МЕХАНИКАДИСКРЕТНОГОФРИКЦИОННОГОКОНТАКТА

минск«НАВУКА I ТЭХН1КА»1990

УДК 621.891 : 539.62

С в и р и д е н о к А. И., Ч и ж и к С. А., П е т р о к о в с ц Ч И Механика дискретного фрикционного контакта.— Мп • Июлка i тзхшк:, 1990,- 272 с. ISBN 5-313-00553-5.

Рассмотрены методы статистическою опис. пня реальных поаерхнш лем п построения дискретных моделей фрикционною контакта Описана новая моделт> контакта шероховатых поверхностей, позволяющая учитываю де формирование неровностей равного масштаба — от макроенк .оненни формы до субшероховатости Дана оценка влияния поверхностных молекулярных сил па процессы контактного взаимодействия твердых тел и полимеров Показана возможность применения повой двухуровневой модели топографии контакта при решении разнообразных задач современной триботехники

Предназначена для научных и инженерно-технических работников, занимающихся вопросами трения и изнашивания, будет полезна аспирантам н студентам соответствующих специальностей.

Табл J6 Ил 83 Библиотр ' 338 назв

Рецензенты:

д-р техн наук В А. Балакин,канд. физ.-мат. наук Н Б Ростанина

2702000000—161

с98—90

М 316(03)—90

ISBN 5-343-00553-5ISBN 5-343-00553-5© А. 11. Снпрпдепок, С. Л Чижик, М 11 I lv I роковец, 1000

ISBN 5-343-00553-5

ISBN 5-343-00553-5

ВВЕДЕНИЕ

Взаимодействие твердых тел поверхностями — одно из самых распространенных в технике. С ним непосредственно связаны такие поверхностные явления, как трение и изнашивание, электризация, электропроводность и теплопроводность, оптические свойства и герметичность стыков, качество получения микросхем, механической обработки машиностроительных деталей, межфазное взаимодействие в композиционных материалах и т. д. Поиск путей повышения эксплуатационных характеристик современных машин, механизмов и приборов все чаще наталкивается на нерешенность многих проблем, изучаемых новой комплексной научной дисциплиной — физикой, химией и механикой поверхности. Особенно много таких актуальных вопросов возникает на стыке с современной трибологией. Интерес к этой проблематике весьма велик, так как обусловлен большими потерями, которые несет народное хозяйство от выхода из строя узлов трения машин и механизмов, а также затратами на ремонт и восстановление трущихся деталей. Такое положение дел побуждает государства резко увеличивать число финансируемых программ по трибологии и привлекать к ним внимание большого количества специалистов.

Лйноговековой опыт изучения трения показывает, что, несмотря на сложность и многофункциональность процессов трения и изнашивания, важнейшим и определяющим при их оценке остается механический аспект, дающий базовую информацию для последующего проникновения в физическую сущность фрикционных явлений.

Своеобразие и сложность механики трения обусловлены двумя факторами: во-первых, геометрическим, зависящим от наличия шероховатости на реальных поверхностях, вследствие чего фрикционный контакт твердых тел всегда дискретен; во- вторых, физическим, связанным с атомно-молекулярными поверхностными силами.

Уже с конца 70-х годов благодаря накоплению результатов исследований физико-химических процессов и изменения структуры поверхностей в процессе фрикционного взаимодействия убедительно показаны не только многофакторность и сложность трибоявлений, но и необходимость развития меха-

ники поверхностного контакта с целью оценки реальных раз мсров микрозон и действующих в них температурно-силовых факторов.

Применение результатов решений классических контактных задач механики сплошной среды оказывается, однако, неэффективным или в лучшем случае ограниченно пригодным для механического описания фрикционного контакта. Поэтому естествен интерес исследователей к развитию механики фрикционного контакта, подтверждением которого являются монографии, опубликованные как в патыей стране, так и за рубежом [55, 67, 280, 321]. Но в известных работах мало внимания уделялось решению задач, учитывающих дискретность реального контакта на разных размерных и структурных уровнях. Геометрические модели, описывающие реальные поверхности с учетом тонких микрошероховатостей, размеры которых меньше длины волны видимого света, механиками и трибологами практически еще не обсуждались, хотя научные и практические потребности в теории дискретных контактных задач постепенно накапливались. Основным сдерживающим фактором являлось отсутствие прямых экспериментальных неразрушающих методов исследования поверхностных образований на атомном и молекулярном уровнях. «Прорыв» в этой области наметился в 1982 г., когда Г. Беннигу и Г. Рореру (лауреатам Нобелевской премии 1986 г.) удалось создать растровый туннельный микроскоп. На базе РТМ появились атомно-силовой и лазерно-силовой микроскопы, позволяющие регистрировать малые неровности рельефа величиной в 5 нм («25 атомных слоев), работать не только с электропроводными, но и диэлектрическими материалами. Весьма перспективно использование в трибологии растрового термического микроскопа, зонд которого, являясь микротермометром, позволяет регистрировать температурные изменения поверхности в десятитысячную долю градуса на длине в несколько десятков нанометров. В Калифорнийском центре фирмы ИБМ группа специалистов под руководством Мак-Клелланда модифицировала атомно-силовой микроскоп для изучения трения на уровне отдельных атомов. Таким образом, открылись новые возможности для изучения микрохарактеристик материалов. Это в свою очередь стимулирует срочное развитие соответствующих теоретических представлений о субмикрошероховатости и ее роли в контактных взаимодействиях.

В 1980 г. предложен вариант «многоэтажной» модели геометрического описания шероховатой поверхности [22], базирующейся на современных физических и структурных представлениях о реальной поверхности твердых тел. В результате анализа данной модели рассмотрены актуальные вопросы механики дискретного контакта, охватывающие контактные задачи с учетом топографии, характеризующей расположение и 4

размеры основных элементов поверхности и их геометрические отклонения от идеально гладкой на уровне не только макрогеометрии (макроотклонения формы), но и микрогеометрии (шероховатость и субшероховатость). Существенным отличием нового понятия о дискретности контакта от классического является введение в расчетные зависимости термина «субшероховатость». Это требует уточнения общепринятого понятия «фактической площади касания» (ФПК) с целью условного разделения ее на два новых уровня: площадь касания шероховатостей («механическая») и площадь касания субшсрохо- ватостей («физическая»). Такой двухуровневый подход к моделированию шероховатости поверхности оказался математически реализуемым и дал возможность не только развить теоретические представления о фрикционном контакте, но и получить важные прикладные решения.

В книге использованы данные многих исследователей. Оригинальные разделы написаны по материалам работ, выполненных авторами в Институте механики металлополимерных систем АН БССР. Некоторые допущения и толкование ряда результатов носят дискуссионный характер, поэтому все замечания и пожелания авторы примут с благодарностью.

Раздел I

ОПИСАНИЕ ШЕРОХОВАТЫХПОВЕРХНОСТЕЙ

Глава 1

РОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОЦЕССАХФРИКЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ОСОБЕННОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Трение — это процесс взаимодействия поверхностей твердых тел. Его характер, особенности и тонкие механизмы зависят от структуры и свойств поверхности, которая с точки зрения механики обычно рассматривается как некоторый геометрический объект—идеальная граница твердого тела. В том случае, когда возникает необходимость рассматривать шероховатые поверхности, часто используются различные искусственные приемы. Например, можно отметить известное предложение И. Я. Штаермана [216] заменять шероховатый слой на некоторый эквивалентный и гладкий. Оно оказалось весьма перспективным, широко применяется до сих пор и дало ряд интересных результатов. Однако в полной мере удовлетворить триболога такой подход не может, так как при этом теряются многие существенные особенности поверхности твердого тела, а с ними и процесса фрикционного взаимодействия.

Представляется естественным рассматривать поверхность как физический объект некоторой толщины, в пределах которой наблюдается градиент свойств (физических, механических и др.). В связи с этим иногда используется термин «переходный слой» (см., например, работу [17]), который отражает тот факт, что поверхность всегда является границей раздела двух фаз. Такое представление трибологов о поверхности твердого тела согласуется с основными методами термодинамического описания поверхностных явлений (избыточных величин Гиббса и «слоя конечной толщины»). По Дж. В. Гиббсу |53|, геометрической границе раздела двух фаз приписываются поверхностное натяжение и избытки экстенсивных свойств системы (энергии, энтропии и т. д.), обусловленные неаддитивностью свойств составляющих фаз. При альтернативном

подходе граница раздела фаз рассматривается как промежуточная (граничная) фаза, которая в определенном смысле является «автономной» вследствие резкого снижения влияния объемных фаз с уменьшением толщины граничных слоев 1157]. "

Особенности поверхности являются следствием в первую очередь ее специфического расположения в пространстве относительно рассматриваемого тела. Даже у идеального кристалла она отличается по своим свойствам от объемной фазы. На поверхности атомы (и молекулы) имеют меньшее число «соседей», чем в объеме, соответственно изменяется и взаимодействие поверхностных атомов. Такое искажение силового моля охватывает слой в несколько межатомных расстояний. Кроме того, в поверхностном слое наблюдаются все несовершенства, характерные для кристаллов: дефекты решетки (дефекты Френкеля и Шоттки), примеси, дислокации и т. д. Они приводят к изменению величины поверхностной энергии (как локальных ее значений, так и средних).

В соответствии с известным термодинамическим соотношением поверхностная энергия (се избыток) выражается уравнением

J U^-TS^F, (1.1) где Т— температура; S — энтропия; F — свободная энергия поверхности.

Удельная свободная поверхностная энергия у = У/Л для жидкостей обычно отождествляется с поверхностным натяжением уПн. Однако в случае твердых тел из-за специфики их атомно-молекулярного строения, в частности, вследствие относительно малой подвижности атомов удельная свободная энергия уже не может совпадать с поверхностным натяжением, трактуемым обычно как работа, затрачиваемая на растяжение (сжатие) поверхности. Действительно

v = dF - d^ - _ц d^

:ПН dA dA У dA '

Здесь второе слагаемое, вообще говоря, не равно нулю, т. е. Улн^у- В ряде случаев у может рассматриваться как избыточное поверхностное натяжение (половина следа тензора поверхностных напряжений). Но и в случае криволинейных поверхностей вследствие изменения химического потенциала и локальной плотности поверхностного слоя твердого тела ситуация оказывается не такой простой [158]. Не вдаваясь в обсуждение этого самостоятельного вопроса, отметим, что для механики контакта может оказаться важным, что переходный слой изначально находится в некотором естественном напряженно-деформированном состоянии, которое не нашло еще должного отражения в известных расчетных методиках.

В дальнейшем в качестве основной характеристики физической активности поверхности будем использовать ее удельную свободную энергию, хотя многочисленные методы расчета и экспериментального определения последней связаны со значительными трудностями [1, 52].

Равновесное состояние поверхности определяется минимумом ее свободной энергии, который может не совпадать с минимумом поверхности, что и обусловливает одну из причин отклонения реальной поверхности кристалла от исходно-гладкой и появление так называемой естественной шероховатости [52, 76]. Такие изменения геометрии поверхности составляют субшероховатость, которая существенно превосходит по масштабу атомарную шероховатость, возникающую при колебаниях атомов или молекул вследствие термических флуктуаций.

Наличие поверхностной энергии обусловливает взаимодействие поверхности с окружающей средой (в том числе и со смазкой), которое получило название адсорбции. Поэтому понятие «чистая поверхность» во многом является условным. В результате адсорбции на поверхности всегда находятся элементы соседних фаз. Различают два вида адсорбции — физическую и химическую. Для физической характерно ван- дер-ваальсово взаимодействие адсорбата с поверхностью твердого тела. Его энергия, как правило, не превышает 20 кДж/молъ адсорбата. В результате сформированные на поверхности полимолекулярные адсорбционные слои сравнительно легко удаляются, например, при снижении давления окружающей среды. В процессе химической адсорбции энергия взаимодействия достаточно велика (80...400 кДж/моль) и на поверхности обычно формируется монослой, который удаляется с большим трудом даже при высокой температуре. Таким образом, адсорбционная активность поверхностей приводит к тому, что на них образуется тонкий граничный слой, по структуре и свойствам отличающийся от поверхностного слоя твердого тела. В связи с этим может оказаться полезным правило межфазного взаимодействия, предложенное в работе [196].

Физическое состояние вещества граничного слоя может быть различным (от близкого к газообразному до твердокристаллического) и зависит как от основных параметров состояния (температуры, давления и т. д.), так и от характера взаимодействия с твердой фазой. Соответственно и механическое поведение граничных слоев обнаруживает богатый спектр свойств: от вязких и вязкопластических до близких к идеально упругим.

Характерно формирование граничных слоев углеводородов на поверхности металлов [17]. Под влиянием интенсивного поля твердой фазы, радиус действия которого достигает 0,1 мкм, на поверхности формируется адсорбированный слой

кристаллического строения. Основные отличия такого граничного монокристалла от «объемного» сводятся к следующему: а) в результате адсорбционного адаптирования наблюдается изменение структуры макромолекул (например, для парафинов и насыщенных жирных кислот имеет место переход от поворотных к тря/щ-изомерпым конфигурациям молекул); б) па монокристаллической подложке мулыимолекулярнып адсорбированный слой является монокристаллическим образованием, а на поликристаллической поверхности — поликри- сталлическим, который с удалением от подложки переходит в монокристаллическую структуру с едиными параллельными твердой поверхности плоскостями спайности; в) механические свойства и строение граничных слоев сильно зависят от их предыстории и способов нанесения; г) существенным для механики контакта может оказаться факт анизотропии и неоднородности граничных слоев (большой градиент свойств по оси, перпендикулярной поверхности подложки, и полная изотропия ио осям, тангенциальным твердой! поверхности), т. е. слой может рассматриваться как трансверсально-изотропная и неоднородная по глубине среда.

Для каждого граничного слоя существует определенная критическая толщина, в пределах которой он сохраняет свойства твердого тела. Так, для высокомолекулярных насыщенных жирных кислот эта толщина составляет —0,05...0,1 мкм. Механические характеристики граничных слоев зависят от их толщины и внешних параметров, например давления. Чем тоньше слой, тем выше его упругость и ниже пластичность. С увеличением давления сопротивление сдвигу граничных слоев обычно возрастает. Однако если имеет место проникновение активных молекул среды во внутреннюю поверхность твердого тела, то предел текучести с ростом давления может и убывать (эффект Ребиндера).

Таким образом, в схематизированном виде поверхность и прилегающую к ней область каждого твердого тела можно описывать как некоторую слоистую систему, состоящую из твердой (объемной) фазы, переходного (граничная фаза) и граничного (адсорбционного) слоев. Молекулярное поле твердого тела есть некоторая «смесь» молекулярных полей твердой фазы и адсорбционного слоя, причем следует иметь в виду, что последний часто весьма существенно экранирует молекулярное поле твердой фазы.

Такая модель твердого тела чрезмерно сложна для расчета характеристик контактного взаимодействия, тем более что апробированных методов измерения молекулярных поверхностных сил еще нет. Поэтому на практике при расчетах часто принимают дополнительные упрощения: пренебрегают влиянием поверхностных сил и (или) адсорбционных граничных слоев. Полный отказ от указанных допущений требует значи-

тельной аналитической и экспериментальной работы. Некоторые результаты важных для дальнейшего рассмотрения аналитических исследований поверхности обсуждаются в последующих главах.

ИЗМЕНЕНИЕ СТРУКТУРЫ И СВОЙСТВПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ В ПРОЦЕССЕ ТРЕНИЯ

При сжатии двух тел и последующем их перемещении друг относительно друга (формирование трибосистемы) картина в зоне контакта становится столь сложной, что создание адекватной модели фрикционного контакта представляется весьма проблематичным. Это в первую очередь связано с многообразием специфических явлений, характерных для поверхностей, и их взаимным влиянием в процессе фрикционного взаимодействия. Важным для механики контакта оказывается следующее.

Поверхностные слои в процессе трения, образно говоря, «живут», претерпевая разнообразные изменения, пространственно-временной масштаб которых очень широк. Они могут носить как обратимый, так и необратимый характер, являться причиной износа, схватывания и других аномальных трибоявлений, а в итоге и выхода узла трения из строя.

Первоисточник этих процессов, а в ряде случаев основная причина — напряженно-деформированное и тепловое состояния фрикционного контакта. Уже при простом статическом контакте двух твердых тел в их объеме возникает сложное напряженно-деформированное состояние (НДС). Для гладких тел расчет их НДС в принципе не представляет трудностей, особенно при использовании численных методов. Вследствие дискретности реального контакта, обусловленного шероховатостью поверхностей соприкасающихся тел, номинальная область касания оказывается многосвязной, а на основное поле напряжений (и деформаций) накладывается поле напряжений отдельных неровностей. В случае скольжения его можно рассматривать как некоторое флуктуационное поле напряжений, охватывающее область с характерным размером, соизмеримым с толщиной поверхностного слоя. При этом следует учитывать и «естественные» поверхностные напряжения (о них упоминалось выше), зависящие от силового поля твердой фазы контртела. Например, имеются экспериментальные свидетельства изменения подвижности макромолекул в пленках Ф-42 при их контакте с другими полимерами |175]. В зависимости от активности поверхности контртела молекулярная подвижность Ф-42 может как убывать (контакт с пнзкоак- тивной поверхностью поликапроамида ПК-4), так и возрастать (контртсло — полипропилен с высокой подвижностью молекул).

С напряженно-деформированным полем фрикционного контакта тесно связано его тепловое состояние. Оно является реакцией твердого тела на внешнее воздействие (нагрузку, скорость скольжения и т. д.). Генерирование тепла при трении связано, во-первых, с несовершенной упругостью материала (физической и структурной), приводящей к гистерезису, пластическому деформированию, другим необратимым механическим процессам, и, во-вторых — с формированием и разрушением адгезионных связей, зависящими от физической и химической активности контактирующих поверхностей. Связь температурного поля узла трения с его НДС является взаимной. В зависимости от теплового состояния зоны фрикционного контакта изменяются не только механические свойства трущихся тел (что особенно заметно для полимеров), но и физическая и химическая активности сопряженных поверхностей. Следовательно, при установившемся трении поля напряжений и температур находятся в определенном смысле слова в «самосогласованном» состоянии, переход в которое, вероятно, должен носить автоволновой характер.

Исследование напряженно-деформированного и теплового состояний трущихся твердых тел — одна из основных целей механики дискретного фрикционного контакта. Однако следует учитывать, что разрабатываемые в рамках механики контакта модели не охватывают (и не могут охватить) все многообразие проявлений фрикционного взаимодействия твердых тел. Дело в том, что механическая нагрузка инициирует (а тепловая зачастую «усугубляет») ряд сопутствующих трению процессов, которые, по существу, представляют ответную реакцию твердого тела на данную нагрузку. Энергетический и пространственно-временной диапазон этих реакций достаточно широк: от электронно-возбужденных состояний до разрушения поверхностного слоя, а сами реакции проявляются как экзоэмиссионные, трибохимические, электростатические, электромагнитные и другие процессы. Как правило, при построении расчетных схем фрикционного контактного взаимодействия пренебрегают указанными процессами, хотя их параметры могут использоваться в диагностических и метрологических целях, т. е. там, где экспериментальное изучение процессов и соответствующее аппаратурное обеспечение достигли определенного позитивного уровня. Тем не менее «круг интересов» механики трения непрерывно расширяется. Например, по-видимому, нет принципиальных трудностей учета сил электростатической природы при оценке характеристик контактного взаимодействия шероховатых полимерных поверхностей, так как необходимая для этого концепция адгезии достаточно полно разработана в трудах Б. В. Дерягина и др. [69].

Таким образом, знание процессов, сопутствующих фрикционному взаимодействию твердых тел, с одной стороны, позво-

ляет устанавливать границы применимости используемых моделей, с другой — стимулирует совершенствование моделей дискретного контакта, наполняя их физическим смыслом и делая более адекватным реальному процессу трения.

Среди большого числа структурных и фазовых изменений, происходящих в поверхностных слоях при фрикционном взаимодействии, важное место занимает так называемый фрикционный перенос — процесс образования в контактной зоне, генерируемой взаимодействующими материалами, сплошной или фрагментной прослойки, разделяющей контактирующие поверхности. Многие исследователи считают, что фрикционный перенос играет существенную (во многих случаях решающую) роль в механизме трения и изнашивания. В частности, этот процесс составляет основу механизма само- смазывания большинства антифрикционных материалов на полимерной основе, работающих в узлах трения без внешнего подвода жидкой или консистентной смазки. Исходя из приведенного, изучению фрикционного переноса полимеров и композитов на их основе уделяется значительное внимание [26, 145, 233, 316]. Главными задачами экспериментального исследования являются оценка кинетики процесса; морфологии количественных и качественных характеристик продуктов переноса в зависимости от структуры и свойств поверхности; анализ нагрузочно-скоростных и температурных параметров. Уже в первых экспериментальных работах убедительно показано, что фрикционный перенос — это комплекс сложных физико-химических явлений, аддитивность результирующего действия которых далеко не всегда очевидна.

О том, какие особенности приходится учитывать при исследовании фрикционного переноса, можно судить, анализируя фрикционное поведение в контакте полиэтилен (ПЭ) и полиэтиленсодержащие композиции—металл. ПЭ выбирают в качестве модели прежде всего потому, что он имеет простое линейное макромолекулярное строение и широко применяется в композициях как антифрикционная присадка. Полиэтилен обладает низкой поверхностной энергией и переносится при трении на все исследованные полимеры. Исключение составляет политетрафторэтилен (ПТФЭ), который образует на ПЭ отдельные островки фрикционного переноса, толщиной <1 мкм.

В случае контакта с металлами направление переноса зависит от вида металла, окружающей среды и тепловой напряженности контакта. В большинстве других сочетаний ПЭ переносится на сопряженную поверхность уже после первых фрикционных актов. В зависимости от условий трения может образовываться сплошная пленка, но чаще — отдельные фрагменты перенесенного материала. При этом с увеличением нагрузки толщина слоя продуктов переноса уменьшается. Она

может изменяться в процессе взаимодействия от единиц до десятков нанометров [135]. Однако при превышении допустимого значения ри вследствие роста температуры масса перенесенного слоя заметно увеличивается.

Известно, что в процессе многократного фрикционного воздействия в ПЭ происходят снижение степени кристалличности и ориентация молекул в направлении движения. Но важно знать и какие изменения протекают в перенесенном слое на молекулярном уровне. Информативной характеристикой для полидисперсных полимеров является молекулярно-массовое распределение (ММР). Исследование влияния нагрузочноскоростных режимов на ММР показало, что в процессе фрикционного диспергирования в перенесенном слое происходит заметное увеличение доли низкомолекулярных масс. При этом более глубокие изменения наблюдаются в случае фрагментарного (островного) характера переноса, чем пленочного. Необходимо также подчеркнуть, что на металлической поверхности даже после тщательного растворения и отмывки остаются участки сильно изменившегося окисленного и частично сшитого полиэтилена. Очевидно, в данном случае наблюдается образование металлополимерных комплексов с высокими реакционной и адгезионной способностями [164].

Оценка влияния состояния поверхности металла (А1, Ст, Си, Ti) на процессы переноса ПЭ в вакууме и воздушной атмосфере показала, что скорость изнашивания ПЭ при трении в вакууме по стали, алюминию и титану увеличивается, а но меди уменьшается по сравнению с изнашиванием на воздухе. Шероховатость металлических поверхностей во всех случаях возрастает [96].

Представляет интерес описание картины фрикционного переноса. Так, на поверхности образцов А1 и Си как на воздухе, так и в вакууме образуются достаточно устойчивые пленки переноса, Ti на воздухе переносится на ПЭ, а в вакууме ПЭ образует на титановой поверхности пленки переноса. В вакууме Си интенсивно переносится на полимер, на воздухе образует на своей поверхности полимерные пленки переноса. В первом случае в перенесенных слоях отмечаются процессы разветвления и сшивки, что вызывает более активное адгезионное взаимодействие поверхностей. Последнее обстоятельство, а также тот факт, что толщина перенесенного слоя может быть больше, чем у адсорбционного, обусловливают необходимость включения в рассматриваемую модель фрикционного контакта дополнительного слоя—слоя фрикционного переноса. Одновременно возникают новые задачи, связанные с определением физико-механических характеристик и исследованием его кинетики. В упрощенной постановке, принятой ниже, наличие данного слоя может быть учтено путем изменения поверхностной энергии контактирующих тел.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПОВЕРХНОСТИ

Глубокое исследование механизма трения требует получения обширной информации о состоянии и свойствах поверхностных слоев. Именно с этим связано проникновение в экспериментальную практику трибологии самых современных физических методов анализа поверхностей. Рассмотрим некоторые из них.

Эллипсометрия основана на том, что коэффициенты отражения и фазовые сдвиги очень чувствительны к адсорбированным слоям на полированных твердых поверхностях. Метод является неразрушающим и обычно применяется для измерения толщины пленок, исследования процессов адсорбции, коррозии и т. д. Предназначен также для оценки шероховатости поверхности. Его достоинство — простота и скорость измерения.

Инфракрасная (ИК) спектроскопия базируется на том, что характер колебательных полос для ИК спектров большинства атомных групп индивидуален по частоте. Исследование поверхности материалов методами ИК спектроскопии почти во всех случаях проводится с использованием методики нарушенного полного внутреннего отражения. Адсорбционная ИК спектроскопия применяется только при исследовании образцов с очень развитой поверхностью, в частности, для изучения абразивных материалов, полученных шлифованием образца прозрачными для ИК излучения порошками.

Зондирующее ИК излучение проникает в материал на глубину, величина которой соизмерима с длиной волны, т. е. вклад в спектры вносят слои материала толщиной 1 мкм и более. Для получения информации об ультратонких адсорбированных слоях и пленках используются приставки многократного отражения. Распространены ИК спектрометры с Фурье-преобразованием, позволяющие сразу записывать весь спектр. Они имеют ряд преимуществ перед обычными: уменьшение времени на получение требуемой информации, увеличение оптической пропускной способности, повышение точности при определении характеристических полос спектра, простота изменения спектральных диапазонов и возможность применения математических методов обработки информации [144]. ИК спектроскопия эффективно используется для исследования пленок фрикционного переноса и физико-химических процессов, сопутствующих трению полимеров [23].

Спектроскопия комбинационного рассеяния (рамановская спектроскопия) базируется на измерении спектральных характеристик неупруго рассеянных фотонов и позволяет получать более полную информацию, чем в случае ИК спектроскопии. Можно отметить два достоинства метода: 1) так как эффект комбинационного рассеяния не обусловлен поглощением из- 14

лучения, то в принципе нет ограничений по прочности образца; 2) слабое поглощение сигнала комбинационного рассеяния в водной среде и стекле, что позволяет проводить исследования в стеклянных ампулах и воде [144]. Для метода характерна очень высокая чувствительность.

Спектроскопия полного рассеяния основана на анализе рассеяния ионов низких энергий (~1 кэВ) атомами поверхности. Так как в отражении ионов участвуют атомы только первого слоя, то метод обладает очень высокой поверхностной чувствительностью. Он может быть использован для изучения процессов модификации поверхности, а также ориентации на поверхности активных функциональных групп.

Оже-электронная спектроскопия базируется на анализе потока вторичных электронов по кинетическим энергиям, обусловленного протеканием двухступенчатого процесса в результате образования вакансии на одном из внутренних уровней электронной подсистемы твердого тела при облучении его фотонами. Метод отличается высокой пространственной разрешающей способностью (~50 нм) [1, 144]. Особенно перспективно применение оже-электропной спектроскопии для анализа поверхностей разрушения адгезионного контакта или межфазных границ в композиционных полимерных материалах. Эффективна локальная оже-электронная спектроскопия при исследовании и поверхностей трения порошковых материалов [19].

Рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия (РФЭС) отличается от оже-спектроскопии тем, что образовавшаяся на одном из внутренних уровней в результате облучения вакансия заполняется одноступенчато. Если имеет место фотоионизация внешних валентных орбиталей, то метод носит название ультрафиолетовой фотоэлектронной спектроскопии. Метод РФЭС используется для определения энергии связи и химического анализа поверхности образцов (количественного анализа элементов и функциональных групп), в том числе для анализа поверхностей трения [243]. Последние три метода часто объединяются под одним названием — электронная спектроскопия для химического анализа (ЭСХА) [1, 144].

Электронная микроскопия широко применяется для исследования морфологии поверхностей. В сочетании с рентгеновским микроанализом получается информация о морфологии и составе материалов с высоким пространственным разрешением как на поверхности, так и в приповерхностных слоях. Часто используется при исследовании процессов трения. Представляет интерес новый метод исследования субтонких поверхно- стиых слоев кристаллов — скользящая рентгеновская дифракция [10, 13]. Такие особенности структуры поверхностных слоев, как ступенька, искажение решетки, конечные размеры доменов и межфазные границы, удается достаточно точно ин-

терпретировать с помощью анализа профиля и интегральной интенсивности рефлексов дифракции медленных электронов [12].

Следует подчеркнуть, что развитие физики, химии и механики поверхности, особенно в связи с потребностями микроэлектроники, постоянно стимулирует разработку новых точных высокоразрешающих методов изучения физических свойств морфологии п микрогеометрии поверхностных слоев, большинство из которых может эффективно использоваться в дискретной механике фрикционного контакта.

Глава 2

ТОПОГРАФИЯ ПОВЕРХНОСТИИ ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПАРАМЕТРЫ МАКРО-И МИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ

При исследовании процессов, протекающих в зоне реального контакта (трение, износ, контактная передача потока энергии), следует учитывать, что поверхности деталей машин и механизмов имеют отклонения разного масштаба от конструктивных форм, которые из технологических и других соображений выбираются обычно геометрически правильными. Важность учета микрогеометрии поверхностей деталей машин обусловлена также тем, что она является одним из основных параметров, определяющих надежность и долговечность изделий. Отклонение реальной поверхности от идеальной связано с наличием неровностей, возникающих в результате технологических процессов изготовления (обработки) и последующей эксплуатации (изнашивания), и зависящих, в частности, от особенностей структуры контактирующих материалов. Следовательно, оно обусловлено воздействием на поверхность твердого тела разных факторов, которые можно разделить на технологические, эксплуатационные и структурные [67, 103].

Высотные размеры образующихся на поверхности неровностей лежат в широких пределах (от десятых долей нанометра до нескольких миллиметров). Диапазон изменения шаговых размеров неровностей еще шире и порой достигает величины протяженности самой детали. При этом нижние пределы указанных интервалов естественным образом связаны с размерами атомных и молекулярных образований, а верхние зависят от режима и вида обработки, а также от макроструктуры рассматриваемых материалов. По-видимому, отсутствуют какие-либо физически обоснованные ограничения на существование неровностей в рамках указанных диапазонов (как

высотных, так и шаговых) [59, 80]. Однако опыт исследования шероховатых поверхностей и разработки соответствующего аппаратурного обеспечения показывает, что методически целесообразно подразделять неровности на четыре размерных уровня: макроотклонения или отклонения формы, волнистость, шероховатость и субшероховатость [67]. Они имеют характерные размеры макро-, микро- и субмикроскопического порядка. Несмотря на отсутствие строгого критерия, некоторым основанием для разделения неровностей по масштабу может служить теорема суперпозиции отклонений, обусловленных независимыми факторами, воздействующими на поверхность [80]. Поэтому в литературе выделение каждого из уровней неизменно связано с указанием причин его возникновения.

Макроотклонения определяются как отклонения формы реальной поверхности пли реального профиля от геометрической формы поверхности или геометрического профиля, имеющие большой шаг (SM = 1...5000 мм) и сравнительно малую высоту (Ям= 1...50 мкм), как правило, HM/SM^0,001. Макроотклонения обычно представляют собой единичные, регулярно не повторяющиеся неровности поверхности. Так, для цилиндрической детали в поперечном направлении это могут быть овальность и огранка, в продольном — конусность, боч- кообразность, корсетность и изогнутость, для плоской поверхности отклонения формы характеризуются непрямолиней- ностью и неплоскостностью [33]. Макроотклонения являются следствием погрешностей при обработке деталей, определяются неточностью изготовления станка и инструмента, износом режущего инструмента и наличием упругих деформаций в системе СПИД (станок, приспособление, инструмент, деталь), возникающих под влиянием переменной силы резания и т. д.

Отклонение формы регламентировано стандартом (ГОСТ 24642—81, ГОСТ 25069—81), согласно которому оно оценивается количественно параметром А — наибольшим расстоянием от точек реальной поверхности до прилегающей поверхности по нормали к последней. Стандарт определяет прилегающую поверхность как поверхность номинальной формы, соприкасающуюся с реальной поверхностью и расположенную вне материала детали так, чтобы отклонение от нее наиболее удаленной точки реальной поверхности в пределах нормируемого участка имело минимальное значение. Допуски формы рекомендуется устанавливать в зависимости от квалитета допуска размера.

Обычно при рассмотрении отклонения формы исключают шероховатость. В действительности же отклонение формы и шероховатость, заданные для одной и той же поверхности, взаимосвязаны и допуск на форму детали налагает ограничения и на шероховатость. Так, в работе [146] эти ограничения

17172. Зак 1048

17

17

определены из условия, что высота неровностей /?2 должна быть в 1,5—2 раза меньше предельных отклонений формы. Современный стандарт допускает в обоснованных случаях нормировать отклонения формы, включая шероховатость поверхности.

При изучении контактного взаимодействия реальных поверхностей следует иметь в виду, что макроотклонения приводят к перераспределению давления в пределах номинальной области касания и, как следствие, к концентрации напряжений в соответствующих областях контакта и неравномерному износу трущихся поверхностей.

Волнистость представляет собой особый вид неровностей, составляющих переходную область между макроотклонениями и шероховатостью. Она образуется совокупностью квази- периодических неровностей с относительно большими шагами, рассматриваемых на участке, длина которого превышает нормированную базовую длину /, установленную для измерения шероховатости поверхности. Зона волнистости охватывает размерную область: шаг неровностей 0,8...10 мм (для больших деталей верхний предел может быть увеличен до 200...300 мм), высота 0,01...500 мкм [67, 123, 146]. Согласно ГОСТ 24642— 81, волнистость включают в отклонение формы и лишь в обоснованных случаях ее допускается нормировать отдельно. В ряде стран (ФРГ, Швейцария, США и др.) имеются стандарты на волнистость.

Строго установленная граница между волнистостью и шероховатостью отсутствует. Условно для удобства измерения и классификации в качестве такой границы принимается или шаг неровности (нижняя шаговая граница волнистости должна превышать базовую длину, используемую для измерения шероховатости), или отношение шага неровности к ее высоте, которое, как правило, больше 40 (согласно руководящим материалам СЭВ 3951—73 «Волнистость поверхности. Термины, определения, параметры»).

Основной причиной возникновения волнистости являются колебания (вынужденные и автоколебания) в системе СПИД. Волнистость может также возникать в процессе трения и изнашивания деталей. С ней во многом связана кластерная структура фактического контакта твердых тел, что в ряде случаев оказывается существенным при изучении переноса энергии через зону контакта.

Шероховатость образует микрорельеф поверхности п определяется как совокупность неровностей с относительно малыми шагами, выделенная, например, с помощью базовой длины (ГОСТ 25142—82 «Шероховатость поверхности. Термины и определения»). Обычно шероховатость возникает в результате образования следов технологическим инструментом (резцом, фрезой, абразивным зерном), зависит от кине-

магической схемы и способа обработки, механических свойств материала и колебаний в системе станок—инструмент—деталь. Исходная шероховатость рабочих поверхностей претерпевает значительные изменения в процессе трения и изнашивания деталей, достигая так называемой равновесной шероховатости, которая при нормальных условиях трения, но-ви- димому, воспроизводится [108, 109].

Количественная оценка размеров и формы отклонений топографии осуществляется с помощью системы высотных и шаговых параметров. Характеристики шероховатости оценивают преимущественно по профилограммам в пределах стандартизированной базовой длины /, которую выбирают таким образом, чтобы па ней не проявились другие виды неровностей. Существует множество систем параметров, с разной степенью полноты характеризующих шероховатость. В инженерных приложениях стандартом (ГОСТ 2789—73) рекомендовано использовать один или несколько параметров из следующей группы (рис. 1.1).

Среднее арифметическое отклонение профиля Ra определяется как среднее арифметическое абсолютных значений отклонений профиля в пределах базовой длины /:

Рис. 1.1, Профиль шероховатости и его параметры

где у(х)—уравнение профиля, которое часто задается графически или таблично. В последнем случае параметр Ra рассчитывается по формуле:

Высота неровностей профиля по десяти точкам Rz есть сумма средних абсолютных значений высот пяти максимальных выступов профиля и глубин пяти наибольших впадин (в пределах базовой длины):

Здесь уPi — высота i-ro максимального выступа профиля; Ут — глубина i-й наибольшей впадины профиля. В качестве максимальной высоты неровностей профиля Rmax принимается расстояние между линией выступов и линией впадин профиля.

Стандартом регламентированы также два шаговых параметра: средний шаг неровностей профиля Sm— среднее арифметическое значение длин отрезков средней линии, содержащей неровность профиля; средний шаг местных выступов профиля S — среднее арифметическое значение длин отрезков средней линии, отсекаемых проекциями на нее наивысших точек соседних местных выступов профиля. Кроме того, в стандарт введена относительная опорная длина профиля tp как отношение суммы длин отрезков, отсекаемых в материале профиля на уровне р линией, эквидистантной средней линии, к базовой длине:

Естественно, перечисленные параметры не представляют исчерпывающего набора данных, необходимого для полного описания микрогеометрии поверхности. Возможно, поэтому стандарты разных стран различаются по количеству и номенклатуре используемых параметров (см. например, [123, 321]). '

В исследовательской практике находит применение весьма широкий круг параметров, например среднее квадратическое отклонение профиля Rq, его наклон Да, радиус кривизны в вершине неровности г и т. д. Однако все больший интерес исследователей вызывают параметры поверхности, а не профиля. Этим, в частности, обусловлена интенсификация работ по статистической геометрии реальных поверхностей и поиск новых методов измерения параметров топографии поверхности.

Субшероховатость характеризует тонкую структуру реальной поверхности, имеет нанометрический масштаб и оказывает влияние на формирование так называемого физического рельефа. По мнению Б. И. Костецкого [103], характеристики субмикроскопичсского рельефа являются теми факторами, без которых невозможно достаточно объективное понимание процессов трения, износа и смазки.

Возникновение субшероховатости тесно связано с внутренним строением твердых тел и его несовершенством, напряженно-деформированным состоянием тонких поверхностных слоев и влиянием рабочей среды в зоне контакта. Роль перечисленных факторов в процессах формирования субшсроховатости

исследована недостаточно и поэтому она до сих пор не нормирована. Субшероховатость проявляется как случайное и несовершенное расположение кристаллографических плоскостей, хаотическое расположение на поверхности зерен, островковых пленок (в том числе оксидов и адсорбционных слоев) и других структур. Она может быть получена и искусственно в результате специального воздействия на поверхности потоками различной природы.

Доказательства существования субшероховатости впервые получены косвенным путем. Так, се наличие следует из эксперимента по оценке полной площади реальной поверхности по количеству адсорбированных веществ. Если рассчитать истинную площадь поверхности, предполагая наличие лишь неровностей микронного масштаба, то она будет отличаться от поминальной не более чем на 10...20%. Экспериментальное же определение величины истинной площади поверхности по количеству адсорбированных веществ показывает, что она в несколько раз превышает номинальную площадь [4]. Это возможно только при наличии на поверхности трещин или выступов субмикронпого масштаба.

Другим косвенным подтверждением существования субшероховатости являются результаты оценки удельной энергии разрушения. Исходя из литературных данных [82], истинная поверхностная энергия материала на два-три порядка меньше эффективной поверхностной энергии упругопластического разрушения. Частично расхождение указанных величин объясняется развитой на микро- и субмикроуровне поверхностью излома. Экспериментальные данные подтверждают, что получение поверхности в результате механического разрушения поверхностного слоя (механическая обработка, разрыв) приводит к более тонкой и разветвленной субмикроструктуре, чем при свободном формировании поверхности (из расплава).

Интерес к исследованию субшероховатости стимулируется потребностями не только трибологии, но и ряда областей физики. В частности, показано, что субшероховатость оказывает существенное влияние на процессы рассеяния и поглощения света вследствие чувствительности электромагнитных волн, распространяющихся вдоль поверхности (поляритонов), к ее негладкости. Наиболее характерно это проявляется при гигантском комбинационном рассеянии, когда шероховатость усиливает внешнее поле в 105—106 раз.

Необходимо отметить, что такое усиление наблюдается для значений неровностей от 0,2...2 нм до нескольких сотен нанометров [102], т. е. фактически охватывает размерный диапазон субшероховатости. Все возрастающий интерес к описанию и исследованию субмикронеровностей имеет место в области микроэлектроники. Обзор литературных данных по

Таблица 1.1. Размерные характеристики субмикронеровностей

Материал

Высота, нм

И] аг, нм

Способ регистрации

Источник

Сталь полированная

1. . .10

Электронная микро-

СКОЛИЯ

[321

Медь

2

Оптическая профиле-

метрик

[1791

Алюминий на воздухе

3,0...7,3

20...60

Туннельная микроско-

ПИЯ

.—

Золото

2. . .5

—

Электронная микро-

СКОЛИЯ

[149J

0,1...0,2

2. . .5

Туннельная микроско-

ЛИЯ

1215]

0,1...0,6

2. . .10

То же

[154]

Пленки Си, Ag и Ли

10

50

Электронная микро-

скопил

[187]

Пленка на сверхглад-

0,5...1,0

—

Туннельная микроско-

ком кварце

ПИЯ

1187]

Кремний

2

—

Эллипсометрия

1147]

Кремний окисленный

0,25

4

»

[14/]

Стекло

1,5...2,0

—

Электронная микро-

скопил

[34]

1,4

—

Оптическая ирофило-

метрия

[192]

Полиэтилен

1...10

—

Электронная микро-

СКОЛИЯ

[32]

измерению высотных и шаговых параметров субшероховатости приведен в табл. 1.1. Известны также попытки с помощью расчета оценить характеристики субшероховатости [85, 86].

Введение концепции субшероховатости в трибологию связано с необходимостью изучения малых объектов, возможность использования методов механики сплошной среды по отношению к которым часто подвергается сомнению. Однако размеры объектов не всегда, вопреки широко распространенному представлению, являются решающим аргументом в отношении применимости или неприменимости теории сплошной среды, хотя и могут наложить ограничения [127]. При исследовании контактного взамодействия субшероховатых поверхностей существенны также учет «коллективного» деформирования неровностей и расчет ряда интегральных, т. е. «сглаженных», характеристик, например физической площади касания. Следует помнить, что субнеровность, вообще говоря, не может быть самостоятельным объектом фрикционного контакта, а, как правило, рассматривается в качестве неотъемлемой, хотя и малой части сплошной среды. Следовательно, использование методов механики твердого тела представляется не только целесообразным, но и в ряде случаев единственно возможным. Это не исключает структурно-физического подхода к обсуждаемой проблеме, который является обязательным 22

для обоснования и определения применяемых параметров, с одной стороны, и построения адекватных механических моделей, с другой. Как достигается компромисс между механическим и физическим подходами, будет показано ниже на конкретных задачах фрикционно-контактного взаимодействия реальных поверхностей.

TTWWWXVAWVxTTWWWXVAWVxIO"3 i(T' 10' Ю3/Д мкмIO"3 i(T' 10' Ю3/Д мкмТаким образом, анализ геометрии реальных поверхностей твердого тела показывает, что можно выделить две группы и

TTWWWXVAWVx

TTWWWXVAWVx

IO"3 i(T' 10' Ю3/Д мкм

IO"3 i(T' 10' Ю3/Д мкм

Рис. 1.2. Соотношение характерных размеров отклонений топографии поверхности: //—высота неровностей;

S — расстояние между ними

четыре уровня отклонений формы: макрогеометрию (макроотклонения и волнистость) и микрогеометрию (шероховатость и субшероховатость), которые различаются масштабом п играют различную роль в процессах контактного взаимодействия. Условно области существования каждой из этих форм можно представить в виде некоторых подмножеств в пространстве шаговых и высотных параметров (рис. 1.2). Такое многообразие форм отклонений поверхности должно находить отражение в механических моделях контакта с учетом того, что процессы деформирования неровностей разного масштаба взаимосвязаны.

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВМИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ

Одним из источников базовой информации для механики дискретного фрикционного контакта является шероховатая поверхность, методы измерения которой разработаны достаточно полно [59, 321, 323, 324]. Однако потребности науки и практики стимулируют дальнейшее совершенствование методов измерения шероховатой поверхности и поиск принципиально новых подходов. Основная цель работ в этих направлениях— получение максимально полной информации об устройстве реальной поверхности, позволяющей создавать адекватные модели поверхности и прогнозировать ее эффек-

тивное функционирование в ряде приложений, в частности в триботехнике. Здесь уместно отметить лишь некоторые общие тенденции исследований в области измерения характеристик реальных поверхностей.

Анализ геометрических свойств шероховатой поверхности показывает [141], что параметры профиля, снятого в определенном направлении, как правило, не совпадают с соответствующими характеристиками поверхности, рассматриваемой как трехмерный объект. Если для отдельных классов поверхностей, например гауссовских, можно получить соотношения, связывающие одноименные параметры обеих групп, то в общем случае такая связь не установлена. Кроме того, при про- филометрировании имеет место значительная потеря информации о строении отдельных элементов поверхности и их взаимном расположении (топологические свойства), которая существенна при изучении фрикционного переноса и износа поверхностей. Эти обстоятельства стимулировали разработку методов топографического изображения поверхности, позволяющих более адекватно оценивать ее микрогеометрическпе свойства в целом.

Разработаны системы трехмерных измерений поверхности, базирующиеся преимущественно на использовании стандартных профилометров с иглой. Например, в работе [97] обсуждается гибкая информационная измерительная система, которая позволяет получать квазиобъемную картину поверхности,, строить ее микротопографическую карту и рассчитывать параметры микротопографии. Системы данного класса, получившие сравнительно широкое распространение [31, 273, 329], имеют достоинства и недостатки щупового метода измерения шероховатости, положенного в их основу. Достоинства в первую очередь связаны с хорошим приборным обеспечением: для современных профилографов характерны большой набор измеряемых характеристик и высокие эксплуатационные показатели. Эти достоинства позволяют эффективно реализовать пространственный подход к оценке шероховатости при решении широкого круга задач измерения реальных поверхностей. Однако в ряде случаев при исследовании «мягких» поверхностей, например полимерных и (или) гладких, для которых существенным оказывается наличие субшероховатости, погрешности щупового метода [321] становятся практически непреодолимыми. Последнее явилось побудительным мотивом для развития бесконтактных методов измерения шероховатости.

Наибольшее распространение получили оптические методы, обеспечивающие высокое разрешение по вертикали (<0,1 нм). На основе закономерности рассеяния света или изменения фазы светового луча, отраженного от неровностей поверхности, удается определить ряд важных статистических характерис- 24

тик шероховатой поверхности, например среднеквадратическое отклонение точек профиля от средней линии, радиус корреляции и т. д. f 186, 321, 327, 328]. Известны также попытки применения эллипсометрических методов исследования для измерения параметров шероховатости. Например, в работе [37] оценка шероховатости поверхностей меди, молибдена и кварца дается на основе экспериментальных значений диэлектрической проницаемости в предположении, что неровности поверхности являются случайными, пологими и имеют высоту, малую по сравнению с длиной волны.

В развитии оптических методов также наблюдается тенденция к реконструкции трехмерного объекта исследования — шероховатой поверхности. В связи с этим представляет интерес предложенный Б. Бхушаном и др. [192, 226] бесконтактный метод получения объемной картины шероховатости с использованием интерферометра Миро и двумерной матрицы твердотельных фотоприемников. Соответствующий прибор, ошибка которого, по оценкам авторов, чД 1 нм, дал возможность оценить топографию гладких поверхностей типа магнитных носителей (ленты, гибкий и жесткий диски) с максимальной высотой микронеровностей от нескольких десятков до нескольких сотен нанометров.

В научных исследованиях значительное место занимают методы изучения шероховатых поверхностей с помощью электронной микроскопии. Фактически речь идет о большой группе бесконтактных методов, реализованных в рамках просвечивающей и растровой электронной микроскопии (РЭМ), различающихся носителями информации (рассеянные, упругоотраженные или вторичные электроны) и методическими приемами (обработка стереопар, установка дополнительных детекторов и т. д.). Достоинства и недостатки этих методов, области их применения подробно проанализированы в работе [59]. Рассмотрим лишь новый метод исследования топографии, разработанный в ИММС АН БССР и основанный на использовании для формирования изображения низкоэнергетических вторичных электронов [200, 286].

Известно, что интенсивность эмиссии вторичных электронов нелинейно зависит от локального угла падения пучка

С = Со sec 6, где Со, С—интенсивности вторичного электронного излучения при нормальном и косом падении (под углом 0) первичного электронного пучка. Авторами метода предложено определять профиль поверхности в некотором сечении по относительному изменению интенсивности эмиссии вторичных электронов в одноименных точках при повороте образца. Выражение, связывающее интенсивность эмиссии с параметрами профиля, имеет следующий вид:

Здесь z— высота профиля сечения в некоторой точке; Cj, С2— значения интенсивности вторичного электронного излучения до и после поворота образца. Его поворот на угол 9 осуществляется относительно оси, перпендикулярной плоскости перемещения зонда.

Для этого метода дана оценка предельного вертикального разрешения исходя из физических аспектов формирования потока вторичных электронов и возможностей! регистрирующей аппаратуры. В рассматриваемом случае считается, что вертикальное разрешение определяется шумовыми флуктуациями и диаметром электронного зонда. Рассмотрение характеристик, влияющих на величину шума, и использование критерия «идеального наблюдателя» Зигерта—Котельникова позволили получить соотношение, связывающее шумы в измерительной системе с вертикальным разрешением (без учета аберраций в электронно-оптической системе РЭМ). Расчеты показали, что для наиболее распространенного вольфрамового термокатода при соотношении сигнал/шум=» 10 (что вполне приемлемо) вертикальное разрешение составляет 10 нм.

Метод реализован на комплексе РЭМ—микроЭВМ. Разработанный к нему пакет программ позволяет рассчитывать стандартные параметры, моменты спектральной! плотности, удельную площадь поверхности, получать гистограммы распределения углов наклона неровностей, определять плотность экстремумов и строить опорную кривую профиля. При этом можно проводить селективные измерения данных величин в выбранном диапазоне шагов [59].

Исследования неровностей нанометрического масштаба (субшероховатости) получили дополнительный стимул в связи с изобретением сканирующей туннельной микроскопии (СТМ), первые публикации о которой появились в 1982 г. [227, 229—231|. Ее физической основой является туннелирование электронов между двумя близко расположенными электродами. Принцип работы туннельного микроскопа состоит в том (рис. 1.3), что при перемещении металлической иглы, закрепленной в трехкоординатном пьезоприводе, над исследуемой поверхностью в зазоре между иглой и поверхностью под действием напряжения U между иглой и образцом возникает туннельный ток /т:

/т « Пехр(—ЛФ1/2Е), где Ф — величина потенциального барьера в зазоре игла — поверхность; d—зазор между иглой и поверхностью; А— коэффициент пропорциональности (Л=1, если Ф измеряется в электрон-вольтах, а зазор d в ангстремах).

Если напряжение па зазоре поддерживать постоянным (что обычно и делают), то для сохранения величины туннельного тока необходимо изменять зазор с помощью системы обратной связи CU, управляющей пьезоприводом перемещения иглы. Отслеживая движения иглы, получаем профиль поверхности (при условии, что величина потенциального барьера вдоль трассы остается неизменной). Однако, как показали исследования |189[, используя метод вибрирующего электро-

Рис. 1.3. Принципиальная схема СТМ [227]

да, можно исследовать поверхности с переменной работой выхода.

Разрешающая способность метода очень высока: по вертикали она составляет тысячные доли нанометра. Несколько ниже горизонтальное разрешение метода, которое зависит от радиуса закругления иглы г и зазора d [325, 333]. Показано, что если па острие вольфрамовой иглы располагается один атом, то можно достичь горизонтального разрешения 0,2 нм. Влияние радиуса закругления иглы на погрешности метода при реконструировании рельефа исследуемой поверхности рассмотрено в работе [111]. На рис. 1.4 изображен участок поверхности графита, который дает представление о возможностях СТМ по атомарному разрешению топографии поверхности.

Одной из основных характеристик работы СТМ, особенно применительно к прикладным исследованиям, является максимальный размер ноля сканирования. Его величина во многом зависит от используемых в конструкции СТМ пьезоэлементов [198] —стержней (пьезоблоков), трубочек и биморф- пых элементов,— а также от требуемой степени разрешения микрорельефа. Так, атомарное разрешение возможно в глубоком вакууме на участках размером до одного микрометра. Максимальный диапазон развертки в случае применения пьезотрубочек достигает нескольких микрометров.

Сравнительно большой диапазон сканирования (десятки микрометров) позволяет получить биморфные элементы, однако разрешение топографии поверхности по вертикали при этом ухудшается (^1 им). Существенного расширения диапазона сканирования удается добиться путем использования электромагнитных преобразователей. В работе [255] описана конструкция СТМ, реализующая диапазон до 100 мкм с разрешением « 10 нм. Следует, однако, отметить, что увеличение

Рис 1.4. СТМ изображение поверхности графита (получено в ИФП АН СССР [217])'

поля сканирования приводит к дополнительным проблемам, связанным с устранением погрешностей за счет колебаний, тепловыделения и т. д., а также к усложнению конструкции микроскопа. Одним из главных достоинств метода является возможность исследования широкого класса материалов, в том числе и непроводящих [44].

Первые типы СТМ приборов создавались с целью работы в вакууме. Однако наличия вакуума для функционирования микроскопа в принципе не требуется, что связано с небольшой величиной туннельного промежутка, сравнимой с межатомным расстоянием. То, что СТМ прибор работоспособен в любой плохо проводящей среде, подтверждают эксперименты [199]. Проведены исследования образцов без специальной обработки поверхности и в атмосферной среде [188]. Полученный результат особенно важен при изучении поверхностей трения, которые, как правило, покрыты оксидной пленкой, слоем влаги, соединениями углерода, другими загрязнениями, оказывающими влияние на характеристики фрикционного взаимодействия. Устранение же поверхностных пленок путем специальной обработки влечет необратимые следствия (фазовые переходы; диффузию; изменение поверхности не только на атомном, но и микронном уровне) и тем самым не позволяет оценить реальную картину субмикрорельефа.

Метод СТМ нашел применение в различных практических приложениях и в первую очередь в микроэлектронике [292], где происходит миниатюризация базовых элементов инте- 28

тральных схем. При этом возникает необходимость в знаниях о структуре поверхности материала и процессах, происходящих на ней, во все более мелком масштабе, а также в контроле и тестировании продукции на всех этапах производства. Известны приложения СТМ в исследовании структуры тонких пленок, высокотемпературных сверхпроводников [54], процессов химического [292] и ионного травления [249], химических реакций на поверхности [265], влияния шероховатости на наблюдаемое гигантское комбинационное рассеяние света [6].

Использование метода СТМ в трибологических исследо ваниях представляется весьма актуальным и перспективным. Так, он позволяет получить не только качественную, но и количественную информацию о тонкой геометрической структуре поверхностей трения — субшероховатости.

В качестве примера рассмотрим результаты сканирования образца из сплава алюминия, обработанного алмазным инструментом (измерения проведены в ИФП АН СССР). Большое поле сканирования (12x12 мкм) дало возможность сравнить результаты измерения профилей, полученных методами СТМ и щуповым. С этой целью осуществлен фурье-анализ СТМ профиля (рис. 1.5, а) с применением быстрого преобразования Фурье [210]. Путем обратного преобразования функции спектральной плотности (рис. 1.6) для частот <0,4 мкм-1 восстановлен профиль (рис. 1.5,6), который соответствует уровню разрешения при ощупывании иглой с радиусом закругления 2,5 мкм. Данные анализа качественно согласуются с результатом, полученным в процессе профилометрирования той же поверхности [209, 210].

Проведены также исследования с последовательным уменьшением поля сканирования. Например, на участке 0,37X Х0,30 мкм (рис. 1.7) длинноволновые составляющие топо-

Рис. 1.5. Профиль поверхности алюминиевого сплава, обработанного алмазным инструментом (Ra = 7 нм): а—СТМ профиль; б — его низкочастотная составляющая

графин могут оказывать влияние лишь на наклон изображения. При этом неровности с субмикронными шаговыми характеристиками выражены более отчетливо. На СТМ изображении размером 50X50 нм локализован один субмикровыступ для поверхности алюминиевого сплава (рис. 1.8, а). Его профильное сечение в диагональном направлении (рис. 1.8,6) напоминает ступеньку, которая, по-видимому, связана с кристаллической структурой материала.

Исследование поверхности того же материала, полученной при более грубой механической обработке свободным абразивом, дает некоторые представления о двухуровневом строении микрорельефа (рис. 1.9).

Результаты использования метода СТМ для анализа поверхностной топографии, по-видимому, могут послужить основой при создании новых стандартов на субшероховатость поверхностей. Однако предварительно следует решить ряд метрологических вопросов и задач статистической обработки полученных изображений.

Перспективно применение СТМ в трибологии для оценки поверхностных разрушений в системах с очень высокой износостойкостью [225], например системы магнитный диск —

Рис. 1.6. Функция спектральной плотности СТМ профиля

200 н^200 н^Рис. 1.7. Трехмерное изображение субмикрорельефаРис. 1.7. Трехмерное изображение субмикрорельефа

200 н^

200 н^

Рис. 1.7. Трехмерное изображение субмикрорельефа

Рис. 1.7. Трехмерное изображение субмикрорельефа

магнитная головка, для которых традиционные методы исследования изнашивания неприемлемы.

Значительных результатов, по-видимому, следует ожидать при исследовании с помощью СТМ изменении поверхностей в результате физико-химических процессов, происходящих в зоне контактного соприкосновения твердых тел. Реальной представляется задача установления количественной связи структуры материала с параметрами субшероховатости. Метод СТМ можно использовать так же как инструмент для изменения структуры поверхности, установив необходимый для таких процессов режим работы [228]. Это свойство СТМ в принципе позволяет создавать различный субмикрорельсф при экспериментальных исследованиях влияния последнего па процесс трения твердых тел.

Создание СТМ привело к появлению нового класса приборов с аналогичным принципом работы. Большой перспективой и широкими возможностями, в том числе и в трибологии, обладает сканирующий атомно-силовой микроскоп [95]. В СССР такой прибор впервые создан в /ЛГУ группой, руководимой В. И. Пановым [42]. Принцип его работы основан на фиксировании сил притяжения атомов исследуемой поверхности и острия иглы. Данный прибор позволяет исследовать поверхность как проводников, так и диэлектриков.

Проведенный выше краткий обзор методов измерения ше-

Рис. 1.8, СТМ изображение одной схбмикроиеровностп: а — трехмерное изображение; б — его профиль в диагональном направлении

роховатых поверхностей позволяет выделить главные тенденции их развития, которые представляют интерес для трибомеханики. Прежде всего необходимо отметить, что широкое распространение сканирующих методов позволяет более адекватно отображать поверхность, как трехмерный объект, представляя в распоряжение триболога характеристики не только профиля, но и поверхности, а также и топологические свойства реальной поверхности наряду с метрическими. По-

Рис. 1.9. СТМ профиль поверхности алюминиевого сплава, обработанный свободным абразивом (ЛО = 24 им)

следнее обстоятельство, к сожалению, не нашло должного отражения в известных моделях фрикционного контакта. Дальнейшее повышение точности и разрешающей способности методов измерения шероховатости, в том числе бесконтактных, позволяет получать информацию о предельно тонкой геометрической структуре поверхности, включая субшероховатость и, возможно, атомную шероховатость.

И наконец, как следует из приведенного выше, современные методы измерения шероховатости предоставляют в распоряжение исследователя такой большой объем информации, что ее правильная организация и оперативная обработка реально не осуществимы без применения вычислительной техники.

Глава 3

статистическая геометрия поверхностей

ТРЕНИЯ

С геометрической точки зрения, что подтверждает опыт измерения параметров шероховатости, поверхность твердого тела является весьма сложным объектом по набору составляющих элементов, их иерархии и взаимному расположению. Для модельного представления поверхности, принятого в трибологии, используются разные подходы — от последовательно детерминистского до статистического и фрактального [62, 110, 156, 204, 256, 321, 336, 337 и др.]. Каждый из них имеет достоинства и недостатки, поэтому правильный выбор метода

описания поверхности во многом зависит от характера решаемой трибологической задачи. Чаще применяется статистический подход, что, по-видимому, связано не только с достаточно глубокой разработкой соответствующего аппарата теории вероятностей. Процесс трения, рассматриваемый как совокупность элементарных фрикционных взаимодействиг! на отдельных пятнах контакта, является типичным стохастическим процессом. Последнее обстоятельство может служить физическим основанием, частично объясняющим интерес трибологов к статистическому подходу. Поэтому ниже главное внимание будет уделено статистическому подходу.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Шероховатую поверхность можно рассматривать как совокупность неровностей, случайным образом расположенных на некоторой идеальной поверхности и имеющих случайные размеры, другими словами, как реализацию случайного поля. Эта внешне простая, но достаточно плодотворная мысль, позволяющая эффективно использовать для описания реальных поверхностен аппарат теории случайных полей, по-видимому, впервые высказана Д. В. Линником и А. П. Хусу [119]. Такой подход дает возможность представлять поверхность в виде скалярной случайной функции

г = г (Т со),

где параметр t пробегает множество значений Т, определяемое пространственным расположением шероховатой поверхности; со — элементарное событие из некоторого вероятностного пространства Q.

