ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий задачник-практикум составлен в соответствии с действующей программой курса алгебры и теории чисел в педагогических институтах для специальности № 2104 «Математика».

Главы 1, 3 написаны М. А. Родиной, главы 2, 4 — А. С. Солодовниковым.

Материал задачника относится в основном к VII семестру заочного обучения. Из числа ранее изученных включена тема «Комплексные числа и двучленные уравнения».

В начале каждого параграфа приводятся ссылки на соответствующие разделы учебного пособия Винберга Э. Б. «Алгебра многочленов» (М., Просвещение, 1980). (В дальнейшем ссылки на это пособие будут содержать только фамилию автора, номера глав, параграфов и пунктов из него.) Подробно рассматриваются решения нескольких типовых задач, которые сопровождаются необходимыми теоретическими пояснениями. В конце каждого параграфа дается подбор упражнений. Решение студентом хотя бы по одной задаче из каждого пункта упражнений необходимо для усвоения рассмотренных вопросов темы.

В «Ответах», помещенных в конце задачника, даются не только окончательные результаты решения упражнений, но в некоторых случаях и промежуточные результаты, облегчающие проверку студентом своего решения.

Глава IМНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ НАД ОБЛАСТЬЮ ЦЕЛОСТНОСТИИ НАД ПОЛЕМ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА

Вопросы программы. Кольцо многочленов над областью целостности и над полем. Деление многочлена на двучлен х — а и корни многочлена. Наибольшее возможное число корней многочлена. Равенство многочленов — алгебраическое и функциональное.

Литература: Винберг Э. Б. .Гл. 1, § 1 (п. 1—7), § 2 (п. 1—6).

Задача 1. Найти сумму, разность и произведение многочленов:

/ (х) = 2_— 4х + 2х2, g (х) = —4 +_х + х3 из кольца Z [х]; б) f (х) = 1 — Зх + 4х2, g (х) = 3 + 2х + хй из кольца Zb [х]. Решение, а) При сложении многочленов складываются их коэффициенты при одинаковых степенях х. Если при этом в многочлене отсутствует член, содержащий х1, то соответствующий коэффициент многочлена считается равным 0. Таким образом, имеем:

/ (х) + ? (х) = (2 - 4) + (-4 + 1)х + 2х2 + х3 =

= —2 — Зх + 2х2 + х3.

Коэффициенты разности / (х) — g (х) получаются, если из коэффициентов при х* (i — 0, 1,2, ...) многочлена / (х) вычесть соответствующие коэффициенты многочлена g (х):

f (х) - g (х) = (2 + 4) + (-4 - 1 )х + 2х2 - х3 == 6 — 5х + 2х2 — х3.

Произведением многочленов

f (х) = а0 + atx + а2х2 + .... g (х) = l>0 + btx + 62х2 + ... называется многочлен

f (х) g (х) = с» + схх + с-р? + ....

коэффициенты которого задаются формулой

сх— 2 akb$ 0 — 0, 1, 2, ...).

fe-^-S«ei

Это означает, что для нахождения многочлена f (х) g (х) нужно каждый член многочлена / (х) умножить на каждый член многочлена g (х) и затем привести подобные члены, т. е. сложить коэф-

фициенты при одинаковых степенях х. Для многочленов / (х) и g (х), указанных в задаче, имеем:

/ (х) g (х) = 2 (-4) + [2 • 1-4 (—4)]х ++ [—4 • 1 + 2 (—4)]х2 + (2 • 1 + 2 • 1)х3 ++ (—4) • 1х4 + 2 • 1х5 = —8 + 18х — 12х2 ++ 4х3 — 4х4 + 2х5.

Коэффициентами данных многочленов являются классы вычетов по модулю 5 — элементы конечного поля Z6. Имеем:

(х) + g (х) = (1 + 3) + (-3 + 2)х + (4 + 1)х2 = 4 - х;

коэффициент при х2 в полученном многочлене равен 0, так как 4 + 1 = 5 = О (mod 5).

Далее,

t^-g (х) = (Г- 3) + (-3 - 2)х 4- (4 -Т)х2 =

= —2 + Зх2;

коэффициент при х равно 0, так как —3 — 2 = —5 = 0 (mod 5). Наконец,

f (х) g (4= 1 • 3_+_(1 • 2 - 3 • 3)х ++ (1_. Т — 3_- 2_+ 4 • 3)х^ ++ (—3 • Г + 4 • 2)х3 + 4 • lx4 =

/ (х) — g (х) = 6 — 5х + 2х2 — х3, f (х) g (х) = —8+18х—12х2+4х3—4х4+2х5;/ (х) — g (х) = 6 — 5х + 2х2 — х3, f (х) g (х) = —8+18х—12х2+4х3—4х4+2х5;= 3 — Зх + 2х2 + 4Х4,где коэффициент при х3 равен 0, так как —3 +8=5=0 (mod 5).Ответ, а) f (х) + g (х) = —2 — Зх + 2х2 + х3,

/ (х) — g (х) = 6 — 5х + 2х2 — х3, f (х) g (х) = —8+18х—12х2+4х3—4х4+2х5;

/ (х) — g (х) = 6 — 5х + 2х2 — х3, f (х) g (х) = —8+18х—12х2+4х3—4х4+2х5;

€ Z5 [х].€ Z5 [х]./ (х) + g (х) = 4 — х, _'

€ Z5 [х].

€ Z5 [х].

f (x)-g(x) = -2 + Зх2, _

/ (х) g (х) = 3 + Зх + 2х2 + 4х4 ,

Замечание. Так как многочлены заданы над областью целостности, то степень произведения равна сумме степеней самих многочленов.

Задача 2. Проверить, что в кольце Z [х] многочлен f (х) = = 6х3 + Их2 — 13х + 2 делится на многочлен g (х) = 2х2+5х—1, и найти частное.

Решение. Многочлен / (х) по определению делится на многочлен g (х), отличный от 0, т. е. / (х) • g (х), если существует многочлен q (х) такой, что f (х) = g (х) q (х); при этом f (х) называется делимым, g (х) — делителем, a q (х) — частным от деления / (х) на g (х).

В данном примере / (х) имеет степень 3, a g (х) — степень 2, поэтому многочлен q (х), если он существует, имеет степень 1, т. е. q (х) = ах + Ь, где а £ Z, b ^. Z.

Рассмотрев равенство

6х3 + Их2 — 13х + 2 = (2х2 + 5х — 1) (ах + 6), перепишем его в виде

6х3+ Их2 — 13x4-2 == 2ах3 + (26 4- 5а)х2 4- (56 — а)х — 6.

Отсюда следует, что

6 = 2а, 11 = 26 4- 5а, —13 = 56 — а, 2 = —6.

Полученная система имеет решение над Z:

а = 3, 6 = —2.

Значит, в кольце Z [х] имеем: f (х) — g (х) q (х), где q (х) = Зх — 2.

Замечание. Задача может быть решена и более естественным путем. Кольцо Z является частью поля Q. Поэтому, рассмотрев многочлены / (х) и g (х) как элементы кольца Q [х], можно разделить / (х) на g (х) с остатком (см. § 2). Убедившись, что остаток равен 0, а частное есть многочлен из Z [х], придем к заключению, что f (х) делится на g (х) в кольце Z [х].

Задача 3. В кольце Z [х] разделить с остатком многочлен / (х) = 2х3 — Зх 4* 2 на х 4- 2.

Решение. Напомним, что если К есть область целостности (но не поле), то деление с остатком в кольце К [х], вообще” говоря, не имеет смысла. Однако если многочлен g (х), на который мы делим, имеет вид: х — а (а £ Ю» то деление с остатком возможно, т. е. существует такой многочлен q (х) € К [х] и такой элемент г £ К, что

f (х) = (х — a) q (х) 4- г.

_ Коэффициенты многочлена q (х) и остаток г могут быть найдены по схеме Горнера:

а |60 = а9 bt = ab9 + ^ b2 = abt + а2 ... bn-l = abn_„ + ап-1 г = abn_t 4- ап •

в которой Оо, at, ..., а„ — коэффициенты многочлена / (х),'записанного по убывающим степеням х:

/ (х) = аох” 4- а^""14- • • • 4- а»-1Х 4- «л.

и аналогично

g(х) = боХ”'14- б^”"2 4- ... 4- Ь^х4- 6„_$.

В данном случае х — а = х 4- 2, так что а = —2. Схема Горнера принимает вид:

120—32

—2 I 2 —45—8

Ответ, q (х) = 2х2 — 4х 4- 5, г = —8.

Задача 4. Найти значение многочлена / (х) при х = а:

/ (х) = х4 + 5х3 — Зх + 6_£ Z [х], а = 2; _

/ (х) = х4 + Зх3 — Зх + 2"Е 27 [х], а = —3 6 Z7.

Решение, а) Значение многочлена при х = а можно найти непосредственной подстановкой х = 2 в многочлен:

/ (2) = 24 + 5 • 23 — 3 • 2 + 6 = 16 + 40 — 6 + 6 = 56.

Можно найти / (2) и другим способом. Воспользуемся теоремой Безу, согласно которой остаток г от деления многочлена / (х) на линейный двучлен х — а равен значению многочлена / (х) при х = а : г = / (я). Остаток найдем по схеме Горнера:

1150—36

^ __ gg

2 I 17142556’

Значение / (—3) найдем по схеме Горнера, деля / (х) на х+3:

130—32—3 Г 0 0 —3 4130—32—3 Г 0 0 —3 4г = 4.г = 4.

130—32

—3 Г 0 0 —3 4

130—32

—3 Г 0 0 —3 4

г = 4.

г = 4.

Ответ, а) / (2) = 56; б) / (—3) = 4^2,.

Задача 5. Пользуясь схемой Горнера, составить таблицу значений многочлена / (х) и найти его корни:

f (х) = х5 — Зх3 + 4х — 1 ^ Z7 [х].

Решение. Множество Z7 конечное: Z7 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Придавая аргументу х значения 0, 1, ..., 6 и вычисляя соответствующие значения многочлена / (х), построим функцию f*, определенную на Z7. Корни многочлена — это элементы а поля Z7 такие, что f (а) = 0. Имеем:

/ (0) = -Г = 6.

Остальные значения находим по схеме Горнера:

1

0

-3

0

4

— 1

1

Т

Г

—2

о*

2

г= /(Г)

2

1

2

1

2

1

1 = / (2)

/* = {(0; 6), (1; 1),

3

4

1

1

3

4

6

6

4

3

2

2

5= /(3) 0 = /(4)

(2; 1), (3; 5), (4; 0), (5; 4), (6; 4)}.

5

1

5

1

5

1

4 = /(5)

6

1

6

5

2

2

4 = /(6)

О т в_е т._ f W = 6, f (1) = 1, / (2) = 1, / (3) = 5, / (4) = 0, / (5) = 4, / (6) = 4; 4 — корень / (х).

Задача 6. В кольце R [х] определить кратности Л1 и Л2 корней а = КЗ и Р = —КЗ многочлена

/ (х) = Зх4+ (1—3 К3)х3 — (9 + К3)х2— (3 — 9 КЗ) х + 3/3

и записать соответствующее разложение многочлена на множители.

Решение. Элемент а области целостности К тогда и только тогда является корнем многочлена / (х) из кольца К [х], когда / (х) делится на линейный двучлен х — а.

Элемент а из К называется ^-кратным (A 6 N^ корнем многочлена / (х), если / (х) делится на (х — а)6, но не делится на (х— а)*+1.

Для определения кратности &i корня а = /з делим многочлен / (х) на х — /3, получаем остаток, равный нулю; затем полученное частное q (х) делим снова на х — /3 и т. д., пока не получим остаток, не равный нулю. Корни полных частных одновременно являются и корнями многочлена / (х). Все вычисления проводятся по схеме Горнера:

3

1 — зуз — 9 —У 3 — 3 + 9/3 3 /3

/3

3

1—9-3о=>/(х): (х-/3)

Уз

3

1 + 3/3/30 => f (х) - (х — УЗУ

Уз

3

1 + бКЗ 18 + 2/3^/(х)7. (х —/З)8

Аналогичным образом находим кратность корня 0 = — 1^3, причем в этом случае делим на х + Уз не сам многочлен f (х), а частное Зх2 + (1 + 3/3)х + КЗ от деления / (х) на (х — КЗ)2. Вычисления снова проводим по схеме Горнера:

31 + 3/3/3

-/331_0 =>/(х>: (* + /3)

— УЗ 31 — 3/3^/ (х) 7- (х + /3)8

Ответ, а = Уз— двукратный корень f (х); $ =—УЗ— однократный (простой) корень / (х); / (х) = (х — ^З)2 (х+/3)х Х(3х + 1).

Задача 7. Найдем такие значения а и Ь, при которых корень а = —2 многочлена

/ (х) = х5 + ах2 + bx + 1

имел бы кратность к не ниже, чем 2.

Решение. Чтобы число а = —2 было корнем многочлена / (х) кратности не ниже, чем 2, многочлен / (х) должен делиться по крайней мере на (х + 2)2.

Поэтому делим по схеме Горнера / (х) на х + 2 и остаток приравниваем нулю, затем частное делим на х + 2 и второй остаток приравниваем нулю:

10 0а b 1

—21—24 а—8 —2а+ 6+16 4а —26 —31 = 0

—21 —412 а — 32 —4а + 6 + 80 = 0

129 а = —, 4 b = 49.129 а = —, 4 b = 49.Решаем полученную систему уравнений:

129 а = —, 4 b = 49.

129 а = —, 4 b = 49.

4а — 2Ь = 31, 1

—4а + b = —80 )

Ответ. При а = —, 6 = 49 /(х) • (х + 2)2 =>£>2.

4

Над бесконечной, областью целостности К (над бесконечным полем Р) два многочленаf (х) ng (х) равны как алгебраические выражения (т. е. равны их коэффициенты при одинаковых степенях х) тогда и только тогда, когда они равны как функции (т. е. когда равны их значения при любом значении аргумента из К» соответственно Р).

Задача 8. В кольце Q [х] найти многочлен f (х) не выше 3-й степени, если

/(-!) = 1, / (0) = 5, f (1) = 3, / (2) = 0.

Решение. Многочлен над бесконечным полем степени не выше, чем п, однозначно определяется своими значениями при п + 1 различных значениях аргумента (в п + 1 точках). Для нахождения многочлена / (х) используем интерполяционную формулу Лагранжа:

^x\ = у (х — х0) (х — xQ ... (х — x,_t) (х — xz+i)... (х — хя)

Д (х< — ХО) (xz — хх)... (xz — х^ (xt — xz+1)... (xz — x„) l'

В данной задаче п = 3; искомый многочлен найдем по формуле f/,A — (х — *1) (X — Х2) (X — х3)..| (х — х0)(х— х2) (х — х3) „ ।

I Vх) — —7777— • Уо т .:"У1 т

(х0 — xt) (х0 — х2) (хо — Х3)(X, — х0) (xt— Х2) (X! — Хд)

I (х — Хо) (X — Xt) (X — Х3).| (X — Х„) (X — X!) (X — х2). ^

(Х2 Хо) (х2X,) (Х2Х3)(Х3 хо) (х3. Xj) (х3х2)

где х0 = —1, у0 = 1; Xi = 0, yi = 5; х2 = 1, у2 = 3; х3 = 2, у3=0. Итак,

f (х) = X (х — 1) (х — 2) J , (х+ 1)(х— 1)(Х — 2)5 ,

'-1(_2)(-3) ■1(-1)(-2)"г

(х+1)х(х-2) . 3(х+ 1)х(х-1) 0

2-1. (—1)321'

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим: /(x) = |x3_3x2 + ^ + 5€Qm.

Для проверки результата достаточно найти значения:

/= у, (i = 0, 1, 2, 3).

Ответ, f (х) — —х3 — Зх2 + —х + 5. '62

Над конечным полем Р два многочлена / (х) и g (х) могут определять одну и ту же функцию (не обязательно будучи равными как алгебраические выражения). Такие многочлены называются эквивалентными: f ~ g. Эквивалентные многочлены имеют одни и те же корни, которые в принципе могут быть найдены путем испытания всех элементов, поля Р.

Частным случаем конечного поля является любое поле Zp, где р — простое число.

Задача 9. Показать, что в кольце Z^ [х] многочлены / (х) = = х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1, g (х) = 2х2 + 1 эквивалентны, и найти их корни.

Решение. Поле Z3 состоит из трех элементов: О, Т, 2 — классов вычетов по модулю 3. По многочленам f (х) и g (х) построим функции_/* и_§*. Непосредственно подстановкой находим: / (0) = = 1, g (0) = 1. Остальные значения многочленов найдем по схеме Горнера, деля многочлены на х — 1 и на х — 2:

1 1 1 Т 1 11 1 1 Т 1 12 012 01

1 1 1 Т 1 1

1 1 1 Т 1 1

2 01

2 01

Г20 = 5(1)2210 = 5(2)Г20 = 5(1)2210 = 5(2)1L1 11?.1= iW

Г20 = 5(1)

2210 = 5(2)

Г20 = 5(1)

2210 = 5(2)

2101010 = /(2)

Итак,

f(O)=Tj(T) = o;f(2) = q;g (0) = 1, g (1) = 0, g (2) = 0,

т. е. f (х) = g (х) для всех х £ Z3.

Ответ, f ~ g. Корнями многочленов / (х) и g (х) являются Г и 2.

Задача 10. В кольце Zb [х] многочлен

/ (х) = 4х9 — Зх7 + 2х6 + Зх3 — Зх2 — х — Г

заменить эквивалентным ему многочленом g (х) степени не выше 4 и найти корни обоих многочленов.

Решение. Многочлен / (х) степени п (п ^ р) из кольца Zp [х] можно при простом р заменить эквивалентным ему многочленом g (х) степени не выше р — 1. В самом деле, если (х, р) = 1, то по малой теореме Ферма х^-1 = 1 (mod pY Представляя любое натуральное п в виде п = (р — 1) q + г, где 1 ^ г С Р — 1. получим: хя = Vxp-^q хг = xr (mod р), т. е. хп = xr, г = 1, 2, ..., р — 1. Если же (х, р) = р, т. е. х • р, то и подавно (хя — хг) • р, хя ^ xr (mod р).

Итак, при любом х 5 Z имеем: Xя ~ хг, где 1 ^ г ^ р— 1. В частности, для р = 5

у9 у4"2"*"1 ~ г *1 — у4,1+3 ^ г3 ув г4’1+2 /^/ У2

f (х) ~ g (х) = 4х — Зх3 + 2х2 + Зх3 — Зх2 — х — 1 == — х2 + Зх — Г.

Корни многочлена g_(x)_ на ходим, испытывая все значения х из Z5, т. е. полагая х = 0, 1, 2, 3, 4 (или х = 0, 1,2, —2, —1). Вычисления проводим по схеме Горнера:

-13

1

2

—1

—2

-I 2 L=S(D g(0) = -l.

-11L=g(2)_

-Г 40=g(-l)

-10-1 =g(-2)

Ответ, f (х) ~ g (х) = х2 — Зх — 1 € Z5 [х]; х = —1 = = 4 — корень f (х) и g (х).

Задача 11. Решить алгебраическое уравнение

16х7 + Их6 — 9х5 — Их3 — х — 4 = 0 (mod 5).(1)

Решение. Перейдем от сравнения (1) к уравнению

х7 + х® + х5 — х3 — х — 4 = 0, (2) которое получается заменой всех коэффициентов в (1) (а также свободного члена) соответствующими классами вычетов по модулю 5. Если какое-либо число х удовлетворяет сравнению (1), то соответствующий класс вычетов удовлетворяет уравнению (2); обратно, если какой-либо класс вычетов удовлетворяет (2), то все числа этого класса удовлетворяют (1). В этом смысле сравнение (1) (над кольцом Z) равносильно уравнению (2) (над полем Z6).

Многочлен, стоящий в левой части уравнения (2), эквивалентен х2 — 4. Следовательно, уравнение (2) равносильно х2 — 4 = 0. Последнее уравнение имеет два корня: Xi = 2, х2 = —2 = 3. Значит, решениями исходного сравнения будут числа вида 5^ + 2 и 5^ + 3, где q — любое целое число.

Ответ. Xi = 2 (mod 5), х2 = 3 (mod 5).

Упражнения

Найти сумму, разность и произведение многочленов:

f (х) = 2 + (1+0 х —3ix2, g (х) = —2tx + t'x3 + х4^ Z [t] [x], где Z [i] = (a + bi | a, b £ Z} — кольцо целых гауссовских чисел;

/ (х) = 1 + (2 — 0 x2L g (х) = 31 + ix + (1 + 0 х2€ Z [t] [х];

f М = —2 — 5х2 + Зх3, g (х) = 3 — 6х + 2х3 g Z7 [х];

/ (х) = 2 + х — Зх3 + 4х4, g (х) = 1 + 4х— Зх3+ 3x4£Z5[x];

/ (х) = 2 + 1,5 — 2,33х3, g (х) = — 3 — 2,5х + х2 — х3 + + 2х4 — х5 С Q [х];

/ (х) = ух + ~х2 — х3, 5 (х) = 3 — 1х + jx2 + х3 е Q [х].-

Используя схему Горнера, разделить в кольце К [х] многочлен / (х) на линейный двучлен х — а:

К = Z, / (х) = х4 — Зх3 + х — 1, а = 2;

К = Z,f (х) = 9х3 + 8х2 — Юх, а = —3;

К = 2 [t], == ^а + Ы | a,_b £ Z},/ (х) = 4х3 + х2, а =—1—г,

К = Z [/3] = {а +_&КЗ | а, b 6 Z), _ / (х) = 2х« - (2+ + 40 /3) х3 + (15 — 70 КЗ) х_— 150, а = 2/3;

К = Z„ f (х) = Зх3 + 6х2 — 2да = 2j___

К = Zu, f (х) = 7х4 — 9х3 + 8х2 + Юх — 6, а = —3.

Используя схему Горнера, найти g (а):

g (х) = х5 + Зх4 + 2х3 — 8х + 40, а = —3;

g(x) = x4 —Зх + 6х2—10х+ 16, а = 4;

g (х) = Зх4 — х + 300/, а = —3 + I;

g (х) = 2х3 — 9х2 + 4х — 5, а = 5 + i;

g (х) = 2х3 + х2 — Зх + 2^€ 26_[х], а =3€25;_

g (х) = Зх5 — 2Х3 + х2 + 4х — 3 € 2, [jc],а=—2g 27.

Используя схему Горнера, разделить многочлен / (х) на линейный двучлен g (х) = ах + Ь, а Ф 1:

/ (х) = 2х5 — 5х3 — 8х, g (х) = —х — 3 £ 2 [х];

/ (х) = 2х5 — 5х3 — 8х, g (х) = Зх + 3 £ Q [х];

/ (х) = 2/х3 + (1 — i) х2 — х, g (х) = (1 + 0х — (2 — 20 €

€ С [х];___

/ (х) = 2х6 — 3/2х5 + 2х8 — J^L х+/2,

'g(x) = 2x-/2€/?[x].

Используя схему Горнера, определить кратность kt корпя az многочлена / (х) и разложить / (х) на соответствующие множители:

/ (х) = х5 — бх4 + 7х3 — 2х2 + 4х — 8, a = 2;

f (х) = х5 + 7х4 + 16х3 + 8х2 — 16х — 16, a = —2;

/ (х) = х5 — 15х4 + 76х3 — 140х2 + 75х — 125, a - 5;

f (х) = х10 — х9 — Зх8 + 4х + 2х« — 6х5 + 2х4 + 4х3 — — Зх2 — х + 1, a1; 2 = ± 1;

f (х) = х8 — 6х7 + 13х® — Юх5 — 9х4 + 32х3 — 37х2 + + 20х — 4, a( = ^ a2 = 1;

/ (х) = х5 — 2х3 + х2 — 2 6 23 [х], а_= 2 € 23;_

/ (х) = х7 — Зх6 + х5 — х3 + 4х2 — 4х + 2 € 25 [х], «1= 1, <Хг = 2 5 28.

Найти такие значения а и Ь, при которых число а было бы корнем многочлена / (х) кратности не ниже, чем к;

/ (х)= х4 +ах3 + 6х + 1. а =—\, к=2;

/ (х)= х5 —х4 — 4х3 + ах2 + bx + 1,а=1,к=3;

f (х)= ax”+1+ bxn + 1, а = 1,к = 2.

< — о> 1, ...,n:

п = 3; х0 = 1, Xi = — 1, х2 — 2, х8 = 3; у0 = у4 = у2 = О, Уз — 5;

п = 3; х0 = 1, xt = 2, х2 = 3, х8 = 4; у0 = 2,у1=1,у2 = 4. Уз = 3;

п=3;х0= 1, Xi = I, х2 =—1,х3 = —I;Уо=1,У1=2,

Уз = 3,уз=4;

п=4;х0= О, Xi = 1, х2 = 2,х3 = 3,х4=4;у0=1,

У1 = 2,у2=3,у3 = 4, у4 = 6;

п=4;х0= —1, Xi = О, х2= 1,х8 = 2,х4=3;у0=6,

У1 = 5,у2=О,уз = 3, у4 = 2.

В кольце Zp [х] найти многочлен g (х) наименьшей степени, эквивалентный многочлену f (х):

/ (х) ■=» 2х85 —6х16 4-2х® — Зх6 + х 4- 5, р = 11;

/ (х) - —2х29+ 5х28 + 7х18 4- 2х17 — 4х19 4- 4х164- 6х* —

— 4Х8 — Зх2 — 8х 4- 2, р = 13.

Решить алгебраические сравнения / (х) se 0 (mod р), перейдя сначала к уравнению f (х) = 0, где f (х) С Zp [х], затем к уравнению g (х) = 0, где g (х) — многочлен, эквивалентный многочлену / (х), имеющий степень не выше, чем р — 1:

х10 — 2х 4- 1 = 0 (mod 5);

х8 4- 2х7 + х5 — х4 — х + 3 ев 0 (mod 5);

х1в 4- Зх8 — 5х7 — х4 4- 6х — 2 ^ 0 (mod 7);

х10 + х8 4~ х7 — х4 — х2 4- 4х — Зв 0 (mod 7);

х101 4- Зх15 4- х11 — Зх5 4- 9х2 4- Юх — 5 = 0 (mod 11);

х14 — х13 — х2 4- 2х 4* 1 = 0 (mod 13).

Показать, что любые два эквивалентных многочлена / и g из кольца Zp [х] (р — простое число), имеющие степень не выше, чем р — 1, равны как алгебраические выражения.

ДЕЛЕНИЕ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ. НОД И НОК МНОГОЧЛЕНОВ

Вопросы программы. Многочлены над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель многочленов и его линейное представление. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное многочленов. Результант.

Литература: ВинбергЭ. Б. Гл. II, § 1 (п. 1—6).

Задача 1. Разделить с остатком многочлен f (х) = бх4 4- Зх2 4- 1 на многочлен g (х) = Зх2 — х 4- 1 •

Решение. В кольце многочленов над произвольным полем Р справедлива теорема о делении с остатком.

Для любых многочленов f (х) и g (х) Ф 0 из Р [х] существует единственная пара многочленов g (х) и г (х) из Р [х], удовлетворяю-

щая условиям:

/ (х) = g (х) q (х) + г (х);

ст. г (х) < ст. g (х).

Степень нуль-многочлена принимается равной —оо, так что для г (х) = 0 условие 2) тоже выполняется.

Многочлен q (х) называется неполным частным (или просто частным), а г (х) — остатком от деления / (х) на g (х).

В данной задаче рассматриваем f (х) и g (х) как многочлены над Q — полем рациональных чисел.

Деление многочленов производится «углом», как деление многозначных чисел. Сначала делим старший член делимого бх на старший член делителя Зх2, получаем старший член 2х2 частного, затем все члены делителя умножаем на 2х2 и записываем их под «подобными» членами делимого, вычитаем из делимого полученное произведение. Затем старший член разности делим на старший член Зх2 делителя и т. д., пока не получим при вычитании многочлен г (х) степени меньшей, чем 2. Проводя соответствующие вычисления, получаем:

| Зх2 —х+12х2+ ^-^1=д^| Зх2 —х+12х2+ ^-^1=д^бх4 4- Зх2 -f-1 — бх4 —2х + 2х2

| Зх2 —х+1

2х2+ ^-^1=д^

| Зх2 —х+1

2х2+ ^-^1=д^

_2xs + x2+1

2х3 — — х2 + — х

_ 54x44- Зх + 1 | Зх2 — х + 1

54Х4 —18х+ 18х2 18х2+ 6х —3 = ^ (х)

_18х3—15х2+1

18х3 — 6х2 + 6х

— 9х2 — 6х 4- 1

— 9х2 4-Зх—3

— 9х 4- 4 = г (х)

Ответ, q (х) = 18х2 4- 6х — 3, г (х) = —9х 4- 4 g Z [х].

Задача 3. В кольце Q [х] найти делитель g (х), если известны делимое / (х), частное q (х) и остаток г (х):

/ (х) = Зх5 — Эх4 4- — х3 — — х2 4- — х 4- —•,' '1 з з зз

q^ =x2— — х-,г (х) = — х2 4-— х 4"4"-

' ' '39993

Решение. Для нахождения делителя g (х) используем равенство

f (х) = g (х) q (х) 4- г (х),

из которого получаем:

f (х) — г (х) = g (х) q (х).

Итак, чтобы найти делитель g (х), надо разность / (х) — г (х) разделить на частное q (х):

/ (х) - г (X) = Зх3 - 9х4 4- JX3 - ^7 х2 -1 х.

Зх5_9х4_|_13х8_ 47х2_2х| Х2_ 8 Х_1

_1 399|39

Зх® — 8х4— — х3Зх3 —х24-2х

з

нулю. Имеем:

2х4 + Зх3 — 2х2 + ах + b | 2х2 —ЗхЧ-2

— 2х4-3х34-2х2. 5

б^^+ах+Т"+ Х± 2

Кх3 — 9х2 -f- 6х

5х24-(а—6)х4-6— 5х2 —— ^х4-5

(а + т)х + ^~5) = г(х)

-L — О —2

/ (х) : g (х) => Г (х) = Офф а + 2 = ’ фф а 2 ’ •

b — 5 = О b = 5.

Ответ, а , b = 5.

2

Задача 5. В кольце Q [х] найти наибольший общий делитель D (х) многочленов f (х) и g (х):

/ (х) = 2х5 — Зх4 — 5х34-х24-6х 4- 3,g(x) = Зх4 4- 2х3—— Зх2—5х — 2.

Решение. Наибольший общий делитель многочленов f (х) и g (х) — это такой их общий делитель, который сам делится на любой общий делитель этих многочленов. Для нахождения НОД многочленов используем алгоритм Евклида — метод последовательного деления. Так как НОД многочленов определяется с точностью до ассоциированности (до множителя 0-й степени), то многочлены можно умножить на любые числа, отличные от нуля.

В данной задаче многочлены / (х) и g (х) целочисленные, т. е. f (х), g (х) € Z [х]. Чтобы в частном q (х) и остатке г (х) не было дробных коэффициентов, надо / (х) умножить на bo-m+1, где Ьо — старший коэффициент g (х), степень f (х) равна п, степень g (х) равна т.

В данном случае Ьо = 3, п — 5, т = 4. Имеем:

9/ (х): g (х):

ISx6 — 27х4 — 45х®4~ 9х2 4-54x4-27 I ЗхЦ-2х3—Зх2—5х — 2 18х64~12х4—18х3— ЗОх2 — 12х кх13 = о(х}

— 39х4 — 27х3 4- 39х2 4- 66х 4- 27

— ЗЭх4 — 26х3 4- 39х2 4- 65х 4- 26

— х84- х 4- 1 = г (х)

g^ ‘-rUY

Зх4 + 2x3 — 3x2 — 5x — 2 | — xs 4- x + 1

3x4— 3x2 —3x — 3x —2 = o,(x)

2x3— 2x—2

2x3— 2x —2

0

Выпишем систему равенств алгоритма Евклида:

9/ W = g W Я (*) + г (хУg (х) = г (х) qt (х).

Последний не равный нулю остаток (в данном случае г (х)) и является наибольшим общим делителем многочленов. Обычно НОД многочленов над полем Q берется с целыми, взаимно простыми в своей совокупности коэффициентами (примитивный многочлен) и с положительным старшим коэффициентом.

Ответ. D (х) = (f (х), g (х)) = —г (х) = х3 — х — 1.

Замечание. В процессе деления / (х) на g (х) можно не только сами многочлены f (х) и g (х), но и «промежуточные остатки» умножать на какие угодно числа (не равные нулю), чтобы в частном получались только целые коэффициенты. При этом, конечно, частное искажается, но остаток от деления остается (с точностью до ассоциированности) тем же. Результаты после умножения отделяем от предыдущих двойной чертой. Например, на первом шаге такое «деление» будет вьплядеть следующим образом:

3/ (х) : g (х):

бх5 — Эх4—15х3+ Зх2+18х + 9 | Зх4 + 2х3-Зх2 —5х —2 бх5-]- 4х4— 6х3—Юх2— 4х 2х 13'

~ 13x4 ~ 9х3+13х2 4-22x4-9

- 39х4 — 27х® 4- 39х2 4- 66x 4- 27

— _ зЭх4 — 26х8 4- 39х2 4- 65х 4- 26

— х34- х 4- 1 = г (х)

Задача 6. В кольце Z5 [х] найти наибольший общий делитель D (х) многочленов f (х) и g (х):

/ (х) = х2 4- 2х 4- 2, g (х) = Зх3 — Г.

Решение. 1) Делим g (х) на / (х):

_ Зх3-I | х24-2x4-2

Зх® 4- я2 4* * _ Зх — 1 = ^ (х)

_ — х2— _х—2

—х2 — 2х— 2

х 4-1 = г (х)

Делим f (х) на г (х). Используем схему Горнера:

—1—1122Г т Г122Г т Г?1W = H 1, гг=1.?1W = H 1, гг=1.

—1

—1

122

Г т Г

122

Г т Г

?1W = H 1, гг=1.

?1W = H 1, гг=1.

Итак, g (х) = f (х) q (х) + г (х), / (х) = г (х) q^ (х) + г,.

Так как любой элемент поля Zs, отличный от нуля, является тривиальным делителем любого многочлена из кольца Zb [х], то г (х) делится на ri без остатка: г (х) = rt • г (х) = 1 • г (х).

Таким образом, D (х) = rt = 1 С Z5 — многочлены f (х) и g (х) взаимно просты._

Ответ. D (х) = (f (х), g (х)) = 1 6 Z5.

Задача 7. В кольце Z7 [х] найти наибольший общий делитель D (х) многочленов:

/ (х) = х4 — 2х2 + х +_4, g (х) = х^ + 6х2 + 2, h (х) = х4 — 4х2 + 4х — 1.

Решение. Сначала найдем НОД двух многочленов f (х) и g (х): Di (х) = (f (х), g (х)), затем НОД двух многочленов Di (х) и h (х): D (х) = (Di (х), Л (х)). НОД трех многочленов совпадает с D (х):

D (х) = (/ (х), g (х), h (х)) = ((/ (х), g (х)), h (х)).

Проведем необходимые вычисления:

/ W : g (х)-.

f (х) = g(x) • 1 + г (х)=>г (х) = / (х) — g (х) == —х2 + х + 2.

g (х) : г (х):

х4 + 6х24-21 —х2 4- x-f-2

х4 — х8 — 2х2

_х34- X2 _ 4-f

х3— х2 —2х

_2х2 4-2x4-2

2х2 — 2х—4

4х 4- 6 = rt (х), гг (х) = 4х 4- 6.

гС^^-угДх)].

Учитывая, что (4)-1 = 2, будем иметь: (4)-1Г1 (х) = 2г7 (х)= = х — 2. Деление г (х) на х — 2 выполняем по схеме Горнера:

—Г Г 2

2 —Г —Г 0 = Г1=^ЦхГДх—"2)=$'О1(х) = (/(х), g^) = x— 21

Л (х) : Di (х):

10—44—1

212040 = r^ h (х) • Dx (х) => D(x)—(D^x), А(х))=х—-2.

Ответ. D (х) = (f (х), g (х), h (х)) = х — 2 £ Z7 [х].

Задача 8. В кольце С [х] с помощью алгоритма Евклида найти линейное представление НОД двух многочленов:

/ (х) = х4 + (2 — 0 х8 — х—(2 — 0» g (х) — х5 + (2 — 0 х4 + + ix + (1 + 20-

Решение. Если D (х) — наибольший общий делитель многочленов f (х) и g (х) из С [х], то в кольце С [х] существуют многочлены ф (х) ияр (х) такие, что

D (х) = / (х) ф (х) + g (х)ф (х).(I)

Для нахождения D (х), ф (х) и ф (х) используем алгоритм Евклида.

