Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий задачник-практикум, предназначаемый для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов, составлен в соответствии с программой курса «Алгебра и теория чисел» и охватывает разделы: «Делимость целых чисел», «Делимость в кольцах», «Теория сравнений». В целом он ориентирован на учебное пособие «Алгебра и теория чисел».
С учетом специфики заочного обучения многие примеры даются с подробными решениями. Большое количество однотипных упражнений по всем узловым темам позволяет выработать у студентов необходимые практические навыки, дает возможность преподавателям составлять межсессионные задания и проводить контрольные работы, примерные варианты которых, включающие соответствующие номера упражнений из задачника, приводятся в приложении. Здесь же дается образец решения нулевого варианта. Задачник снабжен также таблицами простых чисел и индексов.
Глава I.ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Пример 1. Найдем НОД и НО К для чисел 2346, 646.
Решение. 1-й способ. Применим способ последовательного деления, называемый алгоритмом Евклида. В данном случае будем иметь:
23461 646
19381—
_ 6461 4084081т-
_ 408 238
_ 238170 170 Л- _ 1701 68 13б|— 681 34 68|Т" 0_ 238170 170 Л- _ 1701 68 13б|— 681 34 68|Т" 0238 —
_ 238170 170 Л- _ 1701 68 13б|— 681 34 68|Т" 0
_ 238170 170 Л- _ 1701 68 13б|— 681 34 68|Т" 0
Последний отличный от нуля остаток равен 34, следовательно, (2346, 646) = 34.
НОК находим по формуле [а, 6] = ---—. В данном случае
[2346, 646]= 55111^ = 44 574.
2-й способ. Используем разложение данных чисел на простые множители:
2346 = 2 • 1173 = 2 • 3 • 391 = 2 • 3 • 17 • 23,
646 = 2 • 323 = 2 • 17 • 19,(2346, 646) = 2 • 17 = 34,[2346, 646] = 2 • 3 • 17 • 23 • 19 = 44 574.
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите НОД и НОК следующих чисел:
1. 1232, 1672.135, 8211.589, 343.29 719, 76 501.469 459, 519 203.179 370 199, 4 345 121.12 870, 7650.3640, 14 300.7650, 25 245.35 574, 192 423.10 140, 92 274.46 550, 37 730.1. 1232, 1672.135, 8211.589, 343.29 719, 76 501.469 459, 519 203.179 370 199, 4 345 121.12 870, 7650.3640, 14 300.7650, 25 245.35 574, 192 423.10 140, 92 274.46 550, 37 730.132, 21.549, 387.12 606, 6494.162 891, 32 176.738 089, 3 082 607.3 327 449, 6 314 153.41 382, 103 818.24 700, 33 250.56 595, 82 467.20. 25 245, 129 591.36 372, 147 220.24. 1403, 1058.132, 21.549, 387.12 606, 6494.162 891, 32 176.738 089, 3 082 607.3 327 449, 6 314 153.41 382, 103 818.24 700, 33 250.56 595, 82 467.20. 25 245, 129 591.36 372, 147 220.24. 1403, 1058.
1. 1232, 1672.
135, 8211.
589, 343.
29 719, 76 501.
469 459, 519 203.
179 370 199, 4 345 121.
12 870, 7650.
3640, 14 300.
7650, 25 245.
35 574, 192 423.
10 140, 92 274.
46 550, 37 730.
1. 1232, 1672.
135, 8211.
589, 343.
29 719, 76 501.
469 459, 519 203.
179 370 199, 4 345 121.
12 870, 7650.
3640, 14 300.
7650, 25 245.
35 574, 192 423.
10 140, 92 274.
46 550, 37 730.
132, 21.
549, 387.
12 606, 6494.
162 891, 32 176.
738 089, 3 082 607.
3 327 449, 6 314 153.
41 382, 103 818.
24 700, 33 250.
56 595, 82 467.
20. 25 245, 129 591.
36 372, 147 220.
24. 1403, 1058.
132, 21.
549, 387.
12 606, 6494.
162 891, 32 176.
738 089, 3 082 607.
3 327 449, 6 314 153.
41 382, 103 818.
24 700, 33 250.
56 595, 82 467.
20. 25 245, 129 591.
36 372, 147 220.
24. 1403, 1058.
Найдите НОД для следующих трех чисел:
420, 126, 525.67 283, 122 433, 221 703.738 089, 3 082 607, 28303937.476, 1258, 21 114.572, 5746, 1118.1073,3683,34 481.988, 2014, 42 598.874, 1518, 20 142.1253, 252, 406.420, 126, 525.67 283, 122 433, 221 703.738 089, 3 082 607, 28303937.476, 1258, 21 114.572, 5746, 1118.1073,3683,34 481.988, 2014, 42 598.874, 1518, 20 142.1253, 252, 406.529, 1541, 1817.549 493, 863 489, 2 133 125.1767, 2223, 11 913.3445, 4225, 5915.34. 19 074, 13 566, 8211.1012, 1474, 4598.2585, 7975, 13 915.40. 2227,9911,952.42. 2743, 3587, 6963.529, 1541, 1817.549 493, 863 489, 2 133 125.1767, 2223, 11 913.3445, 4225, 5915.34. 19 074, 13 566, 8211.1012, 1474, 4598.2585, 7975, 13 915.40. 2227,9911,952.42. 2743, 3587, 6963.
420, 126, 525.
67 283, 122 433, 221 703.
738 089, 3 082 607, 28303937.
476, 1258, 21 114.
572, 5746, 1118.
1073,3683,34 481.
988, 2014, 42 598.
874, 1518, 20 142.
1253, 252, 406.
420, 126, 525.
67 283, 122 433, 221 703.
738 089, 3 082 607, 28303937.
476, 1258, 21 114.
572, 5746, 1118.
1073,3683,34 481.
988, 2014, 42 598.
874, 1518, 20 142.
1253, 252, 406.
529, 1541, 1817.
549 493, 863 489, 2 133 125.
1767, 2223, 11 913.
3445, 4225, 5915.
34. 19 074, 13 566, 8211.
1012, 1474, 4598.
2585, 7975, 13 915.
40. 2227,9911,952.
42. 2743, 3587, 6963.
529, 1541, 1817.
549 493, 863 489, 2 133 125.
1767, 2223, 11 913.
3445, 4225, 5915.
34. 19 074, 13 566, 8211.
1012, 1474, 4598.
2585, 7975, 13 915.
40. 2227,9911,952.
42. 2743, 3587, 6963.
Сократите следующие дроби:
43. *™.
лл 1491
44. .
237419
45. .
46. 1®.
11137
2247
294817
406
4? 438875
ло 127936
49. 2227.
-л 22243
747843*
161919
9911
23777
2405
52. 3-^7.
3653
Do. .
4433
2743
3107
§ 2. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Пример 1. Запишем числа а = 64678, b = 1013 в системе счисления с основанием g = 5 и разделим большее на меньшее с остатком.
Решение. 5 = 123.
552 Заказ 745
5
5
_64678 |5
51244 15
IL 33 15 L_b|L 2 5 1 0IL 33 15 L_b|L 2 5 1 0_1412207~
IL 33 15 L_b|L 2 5 1 0
IL 33 15 L_b|L 2 5 1 0
12 _4417
_2643~17—
24117
27-—n
a = 64678 = 102 0136.
_1013|12$
101 0 b = 1013 = 206.
_1020136I206
402323в
120
— j Jo=> 102 0136 = 208 • 23236 + 3.
"Toi
40
_ттз
' H°Ответ, a = 1020136, b = 20„
3102 013. = 20B. 2323. + 3B.
Пример 2. Выразим систематические дроби в виде обыкновенных дробей, числители и знаменатели которых записаны в десятичной системе: а) 2,34; б) 0,046; в) 2,0123.
Решение, а) 2,3. = 2-f- — = —;
'444
0,046 = 0 + — + — = -;
/ » о 55225
2,012,-2+°+-L + -2-- 54+° + 3 + 2
'’8I з I 32 I Зз2727
Пример 3. Запишем данные систематические дроби в виде обыкновенных в той же системе счисления: а) 0,04.; б) 2,34; в) 2,0123.
йо),= (й),;
2.3, - № ; в) 2,012, - /—) . \Ю/4 \Ю00/з
Пример 4. Запишем данные систематические дроби в виде обыкновенных в той же системе счисления: а) 0,0(2)4; б) 0,1 (4)7; в) 0,(23)..
Пример 5. Представим обыкновенные дроби в виде систе- .ч 137/17\. /10\
магических в той же системе счисления: а)—; б) — : в) — ] .
40U0/8\8/12
Решение.
а) _ 137 140120 3.425_ 170160100802002000— = 3,425.40а) _ 137 140120 3.425_ 170160100802002000— = 3,425.40б) 178|40_ 170 0,36.140_3003000-) =0,36..40/8’ 8б) 178|40_ 170 0,36.140_3003000-) =0,36..40/8’ 8В) _ Ю12 8A i.6M_40400В) _ Ю12 8A i.6M_40400/ЮХWu/ЮХWu= 1,6И.= 1,6И.
а) _ 137 140
120 3.425
_ 170
160
100
80
200
2000
— = 3,425.
40
а) _ 137 140
120 3.425
_ 170
160
100
80
200
2000
— = 3,425.
40
б) 178|40
_ 170 0,36.
140
_300300
0
-) =0,36..
40/8’ 8
б) 178|40
_ 170 0,36.
140
_300300
0
-) =0,36..
40/8’ 8
В) _ Ю12 8A i.6M_40
400
В) _ Ю12 8A i.6M_40
400
/ЮХ
Wu
/ЮХ
Wu
= 1,6И.
= 1,6И.
Пример 6. Разложим обыкновенные дроби в систематическиев той же системе счисления: а) (4-1 ; б) f—; в) (—V\5/ii W 'U/,Пример 6. Разложим обыкновенные дроби в систематическиев той же системе счисления: а) (4-1 ; б) f—; в) (—V\5/ii W 'U/,Решение.Решение.нельзя разложить в конечную инельзя разложить в конечную исистематическую, так как число 5 не входит в качестве множителя в состав числа 11—основания системы счисления. Поскольку (5, 11) = 1, то получится чисто периодическая систематическаясистематическую, так как число 5 не входит в качестве множителя в состав числа 11—основания системы счисления. Поскольку (5, 11) = 1, то получится чисто периодическая систематическаядробь:дробь:Зц|5 30 0,66... 2830Зц|5 30 0,66... 2830|).. = 0,(6)й.5 /и|).. = 0,(6)й.5 /иб) Так как 124 = 34 • 24, (3, 4) = 1, (2, 4) = 2, то при разложении данной дроби получится смешанная периодическая систематическая дробь:б) Так как 124 = 34 • 24, (3, 4) = 1, (2, 4) = 2, то при разложении данной дроби получится смешанная периодическая систематическая дробь:114 112, _ ПО 0,311...102114 112, _ ПО 0,311...102— 201220— 201220т- е. (^) = 0,3(1),.Vz/4т- е. (^) = 0,3(1),.Vz/4
Пример 6. Разложим обыкновенные дроби в систематическиев той же системе счисления: а) (4-1 ; б) f—; в) (—V\5/ii W 'U/,
Пример 6. Разложим обыкновенные дроби в систематическиев той же системе счисления: а) (4-1 ; б) f—; в) (—V\5/ii W 'U/,
Решение.
Решение.
нельзя разложить в конечную и
нельзя разложить в конечную и
систематическую, так как число 5 не входит в качестве множителя в состав числа 11—основания системы счисления. Поскольку (5, 11) = 1, то получится чисто периодическая систематическая
систематическую, так как число 5 не входит в качестве множителя в состав числа 11—основания системы счисления. Поскольку (5, 11) = 1, то получится чисто периодическая систематическая
дробь:
дробь:
Зц|5 30 0,66... 28
30
Зц|5 30 0,66... 28
30
|).. = 0,(6)й.
5 /и
|).. = 0,(6)й.
5 /и
б) Так как 124 = 34 • 24, (3, 4) = 1, (2, 4) = 2, то при разложении данной дроби получится смешанная периодическая систематическая дробь:
б) Так как 124 = 34 • 24, (3, 4) = 1, (2, 4) = 2, то при разложении данной дроби получится смешанная периодическая систематическая дробь:
114 112, _ ПО 0,311...
102
114 112, _ ПО 0,311...
