающих в течение суток, равная 20/15;
оценка среднего числа барж, прибывающих в течение *41/
суток, равная /15;
оценка среднего числа барж, разгруженных в течение суток, равная 39/|5.
Пример 3
Магазин электрооборудования Проводкова продает электрические дрели. В течение 300 дней в магазине регистрировали дневной спрос на дрели. Распределение вероятностей величины спроса показано в таблице.
Спрос на дрели
Частота, дни
Вероятность
Интегральная вероятность
Интервалы случайных чисел
0
15
0,05
0,05
от 1 до 5
1
30
0,10
0,15
от 6 до 15
2
60
0,20
0,35
от 16 до 35
3
120
0,40
0,75
от 36 до 75
4
45
0,15
0,90
от 76 до 90
5
30
0,10
1,00
от 91 до 100
300
1,00
Когда Проводков делает заказ, чтобы возобновить запасы электрических дрелей, его выполнение происходит с лагом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановления запаса подчиняется вероятностному распределению. В следующей таблице показаны данные, позволяющие определить вероятности сроков выполнения заказов и интервалы случайных чисел на основе информации о 50 заказах.
Срок выполнения заказа
Частота, заказы
Вероятность
Интервальная вероятность
Интервал случайных чисел
1
10
0,20
0,20
от 1 до 20
2
25
0,50
0,70
от 21 до 70
3
15
0,30
10,00
от 71 до 100
50
1,00
Стратегия резервирования, которую хочет имитировать
Проводков — делать заказ в объеме 10 дрелей при запасе на
складе 5 штук. Проводков оценил, что каждый заказ на дрели обходится ему в 10 руб., хранение каждой дрели обходится в 5 руб. в день, одна упущенная продажа обходится в 80 руб. Целью эксперимента является оценка величины средних ежедневных затрат для этой стратегии управления запасами.
Процесс имитации реализуется в четыре этапа.
Каждый имитируемый день начинается с проверки, поступил ли сделанный ранее заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае на 10 единиц).
Путем выбора случайного числа генерируется дневной спрос для соответствующего распределения вероятностей.
Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины спроса. Если запас недостаточен для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворяется насколько это возможно. Фиксируется число нереализованных продаж.
Определяется, снизился ли запас до точки восстановления (в примере — 5 единиц). Если «да», и при этом не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается новый заказ.
Первый эксперимент Проводкова.
Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса — 5 штук.
43 X ф
0)
X 0) 1 о с:
о CD С CD Ф
>3 3 X -о
CD X
О 5 3
ф о X *3
CD
6
О о
о
О CD С CD Ф
>3
X
Ф X §
* CD
О
&
3
ф Е о С
CD * CD Ф
X Е CD с; ф Ч
О
5 3
ф о ’§ ?
6
§ X ф X §
3
5С О
О'
1
0
10
6
1
9
0
Нет
2
0
9
- 63
3
6
0
Нет
3
0
6
57
3
3
0
Да
02
1
4
0
3
94
5
0
2
Нет
5
10
10
52
3
7
0
Нет
6
0
7
69
3
4
0
Да
33
2
7
0
4
32
2
2
0
Нет
8
0
2
30
2
0
0.
■Нет
9
10
10
48
3
7
0
Нет
10
0
7
88
4
3
0
Да
14
1
Всего
41
2
Результат имитационного эксперимента:
Конечный суммарный запас — 41 единица.
Средний конечный запас — 4!/10 = 4.1 единица.
Число упущенных продаж — 2.
Среднее число упущенных продаж 2/ю = 0,2 штук/день.
Среднее число заказов — 0,3 заказа/день.
Определим составляющие затрат:
ежедневные затраты на заказы равны произведению затрат на один заказ на среднее число заказов в день, т.е. 10 х 0,3 = 3 руб.;
ежедневные затраты на хранение равны затратам на хранение одной единицы в течение дня умноженным на среднюю величину конечного запаса, т.е. 5 х 4,1 = 20,5 руб.;
ежедневные упущенные возможности равны прибыли от упущенной продажи умноженной на среднее число упущенных продаж в день. т.е. 80 х 0,2 = 16 руб.;
общие ежедневные затраты равны затратам на заказы плюс затраты на хранение, плюс упущенные продажи, т.е. 39,5 руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
Для моделирования случайной величины X в имитационной модели используется метод Монте-Карло. Случайная величина Xможет принимать значения 2. 3 и 4. При 200 наблюдениях эти значения реализуются с частотами 42, 88 и 70, соответственно. Определите интервал случайных чисел для значения X = 3.
Возможные ответы'.
от 1 до 42;
от 43 до 88;
от 22 до 65;
от 43 до 65;'
от 66 до 100.
Вопрос 2
Метод имитации называется методом Монте-Карло, если-. 1)для проведения вычисления используется компьютер;
метод позволяет сэкономить деньги;
метод использует значения вероятностей;
все вышеуказанное является верным;
ни одно из вышеуказанных утверждений не является верным.
Вопрос 3
Модель принятия решении в условиях риска относится к классу моделей-.
имитационных;
2)статистических;
3)алгебраических;
управления запасами;
математического программирования.
Вопрос 4
Для моделирования случайной величины X в имитационной модели используется метод Монте-Карло. Случайная величина X может принимать значения 6, 7 и 8. При 200 наблюдениях эти значения реализуются с частотами 28, 72 и 100 соответственно. Определите интервал случайных чисел для значения X = 7.
От 1 до 28;
От 29 до 72;
От 15 до 50;
От 51 до 100;
От 1 до 72.
Вопрос 5
Параметрами управления в имитационной системе управления запасами являются;
1)темп обслуживания и время выполнения заказа;
размер запаса'и темп производства;
величина спроса и время выполнения заказа;
размер запаса и время выполнения заказа;
издержки хранения и время выполнения заказа.
ЗАДАЧИ .
Задача 1
Компания Шустрова обслуживает и сдает в наем квартиры в большом жилом комплексе. Иван Шустров хотел бы оце-
нить предполагаемые затраты на замену компрессоров для кондиционирования воздуха. Он хотел бы определить число компрессоров, выходящих из строя ежегодно в течение 20 лет. Используя данные по аналогичному жилому комплексу, которым его компания владеет в другом городе, Шустров получил относительные частоты выхода компрессоров из строя.
Число компрессоров, вышедших из строя
Вероятность (относительная частота)
0
0,06
1
0,13
2
0,25
3
0,28
4
0,20
5
0,07
6
0,01
Он решил провести имитационный эксперимент, используя двузначные случайные числа, начиная с числа 37 второй строки таблицы случайных чисел (см. таблицу случайных чисел).
Ответьте на следующие вопросы.
Найдутся ли последовательно три года, в каждом из которых из строя выйдет один компрессор?
Найдутся ли последовательно три года, в каждом из которых из строя выйдет два компрессора?
Задача 2
Число машин, приезжающих на автомойку Марка Беззаботного в течение последних 200 часов ее работы, приведено в следующей таблице.
Число машин, прибывающих каждый час
Частота
3 и менее
0
4
20
5
30
6
50
7
60
8
40
,9 и более
0
Итого
200
Постройте распределение вероятностей и интегральное распределение вероятностей для числа прибывающих машин.
Определите для этой переменной интервалы случайных чисел.
Проимитируйте прибытие машин в течение 15 часов работы мойки и определите среднее число машин в час.
Выберите необходимые для имитации случайные числа из четвертой строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 69.
Сколько машин приедет в первый час?
Сколько машин в среднем прибывает в час?
Задача 3
Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров к вечеру достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода барж в док показана в таблице.
Число барж
Вероятность
0
0,13
1
0,17
2
0,15
3
0,25
4
0,20
5
0,10
Количество разгружаемых барж и соответствующие вероятности указаны в таблице.
Ежедневный темп разгрузки
Вероятность
1
0,03
2
0,12
3
0,40
4
0,28
5
0,12
6
0,05
Проимитируйте 15 дней работы порта -и определите".
среднее число простаивающих барж;
среднее число барж, приходящих ежедневно;
среднее число барж, разгружаемых ежедневно.
Таблица случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
75
76
17
18
1
52
06
50
88
53
30
10
47
99
37
66
91
35
32
00
84
57
07
2
37
63
28
02
74
35
24
03
29
60
74
85
90
73
59
55
17
60
3
82
57
68
28
05
94
03
11
27
79
90
87
92
41
09
25
36
77
4
69
02
36
49
71
99
32
10
75
21
95
90
94
38
97
71
72
49
5
98
94
90
36
06
78
23
67
89
85
29
21
25
73
69
34
85
76
6
96
52
62
87
49
56
59
23
78
71
72
90
57
01
98
57
31
95
7
33
69
27
21
11
60
95
89
68
48
17
89
34
09
93
50
44
51
8
50
33
60
95
13
44
34
62
64
39
55
29
30
64
49
44
30
16
9
88
32
18
50
62
57
34
56
62
31
15
40
90
34
51
95
26
14
10
90
30
36
24
69
82
51
74
30
35
36
85
01
55
92
64
09
85
11
48
61
18
85
23
08
54
17
12
80
69
24
84
92
16
49
59
50
12
88
21
62
69
64
48
31
12
73
02
68
00
16
16
46
13
85
27
13
14
46
32
13
49
66
62
74
41
86
98
92
98
84
54
33
40
45
14
02
01
78
82
74
97
37
45
31
94
99
42
49
27
64
89
42
81
15
83
14
74
27
76
03
33
11
97
59
81
72
00
64
61
13
52
66
16
74
05
81
82
93
09
96
33
52
78
13
06
28
30
94
23
37
39
17
30
34
87
01
74
11
46
82
59
94
25
34
32
23
17
01
58
73
18
59
55
72
33
62
13
74
68
22
44
42
09
32
46
71
79
45
89
19
67
09
80
98
99
25
77
50
03
32
36
63
65
75
94
19
95
88
20
60
77
46
63
71
69
44
22
03
85
14
48
69
13
30
50
33
24
21
60
08
19
29
36
72
30
27
50
64
85
72
75
29
87
05
75
01
22
80
45
86
99
02
34
87
08
86
84
49
76
24
08
01
86
29
11
23
53
84
49
63
26
65
72
84
85
63
26
02
75
26
92
62
40
67
24
69
84
12
94
51
36
17
02
15
29
16
52
56
43
26
22
08
62
25
37
77
13
10
02
18
31
19
32
85
31
94
81
43
31
58
33
51
Используйте для генерирования числа прибывающих барж случайные числа с начала первой строки таблицы случайных чисел, а для генерирования числа разгруженных барж — с начала второй строки этой таблицы.
Сколько в среднем барж простаивает в день?
Сколько в среднем барж приходит ежедневно?
Сколько в среднем барж разгружается ежедневно?
Задача 4
Центральный травматологический пункт в Москве имеет шесть отделений:
приемное отделение, в котором может быть оказана неотложная помощь и ставится диагноз;
рентгеновское отделение;
операционное отделение;
отделение протезирования;
диагностическое отделение (где проводятся обследования для уточнения диагноза);
отделение выписки (оформление больничных документов и оплаты).
Вероятности перехода пациента из одного отделения в другое указаны в таблице:
Из отделения
8 отделение
Вероятность
Приемное
Рентген
0,45
Операционное
0,15
Диагностическое
0,10
Выписка
0,30
Рентгеновское
Операционное
0,10
Протезирования
0,25
Диагностика
0,35
Выписка
0,30
Протезирование
Диагностическое
0,55
Рентгеновское
0,05
Выписка
0,4
Диагностическое
Операционное
0,15
Рентгеновское
0,15
Выписка
'0,70
Операционное
Протезирование
0,25
Диагностическое
0,70
Выписка
0,05
Проимитируйте передвижение в травматологическом пункте для 10 пациентов. Рассматривайте одного пациента в течение всего времени пребывания в больнице (с момента, когда он поступает в приемное отделение и до момента, когда он выписывается). Вам следует учесть, что пациент может попадать в одно и то же отделение более чем один раз. Используйте для генерирования переходов случайные числа из пятой строки таблицы случайных чисел.
Сколько раз (максимум) один пациент посетит рентгеновское отделение?
Сколько раз в среднем один пациент посетит отделение протезирования?
Задача 5
Штаб военно-воздушной дивизии использует большое число компьютерных графопостроителей. Графопостроитель наносит на лист бумаги линии в различных направлениях до тех пор, пока не будет сделан весь рисунок. В графопостроителе используется четыре пера различных цветов. Любое перо может выйти из строя, в этом случае выходит из строя весь графопостроитель и требуется замена соответствующего пера. Инженер, обслуживающий графопостроители, предложил при выходе из строя одного пера проводить замену сразу всех четырех перьев. Это должно уменьшить число выходов из строя графопостроителей. Требуется один час на замену одного пера и два часа на замену всех четырех перьев. Стоимость простоя графопостроителя в течение часа 50 000 тыс. руб. Каждое перо стоит 8000 тыс. руб. Если производится замена только одного пера, то время, проходящее между выходами графопостроителя из строя, распределяется следующим образом:
Время между двумя выходами из строя при замене одного пера, ч
Вероятность
10
0,05
20
0,15
30
0,15
40
0,20
50
0,20
60
0,15
70
0,10
Если проводить замену всех четырех перьев, то время между двумя поломками распределяется следующим образом:
Время между двумя поломками
Вероятность
100
0,15
110
0,25
120
0,35
130
0,20
140
0,05
Проимитируйте две различные стратегии и определите лучшую. Используйте для генерирования поломок случайные числа с начала четвертой строки таблицы случайных чисел. Проведите десять испытаний.