Каждому mEQ соответствует конкретная поверхность г= = z(t, ю), называемая реализацией случайного поля. Обычно Т — множество точек части плоскости Т = {(х, у) : —L^x, у^- ^Ц. Здесь L может стремиться к бесконечности (вся плоскость). Для цилиндрических деталей Т={(1, a):0^l^L, O^tx^2n}, где I — координата точки поверхности вдоль оси детали; а — ее угловая координата в плоскости, перпендикулярной оси.

Случайное поле задастся своими конечномерными распределениями, т. е. для натурального п и всякого набора точек плоскости (хь у1), (х2, уз), .... (хп, уп) заданы вероятности совместного осуществления событий z(xx, ух)^ах, z(x2, Уз)^ ^«2, z(xn, уп)^аи. Если все эти вероятности гауссовские, то задаваемая ими случайная поверхность называется гауссовской. Для описания гауссовского поля достаточно знания его математического ожидания

33333. Зак. 1048

33

33

z (x, у) = m (x, у) и корреляционной функции

K\xv уу, х2, у2) = [z(xn yj — m(x1, у])][г(х2, у2)—т(х2, у2)]

Обычно при описании поверхностей предполагается, что случайное поле является однородным. В этом случае его математическое ожидание постоянно и без ограничения общности можно полагать, что

т(х, у) == 0.

Корреляционная функция однородного поля зависит лишь от разности аргументов

Ш уу х2, у2) = ^(м —х2; Ух — угУ

Если поверхность изотропна, то функция К будет зависеть от расстояния г между точками:

К, (хп Ух; х2, у2) = К(г), где

r = /(М — ^г)2 + (У1 — у2)2.

Для однородного случайного поля z=z(x, у) корреляционная функция может быть записана в виде

К (х, у) = limК (х, у) = lim—-— С Г z (х^ у1)2(х1 + х; уг + у) dxydux

К (х, у) = lim

К (х, у) = lim

Часто удобно в расчетах использовать спектральную плотность Ф(кх, ky), являющуюся преобразованием Фурье от корреляционной функции

Ф(^, ^) = — j J К(х, yW^^dxdy

(кх, ку — компоненты волнового вектора й).

Моменты mpq спектральной плотности определяются посредством выражения:

(1-2)(1-2)mpq = j j Ф кк» ку) kpxkydkxdky.

(1-2)

(1-2)

Очевидно, что

т-оо= ^Ф(кх, ky)dkxdkv = Gz.

Здесь а—среднеквадратическое значение высоты неровностей.

Рассмотрим некоторые характеристики случайных полей,

существенные для расчетов в трибологии. Основные идеи, обсуждаемые ниже, предложены М. С. Лонге-Хиггинсом [121, 294, 295] применительно к проблемам океанографии. В дальнейшем они распространены на твердые шероховатые поверхности П. Р. Найаком [141] (изотропная шероховатость) и Н. Ф. Семенюком [170—173] (анизотропная).

Удобно функцию z = z(x, у) представить в виде бесконечной суммы:

2 (х, у) V cn cos (хкх + укч + en),(1.3)

где Бп — случайная фаза, равномерно распределенная на интервале (0, 2л); с„ — коэффициенты, связанные со спектральной плотностью соотношением:

Ф (кх, dk^ky = ~^с2п.

Для определения характеристик поверхностей, необходимых при проведении расчетов в трибологии, часто достаточно знания кроме функции z(x, у) ее первых двух производных. При этом возникает потребность в вычислении совместной плотности распределения нескольких случайных величин. В общем случае, когда имеется п случайных величин ^, §2, ... ..., ^п, при достаточных общих условиях, которые, по-видимо- му, не находятся в противоречии с практикой измерения реальных поверхностей, совместная плотность вероятности величин g, (/=1, 2, ..., п) определяется «-мерным гауссовским законом

P6v Ь,„2vr «Ч-^У'чД (1.4) |/ /\\ ^/

Здесь g — столбец величин £д Т— знак транспонирования; М—квадратная матрица пХп, обратная матрице связи N, которая имеет следующую структуру:

В частном случае, когда ограничиваются первыми производными функции z(x, у), следует учитывать некоррелированность случайной функции и ее производной. Если ввести обозначения

11 = Z (X, у),11 = Z (X, у),d2Z

11 = Z (X, у),

11 = Z (X, у),

(1-6)(1-6)5г (х,i/)52z

(1-6)

(1-6)

дх" дхду

02 (х,у)d2z

оуotr

то совместная плотность вероятности величин gb g2> ..., Д может быть записана так:

p&v ^,^ = р^> № ъ, ^, и (I.?)

Для переменных Е2> ёз корреляционная матрица имеет вид

Так как £2 = [—^сп^п sin (хкХп + укЫп + е„) j2 = m20 и аналогично е2 = т№, Е2ёз = Ыа = «ш то

Определитель матрицы ^1

Ai = тмт№ — тп,(1.9)

обратная матрица

Мг = У?1 = —— f m°2 -mnY (1.10)^1\т11т20/

С учетом (1.4) получаем

р^,=(1.Ц)

2л у Ах \2АХ/

Несколько более громоздкими получаются соответствующие выражения для переменных ^, ^5, g6, g7, где ^?=^ь Выпишем корреляционную матрицу для этих переменных

/«40

«31

«22

«20 \

Д, = 1«31

«22

«13

—«И 1

(1.12)

I «22

«13

«04

—«02

\—т20

—«11

—«02

«00 /

Ес определитель обозначим через А4 — det N2, а обратную матрицу через M2 = N~V . Тогда

Р^ ^ ^ М = —^expf-^T^f),(1.13)

4л2 у Д4 \2)

где Т = (Е4, Е5, £6, £Д

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Изотропная шероховатость. Для моментов выполняются соотношения т20 = т02 = т2 и тп = 0. Матрица Nv будет иметь вид:

(1.14)(1.14)т2 О

(1.14)

(1.14)

О т2

Определитель этой матрицыА4 = —^— m4 (2m0m4 — 3m2)Определитель этой матрицыА4 = —^— m4 (2m0m4 — 3m2)(т2/и4)2^а1—Y (1.18)(т2/и4)2^а1—Y (1.18)

Определитель этой матрицы

А4 = —^— m4 (2m0m4 — 3m2)

Определитель этой матрицы

А4 = —^— m4 (2m0m4 — 3m2)

(т2/и4)2^а1—Y (1.18)

(т2/и4)2^а1—Y (1.18)

Ее определитель А1 = т2, а обратная матрица

М1 =

1

тХ

/т2 \0

°

т2/

(1-15)

Тогда

Р(^

? 1 —

1

ехр

/ Й + Й 'l

(1-16)

2лт2

\2т3 ) ’

Аналогичные вь 65, ^6, £7:

кладки

т4

можно

0

сделать для пер

11

m4 —т„

з2

еменных ^4,

N, =

0

1

т4 3

00

■(1.17)

1

т^

3

0

т4т2

(— т2

0

т2«о j

где а = m^njm2.

После несложных преобразований находится матрица М».

।9

a — 1

o

3

a — 3

311

8m4

a — 3/2

8m4

a — 3/2

4m2 a — 3/2

0

3

0

0

m4

3

a — 3

0

9

a— 1

31

8m4

a — 3/2

8m4

a — 3/2

4m2 a — 3/2

3

1

0

3

1

m41

(4m,

a —3/2

4m2

a — 3/2

m2 a — 3/2 j

(1.19)

Тогда

Р<

£4, ?5, &)>

exp

9 a -

(^4 + ^ ) -

4л2 У

A4

-

16m4 a —

-3/2

3

2 m4

12

3 a —

- 3

552

+ -

_ n ^6(1.^0)

2m4

m2 a

— 3/2

8m4 a —

3/2

31

4m3 a — 3/2

Si (?4 + ge)

С точностью до обозначений после подстановки (1.16) и (1.20) в (1.7) получается формула из работы П. Р. Найака [141].

Сильная анизотропия. В работе [161] рассмотрен случай так называемой сильной анизотропии, когда эллиптические

площадки контакта, получающиеся при пересечении шероховатой поверхности плоскостью, параллельной средней плоскости, ориентируются в одном направлении. Если р — угол между большой полуосью эллипса и осью X, то среднее значение р будет равно нулю, а дисперсия — зависеть от т^. При сильной анизотропии, когда дисперсия р стремится к нулю, то и т22^-0. Матрица N2 в данном случае оказывается вырожденной (второй столбец нулевой, так как т22 = 0; если же выбрать ось X в направлении отдельных площадок, то и тп = = mi3=m31 = 0). Поэтому ограничимся рассмотрением плотности вероятности переменных g4, g6> ^?( = Si)- Тогда мат

рицарица/ тмМ2 =0\ —т20/ тмМ2 =0\ —т200т04 — т020т04 — т02(1-21)(1-21)

рица

рица

/ тм

М2 =0

\ —т20

/ тм

М2 =0

\ —т20

0

т04 — т02

0

т04 — т02

(1-21)

(1-21)

а ее определитель

Д4 = m40m04m00 — m04m20 — тмт202 =

— ^40^*04^00 (1 Pl Ps)-(1.22)

Здесь

«20. о «02

тытоот01т№

а обратная матрица

31

1~р2

. /₽!₽2

т40

V тмт№

«20

Р1Рз

1-Р1

За

(1.23)

р

m40 т04

т04

«02

Pi_

Ра

1

, т20

»7о2

«00

где р = 1—Pi—р2.

Совместная плотность вероятности переменных ^4, g6 и |7 будет иметь вид

Ее, Е7) = 1 exp(1.24)

ЗдесьЗдесьZ(2е)з/зУа4 н 2 J v

Здесь

Здесь

х = — f -——LУ +р у m40m04т00

। 21 / PiPaг «4о«о4। 21 / PiPaг «4о«о4iy +iy +2Pi , 2р2ШэдТГ1^2Pi , 2р2ШэдТГ1^ХЛч ) •ХЛч ) •

। 21 / PiPa

г «4о«о4

। 21 / PiPa

г «4о«о4

iy +

iy +

2Pi , 2р2

ШэдТГ1^

2Pi , 2р2

ШэдТГ1^

ХЛч ) •

ХЛч ) •

ёз2«о2ёз2«о2р (^1! ^2, ^3> ii, ^б) —р (^1! ^2, ^3> ii, ^б) —11(2л)5/2 Vm20m02m40m04p(2л)5/2 Vm20m02m40m04pхехрхехр-ф| — Й + — 6; + — Й+Е; +2 \ рт00т20т02рт40+^ + — 1/?4^ +(1.25)рт04И У /7 40^04-ф| — Й + — 6; + — Й+Е; +2 \ рт00т20т02рт40+^ + — 1/?4^ +(1.25)рт04И У /7 40^04] 2^рт20] 2^рт20+ ^ -^2-рт02+ ^ -^2-рт02Si feeSi fee

ёз2«о2

ёз2«о2

р (^1! ^2, ^3> ii, ^б) —

р (^1! ^2, ^3> ii, ^б) —

1

1

(2л)5/2 Vm20m02m40m04p

(2л)5/2 Vm20m02m40m04p

хехр

хехр

-ф| — Й + — 6; + — Й+Е; +

2 \ рт00т20т02рт40

+^ + — 1/?4^ +(1.25)

рт04И У /7 40^04

-ф| — Й + — 6; + — Й+Е; +

2 \ рт00т20т02рт40

+^ + — 1/?4^ +(1.25)

рт04И У /7 40^04

] 2^

рт20

] 2^

рт20

+ ^ -^2-

рт02

+ ^ -^2-

рт02

Si fee

Si fee

Учитывая, что, согласно (1.11), совместная плотность вероятности |2и 2зсоставляет

Р (^2> ^-6ХР ( Q

2n V\2/т? 20

где Aj = m20m02, получаем формулу для плотности вероятности величин ^j ^2, ^й, &4, ^6:

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ВЫСОТ ВЕРШИНШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Поверхность z=z(x, у) имеет в точке (х, у) максимум (вершину) при выполнении следующих условий:

g2 = S3 = 0, Е4<0, Е6 < 0, ^Лб —?5>0.(1.26)

Если известна совместная плотность вероятности переменных £ь £2, ?б (см. формулу (1.7)), то нетрудно показать [294], что плотность вероятности высот вершин шероховатой поверхности определяется следующим соотношением:

Р ^ =^i’ °’ °’ ^' ^’ ^ && - ^ ) d^A-

D

(1-27)

Здесь интегрирование проводится по области V{g4<0, £б<0, ^4^6—ь|^0}; D— плотность вершин поверхности.

Расчет D осуществлен М. С. Лонге-Хиггинсом [294], а формула (1.27) приведена к виду, удобному для машинного счета, Н. Ф. Семенюком [170]. Рассмотрим, следуя работе [170], подробно соответствующие преобразования, так как использованный прием характерен для вычисления подобных интегралов.

Как показано выше, совместная плотность вероятности д(Ь, 0, 0, g4, gg, g6) может быть записана в виде

р^р^, о, о, ?4> е5, и = ра2 = о, £3 = о)Р&, &, U ^7), где Е7 = ^.

С учетом (1.11) имеем

(1-28)(1-28)р(Е2 = о, е3 = о)= —

(1-28)

(1-28)

2л VAt

Второй сомножитель выражается соотношением (1.13). Тогда

18л3 УА^18л3 УА^expexp(1.29)(1.29)

1

8л3 УА^

1

8л3 УА^

exp

exp

(1.29)

(1.29)

Таким образом, подынтегральная функция (1.27) содержит две квадратичные формы: gi = g4?6—У и g^^M^, причем последняя из них положительно определенная, что позволяет найти такое линейное преобразование (g4, gs, £б) = Т(Ль Лг, Лз), которое одновременно приводит §4 и g2 к сумме квадратов [51]:

^1 ~ УЛ1 + У Л2 + У Лз,

(1.30)

gz 1П + Лз + рз + £7 №Л1 + ^Ла + ^зЛз).

Величины Ль л2 и лз являются корнями характеристического уравнения

|С — ХД| = 0.(1.31)

Здесь С — матрица квадратичной формы gv.

/ 00 1/2\

0 — 1о ,

\1/200 /

а А — главный минор 3-го порядка матрицы М2.

Умножая (1.31) на | Лполучаем

(1.32)(1.32)|Л_,С — ХЕ\ = О,

(1.32)

(1.32)

где Е — единичная матрица 3-го порядка.

Матрицы N2 и М2 представим в блочной форме:

„( в R \ м { A Q X

М2, М3 =•

\ и т№ /У р44 )

Здесь

/ m40 m31 т22 \/ — т20

5 ~ I «31 «22 «13 1I «11

\ ^22 ^13 ^04 '\^02

и = (— mw — mw — m02).

Используя факт, что матрицы N2 и М2 взаимообратны, находим после несложных преобразований

L = Л-’С = ВС — Rm^UC.

Осуществив указанные действия над матрицами, имеем L =

1212^22^22«02«20«00«02«20«00«20«Ц«00«20«Ц«0011222 \ I т — «20 Г.00« /2 \ I т — «20 Г.00« /11«кз—«кз—1 /V «01—1 2 \1 /V «01—1 2 \«02«11«оо /2 \«0 2 1 _«00 )«02«11«оо /2 \«0 2 1 _«00 )«00«00m20mu/7i3im0(lm20mu/7i3im0(l«02«П«00«02«П«002222п1 «20«02«00п1 «20«02«0011

12

12

^22

^22

«02«20«00

«02«20«00

«20«Ц«00

«20«Ц«00

1

1

2

2

2 \ I т — «20 Г

.00« /

2 \ I т — «20 Г

.00« /

1

1

«кз—

«кз—

1 /

V «01—

1 2 \

1 /

V «01—

1 2 \

«02«11

«оо /

2 \

«0 2 1 _

«00 )

«02«11

«оо /

2 \

«0 2 1 _

«00 )

«00

«00

m20mu

/7i3i

m0(l

m20mu

/7i3i

m0(l

«02«П«00

«02«П«00

2

2

2

2

п1 «20«02

«00

п1 «20«02

«00

1

1

Подставляя L в характеристическое уравнение (1.31) и раскрывая определитель, получаем кубическое уравнение

X3^1— X2 + д^ _ Д6 = О,(1.33)

т00

где

А5 = (4/72] 1^22 Ч~ 2/7722^02^20 4^00^13^31 ~Н

4/72оо

+ 77704/И2 0 + /И4о/72о2 — 3/7200 /7722 — 4m13m20/7Z11 —

— 4/7231m02/77u — /7200/7204т40), А6 = |L|.

Характеристическое уравнение (1.33) имеет действительные корни Xi, Х2 и Х3, а поскольку

Х^ А 2 ^3 — Ад^1

то один корень, скажем Хь положительный, а остальные Хг и Аз отрицательные. Пусть Xi>0>X2^X3, тогда заменой

3/72оО

уравнение (1.33) приводится к виду

X3 — рК — q = 0.

Здесь

Ai Л2 A? 1 A,A.

р = 5А5, Ч =5—I—

3/72оо27 т003/72ОО

Оно имеет корни

где

о _ 3q , Г 3 _ 27A6moo+9moO АХА5—• 2А[

Зр V р 2(A^-3mijoA5)3/2

Итак, корни характеристического уравнения (1.33):

1 /1 — ЗА5 (V cos <р — 1 к

13/т?00 v Г А Д1 /)

72 = - ™]— 2 1/ 1 - ЗА5 -^ cos L + — ) + 1 , 3^00 \ VV Ах У V 3 ))

(1-34)

Теперь находим матрицу линейного преобразования [51]

/Utи,и3 \

т=^V,У3.

\ГхГ2№3/

Для этого составляем системулинейныхуравнений:

<LXX - Хг) Ut + LX2V; + Л13Гг = О,

МЛ + (М - XO Vt + L^ = 0,(1.35)

L31Ui+Ls2Vi + (L33-Xi) Wi = 0.

Здесь Ьц (J, j= 1, 2, 3) — элементы матрицы L.

Если Хг^Хг^Хз, то ранг системы (1.35) равен 2 и можно ограничиться двумя первыми уравнениями системы:

(Тц — Х^ Ut + E12Vi = — Т131Уi,МЛ + ^-Х^ Vt = -LMWi.

Ct = X^ — ТогдаUt =Vi- - гдеat =^ (XiLbi = (XiL Нормируем вектор X2, X3). ПолучаемилиТаким образом,Л (Тхх T- ^-22) 4~ ^ц^м T12E21.-L13iy; Т12Уг— -£-23^4(^22^i)^iл W7Ln — Xi —L13Wibi ЧзЕ? =bWCiis T22L13 + LxlL33)ICi,гз — T11T23 4- XixLX3)ICi.(Ui, Vi, Wi) из условия Г1 СТ = diag (Хх,а^ - (JiWi)2 = XbCt = X^ — ТогдаUt =Vi- - гдеat =^ (XiLbi = (XiL Нормируем вектор X2, X3). ПолучаемилиТаким образом,Л (Тхх T- ^-22) 4~ ^ц^м T12E21.-L13iy; Т12Уг— -£-23^4(^22^i)^iл W7Ln — Xi —L13Wibi ЧзЕ? =bWCiis T22L13 + LxlL33)ICi,гз — T11T23 4- XixLX3)ICi.(Ui, Vi, Wi) из условия Г1 СТ = diag (Хх,а^ - (JiWi)2 = XbОпределитель этой системыОпределитель этой системы

Ct = X^ — Тогда

Ut =

Vi- - где

at =^ (XiL

bi = (XiL Нормируем вектор X2, X3). Получаем

или

Таким образом,

Л (Тхх T- ^-22) 4~ ^ц^м T12E21.

-L13iy; Т12Уг

— -£-23^4(^22^i)^iл W7

Ln — Xi —L13Wi

bi ЧзЕ? =bW

Ci

is T22L13 + LxlL33)ICi,

гз — T11T23 4- XixLX3)ICi.

(Ui, Vi, Wi) из условия Г1 СТ = diag (Хх,

а^ - (JiWi)2 = Xb

Ct = X^ — Тогда

Ut =

Vi- - где

at =^ (XiL

bi = (XiL Нормируем вектор X2, X3). Получаем

или

Таким образом,

Л (Тхх T- ^-22) 4~ ^ц^м T12E21.

-L13iy; Т12Уг

— -£-23^4(^22^i)^iл W7

Ln — Xi —L13Wi

bi ЧзЕ? =bW

Ci

is T22L13 + LxlL33)ICi,

гз — T11T23 4- XixLX3)ICi.

(Ui, Vi, Wi) из условия Г1 СТ = diag (Хх,

а^ - (JiWi)2 = Xb

Определитель этой системы

Определитель этой системы

Если Х1^Х2=Хз, то для корней %2 и Х3 система (1.35) имеет ранг, равный 1, т. е. фактически сводится к одному уравнению

(^n - X) Uj + L^V, + L13^ = 0.(1.37)

Здесь Х = Х2 = Хз, / = 2, 3.

Полагая П2 = 0, находим К2 = У—^2; если же Е3 = 0, то П3и7з—Е3 = ^з, или U3W3 = X3. Вследствие ортогональности главных векторов:

U2U8 + У2У3 + Ц72Ц73 = 0, определяем, что в первом случае 1172 = 0, а во втором (с учетом (1.37))

Первый столбец такой же, как и в (1.36). Следовательно,

Так как якобиан преобразования Т имеет вид

5(Л1, Иг, Чз)

и в силу того, что ТтАТ=Е, находим | Tj = | А \~^2. Но L = A-1C, поэтому |L | = |Л |-11 С| и, вследствие того что |Т|=Д6, |С| = = 1/4, якобиан 7=2УДО.

Вектор g(^4, gs, g6, ^7) будет иметь следующую матрицу преобразования, представленную в блочном виде:

1 /

Матрицу квадратичной формы g2 также записываем в блочном виде:

A QQT Q44 /

где QT — (Q41, Q42, Q43)._

После преобразования Т:

(

100dTх

О10d3

О01d3

dy d2 d3 Q44, СЬdx = QyyUy + Q^Vy + Q№Wy",

а втораяа втораяdi ~ Q1JA 4" Qa4^2 + Qsi^aid3 = Q1JJ3 + ^24^3 + $34 ^

а вторая

а вторая

~ 1

^31^22^13

m22 т13 тОу т20 туу тю т-ю т31 тм т31 т22 т13 т2й тХ1 т02 л, первая квадр

gi = м?

1

т40 т31 т22 ^22^13^04 1

т20 Шуу т№ тм т31 т22 т3у т22 т13 . т22 т13 moi gy будет иметь

Q14= а4

1

’= ~ д4

1

<2з4- д4

Таким образо} вид:

’ Qi4 “ Д4

этичная форма + ^гЛа + ^зЛз,

£2 = Л1 + Л2 + Лз + 2^i (dll'll + ^аЛз 4- d3T]3).

Подставляем их в интеграл (1.27):

(2л)3ОКМГ(2л)3ОКМГVV1212зз(1.38)(1.38)1з>1з>

(2л)3ОКМГ

(2л)3ОКМГ

V

V

1

2

1

2

з

з

(1.38)

(1.38)

1з>

1з>

где V — область интегрирования {Pi<0, Xtpi + ^Ла + ^зЛз

О}-

Интеграл может быть упрощен с помощью подстановки

1

(1.39)(1.39)р, ==

(1.39)

(1.39)

р2 = —=• г Sin 9 cos ф,

V Х2

р3 =— г sin 9 sin ср.

р Х3

Здесь

0<г<оо; 0<9<;л/2; 0<ср<;2л.

Тогда

Xxpi + Х2ра + Х3р = г2 cos2 9,

Pi + Р2 + Рз " ~— (1 + /ф in2 ^),Xi

diPi + d2p2 + АРз = ^.е, где

/ф = — f cos2 ф + —— sin2 sin2 9;

<7Х^ф’е" УХ<7Х^ф’е" УХcos Ф Н-Х2У—'.cos Ф Н-Х2У—'.sin ф sin 9.sin ф sin 9.

<7Х

^ф’е" УХ

<7Х

^ф’е" УХ

cos Ф Н

-Х2У—'.

cos Ф Н

-Х2У—'.

sin ф sin 9.

sin ф sin 9.

Якобиан этого преобразования

7 =7 =д(Ль Ра, Рз)д (г, 9, ф)д(Ль Ра, Рз)д (г, 9, ф)

7 =

7 =

д(Ль Ра, Рз)д (г, 9, ф)

д(Ль Ра, Рз)д (г, 9, ф)

1КхГ= sin 9 cos ф—Х2— sin 9 cos ф Хз1КхГ= sin 9 cos ф—Х2— sin 9 cos ф ХзОООО1А—.- г cos 9 cos ф -—ХаI--- г cos 9 sin ф --Хз11А—.- г cos 9 cos ф -—ХаI--- г cos 9 sin ф --Хз1sin 9 эшф—Ха1• АГ Sin 9 СО5фsin 9 эшф—Ха1• АГ Sin 9 СО5ф

1

КхГ

= sin 9 cos ф

—Х2

— sin 9 cos ф Хз

1

КхГ

= sin 9 cos ф

—Х2

— sin 9 cos ф Хз

О

О

О

О

1А

—.- г cos 9 cos ф -

—ХаI

--- г cos 9 sin ф -

-Хз1

1А

—.- г cos 9 cos ф -

—ХаI

--- г cos 9 sin ф -

-Хз1

sin 9 эшф

—Ха

1• А

Г Sin 9 СО5ф

sin 9 эшф

—Ха

1• А

Г Sin 9 СО5ф

(1.40)

Подставляем (1.29) и (1.40) в (1.38)

Здесь р = (1 + /ф sin2 9)/2Х1; q = ^е.

В этом выражении можно провести интегрирование по г. Тогда с учетом замены Е* = E1lV'ni00 и / = sin0 получаем

ехр/-^^Н2л 1

Р (?Г) = , //"^Г U Г (1 - /) X4л3Рдд— J J

х (^±32Й1±2^ i/2^Ге»"/47егк д _ _

\32р4 V р^V р

_q±±jopq'\ dt(L42)

1бр4 /

Подробный вывод выражений (1.41) и (1.42) впервые осуществлен Н. Ф. Семенюком [170]. При расчете по формуле (1.42) в качестве исходных данных используются спектральные моменты mij. Рассмотрим частные случаи. Действительно, если для изотропной поверхности т№=т0, т02 = т20 = т2, m11 = /7i13 = m31 = 0, m22=- m4, т04=тю = т4, то, согласно (1.9)

и (1.19),

Ai = т^.

А4= -

8

27

22

Ш2 Шф

3

2

Матрица В будет

иметь

вид:

( тк

0

11

—■ т^

3

В

=

0

1

3

т4

0

1

1 з

- т4

0

1

— /и4

3 j

ее определитель

А3

= 8m4/27.

Далее находим

Тогда коэффициенты р и q приведенного кубического уравнения:

12/ 1,

р =т41

3\ а

Подставляя эти значения в формулу для cos 3g:, получаем cos 3rp= 1, т. е. tp, = 0. Находим корни характеристического уравнения с помощью (1.34)

1

3\ а /3\ а /33

3\ а /

3\ а /

3

3

Для изотропного случая матрица L имеет элементы Lu = L33 =

11 m|11

Д— ^4л, ^22о— ^?i’ ^13 — ^31 — ~о— ^4

-, остальные равны нулю. Тогда 2 т0.

ск = (monz.i — пг^^т^, ах = 1, Ьх = 0.

После несложных преобразований запишем матрицу Т:

В соответствии с изложенным выше db d2 и d3 — первые три элемента последнего столбца матрицы ТтМТ, т. е.В соответствии с изложенным выше db d2 и d3 — первые три элемента последнего столбца матрицы ТтМТ, т. е.

В соответствии с изложенным выше db d2 и d3 — первые три элемента последнего столбца матрицы ТтМТ, т. е.

В соответствии с изложенным выше db d2 и d3 — первые три элемента последнего столбца матрицы ТтМТ, т. е.

dx \/m^V 3/m0(2m0m4—■ 3m2)

d2 I = TTQ = 0

d3 /V

Тогда

/3 \

K = 2sin2 0, g e = —m2/m0.

\a /

Подставляя в (1.41) и интегрируя сначала по <р, получаем после некоторых преобразований формулу Найака

ЗК2 _2а ХЗК2 _2а ХКЗ L* ^К2./З(2а-3)

ЗК2 _

2а Х

ЗК2 _

2а Х

-2Г"Ке |/ —^

L. J * 2г о

хе 2 1 l + erf(K V(ЕГ2-1)+ (1-43)

V 3(а-1) p + ^^J/ 2(а—1)(2а—3)

где Ст = а/(2а — 3).

Плотность неровностей D, как отмечалось выше, определяется по формуле Лонге-Хиггинса [294]:

D =D =12 л2 У'ДГ12 л2 У'ДГад-МУ)-ад-МУ)-

D =

D =

1

2 л2 У'ДГ

1

2 л2 У'ДГ

ад-МУ)-

ад-МУ)-

Здесь

Е, F — эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 2-го рода: ф

Е(/г, ф) = J V 1 — ^2 sin2 <р Др;

о

Е(У ф) = J

J У 1 — /г sin2 ф

Для изотропной шероховатости е=1/2. Тогда Ф(1/2) =л/2]/3 и, как показано в [295]:

D =(1.45)

6л У 3 т2

ГРАДИЕНТ ПОВЕРХНОСТИ

Градиент поверхности определяется переменными (g2, ^з), совместная плотность вероятности которых находится с помощью (1.11). Если перейти к полярным координатам

&, y = (^cos0, ^sinQ),

то, учитывая, что якобиан

д(^, Е3)

3^ 0)

49494. Зак. 1048

49

49

из (1.11) получаем

Ра, 2л у Д2

/ к (m02 cos2 6 — 2mu cos 9 sin 6 + m20 sin2 9) \ x exp

Отсюда можно найти плотность распределения модуля градиента

/,(9= exp fO5il + ^kiS^ (1.46) V А3 \4А2)\4А2/

где I0(z) = Г e-zs'n6d6 — функция Бесселя нулевого по-

2л 0

рядка мнимого аргумента. При выводе (1.46) предполагалось, что ось X) совпадает с главным направлением, так, что тц = 0 и тго^^ог- Подробный вывод и анализ формулы (1.46) приведены в работе [294]. В случае изотропной шероховатости модуль градиента имеет релеевское распределение [141]

p^ = A_e^f\(L47)

т2

Тогда среднее значение модуля градиента

Цж = V(1.48)

о

КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ В ВЕРШИНЕ НЕРОВНОСТИ

В каждой точке поверхности существуют два главных направления и соответствующие им главные кривизны К\ и Ks. Произведение главных кривизн называется полной (или гауссовской) кривизной

К = KiK2, а полусумма — средней кривизной Кт = (Кх + К,)/2. Впервые формулы для расчета К и Кт в вершине неровностей анизотропной шероховатой поверхности получены в работе [170].

Полная кривизна

Математическое ожидание полной кривизны К определяется по соотношению:

1 _4л£)]/ Ai1 _4л£)]/ AiA3 +A3 +

1 _

4л£)]/ Ai

1 _

4л£)]/ Ai

A3 +

A3 +

(а2 + 2Z3A3) к (Ю + лбг2л3 [ 1 - л (х, р)] I Л V Ц (^2 Z1)J

где А3 = m,iOmori 4m13m31 -^ Зш22', 6 = 1^/3 (Z2 — liKK > Zi, Z2, Z3 — корни характеристического уравнения 3-й степени (Zj>

>0>Z2>Z3):"

Здесь cos Зф = ЗА2/|/ ЗА3 .

Кроме того, при расчете полной кривизны используются табулированные функции: полный эллиптический интеграл 1-го рода

Л/2,

К®= Z VT ■

J V 1 — sin2 р sm2 ф где

и лямбда-функция Хеймана Л (х, р). Здесь х=arc sin 1 / ^AZL^

У If Z3.

В случае изотропной поверхности полная кривизна зависит лишь от момента 4-го порядка [170]:

К = (2 У Г — 4/3) т4.

Средняя кривизна

Математическое ожидание средней кривизны Кт вычисляется по формуле:

(1.50)(1.50)(Pi + 1) Zf .Zi

(1.50)

(1.50)

^.TCf-D Кд^^- р^ * (/х - /2) (Zx - ZJ ’

где

т№1у + m40m22 — «5 [. 2Zj -|- тгЛ1 — т|2 -[- тмт.п

=2m31l! — m22m3i + m13mto

2 (2/f 4- maa/j — mK + m13m3^

В случае изотропной поверхности математическое ожидание средней кривизны определяется по выражению [141]:

g Кт = — VmjK .g Кт = — VmjK .(1-51)(1-51)

g

Кт = — VmjK .

g

Кт = — VmjK .

(1-51)

(1-51)

Для изотропной поверхности удалось получить более общий результат, а именно найти совместную плотность вероятности высот вершин g [ и так называемых эквивалентных средних кривизн в вершине Д

ЛЕТ. М= Vх

~^(с^ +<УЛ*)X е '~^(с^ +<УЛ*)X е '(1.52)(1.52)

~^(с^ +<УЛ*)

X е '

~^(с^ +<УЛ*)

X е '

(1.52)

(1.52)

Здесь Ct = а/(2а — 3); С2 = С, V 12/а ; 1г = —Кт К3/т4 .

(1.53)(1.53)Тогда ожидаемое значение Кт (£*) в вершине высотой У\

(1.53)

(1.53)

V 3 /2(^)-2/0(^) + 2/4(^)

гдегде-|-^)(1 +erfp^);-|-^)(1 +erfp^);х(1 +erf р^Т)х(1 +erf р^Т)

где

где

-|-^)(1 +erfp^);

-|-^)(1 +erfp^);

х(1 +erf р^Т)

х(1 +erf р^Т)

К = У^с\!Ч^^<-с^нУ^ (phi2+-^-) X

X exp(--L^2j(l +erfp1^) ;

К = ^[(l+ph^expt-C^n + riT (Phr3 +

+ Р1?Г) exp ( - -I- ^Г2) (1 + erf р^Г) ];

Л = ]/" цсТТТГ + erf ехрЛ = ]/" цсТТТГ + erf ехра?Г22 (а — 1)а?Г22 (а — 1)1Ci + 11Ci + 1expt-C^ + Kn [Ш (1 + erfp^F) X

Л = ]/" цсТТТГ + erf ехр

Л = ]/" цсТТТГ + erf ехр

а?Г2

2 (а — 1)

а?Г2

2 (а — 1)

1

Ci + 1

1

Ci + 1

/«Е*2

Х 6ХР \2(а — 1)

33а

3

3

P1 V 2 (2а — 3) ’ 12 V 2 (а— 1)(2а — 3) '

Анализ зависимости (1.53), проведенный П. Р. Найаком [141], показал, что с ростом высоты неровностей уменьшается радиус кривизны в вершине (более высокие пики являются более «острыми»), т. е. кривизна увеличивается. Ее рост зависит от параметра широкополосности «: при а-^-1,5 средняя кривизна прямо пропорциональна высоте неровности Кт=— 1/ —- £v

при а-^-оо она становится независимой от высоты неровности

ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Среднее арифметическое отклонений поля

Среднее арифметическое отклонений точек поля R'a определяется как среднее значение абсолютных отклонений поверхности от средней плоскости:

Ra = J J | г (X, у)| dxdyА л

(А — площадь области исследования).

В работе [204] найдены два первых момента функционала R'a. Его среднее значение

(1.54)

и дисперсия

S (26)!

Х U И ^2А ^ d-XidXidy-^dy^" о1

Здесь Ф<йЦх) — производная функции Лапласа; К(г)—корреляционная функция поля.

Анализ последней формулы, проведенный в работе [155], показал, что с погрешностью ^2,5%

“2 V ai«2 /

(аь а2— параметры корреляционной функции анизотропной поверхности).

Для изотропной шероховатости (cci = a2)

DR'a = o2/2a1Lo.

Площадь опорной поверхности

Если поверхность z=z(x, р) пересекается горизонтальной плоскостью, параллельной средней плоскости и удаленной от нее на некоторое расстояние и, то на этой горизонтальной плоскости поверхностью г вырезаются области, суммарная площадь которых, отнесенная к единице номинальной площади, называется площадью опорной поверхности на уровне и и обозначается т]„. Как показано в работе [204], среднее значение площади опорной поверхности

i]u = 1 — Ф (u/a),(1.55)

где

Ф(х) =/2л

Дисперсия функционала т]и:

1001 Г / # \ 12

= 4т-У -тг- ф(к) — Iу^х

/ ЛАШI ГТ / V V V V

X dXxdx^dy^ya-

Распределение величины ц„ можно считать приближенно-нормальным с математическим ожиданием т]и и дисперсией D-qu.

Строение единичного выброса

При изучении контактного взаимодействия шероховатых поверхностей возникает необходимость в моделировании отдельных неровностей (точнее, их частей, примыкающих к вершине) телами правильной геометрической формы. В связи с этим весьма продуктивен результат, полученный в работе 54

[30]: выбросы за высокий уровень представляют собой с большой вероятностью сегменты эллиптических параболоидов

(^ — О2 , (s —s)29

—/—\F7—\• 2

Р(«)7(«)

Здесь t, s — главные оси поверхности в ее вершине; p(w), <?(м)—параметры параболоидов; hu — высота сегментов.

Параметры р^, q(u) и ориентация сегментов определяются значениями в нуле корреляционной функции К(х, у) и ее вторых частных производных. Высота сегментов в пределе распределена по показательному закону

Игл р { мДи > [/} = expИгл р { мДи > [/} = expU \А"(0, 0) /U \А"(0, 0) /

Игл р { мДи > [/} = exp

Игл р { мДи > [/} = exp

U \

А"(0, 0) /

U \

А"(0, 0) /

Длина контура сечения поверхностигоризонтальной плоскостью

Пусть поверхность z=z(x, у) пересекается плоскостью z=z0. Тогда в любой плоской области содержится определенная длина I контура z=z0) среднее значение которой, пропорциональное площади Ао, равно 1Аа. Как показал М. С. Лонге- Хиггинс [294], для анизотропной поверхности средняя длина контура сечения, отнесенная к единице площади, вычисляется по формуле

= 1 тзо + тО2 e-z=/2m„0 E([/l —у2)_.

л Г m0011 + У2 ’

где Е (х) — полный эллиптический интеграл 1-го рода в форме Лежандра. Сомножитель

7(у) = (1 + уТ1/2Е(/Т^)

очень слабо зависит от у. Действительно, f (0) = 1, f (1) = = л/2У2^ 1,1106, однакоf(у) имеет слабую особенность в нуле и может быть представлена в виде

1/43 \

= 14у2 InМ- О (у2 In у).

\у2 /

В частном случае предельной анизотропии поверхности, когда у = 0, имеем E(l) = l, m2o.=m2(O), mo2 = O и получаем

Т(0),

I = 1/2 e~z !2т»о

л |/т00

Для изотропной поверхности параметр плосковолновости у = 1 и Е (0) = л/2, следовательно

' =с-57>

В заключение следует отметить, что теория случайных полей развита достаточно хорошо и получены важные результаты [43, 46, 90, 142]. Нами рассмотрены в основном те характеристики шероховатых поверхностей, которые находят применение при построении моделей фрикционного взаимодействия.

Глава 4

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИПРОФИЛОГРАММЫ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В сечении шероховатой поверхности 2 = 2(х, у) вертикальной плоскостью (например, у = 0) получается реализация некоторого случайного процесса. Большинство известных методов измерения реальных поверхностей с определенной точностью воспроизводят эту реализацию в виде профилограммы, статистический анализ которой является основой для дальнейшей количественной оценки поверхностей. Более того, стандарты на шероховатость содержат некоторый набор параметров, который получается в результате анализа таких профилограмм. Однако, как показали многочисленные исследования, ряд характеристик реальной поверхности существенно отличается от соответствующих параметров профиля. В связи с этим представляет интерес вопрос о взаимосвязи профиля и поверхности.

ПРОФИЛОГРАММА —РЕАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Рассмотрим профилограмму, снятую в направлении 0 на шероховатой поверхности z=z(x, у). Ординаты точек профилограммы зависят только от расстояния г от начала отсчета, т. е. 2 = 2(г). В нашем случае z может рассматриваться как случайная функция одной переменной (случайный процесс), а данная профилограмма как реализация такого случайного процесса. Обычно считается, что процесс 2(г) является стационарным нормальным со средним

z(O = 0

и корреляционной функцией

А0 (г) = lim —( г (rj 2 (Г! + г) drv

2L0 J

При этом 2(г) полностью описывается в рамках корреляционной теории.

Выбор конкретного вида корреляционной функции (и соответствующих коэффициентов) зависит от ряда факторов, в том числе и от характера решаемой задачи. Тщательный анализ данных вопросов проведен в монографии Я. А. Рудзита [156].

Часто удобно работать (как и в случае поверхностей) со спектральной плоскостью профилограмм, которая связана с корреляционной функцией преобразованием Фурье:

Фе (^') = —;— ? К9 (г) e"l'rdr.

2л

Моменты т„е спектральной плотности профилограммы определяются следующим образом:

mn6= J<T>e(A')A'W.(1.58)

Как показал М. С. Лонге-Хиггинс [121], спектральные плотности поверхности и профилограммы Фе связаны между собой соотношением

Фе (А') — j Ф(^, kyW,(1-59)

где Z = V А2 -ф А^ — А'2 .

Выражения (1.58) и (1.59) дают возможность связать между собой моменты

тп9 = тп 0 созФ ф- C^mn-1 3 соз^^Ф sin 0 -ф

’’(1.60)

-ф Cnmn_2 2 cos" 26sin20+ ... -ф m0 n sin" 0-

n\

Здесь C™ =:биноминальные коэффициенты.

m\ ^п — m)!

Из (1.60) вытекают некоторые важные следствия [121]. Так. стандартные отклонения высоты профиля 2 (г) и высоты поверхности г(х, у) равны между собой:

«фо " 11100-

Для второго момента т26 имеем соотношение

m26 = т20 cos2 0 + 2тц cos 9 sin 0 -ф т03 sin2 9, анализ которого показывает, что существуют два взаимно перпендикулярных направления, определяемых формулой

tgo„-

«20«02

где m29 достигает экстремума:

«2гРЭХ> «2niin«2гРЭХ> «2niin(«20 + m02) ± V(m30 — m02)2 — 4mu

«2гРЭХ> «2niin

«2гРЭХ> «2niin

Отношение экстремальных значений второго момента может служить мерой вытянутости гребней волн (плосковолновости [294]):

«2 min

«2 max

Очевидно, что O^y^l. Нулевое значение достигается, если спектр поверхности вырождается в прямую (условие вырождения Д2=0), т. е. поверхность будет представлять собой систему параллельных волн с длинными гребнями. При этом минимум достигается в направлении, параллельном гребням (m2 min->-0), а максимум — в перпендикулярном. Если оси координат выбрать в направлениях, совпадающих с главными, то условия предельной анизотропии поверхности

«02 " «11 " 0.

Другой «крайний» случай, когда поверхность изотропна, характеризуется, как следует из (1.60), соотношениями:

(1.61)(1.61)«20 = «02 = т2, «оо = «о,

(1.61)

(1.61)

«и = «is = «з1 = 6, 3m22 = т№ = mto = m4.

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРОФИЛОГРАММЫ

Расчет основных параметров профилограммы, рассматриваемой как реализация случайного процесса, не представляет больших трудностей [124, 156, 202—204 и др.]. Плотность вероятности высот выступов профиля (максимумов нормального случайного процесса) впервые найдена С. О. Райсом [319], а затем анализировалась во многих работах. Она может быть записана в следующем виде:

Р (Е*) = [exp М*2/262) + V л /Г(1+еП6Г) ехр(-£*2/2)]. у 2л

Здесь

6 = V (1 — а)/“ ; f = V (1 — а2)/2а2 .

Таблица 1.2. Формулы для расчета параметров шероховатости

ПримечаниеПримечание

Примечание

Примечание

ПараметрМатем атическое ожидание параметра

Дисперсия параметра при корреляционной функцииА'(т)--с1ехр( —aj т /)

Среднее арифметическое отклонений Ra

Средний квадрат отклонений R^

Опорная линия профиля tp

Наибольшая высота неровностей /?тах

aiL (2/?)!/г

2о2 a^L

1

Мк

2л2 т0

К (т) = о'2ехр(а1т2)

т2Утот.1т2Утот.1

т2

Утот.1

т2

Утот.1

Число пересечений п (и) уровня и

Число максимумов на единичном интервале т (и) выше уровня и

-Математическое ожидание параметра

Продолжение табл. 1.2

Дисперсия параметра при корреляционной функции/<(T)=Ciexp(—ezi/ т /)

Примечание

Число максимумов иг на единичном интервале

Площадь области

Q(u), ограниченной профилем и горизонтальной прямой

Угловой коэффициент профилограммы 6П

Длина профилограммы

Радиус кривизны в вершине неровности

+ > ——— k\k L \ « /J J h=2\/

——2V —— [ф(2к- 1) (0)]2 х

aiL ^, (2k)lV2k

X [Фх (За^ УГ) +

+ (е 1 — 1)/(а2Л У2И1

^№ =

= о2ехр (—с^т2)

(т) =

= о2 ехр (—«iT2)

Параметр широкополосности а имеет тот же физический смысл, что и в случае поверхности, однако численные значения принимает в более широком диапазоне: 1^а<оо. Представляют интерес предельные случаи, когда а—И и а->оо. При а->1 (узкополосный спектр)

р|^) = !^ехРН'/2). Г>0,"10,Г < о,

если а->оо (широкополосный спектр), то

Р (£*) = ~^= ехр (-Ч*2 /2).

В первом случае получается распределение Рэлея, во втором — Гаусса.

Сравнивая плотности вероятностей максимумов для профиля и поверхности, П. Р. Найак [141] заметил, что профилограмма искажает микрорельеф, давая меньшее число высоких пиков и большее низких, чем содержит реальная поверхность. Такое искажение максимально при малых значениях а и убывает с ростом а. Причиной искажения является то, что игла профилометра чаще проходит по склону неровности, чем по вершине. Очевидно, что кривизны профиля и поверхности также будут различаться.

Несмотря на то что в трибологических исследованиях наблюдается тенденция к широкому использованию параметров поверхности, а не профиля, последние продолжают играть значительную роль при оценке качества поверхностей трения, так как на них базируются современные стандарты. Кроме того, в ряде случаев профильные характеристики оказываются полезными для описания шероховатых поверхностей и моделирования дискретного контакта. Если профиль поверхности является реализацией нормального стационарного процесса, то удается рассчитать важные для приложений параметры шероховатости (табл. 1.2 [124, 155, 204]), с которыми, как показывают многочисленные экспериментальные исследования, связаны многие эксплуатационные свойства деталей машин, в том числе фрикционные.

Раздел II

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИДИСКРЕТНОГО КОНТАКТА

Количественная оценка параметров контакта шероховатых поверхностей является важным этапом при разработке физических моделей фрикционного взаимодействия. Она предполагает необходимость учета как характеристик шероховатости, так и специфических свойств материалов контактирующих тел, зависящих от их внутренней структуры, длительности нагружения и параметров окружающей среды. Результаты обширных экспериментальных и теоретических исследований полимерного и металлополимерного контактов представлены в работах [4, 20, 24—27, 143, 162] .

Далее ограничимся рассмотрением упругого и пластического контактов, учитывая их наибольшее распространение в трибологических задачах и исследованиях.

Глава 5

КЛАССИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ

Построение моделей трибомеханики в большинстве случаев базируется на решении контактных задач механики сплошных сред. Поэтому рассмотрим основные соотношения, полученные в теории контактных задач и наиболее часто применяемые в трибологии.

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Впервые задача об упругом контакте двух тел была решена Герцем [267] с использованием следующих предпосылок: 1) материалы соприкасающихся тел однородны и изотропны; 2) нагрузка вызывает в зоне контакта только упругие деформации; 3) площадка контакта мала по сравнению с поверхностями тел; 4) силы давления нормальны к поверхности соприкосновения (силами трения пренебрегают).

Если Zi = /"i (х, у), 22 = f2(x, у)—уравнения поверхностей соприкасающихся тел, то можно показать, что контактная задача сводится к решению интегрального уравнения

6 - ^Ах2 + Ву^ уЛ J,(2.1)

S V ~ Х')2 + (У ~ У У

где б— сближение тел; q^x, у)—давление на площадке контакта; А, В — параметры некоторой эквивалентной поверхности 2-го порядка, которые выражаются через главные кривиз-

1

ны каждого из тел в точке соприкосновения; х = — ( —-— + 1—v21

+2 ); V/, G; (i=l, 2) —коэффициент Пуассона и модуль

Gi

сдвига каждого тела; S — площадь контакта.

В результате решения уравнения (2.1) получается, что площадка контакта представляет собой эллипс с полуосями а и Ь:

а = ЬУ 1 — с2 ,(2.2)

ЗЕ (е)Р2(1—е3)(/Н5) кЕЗЕ (е)Р2(1—е3)(/Н5) кЕ(2.3)(2.3)

ЗЕ (е)Р

2(1—е3)(/Н5) кЕ

ЗЕ (е)Р

2(1—е3)(/Н5) кЕ

(2.3)

(2.3)

давление на котором q^x, у) распределено по эллипсоидаль

ному закону:

У(-Е

. = ЗР

^ 2лаЬ

(2-4)

о11 — Vi ,1 — v2„

Здесь —=- = —р1р; е— эксцентриситет; Р —

усилие,усилие,Е(е) = порядка.Е(е) = порядка.приложенное к контактирующим телам;

усилие,

усилие,

Е(е) = порядка.

Е(е) = порядка.

1е2х2

интегралинтегралdx— эллиптический интеграл 2-го

интеграл

интеграл

А_

В

= ^-е2^

0(e)

K(e)-D(e) ‘

(2.6)

Здесь D (е) = —— [К (с) — Е (е)]. е2

Как показал анализ II. Я. Штаермана [216], с достаточной для практики точностью выражение (2.6) можно заменить на более простое приближенное:

А!В «(1 — е2)3,

где р—аппроксимирующий коэффициент (0,5<р<1). Если А < 0,9 В, то [5~ 3/4 и тогда

с2« 1^(Д/В)4/3.

Известны и другие попытки упрощения формулы (2.6). Так, в работе [258] показано, что для умеренно эллиптических площадок контакта (В/Д^Ю) можно использовать соотношение

b?a« VMB?12,

с ошибкой, не превышающей 3%. В этой же работе показано, что путем подбора эквивалентного радиуса можно упростить выражения (2.2) — (2.5). Например, для сближения предлагается следующая приближенная формула:

/ з 2/3р2/3

6 = U

Здесь RB = д/ A"^B- I (АВ)2 .

Если соприкасаются два параболоида вращения, то площадка контакта будет круговой (е = 0) и

(2.7)

где 1/R = 1/RT + 1/В2,

Если контактируют тела вращения, описываемые поверхностями более высокой степени, чем вторая, то, как показано в работе [216], для z = Ar2n справедливы следующие расчетные формулы:

2п^У(2н + 1)1! Р

У 4н(2н)!1 ЕА ’

5 = _J@JAa№,(^n — 1)!!

q^ =q^ =(2n — 2)!!(2n — 1)!!(2n — 2)!!(2n — 1)!!

q^ =

q^ =

(2n — 2)!!

(2n — 1)!!

(2n — 2)!!

(2n — 1)!!

Pna2 'Pna2 ',3 / г V"-6, (2и —3)!!

P

na2 '

P

na2 '

+ 2-4 ( a )++ (2n —2)!!

Известно также решение контактной задачи для двух цилиндров, соприкасающихся вдоль их образующих. В этом случае область контакта представляет собой узкую прямоугольную полоску. Если х— координата, направленная поперек полоски соприкосновения, то распределение давления вычисляется по формуле

' х2па V

а для ширины площадки соприкосновения имеем

PR ЕPR Е

PR Е

PR Е

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

С ростом нагрузки на контактирующие тела наступает момент, когда по крайней мере в одном из них возникают пластические деформации. При контактировании сферических тел пластическое течение начинается тогда, когда среднее напряжение на площадке контакта Gcp^PIna2 достигает величины оСр=1,06 от, где от — предел текучести. Точка начала пластического течения находится на глубине 0,6 а на оси симметрии. С ростом нагрузки зона пластической деформации увеличивается и развитая пластическая деформация имеет место при оСр = согт- Здесь с—коэффициент, зависящий от формы микронеровностей. Как показал А. Ю. Ишлинский [92], при вдавливании шара в жесткопластическое полупространство с~3. Это значение подтверждается для предельно наклепанных металлов, т. е. стер ~ НВ, где НВ — твердость по Бринеллю.

Если же процесс контактного деформирования протекает с упрочнением, то среднее напряжение на площадке контакта зависит от нагрузки. В данном случае часто используется зависимость Майера

о,;,-Н0^^(2.8)

(Но—максимальная твердость по Майеру, определяемая при вдавливании сферы до экватора; d — диаметр отпечатка сфе-

ры; D— диаметр сферы; п — коэффициент, который для металлов принимает значения 2^п^2,5).

Так как с^ув/г^, то предыдущую формулу можно переписать в виде

о,.р « Но (2^/г)*"(2.9>

Здесь г—радиус сферы; h\— удаление сечения диаметром d от вершины сферы.

Твердость по Маейру можно связать с НВ:

но = — НВ,к

где & = ип/2(п—2)<"^2>'2(n—l)1-”. При п-э-2 (сильный наклеп поверхностного слоя) /г^-2 и Н0~ПВ.

После подстановки Но в (2.9) получаем формулу для расчета среднего напряжения на площадке пластического контакта

к

Естественно, приведенные выше соотношения контактной механики не исчерпывают всего многообразия зависимостей, используемых для построения моделей фрикционного взаимодействия. Их выбор ограничен потребностями дальнейшего изложения. При необходимости учесть особенности контактирования вязкоупругих или неоднородных, в том числе слоистых, материалов следует обратиться к работам, в которых представлены основополагающие результаты и фундаментальные обзоры, например [8, 45, 49, 118, 153, 280].

Глава 6

КОНТАКТИРОВАНИЕ НОМИНАЛЬНО ПЛОСКИХШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Одна из особенностей современного этапа развития механики трения связана с активным использованием методов теории вероятностей для расчета контактного взаимодействия шероховатых поверхностей. Уже в ранних трудах при расчетах трения делались попытки привлечения вероятностных подходов к описанию фрикционного контакта. По-видимому, первой работой такого рода является статья В. А. Журавлева, опубликованная в 1940 г. [84]. Далее И. В. Крагельский, предположив, что высоты неровностей распределены по нормальному закону, показал реальную возможность расчета контактного взаимодействия шероховатых поверхностей [105].

Современный вероятностный подход к изучению контактного взаимодействия шероховатых поверхностей начался, по-ви- димому, с известной статьи Дж. А. Гринвуда и Дж. В. Вильямсона [262], где последовательно и систематически реализована мысль о статистическом характере реального контакта и которая стала исходной позицией для многочисленных работ в данном направлении.

ОБЩАЯ СХЕМА РАСЧЕТАХАРАКТЕРИСТИК КОНТАКТА

При изучении контакта шероховатых поверхностей искомыми являются следующие характеристики: фактическая площадь касания Аг, нагрузка Р в зависимости от сближения, максимальное давление на единичной неровности q0, сила сцепления поверхностей Fa (адгезия) и т. д. Все указанные характеристики шероховатой поверхности, рассматриваемой как реализация случайного поля, являются случайными функциями некоторого множества случайных величин gi, g2, •••> Is, связанных со случайным полем 2 = 2(х, у). Как правило, это высота поверхности 2 и несколько ее первых производных. Обычно ограничиваются нахождением средних значений искомых величин, что сводит задачу к тривиальной процедуре вычисления математического ожидания некоторой функции нескольких случайных переменных: Х = Х^у, £2, .... 1а), где предполагается известной совместная плотность вероятности переменных gi, ^2, Ik-

_ f „. JX(^, E2, .... Ш(Ь Is, ..., 10^1^2- ^

X =™• (2-10)

) ... ' p(^l, ё2 1аЖ1^2 ... <ЯкV '

Здесь область интегрирования V является подобластью области V, на которой заданы переменные gi, g2,..., ^а.

Как правило, порядок построения статистических моделей дискретного контакта следующий.

Осуществляется выбор плотности вероятности р на основе результатов исследований по статистической геометрии случайных поверхностей и (или) путем обработки профилограмм поверхности. В отдельных случаях вид функции р постулируется, опираясь на интуитивные соображения.

Решается задача о взаимодействии единичной неровности с контртелом. Чаще используются готовые решения задач о контакте тел правильной геометрической формы. При этом, во-первых, возникает необходимость моделировать по крайней мере прилегающую к вершине область неровности сегментом некоторого тела правильной формы (сферы, эллипсоида, параболоида и т. д.); во-вторых, надо постулировать характер де-

формирования материала в зоне контакта (упругий, пластический, вязкоупругий и др.). Во многих задачах желательно учесть влияние на характеристики контакта таких важных для трибологов факторов, как молекулярные поверхностные силы, неоднородность механических свойств контактирующих материалов, разнообразие прослоек в зоне контакта, близлежащие неровности в случае их достаточно большой плотности и т. д..

Решение для единичной неровности распространяется на ансамбль неровностей. К сожалению, обычно ограничиваются лишь нахождением математического ожидания искомой величины, пренебрегая другими ее характеристиками, например дисперсией. Математическое ожидание можно оценить по формуле (2.10). Несмотря на то что эта работа достаточно рутинная, число публикаций в данном направлении продолжает расти.

По геометрическому признаку (особенности строения контактирующих поверхностей) существующие модели дискретного контакта можно условно разделить на два типа: изотропные и анизотропные.

ИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ

Если контактирующие шероховатые поверхности являются изотропными, то и соответствующие модели контакта будем считать изотропными.

Модель Гринвуда—Вильямсона (модель ГВ)

В работе [262] рассматривался контакт шероховатой изотропной поверхности с идеально гладкой (рис. 2.1). Считается, что вблизи вершины неровности имеют форму сферического сегмента с радиусом кривизны 0, одинаковым для всех неровностей. Тогда при упругом контактировании механическое поведение единичной неровности описывается теорией Герца (см. параграф 5.1), а основные характеристики контакта (радиус пятна контакта а,, его площадь Д, и нагрузка на контакт Pi) могут быть выражены через сближение 6,::

= р1/2б?/2, л = лрбй р^А-е^'2^^,

1 V] 1 v| „р

где -£- = —^j ^ ; Ег, vT; Е^, v2 — модуль упру

гости и коэффициент Пуассона шероховатого и гладкого тел соответственно.

Далее постулируется закон распределения высот неровностей. Измерения, проведенные авторами [262], показали, что

нормальный закон не противоречит экспериментальным данным:

Р^ =Р^ =1—ехр1—ехр1z2 \2о2 /1z2 \2о2 /

Р^ =

Р^ =

1

—ехр

1

—ехр

1z2 \

2о2 /

1z2 \

2о2 /

(2.11)(2.11)Тогда среднее число неровностей п, вступивших в контакт:

(2.11)

(2.11)

п = N p^dzd

(TV — общее число неровностей).

Средние значения единичной площадки контакта и нагрузки на ней находим по формуле (2.10): ’

_( (2 — d) р (z) dz

Ai -= лр ——-,

I р (z) dz d

I (z — df/2p(z) dz

I p (z) dz d

С учетом (2.11) общую площадь всех единичных пятен касания (фактическую площадь касания) и общую нагрузку, точнее их средние значения, запишем в виде

Ar = nAt = n^N J (z — d) p (z) dz,d

—41".—

P = nPt =ZT[3 2 N (z — d) 2 p (z) dz.

3d

Переходя к относительным величинам t,=zjo, h = d)a и используя поверхностную плотность неровностей D = NJAa (Аа — номинальная площадь контакта), получаем

Рис. 2.1. Схема контакта шероховатой игладкой плоских поверхностей

^_ = ^DoUt,-K)p*(0^(2.12)

/h

р41 3“3

?== лр 2 о 2 D\^-h) 2 р*£Ш (2.13)

АаЕ3

Здесь т] — относительная фактическая площадь касания; q — среднее давление на контакте; р*^)—плотность вероятности в нормализованной форме.

Интегралы, входящие в (2.12), (2.13), имеют схожую структуру и поэтому удобно ввести обозначение

F„№ = \^-КТрЧ№(2.14)

h

Чаще /г принимает значения 0, 1/2, 1, 3/2, 5/4 и др. Для нормального распределения

^-ту^ехркЛ-^V 2л \2/

неполные таблицы функций РДР) приведены в работах [4, 261, 304]. Кроме того, как показано в [261], функции Fn(/i) обладают следующими свойствами, облегчающими их расчет.