Делим g(x) на f(x):

х5 + (2 — 0 х4 + ix + (I + 2i) | x^Hg—Ox—x-M—2 + 0 x6 -}- (2 — Q x4 — x2 -|- (— 2 + Q x x = q (x)

x2 + 2x + (I + 20 = r (x)

Делим f (x) на r (x):

x4 + (2 — 0 x8—x+(—2+0 | x2 + 2x + (I + 20

x*+ 2x3 + (I + 2Q x2 x2 — jX — I = ^ (x)

ix3-\- (— I — 20 x2— x+(—2 + 0

ix3 — 2tx2 + (2 — 0 x

из равенства (3):

ri (х) = f (х) — г (х) qt (х).

Затем в правую часть подставим выражение г (х) из равенства (2) и приведем «подобные члены» относительно f (х) и g (х):

Н (х) = / (х) — [g (х) — f(x)q (х)] qx (х) == f (х) [1 + q (х) qt (х)] + g (х) [—^ (х)].

Подставим в правую часть последнего равенства найденные многочлены q (х) и qx (х) и обе части полученного равенства разделим на —1 + i- Получим:

D (х) = х + 2 - i - f (х) ...^.^^ + g (х)=

= /(х) ф(х) + §(х)хр(х).

Ответ, ф (х) = — ^х3 — ^х2+ ^х—

W = ^х2+ ^x—^^CW

Замечание. Пусть степень / (х) = п, степень g (х) = т, степень D (х) = к. Среди всех представлений НОД в виде (1) всегда существует такое, в котором степень ф (х) < т — к, степень хр (х) <п — к.(4)

В предыдущей задаче мы получили многочлены ф (х) и хр (х), степени которых как раз удовлетворяют указанным неравенствам: степень ф (х) <5 — 1 = 4, степень хр (х) <4 — 1 = 3.

Задача 9. Доказать, что если имеет место равенство (1), где D (х) = (f (х), g (х)), то справедливо и равенство

D (х) = f (х) м (х)-f-g (х) у (х),(5)

где и (х) есть остаток от деления ф (х) на gx (х) = ^^-, а у (х) — остаток от деления хр (х) на fx (х) = ^^ (и тем самым степень

и (х) ^ т — к — 1, степень у (х) < п — к — 1, где п, тик — степени / (х), g (х) и D (х)).

Решение. Предположим сначала, что D (х) = 1, т. е. f (х) и g (х) взаимно просты. В этом случае fx (х) = f (х), gx (х) = g (х),

ф (х) = g (х) ф! (х) + и (х), хр (х) = f (х) хр! (х) + у (х),

где степень и (х) ^ т — 1, степень у (х) ^ п — 1. Равенство (I) принимает вид:

1 = / W Ф W + ^ (-М W = f (х) и (х) + + g (х) У (х) + / (х) g (х) (Ф1 (х) + Хр, (х)).

Отсюда следует, что Ф1 (х) +tpi (х) = 0 (в противном случае мы имели бы степень fg (ф, + xpj) ^ п + т, степень fu + #у ^ ^ п + т — 1 и многочлен fu + gu + fg (фх + ^Pi) имел бы сте-

пень "^п -V т\ Итак, для случая взаимно простых / (х) и g (х) имеем:

1 = Цх) и (х) + g (х) у (х),

что и требовалось получить.

Пусть теперь многочлены f (х) и g (х) какие угодно. Поскольку fi W и gx (х) взаимно просты, то

1 = fi W и (х) + gx (х) у (х),

где ст. и (х) < ст. tx (х) = п — к, а ст. у (х) < ст. gt (х) = т — к. Умножая обе части этого равенства на D (х), получим:

D (х) = f (х) и (х) + g (х) у (х),

т. е. искомое представление для D (х).

Задача 10. Убедиться, что многочлены

f (х) = Зх3 — 2Х2 + х + 2, g (х) = х1 — х — 1

из кольца Q [х] взаимно просты, и найти методом неопределенных коэффициентов такие многочлены ф (х) и ф (х), чтобы выполнялось равенство

/ (х) <р (х) + g (х)ф (х) = 1.(6)

Решение. По доказанному (см. задачу 9) можно считать ст. ф (х) <2 — 0 = 2, ст. ф (х) < 3 — 0 = 3, т. е. ф (х) = ах + Ь, ф (х) = сх4 + dx + е, где a, b, с, d, е £ Q.

Используем равенство (6):

(Зх3 — 2Х2 + х + 2) (ах + 6) + (х2—х— 1) (cx2 + dx + e)=l. (7)

Так как многочлены, стоящие в левой и правой частях (7), равны как алгебраические выражения, то равны их коэффициенты при одинаковых степенях х (при х4, х3, х2, х, х° = 1). Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему 5 линейных уравнений с 5 не

известными:

За + с= 0,

(8)(8)—2а + 36 — с + d = 0,а — 26 — с — d + ё = 0,2а + 6— d — е = 0,

(8)

(8)

26— е = 0 J

Чтобы решить эту систему, выразим сначала с из 1-го, е — из 5-го, d — из 2-го уравнений через а и 6:

с = —За, е = —1 + 26, d = 2а — 36 + с = —а — 36. (9)

Подставив полученные выражения для с, е, d в 3-е и 4-е уравнения системы (8), получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а — 26 + За + а + 36 — 1 + 26 = 0,1 ^. 5а + 36 — 1, 1

2а + 6 4 а+ 36 + 1 —26 = 0 J За + 26 = — 1,/ решение которой: а = 5, 6 = —8.

Наконец, используя равенства (9), найдем:

с = —15, d = 19, е = —17.

Ответ. <р (х) = 5х — 8, ф (х) = —ISx2 + 19х — 17.

Задача И. В кольце Q [х] найти такие многочлены ф (х) иф (х), чтобы выполнялось равенство

/ W ф (х) 4- g (х) ф (х) = О (х),(10)

где

f (х) = Зх* + х4 + 2Х3 + х4+ Зх + 2,g (х) = х4 — х2 — 2х — 1,D (х) = (f (х), g (х)) = х2 + х + 1.

Решение. Чтобы иметь дело с многочленами меньшей степени, делим обе части равенства (10) на D (х) и получаем равенство к (х) ф (х) +gi (х)ф (х) = 1,

где fi (х) == Зх8 — 2х2 + х + 2, gk (х) == х2— х —1.

D (х)D (х)

Далее используем результаты решения задачи 10.

Ответ, ф (х) = 5х — 8, ф (х) = —15л^ + 19х — 17.

Задача 12. В кольце Q [х] найти наименьшее общее кратное т (х) многочленов:

f (х) = х4 — Зх3 + Зх2 — Зх + 2, g (х) = х3 — 2Х2 — х + 2, Л (х) = х3 + 2Х3 + х + 2.

Решение. НОК многочленов — это такое общее кратное, которое является делителем любого общего кратного. Другая характеристика НОК многочленов — общее кратное наименьшей степени. НОК трех многочленов находится следующим образом. Сначала находится НОК двух многочленов по формуле

mi(x) = C/M, 5(х)]=^^-,

Di(x)

где Di (х) = (f (х), g (х)). Затем находится НОК трех многочленов как НОК полученного многочлена mi (х) и третьего многочлена h (х):

m(x) = [f(x), 5(х), /1(х)] = С/П1(х), Л(х)] = -^1^^-,

где О2 (х) = (mt (х), А(х)).

Последовательность вычислений выглядит так:

1) / (х) : g <xY

_х4 —Зх3 + Зх2 —Зх + 2 |х3 —2х2 —х + 2

х4 — 2х3 — х2 + 2хх — 1

х3 + 4х2 —5х + 2

— х3 + 2х2 + х — 2

2х2 — 6х + 4 = г (х)

2)g(x): yf(x/|:

_ x3 — 2x2 — x + 2 I x2 — 3x + 2

x3 — 3x2 4- 2x x g_ i

x2 — 3x + 2

— x2 — 3x + 2

^iU) = (fW. 5M) = yr(x) = x2 —3x + 2,

«4 (x) = [f (x), g (x)] = ^^- = f (x) ^ =

= (x4 — Зх3 + 3x2 — 3x + 2) (x + 1) = x6 — 2x4 — x + 2.

1) mx (x) г h (x):

x6 —2x4— x + 2 | x3 + 2x2 + x + 2

x64~2x4+ x3+ 2x2 X2 _ 4x + 7

4x4 — x3 — 2x2 — x 4- 2

4X4 — 8x3 — 4x2 — 8x

7x3+ 2x2 +7x + 2

7x84- 14x24-7x4- 14

12x2— 12 = r1(x)

2) h (x) :2) h (x) :—-(x)l:

2) h (x) :

2) h (x) :

L 12 J

_ x3 4- 2x2 4- x 4- 2 |x2 4- 1

3+ xx 4- 2

_2x24-2

2x24-2

0

D^ (x) = (^i (x^ h (x)) = x2 4- 1; m (x) = [my (x), h (x)] =- ^^L^^ (x)^L = (x5_2^_x + 2)(x4-2) =

D8 (x)О2 (X)

= x6 — 4x4 — x2 4- 4.

Ответ, m (x) = [/ (x), g (x), h (x)] = x6 — 4x4 — x2 4- 4.

Задача 13. С помощью результанта двух многочленов установить, являются ли взаимно простыми многочлены:

f (х) = Зх3 — 2х 4- 4, g (х) = 2Х2 — 2х 4- 3.

Решение. Результант R (f, g) двух многочленов / (х) и g (х) — это некоторый определитель (п 4- т)-го порядка, где п = ст. / (х), т=ст. g (х). В данном случае га = 3, tn = 2. Имеем:

30 —24 0

о з — - 4 0

RkL g) =

030—24

2 —2300

02—230

।Л

t

2

0 30 —2 4

2 —23 0 0

=

002 -2 3

2 =

0 2 —2 3 0

0 02 —2 3

= 2-3 • (-1)ш= 2-3 • (-1)шИ2232И2232— 6— 61133—2—299 -62О 116 —299 -62О 116 —2— 1 —-|3 ОI О=2О4— 1 —-|3 ОI О=2О433(-1)2+2(-1)2+2215 -6271332—2215 -6271332—2О4О3О4О3271 О2—2 3271 О2—2 316 316 3

= 2-3 • (-1)ш

= 2-3 • (-1)ш

И

2

2

3

2

И

2

2

3

2

— 6

— 6

1

1

3

3

—2

—2

99 -6

2

О 1

16 —2

99 -6

2

О 1

16 —2

— 1 —-

|3 О

I О

=2

О

4

— 1 —-

|3 О

I О

=2

О

4

3

3

(-1)2+2

(-1)2+2

2

15 -6

2

71

33

2—2

2

15 -6

2

71

33

2—2

О

4

О

3

О

4

О

3

2

71 О

2—2 3

2

71 О

2—2 3

16 3

16 3

(

9Q7\

— — 64) = 169^0.2/

Определители 5-го и 4-го порядка мы разложили по 1-му столбцу, предварительно получив в нем нули (кроме одного элемента), а определитель 3-го — по 2-й строке, предварительно прибавив к 1-му столбцу 2-й, умноженный на —7. Результант Р (/, g) не равен нулю, следовательно, многочлены f (х) и g (х) взаимно просты.

Упражнения

Разделить с остатком многочлен / (х) на g (х):

/(х)=2х4 — 4х3 + 4х2 — 6, g (х) = х2 — Зх— 1 £ Z Ех];

/(х)=2Х4 — Зх3 + Зх2 — 5х + 6, g ^ =х2—Зх +1 € Z[x];

/(х)=х3 — Зх2 — х — 1, g (х) = Зх2 — 2х — 1 € Q Ех];

f(х)=(10 + 51) Л4 - (15 + 50 х2 + (10 + 300 х + (10 — 50,

g (х) = (2+0х2 - Зх+U С Ех]; __

Д) f (х) = 6х4 + 5х2 — 2, g (х)_= х3_— 2х — 1 _С Z7 [х];__

/ (х) = 2х6 — Зх4 + 2х3 — Зх + I, g (х) = 2Х2 — Зх + 1 5 € Ех].

Найти делитель g (х), если известны делимое / (х), частное q (х) и остаток г ^х\

/ (х) = 2х6 + Зх4 + 2х® + 1, q (х) = х2 + Зх + 1,

Г (х)=63х + 25 е z[х];

f(x)=X6 — 2Х4 — х3— 7х2— 5х + 3,

q (х)=х3 — Зх2 — 1,г (х)= —4х + 5 £ Z Ех];

f (х)=2Х4 — 13х3 +7х2 +1 х — 4,

q (х) = ^х — 3, г (х) = х8 — х + 5 С Q ExJ;

Ь, при которых многочлен / (х) делитсяЬ, при которых многочлен / (х) делитсяf (х) = х4 + Зх3 — х2 + 1. 9 to = х2 + (3 — 0 я — (4+30, Г (х) = (—2 + 5i) х + (9 + 60 € с [х].

Ь, при которых многочлен / (х) делится

Ь, при которых многочлен / (х) делится

Найти значения а и на многочлен g {х):

а) / (х) = ^ + ах + Ь, б) / (х) = х8 + ах + Ь, в) / to = х4 + ах + 6, г) / (х) = х6 + ах + Ь,а) / (х) = ^ + ах + Ь, б) / (х) = х8 + ах + Ь, в) / to = х4 + ах + 6, г) / (х) = х6 + ах + Ь,g (х) = х2 + 1;g to = X8 + СХ + 1 g (x) = X2 + ex + 1 g (x ) = x2 + ex + 1g (х) = х2 + 1;g to = X8 + СХ + 1 g (x) = X2 + ex + 1 g (x ) = x2 + ex + 1

а) / (х) = ^ + ах + Ь, б) / (х) = х8 + ах + Ь, в) / to = х4 + ах + 6, г) / (х) = х6 + ах + Ь,

а) / (х) = ^ + ах + Ь, б) / (х) = х8 + ах + Ь, в) / to = х4 + ах + 6, г) / (х) = х6 + ах + Ь,

g (х) = х2 + 1;

g to = X8 + СХ + 1 g (x) = X2 + ex + 1 g (x ) = x2 + ex + 1

g (х) = х2 + 1;

g to = X8 + СХ + 1 g (x) = X2 + ex + 1 g (x ) = x2 + ex + 1

Найти наибольший общий делитель D (х) и наименьшее общее кратное т (х) многочленов:

f (х) “ ^ + 4х — 3, g (х) =_х4 + х3 — х2 + х — 2 £ Z5 [х];

f to = Зх2 + х — 2, g (х) = 2х4 — х3 — 4х2 + Зх —1 £Z7Ex]; в) / to — х4 + х + 4, g (х) = 2х4 + х3 — Зх2 — 2х— 2€ ZuEx]; г) f (х) = х4 + х? + 2х2 + х + 1, g (х) = х3 — 2х2 + х —

-2(9И

/ to = х4 + 2х3 + 2х® + 2х + 2, g (х) = х3 + Зх2+2С QEx];

/ (х) ”в х4 — Юх2 + 1, g (х) — х4 ”4 У2Х3 + бх2 + 4 ]/2х + + 1 € Я to;

f (х) = х6+ (1 —0^+ ха — ixa— 1, g(x) = х4 — ix3 — — (1— Ох2 — х+ 16С[Х].

С помощью алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя D (х) многочленов f (х) и g^:

D (х) = f to Ф to + g to 4 to. где

f to = 4x4 — 2x3 — 16x2 + 5x + 9, g (x) ™ 2x3 — x2 — 5x + 4 € Q И;

f (x) = ^ + Зх4 + X3 + x2 + 3x + 1, g (x) = x4 + 2x® + x + 2 € Q [x];

f (x) = x4 — (2 + 0 x4 — x2 + (2 + 0 x,

g (x) = 2x4 — (4 + 20x® — x2 — x + 1 € C [x];

r) f (x) = x4 — lx? — (1 — Ox8 — x + 1,

g to = X6 + (1 — 0 X4 + x3 — tx2 — 1 € C [x].

Для многочленов f (x), g (x) и D (x) = (f (x). g to) методом неопределенных коэффициентов найти многочлены ср (х) и ф (х) такие, чтобы выполнялось равенство:

D (х) = / (х) Ф (х) + g (х)Ф to-

/ (х) = х3 + Зх + 3, g (х) = х8 — х — 2, D (х) = 1 $ Q [х];

/ (х) = х3, g (х) = О - х)2, D (х) = 1 € Q Сх];

/ (х) = х3 — 4х2 + х + 6, g (х) — х3 + 2х2 + 2х + 1,

D (х) = х + 1 € Q [х];

Г (х) = 2Х2 + (4 + 50х + (3 — 20,

g (x) = 3ix2 — (8 — 7i) x — (1 — 5i), D (x) = x + 2 + 3i € €C[xJ.

С помощью результанта установить, являются ли многочлены / (х) и g (х) взаимно простыми:

/ (х) = Зх2 + х — 2, g (х) = х2 — 2х — 2;

/ (х) = 2х3 — х2 + Зх — 1, g (х) = х2 — х + 5;

f (х) = х8 — Зх + 6, g (х) = х3 + х2 — х — 1;

f (х) = х8 + 2х — 3, g (х) = х2 + 2х — 3.

§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Вопросы программы. Приводимые и неприводимые многочлены над данным полем. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов и единственность такого разложения. Производная многочлена над полем нулевой характеристики. Схема вычисления значений многочлена и его производных. Теорема о неприводимом кратном множителе многочлена; кратные корни многочлена. Выделение кратных множителей. Дискриминант.

Литература. ВинбергЭ. Б. Гл. II, § 2, 3.

Задача 1. Над каким из полей Q, Р или С приводимы многочлены:

a) f (х) = х2 — 4х — 2;б) / (х) = х3 — х2 + х + 1;

в) / (х) = Зх2 — 2х + 4;г) / (х) = Зх — 6?

Решение. Многочлен f (х) £ Р [х] степени п > О называется приводимым над полем Р, если он разлагается над этим полем в произведение двух многочленов меньшей степени, и неприводимым (простым) над полем Р в противном случае.

Многочлен первой степени неприводим над любым полем. Многочлен 2-й или 3-й степени приводим над Р тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы один корень в Р. Если ^ (х) С Р И приводим над Р, то он приводим над любым расширением поля Р, поэтому при исследовании / (х) на приводимость мы начинаем с возможно более узкого поля, над которым / (х) определен. Если многочлен неприводим над некоторым полем, то он неприводим над любым его подполем.

х2 — 4х + 2 = 0, xv 2 = 2 ± К2 € Р=>

f (х) = (х — 2 — }/2) (х — 2 + К2) приводим над Р;

х3 — х2 + х — 1 = 0, х2 (х — 1) + (х — 1) = 0, (х — 1) х X (х2 + 1) = О,

Xi = 1 С Q=>/ (х) = (х — 1) (х2 + 1) приводим_над Q;

Зх2 — 2х + 4 = 0, х1|2 - -^^з" 12 = -=-^И 6 С =>

= (зх -1 I ГП) (, приводим над С.

Ответ, а) / (х) приводим над полем R; б) / (х) приводим над полем Q; в) / (х) приводим над полем С; г) / (х) неприводим над полем С (.R, Q).

Задача 2. В кольце Q [х] найти нормированные D (х) (НОД) и т. (х) (НОК) многочленов f (х), g (х), используя их канонические разложения:

/ (х) = 3 (х - I)2 (х2 + I)3, g (х) = 4 (х + 2) (х - I)3 (х2 + О-

Решение. Многочлены f (х) и g (х) уже разложены на множители, неприводимые над полем Q. Наибольший общий делитель D (х) многочленов f (х) и g (х) равен произведению обших различных между собой неприводимых множителей (делителей) многочленов; при этом множитель р (х) берется в степени, равной наименьшей из двух степеней, в которых он входит в разложение / (х) и g (х). В данном случае

D (х) = (f to, g (х)) = (х - I)2 (х2 + 1) € Q [х].

Наименьшее общее кратное т (х) многочленов / (х), g (х) должно в каноническом виде содержать все множители, которые входят в f (х) или в g (х), в наибольшей степени:

т (х) = U (х), g (х)] = (х - I)3 (х2 + I)3 (х + 2).

Оба найденных многочлена D (х) и т (х) являются нормированными.

Ответ. D (х) = (х — I)2 (х2 + 1), т (х) = (х — I)3 (х2 + 1) X X (х + 2) € Q [х].

Напомним следующее определение.

Если

f (х) = а0 + ^х + а2х2 4- ... + а^х”"1 + апх”

— некоторый многочлен над полем Р, то многочлен

at + 2а2х + ... + (п — 1) а^х”-2 + па„х"-1

называется производной многочлена f (х) и обозначается /' (х). Если поле Р нулевой характеристики (в частности, если Р — числовое поле) и ст. / (х) = n > 1, то ст. /'(х) = п — 1^0; если f (х) = а € Р, то fto = 0 ^ Р.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены только над ЧИСЛОВЫМИ полями.

Задача 3. Разложить по степеням х + 2 многочлен

f (х) = 2 — Зх2 + 4Х3.

Решение. Используем формулу Тейлора:

f(x) = f (а) + f'(a)(x — а)+ ^.(х —а)2 + ... +^1^.(х_а)л,

В данном случае п = 3, а = —2,

W = f (-2) + Г (-2) (x + 2) + -^L (x + 2)2 +

Коэффициенты разложения можно найти двумя способами.

Способ I. Находим производные многочлена:

№ = —6х + 12x2, f (х) = — 6 + 24х, Г (х) = 24, затем непосредственно подставляем х = —2 в многочлен и его производные:

f (—2) = —42, f (—2) = 60, f (—2) = —54, Г (—2) = 24.

Итак, искомое разложение:

f (х) = —42 + 60 (х + 2) — 27 (х + 2)2 + 4 (х + 2)3.

Способ II. Делим по схеме Горнера многочлен / (х) на х + 2, затем полученное частное на х -j- 2, затем следующее частное на х + 2 и т. д. (всего 4 раза). Тогда полученные остатки г0, гъ г2, га равны соответственно свободному члену и коэффициентам при х 4- 2, (х + 2)2, (х + З)3. Вычисления:

4

-3

0—2

—2

4

—11

22—42 = г0 = /(—2)

—2

4

— 19

60 = г,=Г(-2)

—2

4

—27 =

Г

22!

(-2)

—2

4 =

'з-

3!

Ответ. / (х) = —42 + 60 (х + 2) — 27 (х + 2)2 + 4 (х+2)3.

Способ II, как видим, быстрее приводит к результату.

Задача 4. Используя схему Горнера, вычислить значения многочлена / (х) и его производных (до 3-го порядка включительно) при х = 3, где

f (х) = 2х3 — бх2 + х + 7.

Решение. Значения многочлена и его производных при х = а, не находя сами производные, можно найти (п + 1 раз), используя многократно схему деления на х — а Горнера. Как и при решении предыдущей задачи, последовательно получаемые остатки равны коэффициентам разложения f (х) по степеням х — а (коэффициентам формулы Тейлора):

Отсюда находим:

f^ = r0, f'(a) = r1, f" (а) = 21 г2, ... , /W(a) = n!r„.

В данном случае п = 3, а = 3, и вычисления дают

| 2—S17

321419=/(3)

32725 = f' (3)

3213 = ^T-^ Г (3) = 2! 13 = 26

3| 2= —^=^/"'(3) = 3!2=12

Ответ, f (3) = 19, f\3) = 25, f (3) = 26, Г (3) = 12.

Задача 5. Вычислить значения многочлена f (х) при х = 3,01 и х = 2,98, где

/ (х) = х4 + 5х3 — 9х2 + 7.

Решение. Вычисление значений / (3,01) и / (2,98) непосредственной подстановкой х = 3,01 и х = 2,98 в многочлен затруднительно. Ближайшим целым числом к 3,01 и 2,98 является 3. Поэтому сначала разложим многочлен / (х) по степеням х — 3 по формуле Тейлора, используя 5 раз схему Горнера, а затем подставим значения х = 3,01 и х = 2,98:

|15907

3 33333 3333183399304 = / (3)

3 3

3

3

3

3 3

3

3

3

11166 297 = Г (3)

г О)

114108 = ^-^

21

117=™

3!

, _ fW (3)

4!

f (х) = 304 + 297 (х — 3) + Ю8 (х — З)2 + 17 (х — З)3 + (х — З)4, f (3, 01) = 304 + 297 • 0,01 + 108 • 0,0001 + 17 • 0,000001 + + 0,00000001 = 304 + 2,97 + 0,0108 + 0,000017 + 0,00000001 = = 306,98081701,

/ (2,98) = 304 + 297 (—0,02) + 108 • 0,0004 + 17 • (—0,000008) + + 0,00000016 = 304 — 5,94 + 0,0432 — 0,000136 +

+ 0,00000016 = 304,04320016 — 5,940136 = 298,10306416.

О ГВ е т. Г (3,01) = 306,98081701; / (2,98) = 298,10306416.

Задача .6. Разложить по степеням х многочлен / (х + 3), где

/ (х) = х6 — 5х4 — 4Х3 + 2.

Решение. Задачу можно решить двумя способами. Способ I. Подставим х + 3 вместо х в многочлен

f (х + 3) = (х + З)8 - 5 (х + З)4 - 4 (х 4- з)3 4- 2.

Используем формулу бинома Ньютона:

f(x + 3) = (x6 + 5.3x4+^.3V + ^ -38x24-5 .34x + 3^ —_ 5 (x4+ 4 • 3x8 + p| • 32x2 + 4 • 3»x 4-34^ —

—4 (x8 + 32x2 + 33x 4- 3s) + 2.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим ответ: f (х + 3) = х5 + Юх4 + 26х3 — 36х2 — 243х — 268.

Способ II. Разложим многочлен f (х) по степеням х— 3 по формуле Тейлора, используя 6 раз схему Горнера:

| 1—5-4002

3333333333331 —2 —10 —30 —90—268 = /(3)

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

11—у —51 —243 =/'(3)

,,. Г (3)

145—36 =

2!

1 ю = М 4!

! _ /<5> (3) 5!

/ (х) = (х — З)8 + 10 (х — З)4 + 26 (х — З)3 — — 36 (х — 3)а — 243 (х — 3) — 268.

Подставив х + 3 вместо х, получим тот же ответ:

f (х + 3) = X8 + Юх4 + 26Х3 — Збх2 — 243х — 268.

Способ II быстрее приводит к результату.

Задача 7. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь ж3 + 2х — 3

(х 4-3)4

Решение. Разложим числитель ф (х) = х3 + 2х — 3 по степеням х 4- 3 по формуле Тейлора, используя 4 раза схему Горнера:

102—3

—3

1—311—36 = ф(—3)

—3

1—729 = ф' (—3)

—3

1-9 = ^

2!

. Ф” (-3)

—3

1 =

31

Ф (х) = (х 4- З)3 — 9 (х 4- З)2 + 29 (х 4- 3) — 36.

Подписав знаменатель под каждым членом числителя, после сокращения дробей получим ответ:

х34-2х —3192936

(х 4-3)«~*4.з (х 4-З)2 + (х4-3)3(х4-3)4*

Задача 8. Найти наибольший общий делитель D (х) многочлена / (х) и его производной f (х), где

f (х) = (х - I)3 (х2 + I)2 (х + 3) € Q to.

Решение. Многочлен f (х) разложен на множители (делители), неприводимые над полем Q рациональных чисел. Для нахождения D (х) используем теорему: если р (х) — неприводимый множитель (делитель) кратности к ^ 1 многочлена f (х) £ Р [х]. где Р — поле нулевой характеристики, то р (х) является неприводимым множителем (делителем) кратности к — 1 производной f (х) многочлена / (х). (В частности, если к = 1, то /' (х) не делится р (х).)

В данном случае имеем:

/' (х) = (X - I)2 (х2 + 1) Ф (х),

где через ф (х) мы обозначили произведение собственных неприводимых множителей f (х), т. е. таких, каких нет у многочлена Г (х).,

Наибольший общий делитель / (х) и / (х) легко найти, записав его в каноническом виде ф (х) нормированный):

D (х) = (х - I)2 (х2 + 1) С О [х].

Ответ. D (х) = (f (х), f (х)) = (х — I)2 (х2 + 1).

Задача 9. Выделить кратные неприводимые множители многочлена

/ (х) = X8 — Юх3 — 20Х2 — 15х — 4 € Q [х].

Найти его корни и каноническое разложение.

Р е ш_е н и е. Пусть разложение многочлена f (х) € Р [х] на неприводимые неассоциированные множители (каноническое разложение) над полем Р имеет вид:

f (х) = арг (х)6* р» (х)*... ps (х)^ (« € Л а + 0).

Так как в производную неприводимые множители р; (х), i = 1, .... s, входят с кратностью на 1 меньше, то

Г (х) = bP1 (х)к*-‘ ре (х)*1-1 ... Ps ^-’ ф (х) (b € Р, b Ф 0), где ф (х) — произведение собственных неприводимых множителей V (х), т. е. таких, каких нет у многочлена / (х). Следовательно, НОД многочленов / (х) и f (х) имеет вид:

D (х) = (/ (х), V (х)) = сР1 (х)^1 р^ (х)к’~’ ... ps (x)^1 (с 6 Р, с^ 0). Если kt = 1 (pt (х) — простой, однократный множитель / (х)), то pt (х) не входит в /' (х) и в D (х). Таким образом, неприводимые множители многочлена D (х) — это в точности кратные неприводимые множители многочлена / (х). Многочлен D (х) находят при помощи алгоритма Евклида, а разложить его на неприводимые множители легче, так как степень D (х) < степени / (х).

Вычисление D (х) для данного случая:

f (х) = бх4 — ЗОх — 40х — 15;

/ W : Ц/ (х)]:

_х5 — Юх — 20х2 — 15х — 4|х4 — бх2 — 8х — 3

х5 — бх8- 8х2— Зх

— 4х8 — 12х2 — 12х — 4 = г (х)

^FW : [—-/(4

5 L 4 J

x4 — бх2 — 8x — 3 | x8 + 3x2 + 3x 4- 1 x4 + 3x8 + 3x2 + xxз

—3x® — 9x2 — 9x — 3

—3x8 — 9x2 — 9x — 3

D(x) = (/(x), f'(x))=-^-r(x)= Xs4-3x4 3x+l=(x + l)8.

Так как множитель x + 1 входит в f (х) с кратностью 3, то в / (х) он войдет с кратностью 4, но степень / (х) = 5, следовательно, частное от деления / (х) на (х + I)4 является линейным многочленом, который неприводим над полем Q.

/ (х): (х + I)4:

_ х5 — Юх3 — 20х2— 15х — 4 | х4 + 4х8 + 6х2 +4x4-1 х5 4- 4х4 4- бх3 4- 4х2 4- хх4

_ 4х4 — 16х3 — 24х2 — Юх — 4

4х4 — Юх8 — 24х2 — 16х — 4

О

Ответ, f (х) = (х — 4) (х 4- I)4 над Q; х, — 4, х2, з. 4» s = = -1 € Q

(4 — однократный, простой корень / (х), 1 — четырехкратный).

Задача 10. Выделить кратные неприводимые множители многочлена

f (х) = х® — 15х4 4- 8х® 4- 51Х2 — 72х 4- 27 € Q [х].

Найти его корни и каноническое разложение.

Решение. Будем записывать только результаты.

r(x) = 1Г1(х)(5х — 9);

D (x) = (/ (x), f' (x)) = — 1 rx (x) = xs + x — 5x 4- 3.

64

Разложение многочлена D (x) на неприводимые множители над полем Q трудно найти непосредственно (впоследствии мы познакомимся с.методом нахождения рациональных корней многочлена, облегчающим решение этой задачи). Попытаемся найти это разложение, используя общую схему выделения кратных множителей.

I этап. Всякий многочлен / (х) 6 Р [х] ненулевой степени можно представить в виде

/ (х) = aXxXUX ... X” (а € Р, а ^ 0),

где Хх — произведение однократных (простых) неприводимых над Р множителей, Х4 — произведение двукратных неприводимых над Р множителей, взятых по одному разу, и т. д. (Если множители кратности 1,1 = 1tn отсутствуют, то Xt = 1.) Так как в производную f (х) все множители войдут с кратностью на 1 меньше, то Dx (х) = (/ (х), f (х)) = Х^й ... ХТХ. ,

Аналогично находим О2 (х) — НОД многочленов Dx (х), D\ (х), затем Da (х) — НОД многочленов Da (х), D'a (х) и т. д., пока не получим Dm (х) = 1:

Da (х) =(х), D\ (х)) - Х3Х42... ХТ\

Ощ-Х (х) — (Dm-2 (х), Dm—2 (х)) = Хт, Dm (х) =5 1.

На этом кончается I-й этап решения задачи.

II этап. Находим отношения:

Е (х\ — Dt^ — X X ^W“d2(x)

F (v\ — М — У У

EmW = ^a=^- = Xm.

III этап. Выделяем произведения i-кратных (/=1, .... т) множителей, находя отношения предыдущих отношений —^^—। Е (х)£,+1 ^

-^'- = аХг — произведение однократных множителей;

£2 (х)

Чг^' = Хг — произведение двукратных множителей;

3333С8 (х)

33

33

m~11 ’- = Xm_i — произведение (m — 1)-кратных множителей. EmW

Произведение m-кратных множителей мы уже получили на II этапе:

Ет (х) = Хт. (Не забывать!)

Разложив многочлены Xt, i = 1т на неприводимые мно жители, мы получим каноническое разложение многочлена / (х)

Продолжим решение задачи 10 по предложенной схеме.

I. Dv (х) = (/ (х), /' (х)) = х3 — х2 — 5х + 3.

D\ (х) = Зх2 — 2х — 5;,

делим с остатком 9DT (х) на D\ (х):

9DX (х) = Di (х) (Зх + 1) + г2 (х),

где г2 (х) = — 32х + 32;

делим с остатком Di (х) на —^r2 (х) = (х — 1):

D* W = —^г2^)(Зх4-5);

D2(x) = (D1(x), Dl(x)) = —lr2(x) = x—1;

D2 (х) = 1 => D8 (х) = (D2 (X), D2 (x)) = 1.

E,(x) = -^-= Xs —x2 —9x4-9, £ (X) = 21W. = x2 4-2X - 3, 5зМ = ^ = х-1.

E3 (x) = x — 1 = Xs.

Ответ.

/ (x) = (x - 3) (x 4- 3)2 (x - I)3 € Q [x];

Xi = 3, x2. $ = 3, x4- j, e= 1 € Q* Задача 11. Выделить кратные множители многочлена / (х) = Зх3 — 2х® 4* х 4-1 € Q [х]. Решение. Будем записывать только результаты. 1) f (х) = Эх2 — 4х 4- 1;

27/ (х) = f (х) (9х - 2) 4- г (х), где г (х) = Юх 4- 29;

f(x) = ^r(x)(9x-30,l) + r1, где rt = 88,29;

4)D1(x) = (/(x), Г'^ = ^гг=\.

Ответ. Многочлен f (х) не имеет кратных множителей (т. е. имеет только простые, однократные множители), так как он взаимно прост со своей производной.

Задача 12. Проверить, что число 5 является корнем многочлена f (х) = X» _ 15х« + 76х3 — ИОх2 4- 75х — 125,

и найти кратность этого корня.

Решение. Кратность корня а многочлена / (х) есть наивысшая степень двучлена х — а, на которую делится / (х). В нашем случае следует делить f (х) на многочлены

х — 5, (х — 5)2, (х — 5)8, ...

до тех пор, пока не получим отличного от нуля остатка. Практически, однако, проще разделить f (х) на х — 5, затем полученное частное снова разделить на х — 5 и т. д., пока не получим частное, которое не делится на х — 5. С помощью схемы Горнера находим;

1—1576—14075—125

5 55 55 55 51 _ю26 — 10250

5 5

5 5

5 5

5 5

1—51—50

1010

15 26

При 4-м делении появился остаток 26 ^ 0. Следовательно, число 5 является трехкратным корнем f (х), причем

f(x) = (x-5)3(x2 + l).

Задача 13. Определить а и b так, чтобы многочлен

f (х) = Xs + ах2 + bx + 1

имел число —2 корнем не ниже 2-й кратности.

Решение. Число —2 будет корнем многочлена f (х) не ниже 2-й кратности, если значения многочлена / (х) и его производной f (х) = 5х* + 2ах + b при х = — 2 равны нулю. Приравнивая / (—2) и f (—2) нулю, получим систему уравнений:

4а —26 = 31, 1

—4о -I- 6 = — 80, J решая которую найдем:

а = —, 6 = 49.

4

Задача 14. При каких значениях р и q многочлен / (х) = = х3 + рх + q имеет кратный неприводимый множитель.

Заметим, что для многочлена 3-й степени кратный множитель 2*35

может иметь только степень 1, поэтому поставленная задача равнозначна следующей: при каких р и q многочлен f (х) имеет кратный корень?