Следует ли заменять сразу все четыре пера?
Какую экономию обеспечивает лучшая стратегия по сравнению с альтернативной в течение месяца непрерывной работы графопостроителя (в тыс. руб.)?
Задача 6
Доктор Елена Бодрова имеет зубоврачебную практику в Москве. Елена составляет расписание своего приема так, чтобы пациентам не пришлось долго ожидать в очереди. В таблице приведено расписание на 20 мая.
Пациент
Время, назначенное пациентами
Предполагаемое время обслуживания
Иванов’
9:30
15
Новиков
9:45
20
Грачев
10:15
15
Васильева
10:30
10
Сычев
10:45
30
Галеев
11:15
15
Гринев
11:30
20
Лапин
11:45
15
К сожалению, не все пациенты приходят точно к назначенному времени. К тому же время обслуживания тоже нельзя указать точно. Опыт Елены указывает на то, что: а) 20% пациентов придут на 20 мин раньше;
10% придут на 10 мин раньше; '•
40% придут вовремя;
25% придут на 10 мин позже;
5% придут на 20 мин позже.
Кроме того:
в 15% случаях на обслуживание понадобится на 20% меньше времени, чем указано;
в 50% случаях — столько, сколько указано;
в 25% понадобится на 20% больше времени;
в 10% понадобится на 40% больше времени.
Доктор хотела бы закончить прием 20 мая в 12:15 для того, чтобы вылететь в Минск на конференцию стоматологов. 20 мая Елена готова начать прием в 9:30. Пациенты обслуживаются в порядке, указанном в расписании. (Даже если один пациент приходит раньше, чем назначенный на прием перед ним.)
Используйте для генерирования времени прихода и обслуживания пациентов случайные числа с начала первой строки таблицы случайных чисел.
На сколько позже желательного срока закончится прием (в мин)?
Скольким пациентам, пришедшим вовремя, придется ожидать приема?
Задача 7
Магазин Петушкова поддерживает на складе запас 30-ведерных водонагревателей для владельцев индивидуальных домов. Хозяин магазина хотел бы иметь под рукой максимальный запас водонагревателей, чтобы удовлетворить любой спрос. Однако он понимает, что это невыгодно из-за высокой стоимости их хранения. Он проследил за объемами продаж водонагревателей за последние 50 недель и отметил следующее:
Объем продаж водонагревателей
Число недель, в которые был реализован этот объем продаж
4
6
5
5
6
9
7
12
8
8
9
7
10
3
Итого:
50
Используйте для имитации случайные числа из седьмой строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 10.
Если Петушков будет иметь еженедельный запас в 8 нагревателей, то сколько раз за 20 недель ему не хватит этого запаса для удовлетворения спроса?
Каков средний объем продаж за 20 недель?
Задача 8
Петушков уточнил данные о продаже электронагревателей, проведя учет за 100 недель, и построил следующее распределение объема продаж в неделю:
Число электронагревателей, проданных за неделю
Число недель, в которые наблюдался объем продаж
3
2
4
5
5
10
6
15
7
25
8
21
9
12
10
10
Итого:
100
Используйте для имитации случайные числа из шестой строки таблицы случайных чисел.
Чему равен объем упущенных реализаций за 20 недель, если еженедельный запас электронагревателей равен 8?
Чему равно среднее число продаж в неделю?
Задача 9
Маша Кондратьева, аспирантка экономического факультета РУДН, предполагает, что у нее могут возникнуть финансовые проблемы. Ее доход складывается из стипендии и гонораров за реферативные статьи. Распределение уровня ее доходов показано в таблице:
Месячный доход, руб.
Вероятность
350 000
•0,4
400 000
0,2
450 000
0,3
500 000
0,1
Предполагается, что доход поступает на ее счет и учитывается в начале следующего месяца. Расходы Маши также меняются от месяца к месяцу и подчиняются следующему распределению вероятностей:
Расходы
Вероятность
300 000
0,10
400 000
0,45
500 000
0,30
6 000 000
0,15
В начале текущего года обучения на ее счету было 600 000 руб. Проимитируйте текущий год (12 месяцев) и оцените финансовое положение Маши. Предполагается, что реальные расходы Маши не могут превышать суммы на счете. Используйте для имитации случайные числа с начала шестой строки таблицы случайных чисел.
Сколько месяцев из 12 Маша будет испытывать дефицит бюджета?
Какая сумма денег останется на счету у Маши в конце текущего года?
Задача 10
Даша Василькова — менеджер салона фирмы «Мерседес-Бенц» в Москве. В последние 100 месяцев объем продаж колеблется от 6 до 12 новых автомобилей. Частоты различных объемов продаж показаны в таблице.
Объем продаж в месяц
Частота, месяц
6
8
7
11
8
17
9
33
10
25
11
3
12
3
Итого:
100
Даша считает, что продажа будет идти в тех же объемах еще 24 месяца. Время выполнения заказа на поставки распределяется следующим образом:
Время поставок, месяцы
Вероятность
1
0,44
2
0,33
3
0,16
4
0,07
Итого:
1,00
Даша Василькова каждый раз заказывает 21 автомобилей (3 трейлера по 7 автомобилей в каждом) и делает новый заказ, когда запас в магазине снижается до 12 автомобилей. Новый заказ можно сделать только после выполнения предыдущего. Проимитируйте эту стратегию в течение 24 месяцев. Используйте для имитации случайные числа с начала второй строки таблицы случайных чисел. Считайте, что: а) начальный запас составляет 28 автомобилей;
затраты на хранение одной автомашины составляют в месяц 600 000 руб.;
одна упущенная продажа приносит убыток в среднем 4 350 000 руб.;
один заказ обходится в 570 000 руб.
Сколько заказов придется сделать за два года?
С какими издержками связана данная стратегия (в тыс. руб.)?
Задача 11
Фирма «Веста» — производитель промышленных моечных машин. Одной из комплектующих деталей в производственном процессе является стальной лист размером 8 х 10 дм. Сталь поставляется на контрактной основе компанией «Урал-сталь», причем еженедельный объем поставок может составлять 8000 или 11 000 дм2: 45% шансов на то, что объем поставок составит 8000 дм2, и 55% шансов на то, что 11 000. Затраты стали у «Весты» изменяются во времени. Распределение величины потребности в стали указано в следующей таблице.
Недельный спрос, дм2
Вероятность
6000
0,05
7000
0,15
8000
'0,20
9000
0,30
10 000
0,20
11 000
0,10
Фирма «Веста» может хранить на складе не более 25 000 дм2 стали единовременно.
Проимитируйте заказы на сталь и ее использование в течение 20 недель. Начните первую неделю с нулевого запаса на складе. Если запас на конец недели окажется отрицательным, то восполните необходимую разницу из следующего заказа. Используйте для имитации случайные числа из третьей строки таблицы случайных чисел.
Требуются ли фирме «Веста» дополнительные складские помещения?
Какое количество стали (в тыс. дм2) будет на складе в конце 20-й недели?
СИТУАЦИИ
Ситуация 1. Деятельность фирмы, занимающейся вывозом радиоактивных отходов
Компания «БАЙЛС — удаление отходов» со штаб-квартирой в Дюссельдорфе, Германия, распоряжается семью специально оборудованными трейлерами для коммерческой транспортировки на большие расстояния радиоактивных отходов. Каждый грузовик совершает в среднем одну поездку в неделю, собирая радиоактивные отходы у химических компаний и других производителей в Центральной Европе. Эти грузы аккуратно доставляются в правительственное хранилище, расположенное недалеко от Дрездена, который до воссоединения был индустриальным центром Восточной Европы. В настоящее время сбор отходов происходит в восьми странах: Италия, Германия, Австрия, Франция, Бельгия, Нидерланды, Дания и Польша.
Компания имеет офис в столице каждой страны, которую она обслуживает. Персонал офиса включает не только менеджера и секретаря, но и адвоката, по совместительству оказывающего содействие в разрешении политических, обшекультурных, пограничных и юридических конфликтов, возникающих в индустрии удаления ядерных отходов.
Сибби Байлс, хозяйка компании, намерена исключить Италию из сферы своего бизнеса. В прошлом году туда было сделано только 25 рейсов за отходами. Хотя текстильное производство в Северной Италии является хорошим полем
деятельности для фирмы Байлс, решение о целесообразности сохранить офис и вести деловые операции в этой стране следует принимать с учетом объема работы и получаемого дохода.
Чтобы проанализировать рынок Италии, Байлс собрала данные об объеме перевозок и доходов за прошедший год. Каждый из 25 грузовиков, загруженных в Италии в прошлом году, собрал от 26 до 50 баррелей отходов. Доход, получаемый за баррель отходов (изменяется от 50 до 80 DM), зависит от типа радиоактивных материалов и количества вывозимых отходов.
Собранное количество отходов, баррель
Число поездок за год, в которых было собрано такое количество отходов
Доход за баррель, DM
Число поездок с таким доходом
26—30
3
50
5
31—35
4
60
11
36—40
6
70
7
41—45
9
80
2
46—50
3
-
-
Итого:
25
25
Байлс решила, что имитация 25 грузовых поездок из Италии позволит оценить рентабельность работы в этой стране в следующем году. Она определила, что каждая поездка к дрезденскому хранилищу обходится в 900 DM, включая оплату водителя, топлива и амортизацию грузовика. Прочие накладные расходы составляют 120 DM на поездку. К тому же, содержание офиса в Италии обходится в 41 000 DM в год. Эта сумма включает заработную плату и косвенные накладные расходы, которые несет штаб-квартира в Дюссельдорфе. 1) Позволят ли доходы от поездок в Италию покрыть расходы на содержание офиса в этой стране?
Предложите стратегию проведения имитационного эксперимента.
Проведите имитационный эксперимент для оценки годовых доходов компании Байлс в Италии.
Проведите аналитические расчеты для оценки ожидаемого годового дохода и сравните результаты с результатами имитационного эксперимента.
Переработано из Heizer J., Render В.
Production and Operations Management. Allyen and Bacon, 1993.
Ситуация 2. Деятельность транспортной компании, занимающейся вывозом грузов из порта
После завершения высшего образования в США Самир Каль- дон вернулся в Джеддах, Саудовскую Аравию, где его семья имела собственное дело. Его ближайшей целью было реконструировать и стабилизировать принадлежащую его семье транспортную компанию «Перевозки Кальдона».
Самир столкнулся с проблемой определения числа грузовиков, необходимых для перевозки предполагаемого количества грузов. До сих пор грузовики приобретались по мере необходимости без всестороннего планирования объема перевозок. Следствием такого подхода были проблемы с наймом водителей, обслуживанием грузовиков и неустойками за несвоевременный вывоз грузов из порта и возврат контейнеров.
Штрафы за простой грузов в порту Джеддаха очень велики. Они рассчитываются по следующему правилу:
Десятидневный, «не облагаемый штрафом период» отводится для вывоза груза из порта.
После этого за каждые 24 часа простоя в порту одной тонны груза взимается штраф размером в один реал (приблизительно равен одному американскому доллару). За следующие 24 часа взимается штраф два реала, за следующие 24 часа — три реала и т.д.
По прогнозу Самира объем перевозимого компанией груза составляет в среднем 160 000 т в месяц со стандартным отклонением 30 000 т. Темп поступления груза в течение месяца является постоянным. В соответствии с предыдущим опытом, количество грузов, перевозимых компанией в течение месяца, имеет нормальное распределение.
После длительных исследований Самир пришел к заключению, что автопарк должен быть укомплектован 40-футовыми грузовиками «Мерседес 2624» с грузовыми платформами, каждый из которых может перевозить два 20-футовых контейнера, или один тридцатифутовый контейнер, или один сорокафутовый контейнер. Максимальная грузоподъемность одного грузовика 60 т. Стоимость одного грузовика 240 000 реалов. К тому же такой грузовик должен быть адаптирован для использования в Саудовской Аравии, иметь двойную систему охлаждения, радиатор повышенного объема и специаль-
ные высокотемпературные шины. Практика показывает, что такой грузовик может непрерывно работать 96% времени.
Приблизительно 25% поступающих грузов упакованы в контейнеры длиной 20, 30 или 40 футов. Остальные 75% груза не упакованы в контейнеры. Двадцатифутовый контейнер вмещает приблизительно 20 т груза, тридцатифутовый контейнер — 45 т и сорокафутовый контейнер — 60 т. Приблизительно 60% контейнеризированных грузов находятся в 40-футовых контейнерах; 20% — в 30-футовых; 20% — в 20-футовых. Использование контейнеров связано со следующими штрафными санкциями:
Пятидневный «не облагаемый штрафом период» отводится для того, чтобы вернуть контейнер в порт.