Функция у = е 2 £п(й) удовлетворяет известному дифференциальному уравнению Вебера

у" — Ну' — (и + 1) у = 0.

Для функций Futh) справедливо рекуррентное соотношение

Fn+i (ft) = прп_г (ft) — hFn (ft).

/ft/ftЕсли h велико и положительно, то существует следующее асимптотическое представление:

/ft

/ft

/2л\2ft2

Если h велико и отрицательно, то

F^KW-Kf.

Расчеты, проведенные по формулам (2.12), (2.13) при следующих исходных данных [262]: £> = 300 мм-2, ро—1-Ю4 мм2, £(0/3)1/2 = 250 МПа, показали (рис. 2.2, 2.3, кривая /), что уровень деформации h слабо зависит от нагрузки (увеличение нагрузки на порядок приводит к изменению деформации ме-

Рис. 2.2. Зависимость относительной фактической площади касания Ат!Аа от уровня деформации h: 1—а=оо;2-50; 3 — Ь; 4 — а=1,5Рис. 2.2. Зависимость относительной фактической площади касания Ат!Аа от уровня деформации h: 1—а=оо;2-50; 3 — Ь; 4 — а=1,5

Рис. 2.2. Зависимость относительной фактической площади касания Ат!Аа от уровня деформации h: 1—а=оо;

2-50; 3 — Ь; 4 — а=1,5

Рис. 2.2. Зависимость относительной фактической площади касания Ат!Аа от уровня деформации h: 1—а=оо;

2-50; 3 — Ь; 4 — а=1,5

нее чем на 50%). Соотношение между Аг и Р дается в параметрической форме (уравнения (2.12), (2.13)) и, как показывают расчеты (рис. 2.4), характеризуется почти линейной зависимостью. Это позволило ввести понятие так называемой упругой твердости [262] как отношение нагрузки к фактической площади касания и придать ей физический смысл, близкий к обычной твердости, используемой для пластического

Рис. 2.3. Зависимость удельной на грузки Р[Аа от уровня деформаци) h. Обозначения те же, что па рис. 2/

контакта. Понятие упругой твердости использовалось С. Б. Айнбиндером [2, 4].

Дальнейшее развитие модели ГВ шло по следующим направлениям: 1) поиск других форм законов распределения высот неровностей; 2) более точная, чем сферическая, аппроксимация формы неровностей; 3) учет зависимости радиусов кривизны в вершине неровности от ее высоты; 4) рассмотрение

реального контакта двух шероховатых поверхностей (отказ от введения понятия эквивалентной поверхности). Рассмотрим их более подробно.

Рис. 2.4. Зависимость фактической площади касания от нагрузки

Модель Айнбиндера

В работах С. Б. Айнбиндера и др. [2—5], по-видимому, впервые рассмотрен контакт изотропной гауссовской поверхности с идеально гладкой. В этом случае, как отмечалось выше, высоты неровностей будут иметь плотность распределения, выражаемую формулой (1.43). Так как плотность их распределения зависит от параметра широкополосности а, то последний будет входить и в функции Fn(h) (2.14), таблицы которых приведены в работе [4]. Более подробные таблицы функций Fn(h, а) даны в приложении 1. При а = оо (нормальное распределение высот неровностей) значения F„ (h, а) совпадают с данными, приведенными в работах [261, 304].

В модели С. Б. Айнбиндера контакт считается упругим, а форма неровности моделируется одной из трех поверхностей: сферической, осесимметричной 4-го порядка и эллипсоидальной. Для сферической поверхности получены следующие зависимости ФПК Аг и нагрузки Р от уровня деформации (аналогичные (2.12), (2.13)):

Ar = ^oDAaFx^h, а),(2.15)

Р = A-E^/2a3,2DAaF3/2(h, а).(2.16)

Характер зависимостей Л, и Р от уровня деформации h такой же, как и в модели ГВ (см. рис. 2.2, 2.3, кривые 2—4).

Если вершины неровностей очень пологие, например, в результате износа, то следует ожидать более тесного контакта единичной неровности с плоскостью, чем предполагается в теории Герца. Возможно, в этом случае целесообразно поверхность неровности описывать уравнением 4-го порядка

,

= Г4.

а

Тогда, как показано в работе [216], площадь единичного пятна контакта ДА,- и нагрузка на контакте Pt связаны со сближением 6,- следующими соотношениями (частный случай формул, приведенных в параграфе 5.1):

. „\ OU \ А 1 / 9

ДА; = Л —6 • ' ,

\ О /

D 64 Е I За~ДД ■

а \ 8 /

По изложенной выше схеме найдены выражения для ФПК и общей нагрузки

Ат = nD Voa AaF 1/2 (h, a),

P = — ЕОа^абмд^^ ay

При моделировании неровности эллипсоидом с главными радиусами кривизны Г] и г2 площадь единичного контакта и нагрузка на нем зависят от сближения следующим образом:

&АГ = nA* Pt = — ЕЕ^^б-'2,

где р , Е — т™.=; кй =

₽2 V И r2 /V1— е2 ВД

= л 1 / ВД

2ВД V (1 — ОВД '

Тогда средняя ФПК и нагрузка на контакте

Ar = it^aD^AaFy (h, a),

р = ™ Ek^V^DAJx* «)•

Полученные С. Б. Айнбиндером и др. [4, 191] соотношения доведены до инженерной методики расчета ФПК.

Модель Рудзита

Я. А. Рудзит, по-видимому, первым применил вероятностный подход для всестороннего изучения контактирования шероховатых поверхностей при условии, что часть неровностей деформируется пластически, а остальные — упруго. При этом он распространил анализ на неизотропные поверхности [155, 156].

При смешанном деформировании ансамбля неровностей ФПК состоит из двух слагаемых (тщл и т]уп), представляющих собой относительные ФПК, сформированные пластически и упругодеформированными неровностями соответственно. В качестве т]пл принята относительная опорная площадь. Такое предположение несколько понижает, как будет показано ниже, расчетные значения рлл. Считается, что пластическое течение выступа начинается при условии, что его деформация превышает некоторое критическое значение hv = bPlo. Тогда для нормального случайного поля, согласно (1.55),

Т)пл = 1 — Ф (^ 4-А„). (2.17)

Упругая относительная ФПД определяется следующим образом:

Луп = АЛуцУуд.(2.18)

Здесь ААуп— площадь упругого контакта единичного выступа; Ууп— число площадок контакта на единицу номинальной площади.

В этом случае неровности моделируются эллипсоидом и принимается рэлеевское распределение высот неровностей, вершины которых находятся выше средней линии. Площадь контакта единичного выступа рассчитывается по формулам Герца (2.2) — (2.4). Если вершины рассматриваемых неровностей расположены в интервале от h до h-V hT, то среднее значение сближения

= СО \ сР (9 У — °У

где с — нормирующий множитель.

После преобразований

о. (2.19)о. (2.19)„ У2л [Ф(h + hp) — Ф(ft)l — hpe-2 <h+V

о. (2.19)

о. (2.19)

6 =i i

e — e w

В частном случае, когда hp мало, можно показать, что

X 1 ь

« — ahp.

Если же неровности деформируются преимущественно упруго (ftp^l), то

Подставляя 6 в (2.17), можно найти среднее значение единичной площадки контакта. Далее определяется количество площадок упругого контакта Л/ун как разность между общим числом выбросов N (й) за уровень h и количеством площадок пластического контакта Л^пд:

Ууп = N(h) — Упа.(2.20)

Величины ЛГ(Л) и Ууп находятся по формуле для числа выбросов за данный уровень (к и h+hp соответственно), т. е.

Nyn = к [Ле — (Л + Лр) е]

(для изотропной поверхности & = Ул/8п2(0)).

Если все неровности деформируются упруго, то

N^n =khe~W.

Подставляя значения ААГ и -Муп в (2.18), получаем

Луп ^ Л’^рбЛ^уп-

Полная относительная ФПК при смешанном деформировании неровностей

Л = 1 — Ф (й + /1Р) + л^рбАуц.

Здесь 6 и Л^уп рассчитываются по формулам (2.19) и (2.20) соответственно.

Аналогично находится среднее удельное давление q = P[Aa, которое также состоит из двух слагаемых:

Упл Ч~ (7уГИ

где упл— среднее давление на площадках пластического контакта:

. уПл ^ УеР I1 ~ 'Ф^

Здесь qcv — среднее напряжение на единичной площадке пластического контакта (в случае предельно наклепанного поверхностного слоя уср = НВ); ууц— среднее давление на площадках упругого контакта, определяемое по формуле

Зяб

— -у2 где 0 = постоянная Кирхгофа.

лЕ

В работе [156] рассмотрен контакт двух шероховатых поверхностей и показано, как перейти к случаю контакта шероховатой поверхности (эквивалентной) с идеально гладкой.

Модель Буша—Гибсона—Томаса (модель БГТ)

Моделирование неровностей шероховатой поверхности идентичными геометрическими фигурами является достаточно грубым приближением, так как на реальной поверхности неровности различаются основными характеристиками, в частности кривизной. Зависимость последних от высоты удалось учесть А. В. Бушу, Р. Д. Гибсону и Г. Р. Томасу в работе [235]. Они моделировали неровность эллиптическим параболоидом

Zj —z = [(X — х0) cos р + (у — у0) sin И2 + гт — dа2'

(2.21)

[(х — x0) sin р — (# — z/0) cos 0]2b2

Здесь 2i — высота неровности; z — ее текущая координата, отсчитываемая от средней плоскости; а, b — полуоси эллипса, получаемого в сечении неровности плоскостью, которая отстоит от средней плоскости на расстояние </; Р — угол, образованный одной из главных осей эллипса с осью X (0^ р^л/2).

Используя распределение Найака (1.43), авторы показали, что совместная плотность распределения на единицу площади р(а, b, 21) вершин неровностей, имеющих высоту zv, и полуоси эллипса а и Ъ, который образуется при сечении неровности плоскостью z=ha, задается следующим выражением:

, , .12 Уз" ^ — h)5|V — а2|

р (О, b, 2^ = -7==-1 X

л2 У2а — 3т^т^-a1 q4

Гаг? o^ — hY 3z1(z1 —ft)

X ехр (2а _^т^ + щ^р + т2 (2а — 3) Х

_ / 1 , Па (<х — 1) (zx — ft)2 / 11 VI 2

\ а2 V/ 2 (2а — 3)т4\ а2b2 / ]

Если А и В — полуоси эллиптической площадки контакта, сформированной при вдавливании эллиптического параболоида (2.21) в полупространство, то относительная ФПК находится по формуле

г] = ^' л АВр (а, Ь, zj dadbdzr-м о

После некоторых преобразований

12а/3 аЬ2 л/2я/4

т] =1 / е 2cz3 С cos ср sin3 ср dtp f f (0, v) x

л г 2а — 3У

X g (Ф, 9) dv,dvX g (Ф, 9) dv,dv(2.23)(2.23)

X g (Ф, 9) dv,dv

X g (Ф, 9) dv,dv

(2.23)

(2.23)

где

,. cos 2 0 sin3 0 cos 0 tg v

f (0, v) = 5— ;

tg20 + tg2v

g(Vi е) = —— [8+ 9V + ^ + Л(15Х+ 10V+ X»)]; 8у3

7 = ——-—— (a cos2 cp — 3 "]/a cos ф sin ф -)- c sin2 ф);

Л =Л =— e2 2— e2 21 + erf1 + erf

Л =

Л =

— e2 2

— e2 2

1 + erf

1 + erf

X = ■ —= (3 Va sin ф — 2a cos ф).

V2y(2a —3)

Переменная 9 и ее производная по v вычисляются по формулам

tg2 9 =,

dK/d£

d9 = _ tg v cos2 6 7 ЗЕ — 2K _ (1 — fe2) (К — Е) /< \

dv “ 2cos2vtg6(E — (1— Й2)К (Е — (1 — ^К)2 / '

Здесь ^ = ]/1—tg29; К, Е — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода.

Двойной интеграл в (2.23) берется численно. При больших значениях h получается следующее асимптотическое выражение:

1е-^/2

Т] = .

21/2л h

Аналогично вычисляется нагрузка, отнесенная к номинальной площадке:

QОО СО ООулЕШ ^"h^QОО СО ООулЕШ ^"h^Р(а, b, zjI (Л2, В^Р(а, b, zjI (Л2, В^dadbdzъdadbdzъ

QОО СО ОО

улЕШ ^"h^

QОО СО ОО

улЕШ ^"h^

Р(а, b, zjI (Л2, В^

Р(а, b, zjI (Л2, В^

dadbdzъ

dadbdzъ

где

ЦА2, В2) = С.

J "VА2 sin2 х + В2 cos2 х

Полуоси А и В находятся как функции а и b из системы уравнений:

Л/2

С cos2 х (Л2 sin2 х + В2 cos2 х)-3/2 dx

а2 _ д

С sin2 х (A2sin2x + В2 cos2x)~3/2 dx о

Л2В2 ,

4-= 1.

а2Ь2

Среднее давление при больших к определяется асимптотической формулой

_ Е

q 2л у ~2'

Сравнение с моделью Гринвуда—Вильямсона, проведенное в работе [304], показывает, что значения относительной ФПК в обеих моделях весьма близки, в то время как номинальное давление в модели ГВ меньше, чем в модели БГТ.

Модель О’Каллагана—Камерона

Подход М. О’Каллагана и М. А. Камерона [309] отличается тем, что, рассматривая контакт двух шероховатых поверхностей (как композицию нормальных случайных полей), авторы делают предположение о произвольной ориентации линии, вдоль которой происходит взаимодействие отдельных неровностей. Такое допущение является естественным, однако оно существенно усложняет расчетные формулы.

Общая схема рассуждений такова. Условие контактирования двух поверхностей (2i = 2i(x, y^—d и 22 = 22(х, у)—_ d, где d— номинальный зазор)—выполнение неравенства £ = = Z\—г2<—d. Другими словами, две поверхности 2] и г2 касаются, если некоторая поверхность (эквивалентная, по терминологии Я. А. Рудзита [156]), являющаяся разностью Z\ и z2, имеет минимум, равный d. Аналогичный прием ранее использован в работе [156]. Далее проводится расчет числа минимумов функции Д меньших некоторого значения 6. Для этого вводятся многомерные векторы

dztdzjd2^<Э2£дЧд^d£]

dxdy ’ dxdy’Эх2dy2’dxdy'

■^16zidzYг)Дd2^ЭД।

1 ’ dx ’ dy’dxdy ’ dx2’dx2-

Совместная плотность вероятностей их компонент—соответственно П(г) и ф(«). Следуя Лонге-Хиггинсу, авторы показывают, что искомое среднее число минимумов

N (6) = N (оо) f ф(ц) duidu2... du6,

Т(6)

где У (6) = {м: Mi < 6; щ > 0, и6>0, м5м6— »4>0};

щ, м2, «а — компоненты вектора z; У(оо) —общее число минимумов:

,V(oo) = Aa ^(u-l, u2,u6, 0, 0) X

vw

X (tig tig^4) dtiidu2 dllg-

Здесь Aa — номинальная площадь контакта.

Тогда общая вертикальная нагрузка Р и площадь фактического контакта Ат находятся как суммы случайного числа М(6) случайных слагаемых P(uit d) и А(иь d):

M-d>

A (d) = ^ Л (ub d),

1

где Р^г, d) —вертикальная компонента сжимающей неровности силы Р, которая определяется по формулам Герца; А(гц, d) ■—ФПК единичных неровностей (герцевская площадь).

При некоторых ограничениях на N, Р и А можно провести -осреднение равенств (2.24):

Р^ = Р(иь d)N(—d) =

= — ^— J р ^U; d^Us, ив— U4)Q(«i, u2)...

N (—d) V(-d)

..., we, 0, 0)du1, du2, ..., due.

Аналогичное соотношение имеет место и для ФПК. Затем обычным путем выписывается корреляционная матрица для z (вследствие независимости 2\ и z2 принимается, что спектральные моменты эквивалентной поверхности равны сумме соответствующих моментов контактирующих поверхностей) и расчет средней общей нагрузки и ФПК сводится к вычислению 6-мерных интегралов методом Монте-Карло. Следует отметить, что работа [309] является одной из немногих, где даются оценки дисперсии искомых величин.

При сравнительном численном анализе моделей (см., например, [304]) необходимо иметь в виду, что в модели ГВ отсчет высот ведется от средней плоскости выступов, а более правомерно это делать относительно средней плоскости шероховатой поверхности. Расстояние между указанными плоскостями, как показано в работе [234], составляет

Az = 4 1/т0/ла.

Пластический контакт

нормальное давление q контакта ц простым соот-(2.25)нормальное давление q контакта ц простым соот-(2.25)Расчет характеристик контактного взаимодействия шероховатых поверхностей при условии пластического деформирования неровностей не имеет принципиальных отличий от расчета упругого контакта. Однако часто фактическую площадь пластического контакта отождествляют с опорной площадью (см. параграф 3.6), не учитывая, что реальная картина формирования фактического контакта несколько иная. Последнее связано с тем, что объем пластически деформированного материала сохраняется неизменным. Вследствие этого каждая площадка контакта несколько увеличивается по сравнению с геометрической площадкой (сечением неровности горизонтальной плоскостью) за счет вытеснения материала. Дж. Пуллен и Дж. В. Вильямсон [317] показали теоретически и экспериментально, что номинальное связано с относительной площадью ношением

нормальное давление q контакта ц простым соот-

(2.25)

нормальное давление q контакта ц простым соот-

(2.25)

JL 11Н 1 — ц

П. Р. Найаком [308] дляП. Р. Найаком [308] дляЗдесь Н — твердость материала.

П. Р. Найаком [308] для

П. Р. Найаком [308] для

Это соотношение использовано

модели пластического контакта. Рассмотрен контакт шероховатой поверхности с гладкой при номинальном зазоре между ними d (в безразмерной форме h = djo). Вследствие перераспределения материала неровности как бы «утолщаются» на некоторую величину и (в безразмерной форме и* = и^, что эквивалентно уменьшению первоначального зазора h, т. е. эффективный безразмерный зазор

г* = h — ц*.

«Утолщение» материала и* есть не что иное, как объем материала, отсекаемый плоскостью 2* и отнесенный к единице площади. Тогда

19

h - 4 + „ - г,* -Tz? erfc *L- +■ (2-26)

2V 2лV 2л

Для зазора h относительная ФПК находится по формуле

ц =( p(z*)(/г*,

г о* (А)

где р(2*)—плотность распределения неровностей по высоте, В частности, для гауссовского распределения

Л = — erfc2Л = — erfc24 wV24 wV2(2.27)(2.27)

Л = — erfc

2

Л = — erfc

2

4 wV2

4 wV2

(2.27)

(2.27)

соотношения (2.25) — (2.27) устанавливают зависимость между номинальными давлением q* = q]H и зазором к. Эффективный зазор z* и давление q* связаны выражением

2д*1 + <7*2д*1 + <7*= erfc= erfc\V2 / ‘\V2 / ‘

2д*

1 + <7*

2д*

1 + <7*

= erfc

= erfc

\V2 / ‘

\V2 / ‘

Обычно неровности деформируются и пластически, и упруго' в зависимости от величины сближения (или нагрузки). Идея такого смешанного контакта высказана в работе [262] и наиболее полно реализована в [156] (см. подпараграф 6.2.3).

Модель Демкина

Подход Н. Б. Демкина базируется на степенной аппроксимации одного из основных функционалов на случайном процессе (относительной опорной длины р) с использованием двух аппроксимирующих коэффициентов 6 и v, которым удалось придать определенный физический смысл:

р = bev .(2.28)

Здесь с — сближение, отсчитываемое от линии максимумов.

Обращает на себя внимание тот факт, что для нормального профиля опорная длина связана с уровнем деформации к (в некотором смысле «родственная» сближению величина) посредством одного параметра шероховатости а. Однако наличие двух параметров vb и v) совместно с простым (алгебраическим) соотношением (2.28) придало модели Демкина достаточные гибкость и простоту, которые обусловили ее широкое распространение. Следует отметить, что в рамках этого подхода отпадает необходимость исследовать или постулировать характер шероховатой поверхности: основные параметры (6 и т) определяются экспериментально и фактически аккумулируют обширную информацию о поверхности, как показывают исследования Н. Б. Демкина и др., достаточную для решения весьма широкого класса инженерных задач по механике фрикционного контакта. Подробный анализ соответствующих исследований сделан в работах [62—67].

Проведенный в настоящей главе краткий обзор моделей дискретного контакта оставил вне рассмотрения многие работы, в которых обсуждаются важные механические, физические и некоторые математические аспекты контактного взаимодействия изотропных и анизотропных поверхностей [184, 251, 259, 269, 301, 303 и др.]. Авторы стремились подчеркнуть

б. Зак. 101881

перспективность статистических моделей вследствие широких возможностей их использования для анализа ряда практически важных случаев (например, контакт номинально криволинейных поверхностей или адгезионный контакт твердых тел). Кроме того, хотя обзор фактически ограничен рассмотрением сравнительно простых характеристик, в частности ФПК и давления на контакте, все же представляется возможным расчет более широкого набора контактных характеристик, например силы трения (деформационной и адгезионной составляющих), электропроводности шероховатого контакта и т. д. Обсуждение указанных вопросов приведено в последующих главах.

АНИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ

Методика расчета характеристик контактного взаимодействия анизотропных шероховатых поверхностей разработана еще недостаточно. Это можно объяснить, с одной стороны, необходимостью преодолевать значительные вычислительные трудности, с другой — тем, что при статическом контакте, как правило, существенно новые (по отношению к изотропным моделям) эффекты обнаружить пока не удалось. По-види- мому, благодаря последнему обстоятельству часто анизотропную поверхность заменяют на изотропную с эффективными усредненными характеристиками и в дальнейшем «работают» с изотропной поверхностью. Одной из первых контактных анизотропных моделей является модель Рудзита [156], изотропный вариант которой описан выше.

Н. Ф. Семенюком [173] при изучении анизотропных поверхностей с помощью методов теории случайных полей рассчитано их контактное взаимодействие. Порядок расчета во многом аналогичен принятому в работе [156]. Контакт считается смешанным, т. е. одна часть неровностей деформируется упруго, другая — пластически. Учитывается зависимость кривизны выступов от их высоты. В этом случае выступ моделируется эллипсоидом. При упругом деформировании площадь единичного контакта А^ и усилия на нем Р^1 рассчитываются по Герцу:

Р^ = й2 РоЗ/2 й)^(2.29)

(^j и й2 определяются по формулам, приведенным в гл. 5).

При пластическом деформировании неровностей величины А^и Р ^ находятся по формулам:

Pf = 2noqm -i— ,(2.31)

где qm — давление, соответствующее переходу выступа в пластическое состояние.

Учитывается также осадка основания выступа, которая предполагается равной внедрению в упругое полупространство жесткого эллиптического в плане штампа с большой полуосью контактного эллипса b и эксцентриситетом е. Согласно Л. А. Галину [49], внедрение такого штампа

-Ц^Р^

~пЕЬ ‘

Суммарное же сближение неровности

- 2nmymпЕЬ

Таким образом, зависимость между нагрузкой на выступ и сближением (с учетом осадки основания) имеет вид

pf(2.32)

Здесь

' ! Е | RzKar ' V Н.® •

Критическое сближение /ц,, превышение которого обусловливает переход к пластическому деформированию неровности, рекомендуется находить из соотношения

qm= P^lAf.

Далее вводятся две формулы © = h;, + h — $, Вг = ? — ^ — кд) и соответствующие функции Хевисайда:

Затем проводится усреднение площадок контакта и усилий на ансамбле единичных контактов, а после умножения на число контактов получаются расчетные зависимости для относительной ФПК п и номинального напряжения на площади контакта q: 6*

^-о^рйб-Ь) [ч ^р^ + -у^ х«й p' <2-34)

, - Do f p © 6 - A) i E VoK„ ^^ (Ы +

+ 2«(7m^3A^L]^,(2.35)

где плотность вероятностей p^ и кривизны К^ и Н(g) в общем случае определяются соотношениями, приведенными в гл. 3.

Для частного случая анизотропных поверхностей (так называемая сильная анизотропия, описанная выше) расчет характеристик не представляет принципиальных трудностей (он осуществлен в работе [40] в рамках модели БГТ (см. подпараграф 6.2.4)). Дак и в изотропном случае, при всех практически допустимых значениях уровня деформации величина усилия на контакте примерно пропорциональна ФПК.

КРИТЕРИИ ПЕРЕХОДА ОТ УПРУГОГОКОНТАКТИРОВАНИЯ К ПЛАСТИЧЕСКОМУ

Разработка критериев перехода от упругого деформирования неровностей к пластическому занимает значительное место в расчетах на трение и износ. Один из первых критериев такого рода предложен И. В. Крагельским [106] и базируется на полученном им соотношении между сближением единичной неровности 6 и механическими характеристиками материала:

д/г = 2,4 (Н/£)2.

Здесь г — радиус неровности в вершине.

Показано, что упругий контакт имеет место при контурном давлении

2,4v-n/2v(v 1)K1H2v+1

(v — параметр опорной кривой; Kv — коэффициент, зависящий от v; А — комплексный параметр шероховатости).

Пластическое деформирование, по Крагельскому, будет иметь место при достижении средними нормальными напряжениями значений твердости по Бринеллю НВ:

/5,4V HB2vH

»,.> — — I •

\ А / E2v

Наибольшее распространение получил критерий Гринвуда и Вильямсона [262]. Они, ссылаясь на исследования Д. Тейбора, считают, что пластическое течение материала начинается тогда, когда максимальное герцевское давление qG достигает 0,6Н (Н — твердость наиболее мягкого из контактирующих материалов). Так как, согласно Герцу, при вдавливании шара в плоскость сближение 6 связано с максимальным давлением qG соотношением

4 Да >

то, подставляя qo = 0,6H, находим критическое сближение 6Р= 0,89Р(Н/£)2.

Вследствие поддерживающего влияния окружающего упругого материала в качестве искомого критерия принимается более высокое значение сближения:

6р = р(Д/Е)2,

■или в безразмерной форме

6* = ^ =а о \ Е /

Удобной для практических расчетов оказалась некоторая функция, получившая название «индекс пластичности» ф:

(2'36)

Считается, что при ф<0,6 контакт упругий, а при ф>1 — пластический. В дальнейшем критерий ф многократно совершенствовался и уточнялся [41, 234], в частности за счет «раскрытия» параметров шероховатости, привлечения различных теорий пластичности и т. д.

Из появившихся в печати в последнее время критериев следует отметить сравнительно простое соотношение Я. А. Рудзита [155]

дк= -222^211.

Ra ’

где 0 — упругая постоянная материала; Sm —средний шаг неровностей поперечной шероховатости.

В соответствии с этим критерием контакт считается упругим, если КК^1,74 (доля площадок контакта, сформированных упругодеформированными выступами, составляет 95%

от общей ФПК). При KK^OJO контакт считается пластическим, когда ^95% от общей ФПК составляют пятна контакта пластически деформированных неровностей.

Глава 7

КОНТАКТИРОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХПОВЕРХНОСТЕЙ

Для некоторых приложений представляется существенным изучение контактного взаимодействия криволинейных шероховатых поверхностей (подшипников скольжения, шаровых опор качения и т. д.). Распространение на этот случай описанного выше статистического подхода является нетривиальной задачей, решение которой связано с рядом трудностей, в том числе и вычислительного характера.

Задача о контакте криволинейных поверхностей представляет значительный интерес и при построении моделей дискретного контакта, учитывающих наличие на реальных поверхностях неровностей разного уровня (так называемых многоуровневых моделей). Например, известно, что макроотклонения номинально плоских поверхностей можно представить как участки сферической или цилиндрической упругих поверхностей, «покрытых» шероховатостью. При расчете параметров контакта поверхностей с такими макроотклонениями приходится учитывать совместное деформирование макроотклонений и шероховатости. Этот простейший вариант двухуровневой модели, обсуждаемой ниже на примере расчета контакта шероховатых сфер (и цилиндров), можно рассматривать как предварительный этап построения более общих двухуровневых моделей, которые будут исследованы в гл. 8.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГОГО КОНТАКТАШЕРОХОВАТЫХ СФЕР

Часто оказывается достаточным рассмотреть контакт гладкой упругой сферы радиусом R и упругого шероховатого полупространства. С математической точки зрения л-шная задача эквивалентна задаче о контакте шероховатой сферы и гладкого полупространства (рис. 2.5). Следует отметить, что к такому же контакту можно свести и более общую схему шероховатости сфе-

Рис. 2.5. Схема расчета

pa—шероховатое полупространство путем перехода к эквивалентной шероховатости [67], а также контакт двух шероховатых сфер с радиусами Ri и Ra, определив радиус рассматриваемой сферы по формуле

^-i _ Ri + R»R1R2

Основы расчета контакта

В основу дальнейших расчетов положена схема (рис. 2.5), впервые предложенная Дж. А. Гринвудом и Д. X. Триппом [60]. В области контакта выделяется элементарная площадка dS, для которой расстояние между средней плоскостью шероховатой поверхности и сферой является постоянным и равным и. Тогда число неровностей, вступивших в контакт на этом элементе:

dN = DdS J Ф(Ю^.и

Предположив, что вершины неровностей представляют собой сферические сегменты одного радиуса р, находим математические ожидания ФПК и нагрузки на площадке dS;

dAr = nD^oF, (/г) dS,

4

dP = -у DE^X^ ст3/2 F3/2 QiW

Для дальнейшего расчета необходимо знать зависимость номинального зазора и от уровня деформации в центре области контакта d. Если выбрать начало полярных координат (г, ср) в центре области контакта, то эта зависимость записывается в следующем виде:

И -- d + f^SR — [и; (г) — w (0)].(2.37)

Здесь w(r) —сближение номинальных поверхностей в точках с координатой г; к’(0) —сближение в центре контакта.

С помощью соотношения, связывающего перемещения и давления на площади контакта [185], после перехода к безразмерным переменным получена система интегральных уравнений для определения давления q(г) и перемещений щ(0), ю(г) [60]:

q* (р) = ^з/2 (d* + р2 + ш* (р) - w* (0)),(2.38)

гдегде(2.39)(2.39)w* (p) = f yq* (p, E)L(E)dE, p>0,o'

где

где

(2.39)

(2.39)

L(^= {L(^= {

L(^= {

L(^= {

w* (0)= [ q* (Э dE;о

9

— УС®, £< 1,

Л

К (E)— эллиптический интеграл; d* = dfa; w* = wfo; p = — rjV^Ra; q* = q]E "VojSR; p =-^-Da"|/2^p—комплексный параметр топографии.(2.40)

В работе [60] оценено влияние параметров топографии, входящих в комплекс (2.40), на распределение контурного давления и величину эффективного радиуса контакта, который в безразмерном виде можно записать так:

а* = a/ VW = 0,375 Tfw* (0).

Здесь Т = 2Р/оЕ УЖо.

Исследования показали, что контурная площадь контакта шероховатой поверхности с плоской гладкой всегда больше той, которую предсказывает теория Герца. При этом расхождение тем больше, чем меньше нагрузка и грубее поверхность сферы. Так как решение системы уравнений (2.38) — (2.39) связано со значительными математическими трудностями, то предприняты попытки упростить данный алгоритм.

А. Л. Лайков [116] провел расчет контурной площади контакта, предположив, что закон распределения контурного давления такой же, как и в решении Герца, а увеличение площади контакта происходит за счет снижения максимально: . давления в центре контурной площадки.

В решении, полученном М. А. Коротковым [101], предполагается, что эпюра давления отличается по форме от решения Герца и задается в виде

q (г) = q0 (1 — г2/а2У ,

i де qn — давление в центре контакта.

Используя степенную зависимость деформации шероховатого слоя от давления, получаем систему трансцендентных уравнений для определения коэффициента аппроксимации t, контурного радиуса контакта а и полного сближения 6. Дальнейшее упрощение уравнений позволило получить приближенные аналитические выражения для расчета /, а и 6.

Статистический подход при решении задачи о контакте шероховатой сферы с абсолютно гладкой и жесткой плоскостью применен М. Ж. Илсумсом и Я. А. Рудзитом [88, 89]. Ими получено решение в случае как упругих [88], так и пластических [89] деформаций. При этом выступы шероховатости моделировались эллиптическими сегментами. Однако использование для описания распределения высот неровностей теории случайных процессов (а не полей), а также пренебрежение восстанавливающей силой материала сферы сужают область применения такой модели.

Известна работа [283], в которой авторы проводят теоретические и экспериментальные исследования характеристик контакта сферы и шероховатой плоскости. В расчетной схеме принимается аппроксимирующая зависимость для контурного давления

q = q6 [exp (— r2/^2) — exp (— a2/^2)].

Неизвестные параметры a, b (a — радиус контурного контакта; b — параметр аппроксимации) уточняются с использованием итерационной схемы.

Наиболее привлекательный способ модификации модели [60] указан Б. Д. Хьюзом и Л. К. Уайтом [271], в котором приняты допущения, что при малых нагрузках относительные деформации

и* (р) = w* (0) — ш* (р)

можно представить в виде

и* (р) = тр2.

При больших нагрузках предполагается, что давление выражается следующей зависимостью:

Я* (Р) = q* (0) х ~ Р(2.41)

[0,р>с.

Авторы [271] указали и возможный путь для расчета параметров аппроксимации к и с.

Изучая формирование контурной площадки контакта и контурного давления [60, 101, 116, 117, 283], исследователи обходят вниманием расчет ФПК, которая является основной характеристикой в теории фрикционного контакта.

Расчет фактической площади контакта

Общая схема расчета ФПК базируется на соотношениях, полученных Д. А. Гринвудом и Д. X. Триппом [60] соответственно для фактической площади контакта, номинальной нагрузки и числа контактирующих выступов:

dA,. D Мс С лр (х — н) Ф (г) dz, (2.42)

dP = DdAc — E^f2 C(z — ы)3 /2 Ф (z) dz,(2.43)

3и

dN = DdAc Ф (г) dz.иdN = DdAc Ф (г) dz.и(2.44)(2.44)

dN = DdAc Ф (г) dz.

и

dN = DdAc Ф (г) dz.

и

(2.44)

(2.44)

Здесь dAc — элемент контурной площадки контакта. При этом функция плотности распределения высот вершин Ф(г) выбиралась в наиболее общем виде (1.43).

Если принять, что контурная площадь контакта остается круговой с эффективным радиусом а и неровности на ней распределены равномерно, то соотношения (2.42) — (2.44) можно записать в безразмерной форме для всего контакта:

9л2:|32Зл V249л2:|32Зл V24р2 [ Ц£ — и*) Ф (|) pdpdH, 0 и»р2 [ Ц£ — и*) Ф (|) pdpdH, 0 и»И J j(£ — и*)3/2Ф©р^,И J j(£ — и*)3/2Ф©р^,Зл V2лN = ц ( | Ф (У pdpdE,4 о «•Зл V2лN = ц ( | Ф (У pdpdE,4 о «•(2.45)(2.46)(2-47)(2.45)(2.46)(2-47)

9л2

:|

32

Зл V24

9л2

:|

32

Зл V24

р2 [ Ц£ — и*) Ф (|) pdpdH, 0 и»

р2 [ Ц£ — и*) Ф (|) pdpdH, 0 и»

И J j(£ — и*)3/2Ф©р^,

И J j(£ — и*)3/2Ф©р^,

Зл V2л

N = ц ( | Ф (У pdpdE,4 о «•

Зл V2л

N = ц ( | Ф (У pdpdE,4 о «•

(2.45)

(2.46)

(2-47)

(2.45)

(2.46)

(2-47)

где AT = DAr имеет смысл максимально возможного числа неровностей в пределах ФПК; P=3P/4E(Rfpy/2 (здесь в качестве «эталонной» принята нагрузка, необходимая для деформирования гладкой сферы радиусом R на величину, равную о); N = N ^fR),/2; a* = a^2Ro; u* = uja; ^ = z!a.

Сложность использования формул (2.45) — (2.47) заключается в определении зазора и* и радиуса эффективного контакта а* при совместном деформировании объема гладких тел и шероховатого слоя, что приводит к решению системы интегральных уравнений.

Для упрощения дальнейших расчетов использован подход Б. Д. Хьюза и Л. Р. Уайта [271], из которого следует, что в выражении для зазора

и* = d* + Р2.— w* (0) + ®* (Р) (2.48) относительное перемещение o*(p)=w*(0)—w*(p) вычисляется по следующим приближенным формулам:

у* (Р) =Здесьу* (Р) =Здесьур2 для малых нагрузок,ур2 для малых нагрузок,для больших нагрузок.для больших нагрузок.(2.49)(2.49)

у* (Р) =

Здесь

у* (Р) =

Здесь

ур2 для малых нагрузок,

ур2 для малых нагрузок,

для больших нагрузок.

для больших нагрузок.

(2.49)

(2.49)

у = — (р4 О4 + 4р202) */2 — р202;

0 =С хФ (х 4- d*) dx;

J6 5

А4- ^3/2 kd ) р^Гз)2)

Г(х)—гамма-функция; с, к— неизвестные параметры функции, аппроксимирующей эпюру давления (2.41).

При таком подходе перемещения в центре контакта

w* (0) =w* (0) =— . f х2Ф (d* -px^dx для малых нагрузок, 16 VI — у

w* (0) =

w* (0) =

1 у9 Г (k -J- 1),

-—Сргз/2 (д ) Л1/2i—для больших нагрузок,

2Г (^ + 3/2)

Г (й + 3/2)Г (^ + 2)Г (й + 3/2)Г (^ + 2)(2.50)

Г (й + 3/2)

Г (^ + 2)

Г (й + 3/2)

Г (^ + 2)

1

ОО

С х3/2 Ф (d* 4- х) dx

0,8 ь

а* =

--г" — — для малых нагрузок,

7 [ х2Ф (d* 4- x)dx(2.51)

О

где а1* (0) =w (0)/о.

Эффективный радиус контакта а* можно определить по формулам

0,75 л1/2 с

для больших нагрузок.

о

Здесь Т = 8 PI3 V2 = —(0).

Для определения параметров аппроксимации с и ^ будем исходить из выражения (2.41) после его разложения в ряд с учетом

q* W (0) = F3/2 (d* + p2 - пДр))/Гз/2 №

1 + ^/2(d*)/F3j2(d*W- у* (р)1 + у {^'/2 (d*)/F3/2 (d*)} х

X [р2 — и* (р)]2 « 1^Р4 .

с2 2 с4

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получим систему уравнений

fi IK I с — 1) = /г/с,

■(2.52)

где fx = Х/2 (d*)//?3/2 (d*); h = ^з/г (d*)/F3/2; ^3/2 (d*) и ^з/2 (^*) — соответственно первая и вторая производные.

Проводя дифференцирование, можно показать, что

^3/2 (Л = - yFi/2(d*);

для F'^/d^) интеграл будет иметь особенность вида 1/0. Поэтому в общем случае интегрирование проводится с помощью полиномов Якоби [112]. Для гауссовской функции распределения, т. е. при а=оо, применяя интегрирование по частям, получаем

^3/2 (d*) = — IF3/2 (d*) + d* Fl/2 (d*)].

Система (2.52) сводится к одному трансцендентному уравнению относительно й, которое решается итерационным методом Мюллера. С этой целью использовалась стандартная подпрограмма RTMI [125]. В табл. 2.1 приведены значения с и к для разных а.

Из численного решения системы уравнений (2.52) видно, что при увеличении нагрузки и плотности неровностей D параметр к стремится к герцевскому значению к = 0,5 (рис. 2.6, а). Можно показать, что при этом значение параметра с приближается к безразмерному эффективному радиусу а*,

Таблица 2.1. Коэффициенты аппроксимации fee

5,477

2,565

1,615

1,427

1,224

1,291

1,389

0,890

0,811

0,782

1,584

1,387

1,457

1,733

1,929

2,296

2,697

2,689

3,071

3,523

4,865

2,029

1,191

0,955

0,796

0,745

0,706

0,585

0.553

0,538

1,518

1,339

1,521

1,945

2,402

3,000

3,658

4,938

6,578

8,441

4,261

1,593

0,897

0,708

0,616

0,583

0,563

0,525

0,515

0,510

1,451

1,317

1,685

2,425

3,358

4,503

5,796

8,684

12,080

15,878

2,077

0,665

0,530

0,511

0,505

0,504

0,503

0,501

0,501

0,501

2,204

1,847

4,510

8,632

13,740

19,658

26,277

41,340

49,703

67,920

1,250

0,546

0,508

0,503

0,501

0,501

0,501

0,500

0,500

0,500

1,164

3,100

8,694

17,014

27,274

39,131

52,382

82,547

117,030

155,340

d

2|1| 0 | —1 | —2 | —3 I —4 | —6 |— 8 | —10

a=2

0,1

0,5

1,0

5,0

10,0

a—4

0,1

0,484

3,360

2,005

1,538

1,345

1,247

1,300

1,043

0,829

0,788

1,693

1,503

1,485

1,648

1,877

2,121

2,474

2,773

2,987

3,417

0,5

5,998

2,753

1,492

1,060

0,870

0,764

0,717

0,614

0,559

0,541

1,643

1,431

1,477

1,776

2,207

2,721

3,341

4,646

6,182

7,993

1,0

5,480

2,231

1,121

0,780

0,653

0,595

0,569

0,533

0,517

0,511

1,588

1.372

1,533

2,090

2,925

3,964

5,185

7,989

11,261

14,968

5,0

3,191

0,886

0,558

0,517

0,508

0,504

0,503

0,501

0,501

0,500

1,328

1,445

3,222

6,692

11,343

16,883

23,175

37,680

54,422

73,135

10,0

2,050

0,620

0,515

0,504

0 ,502

0,501

0,501

0,500

0,500

0,500

1,200

2,037

6,026

13,103

2 2,460|33,572

46,173

75,216

108,721

146,163

a=6

0,1

7,098

3,764

2,214

1,616

1,390

1,261

1,271

1,111

0,847

0,791

1,749

1,551

1,502

1,623

1,843

2,071

2,387

2,802

2,965

3,372

0,5

6,663

3,146

1,665

1,126

0,904

0,781

0,723

0,627

0,563

0,543

1,706

1,475

1,470

1,715

2,121

2,612

3,205

4,516

5,014

7,798

1,0

6,187

2,596

1,257

0,826

0,673

0,604

0,573

0,537

0,518

0,512

1,658

1,408

1,490

1,963

2,745

3,741

4,923

7,686

10,906

14,570

5,0

3,896

1,056

0,580

0,521

0,509

0,505

0,503

0,502

0,501

0,500

1,406

1,351

2,759

5,909

10,335

15,699

21,840

36,091

52,612

71,129

10,0

2,624

0,688

0,521

0,505

0,502

0,501

0,501

0,500

0,500

0,500

1,256

1,720

5,041

ll,517|20,435

31,199

43,501

72,033

105,100

142,150

a=8

7,516

4,026

2,351

1,670

1,417

1,274

1,258

1,149

0,862

0,793

1,784

1,579

1,513

1,610

1,821

2,045

2,339

2,812

2,957

3,345

0,5

7,113

3,407

1,781

1,171

0,926

0,793

0,727

0,634

0,566

0,544

1,745

1,502

1,468

1,682

2,071

2,549

3,127

4,438

5,916

7,683

6,664

2,845

1,352

0,858

0,686

0,610

0,575

0,539

0,519

0,512

1,701

1,433

1,470

1,894

2,641

3,611

4,771

7,507

10,697

14,334

5,0

4,395

1,188

0,598

0,524

0,510

0,505

0,503

0,502

0,501

0,500

1,458

1,315

2,513

5,466

9,751

15,008

21,057

35,154

51,542

69,941

10,0

3,045

0,747

0,526

0,506

0,502

0,501

0,501

0,500

0,500

0,500

1,300

1,573

4.509

10,617

19,261

29,812

41,932

70,156

102,960

139,770

UUРис. 2.6. Зависимость коэффициентов аппроксимации к (а) и с (б) от уровня деформации: 1 — ц = 0,1; 2—1; 3—10; 4 — р = 100Рис. 2.6. Зависимость коэффициентов аппроксимации к (а) и с (б) от уровня деформации: 1 — ц = 0,1; 2—1; 3—10; 4 — р = 100

U

U

Рис. 2.6. Зависимость коэффициентов аппроксимации к (а) и с (б) от уровня деформации: 1 — ц = 0,1; 2—1; 3—10; 4 — р = 100

Рис. 2.6. Зависимость коэффициентов аппроксимации к (а) и с (б) от уровня деформации: 1 — ц = 0,1; 2—1; 3—10; 4 — р = 100

Л 1

7,826

4,216

2,450

1,711

1,436

1,285

1,252

1,172

0,873

0,795

и, 1

1,809

1,598

1,520

1,602

1,806

2,028

2,308

2,815

2,954

3,327

0 5

7,445

3,599

1,867

1,204

0,942

0,802

0,730

0,639

0,568

0,544

1,773

1,522

1,469

1,661

2,037

2,508

3,075

4,385

5,581

7,604

7,017

3,031

1,423

0,883

0,696

0,615

0,577

0,541

0,520

0,512

1,731

1,451

1,460

1,850

2,572

3,524

4,668

7,385

10,555

14,174

4,773

1,294

0,612

0,526

0,510

0,505

0,503

0,502

0,501

0,501

5,0

1,496

1,299

2,358

5,174

9,360

14,541

20,527

34,518

50,815

69,133

3,375

0,799

0,530

0,507

0,503

0,501

0,501

0,500

0,500

0,500

1,335

1,489

4,170

10,023

18,475

28,877

40,871

68,883

101,510

138,160

а=-.

ОО

9,912

5,983

3,498

2,177

1,557

1,257

0,913

0,874

0,837

0,804

0,1

1,877

1,707

1,580

1,553

1,633

1,772

1,766

2.251

2,708

3,156

9,774

5,532

2,867

1,609

1,089

0,860

0,680

0,611

0,572

0,550

0,5

1,86b

1,657

1,501

1,523

1,745

2,099

2,471

3,731

5,220

6,925

9,606

5,052

2,324

1,201

0,803

0,658

0,572

0,536

0,521

0,514

1,0

1,852

1,603

1,436

1,553

2,024

2,755

3,691

6,241

9,300

12,791

8,442

2,933

0,918

0,568

0,513

0,508

0,504

0,502

0,501

0,501

5,0

1,753

1,351

1,475

3,061

6,255

10,473

15,827

28,955

44,513

62,167

7,323

1,889

0,631

0,518

0,505

0,502

0,501

0,500

0,500

0,500

10,0

1,654

1,234

2,036

5,664

12,214

20,715

31,476

57,763

88,900

124,220

<ОТО{

)ЫЙ в

свою

очередь стремится ь

значению

герцевского

d

2|1|0 | -1 | —2 | -3 | —4 | -6 |— 8 j -10

О.= 10

радиуса контакта

r а* г 4 Г (/г+ 3/2),

lim — = hm — ——!7 = 1.

А-0,5 С А-0,5 3 Г(& + 2)

Расчеты показывают, что зависимость c(d*) при всех значениях р имеет минимум (рис. 2.6, б). Так как возрастающая ветвь кривой c(d*) физически слабо обоснована, то в качестве формального критерия перехода от больших нагрузок к малым в выражениях (2.40) — (2.42) можно принять условие

достижения минимума функции c(d*), что удобно изобразить в виде изолиний Сщш на плоскости (1*, ц (рис. 2.7).

Таким образом, при определении ФПК шероховатой сферы и плоскости расчет проводится в следующем порядке: вычисляется безразмерный параметр р и по графику (рис. 2.7) находится значение уровня деформации d*k , при котором осуществляется переход от больших нагрузок к малым в соответствии с формулами (2.49) — (2.51). Далее по соотношениям (2.45) — (2.47) находятся зна- чения безразмерных ФПК Ат, нагрузки Р и числа контактирующих неровностей N как 2

О

Рис. 2.7. Линии уровня Стп,: 1 —сс = 2; 2 — 10; 3 — а.= со

функций безразмерного уровня деформаций d*. Практически переход от больших нагрузок к малым охватывает некоторый диапазон уровней деформаций, что позволяет контролировать «стыковку» расчетных формул. Одновременно условие N~\ используется как признак окончания счета. С помощью функций .4,= AT(d*), P=P(d*) можно построить зависимость ФПК от нагрузки. Аналогично получаются и другие характеристические соотношения, например Дг~щ(0), Р^ю(О) и т. д.

Ранее нами предполагалось, что материалы сферы и шероховатого слоя обладают одинаковыми упругими свойствами, что, вообще говоря, на практике не всегда выполняется. Поэтому представляет интерес получить решение задачи о контакте шероховатой сферы при Е\=^Е2, vi=^v2, где Дь vr, Еа, v2 соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона материалов сферы и шероховатого слоя. Последовательность расчета подразделяется на четыре этапа по аналогии со схемой, приведенной в работе [60]. На каждом из них используются упругие характеристики сферы или слоя неровностей в соответствии с рассчитываемой в конкретном случае величиной.

На первом этапе нагрузка при деформировании единичной неровности оценивается герцевской зависимостью

Р = — Е^ р®о/2.

3*

Здесь ^-(ДфХ + ИДу)Здесь ^-(ДфХ + ИДу)1

Здесь ^-(ДфХ + ИДу)

Здесь ^-(ДфХ + ИДу)

; Е^, vnjI — соответствен-

но модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала гладкого полупространства.

На втором этапе для определения эпюры давления, распределенного по контурному пятну контакта шероховатой сферы как суммарного от единичных воздействий неровностей, используется выражение

Q = QF3/2 (н/о),

где

4<

Q = у DEo^^^i2.

На третьем этапе перемещения связываются с давлением следующим соотношением:

2г ”.ш (г) = —- q (Er) L (S) dt.

Здесь

E'x = [(1 - ^lE, + (1 - v^)/^'1-

Если перейти к безразмерному виду, то получим систему уравнений, отличающуюся от (2.38), (2.39) лишь величиной параметра р, который принимает значение р = р, и выражением для безразмерного давления q* = qfE i^alSR. Поэтому на последнем этапе расчета параметры с и к определяются по ранее изложенной схеме. А для суммарной нагрузки, действующей на шероховатую сферу, используется формула (2.59) или (2.46) с учетом того, что Р = Р/4р£' (/?о3),,2и р'=р. Результаты расчета зависимости ФПК от нагрузки в случае разных отношений E2iEx (рис. 2.8) показывают, что с уменьшением жесткости шероховатого слоя величина ФПК возрастает, асимптотически стремясь к контурной площади контакта.

Рис. 2.8. Результаты расчета при различии механических свойств шероховатого слоя и объема материала: 1 — Е^Е, = 0,5; 2 — 1: 3 — £2/Ei = 5

7.2. КОНТАКТИРОВАНИЕ ШЕРОХОВАТЫХ ЦИЛИНДРОВ

Исследование контактного взаимодействия шероховатых цилиндров возможно без привлечения новых идей по сравнению со случаем контакта сфер [284, 293, 302]. Исходным при построении алгоритма является стандартное геометрическое соотношение для номинального зазора (2.37). Из решения задачи о сжатии двух цилиндров [185] имеем

dx.dx.w (0) — - &м (г)—— ( ц(х)1п -

dx.

dx.

' лЕх

где

_ 1 VI i - у

Е Ег 1 Ео

Тогда г2 2 лх -

и = d ЧС q (х) In —

2Е лЕ М ’

К этому уравнению добавляется соотношение, связывающее контактное давление q(г) с номинальным зазором w.

q (г) ==— Е Vp D f (г — u)3/2 ф (z) dz,

dr 3и

где ф(л) — плотность вероятности распределения высот неровностей (в статье [293] рассматривается только нормальный закон распределения).

Если перейти к безразмерным координатам, то задача сводится к решению следующей системы уравнений:

de,de,й — d* + р2 — ^ q* (^) In

de,

de,

(2.53)

V* (р) = 6 j ] (z - -hy "2 e-2"/'2 dz.h

Здесь использован нормальный закон распределения высот неровностей в стандартной форме

ф* (z)ф* (z)V 2лV 2л

ф* (z)

ф* (z)

V 2л

V 2л

и приняты обозначения

р = г/ У 2 До, h = u/a, d* = djo, q* = q У8Д/сг /лЕ, 6ц =

3л2/2

Система (2.53) может быть решена итеративным методом Гринвуда—Триппа или асимптотическим Уайта—Хьюза (см. параграф 7.1). Однако С. С. Ло [293] ограничился простейшей аппроксимацией (фактически, по одной точке), что. конечно, позволяет существенно упростить алгоритм. Вопрос об области применимости такой аппроксимации остается открытым. Итак, в работе [293] предполагается, что контактное давление распределяется по закону

где с— безразмерная полуширина площадки контакта, требующая своего определения.

Подставляя р*(р) в первое уравнение системы (2.53). имеем

h = d* + р2 — ^^- [(8с5 + 15Ер — 10с2р3 + Зр5) X

15 с1

X In |с + р| -ф (8с5 - ■ 15с4р 4- 10с2р3 — Зр5) 1л |с — р| —

— 16с5 In с 4- 18с3р2 — бср4].(2.54)

Далее находится точка р, в которой давление в 2 раза меньше максимального q*^- Очевидно, что р = сф1— 1/У2. Для этого значения р из второго уравнения системы (2.53) методом проб и ошибок определяем соответствующее h, которое и подставляем в (2.54). Полученное уравнение относительно с решается численным методом.

Зная с, находим общее сжимающее усилие Р, контактную площадь А и число неровностей N на единицу длины цилиндра:

Е = 2(0) ( 1 -4 Ео" У (°)с>

g 1 с2 /215

•1 = 2D j At dx = 2лро D [ ( -Д= f гс-г2/2 dz — оо \

— h [ 6 . dz\ dx = 2л6оП У2Ro

У2лУ2л2 У2л У 1

У2л

У2л

АФ(—A) dp,

N = 2D С Ф (— A) dr = 2D V2Rg f Ф (— A) dp.66

Здесь Ф (х) =——dx.

Максимальное контактное давление q* (0) находится из второго уравнения (2.53), если в качестве нижнего предела интегрирования принять h—d*. Следуя Гринвуду—Триппу, введем два безразмерных параметра: нагрузочный T=P]Eq и топографический ,и= — Доф/^Р/л3. Тогда, как показано в ра- 3

боте [326], усилие на шероховатом контакте и ширина площадки контакта выражаются через оба параметра:

Р* = 0,88 р.0-065 Т°.\ а* = 1,56р~°.065 7-о.41 , где Р* — отношение максимального контактного давления на шероховатом контакте к аналогичному давлению на гладком; а* — отношение ширины площадки шероховатого контакта к ширине площадки гладкого.

Расчеты характеристик контактного взаимодействия шероховатых цилиндров показали, что среднее контактное давление обычно велико, хотя слабо зависит от приложенного усилия. С повышением нагрузки площадь контакта возрастает почти линейно, а число пятен контакта несколько медленнее.

Другой подход реализован в работе [284], где рассматривается контактное взаимодействие гладкого цилиндра радиусом R, длиной I и шероховатой пластины. При нагрузке Р сближение между цилиндром и пластиной представляется в виде

6 = — + да (г) + да (г).(2.55)

2

Здесь ш(г), w(r) — перемещения, обусловленные деформацией неровностей и цилиндра. При ширине площадки контакта, равной 2Ь (эффективная ширина), даДА^О. что позволяет исключить 6 из уравнения (2.55)

—№ — г2

2 К

Давление на прямоугольной площадке контакта 2bxl аппроксимируется следующей зависимостью:

q ^r) = — (fr^2 — е-<6/с)г),

где l = \—e WcV^ c — некоторая константа; qb.— множитель,, который находится из условия равновесия:

у0 = /Р/ [2/ J (e-U'O2е-(ь/с)2) dx^ .

о

Перемещения цилиндра w(r) определяются простым интегрированием

И1 (г)И1 (г)1 упЕ 3 2V(x — с)2 + у21 упЕ 3 2V(x — с)2 + у2dxdy.dxdy.

И1 (г)

И1 (г)

1 у

пЕ 3 2V(x — с)2 + у2

1 у

пЕ 3 2V(x — с)2 + у2

dxdy.

dxdy.

Считается, что неровности могут деформироваться как упруго, так и пластически. Если сближение неровности превышает некоторое предельное значение zp = ^(рт!ЕУ, то неровность деформируется пластически. Здесь р— средний радиус кривизны неровности в вершине; рт— предел текучести.

Давление qz(r), воспринимаемое неровностью в точке г, вычисляется отдельно для трех возможных случаев:

2р ^ со (0) — упругий контакт

4

Яг И — ЕО^1 3 ( [су (г) — г]3/2 ср (z) dz;

3о

2Р < со (0) — смешанный контакт

^г)--гр

Уг (г) 2nD^pm j [со (г) — г] <р (г) dz;

о

Zp > со (г) — упругий контакт

4ю1-Е —

<73(г) == —ED^>E‘2 [ [со (г)—г]3/2 гр (2) dz.

3"о

Из условия совпадения давлений q\^r) и q2(,r) в точках z=0 и г = 0,эй подбираются значения b и с.

Распределение высот неровностей принято рэлеевским:

ф(2)ф(2)2Й2О22Й2О2ехр (— 22/2й2о2),ехр (— 22/2й2о2),

ф(2)

ф(2)

2

Й2О2

2

Й2О2

ехр (— 22/2й2о2),

ехр (— 22/2й2о2),

где к = V2/(4 — л) .

Описанный алгоритм дает возможность рассчитать ряд характеристик контакта: ширину площадки, податливость и т. д. Сравнение с данными С. С. Ло [293] показывает, что совпадение результатов вполне удовлетворительное. Это нашло подтверждение п в экспериментальных исследованиях.

СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТАС ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

Тестирование и оценка возможностей программ, реализующих алгоритм расчетной модели, описанной в параграфе 7.1, проводились посредством сравнения полученных данных с известными из литературы. С этой целью использовались результаты работы [283], в которой приведены экспериментальные данные по зависимости податливости и эффективного радиуса контакта от поминальной нагрузки при контакте стальной п медной сфер с шероховатой плоскостью.

Податливость б является суммой перемещения сферы в центре контакта щ0 и сближения неровностей е. Переход от сближения к уровню деформации d* зависит от принятого начала отсчета и для наших целей может быть осуществлен ио приближенной формуле 1156]

8 " ^max d' .

Здесь Птах ~ ^maxM 8* = Г/О. ОбыЧНО СЧИТавТСЯ, ЧТО Ь*ах ~ = 2,5 ... 3 [62, 156]. В дальнейшем принимаем /imax = 2,5.

Чтобы воспользоваться описанным выше алгоритмом, необходимо оценить параметр широкополосное™. Учитывая, что [3=28 мкм, 79=1430 мм-2. о = 1,92 мкм (последнее значение получено пересчетом для согласования с величиной /ф379\ 2

Рис. 2.9. Зависимость податливости от номинальной нагрузки: / — а = 2; 2 — Ю; ,У~а = ос; 4-- эксиеримсптальные данные [283]; штриховая линия—расчет по ГерцуРис. 2.9. Зависимость податливости от номинальной нагрузки: / — а = 2; 2 — Ю; ,У~а = ос; 4-- эксиеримсптальные данные [283]; штриховая линия—расчет по ГерцуЬтах), и используя известное соотношение ч = л’

Рис. 2.9. Зависимость податливости от номинальной нагрузки: / — а = 2; 2 — Ю; ,У~а = ос; 4-- эксиеримсптальные данные [283]; штриховая линия—расчет по Герцу

Рис. 2.9. Зависимость податливости от номинальной нагрузки: / — а = 2; 2 — Ю; ,У~а = ос; 4-- эксиеримсптальные данные [283]; штриховая линия—расчет по Герцу

Рис. 2.10. Зависимость радиуса контакта от номинальной нагрузки; / — сс = 2; 2— сс = оо; 3 — экспериментальные данные [283]; штриховая линия — расчет по Герцу

Рис. 2.12. Зависимость ФПК от нагрузки: 1 — ,п = 0,01;2— 0.1;3 — 1; 4 — ц=10Рис. 2.12. Зависимость ФПК от нагрузки: 1 — ,п = 0,01;2— 0.1;3 — 1; 4 — ц=10

Рис. 2.12. Зависимость ФПК от нагрузки: 1 — ,п = 0,01;2— 0.1;

3 — 1; 4 — ц=10

Рис. 2.12. Зависимость ФПК от нагрузки: 1 — ,п = 0,01;2— 0.1;

3 — 1; 4 — ц=10

находим, что а = 10,8. Для сферы радиусом /? = 3,18 мм и разных значений а построены зависимости податливости от нагрузки (рис. 2.9). При а=10 наблюдается удовлетворительное совпадение расчетных данных с экспериментальными. Для тех же условий рассмотрена зависимость эффективного контурного радиуса контакта от номинальной нагрузки (рис. 2.10). В этом случае совпадение экспериментальных и расчетных данных несколько хуже, чем для податливости (см. рис. 2.9), хотя

Рис. 2.11. Сравнение величии пло-щадей контакта шероховатой (/ —11 = 0,01; 2 — 0,1; 3 — 1; 4—ji =.= 10) и гладкой (штриховая ли-ния) сфер с плоскостью

погрешность и не превышает 20%. Последнее можно объяснить тем, что введение эффективного радиуса контакта а'* дает несколько заниженное значение контурного радиуса контакта. Анализ зависимостей (см. рис. 2,10) указывает на сла

бое влияние вида функции распределения высоты вершин (из класса функций Найака (1.43)) на величину контурной площади контакта. Для реализации описанного алгоритма составлен комплекс программ на языке ФОРТРАН. Двойные интегралы вычислялись методом кубических сплайнов [218].