Решение. Многочлен / (х) имеет кратный множитель тогда и только тогда, когда его дискриминант

П (/1—1)

D(f) = (-1) ^RV.H

(n — степень f (х), а0 — старший коэффициент) равен нулю. Учитывая, что V (х) = Зх2 + р, получаем:

—2р —3^О —2р3 О—2р —3^О —2р3 О1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р 0 0 0 3 0 р 0 0 0 3 0 р=10рq0—2р—3q030р0030р==1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р 0 0 0 3 0 р 0 0 0 3 0 р=10рq0—2р—3q030р0030р==Rtf, П =Rtf, П =ОSq РОSq Р—2р —3^О —2р3 О—2р —3^О —2р3 ОО—3^ рО—3^ р= 4р3 + 27 q\= 4р3 + 27 q\

—2р —3^

О —2р

3 О

—2р —3^

О —2р

3 О

1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р 0 0 0 3 0 р 0 0 0 3 0 р

=

10рq

0—2р—3q0

30р0

030р

==

1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р 0 0 0 3 0 р 0 0 0 3 0 р

=

10рq

0—2р—3q0

30р0

030р

==

Rtf, П =

Rtf, П =

О

Sq Р

О

Sq Р

—2р —3^

О —2р

3 О

—2р —3^

О —2р

3 О

О

—3^ р

О

—3^ р

= 4р3 + 27 q\

= 4р3 + 27 q\

Отсюда имеем:

D (f) = (-1) Rtf,D = -4р3 - 27q\

Следовательно, многочлен х3 + рх 4- q тогда и только тогда имееткратный корень, когда его коэффициенты связаны соотношениемр» + 27^ = 0.

Упражнения

Над каким из полей Q, R или С приводимы многочлены:

а) / (х) = х2 — Юх 4-21;б) g (х) = 2х2 — Зх — 5;

h (х) = Зх2 4- х 4~ 3;г) ф (х) = х2 4- 2х — 1?

g(x) = (x-l)2(x4 08 6C[x];

f (х) ==» (2j? 4 * + 8) (х — 2)*,

g(x) = (3x-lY(2x-HKQtx}.

Разложить многочлен f (х) по степеням х — а:

7 (я) = х4 4 Зх2 4 L а = —1;

7 (х) = 2х® — Xs — 2х® — 6х + 10, а = 2;

/ (х) = х4 4 2ix® — (1 4 0 х2 — Зх 4 7 4 0 а — — i-

7 (х) = х» + (2 — i)x* — (1 — 0х34 (1 4 0х® — (1 + 0* + 4* 3 — I, а “ I.

Пользуясь схемой Горнера, найти значения многочлена и его производных при х = а:

7 00=4х® — 2х2 4 5х — 1, а = 2;

/ (х)=Зх4 4- Зх3 — 2х® 4- 6х — 5, а =—3;

/ (х)=х4 — Six3 — 4х® 4- 5tx — 1, а =1 42i;

7 00=я4 — З/х3 4- (1 — 0л? 4 2х 4 1+ <»о= 0

Вычислить значение многочлена

7 (х) = Зх4 — бх3 4 7л? — х 4- 6 при

х— 2,95; х = 3,2; х = 4,99; х = 5,02.

Разложить по степеням х многочлены:

7 (х 4 3) = (х 4 З)4 — 3 (х 4 З)3 4 5 (х 4 3) — 2;

7 (х — 3) = 2 (х — 3)’ 4 7 (х — З)8 4- (х—З)3—5 (х—3)24 4;

7 (х 4 1 + 20 = (х 4 1 + 204 — 3i (х 4 1 4 203 —4 (х 4 4- 1 4- 202 4 5 (х 4 1 4 20 — 1.

Разложить на простейшие дроби:

. 2х*— 5x4 1.<\ х* 4 7Х3 4 4х2 — 25х 4 1

8' (х —2)» *'(х4б)*"

Используя теорему о неприводимом кратном множителе многочлена, найти наибольший общий делитель D (х) многочлена / (х) и его производной:

f(х)=(х — I)3 (х + I)2 (х — 3);

f(х)=(х— 1) (х8 — 1) (х4 — 1);

7(х)=(х3 - 1) (х2 - 2х 4 О (^ -О:

f(х)=(х3 — 1) (х3 4 1) (х3 — Зх24 Зх — 1).

Проверить, будет ли число а корнем многочлена 7 (■*) и его производных:

а)а = р 7W = 2х4 —2х34ул: —1;

а = —| i, 7 W = 4х3 4 2х» 4 18tx — 22у — 13-10

а = 1, f (х) = х4 — х3 — Зх2 + 5х — 2;

а = — i, f (х) = х3 + tx2 + х + I.

Выделить кратные множители многочленов и найти их корни:

/ (х) = х8 — ISx3 — Юх2 + 60х + 72;

f (х) = х8 — 7х3 — 2Х2 + 12х + 8;

f (х) = 2х® + бх6 + бх4 + х3 — Зх2 — Зх — 1;

/ (х) = х* — (1 — 30 х3 — (3 + 3t) х2 + (3 — 0 х + ц

f (х) = ^ -V б/х4 — Ux3 — 161Х2 + 9х + 2i.

Найти кратность к корня а многочлена f (х):

/ (х)= х8 — бх4+7х3 — 2х2 + 4х — 8, а = 2;

f (х)= х6 + 7Х4+16х3 + 8х2 — 16х — 16, а = —2;

f (х)= х6 + 2х®+4х* + 4Х3 + 5х® + 2х — 2, а = —1;

/ (х)= х8 — 4Х4—бх2 + 16Х2 + 29х +12, а = —1,а = 3.

Определить значения буквенных коэффициентов многочлена / (х) так, чтобы число а было его корнем не ниже 2-й кратности:

f (х) = х6 — ах2 — ах + 1, а = —1;

f (х) = ах4 + рх3 + 1, а = 1;

/ (^) = ах”+1 + Рх” + 1, а = 1.

При каких значениях X многочлен f (х) С R И имеет кратный множитель:

/ (х) = х3 — Зх + X;

/ (х) = х3 + (^ — 2)х — 2?

Глава 11

МНОГОЧЛЕНЫ НАД основными числовыми полями

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Вопросы программы. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Геометрическое истолкование действий над комплексными числами. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.

Литература: ВинбергЭ. Б. Гл. 4, § 1 (п. 1—7).

Задача 1. Решить уравнение

(2—i) х + (5 + 6i) у = 1 — 3Z,

считая неизвестные х и у действительными числами.

Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду а + bi, получим уравнение, равносильное данному:

(2х -{- 5у) -|- (—х -f- бу) = 1 — 31.

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при I, то имеем систему уравнений:

2х + 5у= 1, 1

—х 4-6у=—3. J

п215

Решая эту систему, получим: х = —, у = — —.

Замечание. При решении задачи мы существенно использовали условие, что х и у — действительные числа. Если х и у — комплексные числа, то приведенное решение неверно, так как в этом случае 2х + 5у нельзя считать действительной частью числа 1 — 3i (аналогично и — х + бу не будет коэффициентом при i).

Задача 2. Вычислить i36, i4’, i128, i239.

Решение. Имеем:

i4 = i2 • i1 = (—1) (-1) = 1.

Поскольку любое целое число п можно представить как 4^ + г, где г = 0, 1, 2, 3, то

in = [М . |V = у, и тем самым нахождение любой степени числа i сводится к нахождению одного из чисел i°, i1, i4, i3. Но

i° = 1, i1 = i, i4'= —1, i3 = —i.

В частности, /86 = Z4'9 = 1, 1“ = £-и+4 =. p __ —],^125 _.

_ 4.31+1 _ a _ , ,238 _ .4-59+3 _ .3 _,

Ответ. 1,—1, i,—L

Задача 3. Вычислить

(1 + 2i)».

Решение. По формуле бинома Ньютона имеем:

(l+20» = l» + 5U».2Z + ^. 1».(202+р^.Р(20’ +

+ 5 • 1 . (20* 4- (2/)» - 1 —Ю/ — 40 — 80/ + 80 4- 32/ = 41 — 58/.

Задача 4. Решить в поле С систему уравнений:

Зх + 2/у = 1 — /Д(1 — /)х 4- У ■ 2.)

Решение. Используем правило Крамера. В данном случае

A-ll-n^-1-2^0’

поэтому единственное решение системы будет:

I31— Л

v в Ду = |1 —12 I = 64-217 Д 1 — 211 — 21"

Нахождение частного двух комплексных чисел проще всего достигается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Имеем:

х = 0 — &) 0 4-20 = 1 —51 + 21—101* = И _ 3. f

“ (1—20(1+20 =5“ 55 *'

в (6 + 21) (1 + 21) ^ 6 + 21 + 121 + 41*£ U.

У ” (1 — 20 (1 + 21) ”56 + 5 '

-113.2. 14.

Ответ. х = —— — ц у=— + -т<- 5555

Задача 5. Найти все значения корня квадратного из комплексного числа а + Ы, не равного нулю.

Решение. Пусть

Va-Vbi = х + у/,

где х и у — неизвестные действительные числа. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

а + Ы =«= (х8 — у9) 4- 2ху/.

Последнее уравнение равносильно системе уравнений:

х8 — у2 = а,2ху « Ь.

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим полученные уравнения. Будем иметь:

^ + уар - № + №.

Отсюда

х2 + у2 = V<^ + №»

где в правой части следует иметь в виду арифметический корень, так как х2 + у2 ^ 0. Учитывая, кроме того, что х2 — у2 = а, получим:

а = а + У^ + Ь8 , = jz£±IZ±E-

2* У2*

Так как K^ + b’^lal, то оба полученных числа неотрицательны. Извлекая из них квадратные корни, получим действительные значения для х и у:

х = ± ^ё+УЁЗЁ, у = + рЛ^“±Е“ЁЩ

Из соотношения 2ху = 6 следует, что при 6 > 0 числа х и у имеют одинаковые знаки, а при b <0 — противоположные. Отсюда имеем формулу:

УТ^Ы = ± ^ а + У^ТЕУТ^Ы = ± ^ а + У^ТЕ± I± Iу Г —а 4-У а3 4-6»V 2,у Г —а 4-У а3 4-6»V 2,

УТ^Ы = ± ^ а + У^ТЕ

УТ^Ы = ± ^ а + У^ТЕ

± I

± I

у Г —а 4-У а3 4-6»V 2,

у Г —а 4-У а3 4-6»V 2,

где внутри скобок перед i берется знак «4-», если b > 0, и знак «—», если b < 0 (в случае 6 = 0 знак перед i безразличен, так как в этом случае х или у равен нулю).

Мы видим, что корень квадратный из не равного нулю комплексного числа имеет два значения, отличающиеся друг от друга множителем — 1.

Задача 6. Вычислить К—3 — 4/.

Решение. Воспользуемся формулой, найденной в предыдущей задаче. Получим:

3 + /(-3)* + (-4)*23 + /(-3)* + (-4)*2—3 4-у (—3)^ 4-1—4^*

3 + /(-3)* + (-4)*

2

3 + /(-3)* + (-4)*

2

2

U±(l-2i).

Задача 7. Решить уравнение

(2 4- 0 л2 — (5 — i)x + (2 — 20 = 0.

Решение. По формуле для корней квадратного уравнения имеем:

= S-Z±K(5-02-4(2 4-0(2^0 =

1,2=62(2 4-04 4-2/'

Извлекая корень квадратный из числа —2/, получим:

V^2i = + (1 — t).

Следовательно, х1( .= —~— . 244-2/

Отсюда

х = б~ * + 1 -< = 6 — 2/ = 3-/ =144-2Z44-2/2 4-i

= (3-0(2-0 = 5-5/ = ( _, (24-0(2-05’

х = 5-/-(1-0 =4 =

24 4-2/4 4- 2/

= 2 =2 (2—о = А _ 2. /“ 2 4-/ “5— 55 '

Задача 8. Найти геометрически сумму и разность комплексных чисел:

Zx = 2 4“ 3/, z2 — 3 — 21.

Решение. Геометрическим изображением комплексного числа а + Ы на координатной плоскости хОу является точка с координатами (а, Ь\ Поэтому зачастую комплексное число z = а + bi отождествляют с точкой (а, Ь). Удобно также геометрическим образом числа а 4- bi счи

тать вектор, идущий из начала координат в точку (а, Ь); в этом случае число а + Ы отождествляется с радиус-вектором точки (а, Ь\ Обе геометрические интерпретации комплексных чисел «равноправны».

На рисунке 1 изображены радиус-векторы, соответствующие числам: zx = 2 4- 3/, г2 = 3 — 2i. Сложению чисел zx и z2 отвечает сложение этих векторов, производимое по правилу параллелограмма. Для нахождения разности zv — z2 достаточно построить вектор с началом в точке z2 и концом в точке z1( а затем перенести этот вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пользуясь этими правилами, найдем Zx 4- z2 и Zx — z2 (рис. 2). Из рисунка видно, что координатами точек Zx 4- z2 и Zx — z2 являются соответственно пары чисел (5; 1) и (—1; 5).

Итак,

Zx 4- z2 = 5 4- i, zx — z2 = —1 4* 5/.

Задача J9. Найти модуль и аргумент комплексного числа —1 4- i КЗ. Записать это число в тригонометрической форме.

Решение. Модуль комплексного числа z = а 4- bi обозначается | z | и находится по формуле

|z| = ]Az2 + ^,

где в правой части берется арифметическое значение корня (т. е. | z| > 0). Геометрически | г| есть длина радиус-вектора г.

Аргумент числа z ^ 0 обозначается arg z; это есть величина ф угла от положительного направления оси Ох до направления радиус- вектора z. Аргумент числа z находится из соотношений:

а .Ь

COS ф = , Sin ф =s .

И т |г|

В нашей задаче z = —1 + / КЗ (т. е. а = —1, & = КЗ), |г| = К(—1)2+(/3)2 = 2,созф= — Y sin<p = ^y-.

2 ГЕ

Отсюда arg г = ф = —.

Теперь запишем число г в тригонометрической форме:

, । • *1 / о о /2 л ■ • , 2л \

—1 +1И 3 = 2 Icos ——И 1^н-у )•

Замечания. 1. Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2л. На практике в качестве аргумента обычно берут наименьший положительный или наименьший по абсолютной вели

чине угол.

Во избежание ошибок при нахождении аргумента комплексного числа желательно это число изобразить геометрически или хотя бы мысленно представить его образ (точку или радиус-вектор).

Модуль и аргумент комплексного числа z являются известными из аналитической геометрии полярными координатами точки, соответствующей числу z. При этом полярной осью служит ось Ох.

Задача 10. Записать в тригонометрической форме числа:

XЛ / Л •• е Л \

z = — 2 cosр t sin — ;

\ з 3 /

z = 2 /cos —— i sin —Y \33 /

Решение.

а) Представление числа z в виде — 2 ^cos -^- + / sin yj не является его тригонометрической записью, поскольку множитель —2 не является положительным числом. Однако эту запись легко преобразовать в тригонометрическую форму, если учесть, что

л /. л \ .л . /, л \

— COS— = COS л Н, —sin —= зшл +—.

3\3 /3\3/

Получим:

п/ 4л , . . 4л \

z = 21 cos ——Ь i sin — ,

\3 з )

что и является тригонометрической формой г.

б) Поскольку

cos— = eosin, —sin— = sinln1,з \3 /3\3 /

то искомой тригонометрической формой числа г будет

z = 2 fcos -^- + t sin -^Ц.

\33 /

Задача 11. Описать геометрически множество всех точек z, для которых:

a)|z| = 2; 6)argz—— л.

Решение, а) Всякое комплексное число, модуль которого равен 2, изображается точкой, находящейся на расстоянии двух единиц от начала координат, т. е. расположенной на окружности радиусом 2 с центром в начале координат. Обратно, всякая точка этой окружности изображает комплексное число, модуль которого равен 2. Следовательно, множеством точек z, для которых | z| = 2, является окружность радиусом 2 с центром в начале координат.

Если arg z = —п, то точка г лежит на луче, выходящем из 4

3 начала координат под углом —л к положительному направлению 4

оси Ох. Обратно, всякая точка г этого луча, отличная от начала координат, имеет аргумент —п. Для точки z = 0 (начала коорди- 4

нат) аргумент не определен. Таким образом, искомое множество „з

есть луч, выходящий из начала координат под углом —л к поло- 4

жительному направлению оси Ох.

Задача 12. Пусть гх и za — два произвольных комплексных числа и р (гь za) — расстояние между точками zt и z2. Показать, что |Zi — za| = р (zb za).

Решение. Как было отмечено при решении задачи 8, радиус- вектор, соответствующий числу гх — za, получается параллельным переносом вектора, идущего от точки za к точке гх. Но модуль числа 2Х — z2 есть длина радиус-вектора, соответствующего этому числу. Отсюда следует, что

|Z! —za| = p(zlt z,).

Задача 13. Описать геометрически множество Л! точек г, для котррых:

|z — (2 + 01 < 3; б) |z - (2 +01 <3; в) |z+2i|>l.

Решение, а) В предыдущей задаче было показано, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками плоскости, изображающими эти числа. Следовательно,

неравенству | z — (2 + i) I < 3 удовлетворяют те и только те точки z, которые находятся от точки 2 4- t на расстоянии, меньшем 3. Это означает, что множество М представляет собой открытый круг с центром в точке 2 + i и радиусом 3 (рис. 3, а). (Открытым круг называется по той причине, что ему не принадлежат его граничные точки, т. е. точки окружности с центром 2 + t и радиусом 3.)

В этом случае искомое множество М состоит из тех же точек, что и в случае а), и, кроме того, содержит точки граничной окружности. Следовательно, М есть замкнутый круг с центром в точке 2 -f-1 и радиусом 3.

Представим сумму г + 2t в виде разности двух комплексных чисел:

г + 21 — г — (— 2i).

Тогда в) примет вид:

jz-(-20l>L

Отсюда видно, что множество М представляет собой часть плоскости, внешнюю к окружности с центром в точке —21 и радиусом 1 (рис. 3, б).

Задача 14. Описать геометрически множество всех точек z, удовлетворяющих уравнению

|z — а| + |z — б| = 8.

Решение. Как было показано выше (задача 12), число |z — а| геометрически означает расстояние между точками z и у. Аналогично число |z — 6| равно расстоянию между точками гиб. Следовательно, данному уравнению удовлетворяют те и только те точки г, сумма расстояний которых от точек а и b равна постоянному числу 8. Как известно, множество таких точек есть эллипс с фокусами в точках а и Ь, большая ось которого равна 8.

Задача 15. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произвести указанные действия:

(i-i/зМ-Кз +0 .}14<— isin—6 /(i-i/зМ-Кз +0 .}14<— isin—6 /cos—+ isin— (cos\ з з Д 6cos—+ isin— (cos\ з з Д 6

(i-i/зМ-Кз +0 .

}14<

— isin—

6 /

(i-i/зМ-Кз +0 .

}14<

— isin—

6 /

cos—+ isin— (cos

\ з з Д 6

cos—+ isin— (cos

\ з з Д 6

Решение, а) Представим сначала каждое из чисел в тригонометрической форме:

1 — iV^ = 2 (cos — я + isin — я\\зз ;

— VS + i = 2 (cos — я 4- i sin — л\

\66 /

4- i = у 2 cosH i sin — I.

\44 /

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометриче ской форме производится по следующим формулам:

[pi (eos ф! 4- i sin ф^] [р2 (cos ф2 4- i sin ф2)] == P1P2 [cos (ф! 4 ф2) + i sin (Ф1 + ф2)],

-а^1±1^- - a-[cos(„i-ф,) + (Sin („,-„,)].

pg (cos Ф2 + i sin Фа) p2

Поэтому

f 55 \/5. 5 ’

.r_. ,_.2 cos — л +isin— л| • 2 cos— n + tsin — я

(1 ^i/3)(—/3 +<)(3^3 /\6 ^6,

)^2 (cos— + isin— I

\44 /

2-2/5.5= -= cos — л 4— л —/2 [ U e2-2/5.5= -= cos — л 4— л —/2 [ U e. . . / 5,5л 1

2-2/5.5

= -= cos — л 4— л —

/2 [ U e

2-2/5.5

= -= cos — л 4— л —

/2 [ U e

I I sin — л 4— л

Г1 64.

cos — л 4- * sin — л^ = 2 V2 fcos — 4- sin —) = .1212 /\44/

В этом случае первый из двух сомножителей уже представлен в тригонометрической форме. Относительно второго сомножителя этого сказать нельзя, так как здесь в скобках стоит знак «—» вместо нужного знака «4-». Поэтому представим сначала второй сомножитель в тригонометрической форме. Можем записать:

л. . л/л \. . . /л

cos—— I sin — = cos (- 4- i sin (

66\6 /\6

Следовательно,

(cos 4 4- i sin -2-) [cos (— —^ 4- i sin (——'ll =

\ з з 7 L \ 6 7\ 6 /j

= 005^-4- /sinA = 1^. 4- li =1(K3 4 iV

Задача 16. Вычислить

0-l)u'

Решение. Возведение комплексного числа в степень удобно производить по формуле Муавра:

[г (cos ф + i sin ф)]" = г" (cos «ф + i sin пф).

В данном случае

(1—lV3) = 2 IcOSyH + tSlHy ЛН = 212 I COS у Л +

+ i sin у л) = 212 (cos 20л + i sin 20л) = 21® (1 + 0 • i) = 21®,

i Кз)6 = 2 (cos -у + isin-yjj* = 2е (cos 2л + t sin 2л) = 2е, (i — I)1® = (—1 + 0м = [l^ (cos у л + 1# sin у л)у2 =

= (К2 )12 (cos 9л + i sin 9л) = 2е (cos л + i sin л) =

= 26(—1 + 0-0 = —2е.

Итак,

0 Г^)^2-^^^^_ 21а —2* 2*(2*- 1)

—2’—2’(I — 1)1а—2’

—2’

—2’

= — (2е — 1) = —63.

Задача 17. Пусть |Zx|=|z2|. Доказать, что если произведение ztz2 — положительное действительное число, то числа гх и z2 сопряжены друг другу.

Решение. Пусть

zx = г (cos фх + i sin фх), z2 = г (cos ф2 + i sin ф2)

— тригонометрические записи чисел zT иг,. Тогда

Z1Z2 = г® (cos (фх + ф2) + I sin (фх ч- ф2)).

Из условия задачи следует, что число

cos (фх + ф2) + t sin (фх 4- ф2),

модуль которого равен 1, само равно 1. Следовательно, Фх + ф2 = = 2лЛ, или фх = —ф2 + 2л& (Л С Z). Таким образом, точки гх и z2 на комплексной плоскости симметричны друг другу относительно оси Ох, т. е. Zx = z2.

Задача 18. Выяснить геометрический смысл произведения двух комплексных чисел.

Решение. Пусть гх и z2 — произвольные комплексные числа. Запишем их в тригонометрической форме:

21 = I ^| (cos Фх + i sin фх), z2 = | z2| (cos ф2 + t sin ф2).

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются (Iz^l = |zx| |z2|), а аргументы складываются (arg (zvz^ = arg zx + arg z2). Следовательно, чтобы умножить число zt на z2 (zt N= 0, z2 ^ 0), нужно длину вектора zx увеличить в |z2| раз (говорят: вектор zt растянуть в | z2| раз), а затем полученный вектор повернуть вокруг начала координат на угол arg z2. Если хотя бы одно из чисел гт или z2 равно нулю, то их произведение также равно нулю.

Задача 19. Выразить cos Зх и sin Зх через cos х и sin х.

Решение. Положим

а = cos х + i sin х

и возведем число а в 3-ю степень, пользуясь двумя способами: а) формулой Муавра и б) формулой бинома Ньютона.

Получим:

а3 = (cos х + i sin х)3 = cos Зх 4- i sin Зх.

С другой стороны,

а3 = (cos х + i sin х)3 = cos3 х + 3i cos2 x sin x — — 3 cos x sin2 x — t sin3 x = (cos3 x — 3 cos x sin2 x) 4- + i (3 cos2 x sin x — sin3 x).

Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при i, то можем записать:

cos Зх = cos3 х — 3 cos х sin2 х,sin Зх = 3 cos2 х sin х — sin3 x.

Замечание. Точно таким же путем можно выразить через sin х и cos х функции sin пх и cos пх при любом натуральном п.

Задача 20. Представить в виде многочлена первой степени от тригонометрических функций углов, кратных х, следующие функции:

cos6 х; б) sin4 х.

Решение, а) Пусть

а = cos х + t sin х.

Тогда

а-1 —*= cos х — i sin х.

cosx -\-i sm x

Отсюда имеем:

a+a-1.a — a-1

cos x = —!; sin x =.

22i

Возведем первое из этих равенств в 5-ю степень:

6а6 + 5а*а-14- 10а3а-2 4* Юа2а~3 + 5аа~4 4- а**5

COS X —25—

_ (а5 4- ®~6) 4" 5 (а3 4" а-3) + 10 (а + »-1)

—25

Учитывая, что ай (cos х + i sin х)й == cos пх -V I sin пх и а“й = = cos пх — i sin пх, получим:

-,2 cos 5х 4-10 cos Зх + 20 cos х cos 5х 4- 5 cos Зх + 10 cos х

COS5 х =———L--—5.

2»16

Аналогично sin»х _ (а-^1)4 __

(2Q*16

2 cos 4x — 8 cos 2x + 6 cos 4x — 4 cos 2x4-3 ~16~8

Задача 21. Вычислить все значения ^—4 и изобразить их геометрически.

Решение. Как известно, корень n-й степени из комплексного числа z = г (cos ф 4- * sin ф) имеет п различных значений, которые находятся по формуле

V7;—~—гп/—/ф4-2л& . . . ф4-2л&\/1х

V Г (COS ф 4- t 5Ш ф) = У г ICOS—h I Sin I, (1) \Л/I /

где Vr — арифметическое значение корня, а число к пробегает значения 0, 1,2, .... п — 1.

Представим число —4 в тригонометрической форме: —4 = 4 (cos л + i sin л).

Тогда по формуле (1) будем иметь:

у 4 (cos л 4* I sin л) = у 4 I cos ——Ь t sin ——— ).(2)

\44/

Придавая параметру к значения 0, 1, 2, 3, получим четыре значения корня 4-й степени из числа —4:

о 1Гп ! Л . . . Л\ i/"n/K2 , .V2\, , .

р. = у 2 I cosЬ i sin — = у 2 / Ь i -— = 1 + i,

0(44/(22/

В, = у 2 cosh t sin — = у 2 — tH i L— = — 1 + t,

M (44 /(-22 /

p. = у 2 cos1-1 sin — ) = \44 /

\22 /

P- = K2 fcos — + i sin=

\44 /

Изображение найденных корней на комплексной плоскости дано на рисунке 4.

Замечание. При нахождении всех значений yz можно в формуле (1) придавать параметру к вместо 0, 1,2, ..., п—1 любые п последовательных целых значений. Например, в (2) можно было бы взять к = 3, 4, 5, 6; при этом мы получили бы те же значения корня, что и выше, но в другой последовательности (при к = = 4, 5, 6 — те же значения, что и при к = 0, 1, 2).

Задача 22. Вычислить if ■ V /з-н

Представим числа 1 — i и Уз + i в тригонометрической форме: 1 — i = ]/2 (cos — л + i sin — л\ \44 /

УЗ + I = 2 (cos -у + i sin ^.

Отсюда

/ .-(77 \

f——«/ y^cos-n-Hsin-nj

|/ V" 3o. л

Г 2 cos —+ tsm —

\ о о J

. У/2 Г /7. /7 я

= УУ + ‘8,П(7Я-ТЛ =

_ У/ 19 , . . 19 \

= У т (*»гу+‘^) = /1919\

,•/7? I 7’, + 2"* , . . 7" + м|= V iV“S+5г

Придавая к значения 0, 1, ..., 5, получим шесть значений искомого корня:

о 1 /1919 \ о 1 /4343 \

ВА = I COS — Л + I sin — Л , В, = ; cos — Л + t sin — л ,

°*^2 \7272 rl 12^2" \7272 )

' 67 ... 67 \ cos— л 4-1 sin — л ,

.7272 /

' 91 , . . 91 \ cos —Л + ism — л , „ 72 72 /

' 115 , . . 115 \ cos — л + ism — л), , 72 72

^">v?^">v?' 139 , . . 139 \ cos— л + ism — л .

^">v?

^">v?

.7272 J

3,

Задача 23. Пользуясь корнями 3-й степени из 1, вычислить у —8У

Решение. Известно, что все значения корня n-й степени из числа а можно получить, умножая одно из них на все значения корня n-й степени из 1. Одно из значений V—Si можно найти непосредственно. Оно равно 2t, потому что (2t)3 = —Si.

Найдем теперь все значения У —8i. Так как

V1 = y^cosO + i sinO = cos—^- + isin -^- (A = 0, 1, 2), З/т то имеем три значения у 1:

1 । ?Уз 1 .уз

ton = 1, о, 1-1 -—, <о„ t-—.

0122822

3 у

Следовательно, значения у —8i будут:

0о = 2iro0 = 21,

0Х = 2i<o1 = — /3 — i, 02 = 2i<o4 = /3-i.

Задача 24. Записать в тригонометрической форме и найти приближенные значения корней двучленного уравнения х4 + (1 + 70 = 0.

Решение. Представив уравнение в виде х* = —1 — 7i, будем иметь:

х= /—1 —7i,

т. е. задача сводится к вычислению всех значений ^—1 — 71.

Запишем, что

—1 — 71 = г (cos ф + i sin ф), где

Г=У(—1)2+(—7)2 = /50, СО8ф = —^-. 5Шф = — у^.

Можно считать, что угол ф принадлежит 3-й четверти: ф = = 270° — а, где а — угол в 1-й четверти. Имеем:

tg ф = =у = 7 => ctg а = 7 => а л; 8°8' =>Ф« 261 °52'.

Итак,

—1 _ 71 = /50 (cos 261 °52' + i sin 261 °52').

х « V/56 (cos 261 °52' + i sin 261 °52') «

/7W (cos-^ +3600 ^ + tsin 261^ + 360^ \44

« /2,659 [cos (65°28' + 90° . k) + i sin (65°28' + 90° • A)].

Придавая к последовательно значения 0, 1, 2, 3, получим числа:х0 « 1,631 (cos 65’28' + i sin 65’28') » 1,631 (0,4152 ++ 0,9098») « 0,677 + l,484i;

xx я 1,631 [cos (65’28' + 90°) + i sin (65’28' + 90’)] == 1,631 (—sin 65’28' + t cos 65’28')»» 1,631 (—0,9098 + 0,41520 » —1,484 + 0,677»;

x2 » 1,631 [cos (65’28' + 180°) + » sin (65’28' + 180°)] =

= 1,631 (—cos 65’28' — i sin 65’28') » 1,631 (—0,4152—0,90980 « ~ —0,677 — 1,484 i;

x3 » 1,631 [cos (65’28' + 270°) + » sin (65’28' + 270°)] == 1,631 (sin 65°28' — i cos 65’28') » 1,631 (0,9098 — 0,41520 «» 1,484 — 0,677».

Значения тригонометрических функций острых углов мы нашли, используя четыоехзначные таблицы Брадиса.

Ответ. ±0,677 ± 1,484»; ±1,484 ± 0,677».

Упражнения

Найти х, у € R. если:

2 + 5»х — 3iy = 14» + Зх — 5у;

(1 -}■ 0 х + 0 — 0 У = 3 — »;

(2 — 30 х ± (3 + 20 у = 2 — 5»;

- + »у - 2 = 7» — - + у. XX

2. Вычислить (в алгебраической форме):

а) (5 4* 4i) 4“ (3 ~~" 7i) — (2 4* ^0»

ж) (l±2Q2-(l-Q\

(З + гоз-^ + о1*

б) (1 + 0(2 + 04-^; . (2-3>)(4-0 .

5 —i’

г);

(1-20(5-0

(5 + 20(4-30 .

(1 — 20(1 +30 *

' \2 )

(1 + 20е;

(1 ±20® — (1 — 205;

л)-<1±^-;

7 (1—О”-2

е) Lti.^—(1 —/)2;

1 — i

М) (2 + i)7 + (2-07.

Указание к л): представить (1 + 0” как (1 + 0”-2Х Х(1 +02.

Найти х, у С R из уравнения:

. 6х — iy 15 а) — =;5 + 2t8х±3у». 6х — iy 15 а) — =;5 + 2t8х±3у»Ф -^- = »±Х —2; х — iФ -^- = »±Х —2; х — i

. 6х — iy 15 а) — =;

5 + 2t8х±3у»

. 6х — iy 15 а) — =;

5 + 2t8х±3у»

Ф -^- = »±Х —2; х — i

Ф -^- = »±Х —2; х — i

Найти значения многочленов:

х17 — 5х + Юх7 + 9х® — 4 при х = <;

Зх3 — 9х2у + 9ху2 — Зу3 при х = 1 + 2i, у = 2 + t.

Вычислить (в алгебраической форме):

а) рТ+4?; б) К—15 + 8»; в) У8 + 6г; г) И 2 — 3i.

Решить квадратные уравнения:

х2 — (3 — 20 х + (5 — 50 = 0;

х2 + Зх — 10» = 0;

(2 + 0 х2 — (5 — »)х + (2 — 20 = 0;

х2 — (5 — 30х + (4 — 70 = 0.

Найти все комплексные числа г, удовлетворяющие условию: a) z = z; б) z = —z; в) z2 = z; г) z3 = z.

Представить в тригонометрической форме числа:

а) —5; б) 3»; в) 1 — г, г) —1 — »КЗ; д) 4 — »; е) —2+0 ж) —1 — 20

Описать геометрически множество точек, изображающих комплексные числа z, если:

a) |z| <3; б) |z| >3; в) |z — 3»| < 1; г) |z + 3 — 2»|>2;

arg z = ^; е) arg z = 310°; ж) | z — 31 + | z — 2»| = 7;

|z + 2»| + |z — 4 + t| = 15; и) ||z — 4| — |z — 2» || = 4.

Как связаны между собой аргументы чисел z и г-1?

Вычислить, используя тригонометрическую форму; ответ дать в алгебраической форме:

а) (1+0=.; 6)(ШЙГ;

’ '’' \ 1—/ /*(1—о20

£л-»£зГ

’(-1+0“ ‘

Найти все значения корня из комплексного числа:

a) у^»'; б) y^2 — 21; в) у4—4; г) уТ; д) у' —2»;

iX^-, «) 1/з) /(2 + 20 (-1 + i/3).

V /з+< V /з-<

Воспользуйтесь тем, что все значения V 1 суть 1, со, со2о®-1, 2л । . • 2л где со = cosН i sin—. пп

Доказать, что значения V1

(Од = COSН 4 sin (А = 0, 1, ... , п— 1) пп

разбиваются на пары сопряженных: (оп со^^; ®2, ®л_2 и т. д. (вообще, юк и coz, где А + / = п). Верно ли такое же утверждение для значений V—U Vх» гДв z i №

Вычислить суммы:

cos х + cos 2х + cos Зх + ... + cos пх\

sin х + sin 2х -f- sin Зх + ... -f- sin пх;

sin х + sin Зх + sin 5х + ••• + sin (2n — 1) х.

Указание. Для решения а) воспользуйтесь тем, что написанное выражение есть действительная часть комплексного числа z + г2 + г3 + ... + г", где z = cos <р + i sin ф. Аналогично для б) и в).

Выразить через sin х и cos х:

a) sin 4х; б) cos 5х; в) sin 5х.

МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ С

Вопросы программы. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел; разложимость многочлена над полем С в произведение линейных множителей; зависимость между корнями многочлена и его коэффициентами (формулы Виета).

Литература: ВинбергЭ. Б. Гл. 4, § 2; гл. 1, § 2 (п. 5).

Задача 1. Составить нормированный многочлен наименьшей степени над полем С, имеющий простой корень — 1 и двукратный корень I.

Решение. Над полем С разложение любого многочлена на неприводимые множители имеет вид:

/ (х) = а0(х — xj (х — х2) ... (х — х„),

где Xi, х2, .... х„ — корни / (х); при этом в последовательности xlt х2, .... хп каждый корень встречается столько раз, какова его кратность. В данном случае будем иметь (учитывая нормирован- ность, т. е. полагая а0 = 1):

f (х) = (х — (—1)) (х — i) (х — 0 = (х + 1) (х — О2 == (х + 1) (х2 — 21х — 1) = х3 + (1 — 20Х2 — (1 + 2i)x — 1.

Ответ, f (х) = х3 + (1 — 2i) х2 — (1 + 20 х — 1.

Ту же задачу можно решить и другим способом, если воспользоваться формулами Виета. Искомый многочлен должен быть 3-й

степени:

f (х) = х3 + ахх2 + а8х + а3.

По формулам Виета получим:

«1 = —(хх + л:2 + ^з) = —( —1 + i + 0 = 1 — 2<;

а2 = ххха + xtx8 + х2х8 = —1 • i + (—1) • i + i • 1 = = —1 — 2i;

Оз = —ххх2х8 = — (—1) • i • i = —1.

Следовательно, как и выше,

f (х) = х3 + (1 — 2i)x* — (1 + 2i)x — 1.

Задача 2. Коэффициенты уравнения

/ (х) = х3 + агх? + а2х + а8 = О

действительны и положительны. Пользуясь формулами Виета, найти для коэффициентов необходимое и достаточное условие, при котором два корня уравнения имеют вид Ы, —Ы, где Ь #= 0.

Решение. Пусть хх = Ы, ха = —bi, 6 ^= 0.

