Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Двухфазные дисперсные течения встречаются во многих природных и технических условиях и практически всегда такие течения являются турбулентными. В настоящее время двухфазные турбулентные течения представляют собой один из наиболее интенсивно развивающихся разделов механики и теплообмена. Целью данной книги является развитие теории и разработка континуального статистического метода моделирования гидродинамики и теплообмена в двухфазных дисперсных турбулентных течениях на основе кинетических уравнений для функции плотности вероятности (ФПВ) скорости и температуры частиц дисперсной фазы. Основные теоретические проблемы, рассмотренные в книге, состоят в исследовании механизмов взаимодействия частиц с турбулентными вихрями несущей сплошной среды (жидкости) и столкновений частиц друг с другом в турбулентных потоках. Особенное внимание уделяется явлению аккумулирования (кластеризации) частиц в пристеночной и однородной турбулентности.
Статистический подход на основе функций распределения в фазовом пространстве является мощным инструментом построения теоретических моделей в различных областях физики: молекулярная теория газов и жидкостей (уравнение Больцмана и цепочка уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда), движение броуновских частиц (уравнение Фоккера-Планка), физика плазмы (кинетическое уравнение Власова), теория коагуляции (уравнение Смолуховского-Мюл- лера) и т.д. Этот метод нашел применение и для развития теории дисперсных турбулентных течений в работах И. В. Деревича, В. И. Кляцкина, Т. Эльперина, M.W. Reeks, О. Simonin, К. Е. Hyland, D. С. Swailes, J. Pozorski, J.-Р. Minier, R. V. R. Pandya, F. Mashayek, L. X. Zhou и авторов настоящей книги. Все эти работы опубликованы в периодической печати. Однако в известных монографиях (например, Шрайбер и др., 1987; Gorbis & Spokoyny, 1995; Crowe et al., 1998; Вараксин, 2003), посвященных двухфазным турбулентным течениям, статистический метод моделирования на основе функций распределений практически не нашел отражения.
Представленная книга является первой монографией, посвященной последовательному изложению статистических моделей движения, теплообмена, дисперсии и аккумулирования частиц в турбулентной жидкости на основе функций распределения. Основу книги составляют полученные авторами результаты, однако также достаточно полно отражены наиболее значительные достижения других исследователей в области построения статистических моделей дисперсных турбулентных течений.
В книге показано, как решаются различные физические задачи, связанные с движением, теплообменом, дисперсией и аккумулированием
инерционных частиц, при помощи статистических моделей, основанных на одноточечной и двухточечной ФПВ. Одной из главных задач книги является также развитие рациональных подходов для моделирования явления аккумулирования (кластеризации) частиц в неоднородных и однородных турбулентных потоках. В качестве примеров приложения представленных статистических моделей рассматривается поведение частиц в изотропной, однородной сдвиговой и пристеночной турбулентности. Естественно, в книге нашли отражение далеко не все вопросы, связанные с двухфазными дисперсными течениями, что объясняется невозможностью в рамках одной монографии охватить все аспекты такой сложной проблемы.
Во Введении рассмотрены теоретические проблемы, основные направления и современные методы моделирования двухфазных дисперсных турбулентных течений.
Глава 1 носит вводный характер. В ней приведены характеристики однородной изотропной турбулентности и показано поведение частиц в изотропной турбулентной жидкости.
Глава 2 занимает центральное место, так в ней описывается метод построения кинетического уравнении для одноточечной (одночастичной) ФПВ распределения скорости частиц в турбулентной жидкости, моделируемой гауссовым случайным процессом. Полученное кинетическое уравнение используется для построения континуальных транспортных (дифференциальных) и алгебраических моделей для расчета гидродинамических характеристик (моментов) дисперсной фазы. В качестве примеров приложения представленных моделей рассматривается поведение частиц в однородном сдвиговом слое, пристеночной области турбулентного потока и вертикальном канале.
В главе 3 рассматривается теплообмен частиц, находящихся в градиентном турбулентном потоке. Развиваемый в данной главе статистический метод моделирования движения и теплообмена дисперсной среды основан на кинетическом уравнении для совместной ФПВ распределений скорости и температуры частиц. Представлены континуальные транспортные и алгебраические модели для расчета теплообмена в дисперсной фазе.
Излагаемый в главе 4 метод моделирования столкновений частиц в турбулентных потоках основан на предположении, что совместная ФПВ скоростей жидкости и частиц является коррелированным гауссовым распределением. Для учета анизотропии пульсаций скоростей частиц предложено обобщение известного в кинетической теории газов метода Грэда с целью учета коррелированности движения сталкивающихся частиц. Представленные статистические модели позволяют получить аналитические зависимости для частоты столкновений частиц и «столкновительных членов» в транспортных уравнениях для моментов дисперсной фазы, однако не учитывают эффект аккумулирования частиц.
Глава 5 посвящена статистическому описанию относительного движения двух одинаковых частиц в однородной изотропной турбулентности. Описание относительного движения частиц требует привлечения двухточечных статистических характеристик турбулентности. Представленный подход основан на кинетическом уравнении для ФПВ относительной скорости пары частиц и развивает изложенный в главах 2 и 3 одноточечный (одночастичный) статистический метод на двухточечный (двухчастичный). Явление кластеризации в однородной турбулентности интерпретируется как результат миграции частиц под действием силы турбофореза в пространстве относительного движения пары частиц. Эта сила стремится уменьшить расстояние между частицами, т.е. вызывает притяжение частиц друг к другу вследствие их взаимодействия с турбулентными вихрями.
В главе 6 рассматривается поведение бидисперсной системы, состоящей из частиц двух сортов, в однородном турбулентном потоке. Анализ бидисперсной смеси имеет принципиальное значение, так как легко обобщается на общий случай полидисперсной системы частиц. Для описания характеристик дисперсной фазы привлекаются два подхода, расширяющие представленные в 4-ой и 5-ой главах статистические модели на случай бидисперсных частиц.
В книгу вошли результаты, полученные при поддержке грантов РФФИ 97-01-00398, 99-02-17001, 02-02-16520, 05-08-01292. Издание книги поддержано грантом РФФИ 06-08-06008.
Введение
Теоретическому и экспериментальному исследованию двухфазных дисперсных турбулентных течений посвящены книги Шрайбера и др. (1987), Zhou (1993), Волкова и др. (1994), Gorbis & Spokoyny (1995), Crowe et al. (1998), Вараксина (2003) и обзоры Eaton & Fessler (1994), Elghobashi (1994), McLaughlin (1994), Crowe et al. (1996), Simonin (1996), Зайчика и Першукова (1996), Loth (2000), Sommerfeld (2000), Mashayek & Pandya (2003). В этих книгах и обзорах освещены многие вопросы, связанные с гидродинамикой и теплообменом дисперсных турбулентных течений. В настоящей книге рассматривается движение, теплообмен, дисперсия и аккумулирование небольших тяжелых частиц в турбулентном потоке без учета обратного влияния (модуляции) частиц на турбулентность. Таким образом, турбулентные характеристики сплошной среды считаются известными и не зависящими от присутствия дисперсной фазы. Частицы считаются небольшими по сравнению с пространственным микромасштабом турбулентности и тяжелыми, если плотность их материала много больше плотности несущей сплошной среды. Движение небольших тяжелых частиц в турбулентном потоке встречается во многих природных явлениях и технологических процессах. Распространение атмосферных аэрозолей, формирование дождевых капель, эволюция кучевых облаков и динамика песчаных бурь представляют примеры природных явлений. Примерами технологических процессов являются горение распыленного твердого и жидкого топлива, сепарация капель и аэрозолей в циклонах, пневмотранспорт угольной пыли и т.д.
Расчет двухфазного течения должен включать моделирование переноса массы, импульса и тепла для каждой из фаз, а также межфазного взаимодействия. Основные принципиальные трудности, возникающие при построении теории двухфазных дисперсных турбулентных потоков, связаны с турбулентным характером движения среды и взаимодействием частиц между собой и с ограничивающими поверхностями. Прежде всего нужно отметить, что к настоящему времени далеко от завершения даже построение теории однофазных турбулентных потоков, хотя для описания таких течений предложен целый ряд достаточно эффективных моделей и расчет многих из них не вызывает принципиальных сложностей. Несмотря на то, что первая работа по теории дисперсных турбулентных течений появилась относительно давно (Ба- ренблатт, 1953), интенсивное развитие этой области механики и теплообмена началось только в последние 20 лет. Основные теоретические проблемы, возникающие при моделировании двухфазных дисперсных турбулентных течений по сравнению с однофазными, связаны со следующими физическими процессами: взаимодействием частиц (капель, пузырьков) с турбулентным вихрями сплошной фазы; взаимодействием
частиц друг с другом в результате столкновений; эволюцией спектра частиц по размерам вследствие горения, фазовых переходов, коагуляции или дробления; влиянием турбулентных флуктуаций на скорости гетерогенного горения и фазовых переходов; взаимодействием частиц с ограничивающей поток поверхностью и осаждением; обратным влиянием частиц на турбулентность; дисперсией, аккумулированием и флуктуациями концентрации частиц. Как уже было сказано, в книге не будет анализироваться проблема обратного влияния частиц на турбулентность, что допустимо при небольшой массовой концентрации дисперсной фазы в потоке. Кроме того, также не будет рассматриваться эволюция спектра частиц по размерам.
Существующие методы расчета двухфазных дисперсных турбулентных течений могут быть разделены на две группы. К первой группе относятся работы, основанные на лагранжевом траекторном описании дисперсной фазы — решении уравнений движения и энергии вдоль траекторий отдельных частиц. Учет в рамках такого подхода случайного характера движения частиц, обусловленного взаимодействием с турбулентными вихрями несущего потока, в результате интегрирования динамических стохастических уравнений типа Ланжевена вдоль индивидуальных траекторий с последующим осреднением решений по ансамблю начальных данных приводит к существенному увеличению объема вычислений, т.к. для получения статистически достоверной информации необходимо использовать достаточно представительный ансамбль реализаций. Детерминированное лагранжево описание движения и теплообмена дисперсной фазы в турбулентном потоке на основе решения уравнений только для средних величин, т.е. без учета взаимодействия со случайными полями пульсаций скорости и температуры сплошной фазы, может быть оправданным (хотя и не всегда) только для очень инерционных частиц, время релаксации которых намного больше интегрального масштаба турбулентности и которые поэтому слабо вовлекаются в турбулентное движение. С уменьшением размера частиц репрезентативное число реализаций должно возрастать, т.к. увеличивается вклад взаимодействия частиц с вихрями все меньших размеров. Трудоемкость динамического лагранжева моделирования в значительной степени увеличивается в высококонцентрированных дисперсных потоках вследствие возрастания «запутанности» траекторий из-за столкновений частиц, а также при изменении числа (рождении или исчезновении) частиц в результате коагуляции, дробления, спонтанного зародышеобразования и т.д. Лагранжев траекторный подход позволяет получать детальную информацию о взаимодействии частиц с турбулентными вихрями, со стенками и друг с другом, однако требует очень больших затрат времени при расчете сложных течений, встречающихся в природных или промышленных условиях.
Другой метод моделирования основан на эйлеровом континуальном описании обеих фаз •— на так называемых двухжидкостных моделях в рамках механики взаимопроникающих гетерогенных сред.
Существенным преимуществом эйлерова континуального подхода по сравнению с лагранжевым траекторным моделированием является использование балансных уравнений одного типа для обеих фаз и соответственно единого алгоритма решения всей системы уравнений. Кроме того, описание динамики очень мелких частиц не вызывают никаких принципиальных трудностей, т.к. при стремлении массы частицы к нулю осуществляется предельный переход к задаче о турбулентной диффузии безынерционной (пассивной) примеси. И, наконец, учет столкновений и изменения числа частиц в рамках континуального подхода не приводит к такому значительному росту объема и усложнению вычислений, как при лагранжевом моделировании.
В целом, лагранжев траекторный и эйлеров континуальный методы моделирования дополняют друг друга, каждый из них имеет свои преимущества и недостатки и, следовательно, свои области приложения. Лагранжев метод применим для существенно неравновесных течений (крупные инерционные частицы, разреженные дисперсные среды), а эйлеров метод справедлив в условиях, близких к равновесным (мелкие малоинерционные частицы, концентрированные дисперсные среды). Поскольку дисперсная фаза обладает одновременно свойствами континуума и дискретных частиц, ситуация с этими двумя подходами несколько напоминает известный дуализм «волна-частица» в микромире. Поэтому Pialat et al. (2005) предложили гибридный лагранжевоэйлеров метод, сочетающий детальность лагранжева и эффективность эйлерова подходов к описанию дисперсной фазы.
Наиболее точная и детальная информация о структуре турбулентного двухфазного потока может быть получена на основе применения метода прямого численного моделирования (DNS) для несущей сплошной среды в сочетании с лагранжевым стохастическим подходом для дисперсной фазы. При прямом численном моделировании описывается весь спектр турбулентных вихрей, включая мелкомасштабные, ответственные за диссипацию энергии турбулентности. Однако DNS требует больших затрат времени даже при привлечении самых быстродействующих компьютеров и поэтому используется, главным образом, как численный эксперимент для тестирования или калибровки более экономичных методов расчета турбулентных течений. В методе крупных вихрей (LES) производится прямое моделирование только крупных вихрей, пространственный масштаб которых превышает размер численной сетки, а мелкомасштабные (подсеточные) моды оказываются вне пределов разрешимости и описываются полуэмпирическим путем. LES применим для моделирования поведения частиц, время динамической релаксации которых много больше временного микромасштаба турбулентности (Armenio et al., 1999; Boivin et al., 2000; Yamamoto et al., 2001; Kuerten & Vreman, 2005; Fede & Simonin, 2006). Это ограничение вытекает из требования, чтобы вклад подсеточных флуктуаций (т.е. мелкомасштабной турбулентности) в статистику дисперсной фазы был пренебрежимо мал и определяющую роль играло взаимодействие
частиц с крупномасштабными энергосодержащими турбулентными вихрями. Однако даже применение LES для сплошной среды в сочетании с лагранжевым стохастическим подходом для дисперсной фазы все равно может оказаться слишком дорогостоящим инструментом для практических приложений. Поэтому в ряде работ (Druzhinin & Elghobashi, 1998; Ferry & Balachandar, 2001, 2005; Pandya & Mashayek, 2002a; Rani & Balachandar, 2003; Kaufman et al., 2004; Moreau et al., 2005) развиваются перспективные методы, основанные на использовании DNS и LES в рамках континуального двухжидкостного подхода. Эффективным базисом для развития прямых континуальных и комбинированных лагранжево-эйлеровых методов моделирования дисперсных течений представляется теоретический формализм, состоящий в разложении поля скорости частиц в турбулентном потоке на «коррелированную» и «квазиброуновскую» составляющие скорости (Simonin et al., 2002; Fevrier et al., 2005).
В книге представлены континуальные модели движения, теплообмена, дисперсии и аккумулирования частиц в турбулентных потоках, основанные на функции плотности вероятности (ФПВ). Статистический подход, базирующийся на кинетических уравнениях для плотностей вероятности распределений скоростей, температур и других представляющих интерес характеристик частиц дисперсной фазы, является наиболее последовательным методом построения континуальных моделей, т.е. вывода системы уравнений гидродинамики и тепломассо- переноса для дисперсной фазы. Впервые такой подход для описания псевдотурбулентного течения дисперсной среды, флуктуации параметров которой обусловлены случайной конфигурацией частиц, применил, по-видимому, Buyevich (1971) на основе классического уравнения Фоккера-Планка. Введение ФПВ позволяет получить статистическое описание ансамбля частиц вместо динамического описания отдельных частиц на основе уравнений движения и теплопереноса типа Лан- жевена. Естественно, при статистическом моделировании на основе ФПВ происходит некоторая потеря информации в отношении индивидуальных особенностей поведения отдельных частиц. Однако эта «неполнота» динамической информации в поведении отдельных частиц компенсируется увеличением информации о статистических закономерностях движения и теплообмена коллектива частиц (дисперсной фазы в целом). Применение статистического метода на основе кинетических уравнений позволяет единым образом описывать как взаимодействия частиц с турбулентностью, так и межчастичное взаимодействие в результате столкновений. Взаимодействие частиц с турбулентными вихрями моделируется дифференциальным оператором второго порядка (типа Фоккера-Планка), а взаимодействия частиц друг с другом при столкновениях описывается интегральным оператором (типа Больцмана). Однако для большинства практических целей решение кинетического уравнения не только очень дорого с вычислительной точки зрения, но и не является необходимым, поскольку первые несколько
моментов ФПВ достаточны для описания основных макроскопических свойств течения. Для построения замкнутой системы моментных уравнений (обрыва бесконечной цепочки уравнений для статистических моментов ФПВ) в книге привлекаются различные подходы, в том числе и классические методы Чепмена-Энскога и Грэда, на которых основаны все известные гидродинамические модели в механике сплошной среды.
При моделировании движения частиц в разреженной дисперсной среде, т.е. при небольшой объемной концентрации дисперсной фазы, основное внимание должно уделяться взаимодействию частиц с турбулентными вихрями несущего потока, поскольку роль взаимодействия частиц между собой незначительна. Однако с повышением концентрации и размера частиц возрастает вклад межчастичных взаимодействий в перенос импульса и энергии дисперсной фазы. Хаотическое движение частиц, обусловленное их взаимодействием, получило название псевдотурбулентности (чтобы отличить от турбулентного движения частиц, связанного с их вовлечением в турбулентное движение несущего потока). Причиной возникновения псевдотурбулентных флуктуаций может явиться как гидродинамическое взаимодействие между частицами, реализуемое посредством обмена импульсом и энергией со случайными полями скорости и давления окружающей среды (Buyevich, 1972b; Koch, 1990), так и непосредственное взаимодействие в результате столкновений. С ростом концентрации и размера частиц роль обмена импульсом и энергией между частицами в результате столкновений по сравнению с гидродинамическим взаимодействием возрастает. В концентрированных дисперсных средах определяющую роль в формировании статистических свойств системы играют межчастичные столкновения, и теоретический анализ этой проблемы подобен аналогичной кинетической проблеме в теории молекулярного движения газа (Chapman & Cowling, 1970; Lun et al., 1984; Jenkins & Richman, 1985; Ding & Gidaspow, 1990). Процессы взаимодействия частиц с турбулентными вихрями и межчастичных столкновений можно считать статистически независимыми только в случае очень инерционных частиц, время динамической релаксации которых много больше характерного времени взаимодействия с турбулентными вихрями и поэтому их относительное движение некоррелировано и аналогично хаотическому движению молекул. В случае малоинерционных частиц необходимо учитывать взаимное влияние взаимодействий «частица-турбулентность» и «частица-частица».
Как уже отмечалось, вычислительные трудности лагранжева траекторного моделирования резко возрастают с увеличением концентрации дисперсной фазы. Это связано, в первую очередь, с необходимостью одновременного расчета траекторий очень большого числа частиц, участвующих в разыгрываемой ситуации. Эффективный способ преодоления этих трудностей был предложен Oesterle & Petitjean (1991, 1993), Sommerfeld & Zivkovic (1992), Sommerfeld (1999) путем замены коллектива сталкивающихся частиц моделированием движения образцовой частицы с введением плотности вероятности соударений с
фиктивными (виртуальными) частицами. Эффективным подходом для моделирования соударений частиц является также применение метода Монте-Карло (Tanaka et al., 1991; Fede et al., 2002; Moreau et al., 2004). Однако и в этих подходах с увеличением концентрации необходимое количество расчетных траекторий для получения статистически достоверного ансамбля реализаций должно возрастать. Поэтому область применения эйлерова континуального метода моделирования расширяется с ростом концентрации дисперсной фазы, когда увеличивается частота межчастичных столкновений.
Образование кластеров — компактных областей со значительно повышенной концентрацией дисперсной фазы, окруженных зонами с низкой концентрацией — представляет собой одно из наиболее интересных и сложных явлений, обусловленных взаимодействием частиц с турбулентными вихрями (Squires & Eaton, 1991с). Следует различать два класса течений, в которых могут образовываться кластеры: неоднородные и однородные турбулентные потоки. Явление кластеризации (аккумулирования) тяжелых частиц в неоднородных турбулентных потоках объясняется их турбулентной миграцией (турбофорезом) из области с высокой интенсивностью турбулентных пульсаций скорости в зону с низкой степенью турбулентности (Caporaloni et al., 1975; Reeks, 1983). Однако эффект кластеризации инерционных частиц имеет место и в однородной турбулентности, где отсутствуют градиенты пульсаций скорости несущего потока и, следовательно, механизм транспорта частиц под действием турбофореза в его традиционном понимании не имеет места. Образующиеся кластерные структуры могут иметь меньшую фрактальную размерность, чем размерность физического пространства (Вес 2003, 2005). Кластеризация частиц в однородной турбулентности не учитывается в большинстве известных теоретических моделей, предложенных для расчета столкновений, дисперсии, седиментации и коагуляции частиц в турбулентных потоках. Эти модели, как правило, основаны на предположении, что частицы случайным образом равномерно распределены в пространстве, и, следовательно, эффект аккумулирования полностью игнорируется. Однако, несмотря на стохастическую природу турбулентности, распределение инерционных частиц в турбулентных потоках не является случайным и эффект аккумулирования в существенной степени обусловлен инерцией частиц при их взаимодействии с когерентными вихревыми структурами турбулентной сплошной среды.
Для иллюстрации явления аккумулирования на рис. В.1 представлены результаты прямого численного моделирования (Reade & Collins, 2000) мгновенных полей распределения частиц в однородной изотропной турбулентности при различных значениях числа Стокса St, характеризующего инерционность частиц и равного отношению времени релаксации частицы к колмогоровскому временному микромасштабу. Локальное повышение концентрации тяжелых частиц наблюдается в областях с малой завихренностью вследствие действия центробежной
силы и обусловлено, главным образом, взаимодействием частиц с мелкомасштабными вихревыми структурами. Поэтому наиболее явственно эффект кластеризации проявляется при совпадении времени динамической релаксации частиц и временного колмогоровского микромасштаба турбулентности.
Рис. 1. Эффект аккумулирования частиц в однородной изотропной турбулентности (Reade & Collins, 2000)
Явления аккумулирования и образования кластеров инерционных частиц в результате турбулентных флуктуаций концентрации играют важную роль в самых различных физических процессах: от горения твердого и жидкого топлива (Takeuchi & Douhara, 2005) до формирования планет из туманности (Cuzzi et al., 2001). Особенно существенную роль эффект аккумулирования частиц играет в атмосферных процессах при больших числах Рейнольдса. По-видимому, только учет этого эффекта при расчете скорости коагуляции позволяет объяснить феномен быстрого роста капель в дождевых облаках (Pinsky & Khain, 1997; Falkovich et al., 2002), а также отклонение от экспоненциального закона Beer-Lambert для затухания излучения в запыленной среде (Shaw et al., 2002). Поэтому одной из главных задач книги является развитие рациональных подходов для описания аккумулирования частиц в неоднородных и однородных турбулентных потоках. В частности, как показано в Marchioli & Soldati (2002) и других работах, аккумулирование (.сегрегация^ инерционных частиц в пристеночных течениях возникает благодаря их взаимодействию с когерентными вихревыми структурами. Следовательно, интересно выяснить, могут ли континуальные модели воспроизвести и эффективным образом учесть эффекты взаимодействия частиц с когерентными структурами.
Основная цель данной книги состоит в том, чтобы показать, как решаются различные физические задачи, связанные с движением инерционных частиц, при помощи статистических моделей, основанных на одноточечной и двухточечной ФПВ. Следует отметить, что существует целый ряд явлений (например,«аккумулирование и повышение скорости седиментации частиц в однородной турбулентности, влияние частиц на диссипацию турбулентной энергии), которые в принципе не могут быть описаны на основе традиционных одноточечных эйлеровых моделей. Очевидно, что с ростом инерционности увеличивается размер области, о которой частица сохраняет «память» в результате взаимодействия с турбулентной жидкостью. Поэтому применение двухточечных моделей для описания статистики инерционных частиц даже более актуально, чем в теории однофазной турбулентности. В качестве главного критерия адекватности представленных моделей принимаются согласие с известными из литературы результатами численного моделирования на основе DNS или LES для сплошной фазы в сочетании с лагранжевым траекторным методом для дисперсной фазы. Такой подход дает мощный инструмент для верификации моделей, поскольку численные эксперименты в отличие от физических позволяют выделить исследуемое явление в «чистом» виде без влияние усложняющих и искажающих факторов.
Глава 1
ДВИЖЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН ЧАСТИЦВ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙТУРБУЛЕНТНОСТИ
Наиболее простым и изученным типом турбулентного течения является статистически однородная изотропная стационарная турбулентность в несжимаемой жидкости. Поэтому предлагаемые новые модели турбулентного переноса импульса и тепла, прежде всего, должны апробироваться на изотропной турбулентностй. Очевидно, что применительно к крупномасштабным вихревым структурам понятие изотропной турбулентности представляет собой математическую идеализацию, так как такие течения практически не встречаются в природных условиях или технических устройствах. Однако хорошо известно, что поля мелкомасштабных флуктуаций скорости и температуры при больших числах Рейнольдса могут считаться практически однородными и изотропными, т.е. рассматриваться в рамках понятия локально изотропной турбулентности (Монин и Яглом, 1967). Мелкомасштабные вихревые структуры ответственны за диссипацию турбулентной энергии, а также играют решающую роль в явлении аккумулирования (кластеризации) частиц в турбулентном потоке. Таким образом, исследование изотропной турбулентности имеет фундаментальное значение как в однофазных, так и в двухфазных течениях.
LL Характеристики однородной изотропнойтурбулентности
В настоящем разделе будут представлены некоторые характеристики однородной изотропной стационарной турбулентности в несжимаемой жидкости, необходимые в дальнейшем для описания статистического поведения частиц. При этом нам потребуются как лагранжевы, так и эйлеровы характеристики турбулентности.
Лагранжевы корреляции отражают связь между скоростями и другими характеристиками турбулентности в точках, расположенных вдоль траекторий движения элементов сплошной среды (жидких частиц). Так, лагранжев одночастичный (одноточечный) корреляционный
Характеристики однородной изотропной турбулентности 17 момент пульсаций скорости сплошной среды (жидкости) определяется соотношением
Bl гА^ = (^i (х, t) u< (R (t - т), t - г) | R (t) = x) =
= ^1^,^=^645, (1.1.1)
где R — вектор траектории жидкой частицы, ^l^ — лагранжева автокорреляционная функция, ^и^ — рейнольдсовы турбулентные напряжения в сплошной среде, и'2 = (^п^)/3 — интенсивность пульсаций скорости жидкости. Здесь и в дальнейшем угловые скобки обозначают осреднение по ансамблю реализаций турбулентных полей скорости и температуры сплошной среды.
Тензор турбулентной диффузии жидких частиц выражается через лагранжев корреляционный момент как
^М (т) = J ®ь ^ (£) ^’о
откуда асимптотическое выражение при больших временах имеет вид
Dij-DtSij, Dt=u'2TL)(1.1.2)
где Dt — коэффициент турбулентной диффузии безынерционной при- оо
меси, Tl = | Фь(т)с?т — лагранжев интегральный временной масштаб, о
Наиболее часто используемой в литературе аппроксимацией для автокорреляционной функции является экспоненциальная зависимость
Ф£(т) = ехр(-^).(1.1.3)
Формула (1.1.3) хорошо описывает экспериментальные данные и результаты прямого численного моделирования при относительно больших числах Рейнольдса за исключение области малых значений т. Поведение автокорреляционной функции (1.1.3) в окрестности т = 0 является некорректным, поскольку Ф^ (0) / О-
В изотропной турбулентности лагранжев интегральный масштаб Tl может быть выражен через кинетическую энергию турбулентности & — (^п^п)/^ и скорость ее диссипации е = v{du,n/dxk * ди^/дхь) при помощи соотношения Tl = 4fc/3Cos, где Со — величина, получившая название постоянной Колмогорова. Величина Со зависит от числа Рейнольдса при конечных его значениях, однако является универсальной константой в пределе больших чисел Рейнольдса Сооо- Данные прямого численного моделирования, приведенные на рис. 1.1.1, свиде-
Рис. 1.1.1. Зависимость лагранжева интегрального масштаба от числа Рейнольдса: / — (1.1.4), 2 — Yeung & Pope (1989), 3 — Yeung (1997), 4 — Yeung (2001), 5 — Fevrier et al. (2001), 6 — Mazzitelli & Lohse (2004)
тельствует, что постоянная Колмогорова может быть аппроксимирована зависимостью
= СоооНед с 7> с 32,
Нед + Ci
а лагранжев интегральный масштаб турбулентности, отнесенный к колмогоровскому временному микромасштабу, описан линейной зависимостью от числа Рейнольдса (рис. 1.1.1)
(LI.4)(LI.4)- = Tl = 2(ReA + Ci)
(LI.4)
(LI.4)
L тк 15V2c0oo
Асимптотическое значение постоянной Колмогорова при Нед —> оо в соответствии с Sawford (1991) выбрано равным 7. Здесь Нед = = (ISiz'4/^)1/2 — число Рейнольдса, основанное на тейлоровом пространственном микромасштабе; тк = (zz/s)1/2 — колмогоровский временной масштаб; v — коэффициент кинематической вязкости жидкости.
С целью описания Ф^ во всем диапазоне изменения т, включая окрестность т = 0, может быть привлечена двухмасштабная би-экспоненциальная аппроксимация (Sawford, 1991)
ФЦт) = -L (1 + ^ехр^-Zia\
2т
(1 + зг)т£
зг = (1 -2^2)1/2
— (1 — Э?)ехр
тт
TL’
2т V
(1.1.5)
где тт — тейлоров временной дифференциальный масштаб. Отметим, что при 2г2 > 1 (1.1.5) представляется в виде
Фь(т) = - ехрФь(т) = - ехрт A L / Nt АК = (2? - 1)'/!.т A L / Nt АК = (2? - 1)'/!.+ sin+ sinКт X^tL)Кт X^tL)
Фь(т) = - ехр
Фь(т) = - ехр
т A L / Nt А
К = (2? - 1)'/!.
т A L / Nt А
К = (2? - 1)'/!.
+ sin
+ sin
Кт X
^tL)
Кт X
^tL)
Тейлоров временной масштаб определяется выражением
_ / 2ReA У/2Тт US^aJ Tk_ / 2ReA У/2Тт US^aJ Tk(1.1.6)(1.1.6)
_ / 2ReA У/2Тт US^aJ Tk
_ / 2ReA У/2Тт US^aJ Tk
(1.1.6)
(1.1.6)
Величина ао в (1.1.6) представляет собой амплитуду флуктуаций ускорения в изотропной турбулентности согласно соотношению ^а^ = а^Е^^и""х^§гз- В соответствии с данными прямого численного моделирования (Yeung & Pope, 1989; Vedula & Yeung, 1999; Goton & Fukayama, 2001) для малых и умеренных чисел Рейнольдса, экспериментальными данными Voth et al. (2002) для осевой и поперечной компонент флуктуаций ускорения и результатами экспериментов (Voth et al, 1998) при относительно больших числах Рейнольдса (в диапазоне от 900 до 2000) зависимость ао от Нед аппроксимируется формулой (рис. 1.1.2)
^01 ^ОооВвД- ।Г)ЛС7/11
ао =, aoi = ll, аог = 2О5, аооо = 7.(1.1.7)
ао2 + Нед
Рис. 1.1.2. Зависимость ао от числа Рейнольдса: / — (1.1.7); 2 — ао = 0,052 (Vedula & Yeung, 1999); 3 — ао = 7 (Voth et al., 1998); 4 — Yeung & Pope (1989); 5 — Vedula & Yeung (1999); 6 — Goton & Fukayama (2001); 7 — осевая компонента (Voth et al, 2002); 8 — поперечная компонента (Voth et al., 2002);9 — Bec et al. (2006); 10 — Yeung et al. (2006)Рис. 1.1.2. Зависимость ао от числа Рейнольдса: / — (1.1.7); 2 — ао = 0,052 (Vedula & Yeung, 1999); 3 — ао = 7 (Voth et al., 1998); 4 — Yeung & Pope (1989); 5 — Vedula & Yeung (1999); 6 — Goton & Fukayama (2001); 7 — осевая компонента (Voth et al, 2002); 8 — поперечная компонента (Voth et al., 2002);9 — Bec et al. (2006); 10 — Yeung et al. (2006)
Рис. 1.1.2. Зависимость ао от числа Рейнольдса: / — (1.1.7); 2 — ао = 0,052 (Vedula & Yeung, 1999); 3 — ао = 7 (Voth et al., 1998); 4 — Yeung & Pope (1989); 5 — Vedula & Yeung (1999); 6 — Goton & Fukayama (2001); 7 — осевая компонента (Voth et al, 2002); 8 — поперечная компонента (Voth et al., 2002);
9 — Bec et al. (2006); 10 — Yeung et al. (2006)
Рис. 1.1.2. Зависимость ао от числа Рейнольдса: / — (1.1.7); 2 — ао = 0,052 (Vedula & Yeung, 1999); 3 — ао = 7 (Voth et al., 1998); 4 — Yeung & Pope (1989); 5 — Vedula & Yeung (1999); 6 — Goton & Fukayama (2001); 7 — осевая компонента (Voth et al, 2002); 8 — поперечная компонента (Voth et al., 2002);
9 — Bec et al. (2006); 10 — Yeung et al. (2006)
Эйлеровы корреляции выражают связь между параметрами турбулентной среды в фиксированных точках пространства. Так, эйлеров пространственно-временной корреляционный момент пульсаций скорости жидкости определяется как
ВБ ij (Г, Т) = («' (Х, t) U< (х - Г, t - т)).
Здесь и в дальнейшем эйлеровы корреляции определяются в системе координат, движущейся со средней скоростью среды. Общепринятым допущением является представление пространственно-временного корреляционного момента второго порядка в виде произведения пространственной и временной корреляций
Be ц (г, т) = Ву (г) ФЕ (т),
Bij (г) = (и- (х, t) u'j (х - г, t)), Bij(0) = г^бу,
где В^ (г) — эйлеров двухточечный одновременной корреляционный момент, а Ф#(т) — эйлерова временная одноточечная автокорреляционная функция пульсаций скорости.
В однородной изотропной турбулентности любой тензор второго ранга может быть представлен в виде (Монин и Яглом, 1967)
Mij (г. т) = мпп (г, т) 5ij + VMu (г, т) - Мпп (г, г)] ^,(1.1.9)
где Мц и Мпп — продольная и поперечная по отношению к вектору г компоненты тензора, г = |г| — расстояние между двумя точками. Для соленоидального (бездивергентного) изотропного поля, которым является поле скорости и(х) в несжимаемой жидкости, справедливо следующее соотношение между продольной и поперечной компонента-
Мпп (г, т) = Ми (г, т) + Г -Ми^’Т).(1.1.10)
2 ОТ
В соответствии с (1.1.9) и (1.1.10) В^ (г) имеет вид
Ву (г) = и'2 {G(r)6ij + [^(r) - G(r)] ^},
VTdF^ Г J (1.1.11)
где F (г) и G (r) — продольная и поперечная пространственные эйлеровы корреляционные функции.
Простейшими широко распространенными аппроксимациями эйлеровых пространственной и временной корреляционных функций являются экспоненциальные зависимости
Г (г) = ехр(-у), Фе (г) = ехр(-^-\(1.1.12)
характеризуемые интегральными пространственным и временным масштабами L и Те- Соответствующая аппроксимации (1.1.12) поперечная пространственная корреляционная функция имеет вид
Как следует из (1.1.13), поперечная корреляционная функция становится отрицательной при больших значениях г. Этот «отрицательный хвост» возникает из требования сохранения массы согласно уравнению неразрывности.
Кроме корреляционных моментов, для описания турбулентных полей полезно ввести также так называемые структурные функции, характеризующие пространственные и временные инкременты (разности) скоростей или температур. Эйлерова пространственная структурная функция второго порядка определяется соотношением
Sy (г) = (Ди- (г) Ди'- (г)) = ((и- (х + г, t) - и- (х,*)) X
х (и'- (x + r,t) - и'- (x,t))) = 2 «и<и'-) - Ву (г)). (1.1.14)
Для описания дисперсии пары жидких частиц вводятся лагранжевы двухчастичные (двухточечные) корреляционный момент и структурная функция
®L ij (г, г) = (u- (Rl (t), t) и'- (R2 (t - г), t - г)) ,
Ri (t) = x, R2 (t) = x + r,
Sl ij (r, 7) = <(u' (R2 ^ , t) - u< (Ri (t), t)) (u< (R2 (t - r), t - r) -
-u'j (Rl (t - 7), t - 7))) = 2 (BL ij (7) - BL ij (r, 7)).
Лагранжев двухточечный корреляционный момент связан с лагранжевым одноточечным и эйлеровым двухточечным корреляционными моментами очевидными соотношениями
BLij (0, т) = Вь^т), ®Lij (r,0) = Вм (г).(1.1.15)
Тензор относительной диффузии двух частиц сплошной среды может быть представлен как интеграл от лагранжевых двухточечных корреляций (Lundgren, 1981)
Тт
Dy (г, 7) = 2 j [BL ij (71) - BL ij (r, 71)] d71 = j §L ij (r, 71) dri. (1.1.16) о0
Лагранжев двухточечный корреляционный момент представляется в виде (Алипченков и Зайчик, 2003; Zaichik & Alipchenkov, 2003)
BL ij (г, т) = BL м (т) + \Bij (г) - Bij (0)] ^Lt (r|r),(1.1.17)
где Фьг(т|т) — лагранжева автокорреляционная функция, характеризующая относительное движение двух частиц, находящихся первона-
чально на расстоянии т. Видно, что с учетом Фьг(О) = 1 выражение (1.1.17) удовлетворяет соотношениям (1.1.15).
Аппроксимация (1.1.17) приводит к представлению лагранжевой двухточечной структурной функции пульсаций скоростей в виде произведения
SL0-(r,r)=S^r)*Lr^(1.1.18)
откуда следует, что ФьгМН является лагранжевой автокорреляционной функцией инкремента пульсаций скоростей жидких частиц, отделенных расстоянием т.
Подстановка (1.1.18) в (1.1.16) приводит к следующей формуле для тензора относительной диффузии при больших временах:
Пгу^ = 8^№Т1(1.1.19)
ОО
где Ты = | Фьг(т)б?т — интегральный двухточечный временной мас- о
штаб, характеризующий инкремент пульсаций скоростей двух жидких частиц.
По аналогии с (1.1.3) автокорреляционная функция инкремента пульсаций скоростей может быть аппроксимирована экспоненциальной зависимостью, х
»Lr(r|r) =ехр(-^-) ,(1.1.20)
или подобно (1.1.5) описана двухмасштабной би-экспоненциальной зависимостью
Фьг (т) = ж [(1 + ^^ (“й+Щту; "
(LL21)
Kr = (i-2Z;)I/2. Zr = ^.
Lt
где ттт — тейлоров временной дифференциальный масштаб относительной скорости двух жидких частиц.
Рассмотрим поведение структурной функции Sip коэффициента относительной диффузии Dr и интегрального временного масштаба инкремента пульсаций скоростей Тет в вязком, инерционном и внешнем пространственных интервалах. Анализ проводится в рамках гипотез подобия Колмогорова для мелкомасштабной турбулентности (Монин и Яглом, 1967). Эти гипотезы устанавливают универсальность мелкомасштабной турбулентности, т.е. подразумевают независимость характеристик турбулентности в вязком и инерционном интервалах при больших числах Рейнольдса от крупномасштабных вихревых структур. Данное допущение справедливо только при пренебрежении перемежаемостью
турбулентности, обусловленной флуктуациями скорости диссипации турбулентной энергии (Монин и Яглом, 1967; Кузнецов и Сабельников, 1986; Pope, 2000).
В вязком интервале (г ^ ту, где ту = (z/3/^)1/4 —• колмогоровский пространственный микромасштаб) первые члены разложения в ряд Тейлора эйлеровых продольной и поперечной структурных функций имеют вид (Монин и Яглом, 1967)
Su-\bv’ Snn~ \5v' (LL
При малых т разность пульсаций скоростей в двух точках может быть представлена как линейная функция от вектора, соединяющего эти точки
(1.1.23)(1.1.23)Ди • (г, т) = и • (х + Г, т) - и • (х, т) = 7у (т) Tj,
(1.1.23)
(1.1.23)
где 7^ = Эи^Эхз — градиент пульсаций скорости. В изотропном линейном поле корреляционные функции тензоров деформации и вращения представляются в виде (Girimaji & Pope, 1990; Brunk et al., 1998)
6 /2\/т \
^ik (x, t) (Tjn (x + Г, ^)) = _ ■ I 6ij6fcn + ^in^jk 'X^ik^jn I 6Xp I I , zuz/ \о/\ Ta /
„ _ 7v + 7jt ^ij n ’
sf t\ (11-24)
^ik (x, t^ ldjn (x + Г, £)) — -—— ^ij^kn ^in^jk} 6Xp I 1 , izz/\ Tw /
, , _ ^ij — 7ji
Как видно из (1.1.24), корреляционные функции деформации и вращения убывают экспоненциально с характерными временами т^ и тш, пропорциональными колмогоровскому масштабу ть Выражения для лагранжевых двухточечных корреляционных функций получаются из (1.1.23) и (1.1.24) в предположении, что распределения вектора расстояния между точками Ti и тензора градиента пульсаций скоростей ^гз статистически независимы
£Т^Slu = exp15z/£Т^Slu = exp15z/£T2 Г 1^Lnn — “1■?■ exp4z/ 5£T2 Г 1^Lnn — “1■?■ exp4z/ 5+ lexp+ lexp(1.1.25)(1.1.25)
£Т^
Slu = exp15z/
£Т^
Slu = exp15z/
£T2 Г 1
^Lnn — “1■?■ exp
4z/ 5
£T2 Г 1
^Lnn — “1■?■ exp
4z/ 5
+ lexp
+ lexp
(1.1.25)
(1.1.25)
После подстановки (1.1.25) в (1.1.16) продольная и поперечная компоненты коэффициента относительной диффузии двух элементов сплошной среды принимает вид (Brunk et al., 1997)
D
и
9
15z/ ’
Dr = —
nn 4z/
(1.1.26)
При тш = та (1.1.26) согласуется с коэффициентом относительной диффузии, полученным для вязкого интервала в Lundgren (1981). С другой стороны, из (1.1.19) и (1.1.22) следует
(1.1.27)(1.1.27),г_еТ£гГ22еТЬгт2
(1.1.27)
(1.1.27)
1115i/ ’ пп 15z/ '
Из сопоставления (1.1.26) и (1.1.27) видно, что эти выражения совпадают при Ты = тш = тст. Следовательно, в вязком интервале интегральный временной масштаб инкремента пульсаций скоростей Ты определяется как
Ты = тст = Ахтк. (1.1.28)
Lundgren (1981) для постоянной Ах теоретически получил значение V5, что хорошо согласуется со значением 2,3, определенным на основе прямого численного моделирования Girimaji & Pope (1990).
Далее рассмотрим поведение характеристик турбулентности сплошной среды в инерционном интервале (ту < г С L\ где влияние вязкости отсутствует и детали крупномасштабной конвекции не играют роли. Известные гипотезы подобия Колмогорова приводят к следующему автомодельному представлению для структурных функций второго порядка:
Su = C^rf\ Snn = |c(er)2/3, (1.1.29)
где С to 2,0 согласно Монин и Яглом (1967), Sreenivasan (1995).
Из соображений размерностей в инерционном интервале можно сконструировать только один масштаб времени e^1/3^/3, так что временной масштаб Ты должен быть принят равным
Ты = Л2£"1/3г2/3, Л2 = const. (1.1.30)
Для определения постоянной Аг привлечем соотношения для эйлеровой структурной функции третьего порядка. В изотропной турбулентности любой тензор третьего ранга может быть представлен в виде (Монин и Яглом, 1967)
Mijk (г, т) = \Мщ (г, г) - ЗМ/пп (г, г)] ^^4-
4- М1пп (г, г) 5jk 4- —бгк 4- —.
Lr г г J
Для солеидального изотропного поля справедливо соотношение
Мып (г, т) = | оМып (г, т) = | о"ЭМпДг.т)
Мып (г, т) = | о
Мып (г, т) = | о
Мщ (г, т) + г-
ОТ
свидетельствующее, что тензор третьего ранга Mijk (г, т) определяется одной продольной компонентой Мщ (т,т).
Структурные функции третьего порядка могут быть приближенно выражены через структурные функции второго порядка при помо-
щи следующих соотношений (Зайчик и Алипченков, 2004; Zaichik & Alipchenkov, 2005):
q _ I— ^^ (Q ^jk , q 9Sik ~ 9Sij\
Stjk — (An^Au^Au^.) —g ^Sm g^ + Sjn g^ 4- Зы g^ I •
""(1.1.31)
Согласно (1.1.31) продольная структурная функция третьего порядка пульсаций скоростей сплошной среды равна
Sui = -TLrSu~.(1.1.32)
ar
С учетом (1.1.29) и (1.1.30) из (1.1.32) следует
Sui = -|л2С2£г.(1.1.33)
Тогда, принимая во внимание известное соотношение Колмогорова для инерционного интервала (Монин и Яглом, 1967) •
Sill =(1.1.34)
О
из сравнения (1.1.33) и (1.1.34) получаем 2А^С2/3 = 4/5, откуда А2 = = 0,3 при С = 2,0.
При больших расстояниях между двумя точками пульсации скоростей в этих точках статистически независимы. Следовательно, во внешнем интервале (г > L) корреляционные функции обращаются в нуль, а структурные функции равны
Su = Snn = 2и'2.(1.1.35)
Кроме того, при больших г двухточечный временной масштаб переходит в обычный лагранжев интегральный временной масштаб
TLr = TL.(1.1.36)
а тензор относительной (бинарной) диффузии определяется соотношениемп
D^ = 2и'2Ть5у,(1.1.37)
т.е. равняется удвоенному тензору турбулентной диффузии одиночных жидких частиц (1.1.2).
Для непрерывного описания продольной структурной функции пульсаций скорости во всем диапазоне изменения расстояния между двумя точками г может быть использована аппроксимация Borgas & Yeung (2004), объединяющая соотношения (1.1.22), (1.1.29) и (1.1.35) для вязкого, инерционного и внешнего пространственных интервалов
г / г\1/6 г
Зц — 2и 1-ехр577——г , г = -.
\ (15С)3/4/\ 15 Зг* + (2ReA/06 УЯ
(1.1.38)
Рис. 1.1.3. Продольная (1, 2) и поперечная (3, 4) эйлеровы структурные функции второго порядка: / — (1.1.38); 5 — (1.1.38) и (1.1.39); 2, 4 — Ten Cate et al. (2004)
Поперечная структурная функция выражается через продольную в соответствии с (1.1.10) как
Snn = S« + ^^. (1.1.39) 2 от
На рис. 1.1.3 представлены пространственная и поперечная структурные функции, построенные согласно (1.1.38) и (1.1.39) при С = 2 и Нед = 61. Для сравнения также приведены структурные функции, полученные Ten Cate et al. (2004) в результате прямого численного моделирования с использованием решеточного больцмановского (lattice- Boltzmann) метода. Очевидно, что продольная структурная функция с увеличением расстояния между двумя точками монотонно стремится к удвоенному значению интенсивности пульсаций скорости. Стремление поперечной структурной функции к 2и'2 имеет немонотонный характер, т. е. Snn имеет максимум, что отражает наличие отрицательной петли в распределении поперечной пространственной корреляционной функции G(r).
Интегральный временной масштаб инкремента пульсаций скоростей может быть определен из аналогичной (1.1.38) аппроксимации, интерполирующей соотношения (1.1.28), (1.1.30) и (1.1.36) для характерных интервалов
Ты = TL 1 - expТы = TL 1 - expЛ2 \ 3/2 YIгAJ )Л2 \ 3/2 YIгAJ )-2/3 /, xl/6
Ты = TL 1 - exp
Ты = TL 1 - exp
Л2 \ 3/2 YIг
AJ )
Л2 \ 3/2 YIг
AJ )
I ^\ т TL
к^ + ^/Лз)6/Tk
(1.1.40)
Тейлоров временной микромасштаб инкремента пульсаций скоростей ттт находится из допущения, что отношение между макро- и микромасштабами не зависит от расстояния г, т.е.
ТТт =ТТт =ттТьгTl *ттТьгTl *(1.1.41)(1.1.41)
ТТт =
ТТт =
ттТьгTl *
ттТьгTl *
(1.1.41)
(1.1.41)
Лагранжев одночастичный корреляционный момент пульсаций температуры сплошной среды определяется как
BLt (т) = ^' (х, t) ^ (R (t - т), t - г) |R (t) = х) = <tf'2 > »и (т),
(1.1.42) где ^и(т) — лагранжева автокорреляционная функция пульсаций температуры, (tf'2) — интенсивность пульсаций температуры в турбулентной жидкости.
Эйлеров пространственно-временной корреляционный момент пульсаций температуры, аналогично (1.1.8), представляется в виде произведения пространственной и временной корреляций
BEt (г, t) = ^ (х, 4) ^ (х - г. t - т^ = (^'2) Ft (г) ^Et (т), (1.1.43) где Ft (г) — эйлерова двухточечная одновременная корреляционная функция пульсаций температуры, ^Et (т) — эйлерова временная одноточечная автокорреляционная функция пульсаций температуры. Аналогично (1.1.12) эйлеровы пространственная и временная корреляционные функции часто аппроксимируются экспоненциальными зависимостями
Ft (г) =ехр (--£-), ФЕ((т) = ехр (-^ ) (1.1.44) \ \ 1Е/
с соответствующими интегральными пространственным и временным масштабами Lt и Tei*
Движение и теплообмен одиночной частицы
Настоящая книга посвящена анализу поведения небольших твердых сферических частиц в турбулентном потоке. Плотность частиц считается много большей плотности несущей сплошной среды (жидкости), а размер не превышает пространственный колмогоровский микромасштаб. В этом случае уравнения движения для частиц и несущей жидкости могут быть представлены в приближении точечных сил, приложенных к центрам масс отдельных частиц (Boivin et al., 1998; Burton & Eaton, 2005). Кроме того, при рассматриваемых условиях поведение частиц в турбулентной среде определяется, в первую очередь, силой гидродинамического сопротивления. Эта сила оказывается, как правило, главной причиной, приводящей частицы в движение и определяющей тормозящее или ускоряющее обратное воздействие частиц на поток. Так как плотность сплошной среды pj много меньше плотности
материала частиц рр, то силы, обусловленные нестационарностью или неоднородностью движения (присоединенной массой, ускорением или замедлением несущего потока — вытесненной массой — и эффектом памяти — силой Бассэ) могут не приниматься во внимание (Maxey & Riley, 1983; Michaelides, 2003). Тщательное исследование влияния этих сил на турбулентное движение частиц в широком диапазоне отношения плотностей 2,65 ^ pP/pf ^ 2650 выполнили Armenio & Fiorotto (2001), используя прямое численное моделирование. В результате было получено, что во всем рассмотренном диапазоне pp/pf вклад эффекта присоединенной массы в баланс сил, действующих на частицу, несущественен; при этом вклад, обусловленный ускорением несущего потока и эффектом памяти, может быть довольно значительным. Однако, как показано Armenio & Fiorotto (2001), влияние всех трех сил на дисперсию частиц в турбулентном потоке по сравнению с силой сопротивления пренебрежимо мало и может не учитываться даже при pp/pf = 0(1). Эффекты, связанные с вращением частиц и существенные при анализе движения относительно крупных частиц, в настоящей книге также не рассматриваются.
(1.2.1)(1.2.2)(1.2.1)(1.2.2)dvp u(Rp,t) — vp + Fdvp u(Rp,t) — vp + FТаким образом, движение одиночной тяжелой частицы описывается уравнениями
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.1)
(1.2.2)
dvp u(Rp,t) — vp + F
dvp u(Rp,t) — vp + F
где Rp и vp — координата и скорость частицы, u(Rp,t) — скорость жидкости в точке х = Rp(£).
Первый член в правой части уравнения (1.2.2) определяет силу гидродинамического сопротивления движению частицы в вязкой жидкости. Величина тр обозначает время динамической релаксации частицы
(1.2.3)(1.2.3) ТрО Рр&р
(1.2.3)
(1.2.3)
р (р(КеРУ Тр0 №pfv'
где Тро — время релаксации в стоксовом приближении (Rep —* 0), dp — диаметр частицы, Rep = dp|u — vp\(v — число Рейнольдса обтекания частицы.
Зависимость <^(Rep) в (1.2.3) характеризует влияние сил инерции на гидродинамическое сопротивление частицы. Для определения этой зависимости в литературе предложено большое количество формул, аппроксимирующих стандартную кривую сопротивления для сферической частицы. Наибольшее распространение получила аппроксимация Шиллера-Неймана (Clift et al., 1978)
y(ReP) =
p+0,15Re0'687 tO,llRep/6
при Rep < 103
при Rep > 103 '
(1.2.4)
Если размер частицы намного меньше пространственного микромасштаба турбулентности, влияние пульсаций скорости на ее гидродинамическое сопротивление, естественно, отсутствует. Bagchi & Balachandar (2003) выполнили прямое численное моделирование эффекта турбулентности обтекающего потока на сопротивление относительно крупных частиц, диаметр которых в 1,5-10 раз превышает колмогоровский пространственный масштаб. Было установлено, что турбулентные пульсации не оказывают существенного влияния на осредненную силу сопротивления, описываемую стандартной корреляцией (1.2.4). Однако точность аппроксимации (1.2.4) применительно к предсказанию мгновенной силы сопротивления с увеличением размера частицы снижается. Этот результат свидетельствует о необходимости выполнения условия dp < -р при анализе взаимодействия частиц с турбулентными вихрями сплошной среды в рамках приближения точечных сил. Кроме того, в случае крупной частицы при больших числах Рейнолдса обтекания важную роль играют эффекты взаимодействия образующегося за частицей следа с турбулентностью окружающей среды (Wu & Faeth, 1994а,b; Pan & Banerjee, 1997; Bagchi & Balachandar, 2004; Legendre et al., 2006); однако анализ этих эффектов выходит за рамки данной книги.
Второй член в правой части (1.2.2) обозначает силы различной физической природы, например, силу тяжести. В пристеночных потоках, для которых характерны большие градиенты всех параметров течения, существенную роль может играть подъемная сила (сила Сэффмэна), обусловленная сдвигом скорости (Saffman, 1965, 1968). Однако с ростом отношения плотностей дисперсной и сплошной фаз pp)pf роль подъемной силы уменьшается. В неизотермическом потоке вблизи нагреваемой или охлаждаемой поверхности значительное влияние на движение мелких (субмикронных) частиц может оказывать сила термофореза, направленная в сторону более холодной среды. Таким образом, под символом F в дальнейшем будем понимать не только внешнюю массовую силу (например, силу тяжести), но и обозначение для сил межфазного взаимодействия, отличных от силы гидродинамического сопротивления (силы Сэффмэна, термофореза и т.д.). При этом, в отличие от силы сопротивления, величина F рассматривается как детерминированная, т. е. пульсации входящих в F параметров не принимаются во внимание, так как эффекты, связанные с пульсациями этих сил, за редким исключением, оказываются незначительными.
При анализе теплообмена термической неоднородностью на масштабах размера частицы в большинстве приложений можно пренебречь. В этом случае изменение температуры одиночной частицы без учета радиационного теплообмена описывается уравнением
dSp = ^КрДУ9р + Q 2 dt rt
где 6Р — температура частицы, ?9(RP,£) — температура жидкости в точке х = Rp(£), Tt — время термической релаксации частицы.
Первый член в правой части уравнения (1.2.5) определяет межфазный теплообмен, обусловленный кондуктивным и конвективным механизмами переноса тепла в жидкости. Величина Q обозначает интенсивность тепловыделения в частице, например, вследствие горения. Время термической релаксации частицы определяется соотношением
(1.2.6)(1.2.6)CpPpd^6ANup ’
(1.2.6)
(1.2.6)
где Ср — теплоемкость материала частицы, А — коэффициент теплопроводности жидкости.
Для расчета числа Нуссельта обтекания частицы Nup в широком диапазоне изменения Rep можно воспользоваться известной зависимостью (Ranz & Marshall, 1952)
Nup = 2 + О.бКвр^Рг1/3, где Рг -- число Прандтля жидкости.
Корреляции скорости и температуры жидкостивдоль траекторий инерционных частиц
Поведение частиц в турбулентном потоке определяется их взаимодействием с турбулентными вихрями сплошной среды, находящимися на пути движения этих частиц. Поэтому при описании статистических характеристик дисперсной фазы в турбулентной жидкости фундаментальную роль играют корреляции скорости и температуры жидкости, определенные вдоль траекторий инерционных частиц. Очевидно, что эти корреляции в предельном случае безынерционных частиц (тр 0) совпадают с соответствующими лагранжевыми корреляциями жидких частиц. Напротив, в случае очень инерционных частиц, слабо реагирующих на турбулентные пульсации сплошной среды, корреляции вдоль траекторий частиц должны совпадать с соответствующими эйлеровыми корреляциями жидкости, отражающими статистическую связь между флуктуациями параметров в фиксированных точках пространства. Таким образом, для нахождения корреляций скорости и температуры жидкости вдоль траекторий инерционных частиц необходимо знать соотношения между лагранжевыми и эйлеровыми корреляционными моментами в турбулентной жидкости. Задача определения соотношений между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками турбулентности тесно связано с задачей о диффузии (дисперсии) пассивной примеси (Lumley, 1962; Saffman, 1963; Kraichnan, 1964, 1970; Philip, 1967; Phythian, 1975; Lundgren & Pointin, 1976; Weinstock, 1976; Lundgren, 1981; Lee & Stone, 1983; Middleton, 1985; Squires & Eaton, 1991a; Kontomaris & Hanratty, 1993; Hesthaven et al, 1995; Степанов, 1996).
Для получения теоретических соотношений между лагранжевыми и эйлеровыми корреляциями широкое распространение получила гипотеза Коррсина о независимом осреднении случайных полей смещений частиц и эйлеровых флуктуаций скорости (Corrsin, 1959). Анализ погрешности и области справедливости гипотезы независимого осреднения выполнил Weinstock (1976). На основе этой гипотезы Reeks (1977), Pismen & Nir (1978) и Nir & Pismen (1979) определили корреляции пульсаций скоростей жидкости вдоль траекторий частиц и получили замкнутые теоретические решения задачи о дисперсии тяжелых частиц в турбулентной среде. Полученные решения позволили последовательно описать явление уменьшения коррелированности пульсаций частиц с ростом осредненной скорости скольжения (скорости дрейфа) частиц относительно жидкости — эффект пересечения траекторий (Yudine, 1959; Csanady, 1963), а также учесть влияние инерции частиц на турбулентную диффузию при отсутствии среднего дрейфа — эффект инерционности. В дальнейшем аналогичные задачи теоретически рассматривались в работах Шрайбера и др. (1987), Mei et al. (1991), Wang & Stock (1993), Деревича (1993), Mei & Adrian (1995), Stock (1996), Etasse et al. (1998), Pozorski & Minier (1998), Зайчика и Алипченкова (1999), Derevich (2001), Грибовой и др. (2003), Graham (2004); численные исследования дисперсии частиц в изотропной стационарной и затухающей турбулентности методами прямого численного моделирования (DNS) и крупных вихрей (LES) выполнены Riley & Patterson (1974), Deutsch & Simonin (1991), Squires & Eaton (19916), Yeh & Lei (1991a), Elghobashi & Truesdell (1992), Mashayek et al. (1997). Экспериментальному изучению корреляций скоростей и турбулентной диффузии тяжелых частиц посвящены работы Snyder & Lumley (1971) и Wells & Stock (1983). В данном разделе представлена простая модель, которая позволяет получить аналитические выражения для корреляций скорости и температуры турбулентной жидкости вдоль траекторий инерционных частиц.
Лагранжев корреляционный момент пульсаций скорости элемента сплошной среды (жидкой частицы), вычисленный вдоль траектории инерционной частицы, представляется в виде (Reeks, 1977)
BbpijM =u,'2^LpijM = (ut(x,t)u;(Rp(t-T),t-r)|Rp(t) = x) =
= j(n^(x, t)Uj(x — r,t — t)6 (r — s(r)))dr, (1.3.1) s = S + s', S = Wr, s' = jVp ^Kp^ dTX.
о
Здесь ^LpijM — лагранжева автокорреляционная функция скорости жидкости вдоль траектории частицы, Rp — вектор траектории движения инерционной частицы. Смещение частицы s относительно движущейся жидкости представляется в виде суммы двух независимых
процессов — смещения со скоростью дрейфа W относительно средней скорости окружающей среды и пульсационной составляющей в результате вовлечения частицы в турбулентное движение. Отметим, что автокорреляционная фуНКЦИЯ ПуЛЬСаЦИЙ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ ^Lpij(T), в отличие от скалярной лагранжевой функции ^lVtY является тензором вследствие нарушения изотропии поля скорости жидкости, определенного вдоль траектории частицы, при наличии осредненного дрейфа частицы относительно жидкости.
Для вычисления интеграла (1.3.1) привлечем гипотезу Коррсина о возможности независимого статистического осреднения случайных полей смещений частиц и эйлеровых флуктуаций скорости, в соответствии с которой
(u<(x,t)u'(x - г, t - т)5 (г - s(r))) = (u<(x, f)Uj(x — г, ^ — т^ф(г,т), ф(г, т) = (5 (г — s(r))), (1.3.2)
где ф(г, т) — плотность вероятности смещения частицы на расстояние г за время т. Величина ^>(г,т), как правило, представляется гауссовым распределением (в спектральном или физическом пространстве) с дисперсией, выражающейся через лагранжеву автокорреляционную функцию. В этом случае уравнение (1.3.1) становится нелинейным и неявным, т. к. содержит ^LpijM как в левой, так и в правой части, и его решение может быть получено только численным путем или методом итераций. С целью получения простого явного (безытерационного) выражения для ^LpijM, которое легко может быть использовано в дальнейших вычислениях, плотность вероятности смещения задается в виде 5-функции
ф(г, г) = 5 (г - s(r)). (1.3.3)
Подставляя (1.3.2) и (1.3.3) в (1.3.1) и учитывая соотношения (1.1.8) и (1.1.11) для эйлерова пространственно-временного корреляционного момента в изотропной турбулентности, получаем следующее выражение для лагранжевой автокорреляционной функции пульсаций скорости жидкости вдоль траектории частицы:
*LpijM = [с(з)5у + [F(s) - G(s)] ^*LpijM = [с(з)5у + [F(s) - G(s)] ^Фе(т),Фе(т),(1.3.4)(1.3.4)(SiSj) = WtWjT2 + (s-s'), s = (,sksky/2.(SiSj) = WtWjT2 + (s-s'), s = (,sksky/2.
*LpijM = [с(з)5у + [F(s) - G(s)] ^
*LpijM = [с(з)5у + [F(s) - G(s)] ^
Фе(т),
Фе(т),
(1.3.4)
(1.3.4)
(SiSj) = WtWjT2 + (s-s'), s = (,sksky/2.
(SiSj) = WtWjT2 + (s-s'), s = (,sksky/2.
Пульсационная составляющая смещения частицы оценивается путем приближенного интегрирования уравнений движения (1.2.1) и (1.2.2)
Т Л
s' = — f f u' (Rp(i^)) exp ( ———— ) dradri тр J J\ тр /
о о
(1.3.5)(1.3.5)iio < т + тр ехр
(1.3.5)
(1.3.5)
В качестве характерной пульсационной скорости сплошной среды в (1.3.5) примем среднеквадратичную пульсационную скорость и’
(1.3.6)(1.3.6)iua=u'.
(1.3.6)
(1.3.6)
Тогда согласно (1.3.5) и (1.3.6) получаем
2ду. ^(т)=т + тр ехр2ду. ^(т)=т + тр ехррр(1.3.7)(1.3.7)
2ду. ^(т)=т + тр ехр
2ду. ^(т)=т + тр ехр
р
р
(1.3.7)
(1.3.7)
Видно, что аппроксимация (1.3.4) с учетом (1.3.7) включает как эффект пересечения траекторий, обусловленный скоростью дрейфа W, так и эффект инерционности, характеризуемый временем релаксации частицы тр. Далее зададим эйлеровы пространственную продольную и временную корреляционные функции в (1.3.4) экспоненциальными зависимостями (1.1.12). Следует иметь в виду, что, строго говоря, эти одномасштабные аппроксимации оправданы только в пределе больших чисел Рейнольдса. Однако путем учета зависимостей интегральных масштабов от Нед их можно приспособить для конечных чисел Рейнольдса. Подстановка (1.1.12), (1.1.13) и (1.3.7) в (1.3.4) приводит к следующему выражению для автокорреляционного тензора пульсаций скорости жидкости вдоль траектории частицы:
^LpijM — S ^гз +
х ехрх ехр(1.3.8)(1.3.8)т + m (7т2 + ^2(т)) ^2Те
х ехр
х ехр
(1.3.8)
(1.3.8)
где m = Те^/L — структурный параметр турбулентности, 7 = W/и1 —- параметр дрейфа, W = |W| — модуль скорости дрейфа, вг = Wt/W — единичный вектор в направлении скорости дрейфа.
При отсутствии дрейфа (7 = 0) тензор ^LpijM становится изотропным
^Lp ij Q0 = Ф£р Qr)5ij,
где согласно (1.3.8)
= [1-^1 ехр f-L±^M],(1.3.9)
. О1Е J L.
в пределе безынерционных частиц (тр —► 0) из (1.3.9) следует
т / х А тт\ Г (1 + т) т]/1 п
Фь(т) = ^1 - ехр•(1.3.10)
Формула (1.3.10) представляет собой лагранжеву автокорреляционную функцию пульсаций скорости жидких частиц, выраженную в эйлеровых переменных, т. е. характеризуемую эйлеровыми интегральным временным масштабом Те и. структурным параметром т. Из (1.3.10) вытекает следующее простое соотношение между лагранжевым и эйлеровым временными макромасштабами:
(1.3.11)(1.3.11)Tl 3 + 2m
(1.3.11)
(1.3.11)
Тв ~ 3(1 + т)2
Формула (1.3.11) показывает, что отношение масштабов Tl/Te зависит от значения структурного параметра т, не может превышать единицу, стремится к единице при m —> 0 и убывает с ростом т. Такое поведение Tl/Te полностью согласуется с результатами, полученными в работах других авторов, например, Philip (1967), Lee & Stone (1983), Middleton (1985); Wang & Stock (1993), Степанов (1996), Derevich (2001). Экспериментальные данные для изотропной турбулентности, генерируемой решеткой, дают Tlu'/L « 0,3-0,6 (Sato & Yamamoto, 1987). Результаты DNS для стационарной турбулентности предсказывают Tl/Te = 0,72 ± 0,06, т « 1 (Yeung & Pope, 1989) и TL/TE « 0,75, т « 0,7 (Mazzitelli & Lohse, 2004), а для затухающей турбулентности дают Tl/Te ~ 0,82 (Squires & Eaton, 1991а). На основе метода кинематического моделирования (kinematic simulation), в рамках которого нестационарное поле скорости сплошной среды аппроксимируется су- перпозцией случайных Фурье-мод, было получено Tl/Te = 0,53-1,11, т = 0,5-0,88 (Fung et al., 1992) и Tl/Te ~ 0,4, т « 1,3-1,4 (Oesterle, 2004). Таким образом, в исследованных изотропных течениях, как правило, отношение масштабов Tl/Te изменяется в диапазоне 0,3—0,8, а структурный параметр т « 1. Поэтому Wang & Stock (1993) приводят результаты расчетов для т = 1. Формула (1.3.11) при m = 1 дает Tl/Te = 0,417, что несколько превышает значение Tl/Te = 0,356, указываемое Wang & Stock (1993). На рис. 1.3.1 показано сопоставление формулы (1.3.11) с теоретическими зависимостями и результатами расчетов других авторов. Отметим, что соотношение Tl < Те связано с тем обстоятельством, что Те характеризует только временное убывание корреляции пульсаций скорости турбулентной жидкости в фиксированной точке пространства, тогда как Tl учитывает временное и пространственное снижение коррелированности скоростей жидкой частицы при ее движении. Как видно, формула (1.3.11) согласуется со всеми теоретическими зависимостями и расчетными значениями других авторов, приведенными на рис. 1.3.1.
Лагранжева автокорреляционная функция (1.3.10) с учетом (1.3.11) принимает вид
m (3 + 2тп) т 9(l+mfTLm (3 + 2тп) т 9(l+mfTLexpexp(3 + 2т)т3(1 +m)TL(3 + 2т)т3(1 +m)TL(1.3.12)(1.3.12)
m (3 + 2тп) т 9(l+mfTL
m (3 + 2тп) т 9(l+mfTL
exp
exp
(3 + 2т)т3(1 +m)TL
(3 + 2т)т3(1 +m)TL
(1.3.12)
(1.3.12)
Рис. 1.3.1. Зависимость отношения лагранжевого и эйлерового временных макромасштабов от структурного параметра турбулентности: / — (1.3.11), 2 — Pnilip (1967), 3 — Lee & Stone (1983), 4 — Степанов (1996), 5 — Derevich (2001), б - Fung et al. (1992), 7 - Wang & Stock (1993), 8 - Oesterle (2004), 9 — Mazzitelli & Lohse (2004)
Рис. 1.3.2. Влияние структурного параметра турбулентности на лагранжеву автокорреляционную функцию: 1 — т = 0 (1.1.3), 2 — (1.3.12) при т = 1, 3 - т-> оо (1.3.13)
Рисунок 1.3.2 показывает, что влияние параметра т на зависимость Фь^/Ть) очень слабое и при всех возможных значениях т эта зависимость незначительно отклоняется от экспоненциальной аппроксимации (1.1.3), соответствующей пределу m —> 0. Особенностью зависимости (1.3.12) является наличие «отрицательной петли» (отрицательного хвоста) при больших значениях tITl. Однако эта отрицательная петля выражена едва заметно при конечных значениях параметра т. Даже для предельной зависимости
ФДт) = ( 1 - — ехр ( -— , (1.3.13) \ y^L/ \ OIL J
соответствующей т —> оо, максимальное отрицательное значение Фь равно всего лишь 0,0061 при t/Tl = 6. Таким образом, экспонента (1.1.3) является хорошей аппроксимацией для лагранжевой автокорреляционной функции пульсаций скорости жидких (безынерционных) частиц при всех возможных значениях параметра турбулентности т.
Интегральный масштаб пульсаций скорости жидкости вдоль траектории инерционной частицы при отсутствии осредненного скольжения (дрейфа) частицы относительно жидкости определяется в соответствии с автокорреляционной функцией (1.3.9) как
ОООО
Ть, = [ 4l,Wt = [ h - ^1 ехр Г-Г+^«1 1Т. (1.ЗЛ4) оо
Величина Тьр может быть интерпретирована как время взаимодействия частиц с энергоемкими турбулентными вихрями. Из (1.3.14) следует, что Tlp определяется двумя параметрами: числом Стокса Sts? = тр/Те, характеризующим инерционность частиц по отношению к временному макромасштабу турбулентности, и структурным параметром т. Как видно из рис. 1.3.3, с ростом числа Sts от 0 до оо происходит монотонное увеличение Тьр от лагранжева до эйлерова макромасштаба. Можно отметить, что величина и'^т) представляет собой эффективную длину пробега частицы в пульсационном движении. Уменьшение этой эффективной длины пробега при увеличении Sts и объясняет переход от лагранжевых к эйлеровым корреляциям турбулентных характеристик жидких частиц, движущихся по траекториям инерционных частиц. Влияние параметра m проявляется через отношение Tl/Te. В диапазоне изменения структурного параметра m 1 интеграл (1.3.14) аппроксимируется формулой
TLP = TL^(TE-TL)f(StE),
f/ct 5tE0,9mStg(1.3.15)
Л E) l+StE (1+StE)2(2 + StE)’ асимптотически удовлетворяющей предельным соотношениям при Sts —> 0, Sts оо и m —» 0. Видно, что даже при m = 1 формула
Рис. 1.3.3. Влияние числа Стокса на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями при т = 1: 1 — (1.3.14); 2 — (1.3.15); 3 — (1.3.16);4,5- Oesterle (2004); 4 - НеЛ = 38; 5 - ReA = 112Рис. 1.3.3. Влияние числа Стокса на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями при т = 1: 1 — (1.3.14); 2 — (1.3.15); 3 — (1.3.16);4,5- Oesterle (2004); 4 - НеЛ = 38; 5 - ReA = 112
Рис. 1.3.3. Влияние числа Стокса на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями при т = 1: 1 — (1.3.14); 2 — (1.3.15); 3 — (1.3.16);
4,5- Oesterle (2004); 4 - НеЛ = 38; 5 - ReA = 112
Рис. 1.3.3. Влияние числа Стокса на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями при т = 1: 1 — (1.3.14); 2 — (1.3.15); 3 — (1.3.16);
4,5- Oesterle (2004); 4 - НеЛ = 38; 5 - ReA = 112
достаточно хорошо аппроксимирует (1.3.14). На рис. 1.3.3 также показана зависимость Т^р/Т^ от числа Sts
Tlp —Tlp —0,644(l+StE)°-4(l+0’0,stc)0,644(l+StE)°-4(l+0’0,stc)Те, ^=0,356,(1.3.16)ТеТе, ^=0,356,(1.3.16)Те
Tlp —
Tlp —
0,644(l+StE)°-4(l+0’0,stc)
0,644(l+StE)°-4(l+0’0,stc)
Те, ^=0,356,(1.3.16)
Те
Те, ^=0,356,(1.3.16)
Те
полученная Wang & Stock (1993) путем аппроксимации результатов расчетов при m = 1. Как видно, имеет качественное согласие между (1.3.14) и (1.3.16), хотя расчетные данные, полученные Oesterle (2004) методом кинематического моделирования, лучше соответствуют зависимости (1.3.16).