Рис. 2.13. Сравнение результант расчета ФПК (о.) и эффективного радиуса контакта (б) по формулам для малых нагрузок (сплошная линия) и больших (штриховая): 1 — it = 0,1; 2—1; 3— ц= 10

Сравнение ФПК шероховатой сферы с герцевской площадью контакта сферы того же радиуса показывает их существенное различие (рис. 2.11) в широком диапазоне изменения параметра щ нагрузки Р и параметра широкополосное™ сс. В качестве примера на рис. 2.12 показаны зависимости А,- и Р для разных значений параметра р при нормальном распределении высот вершин (а = оо).

Следует указать на возможность некоторого упрощения алгоритма расчета. Например, как показал расчет, численные значения для Аг и эффективного радиуса контакта при больших положительных значениях d* (малые нагрузки) хорошо аппроксимируются с помощью формул для больших нагрузок (рис. 2.13), т. е. в любом допустимом диапазоне уровней с/* при расчете ФПК и нагрузки можно пользоваться упрощенными формулами [271]:

и(р) - СК [(р/с)2-- (/г - 1/2) (р/ц4 | , (2.56) ж* = ± фFw^4 л >/2 Г (/г + 1)/Г (£ + 3/2), (2.57) а* = 0,75л'/2 сГ (/г+ 3/2)/Г(6 4-2). (2.58)

При этом нагрузку можно получить прямым интегрированием эпюры давления (2.41) по площадке с безразмерным радиусом с;

Р = 3 V2nc2 jiF3/2 (d*)/8 (/г 4- 1). (2.59)

Анализ зависимостей (см. рис. 2.12) показывает, что в диапазоне уровней деформации —3^4*^2 они могут быть аппроксимированы с высокой степенью надежности степенной функцией Дг^еР1'. Следует отметить, что показатель степени b изменяется от 0,931 до 0,945 при варьировании ц от 0,1 до 10. Зависимость е(р) оказалась близкой к линейной (е« «О.ЗЭц1'09).

Таким образом, семейство кривых, изображенных на рис. 2.12, может быть описано простой зависимостью:

А,. == О.ЗЭц^озро.э!,

удобной для практических расчетов.

Сравнение контактных перемещений, полученных расчетным путем и измеренных экспериментально в работе [83], показало их приемлемое совпадение (погрешность не превышала .10... 15%) •

7.4. КРИТЕРИИ ВЛИЯНИЯ ШЕРОХОВАТОСТИНА ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНТАКТА СФЕР

Известно, что теория Герца основана па допущении об идеальной гладкости контактирующих поверхностей. Однако все реальные поверхности являются шероховатыми и естественно возникает вопрос о том, насколько значимо влияние шероховатости при расчете площади контакта, контактных напряжений, деформаций п других характеристик механического взаимодействия сферических тел. Другими словами, актуальна задача разработки критерия шероховатости, позволяющего в каждой конкретной ситуации определить, можно ли пользоваться формулами Герца или необходимо применять зависимости, учитывающие влияние шероховатости. Например, при анализе воздействия шероховатости на формирование контурной площади контакта оценивают отношение высоты шероховатости к высоте воли и считают, что шероховатость необходимо учитывать, лишь когда се высота соизмерима или превышает высоту волн [67, 108]. Однако такая простая оценка не принимает во внимание нагрузочный фактор, который может играть решающую роль [60, 260].

Так как при расчете контурной площади контакта единичную волну обычно моделируют сферическим или эллиптическим сегментом, а также участком цилиндрической поверхности, то полезным может оказаться критерий, предложенный в работе [260J. В ней в качестве оцениваемого параметра 7/ авторы интуитивно выбрали отношение деформации неровностей к деформации контактирующих тел. При допущении, что первая характеристика пропорциональна среднеквадратическому отклонению шероховатости а= (а2+ ст2)12, а вторая — герцевской деформации <-=ш2//?, получено

V aRfa'a . (2.60)

Отсюда следует, что теорией Герца с достаточной степенью точности (погрешность при расчете радиуса контакта и деформации <7%) можно пользоваться, если 7/<О.О5. При этом комплексный параметр топографии ц = 8/ЗоДУ2/?р считается второстепенным при оценке влияния шероховатости на контурные характеристики деформирования.

Однако при проверке критерия (2.60) установлено. что для некоторых сочетаний шероховатости и размеров контактирующих сфер он оказывается неэффективным |208|. Па- пример, сравнение экспериментальных данных измерения радиуса контакта сфера—плоскость [283J (табл. 2.2, варианты 7, 8) с расчетными герцевскими значениями и одновременная оценка параметра 7/ показывают, что при достаточно малых 7/ погрешность расчета значительно превышает ирогнозируе- 104

Номер варианта

о, мкм

D, мкм ~ 2

Р, мкм

Я, мм

R

6

Источник

Обозначение экспериментальных точек

1

0,01

10

0,2

1,310-2

65

[163]

2

0.01

25

0, 1

1,310-2

130

[1631

3

0,01

10

0,1

2,8-Ю-1

1410

1163]

4*

0,19

9,8-Ю-3

54

6

112

1260]

/

2,20

4,9-Ю-3

9

19

2107

[260[

II

6*

0,54

5,5-Ю-3

34

19

565

[260]

III

7

0,18

3,7-10-3

152

3,2

21

[283]

IV

8

0,46

2,0-Ю-3

33

3,2

96

[283]

V

Т а б л и ц а 2.2. Сравнение экспериментальных и расчетных данных измерения радиуса контакта сфера — плоскость

[3 и D определялись по

известному значению р в предположении, что

аРР~0,1.

мую (рис. 2.14, а). Причем можно заметить, что чем меньше значение среднего радиуса закругления неровностей 0 отличается от значения радиуса сферы R, тем ниже эффективность критерия (2.60). Это подтверждается также результатами модельного расчета характеристик контакта шероховатой сферы с гладкой плоскостью [163] (табл. 2.2, варианты 1-3).

На основе анализа экспериментальных и расчетных данных нами сделан вывод, что критерий влияния шероховатости должен базироваться на сравнительной оценке не деформации шероховатого слоя [260], так как указанная величина будет зависеть также от геометрических размеров контактирующих тел и тем самым «затушевывать» роль шероховатости, а некоторой характеристики деформации отдельной неровности шероховатости. В качестве такого параметра принят деформируемый объем. Предлагается проводить оценку отношения деформируемого объема единичной неровности к соответствующему объему для сферы. Считается, что первая величина

Рис. 2.14. Отношение радиуса контакта с учетом шероховатости к герцы;- скому радиусу как функция параметров // (а) и л (б). Обозначения соответствуют номерам вариаптон; в табл. 2.2

пропорциональна деформируемому объему сферического сегмента, моделирующего отдельную неровность, при сближении, равном а, а вторая — герцевскому деформируемому объему я данной нагрузки. При этом рассматриваемое отношение с учетом выражения для объема сферического сегмента с высотами а и tyG в первом приближении пропорционально величине [<т2(3р—сг)]/[®2(ЗЙ—®ф]. Если учесть неравенства р^>о, R^Wc,, что позволяет пренебречь вторыми слагаемыми, и извлечь корень второй степени из полученного соотношения, то можно представить критерий в удобном виде:

л-^Х'ф/Я)1/2,(2.61)

где Р = р1Р2/(1н + |%)-

Сравнение зависимостей а/ао от X (рис. 2.14) с функциями от У, построенными но экспериментальным и расчетным данным, которые соответствуют вариантам, приведенным в табл. 2.2, показывает, что оценка влияния шероховатости с помощью X является более точной. Расчет эффективного радиуса контакта шероховатых сфер проводился по схеме, описанной в работе [163]. Анализируя зависимости, изображенные на рис. 2.14, б, можно сделать вывод о том, что при расчете радиуса контакта с помощью формулы Герца погрешность ^5%, если 2.5^1 ■ 10 3, и 10%, если 10~3.

Как показали исследования, критерий (2.61) справедлив также при расчете деформации и давления в центре контакта. Исходя из того, что характер деформирования неровностей не оказывает существенного влияния на радиус контакта и деформацию шероховатой сферы [283], можно сделать вывод о применимости критерия (2.61) не только при упругом, но и при пластическом, а также смешанном деформировании шероховатости. Критерии (2.60) и (2.61) взаимозаменяемы лишь в том случае, если /?/[>>625, т. е. когда средний радиус кривизны неровностей значительно меньше радиуса сферы. На практике указанное неравенство выполняется не всегда (табл. 2.2), что и вызывает нарушение «работоспособности» критерия (2.60).

Выразим критерий л через безразмерные величины, характеризующие контакт шероховатой сферы. В качестве таковых предложены безразмерная нагрузка Т = 2PjoE3,2Ro, а также параметры топографии ц [60] и широкополосное™ а (последний характеризует распределение вершин выступов по высоте). Учитывая связь [260]1,897г2/3 и представление [167]

ц= (2/Зл)3'2(2—hi 3) a!'2(^/p)!% можно записать

/. «0,23/. «0,23а1а1(2.62)(2.62)

/. «0,23

/. «0,23

а1

а1

(2.62)

(2.62)

Рассмотрим следующий пример. Пусть гладкий стальной шар радиусом R = 5 мм (Ei = 2-105 МПа, vi=0,3) контактирует с плоским шероховатым образцом, изготовленным из полиэтилена низкой плотности (£'2 = 2-102 МПа, т-2=0,45), с параметром шероховатости Ra = 0,9 мкм (о=1,16 мкм, р= 11,35 мкм, Р = 0,63-10“2 мкм-2). В этом случае имеем а = (42,81сф£>)2= = 12,46, р = 6,52. Задавая ограничение Л<0,003, из выражения (2.62) получим Т> (0,23а1;2/цЛ)2,'3= 12. Переходя к раз-

Рис. 2.15. Изолинии Х=0,003: 1 — Е=\ МПа; 2—10'; 3 — 102; 4 — 103; 5—W; 6— £=105. Штриховые линии— участки экстраполяции. Точка М соответствует данным примера расчета минимальной герцевской нагрузки

мерной нагрузке и учитывая Е'= [(1—v2)/Ei + (1—х^/Дг]"^ = 219,59 МПа, можно сделать вывод о том, что теория Герца применима с погрешностью ^10%, если сжимающая нагрузка превышает значение Р=ТоЕ' (2Ro)li'2j2 = 0J6 Н (рис. 2.15).

При оценке возможности применения теории Герца удобно пользоваться изолиниями X = const, построенными для упругих характеристик контактирующей пары. Для изолиний, показанных на рис. 2.15, параметр Ra и другие характеристики шероховатости выбирались по данным профилометрирования шлифованных поверхностей. При этом, если точка с координатами (Р, Ra) лежит ниже соответствующей кривой, допустимо применение теории Герца. Несмотря на то что зависимости, изображенные на рис. 2.15, построены для R = 5 мм, ими можно пользоваться и при других значениях радиуса. В случае увеличения (уменьшения) радиуса в к раз кривые следует сместить вправо (влево) на (fe1/3—1)Р единиц.

Критерий (2.61) можно применять также для выбора нагрузки или соответствующего качества обработки индентора и исследуемой поверхности при определении модуля Юнга, твердости и других механических характеристик по методикам, основанным па использовании зависимостей Герца, а также при учете масштабного фактора в модельном эксперименте [260].

Таким образом, предложен критерий, позволяющий оценить погрешность теории Герца при практическом определении характеристик контакта криволинейных тел с учетом их размеров, качества обработки поверхностей, механических свойств материалов и нагрузки.

Глава 8

ДВУХУРОВНЕВЫЕ МОДЕЛИ КОНТАКТАПОВЕРХНОСТЕЙ

Для каждой реальной поверхности твердого тела характерно наличие неровностей ио крайней мере двух из четырех возможных уровней: макроотклонение, волнистость, шероховатость и субшероховатость. Чтобы учесть влияние неровностей нескольких уровней на характеристики контактного взаимодействия таких поверхностей, необходимо разработать соответствующую модель дискретного контакта. Однако решение этой задачи связано с определенными трудностями как геометрического, так и механического характера. Геометрические обусловлены тем, что естественная попытка описать многоуровневую топографию с помощью единого случайного поля может привести к «потере» стационарности и эргодичности, которые являются необходимым условием применяемой теории [156, 161 ].

Кроме того, современные методы измерения шероховатости, дающие исходные данные для аналитического описания, как правило, отфильтровывают более мелкие неровности.

Затруднения механического характера связаны с отсутствием в механике твердого тела решений соответствующих контактных задач. Их удается преодолеть (конечно, с определенной степенью приближения), если каждый уровень неровностей рассматривать как самостоятельный объект со своей геометрией и, в общем случае, с различными механическими свойствами. Такой подход, учитывающий совместное деформирование неровностей разного уровня, принят нами в последующем изложению

Одной из первых работ, посвященных созданию «многоэтажных» моделей, является статья Дж. Ф. Арчарда [222|, который предложил схему «сфера на сфере», где шероховатость сферы состопг из равномерно ржмфсдслепиыг по поверхности одинаковых сферических выступов. Дайе каждая кз малых сфер ыокрш гп аналогично сферам л = тце меньше го размера и т. д.

Модель Арчарда, с помощью которой удалось похазагь. что и при упругом контакте зависимость между площадью контакта п нагрузкой может быть почти линейной (как при пластическом контакте), не предназначалась для расчета взаимодействия конкретных поверхностей. Принятые автором модели допущения носят качественный характер, поэтому попытка использовать ее в расчетах окончилась фактически безрезультатно [277]. Однако для нас модель Арчарда служила важным стимулом для работы в данной области,

определенным этапом которой являются двухуровневые модели волнистость—шероховатость и шероховатость—субшероховатость, рассматриваемые ниже.

КОНТАКТ ВОЛНИСТЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Одним из сочетаний уровней топографии, привлекающих внимание исследователей в области трения и износа, является волнистость—шероховатость. Наиболее простой случай — регулярная волнистость. И. В. Крагельским предложены простые формулы [106] для оценки контурной площади контакта поверхностей с регулярной сферической волнистостью

„С1К2/3АУ3№/з

С£2/3

и регулярной цилиндрической

_ cX'2ALi3N^i

где щ, (у — постоянные в формуле Герца; RB — радиус волны; N — нагрузка; L —"расстояние между вершинами волн. Влияние шероховатости не учитывается.

Другой подход [62] заключается в том, что волнистость моделируется гладкими сферами, а расчет выполняется по формулам, полученным для упругого контакта шероховатых поверхностей. Распределение материала волн по высоте оценивается на основе волпограммы. Однако наличие шероховатости может привести к существенному увеличению контурной площади. Последнее учтено Н. Б. Демкиным для случая упругой и пластической деформации шероховатости [67]. При этом деформация волн предполагалась упругой, а для описания распределения волн по высоте применялся аналог опорной кривой для воли. Расчет единичной контурно!! площадки проводился с использованием результатов работы [НИ]. Также получены зависимости для контурной площади А,. контурного давления /д, межкоптакнюго пространства V„ фактического давления у, и ФГ1К как при контакте по шистой шероховатой поверхности с гладкой, так и двух волнистых шеро"-;- ватых поверхностей [671. Пгпосительна;; ФШ\ (цщеделглаеь с помощью равенства

Ф We

Здесь

Иг = Аг/Аа; т] = Аг/Ас; т]с = АС[АО.

При вычислении предполагалось, что кривизной волны можно пренебречь, т. е. не учитывалось неравномерное деформиро-

вание неровностей в пределах единичной контурной площадки. При малых нагрузках это может привести к погрешностям.

Расчет ФПК с использованием статистики в случае контакта волнистой шероховатой поверхности с идеально гладкой плоскостью, а также при контакте двух волнистых шероховатых поверхностей описан также в работах [151, 152]. Волнистость представляется в виде поверхности синусоидального цилиндра (сечение в поперечном направлении является синусоидой). Влияние волнистости на формирование ФПК учитывается посредством корректировки функции распределения выступов шероховатости по высоте. Деформирование материала волны при нагружении контакта не рассматривается. Во многих случаях, когда волнистость имеет сферическую или цилиндрическую форму, для расчета контактного взаимодействия волнистых шероховатых поверхностей удобно использовать алгоритмы предыдущей главы (см. параграфы 7.1, 7.2).

В качестве примера рассмотрим контакт волнистой шероховатой плоскости с идеально гладкой. В первом приближении предположим, что волны имеют одинаковые размеры. При больших нагрузках для плоского контакта можно считать, что все волны, находящиеся в пределах номинальной площади, будут контактировать с идеально гладкой плоскостью. Тогда количество волн nh, вступивших в контакт, рассчитываем по формуле;

пк = AJL2,

где L — расстояние между вершинами волн.

Для небольших нагрузок или малых номинальных площадей контакта (по сравнению с размерами волн) можно принимать число контактирующих волн равным трем для номинально плоских поверхностей, двум — если хотя бы одна из контактирующих поверхностей является цилиндрической, одному — если хотя бы одна из них окажется сферической. Равномерно распределяя между волнами номинальную нагрузку, определяем контурную площадь контакта

Ас = пк8к-

Здесь Sk — площадь единичного контурного пятна контакта.

Прежде чем приступить к расчету Sk, необходимо с помощью критерия шероховатости оценить значимость вльяния шероховатости на контактные характеристики. Так, для сферической волны можно воспользоваться критерием X (2.62) при нагрузке на отдельную волну Pjnh. Если вклад шероховатости незначителен, то площадь контурного пятна контакта вычисляется по формуле

/ Q О D \ 2/3

SB = л I —.(2.63)

к 4 nk E )

Когда же влиянием шероховатости пренебречь нельзя, то

SB = 2лЯв<та*,(2.64)

где безразмерный эффективный радиус контакта ст связан с нагрузкой Р]пк с помощью соотношений (2.58), (2.59).

Для расчета ФПК необходимо использовать соответствующие зависимости (см. параграф 7.1), если дана нагрузка на волну. Знание величины единичного контурного пятна (2.64) позволяет несколько упростить расчеты, считая с определенной погрешностью контакт на этом пятне номинально плоским. Тогда можно воспользоваться формулами из подпараграфов 6.2.2 или 6.2.3, в которых уровень деформации а находятся по нагрузке P[nKSlv

Аналогично, имея связь других характеристик контакта (деформационной силы трения, силы адгезионного взаимодействия, электрического сопротивления контакта) с параметром d, можно учесть влияние волнистости на их величину. Схема расчета контактной электрической проводимости с учетом волнистости более подробно будет рассмотрена в разд. IV.

На рис. 2.16 показаны результаты расчета ФПК с учетом волнистости (кривые 2, 3) и проведено сравнение с соответствующими данными, относящимися к контакту поверхностей при отсутствии волнистости (кривая /). Представляет интерес неочевидный факт, что в области малых нагрузок ФПК. волнистых поверхностей может превышать ФПК шероховатых (кривая 2). Эта особенность формирования контакта объясняется, по-видимому, тем, что на вершинах волн реализуются высокие контурные давления, в значительно большей степени деформирующие шероховатый слой, чем при отсутствии волнистости. Косвенное экспериментальное подтверждение получения более высоких значений ФПК. для поверхностен большей кривизны приводится в разд. IV. При значительных нагрезках без существенной потери точности расчет можно

Рис. 2.16. Зависимость ФПК от нагрузки: /—расчет без учета волнистости: 2— по формуле (2.64); 3— по (2.63); штриховая линия — по методике Н. Б. Демкина [67]

вести по упрощенной методике (кривая 3) с использованием формулы (2.63).

Сравнение результатов расчета ФПК волнистых поверхностей для разных нагрузок по предложенной схеме с данными, полученными по методике Н. Б. Демкина [67], показало удовлетворительное их соответствие.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТАКТАС УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ И СУБШЕРОХОВАТОСТИ

Известны многочисленные экспериментальные свидетельства существования субиюроховатости. Это определяет высокую актуальность разработки модели дискретного контакта шероховатых поверхностей с учетом субшероховатости. Ниже рассмотрена соответствующая задача в достаточно общей постановке, когда реальная поверхность моделируется отклонением двух уровней. Из ее решения в качестве частного случая вытекает наиболее интересный и важный для теории трения вариант: шероховатость+субшероховатость [22, 168].

Схема построения модели является модификацией стандартной схемы, используемой обычно для расчета контактных характеристик, например ФПК (см. параграф 6.1). На первом этапе решается задача о контакте шероховатой сферы и плоскости. Такая сфера служит моделью реальной микронеровности, имеющей субмикроотклонения. Решение этой задачи даст соотношение между некоторой искомой характеристикой, например площадью контакта, и уровнем деформации. На втором этапе решение для отдельной неровности распространяется на всю номинальную поверхность, т. е. фактически определяется среднее значение искомой величины в соответствии с заданным законом распределения высот вершин неровностей.

Основные предпосылкии алгоритм расчета

Рассмотрим контакт шероховатой поверхности с идеально гладкой (рис. 2.17). Пусть шероховатая поверхность имеет два уровня неровностей. Неровности большего масштаба будем называть отклонениями 1-го уровня или шероховатостью, мелкомасштабные — отклонениями 2-го уровня или субшероховатостью. Параметры и характеристики, относящиеся к различным уровням, обозначим буквами с индексами 1 и 2 соответственно.

Предположим, что шероховатость изотропна, однородна и является реализацией гауссовского случайного поля. Распределение высот вершин <1> , щ при этом характеризуются функцией Папака (1.43). Выступы шероховатости в свою очередь

Рис. 2.17. Схема расчетаРис. 2.17. Схема расчета«покрыты» субшероховатостью, вершины которой распределены случайным образом по высоте. Будем использовать предположение о гауссовском их распределении. Нормальный характер распределения ординат профиля на субмикроуровне подтверждается в ряде случаев при статистическом анализе результатов измерения топографии поверхности с помощью сканирующего туннельного микроскопа (СТМ). Например, для профилей, снятых при туннельном сканировании поверхности образца из алюминия (см. рис. 1.7), получены оценки для асимметрии и эксцесса (табл. 2.3). Поскольку среднее значение асимметрии близко к

Рис. 2.17. Схема расчета

Рис. 2.17. Схема расчета

О, а эксцесса — к 3, то можно говорить о близости распределения ординат вершин субнеровностей к нормальному. Проверка гипотезы нормальности распределения точек профиля с помощью критерия %2 (при уровне значимости 0,05) нс отвергает данного предположения.

Описание деформирования случайного рельефа обычно предполагает, что закон деформирования отдельной неровности известен. Последнее требует допущения о форме неров- ностсй и характере связи деформаций и напряжений. В связи с этим смоделируем выступы упругими сферическими сегментами с постоянным для каждого уровня радиусом. Для шеро- ловатости такое представление о форме является наиболее рациональным [67]. Анализ электронно-микроскопических фотоснимков п данных сканирующей туннельной микроскопии [187] показывает, что оно применимо и для субшероховатости.

Очевидно, что даже в слабонагруженных стыках на субмикропятнах могут развиваться контактные давления, значите.чьпо превышающие предел текучести материала. Однако

i —0.853,7630i —0,122,5840—0,282.3050;0.102.4460!0,654,06i —0.853,7630i —0,122,5840—0,282.3050;0.102.4460!0,654,060,302,450.032,890,453,050,172,750,302,450.032,890,453,050,172,75

i —0.85

3,76

30

i —0,12

2,58

40

—0,28

2.30

50

;0.10

2.44

60

!0,65

4,06

i —0.85

3,76

30

i —0,12

2,58

40

—0,28

2.30

50

;0.10

2.44

60

!0,65

4,06

0,30

2,45

0.03

2,89

0,45

3,05

0,17

2,75

0,30

2,45

0.03

2,89

0,45

3,05

0,17

2,75

T; Г> л n и а 2.3. Значений асимметрии и эксцесса для СТМ профилей

Номер про- I .

филя| Асимметрия

Эксцесс

Номер профиля

Асимметрия

Эксцесс

ИЗИЗ,1 Ki. Ы18

ИЗ

ИЗ

из-за незначительных размеров этих пятен существенную роль играет масштабный фактор [108], который проявляется в том, что в малых областях нарушается дислокационный механизм пластических деформаций [253]. В результате во много раз может повышаться исходный предел текучести материалов и деформирование будет совершаться в упругой области. Таким образом, далее субмикронеровности рассматриваются как континуальные упругие объекты и связь деформаций с нагрузкой для отдельного выступа осуществляется по формулам Герца.

В процессе контактирования поверхностей наиболее высокие выступы шероховатости (1-й уровень) будут деформироваться и образовывать пятна фактического контакта (согласно принятой терминологии). Однако, вопреки традиционным представлениям, каждое фактическое пятно касания является дискретным и в свою очередь подразделяется на совокупность пятен физического контакта, обусловленных контактированием субмикропсровпостси. Характерной чертой физического контакта будем считать сближение контактирующих тел на расстояния, соизмеримые с межатомными.

Допустим, что контактирующие поверхности приблизились настолько, что уровень деформации (расстояние от гладкой поверхности до средней линии шероховатости) составил величину г/ц ФПК при этом равна сумме площадок касания всех неровностей, вступивших в контакт. Учитывая закон распределения неровностей по высоте и равномерность их расположения по номинальной поверхности, получаем

А ^ = A Dy Ат. (z — й^ Ф1 <z) dz,

где Да — поминальная площадь контакта; Аг,(г—(Г)=пй2 — площадь единичного фактического пятна контакта.

Из тех же соображений для физической площади контакта находим

A {dj = АаВг A, (z — d^ Ффг) dz.

А

Здесь функция Ai(z—dd) определяет физическую площадь контакта в пределах единичного фактического пятна.

Предположим, что деформация неровностей 1-го уровня не зависит от расстояния между ними, т. е. отсутствует их взаимовлияние. Такое предположение нс будет приводить к значительным погрешностям расчета при уровне деформации А>1. Следует отметить, что для значительно более плотно расположенных неровностей 2-го уровня эффект взаимовлияния может быть более существенным. Он учитывается в результате решения задачи о совместном деформировании не-

ровностей и основания, на котором они расположены [60, 78], при определении зазора и. В этом случае суммарная (номинальная) нагрузка для данного уровня ds рассчитывается по формуле

Р (^) = Аа Dx f Pi (z — dj Фг (z) dz,d,

где Pi(z—dx) — сила, деформирующая единичную неровность 1-го уровня на величину г—d^ при наличии субшероховатости.

Учитывая геометрическую связь между уровнями деформации

z — di = w0 —• d2

(дао', d2 определены в предыдущей главе) и переходя к безразмерному виду, получаем

AT(d*V= 2РхП^гд ( [а* (ш,*)р ФГ(/)^,(2.65)

A (d?) = A f A; (w* )Ф* (/) dt,(2.66)

P (dh = —Lf p. Ф1 ^ dt. (2.67)

Z V Z V

Здесь

AT = AjAa; A = AjAa; P = P/AaE;

да* = —~ (t — d*) -[- d*; d* = diJOp 02

Функции а* (да*), А-, (да*), Pi (да*) будем представлять в параметрическом виде с общим параметром d*. Тогда получим

AA^'V- —) (Е—и*)Ф2*(Ур«,(2.68)

Р; ^ _и f J (Е _ и^ ф* (Е) pdpd^, (2.69)

а* (®й) = 0,75л1/2сГ(^ + 3/2)/Г(&+ 2),(2.70)

■где с и k зависят от параметров d* и р; Ф* (g) = (2л)-,/2х

X ехр^_ — £2 ] ..

Предлагаемые формулы (2.68), (2.69) отличаются от известных тем, что традиционно используемые для расчета площади пятен контакта единичных неровностей 1-го уровня гср- цевские зависимости заменяются соответствующими выраже-

Рис. 2.18. Зависимость нагрузки (Щ и и.тощали контакта (б) от величины сближения: сплошные линии — расчет с. помощью (2.68) и (2.69); штриховые- - по формулам Горца

ниями для шероховатой сферы (см. параграф 7.1). Сравнение зависимостей для субшероховатой неровности 1-го уровня с аналогичными соотношениями для гладкой показывает, что нагрузка и площадь фактического пятна контакта с ростом w0 стремятся к герцевским значениям (рис. 2.18, л). В отличие от них физическая площадь контакта для единичного пятна 1-го уровня даже при больших деформациях (высоких нагрузках) остается меньше герпсвской площади контакта, и в пределе с ростом и?(| зависимости становятся почти параллельными (рис. 2.18. б), т. с. /Псш) асимптотически шр^мится к некоторой кривой ф/Ълиф) (/1И = л^лоп, Г--со;иЛ). которую можно определить в результате -шелепши о экстр:: \пи га.

Таким образом, расчет н.чощада кошки та 1 номппалыюй нагрузки в сюотвоктвив с принятой моделью шероховатон поверхности проводится в цш этака. Па ш рыш реш шея задача для елииичной шероховатой сферы Ко. паршраф 7,Г), на втором сгущаете,тяшея |шенроч] пиш-пие тат решеиш на ансамбль неровностей 1-го уровня, случайным образом расположенных по высоте. Значительно упростить расчетную с.хсму удается, если па первом этапе пользоваться аппроксимацией [168]

Зл Г

Я._ 8УТ v V R? ’ d- < ” 4’

, 1 , 2 5]ll0 - '

7,8 psw? , — 4<d*<l,

Здесь ф = 0,31 р°>4.

В дальнейшем для каждого сочетания параметров шероховатости и субшероховатости решалась задача ср контакте шероховатой сферы, а подынтегральные функции Л„ Pt и а* при интегрировании (2.65) — (2.67) задавались в виде таблиц значений с малым шагом дискретизации (Ad* = 0,01). Численное интегрирование проводилось методом кубических сплайнов [218].

Выбор исходных данных

Выбор исходных данных является ответственным этапом осуществления численного эксперимента. Параметры шероховатости 1-го уровня определялись путем профилометрирова- ния реальных поверхностей. Использование комплекса профилометр—ЭВМ |61] позволяло наряду со стандартными параметрами шероховатости получать моменты спектральной плотности. Расчет проводился для поверхностей с шерохова- гостыо Р„ = 0,5 мкм (лго=О,41 мкм2, z?^2 = 0,13-10 !, 1Ш,= -0,25-10 2 мкм 2, а = 6,27) и /?<г = 0,08 мкм (///-о = 0,11 • 10"1 мкм2, ш2=0,25-10 3, //г4 = 0,13- 10 4 мкм~2, а = 2,11).

При выборе параметров субшероховатости пользовались литературными данными (см. табл. 1.1), а также некоторыми эвристическими соображениями, основанными па учете размеров структурных образований материалов и геометрическом согласовании параметров. Так, параметр од Д-чя субшероховатости в среднем составляет «10 нм, радиус закругления вершин микровыступов 10...1000 им [32, 86]. При этом значения радиуса будем согласовывать с высотным параметром сц с помощью перавепшва 2,5 5$ ^/(Ц-<130. Здесь при выборе нижней границы предполагалось, что максимальная высота Чии1Х-=2,5о2- В данном случае седеры, моделирующие наибо- тсе высокги неровно; тн 2-ю уровш;, лежат на основании своими центральными (слюнями. Для верхши границы предполагалось справедливым соотношением RS«R\. Это условие можно рассматриваю, как критерий дискретизации уровней шероховатое гл, но которому неровности разных уровней должны отличаться характерными размерами так, чтобы в пределах единичного пятна контакта 1 го уровня находилось статистически представительное множество пятен контакта следующего уровня. Плотность неровностей 2-го уровня иа единицу площади оцениваем по формуле

П2 = k^nj2n.o^R4,

Номер варианта

d, МКМ

Ri, мкм

02, мкм

D4) мкм-2

Rt, мкм

а

м-

1*

0,08

283,0

2,1

2

0,08

283,0

0,01

10,0

0,20

2,1

3,5

3*

0,50

13,3

—

—

—

6,3

—

4

0,50

13,3

0,01

10,0

0,20

6,3

0,6

5

0,50

13,3

0,01

25,0

0,10

6,3

1,0

6

0,50

13,3

0,01

1,6

0,20

6,3

0,1

7

0,50

13,3

0,01

210,0

0,30

6,3

5,0

8

0,50

13,3

0,01

3,2

0,20

6,3

0,2

9

0,50

13,3

0,01

335,6

0,03

6,3

8,0

10

0,50

13,3

0,01

4,8

0,20

6,3

0,3

И

0,50

13,3

0,01

2,8

0,20

6,3

0,15

12

0,50

13,3

0,01

419,5

0,03

6,3

10,0

Таблица 2.4. Параметры топографии в расчетных вариантах

* Варианты,

в которых

предполагалось, что субшероховатость отсут

ствует.

где &Уп— коэффициент плотности упаковки; ( = /гтах/сг2 нфи этом 1^(=СРг/о2) •

Целесообразно характеризовать субшероховатость комплексным параметром ц, который при указанных выше ограничениях изменяется в пределах 0,l^p^lO. Расчет проводился в более широком диапазоне: 0,01 ^р^ 100. Основные исходные данные приведены в табл. 2.4.

Механические характеристики шероховатости и субшероховатости принимались соответствующими объемным свойствам контактирующих тел. Хотя такое предположение не отражает реальной картины контактного взаимодействия, оно позволяет более четко выделить влияние топографии поверхности на формирование фактической и физической площадей контакта.

Фактическая и физическаяплощади контакта

В соответствии с изложенным выше алгоритмом расештаны параметры контакта шероховатых и субшероховатых поверхностей. Расчет фактической площади контакта в предположении, что микровыступы гладкие, т. е. субшероховатость отсутствует, дает заниженную величину ФПК. Поэтому целесообразно размер единичного пятна 1-го уровня определять не герцевским, а эффективным радиусом контакта а. Вклад субшероховатости в величину ФПК зависит от многих факторов, и приближенно его значимость можно оценивать с помощью критерия (2.62) [208]. Так, решая равенство— | / ^ = ш0 v Ry

= Хдля отдельного выступа в расчетном варианте 4 (табл. 2.4) относительно ®о, получаем, что погрешность при расчете радиуса пятна контакта 010% (А = 3 - Ю”3) в отличие ст варианта 2. Отсюда следует, что при определении ФПК с меньшими значениями Ra, погрешность от пренебрежения субше- роховатостыо будет более значительной, чем для грубо обработанных поверхностей. Например, для /% = 0,54 мкм она составляет 8%, а для Ra = 0ДЗ мкм —■ 16%. Более точную оцен-

ФПК для шероховатого (сплошФПК для шероховатого (сплошная 1ИННЯ) 1! субшероховатого (штриховая) контактовная 1ИННЯ) 1! субшероховатого (штриховая) контактовРис. 2.20. Зависимость площади контакта от нагрузки: фактическая (штриховая линия) и физическая (сплошная) площади контакта. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 2.4Рис. 2.20. Зависимость площади контакта от нагрузки: фактическая (штриховая линия) и физическая (сплошная) площади контакта. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 2.4

ФПК для шероховатого (сплош

ФПК для шероховатого (сплош

ная 1ИННЯ) 1! субшероховатого (штриховая) контактов

ная 1ИННЯ) 1! субшероховатого (штриховая) контактов

Рис. 2.20. Зависимость площади контакта от нагрузки: фактическая (штриховая линия) и физическая (сплошная) площади контакта. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 2.4

Рис. 2.20. Зависимость площади контакта от нагрузки: фактическая (штриховая линия) и физическая (сплошная) площади контакта. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 2.4

ку можно получить при сравнительном анализе ФПК с учетом (штриховая линия) и без учета (сплошная) субшероховатости (рис. 2.19). Как показывают результаты расчетов в диапазоне наиболее часто встречающихся нагрузок влиянием субшероховатости на величину ФПК нельзя пренебречь (погрешность ^10%) при Ка<0,1 мкм (полимерный и металлополи- мерный контакты) и /%-<0,2 мкм (металлический контакт).

Влияние параметров субшероховатости на формирование физической площади контакта рассмотрим более подробно. Результаты расчета физической площади контакта представ- локн на рис. 2.20 в виде зависимости относительной физической площади контакта от безразмерного номинального дав- левич. Физическая площадь контакта, обусловленная субше- рохокатоетью, по крайней мере на один-два порядка меньше ФПК. Данный результат является, вообще говоря, достаточно очевидным: имеются сведения о том, что наличие субшероховатости должно снижать величину реальной площади контакта [22, 64, 318].

При обсуждении влияния параметра р на величину физической площади контакта следует иметь в виду, что наблюдается совместное воздействие факторов топографии и нагрузки. С ростом последней происходит уменьшение роли субшер ховатости, которое объясняется тем, что при малых нагрузках

формирование фактического контакта обусловлено в первую очередь деформацией субмикронеровностей. С увеличением нагрузки достигается уровень деформирования, когда преобладающим становится прирост площади контакта вследствие деформации неровностей 2-го уровня. При этом число вновь вступасмых (в основном лишь в узком периферийном кольце, обрамляющем единичную площадку контакта) в контакт выступов 1-го уровня снижается и вклад их в процесс

топографии ц при постоянной нагрузке; 1 — Р = 5- 10 '; 2 — 5-10 У 3-5- Ю-4; 4 — Р = 5-10- ’топографии ц при постоянной нагрузке; 1 — Р = 5- 10 '; 2 — 5-10 У 3-5- Ю-4; 4 — Р = 5-10- ’ния) и физическую площадь контакта (сплошная). Обозначения соответст- нсют номерам вариантов в табл. 2.4ния) и физическую площадь контакта (сплошная). Обозначения соответст- нсют номерам вариантов в табл. 2.4

топографии ц при постоянной нагрузке; 1 — Р = 5- 10 '; 2 — 5-10 У 3-5- Ю-4; 4 — Р = 5-10- ’

топографии ц при постоянной нагрузке; 1 — Р = 5- 10 '; 2 — 5-10 У 3-5- Ю-4; 4 — Р = 5-10- ’

ния) и физическую площадь контакта (сплошная). Обозначения соответст- нсют номерам вариантов в табл. 2.4

ния) и физическую площадь контакта (сплошная). Обозначения соответст- нсют номерам вариантов в табл. 2.4

формирования физической площади контакта уменьшается.

Па рис. 2.21 изображены зависимости безразмерной физической площади контакта от параметра топографии р. Изменение осуществлялось путем варьирования плотности субшероховатости Z)2. Для приведенных кривых характерным является наличие минимума в области р зк 1 в широком диапазоне нагрузок. Увеличение физической площади контакта вне этой области обусловлено, очевидно, разными причинами. При lO 1 происходит своеобразное выглаживание поверхности и рост А обусловлен увеличением количества контактов; когда р<1, число контактов уменьшается, но резко возрастает величина единичных пятен контакта, сформированных субнеровностями.

Неявно выраженный максимум при малых р (р^0,1) требует дополнительных исследований. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, столь низкие значения р маловероятны для реальных поверхностей и, во-вторых, они реализуются при столь малых плотностях D^, когда становится проблематичным использование принятой статистической модели. Необходимо отметить, что представляемая математическая модель может обеспечить выполнение предельных случаев коп- ектировапия: как для очень малых, так и для больших значений плотности субмикровыетуиов величина физической

площади контакта А стремится к величине ФПК. «Нанесением субшсроховатости с одними и теми же параметрами на поверхности с разной шероховатостью 1-го уровня сравнительно слабо влияет на соотношение между физической н фактической площадями контакта (рис. 2.22).

Из приведенных данных следует вывод, что комплексны!! параметр р не может однозначно отразить роль топографии в контактном взаимодействии. Так, на рис. 2.23 кривая 1 по-

Рис. 2.23. Влияние способа варъ- ировапия р па величину физической площади контакта: / р пропорционально D2 при прочих равных условиях; 2— o,2D2R2 = =const

строена для переменной плотности О2- При получении кривой 2 значения р варьировались путем согласованного изменения плотности и радиуса закругления вершил субнеровностей, когда cr2-D2^2^0,02. При этом для одних и тех же значений р получены разные значения А.

Исследование влияния нагрузки на формирование физической площади контакта целесообразно проводить, анализируя отношение q =-Р / A (q имеет размерность давления). Однако придавать ему смысл давления на физических пятнах контакта было бы необоснованно, так как данная величина не отражает истинных напряжений на 2-м уровне дискретизации, где существенный вклад могут вносить неучитываю- щиеся факторы, например поверхностные силы (ван-дер- ваальсовы, электростатические и др.).

При исследованиях в области трения и износа часто используют степенную аппроксимацию зависимости площади контакта от нагрузки

А ~ Рь , (2.71) при этом

q~P'-'bA (2.72)

Дж. Ф. Лрчардом сделан вывод, что показатель степени b не превышает единицы, стремясь к ней при увеличении-числа моделируемых уровней неровностей. Вопрос, отражает ли ука- щнное свойство физическую закономерность контакта или оно заложено в расчетной модели Арчарда, обсуждался И. В. Крагельским [108] со ссылкой на некоторые эксперимснталь-

Рис. 2.24. Зависимость величины давления, отнесенною к удельной фиш- ческой площади, от нагрузки для разных параметров топографии. Обозначения соответствуют номерам вариантов в та.бл. 2.4 ■Рис. 2.24. Зависимость величины давления, отнесенною к удельной фиш- ческой площади, от нагрузки для разных параметров топографии. Обозначения соответствуют номерам вариантов в та.бл. 2.4 ■Рис. 2.25. Влияние разном» чуль- иости неровностей 1-го и 2-го уровней на зависимость физической, площади контакта (сплошные линии) от нагрузки: 1 — Е2/Е = 0,1; 2 — 1; 3 — 5; 4 — EJE^YO; штриховой линией обозначена ФПК

Рис. 2.24. Зависимость величины давления, отнесенною к удельной фиш- ческой площади, от нагрузки для разных параметров топографии. Обозначения соответствуют номерам вариантов в та.бл. 2.4 ■

Рис. 2.24. Зависимость величины давления, отнесенною к удельной фиш- ческой площади, от нагрузки для разных параметров топографии. Обозначения соответствуют номерам вариантов в та.бл. 2.4 ■

пыс данные, показывающие, что показатель степени может превышать единицу.

Результаты вычислительного эксперимента свидетельствуют, что в случае совместной деформации совокупности шероховатость + субшероховатость показатель зависит от нагрузки и может быть как больше, так и меньше единицы. Из (2.72) следует, что если Ь<1, функция q(P) монотонно возрастает, при 6>1—монотонно убывает и имеет .экстремум, если выражение (&—1) меняет знак.

Влияние нагрузки при формировании физической площади контакта существенно зависит от параметров субшероховатости и шероховатости (рис. 2.24), а также от «скорости» образования новых физических пятен касания при нагружении контакта. При малых нагрузках и достаточной плотности субмикровыступов число пятен на единицу уровня деформации NfSdy растет быстрее экспоненциальной зависимости из- за того, что в контакт вступают как новые выступы 1-го уровня, так и (в пределах каждого фактического пятна) неровности 2-го уровня. В этом случае Ь>1, что согласуется с результатами, полученными в работе [306]. При достижении некоторого уровня деформации на большинстве фактических пятен наступает насыщение и прирост идет в основном за счет контактирования новых выступов 1-го уровня. В данном случае, пользуясь зависимостью (2.71), следует иметь в виду, что предположение b = const допустимо лишь в узких диапазонах нагрузки.

Рассмотрим влияние механических свойств субшероховатости на процесс формирования реального контакта. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что неровности обоих уровней обладают одинаковыми упругими свойствами. Одна-

ко механические характеристики неровностей на субмикро- уровнс, естественно, отличаются от объемных. Вследствие отсутствия надежной информации о соотношении упругих свойств шероховатости и субшероховатости расчет (численный эксперимент) проводился для разных сочетаний модулей Ех и Е^. Некоторые его результаты представлены на рис. 2.25. Анализ расчетных данных показывает, что в случае Е2!ЕХ^_\ величина физической площади контакта приближается к ФПК за счет сильного деформирования неровностей на субмикроуровне. Увеличение отношения E^Ei вызывает уменьшение физической площади контакта. Так, при Е^Е\=А0 величина А снижается приблизительно в 5 раз по сравнению с вариантом, когда упругие свойства неровностей на обоих уровнях не различаются. Таким образом, оценка и учет свойств поверхностных слоев может существенно уточнить расчет.

В заключение следует отметить, что понятие физической площади контакта, известное в трибологии ранее [64] как качественная характеристика, благодаря разработанной двухуровневой модели получило свою количественную меру. В связи с этим представляется перспективным использование данного понятия при интерпретации элементарных актов фрикционного взаимодействия, связанны?: с молекулярным взаимодействием трущихся поверхностей, и, в частности, при физической трактовке адгезионной составляющей силы трения.

Раздел III

ВЛИЯНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИЛНА ПРОЦЕССЫ КОНТАКТНОГОВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Глава 9

АДГЕЗИОННЫЙ КОНТАКТ ГЛАДКИХ ТЕЛ

9Л. МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕНЕДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В предыдущих разделах в качестве нагрузочного фактора, влияющего па формирование контакта, рассматривалась лишь внешняя механическая нагрузка, сжимающая соприкасающиеся тела. Однако, как отмечалось в разд. I, между поверхностями твердых тел, приведенными в контакт, действуют также силы, обусловленные атомно-молекулярным строением сопрягаемых поверхностей. Их «эффективность» определяется не только физическими и химическими свойствами материалов. по и величиной зазора, разделяющего тела в зоне контакта. Вследствие шероховатости поверхностей и наличия покрывающих их адсорбционных слоев зазоры, соизмеримые с межатомными расстояниями, могут быть реализованы лишь на очень малой части области контакта (физической площади контакта). Поэтому наиболее прочные межатомные связи (ионные, ковалентные, металлические) возникают лишь на площади, не превышающей 0,01...0,1 % от номинальной, и только в том случае, если окружающие условия, химическая природа, структура материалов и ювенильность контактирующей пары допускают их образование.

В общем случае между двумя твердыми телами всегда действуют ван-дер-ваальсовы силы. Это один из слабых видов межатомного притяжения, характерный, например, для инертных газов в твердом состоянии. Величина энергии когезионного взаимодействия последних во много раз ниже, чем для металлов [18]. Ван-дер-ваальсовы силы малы по сравнению с силами других межатомных взаимодействий, но вследствие своей универсальности играют значительную роль в адсорбционных процессах на поверхностях твердых тел. Опи дей-

ствуют также между адсорбированными слоями, покрывающими контактирующие поверхности.

Расчет ван-дер-ваальсовых сил может проводиться на основе двух принципиально разных подходов (микроскопического и макроскопического), которые кратко рассматриваются ниже.

Энергия взаимодействия между двумя молекулами I и j, находящимися на расстоянии I, вычисляется по формуле [122]

(3.1)

где Ад— положительная константа, характеризующая взаимодействие дайной пары атомов. Поскольку вап-дср-ваальсо- вы силы подразделяются на индукционные, ориентационные и дисперсионные, то

-'1 И I Л О I Л 4

Ло - " Е/ + £'/ +■

Здесь £), щ,-, /щ — константы, характеризующие индукционное, ориентационное и дисперсионное взаимодействия соответственно.

Расчеты показывают, что ориентационные и индукционные эффекты незначительны н могут не учитываться, особенно для конденсированных тел [85]. Тогда П ^З?., где Х^. определяется поляризуемостью молекул и частотой колебаний взаимодействующих электронных осцилляторов [122]. Дисперсионные (лоидоповские) силы являются аддитивными. Молекула индуцирует у нескольких соседних молекул диполи, которые притягиваются к исходному диполю. Энергия притяжения между двумя телами при этом представляет собой сумму энергий притяжения между соответствующими парами молекул, составляющих данные тела. Такие рассуждения справедливы лишь для сильноразреженных систем, т. е. газов. Конденсированные системы не являются простой суммой свободных молекул и распространение, на них свойства аддитивности не имеет теоретического обоснования, хотя и используется в ряде случаев. Согласно Г. С. Гамакеру [264], энергия взаимодействия элементарных объемов двух сферических частиц, содержащих в единице объема н молекул, составляет

£— f dVt [ (п^цП6) dV^(3.2)

где 1’ь Г 2 — объемы сфер.

Интегрирование в (3.2) позволяет учесть конфигурацию конденсированных систем при расчете энергии их взаимодействия. Гак. для двух сферических частиц

Е= — Л£/12/(3.3)

(R— радиус частицы; А— постоянная Гамакера); для сфе-

рическои частицы и плоскости

Е -—ARM

(3,4)

Для

двух плоскостей

Е = — AiV2M.

(3-5)

Учитывая, что сила взаимодействия

F dEjdl,

(3.6)

для

двух сферических частиц

F = AR]M;

(3-7)

для

сферической частицы и плоскости

F = ARM;

(3-8)

для

двух плоскостей

F Д/блР.

(3.9)

Сравнивая (3.1) и (3.3) — (3.5), можно отметить, что переход от взаимодействия двух молекул к взаимодействию конденсированных систем (при сохранении предположения об аддитивности сил) приводит к снижению показателя степени величины зазора I. Аналогичная тенденция наблюдается при переходе от плоских поверхностей к криволинейным.

Теория дисперсионных лондоновских сил [122], на базе которой получены формулы (3.2) — (3.9), не учитывает эффекта электромагнитного запаздывания. Это равносильно допущению о бесконечно большой скорости распространения электромагнитных волн и бесконечно малом расстоянии между молекулами по сравнению с длинами волн поглощения Z, которые характерны для атомов и молекул соприкасающихся тел. Теорию Лондона можно считать справедливой до тех пор, пока зазор между контактирующими поверхностями имеет порядок длин волн поглощения, что составляет » 1 нм. Такая величина зазора возможна лишь в зоне непосредственного (физического) контакта. В других зонах области контакта, когда между соприкасающимися телами присутствует диэлектрическая прослойка или воздушный зазор, обусловленный неровностями поверхности, применять данную теорию нельзя.

Впервые взаимодействие отдельных атомов с учетом того, что электромагнитные поля распространяются с конечной скоростью (скоростью света), рассмотрено X. Казимиром и Д. Польдером [237]. При этом авторы, сохраняя предположение об аддитивности, показали, что разность фаз, вызван- 126

ная электромагнитным запаздыванием, ослабляет молекулярное притяжение. В предельном случае (1^>Х) получено

Е = — 23 йссхо/2л/7,(3.10)

где fi — постоянная Планка, деленная на 2л; с — скорость света; а0 — поляризуемость атома.

Описание взаимодействия конденсированных тел с. учетом запаздывания осуществляется на основе соотношения (3.10) и приводит к выражениям, аналогичным (3.7) — (3.9) [85] для тел простой конфигурации. Так, сила притяжения двух сферических частиц

F = А nBR!la\(3.11)

сферической частицы и плоскости

F^A^BRiF',(3.12)

двух плоскостей

F = Bib.(3.13)

Здесь В — постоянная запаздывающих молекулярных сил.

(St + Р^ (б2 + р^(S1 — р) (s2 — р)(St + Р^ (б2 + р^(S1 — р) (s2 — р)Ограниченность микроскопического подхода связана с трудностью учета взаимного влияния атомов в конденсированных толах. Поэтому Е. М. Лифшиц [120] предложил другой способ расчета молекулярных сил, основанный на определении флуктуационного электромагнитного поля в зазоре между телами, рассматриваемыми как сплошные среды. С помощью методов квантовой теории поля [77] получено выражение для силы F, действующей иа единицу площади каждого из тел (1, 2), которые разделены щелью I, заполненной средой 3 (рис. 3.1):

(St + Р^ (б2 + р^

(S1 — р) (s2 — р)

(St + Р^ (б2 + р^

(S1 — р) (s2 — р)

п=0

X exp ——X exp ——(3-14)(3-14)

X exp ——

X exp ——

(3-14)

(3-14)

dp,dp,। Г 1^1 ~Ь P£J6^ (s2 + ре2/е3)

dp,

dp,

I (Si — ptj^ (s2 — pe2/e3)

где

тt„ 2лУ — :■ h

Ki, s2, 83—функции диэлектрической проницаемости, зависящие от мнимо!! частоты ш=--щ; к—пиетонпиая Больцмана; Т— температура; знак штрих у суммы означает, что лс,-рвыii ее член должен браться с половинным весом.

Положительные значения F соответствуют притяжению, а отрицательные—отталкиванию. Если величина зазора удовлетворяет условию l<^ch!kT (при комнатной температуре /<1 мкм), то возможно более простое интегральное представление для (3.14):

Р^-—Т\ рЧ^Ч 1F1±M^^B1 х

(3.15)(3.15)2 л У JЦ (Sj — р^ (s. - - р)

(3.15)

(3.15)

X exp I —— / уе,( 1 х-й с / J

(Si + pt'j^ (^ + /№2/83)(s, — p&il^^,— pvj&a)

X exp I—— I ye„ j — 1X exp I—— I ye„ j — 1

X exp I—— I ye„ j — 1

X exp I—— I ye„ j — 1

Формула (3.15) допускает дальнейшее существенное упрощение в двух предельных случаях.

—11 dxdt.(3.16)—11 dxdt.(3.16)Когда зазор мал по сравнению с длинами волн У, характерными для спектров поглощения взаимодействующих тел (предельный случай малых расстояний):

—1

1 dxdt.

(3.16)

—1

1 dxdt.

(3.16)

F d\ = f С х2 ^.ЕБУфкС'йУЬх^ 16л2Р У (81 — е3) (е2— е3)

С практической точки зрения интересно приближенное представление выражения (3.16), полученное в работах [274, 276J, в котором принимается во внимание только дисперсия в зоне сильного поглощения в оптическом диапазоне частот:

F =F =Й16 У2л/3Й16 У2л/3

F =

F =

Й

16 У2л/3

Й

16 У2л/3

ГЩГЩ (810830) (б20830)

(810"{~830) E^g^y g3Q)I / 2 jy^ (g10 _(_ 83о)1й~ -J- <В2 (е20 + 830),/2]

(3.17) (wi, юг — главные частоты поглощения; ею, 820 и 830 — статические диэлектрические постоянные).

Для расчета сил взаимодействия металл—полимер (s2o = = оо) может быть использована формула

й (ею — езо) Ю1УУ^Двю + езо)1/2 ‘

В случае больших расстояний (Z>>y, но нс настолько, чтобы нарушилось неравенство {IkT/hc) <С 1), получено [77]

Uc16л2/4У^ ’Uc16л2/4У^ ’(Чо — р) (s20 — р) + (s10 + Р') (*$20 + Р^(Чо — р) (s20 — р) + (s10 + Р') (*$20 + Р^(sio + ps10/83n) (s20 + p£«Js^(sio + ps10/83n) (s20 + p£«Js^dpP2dpP2(3.18)(3.18)

Uc

16л2/4У^ ’

Uc

16л2/4У^ ’

(Чо — р) (s20 — р) + (s10 + Р') (*$20 + Р^

(Чо — р) (s20 — р) + (s10 + Р') (*$20 + Р^

(sio + ps10/83n) (s20 + p£«Js^

(sio + ps10/83n) (s20 + p£«Js^

dp

P2

dp

P2

(3.18)

(3.18)

Здесь s10 = 1_ i + p2. S2o = i Al _ i +

i езоV e30

В свою очередь при Z>>y можно выделить следующие частные случаи:

контакт металл—металл (8ю = 82о = °°)

F(3.19)

240 Z4 Уе30

контакт диэлектрик—диэлектрик (ДД) (810 = 820)

Р Л ^С( 810830/ 810 V 901

240 Z4 V 830\ 810 Д- 830 /\ 830 /

контакт диэлектрик—металл (ДМ) (е20=оо)

F = -^--1 610 ~ 8:10 фДМ (. (3.21)

240Z4 У 830е10 + 83о\ 83о /

Численные значения функций <рдд(У и ФдмСУ можно определить из рис. 3.2. Если в контакте отсутствует промежуточ-

Рис. 3.1. Схема контакта двух Рис. 3.2. Графики функций: 7 — тел, разделенных средой 'ф дд (х)■ 2 — <р дм Д) [77]Рис. 3.1. Схема контакта двух Рис. 3.2. Графики функций: 7 — тел, разделенных средой 'ф дд (х)■ 2 — <р дм Д) [77]

Рис. 3.1. Схема контакта двух Рис. 3.2. Графики функций: 7 — тел, разделенных средой 'ф дд (х)■ 2 — <р дм Д) [77]

Рис. 3.1. Схема контакта двух Рис. 3.2. Графики функций: 7 — тел, разделенных средой 'ф дд (х)■ 2 — <р дм Д) [77]

ная среда, то в приведенных формулах ((3.14) — (3.20)) следует положить 8зо=1. Величина зазора, при которой имеет место переход от малых расстояний к большим, зависит от формы спектрального распределения поглощения тел, соизмерима с характерными длинами волн поглощения и составляет для ряда диэлектриков «100 нм [3], а для металлов в несколько раз больше, например для серебра «600 нм [77].

Итак, согласно теории Лифшица, зависимость удельной силы притяжения от расстояния между телами может быть представлена в следующем виде:

F = -^—, (3.22)

6л/3

когда можно пренебречь электромагнитным запаздыванием, и

F = B]IS (3.23)

если эффект запаздывания проявляется полностью. Здесь А — макроскопический аналог постоянной Гамакера; В—постоянная запаздывающих вап-дср-ваальсовых сил. Сравнение выражений (3.9) и (3.22) показывает, что оба подхода (микро- и макроскопический) дают однотипные зависимости силы притяжения от ширины зазора, которые могут отличаться лишь значением постоянной А.

Основные положения макроскопической теории молекулярного притяжения [120] впервые экспериментально проверены Б. В. Дерягиным и И. Н. Абрикосовой [68]. Проведено измерение молекулярных сил притяжения между твердыми телами (кварц) при величине зазора <100 нм. При выборе данных для расчета использована специфичность свойств кварца, который интенсивно поглощает в ультрафиолетовой (начиная с 0,15 мкм) и инфракрасной (начиная с нескольких микрометров) областях. Получено удовлетворительное совпадение теоретических данных с результатами экспериментов.

Современные работы по прямому измерению молекулярных сил между разными модельными телами направлены на уточнение оценок при нанометрических зазорах, выяснение границы запаздывания, учет различных прослоек в зазоре и шероховатости поверхностей [74]. Известные экспериментальные данные в основном подтверждают правильность теории Лифшица.

Основные идеи макроскопической теории молекулярных сил используются также при исследовании более сложных объектов, например многослойных систем, поглощающих жидких прослоек и неплоских поверхностей. Достаточно полный обзор этих работ дан в монографии [74].

Представляет интерес применение теории молекулярных сил в трибологических расчетах [28]. С этой целью часто ис- 130

пользуется выражение для силы молекулярного притяжения в виде [77]

F=<3'24>

Здесь

о [81 (Ф + е3 (»!)] [8-2 (г?) + 83 (ф]

Для определения функции е(г!) необходимы полные сведения о частотной зависимости диэлектрической проницаемости взаимодействующих тел. В работах [288, 310] предложены упрощенные методы расчета g(tg) и показано, что можно ограничиться учетом нескольких основных полос в спектрах поглощения. С помощью формулы Крамерса—Кронига (см., например, [115])

e(zT) = l + -l.(-^MdM)(3.25)

л п® + Е2

где е Дсо) —мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости вещественного аргумента, проведены расчеты функций е(г£) для кварца и благородных металлов [131]. Результаты исследования полимерных материалов приведены в работах [29, 139, 140]. Спектры поглощения полимеров имеют достаточно узкие полосы поглощения в ультрафиолетовой и инфракрасной областях [29], что позволило перейти от интегрирования в (3.25) к суммированию

Здесь ши— начало п-й полосы поглощения; Аип— ее ширина; 11 — число полос.

Результаты исследований по практическому применению теории макроскопических сил представляют несомненный интерес для трибологов. Однако подробный их анализ выходит за рамки данной монографии. Поэтому укажем лишь оценки силы межмолекулярного взаимодействия для разных пар материалов (табл. 3.1). В таблице использованы следующие обозначения: ПТФЭ — политетрафторэтилен, ПКА— поликапроамид, ПИ — полиимид, ПММА— полиметилметакрилат, ПП — полипропилен, ПЭ — полиэтилен, ПЭТФ — полиэтилен- терефталат, Me — металл. В ряде случаев из указанных работ бралось значение постоянной Гамакера (А), а расчет силы проводился по формуле (3.22).