За каждые 24 часа задержки контейнера сверх этого срока взимается штраф 1000 реалов. За следующие 24 часа — 2000 реалов, следующие — 3000 реалов и т.д. Компания «Перевозки Кальдона» забирает груз в порту и доставляет его либо непосредственно потребителю, либо на склад для последующей транспортировки.
Основываясь на этих данных, Самир пришел к выводу, что каждый грузовик должен брать груз в порту три раза в день.
Финансовый анализ показывает, что прибыль от доставки I т груза составляет в среднем 2,25 реала. Альтернативные издержки капитала, инвестированного семьей Кальдон, составляет 20%.
Разработайте имитационную модель, учитывающую все факторы, влияющие на принятие решения.
Проведите расчеты и определите, сколько грузовиков следует иметь компании. Обоснуйте ваши выводы результатами расчетов. .
Переработано из Render В., Stair R.M., Greenberg I.
Cases and Readings in Management. Boston, Allyn & Bacon, 1988.
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 -3,2-3, 3-2, 4-3, 5-4.
Ответы на задачи
Задача 1
Согласно данным эксперимента выхода из строя одного компрессора в течение трех последовательных лет не наблюдается.
Выхода из строя двух компрессоров в течение трех последовательных лет не наблюдается.
Задача 2
В первый час приедет 7 машин.
В среднем прибывает 6,5 машин в час.
Задача 3
В среднем простаивает 15 : 15=1 баржа в день.
Ежедневно приходит в среднем 41 : 15 = 2,73 баржи в день.
Ежедневно разгружается 40 : 15 = 2,67 баржи в день.
Задача 4
Один пациент посетит максимум два раза рентгеновское отделение.
Один пациент в среднем посетит отделение протезирования 0,1 раза.
Задача 5
Следует заменять сразу четыре пера.
Экономия при использовании лучшей стратегии составит
073 000 - 83 100 = 241 400 тыс. руб.
Задача 6
Прием закончится на 19 мин. позже.
Двум клиентам, пришедшим вовремя, придется ожидать приема.
Задача 7
Четыре раза не хватит водонагревателей.
Объем продаж за 20 недель составит 132 водонагревателя.
Задача 8
Объем упущенных реализаций за 20 недель составит 8 электронагревателей.
Среднее число продаж за неделю равно 7,25.
Задача 9
В течение шести месяцев Маша будет испытывать дефицит бюджета.
На счету у Маши в конце года останется сумма в 100 тыс. руб.
Задача 10
За два года придется сделать семь заказов.
Сумма затрат за два года составит:
7 х 570 + 139 х 600 + 53 х 4350 = 317 940 тыс. руб.
Задача 11
Дополнительные складские помещения в течение 20 недель не требуются.
В конце 20 недели на складе будет 20 000 дм2.
Глава 15
ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОЙОПТИМИЗАЦИИ
ЦЕЛИ
Нередко приходится рассматривать задачи, в которых неизвестные величины могут принимать только целочисленные значения. Например, задачи, связанные с определением необходимого числа рабочих мест или задачи нахождения оптимального числа дорогостоящих станков. При решении таких задач с целочисленными переменными методы линейного (выпуклого) программирования неприменимы.
Другая сфера применения целочисленных моделей — выбор вариантов. В соответствующих задачах все или некоторые переменные могут принимать только значения 0 или 1. Такие переменные носят названия булевы переменные.
Наиболее известные методы решения целочисленных задач — метод отсечений и метод ветвей и границ. Они разработаны в начале 1960-х гг. и затем неоднократно усовершенствовались и модифицировались. Решения примеров и задач, приводимых в этой главе, получены с помощью метода ветвей и границ и являются точными.
Ознакомившись с материалами главы, Вы будете уметь использовать в экономическом анализе следующие понятия:
неделимость;
целочисленная задача;
целочисленная переменная;
булева переменная;
взаимоисключение;'
взаимообусловленность.
МОДЕЛИ
Дискретные (целочисленные) задачи математического программирования отражают дискретную природу моделируемого объекта. Существуют задачи линейного программирования, которые формально к целочисленным не относятся (требование целочисленности переменных в них в явном виде не накладывается), но которые при целочисленных исходных данных всегда обладают целочисленным планом. Этим свойством обладает транспортная задача и различные ее варианты (задача о назначениях).
Первоначальным стимулом к изучению целочисленных и дискретных задач послужила необходимость рассмотрения задач линейного программирования, в которых переменные величины модели являлись физически неделимыми величинами, например, количество единиц продукции. Для характеристики этого класса моделей используется термин задачи с неделимостями.
Свое дальнейшее развитие теория дискретного программирования получила с появлением экстремальных комбинаторных задач, для решения которых приходилось вводить булевы переменные, носящие логический характер и принимающие значения ноль или единица.
К целочисленным (точнее, частично целочисленным) задачам линейного программирования удается свести ряд задач, в которых явное требование целочисленности отсутствует, но зато имеются некоторые особенности, выводящие их из рамок линейного программирования. Эти особенности могут относиться к:
целевой функции;
области допустимых решений.
Итак, можно выделить следующие основные классы задач дискретного программирования:
транспортная задача и ее варианты;
задачи с неделимостями;
экстремальные комбинаторные задачи;
задачи с неоднородной разрывной целевой функцией;
задачи на неклассических областях.
Целочисленная задача линейного программирования(задача с неделимостями)
К данному классу принадлежат задачи распределения капиталовложений и задачи планирования производства. Целочисленная задача линейного программирования имеет вид:
С|Х| + с2х2 + ... + спхп -> max;(1)
при условиях:
«п*1 +°12^2 + - + «\„хп ^ bt;
'О2|Х| + «22^2 ++ а1пхп ~ ^2’
(2)
ат\х\ + ат1Х1 ++ апшхп - Ьт;
X] > О, х2 > 0,х„ > 0;(3)
Ху — целые числа, j е J,(4)
где J — некоторое подмножество множества индексов N = {I, ..., и}.
Если J = ?V(T.e. требование целочисленности наложено на все переменные), то задачу называют полностью целочисленной; если же J * N, она называется частично целочисленной.
Модель (1)—(4) естественно интерпретировать, например, в следующих терминах. Обозначим:
= 1, ..., т — производственные факторы;
j = I, ..., п — виды конечной продукции;
о,у — количество факторов /, необходимое для производства единицы продукта у;
— наличные ресурсы фактора /";
с,- — прибыль, получаемая от единицы продукта у.
Пусть продукты j, j g J, являются неделимыми, т.е. физический смысл имеют лишь их целые неотрицательные количества. Необходимо так составить производственную программу, чтобы обеспечить максимум суммарной прибыли и не выйти за пределы имеющихся ресурсов. Обозначая через Xj искомые объемы выпуска продукции, мы сводим эту задачу к модели (1)—(4).
Задача с булевыми переменными.Логическая взаимосвязь
Взаимоисключение
Запись Aj v Ак обозначает, что в план может быть включен либо проект А^ либо проект Ак. Вместе они включены быть не могут.
С помощью этой записи выражается отношение взаимоисключения между проектами, направленными на решение одной задачи.
Пусть Ху = I, если проект Aj реализуется, и Ху = 0 в противном случае. В этих обозначениях взаимозаключение Ак v Ат выражается неравенством хк + хт < 1.
Взаимообусловленность
Запись Ак -> Aj — «проект Ак влечет за собой проект А у» означает, что проект Ак может быть включен в план только в том случае, если в план включен и проект Aj. С помощью этой записи выражается отношение между обусловливающими друг друга проектами, например, когда проект Ак является тиражированием проекта Aj на другом объекте или когда Ак базируется на результатах реализации проекта Aj.
В принятых обозначениях взаимообусловленность Ак -> Aj выражается неравенством хк < Ху.
Экстремальные комбинаторные задачи
Задачи данного класса, называемые также задачами выбора, состоят в отыскании среди конечного множества альтернатив одной, которой отвечает экстремальное значение принятой целевой функции.
Задача о коммивояжере
Данная задача представляет собой классический пример задачи выбора. Коммивояжер должен выехать из определенного города и вернуться в него, побывав в каждом городе лишь один раз и при этом проехав минимальное расстояние.
Пусть Ху = 1, если коммивояжер переезжает из города / в город у, и Ху = 0, в противном случае; Су — расстояние между городами /" и у (чтобы избежать бессмысленных значений хи = 1,
= ^^сУхи min;
/ = 1 У = 1
У хн = 1,/ = 1, ..., и;
У4 = 1, у = 1,..., п.
предполагается, что си равны достаточно большому числу). В этих обозначениях модель имеет вид:
К приведенным ограничениям необходимо добавить условия на недопустимость подциклов, т.е. повторного посещения городов (за исключением исходного). Это ограничения вида:
Zj - Zj + пху < п - 1,/ = 2, ..., п, j = 1, ..., п Ц * У),
где на переменные г„ Zj не наложено никаких ограничений.
Задача календарного планирования
Имеется п станков (машин), на которых требуется обработать т деталей. Заданы маршруты (в общем случае различные) и продолжительности операций обработки деталей на каждом станке или группе станков. Предполагается, что одновременно на станке может обрабатываться не более одной детали. Требуется определить оптимальную последовательность обработки. В качестве критерия оптимальности могут выступать продолжительность обработки всех деталей, суммарные затраты на обработку, общее время простоя станков и др. Существует огромное число постановок данной задачи, учитывающих конкретные условия производства.
Задача о ранце
Имеется п предметов. Предмет j (у = 1,..., п) имеет вес Wj и обладает полезностью Cj. Пусть b — общий максимально допустимый вес предметов, которые можно положить в ранец. Требуется выбрать предметы таким образом, чтобы их общий вес не превышал максимально допустимый, и при этом суммарная полезность (ценность) содержимого ранца была максимальной. Пусть Xj = 1, если предмет положен в ранец, и Xj = 0 в противном случае. Математическая формулировка задачи имеет вид:
п
F(x) = ^ с7 Xj -> max;
У = |
п ^WjXj < b; У = 1
Xj g {0, 1}, j = 1, ..., n.
К классу экстремальных комбинаторных задач принадлежит также линейный и нелинейный варианты задач о назначении (линейный вариант такой задачи рассмотрен в приложении) к главе 5 настоящего учебника.
Большинство целочисленных и комбинаторных типов задач, таких как задача с неделимостями, задача коммивояжера, задача календарного планирования принадлежат к разряду так называемых трудно решаемых. Это означает, что вычислительная сложность алгоритма их точного решения, т.е. зависимость числа элементарных операций (операций сложения или сравнения), необходимых для получения точного решения, от размерности
задачи и, является экспоненциальной (порядка 2"), т.е. сравнимой с трудоемкостью полного перебора вариантов. В качестве и, например, для задачи с неделимостями служит число целочисленных переменных и число ограничений, для задачи коммивояжера — число городов или узлов графа маршрутов, для задачи календарного планирования — число деталей и число станков. Такие задачи называют еще ^-трудными или ^-полными. Получение их точного решения не может быть гарантировано, хотя для некоторых задач данного типа существуют эффективные методы, позволяющие получить точное решение даже при больших размерностях. Примером таких задач служит задача о ранце с двоичными переменными.
Задачи с вычислительной сложностью, определяемой полиномиальной зависимостью от и, называются «эффективно решаемыми задачами». К таким задачам относятся задачи транспортного типа и линейные задачи о назначении.
Для решения целочисленных задач используются:
симплекс-метод (для транспортных задач, задач о назначении);
методы отсечения (например, метод Гомори);
метод «ветвей и границ» (в общем случае получение точного решения не гарантируется);
эвристические методы.
Последняя группа методов не обеспечивает получение точного решения и может использоваться в случаях, когда применение предыдущих методов невозможно или не приводит к успеху. К тому же, эти методы можно использовать для решения задач любой сложности.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Оптилтизаиия капиталовложений
Имеется 10 работ, каждая из которых характеризуется тремя технико-экономическими показателями:
«У — объем работы;
Ь,— размер необходимых капиталовложений;
Су — ожидаемый годовой экономический эффект.
Общий объем работ не должен превышать 20. Общий объем капиталовложений не должен превышать 20. Требуется определить, какие из 10 работ следует выполнить, чтобы максимизировать ожидаемый годовой экономический эффект, учитывая следующие условия взаимообусловленности и взаимоисключения.
Показатели
Работы
А,
Аз
Аз
^4
As
Аб
А?
Ав
Ад
Аю
а.
3
3
3
4
4
2
4
3
6
5
ь,
4
3
2
4
6
4
3
5
3
4
с.
3
7
5
6
8
4
7
4
7
6
a) Ax -> A3 v A46) A3
4
^10 v ^2
A3 v A8 v A<x —^ A6A3 v A8 v A<x —^ A6Решение
A3 v A8 v A<x —^ A6
A3 v A8 v A<x —^ A6
Помимо целевой функции и двух ограничений по общему объему работ и капиталовложений данную задачу характеризует следующая система неравенств.