Рисунки 1.3.4а и 1.3.46 изображают автокорреляционную функцию (1.3.9) при m = 1 и разных числах Sts в зависимости от времени, отнесенного соответственно к масштабам Те и Tlp. Из рис. 1.3.4а наглядно видно возрастание коррелированное™ скоростей жидкой частицы, движущейся по траектории твердой частицы, по мере увеличения инерционности последней. Рисунок 1.3.46 показывает, что влияние числа Sts в переменных Ф^р от т)Тьр элиминируется и зависимость ^Ьр^Тьр^ уже при Sts = 1 хорошо аппроксимируется экспонентой
ФЬр(т) = ехр(--^\ (1.3.17)
4 Lp )
—► ОО.—► ОО.соответствующей пределу Sts
—► ОО.
—► ОО.
Рис. 1.3.4. Автокорреляционная функция скоростей жидкой частицы вдоль траектории инерционной частицы: 1 — Sts = 0, 2 — Sts = 1, 3 — Sts = оо (1.3.17)Рис. 1.3.4. Автокорреляционная функция скоростей жидкой частицы вдоль траектории инерционной частицы: 1 — Sts = 0, 2 — Sts = 1, 3 — Sts = оо (1.3.17)
Рис. 1.3.4. Автокорреляционная функция скоростей жидкой частицы вдоль траектории инерционной частицы: 1 — Sts = 0, 2 — Sts = 1, 3 — Sts = оо (1.3.17)
Рис. 1.3.4. Автокорреляционная функция скоростей жидкой частицы вдоль траектории инерционной частицы: 1 — Sts = 0, 2 — Sts = 1, 3 — Sts = оо (1.3.17)
При наличии дрейфа время взаимодействия частиц с энергоемкими вихрями является тензором и определяется как
Tbp ij —
^Lpij^dT,
о
а тензоры автокорреляционной функции ^ьРгз и времени взаимодействия Tbpij в изотропной турбулентности согласно (1.3.8) представляются в виде
(1.3.18)(1.3.18)
(1.3.18)
(1.3.18)
где верхние индексы I и п обозначают параллельные и поперечные к скорости дрейфа компоненты этих тензоров. Так, параллельная и поперечная компоненты Тьр равны
ml —JОml —JОтф2^тф2^3 (72т2 + ^2(т))^2 Т^_3 (72т2 + ^2(т))^2 Т^_ехрехрТеТе1/2— dr,1/2— dr,(1.3.19)(1.3.19)
ml —
J
О
ml —
J
О
тф2^
тф2^
3 (72т2 + ^2(т))^2 Т^_
3 (72т2 + ^2(т))^2 Т^_
ехр
ехр
Те
Те
1/2
— dr,
1/2
— dr,
(1.3.19)
(1.3.19)
dr.dr.т (372т2 + 2^2(т))т -Vm (^2т2 + ^2(т)) ^
dr.
dr.
6 (72т2 + V?2 (т))1 Те^е
Как следует из (1.3.8) и (1.3.19), эффект пересечения траекторий приводит к более значительному уменьшению корреляций скоростей турбулентной жидкости в поперечном, чем в продольном направлении по отношению к вектору осредненной скорости дрейфа частиц. Этот факт впервые отмечался Csanady (1963) и получил название эффекта неразрывности (continuity effect), так как является следствием вытекающего из уравнения неразрывности соотношения между продольной и поперечной пространственными эйлеровыми корреляционными функциями в (1.1.11).
В пределах малых и больших значений числа Стокса St# из (1.3.19) вытекают следующие асимптотические соотношения:
L^ Е ™39(1+т9)2 Те’
ах 69 + m(4 + 372)m z 2V/2 л 4 9m TLp(StE 0)69(1+m9)2 Te' (1+^) ’ U-3-20)
^p(StB oo) = y^-, T£p(StE oo) =^ + m7 TE.
l+m7 p2(l+m7f
интенсивность турбулентных пульсаций, из (1.3.19) следуют известные соотношения (Yudine, 1959; Csanady, 1963)
rplrp-n 2
LP” W' Lp~ 2W> Tn ~ *
Lp
Для приближенной оценки времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями, учитывающей как эффект пересечения траекторий, так и эффект инерционности, можно воспользоваться интерполяционными зависимостями, основанными на соотношениях (1.3.15) и (1.3.20)
т^ = T^(Sts -4 0) + te(StE оо) - T^(StE 0)1 /(Sts).
(1.3.21)
Формула (1.3.21) аппроксимирует интегралы (1.3.19) в диапазоне изменения параметров т^ 1, 0 ^ St^ < оо, 0 ^ 7 < оо с погрешностью, не превышающей 5%.
В работе Wang & Stock (1993) с целью одновременного учета эффектов инерционности и пересечения траекторий используется предположение о постоянстве параллельной компоненты автокорреляционной функции на эллипсе
т2 W2t2+-у--const,
где Тьр обозначает время взаимодействия частиц с турбулентностью при отсутствии дрейфа (7 = 0). Это априорное предположение обеспечивает непрерывный переход от течения без дрейфа к ситуации с определяющим влиянием дрейфа при возрастании параметра 7 от 0 до оо и позволяет получить аналитические зависимости для параллельной и поперечной компонент Тьр
ml _ ^Lp
(1.3.22)(1.3.22)Р (1+т^72)1/2
(1.3.22)
(1.3.22)
тп 2(1+тт72)1/2-тг7
Тьр 2(1+ т^) Tlp* тт" ТЕ т’
где Tlp определяется согласно (1.3.16).
Deutsch & Simonin (1991), основываясь на соотношениях Csanady (1963) для коэффициентов диффузии частиц в изотропной турбулентности с учетом силы тяжести, предложили следующие простые формулы для параллельной и поперечной компонент Tlp :
т^ = ТГ^' ^ = ?7Т^' ^ <1Л23)
Очевидно, что зависимости (1.3.23) учитывают эффекты пересечения траекторий и неразрывности, однако не принимают во внимание эф-
фект инерционности. Из сопоставления с экспериментальными данными (Wells & Stock, 1983) и собственными численными расчетами Deutsch & Simonin (1991) приняли /З2 = 0,45.
Рисунок 1.3.5 демонстрирует влияние эффекта пересечения траекторий на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями согласно (1.3.19) и (1.3.22) при т= 1. Показано сравнение представ-
Рис. 1.3.5. Влияние осредненного скольжения на времена взаимодействия частиц с турбулентными вихрями в параллельном (а) и перпендикулярном (б) к скорости дрейфа направлениях: 1,2 — (1.3.19); 3,4 — (1.3.22); 1,3 — Sts =0,1;
2,4- Sts = 0,3; 5 - (1.3.23); 6-8 - Deutsch & Simonin (1991)
ленных аналитических зависимостей с результатами прямого стохастического траекторного моделирования динамики частиц с использованием метода крупных вихрей для расчета турбулентных характеристик несущего потока (Deutsch & Simonin, 1991). В работе Deutsch & Simonin (1991) расчеты выполнены для частиц с диаметрами dp = 45, 57 и 90 мкм при отношении плотностей материала частиц и несущего потока Pp/pf = 2000. Из рис. 1.3.5 видно, что влияние параметра дрейфа 7 на 7^^, предсказываемое зависимостями (1.3.19) и (1.3.22) оказывается качественно близким, хотя и не таким сильным, как получено в расчетах Deutsch & Simonin (1991), результаты которых при относительно больших 7 несколько лучше соответствуют (1.3.19). Кроме того, видно, что с ростом осредненного скольжения влияние инерционности частиц (числа Стокса) на Tlp элиминируется и T^/Tl определяется, главным образом, значением 7. На рис. 1.3.5 также представлены зависимости (1.3.23), которые за исключением области малых значений 7 (поскольку не учитывают эффект инерционности и влияние числа Sts) хорошо описывают численные данные.
Рисунки 1.3.6а и 1.3.66 изображают автокорреляционные функции Ф^р и Ф£р, рассчитанные по (1.3.8) при т = Sts = 1 и разных значениях параметра дрейфа 7. Из рис. 1.3.6а видно снижение корре- лированности скоростей жидких частиц, движущихся по траекториям инерционных частиц, с ростом параметра дрейфа, что и является физическим проявлением эффекта пересечения траекторий. Кроме того, очевидно возрастание разности между параллельной и поперечной компонентами корреляционных функций по мере увеличения параметра дрейфа. С ростом параметра дрейфа (7 —► оо), а также с возрастанием числа Стокса (Sts —> оо) автокорреляционные функции стремятся к асимптотическим зависимостям
(1.3.24)(1.3.24)\ (Wt\ т f т \^lp^ = F — Фя — ,^W = G Ну- Фе ,
(1.3.24)
(1.3.24)
выражающим корреляции скоростей жидкости вдоль траектории инерционной частицы в виде произведения эйлеровых пространственной и временной корреляционных функций скоростей сплошной среды. Из рис. 1.3.6а хорошо видно, что с ростом параметра дрейфа становится более заметной отрицательная петля в поперечной автокорреляционной функции. Этот факт согласуется с (1.3.24) и отмечался ранее в исследованиях Mei et al. (1991) и Squires & Eaton (1991b). Рисунок 1.3.66 указывает на элиминирование роли параметра 7, а также уменьшение разницы между ^р и Ф£р при отнесении времени к соответствующим этим функциям интегральным масштабам; однако различие между продольной и поперечной компонентами, естественно,
Рис. 1.3.6. Автокорреляционные функции при различных значениях параметра дрейфа: 1 - 7 = 0, 2, 3 - »lLp; 4, 5 - Ф£р; 2, 4 - 7 = 1; 3, 5 - 7 = 10;6- (1.3.25)Рис. 1.3.6. Автокорреляционные функции при различных значениях параметра дрейфа: 1 - 7 = 0, 2, 3 - »lLp; 4, 5 - Ф£р; 2, 4 - 7 = 1; 3, 5 - 7 = 10;6- (1.3.25)
Рис. 1.3.6. Автокорреляционные функции при различных значениях параметра дрейфа: 1 - 7 = 0, 2, 3 - »lLp; 4, 5 - Ф£р; 2, 4 - 7 = 1; 3, 5 - 7 = 10;
6- (1.3.25)
Рис. 1.3.6. Автокорреляционные функции при различных значениях параметра дрейфа: 1 - 7 = 0, 2, 3 - »lLp; 4, 5 - Ф£р; 2, 4 - 7 = 1; 3, 5 - 7 = 10;
6- (1.3.25)
остается. На рис. 1.3.66 приведена также экспоненциальная аппрокси- мация автокорреляций, представляемая как
фьРиМ = exp ^tTlV^ .фьРиМ = exp ^tTlV^ .(1.3.25)(1.3.25)
фьРиМ = exp ^tTlV^ .
фьРиМ = exp ^tTlV^ .
(1.3.25)
(1.3.25)
Как видно из рис. 1.3.66, зависимость ^1Lp(t/T^p) хорошо описывается экспонентой (1.3.25). Отличие ^ьр^/^Ер) от экспоненты, очевидно, более существенное.Berlemont et al. (1995) путем прямого стохастического моделирования обнаружили эффект увеличения времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями в результате межчастичных столкновений. На первый взгляд, этот факт кажется удивительным, т. к. представляется, что столкновения должны приводить к уменьшению коррелиро- ванности движения жидких и инерционных частиц и, следовательно, к уменьшению времени их взаимодействия. Однако в действительности эффект увеличения Тьр с ростом частоты столкновений имеет такое же объяснение, как и влияние инерционности частиц, и связан с соотношением Те > Ть-Эффект столкновений может быть проанализирован путем учета в (1.3.8) их влияния на эффективную длину пробега частиц в пульсационном движении и’^тУ Предположим, что столкновения приводят к потере памяти о предшествующем участии частиц в пульсационном движении несущего потока, и, следовательно, вовлечение частиц в турбулентное движение, т. е. взаимодействие с турбулентными вихрями, каждый раз после столкновения начинается заново. В этом случае из приближенного решения уравнений движения (1.2.1) и (1.2.2) следует^(т) = г 4- птр ехрптс < тКак видно из рис. 1.3.66, зависимость ^1Lp(t/T^p) хорошо описывается экспонентой (1.3.25). Отличие ^ьр^/^Ер) от экспоненты, очевидно, более существенное.Berlemont et al. (1995) путем прямого стохастического моделирования обнаружили эффект увеличения времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями в результате межчастичных столкновений. На первый взгляд, этот факт кажется удивительным, т. к. представляется, что столкновения должны приводить к уменьшению коррелиро- ванности движения жидких и инерционных частиц и, следовательно, к уменьшению времени их взаимодействия. Однако в действительности эффект увеличения Тьр с ростом частоты столкновений имеет такое же объяснение, как и влияние инерционности частиц, и связан с соотношением Те > Ть-Эффект столкновений может быть проанализирован путем учета в (1.3.8) их влияния на эффективную длину пробега частиц в пульсационном движении и’^тУ Предположим, что столкновения приводят к потере памяти о предшествующем участии частиц в пульсационном движении несущего потока, и, следовательно, вовлечение частиц в турбулентное движение, т. е. взаимодействие с турбулентными вихрями, каждый раз после столкновения начинается заново. В этом случае из приближенного решения уравнений движения (1.2.1) и (1.2.2) следует^(т) = г 4- птр ехрптс < ттстсрр- 1 4- тр ехр- 1 4- тр ехрп = 0,1,2,п = 0,1,2,т -птсТрт -птсТр-1 ,-1 ,(1.3.26)(1.3.26)
Как видно из рис. 1.3.66, зависимость ^1Lp(t/T^p) хорошо описывается экспонентой (1.3.25). Отличие ^ьр^/^Ер) от экспоненты, очевидно, более существенное.
Berlemont et al. (1995) путем прямого стохастического моделирования обнаружили эффект увеличения времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями в результате межчастичных столкновений. На первый взгляд, этот факт кажется удивительным, т. к. представляется, что столкновения должны приводить к уменьшению коррелиро- ванности движения жидких и инерционных частиц и, следовательно, к уменьшению времени их взаимодействия. Однако в действительности эффект увеличения Тьр с ростом частоты столкновений имеет такое же объяснение, как и влияние инерционности частиц, и связан с соотношением Те > Ть-
Эффект столкновений может быть проанализирован путем учета в (1.3.8) их влияния на эффективную длину пробега частиц в пульсационном движении и’^тУ Предположим, что столкновения приводят к потере памяти о предшествующем участии частиц в пульсационном движении несущего потока, и, следовательно, вовлечение частиц в турбулентное движение, т. е. взаимодействие с турбулентными вихрями, каждый раз после столкновения начинается заново. В этом случае из приближенного решения уравнений движения (1.2.1) и (1.2.2) следует
^(т) = г 4- птр ехр
птс < т
Как видно из рис. 1.3.66, зависимость ^1Lp(t/T^p) хорошо описывается экспонентой (1.3.25). Отличие ^ьр^/^Ер) от экспоненты, очевидно, более существенное.
Berlemont et al. (1995) путем прямого стохастического моделирования обнаружили эффект увеличения времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями в результате межчастичных столкновений. На первый взгляд, этот факт кажется удивительным, т. к. представляется, что столкновения должны приводить к уменьшению коррелиро- ванности движения жидких и инерционных частиц и, следовательно, к уменьшению времени их взаимодействия. Однако в действительности эффект увеличения Тьр с ростом частоты столкновений имеет такое же объяснение, как и влияние инерционности частиц, и связан с соотношением Те > Ть-
Эффект столкновений может быть проанализирован путем учета в (1.3.8) их влияния на эффективную длину пробега частиц в пульсационном движении и’^тУ Предположим, что столкновения приводят к потере памяти о предшествующем участии частиц в пульсационном движении несущего потока, и, следовательно, вовлечение частиц в турбулентное движение, т. е. взаимодействие с турбулентными вихрями, каждый раз после столкновения начинается заново. В этом случае из приближенного решения уравнений движения (1.2.1) и (1.2.2) следует
^(т) = г 4- птр ехр
птс < т
тс
тс
р
р
- 1 4- тр ехр
- 1 4- тр ехр
п = 0,1,2,
п = 0,1,2,
т -птс
Тр
т -птс
Тр
-1 ,
-1 ,
(1.3.26)
(1.3.26)
где тс — время между столкновениями. Как видно из (1.3.26), эффективная длина пробега частиц с уменьшением времени между столкновениями (т. е. с возрастанием частоты столкновений) так же, как и при увеличении их инерционности, снижается. Влияние столкновений на корреляции пульсаций скорости жидкости вдоль траекторий частиц определяется безразмерным параметром Stc = тр/тс. Этот параметр может интерпретироваться как число Стокса, характеризующее инерционность частиц по отношению к интервалу между столкновениями. Когда осредненное скольжение отсутствует (7 = 0), автокорреляционная функция Фьр(т) и время взаимодействия частиц с турбулентностью Tlp совпадают с ларанжевыми и эйлеровыми характеристиками соответственно в предельных ситуациях Stc —► 0 и Stc —* оо-
Рисунок 1.3.7 демонстрирует влияние межчастичных столкновений на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями при отсутствии осредненного скольжения, когда Tlp определяется выражением (1.3.14) с учетом (1.3.26). Здесь же представлены результатами прямого стохастического моделирования движения частиц в изотропном турбулентном поле, генерируемом при помощи метода крупных вихрей (Berlemont et al., 1995). Расчеты Berlemont et al. (1995) выполнены для частиц с диаметром dp = 656 мкм и плотностью рр = 50, 100 и
Рис. 1.3.7. Влияние столкновений на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями (т = 0,5): 1, 2, 3 — (1.3.14) с учетом (1.3.26); / — Sts = 0,25; 2 — Sts = 0,5; 3 — Sts = 1; 4-6 — Berlemont et al. (1995)Рис. 1.3.7. Влияние столкновений на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями (т = 0,5): 1, 2, 3 — (1.3.14) с учетом (1.3.26); / — Sts = 0,25; 2 — Sts = 0,5; 3 — Sts = 1; 4-6 — Berlemont et al. (1995)
Рис. 1.3.7. Влияние столкновений на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями (т = 0,5): 1, 2, 3 — (1.3.14) с учетом (1.3.26); / — Sts = 0,25; 2 — Sts = 0,5; 3 — Sts = 1; 4-6 — Berlemont et al. (1995)
Рис. 1.3.7. Влияние столкновений на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями (т = 0,5): 1, 2, 3 — (1.3.14) с учетом (1.3.26); / — Sts = 0,25; 2 — Sts = 0,5; 3 — Sts = 1; 4-6 — Berlemont et al. (1995)
200 кг/м3, движущихся в воздухе. Как следует из рис. 1.3.6, несмотря на наличие качественного согласия, зависимость (1.3.14) с учетом (1.3.26) предсказывает более сильное влияние столкновений на Тьр по сравнению с полученным в расчетах Berlemont et al. (1995). Также видно, что с ростом Stc роль эффекта инерционности, характеризуемого параметром Sts, уменьшается и определяющим становится влияние столкновений.
В диапазоне т ^ 1 интеграл (1.3.14) с учетом (1.3.26) может быть аппроксимирован зависимостью, аналогичной (1.3.15),
/(St.) =/(St.) =st*1 +st.st*1 +st.TLp = TL + (TE -Tl^ /(St*),TLp = TL + (TE -Tl^ /(St*),(1.3.27)(1.3.27)0,9mSt*(1+St*)2 (2 +St*)’0,9mSt*(1+St*)2 (2 +St*)’/ ss\V5St* = (St^ + lOSty ,/ ss\V5St* = (St^ + lOSty ,
/(St.) =
/(St.) =
st*
1 +st.
st*
1 +st.
TLp = TL + (TE -Tl^ /(St*),
TLp = TL + (TE -Tl^ /(St*),
(1.3.27)
(1.3.27)
0,9mSt*
(1+St*)2 (2 +St*)’
0,9mSt*
(1+St*)2 (2 +St*)’
/ ss\V5
St* = (St^ + lOSty ,
/ ss\V5
St* = (St^ + lOSty ,
где St* обозначает параметр, эффективным образом характеризующий влияние столкновений на время взаимодействия частицы-турбу- лентность. Учет эффекта пересечения траекторий на Тьр может быть осуществлен на основе формулы (1.3.21), в которой Sts заменяется эффективным числом Стокса St*.
Лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры жидкой частицы, определенный вдоль траектории инерционной частицы, представляется в виде, аналогичном (1.3.1),
ВиР(т) = (^^(т) = ^'(х, t)^(Hp(t -r^t- т)|Нр(<) = х) =
= |(t/(x, £)t9'(x — г, t — т)5 (г — sp(r)))dr, (1.3.28)
где Ф£<р(т) — лагранжева автокорреляционная функция температуры жидкости вдоль траектории частицы.
Гипотеза Коррсина о возможности независимого статистического осреднения случайных полей смещений частиц и эйлеровых характеристик сплошной среды применительно к флуктуациям температуры дает
(^(х, ^'(х - г, t - т)5 (г - s(r))) = (^'(х, ^^'(х - г, t - т^ф^г, т).
(1.3.29) Подстановка (1.3.29) в (1.3.28) с учетом соотношений (1.1.43), (1.3.3) и (1.3.7) приводит к следующему выражению для лагранжевой автокорреляционной функции пульсаций температуры жидкости вдоль траектории частицы:
ФыР(т) = Ft^EtM, s = ^/iwT^№ •(1.3.30)
Экспоненциальные аппроксимации эйлеровых пространственной и временной температурных корреляционных функций (1.1.44) преобразуют (1.3.30) в формулу
ф , ч Г т + т^т2+ ^Чт)У/Ч п„п
ФиР(т)=ехр^—'-— ,(1.3.31)
lEt
?№ mt = u'TEt/Lt — температурный структурный параметр турбулентности.
Интегральный масштаб пульсаций температуры жидкости вдоль траектории инерционной частицы определяется в соответствии с автокорреляционной функцией (1.3.31) как
ООООТыр = j ^Ыр^йт = j expооООООТыр = j ^Ыр^йт = j expооТ + mt (72т2 4- ФЧТУ) 1/2TeiТ + mt (72т2 4- ФЧТУ) 1/2Teidr.dr.(1.3.32)(1.3.32)
ОООО
Тыр = j ^Ыр^йт = j expоо
ОООО
Тыр = j ^Ыр^йт = j expоо
Т + mt (72т2 4- ФЧТУ) 1/2Tei
Т + mt (72т2 4- ФЧТУ) 1/2Tei
dr.
dr.
(1.3.32)
(1.3.32)
жидкостижидкостиАвтокорреляционная функция (1.3.31) и временной макромасштаб (1.3.32) учитывают эффекты пересечения траекторий и инерционности частиц на флуктуации температуры сплошной среды, вычисляемые вдоль траекторий частиц. Эти эффекты, как и в случае пульсаций скорости, характеризуются параметрами 7 и Sts. Столкновения частиц могут учитываться путем использования зависимости (1.3.26) в (1.3.31) и (1.3.32), а влияние столкновений характеризуется числом Стокса Stc- В пределе безынерционных частиц (Sts = Stc =7 = 0) из (1.3.32) получается соотношение между лагранжевым и эйлеровым временными макромасштабами пульсаций температуры в турбулентной
жидкости
жидкости
Ты _1
Tei 1 + mt
Согласно (1.3.33) отношение масштабов Tu/Tei определяется только температурным структурным параметром турбулентности mt = = u’TEtlLt и подобно зависимости (1.3.11) для отношения масштабов пульсаций скорости Tl/Te от т. Аналогичная по смыслу зависимость Tu/TEt от mt была получена ранее Derevich (2001), основываясь на гипотезе Коррсина и используя спектральный метод.
При отсутствии дрейфа в диапазоне mt ^ 1 интеграл (1.3.32) аппроксимируется зависимостью, аналогичной (1.3.15),
Тир = Ти + (Tei - Ти)Тир = Ти + (Tei - Ти)Sts1 4- StsSts1 4- Sts0,8т<51д0,8т<51д(1 + Sts)2 (2 + Sts) J ’(1 + Sts)2 (2 + Sts) J ’(1.3.34)(1.3.34)
Тир = Ти + (Tei - Ти)
Тир = Ти + (Tei - Ти)
Sts
1 4- Sts
Sts
1 4- Sts
0,8т<51д
0,8т<51д
(1 + Sts)2 (2 + Sts) J ’
(1 + Sts)2 (2 + Sts) J ’
(1.3.34)
(1.3.34)
являющейся асимптотически точной в пределе mt —* 0.
В пределах малых и больших значений числа Стокса Sts из (1.3.32) вытекают следующие асимптотические соотношения
ТыР Sts - 0 =Et д ..„, TLtp Sts оо = Et . l+mt(l+72)1/2l+mt7
(1.3.35)
Аналогично (1.3.21) при наличии дрейфа интеграл (1.3.32) в диапазоне изменения параметров mt ^ 1, 0 ^ Sts < оо, 0 ^ 7 < оо с погрешностью, не превышающей 5%, может быть аппроксимирован зависимостью, основанной на (1.3.34) и (1.3.35)
Тир = Тирк^Е 0) + pLtp(Sts -* 00) - Тир^в 0)] х
х O^mtSti13
[l+StE (1+Sts)2 (2 +Sts)]
Влияние межчастичных столкновений на Тир может быть учтено путем замены Sts в (1.3.34) и (1.3.36) эффективным числом Стокса St*.
Аналогично (1.3.17) функция ^?ир от т/ТиР достаточно хорошо описывается экспоненциальной зависимостью
^ыРМ = ехр(-^-\(1.3.37)
\ -*■ Ltp /
являющейся асимптотически точной в пределах St* —► 00 и 7 —> оо.
Априорное задание автокорреляционных функций, например, в виде экспоненциальных аппроксимаций (1.3.17), (1.3.25) и (1.3.37), позволяет свести задачу определения корреляций скорости и температуры жидкости вдоль траекторий инерционных частиц к нахождению лагранжевых временных масштабов Tlp и Тир^ характеризующих взаимодействие частиц с турбулентными вихрями. Необходимо отметить, что представленная в этом разделе модель для оценки Тдр и ТиР очевидно имеет полуэмпирический характер. Это связано не только со сделанными допущениями (в частности, с использованием гипотезы
Коррсина в (1.3.2) и (1.3.29) и, в особенности, со сделанными допущениями при получении (1.3.7) и (1.3.26)), но и с тем фактом, что структурные параметры турбулентности т и mt должны быть заданы извне, т. е. с привлечением физического или численного эксперимента.
Корреляции скорости и температуры частиц встационарной изотропной турбулентности
В данном разделе будут приведены корреляционные моменты для скорости и температуры частиц в стационарном изотропном турбулентном поле, а также даны соотношения между интенсивностями пульсаций скоростей и температур в дисперсной и сплошной фазах.
Вначале определим лагранжев смешанный корреляционный момент пульсаций скоростей жидкости и частицы
Bfptj^ = (u.(x,t)v'(Rp(t -tV- т)|Кр(<) = х),(1.4.1)
где Rp — вектор траектории движения частицы.
Из уравнения движения частицы (1.2.2) вытекает следующее уравнение для смешанного корреляционного момента (1.4.1)
dB/p jj _ Вjp jj _ Blp ij^ 2\
dr тр тр '
где BbpijM — лагранжев корреляционный момент пульсаций скорости жидкости вдоль траектории частицы (1.3.1). Решение уравнения (1.4.2), удовлетворяющее граничному условию BfPij —> 0 при т —► оо, в матричных обозначениях имеет вид
ооЛ оо
If/ т — /• \Г(т А \
В/Р(т) = - BLp(£) exp il ^ = — ФьР(О exp ( ^1 ^, Тр J\ Тр /Тр з\ Тр /
(1.4.3) где I — единичная матрица.
Из (1.4.3) следует выражение для смешанного одноточечного момента пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз
(U'y') = S/p^0) = <^(L4.4)
fu = — [ ФьруМехр f-—l') dr.(1.4.5)
Tp о\ tp /
Лагранжев корреляционный момент пульсаций скорости частицы вдоль траектории ее движения определяется как
Bpij^ = (v<(x,f)v<(Rp(t - r),t - r)|Rp(<) = x).(1.4.6)
С учетом соотношения
<Ц^-г)\ = d?Bpijdt dt / dr2
уравнение движения частицы (1.2.2) производит следующее уравнение для корреляционного момента пульсаций скорости частиц (1.4.6):
d2Bp jj _ Вр jj _ Blp ij(14 7)
dr2 т2 г2
Граничными условиями для уравнения (1.4.7) должны быть
^^ = о при т = О, Bpij —> 0 при т —► оо.(1.4.8)
Интегрируя уравнение (1.4.7) с учетом (1.4.8), получаем асимптотическое выражение для тензора турбулентной диффузии частиц при больших временах
ОООО
Dpij = j Bpij^dT = j BLpij(f)dr = u'2TLpir (1.4.9) оо
Согласно (1.4.9) тензор турбулентной диффузии инерционных частиц совпадает с соответствующей величиной для жидких частиц, движущихся вдоль траекторий первых. Из сопоставления (1.1.2) и (1.4.9) следует
Dpij = 4pDt. (1.4.10)
Таким образом, отношение коэффициентов турбулентной диффузии жидких и твердых (инерционных) частиц равно отношению интегральных масштабов пульсаций скоростей несущей сплошной среды, вычисленных вдоль соответствующих этим частицам траекториям. Если различием между лагранжевыми интегральными масштабами турбулентности, определенными вдоль траекторий жидких и твердых частиц пренебречь, т.е. принять Тьрц ^Тьб^, то, как видно из (1.4.10), тензоры турбулентной диффузии жидких и твердых частиц при больших временах совпадают. Этот результат был впервые получен Ченом (Хинце, 1959). Из (1.4.10) следует, что при отсутствии осредненного скольжения (дрейфа) между частицами и жидкостью, когда время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями Тьр превосходит лагранжев макромасштаб Tl, коэффициент турбулентной диффузии для твердых частиц оказывается большим, чем для жидких частиц (эффект инерционности — Reeks, 1977; Pismen & Nir, 1978; Deutsch & Simonin, 1991; Squires & Eaton, 1991b; Elghobashi & Truesdell, 1992). С ростом осредненного скольжения время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями снижается и, следовательно, имеет место уменьшение коэффициента турбулентной диффузии частиц (эффект
пересечения траекторий — Yudine, 1959; Csanady, 1963). Кроме того, временной масштаб Т^р оказывается большим, чем Т^ поэтому коэффициент диффузии частиц в продольном к вектору скорости дрейфа направлении D1 превышает коэффициент диффузии в поперечном направлении Dp {эффект неразрывности — Csanady, 1963).
Решение уравнения (1.4.7) с учетом (1.4.8) имеет вид
Г Г / |т -4-\/ |т —\
ВР(т) = у— ехр -^!i +exp (-11—^1 *Lp№ 0
(1.4.11)
Выражение (1.4.11) впервые получил Reeks (1977) путем непосредственного интегрирования уравнения движения частицы с привлечением гипотезы Коррсина о независимом осреднении полей смещения частицы и флуктуаций скорости жидкости. Согласно (1.4.11) вторые одноточечные моменты пульсаций скоростей частиц {тензор турбулентных напряжений) определяются выражением, аналогичным (1.4.4)
W = Bp у (0) = u'2/u ir(1.4.12)
Тензор fuij в (1.4.4) и (1.4.12) характеризует степень вовлечения частиц в пульсационное движение несущей турбулентной среды. Так, безынерционные частицы {тр —* 0) полностью вовлекаются в турбулентное движение, и их кинетическая энергия совпадает с турбулентной энергией несущей жидкости. В случае безынерционных частиц из (1.4.5) с учетом Фьро(О) = 6ц следует
1™ fu Ц = 6ц.
Тр—
Степень вовлечения частиц в пульсационное движение уменьшается с ростом инерционности частиц, и, следовательно, кинетическая энергия инерционных частиц в однородной изотропной стационарной турбулентности всегда меньше, чем турбулентная энергия жидкости. Для высокоинерционных частиц из (1.4.5) следует
Иш /ц ij = —Р гз •Тр-*ооТр
Если лагранжева автокорреляционная функция скорости жидкости вдоль траектории частицы ^LpijQr) описывается экспоненциальной аппроксимацией (1.3.25), то корреляционный момент пульсаций скорости частиц (1.4.11) принимает вид
и'2 Г/
+ (!--№*)+ (!--№*)ехр (-тТ^) + ехр ( -—I47\ ТР .ехр (-тТ^) + ехр ( -—I47\ ТР .вр(т) = 1-|(1+трту
+ (!--№*)
+ (!--№*)
ехр (-тТ^) + ехр ( -—I
47\ ТР .
ехр (-тТ^) + ехр ( -—I
47\ ТР .
а тензор степени вовлечения частиц в турбулентное движение (1.4.5) становится равным
f„= (l + TpT^)"1.(1.4.14)
При отсутствии осредненного скольжения частиц относительно турбулентной жидкости лагранжевы корреляционные моменты'(1.4.1), (1.4.6) и тензор степени вовлечения частиц в турбулентное движение (1.4.5) становятся изотропными
Bfp гз (^) = Bfp(r^ij > Bp ij (т) = Вр(т}Sij, fu ij = fu^ij >oo
A = — [ Ф£р(т)ехр f-—^ dr.(1.4.15)
Tp J\ Tp/
0
Очевидно, что при этом одноточечные моменты пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз (1.4.4) и пульсаций скоростей частиц (1.4.12) также будут изотропными
Wj) = Wj) = y'2dy -(1.4.16)
где v/2 = (i^iQ/3 — интенсивность пульсаций скорости частиц, определяемая соотношением
(1.4.17)
В случае экспоненциальной автокорреляционной функции изотропный коэффициент вовлечения (1.4.15) равен
А = 1 + ^-) •(1.4.18)
1Lp/
Соотношение (1.4.17) для отношения между интенсивностями пульсаций скоростей дисперсной и сплошной фаз с коэффициентом вовлечения (1.4.18) при Tlp = Tl также впервые получено Ченом (Хинце, 1959). Как видно из рис. 1.4.1, зависимость (1.4.17) с учетом (1.4.18) очень хорошо согласуется с результатами численного моделирования на основе метода крупных вихрей (Deutsch & Simonin, 1991).
Определим лагранжеву автокорреляционную функцию скоростей частиц при отсутствии осредненного дрейфа как Фр(т) = Вр(т)/Вр(0). Тогда согласно (1.4.11) и (1.4.15) лагранжев интегральный масштаб для частиц равен
ОО
Тр = [ ^рМ<1т = ^.(1.4.19)
JJu
О
При задании автокорреляционной функции скоростей жидких частиц, движущихся вдоль траекторий инерционных частиц, в виде
Рис. 1.4.1. Отношение между интенсивностями пульсаций скоростей дисперсной и сплошной фаз: / — (1.4.17) с учетом (1.4.18), 2 — Deutsch & Simonin (1991)
Рис. 1.4.2. Автокорреляционная функция пульсаций скоростей частиц: 1-5 — (1.4.20); 6-10 - Simonin et al. (2002); 1,6- StE = 0,04; 2, 7 - Sts = 0,2; 3, 8 — Sts = 1,0; 4, 9 - StB = 2,3; 5, 10 - StB = 3,3
экспоненциальной аппроксимации для автокорреляционной функции скоростей инерционных частиц из (1.4.13) получаем
Фр(т) =Фр(т) =ехрехр1 '2 '1 '2 '+ ехр+ ехр
Фр(т) =
Фр(т) =
ехр
ехр
1 '
2 '
1 '
2 '
+ ехр
+ ехр
ТьрТьр(1.4.20)(1.4.20)^Тьр + тр) Г
Тьр
Тьр
(1.4.20)
(1.4.20)
2(ПР-тр) [ Р
а лагранжев интегральный масштаб (1.4.19) становится равным
(1.4.21)(1.4.21)Тр = Тьр + Тр.
(1.4.21)
(1.4.21)
На рис. 1.4.2 показано сопоставление формулы (1.4.20) для автокорреляционной функции пульсаций скоростей частиц с результатами прямого численного моделирования при Кед = 53 (Simonin et al., 2002). Время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями, входящее в (1.4.20), определялось на основе (1.3.15). Согласно DNS Tl/Te = 0,68, поэтому теоретические кривые (1.4.20) построены для структурного параметра m = 0,3, что согласно (1.3.11) дает близкое значение отношения лагранжева и эйлерова масштабов турбулентности. Главный вывод, следующий из рис. 1.4.2, состоит в увеличении временного лагранжева интегрального масштаба пульсаций скорости частицы с ростом ее инерционности, что находится в прямом соответствии с (1.4.19) и (1.4.21). Для высокоинерционных частиц лагранжев макромасштаб Тр становится равным времени релаксации тр.
Перейдем к рассмотрению пульсаций температуры. Лагранжев смешанный корреляционный момент пульсаций температуры сплошной и дисперсной фаз вдоль траектории частицы определяется как
ЕМт) = (0<(x,f)0<(^ ~ т),^ т)\КР№ = х).(1.4.22)
Уравнение для B^t получается непосредственно из уравнения теплообмена одиночной частицы (1.2.5)
^Bfpt _ Bjpt _ Blip,^
dr rt Tt '* *
где Blip — лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры жидкой частицы, движущейся вдоль траектории инерционной частицы (1.3.28). Решение уравнения (1.4.23), имеет вид, аналогичный (1.4.3),
ОО
BjptM = -^ [ BLtp^exp (^—-) d^ =
Tt J\ Tt /
« 00
= ^ <w$ exp i ) d^. (1.4.24) Те J\ Tt /
Согласно (1.4.24) выражение для смешанного одноточечного момента пульсаций температур сплошной и дисперсной фаз имеет вид
гдегде^'0Z) = Bfpt^ = ft^\^'0Z) = Bfpt^ = ft^\(1.4.25)(1.4.25)ООЛ = — Фь<р(т)ехроООЛ = — Фь<р(т)ехроdr.dr.(1.4.26)(1.4.26)Лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры частицы вдоль траектории ее движения равенЛагранжев корреляционный момент пульсаций температуры частицы вдоль траектории ее движения равенBpt(T) = ^(x^e^Rp^t-TYt-T^Rp^^xy (1.4.27)Bpt(T) = ^(x^e^Rp^t-TYt-T^Rp^^xy (1.4.27)С учетом соотношенияС учетом соотношенияae^t) ao\t - т) \ _ d2Bptdt dt / dr2ae^t) ao\t - т) \ _ d2Bptdt dt / dr2из (1.2.5) получается следующее уравнение для корреляционного момента пульсаций температуры частиц (1.4.27):из (1.2.5) получается следующее уравнение для корреляционного момента пульсаций температуры частиц (1.4.27):d BptBpt BLtpdr2т? ~ rt2d BptBpt BLtpdr2т? ~ rt2(1.4.28)(1.4.28)Решение уравнения (1.4.28) имеет вид, аналогичный (1.4.11),Решение уравнения (1.4.28) имеет вид, аналогичный (1.4.11),в м -7■Bptv) — 9 Ов м -7■Bptv) — 9 ОФы„(М-Фы„(М-(1.4.29)Согласно (1.4.29) вторые одноточечные моменты пульсаций темпе-(1.4.29)Согласно (1.4.29) вторые одноточечные моменты пульсаций темпе-ратур дисперсной и сплошной фаз связаны соотношениемратур дисперсной и сплошной фаз связаны соотношением(И = в^о) = ft^Y(И = в^о) = ft^Y(1.4.30)(1.4.30)
где
где
^'0Z) = Bfpt^ = ft^\
^'0Z) = Bfpt^ = ft^\
(1.4.25)
(1.4.25)
ОО
Л = — Фь<р(т)ехро
ОО
Л = — Фь<р(т)ехро
dr.
dr.
(1.4.26)
(1.4.26)
Лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры частицы вдоль траектории ее движения равен
Лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры частицы вдоль траектории ее движения равен
Bpt(T) = ^(x^e^Rp^t-TYt-T^Rp^^xy (1.4.27)
Bpt(T) = ^(x^e^Rp^t-TYt-T^Rp^^xy (1.4.27)
С учетом соотношения
С учетом соотношения
ae^t) ao\t - т) \ _ d2Bptdt dt / dr2
ae^t) ao\t - т) \ _ d2Bptdt dt / dr2
из (1.2.5) получается следующее уравнение для корреляционного момента пульсаций температуры частиц (1.4.27):
из (1.2.5) получается следующее уравнение для корреляционного момента пульсаций температуры частиц (1.4.27):
d BptBpt BLtp
dr2т? ~ rt2
d BptBpt BLtp
dr2т? ~ rt2
(1.4.28)
(1.4.28)
Решение уравнения (1.4.28) имеет вид, аналогичный (1.4.11),
Решение уравнения (1.4.28) имеет вид, аналогичный (1.4.11),
в м -7
■Bptv) — 9 О
в м -7
■Bptv) — 9 О
Фы„(М-
Фы„(М-
(1.4.29)
Согласно (1.4.29) вторые одноточечные моменты пульсаций темпе-
(1.4.29)
Согласно (1.4.29) вторые одноточечные моменты пульсаций темпе-
ратур дисперсной и сплошной фаз связаны соотношением
ратур дисперсной и сплошной фаз связаны соотношением
(И = в^о) = ft^Y
(И = в^о) = ft^Y
(1.4.30)
(1.4.30)
где коэффициент ft (1.4.26) характеризует восприимчивость частиц к турбулентным пульсациям температуры несущей среды.
Когда лагранжева автокорреляционная функция температуры жидкости вдоль траектории частицы ^LtP(r) описывается экспоненциальной аппроксимацией (1.3.37), корреляционный момент пульсаций температуры частиц (1.4.29) принимает вид
BptM =
(^2)
2
+ ехр
Рис. 1.4.3. Зависимость отношения интенсивностей пульсаций температур дисперсной и сплошной фаз от отношения интенсивностей пульсаций скоростей: 1 - Т = 1; 2, 4, 6 - Т = 0,5; 5, 5, 7 - Т = 2; 2, 3 - (1.4.32); 4,5- (1.4.33);
6,7- (1.4.34)
Рис. 1.4.4. Зависимость отношения интенсивностей пульсаций температур дисперсной и сплошной фаз от отношения тепловой и динамической инерционно- стей частиц: / - (1.4.32), 2 - (1.4.33), 3 - (1.4.34), 4 - Jaberi (1998)
а коэффициент вовлечения частиц в температурные пульсации сплошной среды (1.4.26) становится равным
Формулы (1.4.17), (1.4.18), (1.4.30) и (1.4.31) приводят к следующему соотношению между турбулентными флуктуациями температур и скоростей дисперсной и сплошной фаз:
(0'2) v'2/^2 + Т(! - V^/u'2)’ ТрТир' X - )
где параметр Т характеризует отношение тепловой и динамической инерционностей частиц.
Yarin & Hetsroni (1994) путем простого сопоставления решений уравнений для пульсаций скорости и температуры частицы получили следующее соотношение между интенсивностями флуктуаций температур и скоростей дисперсной и сплошной фаз:
W\W)W\W)1/21/2= 1 -= 1 -(1.4.33)(1.4.33)
W\W)
W\W)
1/2
1/2
= 1 -
= 1 -
(1.4.33)
(1.4.33)
Derevich (2001), исходя из (1.4.17) и (1.4.30) и используя ступенчатые автокорреляционные функции для определения коэффициентов вовлечения (1.4.15) и (1.4.26), получил соотношение между интенсивностями флуктуаций температур и скоростей дисперсной и сплошной фаз в виде
(1.4.34)
Выражение (1.4.34) напоминает по форме (1.4.33), однако получено существенно более корректным путем. Рисунок 1.4.3 демонстрирует отношение интенсивностей пульсаций температур дисперсной и сплошной фаз от отношения интенсивностей пульсаций скоростей в зависимости от параметра Т. Видно, что поведение зависимостей (1.4.32), (1.4.33) и (1.4.34) качественно одинаково, и все они предсказывают, что (0'2)/(tf'2) < v'2/u'2 при Т < 1 и (0'2)/(t?'2) > v/2/u'2 при Т > 1. На рис. 1.4.4 показано влияние параметра Т, характеризующего отношение тепловой и динамической инерционностей частиц, на отношение интенсивностей пульсаций температур дисперсной и сплошной фаз при фиксированном отношении интенсивностей пульсаций скоростей (v'2/u'2 = 0,71). Как видно, формула (1.4.32) очень хорошо согласуется с результатами прямого численного моделирования Jaberi (1998). Зависимость (1.4.33) предсказывает слишком резкое уменьшение (б?'2)/^'2) с ростом Т по сравнению с данными DNS, что отмечалось уже Jaberi (1998).
Глава 2
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ГРАДИЕНТНЫХТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
В настоящей главе рассматривается движение частиц в однородных и неоднородных градиентных турбулентных потоках. Концентрация дисперсной фазы предполагается достаточно малой, чтобы можно было, во-первых, пренебречь столкновениями частиц между собой, а, во-вторых, не учитывать обратное влияние частиц на несущую сплошную фазу и модификацию турбулентности. Поэтому осредненные и пульсационные характеристики несущего турбулентного потока считаются известными, так как они могут быть определены из решения задачи для однофазной турбулентной среды. Развиваемый статистический метод моделирования движения частиц в турбулентном потоке основан на кинетическом уравнении для функции плотности вероятности (ФПВ) распределения скорости частиц. Основным допущением данного подхода является моделирование поля скорости сплошной среды гауссовым случайным процессом. Следует отметить, что результаты экспериментов и прямых численных расчетов свидетельствуют, что даже изотропная турбулентность не является гауссовой и «хвосты» ФПВ заметно отличаются от нормального распределения (Монин и Яглом, 1967; Кузнецов и Сабельников, 1986; Pope, 2000). Однако статистические аргументы, основанные на центральной предельной теореме, позволяют заключить, что «ядро» ФПВ, где сосредоточена большая часть энергии турбулентности, при больших числах Рейнольдса должна быть близкой к нормальному распределению. В частности, экспериментальные данные Tavoularis & Corrsin (1981) показывают, что, по крайней мере, в однородном сдвиговом потоке ядро ФПВ близко к эллиптическому гауссову распределению. Поэтому проблема замыкания кинетического уравнения для ФПВ скорости частицы в турбулентном потоке решается при помощи техники функционального исчисления на основе известной формулы Фурутцу-Донскера-Новикова для гауссова случайного поля (Кляцкин, 1980, 2001; Frisch, 1995). Полученное кинетическое уравнение используется для построения континуальных транспортных (дифференциальных) и алгебраических моделей для расчета гидроди-
намических макрохарактеристик (моментов ФПВ) дисперсной фазы. В качестве примеров приложения представленных моделей рассматривается поведение частиц в однородном сдвиговом потоке, пристеночной области и вертикальном канале.
Кинетическое уравнение для одноточечной ФПВскорости частицы
Движение одиночной частицы в турбулентной среде описывается уравнениями (1.2.1) и (1.2.2). Выражения (1.2.1) и (1.2.2) представляют собой уравнения типа Ланжевена, в которых скорость турбулентной жидкости и рассматривается как случайный процесс. С целью перехода от динамических стохастических уравнений движения к статистическому описанию распределения скорости частицы вводится динамическая плотность вероятности в фазовом пространстве координат и скоростей (x,v)
Р = 5(х - Rp^W - vp(t)Y (2.1.1)
где 5(х) — дельта-функция Дирака.
Дифференцируя (2.1.1) по времени с учетом (1.2.1) и (1.2.2), получаем уравнение Лиувилля для динамической плотности вероятности одиночной частицы в фазовом пространстве
ЭрЭр эdt + дхк + д^кЭрЭр эdt + дхк + д^к^к ^рк г \— + Я рТР/ .^к ^рк г \— + Я рТР/ .= 0.= 0.(2.1.2)(2.1.2)
ЭрЭр э
dt + дхк + д^к
ЭрЭр э
dt + дхк + д^к
^к ^рк г \
— + Я р
ТР/ .
^к ^рк г \
— + Я р
ТР/ .
= 0.
= 0.
(2.1.2)
(2.1.2)
Осредняя (2.1.2) по ансамблю случайных реализаций турбулентного поля жидкости и, перейдем к уравнению для статистической ФПВ распределения скорости частицы Р = (р). Одноточечная одночастичная ФПВ Р(х, v, t) определяется как плотность вероятности частицы находиться в точке х со скоростью v в момент времени t. Представляя в (2.1.2) актуальную скорость жидкости в виде суммы осредненной и пульсационной составляющих u = U 4- и', после осреднения с учетом соотношения ('Upip') = DiP получаем
SP 9Р 9 \(Uk-Vkdt Vkdxk duk [\ трSP 9Р 9 \(Uk-Vkdt Vkdxk duk [\ тр+ Fk+ FkРР1 W тр dvk1 W тр dvk(2.1.3)(2.1.3)
SP 9Р 9 \(Uk-Vk
dt Vkdxk duk [\ тр
SP 9Р 9 \(Uk-Vk
dt Vkdxk duk [\ тр
+ Fk
+ Fk
Р
Р
1 W тр dvk
1 W тр dvk
(2.1.3)
(2.1.3)
Члены в левой части уравнения (2.1.3) описывают эволюцию во времени и конвекцию в фазовом пространстве, в то время как член в правой части характеризует взаимодействие частицы с турбулентными вихрями несущего потока. Для замыкания уравнения (2.1.3) необходимо определить корреляцию между пульсациями скорости сплошной среды и плотностью вероятности скорости частицы (u^p). С этой целью поле скорости сплошной среды моделируется гауссовым случайным процессом с известными корреляционными моментами. В этом случае,
Кинетическое уравнение для одноточечной ФПВ скорости частицы 59 привлекая .формулу Фурутцу-Донскера-Новикова для гауссовых случайных функций (Кляцкин, 1980, 2001; Frisch, 1995), получаем
W) = [ [«(x.^u^Xbij)) /^^^-\dxvdtx.(2.1.4)
J J\оик\х\,/
Как видно из (2.1.4), чтобы определить (и^р^ нужно найти функциональную производную от р по и. Используя равенство получим
/ бр(х, 4)\ =8/SRpj^t)
\6u,fc(xi,ti)dxidti / dxj \’ ' Siik^xx.tx^dxxdtx
8 / , ,х Supj^t)
(2.1.5)(2.1.5) / у(х г J X z d^j \’ Suk(x\,t\)dx\dt\
(2.1.5)
(2.1.5)
Следовательно, далее необходимо определить функциональные производные координаты и скорости частицы по скорости несущей жидкости. Для этого привлечем решения уравнений движения (1.2.1) и (1.2.2), записанные в виде интегралов вдоль траектории частицы
t
(2.1.6)(2.1.6)RP(t) = j Vp^dtx, —ОО t f f t — t\\ Ги(Нр(^1),ti) ' „ vp(4) = exp v pv ' ' + F dtx. J\ Tp / _ Tp
(2.1.6)
(2.1.6)
—oo
Применяя к (2.1.6) операцию функционального дифференцирования, получаем систему интегральных уравнений относительно функциональных производных
-г—Д^^—— = 5y5(Rp(fi) - Xi) 1 - ехр (--—-) Н(4 - 4i)+ 6uj(xx,t\)dx\dt\[\ тр )
1( f“f21 — exp I1( f“f21 — exp Iduj (Rp (4г), <2 )6Rp n (^2),, ,n | yx
1( f“f2
1 — exp I
1( f“f2
1 — exp I
dxn Suj^xx.tx^dxxdtx 21
^^-t- = ^5(RP(t!) - x,) exp (-^-) H(t - t])+
«i,ti)dxi^i tp\ tp /
1 f4exp1 f4exp^ ~ ^2 \ duj(Rp(t2), 4г) SRpn^ta') ^^ । gx
1 f
4exp
1 f
4exp
Tp / dxn 5uj(xx,tx)dxxdtx
гд$ Н(ж) — функция Хевисайда: Н(ж < 0) = 0, Н(ж > 0) = 1; ^ —- символ Кронекера: 5ij = 1 при г = j, 6^ = 0 при г / j. Функция Хевисайда обеспечивает начало воздействия жидкости на частицу в момент времени t = t\.
Для решения интегральных функциональных уравнений применим метод итераций (Зайчик, 1996, 1997). В качестве первого приближения решения уравнения (2.1.7) принимается первый член в правой части. Ограничимся рассмотрением квазиоднородных течений, в которых градиенты осредненной скорости имеют постоянные или близкие к постоянным значения. Тогда решение уравнения (2.1.7), учитывающее два первых члена итерационного разложения, имеет вид
du» ^ dxj [du» ^ dxj [(2.1.9)(2.1.9)—-^М—- = ^(t,) - X1)H(t - to Ly [1 - exp f-^)l + ouj (rj, )uX| atiTp J
du» ^ dxj [
du» ^ dxj [
(2.1.9)
(2.1.9)
t -1\ - 2tp + (t - t\ + 2rp) exp
Подставляя (2.1.9) в (2.1.8), получаем
л= ^ОМ^) ~xi)H(f ~ ^i) ( — exp f--—+
ouj\r\,ti)dxidtx p\Tp \ tp /
2tp /2tp /(2.1.10)(2.1.10)
2tp /
2tp /
(2.1.10)
(2.1.10)
е =е =1 — ехр1 — ехрku ГTLp д^ 11 - ^рku ГTLp д^ 11 - ^р1 - ехр1 - ехрПР =ПР =тРТьРтРТьР
е =
е =
1 — ехр
1 — ехр
ku Г
TLp д^ 11 - ^р
ku Г
TLp д^ 11 - ^р
1 - ехр
1 - ехр
ПР =
ПР =
тРТьР
тРТьР
Из (2.1.7) видно, что скорость сходимости итерационного процесса управляется параметром
t ^U Г Дж J ti
где AU/Ax — характерный градиент осредненной скорости несущего потока, ТьР — характерное время взаимодействия частиц с энергоемкими вихрями. Параметр Пр характеризует инерционность частицы по отношению к периоду ее взаимодействия с энергосодержащими турбулентными вихрями.
Быстрая сходимость итерационного процесса имеет место, если величина е является малым параметром. Это условие выполняется для высокоинерционных частиц, поскольку е —► 0 при Пр —► сю. Однако для малоинерционных частиц (Пр —> 0) мы сталкиваемся с той же проблемой, что и в теории однофазных турбулентных течений, поскольку
параметр s = Т^ Д[7/Дж не является малым. Тем не менее, ограничимся учетом только представленных членов в разложениях (2.1.9) и (2.1.10).
Подставляя (2.1.9) и (2.1.10) в (2.1.4) и (2.1.5) и осредняя по ансамблю реализаций турбулентных флуктуаций, получаем следующее выражение для корреляции между пульсациями скорости сплошной среды и плотностью вероятности скорости частицы:
(и'р) = -Тр(и'р) = -Тр\ Z ^дР , ^.ЭР\ Z ^дР , ^.ЭР(2.1.11)(2.1.11)
(и'р) = -Тр
(и'р) = -Тр
\ Z ^дР , ^.ЭР
\ Z ^дР , ^.ЭР
(2.1.11)
(2.1.11)
t
Xij(x,t) = — [ (u<(x,t)u,fc(Rp(ti),fi))H(t-ti)/ —exp——) +
Tp J( Tp \ Тр /
—oo
oxk [oxk [t-tx\ I exp tp /t-tx\ I exp tp /t-tXt-tXх t -tx - Зтр 4- ( Зтр 4- 2(t - ti) 4-х t -tx - Зтр 4- ( Зтр 4- 2(t - ti) 4-*p >(t-*l)22rp*p >(t-*l)22rpau, dun+ о о *UXfi uxk/ t-tx'exp Iau, dun+ о о *UXfi uxk/ t-tx'exp I^i,^i,ttp / J )(2.1.12)p / J )(2.1.12)
oxk [
oxk [
t-tx\
I exp tp /
t-tx\
I exp tp /
t-tX
t-tX
х t -tx - Зтр 4- ( Зтр 4- 2(t - ti) 4-
х t -tx - Зтр 4- ( Зтр 4- 2(t - ti) 4-
*p >
(t-*l)22rp
*p >
(t-*l)22rp
au, dun
+ о о *
UXfi uxk
/ t-tx'
exp I
au, dun
+ о о *
UXfi uxk
/ t-tx'
exp I
^i,
^i,
t
t
p / J )
(2.1.12)
p / J )
(2.1.12)
exp I
—oo—oo\ Tp
—oo
—oo
(2.1.13)(2.1.13)+^- t - tx - 2tp 4- (t - tx 4- 2tp) exp vXk [
(2.1.13)
(2.1.13)
Здесь величины /z^ и Xij обозначают интегралы, содержащие второй корреляционный момент пульсаций скорости сплошной среды вдоль траектории частицы. Для того чтобы вычислить эти интегралы, необходимо определить лагранжев корреляционный момент пульсаций скорости жидкой частицы, движущейся по траектории инерционной частицы. Однако прежде определим лагранжев корреляционный момент пульсаций скорости жидкой частицы вдоль собственной траектории
ВьуМ = (u'(x)u'.(R(t -г),!- r)|R(t) = х),
используя соотношения
(2.1.14)
= 9Wk) , г Г 9Wk) , 9№W
Dt d£ n дхп Эхп
Тензор ^ы^т) в (2.1.14) обозначает ланранжеву автокорреляционную функцию пульсаций скорости сплошной среды. Выражение (2.1.14) содержит дополнительный «транспортный член» с D^u^/Dt по сравнению с представлением лагранжевого корреляционного момента пульсаций скорости элемента сплошной среды в стационарной
однородной изотропной турбулентности (1.1.1). Этот дополнительный член, введенный впервые Derevich (2000а), учитывает эффект переноса пульсаций скорости жидких частиц вдоль их траекторий вследствие нестационарности, конвекции и диффузии. Таким образом, аппроксимация (2.1.14) подразумевает, что имеют место два механизма формирования Выз(т) в нестационарной неоднородной турбулентности: во-первых, лагранжев корреляционный момент определяется локально через эйлеров одноточечный момент второго порядка (^Ц) и, во-вторых, учитывается изменение (п<п<) во времени и перенос со средней и пульсационной скоростями вдоль траектории жидкой частицы. Очевидно, что в стационарной однородной изотропной турбулентности второй механизм отсутствует. Включение транспортного члена в (2.1.14) напоминает в некотором смысле интерпретацию Стратоновича стохастических интегралов, в рамках которой, в отличие от интерпретации Ито, подынтегральная функция определяется в центре, а не на границе временного интервала (Gardiner, 1985). При отсутствии транспортного члена (2.1.14) переходит в соотношение Pope (2002) для лагранжевых корреляционных моментов пульсаций скорости жидких частиц в анизотропной турбулентности.
По аналогии с (2.1.14) лагранжев корреляционный момент пульсаций скорости жидкой частицы вдоль траектории инерционной частицы
ВъргАт) = (u-(x)u'.(Rp(t - r),t - r)|Rp(t) = х)
представляется в виде
Вьрц^ =»LpkM(2-1.15)
Dp(u-Ufc) = d(u<u'fc) 9Wk) d(u-«)Di 9t + 71 дхп Эхп ’
где Фьр^(т) обозначает автокорреляционную функцию пульсаций скорости сплошной среды, определенную вдоль траектории частицы. Как указывалось в разделе 1.3, корреляционные моменты пульсаций скорости несущего потока, вычисленные вдоль траекторий частиц, совпадают с обычными лагранжевыми корреляциями, определенными вдоль траекторий элементов сплошной среды, только в предельном случае безынерционных частиц.
Подставляя (2.1.15) в (2.1.12) и (2.1.13) и ограничиваясь при учете градиентов осредненной скорости членами не выше второго порядка, в результате интегрирования получим
X _ , / ,х (fukj , , dUj ,_ dUn8UA
x*j - M ( Tp + l^9ln +*
-X7;^E^(^kj+TpluXkn^-Y (2.1.16)
^ij “ (uiuk) I 9ukj + Tphu kn g^ )2 Dt 9u\kj- (2.1.17)
Коэффициенты jfn ^3 > 9u ij, lu ij > ^u ij > ГПп ij> fluij > 91uij, ^lu ij характеризуют степень вовлечения частиц в турбулентное движение сплошной среды. При использовании матричных обозначений эти коэффициенты записываются как
fu — М по , gu — Nn0 fu, ful — M-u 1, k — gu fu 1 ihn = Nni +Mni -2gn, mn = Nni + 2Mni +Mn2-3gn, (2.1.18)gul = Nnl full fu2 = 2M[n2> kl = gnl fu2i
M^unM^un7 тf T Л Д (-1)” dnF(s)
M^un
M^un
, -7 ФьрМт exp I11 dr = -—3-7—
n\r"+l J 7\ Tp ) n\rp+l ds"
— T 17 т / X (-1)" v dnF(s)
Nnn =^ьР(т)тпДт = hm ■ ,
0
где F(s) обозначает преобразование Лапласа от автокорреляционной матрицы ^ьР(т) и з = ТрХ.
Коэффициенты вовлечения (2.1.18) удовлетворяют следующим предельным соотношениям:
fu = ful = I> fu2 = 21, gn = lu = Nn0,(2 j jgj
hn = mn = gni = ki = Nni при трТ^Х < I,
fu = NnO> gu = ful = Nnl, lu = Nn2, gul fu2 = 2Nn2i ^ । 2Q) hn = Nn3, lui=3Nn3, mn = Nn4 приТрТ^^Г
oo
где Tlp = j ^Lp^dT — матрица макровремен взаимодействия части- о цы с турбулентностью.
Если автокорреляционная функция задается в виде экспоненциальной аппроксимации (1.3.25), т. е.
ФЬр(т) = ехр(-тТ^),(2.1.21)
то /1Ч-*/,\-(n+l)/Тг^\п+1
F(s) = (sl + T£4 , Mun = (1 + трТ£И , Nun = -^,
4747X ТР /
и коэффициенты вовлечения (2.1.18) примут вид
fu = (l + TpT£')"', g^^Vl + r^*)"1, X/у Тр / X/
f„i = (l + rpT^) 2f„i = (l + rpT^) 2
f„i = (l + rpT^) 2
f„i = (l + rpT^) 2
h„=f^) (l + rPT£*) 2,(2.1.22)
Ши =2 (l + ТРТ-Д "3, gul = V - (I + трТ^) “2 ,
fu2 = 2 (l + трТ^ "3, 1и1 = (I + ЗтрТ^ ^) (l + трТ^) "3,
где TLp является обратной матрицей по отношению к Тьр. Очевидно, что выражения (2.1.22) удовлетворяют асимптотическим соотношениям (2.1.19) и (2.1.20).
Без учета анизотропии времен взаимодействия частиц с турбулентными вихрями тензоры (2.1.18) и (2.1.22) становятся изотропными, т. е. превращаются в скалярные коэффициенты. Анизотропия коэффициентов вовлечения (2.1.18) или (2.1.22) может быть обусловлена двумя причинами — анизотропией масштабов турбулентности несущей сплошной среды и эффектом пересечения траекторий, имеющим место и в изотропной турбулентности. В рамках лагранжева траекторного моделирования анизотропия масштабов турбулентности учитывается в работах Berlemont et al. (1990), Zhou & Leschziner (1996), Pascal & Oesterle (2000), Caballina et al. (2004), Carlier et al. (2004, 2005), а на уровне кинетических уравнений для ФПВ — в Zaichik et al. (2004а), Алипченков и Зайчик (2004).
Подстановка (2.1.11) в (2.1.3) приводит к следующему кинетическому уравнению для одноточечной ФПВ распределения скорости частицы в сдвиговом турбулентном потоке:
ЭРЭРд \(Ui-ViVIл Э^РЭ^Р
"НГ+^оЬ IНРг)Р ~^Vo—Я^V * (2.1.23)
9tdxidvi [\ тр/ J Эг^Эг^dxjdvi
где pij и Xij определяются согласно (2.1.16) и (2.1.17). Члены в левой и правой частях (2.1.23) описывают соответственно конвекцию и диффузию одночастичной ФПВ в фазовом пространстве. Моделирование турбулентности при помощи гауссового процесса позволяет выразить взаимодействие частицы с турбулентными вихрями в виде дифференциального (диффузионного) оператора второго порядка. Этот диффузионный оператор учитывает анизотропию временных масштабов турбулентности через коэффициенты вовлечения. Если пренебречь анизотропией масштабов турбулентности и вкладом в (2.1.16) и (2.1.17) «транспортных членов», содержащих Dp^u^/Dt, то (2.1.23) переходит в кинетическое уравнение, полученное Зайчиком (1997). Кроме того, без учета членов с градиентами осредненных скоростей из (2.1.23) следует уравнение для ФПВ распределения скорости частиц в однородном бессдвиговом турбулентном потоке (Деревич и
Зайчик, 1998). Следует отметить, что в некоторых работах (например, Крошилин и др., 1985; Ватажин и Клименко, 1994) взаимодействие частиц с турбулентными вихрями сплошной среды описывалось таким же диффузионным оператором в подпространстве скоростей, как и в теории броуновского движения, а кинетическое уравнение по существу совпадало с классическим уравнением Фоккера-Планка. Однако уравнение Фоккера-Планка справедливо для описания ^-коррелированных во времени марковских процессов и, следовательно, действительно для моделирования движения частиц под действием случайной силы в виде так называемого белого шума. Таким образом, использование уравнения Фоккера-Планка оправдано только для очень инерционных частиц, время динамической релаксации которых значительно превышает временной макромасштаб турбулентности.
Кинетическое уравнение (2.1.23) получено при помощи функционального формализма, основанного на формуле Фурутцу-Дон- скера-Новикова для гауссовова случайного поля. Для решения подобных задач этот метод применялся в работах Деревича и Зайчика (1988, 1990), Swailes & Darbyshire (1997), Hyland et al. (1999a), Zaichik (1999), Derevich (2000a), Pandya & Mashayek (2002b). Некоторое отличие подходов заключается в способе решения системы интегральных уравнений для функциональных производных. Если в настоящем подходе для решения системы (2.1.7) и (2.1.8) используется метод итераций, что позволяет получить кинетическое уравнение в явной замкнутой форме, то в работах Swailes & Darbyshire (1997), Hyland et al. (1999a), Pandya & Mashayek (2002b) задача замыкания кинетического уравнения сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения для функции Грина. Оба подхода оказываются эквивалентными при больших временах по сравнению с интегральным временным масштабом турбулентности для квазиоднородных течений.
В литературе известны также другие методы построения кинетических уравнений для ФПВ распределения скорости частицы. Так, Reeks (1991) построил кинетическое уравнение, используя принцип инвариантности к случайному галилееву преобразованию (random Galilean transformation — Kraichnan, 1965). В последующей работе Reeks (1992) получил кинетическое уравнение, описывающее движение частиц в неоднородной турбулентности на основе суммирования прямых взаимодействий лагранжевым методом ренормализационной теории возмущений (Lagrangian history direct interaction approximation — Kraichnan, 1965, 1977). Этот метод был использован также Pandya & Mashayek (2003) при выводе уравнения для совместной ФПВ распределений скорости и температуры частицы. Альтернативный метод построения замкнутого кинетического уравнения на основе разложения характеристического функционала в ряд по кумулянтам (cumulant expansion — Van Kampen, 1992) развит в работах Pozorski (1998), Pozorski & Minier (1999). При моделировании турбулентности гауссовыми случайными полями все три метода (функциональный формализм с учетом формулы
3 Л. И. Зайчик, В. М. Алипченков
Фурутцу-Донскера-Новикова, суммирование прямых взаимодействий и разложение по кумулянтам) приводят к эквивалентным кинетическим уравнениям для частиц, однако последние два метода не ограничены случаем гауссовых функций.
В работах Pozorski & Minier (1999), Peirano & Minier (2002), Minier & Peirano (2004) и Reeks (2005a) построены более общие кинетические уравнения, список независимых переменных которых (координат в фазовом пространстве) включает кроме координаты и скорости частицы также координаты и скорости элементов сплошной среды, движущихся по траекториям как жидких, так и инерционных частиц. Движение жидких частиц вдоль собственных траекторий моделируется на основе линейного стохастического уравнения со случайной силой, задаваемой в виде гауссова белого шума, т. е. описываемой винеровским процессом (Pope, 1994, 2000). Задача моделирования турбулентных характеристик жидких частиц, движущихся по траекториям инерционных частиц, является более сложной, поскольку необходимо учитывать эффекты пересечения траекторий, инерционности и неразрывности, рассмотренные в разделе 1.3. Впервые включение этих эффектов в стохастическое уравнение движение Ланжевена для описания переноса элементов сплошной среды вдоль траекторий инерционных частиц было осуществлено Simonin et al. (1993). Однако, поскольку проблема моделирования турбулентного движения сплошной среды выходит за рамки данной книги, кинетические уравнения, включающие описание жидких частиц, здесь рассматриваться не будут.
Уравнения для одноточечных моментовскорости частиц
Непосредственное решение кинетического уравнения для ФПВ скорости частицы в турбулентном потоке представляет собой сложную задачу вследствие большой размерности фазового пространства. Аналитические и численные решения этой задачи получены только для относительно простых течений и безусловно представляют большой интерес для анализа поведения частиц в некоторых предельных ситуациях, а также для построения замыкающих соотношений и граничных условий (Деревич и Зайчик, 1988; Derevich, 1991; Swailes & Reeks, 1994; Swailes et al., 1998; Devenish et al., 1999; Hyland et al., 1999b; Алипченков и др., 2001). Однако более целесообразным с вычислительной точки зрения является решение уравнений для нескольких первых моментов кинетического уравнения, хотя при этом, естественно, происходит некоторая потеря статистической информации о поведении частиц.
Путем интегрирования кинетического уравнения (2.1.23) по подпространству скоростей может быть получена система континуальных уравнений для осредненных одноточечных гидродинамических харак-
теристик дисперсной фазы в физическом пространстве. Отметим, что определение осредненных характеристик дисперсной фазы путем интегрирования ФПВ в подпространстве скоростей подобно известному в теории однофазных сжимаемых турбулентных течений осреднению Фавра с учетом плотности в качестве весовой функции.
Уравнение сохранения массы имеет вид
(2.2.1)(2.2.1)ЭФ ЭФУк dt 9$k
(2.2.1)
(2.2.1)
$=fpdv, Vt^Lpdv,JФ J
где Ф and Vi — осредненные объемная концентрация и скорость дисперсной фазы.
Уравнение баланса количества движения записывается в виде
8V<4-v№- ад^.и.-ц D„tain$
Здесь
W') = ф I ^ “ Vi^ ~ У^РАх
Dpij — тр ((v^j) + ptj^ — тр ((г^г^) 4- (и^и^д-ик^ +Dpij — тр ((v^j) + ptj^ — тр ((г^г^) 4- (и^и^д-ик^ +— турбулентные напряжения дисперсной фазы, обусловленные вовлечением частиц в пульсационное движение сплошной среды. Последний член в (2.2.2) описывает турбулентную диффузию частиц. Тензор турбулентной диффузии частиц определяется выражением
Dpij — тр ((v^j) + ptj^ — тр ((г^г^) 4- (и^и^д-ик^ +
Dpij — тр ((v^j) + ptj^ — тр ((г^г^) 4- (и^и^д-ик^ +
I^3 ТР ^P^i^k)/о Q Q\
+ тр{и^к)пикп q^2 q^ 9и\кэ* (2.2.3)
Уравнение для вторых моментов пульсаций скорости частиц (турбулентных напряжений дисперсной фазы) имеет вид
9хк9хкxQ^w^k) п , ,\ , xs^ ~ = - 1Ы + ^)xQ^w^k) п , ,\ , xs^ ~ = - 1Ы + ^)Ф 9хкФ 9хк
9хк
9хк
xQ^w^k) п , ,\ , xs^ ~ = - 1Ы + ^)
xQ^w^k) п , ,\ , xs^ ~ = - 1Ы + ^)
Ф 9хк
Ф 9хк
~ W^k) + Pjk) + ^гз + Xji(2.2.4) кТр
Уравнение (2.2.4) описывает конвективный и диффузионный перенос, порождение пульсаций из осредненного движения за счет градиентов скорости, генерацию флуктуаций в результате вовлечения частиц в пульсационное движение несущего потока и диссипацию турбулентных напряжений дисперсной фазы вследствие работы силы межфазного взаимодействия. Для малоинерционных частиц все дифференциальные члены, характеризующие транспорт и порождение за счет градиентов осредненной скорости, могут быть опущены, и из (2.2.4) следует ло-
калъно-равновесное соотношение между турбулентными напряжениями в дисперсной и сплошной фазах
(2 2 5)
В изотропной турбулентности (2.2.5) переходит в (1.4.12). Локально-равновесные соотношения типа (2.2.5) часто используются для построения простых континуальных моделей движения и осаждения частиц в турбулентных потоках (например, Деревич и Зайчик, 1988; Johansen, 1991; Guha, 1997; Young & Leeming, 1997; Cerbelli et al., 2001; Slater et al., 2003; Zaichik et al., 2004b). Однако модели, основанные на локально-равновесных соотношениях для турбулентных напряжений, справедливы только для малоинерционных частиц и не применимы для частиц, время релаксации которых превосходит интегральный масштаб турбулентности сплошной среды. Для описания турбулентного переноса в дисперсной среде, состоящей из инерционных частиц, должны использоваться нелокальные транспортные модели.