102
— 20
12
20
— 20
12
20
т- е. (^) = 0,3(1),.
Vz/4
т- е. (^) = 0,3(1),.
Vz/4
в) Так как (2, 3) = 1, то при разложении данной дроби получится чисто периодическая систематическая дробь:
— 10 0,11...
2
10
упражнения для самостоятельного решения
Запишите числа а и о в системе счисления с основанием g и раз делите большее на меньшее:а = 18 536, b = 430, g = 7. 55. а = 1213, b = 47319, g=8а = 1012 , 6 = 14 3206, g = 3. 57. а = 121я, b = 5378, g = 12Запишите числа а и о в системе счисления с основанием g и раз делите большее на меньшее:а = 18 536, b = 430, g = 7. 55. а = 1213, b = 47319, g=8а = 1012 , 6 = 14 3206, g = 3. 57. а = 121я, b = 5378, g = 12а = 16537, b = 201, g = 4.а = 15, b = 35718, g = 11.а = 1324, b = 4436, g = 2.а = 201 з, Ь= 6514,, g = 5.а = 136, b = 2632, g = 7.68. а = 1112, b = 35467, g = 4а = 16537, b = 201, g = 4.а = 15, b = 35718, g = 11.а = 1324, b = 4436, g = 2.а = 201 з, Ь= 6514,, g = 5.а = 136, b = 2632, g = 7.68. а = 1112, b = 35467, g = 4а = 37459, b = 405, g =■ 6.а=1324, b=1643„g=5.а=43216,b= 13,g=8.а=73568,b= 244,g=5.а=1012, 6=3542„g—3.а = 201 з, 6=13 7658, g= 4.а = 37459, b = 405, g =■ 6.а=1324, b=1643„g=5.а=43216,b= 13,g=8.а=73568,b= 244,g=5.а=1012, 6=3542„g—3.а = 201 з, 6=13 7658, g= 4.
Запишите числа а и о в системе счисления с основанием g и раз делите большее на меньшее:
а = 18 536, b = 430, g = 7. 55. а = 1213, b = 47319, g=8
а = 1012 , 6 = 14 3206, g = 3. 57. а = 121я, b = 5378, g = 12
Запишите числа а и о в системе счисления с основанием g и раз делите большее на меньшее:
а = 18 536, b = 430, g = 7. 55. а = 1213, b = 47319, g=8
а = 1012 , 6 = 14 3206, g = 3. 57. а = 121я, b = 5378, g = 12
а = 16537, b = 201, g = 4.
а = 15, b = 35718, g = 11.
а = 1324, b = 4436, g = 2.
а = 201 з, Ь= 6514,, g = 5.
а = 136, b = 2632, g = 7.
68. а = 1112, b = 35467, g = 4
а = 16537, b = 201, g = 4.
а = 15, b = 35718, g = 11.
а = 1324, b = 4436, g = 2.
а = 201 з, Ь= 6514,, g = 5.
а = 136, b = 2632, g = 7.
68. а = 1112, b = 35467, g = 4
а = 37459, b = 405, g =■ 6.
а=1324, b=1643„g=5.
а=43216,b= 13,g=8.
а=73568,b= 244,g=5.
а=1012, 6=3542„g—3.
а = 201 з, 6=13 7658, g= 4.
а = 37459, b = 405, g =■ 6.
а=1324, b=1643„g=5.
а=43216,b= 13,g=8.
а=73568,b= 244,g=5.
а=1012, 6=3542„g—3.
а = 201 з, 6=13 7658, g= 4.
Выразите систематические дроби в виде обыкновенных дробей, числители и знаменатели которых записаны в десятичной системе:
а) 2,1148;б) 35,13,;в) 2,224,;г) 3,2016;
д) 5.442,;е) 4,5218;ж) 7,742е;з) 4,234,;
и) 74,138; к) 0,64678.
Запишите данные систематические дроби в виде обыкновенных дробей в той же системе счисления:
а) 2,1148;б) 35,13,;в) 2,224,;г) 3,2016;
д) 5,442,;е) 4,5218;ж) 7,7429;з) 4,234,;
и) 74,138; к) 0,64678.
а) 1,1(6);б) 4,2(3)6;в) 2,1 (2),;г) 1,1 (2)3;
д) 0,3(2)4;е) 32,14(2)5;ж) 2,10 (3)6;з) 0,7(4)8;
и) 3,1(42)5; к) 5,01(3),.
Представьте обыкновенные дробиПредставьте обыкновенные дробив виде систематических в тойв виде систематических в той73. a) f—\юоу'зб)/311 \ . мОООД’\ 30 ?*6е)Мб’х /103^ и,и7к)1320*74. a) ff’ \20?'зб)кзол73. a) f—\юоу'зб)/311 \ . мОООД’\ 30 ?*6е)Мб’х /103^ и,и7к)1320*74. a) ff’ \20?'зб)кзолже системе счисления:же системе счисления:
Представьте обыкновенные дроби
Представьте обыкновенные дроби
в виде систематических в той
в виде систематических в той
73. a) f—
\юоу
'з
б)
/311 \ . мОООД’
\ 30 ?
*6
е)
Мб’
х /103^ и,и
7
к)
13
20*
74. a) ff’ \20?
'з
б)
кзол
73. a) f—
\юоу
'з
б)
/311 \ . мОООД’
\ 30 ?
*6
е)
Мб’
х /103^ и,и
7
к)
13
20*
74. a) ff’ \20?
'з
б)
кзол
же системе счисления:
же системе счисления:
/24\ .. /2012\ .U/e’ Ж ПоооД’/24\ .. /2012\ .U/e’ Ж ПоооД’
/24\ .. /2012\ .
U/e’ Ж ПоооД’
/24\ .. /2012\ .
U/e’ Ж ПоооД’
§ 3. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Пример 1. Представим в виде цепной дроби следующее 539 действительное число: —.
Решение. Всякое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби. В данном примере имеем:
_ 5391103515 5_ 103 12496 |Г24] у
_ 3 I 1 з_Гз о
т. е. — = 5 +? [5; 4,3, 2, 31.
1031L >> > • J
1
+ 1
При решении практических задач часто требуется заменить иррациональное число рациональной дробью с определенной степенью точности или одну рациональную дробь другой, более простой. Для этих целей удобны подходящие дроби.
Если число а разложено в цепную дробь [а0, а^ аг, ...], а
Рд^й+iс
_^_ и _«+i — две соседние подходящие дроби, то верно следую- Чкчы
щее неравенство:
а _ Рд I <1
Qa I QaQa+i
Пример 2. Разложим в цепную дробь и заменим подходя- 2517 щей дробью с точностью до 0,001 число.
25172517
Решение. Представим -^- в виде цепной дроби: — = [3;
3, 1, 9, 2, 2, 1, 2].
Составим таблицу значений числителей и знаменателей подходящих дробей:
^о _ ао — А- £< = 5WH12 — !?•^5 = ahPk—i + ^*—2
Qo 11 Q1 °13Qj, OfcQk—1 + Q*—2
N012
3
4567
аА331
9
2212
Рк31013
127
2676619282517
Qk134
39
82203285773
2517 _ 127 2517127
773 ~ 39 ’77339
Ответ. — = [3; 3, 1, 9, 2, !
773
1 _ 1 < 39 • 823198’
1 1 21; 2517127.
* * J 77339
Пример 3. Разложим в цепную дробь и заменим подходящей дробью с точностью до 0,001 число V5.
Решение. По теореме Лагранжа всякая квадратичная иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь. Нахождение неполных частных а0, аь ... цепной дроби [а0, аь о2, ...] связано с процессом выделения целой части числа. Получаем:
Замечаем, что at = a2, следовательно, неполные частные, начиная с 01, будут повторяться и Кб = [2; (4)] (число 4 в периоде). В развернутом виде полученная цепная дробь имеет вид:
5 = 2 +
4+—4-
4 + —— 4+„.
Составим таблицу подходящих дробей:
N
0
1
2
3
^А
2
4
4
4
Рк
2
9
38
...
Qk
1
4
17
72
3817'3817'3817*3817*Р 38
38
17'
38
17'
38
17*
38
17*
В частности, — = —, 17 17’
Ответ. К5 = [2;(4)];
Пример 4. Найдем действительное число а, которое обращается в цепную дробь [2; 3, 2, 2, 1, 2].
Решение. [2; 3, 2, 2, 1,2] — конечная цепная дробь, следовательно, ее значение есть рациональное число а.
Составим таблицу подходящих дробей:
N
0
1
2
3
4
5
“k
2
3
2
2
1
2
Рк
2
7
16
39
55
149
Qu
1
3
7
17
24
65
Последняя подходящая дробь совпадает со значением цепной дроби.
~149
Ответ, a = —.
65
Пример 5. Найдем действительное число а, которое обращается в цепную дробь [(1; 3)].
Решение. [(1; 3)] — чисто периодическая цепная дробь:
a = 1 +a = 1 +1
a = 1 +
a = 1 +
з+—ц1+о—
Так как выражение, начинающееся с третьего неполного частного 1, имеет тот же вид:
3-+3-+
3-+
3-+
aЗое—|— 1aЗое—|— 1то мы, очевидно, можем записать:
a
Зое—|— 1
a
Зое—|— 1
а = [1; 3, а] = 1 + ——
4 + -а
после чего приходим к квадратному уравнению относительно искомого а:
За2 — За — 1 = О, а112 = ^р1- Положительное решение и есть искомое а.
Ответ. [(1; З)]^3^21 .
6
Пример 6. Найдем действительное число а, которое обращается в цепную дробь [5; (1, 3)].
Решение. [5; (1, 3)] — смешанная периодическая цепная дробь.
а = 5 -1
т. е. а = 5 + —, где х = [(1, 3)]. Из предыдущей задачи х =
3 + УТ\ = ——7—, следовательно, 6
а = 5+=5 + - 6_ = 21+5Д 3 + /213+/213 + /212
6
Ответ. 2.
Пример 7. Решим в целых числах уравнение 142х + 82у=6.
Решение. (142,82) = 2; 6 • 2, следовательно, уравнение имеет решение.
Данное уравнение равносильно уравнению 71х + 41у = 3.
Разложим в цепную дробь:
— = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2].
Составим все подходящие дроби:
^0 = A. Pt=L ^ = 1- ^=L ^4^29. Р5 = 26. Р« = 71
Qo 1 ’ Qi 1 ’ <2а3’ Q8 4 ’ Q4 1Г Q6 15’ Qe 41"
На основании свойства подходящих дробей
Pk-i Qk-PkQk-i-^ft
получим:
26-41—71 • 15 = (—l)6 или 71 -(—15) + 41 • 26 = 1.
Умножив обе части равенства на 3, находим:
71 • (—45) + 41 • (78) = 3,
т. е. х0 = —45, Уо = 78 — частное решение данного уравнения.
12
Все решения могут быть найдены по формулам:
х = — 4 + 41/, у = 7 — 71/,х = — 4 + 41/, у = 7 — 71/,х = -45 + 41/, или у = 78-71/, ИЛИ
х = — 4 + 41/, у = 7 — 71/,
х = — 4 + 41/, у = 7 — 71/,
где / принимает любые целые значения.
Пример 8. Транспортной организации, имеющей грузовые автомашины грузоподъемностью 3,5 и 4,5 т, предложено перевезти 53 т груза. Определим, сколько грузовых автомашин того и другого типа должен выделить диспетчер транспортной организации для перевозки указанного груза одним рейсом при условии полного использования грузоподъемности всех выделенных автомашин.
Решение. Пусть х — число выделяемых машин грузоподъемностью 3,5 т, у — число выделяемых машин грузоподъемностью 4,5 т. Для получения ответа нужно решить уравнение
3,5х + 4,5у = 53,
т. е.
35х + 45у = 530,
в целых числах с учетом того, что х ^ 0, у ^ 0. Уравнение (1) равносильно уравнению 7х + 9у = 106.
1 = [0; 1, 3, 2].
Подсчитаем подходящие дроби (см. пример 2):
N0123
at0132
Pt0137
Ql1149
По свойству 2 подходящих дробей
3 -9 — 4 • 7 = —1=> 7 • 4 — 9 • 3 = 1 => => 7 • (4 • 106) + 9 (—3 • 106) = 106 =^ у0 = 1.3 ^
Решениями уравнения будут:
х = 4 • 106 + 9/, у = — 3 • 106 — 7/,
где / — любое целое число.
t> — 47-1, 9— 45~ 7t> — 47-1, 9— 45~ 7Теперь из всех решений выберем неотрицательные:
t> — 47-1, 9
— 45~ 7
t> — 47-1, 9
— 45~ 7
1 4.106 + 9/>0, (_3.106 —7/>0,
Учитывая, что t — целое число, получим: tt = —46, t2 = —47. При /1 Xi = 10, у! = 4; при ta х2 = 1, у2 = Ц.