Таблица 3.1. Удельная сила ван-дер-ваальсового взаимодействия, Па, поверхностей некоторых пар материалов при разных расстояниях между ними

Материал

Величина зазора, нм

Источник

0,5

5

10

100

Золото—золото

2,29-Ю8

2,86-10’

2,29-103

2,86-Ю4

2,86-101

[1311

Серебро—серебро

1,74-Ю8

2,18-10’

1,74-105

2,18-Ю4

2,18-10’

[1311

Слюда—слюда

6,66-10’

8,33-10°

6,66-10’

8,33-10э

8,33

31

Кварцевые пластинки

3,28-10’

4,10-106

3,28-10’

4,10-10°

4,10

28]

Стекло—стекло

5,35-10е

6,7-3-103

5,35-10’

6,73-10°

6,73-10-1

[139]

ПТФЭ—ПТФЭ

4,67-10е

5,89-105

4,67-10’

5,89-Ю2

5,89-10-1

[139]

ПКА—ПКА

5,81-10’

7,27-10°

5,81-10’

7,27-10’

7,26

[3]

Тефлон—ПИ

5,90-10’

7,37-10°

5,90-10’

7,37-IO3

7,37

[3]

ПММА—ПП

2,63-105

3,29-10’

2,63-102

3,29-101

3,29-10-2

28]

ПММА—ПЭ

4,84-105

6,05-10’

4,84-10’-

6,05-101

6,05-10-2

28]

ПММА—ПКА

1,51-106

1,89-105

1,51-10°

1,89-102

1,89-10-1

28]

ПММА—ПЭТФ

1,10-10’

1,38-Ю8

1,10-10’

1,38-Ю3

1,38

28]

ПТФЭ—ПЭ

1,49-105

1,86-10’

1,49-Ю2

1,86-101

1,86-10-3

28]

ПТФЭ—ПКА

3,57-10’

4,47-10°

3,57-10’

4,47-10°

4,47

28]

ПТФЭ—ПЭТФ

9,08-10’

1,14-10’

1,34-Ю2

9,08-10’

1,14-10’

1,14-10’

28]

ПТФЭ—ПЭ

1.07-10°

1,07

1,34-10-1

1,34-10-’

Г

10]

ПТФЭ—ПКА

2,34-10°

2,93-102

2,34

2,90- IO-’

2,93-10-’

[140]

ПЭ—ПЭ

5,20-102

6,50-10’

5,20-10-’

6,50-10-2

6,50-10-5

[140]

ПТФЭ—стекло

4,96-10’

6,25-105

4,96-103

6,25-102

6,25-10-1

[139]

Тефлон—Me

2,22-108

2,77-10’

2,22-105

2,77-10’

2,77-10-1

[3]

ПИ—Me

3,91-108

4,89-10’

3,91-105

4,89-10’

4,89-10°

[3]

ПКА—Me

2,91-108

3,63-10’

2,91-105

3,63-10’

3,63-10°

[3]

Слюда—-Me

3,12-Ю8

3,90-10’

3,12-10-5

3,90-10’

3,90-10°

[31

Тефлон—ПИ*

— 1,98-10°

-2,48- 105

— 1,98-10°

—2,48-Ю2

-2,48- 10’

[3]

ПКА—ПКА*

3,91-Ю8

4,90-10’

3,91■105

4,89-10’

4,89-102

3[

Тефлон—Me*

—2,14-10’

-2,67- 10°

— 2,14-10’

—2,67-Ю3

-2,67-Ю2

3]

ПИ—Me*

1,58-Ю8

1,97-10’

1,58-105

1,97. Ю’

1,97-10°

[3]

ПКА—Me*

5,03-10’

6,29- 10°

5,03-10’

6,29-10°

6,29-102

[3[

Слюда—Me*

7,52-10’

9,41-10°

7,52-10'

9,41-10°

9,41-102

[3]

В контакте присутствует прослойка парафинового масла (езч = 2,074),

Как следует из приведенных данных, величина удельной силы межмолекулярного взаимодействия для металлических, металлололимерных и некоторых полимерных пар на расстоянии порядка длины молекулы достигает величины технической прочности наименее прочного из материала пары, однако остается на порядок меньше теоретической прочности. В контакте могут возникать и силы отталкивания (отрицательные значения). Анализ формулы (3.17) показывает, что такая ситуация возможна, если для диэлектрических постоянных выполняется условие е1о>езо>е2о или е2о>езо>ею [3].

Как правило, расчет в рамках теории молекулярных сил характеристик, используемых в приложениях, например силы адгезии, осуществляют применительно к нормальному разделению поверхностей. Однако в теории трения важно уметь оценивать усилие, необходимое для разрушения молекулярных связей при тангенциальном перемещении одного тела относительно другого. Э. В. Теодоровичем [181, 182] получено выражение для силы трения, обусловленной незапаздывающими ван-дер-ваальсовыми взаимодействиями. Возникновение тангенциальной составляющей ван-дер-ваальсовых сил объясняется эффектом увлечения флуктуационного электромагнитного поля сопряженной движущейся средой. В работе [181] в линейном приближении по скорости установлено, что сила трения на единицу площади определяется уравнением

F = ^012711 £о2 (з.26) 64л2/4 е01 + 1 е02 + 1

Численный анализ величины FT показал, что тангенциальная составляющая сил межмолекулярного взаимодействия мала по сравнению с нормальной. Например, для контакта слюда— слюда (eoi = 6o2—2,48; А = 1,57-10" Дж) при зазоре в 1 нм и скорости скольжения и=10 м/с расчет по формулам (3.20) и (3.26) дает F/FT«9,2-106. Это свидетельствует, по-видимому, о том, что предложенное в работе [182] объяснение возникновения молекулярной составляющей трения является неполным и существуют другие механизмы влияния молекулярных сил на трение.

Процесс силового взаимодействия контактирующих поверхностей представляет собой сложное физико-химическое явление, вследствие чего силы на межфазной границе реального контакта не могут быть описаны лишь формальным применением уравнений Лифшица. Ситуация становится более близкой к реальной, если включить в рассмотрение химические связи и дальнодействующие силы электростатической природы. Так, изучение вопроса о соотношении электростатических сил, возникающих в результате образования на контакте двойного электрического слоя, и сил межмолекулярного взаимо-

действия показало соизмеримость их величии при максимально возможном сближении поверхностей [72, 73]. Однако радиус действия поверхностных электростатических сил намного больше радиуса действия молекулярных, поэтому вклад первых в работу, затрачиваемую на разрушение адгезионного контакта, часто оказывается преобладающим.

Изложенные выше методы оценки молекулярных поверхностных сил не учитывают деформируемости сопрягаемых поверхностей и в связи с этим не могут описать процесс формирования реального зазора при контактном взаимодействии твердых тел.

МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

Задача определения величины зазора между участками поверхностей контактирующих тел достаточно сложна в силу большого числа влияющих факторов. Среди них в первую очередь можно выделить исходную криволинейность формы контактирующих тел, их сближение и изменение формы под действием внешней нагрузки, а также деформируемость тел в зоне контакта силами межмолекулярпого взаимодействия. Поэтому нахождение величины силового взаимодействия реальных поверхностен'! в общем случае сводится к решению сложного трансцендентного уравнения F=F(l), где зазор выражается функцией l=L(a, b, с, F), зависящей от геометрических параметров поверхностей (а); механических свойств их материалов (Ь); внешней нагрузки (с) и межмолекулярвого взаимодействия поверхностей (F), т. е. для определения величины зазора необходимо решить задачу о деформировании твердых тел с учетом межмолекулярного взаимодействия их поверхностей.

Решению конкретных задач для адгезиопно-взаимодейст- вующих тел с гладкой поверхностью посвящены работы [9, 74, 149, 244, 270, 279, 282]. При их постановке прежде всего возникает вопрос о способах задания поверхностных сил в контактных задачах. Как следует из приведенных выше выражений для силы F, ее величина бесконечно возрастает при достижении тесного контакта (^->0). К такому выводу можно прийти, если пренебречь борцовскими силами отталкивания. На самом деле, если тела сближаются до атомного контакта, то / достигает равновесного значения е, что обусловлено конкурирующим действием сил притяжения и отталкивания атомов и молекул контактирующих поверхностей. Если зазор становится меньше, чем в, то поверхности будут отталкиваться друг от друга, если больше — притягиваться. Величина равновесного расстояния в составляет 0,3...0,5 нм. Иногда его принимают одного порядка с диаметром молекул [72] или сум-

Таблица 3.2. Значения межмолекулярных (ван-дер-ваальсовых) радиусов разных атомов [15]

Атом

/?, нм

|Атом

/?, нм)

Атом

R, нм

с

0,180

С1

0,178

As

0,200

н

0,117

Вг

0,195

S

0,180

о

0,136

I

0,221

Р

0,190

N

0,157

Si

0,210

РЬ

0,220

F

0,150

Sn

0,210

В

0,165

мой межмолекулярных (межатомных) радиусов контактирующих тел. В табл. 3.2 приведены значения этих радиусов для некоторых материалов, вычисленные на основе данных полного рентгенэструктурного анализа кристаллических тел.

С учетом отталкивания изменение силы на единицу площади поверхности (как функции зазора) обычно характеризуется некоторым законом в степенной форме (в соответствии с потенциалом Леннард-Джонса):

f(l) = Де"п — Вет.f(l) = Де"п — Вет.(3.27)(3.27)

f(l) = Де"п — Вет.

f(l) = Де"п — Вет.

(3.27)

(3.27)

Параметры т, п (т>п) в выражении (3.27) зависят от природы твердых тел. Для ван-дер-ваальсовых (например, резины) или других тел, когда электростатической компонентой силы можно пренебречь, п=3. Интегрированием борцовских сил отталкивания получают /и = 9. В результате для ван-дер- ваальсовых взаимодействий поверхностей зависимость (3.27) принимает вид

Л6Л83Л6Л83/ 8 \ 3/ g \/ 8 \ 3/ g \(3.28)(3.28)

Л

6Л83

Л

6Л83

/ 8 \ 3/ g \

/ 8 \ 3/ g \

(3.28)

(3.28)

Второе слагаемое моделирует резкое возрастание сил отталкивания при сближении тел до очень малых расстояний. Первое слагаемое в (3.28), которое описывает силы притяжения, является наиболее существенным для адгезии и совпадает с выражением, вытекающим из макроскопической теории Лифшица. Численное сравнение соотношений (3.22) и (3.28) показывает, что при />е учет сил отталкивания не оказывает заметного влияния на значение силы ван-дер-ваальсового взаимодействия.

С целью полного разделения двух тел, находящихся на расстоянии е, необходимо затратить работу Ду, идущую на создание двух новых поверхностей. Интегрируя (3.27) и учитывая, что f (е) =0, получаем

Ау = / 0^ ~•

J(я—1)(т— Об"-1

Для вап-дер-ваальсового взаимодействия

(3.29)(3.29)16Л82

(3.29)

(3.29)

Если твердые тела различны, то работа разрушения адгезионного контакта составляет

Ау 71 + у2 — угг,(3.30)

где 71, у2 — удельная поверхностная энергия каждого из тел; 712 — межфазная энергия зоны контакта.

В 1932 г. Р. С. Бредли [232] с помощью суммирования по всем парным взаимодействиям выразил силу притяжения педеформируемой сферы радиусом Р к плоской подложке через поверхностную энергию тел:

Е^2л£Ау.(3.31)

Таким образом, наряду с постоянной Гамакера, поверхностная энергия тел, характеризующая их способность к поверхностному силовому взаимодействию, может использоваться при решении соответствующих контактных задач. Значения поверхностной энергии для ряда материалов приведены в табл. 3.3 [32, 52, 318]. При постановке таких задач для преодоления математических трудностей предлагалось использовать и экспоненциальный закон силового взаимодействия поверхностей [270, 272]:

' F(/) = F(e)exp [^(Z-e)]. (3.32)

Здесь k = —F' UW^.

Рассмотрим некоторые варианты решения контактных задач с учетом поверхностных сил. При этом обычно исследуется схема контакта сфера—плоскость в упругой постановке.

Т а б л и ц а 3.3. Поверхностная энергия тел неорганической и органической природы

Материал

■у-103, Н/м /

Материал

у-Ю3, Н/м

Вольфрам

2900

Оксид алюминия

680

Платина

2340

Оксид железа

400

Никель

1700

Оксид титана

380

Железо

1500

Оксид вольфрама

100

Золото

1120

Оксид кремния

75

Медь

1100

Найлон

46

Серебро

920

Эпоксидная смола

42

Алюминий

900

Полиметилметакрилат

39

Цинк

790

Подивинилхлорид

39

Магний

623

Полистирол

3.3

Олово

570

Полиэтилен

31

Свинец

456

Полипропилен

30

Адма а

3100

Поливинилфторид

28

Кремний

2085

Политрифторэтилен

22

Кварц

780

Политетрафторэтилен

18

Оптическое стекло

250

Каучук

35

Метод Дерягина—Муллера—Топорова (ДМТ)

Впервые задача о влиянии контактных деформаций на при- лилание упругих частиц была поставлена и приближенно решена с использованием метода виртуальных перемещений в 1934 г. Б. В. Дерягиным [245]. Им рассмотрен общий случай контакта выпуклых поверхностей. В дальнейшем этот подход развивался применительно к контакту сферических поверхностей [70, 71]. Согласно [245], сила прилипания сферы к плоской подложке имеет значение, определяемое выражением (3.31). Такой результат получен в предположении, что при сближении с подложкой тело не изменяет своей формы вплоть до точечного контакта, а после его возникновения форма контактирующих тел описывается теорией Герца. Недостатком работы [245] является то, что в ней не учтены силы молекулярного притяжения вне площадки контакта. В последующем решение задачи о влиянии контактных деформаций на адгезию частиц совершенствовалось Б. В. Дерягиным, В. М. Муллером, Ю. П. Топоровым [70, 71] с целью учета внеконтактной адгезии.

Основное предположение метода ДМТ состоит в том, что поверхностные силы не изменяют деформированный профиль и он остается герцевским, т. е. контактная область находится в условиях сжатия с распределением напряжений по Герцу. Это значит, что герцевская нагрузка, равная силе упругого восстановления деформированной сферы (упругой реакции), представляет собой сумму внешней сжимающей нагрузки Р и сил молекулярного притяжения ГД

Fe = P + Fs. (3.33)

Силы притяжения действуют вне контактной площадки (рис. 3.3), однако не изменяют герцевского зазора — расстояния между противолежащими точками сферы и плоскости.

С целью учета внеконтактной адгезии в работе [70] полу-

Рис. 3.3. Схема контакта

Рис. 3.4. Соотношение сил контактного взаимодействия в зависимости от сближения сферы 171]:/— Fs-

2--Fe-, 3Fe; 4-F4

чено выражение для профиля деформированной по Герцу сферы за пределами площадки контакта радиусом а:

Л ,2

Z nRZ nR(3.34)(3.34)а У г2 — а2 — (2а2 —• г2) arctg 1/ -^1

Z nR

Z nR

(3.34)

(3.34)

Цх, 6) = -L kRЦх, 6) = -L kRПоскольку в пределах самой площадки контакта зазор I равен не нулю, а равновесному расстоянию 8, то Z=2+s. При подстановке в (3.34) соотношения х2=г2—а2 имеем

Цх, 6) = -L kR

Цх, 6) = -L kR

(3.35)(3.35)ах + (х2 ■— а2) arctg ~^-а

(3.35)

(3.35)

Поверхностную энергию молекулярных сил ^ удобно рассматривать в виде двух слагаемых, относящихся соответственно к контактной

Ws (6) = ^ 2лф (е) г dr = ла2<р (е)"о

и виеконтактной

1ЕД6) = 2л j" ф (Z (г, 6)) rdr = 2л ^ ф (Z (х, 6)) xdxаО

областям (ф(Z)—энергия взаимодействия на единицу площади плоской поверхности).

В этом случае обобщенная поверхностная сила

ps= т = я7?ф (8) += р; + р;. (з.зб)

Характерно, что сила F', относящаяся к области контакта, остается постоянной при деформировании сферы. Если 6 = 0, то

Fo = РД6 = 0) = 2 л Рф (е) = 2лРДу,

т. е. при точечном контакте сила прилипания совпадает по величине с результатами, полученными Р. С. Бредли [232] и Б. В. Дерягиным [245]. Задавшись конкретным видом потенциала ф(/), например (3.5), известным из макроскопической теории Лифшица, и учитывая (3.35), можно найти после разложения по малому параметру

Fs (5) «Го(14р — + — “ + при 6 « в

(3.37)

ии

и

и

1л2 / е у/3

при 6 + 8.(3.38)при 6 + 8.(3.38)29 УГ У бУ 6 у +

при 6 + 8.

(3.38)

при 6 + 8.

(3.38)

Характер изменения сил взаимодействия в случае контакта шара с плоскостью в зависимости от деформации первого показан на рис. 3.4 [71], где под силой отрыва F,i понимается разность абсолютных величин молекулярной и упругой сил.

Как следует из теории ДМТ, несмотря на то что под действием молекулярных сил притяжения возникает некоторая площадка контакта, максимальная сила, которую надо приложить для разделения адгезионного контакта, имеет место при точечном контакте (нулевой площадке контакта). Она соответствует величине, полученной при отсутствии контактной деформации.

Дальнейшее уточнение теории ДМТ осуществлялось за счет более корректного и полного учета особенностей контактного взаимодействия твердых тел. Например, при замене потенциала (3.5) на потенциал Леннард-Джонса в рассмотрение включаются силы отталкивания. С помощью так называемого энергетического метода, основанного на соотношении (3.36), в работе [130] получены следующие приближенные соотношения для силы межмолекулярного взаимодействия:

У [ 1 — 0,7935 (б/е)1/2, 6 «е,

Fo ~ [0,5+ 0,6101 (е/6)2 3, 6» 8.(}

Анализ уравнений (3.39) показывает, что введение сил отталкивания не изменяет характера зависимости силы межмолекулярного взаимодействия от нагрузки: по-прежнему с ростом нагрузки сила Fs уменьшается до величины 1/2 Fa, однако переход к значению Fo в точке отрыва осуществляется более плавно (рис. 3.5, кривая /).

В рамках теории ДМТ возможен и другой способ рассуждений [130], называемый иногда методом сил [311 ]. В этом случае сила

Рис. 3.5. Зависимость результирующего усилия, действующего на сферу, от величины сближения 6 и расстояния от сферы I: 1— «энергетический» подход; 2 — метод сил; 3 — расчет для иедефор- мировашюй сферы

Fs представляется равной сумме всех адгезионных взаимодействий вне зоны контакта

Fs = 2л ^ q (г) rdr.Fs = 2л ^ q (г) rdr.(3.40)(3.40)

Fs = 2л ^ q (г) rdr.

Fs = 2л ^ q (г) rdr.

(3.40)

(3.40)

Подстановка в (3.40) выражения для давления, в соответствии с потенциалом Леннард-Джонса имеющего вид

ио = -~ио = -~АуАу/ 8 \3/ 8 V/ 8 \3/ 8 V

ио = -~

ио = -~

Ау

Ау

/ 8 \3/ 8 V

/ 8 \3/ 8 V

где I определяется соотношением (3.35), дает после разло

жения по малому параметру [130]

fl + 0,8396 (6/s)3/2, 6 «е,^о ~ 10,7434(8/6)'/3,6» е.

Численную стыковку формул (3.41) в диапазоне 0,1^б/8<10' можно осуществлять с помощью зависимости [214]

FJFO« 1,47(6/8)°'".(3.42)

Теория ДМТ допускает взаимодействие тел и в том случае, если они не соприкасаются. Интегрирование в (3.40) по поверхности недеформированной сферы, когда l=^r2!2R-}-lo, дает

.Л.Л331 \47о /1 \47о /(3.43)(3.43)

.Л

.Л

3

3

1 \

47о /

1 \

47о /

(3.43)

(3.43)

(Zo — Ue; U — кратчайшее расстояние между поверхностью недеформированной сферы и подложкой).

График функции Fs/F0(6) при 6>0 изображен на рис. 3.5, кривая 2. Наблюдается принципиальное различие в характере кривых 1 и 2. Кривая 1, рассчитанная исходя из энергетических соображений, имеет излом в точке отрыва, т. е. предсказывает резкое возрастание приложенной нагрузки перед отрывом, что в обычных условиях труднообъяснимо. Кроме того, как отмечалось в работе [311], факт убывания силы межмолекулярного взаимодействия в процессе деформирования сферы плохо согласуется с экспериментальными данными. Соотношения, полученные методом сил, подтверждают, что сила отрыва равна 2л/?Ау (кривая 2), но переход к отрыву предсказывают плавный.

В дальнейшем, применяя теорию ДМТ, будем пользоваться соотношениями метода сил, которые в общем случае записываются в виде

41 - \-

— б”2б"8 , 6<0,

з к 4 У

Л(б) « 2m7?Ay х р + 1.8396б3/2, 0 <6 <0,1, (3.44) 1,476°'14, 0,1<6<10, 0,7434s1/3, 6 >10.

Здесь 6 — 6/е.

Одно из основных допущений теории ДМТ связано с постулированием формы деформированной поверхности, которая принимается герцевской. Отказ от этого допущения осуществлен в работах [132, 133], обобщающих теорию ДМТ. Исследования в данном направлении выделяются в самостоятельный подход, который называют самосогласованным. Он позволил получить ряд интересных результатов, обсуждаемых ниже (см. подпараграф 9.2.3).

Метод Джонсона—Кендалла—Робертса (ДКР)

В 1958 г. К- Л. Джонсоном [279] предложен способ решения задачи об адгезионном взаимодействии сферических тел с учетом их деформации, который реализован в 1971 г. К. Л. Джонсоном, К. Кендаллом и А. Д. Робертсом [282]. Основное предположение, на котором базируется метод ДКР (иногда его называют методом контактной механики [330]) — допущение о бесконечно малом радиусе действия поверхностных сил, т. е. предполагается, что взаимодействие происходит лишь в пределах площади контакта. Природа сил взаимодействия твердых фаз и форма потенциала этих сил в теории ДКР явно не фигурируют, но, по существу, речь идет об абсолютно жестком отталкивании и притяжении с бесконечно узкой потенциальной ямой, равной удельной поверхностной энергии Ау.

При рассмотрении контактного взаимодействия сферы радиусом R и полупространства под нагрузкой Ро в работе [282] реализован следующий ход рассуждений. Считается, что равновесие на контакте имеет место при выполнении условия

dWlda = 0,(3.45)

где W — общая энергия системы, являющаяся функцией контактного радиуса а и определяемая как сумма трех аддитивных составляющих:

= ^е + Wm + Ws(3.46)

(We— запасенная упругая энергия; U7m—потенциальная энергия приложенной нагрузки; Ws — поверхностная энергия). При отсутствии поверхностных сил площадка контакта ■была бы герцевской с радиусом

ЗдесьЗдесь4 / I —vl3 V £4 / I —vl3 V £1 — V2 ^ £2 )1 — V2 ^ £2 )

Здесь

Здесь

4 / I —vl

3 V £

4 / I —vl

3 V £

1 — V2 ^ £2 )

1 — V2 ^ £2 )

(3.47)(3.47)a6 = IPJPKf.

(3.47)

(3.47)

Наличие поверхностных сил приводит к увеличению радиуса контакта до величины Oi>a0, т. е. контактная система находится в «негерцевском» состоянии, характеризуемом нагрузкой Ро и радиусом контакта Оь Принимается, что такое состояние системы может достигаться в два этапа (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Схема нагружения адгезионного контакта [282]

Вначале система догружается (по Герцу) до кажущейся нагрузки Pi (рис. 3.6, точка Л):

Pt - a^KiR.(3.48)

Затем осуществляется разгрузка контактной системы до Ро при сохранении величины площадки контакта за счет действия поверхностных сил (точка В). На этом этапе целесообразно использовать соотношения Буссинеска для контакта кругового штампа радиусом си с полупространством. В частности, зависимость между сближением б и нагрузкой Р будет определяться выражением

(3.49)(3.49)2£

(3.49)

(3.49)

3 аК

2^5/3^^Тз^Т/з2^5/3^^Тз^Т/зТакая простая механическая трактовка адгезионного контакта позволяет легко рассчитать упругую энергию системы W, как разность энергии, запасаемой на этапе нагрузки:

2^5/3

^^Тз^Т/з

2^5/3

^^Тз^Т/з

р,

Wi = Р^ — ( МР =

О

и высвобождаемой при разгрузке:

^2^2С1 2£1£(-£5

^2

^2

J 3 Kai SK^R1'3 pV3

Таким образом, ну =Р^3 а* р2 р-1/3^

Я2,3Д1/315 т з

Потенциальная энергия приложенной нагрузки Ро W^-P^- Аб) (Аб— изменение сближения, обусловленное разгрузкой). С учетом (3.49) р2/3 ।2 □ р—1/з\

Поверхностная энергия 1FS = —Аула2 = —Аул ^PxRlKf‘'3. Тогда, согласно (3.46), общая энергия контакта

1\1\\1Эо

Условие равновесия (3.45) эквивалентно условию dW,dPi = 0, из которого следует соотношение между кажущейся и приложенной нагрузками:

Pi = Ро + ЗлРДу -)- V6лДАуР0 + (ЗлРАу)2.(3.50)

Подстановка (3.50) в (3.48) дает зависимость между радиусом площадки адгезионного контакта и приложенной нагрузкой (соответствующие индексы опущены):

а3 = -5— (Р + ЗлЯАу + К блДАуР + (ЗлДАу)2 ). (3.51) К

Если влиянием поверхностных сил можно пренебречь (Ау=0), то (3.51) преобразуется в известную формулу Герца.

При нулевой приложенной нагрузке контактная площадка является конечной с радиусом

а = (6лАуР2//()1/3.

Дальнейшее уменьшение радиуса контакта будет происходить лишь при отрицательной нагрузке, т. е. в случае растяжения сопрягаемых тел. Так как подкоренное выражение в

(3.51) должно быть неотрицательным, то максимальное растягивающее усилие составляет

Ро = — — лДАу.2Ро = — — лДАу.2(3.52)(3.52)

Ро = — — лДАу.2

Ро = — — лДАу.2

(3.52)

(3.52)

Р = РН — РВ =Р = РН — РВ =ЗКа2лДЗКа2лД1/21/2[ 3 ДАу у/2 \ 2 ла /[ 3 ДАу у/2 \ 2 ла /(3.53)(3.53)

Р = РН — РВ =

Р = РН — РВ =

ЗКа

2лД

ЗКа

2лД

1/2

1/2

[ 3 ДАу у/2 \ 2 ла /

[ 3 ДАу у/2 \ 2 ла /

(3.53)

(3.53)

Как и в теории ДМТ, Ро не зависит от упругих свойств тел, хотя в 4/3 раза меньше, чем сила отрыва, рассчитанная по уравнению (3.31). При этом отрыв тел происходит скачком, т. е. значение радиуса контакта во время отрыва не нулевое, что является существенным отличием теории ДКР.

Другая особенность теории связана с характером распределения напряжений в зоне адгезионного контакта. Эпюра напряжений может быть представлена как суперпозиция сжимающих напряжений Рц от сферического штам-

Рис. 3.7. Эпюра напряжений, возникаю-щих па адгезионном контакте, и ее со-ставляющие [282]

па (задача Герца) и растягивающих напряжений Рв от плоского штампа (задача Буссинеска) [279] (рис. 3.7). В работе [133] дано аналитическое представление эпюры напряжений

в зависимости от радиуса контакта а;

Таким образом, зона контакта может быть разделена на две области: в центральной (0<г^г0) наблюдается сжатие (соответствует области отталкивания на межфазной границе), а на периферии (госг^а) — растяжение (соответствует притяжению на межфазной границе). На краю контактной зоны расчетные напряжения достигают бесконечно больших значений. Согласно работе [133],

г0 = а/1 — (2лД2Ау/ЗДа3)1/2.(3.54)

(3.55)(3.55)(3.56)(3.56)

(3.55)

(3.55)

(3.56)

(3.56)

Интегрирование напряжений по кольцу дает значение силы’ притяжения

„4 пл /3№3\>/

Fattr =

3\ 2л R2^ /

Тогда силу отталкивания определяют из условия Дер = Р-Ра(1г-^^-(блДоАу)1 . 4/ ЗКа?

3А 2л/?2Ау /

щихщих6 = 6Я - 6S = -А-6 = 6Я - 6S = -А-— л— л8аАу Зл^8аАу Зл^1/21/2Аналогично получено выражение для профиля сферы вне зоны контакта (г^а):Аналогично получено выражение для профиля сферы вне зоны контакта (г^а):2 (г) = zH + zb =2 (г) = zH + zb =а2л Rа2л R, / г2 ,, га1 /—_— — । _jarccosУ ctа г, / г2 ,, га1 /—_— — । _jarccosУ ctа г2 I а2-— Iл —л [ R \ Зл/С /2 I а2-— Iл —л [ R \ Зл/С /а arccos.га arccos.гОсобенностью такого профиля адгезионно-контактирующих сфер является излом вблизи внешнего края зоны контакта. Таким образом, зависимости (3.53)-—(3.56) выражают основные характеристики контакта (контактное давление, нагрузку, сближение, форму профиля) через радиус его площадки.В работах [223, 224, 296—299] осуществлялось дальнейшее развитие и дано термодинамическое обоснование теории ДКР. В частности показано, что нагрузка Р, сближение 6 и радиус площадки контакта а связаны соотношением:Особенностью такого профиля адгезионно-контактирующих сфер является излом вблизи внешнего края зоны контакта. Таким образом, зависимости (3.53)-—(3.56) выражают основные характеристики контакта (контактное давление, нагрузку, сближение, форму профиля) через радиус его площадки.В работах [223, 224, 296—299] осуществлялось дальнейшее развитие и дано термодинамическое обоснование теории ДКР. В частности показано, что нагрузка Р, сближение 6 и радиус площадки контакта а связаны соотношением:а2 2Р3R + ЗаК ’а2 2Р3R + ЗаК ’(3.57)(3.57)которое может быть представлено некоторой поверхностью состояния (рис. 3.8). Термодинамически равновесное формирование контакта двух сфер при наличии поверхностных сил определяется реализацией условия G=Ay, где G =За3К / 1 R8 у„ 1-I — мера высвобождаемой энергии деформиро- 8л/?2 \ а2 'которое может быть представлено некоторой поверхностью состояния (рис. 3.8). Термодинамически равновесное формирование контакта двух сфер при наличии поверхностных сил определяется реализацией условия G=Ay, где G =За3К / 1 R8 у„ 1-I — мера высвобождаемой энергии деформиро- 8л/?2 \ а2 '10. Зак. 1U4810. Зак. 1U48145145С учетом предположений теории ДКР о том, что зазор в зоне контакта остается постоянным (г(г)=0, г<.а), сближение сфер также можно представить как разность двух составляю

щих

щих

6 = 6Я - 6S = -А-

6 = 6Я - 6S = -А-

— л

— л

8аАу Зл^

8аАу Зл^

1/2

1/2

Аналогично получено выражение для профиля сферы вне зоны контакта (г^а):

Аналогично получено выражение для профиля сферы вне зоны контакта (г^а):

2 (г) = zH + zb =

2 (г) = zH + zb =

а2

л R

а2

л R

, / г2 ,, га

1 /—_— — । _jarccos

У ctа г

, / г2 ,, га

1 /—_— — । _jarccos

У ctа г

2 I а2

-— Iл —

л [ R \ Зл/С /

2 I а2

-— Iл —

л [ R \ Зл/С /

а arccos.

г

а arccos.

г

Особенностью такого профиля адгезионно-контактирующих сфер является излом вблизи внешнего края зоны контакта. Таким образом, зависимости (3.53)-—(3.56) выражают основные характеристики контакта (контактное давление, нагрузку, сближение, форму профиля) через радиус его площадки.

В работах [223, 224, 296—299] осуществлялось дальнейшее развитие и дано термодинамическое обоснование теории ДКР. В частности показано, что нагрузка Р, сближение 6 и радиус площадки контакта а связаны соотношением:

Особенностью такого профиля адгезионно-контактирующих сфер является излом вблизи внешнего края зоны контакта. Таким образом, зависимости (3.53)-—(3.56) выражают основные характеристики контакта (контактное давление, нагрузку, сближение, форму профиля) через радиус его площадки.

В работах [223, 224, 296—299] осуществлялось дальнейшее развитие и дано термодинамическое обоснование теории ДКР. В частности показано, что нагрузка Р, сближение 6 и радиус площадки контакта а связаны соотношением:

а2 2Р

3R + ЗаК ’

а2 2Р

3R + ЗаК ’

(3.57)

(3.57)

которое может быть представлено некоторой поверхностью состояния (рис. 3.8). Термодинамически равновесное формирование контакта двух сфер при наличии поверхностных сил определяется реализацией условия G=Ay, где G =

За3К / 1 R8 у„

1-I — мера высвобождаемой энергии деформиро- 8л/?2 \ а2 '

которое может быть представлено некоторой поверхностью состояния (рис. 3.8). Термодинамически равновесное формирование контакта двух сфер при наличии поверхностных сил определяется реализацией условия G=Ay, где G =

За3К / 1 R8 у„

1-I — мера высвобождаемой энергии деформиро- 8л/?2 \ а2 '

10. Зак. 1U48

10. Зак. 1U48

145

145

вания (частный случай G = 0 относится к классической задаче Герца). Далее потребуется функциональная зависимость между нагрузкой и сближением. Подставив в уравнение состояния (3.57) выражение для радиуса (ЦР^ (3.51), получим соотношение 8(Р), обратное искомому. После несложных преобразований оно примет вид

1 / 3RPC У/3.3R ( К / ’1 / 3RPC У/3.3R ( К / ’Рс = ~~nR\y.Рс = ~~nR\y.где

1 / 3RPC У/3.

3R ( К / ’

1 / 3RPC У/3.

3R ( К / ’

Рс = ~~nR\y.

Рс = ~~nR\y.

Рис. 3.8. Поверхность состоянияРис. 3.8. Поверхность состоянияВторое уравнение (3.58) описывает поведение системы в нестабильном состоянии и упругое возвращение сферы в первоначальное положение после отрыва.

Рис. 3.8. Поверхность состояния

Рис. 3.8. Поверхность состояния

Численное обращение (3.58) дает искомую зависимость Р/РС=Д(6/6С) (рис. 3.10).

Приведенные рассуждения справедливы лишь при упругом характере деформирования тел. Полный анализ упругопластического контакта с учетом поверхностных сил отсут-

Рис. 3.9. Зависимость нагрузки, дейст-вующей на сферу, от ее сближения: 1 —герцевская; 2 — с учетом молекулярноговзаимодействия

ствует, но некоторые возможности для оценки силы отрыва при пластическом контакте сферы с плоской жесткой подложкой указаны в работе [278]. Известны попытки использовать теорию ДКР для описания контакта вязкоупругих тел [224, 259,278,297].

Самосогласованный подход

Обсуждение различий между моделями ДМТ и ДКР, а также выяснение их достоверности стало темой дискуссии между Д. Тейбором и авторами теории ДМТ, проходившей в конце 70-х годов [133, 246, 247, 330—332]. Обе модели, как отмечалось выше, показывают, что сила отрыва не зависит от упругих свойств контактирующих сфер, пропорциональна их радиусу и удельной поверхностной энергии. Но в модели ДКР она на 25% меньше, чем в модели ДМТ. Для модели ДКР характерно, что отрыв сопровождается скачкообразным изменением радиуса а зоны контакта, тогда как в модели ДМТ наблюдается плавное его уменьшение вплоть до точечного контакта. Экспериментальная проверка теорий путем измерения силы отрыва связана с трудностями определения значения Ау, что может приводить к существенным ошибкам в пользу и одной и второй модели. Более информативными являются экспериментальные оценки характеристик контакта: величины площадки контакта в момент отрыва и формы профиля контактирующих тел. Такие оценки в основном подтвердили результаты теории ДКР. В связи с этим можно, например, сослаться на экспериментальные исследования контакта резиновых сфер [289, 330] и скрещенных цилиндров из слюды [269, 274, 275]. Однако некоторые допущения теории ДКР, в частности предположение об отсутствии молекулярного взаимодействия вне зоны непосредственного контакта, вызывают

«определенную неудовлетворенность. Поэтому потребовались дополнительные теоретические исследования, основанные на более реалистической модели взаимодействия упругих сфер. Результаты такого исследования, называемого в литературе самосогласованным подходом, приводятся в работе В. М. Муллера и В. С. Ющенко [133], которые отказались от наиболее «жестких» допущений теорий ДМТ и ДКР. Считая радиус действия поверхностных сил конечным, авторы [133] не постулируют герцевскую форму профиля контактирующих тел, а находят равновесный профиль зазора /(г) в процессе решения соответствующей задачи. Самосогласованный подход предполагает известным лишь закон взаимодействия фаз P^l), который определяется природой поверхностных сил.

При условии малости деформаций и радиуса контакта по сравнению с размерами сфер суммарное перемещение вычисляется с помощью основного уравнения теории контактных задач

ю^ = ° (3-59) q R (г, р, ф)

Здесь

1 / 1-v? 1 — vaЛ у II1 £ 2

^(р)—давление, действующее на элемент поверхности ds, расстояние которого до оси симметрии г равно р; R/ю [г—р| = = (г2+р2—2грсозф)1/2—расстояние между элементом ds и точкой поверхности, в которой ищется деформация; ф— угол между векторами г и р; ds = pdpd^. Интегрирование в (3.59) ведется по заранее не определенной зоне контакта, внутри которой ^(р)^0. После интегрирования по углу ф

w (г) = 40 | q (р) Ф (г, р) dp,(3.60)

о

где

ф(г,У= _

4 ь R' (г, р, ф) г + р \ г+ р )

К(х)—полный эллиптический интеграл 1-го рода. Верхний предел в (3.60) принят бесконечным из-за быстрого убывания подынтегральной функции с ростом аргумента.

Известно, что геометрические характеристики связаны соотношением

w^ = 6 + 2 (г) — r2(2R.w^ = 6 + 2 (г) — r2(2R.(3.61)(3.61)

w^ = 6 + 2 (г) — r2(2R.

w^ = 6 + 2 (г) — r2(2R.

(3.61)

(3.61)

Приравняв (3.60) и (3.61), получим

(3.62)(3.62)49 J А (р) Ф (г, р) dp = 6 + 2 (г)^—

(3.62)

(3.62)

О

Здесь ?(p)=<7(z(p)).

Уравнение. (3.62) позволяет по известной функциональной зависимости q^ найти профиль зазора г(р) между деформированными поверхностями сферы и, как следствие, распределение давлений q^ в зоне контакта и суммарное перемещение го (г).

Аналитическое решение (3.62) в общем виде, вероятно, невозможно. В работе [133] предложен сравнительно простой численный алгоритм, позволивший провести достаточно полный анализ задачи. Необходимо отметить, что для потенциала Леннард-Джонса искомое решение зависит от одного безразмерного параметра ц:

(3.63)(3.63)~32 / 2лР02Ау Д/з

(3.63)

(3.63)

И ~ ' Зл7 I ~/

с помощью которого удается выделить области применимости теорий ДКР и ДМТ. При ц^>1 тела считаются «мягкими» и характеризуются малым модулем упругости, значительной поверхностной энергией и (или) большим радиусом закругления. Причем «жесткость» может определяться каждым из этих свойств или их совокупностью. Расчеты показали, что для «мягких» тел справедлива теория ДКР: распределение напряжений на контакте, характер профиля деформированной сферы, за исключением приграничной области, и величина силы 3

отрыва, равная — лТ^Ау, совпадают с предсказываемыми теорией ДМТ. Тела, для которых выполняется условие ц<1, называются «жесткими». Формирование контакта таких тел можно исследовать в рамках теории ДМТ.

На рис. 3.10 построены изолинии р=1 при указанном радиусе Р. Опи являются условной границей между ДКР и ДМТ. Если для пары взаимодействующих материалов точка с координатами (Д’, Ау) располагается выше соответствующей изо- лишки, то применима теория ДКР, ниже —ДМТ. Таким образом, подход ДМТ справедлив по отношению к контакту объектов, имеющих микронные размеры и обладающих свойствами металлов, или контакту тел с малыми модулями упругости (полимеры) субмикронных размеров. В других случаях следует использовать теорию ДКР. В упоминавшихся выше экспериментах, как правило, реализовывался случай цЗ>1. Этим обстоятельством объясняется удовлетворительное совпа-

дение экспериментальных результатов с основными выводами теории ДКР. Д. Тейбор [330] при анализе теории ДКР предложил в качестве характеристического параметра использовать безразмерную высоту «шейки» Х = Н0!в, образующейся под действием поверхностных сил притяжения в периферийной области зоны сопряжения контактирующих тел:

X = /г0/е = (32л27?Ау/ЗК2е2)’/3.(3.64)

Сравнивая выражения (3.63) и (3.64), можно заметить, что

Рис. 3.10. Изолинии ц—1 Для вы" бора схемы расчета адгезионного контакта: 1 — /?=10~8 м; 2—10 7. 3 — 10-°; 4 — 10-5; 5 — Р=10 " м

они совпадают с точностью до множителя порядка единицы, т. с. по крайней мере для «мягких» тел параметр р допускает достаточно наглядную трактовку.

Теории Хьюза—Уайта и Савкура

Несмотря на физическую обоснованность и достаточную общность самосогласованного подхода, его практическое использование в исследованиях сопряжено со значительными вычислительными трудностями, что стимулирует дальнейшее продолжение работ в данной области.

Идея, близкая к самосогласованному подходу, развивается в работах В. Д. Хьюза и Л. Р. Уайта [270, 272], где она получила достаточно строгое математическое обоснование. Авторы осуществили попытку замены ключевой концепции «классических» контактных задач (см. разд. II) об идеальной плоскостности четко определенной контактной области на физически обоснованную концепцию поверхностных сил. Поскольку при этом предполагается, что a<R, то исследования базируются на линейной теории упругости.

Основой их анализа является нелинейное интегральное уравнение для контакта двух сфер

где

I (x) = -^— C (1 + x2 — 2x cos ф) 1/2 dtp, x 0, x=h 1 л

— осесимметричная функция Грина.

Из выражения (3.65) определяется относительное суммарное перемещение у (г), после чего находится функция з(г) = = 2о+р2/27?+2и(г) (20 —зазор между поверхностями сфер вдоль линии центров).

Если закон силового взаимодействия F(z) представить в виде F(z)=F(z0)^[k(z—20)], где к = — F'(z0)/F(z0) (в общем случае трактуется как радиус действия поверхностных сил), и обозначить х= (klR)1 кг, 5=2ки, то интегральное уравнение (3.65) можно записать в безразмерном виде

ЗдесьЗдесьу (х) = X 2 — 7у (х) = X 2 — 7Ф [Z2 — у (01 dt. (3.66)Ф [Z2 — у (01 dt. (3.66)

Здесь

Здесь

у (х) = X 2 — 7

у (х) = X 2 — 7

Ф [Z2 — у (01 dt. (3.66)

Ф [Z2 — у (01 dt. (3.66)

В работе исследуются свойства уравнения (3.66), рассматриваются методы его решения. В частности, найдено решение для экспоненциального закона отталкивания <р=-е z. Показано, что при Х-*оо основные результаты теории Герца получаются в качестве предельных. Ценность предложенной В. Д. Хьюзом и Л. Р. Уайтом теории заключается также в широких возможностях ее применения. Например, в разд. II показана эффективность использования этой теории при описании контакта шероховатых сфер. По-видимому, она может оказаться полезной и при моделировании адгезионного контактирования шероховатых сфер.

Заслуживает внимания так называемый гибридный подход, развиваемый А. Савкуром [322] и базирующийся на кусочно-непрерывной аппроксимации давления </(/), соответствующего потенциалу взаимодействия Леннард-Джонса:

9(0 =9(0 =А1,2 ле4АА1,2 ле4А(Z — е), /<1,26,(Z — е), /<1,26,(3.67)(3.67)

9(0 =

9(0 =

А1,2 ле4А

А1,2 ле4А

(Z — е), /<1,26,

(Z — е), /<1,26,

(3.67)

(3.67)

6 л Z3

Пренебрегая перемещениями, имеющими порядок равновесного зазора, автору удалось ослабить некоторые ограничения теории Герца и свести задачу к нелинейному интегральному уравнению, которое решалось методом последовательных приближений.

Таким образом, из проведенного анализа следует, что физически более обоснованным является самосогласованный подход, который приводит к достоверным результатам и может считаться наиболее общим. Главный недостаток, который сдерживает его практическое применение,— значительные ма

тематические трудности, связанные с решением интегрального уравнения. Теории ДКР и ДМТ дают необходимые соотноше-

Рис. 3.11. Сравнение основных предпосылок и результатов теорий деформирования упругих сфер (7 — теория Герца; II— ДКР; III — ДМТ; IV— самосогласованный подход): а — характер изменения поверхностных сил; б — напряжения при сжимающей нагрузке; в — форма контактирующих сфер при сжимающей нагрузке

нения, либо приближенные зависимости в явном виде. Поэтому в практических расчетах и оценках чаще используют методы ДКР и ДМТ. При выборе между этими методами следует прибегать к оценке параметра ц. В заключение приведем сводную таблицу (рис. 3.11), в которой схематично показаны некоторые особенности основных подходов к расчету гладкого контакта с учетом межмолекулярного поверхностного взаимодействия и отражены их различия (в том числе в сравнении с теорией Герца). Дальнейшее развитие теории контактных задач с учетом поверхностных сил и их использование для

описания реального фрикционного контакта открывают перспективы создания новых эффективных моделей в трибологии. Некоторые из них будут рассмотрены ниже.

Глава 10

АДГЕЗИОННЫЙ КОНТАКТ ШЕРОХОВАТЫХ ТЕЛ

Современные теории межмолекулярного взаимодействия твердых тел предполагают, как следует из предыдущей главы, что контактирующие поверхности являются идеально гладкими и однородными. В основном этим допущением обусловлено часто наблюдаемое расхождение экспериментальных и расчетных значений величины силы контактного прилипания, так как реальные поверхности всегда шероховаты и покрыты адсорбированными пленками. Поверхностные пленки препятствуют образованию сильных межфазных связей и сами могут быть слабо связаны с подложкой. Эксперименты, проведенные с такими твердыми упругими телами, как карбид титана, сапфир и алмаз, очищенными в вакууме (133-10”10 Па) [254], показали, что окисление и загрязнение поверхности существенно снижают поверхностную энергию контактирующих материалов. Среди большого числа аналогичных исследований отметим опыты, в которых под воздействием атмосферной влаги наблюдалось уменьшение критического поверхностного натяжения стекла с 0,075 до 0,03 Н/м [99]. С другой стороны, известны экспериментальные данные [254], в которых сила адгезии в 100—1000 раз меньше по сравнению с ожидаемой согласно уравнению (3.31). Так как поверхности для проведения исследований подбирались очень чистыми, то можно предположить, что причина низкой адгезии обусловлена не столько поверхностными пленками, сколько шероховатостью поверхности. Наличие шероховатости не только нарушает непрерывность контакта, снижает площадь реального касания тел, но и посредством запасенной упругой энергии деформации способствует разрыву адгезионных связей.

Таким образом, корректная оценка адгезионно-контактного взаимодействия поверхностей предполагает в качестве необходимого условия учет шероховатости. Следует отметить и другой аспект моделирования адгезионного шероховатого контакта. Так как схемы расчета характеристик контакта шероховатых поверхностей (см. разд. II) содержат предположение о правильности формы вершин (обычно сферичности), то для описания взаимодействия единичной неровности используются классические решения контактных задач (обычно решение Герца). Однако, моделируя таким образом объекты микронных и даже субмикронных размеров [168], следует кроме механических усилий, приложенных к контакту, учи-

тывать вклад поверхностных сил межмолекулярного взаимодействия, радиус действия которых во многих случаях соизмерим с высотой неровностей. Распространено мнение [109], что превышение площади, на которой действуют межмолекулярные силы, над фактической площадью контакта незначительно. В данном случае исходят из того, что для наиболее распространенных деталей машин углы наклона неровностей не малы и обеспечивают достаточно большой зазор вне пятна контакта. Однако при этом не учитывают, что сама ФПК формируется также под действием поверхностных сил и использование теории Герца приводит к недооценке ее величины.

Создание и анализ моделей, описывающих процесс формирования шероховатого контакта с учетом поверхностных сил, может дать более корректный ответ на вопрос о влиянии межмолекулярпых взаимодействий контактирующих поверхностей па основные характеристики шероховатого контакта (ФПК, деформацию шероховатого слоя) и указать границы применимости теории Герца в каждом конкретном случае. Разработка таких моделей базируется, с одной стороны, па известных идеях описания шероховатой поверхности (см. разд. I, гл. 3), с другой — на общепринятых схемах распространения решения для отдельного микроконтакта на ансамбль контактирующих неровностей (см. разд. II). В последнем случае важен выбор зависимостей, характеризующих контактное взаимодействие единичных неровностей. Как показано в предыдущей главе, целесообразно этот выбор осуществлять в рамках теорий ДКР («мягкие» тела) и ДМТ («жесткие» тела) .

КОНТАКТ «МЯГКИХ»НОМИНАЛЬНО ПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Взаимодействие адгезионно-контактирующих неровностей «мягких» поверхностей удовлетворительно описывается теорией ДКР, согласно которой сближение неровностей изменяется в зависимости от нагрузки в соответствии с соотношением (3.58). Распространение такого поведения отдельных неровностей на их ансамбль осуществляется по известной схеме (см. параграф 6.1). Например, для контакта номинально плоских поверхностей связь между общей нагрузкой Р п поминальным зазором (уровнем деформации) d получается в следующем виде:

Р = AaD [Рг[6(г)]Ф(г)^.(3.68)

d

Впервые расчет силы адгезионного взаимодействия контактирующих шероховатых поверхностей с использованием форму-

лы (3.68) осуществлен К. Л. Джонсоном [281], который предполагал, что распределение высот вершин неровностей является экспоненциальным:

Ф (г)ехрI.о \ ст /Ф (г)ехрI.о \ ст /(3.69)(3.69)

Ф (г)ехрI.

о \ ст /

Ф (г)ехрI.

о \ ст /

(3.69)

(3.69)

Подтверждено существенное влияние шероховатости на адгезионное взаимодействие поверхностей. Однако, по-види- мому, вследствие выбора специфической функции распределения (3.69) получилось, что сила, действующая между поверхностями (и растягивающая, и сжимающая), не зависит от номинального зазора. Более корректный анализ влияния шероховатости на силу адгезионного взаимодействия проведен К. Н. Фуллером и Д. Тейбором [252], которые использовали нормальное распределение высот вершин шероховатого слоя и предполагали, что вершины выступов имеют форму, близкую к сферической, с радиусом закругления р.

Дальнейшее развитие исследований в данном направлении отражено в работе [235]. авторы которой учитывали различие кривизны выступов в зависимости от их высоты и применили совместное распределение высот и кривизн, полученное для изотропных шероховатых поверхностей П. Р. Найаком [141]. Результаты исследований подтвердили необходимость учета статистического распределения неровностей при прогнозировании адгезионного взаимодействия поверхностей.

Известна попытка провести расчет для неровностей с эллиптической формой выступов [173]. Однако при этом использовалось неточное выражение для силы межмолекулярпого взаимодействия [244] и не учитывалось изменение формы выступа за пределами пятна контакта.

Рассмотрим, следуя известным схемам, контакт упругой шероховатой поверхности с идеально гладкой жесткой поверхностью. Вершины выступов будем моделировать сферическими сегментами с одинаковым радиусом р. Тогда, используя (3.68), после некоторых преобразований получаем соотношение, связывающее внешнюю нагрузку с безразмерным номинальным зазором h-djo:

P(/i) = K3" Бсгр/^ГА^^ЛДДй, а, \ ). (3.70) где

(3-71)(3.72)(3-71)(3.72)I. (h, ос, Ас) f Р(х)Ф(е, а) dT,h

(3-71)

(3.72)

(3-71)

(3.72)

_ 6C_1/9 лР2Ду \2ф

о 3RoК /’

x = d/6c; 6 — a Q — /г);

Р^—решение уравнения (3.58); Ф(£, а)—плотность распределения высот неровностей (1.43).

Для рассматриваемого нами адгезионного контакта соотношение (3.70) требует пояснений [252]. Известно, что разделение неадгезионного (герцевского) контакта происходит под действием восстанавливающих напряжений упругодефор- мированного материала и при пулевых напряжениях касание поверхностей отсутствует, т. е. ФПК равна нулю. При наличии

Рис. З.Г2. Зависимость уровня деформации /10 при нулевой внешней нагрузке от безразмерных параметров широкополос- ности а и адгезионного ZV

притягивающих поверхностных сил в зоне касания упругих напряжений материала может оказаться недостаточно для разделения контакта и тогда потребуется приложение растягивающих усилий (в рассматриваемой модели отрицательных). Оценку последних необходимо проводить с учетом уровня деформации (номинального зазора), достигнутого на этапе нагружения, так как в прилипании будут участвовать все неровности, вступившие в контакт. Следует иметь в виду, что даже в случае отсутствия дополнительных сжимающих усилий на контакте при Р—0 сохраняется некоторый минимально возможный уровень деформации hQ лишь иод действием притягивающих поверхностных сил. На рис. 3.12 показана зависимость h0 от безразмерных параметров контакта, которая определяется уравнением

/х (h0, а, Ас) = 0 (3.73)

и чувствительна к степени адгезионности контакта (параметр Ас), в меньшей мере — к характеру распределения вершин выступов (параметра).

При разделении поверхностей выступы, находящиеся в сцеплении с контртелом, способны растягиваться до высоты z+бс. Тогда усилия, необходимые для разделения контакта до уровня h>hc, можно найти из выражения

q3/2Г _00

Wl/ 47” ^’^а ( Р^Ф^ + А, ^йу.

(3.74)

Здесь L = min{/z—/гс, Ас}, где йс— минимальный уровень деформации.

В случае Л=Лс'усилие Р=Рразд является сжимающим, но когда номинальный зазор увеличивается, сила между поверхностями становится растягивающей (отрицательной) и достигает некоторого максимального по модулю значения. Затем она асимптотически стремится к нулю, когда разрушаются, наконец, адгезионные связи между наивысшими неровностями.

За силу отрыва (адгезии) при этом принимают максимальное растягивающее усилие в процессе разделения контакта (Л—>оо):

Радг = ^разд (^ * ) = I Рразд (^)Ь

Очевидно, что Радг для шероховатой поверхности превышает значение Р(, для одной неровности, однако остается меньшей, чем усилие, необходимое для отрыва всех неровностей одновременно. Условие Pa№<DPc обусловлено дисперсией высот неровностей. В связи с этим в некоторых случаях удобно пользоваться величиной DPC как нормирующим множителем при сравнении результатов [235, 252].

Определение силы отрыва требует вычислений Рра3д (й) для множества значений h в окрестности предполагаемого максимума. Численный анализ показывает [212], что для малых значений предварительных нагрузок уровень деформаций, при котором происходит отрыв h*, т. е. реализуется условие (3.75), приближенно находится по формуле h* = йс+Ас.

Расчеты показали, что с ростом предварительного нагружения контакта Радг увеличивается до некоторого предельного значения, которое достигается при усилии Р* (рис. 3.13). Этот результат характеризует одну из особенностей адгезионного взаимодействия шероховатых поверхностей и позволяет в оп-

Рис. 3.13. Влияние предварительной нагрузки контакта на силу отрыва поверхностей: 1—Л,. = 0,2; 2— 0,3;

3 — Дс = 0,5

ределенных пределах регулировать силу адгезии за счет предварительного нагружения контакта.

Следует отметить, что для очень «мягких» материалов, например резин, поверхностные силы притяжения способны обеспечить такое сжатие контакта, когда ho^h* и, следовательно, анализ силы отрыва можно проводить, принимая предварительную внешнюю нагрузку нулевой [252]. Для более «жестких» материалов предварительное нагружение контакта в ряде случаев следует учитывать при оценке силы отрыва.

Численный анализ подтвердил, что для упругого контакта шероховатость — фактор, определяющий силу отрыва адгези- оппо-взаимодействующих поверхностей. Так, увеличение шероховатости в 2 раза снижает силу адгезии почти на два порядка. Можно назвать три причины этого явления: уменьшение площади молекулярного контакта в силу его дискретности; не одновременное разрушение адгезионных связей на контактирующих выступах вследствие дисперсии высот последних; восстанавливающее действие упругодеформировапных неровностей. По-видимому, последнюю причину следует считать весьма существенной при оценке упругого адгезионного контакта шероховатых тел. В частности, с пей можно связать сравнительно высокое адгезионное сцепление резин с малым модулем упругости.

Информативным и «чувствительным» комплексным параметром для оценки порядка величины силы отрыва, учитывающим как физико-механические свойства, так и геометрические характеристики шероховатого слоя, является параметр Ас. Например, при изменении Ас от 0,2 до 0,6 сила отрыва увеличивается более чем на три порядка (рис. 3.14). Резкое уменьшение силы отрыва при Ае<0,1 позволяет считать, что выполнение этого условия — признак пренебрежимо малой адгезии. Аналогичный критерий 9 приведен в работе [252], где авторы предлагают адгезию считать малой, если 9>10. Параметр 0=Ео3/2/|ЗА'р имеет четкий физический смысл, характеризуя соотношение между сжимающими силами, действующими на неровности (числитель), и молекулярными силами притяжения (знаменатель). Поскольку Ае и 0 связаны зависимостью

Ас = СО 2/ 3 (3.75)

(С— постоянная), то адгезионный параметр Ас можно также считать мерой отношения поверхностных удерживающих сил и сил упругого разделения поверхностей.

Представляют интерес исследования процесса формирования ФПК с учетом влияния поверхностных сил. В данном случае следует иметь в виду, что площадка пятна контакта

отдельного выступа при адгезионном контактировании отличается от герцевской (рис. 3.15). Поэтому при расчете ФПК используется соотношение

At (6) = ла2 (6), (3.76) где а(6)—радиус площадки контакта, определяемый в теории ДКР выражением

а = ас(Р(х) + 2 + 2 У^ПЛ)'/3. (3.77)

г /Зл^ДуД/3

Здесь — РаДиУс пятна контакта в момент отрыва единичного выступа. Тогда связь ФПК с уровнем деформации h можно представить функцией

АдК^-'^?АОг^ а, Лс),(3.78)

где

/2 = ^ (Р (х) + 2 + 2 Уд (х) + 1 )2/3 Ф (Е, a) dL (3.79) k

Связь ФПК с нагрузкой осуществляется с помощью выражении (3.78) и (3.70) в виде параметрической функции с общим параметром h.

Для оценки влияния поверхностных сил на характеристики

Рис. 3.14. Зависимость силы отрыва поверхностей от безразмерного параметра Лс: / — а=1,5; 2—10; 3— сх=ооРис. 3.14. Зависимость силы отрыва поверхностей от безразмерного параметра Лс: / — а=1,5; 2—10; 3— сх=ооРис. 3.15. Сравнение площади контакта единичного пятна, рассчитанной по теории ДКР (сплошная линия), с герцевской (штриховая)Рис. 3.15. Сравнение площади контакта единичного пятна, рассчитанной по теории ДКР (сплошная линия), с герцевской (штриховая)

Рис. 3.14. Зависимость силы отрыва поверхностей от безразмерного параметра Лс: / — а=1,5; 2—10; 3— сх=оо

Рис. 3.14. Зависимость силы отрыва поверхностей от безразмерного параметра Лс: / — а=1,5; 2—10; 3— сх=оо

Рис. 3.15. Сравнение площади контакта единичного пятна, рассчитанной по теории ДКР (сплошная линия), с герцевской (штриховая)

Рис. 3.15. Сравнение площади контакта единичного пятна, рассчитанной по теории ДКР (сплошная линия), с герцевской (штриховая)

шероховатого контакта сравним результаты расчета, полученные при численной реализации на ЭВМ формул (3.78), (3.70), с данными, полученными по традиционной схеме расчета неадгезионного контакта. Для удобства зависимости (2.15), (3.78) и (2.16), (3.70) приведем к общему безразмерному виду

Ат (й) = Ат (/0/АалОсф, (3.79)

PW = P(h)!AaKDo$ Уо/₽. (3.80)

На рис. 3.16 приведены результаты расчета ФПК в широком диапазоне изменения нагрузки для разных значений безразмерных параметров контакта Дс и а. Показано, что межмолекулярное взаимодействие шероховатых поверхностей становится наиболее значимым с ростом параметра Ас и уменьшением нагрузок. При малых значениях Дс влиянием поверхностных сил можно пренебречь и считать контакт пеадгезионным. Например, при Дс=0,1 расчет по формулам (2.15), (2.16) лишь в первый момент касания (слабонагружспьый контакт) приводит к заниженному на 50% значению ФПК, но в диапазоне характерных для практики нагрузок погрешность расчета из-за пренебрежения межмолекулярным взаимодействием поверхностей <20%.

В табл. 3.4 указано значение Ас для одноименных пар материалов с разной обработкой поверхностей. Приведенные в таблице данные свидетельствуют о возрастании параметра Дс и, следовательно, влияния поверхностных сил для более гладких поверхностей и при уменьшении жесткости материала.

Анализ зависимостей (3.70), (3.78) позволил выявить и другие особенности формирования фактической площади адгезионного контакта. Во-первых, расчетные значения ФПК в

Рис. 3.16. Зависимость ФПК от нагрузки для адгезионного (сплошная линия) н неадгезионного (штриховая) контактов: 1 Г —Дс = 0,8; 2, 2' — 0,4; 3, 3' — Дс = 0,1.Кривые 1—4 соответствуют а = = 1,5, 1'—4'— а = ооРис. 3.16. Зависимость ФПК от нагрузки для адгезионного (сплошная линия) н неадгезионного (штриховая) контактов: 1 Г —Дс = 0,8; 2, 2' — 0,4; 3, 3' — Дс = 0,1.Кривые 1—4 соответствуют а = = 1,5, 1'—4'— а = ооРис. 3.17. Сближение адгезиоино- контактирующих поверхностей: 1, Г —2, 2' —0,4; 3, 3'—Дс=0,8. Кривые /—3 соответствуют а=°о, 1'—3'— а = 1,5Рис. 3.17. Сближение адгезиоино- контактирующих поверхностей: 1, Г —2, 2' —0,4; 3, 3'—Дс=0,8. Кривые /—3 соответствуют а=°о, 1'—3'— а = 1,5

Рис. 3.16. Зависимость ФПК от нагрузки для адгезионного (сплошная линия) н неадгезионного (штриховая) контактов: 1 Г —

Дс = 0,8; 2, 2' — 0,4; 3, 3' — Дс = 0,1.