Получаемая из (2.1.23) система уравнений для моментов, аналогично известной цепочке уравнений Фридмана-Келлера в теории однофазных турбулентных течений (Монин и Яглом, 1965), является незамкнутой, так как уравнение для n-ого момента содержит (п + 1)-момент. Для получения замкнутой системы уравнений для моментов эту цепочку необходимо оборвать, вводя определенные замыкающие соотношения. Так, уравнения для третьих моментов пульсаций скорости могут быть замкнуты при помощи квазинормальной гипотезы Миллионщикова, предполагающей равенство нулю кумулянтов четвертого порядка и представляющей четвертые моменты в виде суммы произведений вторых моментов
WM'Vn') = (t^MO + Wkl^W + WnWAY (2.2.6)
С учетом (2.2.6) из (2.1.23) следует замкнутое уравнение для третьих моментов
8181^WL^I • ' 1 \9Ук , / ' / -\9Vj ^/ • • -X9^. 8xn +8xn + ^^ 8xn + ^k^ gXn +
81
81
Tp дхп Tp dxn Tp dx<n TpTp дхп Tp dxn Tp dx<n Tp= 0. (2.2.7)= 0. (2.2.7)
Tp дхп Tp dxn Tp dx<n Tp
Tp дхп Tp dxn Tp dx<n Tp
= 0. (2.2.7)
= 0. (2.2.7)
Система уравнений (2.2.1)-(2.2.4), (2.2.7) описывает движение дисперсной фазы на уровне третьих моментов. С целью получения системы уравнений для континуального моделирования дисперсной фазы на уровне моментов второго порядка необходимо получить алгебраические соотношения, выражающие третьи моменты через вторые моменты и их производные. Такие соотношения получаются из уравнений (2.2.7) путем пренебрежения в них членами, описывающими эволюцию во вре-
мени, конвекцию и порождение третьих моментов за счет градиентов осредненной скорости
3^p.n 8хп +Dpln ^ + Dpkn-^— J . (2.2.8)
Формула (2.2.8) для третьих моментов пульсаций скоростей частиц была получена Simonin (1991b) и Zaichik & Vinberg (1991) путем упрощения соответствующих дифференциальных уравнений, a Swailes et al. (1998) вывели (2.2.8) из решения кинетического уравнения методом возмущений Чепмена-Энскога. В работе Wang Q. et al. (1998) выполнена верификация градиентных соотношений типа (2.2.8) для течения в вертикальном плоском канале путем сравнения с результатами численных расчетов на основе LES; установлено, что градиентные соотношения предсказывают качественно правильные, хотя и несколько завышенные значения тройных моментов.
Уравнения (2.2.1)-(2.2.4) с учетом (2.2.8) позволяют моделировать гидродинамику частиц на уровне уравнений для вторых моментов. Применение дифференциальных моделей второго порядка для этой цели впервые было выполнено Кондратьевым и Шор (1990), Derevich (1991), Simonin (1991а), Zaichik & Vinberg (1991).
Рассмотрим асимптотическое поведение этой модели в пределе безынерционных частиц (тр —> 0). Из уравнения баланса количества движения (2.2.2) следует, что осредненная скорость дисперсной фазы, состоящей из безынерционных частиц, равна
91пФ
Уг = иг-П<к——.(2.2.9)
oxk
Согласно (2.2.9) скорость безынерционных частиц складывается их конвективной и диффузионной составляющих; причем конвективный перенос, естественно, производится со средней скоростью несущей жидкости.
Как видно из (2.2.5) с учетом первого соотношения в (2.1.19), турбулентные напряжения безынерционных частиц совпадают с рей- нольдсовыми напряжениями сплошной среды
lim(v^) = (u^;.).(2.2.10)
Тр—
Тензор турбулентной диффузии безынерционной примеси (пассивного скаляра) в соответствии с (2.1.19), (2.2.3) и (2.2.10) равен
Dy = lim Dpу = W^Tl^ + WxLkS- - ^^,тр-*0охп Dt 2
°?(2.2.11)
Хы) = Фду^тс/т,
о
?№ ^ыз(т) обозначает лагранжеву автокорреляционную функцию пульсаций скорости сплошной среды согласно определению (2.1.14). Второй член в правой части (2.2.11), впервые введенный Riley & Corrsin (1974) в однородной турбулентности с постоянной скоростью сдвига, описывает непосредственное влияние градиента осредненной скорости на тензор диффузии пассивной примеси. Третий член учитывает вклад «транспортного эффекта» вследствие нестационарности, а также конвективного и диффузионного переноса турбулентных пульсаций. Как видно из (2.2.11), даже если автокорреляционная функция ^LijM симметрична и, следовательно, Тыз и хыз также симметричны, тензор турбулентной диффузии безынерционной примеси в сдвиговом потоке несимметричен (Riley & Corrsin, 1974). Аналогичный вывод был впервые сделан Ounis & Ahmadi (1991) в отношении тензора турбулентной диффузии инерционных частиц в потоке с постоянным сдвигом.
Подстановка (2.2.9) в (2.2.1) приводит к уравнению диффузии для безынерционной примеси
9Ф,8Фи1 = _Э_(п ®1\дхк дхД1кЭхк)'(
Уравнение (2.2.12) является обычным уравнением диффузии пассивного скаляра, в котором влияние градиентов скорости осредненного движения и неоднородности турбулентности учитывается благодаря наличию двух последних членов в (2.2.11). Таким образом, при тр —► 0 имеет место предельный переход к задаче о турбулентной диффузии пассивной примеси.
В безынерционном пределе из (2.2.8) с учетом (2.2.10) и (2.2.11) вытекает выражение для третьих моментов пульсаций скорости сплошной среды
(uiu^fc) = Jim (гЭД^) =
/>(D,„^+Dj™+D1-™. (2.2ЛЗ) 3 \ oxndxndxn /
Если в (2.2.11) пренебречь двумя последними членами, обусловленными градиентами осредненной скорости и неоднородностью турбулентности, то (2.2.13) переходит в соотношение Cho et al. (2005)
^UjU^ — — - I ^и^Т^п—~F
3 \VXn
• (2.2.14) OX-n, /
В случае, если для тензора лагранжевых интегральных временных масштабов принять изотропное представление
Тыз=Тьб4з,(2.2.15)
то (2.2.14) примет вид
/ / / / \ _ TL Л > 'Хд<и'зи'к) , , , (Wk) , / / /ХдН^Л (^u^-Uj.)2 ^(^ип) ^^ + (и^ип) ^^ + (ufcun) g^ j .
(2.2.16)
При больших числах Рейнольдса временной макромасштаб турбулентности выражается через турбулентную энергию и скорость ее
диссипации как
Tl = ot-, а = const. еTl = ot-, а = const. е(2.2.17)(2.2.17)
Tl = ot-, а = const. е
Tl = ot-, а = const. е
(2.2.17)
(2.2.17)
С учетом (2.2.17) выражение (2.2.16) переходит в известную формулу Hanjalic & Launder (1972) для третьих моментов пульсаций скорости в однофазной турбулентности
WAk) = -0^ (<uWda^/"+
+(иХ>^^ + (4<)^^^ Р = ч- (2-218)
Таким образом, дифференциальная модель второго порядка для гидродинамики дисперсной фазы (2.2.1)-(2.2.4), (2.2.8) обеспечивает правильный предельный переход к случаю безынерционных частиц и воспроизводит известные в теории однофазной турбулентности соотношения. Поэтому, несмотря на то, что представленная модель может быть строго обоснована только в пределе высокоинерционных частиц (тр > Tlp), распределение скорости которых в однородной турбулентности близко к нормальному, есть основания полагать ее применимость во всем диапазоне изменения инерционности частиц.
Третьи моменты, входящие в транспортный член с Dp W№ В (2.1.15), аналогично (2.2.8) представляются как
w^j^k/” g r^Pm gxg^ + Dpkn g^ I- (2.2.19)
Смешанные вторые корреляционные моменты пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз могут быть определены непосредственно из (2.1.11) с учетом (2.1.16) и (2.1.17)
5 №з - VMdv =
J_ФJ_ФQ^'p^dv-yjQ^'p^dv-yj(u-p)dv(u-p)dv(2.2.20)(2.2.20)
J_
Ф
J_
Ф
Q^'p^dv-yj
Q^'p^dv-yj
(u-p)dv
(u-p)dv
(2.2.20)
(2.2.20)
Эти корреляционные моменты необходимы, в первую очередь, для учета обратного влияния частиц на турбулентность. Как видно из (2.2.20), тензор смешанных моментов, в отличие от турбулентных напряжений в сплошной и дисперсной фазах ^гь^ и (г^), является
72 Гл. 2. Движение частиц в градиентных турбулентных потоках несимметричным. В работах Simonin (1991а), Simonin et al. (1993) для моделирования смешанных корреляционных моментов (w^') и их свертки (и^г)^ были предложены дифференциальные уравнения, основанные на ланжевеновских уравнениях движения жидких и инерционных частиц.
Алгебраические модели турбулентныхнапряжений
Моделирование сложных трехмерных однофазных течений на основе системы дифференциальных уравнений для всех компонент турбулентных напряжений приводит к большим затратам времени даже при использовании самых быстродействующих компьютеров. Поэтому для расчета однофазных течений широкое распространение получили так называемые алгебраические модели рейнольдсовых напряжений, использующие дифференциальное уравнение только для турбулентной энергии. Нелинейные явные алгебраические модели, обладая практически такой же точностью, как и дифференциальные модели для вторых и третьих моментов пульсаций скорости и температуры, позволяют кардинально уменьшить время вычислений, одновременно повышая устойчивость численных схем. Применение алгебраических моделей для расчета реальных двухфазных (или многофазных) турбулентных потоков имеет еще большую актуальность, чем для однофазных течений. Двухфазная среда, как правило, представляет собой полидис- персную систему, состоящую из частиц различных размеров. Наиболее общим методом расчета такой полидисперсной среды является метод фракций, заключающийся в разбиении всей системы частиц на отдельные «монофракции» с последующим моделированием переноса массы, импульса и тепла в каждой из фракций. Очевидно, что использование дифференциальной модели турбулентности второго порядка для частиц при большом числе фракций приведет к резкому росту времени расчетов по сравнению с однофазным потоком. В данном разделе представлены два подхода для построения алгебраических моделей турбулентных напряжений дисперсной фазы. Эти подходы основаны на решении кинетического уравнения для ФПВ методом возмущений Че- пмена-Энскога и решении уравнения для турбулентных напряжений методом итераций.
Решение кинетического уравнения методом Чепмена-Энскога. Разложение Чепмена-Энскога было предложено для решения уравнения Больцмана в кинетической теории газов (Chapman & Cowling, 1970). Нулевой член разложения, соответствующий равновесному максвелловскому распределению скоростей молекул, приводит к гидродинамическому уравнению Эйлера в механике сплошных сред, разложение первого порядка производит уравнение Навье-Стокса, а разложение второго порядка дает уравнение Барнетта. Буевич (1971),
Buyevich (1972а) использовал метод Чепмена-Энскога для решения классического уравнения Фоккера-Планка, описывающего как броуновское движение частиц, так и псевдотурбулентную дисперсную среду, флуктуации параметров которой обусловлены случайной конфигурацией частиц. Деревич и Ерошенко (1990, 1991), Зайчик (1992а), Деревич (1994), Zaichik et al. (1997а), Swailes el al. (1998) привлекли этот метод для решения кинетических уравнений, моделирующих динамику инерционных частиц в турбулентных потоках.
Применим метод возмущений Чепмена-Энскога для решения кинетического уравнения (2.1.23), представляя его в операторном виде
R[P] = N[P],R[P] = N[P],ТрТр2fcp d2P Э^ — У^Р. 3 Qutdui Q^i _2fcp d2P Э^ — У^Р. 3 Qutdui Q^i _N[Pl = ^+^ + p~8t dxi \ tpN[Pl = ^+^ + p~8t dxi \ tpV X ЭР- +<2-3J)/ O'Ui2kPx82P82P3tp tjlj/ dvidvj ^lj9xj8ui*V X ЭР- +<2-3J)/ O'Ui2kPx82P82P3tp tjlj/ dvidvj ^lj9xj8ui*
R[P] = N[P],
R[P] = N[P],
Тр
Тр
2fcp d2P Э^ — У^Р
. 3 Qutdui Q^i _
2fcp d2P Э^ — У^Р
. 3 Qutdui Q^i _
N[Pl = ^+^ + p~
8t dxi \ tp
N[Pl = ^+^ + p~
8t dxi \ tp
V X ЭР
- +<2-3J)
/ O'Ui
2kPx82P82P
3tp tjlj/ dvidvj ^lj9xj8ui*
V X ЭР
- +<2-3J)
/ O'Ui
2kPx82P82P
3tp tjlj/ dvidvj ^lj9xj8ui*
Здесь R [P] — оператор, реализующий максвелловское распределение; N[P] — оператор, определяющий отклонение ФПВ скорости частиц от равновесного максвелловского распределения; кр = (v^v^)/2 — кинетическая турбулентная энергия дисперсной фазы. Решение уравнения (2.3.1) ищется в виде ряда
P(v) = Р^ (v) + pW (v) + ...,(2.3.2)
где функции P^(v) и Р^(у) удовлетворяют уравнениям
R [pW] = 0,(2.3.3)
R [^и>] = N [Р(О)] .(2.3.4)
Представление решения уравнения (2.3.1) в виде (2.3.2) справедливо в случае небольшого отклонения течения от равновесного состояния, характеризуемого параметром тр/Ти, где Ти — характерное время изменения средних гидродинамических параметров потока. Этот параметр является аналогом числа Кнудсена в кинетической теории газов. Решением уравнения (2.3.3) является максвелловское распределение
(
Q X 3/2✓ Q / / X
-—;- ) ехр ( —77-^ ).(2.3.5)
Согласно (2.3.5)
Wj^ = ф ] W^av = -крбу,(2.3.6)
WA = И W”^ = 0.(2.3.7)
Подстановка (2.3.6) в (2.2.2) приводит к замкнутому уравнению движения дисперсной среды, являющемуся аналогом уравнения Эйлера для сплошной среды.
Вычислим правую часть уравнения (2.3.4), используя (2.3.5). Производные во времени дФ/dt, dVi/dt, dkp/dt определяются соответственно из уравнений (2.2.1), (2.2.2), (2.2.4) с учетом (2.3.6) и (2.3.7). В результате получим
з ^Д^м+ 2кр 2кр) +
+^ (^ -5) (^ + ^)мр№м’ (2-3'8)
где нижний символ ,г обозначает пространственную производную по координате Х{.
Решением уравнением уравнения (2.3.4) с учетом (2.3.8) будет
‘р2кр
‘3 / , , VfcVfc
2 V^ 3
, М (NA
3 \ 2кр
\ *J 2кр2кр)
5у+%УрАр№^у (2'з,9)
В соответствии с (2.3.5) и (2.3.9) получаем
W^l = (^V<)0 + (V-V')(1) = ф j V-Vj
= ^Му - ^ (Vi. + Vjii _ ^Vkk5ij
dv =
^г
WjV^x = |
T f2\
2* ( PikVj,k H” PjkVi.k ~^Pkl^k,k^ij j ?(2.3.10)
2
^i^j^k^ dv = ~ ^ijDp^ + 5ikDpjn + Sj^Dpi-n^ кр1П1
(2.3.11)
Dpij — тр
9к\
2 0{j т Pij I .
(2.3.12)
Выражение (2.3.10) дает линейную зависимость турбулентных напряжений (^'Uj') от градиента скорости Vy. Отметим, что наряду с традиционными для моделей турбулентной вязкости членами с градиентами осредненной скорости дисперсной фазы V^j в представлении ^'о1^ присутствует также члены А^, непосредственно описывающие взаимодействие частиц с турбулентными вихрями несущей сплошной среды. Эти члены играет особенно существенную роль для малоинерционных частиц, обеспечивая переход к пределу безынерционных частиц (2.2.10). Уравнение (2.2.2), замкнутое при помощи (2.3.10), может
рассматриваться как аналог уравнения Навье-Стокса для сплошной среды. Формула (2.3.11) для третьих моментов пульсаций скорости совпадает с (2.2.8), если в последней принять изотропное представление (2.3.6) для турбулентных напряжений.
Если с целью упрощения пренебречь членами, содержащими р^, и ограничиться только одним членом для Л^- в (2.1.16), используя для него квазиизотропное представление Xij = Ми^/Тр, то (2.3.10) примет вид
(2.3.13)
Если для турбулентных напряжений сплошной среды принять линейную аппроксимацию‘
,k^ij,k^ij(u-u' ) = -k6ij - vT lUi,j + Uj,
,k^ij
,k^ij
и в пределе малоинерционных частиц учесть равенство осредненных скоростей дисперсной и несущей фаз (Vt « Ui), то (2.3.13) можно представить в виде соотношения Буссинеска (Зайчик, 19926)
2/9\
W)t = -кр3ц - Vp (l^ + V,» - ^аЛ ,(2.3.14)
Vp^fuVT-V^-.(2.3.15)
В безынерционном пределе коэффициент турбулентной вязкости дисперсной фазы vp согласно (2.3.15) переходит в коэффициент турбулентной вязкости жидкости vt, т. е.
lim vp = vt-(2.3.16)
Тр—>0
Для упрощения (2.3.11) пренебрежем дифференциальными членами в тензоре турбулентной диффузии частиц (2.3.12) и привлечем изотропные аппроксимации для турбулентных напряжений обеих фаз. В рассматриваемом приближении тензор турбулентной диффузии частиц представляется как (Зайчик, 19926)
Dpij = Dp5ij, Dp = -тр (^р “Ь ^u^) , 9и =~ fu* (2.3.17)
ОТр
В безынерционном пределе коэффициент турбулентной диффузии частиц совпадает с коэффициентом турбулентной диффузии пассивного скаляра
liinDp = DT, DT = ^kTL.(2.3.18)
Подстановка (2.3.17) в (2.3.11) дает
2D
(у^^к)! = g^ (^ij^kn + Sik^jn + 8jk8in) kptn.(2.3.19)
Деревич и Ерошенко (1990) путем решения кинетического уравнения для высокоинерционных частиц (tp/Tlp > 1, где Тьр — характерное время взаимодействия частиц с энергосодержащими турбулентными вихрями) получили выражения для вторых и третьих моментов пульсаций скорости в виде (2.3.14) и (2.3.19) с коэффициентами турбулентной вязкости и диффузии
(2.3.20)(2.3.21)(2.3.20)(2.3.21)тркр
(2.3.20)
(2.3.21)
(2.3.20)
(2.3.21)
Dp = ^Тркр.
Очевидно, что формулы (2.3.20) и (2.3.21) не справедливы для малоинерционных частиц, поскольку вместо (2.3.16) и (2.3.18) они предсказывают нулевые значения коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии в пределе безынерционных частиц. Следует отметить, что область применимости соотношения Буссинеска (2.3.14) с коэффициентом турбулентной вязкости (2.3.20) не может быть широкой, так как ограничена противоположными условиями тр/Ти < 1 и tp/Tlp > 1, тогда как Ти и Тьр являются величинами одного порядка.
Уравнение для турбулентной энергии дисперсной фазы согласно (2.2.4) представляется в виде
^^Р , т/ ^Р |CftОХ к^^Р , т/ ^Р |CftОХ к1 ЭФ^^ п Ix9Vi X ^кР
^^Р , т/ ^Р |
CftОХ к
^^Р , т/ ^Р |
CftОХ к
2Ф дхк2Ф дхк+ Хкк *
2Ф дхк
2Ф дхк
к (2.5.22)
С целью упрощения уравнения (2.3.22) можно пренебречь вкладом Ну и ограничиться только одним членом для Ау в (2.1.16), используя для него квазиизотропное представление Ау = /и^и^/тр. Если также привлечь соотношения (2.3.14) и (2.3.19), то (2.3.22) запишется в виде
дкр дкр _ 5Э_dt к дхк 9Ф дхкдкр дкр _ 5Э_dt к дхк 9Ф дхк^Dp^ОХк^Dp^ОХк2323кр 4-кр 4-vpvpап\9xkJап\9xkJап9хкап9хкVp \9хк 9Хг ) Эх кТрVp \9хк 9Хг ) Эх кТр(2.3.23)(2.3.23)
дкр дкр _ 5Э_dt к дхк 9Ф дхк
дкр дкр _ 5Э_dt к дхк 9Ф дхк
^Dp^
ОХк
^Dp^
ОХк
2
3
2
3
кр 4-
кр 4-
vp
vp
ап\
9xkJ
ап\
9xkJ
ап
9хк
ап
9хк
Vp \9хк 9Хг ) Эх кТр
Vp \9хк 9Хг ) Эх кТр
(2.3.23)
(2.3.23)
Члены в уравнениях (2.3.22) и (2.3.23) имеют очевидный физический смысл и характеризуют соответственно изменение во времени, конвекцию, турбулентную диффузию, порождение из осредненного движения, а также порождение и диссипацию турбулентной энергии дисперсной фазы в результате взаимодействия частиц с турбулентными вихрями.
Соотношения (2.3.10), (2.3.13) и (2.3.14) совместно с уравнением для турбулентной энергии частиц (2.3.22) или (2.3.23) описывают
турбулентные напряжения дисперсной фазы в рамках линейной алгебраической модели. Линейные модели, включающие дифференциальное уравнение для кр, предлагались в работах Zhou & Huang (1988), Деревич и Ерошенко (1990), Винберг и др. (1992), Lain & Aliod (2000). Метод возмущений Чепмена-Энскога может быть применен для нахождения второго приближения в разложении (2.3.2) и построения на его основе нелинейной алгебраической модели, как это сделали Chen et al. (2004) для получения квадратичной модели рейнольдсовых напряжений в однофазной турбулентности путем решения простейшего кинетического уравнения с релаксационным «столкновительным членом». Однако такой подход применительно к кинетическому уравнению (2.1.23) является слишком громоздким. Поэтому применим для построения нелинейной алгебраической модели метод итераций.
Решение уравнения для турбулентных напряжений методом итераций. Для построения алгебраических моделей фундаментальное значение имеет понятие о равновесном состоянии турбулентного потока. Это равновесное состояние характеризуется постоянными значениями всех компонент тензора анизотропии и других безразмерных корреляционных моментов более высокого порядка. Реализуемость равновесного состояния была установлена в целом ряде физических и численных экспериментов для двух типов однофазных турбулентных потоков: 1) однородных течений, например, потока с постоянной скоростью сдвига и 2) течений, в которых имеет место равенство порождения и диссипации турбулентной энергии, например, пристеночного слоя с логарифмическим профилем скорости. Для достижения равновесного состояния необходимо, чтобы транспортные эффекты, обусловленные процессами нестационарного, конвективного и диффузионного переноса турбулентных пульсаций, не играли существенной роли.
Двухфазное течение считается равновесным, когда конвекция и диффузия не играют роли, а тензоры анизотропии пульсаций скорости жидкости bij, пульсаций скорости частиц bptj и корреляций пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз bfpij не изменяются во времени. Тензоры анизотропии определяются как
_ ^и^ 5ij _ (г^) Si,ij ~ 2k 3 ’ pij " 2kp 3 ’
pij k$p 3 ’
где к = (u^u^)/2 — кинетическая турбулентная энергия сплошной фазы, kjp = (п^у^)/2 — «кинетическая энергия» корреляций скоростей сплошной и дисперсной фаз.
Для определения турбулентных напряжений дисперсной фазы в равновесном состоянии, следуя Rodi (1976), примем аппроксимацию, выражающую транспортные члены в уравнении для вторых моментов
(2.2.4) через транспортные члены в уравнении для кинетической энергии турбулентности частиц
D₽W> 1 Dp^u'^ ,,, п ТТ т/ М ,
7Г7 Ь о р?7 Vful kj + Тр (lu\ knUj,n 9и\ йпУу’.п)] 4" ULUu
1 DpO^^
2 Dt
Dpkp
[/til ki 4" 7р (^ul knUi.n 9ul fcn^i.n)] —
1 Ор(и[и^)
kp ( Dt 2 Dt
Dt
dt
v &№^ i ^W,^(2.3.25)
k 8xk Ф 8xk ’
Dpkp = 9кр 8кр1 8Ф<-о'1<-и'к')
Dt 8tк8хк2Ф 8хк '
Из (2.2.4) с учетом (2.3.22) и (2.3.25) следует
^1 к*+^И^ "~Л =Кр \Тр /
= "WkW -+ ^k^W^ (2.3.26)
Xij — (l^ltk) [Zukj 4" Tp (lukn 4“ ТрТПи klUn^ Uj,n
^"p (dukn 4“ TpKuklU<n,J?) ^.nl •
Перепишем уравнение (2.3.26) в виде
21 ‘
Wj) = 3kP5ij - 2Ё '
р
(2\
WkWj.k + Ц^Уг,к - ^'^Укдбу) -
(2.3.27)
Xkfc Tp^i^fc)^,*:
2kp
Выражение (2.3.27) представляет собой неявную алгебраическую модель для определения турбулентных напряжений дисперсной фазы, так как величины (^tZ) входят как в левую, так и в правую часть уравнения. Уравнение (2.3.27) аналогично по смыслу неявной алгебраической модели Rodi (1976) для турбулентных напряжений в сплошной однофазной среде. Для турбулентных напряжений в дисперсной фазе модели такого тупа ранее приводились в Зайчик (19926) и Lain & Kohnen (1999), а для корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз — в Fevrier & Simonin (1998). Уравнение (2.3.27), строго говоря, справедливо только в равновесном состоянии, когда все транспортные члены не играют существенной роли. Однако по аналогии с однофазной турбулентностью алгебраические модели могут оказаться полезными и для неравновесных турбулентных двухфаз-
ных потоков. Недостатком неявных алгебраических моделей является необходимость операции обращения матрицы для получения зависимости турбулентных напряжений от градиентов осредненной скорости. Поэтому выигрыш от использования неявных алгебраических моделей вместо полных дифференциальных уравнений для турбулентных напряжений может быть потерян. С вычислительной точки зрения, существенным преимуществом по отношению к неявным обладают явные алгебраические модели, непосредственно связывающие турбулентные напряжения с градиентами осредненной скорости. Для решения неявных алгебраических уравнений и построения явных алгебраических моделей для однофазных течений привлекается теория инвариантов и представление турбулентных напряжений в виде разложения на ортогональном тензорном базисе (Taulbee, 1992; Gatski & Speziale, 1993; Girimaji, 1996; Jongen & Gatski, 1998; Wallin & Johansson, 2000). Однако представление на полном тензорном базисе приводит к слишком громоздким выражениям для турбулентных напряжений. Поэтому при построении удобных для практического использования явных алгебраических моделей турбулентных напряжений в большинстве случаев ограничиваются разложением не на полном, а на усеченном базисе, как правило, на трехчленном базисе, что строго справедливо только в двумерном случае (Pope, 1975). Переход к двухфазным течениям вызывает существенное усложнение теории построения явных алгебраических моделей вследствие значительного расширения тензорного базиса. Так, число базисных функций для представления турбулентных напряжений дисперсной фазы в двумерном осредненном потоке с трехмерной турбулентностью уже равно пяти (Mashayek & Taulbee, 2002). Модели турбулентных напряжений дисперсной фазы, построенные путем разложения (проецирования) при малом числе базисных функций, в частности, на трехчленном базисе, являются слишком грубыми и приводят к большим ошибкам. Поэтому для решения уравнения (2.3.27) и построения явных алгебраических моделей для турбулентных напряжений дисперсной фазы вместо метода разложения на тензорном базисе применим итерационную процедуру (Зайчик и Алипченков, 2001; Zaichik & Alipchenkov, 2001b).
Решение уравнения (2.3.27) представим в виде
21
(vivj)n+l = ^p^ij ~ 2g“ [тр ^i^klnVj^ + ^э'^пУцк —
д ^k^l^nVkjSijд ^k^l^nVkjSij^^kk^ij^^kk^ij(2.3.28)(2.3.28)EEXkk Тр^^к^Ул2kpXkk Тр^^к^Ул2kp
д ^k^l^nVkjSij
д ^k^l^nVkjSij
^^kk^ij
^^kk^ij
(2.3.28)
(2.3.28)
E
E
Xkk Тр^^к^Ул2kp
Xkk Тр^^к^Ул2kp
где n — номер приближения. Как видно из (2.3.28), условием применимости итерационной процедуры является требование, чтобы величина TplVi^Vi^y^2 являлась малым параметром.
В качестве нулевого используется изотропное приближение (2.3.6). Подстановка (2.3.6) в правую часть (2.3.28) дает первое приближение для турбулентных напряжений
^1 = ^ + Ц^_,J о
(V^W = _2^ ^ + у.. _ |укЛ5у) + (хц + Хц - ^Xkk8^ ,
„ xkk TpVk,k(2.3.29)
Ео =
Выражение (2.3.29) дает линейную зависимость турбулентных напряжений ^’^ от градиента скорости V^. Аналогично (2.3.10) наряду с традиционным для моделей турбулентной вязкости первым членом в (^^)(^ присутствует также второй член, непосредственно описывающий взаимодействие частиц с турбулентными вихрями несущей сплошной среды. Этот член играет особенно существенную роль для малоинерционных частиц и обеспечивает переход к пределу безынерционных частиц (2.2.10).
Подстановка (2.3.29) в правую часть (2.3.28) приводит к нелинейной (квадратичной) зависимости турбулентных напряжений частиц от градиента осредненной скорости
W^ =W^ =2W^i = ^kp5ij +2W^i = ^kp5ij +Ei EqEi ’Ei EqEi ’-7 (wA* + WR* - ^(«Wv^-7 (wA* + WR* - ^(«Wv^EiEiTpWk^Vj.k2&pE0TpWk^Vj.k2&pE0(2.3.30)(2.3.30)
W^ =
W^ =
2
W^i = ^kp5ij +
2
W^i = ^kp5ij +
Ei EqEi ’
Ei EqEi ’
-7 (wA* + WR* - ^(«Wv^
-7 (wA* + WR* - ^(«Wv^
Ei
Ei
TpWk^Vj.k2&pE0
TpWk^Vj.k2&pE0
(2.3.30)
(2.3.30)
Соотношение (2.3.30) вместе с уравнением для турбулентной энергии (2.3.22) представляет собой нелинейную явную алгебраическую модель турбулентных напряжений дисперсной фазы. Это соотношение так же, как и (2.3.10) и (2.3.29), кроме членов с градиентами осредненной скорости дисперсной фазы, содержит дополнительные члены, непосредственно характеризующие взаимодействие частиц с турбулентной жидкостью. Очевидно, что точность нелинейной модели, хотя и будет большей по сравнению с линейной моделью, уменьшается с ростом инерционности частиц, поскольку возрастает вклад транспортных эффектов. В качестве критерия применимости алгебраических моделей может служить малость параметра тр/Ти. С ростом параметра тр/Ти точность алгебраических моделей по сравнению с дифференциальными снижается. Поэтому выбор модели для описания турбулентных напряжений дисперсной фазы должен быть результатом компромисса между точностью и временем расчета.
Модели, основанные на уравнениях баланса турбулентной энергии, вторых или более высоких моментов пульсаций скорости и температуры дисперсной фазы, могут быть названы нелокальными, т. к. они учитывают транспортные (конвективный и диффузионный) механизмы переноса пульсационных характеристик в пространстве. Такие модели позволяют рассчитывать различные классы двухфазных течений в широком диапазоне изменения инерционности частиц. При пренебрежении в уравнениях для вторых моментов членами, учитывающими конвекцию и диффузию, из них могут быть получены простые алгебраические соотношения, непосредственно выражающие турбулентные напряжения в дисперсной фазе через характеристики сплошной фазы. Модели, основанные на таких алгебраических соотношениях и не учитывающие транспортные механизмы, могут быть названы локальными. Эти модели нашли довольно широкое применение для расчета различного типа двухфазных турбулентных течений (например, Elghobashi & Abou-Arab, 1983; Chen & Wood, 1986; Mostafa & Mongia, 1987; Шрайбер и др., 1987; Derevich et al., 1989a; Rizk & Elgohbashi, 1989; Simonin & Viollet, 1990). Однако, несмотря на определенную практическую ценность в силу своей относительной простоты, область применения таких моделей ограничена случаем малоинерционных частиц. Локальные алгебраические модели не в состоянии предсказать ряд важных физических эффектов, описываемых нелокальными дифференциальными моделями: в частности, существование областей, в которых турбулентная энергия дисперсной фазы превышает турбулентную энергию сплошной фазы. Очевидно, что актуальность учета транспортных механизмов переноса пульсационных характеристик в пространстве увеличивается с ростом инерционности частиц, так как возрастает «память» частиц об их поведении в предшествующее время.
Граничные условия для уравнений движениядисперсной фазы
Определение граничных условий для уравнений' движения дисперсной фазы является одной из наиболее важных и сложных задач в теории двухфазных потоков. Такие граничные условия должны получаться в результате анализа взаимодействия частиц с ограничивающими двухфазный поток стенками. Более детальное описание взаимодействия частиц со стенкой может быть выполнено на основе лагранжева траекторного метода моделирования. Применение эйлерова континуального метода моделирования приводит к некоторой потере информации о деталях взаимодействия частиц с поверхностью при определении параметров дисперсной фазы в пристеночной области в результате суммирования импульсов, энергий и других параметров падающего и отраженного потоков частиц.
Рис. 2.4.1. Схема столкновения частицы со стенкой
Практически все известные модели столкновений твердых частиц с твердой поверхностью основаны на законе трения Кулона, например Matsumoto & Saito (1970а, 1970b), Tsuji et al. (1985), Oesterle (1989), Наумов (1989), Sommerfeld (1990, 1992). Этот закон позволяет выразить компоненты скорости частицы после соударения через ее компоненты до соударения (рис. 2.4.1). Различают два режима столкновений: со скольжением и без скольжения частицы относительно точки контакта со стенкой. В обоих случаях нормальные к поверхности компоненты скорости после и до соударения связаны соотношением
V2y = -eyviy,(2.4.1)
где еу — коэффициент восстановления импульса при соударении частицы со стенкой, у — нормальная к стенке координата, индексы 1 и 2 относятся к параметрам до и после соударения.
В дальнейшем предполагается, что вкладом вращения частиц в поступательные компоненты скорости можно пренебречь. В этом случае реализация режима соударения со скольжением определяется условием
2
Mr(l + ey)|viy| < -V1T,(2.4.2)
где р,Т — коэффициент трения, а индекс т обозначает координаты в плоскости стенки х и z. При выполнении (2.4.2) продольная компонента скорости после соударения равна
^2т = V1T - /2Т(1 4- е2/)|'У12/|.(2.4.3)
Как видно из (2.4.2), столкновения со скольжением всегда имеют место при малых углах падения частицы (tgaT = иху/ихт < 1). При нарушении условия (2.4.2) реализуется режим столкновений частиц со стенкой без скольжения, когда продольная компонента скорости после соударения описывается соотношением
5
V2r = ^\т-(2.4.4)
Соотношения (2.4.1), (2.4.3) и (2.4.4) между скоростями падающих и отраженных частиц справедливы для гладкой стенки. Модели столкновений частиц с шероховатой стенкой были предложены Matsumoto & Saito (1970а, 1970b), Tsuj’i et al. (1985, 1987), Sommerfeld (1990, 1992), Sommerfeld & Zivkovic (1992), Schade & Hadrich (1998), Zhang & Zhou (2002, 2004). Наиболее перспективной представляется модель Sommerfeld, в которой шероховатая стенка моделируется плоской виртуальной поверхностью со случайными углами наклона, имеющими гауссово распределение. Дальнейшее развитие эта модель получила в работах Деревича (1999), Khalij et al. (2004, 2005), Taniere et al. (2004) и Konan et al. (2005), где показано ее применение для построения граничных условий для континуальных уравнений движения дисперсной фазы. Наиболее важным результатом, полученным Khalij et al. (2004) и Taniere et al. (2004), представляется построение эффективных коэффициентов восстановления и трения, зависящих от параметра шероховатости. Введение этих эффективных коэффициентов позволяет использовать одинаковые по форме соотношения между скоростями падающих и отраженных частиц и соответственно граничные условия для уравнений дисперсной фазы как в случае гладкой, так и шероховатой стенки. Интересной особенностью, полученной в работах Sommerfeld & Huber (1995, 1999), Деревича (1999), Khalij et al. (2004) и Taniere et al. (2004), является возможность для эффективного коэффициента восстановления нормальной компоненты скорости частиц на шероховатой стенке принимать значения, превышающие единицу.
Построение граничных условий для уравнения движения дисперсной фазы в рамках континуального моделирования так же, как и получение граничных условий в кинетической теории газов, требует определения ФПВ скорости частиц в пристеночной области. Для решения этой задачи в настоящее время используются, как правило, два подхода. Первый основан на решении кинетического уравнения для ФПВ методом возмущений (Деревич и Зайчик, 1988; Деревич и Ерошенко, 1991; Zaichik, 1998; Derevich, 2000а; Алипченков и др., 2001), второй — на использовании априорно заданной ФПВ в виде бинормального распределения (Zaichik et al., 1990; Не & Simonin, 1993; Shraiber & Naumov, 1994). Однако прежде представления этих подходов приведем два простых соотношения между различными корреляционными моментами пульсаций скорости частиц на стенке, справедливые при отсутствии осаждения в случае режима соударений со скольжением для любой ФПВ.
Определим среднее значение некоторой величины ф суммированием ее осредненных значений для падающих и отраженных частиц с весами, равными соответствующим концентрациям
ж = адь + ФНл (24 5)
(2.4.6)(2.4.7)(2.4.6)(2.4.7)^=0,dyUx-Vx , „1tp x Ф dyUy-Vy\d^^(”' d» + тД r,^=0,dyUx-Vx , „1tp x Ф dyUy-Vy\d^^(”' d» + тД r,
(2.4.6)
(2.4.7)
(2.4.6)
(2.4.7)
^=0,dy
Ux-Vx , „1
tp x Ф dy
Uy-Vy\d^^
(”' d» + тД r,
^=0,dy
Ux-Vx , „1
tp x Ф dy
Uy-Vy\d^^
(”' d» + тД r,
Из (2.4.1), (2.4.3) и (2.4.5) вытекают следующие соотношения для вторых и третьих моментов пульсаций скоростей на непроницаемой для частиц стенке (Sakiz & Simonin, 1999):
«^) = -Цт^,КЧ) = -^«Vy2) - ^Vy31).
При построении граничных условий для дисперсной фазы можно ограничиться рассмотрением высокоинерционных частиц, время релаксации которых значительно превышает время их взаимодействия с энергоемкими турбулентными вихрями (тр *> Тьр\ Это упрощение связано с малыми значениями временных масштабов турбулентности в пристеночной области. Кроме того, противоположный предел малоинерционных частиц (тр С Tlp) не представляет большого интереса с точки зрения получения граничных условий, так как в этом случае имеют место «условия прилипания». Анизотропия масштабов турбулентности в пристеночной области (особенно в вязком подслое) достаточно велика, однако, как будет видно из дальнейшего, не оказывает существенного влияния на граничные условия. Поэтому ограничимся решением кинетического уравнения для ФПВ в пределе высокоинерционных частиц для изотропного времени взаимодействия частицы-тур- булентность, когда (2.1.23) сводится к уравнению Фоккера-Планка
(2.4.8)(2.4.8)9Р 9Р I 9 \(U^^ dt Vkdxk Эт^ д тр
(2.4.8)
(2.4.8)
Примем, что осредненное течение в пристеночной области является стационарным и плоским, направлено вдоль продольной координаты ж, а все характеристики течения изменяются только в нормальном к стенке направлении у. Тогда система уравнений для моментов, следующая из (2.4.8) до второго порядка включительно имеет вид
V =
V^ =
Vy dy
v dy Ф dyv dy Ф dy= -2(Д)3- + - y dy tp= -2(Д)3- + - y dy tpv dy Ф dy
v dy Ф dy
v dy Ф dy
= -2(Д)3- + - y dy tp
= -2(Д)3- + - y dy tp
у dy + Ф dy ~ тД тр ^ ' ^ 7 ’ d^'^1 <*Ф«Д) =
у dyФ dy
Поскольку осредненное течение двумерное, то из условия симметрии относительно координаты х вытекает
W^ = (Vy^) = о.W^ = (Vy^) = о.(2.4.10)(2.4.10)
W^ = (Vy^) = о.
W^ = (Vy^) = о.
(2.4.10)
(2.4.10)
Решение кинетического уравнения (2.4.8) ищется в виде асимптотического разложения, первый член которого является равновесным гауссовым распределением. С этой целью (2.4.8) представляется в операторном виде
R[P] = N[P],(2.4.11)
/2)^ + {v,2)^+,,2d2p
(2.4.12)
'Р/\'Р/ У
/2/2ТьР/,гЛа2р от^/ , ,х а2р эртр <Uz 7 а«2 2 Тр ^^а^у+TpUy аД
/2
/2
эрар
+ Фх - vx + TPFX) — + (Uy-Vy + TpF^ ^-. (2.4.13)
U'Vx
Оператор R считается основным, a N — возмущающим. Решение уравнения (2.4.11) ищется в виде
р = р(°) + р(1) + ...,(2.4.14)
где Р^ и Р^ находятся из уравнений
к[р(°)]=0,(2.4.15)
R [Р(1)] = N [р(0)].(2.4.16)
Решением (2.4.15) с учетом (2.4.12) будет
p(0)(v) =5j£L"|
Отметим, что в отличие от изотропного максвелловского распределения (2.3.5) гауссово распределение (2.4.17) учитывает анизотропию диагональных компонент пульсаций скоростей частиц. Это обстоятельство является важным, поскольку в пристеночной области статистические характеристики дисперсной фазы могут быть существенно анизотропными.
Из (2.4.17) следует
(«)о = (^2<)о = («2)0 = «3)о = (<v'2)o = о. (2.4.18)
Подставляя (2.4.17) в (2.4.13) с учетом уравнений (2.4.9), в которых принимаются во внимание соотношения (2.4.18), получаем
N [р(0)] =N [р(0)] =W) “ ж’> WhW) “ ж’> Wh,2 иУ,2 иУ2(Ч2) w2>2(Ч2) w2>J dy 2(v'2) I (v^2)J dy 2(v'2) I (v^2)a<^ .dyI dya<^ .dyI dy/ /2х dVx п Tlp , / /.Сху — Tp(vy )—^ - 2-^-(uxUyY/ /2х dVx п Tlp , / /.Сху — Tp(vy )—^ - 2-^-(uxUyY(2.4.19)(2.4.20)(2.4.19)(2.4.20)
N [р(0)] =
N [р(0)] =
W) “ ж’> Wh
W) “ ж’> Wh
,2 иУ
,2 иУ
2(Ч2) w2>
2(Ч2) w2>
J dy 2(v'2) I (v^2)
J dy 2(v'2) I (v^2)
a<^ .
dy
I dy
a<^ .
dy
I dy
/ /2х dVx п Tlp , / /.
Сху — Tp(vy )—^ - 2-^-(uxUyY
/ /2х dVx п Tlp , / /.
Сху — Tp(vy )—^ - 2-^-(uxUyY
(2.4.19)
(2.4.20)
(2.4.19)
(2.4.20)
Для высокоинерционных частиц в пристеночной области турбулентного потока вторым членом в правой части (2.4.20) по сравнению с первым можно пренебречь. Тогда решением (2.4.16) с учетом (2.4.19) будетДля высокоинерционных частиц в пристеночной области турбулентного потока вторым членом в правой части (2.4.20) по сравнению с первым можно пренебречь. Тогда решением (2.4.16) с учетом (2.4.19) будетР^^ = -, У 6(^2)Р^^ = -, У 6(^2)^ dVxтрУу ( ^\ d(^2)2(^2) dy 6(^2) ^2)) dy(2^_зА^ + 2^(^_\\У^ V^2) / dy У2} \У) / ay^ dVxтрУу ( ^\ d(^2)2(^2) dy 6(^2) ^2)) dy(2^_зА^ + 2^(^_\\У^ V^2) / dy У2} \У) / ayP(0)(v).(2.4.21)P(0)(v).(2.4.21)Подставляя (2.4.17) и (2.4.21) в (2.4.14), получаем с точностью до первых двух членов разложенияПодставляя (2.4.17) и (2.4.21) в (2.4.14), получаем с точностью до первых двух членов разложения) = [1 _ У^А трУу / _ <2 \ a^[ 2(^2) dy 6(^2)K2)) ay। У (з_2^Л^Й. , ^Ч А а^УУ2) \^у2)/ ау ь^'^ ^(и'2)) ау) = [1 _ У^А трУу / _ <2 \ a^[ 2(^2) dy 6(^2)K2)) ay। У (з_2^Л^Й. , ^Ч А а^УУ2) \^у2)/ ау ь^'^ ^(и'2)) аур^\ч\(2.4.22)р^\ч\(2.4.22)Согласно (2.4.22) в рассматриваемом приближении имеемСогласно (2.4.22) в рассматриваемом приближении имеем
Для высокоинерционных частиц в пристеночной области турбулентного потока вторым членом в правой части (2.4.20) по сравнению с первым можно пренебречь. Тогда решением (2.4.16) с учетом (2.4.19) будет
Для высокоинерционных частиц в пристеночной области турбулентного потока вторым членом в правой части (2.4.20) по сравнению с первым можно пренебречь. Тогда решением (2.4.16) с учетом (2.4.19) будет
Р^^ = -
, У 6(^2)
Р^^ = -
, У 6(^2)
^ dVxтрУу ( ^\ d(^2)
2(^2) dy 6(^2) ^2)) dy
(2^_зА^ + 2^(^_\\У^ V^2) / dy У2} \У) / ay
^ dVxтрУу ( ^\ d(^2)
2(^2) dy 6(^2) ^2)) dy
(2^_зА^ + 2^(^_\\У^ V^2) / dy У2} \У) / ay
P(0)(v).
(2.4.21)
P(0)(v).
(2.4.21)
Подставляя (2.4.17) и (2.4.21) в (2.4.14), получаем с точностью до первых двух членов разложения
Подставляя (2.4.17) и (2.4.21) в (2.4.14), получаем с точностью до первых двух членов разложения
) = [1 _ У^А трУу / _ <2 \ a^
[ 2(^2) dy 6(^2)K2)) ay
। У (з_2^Л^Й. , ^Ч А а^У
У2) \^у2)/ ау ь^'^ ^(и'2)) ау
) = [1 _ У^А трУу / _ <2 \ a^
[ 2(^2) dy 6(^2)K2)) ay
। У (з_2^Л^Й. , ^Ч А а^У
У2) \^у2)/ ау ь^'^ ^(и'2)) ау
р^\ч\
(2.4.22)
р^\ч\
(2.4.22)
Согласно (2.4.22) в рассматриваемом приближении имеем
Согласно (2.4.22) в рассматриваемом приближении имеем
ад = -ад = -Тр^ dVx2 dy ’Тр^ dVx2 dy ’
ад = -
ад = -
Тр^ dVx
2 dy ’
Тр^ dVx
2 dy ’
(2.4.24)(2.4.25)(2.4.24)(2.4.25)х у? 3 dy ’ у ' р^ у ' dy ’
(2.4.24)
(2.4.25)
(2.4.24)
(2.4.25)
3 dy
Динамическое взаимодействие частицы со стенкой при соударении может быть описано как
Р1-2 = х§ ^1х - exvix) 5 (у2у + eyviy) 5 (y2z - vu).(2.4.26)
Коэффициент х в (2.4.26) характеризует явление осаждения и равен вероятности отскока и возвращения в поток столкнувшейся со стенкой частицы. Для частиц, полностью адсорбируемых поверхностью, х = О, а в случае отсутствия осаждения х = 1- Коэффициент восстановления ех описывает эффект потери импульса в направлении осредненно- го движения при соударении частицы со стенкой. В соответствии с (2.4.2)-(2.4.4) этот коэффициент равен
2
- ^ при 0 ^ £х < -
ех = 52 7 ’(2Л-27)
у при £ж > —
где ^х = р,ж(Д +ey)tgaa;. Из (2.4.27) видно, что, в отличие от е^, коэффициент восстановления импульса еж не является физическим параметром, а зависит от угла падения частицы на стенку аж. Коэффициент восстановления импульса в трансверсальном направлении ez для рассматриваемого двумерного течения равняется единице, так как для выполнения второго соотношения в (2.4.10) согласно (2.4.6) при т = z коэффициент трения цг должен равняться нулю.
ФПВ (2.4.22) может быть использована как для описания распределения частиц по скоростям для течения в целом, так и для падающих на стенку частиц, т. е.
Pi(vy < 0) = P(vy).Pi(vy < 0) = P(vy).(2.4.28)(2.4.28)
Pi(vy < 0) = P(vy).
Pi(vy < 0) = P(vy).
(2.4.28)
(2.4.28)
Распределение по скоростям отраженных частиц, согласно (2.4.26), имеет вид,
=(2.4.29)
Нормальная компонента скорости частиц на стенке (скорость осаждения) аналогично (2.4.5) находится в результате суммирования соответствующих скоростей падающих и отраженных частиц
0 оо0 оо'uvP\dA)xd,u<ydA)z +'uvP\dA)xd,u<ydA)z +j J j 'u-yP2d'i)xd,u.yd,uz— ОО 0 —ООj J j 'u-yP2d'i)xd,u.yd,uz— ОО 0 —ОО
0 оо
0 оо
'uvP\dA)xd,u<ydA)z +
'uvP\dA)xd,u<ydA)z +
j J j 'u-yP2d'i)xd,u.yd,uz
— ОО 0 —ОО
j J j 'u-yP2d'i)xd,u.yd,uz
— ОО 0 —ОО
Откуда с учетом (2.4.22), (2.4.28) и (2.4.29) получается
=■(2■4■30,
Следует отметить, что граничное условие (2.4.30) было впервые получено Razi Naqvi et al. (1982) для броуновских частиц. Кроме того, на основе предположения о нормальном распределении скоростей частиц Binder & Hanratty (1991) получили следующее выражение для скорости осаждения:
/2(У'2)\*/2
Ку = -С -^1,(2.4.31)
\ 7Г /
где £ — доля частиц, движущихся по направлению к стенке (в Binder & Hanratty (1991) было принято £ = 1/2). Очевидно, что формулы (2.4.30) и (2.4.31) оказываются идентичными при х =(1 -<)/(!+<) = = 1/3.
Граничные условия для *ф = VX, kv'x\ k^V k^’z^ могут быть найдены в результате приравнивания потока этой величины в пристеночной области сумме падающего и отраженного потоков
ОО ОО ОООО ОО ОО—оо —оо —оо—оо —оо —оо^VyPdvxdvydvz =^VyPdvxdvydvz =—оо —оо —оо—оо —оо —оо^VyPidvxdvydvz 4-^VyPidvxdvydvz 4-оо оо оооо оо оо^VyP2dvxdvydvz.^VyP2dvxdvydvz.(2.4.32)(2.4.32)
ОО ОО ОО
ОО ОО ОО
—оо —оо —оо
—оо —оо —оо
^VyPdvxdvydvz =
^VyPdvxdvydvz =
—оо —оо —оо
—оо —оо —оо
^VyPidvxdvydvz 4-
^VyPidvxdvydvz 4-
оо оо оо
оо оо оо
^VyP2dvxdvydvz.
^VyP2dvxdvydvz.
(2.4.32)
(2.4.32)
Полагая ^ = ^ в (2.4.32) и учитывая (2.4.22) и (2.4.30), получаем граничное условие для продольной скорости Vx
1/2
(2.4.33)(2.4.33)2 \ vтг(и'2) /
(2.4.33)
(2.4.33)
Подставляя последовательно ^ = Vx2, v’y2, V2 в (2.4.32), получаем следующие граничные условия для диагональных компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:
(2.4.34)(2.4.34)^!> = з (1 ~%4 _ 1 -х\ ( 2 \ 1/2 ,2.
(2.4.34)
(2.4.34)
Р dy \1+х41+Х/ Х?^2)/
т = Л 1 - Хе2 _ 1~х\ /2^)\ 1/2
Р dy \^ 1 + х^ 1 + х) \ тг у *
(2.4.36)(2.4.36)т ^^ — з f 1—^1 _ 12?Л ( 2 А / /2,
(2.4.36)
(2.4.36)
Граничные условия (2.4.30), (2.4.33)-(2.4.36) справедливы только для течения, близкого к равновесному, т. е. когда ФПВ незначительно отклоняется от гауссова распределения скоростей. Это требование накладывает довольно жесткое ограничение Vy <$: ^2у/2э согласно которому среднее значение нормальной к поверхности скорости должно быть много меньше пульсационной составляющей. Следовательно, в соответствии с (2.4.30) коэффициент отражения у не должен значительно отличаться от единицы. В случае двумерного осредненного течения, для реализации которого необходимо, чтобы ех = 1, из (2.4.36) следует
= 0. (2.4.37)
Граничные условия (2.4.30), (2.4.33)-(2.4.36) могут быть также получены при помощи метода Грэда, использующегося в кинетических теориях газов и дисперсных сред для решения уравнения Больцмана (Grad, 1949; Jenkins & Richman, 1985). Разложение Грэда позволяет получить решение кинетического уравнения, эквивалентное первому приближению в методе возмущений (2.4.22). В рамках такого подхода решение уравнения (2.4.8) представляется в виде
р^ =р^ =1 + (vV)^-^^-<^-
р^ =
р^ =
' ж у дихдиу 2 8u28uy 6 ди^
(х ^2 \ ^ L < ч3>
(^J ^Н^ 6(^) (V'2)2
1 - Хе® _ 1 — X1+ Хе® 1 + X1 - Хе® _ 1 — X1+ Хе® 1 + X1/2Vx = -«<>•1/2Vx = -«<>•Подставляя (2.4.38) в (2.4.32) и выполняя интегрирование, получаем граничные условия для интересующих нас величин. Очевидно, что граничное условие для нормальной в стенке компоненты скорости определяется выражением (2.4.30). Граничные условия для продольной скорости и нормальных компонент интенсивностей пульсаций скорости имеют вид
1 - Хе® _ 1 — X
1+ Хе® 1 + X
1 - Хе® _ 1 — X
1+ Хе® 1 + X
1/2
Vx = -«<>•
1/2
Vx = -«<>•
(2.4.39)
(2.4.40)
(2.4.41)
(2.4.43)(2.4.43)dVx _ d^ _ d^ _ d^ _ 0dVx _ d^ _ d^ _ d^ _ 0dy dy dy dydy dy dy dy(2.4.44)(2.4.44)
(2.4.43)
(2.4.43)
dVx _ d^ _ d^ _ d^ _ 0
dVx _ d^ _ d^ _ d^ _ 0
dy dy dy dy
dy dy dy dy
(2.4.44)
(2.4.44)
Полагая на стенке (и<Ц) = 0 и учитывая соотношения (2.4.18), соответствующие равновесной ФПВ, получим из последнего уравнения в (2.4.9), что касательная компонента напряжений в первом приближении определяется выражением (2.4.23). Аналогичным образом, получим из (2.2.8), что в первом приближении третьи моменты пульсаций скорости частиц имеют вид (2.4.24). Таким образом, граничные условия (2.4.39)-(2.4.42) совпадают соответственно с (2.4.33)-(2.4.36).
В предельном случае безынерционных частиц (тр —> 0) из (2.4.33)-(2.4.36) следуют условия прилипания
^ = «2) = «2) = (^2) = о.
Если имеет место абсолютно упругое взаимодействие частиц со стенкой (ех = еу = ez = 1), граничные условия (2.4.33)-(2.4.36) преобразуются к виду, аналогичному (2.4.37)
<з№ = -р-х^у<з№ = -р-х^у(2.4.45)(2.4.45)
<з№ = -р-х^у
<з№ = -р-х^у
(2.4.45)
(2.4.45)
Очевидно, что в пределе высокоинерционных частиц (тр —* оо) граничные условия также стремятся к (2.4.44).
В качестве граничного условия для касательной компоненты напряжений может быть привлечено соотношение (2.4.6), т. е.
(2.4.46)(2.4.46)
(2.4.46)
(2.4.46)
В безынерционном пределе (тр —► 0) или при абсолютно упругом соударении (р,х -* 0) из (2.4.45) следует условие прилипания
W) = 0.
Перейдем к рассмотрению граничных условий, основанных на бинормальном распределении скоростей частиц в пристеночной области. Скорости частиц, движущихся к стенке и от стенки, описываются следующими распределениями:
Р1(«у < 0) = Мехр [-—^— ) , Р2(^ > 0) = Мехр (-—^—
Необходимо подчеркнуть, что распределения (2.4.47) зависят от соответствующих полных нормальных компонент скорости в отличие от разложения (2.4.22), которое является функцией пульсационных составляющих скорости. Коэффициенты Ny и Ns так же, как и средние квадраты скоростей падающих и отраженных частиц, определяются из соотношения (2.4.29) и условий нормировки
ф = Ф! + ф2, Ф1 =ф = Ф! + ф2, Ф1 =Ф2 =Ф2 =оо
ф = Ф! + ф2, Ф1 =
ф = Ф! + ф2, Ф1 =
Ф2 =
Ф2 =
| PsdDyо
Отсюда следует
^=^Т\РтТХ* N2 = ^NY, к^ = е^.(2.4.48)
Заметим* что, фактически, необходимо определить только ФПВ падающих на стенку частиц, так как ФПВ отраженных частиц связана с распределением движущихся к стенке соотношением (2.4.29).
Из (2.4.47) и (2.4.48) получается следующее выражение для скорости осаждения:
^ = -^ = -(1 -х)еУ2(1 -х)еУ2(1 + Хеу)*/2(еу + х)1/2(1 + Хеу)*/2(еу + х)1/2(2.4.49)(2.4.49)
^ = -
^ = -
(1 -х)еУ2
(1 -х)еУ2
(1 + Хеу)*/2(еу + х)1/2
(1 + Хеу)*/2(еу + х)1/2
(2.4.49)
(2.4.49)
где (v^) есть полный средний квадрат скорости частиц на стенке
(« _ у; + _ ate! ^
Сравнение выражений (2.4.30) и (2.4.49) для скорости осаждения выявляет различия между ними в двух аспектах. Во-первых, согласно (2.4.30) Vy является функцией только х, тогда как в соответствии с (2.4.49) Vy зависит от двух параметров х и еу, чт0 представляется физически более обоснованным. Во-вторых, формула (2.4.30) предсказывает зависимость Vy от пульсационной составляющей энергии ^у2'), в то время как (2.4.49) свидетельствует о зависимости Vy от полной энергии ^. Для сопоставления этих формул преобразуем (2.4.49) к виду
, = а-хУГ Г. _ -^х^^Г172/^^2 У (1 Н-Хе,,)/2^+ х)1/21 ^О + Хеу)(еу + х) 1\ ^ /
(2.4.50)
Видно, что формулы (2.4.30) и (2.4.50) дают близкие значения для Vy при параметрах х и ву, слабо отличающихся от единицы. Различие между (2.4.30) и (2.4.50) увеличивается по мере уменьшения х и ^,
и их отношение достигает максимального значения ^/(^ — 2) « 1,66 при х = 0.
С целью нахождения касательного напряжения на стенке принимается предположение о статистической независимости распределений по *0$ и иу во фракциях падающих и отраженных частиц. Тогда полное касательное напряжение равно
м = ф-^+ад^(2 4 51)
Учитывая ФПВ (2.4.47), а также соотношения
_ Ф]У1® + Фг^2®., _ .,
Ф
из (2.4.51) получаем
(«И») = -(«И») = -1 - хе®Фу + Xе®1 - хе®Фу + Xе®2еу(еу+ х)(и2)тг(1 +хеу)2еу(еу+ х)(и2)тг(1 +хеу)11/211/2(2.4.52)(2.4.52)
(«И») = -
(«И») = -
1 - хе®
Фу + Xе®
1 - хе®
Фу + Xе®
2еу(еу+ х)(и2)тг(1 +хеу)
2еу(еу+ х)(и2)тг(1 +хеу)
11/2
11/2
(2.4.52)
(2.4.52)
Используя соотношение (ижиу) = VxVy + (v^Vy) и (2.4.49), находим из (2.4.52) пульсационную составляющую касательного напряжения на стенке
(2.4.53)(2.4.53)
(2.4.53)
(2.4.53)
2еу(еу+х)(^> 1/2тг(1 +хеу)
Таким образом, с учетом (2.4.23) получаем из (2.4.53) следующее граничное условие для Vx:
_ dVx _2Х(1 — ех)(1 + еу)еу/2
1/2Vx. (2.4.54)1/2Vx. (2.4.54)Р dy (еУ + хе®)(еу + х)1/2(1 + Хеу)*/ Х
1/2
Vx. (2.4.54)
1/2
Vx. (2.4.54)
2(1-х)2еу'
^(1 +хеу)(еу+ х).
Граничные условия (2.4.33) и (2.4.54) совпадают при х = еу = 1, однако отличие между ними возрастает с уменьшением значений х и е^.
Далее, используя ФПВ (2.4.47), можно выразить тройную корреляцию поперечной скорости частиц через второй момент
(1 Хе2) ^ХА-хвуУ. ^^(2-4.55)
Четвертый корреляционный момент поперечной компоненты скорости выражается через вторые моменты согласно (2.4.47) как
Видно, что (2.4.56) переходит в известную гипотезу Миллионщи- кова, связывающую четвертые и вторые моменты, только в случае полностью адсорбирующей частицы поверхности (х = 0) или абсолютно упругих столкновений (еу = 1).
Граничное условие для (г^2), вытекающее из бинормального распределения (2.4.47), может быть представлено в особенно простом виде при отсутствии осаждения частиц на стенке (х = 1), если тройная корреляция пульсаций поперечной скорости определяется согласно (2.2.8) для высокоинерционных частиц как
(2.4.S7)
Следует отметить, что, как видно из (2.4.56), соотношение (2.4.57), основанное на квазинормальной гипотезе (2.2.6), может рассматриваться только как приближенное при х / 0 и ^ / 1. Подставляя (2.4.57) в (2.4.55), получаем следующее граничное условие для ^\.
^2)_2(1-еу)Р N ^^2)_2(1-еу)Р N ^1/21/2(2.4.58)(2.4.58)
^2)_2(1-еу)
Р N ^
^2)_2(1-еу)
Р N ^
1/2
1/2
(2.4.58)
(2.4.58)
Из сравнения (2.4.35) при х = 1 и (2.4.58) видно их совпадение в пределе еу —► 1 и возрастание отличия с уменьшением еу.
Граничное условие для (г^2) в случае отсутствии осаждения может быть получено из соотношения (2.4.7) при т = х
^Vy) =- P^'yY(2.4.59)
Входящие в (2.4.59) тройные корреляции, содержащие пульсации продольной компоненты скорости, находятся из (2.2.8) в пределе высокоинерционных частиц
«4) = -^f«2)^ + 2(»X)^Y(2<№)
о \ ауау у
<«2) =■(2.«1)
Если в (2.4.60) и (2.4.61) положить (v'xVy) = 0, то они переходят в соотношения, даваемые (2.4.24) и (2.4.25).
Подстановка (2.4.57), (2.4.60) и (2.4.61) в (2.4.59) приводит с учетом (2.4.45) к следующему граничному условию для ^у.
^х} _ 2 ^Ч )dy х dy^х} _ 2 ^Ч )dy х dy(2.4.62)(2.4.62)
^х} _ 2 ^Ч )dy х dy
^х} _ 2 ^Ч )dy х dy
(2.4.62)
(2.4.62)
В пределе абсолютно упругих соударений ^р,х —> 0, ех — еу ^ \^ граничные условия (2.4.54), (2.4.58) и (2.4.62) переходят в (2.4.44).
В работе Алипченкова и др. (2001) получено численное решение одномерного кинетического уравнения, учитывающее изменение ФПВ только в нормальном к стенке направлении у. На основе сравнения с этим численным решением кинетического уравнения, а также сопоставления результатов, полученных на основе двух представленных в данном разделе подходов, можно сделать следующие выводы:
Строго говоря, подход, основанный на решении уравнения для ФПВ методом возмущений, является справедливым только для нс слишком малых значений параметров х, ех и еу1 когда распределение скоростей частиц близко к равновесному гауссовому. Тем не менее, этот метод позволяет получить качественно правильные граничные условия при всех значениях х> ех и ^ точность этих граничных условий снижается с уменьшением коэффициентов отражения и восстановления импульса.
Подход, связанный с бинормальной ФПВ, остается справедливым во всем диапазоне изменения коэффициентов х, ех и еу от нуля до единицы, и его точность возрастает с увеличением инерционности частиц. В целом, этот подход является более корректным по сравнению с квазиравновесным, так как основан на более реальном распределении скоростей частиц. Однако этот подход приводит к более громоздким граничным условиям.
В заключение раздела отметим, что обобщение на трехмерное осредненное течение очевидно и состоит в использовании точно таких же по виду граничных условий для характеристик, содержащих компоненту скорости -vz, как и в соотношениях, включающих их.
Вторые моменты пульсаций скорости воднородном сдвиговом потоке
Рассмотрим поведение турбулентных напряжений дисперсной фазы (^v'-), а также корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз ^Dj) в однородном турбулентном потоке с постоянной скоростью сдвига при отсутствии внешних сил. Вследствие однородности поля скорости несущего турбулентного потока тройные моменты пульсаций скоростей частиц обращаются в нуль и, следовательно, могут быть получены точные решения уравнений для вторых моментов. Поэтому однородные течения имеют фундаментальное значение для верификации турбулентных моделей переноса и дисперсии
частиц. Кроме того, дополнительной мотивацией для тестирования моделей в однородном потоке с постоянной скоростью сдвига является наличие результатов численного моделирования как лагранжевых характеристик турбулентности сплошной среды (Sawford & Yeung, 2000, 2001), так и пульсационного движения частиц (Yeh & Lei, 1991b; Simonin et al., 1995; Lavieville, 1997; Lavieville et al., 1997; Taulbee et al., 1999; Ahmed & Elghobashi, 2001; Pandya & Mashayek, 2003; Shotorban & Balachandar, 2006).
Вследствие однородности потока из уравнений (2.2.1) и (2.2.2)
следует, что концентрация частиц в пространстве не изменяется, а градиенты сплошной и дисперсной фаз равны. Эти градиенты задаются
соотношениемсоотношением8Ui dij8Ui dijЖ чя лЖ чя л(2.5.1)(2.5.1)
соотношением
соотношением
8Ui dij
8Ui dij
Ж чя л
Ж чя л
(2.5.1)
(2.5.1)
где S — интенсивность сдвига.
С учетом (2.1.16), (2.1.17) и (2.5.1) из (2.2.4) получается следующая система уравнений для турбулентных напряжений дисперсной фазы в однородном сдвиговом потоке:
-^ " = —2S ^(^^2) 4- (t/i2)/ui 12 4- (^i^2>/tii 22^ 4-
(^£lfД dtdt(^£lfД dtdtipd^u*^ ,ipd^u*^ ,ti 22ti 22^2) f , ^1^2)\—^—Ju2l2t^ Ju222 I ,^2) f , ^1^2)\—^—Ju2l2t^ Ju222 I ,
(^£lf
Д dt
dt
(^£lf
Д dt
dt
ip
d^u*^ ,
ip
d^u*^ ,
ti 22
ti 22
^2) f , ^1^2)\
—^—Ju2l2t^ Ju222 I ,
^2) f , ^1^2)\
—^—Ju2l2t^ Ju222 I ,
^Jul 12 H^—Jul22 I ,
d^2} . . 2 dt rp d^i) = _g (, ,2} dt v 2 'd^2} . . 2 dt rp d^i) = _g (, ,2} dt v 2 'atat(2.5.2)(2.5.2)ul 12 4- (м^Лнгг) 4*ul 12 4- (м^Лнгг) 4*
d^2} . . 2 dt rp d^i) = _g (, ,2} dt v 2 '
d^2} . . 2 dt rp d^i) = _g (, ,2} dt v 2 '
at
at
(2.5.2)
(2.5.2)
ul 12 4- (м^Лнгг) 4*
ul 12 4- (м^Лнгг) 4*
\^fu 12 4 (^l^) (Ju 11 4- /1122) 4- (^22)/г421
( d^y ) d^uxu^) ,. d(u2 ) ,\
— a —37—Ju^ 12 "*37 W Til 11 4- Jul 22) H3;—Ju22l 4-
\ atatat j
tpS (d^yu^d^)\
43~ I Ju2l2 43;—Ju222 I •
2 \ atatI
Ненулевые корреляционные моменты пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз согласно (2.2.20) с учетом (2.1.16) и (2.1.17) определяются выражениями
(и,^) = (U12)/U11 + (uju2)/U2i - TpS ((и'ЛЛн 12 + («ЩИиш) - тр /d^)Д^и^)\TpS /d^)Д^и'!),\
— IT I ——Jul 11 H31 Jul 21 HI —31—Ju2 12 H31 Ju2 22 ,
2 I atat12 \ atat )
(u2V2) = (ttiU2)/ul2 + (u2 )/u22 - -y ТГ^“1 12 + —^/«122 ,
2h \ QuQiu/
Ш) = (^2)Лзз - J^p/«133,(2.5.3)
(uiy2) = (ui2)/ui2 + (u'i«2>/u22 —Zui 12 4—, 2 \ atat /
(u^) = (u'jll^/u 11 + <U22)/u21 - TpS ((u'i«2>Ad 12 + (u22)/ul 22) ~
Tp /d(U]U2)^(u2) ,\TpS fd^Yul), d(ti2) t \
2 \ atat )2 \ atat /
(2.5.4)(2.5.4)При больших временах достигается равновесное состояние, характеризуемое независимостью от времени тензоров анизотропии (2.3.24) и всех других безразмерных параметров течения. Таким образом, равновесное состояние может быть интерпретировано как асимптотическое решение системы уравнений при больших временах, когда течение становится автомодельным. Это решение не зависит от начальных условий и требует, чтобы вторые моменты пульсаций скорости и скорость диссипации энергии турбулентности экспоненциально росли во времени (Speziale & Mac Giolla Mhuiris, 1989)
(2.5.4)
(2.5.4)
(г»^' ) ос (v-Vj) ос (u^Vj) ос е ос exp(u)t),
ееи; = Т ки; = Т кР = -Wj)^-, иХjР = -Wj)^-, иХj
е
е
и; = Т к
и; = Т к
Р = -Wj)^-, иХj
Р = -Wj)^-, иХj
где Р — генерация турбулентной энергии.
Коэффициенты вовлечения в уравнениях (2.5.2) и (2.5.3) задаются соотношениями (2.1.22). Тензор лагранжевых временных масштабов турбулентности, необходимый для вычисления коэффициентов вовлечения, определяется согласно зависимости Pope (2002), основанной на результатах DNS (Sawford & Yeung, 2000, 2001),
к / °-44ТЬ = - -0,11 е \ ок / °-44ТЬ = - -0,11 е \ о-0,06 0 '
к / °-44
ТЬ = - -0,11 е \ о
к / °-44
ТЬ = - -0,11 е \ о
(2.5.5)(2.5.5)0,220
(2.5.5)
(2.5.5)
00,24
С целью анализа влияния анизотропии временных масштабов на пульсационное движение частиц результаты, полученные с использованием (2.5.5), будут сравниваться с расчетами, соответствующими изотропной аппроксимации лагранжева масштаба турбулентности (2.2.15) и (2.2.17), т.е.
Ты, = Тьбц, TL = ^- =ар а = 0,3. (2.5.6)
В рассматриваемом однородном турбулентном потоке с постоянной скоростью сдвига при отсутствии действия массовых сил осредненные скорости обеих фаз совпадают. Поэтому эффект пересечения траекторий отсутствует и единственной причиной различия между корреляциями пульсаций скорости сплошной среды, вычисленными вдоль траекторий инерционных и безынерционных частиц, является разница между масштабами турбулентности Лагранжа и Эйлера. Примем, что при отсутствии эффекта пересечения траекторий влияние инерционности частиц на времена их взаимодействия с турбулентными вихрями такое же, как и в изотропной турбулентности. Тогда тензоры времен взаимодействия частицы-турбулентность и лагранжевых макромасштабов связаны соотношением
(2.5.7)(2.5.7)TLp = F(StE)TL,
(2.5.7)
(2.5.7)
где функция F(Sts) учитывает влияние числа Стокса Sts = тр/Те, характеризующего инерционность частиц.