По формулам Виета имеем:

ах = — (хх + х2 + х8) = —(bl — bi + х3) = —х8^х8 = — ах;

а2 = ххх2 + ххх8 4- х2х8 = bi (—bi) + bi (—а^ ++ (-bi) (-at) = №;

а8 = —ххх2х8 == — bi (—bi) (—аг) = ахЬг = аха2.

Следовательно, аха2 = а8 — необходимое условие того, чтобы два корня уравнения были мнимыми сопряженными.

Докажем, что это условие является и достаточным.

Пусть йг >0, а8 > 0, а8 > 0; аха2 = а8.

Преобразуем левую часть уравнения:

/ (х) = х3 + ^х2 + а2х + а3 = х3 + «Хх2 + s2x + ДА ” = х2 (х + Hi) 4- ti2 (х 4- аг) = (х + ах) (х2 + а2).

Следовательно,

f (х) — 0t=»x + ax = 0V^4-ti2 = 0*» х.= —аг V я = ± V—«а. Так как а8 > 0, то Xj_= ]/ — aa = Ы, где b = Ко^ ^ 0, х2 = ” —V —й» = — bi = Хг, что и требовалось получить.

Итак, ata8 — а8 — необходимое и достаточное условие того, чтобы два корня данного уравнения были мнимыми сопряженными.

Например, при аг = 2, а8 = 3, а8 = 2 • 3 = 6 получаем уравнение

f (х) = х8 + 2Х2 + Зх + 6 = 0.

Корень Хг = —2. Разделив по схеме Горнера f (х) на х + 2, получим в частном_ многочлен х2 4- 3, корни которого хх = i К& х2 = —iK3 = хг будут корнями и многочлена f (х).

Задача 3. Разложить на множители, неприводимые над полем комплексных чисел, многочлен f (х) = х4 4- 4.

Решение. Данный многочлен 4-й степени, следовательно, он приводим над полем С и разлагается в произведение четырех линейных множителей: f (х) — (х — xj (х — ха) (х — х3) (х—х4), где xv х2, х3, х4 — корни f (х).

I способ. Находим корни двучлена х4 + 4, используя тригонометрическую форму комплексного числа:

4 гт 4ZT~z;—\ iZnV Л-1-2ЙЛ , . . п4-24л\

х = у —4 =у 4 (cos л 4-1 sin л) = у 2 cos —!1-1 sin —! =

\44/

= хА, 6 = 0, 1, 2, 3;= хА, 6 = 0, 1, 2, 3;

= хА, 6 = 0, 1, 2, 3;

= хА, 6 = 0, 1, 2, 3;

О т в е т. / (х) = (х — 1 — Г) (х + 1 — 0 (х + 1 + i) (х— 14-0-

II способ. Разложим сначала многочлен / (х) на два квадратных множителя, представив / (х) в виде разности квадратов:

f (х) = (х + 2)2 — 4Х2 = (х2 + 2 — 2х) (х2 + 2 + 2х).

Далее разлагаем на множители каждый из многочленов х2 + 2—2х и х2 4- 2 + 2х, для чего находим его корни:

х2 — 2х 4- 2 = 0 фф х = 1 ± i;

х2 4- 2х 4- 2 = Офф х = —1 ± I.

Следовательно, как и выше,

/ (х) = (х — 1 — 0 (х — 1 4- 0 (х 4- 1 — 0 (х 4- 1 4- 0-

Упражнения

многочлен наименьшей степени

б) хг = i, х3-3 = 1 — 1\

г) xli2 = 1, х3 4 5 = К2;

е) х4=2, х213=1—I, х4)5=1.

Используя формулы Виета, построить многочлен по его корням:

а) *! =_1, х2 = 2,.х3 = 3; б) Xi = 0, ха>3 = 1, х4 = —1; в)*1 = УЗ, х2 =—КЗ, х3 = 3, х4 =—2; r)x1|2=t, x3|t = 1 + Z.

Разложить многочлен f (х) на неприводимые множители над

/ (х) = х8 + х2— 2;д)/ (х)= х® 4-Зх44-Зх24-1;

/ (х) = х4 4- х2 + 1;е)/ (х)= х3 — бх2-^!^—6;

/ (х) = х4 4- 4х® + 4х® +1;ж)/ (х)= х® — 1.

/ (х) = х3 + 9х2 + 9х + 8;

Сумма двух корней многочлена

f (х) = 2х3 — х2 — 7х 4- X

равна 1. Найти X.

Найти многочлен 3-й степени со старшим коэффициентом а0 = 2, если его корни xlf х2, х3 удовлетворяют условиям:

— + — 4- — = 2, -1- 4- -^— 4- —— = 4,= 8.

Xi Х4 Х3XtX2 ХгХ3 Х2Х8ХгХ2Х3

Показать, что уравнение х4 4- рх3 4* 9х2 + ^ + s — 0 является биквадратным (т. е. р = г = 0), если сумма двух его корней равна сумме двух других корней и равна 0:

Xi 4- х2 = х3 4- х4 = 0.

Найти соотношение, связывающее коэффициенты уравнения х^ 4- рх3 4- qx3 4- fx 4- s = 0, если его корни связаны соотношением хгх2 = Х3Х4.

Известно, что числа ап а2, .... а„ являются корнями многочлена f (х) = аохп 4- «iX"-1 4- ... 4- «л- Найти многочлен, имеющий корнями числа:

а) —аи —а2, ..., —а„;б) —, —, .... —.

«1 «2•«„

Показать, что если корни многочлена / (х) = х3 4- ах24-6х4-с образуют геометрическую прогрессию, то справедливо соотношение а3с = №. Проверить, что условие с?с = Ь3 не только необходимо, но и достаточно.

§ 6. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ R

Вопросы программы. Сопряженность корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей.

Литература. ВинбергВ. Б. Гл. 4, § 4 (п. 1, 2).

Задача 1. Составить нормированный многочлен наименьшей

степени с действительными коэффициентами, имеющий простой корень I и двукратный корень 1 + I.

Решение. Напомним, что для многочленов над полем R справедлива теорема: если комплексное число а + Ы является корнем многочлена / (х) С R to, то число а — Ы также есть корень этого многочлена. При этом сопряженные корни а + Ы, а — Ы имеют одну и ту же кратность.

В данном случае корнями f (х) должны быть числа: i (простой корень), —i (простой корень), 1 4- i (двукратный корень) и 1 — I (двукратный корень). Значит, разложение / (х) на линейные множители (над полем С) должно содержать произведение

(х — i) (х + 0 (х — 1 — О2 (х — 1 + О2 == (х2 — I2) [(х — I)2 — I2] - (х2 + 1) (х2 — 2х + 2).

Так как это произведение ^R [х], то оно и должно совпадать с f (х).

Ответ, f (х) = (х2 -f- 1) (х2 — 2х + 2) = х6 — 4х6 + 9х4 — — 12х3 + 12Х2 — 8х + 4.

Эту же задачу можно решить и другим способом. Так как искомый многочлен должен иметь всего 6 корней, то

f (х) = х® + aiX8 + а2х4 + с3х3 + а^х1 + а5х 4- ав.

Коэффициенты аг, а2, ..., ав можно найти по формулам Виета.

Например,

til — — (Xi + Х2 + Х8 + Х4 -|- Х5 +хв) =— (t — i -J- 1 4" I 4“ 1 4* ^ 4~ 1 — 4* — О “ — ^

аналогично находим а2, ..., ав. Заметим, что в данном примере второй способ решения оказывается более громоздким (например, при подсчете а2 = хгх2 4- XtXa 4- ••• 4- х5хв приходится находить сумму С| = 15 слагаемых).

Задача 2. Зная, что многочлен / (х) = х4 4 Зх3 + 2х2 — х + 5 имеет корень — 2 + i, найти остальные его корни.

Решение. Так как / (х) есть многочлен с действительными коэффициентами, то наряду с корнем — 2 4- i он обязан иметь корень — 2 — I. Следовательно, / (х) делится на многочлен

(х 4* 2 — i) (х 4* 2 4* 0 " ^ 4" 4х 4~ 5.

Разделив / (х) на этот многочлен, получим:

/ (х) = (х2 4- 4х 4- 5) (х2 — х 4- 1).

Отсюда видно, что остальные корни многочлена / (х) являются корнями уравнения

х2 — х + 1 = О,

1 , ‘Уз т. е. равны числам у ± —-2 .

Ответ. / (х) имеет 4 корня:

Задача 3. Приводимы ли над полем R следующие многочлены (в случае приводимости разложить их на множители):

f (х) = 2Х2 — 1;б) / (х) = 2х2 + 1;

в)/(х) = х4 + 1;г) / (х) = х8 + Зх2 + Зх + 2?

Решение. Над полем 7? неприводимы лишь многочлены 1-й степени и некоторые многочлены 2-й степени, а именно те, которые не имеют действительных корней. Любой же многочлен степени выше 2 приводим над 7?.

В данном случае имеем: _

а) 2х2 — 1 = (К2х — 1) (/2х + 1);

Многочлен 2х2 + 1 неприводим над 7?;

х4 + _[ = (х4 + 2Х2 +_1) — 2х2 = (х2 4- I)2 — (/2х)2 = = (х2 + К2х + 1) (х2 — К2х + 1), оба множителя правой части неприводимы над 7?;

х3 + Зх2 + Зх + 2 = (х + I)3 + 1 = ((х + 1)4-1) ((х4-1)2 — — (х 4- 1) 4~ О = (л+2) (х24-х-|-1), оба множителя неприводимы над 7?.

Замечание. Для любого многочлена f (х) £ R [х] степени выше 2, как уже говорилось, существует разложение на неприводимые множители 1-й и 2-й степени. Однако найти это разложение далеко не всегда просто. В случаях в) и г) предыдущей задачи это оказалось несложно благодаря специфическому подбору коэффициентов многочлена / (х).

Задача 4. Разложить на неприводимые множители над полем 7? многочлен х8 4- 1 •

Решение, а) Корнями многочлена х* 4- 1 в поле С являются значения V—1- Поскольку

—1 = cos л 4~ i sin л,

то корни х8 4- 1 будут:

v4" 2Л& | , •— Я 4- 2яА z, А 1 A

Х^ в COS 1» SIHV, 1 ) 2, «ее , 8 /•

Числа х0, Xi, ..., х7 разбиваются на пары сопряженных. Сопряженными, как нетрудно видеть, будут: х0 и х7, хх и хв, х» и х5, х3 и х4. Действительно, если к 4- I = 7, то'

= cos ^^ 4- ^±^) 4- i sin (^^ 4- ^^).

Но

Я +2л6 . я 4" 2л/ 2я 4~ 2я • 788~8~

и, следовательно, xkxt = 1; из этого равенства, если учесть |х6|= = |xz|, следует: хк = х( (см. задачу 17 из § 4). Таким образом, неприводимыми множителями многочлена х8 4- 1 над полем R будут

4 многочлена 2-й степени:

(х — х0) (х — х7); (х — xj (х — хв); (х — х2) (х — х5);

(Х Xg) (X “~ Х4).

Найдем коэффициенты этих многочленов. Используя формулу

(х — (а + 60) (х — (а — 60) = (х — а)2 + 62,

получим:

х — cos

(х —х2)(х(х —х2)(х(% —х3) (х—х4;(% —х3) (х—х4;л 4- 2л \2 х—cos—|л 4- 2л \2 х—cos—|2 л Ч~ 2л е2 л Ч~ 2л е\8/8’X _ cos А±2Ц£? + sin2 П + 2Л.2\8/8’X _ cos А±2Ц£? + sin2 П + 2Л.2\8/л + 2л •3\2X — cos1 .8/\8/л + 2л •3\2X — cos1 .8/8л + 2л • 388л + 2л • 38

(х —х2)(х

(х —х2)(х

(% —х3) (х—х4;

(% —х3) (х—х4;

л 4- 2л \2 х—cos—|

л 4- 2л \2 х—cos—|

2 л Ч~ 2л е

2 л Ч~ 2л е

\8/8’

X _ cos А±2Ц£? + sin2 П + 2Л.2

\8/8’

X _ cos А±2Ц£? + sin2 П + 2Л.2

\8/

л + 2л •3\2

X — cos1 .8/

\8/

л + 2л •3\2

X — cos1 .8/

8л + 2л • 3

8

8л + 2л • 3

8

Ответ: х84-1=[7х—cos—У + sin2 — I \8 /8Ответ: х84-1=[7х—cos—У + sin2 — I \8 /8X— cosX— cos

Ответ: х84-1=[7х—cos—У + sin2 — I \8 /8

Ответ: х84-1=[7х—cos—У + sin2 — I \8 /8

X— cos

X— cos

. *О 8Л4-sm2 —. *О 8Л4-sm2 —х— cosх— cosX— cosX— cos

. *О 8Л4-sm2 —

. *О 8Л4-sm2 —

х— cos

х— cos

X— cos

X— cos

Рассмотрим теперь весьма важную задачу, в которой устанавливается верхняя граница для всех действительных корней многочлена / (х) с действительными коэффициентами (если такие корни имеются).

Задача 5. Пусть дан многочлен с действительными коэффициентами:

t (х) = х” + GiX"-1 + ... 4- а^х + а„,(1)

причем старший коэффициент равен 1. Пусть среди коэффициентов аг, ..., а„ имеются отрицательные числа и ак— первое из них. Наконец, пусть Л — наибольшая из абсолютных величин всех отрицательных коэффициентов. Доказать, что все действительные корни многочлена / (х) (если таковые имеются) не превосходят числа

1 + ^А. (2)

Решение. Покажем, что при х > 1 + У^Л будет /(х)>0— отсюда, очевидно, будет следовать требуемое.

Имеем:

/(х) = х" + (^х""1 + ... + а^х”-^ + (айх«-* + ... ++ а^х + а„).

Так как х > 0 и все коэффициенты аг, .... ak_i неотрицательны, то можем записать:

/ (х) > хп + ^акхп”к + ... + a„_ix + a„).

Далее, так как для всех а,, 1~>к, имеем: а, ^ — А, то а6х"-й + ... + а^х + а„ ^ — Ахп-к —... — Ах — А.

Следовательно,

f (х) > хп — А (х"^ + ... + х + 1).

Правая часть равна

„л—А+1 _ 1хп — А —

х— 1

Ввиду того, что х > 1, это выражение строго больше, чем

„ уЛ—Л+1«л—А+1 t,

х" — А = [х»"1 (х — 1) — Л ].

X — 1 X — 1

Таким образом, для всех х > I А* ^ А имеем:

уЛ—А+1

/(*)>-—-[х^Чх-О-Д].

X — 1

Так как х > 1, имеем: х6-1 > (х—1)й-1 и, значит Xй-1 (х — 1) — А > (х — 1)й — А; последнее же выражение в силу х > 1 + VА строго положительно. Таким образом, при х>1А-/А имеем: / (х) > 0, что и завершает доказательство.

В дальнейшем выражение (2) будем иногда обозначать ВГ (верхняя граница действительных корней многочлена f (х)). Заметим, что если среди коэффициентов многочлена / (х) нет ни одного отрицательного, то многочлен не имеет положительных корней — в этом случае в качестве ВГ можно взять число 0.

Располагая способом нахождения верхней границы действительных корней, нетрудно определить и нижнюю границу. Действительно, если число а является корнем многочлена / (х), то число —а является корнем для f (—х); следовательно, если число М есть верхняя граница действительных корней многочлена f (—х) (т. е. —а ^ Л4), то число —М есть нижняя граница действительных корней многочлена / (х) (т. е. а > — М^).

Задача 6. Найти верхнюю и нижнюю границы действительных корней многочлена

f (х) = Зх8 + 7х* — Зх3 + х2 + 5х — 27.

Решение. Прежде всего необходимо привести многочлен к виду (1) (сделать старший коэффициент равным единице). Разделив все коэффициенты на 3, получим многочлен

f (х) х8 + j х4 — Xs + 1 ха +-| х—9.

Здесь к = 2, А = 9, следовательно, ВГ = 1 + V9 = 4.

Чтобы найти нижнюю границу действительных корней, рассмотрим многочлен / (—х); умножив все его коэффициенты на —1 (чтобы старший коэффициент был снова равен единице), получим многочлен

ф(х) = х3— — х4— х8—-х2 + — х + 9.

т /333

7

Для этого многочлена имеем: Л = 1, Л = —, так что В Г = 1 +

юю

+1/ -g = -д. Следовательно, число — у будет нижней границей действительных корней многочлена / (х).

Ответ. Все действительные корни многочлена заключены в промежутке [^—^; 4].

Упражнения

Найти нормированный многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий:

простой корень 2 + t и двукратный корень 1;

простой корень —3 и двукратный корень 1 — I;

простой корень 1 — I и двукратный корень 2 + 1;

простой корень — 1 — t и двукратные корни t и 1 — i;

трехкратный корень 2 — 3i.

Зная, что число а есть корень многочлена / (х), найти остальные его корни:

f (х) = Зх4 — 5х3 + Зх8 + 4х + 2, а = 1 + ц

f (х) = х6 + Xе + Зх4 + 2х® + Зх8 + х + 1, а = I;

/ (х) = 2х* — Ух3 + 17Х2 — 17х + 5, а = 1 — 2L

Разложить многочлен f (х) на множители, неприводимые над полем R:

а) / (х)=ха+2х+3;б) /(х)=х34-х-|-2;в) /(х) = х*+ 16;

г) / (х) = х4 + 4;д)/(х)=х6—27;е) /(х) = х4—7;

ж) f (х)=х44-8х3+8х—1;з) f(x)=x®—8;и) f(x)=x*—1.

Разложить на линейные и квадратные множители, неприводимые над полем R, следующие многочлены:

а)/(х) = х2" — 1, п>1;б) f(х) = х2”*1—1, л>1;

в) f (х) = х10 — 2х5 + 2;г) f (х) = х4— ах2 + 1, —2 < а < 2;

д) /(х) = х8" + х"+ 1, п> 1.

§ 7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 3-й И 4-й СТЕПЕНИ В РАДИКАЛАХ

Литература: ВинбергЭ. Б. Гл. IV, § 3, гл. II, § 2 (п. 8).

Задача 1. Решить уравнение

х3 + бх2 + ЗОх + 25 = 0.

Решение. Освободимся от квадрата неизвестного, чтобы использовать формулу Кардано. Для освобождения от (о — 1)-й степени неизвестного в уравнении

аохп + ахх”-1 + ... + ал = 0(1)

надо ввести новое неизвестное

*=У—(2)

В нашем примере аг = 6, п = 3, а0 = 1, поэтому следует взять х = у — 2.

Получим «неполное» кубическое уравнение

(У — 2)3 + 6 (у — 2)2 + 30 (у — 2) + 25 = 0 <?=»

у3 + 18у — 19 = 0.(3)

Корни кубического уравнения

У3 + РУ + 9 = 0(4)

можно найти по формуле Кардано:

3/у-■ =.

3 /"у

+К -f-/(Ж)’<5>

р 'UV = ——.

3

(

д \2/ л \ 3

2/ "^ 3 ’ стоящее П°Д знаком квадратного кор- 1

ня, лишь множителем — — отличается от дискриминанта много

члена / (у) = у8 + ру + 9- Действительно, мы имеем:

п (га—1)

D(h = (—1) 2 <^Rlt fY но в данном случае f' (у) = Зу2 + р, а0 = 1, п = 3,

Rih П =Rih П =1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р о о 0 3 О р о О О 3 0 р1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р о о 0 3 О р о О О 3 0 р-3-31 о Р qО —2р —3q ОО 0 —2р —3qО 30р1 о Р qО —2р —3q ОО 0 —2р —3qО 30р2р 3q ОО 2р 3q3 0 р2р 3q ОО 2р 3q3 0 р

Rih П =

Rih П =

1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р о о 0 3 О р о О О 3 0 р

1 0 р q 0 0 1 0 р q 3 0 р о о 0 3 О р о О О 3 0 р

-3

-3

1 о Р q

О —2р —3q О

О 0 —2р —3q

О 30р

1 о Р q

О —2р —3q О

О 0 —2р —3q

О 30р

2р 3q ОО 2р 3q3 0 р

2р 3q ОО 2р 3q3 0 р

= V + 27g2.

Следовательно,

3 • 2

D (/) = (—1) 2 • I"1 (2792 4- 4ps) = - 27q» - 4/А

Для уравнения (3) D (f) = —27 • 192 — 4 • 183 < О (Д > 0),

следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно-сопряженных:

У1 = «1 + «1 € R.

У 2 = Uyto + и^2,(6)

Уз = ^ГО2 + Vito,

где и; — одно из значений 1/ —— +КД,v, —,

__у 23^

со = — -^ + -^?- — первообразный корень 3-й степени из 1,

21

со2 =—.

22

Формулы (6) можно записать в более удобном виде, если мы подставим значения го, го2:

У! = «i + v^R, уг,з = — J («1 + 91) ± М^ («1 — 91)-(7)

Проводя вычисления, получаем:

3 /"3 /”р, . .

-/? + ? = ^-3. <4 —£—2.

Теперь по формулам (7) находим:

У1 = Ы1 + у1 = 3 + (—2) = 1,y,i3 = -j(3-2)± £^(3 + 2) = _1±^.

Наконец, используем подстановку х = у — 2 и находим: оtло 5/ У" з

Х1 = У1 — 2 =1, х2, з = Уз.з 2 =— + - .

Ответ: хх = —1; х2 , = — — + ® ^3,.

1• 2, з 2 —2

Задача 2. Решить уравнение

f (х) = х3 — 12х 4-16 = 0.

Решение. Уравнение уже «неполное», с действительными коэффициентами. Исследуем его с Помощью дискриминанта D (/) = = —27<f — 4р3. Имеем:

D(h = —^ • 162 — 4 (—12)3 = —6912 4- 6912 = 0.

Если дискриминант равен нулю, то все корни действительны, причем один корень простой, другой — двукратный:

Z) (/) = 0 (А = 0) =>Xi, хг = х3 G R.

Используя формулы (7) (и записывая xt вместо у<е / = 1, 2, 3), находим:

q оР= у—о =—z, Vi =—Зк^= — 2 => хг = at + и^ = — 2q оР= у—о =—z, Vi =—Зк^= — 2 => хг = at + и^ = — 22 =2 =—123(-2)—123(-2)4;4;

q оР

= у—о =—z, Vi =—

Зк^

= — 2 => хг = at + и^ = — 2

q оР

= у—о =—z, Vi =—

Зк^

= — 2 => хг = at + и^ = — 2

2 =

2 =

—123(-2)

—123(-2)

4;

4;

х1; 3 = —j (-2-2) ± -ф- (-2 + 2) = 2.

Ответ. хг = —4; x2i 3 = 2.

Замечание. При D (/) = 0 (или А = 0) корни уравнения

(8)(8)(9)(9)х3 + рх + Я ~ О рационально выражаются через его коэффициенты, а именно:

(8)

(8)

(9)

(9)

Xt = 2«i = -2-; x2i з = — Hi = — -^.

Используя формулы (9), найдем:

_r_3-16_.=3 * 16

1—12* 1,32 (—12)'

Задача 3. Решить уравнение

x3 — Зх2 + 3 = 0.

Решение. Освободимся от квадрата неизвестного, полагая х = у + 1:

(У + I)3 - 3 (у + I)2 + 3 = 0<=>f (у) = у3 - Зу 4- 1 = 0.

Дискриминант полученного уравнения

D ф = —27^ — 4р3 = —27 - 1 — 4 (—27) = —27 (—5) > 0.

«1«1В случае положительного дискриминанта уравнение (8) имеет три действительных корня. При этом vx = uv Для данного случая имеем:

«1

«1

2л . . ; 2ЛCOSh * Sin —- =

33

2л , . • 2л

= cosh i sin —;99

—32л . . 2л -’

= COSI sin — = uv; ' 2л . 2л \99

cos —- 4- i sin ,99

У1 = Ы1 + иг = 2 cos ^L = 2 cos 40° « 2 • 0,7660 = 1,5320;

У$,з = — j(«i + “i) ± '^ (tii —“i) = —cos40° Т V^sin40‘ « — 0,7660 + 1,732 • 0,6428 « — 0,766 Т 1,113;

у2« — 1,879; у, « 0,347.

Для нахождения у2, у3 мы использовали формулы (7).

Возвращаясь от у к х (напомним, что х = у 4- 1), получим:

х^ = У1 4" 1 ^ 2,532; х2 = у2 4* 1 w —0,879; х3 — у $4-1^1,347.

Ответ. Все три корня действительные: хг « 2,532; х2 « ~ —0,879; х8 « 1,347.

Замечание. Корни уравнения х3 4- рх 4- q = 0 (р, q € R) при D (/) > 0 (А < 0) можно найти по формулам:

Задача 4. Решить уравнение

/ (х) = х3 — 6ix 4-4 — 4t = 0.

Решение. Формулы Кардано применимы к «неполному» кубическому уравнению с любыми комплексными коэффициентами. В данном случае имеем:

поэтому один из корней будет кратным. Для нахождения корней воспользуемся формулами (9):

V —3^3 (4 — 4t) (2 IОЛ у = ^4_ 1 :

Xi——:—^ т -*2 3— it.

p—61 • txp

Ответ. X! = 2 4- 2i; x2-3 = —1 — L

Задача 5. Решить методом Феррари уравнение

х4 — 2Х3 4- 2х2 4- 4х — 8 = 0.

Решение. Левую часть уравнения представим в виде разности квадратов некоторого трехчлена и двучлена. Для этого будем считать х4 квадратом 1 -го члена трехчлена, —2х® — удвоенным произведением 1-го члена на 2-й и введем новоё неизвестное у в качестве 3-го члена:

(х2 — х 4- у)2 = х4 — 2х® 4- х2 -|- 2х2у — 2ху 4- у2.

Тогда уравнение примет вид:

(х2 — х 4- У)2 + *2 — 2х2у 4- 4х 4- 2ху — у2 — 8 = 0 <=>

(х2 - х 4- У)2 - Е(2у - 1) х2 - 2 (у 4- 2) х 4- (у2 4- 8)] = 0.

Потребуем, чтобы выражение в квадратных скобках было квадратом

двучлена. Для этого его дискриминант должен быть равен нулю: № — 4ос = 0, где b = —2 (у + 2), а = 2у — 1, с = у2 + 8.

Итак, потребуем:

4 (у + 2)2 — 4 (2у — 1) (у2 + 8) = О^у2 + 4у + 4 — 2у3 + + у2 — 16у + 8 = 0ф*у3 — у2 + бу — 6 = 0.(10)

Полученное уравнение для у называется кубической резольвентой данного уравнения 4-й степени. Достаточно найти один корень резольвенты у0, чтобы решить данное уравнение. После несложных преобразований найдем у0:

У2 (у _ D _ 6 (у _ 1) = 0^ (у - 1) (у2 - 6) = 0=>у0 = 1

(можно было бы взять и уо = Кб). Подставляем значение у0 = 1 в уравнение (10):

(х2 — х + I)2 — (х2 — 6х + 9) = 0« (х2—х + I)2 — (х — З)2 = 0ф=>

<=> (х2 — х + 1 — х + 3) (х2 — х + 1 + х — 3) =

= Оф^х2 —2х + 4 =_0у^ — 2 = Оффх = 1 ± f/3Vx = ±/2?

Ответ. 1 ± ^3; ±1^2.

Задача 6. Решить методом Эйлера уравнение

/(х) = 24 —82? +212s —14z—10 = 0.(11)

Решение. Сначала освободимся от 3-й степени неизвестного z подстановкой:

2 = х——- = х + 2,

или х = z — 2. Разложим многочлен / (г) по степеням г — 2, используя формулу Тейлора и схему Горнера:

11—821—821—10—10

1

1

—821

—821

—10

—10

46 = /'(2)46 = /'(2)-2 = /(2)-2 = /(2)

4

6 = /'(2)

4

6 = /'(2)

-2 = /(2)

-2 = /(2)

—41

_2_з-^)

21

0 Г (2)

31

f (?) = (г — 2)4 - 3 (г — 2)а + 6 (г - 2) — 2.

Получим вместо (11) уравнение

х4 — Зх2 + 6х — 2 = 0.(12)

Формулы Эйлера применимы к любому неполному уравнению

х4 + рх2 + qx + г = 0.

(13)

Кубическая резольвента для этого уравнения имеет вид: у3 + 2ру2 + (р2 — 4г)у — р2 = 0.

В случае уравнения (12) имеем: р = —3, q = 6, г = —2, следовательно, кубическая резольвента:

Ф (У) = у3 — бу2 + 17у — 36 = 0.

Испытывая делители свободного члена — 36, найдем один корень У1 = 4 резольвенты.

Затем находим остальные корни, деля ср (у) на у — 4: I 1—617 —36 4 I 1—290 = <р(4)

у2 - 2у + 9 = 0^у2 „ = 1 ± iV~8.

Далее находим числа ut = К У h i = 1, 2, 3: ti2 = V4 = + 2, иг = Р^ 1 + I Г8 — + (р"2 -р i), «з = /1 — i/8 = + (К2 — i).

Выберем такие значения Mlt н2, н8, чтобы было

нхЫ2из — —7 ” —6.

Можно взять, например, их = —2, ы2 = 1/2"4-1, м8 = РТ — I, тогда_

«1ма«з = -2 (/2 + 0 (/2 - I) = -2 (2 - i2) - -6.

Формулы Эйлера для уравнения (13) имеют вид:

Х1 = j (th + и2 + «з).

Х2 = — (tii иг ы8),

Яз = у(—“1+«2 —“з). Н1«2“з = — <7.04)

х4 = 1(—«1—ы2 + ы8).

По этим формулам находим корни уравнения (12):

х2 = 1(-2-2/2) = -1-Г2,

х8 = -^ (2 + 2д) = 1 + Z, х4 = ~ (2 21) = 1 — i.

Тогда исходное уравнение (11) имеет корни:

Zi = Xi + 2 = 1 + V2, Z2 — Хг + 2 = 1 —

Z3 = Хд + 2 = 3 4- i, z^ = х^ + 2 = 3 — I.

Ответ. 1 ± V2; 3 ± L

Упражнения

Привести кубические уравнения к виду:

У3 + РУ + q = о,

затем исследовать и решить полученные уравнения:

х3 + 9х2 + 18х + 28 = 0; б) х3 — 6х2 + 57х — 196 = 0;

х3 + 3ix2 — (3 + 6t) х + 10 — 5i = 0;

х3 — 9х2 + 21х — 5 = 0.

Исследовать и решить «неполные» кубические уравнения:

х3 + 12х + 63 = 0;б) х3 + 9х — 26 = 0;

х3 — Зх + 2 = 0;г) Зх3 — 8х + 8 = 0;

4х3 — Зх — 1 = 0; е) х3 — 9х + 6 = 0.

Не решая уравнения, определить число действительных корней:

х3 — Зх2 + 2х — 5 = 0;

х3 — 6х2 + 7х + 5 = 0;

х3 — 12х2 + 45х + 54 = 0.

Решить методом Феррари уравнения 4-й степени:

х4 + 2х3 + х2 — 1=0; б) х4 — х3 — Зх2 + 5х — 10 = 0; в) х4—2х3+4х2+2х—5 = 0;г)х4 — 6х3 +Юх2 — 2х — 3 = 0;

х4—2х3+х2+2х — 1=0;е)х4 — 2х3 +2х2 + 4х — 8 = 0;

х4—х3—х2+2х — 2 = 0;з)х4 — 4х3 4-Зх2 + 2х — 1=0;

х4+2х3—2х2+6х—15=0;к)х4 — 2х3 +4х2 — 2х + 3 = 0;

х4 — 2х3 + Зх2 — 2х—2=0.

Решить методом Эйлера уравнения 4-й степени, предварительно приведя их к виду х4 + рх2 + qx + г = 0:

z4 — 4г3 + 24z — 36 = 0;б) z4+8z3+26z2 + 41z + 28 = 0;

z4+2z3+5z2+4z + 4 = 0;г) z4 — 8г3 + 18z2 — 27 = 0;

4г4 + 16г3 + 12z2+ 8г+5=0.

Указание. В случае б) используйте формулу VTvv"b = ± (^“5^^ + V“Z^^\

§ 8. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ Q

Вопросы программы. Целые и рациональные корни многочленов. Сведение вопроса о приводимости многочлена над полем ра-

циональных чисел к вопросу о приводимости над кольцом целых чисел. Критерий неприводимости.

Литература: Винберг. Э: Б. Гл. V, § 1 (п. 1, 2).

При рассмотрении многочлена/ (х) £ Q [х] (или уравнения / (х) = = 0) нас будут интересовать в основном два вопроса: 1) о нахождении рациональных корней этого многочлена и 2) приводимость / (х) над полем Q.

Для многочлена / (х) с целыми коэффициентами справедлива р-

теорема: если — — рациональный корень многочлена, причем (р, q) = 1, то числитель р дроби является делителем свободного члена, а знаменатель q является делителем старшего коэффициента многочлена. Из этой теоремы вытекают два полезных следствия:

Нормированный многочлен / (х) £ Z [х] не имеет дробных корней (т. е. таких, для которых q 4 ±1).

Целый корень а многочлена f (х) £ Z [г] является делителем свободного члена.

Задача 1. Найти все рациональные корни многочлена

/ (х) = X4 + X3 — Их2 — 5х + 30.

Решение. Многочлен f (х) нормированный (старший коэффициент равен 1), поэтому его рациональные корни, если таковые существуют, должны быть целыми числами. Целые же корни находятся среди делителей свободного члена. В нашем случае делителями свободного члена (числа 30) являются следующие числа:

±1, ±2. ±3, ±5. ±6. ±10, ±15, ±30.

Теперь можно было бы каждое из этих 16 чисел испытать непосредственной подстановкой в многочлен или по схеме Горнера. Однако многие из этих чисел можно «отсеять» более простым путем. Найдем границы действительных корней данного многочлена (см. задачи 5 и 6 § 6): ВГ — 1 ± К11 <5; НГ = —12. Следовательно, действительные, и в частности рациональные, корни данного многочлена содержатся в промежутке (—12; 5).

Поэтому остается испытать следующие 9 чисел:

±1,±2, ±3, —5, -6,-10.

Воспользуемся еще тем, что если а 4 ±1 — целый корень многочлена / (х) с целыми коэффициентами, то числа -^- и ^~^ а— 1 а ± 1 целые.

В нашем случае / (1) = 16, f (—1) = 24. Отсюда видно, что 1 и —1 не являются корнями / (х). Теперь проверим, для каких из 1624

оставшихся семи чисел а числа и являются целыми.

а— 1а± 1

Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

а

2

—2

3

-3

-5

-6

— 10

16 а— 1

Ц

д

ц

ц

д

д

д

24

а + 1

ц

ц

ц

(Здесь буквы ц и д означают соответственно «целое» или «дробное».) Из таблицы видно, что целые корни данного многочлена следует искать среди чисел 2, 3, —3.

Теперь, пользуясь схемой Горнера, выясним, какие из указанных трех чисел являются корнями многочлена. Начинаем с числа 2:

|11—11—530

2 |13—5—150

Так как остаток от деления / (х) на х — 2 оказался равным нулю, то 2 — корень / (х). Проверим, не является ли 2 двукратным корнем, для чего полученное от деления частное

q (х) = х3 + Зх2 — 5х — 15

снова разделим на х — 2:

|13 —5 —15

2|155—5

Здесь остаток равен —5 =^0; следовательно, число 2 является простым корнем многочлена / (х). Теперь проверим число 3. Здесь можно на х — 3 делить не / (х), a q (х):

।1 3 _5—15

3 |1 61324

Из таблицы видно, что q (3) = 24 ^ 0. Следовательно, число 3 не является корнем q (х), а значит, и / (х). Осталось проверить число —3:

| 13 -5 —15

-3 I1 0 — 50

Число —3 — корень многочлена q (х), а следовательно, и многочлена / (х). При этом свободный член частного q4 (х) = х2 — 5 не делится на —3, и, значит, —3 его корнем не является, т. е. —3 есть простой корень данного многочлена.

Итак, многочлен / (х) имеет два рациональных корня: Xi = 2 и х2 = —3, причем

/ (х) = (х — 2) (х + 3) (х2 — 5).

Теперь можно найти и два остальных корня / (х): х3>4 = ± Уб"- Эти числа иррациональны.

Задача 2. Найти рациональные корни многочлена

/ (х) = 4х5 + 12х4 + х3 + 6х2 + Юх + 3.

Решение. Здесь старший коэффициент / (х) отличен от 1. Следовательно, многочлен может иметь как целые, так и дробные рациональные корни (хотя с тем же успехом может и не иметь ни тех, ни других). Их отыскание можно свести к отысканию целых корней некоторого нового многочлена, который получается из f (х) следующим образом. Умножим многочлен / (х) на 23 = 8 и сделаем подстановку 2х = у. Получим многочлен

ф (у) = У5 + бу4 + у3 + 12у2 + 40у + 24,который не имеет дробных корней. Найдя его целые корни (темже способом, что и в предыдущей задаче) и разделив их на 2 (таку

как x ~ g )* ПОЛУЧИМ все рациональные корни данного многочлена.