Кривые 1—4 соответствуют а = = 1,5, 1'—4'— а = оо

Рис. 3.16. Зависимость ФПК от нагрузки для адгезионного (сплошная линия) н неадгезионного (штриховая) контактов: 1 Г —

Дс = 0,8; 2, 2' — 0,4; 3, 3' — Дс = 0,1.

Кривые 1—4 соответствуют а = = 1,5, 1'—4'— а = оо

Рис. 3.17. Сближение адгезиоино- контактирующих поверхностей: 1, Г —2, 2' —0,4; 3, 3'—

Дс=0,8. Кривые /—3 соответствуют а=°о, 1'—3'— а = 1,5

Рис. 3.17. Сближение адгезиоино- контактирующих поверхностей: 1, Г —2, 2' —0,4; 3, 3'—

Дс=0,8. Кривые /—3 соответствуют а=°о, 1'—3'— а = 1,5

Таблица 3.4. Адгезионный параметр Ас

Материал

К, ГПА

ДуЮ"3, Н/м

Шлифование

Полирование

о | в

о 1 13

о | [3

о | Р

2 | 100

1 | 180

О,5о| 230

0,25, 450

Резина

0,01

70

0,171

0,417

0,904

2,262

Найлон

0,75

92

0,011

0,027

0,059

0,148

пэнд

0,84

-62

0,008

0,019

0,041

0,105

*

1,00

200

0,015

0,038

0,082

0.204

*

10,00

20

0,001

0,002

0,004

0,009

Медь

86,00

000

0,004

0,010

0,019

0,052

Доводка

Субшероховатость

Материал

о | f

а

3

ст |р

о

1 Р

0,12 |30

0,06

| 500

о.

03 |1000

1 0,01

|0,20

Резина

1,911

9,762

24,599

0,433

Найлон

0,124

0,637

1,603

0,028

ПЭНД

0,089

0,454

1,143

0,020

*

0,173

0,882

2,222

0,039

*

0,008

0,041

0,103

0,002

Медь

0,044

0,224

0,584

0,010

I! р и м е ч а н и е. х—условный материал; ст, fi — в мкм.

значительной степени зависят от принятого закона распределения выступов шероховатости по высоте (параметр а). При изменении а от 1,5 до бесконечности ФПК уменьшается в несколько раз (рис. 3.16, сплошные линии), в то время как для неадгезионного контакта соответствующие значения различаются не более чем на 15% (штриховые). Приведенное объясняется тем, что при узкополосном спектре распределения (а=1,5) вершины подавляющего большинства выступов расположены выше средней линии, вследствие чего при касании поверхностей большее число выступов подвергается действию поверхностных сил, которые «помогают» внешней нагрузке при деформировании вершин поверхности и формировании ФПК. С ростом а уменьшается количество выступов, участвующих в формировании контакта за счет молекулярного притяжения тел, особенно в начальный период нагружения. По этой причине влияние поверхностных сил на величину ФПК несколько ослабевает.

Второй особенностью формирования фактической площади адгезионного контакта является слабая зависимость ФПК от нагрузки при Ас^1 и в диапазоне малых нагрузок, если

161161II. Зак. 1048

161

161

Ас^0,1. Это обусловлено деформированием шероховатого слоя- под действием поверхностных сил даже при нулевой внешней нагрузке. Для адгезионного неиагруженного контакта LAC> ^0,1) уровень деформации h0 обеспечивает сближение поверхностей (см. рис. 3.12), которому соответствует некоторая минимально возможная в данных условиях ФПК Ао (близкая к насыщению: АО-*ЛП, если Дс^1). Вовлеченный таким образом в процесс деформирования дополнительный объем материала неровностей как бы повышает жесткость шероховатого слоя и замедляет рост ФПК при последующем сжатии. Расчет сближения шероховатых поверхностей (рис. 3.17) в определенной степени подтверждает предположение об увеличении жесткости шероховатого стыка с ростом поверхностных сил.

В заключение следует подчеркнуть возможность представления основных зависимостей, описывающих фактический контакт па этапе его нагружения, через безразмерные функции h (h, а, А.) и /2 (й, а, Ас). Это позволяет составить комплект таблиц в необходимом для практического применения диапазоне изменения безразмерных параметров h, а и Ас. Использование указанных таблиц делает широко доступным расчет ФПК, сближения, числа и среднего размера пятен, фактического давления с учетом действия поверхностных сил (см. приложения 2, 4) при помощи простых вычислительных средств

КОНТАКТИРОВАНИЕ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР

Анализ модельной схемы контакта сфера — плоскость необходим для дальнейшего рассмотрения и развития многоуровневых моделей касания шероховатых поверхностей. Важно и то, что экспериментальные исследования по оценке адгезионного взаимодействия твердых тел базируются обычно на схемах контактирования сфера — плоскость, сфера — сфера, скрещенные цилиндры (две последние могут быть сведены к первой), т. е. использование схемы контакта сфера — плоскость несет в себе возможность экспериментальной проверки расчетных зависимостей для адгезионного контакта шероховатых тел.

Впервые попытка осуществить такую проверку предпринята К- И. Фуллером и Д, Тейбором J2521. В их экспериментах один из образцов изготовлен из прозрачных силиконовых эластомеров в виде оптической гладкой сферической линзы. Сквозь него можно было наблюдать за контактной площадкой. Для изготовления образца выбирались эластомеры с различными упругими свойствами. В качестве контртела использовались пластинки из оргстекла с разной шероховатостью. Проводилось измерение силы отрыва при разделении контакта с точ-

ностью ^0,05 мН. Нормирование полученных результатов осуществлялось относительно силы отрыва, измеренной для оптически гладких образцов, величина которой согласуется с предсказываемой теорией ДКР. Влияние электростатических сил исключалось благодаря облучению зоны контакта а-час- гинами. Путем длительной выдержки устранялось воздействие вязкоупругого поведения резины.

Результаты измерений подтвердили интенсивное убывание силы адгезии с ростом параметра шероховатости о, а также ее существенную зависимость от упругих свойств материала. Отмечено, что для предельно малой шероховатости адгезия изменяется слабо и отношение РаДг/Л-, где Рс— сила отрыва для соответствующего гладкого контакта, близко к едишше.

В своих расчетах авторы работы [252] исходили из предположения, базирующегося на экспериментально полученном выводе о том, что радиус сферы не оказывает значительного влияния на зависимость адгезии от шероховатости. Поэтому вместо касания сферической поверхности с шероховатой плоскостью рассматривался более простой случай контактирования номинально плоских поверхностей, что привело к необходимости введения нормирующих коэффициентов. Более корректным представляется непосредственное решение задачи об адгезионном контакте шероховатых сфер, которое и рассмотрим ниже [165].

Поскольку зазор и, разделяющий номинальные поверхности. является достаточно большим, то в первом приближении можно пренебречь влиянием молекулярных сил на объемное деформирование тел. Тогда эффективный радиус области контакта шероховатой сферы а и функцию относительного сближения точек профиля и(г), с учетом которой определяется величина зазора u(r), определим путем решения задачи об упругом контакте шероховатой сферы без учета поверхностных сил (см. разд. И). Кроме того, оставим в силе все пред- положспия, использовавшиеся ранее при рассмотрении задачи о контакте шероховатой сферы.

Общую нагрузку Р, действующую па сферу и, следовательно, на шероховатый слой, представим как сумму нагрузок, приходящихся на отдельные неровности, вступившие в контакт, и выразим ее через уровень деформации d шероховатого слоя в центре контакта. Здесь Р является равнодействующей внешней сжимающей нагрузки и поверхностных сил притяжения. Будем считать, что некоторую часть контактной нагрузки воспринимают лишь те выступы шероховатости, высота которых превышает значение зазора ti(r) между поминальными поверхностями контактирующих тел в рассматриваемой точке контурной площади контакта с координатой г. Следовательно, нагрузку, приложенную к элементу контурной площади контакта А,., можно представить так:

dP = dAcD ^ P;(z-— ti) Ф (z, a) dz,dP = dAcD ^ P;(z-— ti) Ф (z, a) dz,(3.81)(3.81)

dP = dAcD ^ P;(z-— ti) Ф (z, a) dz,

dP = dAcD ^ P;(z-— ti) Ф (z, a) dz,

(3.81)

(3.81)

где n = d-Vr^i^R—ofr); v(r), Ф(г, a)—соответственно функции перемещения и плотность распределения высот выступов [141].

Учитывая осевую симметрию площади контакта радиуса а и интегрируя по пей, получаем

(3.82)(3.82)Р = 2nPcD J Pt (z — и) Ф (z, ос) dz.о и

(3.82)

(3.82)

Если перейти к новой переменной 6 —z—и и затем все перемещения выразить через о, а радиальную координату через ]/2Ро, то после несложных преобразований имеем

=4г=4-у^ V4"л(А’ “’Ас)- (3-83)

(3.84)(3.84)Здесь ц — комплексный параметр шероховатости, рассчитываемый по формуле (2.40); Р,(х) — решение уравнения (3.58);

(3.84)

(3.84)

Л = ( f Р, (х) Ф (Л + аоу Ч- b0y2 + хАс) dxdy; б о

Параметры с, k определяются при решении самостоятельной задачи о механическом контакте шероховатых сфер [163] (см. подпараграф 7.1.2). Распределение высот вершин для образцов, испытывавшихся в работе [252], можно принять нормальным, так как параметр шероховатости у Ч>10:

р W = -|- Vk Ащ 1/ -^- Г f Р, (х) exp °° б о

+ Ьйу“ + Асх)2 dxdy.+ Ьйу“ + Асх)2 dxdy.(3.85)(3.85)

+ Ьйу“ + Асх)2 dxdy.

+ Ьйу“ + Асх)2 dxdy.

(3.85)

(3.85)

Выражения (3.83), (3.85) определяют нагрузку, действующую на шероховатую сферу при сжатии. Из-за особенностей пове-

дения шероховатости при разделении адгезионного контакта (см. параграф 10.2) для описания адгезионного отрыва контактирующих тел следует изменить значение нижнего предела во внутреннем интеграле на —L, где L=min (Дс, h—hcY Как показали эксперименты, поверхности резиновых образцов способны существенно деформироваться под действием только молекулярных поверхностных сил, поэтому можно принять hc= = ho. В данном случае отрицательное значение характеризует

Рис. 3.18. Влияние шероховатости на величину силы молекулярного прилипания (У, Г — К = 0,29 МПа, Д\ — = 68-10-3 Н/м; 2, 2' — ^=0,91 МПа, Ду = 40-10~3 Н/м; 3, 3'— К = 3,20 МПа, Ду=34-10~3 Н/м): /—3 — расчетные данные; Г—3' — экспериментальные [252]

усилие, которое следует приложить, чтобы разрушить сформировавшийся адгезионный контакт. Как и для плоских поверхностей, максимальное по модулю значение Р и есть сила отрыва (сила адгезии) шероховатой сферы Радг.

Полученное таким образом решение, позволяет осуществить сравнение теоретических и экспериментальных данных в относительных единицах Рал?/Рг. На рис. 3.18 показаны результаты такого сравнения, из которого следует, что предложенная схема расчета позволяет провести удовлетворительную оценку силы молекулярного прилипания в том случае, если шероховатый слой является сравнительно жестким. Это свойство слоя можно оценить параметром адгезии Д„. Указанная схема расчета приемлема при Ас^0,5, что выполняется почти для всех полимерных поверхностей, а также для металлических шероховатых поверхностей, которые имели незначительное предварительное нагружение, не нарушающее упругий характер деформирования. Однако описание процесса разделения контакта материалов с малым модулем упругости (рис. 3.18, кривые 1, 2) не может основываться на приведенной схеме расчета. При малой жесткости шероховатого слоя резкое количественное расхождение теоретических результатов с экспериментальными объясняется, в частности, тем, что в расчетах заложено допущение об отсутствии влияния поверхностных сил на объемное деформирование сферы и тем

самым на накопление упругой энергии, способствующей разделению контакта, что и привело к завышенным расчетным значениям силы отрыва сферы. Вторым фактором, который может быть признан существенным при контакте резин, является взаимовлияние неровностей, неучтенное при моделировании адгезионного взаимодействия. Третий фактор, не нашедший отражения в соотношении (3.83) — зависимость радиуса кривизны выступов от их высоты. Однако дополнительный расчет показал, что нельзя объяснить расхождение теоретических и экспериментальных результатов только за счет последнего фактора.

Таким образом, описание адгезионного контакта высокоэластичных криволинейных шероховатых тел требует решения сложной задачи о совместном влиянии поверхностных сил и шероховатости на объемное деформирование. Такое решение можно получить в результате применения самосогласованного подхода (270].

Представляет интерес опенка суммарной силы молекулярного притяжения в нагруженном контакте. Ее расчет может быть основан па рассмотренных зависимостях, если в качестве Р(л) использовать выражение для силы притяжения, действующей па периферии зоны контакта [130, 132] :

_q5/2_

+ 2 + 2 УР^ + 1 ),/4.

Сравнительный расчет величины Р* для шероховатой и гладкой сфер показал, что при некотором сочетании параметров шероховатости, свойств материалов и нагрузки сила молекулярного притяжения во втором случае ниже, чем в первом. Возможно, полученный результат связан с тем, что с ростом деформации шероховатого слоя решающее значение начинает играть не ФПК, а полная площадь поверхности в контактном зазоре, имеющем размеры, соизмеримые с радиусом действия молекулярных сил.

КОНТАКТИРОВАНИЕ «ЖЕСТКИХ»ШЕРОХОВАТЫХ ТЕЛ

Рассмотрим контакт объектов, для которых справедливой является теория ДМТ. т. е. выполняется условие р^1. Как показал анализ, к таким объектам (см. рис. 3.10) относятся металлические частицы нс более чем микронных размеров или полимерные — субмикронных. 'Гаковыми при расчете контакта металлических поверхностей являются микровыступы шероховатого слоя.

С учетом допущения теории ДМТ о том, что процесс деформирования упругих гладких сфер под влиянием суммар-

ных силовых факторов (внешней нагрузки и поверхностных сил) подчиняется теории Герца, внешнюю приложенную к сфере нагрузку, исходя из условия равновесия контакта, определяют равенством

РЦ^-Рн^-Р.^,(3.86)

где___

б-б/е; Рн^) = Kfi'r б: .(3.87)

Функция ГДб) вычисляется по формулам (3.28), (3.43) или с помощью аппроксимирующей зависимости (3.44).

Осуществляя суммирование по всем взаимодействующим выступам, получаем связь между уровнем деформации шероховатого слоя h и приложенной внешней нагрузкой:

Р (/i) - DAn С ^Рн (б) - Ея (б)) Ф (Е, a) dL (3.88)

десь б = о (Е — /г)/е.

Интегрирование по бесконечному интервалу вызвано тем, что теория ДМТ предполагает ван-дер-ваальсово взаимодействие тел через зазор, т. е. притягиваются вес выступы, моделирующие шероховатый слой. Следует иметь в виду, что при б<0 Рн^) =0. Разбив (3.88) на слагаемые, получим

Р ^ = Рг + Р2 + Рз - DAa [ J Рн (б) Ф (Е, a) d^ -h,

- f р;, (б) Ф (Е, а) de - р; (б) ф (Е, а) Д],

где F'M, F "— силы молекулярного взаимодействия контактирующих и неконтактирующих неровностей соответственно. Расчет герцевской составляющей (Р^ осуществляется с помощью выражения (3.87). Молекулярные составляющие (Р2, Гз), для оценки которых используются формулы (3.28) и (3.43), имеют ВИД

Р„ = nDAa3Р„ = nDAa3Ау8Ау8)' f [ДДх, 6) — Г9^- 6)]хФ(|, h 0)' f [ДДх, 6) — Г9^- 6)]хФ(|, h 0a) dxde,a) dxde,

Р„ = nDAa3

Р„ = nDAa3

Ау

8

Ау

8

)' f [ДДх, 6) — Г9^- 6)]хФ(|, h 0

)' f [ДДх, 6) — Г9^- 6)]хФ(|, h 0

a) dxde,

a) dxde,

о1 —

Р3 = — лПАа^ ( (6-2б-8) Ф (Е, a) de.

3.'4

Функция зазора /(х, б) в окрестности площади контакта отдельного выступа выражается соотношением (3.352, отнесенным к равновесному расстоянию е, с учетом a=(pe6)1/2.

Рассмотрим контакт сферы с шероховатой плоскостью. В том случае, когда микровыступы являются жесткими (р^1), суммарная нагрузка, действующая на контакт, может быть рассчитана по формуле

а* ~

Р (к) = 2лО f f [Р„ (6) — РЛ! (6)] Ф (t, a) pdcdp. (3.89) 0 —ОО

Для расчета контурного радиуса контакта о* и номинального зазора ы(г) можно воспользоваться уравнениями, полученными в предположении, что поверхностные силы не оказывают влияния на объемное деформирование сферы.

По аналогии с (3.88) выражение (3.89) также, представим в виде трех слагаемых. Первое (Pi) будет иметь вид (2.46), остальные

О О—2AU ' сю ос

р2 ^ = ——— D —3L. (■ i f [7-3 (Х) 5) — Дэ (х> <5)1 х

38 b h

X Ф (Е, a) xpdxd^dp,

Р3 (Щ = DpAy f ) (6 = - —- б-») Ф (g, a) pdW 33 Д 4

Численный анализ Pi и Р3 показал, что вклад взаимодействий непосредственно не соприкасающихся выступов в общую силу молекулярного притяжения может оказаться существенным, а со снижением степени деформирования шероховатого слоя (уменьшением внешней нагрузки) становится преобладающим (рис. 3.19). Таким образом, адгезия, определяемая при нулевых сжимающих нагрузках, по-видимому, обусловлена во многом внеконтактными силами, в то время как адгезионная составляющая силы трения — контактными (фрикционная

Рис, 3.19. Влияние впеиплсй нагрузки па силу молекулярного притяжения контактирующих (7) и нскоитактирующих (2) неровностейРис, 3.19. Влияние впеиплсй нагрузки па силу молекулярного притяжения контактирующих (7) и нскоитактирующих (2) неровностейРис. 3.20. Зависимость силы адгезии от модуля упругости и постоянной Тамакера: 1—А = = 10-ч дж; 2—10-18; 3 — А = = 10-19 ДжРис. 3.20. Зависимость силы адгезии от модуля упругости и постоянной Тамакера: 1—А = = 10-ч дж; 2—10-18; 3 — А = = 10-19 Дж

Рис, 3.19. Влияние впеиплсй нагрузки па силу молекулярного притяжения контактирующих (7) и нскоитактирующих (2) неровностей

Рис, 3.19. Влияние впеиплсй нагрузки па силу молекулярного притяжения контактирующих (7) и нскоитактирующих (2) неровностей

Рис. 3.20. Зависимость силы адгезии от модуля упругости и постоянной Тамакера: 1—А = = 10-ч дж; 2—10-18; 3 — А = = 10-19 Дж

Рис. 3.20. Зависимость силы адгезии от модуля упругости и постоянной Тамакера: 1—А = = 10-ч дж; 2—10-18; 3 — А = = 10-19 Дж

пара, как правило, всегда находится под действием ненулевых сжимающих нагрузок).

Представляет интерес оценить совместное влияние механических свойств и поверхностной энергии контактирующих материалов на величину адгезии «жестких» тел (рис. 3.20). Как и следовало ожидать, адгезия велика для тел с малым модулем упругости и большой константой Гамакера, характеризующей поверхностную энергию. Следует отметить, что существенно уменьшить адгезию за счет изменения модуля упругости удастся в тех случаях, когда константа Гамакера мала.

При расчете ФПК зависимость P(h) дополняют функцией A,-(h), что позволяет осуществить параметрическую связь А(Р). Для контакта «жестких» тел поверхностные силы не оказывают значительного влияния на зависимость A (h). Для номинально плоских поверхностей она может быть принята в виде (2.15), а для контакта сфера — плоскость — (2.45).

Существенной особенностью контактирования металлических поверхностей является пластический характер деформирования наиболее высоких выступов. Как показали экспериментальные исследования [241, 242, 298, 313, 330], пластичность может оказывать ощутимое воздействие на силу адгезионного отрыва. Так в работах [242, 313] проводилось измерение силы отрыва и электрического контактного сопротивления при нагружении контакта и последующем его разъединении. Показано, что значительный гистерезис контактного электрического сопротивления при нагрузке и разгрузке для пластически деформированных мнкровыступов сопровождается возрастанием силы отрыва. Экспериментально обнаружено [313], что сила адгезии для пластических контактов в большей степени, чем для упругого контакта, зависит от предварительного нагружения. По-видимому, впервые попытка учесть пластические деформации при расчете адгезионного контакта шероховатых поверхностей предпринята в работе [278] и далее развита в [242].

При трении металлических поверхностей наиболее распространенным (и наименее изученным) является случай упругопластического деформирования неровностей. Расчет силы адгезии применительно к такому контакту шероховатых поверхностей осуществлен в работе [239] на основе концепций теории ДМТ. Алгоритм расчета использован стандартный и сводится к квадратурам (3.90) и (3.91), так как профиль деформированной неровности принят герцевским из-за отсутствия решения соответствующей задачи. Погрешность такого предположения оценить трудно, но, вероятно, она нс должна быть значительной. Особенности упругопластического деформирования наиболее характерно проявляются при расчете ФПК и общей нагрузки. Предварительные исследования [238] показали, что в условиях обсуждаемой задачи единичное пят-

но контакта At и нагрузку Pt, приходящуюся на него, можно рассчитывать по формулам:

A-t = лР6 (2 - 6с/6), Р; = лР6 (2 - 6с/6) хН,

где 6С —■ критическое сближение, соответствующее началу пластической деформации и определяемое зависимостью

6с =6с =/ лхН \( 2Е )/ лхН \( 2Е )2Р;2Р;

6с =

6с =

/ лхН \

( 2Е )

/ лхН \

( 2Е )

2

Р;

2

Р;

х = 0,484+0,41v — коэффициент пропорциональности.

Тогда ФПК Аг и общая нагрузка Pi вычисляются по формулам, где учтено, что часть неровностей, для которых 6<6С, деформируется упруго:

Ат (d) = nDRAc | (г — d) Ф (2) dz +

5

+[2 (г — d) — 6С] Ф (г) dz},

!ЛиТ»с— Р1/2 f (z — d)!ЛиТ»с— Р1/2 f (z — d)3/2Ф(г)^г + лР

!ЛиТ»с

— Р1/2 f (z — d)

!ЛиТ»с

— Р1/2 f (z — d)

X [ [2 (г — d^ — 6Г] Ф (г) dz а+вс

Расчеты при гауссовском распределении высот вершин неровностей показали [239], что молекулярной силой притяжения по сравнению с внешней нагрузкой можно пренебречь, если индекс пластичности ф^2,5 или поверхностная энергия Ау<0,5 Дж/м2, а внешняя нагрузка больше, чем 0,001 АГЕ. Однако для гладких чистых поверхностей фактор адгезии становится значимым.

АДГЕЗИОННЫЙ КОНТАКТСУБШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Адгезия между металлами в обычных условиях практически не наблюдается, хотя поверхностная энергия для металлов по крайней мере в 20 раз больше, чем для резин и полимеров. Причем низкая адгезия металлических поверхностей фиксируется даже в камере сверхглубокого вакуума на очищенных от адсорбционных слоев и предельно гладко обработанных поверхностях (высота неровностей ^10 нм) [254]. Более значительную адгезию можно наблюдать в указанных

экспериментальных условиях, если разделению предшествовало пластическое деформирование одного из образцов. Многие исследователи считают, что такая низкая сила адгезии есть результат влияния неровностей поверхности, поскольку даже при очень тщательном выглаживании поверхностей путем механической, электрохимической и других финишных обработок остаются неровности нанометрического размера—■ субшероховатость.

Известны и в последнее время все чаще предпринимаются попытки «заглянуть» при изучении контактного взаимодействия твердых тел на уровень «субшероховатости». В работах [287, 300, 312—315] исследователи моделировали контакт единичной неровности путем взаимодействия острой иглы (радиусом -г 1 мкм) с предельно гладкой поверхностью. Таким образом Поллок и др. [314, 315] измеряли силу адгезии для контактов Pt—W и Ti—Со. Однако в этом случае, рассматривая адгезионное взаимодействие, по-видимому, нельзя пренебрегать субшероховатостью. Так, например, при экспериментальном наблюдении контакта иглы (радиус острия ^0,3 мкм) с гладко обработанной поверхностью титана авторы работы [315] пришли к выводу о необходимости учета субшероховатости поверхности. Изучив электронные микрофотографии угольных реплик с электрополированных и обработанных ионной бомбардировкой образцов, они отметили, что радиус закругления субмикронеровностей в 30 раз меньше радиуса закругления иглы. На этом основании считается возможным пренебречь радиусом закругления иглы и предполагать контакт поминально плоским, что, по-видимому, не всегда оправдано.

Существенным является вопрос учета субшероховатости в исследованиях по прямому измерению дисперсионных сил, действующих между твердыми телами, и определению констант, характеризующих поверхностную энергию материалов, например постоянную Гамакера. Обычно при этом использовались образцы с полированной поверхностью [68, 285, 320, 335]. Такие поверхности обладают шероховатостью с высотой выступов в лучшем случае 5... 10 нм и их нельзя считать гладкими при измерении сил на расстояниях ^30...50 им. А именно эти расстояния представляют значительный интерес для молекулярной физики, поскольку только па малых расстояниях можно исследовать дисперсионные силы.

Теоретические оценки сил дисперсионного взаимодействия тел с негладкой поверхностью в сравнении с идеально гладкой приведены в трудах [148, 150, 263, 334]. Так, в работе [148] проведен анализ расстояния между средними поверхностями контактирующих шероховатых поверхностен. При этом задавались разные варианты геометрически детерминированных участков обоих поверхностей. Результаты показали, что при

касании исследуемое расстояние составляет 0,7//тах, где Нщах —■ высота максимального выступа, отсчитываемого от линии впадин. С использованием добавки 0,7//шах к перемещению образцов от положения контакта проведена корректировка результатов измерения дисперсионных сил между скрещенными нитями. Показано, что учет влияния субшероховатости поверхности приводит к увеличению рассчитываемых из эксперимента значений констант Гамакера на 30%. Заметным недостатком в проводимых исследованиях воздействия шероховатости на измерение дисперсионных сил является пренебрежение деформированием и упругими восстанавливающими свойствами неровностей.

Существенные результаты, которые следует учитывать при моделировании адгезионного взаимодействия субшероховатых поверхностей, получены в работе [248],. В ней проведена серия экспериментов, посвященных изучению контактирования субмикронных металлических частиц с помощью электронного микроскопа. Размеры контактных площадок, наблюдаемых при нулевой приложенной нагрузке, подтвердили упругий характер деформирования частиц, а пересчет величины поверхностной энергии, исходя из радиусов контакта, дал значения, ожидаемые для поверхностей мелких частиц на основе теории адгезионного взаимодействия гладких тел (см. параграф 9.1). Полученные выводы в некоторой степени подтверждают возможность применения к субмикронным выступам ранее рассмотренных соотношений.

Рис. 3.21. Влияние молекулярных сил на физическую площадь контакта для разных полимерных материалов (/ — ПЭВД; 2— ПЭНД; 3 — найлон): сплошная линия — расчет с учетом молекулярных сил; штриховая — без учетаРис. 3.21. Влияние молекулярных сил на физическую площадь контакта для разных полимерных материалов (/ — ПЭВД; 2— ПЭНД; 3 — найлон): сплошная линия — расчет с учетом молекулярных сил; штриховая — без учетаПредставляет интерес анализ адгезионного параметра Ас (см. параграф 10.2), который показывает, что неровности субмикронной высоты следует учитывать при описании адгезионного контакта. Так, для тщательно очищенных поверхностей Т1С с Ауду 1000 мДж/м2, £ = 500 ГПа и неровностями, радиус закругления которых позволяет применять теорию

Рис. 3.21. Влияние молекулярных сил на физическую площадь контакта для разных полимерных материалов (/ — ПЭВД; 2— ПЭНД; 3 — найлон): сплошная линия — расчет с учетом молекулярных сил; штриховая — без учета

Рис. 3.21. Влияние молекулярных сил на физическую площадь контакта для разных полимерных материалов (/ — ПЭВД; 2— ПЭНД; 3 — найлон): сплошная линия — расчет с учетом молекулярных сил; штриховая — без учета

Рис. 3.22. Влияние молекулярных сил на фактическую (У) и физическую (2) площади контакта: сплошная линия — расчет с учетом молекулярных сил; штриховая — без учета

ДКР, сила адгезии мала, когда о>5 нм. Влияние адгезии на ФПК ощутимо, если неровности имеют а<15 нм.

Если проанализировать адгезионный параметр для «жестких» материалов (ц^1), т. е. в условиях применимости тео- 6 -

рии ДМТ, то, согласно соотношению АС~'Р, получим, что

учитывать влияние поверхностных сил на формирование площади касания выступов следует при о<10е, т. е. когда высота выступов является нанометрической.

контакта от внешней нагрузки контакта от внешней нагрузки (случай малых нагрузок): 1—с (случай больших нагрузок). Обоз- учетом шероховатости; 2— с уче- качения те же, что на рис. 3.23контакта от внешней нагрузки контакта от внешней нагрузки (случай малых нагрузок): 1—с (случай больших нагрузок). Обоз- учетом шероховатости; 2— с уче- качения те же, что на рис. 3.23том шероховатости и поверхностных сил; 3 — с учетом только поверхностных силтом шероховатости и поверхностных сил; 3 — с учетом только поверхностных сил

контакта от внешней нагрузки контакта от внешней нагрузки (случай малых нагрузок): 1—с (случай больших нагрузок). Обоз- учетом шероховатости; 2— с уче- качения те же, что на рис. 3.23

контакта от внешней нагрузки контакта от внешней нагрузки (случай малых нагрузок): 1—с (случай больших нагрузок). Обоз- учетом шероховатости; 2— с уче- качения те же, что на рис. 3.23

том шероховатости и поверхностных сил; 3 — с учетом только поверхностных сил

том шероховатости и поверхностных сил; 3 — с учетом только поверхностных сил

Нами проведен расчет физической площади контакта в случае совместного деформирования шероховатости и субшероховатости [212]. Для этого привлекалась двухуровневая модель контакта (см. разд. II) и предполагалось, что выражения для внешней нагрузки, действующей на субмикровыступ, и радиуса его контакта, связывающие данные характеристики со сближением выступа, задаются соотношениями, вытекающими из теории ДКР или ДМТ. Каждый выступ 1-го уровня моделировался адгезионно-взаимодействующей шероховатой сферой (см. параграф 10.3).

Проведенный вычислительный эксперимент для параметров шероховатости, указанных в табл. 2.4, показал, что для полимеров физическая площадь контакта может увеличиваться за счет действия поверхностных сил в несколько раз (рис. 3.21): для полиэтилена низкого давления — в 1,5 раза, полиэтилена высокого давления ■— в 3 раза, найлона — в 2 раза. Причем эти показатели слабо зависят от действующей на контакте нагрузки. В тех же условиях фактическая площадь контакта возрастает в значительно меньшей степени (рис. 3.22). Так, для полиэтилена низкого давления при ог= = 0,5 мкм увеличение ФПК не превышало 10%, при oi = = 0,08 мкм — 30%.

Формирование физической площади контакта «жестких» поверхностей имеет свои особенности. В диапазоне малых нагрузок пятно контакта единичной «шероховатой» неровности существенно зависит от действия в зоне касания поверхностных молекулярных сил (рис. 3.23, кривые 1, 2). Однако с ростом нагрузки количественное различие между областями контакта, вычисляемыми с учетом и без учета поверхностных сил, постепенно убывает (рис. 3.24, кривые 1, 2). Для сравнения на рис. 3.23 и 3.24 (кривая <?) приведена также зависимость сформированной под действием поверхностных сил площади контакта гладкой сферы от нагрузки. При рассмотрении ансамбля неровностей (контакта субшероховатых поверхностей) следует иметь в виду, что основной вклад в физическую площадь контакта вносят те неровности, нагрузка на которые сравнительно велика. С этим обстоятельством связана относительно слабая зависимость физической площади контакта «жестких» поверхностей от молекулярных сил.

В заключение следует отметить, что исследование процесса взаимодействия между деформируемыми твердыми телами, обусловленного наличием сил физического притяжения и отталкивания, способствует разработке адекватных моделей дискретного контакта и развитию на этой основе теории трения и изнашивания.

Раздел IVПРИЛОЖЕНИЕ МОДЕЛЕЙДИСКРЕТНОГО КОНТАКТАК ЗАДАЧАМ ТРИБОЛОГИИ

Глава 11ФИЗИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ В ТРИБОЛОГИИ

Анализ литературы и результаты современных экспертных оценок [75, 177] показывают, что моделирование является одним из приоритетных направлений развития трибологии.

Различают моделирование элементарных фрикционных процессов в рамках развития теории трения и изнашивания, и моделирование, применяющееся при конструировании конкретных триботехнических узлов и деталей (рис. 4.1). В обоих случаях рассматривается модель как физический или математический объект, находящийся в отношении подобия к моделируемой системе. Как правило, модель является не полным отображением исследуемого объекта, а лишь некоторых его аспектов, наиболее существенных с точки зрения исследователя или проектировщика. Вследствие сложности происходящих физико-химических и механических явлений в зоне контакта и взаимовлияния действующих при этом факторов обоснованное последовательное упрощение процесса трения позволяет выявить важные трибологические закономерности и роль основных параметров.

Получило распространение изучение физических моделей. При физическом моделировании, имеющем целью ускорение испытаний трибосистем или экспериментальное определение функциональных зависимостей параметров трения и изнашивания от эксплуатационных факторов и обычно реализуемом в виде лабораторных установок или испытательных стендов, рассматривается более простая по сравнению е натурной схема трибоеопряжений и (или) создаются условия для более интенсивного воздействия на контакт одних эксплуатационных факторов и максимально возможного исключения воздействия других (нагрузки, скорости, шероховатости, температуры,

влажности и др.) [38, 39, 213]. Результаты, полученные в итоге экспериментальных измерений, переносятся на натурную (моделируемую) систему с помощью масштабных коэффициентов, вытекающих из теории подобия [169, 183].

Известны работы [16, 207], в которых исследование поведения узлов трения машин проводится с помощью аналогового моделирования. Такой метод физического моделирования чаще применяется для прогнозирования напряженно-деформированного состояния контактирующих тел. Он связан с созданием физически подобных моделей, воспроизводящих геометрию, силовые режимы работы, краевые условия и т. д. При этом соблюдаются требования теории подобия и метода анализа размерностей, что позволяет осуществить с помощью известных соотношений пересчет полей напряжений, деформаций и перемещений с модели на натурную деталь. Для реализации аналогового моделирования обычно используются тензометри-

Рпс. 4.1. Моделирование в трибологии

рование, оптические, электрические, акустические, ультразвуковые и другие методы [16].

Обладая рядом преимуществ, свойственных эксперименту (высокая достоверность получаемых результатов, близкое сходство с натурным объектом, возможность исследования задач со сложными краевыми условиями и при комплексном воздействии многих факторов), физическое моделирование имеет ряд недостатков. К ним можно отнести необходимость создания специального экспериментального оборудования, что сказывается на стоимости и сроках проведения исследования; сложность интерпретации раздельного влияния факторов, препятствующая выявлению внутренних связей сложного процесса; трудности исследования объекта на критических режимах, нередко приводящих к разрушению физической модели и др. Указанные недостатки во многих случаях можно устранить при математическом моделировании.

Обычно под математической моделью понимают совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, которые отражают основные свойства трибологического объекта или процесса [190]. Подобная мысленно представимая или численно реализуемая система, отображая изучаемый объект, способна замещать его, давая нам новую информацию о самом предмете исследования. Ценность этой информации возрастет при удачном сочетании математического и физического моделирования. ■

Можно выделить по крайней мере два подхода к использованию математических методов для анализа и синтеза трибологической информации [75]. Первый основан на сборе эмпирических данных, включающем измерение параметров поверхностей, получение трибологических характеристик в лабораторных исследованиях, их сопоставление с натурными испытаниями и отбор для построения эмпирической модели. При таком подходе, безусловно, ведущим остается физическое моделирование, поскольку оно дает материал для построения основной модели. Роль математических методов в этом случае часто заключается в подборе требуемых аппроксимирующих зависимостей и оптимальной организации экспериментальных исследований с помощью методов математического планирования эксперимента ]81].

При построении расчетно-эмпирической модели во многих случаях необходим этап, связанный с получением формул для численной оценки параметров контакта и характеристик трения изнашивания. Такие формулы, как правило, содержат эмпирические коэффициенты, определяемые на основе анализа достаточно представительных массивов экспериментальных данных для некоторых типичных условий эксплуатации, механизмов изнашивания, способов обработки поверхности и др. Указанный подход применяется, например, при определении

износа деталей, установлении влияния режимов обработки поверхности на параметры ее шероховатости и т. д. [79, 108, 159, 221]. Поскольку расчетно-эмпирический подход к созданию моделей в значительной степени включает элементы физического моделирования, то ему присущи достоинства и недостатки последнего.

Второй подход к математическому моделированию в трибологии сводится к построению модели на основе известных физических принципов с последующей проверкой путем сравнения результатов расчета и эксперимента. При необходимости модель последовательно уточняется для достаточного согласования ее с экспериментальными данными. Такой подход эффективен при решении задач трибологии на основе аналитических методов механики деформируемого твердого тела. Так, решение комплекса неклассических контактных задач для упругих, пластичных, вязкоупругих тел с тонкими покрытиями, при наличии шероховатости и гидродинамической смазки, с учетом износа, касательных напряжений в зоне контакта, тепловыделения и других параметров позволило вплотную подойти к разработке научно-обоснованных инженерных методов расчета на трение и износ фрикционных сопряжений [7, 47, 48, 55, 100, 153, 205 и др.]. При этом использование аналитических методов, как правило, приводит к задачам математической физики, требующим решения систем дифференциальных и интегральных уравнений.

Безусловным преимуществом такого подхода является точность и удобство анализа результатов. Однако из-за нестацио- нарности процессов трения его математические модели часто оказываются нелинейными. Получаемые аналитические решения даже для одномерных задач имеют громоздкий вид. Доводить их до конечного результата целесообразно с помощью численных методов конечных разностей (сеток), вариационноразностных (конечных элементов) и др. [48, 58].

Замкнутые решения получаются скорее как исключения, и то обычно в рамках механики или теплофизики [47]. Учесть совместное воздействие механических, теплофизических и трибохимических факторов пока не удается в универсальной аналитической модели процесса трения и износа. Следует иметь в виду и то, что в процессе построения аналитических моделей контакт чаще рассматривается на макроуровне и считается структурно-однородным, потому что континуальная модель механики твердого тела не может оперировать такими понятиями, как пятно контакта, фактическая площадь контакта, фактическое давление и т. д., имеющими принципиальное значение при построении теории трения и изнашивания.

Уместно еще раз подчеркнуть, что процесс формирования контакта на микроуровне во многом определяется его дискретностью, обусловленной шероховатостью поверхности, и носит 178

вероятностный характер. Поэтому точное аналитическое описание такого контакта даже только с позиций механики проблематично. Наиболее эффективный путь преодоления данных трудностей — создание численных моделей. К ним следует отнести статистические модели дискретного контакта, рассмотренные выше. В отличие от работ, учитывающих влияние шероховатости при контактировании твердых тел с позиции традиционных методов теории упругости [126, 216], в которых шероховатость заменяется некоторым сплошным слоем со специфическими свойствами, модели дискретного контакта дают более адекватную картину зоны сопряжения. Основанные на дискретном подходе модели трения достаточно гибки и более открыты для учета не только механических, но и ряда физических, физико-химических и других аспектов фрикционного взаимодействия.

Важным является вопрос о совместном деформировании статистического ансамбля неровностей. Его количественная оценка стала возможной в результате введения предположения об отсутствии взаимного влияния микроконтактов, т. е. о том, что напряженно-деформированное состояние материала в области пятна контакта полностью определяется нагрузкой, воспринимаемой этим контактом и не зависит от наличия соседних микроконтактов. Несмотря на то что вследствие указанного предположения стала невозможной традиционная математическая постановка задач теории упругости, так как не удовлетворяется уравнение совместимости (неразрывности) деформаций, результаты вероятностного расчета имеют удовлетворительное соответствие с экспериментом при малой плотности контактов. В случае высокой плотности картина деформирования шероховатого слоя изменяется, поскольку каждое физическое пятно касания является источником напряжений, а с ростом их плотности отдельные поля напряжений начинают интерферировать. Показано [4, 11, 20, 55, 113, 317], что интерференция напряжений от ансамбля микроконтактов приводит к насыщению ФПК, замедляет сближение поверхностей, обусловливает рост максимальных подповерхностных касательных напряжений, играющих существенную роль в процессе изнашивания, и уменьшает глубину их залегания.

Известны попытки найти решение этой проблемы. Так. И. Г. Горячевой и М. Н. Добычиным [56, 57, 78] рассмотрена задача о внедрении системы штампов, где для учета взаимного влияния авторы ввели в расчетные модели дополнительную характеристику контакта — отношение среднего расстояния между контактами к среднему размеру пятна контакта. От данной величины зависит значимость эффекта взаимовлияния микроконтактов; если она больше трех, то взаимовлиянием выступов в расчетах можно пренебречь. Но тюка проблема создания адекватной реальному контакту статисти-

ческой модели с учетом степени плотности микроконтактов остается нерешенной. Поэтому на современном этапе приходится констатировать, что при выборе расчетной схемы следует принимать во внимание возможность значительных погрешностей из-за влияния дополнительных геометрических отклонений поверхностей от идеальной формы, например волнистости, а также высокой эластичности или пластичности материалов и других факторов, которые обусловливают локализацию пятен контакта в такой степени, что необходимо учитывать данный эффект. Несмотря на отмеченные ограничения численное моделирование занимает в трибологических исследованиях все более значительное место. Это позволяет снизить стоимость или даже избежать постановки дорогостоящих экспериментов. Если результаты численного моделирования объекта достоверно отражают его поведение, то путем варьирования входными параметрами модели можно воспроизводить с помощью ЭВМ. особенности такого поведения в самых разных, в том числе экстремальных, условиях. Перспективность дальнейшего создания и реализации математических моделей в фундаментальных и прикладных исследованиях поверхности базируется на интенсивном процессе развития средств вычислительной техники, разработке численных методов математики и их программного обеспечения [125, 178].

Приведенная в настоящей главе классификация методов моделирования в трибологии по используемым для этого средствам, безусловно, не полна. Например, известны классификации таких методов по степени сложности моделей [58], по назначению [177, 221 и др.]. Выбор того или иного метода следует осуществлять в связи с поставленной задачей и возможностями ее решения. Методы физического моделирования трения нс могут быть вытеснены из практики методами математического анализа. В дальнейшем они, очевидно, будут продолжать объединяться, концентрируя новые математические и физические подходы к решению триботехнических задач.

В заключение главы надо подчеркнуть, что развитие и применение моделей дискретного контакта в трибологии становится все более необходимым, особенно при решении задач прогнозирования интегральных характеристик, таких как сила трения и интенсивность изнашивания, а также их зависимости от механических, физических и химических взаимодействий поверхностей в зоне контакта, при выявлении связей этих характеристик с шероховатостью. Данный подход, невидимому, единственно реальный при рассмотрении явлений, зависящих от степени неоднородности зоны сопряжения деталей, прежде всего таких, как процесс прохождения через контакт потоков энергии (электрической, тепловой и др.).

Ниже рассмотрены некоторые приложения дискретной модели контакта к задачам триботехники.

Глава 12

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СИЛЫ ТРЕНИЯ

Общепринято, что при фрикционном взаимодействии твердых тел одновременно происходят два взаимосвязанных процесса: с одной стороны, молекулярное притяжение контактирующих тел, с другой — деформирование материала внедрившимися неровностями [35, 108]. Поэтому сила трения F может быть описана суммой двух составляющих — механической (или деформационной) Рд и молекулярной FM:

F = ^ + FM. (4.1)

В литературе известны расчетные зависимости для каждой из указанных составляющих [20, 26, 35, 108, 109, 128]. Вместе с тем представляет интерес проведение расчета силы трения на основе описанных выше моделей дискретного контакта твердых тел, более полно учитывающих особенности топографического строения реальных поверхностей и специфику их контактного взаимодействия.

ДЕФОРМАЦИОННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ

Деформационная составляющая при фрикционном взаимодействии в ряде случаев может быть значительной или даже определяющей (сопряжение грубо обработанных поверхностей, контакт тел с малой номинальной поверхностью касания при высоких давлениях, например, иглы или сферического индентора с плоскостью). Сила сопротивления движению единичной неровности, возникающая при упругой деформации в зоне касания, определена рядом авторов [26, 35, 128 и др.]. Обычно при этом единичная неровность представляется в виде тела правильной геометрической формы (сферы, стержня, конуса) [43].

Рассмотрим, используя схему Л. Линга [291], расчетные соотношения для деформационной составляющей силы трения при упругом контактировании. Для упрощения оценки не будем учитывать взаимовлияние микронеровностей, вследствие чего предлагаемые зависимости справедливы лишь в случае слабонагруженных пар трения. Пусть в декартовой системе координат (Аф Х2, А3) на плоскость Х3=0, ограничивающую полупространство, действует нормальное давление q(xx, ^2). Направление «движения» эпюры совпадает с осью Х2. Если в момент времени t профиль деформированной поверхности занимает положение щ(хь х2), то через промежуток временя А/ оно будет другим: пу(хь х2—Ах2). Элементарная работа dU. совершаемая при «перемещении» профиля, т. е. затрачиваемая

на преодоление упругости материала, может быть выражена следующим образом:

dU = q to, ,r2) [ю (xv хг) — to (xv x2 — Дх2)] dx^x^.

Принимаем, что dU есть работа деформационной составляющей Рд силы трения. Тогда

dU dFANx2.(4.2)

Откуда

™х2) , ,

dp-y — q to, х2)dxLdx2

'дх2

и

F д = J J q to, х2) ^£Йо^) dxxdx2. (4.3) дх2

Вклад в трение вносят лишь те участки поверхности Q+, на которых нагрузка ^(лд, х2) совершает положительную работу, т. с.

dto to, х^ 0дх2

Описание эпюр давлений q^xx, х2) й перемещений ш(хьл2), вызванных контактом штампа, имеющего поверхность, отличную от идеальной геометрической формы (что обусловлено сложностью топографии реальных поверхностей), является чрезвычайно трудной задачей. Рассмотрим, поэтому, вначале модельную задачу. Предположим, что штамп имеет форму гладкого сферического сегмента и контактирует с гладким полупространством. Тогда

q\xx, х2>= ЯЕ^-х^-х^(4.4)

и

w to, х2) — to0 — ^ (Xl + х2\(4.5)

Здесь

ЗР .Л70а0 ._ nq0 .

do = п~’ Р1 ~ й ’

2лц02Е4а0Е

а0 — герцевский радиус контакта сферы.

Осуществив интегрирование (4.3) с подстановкой (4.4) и (4.5), получим

Г4.6)Г4.6)9Р2

Г4.6)

Г4.6)

64 Е' do

Если же выразить Ед через перемещение в центре контакта Wo. то

Fr=Aw20E'.(4.7)

4

Коэффициент деформационного трения при упругом контакте гладкого сферического индентора и плоскости

(4.8)(4.8)^л _ 9Р

(4.8)

(4.8)

Р 64Е' ад

Давление q^xx, х^ на реальном контакте, как правило, отличается от герцевского. Например, при вдавливании шероховатой сферы в упругое полупространство (см. параграф 7.1), она выражается соотношением(2.41), в котором р = f 2

Соответственно изменяются и вертикальные перемещения точек зоны сопряжения, которые вычисляются по формуле

УлГ (6 + 1)

w (р) = w (0)рсоЕз/2 (d*) У^рт^ X

(4.9)(4.9)

(4.9)

(4.9)

Теперь можно оценить деформационную составляющую силы трения, обусловленную объемным деформированием при контактном взаимодействии шероховатой сферы и полупространства. Подстановка (2.41) и (4.9) в (4.3) дает искомую расчетную зависимость

FaFalico2E' Г (к + 2)8а* Ул Г (^+1/2)lico2E' Г (к + 2)8а* Ул Г (^+1/2)Кз/Д^Т/Да*),Кз/Д^Т/Да*),(4.Ю)(4.Ю)

Fa

Fa

lico2E' Г (к + 2)8а* Ул Г (^+1/2)

lico2E' Г (к + 2)8а* Ул Г (^+1/2)

Кз/Д^Т/Да*),

Кз/Д^Т/Да*),

(4.Ю)

(4.Ю)

где Т = 2Р((рЕ' V2Rd)— безразмерная нагрузка;

к 2 ,

С2 /С2 //3 (а*) = 2 f dx2 J(1

С2 /

С2 /

6о\

Коэффициент деформационного трения шероховатого сферического индентора

ц / ~, Г у + 2)

^л== 4 Ул с | "2R Рз^ ^ Г(/г + 1/2) к' (4'И)

Связь с нагрузкой Р можно осуществить через параметр d* с помощью формулы (2.46). Коэффициенты аппроксимации с и к рассчитывают по схеме, изложенной в параграфе п. 7.1 или выбирают из табл. 2.1. Сравнение зависимостей (4.8) и 14.11) показывает (рис. 4.2), что перераспределение контактного давления, вызванное наличием шероховатости, приводит к снижению коэффициента деформационного трения лишь при малых нагрузках, а с увеличением последних становится несущественным.

Наиболее значительный вклад в деформационное трение вносит контактное взаимодействие тонких шероховатых слоев фрикционной лары, т. е. деформирование ансамбля неровностей. Описанная выше задача о контакте сферы и полупространства может рассматриваться в качестве модельной для единичной неровности. Тогда каждая контактирующая неровность будет иметь зависящую от величины внедрения составляющую (4.7) в общей силе деформационного трения. После интегрирования (см. схему, приведенную в параграфе 6.1), получим соотношение между силой трения и уровнем деформации. Так, в случае взаимодействия номинально плоской шероховатой поверхности с идеально гладкой оно примет вид

(4.12)(4.12)Рд = о2 E'DAa [ (Е — d*f Ф (Е) dL

(4.12)

(4.12)

Для контакта шероховатого сферического индентора с гладкой плоскостью будем иметь

Рис. 4.2. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки для сферического индентора (/?= 16 мм, сг=0,6 мкм; D = =0,6-10“2 мкм-2, Р=15,3 мкм, 5 = 7 ГПа): / — с учетом взаимодействия на микро- и макроуровнях; 2—объемное деформирование (гладкая сфера); 5 — объем- иое деформирование (шероховатая)Рис. 4.2. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки для сферического индентора (/?= 16 мм, сг=0,6 мкм; D = =0,6-10“2 мкм-2, Р=15,3 мкм, 5 = 7 ГПа): / — с учетом взаимодействия на микро- и макроуровнях; 2—объемное деформирование (гладкая сфера); 5 — объем- иое деформирование (шероховатая)Рис. 4.3. Влияние радиуса сфгэы на коэффициент трения, обус ^шлеп- чый объемным деформированием: 1—7?=15 мкм; 2— 0,3 мм: 3— /?=1 мм; штриховая линия — расчет по (4.8); сплошная — по (4.11)

Рис. 4.2. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки для сферического индентора (/?= 16 мм, сг=0,6 мкм; D = =0,6-10“2 мкм-2, Р=15,3 мкм, 5 = 7 ГПа): / — с учетом взаимодействия на микро- и макроуровнях; 2—объемное деформирование (гладкая сфера); 5 — объем- иое деформирование (шероховатая)

Рис. 4.2. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки для сферического индентора (/?= 16 мм, сг=0,6 мкм; D = =0,6-10“2 мкм-2, Р=15,3 мкм, 5 = 7 ГПа): / — с учетом взаимодействия на микро- и макроуровнях; 2—объемное деформирование (гладкая сфера); 5 — объем- иое деформирование (шероховатая)

рд = nRcPE'D J J (?

О и4

u*)2 Ф (?) pd?dp.

(4.13)

Рис. 4.4. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки (сплошная линия — без учета субшероховатости, штриховая— с учетом): 1 — Ra = 0,5 мкм;2— Ра = о,8 мкмРис. 4.4. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки (сплошная линия — без учета субшероховатости, штриховая— с учетом): 1 — Ra = 0,5 мкм;2— Ра = о,8 мкмСравнение результатов расчета коэффициента трения по формулам (4.11) и с учетом (4.13) (рис. 4.2, кривые 1, 3) показывает на существенное влияние взаимодействия на микроуровне при малых нагрузках и в широком диапазоне нагрузок

Рис. 4.4. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки (сплошная линия — без учета субшероховатости, штриховая— с учетом): 1 — Ra = 0,5 мкм;

2— Ра = о,8 мкм

Рис. 4.4. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки (сплошная линия — без учета субшероховатости, штриховая— с учетом): 1 — Ra = 0,5 мкм;

2— Ра = о,8 мкм

Рис. 4.5. Зависимость деформационного коэффициента трения от нагрузки для сферического (/) и плоского (2) шероховатых инденторов

для сфер малой кривизны. С уменьшением радиуса закругления индентора сила трения, обусловленная объемным деформированием, возрастает (рис. 4.3).

Результаты проведенных исследований могут быть использованы при анализе влияния формы контактирующих деталей, наличия макроотклонений, волнистости и субшероховатости на деформационную составляющую коэффициента трения. Властности, в рамках двухуровневой модели контакта (см. гл. 8) проведен расчет /д при контактном взаимодействии номинально плоских поверхностей с двумя уровнями неровностей (шероховатость + субшероховатость). Соотношение (4.13) для «шероховатой» неровности распространено на ансамбль неровностей. Результаты расчетов представлены на рис. 4.4 и показывают, что учет субшероховатости вызывает некоторое увеличение /д по сравнению с «обычным» шероховатым кон-

Рис. 4.6. Зависимость деформацион-ного коэффициента трения для шеро-ховатой (Р и волнистой шероховатой(2) поверхностей

тактом. Более чувствительна деформационная составляющая к параметрам шероховатости 1-го уровня.

Для оценки влияния формы контактирующих тел (или макроотклонений) проведен сравнительный расчет коэффициента трения для сферического индентора по выражению (4.13) и для плоского индентора с номинальной площадью, значительно превышающей эффективную площадку сферического контакта. по формуле (4.12) (рис. 4.5). Видно, что при малых нагрузках механическое сопротивление движению плоского индентора выше, чем сферического, т. е. в этом случае существенную роль играет количество контактирующих неровностей. При дальнейшем увеличении сжимающих нагрузок коэффициент трения возрастает, причем быстрее для сферического индентора, т. е. преобладающим фактором становится объемное внедрение. Эти результаты позволяют объяснить причину сравнительно низкого механического сопротивления движению для слабонагружепного контакта при наличии на поверхности трения волнистости (рис. 4.6).

АДГЕЗИОННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ

В ряде случаев, например, при фрикционном взаимодействии поверхностей высокой чистоты обработки или трении гладкой поверхности по полимеру, деформационной составляющей можно пренебречь. Тогда величина силы трения будет определяться в основном ее адгезионной составляющей. Предполагая удельную силу адгезионного взаимодействия равномерно распределенной по площади касания, многие авторы пользуются простой зависимостью:

F vS.(4.14)

где ти — удельная сила трения. Под величиной 5 обычно понимают фактическую площадь контакта [35, 109, 128].

Однако маловероятно, что молекулярное взаимодействие однородно даже на единичном фактическом контакте з первую очередь из-за присутствия субшероховатости на каждой контактирующей неровности. В связи с этим можно дать новую физическую трактовку соотношения (4.14), используя результаты анализа двухуровневой модели с субшероховатостью (см. параграф 8.2). Согласно новой расчетной схеме, наиболее интенсивное силовое взаимодействие, которое может привести при определенных условиях к образованию химических связей и принимается ответственным за молекулярную составляющую силы трения, имеет место при контакте субшероховатости, т. е. на физической площади касания [22]. Таким образом, если величина S в формуле (4.14) характеризует физическую площадь контакта А, то новое содержание получает и удельная сила трения тп. Часто [35, 108] тп отождествляют с проч-

(4.15)(4.15)ностыо на срез более мягкого из контактирующих материалов. В рассматриваемом случае, когда ответственными за трение полагают интенсивные молекулярные взаимодействия на участках максимального сближения субшероховатых поверхностей, естественно предположить, что величина тп близка к теоретической прочности материала. Тогда соотношение (4.14) можно записать в виде £ы=тяЛ или, переходя к коэффициенту трения:

(4.15)

(4.15)

Г =

Ь

Здесь q = PfAE.

Соотношение (4.15), формально совпадая со своим аналогом, получившим распространение в трибологии, отличается от пего концептуально. Поэтому важно проверить, в какой мере оно согласуется с экспериментальными данными. Если задаться экспериментальными значениями коэффициента тления при некоторых средних нагрузках (принято g = ^ср = 0,8), то по формуле (4.15) можно рассчитать величину т„. Результаты численной оценки для ряда материалов приведены в табл. 4.1 и показывают, что т„ значительно превышает техническую прочность и приближается к теоретической. Последнюю в ряде случаев удается рассчитать [180]. В связи с этим появляется возможность применять в новом качестве формулу (4.15), до сих пор традиционно используемую как эмпирическая. Обсуждаемый аналитический результат соответствует экспериментальным выводам, полученным при измерении прочности материала на микроуровне [36]. Последующие расчеты по формуле (4.15) показали, что она дает приемлемые для обсуждения результаты в разных ситуациях. Рассмотрим несколько примеров.

Известны экспериментальные исследования, в которых показано, что для одного и того же полимерного материал ! коэффициент трения при варьировании нагрузки может убывав с, возрастать или практически не зависеть от нее. Обзор указанных работ дан в монографии [27]. Разнообразие такого

Таблица 4.1. Значение прочности на срез для ряда материалов

Материал

/эксп

ттехн- ^ ГТа

ттеор’ ГПа

трасч* ГПа

Железо

0,25

0,14

32,50

40,00

Медь

0,20

0,11

15,40

12,80

Серебро

0,15

0,07

8,90

9,10

Полиэтилен

0,33

0,02

2,10

1,70

Найлон

0,45

0,06

3,10

2,00

Рис. 4.7. Расчетная зависимость коэффициента трения полиэтилена от нагрузки (.1—р = 10; 2— 0,3;3 — ц = 0,1)Рис. 4.7. Расчетная зависимость коэффициента трения полиэтилена от нагрузки (.1—р = 10; 2— 0,3;3 — ц = 0,1)поведения невозможно объяснить на основе какой-либо одной из известных теорий трения. Проанализируем эти экспериментальные данные в рамках двухуровневой модели реальной поверхности. Один и тот же материал в зависимости от технологии его получения и влияния окружающей среды при одном и том же качестве обработки поверхности может иметь разную субшероховатость, что находит отражение в параметрах топографии и характере изменения q от нагрузки (см. рис. 2.7). На

Рис. 4.7. Расчетная зависимость коэффициента трения полиэтилена от нагрузки (.1—р = 10; 2— 0,3;

3 — ц = 0,1)

Рис. 4.7. Расчетная зависимость коэффициента трения полиэтилена от нагрузки (.1—р = 10; 2— 0,3;

3 — ц = 0,1)

Рис. 4.8. Экспериментальная зависимость коэффициента трения для пары полипропилен—сталь при разных скоростях скольжения [134]: 1— и = 4,4 мкм/с; 2— 44;

3 — 440; 4— и = 4400 мкм/с

рис. 4.7 изображены расчетные кривые для полиэтилена низкой плотности, охватывающие все возможные варианты изменения коэффициента трения с ростом нагрузки при варьировании только параметра ц.

Второй пример связан с немонотонными зависимостями коэффициента трения от нагрузки, в частности, для пары полипропилен— сталь при разных скоростях скольжения 1134] (рис. 4.8). Прохождение коэффициента трения через максимум авторы объясняют температурным фактором, который при определенных скоростях и нагрузках приводит к пластическому течению. Однако на этом же рисунке показаны кривые 3 и 4, полученные при очень малых скоростях скольжения (соответственно 4 и 40 мкм/с), когда выделение тепла незначительно. Отсюда можно предположить, что кроме температурного фактора существуют и другие причины немонотонности коэффициента трения, в частности характер формирования физической площади контакта. Если считать, что повышение температуры в контакте приводит к снижению модуля упругости и принять ц=0,2, то для пропилена расчет дает зависимости, показанные на рис. 4.9. Кривая 1 получена для исходного модуля упругости. С уменьшением последнего происходит ее сдвиг в сторону снижения нагрузки, что качественно соответствует экспериментальным данным (см. рис. 4.8).