Ответ. Автомашины можно выделить двумя способами: 1) 10 автомашин грузоподъемностью 3,5 т, 4 автомашины грузоподъемностью 4,5 т или 2) 1 автомашину грузоподъемностью 3,5 т и 11 автомашин грузоподъемностью 4,5 т.
,24. 2 + ^= .3,24. 2 + ^= .3Упражнения для самостоятельного решения
,24. 2 + ^= .
3
,24. 2 + ^= .
3
Представьте в виде цепных дробей:
75.—.
17
76. “77. -
27963
78. -.
67
79. 3Д
37
80.——.81.—.
552
82. -.
35
83. 1,23.
84. ”.85.
41225
36. ™. 1001
87. 3Л
824
88. 0,459.89. —.
577
90. 8Л
576
91. 0,75.
92. 25.93. — —.
30117
94. 7,11.
95. 0,455.
96. — —.97. —
764121
.98. 0,907.
Разложите в цепную дробь и замените подходящей дробью с точностью до 0,001 следующие числа:
99. /3.100. /27.Ю1. /ПГ.
103. /123.104. /150.105. /2Т.
107. /29.108. /32.109. /73.
102. /44.
106. /99. ПО. /75.
111./48.112./59.113. /80.
114. 5521.
382
115,—.116.—.117./7.
220855
118. /41.
119. /59.120. /15.121. /ТТ.
122. 2_+уТ 2
123. 5—/15.
Найдите действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:
[2;1,3, 4, 1, 2].126.[0; 3, 1, 2, 7].
[2;1,1, 6, 8].128.[—1; 1, 2, 4, 5].
[0;1,4, 3, 2].130.[—3; 1, 1, 2].
131. [—2; 1, 3, 4, 2].
132. [3; 1, 4, 2, 5].
133. [0; 4, 1, 3, 2, 5].
134. [2; 3, 1, 4].
135. [—2; 1, 30, 2].
136. [1; 2, 3, 4, 2].
137. [4; (3, 2, 1)].
138. [(1; 2, 3)].
139. [(2; 1)].
140. [4; (2, 8)]
141. [3; (3,6)].
142. [(1, 2)].
143. Г1; (1, 2)].
144. [1; (2, 2, 2, 1, 12, 1)].
145. [1; 7, (1, 6)].
146. [3; (5, 2, 1, 2)].
147. [(2, 3)].
148. [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2].
149. [0; 1, (2)].
150. [2; 4 (1)].
151. [2; 1, (3)].
152. [1; 1, (2, 3)].
153. [5; (2, 1)].
154. [4; (3, 1)].
155. [(7, 2, 3)].
156. [1; (3, 2)].
157. [3; (3, 2)].
158. [5; (6, 1)].
159. [—2; (3, 2)].
160. [—1; (1, 2)].
161. [3; (1, 3)].
162. [0; (4, 2)].
Решите в целых числах следующие уравнения:
163.
143х + 169у = 5.
164.
237х + 44у =
= 1.
165.
275х + 145у = 10.
166.
439х + П8у
= 3.
167.
1256х + 847у = 119.
168.
Зх + 8у = 5
169.
2х + 5у = 7.
170.
42х + 31у =
67.
171.
23х + 49у = 53.
172.
5х + 28у =
59.
173.
12х + 7у = 41.
174.
9х + 17у =
105.
175.
35х — 37у = 12.
176.
4х — 14у =
7.
177.
7х — 12у = 15.
178.
12х — 7у =
29.
179.
8х — 13у = 63.
180.
7х —- 19у =
23.
181.
39х — 22у = 10.
182.
43х + 37у =
: 21.
183.
122х + 129у = 2.
184.
258х — 172у
= 56.
185.
Зх + 4у = 13.
186.
26х + 34у =
= 13.
187.
45х — 37у = 25.
188.
17х — 25у =
= 117.
189.
81х — 48у = 33.
190.
53х + 47у =
= И.
191.
70х + ЗЗу = 1.
192.
60х — 91у =
: 2.
Решите задачи
Для перевозки зерна имеются мешки по 60 и 80 кг. Сколько нужно тех и других мешков для перевозки 440 кг зерна?
Сколько билетов стоимостью 30 и 50 коп. можно купить на 14 руб. 90 коп.?
Детский сад выделил 33 руб. для приобретения стульев стоимостью по 1 руб. 40 коп. и табуреток по 60 коп. Сколько следует купить стульев и табуреток, чтобы полностью израсходовать отпущенную сумму денег?
Туристское бюро, имеющее в своем распоряжении двадцатитрехместные автобусы и шестиместные легковые автомобили, организует экскурсионную поездку для 310 туристов. Сколько машин того и другого типа следует выделить для экскурсантов при
условии, что в выделенных автомашинах не должно оставаться свободных мест?
Шахматная база парка культуры и отдыха приобрела некоторое количество комплектов шахмат и шашек на 62 руб. Комплект шахмат стоит 4 руб. 60 коп, а шашек — 1 руб. 90 коп. Сколько комплектов шахмат и шашек было закуплено базой?
Требуется найти два натуральных числа, каждое из которых не превышает 200, причем таких, что разность между ними равна 11, уменьшаемое кратно 9, а вычитаемое кратно 17.
Сколько потребуется сосудов емкостью по 0,5 и по 0,8 л для разлива 12 л жидкости так, чтобы все взятые сосуды были наполнены?
Для проведения эстафеты по бегу требуется разделить дистанцию в 6,7 км на участки размером по 175 м для женщин и по ЗбО м для мужчин. Из скольких спортсменов, как мужчин, так и женщин, должны состоять команды, участвующие в эстафете?
В населенный пункт, с которым установлено лишь авиационное сообщение, требуется доставить 150 контейнеров груза. В распоряжении отправителей имеются транспортные самолеты грузоподъемностью соответственно в 8 и 13 контейнеров. Сколько понадобится самолетов того и другого типа для того, чтобы перевезти указанный груз одним рейсом? Грузоподъемность каждого самолета должна быть использована полностью.
На обработку каждой из деталей типов Л и Б токарь затрачивает соответственно 43 и 12,5 мин. Сколько деталей типа Л и Б обработает токарь в течение семичасового рабочего дня? Рабочее время должно быть использовано полностью.
7цх
При каких целых числах выражениеравно такому целому положительному числу, при делении которого на 4 получается остаток, равный 3?
Найдите общий вид чисел, кратных 8, которые при делении на 5 дают в остатке 3.
Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе — 17.
Товарные вагоны с грузом типов А и Б весят соответственно 27 и 43 т. Сколько вагонов, груженных товарами Л и Б, потребуется для формирования товарного состава весом 1800 т?
Из имеющихся резисторов сопротивлением по 1,2 и 1,7 Ом требуется составить последовательным соединением цепь сопротивлением 11,1 Ом. Сколько резисторов того и другого типа потребуется?
Сколькими способами можно уплатить 200 руб., имея денежные купюры по 3 и 5 руб.?
Глава И.
КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ
Отметим некоторые обозначения, используемые в этой главе: N, Z, Q, R, С — множества соответственно натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел.
А X В — декартово произведение множеств Л и В, т. е. множество всех упорядоченных пар (а, Ь^ где а С А, b £ В. f : А-^В— отображение множества А в множество В. F И — кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами из F.
F [*, у] — кольцо многочленов от двух переменных х и у с коэффициентами из F.
nZ — множество целых чисел, кратных п.
Zn — кольцо классов вычетов по модулю п.
§ 1. КОЛЬЦА
Пример 1. Кольцом или полем является множество комплексных чисел вида а + bi, где а 6 Z, b 5 Z (Z [t])?
Решение, (а + bi) ± (а^ + bx i) = (а ± а^ + (b ± b^ i,(а + Ы) • («i + bi i) = (асц — bb^ + (abi + aib) i.
При целых рациональных a, b, a^ bx правые части написанных формул, очевидно, являются целыми комплексными числами, чего нельзя сказать о частном:
а + bi (а + bi) (дх — bxi) аах + ЬЬг . ахЬ — abx . ai + bital + blal + bl al + bli iaa^ 4- bbiцелых рациональных a, b, av bY выражения ——-, af+6fа + bi (а + bi) (дх — bxi) аах + ЬЬг . ахЬ — abx . ai + bital + blal + bl al + bli iaa^ 4- bbiцелых рациональных a, b, av bY выражения ——-, af+6fтак как притак как приaxb — abxal + blaxb — abxal + bl(или(или
а + bi (а + bi) (дх — bxi) аах + ЬЬг . ахЬ — abx . ai + bital + blal + bl al + bl
i iaa^ 4- bbi
целых рациональных a, b, av bY выражения ——-, af+6f
а + bi (а + bi) (дх — bxi) аах + ЬЬг . ахЬ — abx . ai + bital + blal + bl al + bl
i iaa^ 4- bbi
целых рациональных a, b, av bY выражения ——-, af+6f
так как при
так как при
axb — abxal + bl
axb — abxal + bl
(или
(или
хотя бы одно из них) могут оказаться и не целыми рациональными числами, т. е. результат деления не обязательно является целым комплексным числом.
Итак, совокупность целых комплексных чисел замкнута относительно трех арифметических действий: сложения, вычитания и умножения, причем сложение и умножение подчиняются законам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, так как эти законы верны для всех комплексных чисел. Следовательно,
рассматриваемое множество является кольцом, но не полем. Его обозначают Z [Z] и называют кольцом целых гауссовых чисел.
Геометрически целые гауссовы числа в координатной плоскости х Оу — это точки с целыми рациональными координатами а и Ь. Они образуют так называемую точечную решетку (см. рис.).
Пример 2. Выясним, какие из множеств Z,Q,R,C являются кольцами, а какие — полями относительно операций фи 0, определяемых равенствами a^b=a+b+ 1; а © b = а + ЬЦ-аЬ.
Решение. Ясно, что Z, Q, R, С замкнуты относительно этих операций. Так как
о ^^ b = а 4* b 4* 1 = b 4- а 4- 1 — b ^^ а, aQb = a + b + ab = b + a + ba = bQ а, то обе операции коммутативны.
Точно так же проверяются ассоциативность обеих операций и дистрибутивность второй операции © относительно первой ф. Из равенств
а© (— 1) = а 4- (—1) 4-1= а, а0О = а + О + а- О = а
заключаем, что число (—1) является нейтральным элементом относительно операции ф, а число 0 — нейтральным относительно операции ©.
Решением уравнения а 4- х = —1 (или а 4- х 4- 1 = —1) является число х = —а — 2.
Таким образом, противоположным для а является элемент - (а 4- 2).
Решением уравнения а © х = 0 (или а 4- х 4- ах = 0) является х = Это означает, что в каждом из множеств Q, R, С лю-
о-|-1
бой элемент а ^—1 обратим, т. е. Q, R, С являются даже полями относительно рассматриваемых операций фи©.
Упражнения для самостоятельного решения
Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются кольцами и какие — полями:
Целые числа (Z).
Четные числа (2Z).
Целые числа, кратные данному числу п (nZ).
Числа вида а + bV2 с целыми а и b (Z []/"2]).
Числа вида а + Ь)/^ с рациональными а и b (Q ["К3]).
Матрицы порядка п с целыми элементами относительно сложения и умножения матриц Мп (Z).
Многочлены от одного неизвестного х с целыми коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения многочленов (Z И).
Пары (а, 6) целых чисел с операциями, заданными равенствами:
(аь bi) + (а2, bg) = (й! + а2, bi + bg), (аь bi) • (а2, bg) = (ata2, bibg), (Z X Z).
Найдите делители нуля этого кольца.
Множество классов вычетов по модулю 5 (Z5).
Множество классов вычетов по модулю 6 (Ze).
ПОДКОЛЬЦА. ИДЕАЛЫ
Пример 1. Будет ли множество J чисел а + bi с четными а и b подкольцом или идеалом в кольце Z И?
Решение.