Однако такое сведение не обязательно. Можно находить рациональные корни данного многочлена, используя теорему, указанную в начале параграфа. По этой теореме корни нашего многочлена следует искать среди чисел:

4-1; +3; +-; + —; 4- -; 4- -.

_ , _ , _ 2> _ 2> _ 4, _ 4

Для сокращения числа испытаний найдем границы корней многочлена / (х). Замечаем, что все коэффициенты многочлена положительны, а потому положительных корней он не имеет, т. е.

(

12\

1 Н= —4.

Таким образом, корни данного многочлена находятся в промежутке [—4; 0], и, следовательно, осталось испытать числа:

Используем еще тот факт, что если дробь — является корнем q

многочлена f (х), то -^-^- и —-~ - — целые числа. Проверим это р—q p + q

условие для чисел (1), учитывая, что / (1) = 36, / (—1) = 6. Результаты запишем в таблицу:

р. q

-3

1

—1

2

—3

2

—1

4

-3

4

ж

P—q

ц

Ц

д

Д

Д

p + q

ц

ц

Итак, корнями многочлена f (х) могут быть лишь числа —3 и — Т. Проверим каждое из них по схеме Горнера:

41216103

-3222“ 22~ 2-3222“ 22~ 240131,0

-3

2

2

2

“ 2

2

~ 2

-3

2

2

2

“ 2

2

~ 2

4—2220

4—440

4 —67^0

Таким образом, многочлен / (х) имеет рациональные корни: x^ = —3, х2 = —у, х3 = ——- (корень —3 является простым, так как частное от деления / (х) на х + 3 имеет свободный член 1, не делящийся на —3), причем

f (х) = (х + 3) (х + 2" (4х2 — 4* + 4) = (х + 3) (2х + I)2 X

X (х2 — х + 1).

Обратимся к задачам на установление приводимости или неприводимости многочленов над полем Q. Прежде всего заметим, что любой многочлен, неприводимый над одним из полей С или R, будет неприводим и над Q. Обратное, однако, неверно — класс неприводимых над Q многочленов значительно шире класса многочленов, неприводимых над R или С. В то время как над полем С неприводимы только многочлены 1-й степени, а над R — многочлены 1-й степени и некоторые многочлены 2-й степени, над полем Q существуют неприводимые многочлены любой заданной степени л > 1.

Легко решается вопрос о приводимости или неприводимости над Q многочленов 2-й или 3-й степени. А именно многочлен 2-й или 3-й-степени над Q тогда и только тогда приводим, когда он имеет хотя бы один рациональный корень. В случае, если многочлен 2-й степени приводим над Q, оба его корня рациональны; приводимый над Q многочлен 3-й степени имеет либо один, либо все три рациональных корня.

Задача 3. Выяснить, приводимы ли над полем Q многочлены:

f (х) = 4х2 — 12х + 5;

/ (х) = х3 — Зх — 5;

/ (х) = х3 + 6х2 — 15х + 2;

f (х) = х3 — 2х + 1,

и в случае приводимости разложить их на неприводимые множители.

Решение, а) Корнями f (х) являются числа: xt = — и х2 = ^. Многочлен f (х) приводим над Q:

X— уШ~ у) = (2х — 5) (2х—1).

Корни / (х) — числа:

_3±Г29

*1. гg '

Так как хь х2 £ Q, многочлен / (х) неприводим над Q.

Ищем рациональные корни / (х). Так как старший коэффициент / (х) равен 1, то все рациональные корни должны быть целыми и их следует искать среди делителей свободного члена, т. е. среди чисел ±1, ±2. Но в данном случае f (1) = —6 ^=0, / (—1) = = 22 ^= 0, f (2) = 4 Ф 0, f (—2) = 48 ^ 0, целых корней нет. Итак, / (х) не имеет рациональных корней, следовательно, неприводим над Q.

Имеем f (1) = 0, следовательно, / (х) приводим над Q. Произведя деление на х — 1, получим: f (х) = (х — 1) (х2 + х — 1). Многочлен х2 + х — 1 неприводим над Q, так как его корни — 1 ±уТ 21 иррациональны.

Ответ, а) / (х) = (2х — 5) (2х — 1);

б), в) / (х) неприводим над Q; г) f W = (х — 1) (х2 + х — 1).

Замечание. Для многочленов степени 2 или 3 над полем Q, как уже отмечалось, наличие хотя бы одного рационального корня есть необходимое и достаточное условие приводимости. Для многочленов степени выше 3 наличие хотя бы одного рационального корня есть лишь достаточное условие приводимости. Что это условие не является необходимым, показывает следующий пример: многочлен (х2 + I)2 (степени 4) приводим над Q, между тем этот многочлен не имеет ни одного корня в поле Q. То же самое можно сказать и о многочлене х4 — 4.

В некоторых случаях неприводимость многочлена f (х) ^Q [xl можно установить на основании следующего признака неприводимости Эйзенштейна.

Многочлен с целыми коэффициентами

/(х) = аох" 4- ^х""1 + ... + а„ (п >2, а0ф0)

неприводим над полем Q, если хотя бы одним способом можно подобрать простое число р, удовлетворяющее условиям:

старший коэффициент а0 не делится на р\

все остальные коэффициенты делятся на р (а/- р, t = 1,

.... п);'

свободный член й„, делясь на р, не делится на р2.

Отметим также следующий факт: если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем Q рациональных чисел, то он приводим и над кольцом Z целых чисел.

Задача 3. Пользуясь признаком Эйзенштейна, доказать неприводимость многочленов:

/ (х) = 4х5 — 12х3 + 6х2 — 72х — 6;

/ (х) = Xя —2, и > 1;

f (х) - х" + (х + 6)" + 3, п > 1.

Решение. В случае а) применяем признак Эйзенштейна для р = 3, в случае б) — для р = 2. В случае в) раскрываем (х + 6)” по формуле бинома Ньютона и получаем:

/ (х) = 2х” + Д С*х”~*6* + 3.

В написанном многочлене все коэффициенты, кроме старшего (равного 2), делятся на 3, а свободный член (он равен 6” + 3), делясь на 3, не делится на З2. Следовательно, f (х) неприводим над Q.

Задача 4. Многочлен

/ (х) = х4 — Xs — Зх2 + 2х + 2,

не имеющий рациональных корней, разложить на множители или установить его неприводимость над полем Q.

Решение. Эту задачу мы решим, используя способ Кронекера, который в данном случае (для многочлена степени 4) будет сводиться к следующему.

Так как многочлен / (х) не имеет рациональных корней, то он не имеет линейных множителей и в случае приводимости над полем Q разлагается на два множителя 2-й степени:

/(*) = £ (х) h (х) = (х2 + рхх + ft) (х2 + р^х + ft),

где рь рг, qt, q^ — целые числа (старшие коэффициенты многочленов 2-й степени можно считать равными 1, поскольку их произведение должно равняться старшему коэффициенту многочлена / (х), т. е. 1). При любом целом значении х = т имеем:

f (т) = g (т) h (m),

следовательно, g (т^ есть делитель / (//г). Этим обстоятельством мы воспользуемся для нахождения многочлена gt (х) = х2 + Ptx + + qv Так как f (1) = 1 и f (—1) = 1, то для g (1) и g (—1) возможны только следующие комбинации значений:

I (g(l) = l,II (g(l) = —1,

U(-D = i; U(-D = i;

III (g (1) = 1,IV (g(l) = -i,

lte(-D = -i; U (-D = -i.

Рассмотрим первую комбинацию:

I fg (О — I + Pi + <7i = 1 ^f ft = 0 lg (—1) = 1 — pi + qt = 1 I pi = o.

Это дает g (x) = x2, но, очевидно, / (x) не делится (без остатка) на х2.

Рассмотрим вторую комбинацию:

И f g (!) = 1 + Pi + 91 = —1 ^ ( ft = -1g (х)=х2-х—1,

1г (— 0 = I — Pi + ft = I lPi = —1®

что приводит к g (х) = х2 — х — 1. Деля / (х) на х2 — х + 1, убе-

ждаемся, что остаток равен нулю:

х4 — Xs — Зх2 + 2х + 2 | х2 — х — 1

X4 —Xs— х2 1х2_2 '

_ _ 2х2 + 2х + 2

— 2Х2 + 2х + 2

О = г (х)=$► f (х): g (х)

Ответ: f (х) = (х2 — х — 1) (х2 — 2).

Замечания. 1. Если при рассмотрении всех комбинаций окажется, что / (х) не делится ни на один из полученных многочленов g (х), то / (х) неприводим над полем Q.

Если старший коэффициент а0 многочлена / (х) не равен ± 1, то для нахождения g (х) = ох2 + Ьх + с нужно брать значения / (х) и g (х) при трех различных значениях х £ Z. Многочлен g (х) можно было бы найти, используя интерполяционную формулу Лагранжа (см. § 1).

Если степень многочлена / (х) выше 4, то необходимо рассмотреть большее число вариантов разложения. Например, если ст. / (х) = 6, то надо рассмотреть два случая: / (х) имеет хотя бы один множитель 2-й степени и f (х) разлагается в произведение двух множителей 3-й степени.

Как видим, метод Кронекера громоздок в практическом отношении, хотя и позволяет в принципе решить вопрос о приводимости или неприводимости любого конкретного многочлена над Q.

Разумеется, при выяснении вопроса о приводимости или неприводимости того или иного многочлена над Q не обязательно пытаться использовать рассмотренные выше стандартные приемы. Особенности строения многочлена могут сами подсказать путь для доказательства его приводимости (или неприводимости).

Задача 5. Пусть ф (х) — многочлен степени п с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1, имеющим п различных корней (вообще говоря, комплексных). Доказать, что многочлен Ф (х) — 1 неприводим над Z (а значит, и над Q).

Решение. Пусть аь а2, .... ап — корни ф (х). Рассуждая от противного, допустим, что многочлен ф (х) — 1 приводим над Z, т. е.

Ф (х) — 1 = g (х) h (х),(2)

где g (х) и h (х) — многочлены, степени которых меньше п, с целыми коэффициентами. Полагая в (2) х = at (t = 1, 2, ..., и), будем иметь:

g (a^h (а^ = —1, следовательно, g (а^ = 1, h (а^ = —1 или же g (а^ = —1, h (at) = 1. В обоих случаях

g <а^ + h (щ) = О (i=l,2, .... п).

Таким образом, многочлен g (х) + Л (х), степень которого меньше п, имеет по крайней мере п различных корней: ai, a2, .... ап. Отсюда следует, что этот многочлен нулевой, т. е. g (х) = —h (х). Тем самым

Ф (х) — 1 = —(g (х))2,

что невозможно, так как старший коэффициент многочлена ф (х) по условию положителен.

Замечание. В качестве многочлена ф (х), удовлетворяющего условиям задачи, можно взять любой многочлен вида (х — а^ х х(х—а2) ... (х— а„), где а1( а2, .... а„— п различных между собой целых чисел.

Задача 6. Найти необходимые и достаточные условия разложимости биквадратного многочлена с целыми коэффициентами

ах4 + йх2 + с

в произведение двух множителей 2-й степени (также с целыми коэффициентами).

Решение. Разделив данный многочлен на а, получим многочлен

f (х) = х4 + рх4 + q

с рациональными коэффициентами р н q (р = \ q = — Y Наша задача — найти условия, при которых имеет место разложение вида

X4 + рх4 + q = (х2 + atx + Pi) (х2 + аах + р2),(3)

где alf a2, Pi, Р2 — рациональные числа.

Из (3) следует:

oti + a2 = О,

®1Рг + a2pi = О,Pi + Рг + ®i®2 = PtP1P2 = q-

Если «! = 0, то a2 = 0. В этом случае для нахождения Pi и Р2 нужно решить систему:

f Pi + Ра — Р»

I PiPa = 9»

или, что равнозначно, решить квадратное уравнение г? — рг + + q = 0. Очевидно, корни этого уравнения (т. е. Pt и р2) будут рациональными числами в том и только в том случае, когда дискриминант р4 — 4^ — квадрат рационального числа.

Пусть at #= 0. Тогда а2 = —аь р2 = рь и для нахождения ai(Pi имеем систему:

{ Р? = 9, 12Pi — р = а2.

Отсюда видно, что числа аь р4 будут рациональными в том и толь-

ко в том случае, если Уд и V2 Vq — Р — рациональные числа. Ьс

Ответ. Положим р = — и q = —, тогда для разложимости й(X/

ах4 + Ьх2 + с в произведение двух множителей 2-й степени (над 2/ необходимо и достаточно выполнение одного из двух условий:

число Ур2 — 4q рациональное;

числа Уq и 2 Уq — р рациональные.

Упражнения

Найти рациональные корни многочленов:

/ (х) = х3 — Их2 4- 38х — 40;

Г (х) = Зх4 4--U3 4- х2 — 2х 4- ji

/ (х) = Зх4 —2х3 4- 4х2 — х 4- 2;

/ (х) = 8х5 —14х4 — 77х3 4- 128х2 4-45х—18;

f (X) = бх5 —2 jX4 4- 15уХ3 4- 7х2— 7х4-1;

f (х) = 8Х4 —6х3 — 7х2 4- 6х — 1;

/ (х) = Юх5 4- 17Х4 4- 13х3 4- 2х2 — 5х — 1;

f (х) = Зх5 4- Их4 4- Збх3 4- 38х2 4- 19х 4- 5;

f (х) = бх® — х5 — 23Х4 — х3 — 2х2 4- 20х — 8;

/ (х) = х4 4- 4х3 — 18х2 — 59х 4- 12;

/ (х) = х5 4- бх4 4- 4х3 — 23х3 — ЗОх — 8;

м) / (х) = Зх4 — Их3 4- 16х2 4- х — 2;

н) f (х) = 4х5 4- 8х4 — 59х3 4- 67х2 — 28х 4- 4;

/ (х) = 4х4 — 7х2 — 5х — 1.

Выяснить, какие из указанных ниже многочленов 2-й и 3-й степени приводимы над полем Q рациональных чисел, в случае приводимости разложить их на множители, неприводимые над полем Q:

f М = Зх2 — 2х — 1;f (х) = х2 — х 4- ^;/ (х) = ЗОх3 4- 19х2 — 1;ж) f (х) = х3 4- 6х2 — 8х 4- 12:и) / (х) = 2х3 4- 12х2 4- 17х -f М = Зх2 — 2х — 1;f (х) = х2 — х 4- ^;/ (х) = ЗОх3 4- 19х2 — 1;ж) f (х) = х3 4- 6х2 — 8х 4- 12:и) / (х) = 2х3 4- 12х2 4- 17х -2:2:б) / (х) = 2х2 — Зх + 4;

f М = Зх2 — 2х — 1;

f (х) = х2 — х 4- ^;

/ (х) = ЗОх3 4- 19х2 — 1;

ж) f (х) = х3 4- 6х2 — 8х 4- 12:

и) / (х) = 2х3 4- 12х2 4- 17х -

f М = Зх2 — 2х — 1;

f (х) = х2 — х 4- ^;

/ (х) = ЗОх3 4- 19х2 — 1;

ж) f (х) = х3 4- 6х2 — 8х 4- 12:

и) / (х) = 2х3 4- 12х2 4- 17х -

2:

2:

/ (х) = Зх34-4х2 + 4х+4;

f (х) = Зх3 4- 5х24-5х4-2;

f (х) = 2х34-Зх24-6х—4;

к) f (х) = х34-х2—х—1.

3. Найдя рациональные корни3. Найдя рациональные корнимногочленов степени п ^ 4,

3. Найдя рациональные корни

3. Найдя рациональные корни

разложить на множители, неприводимые над полем Q:

. a)f(х)=х4 4- 4х3 — 2х2 — 12х 4- 9;

/(х)=х5 4- х4 — 6х3 —14х2 — Их — 3;

/(х)=6х4 4- 19х3 — 7х2— 26х 4- 12;

f(х)=24х5 4- Юх4 — х3— 19х2 — 5х4- 6;

/ (х) = х6 — бх5 4- Их4 — х3 — 18х2 4- 20х — 8;

/ (х) = 5х6 4- 45х5 4- 137х4 4- ISSx3 4- 72х2 4- Ю8х 4- 54.

Пользуясь критерием Эйзенштейна, доказать неприводимость над полем Q многочленов:

f (х) = 2х5 — 15Х3 + 21х — 24;

/ (х) = 3x6 — 20Х4 + ЗОх2 — 20х + 20;

/ (х) = 4х7 — 21х5 + 28х4 — 14х2 — 35;

/ (х) = 2х« + 14х3 — 35х2 — 56х + 63;

/ (х) = х4 — 2х + 3;

f (х) = 2х4 + 9х3 + 20х2 + 15х + 32.

Способом Кронекера разложить на множители или установить неприводимость над полем Q следующих многочленов, не имеющих рациональных корней:

a) f (х) = х4 — Зх2 + 1;б) f (х) =х4 + 5х3— Зх2—5х+1;

в) f (х) = х4 + х3 + х2 — 2;г) / (х) = х4 — х3 — х — 1.

Указание. В пунктах а), б), г) найти f (0) и f (1); в пункте в) найти f (1) и f (—1).

Пусть ф (х) — многочлен степени п с целыми коэффициентами, имеющий п различных корней. Докажите, что многочлен

1 + ф2 (х)

неприводим над Z (следовательно, и над Q).

Указание. Предположив, что ф2 (х) + 1 = g (х) h (х), где g (х), Л (х) ^ Z [х], и подставив в это равенство (вместо х) каждый из корней многочлена ф (х), убедиться, что g (х) = ± (1 + оф (х)), А (х) = ± (1 + 6ф (х)), где a, b £ Z. Вывести отсюда, что ab = 1, и получить противоречие.

Установить на основании решения задачи 6 приводимость следующих многочленов f (х) £ Z [х]:

а) х4 + 9х2 + 25;б) х4 + 7х2 + 16;

в) 9х4 + Их2 + 4;г) 16х4 - х2 + 1

и найти их разложение на неприводимые множители над Z.

ГЛАВА ШМНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

КОЛЬЦО Р [Xi, X# •••• Х„1 МНОГОЧЛЕНОВ ОТ я ПЕРЕМЕННЫХ

Вопросы программы. Построение кольца многочленов от нескольких переменных над областью целостности или полем. Условие равенства многочленов. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и единственность такого разложения.

Лексикографическое упорядочение членов многочленов; лемма о высшем члене произведения многочленов.

Литература: Винберг Э. Б. Гл. Ill, § 1.

Задача 1. Найти сумму, разность и произведение многочленов / (хь х2, х8) = 2xi — Зх2х3 + 4х1х3 4- х8, g (xi, х2, х8) = 2хах8 — 5х1х! + 4х8

из кольца Q [Xi, х2, х8] многочленов от трех переменных над полем рациональных чисел.

Решение. Члены многочленов fug, отличающиеся только коэффициентами (или просто совпадающие), называются подобными. В данном примере подобные члены: —Зх2х3 и 2х2х3; 4х2х3 и —5x1x1; х8 и 4х3. Привести подобные члены — значит найти их сумму, например: —Зх2х3 + 2хгх3 = —х2х3. Чтобы сложить многочлены f и g, надо к членам многочлена f приписать члены многочлена g с теми же знаками и привести подобные члены:

f + g = 2xi — х2х3 — xjxi + 5х8.

При вычитании из многочлена / многочлена g к членам многочлена f приписываем члены многочлена g с противоположными знаками и приводим подобные члены:

/ — g = 2х? — 5х2х8 + 9х1х3 — Зх3.

При умножении многочленов каждый член многочлена f умножаем на каждый член многочлена g (сначала все члены / на 1-й член g, затем все члены / на 2-й член g и т. д.) и приводим подобные члены (ниже такие члены подчеркнуты одинаково):

fg = 4xfx2x3 — Gxjxf 4* 8x2X3 -f- 2х2х3 — Юх^Хз Хз 4~' 15х2х3— — 20х2х3 — 5хах3 4- 8х|х3 — 12х2х3 4- 16х1х3 4- 4х3 = 4xix2x8 —

— 6xlx3 4~ 23х2х| — 10х2х3 — Юх! х2х3 — 20х2х3 4- 11х2х3 4*4~ 8х?х8 4- 4х3.

Ответ, f + g = 2aj — x2x3 — X2X3 + 5x3; f — g = 2xf — — 5x2x3 + 9х1хз — 3x8; fg = 4xix2x3 — 6х!хз + 2ЗХ2Х3 — 10х2хз— — IOX1X2X3 — 20х1хз + llxlxl + 8xix3 + 4x1.

Задача 2. Расположить лексикографически члены многочлена h = fg, полученного в задаче 1.

Решение. Одночлен и = ах*1 х2‘ ... х„п считается старше (выше) одночлена v = бх^1 bxi ... х„п (или одночлен и младше, ниже одночлена и), если £t > /ь либо Ati = /1, но 62 > /2, либо kt = /1, ^2 = к» но &3 > /3 и т. д. Пишут: и>- и (или о -< и).

Самую большую степень по х4 имеют 3 члена многочлена h: 4xfx2x8, —Юх?xfxf, 8х1Х3. Высшим членом будет —lOxixfxl, так как в него х2 входит с самым большим показателем (равным 2) по сравнению с двумя другими членами. Для остальных двух членов имеем: Х1ХгХ3 >- 8xix3, так как показатель х2 в первом из них больше, чем показатель х2 во втором (1 > 0). Кроме перечисленных трех членов, остальные не содержат х4. Среди них членом, содержащим х2 в наибольшей степени, будет — 20хгХз; он ниже члена 8х1х3 (8х?х3 > — 20х2Хз), но выше, чем 23х2Хз (—20хгХз>23х1хз) ит. д.

Ответ, h = fg = —lOxixlxf + 4xiX2X3 + 8xix3 — 20x1 xt + + 23х1хз + llxjxt — 6х2Хз — IOX2X3 + 4х|.

Задача 3. В кольце Q [Xi, х2, х3] найти высший член и степень п произведения многочленов:

f = Х]Х2 — 3X1x1 + 4xi хз — 6x3X3, g = 3xix2 + Xix2 — 6х2хз, h = 8x1x1 — 6x1X3,

не перемножая сами многочлены.

Решение. Высший член произведения ненулевых многочленов над областью целостности равен произведению высших членов сомножителей, а степень произведения равна сумме степеней сомножителей. Следовательно,

4xixi • Х]Х2 • 8x1X2 = 32х’0Х2

будет высшим членом произведения fgh.

Наибольшую степень среди членов многочлена f имеет член —5х2хз, поэтому степень f = 7; аналогично находим, что степень g = 5, степень h = 6. Следовательно,

и = 7 + 5 + 6=18 — степень произведения fgh.

Ответ. 32х}°х1; п = 18.

Задача 4. Найти однородные составляющие многочленаf (xj, х2, х3) = —ЗХ1Х2Х30 -f- 5х2х3 — х 1X2X3 + хз — х1X2X3 4*+ х2х| — 8.

Решение. Однородным называется многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень. В данном случае степени отдельных членов многочлена / равны (последовательно)

12, 8, 12, 8, 3, 3, 0.

Следовательно, однородными составляющими многочлена / будут многочлены:

— Зх1Х2Хз° — х?х2х3 (однородная составляющая степени 12),

5х2х3 + Хз(однородная составляющая степени 8),

— Х1Х2Х3 + хгх3(однородная составляющая степени 3),

— 8(однородная составляющая степени 0).

Задача 5. Пусть f, g, h — многочлены из Р [Xi, х2х„] (где Р — некоторое поле). Доказать, что если f = gh и многочлен / однородный, то многочлены gah тоже однородные.

Решение. Предположим противное, т. е. что хотя бы один из многочленов g или h не является однородным. Пусть gi и hi — однородные составляющие наименьшей степени многочленов g и h (соответственно). Имеем:

g = gi + gi, А = Ai + A2,

где все члены многочлена g2 имеют степени, большие степени gt, а все члены многочлена А2 — степени, большие степени At. Из равенства

f — (gi + gz) • (Ai + A2) следует:

gjii = f — (giha + g2hi+ gAYО)

Поскольку все члены многочлена (giA2+g2Ai+g2A2) имеют степени, большие степени gthi, то из (1) следует, что при приведении подобных членов в правой части этого равенства все члены многочлена tgihrVgjivVgji^ должны уничтожиться подобными им членами многочлена f. Но многочлен f однородный; значит, его степень также больше степениgiAp Мы приходим к противоречию (все члены правой части (1) имеют степени большие, чем степень однородного многочлена gtht, стоящего в левой части).

Нижеследующей задаче 6 предпошлем такое замечание. Каждому многочлену от одной переменной х

f (х) = аох" + ^х”-1 + агх"-2 + ... + an_vx + ап (а0 ф0)

над полем Р можно сопоставить однородный многочлен той же степени от двух переменных х и у:

/*(х, у) = аох" + а1х"~1у 4- а2х"-2у2 + ... + а^ху""1 + а„у"

(очевидно, / (х) = Г (х, 1)). Нетрудно проверить, что это соответствие является изоморфизмом кольца Р [х] на кольцо однородных многочленов от х и у, т. е. что это соответствие взаимнооднозначно и

f (х) = g (х) А (х) «=> /* (х, у) = g* (х, у) А* (х, у).(2)

Задача 6. Разложить на неприводимые множители многочлен F (^> у) = х3 — х2у — ху2 — 2у3 € Q [х, У].

Решение. Многочлен F (х, у) соответствует в указанном выше смысле многочлену

f (х) = х3 — х2 — х — 2, который разлагается над полем Q на неприводимые множители следующим образом:

f (х) = (х - 2) (х2 + х + 1).

Отсюда в силу сделанного выше замечания имеем:

F (х, у) = (х — 2у) (х2 + ху + у2).(3)

Оба множителя правой части неприводимы: первый — так как он соответствует неприводимому (над Q) многочлену х — 2, второй — так как он соответствует неприводимому (над Q) многочлену х2 -f- + X + 1.

Ответ. F (х, у) = (х — 2у) (х2 + ху + у2).

Задача 7. Для многочлена

/ (*1» х^ = — Зх}°х| + 4x1x1 — 2xiX2

над полем Zp (р = 5) построить эквивалентный ему многочлен (т. е. многочлен, определяющий ту же функцию от хг, х2), имеющий по каждой переменной степень не выше р — 1=4.

Решение. В кольце Zp [х], где р простое, для каждого одночлена х" существует эквивалентный ему одночлен х”', где п' < < р (см. задачу 10 на с. 10). В частности, при р = 5 имеем:

10 _ yf2+227 _ 4.Ц-33

так что

f (^i. х2) ~ — 3X1X2 + 4х|х® — 2х1Х2 = х?х® — 2х] х2.

Ответ. Цх1; х2)~ф(хх, х2), где ф^, х2) =

= Х1Х2 — 2Х1Х2.

Упражнения

Над кольцом Z найти сумму f + g, разность f — g и произведение fg многочленов от трех переменных:

/ = — 2х? + 4хгх2 — 6x1, g = 2х\ — 8ххх8 4- 2х|.

Найти f + g 4- h и (f — g) — h, если

f = 3xtX2X8 — 7xxx2 4- Sxi, g = 8x1x2 — 10хг — ^x^lxg,

/1== 2x2 4“ 9x^X2X8 x^x2 ^ Q C^i> x^» -^gj*

Найти произведение многочленов:

f = K2xi — 2x^2 + VЗх2, g = КЗх! — К2х2 £ R [хь х2].

Расположить лексикографически члены многочленов:

/ = —х2х3 — 3—х1х2х8 4- х2Хд 4- 2xi х2 -}- Зх^х2 5 Q E^i» ^а* ^з!» 24

/ = К2ххх2х4 — Зх2х3х4 + 4 VЗхгх3х4 — 5 ]/2 х|х4— xjx3 € €^E^i> х», х8, х4];

f = (5 4* i) х2 4- 3ix^xl 4* (4 4" 2Z) xix2 — 8x1X2 — ix4x2 4* х? $ € С Ехи х2 ].

Найти высший член и степень произведения многочленов, не перемножая сами многочлены:

f = 2xfx2x8 — ЗХ1Х2Х3 4- 4xixi, g = уХ2хз — 4xxxl;

/ = 7хгх2 — 8xi 4- 4x1, g = — ЗХ1Х2 4- xixl, h = — 2х2 4- Зх1;

/ = 2fxtx2 — ЗххХ2 — 3ixix2, g = (4 + /)хг — (5 4- i) xxx2;

/ = —Зх}Х2хз 4- (2 4- О Xixlx3> g = —3x1x1 — xtx2x3 4- tx2x3.

Выделить однородные составляющие многочлена:

f (xj, х2, х3) = 4xi — 2xi х3 4* x2x3 — 5хгх2х3 4- 4xj — 2x? — 6;

f (x, y) = x2 — x®y 4- x2y — 5xy2 -f- y2 —xy — 3x2y2 -f- 2;

/ (x, y, 2) = x® 4* У8 — ^2 — У2 — 3xyz 4- x 4- у 4- 2? — xy4-7.

Доказать, что рассмотренное в замечании на с. 82 отображение кольца Р Ех] на кольцо однородных многочленов из Р Ех, у] является изоморфным.

Разложить на неприводимые множители многочлен F (х, у) € € Q Ех, у]:

F (х, у) = —х® 4- 2х2у 4- ху2 4- бу®;

F (х, у) = х4 4- х®у — Зх2у2 — 5ху® — 2у4.

Для многочлена / (х, у) над Zp построить эквивалентный ему многочлен, имеющий по каждой переменной степень не выше р — 1:

р = 7; f (х, у) = 2х10у“ 4- 5х4у® — 4х100 4- Зх40;

р = 3; f (х, у) = — 2х16у10 4-2ху2 — х®у — 2ху®.

Доказать неприводимость многочленов:

f = х, 4- Х2+ ... 4- XnEQtA, х2, ... , x„], n > 1;

/ = х? 4- х32 4- ... + xk Q Ехх, хг, ... , х„], п > 2.

Указание. Воспользоваться задачей 5.

§ 10. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Вопросы программы. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах и следствия из нее.

Литература: Винберг Э. Б. Гл. III, § 2.

Напомним, что многочлен F (хь хахп) называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке входящих в него переменных. Многочлены

»1 = xi + х» + ••• + хп«

о2 =+ ЗД + ... + xn_txn,

Оп = ХуХй ... хп

называются основными симметрическими многочленами от п переменных хх, х2, ..., хп. Основная теорема теории симметрических многочленов заключается в том, что всякий симметрический многочлен F (хх, х2, ..., хп) (над данным полем Р или областью целостности К) можно представить в виде многочлена от основных симметрических многочленов (над Р или Ку

F (хь х2х„) = Ф (Ох, о4, .... о „У

Задача 1. Выразить многочлен

/ (х^, х2, Хд) = Xi 4* Х2 4- Хз 4~ 5ххх2х3 £ Q £х^, х2, х^ через основные симметрические многочлены.

Решение. Легко видеть, что данный многочлен симметрический. Высший член многочлена / (хь х2, х3) равен х\. Ему соответствует система показателей 3 0 0 (Х1Х2Х3). Такой же высший член имеет многочлен

О? ° <Тг ° Оз = <Т1 = (Xj 4" Х2 4" Хд)8 = Х\ 4” х| 4* Хз + Зх?Х2 4*

4" Зх^хг 4* 3xiх3 4" Зх^х3 4* Зх2х3 4- 3x2xf 4* 6х^х2х3.

Найдем разность:

f — 01 = — 3xix2 — 3x^2 — 3xiXg — ЗххХз —Зх2х3 —— Зх2хз — ххх2х3.

Высший член полученного многочлена равен — 3xfx2. Ему соответствует система показателей 2 1 0 (Х1Х2Х3). Такой же высший член будет и у многочлена

—З01 02 оз = —Зо^д = —3 (хх 4~ х2 4* х8) (ХхХ4 4™

4" Х^Хд 4" ХдХд) = 3 (Х1Хд 4" Х1Х3 4” Х1Х2 4" ХгХд 4" Х^Хз 4*

4" Х2Хз 4- ЗХхХ^Хз).

Вычитая из / — ffi многочлен —Зст1ст2, получим:

/ С1 4“ SOjOg = 8хгХ2Хд = ЗОд.

Отсюда следует, что

f (*i, *2. *з) = о? — За^а + 8ст3.

Задачу можно решить несколько проще, если предусмотреть произведения ©“‘о®’ ... апп, которые приходится вычитать из многочлена / (х^ х2, ..., х„). Это можно сделать, если учесть следующие факты:

произведение а^а®* ... а“п вполне определяется своим высшим членом: если его высший член равен х^'хг' ... x*", то ат = = ^1^2» ®2 = ^2^3» •••> ®П = ^Л»

высший член вычитаемого из f (xlt х2хя) произведения о^а”* ... о"'1 «не выше» высшего члена / (хъ х2, ..., хл);

показатели при хь х2, .... хл в высших членах образуют неубывающую последовательность;

если многочлен f (хь х2, ..., х„) однородный, то сумма показателей у всех его членов, а следовательно, и у всех вычитаемых из него членов постоянна,.

Исходя из этих фактов, укажем решение нашей задачи. Составляем таблицу:

Возможные высшие члены

Соответствующие им системы показателей

Произведения o“i ... аап , 1п

имеющие указанные высшие члены

многочленов a^i ... вычитаемых из

Оап. п t

Х^ ^2 х3

3

0

0

о?

Ах^ х\ X®

2

1

0

Аогог

Вххх2Хз

1

1

1

Ва3

Теперь остается лишь найти значения коэффициентов А и В, при которых будет выполняться тождество

/ (хь х2, х3) = о? + Ло^а + Ва3.

Для определения Л и В будем подставлять в это тождество различные числовые значения переменных xv х2, х8. При этом удобнее подставлять такие значения, для которых некоторые из многочленов Ol о2, о3 равны нулю. Так, при xt = 1, х2 — 1, х8 = О имеем: стх = 2, о4 = 1, о3 = 0, / = 2. Следовательно,

2 = 23 + Л- 2-1+В-0.

Отсюда Л — — 3 и f = а3 — Зо^аЛ- Во3.

Положим теперь хг = 1, х2 = 1, х3 = — 2. Тогда f = —16, ot — О, о3 = — 2. Имеем, следовательно, — 16 = В • (— 2); отсюда В = 8.

Ответ, f (xv х2, х3) = of — Зо^ 4- 8о3.

Замечание. Если симметрический многочлен / (хь х2, ... 86

.... х„) неоднородный, то его предварительно следует представить в виде суммы симметрических однородных многочленов fv f^, ... .... /„, а затем каждый из этих многочленов выразить через av О2, • ••• СГЛ-

Задача 2. Выразить многочлен

/ = (xf + xf) (xi + х3) (xf + х|) £ Q[xv х2, х8] через основные симметрические многочлены.

Решение. Во-первых, замечаем, что / является однородным симметрическим многочленом степени 6. Высший член данного многочлена равен xtxf. Ему соответствует система показателей 4 2 0. Теперь нетрудно написать системы показателей, соответствующие высшим членам многочленов, которые, возможно, придется вычитать из f. Это будут (имеем в виду, что степени всех членов равны 6):

4 2 0; 4 11; 3 3 0; 3 2 1; 2 2 2.

Следовательно,

I =о®а2 + Ао®оа + Во® -|- COjO^Oj 4- Do®, где А, В, С, D — пока неопределенные коэффициенты. Определим их, подставляя в последнее тождество вместо хп х2, х3 некоторые числовые значения (см. таблицу):

*1

^2

Хз

^1

<т2

а»

/

1

1

0

2

1

0

2

1

1

—2

0

-3

—2

50

-1

2

2

3

0

-4

200

1

1

1

3

3

1

8

Получим систему уравнений относительно неизвестных А, В, С, D:

2 = 4 + В,

50 = —27В + 40,

200 = —Ю8Л + 160,

8 = 81 + 274 + 27В — 9С + О.

Решив ее, найдем: В = —2, D — —1, А = —2, С = 4.

Итак,

(X] -{- Хз) (xf + х3) (xf + х3) = ofof — 2ofo3 — 2о| + 4о1о2о3 — of.

Задача 3. Найти сумму кубов корней многочлена

f (х) = х4 + 2Х3 + ха + 5х + 3 € с [х].

Решение. Над полем С многочлен f (х) имеет 4 корня: хх, х2, х8, х4 (каждый корень записан столько раз, какова его крат-

ность). Нам необходимо найти число х® + х® + х® + х®, не находя самих корней.

По формулам Виета найдем значения основных симметрических многочленов от корней нашего многочлена: 04 = —2, о2 = 1, о» = —5, ог4 = 3. Следовательно, для решения нашей задачи достаточно однородный симметрический многочлен / = х® + х2 + + х® + х® выразить через Of, о2, о3, <т4. Так же как и в предыдущей задаче, найдем

х® + х2 + х® + х® = о® — 3(т1(т2 + Зст8.

Подставляя сюда найденные выше значения для gv о2, сг3, получим, что сумма кубов корней многочлена / (х) равна:

(—2)3 _ 3 (—2) .1+3 (-5) = —17.