Приведенные примеры косвенно подтверждают предполо-

жение, что в условиях сухого и граничного трения кроме деформационного и ван-дер-ваальсового взаимодействий значительную, а возможно, и определяющую роль могут играть более сильные связи (металлические и химические), образующиеся на пятнах физического контакта.

Таким образом, двухуровневая модель контакта по крайней мере качественно способна отражать некоторые закономерности трения. Однако для введения ее в расчетную прак-

Рис. 4.9. Расчетная зависимость коэффициента трения от давления для полипропилена: 1—£ = 2350 МПа- 2— 235; 3 — £ = 23,5 МПа

тику требуется дополнительная комплексная экспериментальная проверка, базирующаяся, в частности, на дальнейшем глубоком изучении субшероховатости, условий ее формирования и особенностей трансформации в процессе трения. Следует отмстить, что приведенная выше трактовка адгезионной составляющей силы трения не исключает других подходов [240].. основанных па моделях дискретного контакта.

Глава 13

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕВ СИСТЕМЕ МАГНИТНЫЙ ДИСК—ГОЛОВКА

В современной технике при герметизации сопряжений, создании микросхем, магнитной и оптической передаче информации к контактным сопряжениям деталей предъявляются требования повышенной точности. Существенным условием их удовлетворения является реализация высокой гладкости контактирующих поверхностей. При этом гладкость поверхностей, даже полученных на пределе современных технических возможностей, безусловно, не идеальна. Они содержат отклонения микротопографии, по крайней мере, нанометрической высоты, что нарушает сплошность номинальной зоны контактирования. В то же время малые размеры шероховатости накладывают некоторые существенные особенности на процесс формирования реальной площади контакта поверхностей (далее будем называть их гладкими). Своеобразие поведения такого контак-

та связано с эффективным влиянием поверхностных сил межмолекулярного притяжения, прежде всего в нанометрическом зазоре, на процесс возникновения и роста пятен фактического касания при нагружении контакта.

В качестве основного признака гладкости контактных поверхностей принимаем их способность к адгезионному взаимодействию, которую оцениваем с помощью параметра Ас (3.79). Такая расширенная трактовка понятия гладкости прсдпола-

Рис. 4.10. Влияние шероховатости на адгезионную способность контакта

гает, что последняя зависит в первую очередь от сочетания контактирующих материалов. Другими словами, только совместное влияние физико-механических характеристик и микрогеометрических параметров фрикционной пары обусловливают ее гладкость. Как показывает анализ, критерием гладкости может служить условие Ас>0,1 (рис. 4.10). Следует отметить, что для каждой пары материалов существует определенный уровень шероховатости (7?о), ниже которого при всех допустимых значениях параметров, входящих в Аг, обеспечивается выполнение критерия гладкости (рис. 4.10, зона 2). Выше этого уровня существует переходная область, где гладкость достигается лишь в отдельных ситуациях при специальном подборе параметров контактирующих материалов (рис. 4.10, зона /). Известно также, что величина поверхностной энергии и адгезионный эффект в значительной степени зависят от чистоты поверхностей. Так, например, для стекла при 100%-ной влажности он может проявляться лишь при шероховатости в 1,5 раза, а для алюминиевой поверхности, покрытой оксидной пленкой, в 2 раза меньшей, чем для соответствующих чистых поверхностей. В случае ненасыщенного контакта (малые на-

грузки) адгезионный эффект будет иметь место для большей высоты шероховатости. Таким образом, оценка влияния no- г. ерхностных сил межмолекулярного взаимодействия на процесс формирования контакта требует совместного учета поверхностной энергии и механических свойств контактирующих материалов, шероховатости и внешней контактной нагрузки.

Рассмотрим результаты исследования контакта гладких поверхностей на примере сопряжения рабочих поверхностей в системе магнитный диск—магнитная головка (МД—МГ) накопителя информации винчестерского тина, применяющегося в современных ЭВМ. Опыты проводились в НИИ Вычислительной техники и информатики Литовского ПО «Сигма» совместно с его сотрудниками [209—211]. Следует отмстить, что трибологические проблемы, возникающие при функционировании системы МД — МГ и сдерживающие дальнейшее совершенствование магнитных накопителей информации, привлекли внимание широкого круга специалистов. Эти исследования выделились в активно развивающуюся область современной трибологии [75].

ВЫБОР РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ

Неотъемлемым и важным в эксплуатации современных магнитных систем накопления и хранения информации является период относительного скольжения поверхностей магнитного носителя (ленты, гибкого или жесткого диска) и магнитной головки. Фрикционное взаимодействие соприкасающихся поверхностей влечет за собой ряд негативных явлений (изнашивание материала, слипание поверхностей в контакте магнитный носитель—магнитная головка, скачки при трении), затрудняющих дальнейшее развитие технических средств для информационных систем. Для их устранения или снижения влияния требуется решение следующих конструкторских и технологических проблем [14, 91, 93, 194, 219, 220, 290]: защита магнитного слоя от изнашивания с целью обеспечения надежной работы системы в течение длительного срока эксплуатации, обеспечение точности передачи информации путем устранения нестабильности при глиссировании, исключение поломок узла крепления магнитной головки (универсальной пружины) в результате сцепления поверхностей.

Привлечение к решению указанных задач традиционных методов, используемых в триботехнике, часто оказывается неприемлемым из-за особенностей рабочих поверхностей МД и МГ, которые обусловлены основными эксплуатационными требованиями, предъявляемыми к носителям информации (высокие плотность записи, точность считывания и быстродействие). В связи с этим следует отметить следующие аспекты.

Во-первых, разработчики магнитных дисков ограничены в

возможности управлять высотными параметрами шероховатости и, следовательно, не могут с целью минимизации трения и изнашивания формировать микрорельеф трущихся поверхностей, близкий к равновесному, как обычно поступают в триботехнике [ 108]. Поскольку необходимо соблюдать требования очень высокой гладкости поверхности магнитного носителя, в контакте неизбежно реализуются достаточно тяжелые адгезионные условия трения.

Во-вторых, исключается возможность применения жидких смазок, введение которых позволяет перейти от сухого трения к значительно более эффективному — гидродинамическому. Использование твердых смазок существенно не изменяет механизм сухого трения и, следовательно, незначительно снижает коэффициент трения, хотя в ряде случаев позволяет устранить слипание контактирующих поверхностей в момент «старта». Таким образом, особенности фрикционного взаимодействия в системе магнитной записи МД—МГ требуют поиска новых путей управления процессами трения и изнашивания.

Характерные линейные размеры неровностей в системе магнитной записи настолько малы, что необходимость прецизионных измерений превращает в сложнейшую проблему проведение экспериментальных исследований механизма фрикционного взаимодействия в контакте МД — МГ. Поэтому весьма перспективным является построение количественной (математической) модели процессов, протекающих в зоне фрикционного контакта, которая связывала бы эксплуатационные характеристики сопряжения (силу трения, износостойкость) с параметрами микротопографии (размерами и формой микровыступов шероховатости, особенностями анизотропии), физико-механическими свойствами контактирующих поверхностей (твердостью и упругостью материала, поверхностной энергией) и условиями работы (нагрузкой, скоростью скольжения, окружающей средой). Имея указанные зависимости, можно прогнозировать результат, к которому приведет то или иное состояние рабочих поверхностей МД и МГ пли условий работы сопряжения, не прибегая к технической реализации этих изменений, т. е. вычислительный эксперимент может быть полезен при выборе наиболее благоприятных путей совершенствования системы магнитной записи.

Сопряжение МД — МГ с трибологической точки зрения представляет собой узел трения, работающий в двух режимах: трения скольжения в период запуска и остановки диска и аэродинамического трения с сохранением зазора между поверхностями МД и МГ 0,2...0,5 мкм (газовая смазка) во время считывания и записи информации. Причем в процессе перехода от одного режима к другому система испытывает вибрации, которые можно представить серией элементарных актов удар— отрыв (рис. 4.11). Относительное перемещение МД — МГ в

условиях плавания МГ — основной этап работы системы магнитной записи. Однако трибологические проблемы наиболее остро проявляются на этапе пуск—останов, вследствие чего испытания системы на работоспособность проводятся именно в режиме «старт — стоп». Несмотря на это, математическая модель фрикционного взаимодействия МД и МГ в процессе скольжения (сухого трения) разработана в меньшей степени,

0,2 ...0,5 мкм0,2 ...0,5 мкмГлиссированиеГлиссированиеРис. 4.11. Режимы работы системы МД—МГРис. 4.11. Режимы работы системы МД—МГ

0,2 ...0,5 мкм

0,2 ...0,5 мкм

Глиссирование

Глиссирование

Рис. 4.11. Режимы работы системы МД—МГ

Рис. 4.11. Режимы работы системы МД—МГ

чем при глиссировании (см., например, [129, 137, 138, 193— 195, 206] и др.).

В работе [41] описаны закономерности формирования поверхности фактического контакта, в пределах которой протекают фрикционные процессы, для сопряжения МД — МГ. Предполагается, что вершины выступов шероховатости распределены по нормальному (гауссовскому) закону и применяется схема расчета шероховатого контакта, предложенная Гринвудом и Вильямсоном (ГВ) [262]. Полученные ими соотношения достаточно универсальны, однако не учитывают особенностей контактирования предельно гладких поверхностей, что может повлечь за собой существенное искажение картины формирования реального контакта.

Далее при разработке численной модели описания контакта МД—МГ будем исходить из положений молекулярно-механической теории трепня [108]. Высокая гладкость контактирующих поверхностей обеспечивает значительное преобладание адгезионной составляющей силы тройня над деформационной. Применительно к рассматриваемой системе МД — МГ это подтверждается многочисленными экспериментальными данными по исследованию коэффициента трения. В частности, при помощи установки, показанной на рис. 4.12, получено, что с ростом времени выдержки на воздухе подложки МД па основе алюминиевого сплава значение коэффициента трения пн-

19319313. Зак. 1048

193

193

тенсивно уменьшается (рис. 4.13, кривая /). При наличии же защитного покрытия коэффициент трения практически не зависит от времени выдержки образцов на воздухе (рис. 4.13. кривая 2). Приведенное можно объяснить тем, что на поверхности из алюминиевого сплава, изначально близкой к ювенильной, реализуется адгезионное сцепление в результате высокой поверхностной энергии. С течением времени поверхностная энергия снижается за счет образования на поверхности

Рис. 4.12. Схема экспериментальной установки: / — основание; 2— диск (МД); 3— покрытие; 4— упругая пластина; 5 — индентор (МГ); 6 — коромысло; 7 — тепзо- балка; 8 — двигатель

оксидных слоев алюминия и, следовательно, уменьшается величина коэффициента трения. Дополнительным подтверждением адгезионной природы трения в системе МД — МГ служит также факт снижения коэффициента трения с ростом шероховатости (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Зависимость коэффициента трения от шероховатости: 1 — крем- нийорганическос покрытие; 2 — покрытие из ПТФХЭРис. 4.14. Зависимость коэффициента трения от шероховатости: 1 — крем- нийорганическос покрытие; 2 — покрытие из ПТФХЭПри выборе схемы расчета ФПК необходимо определить характер деформирования микронеровностей (упругий или пластический). Для этого можно воспользоваться индексом пластичности (2.36). В случае контакта двух шероховатых поверхностей следует учитывать параметры эквивалентной шероховатости. Поскольку, согласно техническим требованиям, предъявляемым к МГ, шероховатость скользящей части

Рис. 4.14. Зависимость коэффициента трения от шероховатости: 1 — крем- нийорганическос покрытие; 2 — покрытие из ПТФХЭ

Рис. 4.14. Зависимость коэффициента трения от шероховатости: 1 — крем- нийорганическос покрытие; 2 — покрытие из ПТФХЭ

Рис. 4.13. Зависимость коэффициента трения от продолжительности окисления алюминиевой поверхности (/) и кремнийорганического покрытия (2)

Таблица 4.2. Характеристики фрикционного контакта МД—МГ

г, S' ф от s S £ о

"=3 а? в

S

S

S

” 5

6 5

S

3

Q з

а

Ф

Дс?

А

1

4,76

3,60

1,60

8,44

9,33

4,72

2,51

0,35

0,16

1,50

2

4.97

3,11

1,50

8,81

7,21

5,37

2,12

0,41

0,15

1,23

3

4,89

6,20

3,00

8,66

29,32

1,34

2,12

0,20

0,23

5,57

4

5,28

6,20

3,20

9,32

29,08

1,87

1,87

0,21

0,22

5,20

5

5,09

6,50

3,20

9,02

31,50

1,18

2,06

0,20

0,23

6,60

6

6,16

6,80

3,00

10,92

25,53

1,34

2,51

0,24

0,17

2,27

поверхности магнитной головки должна быть соизмерима с шероховатостью поверхности магнитного диска, то с помощью формул перехода к эквивалентной шероховатости получим

o = VnRtt, В = 0,771-Ю"2 .Ra

Исходя из механических свойств поверхности диска с крем- нийорганическим покрытием (модуль Юнга Ei = 120 ГПа, коэффициент Пуассона vi = 0,3, микротвердость Н[ = 20 ГПа), магнитной головки (£2=170 ГПа, v2=0,25, Н2=;6,5 ГПа) для ряда образцов МД рассчитан индекс пластичности (табл. 4.2). Из таблицы следует, что во всех случаях характер деформирования шероховатого слоя можно считать упругим. Причем этот вывод в большинстве случаев правомерен, даже если при определении механических свойств контактирующих поверхностей была допущена ошибка, вследствие которой отношение EJH уменьшалось в 2—3 раза.

Чтобы оценить степень влияния поверхностных сил межмолекулярного притяжения на процесс формирования контакта, следует рассчитать адгезионный параметр Дс (3.76) для рассматриваемого сопряжения шероховатых тел. В выражение (3.76) входит значение энергии Дюпре Ду, которую можно найти через поверхностную энергию контактирующих тел у, R= 1, 2) и межфазную энергию зоны контакта:

Ду = Т1 ф. у2 — Т12.

Точное определение величины поверхностной энергии твердых тел экспериментальным путем достаточно сложно [52]. Поэтому воспользуемся известными ориентировочными данными, согласно которым для неорганических соединений, составляющих основу применяемых защитных покрытий, поверхностная энергия имеет порядок у^О, 1 Н/м, для ферритов (материал магнитной головки) у2«э1 Н/м. Учитывая факт преобладания

дисперсионных поверхностных взаимодействий, межфазную энергию можно рассчитать по следующей формуле [99] ;

Ты Н + Ь — 2 УТ1?2 •

Для рассматриваемой системы энергия Дюпре имеет величину Ау=0,63 Н/м. На основе физико-механических характеристик поверхностей у, Е' и параметров микрогеометрии о, р проведен расчет степени адгезионности контакта для разных образцов МД. Согласно полученным данным (табл. 4.2), значение А,- изменяется в пределах 0,16...0,23, т. е. влияние сил межмолекулярного взаимодействия оказывается весьма существенным при формировании контакта.

Таким образом, при создании численной модели контактного взаимодействия в системе МД—МГ следует учитывать упругий характер деформирования выступов шероховатости и адгезионный тип контакта, требующий учета поверхностных сил межмолекулярпого взаимодействия.

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТОПОГРАФИИНА ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНТАКТА

Выбор схемы расчета контактного взаимодействия в системе МД — МГ (см. параграф 13.1) указывает на целесообразность использования расчетных зависимостей (3.74) и (3.81), полученных в разд. III, и созданной на их основе методики расчета адгезионного контакта (см. приложение 2).

На рис. 4.15 представлены результаты расчета для контакта гладких поверхностей. Здесь А1 — поверхность диска через 15 мин после обработки алмазным инструментом, близкая к ювенильной (у = 0,9 Н/м); А12О3 — поверхность алюминиевого диска после окисления (у = 0,335 Н/м); SiO2 — поверхность диска после нанесения покрытия (у = 0,135 Н/м). Шероховатость в расчетных вариантах оставалась постоянной. С учетом очень малой толщины покрытий принято, что слои материала, вовлекаемые в деформирование, имеют упругие свойства основного материала (А1). Изменялась лишь поверхностная энергия и, следовательно, степень адгезионности контакта Дс.

Сравнение относительной величины ФПК (рис. 4.15, а) и коэффициента трения (рис. 4.15, 6), измеренного для тех же поверхностей, обнаруживает определенное их соответствие. Прочностные свойства поверхностных слоев соотносятся в обратном (по сравнению с коэффициентом трения) порядке и не могут, по-видимому, объяснить особенностей трения.

Проведены вычисления ФПК для ряда образцов МД, указанных в табл. 4.2 и отличающихся шероховатостью. Измерение последней проводилось с помощью профилографа фирмы «Тейлор—Гобсон» (Англия) при автоматизированной обра-

ботке профилограмм. Физико-механические свойства, характеризующие контакт, предполагались неизменными для всех расчетных вариантов и определялись на основе соображений, указанных в параграфе 13.1. В табл. 4.2 даны расчетные значения ФПК для исследованных образцов дисков. Приведенные величины являются отношением реальной площади контакта к величине лсфОАа, где Аа —■ значение номинальной площади контакта в паре МД — МГ. Видно, что для отобран

ных случайным образом экземпляров МД ФПК, могут различаться в несколько раз. При этом высотный параметр шероховатости изменяется не более чем 20%. Причина существенной зависимости ФПК от шероховатости связана со значительным разбросом среднего радиуса закругления неровностей для разных образцов. Увеличение радиуса вершин неровностей влечет за собой повышение степени адгезионности контакта и, как следствие, рост ФПК,.

Кроме того, из табл. 4.2 видно, что в силу малости параметра а топография поверхности МД находится в условиях менее благоприятных по отношению к характеру распределения вершин выступов по высоте (значение а близко к нижней границе, равной 1,5). Это приводит к реализации большей величины ФПК для каждого из значений адгезионного параметра Лг. Узкополосный спектр шероховатости (а» 2) обусловлен спецификой механической обработки поверхности МД (срезание алмазным инструментом наиболее высоких выступов). Указанное свойство микрорельефа поверхности МД может отрицательно сказаться на трении пары МД—МГ. Особенно важным критерием, характеризующим трибонагру- женность контакта МД— МГ, является параметр Дс. Даже в условиях образования адсорбированных слоев на рабочих поверхностях адгезионность контакта остается высокой и ею нельзя пренебрегать. На рис. 4.16 изображены зависимости

ФПК от нагрузки, на которых выделена зона, реализуемая в системе МД — МГ. Их анализ показывает, что пренебрежение в расчетах адгезионностью контакта значительно снижает величину ФПК.

Очевидна необходимость поиска путей управления параметрами поверхности ЛАД, ведущих к снижению степени адгезионное™ контакта. Исходя из анализа выражения (3.76), можно указать три направления такого совершенствования:

Рис. 4.16. Зависимость ФПК от нагрузки. Заштрихована область нагрузок, характерных для работы пары МД—МГ: / —Л< =0,1; 2 — 0,15; 3 —

0,22; 4 —Дс = 0,4

увеличение высоты шероховатости, уменьшение радиуса закругления микровыступов, минимизация отношения Ау/Д Однако управлять высотой шероховатости можно лишь в некотором узком диапазоне, чтобы не нарушились требования к зазору между МГ и МД в режиме глиссирования и не ухудшились рабочие параметры передачи информации. Эффективным путем снижения силы трения в системе МД — МГ является правильность выбора защитного покрытия, имеющего низкую поверхностную энергию в сочетании с достаточно высокой жесткостью подслоя. При этом необходимо учитывать, что чрезмерное увеличение жесткости покрытия ускоряет изнашивание магнитной головки.

Из приведенных исследований следует, что оценка микрорельефа МД и МГ с помощью только высотных параметров №> Ro, Rp и др.) является недостаточной. Кроме них важно учитывать также шаговые параметры S, Sm, которые характеризуют средний радиус закругления вершин выступов и закон распределения их по высоте. При изучении шаговых параметров следует иметь в виду, что профилометрирование поверхности щуповым методом приводит к отфильтровыванию высокочастотных неровностей (субшероховатостей), и в результате расчетное значение ФПК будет превышать величину площади физического контакта, в пределах которой взаимодействие поверхностей является наиболее интенсивным. Для оценки влияния субшероховатости использовались данные туннельной микроскопии.

С помощью традиционного способа обработки ирофилог- рамм оценены параметры субмикрорельефа по профилю, по- 198

лученному методом СТМ для поверхностей МД (см. рис. 1.6). Определены следующие геометрические характеристики топографии на субмикроуровне: сг=7,3 нм, р = 2,3 мкм, D = = 5,3 мкм-"2, а=14,6. Сравнение указанных параметров с полученными результатами щупового профилометрирования той же поверхности показывает, что радиус закругления вершин субнеровностей примерно на порядок меньше, а их плотность в несколько десятков раз больше чем для неровностей, зафиксированных профилографом. Расчет, проведенный с новыми входными параметрами, дал величины ФПК, на порядок меньшие приведенных в табл. 4.2. Однако, чтобы сделать окончательный вывод о влиянии субшероховатости и с возможности оптимизации поверхностей МД и МГ путем формирования субшероховатости, необходимо осуществить многочисленные исследования с применением СТМ. Рассмотренный в настоящей главе подход к моделированию контактного взаимодействия в системе МД — МГ, весьма перспективен и требует дальнейшего развития, в частности, за счет учета тепловыделения в зоне трения, влияния слоев адсорбированной влаги И т. д.

Глава 14

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬШЕРОХОВАТОГО КОНТАКТА

Рассмотренная в гл. 8 статистическая модель шероховатой поверхности позволяет решать задачи общей проблемы контактного взаимодействия поверхностей: рассчитывать жесткость и герметичность стыков, проводимость энергии различной природы через контактное сопряжение и т. д. Особый интерес представляет задача расчета электропроводности реального контакта, так как в процессе ее решения удается экспериментально проверить некоторые предпосылки двухуровневой модели контакта, в частности основные соотношения для шероховатой сферы, волнистой поверхности с учетом шероховатости и субшероховатых поверхностей. Относительная простота и надежность измерения контактной электропроводности, четко выраженная зависимость электрического сопротивления от величины проводящей площади контакта, возможность устранения влияния факторов, которые трудно учесть при вычислениях, достаточная чувствительность электропроводности к неравномерности расположения проводящих пятен на поверхности контакта позволяют выделить и оценить вклад разных уровней отклонений топографии. Кроме того, полученные в настоящей главе соотношения представляют и самостоятельный интерес в качестве основы при разработке методики расчета электрических контактов [21, 98, 136, 307].

Реальный контакт твердых тел оказывает сопротивление прохождению через него потока энергий — световой, магнитной пли электрической. Главной причиной возникновения сопротивления в приконтактной области является то обстоятельство, что общая поверхность контакта состоит из множества отдельных фактических пятен контакта, которые в свою очередь формируют проводящие зоны, соответствующие контурным областям контакта (рис. 4.17). При прохождении потока

энергии через такую поверхность возникает добавочное сопротивление из-за нарушения однородности линий потока. Известно также, что на проводимость электрического контакта существенное влияние оказывают поверхностные пленки с

Рис. 4.17. Расчетная схема проводящего контакта

(4.19)(4.19)удельным сопротивлением, отличным от сопротивления контактирующих тел. Поэтому общее сопротивление электрического контакта можно представить в виде суммы

(4.19)

(4.19)

R — Rc + ^п>

где Rc — сопротивление стягивания к пятнам контакта; Rn— сопротивление пленок.

Так как расчет величины Rn затруднен из-за сложности экспериментального определения удельного сопротивления пленки, то принимают R«RC, что, вообще говоря, верно лишь для благородных металлов.

Р. Хольмом [201] предложено учитывать две компоненты сопротивления стягивания. Для случая контакта поверхностей с одинаковым удельным сопротивлением, состоящего из одной группы, содержащей п круглых пятен радиусом а:

Rc^^- + ~^2па 2акRc^^- + ~^2па 2ак(4.20)(4.20)

Rc^^- + ~^

2па 2ак

Rc^^- + ~^

2па 2ак

(4.20)

(4.20)

(ад — радиус группы пятен).

Д. А. Гринвудом уточнен .второй член этой формулы [257]:

Р 116р2па ЗлакР 116р2па Злак(4.21)(4.21)

Р 116р

2па Злак

Р 116р

2па Злак

(4.21)

(4.21)

В работе [338] исследован вопрос об учете вклада реального распределения пятен в общую проводимость контакта. Ав-

торами модифицирована формула (4.21) с учетом асимметрии распределения пятен в общую проводимость контакта. Результаты расчета проверены в модельных экспериментах с электропроводящей жидкостью. Исследования показали существенное, а иногда и определяющее влияние порядка расположения пятен па сопротивление стягивания. Но эти экспериментальные результаты [338] невозможно перенести на контакт твердых тел, так как в них ие учитывается напряженно-деформированное состояние контакта.

Точно учесть асимметрию распределения пятен контакта, шероховатых тел невозможно, так как не определен закон распределения выступов по номинальной площади. Однако оценку влияния неравномерности распределения пятен и их групп по поверхности раздела на общее сопротивление контакта можно осуществить на основе следующих соображений [136].

Если на поверхности находится п пятен радиусом а, сгруппированных в п^ скоплений радиусом а^, каждое из которых содержит по na = nlnh пятен, то общее сопротивление каждой из групп

R = -L- / —L. . (4.22) nh \ 2паа Зл2<тк /

Учитывая взаимодействие кластеров между собой, добавим к правой части равенства (4.22) по аналогии с (4.20) слагаемое

16

р1огда общее выражение примет вид

Зл2г

R = -£- ( — Н—1-.(4.23)

2 \ па 3n2nhi2ft Зл2г )

Здесь т — характерный радиус номинальной площади контакта.

Применение соотношений (4.20) — (4.23) в инженерных расчетах затруднительно, так как они требуют дополнительных исследований по определению числа и средних размеров пятен, сформированных шероховатостью, и кластеров, обусловленных макроотклонениями от правильной формы и волнистостью контактирующих поверхностей. Поэтому для выявления связи контактного сопротивления с параметрами топографии и нагрузки обычно используют формулы, модифицированные с учетом решения соответствующих контактных задач. Так, например, при расчете контактного сопротивления гладких сфер для случая упругого контакта, принимая во внимание зависимость Герца, нетрудно получить

Rc = 0,589 p

E' у/3

pr\ ;

(4.24)

где ЕД R\ — приведенные модуль упругости и радиус. Для пластического взаимодействия

Rc = 0,899 рRc = 0,899 р/ НВV/ НВV1/21/2(4-25)(4-25)

Rc = 0,899 р

Rc = 0,899 р

/ НВ

V

/ НВ

V

1/2

1/2

(4-25)

(4-25)

(НВ — твердость по Бринеллю).

При описании контакта шероховатых тел обычно ограничиваются первым слагаемым, входящим в выражения (4.20)— (4.23). Так, для инженерных расчетов рекомендуется формула [160]

(4.26)(4.26)Р / логсму/22 V hP J

(4.26)

(4.26)

Здесь Осм — сопротивление смятию; п — число контактных точек (принимается для точечного контакта п=1, линейного 2, плоскостного 3).

В работе |114] предлагается зависимость

(4.27)(4.27)и ирг

(4.27)

(4.27)

R' ~ х ~ т

(щ.— фактическое давление; -л—переходное сопротивление единицы площади контакта, которое определяется экспериментально) .

В. В. Савченко [160] приведены уравнения для расчета сопротивления стягиванию с использованием для описания топографии равномерного треугольного распределения и распределения Вейбулла. В работе [66] дан расчет электрического сопротивления контакта с учетом шероховатости и волнистости. При этом поверхность описана с помощью опорной кривой. Для инженерных расчетов В. В. Измайлов предложил формулу, учитывающую два первых слагаемых в выражениях (4.20) —(4.23) [87]: '

п ,рр ^р + V^п ,рр ^р + V^(4.28)(4.28)

п ,р

р ^р + V^

п ,р

р ^р + V^

(4.28)

(4.28)

где Но — микротвсрдость материала; [3 — коэффициент, учитывающий наличие пленок.

При выводе (4.28) автор использовал описание шероховатости с помощью опорной кривой и предполагал, что участки площади контакта, покрытые пленками, являются непроводящими. В работе [266] контактное сопротивление определено с учетом распределения выступов по высоте по нормальному за-

кону с заменой контактирования реальных поверхностей условными (гладкой и эквивалентной шероховатой). С использованием теории случайного поля проведен расчет электрического контакта шероховатого цилиндра с гладкой плоскостью [293], при этом учитывались два первых члена в выражениях (4.20) —(4.23).

РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ

Контакт сфера—плоскость

Сопряжения типа сфера—плоскость представляют особый интерес, так как соответствуют широко распространенной геометрической схеме реальных электрических контактов. Кроме того, они могут быть использованы при моделировании электрических контактов с учетом макроотклонения формы, волнистости или субшероховатого микровыступа.

При расчете электрического сопротивления следует принимать во внимание два слагаемых уравнения (4.23). Учитывая, что пк = 1, получаем

RRRt + Ru = -Л- 4Rt + Ru = -Л- 416рЗл2ай16рЗл2ай(4.29)(4.29)

R

R

Rt + Ru = -Л- 4

Rt + Ru = -Л- 4

16р

Зл2ай

16р

Зл2ай

(4.29)

(4.29)

ТогдаТогдаRi - -^-4лRi - -^-4лы)1/2 Ф ^ гДг drы)1/2 Ф ^ гДг dr(4.30)(4.30)

Тогда

Тогда

Ri - -^-

4л

Ri - -^-

4л

ы)1/2 Ф ^ гДг dr

ы)1/2 Ф ^ гДг dr

(4.30)

(4.30)

Зная распределение вершин выступов по высоте, определим уровень деформации, который соответствует сжимающей нагрузке. При расчете первого слагаемого (.Ri) будем рассматривать значение а, зависящее от высоты неровностей и уровня деформации. В предположении о сферической форме вершины выступа высоты z и упругом его деформировании произведение nia-, запишем следующим образом:

ПА = £>^/2(2 — ы)1/2ф(2).

Для определения суммарного произведения па проведем интегрирование по всем неровностям, вступившим в контакт в пределах площади эффективного контакта:

па=2лр1/2П f [ (z— и) У2 Ф (z) rdzdr.б и

или в безразмерном виде

1/2 а* "

Ry-iи ц а- и*)ф(?)mmi

Зл V Ra L ? J

где t^rj^Ro. Здесь в качестве плотности вероятности распределения высот вершин Ф(§) выбирается функция Найака (1.43), зависящая от параметра широкополосное™ а. Расчет безразмерного эффективного радиуса контакта а* и зазора и* проводится по описанной ранее схеме (см. разд. II, гл. 7).

Для второго слагаемого (/?ц) справедливо соотношение:

(4.31)(4.31)16р1

(4.31)

(4.31)

Зл2 У Roa*

С учетом (4.30) и (4.31)

т/о „( а* 001 — 1 о д/о 1

rc= -—™- мф©ад + — .

Зл V Ro |j)

(4.32) Приведенные формулы позволяют оценить влияние субшероховатости на проводимость единичного выступа. Расчет показал (рис. 4.18), что первое слагаемое ^R?) вносит подавляющий вклад лишь в первый момент касания микровыступа (го0/о<0,001). При гуДо^О.О] вклады R^ и Rn становятся соизмеримыми. В процессе дальнейшего нагружения выступа сопротивление Ri быстро стремится к нулю, a Rn — к сопротивлению гладкого микровыступа R0 = p!2a0. При еуо/сг= 0,1 вклад субшероховатости в сопротивление стягивания микровыступа ^8%. Учитывая, что в обычных условиях нагружения доля микровыступов, претерпевающих деформации Шо/<Т1<О,1, незначительна, можно с высокой степенью точности описывать проводимость микровыступа на основе модели правильного геометрического тела (сферы, эллипсоида) с гладкой поверхностью.

Рис. 4.18. Зависимость электрического сопротивления сферического контакта и его составляющих от величины сближения: 1 — полное контактное сопротивление; 2, 3— сопротивления стягивания к пятнам контакта и к контурной площадке контакта соответственно

Принимая во внимание также эффект туннельной проводимости, имеющей место в субмикронных зазорах [50, 197], можно с еще большей уверенностью утверждать, что субше- роховатость для высоких плотностей тока и значительных площадей касания не вносит ощутимых искажений в электрический поток.

Контакт плоскость—плоскость

Для ряда электрических контактов характерна схема сочленения плоскость—плоскость. В этом случае, используя представление об эквивалентной шероховатости [156], задачу определения проводимости контакта сводят к расчету переходного электрического сопротивления для сопряжения шероховатой и гладкой плоскостей.

В расчетной модели принято, что выступы неровностей имеют эллипсоидальную форму и расположены на поверхности равномерно [136]. Распределение высот вершин, кривизн выступов и их эксцентриситетов по высоте описывалось выражениями, полученными в работах [171—173]. Учитывая равномерное распределение проводящих пятен в плоскости касания, вторым слагаемым в соотношении (4.23) пренебрегали.

Электрическое сопротивление единичной неровности с учетом эллиптичности площадки контакта имеет вид

R = pU (m)л (а + Ь)

b — а

где т=; а, о — полуоси эллиптической площадки кон- & + а

такта; U (х) — эллиптический интеграл 1-го рода.

Далее в качестве основной расчетной выбрана зависимость относительного электрического сопротивления от номинальной нагрузки на контакте, которая выражается параметрической ■функцией:

-9/ т \ 1/2 _

Rc = 1 + — а-3/4R(d*\

I \ т2 I

P = a42-P(d*Y(4.33)

Здесь Rc= (Ro + Rc)/Rc; Ro—электрическое сопротивление столбика высотой I, заключенного между измерительными зондами, и площадью сечения, равной номинальной Лс.

Общим параметром в (4.33) служит уровень деформации d*. Безразмерное электрическое сопротивление Дс и нагрузка Р, представленные в удобном для программирования виде и зависящие от параметров шероховатости и механических свойств, определяются соотношениями [173]:

R^d*) = 6л УЗR^d*) = 6л УЗП (Е — d*y/2 Ф (Е) [ =Д©- Xj (Ej) +

R^d*) = 6л УЗ

R^d*) = 6л УЗ

К^У'4К^У'4У &)У &)(4.34)(4.34)

К^У'4

К^У'4

У &)

У &)

(4.34)

(4.34)

p (d*) =p (d*) =Р2© ^—d*)ниР2© ^—d*)нигдегдеx^ + 2!,F^r|y- -МЫx^ + 2!,F^r|y- -МЫ(4.35)(4.35)2лзад2лзадададО-ададО-1/21/2

p (d*) =

p (d*) =

Р2© ^—d*)ни

Р2© ^—d*)ни

где

где

x^ + 2!,F^r|y- -МЫ

x^ + 2!,F^r|y- -МЫ

(4.35)

(4.35)

2лзад

2лзад

ад

адО-

ад

адО-

1/2

1/2

= л (1 + У] _ е2) г ' Е (ej

UH L ад(1-4)

R5 (9 =R5 (9 =и ни н

R5 (9 =

R5 (9 =

и н

и н

Средняя Н^, полная К^ и главная Ну^ кривизны вершин выступов выражаются равенствами:

Н © = ™ад (9, К © = тЛ ©, нг © = mV2Hx И

Н^ =Н^ =з^2аз^2а- 2 А +- 2 А +

Н^ =

Н^ =

з^2

а

з^2

а

- 2 А +

- 2 А +

Уравнения (4.34), (4.35) учитывают упругопласгический характер деформирования контакта. При этом функции перехода от упругой деформации к пластической имеют вид

(2.33), но для уровня деформации принято обозначение d*. Критическое сближение hh находится из выражения

4т*/2£'2 Н©4т*/2£'2 Н©(4.39)(4.39)

4т*/2£'2 Н©

4т*/2£'2 Н©

(4.39)

(4.39)

Здесь U(x), Е(х)—эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода; qm— напряжение, соответствующее переходу в пластическое состояние (для металлов gm=HB/3, для полимеров gm = HB); эксцентриситет определяется с помощью формул

еу«[1 -£4/з(У] 1/2

при упругом деформировании выступа и

[1 -£(91-/2

при пластическом, где

(4.40)(4.40)

(4.40)

(4.40)

Выражения для функций Jn (и=0...5) приведены в работах [172, 173]. С целью численной реализации расчетных формул составлена программа на языке ФОРТРАН-IV. Несобственные интегралы считались методом кубических сплайнов с помощью стандартной подпрограммы DINTEG [218]. Численный эксперимент показал, что верхний предел интегрирования можно ограничить (например, значением ^ = 6) без существенной потери точности. Эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода аппроксимировались многочленами, интеграл вероятности — рациональной функцией [176]. Вычисления проводились с удвоенной точностью.

Полученные результаты показывают, что при упругом кон-

Рис. 4.19. Расчетная зависимость электрического сопротивления от нагрузки при упругом (а) и пластическом (б) контактном деформировании. Обозначения соответствуют номерам образцов в табл. 4.3Рис. 4.19. Расчетная зависимость электрического сопротивления от нагрузки при упругом (а) и пластическом (б) контактном деформировании. Обозначения соответствуют номерам образцов в табл. 4.3

Рис. 4.19. Расчетная зависимость электрического сопротивления от нагрузки при упругом (а) и пластическом (б) контактном деформировании. Обозначения соответствуют номерам образцов в табл. 4.3

Рис. 4.19. Расчетная зависимость электрического сопротивления от нагрузки при упругом (а) и пластическом (б) контактном деформировании. Обозначения соответствуют номерам образцов в табл. 4.3

такте шероховатость оказывает более ощутимое влияние на контактную проводимость (рис. 4.19, а), чем при пластическом (рис. 4.19, б). В последнем случае важную роль играет твердость контактирующего материала.

Таким образом, разработанная методика расчета с использованием модели случайного поля позволяет эффективно учитывать воздействие физико-механических свойств и параметров шероховатости сопряженных поверхностей на величину электрического сопротивления шероховатого контакта.

14.1.3. Учет волнистости

Расчет электрического сопротивления контакта волнистой шероховатой поверхности с идеально гладкой сводится к учету неравномерности распределения проводящих пятен в плоскости касания в рамках задачи, рассмотренной в работах [21, 307]. При контактировании волны деформируются и образуют контурные площадки контакта, очертания которых служат границами кластеров единичных пятен.

Рассматривая формирование контакта шероховатой волнистой поверхности с идеально гладкой в зависимости от номинального давления, с достаточной степенью общности можно предположить, что микронеровности в контакте будут деформироваться пластически, а волны — упруго. Расчет электрического сопротивления в данном случае сводится к учету неравномерности расположения проводящих пятен и отличается от предыдущей задачи необходимостью оценки второго слагаемого в формуле (4.23).

Если проверка критерия X (см. параграф 7.4) указывает на значительное влияние шероховатости на размеры отдельного кластера, то при расчете электрического сопротивления следует использовать решение задачи о проводимости сферического шероховатого контакта (см. подпараграф 14.2.1), в котором нагрузка принимается равной Pjnh и учитывается общий множитель l/nk в выражении (4.23). Когда же критерий X показывает, что взаимовлиянием при деформировании неровностей двух уровней можно пренебречь, задача сводится к более простой — для одного уровня неровностей (шероховатостей) с последующей корректировкой ее результатов.

Рассмотрим данный подход более подробно. Радиус кластера определяется деформацией волны и вычисляется по формуле Герца

(4.41)(4.41)р RB Р У/3

(4.41)

(4.41)

\ 4 ик Е' /

Подставляя выражение (4.41) во второе слагаемое (4.23), имеем

16р4£'Зл2Пк3 3PRB16р4£'Зл2Пк3 3PRB(4.42)(4.42)

16р4£'

Зл2Пк3 3PRB

16р4£'

Зл2Пк3 3PRB

(4.42)

(4.42)

Формирование контурных площадок приводит к перераспределению давления на номинальной площади контакта и в результате к изменению уровня деформации d*. В связи с этим необходимо внести поправку в первый член выражения (4.23). С учетом (4.33) и (4.35) получаем

Ri =«-3/4 I R (Ре),(4.43)

\ т2 /

где R(pc) зависит от параметра широкополосное™ а, механических свойств материала и представляется в параметрической форме для пластической деформации неровностей:

R(d*)=6nV3<SГ Д©1/4R(d*)=6nV3<SГ Д©1/4, (4.44), (4.44)

R(d*)=6nV3<S

Г Д©1/4

R(d*)=6nV3<S

Г Д©1/4

, (4.44)

, (4.44)

pc(d'^=^ — d*^&)^J^—d^.(4.45)

V ЗУз Д V Е' К^Щ) ь’

Здесь рс = Р[Е'Ас— безразмерное контурное давление.

С другой стороны, учитывая, что контурная площадь контакта

/ 3 R Р \2/3

4 = nnft,(4.46)

\ 4 пк Е /

имеем

4^\1/3 / 4 Р

3 n-KRB /\ 3 E'RB

Данной формулой целесообразно пользоваться при выборе значения Р(рс) по графическому представлению функции.

Третье слагаемое (4.23) не требует преобразования; в качестве г выбирается половина среднего характерного размера номинальной площади, на которой происходит формирование кластеров.

Таким образом, суммарное электрическое контактное сопротивление можно представить в виде

RC =RC =4 Е' \1/3 ша3/43 RPJ4 Е' \1/3 ша3/43 RPJR (Ре) +R (Ре) +р /4 Е' \*/3 ли,1/3 \ 3 PRS /

RC =

RC =

4 Е' \1/3 ш

а3/4

3 RPJ

4 Е' \1/3 ш

а3/4

3 RPJ

R (Ре) +

R (Ре) +

16416р

ЗлПк/3 JЗл2г

(4.48)

Анализ общего контактного сопротивления осуществлялся на основе расчета отдельных компонент Rc (рис. 4.20). Он дает представление о вкладе взаимовлияния пятен и их кластеров в зависимость общего контактного сопротивления от нагрузки. Этот фактор весьма значителен для давлений, превышающих 0,2 МПа, и должен обязательно учитываться в расчетах сопротивления контакта.

В области малых нагрузок взаимовлияние ослабевает и

Рис. 4.20. Зависимость составляющих полного контактного электрического сопротивления от номинального давления: / — Rc; 2— Rn; 3—Rr, 4—

Rin

пренебрежение им приводит к погрешности в расчете, не превышающей 20%. В данном диапазоне можно с удовлетворительной точностью пользоваться методикой расчета, предполагающей, что Rc = Rj и Rj рассчитывается с учетом перераспределения давления на контурных площадках по формуле (4.44).

14.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для проверки аналитических зависимостей, предложенных выше, поставлен эксперимент (под руководством д-ра техн, наук Н. К. Мышкина). С целью исключения влияния пленок оксидов ряд опытов проводился с образцами из благородных металлов.

В первой серии экспериментов контактирующие тела изготовлялись из золота (проба 585) в виде прямоугольной пластинки 24,9X11,9X0,7 мм и сферических сегментов радиусами 5,0; 3,4; 2,6 мм (табл. 4.3). Шероховатость наносилась на пластинку, сферические сегменты имели полированную поверхность высокого качества обработки (/% = 0,05 мкм).

Во второй серии в качестве контактирующих тел выбирались серебряные (чистота 9,999) цилиндрические образцы диаметром 3 мм и высотой 10 мм, закрепленные в изолирующих оправках из текстолита. Торцовые поверхности образцов обрабатывались до требуемой шероховатости в оправках, что обеспечивало их достаточно высокую плоскостность.

В третьей серии использовались образцы из меди Ml, имеющие форму цилиндров диаметром 20 и высотой 15 мм, кои- 210

Таблица 4.3. Значение параметров топографии сферических электрических контактов

Номер варианта

R, мм

1 о, мкм '

D, мкм 2

|3,мкм

а

И

1

3,36

0,10

0,15-10--

282,60

2,11

0,58

2

5,00

0,67

0,12-10-1

9,24

10,40

6,61

3

5,00

0,44

0.12-10-1

10,78

6,17

4,71

4

5,00

0,10

0, 15-Ю2

282,60

2,11

0,71

5

2,60

0,60

0,12-Ю-1

9,24

10,40

4,77

тактирующих торцами, которые обрабатывались на плоскошлифовальном станке в приспособлении, обеспечивающем их плоскопараллельность.

Во второй и третьей сериях экспериментов на торец одного из цилиндров наносилась требуемая шероховатость, а другой полировался таким образом, чтобы параметры шероховатости Ra контактирующих поверхностей отличались не менее, чем на порядок. Параметры шероховатости и статистические моменты спектральной плотности оценивались на профилографе- профилометре «Калибр-ВЭИ», соединенном с вычислительным устройством типа СМ-1 [61]. Значения микротвердости образцов определялись с помощью прибора ПМТ-3. Измерение микротвердости проводилось при нагрузках на пирамиду, позволяющих ограничить глубину индентирования слоем толщиной ^10 мкм. Параметры топографии и твердость образцов для разных серий экспериментов приведены в табл. 4.4.

Схема экспериментальной установки изображена на рис. 4.21. Нагрузка через шарик передавалась на оправки, в которых зафиксированы образцы, соединенные с целью измерений. Измерение контактного сопротивления проводилось по четырехзондовой схеме (рис. 4.22). Вычислялось оно по падению напряжения между измерительными зондами 8 и 9 при заданном в основной цепи стабилизированном токе величиной 0,1 А. Резистор RH величиной 100 Ом обеспечивал отсутствие колебаний тока в цепи. Падение напряжения между зондами 8 и 9 ^U компенсировалось встречной противоэдс. При токе в измерительном контуре /2 = 0 сопротивления подводящих проводов и контактных соединений в измерительной цепи не вносили погрешность в результаты эксперимента.

В первой серии экспериментов измерялось абсолютное значение электрического сопротивления. При этом удельное сопротивление материала определялось посредством оценки сопротивления проводника из аналогичного материала. В двух последующих сериях опытов измерительная цепь тарировалась по сопротивлению сплошного столбика материала такого же диаметра, как у образцов 7, 3 длиной /, равной расстоянию между зондами 8 и 9. Найденное для сплошного столбика

Таблица 4.4. Характеристики топографии и механических свойств образцов

8 5

га

2 *

2

8

2

2

О?

£2

Е

2

£ 2

б

с

S

Подготовка образцов

1

Серебро

1,5

6,7

37,0

23,0

9,7

6,8

800

Обработка абразивной бумагой

2

»

1,3

5,9

27,0

23,0

9,2

4,7

800

То же

3

»

0,4

2,0

2,9

1,3

0,6

10,5

500

Отжиг при 973 К в вакууме, полировка на фетре и 1 цикл нагружения

4

»

1,5

6,7

37,0

23,0

9,7

6,8

250

То же

5

1,5

6,7

37,0

23,0

9,7

6,8

1000

Обработка абразивной бумагой и 10 циклов нагружения

6

Медь

0,8

4,4

10,6

18,7

4,1

12,5

1200

Чистовое точение, шлифование торца, обработка абразивной бумагой, очистка с помощью растворителей и тлеющего разряда в низком вакууме

значение удельного сопротивления отличалось от табличного для серебра не более чем на 3%. Тарировка по сопротивлению сплошного столбика на записывающем устройстве позволяла измерять относительное сопротивление и исключать систематические ошибки измерений. Контрольный расчет осуществлялся по формуле

к* - А _ №-У + R . (4.49) Ro Ro

Поскольку сопротивление R' столбика, равного по длине области стягивания R'<cRo (примерно на три порядка), то

(4.50)

Ro

Здесь величина R* имеет простой физический смысл. Она эквивалентна условному «удлинению» металлического столбика при наличии в нем шероховатого стыка по сравнению со сплошным столбиком из того же материала.

Измерения проводились следующим образом. К образцам прикладывались последовательно возрастающие нагрузки. После каждого нагружения регистрировалось соответствующее сопротивление, а затем проводилась разгрузка также с

регистрацией сопротивлений. После этого один из образцов поворачивался вокруг оси приложения нагрузки с тем, чтобы обеспечить контактирование на новых площадках.

Нагрузка на контакте в первой серии экспериментов изменялась в диапазоне 0,3...13 Н и не вызывала пластических объемных деформаций образцов. Во второй и третьей сериях опытов номинальное давление изменялось в пределах 1... 6 МПа. Воспроизводимость экспериментальных данных в каждой серии и при их 15—20-кратном повторении соответствовала погрешности ^10%.

Результаты расчетного и экспериментального определения

Рис. 4.21. Механическая схема контактов сфера—плоскость (а) и плоскость—плоскость (б): 1,3 — нижний и верхний образцы; 2, 4 — нижняя и верхняя оправки; 5— шарик; 6—нагружающий шток; 7, 10— клеммы подключения токовой цепи; 8, 9 — клеммы подключения измерительной цепи

Рис. 4.22. Электрические схемы (а — измерений; б — поясняющая расчет относительного сопротивления контакта): КП — компенсационный потенциометр; ЗУ — записывающее устройство; RH— сопротивление нагрузки; АС/ — падение напряжения на контакте; ДЕ — противоэдс; Л, /2 — токи в силовом и измерительном контурах

Рис. 4.23. Сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей электросопротивления от нагрузки. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 4.4Рис. 4.23. Сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей электросопротивления от нагрузки. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 4.4контактного сопротивлиия по схеме сфера—плоскость (первая серия опытов) приведены на рис. 4.23, где исследуемая величина представлена в безразмерном виде (R = R(./R0). В качестве нормирующего параметра используется сопротивление Ro гладкой сферы при фиксированной нагрузке. Введение множителя 1ЩЬ вызвано особенностями тарировки при измерении контактного электрического сопротивления системы сфера—плоскость. Из рисунка следует удовлетворительное

Рис. 4.23. Сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей электросопротивления от нагрузки. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 4.4

Рис. 4.23. Сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей электросопротивления от нагрузки. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл. 4.4

Рис. 4.24. Расчетная зависимость контактного электрического сопротивления от нагрузки: 2, 5 — общее сопротивление стягивания; 2',5' — сопротивление стягивания к фактическим пятнам контакта; 2", 5" — сопротивление стягивания к контурным площадкам. Обозначения соответствуют номерам вариантов в табл, 4.4

совпадение экспериментальных и теоретических результатов при разных параметрах макро- и микрогеометрии контактирующих поверхностей. Погрешность в диапазоне нагрузок 1... 10 Н не превышает 20% •

Экспериментально обнаружено, что слабонагруженные сферические электрические контакты меньшего радиуса могут иметь проводимость выше, чем аналогичные контакты большего размера. Расчет (рис. 4.24) соответствующих вариантов (см. табл. 4.3) подтвердил обнаруженное свойство (кривые 2, 5), а также позволил указать причину такого поведения: уменьшение радиуса сферического контакта вызывает увеличение контактного давления и деформации шероховатого слоя, а следовательно, снижает электрическое сопротивление стягивания к фактическим пятнам контакта (кривые 2', 5'; первое слагаемое в формуле (4.32)).

Взаимовлияние фактических пятен контакта, обусловленное стягиванием линий тока к контурному пятну контакта, уменьшает проводимость и является более существенным в -случае меньшого радиуса сферы (кривые 2", 5"). Учет обсуждаемого свойства при практическом проектировании сла-

бонагруженных электрических контактов дает возможность улучшить их рабочие характеристики, а также обеспечить экономию дорогостоящих материалов.

Результаты расчетного и экспериментального определения контактного сопротивления для опытов второй и третьей серий (контакт плоских поверхностей) представлены на рис. 4.25 в виде зависимостей сопротивления контакта от нагрузки, рассчитанных без учета неравномерности расположения пятен контакта (кривые 2, 2'), и экспериментальных кривых для соответствующих контактных пар (кривые 1, Гу Использование серебряных образцов сразу же после полировки и очистки их поверхностей с помощью тлеющего разряда сводило к минимуму влияние

Рис. 4.25. Данные экспериментального измерения контактной электропроводности для образцов 3 и 6 (табл. 4.3): 1 — медь; 2— серебро; 3— медь+ + глицерии в сравнении с результатами расчета, не учитывающего (Г, 2') и учитывающего У", 2") неравномерность распределения пятен контакта; сплошные кривые—медь, штриховые — серебро

оксидных пленок на сопротивление. Видно, что расчетная линия лежит значительно ниже экспериментальной кривой 1. Причиной расхождения теоретических и экспериментальных результатов является пренебрежение волнистостью [136j.

Исходя из условий равновесия плоскости можно предположить, что число волн, вступивших в контакт, равно трем. Это соответствует также наблюдениям при продавливании оксидной пленки па медных образцах. Обратным пересчетом по радиусу кластеров, наблюдаемых на медных образцах, определен радиус волны 7?в = 29 см. Для серебряных образцов он принят равным 16 мм.

Проверка по критерию влияния шероховатости показывает, что для медных образцов погрешность при описании деформации волны теорией Герца ^7% для нагрузок >24 Н, для образцов, выполненных из серебра, погрешность ^10% при нагрузке на образцы >100 Н. Следовательно, исходя из условий нагружений в опытах, расчет электрического сопротивления для меди может проводиться по упрощенной схеме. Для

серебра он проводился с использованием формулы, описывающей проводимость шероховатой сферы.

Учет неравномерности распределения фактических пятой контакта по площади, обусловленной волнистостью (рис. 4.25, кривые 3, 3') показал, что для серебряных образцов наблюдается удовлетворительное совпадение опытных и расчетных результатов в диапазоне номинальных давлений 0,1...10 МПа. Для медных образцов, введенных в контакт без смазки, разрыв между опытными и расчетными данными остается весьма значительным (кривые 1, Д). Поскольку на поверхности медных образцов невозможно в обычных условиях избавиться от пленки оксидов, в одном из опытов (кривая 4) они смазывались глицерином, который при контактном нагружении позволяет в значительной степени устранить действие этой пленки па проводимость контакта. Погрешность при использовании методики в случае серебра ^15%, а в случае меди без оксидных пленок — 30% •

Анализ приведенных данных показывает, что уточненная методика расчета контактного сопротивления, учитывающая неравномерность расположения пятен контакта, дает приемлемое качественное и количественное совпадение зависимости сопротивление — нагрузка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи механики дискретного контакта во многом являются общими для ряда смежных и далеких друг от друга научных и научно-технических дисциплин, связанных с машиностроением, электротехникой, технологией микроэлектроники, прецизионной обработкой стекла, приборами оптической передачи информации и компьютерной техникой. Приведенный перечень в связи со стремлением современной технологии и техники к миниатюризации и повышению точности будет возрастать. Все указанные отрасли в той или иной степени ■связаны с необходимостью учета трибологических особенностей в зоне реального касания конкретных деталей и узлов. Поэтому трибология дискретного контакта и впредь сможет плодотворно развиваться только в тесном взаимодействии с физикой, химией и механикой поверхности, «впитывая» их аналитические и экспериментальные методы и в свою очередь внося трибологические поправки в результате решения многих смежных задач, связанных с учетом шероховатости реальных поверхностей.

Конечно, представленная в настоящей монографии попытка охватить исследованиями новый микроуровень фрикционных поверхностей, учитывающий молекулярную шерохова- мость, содержит некоторые недостаточно четко обоснованные, хотя и эмпирически очевидные допущения. Дальнейшее развитие теории и особенно широкой ее экспериментальной проверки позволит уточнить реальную картину, ибо за моделями следует комплекс весьма актуальных задач, связанных с исследованием трансформации субмикрорельефа в процессе контактного взаимодействия поверхностей. Совершенно очевидно, что потребности в знаниях состояния поверхности и ее фрикционного поведения на микроуровне будут возрастать, и следует ожидать, что исследования в данной области принесут новые интересные открытия фундаментального характера. Авторы надеются, что вопросы дискретной трибомеханики привлекут внимание исслсдователей-трибологов и ученых смежных специальностей, что будет способствовать ускорению развития этого научного направления и поиску эффективного решения новых практических задач.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

методика расчета характеристик

НЕАДГЕЗИОННОГО ШЕРОХОВАТОГО КОНТАКТА

Подготовка исходных данных. В качестве исходных данных для расчета принимаются следующие величины: внешняя контактная нагрузка Р, механические характеристики материалов контактирующих тел (Ei — модуль Юнга, v/ — коэффициент Пуассона, Н,— микротвердость материала, i=L 2— номер контактирующего тела), стандартные параметры шероховатости обеих контактирующих поверхностей (RP.—среднее арифметическое отклонение профиля, S,„ t, S,— средний шаг неровностей и местных выступов профиля соответственно).

Для анизотропных поверхностей существуют два взаимно ортогональных направления (так называемые главные направления), такие что вдоль одного из них шаговые параметры имеют минимальные значения, а вдоль другого максимальные. Тогда параметры эквивалентной шероховатой поверхности могут быть вычислены по формулам

S,n = (max Sm • min Sm )l/2,

(П.1.2)

S = (max 5г-тш 5;)1/2,

где Яагц, Raij_ — средние арифметические отклонения профиля вдоль направления обработки и поперек соответственно. При расчете используется приведенный модуль упругости

Далее подготовка данных для расчета предусматривает переход от параметров двух шероховатых поверхностей к параметрам одной эквивалентной шероховатой поверхности. Геометрические параметры эквивалентной шероховатости выражаются следующим образом. Среднеквадратическое отклонение профиля относительно средней линии шероховатой поверхности

средний радиус закругления вершин

(П.1.4)(П.1.4)3S,„iS1Sm,S2

(П.1.4)

(П.1.4)

плотность выступов па единицу площади

D = 2л <Еа£т£гу + \Ra2SmiSxY” з/Г (SA)2 [(7?А)2 + (^AJ21 ’параметр шероховатости

(П.1.6)(П.1.6)/ o*DR

(П.1.6)

(П.1.6)

“2,336-10-2

Поскольку в модели ГВ отсчет высот вершин ведется от средней линии выступов, а не от поверхности, то в качестве среднеквадратического отклонения высот вершин принимается величина

о = (1 — 0,8962/а)1/2а*.(П.1.7)

Выбор расчетной схемы. Для определения степени адге- зионности шероховатого контакта, т. е. влияния сил межмолекулярного взаимодействия, осуществляется оценка адгезионного параметра

-(П.1.8)

гдегде4 oRx'3 Е' )

где

где

М = Н + Т2 — Т121(П.1.9)

Уь у2 — удельные поверхностные энергии контактирующих тел; yi2 — межфазная энергия зоны контакта.

Если Ас^0,1, то дальнейший расчет проводится согласно данной методики. В случае, когда Ас>0,1, следует пользоваться методикой расчета адгезионного шероховатого контакта. Влияние сил межмолекулярного взаимодействия поверхностей необходимо учитывать для контакта предельно гладких поверхностей (металлы—^а<0,1 мкм, полимеры—Ra<0,3 мкм) или если хотя бы одно из контактирующих тел является высокоэластичным (резина).

Осуществляется оценка характера деформирования неровностей, для чего вычисляется индекс пластичности. Для металлов

Е' , / ~

«-"Гт'(ПЛ'10)

для полимеров

t --дЩ/•(П-1-И)

Здесь

Н=- min(H3, Н2).(П.1.12)

Если ф<0,6, то контакт можно считать упругим, если ф>1 — пластическим. Расчет упругого контакта следует проводить согласно п. 3, пластического — и. 4 данной методики.

Расчет характеристик упругого шероховатого контакта, Вычисляем безразмерную нагрузку

Р = Р IE'DRoV^jR"Аа.(ПЛ. 13)

Исходя из заданного значения а, по таблице Fn(x) (см. приложение 3) в столбце Р3/2 выбираем значение, ближайшее к Р. Соответствующее ему значение h является уровнем деформации данного контакта. Обозначим его Ара,..,. Далее, исходя из значения йрасч и используя функции Р„(х), приведенные в таблице, можно вычислить следующие характеристики шеро-

ховатого контакта: сближение поверхностей

с . _ -^тат/

(П.1.14)

где

Ртах = (R^ + Rmax2 )1/2,

(П.1.15)

число пятен контакта

N = AaDF0 (/ipaC4),

(П.1.16)

фактическую площадь контакта

Ar = Л^П/?^ (/грасч),

(ПН. 17)

средний диаметр пятна контакта

d = 2 [оР/ф (Ррасч)/^ (^расч)! >

(П.1.18)

среднее фактическое давление

пР Лр^3/2 (Арасч)

ЧтV R F^h^ ’

(П.1.19)

контактное электрическое сопротивление

Rc = Р/[2ОУ cR FXi2 (Лрасч)] Ао.

(П.1.20)

Здесь

Р = (Vpi + ШГ1;

(П.1.21)

Pu Р2 — удельные электрические сопротивления контактирующих металлических проводников.

Расчет характеристик пластического шероховатого контакта. Вычисляем величину фактической площади контакта

А,. = Р;Н.(П.1.22)

Переходим к безразмерной величине

Лг-Ар2л’)РпАц.(П.1.23)

В столбце Fi (/г) таблицы находим ближайшее к Дг значение. Соответствующая ему величина к является уровнем деформации шероховатого слоя при данной внешней нагрузке и пластическом характере деформирования. Обозначим ее /грасч.