Mai + bd, a2 + bgi € /i (at + bi i) — (a2 + bg i) = = (a, — ag) + (bi — bg) I £ J;
V a + bi € J,Me + di £ Z CO, (a + bi) (c + di) = (ac—bd)+ + (be + ad) i € J.
Следовательно, J есть идеал в Z [t] (по определению идеала коммутативного кольца).
Пример 2. Будет ли пересечение подколец кольца К подкольцом или идеалом в этом кольце?
Решение. Пусть К* = Kt П К2, где Ki и К2 — подкольца кольца К- Тогда:
а £ К*, b £ К*, следовательно,
atb £ Ki, а^ С Kg, a — b £ Kt, a — b£ Kg‘, а — bi К*;
а^Ь € К*, следовательно,
aib е Ki, aib^Kg, a -b^Ki, а -Ь^ К4; а • b 6К*.
Итак, пересечение двух подколец является подкольцом кольца К. Точно так же доказывается, что пересечение любого числа подколец также является подкольцом.
Пример 3. Будет ли множество Мй матриц вида (),
6 а) где а, 6 € Z, подкольцом или идеалом в кольце всех матриц 2-го порядка?
Решение. Пусть
тогда:
( аЬ\_( с d\(а — с b — d\ , м .
\—b а)\—d с)\— (Ь — d) а — с)21
/ а Ь\./ с d\/ ас — bd ad + bc\, м
\—b а)\—d с)\—ad — be ас — bd)2‘
Ответ. УИ2 является подкольцом в кольце матриц второго порядка.
Пример 4. Будут ли необратимые элементы кольца Zle подкольцом или идеалом в этом кольце?
Решение. Zle = (О, 1, .... 15). а необратима (а, 16)^1. Обозначим множество всех необратимых элементов из Zle через J:
J = {2, 4; 6, 8; 10, 12, 14, 16}.
J — идеал, так как:_
ах — а2 =_ах — а^_Е J;
Va ЕЛ Ух Е Zi6, а • х Е J.
J = (2) — главный идеал в кольце Zle.
П р и м е р 5. Будут ли необратимые элементы кольца Z24 подкольцом или идеалом в этом кольце?
Р е ш е н и е._ Z^_= {0,_1_, ..., 23}. а необратим «=> (а, 24)=^1.
Пусть J = {0, 2, 3, ..., 22}. J не является идеалом кольца Z24, так как не выполнено первое условие определения идеала, например: 3 — 2 J.
Упражнения для самостоятельного решения
Будут ли нижеприведенные множества подкольцами или идеалами ниже указанных колец?
Множество nZ чисел, кратных числу n > 1, в кольце z и.
Множество Z целых чисел в кольце Z [х] целочисленных многочленов.
Множество nZ [х] чисел, коэффициенты которых кратны числу п > 1, в кольце Z [х].
Множество N натуральных чисел в кольце целых чисел Z.
Множество Z целых чисел в кольце Z [1].
Множество J чисел а 4- Ы, где а = b в кольце Z [i].
Множество J чисел вида х (1 + 0 в Z [i], где х пробегает все кольцо Z [i].
Множество J многочленов, не содержащих членов с х6 для всех к < п, где n > 1 в кольце Z [х] целочисленных многочленов.
Множество J многочленов с четными свободными членами в кольце Z[х].
Множество J многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Z [х]._
Множество Z [КЗ] чисел вида т + п]/3, где m, n € Z в кольце действительных чисел R.
Множество J чисел вида т + nV3, где т, п — четные в кольце Z[р^З].
ФАКТОР-КОЛЬЦА. ГОМОМОРФИЗМЫ КОЛЕЦ
Пример 1. Рассмотрим фактор-кольцо по идеалу (3) кольца z И.
Pze ш е н и е. J = (3) = {3 (а + bi); a, b £ Z}. Например, 6 V\2i € 7, 6 + 5i £ J.
Числа, сравнимые по идеалу J, попадают в один класс. Перебирая все возможности, получаем:
Z [i]/(3) = {0 = 7, I, 2, 7, Г, Т+7, 1 + 2i, Г+7, 2 + 2t}.
Например, 7 + 13t = (1 + i) + (6 + 12i) € 1 + i, так как 6 + 12i е 7.
П р и м е р 2. Докажем, что если К— кольцо главных идеалов и р — простой или неприводимый элемент в К, то КДр) яв ляется полем.
Решение. Пусть а 6 К/(р), « ^0 = (р), т. е. а = а + (р). По условию а £ (р), следовательно, (а, р) = 1, т. е. ах + ру = 1, х, у £ К; ах = 1 — ру £ 1; а • х = 1, или х = а-1, где х € KKpY
Итак, для каждого элемента из /</(р), отличного от нуля, существует обратный, т. е. К/(р) — поле.
Следствие. Кольцо вычетов по простому модулю Zp является полем.
Пример 3. Докажем, что отображение f : А X В В, f (a, b) = b является гомоморфизмом. Построим фактор-кольцо по идеалу — ядру этого гомоморфизма.
Решение. А х В — декартово произведение колец, т. е. множество пар (а, 6), для которых сложение и умножение определено покомпонентно:
(«ь bt) + (а2, b2) = (а, + а2, bi + bt), («1. bi) • (а2, b2) = (а^, biba).
Покажем, что отображение f сохраняется при сложении и умножении:
/ ((«ь Ь^ + (а2. 62)) = f («1 + «2» 6t + b^ = bi + b^ =-
= / («Ь 60 + / («2. 62).
f ((fli, 61) • («2. 62)) = / (а4а2, bib^ = bib8 = f (а„ b^ ♦ f (aa, b^.
Ядро Jo содержит все пары с нулевой второй компонентой. Каждый элемент фактор-кольца А X ВЦй— это класс пар (а, Ь^ с одной и той же второй компонентой 60. Естественный гомоморфизм <р: А X В ->- А X B/Jo каждой упорядоченной паре (а0, Ь^АхВ ставит в соответствие класс упорядоченных пар (а, Ьо) с одной и той же второй компонентой Ьо.
Изоморфизм о: А X BU0 ^ В каждому классу таких пар сопоставляет Ьо.
Аналогично можно рассмотреть f : А X В -^ A, f (а, Ь) = а.
Пример 4. Рассмотрим фактор-кольцо по идеалу J = (1+0 в кольце Z [ij.
Решение. (1 + 0 = (z (1 + 0 | г € Z [i]).
Пусть z = с + di, (с + di) (1 + i) = (с —d) + (с + d) i С J.
2 € J, так как (1 — i) (1 + i) = 2. Тогда все кратные 2 тоже входят в J.__
Ответ. Z_[iMl + 0 =_{0 = (1 + 0, 1}._
Например, 1 € 1» i € 1 (i = i + 2 = (i + 1) + 1 = 1),
7 + 3i = (6 + 2i) + (1 + i) £ J = 0.
П p и м e p 5. В кольце Z [i] построим идеал (i) и фактор- кольцо Z [i]/(i).
Решение.
Z [i] = {a + bi I a, b 5 Z).
В этом кольце элемент i обратим, так как i (—0=1. Обратимый элемент порождает единичный идеал, т. е.
(0 = Z [i].
Тогда фактор-кольцо Z [i]/(i) = {0 = (0).
Пример 6. Докажем, что если К — кольцо с единицей и J — идеал, то KJJ тоже имеет единицу.
Доказательство.
KU = (0 = J, а = а + J | Va 5 К}. В KIJ содержится класс е + J = е, где е — единица кольца. По определению умножения классов е — единица в кольце KIJ.
Пример 7. Пусть (5) — идеал, порожденный целым числом 5 в кольце Z [х]. Докажем, что Z И/(5) ^ Z6 [х], где Z6 —кольцо классов вычетов по модулю 5. -
Доказательство.
= <а„х" + ... + atx + а0 | ап, .... а6 € 5Z).
Например, 5х — 10 С (5), х + 17 £ (5)^
Z6 [х] = (Ьпх" + b^ *"'* + - + М + Ь, | ЬпЬп_Х1 .... MZ,}»
Z [х]/(5) = (6„х" + Ь^х-1^ + ... + Ь,х + b0 I Ьп, .... Ь» €
€ {0, 1, 2, 3, 4}}.
Например,
Юх3 + Тх2 + х + 12 2х2 + х + 2.
Применяя правила сложения и умножения классов вычетов по идеалу, получим:
Z [х]/(5) ~ Z6 [х]
при
Ьпх "+ b^x""1 + ... + btXijb b0 ^ Ьпхп + bn_^-v + ••• + 4- bxx + Ьй.
Например,
Зх2 + х + 2 ** Зх2 + 1х + 2.
Упражнения для самостоятельного решения
Докажите, что Z [х]/(х) ^ Z.
Пусть (и) — идеал, порожденный целым числом п > 1 в кольце целочисленных многочленов Z [х]. Докажите, что фактор- кольцо Z [х]/(п) изоморфно кольцу Z„ [х] многочленов над кольцом вычетов по модулю п: а) п = 2; б) п = 3; в) п = 4; г) п=6.
Пусть 7 = (х, 2) — идеал, порожденный множеством из двух элементов х и 2 в кольце целочисленных многочленов Z [х]. Докажите, что: а) идеал 7 состоит из всех многочленов с четными свободными членами; б) идеал J не является главным; в) фактор- кольцо Z [х]/7 изоморфно полю вычетов по модулю 2.
Пусть J — множество всех чисел а + Ы с четными а и Ь. а) Покажите, что J — идеал в Z [t]; б) найдите смежные классы Z [t] по J; в) в фактор-кольце Z [ZJ/7 найдите делители нуля и покажите этим, что Z [i]/7 не является полем.
Рассмотрите фактор-кольцо Z/(n). Является ли идеал (п) простым?
а) и = 2; б) и = 3; в) п = 5; г) п = 6.
Замечание. Идеал J кольца К называется простым, если K/J — область целостности, т. е. если оно не имеет делителей нуля. ' 236^ Пусть Е — множество действительных чисел вида т + + п]/3, т, п € Z.
Покажите, что подмножество J чисел т + пУ3, где т, п — четные, есть идеал в Е.
Рассмотрите фактор-кольцо EJJ. Найдите в фактор-кольце ЕЦ несобственный идеал.
Рассмотрите фактор-кольцо Z [i]/(l + i).
Пусть Z — кольцо целых чисел, К — любое кольцо с единицей е. Докажите, что отображение ф (z), для которого ф (и) =
= пе, есть гомоморфное отображение Z в К. Найдите образ q> (z) при этом гомоморфизме.
Составьте таблицы сложения и умножения для элементов фактор-колец: a) Z [t]/(3); б) Z [i]/(2).
Сколько элементов содержит фактор-кольцо Z2 [х]/(х2 + х + 1)?
Докажите, что в Z имеют место утверждения:
(Ю) с (5);
(VJ cz Z) из (10) с / с (5) следует: J = (10) или J =■ (5).
Составьте таблицу умножения для элементов фактор- кольца Z2 [х]/(х2 + х + 1).
Покажите, что отображение f : Z [i] -> М2 или / (х + iy)= — I х у) есть изоморфизм.
\—У х)
Решите систему уравнений в Z3 и Z3:
х + 2z = 1,■ у + 2z = 2,. 2х + z = 1.
Найдите НОД многочленов f (х) = х4 + 1 и g (х) = = х3 + х + 1 над полем вычетов по модулю 3, т. е. над Z3.
Докажите, что поле R с обычными операциями сложения и умножения изоморфно полю матриц
с операциями матричного сложения и умножения.
Указание. Поставьте в соответствие каждому числу b матрицу (а 0\
\0 0А
Докажите, что матрицы вида (а Ь\, где а и b — рацио- (26 а)
нальные числа, образуют поле, изоморфное полю, образованному действительными числами вида а + bV2, где а и b — рациональные числа.
С каким множеством матриц второго порядка изоморфно поле иррациональностей вида а + бКк (a, b С Q; к 6 N; к Ф »2)?
С каким множеством матриц второго порядка изоморфно поле иррациональностей вида а + ЬУ —к (a, b € Q; к 6 N; к Фп4; п € N)?
Покажите, что Z [х]/(х2 + 1) ^ Z [i].
Покажите, что Z [х]/(х) ^ Z.
Пусть J — множество всех чисел а + Ы с четными а и Ь. а) Покажите, что J — идеал в Z [i]; б) найдите смежные классы Z [t] по J; в) в фактор-кольце Z [Z]/J найдите делители нуля и покажите, что Z [ZJ/J не является полем.