л, < х7; х3 < хх; х7 < х|0; х9 < х6;
хИ) + х2 = 1; х5 + х8 = 1; х7 + х4 = I; х8 + х9 = 1.
В результате расчетов получаем оптимальное решение
х* = (0, 1, 0, 1, I, I, 0, 0, 1, 0).
Пример 2. Оптимизация производственной программы
Автомобилестроительный завод выпускает 3 модели автомобилей, изготовление которых производится последовательно в трех цехах. Мощности цехов составляют 300, 250 и 200 чел. х дней в декаду. В первом цехе для сборки одного автомобиля первой модели требуется 6 чел. хдней, второй модели — 4, третей модели — 2 чел. хдня в декаду. Во втором цехе эти трудоемкости равны 3, 4 и 5 чел. хдней, соответственно, а в третьем цехе — по 3 чел. хдня на каждую модель. Прибыль, получаемая заводом от продажи одного автомобиля каждой модели, составляет соответственно 15, 13 и 10 тыс. руб.
Известно, что все выпущенные автомобили будут проданы. Каким должен быть их оптимальный выпуск?
Решение
Пусть х, — количество выпускаемых автомобилей модели / в течение декады О = I, ..., п). В принятых обозначениях модель имеет вид:
15х, + 13х2 + 10х3 -> max;
бХ] + 4х2 + 2х3 < 300;
Зх, + 4х2 + 5х3 < 250;
3(Х| + х2 + х3) < 200;
х,, х2, х3 — целые числа.
Дальше задача решается по стандартной процедуре, как это было описано в предыдущих главах.
Пример 3. Двумерная задача раскроя
Из минимального количества листов стекла размера 8 х б м2 требуется вырезать 10 оконных стекол размера 4x4 м2, 20 оконных стекол размера 4 х 5 м2 и 30 оконных стекол размера 3 х 3 м2. Множество вариантов раскроя показано в следующей таблице.
4x4
4x5
3x3
2
-
-
Xi
1
1
-
х2
1
-
2
х3
-
2
-
х4
-
-
4
Х5
-
1
2
Хе
Постройте модель для определения плана раскроя, требующего минимального количества материала.
Решение
Пусть х,— число экземпляров раскроя по варианту L Тогда модель имеет вид:
п
F(x) = ^х, -> min;
i = i
2x| + x2 + x3 > 10;
x2 + 2x4 + x6 > 20;
2x3 + 4x5 + 2x6 > 30;
■ X|, ...,x6 — целые числа.
Дальше задача решается по стандартной процедуре, как это было описано в предыдущих главах.
Пример 4. Задача о ранце
Некоторая торговая компания имеет свои универсамы в городах: Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Екатеринбург, Самара и Казань. В результате ошибок менеджмента экономическое положение компании стало ухудшаться, ей пришлось взять кредит в размере 13 млн руб. и, в конечном счете, чтобы вовремя его погасить, компании пришлось срочно продать некоторые свои универсамы. Средства, которые компания могла бы получить от продажи универсамов в городах: Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Екатеринбурге, Самаре или Казани составляют, соответственно, 5,2; 4,9; 4,5; 3,6; 3,4; 3,2 и 3,1 млн руб. Однако возникает проблема: продажа универсамов сопряжена с необходимостью увольнения персонала. Его численность составляет, соответственно, 200, 190, 180, 170, 150, 130 и 110 человек. По требованию объединенного профсоюза работников торговли компания должна минимизировать численность увольняемого персонала. Каким должно быть оптимальное решение?
Решение
Перенумеруем города в соответствии с порядком их перечисления, и пусть х, = 1, если универсам, расположенный в городе, продается, и xz = 0 в противном случае. Тогда оптимизационная модель имеет вид:
200х, + 190х2 + 180х3 + 170х4 + 150х5 + 130х6 + 110х7 —> min; 5,2Х| + 4,9х2 + 4,5х3 + 3,6х4 + 3,4х5 + 3,2х6 + 3,1х7> 13;
х,. е {0, !},/=!, ..., 7.
Дальше задача решается по стандартной процедуре, как это было описано в предыдущих главах.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
В задаче оптимального выбора вариантов проектов развития предприятия сформулировано дополнительное условие: реализация первого варианта возможна только в случае реализации хотя бы одного из двух вариантов: второго или
третьего. Пусть х,- = 1, если вариант i реализуется и х,- = 0 в противном случае. Тогда дополнительное условие может быть формализовано в виде:
Х| < х2, X] < х3, х2 + х3 < 1;
х2 + х3 - Х| < 0, х2 + х3 < 1;
Х| - х2 - х3 > 0;
х2 + х3 - X, > 0;
X, + х2 + х3 < I.
Вопрос 2
В задаче оптимального выбора проектов развития предприятия сформулировано дополнительное условие: реализация первого проекта возможна в случае реализации хотя бы одного из двух проектов — второго или третьего. Пусть х,- = 1, если вариант / реализуется, и х, = 0 в противном случае. Тогда дополнительное условие может быть формализовано в виде:
х, > х2 + х3, х2 + х3 < 1;
Х| > х2 + х3, х2 + х3 > 1;
х2 + х3 - X] > 0, х2 + х3 < 1;
х2 + х3 - X] > 0, х2 + х3 > 1;
X] = I, х2 + х3 > 1.
Вопрос 3
Задача какого типа из указанных ниже не обязательно содержит хотя бы одну целочисленную переменную:
в задаче с неоднородной разрывной целевой функцией;
в комбинаторной задаче;
в задаче с неделимостями;
в производственно-транспортной задаче.
Вопрос 4
Задача целочисленного линейного программирования
X] + х2 —> max;'
4х, + 2х2 < 20;
Х| < 8, х2 < 3, х, > 0, х2 > 0, хи х2 — целые числа,
заменой переменных сведена к задаче линейного программирования с булевыми переменными. В новой задаче минимальное число переменных равно:
О 2;
3;
5;
6;
7.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Руководство завода предполагает провести комплекс организационно-технических мероприятий с целью модернизации производства. Мероприятия предполагают следующие затраты производственных площадей, трудовых и финансовых ресурсов.
Мероприятие
Трудовые ресурсы, чел. х день
Финансовые ресурсы, млн руб.
Производственные площади, м2
Экономический эффект, млн руб.
Закупка станков с ЧПУ
350
400
130
13 000
Текущий ремонт
250
90
-
3000
Монтаж транспортного конвейера
100
60
300
8000
Установка рельсового крана
200
300
150
12 000
Ввод системы контроля качества
130
-
150
2500
Разработка АСУП
800
500
100
15 000
На реализацию всех мероприятий завод может выделить трудовых ресурсов 1300 чел. х дней, финансовых — 10 млрд руб., производственных площадей — 700 м2.
Какие мероприятия следует провести, располагая этими ресурсами, чтобы общий экономический эффект был максимальным?’
Каков максимальный экономический эффект от проведения мероприятий (в млн руб.)?
Какое количество мероприятий следует провести?
Задача 2
В текущем году заводу необходимо:
закупить два универсальных станка с ЧПУ обшей стоимостью 200 млн руб. Для этого требуются трудовые ресурсы в объеме 250 чел. х дней и производственные площади 100 м2;
смонтировать транспортный конвейер стоимостью 100 млн руб. Необходимы трудовые ресурсы 190 чел. х дней и производственные площади 200 м2.
Для проведения этих мероприятий завод располагает финансовыми ресурсами — 250 млн руб., трудовыми — 200 чел. х дней и производственными площадями — 200 м2. Недостаток средств и ресурсов можно компенсировать, проведя некоторые из следующих мероприятий:
внедрить новые резцы для обработки металла (экономия трудозатрат — 130 чел. х дней, затраты — 50 млн руб.);
провести профилактический ремонт станочного парка (трудозатраты — 10 чел. хдней, прибыль — 20 млн руб.);
внедрить систему контроля качества продукции (экономия трудозатрат — 190 чел. хдней, затраты производственных площадей — 50 м2, прибыль — 5 млн руб.);
реализовать устаревшее оборудование (трудозатраты — 60 чел. хдней, высвобождение производственных площадей — 200 м2, прибыль — 300 млн руб.);
провести инвентаризацию запасов материальных ресурсов (трудозатраты — 20 чел. хдней, высвобождение производственных площадей — 150 м2).
Какое минимальное количество мероприятий следует провести, чтобы закупить станки с ЧПУ и смонтировать транспортный конвейер?
Какую максимальную прибыль можно получить (в млн РУб.)?'
Задача 3
В Южно-Уральском регионе работают четыре химических завода. Им предложено принять участие в конкурсе на размещение государственного заказа по производству изделий пяти наименований в объемах.
Изделие
1
2
3
4
5
Объем, шт.
350
250
400
150
150
Каждый завод представил несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и соответствующие финансовые условия контракта.
Изделие
Варианты
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
100
200
200
50
80
-
-
100
100
50
2
200
100
150
-
-
200
250
100
40
60
3
300
250
250
120
100
100
50
50
60
100
4
100
50
100
100
50
-
-
-
50
-
5
50
100
80
-
-
100
100
80
150
100
Объем финансирования, млрд руб.
12
16
14
7
9
16
15
17
5
8
Каковы минимальные затраты на выполнение заказа?
Следует ли реализовать вариант 2 завода 1 (да — 1, нет — 2)?
Задача 4
Нефтеперерабатывающее предприятие использует в производстве нефть трех сортов. Резервные запасы нефти каждого сорта должны быть не меньше 20, 40 и 60 тыс. т, соответственно. Для хранения нефти могут быть использованы 4 резервуара емкостью 25, 30, 35, 40 тыс. т. Затраты на хранение 1 т нефти сорта 2 на 10% выше, чем сорта 1, а сорта 3 на 20% выше, чем сорта 1. Смешение нефти разных сортов при хранении не допускается.
Сколько резервуаров следует использовать?
Укажите сорт нефти, который следует хранить в резервуаре емкостью 30 тыс. т?
Задача 5
В «Объединение кабельной промышленности» входит три завода. Номенклатура выпускаемых изделий включает три позиции: 1 — кабель силовой; 2 — провод для осветительных установок; 3 — провод обмоточный. На период планирования в разрезе трех лет разработаны три варианта развития завода 1, два варианта развития завода 2 и один — завода 3.
Варианты
Производство кабельных изделий, годы
Затраты за три года, млн руб.
Кабель
Провод силовой
Провод обмоточный
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Завод 1
1
6,9
8,0
10,0
37
44
53
2,8
3,0
4,0
1557
2
7,0
7,0
8,6
25
-
-
3,0
18,0
20,2
1399
3
7,0
7,8
8,7
30
-
-
6,0
18,0
20,0
1034
Завод 2
4
19,2
23,0
28,0
-
-
-
12,8
15,0
18,0
2822
5
15,8
18,0
22,2
-
-
-
16,0
18,5
20,8
3044
Завод 3
6
_
-
-
-
864
950
-
-
-
364
Потребность, тыс. м
15
17
25
20
300
450
10
15
10
Требуется определить план выпуска продукции на заводах объединения, обеспечивающий удовлетворение заданной потребности в кабельных изделиях с минимальными затратами.
Каковы минимальные затраты?
Следует ли использовать третий вариант для первого завода?
Задача 6
Согласно планам развития отрасли в ближайшие два года добыча угля К2 должна возрасти на 180 тыс. т и 234 тыс. т соответственно, а угля СС на 150 тыс. т и 195 тыс. т. Для обеспечения роста добычи могут быть введены в действие три шахты. Для каждой шахты разработаны два варианта добычи угля. Для первого года с момента ввода шахты данные по объемам добычи приводятся в таблице.
Уголь
Шахта 1
Шахта 2
Шахта 3
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 1
Вариант 2
К2, тыс. т
80
120
30
50
60
40
СС, тыс. т
130
70
90
40
90
60
Затраты, млн руб.
100
120
50
40
70
50
Во втором году с момента ввода: на шахте 1 добыча угля К2 и СС увеличивается по сравнению с первым годом для каждого варианта на 10% при росте затрат на 10%; на шахте 2 по первому варианту добыча К2 должна возрасти на 10%,
a CC — уменьшиться на 10% при неизменных затратах, по второму варианту добыча К2 должна уменьшиться на 10%, а СС — увеличиться на 10% при неизменных затратах; на шахте 3 по обоим вариантам объем добычи и затрат должен остаться прежним. Любая шахта может быть введена как в первый, так и во второй год планового периода. Введенные мощности продолжают использоваться в последующие периоды времени. Требуется составить план ввода мощностей по добыче угля, обеспечивающий выполнение плановых заданий с минимальными затратами.
Каковы минимальные затраты?
Следует ли использовать первый вариант развития второй шахты?
Задача 7
Для реконструкции машиностроительного предприятия было представлено 10 проектов, каждый из которых характеризуется четырьмя агрегированными показателями: затратами труда (нормохч), энергии (тыс. кВтхч), материалов (млн руб.), денежных средств (млн руб.), а также ежегодной прибылью в случае реализации проекта (млн руб.). Соответствующие данные и объем имеющихся ресурсов приведены в таблице.