Задача 4. Разложить на множители многочлен

/ (х, у, z) = X3 + у3 + Z3 — Зхуг.

Решение. Выразим многочлен f (х, у, г) через основные симметрические многочлены от переменных х, у, г:

f (х, у, z) = а® — Зо^.

Вынося Ох за скобки и подставляя вместо Oj, о2 их выражения через х, у, г, получим:

/ (х, у, z) = (х + у + z) (х2 + у2 + z2 — ху — xz — yz).

Задача 5. Составить многочлен, имеющий своими корнями кубы корней многочлена / (х) = х2 + рх + q.

Решение. Обозначим корни многочлена f (х) через хи х2. Тогда корнями искомого многочлена

Ф (х) = х2 + ах + b

будут числа х® и х2. По теореме Виета а = — (х® + х®), b = х|х®. Рассматривая выражения х® + х® и х®х2 как многочлены от переменных хъ х2, представим их через основные симметрические многочлены:

х® + х® = о® — За^; х^х2 = а2.

Если теперь переменным хххй придать значения корней многочлена f (х), то получим:

CTi = Xi + х2 = — р, ай = хххг = q.

Отсюда имеем:

а = — (о® — ScTiOg) = р3 — 3pq, b = (f.

Итак,

Ф (х) = х2 + (р3 — 3pq) х + <f.

Остановимся на некоторых приложениях теории симметрических многочленов к вопросам, непосредственно примыкающим к 88

курсу алгебры средней школы (этот материал с успехом может быть изучен на кружке в IX — X классах). Мы ограничимся рассмотрением многочленов от двух переменных х, у. Для более детального и широкого изучения этого вопроса отсылаем читателя к книге Болтянского В. Г. и Виленкина Н. Я. «Симметрия в алгебре» (М., Наука, 1967, 283 с.)

В приложениях часто встречаются степенные суммы

Sk = х* + у*, к = 2, 1

т. е. суммы к-х степеней переменных. Выражения этих сумм через основные симметрические многочлены ^ = х + у, о2 = ху легко находятся последовательно из рекуррентной формулы

Sr — aiSk_i °»Sk_ySr — aiSk_i °»Sk_y(1)(1)

Sr — aiSk_i °»Sk_y

Sr — aiSk_i °»Sk_y

(1)

(1)

Убедимся в справедливости формулы (1). Умножив обе части равенства Sfe_T = хк-1 + у6-1 на ^ = х + у, получим:

Мл-i = (х + у) (хк-1 + УЛ-1) = х6 + х*“‘у + ху*-1 + у* =

= (хк + yft) + ху (хк~ + у6'2) = Sk 4- a2Sk_2, к = 3, 4,,

откуда следует формула (1).

Выражения для Si и S2 находятся непосредственно: Si = х + + у = »!, S2 = х2 + у2 = (х + у)2 — 2ху = er? — 2а3. Зная Si и S2, находим S3 по формуле (1), затем S4 и т. д. Приведем таблицу выражений степенных сумм от переменных х, у через ах = х + у, о2 = ху:

Выражение S^ = х^ + У^ через с^ = х + У, а8 = ху

Вынося из двучленов общие множители за скобки, получим в скобках степенные суммы:

/ (х, У) = (х8 + У6) + 2ху (х3 + у3) — №y3 + Зх2у2 (х + У) —

— 5ху (х8 + у2) — 7х2у2 = S5 + 2ху • S3 — (ху)3 + 3 (ху)2 (х + + у) — 5ху • S2 — 7 (ху)2.

Наконец, подставив из таблицы выражения для S2, S3, S5 и заменив ху на а2, а х + у на alf получим:

/ (х, у) = (<Т1 — 5а?аа + ба^г) + 2аа (а? — За^) — а2 +

+ За^ — ба2 (а2 — 2а2) —■ 7а2 = а? — 5aiaa + Sa^a + 2а?а2 — — 6агО2 — а2 + Зааа2 — 5а ?а2 + 10а2— 7а2.

После раскрытия скобок, приведения подобных членов и лексикографического упорядочения членов (по аь а2) получим ответ:

/ (х, У) = от — За?а2 — 5а?а2 + 2ата2 — а2 + За2.

Задача 7. Решить систему уравнений:

^Ч-у3 = 35, (х + у = 5.

Решение. Если обе части уравнений симметрично зависят от х, у, то удобнее перейти к новым переменным: аа = х + у, а2 = = ху. Используя таблицу степенных сумм, получим новую систему:

Га? — За1а2 = 35, t »i = 5, решение которой: а, = 5, а2 = 6.

Для переменных х, у получим, таким образом, систему:

(х + у = 5, (ху = 6,

имеющую два решения: х = 2, у = 3 и х = 3, у = 2.

Ответ. {(2; 3); (3; 2)}.

Замечание. Используя формулы Виета, последнюю систему можно свести к квадратному уравнению

z2 — 5z + 6 = О,

корни которого zt = 2, z2 = 3. Так как х, у симметрично входят в первоначальную систему, то получаем два решения системы:

Xi = zt = 2, Ух = z2 = 3; х2 = z2 = 3, уя = гг = 2.

Задача 8. Решить систему:

з.—

Решение. Введем вспомогательные переменные z = у х, и = —у. Далее поступаем, как при решении задачи 7:

Г Z + U = 1.

(z3 + u3 = 7.

Пусть аг = г + и, ог = zu. Тогда

ах = 1 ^f ai = 1*»[2 + “ = 1 *J 2 = 2 v

а^1 — ЗСТ1<т2 = 7( а2 = —2 \ги = —2( и = —1

wfz = —1U х = z3 — 8х/(х = ^ =—1

v(u = 2 (у = — u=l (У = — и = —2.

Ответ. {(8; 1); (—1; —2)}.

Задача 9. Решить иррациональное уравнение

}/97 —х + ^ = 5.

Решение. Введем вспомогательные переменные:

у = зЛ97 — х, z — Vx,

после чего уравнение сведется к симметрической системе:

Гу + г = 5 (у4 + z4 = 97.

Далее вводим Oj = у + z, а2 = yz и находим S4 из таблицы степенных сумм. Система принимает вид:

Г Oi = 5<=ь(а1 = 5

( а* — 4afa2 + 2а| = 97(625— 100а2 + 2af = 97

.. Гai — 5,.Г»! = 5_Га! = 5, х.

(а2 — 50а2 + 264 = 0(а2= 25 ± 19(а2=6;V

v(ai==^ (у + г = 5 nry + z = 5(а2 = 44 (yz = 6(yz = 44.

Система I имеет решения: у = 2, z = 3 и у = 3, z = 2, а так как х = г4, то х = 81 и х = 16.

Система же II имеет только мнимые решения, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения переменных.

Ответ. (81; 16}.

Задача 10. Разложить симметрический однородный многочлен f (х, у) 4-й степени на множители, неприводимые над полем R действительных чисел:

f (х, у) = Юх4 — 27х3у — 1 Юх2/ — 27ху3 + Юу4 € R [х, у]; б) / (х. у) = 2х* + Зх3у + 6х8у2 + Зху3 + 2у4 € R [х, у].

Решение, а) Выразим сначала / (х, у) через основные многочлены О! = х + у, а2 = ху (см. задачу 6):

f (х, у) = 10 (х4 + у4) — 27ху (х2 + у2) — 110х®у2 = 10St — — 27ху • S2 — ПО (ху)2 = 10 (a} — 4o?a2 + 2a|) — 27a2 (о? — —• 2a 2) — IlOai = 10a4 — 40a|a2 + 20a^— 27a?a2 + 54a2 — — 110a2 = lOaj — 67aja2 — 36a2 € R [^i, <т2].

Относительно оа полученный многочлен квадратный. Решаем соответствующее квадратное уравнение

36а? + 67а?а2 — 10а? = 0.

-67а? ± К4489а? + 1440а?-67а? + 77а?

0 — ———————————————————————— _—-————————

27272

ст2 = — 2а? v <Т2 = ^ .ОО

Разложим теперь многочлен / (х, у) как квадратный относительно а2 на множители:

f (X, у) = —36 (а2 + 2аг)2 (а2 — ^а?) = (2а? 4- а2) (5о? — 36а2) =

= [2 (х + у)2 + ху] [5 (х + у)2 — Збху] = (2х2 + 5ху 4-+ 2у2) (5х2 — 26ху + 5у2).

Каждый из множителей оказывается приводимым над полем R. Первый множитель, рассматриваемый как квадратный относительно х, имеет корни xt = —-iy, х2 = —2у и разлагается на линейные множители:

2 (х + 1у) (х + 2у) = (2х + у) (х + 2у).

Второй множитель имеет корни хг = 5у, х2 = —у и также раз- 5

лагается на линейные множители:

5 (х — 5у) (х-у) = (х — 5у) (5х — у).

\5 /

Ответ, f (х, у) = (2х + у) (х + 2у) (х — 5у) (5х — у) €

€ R [х, у].

f (х, у) = 2 (х4 4- у4) + Зху (х2 + у2) + 6 (ху)2 - 2S4 ++ Зху • S2 4~ 6 (ху)2 = 2 (а? — 4а?а2 -|- 2а?) -|- За2 (а? — 2а2) 4-

+ 6а? = 2о? — 5а?а2 + 4а? € R [»!. <т2].

Получившийся квадратный относительно а2 многочлен имеет мнимые корни, поэтому разложить его на множители над R не удастся. Попытаемся представить его в виде

/ (х, у) = (ах2 + Ьху + су2) (сх2 + Ьху + ay2),(2)

т. е. в виде произведения двух несимметричных множителей, каждый из которых представляет собой отражение другого при перестановке х и у.

Положив в равенстве (2) х = у = 1, получим:

(а 4- b + с)2 = 16 => а 4- 6 4- с = ±4.

а + b + с = 4.а + b + с = 4.Коэффициенты в равенстве (2) определены с точностью до общего множителя ± 1, так как при изменении у чисел а, Ь, с знаков на противоположные равенство (2) остается справедливым. Поэтому можно принять

а + b + с = 4.

а + b + с = 4.

При х ^ I, у = —1 из равенства (2) получим:

(а — b + с)2 = 4 =► а — Ь 4- с = ±2, а при х = 0, у = 1 получим:

ас = 2.

Таким образом, для нахождения а, Ь, с имеем любую из двух систем:

а + b + с = 4

I а — b + с = 2 ас = 2

а + b + с = 4

II а — b + с = —2

.ас = 2

Решение системы I: а = 1, b = 1, с = 2 (или а = 2, b = I, с “О-

Решение системы II мнимое.

Ответ. / (х, у) = (х2 + ху 4- 2у2) (2Х2 4- ху 4- у2) € R [х, у].

Упражнения

Данные симметрические многочлены от Xi, х2, х3 выразить через основные симметрические многочлены аг, оа, о3:

7 " 4 4~ 4 4* х3 — 2xixf -- 2хх х3 — 2x1 4;

f = (2хх — х2 — х8) (2ха — хх — х3) (2х3 — хх — х2);

7 = 4 4- 4 4- 4 — 2ххх-3 — 2ххх3 — 2х2х3;

7 = (хх — х2)2 (хх — х3)2 (х2 — х3)2;

7 = 4 4- 4 4- 4—4х! — 4х3 — Х2Х3;

7= 4^а 4” 4^1 4" 4х3 4- ^14 4* 4-^3 4~ •*•24;

7 — (ххх2 4- х3х4) (ххх3 4- хах4) (ххх4 4- хах3).

Указание к б) и г): раскрывать скобки не нужно, достаточно найти высший член многочлена 7 как произведение трех многочленов.

Введем следующее обозначение. Если / (хх, ха, .... х„) — некоторый многочлен, то через S (7) будем обозначать сумму п! многочленов, получающихся из 7 всевозможными перестановками переменных хх, х2, ..., х„. Разумеется, многочлен S (/) симметрический. Например, прип = 3

S (ххх2х3) = xix2x3 4- 4х2х3 4- ххх|х34- xxxlx3 4- xtx2x3 4- ххх2х3, где слагаемые правой части получаются из ххх2х3 с помощью 31 перестановок:

•^1» ^2> ^3 ”^* ^Х* ^3> ^3» ^2^ *^1> ^3* ^2» ^3» "^1* ^3» ^1» ^2i ^3> *^2* ^1*

После приведения подобных членов находим:

S (х2х2х3) = 2х?х2х3 + 2хххгх3 + 2ххх2х2.

Аналогично,

S (ххх2х8) 6ххх2х3,

S (С*! + ^г)2) = (xi + х2)2 + (х2 + хх)2 + (хх + х3)2 + + (х3 + Xi)2 4- (х2 + х3)2 + (х3 + х2)2 = 4х2 + 4х2 + 4х2 4- 4- 4ххх2 4- 4xjx3 4- 4х2х3.

Выразить указанные ниже многочлены через основные симметрические:

/ (хх, Х2, Х3) — S (Х!Х2),

/ (хХ, Х2, ^з)^ (Х1Х2Х3),

/ (хь х2, х3, х4) = S (xt);

/ (хх, х2, х3) = S ((хх 4- х2)2);

f (хх, х2, х3, х4) = S ((хх 4- х2 4- х3)2).

Вычислить значение симметрического многочлена / от корней многочлена ф (х) £ С [х]:

a) f = Xi 4~ х3 4“ ^з — 2x1x1 — 2х?х3 — 2х1х2, ф (х) = х3—3x4-2; б) f = (2хх — х2 — х3) (2х2 — хх — х3) (2х3 — хх — х2), Ф (х) = Зх3 — 2х® 4-1;

f = xi 4- я! 4- яз — 2ххх2 — 2ххх3 — 2х2х3, / (х) = х3 — х2 4- 4“ 2х 11

/ = (хх — х2)2 (Х1 — х3)2 (х2 — х3)2, ф (х) = 2х® 4- 2х24-х—1; Д) / — -<1 4- -4 4- -*3 — xfxl — х|хз —х|х1, Ф (х)=2х34-х2—Зх—3.

Указание. Выражение симметрических многочленов через основные а1( ст2, а3 читатель найдет, решая упражнение 1.

Вычислить значение симметрического многочлена f от корней многочлена ф (х) € С [х]:

a) f = S (xix2), ф (х) = 2х3 4- Зх2 4- 4; б) f = S (xix2x3), ф (х)= = х3 — 2х® — 2х 4- 2;

в) f == S (xt), ф (х) = 2х4 4- х3 — 4Х2 4- 2х 4- 1;

г) f = S (xi 4- х4 4- Яз)2). ф (х) = х4 — х3 4- 2х2 — Зх 4-1 •

Вычислить ^4-^4-^4-^4-^4-^1, если хХ) х2, х3 — *2 хз Х1 xi ха хз корни уравнения х3 4- рх 4- ? = 0.

Найти, чему равно произведение

(хх 4- л:2 — х8 — х4) (хх — х2 4- х8 — х4) (хх — х2 — х3 4- х4), предполагая, что хх, х2, х3, х4 — корни уравнения х4 4- рхй 4- qx 4- г = 0.

Используя таблицу степенных сумм, выразить через основные симметрические многочлены следующие многочлены:

/ (x, у) = Юх®у — 2x5y* + 3x*y3 4- Зх3у4 4- Юху8 — xy;

/ (x, y) = x7y2 — x8y3 — x3y8 — 5x3y3 + x^y1 — 4x2y2;

/ (x, у) = Л + x»y® — 6x8y2 — 6x2y5 + xy1.

Решить симметрические системы уравнений:

а) (х + у = 5,б) { х + у + ху = 7,

(х2 — ху + у2 = 7;(х2 + У2 + ху = 13;

в) f х3 — у3 = 19 (х — у),г)[ х2 + ху + у2 = 49,

|х3 + у3 = 7(х + у);1х4 4-^4-у* = 931.

Решить системы уравнений, сведя их с помощью вспомогательных переменных к симметрическим:

a) f х — у = 2, б) (х2 4- У — 5; в) tVх 4-3,

[ х3 — у3 = 8;( х® 4- у3 = 65; (ху = 8.

Решить иррациональные уравнения:

а) х 4- К17 — х2 4-хУ 17 —х2 = 9; б) - 4- -^= = -.

'х /1— х» 12

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней уравнения

х2 4- 6х 4- 10 = 0.

Составить квадратное уравнение с корнями xt, х2, если известно, ЧТО Х1 4- Х2 = 31, Х1 4- х8 = 1.

При каком действительном а сумма квадратов корней уравнения

х2 — (а — 2)х — а — 1 = 0 имеет наименьшее значение?

Разложить на множители, неприводимые над полем R действительных чисел, симметрические однородные многочлены 4-й степени:

f (х, у) = 2х* 4- 7х3у 4- 9х®у2 4- 7ху3 4- 2у4;

/ (х, у) = 2х4 — х3у 4- х2у2 — ху3 4- 2у4;

/ (х, у) = 18х* — 21х®у — 94х2у2 — 21ху3 4- 18у*;

f (х, у) = Зх4 — 8х3у + 14х2у2 — 8ху3 4- Зу4.

§ 11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Вопросы программы. Результант двух многочленов. Исключение неизвестных из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными при помощи результанта.

Литература: Винберг Э. Б. Гл. II, § 1 (п. 6), § 2 (п. 8); гл. 3, § 3.

Задача. Решить над полем С систему уравнений:

(х2 4- бху — 7х — у2 — 11у 4- 12 = 0, (х2 — Зх 4- у2 — у = 0.

На примере этой задачи мы рассмотрим два способа решения систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными.

I способ — последовательное исключение одной переменной. Левые части уравнений системы — многочлены от двух переменных: f (х, у), g (х, у) € С[х, у]. Расположим их по убывающим степеням переменной х и будем рассматривать их как многочлены от одной переменной х над кольцом С [у]:

f (х, у) = F (х) = х2 + (бу — 7)х + (—у2 — 11у 4- 12),g (х, у) = G (х) = х2 — Зх + (у2 — у).

Будем «делить с остатком» F (х) на G (х), не обращая внимания на то, что коэффициенты многочленов принадлежат кольцу С [у] (а не полю). Имеем:

F (х) - С (х) • 1 + R (х),

где R (х) = (бу — 4)х 4- (—2у2 — Юу 4- 12) — остаток от деления F (х) на G (х). Очевидно,

lf^W = 0,(G(x) = 0,

(G(x)=0;t^M = O.

Система I содержит два квадратных уравнения, система II — одно квадратное, другое — линейное.

Старший коэффициент многочлена R (х) равен Ьв (у) = бу — 4. Рассмотрим два случая:

Ьо (у) =£ 0. Тогда уравнение G (х) = 0 в системе (II) можно заменить на (бу — 4)2G (х) = 0. Делим с остатком многочлен (бу — 4)2G (х) на R (х) (предварительно удобно разделить делимое на 4, а делитель на 2):

(Зу-2)2х24-(Зу-2)(-9у4-6)х4-(9у4-21у34- 16у2-4у) | (Зу-2)у+(-у2-5у+6)

ЗЗу-ЗГхЧЧЗ^ (Зу—2)х4-(У-—4у)

(Зу—2) (у2—4у)х-Ц9у4—21 у’+1 бу2—4 у)

(Зу—2) (у 2—4 у )х-|- (— у 4— у 3+26у2—24у) lOyC^Oy3— 10y24-20y=Rt

Уравнение Rt = 0 ^или — Rt = 0j является следствием системы II (и I). Говорят, что переменную х исключили из данной системы и получили уравнение Ri = 0 относительно одной переменной у. Таким образом, в случае 60 (у) ^ 0 система II равносильна системе из двух уравнений: R (х) = 0 и Rx = 0.

6» (у) = 0. В этом случае уравнение R (х) = 0 обращается в R = —2у2 — Юу 4- 2 = 0.

Итак, можем записать, что исходная система равносильна дизъюнкции (совокупности) двух систем:

II w IIIII w IIIV IVV IV

II w III

II w III

V IV

V IV

R (х) = 0

Ri = 0

^о (У) ^ 0

G (х) = 0

Ьо (У) - 0 ^ = 0.

Множество решений данной системы есть объединение множеств решений систем III и IV.

Решим сначала систему III:

((Зу — 2) х + (—у2 — 5у + 6) = О, . у4 — 2у3 — у2 + 2у = О, Зу — 2^=0.

Второе уравнение имеет корни 0, 1, —1, 2; для каждого из них, очевидно, Зу — 2 ^ 0. Подставляя указанные значения у в первое уравнение, получим четыре системы:

Г у = 0, Гу = 2, Гу = 1, Гу = —1, \2х — 6 = 0; (—4х + 8 = 0; (—х = 0; (5х — 10 = 0, что дает четыре решения исходной системы:

(3; 0), (2; 2), (0; 1), (2; -1).

Что касается системы IV, то второе и третье уравнения в этой системе

Зу — 2 = 0, у2 + 5у — 6 = 0

несовместны; значит, несовместна и система IV.

Ответ. {(3; 0); (2; 2); (0; 1); (2; —1)}.

Замечание. Можно расположить многочлены f (х, у) и g (х, у) по убывающим степеням у (а не х) и исключить из системы у. Рекомендуем читателю решить систему также и этим способом.

II способ решения системы высших степеней с двумя переменными — использование результанта двух многочленов от одной переменной.

Рассмотрим ту же задачу: решить над полем С систему:

Г х2 — Зх + у2 — у = 0,

(х2 + бху — 7х — у2 — Ну + 12 = 0.

Решение. Рассматриваем левые части уравнений как многочлены от одной переменной х:

F (х) = х2 — Зх + (у2 — у),G (х) = х2 + (бу — 7) х + (—у2 — Пу + 12).

Исключим из системы переменную х.

Если х = а, у = р — решение данной системы, то многочлены, получающиеся при у = р, имеют общий корень х = а, тогда их результант равен нулю. Записав результант R (F, 6) в виде определителя, приравняем его нулю. Раскрыв определитель, мы получим уравнение ф (у) = 0. Подставив корни уг этого уравнения в данную систему, мы получим два квадратных уравнения с одной переменной х. Общий корень этих уравнений вместе с соответствующим значением уг даст нам решение данной системы.

Последовательность вычислений:

R(F,R(F,1 о1 о1 о1 о-3.1 бу—71-3.1 бу—71у2 — уО—3У2 — У—у2—11у4-12Обу — 7—у2—Пу 4-12у2 — уО—3У2 — У—у2—11у4-12Обу — 7—у2—Пу 4-12

R(F,

R(F,

1 о

1 о

1 о

1 о

-3.

1 бу—7

1

-3.

1 бу—7

1

у2 — уО

—3У2 — У

—у2—11у4-12О

бу — 7—у2—Пу 4-12

у2 — уО

—3У2 — У

—у2—11у4-12О

бу — 7—у2—Пу 4-12

1—3У2 — У

6у_ 4 —2у2 —Юу + 12О

О бу —4— 2у2 — Юу 4-12

(мы умножили 1-ю и соответственно 2-ю строки на —1 и прибавили к 3-й, соответственно к 4-й строкам, затем разложили определитель по 1-му столбцу),

R(,F, G) - (-2)2 (у2 4- 5у - б)2 4- 22 (Зу - 2)2 (у2 - у) 44- 3 (-4) (у2 + 5у - 6) (Зу - 2) = 0«(у2 4- 5у - 6)'(у2 + _5у- — 6 — 9у 4-6) 4- (9у2 - 12у 4-4) (у2 - у) = 0 ^ (у2 4-5у- — 6) (у2 — 4у) 4- (9у2 — 12у 4- 4) (у2 — у)=0 « у4 4- 5у3 — бу2 — _ 4уз _ 20у2 4- 24у 4- 9у4 — 12у3 4- 4у2 — 9у3 4- 12у2 — 4у = 0^> фф Юу4 — 20у3 — Юу2 4- 20у = 0 ^ <р (у) = у4— 2у3 — у2 4- 2у= = 0 фф у3 (у — 2) — у (у — 2) = 0 фф у (У — 2) (у2 — 1) = 0 ф» ф» у (у — 2) (у — 1) (у 4~ О = 0 ф> у = О V )' = 2 V У = 1 V V У = —1.

f У = о(у = о1) 1 х2 — Зх = О «!х = 0\/х = 3 lx2 —7x4-12 = 0 U = 4Vx = 3f У = о(у = о1) 1 х2 — Зх = О «!х = 0\/х = 3 lx2 —7x4-12 = 0 U = 4Vx = 3х = 3У = Ох = 3У = О[у = 22) х2 — Зх 4- 2 = 0 ф»I х2 4- 5х — 14 = 0[у = 22) х2 — Зх 4- 2 = 0 ф»I х2 4- 5х — 14 = 0у = 2х = 2 V х = 1 .Лх = 2х = 2 V х = —7 I у = 2у = 2х = 2 V х = 1 .Лх = 2х = 2 V х = —7 I у = 2

f У = о(у = о

1) 1 х2 — Зх = О «!х = 0\/х = 3 lx2 —7x4-12 = 0 U = 4Vx = 3

f У = о(у = о

1) 1 х2 — Зх = О «!х = 0\/х = 3 lx2 —7x4-12 = 0 U = 4Vx = 3

х = 3

У = О

х = 3

У = О

[у = 2

2) х2 — Зх 4- 2 = 0 ф»

I х2 4- 5х — 14 = 0

[у = 2

2) х2 — Зх 4- 2 = 0 ф»

I х2 4- 5х — 14 = 0

у = 2

х = 2 V х = 1 .Лх = 2

х = 2 V х = —7 I у = 2

у = 2

х = 2 V х = 1 .Лх = 2

х = 2 V х = —7 I у = 2

4)4)[у = 13) х2 — Зх = ОI х2 — х = О[у = 13) х2 — Зх = ОI х2 — х = Оу = —1х2 — Зх 4- 2 = 0 ф* х2 — 13х 4- 22 = Оу = —1х2 — Зх 4- 2 = 0 ф* х2 — 13х 4- 22 = О1 О 1 О1 О 1 О—1 1—1 1х2 — Зх—1х2 — Зх—1П _ бх —х24-7х— 12П _ бх —х24-7х— 12= 1 • (—1)1+1= 1 • (—1)1+11112 — бх11112 — бх11—6(х —2)11—6(х —2)111 — бх—X2 -—1—2х24- Юх—1211 — бх—111 — бх—X2 -—1—2х24- Юх—1211 — бх—1—2 (х — 2) (х — 3)11 — 6х—2 (х — 2) (х — 3)11 — 6хО х2 — ЗхОО х2 — ЗхО—1—1х2 — ЗхОх2 — ЗхОх (х — 3) О — (х —3) (х —4)х (х — 3) О — (х —3) (х —4)

4)

4)

[у = 1

3) х2 — Зх = О

I х2 — х = О

[у = 1

3) х2 — Зх = О

I х2 — х = О

у = —1

х2 — Зх 4- 2 = 0 ф* х2 — 13х 4- 22 = О

у = —1

х2 — Зх 4- 2 = 0 ф* х2 — 13х 4- 22 = О

1 О 1 О

1 О 1 О

—1 1

—1 1

х2 — Зх

—1

х2 — Зх

—1

П _ бх —х24-7х— 12

П _ бх —х24-7х— 12

= 1 • (—1)1+1

= 1 • (—1)1+1

1

1

12 — бх

1

1

1

12 — бх

1

1

—6(х —2)1

1

—6(х —2)1

11 — бх—X2 -

—1

—2х24- Юх—12

11 — бх

—1

11 — бх—X2 -

—1

—2х24- Юх—12

11 — бх

—1

—2 (х — 2) (х — 3)

11 — 6х

—2 (х — 2) (х — 3)

11 — 6х

О х2 — Зх

О

О х2 — Зх

О

—1

—1

х2 — ЗхО

х2 — ЗхО

х (х — 3) О — (х —3) (х —4)

х (х — 3) О — (х —3) (х —4)

V х = 3 (х = О

V х = 1 (у = 1

у = —1

х = 1 V х = 2 Г х = 2

х = 11 V х = 2 (У = —1

Ответ. {(3; 0); (2; 2); (0; 1); (2; —1)}.

Разумеется, можно решить систему, исключив переменную у Приводим соответствующие вычисления:

= (х —3) (х — 2)= (х —3) (х — 2)1—1х_6 —2(х — 3)О1 11 — 6х —х + 41—1х_6 —2(х — 3)О1 11 — 6х —х + 46, —1||=(х — 3)(х—2)х6, —1||=(х — 3)(х—2)х

= (х —3) (х — 2)

= (х —3) (х — 2)

1—1х

_6 —2(х — 3)О

1 11 — 6х —х + 4

1—1х

_6 —2(х — 3)О

1 11 — 6х —х + 4

6, —1

||=(х — 3)(х—2)х

6, —1

||=(х — 3)(х—2)х

= 40х(х —3)(х —2)2 == 40х(х —3)(х —2)2 =у 1 Г—П1+1 I —^х 6х

= 40х(х —3)(х —2)2 =

= 40х(х —3)(х —2)2 =

XU 1J |12 —6х —2х + 4

= 0ф=>х=0\/х = 3\/х = 2.

(Кратность корня х = 2 не принимаем во внимание. Найденные значения х подставляем в данную систему и находим соответствующие значения у.)

х = ОУ2 — У = Оу2 + НУ — 12 = О[ х = 3I у2—у = о фф *I уз — 7у = О{х == 2у2 — у — 2 = О Ф*у2 — у — 2 = 0х = ОУ2 — У = Оу2 + НУ — 12 = О[ х = 3I у2—у = о фф *I уз — 7у = О{х == 2у2 — у — 2 = О Ф*у2 — у — 2 = 0х = Ох = Оу = О V У = 1 у = 12 V у = 13у = О V У = 1 у = 12 V у = 13О1О1у = О V У = 1 <=> х = 3у = О V У = 7 [у = Оу = О V У = 1 <=> х = 3у = О V У = 7 [у = Ох = 2^fx = 2у = 2 V У = —1 (у = 2х = 2^fx = 2у = 2 V У = —1 (у = 2х = 2У = 1х = 2У = 1

х = О

У2 — У = О

у2 + НУ — 12 = О

[ х = 3

I у2—у = о фф *

I уз — 7у = О

{х == 2

у2 — у — 2 = О Ф*

у2 — у — 2 = 0

х = О

У2 — У = О

у2 + НУ — 12 = О

[ х = 3

I у2—у = о фф *

I уз — 7у = О

{х == 2

у2 — у — 2 = О Ф*

у2 — у — 2 = 0

х = О

х = О

у = О V У = 1 у = 12 V у = 1

3

у = О V У = 1 у = 12 V у = 1

3

О

1

О

1

у = О V У = 1 <=> х = 3у = О V У = 7 [у = О

у = О V У = 1 <=> х = 3у = О V У = 7 [у = О

х = 2^fx = 2

у = 2 V У = —1 (у = 2

х = 2^fx = 2

у = 2 V У = —1 (у = 2

х = 2

У = 1

х = 2

У = 1

Ответ. {(0; 1); (3; 0); (2; 2); (2; —1)}.

Упражнения

Исключить х из системы уравнений (двумя способами):

a) f х2 — Зху + у2 = 2 б) Г х2 — ху + у2 = 3

(2х® — ху + Зу2 = 1; I х2у + ху2 = 6;

в) Г х3 — ху — У3 + У = 0 г) Г у = х3 — 2х2 — 6х + 8

(х2 + х — у2 = 1;(У = Зх3 — Sx2 + 5х + 2.

Решить системы уравнений над полем R, последовательно исключая переменную х:

а) (бх2 — бху + 5у2 — 16 = 0б) Г х2 — бу3 + 2 = О

12х2 — ху — х + У2 — У — 4 = 0;[ 2Х2 + у2 — 7 = 0.

Решить систему над полем С, последовательно исключая переменную у:

Гу2 + (х — 4) у + х2 — 2х + 3 = О

(у3 — бу2 + (х + 7) у + х3 — х2 — 5х — 3 = 0.

Решить систему над полем С с помощью результанта:

Гбх2 — бху + (бу2 — 16) = О

[2х2 — (у + 1) х + (у2 — у — 4) = 0; (Исключить х.)

(У2 + (х — 4)У + (х2 — 2х + 3) = О

[уз _ 5уз + (Х + 7) у + (^з _ ^2 _ 5х _ з) = о. (Исключить у.)

4*

Глава IVАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ЧИСЛА.СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ.

СОПРЯЖЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Литература: Винберг Э. Б. Гл. V, § 2 (п. 1, 3, 4), § 3 (п. 1, 3).

Задача 1. Доказать непосредственно (исходя из определения алгебраического числа), что каждое из чисел

а) ^5; б) 2 + ^5; в) —1 + 2i; г) —1 + t ^5 является алгебраическим, и найти его степень (над Q).

Решение. Число а £ С называется алгебраическим над полем Q (или просто алгебраическим), если оно является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из Q.

Многочлен р (х) С Q [х] наименьшей степени, корнем которого является данное алгебраическое число а, называется минимальным многочленом числа а, степень этого многочлена называется степенью числа а (над Q). Многочлен р (х) определен с точностью до численного множителя a ^Q. Минимальный многочлен всегда неприводим (над Q); обратно, неприводимый многочлен, имеющий а своим корнем, является минимальным многочленом числа а.

Для числа а = у 5 имеем: а3 = 5, т. е. а есть корень многочлена х3 — 5. Следовательно, а — алгебраическое число. Так как многочлен х3 — 5 неприводим над Q, то он является минимальным многочленом числа а; степень а над Q равна 3.

Для а = 2 + у^б имеем: а — 2 = у^б, откуда следует: (а — 2)3 = 5. Таким образом, число а является корнем многочлена

р (х) = (х — 2)3 — 5 € Q [х]

и, следовательно, алгебраическим числом. Многочлен р (х) неприводим над Q, поэтому степень а равна 3.

Для а = —1 + 2i имеем: а + 1 = 2i и, следовательно, (а+ + I)2 = —4. Отсюда видно, что а является корнем многочлена р (х) = (х + I)2 + 4 = х2 + 2х + 5 € Q [х], а значит, алгебраическим числом. Так как р (х) неприводим над Q, то степень а равна 2.

Для а = —1 + t у 5 можем записать:

а + 1 = i ^5"=^ (а + 1)« = —5.

Следовательно, а — корень многочлена р (х) = (х + I)6 + 5 £ £ Q [х]. Это означает, что а — алгебраическое число. Так как р (х)

неприводим над Q (чтобы в этом убедиться, достаточно применить к многочлену у6 + 5 признак Эйзенштейна), то степень а равна 6.

Замечание. Известно, что множество всех алгебраических чисел есть поле (подполе поля С). Поэтому, например, алгебраич- ность числа —1 + i "/5 можно было бы вывести из алгебраичности чисел —1, V^и i (число i является алгебраическим как корень уравнения х2 + 1 = 0). Однако в задаче требовалось установить алгебраичность числа —1 + i т/5 непосредственным путем, не опираясь на теоремы об алгебраических числах.

Задача 2. Доказать непосредственно, что число а = И р^+р^б алгебраическое и что его степень не превосходит 12.

Решение. Рассмотрим сначала число р = 1^2 + V^- Имеем:

р — /f = ^5 => (р — Р^3 = 5_=> р3 — ЗР2 К2"+

-f- ЗР • 2 — 2 р/2~= 5 =4» — (Зр2 + 2) К2 = 5 — р3 — 6р => (1) => (Зр2 + 2)2 • 2 = (5 — р3 — 6р)2 => р® — 6р4 — Юр3 + 12р2 —

— 60р + 17 = 0.

Так как Р = а2, то Из полученного равенства следует:

а12 — 6а8 — 10а® + 12а4 — 60а2 + 17 = 0.

Таким образом, число а является корнем многочлена

/ (х) = х12 — бх® — Юх® + 12Х4 — 60х2 + 17

и, следовательно, является алгебраическим числом. Если р (х) — минимальный многочлен числа а, то / (х) должен без остатка делиться на р (х) (в противном случае остаток г (х) был бы многочленом степени ниже, чем степень р (х), и также имел бы корень а). Отсюда вытекает, что степень р (х), а значит, степень числа а не превосходит 12.

Задача 3. Доказать, что числа cos — и sin — (n С ^) алгебраи- п п

ческие. Найти степень числа sin 10°.

Решение. Воспользуемся следующим частным случаем формулы Муавра:

(cos q> + i sin ф)2” = cos 2«ф + i sin 2мф.

Из этого равенства следует, что cos 2пф и sin 2пф можно представить в виде

cos 2«ф = Ft (cos ф),

sin 2«ф = F^ (sin ф созф), где Fx (х) и F^ (х) — два многочлена с целыми коэффициентами.

Полагая ф = ^, будем иметь: cos 2иф = cos 2л = 1 и sin 2пф = sin 2л = 0, следовательно,

fjcos — ^l, F-fsin— ^ = 0.\ n /\ n)

Это означает, что число cos — является корнем многочлена Fx (х)— — 1, а число sin — — корнем Fa (х); следовательно, оба указанных числа алгебраические.

Для числа а = sin 10° можно воспользоваться более простым рассуждением. Нам известна формула

sin Зф = 3 sin ф — 4 sin8 ф.