Глава III.
ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ И ЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕПРИЛОЖЕНИЯ
СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 1. Решим сравнение
5х = 7 (mod 8).
Решение. 1-й способ. Решим сравнение методом проб. Выпишем полную систему вычетов 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 и подставим каждый вычет в данное сравнение:
5 • 0 # 7 (mod 8), 5 • 1 ^ 7 (mod 8), 5 • 2 ^ 7 (mod 8), 5-3=7 (mod 8)=> xs 3 (mod 8) — решение.
Дальше проверять не следует, так как поскольку (5, 8) = 1, то данное сравнение имеет единственное решение.
2-й способ. Прибавив к правой части 8, получим:
5х = 7 + 8 (mod 8), 5х г 15 (mod 8).
Так как (5, 8) = 1, то обе части сравнения можно поделить на 5. Получим:
х = 3 (mod 8).
3-й способ. Применим теорему Эйлера:
5ф(8) = 1 (mod 8), ф (8) = 4, 54 = 1 (mod 8).
Умножим обе части сравнения на 53:
5 • 53 - х = 7 • 53 (mod 8), 54х = 7 • 53 (mod 8), х = 7 • 53 (mod 8), или
X = (—1) (—З)3 (mod 8), или
х s 3 (mod 8).
Пример 2. Решим сравнение 78х = 30 (mod 198) с помощью цепных дробей (4-й способ).
Решение. Так как (78, 198) = 6, 30 • 6, то сравнение имеет 6 решений.
Поделив обе части сравнения и модуль на 6, получим сравнение 13х = 5 (mod 33), ^ = [2; 1, 1,6], п = 3.
N0123at2116Pi23533N0123at2116Pi23533х в (— 1)” pn-1b (mod п).х в (— 1)” pn-1b (mod п).
N
0
1
2
3
at
2
1
1
6
Pi
2
3
5
33
N
0
1
2
3
at
2
1
1
6
Pi
2
3
5
33
х в (— 1)” pn-1b (mod п).
х в (— 1)” pn-1b (mod п).
15х = 21 (modl8).18х = 12 (mod 30).75х = 54 (mod 21).39х = 5 (mod 11).183x^93 (mod 111).11х= 15 (mod 24).45х = 21 (mod 132).21х в 10 (mod 25).8x = 17 (mod 23).98x ^ 70 (mod 42).27x = 11 (mod 106).139x = 7 (mod 8).1215x = 560 (mod 2755).19x = 4 (mod 25).27x = 16 (mod 58).11 lx = 49 (mod 179).15х = 21 (modl8).18х = 12 (mod 30).75х = 54 (mod 21).39х = 5 (mod 11).183x^93 (mod 111).11х= 15 (mod 24).45х = 21 (mod 132).21х в 10 (mod 25).8x = 17 (mod 23).98x ^ 70 (mod 42).27x = 11 (mod 106).139x = 7 (mod 8).1215x = 560 (mod 2755).19x = 4 (mod 25).27x = 16 (mod 58).11 lx = 49 (mod 179).95х = 59 (mod 308).37х = 25 (mod 107).7х = 4 (mod 19).13х = 1 (mod 27).37х = 5 (mod 217).113x^89 (mod 311).221х = 111 (mod 360).14x = 50 (mod 62).41xs= 7 (mod 101).92x = 20 (mod 284).95х = 59 (mod 308).37х = 25 (mod 107).7х = 4 (mod 19).13х = 1 (mod 27).37х = 5 (mod 217).113x^89 (mod 311).221х = 111 (mod 360).14x = 50 (mod 62).41xs= 7 (mod 101).92x = 20 (mod 284).91x= 1 (mod 132).185x = 125 (mod 535).23x = 667 (mod 693).143x= 41 (mod 221).91x = 143 (mod 222).271x= 25 (mod 119).13x= 178 (mod 153).82x= 14 (mod 202).302. 23x = 5 (mod 71).304. 243x= 271 (mod 317).91x= 1 (mod 132).185x = 125 (mod 535).23x = 667 (mod 693).143x= 41 (mod 221).91x = 143 (mod 222).271x= 25 (mod 119).13x= 178 (mod 153).82x= 14 (mod 202).302. 23x = 5 (mod 71).304. 243x= 271 (mod 317).
15х = 21 (modl8).
18х = 12 (mod 30).
75х = 54 (mod 21).
39х = 5 (mod 11).
183x^93 (mod 111).
11х= 15 (mod 24).
45х = 21 (mod 132).
21х в 10 (mod 25).
8x = 17 (mod 23).
98x ^ 70 (mod 42).
27x = 11 (mod 106).
139x = 7 (mod 8).
1215x = 560 (mod 2755).
19x = 4 (mod 25).
27x = 16 (mod 58).
11 lx = 49 (mod 179).
15х = 21 (modl8).
18х = 12 (mod 30).
75х = 54 (mod 21).
39х = 5 (mod 11).
183x^93 (mod 111).
11х= 15 (mod 24).
45х = 21 (mod 132).
21х в 10 (mod 25).
8x = 17 (mod 23).
98x ^ 70 (mod 42).
27x = 11 (mod 106).
139x = 7 (mod 8).
1215x = 560 (mod 2755).
19x = 4 (mod 25).
27x = 16 (mod 58).
11 lx = 49 (mod 179).
95х = 59 (mod 308).
37х = 25 (mod 107).
7х = 4 (mod 19).
13х = 1 (mod 27).
37х = 5 (mod 217).
113x^89 (mod 311).
221х = 111 (mod 360).
14x = 50 (mod 62).
41xs= 7 (mod 101).
92x = 20 (mod 284).
95х = 59 (mod 308).
37х = 25 (mod 107).
7х = 4 (mod 19).
13х = 1 (mod 27).
37х = 5 (mod 217).
113x^89 (mod 311).
221х = 111 (mod 360).
14x = 50 (mod 62).
41xs= 7 (mod 101).
92x = 20 (mod 284).
91x= 1 (mod 132).
185x = 125 (mod 535).
23x = 667 (mod 693).
143x= 41 (mod 221).
91x = 143 (mod 222).
271x= 25 (mod 119).
13x= 178 (mod 153).
82x= 14 (mod 202).
302. 23x = 5 (mod 71).
304. 243x= 271 (mod 317).
91x= 1 (mod 132).
185x = 125 (mod 535).
23x = 667 (mod 693).
143x= 41 (mod 221).
91x = 143 (mod 222).
271x= 25 (mod 119).
13x= 178 (mod 153).
82x= 14 (mod 202).
302. 23x = 5 (mod 71).
304. 243x= 271 (mod 317).
х0 = (—I)3 *5 -5 (mod 33), илих = 8 (mod 33).
Это решение сравнения по новому, вспомогательному модулю 33. Все 6 решений по заданному модулю можно теперь записать так: 8; 41; 74; 107; 140; 173 (mod 198).
Упражнения для самостоятельного решения
Решите нижеприведенные сравнения:
254. 12х = 16 (mod 28).
256. 5х = 15 (mod 25).
258. 37х = 16 (mod 11).
20x = 35 (mod 45).
42x = 105 (mod 245)
39x = 19 (mod 53).
12x= 15 (mod 35).
15x = 7 (mod 16).
64x = 5 (mod 13).
15x = 21 (mod 6).
64x * 5 (mod 13).
14x = 9 (mod 37).
2x sb 13 (mod 15).
29x = 35 (mod 123).
97x s 53 (mod 169).
73x = 39 (mod 28).
Решите нижеприведенные сравнения с помощью цепных дробей
§ 2. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИС ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 1. Решим систему сравнений:
2х = 31 (mod 35), 4х = 7 (mod 25), 5х = 18 (mod 21).
Решение. Решая каждое сравнение в отдельности, получим следующую систему:
х = —2 (mod 35),
х = 8 (mod 25), ,х = 12 (mod 21).
Первому сравнению удовлетворяют х = —2 + 35/, / — любое целое. Найдем, при каких значениях / верно второе сравнение
—2 + 35/ = 8 (mod 25) =^ 35/ = 10 (mod 25)=>
=> / = 1 (mod 5) =ф- / = 1 + 5п,
п — любое целое число.
Получили, что решениями системы первых двух сравнений являются:
х =?= —2 + 35 (1 + 5п) = 33 + 175п.
Найдем, при каких значениях п эти значения х удовлетворяют и третьему сравнению:
33 + 175п = 12 (mod 21), 175п = —21 (mod 21),
7л а0 (mod 21) => п = 0 (mod 3)=> п = ЗА,
где к — любое целое число.
Итак,
х = 33 + 175п = 33 + 175 (ЗА) = 33 + 525А,
или
х = 33 (mod 525).
Эти значения х являются решением системы.
Упражнения для самостоятельного решения
Решите системы нижеприведенных сравнений:
Гх ^ 12 (mod 17), (х = 10 (mod 11).
/х= 15 (mod 17), U — 7 (mod 20).
(х = 15 (mod 23), |х = 12 (mod 29).
fx = 20 (mod 23), [х = 21 (mod 25).
Гх = 9 (mod 16), (x = 7 (mod 25).
ГЗх == 5 (mod 4), |5x = 2 (mod 7).
311.
Зх г 2 (mod 13), 5x= 11 (mod 16), 5x = 2 (mod 9).
313.
x = 1 (mod 4), x = 3 (mod 5), x = 2 (mod 7).
315.
Зх = 5 (mod 14), 5x = 1 (mod 9), 7x = 2 (mod 25).
317.
2x ■ 5 (mod 21), 5x = 22 (mod 31), 4x = 5 (mod 29).
319.
x = 8 (mod 15), x = 9 (mod 13), x s 5 (mod 14).
321.
x = 5 (mod 3), x = 7 (mod 10), x = 2 (mod 7).
323.
x = 8 (mod 13), x = 9 (mod 17), .x = 5 (mod 11).
325.
rx = 12 (mod 13), x = 10 (mod 11), x = 5 (mod 12).
327.
3x = 8 (mod 20), 5x= 8 (mod 9), 4x в 1 (mod 21).
329.
8x s 1 (mod 13), 5x = 7 (mod 18), 2x = 1 (mod 9).
312. I
3x = 5 (mod 13), 2x = 17 (mod 21), 5x = 31 (mod 32).
314. I
x = 2 (mod 3), x = 2 (mod 7), x = —2 (mod 11).
316. |
'7x = 4 (mod 15), 3x = 23 (mod 28), 5x = 8 (mod 11).
318. |
'3x = 5 (mod 12), 7x = 3 (mod 25), 3x = 2 (mod 17).
320. I
(x = 10 (mod 11), x = 9 (mod 16), lx = 5 (mod 7).
322.
x== 14 (mod 19), x = 5 (mod 7), x == 9 (mod 10).
324. I
+ = 5 (mod 9), x = 3 (mod 5), [x = 1 (mod 7).
326.
[5x = 2 (mod 12), 7x = 2 (mod 8), [3x » 1 (mod 5).
328. I
f2x = 9 (mod 15), 5x = 4 (mod 7), i7x = 3 (mod 9).
330.
[3x = 1 (mod 25), 6x = 3 (mod 33), l4x = 5 (mod 9).
Решение двучленных сравнений с помощью индексов
Пример 1. Решим сравнение 23х = 37 (mod 41) с помощью индексов.
Решение, х ind 23 = ind 37 (mod 40), 4№ 8 (mod 40), (4,40) = 4; 8 J 4=> 4 решения, x = 2 (mod 10).
Ответ. Xi = 2 (mod 40), x2 = 12 (mod 40), x3 = 22 (mod 40), x4 = 32 (mod 40).
Пример 2. Решим сравнение 7x4 = 10 (mod 17) с помощью индексов.
Решение, ind 7 + 4 ind x = ind 10 (mod 16), 11+4 ind x = = 3 (mod 16), 4 ind № —8 (mod 16), (4, 16) = 4, —8 : 44 pe-
шения; ind х = —2 (mod 4), ind xt = —2, ind x2 = 2, ind xs ■ 6, ind x4 = 9 (mod 16).
Ответ. xt = 2 (mod 17), x2 = 9 (mod 17), x8 = 15 (mod 17), x4 = 8 (mod 17).