Показатели
Проекты
Ресурсы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tруд, норме х Ч
50
60
30
40
80
70
50
20
40
50
300
Энергия, тыс. кВт
4
4
2
5
5
2
3
6
6
3
24
Материалы, млн руб.
3
2
4
5
3
2
4
2
2
3
20
Денежные средства, млн руб.
7
5
9
6
4
3
7
2
4
5
30
Прибыль, млн руб.
9
8
8,5
8,8
9
8
9
8,7
8,9
8
При выборе проектов необходимо учесть ряд ограничений технологического характера:
одновременно может быть реализовано не более 7 проектов;
проекты 5 и 8 взаимно исключают друг друга;
проект I может быть реализован лишь при условии реализации проекта 2;
проект 4 может быть реализован лишь при условии реализации хотя бы одного из двух проектов: либо проекта 3, либо проекта 10.
Каков размер максимальной прибыли (в млн руб.)?
Следует ли реализовывать третий проект?
Задача 8
Имеются одинаковые заготовки, которые могут быть раскроены тремя способами, и из которых могут быть получены не менее 10 деталей первого типоразмера, не менее 8 деталей второго типоразмера и не менее 10 деталей третьего типоразмера.
Способы раскроя представлены в следующей матрице:
2 1 3
А = 2 2 1
I 3 0
где а^ — количество деталей типоразмера /, получаемое из одной заготовки путем ее раскроя способом j.
Количество заготовок, раскраиваемых каждым способом, должно быть целым и не превышать 4. Отходы от одной заготовки для каждого из способов раскроя составляют 4, 5 и 5 см, соответственно.
Выполнить раскрой с минимальными суммарными отходами.
Сколько заготовок должно быть раскроено вторым способом?
Каковы минимальные суммарные отходы (в см)?
. ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 -3,2-4, 3-4, 4-4.
Ответы на вопросы задач
Задача 1.
Максимальный экономический эффект от проведения мероприятий — 37 500 млн руб.
Следует провести 4 мероприятия.
Задача 2
Следует провести три дополнительных мероприятия.
Максимальная прибыль составит 225 млн руб. с учетом собственных средств.
Задача 3 •
Минимальные затраты на выполнение заказа равны 27 млн руб.
Вариант 2 завода 1 реализовать не следует.
Задача 4
Следует использовать четыре резервуара.
В резервуаре емкостью 30 тыс. т следует хранить первый сорт нефти.
Задача 5
Минимальные затраты равны 4220 млн руб.
Для первого завода следует использовать вариант 3.
Задача 6
Минимальные затраты равны 432 тыс. руб.
Первый вариант развития второй шахты использовать не следует.
Задача 7
Максимальная прибыль равна 51,1 млн руб.
Следует реализовать третий проект.
Задача 8
Вторым способом должно быть раскроено 2 заготовки.
Минимальные суммарные отходы равны 26 см.
Глава 16
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯРЕШЕНИЙ
. ЦЕЛИ
Нам часто приходится принимать решения. Например, утром перед тем, как выйти из дому, мы задумываемся: «А не взять ди с собой зонт?». Конечно, не хотелось бы носить его с собой в хорошую погоду. Но если день будет дождливым, то зонт будет весьма кстати. Неприятно ходить в мокрой одежде, да еще платить за ее чистку. Ответить на подобный вопрос не сложно, если вам известен прогноз погоды. В случае пасмурной погоды, мы, скорее всего, возьмем зонт. А может и не возьмем, предпочитая ходить в намокшей одежде, нежели понапрасну весь день носить с собой зонт. Последствия отсутствия зонта в плохую погоду оцениваются людьми по-разному. Эти оценки влияют на принятие решения.
Сложнее принимать решения в условиях отсутствия достоверной информации о возможных последствиях. Этими вопросами занимается теория риска. Эта теория имеет широкую сферу приложений й экономике. Одно из наиболее важных — выбор инвестиционных проектов.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:
альтернатива;
состояние среды;
таблица решений;
дерево решений;
критерии безразличия;
критерий оптимизма;
критерий пессимизма;
ожидаемая стоимостная оценка альтернативы;
ожидаемая ценность достоверной информации;
принятие решений в условиях неопределенности;
принятие решений в условиях определенности;
принятие решений в условиях риска.
МОДЕЛИ
Теория принятия решений — это аналитический подход к выбору наилучшей альтернативы или последовательности действий. В зависимости от степени определенности возможных исходов или последствий, с которыми сталкивается лицо, принимающее решения (ЛПР) используют один из трех методов теории принятия решений:
в условиях определенности;
в условиях неопределенности;
в условиях риска.
Принятие решений в условиях определенности
В случае определенности известно, какое из возможных состояний среды наступит. Если известно, что наступит состояние к, то в качестве наилучшей — следует выбрать альтернативу Л5, для которой:
ask = max ik.
i
Принятие решений в условиях неопределенности
Если имеет место полная неопределенность в отношении вероятности реализации состояний среды (т.е. не возможно даже приблизительно указать вероятности наступления каждого возможного исхода), то обстоятельства, с которыми мы имеем дело при выборе решения можно представить как вид стратегической игры, в которой одним игроком является ЛПР, а вторым — некая объективная действительность, называемая природой.
Условия такой игры обычно представляются в виде таблицы, в которой строки Л], ... , Ат соответствуют стратегиям ЛПР, а столбцы Nv..., N„ — стратегиям природы. На пересечении строк и столбцов — элемент ау — стоит выигрыш ЛПР, соответствующий данной паре А^ Nj.
N2
N„
А,
Зц
812
3in
а2
1821
322
82n
Ат
3т1
3m2
Эта
При выборе наилучшего решения из множества решений {Л,, ..., Л,,,} обычно используют следующие критерии.
Максимаксный критерий или критерий крайнего оптимизма — определяет альтернативу, которая максимизирует наилучший результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию с номером /0, которой соответствует max max а^.
Максиминный критерий Вальда или критерий крайнего пессимизма — определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию с номером /0, которой соответствует max min а, .
' j
Критерий минимаксного риска Сэвиджа — выбирается стратегия, при которой величина риска г^ в наихудших условиях минимальна, т.е. равна max min г,у, где риск г у = max а у - а у.' J
Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица — рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия:
Н = max min а, + (1 - A) max а >' ( Vj J)
Значение коэффициента пессимизма к выбирается между нулем и единицей. При к = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда.
Критерий безразличия. В условиях полной неопределенности предполагается что все возможные состояния среды (природы) равновероятны. Этот критерий выявляет альтернативу с максимальным средним результатом, " 1■
т.е. max У —
Принятие решений в условиях риска
Говорят, что решение принимается в условиях риска, если определена таблица решений и для каждого состояния среды известна вероятность его наступления. Один из наиболее распространенных критериев выбора альтернативы в условиях риска — максимизация ожидаемой стоимостной оценки альтернативы ЕМУ. Для альтернативы А,ожидаемая стоимостная оценка ЕМУ(А) рассчитывается по формуле:
ЕМУ(А^ = ЕМУ, = £ ауР?
где ау —выигрыш ЛПР при выборе альтернативы / в условиях реализации состояния среды j, J = 1, ..., п;
Pj —вероятность наступления состояния среды j.
Ожидаемая ценность достоверной информации
Под ожидаемой ценностью достоверной информации (EVP1) понимается разность между выигрышем в условиях определенности и выигрышем в условиях риска.
Для расчета ожидаемой ценности достоверной информации может быть использована следующая формула:
EVPI = £ ^таха^. - max £ а^Ру.
Оценка риска
Наряду с критерием максимизации ожидаемой стоимостной оценки используется критерий минимизации риска. Для альтернативы А, риск Я(Д,) может быть определен по формуле:
R^= Шау-Ему^ Pi-
Таким образом, в качестве оценки риска может рассматриваться величина дисперсии эффекта, получаемого в результате выбора альтернативы. По критерию минимизации риска выбирается альтернатива, имеющая минимальную величину дисперсии. Таким образом, задача выбора наилучшей альтернативы может рассматриваться как двухкритериальная.
Дерево решений
Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих единственное множество альтернативных решений и единственное множество состояний среды. Однако многие задачи предполагают необходимость принятия нескольких последовательных решений, для каждого из которых определено множество состояний среды. Если имеется два или более последовательных решения, то более предпочтительным является подход, основанный на построении дерева решений. Дерево решений — это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.
Анализ задач с помощью дерева решений включает пять этапов:
формулировка задачи;
построение или изображение дерева решений;
оценка вероятностей состояний среды;
установление выигрышей для каждой возможной Комбинации альтернатив и состояний среды;
решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной ценности (ЕМУ) для каждой вершины состояния среды.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Принятие решений в условиях определенности
Компания «Буренка» изучает возможность производства и сбыта навесов для хранения кормов. Этот проект может быть реализован на большой или малой производственной базе. Рынок для реализации продукта навесов может быть благоприятным или неблагоприятным.
Василий Бычков — менеджер компании, — учитывает возможность, что компании вообще не выгодно производить эти навесы. При благоприятной рыночной ситуации большое производство позволило бы компании получить чистую прибыль 200 тыс. руб. Если рынок окажется неблагоприятным, то при большом производстве она понесет убытки в размере 180 тыс. руб. Малое производство дает 100 тыс. руб. прибыли при благоприятной рыночной ситуации и 20 тыс. руб. убытков — при неблагоприятной.
Нужно помочь Бычкову решить, какое из трех возможных решений следует принять: создать большую или малую производственную базу или не заниматься производством навесов.
Решение
Применим перечисленные выше критерии к решению этой задачи. Составим таблицу решений (к = 0,75).
Альтернативы
Состояние среды
Maximax
Maximin
Критерии
Благоприятный рынок
Неблагоприятный рынок
Сэвиджа
Гурвица
Безразличия
Создать большое производство
200
-180
200
-180
180
-85
10
Создать малое производство
100
-20
100
-20
100
10
40
Не создавать нового производства
0
0
0
0
200
50
0
По максимаксному критерию следует создать большое производство.
По максиминному критерию и критерию Гурвица (при к = 0,75) не следует открывать нового производства.
По критерию минимума максимального риска (критерий Сэвиджа) и критерию безразличия следует создать малое производство.
Пример 2. Принятие решений в условиях неопределенности
Добавим к условиям примера 1 предположение, что вероятности наступлений состояний среды принимают значения соответственно 0,7 и 0,3. Необходимо определить альтернативу, для которой значение ожидаемой стоимостной оценки максимально при этих вероятностях.
Решение
Получаем следующие оценки ЕМУ.
ЕМУ(АХ) = (0,7)(200) + (0,3)(-180) = 86.
ЕМУ^ = (0,7)(100) + (О,3)(-2О) = 64.
ЕМУИз) = (0,7)(0) + (0,3)(0) = 0.
При таких вероятностях наступлений состояний среды наилучшей является альтернатива Л^
Пример 3. Принятие решений в условиях риска
Предположим, что в условиях примера 2 менеджер компании «Буренка» связался с фирмой, занимающейся исследованием рынка. Фирма предложила ему помочь принять решение о целесообразности создания производства навесов для хранения кормов. Если согласиться с предложением фирмы, то после исследования рынка принятие решения о создании производства для компании «Буренка» будет приниматься в условиях определенности. Полученная информация может предостеречь Бычкова от очень дорогостоящей ошибки. Фирма, занимающаяся исследованием рынка, хотела бы получить за эту информацию 65 тыс. руб.
Что бы Вы порекомендовали Бычкову? Следует ли заказать проведение исследования рынка? Даже если результаты этого исследования являются совершенно точными, оправдана ли плата 65 тыс. руб.?
Решение
Для определения EVP1 необходимо рассчитать математическое ожидание в условиях определенности. Оно равно ожидаемому, или среднему доходу в случае, когда для принятия решения имеется достоверная информация.
Лучший исход для состояния среды «благоприятный рынок» — «создать большое производство» с выигрышем 200 тыс. руб. Лучший исход для состояния среды «неблагоприятный рынок» — «не открывать новое производство» с выигрышем 0.
Ожидаемая ценность в условиях определенности = 200 х 0,7 + + 0x0,3 = 140.
Итак, если бы мы располагали достоверной информацией, то ожидали бы получить в среднем 140 тыс. руб.
Значение ожидаемой стоимостной оценки, полученное для лучшей альтернативы в примере 2, равно 86 тыс. руб.
EVP1 = 140 - 86 = 54 тыс. руб. Итак, в среднем, использование достоверной информации может дать дополнительный эффект в 54 тыс. руб. В этих условиях платить за достоверную информацию 65 тыс. руб. не имеет смысла.
Пример 4
Предположим, что в условиях примера 1 Бычкову последовательно надо принять два решения, причем второе решение зависит от исхода первого. Прежде чем создать новое производство, Бычков рассматривает возможность заказать исследование рынка и заплатить за него 10 тыс. руб. Результаты этого исследования могли бы помочь решить вопрос о том, следует ли создавать большое или малое производство или не создавать нового производства. Бычков понимает, что такое обследование рынка не может дать достоверную информацию, но тем не менее может оказаться полезным.