Полагая в ней ф = 10°, получим:

— = 3 sin 10° — 4 sin3 10°. 2

Отсюда видно, что число sin 10° является корнем многочлена р (х) = Зх3 — 6х + 1,

и так как р (х) неприводим над Q (это вытекает из того, что р (х) не имеет рациональных корней), то степень числа sin 10° равна 3.

Задача 4. Указать какой-либо базис поля Q (а), где а = V^ как векторного пространства над Q. Написать закон умножения чисел из Q (а) в этом базисе.

Решение. Напомним некоторые сведения о простых алгебраических расширениях полей.

Пусть Р — числовое поле и а £ С — число, алгебраическое над Р. Пусть минимальный многочлен р (х) числа а имеет степень п:

Р (я) = Со + схх + ... + спхп (с0, сх, ..., сп ^Р,сп=^ 0), так что степень числа а над Р равна п. Тогда поле Р (а) (минимальное расширение поля р, содержащее число а) состоит из всевозможных чисел у вида

у = а0 + аха + а2а2 + ... + а^а”-1,(2)

где а0, аи ..., ап_х £ Р; при этом представление числа у в указанном виде единственно. Остюда вытекает, что в качестве базиса векторного пространства Р (а) над Р можно взять п чисел:

1, а, а2, ..., а"-1.

В этом базисе умножение чисел из Р (а) можно осуществлять следующим образом: перемножаем суммы вида (2) обычным образом, т. е. пишем:

(«о 4- ^а 4- ... + а„_1а"-1) (Ьо 4- ^а 4- ... 4- ^^а""1) == 2 а^.

а затем последовательно понижаем степень многочлена (относительно а), стоящего в правой части, используя равенство

р (а) = О (или а" = — — (с0 4- сха + ... + Cn-ian~1Y \сп

Снижение степени производим до тех пор, пока степень полученного выражения не окажется меньше п.

Того же результата можно достичь и другим способом. Мы делим с остатком многочлен

f (х) g (х) = (со + Oix + ... + «„-iX"'1) (60 + Ьхх + ... + Ь^х"-1)

на р ф\.

f (х) g (х) = р (х) q (х) + г (х) (степень г (х) < п)

и, полагая затем х = а, находим:

/ («) g («) = г («).

Для указанного в задаче случая, когда Р есть поле Q рациональных чисел, а а = /2, имеем:

р (х) = х3 — 2,

и в качестве базиса Q (а) относительно Q можно взять тройку чисел:

а, а2.

Любое число из Q (а) однозначно представляется в виде

а0 + ага + а2а2 (а0, ах, а2 € Q).

Перемножая два числа из Q (а), находим:

«о + Ох» + «г»2) (60 + Ьха 4- 62а2) = а6Ь0 4- фйЬх 4- а^) а 4

+ («0^2 + “ibi 4 а^ а2 4- фхЬ2 + a2bx) а3 4- а262а4,

учитывая, что а3 = 2 и а4 — 2а, получаем:

(«о 4- аха 4- а2а2) (Ьо 4- Ьха 4- Ь2а2) = (а6Ь6 + 2ахЬ2 4- 2а26г) 4

(а^ 4- ахЬ6 4- 2а262)а + (а0Ь2 4- Qibx 4- а2Ь^аг (3)

— искомый закон умножения чисел из Q (а).

3,

Задача 5. В поле Q (а), где а = у2, найти выражение для числа (1 4- За 4- а2)-1 в виде Ьо 4- Ьха 4- b2a? (b0, bx, b2 € Q).

Решение. Фактически здесь ставится задача освободиться от корней в знаменателе дроби

1

1 + з3Д+3А ’

или, как еще говорят, «освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе». Задачу можно решить двумя способами.

I способ. Будем искать числа b0, bx, b4 ^ Q такие, чтобы

(1 4* 3 Д2 4" у^^) ф0 4* Ьх Д2 4" Ь2 Д4) = 1.

В силу формулы (2) неизвестные Ь0) Ьг, Ь2 должны удовлетворять уравнению

(1 • Ь6 + 2 -3 • Ьа + 2 • 1 • b^ + (1 • Ьг + 3 • Ьо + 2 • 1 х

X Ь^ ^2 + (1 • Ьа + 3 • ^ - 1 • Ьо) ^4 = 1

или, если учесть, что числа 1, ^2, y^4 линейно независимы над Q, системе уравнений

Ьо + 662 + 2^ = 1а bi + ЗЬ0 4“ ^Ьй = О, b2 + 3b!-bo-O.

Решая эту систему, находим:

Ответ. (1 + ЗуЛ24-уЛ4)1= — (—5 — ^2 4-8^4).

41

II способ. Число 1 4- 3 у 2 4- у 4 есть значение многочлена / (х) = 1 + Зх + х2 при х = а = }/2. Этот многочлен взаимно прост с многочленом р (х) = х3 — 2 (минимальным многочленом числа а), так как р (х) неприводим, а / (х) не делится на р (х). Следовательно, существуют многочлены и (х) и и (х) такие, что

и (х) f (х) + и (х) р ^ = 1.

Полагая в этом равенстве х = а, будем иметь:

и (а) / (а) = 1, или

/ (а)"1 = и (а)

— искомое представление для числа f (а)-1. Итак, остается лишь найти многочлены и (х) и v (х).

Применим к f (х) и р (х) алгоритм Евклида:

р (х) = / (х) (х — 3) + г (х), где г (х) — 8х 4~ 1;

8/ (х) = г (х) (х 4- |) 4- гп где гх =

Получим:

ri = 8f (х) — [р (х) — f (х) (х — 3)] (х 4- ^ =

= (84-(х — 3)(х4- ^)VW — (х4- ?)pW-

\\о//\ о/

Полагая в последнем равенстве х = а, находим: ^(84-(a_3)(a4-^f(a), О \\ о //

или

f (а) 1 = -^ ^8 + а2 —-а — —) = -^—5—а+8а2).

41 \88/41'

Ответ, разумеется, получился тот же самый, что и при I способе решения.

Задача 6. Освободиться от а в знаменателе дроби

а2 — За + 1а2 + 2а + 1 ’

если а — корень уравнения

х3 + х2 + Зх + 4 = 0.

Решение. Положим

р (х) = х3 + х2 + Зх + 4.

С помощью известных нам приемов определяем, что многочлен р (х) не имеет рациональных корней; из этого, поскольку степень р (х) равна 3, следует, что р (х) неприводим над Q.

Знаменатель данной дроби а2 + 2а + 1 = (а + О2 не равен нулю, так как ct^ —1 (число —1 не является корнем многочлена р (х)). Это означает, что многочлен

f (х) = х2 + 2х + 1

взаимно прост с р (х) (в противном случае f (х) и р (х) имели бы общий корень —1, что, как мы видели, невозможно). Пользуясь этим, будем искать многочлены и (х) и и (х) такие, что

u (я) f W + v к^ Р ^ = 1.

Применяем к р (х) и f (х) алгоритм Евклида. Деля р (х) на / (х) с остатком, получим:

Р W = f СО (X — 1) + г (х),

где г (х) = 4х + 5. Далее находим:

/ (х) = — г (х) (х 4-’4 v '' 4 /16

Отсюда имеем:

= / (х)—1[р(х) —/(х) (х — 1)](х + ^ =

164\4 /

f / 1 21 I 13\ ,7 X /1

V416/

При х = а из последнего равенства получаем:

или

—1— = 4а2 — а + 13.

Умножая обе части равенства на число а2 — За — 1, т. е. на числитель дани- г в задаче дроби, получим:

^^Н4а’-а+13)(а2-За-1) =

= 4а4— 13а3 + 12а2 — 38а— 13.

В принципе мы привели дробь к нужному виду. Однако можно еще упростить полученное выражение, воспользовавшись тем, что р (а) = 0. Делим с остатком многочлену (х) = 4Х4 — 13х3 + 12Х2 — — 38х — 13 на р (х) = х3 + х2 4- Зх + 4. Получаем:

g (х) = р (х) (4х — 17) + S (х),

где S (х) = 17х2 — Зх + 55. При х = а имеем:

у (а) = S (а) = 17а2 — За 4- 55.х3 — Зх — 4,

Ответ. а ~ За ~ 1 — 17а2 — За 4- 55.

а2 4- 2а 4- 1

Задача 7. Пусть а — один из корней многочлена

х? — Зх — 4, неприводимого над полем Q. Корнем какого неприводимого над Q многочлена является число

р = 1 4- а 4- а2?(4)

Замечание. Сформулированная задача является частным случаем следующей, более общей задачи. Пусть число а является корнем уравнения / (х) = 0, где / (х) — данный многочлен, неприводимый над полем Р. Рассмотрим число 0 = у (а), где у (х) — другой данный многочлен над Р. Требуется найти уравнение F (у) = 0 с неприводимой надР левой частью, корнем которого ягляется число 0. Нахождение такого уравнения называют «преобразованием уравнения f (х) = 0 с помощью подстановки у = у (х)» или «преобразованием Чирнгауза».

Решение. Рассмотрим наряду с выражением (4) для числа 0 выражения для чисел 0а и 0а2. Учитывая, что а3 = За 4- 4, будем иметь:

0а = (1 + а + а2) а = а + а2 + а3 = а + а2 + (За 4- 4) = = 4 4- 4а 4- ос2,(5)

0а2 = (1 4- а 4- а2) а2 = а2 4- а3 4- а4 = а2 4- (За + 4) +

+ а (За + 4) = 4 + 7а + 4а2.(6)

Перепишем равенства (4), (5), (6) в виде

(1 — 0) • 1 + 1 • а + 1 • а2 = 0,

4 • 1 + (4 — 0) а + 1 • а2 = 0,

4 • 1 + 7а + (4 — 0)а2 = 0.'

Рассматривая эти три соотношения как систему трех однородных линейных уравнений стремя неизвестными 1, а, а2 и принимая во внимание, что решение (1, а, а2) этой системы отлично от нулевого, получим, что определитель системы должен быть равен 0:

1-0

1

1

4

4-0

1

= 0.

4

7

4-0

Это и есть уравнение для 0. Раскрывая определитель 3-го порядка, приведем это уравнение к виду;

рз_9р2 4-90 — 9 = 0.

Остается еще отметить, что многочлен третьей степени относительно 0, стоящий в левой части, неприводим (так как он не имеет рациональных корней).

Ответ. Уравнение для 0 есть у3—9у2 -}- 9у— 9 = 0.

Задача 8. Для данного числа а, алгебраического над Q, найти алгебраически сопряженные ему (над Q) числа:

а) а = К2; б) а = у/б; в) а = а + bi, где а, b £ Q, b ^ 0.

Решение. Два алгебраических над Q числа а и 0 называются алгебраически сопряженными (или просто сопряженными) относительно Q, если они являются корнями одного и того же неприводимого над Q многочлена р (х).

Для числа а = 1^2 минимальный многочлен есть р (х) = х2 — — 2, его_корнями являются J/2 и —V2. Значит, сопряженным для числа К2 относительно Q является число —К2.

3.

Для а = у 5 минимальный многочлен есть р (х) = х3 — 5, его корни есть а, ас», аю2, где и = —у 4- tV^ .

Значит, сопряженными для числа ^5 относительно Q являются числа у^5 /L + /К®) и ^/5 (L _, !£^\

\2‘12/и'\22. /"

Для а = а + Ы, а £ Q, b С Q.6 ^ 0 минимальныймногочлен

есть р (х) = (х — а)2 4- Ь2, его корни есть а 4-biиа— bi.Зна

чит, сопряженным для числа а 4- bi, где a, b С Q, b Ф 0, относительно Q является число а — bi.

Задача 9. Докажите, что если комплексное число а = а 4- bi, где Ь^ь 0, является алгебраическим, то число а = а — bi тоже алгебраическое и числа а и а алгебраически сопряжены относительно Q.

Решение. Пусть р (х) — минимальный многочлен числа а. Так как р (х) есть многочлен с действительными коэффициентами_и а — его корень, то а тоже является его корнем. Значит, число а также является алгебраическим, а многочлен р (х) — минимальным многочленом числа а. Поскольку, таким образом, числа а и

а имеют один и тот же минимальный многочлен, эти числа алгебраически сопряжены относительно Q.

Задача 10. Минимальные многочлены алгебраических чисел аир имеют вид (соответственно):

Ра (х) = х3 — 2, Рр (х) = х2 — Зх + 1 •

Найдите ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, корнем которого является число a + Р-

Решение. Пусть ах = а, а2, а3 — корни Ра (х), а рх = р, Рз> 0» — корни др (х). Составим многочлен

3 2

/ (х) = ПП (х — аг — р.) = Xе + ^хХ5 + а2х4+ сих? 4- а4х24-

+ О5Х + а».(7)

Коэффициенты аг (t=l, 2, .... 6) представляют собой многочлены от а^ а2, а3, pv рз, симметричные относительно аъ а2, а3, а также относительно Рх, р2. Отсюда следует, что эти коэффициенты рациональным образом выражаются через коэффициенты многочленов Ра (х) и Рр (х) и тем самым что они являются рациональными числами. Одним из корней многочлена / (х) является число «х + Рх = = а + р. Значит, / (х) и является искомым многочленом.

Фактическое нахождение коэффициентов многочлена / (х)

3

проще всего осуществить следующим путем. Так как П (х — а,) = i=i з

= х3 — 2, то П (х — Ру — а,) = (х — ру)3 — 2 и, следовательно, 1=1

2

f (х) = П ((х - Ру)3 - 2) = ((х - Рх)3 - 2) ((х - р2)3 - 2) =

= (х3 — ЗрхХ2 + Зр?х — pi — 2) (х3 — Зр2х2 + 3pix — р3 — 2) =

= х6 - 3 (Рх + р2) х3 + 3 (Р? + pi + ЗрхР2) X» — (Р? — рВ — 4 — -9PxPi - 9р!р2) х3 + (Зрх (Pi + 2) + зр2 (Pi + 2) +

+ 9рТ 02) X2 - 3 (pi (pi + 2) + pi (Pi + 2)) X + (01 - 2) (Pi - 2).

Численные значения коэффициентов при х5, х4, х3, х2, х1, х° находим, используя формулы Виета для многочлена Рр (х):

°1 = 01 Ч~ 02 = 3, <Т2 = 0X02 = 1»

а также выражения для степенных сумм р" + рг через Ох и о2 (см. с. 89), а именно:

—3 (рх + р2) = —Зох = —9,

3 (Pi + Pi + ЗРхр2) = 3 (а? + а2) = 30,

- (01 + 02 - 90xpi - 9pip2 - 4) = - (а? - 12оха2 - 4) = 13, з (0102 + 0201 + 2рх + 2р2 -|- 3pi pi) = 3 (аха2 + 2ох + 3 oi) = 36, -з (pi pi + pi pi+2pi + 2pi) = —з (axd+2oi—4o2) = —5i, Pi pi—2 (p? 4- pl) + 4 = oi—2 (ai—3qxo2) + 4 = —3i.

Таким образом, искомый многочлен есть

/(х) = х® — 9х5 + 30^+ 13х3+ 36х2 — 51х—31.(8)

Замечание. Можно показать, что полученный нами многочлен 6-й степени неприводим, и, следовательно, число а + р имеет степень 6. В общем случае, т. е. когда аир — какие угодно алгебраические числа, многочлен / (х), построенный по типу (7), может оказаться приводимым. Вот простейший пример: пусть а = 1 + t, Р = 1 — I, тогда а + Р = 2, следовательно, число а + р имеет степень 1 (над Q), между тем многочлен / (х) будет в этом случае иметь степень 4.

Задача 11. Пусть а— число, алгебраическое над полем Р, иР — некоторое число из Р (а). Очевидно Р (Р) с Р (а). Докажите, что Р (Р) = Р (а) в том и только в том случае, когда степень числа р равна степени числа а (относительно Р).

Решение. Пусть степень а относительно Р равна п. Тогда размерность векторного пространства Р (а) относительно Р также равна п. Рассмотрим теперь число р. Степенью этого числа над Р является наибольшее натуральное число т, такое, что числа

1, р, р2, ..., р"1"1(9)

линейно независимы над Р. Поскольку dimpP (а) = п, то должно быть m ^ п.

Если Р (Р) = Р (а), то наряду с неравенством т ^ п должно выполняться ип ^ т. Следовательно, в этом случае т = п. Обратно, если т = п, то числа (9), как линейно независимые над Р, образуют базис Р (а) относительно Р. Следовательно, любое число из Р (а) представим в виде сй + ^р + ... + ст_1Р'”-1, где с0, си ... ..., ст_г 6 Р. Это означает, что Р (а) = Р (Р).

Упражнения

Доказать непосредственно, что число а является алгебраическим, и найти минимальный многочлен числа а:

а)а=1; 6)a = i; в) а = —l-|-t)/3; г) а = 1—2)/4;

д) а = К2 + /3; е) а = P^ + i/З; ж) а = V^l + К2;

з) а = 1 +уТГ; и) а = cos-^- + isin-^-; к) а = coSy + isin^.

Доказать непосредственно, что число а является алгебраическим, и найти многочлен над Q (не обязательно минимальной степени), корнем которого является а:

а) a = V^ — К2; б) a = y'sT— yt; в) a = у^2 — I V2.

Доказать непосредственно, что если число а алгебраическое,

то число la тоже алгебраическое. Обязательно ли равны степени этих чисел?

Доказать непосредственно, что если число а алгебраическое, то каждое из чисел аа + b (a, b € Q), — (если а / 0), а2 снова ала гебраическое.

Доказать, что любое алгебраическое число степени 2 представимо в виде а ± V~b, где а, b € Q. причем b не является квадратом рационального числа.

Являются ли алгебраически сопряженными числа: а)/5 и — Кб; б) ^5 и — V5; в) Vb и — Кб; г) Кб + 1 и Кб — д) Кб + t и — Кб + I?

Найти все числа, алгебраически сопряженные данному алгебраическому числу а:

а) а = Кб; б) а = Кб; в) а = Кб; г) а = Кб + 0 д) а = Кб— i К2; е) а = К1 + К2; ж) а = cos^1 + i sin у.

Пусть а и р — два алгебраических числа, а а* и р* — некоторые алгебраически сопряженные им числа. Покажите на примере, что, вообще говоря, число а* + р* не сопряжено а + р.

У к а з а н и е. Возьмите в качестве аир два комплексно сопряженных значения корня п-й степени (п > 3) из единицы.

Пусть аир — алгебраические числа. Покажите, что всегда степень (а + Р) ^ степень а • степень р.

Пусть а и Р — алгебраические числа. Покажите, что если степень (а + Р) — степень а • степень р, то справедливо следующее утверждение: каково бы ни было число а*, сопряженное а, и число р*, сопряженное р, сумма а* + р* сопряжена сумме а + + Р.

з,—_

Пусть аь а2, а3— три различных значения у 2 в поле С комплексных чисел, причем а( £ R. Содержит ли поле Q (at) числа а2 и а3; поле Q (а2) — числа а4 и а3?

Содержится ли в поле Q (К2) число К7? в поле Q (Кб) число К2?

Докажите, что числа КХ Кб и К12 линейно независимы над полем Q.

Укажите какой-нибудь базис поля Q (а) относительно Q и запишите закон умножения чисел из Q (а) в этом базисе:

a = Кб; б) a = 2i; в) а = К2 (1 + О'» г) a = —1 -{-1К^.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби;

а) —гт:—; 6) —^- Т_.

/2+ /2/7+/7-1

Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби:

а) ——, где а8 — 2а 4- 2 = 0;

7 а» + 5т

б) ——, где а4 4- 2а 4- 2 = 0;

а4 + 1

в) ' а3 + За2 4-За 4-2в) ' а3 + За2 4-За 4-2где а4 4* а3 — 4а2 — За 4- 2 = 0.

в)

' а3 + За2 4-За 4-2

в)

' а3 + За2 4-За 4-2

Пусть а — корень данного многочлена / (х), неприводимого над полем Q; число 0 = ф (а), где ф (х) — другой данный многочлен над Q. Корнем какого неприводимого многочлена над Q является число р?

а) / (х) = х3 4- 2х2 4- 2, <р (х) = х2 4- 1;

б) / (х) = х3 — х 4- 2, ф (х) = х2 4- х;

в) / (х) = х3 — х2 — 2х 4- 1, ф (х) = —х2 4- 2.

Найти многочлен над Q, корнем которого является число а 4- Р» если известны минимальные многочлены для аир:

Р„ (х) = х2 4- х 4- 1, Рр (х) = х2 4- 2х 4- 3;

Ра (х) = х3 - 2, Рр (х) = х2 - 5;

Ра (х) = х3 4- х 4- 1, Рр W = х2 4- 2х 4- 3.

§ 13. СОСТАВНОЕ (ПОВТОРНОЕ) АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ

Литература: ВинбергЭ. Б. Гл. V, § 3 (п. 1, 2, 4).

Задача 1. Поле Q последовательно расширяется — сначала с помощью числа р^ затем с помощью числа V^:

QcQ.cQz, где Qt = Q (^2), Q2 = Qi (^5).

Доказать, что такое расширение может быть достигнуто в один шаг — с помощью числа 0 = К2 4- 1^5, т. е. что

Q (/2) (^5) = 5(^2 4-1^5).

Решение. Согласно теореме о простоте составного расширения любые два последовательно произведенных простых алгебраических расширения поля Р

Pi = Р (at), Р2 = Pi (a2)

(at алгебраично над Р, а a2 — над Р^ могут быть заменены одним, т. е. существует такое число 0, алгебраическое над Р, что

Р2 = Р (0).

Наша задача — показать, что в случае, когда Р есть поле Q рациональных чисел, а ^ = V^и a2 = /5, в качестве 0 можно взять at 4- a2.

Достаточно показать, что поле Q (at + а2) содержит каждое из чисел а4 и а2, так как в этом случае оно будет содержать поле Qt = Q (aj и число а2, а значит, и поле Q2 = Qi (a2); тогда из Q (at + a2) zd Q2 и Q (at + a2) cz Q2 (второе включение является очевидным) будет следовать: Q (о^ + a2) = Q2.

На самом деле достаточно показать еще меньше — что поле Q (ai + a2) содержит аь так как а2 тогда будет принадлежать полю Q (a4 + a2) как разность двух чисел из этого поля (a2 = (<Xi + а2) — — «1).

Для сокращения записей обозначим поле Q (at + а2) через L. Допустим, рассуждая от противного, что число а4 = К2 не принадлежит L. Рассмотрим два многочлена над L:

ф (Х) = (х — 9)з + 5, гр (х) = х2 — 2(1)

(напомним, что 6 = ]/2 + у^б). Каждый из них имеет одним из своих корней число К2:

ф (/2) = (/2 — (/2 + ^5))8 + 5 = 0; ф (/2) = 2-2 = 0.

Проверим, что других общих корней многочлены ф (х) и ф (х) не имеют.

Действительно, корни ф (х) — это числа

/2, — /2.

Корнями же многочлена ф (х) являются корни уравнения (х — — О)3 = 5, т. е. числа

0 —1^5 (=К2), 0 — у^б®, 0 — у^б®2,

где ® =— -^ + i^ — корень кубический из 1. Следовательно, мы должны проверить, что ни одно из чисел 0 — уЗ®, 0 — уЗ®2 не равно —К2. Но это очевидно, так как числа 0 — у''5®, 0 — — Уб®2 не являются действительными (коэффициент при i отличен от нуля).

Поскольку, таким образом, единственный общий корень многочленов ф (х) иф (х) в поле С есть Р'2, то (нормированный) наибольший общий делитель многочленов ф (х) и ф (х) в кольце С [х] есть

D (х) = х - К2.(2)

Этот же самый многочлен должен быть (нормированным) НОД многочленов ф (х) и ф (х) также и в кольце L [х]. Следовательно, все коэффициенты этого многочлена, в частности —К2, принадлежат полю L. Тем самым и число К2 принадлежит L, что и требовалось показать.

Задача 2. Найти выражение числа ^ в виде ^^, где 0 = = КГ+ у^б? а / (х), g (х) е z [х].

Решение. Сам факт принадлежности числа К2 полю Q (0) был установлен в задаче 1. Наша цель теперь — найти «явное» выражение числа К2 через 0.

Рассмотрим снова многочлены ф (х) иф (х) из (1). При решении задачи 1 мы показали, что нормированный НОД этих многочленов есть _

D(x)=x —К2. (2)

С другой стороны, НОД можно найти, применяя к ф (х) иф (х) алгоритм Евклида. Для этого делим сначала ф (х) наф (х) (с остатком):

._х3 — 30х2 + 302х — 03 + 5 х2 —2

х3—2х х —39

_—30х2 + (302+2) х—03+5

—30х2+60

(302 + 2) х —(0s + 60 —5)

Мы получили в остатке многочлен

Г (х) = (302 + 2)х - (03 + 60 — 5)(3)

1-й степени. Поскольку ранее уже было доказано, что НОД имеет степень 1 (см. (2)), то многочлен г (х) и должен быть как раз НОД многочленов ф (х) иф (х). Следовательно, многочлены D (х) и г (х) ассоциированы (отличаются лишь численным множителем):

D (х) =г (х),

' '303 + 2 х ’

ИЛИ

х Уо = х 03 + б0-5302+ 2

Отсюда имеем:

1/2 = № + бе-5

302 + 2

что и дает искомое выражение для числа К2.

Задача 3. Пусть, как и в задаче 1,

Q с Qi с Q2, где Qi = ^ К^ Qz = Qi (V^-

Найти степень поля Q2 относительно Q (т. е. размерность Q2 над Q).

Решение. Справедлива теорема: если поле Р( — конечное расширение поля Р, а поле Р2 — конечное расширение Pi, то dimp Р2 = dimpPi • dimpP2.(4)

В нашем случае, очевидно, dimQQi = 2. Покажем, что dimQtQ2 = 3.(5)

Чтобы доказать равенство (5), достаточно проверить, что многочлен р (х) = х3— 5 3-й степени, имеющий число V5 своим корнем, неприводим над Qi. Предположим, что это неверно, т. е. что р (х) приводим. Тогда один из неприводимых множителей многочлена р (х) должен быть первой степени, и, следовательно, один из корней многочлена р (х) должен принадлежать Q. Таким корнем является, конечно, действительное значение V5 (так как все числа из Qi действительны). Но число у^ не может принадлежать Qi, так как его степень над Q равна 3, в то время как степень любого числа из Qi (над полем Q) не выше 2. Полученное противоречие доказывает (5).

На основании формулы (4) можем теперь записать: dim0Q2 = dimQQi • dimQiQ2 = 2-3=6.(6)

Замечание. Сопоставив (6) с тем фактом, что Q2 = Q (К2 + + -j/5) (см. задачу 1), мы можем вывести заключение, что степень числа У 2 + У^б"над полем Q равна 6. Это означает, что многочлен 6-й степени (над полем Q), имеющий своим корнем число У2 + У5, неприводим. Такой многочлен х6 — 6х4 — Юх3 4- 12х2 — 60х + 17 был построен в задаче 2 предыдущего параграфа (см. равенство (1) на с. 102).

Упражнения

Пусть р и q— натуральные числа, причем Ур и у'q — не целые. Доказать, что

Q (Ур) ^«Ь = Q (Кр + VqY

Найти выражение для каждого из чисел Ур и-^q через Ур 4+

а) р = 3, q = 6; б) р = 7, q = 4; в) р = 8, q = 3.

Пусть р и q — натуральные числа, причем отношение чисел Vp и Vq (действительных значений) не является рациональным числом. Доказать, что

Q ^ (v^q) = Q &р 4- ^qY

Используя условие задачи 3, найти выражение для каждого 3/“ ■■Зу—Зуг~ Зг—

из чисел у р и у q через у р + у q:

а) р = 3, q = 7; б) р = 5, q = 12.

Пусть а — алгебраическое число и п — его степень (над QY Доказать, что степень любого числа у из Q (а) является делителем п. Какие значения возможны для степени числа у, если а = cos -^ 44- i sin — ?

ю

ОТВЕТЫ

§ 1

а) 2 + (1 — 0 х — 3ix4 + IX3 + х4;2 4- (1 + 30 х — 3ix4 — ix3 — х\

—4ix + (2 - 20 х2 — (6 — 2i) х3 + (1 + i) х» + (4 + Ox5 - 3ix» € Z If] [x]; 6) (1 + 30 + ix + 3x2; (1 — 30 —jx + (1 — 20 xMi + ix + (4J- 70 x2+U 4+ 20 x3+ (3 + 0 x4^ Z UI |x]; в) 1 4- x + 2x2 — 2X3, 2 — *4 2X2 4-_x3, J — — 2x — x^+ Зх^— 3x^— x6 $ Z, |x|; r) 3 — x3+2x4, 1 — 3x 4-x4, 1 + 4x+ + ^x? — 4x® + 4x6 + 4x® — x + 2x® € Z6 [x]; д) —1 — x -V x4 — З.ЗЗх3 4+ 2x< — x5, 5 + 4x — x2 — 1,33х» — 2X4 + x5, —6 — 9,5x — l,75x2 + 8.49X3 +

+ 8.325X4 — l,33x5 + 0,83x« - 4,66x7 + 2,33x« € Q [x]; e) 3 + 1-x2;—3 +

4

+ x + ~^x4. — 2X3, lyx + 2x2 — ^x3 + l—x4 + "jx5 — *® € Q [xl.

a) q (x) = x3 — x2 — 2x — 3; r = —7;

q (x) = 9x2 — 19x + 47, r=—141;_

q (x)=4x2 —(3 + 40 x — (1 — 70,r =8—60r)q(x)=2x5 4~4р^Зх4 44-24x®—(2 — 8/3)x2_4- (48 — 4 /3)x—(9-26 /J),r=6 —18/3;

q (x)=3x2 4-5x 4- 3; r = 4;_

q (x)=7X3 4-3x2 — x 4- 2; r = —1.

a) g (-3) = 10; 6) g (4) = 136;_в) g (-3 4" 0 = 87 4- HO r) g (5 4- 0 = = 19 4- 620 Д) g (3) = 1; e) g (-2) = -3.

a) q (x) = — 2x4 4- бх3 — 13x2 4- 39x — 109; r = —327;

9 (x) = ~x4 —-^x3 — x2 4* * — 3~; r= 11;

q (x) = (1 4- 0 x2 4- (2 — 30 x-■■; r = —20 4- 6i;

q (x) = x» - /2x4 - x3 4- 2-^=^-x4 4- ^^-^-x 4

-2 4-ЗГ2

r2

a) к = 3, f (x) = (x - 2)3 (x2 4- x 4- 1); б) к = 4, t W = (x + 2)4 (x — 1), в) к = 3, f (x) = (x — 5)3 (x2 4- 1); г) к, = кг = 4, / (x) = (x — I)4 (x 4- l)4x X (x2 — x4- 1);д) k, =_k4 = 2, J (x) =(x- 2)2 (x 4-2)2(x4 4-2x r-1);

к = 3,t (x) = (x - 2)3 (x2 4- 10___

kx =2, kt = 1, / (x) = (x — I)2 (x — 2) (x4 4- x — 3x — 1).

a) a =b = 1;6) a = 8, b — —5;в) a=n, b = —n—1.

a) g (x) = ^_-V 4x^+ x + 5 ^ Zn M;

g W = X4 — 3x2J- 5xJ- 2 c Z13 [x]. _

a) g (x)= x2 — 2x + 1 £ Z6 [xL x = 1, x = 1 (mod 5);

g (x) =2x3 + 3 £ Z§ [x], x = 1, x==J_(mod 5);

g W =3x2 +_x — 2 £ Z7 [x],_Xi = —17x2 = 3^ x= —1;3(mod7);

r) g to = 5x — 3 £ Z7Jx], x = 2, x=2 (mod 7j;

g to = 2x2 —^x + 5 ^ Zu [x], x^ — 2, x2 = 4, x= 2;4(mod11);

g to = x 4- 1 £ Z13 [x], x = — 1, x= —1 (mod 13).

§ 2

a) q (x) = 2x2 + 2x + 12, r (x) = 38x + 6 € Z [x];

6) q (x) = 2x2 + 3x + 11, г (x) = 25x — 5 € Z [x];

172,7

^ qW = -^x — —, r(x) = — 2— x — 1— 6Q[x];

„ ,„13 + 4K4 + 3/9—12/

r) q (x) = 5x2 + (6 — 3») x —, r (x) = — ——x + —6 C [x];

000

Д) q to = 6x, r_(x) = 3x2 — x — 2^ ^ Z7 [x];

e) q W = x3 + 3x + 2, r (x) =( Z6 [x],

a) g (x) = 2x3 — 3x2 + 9x — 24;6) g (x)=x2+ x + 2; в) g (x) = 4x® —

— 2x2 + 3; r) g (x) = x2 + lx + 2.

a) a = 1, b = 0; 6) a = 1 — c2,b = —с;в)a= c3 — 2c, b = c2 — 1; r) a=

= —c4 + 3c2--- 1, 6= —c*3+2c.

a)D(x)= tm (x) =x + x +_3x5 + 2x4 + x3 + 2x2 —x+1^Z5[x];

D(x)=h ^ito = j^-^6 — x5 — Зх4 +_x2 + 2 C ZjJxh

D(x)—2x2 + x + 1,m (x) = Xе — 2X4 + x3 + 4x2 — 2x+3€Zn[xj;

r) D(x)=x2 +1, m to— x5 — x4 — 3x2 — x — 2 £ Q [x];

D (x) = 1, m (x) = x1 + 5x6 + 8x5 + Юх4 + J2x3 + 10x2 + 4x + 4 C Q to;

D (x)_= x2 — 2 /2х — 1, m (x) = x6 — 2 /2x5 — llx4^- 20/2x3 + 1 lx2 — — 2 /2x — 1 CR to;

D (x) = x3 + (1 — 0 ^2 — 1, m (x) = x6 — Zx5 + Zx4 — (1 + Z) x3 + ix^ — — x + 1 € С [x].

1122

a) D (x) = x — 1, Ф (x) = — -x + у, ф (x) = — x2 — yx — 1;

D (x) = x3+ 1, Ф (x) = — 1, ф (x) = x + 1^

41241

1 11 111D(x) = x2 —(2 + 0x, ф(х) = —ух—ly, ф(x) = ух2 + —X + y;

1 1

1 1

1

1

r) D (x) = x3 + (1 — Z) x2 — 1, <p (x) = — —x — — ^ (x) = —.

6116525

6. а) Ф (x) = — -x + —, ф (x) = —x2 — ~x + -;

§ 3

ec[xj;ec[xj;a) f (x) = (x — 3) (x — 7) € Q M; 6) g (x) = (2x - 5) (x + 1) € Q [x];

ec[xj;

ec[xj;

в) h (x) = 3 I x

г) <p (x) = (x + 1 - /2) (x + 1 + /2) € R [x],

a) / (x) = (x2 — 2) (x2 — 3) € Q M; 6) g (x) неприводим над Q;

i, mi, mв) Л (x) = (x + 2) (x2 - 2x + 4) € Q lx); г) ф (x) = (x - 1) (x2 + x + 1) € Q [xj.

i, m

i, m

(x2—2)x

x(x2 + * + i); ___

D(x) =(x —V"2)3, m (x) = (x — У2)3 (2x_+ V3)s (3x +1) (x2+ 1);

D(x) =(x +1) (x + I)2, tn (x) = (x — 1У2) (x + I)2 (x 4-I)3;

r) D(x) =1, m(x) = (2x2 + x + 8) (x — 2)3 (3x — I)2 (2x +1).

a) f (x) =(x+I)» - 4 (x +I)3 +3 (x + I)2 4- 2 (x + 1) - 1;

f (x) =2 (x — 2)6 + 20 (x— 2)4+ 79 (x — 2)3 + 152 (x — 2)2 +

134 (x — 2) + 46;

f (x) =(x4-I)4 - 21 (x 4-I)3 -(1 + I) (x + I)2 - 5 (x + i) + (7+51);

f (x) =(x-1)’ + 6/ (x -I)5 -(13 + 1) (x - I)4 + (3 - 111) (x -O3+

+ (1 + 41) (x- i)2 -(4 +41)(x- 1) + (5 - 31).

a) f (2) = 33,f(2) =45,f(2)= 44, f" (2) = 24;

f (-3) = —14, f (-3) = -90./" (-3) = 176, f" (-3) = —168, fIV (-3) = = 72; в) / (1 +21)= —12 —21,/'(1 + 21) = —16 + 81,f" (1 +21) =—8+

+ 301, f" (1 +21)= 24+ 301, /Iv(1 + 21) = 24; r) / (1)=— 2 +41,f(0=

= 4 + 71, f (1) = 8 - 21, f" (1) = 61, flv (1) = 24.

f (2,95) = 162,80614375, / (3,2) = 225,2128, / (4,99) = 1414,09814503, / (5,02) = 1450,03324048.

a) x4 4- 9x® 4- 27x2 + 32x + 13; 6) 2x* — 29x6 + 165X4 — 449x=> + 526x2 — 24x311-'

x4 + (4 +’51)X* +^(4 + 15i)x2 + (5 + 35i)x — 21 + 351.