Упражнения для самостоятельного решения
Решите нижеприведенные сравнения с помощью индексов:
25х7- = —7 (mod 31).8х9 = —17 (mod 41).7х13 + 23 = О (mod 47).Эх11 + 1 = О (mod 43).339. 19х® + 13 = 0 (mod 53).32х = 15 (mod 37).258х = 47 (mod 61).8 • 7х + 4 = 0 (mod 83).13 • 78х + 1 = 0 (mod 67).22 • 1213х + 6 = 0 (mod 31)х2 = 54 (mod 71).ха = 37 (mod 41).х2 = 58 (mod 61).127x = 15 (mod 31).x15 = 38 (mod 59).x11 + 36 = 0 (mod 71).x12 + 8 = 0 (mod 73).Зх8 = 5 (mod 13).25х7- = —7 (mod 31).8х9 = —17 (mod 41).7х13 + 23 = О (mod 47).Эх11 + 1 = О (mod 43).339. 19х® + 13 = 0 (mod 53).32х = 15 (mod 37).258х = 47 (mod 61).8 • 7х + 4 = 0 (mod 83).13 • 78х + 1 = 0 (mod 67).22 • 1213х + 6 = 0 (mod 31)х2 = 54 (mod 71).ха = 37 (mod 41).х2 = 58 (mod 61).127x = 15 (mod 31).x15 = 38 (mod 59).x11 + 36 = 0 (mod 71).x12 + 8 = 0 (mod 73).Зх8 = 5 (mod 13).17X6 + 3 = 0 (mod 37).334. Sx11 +19 = 0 (mod 29).336. 15x® + 29 = 0 (mod 47).338. 6x7 + 19 = 0 (mod 23).340. 13x® + 36 = 0 (mod 61).342. 23х = 37 (mod 41).344. 7 • 5х = — 1 (mod 73).346. 11 • 53x = —70 (mod 79).348. 17 • 133x + 27 = 0(mod 29)350. x2 = 15 (mod 17).352. x2 = 40 (mod 83).354. x2 = 47 (mod 53).356. 197x = 15 (mod 59).358. 13х = 25 (mod 43).360. x17 = 31 (mod 67).362. x7 + 27 = 0 (mod 53).364. x8 + 13 = 0 (mod 61).40x10 = 3 (mod 17).17X6 + 3 = 0 (mod 37).334. Sx11 +19 = 0 (mod 29).336. 15x® + 29 = 0 (mod 47).338. 6x7 + 19 = 0 (mod 23).340. 13x® + 36 = 0 (mod 61).342. 23х = 37 (mod 41).344. 7 • 5х = — 1 (mod 73).346. 11 • 53x = —70 (mod 79).348. 17 • 133x + 27 = 0(mod 29)350. x2 = 15 (mod 17).352. x2 = 40 (mod 83).354. x2 = 47 (mod 53).356. 197x = 15 (mod 59).358. 13х = 25 (mod 43).360. x17 = 31 (mod 67).362. x7 + 27 = 0 (mod 53).364. x8 + 13 = 0 (mod 61).40x10 = 3 (mod 17).
25х7- = —7 (mod 31).
8х9 = —17 (mod 41).
7х13 + 23 = О (mod 47).
Эх11 + 1 = О (mod 43).
339. 19х® + 13 = 0 (mod 53).
32х = 15 (mod 37).
258х = 47 (mod 61).
8 • 7х + 4 = 0 (mod 83).
13 • 78х + 1 = 0 (mod 67).
22 • 1213х + 6 = 0 (mod 31)
х2 = 54 (mod 71).
ха = 37 (mod 41).
х2 = 58 (mod 61).
127x = 15 (mod 31).
x15 = 38 (mod 59).
x11 + 36 = 0 (mod 71).
x12 + 8 = 0 (mod 73).
Зх8 = 5 (mod 13).
25х7- = —7 (mod 31).
8х9 = —17 (mod 41).
7х13 + 23 = О (mod 47).
Эх11 + 1 = О (mod 43).
339. 19х® + 13 = 0 (mod 53).
32х = 15 (mod 37).
258х = 47 (mod 61).
8 • 7х + 4 = 0 (mod 83).
13 • 78х + 1 = 0 (mod 67).
22 • 1213х + 6 = 0 (mod 31)
х2 = 54 (mod 71).
ха = 37 (mod 41).
х2 = 58 (mod 61).
127x = 15 (mod 31).
x15 = 38 (mod 59).
x11 + 36 = 0 (mod 71).
x12 + 8 = 0 (mod 73).
Зх8 = 5 (mod 13).
17X6 + 3 = 0 (mod 37).
334. Sx11 +19 = 0 (mod 29).
336. 15x® + 29 = 0 (mod 47).
338. 6x7 + 19 = 0 (mod 23).
340. 13x® + 36 = 0 (mod 61).
342. 23х = 37 (mod 41).
344. 7 • 5х = — 1 (mod 73).
346. 11 • 53x = —70 (mod 79).
348. 17 • 133x + 27 = 0(mod 29)
350. x2 = 15 (mod 17).
352. x2 = 40 (mod 83).
354. x2 = 47 (mod 53).
356. 197x = 15 (mod 59).
358. 13х = 25 (mod 43).
360. x17 = 31 (mod 67).
362. x7 + 27 = 0 (mod 53).
364. x8 + 13 = 0 (mod 61).
40x10 = 3 (mod 17).
17X6 + 3 = 0 (mod 37).
334. Sx11 +19 = 0 (mod 29).
336. 15x® + 29 = 0 (mod 47).
338. 6x7 + 19 = 0 (mod 23).
340. 13x® + 36 = 0 (mod 61).
342. 23х = 37 (mod 41).
344. 7 • 5х = — 1 (mod 73).
346. 11 • 53x = —70 (mod 79).
348. 17 • 133x + 27 = 0(mod 29)
350. x2 = 15 (mod 17).
352. x2 = 40 (mod 83).
354. x2 = 47 (mod 53).
356. 197x = 15 (mod 59).
358. 13х = 25 (mod 43).
360. x17 = 31 (mod 67).
362. x7 + 27 = 0 (mod 53).
364. x8 + 13 = 0 (mod 61).
40x10 = 3 (mod 17).
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ
Пример 1. Найдем остаток от деления 14248 на 90.
Решение. Задача сводится к решению сравнения 14246 ев ав х (mod 90), 0 х < 90.
(14, 90) = 2 => х • 2 => х = 2х4
14 . 14244 _ 2Х1 (mo(j go), 7 .'14244 = х4 (mod 45),
Xi = 7 • х2 (mod 45), 14244 = х2 (mod 45),(14, 45) = 1, по теореме Эйлера И^в 1 (mod 45), т. е. 1421ss 1 (mod 45),
так как <р (45) = 24. Возведем последнее сравнение в десятую степень. Тогда 14240 = 1 (mod 45),
142 = 16 (mod 45), 144 = 31 (mod 45),
14244 = 31 (mod 45) => x2 = 31 (mod 45),xx = 7 • 31 (mod 45), xT = 217 (mod 45) =>- xt в 37 (mod 45),x = 2 - Xi (mod 90) => x = 2 -3 7 (mod 90) => x = 74 (mod 90).
29
Ответ. 74.
Пример 2. Определим длину периода десятичной дроби, в которую обращаются обыкновенные несократимые дроби со знаменателем п = 35.
Решение. Каноническое разложение числа 35 имеет следующий вид: 35 = 5 • 7. Следовательно, число цифр в периоде будет равно показателю, которому принадлежит число 10 по модулю 7:
101 а 3 (mod 7), 102 = 2 (mod 7), 10s = —1 (mod 7), 10е al (mod 7).
Показатель равен 6. Это значит, что длина периода десятичной дроби равна 6.
Пример 3. При помощи свойств сравнений выведем признак делимости на т = 22.
Решение. 22 = 2 • 11. Число N тогда и только тогда делится на 22, когда оно делится на 2 и на 11. На 2 делятся все четные числа.
Выведем признак делимости на 11.
Данное число N представим в виде N — ап 10” + о„_1Ю”-1 + + ... + а0, где 0 ^ at ^ 9. Справедливо сравнение 10 а—1 (mod 11). Приходим к сравнению N = а0 — avVa^ — а3 + ... + + (—1)”а„ (mod 11). Полученное сравнение и выражает признак делимости на 11: число N делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр числа N, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр того же числа, стоящих на четных местах, делится на И.
Ответ. Четное число делится на 22 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр числа N, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр того же числа, стоящих на четных местах, делится на 11.
Пример 4. Проверим результаты действий с помощью чисел 9 и 11: 24 667 + 18 265 = 42 932.
Решение. Суммы цифр слагаемых соответственно равны 25 и 22; сумма цифр суммы равна 20. Легко заметить, что 25 + 22 а а 20 (mod 9). Можно полагать, что сложение выполнено правильно. Проверка с помощью сравнения по модулю 9 может не установить разве что только ошибку, кратную 9.
Теперь осуществим проверку с помощью числа 11.
Суммы цифр, взятых попеременно со знаками +, —, +, —, ... справа налево, соответственно равны у слагаемых — 7 — 6 + + 6 — 4 + 2 = 5, 5 — 6 + 2 — 8 + 1 = —6; у суммы — 2 — — 3 + 9 — 2 + 4 = 10. Получаем верное сравнение 5 — 6 а а 10 (mod 11).
Проверка с помощью сравнения по модулю 11 может не установить разве что только ошибку, кратную 11.
Проверка одновременно по двум модулям 9 и 11 может не установить только ошибку, кратную 99.
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите остаток от деления:
367. 6617 на 7.
369. II802 на 1000.
371. 19м02 на 100.
373. 19671®88 на 11.
375. 109346 на 14.
377. 293276 на 48.
379. 11763 на 11.
381. 580 + 7100 на 13.
383. 111841 на7.
385. 222342 на 14.
387. 343741 на 26.
368. 2100 + З100 на 5.
370. 172001 на 1000.
372. 17852 на11.
374. 383176 на 45.
376. 4392И на 60.
378. 6617 на 7.
380. 570 + 760 на 12.
382. 560 + 13100 на 18.
384. 122751 на 5.
386. 122761 на 10.
388. 1782741 на 22.
Определите длину периода десятичной дроби, в которую обращаются обыкновенные несократимые дроби со следующими знаменателями:
389. а) п = 28;
б) п = 7;
в)
п =
• 17;
г) п = 13;
д) П = 11;
е)
п =
23;
ж) п = 29;
з) га = 43;
и)
п =
37; к) п = НО.
390. а) п = 208;
б) п = 620;
в)
п = 85;
г) п = 860;
д) п = 210;
е)
п = 76;
ж) и = 260;
з) п = 52;
и)
п = 46; к) п = 116.
391. а) п = 140;
б) п = 74;
в)
п = 34;
г) п = 150;
д) п = 220;
е)
п = 550.
При помощи свойств сравнений выведите признаки делимости на следующие числа:
392.
а) т = 11;
б) т = 3;
в) m = 9;
г) т = 4;
д) т = 6;
е) т = 8;
ж) m = 12;
з) т = 15;
и) т = 18; к) m = 45.
393.
a) m = 22;
б) m = 55;
в) т = 36;
г) т = 75;
д) m = 7;
е) т — 35;
ж) m = 14;
з) m = 13; •
и) m = 26; к) m = 65.
Проверьте результаты действий с помощью чисел 9 и 11:
2 454 017+896 512 = 3 350 529. 395. 8 740 297 — 561 245 = = 8 179 052.
25 045 • 1487 = 37 240 915. 397. 13 547 — 9862 = 3685.
8264-5201=42 981 064.399.25 041+91 382 = 116 423.
3745• 8067=30 210 915.401.24 667+18 265 = 42 932.
141 811 + 17 128 = 158 932 . 403. 37 918 — 13 207 = 24 711.
42 932 — 18 265 = 24 667.405.4371•1243 = 5 433 153.
1042• 1011=1 053 462.407.421767 :3429 = 123.
4237 • 27 925 = 118 275 855. 409. 42 981 : 8264 = 5201.