На рис. 16.1 (с. 330) показаны возможные состояния среды и соответствующие им решения, а также вероятности различных результатов обследования и вероятности наступления различных состояний среды.
Дерево решений Бычкова с рассчитанными ЕЛ/Ипредставле- но на рис. 16.2 (с. 331). Короткими параллельными линиями отсекается та ветвь, которая показывается менее благоприятной по сравнению с другими и может быть отброшена.
Ожидаемая ценность наилучшего решения в случае, если будет заказано обследование рынка, составляет 49,2 тыс. руб. Ожидаемая ценность наилучшего решения без обследования составляет 40 тыс. руб.
Ответы на вопросы примера
Следует заказать обследование рынка. Если результат обследования будет благоприятным, следует создать большое производство. Если результат будет неблагоприятным, следует создать малое производство.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Вопрос 1
В теории принятия решений ситуация, которую не может контролировать лицо, принимающее решение, называется:
деревом решений;
состоянием среды;
решением в условиях неопределенности;
альтернативой;
таблицей решений.
Первая точка принятия решений
Вторая точка принятия решений
/ Малое у производство
V^A пеилси иприи! мыи рыник yxj,^)
Благоприятный рынок (0,78)
—@< Неблагоприятный рынок (0,22)
Благоприятный рынок (0,27)
у
—(JX Неблагоприятный рынок (0,73)
/ Малое
Благоприятный рынок (0,27)
у/ производство
—(§Х Неблагоприятный рынок (0,73)
\ Нет
\ производства
Благоприятный рынок (0,50)
—
—(бд Неблагоприятный рынок (0,50)
/ Малое
Благоприятный рынок (0,50)
Благоприятный рынок (0,78)
-(т)\ Неблагоприятный рынок (0,50)
Выигрыш190
-190
90
-30
-10
190
-190
90
-30
-10
200
-180
100
-20
0
Первая точка принятия решений
Вторая точка принятия решений
Выигрыш
190
Результат обследования106,4
благоприятный (0,45) V
49,2
49,2
Не проводить обследование рынка
Результат обследования неблагоприятный (0,55)
Проводить обследование рынка
/ Малое
63.6 Благоприятный рынок (0,78)
90
V производство
-#—@\iНеблагоприятный рынок (0,22)
-30
\ Нет
\ производства
-10
Большое
//
-87,4 Благоприятный рынок (0,27)
190
производство
"^~ЧЗХ Неблагоприятный рынок (0,73)
-190
/ Малое
2 4 Благоприятный рынок (0,27)
90
-/ производство
@^ Неблагоприятный рынок (0,73)
-30
\ Нет
\ производства
-10
Большое
10.4 Благоприятный рынок (0,50)
200
производство
-#Ч^6дНеблагоприятный рынок (0,50)
-180
/ Мелое
4О,о Благоприятный рынок (0,50)
100
/ производство
(т)^ Неблагоприятный рынок (0,50)
-20
\ Нет
\ производства
0
-190
2,4
40,0
Большое 106 4 Благоприятный рынок (0,78) производство Av
—(2К Неблагоприятный рынок (0,22)
Вопрос 2
Укажите правильное соответствие названий критериев принятия решений в условиях неопределенности:
minmax <-> «критерий оптимизма»;
maxmin <-> «критерий пессимизма»;
minmin <-> «критерий пессимизма»;
maxmin <-> «критерий безразличия»;
maxmax <-> «критерий безразличия».
Вопрос 3
В задаче принятия решений рассматривается одно множество состояний среды и одно множество решений. Если вероятность наступления одного из состояний среды равна единице, то решение принимается в условиях:
1)частичной неопределенности;
неопределенности;
определенности;
безразличия;
риска.
Вопрос 4
Можно сделать одно из следующих приобретений: купить квартиру, земельный участок, речной катер, авторемонтную мастерскую или небольшое кафе. В случае, если обстоятельства сложатся благоприятно, прибыль составит 22 тыс. руб., 12 тыс. руб., 17 тыс. руб., 25 тыс. руб. или 30 тыс. руб., соответственно. В случае неблагоприятного стечения обстоятельств покупка квартиры или земельного участка принесет прибыль 7 тыс. руб. или 9 тыс. руб., соответственно, а покупка катера, авторемонтной мастерской или кафе принесут убытки 5 тыс. руб,, 11 тыс. руб. или 13 тыс. руб., соответственно.
Благоприятное и неблагоприятное стечение обстоятельств равновероятны. В этом случае достоверная информация о состоянии среды оценивается величиной:
15,5 тыс. руб.;
10 тыс. руб.;.■
8 тыс. руб.;
5 тыс. руб.;■
2 тыс. руб.
Вопрос 5
Модель принятия решений в условиях риска относится к классу моделей:
имитационных;
статистических;
алгебраических;
управления запасами;
математического программирования.
Вопрос 6
Пусть в качестве критерия принятия решения в условиях риска используется ожидаемая стоимостная оценка альтернативы ЕМУ. Вероятность того, что фактический выигрыш будет равен значению ЕМУ;
высока (1);
зависит от числа альтернатив;
мала (0);
зависит от числа состояний среды;
ничто из вышеуказанного не является верным.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Лукерия Скальпель — администратор больницы в Почаеве. Она решает, следует ли сделать к больнице большую или маленькую пристройку или не делать пристройки вообще. Если население Почаева будет продолжать расти, то большая пристройка могла бы принести ежегодно прибыль в 150 тыс. руб. Если будет сделана маленькая пристройка, то она может приносить больнице ежегодную прибыль в 60 тыс. руб. при условии, что население будет увеличиваться. Если население Почаева не будет увеличиваться, то сооружение большой пристройки принесет больнице убыток в 85 тыс. руб., маленькой — в 45 тыс. руб. К сожалению, у администратора нет информации о том, как будет изменяться численность населения Почаева. Постройте дерево решений. Определите наилучшую альтернативу, используя критерий безразличия. I) Чему равно значение ЕЛ/Идля наилучшей альтернативы? 2) Пусть была получена дополнительная информация: вероятность роста населения равна 0,6, а вероятность того, что
его численность останется неизменной 0,4- Определите наилучшее решение, используя критерий максимизации ожидаемой стоимостной ценности. Чему равно значение .ЕМУ для наилучшей альтернативы при наличии дополнительной информации?
Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?
Задача 2
Тамара Пончик предполагает построить ресторан недалеко от университетского общежития. Один из возможных вариантов — предусмотреть в нем пивной бар. Другой вариант не связан с продажей пива. В обоих случаях Тамара оценивает свои шансы на успех как 0,6 и на неудачу как 0,4. Предварительные обсуждения показывают, что план, связанный с продажей пива, может принести 325 тыс. руб. Без продажи пива можно заработать 250 тыс. руб. Потери в случае открытия ресторана с баром составят 70 тыс. руб., в случае ресторана без бара — 20 тыс. руб. Выберите альтернативу для Тамары Пончик на основе средней стоимостной ценности в качестве критерия.
Следует ли реализовать план, предусматривающий продажу пива?
Чему равно значение ЕЛ/Идля наилучшей альтернативы?
Задача 3
«Фото КОЛОВ» — небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото КОЛОВ» — фиксаж ВС-6. Адам Полутонов — президент «Фото КОЛОВ», продает в течение недели 11 — 13 ящиков ВС-6. От продажи каждого ящика фирма получает 35 тыс. руб. прибыли. ВС-6, как и многие другие фотографические реактивы, имеет малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, Адам должен его уничтожить. Так как каждый ящик обходится фирме в 56 тыс. руб., то Полутонов теряет эти деньги, если ящик не продан к концу недели. Вероятности продать 11,12 или 13 ящиков в течении недели равны 0,45, 0,35 и 0,2 соответственно.
Сколько ящиков производить фирме для продажи еженедельно?
Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
Сколько ящиков следовало бы производить, если бы Адам мог выпускать ВС-6 с добавкой, которая значительно продлила бы срок его годности?
Задача 4
Компания «Молодой Сыр» — небольшой производитель различных продуктов из сыра. Один из дорогостоящих изысканных продуктов с небольшим сроком хранения — сырная паста. Вадим Ароматов, менеджер компании, должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков равны 0,1; 0,3; 0,5; 0,1 соответственно. Затраты на производство одного ящика — 45 тыс. руб. Ароматов продает каждый ящик по цене 95 тыс. руб. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода.
Сколько ящиков следует производить в течение месяца? 2) Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
Задача 5
Дмитрий Мухин, владелец аптеки, не знает, что ему предпринять. Ему хотелось бы открыть в аптеке секцию проката видеокассет. И он не знает какого размер секция — большая или маленькая — будет для него выгодна. Он может получить дополнительную информацию о том, будет рынок видеопроката благоприятным или нет. Эта информация обойдется ему в 3 тыс. руб. Дмитрий считает, что эта информация окажется благоприятной с вероятностью 0,5. Если рынок будет благоприятным, то большая секция проката принесет прибыль 15 тыс. руб., а маленькая — 5 тыс. руб. В случае неблагоприятного рынка Мухин потеряет 20 тыс. руб. в случае, если он откроет большую секцию, и 10 тыс. руб. в случае, если — маленькую. Не имея дополнительной информации, Дмитрий оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,7. Положительный результат обследования гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,9. При отрицательном результате рынок может оказаться благоприятным с вероятностью 0,4.
Следует ли получать дополнительную информацию?
Следует ли открывать большую секцию?
Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения (в тыс. руб.)?
Задача 6
Павел Спицын провел анализ, связанный с открытием магазина велосипедов. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном рынке получит 60 тыс. долл., при неблагоприятном рынке понесет убытки 40 тыс. долл. Маленький магазин принесет ему 30 тыс. долл, прибыли при благоприятном рынке и 10 тыс. долл, убытков — при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка обойдется Спицыну в 5 тыс. долл. Профессор, которому Павел может заказать обследование рынка, считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. В случае, если профессор даст прогноз о том, что рынок будет благоприятным, рынок фактически окажется благоприятным с вероятностью 0,9. Если прогноз покажет, что рынок будет неблагоприятным, то рынок фактически окажется благоприятным с вероятностью 0,12. Помогите Павлу принять правильное решение.
Следует ли заказать проведение обследования рынка?
Следует ли открыть большой магазин?
Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения?
Задача 7
Компания «МРАК» получает переключатели у двух поставщиков. Качество переключателей приведено в следующей таблице.
Процент брака
Вероятность для поставщика А
Вероятность для поставщика В
1
0,7
0,3
2
0,2
0,4
3
0,1
0,3
Так, 1% всех переключателей, поставляемых поставщиком А с вероятностью 0,7 окажутся бракованными. Так как каждый заказ компании составляет 10 тыс. переключателей,
это означает, что с вероятностью 0,7 они получат от поставщика А 100 бракованных переключателей. Бракованный переключатель можно отремонтировать за 0,5 тыс. руб. Так как качество у поставщика В ниже, он уступает партию в 10 тыс. переключателей на 37 тыс. руб. дешевле, чем поставщик А. 1) Какого поставщика следует выбрать компании?
Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения?
Задача 8
Леониду Хлоркину, главному инженеру компании «Белый каучук», надо решить монтировать или нет новую производственную линию, используя последние технологии. Если новая линия будет безотказно работать, компания получит 200 млн руб. прибыли. Если она откажет, то компания может потерять 150 млн руб. По оценкам Хлоркина, существует 60% шансов, что новая производственная линия откажет. Можно создать экспериментальную установку, а затем уже решать монтировать или нет производственную линию. Эксперимент обойдется в 10 млн руб. Леонид считает, что существует 50% шансов, что экспериментальная установка будет работать. Если экспериментальная установка будет работать, то 90% шансов за то, что производственная линия, если ее смонтировать, также будет работать. Если экспериментальная установка не будет работать, т.е. только 20% шансов за то, что производственная линия будет работать. 1) Следует ли строить экспериментальную установку?
Следует ли монтировать производственную линию?
Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения?
СИТУАЦИИ
Ситуация 1. Фирма «Напитки для дома»
(Создание фирмой нового безалкогольногонапитка в условиях конкуренции)
Фирма «Напитки для дома» разрабатывает, производит и продает смеси для безалкогольных коктейлей и приготовляет напитки для домашнего потребления. Елена Федотова, руководитель отдела развития фирмы, сообщила президенту,
Арнольду Малышеву, что эксперименты в отделе развития указывают на возможность создания напитка «PINA-cola» на основе нового метода переработки кокосов. Елена порекомендовала начать программу по производству «PINA-cola». Она оценила в 100 тыс. долл, стоимость исследовательских работ по созданию этого напитка и отметила, что на эту работу потребуется один год. В беседе с Малышевым она оценила вероятность успешного завершения работы величиной 0,9. В то же время, Елена считает, что с вероятностью 0,8 конкурирующая фирма способна за 12 месяцев разработать аналогичный напиток.