Согласно (1.3.15) с учетом (1.3.11) зависимость F(Sts) при т ^ 1 имеет вид
k Ть"^\Ть V[l+StE (1 + StE)2 (2 + StE)j ’ ТЕ _ 3(1 4-m)2(2"5'8)
Те 3 4- 2m
Формула (1.3.16), полученная Wang & Stock (1993) для m = 1, приводит к
F(StE) = ^ = ^ 1L 1LF(StE) = ^ = ^ 1L 1L0,6440,644(17^ол(Т+оЖ) J • IY = 2,8L (2‘5'9)(17^ол(Т+оЖ) J • IY = 2,8L (2‘5'9)
F(StE) = ^ = ^ 1L 1L
F(StE) = ^ = ^ 1L 1L
0,644
0,644
(17^ол(Т+оЖ) J • IY = 2,8L (2‘5'9)
(17^ол(Т+оЖ) J • IY = 2,8L (2‘5'9)
Время релаксации частицы определяется согласно (1.2.3), где число Рейнольдса обтекания частицы оценивается как
(2.5.10)(2.5.10)_dp[|U-V|2 + 2(A: + A:p-2M)]1/2
(2.5.10)
(2.5.10)
Мвр =
Выражение (2.5.10) приближенным образом учитывает вклад осред- ненного и пульсационного скоростного скольжения частиц относительно турбулентной жидкости. Коэффициент /^ в (2.5.10) находит-
4 Л. И. Зайчик. В. М. Алипченков
98 Гл. 2. Движение частиц в градиентных турбулентных потоках ся по изотропному времени взаимодействия частицы-турбулентность, соответствующему изотропному лагранжеву масштабу турбулентности Tl = TbkkJ^. Поскольку в данном разделе будут рассмотрены примеры течений при отсутствии осредненного скольжения дисперсной и сплошной фаз (U = V), то Rep зависит только от пульсационного скольжения
_ dp\2(k + kp-2Juk)V/2rceD =.
Fv
С целью анализа влияния отдельных физических факторов будут представлены результаты, полученные на основе нескольких моделей, включающих или не включающих физические эффекты анизотропии лагранжевых временных масштабов, нестационарности турбулентности сплошной среды (в однородном сдвиговом потоке конвективный и диффузионный перенос отсутствует, поэтому «транспортный эффект» обусловлен только нестационарностью), а также влияние инерционности частиц на время их взаимодействия с турбулентными вихрями. Модель I является наиболее полной и включает влияние всех трех факторов: анизотропию временных масштабов, эффекты нестационарности и инерционности. Модель II предполагает, что лагранжевы масштабы являются изотропными (2.5.6), однако учитывает нестационарность турбулентности и влияние инерционности частиц на время взаимодействия с турбулентностью. Модель III учитывает анизотропию временных масштабов турбулентности на основе (2.5.5) и транспортный эффект (нестационарность турбулентной среды), но не включает влияние инерционности частиц на время взаимодействия с турбулентностью (F(St£;) = 1). Наконец, модель IV учитывает анизотропию масштабов и зависимость F(St£), однако не описывает эффект нестационарности (т. е. пренебрегает «транспортным членом» в (2.1.15)).
Вначале рассмотрены два примера развивающихся во времени течений, соответствующих результатам прямого траекторного моделирования характеристик дисперсной фазы в однородных сдвиговых слоях, генерируемых LES (Simonin et al., 1995; Lavi6ville, 1997). Напряжения Рейнольдса несущей сплошной среды определены из расчетов Simonin et al. (1995) и Lavi6ville (1997). Начальные условия соответствуют изотропным состояниям. Градиент средней скорости в обоих потоках одинаков и равен 50 с"*1, однако инерционности частиц различны. В Simonin et al. (1995) отношение плотностей дисперсной и сплошной сред Pp/pf = 2000, а диаметр частиц dp = 60 мкм; в Lavieville (1997) Ppjpf = 43 и dp = 656 мкм. Структурный параметр турбулентности т был принят равным единице.
На рис. 2.5.1 и 2.5.2 показана временная эволюция нормальных и касательной компонент турбулентных напряжений сплошной и дисперсной фаз. Прежде всего отметим, что при т = 1 формулы (2.5.8) и (2.5.9), описывающие влияние инерционности частиц на времена взаимодействия с турбулентностью, приводят к достаточно близким результатам. Поэтому на рис. 2.5.1 и 2.5.2 приведены только результаты,
Рис. 2.5.1. Изменение во времени продольной (а), поперечной (б), трансверсальной (в) и касательной (а) компонент турбулентных напряжений дисперсной и сплошной фаз в однородном сдвиговом слое для dp = 60 мкм и рр( р = 2000: 1-5 — (v-v'), 6 — {u'iUj), 1 — модель I, 2 — модель II, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 и 6 — Simonin et al. (1995)
соответствующие (2.5.9). Видно, что наилучшее согласие с данными LES дает модель I, учитывающая влияние всех указанных выше факторов. Учет анизотропии временных масштабов турбулентности и эффекта инерционности приводит к увеличению анизотропии пульсаций скоростей частиц за счет роста продольной составляющей пульсаций. Напротив, транспортный эффект, обусловленный нестационар- ностью турбулентности, немного уменьшает интенсивность продольных пульсаций скорости частиц и тем самым сглаживает анизотропию пульсаций скорости дисперсной фазы. Включение в расчетную модель анизотропии временных масштабов турбулентности и влияния инерционности частиц на временные масштабы позволяет воспроизвести такой интересный эффект, как превышение интенсивности продольных пульсаций скорости частиц (^2) над продольными пульсациями скорости несущей среде (Ц2). Это явление, как отмечали Liljegren (1993), Reeks (1993), Taulbee et al. (1999), Zaichik (1999), связано с генерацией продольных пульсаций скорости частиц за счет сдвига осредненной скорости и объясняется отсутствием мелкомасштабной диссипации турбулентной энергии в дисперсной фазе. Так как вклад 4*
<«; и^, <и; и^), м2/с2<«; и^, <и; и^), м2/с2^д^н^г^д^н^гРис. 2.5.2. Изменение во времени продольной (а), поперечной (б), трансверсальной (в) и касательной (г) компонент турбулентных напряжений дисперсной и сплошной фаз в однородном сдвиговом слое для dp = 656 мкм и рр/р = 43: 1-5 — ^WjY 6 — (u£Uj), / — модель I, 2 — модель II, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 и 6 — Lavieville (1997)Рис. 2.5.2. Изменение во времени продольной (а), поперечной (б), трансверсальной (в) и касательной (г) компонент турбулентных напряжений дисперсной и сплошной фаз в однородном сдвиговом слое для dp = 656 мкм и рр/р = 43: 1-5 — ^WjY 6 — (u£Uj), / — модель I, 2 — модель II, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 и 6 — Lavieville (1997)
<«; и^, <и; и^), м2/с2
<«; и^, <и; и^), м2/с2
^д^н^г
^д^н^г
Рис. 2.5.2. Изменение во времени продольной (а), поперечной (б), трансверсальной (в) и касательной (г) компонент турбулентных напряжений дисперсной и сплошной фаз в однородном сдвиговом слое для dp = 656 мкм и рр/р = 43: 1-5 — ^WjY 6 — (u£Uj), / — модель I, 2 — модель II, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 и 6 — Lavieville (1997)
Рис. 2.5.2. Изменение во времени продольной (а), поперечной (б), трансверсальной (в) и касательной (г) компонент турбулентных напряжений дисперсной и сплошной фаз в однородном сдвиговом слое для dp = 656 мкм и рр/р = 43: 1-5 — ^WjY 6 — (u£Uj), / — модель I, 2 — модель II, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 и 6 — Lavieville (1997)
в порождение поперечных и трансверсальных пульсаций скорости из осредненного движения отсутствует, эти компоненты турбулентных напряжений частиц оказываются существенно меньшими, чем продольные, и, кроме того, не могут превышать соответствующие значения нормальных компонент вторых моментов пульсаций скорости жидкости. В результате генерации из осредненного движения касательное напряжение в дисперсной фазе по абсолютному значению может быть больше, чем соответствующая величина в сплошной среде.
Далее рассмотрим развитие во времени турбулентных напряжений частиц и смешанных корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз в однородном сдвиговом слое, генерируемом на основе DNS (Pandya & Mashayek, 2003) при t^S = 0,6. Временной масштаб Т^р определялся согласно (2.5.7) с использованием (2.5.5) и (2.5.8) при т = 0,5. Соотношения (2.5.3) для (u<v'), в отличие от дифференциальных уравнений (2.5.2) для (v^v'), являются алгебраическими и, следовательно, не могут удовлетворять начальным условиям, соответствующим изотропному состоянию. Поэтому временные зависимости для компонент (u<v<) на рис. 2.5.4 начинаются на
некотором отступлении от момента t = 0. На рис. 2.5.3 и 2.5.4 представлены результаты только для моделей I и II, поскольку влияние нестационарности турбулентности сплошной среды и инерционности частиц на время их взаимодействия с турбулентными вихрями, ил-
Рис. 2.5.3. Изменение во времени турбулентных напряжений дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое: / — модель I, 2 — модель II, 3-6 — Pandya & Mashayek (2003)
Рис. 2.5.4. Изменение во времени корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз в однородном сдвиговом слое: / — модель I, 2 — модель II, 3-7 — Pandya & Mashayek (2003)
102 Гл. 2. Движение частиц в градиентных турбулентных потоках люстрируемое моделями III и IV, качественно точно такое же, как показано на рис. 2.5.1 и 2.5.2. Видно, что (2.5.2) и (2.5.3) достаточно хорошо воспроизводят основные особенности поведения всех компонент ^V^ и (гь^). Однако соотношения (2.5.3) предсказывают большую разность между касательными компонентами (i/^) и (tz^i)» т. е. большую асимметрию тензора (и^), чем это имеет место согласно данным прямого численного моделирования. Аналогично рис. 2.5.1 и 2.5.2 учет анизотропии временных масштабов турбулентности приводит к лучшему согласию с данными DNS для продольных компонент (^2) и (u^i), однако влияние этого фактора на другие компоненты (V^ и несущественно.
На рис. 2.5.5-2.5.8 представлены результаты, соответствующие равновесному асимптотическому решению (2.5.4) систем уравнений (2.5.2) и (2.5.3). Также показаны результаты численных расчетов, полученные на основе методов LES (Simonin et al., 1995; Lavieville, 1997) и DNS (Taulbee et al., 1999; Pandya & Mashayek, 2003), для максимальных значений времени в этих работах, когда течение можно считать близким к равновесному. Турбулентные характеристики сплошной среды задавались в соответствии с экспериментальными данными для однородного сдвигового потока (Tavoularis & Karnik, 1989): 6ц =0,21, b22 = -0,13, Ьзз = -0,08, bi2 = -0,16, Sk/e = 5, Р/е = 1,6.
Как видно из рис. 2.5.5, зависимость отношения (г/^/^2) от произведения времени релаксации и интенсивности сдвига тр8 немонотонна, и, как уже отмечалось, отношение продольных компонент пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз может превышать единицу. Однако при больших значениях rpS это отношение меньше единицы и стремится к нулю с ростом тр8. Отношение (t^2)/(Ц2) монотонно убывает и стремится к нулю с увеличением тр8, что объясняется уменьшением степени вовлечения частиц в пульсационное движение несущей сплошной среды по мере роста их инерционности и отсутствием вклада генерации из осредненного движения. Поведение отношений двух других ненулевых компонент турбулентных напряжений (^у^/МЦ) и (v^2)/^2) качественно подобно соответственно поведению (t/i V^2) и ^Ши'^У
На рис. 2.5.6 изображены компоненты тензора анизотропии пульсаций скорости частиц в зависимости от параметра тр8. Значения bpij при тр8 = 0 соответствуют значениям компонент тензора анизотропии пульсаций скорости сплошной среды bij. Из рис. 2.5.6а следует, что анизотропия пульсаций скорости частиц возрастает с увеличением их инерционности и значения продольной компоненты пульсаций скорости высокоинерционных частиц значительно превышают соответствующие значения в поперечном и трансверсальном направлениях. Этот рост анизотропии обусловлен вкладом сдвига скорости в генерацию продольных пульсаций скорости дисперсной фазы и отсутствием механизма перераспределения между различными компонентами пульсаций
скорости, как это имеет место в турбулентной жидкости за счет пульсаций давления. Из рис. 2.5.6а также видно, что учет анизотропии временных масштабов приводит к небольшому увеличению анизотропии пульсаций скорости по-сравнению со значениями, предсказываемыми квазиизотропной моделью II, не учитывающей этот эффект. Рисунок
Рис. 2.5.5. Отношения компонент турбулентных напряжений сплошной и дисперсной фаз в однородном сдвиговом слое: 1 — модель I, 2 — модель II, 3 — Simonin et al. (1995), 4 — Lavieville (1997), 5 — Taulbee et al. (1999), 6 — Pandya & Mashayek (2003)
2.5.66 демонстрирует немонотонное изменение касательной компоненты тензора анизотропии в зависимости от инерционности частиц: вначале Ьр12 уменьшается с ростом величины tpS, достигая минимума при TPS « 1, а далее увеличивается, стремясь к предельному значению при tpS -* со. В целом, как следует из рис. 2.5.6 (хотя влияние ани-
Рис. 2.5.6. Нормальные (а) и касательная (6) компоненты тензора анизотропии пульсаций скорости частиц в однородном сдвиговом слое: / — модель I, 2 — модель И, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 — Simonin et al. (1995), 6 — Lavieville (1997), 7 — Taulbee et al. (1999), 8 — Pandya & Mashayek (2003)
зотропии временных масштабов на bPij невелико), учет этого эффекта приводит к несколько лучшему согласию с результатами численного моделирования. Также видно, что влияние инерционности частиц на времена их взаимодействия с турбулентными вихрями практически полностью элиминируются.
Рис. 2.5.7. Отношения компонент корреляций пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз к компонентам рейнольдсовых напряжений сплошной фазы: / — модель I, 2 — модель П, 3 — Simonin et al. (1995), 4 — Lavieville (1997), 5 — Taulbee et al. (1999), 6 — Pandya & Mashayek (2003)
Рисунок 2.5.7 представляет отношение компонент корреляций пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз к соответствующим компонентам рейнольдсовых напряжений сплошной фазы в зависимости от произведения времени релаксации частиц и скорости сдвига. Компоненты тензора анизотропии пульсаций скоростей сплошной и дис-
Рис. 2.5.8. Компоненты тензора анизотропии пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз в однородном сдвиговом слое: / — модель I, 2 — модель II, 3 — модель III, 4 — модель IV, 5 — Simonin et al. (1995), 6 — Lavieville (1997), 7 — Taulbee et al. (1999), 8 — Pandya & Mashayek (2003)
персной фаз показаны на рис. 2.5.8. Из сравнения рис. 2.5.5 и 2.5.7 видно, что в отличие от (^i V^2) имеет место монотонное убывание (Ц^)/^2) с ростом tpS. Поведение (^vi)/^2) и ^2^ / ^х^ со* ответственно подобно поведению ^«^(((и^) и (г^)/(ЦЦ). Рисунок 2.5.8а свидетельствует, что, хотя все модели качественно одинаково описывают разницу между диагональными компонентами b/Pij, модели, учитывающие неизотропность временных масштабов, предсказывают большую анизотропию корреляций пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз и немного лучше согласуются с численными расчетами. Из рис. 2.5.76 и 2.5.86 следует, что, несмотря на заметное отличие от результатов численного моделирования, все модели качественно правильно воспроизводят асимметрию тензора корреляций пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз, проявляющуюся в большем абсолютном значении касательной компоненты (iz^) по сравнению с
Перейдем к рассмотрению результатов применения линейной и нелинейной алгебраических моделей для расчета турбулентных напряжений частиц в однородном сдвиговом слое. Линейная модель (2.3.10) дает
W2>1 = ^kP + ^'k) Q«k\ ~ ^^/ulfc2^ ~ |<UfcO/unfc-
Tp d^u'^ f t 2tpS ,\ , Tpd(u'X)z
2^ I JulklJu2k2 J ' ^^ Julnki
^2 )1 = g^p “Ь ^^^k) fuk2 H J-{uluk) ful k2 ~ ^^k'U'n) funk-
Tp (№ f , tpsW ,1 ^(40, А /ос.
2 I ^ Ju\k2v g ^ Ju2k2 2^ Julnk I > ^Z.O.ll
(^3 )1 = g^P "1" (^3^/c) fuk3 H ^"(^l^fc)^! k2 — £ ^k^n) funk~~
Tp /d^O TpS d^u'^1 d^uV) , X
2 I ^ Jul k3 *2 dl Ju2k2 2^ Julnk j ,
(t^l = ^ Q^u'^fukt + (u'^fukl - TpS^u'^fui fc2 -(t^l = ^ Q^u'^fukt + (u'^fukl - TpS^u'^fui fc2 -2тр8кр2тр8кртр /d^Od^O f cd^u'^ X4 V""dT-fuV k2 + “d^ful kl "" TpS~dt~fu2k2 ) 'тр /d^Od^O f cd^u'^ X4 V""dT-fuV k2 + “d^ful kl "" TpS~dt~fu2k2 ) '
(t^l = ^ Q^u'^fukt + (u'^fukl - TpS^u'^fui fc2 -
(t^l = ^ Q^u'^fukt + (u'^fukl - TpS^u'^fui fc2 -
2тр8кр
2тр8кр
тр /d^Od^O f cd^u'^ X
4 V""dT-fuV k2 + “d^ful kl "" TpS~dt~fu2k2 ) '
тр /d^Od^O f cd^u'^ X
4 V""dT-fuV k2 + “d^ful kl "" TpS~dt~fu2k2 ) '
Линейная модель (2.3.29) приводит к следующим соотношениям:
(АЦм^г^ ^1 = ^кр-Ь^1,О Воо Во
, /2Х2,Mv'^
Ю1 = окР + Ц^-, м^)1 = Ш^-,О ВоВо
(vl2>(1) = («!«*:> (/«*>! * ^^-fu\№^ - ^u'^funk,k^ = W^fukl + ^W^Ukt - ^Wfunk, (2.5.12)
(v'a)^ = ku3uW'uk3 + “g-^l^^/ul k2 ~ ^kukun)funk.
M^/0 = | ((^l^fc)/ufc2 + (u2Ufc)/tifel - TpSku'^ fu\ fe2) “ ^^,Eo = 2^” k^k^n) funk — TpS^U^U^ fu\ fc^ .
Квадратичная модель (2.3.30) в однородном сдвиговом слое представляется в виде
оISiо(«3 >2 =3^ + ^—оISiо(«3 >2 =3^ + ^—S-W".
оISi
о
(«3 >2 =3^ + ^—
оISi
о
(«3 >2 =3^ + ^—
OEjOIjI
ОГЬоЬ1
^(v^^o,(2.5.13)
№)2 = ^^_^(^ ' 1 2/ Ei 2EoEi' 2 '^=^-^кМ)№.№)2 = ^^_^(^ ' 1 2/ Ei 2EoEi' 2 '^=^-^кМ)№.O-bo-bi
№)2 = ^^_^(^ ' 1 2/ Ei 2EoEi' 2 '
^=^-^кМ)№.
№)2 = ^^_^(^ ' 1 2/ Ei 2EoEi' 2 '
^=^-^кМ)№.
Уравнение для турбулентной энергии частиц (2.3.22) в однородном сдвиговом потоке представляется в виде
~^ = —S' ^(^1^2) + ^^fui 12 + (Ц^Аш) +
+ ~ [(^/nll + (u^futo + (^32)/u33 + (^1^2)(/m12 + /«21) — 2kp\ —
ip^2),, dku'^t ,d^ht .
~ 2 —11 H—Ju\22 H—Jul33+
H^7 (fu\ 12 + A121) +—5— —57—fu2VH7~fu222 V (2.5.14)
atJ 2 \ atat /
Уравнение для турбулентной энергии (2.5.14) решается совместно с алгебраической моделью для турбулентных напряжений. На рис. 2.5.9 показана эволюция во времени компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы, рассчитанных на основе линейной (2.5.12) и нелинейной (2.5.13) алгебраических моделей. Расчеты выполнены для условий, соответствующих данным DNS (Pandya & Mashayek, 2003). Как
Рис. 2.5.9. Сравнение алгебраических моделей для турбулентных напряжений дисперсной фазы с DNS: / — линейная модель (2.5.12), 2 — нелинейная модель (2.5.13), 4-6 — Pandya & Mashayek (2003)
видно из рис. 2.5.9, нелинейная модель достаточно хорошо воспроизводит поведение всех компонент напряжёний. Линейная модель завышает поперечную и трансверсальную компоненты и занижает продольную компоненту. Особенно неудовлетворительно линейная модель описывает касательную компоненту напряжений.
Рисунок 2.5,10 представляет компоненты тензора анизотропии пульсаций скорости частиц, соответствующие алгебраическим и дифференциальной моделям. Очевидно, что значения bpij, предсказываемые линейными моделями (2.5.11) и (2.5.12), оказываются очень близкими. Однако линейные модели существенно занижает анизотропию нормальных компонент турбулентных напряжений и не воспроизводят немонотонную зависимость касательного напряжения от параметра bpij. Напротив, нелинейная алгебраическая модель предсказывает несколько большую степень анизотропии нормальных компонент турбулентных напряжений по сравнению с дифференциальной моделью. В целом квадратичная модель качественно правильно описывает все компоненты турбулентных напряжений, хотя ее точность, естественно, снижается с ростом параметра тр8. При тр8 > 1 компоненты тензора анизотропии, получаемые на основе (2.5.13), заметно отклоняются от соответствующих значений Ьр^ даваемых дифференциальной моделью (2.5.2). Это отклонение обусловлено погрешностью в описании вклада транспортных членов в баланс касательных напряжений согласно аппроксимации (2.3.25). Таким образом, как и следовало ожидать, алгебраические модели, существенно снижая объем вычислений, приводят к неизбежной потери точности для высокоинерционных частиц.
Рис. 2.5.10. Компоненты тензора анизотропии пульсаций скорости частиц в однородном сдвиговом слое: / — дифференциальная модель (2.5.2), 2 — линейная модель (2.5.11), 3 — линейная модель (2.5.12), 4 — нелинейная модель (2.5.13)
Движение частиц в пристеночной области
Проведем анализ динамики частиц в пристеночной области стационарного турбулентного потока. При больших числах Рейнольдса в пристеночной области могут быть выделены две зоны, кардинально отличающиеся своими характеристиками: вязкий подслой и равновесный логарифмический слой. С целью выявления эффектов рассмотрим некоторые модельные задачи, иллюстрирующие особенности поведения частиц в вязкой и логарифмической зонах.
Пристеночная область, включающая вязкий подслой. В вязком подслое, непосредственно примыкающем к стенке, роль вязких напряжений оказывается преобладающей по сравнению с турбулентными напряжениями. Поэтому определяющими параметрами в вязком подслое являются коэффициент кинематической вязкости жидкости v и динамическая скорость (скорость трения) и*. Вне области вязкого подслоя вклад вязких напряжений в полные напряжения сплошной среды, напротив, незначителен. В качестве простейшей аппроксимации пульсационной структуры несущего потока в пристеночной области примем простейшую двухзонную модель (Гусев и Зайчик, 1991), состоящую из вязкого подслоя с нулевой интенсивностью пульсаций и турбулентной зоны с постоянной интенсивностью пульсаций
где -у — расстояние от стенки, A^j — постоянные коэффициенты. Толщина вязкого подслоя 5 равна
5 = 5^—, и*5 = 5^—, и*5+ = const.5+ = const.(2.6.2)(2.6.2)
5 = 5^—, и*
5 = 5^—, и*
5+ = const.
5+ = const.
(2.6.2)
(2.6.2)
Предполагается также, что лагранжев временной масштаб турбулентности вблизи стенки имеет постоянное значение
Tl = T^^), 7+ = const.(2.6.3)
Далее примем, что осредненное скольжение частиц относительно несущего потока является относительно небольшим, так что влиянием эффекта пересечения траекторий на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями можно пренебречь. Тогда, поскольку мы также не учитываем обратное влияние на несущий поток и столкновения частиц, система уравнений (2.2.1)-(2.2.4) расщепляется: концентрация Ф и интенсивность поперечных пульсаций (1)^ могут быть найдены независимо от других гидродинамических характеристик дисперсной фазы. Для гидродинамически развитого течения, свойства которого изменяются только в нормальном стенке направлении, при отсутствии осаждения частиц из (2.2.1)-(2.2.4) с учетом (2.2.8) и (2.6.1) получаются следующие уравнения для определения Ф и (v^2):
dy
+ ((^ -VguAyy-и^у -5)^^ = О,
(2.6.4)
9 dТрЙ9 dТрЙф ((Ч^ + 9иАууи«н(У - 5)) ^-^
9 d
ТрЙ
9 d
ТрЙ
(2.6.5)(2.6.5)+2Ф ^иАоти2ХУ " 5) - Ю) = 0.
(2.6.5)
(2.6.5)
В соответствии с экспериментальными данными примем Ауу = 1 и перейдем к безразмерным переменным
^ =^ =Ц2) х-у- У+ -Уи*^;00+ v
^ =
^ =
9 TpU* Т+TpU^
"" 6 - 6/ Т+~ v ‘
Уравнения (2.6.4) и (2.6.5) в новых переменных примут вид
.2
ах
^^^ + (<v'5+) + 9иН(Л “ ^) S = °’ ф((^+)+9^(А-1))^±}. +
(2.6.6)
+2Ф (/„ЩА-!)-^)) =0.
(2.6.7)
при А = 0;при А = 0;Граничные условия для (2.6.6) и (2.6.7) с учетом (2.4.35) при отсутствии осаждения частиц на стенке (х = 1), задаются в виде
при А = 0;
при А = 0;
(2.6.8)(2.6.8)* dX 1 + е^ у 7Г у^— = О, Ф = 1 при А = оо.
(2.6.8)
(2.6.8)
dX
Пренебрегая влиянием инерционности частиц на время их взаимодействия с турбулентными вихрями, положим ТьР равным лагранжеву масштабу (2.6.3), где примем Т+ = 5+. Тогда коэффициенты вовлечения согласно (2.1.22) равны
- 1- 1
(2.6.6), уравнение (2.6.7) может быть пре-(2.6.6), уравнение (2.6.7) может быть пре-1+т*’ 9и Т*(1+Т*)*
(2.6.6), уравнение (2.6.7) может быть пре-
(2.6.6), уравнение (2.6.7) может быть пре-
Принимая во внимание образовано к виду
Т.2 ((v'J+) + guH(A - 1)) ^|^ + 2 (fuH(A - 1) - (^+)) = 0,
2(2.6.9)
что позволяет найти (Vy+) независимо от Ф. Построим решения уравнения (2.6.9) в областях 0 < А < 1 и 1 < Л < оо, а затем «сошьем» эти
решения.
В зоне вязкого подслоя (0 < Л < 1) уравнение (2.6.9) сводится к
(2.6.10)
(v'y+) = (Л ^ при Ao < А < 1Т*(2.6.11)(v'y+) = (Л ^ при Ao < А < 1Т*(2.6.11)Решением (2.6.10) с учетом (2.6.8) будет
(v'y+) = (Л ^ при Ao < А < 1
Т*(2.6.11)
(v'y+) = (Л ^ при Ao < А < 1
Т*(2.6.11)
У^ №., 2о-4) р««»>У^ №., 2о-4) р««»>(и'у+) = 0 при 0 < А < Ло, или
У^ №., 2о-4) р««»>
У^ №., 2о-4) р««»>
А + — при 0 < А < 1.
*(2.6.12)
Решение (2.6.11) имеет место при т* < тсг, а (2.6.12) реализуется при т* > тст. Критическое значение Тег параметра инерционности т* является точкой бифуркации и соответствует условию Ао = 0.
В турбулентной зоне (1 < А < оо) уравнение (2.6.9) записывается какх
«^(t/L) 2 f— ^yV))
Т- d^ + (, ,2 '\ = °'(2-6-13)
“Л (<”»+) + 9.)
Для построения аналитического решения линеаризуем (2.6.13), полагая в знаменателе второго члена (V^^ = (^^(l)). В результате получим приближенное решение
^Ц^^-^х
х ехр
2V2(A-1)
/, охV2
Т, ((^+(1)) +gu)
+ fu при 1 < А < ОО.
(2.6.14)
Условия сшивки решений в вязкой и турбулентной зонах имеют вид
(^+(1-0)) = (^+(1+0)),
(2.6.15)(2.6.15)(V2 (1)) (^у+Л = (м2 (П) + 9 ) (^4±1^
(2.6.15)
(2.6.15)
'%+t1"! d\ )^у+^+^Д дх )
\/ 1-0\/ 1+0
Из (2.6.11), (2.6.14) и (2.6.15) вытекают следующие соотношения для определения (t/y+(l)) и Ло при г* < тсг:
(а - (^+(i)>) (^+(i)>+gu)1/2 = (2у;+(1))з)1/2, Ло = 1 -^<^+(1)>’/2.
Из (2.6.12), (2.6.14) и (2.6.15) получаются соотношения для нахож- дения (v,2+(l)) и (v'y+(0)) при т* > тст
(/„-(^+(1))) ((ООН^)'^
^^ТТ^ ^("«Д . (2.6.17)^^ТТ^ ^("«Д . (2.6.17)9Г2*/2
^^ТТ^ ^("«Д . (2.6.17)
^^ТТ^ ^("«Д . (2.6.17)
-(«но» — +/ *
(^+(0))V2 =
1-4т*(1+е2)
/з^Гг^)2
V) [тг(1+е2)2т2
+(^+(1)>-
11/2 1
9-2
Критический параметр инерционности определяется из соотношения т2г(и'у+(0)) = 1, не зависит от коэффициента восстановления импульса еу и равен 2,81.
Распределение концентрации частиц, удовлетворяющее условию Ф(оо) = 1, определяется интегралом уравнения (2.6.6) и описывается выражением
Ф =Ф =при А < 1, (2.6.18)
Ф =
Ф =
при А > 1.
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис. 2.6.1. Распределения интенсивности пульсаций поперечной скорости (а) и концентрации (б) частиц в пристеночной области, включающей вязкий подслой: / - т. = 0,5, 2 - 1,5, 3 - 2,81, 4 - 5, 5 - 10
На рис. 2.6.1 показаны распределения пульсаций поперечной скорости (v'+ = (V^y/2) и концентрации частиц, соответствующие (2.6.11), (2.6.12), (2.6.14), (2.6.16), (2.6.17) и (2.6.18) при упругих столкновениях со стенкой (е^ = 1). Видно, что по мере увеличения инерционности частиц интенсивность пульсаций их скорости все больше отклоняется от интенсивности пульсаций в сплошной среде (2.6.1) и стремится к однородному распределению. Концентрация частиц вблизи стенки резко возрастает, т. е. наблюдается аккумулирование частиц в зоне вязкого подслоя. Явление аккумулирования частиц в неоднородных турбулентных потоках объясняется их турбулентной миграцией (турбофорезом) из области с высокой интенсивностью турбулентных пульсаций скорости в зону с низкой степенью турбулентности (в частности, в вязкий подслой на обтекаемой поверхности). Теоретическая интерпретация этого феномена была дана Caporaloni et al. (1975) и Reeks (1983).
Рисунок 2.6.2 демонстрирует влияние инерционности частиц на значения интенсивности пульсаций скорости и концентрации частиц на стенке. Как видно, пульсационная энергия малоинерционных частиц (т* < тсг) на стенке равна нулю, а интенсивность пульсаций инерционных частиц (т* > тст) отлична от нуля. Эффект ненулевых пульсаций скорости в вязком подслое и на самой стенке обусловлен диффузионным механизмом переноса пульсаций инерционными частицами из турбулентной области потока. Обращает на себя внимание наличие
Рис. 2.6.2. Зависимости интенсивности пульсаций скорости (/) и концентрации (//) частиц на стенке от параметра инерционности: 1 — еу = 0,5, 2 — 0,8, 3 - 1,0
максимума в зависимости г^+(0) от т*. Рост г^+(0) с ростом т* объясняется увеличивающейся ролью диффузионного переноса пульсаций из турбулентной области в зону вязкого подслоя. Снижение Ч+(°)с ростом т* после достижения максимума связано со снижением интенсивности пульсаций скорости дисперсной фазы, так как более инерционные частицы хуже вовлекаются в турбулентное движение сплошной среды. Концентрация частиц на стенке обращается в бесконечность при т* < тСТ и стремится к единице при 7* —» оо. С уменьшением коэффициента восстановления импульса еу интенсивность пульсаций падает, а эффект аккумулирования частиц в вязком подслое несколько возрастает.
Равновесный логарифмический слой. На некотором расстоянии от стенки может иметь место равновесное состояние турбулентного потока, характеризуемое равенством порождения и диссипации энергии турбулентности (Р = е\ В равновесном состоянии конвективный и диффузионный механизмы переноса пульсаций становятся несущественными, тройные одноточечные корреляции обращаются в нуль, а вторые моменты пульсаций скорости имеют постоянные значения. Однако в целом эта зона турбулентного потока не является однородной, постольку пространственные и временные масштабы турбулентности линейно зависят от поперечной координаты у. Следует отметить, что достаточно протяженная равновесная пристеночная область наблюдается только при больших числах Рейнольдса; например, при течении в трубе (канале) с радиусом (полушириной) R логарифмический слой расположен в пространственной области, удовлетворяющей условиям v]u* «С у <С R. Определяющими физическими параметрами в равновесной пристеночной турбулентной зоне являются и* и у. Таким образом, градиент продольной скорости равен
(2.6.19)(2.6.19)g _ dUx _ хи*dy у
(2.6.19)
(2.6.19)
где х to 0,4 — постоянная Прандтля-Кармана. Согласно (2.6.19) распределение скорости описывается логарифмической зависимостью
(2.6.20)(2.6.20)П_^ — — — х1пу^_ + В, В = const,
(2.6.20)
(2.6.20)
давшей название этой области турбулентного потока.
(fu\2 . г \ .1/ (—^Ли2 I 4-(fu\2 . г \ .1/ (—^Ли2 I 4-Из (2.2.4) получается следующая система уравнений для турбулентных напряжений дисперсной фазы в равновесном логарифмическом слое:
(fu\2 . г \ .
1/ (—^Ли2 I 4-
(fu\2 . г \ .
1/ (—^Ли2 I 4-
. (^2 )/ц212. (^2 )/ц212м2) = bA^ftai + (и^и^Аг! -TpS
. (^2 )/ц212
. (^2 )/ц212
।\ (fu 11 4* fu 22 . г \
4"(^1^2) I 2*" /и122 1
4—^“ [(^1^2) Uu 12 4- juX 12) 4- (t^) (A 22 4- juX 22)j »
(^2) = (MHuX2 + ^2)/n22,(^2) = ^2)/n33,(2.6.21)
u2) = о [(^12)/u12 4- (^1^2) (/nil 4-Vu22) 4- (^22)/n211 —
—Т l?^2' ^n12 + IuX 12'+ ^2' ^Ju22 + JuX 22'J ’
где для координат ж, у и z использованы обозначения 1, 2 и 3. Уравнения (2.6.21) совпадают с соответствующими уравнениями для однородного сдвигового потока (2.5.2) при исключении членов, содержащих производные по времени.
Уравнения для смешанных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз согласно (2.2.20) имеют вид
М^) = M2)/nii + Ух^к^х - TpS ((ц'Л/щ 12 + ^и^/иХйй^ , (^2^) = W^fu 12 + <^22)/u22,(t^3> = k^fu^ (2.6.22)
(^l^) = УЛ/шг 4- ^U^fu^
(^2^1) = №4НиХХ + (^22)/n21 - TpS Wx^MuX 12 + (^/ul 22 ) •
Уравнения (2.6.22) совпадают с уравнениями для корреляций пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз в однородном сдвиговом слое (2.5.3) при пренебрежении в последних нестационарными членами.
На рис. 2.6.3 и 2.6.4 показано поведение всех ненулевых компонент турбулентных напряжений частиц и корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз, отнесенных к соответствующим компонентам турбулентных напряжений несущего потока. Турбулентные характеристики сплошной среды задавались в соответствии с экспериментальными данными для логарифмического слоя турбулентного течения в трубе (Laufer, 1951): 6ц = 0,22, 622 = —0,15, бзз = -0,07, 612 = -0,16, 8к/е = 3,1, Р/е = 1. Представленные результаты получены для изотропного лагранжева масштаба (2.5.6).
Из сравнения рис.2.5.5 и 2.6.3 видно, что зависимости ^V2^!^^ и (^з2)/(ггд2) от параметра тр8 в однородном сдвиговом и логарифмическом пристеночном равновесных слоях подобны, а наибольшее отличие наблюдается в поведении (vj2)/^2). Так, в пристеночной зоне М2)/^!2) неограниченно возрастает при тр8 —► оо вместо стремления к нулю в однородном сдвиговом потоке. Отношение ^v^) / ^и^) стремится к конечному пределу при тр8 —> оо в пристеночной зоне, в то время как в однородном сдвиговом слое эта величина стремится к нулю. Такое различие в поведении продольного и касательного напряжений связано с отличием стационарного и нестационарного решений
Рис. 2.6.3. Отношения компонент турбулентных напряжений сплошной и дисперсной фаз в равновесной пристеночной зоне: / — (v{2)/(^j2), 2 — ^^(((а^ и3 - M/W2)
для двух типов равновесных течений. Анизотропия турбулентных напряжений увеличивается как с ростом времени релаксации частиц тр, так и градиента скорости S. Зависимости компонент тензора анизотропии bpij от параметра тр8 в логарифмической пристеночной зоне имеют качественно такой же вид, как и в равновесном состоянии с постоянным сдвигом (рис. 2.5.6).
Поведение (и^')/^^') в однородном сдвиговом и логарифмическом пристеночном равновесных слоях, как следует из сравнения рис. 2.5.7 и 2.6.4, качественно одинаково. Несимметричность тензора (т^) подтверждается результатами экспериментального исследования Ferrand et al. (2003) в зоне максимального сдвига скорости осесимметричной струи, где течение близко к равновесному состоянию, характеризуемым условием Р = е.
Далее сопоставим рассчитанное на основе (2.6.21) отношение продольной и поперечной интенсивностей пульсаций скорости с экспериментальными данными Rogers & Eaton (1990). Эксперименты были проведены в пограничном слое, развивающемся в прямоугольном канале; в качестве дисперсного материала использовались стеклянные частицы размером 50 и 90 мкм. В соответствии с экспериментальными данными задавались следующие соотношения между компонентами рейнольдсовых напряжений в несущем потоке: ((^i2)/^2))1^2 = 1,5 и (Ц^)/^2) = —1,0. Время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями Tlp полагалось равным лагранжеву масштабу (2.5.6). Для получения явной зависимости Тьр от расстояния от стенки -у привлекались следующие соотношения для турбулентной энергии жидкости и скорости ее диссипации в логарифмическом слое:
к = е = С. «0,09. (2.6.23)
Подстановка (2.6.23) в (2.5.6) дает
TL = —. (2.6.24)
Рисунок 2.6.5 показывает изменение отношения ^1^ рассчитанного по (2.6.21) с учетом (2.6.19) и (2.6.24), в зависимости от расстояния от стенки у, отнесенной к полуширине канала Н. Здесь с целью сокращения записи введены обозначения: tz'j = (Ц2)1/2, ^2 = (^г2)^2’ v{ = (vj2)1/2, V2 = ^У^- Видно, что в соответствии с экспериментальными данными пульсационное движение частиц характеризуется сильной анизотропией. При этом отношение между продольной и поперечной пульсационными скоростями возрастает с увеличением диаметра частиц и уменьшением расстояния от стенки.
Высокоинерционные частицы. Рассмотрим поведение достаточно инерционных частиц (т+ > 1) в пристеночной области турбулентного потока. Поведение очень инерционных частиц в пристеночной области
Рис. 2.6.5. Отношение между продольной и поперечной интенсивностями пульсаций скоростей в пограничном слое: /, 4 — чД/и^; 2, 3, 5, 6 — v}/^; 2, 5 — dp = 50 мкм; 3, 6 — dp = 90 мкм; 4-6 — эксперимент (Rogers &
Eaton, 1990)
не зависит от особенностей течения в вязком подслое, а определяется, главным образом, турбулентными характеристиками потока в логарифмическом слое. Поэтому для нахождения распределений концентрации и интенсивности пульсаций поперечной скорости высокоинерционных частиц в уравнениях (2.6.4) и (2.6.5) можно перейти к автомодельной переменной
т/ == —
три* т+
и построить асимптотическое решение при т^ —► оо. Поскольку решение зависит от характеристик логарифмической зоны, а не вязкого подслоя, то лагранжев временной макромасштаб описывается зависимостью (2.6.24), а не (2.6.3). Время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями Tlp полагалось равным лагранжеву масштабу (2.6.24). Коэффициент Ауу принимался равным единице. В рассматриваемой постановке наличие вязкого подслоя на стенке учитывается только путем задания граничного условия (2.4.35) при х = I-
Таким образом, определение распределений концентрации и интенсивности пульсаций поперечной скорости инерционных частиц в пристеночной области сводится к решению автомодельной относительно времени релаксации частиц задачи
ат) \ 9/ ац
^=2i4f?oy,2„P„,,=o, йП 1+ е£ \^ тг у
(2.6.25)
п as 1
— = О, Ф = 1 при 7? —> ОО,dr)
, _ XT] _ _ X2/?2 ju — «, ди — , ,•
1 4- хд 1 4- хд
Полученные распределения интенсивности пульсаций поперечной скорости и концентрации частиц приведены на рис. 2.6.6. Видно, что при больших значениях г), когда диффузионный перенос флуктуаций скорости не играет существенной роли, интенсивности пульсаций скоростей дисперсной и сплошной фаз связаны локально однородным
соотношениемааО =соотношениемааО =(2.6.26)(2.6.26)
соотношениемаа
О =
соотношениемаа
О =
(2.6.26)
(2.6.26)
Однако при малых значениях ту вследствие определяющей роли диффузионного механизма переноса флуктуаций это соотношение между интенсивностями пульсаций скоростей дисперсной и сплошной фаз нарушается и (V^ стремится к некоторому пределу при ту —> 0. Из рис. 2.6.66 также видно монотонное увеличение концентрации частиц при уменьшении ту. При ту = 0 для еу = 1 получены следующие значения: (v'L (0)) = 0,076, Ф(0) = 5,4. Аналогично решению задачи (2.6.6)-(2.6.8) с уменьшением еу при малых ту интенсивность пульсаций скорости падает, а концентрация частиц увеличивается.
Движение частиц в вертикальном канале
К настоящему времени выполнено большое количество экспериментальных и численных исследований дисперсных турбулентных течений как в вертикальных, так и горизонтальных каналах и трубах. Большая часть этих исследований посвящена изучению обратного влияния частиц на характеристики турбулентного несущего потока (например, Tsuji & Morikawa, 1982; Tsuji et al., 1984; Вараксин и др., 1998). Экспериментальные данные о турбулентной структуре дисперсной фазы (интенсивности пульсаций и плотности вероятности скоростей, распределения частиц в пространстве и т.д.) в потоках воздуха и воды получены Lee & Durst (1982), Rogers & Eaton (1990), Young & Hanratty (1991), Sommerfeld (1992), Fessler et al. (1994), Kulick et al. (1994), Kaftori et al. (1995), Sato et al. (1995), Вараксиным и Поляковым (2000), Khalitov & Longmire (2003), Righetti & Romano (2004), Hadinoto et al. (2005). Численные исследования поведения частиц в каналах и трубах при отсутствии осаждения с использованием методов DNS и
Рис. 2.6.6. Распределения интенсивности пульсаций поперечной скорости (а) и концентрации (б) инерционных частиц в пристеночной области: 1 — еу = 0,5, 2 - еу = 0,8, 3 - еу = 1,0, 4 - (2.6.26)
LES для моделирования турбулентных характеристик сплошной фазы выполнены Pedinotti et al. (1992), Rouson & Eaton (1994, 2001), Pan & Banerjee (1996, 1997), Wang & Squires (1996a), Simonin et al. (1997), Fukagata et al. (1998, 1999), Li C. et al. (1999), Wang Q. et al. (1998), Li Y. et al. (2001), Portela et al. (2002), Arcen et al. (2005), Picciotto et al.
(2005), Kuerten (2006), Vance et al. (2006). В целом ряде экспериментальных и численных исследований обнаружено образование повышенной концентрации частиц в пристеночной зоне турбулентного потока, теоретически предсказанное Caporaloni et al. (1975) и Reeks (1983). Marchioli & Soldati (2002) показали определяющую роль когерентных турбулентных структур в аккумулировании частиц и проанализировали механизмы сегрегации в турбулентном пограничном слое. Возникает вопрос, возможен ли в рамках статистического континуального подхода эффективный учет вклада этих механизмов и взаимодействия частиц с когерентными структурами в явление аккумулирования.
Рассмотрим гидродинамически развитое течение в вертикальном плоском канале (Алипченков и Зайчик, 2006). Все характеристики сплошной и дисперсной фаз предполагаются автомодельными относительно продольной координаты х\ и считаются зависимыми только от нормальной к стенке координаты жг = У- Стенки канала непроницаемы, а осаждение частиц отсутствует. Следовательно, нормальные компоненты осредненных скоростей обеих фаз равны нулю фз = ^ = 0), и уравнения баланса количества движения в продольном и нормальном направлениях, следующие из (2.2.2) и (2.2.3), запишутся в виде
V\—U\ dM^ ... х сИлФ _
(2.7.1)
^U(ti2) + №)^-0. (2.7.2) dy X L * / dy
где g — ускорение силы тяжести (д > 0 для восходящего движения и д < 0 для опускного движения). Последние два члена в левой части (2.7.1) учитывают вклад турбулентных напряжений и турбулентной диффузии в баланс сил в вертикальном направлении. Уравнение (2.7.2) выражает баланс силы турбофореза и диффузионной силы, уравновешивающей миграцию частиц поперек канала в направлении уменьшения интенсивности турбулентных пульсаций скорости.
Из (2.2.4) с учетом (2.2.8) получается следующая система уравнений для ненулевых компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:
d/. ,2К\м \ dtoVo
ЗФ s I r ++ (<",",> №) "5"
(2.7.3)(2.7.4)(2.7.3)(2.7.4)-2+№) ^ + гл,, - ^ = о.
(2.7.3)
(2.7.4)
(2.7.3)
(2.7.4)
1£Ф dy1£Ф dyФтр ((^2) + №2) ^^] + 2А22 -= 0,
1£Ф dy
1£Ф dy
V/ dyтр
<ЖЧ . dy\ d-W-^' dy<ЖЧ . dy\ d-W-^' dyЗФ dy _LA / ЗФ dy 1ЗФ dy _LA / ЗФ dy 1+ 2A33 -= 0,(2.7.5)
<ЖЧ . dy
\ d-W-^
' dy
<ЖЧ . dy
\ d-W-^
' dy
ЗФ dy _LA / ЗФ dy 1
ЗФ dy _LA / ЗФ dy 1
TP
- + ((U1V2>+/»12)-V-Z 7-at/
\ dV\ x x Ж^й n /n^„x J ——H Ai2 + A21= 0.(2.7.6)
/ dytp
а12 = ^№2) -ТРа12 = ^№2) -ТР/”1 Ор(и'1и2)2 Dt/”1 Ор(и'1и2)2 DtДалее с целью упрощения лагранжев временной макромасштаб Тщ предполагается изотропным (2.2.15), хотя имеются теоретические и численные исследования, свидетельствующие о довольно существенной анизотропии Тщ в каналах (Kontomaris el al., 1992; Bernard & Rovelstad, 1994; Wang et al., 1995; Mito & Hanratty, 2002; Rambaud et al., 2002; Iliopoulos et al, 2003; Ushijima et al., 2003; Arcen et al., 2004; Choi et al., 2004; Oesterle & Zaichik, 2004; Cho et al., 2005). Однако будет учитываться различие во временах взаимодействия частиц с турбулентными вихрями в разных направлениях, обусловленное эффектом пересечения траекторий. В результате появляется различие между продольной (в направлении a?i) TlLp и поперечной (в направлениях 22 и я?з) Т^р компонентами Тыз- С учетом принятых допущений величины Ау и pij в (2.1.16) и (2.1.17) представляются как
а12 = ^№2) -ТР
а12 = ^№2) -ТР
/”1 Ор(и'1и2)
2 Dt
/”1 Ор(и'1и2)
2 Dt
А _(fl ^P^UlU2) 4-Tp ^₽(U2 )^А
А2* "+ W+ T^-D^"^"j '
Un — a1 ta'2^ +r hnlu'u'\^- - ^Ц1 ^P^'l
pxx — 9-u\u\ ) Tp^uv^x^) ^y 2 Di ’
TpfluiDp^2)Д22 - gu(«2 ) - “2
Производные Dp(n<n')/D^ входящие в «транспортный член» аппроксимации лагранжева корреляционного момента пульсаций скорости жидких частиц вдоль траекторий инерционных частиц (2.1.15), в рассматриваемом случае согласно (2.2.19) равны
Рр^2) = dy/^) =
Dt dy
= -55 {^ [К>+®) ^+2 «”»+^ ^]; •
Dp(и 1^) _ d^u^') __
D£dy
Dp^2) _ d^2^ _ _£Dt dy dyDp^2) _ d^2^ _ _£Dt dy dyd{u'22)dyd{u'22)dy(2.7.8)(2.7.8)d^2)dyd^2)dy
Dp^2) _ d^2^ _ _£
Dt dy dy
Dp^2) _ d^2^ _ _£
Dt dy dy
d{u'22)dy
d{u'22)dy
(2.7.8)
(2.7.8)
d^2)dy
d^2)dy
В качестве граничных условий для компонент турбулентных напряжений на стенке канала зададим (2.4.34)-(2.4.36) при отсутствии осаждения частиц (х = 1) и ez = 1, а также (2.4.45)
т^_91214 /%ДУ/2 d^ np dy 1+еЦ тг J ’ dy -U’
(«1«2> = -p,x(V22') при у = 0.(2.7.9)
На оси канала задаются условия симметрии
(/Ф dh)\2\ d(vi2) d(v£2) //м n „ /n^inx — = у = ■■ ^г- = -^-^ = (vivi) = 0 при у = R, (2.7.10) dy dy dy dy ' 1 " r
где R — полуширина канала.
С учетом того обстоятельства, что даже при больших значениях среднемассового числа Рейнольдса вблизи стенки (в области вязкого подслоя) число Нед всегда небольшое, для вычисления коэффициентов вовлечения частиц в турбулентное движение жидкости используется
двухмасштабная би-экспоненциальная автокорреляционная функция, аналогичная (1.1.5)
^(’’'^^ (1 + №<)ехр^(’’'^^ (1 + №<)ехр2ти+едР2ти+едР— (1 — Э??)ехр— (1 — Э??)ехр2т(1"№Р2т(1"№Р(2.7.11)(2.7.11)
^(’’'^^ (1 + №<)ехр
^(’’'^^ (1 + №<)ехр
2ти+едР
2ти+едР
— (1 — Э??)ехр
— (1 — Э??)ехр
2т
(1"№Р
2т
(1"№Р
(2.7.11)
(2.7.11)
1Lp
В (2.7.11) учитывается влияние инерционности частиц только на интегральные временные масштабы Т^р, а дифференциальный масштаб принимается равным тейлорову временному масштабу тт. Тейлоров микромасштаб тт предполагается изотропным и вычисляется на основе соотношений (1.1.6) и (1.1.7). Правомочность использования изотропных соотношений для определения тт подтверждается данными DNS для турбулентного течения в канале (Choi et al., 2004), свидетельствующими, что амплитуда флуктуаций ускорения ао является практически изотропной.
Согласно (2.1.18) автокорреляционная функция (2.7.11) порождает следующие коэффициенты вовлечения в выражениях (2.7.7) и (2.7.8):
2^ + г22п? + 2п2 + г2’2^ + г22п? + 2п2 + г2’^2 =^2 == (2^4^)^-2^ “* (2^ + 2П2 + з2)2 ’ 3 - 6П2^ - 8ПЗг2]= (2^4^)^-2^ “* (2^ + 2П2 + з2)2 ’ 3 - 6П2^ - 8ПЗг2]as = —fs is _ ns _У иqУ и2 - 229ul = “2Q2-as = —fs is _ ns _У иqУ и2 - 229ul = “2Q2-(2^ + 2П2 + z2)3Jul> u2fi2•kp ^19u\/u2’(2^ + 2П2 + z2)3Jul> u2fi2•kp ^19u\/u2’(2.7.12)(2.7.12)+ 2/^ + /^,+ 2/^ + /^,
2^ + г2
2п? + 2п2 + г2’
2^ + г2
2п? + 2п2 + г2’
^2 =
^2 =
= (2^4^)^-2^ “* (2^ + 2П2 + з2)2 ’ 3 - 6П2^ - 8ПЗг2]
= (2^4^)^-2^ “* (2^ + 2П2 + з2)2 ’ 3 - 6П2^ - 8ПЗг2]
as = —fs is _ ns _
У иqУ и
2 - 22
9ul = “2Q2-
as = —fs is _ ns _
У иqУ и
2 - 22
9ul = “2Q2-
(2^ + 2П2 + z2)3
Jul> u2fi2
•kp ^19u\/u2’
(2^ + 2П2 + z2)3
Jul> u2fi2
•kp ^19u\/u2’
(2.7.12)
(2.7.12)
+ 2/^ + /^,
+ 2/^ + /^,
где П? = TpfT^p — параметр инерционности частиц. При больших числах Рейнольдса (^ —> 0 при Нед = ^О/^/Зег/)1/2 —> сю) коэффициенты вовлечения (2.7.12) переходят в соотношения (2.1.22), соответствующие экспоненциальной автокорреляционной функции (2.1.21).
Интегральные временные масштабы взаимодействия частиц с турбулентными вихрями определяются на основе модели (1.3.11), (1.3.15), (1.3.20) и (1.3.21)
т1 |39 + ш(2 + 372)Lp | 39(1+m9)2т1 |39 + ш(2 + 372)Lp | 39(1+m9)213S4-m(2 + 372)"1+т739(1+т9)2 _13S4-m(2 + 372)"1+т739(1+т9)2 _
т1 |39 + ш(2 + 372)Lp | 39(1+m9)2
т1 |39 + ш(2 + 372)Lp | 39(1+m9)2
13S4-m(2 + 372)"
1+т739(1+т9)2 _
13S4-m(2 + 372)"
1+т739(1+т9)2 _
|69 + m(4 + 372)Lp | 69(1+m9)2|69 + m(4 + 372)Lp | 69(1+m9)22 4- m7 69 4- m(4 4- З72)2 4- m7 69 4- m(4 4- З72)2(1+m7)269(1+m9)22(1+m7)269(1+m9)2/(Sts)^TE,/(Sts)^TE,3(l+m)2T=" 3 + 2m Tl- 4-3(l+m)2T=" 3 + 2m Tl- 4-/(StB)=/(StB)=StBStBl^i-^11 9.(2fc/3)i/2*0,9mStyl^i-^11 9.(2fc/3)i/2*0,9mSty2а/2 (2-7.13)2а/2 (2-7.13)1 + StB (1 + StB)2 (2 + StB)1 + StB (1 + StB)2 (2 + StB)
|69 + m(4 + 372)
Lp | 69(1+m9)2
|69 + m(4 + 372)
Lp | 69(1+m9)2
2 4- m7 69 4- m(4 4- З72)
2 4- m7 69 4- m(4 4- З72)
2(1+m7)269(1+m9)2
2(1+m7)269(1+m9)2
/(Sts)^TE,
/(Sts)^TE,
3(l+m)2
T=" 3 + 2m Tl- 4-
3(l+m)2
T=" 3 + 2m Tl- 4-
/(StB)=
/(StB)=
StB
StB
l^i-^11 9.
(2fc/3)i/2*
0,9mSty
l^i-^11 9.
(2fc/3)i/2*
0,9mSty
2а/2 (2-7.13)
2а/2 (2-7.13)
1 + StB (1 + StB)2 (2 + StB)
1 + StB (1 + StB)2 (2 + StB)
Лагранжев интегральный временной масштаб задается аппроксимацией
TL =TL =k\ а-е /k\ а-е /21 V221 V2a = СУ2 = 0,3.a = СУ2 = 0,3.(2.7.14)(2.7.14)
TL =
TL =
k\ а-
е /
k\ а-
е /
21 V2
21 V2
a = СУ2 = 0,3.
a = СУ2 = 0,3.
(2.7.14)
(2.7.14)
Как следует из (2.7.14), в вязком подслое Tl-v = Tlu\/u = 10, что было получено Kallio & Reeks (1989) и рядом других авторов в результате анализа характеристик пристеночной турбулентности. По мере удаления от стенки (2.7.14) переходит в Tl = ak/e, что соответствует (2.5.6). Связь между постоянной а и постоянной Колмогорова-Прандтля Ср следует из соотношений (2.6.23) и (2.6.24) для логарифмического слоя.
Время релаксации частицы определяется согласно (1.2.3), где число Рейнольдса обтекания частицы в соответствии с (2.5.10) оценивается как
Rn d^Uv-Wf + 2(k + kp-2f™</2 f^f"
Следует отметить, что если пренебречь эффектом пересечения траекторий (т. е. зависимостью временных масштабов взаимодействия частиц с турбулентными вихрями от параметра дрейфа 7) и влиянием числа Rep на время релаксации частицы (т. е. принять тр = Тро), то при отсутствии влияния частиц на характеристики несущей жидкости задача (2.7.1)-(2.7.10) расщепляется. В этом случае величины (г^2), (г?з2) и Ф могут быть определены независимо от Vj, (v{2) и (vj^).
Ниже представлены результаты численного решения системы уравнений (2.7.1)-(2.7.6) с учетом соотношений (2.7.7) и (2.7.8) при граничных условиях (2.7.9) и (2.7.10). Рассмотрено влияние инерционности частиц и коэффициентов в граничных условиях. Во всех расчетах структурный параметр т принимался равным 0,5. С целью сравнения с данными DNS и LES проведены две серии расчетов: для малоинерционных частиц — сопоставление с Picciotto et al. (2005) и для высокоинерционных частиц — сопоставление с Rouson & Eaton (1994), Wang & Squires (1996) и Fukagata et al. (1998). В Picciotto et al. (2005) сила тяжести отсутствовала, и число Рейнольдса Re+ = Ru*(v равнялось 150, а расчеты Rouson & Eaton (1994), Wang & Squires
(1996) и Fukagata et al. (1998) выполнены с учетом силы тяжести для опускного течения при Re+ = 180; обратное влияние частиц на турбулентность не учитывалось. Поскольку взаимодействие частиц со стенкой в этих работах считалось упругим и без трения, то при сопоставлении с данными DNS и LES для коэффициентов в граничных условиях (2.7.9) принимались значения ех = еу = 1, р,ж = 0. Безразмерные переменные определены с помощью коэффициента кинематической вязкости жидкости v и динамической скорости (скорости трения) и»: Ul+ = Uxfu„ Vj+ = Vi/u„ u<+ = (u^2^‘/2/u*, u<+ = (^y/2/u„ y+ = yu^/u, 7+ = Tpou*/v; концентрация частиц отнесена к своему значению на оси канала Ф = Ф/Ф(Л).
Рисунок 2.7.1 представляет распределения осредненной продольной скорости, всех ненулевых компонент турбулентных напряжений и концентрации частиц по сечению канала при относительно небольших значениях параметра инерционности т+. Из рис. 2.7.1а видно, что осредненная скорость частиц Ц+ даже при т+ = 25 незначительно отличается от скорости несущей среды U\^. В соответствии с Picciotto et al. (2005) в области 1 < у^ < 10 скорость частиц немного превышает скорость жидкости, а при 10 < у+ < 60 имеет место обратная ситуация. Продольная компонента пульсаций скорости частиц ^+ в пристеночной области превосходит интенсивность пульсаций скорости жидкости и\_^ и возрастает с увеличением т+, хотя и не так значительно, как при прямом численном моделировании (рис. 2.7.16). Следует подчеркнуть, что, как следует из уравнений (2.7.3) и (2.7.6) имеются два механизма порождения продольной и касательной компонент турбулентных напряжений частиц: 1) генерация пульсаций за счет градиентов осредненных скоростей дисперсной фазы и 2) генерация в результате непосредственного взаимодействия частиц с турбулентными вихрями, описываемая членами Xij. Поэтому рост ^+ с увеличением т+ объясняется градиентным механизмом порождения из осредненного движения. Напротив, поперечная ^2+ и трансверсальная и^ компоненты пульсаций снижаются по всему сечению канала с увеличением т+ (рис. 2.7.1в,г). Это обусловлено согласно (2.7.4) и (2.7.5), с одной стороны, отсутствием градиентного механизма порождения поперечной и трансверсальной компонент пульсаций, а, с другой стороны, уменьшением степени вовлечения частиц в пульсационное движение с ростом их инерционности. Абсолютное значение касательной компоненты напряжений, как видно рис. 2.7.16, с увеличением т+ вначале возрастает по всему сечению канала благодаря вкладу генерации пульсаций за счет градиентов осредненных скоростей, а далее снижается вследствие уменьшения вовлечения частиц в пульсационное движение. Рисунок 2.7.1s свидетельствует об увеличении концентрации инерционных частиц в области вязкого подслоя вблизи стенки, где имеет место наиболее резкое изменение интенсивностей пульсаций скорости несущего потока. Как видно, теоретическая модель предсказывает, что
Рис. 2.7.1. Распределения характеристик малоинерционных частиц по сечению канала: 1 — жидкость; 2-7 — частицы; 2, 3, 4 — модель (2.7.1)—(2.7.6);
5, 6, 7 — Picciotto et al. (2005); 2, 5 — т+ = 1; 3, 6 — т+ = 5; 4, 7 — т+ = 25
поведение Ф при у -* 0 для не очень инерционных частиц может иметь сингулярный характер. Полученное Picciotto et al. (2005) уменьшение Ф при у -* 0 для т+ = 1 и 5 физически не очень понятно и, возможно, связано с недостаточным временем расчета для установления стационарного профиля концентрации частиц.
На рис.2.7.2 показаны распределения характеристик дисперсной фазы по сечению канала при больших значениях параметра инерционности т+. Главной особенностью в поведении профиля осреднен- ной скорости является его выполаживание с ростом инерционности частиц (рис. 2.7.2а), что отмечалось во многих экспериментальных и
5 Л. И. Зайчик. В. М. Алипченков
Рис. 2.7.2. Распределения характеристик высокоинерционных частиц по сечению канала: / — жидкость; 2-9 — частицы; 2, 3 — модель (2.7.1)-(2.7.6); 4, 5 — Wang & Squires (1996); 6,7 — Rouson & Eaton (1994); 8,9 — Fukagata et al. (1998); 2, 4, 6, 8 - r+ = 117; 3, 5, 7, 9 - r+= 810
численных исследованиях. Из рис. 2.7.26 видно, что с увеличением т+ максимум v'1+ сдвигается к стенке, а интенсивность продольной компоненты пульсаций скорости на стенке возрастает. Для высокоинерционных частиц (т+ = 810) наблюдается монотонное увеличение v{+ в направлении от оси канала к стенке и максимум ^+ расположен на самой стенке (хотя теоретическая модель (2.7.1)-(2.7.6) не дает таких больших значений максимума на стенке, как получены при численном моделировании). С возрастанием т+ профили у^ и уз+ выполаживаются и благодаря интенсивному диффузионному переносу пульсаций скорости в поперечном направлении стремятся к однород-
ным распределениям. Асимптотические распределения поперечной и трансверсальная компонент пульсаций скорости в случае упругого взаимодействия частиц со стенкой, как следует из (2.7.4) и (2.7.5), при т+ —> оо имеют вид
R
Р о
Касательное напряжение снижается по всему сечению канала с увеличением т+ (рис. 2.7.25), что объясняется как уменьшением градиентного механизма порождения вследствие выполаживания осредненного профиля скорости, так и уменьшением вовлечения частиц в турбулентное движение. Рисунок 2.7.2е свидетельствует о снижении эффекта аккумулирования у стенки с ростом т+ для высокоинерционных частиц вследствие выполаживания профиля поперечной компоненты пульсаций скорости и соответственно уменьшения силы турбофореза.
В целом, как следует из рис. 2.7.1 и 2.7.2, модель (2.7.1)—(2.7.6) воспроизводит все эффекты, обнаруженные в численных экспериментах как для малоинерционных, так и высокоинерционных частиц.
Рисунок 2.7.3 демонстрирует влияние параметра инерционности т+ на турбулентные напряжения и концентрацию частиц в вязком подслое
Рис. 2.7.3. Влияние инерционности на турбулентные напряжения и концентрацию частиц при у+ = 1: 1 — ех = еу = 1, рх = 0; 2 — ех = 1, еу = 0,8, рх = 0;
3 — ех = 1, еу = 0,8, р,х = 0,2; 4 — ех = 5/7, еу = 0,8, р,х = 0,2
132 Гл. 2. Движение частиц в градиентных турбулентных потоках при у+ = 1. Видно, что все компоненты напряжений характеризуются наличием максимумов. Возрастание v'1+, ^ч- и K^v^+I с ростом т+ объясняется увеличивающейся ролью диффузионного переноса пульсаций из области с высоким уровнем турбулентности в зону вязкого подслоя. Уменьшение v^ с ростом т+ после достижения максимума связано со снижением интенсивности пульсаций скорости дисперсной фазы, так как более инерционные частицы меньше вовлекаются в турбулентное движение сплошной среды. Уменьшение г/1+ и K^^+l после достижения соответствующих максимумов дополнительно обусловлено выполаживанием профиля осредненной скорости, приводящим к уменьшению градиентного механизма порождения пульсаций. Безынерционные и очень инерционные частицы распределены в пространстве однородно с концентрацией, равной единице. Зависимость Ф(т+) имеет максимум, однако этот максимум находится при меньших значениях т+ по сравнению с максимумами турбулентных напряжений.
На рис. 2.7.3 также показано влияние коэффициентов восстановления импульса ех, еу и трения р,х на пульсации скорости и концентрацию частиц вблизи стенки. Прежде всего, нужно отметить, что для малоинерционных частиц (т+ ^ 10) влияние всех коэффициентов в граничных условиях отсутствует, поскольку в этом случае реализуются «условия прилипания». Как видно из рис. 2.7.3а, вследствие потери импульса в продольном направлении ^ц. при столкновениях без скольжения (ех = 5/7) оказывается меньшим, чем при столкновениях со скольжением и отсутствием трения (еж =1). Уменьшение коэффициента восстановления импульса в поперечном направлении еу приводит к небольшому снижению V^ для среднеинерционных частиц и увеличению для высокоинерционных, а влияние коэффициента трения pix незначительно. Поскольку при отсутствии столкновений частиц поперечная компонента пульсаций скорости довольно слабо связана с другими переменными, то V2+ сильно зависит только от еу1 а влияние ех и р,х слабое (рис. 2,7.36). Очевидно снижение v^ с увеличением потери импульса сталкивающихся со стенкой частиц, т. е. с уменьшением коэффициента восстановления еу. Касательное напряжение довольно существенно зависит от коэффициентов еу и р,х. снижаясь с уменьшением еу и увеличиваясь с ростом р,Х1 а влияние ех слабое (рис.2.7.3в). Концентрация частиц вблизи стенки чувствительна, в первую очередь, к параметру еу, определяющему взаимодействие частиц со стенкой в поперечном направлении. Из рис. 2.7.3а следует, что при наличии потери импульса сталкивающихся со стенкой частиц (е^ < 1) концентрация высокоинерционных частиц вблизи стенки может возрастать по сравнению со случаем упругого взаимодействия со стенкой. Увеличение аккумулирования высокоинерционных частиц при неупругих соударениях по сравнению с упругими отмечалось Fukagata et al. (1999) и объясняется накапливанием частиц в пристеночной области в результате потери импульса.
Таким образом, результаты проведенного анализа и сравнения с прямыми численными расчетами позволяет сделать вывод, что представленная модель адекватно описывает статистику поля скорости и эффект аккумулирования частиц в вертикальном канале.
С целью некоторого упрощения модели можно пренебречь вкладом «транспортного члена» в аппроксимации (2.1.15), т. е. пренебречь производными Dp^u'^/Dt в соотношениях (2.7.7). Расчеты показывают, что роль этих членов крайне мала и может не учитываться.
Осаждение частиц в вертикальном канале
Изучению осаждения аэрозольных частиц и капель из турбулентного потока на ограничивающие поверхности в силу практического значения этой задачи посвящено большое количество экспериментальных и численных исследований. Анализ и обобщение результатов экспериментальных исследований в вертикальных и горизонтальных трубах и каналах выполнили McCoy & Hanratty (1977), Wood (1981), Papavergos & Hedley (1984). Первые теоретические модели осаждения частиц из турбулентного потока предложили Friedlander & Johnstone (1957) и Davies (1966), a Papavergos & Hedley (1984) дали обзор известных к тому времени полуэмпирических моделей для определения скорости осаждения. Cleaver & Yates (1975), Fichman et al. (1988) и Fan & Ahmadi (1993) построили лагранжевы модели осаждения, рассматривая взаимодействие частиц с двумерными вихрями, имитирующими пристеночные организованные (когерентные) структуры. Kallio & Reeks (1989) применили для расчета осаждения стохастический лагранжев подход, основанный на взаимодействии частиц со случайными турбулентными вихрями с гауссовым распределением скоростей. Численному исследованию осаждения частиц в плоском вертикальном канале на основе траекторного моделирования в сочетании с методами DNS и LES посвящены работы McLaughlin (1989), Ounis et al. (1991, 1993), Brooke et al. (1992, 1994), Chen & McLaughlin (1995), Wang & Squires (1996b), Wang et al. (1997), Zhang & Ahmadi (2000). Li & Ahmadi (1991, 1993) и Chen & Ahmadi (1997) для генерации турбулентных флуктуации скорости сплошной среды использовали модель гауссова случайного поля (Kraichnan, 1970). Численное моделирование в круглой вертикальной трубе выполнили Uijttewaal & Oliemans (1996) и Marchioli et al. (2003). В перечисленных работах исследовано влияние силы тяжести, направления движения (опускное или восходящее), подъемной силы и броуновской диффузии на осаждение частиц. Численное исследование осаждения частиц с использованием DNS в горизонтальном канале проводилось Zhang & Ahmadi (2000), а в плоском канале с одной открытой (свободной) стенкой — van Haarlem et al. (1998) и Narayanan et al. (2003). Lee et al. (1989), Binder & Hanratty (1991) и Mois & Oliemans (1998) для нахождения скорости осаждения использовали диффузионную модель. Крошил ин и др. (1985), а также Swailes &
Reeks (1994) исследовали осаждение частиц из турбулентного потока, решая кинетическое уравнение для ФПВ скорости. Деревич и Зайчик (1988), Johansen (1991), Zaichik et al. (1995), Guha (1997), Young & teeming (1997), Slater et al. (2003) построили эйлеровы модели турбулентного осаждения, основанные на локально-равновесных соотношениях между интенсивностями нормальных компонент пульсаций скоростей дисперсной и сплошной фаз типа (2.2.5). Однако модели, основанные на локально-равновесных соотношениях для турбулентных напряжений, справедливы только для малоинерционных частиц и не применимы для частиц, время релаксации которых сопоставимо с интегральным масштабом турбулентности сплошной среды. Shin & Lee (2001), Shin et al. (2003) уточнили локально-равновесные модели, учитывая «эффект памяти» при помощи алгебраических соотношений. Нелокальные транспортные модели турбулентного осаждения на основе дифференциальных уравнений для вторых моментов пульсаций скорости частиц были предложены Zaichik et al. (1990), Derevich (1991), Гусевым и др. (1992), Zaichik et al. (1995), Derevich (2000b). В данном разделе представлены результаты анализа осаждения частиц в вертикальном канале при помощи транспортной модели, базирующейся на уравнениях для вторых моментов, приведенных в разделе 2.2.
Интенсивность осаждения частиц из турбулентного потока принято характеризовать зависимостью коэффициента осаждения j+ = = Jw^mu, от безразмерного времени релаксации т+ = Тр^и\/и. Здесь Jw = V2WФW — поток осаждения, равный произведению нормальной компоненты скорости V^™ и концентрации Ф™ частиц на стенке; Фт — среднемассовая концентрация частиц в рассматриваемом сечении канала; и* — динамическая скорость. В соответствии с доминирующим механизмом осаждения, определяющим зависимость j^. от т+, весь диапазон изменения инерционности частиц может быть условно подразделен на три характерные области: малоинерционные, среднеинерционные и высокоинерционные частицы.
Процесс осаждения малоинерционных частиц (т+ < 1) управляется, главным образом, броуновской и турбулентной диффузией. Кроме того, существенную роль могут играть некоторые силы, определяющие перенос субмикронных частиц (например, сила термофореза в неизотермическом течении). При определяющей роли диффузионного механизма 7+ монотонно снижается с ростом т+, что связано с уменьшением значения коэффициента броуновской диффузии при увеличении размера частиц.