19652 = 3 761 225.411. ^374 293 = 23.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Примерные варианты контрольных работ
Параграф
Варианты
0
1
2
3
4
5
61
1 7
8
9 1
110
Гл. I, § 1
34
33
32
35
36
37
38
39
40
41
42
Гл. I, § 2
65
67
69
64
66
68
59
61
63
55
57
Гл. I, § 3
165
189
191
178
180
182
184
186
188
190
192
Гл. II, § 3
235
(б)
235 (а)
235 (в)
235 (г)
239 (а)
239
(б)
232 (г)
232
(в)
232
(б)
232 (а)
252
Гл. Ill, § 1
299
286
288
290
292
294
296
298
300
302
304
Гл. III, § 2
316
325
327
329
318
320
322
324
326
328
330
Гл. III, § 3
365, 366
364
362
360
358
356
354
352
350
348
346
Гл. III, § 4
368
370
372
374
376
378
380
382
384
386
388
Приложение 2
Таблица простых чисел, меньших 1000
2
47
109
191
269
353
439
523
617
709
811
907
3
53
113
193
271
359
443
541
619
719
821
911
5
59
127
197
277
367
449
547
631
727
823
919
7
61
131
199
281
373
457
557
641
733
827
929
11
67
137
211
283
379
461
563
643
739
829
937
13
71
139
223
293
383
463
569
647
743
839
941
17
73
149
227
307
389
467
571
653
751
853
947
19
79
151
229
311
397
479
577
659
757
857
953
23
83
157
233
313
401
487
587
661
761
859
967
29
89
163
239
317
409
491
593
673
769
863
971
31
97
167
241
331
419
499
599
677
773
877
977
37
101
173
2И
337
421
503
601
683
787
881
983
41
103
179
257
347
431
509
607
691
797
883
991
43
107
181
263
349
433
521
613
701
809
887
997
Приложение 3
Решение варианта О
Найдите НОД следующих чисел: 19 074, 13 566, 8211.
Решение. (19 074, 13 566, 8211) = (19 074, (13 566, 8211)). Сначала по алгоритму Евклида находим НОД двух чисел (13 566 и 8211):
_13566182118211 Г
_8211153555355
_5355I28562856
285612499
2499 1“
_ 24991 357
2499 70
Следовательно, (13 566, 8211)= 357.
Теперь находим (19 074, 357):
_1907413571785 '"53-
_ 12241071
_357I153306
1531 51
353'-З-0
Таким образом, (19 074, 357) = 51.
Ответ. (19 074, 13 566, 8211) = 51.
Запишите числа а = 7356g и 234 в системе счисления с основанием 5 и в этой системе счисления разделите с остатком большее число на меньшее.
Решение.
_7356815
5 1374|5_
_2312_ 230|5_
17_J717 _36|1
_ 4517_ 4036_ 6 12
43~5360L1 ^73566 = 110 2426.
”26""21
24
2
_ 234| 1122_ 2
1 ^234 = 215
Теперь разделим большее число на меньшее:
:6| 21б2342в:6| 21б2342в_ 110242,42
:6| 21б
2342в
:6| 21б
2342в
132
113
_ 144
134
102
— 42
Ю6
Ответ. 73568 = НО 2426, 234 = 21б, неполное частное от деления числа 110 242б на 21б равно 2342б, остаток равен 105.
Решите в целых числах уравнение 275х + 145у = 10.
Решение. (275, 145) = 5, 10 • 5 => решение есть. Поделив все коэффициенты на 5, получим уравнение
55х + 29у = 2,
равносильное заданному.
55
29 "
[i;
1, 8. 1, 2].
N
0
1
234
at
1
1
812
Pl
1
2
171955
Qi
1
1
91029
Хо = (_1)5 . ю • 2 = -20, у0 = (—1)4 . 19 • 2 = 38, х = —20 + 29/, у = 38 — 55/,
где / — любое целое число.
Ответ, х = —20 + 29/, или х = 9 + 29/, у = 38 — 55/у = —17 — 55/,
где / — любое целое число.
235 (б). Рассмотрите фактор-кольцо Z/(3). Является ли идеал (3) простым? Решение. Идеал J в кольце Z является простым, если UJ — область целостности:.
Z/(3) = У, J+ 1, 7+2},
или_ _ _
Z/(3) = {0, 1, 2}.
Докажем, что в Z/(3) нет делителей нуля:
Т.Т^ Г^б, 2 -2 = 1^=0, Г-2 = 2 ^(Г
Ответ. Z/(3) = (0, Т, 2), J = (3) — простой идеал.
Решите сравнение 14х = 50 (mod 62).
Решение. (14, 62) = 2; 50 • 2 => сравнение имеет два решения.
Сокращаем обе части сравнения и модуль на 2, получаем вспомогательное сравнение Чх = 25 (mod 31),
31
у = [4; 2, 3], х = 25 • 9 = 8 (mod 31).
Ответ. хх = 8 (mod 62),
х2 = 39 (mod 62).
Решите систему сравнений:
( 7х = 4 (mod 15),
{ Зх = 23 (mod 28),
( 5х = 8 (mod 11).
Решение. Решив каждое сравнение в отдельности, получим следующую систему:
{
х = 7 (mod 15), х= 17 (mod 28), х = 6 (mod 11).
х = 7 + 15у, 7 + 15у = 17 (mod 28), 15у = 10 (mod 28), Зу = 2 (mod 28), Зу = = 30 (mod 28), у =10 (mod 28) или у =10+28/. Тогда х= 7+ 15(10 + + 280, х = 157 + 15 • 28/.157 + 15 • 28/= 6 (mod 11),15 • 28 • t =
= —151 (mod 11), 4 • 6 •/ = —8 (mod 11), 24/ = 3 (mod 11), 2/=3(modll), /=7Xmodll) или /=7+ Им. Тогда x = 157 + 15 • 28 (7 + 11м), x = = 3097 + 4620м.
Ответ, х = 3097 (mod 4620).
Решите сравнение Зх8 = 5 (mod 13) с помощью индексов.
Решение.Зх8= 5 (mod 13),
ind 3 + 8 ind х = ind 5 (mod 12),
4 + 8 ind x = 3 (mod 12),
8 ind x =—1 (mod 12).
(8, 12) =4, —1 не делится на 4, следовательно, сравнение решения не имеет. 366. Решите сравнение 40x1° = 3 (mod 17).
Решение.
40х10 = 3 (mod 17), 6х10 = 3 (mod 17), (3, 17) = 1. 2х10= 1 (mod 17).
ind 2+10 ind х= ind 1 (mod 16), 10 ind x = ind 1 — ind 2 (mod 16), 10 ind x = = 0—14 (mod 16), 10 ind x = 2 (mod 16). (10, 16) = 2, 2 • 2 => сравнение имеет два решения.
5 ind х = 1 (mod 8),
5indx=l + 24 (mod 8),ind x s 5 (mod 8).
ind xT = 5 (mod 16),^ xt = 5 (mod 17).
ind x2 = 13 (mod 16), x2 = 12 (mod 17).
Ответ. xt = 5 (mod 17), x2 = 12 (mod 17).
Найдите остаток от деления 2100 + З100 на 5.
Решение. Задача сводится к решению сравнения
2юо+ 3i°° = x(mod5), где 0<х<5.
Так как (2,5) = 1, (3,5) = 1, то по теореме Ферма
24 = 1 (mod 5), З4 = 1 (mod 5).
2юо= (24)25= ! (mod 5), 3100= (34)25=i (mod 5). Сложим эти два сравнения:
2юо+ 3100 = 2 (mod 5).
Ответ. Остаток от деления 2100 + З100 на 5 равен 2.
855^5
014^00 tO —
О со 00 ‘4 СП
Сл 4Ь CO to —
45
1
— О
W
Ю —coo
сл
СО
— to СЛ 4b О
-4
Сл 00 СО— ^4
tO О 4b CO О
о —
О 00 со СЛ —
CO tO 4ь *4 О
00
03 CD 4b 00 *4
со to о — сл
СЛ tO — 4b О
^
со о о
сл со -4 сл to
— to со о 00
4b 4ь I-* -Ч о
CD СО СП CD 4b
— — to СО СЛ 00 О —
*4 о>^ СЛ о
*4 tO 00 tO О
8
— — — tO — оз со со — to
— to to
— СЛ СП ^4 СП
to to — *4 to 00 00 00
О 0 — ^40
8
to 00 4b СП -4 СП
to to— —to — to — со со
— —toto 4ь tO tO 00 СЛ
О 00 — 2 О
W
ЙсЛ “4 СЛ 00
слсосооо
— co co to to toco 00 co
-82-0
to
00 to — О — 4ь *4 О
со — to со to -4 СО СО 00 4b
сося со со ^4
to to СО —00 СП о to со о
tooto —CD
— co co to о to co СЛ00
00 00 СЛ 4b о
to — to сл to — ^ о
6
1
СО 4b — — tO
*4 СЛ tO О> О
4Х СЛ Ю 4^ соси —too
4b 6 *4 О tO
— 4ь — о *4
— СО 4b СО ОЗ *4 tO *4 4b
to си со to to оосо-4сп-4
— 4b co CO CO О 00 to 00
to to 6 о о
^8&й-
coto — — О О 00 о
— 4b 4b СЛ О) — CD О
СО СО СЛ- tO О 4Ь сл О
8
ЬО ЬО 4ь — к_ 4ь 03 СО *4 4ь
ЮСЛ 4b 4ь 00 О О 00 сл
сл — co — co CO to CO CO -«4
toСО
to to о — о
2
ю 00 to 00
СП 00 оо to to
сп — сл со — О to со -«4 СО
СЛ CH to 00 cn — — о
92со^о
2
4х и- СЛ 4ь tO О СП 00 СО 4b
сл со со со -4 СО 00 —
co сл — co 4b to 00 — to
00 tooo о
м
— оз to to 00 ~4 tOO —tO
4*. (Л tO СЛ -4 — СО tool
C0to2S^
— СП СП 00 о
0»
-4 СО tO — О to СП — СП
сисл со сп СО -4 4ь СО 00
8 to to co СЛ
СП to 00 — 4b о
со
■4ЬЭСЛ"4 4 -4Со4ооО
сося- to — — СЛ СЛ 4ь. О
ООО^СЛ to О О CO 00 -4
-4 СО -4 — О) О со о
to
4ь СЛ 00 оз 2
“4 to СО 00 — со CO СО 4b
004b00 —
o> to 00 — -4
•о со — о to — ОО
$
СП 00 “4 00 4b СО — 00 СО О
*4 ОЗ to 4b — сл сл to О
Ц1 4b O) — 00
СП -^j со — 00 О 4Ь о
О СО 00 -4 СП
СЛ 4b СО to —
О co 00 *4 О
СЛ 4b СО to —
45
1
Таблицы индексов по простым модулям, меньшим 100
Д тз
S ь о * (Т> S
S п>
4b
к
4b COCO COCO О CO ОО -4 СТ)
8?££$2
CO ND ND ND tO О CO 00 -«4 CT)
to ND to to to СЛ 4b co to —
s
1
oo
ND 00CO
О 4ь СЛ 00 00
to co—
ND CO 4b -4 4ь
CO — 4b CO
CO — -4 ND О
CT) co 6 4ь 6
co co сл co to
СЛ 4b СП —
СЛ о -4 CO 4b
4ь СТ) CH 4ь 4ь tO tO СП 4ь О
4b CT) tO Ю CT)
CT) O1 ND О 4b
to Ct) *4 о nd
СЛ СЛ О 4b 00
4b 8 О) CO О
•<1 4b to tO СИ 4ь СЛ О tO 4i
ё£2 = £
~q S 5 2 5
8 CT) 4b CO 8
~ to to coco — ю о to
SS^coK
889fcco
to — co co
СЛ CO СЛ -4 СЛ
— co to — co ND СЛ CO ~4 CO
4ь 4ь СЛ CO ND — oo — сл co
щ 4b — — to CO CT) CO "4
8898-
CONDO)4b — 4bCO — 0 —
CO tO CT) to СЛ *4 СЛ CO О CT)
СЛ "4 4b СТ) СЛ CO СЛ О *4 О
88882
CO to CT) -4 4b tO -4 О 4b CT)
4ь CO СЛ
СЛ CO СТ) CO СЛ
— — — co to О СЛ 4b o 4b
— co to co to -4 co co сл co
— 4b—
— — СЛ CO -4
co co to — to CO СЛ to 4b CO
CO 00 4b co 8
4b — — 4ь СЛ CO 4ь О CT) tO
СЛ to — — CO СЛ — 00 —
— to to — — to co co о
CT) CT) — 4b О 00 CO 00 СЛ
— CO 4b — CT) СЛ СЛ CO 00 -«4
CT) — CT) , co •4 — — CO 00
to 4ь СЛ — 00 CT) to 00 to
00 СЛ to „ co ^4 CO СЛ CO CO
H-— СЛ
co CO CO 00 CO
о co 9 ^ 8
co to — to to — — -«4 CT) co to —to CT) *4 4b >- CT)
00 6 СТ) СЛ 8
to to to 00 СЛ СЛ CT)
CO 4b co CO — О 4b <© ►—* —
4ь СЛ 4b CO CT) — — ND 4b
4b CO ND — ND 4b CO -«4 СТ) СЛ
4ь СЛ — CO CT) 00 4ь 4ь О 4b
СЛ 4b — CO ND СТ) 4ь СЛ *bJ *4
CO 4b CT) CO ND О CT) CO CO
CT) co 8 to £
to 2 CT) -«4 CT)
СЛ 4b СЛ — 00 to CO -4 ND to
-«4 -«4 ND
ND O) *^J 4b СЛ
S
3
3
1
4b co co co co О CO 00 -4 Ст)
CO CO CO CO CO СЛ 4b CO to —
co to to to to О co 00 *4 CT)
л s о h 6»
я 3 я У
5993:9
to о- оо о о Th Th xh Th to
to to io to to
CO b* 00 O) Q to to to to co
•^ оз co Th to co co co to to
h* со
88*39
in Th ть оз co oo —* co co
88235
co 18 9 co 9
$8298
35
л
=52889
RSSSS
h- to 00 O) co mt^^co
--co io co to Th co t^ Th —<
gtjegooua
2$
8
Th 00 СО Th ~
Th СО СО
322555
s^s^^
о co co 03 VO Th to Th co оз
99832
58
Ю 00 о со ”Ф Ь* to Th ь- СО
88288
895^^8
to co to -г —< coco—«cor^
98332
59
СО
9 to о^ 2
Я* ^ oo CO О to co coco —'
&M88S
t^ oo co toco to co Th оз
32998
$8
t^
ю со оо со о CM СО Th xh —'
O)QO3 03 03 to co
to ^ co Th о to oi to
£ 03 Th co eg
82388
89
СО
92598
—' 00 Ю CD m co m ю co
85598*
co Г* 0)00 00 Th Th co ^ оз
33-88
8
со
со со Th to to > Tt* со
38232
CO 03 co о о- 03 Th Th
03 03 co *-< Q to co co oo
$
со о —- г- ть со Th со to оз
oo ю co oo — io ю оз
CO CD о co ^ — Th
858
а
5°°38£
co S tm 8 оз
88
2^299
co 03
g
со
СО оз
I
со
со
а
в
2
со
3 Я У
^(М оо^ю Th ть Th xh ть
CO b* oo CD о Th Th Th тг ю
to to to to 1Я
to to to to to
58838
$ co
a S
00 о о CD CO b-
^ cm co xb in
stsss
^CM co xblD 00 00 00 00 00
00 00 08 000?