Арнольд Малышев — человек основательный, интересующийся возможными объемами продаж нового напитка — немедленно переговорил с Николаем Хомяковым, менеджером по продажам, занимающимся внедрением новых продуктов на рынок. Тот сообщил, что продавать «PINA-cola» можно, но объем продаж зависит от того, как его примут бакалейные и винные магазины. Судя по отчетам о продажах, другие фирмы также работают над созданием напитков из тропических фруктов. Если другая фирма создаст конкурирующий напиток, рынок, разумеется, будет поделен между двумя фирмами. Малышев попросил Хомякова провести оценки будущих продаж и ожидаемой прибыли при различных вариантах рыночной конъюнктуры.
Николай Хомяков представил следующие данные.
Потенциал
Вероятность продаж
Приведенная прибыль, тыс. долл.
Высокий
0,1
800
Средний
0,6
600
Низкий
0,3
500
В данных Хомякова не были учтены:
издержки на разработку;
издержки на новое оборудование;
издержки на внедрение «PINA-cola» на рынок.
Ожидается, что издержки на оборудование составят 100 тыс. долл., так как кокосы требуют специальной обработки. Издержки, связанные с выходом на рынок составят 150 тыс. долл., так как потребуется телевизионная реклама.
Елена Федотова отметила, что кроме альтернатив — ничего не предпринимать и проводить полномасштабную про-
грамму исследований, она может предложить еще два варианта действий.
Неспешно проводить исследования в течение восьми месяцев, чтобы посмотреть, выйдет ли какая-нибудь другая фирма на рынок с аналогичным продуктом, а если нет, то форсировать скорость работ. Замедленная программа исследований на следующие 8 месяцев обойдется в 10 тыс. долл, в месяц, т.е. в 80 тыс. долл. Вероятность успешного завершения этой программы та же, что при полномасштабных исследованиях. Вероятность того, что конкуренты в течение 8 месяцев создадут аналогичный продукт — 0,6. Интенсивные исследования могут быть проведены в течение четырех месяцев (с 9 по 12) и обойдутся еще в 60 тыс. долл. Они будут проводиться только в том случае, если результаты исследований первых 8 месяцев окажутся успешными. Вероятность успеха в целом равна 0,9. Эта программа получила название восьмимесячной.
Шесть месяцев проводить исследования, требующие затрат 10 тыс. долл, в месяц, и предпринять разведку действий конкурентов, чтобы определить, ведутся ли разработки аналогичного продукта. Если кто-то разработает продукт через шесть месяцев, потребуется лишь 30 тыс. долл, для того, чтобы провести его анализ и скопировать продукт. Если конкурирующий продукт не будет создан, то при общих затратах в 120 тыс. долл, он будет разработан фирмой «Напитки для дома» с вероятностью 0,9. Вероятность того, что за 6 месяцев будет разработан конкурирующий продукт, равна 0,5. Эта программа получила название шестимесячной.
Арнольду Малышеву, разумеется, не хотелось бы «выходить» на рынок после представления конкурентом нового продукта. Ему известно, что первый продукт обычно завоевывает большую часть рынка, а потерянных покупателей вернуть очень трудно. Если на рынок выйдет конкурирующая фирма, то можно получить только 50% прибыли, указанной в таблице.
Какой вариант действий из четырех возможных вы порекомендуете, рассматривая критерий максимизации ожидаемой стоимостной оценки альтернатив:
полномасштабные исследования;
восьмимесячная программа замедленных исследований с последующим их ускорением;
шестимесячная программа замедленных исследований и изучение поведения конкурентов;
не выпускать новый продукт.
Обоснуйте вывод, нарисовав дерево решений и проведя соответствующие расчеты.
Ситуация 2. Компания «Cail»
(Выбор оборудования для производстванового продукта)
Компания «Cail» создала оригинальное новое изделие из кожи и сейчас занимается разработкой пятилетнего плана производства и продажи этого продукта. Госпожа Хедрич, президент компании, поручила разработку этого проекта своему ассистенту, Каролине Гарсия. Она должна скоординировать работу директора компании по продажам Барбары Гвирола и управляющего производством Карен Хоуп.
Компания «Cail» — небольшая фирма, которая уже более ЗОлет занимается производством изделий из кожи. Она приобретает выделанные шкуры «tanner» и производит такие аксессуары одежды, как кошельки, ремни и сумочки. Новый продукт представляет собой комбинацию кошелька, портмоне для ключей и бумажника для кредитных карточек. Как заметила госпожа Хедрич, это «прекрасное вместилище для всяких мелочей».
Производственники разработали набор материалов для изготовления универсального портмоне. Они подсчитали, что в течение пятилетнего периода стоимость материалов и накладные расходы составят 1,5 долл, на одно изделие при пятидневной рабочей неделе без сверхурочных.
Удельные затраты на труд и оборудование будут зависеть оттого, какая машина будет использована для производства.
Аналитики свели проблему выбора оптимального решения к выбору между двумя типами специализированного оборудования. Первый тип — полуавтоматическая машина, которая не производит раскрой материала, но может сшивать его, вшивать молнии, ставить заклепки и выпускать два типа дизайна продукта. Стоимость машины 450 тыс. долл. Средние переменные издержки на труд и прочие издержки, связанные с использованием этого оборудования составляют 2,5 долл. Этот тип оборудования имеет производительность 640 штук в день. При этом затраты времени на постройку и ремонт оборудования составляют 12,5% (% общего времени).
Вторая машина является автоматом. Она позволяет кроить и сшивать материал, вшивать молнии, ставить заклепки и позволяет выпускать три типа дизайна продукта. Эта машина стоит 850 тыс. долл. Средние переменные издержки при ее использовании составляют 1,75 долл. Этот тип оборудования имеет более высокую производительность — 800 штук в день. Затраты времени на постройку и ремонт машины ввиду ее сложности более высоки — 25% ('Д времени).
Оценка объема продаж в течение пяти лет приведена ниже.
Объем продаж, тыс. шт.
Вероятность
120
0,15
130
0,25
140
0,40
150
0,15
160
0,05
Анализ продаж не позволил получить точные результаты. Объем продаж на ближайшие пять лет в значительной степени зависит от оценок производственных издержек и производительности. Однако госпожа Гвирола при поддержке госпожи Хедрич определила наиболее вероятную цену нового портмоне в 6,0 долл. Такая цена позволяет новому изделию конкурировать с другими подобными продуктами на рынке. Постепенно новое изделие может вытеснить конкурентов с рынка, так как оно имеет лучшие потребительские свойства. Оценка среднего объема продаж нового портмоне — около 140 тыс. штук в год. Анализ объема продаж этого изделия — сложная задача, так как новый продукт значительно отличается от других, предлагаемых на рынке в настоящее время. Оценки годового объема продаж продукта по цене 6,0 долл, с указанием соответствующих вероятностей, приведены в таблице. Эти оценки и значения вероятностей верны для каждого года пятилетнего периода планирования.
Используя эти оценки продаж и данные о мощностях оборудования, компания должна решить, как поступить в случае, если спрос превысит производительность оборудования. В этом случае можно модифицировать оборудование и увеличить его производительность. Другой путь — использовать сверхурочное время. Оплата сверхурочного времени приведет к увеличению средних издержек на 1,2 долл, для полуавтоматической машины и на 0,9 долл, для автоматической
машины. Модификацию оборудования можно провести в конце нового года. В этом случае использование сверхурочного времени может потребоваться только в первом году.
Затраты на модификацию полуавтоматической машины до производительности, обеспечивающей максимальный объем продаж, составляют 60 тыс. долл. Затраты по модификации автомата составляют 70 тыс. долл. Госпожа Хедрич дала указание использовать в расчетах величину процента на капитал 15% и 50 — недельную продолжительность производственного года.
Вопросы для обсуждения;
Используя дерево принятия решений и, основываясь на критерии максимизации NPV, определите, какую машину следует выбрать компании. Следует ли проводить модификацию оборудования или использовать сверхурочное время?
Изменится ли ваше решение в пункте 1 в случае, если известно, что остаточная стоимость машины 1 в конце пятилетнего периода составляет 90 тыс. долл., а машины 2—170 тыс. долл.?
Постройте платежную матрицу для указанных объемов продаж (предположите, что модификация машин невозможна и может быть использовано только сверхурочное время). Предположите, что вероятности соответствующих объемов продаж неизвестны. Какую машину следует выбрать компании (учитывайте стоимость оборудования, но не рассматривайте остаточную стоимость) по следующим критериям:
maximax;
maximin;
критерий безразличия.
Переработано из J.C. Latona, J. Nathan. Cases and readings in Production and Operations Management. Allyn and Bacon. 1993.
Ситуация 3. Компания «St.Thomas Salvage»
(Поиски и подъем затонувшего судна с кладом)
Часть 1
. Компания занимается спасением затонувших судов в Кариб- ском море. Останки старинного кораблекрушения были обнаружены в неглубоком месте вблизи г. Шарлотт Амали. Местоположение крушения указывает на то, что это был «Йорк-Таун»— британский торговый корабль, затонувший в начале прошлого столетия. Если бы это был действительно «Йорк-Таун», то операция по его подъему сулила бы большие выгоды. На его борту было огромное количество вооружения
и некоторое количество золота. То, что он лежал на дне моря, официально не было известно никому. Руководство компании должно было решить — поднимать или нет его останки.
Основываясь на данных звуковой локации и местоположении кораблекрушения, руководство полагало, что имеется 1 шанс из 4, что останки корабля действительно принадлежат «Йорк-Тауну». Если это действительно «Йорк-Таун», руководство полагало, что с вероятностью 50% кто-то другой уже мог обнаружить останки и забрать золото без официального уведомления об этом, например, враждебные государства или люди, избегающие уплаты налогов.
Операция по подъему должна была стоить 60 тыс. долл. Руководство компании было уверено, что операция по подъему будет успешной (что бы ни было найдено, оно будет поднято на поверхность). Однако рентабельность операции зависит и от правильной идентификации останков корабля, и, если бы это оказался «Йорк-Таун», оттого, успел ли кто-либо еще забрать золото.
Если бы поднятый корабль оказался «Йорк-Тауном» и золото было бы найдено на его борту, руководство предполагало продать свои трофеи (включая золото) за 460 тыс. долл., что дало бы прибыль в 400 тыс. долл. Если поднятый на поверхность корабль оказался бы «Йорк-Тауном», но без золота, руководство предполагало бы продать вооружение и все прочее за 60 тыс. долл, (только лишь затем, чтобы компенсировать затраты на операцию). На тот случай, если поднятый корабль оказался бы не «Йорк-Тауном», руководство договорилось с местным коллекционером о продаже ему останков корабля за 20 тыс. долл.
Так как операция по подъему могла привести к убыткам, руководство компании искало пути повышения вероятности получения прибыли.
Выяснилось, что глубоководное оборудование, которое использовалось для идентификации затопленных останков «Титаника», может быть арендовано за 3 тыс. долл. Используя столь мощное оборудование до начала подъема, руководство может сэкономить много денег.
Технология эксплуатации зонда предусматривает его одноразовое погружение. Зонд делает телевизионные съемки судна с различных углов и передает снимки для компьютерного анализа. В 3 тыс. долл, арендной платы включается также оплата специалистов по компьютерному программированию,
которые автоматизируют процесс обработки снимков, передаваемых зондом.
Руководство компании до настоящего времени не общалось с людьми, которые уже брали зонд в аренду и использовали прилагающееся к нему компьютерное обеспечение и которые могли бы сказать, насколько надежной является его работа. Таким образом, компьютер не может оценить вероятность того, что идентификация при помощи зонда обязательно увеличила надежность операции. Однако руководство знало, что анализ при помощи зонда ни в коей мере не может дать информацию о том, находится ли на судне золото. Аналогично, если бы это оказался не «Йорк-Таун», руководство не представляло себе, как оценить вероятность того, что зондирование дает достаточно надежную идентификацию.
С другой стороны, руководство знало о том, что надежности обеих идентификаций численно равны, т.е. вероятность того, что идентификация при помощи зонда оказывается верной при условии, что судно является «Йорк-Тауном», численно равняется вероятности того, что идентификация является верной при условии, что судно не является «Йорк-Тауном».
Ответьте на следующие вопросы'.
Опишите каждое решение в виде набора логически возможных альтернативных исходов (действий руководства, связанных с этим решением).
В чем состоит цель руководства? Выразите цель в терминах некоторой величины, которая должна максимизироваться или минимизироваться, и назовите точно, в каких единицах она должна измеряться.
Какое главное неконтролируемое событие(я) может встретиться при выполнении операции? Опишите их в виде набора логически .возможных способов, за счет которых это событие может осуществляться.
Составьте дерево решений для руководства. При выстраивании дерева используйте прямоугольник для обозначения решений (узел или вершина выбора) и круг для обозначения неконтролируемых событий (узлы шанса).
Вычислите на дереве решений распределение условных вероятностей для всех узлов событий на ветвях, где не используется зонд.