Основным механизмом осаждения среднеинерционных частиц (1 ^ т+ ^ 100) является их турбулентная миграция {турбофорез) из ядра течения с высоким уровнем турбулентных пульсаций скорости в зону вязкого подслоя у стенки. Для этой области инерционности частиц характерна резкая растущая зависимость j+ от т+. McLaughlin (1989) и Kallio & Reeks (1989) впервые численным путем установили тенденцию осаждающихся частиц накапливаться под действием
турбофореза в области вязкого подслоя, этот эффект впоследствии был воспроизведен во многих работах. В данном диапазоне изменения т+ при не очень большом отношении плотностей дисперсной и сплошной фаз pp/pf заметное влияние на интенсивность осаждения может оказывать подъемная сила, обусловленная сдвигом скорости. Благодаря подъемной силе имеет место различие между интенсивностями осаждения частиц при опускном и восходящем направлениях движения, в результате чего коэффициент осаждения при опускном движении оказывается большим, чем при восходящем (Zhang & Ahmadi, 2000). Однако учет силы Сэффмена в ее классическом виде (Saffman, 1965, 1968) применительно к обычно реализуемым в турбулентных потоках условиям оказывается не совсем корректным (Chen & McLaughlin, 1995; Wang et al., 1997). Уточнение подъемной силы, выполненное McLaughlin (1991, 1993), показывает, что ее эффект на осаждение частиц оказывается не таким значительным, как при использовании классической формулы Сэффмена (Uijttewaal & Oliemans, 1996; Wang et al., 1997). Кроме того, следует иметь в виду, что вследствие резкого роста коэффициента осаждения j^ от параметра инерционности т+ в этой области имеет место очень сильная чувствительность зависимости 74-(т+) к полидисперсности аэрозоля. Как показано Chen & McLaughlin (1995), даже небольшая дисперсия в размерах приводит к довольно существенному повышению зависимости з^_(т^\ осредненной по спектру размеров частиц. Поэтому к зависимостям з^(тц?Ь полученным на основе обобщения экспериментальных данных или полуэмпирических моделей, следует относиться с большой осторожностью.
Высокоинерционные частицы (т+ > 100) слабо вовлекаются в турбулентное движение несущей жидкости, что приводит к уменьшению коэффициента осаждения j+ в вертикальном канале с ростом т+. Однако интенсивность осаждения высокоинерционных частиц определяется не только характеристиками пристеночной турбулентности, но и зависит в существенной степени от внешних параметров течения, в частности, от числа Рейнольдса, построенного по гидравлическому диаметру канала. Кроме того, значительное влияние на осаждение высокоинерционных частиц в вертикальном канале может оказывать сила тяжести, действие которой проявляется, главным образом, через «эффект пересечения траекторий».
Рассмотрим осаждение частиц в вертикальном плоском канале при изменении параметра инерционности в диапазоне 1 ^ т+ 105. Осаждение малоинерционных частиц не рассматривается потому, что исключается из анализа броуновское движение. Кроме того, поскольку не учитывается также подъемная сила, то представленные в данном разделе результаты справедливы в предельном случае очень большого отношения плотностей дисперсной и сплошной фаз pp/pf, когда роль этой силы пренебрежимо мала. Отметим, что учет как броуновского движения, так и подъемной силы не приводит в рамках проводимого
анализа к появлению каких-либо дополнительных трудностей. Исключение этих факторов связано с желанием сфокусировать внимание на механизмах осаждения, обусловленных исключительно взаимодействием частиц с турбулентными вихрями.
Течение в канале при наличии осаждения частиц на стенках, как и разделе 2.7, предполагается гидродинамически развитым. В соответствием с этим предположением все гидродинамические характеристики несущей жидкости считаем зависящими только от нормальной к стенке координаты Х2 = у, а нормальную компонента осредненной скорости жидкости U2 полагаем равной нулю. В этом случае для дисперсной фазы может быть построено автомодельное решение, характеризуемое отсутствием зависимости компонент осредненной скорости Ц, турбулентных напряжений (^v'), третьих и более высоких моментов пульсаций скорости от продольной координаты х\ = х. Следовательно, все, начиная с первого, моменты скорости частиц считаются зависимыми только от у. Для реализации автомодельного решения необходимо, чтобы осредненная концентрация дисперсной фазы имела вид
Ф = ехрФ = ехр(~х^) Wb\/ъ/(~х^) Wb\/ъ/(2.8.1)(2.8.1)
Ф = ехр
Ф = ехр
(~х^) Wb
\/ъ/
(~х^) Wb
\/ъ/
(2.8.1)
(2.8.1)
где х — постоянная, а у?(?/) — функция от у. Постоянная х связана с коэффициентом осаждения j+ соотношением х — Hu*!V\m' где V\m —
среднемассовая скорость частиц в продольном направлении.
дуетдуетСогласно (2.8.1) из уравнения неразрывности дисперсной фазы сле
дует
дует
(2.8.2)(2.8.2)^^2 _ хсрУу =dy R
(2.8.2)
(2.8.2)
Уравнения баланса количества движения в продольном и нормальном направлениях, следующие из (2.2.2) с учетом (2.8.1), запишутся в виде
Уг^ + 1адад
2 dy трdy
dV2V2d{v'22)У 2113dytp dydV2V2d{v'22)У 2113dytp dy+ ((v22) + №2)+ ((v22) + №2)din уdydin уdyRR(2.8.3)= 0.(2.8.4)(2.8.3)= 0.(2.8.4)
dV2V2d{v'22)
У 2113
dytp dy
dV2V2d{v'22)
У 2113
dytp dy
+ ((v22) + №2)
+ ((v22) + №2)
din уdy
din уdy
R
R
(2.8.3)
= 0.
(2.8.4)
(2.8.3)
= 0.
(2.8.4)
Первые члены в уравнениях (2.8.3) и (2.8.4) описывают конвективный перенос импульса в нормальном направлении в результате осаждения частиц. Последние члены в левых частях этих уравнений обусловлены диффузией частиц в продольном направлении. Однако вклад этих членов незначителен, т. к. х является малым параметром.
Из (2.2.4) с учетом (2.2.8) и (2.8.1) получается следующая система уравнений для ненулевых компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:Из (2.2.4) с учетом (2.2.8) и (2.8.1) получается следующая система уравнений для ненулевых компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:dyId] /, ,2.= 5551’”'”+ №dyId] /, ,2.= 5551’”'”+ №RRdydy- 2 (^v^ + Д12) ^- + 2AH -°(2.8.5)- 2 (^v^ + Д12) ^- + 2AH -°(2.8.5)уМ> _ 1 ddy <pdyуМ> _ 1 ddy <pdy<M1dy<M1dyхтрхтрdy 3<^ dydy 3<^ dyy^M =dy1 d=^rpy^M =dy1 d=^rpХТрХТр-2-2-^^i- + ((«{«2) + M12) dy-^^i- + ((«{«2) + M12) dyЛ ,2.\ dl^’^^((^2 )+M22) -^ "^((^"2) +W2) d^'ahЛ ,2.\ dl^’^^((^2 )+M22) -^ "^((^"2) +W2) d^'ahЗЯЗЯdydyMS _MS _dyWSl (2.8.6)TpdyWSl (2.8.6)Tp+ AM-^, (2.8.7)+ AM-^, (2.8.7)+ «V1V2) + M12) ■ ^“+ «V1V2) + M12) ■ ^“^M + 2((v{^)+,ii2) dy^M + 2((v{^)+,ii2) dyWW\dVx х . \|) —Н А12 + А21 -/ dy\dVx х . \|) —Н А12 + А21 -/ dydy^М\ (2.8.8)трdy^М\ (2.8.8)тр
Из (2.2.4) с учетом (2.2.8) и (2.8.1) получается следующая система уравнений для ненулевых компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:
Из (2.2.4) с учетом (2.2.8) и (2.8.1) получается следующая система уравнений для ненулевых компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:
dy
Id] /, ,2.
= 5551’”'”+ №
dy
Id] /, ,2.
= 5551’”'”+ №
R
R
dy
dy
- 2 (^v^ + Д12) ^- + 2AH -
°(2.8.5)
- 2 (^v^ + Д12) ^- + 2AH -
°(2.8.5)
уМ> _ 1 ddy <pdy
уМ> _ 1 ddy <pdy
<M1dy
<M1dy
хтр
хтр
dy 3<^ dy
dy 3<^ dy
y^M =dy
1 d
=^rp
y^M =dy
1 d
=^rp
ХТр
ХТр
-2
-2
-^^i- + ((«{«2) + M12) dy
-^^i- + ((«{«2) + M12) dy
Л ,2.\ dl^’^
^((^2 )+M22) -^ "
^((^"2) +W2) d^'ah
Л ,2.\ dl^’^
^((^2 )+M22) -^ "
^((^"2) +W2) d^'ah
ЗЯ
ЗЯ
dy
dy
MS _
MS _
dy
WSl (2.8.6)
Tp
dy
WSl (2.8.6)
Tp
+ AM-^, (2.8.7)
+ AM-^, (2.8.7)
+ «V1V2) + M12) ■ ^“
+ «V1V2) + M12) ■ ^“
^M + 2((v{^)+,ii2) dy
^M + 2((v{^)+,ii2) dy
W
W
\dVx х . \
|) —Н А12 + А21 -
/ dy
\dVx х . \
|) —Н А12 + А21 -
/ dy
dy
^М\ (2.8.8)
тр
dy
^М\ (2.8.8)
тр
Из сравнения уравнений (2.8.5)-(2.8.8) с (2.7.3)-(2.7.6) следует, что осаждение дает вклад как в конвективный, так и диффузионный перенос вторых моментов пульсаций скорости частиц. Однако, поскольку х является малым параметром, вкладом в диффузию можно пренебречь. Величины //у и Ау в (2.8.3)-(2.8.8) по-прежнему определяются
выражениями (2.7.7). Однако в соотношения (2.7.8) для компонент Dp^u^/Dt необходимо добавить конвективные члены, в результате чего получим
PpM_) _ у d{u\ )
Dt 2 dy
d(U|2) Л,, / м х dtu'.u'^-Ш+2 иу' +w2 A-L^ dydyd(U|2) Л,, / м х dtu'.u'^-Ш+2 иу' +w2 A-L^ dydyРр^Ц) d^u'^Dt 2 dyРр^Ц) d^u'^Dt 2 dy^^ + №«> + №)^^ + №«> + №)Рр(п2 ) __ у ^(ц2 )^Dt 2 dy dyDP(^2) = г^з2) 1Dt 2 dy 3 dyРр(п2 ) __ у ^(ц2 )^Dt 2 dy dyDP(^2) = г^з2) 1Dt 2 dy 3 dyррррd^Vdy}^Уdyd^Vdy}^Уdydy J J(2.8.9)dy J J(2.8.9)1 d(. ,2.
d(U|2) Л,, / м х dtu'.u'^
-Ш+2 иу' +w2 A-L^ dydy
d(U|2) Л,, / м х dtu'.u'^
-Ш+2 иу' +w2 A-L^ dydy
Рр^Ц) d^u'^
Dt 2 dy
Рр^Ц) d^u'^
Dt 2 dy
^^ + №«> + №)
^^ + №«> + №)
Рр(п2 ) __ у ^(ц2 )^
Dt 2 dy dy
DP(^2) = г^з2) 1
Dt 2 dy 3 dy
Рр(п2 ) __ у ^(ц2 )^
Dt 2 dy dy
DP(^2) = г^з2) 1
Dt 2 dy 3 dy
р
р
р
р
d^Vdy}^Уdy
d^Vdy}^Уdy
dy J J
(2.8.9)
dy J J
(2.8.9)
Скорость осаждения частиц на стенке находится из граничного
V2w =V2w =1 — х1 + х1 — х1 + хусловия (2.4.30)
V2w =
V2w =
1 — х
1 + х
1 — х
1 + х
(2.8.10)
Граничные условя для компонент турбулентных напряжений на стенке канала задаются в соответствии с (2.4.34)-(2.4.36) и (2.4.45) для упругого взаимодействия без трения (ех = еу = ez = 1, Цх = 0)
На оси канала задаются условия симметрииНа оси канала задаются условия симметриипри у = 0.(2.8.11)при у = 0.(2.8.11)
На оси канала задаются условия симметрии
На оси канала задаются условия симметрии
при у = 0.
(2.8.11)
при у = 0.
(2.8.11)
= (V]V2) = 0 при у = R.(2.8.12)= (V]V2) = 0 при у = R.(2.8.12)— = 51 = у2 = ^'Л = d^ = Ф^) dy dydy dy dy
= (V]V2) = 0 при у = R.
(2.8.12)
= (V]V2) = 0 при у = R.
(2.8.12)
Все остальные соотношения, определяющие коэффициенты вовле
чения, времена взаимодействия частиц с турбулентными вихрями и
т.д., остаются такими же, как и в случае течения в канале при отсутствии осаждения (раздел 2.7). Рассматривается осаждение частиц при условии их полной адсорбции на стенках, т. е. при х = 0» когда
все частицы поглощаются и, следовательно, интенсивность осаждения
Рис. 2.8.1. Профили концентрации частиц в канале: 1, 2, 3 — х = 0;
4, 5, 6 - х = 1; Л 4 - т+ = 1; 2, 5 - т+ = 10; 3, 6 - т+ = 100
максимальна. С целью сравнения результатов при отсутствии (х = 1) и наличии (х = 0) осаждения расчеты проведены для Re+ = 180.
Наиболее существенное воздействие осаждения на распределения характеристик дисперсной фазы по сечению канала проявляется в отношении концентрации частиц. Как видно из рис. 2.8.1 осаждение приводит к снижению относительной концентрации в пристеночной области, т. е. к уменьшению эффекта аккумулирования частиц вблизи стенки. Если при отсутствии осаждения имеет место монотонное возрастание концентрации не очень инерционных частиц к стенке, то в случае осаждения наблюдается максимум в профиле концентрации таких частиц в области вязкого подслоя. Наиболее явственное проявление эффекта аккумулирования реализуется при т+ « 10, что хорошо согласуется с приведенным в Chen & McLaughlin (1995) значением параметра инерционности частиц, при котором достигается максимум их концентрации.
На рис. 2.8.2 сплошными линиями показаны зависимости коэффициента осаждения от параметра инерционности, полученные в результате решения задачи (2.8.1)-(2.8.12) без учета силы тяжести (^ = 0), а также для опускного и восходящего течений с учетом силы тяжести. Там же представлены эмпирические корреляции McCoy & Hanratty (1977)
3,25 • Ю-4^
J+ = <
0,17
20,7т+1/2
при т+ < 22,9
при 22,9 < т+ < 14827 при т+ > 14827,
(2.8.13)
Рис. 2.8.2. Зависимость коэффициента осаждения от инерционности частиц: 1 — g = 0; 2 — опускное течение; 3 — восходящее течение; 4 — асимптотика (2.8.18); 5 — эмпирические корреляции (2.8.13); 6 — DNS (Uijttewaal & Oliemans, 1996); 7 — эксперимент (Liu & Agarwal, 1974); 8 — DNS (McLaughlin, 1989); 9 - LES (Wang et al., 1997)
полученные в результате обобщения практически всех известных к тому времени экспериментальных данных. На рис. 2.8.2 также приведены экспериментальные данные Liu & Agarwal (1974) для опускного течения в трубе и результаты численного моделирования McLaughlin (1989), Wang et al. (1997) для плоского канала и Uijttewaal & Oliemans (1996) для круглой трубы, полученные без учета действия силы тяжести и подъемной силы. Расчеты McLaughlin (1989) и Wang et al. (1997) были проведены соответственно при Re+ = 125 и 180, а Uijttewaal & Oliemans (1996) —- при Re+ = 180. Отчетливо видны две характерные области зависимости j^-Qr^ — растущая и падающая, обусловленные соответственно усиливающейся ролью термофореза и снижением вовлечения частиц в турбулентное движение с ростом т+. Меньшие значения j^_ при небольших т+, полученные при моделировании по сравнению с экспериментальными данными, связаны, главным образом, с неучетом полидисперсности системы частиц, имеющей место в экспериментах. Как уже упоминалось, небольшая дисперсия в размерах приводит к существенному повышению зависимости j^^Y осредненной по спектру размеров частиц. В целом предсказываемая моделью (2.8.1)-(2.8.12) зависимость j+(t+) соответствует данным экспериментов Liu & Agarwal (1974) и прямых расчетов McLaughlin (1989) и Wang et al. (1997). Кроме того, имеет место согласие с результатами DNS для круглой трубы Uijttewaal & Oliemans (1996), которые также предсказывают для высокоинерционных частиц уменьшение J+
с увеличением т+. Как видно из рис. 2.8.2, без учета подъемной силы влияние силы тяжести и различие между опускным и подъемным течениями становятся заметными при т+ > 100. Сила тяжести приводит к уменьшению з^ для очень инерционных частиц благодаря эффекту пересечения траекторий, вызывающему уменьшение времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями. Интересно отметить, что при опускном течении имеется область 102 ^ т+ ^ 103, в которой сила тяжести способствует осаждению частиц.
При т+ —> оо может быть построено асимптотическое решение задачи (2.8.1)-(2.8.12), аналогичное полученным в Алипченков и Зайчик (1998а), Zaichik & Alipchenkov (2001а) для круглой трубы. Благодаря интенсивному диффузионному переносу пульсаций скорости в поперечном направлении с ростом т^ распределения концентрации, осевой осредненной скорости и всех компонент пульсаций скорости частиц по сечению канала стремятся к однородным профилям. Следовательно, в предельном случае т+ —> оо
Ф = Ф„ = Фт, Vi=Vim.(2.8.14)
В соответствии с (2.8.14) из (2.8.2) следует, что поперечная осред- ненная скорость линейно изменяется по сечению канала
l-|)v2w.(2.8.15)
гС/
Интегрируя (2.8.6) с учетом граничных условий (2.8.10)-(2.8.12) и соотношений (2.8.14) и (2.8.15), получаем следующие алгебраическое уравнение для интенсивности поперечной компоненты пульсаций скорости высокоинерционных частиц:
^+гй Ш1,2 Isи2>3/2 - ЛI w'* <2-8 i6> о
При отсутствии осаждения, т. е. при х = 1» (2.8.16) переходит в (2.7.15). Выражение (2.8.16) представляет собой уравнение третьей степени относительно (г^2)1/2, и его решение может быть получено методом Кардано. Однако с целью уменьшения громоздкости записи представим это решение в виде аппроксимации, асимптотически удовлетворяющей (2.8.16) при малых и больших значениях параметра инерционности т* = tpu*/R,
1
=2П73■ <2-8-17)
т- + (1тт;) G) Ikv"'^)
\о/
где (v't) = (t^2)/^, ^ = (Ц2)/^, у = y/R, Т^ = T^/R. Отклонение (2.8.17) от точного решения Кардано уравнения (2.8.16) в диапазоне изменения т* от 0 до оо не превышает 3%.
Подстановка (2.8.17) в (2.8.10) приводит к следующему асимптотическому выражению для коэффициента осаждения высокоинерционных частиц:
Лн = ~Лн = ~(1\ V2ГIJ ^Lp*\uI0/(1\ V2ГIJ ^Lp*\uI0/1\ 1/3■■^Lp*(^ 2+/^ I T*0/1\ 1/3■■^Lp*(^ 2+/^ I T*0/-172- (2.8.18)-172- (2.8.18)
Лн = ~
Лн = ~
(1\ V2
ГI
J ^Lp*\uI
0/
(1\ V2
ГI
J ^Lp*\uI
0/
1\ 1/3■
■^Lp*(^ 2+/^ I T*
0/
1\ 1/3■
■^Lp*(^ 2+/^ I T*
0/
-172- (2.8.18)
-172- (2.8.18)
При вычислении j+ согласно (2.8.18) для определения модуля скорости дрейфа W = |U —V|, параметра дрейфа 7, числа Рейнольдса Rep и временного масштаба Т£р использовались следующие асимптотические соотношения:
ту = т 0_ тр9 р _ дртр9 пгт. _ ТЕ
р9’ 1 (2k/3)1^’ р~ v ’ ^"2^’
справедливые для очень инерционных частиц при учете действия силы тяжести.
Как видно из рис. 2.8.2, асимптотическая зависимость (2.8.18) хорошо согласуется с результатами решения задачи (2.8.1)-(2.8.12) при больших значениях т+. Кроме того, очевидно, что без учета подъемной силы значения 3^ для опускного и восходящего течений при больших т+ совпадают.
Глава 3
ТЕПЛООБМЕН ЧАСТИЦ В ГРАДИЕНТНЫХТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
В настоящей небольшой по объему главе рассматривается теплообмен частиц, находящихся в градиентном турбулентном потоке. Несмотря на большую важность теплообмена в практических приложениях, основные теоретические трудности моделирования турбулентных потоков связаны обычно с описанием гидродинамики, а модели переноса тепла строятся, как правило, по аналогии с моделями переноса импульса. Развиваемый в данной главе статистический метод моделирования движения и теплообмена дисперсной среды основан на кинетическом уравнении для совместной ФПВ распределений скорости и температуры частиц в жидкости, поля скорости и температуры которой описываются гауссовым случайным процессом. Кинетическое уравнение используется для построения дифференциальных и алгебраических моделей теплообмена в дисперсной фазе.
Кинетическое уравнение для совместной ФПВскорости и температуры частицы
Построим кинетическое уравнение для совместной ФПВ скорости и температуры частицы. С этой целью введем динамическую плотность вероятности в фазовом пространстве координат, скоростей и температур (x,v,0).
Р = 5^х- Rp(tMv - vp^W " WY (3.1.1)
Изменение температуры частицы в турбулентном поле описывается уравнением (1.2.5), где температура жидкости 1? аналогично скорости и рассматривается как случайный процесс. Дифференцируя (3.1.1) по времени с учетом (1.2.1), (1.2.2) и (1.2.5), получаем следующее уравнение для динамической плотности вероятности одиночной частицы:
Эр Эр Э \(uk-'Upk \
IVFk\p 4-
dxk Э^к [Д тр / .
+ ^ [(^—^+о)р] =0. (3.1.2) [Д Tt/
Осредняя (3.1.2) по ансамблю случайных реализаций полей скорости и и температуры д турбулентной жидкости, перейдем к уравнению для статистической ФПВ распределений скорости и температуры частицы Р = (р). Одноточечная одночастичная ФПВ P(x,v,0,£) определяется как плотность вероятности частицы находиться в точке х со скоростью v и температурой 9 в момент времени t. Представляя в (3.1.2) актуальные скорость и температуру жидкости в виде сумм осредненных и пульсационных составляющих u = U + и' и i9 = Т + 0', с учетом соотношений (vpip) = ^Р и (0рр) = 9Р получаем
9Р 8Р 8 \(uk-^k dtkdxkdvk Д tp9Р 8Р 8 \(uk-^k dtkdxkdvk Д tp+ Fk]P+ Fk]PЭ+ 99Э+ 99T-9TtT-9Tt+ Q P+ Q Pi s(ufcp) _ i э^'р) tp Э-Uk Tt Э9i s(ufcp) _ i э^'р) tp Э-Uk Tt Э9(3.1.3)(3.1.3)
9Р 8Р 8 \(uk-^k dtkdxkdvk Д tp
9Р 8Р 8 \(uk-^k dtkdxkdvk Д tp
+ Fk]P
+ Fk]P
Э
+ 99
Э
+ 99
T-9
Tt
T-9
Tt
+ Q P
+ Q P
i s(ufcp) _ i э^'р) tp Э-Uk Tt Э9
i s(ufcp) _ i э^'р) tp Э-Uk Tt Э9
(3.1.3)
(3.1.3)
Для замыкания уравнения (3.1.3) по сравнению с (2.1.3) кроме корреляции (пд.р) необходимо определить корреляцию между пульсациями температуры сплошной среды и плотностью вероятности ^pY С целью получения замкнутых выражений для этих корреляций поля скорости и температуры сплошной среды моделируются гауссовыми случайными процессами с известными корреляционными моментами. На основе формулы Фурутцу-Донскера-Новикова (Кляцкин, 1980, 2001; Frisch, 1995), получаем
№ = f [(u<(xbti)0'(x,t)) (j—■, ^^’Л—\dxtdti+
J J\oufc(xi,t\)dx\dt\ /
+ [ t(^Wxi,tx»L^^(3.1.5)
J J\dv(xi, t\)dx\dt\ /
где
'W.^\ = a / , f) ДДрЯО \ _
^Uk^XYttx^dxYdtx /9$j \’ 8uk(xi,t\)dx\dt\ /
—/p(x t)^pAO \ 9 /p(x t\ SdP^ \ (3 1 6)
dvjV * ’Sukixi.^dxidti/ 99 V ' 6u^xi,ti)dxvdti/’ V ' /^^’^\ = -I /P(X,AM\.(3.1.7)
\5'd(x\1t\)dx\dt\ / дб\^ ’ 5-d(x\tt\)dx\dt\ /
(3.1.8)(3.1.8)Для определения функциональных производных от температуры частицы в (3.1.6) и (3.1.7) уравнение энергии (1.2.5) представляется в виде интеграла вдоль траектории
(3.1.8)
(3.1.8)
^pW — ехР1 ——- + Q «^ь J \ ^t / L Tt.
—оо
Из (3.1.8) получаются следующие выражения для функциональных производных от температуры частицы вдоль ее траектории:
59PW _
dui(xi,ti)dxidti
= — fexo5d(Rp(t2), #2) SRpn^ ,. /о . Q\
т< J \ Tt ) dxn 5ui(xi,ti)dxidti ’’ '
ti
mJ^L at = 7W<i) "Xi)exp f-Ц^) Xt-tvY (3.1.10)
Для нахождения интеграла (3.1.9) используем итерационное разложение (2.1.9). В результате функциональная производная температуры частицы по скорости жидкости примет вид
-—^L— = <5(^0 - x,)H(t - t,)x Olli\X.\, f i)ctxidt|
XXTTTrexpTTTrexp
X
X
T
TTrexp
T
TTrexp
Эд dun dxn dxt +TTrQ-tlЭд dun dxn dxt +TTrQ-tl
Эд dun dxn dxt +TTrQ-tl
Эд dun dxn dxt +TTrQ-tl
_T27t/ t —1[ X
t - t\ - 2tp - Tt H, exp4
P (1-T)2\ Tt )
2tp — 3Tt X / t —1\ X 1Tt /о 1 11 \
4- exp I>, T = —. (3.1.11)
1^/\ Tp / . )' Tp
Подставляя (2.1.9), (2.1.10), (3.1.10) и (3.1.11) в (3.1.4H3.1.7) и осредняя по ансамблю реализаций турбулентных флуктуаций с учетом квазиоднородности профилей осредненных скорости и температуры сплошной среды, аналогично (2.1.11) получаем следующие выражения для корреляций между пульсациями скорости и температуры жидкости и плотностью вероятности скорости и температуры частицы:
<«iP) = -Тр
Мх’^9х. ^^З^ЭУ) +^'^ 90 ) ’
(3.1.12)
т/Дх,<) = — трт/Дх,<) = — тр(u-(x,^(Rp^^.ti))!!^ - <1)х
т/Дх,<) = — тр
т/Дх,<) = — тр
х
1
TpTt
ST Г, Я1 "^
8xk L
ат 8un
8xn 8xk
1
+ 1 - Y
t
T f t-tx\ 1 __expexp
t - t\ - 2tp - Tt HT< 9 exp (
(1-T)2\
' 2tp - Зтг X ( t- tx t - tx + —f—^г- I exp I
t1/\ Tp
t-t{
t-tx
Tt
dt\-V-
f (^(x.t)i?,(Rp(tl),ti))H(<-ti)expf-^-^-)dtb (3.1.13)
J\ Tt J
—oo
/ gpgp
№ = -Tt (^(x, t) — + A<(x, t)—
Ati(x.t) =
t
(3.1.14)
= —— [ (^(R^i^tiXtx.f^H^-ti)-!&fc 1-expTpTt JI .
—oo 8Uj Г 8xk [
t-tiTp
t
p
t-tl
Tp
dti, (3.1.15)
p
dUj "
8xk ,
t — ti
t — ti
— I exp Ip /\ tp
8Ut 8Un Г
я—я— t-tx — Зтр +
OXfi uXk
V P V ' 2rp J^p\ г, J т)(х,€) = ^- j (u'k(Rp(ti\tiyd\x^H(t - tx^x —oo
(3.1.16)
( 9T г x < ~— 1 +
V9xk L
! ат aun дхп Эхк
1
/ t-tX exp I
\ Tt
1( t - tx
— exp - T\ Tp
T2Tt / t - tx - 2rp - Tt + 2 exp ( ' + 2тр-ЗтД / t- ti 4 1 — Y у \ Tp
dtx+
ч f (^(^^'(Rp^O.tO^t-fOexpf-^^-^dtb(3.1.17)
4 J\ Tt /
—OO
Величины pij и Xij в (3.1.12) определяются согласно (2.1.16) и (2.1.17). Для того чтобы вычислить %, р^ Xi и 77, в соответствии с (3.1.13) и (3.1.15)-(3.1.17) нужно определить лагранжевы корреляционные моменты совместных пульсаций скорости и температуры жидких частиц, движущиеся по траекториям инерционных частиц. Однако прежде определим эти корреляционные моменты вдоль траекторий жидких частиц. Аналогично (2.1.14) положим
ВыМ = Ш^ -T^t- r)i?'(x)|R(t) = х) =
=^LkM (3.1.18)
D^ = a^^^
Dt di k Эхк 8xk ’
где ^LijM — ланранжева автокорреляционная функция пульсаций скорости и температуры сплошной среды.
В соответствии с (3.1.18) лагранжевы корреляционные моменты совместных пульсаций скорости и температуры жидких частиц вдоль траекторий инерционных частиц представляются в виде
BlpiM = «(Дрф -т\1- T)i?'(x)|Rp(t) = х) =
-^LpkM (З-119)
DPW _ Э^ W , W
Dt dt k dxk dxk ’
где ^LpijW — автокорреляционная функция пульсаций скорости и температуры сплошной среды, определенная вдоль траектории частицы.
Лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры сплошной среды (1.1.42) с учетом «транспортного члена» записывается как
ВиМ = ^(х^^К^ -т)Л- r)|R(t) = х) =
=(3 L20)
Dt dt k dxk dxk *
Аналогично (3.1.20) лагранжев корреляционный момент пульсаций температуры жидкой частицы вдоль траектории инерционной частицы (1.3.28) представляется в виде
BLtp^ = ^^d’^p^t -т\1- т)\Нр(^ = х) =
^»!А = 9^ уэ^ 8(^1
Df dt k dxk dxk
Подставляя (2.1.15), (3.1.19) и (3.1.21) в (3.1.13), (3.1.15)-(3.1.17) и ограничиваясь при учете градиентов осредненной скорости и температуры членами не выше второго порядка, в результате интегрирования получаем
_м-\( ЭТЭ17п ЭТ \ rpDp(U'u') QTY
^ - ^^ VUjk9xk pTujk 9xk dxj 2 Dt ^dx^
Трn=W(nt ,Tht 9UApi /уч I Mu ki • 'P^u kn q J <^i у \ T ' “k” Qg. ' ^P^u klТрn=W(nt ,Tht 9UApi /уч I Mu ki • 'P^u kn q J <^i у \ T ' “k” Qg. ' ^P^u kl2 DtTP ^Р^к^') 2T Dt dUndUA _ ! dxi dxn /2 DtTP ^Р^к^') 2T Dt dUndUA _ ! dxi dxn /ftxki- (3.1.22)ftxki- (3.1.22)g'uxki. (3.1.23)g'uxki. (3.1.23)
Тр
n=W(nt ,Tht 9UA
pi /уч I Mu ki • 'P^u kn q J <
^i у \ T ' “k” Qg. ' ^P^u kl
Тр
n=W(nt ,Tht 9UA
pi /уч I Mu ki • 'P^u kn q J <
^i у \ T ' “k” Qg. ' ^P^u kl
2 Dt
TP ^Р^к^') 2T Dt dUndUA _ ! dxi dxn /
2 Dt
TP ^Р^к^') 2T Dt dUndUA _ ! dxi dxn /
ftxki- (3.1.22)
ftxki- (3.1.22)
g'uxki. (3.1.23)
g'uxki. (3.1.23)
■n =■n =WitWit1 W^ (ft .Tlt dUA (3124) 2T Dt ^«iw + Vnifcn^y > (3.124) (nt 9TTrt 9UnOT\ tpDp(^) t 5T \4uikdxk puikdxkdxn) 2T Dt 4uUk9xk
■n =
■n =
Wit
Wit
^'^ft1Dp(i9'2)
-^T"2”DTftl- (3L25)
Коэффициенты вовлечения, характеризующие отклик частиц на совместные пульсации скорости температуры сплошной среды, как и (2.1.18), записываются в матричных обозначениях
^=Mto, gt = Nt0 —f^, &=М1, lt = g‘-f‘i,ht = Nti+Mt,-2gt. mt = N^ +2М^ +M^2-3g^,gu^N^-fti, ft2 = 2Mt2, lli =gli -f*2, f^MJo, й=М‘ьQ=Nn + ^-2^ at Nt ■ T2M‘O Mtp
q«i ui+ 1T 1-T, q„i „i+ 1-T1-T’n.9fi
rT4Mt0 M«‘ ^(2-3T)M„o 1
fu — N„i — (2 + T)N„o +J _ у "1(i _ y)2—’
t ^Tt ^rt Y4Mi0 Mt, (2-3T)Mto
rt = Nt, - (2 + T)Nt0 + (1 _ T^2 + ^-^ + 1 (1_t)2 ■
t .1“n п!тр"+1t .1“n п!тр"+1oo
t .1
“n п!тр"+1
t .1
“n п!тр"+1
[ Ф£Р(т)тпехр ("-^
J\ p
М<" " п'-т^1М<" " п'-т^1ОО^Ер(т)тп ехр оОО^Ер(т)тп ехр о
М<" " п'-т^1
М<" " п'-т^1
ОО
^Ер(т)тп ехр о
ОО
^Ер(т)тп ехр о
ОООО
ML = —^ Ф1р(т)тп ехр(-—) dr, N£n = —^ Ф1(т)тпйт.
п\тГ J\ Tt/niTp J
ор о
Коэффициенты вовлечения, описывающие температурный отклик частиц, имеют вид
Iff т \
ft = — Фь<р(т) ехрdr,Tt J\ Tt/
оо°(3.1.27)
If/ т \
fti = -9 ^рМтехр\dT.Tt J\ Tt/
о
Если автокорреляционные функции в (3.1.19) и (3.1.21) аналогично (2.1.21) задаются в виде экспоненциальных аппроксимаций
^LpM = ехР (-r (Tip)"’) > ^LtpW = ехр (-TT^j,) ,
ТО
*// * 4-i\-(n+0/i\“(n4*i)
ML= (l + rp^p) *), Mtn= (Ц-т^Т^)"1),
M4Art - (ТЦ
Mtn =+ Tt Lp) )’~~>
47\ TP /
и коэффициенты вовлечения примут вид
f‘ = (l + Tp (Tip)"1)"*, gl = ^ (l + Tp (Tip)"1)"*, nrptл
^^(l + Tp^lp)"1), 1‘^I + ^Ty-1,
/\ 2/\ 2
/\_2/ rpt \_q
“u I I (Tp (1 Lp) ) , mu I j + Tp (X Lp) ) > \ Tp / x7\ Tp /Z
(
Tt V /Zi\—3
— fl + Tp (Tip)- ), ^ = 2(1 + Тр(Т1р) *),
(
rpt \ 2_з
(l+ Tp (Tip)-*) ,
f‘ = (l + r^Tlp)"1)"1, ftl = (l + rt(Tlp)-1)"2,
4u = ^(^tpt-A Vi + rtT£*)
q^^fl + rptT^-yVl + r^T^^(3.1.28)
qul= [l + 2(1+Т)трТ^ + 3rprtT^]^)(l + TpT^I + rtT^)"2 q^ = [l + 2(1 + T)tp (T^)-1 + 3rprt (T^)"2] x
2 rpt \—2 .x „2
Vе (i + tp №,)"') (i + t^T^)"') , Tp j X/ X/
r"= (^У - <2 + T> Vе + Ay (z+A +\ Tp /Tp1 I j \/
1/-A-2(2 — 3T) /-A”1
+ JTy V1 + TPTLp) + ^ _ ^2 (Z + TPTLp) •
x 2
_(2 + Т)^ + —-; I + r.^)-'+
Tp уTp 1 I j \/
,1 ZT , T zTt riV2 , (2 — 3T) /+ 1 _ у v +Tp ' ^pz )+ ^ _ y)2 \j "*"tp (^"Ьр) у ’,1 ZT , T zTt riV2 , (2 — 3T) /+ 1 _ у v +Tp ' ^pz )+ ^ _ y)2 \j "*"tp (^"Ьр) у ’
,1 ZT , T zTt riV2 , (2 — 3T) /
+ 1 _ у v +Tp ' ^pz )+ ^ _ y)2 \j "*"tp (^"Ьр) у ’
,1 ZT , T zTt riV2 , (2 — 3T) /
+ 1 _ у v +Tp ' ^pz )+ ^ _ y)2 \j "*"tp (^"Ьр) у ’
При rt = Tp (T = 1) имеют место соотношения
q« — lut qui — lub Pu — JTiu*
8 Г/T-g + 89 A Tt8 Г/T-g + 89 A Tt5^+ 8Р 9 \(uk~vkdt Vkdxk dvk Д Tp5^+ 8Р 9 \(uk~vkdt Vkdxk dvk Д Tp+ Fk\P+ Fk\PПодставляя (3.1.12) и (3.1.14) в (3.1.3), получаем замкнутое кинетическое уравнение для одноточечной ФПВ распределений скорости и температуры частицы в турбулентном потоке
8 Г/T-g + 89 A Tt
8 Г/T-g + 89 A Tt
5^+ 8Р 9 \(uk~vkdt Vkdxk dvk Д Tp
5^+ 8Р 9 \(uk~vkdt Vkdxk dvk Д Tp
+ Fk\P
+ Fk\P
82P82P,. . 82P82P82P
Ay dvi5vj + №j 8xj8vi + ^^ + ^ 8чл89 + W 8x486 ^^ 892‘
(3.1.29)
Левая часть уравнения (3.1.29) описывает эволюцию во времени и конвективный перенос ФПВ в фазовом пространстве координат, скоростей и температур. Члены в правой части (3.1.29) характеризуют диффузионный перенос, обусловленный динамическим и тепловым взаимодействием частицы с турбулентными вихрями. В результате интегрирования по подпространству температур из (3.1.29) вытекает
кинетическое уравнение для ФПВ распределения скорости частицы (2.1.23). Если пренебречь анизотропией коэффициентов вовлечения, влиянием «транспортных членов» в (2.1.15), (3.1.19) и (3.1.21), а также вкладом членов с градиентами осредненных скоростей и температур, то (3.1.29) переходит в кинетическое уравнение для ФПВ распределений скорости и температуры частиц в однородном бессдвиговом турбулентном потоке (Деревич и Зайчик, 1990). Уравнения для совместной ФПВ скорости и температуры частицы течений для градиентных турбулентных течений были получены в работах Зайчика и Алипченкова (1998), Zaichik (1999), Pandya & Mashayek (2002b, 2003).
3.2. Уравнения для одноточечных моментовтемпературы частиц
Решение кинетического уравнения для совместной ФПВ скорости и температуры частицы представляет собой еще более сложную задачу по сравнению с решением уравнения для вероятности распределения скорости. Поэтому еще большую целесообразность приобретают модели, основанные на решении системы уравнений для нескольких первых статистических моментов скорости и температуры дисперсной фазы.
Интегрирование уравнения (3.1.29) по подпространству скоростей и температур приводит к зацепляющейся цепочке уравнений для моментов. Так как уравнения для моментов скорости приведены в разделе 2.2, то в настоящем разделе представим только уравнения для моментов, содержащих температуру дисперсной фазы.
Уравнение для осредненной температуры дисперсной фазы имеет вид
(3.2.1)(3.2.1)эе ае э«^ т~е в^эыф 8t к8хк 8хк rtTt дхк '
(3.2.1)
(3.2.1)
ЗдесьЗдесьW = H(«i - W - 0)Pdvd0W = H(«i - W - 0)Pdvd0
Здесь
Здесь
W = H(«i - W - 0)Pdvd0
W = H(«i - W - 0)Pdvd0
- ^^^Ды- (3.2.2)- ^^^Ды- (3.2.2)
- ^^^Ды- (3.2.2)
- ^^^Ды- (3.2.2)
— турбулентный тепловой поток в дисперсной фазе, обусловленный вовлечением частиц в пульсационное движение сплошной среды. Последний член в (3.2.1) описывает турбулентный диффузионный перенос тепла, а вектор «тепловой диффузии» частиц определяется выражением
О< = г, «„;»') + №) = т, (TW) + ^ и) +
Уравнение для вторых моментов совместных пульсаций скорости и температуры частиц (турбулентного теплового потока в дисперсной фазе) записывается в виде
W , v aw . 1 a^w^')at k дхк ф ЭхкW , v aw . 1 a^w^')at k дхк ф Эхк- W) + ^^- + т + ^-(1 + ^ W-dxk\Тр rt /- W) + ^^- + т + ^-(1 + ^ W-dxk\Тр rt /(3.2.3)(3.2.3)
W , v aw . 1 a^w^')at k дхк ф Эхк
W , v aw . 1 a^w^')at k дхк ф Эхк
- W) + ^^- + т + ^-(1 + ^ W-dxk\Тр rt /
- W) + ^^- + т + ^-(1 + ^ W-dxk\Тр rt /
(3.2.3)
(3.2.3)
Уравнение баланса интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы представляется как
^+yJ^ 1^=_2№,)+и)»е
dt Эхк Ф охкохкTt
(3.2.4)
Уравнения (3.2.3) и (3.2.4) включают члены, описывающие изменение во времени, конвекцию, турбулентную диффузию, порождение из осредненного движения за счет градиентов скорости и температуры, а также порождение и диссипацию флуктуаций скорости и температуры частиц вследствие динамического и теплового взаимодействия со сплошной средой. Для малоинерционных частиц дифференциальные члены, учитывающие транспорт и градиентное порождение, становятся несущественными, и, следовательно, турбулентный тепловой поток и интенсивность пульсаций температуры в дисперсной фазе могут быть определены на основе локального равновесия между порождением и диссипацией в результате межфазного взаимодействия
W = ^1 (Tpft ki + Ttftk.) ,(з 2 5)
Тр + Tt
ke'h = л^'2).(3.2.6)
Формула (3.2.6) совпадает с соотношением между интенсивностями пульсаций температуры в дисперсной и сплошной фазах для стационарной однородной изотропной турбулентности (1.4.30).
Замыкание цепочки уравнений, следующей из (3.1.29), на уровне третьих моментов осуществляется при помощи квазинормальной гипотезы
<W) = Ww + ww + ww. 2 W/2) = (^x#'2) + W^v wh = з^Ж2)-
С учетом (3.2.7) из (3.1.29) получаются следующие замкнутые уравнения для третьих моментов:
8W£ldt
+ Vk
a^WЭхк
+ УДб’Ф + wwS- + м-м>#+dxk J dxkdxk
Dpik^k0^ Dpjk д^О^ Dpk 8(,ui'Uj')/21 \ / / /лл л
(3.2.8)
^+v^WV^ + 2W^ +
OtОХкОХкОХк
,Dpik0^ , ^д^ , /1 , 2\
Iгх IГХ• II '
Тр ОХк Tt ОХк хТр Xi /
= 0. (3.2.10)= 0. (3.2.10)эу1-)ги-3), ае 3Z>‘t а(»-!) з(»'3>
= 0. (3.2.10)
= 0. (3.2.10)
^Г+ 1115Г + ЗХ" w”^ "
Если пренебречь членами, описывающими эволюцию во времени, конвекцию и порождение третьих моментов за счет градиентов осред- ненной скорости и температуры, то из (3.2.8)—(3.2.10) вытекают алгебраические соотношения, выражающие третьи моменты через вторые моменты и их производные
,„W) ='—(то ,^+TD .„ySl + D) 2T +1aIt + ™n*+) ’
(3.2.11)
(3.2.12)(3.2.12).„.„A1 (тп а<6,,>4-2П‘ 8^
(3.2.12)
(3.2.12)
+ 2D-‘"a;r
(3.2.13)(3.2.13)(A- D.
(3.2.13)
(3.2.13)
<6 > - ~D’‘^T
Соотношения для третьих моментов (3.2.11)—(3.2.13) были получены в работах Zaichik & Vinberg (1991) и Зайчика (19926). Уравнения (3.2.1)-(3.2.4) с учетом (3.2.11) и (3.2.12) позволяют моделировать теплоперенос в дисперсной фазе на уровне дифференциальной модели для вторых моментов. Рассмотрим асимптотическое поведение этой континуальной модели в пределе безынерционных частиц ^Tp,Tt —* 0).
Из уравнения (3.2.1) следует, что осредненная температура дисперсной фазы, состоящей из безынерционных частиц, равна
0 = Т - D^
51пФ 9хк *
(3.2.14)
Согласно (3.2.14) температура безынерционных частиц аналогично их скорости (2.2.9) вследствие вклада диффузионной составляющей может отличаться от осредненной температуры несущей жидкости.
(3.2.15)(3.2.15)Как видно из (3.2.5) и (3.2.6), в пределе безынерционных частиц тепловые потоки и интенсивности пульсаций температуры дисперсной и сплошной фаз совпадают
(3.2.15)
(3.2.15)
Игл ^9') = (и-??'),Tp,Tt-*0
(3.2.16)(3.2.16)lim (0'2) = (I?'2).
(3.2.16)
(3.2.16)
>/rt-*0
Вектор «тепловой диффузии» безынерционных частиц (пассивного скаляра) (3.2.2) с учетом (3.2.15) равен
Dt =Dt =lim DC = WYTlki + WlTp/rt-*0lim DC = WYTlki + WlTp/rt-*0dUi_D^(^L^ikndxn Dt 2dUi_D^(^L^ikndxn Dt 2ooXLij = j ^Lij^rdT,ooXLij = j ^Lij^rdT,(3.2.17)(3.2.17)00
Dt =
Dt =
lim DC = WYTlki + Wl
Tp/rt-*0
lim DC = WYTlki + Wl
Tp/rt-*0
dUi_D^(^L^i
kndxn Dt 2
dUi_D^(^L^i
kndxn Dt 2
oo
XLij = j ^Lij^rdT,
oo
XLij = j ^Lij^rdT,
(3.2.17)
(3.2.17)
0
0
где ^LijM — лагранжева автокорреляционная функция совместных пульсаций скорости и температуры сплошной среды, характеризуемая интегральным временным масштабом T^j = | ^VijM^T. Аналогично о
и (2.2.17) для Т£- примем изотропное представление
ь
Т^ = ^vp ^ = const.(3.2.18)
Если в (2.2.11) и (3.2.17) пренебречь двумя последними членами, обусловленными градиентами осредненной скорости и неоднородностью турбулентности, то из (3.2.11) и (3.2.12) с учетом (2.2.10) и
в безынерционном пределе (jp,Tt —> 0) следует
Э^ ,9W\
+Сы1\пьУ /+Сы1\пьУ /9хк9хк, (3.2.19), (3.2.19)
+Сы1\пьУ /
+Сы1\пьУ /
9хк
9хк
, (3.2.19)
, (3.2.19)
(3.2.20)(3.2.20)
(3.2.20)
(3.2.20)
—£ \^u2vbi^k) gx^/ gx^ I >
ul-2T0+r ul-2T0+r ^“2 —To + 2’
Cui = o, To = lim — =“2 To+ 2’Tp.rt-o rp 2
где Pr — число Прандтля.
Формулы (3.2.19) и (3.2.20) согласуются с известными градиентными аппроксимациями для третьих моментов совместных пульсаций скорости и температуры сплошной среды (Launder, 1976; Dekeyser & Launder, 1985). Таким образом, континуальная дифференциальная модель второго порядка для теплопереноса в дисперсной фазе (3.2.1)-(3.2.4) с учетом (3.2.11) и (3.2.12) обеспечивает правильный предельный переход к случаю безынерционных частиц (3.2.15), (3.2.16)
и воспроизводит известные в теории однофазной турбулентности соотношения для третьих моментов.
9Wj)9Wj)По аналогии с (3.2.11) и (3.2.12) третьи корреляционные моменты, входящие в транспортные члены с Dp^S^/Dt и Dp(tf/2)/Dt в (3.1.19) и (3.1.21), представляются в виде
9Wj)
9Wj)
'(Тп W1,TD д^ ■ nt
9xk9xk" 2Т+1( Ptk 9xk + P3k 9xk + pk
9xk
9xk
(td9^'Д
^ ^"T^V pik^T pk^T)
Смешанные вторые корреляционные моменты пульсаций скоростей и температур сплошной и дисперсной фаз определяются из (3.1.12) и (3.1.14)
(и-У') = — ( (u-p)0dvd0 - 0 (u-p)dvd0) = гр (г), - /tifc-^-), (3.2.21) Ф \JJJJ / X 9хк/
| / А АА А\/ОТ 7 \
W) = - ( ^'p^idvde - к Wdvd6\= Tt (Ai - pfc *-4 (3.2.22) Ф \ J JJJ)\^kj
^e^= Ht^p^dvde-©\\^^(З.2.23)
Ф \ J JJJ /\
Алгебраические модели турбулентных тепловыхпотоков
Аналогично описанию движения частиц, изложенному в разделе 2.3, расчет теплопереноса в дисперсной фазе может быть выполнен на основе алгебраических моделей турбулентных тепловых потоков (например, Derevich et al., 1989b; Han et al., 1991; Винберг и др., 1992; Zaichik et al., 1997b; Boulet et al., 1998; Деревич, 2002). Как и при построении гидродинамических моделей, рассмотрим два подхода для получения алгебраических моделей переноса тепла, основанные на решении кинетического уравнения методом Чепмена-Энскога и решении уравнения баланса турбулентных тепловых потоков методом итераций.
Решение кинетического уравнения методом Чепмена-Энскога.
Решение уравнения (3.1.29) представляется в виде разложения
P(v,0) — P^(v,0) + P^*\v,0) + ...,(3.3.1)
где функции P^(v, 6) и p(l\v, 0) удовлетворяют уравнениям
Ж [р(°)] = 0,(3.3.2)
Ж [рС>] = N [Р(О)] ,(3.3.3)
R[P] = 1
Тр
"2кр Э2РЭ^-^Р"
3 dvidvid-Ui
д(е-е>)р"
Э0
ЭР mp] = ^+vi /Т-0 + ( \ Tt
ЭР ! /Uj-Vj dxi \ тр
ЭР
dVi
Л ЭР(2кР5.х \ д2Р Э2Р
+ ) 90\3тр уу / 9vi9vjЭхj9vi
, х . Э2Р (^,2}\ д2Р д2Р
^+ ^ dvidO + ( Tt J Э02 ^ЭхгЭб"
Очевидно, что разложение (3.3.1) может быть обосновано только в случае, если величины тр/Ти и п/Т^ где Ти и Tt — характерные времена изменения средних гидродинамических и тепловых параметров потока, являются малыми параметрами. Решением уравнения (3.3.2) будет равновесное распределение по скоростям и температурам
pt°\v,o) = $pt°\v,o) = $1,2ехр1,2ехрз^ У'2 А4fcp 2(0'2)) ‘з^ У'2 А4fcp 2(0'2)) ‘(3.3.4)(3.3.4)
pt°\v,o) = $
pt°\v,o) = $
1,2
ехр
1,2
ехр
з^ У'2 А4fcp 2(0'2)) ‘
з^ У'2 А4fcp 2(0'2)) ‘
(3.3.4)
(3.3.4)
Согласно (3.3.4)
(^V^o = | j Vi0'P№dvd0 = 0,(3.3.5)
№Д = 1 f vWP^dvdfi = 0, (v'0,2)o = ^ f V^P^dvdO = 0.
(3.3.6)
Следовательно, равновесная ФПВ приводит к нулевым значениям тепловых потоков (3.3.5) и третьих моментов совместных пульсаций скорости и температуры (3.3.6), что соответствует изотропной турбулентности. Вычислим правую часть уравнения (3.3.3), используя (3.3.4). Производные во времени дФ/df, dVi/dt, dkp/dt. dQ/dt, d^Q'^ldt определяются соответственно из уравнений (2.2.1), (2.2.2), (2.3.22), (3.2.1), (3.2.4) с учетом (2.3.6), (2.3.7) и (3.3.5), (3.3.6). В результате получим
+^> (^ -з) ^Jр®к''еу <з'з7)
Решением уравнения (3.3.3) с учетом (3.3.7) будет
^к (vv - ^kАкр V j 3^к (vv - ^kАкр V j 3। *Pui 6kp ЗтрТ^б’। *Pui 6kp ЗтрТ^б’2(TP + Tt)kp(0'2) .2(TP + Tt)kp(0'2) .ч ^Ар/* 2kp6ijч ^Ар/* 2kp6ij33X А Лл 1 ^PikVj.k ЗАу-^ ,+ Pij ) ©j + PjVi,j ~ (j)i + Xi) +X А Лл 1 ^PikVj.k ЗАу-^ ,+ Pij ) ©j + PjVi,j ~ (j)i + Xi) +Зтртцце’/л2(Tp + 2rt)fcp(0'2) \2kp) р'гЗтртцце’/л2(Tp + 2rt)fcp(0'2) \2kp) р'г
^к (vv - ^k
Акр V j 3
^к (vv - ^k
Акр V j 3
। *Pui 6kp ЗтрТ^б’
। *Pui 6kp ЗтрТ^б’
2(TP + Tt)kp(0'2) .
2(TP + Tt)kp(0'2) .
ч ^Ар
/* 2kp6ij
ч ^Ар
/* 2kp6ij
3
3
X А Лл 1 ^PikVj.k ЗАу-^ ,
+ Pij ) ©j + PjVi,j ~ (j)i + Xi) +
X А Лл 1 ^PikVj.k ЗАу-^ ,
+ Pij ) ©j + PjVi,j ~ (j)i + Xi) +
Зтртцце’/л
2(Tp + 2rt)fcp(0'2) \2kp) р'г
Зтртцце’/л
2(Tp + 2rt)fcp(0'2) \2kp) р'г
к , ^P-ij \ /д/2\ , дО + 2^ у W Ь+к , ^P-ij \ /д/2\ , дО + 2^ у W Ь+4 Ы; P(o)(v,0). (3.3.8)4 Ы; P(o)(v,0). (3.3.8)TpTtVj / У'2 _ J 2(2rp + rt)(0'2) у (У'2)_
к , ^P-ij \ /д/2\ , дО + 2^ у W Ь+
к , ^P-ij \ /д/2\ , дО + 2^ у W Ь+
4 Ы; P(o)(v,0). (3.3.8)
4 Ы; P(o)(v,0). (3.3.8)
( O'26(0'2) И0'2)
В соответствии с (3.3.8) турбулентные тепловые потоки определяются как
(^5')] = tu^w = ^ | ^e'pWavae =
TpTtTp + TtTpTtTp + TtОЬ X.. X‘
TpTtTp + Tt
TpTtTp + Tt
^^+^©4+^-^. (3.3.9)
Выражение (3.3.9) предполагает линейную зависимость (^0') от
градиентов осредненных скорости V^ и температуры 6,^ дисперсной фазы. Наряду с градиентными членами присутствует также члены r)i и Aj, непосредственно описывающие взаимодействие частиц с турбулентными вихрями несущей сплошной среды и играющие особенно существенную роль для малоинерционных частиц, обеспечивая переход к пределу безынерционных частиц (3.2.15). Если с целью упрощения в (3.3.9) пренебречь членом с pij, а также градиентными членами в (3.1.22), (3.1.23) и принять квазиизотропное представление Ш = Н^'^/Тр, Ai = fuWMTt. то (3.3.9) примет вид
Ш! = -^"'Ai + ^Ц^-W').(3.3.10)
х 13(rp4-rf) Tp + Tt х г
Если для турбулентных тепловых потоков сплошной среды использовать аппроксимацию
=-^
158 Гл. 3.. Теплообмен частиц в градиентных турбулентных потоках и принять в пределе малоинерционных частиц равенство осредненных температур дисперсной и несущей фаз (0 « Т), то (3.3.10) с учетом (2.3.15) можно представить в виде соотношения Фурье (Зайчик, 19926)
=(3.3.11)
р _ (Tp + Tt)(3/„z/r + TpA:p)PrT......
Р ЗМ + г^^т + гтрТ^рРгт-
Здесь Ргт и Ргр — турбулентные числа Прандтля сплошной и дисперсной фаз. В безынерционном пределе турбулентное число Прандтля дисперсной фазы (3.3.12) стремится к соответствующей величине для сплошной фазы
Иш РГр = Ргт.
Tp.Tt—>0
Третьи моменты, содержащие пульсации температуры, согласно решению (3.3.8) имеют вид
Wj9,x)v = Ж [М6'р^й6 = "^То х5и1*ь (3.3.13) Ф JOVFp-VZTt)
^2')v = ^Ue,2pWdvd9= _-2p^&5ifc + /z.fcW>fct (3.3.14) Фи •Цтр + rt)\ 6/
(0'3)1 = | j 9'3Pwdvde = -TtHk^Yk. (3.3.15)
Формулы (3.3.13), (3.3.14) и (3.3.15) совпадают соответственно с (3.2.11), (3.2.12) и (3.2.13), если в последних принять изотропные представления для турбулентных напряжений и тепловых потоков (2.3.6) и (3.3.5).
Решение уравнения для турбулентных тепловых потоков методом итераций. Аналогично (2.3.25) выразим транспортные члены в уравнении для турбулентных тепловых потоков (3.2.3) через транспортные члены в уравнениях для кинетической энергии турбулентности (2.3.22) и интенсивности пульсаций температуры (3.2.4)
^pWO . ТР ^Р^^к)_ /грDt2Dt\Чи\ kn^-tn।^P^k® ). fu\ki । TP (it'2 QtJti Кг •^Y vul kЩ {Dpkp , lDP(«r,9u\ kn®,n) + п^гдг 9u\ kn^i,™)^pWO . ТР ^Р^^к)_ /грDt2Dt\Чи\ kn^-tn।^P^k® ). fu\ki । TP (it'2 QtJti Кг •^Y vul kЩ {Dpkp , lDP(«r,9u\ kn®,n) + п^гдг 9u\ kn^i,™)2kp ( Dt ' 2 Dt , W ГрХ) Dp(^) 2(0'2) DtDtLJul кг T ip Vul кп^г,п yul kn vi,n)l ( Tf i IE ^P^k1®^ ( t T _ t p \ Jtl т ^d^yduYkn-n 9u\kn^,n).(3.3.16)2kp ( Dt ' 2 Dt , W ГрХ) Dp(^) 2(0'2) DtDtLJul кг T ip Vul кп^г,п yul kn vi,n)l ( Tf i IE ^P^k1®^ ( t T _ t p \ Jtl т ^d^yduYkn-n 9u\kn^,n).(3.3.16)
^pWO . ТР ^Р^^к)_ /гр
Dt2Dt\Чи\ kn^-tn
।^P^k® ). fu\ki । TP (it
'2 QtJti Кг •^Y vul k
Щ {Dpkp , lDP(«r,
9u\ kn®,n) + п^гдг 9u\ kn^i,™)
^pWO . ТР ^Р^^к)_ /гр
Dt2Dt\Чи\ kn^-tn
।^P^k® ). fu\ki । TP (it
'2 QtJti Кг •^Y vul k
Щ {Dpkp , lDP(«r,
9u\ kn®,n) + п^гдг 9u\ kn^i,™)
2kp ( Dt ' 2 Dt , W ГрХ) Dp(^) 2(0'2) DtDt
LJul кг T ip Vul кп^г,п yul kn vi,n)l ( T
f i IE ^P^k1®^ ( t T _ t p \ Jtl т ^d^yduYkn-n 9u\kn^,n).
(3.3.16)
2kp ( Dt ' 2 Dt , W ГрХ) Dp(^) 2(0'2) DtDt
LJul кг T ip Vul кп^г,п yul kn vi,n)l ( T
f i IE ^P^k1®^ ( t T _ t p \ Jtl т ^d^yduYkn-n 9u\kn^,n).
(3.3.16)
Dt dt k 8xk Ф 8xk ’pX) = 8^1 ,v9^1 1 дФ(г^)
Dt dt k 9xk Ф dxk '
Подстановка (3.3.16) с учетом (2.3.22) и (3.2.4) в (3.2.3) дает
W = -пТ^ТП №№ + Мт+Х»),(3.3.17)
ЩТр 4- Tt)
.Xi^^UjU^Ktfo jfc 4* 7"p^u jn^fc,n)^,fc (Qujk 4” TpTu jnUk^)^^] 4^ X
X [(^njfc 4" Tphu jnUk,n) Vi,k ~ (jujk 4- Tpmu jnUk,n)Ui,k ~" fuji ” ^Vtji]’
TtE-VTpE1 t p-Tt^Q^Q^= , JD = о,
tp 4- Tt(0'2)
= (^ )/t 4- Tp^U^ ) [(^^4" Tpr^inUk,n)T, k ^9uik 4* Tphu in^fc,n)©,fc] •
Выражение (3.3.17) представляет собой неявную алгебраическую модель для определения турбулентных тепловых потоков, так как ^6^ входит как в левую, так и в правую часть этого уравнения. Как для решения (2.3.27), для решения уравнения (3.3.17) применим метод итераций
(40%+1 = -^^^ Wk^e* + WW.k + Xi),(3.3.18)
11(Тр 4- Tt)
_rtEn + TpE^ t _ p - Tt{v'k0')nQ,k Пп" rp + Tt - E"-(^j
где n — номер приближения.
В качестве нулевого используется изотропное приближение (2.3.6) и (3.3.5). В результате получим первое приближение (линейную модель) для турбулентных тепловых потоков
Wi = ^^. w)w = -^5-(^i+xtY
(3.3.19)(3.3.19)НоТр 4- Tt \ б/
(3.3.19)
(3.3.19)
^Eo+^EJ,р
Тр 4- Tt(У/2)
Область применимости линейной модели (3.3.19) ограничена малыми значениями параметров тр/Ти и n/Tt.
Подстановка (2.3.29) и (3.3.19) в правую часть (3.3.18) дает второе приближение (нелинейную модель) для турбулентных тепловых потоков
= w£L + w£L
" ' п, ПоП, '
W^ = -W^ = -TpTtTp + TtTpTtTp + Tt(^WkW^.k + W^V^Y(^WkW^.k + W^V^Y(3.3.20)(3.3.20)П1 = По —П1 = По —TpTt (Wk^^Vj-k , Tp + Tt \ 2EokpTpTt (Wk^^Vj-k , Tp + Tt \ 2EokpПО(0'2) /ПО(0'2) /
W^ = -
W^ = -
TpTtTp + Tt
TpTtTp + Tt
(^WkW^.k + W^V^Y
(^WkW^.k + W^V^Y
(3.3.20)
(3.3.20)
П1 = По —
П1 = По —
TpTt (Wk^^Vj-k , Tp + Tt \ 2Eokp
TpTt (Wk^^Vj-k , Tp + Tt \ 2Eokp
ПО(0'2) /
ПО(0'2) /
Область применимости нелинейной модели (3.3.20) является более широкой по сравнению с линейной моделью (3.1.19), однако ее точность также будет снижаться с ростом параметров тР1Ти и Tt!Tv
Отметим, что представленные в данном разделе линейные и нелинейная модели, кроме алгебраических соотношений для (^0'), включают также дифференциальные уравнения для турбулентных характеристик дисперсной фазы. Так, линейные модели (3.3.9)-(3.3.12) включают уравнение для kpi а линейная (3.3.19) и нелинейная (3.3.20) модели — уравнения для кр и (0'2).
Вторые моменты пульсаций скорости итемпературы в однородном сдвиговом потоке
Рассмотрим поведение турбулентного теплового потока и интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы, а также смешанных корреляционных моментов пульсаций скоростей и температур сплошной и дисперсной фаз в однородном турбулентном потоке с постоянными градиентами осредненных скоростей и температур. Вследствие однородности течения все тройные одноточечные корреляции пульсаций скоростей и температур обращаются в нуль и, следовательно, цепочка уравнений для моментов обрывается на уровне уравнений для вторых моментов. Решения уравнений для вторых моментов, представленных в разделах 3.2 и 3.3, будут сопоставлены с данными прямого численного моделирования Pandya & Mashayek (2003). Рассматривается течение в однородном в гидродинамическом и тепловом отношениях слое при одинаковых осредненных скоростях сплошной и дисперсной фаз. Градиенты осредненных скоростей, как и в разделе 2.5, задаются соотношением (2.5.1). Изменение во времени турбулентных напряжений частиц и смешанных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз показано соответственно на рис. 2.5.3 и 2.5.4.
В Pandya & Mashayek (2003) представлены результаты расчетов для трех вариантов температурных градиентов, накладываемых на поле течения (2.5.1). В первом варианте температурные градиенты соответствуют скоростным градиентам и задаются в поперечном к основному потоку направлении а?2
(3.4.1)(3.4.1)ЭТ _ эе 8X28x2’
(3.4.1)
(3.4.1)
где S — градиент температуры.
Второй вариант обусловлен градиентами температуры в транвер- сальном направлении хз
(3.4.2)(3.4.2)дт _ де _
(3.4.2)
(3.4.2)
8x38x3*
И, наконец, в третьем варианте градиенты температуры накладываются в продольном направлении х\
(3.4.3)(3.4.3)дт _ де _ ^
(3.4.3)
(3.4.3)
дх\ 8х\*
Во всех трех случаях градиенты температуры Е в расчетах Pandya & Mashayek (2003) имели одно и то же значение. Поскольку варианты (3.4.1) и (3.4.3) в качественном отношении зеркальны, то ограничимся анализом первых двух. Поведение турбулентного потока тепла (^У'), интенсивности пульсаций температуры (У'2), а также смешанных корреляционных моментов (г^У'), (^2?'), (^'У') описывается соответственно уравнениями (3.2.3), (3.2.4) и (3.2.21)—(3.2.23), упрощенными применительно к рассматриваемым однородным течениям. Коэффициенты вовлечения в этих уравнениях определяются согласно (3.1.28). Тензор времени корреляции пульсаций скорости и температуры Т^р полагается равным Tlp и вычисляется на основе (2.5.5), (2.5.7) и (2.5.8). Интегральный временной масштаб пульсаций температуры жидкости вдоль траектории инерционной частицы ТыР вычисляется
Рис. 3.4.1. Изменение во времени турбулентных тепловых потоков и интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.1): / — модель I, 2 — модель II, 3 — линейная модель, 4 — нелинейная модель, 5-7 — Pandya & Mashayek (2003)Рис. 3.4.1. Изменение во времени турбулентных тепловых потоков и интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.1): / — модель I, 2 — модель II, 3 — линейная модель, 4 — нелинейная модель, 5-7 — Pandya & Mashayek (2003)
Рис. 3.4.1. Изменение во времени турбулентных тепловых потоков и интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.1): / — модель I, 2 — модель II, 3 — линейная модель, 4 — нелинейная модель, 5-7 — Pandya & Mashayek (2003)
Рис. 3.4.1. Изменение во времени турбулентных тепловых потоков и интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.1): / — модель I, 2 — модель II, 3 — линейная модель, 4 — нелинейная модель, 5-7 — Pandya & Mashayek (2003)
6 Л. И. Зайчик. В. Алипченков
при помощи формул для изотропной турбулентности (1.3.33) и (1.3.34), где лагранжев масштаб пульсаций температуры Ты принимается равным среднедиагональному масштабу пульсаций скорости Ть = Т/^/З. Температурный структурный параметр турбулентности mt аналогично гидродинамическому параметру т принимался равным 0,5.
Рис. 3.4.2. Изменение во времени смешанных корреляционных моментов пульсаций скорости и температуры в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.1): / — модель I, 2 — модель II, 3-5 — Pandya & Mashayek (2003)
Развитие во времени турбулентного потока тепла, интенсивности пульсаций температуры и смешанных корреляционных моментов пульсаций скорости и температуры для вариантов задания температурных градиентов (3.4.1) и (3.4.2) показано на рис.3.4.1-3.4.4. В начальный момент времени имело место изотропное состояние, характеризуемое нулевыми значениями всех компонент турбулентных тепловых потоков (^т?'), (^0'), (^^) и ^-d’Y С ростом времени анизотропия турбулентных потоков тепла увеличивается. Из рис. 3.4.1 и 3.4.2 следует, что для варианта (3.4.1) отличными от нуля являются две компоненты тепловых потоков, тогда, как согласно рис. 3.4.3 и 3.4.4, для варианта (3.4.2) только одна компонента тепловых потоков имеет ненулевое значение. Поскольку соотношения (3.2.21)—(3.2.23) для ^O'Y W?) и ^'G'Y в отличие от дифференциальных уравнений (3.2.3) и (3.2.4) для (^5') и (#'2)’ являются алгебраическими, они не могут удовлетворять начальным условиям, соответствующим изотропному состоянию. Поэтому временные зависимости для ^9'Y W),x) и (tf'0') на рис. 3.4.2 и 3.4.4, аналогично рис. 2.5.4 для смешанных корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз ^a^Y начинаются на некотором отступлении от момента t = 0. Модели I и II соответствуют дифференциальным моделям для турбулентных напряжений и тепловых потоков, соответственно учитывающим и не учитывающим анизотропию лагранжевых временных масштабов пульсаций скорости турбулентной жидкости согласно (2.5.5) и (2.5.6). Эти модели анало-
Рис. 3.4.3. Изменение во времени турбулентного теплового потока и интенсивности пульсаций температуры дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.2): / — модель I; 2 — модель II; 3 — линейная модель; 4 — нелинейная модель; 5, 6 — Pandya & Mashayek (2003)
гичны соответствующим гидродинамическим моделям, представленным в разделе 2.5. Видно, что влияние анизотропии временных масштабов на турбулентные тепловые потоки и, в особенности, на интенсивности пульсаций температуры во всех случаях не очень существенно. В це-
Рис. 3.4.4. Изменение во времени смешанных корреляционных моментов пульсаций скорости и температуры в однородном сдвиговом слое для температурных градиентов (3.4.2): / — модель I; 2 — модель II; 3,4 — Pandya & Mashayek (2003)
лом, представленные модели достаточно хорошо описывают результаты
DNS.
На рис. 3.4.1 и 3.4.2 представлены также турбулентные тепловые потоки и интенсивности пульсаций температуры, полученные на основе алгебраических моделей (3.3.19) и (3.3.20) с учетом анизотропии лагранжевых временных масштабов. Результаты расчета по линейным алгебраическим моделям (3.3.9) и (3.3.19) практически совпадают, и поэтому распределения, соответствующие (3.3.9), не приводятся. Видно, что после небольшого начального промежутка времени распределения тепловых потоков и пульсаций температуры, основанные на дифференциальной и нелинейной алгебраической моделях, оказываются близкими и могут довольно существенно отклоняться от соответствующих распределений, полученных с использованием линейной модели.
Глава 4
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦВ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Турбулентность является одним из наиболее важных механизмов, приводящим к столкновениям частиц друг с другом. В свою очередь, столкновения могут оказывать влияние на взаимодействие частиц с турбулентными вихрями. Для вычисления частоты столкновений частиц и «столкновительных членов» в транспортных уравнениях для гидродинамических характеристик дисперсной фазы обычно вводится предположение о существенном вкладе только парных столкновений и о том, что процесс столкновений является марковским, т. е. не зависит от предыдущих столкновений. С учетом этих допущений для вычисления частоты столкновений необходимо определить ФПВ распределений скоростей двух частиц. С этой целью по аналогии с гипотезой молекулярного хаоса в кинетической теории газов, составляющей основу уравнения Больцмана, может быть использовано предположение о некоррелированности (статистической независимости) движения сталкивающихся частиц. В соответствии с этим допущением двухчастичная ФПВ представляется в виде произведения одночастичных ФПВ, и процесс столкновения частиц по существу описывается точно так же, как и столкновений молекул для модели твердых сфер в кинетической теории газов (Chapman & Cowling, 1970; Lun et al.t 1984; Jenkins & Richman, 1985; Ding & Gidaspow, 1990). Однако такой подход («некоррелированная модель») справедлив только для описания столкновений достаточно инерционных частиц, время динамической релаксации которых тр много больше характерного времени взаимодействия с турбулентными вихрями Tlp (tp/Tlp > 1) и поэтому их относительное движение некоррелировано и аналогично хаотическому движению молекул. Моделирование процесса столкновений не очень инерционных частиц (tp/Tlp ^ 1) должно проводиться с учетом кор- релированности их пульсационного движения вследствие взаимодействия с турбулентными вихрями несущего потока. Поэтому процессы взаимодействия «частица-турбулентность» и «частица-частица» можно
считать независимыми только в случае tp(Tlp ^> 1, а при tp/Tlp $ 1 необходимо учитывать их взаимное влияние.