24248' 8) (x — 2)3 + (x — 2)4 (x — 2)5 1

24

24

1134940

(x + 5)2 “(x + 5)3 +(x + 5)‘ “(x+5

. a) D (x) = (x — I)2 (x + 1); 6) D (x) = (x - в) JD (x) = (x — I)3; r) D (x) = (x — I)3.

a)/^=/'(?J=f^ =0;6)/^^

в) / (1) = Г (1) = t" (1) = 0; r) / (-1) = f (-0 = 0-..

a) D (x) = (f (x), f (x)) = x3 + x2 — 8x — 12, / (x) = (x — 3)2 (x + 2)*.

Xl,2 = 3, ^8,4,5 — —2;

D (x) = Xй — x — 2, f (x) = (x + 2) (x2 — x — 2), хг = —2, x2 3 =—1, x4 6=2;

3/4’’

D (x) = (x + I)2, / (x) = (2x2 - 1) (x I)2, xj = ^,

-^iiVTVr -^T±i6/432_

*2,8~2^T“4. *‘,3,«--li

r) D (x) = (x +I)2, / (x) = (x — 1) (x + I)3, Xi = 1, x2)S|4 =—1;

Д) D (x) = (x 4-I)8; / (*) = (X + 21) (x + 1)4, XT = —21, X2 8 4 ,= —i.

а) к = 3; б)к = 4; в) к = 1; г) ^ = 3, к4 = 1.

а) а = —5;б) а = 3, Р = —4; в) а = п, Р = — п — 1.

а) Х= ±2; б) Х= —1.

194

а) х = 4, у = 2; б) х = 1, у = 2; в) х = —, у = — —; г) х = 2, у = 31.

a) 6 — 8/; 6) 2 + /; в) ^—-; г) ^ + ^; Д) T™ТЧ

(V 3\ .16 + 3/.

1 + ^T" + / ‘> ж> 106 ’

l; и) —76г, к) —556; л) 2/"-*. 3

а) х = ±1, у = ±3 V •* = ± —, у = ±4; б) х = 1, у = 2.

4

а) 1; б) 6 + 61.

а) ± (2 + 0; б) ± (1 + 40; г) ± (1/ l+Kll - i -1/^Z1±K11 Y \Г 2 У 2/

а) X] = 2 -Ь i» *2 = 1 — 31; б) Xi = 1 + 2/, х2 = —4 — 21. 4— 21

в) Xi = 1 — 1 > х2 = —;—; г) ^ = 3 — 21, х2 = 2 — I.

(1 i К 31

a) z = aQR; б) z=bi, b^R; в) 10; 1; — у ±—2—Ь

Г) {0; ц —1; 1; — 1}.

(

лЛ \

cos — + ^ ^h^ Г»7л 7л\/4л. , 4л\

в) У 2 I cos ~ I sin ~ I; г) 2 I cos — + t sin — I;

= 4,12 (cos 6,0383 + i sin 6,0383) = /Й (cos 345°58' + i sin 345°58');

= 2,23 (cos 2,6779 + i sin 2, 6779) = /5 (cos 153°26' + i sin 153°26');

= 2,23 (cos 4,2487 + i sin 4,2487) = /5 (cos 243°26' + i sin 243°26').

а) Круг радиусом г = 3 и с центром в начале координат, б) Часть плоскости вне круга радиусом г = 3 и с центром в начале координат, в) Открытый круг радиусом г = 1 и с центром в точке 31. г) Часть плоскости вне круга радиусом г = 2 и с центром в точке —3 + 21. д) Луч, выходящий из начала координат под л ‘.

углом — к положительному направлению оси ОХ, т. е. положительная полуось

OY. е) Луч, выходящий из начала координат под углом 310° к положительному направлению оси ОХ. ж) Эллипс с фокусами в точках 3 и 21, с центром в точке 37

— + I, большая полуось а = — , малая полуось b = 3. з) Эллипс с фокусами в

315

точках —21 и 4 — I, с центром в точке 2 — —ц большая полуось а = ", малая полуось b = 2 V13. и) Гипербола с фокусами в точках 4 и 21, с центром в точке 2 + 1, полуось а = 2, «мнимая» полуось b = 1.

arg 7= arg Г*1.

а) 4096 (1 + 0; б) 512 (1 — I /3); в) —32; г) —2 — 2Z /3.

л (14-46) л (14-46)

а) хк = cos 4- i sin,6 = 0; 1; 2;

о6

^31..

xOj = ± 2 + 2l| x2 = —^’

хк = yTlcos (105?+120°fe) + i sin (105° + 120°й)1, к = 0,1, 2; r0 =s —0,365 + + l,362f, xt = — 1 — i, x, = 1,362 — 0,365i;

Г / л 6л\/ л 6л\1

В) Хк = V 2 cos I — + — I + i sin I — + — I , к = 0, 1, 2, 3; x0>8 =

= 1— 1 ПГ Ч

«гсАл 6

г) хк = cos у + / sin —, к = 0, 1, 2, 3, 4, 5; х03 = ±1,

Xi ,6 =

Д _ 1 * /з.

2 ± 2 "' ХМ2 ± 2 ’

6, — Г /лл \/лл

д) xn = i 2 cos т + т* +Zsin v + t* L \ 4d /\ 4о ,

ss 1,348 [cos (45°+ 60+) +

+Zsin (45 ^60^)1, к = О, 1, 2, 3,4, 5; х013 ^ ± (0,954 + 0.954Z), хЬ4 ~ ± ±(—0,350+1,304/), х2 6=± (—0,304 + 0,35di); е) Хь=0,944 [cos (47°30'+ 60+)+ +/ sin (47°30'+ 60+)К к =0, 1. 2, 3, 4, 5; х0,3 як ± (0,638+0,696/), хх 4 ^ ± ±(—0,284 + 0,901/), х2|5 як ± (—0,921 + 0,204/);’

4./—285° + 360+. —285°+ 360+\

ж) хк — V 0,51 cos+ i sin1 як

s 0,841 [cos (37°30' + 180+ )+/ sin (ЗТ^О'+^О+Ж к = 0;l; хоХ ж ± (0,667 + + 0,512/); 3) ^32 як 1,542; xk як 1,542 [cos (41°15' + 90+) + / sin (41°15' + + 90+)],+ = 0, 1, 2, 3; x03 =k ± (0,116 + 0,101/), x, 3 = ± (—0,101 + 0,116/)

nr— / ф + 2лб’ . . <р + 2лЛ\ ,nr—/—ф + 2лА

13. Хь = у r cos+ i sin , xb = V r cos+

\ nn k r \ n

. —ф + 2л& \ ,+ i sin I, к =

п /

. .—Ф + 2л (л — к)

, « — 1. х'п_к

—Ф + 2л (n — k) cos

п / п—-1п

14. <ofc = <o6 2Ю6 = 2“* = • 6=06=0

п—1

Ф + 2л^ — i sin

л Г^

*V z=Xk, Xfe = x9wk, 2*6 = *1.fe=o

to" — 1

(0 — 1

n—1

■о /»®^ — х0 • 0 = 0. к=0

Для V2» 2 R неверно.

nx (n 4- 3) xnx (n + 3) x

sin ~ cos sin -~ sin

22^22

a) —; 6) —; в)

sin —sin —

22

sin2 nxsinx *

17. a) 4 cos3 x sin x — 4 cos x sin3 x; 6) cos5 x — 10 cos3 x sin2x + 5 cos x sin4 x; в) sin5 x — 10 cos2 x sin8 x + 5 cos4 x sin x.

§ 5

a) f (x) = x4 — 4л^ + 3x2 + 4x — 4; 6) / (x) = x^+ (—2 + i) x2 + 2x — 2; B) f (x) == x4 + 2x2 + 1;_ r) f (x) == X5 — (2 + 3 /2)х4+ (7 + 6/2)x3-(12 + + 5 /2) x2 + (6 + 4 ]/2) x — 2 ]/2; д)/ (x) = 8x4 ^ (10+ 160 x3 — (5 - 20i) x2+ + (10 — 6Z) x — 3; e) f (x) = x5 + (—6 + 2i) x4 + (13 — 100 ^ + (—12 + 180 ^2+ + (4 — 140 x + 4/.

a) f (x) — x3 — 6x2 + 1 lx — 6; 6) / (x) = x4 — x3 — x2 + x; в) / (x) = x4 — -x3-9x2 + 3x+ 18; r) f (x) = Зх4 — (6 + 120 x3 — (15 — 180 x2 + (18 + + 6f) x — 6Z.

a) f (x) = (x- 1) (x+ 1 - 0 (x+ 1 + Z);

г)/(х) = ^ + у-Ц1^х + | + Ц^)(х + 8);

д) / W = (X — i)8 (х + О3; е) f (х) = (х — 2) (х — 3) (х —_1);

ж) f(x) = (x-l)(x+l)(x + y-L^(x + y + £^j(x- у-

f (х) = 2х-3 — х2 + -^-х — -р

р = —(х< + х2) — (х3 + х4) = —0 — О = О, г = —[XfX2 (ха + xjrVx^t (*i+ + x2)) = —[XiXjj . О + x3x4 • 0] = 0.

r2 = sp1.

a) &0 = 1, ф, (x) = x" + 61X”-1 + ... + 6”, ф (x) = Ооф1 (x) = OgXn —

- а^ + ... + (—1)”а„; б) 60 = 1, Ф1 (х)= х" + 6jX”-i + ... + 6„. Ф (х) - = «п<Р1 W = «пХп + ап_ххп-г + ... + «1Х + Од.

Если корни х2, х2, х3 образуют геометрическую прогрессию, то х2х$ = х| или

ХхХдХд = х2' т. е. Xg = —с. Это равнозначно тому, что число у” —с (одно из значений корня) является корнем / (х).

§ 6

a) f (х) = х4 — бх3 + Ux2 — 14х + 5; б) f (х)=х*—х4—4х3+ 16х2— 20х + 12; в) / (х) = х® — Юх6 + 44Х4 — 108Х3 + 157х2 - 130х + 50;

/ (х) = х10 — 2х* + 4х® — 4х’ + Эх6 — Юх6 + ISx4 — Sx3 -f- 4х2 — 8х + 8;

Их) = Xе — 12х5 + 87Х4 — 376Х3 + 1129х2 — 2028х + 2197._

2 а\ х — 1I х —*^^ • 61 хI х I х — — 1 ± 1 КЗ .

а; х2 — 1 I, х34 ,, и) х2>3(, х4 — <, х6>3

в) *2 = 1 + 2i, х3 = 1, х4 = у.

a) f (х) неприводим над 7?; б) f (х) = (х + 1) (х2 — х + 2); в) / (х) = (х2 — — 2 /2х + 4) (х2_+ 2 /2х + 4); г) f (х) =_(х2 — 2х + 2) (х2 + 2х + 2);

f (х) = (х - КЗ) (х2 + /Зх + 3) (xj- V3) (*2 - /Зх + 3);

/ « = ^ + УП (х + 4/7) (х2 + /7); ж)_/ (л!) = (х2 + 1)_(х + 4 - /Т7)(х+ + 4 + V17); 3) Их) = (х - К2) (х2 + /2х + 2) (х2 - /2х + 2); и) f (х) = = х5 — 1, xk = cos 72® • k + i sin 723 • к; к = 0,1,2,3,4; х0 = 1; xt 4 ^ 0,3090 ± ± 0,9511г, х2 3 =: —0,8090 ± 0,5878»; f (х) = (х — 1) (х2 — 0,б18х + 1,000) X Х(х2+ 1,618х’+ 1,000).■

а) а0 = 1, х„ = —1 € R, хк = cos — + i sin — 6 С, хгп_к = хк = пп

hn kn ,„n—1 /

= cos — — i sin— , к = 1n — 1; /(x) = (x— 1) (x + 1) П x2 — nnk~i \

—2 cos — x± 1Vr[x];

Xg = 1 € R, хк = cos^-j + i sin ^-pj б C, x2„_fc+1 = xk = 2Ал .26л

= cos — t sin -——, к = 1, ...» n;

2n + 1 2n + 1

/(х) = (х-1)П (x2-2cos^-x+l)eR[x];

^=1 \2/2 -f- I 1

xk = /2 I cos 2Q -л + I sin —^- л I G с, к = 0, 1, 2, 3, 4;

— Юг^- /1 4* 86 e . 1 4~ 86 \

*5+6 = xk = У 2 I cos -^— л — i sin —^— л1;

f (*) = 11 (x2 — 2 У 2 cos 4^л + ^""2) e R И; fe=0 \w/

, _,К2 475/2ТГ^-/2+^/2^

П *i,s ~ ±g—21 Xs’4 X1>22— * "—2l^c>

t (x) = (x2 — /Г+Ъ X +1) (x2 + /Г+а X + 1) e R [ x];

Г2 л86.4- 66

д) xk = 1/ cosV 4-1sin^= cos——л 4-/sin ——л, k = 0, ... k л—1; r 33on3л

_24-66. . 24-66

Xn+k — xk = cos л i sin л £ C; onon

n-1 I266\

f (x) = П I x2 — 2 cos ——л ♦ x 4- 1 € R M* k=0\3л/

§ 7

a) y3 — 9y + 28 = 0; xx = —7 € R; x2 = —5 + i V3; x8 = —1 — £/3 € C; 6) y3 + 45y — 98 = 0; Xi = 4 € R, x2 = 3 + 4i /3; x8 = 1 — 4» /3 6 C;

в) У — 6iy + 4 — 4i = 0; x2 = 2 + «> x2 s = —1 — 2i € C;

/3 + 8fe ’. 3 + 86 \

r) y3 — 6y + 4 = 0; u/t = y 21 cos ———л + i sin ———л I, 6=0, 1, 2; x2 = 5, x2 = 4 — /З; xs = 2 + /3€ R.

а) Д = ^, X1 = -3^R, x4>8=T^±^l^C;

A = 196, X! = 2^R, x2 з = ± 1 ± 2i /3€ C; ’784; q

B) A = 0; xt = -2, X2(3 = 1 € R; r) A = —, x2—26 R, x^TlV-Ll 6 C; д) A = 0; xx = 1, x2j3 = — у €#; e) A = —18; хг = 2 V 3cos 4Г46' = 2,584, x2 = 2 /3cos 161°46' =; —3,290, x8 = 2 /3 cos 281°46' = 0,706 € R.

а) Один; б) три; в) три. __

л) 2у»-3у2 + бу-5 = 0, у0=1, х = J ±‘1^3+ 4/3 V х =

2

_ 1±К-3 + 4ГЗ

2

5. а) х4 — 6х2 +J6x — 15 — 0, у3 — 12у2 -|- 96у — 256 = 0, ух = 4,_

Уз,8 5=5 4±4< ±"К3, х12 = —1 ± ) 6, х3 4= 1 ±V6; z1>2 =±3^6; Zs^ $= 2 h Z 1^6;

х4 + 2х2 + х + 2== 0; у3 + 4у2 — 41 у — = 0; ух = 1,

Уз,8 = — ^ ±^> х1,2 = ^ 0 ± < 3^7), х3 4 = ~ (—1 ± * 3^3);

г1,з = “^ (—3 ± i 3^7), г3 4 = ~ (—5 ± i У3);

749

х4 + ~х2+ - =0, у3 +7у2 = 0, х^-О, у3 = —7;

х -1^Т __СУТ _-1+уТ1+Z3<7.

х4 —6х2 + 8х—3 = 0, у3 — 12у2 + 48у — 64 = 0, у1>23 = 4>х1)2>3=1,

Х4 =3, гг 2 3 = 3, z4 =1;

х4 — Зх2 + 4х — — = 0, у3 — бу2 + 12у — 16 = 0; у, = 4, у2>3 = 1 ± (У3,

Х1,2 = ^ ("2 ± V6), Х3>4 = у (2 + * У2)» zl,2 = —2 ± ~~, Z3 4 = ± Ц^«

58

1. ах 2, 4. 5; б) р11,1 З-Т*’‘'-1'1. ах 2, 4. 5; б) р11,1 З-Т*’‘'-1'11~; в) рациональных корней нет; г) 2, 3, 3, р —~; в) рациональных корней нет; г) 2, 3, 3, р —1 1— , —; ж) —1, 2 4 ’ /1 1— , —; ж) —1, 2 4 ’ /4’4’2’2’9 ’9 ’5;5;з) рациональных корнейз) рациональных корнейнет;нет;

1. ах 2, 4. 5; б) р11,

1 З-Т*’‘'-1'

1. ах 2, 4. 5; б) р11,

1 З-Т*’‘'-1'

1

1

~; в) рациональных корней нет; г) 2, 3, 3, р —

~; в) рациональных корней нет; г) 2, 3, 3, р —

1 1

— , —; ж) —1, 2 4 ’ /

1 1

— , —; ж) —1, 2 4 ’ /

4’

4’

2’

2’

9 ’

9 ’

5;

5;

з) рациональных корней

з) рациональных корней

нет;

нет;

«)2» —2- т> 4; к) ~3,4; л) -1,2> ~4*м) 2> - т: н) 2* 4’ ^ Z оОZ Z

°) — 2 • - 2 ‘

а) / (х) = (Зх + 1) (х — 1); б) f (х) неприводим над полем О; в) / (х) = (х — — *2 / ’ Г^ ^ неприводим над полем Q; д) f (х) = (2х + 1) (5х — 1) (Зх + 1); е)/ (х) =(Зх + 2) (х2 + х+1); ж) f (*) неприводимнадполемQ;з)/ (х)=

=(2х —1) (х2 + 2х + 4);и)f (х) неприводим над полемQ; К\ f(х)= (х—1)X

X (х + I)2.

а) / (х)= (х - !)2 (х +З)2; Xj а = 1, х, 4 = -3;

f (X) =(X - 3) (х + I)4;Xj= 3’, x4 3 4t6 = -1;

/ (х) = (2х - 1) (Зх + 2) (4х - 3) (х2 + х + 1); хг = у, х,у, х8=у;

f (х) =(х - 2)3 (х3 - х + 1); x1>2>3 = 2.

а) р =3; б) р = 5; в) р = 7; г) р =7;д)х= у + 1, р = 2;е)х=у— 2,

р = 7.

а) / (х)= (х2 + х — 1) (х2 — х — 1);б)/ (х)неприводим надполемQ;

в) f (х) неприводим над полем Q; г) t (х)=(х2— х — 1) (х2 + 1).

7. а) /(х)=(х2 + 9х2 + 24) + 1 =^ 1 +q>2 (х), q> (х) ё 7 [х];

/(х)=(х2 + х + 5) (х2 — х + 5);

/(х)=(х2 — х + 4) (х2 4- х + 4);

/(х)=(Зх2 — х + 2) (Зх2 + х + 2);

/ (х) = (4х2 - Зх + 1) (4х2 + Зх + 1).

§ 9

f + S = 4x,x2 — 8*i*3 — 4xf; f — g = —4*i + 4x,x2 + 8x,x3 — 8x|; fg — = —4x, + 8X|X$ + 16X|XS — 16xf x| — 32xfx4x3 + 8x^2 + 48xjX2X8 — 12x|.

f + g+ h = — 10x, + 10x|; (f — g) — h = 6x,xfx3 — 14x,x3 + Юх, + 6x| g € Q l*i, x2, x8L ___

/g = —2 /3xfx4 + /6xf + 2 V2x,xf + x,x4 — /бх| € R (x,, x^.

a) 2xfx4 — 3-jx,x2x3 + 3x,x2 + ^"*2*3 + *2*3!

V"2XiXt x4 + 4 /3x,x8x4 — xfx8 — 5 /2xfx4 — 3x2XgX4;

—8xf x| + (4 + 2i) x^x4 + xf + 31x,xf — ix^g + (5 + 0 *y

а) Юх, xfxs; n = 9; 6) —24xf xf; n = 9; в) (—2 — 0 *i *2 *3' n ” 12; r) (—3+ + 150x6x|; n = 12.

a) —Эх, — 2*|x, — 5x,x2x3 (n = 3); x2x8 — 2xf (n = 2); 4x, (n= 1); —6 (n=0); 6) —xy — 3x2y2 (n = 4); x2y — 5xy2 (n = 3); x2 + y2 — xy (n = 2); 2 (n = Op в) x3 + у8 — Зхуг + г8 (n = 3); —x2 — y2 — xy (n = 2); x + у (n = 1); 7 (л=О)' 8. a) F (x, y) = (3y — x) (x8 + xy + 2y2); 6) F (x, y) = (x + y)8 (x — 2y).

a) t (*, У)**; 6) f (*, У) ~ 0.

а) Из равенства /=(*,+ «2*2 + ••• + anxn) (*1 + *2*2 + ••• + я*л) следовало бы a2 + 62 = 0, a4b4 = 1 — противоречие;

В случае приводимости f мы имели бы / = (х,+ ф) (xf + тр), где ф и ф — однородные многочлены от х2, ...» хп степени 1 и 2 соответственно. Отсюда следовало бы х,ф + х,ф = 0, т. е. ф = 0, ф = 0, что невозможно.

$ 10

а) / — of — 3010, + 40,0g — 2о| + Зо8; б) / = 2о® — 9о,о4 + 27о8; в) / = = of — 4о^ое + 4о,о3 + 2о| — 2о4; г) / = — 4ofo3 + of о| + 18о,а2о3 — 4а^ — — 27о|; д) / = of — ofo4 + 60,о3 + о|; е) / = о,о4 + За,; ж) / = ofo4 + of— — 4OjO4.

a) f = ofo4 — 2of — o,o3; 6) f = 2o,oa — 40^; в) / = 6of— 24ofo8 + + 24o,o3 + Ю02 — 24o4; r) / = 4of — 4o8; д) f = 18of — 12oa.

1111

a) -24; 6) -8-; в) -7; г) -9-; д) - (см. 1. a) -е)).

в) I х = у Ф j2x3 = i4x <-> x (x2 — 7) = 0; Mi = {(0, 0); (/7, /7); (—yT,

-/7)};з__

11 x=-y ^ {^^^^^(x2-19)= 0; M2= {(0, 0); (/19, -/19);

(-/19, /T9)};

пт Г =ь -4- V ид /2 ++ У2 = 19°2 = 19 /x 4" У = 5 . .

111 Х*±У ^U2-xy4-y2=7 ^l^g^^^txy-e V

V { Ху+56= ~5; ^s = {(2, 3); (3, 2); (-2, -3); (-3, -2)}.

M = Mt U M2U M8 = (0, 0), (УТ У7), (-УТ, -УТ), (/19, -/19), (-/19,

У19), (2, 3), (3, 2), (—2, —3), (—3, —2);

(of —g2=49,x+y:

I a, — аЦс2 + 3o| =931 t zy — 1 (-3, 5), (-5,-3)}.

9. a) z = -y ^(^„30^,= 8;{

((3, 5)(5, 3),

z= 2

Oj = 5

a, — SGjGg = 65

J?+u=3 ^ 1 z3/ = 8 ^

:= 0; = 5

{(2, 0), (0, -2)};

{(2, 1), (-2, 1), (1, 4), (-1, 4)};

10. a) у = /17 — x2 ^

f z+ « = \zu = 2

o2 = 9

2g2 = Г

3 {(8, 1), (1, 8)}.

—7.

of — 2g2 = 1

б) у = /1 — i2 > 0 s> a, 35 ^= 12

3_ £ —5 —/731

5'5*14 У

7 x + y=-

12 V

^ytT5^, i);

* + y = -y

12

ХУ = “49’

x2 + 36x + 1000 = 0, a = 1.

f o5 — 5ofo2 + Sojol =31, x2 — x 4* 3 = 0, x2 — x — 2=0, a = 1

I Ci = 1.

f = xf + x| = of — 2a2 = (a — I)2 + 5, fmin = 5, a = 1.

a) f (x, y) = 2oj — a/2 —af = (of — o2) (2of + a2) = (2x + y) (x + 2y) (x2+ + xy + y2);

f (x, y) = 2a| — 9afo2 + 7af = (of — a2) (2af — 7a2) = (x2 + xy + у2) X

X (2x2 — 5xy + 2y2);

f (x, y) = 180] — 93afa2 — 16a| = (3of — 16a2) (6of + a2) = (x — Зу) X

X (3x — y) (3x + 2y) (2x + 3y);

Г) f (X, у) = (3x2 — 2xy + у2) (x2 — 2xy + 3y2).

§ П

a)R (x)= 5yx + (y2 + 3); 41y* + y2 — 9 = 0;

R(x) =2y2x + (—y3 + 3y — 6); y« — 4/ + Зу2 — 12y + 12 = 0;

R(x) =(у2 — у + 2) x + (—У3 — у2 + У — 1); 5у6 — 7/4- бу3 —2v2 —

— у — 1 = 0:

R (х) = -4х2 4- 17х 4- (-14 4- У)! «г W = (1 4" 4у) х 4- (2 - 7у); у3 -}-

4- 4у2 — у — 4 = 0.

a) R (x) = (—7y + 5)x + (5y2 + 5y — 12); у4 —у3 — 3/ + у + 2 = 0; {(-1, 1), (1-1), (2,2)}; 6) R = 10y3 + y2 —11 = 0; {(/3, 1), (-/3, 1)}.

^R= xs — x1- -2x =0; {(0,3), (0, 1), (2,1 + i /2), (2, 1 — i /2), ( — 1, 2), (-1, 3)}.

а) у4 — у3—Зу2 + у + 2 = 0; {(—1, 1), (1, —1), (2, 2)}; 6) x2 (x + I)2 (x- 2)2 = = 0; {(—1, 2), (—1, 3), (0, 3) (0, 1), (2, 1 + i V2). (2, 1 - i V2)}.

§ 12

a) p (x) = x — 1; 6)p (x) = x2 + 1; в) p (x) = x2 + 2x + 4;r) p (x) =

= x3 — 3x2 + 3x +31;д) p (x)= x4 — 2x2 — 7, неприводимостьp (x)над

полем Q вытекает из того, что р (х) не имеет корней в Q, а также из результата задачи 6 на с. 77; е)р (х)= х4 + 2х2 + 25 (см. снова задачу 6 на с.77);

ж) Р И = я8 — 2Х4— 1,неприводимость р (х) устанавливается с помощьюкри

терия Эйзенштейна, примененного к многочлену р (х + 3) (в качестве простого р следует взять число 2); з) р (х) = х6 — бх4 + Юх3 — Юх2 + 5х —- 12; и) р (х)= = х4 + 1; к) р (х) = х8 + 1.

а) (х) = х10 — Юх8 + 40х® —4х6 —• 80х4 — ЗОх3 + 80х2 — 28;

f (х) = 1024х10 + 1280Х8 + 640Х6 — 4096хб + 320Х4 + Ю 240х3 + 20х2 — — 1280х + 4097;

f (х) =х10 + Юх8 + 40х® — 4хб + 80Х4 + 80х3 + 80х2 — 80х + 36.

3 Пусть р (х) — минимальный многочлен числа а. Тогда многочлен q (х) = р ^^ будет иметь своим корнем число 0 = ia. Пусть q (х) = qx (х) + iq^ (х), где q^ х), ^2 (*) С Q to- Имеем: qt (0) + iq^ (0) = 0, или q^ (0) = — q^ (0); следовательно, 0 является корнем многочлена q^ (х) + q^ (х).

а) Да; б) Нет, рх (х) = х3—_5, р^ (х) = х3 + 5; в), г), д) Да.

а) — /"б; б) (—у ± tlC^y^ в) —^5? ±1^5;

-/5+ i. /5 ± г; д) ± /5+ i/2 ,—/5 — i /2 ,

-V 1+Г2 ..V 81+54/2 .

5 + 26. . 5 + 26,,

аЛ+1 = cos—-—л + t sin—~—л; 6=1, ... , 7,

^/Т = аЛ, а0 = 1, ах = I, а2 = —1, а3 = —/; а = /; 0 = —Z, ра_|_р W = х; а* = —i, 0* = — 1, ра+р (а* + 0*) = —t — 1 =^ 0, следовательно, а* + 0* не сопряжено а + 0.

См. для иллюстрации задачу 10 на с. 109.

Минимальным многочленом числа а + 0 будет многочлен f (х), составленный по образцу задачи Юна с. 109; его корнями служат всевозможные суммы а* + 0*. 11. 04 ^ R фф Q (аД cr R ф=» а2 ^ Q (aj- В то же время 04, а3С Q fe)- 12. Нет; нет.

Равенство ^12 = р }^2 + q )^5 р С Q» q С Q, после возведения обеих частей в куб приводит к противоречию.

а) а0 = 1, а— V5» а2— V2^ — базис Q (а); 0f = а0 + аха + а2а2, 02 = = 60 + Ьха + 62а2 ^ 0!02 = (а060 + 5ахЬй + 5а2^1) + (а<А + ^о + ^^г) а+ + («0^2 + «1^1 + а260)а2;

б) 1, i — базис Q (а); 01 = а0 + axi, 02 = b0 + bYi 0х02 = каоЬй — а^ + + ^а0Ьг + axb^ I;

в)а®=1, а =/7(1+О, а2 = 4/, а8 = 4/2 (1 + 0-базис Q (а); ^ = = а, + аха + а^2 + а8а3. 02 = »о + Ь,а+ 62а2 + 68а3 ^ 0102 = (»<А — — 16а1Ь3 — 16а2Ь2 — IGoabJ + (аой1 + “А — 16а268 — 16а862)а + (а068 + + а^ + Й26о — 16а863) а2 + (а068 + atb2 + а2Ьх + а86„) а3;

г) v® = 1, V = i у^ у2 = —К3, V3 = 1^27 — базис Q (а).

а) —^8 + 2/7+ 3 */2+ 1;

б) —И /343 + 18 /7 — 29 V? + 48.

а) ^ (6а? — 9а + 8); б) ^ (2а3 — а2 — 8а + 8);

в) Нельзя освободиться от а в знаменателе, так как знаменатель обращается в нуль при одном из корней уравнения: ср (—2) = р (—2) = 0.

а) у3 — 7у? + Зу — 1 = 0; б) у3 — 2у2 + бу —4=0; в) у3 — у? — 2у + + 1 = 0.

a) g (х) = х4 + бх3 + 19х2 + ЗОх + 19;

g (х) = х6 —ISx4 — 4Х3 + 75х2 — 60х — 121;

g (х) = х6 + 6хб + 23Х4 + бх3 + 18х2 + 28х + 17.

§ 13

См. задачу 1 на с. 112. 2. См. задачу 2 на с. 113.

а) ^“^Г^-. ^"6 = 6-/3. где 0 = /з"+ ,/"б;

^Т= " М^+Г4, ^Т= 0 “ 1^, где 6 = /7 + ^

^8 = ^З^Т^’ ^3 = 0-/8, где 0 = /8 + Ou о

3. См задачу 1 на с. 112.

41 Э) 3/5 = 2У+Ю' 3/7= 9 - 3/9' ГДе ° =

б) Vs = "g8 ^^ , У 12 = 6 — Vs, где 6 = V^ + ^12.

5. Воспользоваться формулой (4) на с. 114, приняв за Pv Р2, Р3 поля Q, Q (у), Q (а). В случае а = с°8 ~ + i sin -^ имеем степень а = 10, поэтому для чисел у С Q (а) возможны степени 1, 2, 5, 10.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава 1. Многочлены от одной переменной 4

Кольцо многочленов над областью целостное!и и над полем. Корни многочлена —

Деление в кольце многочленов. НОД и НОК многочленов13

3.Разложение на неприводимые множители 26

Глава II. Многочлены над основными числовыми полями 39

Комплексные числа —

Многочлены над полем С 54

Многочлены над полем /?....*.. 57

Решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах . . . .62

Многочлены над полем Q 69

Глава III. Многочлены от нескольких переменных 80

Кольцо Р [xj, х2, ..., хл] многочленов от п переменных , .—

Симметрические многочлены .............85

Решение системы двух уравнений высших степней с двумя неизвестными 95

Глава IV. Алгебраические числа и расширения полей 100

Минимальный многочлен алгебраического числа.

Строение простого алгебраического расширения поля. Сопряженные алгебраические числа —

Составное (повторное) алгебраическое расширение поля . .111

Ответы .115

мгзпи

Александр Самуилович СолодовниковМаргарита Александровна Родина

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО АЛГЕБРЕ

Часть IV

Н/К

Зав. редакцией Р. А. Хабиб

Редактор Т. В. Автономова

Младшие редакторы Н. Т. Протасова, Т. А. ФеоктистоваХудожественный редактор Е. Н. КарасикТехнический редактор С. И. ТереховаКорректор Р. Б. Штутман

Сдано в набор 05.10.84. Подписано к печати 19.02.85. Формат бОХ^О^в* Бум. типограф. № 2. Гарнит. литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 8. Усл. кр. отт. 8,25. Уч.-изд. л. 7,86. Тираж 27000 экз. Заказ 937. Цена 25 коп.

Заказное.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинатРосглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств,полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

з .з

595.5

— %2х-4—

39*9

1। 4,х

"j'+^-'W

Ответ, q (х) = 2х= + 1 х + ^, г (х) = — х + i$Q[x].

Задача 2. Разделить с остатком многочлен

x2+(—3 + 0 x+(—2 + 0

— x2 — 2x + (— I — 2Q

(— I + о X + (—I + 30 = П (x)

б) / (х) = (х - /2)2 (2х 4- /З)3,

g (х) - (Зх 4- 1) (х2 4- 1) (х- /2)3 € R [х];

в) / (х) = (х - i К2) (х 4-1) (х 4-i)3.

13. Доказать, что значения у'Т сопряжены в некотором порядке значениям У^

1. Составить нормированный над полем С, имеющий корни: а) х2 —— 1, х2 — *——1, х3;42,

В) ^1,2 "^3,4 "Ц

S1 = x+y = ai

S2 = х2 + У2 = °i — 2а2

S3 = Xs + у3 = of — За !<т2

$5 = х5 + у6 = а® — 5а?а2 + 5aia|

S, = Xе + У® = а® — 6а4а2 + 9а? а| — 2а?

S. = х7 + у7 = а? — 7а?а2 + 14а? а? — 7ata?

S8 = х3 +' У8 = а® - §а?а2 + 20а] а? - 16а? а? + 2а?

Задача 6. Выразить симметрический многочлен

f (х, у) = Xs + 2х4у — х3у3 + Зх3у2 — 5х3у + Зх2у3 — 7х2у2 + + 2ху4 — 5ху3 + у8 через основные: ох = х + у, о2 = ху.

Решение. Разбиваем f (х, у) на симметрические двучлены и одночлены следующим образом:

f (х, у) = (х5 + у8) + (2х*у + 2ху4) — х®у3 + (Зх3у2 + Зх2у3) — — (5х®У + 5ху3) — 7х2у2.

б) 8у3 + 12у2 + 70у + 105 = 0, у0 = — у, х = ± /5 V х = 1 "^^^ ;

в) у3 — 2у? + 4у — 8 = 0, у0 = 2, х = ±1 V х_= 1 ± 2i;

Г) уз_ 5у84. бу — 2 = 0, у0 = 1, х = 1 ± /2 V х= 1 V х = 3;

д) 2у3-у«- 1 =0, у0 = 1, х = 1-К|2±^-1+2К2 v х =

= 1 +/'2± » К 1+2/2" . 2’

е) у3 —у2 + 6у —6= 0, у0= 1, х= ±/2V *= 1 ±i/3l _

ж) 4у3 + 2у2 + бу + 3 = 0, у0 = -J, x = ±/Tvx=l±iJ^;

ч {:j±s:L«{;+.y4 v (^-5{(^,<№

/—5 + ,/23 —5—»/23\ /—5— i/23 — 5 +1/23 M.

А. С. Солодовников, М. А. Родина

ЗАДАЧНИК — ПРАКТИКУМ ПО АЛГЕБРЕ

Московский государственный заочный педагогический институт

А. С. СОЛОДОВНИКОВ, М. А. РОДИНА

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ

ПО АЛГЕБРЕ

Часть IV

Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов

Рекомендовано

Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведений Министерства просвещения РСФСР

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1985

ББК 22.142

С60

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор О. В. Мантуров (МОПИ нм. Н. К. Крупской),

кандидат физ.-мат. наук, доцент Э. Б. В и и б е р г (МГУ)

Солодовников А. С., Родина М. А.

С60 Задачник-практикум по алгебре. Ч. IV. Учеб, пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. — М.: Просвещение, 1985. — 127с. — В надзаг.: Моск. гос. заоч. пед.

ин-т.

к решению.с 4309020400—384103(03)—85к решению.с 4309020400—384103(03)—85заказноезаказноеНастоящий задачник-практикум является учебным пособием для студентов-заочников педагогических вузов. Он снабжен подробными решениями типовых задач по теме «Алгебра многочленов» и дополнительными упражнениями для самостоятельного рассмотрения. Ко всем упражнениям в конце книги приводятся ответы и указания

к решению.

с 4309020400—384

103(03)—85

к решению.

с 4309020400—384

103(03)—85

заказное

заказное

ББК 22.142 512

© Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ), 1985 г.