Какова максимальная цена, которую руководство заплатит за точную идентификацию судна (точность — 100%).
Поясните свой ответ и приведите все деревья, таблицы и вычисления, использованные Вами.
Руководство переговорило по телефону с людьми, которые арендовали ранее зонд и прилагаемое компьютерное обеспечение. Эти люди подсчитали, что вероятность того, что анализ при помощи зонда покажет, что судно есть «ЙоркТаун», составляет 43%. Эта цифра есть предельная (безусловная) вероятность, вычисление которой было основано на равенстве численных значений надежности идентификации и предварительном предположении руководства, что останки принадлежат «Йорк-Тауну» с вероятностью '/4. Воспроизведите их вычисления и затем подставьте необходимые значения условий вероятности во все узлы событий на тех ветвях дерева, где используется зонд. (Подсказка: может оказаться удобным составить вероятностное дерево или таблицу, в которых Вы соберете все возможные события. Положите R численно равным надежностям идентификации и затем вычислите те величины, которые необходимы для построения вашего дерева.)
Пометьте крестом все исключенные ветви. Убедитесь, что Вы ввели все ожидаемые затраты и прибыли в каждом из узлов событий и исходов.
Опишите все логически возможные стратегии, предусматриваемые деревом. Укажите также оптимальную стратегию:
не посылать зонд и не производить подъема;
не посылать зонд и произвести подъем;
послать зонд и, если затонувший корабль будет идентифицирован как «Йорк-Таун», произвести подъем, если нет — не производить;
послать зонд и произвести подъем вне зависимости от результатов его анализа;
послать зонд, но не производить подъем при любых результатах анализа;
послать зонд и, если затонувший корабль будет идентифицирован как «Йорк-Таун», не производить подъем, если — не «Йорк-Таун», — производить.
Составьте таблицу для стратегий, полученных выше. Таблица должна включать возможные конечные исходы, связанные с каждой стратегией, величины прибыли, а также вероятность того, что данный исход наступит.
Существует ли преимущественная по доходам стратегия? Если да, то поясните и продемонстрируйте соотношение
преимуществ (достаточно одного примера). Если нет, то объясните почему.
Часть 2
Руководство «5/. Thomas Salvage» выразило некоторую неуверенность в надежности идентификации при помощи зонда. Они спросили у людей, арендовавших его ранее, не существует ли какого-либо способа улучшить прогноз. Ответ был положительным. За определенную плату обе надежности могли быть повышены до 90%. Этого можно было достичь многократным погружением и взятием проб с останков судна с последующим химическим анализом и анализом на содержание радиоактивного углерода-12. Плата за повышение надежности составляла: 100 долл, за первый процент, 200 — за следующий, 300 — за следующий и т.д., до 90%. Повышение надежности измерялось только целыми цифрами. Таким образом, чтобы увеличить надежность, например, на 5%, нужно затратить 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 (долл.).
Ответьте на следующие вопросы (при ответах на вопросы обозначьте через R численную величину надежности, вне зависимости от того, является ли она переменной или неизвестной величиной).
Не проводя детального анализа, скажите, кажется ли Вам обоснованным рассматривать вопрос о плате за увеличение надежности? Поясните Ваш ответ.
Пусть зонд был закуплен до того, как было принято решение поднимать или нет останки судна. Анализ результатов зондирования показал, что судно является «ЙоркТауном». При какой величине R произведение подъема будет оптимальным действием руководства компании? Поясните ответ и приведите свои вычисления.
Пусть зонд был запущен до того как было принято решение о том, поднимать или нет судно. Анализ показал, что судно не является «Йорк-Тауном». При каком значении R оптимальным решением будет не производить подъем? Поясните ответ и приведите свои вычисления.
Составьте алгебраическое выражение для ожидаемой стоимости запуска зонда, вне зависимости от того, что он покажет (EVST). Выразите ЕК57как функцию от R и не забудьте исключить арендную плату 3 тыс. долл.
Переработано из Render В., Stair R.M., Greenberg I. Cases and Readings in Management Science. 2nd ed. Boston: Allen & Bacon, 1990.
ОТВЕТЫ
Ответы на контрольные вопросы
1 - 2, 2 - 2, 3 - 3, 4 - 4, 5 - 2, 6 - 3.
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ
Задача 1
ЕМVдля наилучшей альтернативы равно 32,5.
ЕМVдля наилучшей альтернативы при дополнительной информации равно 56.
Ожидаемая ценность дополнительной информации равна 23,5.
Задача 2
Следует реализовать план, предусматривающий продажу пива.
Значение ЕМVдля наилучшей альтернативы равно 167.
Задача 3
Фирме следует производить 12 ящиков.
Ожидаемая стоимостная ценность этого решения 379,05.
С добавкой следует производить 13 ящиков.
' Задача 4
Следует производить 8 ящиков. .
Ожидаемая стоимостная ценность этого решения 352,5.
Задача 5
Дополнительную информацию получать не нужно.
Следует открыть большую секцию.
Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения равна 4,5 тыс. руб.
Задача 6
Следует заказать обследование рынка.
При положительном результате обследования следует заказать большой магазин.
Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения равна 22,92 тыс. руб.
Задача 7
Следует выбрать поставщика В.
Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения 63 тыс. руб.
Задача 8
Следует строить экспериментальную установку.
Если экспериментальная установка будет работать, то следует монтировать производственную линию.
Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения равна 72,5 млн руб.
Литература
ГЛАВЫ 1-6
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1986.
Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. — М.: Изд-во МГУ, 1997.
Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. — М.: Прогресс, 1965.
Вентцель Е.С. Исследование операций. — М: Советское радио, 1972. Гл. 5.
Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. — М.: Банки и биржи, 1997.
Линейное программирование: Учебно-методическое пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1992.
Исследование операций / Под ред. Моудер Дж., Элмагра- би С. — М.: Мир, 1981. Т. 1. Гл. 3.
Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. — М.: Наука, 1987.
Gass S.L Linear Programming: Methods and Applications. — N.Y.: McGraw-Hill, 1985.
Hadley G. Linear Programming. Reading, Mass: Addison-Wesley Pub. Co, 1962.
Williams P.A. Linear Programming Approach to Production Scheduling // Production and Inventory Management, 1970. Vol. 11. № 3.'
ГЛАВЫ 7-9
Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. — М.: Наука, 1968.
Заиденман И.А., Маргулис А. Я. Математика в сетевом планировании. — М.: Знание, 1967.
Зуховицкий С.И., Радчик А.И. Математические методы сетевого планирования. — М.: Наука, 1965.
Hendrickson C., Tung A. Project Management for Construction. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, N.J., 1989.
Kelley J.E. Critical-Path Planning and Scheduling: Mathematical Basis Ц Operations Research, 1961. Vol. 9. № 3 (May—June). PP. 296-320.
Moder J.J., Phillips C.R., Davis E.W. Project Management with CPM, PERT, and Precedence Diagramming. — N.Y.: Van Nostrand Reinhold Co., 1983.
Wiest J.D., Levy F.K. A Management Guide to PERT/CPM. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Co., N.J., 1969.
ГЛАВА 10
Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985.
Гермеиер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.: Наука, 1976.
Исследование операций / Под ред. Моудер Дж., Элмагра- би С. - М.: Мир, 1981. Т. 1. С. 513-548.
Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. — М.: Иностранная литература, 1961.
Оуэн Г. Теория игр. М.: — Мир, 1971.
Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
McKinsey J.C. Introduction to the Theory of Games. — N.Y.: McGraw-Hill, 1952.
Von Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. — N.Y.: Wiley, 1953.
ГЛАВА 11
Багриновский K.A., Бусыгин В.П. Математика плановых решений. — М.: Наука, 1980.
Исследование операций / Под ред. Моудер Дж., Элмагра- би С. — М.: Мир, 1981. Т. 1. Гл. 2—6.
Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. — М.: Банки и биржи, 1997.
Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. — М.: Наука, 1987.
Hadley G. Nonlinear and Dynamic Programming. Reading, Mass: Addison-Wesley Pub. Co, 1964.
ГЛАВА 12
Бункан Д., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. — М.: Наука, 1967.
Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. М.: Мир, 1977.’
Hadley G., Whitin Т.М. A Review of Alternative Approaches to Inventory Theory. Santa Monica: Rand, 1964.
Hanssmann F. Operations Research in Production and Inventory Control. - N.Y.: Wiley, 1962.
ГЛАВА 13
Вентцель E.C. Исследование операций. — M: Советское радио, 1972. Гл. 5.
Исследование операций. / Под ред. Моудер Дж., Элмагра- би С. — М.: Мир, 1981. Т. 1. Гл. 2—3.
Saaty T.L. Elements of Queuing Theory, with Applications. — N.Y.: Dover Pubns, 1983.
Takacs L. Introduction to the Theory of Queues. Westport: Greenwood Press, 1982.
ГЛАВА 14
Багриновский К.А. и др. Имитационные системы в планировании экономических объектов. — М.: Наука, 1980.
Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. — СПб, 1999.
Романовский И.В. Исследование операций и статистическое моделирование. — СПб: СПб гос. ун-т, 1994.
Харин Ю., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб, пособие для вузов. — Минск: Дизайн ПРО, 1997.
Шебеко Ю. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнес-процессов принятия управленческих решений. — М.: ТОРА — ИнфоЦентр, 2000.
EmshoffJ.R., Sisson R.L. Design and Use of Computer Simulation Models. — N.Y.: Macmillan, 1970.
ГЛАВА 15.
Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. — M.: Наука, 1969.
Lawler E.E., Wood D.E. Branch-and-Bound Methods: A Survey // Operations Research, 1966. Vol. 14. № 4 (July-August).
ГЛАВА 16
Кини Р.Л., Райфа Г.Л. Принятие решений при многих критериях предпочтения и запрещения. — М.: Радио и связь, 1977.
Орловский А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1982.
Kahneman D., Slavic Р., Tversky A. Judgments under Uncertainty. — Cambridge: Cambridge University Press, 1982.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение3
Глава 1. Разработка оптимального плана производства21
Глава 2. Задачи оптимального смешения49
Глава 3. Задачи оптимального раскроя64
Глава 4. Оптимальное планирование финансов73
Глава 5. Транспортная задача85
Глава 6. Динамическое программирование 117
Глава 7. Сетевой анализ проектов. Метод СРМ 133
Глава 8. Сетевой анализ проектов. Метод PERT 152
Глава 9. Анализ затрат на реализацию проекта 165
Глава 10. Основы теории игр 187
Глава 11. Нелинейное программирование211
Глава 12. Системы управления запасами231
Глава 13. Системы массового обслуживания254
Глава 14. Имитационное моделирование 277
Глава 15. Задачи дискретной оптимизации 305
Глава 16. Основы теории принятиярешений322
Литература: 348
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
М.Ю. Афанасьев, К.А. Багриновский,В.М. Матюшок
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИИССЛЕДОВАНИЯОПЕРАЦИЙ
Учебное пособие
Допущено
Учебно-методическим объединением по классическомууниверситетскому образованию в качестве учебного пособияпо дисциплине национально-регионального компонентадля студентов высших учебных заведений,обучающихся по направлению 080100 «Экономика»
МОСКВАИНФРА-М2006
УДК 330.115(075.8)
ББК 22.1я73
А94
Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М.
А94 Прикладные задачи исследования операций: Учеб, пособие. - М.: ИНФРА-М, 2006. - 352 с. - (Учебники РУДН).
ISBN 5-16-002397-6
Учебное пособие содержит теоретическое описание основных задач курса «Прикладные задачи исследования операций»: разработка оптимального плана производства, задачи оптимального смешения и раскроя, оптимальное планирование финансов, транспортная задача, динамическое и нелинейное программирование, сетевой анализ проектов, основы теории игр, модели массового обслуживания, имитационное моделирование, принятие решений в условиях риска и некоторые другие. Пособие снабжено многочисленными примерами, решенными задачами и комментариями к ним, а также задачами для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов и преподавателей экономических вузов и практических работников.
Подготовлено при содействии НФПК - Национального фонда подготовки кадров в рамках Программы «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования.
ББК 22.1я73
© Экономический факультет РУДН, 2006 ISBN 5-16-002397-6©Оформление. ИНФРА-М, 2006
Корректор Н.Д. Фадеева
Компьютерная верстка В.Г. КурочкинХудожественное оформление К.В. Пономарев
ЯР № 070824 от 21.01.93.
Сдано в набор 22.07.2005. Подписано в печать 14.10.2005.
Формат 60><90/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Newton».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,0. Уч.-изд. л. 16,63.
Тираж 3000 экз. Цена свободная. Заказ №8784.
Издательский Дом «ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31 в
Тел.: (095) 380-05-40, 380-05-43. Факс: (095) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ruhttp://www.infra-m.ru
Отдел «Книга—почтой»:тел.: (095) 363-42-60, доб. 246, 247
ОАО "Тверской полиграфический комбинат"
170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5. Телсфон:(0822) 44-42-15
Интернет/Home page - www.tverpk.ru Электронная почта (E-mail) - sales@tverpk.ru
Введение