Излагаемый в данной главе метод моделирования столкновений частиц в турбулентных потоках основан на предположении, что совместная ФПВ скоростей жидкости и частиц является коррелированным гауссовым распределением (Lavieville et al., 1995; Lavieville, 1997). Для учета анизотропии пульсаций скоростей частиц предложено обобщение известного в кинетической теории газов метода Грэда с целью учета коррелированности движения сталкивающихся частиц. Представленные статистические модели позволяют получить аналитические зависимости для частоты столкновений частиц и «столкновительных членов» в транспортных уравнениях для моментов дисперсной фазы, однако не учитывают эффект аккумулирования (кластеризации) частиц. Частицы предполагаются одинаковыми (монодисперсными), а дисперсная среда считается не очень плотной (объемная концентрация Ф ^ 0,01), чтобы можно было ограничиться рассмотрением только двойных соударений и, кроме того, непосредственным вкладом межчастичных столкновений в напряжения и поток пульсационной энергии дисперсной фазы можно было бы пренебречь. Кроме того, процесс столкновений считается марковским, т. е. предысторию процесса при определении частоты столкновений и «столкновительных членов» можно не учитывать.
Частота столкновений монодисперсных частицв изотропной турбулентности
Определение частоты столкновений твердых частиц или жидких капель в турбулентных потоках представляет интерес для анализа многих промышленных и метеорологических процессов. Вследствие большого практического интереса к настоящему времени выполнен целый ряд теоретических и численных исследований интенсивности столкновений частиц, обусловленных турбулентностью. Относительно простые решения этой задачи могут быть получены только в рамках приближения однородной изотропной стационарной турбулентности.
Частота столкновений выделенной частицы со всеми другими частицами шс при большом количестве частиц в системе пропорциональна числовой концентрации (среднему числу частиц в единице объема) N
шс = 3N,
где величина 3 получила название ядра столкновений, поскольку фигурирует в качестве подынтегральной функции (ядра) в уравнении для эволюции размера частиц вследствие коагуляции.
В настоящем разделе рассматриваются столкновения, обусловленные только взаимодействием частиц с турбулентными вихрями сплошной среды. Влияние гравитационной седиментации, броуновского дви-
женин, гидродинамических и молекулярных сил не анализируется. Взаимодействие инерционных частиц с турбулентными вихрями порождает два статистических явления, дающих вклад в ядро столкновений, а именно, относительную скорость между соседними частицами (так называемый турбулентный транспортный эффект) и неоднородное распределение частиц в пространстве (эффект аккумулирования или кластеризации частиц). Эффект аккумулирования проявляет себя как тенденция к концентрированию частиц в областях малой завихренности вследствие действия центробежной силы (Squires & Eaton, 1991с). Такое локальное повышение концентрации обусловлено отклонением траекторий частиц вследствие их инерционности от линий тока несущей жидкости и может приводить к заметному возрастанию скоростей столкновений и коагуляции в однородной турбулентности (Reade & Collins, 2000; Wang et al., 2000; Зайчик и др., 2003; Zaichik et al., 2003; Bec et al.,2005; Chun & Koch, 2005).
Наиболее известные аналитические решения задачи о столкновениях частиц в турбулентном потоке получены в предельных случаях малых (безынерционных) и крупных (высокоинерционных) частиц (Saffman & Turner, 1956; Abrahamson, 1975). Теория Saffman & Turner (1956) справедлива для частиц, время релаксации которых меньше колмогоровского временного микромасштаба. Такие частицы полностью следуют турбулентным пульсациям скорости несущей сплошной среды и вовлекаются в движение самых мелких вихрей, ответственных за диссипацию энергии турбулентности. Поэтому скорость столкновений безынерционных частиц определяется их взаимодействием с мелкомасштабными турбулентными вихрями. Решение Abrahamson (1975) соответствует другому предельному случаю, когда время релаксации частиц много больше временного макромасштаба турбулентности. В этом случае частицы становятся статистически независимыми, т. е. их движение полностью некоррелировано и подобно движению молекул в кинетической теории разреженных газов (гипотеза молекулярного хаоса). Для таких частиц достаточно учитывать их взаимодействие только с энергосодержащими вихрями, а вкладом взаимодействия с мелкомасштабной турбулентностью в ядро столкновений можно пренебречь. Следует отметить, что как безынерционные, так и высокоинерционные частицы независимо распределены в пространстве случайным образом, вследствие чего эффект аккумулирования отсутствует.
Наибольшие трудности в определении ядра столкновений возникают при конечных значениях отношений времени релаксации частиц к микро- и макромасштабам турбулентности (тк тр Ть, где тк — колмогоровский временной микромасштаб, тр — время релаксации частицы, Tl — лагранжев интегральный масштаб). В этом случае необходимо учитывать взаимодействие частиц со всем спектром турбулентных вихрей, а также коррелированность движения соседних частиц и эффект аккумулирования. С целью определения относительной скорости частиц Saffman & Turner (1956), Williams & Crane (1983) и Kruis
& Kusters (1996) рассматривали два механизма столкновений частиц. Первый механизм возникает в результате сдвига скорости несущего потока, а второй обусловлен флуктуациями относительной скорости между частицами и жидкостью вследствие ускорения частиц. Поэтому сдвиговый механизм трактуется как столкновения из-за движения частиц с жидкостью, а механизм за счет ускорения интерпретируется как столкновения вследствие движения частиц относительно жидкости. Очевидно, что такое объяснение и разделение на два механизма единого процесса взаимодействия частиц с турбулентными вихрями являются в значительной степени условными. Впервые выражение для ядра столкновений вследствие ускорения, учитывающее коррелирован- ность скоростей частиц, получили Williams & Crane (1983) при помощи спектрального метода. Поскольку аналитические решения были найдены только для малых и крупных частиц, то выражение для ядра столкновений, приемлемое во всем диапазоне изменения инерционности частиц, получено путем интерполяции предельных решений. Однако Williams & Crane (1983) пренебрегли взаимодействием частиц с мелкомасштабной турбулентностью, вследствие чего исключался из анализа сдвиговый механизм столкновений и не обеспечивался предельный переход к решению Saffman & Turner (1956) для безынерционных частиц. Kruis & Kusters (1996), используя аппроксимацию Williams & Crane (1983), объединили решения для механизмов столкновений, обусловленных сдвигом и ускорением. Yuu (1984) также получил решение, объединяющее столкновения за счет сдвига и ускорения. Однако модель Yuu (1984) справедлива только для малых частиц, поскольку коэффициент корреляции скоростей двух частиц определен неправильно и для одинаковых частиц оказывается равным единице. Из-за этого вклад взаимодействия частиц с энергосодержащими вихрями в ядро столкновений отсутствует, и модель не может быть использована для крупных частиц. Путем решения уравнения диффузии, вытекающего из кинетического уравнения для плотности вероятности скоростей двух частиц, Деревич (1996) определил ядро столкновений, учитывающее вклад взаимодействия частиц как с энергосодержащими, так и мелкомасштабными турбулентными вихрями. Однако предсказываемое этим решением стремление коэффициента корреляции с ростом инерционности частиц не к нулю, а к единице не обеспечивает предельного перехода к зависимости Abrahamson (1975).
Отметим, что аналитические модели Williams & Crane (1983), Yuu (1984), Kruis & Kusters (1996) и Деревича (1996) основаны на широко распространенной в статистической механике цилиндрической формулировке задачи. В рамках цилиндрической формулировки ядро столкновений связывается с полной относительной скоростью двух частиц (|w|) и радиусом столкновений ст, равным для одинаковых частиц их диаметру dp, при помощи соотношения
/? = 7TCr2(|w|).
Как показано Wang et al. (2000), более корректной для ряда задач, в частности, для определения скорости столкновений малоинерционных частиц в турбулентном потоке, является сферическая формулировка. В рамках сферической формулировки задачи ядро столкновений Р выражается через осредненную радиальную компоненту относительной скорости (|wr|). Разница этих формулировок для малых частиц связана с отличием продольной и поперечной структурных функций при малых расстояниях между двумя точками согласно (1.1.22), т. е. с различием интенсивностей пульсаций относительных скоростей сталкивающихся частиц в разных направлениях. Для высокоинерционных частиц обе формулировки приводят к одинаковым результатам. Wang et al. (2005) скорректировали цилиндрическую формулировку столкновений путем явного учета зависимости вероятности распределения относительной скорости w между двумя частицами при контакте от ориентации вектора г, соединяющего центры сталкивающихся частиц.
Сферическая формулировка без учета эффекта аккумулирования дает следующее определение для ядра столкновений выделенной частицы с другими частицами:
/3 = 27г<т2(|шг(<т)|), (4.1.1) где (|wr(cr)|) — осредненная радиальная компонента относительной скорости двух частиц при их контакте. Соотношение (4.1.1) справедливо в предположении, что относительное течение, характеризуемое скоростью w, несжимаемо, и, таким образом, потоки через поверхность сферы столкновений, направленные внутрь и наружу, равны.
Zhou et al. (1998) на основе простой модели взаимодействия частиц с вихрями, имеющими постоянное время жизни, получили необходимые для вычисления ядра столкновений аналитические выражения для кинетической энергии частиц и коэффициента корреляции скоростей двух частиц. Эта модель пренебрегает взаимодействием частиц с мелкомасштабными вихрями и интерпретирует крупные вихри как монте-карловский процесс с треугольной автокорреляционной функцией. Wang et al. (2000) с целью учета вклада сдвигового механизма в относительную скорость двух частиц привлекли модель Kruis & Kusters (1996), которая была модифицирована путем перехода от цилиндрической формулировки к сферической. Эти же авторы представили полуэм- пирическую модель столкновений, основанную на аппроксимационных зависимостях результатов DNS для относительной радиальной скорости и радиальной функции распределения двух частиц.
Рассмотрим статистическую модель турбулентных столкновений (Lavieville et al., 1995; Lavieville, 1997; Зайчик и др., 2003; Zaichik et al., 2003), единым образом учитывающую взаимодействие частиц со всеми турбулентными вихрями и справедливую во всем диапазоне изменения инерционности частиц. Данная модель основана на допущении, что одноточечная ФПВ скоростей жидкости и частицы в изотроп-
ной турбулентности представляется в виде нормального распределения
P^(u(x), v(x)) =
(i-e2)-3/2—exp (2714?V')(i-e2)-3/2—exp (2714?V')"1(Wk. (i-m2tz'2"1(Wk. (i-m2tz'22^22^2WAWA(4.1.2)(4.1.2). /2 _ Wk) _ 2fc ,2 __ 2^3- 3 ’ V ”3" 3 ’. /2 _ Wk) _ 2fc ,2 __ 2^3- 3 ’ V ”3" 3 ’Wk)(ukuky/2('Uk'UkW2‘Wk)(ukuky/2('Uk'UkW2‘
(i-e2)-3/2
—exp (2714?V')
(i-e2)-3/2
—exp (2714?V')
"1(Wk
. (i-m2tz'2
"1(Wk
. (i-m2tz'2
2^2
2^2
WA
WA
(4.1.2)
(4.1.2)
. /2 _ Wk) _ 2fc ,2 __ 2^
3- 3 ’ V ”3" 3 ’
. /2 _ Wk) _ 2fc ,2 __ 2^
3- 3 ’ V ”3" 3 ’
Wk)(ukuky/2('Uk'UkW2‘
Wk)(ukuky/2('Uk'UkW2‘
Здесь u'2 и v'2 — интенсивности пульсаций скоростей жидкости и частицы, £ — коэффициент корреляции скоростей жидкости и частицы. Объемная концентрация частиц в (4.1.2) появляется вследствие нормировки ФПВ скорости частицы. Согласно (4.1.2) отдельные ФПВ для скорости жидкости и частицы удовлетворяет максвелловским распределениям
p(°)(v) =p(°)(v) =ф(2тги'2)3/2ф(2тги'2)3/2ехрехр\ 2v'2)'\ 2v'2)'
p(°)(v) =
p(°)(v) =
ф
(2тги'2)3/2
ф
(2тги'2)3/2
ехр
ехр
\ 2v'2)'
\ 2v'2)'
Отметим, что совместная ФПВ скоростей жидкости и частицы (4.1.2) является простейшей формой, удовлетворяющей максвелловским распределениям для скоростей жидкости и частицы и дающей ковариацию их скоростей (п^^).
Двухточечная ФПВ скоростей жидкости также предполагается гауссовой
(2™'2)
/ ayu^Uj • ауи^Ау OikBkjUY^A х ехр^тА- Н7 , (4.1.3)
\2и'22и’2и'4/
Zl-F(r)2 00 V*
ay =01 - G^20,
\ О О X-G^2)
где Bij(r) — эйлеров двухточечный корреляционный момент, а функции Р(г) и G(r) обозначают продольную и поперечную компоненты эйлеровой двухточечной корреляционной функции пульсаций скоростей (1.1.11).
С целью определения корреляции между скоростями двух соседних частиц вводится совместная двухточечная ФПВ скоростей жидкости и частиц (Lavieville et al., 1995)
Р(0)(щ (x), vi (x), u2(x + r), v2(x + r)) = P№(vi (x)|ui (x))x
x pl°\v2(x + r)|u2(x 4- r))P(0)(ui(x), u2(x 4- r)). (4.1.4)
Здесь pW(v|u) — плотность вероятности скорости частицы при условии, что скорость жидкости равна и. Условная плотность вероятности представляется как
p(°)(v|u) =p(°)(v|u) =Р^ (u, v) р(°)(и) ’Р^ (u, v) р(°)(и) ’(4.1.5)(4.1.5)
p(°)(v|u) =
p(°)(v|u) =
Р^ (u, v) р(°)(и) ’
Р^ (u, v) р(°)(и) ’
(4.1.5)
(4.1.5)
где Р^ (и) — максвелловское распределение скорости жидкости.
С учетом (4.1.2)-(4.1.5) можно определить ФПВ скоростей двух частиц, интегрируя (4.1.4) по подпространству скоростей жидкости
p(°>(vi(x), V2(x + г)) = j P^(ul,Vl,U2,V2)dUldU2 =
_ ф2 (i - ^p(r)2)-I/2 (i - е4^)2)”1
"(2^2)3Х
/ byu^y byv^j ^bikBkjv't^A
ХеХР\ 2и'22v'2 Л2 )’
/1-£4Р(г)2 ОО V*
by= I 01 - ^G^2 О
\ о о i-eMr)2/
Распределение (4.1.6) учитывает корреляцию скоростей двух соседних частиц. Эффект корреляции играет существенную роль для частиц, время релаксации которых меньше интегрального масштаба турбулентности, поскольку в этом случае скорости приближающихся частиц становятся коррелированными в результате взаимодействия с одними и теми же вихрями. Напротив, когда время релаксации частиц много больше турбулентного макромасштаба, частицы сближаются со случайным образом распределенными и независимыми скоростями. Как видно из (4.1.6), если взаимодействие частиц с жидкостью отсутствует (£ = 0), двухчастичная ФПВ становится равной произведению двух одночастичных распределений P^(vi, V2) = P^(vi)P^(v2), что соответствует гипотезе молекулярного хаоса в кинетической теории газов.
Далее перейдем к новым скоростям, характеризующим соответственно движение пары частиц в целом и их относительное движение
q =q =V1 + V22V1 + V22w = V2 — V).w = V2 — V).
q =
q =
V1 + V2
2
V1 + V2
2
w = V2 — V).
w = V2 — V).
Интегрируя двухчастичную ФПВ (4.1.6) по q, придем к распределению для относительной скорости пары частиц w
p(°)(w) ^W2)"^! -$2Р(<^
Vk7)
/1 - ^Е^0°\
су = О 1 - $2G(r) О.
\ ОО l-£2G(r)/
Затем, интегрируя (4.1.7) по нормальным к вектору скорости, соединяющему центры частиц, компонентам wn, получаем ФПВ распределения радиальной компоненты относительной скорости
(4L8)
где интенсивность пульсаций радиальной скорости двух частиц при контакте определяется соотношением
Н") = 2^2(1 - <12), С12 = ^F^Y (4.1.9)
Здесь <12 — коэффициент корреляции скоростей двух сталкивающихся частиц вследствие взаимодействия с турбулентностью, а расстояние между двумя частицами т положено равным радиусу столкновений о.
Распределение (4.1.8) позволяет выразить среднюю относительную радиальную скорость частиц через интенсивность пульсаций радиальной скорости
/29 \ 1/2
(Ы)= -(w'2).(4.1.10)
\7Г/
Как показано в разделе 1.4, в однородной изотропной стационарной турбулентности при отсутствии осредненного скоростного межфазного скольжения кинетическая энергия пульсаций скорости частиц и ковариация скоростей жидкости и частицы совпадают и выражаются через кинетическую энергию пульсаций скорости жидкости при помощи соотношения
Wk) = Wk) = fuWkY(4.1.11)
где fu — коэффициент вовлечения частиц в турбулентное движение (1.4.15). С учетом (4.1.11) коэффициент корреляции скоростей жидкости и частицы < принимает вид
€ = /У2-(4.1.12)
Из (4.1.9) и (4.1.12) следует соотношение для коэффициента корреляции скоростей двух частиц в момент контакта
<12 =/Л).(4.1.13)
Согласно (4.1.13) коэффициент корреляции скоростей частиц при контакте равен произведению коэффициента вовлечения частиц в турбулентное движение fu и корреляционной функции F(a\ учитывающей пространственную коррелированность скоростей жидкости на
расстоянии радиуса столкновений ст. Если диаметр частиц меньше колмогоровского пространственного микромасштаба т) и, следовательно, ст принадлежит к вязкому интервалу, то корреляционная функция в соответствии с (1.1.11), (1.1.14) и (1.1.22) определяется как
F( А - 1 _- 1 _
(4.1.14)(4.1.14)30u'2p601/2 Кед ’
(4.1.14)
(4.1.14)
<r/15^V/2
ст = —, Кед = I туI ev I
С учетом (4.1.9), (4.1.10), (4.1.13) и (4.1.14) средняя относительная радиальная скорость двух частиц представляется как
9„, Г Г /-2 xnV2
“^Р-р^Ч'-бо^Ж ■ (4И5>
Подстановка (4.1.15) в (4.1.1) приводит к следующему выражению для ядра столкновений:
Р = 4тг^2<72и/ [1 _ /„^(сг)]1/2 =
Г Г /7т2\П1/2
- 4-,/2»ЖЖ" - бо^Ж ■,4И6)
Рассмотрим некоторые предельные случаи, вытекающие из (4.1.16). Для безынерционных частиц (тр = 0, /и = 1) формула (4.1.16) переходит в ядро Saffman & Turner (1956)
/о х 1/2
/?5т=(тр) а3.(4.1.17)
Далее проанализируем (4.1.16) для инерционного интервала изменения времени релаксации частиц (тк < тр < TL) в пределе больших чисел Рейнольдса (Кед —> оо). В соответствии с колмогоровской теорией локального подобия (Монин и Яглом, 1967) в инерционном интервале лагранжева структурная функция представляется в виде
Sbijlr) =
= ((ui(R>Ч - ui(R(* -T^t- г)) (u'(R, t) - u'(R(t - r), t - r))) = = 2 ((u-u') - BL ц(т)) = CoooerSij для rk « т < TL, (4.1.18)
где Cqoo — значение постоянной Колмогорова при Кед —* оо. Формула (4.1.18) приводит к следующим соотношениям для лагранжевой авто-
корреляционной функции и коэффициента вовлечения в инерционных интервалах:
Фь(т) = 1 - для Тк «С Т < TL,г ^РТ(4-1.19)
/и = 12 ? ДЛЯ тк^Тр«. TL-
Подстановка (4.1.19) в (4.1.16) дает ядро столкновений
Р^Ьу^'^о2, bi = (8^000)1/2,(4.1.20)
соответствующее колмогоровской теории локального подобия применительно к инерционному интервалу изменения времени релаксации частиц.
Наконец, в предельном случае высокоинерционных частиц (тр —* сю, fu —► 0) формула (4.1.16) обеспечивает переход к кинетическому ядру столкновений (Abrahamson, 1975)
/3a = 4tt1/:W,(4.1.21)
аналогичному ядру столкновений молекул в кинетической теории газов.
Для определения коэффициента вовлечения fu необходимо задать лагранжеву автокорреляционную функцию скорости жидкости вдоль траектории движения частицы ФьР(т). С этой целью используем двухмасштабную би-экспоненциальную аппроксимации, аналогичную (1.1.5) и (2.7.11)
1 Г/ 2т \
= 2^+ 6ХР (1+^)7^/
-(1 - 3tp)exp’ (4-1-22)
' 3?p = (l-2^)'/2, zp = ^,
Lp
где ттр и TLp — дифференциальный и интегральный временные масштабы. Аппроксимация (4.1.22) приводит к следующей зависимости для коэффициента вовлечения:
_ 2QP +
^”2Qp + 2Q2+4’ ^"tLp(4,L23)
При малых и больших значениях времени релаксации тр из (4.1.23) следует.
lim/u = l-^,(4.1.24)
Тр-^0ТТр
(4.1.25)(4.1.25)г f ^Lphm = —-.
(4.1.25)
(4.1.25)
тр—юоТр
11 + Пр11 + ПрПри больших числах Рейнольдса ^zp —► 0 при Rex —► оо) коэффициент вовлечения (4.1.23) переходит в выражение (1.4.18)
1
1 + Пр
1
1 + Пр
(4.1.26)
соответствующее экспоненциальной автокорреляционной функции.
Очевидно, что при использовании коэффициента вовлечения (4.1.26) вместо (4.1.23) максимальная ошибка будет иметь место для малоинерционных частиц, взаимодействие которых с турбулентностью согласно (4.1.24) характеризуется дифференциальным, а не интегральным масштабом турбулентности.
Для малоинерционных частиц ядро столкновений (4.1.16) с учетом (4.1.24), если пренебречь влиянием инерционности частиц на тейлоров масштаб турбулентности (1.1.6), примет вид
8тге\|/2 3/ 3OaoSt2V/28тге\|/2 3/ 3OaoSt2V/2St = ^,TkSt = ^,Tk(4.1.27)(4.1.27)
8тге\|/2 3/ 3OaoSt2V/2
8тге\|/2 3/ 3OaoSt2V/2
St = ^,
Tk
St = ^,
Tk
(4.1.27)
(4.1.27)
где инерционность частиц характеризуется числом Стокса St, равным отношению времени релаксации частицы к колмогоровскому временному микромасштабу.
Для высокоинерционных частиц из (4.1.16) с учетом (4.1.25) сле
дуетдует3 = 4тГ1/2(72и/3 = 4тГ1/2(72и/1/21/2(4.1.28)(4.1.28)
дует
дует
3 = 4тГ1/2(72и/
3 = 4тГ1/2(72и/
1/2
1/2
(4.1.28)
(4.1.28)
В пределе больших чисел Рейнольдса ядро столкновений описывается асимптотической зависимостью
0V2
3 = 47Г1/2д2п/_^^ 1+Пр
следующей из (4.1.16) после подстановки (4.1.26).
На рис. 4.1.1 показано сравнение формулы (4.1.27) с учетом зависимости (1.1.7) для ао с результатами прямого численного моделирования Zhou et al. (1998) для малоинерционных частиц. Видно, что (4.1.27) качественно правильно описывает данные DNS, предсказывая рост ядра столкновений с увеличением числа Рейнольдса и уменьшением отношения диаметра частиц к пространственному микромасштабу.
Рисунок 4.1.2 показывает поведение коэффициента корреляции скоростей частиц (4.1.13), рассчитанного с учетом (4.1.14) и (4.1.23), в зависимости от времени релаксации частицы, отнесенного к временному макромасштабу турбулентности Те = u/2/s. Интегральный и дифференциальный временные масштабы определялись согласно (1.1.4),
Рис. 4.1.1. Ядро столкновений малоинерционных частиц: 1-6 — (4.1.27); 7-12 - Zhou et al. (1998); 1, 4, 7, 10 - Нед = 45; 2, 5, 8, 11 - Нед = 59; 3, 6, 9, 12 - Нед = 75; 1-3, 7-9 - а =1; 4-6, 10-12 -а = 0,5; 13 - (4.1.17)
Рис. 4.1.2. Влияние инерционности на коэффициент корреляции скоростей частиц при а = 1: 1-3 — (4.1.13); 4-6 — Wang et al. (2000); 1,4 — Нед = 24;
2, 5 — Нед = 45; 3, 6 — Нед = 58
Рис. 4.1.3. Влияние инерционности на радиальную относительную скорость частиц при а = 1: 1-3 — (4.1.15); 4-6 — Wang et al. (2000); 1,4 — Нед = 24;
2,5 — Rex = 45; 3, 6 - Rex = 58
и (1.1.7); влияние инерционности частиц на эти масштабы не учитывалось. Видно, что характер влияния инерционности частиц на коэффициент корреляции, предсказываемый (4.1.13) и результатами DNS Wang et al. (2000), качественно одинаков и заключается в снижении (12 при увеличении тр. Кроме того, хотя зависимость (4.1.13) дает меньшие значения коэффициента корреляции, она предсказывает такой же характер влияния числа Рейнольдса, как и результаты расчетов Wang et al. (2000).
На рис. 4.1.3 представлено сравнение радиальной относительной скорости, рассчитанной по (4.1.15), с результатами прямого численного моделирования Wang et al. (2000). Зависимость (|wr|) от тр характеризуется наличием максимума. Первоначальный рост (|wr|) обусловлен уменьшением коэффициента корреляции (12 с увеличением их инерционности тр. Последующее падение (|wr|) после прохождения максимума связано со снижением коэффициента вовлечения fu, поскольку частицы становятся менее подвижными и слабее вовлекаются в турбулентное движение окружающей жидкости. Для малоинерционных частиц (тр/Те ^ 1) формула (4.1.15) дает завышенные значения радиальной относительной скорости по сравнению с результатами DNS. В связи с этим следует отметить, что Wang et al. (2000) выполнили расчеты движения частиц в «замороженной турбулентности», когда частицы вводятся в поток после того, как течение достигает статистически стационарного состояния и его характеристики не изменяются (замораживаются). Однако интенсивность флуктуаций относительной
Рис. 4.1.4. Влияние инерционности на кинетическую энергию частиц и ядро столкновений при Кед = 54,2 и а = 0,36: 1,3 — kp/k’, 2, 4 — 010а;
/ и 2 - (4.1.11) и (4.1.16); 3,4 — Sundaram & Collins (1997)
скорости двух частиц, движущихся в «форсированной турбулентности» (Fede & Simonin, 2005), где для поддержания статистически стационарного состояния используется случайная сила, оказывается выше, чем в «замороженной турбулентности» и, следовательно, лучше согласуются с формулой (4.1.15).
Рисунок 4.1.4 показывает влияние инерционности частиц на их кинетическую энергию kp = 3v/2/2, отнесенную к энергии турбулентности газа к = Зи,2/2 и определенную согласно (4.1.11) с учетом (4.1.23), а также на ядро столкновений (4.1.16), нормированное на кинетическое ядро столкновений (4.1.21). Видно соответствие аналитических зависимостей (4.1.11) и (4.1.16) с результатами прямого численного моделирования Sundaram & Collins (1997). Стремление 0(0а к единице иллюстрирует уменьшение эффекта коррелированности движения частиц с ростом их инерционности.
На рис. 4.1.5 представлено сопоставление ядра столкновений, отнесенного к соответствующей величине для безынерционных частиц (4.1.17), с данными DNS Wang et al. (2000). Несмотря на то, что рассмотренная модель предсказывает большие значения радиальной относительной скорости по сравнению с результатами прямых численных расчетов, неучет эффекта аккумулирования частиц приводит к меньшим максимальным значениям ядра столкновений, имеющим место в DNS при St « 1.
Рис. 4.1.5. Влияние инерционности на ядро столкновений частиц при а = 1: 1-3 - (4.1.16); 4-6 - Wang et al. (2000); 1, 4 - ReA = 45; 2,5- ReA = 58;
3, 6 — HeA = 75
В заключение раздела отметим, что использование одномасштабного коэффициента вовлечения (4.1.26), следующего из. экспоненциальной автокорреляционной функции (1.3.17), вместо двухмасштабного коэффициента вовлечения (4.1.23), соответствующего би-экспоненци- альной автокорреляционной функции (4.1.22), приводит к существенной погрешности как при определении относительной скорости, так и ядра столкновений малоинерционных частиц.
Частота столкновений при совместном действиитурбулентности и градиента осредненной скорости
Определим частоту и ядро столкновений в результате совместных эффектов турбулентности и градиента средней скорости потока, т. е. при наличии пульсационной и осредненной составляющих относительной скорости между частицами (Алипченков и Зайчик, 2001). В этом случае из-за наличия флуктуационной и осредненной составляющих относительной скорости между частицами для вычисления (|wr|) в (4.1.1) необходимо выполнить осреднение по случайному распределению wr и телесному углу, характеризующему пространственную ориентацию вектора скорости w относительно соединяющего центры сталкивающихся частиц вектора г
2?Г 7Г ОО
<1-"г|> = ^ 11 | \wT\P (wT) sin tp d^ dtp dwr,(4.2.1)
о о -оо
где ip — полярный угол между вектором г и осью z, направленной вертикально вверх; — азимутальный угол в перпендикулярной к z плоскости (х,у).
Выполним интегрирование в (4.2.1) по и)Т с учетом гауссова распределения для пульсационной составляющей радиальной компоненты относительной скорости (4.1.8)
+Wrerf+WrerfWTWTWr2W/2)\Wr2W/2)\sin ip d/ф dip.sin ip d/ф dip.(4.2.2)(4.2.2)
+Wrerf
+Wrerf
WT
WT
Wr2W/2)\
Wr2W/2)\
sin ip d/ф dip.
sin ip d/ф dip.
(4.2.2)
(4.2.2)
При отсутствии осредненной относительной скорости (WT = 0) выражение (4.2.2) переходит в (4.1.10).
Профиль осредненной скорости жидкости в окрестности сталкивающихся частиц задается в виде U = (Sz,0,0), и, кроме того, принимается, что частицы полностью вовлекаются в осредненное движение несущего потока, т. е. V = U. Тогда радиальная компонента осредненной относительной скорости двух частиц при контакте будет
WT = Scrcos^sniipcosip.WT = Scrcos^sniipcosip.(4.2.3)(4.2.3)
WT = Scrcos^sniipcosip.
WT = Scrcos^sniipcosip.
(4.2.3)
(4.2.3)
В результате интегрирования (4.2.2) с учетом (4.2.3) и подстановки в (4.1.1) получается ядро столкновений, обусловленное совместным действием турбулентности и сдвига осредненной скорости
0 = (8тг(ш'2)) *
<п=0
Г(2п+ 1)Г(п+ 1/2)23п+1г2(п+ 1)Г(2п + 3/2)
«2)
Г(2п + 3)Г(п + 3/2)/ S2ct2 \ п+*
+ 23п+3(2п + 1)Г(п + 1)Г(п + 2)Г(2п + 7/2) V(w^2)7
где Г(ж) — гамма-функция.
При (S<r)2/(w'2) —> 0 из (4.2.4) получается турбулентное ядро
столкновений
/,2\'/2
А = (8тг(<)).
(4.2.5)
При (5<т)2/Н2)
Smoluchowski (1917)
со ряд (4.2.4) сходится к решению
(4.2.6)
На рис. 4.2.1 показано сравнение зависимости (4.2.4) с результатами прямых численных расчетов Mei & Hu (1999) для безынерционных частиц, когда турбулентная составляющая ядра столкновений определяется формулой (4.1.17). Видно хорошее согласие (4.2.4) с числен-
Рис. 4.2.1. Ядро столкновений в турбулентном потоке с однородным сдвигом скорости: / - (4.2.4), 2 - (4.2.7), 3 - Mei & Hu (1999)
ными результатами. Выражение (4.2.4) может быть аппроксимировано
(4.2.7)(4.2.7)простой формулой
(4.2.7)
(4.2.7)
где (3t — составляющая ядра столкновений (4.2.5), индуцированная турбулентностью, а составляющая ядра столкновений за счет сдвига скорости 3s определяется согласно (4.2.6). Видно, что зависимости (4.2.4) и (4.2.7) на рис. 4.2.1 практически неразличимы.
Зависимости (4.2.4), (4.2.6) и (4.2.7) справедливы не только для безынерционных частиц, когда турбулентное ядро столкновений определяется согласно Saffman & Turner (1956), а под S понимается градиент осредненной скорости несущего потока. Очевидно, что эти формулы можно использовать и для инерционных частиц, когда турбулентное ядро столкновений описывается зависимостью (4.1.16), а под S подразумевается градиент осредненной скорости дисперсной фазы.
Столкновения частиц в анизотропномтурбулентном потоке
В рамках модели твердых сфер скорости двух частиц после столкновения v°, Vp! связаны со скоростями этих частиц перед столкновением vp, Vpi соотношениями
v° = Vp + |(i +e)(wp 1)1, v°j =VP1 - ^(l+e)(wp-l)l,(4.3.1)
где е — коэффициент восстановления импульса при соударении; wp = = vpi — vp — относительная скорость сталкивающихся частиц; 1 — единичный вектор, направленный от центра первой частицы к центру второй при ударе.
С учетом столкновений кинетическое уравнение для одноточечной (одночастичной) ФПВ P(x,v, t) представляется в виде
ЭР . ЭР Э \(Uk-vk \ 1 = 1 Э^ (8Р\ dt k9xk dvk тр к) J тр dvk \dt)coll'
(4.3.2)
Первый член в правой части (4.3.2) описывает взаимодействие частиц с турбулентными вихрями, а второй символизирует вклад столкновений частиц. Если время взаимодействия частиц с энергоемкими турбулентными вихрями Tlp много меньше характерного промежутка времени между столкновениями двух частиц тс, то влиянием столкновений на взаимодействие «частица-турбулентность» можно пренебречь. В этом случае при моделировании поля скорости сплошной среды гауссовым процессом корреляция между пульсациями скорости жидкости и плотностью вероятности скорости частицы ^р) определяется согласно (2.1.11) с учетом (2.1.16) и (2.1.17). При нарушении условия Тьр «^ тс корреляцию (и^р) будем по-прежнему определять выражениями (2.1.11), (2.1.16) и (2.1.17), учитывая эффект столкновений через влияние на Tlp в приближении изотропной однородной турбулентности, как это показано в разделе 1.3.
ГЭР\\ Э1 )со11ГЭР\\ Э1 )со11Для модели твердых сфер (4.3.1) оператор столкновений представляется в виде интеграла типа Больцмана (Chapman & Cowling, 1970)
ГЭР\
\ Э1 )со11
ГЭР\
\ Э1 )со11
w-l<0w-l<0[Р(х, v°,х+<т1,Vytt) — Р(х, v,x+al, vi,t)] (w • 1) dldvy,
w-l<0
w-l<0
(4.3.3)
где условие w • 1 < 0 указывает, что интегрирование выполняется по значениям 1 и vi, для которых реализуются столкновения частиц.
В соотношение (4.3.3) входит двухчастичная ФПВ, определен
ная как
P(x,v,xi,vbt) = (5(x-Rp(t))5(v-Vp(t))5(xi-Rpi(t))5(vi - vpi(t))).
Из (4.3.2) с учетом (2.1.11) и (4.3.3) следует цепочка уравнений для одноточечных статистических моментов одночастичной ФПВ. Обрывая эту цепочку на уровне третьих моментов при помощи квазинормальной гипотезы (2.2.6), получаем
(4.3.4)(4.3.4)ЭФ dФVkdt дхк’
(4.3.4)
(4.3.4)
9^,у9У = _ЭД^~И р Р^Э1пФ
dt к dxk dxk тр 1 тр dxk ’
9^ ад , 1 ^ад8t k dxk Ф Эхк9^ ад , 1 ^ад8t k dxk Ф Эхк=-((«>+«)§-=-((«>+«)§-Dp^a^u^)Dp^a^u^)Tp dx^Tp dx^w-l<0w-l<0
9^ ад , 1 ^ад
8t k dxk Ф Эхк
9^ ад , 1 ^ад
8t k dxk Ф Эхк
=-((«>+«)§-
=-((«>+«)§-
Dp^a^u^)
Dp^a^u^)
Tp dx^
Tp dx^
w-l<0
w-l<0
at n axn
,,, ,x9vk .,, ,.dVj ., , ,.dVi -^э^^^k^^ ^^дхп
Dpjn d^V^) Dp kn ^^j)^^i^j^k) , ^ /Д Q ?X
Tp dxn Tp dxnTp
Как видно, столкновения не дают вклад в уравнения (4.3.4) и (4.3.5), поскольку масса и количество движения системы частиц при соударениях сохраняются. Величины Cij и С^к обозначают вклад столкновений в уравнения баланса вторых и третьих моментов пульсаций скорости дисперсной фазы. Тензор турбулентной диффузии частиц Dpij в (4.3.5) и (4.3.7) по-прежнему определяется выражением (2.2.3).
При небольшой объемной концентрации (Ф ^ 0,01) непосредственным вкладом межчастичных столкновений в напряжения и поток пульсационной энергии дисперсной фазы можно пренебречь. Это означает, что «столкновительные члены» входят в систему уравнений для моментов только в виде источников и не содержат составляющие в виде потоков. Таким образом, столкновительные члены в (4.3.6) и (4.3.7) представляются в виде (Jenkins & Richman, 1985)
1 f (8Р\
Су = ж ^j “НГ dv =
ФJ 3\9tJcoll
(w • l)P(x, v, x + crl, vi, t)|[vjv']]dl dv dvi, (4.3.8)
(w • l)P(x, v,x + crl, vi,t)[v|v'-vj.]dldvdvi, (4.3.9) wl<0
гдегде
где
где
В соответствии с моделью соударений частиц (4.3.1)
Н^] = |(1 + е)(^ • 1) [(1 + e)(w' • 1)Ц, - ЩЦ + w&)],(4.3.11)
Н^^Л = ^0 + e)(w' • 1) [it(v<4 - ^v'fc) + lMVk - Ц^кН+Zfc(^4 - V^fe)] + ^^^ (w' • I)2 \ltWk + <4)+
■HMVj + 4,) + IjW + ^h)] ■ (4.3.12)
Равенство (4.3.10) выражает факт сохранения количества движения при соударениях частиц.
Как следует из (4.3.8) и (4.3.9), для нахождения столкновительных членов необходимо определить ФПВ скоростей двух частиц в момент соударения. Для этой цели, как правило, по аналогии с гипотезой молекулярного хаоса в кинетической теории газов, составляющей основу уравнения Больцмана, используется предположение о некоррелированности (статистической независимости) движения частиц. В соответствии с этим допущением двухчастичная ФПВ представляется в виде произведения одночастичных функций, и получающиеся выражения для описания столкновений частиц в турбулентном потоке по существу оказываются аналогичными соответствующим соотношениям в кинетической теории газов (Abrahamson, 1975; Louge et al., 1991; Simonin, 1991a; Sommerfeld & Zivkovic, 1992; Зайчик и Першуков, 1995). Однако, такой подход действителен только для высокоинерционных частиц, время динамической релаксации которых много больше интегрального масштаба турбулентности, а их относительное движение некоррели- ровано и аналогично хаотическому движению молекул. Поэтому для описания столкновений частиц произвольной инерционности, как и в разделе 4.1 для расчета частоты столкновений в изотропной турбулентности, будем основываться на коррелированном гауссовом распределении скоростей частиц (Lavieville et al., 1995; Lavieville, 1997). Такой подход в сочетании с разложением Трэда позволяет получить простые явные выражения для столкновительных членов с учетом коррелированности движения частиц.
Коррелированная гауссова ФПВ скоростей двух частиц в изотропной турбулентности описывается распределением (4.1.6). Если размер частиц не превышает пространственный колмогоровский микромасштаб, то продольная и поперечная компоненты эйлеровой двухточечной корреляционной функции пульсаций скоростей жидкости на расстоянии, равном радиусу сферы столкновений а, определяются как
—2—2
GW='-»-(4'3J3)
В дальнейшем рассмотрим столкновения относительно небольших частиц (а ^ 1) при больших числах Рейнольдса (Нед » 1). Тогда корреляционные функции (4.3.13) можно положить равными единице,
вследствие чего распределение (4.1.6) упрощается и с учетом (4.1.12) примет вид
ф2ф2— ехр .3/2— ехр .3/22V2(l-/=)2V2(l-/=)
ф2
ф2
— ехр .3/2
— ехр .3/2
2V2(l-/=)
2V2(l-/=)
(4.3.14) где верхний символ (0) указывает, что гауссова ФПВ является нулевым членом разложения, пригодным для описания распределения скоростей частиц в изотропной турбулентности.
Для учета анизотропии скоростей частиц в соответствии с методом Грэда представим двухчастичную ФПВ в виде разложения по полиномам Эрмита (Zaichik & Alipchenkov, 1997; Алипченков и Зайчик, 19986). Уникальность использования полиномов Эрмита по сравнению с другими базисными функциями состоит в том, что коэффициенты разложения выражаются через моменты ФПВ порядка не выше рассматриваемого члена разложения. Таким образом, двухчастичная ФПВ
представляется в виде
х Г, $9 \( ^# \
Р(у, vi) = 1 + T^j I —Ь —— I + —— I —— 1- ——-— I +
Эицу 2! \dvidvj dvndv\jу
Оу / а2 а2 \ ^ / а3 а3 2! уд'ОгЭ'ихэ dvudvj)3! yd'Vid'Ujd'Uk Эт^Э^Э-иук,
+ Qijk / а3 + а3 + а3 + а3
3! \9'Ui9'Uj9,uik dvidvijdvk dvudvjdvi д,и\гЭ,1)\зЭ,ик
(4.3.15)
где P^(v,vi) определяется согласно (4.3.14).
Отметим, что Lavieville (1997) и Lavieville et al. (1997) использовали несколько более общий подход для определения P(v,vi) в анизотропной турбулентности по сравнению с разложением (4.3.15). Этот подход основан на построении разложения Грэда для совместной ФПВ скоростей жидкости и частицы P(u,v) и определении P(v,vi) путем операции интегрирования, аналогичной (4.1.6). Таким образом непосредственно учитывается вклад в P(v,vi) не только анизотропии скоростей частиц, но и анизотропии скоростей жидкости и корреляций скоростей обеих фаз. Однако построенная таким образом P(v,vi) включает только квадратичные члены разложения по скоростям частиц, что дает возможность определить С^-. Учет в рамках этого подхода кубических членов разложения, необходимых для нахождения С^, представляется чрезвычайно громоздким. Поэтому с целью получения относительно простых аналитических выражений как для так и для Cijk будем основываться на разложении (4.3.15).
Коэффициенты T^i, Kij, Кцк в (4.3.15) находятся из условий
^ j j ^Р^’ V* ^ ^ = ^ = 0’ $2 j j vivjP(v> V1 )dv dv« = WjY j j ^i^^’V| ^ dvi = W^Y
Откуда
^ = 0, 7^ = (v<v<)-v%, Hijk = -WAY (4.3.16)
Поскольку пространственные корреляционные функции приняты равными единице (^(ст) = G(a) = 1), то коэффициент корреляции скоростей двух частиц (4.1.13) принимает вид
<12 =/и.(4.3.17)
В соответствии с (4.3.17) следует положить
Qij = fu^iji Q-ijk = fu^ijk^(4.3.18)
что приводит к соотношениям
Wj) = WAY WA\k) = WxA')= 0M4) = kWAY
P(v»vi) =P(v»vi) =WA 2И(1-/2)WA 2И(1-/2)2v'2(l-/2)2v'2(l-/2)х < 1 +х < 1 +С учетом (4.3.14), (4.3.16) и (4.3.18) двухчастичная ФПВ (4.3.15) примет вид
P(v»vi) =
P(v»vi) =
WA 2И(1-/2)
WA 2И(1-/2)
2v'2(l-/2)
2v'2(l-/2)
х < 1 +
х < 1 +
[^ + «j - fuWlj + Vli^j)] +
+ A i?^ m3 [(! - ^)2(! + ^WA + AAA^ - /^(1 - fu?xx WAxk+A'tA + инУАк + v'iAA + MAxk + vi*v>k)] -
-^ t.^)^?^ (^ + v' )1. (4.3.19) 2v,4(l + /«)2J
Для удобства дальнейших вычислений перейдем к скоростям, характеризующим совместное и относительное движение двух частиц
V1 + vq= —
В новых переменных ФПВ (4.3.19) представляется как
-P(q> w) =-P(q> w) =£exp fM£exp fM
-P(q> w) =
-P(q> w) =
£exp fM
£exp fM
W^ - -v'XjW^ - -v'XjXX[4(1 - juWi + t1 + A)^^] +[4(1 - juWi + t1 + A)^^] +[4(1 - A)3(1 + зл)^ +[4(1 - A)3(1 + зл)^ +
W^ - -v'Xj
W^ - -v'Xj
X
X
[4(1 - juWi + t1 + A)^^] +
[4(1 - juWi + t1 + A)^^] +
[4(1 - A)3(1 + зл)^ +
[4(1 - A)3(1 + зл)^ +
4И(1-/2)Wj^12v'6(l-/2)3
+(1 - /3!(«»l + i,« + 9l«'w<)] - ^ЦЙ^^Ц ■
V (1 -V Ju) )
(4.3.21)
Переходя в (4.3.8) и (4.3.9) к переменным (4.3.20) и выполняя интегрирование с учетом (4.3.11), (4.3.12) и (4.3.21), получим следующие выражения для столкновительных членов:
С — 2(1 — е2)(1 —/tjfcpAJA/m ^ . \ /д о оо\
Су——Оу -(v^j/ n^pdyl, (4.3.22)
ТС1 \о /
3(1— fu) Г/ / / /х
'cl
-Е (WnOjk + ^«^k + 04«)fy)]. (4.3.23)
Т . —Ё£( ^ ^= ^Тс (4 з 24)
с 8(1 + е)(3 — е)Ф(1 —/U)V2 \upJ (1 + е)(3 — е) ’ ^ " " ’
= о /2тг\1/21+Зе
Тс " 16Ф(1 -Л)1/2 \3кр)*"18(3 —е)
Здесь тс, тс\ — характерные времена между столкновениями частиц; кр — кинетическая турбулентная энергия частиц. Отметим, что формула для тс совпадает с выражением, которое следует из (4.1.16) при а2/Нед <С 1, учитывая, что время между столкновениями тс является величиной, обратной частоте столкновений частицы шС1 т. е.
тс = ш;х = (0NVx-
Как видно из уравнений (4.3.6) и (4.3.7) с учетом (4.3.22) и (4.3.23), вклад членов, описывающих взаимодействие частиц с турбулентными вихрями и межчастичное взаимодействие в результате столкновений, характеризуется отношением времен тс1тр. При тс(тр > 1 роль столкновений незначительна, а при тс/тр <. 1 столкновения играют определяющую роль в формировании статистики поля скорости частиц.
В соответствии с (4.3.22) влияние столкновений на турбулентные напряжения дисперсной фазы проявляется в двух аспектах: во-первых, в диссипации флуктуаций скоростей частиц вследствие неупругих со-
ударений и, во-вторых, в перераспределении пульсационной энергии между различными компонентами. Второй эффект пропорционален степени анизотропии турбулентных пульсаций скорости частиц и обеспечивает стремление (гЗД) к изотропному состоянию. Этот эффект аналогичен влиянию пульсаций давления на турбулентные напряжения жидкости (Rotta, 1951).
СуСуLavieville (1997) и Lavieville et al. (1997) получили выражение для столкновительного члена С^ в случае упругих соударений (е = 1), учитывая не только анизотропию скоростей частиц, но и анизотропию скоростей жидкости и корреляций скоростей обеих фаз
Су
Су
g A/pUy
/9\/
(4.3.25)(4.3.25)-/u ( Wj) + W> - ^Wk^iA + /и ( Wj) -
(4.3.25)
(4.3.25)
Отметим, что, если принять локально-равновесные соотношения между вторыми моментами дисперсной и сплошной фаз
ад = ад = М^,
то (4.3.25) переходит во второй член в (4.3.22).
В рамках 13-моментного приближения Грэда имеет место следующая связь между тройными корреляциями и их свертками (Jenkins & Richman, 1985):
Wj^ = | (Wn^Sjk + Ц«)^ + H«)<M •(4.3.26)
Выражение (4.3.23) с учетом (4.3.26) примет вид
_ _3(l-/.)C-5£)= JJHJ^
(4.3.27)(4.3.27)TC1JTC2
(4.3.27)
(4.3.27)
_180rc
Tc2~ (1 + e)(49 — 33e)
Из (4.3.23) и (4.3.27) видно, что столкновения приводят к уменьшению тройных корреляций пульсаций скорости дисперсной фазы. При fu —> О формулы (4.3.22), (4.3.23) и (4.3.27) переходят в соотношения для столкновительных членов, полученные Jenkins & Richman (1985) для некоррелированного хаотического движения частиц. С увеличением коэффициента вовлечения частиц fu (уменьшением инерционности частиц) возрастает коррелированность их движения, что приводит к снижению влияния столкновений на турбулентность дисперсной фазы. В Sakiz & Simonin (2001) получено аналитическое выражение для столкновительного члена С^ в случае более общей по сравнению с (4.3.1) схемы соударений. Эта модель справедлива для режима столкновений без скольжения и включает, кроме нормального коэффициента
восстановления импульса е, также тангенциальный коэффициент восстановления, а также учитывает вращение сталкивающихся частиц.
Если в (4.3.7) пренебречь членами, описывающими эволюцию во времени, конвекцию и порождение третьих моментов за счет градиентов осредненной скорости, то для третьих моментов пульсаций скорости получается алгебраическое градиентное соотношение м«> = J’tP-W^r’x
х (Я„.№+С„. (4.3.28)
При незначительной роли столкновений, т. е. когда время релаксации частиц много меньше времени между столкновениями (тр/тС2 <^ С 1), соотношение (4.3.28) переходит в (2.2.8). Формула (4.3.28) для тройных моментов пульсаций скорости без учета коррелированности движения частиц (/^ = 0) впервые была получена Simonin (1991а, 1991b) для упругих соударений (е = 1) и обобщена для неупругих столкновений Simonin (1996). Согласно (4.3.28) с уменьшением инерционности частиц и соответственно с возрастанием коррелированности их движения влияние столкновений на диффузионный перенос пульсаций скорости уменьшается.
Из (4.3.28) следует, что, если не учитывать изменение вторых моментов (v^y), столкновения должны приводить к уменьшению тройных корреляций, а, следовательно, к снижению роли диффузионного механизма переноса пульсаций скорости частиц. Однако с учетом влияния столкновений на ^^ эффект может оказаться прямо противоположным, и, как получено в экспериментах Caraman el al. (2003), столкновения приводят к росту тройных моментов и, следовательно, к интенсификации турбулентного транспорта пульсаций скорости дисперсной фазы. Кроме того, в концентрированной дисперсной среде (Ф > 0,1) столкновения частиц увеличивают диффузионный турбулентный перенос благодаря непосредственному вкладу в потоки пульсаций скорости (Зайчик, 1992а; Зайчик и Першуков, 1995).
Граничные условия для дисперсной фазыс учетом столкновений частиц
Как отмечается в разделе 2.4, при построении граничных условий для дисперсной фазы можно ограничиться случаем относительно инерционных частиц, время релаксации которых значительно превышает время их взаимодействия с энергоемкими турбулентными вихрями, поскольку противоположный предел малоинерционных частиц не представляет большого интереса вследствие реализации в этом случае «условия прилипания». При тр > ТьР можно пренебречь коррелирован- ностью движения частиц и при рассмотрении влияния межчастичных
столкновений на граничные условия для дисперсной фазы. Однако, так как это практически не усложняет проводимый анализ, эффект коррелированности движения частиц в столкновительные члены будем учитывать.
Кинетическое уравнение для высокоинерционных частиц (2.4.8) с учетом столкновений записывается как
5^9Р_Э Г(Uk-i)kdt8xk дик Д тр5^9Р_Э Г(Uk-i)kdt8xk дик Д тр+ Fk]P+ Fk]PTlp, , ,x d2PTp d-Uid-UkTlp, , ,x d2PTp d-Uid-Uk(—A\ ^ / coll(—A\ ^ / coll(4.4.1)(4.4.1)
5^9Р_Э Г(Uk-i)k
dt8xk дик Д тр
5^9Р_Э Г(Uk-i)k
dt8xk дик Д тр
+ Fk]P
+ Fk]P
Tlp, , ,x d2P
Tp d-Uid-Uk
Tlp, , ,x d2P
Tp d-Uid-Uk
(—A
\ ^ / coll
(—A
\ ^ / coll
(4.4.1)
(4.4.1)
Представим оешение уравнения (4.4.1) в виде разложения Грэда (2.4.38), где Р^(у) является равновесным гауссовым распределением (2.4.17). Граничные условия, как и в разделе 2.4, получаются в результате интегрирования (2.4.32) с учетом (2.4.38). Определенная таким образом нормальная составляющая скорости на стенке по-прежнему имеет вид (2.4.30), т. е. столкновения не оказывают влияния на граничное условие для Vy. Выражения для продольной скорости и нормальных компонент интенсивностей пульсаций скорости на стенке (2.4.39)-(2.4.42) также не изменяются.
Соотношение для касательного напряжения вместо (2.4.23) с учетом столкновительного члена (4.3.22) примет вид
Wy> = -Wy> = -Тр1Тр1^Ч2) dVx2 dy ’TpTcY^Ч2) dVx2 dy ’TpTcY(4.4.2)(4.4.3)(4.4.2)(4.4.3)
Wy> = -
Wy> = -
Тр1
Тр1
^Ч2) dVx2 dy ’
TpTcY
^Ч2) dVx2 dy ’
TpTcY
(4.4.2)
(4.4.3)
(4.4.2)
(4.4.3)
Подставляя (4.4.2) в (2.4.39), получаем граничное условие для
продольной скорости Vx
Х\ 1/2
(4.4.4)(4.4.4)2) у
(4.4.4)
(4.4.4)
7г(«'2) /1
Из (4.3.28) следует, что в рассматриваемом приближении третьи моменты пульсаций скорости частиц вместо (2.4.24) с учетом столкновений определяются соотношениями
- 3dy .
'3dy ’
P2 -r_l
ТрТс2
,2xd^
dy ’
(4.4.5)
(4.4.6)
Подстановка (4.4.5) в (2.4.40)-(2.4.42) дает следующие граничные условия для диагональных компонент турбулентных напряжений дисперсной фазы:
(4.4.7)(4.4.8)(4.4.9)(4.4.7)(4.4.8)(4.4.9)* Ж!)оf1 -хе2 _1 -хА ( 2 \1/2....
(4.4.7)
(4.4.8)
(4.4.9)
(4.4.7)
(4.4.8)
(4.4.9)
р2 dyМ +хе21+Х//^^2^X ,
* <М^= Л 1- Хву_ 1 — х\ /Ж2Л 1/2
Тр2 dy\^ 1+ х41 + X/ \ ^ /
Ж2)п /1 ~Хе2 _ 1 — х\ / 2 \1/2 , ,2,
р2 dyЧ1+Хе2 1+х/ W2))^
Как видно из (4.4.4) и (4.4.7)-(4.4.9), роль столкновений сводится к замене тр в граничных условиях на эффективные времена релаксации (4.4.3) и (4.4.6), значения которых уменьшаются с ростом частоты столкновений. Влияние соударений частиц на граничное условие для касательной компоненты напряжений отсутствует, поэтому условие (2.4.45) остается справедливым.
Влияние столкновений на турбулентные напряжения частиц в однородном сдвиговом потоке
Рассмотрим влияние столкновений частиц на турбулентные напряжения дисперсной фазы в однородном сдвиговом турбулентном потоке. Поведение турбулентных напряжений без столкновений обсуждалось в разделе 2.5 и описывалось уравнениями (2.5.2). С учетом столкнови- тельных членов (4.3.22) система уравнений для ненулевых компонент ^-и^ в однородном слое с градиентами скоростей (2.5.1) представляется в виде
” ”25 ^(^1^2) + (П1 )/ul 12 + (^i^V-ui 22) +
Н11 + (^1^2) А 21 — М2)) —ТР X/
'11 + -d^^121;+ TpS yir^212+-dF-^ “j"
2(1 - e2)(l - fu)kp 2(1-A) A 22 X
9^V 1}" з р) ’
^(^2 )2 (1 ! /\f I / /2\ fI i”2.A
~A. = ~ I (ulu2)/u 12 + (tl2 )/u 22 - («2 ) ) ~ at Tp \/
Mh . : 2
dt тр
^(^1^2) /। ^(п2 )
I Jul 12 Н^—Jul 22
2(l-e2)(l-/Jfcp2(1-/n) (
9тс
-к
3 р
33 - \^3 /уdT-^33"~ 2(\-е^-Мкр2(1 ~/ц)
9тс
Тс1
( ^™ ” ^^ ^(^2) + (nln2) ful 12 + (t^Vul 22 ) +
Н[(Uj )/n 12 + (^1^2) (/u 11 + fu 22) + (w^A 21
•р L
2 I dt
^(Ц^г) (г । / \ । ^(n2 ) / ^ I^ (jul 11 + Jul 22) Н ^—Ju2 21 I +
tpS /d^u^ d^ )\2(1 /n), / м
T (“d^^212 + -dT/u2 22 ) - ——( 1V2>-
Ниже будет рассмотрен пример течения, для которого вклад градиента осредненной скорости в ядро столкновений 08 пренебрежимо мал по сравнению с турбулентным ядром столкновений Д. Поэтому характерные времена между столкновениями в (4.5.1) определяются в соответствии с (4.3.24) как
_ dp/ 2тг \1/2_ 10тс
Тс~ 16Ф(1 -Л)'/2 \зкр)’ Тс1 “ (1+е)(3-е)'
Тензор времени взаимодействия частицы-турбулентность аналогично (2.5.7) находится из выражения
TLp = F(S^TLl(4.5.2)
где Ть задается соотношением (2.5.5), а функция F(St*) учитывает вклад столкновений согласно (1.3.27)
F(St,) = l+ /-1
TE 3(1+m)2
Tl 3 + 2m 1
St»
St,l+st,
— ^St^; +
0,9mSt*
” (l+st.)2(2 +St.)
= \l/5
losty .
(4.5.3)
Коэффициент вовлечения fu в столкновительных членах вычисляется в изотропном приближении согласно (1.4.18) по среднедиагональному временному масштабу TLp = Тьркк)^.
7 Л. Зайчик. Алипчеыков
Столкновения частиц не оказывают непосредственного влияния на корреляционные моменты пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз. Поэтому компоненты (п^') по-прежнему описываются системой уравнений (2.5.3). Однако столкновения могут оказывать косвенное влияние на (t^v'-) через изменение времени взаимодействия частиц с турбулентными вихрями. Учет этого механизма влияния столкновений частиц на (n^j) будет описываться на основе соотношений (4.5.2) и (4.5.3).
В качестве примера рассмотрим развивающееся во времени однородное сдвиговое течение, турбулентные характеристики которого получены путем лагранжева моделирования движения отдельных частиц в сочетании с методом крупных вихрей (Moreau et al., 2004). Начальные условия соответствуют изотропной турбулентности. Градиент средней скорости равнялся 50 с-1, диаметр частиц dp = 656 мкм, отношение плотностей дисперсной и сплошной сред рр/р$ = 85,5, объемная концентрация частиц Ф = 0,0125. Сила тяжести не учитывалась, а столкновения частиц предполагались упругими (е = 1). Структурный параметр турбулентности т принимался равным единице.
На рис. 4.5.1 и 4.5.2 показано развитие во времени соответственно турбулентных напряжений дисперсной фазы и корреляционных моментов пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз под действием сдвига скорости от изотропного к равновесному состоянию. Результаты решения уравнений (4.5.1) и (2.5.3), полученные с учетом и без учета
з<и;и;>/2ЦО)
Рис. 4.5.1. Влияние столкновений на турбулентные напряжения дисперсной фазы в однородном сдвиговом слое: 1 и 2 — модель (4.5.1), символы — Moreau et al. (2004)
Рис. 4.5.2. Влияние столкновений на корреляционные моменты пульсаций скоростей сплошной и дисперсной фаз в однородном сдвиговом слое: / и 2 — модель (2.5.3), символы — Moreau et al. (2004)
столкновений частиц, показаны кривыми / и 2, а данные прямых расчетов с учетом и без учета столкновений изображены зачерненными и незачерненными символами. Турбулентные напряжения дисперсной фазы ^-и'^ на рис. 4.5.1 нормированы на начальную кинетическую энергию частиц fcp(0), а корреляции скоростей сплошной и дисперсной фаз (п^'-) на рис. 4.5.2 отнесены к начальной «кинетической энергии» этих корреляций fc/p(0).
Из рис. 4.5.1 видна сильная анизотропия пульсаций скорости частиц при отсутствии эффекта столкновений, выражающаяся в существенно большей интенсивности продольной компоненты по сравнению с поперечными компонентами. Как уже отмечалось, в этом случае имеются два механизма генерации продольной компоненты скорости дисперсной фазы — под действием градиента осредненной скорости и в результате взаимодействия частиц с турбулентными вихрями сплошной среды, тогда как пульсации в поперечных направлениях возникают только благодаря взаимодействию с турбулентной жидкостью. Столкновения приводят к выравниванию интенсивностей пульсаций частиц в разных направлениях, т. е. к изотропизации турбулентных характеристик дисперсной фазы, уменьшая интенсивность продольной компоненты и увеличивая интенсивности поперечных компонент пульсаций скорости. Обращает на себя внимание противоположный характер влияния столкновений на продольные компоненты (г^2) и (tz^i). Как видно из рис. 4.5.2, теоретическая модель, основанная на уравнениях (2.5.3)
с учетом соотношений (4.5.2) и (4.5.3), в соответствии с данными численного моделирования предсказывает увеличение (uj^) в результате учета эффекта столкновений (хотя и менее выраженное по сравнению с Moreau et al., 2004). Влияние столкновений на (г^') проявляется через зависимость времени взаимодействия частиц с турбулентностью от времени между столкновениями частиц тс. В целом, сравнение с данными Moreau et al. (2004) показывает, что рассмотренные модели воспроизводят все основные особенности влияния столкновений частиц на структуру как пульсаций скорости дисперсной фазы, так и корреляций скоростей сплошной и дисперсной фаз.
Влияние столкновений на движение частиц ввертикальном канале
Теоретическому и численному исследованию влияния столкновений частиц на статистические характеристики дисперсной фазы при турбулентном течении в вертикальных и горизонтальных каналах и трубах посвящено довольно большое количество работ (Louge et al., 1991; Tanaka & Tsuji, 1991; Oesterle & Petitjean, 1991, 1993; He & Simonin, 1993; Sommerfeld, 1995, 2003; Зайчик и Першуков, 1995; Lun & Liu, 1997; Chen et al., 1998; Fohanno & Oesterle, 2000; Lun, 2000; Li Y. et al., 2001; Sakiz & Simonin, 2001; Wassen & Frank, 2001; Yamamoto et al., 2001; Sommerfeld & Kussin, 2003; Картушинский и др., 2004, 2006; Rani et al., 2004; Vance et al., 2006). Учет столкновений частиц осуществляется как путем прямого моделирования соударений, так и на основе статистических моделей. Как свидетельствуют результаты численных и экспериментальных исследований (Simonin et al., 1997; Fukagata et al., 2001; Caraman et al., 2003), влияние столкновений становится существенным уже при очень малой объемной концентрации частиц (Ф < 10~4). В настоящем разделе даны результаты анализа соударений частиц на характеристики их движения в канале, основываясь на статистической модели, представленной в разделе 4.3.
Рассмотрим движение частиц в длинном вертикальном плоском канале вдали от входного течения в такой же математической постановке задачи, как и в разделе 2.7. В этом случае система уравнений для первых и вторых моментов скорости частиц с учетом столкновитель- ных членов (4.3.22) и соотношений для третьих моментов (4.3.28) записывается в виде
+д + ^4) + «^ + р„т)) ^5 = 0,(4.6.1)
Трауау
х7 ау
1 d L *
ЗФ dy |ФТр2
dy
+ 2((v{^) + s^(u,1u^)
W
dy
-% Ш) + g№^ ^ + W^^- +1- (AM2) - M2)) -ay Tp \/
(4.6.3)(4.6.3)2(1 — e2)(l —/u)fcp 2(1-/u) A ,22 *\
(4.6.3)
(4.6.3)
1A Ф dy1A Ф dyФтр*2 (М2) + д^Й ^1 + | (/U"M2) - M2)) -\/ ay Tp x/
1A Ф dy
1A Ф dy
2(1 -e2)(l - /„)&„2(1-fu)2(1 -e2)(l - /„)&„2(1-fu)9rc9rcTeldyTeldy2/3 p2/3 p(4.6.4)(4.6.4)-LAЗФ dy-LAЗФ dy2(1 — e2)(l —/u)kp9tc '2(1 — e2)(l —/u)kp9tc '2^+g^^2^+g^^2(1 - /u) // /2.2 X .-*——- M ) - A = °- (4-6-5)Tel \О /2(1 - /u) // /2.2 X .-*——- M ) - A = °- (4-6-5)Tel \О /dW^dydW^dy
2(1 -e2)(l - /„)&„2(1-fu)
2(1 -e2)(l - /„)&„2(1-fu)
9rc
9rc
Tel
dy
Tel
dy
2/
3 p
2/
3 p
(4.6.4)
(4.6.4)
-LAЗФ dy
-LAЗФ dy
2(1 — e2)(l —/u)kp
9tc '
2(1 — e2)(l —/u)kp
9tc '
2^+g^^
2^+g^^
2(1 - /u) // /2.2 X .
-*——- M ) - A = °- (4-6-5)
Tel \О /
2(1 - /u) // /2.2 X .
-*——- M ) - A = °- (4-6-5)
Tel \О /
dW^dy
dW^dy
/ / /2\ . n/ /2\\ ^^1/ #2\dU\
(^2 ) +^(^2+ ^^W2 ^"5^" +
(4.6.6)(4.6.6)! и^ЛЖи'^^ 2(l~/n)M = 0TpTel
(4.6.6)
(4.6.6)
Напомним, что столкновения не дают вклад в уравнения сохранения количества движения (4.6.1) и (4.6.2), а присутствуют только в уравнениях баланса напряжений (4.6.3)-(4.6.6). Как видно, благодаря столкновениям все компоненты турбулентных напряжений становятся взаимосвязанными. Поскольку, как об этом сказано в конце раздела 2.7, вкладом «транспортного члена» в диффузионный перенос турбулентных пульсаций в канале без заметной погрешности можно пренебречь, то с целью упрощения члены, содержащие Dp^u^/Dt, не включены в уравнения (4.6.3)-(4.6.6).
Граничные условия для напряжений на стенке канала задаются согласно (4.4.7)-(4.4.9) с учетом х = 1 и ez = 1, а также (2.4.45)
. d(VxhТр2-5Г
(4.6.7)
d^.dy
= 0,(«1V2) = ~Mx(v22) при у = 0.
На оси канала по-прежнему задаются условия симметрии
= (v^) = О ПРИ у — R-= (v^) = О ПРИ у — R-dФ_ d^-u^ _ d(^32)
= (v^) = О ПРИ у — R-
= (v^) = О ПРИ у — R-
dy dy dy dy
Коэффициенты вовлечения, входящие в (4.6.1)-(4.6.6), определяются соотношениями (2.7.12). Интегральные временные масштабы взаимодействия частиц с турбулентными вихрями находятся из выражений (2.7.13), в которых для учета влияния столкновений функцию /(St#) в соответствии с (1.3.27) следует заменить на /(St*). Лагранжев интегральный временной масштаб описывается аппроксимацией (2.7.14). Коэффициент вовлечения /п в столкновительных членах вычисляется в изотропном приближении согласно (4.1.23) по среднеарифметическому временному масштабу Тьр = \Т^р ^ 2Т£ )/3. Эффективное время релаксации т*2 задается соотношением (4.4.о).
На рис. 4.6.1 -4.6.3 представлены результаты сопоставления решения системы уравнений (4.6.1)-(4.6.6) с данными лагранжева траекторного моделирования динамики частиц, в турбулентном потоке, создаваемом при помощи LES (Vance et al., 2006). В этой работе рассчитывалось течение в плоском канале при отсутствии силы тяжести и обратного влияния дисперсной фазы на несущую сплошную среду, число Рейнольдса Re+ равнялось 180. Столкновения частиц со стенками канала и друг с другом считались упругими; в связи с чем в граничных условиях (4.6.7) принималось еж = еу = 1, рж = 0 и, кроме того, коэффициент восстановления импульса при соударениях е полагался равным 1. Расчеты выполнены при фиксированном значении средней объемной концентрации частиц в канале Фт = 2,3 • 10“4. Безразмерный размер частиц d+ = dpU*]v равнялся 1, а время релаксации тр варьировалось за счет изменения отношения плотностей дисперсной и сплошной фаз pp/pj.
Как следует из рис. 4.6.1, столкновения оказывают сильное воздействие на профиль осредненной продольной скорости, приводя к его выполаживанию и значительному увеличению Й в пристеночной области. Такой характер влияния столкновений обусловлен возрастанием транспортных механизмов, приводящих к увеличению касательного турбулентного напряжения в дисперсной фазе. Следует указать на существенные расхождения с данными Vance et al. (2006) в отношении И, касающиеся, в первую очередь, результатов при отсутствии столкновений (рис. 4.6.1а). Так, согласно Vance et al. (2006) осевая скорость вблизи стенки ^у^ ^ 1) даже высокоинерционных частиц (т+ = 468) при отсутствии столкновений почти не отличается от скорости жидкости, что не согласуется, как видно из рис. 2.7.2а, с данными численного моделирования Rouson & Eaton (1994), Wang & Squires (1996) и Fukagata et al. (1998). Однако характер влияния столкновений на профиль осевой скорости, предсказываемый моделью (4.6.1)-(4.6.6), соответствует результатам численного моделирования
10°Ю1Ю2 Л
Рис. 4.6.1. Распределения осредненной осевой скорости частиц по сечению канала без учета (а) и с учетом (б) столкновений: 1-3 — модель (4.6.1)-(4.6.6); 4-6 - Vance et al. (2006); 1, 4 - т+ = 29; 2, 5 - т+ = 117; 3, 6 — т+ = 468*
Vance et al. (2006), хотя модель предсказывает несколько меньший эффект столкновений по сравнению с прямыми расчетами.
Особенно сильное влияние столкновения оказывают на поперечную и трансверсальную компоненты пульсаций скорости частиц. При отсутствии столкновений единственным механизмом, ответственным за генерацию этих компонент пульсаций, является непосредственное взаимодействие с соответствующими компонентами пульсаций сплошной
Рис. 4.6.2. Распределения интенсивности пульсаций поперечной скорости по сечению канала без учета (а) и с учетом (б) столкновений: 1-3 — модель (4.6.1)-(4.6.6); 4-6 - Vance et al. (2006); 1, 4 - т+ = 29; 2, 5 - т+ = 117;
• 3, 6 - т+ = 468
фазы, в результате чего ^ и ^з снижаются с ростом тд.. При наличии столкновений основной вклад в порождение ^ и V3 может давать механизм перераспределения пульсаций из продольной компоненты. Благодаря этому механизму вместо значительного уменьшения интенсивности поперечных пульсаций скорости несталкивающихся высокоинерционных частиц (кривая 3 и символы 6 на рис. 4.6.2а) поперечные
Рис. 4.6.3. Распределения концентрации частиц по сечению канала без учета (а) и с учетом (б) столкновений: 1-3 — модель (4.6.1)-(4.6.6); 4-6 — Vance et al. (2006); 1, 4 - т+ = 29; 2, 5 - т+ = 117; 3, 6 - т+ = 468
пульсации сталкивающихся высокоинерционных частиц приобретают достаточно большие значения по всему сечению канала (кривая 3 и символы 6 на рис. 4.6.26). Решающее значение эффекта столкновений в генерации поперечных (радиальных) пульсаций скорости дисперсной фазы подтверждается результатами экспериментального исследования в круглой трубе (Caraman et al., 2003).
Рис. 4.6.4. Влияние инерционности и столкновений на турбулентные напряжения и концентрацию частиц при у+ = 1: / — без учета столкновений, 2 и 3 — с учетом столкновений при е = 1 и е = 0,5
Из сопоставления рис. 4.6.3а и 4.6.36 видна роль столкновений на распределение относительной концентрации Ф = Ф/Ф(Я) по сечению канала. Главный вывод заключается в снижении эффекта аккумулирования частиц в пристеночной области в результате столкновений. В соответствии с данными Vance et al. (2006) модель (4.6.1)-(4.6.6) предсказывает, что столкновения могут даже приводить к меньшей концентрации частиц на стенке по сравнению со средней концентрацией в потоке. Выравнивание распределения частиц по сечению канала объясняется интенсификацией турбулентного транспорта пульсаций скорости дисперсной фазы благодаря столкновениям.