Далее, исходя из значения красч и используя таблицу, можно вычислить другие характеристики контакта: сближение поверхностей

§ = ^ - <тйрасч, (П.1.24)

число пятен контакта

N = AaDF0 (hvac4),(П.1.25)

средний диаметр пятна контакта

d = 2 [/ГORFt (/zpaL4)/F0 (йрасч)] х,\(П. 1.26)

среднее фактическое давление

<7Г«Н,(П.1.27)

(П.1.28)(П.1.28)контактное электрическое сопротивление

(П.1.28)

(П.1.28)

Rc = p[2D]/2(T/? F]/2 (/1Р11СЧ) AaY

Пример 1. Рассмотрим номинально плоское контактное сопряжение полимерных материалов фторопласт-4 ■— найлон-6. Исходные характеристики контртела 1 (фторопласт): свойства материала (£1 = 400 МПа, vt = 0,4, Hi = 319 МПа, у1=18,5Х Х10~3 Н/м); параметры шероховатости поверхности (Е£;, = = 0,67 мкм, /?тах1 = 4,20 мкм, 5т1=270 мкм, Si = 110 мкм). Исходные характеристики контртела 2 (найлон): свойства материала (£2= 1500 МПа, № = 0,38, Н2=725 МПа, у2 = 46Х Х10“3 Н/м); параметры шероховатости поверхности (/?Оз = = 0,93 мкм, Дтах2=7,0 мкм, Sm „ =182 мкм, 52 = 80 мкм).

Определим входные параметры модели по формулам (П. 1.3) —(П. 1.7), (П. 1.9), (П. 1.12), (П. 1.15): '

1 - 0,42Е =4001 - 0,42Е =4001 — 0,38215001 — 0,3821500375 МПа,375 МПа,

1 - 0,42

Е =

400

1 - 0,42

Е =

400

1 — 0,3821500

1 — 0,3821500

375 МПа,

375 МПа,

И = min (310, 725) = 310 МПа,

Ду = 18,5-10"3+ 46. IO’3 = 64,5- Н) 3 Н/м,

а* = ^ -^-(0,672 + 0,832) ^ 1,44 мкм,

3270-110-182-80

~ 16/Гл2 (0,672-1822-802 + 0,932-2702-1 102)1/2

198,31 мкм,

2л (0,67 -182.80)2 + (0,93.270-1IO)23 V3" (110• SO)2 (0,67-182)2 + (0,93-270)2« 1,72 • 10-4 мкм"2,

1,44-198,31-1,72-10-'* \2 л ,’«4,4,

2,336.10-2/

Дтах = V4,22 +“7^2 = 8,16 мкм, а = (1 — 0,8968/4,4),/2-1,44 « 1,28 мкм. Расчет параметров ^c и ф по формулам (П. 1.8), (П. 1.11): А 31/ л-198,31-64,5-IO"9 \2/з

д = : ~ о, С

4 1,28-198,311/3 V 375.10-6/

3-375 3103-375 310

3-375 310

3-375 310

показывает, что контакт можно считать неадгезионным, а характер деформирования неровностей — упругим.

Определим характеристики шероховатого контакта при значении номинального контактного давления ЬЮ-2 МПа. В этом случае, согласно (П. 1.13),

q = [0,01/(4/3)]-250,3-2,42-Ю"4-136,32-1,16 (1,16/136,32)1/2 =

= 8,49-10-2.

Приняв а~4 и выбрав из таблицы (см. приложение 3) значение Рз/2 = 8,03-10-2, ближайшее к q, найдем величину уровня деформации шероховатого слоя /грасч»2,8.

Далее, пользуясь таблицей (см. приложение 3) и формулами (П. 1.14) — (П. 1.19), рассчитаем следующие характеристики шероховатого контакта: сближение поверхностей

8 = 0,06/2— 1,16-2,8 = 0,78 мкм,

число пятен контакта на единицу его номинальной площади

Лф!а = 2,42-10-М),3-101 - - 7Д^ мкм"2 = 7,26 мм"2,

удельную фактическую площадь контакта

Ат}Аа = л-1,16-136,32-2,42- Ю^-ОДб-Ю"1 = 1,92-103,

средний диаметр пятна контакта

d = (4-1,16-136,32-0,16-10”1/0,3-IO"1)1'2 = 18,37 мкм,

среднее фактическое давление

4-250,3.0,80. IO"2 / 1,16 \I/2, о

—’ =4,9 МПа.

З.л-0,16.10-1 ( 136,32

Пример 2. Выполним расчет типичного разборного электропроводного контактного соединения (контакт алюминиевой шины с медным выводом электротехнического устройства). Исходные данные: свойства материала алюминиевой шины (Ei = 7-104 МПа, vi = 0,26, Н1 = 56О МПа, pi = 2,92- 1Q-8 Ом-м); параметры шероховатости поверхности шины (Rai =3,7 мкм, Emax, - 22,2 мкм, Sm , = 250 мкм, St = 180 мкм); свойства материала медного вывода (Е2= 1 • 105 МПа, v2 = 0,34, Н2 = 700 МПа. р2=1,78-10”8 Ом-м); параметры шероховатости поверхности вывода (ЕИг = 2,1 мкм, Emax,= 12,6 мкм, Sm?=220 мкм, S2 = = 150 мкм); поминальная площадь контакта До=50-50 мм= = 2500 мм2.

Используя формулы (П. 1.3) — (П. 1.7), (П. 1.12), (П. 1.15), (П. 1.21), перейдем к исходным параметрам модели:

/ 1 — 0,262Е =’k 7-Ю4/ 1 — 0,262Е =’k 7-Ю41 — 0,34210s1 — 0,34210s= 4,5-104 МПа,= 4,5-104 МПа,

/ 1 — 0,262

Е =’

k 7-Ю4

/ 1 — 0,262

Е =’

k 7-Ю4

1 — 0,342

10s

1 — 0,342

10s

= 4,5-104 МПа,

= 4,5-104 МПа,

Н = min (560, 700) = 560 МПа,

= 1,11 • 10 9 Ом-м,= 1,11 • 10 9 Ом-м,(?5

= 1,11 • 10 9 Ом-м,

= 1,11 • 10 9 Ом-м,

2,92-10"11,78.10-8 )

а* = -L (3,72 + 2, )2)1 /2 = 5,33 мкм,

R =

16л2 V2

= 129,2 мкм.= 129,2 мкм.250-180-220.150(3,72 • 2202 • 1502 + 2,12 • 2502 • 1802)1/2

= 129,2 мкм.

= 129,2 мкм.

2л

(3,7-220.150)2 +(2,1-250.180)2 _421.1( (180-150)2 [(3,7-220)2 + (2,1 • 250)2]’

/5,33-4,21-10'5-129,2 V . _

а — ;™ 1,53,

2,346-Ю-2/

Emax=(22,22 + 12,62)1/2 = 25,53 мкм,

о = [1 — (0,897/1,53)]1/2-5,33 = 3,43 мкм.

Исходя из шероховатости рассматриваемых поверхностей, даже без оценки параметра А( можно утверждать, что контакт не является адгезионным. Оценка параметра гр (П. 1.10):

4,5-1043,43560129,24,5-1043,43560129,2= 13,09 » 1,= 13,09 » 1,

4,5-1043,43

560129,2

4,5-1043,43

560129,2

= 13,09 » 1,

= 13,09 » 1,

показывает, что неровности деформируются пластически.

Рассмотрим характеристики пластического шероховатого контакта в случае приложения номинальной нагрузки 18 750 Н, используя формулы (П. 1.22) — (П. 1.28). Номинальное давление при этом

qa = 18 750/2,5- 10 :i = 7,5-106 = 7,5 МПа, удельная фактическая площадь контакта

ArlAa = 7,5/560 = 0,13-10"1,

А,. = 0,13-Ю~7[2 л- 3,43-4,21- 10~5-129,2] = 0,114.

Исходя из значения а=1,5, находим в столбце Ft таблицы (см. приложение 3) ближайшую к 0,114 величину, которой соответствует /грасч = 2,25. Поскольку для йрасч = 2,25 значения функции в таблице не приведены, то при определении Fn (2,25) пользуемся линейной интерполяцией. Тогда сближение поверхностей

6 = 25,53/2— 3,43-2,25 = 5,05 мкм,

число пятен контакта

N = 2,5- 109-4,21 - 10"5-0,24 8 = 2,61-104, средний диаметр пятна контакта

d = 2(2-3,43-129,2-0,11/0,248)1/2 = 33,42 мкм, среднее фактическое давление

qr = 560 МПа,

контактное электрическое сопротивление

Rc = 1,11 -10~2/[2 - 4,21 - 10“5-2-3,43- 129,2-0,149-2,5-109] =

= 1,19-10 4 Ом.

Если учесть, что типичное значение отношения радиуса металлического (свободного от оксидных пленок) пятна к радиусу пятна механического контакта составляет Л —0,02, то электрическое контактное сопротивление

Rc = 1,19-10^8/0,02 = 5,9-10”7 Ом.

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК

АДГЕЗИОННОГО ШЕРОХОВАТОГО КОНТАКТА

Методику следует использовать для расчета упругого контакта шероховатых поверхностей при высокой степени его ад- гезионности (Дс^0,1) (см. рис. 4.10). Ограниченный объем приведенных таблиц не позволяет применять методику для оценки параметров контакта высокоэластичных материалов (Дс>0,5).

Подготовка исходных данных и выбор расчетной схемы осуществляется согласно пп. 1 и 2 методики расчета характеристик неадгезионного шероховатого контакта (см. приложение 1).

В расчете используются следующие величины: Р— внешняя контактная нагрузка; Е' — приведенный модуль упругости; Ду — удельная энергия адгезии; а, 3, D, а — геометрические характеристики эквивалентной шероховатости.

Расчет характеристик адгезионного шероховатого контакта проводится с применением таблицы безразмерных функций /о, /|, Ь, /з (см. приложение 4). Для выбора соотвстс1вую- щей таблицы, кроме параметра широкополосности а, определяем параметр адгезионпости контакта Дс (П. 1.8).

Далее находим значение безразмерной нагрузки

(П.2.1)(П.2.1)

(П.2.1)

(П.2.1)

Затем в столбце /1 выбираем ближайшее к Р значение. Соответствующая ему величина h является уровнем деформации исследуемого контакта. Обозначим ее Арасч. Исходя из значения таблицы, соответствующего /граСч, можно вычислить следующие характеристики шероховатого контакта: ФПК

A,^4,53D^oAcAaI.2,(П.2.2)

число пятен контакта

(П.2.3)(П.2.3)Л - - DAJо.

(П.2.3)

(П.2.3)

средний диаметр пятна контакта

d 2,4^oAJ.,;iny^,(П.2.4)

среднее фактическое давление

/, + 1,09 Д/•2/, + 1,09 Д/•2(П.2.5)(П.2.5)

/, + 1,09 Д

/•2

/, + 1,09 Д

/•2

(П.2.5)

(П.2.5)

3-0,250,1353-0,250,1350,36.0,36.Пример 1. Рассмотрим номинально плоский контакт полиэтилена высокого давления (£1 = 0,2 ГПа; vi = 0,45; Hi = = 0,135 ГПа; yi = 0,031 Н/м) со стальной поверхностью (£2 = = 200 ГПа; V2 = O,3; Н2 = 0,82 ГПа; у2 = 1,5 Н/м). Параметры эквивалентной шероховатости для сопряжения составляют: сг=0,43 мкм; р=100 мкм; Z) = 2,2-10-3 мкм-2; а=16,4. Приведенный модуль упругости контактной пары примет значение (П. 1.3) £>0,25 ГПа; индекс пластичности (П. 1.10)

3-0,25

0,135

3-0,25

0,135

0,36.

0,36.

Ф =

Поскольку ф<1, то можно предположить, что деформирование шероховатости будет упругим. Учитывая преобладание дисперсионных компонент ван-дер-ваальсового взаимодействия поверхностей, определим удельную энергию адгезии

Ау « 2 УУуГ= 2 УбДЗМДГ = 0,43 Н/м

и параметр адгезионности контакта (П. 1.8)

,31/л-100-0,43-10~6\2/3

А„ = = 0,2о.

4 0,43-1ОО‘/з 0,25-10~3

Из условия Ас>0,6 следует, что рассматриваемый контакт обладает высокой степенью адгезионности и при его расчете нужно пользоваться данной методикой.

Проведем оценку характеристик дискретного контакта при его нагружении номинальным давлением 0,2 МПа, которому соответствует безразмерная нагрузка (П.2.1)

Р0,2.10-6

2,31-0,25-10-3-2,2-Ю-з.0,43-100-(0,43/100)'/2.о,253/2 ~

= 4,47-10"1.

Далее находим вспомогательные функции /„, используя таблицы приложения 4. Так как /л сравнительно слабо зависят от а, то рекомендуется пользоваться таблицей с ближайшим значением а. При а >50 можно принять а = оо. В рассматриваемом примере (а = 16,4) выбираем таблицу с а = 10. Теперь находим уровень деформации йрясч> соответствующий заданной нагрузке Р (столбец 1^. Пусть ближайшие табличные значения Ас, ограничивающие заданное снизу и сверху, равны A^1’ и А® (Ас1 > < Ас < Ас2)). В таблицах (А(с°, а) и (А^2), а) находим интервалы (/г', /г"), в пределах которых располагается данная нагрузка £ (столбец 1^. В нашем случае 0,2 < Ас < 0,3. Для нижней границы (А^1* = 0,2) hi = 1,5, h2 = 1,6, для верхней

(Д*2) = 0,3) h2 = 1,1, h2 = 1,2. В этих четырех точках (А^ , h^, где / = 1, 2, выписываем табличные значения функций 70 (0,2; 1,5) = 0,2048; 70 (0,3; 1,1) = 0,3423; 70 (0,2; 1,6) = 0,1764; 70 (0,3; 1,2) = 0,3048; Л (0,2; 1,5) = 0,4953; 7Т (0,3; 1,1) = = 0,4911; 7, (0,2; 1,6) = 0,3951; 7^0,3; 1,2) = 0,3964; 73 (0,2; 1,5) = 0,7529; 72 = (0,3; 1,1) =1,108; 73(0,2; 1,6)= 0,6338; 72(0,3; 1,2) = 0,9644; 73(0,2; 1,5) = 0,3254; 73 (0,3; 1,1) = = 0,5216; 73(0,2; 1,6) = 0,2780; 73 = (0,3; 1,2) = 0,4606.

В дальнейшем используем формулу для двумерной интерполяции по четырем точкам:

к (А^ + р6Ас, h\ + q^ = ^-pkl-q) к (А(Д h'^ + + p(l-qHn (АД ^ + 7(1- р) к (А(Д Ь^ +(П.2.6)

+ pqiп (Ас \ ^з)> где

6АС = Af ’ — АД &h = К-; — hV,Р = (Ас — А(Д/6АС; q = (/грасч — h\^h.

Осуществив с помощью соотношения (П.2.6) обратную интерполяцию при п=\, находим q и, следовательно, /грасч. С этой целью подставляем в левую часть (П.2.6) Ц — Р, а в правую соответствующие значения функций 71 и р=(0,25—0,2)/0,1 = = 0,5. Получаем линейное уравнение относительно q\ 0,0975 q = = 0,0462. Откуда <7 = 0,4741 и /ipac4= 1,5+ 0,1-0,4741 = 1,5474.

Используем выражение (П.2.6) для определения функций к Д=0, 2, 3) в точке (Ас = 0,25; /1расч = 1,5474):

7„ = 0,5.0,5359-0,2048+ 0,5-0,5359-0,3423 + 0,5-0,4741 XX 0,3048+ 0,5-0,4741 -0.1764 = 0,2607,

72 = 0,5-0,5359-0,7529 + 0,5-0,5359-1,108 + 0,5-0,4741 X X 0,6338 + 0,5-0,4741-0,9644 = 0,8775,

73 = 0,5 • 0,5359 ■ 0,3254 + 0,5 - 0,5359 • 0,5216 + 0,5 • 0,4741 XX 0,2780 + 0,5-0,4741 -0,4606 = 0,4020.

Наконец, воспользовавшись формулами (П.2.2) — (П.2.5), получим значения характеристик исследуемого дискретного контакта: относительная ФПК

Ат]Аа = 4,53-2,2-И) 3-0,43-100-0,25.0,878 = 9,4-Ю"2, плотность пятен контакта

N/Aa = 2,2-10 3-0,261 = 5,73-10 4 мкм'2, средний диаметр пятна контакта

d =- 2,40-(0,43-100-0,25-0,878/0,261)'/-’ = 14,44мкм; среднее фактическое давление

qr = 0,51 • 0,25 • (0,43-0,25/100)1°’447 + 1,09-(^02 =

4'0,878

= 4,22 МПа.

Пример 2. Рассмотрим контакт двух гладких поверхностей, обладающих высокой жесткостью. Для первого контртела физико-механические характеристики и параметры шероховатости имеют следующие значения: Ei=115 ГПа; vi = 0,3; Hi = = 6,03 ГПа; у] = 0,1 Н/м; ср = 7,3-10"3 мкм; pi = 204 мкм; Dv = = 7,32-10*4 мкм 2; для второго £2 = 448 ГПа; м2 = 0,3; Н2 = = 22,6 ГПа; у2 = 0,35 Н/м; сг^ ^ 1,6- 10 3 мкм; р2=1887 мкм; £Г = 2,4- 10 3 мкм-2. Исходные данные для исследования контакта с помощью приведенной методики примут такие значения: Е' = 100 ГПа; Ау = 0,37 Н/м; о = 7,5-10~3 мкм; ^ = 203 мкм; О= 1,4-10 3 мкм"2; а =1,5; ф = 0,1; А, =0,226. Здесь при определении параметров эквивалентной шероховатости использовались зависимости

/ 11 Х-1/2

У 4л2 У o^D] ф- of алВ1

27 У а2 D^ + oiaJX

С учетом вида механической обработки поверхностей предполагалось а = сц =«9= 1.5. Из условий! ф<0,6 и Ас>0,1 следует применимость рассматриваемой методики.

Проведем оценку основных характеристик дискретного контакта. соответствующих номинальному давлению 19,2 кПа. При расчете будем исходить из безразмерной величины (П.2.1) £ = 5,971-10 2. Аналогично предыдущему примеру с помощью двумерной интерполяции находим /грагч = 2,9261 и вспомогательные функции /„ в точке (А.=0,226; /граач = 2,9261): /0 = = 0.086 46; /;, = 0,2416; /а= 0.12 49. Далее по формулам (П.2.2) — (П.2.6) определяем основные характеристики дискретного кон- газг.с относительную ФПК

AjA,, 4,53-1,4- lO-з. 7,5-10“3-203-0,226-0,242 =

-4,

плотность пятен контакта

.V Xl, - 1.4-10-:i-0.0871,21 • IO’1 мим-2,

средний диаметр пятна контакта

d-- 2,40-(7,5-10-3.203-0,226-0,242/0,087)'/2 _ 2,35мкм, среднее фактическое давление

(),.0,51-100-(7,5-10"3-0,226/203)'/2X

',9711,09-0,125

у'—’ = 0,12 ГПа.

Таблица функций Fn(h, а), п = 0, 1/2, 1, 3'2

h

/ F-

1^1/2

1^3/2

а =

1,5

0,0

1 ,0000

1,3370

1,8430

2,6120

0,1

1,0000

1,2970

1,7430

2,4140

0,2

1,0000

1,2560

1,6430

2,2230

0,3

0,9997

1,2140

1,5430

2,0370

0,4

0,9987

1,1690

1,4430

1,8590

0,5

0,9963

1,1220

1,3430

1,6870

0,6

0,9913

1,0710

1,2440

1,5220

0,7

0,9825

1,0180

1,1450

1,3650

0,8

0,9687

0,9613

1,0470

1,2170

0,9

0,9486

0,9015

0,9513

1,0770

1,0

0,9215

0,8388

0,8577

0,9464

1,1

0,8869

0,7739

0,7673

0,8253

1,2

0,8449

0,7076

0,6806

0,7141

1,3

0,7961

0,6408

0,5985

0,6127

1,4

0,7415

0,5746

0,5216

0,5214

1,5

0,6824

0,5099

0,4504

0,4398

1,6

0,6204

0,4478

0,3852

0,3678

1,7

0,5571

0,3891

0,3263

0,3048

1,8

0,4941

0,3345

0,2738

0,2504

1,9

0,4329

0,2844

0,2275

0,2038

2,0

0,3746

0,2393

0,1871

0,1643

2,1

0,3202

0,1991

0,1524

0,1313

2,2

0,2705

0,1639

0,1229

0,1039

2,3

0,2258

0,1335

0,9814-IO-1

0,8147-IO"1

2,4

0,1862

0,1076

0,7758-10-!

0,6328-10-!

2,5

0,1518

0,8574 Ю-1

0,6072-IO-1

0,4869-10-!

2,6

0,1223

0,6762-10-!

0,4706-10-!

0,3711-Ю-!

2,7

0,9747-Ю-1

0,5276-10-!

0,3610-10"!

0,2802-10"1

2,8

0,7678-10-1

0,4076-10-!

0,2742- IO"1

0,2095-IO"1

2,9

0,5980-Ю-1

0,3108-10-!

0,2062-10-1

0,1552-10-!

3,0

0,4606-10-1

0,2371-10-!

0,1535-10-!

0,1137-10-!

3,1

0,3508-Ю-1

0,1707-10-!

0,1131-10-!

0,8307-10-2

3,2

0,2643-10-!

0,1261-10-!

0,8252-IO-2

0,5981-IO-2

3,3

0,1969-Ю-1

0,9217- IO-2

0,5961-10-2

0,4264-10-2

3,4

0,1451-IO'1

0,6667-10-2

0,4263-10-2

0,3011-10-2

3,5

0,105810-!

0,4773-10-2

0,3018-10-2

0,2106-10-2

3,6

0,763210-2

0,-3381-10-2

0,2115-10-2

0,1459-10-2

3,7

0,5445-10-2

0,2370-10 -2

0,1468-Ю-2

0,1001 io-2

3,8

0,3844-10-2

0,1644-10-2

0,1008- IO"2

0,6798-10-3

3,9

0,2684-10-2

0,1129-10-2

0,6858-10-3

0,4575-10"3

4,0

0,1855-10-2

0,7669-10-3

0,4517-10"3

0,3048-10-3

а =

2

0,0

0,9887

1,2210

1,5980

2,1860

0,1

0,9833

1,1750

1,5000

2,0060

0,2

0,9757

1,1280

1,4020

1,8330

0,3

0,9657

1,0780

1,3050

1,6680

0,4

0,9525

1,0270

1,2090

1,5100

0,5

0,9358

0,9731

1,1140

1,3600

h

F„

^1/2

F3/2

0,6

0,9150

0,9175

1,0220

1,2180

0,7

0,8897

0,8602

0,9313

1,0840

0,8

0,8598

0,8015

0,8438

0,9596

0,9

0,8252

0,7418

0,7595

0,8437

1,0

0,7859

0,6816

0,6789

0,7368

1,1

1,2

0,7424

0,6215

0,6025

0,6389

0,6951

0,5622

0,5306

0,5499

1,3

0,6448

0,5042

0,4635

0,4698

1,4

0,5923

0,4483

0,4017

0,3982

1,5

0,5386

0,3949

0,3452

0,3346

1,6

0,4847

0,3446

0,2940

0,2791

1,7

0,4316

0,2979

0,2481

0,2308

1,8

0,3801

0,2549

0,2076

0,1892

1,9

0,3311

0,2160

0,1720

0,1537

2,0

0,2852

0,1812

0,1413

0,1238

2,1

0,2430

0,1504

0,1149

0,9879- IO"1

2,2

0,2046

0,1236

0,9253-Ю-1

0,7813-Ю-1

2,3

0,1704

0,1005

0,7381-Ю-1

0,6122-10-!

2,4

0,1403

0.8092-10-1

0,5831-Ю-1

0,4753-10"!

2,5

0,1143

0,6445-1О"1

0,4561-IO-1

0,3656- Ю-1

2,6

0,9199-Ю"1

0,5080-IO-1

0,3533-IO-1

0,2786-IO-1

2,7

0,7323-Ю-1

0,3962-Ю-1

0,2710-10-!

0,2103-10-!

2,8

0,5766-Ю-1

0,3060-Ю-1

0,2058 IO-1

0,1572-IO-1

2,9

0,4489-IO-1

0,2332-IO"1

0,1547-Ю-1

0,1164-10-!

3,0

0,3456-IO-1

0,1715-Ю-1

0,1152-10-!

0,8573-IO"2

3,1

0,2632-IO"1

0,1280-Ю-1

0,8484-10-2

0,6231-10-2

3,2

0,1083-Ю-1

0,9458-10-2

0,6190-10-2

0,4486-10-2

з,з

0,1477-IO"1

0,6914-10-2

0,4471-10-2

0,3198-ю-2

3,4

0,1089-IO"1

0,5001-Ю-2

0,3197-10-2

0,2259-10-2

3,5

0,7937-IO"2

0,3580-10-2

0,2263-IO-2

0J580.10-2

3,6

0,5724-10-2

0,2536-10-2

0,1586-10-2

0,1094-10-2

3,7

0,4084-10-2

0,1778-10-2

0,1101-10-2

0,7506-10-3

3,8

0,2883-IO-2

0,1233-10-2

0,7563-10-3

0,5099-10-»

3,9

0,2013-10-2

0,8465-10-3

0,Ы43-10-3

0,3432.10-3

4,0

0,1391-10-2

0,5752-Ю-з

0,3463-Ю-з

0,2286-Ю-3

а = J

0,0

0,9423

1,0680

1,3230

1,7370

0,1

0,9266

1,0180

1,2290

1,5810

0,2

0,9078

0,9655

1,1370

1,4320

0,3

0,8858

0,9121

1,0480

1,2910

0,4

0,8603

0,8575

0,9604

1,1580

0,5

0,8312

0,8021

0,8758

1,0330

0,6

0,7987

0,7461

0,7943

0,9172

0,7

0,7627

0,6900

0,7162

0,8093

0,8

0,7236

0,6340

0,6419

0,7099

0,9

0,6817

0,5788

0,5716

0,6187

1,0

0,6374

0,5247

0,5056

0,5358

1,1

0,5914

0,4722

0,4442

0,4609

1,2

0,5442

0,4218

0,3874

0,3937

1,3

0,4965

0,3738

0,3353

0,3339

1,4

0,4491

0,3285

0,2881

0,2810

1,5

0,4024

0,2863

0,2455

0,2348

1,6

0,3573

0,2474

0,2075

0,1946

1,7

0,3142

0,2119

0,1740

0,1600

h

/F-'

1^1/2

1

/Г3/2

1.8

0,2736

0,1799

0,1446

0,1305

1,9

0.2359

0,1513

0,1192

0,1056

2,0

0,2013

0,1260

0,9733- 10-1

0,8468-10-!

2,1

0.1701

0,1040

0,7879-10-'

0,6734-Ю-1

2,2

0,1422

0,8502-10-’

0,6321-Ю-1

0,5309-10"1

2.3

0,1177

0,6882- Ю-1

0,5024-10-'

0,4148-Ю-1

2.4

0,9639-10^1

0,5516- 10—1

0,3956-10-1

0,3213-10-1

2.5

0,7810-10-’

0,4378-10"1

0,3086-Ю-1

0,2466-10-1

2.6

0.6262-10-1

0.3440-10-1

0,2385- Ю-1

0,1875-Ю-1

2,7

0,-1968-10-’

0,267610-1

0,1825 Ю-1

0,1413-Ю-1

2.8

л,3899-IO-1

0,2062-10-'

0,1384 - IO™1

0,105510-!

2,9

0,3028- IO-1

0,1569-10-'

0,1039-Ю-1

0,7805-10-2

3,0

0,2327-ИЮ1

0,1195-IO-'

0,7724-10-2

0,5714-10-2

3,1

0,1769-IO"1

0,8585-10-1-

0,5683-10-2

0,4170-IO"3

3,2

0,1330-Ю-1

0,6335-10-1

0,4142-10-2

0,3000- io-2

3,3

0,9899-10-2

0,4626- 10-2

0,2990-10-2

0,2138- IO"2

3.4

0,7288-10-2

0,3344-10-2

0,2137-Ю-3

0,1509-10-2

3,5

0,5309-К)"2

0,2392 IO-2

0,1512-Ю"2

0,1055-10-3

3,6

0,3826-ю-2

0,1694-10-2

0,1059-IO-2

0,7304-IO"3

3,7

0,2729-IO"2

0,1187-10-2

0,7348-10-2

0,5009- Ю-3

3,8

0,1925-Ю-2

0,8231-10-3

0,5047-10-3

0,3402-IO"3

3,9

0,1344-10-2

0,5649-10-3

0,3432-Ю-з

0,2289- IO-3

4,0

0.9285- Ю-з

0,3837-10-3

0,2310 Ю-з

0,152510-»

а = 2

0,0

0,9008

0,9744

1,1690

1,4990

0,1

0,8791

0,9222

1,0800

1,3560

0,2

0,8544

0,8689

0,9931

1,2220

0,3

0,8264

0,8149

0,9090

1,0950

0,4

0,7954

0,7605

0,8279

0,9771

0,5

0,7613

0,7058

0,7500

0,8669

0,6

0,7244

0,6514

0,6757

0,7650

0,7

0,6849

0,5976

0,6052

0,6712

0,8

0,6433

0,5448

0,5388

0,5854

0,9

0,5999

0,4934

0,4767

0,5074

1,0

0,5554

0,4437

0,4189

0,4369

1,1

0.5102

0,3962

0,3656

0,3738

1,2

0,4649

0,3512

0,3168

0,3176

1,3

0,4202

0,3089

0,2726

0,2679

1,4

0,3765

0,2695

0,2328

0,2244

1,5

0,3344

0,2333

0,1972

0,1866

1,6

0,2944

0,2002

0,1658

0,1539

1,7

0,2568

0,1704

0,1383

0,1260

1,8

0,2219

0,1438

0,1144

0,1024

1,9

0 1900

0,1202

0,9380-10-1

0,8247-IO"1

2,0

0 ЮЮ

0,9962-10-1

0,7628-10-1

0,6590-10-!

2,1

0 ।’

0,8180- Ю-1

0,6149-10-1

0,5222-10-'

2.5

0,6655-10-1

0,4913-10-1

0,4103- Ю-1

2.'

-0 -

0.5363-10-1

0,3891 10-1

0,3197- Ю-1

10 '

0,4281 -Ю-1

0,3054-10-1

0,2469-10-1

I')-1

0,3385- IO"1

0,2375-IO-'

0,1890 10-1

-iКг’

0,2651 10-1

0,1830-Ю-1

0,1434-10-1

0,2056-10-1-

0,1397-Ю-1

0,1078-Ю-1

0-1580-10-1

0,1057-Ю-1

0,8034-10-2

,Ji ;

0 J 199 ■ ю-1

0,7916-10 2

0,5932 IO-2

h

F«

Ю.9

F.

3,0

0,1780-10-1

0,9110-10-2

0,5875-10-2

0,4336-10-2

3,1

0,1350-10-1

0,6529-10“=

0,4314-19-2

0,3160■10"2

3,2

0,101310- i

0,4809-10-2

0.3140-IO-2

0,2270 IO-2

3,3

0,752310-2

0,3506-10-2

0.2263-10- 2

0,1616-18-2

3,4

0,5529- Ю™2

0,2531-10-3

0.Ю75-Ю-2

0.1139-10-2

3,5

0,4021-10-2

0.1808-10-2

0,1142-10-2

0.7958- Ю-3

3,6

0,2894-10-2

0,1279-10-2

0,7992- И)"3

0.5506-in-3

3,7

0,2061-10-2

0,8952-10"3

0,5539-10-:!

з773-in-3

3,8

0, 1453-Й)-2

0,6204- НЮ3

0.3802-Ю- ‘

0,2561 - kw

3.9

0,1013-10-2

0.4254 IO-3

0.2583-IO- 3

0.1722■io --

4,0

0.6995-IO"3

0,2888-10-3

0J738 !0->

о. 11-17- :и -3

cz = E

0,0

0,8677

0,9103

1,0690

1 ,31k)

0,1

0,8423

0,8575

0,9й32

1.2Ю0

0,2

0,8140

0,8041

0,9004

1 ,0900

0,3

0,7827

0,7503

0,8205

0,9736

0,4

0,7487

0.6965

0,7439

n.8650

0,5

0,7120

0,6431

0,6709

0.7644

0,6

0,6731

0,5903

0,60)6

0,6717

0,7

0,6322

0,5386

0,5363

0,5869

0,8

0,5597

6,4883

0,4752

0,5097

0,9

0,5463

0,4398

0,4184

0,4400

1,0

0,5023

0,3933

0,3660

0,3774

1,1

0,4583

0,3493

0,3179

0,3215

1,2

0,4149

0,3079

0,2743

0,2721

1,3

0,3726

0,2694

0,2349

0,2287

1,4

0,3317

0,2339

0,1997

0,1908

1,5

0,2929

0,2014

0,1685

0,1580

1,6

0,2563

0,1720

0,1411

0,1299

1,7

0,2223

0,1457

0,1172

0,1060

1,8

0,1910

0,1223

0,9653-10-!

0,8580 IO-1

1,9

0,1626

0,1019

0,7887-10-!

0,6890-10-1

2,0

0,1372

0,8405-ю-1

0,6391-10-1

0,5489-Ю-1

2,1

0,1146

0,6874-10-1

0,5134-10-1

0,4337-10-1

2,2

0,9485-10-1-

0,557110-1

0,4089-10-1

0,3398-Ю-1

2,3

0,7773-Ю-1

0,4473 Ю-i

0,3228-10-1

0,2640-Ю-1

2,4

0,6308-IO-1

0,3559-10-1

0,2526-10-1

0,2034-10-1

2,5

0,5069-10-1

0,2805- IO-’

0,1959 lO-i

0,1553-10-1

2,6

0,4032-IO"1

0,2190-lO-i

0,1506-10-1

0,1176- Ю-i

2,7

0,3176-Ю-1

0,1693-10-1

0,1147-19-1

0,8821-10-2

2,8

0,2477-Ю-1

0,1298-10-1

0,8653-10-1

0,6560- IO"'2

2,9

0,1912-Ю-1

0,9824-10-2

0,6469-10-2

0,4835-IO-2

3,0

0,1461 IO”1

0,7450- IO"2

0,4791-10-2

0,3528 IO-2

3,1

0,1105-Ю-1

0,5325-10-2

0,3511-10-2

0,2567-10-2

3,2

0,8274-10-2

0,3914- IO"2

0,2551-10-2

0,1842-10-2

3,3

0,6132- IO-2

0,2849- IO-2

0,18136- IO-2

0,1309-10-2

3,4

0,4498-IO"2

0,2053-10-2

0,1309-IO-2

0,9-49. o-::

3,5

0,326(>.Ю-2

0,1465- IO-3

0,923810-3

0.( o-:

3,6

0,2137 IO-'2

0,1035-10-2

IO-’*

0.- O-1

3,7

0,1669-10-2

0,7233-10 '

i()-

9- 0--

3,8

0,1175-10-3

0,5007-10-

10

3,9

0,8183-И)-3

0,3430-10-

0

-0 '

4,0

0,5643-10-3

0,2326-Ю

У226 ()-

h

^3/2

0,0

0,8412

а = 6

0,8631

0,99761

1,2430

0,1

0,8133

0,8102

0,9148

1,1170

0,2

0,7826

0,7570

0,8350

0,9993

0,3

0,7492

0,7037

0,7584

0,8896

0,4

0,7134

0,6507

0,6853

0,7879

0,5

0,6752

0,5984

0,6158

0,6941

0,6

0,6352

0,5471

0,5503

0,6080

0,7

0,5937

0,4971

0,4888

0,5296

0,8

0,5511

0,4488

0,4316

0,4585

0,9

0,5080

0,4025

0,3786

0,3945

1,0

0,4647

0,3586

0,3300

0,3372

1,1

0,4220

0,3171

0,2857

0,2864

1,2

0,3801

0,2784

0,2456

0,2416

1,3

0,3397

0,2426

0,2096

0,2024

1,4

0,3010

0,2097

0,1776

0,1684

1,5

0,2645

0,1799

0,1493

0,1391

1,6

0,2304

0,1531

0,1246

0,1140

1,7

0,1989

0,1292

0,1031

0,9274-10-1

1,8

0,1702

0,1081

0,8471-10-1

0,7486-10-1

1,9

0,1443

0,8966-10-1

0,6900-10-1

0,5996-10-1

2,0

0,1213

0,7374-10-1

0,5574-10-1

0,4764-10-1

2,1

0,1009

0,6011-10-1

0,4466-10-1

0,3754-10-1

2,2

0,8322-10-1

0,4856•10-1

0,3547-10-1

0,2935-10-1

2,3

0,6796-10-1

0,3888-10-1

0,2793-10-1

0,2275-10-1

2,4

0,5497-10-1

0,3084-10-1

0,2180-10-1

0,1748-10-1

2,5

0,4403-10-1

0,2424-10-1

0,1687-10-1

0,1332-10-1

2,6

0,3492-10-1

0,1888-10-1

0,1293-10-1

0,1006-10-1

2,7

0,2743-10-1

0,1456-10-1

0,9827-10-2

0,7538-Ю-2

2,8

0,2133-10-1

0,1113-10-1

0,7400-IO"2

0,5595-10-2

2,9

0,1642- Ю-i

0,8408-10-2

0,5521-Ю-2

0,4117-10-2

3,0

0,1252-10-1

0,6364-10~2

0,4082-Ю-2

0,2999-Ю-2

3,1

0,9449-Ю-2

0,4537-Ю-2

0,2986-10-2

0,2179-IO-2

3,2

0,7060-Ю"2

0,3329-10-2

0,2166-10-2

0,1561-10-2

3,3

0,5222-Ю-2

0,2419-Ю-2

0,1557-Ю-2

0,1108-10-2

3,4

0,3823-Ю-2

0,1740-Ю-2

0,1108- 1О-2

0,7792-10-3

3,5

0,2771 -Ю-2

0,1240-10-2

0,7810- Ю”3

0,5429-10-3

3,6

0,1988-Ю-2

0,8744-10-2

0,5453-10"3

0,3748-Ю-з

3,7

0,1412-Ю-2

0,6106-Ю-3

0,3771-10-3

0,2563-1О-3

3,8

0,9924-10-3

0,4222-10-3

0,2583- Ю-3

0,1737-Ю-3

3,9

0,6904-Ю-3

0,2889- Ю-з

0,1752-10-3

0,1166- ю-3

4,0

0,4755-Ю-3

0,1957-Ю-з

0,1176-Ю-з

0,7751-10-4

0,0

0,8194

а = 7

0,8267

0,9439

1,1640

0,1

0,7898

0,7739

0,8634

1,0440

0,2

0,7575

0,7209

0,7860

0,9319

0,3

0,7227

0,6682

0,7120

0,8276

0,4

0,6856

0,6160

0,6416

0,7312

0,5

0,6465

0,5647

0,5750

0,6425

0,6

0,6059

0,5146

0,5123

0,5614

0,7

0,5641

0,4661

0,4538

0,4877

0,8

0,5217

0,4194

0,3995

0,4211

h

1 F"

Fl/2

F3/2

°,9

0,4789

0,3750

0,3495

0,3614

1,0

0,4365

0,3329

0,3037

0,3082

1,1

0,3948

0,2934

0,2622

0,2611

1,2

0,3543

0,2568

0,2247

0,2197

1,3

0,3154

0,2230

0,1913

0,1836

1,4

0,2784

0,1922

0,1616

0,1523

1,5

0,2437

0,1644

0,1355

0,1255

1,6

0,2116

0,1394

0,1128

0,1026

1,7

0,1820

0,1173

0,9310-10-1

0,8329-10"!

1,8

0,1552

0,9784-10"!

0,7626-10-1

0,6708-10-1

1,9

0,1312

0,8093-10-!

0,6196-10-1

0,5360-10-1

2,0

0,1099

0,6637-10-1

0,4993-10-i

0,4249-10-!

2,1

0,9115-10-1

0,5396-10-1

0,3991-10-1

0,3342-10-1

2,2

0,7492-10-1

0,4348-10-1

0,3162-10-1

0,2607-10-1

2,3

0,6101-Ю-1

0,3472-10-1

0,2484-10-1

0,2016-IO-1

2,4

0,4921-10-1

0,2748-10-1

0,1935-10-1

0,1547-10-1

2,5

0,3931 10-1

0,2155-10-1

0,1494-lO-i

0,1176-lO-i

2,6

0,3110-10-1

0,1674-10-1

0,1143-10-1

0,8872-10-2

2,7

0,2436-10-i

0,1288-10-1

0,8671-10-1

0,6633-10-2

2,8

0,1890-10-1

0,9831-10-1

0,6517-10-3

0,491510-2

2,9

0,1452-10-1

0,7410-IO”2

0,4854-IO-2

0,3611-10-2

3,0

0,1105- Ю-i

0,5599-IO"2

0,3582- IO-3

0,2626-10-2

3,1

0,8321-Ю-2

0,3983-10-2

0,2617- 10-2

0,1906- IO-2

3,2

0,6205- IO-2

0,2917-10-2

0,1895- IO-3

0,1363-10-2

3,3

0,4581-10-2

0,2116-IO-2

0,1360-IO-3

0,9663 IO-3

3,4

0,3348- IO-2

0,1520-10-2

0,9665-10-3

0,6787-10-3

3,5

0,2423-10-2

0,1081-10-2

0,6804-10-3

0,4724-10-3

3,6

0,1736- IO-3

0,7618-Ю-3

0,4745-IO"3

0,3257-10-3

3,7

0,1231- IO-2

0,5313-10-3

0,3278-10-3

0,2226-10-3

3,8

0,8641- IO”3

0,3669-IO-3

0,2242.10-3

0,1506-10-3

3,9

0,6004- 10-3

0,2508-10-3

0,1519-10-3

0,1010-10-3

4,0

0,4130-IO-3

0,1697-IO-3

0,101910-3

0,6711-10-1

a = f

0,0

0,8013

0,7976

0,9017

1,1040

0,1

0,7703

0,7449

0,8231

0,9877

0,2

0,7368

0,6923

0,7477

0,8798

0,3

0,7009

0,6401

0,6758

0,7797

0,4

0,6630

0,5886

0,6076

0,6875

0,5

0,6234

0,5382

0,5433

0,6028

0,6

0,5825

0,4892

0,4829

0,5256

0,7

0,5406

0,4419

0,4268

0,4556

0,8

0,4983

0,3966

0,3748

0,3926

0,9

0,4561

0,3536

0,3271

0,3362

1,0

0,4143

0,3130

0,2836

0,2861

1,1

0,3736

0,2752

0,2442

0,2418

1,2

0,3342

0,2402

0,2088

0,2031

1,3

0,2966

0,2080

0,1773

0,1693

1,4

0,2610

0,1788

0,1495

0,1402

1,5

0.2278

0,1525

0,1250

0,1153

1,6

0,1971

0,1290

0,1038

0,9407-10-1

1,7

0,1691

0,1083

0,8553-10-1

0,7619-10-1

1,8

0,1438

0,9011-10-1

0,6991-10-1

0,6124-10-1

1,9

0,1212

0,7435-10-1

0,5668-10-1

0,4884-10-1

2,0

0,1012

0,6083-10-1

0,4558-lO-i

0,3865-10-1

Н

1

1f1/2

2,1

0,8376-10 '

0,4934-10-1

0,3035-10-1

0,3033-Ю-1

2,2

0,6868-IO-1

0,3967-Ю-1

0,2875-10'1

0,2362-Ю-1

2,3

0,5578-Ю-1

0,3161-Ю-1

0,2254-Ю-1

0,1824-Ю-1

2,4

0,4488- Ю'1

0,2496-Ю-1

0,1752-Ю'1

0,1397-Ю-1

2,5

0,3577-10-1

0,1953-Ю"1

0,1350 Ю'1

0,1061- ю-1

2,6

0,2824-Ю-1

0,1515-Ю-1

0,1032- Ю-1

0,7985-10-3

2,7

0,2208-10-1

0,1164-10-1

0,7810-10'2

0,5960-10-'2

2,8

0,1709-IO'1

0,8862-Ю-2

0,5861 Ю'2

0,4410-IO-2

2,9

0,1311-io-1

0,6668-Ю-2

0,4358-Ю-2

0.3235- IO-2

3,0

0,9951-Ю-3

0,5030- Ю-2

0,3212-10'2

0,2349-10-2

3,1

0,7482-IO"2

0,3571- 10-3

0,2342- 10-2

0,1703-IO-2

3,2

0,5570-10-2

0,2612-Ю-2

0,1694 10'2

0.1217-10-2

3,3

0,4106-10-2

0,1892-10-3

0,1214-Ю-2

0.8613-Ю-3

3,4

0,2996-10-2

0,1357-10-3

0,8617-10-3

0.6043-Ю-3

3,5

0,2165- Ю-2

0,9641-10-3

0,6059-Ю-з

0.420b IO-3

3,6

0,1549-10-2

0,6783-IO"3

0,4221 IO-3

0,2894- И)-3

3,7

0,1097-IO”2

0,4725-10-3

0,2912- IO-3

0,1975- IO-3

3,8

0,7690- 10~3

0,3259-Ю-3

0,1990-Ю-3

0,1336 io-J

3,9

0,5337-IQ-3

0,2225-IO-3

0,1347-IO-3

0,8950-10-4

4,0

0^3667-Ю'3

0,1505-10-3

0,9030-10-4

0.5939-IO-1

а = 9

0,0

0,7859

0,7736

0,8674

1,0550

0,1

0,7538

0,7211

0,7904

0,9422

0,2

0,7194

0,6688

0,7167

0,8380

О’З

0,6828

0,6171

0,6466

0,7414

0,4

0,6443

0,5663

0,5802

0,6525

0,5

0,6043

0,5167

0,5178

0,5712

0,6

0,5631

0,4686

0,4594

0,4972

0'7

0,5213

0,4223

0,4052

0,4302

0,8

0,4793

0,3782

0,3552

0,3700

0 9

0,4375

0,3364

0,3093

0,3163

1 0

0,3964

0,2972

0,2676

0.2686

1 1

0,3565

0,2607

0,2300

0,2267

1'2

0,3180

0,2270

0,1963

0,1900

13

0,2815

0,1962

0,1663

0,1581

1’4

0,2471

0,1682

0,1399

0,1307

1 5

0 2151

0,1432

0,1168

0,10/3

1 6

0'1857

0,1209

0,9681-10-1

0,8737-10-1

1 7

О'1589

0,1012

0,7960-10-1

0,7064-10-1

18

0'1348

0,8403-Ю-1

0,6493-10-1

0,5668- 10-1

19

о'1133

0,6920-10-1

0,5255- 10-1

0,4513-Ю'1

20

0,9444-10'1

0.5650-Ю-1

0,4218-10-1

0,356b-10-1

2 1

0,7798-Ю-1

0,4573- Ю-1

0,3358-Ю"2

0,2794- Ю-1

2* 2

0,6379 Ю'1

0,3670-Ю-1

0,2651-10"1

0,2172-Ю-1

2 3

0,5170-Ю'1

0,2919-Ю'1

0,2075-10-1

0,1674- Ю'1

2 4

0'4152•10-1

0,2301-Ю-1

0,1610- ю-1

0,1280-Ю'1

2*5

0 3302-10'1

0,179/Ю-1

0,1239-Ю-1

0,9708 IO-2

26

0,2602-Ю-1

0,1391-Ю-1

0,9450-Ю-2

0,7299-10-2

2’7

0,2030-10"1

0,1067- Ю-1

0,7144-10-2

0,5440- Ю--

2 8

0 1569-Ю-1

0,8112- Ю-1

0,5353-10-3

0,4020-10--

9'9

0 1201-10'1

0,6094-Ю-1

0,3975-Ю-2

0,2945-IO'2

3 0

6'9103-10"2

0,4591-10-2

0,2925-Ю-2

0,2136-IO'2

в' 1

0,6834-10-2

0,3253-10-2

0,213010-2

0,1546- 10'*

3,2

flj 5080 10“2

0,2376-10“2

0,1539-10-2

0,1104-Ю-2

h

F-

fl/2

^3/2

3,3

0,3739-Ю-2

0,1719-Ю-2

0,1101-10-2

0,7804-Ю"2

3,4

0,2725-10-2

0,1231-10-2

0,7809-10-2

0,6469 IO-3

3,5

0,1966- 10-2

0,8737-IO"3

0,5485-Ю-з

0,3798-IO"3

3,6

0,1405- IO-2

0,6140-10-3

0,3816- Ю-з

0,2614-Ю-3

3,7

0,9935-10"3

0,4272-IO-3

0,2630-IO-3

0,1782-Ю-3

3,8

0,6957-IO"3

0,2944-10-3

0,1796-Ю-з

0,1204.10-3

3,9

0,4823-10-3

0,2008-10-3

0,1214-Ю-з

0,8062.10-4

4,0

0,3311- 10-3

0,1356-10-3

0,8134-Ю-з

0,5346-10-!

a =

0

0,0

0,7726

0,7534

0,8389

1,0140

0,1

0,7397

0,7011

0,7633

0,9051

0,2

0,7045

0,6492

0,6911

0,8037

0,3

0,6673

0,5979

0,6225

0,7100

0,4

0,6284

0,5477

0,5577

0,6239

0,5

0,5881

0,4988

0,4968

0,5453

0,6

0,5469

0,4515

0,4401

0,4739

0,7

0,5052

0,4062

0,3875

0,4094

0,8

0,4634

0,3630

0,3390

0,3516

0,9

0,4221

0,3223

0,2948

0,3001

1,0

0,3816

0,2842

0,2546

0,2545

1,1

0,3423

0,2488

0,2184

0,2144

1,2

0,3048

0,2162

0,1861

0,1794

1,3

0,2691

0,1865

0,1574

0,1491

1,4

0,2357

0,1596

0,1322

0,1230

1,5

Г,2048

0.1356

0,1102

0,1008

1,6

0,1764

0,1142

0,9114-Ю"1

0.8198-10-1

1,7

0,1506

0,9546-10-1

0,7482-10"!

0.6618-10-1

1,8

0,1275

0,7913-10-1

0,6093-10-1

0.5302- 10-1

1.9

0,1070

0,6504-10-1

0,4923-10-1

0,4215-IO-1

2,0

0,8896-10-1

0,5301-10-1

0,3945-10-1

0,3325-10-1

2,1

0,7331-10-1

0,4283-lO-i

0,3136 10-1

0,2602-10"!

2,2

0,5986-Ю"1

0,3431■lO-i

0,2472-10-1

0,202010-1

2,3

0,4842-ю-1

0,2724-10-1

0,1932-10-1

0,1555-10-1

2,4

0,3881-10-1

0,2144-10-1

0,1497-10-1

0,1187-10-'

2,5

0,3082-lO-i

0,1672-lO-i

0,1150-10-1

0,8992-10-"2

2,6

0,2424-10-1

0,1292-10-1

0,8760-10-2

0,6752-Ю-2

2,7

0,1888-10-1

0,9896-10-1

0,6613-10-2

0,5026- Ю-2

2,8

0,1457-10-1

0,7514-Ю-2

0,4949-Ю"2

0,3709-10-2

2.9

0,1113-10-1

0,5637-10-2

0,3670-10"2

0.2714-Ю-2

3,0

0,8427- 10—°

0,4241-Ю-2

0,2697-10-2

0.1967-Ю-2

3.1

0,6317-10-2

0,3000-io-2

0,1962-10-2

0,1422-Ю-2

3.2

0,4689-10-2

0,2188-10"-

0,1416-102

0,1014- Ю —

3,3

0,3447-10—

0J581-10-2

0,1012- Ю-2

0.7162-Ю-з

3.4

0,2509-10-2

0,1132-Ю-2

0,7167-Ю-з

0.5014-IO-3

3.5

0.180810-2

0,8019-Ю-з

0,5029-Ю-з

0,3479- Ю-з

d. 6

0,1290-10--

0.5629-Ю-з

0,3496- IO-3

0,2392-Ю-з

3.7

0,9114-10-3

0,3913-IO-»

0.2407- Ю-з

0,1629. Ю-з

3.8

0,6376-IO"3

0,2693-Ю-з

0,1642-Ю-3

0.1100- io-3

3.9

0,4416- IO-3

0,1835- Ю-з

0,1109-Ю-з

0.7358- Ю-!

4.0

0.3028-IO-3

0.1239-10-3

0,7423-10-1

0.4875-IO-4

а = 20

0.0

0,697!

0,6463

0,6930

0.8120

0,1

0,6604

0.5959

0,6251

0.7187

h

1 F«

ft

^3/2

0,2

0,6222

0,5465

0,5609

0,6329

0,3

0,5828

0,4984

0,5007

0,5544

0,4

0,5425

0,4519

0,4444

0,4830

0,5

0,5017

0,4072

0,3922

0,4184

0,6

0,4610

0,3648

0,3441

0,3604

0,7

0,4206

0,3246

0,3000

0,3086

0,8

0,3811

0,2870

0,2599

0,2626

0,9

0,3428

0,2520

0,2237

0,2220

1,0

0,3060

0,2197

0,1913

0,1866

1,1

0,2711

0,1902

0,1625

0,1557

1,2

0,2383

0,1635

0,1370

0,1291

1,3

0,2078

0,1394

0,1147

0,1063

1,4

0,1798

0,1180

0,9538- Ю-1

0,8688-IO-1

1,5

0,1542

0,9913-Ю"1

0,7871-IO"1

0,7052- IO"1

1,6

0,1312

0,826!- 10 1

0,6446-IO'1

0,5683-10-1

1,7

0,1107

0,6829- Ю-1

0,5238-IO-1

0,4545-IO-1

1,8

0,9257-10-1

0,5599-IO-1

0,4224-Ю-1

0,3608-IO"1

1,9

0,7675-IO"1

0,4553-IO-1

0,3379-Ю"1

0,2843-IO"1

2,0

0,6307-IO"1

0,3671-IO-1

0,2682- IO1

0,2222-Ю"1

2,1

0,5137-IO-1

0,2936-IO-1

0,2111-Ю-1

0,1723-IO-1

2,2

0,4147-Ю-1

0,2327-IO"1

0,1648- IO-1

0,1326-Ю-1

2,3

0,3318-Ю-1

0.1829-10-1

0,1276-Ю"1

0,1012-Ю-1

2,4

0,2630-IO"1

0,1425-IO"1

0,9800-10-2

0,7662-10-2

2,5

0,2066-IO-1

0,1101-Ю-1

0,7461-Ю-2

0,5753-10-2

2,6

0.1608-10-1

0,8426-IO"3

0,5632-Ю-2

0,4284-IO"2

2,7

0,1240-Ю-1

0,6391-IO-2

0,4215- Ю”2

0,3164-IO*3

2,8

0,9472-10-

0,4809-10-2

0,3127-IO"2

0,2316-IO-3

2,9

0,7168-Ю"2

0,3574-Ю-2

0,2300-10-2

0,1682- IO-3

3,0

0,5374-10-2

0,2667-10-2

0,1677-IO-2

0,1209-IO-2

3,1

0,3991-Ю-2

0,1866- Ю-2

0,1209-IO"2

0,8680-IO-3

3,2

0,2936-Ю-2

0,1350-IO"3

0,8657- Ю"2

0,6142-IO-3

3,3

0,2139-IO"2

0,9674-10-3

0,6141-Ю-з

0,4308-IO-3

3,4

0,1543-Ю-2

0,6868-IO"3

0,4317-Ю-з

0,2995- IO"3

3,5

о.ноз.ю-2

0,4830-IO"3

0,3007-IO-3

0,2064-10-3

3,6

0,7808-Ю-3

0,3365-10-3

0,2076-Ю-з

0,1410-10-3

3,7

0,5473-Ю-з

0,2322-IO"3

0,1419-Ю-з

0,9541-10-4

3,8

0,3800-Ю-з

0,1587- IO-3

0,9617-10~4

0,6399-10-4

3,9

0,2612-IO"3

0,1074-10-3

0,6455- Ю-«

0,4255-10-4

4,0

0,1779-10~3

0,7200-10-4

0,4292-10-4

0,2802-10-4

a = 30

0,0

0,6621

0,6004

0,6328

0,7309

0,1

0,6242

0,5511

0,5685

0,6444

0,2

0,5851

0,5031

0,5080

0,5652

0,3

0,5452

0,4567

0,4515

0,4931

0,4

0,5048

0,4121

0,3990

0,4278

0,5

0,4643

0,3696

0,3505

0,3691

0,6

0,4242

0,3294

0,3061

0,3165

0,7

0,3849

0,2917

0,2656

0,2698

0,8

0,3468

0,2565

0,2291

0,2286

0,9

0,3101

0,2241

0,1962

0,1924

1,0

0,2752

0,1944

0,1670

0,1609

1,1

0,2424

0,1674

0,1411

0,1337

1,2

0,2118

0,1431

0,1184

0,1103

h

1^1/2

^3/2

1,3

0,1836

0,1214

0,9869-10-1

0,9043-10-1

1,4

0,1579

0,1022

0,816410-1

0,7359-10-1

1,5

0,1347

0,8537-10-1

0,6703-10-1

0,5945- 10-1

1,6

0,1139

0,7076-10-1

0,5462-10-1

0,4769-10-1

1 Л

0,9552-10-1

0,5818-10-1

0,4417-10-1

0,3796-10-1

1,8

0,7942-10-1

0,4745-10-1

0,3544-10"!

0,3000-10-1

1,9

0,6547-10-1

0,3838-10-1

0,2821- 10-1

0,2352-10-1

2,0

0,5349-10-1

0,3079-10-1

0,2228-10-1

0,1830-10-1

2,1

0,4333-10-1

0,2449-10-1

0,1745-10-1

0,1413-10-1

2,2

0,347810-1

0,1931-10-1

0,1356-10-1

0,1082-10-1

2,3

0,2767-10-1

0,1510-10-1

0,1045- 10-1

0,8222- 10-1

2,4

0,2181-10-1

0,1170-10-1

0.7985-10-2

0,6197-10-2

2,5

0,1704-10-1

0,8994-10-2

0,6050-10-2

0,4632-10-2

2,6

0,1319-10-1

0,6850-10-2

0,4546-10-2

0,3434- 10-2

2,7

0,1012-10-1

0,5171-10-2

0,3386-10-2

0,2524-IO-2

2,8

0,7689-ю-2

0,3871-10-2

0,2501-10-2

0,1840- 10-2

2,9

0,5789-10-2

0,2863-10-2

0,1831-10-2

0,1330-10-2

3,0

0,4318-10-2

0,2127-IO"2

0,1329- IO-2

0,9522- 10-3

3,1

0,3191-10-2

0,1479-10-2

0,9540- Ю-з

0,6810- 10"3

3,2

0,2336-10-2

0,1065-10-2

0,6799- Ю-з

0,4799- 10-3

3,3

0,1693-10-2

0,7599-Ю-з

0,4803-Ю-з

0,3352- 10-3

3,4

0,1216-10-2

0,5371-Ю-з

0,3362-Ю-з

0,2321 -10-3

3,5

0,8652-Ю-3

0,3760- IO-3

0,2332- Ю-з

0,1593-10-®

3,6

0,6097- Ю-з

0,2608- IO-3

0,1603- Ю-з

0,1084-1О-3

3,7

0,4255 IO-3

0,1792-Ю-з

0,1092-Ю-з

0,7307- IO-4-

3,8

0,2941-10-3

0,1220-Ю-з

0,7367-10-1

0,4882-IO-4

3,9

0,2013-Ю-з

0,8221-10-1

0,4925-10-»

0,3234-10-4

4,0

0,1365-IO-3

0,5490-10-1

0,3263-10-4

0,2122- 10-4-

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1,1 1,2 1,3

0,6409 0,6024 0,5630 0,5229 0,4825 0,4424 0,4028 0,3642 0,3270 0,2913 0,2577 0,2261 0,1969 0,1701

а = 4

0,5735

0,5250

0,4779

0,4326

0,3892

0,3480

0,3092

0,2729

0,2393

0,2084

0,1801

0,1546

0,1317

0,Ш4

0

0,5983

0,5361

0,4778

0,4235

0,3732

0,3270

0,2847

0,2464

0,2119

0,1810

0,1535

0,1294

0,1082

0,8990- 10-1

0,6850

0,6025

0,5272

0,4587

0,3970

0,3415

0,2921

0,2483

0,2098

0,1761

0,1469

0,1217

0,1001

0,8182-10-1

1,4

0,1457

0,9347.10"!

0,7413-10-1

0,6039-10-1

1,5

0,8238

0,7782-10-1

0,6067- Ю-1

0,5348-10-1

1,6

0,1043

0,6429-10-1

0,4929- Ю-1

0,4277- 10-1

1,7

0,8717-10-1

0,5268-10-1

0,3973- Ю-1

0,3395-10-1

1,8

0,7222-10-1

0,4282-10-1

0,3178-10-1

0,2674-10-1

1,9

0,5931-10-1

0,3452-10-1

0,2522-10-1

0,2091-10-1

2,0

0,4829-10-1

0,2760-10-1

0,1985-10-1

0,1622-10-1

2,1

0,3897-10-1

0,2188-10-1

0,1550- 10-1

0,1249-10-1

2,2

0,3117-10-1