—* CM CO xb mco 0 0 o> 0 0 0
m I
3 co
CD 3
3 8
8
CO a a
2
Ю co
—< —* CD CO IO CD
00 00 O) СОЮЬ
см хьсо
S CM
b- CM CM co ю xb
co 5 co
— О eo O) CM —। Ш CM CM b-
CM Q О b. CO CD ID CM CM LTD
ш^ффсм CD to co *- co
—« xb хь co b m — xf cm xb
xr CD xf CO
ID CM c38^ b~ b- О CM CD CD b. xb M* xb
b- 00 CM m -^
CD Xb CO b*
о co о xb ^ co
00 CO b- co о 00 CM ^t^O)
Xb b- —' CD CD CO CO CM b-
co 5
^88$R
SS3
сооосмсмад in xb CM CM 00 ^
3 s У
«ФО CD CO b-
t^SRSR
CO b- 00 О О
oo 08 S3 S o3
ад 0008 So
о O) 0 0 0 0
Ответы
1. 88. 2. 11. 3. 357. 4. 9. 5. 1. 6. 382. 7. 113. 8. 2011. 9. 3109. 10. 43 417.
11. 3911. 12. 2963. 23. 490. 24. 23. 25. 3. 26. 23. 27. 1103. 28. 3413. 29. 3947.
И43. —. 44.
7
II 107’
45.
91 _179„125_64,13129.
—. 46.—.47.—.48.—.49.—.50.—.51.
113582138158331
185
341'
172817 „ /331\/64\/101\
52. — • 53. — • 72. а —; б) — ; в) — ; г) — . 74. а) 1,1 (2)3; б) 2,1 132396\40/6\30/7\ 20/э' ,3 ’
(2),; в) 4,2 (3)6; д) 0,(23)4; е) 3,(1)в; ж) 2,0123; з) 0,4814. 75. [1, 9]. 76. [0; 2, 15]. 77. [—2; 1, 30, 2]. 78. [1; 2, 3, 4]. 79. [0; 1, 4, 3, 2]. 80. [—3; 1, 1, 2]. 81. [2; 2, 3, 1, 5]. 82. [0; 1, 2, 5, 2]. 83. [1; 4, 2, 1, 7]. 84. [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2]. 85. [0; 1, 2, 3, 4, 5]. 86. [0; 1, 1, 38]. 87. [0; 2, 5, 14, 14]. 88. [0; 2, 5, 1,1, 2,16].89. [1; 1, 2, 1, 1, 13, 6].90. [1; 1, 1, 12, 1, 1, 2, 4].91. [0; 1,3].
92. [0; 2, 3, 4]. 93. [—1; 1, 1, 7, 1, 6]. 94. [7; 9, 11]. 95. [0; 2, 5, 18]. 96. [—1;
71
1, 2, 22, 1, 4, 2]. 97. [1; 4, 30]. 98. [0; 1, 9, 1, 3, 23]. 99. [1; (1, 2)], —.
[5; (5, 10)]. 101. [10; (1, 1, 6, 1, 1, 20)]. 102. [6; (1, 1, 1, 2, 1, 1, 12)].
[0; (1, 18)].108. [5; (1, 1, 1, 10)].114. [3; 2, 5, 2, 7, 2], —. 136. —.
2467
9 + 2у39„138. 4+/37 . 139. 1 + /"3. 140./20.141. /П.
57
142. -1 + ^3• 143. /Т. 144.2 + ^- 145. 5—/15.
23
71
148. 7*.163. Нет решений. 164. х = 13 + 44/,
146 245 —",/"85
74
165. х = 9 + 29/,
168. x = 7 + 8/, 169. x = 1 + 5/,
У = —70 — 237/. 171. x = 30 + 49/,
у = —17—55/.
, у = —13 — 23/. 199. Четыре решения: 1) 15 сосудов по 0,8 л; 2) 8 сосудов по 0,5 л и 10 по 0,8 л; 3) 16 сосудов по 0,5л и 5 по 0,8 л; 4) 24 сосуда по 0,5 л. 221. Да. 222. Нет. 223. Подкольцо, но не идеал.
У
2 — 3/.
у = 1 — 2/.
м ™Ua6U 249- м= Я ° 6Н
t\toа)г №t\—to «Д'253. хв5,11, 17 (mod 18).254.
№б, 13,20,27 (mod 28).255. xs 4, 9,14, 19, 24, 29(mod 30). 256.№
s3, 8, 13, 18,23 (mod 25).257. xs 1, 8,15 (mod 21).258. хв 4 (mod11).
№10 (mod 11). 260. xs—14, —5, 4, 12, 22 (mod 45). 261. *=9, 46, 83 (mod 111). 262. xs20, 55, 90, 125, 160, 195, 230 (mod 245). 263. xs s—3 (mod 24). 264. xs 10 (mod 53). 265. xs21, 65, 109 (mod 132). 266. xs s 10 (mod 35). 267. xs 10 (mod 25). 268. xs9 (mod 16). 269. xs5 (mod 23). 270. xs—28, —15, 2, 11 (mod 52). 271. xs2, 5, 841 (mod 42). 272. xs
s 1, 3, 5 (mod 6). 273. xs75 (mod 106). 274. xs—5 (mod 13). 275. xs—3 (mod 8). 276. xs 35 (mod 37). 277. xs 200, 751, 1302, 1853, 2404 (mod 2755). 278. x s 14 (mod 15).279. x s 16 (mod 25).280. xsl03 (mod 123).
x s 50 (mod 58).282. x s 11 (mod 169).283. x s 123 (mod 179).
" '‘ 28). 285. x s 153 (mod 308). 305. x s 131 (mod 187). 306. x s
307. x s 287 (mod 340). 308. x s 217 (mod 240). *"" 310. xs—1 (mod 28).311. xs31 (mod 1872).
284. х в 27 (mod в 296 (mod 575). в 360 (mod 667). в 19 (mod 8736). в 11 (mod 3150). = 113 (mod 315). в 16 (mod 1260).
313. х в 93 (mod 140).
311. хв31 (mod 1872).
314. х в 86 (mod 231).
316. x в 3097 (mod 4620). 323. x в 60 (mod 1231).
325. xb857 (mod 1716). 326. xb22 (mod 120).
328. x в 12 (mod 315).
309.
312.
315.
324.
327.
330.
хв X в XB XB X ^=
329. xs5(mod234)
s 17 (mod 2475). 331. xs29 (mod 31). 332. xs24 (mod 37). 334. x=IO (mod 29). 335. xb 24 (mod 47). 339. №30 (mod 53). 340. x@10, 12, 49, 51 (mod 61). 341. № 17 (mod 36). 342. №2, 12, 22, 32 (mod 40). 343. xb 2, 5,... .... 59 (mod 60). 344. x s 3 (mod 72). 345. x s 5,46 (mod 82). 346. xs3, 16, 29, 42, 55, 68 (mod 78). 347. xs3B (mod 66). 348. xb 10, 24 (mod 28). 349. xb в 29 (mod 30). 352. №66, 17 (mod 83). 353. x в 18, 23 (mod 41). 354. xb @43, 10 (mod 53). 355. xs27, 34 (mod 61). 356. x s 17, 46 (mod 58).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Делимость целых чисел 4
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Простые и составные числа 4
Систематические числа. Систематические дроби 5
Цепные дроби. Неопределенные уравнения первой степени с двумя неизвестными 9
Глава II. Кольца и идеалы 17
Кольца4 17
Подкольца. Идеалы 19
Фактор-кольца. Гомоморфизмыколец 21
Глава III. Теория сравнений и ее арифметические приложения ....25
Сравнения первой степени с одним неизвестным 25
Системы сравнений первой степени с одним неизвестным...27
Решение двучленных сравнений с помощью индексов ....28
Арифметические приложения теории сравнений 29
Приложения 32
Примерные варианты контрольных работ —
Таблица простых чисел, меньших 1000 —
Решение варианта 0 33
Таблицы индексов по простым модулям, меньших 100....36
Ответы 40
Александра Афанасьевна Кочева
ЗАДАЧИ ИК-ПРАКТИКУМПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Часть III
Заведующий редакцией Р. А. ХабибРедактор Л. В. АнтоноваХудожественный редактор Е. Н. КарасикТехнический редактор И. Ю. ЩукинаКорректор Р. Б. Штутман
Н/К
Сдано в набор 14 12 83 Подписано к печати 23 08 84 Формат 60 X 90*/1в Бум. типограф №2.
Гарнит. лит Печать высокая Ус л печ. л 2,5 Усл кр отт 2,69 Уч-изд л. 2,13. Тираж 27 000 экзЗаказ № 745. Цена 5 коп
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитетаРСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Саратов, ул Чернышевского, 59
К. А. Кочева
ЗАДАЧИ И К-П РАКТИ КУМ ПО АЛГЕБРЕ
И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Часть III
Московский государственный заочный педагогический институт
А. А. Кочева
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
ПО АЛГЕБРЕ
И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Часть III
Рекомендовано Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведений Министерства прбсвешрния РСФСР
Учебное пособие
для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1984
ББК 22.14
К75
Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент Полянский А. А. (Куйбышевский пединститут), кандидат физ.-мат. наук, доцент Федулова Т. М. (Куйбышевский пединститут), доцент Казачек Н. А. (Калужский пединститут).
Редактор МГЗПИ Павлович О. А.
Кочева А. А.
К75 Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Ч. III. Для студейтов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов. — М.: Просвещение, 1984. — 41 с. — Моск. гос. заоч. пед. ин-т.
ББК22.14517.1ББК22.14517.14309020400—705
ББК22.14
517.1
ББК22.14
517.1
К .^ /мх—— заказное
103 (03) — 84
©Московский государственный заочный педагогический инсшут (МГЗПИ), 1984 г.