Рисунок 4.6.4 демонстрирует влияние параметра инерционности т+ и столкновений на турбулентные напряжения и концентрацию частиц в вязком подслое при у+ = 1. Из рис. 4.6.4а видно, что столкновения приводят в смещению максимума V^ в область менее инерционных частиц. В результате интенсивность продольной компоненты пульсаций скорости малоинерционных частиц в пристеночной области возрастает, а высокоинерционных частиц падает. Увеличение d^ для малоинерционных частиц объясняется переносом пульсаций к стенке из ядра потока за счет столкновений, а снижение г;{+ для высокоинерционных частиц связано с перераспределением интенсивности пульсаций от продольной к поперечной и трансверсальной компонентам. Рисунок 4.6.46 свидетельствует о росте интенсивности пульсаций попереч-
ной скорости благодаря столкновениям при всех значениях параметра инерционности. Как видно из рис.4.6.4в, турбулентное касательное напряжение в дисперсной фазе также возрастает при всех значениях т+, что подтверждает интенсификацию транспорта пульсаций скорости дисперсной фазы из-за столкновений. Особенно сильное влияние, как следует из рис. 4.6.4а, столкновения оказывают на концентрацию частиц, приводя к резкому снижению эффекта аккумулирования в пристеночной области. Как уже отмечалось, столкновения могут даже приводить к меньшей концентрации у стенки по сравнению со средней концентрацией высокоинерционных частиц в потоке. Сравнение результатов при упругих (е = 1) и неупругих (е = 0,5) столкновениях показывает, что наиболее сильно эффект диссипации турбулентной энергии частиц, обусловленной неупругими соударениями, проявляется в снижении интенсивности поперечной компоненты пульсаций скорости. Эффект неупругости соударений частиц друг с другом может также приводить к повышению их концентрации в пристеночной области, что напоминает аналогичное влияние неупругости столкновений частиц со стенкой (рис. 2.7.3а).
Глава 5
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ ИКЛАСТЕРИЗАЦИЯ МОНОДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦВ ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Данная глава посвящена статистическому описанию относительного движения двух одинаковых частиц в однородной изотропной турбулентности. Описание относительного движения частиц требует привлечения двухточечных статистических характеристик турбулентности. Представленный подход основан на кинетическом уравнении для ФПВ относительной скорости пары частиц и развивает изложенный в главах 2 и 3 одноточечный (одночастичный) статистический метод на двухточечный (двухчастичный). •
Как и в неоднородном турбулентном потоке, в однородной турбулентности может иметь место явление аккумулирования (кластеризации) инерционных частиц, т. е. образование компактных областей со значительно повышенной концентрацией дисперсной фазы (preferential concentration), окруженных областями с низкой концентрацией. Кластеризация частиц в неоднородном турбулентном потоке объясняется их миграцией (турбофорезом) из области с высоким уровнем турбулентной энергии в зону с низкой степенью турбулентности (например, в вязкий подслой вблизи поверхности канала). В однородной турбулентности градиент турбулентной энергии отсутствует и, следовательно, механизм транспорта частиц под действием турбофореза в его традиционном понимании не имеет места. Кластеризация частиц в однородной турбулентности представляет собой один из наиболее интересных эффектов, обусловленных взаимодействием частиц с турбулентными вихрями, и может приводить к возрастанию как скорости седиментации (Wang & Maxey, 1993; Yang & Lee, 1998; Aliseda et al., 2002; Yang & Shy, 2003, 2005), так и ядер столкновений и коагуляции (Reade & Collins, 2000; Wang et al., 2000; Зайчик и др., 2003; Zaichik et al., 2003; Bec et al., 2005; Chun & Koch, 2005). Явление кластеризации частиц в однородной турбулентности привлекает пристальное внимание и его исследованию посвящено достаточно большое число публикаций (например, Squires & Eaton, 1991с; Wang & Maxey, 1993; Sundaram & Collins; 1997; Reade & Collins, 2000; Wang et al., 2000; Batkovsky et al.
2001; Fevrier et al., 2001; Hogan & Cuzzi, 2001; Kostinski & Shaw, 2001; Elperin et al., 2002; Sigurgeirsson & Stuart, 2002; Bec 2003; Кляцкин и Эльперин, 2002; Кляцкин, 2003; Boffetta et al., 2004; Collins & Keswani, 2004; Falkovich & Pumir, 2004; Oesterle, 2004; Chun et al., 2005; Wood et al., 2005; Chen et al., 2006). Флуктуации концентрации и сегрегация инерционных частиц в пространстве связаны со сжимаемостью поля скорости дисперсной фазы даже в несжимаемой несущей среде, т. е. имеет место сильная корреляция между полем дивергенции скорости и зонами повышенной концентрации частиц (Maxey, 1987; Elperin et al., 1996; Picciotto et al., 2005; Reeks, 2005b). В Zaichik & Alipchenkov (2003, 2005) явление аккумулирования интерпретируется как результат миграции частиц под действием силы турбофореза в пространстве относительного движения пары частиц. Эта сила стремится уменьшить расстояние между двумя частицами, т. е. вызывает «притяжение» частиц друг к другу вследствие их взаимодействия с турбулентными вихрями. Таким образом, несмотря на стохастическую природу турбулентности, статистические характеристики распределения инерционных частиц в турбулентных потоках не являются случайными. Следует отметить, что при числах Стокса, не превышающих критическое значение, может иметь место образование кластеров с фрактальной размерностью, меньшей размерности физического пространства (Вес 2003, 2005). При этом кластеризация частиц трактуется как сходимость в одной точке траекторий эволюционирующего в фазовом пространстве аттрактора (Вес et al., 2005).
Для количественной характеристики аккумулирования частиц могут быть использованы различные критерии. Так, поскольку тяжелые частицы концентрируются в областях с малой завихренностью (с большим растяжением), то для этой цели подходит второй инвариант тензора градиента скорости сплошной среды (Squires & Eaton, 1991с). Широкое распространение (например, Squires & Eaton, 1991с; Fessler et al., 1994; Hogan & Cuzzi, 2001; Sigurgeirsson & Stuart, 2002; Larsen et al., 2003; Fede et al., 2004) получил способ описания аккумулирования на основе отклонения плотности вероятности числа частиц, находящихся в фиксированных пространственных ячейках, от пуассоновского распределения, соответствующего статистически независимому случайному распределению частиц. Однако наиболее удобной характеристикой эффекта аккумулирования частиц, с точки зрения его включения в расчетные модели различных процессов (столкновений и коагуляции частиц, рассеяния излучения на аэрозолях и т.д.), является радиальная функция распределения, равная отношению плотности вероятности обнаружения пары частиц к соответствующей величине в однородной суспензии. Представленный в этой главе двухточечный статистический подход как раз и позволяет определить радиальную функцию распределения.
Кинетическое уравнение для двухточечной ФПВотносительной скорости пары частиц
Рассмотрим движение двух одинаковых частиц в изотропном турбулентном поле при отсутствии силы тяжести и условии, что размер частиц не превышает колмогоровский пространственный микромасштаб. Уравнения, описывающие движение каждой из частиц согласно (1.2.1) и (1.2.2), имеют вид
dRpa d^pot ^(RpQ,^) Vp/к i i\
где Rpa и vpa — координата и скорость частицы, u(Rpait) — скорость сплошной среды в точке х = Rpa(t), а обозначает номер частицы (а = = 1,2).
Из (5.1.1) следуют уравнения для относительного движения пары частиц,
dtp _ w dwp _ Au(rp-t) - WP/с 1 91
Ж -Wp’ "dF" 7P •(5 L2)
Здесь rp = Rp2 — Rpi — расстояние между двумя частицами, а wp = vp2 — Vpi — относительная скорость. Очевидно, что (5.1.2) представляют собой уравнения типа Ланжевена, поскольку турбулентное поле скорости несущей сплошной среды рассматривается как случайный процесс. Для того чтобы перейти от стохастических уравнений (5.1.2) к статистическому описанию распределения относительной скорости, вводится двухточечная ФПВ для пары частиц
Р = (р) = (5(г - rp(f))<5(w - w„(t))).(5.1.3)
Операция осреднения в (5.1.3) выполняется по ансамблю случайных реализаций поля скорости сплошной среды. Функция P(r,w,£) определяется как вероятность реализации относительной скорости w в момент времени t для частиц, разделенных расстоянием г. Представляя актуальные инкременты скоростей жидких и инерционных частиц в виде суммы осредненных и пульсационных составляющих Ди = Ди + Ди' и w = W + w', дифференцируя (5.1.3) по времени и учитывая уравнения (5.1.2) и соотношение (wPiP^ = WiP, получаем транспортное уравнение для ФПВ относительной скорости пары частиц
5£ + ™5£ + 1 а№ - «У - 1 8^«w,5 , 4)
st+ кагь + т.
Левая часть уравнения (5.1.4) включает члены, описывающие эволюцию во времени и конвекцию в фазовом пространстве (г, w), тогда как правая часть характеризует взаимодействие между частицами и турбулентными вихрями сплошной среды. Для определения корреляции (Ди^.р), описывающей взаимодействие «частицы-турбулентность», поле относительных скоростей сплошной среды моделируется гауссо-
вым случайным процессом с известными корреляционными моментами. Тогда с учетом формулы Фурутцу-Донскера-Новикова для гауссовых случайных функций (Кляцкин, 1980, 2001; Frisch, 1995) получаем
(△«<?) =(△«<?) =M.tMn.tOtf ^7^- \ drvdtv,M.tMn.tOtf ^7^- \ drvdtv,(5.1.5)(5.1.5)5p(r, f)S^Uk^ry.tY^drydtY5p(r, f)S^Uk^ry.tY^drydtYЭ / , . 5тр^ \dr, \* 5/Xuk(r\,t\)dr\dti /dwj \’ v5Aufe(ri,ti)dridti /Э / , . 5тр^ \dr, \* 5/Xuk(r\,t\)dr\dti /dwj \’ v5Aufe(ri,ti)dridti /(5.1.6)(5.1.6)Для нахождения функциональных производных в (5.1.6) привлекаются решения уравнений (5.1.2), описывающие относительное движение пары частицДля нахождения функциональных производных в (5.1.6) привлекаются решения уравнений (5.1.2), описывающие относительное движение пары частицrp(t) = j Wp^dti, "°° t(5.1.7)wp(t) = — [ △u(rp(/1),ti))exp [ --—— Jdti. tp J\ tp ;—ooПрименяя операцию функционального дифференцирования к (5.1.7), получаем следующие выражения для функциональных производных:rp(t) = j Wp^dti, "°° t(5.1.7)wp(t) = — [ △u(rp(/1),ti))exp [ --—— Jdti. tp J\ tp ;—ooПрименяя операцию функционального дифференцирования к (5.1.7), получаем следующие выражения для функциональных производных:——^р^—— = 5y5(rp(fi) - п) 1 - exp (-^——) H(t - ti)+ oZaUj(ri, li jdr\ dt\^ Tp J——^р^—— = 5y5(rp(fi) - п) 1 - exp (-^——) H(t - ti)+ oZaUj(ri, li jdr\ dt\^ Tp Jt+1 1 — expti ^t+1 1 — expti ^t - t2\l dAui(rp(t2), t2) 5rpn(t2)Tp )\drn S^Uj^.^dndtv 2’ V ’t - t2\l dAui(rp(t2), t2) 5rpn(t2)Tp )\drn S^Uj^.^dndtv 2’ V ’&Wpi^6£iU3^T\,t\^dT\dt\&Wpi^6£iU3^T\,t\^dT\dt\^■5(rp(<i) -n)exp (-^——Tp\ Tp^■5(rp(<i) -n)exp (-^——Tp\ TpH^t-tx^H^t-tx^If ( t-t2\ dAui(rp(t2),f2) 5rpn(t2) ,. /с i n\+— exp^^—-77—,\j ,. ^2-(5.1.9)Tp J \ Tp J drn oi^Uj{r\,t\)dr\dt\If ( t-t2\ dAui(rp(t2),f2) 5rpn(t2) ,. /с i n\+— exp^^—-77—,\j ,. ^2-(5.1.9)Tp J \ Tp J drn oi^Uj{r\,t\)dr\dt\Для решения системы интегральных уравнений (5.1.8) и (5.1.9) аналогично системе уравнений (2.1.7) и (2.1.8) применим итерационную процедуру. Однако, поскольку вклад градиента осредненного инкремента скоростей жидких частиц dTSUi/drj имеет не такое большое практическое значение как вклад градиента осредненной скорости dUi/dxj (в большинстве представляющих интерес приложений ДИ = 0), то ограничимся учетом только одного члена в (5.1.8) и двухДля решения системы интегральных уравнений (5.1.8) и (5.1.9) аналогично системе уравнений (2.1.7) и (2.1.8) применим итерационную процедуру. Однако, поскольку вклад градиента осредненного инкремента скоростей жидких частиц dTSUi/drj имеет не такое большое практическое значение как вклад градиента осредненной скорости dUi/dxj (в большинстве представляющих интерес приложений ДИ = 0), то ограничимся учетом только одного члена в (5.1.8) и двух
(△«<?) =
(△«<?) =
M.tMn.tOtf ^7^- \ drvdtv,
M.tMn.tOtf ^7^- \ drvdtv,
(5.1.5)
(5.1.5)
5p(r, f)
S^Uk^ry.tY^drydtY
5p(r, f)
S^Uk^ry.tY^drydtY
Э / , . 5тр^ \dr, \* 5/Xuk(r\,t\)dr\dti /
dwj \’ v5Aufe(ri,ti)dridti /
Э / , . 5тр^ \dr, \* 5/Xuk(r\,t\)dr\dti /
dwj \’ v5Aufe(ri,ti)dridti /
(5.1.6)
(5.1.6)
Для нахождения функциональных производных в (5.1.6) привлекаются решения уравнений (5.1.2), описывающие относительное движение пары частиц
Для нахождения функциональных производных в (5.1.6) привлекаются решения уравнений (5.1.2), описывающие относительное движение пары частиц
rp(t) = j Wp^dti, "°° t(5.1.7)
wp(t) = — [ △u(rp(/1),ti))exp [ --—— Jdti. tp J\ tp ;
—oo
Применяя операцию функционального дифференцирования к (5.1.7), получаем следующие выражения для функциональных производных:
rp(t) = j Wp^dti, "°° t(5.1.7)
wp(t) = — [ △u(rp(/1),ti))exp [ --—— Jdti. tp J\ tp ;
—oo
Применяя операцию функционального дифференцирования к (5.1.7), получаем следующие выражения для функциональных производных:
——^р^—— = 5y5(rp(fi) - п) 1 - exp (-^——) H(t - ti)+ oZaUj(ri, li jdr\ dt\^ Tp J
——^р^—— = 5y5(rp(fi) - п) 1 - exp (-^——) H(t - ti)+ oZaUj(ri, li jdr\ dt\^ Tp J
t
+1 1 — expti ^
t
+1 1 — expti ^
t - t2\l dAui(rp(t2), t2) 5rpn(t2)
Tp )\drn S^Uj^.^dndtv 2’ V ’
t - t2\l dAui(rp(t2), t2) 5rpn(t2)
Tp )\drn S^Uj^.^dndtv 2’ V ’
&Wpi^6£iU3^T\,t\^dT\dt\
&Wpi^6£iU3^T\,t\^dT\dt\
^■5(rp(<i) -n)exp (-^——Tp\ Tp
^■5(rp(<i) -n)exp (-^——Tp\ Tp
H^t-tx^
H^t-tx^
If ( t-t2\ dAui(rp(t2),f2) 5rpn(t2) ,. /с i n\
+— exp^^—-77—,\j ,. ^2-(5.1.9)
Tp J \ Tp J drn oi^Uj{r\,t\)dr\dt\
If ( t-t2\ dAui(rp(t2),f2) 5rpn(t2) ,. /с i n\
+— exp^^—-77—,\j ,. ^2-(5.1.9)
Tp J \ Tp J drn oi^Uj{r\,t\)dr\dt\
Для решения системы интегральных уравнений (5.1.8) и (5.1.9) аналогично системе уравнений (2.1.7) и (2.1.8) применим итерационную процедуру. Однако, поскольку вклад градиента осредненного инкремента скоростей жидких частиц dTSUi/drj имеет не такое большое практическое значение как вклад градиента осредненной скорости dUi/dxj (в большинстве представляющих интерес приложений ДИ = 0), то ограничимся учетом только одного члена в (5.1.8) и двух
Для решения системы интегральных уравнений (5.1.8) и (5.1.9) аналогично системе уравнений (2.1.7) и (2.1.8) применим итерационную процедуру. Однако, поскольку вклад градиента осредненного инкремента скоростей жидких частиц dTSUi/drj имеет не такое большое практическое значение как вклад градиента осредненной скорости dUi/dxj (в большинстве представляющих интерес приложений ДИ = 0), то ограничимся учетом только одного члена в (5.1.8) и двух
членов итерационного разложения (5.1.9). Таким образом, функциональные производные представляются в виде
——7-^4^—ТГ = dijd(rp(ti) - и) 1 - ехр—-) H(t - ti),
5&Uj\r\,ti)dr\dti J pL\ tp /
(5.1.10)
t-tA—4 +Tp /t-tA—4 +Tp /—^i^-— = ^^(fO - X1)H(t - M (^ exp ( utzy (ri, *i Jdxj attTp
t-tA
—4 +
Tp /
t-tA
—4 +
Tp /
+^— 1-1 + exp>.(5.1.11)
oxj \ tp /\ tp / J
Подставляя (5.1.10) и (5.1.11) в (5.1.5) и (5.1.6) и осредняя по ансамблю реализаций турбулентных флуктуаций, получаем следующее выражение для корреляции между пульсациями инкремента скоростей жидкости в двух точках и плотностью вероятности относительной скорости пары частиц, находящихся в этих точках:
(5.1.12)(5.1.12)№ = -Tp (F^r, t) — + Gik^. о о— ).\uWkor к /
(5.1.12)
(5.1.12)
Fij(r,t) = — [ (Ди^г, t)Au'fe(rp(ti), ti))H(t — ti)/ —ехр(—-—-) + Tp J( Tp \ Tp J
—oo
■ а^и5dxk■ а^и5dxk\ Л t-ti\ / £-<Л11 , 1 — 114j exp I) > dti, .\ Tp /\ tp /1)
■ а^и5dxk
■ а^и5dxk
(5.1.13)
dtv.dtv.(5.1.14)(5.1.14)t
dtv.
dtv.
(5.1.14)
(5.1.14)
Gij^r.t^— [ (△u<(r,t)Au'(rp(ii),ti))H(t-ti) 1 tp J.
— OO
Величины Gij и Fij обозначают интегралы, содержащие вторые корреляционные моменты инкрементов пульсаций скоростей жидкости, определенные вдоль траектории относительного движения пары частиц. Для вычисления этих интегралов нужно определить лагранжеву двухточечную структурную функцию пульсаций скоростей жидких частиц, движущихся по траекториям инерционных частиц. Лагранжева двухточечная структурная функция пульсаций скоростей жидких частиц, движущихся вдоль собственных траекторий, выражается согласно (1.1.18). С целью учета транспортного эффекта лагранжеву двухточечную структурную функцию пульсаций скоростей жидких частиц, движущихся по траекториям инерционных частиц, определим как
§Lp ij (r > т) ” ((^i (^р2 (^)» ^)^i (^pl (^)» ^)) (^j (Rp2 (^ — T^t -~ т) —
-u'(Rpl(t-r),t-T))) = (sy - £^) ф£гр(т|г), (5.1.15)
S^r^ = W^j^ = ((ы<(х + г,г) -tz<(x,t))x
X(^(x + r, t) - u^x, t^^^x + r, t) - 4(x, t))) .
Здесь Фьгр(т|г) — лагранжева автокорреляционная функция инкремента пульсаций скорости пары жидких частиц, движущихся по траекториям инерционных частиц и находящихся на расстоянии г = |г|. Аналогично (2.1.15) соотношение (5.1.15) содержит «транспортный член», учитывающий эволюцию во времени, конвективный и диффузионный перенос пульсаций скорости сплошной среды вдоль траектории относительного движения двух частиц.
С учетом (5.1.15) выражения (5.1.13) и (5.1.14) в рассматриваемом приближении примут вид
Fy = ^Sij + lTsJ^L -Gy = gTSy, (5.1.16)
TpOTk 2 UI
oo
Л = — [ Фьгр(т) exp f-—) dr, дт = —^ - /г, тр J\ тр /тр
°оо(5.1.17)
Iff т \
Л1 = — ^ЕтрМтехр I1 dr, 1т=дт- /гЬ
Тр оТр
где Тьтр = $^ ^LrpMdr — интегральный временной масштаб инкремента пульсаций скоростей жидких частиц, определенный вдоль траектории относительного движения инерционных частиц.
Коэффициенты /г, gr, fT\, lr характеризуют вовлечение пары частиц, отделенных расстоянием г, в турбулентное движение сплошной среды. При увеличении расстояния между точками имеют место соотношения
^LrpM7*) — ^ Lp^V ^Lrp — Tbpt Jr — /и,9r = 9ui fri = /ub ^r ^ ^u при T ► OO,
выражающие стремление двухточечных автокорреляционной функции, интегрального временного масштаба и коэффициентов вовлечения к соответствующим одноточечным величинам.
При больших числах Рейнольдса автокорреляционная функция может быть задана в виде экспоненциальной зависимости
^ Етр — ®хр( tJTlt^^
в соответствии с которой коэффициенты вовлечения (5.1.17) равны
(5.1.18)
Подстановка (5.1.12) в (5.1.4) дает замкнутое кинетическое уравнение для двухточечной ФПВ относительной скорости пары частиц в турбулентной среде
(5.1.19)(5.1.19)5Р „ 9Р । 1 9W-^P д^р а2Р dtk dr к тр dw^dwidwj tjdrjdwi*
(5.1.19)
(5.1.19)
Члены в правой части уравнения (5.1.19) описывают диффузионный перенос в фазовом пространстве (г, w), обусловленный взаимодействием частиц с турбулентными вихрями сплошной среды. Моделирование турбулентных пульсаций скорости сплошной среды гауссовым случайным процессом позволяет выразить взаимодействие «частицы-турбу- лентность» в кинетическом уравнении в виде оператора второго порядка типа Фоккера-Планка. Следует отметить, что во многих исследованиях (например, Монин и Яглом, 1967; Кузнецов и Сабельников, 1986; Praskovsky & Oncley, 1994; Wang et al., 2000; Ten Cate et al., 2004) установлено, что ФПВ относительной скорости пары жидких или малоинерционных частиц не является нормальным распределением. Отклонение ФПВ двухточечной разности скоростей от гауссова распределения, как известно, является следствием явления перемежаемости. Однако заметное отличие от нормального распределения проявляется, главным образом, при больших абсолютных значениях относительных скоростей, т. е. играет роль только для «хвостов» ФПВ, а при малых относительных скоростях нормальное распределение является хорошим приближением для ФПВ (Water & Herweijer, 1999; Verzicco & Camussi, 2002). Поскольку вклад «хвостов» ФПВ в средние характеристики не очень существенен, то гауссов случайный процесс достаточно хорошо предсказывает двухточечные моменты относительных скоростей (Wang L.-P. et al., 1998).
Очевидно, что (5.1.19) внешне напоминает кинетическое уравнение для одноточечной ФПВ (2.1.23). Однако одноточечное и двухточечное кинетические уравнения имеют только внешнее сходство, поскольку одноточечная кинетическая модель манипулирует с одночастичной ФПВ в фазовом пространстве и, следовательно, не может учитывать пространственную коррелированность движения пары частиц. Напротив, двухточечный подход позволяет рассматривать коррелированное движение частиц в результате их взаимодействия с турбулентными вихрями и тем самым может описывать явление кластеризации. При пренебрежении осредненным инкрементом скоростей жидких частиц и транспортным членом, т. е. при AU = DpSij/Dt = 0 в (5.1.16), (5.1.19)
переходит в кинетическое уравнение, полученное Алипченковым и Зайчиком (2003) и Zaichik & Alipchenkov (2003).
Уравнения для двухточечных моментовотносительной скорости пары частиц
В результате интегрирования кинетического уравнения (5.1.19) по подпространству скоростей может быть получена система уравнений для двухточечных статистических моментов ФПВ относительной скорости пары частиц. Так, уравнение для числовой концентрации пары частиц 2V12 имеет вид
8N128tNX2 = Pdw,8N128tNX2 = Pdw,8N12Wk8тк8N12Wk8ткWi =Wi =1N\2 .1N\2 .WtPdw.WtPdw.(5.2.1)(5.2.1)
8N128t
NX2 = Pdw,
8N128t
NX2 = Pdw,
8N12Wk8тк
8N12Wk8тк
Wi =
Wi =
1
N\2 .
1
N\2 .
WtPdw.
WtPdw.
(5.2.1)
(5.2.1)
Уравнение баланса импульса для относительного движения частиц записывается в виде
^л.ш^ = J^r-ik + ^iZ^i _ Dpik8\nNX28t k 8тк 8тк тр тр дхк
Здесь
Spy =(WiSpy =(Wi- W^w, - W^Pdw- W^w, - W^Pdw
Spy =(Wi
Spy =(Wi
- W^w, - W^Pdw
- W^w, - W^Pdw
— эйлерова структурная функция второго порядка, характеризующая интенсивность пульсаций разности скоростей двух частиц, расположенных в разных точках. Последний член в (5.2.2) описывает относительную турбулентную диффузию пары частиц. Тензор относительной турбулентной диффузии частиц определяется как
Dpij — ^p^Sptj + gTSij\(5.2.3)
Уравнение для вторых моментов инкремента пульсаций скоростей двух частиц (структурной функции второго порядка) имеет вид
dSpij OSpij 1 dN^Spijk
dt к дтк N\2 Этк
= -(Spik + 9rSik^ - (Spjk + 9rSjk^+
+/r (sik+ Sjk^\ + -UrSij - Sp^ - Л1^, (5.2.4)
Spijk = (w-w'«4) = -^- j(toi - Wi)(wj - Wj^Wk - W^Pdw.
Построение уравнения для ФПВ в фазовом пространстве не решает полностью проблему замыкания, поскольку оно порождает бесконеч-
ную цепочку уравнений для моментов, и уравнение для n-го момента содержит (п + 1)-й момент. Для построения системы уравнений на уровне третьих моментов привлекается квазинормальная гипотеза о равенстве куммулянтов четвертого порядка нулю, аналогично (2.2.6) выражающая структурные функции четвертого порядка как сумму произведений структурных функций второго порядка. В результате получается следующее уравнение для структурной функции третьего порядка:
dSpjjk „, dSpjjkdt n ЭгпdSpjjk „, dSpjjkdt n Эгп"Юрупд TDpifcn^ -v Dpjkn Й1>, -I-"Юрупд TDpifcn^ -v Dpjkn Й1>, -I-9г,9г,Эг,Эг,Dp in dSpjkDp in dSpjk•p 8rn•p 8rn■ Dp in dSpjktp drn '■ Dp in dSpjktp drn 'nn^& + lS 0. (5.2.5)Tp OTn Tp^& + lS 0. (5.2.5)Tp OTn Tp
dSpjjk „, dSpjjkdt n Эгп
dSpjjk „, dSpjjkdt n Эгп
"Юрупд TDpifcn^ -v Dpjkn Й1>, -I-
"Юрупд TDpifcn^ -v Dpjkn Й1>, -I-
9г,
9г,
Эг,
Эг,
Dp in dSpjk
Dp in dSpjk
•p 8rn
•p 8rn
■ Dp in dSpjktp drn '
■ Dp in dSpjktp drn '
n
n
^& + lS 0. (5.2.5)
Tp OTn Tp
^& + lS 0. (5.2.5)
Tp OTn Tp
Уравнения (5.2.1)-(5.2.5) описывают двухточечную статистику относительной скорости пары частиц на уровне третьих моментов. Для моделирования на уровне вторых моментов в уравнении (5.2.5) пренебрежем членами, характеризующими эволюцию во времени, конвекцию и генерацию флуктуаций скорости вследствие градиентов осредненной скорости. В результате получим следующее алгебраическое соотношение для структурной функции третьего порядка
С .( nr ^pjk пт dSpjk r 88ргД
Ьргэк з ^pin +Dpjn +Dpkn 9т^(5.2.6)
Тройные корреляции описывают диффузионный механизм переноса пульсаций скорости. Выражение (5.2.6) согласуется по форме с соотношением (2.2.8) для одноточечных третьих моментов. Система (5.2.1)-(5.2.4) с учетом (5.2.6) позволяет моделировать двухточечную статистику относительной скорости пары частиц на уровне уравнений для вторых моментов.
Для структурной функции третьего порядка скоростей пары жидких частиц из (5.2.6) следует соотношение (1.1.31)
с с 1 (8Sjk dSik , д8гД
Sijk T™oSpijk - 3 V™"^ + Djn"d^ + °кп“
— ^Lt (Я ^зк I O ^Sik ~ 98, \ /к 9 7\
где D^ обозначает тензор относительной турбулентной диффузии жидких частиц (1.1.19).
Тройные корреляции, входящие в транспортный член с DpSij/Dt в (5.1.15), аналогично (5.2.6) представляются как
pjn Этп ркп8тп)‘pjn Этп ркп8тп)‘(5.2.8)(5.2.8)* = _1 (пт ^Sjk ijk 3 t^pin дГп
pjn Этп ркп8тп)‘
pjn Этп ркп8тп)‘
(5.2.8)
(5.2.8)
Смешанная структурная функция второго порядка скоростей жидкости и частиц может быть определена непосредственно из (5.1.12) с учетом (5.1.16)
Зд = -^ j(Au-(wfc-Wfc)p)dw=
q q d^Uk dWk\ Tpfr\ DpSik
-Jrbik + Tpbiniir g 9r drn )2 Dt •
В изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия, подразумевающая независимость относительных скоростей и плотности распределения пары частиц от пространственной ориентации вектора г, а зависимость их только от его модуля г. Вектор осредненной относительной скорости в изотропной турбулентности может быть выражен через свою радиальную компоненту
Wi = —WT,г
а система уравнений (5.1.1)—(5.1.4) с учетом (5.2.6) и (5.2.8) сводится к
(5.2.9)
at arat ar= s nn Spii) _ dSpurdr
at ar
at ar
^^11, (5.2.10) or^^11, (5.2.10) or^ + Wrdt^ + Wrdt9Spll9SpllТрТр9 Г9 Гdr t2N\s dr _dr t2N\s dr _r^Nxi^Spu -VgTSu)r^Nxi^Spu -VgTSu)8Spu _ dr8Spu _ dr4T-V <Spu+gTSu) or4T-V <Spu+gTSu) ordSpnn , 2/o dr +r^P”ndSpnn , 2/o dr +r^P”n4" 9rSnn^^SpU Spnin^4" 9rSnn^^SpU Spnin^+^^-(SpZZ+grSzz)
^^11, (5.2.10) or
^^11, (5.2.10) or
^ + Wr
dt
^ + Wr
dt
9Spll
9Spll
Тр
Тр
9 Г
9 Г
dr t2N\s dr _
dr t2N\s dr _
r^Nxi^Spu -VgTSu)
r^Nxi^Spu -VgTSu)
8Spu _ dr
8Spu _ dr
4T
-V <Spu+gTSu) or
4T
-V <Spu+gTSu) or
dSpnn , 2/o dr +r^P”n
dSpnn , 2/o dr +r^P”n
4" 9rSnn^^SpU Spnin^
4" 9rSnn^^SpU Spnin^
, J dSu ... 8Su tp d Г 2,q,„g\^i].
-/rl уэТ + Wt"q? ~ ^d^ [r (plt + 9rS“)"dTJ+
dSnn . 2, ”э7 + 7^PnndSnn . 2, ”э7 + 7^Pnn4 т
dSnn . 2, ”э7 + 7^Pnn
dSnn . 2, ”э7 + 7^Pnn
+^ (SpU+9rSn) or
5^ + Ж. dSpnn Tp ( d Гdt T dr3r4N\2 \ dr5^ + Ж. dSpnn Tp ( d Гdt T dr3r4N\2 \ drr4Nv2^Spu + gTStl)^^r4Nv2^Spu + gTStl)^^-^SpU + grSu)^- + 2lrSu^^ + -UrSu - SpU\ (5.2.11) oror Tp
5^ + Ж. dSpnn Tp ( d Гdt T dr3r4N\2 \ dr
5^ + Ж. dSpnn Tp ( d Гdt T dr3r4N\2 \ dr
r4Nv2^Spu + gTStl)^^
r4Nv2^Spu + gTStl)^^
4"2 [r N\2^Spnn 4* Qr^nn^SpU Spun)] forJ
, f dSnn dSnn Tp do ydS,
^-y-ar* '"^"^a-rV ls-“ + SrS“}~>
2тр дЗт4 Эт2тр дЗт4 Эт[г ^Spnn[г ^Spnn4- дт5ти1)^5ц Snn4- дт5ти1)^5ц SnnЖ nnЖ nnQ \ Т+ 9т ^пп) НтQ \ Т+ 9т ^пп) Нт
2тр д
Зт4 Эт
2тр д
Зт4 Эт
[г ^Spnn
[г ^Spnn
4- дт5ти1)^5ц Snn
4- дт5ти1)^5ц Snn
Ж nn
Ж nn
Q \ Т
+ 9т ^пп) Нт
Q \ Т
+ 9т ^пп) Нт
где Spu и Spnn — продольная и поперечная компоненты структурной функции пульсаций скоростей частиц.
Таким образом, в изотропной турбулентности моделирование двухточечной статистики и дисперсии частиц на уровне вторых моментов сводится к решению системы уравнений для числовой концентрации пары частиц N\2, радиальной компоненты относительной скорости WT И СТруКТурНЫХ фуНКЦИЙ SpU И Spnn-
Статистические свойства стационарной суспензии частиц в изотропной турбулентности
Рассмотрим стационарную суспензию, в которой полное число частиц не изменяется во времени и осредненный относительный конвективный перенос со скоростью среды отсутствует (AU = 0). Условие стационарности предполагает баланс потоков частиц, направленных внутрь и из начала координат и, следовательно, равенство нулю осредненной относительной радиальной скорости WT. Таким образом, уравнение для концентрации пары частиц (5.2.9) удовлетворяется тождественно, а система уравнений (5.2.10)—(5.2.12) сводится к решению следующей задачи в безразмерных переменных:
2(SPU Spnn) + ^ + (^ grsu^L = 0,(5.3.1)тdr рdr2(SPU Spnn) + ^ + (^ grsu^L = 0,(5.3.1)тdr рdrsH?rs[f2r<s’" + ’'s“)^sH?rs[f2r<s’" + ’'s“)^43f43f(Spu -VgTSu)(Spu -VgTSu)dSpnndrdSpnndr
2(SPU Spnn) + ^ + (^ grsu^L = 0,(5.3.1)
тdr рdr
2(SPU Spnn) + ^ + (^ grsu^L = 0,(5.3.1)
тdr рdr
sH?rs[f2r<s’" + ’'s“)^
sH?rs[f2r<s’" + ’'s“)^
4
3f
4
3f
(Spu -VgTSu)
(Spu -VgTSu)
dSpnndr
dSpnndr
St2
f 1 ^ =2/q i "а x dSu
p 9r tl^r
2 ———— "
+ = ^Spnn + 9rSnnW-s nn)
4 Г --
“2= (Spu A-gTSu)
dSnndr
+ 2(/rS«-Sp«)=0, (5.3.2)
3^1^ ^Spu + grSu^
^Spnndr
+ 2— [f3r(Spnn + grSnn^x
r^^Spu +grSZi)-^ +r^^Spu +grSZi)-^ +"51 । St/ri f d
r^^Spu +grSZi)-^ +
r^^Spu +grSZi)-^ +
x (Sp и Sp nn)J j + ^ ^ ^_
+2^ [^(Spnn + grSn„)(SiZ - Snn)] | + 2(/rSnn - Spnn) = 0. (5.3.3)
Здесь обезразмеривание выполнено при помощи колмогоровских масштабов длины р = (^Д)1/4, времени Тк = ^vJeY^ и скорости Uk = (^г)1/4; St = Тр/тк — число Стокса, построенное по колмогоровскому временному микромасштабу; Г = N\t/N2 — радиальная функция распределения, описывающая эффект аккумулирования частиц и равная отношению вероятности обнаружения числа частиц в бесконечно тонкой оболочке радиуса г вокруг выделенной частицы к соответствующей величине в однородно распределенной суспензии.
Уравнение (5.3.1) по аналогии с (2.7.2) может быть интерпретировано как баланс между силой турбофореза, направленной к центру координат (т. е. в направлении уменьшения структурных функций) и диффузионной силой. Сила турбофореза обусловлена взаимодействием частиц с турбулентными вихрями и стремится уменьшить расстояние между двумя частицами, т. е. вызывает как бы притяжение частиц друг к другу.
Граничные условия для уравнений (5.3.1)-(5.3.3) задаются в виде
f = 0 ^д=^„=0> (534) dr dr
r^oo SpU = Spnn = ^^, Г=1. (5.3.5)
Условия (5.3.4) выражают баланс между потоками частиц, направленными внутрь и из начала координат, и справедливы в случае, когда размер частиц много меньше колмогоровского микромасштаба длины г). Условия (5.3.5) отражают тот факт, что на больших расстояниях между частицами т их движение становится некоррелированным, т. е. относительные скорости перестают зависеть от г и частицы случайным образом (равномерно) распределены в пространстве.
В предположении, что относительная скорость пары частиц распределена по нормальному закону, соотношение между осредненной по модулю относительной скоростью и продольной структурной функцией имеет вид
(М = -МЛ) =4-SplA . (5.3.6) \7Г / \7Г /
Как показали Wang et al. (2000), форма ФПВ относительной скорости зависит от инерционности частиц и только при больших числах Стокса является гауссовой. Тем не менее, даже для безынерционных частиц величина (Iwrl)/^2)1/2 согласно прямым численным расчетам (Wang L.-P. et al., 1998) равняется 0,77, что достаточно близко к значению ^/2/тг = 0,798, предсказываемому нормальным распределением. Поэтому далее величина (|wr|) определяется на основе соотношения (5.3.6).
Продольная и поперечная структурные функции пульсаций скоростей турбулентной жидкости определяются соотношениями (1.1.38) и (1.1.39). Интегральный временной масштаб инкремента пульсаций
скоростей сплошной среды вдоль траектории относительного движения инерционных частиц ТыР принимается равным соответствующему масштабу вдоль траектории жидких частиц Ты и описывается аппроксимацией (1.1.40). Конечно, это предположение строго справедливо только в пределе безынерционных частиц и нарушается для высокоинерционных частиц. Однако можно надеяться, что при отсутствии эффекта пересечения траекторий, обусловленного осредненной относительной скоростью между частицами и жидкостью, этот недостаток не будет иметь очень большое значение.
Приведем некоторые асимптотические решения задачи (5.3.1)-(5.3.5). Так, при St = 0 следует, что безынерционные частицы полностью вовлекаются в пульсационное движение сплошной среды и распределение их в пространстве однородно
Spii = Siu Spnn = Snni Г = 1.(5.3.7)
Построим решение для малоинерционных частиц (St ^ 1) в окрестности точки г = О при больших числах Рейнольдса. Решение уравнений (5.3.1)-(5.3.3), удовлетворяющее только граничным условиям (5.3.4), ищется в виде
Spll = af2, Spnn = 0r2, r = 7fx.(5.3.8)
Продольная и поперечная структурные функции пульсаций скорости жидкости и временной масштаб инкремента скоростей в окрестности г = О согласно (1.1.22) и (1.1.28) представляются как
р^ —2г2
Su = ^= Ты = Ах.(5.3.9)
1010
Подставляя (5.3.8) и (5.3.9) в (5.3.1)-(5.3.3), получаем систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов а, (3 и х
4а - 2/3 + % (а += О,
\10/
st2 [а (5 + х) (а + ^) - ^ (2а - /3) (/3 + ^) 1 +
\10/ О\10/
+^1 (7а + 4/3 + дг) + ^-а = 0,(5.3.10)
St2 (2а — /3)gr\ 7fril 2fr
где согласно (5.1.18)
, _ АЛ2л2
Jt Ai + St’ 9т St^i+St)’ /rl (Ai+St)2‘
Вследствие линейности уравнений (5.3.1)-(5.3.3) по Г коэффициент 7 в (5.3.8) не может быть найден из локального решения в окрестности
точки г = О, т. е. из решения, не учитывающего граничные условия (5.3.5). Этот коэффициент может быть определен в результате сопряжения с решением краевой задачи (5.3.1)-(5.3.5).
В случае St «С 1 решение уравнений (5.3.10) может быть найдено путем разложения в ряд по малому параметру St и имеет вид ° = 15 + (тГ " 15Л?) St + (154* + 2025 " 225) st! + °(st3)'
" 1!^St + (А + ™) S‘2 + О(5‘3)' <5'ЗЛ °
Как следует из (5.3.8) и (5.3.11), радиальная функция распределения малоинерционных частиц сингулярна в нуле, т. е. Г неограниченно возрастает при г —> 0. Впервые сингулярность и степенной закон поведения Г установили Reade & Collins (2000) в результате прямого численного моделирования. Квадратичная зависимость показателя степени % от числа Стокса St (х ос -St2) при St С 1 была показана аналитически в работах Balkovsky et al. (2001), Zaichik & Alipchenkov (2003), Chun et al. (2005). Неограниченный рост радиальной функции распределения при стремлении расстояния между частицами к нулю может быть интерпретирован как явление кластеризации, т. е. принят в качестве критерия кластеризации.
На рис. 5.3.1 показано сравнение результатов численного решения уравнений (5.3.10) с асимптотическим решением (5.3.11) при Ai = 51/2. Видно, что имеет место неоднозначность решения уравнений (5.3.10). Второе решение соответствует большему по абсолютной величине значению х и, следовательно, большей сингулярности радиальной функции распределения; возможность его физической реализации требует дополнительного исследования. Важно также отметить, что имеющее физический смысл решение уравнений (5.3.10) существует не во всем диапазоне чисел Стокса, а только при St < Stcr, где Stcr ~ 0,86. Следует отметить, что наличие критического числа Стокса для явления кластеризации установил впервые Вес (2003, 2005) путем анализа показателей Ляпунова для стохастической динамической системы уравнений, описывающей движение частиц в случайном гауссовом поле. Как показал Вес (2003, 2005), при значениях чисел St не превышающих критическое значение Stcr, может иметь место образование кластеров с фрактальной размерностью, меньшей размерности физического пространства.
Далее рассмотрим решение уравнений (5.3.1)-(5.3.3) с граничными условиями (5.3.4) в предельном случае Нед —► оо, когда инерционный пространственный интервал становится неограниченным. Установление закономерностей аккумулирования частиц при больших чисел Рей-
Рис. 5.3.1. Зависимость коэффициентов в (5.3.8) от числа Стокса: /, 4 — а;
2, 5-0; 3,6-Х, h 2,3- задача (5.3.10); 4, 5, 6 - (5.3.11)
нольдса имеет важное научное и практическое значение. Это связано с тем обстоятельством, что достижимые в методе прямого численного моделирования и лабораторном эксперименте к настоящему времени числа Рейнольдса, по крайней мере, на порядок меньше типичных значений, реализуемых в атмосферных потоках. Кроме того, характерные для дождевых капель и атмосферных аэрозолей значения размеров и времен релаксации, отнесенные к соответствующим турбулентным микромасштабам, являются настолько малыми, что реализация их представляет большие трудности как в DNS, так и в экспериментах. Возможность построения универсальных асимптотических решений для задач, связанных с относительной дисперсией и аккумулированием двух или группы частиц в турбулентном поле при больших числах Рейнольдса, тесно связана с явлением перемежаемости, обусловленным флуктуациями скорости диссипации турбулентной энергии (Монин и Яглом, 1967; Кузнецов и Сабельников, 1986; Pope, 2000) и нарушением автомодельности двухточечной ФПВ поля скорости жидкости (Tatarskii, 2005). Без учета перемежаемости справедливы классические гипотезы подобия Колмогорова для мелкомасштабной турбулентности (Lundgren, 2003). Эти гипотезы устанавливают универсальность мелкомасштабной турбулентности, т. е. подразумевают независимость характеристик турбулентности в вязком и инерционном интервалах при больших числах Рейнольдса от крупномасштабных вихревых структур. Влияние перемежаемости приводит к зависимости характеристик мелкомасштабной турбулентности от числа Рейнольдса. Поэтому полу-
чение универсальных (автомодельных по числу Рейнольдса) решений возможно только для относительно малоинерционных частиц, время релаксации которых принадлежит к вязкому или инерционному интервалу, при незначительной роли явления перемежаемости. Наличие такой универсальной зависимости для радиальной функции распределения подтверждается, по крайней мере, для частиц со временем релаксации в вязком интервале результатами DNS (Collins & Keswani, 2004). Представленные решения при больших числах Рейнольдса получены в рамках классических гипотез локального подобия при пренебрежении эффектами перемежаемости. Lundgren (2003) показал справедливость классической теории локального подобия Колмогорова в инерционном интервале при Нед —* оо, однако установил, что показатель перемежаемости, характеризующий аномальный скейлинг, стремится к нулю очень медленно (по логарифмическому закону). Поскольку чувствительность к перемежаемости усиливается с ростом порядка статистического момента флуктуаций характеристик турбулентного поля, то результаты анализа без учета явления перемежаемости могут быть справедливы только для моментов ФПВ невысокого порядка.
Продольная структурная функция пульсаций скорости сплошной среды и временной масштаб инкремента скоростей задаются аппроксимациями, следующими из (1.1.38), (1.1.40) и объединяющими соотношения (1.1.22), (1.1.29) и (1.1.28) и (1.1.30) для вязкого и инерционного пространственных интервалов
- Г / г \14/3Stl = Ст2/3 1 — ехр ^-^^^ J- Г / г \14/3Stl = Ст2/3 1 — ехр ^-^^^ JТы = Агт2<3Ты = Агт2<31 — ехр1 — ехрС = 2,Л! =5,/2.С = 2,Л! =5,/2.(5.3.12)А2 = 0,3.(5.3.12)А2 = 0,3.
- Г / г \14/3
Stl = Ст2/3 1 — ехр ^-^^^ J
- Г / г \14/3
Stl = Ст2/3 1 — ехр ^-^^^ J
Ты = Агт2<3
Ты = Агт2<3
1 — ехр
1 — ехр
С = 2,
Л! =5,/2.
С = 2,
Л! =5,/2.
(5.3.12)
А2 = 0,3.
(5.3.12)
А2 = 0,3.
Решение задачи (5.3.1)-(5.3.4) с учетом (5.3.12) действительно для частиц, время релаксации которых ограничено принадлежностью к вязкому или инерционному интервалу (St с Tl\ Коэффициенты вовлечения определяются соотношениями (5.1.18). Рисунок 5.3.2 показывает значения структурных функций и радиальной функции распределения при г = 0. Подтверждается ранее сделанный вывод о наличии критического числа Стокса. При St < Stcr решение в окрестности точки г = 0 имеет вид (5.3.8); при этом Sp»(0) = Spnn(0) = 0 и Г(0) = оо, т. е. имеет место кластеризация частиц. При St > Stcr значения продольной и поперечной структурных функций в нуле совпадают и имеют конечные значения Spu^ = STnn^ = Sp(0); Г(0) согласно (5.3.1) также принимает конечные значения, и, следовательно, кластеризация частиц в указанном выше смысле отсутствует. Критическое число Стокса, определенное из решения задачи (5.3.1)-(5.3.4) с учетом (4.3.12), оказывается несколько большим по сравнению со значением, найденным из (5.3.10), и равняется примерно 1,8. Таким образом, полученные
Рис. 5.3.2. Влияние числа Стокса на значения структурных функций и радиально^ функции распределения при г = 0 для больших чисел Рейнольдса: 1,3 — Sp^Y 2, 4 — Г(0); 1,2 — задача (5.3.1)-(5.3.4); 3, 4 — асимптотика (5.3.15)Рис. 5.3.2. Влияние числа Стокса на значения структурных функций и радиально^ функции распределения при г = 0 для больших чисел Рейнольдса: 1,3 — Sp^Y 2, 4 — Г(0); 1,2 — задача (5.3.1)-(5.3.4); 3, 4 — асимптотика (5.3.15)
Рис. 5.3.2. Влияние числа Стокса на значения структурных функций и радиально^ функции распределения при г = 0 для больших чисел Рейнольдса: 1,3 — Sp^Y 2, 4 — Г(0); 1,2 — задача (5.3.1)-(5.3.4); 3, 4 — асимптотика (5.3.15)
Рис. 5.3.2. Влияние числа Стокса на значения структурных функций и радиально^ функции распределения при г = 0 для больших чисел Рейнольдса: 1,3 — Sp^Y 2, 4 — Г(0); 1,2 — задача (5.3.1)-(5.3.4); 3, 4 — асимптотика (5.3.15)
результаты позволяют сделать вывод, что критическое число Стокса является точкой бифуркации системы уравнений (5.3.1)-(5.3.3), поскольку при St < Stcr решение в окрестности точки г = 0 имеет вид (5.3.8), а при St > Stcr представляется как
Spu^ = SP„n(f) = Sp^\ Г(г) = Г(0),
где значения Sp(0) и Г(0) зависят от St.
Далее построим асимптотическое решение задачи (5.3.1)-(5.3.5) при больших числазс Рейнольдса в инерционном пространственном интервале (1 г С L, где L = L/т/) для частиц, принадлежащих инерционному временному интервалу (1 <с St С Тд). В такой постановке задача (5.3.1)-(5.3.5) с учетом (1.1.29), (1.1.30) и (5.1.18) трансформируется в следующую задачу:
2(<7р» <Tpnn) d^pii /. dlnF
"р+ "d^ ++ 9^~йГ ~ °'
1 d^Pdp_ 4 Зр1 d^Pdp_ 4 ЗрР2Г(<Тр« +5г<тц)^^ - ар
1 d
^Pdp
_ 4 Зр
1 d
^Pdp
_ 4 Зр
4- Уг^пп)^р II^рпп)4- Уг^пп)^р II^рпп)(<ТрЦ + Уг<7и)^^ + -(<7рпп ар р
4- Уг^пп)^р II^рпп)
4- Уг^пп)^р II^рпп)
fid 2/. x^u
X^d^V^ 9r<7ll)"dp 2"
~^pnn “Ь Рг^пп^^П ^nn)
^{^pll ^рпп.
+2у ^(«Трпп +j dp
do*pnndp
i Г d
Зр4 \dp
р = 0
4 /чdann
-yp\,^pl^9r^-^+ } + 2(fTau - <7рц) = 0, (5.3.13)
4" 2-т— Гр Г(<7рпп "I" Рт^пп^^ dp u
рЧ<гри + дг&и)
da-nn
dp e
(0*11 ^nn)j j *4" ^^fr^nn ^pnn) — 0, do*pii d(Tpnn
dp dp '
P ► ОО (ТрЦ — fr^lb &pnn — /r^nni Г — 1,
au-Cp2'\ a^.-Cp^, fr- 1+^2p2/3.
„ = A^ _ AV'3 _ f
9r \_+A2P^' /rl (l+42p2/3)2’ p-st3/2’
SpuSpnnSuSnn
GpU - gt , <Tpnn - -g^-,*11 - g^, an„ - —.
Видно, что задача (5.3.13) автомодельна относительна числа Стокса. Имеет место определенная аналогия с задачей о движении частиц в пристеночном логарифмическом слое (2.6.25). Рисунок 5.3.3 демонстрирует структурные функции сплошной среды и частиц, а также радиальную функцию распределения, полученные в результате решения (5.3.13) и этой же задачи без учета «транспортного члена» в аппроксимации (5.1.15), т. е. если формально положить /г1 = 0 в (5.3.13). Так, при больших расстояниях (р^ 1), когда диффузионный механизм переноса пульсаций скорости не играет существенной роли, продольная и поперечная структурные функции частиц меньше, чем соответствующие структурные функции сплошной среды и приближенно определяются локально-однородными соотношениями ори = fr^ib tfpnn = fr^nn- Однако при малых расстояниях между частицами их структурные функции превышают структурные функции жидкости. Этот эффект обусловлен диффузионным механизмом переноса пульсаций скорости и реализуется только для достаточно инерционных частиц. Из рис. 5.3.3а также следует, что с уменьшением р значения арц и Стрпп приближаются друг к другу и стремятся к некоторому пределу. Рисунок 5.3.36 показывает монотонное возрастание радиальной функции распределения с уменьшением р, что качественно аналогично поведению концентрации частиц в пристеночном логарифмическом слое (рис. 2.6.66). Сравнение решения (5.3.13) с решением
Рис. 5.3.3. Структурные функции (а) и радиальная функция распределения (б) в инерционном интервале при Нед —> оо: / — задача (5.3.13); 2 — задача (5.3.13) с /н =0
соответствующей задачи при fT\ = 0 свидетельствует о незначительном влиянии транспортного члена в аппроксимации (5.1.15) на профили структурных функций частиц и о заметном влиянии на радиальную функцию распределения, проявляющемся в ее увеличении при малых р. В начале координат получены следующие значения:
<Трн(0) = <7рпп(0) =0,69, Г(0)=4,0и rsqui Ори(0) = <7р„„(0) = 0,57, Г(0) = 3,4 при /г1 = 0. ^ '
Асимптотические зависимости при больших St, показанные на рис. 5.3.3 пунктирными линиями в соответствии с (5.3.14) имеют вид
(5.3.15)(5.3.15)5р(0) = 0,69St, Г(0) = 4,0.
(5.3.15)
(5.3.15)
единицеединицеВ случае высокоинерционных частиц, время динамической релаксации которых значительно превышает интегральный лагранжев масштаб турбулентности (St ^> TlY задача (5.3.1)-(5.3.5) с учетом (1.1.35) и (1.1.36) имеет простое асимптотическое решение. Вследствие интенсивного диффузионного переноса пульсаций скоростей профили продольной и поперечной структурной функций частиц совпадают и становятся однородными, а радиальная функция распределения равняется
единице
единице
(5.3.16)(5.3.16)■q 27’^ReA
(5.3.16)
(5.3.16)
Opll — Dpnn — |gl/2gt ’1 — ь
Перейдем к решению задачи (5.3.1)-(5.3.5) при конечных числах Рейнольдса Rex. Для этой цели продольная структурная функция пульсаций скорости сплошной среды и временной масштаб инкремента скоростей задаются аппроксимациями (1.1.38) и (1.1.40), объединяющими соответствующие зависимости для вязкого, инерционного и внешнего пространственных интервалов
_ 2ReA Г / г \14/3/ ISM \1/6151/2 [* «^ (15C)3/JJ \153f4 + (2ReA/C)6/_ 2ReA Г / г \14/3/ ISM \1/6151/2 [* «^ (15C)3/JJ \153f4 + (2ReA/C)6/Ты -: TlТы -: Tl1 — exp1 — expf4 + ^TlIA^f4 + ^TlIA^0 = 2,(5.3.17)0 = 2,(5.3.17)
_ 2ReA Г / г \14/3/ ISM \1/6151/2 [* «^ (15C)3/JJ \153f4 + (2ReA/C)6/
_ 2ReA Г / г \14/3/ ISM \1/6151/2 [* «^ (15C)3/JJ \153f4 + (2ReA/C)6/
Ты -: Tl
Ты -: Tl
1 — exp
1 — exp
f4 + ^TlIA^
f4 + ^TlIA^
0 = 2,
(5.3.17)
0 = 2,
(5.3.17)
Л1 = 51/2, A2 = 0,3.
Для вычисления коэффициентов вовлечения частиц в турбулентное движение жидкости используется двухмасштабная би-экспоненциальная автокорреляционная функция (1.1.21), и, следовательно, аналогично (2.7.12)
, 2Пг + г2~ _ 1,
/г2Пг + 2П2+22' 9rfirJr’
,, (5'3J8)
/rl —~2 * r — ^r Jr\i
(2fir + 2Q2 + г2)2
где fir = rp/TLr. Лагранжев интегральный временной масштаб турбулентности Tl задается зависимостью (1.1.4), а тейлоров временной микромасштаб инкремента пульсаций скоростей ттг определяется согласно (1.1.41). При Rex —» оо (5.3.17) переходит в (5.3.12), а (5.3.18) — в (5.1.18) при условии ТыР = Ты- Результаты решения задачи (5.3.1)-(5.3.5) с учетом (5.3.17) и (5.3.18) сравниваются с данными прямых численных расчетов разных авторов.
Рис. 5.3.4. Продольная (а) и поперечная (б) структурные функции и радиальная функция распределения (в) при Нед = 75: 1 — St = 0, 2 — 1,3 — 3, 4 - 10, 5 - 100, 6 - 1000
На рис. 5.3.4 показаны структурные функции и радиальная функция распределения частиц, полученные в результате решения задачи (5.3.1)-(5.3.5) при Кед = 75. Как видно из сравнения с рис. 2.7.1в,а,е и 2.7.2в,г,е, имеет место качественная аналогия между поведением интенсивности поперечных пульсаций скорости и концентрации частиц в пристеночной турбулентности и структурных функций и радиальной функции распределения в изотропной турбулентности. Так, по мере возрастания St структурные функции частиц все больше отклоняются от структурных функций сплошной среды (кривые /) и приближаются к асимптотическим однородным распределениям для высокоинерционных частиц (5.3.16). В отличие от структурных функций сплошной среды, которые равны нулю при г = 0, структурные функции достаточно инерционных частиц благодаря диффузионному переносу отличаются от нуля в начале координат. В соответствии с (5.3.8) при у < 0 радиальная функция распределения малоинерционных частиц имеет особенность при г = 0. С возрастанием инерционности частиц вследствие уменьшения градиентов структурных функций и соответственно силы турбофореза эта особенность в начале координат исчезает, и Г стремится к единице.
Рисунок 5.3.5 в широком диапазоне изменения числа Стокса демонстрирует влияние инерционности, частиц на относительную радиальную скорость, определенную из Spu при помощи (5.3.6), и показывает сравнение с результатами DNS (Wang et al, 2000) при f = 1. Видно, что зависимость (|wr|) от St характеризуется наличием максимума.
Рис. 5.3.5. Влияние числа Стокса на относительную радиальную скорость частиц при г = 1: 1-3 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 4-6 — модель (5.3.1)-(5.3.5) с /Г1 = 0; 7 - (5.3.19); 8-10 - (5.3.20); 11-13 - (Wang et al., 2000);
1, 4, 8, 11 - ReA = 45; 2, 5, 9, 12 - ReA = 58; 3, 6, 10, 13 - ReA = 75
Первоначальное возрастание (|wr|) обусловлено уменьшением коррели- рованности движения двух частиц с увеличением их инерционности. Последующее снижение (|wr|) с ростом St связано с уменьшением интенсивности пульсаций скоростей частиц, так как они становятся более инерционными и слабее вовлекаются в турбулентное движение сплошной среды. Отметим, что в случае малоинерционных частиц влиянием числа Рейнольдса на (|wr|) можно пренебречь и представленные на рис. 5.3.5 результаты расчета относительных скоростей хорошо обобщаются при помощи колмогоровских микромасштабов. Напротив, относительные скорости высокоинерционных частиц управляются макромасштабами турбулентности.
В пределе безынерционных частиц (St -* 0) согласно (5.3.6) и (5.3.9) следует
М1) = ^) т.(5.3.19)
Для высокоинерционных частиц (|wr|) асимптотически стремится с ростом St к зависимости
(Ы> - 151/4 ( wSt /’(5.3.20)
следующей из (5.3.16).
Как видно из рис.5.3.5, значения (|wr|), предсказываемые моделью (5.3.1)-(5.3.5), в диапазоне 0,1 < St < 10 довольно существенно пре-
8 Л. И.Зайчик. В. М. Алипченков
вышают данные численного моделирования. Это различие объясняется, в первую очередь, сильной чувствительностью статистики флуктуаций относительной скорости частиц к типу турбулентности. Как уже отмечалось в разделе 4.1, значения (|wr|), полученные в приближении «замороженной турбулентности» (Wang et al., 2000) оказываются заметно меньшими по сравнению с результатами DNS для «форсированной турбулентности» (Fede & Simonin, 2005). Результаты, полученные без учета транспортного эффекта при аппроксимации лагранжевой двухточечной структурной функции (5.1.15), т. е. в случае решения задачи (5.3.1)-(5.3.5) с fr\ = 0, лучше согласуются с данными DNS для «замороженной турбулентности».
Рисунок 5.3.6 демонстрирует влияние числа Стокса на отношение между поперечной и продольной структурными функциями для разных чисел Рейнольдса при г = 1. Полученные на основе модели (5.3.1)—(5.3.5) результаты в соответствии с данными DNS свидетельствуют о слабом влиянии Кед на Spnn^/SpuW. Видно, что отношение 5pnn(l)/Spn(l), равное двум для сплошной среды в соответствии с (1.1.22), падает и стремятся к единице с ростом St. Следует также отметить, что модель, учитывающая транспортный эффект при аппроксимации лагранжевой двухточечной структурной функции (5.1.15), предсказывает более резкое уменьшение S'pnn(l)/S'pn(l) с ростом St и лучше согласуется с данными DNS.
Рис. 5.3.6. Отношение между поперечной и продольной структурными функциями: 1-4 — модель (5.3.1)—(5.3.5); 5-8 — модель (5.3.1)-(5.3.5) с fT\ = 0; 9-12 - Wang et al. (2000); 1, 5, 9 - Кед = 24; 2, 6, 10 - Кед = 4 5;
3, 7, // - Кед = 58; 4, 8, 12 - Кед = 75
Рис. 5.3.7. Влияние числа Стокса на радиальную функцию распределения при малых расстояниях между частицами: 1-4 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 5, 6 — модель (5.3.1)-(5.3.5) с fT\ = 0, 7, 8 — Reade & Collins (2000); 9, 10 - Wang et al. (2000); 1, 5, 7 - r = 0,025, ReA = 37; 2, 8 - r = 0,025, ReA = 82; 3, 6, 9 - r = 1, ReA = 24; 4, 10 - r = 1, ReA = 75
Результаты расчета радиальной функции распределения в зависимости от числа Стокса для разных расстояний между частицами и чисел Рейнольдса вместе с данными численного моделирования Reade & Collins (2000), Wang et al. (2000) и Fevrier et al. (2001) представлены на рис. 5.3.7-5.3.9. В предельных случаях мало- и высокоинерционных частиц согласно (5.3.7) и (5.3.16) поле концентрации статистически однородно, и, следовательно, Г = 1. В соответствии с данными прямого численного моделирования радиальная функция распределения проходит через максимум по мере возрастания времени релаксации частиц. Как видно из рис. 5.3.7, положение максимума при малых расстояниях между частицами хорошо масштабируется колмогоровскими микромасштабами, что свидетельствует об определяющей роли мелкомасштабных турбулентных структур в формировании явления кластеризации частиц. Из рис. 5.3.7-5.3.9 следует, что при увеличении расстояния между частицами пик Г падает и сдвигается по направлению к большим значения времени релаксации частиц. Как было установлено Fevrier et al. (2001), частицы, время релаксации которых много больше временного колмогоровского микромасштаба (St ^> 1), также обладают свойством аккумулироваться в пространстве. Однако, поскольку движение высокоинерционных частиц управляется крупномасштабными турбулентными структурами, для описания эффекта аккумулирования таких частиц лучше использовать интегральные масштабы турбулентности, чем колмогоровские микромасштабы. Этот 8*
Рис. 5.3.8. Влияние инерционности и расстояния между частицами на радиальную функцию распределения при обезразмеривании с помощью колмогоровских микромасштабов: 1-3 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 4-6 — Fevrier et al. (2001); а — г = 6; б — г = 12; в — г = 18; г — 24;
1,4- Нед = 53; 2,5- Кед = 69; 3,6- Нед = 134
Рис. 5.3.9. Влияние инерционности и расстояния между частицами на радиальную функцию распределения при обезразмеривании с помощью интегральных масштабов: 1-3 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 4-6 — Fevrier et al. (2001); а — r(L = 0,05; б — r/L = 0,1; в — r/L = 0,2; г — t/L = 0,3; 4 — Нед = 53;
2.5 — Нед = 69; 3.6- Нед = 134
вывод наглядно подтверждается сравнением рис. 5.3.8 и 5.3.9. Таким образом, эффект кластеризации наиболее явственно проявляется для частиц, время релаксации которых близко к колмогоровскому временному масштабу (при числах Стокса St порядка единицы). В то же время явление аккумулирование в слабом виде имеет место и для высокоинерционных частиц при больших расстояниях между ними. Из рис. 5.3.7 также следует, что неучет дополнительного диффузионного переноса, обусловленного транспортным членом в (5.1.15), приводит к снижению неоднородности распределения частиц, т. е. к уменьшению эффекта аккумулирования и сдвигу максимума Г в сторону больших значений числа St.
Интересно отметить, что модель (5.1.1)—(5.1.5) в соответствии с данными численного моделирования предсказывает, что эффект аккумулирования усиливается с ростом числа Рейнольдса при обезраз- меривании с помощью колмогоровских микромасштабов (рис. 5.3.7 и 5.3.8). Напротив, рис. 5.3.9 указывает на ослабление эффекта аккумулирования с увеличением числа Рейнольдса при обезразмеривании с помощью макромасштабов. Однако предсказываемое моделью влияние числа Рейнольдса на радиальную функцию распределения оказывается не таким сильным, как в расчетах Reade & Collins (2000), Wang et al. (2000) и Fevrier et al. (2001). Поскольку классическая теория подобия требует, чтобы число Рейнольдса играло исчезающе малую роль на характеристики мелкомасштабной турбулентности в пределе Нед —> оо, то, по-видимому, достаточно сильное влияние Re\ на Г, обнаруженное при прямом численном моделировании, объясняется явлением перемежаемости. Однако влияние перемежаемости на аккумулирование частиц рассматриваться не будет, так как выходит за рамки данной книги.
Рассмотрим поведение двухточечной корреляции пульсаций скоростей частиц в зависимости от их инерционности. Эйлеров двухточечный корреляционный момент связан со структурной функцией соотношением
Bpij^ = (v'(x,i)v'(x + r,f)) = |kp5y - ^^^,й _ Wk) _ Spkk^kP- 2 -4■
Рисунок 5.3.10a показывает зависимость продольной двухточечной корреляционной функции ЗВрц/2кр от расстояния между частицами, отнесенного к пространственному макромасштабу. Представлены результаты, полученные на основе статистической модели (5.1.1)-(5.1.5), и данные численного моделирования с использованием DNS и LES (Fevrier et al., 2005). Обращает на себя внимание тот факт, что в отличие от хорошо известного результата для жидких частиц корреляционная функция для инерционных частиц, нормированная на полную кинетическую энергию, не стремится к единице при г —► 0.
Рис. 5.3.10. Продольная двухточечная корреляционная функция, нормированная на полную кинетическую энергии частиц (а) и ее «коррелированную» составляющую (б) при Нед = 134: 1-5 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 6-10 — Fevrier et al. (2005); Л б — StL = 0,05; 2, 7 - StL = 0,3; 3, 8 - StL = 1,47;
4,9- StL = 3,4; 5, 10 - StL = 4,83
Эта специфическая особенность указывает, что вследствие инерции скорости двух частиц не являются полностью коррелированными даже при г = 0. Поэтому в отличие от турбулентности в сплошной среде, где половина свертки пространственного корреляционного момента Bkk/% стремится к кинетической турбулентной энергии к при г -* 0, Вркк/^
при уменьшении расстояния между двумя точками не стремится к кинетической энергии частиц кр. Эффект разрывности пространственного корреляционного момента в нуле был экспериментально подтвержден для турбулентного течения в канале (Khalitov & Longmire, 2003).
Двухточечная статистическая модель, представленная в данной главе, тесно связана с развиваемым Simonin et al. (2002) и Fevrier et al. (2005) теоретическим формализмом на основе разложения поля скорости частиц в турбулентном потоке на две составляющие. Поскольку дисперсная фаза одновременно обладает свойствами континуума и дискретных частиц, то эти две составляющие интерпретируются в рамках эйлерова и лагранжева методов моделирования. Первая («коррелированная») составляющая учитывает пространственную коррели- рованность движения частиц, а вторая представляет собой некоррелированную («квазиброуновскую») составляющую скорости, обусловленную статистически независимым движением частиц. В соответствии с этим подходом кинетическая энергия дисперсной фазы представляется в виде суммы ~
кр = кр + 5кр, (5.3.21)
где кр и 5кр — «коррелированная» и «квазиброуновскую» составляющие. Эти части кинетической энергии частиц выражаются через двухточечные структурные функции как
= Spkk(oo) - Spkk(0^ ^ = Spfcfc(0) (5 з 22)
На рис. 5.3.) 1 и 5.3.12 представлено сравнение результатов численного моделирования, основанного на декомпозиции (5.3.21) и модели (5.3.1)-(5.3.5) с учетом (5.3.22). Влияние инерционности частиц на «коррелированная» и «квазиброуновскую» составляющие, отнесенные к полной кинетической энергии дисперсной фазы, показано на рис. 5.3.11. Видно, что основной вклад в кинетическую энергию малоинерционных частиц дает «коррелированная» составляющая, а роль «квазиброуновской» составляющей возрастает по мере увеличения инерционности частиц. Таким образом, как уже отмечалось, движение высокоинерционных частиц в турбулентном потоке статистически независимо и подобно поведению броуновских частиц. Рисунок 5.3.12 представляет «квазиброуновскую» кинетическую энергию частиц, отнесенную к турбулентной энергии жидкости. Видно, что в соответствии с результатами Fevrier et al. (2005) статистическая модель (5.3.1)-(5.3.5) предсказывает наличие максимума в зависимости «квазиброуновской» энергии от инерционности частиц. Следует отметить довольно интересный физический эффект, заключающийся в более быстром убывании кр по сравнению с 5кр при St -» оо.
Как видно из рис. 5.3.106, пространственная корреляционная функция, нормированная на «коррелированную» составляющую кинетической энергии частиц ведет себя так же, как и в сплошной среде,
Рис. 5.3.11. Влияние инерционности на «коррелированную» и «квазибро- уновскую» составляющие кинетической энергии частиц: 1-6 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 1-3 - kp/kp; 4-6 - 6kp/kp, 7-9 - Fevrier et al. (2005);
1, 4,7 - ReL = 110; 2, 5, 8 - ReL = 140; 3,6,9- ReL = 700
Рис. 5.3.12. Влияние инерционности частиц на «квазиброуновскую» кинетическую энергию: модель (5.3.1)—(5.3.5); 4-6 — Fevrier et al. (2005);
1, 4 - ReL = ПО; 2, 5 - ReL = 140; 3,6- ReL = 700
и стремится к единице при уменьшении расстояния между двумя точками. Однако поле скорости частиц коррелированно на больших расстояниях между двумя точками по сравнению с полем скорости турбулентной жидкости, и пространственный масштаб корреляции скорости увеличивается с ростом инерционности частиц. Таким образом, с ростом инерционности увеличивается размер области, в которой частица сохраняет «память» о взаимодействии с турбулентной жидкостью.
Влияние эффекта аккумулирования на частотустолкновений частиц
Взаимодействие инерционных частиц с турбулентными вихрями вызывает два физических явления, определяющих частоту столкновений: относительную скорость между соседними частицами (турбулентный транспортный эффект) и неоднородное распределение частиц в пространстве (эффект аккумулирования). В разделе 4.1 представлена статистическая модель турбулентных столкновений, учитывающая относительную скорость между соседними частицами, но не принимающая во внимание аккумулирование частиц. В настоящем разделе приводится модель столкновений, учитывающая оба статистических эффекта и основанная на результатах предыдущего раздела.
Ядро столкновений в рамках сферической формулировки определяется следующей формулой (Reade & Collins, 2000; Wang et al, 2000):
0 = (5.4.1)
где радиальная функция распределения в точке контакта частиц Г(сг) описывает эффект аккумулирования. С учетом (5.3.6) ядро столкновений (5.4.1) представляется в виде
^ = (87г5рн(а))1/2а2Г(а). (5.4.2)
Итак, согласно (5.4.2) турбулентное ядро столкновений определяется значениями продольной структурной функции и радиальной функции распределения на расстоянии, равном радиусу сферы столкновений о. Вначале приведем некоторые простые аналитические зависимости для /3, которые следуют из (5.4.2) в предельных ситуациях.
Согласно (5.3.7) безынерционные частицы полностью вовлекаются в пульсационное движение газа и, следовательно, однородно распределены в окружающем пространстве. Подстановка (5.3.7) в (5.4.2) приводит к известной формуле Saffman-Turner (4.1.17) для ядра столкновений безынерционных частиц с диаметрами, не превышающими колмогоровский пространственный микромасштаб.
В инерционном интервале изменения времени релаксации частиц (тк <^тр <^ Tl), реализуемом при больших числах Рейнольдса, ядро
столкновений (5.4.2) с учетом решения задачи (5.3.13) приводится к виду
0 = b2 ^!2а\ b2 = (8тгарц(0))1^2Г(0),
согласующемуся с (4.1.20).
Наконец, ядро столкновений высокоинерционных частиц (тр ^TL) с учетом (5.3.16) определяется выражением
., f irTL\^2 , 2
0 = 4 —-uV,
\ тР ;
согласующимся с кинетическим ядром столкновений Abrahamson (4.1.21).
В предельных случаях безынерционных и высокоинерционных частиц интенсивность столкновений управляется только турбулентным транспортным механизмом, однако влияние аккумулирования становится существенным, если время релаксации частиц принадлежит инерционному интервалу. Наиболее существенно влияние явления аккумулирования на скорость столкновений (и тем самым на коагуляцию) проявляется при совпадении (или близких значениях) времени релаксации частиц и временного колмогоровского микромасштаба турбулентности, когда радиальная функция распределения достигает максимума.
На рис. 5.4.1 представлено ядро столкновений, определенное из решения задачи (5.3.1)—(5.3.5) с учетом (5.3.17) и (5.3.18). Модель
Рис. 5.4.1. Влияние числа Стокса на ядро столкновений частиц в изотропной турбулентности: 1-3 и 4-6 — модель (5.3.1)-(5.3.5) с учетом и без учета эффекта аккумулирования; 7-9 — DNS (Wang el al., 2000); 1,4, 7 — Нед =45;
2, 5, 8 - НеЛ=58; 3,6,9- Нел=75
содержит допущение, что структурная функция 8рц и радиальная функция распределения Г, определенные для частиц нулевого размера, применимы для оценки ядра столкновений частиц конечного размера ст. Ядро столкновений отнесено к соответствующей величине для безынерционных частиц (4.1.17) и сопоставляется с данными DNS Wang et al. (2000) при ст = 1. Видно, что модель удовлетворительно согласуется с результатами прямых численных расчетов, хотя следует отметить, что предсказываемые максимумы /3 превышают значения, полученные на основе DNS. Рисунок 5.4.1 свидетельствует, что для малоинерционных частиц влияние числа Рейнольдса исчезает и в соответствии с DNS ядро столкновений хорошо обобщаются при помощи колмогоровских микромасштабов. Напротив, видно, что интенсивность столкновений высокоинерционных частиц управляются макромасштабами турбулентности. С целью выделения вклада эффекта аккумулирования частиц в ядро столкновений на рис. 5.4.1 показаны также значения P)Pst^ полученные в случае, когда величина 8ри определялась из решения задачи (5.3.1)-(5.3.5), а величина Г в (5.4.2) полагалась равной единице.
На рис. 5.4.2 показано отношение ядра столкновений, отнесенного к соответствующей величине для безынерционных частиц (4.1.17), в зависимости от числа Стокса при значениях числа Рейнольдса в диапазоне от 50 до 5000. Видно, что предсказываемая моделью (5.3.1)-(5.3.5) зависимость при ст = 1 имеет только один максимум. Он соответствует максимуму осредненной радиальной относительной скорости
Рис. 5.4.2. Ядро столкновений частиц при высоких числах Рейнольдса: 1-6 — модель (5.3.1)-(5.3.5); 7-9 — модель Wang et al. (2000); 1-3 — ст = 0,1; 4-9-ст = 1; 1,4,7 — НеЛ = 5 0; 2, 5, 8 - Нел = 500; 3,6,9- Нел = 5000
(|wr|) (рис. 5.3.5). Наличие одного максимума 0I0st при а = 1 для больших чисел Рейнольдса противоречит эмпирической модели Wang et al. (2000), которая, как видно из рис. 5.4.2, при больших Кед дает существование двух пиков, соответствующих максимумам Г и (|wr|). Однако модель Wang et al. (2000) основана на данных прямого численного моделирования при небольших числах Рейнольдса (Кед < 75), а результаты при больших числах Рейнольдса получены с помощью экстраполяции. Как следует из рис. 5.4.2, статистическая модель на основе (5.3.1)-(5.3.5) предсказывает наличие двух максимумов в зависимости (3/(3st от St для больших Нед только при малых значениях а. Кроме того, максимум, соответствующий пику Г, не так ярко выражен, как в модели Wang et al. (2000). Таким образом, поведение ядра столкновений при больших числах Рейнольдса требует дальнейших исследований.
Рассматриваемая статистическая модель может быть применена для определения частоты столкновений частиц в приосевой зоне канала, где характеристики турбулентности близки к изотропным. На рис. 5.4.3 и 5.4.4 показано сравнение результатов расчета турбулентного ядра столкновений по модели (5.3.1)-(5.3.5) с данными прямого численного моделирования Chen et al. (1998), выполненного в плоском канале при
Рис. 5.4.3. Влияние отношения плотностей частиц и жидкости на ядро столкновений в приосевой зоне канала Цр = 9,96 мкм): / — модель (5.3.1)-(5.3.5);
2 — Chen et al. (1998)
Рис. 5.4.4. Зависимость ядра столкновений в приосевой зоне канала от диаметра частиц (pp/pf = 713): 1 — модель (5.3.1)-(5.3.5), 2 — Saffman & Turner (1956), 3 - Abrahamson (1975), 4 - Chen et al. (1998)
Нед = 29,7. Видно, что как отношение плотностей частиц и жидкости Pp/ру, так и диаметр частиц.dp оказывает воздействие на ядро столкновений. Они влияют на ядро столкновений, поскольку с ростом рр/ру и dp согласно (1.2.3) увеличивается время релаксации частиц тр. Когда отношение плотностей падает, время релаксации частиц уменьшается и в соответствии с решением Saffman-Turner (4.1.17) /3 перестает зависеть от pp/pf, что подтверждается рис. 5.4.3. На рис. 5.4.4 для сравнения представлены также зависимости /3 от dp, соответствующие теориям Saffman-Turner и Abrahamson. Ясно, что формула Saffman-Turner, которая не учитывает инерционность частиц, занижает ядро столкновений и приближается к данным DNS только для очень мелких частиц. Напротив, теория Abrahamson, не учитывающая коррелированность скоростей сталкивающихся частиц, завышает ядро столкновений. Статистическая модель, основанная на решении задачи (5.3.1)-(5.3.5), достаточно хорошо согласуется с данными DNS.
Относительная дисперсия двух частицв изотропной турбулентности
Относительная дисперсия (диффузия) пары безынерционных частиц (пассивной примеси) в турбулентных потоках уже давно привлекает внимание исследователей, начиная с классической работы
Richardson (1926). Статистика относительного движения двух частиц в турбулентной среде представляет интерес для многих физических проблем, включая биофизику микроорганизмов (Mann et al., 2002). Решение задачи об относительной дисперсии состоит в получении ответа на вопрос: как изменяется расстояние между двумя первоначально близкими частицами во времени. Richardson (1926) установил закон третьей степени для зависимости среднего квадрата расстояния между частицами (дисперсии) от времени. Закон Ричардсона тесно связан с известными гипотезами локального подобия Колмогорова для инерционного интервала турбулентности при больших числах Рейнольдса (Монин и Яглом, 1967). В противоположность одинарной дисперсии, которая управляется главным образом крупномасштабными (энергосодержащими) вихрями, относительная дисперсия пары частиц зависит от разности (инкремента) скоростей на расстоянии между этими частицами. Поэтому относительная дисперсия пары частиц на начальной стадии (при временах меньших по сравнению с интегральным масштабом турбулентности) отражает универсальную природу мелкомасштабной турбулентности, т. е. ее слабую зависимость от крупномасштабной структуры течения. Теоретическому анализу турбулентной относительной дисперсии пассивной примеси посвящено большое количество публикаций, например, Обухов (1941), Batchelor (1952а), Kraichnan (1966), Durbin (1980), Lundgren (1981), Borgas & Sawford (1994), Thomson (1996), Borgas & Yeung (2004). Численные решения задачи об относительной диффузии двух безынерционных (жидких) частиц в изотропной турбулентности методами прямого численного и кинематического моделирования получили соответственно Yeung (1994, 1997), Yeung & Borgas (2004), Biferale et al. (2005) и Fung et al., (1992), Nicolleau & Vassilicos, (2003), Nicolleau & Yu (2004), Thomson & Devenish (2005); фундаментальное экспериментальное исследование выполнили Ott & Mann (2000). Одним из наиболее важных результатов этих исследований является подтверждение закона Ричардсона третьей степени для дисперсии частиц в инерционном интервале. Обзор полученных результатов для относительной турбулентной дисперсии пассивной примеси содержится в Sawford (2001).
Изучению относительной дисперсии инерционных частиц посвящена, по-видимому, только работа Chronopoulos & Hardalupas (2004), где представлены результаты экспериментального и численного исследований. В экспериментах получена существенно более медленная зависимость дисперсии частиц от времени ((г2) ~ t0,56), чем в законе Ричардсона ((г2) ~ t3). Отклонение от закона Ричардсона объясняется неполным вовлечением инерционных частиц в пульсационное движение турбулентной жидкости или, другими словами, их «проскальзыванием» через турбулентные структуры. Расчеты выполнены на основе лагранжева траекторного метода для частиц с нейтральной плавучестью в турбулентной жидкости, описываемой при помощи стандартной к — е модели турбулентности. В расчетах получено, что закон дис-
Персии Ричардсона реализуется только для очень малоинерционных частиц, а с ростом инерционности частиц их относительная дисперсия от времени изменяется все более полого. Поэтому особый интерес представляет вопрос о справедливости закона Ричардсона и границах его применимости для инерционных частиц.
Рассмотрим движение частиц в однородном, изотропном, стационарном и несжимаемом турбулентном потоке с нулевым значением средней скорости при отсутствии силы тяжести. В качестве отправной точки для анализа относительной дисперсии используется кинетическое уравнение для ФПВ относительной скорости двух частиц (5.1.19), где для упрощения пренебрежем последним «транспортным членом», содержащим производную DpS^/M и не играющим существенной роли в проводимом ниже анализе. В результате интегрирования кинетического уравнения (5.1.19) по подпространству скоростей может быть получена система уравнений для плотности распределения пары частиц в пространстве Pr(r,f|ro,O), определяемой как плотность вероятности двух частиц находиться на расстояния г в момент времени t, если в момент времени t = 0 они находились на расстоянии го. Плотность распределения пары частиц удовлетворяет начальному условию Рг(г,0) = 5(г — го). С учетом сферической симметрии и соотношения (5.2.6) для тройной корреляции система уравнений на уровне вторых моментов при AU = 0 представляется в виде
^ + A^-= 0,9t r2 9r '2^ + A^-= 0,9t r2 9r '2(5.5.1)(5.5.1)^+Wr^=at r dr2(Spnn — Spu) _ 8Spu _ WT^+Wr^=at r dr2(Spnn — Spu) _ 8Spu _ WT®Spll _|_ Ц/dt + '®Spll _|_ Ц/dt + 'т98рц Трт98рц Тр9 Г9 Г9r tp9r tp-(Spu + grSu)^^, (5.5.2)or-(Spu + grSu)^^, (5.5.2)orЭг т^Рт 9гЭг т^Рт 9гг2РД8рц+дг8и)^ -г2РД8рц+дг8и)^ --^ (Spu+grSu)-^ (Spu+grSu)9Spnn 2, gT ^Pnn9Spnn 2, gT ^Pnn+ 9т8<п,п)^8ри Spnn)+ 9т8<п,п)^8ри Spnn)
^ + A^-= 0,
9t r2 9r '2
^ + A^-= 0,
9t r2 9r '2
(5.5.1)
(5.5.1)
^+Wr^=at r dr
2(Spnn — Spu) _ 8Spu _ WT
^+Wr^=at r dr
2(Spnn — Spu) _ 8Spu _ WT
®Spll _|_ Ц/dt + '
®Spll _|_ Ц/dt + '
т
98рц Тр
т
98рц Тр
9 Г
9 Г
9r tp
9r tp
-(Spu + grSu)^^, (5.5.2)or
-(Spu + grSu)^^, (5.5.2)or
Эг т^Рт 9г
Эг т^Рт 9г
г2РД8рц+дг8и)^ -
г2РД8рц+дг8и)^ -
-^ (Spu+grSu)
-^ (Spu+grSu)
9Spnn 2, gT ^Pnn
9Spnn 2, gT ^Pnn
+ 9т8<п,п)^8ри Spnn)
+ 9т8<п,п)^8ри Spnn)
9Spnn 9Spnn Tp ( 9_9t T 9r 3r4Pr 19r9Spnn 9Spnn Tp ( 9_9t T 9r 3r4Pr 19rr^PASpu + grStO^I^r^PASpu + grStO^I^
9Spnn 9Spnn Tp ( 9_
9t T 9r 3r4Pr 19r
9Spnn 9Spnn Tp ( 9_
9t T 9r 3r4Pr 19r
r^PASpu + grStO^I^
r^PASpu + grStO^I^
9W,2
-^8р11 + gTS^-^- + -UtSu - Spu\ (5.5.3)
+2^ [r3M2(Spn„
В результате интегрирования (5.5.1)—(5.5.4) по г может быть получена цепочка обыкновенных дифференциальных уравнений для мо-
ментов плотности вероятности расстояния между частицами P^r^t). С этой целью будем считать, что РТ стремится к нулю при г —> оо быстрее, чем по степенному закону, т. е.
Иш гпРт = 0 при п = 0,1,2,...
г—* ОО
ОО
Тогда, интегрируя (5.5.1)-(5.5.4) с учетом нормировки r2Prdr = 1,
получаем
0
ОО
9°°
= 2 [ r3PTWT dr, 0
oooo
(5.5.5)
r3PTWTdr = r2PTW2dr-V r2Pr(5pn + 25pnn)dr—
000
oooo
-— [ r3PrWrdT+ f Pr8^ arSl1^dr, (5.5.6) Tp JJor
о0
oooo
^ f T2PrSpUdT = -2 [ rP^Spu + grSu) (rp^ + r^) dr*
dt JJ\ oror )
оо
oo\
?PrfTSudT - j r2PrSplldr j , (5.5.7) 0/
oooo
^ j* 7* PrSpnndr = —2 j* rPT(Spnn 4- grSnnWrdrA- оо
oo\
r2PTfTSnndr - j r2PrSpnndr j , (5.5.8)о/
где дисперсия (г2) равна
oo
(г2) = jr4PTdr.(5.5.9)
0
Прежде чем анализировать дисперсию инерционных частиц рассмотрим поведение уравнений (5.5.1)—(5.5.9) в случае безынерционных частиц.
Дисперсия безынерционных частиц. В пределе безынерционныхДисперсия безынерционных частиц. В пределе безынерционных(жидких) частиц (тр —* 0) из уравнений (5.5.2)-(5.5.4) следующие соотношения:w - Т Ч 9ХкРтотSpu = Su TltSu ^ > Spnn = Snn TLrSnn ^ .(жидких) частиц (тр —* 0) из уравнений (5.5.2)-(5.5.4) следующие соотношения:w - Т Ч 9ХкРтотSpu = Su TltSu ^ > Spnn = Snn TLrSnn ^ .получаютсяполучаются(5.5.10)(5.5.10)(5.5.11)(5.5.11)
Дисперсия безынерционных частиц. В пределе безынерционных
Дисперсия безынерционных частиц. В пределе безынерционных
(жидких) частиц (тр —* 0) из уравнений (5.5.2)-(5.5.4) следующие соотношения:
w - Т Ч 9ХкРт
от
Spu = Su TltSu ^ > Spnn = Snn TLrSnn ^ .
(жидких) частиц (тр —* 0) из уравнений (5.5.2)-(5.5.4) следующие соотношения:
w - Т Ч 9ХкРт
от
Spu = Su TltSu ^ > Spnn = Snn TLrSnn ^ .
получаются
получаются
(5.5.10)
(5.5.10)
(5.5.11)
(5.5.11)
ЭРТ _ \ Э dt т2 ЭтЭРТ _ \ Э dt т2 ЭтСогласно (5.5.10) осредненная относительная скорость между безынерционными частицами возникает вследствие диффузионного механизма переноса. Из (5.5.11) с учетом (5.5.10) видно, что диффузионный перенос дает также вклад в структурные функции жидких частиц (интенсивность пульсаций относительной скорости пары частиц). Подстановка (5.5.10) в (5.5.1) приводит к уравнению диффузии
ЭРТ _ \ Э dt т2 Эт
ЭРТ _ \ Э dt т2 Эт
(5.5.12)
где Вц = ЗцТьт — продольная составляющая тензора турбулентной относительной диффузии пассивной примеси (1.1.19). Итак, из (5.5.1)-(5.5.4) следует, что плотность вероятности распределения пары безынерционных частиц подчиняется уравнению относительной (бинарной) диффузии (Richardson, 1926; Sawford, 2001).
Из (5.5.6) следует, что с учетом gr Ты/тр при тр —> 0
ОООО
\?PrWrdr = Г P^^^dr.(5.5.13)
JJОТ
оо
Подстановка (5.5.13) в (5.5.5) дает следующее уравнение для дис
персии:
dt J г Этоdt J г Это(5.5.14)(5.5.14)
dt J г Это
dt J г Это
(5.5.14)
(5.5.14)
Из (5.5.14) видно, что закон изменения дисперсии во времени, т. е.
увеличение расстояния между жидкими частицами, зависит от поведения продольной компоненты тензора турбулентной относительной диффузии. Рассмотрим дисперсию безынерционных частиц в вязкой, инерционной и внешней пространственных областях.
В вязком интервале (г ^ ту) коэффициент относительной диффузии определяется согласно (1.1.27) и (1.1.28), что приводит к замкнутому
уравнению для дисперсии
(5.5.15)(5.5.15)d(r2) _ 2Л 2dt 3rk
(5.5.15)
(5.5.15)
Решением (5.5.15) будет
(г2) = rg exp(г2) = rg exp
(г2) = rg exp
(г2) = rg exp
Экспоненциальный рост дисперсии в вязком интервале (5.5.16) впервые установил Batchelor (1952b), а также получил Lundgren (1981).
В инерционном интервале (г/ <С г <^ L) коэффициент относительной диффузии в соответствии с (1.1.19), (1.1.29) и (1.1.30) равен
D^ = СА^г^.(5.5.17)
Выражение (5.5.17) представляет собой известный закон 4/3 Ричардсона для коэффициента относительной диффузии пассивной примеси в инерционном интервале. Автомодельное решение уравнения (5.5.12) с учетом (5.5.17) имеет вид
(5.5.18)(5.5.18)D _2187/9г2/3
(5.5.18)
(5.5.18)
г - ббОтг1/2^/2^*)9/2 ехр V 4С'А2£'/з<
Подстановка распределения плотности вероятности расстояния между частицами (5.5.18) в (5.5.9) приводит к закону дисперсии третьей степени
(г2) = CRet\ CR = Н^А^(5.5.19)
ol
где Cr — постоянная Ричардсона-Обухова. Следует отметить, что приведенные в литературы расчетные значения постоянной Ричардсона-Обухова отличаются больше, чем на два порядка, и изменяются от 0,1 до 4. Сложность экспериментального определения Cr заключается в необходимости одновременного измерения относительной дисперсии частиц и скорости диссипации турбулентной энергии. Согласно (5.5.19) Cr = 3,05 при С = 2 и Аг = 0,3, что практически совпадает с полученным Lundgren (1981) значением Cr = 3,06. Для реализации закона Ричардсона (5.5.19) необходимо одновременное выполнение нескольких условий: отсутствие влияния вязкости (большие числа Рейнольдса), незначительное влияние крупномасштабной конвекции и потеря памяти о начальном расстоянии между частицами. Как установлено в экспериментах Bourgoin et al. (2006) закон Ричардсона справедлив для t > (го/s)1/3, а для меньших времен имеет место зависимость дисперсии жидких частиц от начального расстояния между ними tq. В дальнейшем будем считать, что начальное расстояние между частицами го имеет порядок пространственного микромасштаба гр
При больших расстояниях между двумя точками по сравнению с пространственным макромасштабом (г > L) пульсации скоростей в этих точках статистически независимы и коэффициент относительной диффузии определяется соотношением (1.1.37). Автомодельным решением уравнения (5.5.12) с учетом (1.1.37) будет
г2
ЙТь^Ч
В соответствии с (5.5.20) закон дисперсии имеет вид
(5.5.21)(5.5.21)(г2) = X^Tbt.
(5.5.21)
(5.5.21)
Из (5.5.21) видно, что при больших временах по сравнению с временным макромасштабом (t > Те) относительная (бинарная) дисперсия растет линейно во времени, и, следовательно, изменение расстояния между двумя частицами имеет параболический характер.
Для сравнения рассмотрим дисперсию одной жидкой частицы в изотропной турбулентности при больших временах (t > Те)» когда справедливо соотношение (1.1.2) для коэффициента турбулентной диффузии, т. е. имеет место тэйлоровская диффузия. Благодаря сферической симметрии из уравнения диффузии (2.2.12) в однородной изотропной турбулентности с нулевой средней скоростью следует
(5.5.22)(5.5.22)ЭРх _ 1( 2п 9РХ\
(5.5.22)
(5.5.22)
dt х2 Эх \1 Эх ) '
где Рх^хД) — плотность вероятности частицы находиться в точке х в момент времени t, если в момент времени £ — 0 они находились в точке х = 0. Одинарная плотность вероятности удовлетворяет начальному условию Ре(х,0) = 5(х). Решение уравнения (5.5.22) с учетом (1.1.2) ОО
и нормировки | х2Рх dx = 1 имеет вид о
_1Х - 27T'/2(TLU/2t)3/2 6ХР_1Х - 27T'/2(TLU/2t)3/2 6ХР(5.5.23)(5.5.23)х2
_1
Х - 27T'/2(TLU/2t)3/2 6ХР
_1
Х - 27T'/2(TLU/2t)3/2 6ХР
(5.5.23)
(5.5.23)
АТе^Ч
Из (5.5.23) получаем дисперсию пассивной примеси в пространстве от точечного источника
ОО
(ж2) = | х^Рх dx = Su^TeI.(5.5.24)
о
Выражение (5.5.24) показывает, что в изотропной турбулентности при больших временах аналогично броуновской диффузии имеет место линейный закон дисперсии от времени (Taylor, 1921; Batchelor, 1949). Сопоставление (5.5.21) и (5.5.24) показывает, что вследствие некоррелированности движения двух жидких частиц при выполнении условий т > L и t > Те их относительная дисперсия в два раза превышают одинарную дисперсии (аналогично соотношению между коэффициентами бинарной и одинарной диффузии).
Таким образом, модель, основанная на системе уравнений (5.5.1)-(5.5.4), правильно воспроизводит все основные результаты, известные для турбулентной относительной дисперсии пассивной примеси.
Дисперсия инерционных частиц. Вначале проанализируем дисперсию частиц в инерционном интервале, где имеют место соотношения (1.1.29) и (1.1.30). С этой целью перейдем к безразмерным переменным
_ t _ г _ WTТ-Тр' Р"еМ^’
SpUSpnnSuSnn
етр р етретретр
В новых переменных система уравнений (5.5.1)-(5.5.4) с учетом (1.1.29), (1.1.30) и (5.1.18) примет вид
ЭРГ1 Э , 2r) x nЭтp2 дрЭРтш 1 др^Р^ 2р\^pll ^рпп) Эт р2 ЭррЭРrQp иЭРг=РтШ - дтсгц^™»дрдрЭРГ1 Э , 2r) x nЭтp2 дрЭРтш 1 др^Р^ 2р\^pll ^рпп) Эт р2 ЭррЭРrQp иЭРг=РтШ - дтсгц^™»дрдр(5.5.25)(5.5.25)(5.5.26)(5.5.26)ЭРrdpllЭт4Pr "3p ['ЭРrdpllЭт4Pr "3p ['1 Э^РгШСТрц _ 1 d p2 Эр t11 Э^РгШСТрц _ 1 d p2 Эр t1P2 dpP2 dpЭРгСТрппЭРгСТрппp2Pr(CTPii+gTCTu)p2Pr(CTPii+gTCTu)доридоридр .др .rpnn + gr^nn^^pll tipnn)rpnn + gr^nn^^pll tipnn)-2Рг((7рн + Ртспй^ + ^PAfr^u - OpuY (5.5.27)-2Рг((7рн + Ртспй^ + ^PAfr^u - OpuY (5.5.27)1 др2 PTu)<7pitn 1 др2 PTu)<7pitn От p2 ЭрОт p2 Эрд<Трппд<Трпп9Р .9Р .
ЭРГ1 Э , 2r) x n
Этp2 др
ЭРтш 1 др^Р^ 2р\^pll ^рпп) Эт р2 Эрр
ЭРrQp иЭРг
=РтШ - дтсгц^™»
дрдр
ЭРГ1 Э , 2r) x n
Этp2 др
ЭРтш 1 др^Р^ 2р\^pll ^рпп) Эт р2 Эрр
ЭРrQp иЭРг
=РтШ - дтсгц^™»
дрдр
(5.5.25)
(5.5.25)
(5.5.26)
(5.5.26)
ЭРrdpllЭт
4Pr "
3p ['
ЭРrdpllЭт
4Pr "
3p ['
1 Э^РгШСТрц _ 1 d p2 Эр t1
1 Э^РгШСТрц _ 1 d p2 Эр t1
P2 dp
P2 dp
ЭРгСТрпп
ЭРгСТрпп
p2Pr(CTPii+gTCTu)
p2Pr(CTPii+gTCTu)
дори
дори
др .
др .
rpnn + gr^nn^^pll tipnn)
rpnn + gr^nn^^pll tipnn)
-2Рг((7рн + Ртспй^ + ^PAfr^u - OpuY (5.5.27)
-2Рг((7рн + Ртспй^ + ^PAfr^u - OpuY (5.5.27)
1 др2 PTu)<7pitn
1 др2 PTu)<7pitn
От p2 Эр
От p2 Эр
д<Трпп
д<Трпп
9Р .
9Р .
^^ Qp [^ ^т^рпп “Ь 9т^пп)^рИ ^рпп)]^W
^Рт^СГрПП + дт^ПП^"^ Ь ^Рr^fr^nn ^рпп)* (5.5.28)
“ ~ Ср ’ пп~ 3Ср ’ Л - 1 + Aip2^ ’ 9г “ 1+ А2(?/»'
(5.5.29)
Из (5.5.25)-(5.5.29) видно, что введение безразмерных переменных позволяет исключить время релаксации частиц из списка определяющих параметров. Построим асимптотическое решение задачи (5.5.25)-(5.5.29) при
р»1, т»1, (5.5.30)
когда согласно (5.5.29) коэффициенты вовлечения равны
/г=1, дг = А^3.(5.5.31)
С учетом (5.5.29) и (5.5.31) из уравнений (5.5.27) и (5.5.28) следует арП = О^'г\ стрпп = О^'г\(5.5.32)
Принимая во внимание (5.5.31) и (5.5.32), из уравнения (5.5.26) получаем
ш = -СА2р4/3^-^.(5.5.33)
ор
Автомодельное решение уравнения (5.5.25) с учетом (5.5.33) и ОО
нормировки | p2Prdp = 1 имеет вид, аналогичный (5.5.18) о
2187/ 9п2/3 \
Рг = 560^2(СЛ^72 ехр (~4С^Т) ‘(5.5.34)
Из (5.5.34) получается следующее выражение для дисперсии: (Л = Cr?,
приводящее при переходе к координатам т и t к закону Ричардсона (5.5.19). Таким образом, закон Ричардсона для относительной дисперсии (5.5.19) может иметь место не только для жидких, но и для инерционных частиц. Однако пространственный и временной интервалы его справедливости сужаются с ростом инерционности частиц. Так, если для безынерционных частиц закон Ричардсона выполняется при
г/ < г < L, Tk<^t<^TLl
то для инерционных частиц (5.5.30) требует выполнения условий
St3/2T/ < г «: L, StTfc < t « TL.(5.5.35)
Условия (5.5.35) наглядно свидетельствуют о сужении области справедливости закона дисперсии (5.5.19) с ростом числа Стокса. Для высокоинерционных частиц, т. е. при больших значениях St, закон Ричардсона может наблюдаться только в пределе очень больших чисел Рейнольдса, когда инерционные пространственный и временной интервала будут достаточно большими.
Перейдем к рассмотрению относительной дисперсии инерционных частиц при т > L. Поскольку движение частиц в этом случае некоррелированно, то лагранжев интегральный временной масштаб инкремента скоростей двух частиц ТьТр становится равным лагранжеву масштабу жидкой частицы, определенному вдоль траектории инерционной частицы (так называемому времени взаимодействия частицы с турбулентными вихрями) TLrp = Тьр. Тогда с учетом (1.1.35) из уравнений (5.5.3) и (5.5.4) получаются асимптотические выражения при больших
временах
SpU — Spnn
= 2/uu'2 =
2ЛУр
тр + TLp
Из (5.5.2), принимая во внимание (5.5.36), следует
(5.5.37)(5.5.37)Wr = -Drp^^, Drp = 2DP = 2TLpu'2,
(5.5.37)
(5.5.37)
где Dp и Dp — коэффициенты бинарной и одинарной диффузии инерционных частиц в изотропной турбулентности при больших временах.
Решением уравнения (5.5.1) с учетом (5.5.37) будет распределение
1/ т^ \
Рт = 2W/2(TLpU'4y/2 ехр V 82^7) ’(5538)
порождающее зависимость для относительной дисперсии частиц
(5.5.39)(5.5.39)(г2) = 12ТЬриЧ
(5.5.39)
(5.5.39)
Выражения (5.5.38) и (5.5.39) совпадают с (5.5.20) и (5.5.21), если в последних лагранжев масштаб турбулентности Ть заменить на время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями Tlp. Поскольку Тьр может превышать Ть, то относительная дисперсия инерционных частиц, аналогично коэффициенту турбулентной диффузии, может быть больше, чем относительная диффузия пассивной примеси.
Подставляя (5.5.38) в (5.5.37), получаем выражение для осреднен- ной относительной скорости движения частиц
= ^.(5.5.40)
Для определения области справедливости распределения (5.5.38) и соответственно дисперсии (5.5.39), используя (5.5.40), оценим вклад неучтенных членов в уравнениях (5.5.2)-(5.5.4) при получении соотношений (5.5.36) и (5.5.37). Роль слагаемых, содержащих Wri в уравнениях (5.5.3) и (5.5.4) по сравнению с основными членами (5.5.36) будет малой при выполнении условия
(5.5.41)
Вклад неучтенных членов в уравнении (5.5.2) по сравнению с (5.5.37) будет малым, если
t>rp.(5.5.42)
Объединяя (5.5.41) и (5.5.42), получаем условие справедливости решений (5.5.38) и (5.5.39) в виде
t > TLp + трt > TLp + тр(5.5.43)
t > TLp + тр
t > TLp + тр
Таким образом, согласно (5.5.43) период времени, после которого может наблюдаться линейная зависимость относительной дисперсии от времени (5.5.39), возрастает с увеличением инерционности частиц.
Глава 6
СТОЛКНОВЕНИЯ И АККУМУЛИРОВАНИЕБИДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ В ОДНОРОДНОЙТУРБУЛЕНТНОСТИ
В главе рассматривается поведение бидисперсной системы, состоящей из частиц двух сортов, в однородном турбулентном потоке. Анализ бидисперсной смеси имеет принципиальное значение, так как легко обобщается на общий случай полидисперсной системы частиц. Для статистического описания характеристик дисперсной фазы привлекаются два подхода. Первый подход аналогичен представленному в главе 4 для монодисперсных частиц и основан на априорном задании совместной ФПВ скоростей жидкости и частиц в виде коррелированного гауссова распределения, а также привлечении метода Трэда для учета анизотропии пульсаций скоростей частиц. Этот подход позволяет определить как частоту столкновений, так и «столкновительные члены» в транспортных уравнениях для гидродинамических характеристик дисперсной фазы, однако не учитывает вклад эффекта аккумулирования частиц. Второй подход, которому посвящены два последних раздела главы, основан на кинетическом уравнении для двухчастичной ФПВ и расширяет представленную в главе 5 кинетическую модель на случай бидисперсных частиц.
6.L Частота столкновений бидисперсных частиц визотропной турбулентности
Число столкновений частиц, принадлежащих к разным группам, в единице объема в единицу времени без учета эффекта аккумулирования определяется соотношениями
S12 =<^С12М = U)C2\N2 = PN1N2» (3 = 2?rcr2(|wT.(cr)|), (6.1.1) где cuci2, и)с2\ — частоты столкновений соответственно частицы сорта (группы) 1 с частицами сорта 2 и частицы сорта 2 с частицами сорта 1; а = п 4- Г2 — радиус сферы столкновений, равный сумме радиусов двух частиц; та — радиус частиц сорта a; Na — средняя числовая концентрация частиц сорта а; а = 1,2; wT — радиальная компонента
относительной скорости двух частиц из разных групп. Выражение для ядра столкновений в (6.1.1) совпадает с ядром столкновений для мо- нодисперсных частиц (4.1.1) и справедливо при наличии сферической симметрии относительного движения двух частиц, что может иметь место в однородной изотропной турбулентности.
Простые аналитические решения задачи о столкновениях бидисперсных частиц в турбулентном потоке, как и в случае монодисперс- ных частиц, получены в предельных случаях малых (безынерционных) и крупных (высокоинерционных) частиц (Saffman & Turner, 1956; Abrahamson, 1975). Zhou et al. (2001) выполнили детальное исследование на основе прямого численного моделирования столкновений бидисперсных частиц в изотропной турбулентности, а также представили результаты сравнения результатов DNS с моделями, предложенными Abrahamson (1975), Williams & Crane (1983), Kruis & Kusters (1996) и Zhou et al. (1998). Все эти модели определяют только относительную скорость двух частиц, ответственную за турбулентный транспортный эффект, и не учитывают эффект аккумулирования. Из проведенного сравнения следует, что модель Abrahamson (1975) приводит к сильному завышению ядра столкновений для малоинерционных частиц, поскольку не учитывает корреляцию между скоростями сталкивающихся частиц. Напротив, модели Williams & Crane (1983) и Kruis & Kusters (1996) предсказывают заниженные значения ядра столкновений по сравнению с данными DNS. Модель Zhou et al. (1998), обобщенная на случай столкновений бидисперсных частиц Zhou et al. (2001), хорошо согласуется с численными данными за исключением области значений времен релаксации частиц тр\ и тр2, близких к значению колмогоровского временного микромасштаба т^ когда существенным становится эффект аккумулирования. В Zhou et al. (2001) также представлена эмпирическая модель для ядра столкновений, основанная на аппроксимационных зависимостях результатов DNS для относительной скорости и радиальной функции распределения сталкивающихся частиц.
В данном разделе приведено обобщение аналитической модели для турбулентного ядра столкновений монодисперсных частиц, рассмотренной в разделе 4.1, на бидисперсную систему (Fede & Simonin, 2003; Зайчик и др., 2005). Эта модель единым образом учитывает взаимодействие частиц со всеми турбулентными вихрями и справедлива во всем диапазоне изменения инерционности частиц. Модель основана на допущении, что одноточечная ФПВ скоростей жидкости и частицы представляется в виде нормального распределения (4.1.2)
ф (J _ <2 \ ~3/2 p(o)(UQ(x),Va(x)) = ^f^^
v (^ak^ak । ^ak^ak ^a^ak^ak A 1 O\ L (1~^)\ 2^2 2^2 wa /]
2 _ «к<к) с _«к^ак)
3 - №кУ'Ч<к<кУ^
Здесь иа — скорость газа в точке, где находится центр частицы а; vQ — скорость частицы а; Фа и v^2 — объемная концентрация и интенсивность пульсаций скорости частиц а; <а — коэффициент корреляции скоростей жидкости и частицы а.
Двухточечная ФПВ скорости жидкости предполагается гауссовой и определяется согласно (4.1.3). ФПВ скоростей двух частиц определяется аналогично (4.1.6) с использованием соотношений (4.1.4) и (4.1.5). В результате интегрирования по подпространству скорости жидкости с учетом (4.1.3) и (6.1.2) получим
P(0)(vi(x),V2(x + r)) = P^\u\, V1,U2, V2)dUiC?U2 =
= siMjlIiS)!)^^
(27rv^)3
v / bijyiivij bijV2iV2j Ei2bikBkjVXiV2j\
p+u^2 J • (6 L3
l-^F(r)200 V'
0l-^2G(r)20, 62 = (Ш1/2.
00l-^2G(r)2/
Интегрируя двухчастичную ФПВ (6.1.3) по нормальным к вектору скорости, соединяющему центры частиц, компонентам скоростей vin и t^n, получаем ФПВ для распределения радиальных компонент скоростей частиц
=[1 Mr , »1 _ W\2"М[ 2(1-сМК »г!).=[1 Mr , »1 _ W\2"М[ 2(1-сМК »г!).(6.1.4)(6.1.4)<12 = <1<2-F(r),<12 = <1<2-F(r),
=[1 Mr , »1 _ W\
2"М[ 2(1-сМК »г!).
=[1 Mr , »1 _ W\
2"М[ 2(1-сМК »г!).
(6.1.4)
(6.1.4)
<12 = <1<2-F(r),
<12 = <1<2-F(r),
где <12 — коэффициент корреляции радиальных компонент скоростей двух частиц, обусловленный их взаимодействия с турбулентностью.
Двухчастичная ФПВ (6.1.4) приводит к распределению (4.1.8) для радиальной компоненты относительной скорости пары частиц с интенсивностью пульсаций радиальной скорости двух частиц при контакте, равной
(™r ) = v{ + ^2 - 2<12^^2*(6.1.5)
С учетом соотношений (4.1.11) для кинетической энергии пульсаций скоростей частиц и ковариации скоростей жидкости и частиц в однородной изотропной стационарной турбулентности коэффициент
корреляции радиальных компонент скоростей сталкивающихся частиц
примет видпримет вид<12 = UuxUY^f^y<12 = UuxUY^f^y(6.1.6)(6.1.6)
примет вид
примет вид
<12 = UuxUY^f^y
<12 = UuxUY^f^y
(6.1.6)
(6.1.6)
Согласно (6.1.6) коэффициент корреляции скоростей частиц при контакте равен произведению среднегеометрического из коэффициентов вовлечения частиц в турбулентное движение fua и корреляционной функции F(a), учитывающей пространственную коррелированность скорости жидкости на расстоянии радиуса столкновений ст.
Радиальная относительная скорость сталкивающихся частиц согласно (4.1.10), (6.1.5) и (6.1.6) равна
и'.и'.(6.1.7)(6.1.7)Г 211/2
и'.
и'.
(6.1.7)
(6.1.7)
(|wr|> =- (Jul + fu2 - 2fu\fu2F(cr))
Для частиц с диаметрами, меньшими колмогоровского пространственного микромасштаба, подстановка (4.1.14) и (6.1.7) в (6.1.1) дает следующую формулу для ядра столкновений:
0 = (8тг(ш'2))= (Stt)1/2^2 ^v{2 + V^ - 2(12'1)1'0^ / =0 = (8тг(ш'2))= (Stt)1/2^2 ^v{2 + V^ - 2(12'1)1'0^ / == (втт)1^2?/= (втт)1^2?/fu\ + fu2 ~ ^Julfu2fu\ + fu2 ~ ^Julfu21 -1 -сг2 \ 60V2r^7сг2 \ 60V2r^71/21/2(6.1.8)(6.1.8)
0 = (8тг(ш'2))= (Stt)1/2^2 ^v{2 + V^ - 2(12'1)1'0^ / =
0 = (8тг(ш'2))= (Stt)1/2^2 ^v{2 + V^ - 2(12'1)1'0^ / =
= (втт)1^2?/
= (втт)1^2?/
fu\ + fu2 ~ ^Julfu2
fu\ + fu2 ~ ^Julfu2
1 -
1 -
сг2 \ 60V2r^7
сг2 \ 60V2r^7
1/2
1/2
(6.1.8)
(6.1.8)
Для монодисперсных частиц (6.1.8) переходит в (4.1.16). Рассмотрим некоторые предельные случаи, следующие из (6.1.8). Для безынерционных частиц группы 2 (тР2 = 0, fu2 = 1) выражение (6.1.8) примет вид1 /9
^ = (8^'1-/,! + 7^"") •(6 L9)
Если частицы группы 1 также безынерционны, (6.1.9) переходит в формулу Saffman-Turner (4.1.17).
Далее выразим (6.1.8) в инерционном интервале изменения времен релаксации частиц (тк <С тра <С Tl) при больших числах Рейнольдса (Кед —> оо). В соответствии с соотношениями (4.1.18) и (4.1.19) ядро столкновений (6.1.8) принимает вид
0 = 2ст2 [тгСЬоо^^р! + Тр2)]1/2 .
Наконец, в предельном случае высокоинерционных частиц (тра —> оо), когда их движение оказывается некоррелированным (£12 —> 0), (6.1.8) обеспечивает переход к ядру столкновений Abrahamson (1975)
0А = (Зтг)’/^2 (v{2 + v£2)1/2. (6.1.10)
Если высокоинерционными являются только частицы группы 2 (тР2 —* оо, /и2 —* 0), то из (6.1.8) следует
0 = (8тг/п1)1/2 о2^.0 = (8тг/п1)1/2 о2^.(6.1.11)(6.1.11)
0 = (8тг/п1)1/2 о2^.
0 = (8тг/п1)1/2 о2^.
(6.1.11)
(6.1.11)
Коэффициенты вовлечения fua в (6.1.8) определяются на основе соотношения (4.1.23), соответствующего би-экспоненциальной автокорреляционной функции (4.1.22). На рис. 6.1.1-6.1.3 показано сравнение представленной аналитической модели с данными численного моделирования Zhou et al. (2001). Результаты представлены в виде зависимостей от времени релаксации частиц группы 2, отнесенного к временному макромасштабу турбулентности Те = u'2/s, при фиксированных значениях времени релаксации частиц группы 1, т.е. параметра трХ/Те. В соответствии с представленными в Zhou et al. (2001) данными сравнение выполнено при т = а = 1 и Нед = 45.
Рисунок 6.1.1 представляет коэффициент корреляции радиальных компонент сталкивающихся частиц. Видно, что формула (6.1.6), за исключением узкой области при малых значениях тръ/Те, качественно правильно описывает изменение £12, предсказывая монотонное уменьшение коэффициента корреляции между скоростями частиц с ростом как трХ, так и тР2. Такое поведение £12 объясняется уменьшением вовлечения более инерционных частиц в пульсационное движение несущей среды и соответственно возрастанием их независимости по отношению к турбулентности. Из сравнения с DNS следует, что (6.1.6)
Рис. 6.1.1. Коэффициент корреляции скоростей двух частиц при а = 1 и Нед =45: 1-6 - (6.1.6); 5-8 - Zhou et al. (2001); 1, 5 — трХ/Те = 0,1;
2,6- Tpx/Те = 0,4; 3,7- трХ/Те = 1; 4, 8 - трХ/Те = 2
Рис. 6.1.2. Радиальная относительная скорость сталкивающихся частиц при а = 1 и Нед =45: 1,2 — бидисперсная система; 3 — монодисперсная система; / — формула (6.1.7); 2, 3 — модель (6.6.1)-(6.6.4); 4 — Zhou et al. (2001); а — Тр\/Те = 0,1; б — Тр\/Те = 0,2; в — тр\/Те = 1; г — тр\/Те = 2
не воспроизводит небольшое повышение коэффициента корреляции при малых значениях тР2/Те, а также приводит к его слишком сильному уменьшению при больших тръ/Те.
Рисунок 6.1.2 показывает влияние параметра инерционности на среднюю относительную радиальную скорость сталкивающихся частиц, отнесенную к пульсационной скорости жидкости. Согласно (6.1.7) с увеличением тР2/Те величина (|wr|)/u' монотонно возрастает при малых и снижается при больших значениях тр\]Те. Рост (|wr|)/u' обусловлен уменьшением корреляции между скоростями частиц с увеличением их инерционности, а уменьшение (|wr|)/u' связано с уменьшением вовлечения более инерционных частиц в турбулентное движение окружающей жидкости. Из рис. 6.1.2 видно, что формула (6.1.7) не описывает наличие минимума в зависимости (|wr|)/u' от
система; 3 — монодисперсная система; / — формула (6.1.8); 2, 3 — модель (6.6.1)-(6.6.4); 4 - Zhou et al. (2001); а - трХ/Тв = 0,1; б - трХ/Те = 0,2; в - Тр1/Тв = 1; в тр\/Те = 2
Тр2/Те, обнаруженного в расчетах Zhou et al. (2001) и особенно ярко выраженного при малых значениях параметра трХ/Те.
На рис. 6.1.3 представлено сопоставление ядра столкновений, отнесенного к соответствующей величине для безынерционных частиц (4.1.17), с результатами численного моделирования. Аналогично (6.1.7) для (|wr|> формула (6.1.8) предсказывает монотонное изменение Р в зависимости от тР2/Те при фиксированном значении трХ/Те. Поэтому (6.1.8) достаточно хорошо описывает результаты DNS за исключением данных для тр2/Те = 0,2, характеризуемых наличием максимума. В целом, рассмотренная аналитическая модель заметно лучше согласуется с результатами DNS для ядра столкновений, чем для относительной радиальной скорости. Этот факт, по-видимому, объясняется удачной компенсацией неточности в описании турбулентного транспортного эффекта и неучета эффекта аккумулирования.
Частота столкновений частиц при совместномдействии турбулентности и силы тяжести
Определим ядро столкновений в результате совместных эффектов турбулентности и средней относительной скорости (дрейфа) между частицами различных групп, обусловленной, например, действием силы тяжести. В этом случае, как и при совместном действии турбулентности и градиента осредненной скорости (раздел 4.2), для вычисления (|wr|) в (6.1.1) необходимо выполнить осреднение по случайному распределению wT и телесному углу, характеризующему пространственную ориентацию вектора скорости w относительно соединяющего центры сталкивающихся частиц вектора г (4.2.1). Результатом интегрирования с учетом гауссова распределения для пульсационной составляющей радиальной компоненты относительной скорости является выражение (4.2.2).
Радиальная компонента осредненной относительной скорости двух частиц, обусловленная силой тяжести, равна
Wr = Wg cos (р,(6.2.1)
где Wg = |тР2 - Тр\ |g — разность скоростей седиментации двух частиц, g — ускорение силы тяжести.
В результате интегрирования (4.2.2) с учетом (6.2.1) и подстановки в (6.1.1) получается ядро столкновений, описывающее совместное влияние турбулентности и силы тяжести
р = (Wr^1/2+ ^ <Е + 1 ) erfs] ,(6.2.2)
где S = Hg/(2(w^2))1/2 — параметр, характеризующий отношение эффектов гравитации и турбулентности на ядро столкновений. При малых значениях S из (6.2.2) следует выражение для /?, совпадающее с решением Saffman & Turner (1956) при слабом влиянии гравитации
/Е2\
где pt — турбулентная составляющая ядра столкновений (6.1.8).
При Е —► оо (6.2.2) переходит в хорошо известное выражение для ядра столкновений частиц под действием силы тяжести
Рд = 7Г<72И^.(6.2.3)
Зависимость (6.2.2) справедлива для описания эффекта осредненной относительной скорости на ядро столкновений в изотропной турбулентности не только в поле силы тяжести, но и любой другой внешней силы, вызывающей относительное движение частиц. Формула (6.2.2) была впервые получена Abrahamson (1975) и впоследствии воспроиз-
Рис. 6.2.1. Времена между столкновениями частиц в бинарной смеси: /, 2.3.7 - л2; 4.5.6.8-^.1.4- (6.2.2) с учетом (6.1.10); 2.5- (6.1.10);
3.6- (6.2.3); 7.8 — Gourdel et al. (1999)
ведена в Gourdel et al. (1999), Алипченков и Зайчик (2001), Dodin & Elperin (2002).
Рисунок 6.2.1 представляет результаты сопоставления времен между столкновениями частиц разного сорта, определенных на основе зависимости (6.2.2), с данными лагранжева траекторного моделирования движения частиц в турбулентном поле, моделируемом методом крупных вихрей Gourdel et al. (1999), для смеси двух сортов частиц одинакового размера (га = 325 мкм), но разной плотности (ppi = 117,5, рр2 = 235 кг/м3). Объемная концентрация частиц сорта 1 фиксировалась Ф1 = 1,3- 10—2, а объемная концентрация частиц сорта 2 варьировалась (объемная и числовая концентрации частиц связаны соотношением Фа = 4тгг3^/3). Времена между столкновениями частицы сорта 1 с частицами сорта 2 и частицы сорта 2 с частицами сорта 1 соответственно равны
Л2 =W^ =(/?№)“’. Т21 =^* = (PNvV-
Так как рассматриваемые частицы являются высокоинерционными, коррелированность их движения и взаимодействие с мелкомасштабной турбулентностью не играют роли, и поэтому для определения pt можно использовать формулу Abrahamson (6.1.10). На рис. 6.2.1 также показаны времена между столкновениями, рассчитанные по зависимостям, описывающим эффекты турбулентности без учета относительно-
го дрейфа (6.1.10) и силы тяжести без вклада турбулентности (6.2.3). Видно, что каждая из этих зависимостей приводит к завышению и Т21 по отношению к расчетным значениям Gourdel et al. (1999), особенно (6.1.10) при малых концентрациях и (6.2.3) при больших Ф2. Следует также отметить, что с ростом концентрации Ф2 вследствие увеличения частоты столкновений o?i2 разница между осредненными скоростями частиц сорта 1 и 2, т. е. относительная скорость дрейфа Wg уменьшается, и поэтому (6.2.3) лучше описывает Т12 и Т21 при малых Ф2, а (6.1.10) — при больших Ф2. Формула (6.2.2), одновременно включающая эффекты турбулентности и гравитации, дает достаточно хорошее согласие с данными Gourdel et al. (1999), особенно учитывая то обстоятельство, что интенсивность пульсаций скоростей частиц вследствие наличия осредненной вертикальной компоненты скорости не является изотропной.
Столкновения бидисперсных частиц в однородном анизотропном турбулентном потоке
Динамическое взаимодействие частиц из разных групп будем определять соотношением, обобщающим (4.3.1) для учета разных масс сталкивающихся частиц т\ и m2
Vpi = Vpi +^(1 + e)(wp • 1)1,
mim,(6-31)
Vp2 = Vp2 -(1 + e)(wp • 1)1.
rmi 4- m2
Статистическое описание движения частиц каждой группы основывается на кинетическом уравнении для одноточечной (одночастичной) ФПВ, аналогичном (4.3.2)
ЭРа ЭРа # Г / Uk-Vkdt Vk dxk d^k A TpaЭРа ЭРа # Г / Uk-Vkdt Vk dxk d^k A Tpa+ Fak+ FakPaPa1 d^g/dPqV(ОРдУTpa dx>k\ dt / colt\ dt Jcoll1 d^g/dPqV(ОРдУTpa dx>k\ dt / colt\ dt Jcoll0^a. (6.3.2)0^a. (6.3.2)
ЭРа ЭРа # Г / Uk-Vkdt Vk dxk d^k A Tpa
ЭРа ЭРа # Г / Uk-Vkdt Vk dxk d^k A Tpa
+ Fak
+ Fak
Pa
Pa
1 d^g/dPqV(ОРдУ
Tpa dx>k\ dt / colt\ dt Jcoll
1 d^g/dPqV(ОРдУ
Tpa dx>k\ dt / colt\ dt Jcoll
0^a. (6.3.2)
0^a. (6.3.2)
Последние два члена в правой части (6.3.2) учитывают соответственно столкновения с частицами рассматриваемой и другой группы. В результате интегрирования кинетического уравнения по подпространству скоростей получается цепочка уравнений для одноточечных моментов. Поскольку в дальнейшем будут рассматриваться однородные течения, то третьи моменты обращаются в нуль и цепочка обрывается на уровне уравнений для вторых моментов. Кроме того, объемная концентрация частиц обеих групп предполагается небольшой, так что непосредственным вкладом межчастичных столкновений в напряжения и поток пульсационной энергии дисперсной фазы можно пренебречь, и, следовательно, «столкновительные члены» входят в систему уравнений
для моментов только в виде источников и не содержат составляющие в виде потоков. Таким образом, система уравнений сохранения для частиц сорта а представляется в виде
= о,(6.3.3)
ot 8хк,
9V“^v dVai- «^ Ut-VQi ^91пФ
8t дХк дхкТраТра дхк
(6.3.4)
+ vj^il = -+ й) ^i-
dtdxkdxk
- W^ + ^) ^ + ЛУ + Л£ - ^77^ + СГ + CS- 9^ a.
pa(6.3.5)
Здесь Фа, Vai, ^at^aj^ обозначают соответственно объемную концентрацию, осредненную скорость и турбулентные напряжения частиц сорта а. Величины А§ и д?-, а также коэффициент турбулентной диффузии Dpik для частиц сорта а по-прежнему определяется выражениями (2.1.16), (2.1.17) и (2.2.3). Очевидно, что соударения, как это следует из (6.3.3), не изменяют объемную концентрацию частиц. Однако столкновения с частицами из другой группы дают вклад в уравнение баланса количества движения, учитываемый членом С“ в (6.3.4). Столкновения частиц одного и того же сорта влияния на осредненную скорость этих частиц, естественно, не оказывают. Члены С§а и С^ в (6.3.5) характеризуют вклад столкновений частиц одной и той же группы и разных групп в баланс турбулентных напряжений.
Для замыкания системы (6.3.3)-(6.3.5) необходимо определить С“ и С^3, поскольку величина С^а была определена в разделе 4.3 согласно (4.3.22). Чтобы найти столкновительные члены необходимо знать ФПВ скоростей двух частиц в момент соударения. Двухчастичную ФПВ, как и в 4.3, построим с помощью метода Грэда, представляя ее в виде разложения
^(vi, V2) = P(0)(vi, V2) 4- P(1)(vi, v2). (6.3.6)
Нулевой член разложения (6.3.6) представляет собой равновесное нормальное распределение, которое может иметь место в изотропной турбулентности. Если ограничиться анализом столкновений относительно небольших частиц (а ^ ту) при больших числах Рейнольдса, когда пространственные корреляционные функции в соответствии с (4.3.13) можно положить равными единице, то из (6.1.3) для бидисперсных частиц следует
P(0)(vbv2) =
Ф1Ф2(2™'^)3(1-<22)3/2Х
х ехр
1
2(1-С?2)
(Vik к ^2
Wife
2C12u(fcV2fc
где коэффициент корреляции скоростей двух частиц равенС12 = (/ui/иг)1/2-
(6.3.7)
(6.3.8)
Первый член разложения (6.3.6) учитывает анизотропию скоростей частиц и в соответствии с методом Грэда представляется как
‘ д д^-li^Ь ^21 дНvUliУи^г‘ д д^-li^Ь ^21 дНvUliУи^г^2ij ^. Qij2 Q^td-u^j 2^2ij ^. Qij2 Q^td-u^j 2а2а2тгиу a22 dvudvij d2 \1тгиу a22 dvudvij d2 \16vndv2j + 8v2i9v\j6vndv2j + 8v2i9v\j(6.3.9)(6.3.9)
‘ д д
^-li^Ь ^21 дНvUliУи^г
‘ д д
^-li^Ь ^21 дНvUliУи^г
^2ij ^. Qij
2 Q^td-u^j 2
^2ij ^. Qij
2 Q^td-u^j 2
а2
а2
тгиу a2
2 dvudvij d2 \1
тгиу a2
2 dvudvij d2 \1
6vndv2j + 8v2i9v\j
6vndv2j + 8v2i9v\j
(6.3.9)
(6.3.9)
11^^(vi, v2)dvidv2 = «^ = О,^^(vi, v2)dvidv2 = «^ = О,Коэффициенты Каг И 'R-aij в (6.3.9) находятся из условий
1
1
^^(vi, v2)dvidv2 = «^ = О,
^^(vi, v2)dvidv2 = «^ = О,
Ф1Ф2 J .
1 Г г 1 Ф1Ф2 J J
^/а.^/а.(6.3.10)(6.3.11)(6.3.10)(6.3.11)1 г г ' / Т^“ UaiU/: Ф(Ф2 J J A
^/а.
^/а.
(6.3.10)
(6.3.11)
(6.3.10)
(6.3.11)
Откуда согласно (6.3.6), (6.3.7) и (6.3.9) следует
l^ai — 0, ^aij — (^ai^aj) ^a ^ij'
Qij —2£12^1 V2^V*
Далее примем линейную связь между корреляционным моментом пульсаций скоростей частиц разных групп и соответствующими моментами частиц одной группы
3—2= С, (v,^) + C2(vyv2i).(6.3.12)
Поскольку согласно ФПВ (6.3.7)
(vlfcv2fc) = 302^1^2»
то из свертки (6.3.12) следует
Сщ{2 + С2Ц22 = C12^V2.(6.3.13)
Так как С\ и Сг связаны только одним соотношением (6.3.13), то остается одна степень свободы в выборе этих коэффициентов. В качестве дополнительного условия для определения Ci и С^ потребуем, чтобы первый член разложения P^Hvi,v2) имел достаточно простой вид. С этой целью потребуем, чтобы члены, содержащие скорости
частиц одного сорта, не зависели от характеристик частиц другого сорта. Для этого нужно принять
Сх = С2 =(6.3.14)
С учетом (6.3.10)-(6.3.12) и (6.3.14) «анизотропная составляющая»
ФПВ (6.3.6) примет вид
<12 (*М+^Л) у!2v'2 )2^и^
Pl°l(vi,v2)2(1-<?2)
(6.3.15)
Перейдем к новым переменным, характеризующим движение бидис- персной системы в целом и относительное движение двух групп частиц
q = X1V2 + X2V1, w = V2 - V1, 2 - С|2^г>2_У22 - <12^1 У2
v{2 + v£2-2Ci2v{v£’2V'2 + «22 - 2<i2vJ^
В новых переменных ФПВ (6.3.6) с учетом (6.3.7) и (6.3.15) представляется как
P(w, q) = pl°l(w, q) + P^\w, q),
P(0)(w,q) =
Ф1Ф2^чУк
(2^3(1 - <2^3/2 eXP [ 2(1 _ ^^,2^,2
44
2w'2 ’
(6.3 16)
P(l)(w,q) = [Ayg-qj + Byw^w'j + Cy (q-Wj + g'w-)] ^(w,q),
где
A -
42(1-<?2)
P'ly /. Л Vj \ P2y /, л ^2 -77- 1 ~ <12—7- + —-Г 1 - <12-7
В :1
u 2(1-<?2)
c 1
132(1-<22)
^P-\ij
L «14 Ргу
I ^4 I
1+C.2^4) +
X1U2/
ЦР2у
i+<.,^
x2 +
Cl2(x| - X2>2 _
2v{
" 44 L
<l2(x2 - XxX"
w'2 = vj2 + иг2 - З^ги'!^-
Прежде всего, используя (6.3.16), вычислим осредненную относительную радиальную скорость между частицами разного сорта, необходимую для определения ядра столкновений
.(Ы)^Ы)(0М™г|)(,),(6.3.17)
(|wr|)(0) = 2^Ф^П J(w l)P(0)(w,q)dldwdq= yFoW, (6.3.18) w-l<0
<1шг|)(1) = 2Й^П j(w-l)p(»(w,q)dldwdq= -B«^^»0(z), wl<0
(6.3.19)
„ . . ехр(—z) . i- (.1 \
fb ^ = —т=^ + erfVz I 1 + — ),
_ , хЗехр(—г)с г- (л 3 \
Фо(г) =+ erfV^ 1 -) •
хркх\2г/
Здесь z обозначает параметр осредненного относительного дрейфа частиц разного сорта, характеризующий отношение осредненной и пульсационной составляющих относительной скорости
Согласно (6.1.1) и (6.3.17) ядро столкновений при наличии осредненного дрейфа между частицами равно
^ = 2тг<72(Ы) = 2тг<т2 ({|wr|)(0) + <Ы>(1)) = ^(0) + 0W- (6.3.20)
Выражение (6.3.20) представляет собой сумму двух членов, первый из которых определяет ядро столкновений в случае изотропных пульсаций скоростей частиц, а второй учитывает вклад анизотропии пульсаций. С учетом равенств Wg = W, (w{.2) = w'2 и Е2 = z очевидно, что 0^ совпадает с (6.2.2). Поскольку ByWiWj = O(z), то легко получить
lim ^- = O(z\ lira —™ = O(z ).z^op№ v ” z—*oo /?(0)v r
Следовательно, в предельных ситуациях малого и большого осредненного дрейфа вклад анизотропии пульсаций скоростей частиц в ядро столкновений несущественен. Эффект анизотропии, по-видимому, может играть заметную роль только при z = 0(1).
Столкновительный член в уравнении сохранения количества движения частиц сорта а с учетом закона соударений (6.3.1) и ФПВ (6.3.16) выражается как
С“ =с“(о)+с“(|),С“ =с“(о)+с“(|),(6.3.21)(6.3.21)
С“ =с“(о)+с“(|),
С“ =с“(о)+с“(|),
(6.3.21)
(6.3.21)
+ е\ [ f f(w-l)2/ip(°)(w,q)dldwdq =
* ФаФ^тс+т,?) J J Г у г v чу ч wl<0■
= ^^^ (б322)
ZyTTLa + TTLp)
C“W = ^^(1+£) Г Г [(w.l)2Z.p(l)(w>q)adwdq =
ФаФ0(та + тр) J J Г ' х 'w-l<0
= "К^ [^*^Ф,(.) - ™^ад]. (6.3.23)
_ . . exp(-z) /.1 \. г- (.11 \
^i(z) - —"h^" ( + о7 ) + ег^ ( + 7 ~ Z72) ’
yTTZ \ ZX)\ X ЧХА /
Ф1(г) = 4F0(z) - 3F((z), Ф2(г) = Ф^) - ^Ж
Когда коэффициент корреляции скоростей частиц равен нулю, (6.3.22) переходит в выражение, полученное Gourdel et al. (1999). В предельных случаях малого и большого значений параметра дрейфа из (6.3.22) и (6.3.23) следует
lira -^ = 0(1), lira -Ц^ = О^"1).
Z->OCQ(°) V 'г—oo^Q(°)v 7
Таким образом, вклад анизотропии пульсаций скоростей частиц в С“ более важен в случае малых значений параметра дрейфа.
Поскольку величина С^а в уравнении баланса турбулентных напряжений (6.3.5) определяется соотношением (4.3.22), перейдем к вычислению столкновительного члена С^3. В результате вычисления столкновительных интегралов для закона соударений (6.3.1) и ФПВ (6.3.16) получаем
с^ = су(0) + су(1),(6.3.24)
с.«0) = ^ц(1+Д Г f f №Ц(„. 1)3у
3 ФаФ^ТПа +тр) J J J [(mQ +ТП13У '3
wl<0
— xa(w • Y)2(wilj + Wjli) P^(w, q) dldwdq+
+xQ (c“№Wj +C“№wA = тгст2^^^^1 + e^
' ma(l + e) Г/ W2 \ ,/ W2 \AryftQ T L\О ууOy' ma(l + e) Г/ W2 \ ,/ W2 \AryftQ T L\О ууOyЗВД'2zЗВД'2zV3/ma 4- mp
' ma(l + e) Г/ W2 \ ,/ W2 \
AryftQ T L\О ууOy
' ma(l + e) Г/ W2 \ ,/ W2 \
AryftQ T L\О ууOy
ЗВД'2z
ЗВД'2z
WiWj^^l - ^%^^) ^^1) ,(6.3.25)
z \ J 3 J Jlx J J
р^^р^ + ^1,
_ ^2гУ_Ц f f f (w. цзц
J ФаФ^(та + тр^ J J J [(mQ + т^ х 7 *w-l<0
ха (w • 1)2(w;Ij + Wjli) pW (w, q) <fl dw dq + xQ(<0“(1 ^ Wj + C“(1 ^ W^=
■кст2 NgW(\ + e)2m2e (,
=4^ In, 22«/4^Ф3(г) + w'2 I5bWkWnBkn+
I
+2(WiBjk + WjBik)Wk^ ^^ - -WiWjWkWnBkn^^ I -
-™2N3W^V +^m? L [2w'4B^3(z) - w%WkWnBkn^^.
ma + mp V L J '■>4^2
+w'4WtBjk + WjBik)Wk^- - WiWjWkWnBkn^- -
^^—^ 2w'tCijFi^ + y)'2(WiCjk-bWjCik)Wk^ll ► ,
(6.3.26)
T . .. 2Ф1(г) T . . T . .Ф2(г)
ФзМ = Fi(z) +^,Ф4(2) = Ф1(2)--^,
ф5(г) = ф1(г)-1^,
Ф6(г) = Ф1(2)-^, Ф7(2) = ^2^1±^2.
Свертка (6.3.25) дает столкновительный член в уравнении баланса пульсационной энергии частиц C^f^/2, совпадающий при пренебрежении корреляцией скоростей частиц (£12 = 0) с выражением, полученным Gourdel el al. (1999).
В случае отсутствия осредненного дрейфа (z = 0) из (6.3.25) и (6.3.26) следует
С«/3(О) _ ^2-nYI2o2Npmp^\ + e)w'3 " тз(1 + е)lj3(mQ + т^)[2(mQ + т^)С«/3(О) _ ^2-nYI2o2Npmp^\ + e)w'3 " тз(1 + е)lj3(mQ + т^)[2(mQ + т^)3(mQ + тр)3(mQ + тр)— ха 5ijt (6.3.27)— ха 5ijt (6.3.27)r<xPW _ l42iry^2CT2Npm0(\ +e)w'53ma + mp( mpU +e) _ 2xq\ ^J^^lzi^lX \l0(ma + mp)5 / v 3w'4r<xPW _ l42iry^2CT2Npm0(\ +e)w'53ma + mp( mpU +e) _ 2xq\ ^J^^lzi^lX \l0(ma + mp)5 / v 3w'4(6.3.28)(6.3.28)
С«/3(О) _ ^2-nYI2o2Npmp^\ + e)w'3 " тз(1 + е)lj3(mQ + т^)[2(mQ + т^)
С«/3(О) _ ^2-nYI2o2Npmp^\ + e)w'3 " тз(1 + е)lj3(mQ + т^)[2(mQ + т^)
3(mQ + тр)
3(mQ + тр)
— ха 5ijt (6.3.27)
— ха 5ijt (6.3.27)
r<xPW _ l42iry^2CT2Npm0(\ +e)w'5
3ma + mp
( mpU +e) _ 2xq\ ^J^^lzi^l
X \l0(ma + mp)5 / v 3w'4
r<xPW _ l42iry^2CT2Npm0(\ +e)w'5
3ma + mp
( mpU +e) _ 2xq\ ^J^^lzi^l
X \l0(ma + mp)5 / v 3w'4
(6.3.28)
(6.3.28)
Свертка (6.3.27) приводит к столкновительному члену в уравнении баланса пульсационной энергии частиц, полученному Fede & Simonin
(2003). Особенно наглядный физический смысл (6.3.27) и (6.3.28) принимают при пренебрежении корреляцией скоростей частиц, выражая в явном виде диссипативные и обменные эффекты (Reade & Collins, 1998; Fede & Simonin, 2005)
^(0) _ З^тг)*/2^^^
u3(mQ + mpY
тдО-е2)^2 + v^2)2/2]
x2—+ (1 Ч-еДт^ - mava ) dy,
c^(1) = WW^^
vma + mp
Г (3 - e^mp
[ 10(ma + mp) +
,ТПрУр "~ mgUy .. TTlp'R.pjj — Tng'R.gij
I5(ma + mp)(v’a2 + v'p2)3(ma + mp)
В случае одинаковых частиц (6.3.25) и (6.3.26) переходят в соотношения
^аа^ _ 4тг'/2СТ2^(1 - С2)1/3(1 - /и)3/2 ,
^««w _ 4тг1/2ст2^(1 + е)(3 - e)v'(l - /и)3/2^>
совпадающие с (4.3.22).
В пределах большого параметра дрейфа сопоставление (6.3.25) и (6.3.26) дает
r^w)
lim —- = О^”1).
z-*oo С,аР№ V 7
Таким образом, очевидно, что вклад анизотропии пульсаций скоростей частиц в столкновительный член уравнения баланса турбулентных напряжений существенен только в случае малого относительного дрейфа с точки зрения перераспределения пульсационной энергии между различными компонентами.
Рассмотрим вклад столкновительных членов для уравнений баланса характеристик бидисперсной системы в целом, т. е. состоящей из частиц обеих групп. Из (6.3.21)-(6.3.23) очевидно, что влияние соударений на импульс бидисперсной системы Vt = (pp^iVii 4- + Pp2*2^2i)/(Ppi^i +pP2^2) отсутствует.
Столкновительные члены в уравнении для турбулентной энергии бидисперсной системы в целом kp = (ppi$i&pi + pP2^2^P2)/(pPiii + + РргФг) представляются как
к, кр + кр. к, 2(^,7711+^27712) ’
п = NxmiC^mm^кр 2(Nimi + Ntms)
Здесь величины С£ и С*/ характеризуют соответственно вклад в баланс среднемассовои турбулентной энергии бидисперсной системы столкновений частиц из одной и той же группы и из разных групп. Согласно (4.3.22) С£ равняется нулю при упругих соударениях и меньше нуля при неупругих соударениях, т. е. столкновения частиц одного сорта может приводить только к диссипации пульсационной кинетической энергии дисперсной фазы. В случае соударений частиц разного сорта ситуация не такая однозначная. Столкновительный член С" согласно (6.3.24)-(6.3.26) имеет вид
(6.3.29)(6.3.30)(6.3.31)(6.3.29)(6.3.30)(6.3.31)с{' = с"‘°>+с£'(,).А#р/СрКр
(6.3.29)
(6.3.30)
(6.3.31)
(6.3.29)
(6.3.30)
(6.3.31)
кр (mv+mz}(N\m\ + N^mz} ’
П(д) = (1 + eV^F^ _ 2г1/2Го(г)>
кр 8(ttii + mi^Nimi + N^mz} к n kn
Г(£+е)№(£НФ5(£)) , зед , (Ъ^ад)2г1/24г3/2zx/2
Поскольку согласно (6.3.30) и (6.3.31) в предельных случаях
С"<*>С77(»
lim -£_ = O^z}, lira -^ = O(z~x),z—*oo С^
то для качественного анализа поведения СЦ в зависимости от параметра дрейфа % можно пренебречь вкладом С^1) в (6.3.29) по сравнению с С^^. Таким образом, эффект столкновений частиц разного сорта на кинетическую энергию бидисперсной системы определяется зависимостью П(з) в (6.3.30). Эта зависимость показана на рис. 6.3.1 для разных значений коэффициента восстановления е. Видно, что упругие соударения при наличии относительного дрейфа приводят к генерации пульсационной энергии, т.е. вызывают турбулизацию бидисперсного потока частиц. Этот источник кинетической пульсационной энергии
Рис. 6.3.1. Влияние параметра дрейфа на поведение столкновительного члена С^(Ь): / - е = О, 2 — е = 0,5, 3 - е = 1
возникает из осредненного движения вследствие наличия разности средних скоростей движения частиц разного сорта. При неупругих соударениях в случае малого дрейфа имеет место диссипация кинетической энергии, а с возрастанием параметра дрейфа ламинаризирующее влияние столкновений сменяется турбулизирующим. Таким образом, столкновительный механизм может приводить как к диссипации (при малом дрейфе), так и к порождению (при значительном дрейфе) пульсационной кинетической энергии бидисперсной системы частиц.
Вертикальное движение бидисперсной смесичастиц
Рассмотрим оседание бидисперсной системы частиц под действием силы тяжести в турбулентной жидкости. Такое течение представляет собой модель псевдокипящего слоя. Турбулентное поле жидкости предполагается однородным изотропным с нулевой средней скоростью. Однако вследствие действия силы тяжести пульсации скоростей частиц не будут изотропными, так как различаются в вертикальном и горизонтальном направлениях.
В рассматриваемых условиях уравнения (6.3.4) сводятся к балансу импульса для частиц каждой группы в вертикальном направлении х
^^^ + д = С“, а =1,2,(6.4.1)
Тра
где С" определяется согласно (6.3.21)-(6.3.23).
Поскольку течение однородно и его характеристики в горизонтальной плоскости изотропны, то система уравнений (6.3.5) сводится к балансу вторых моментов пульсаций скоростей частиц в вертикальном (ж) и горизонтальном (?/) направлениях
2 (/„а^2 - У2Ж))Тра2 Q^ - У2,))2 (/„а^2 - У2Ж))Тра2 Q^ - У2,))+ С““ + С"£ = о,+ саа + СаР = о,' уу ' уу ’+ С““ + С"£ = о,+ саа + СаР = о,' уу ' уу ’/3/а,/3/а,(6.4.2)(6.4.2)
2 (/„а^2 - У2Ж))
Тра
2 Q^ - У2,))
2 (/„а^2 - У2Ж))
Тра
2 Q^ - У2,))
+ С““ + С"£ = о,
+ саа + СаР = о,
' уу ' уу ’
+ С““ + С"£ = о,
+ саа + СаР = о,
' уу ' уу ’
/3/а,
/3/а,
(6.4.2)
(6.4.2)
где столкновительные члены задаются соотношениями (6.3.24)-(6.3.26).
В дальнейшем будут рассматриваться крупные тяжелые частицы, поэтому коэффициенты вовлечения определяются в соответствии с (2.1.22) как
Па = —^^(6-43)
Тра "Г 1 Lpa
Поскольку главным фактором, определяющим отличие интегральных временных масштабов взаимодействия крупных тяжелых частиц с турбулентными вихрями от лагранжева масштаба турбулентности в поле силы тяжести является эффект пересечения траекторий, то TlLp и Т£ будем описывать простыми соотношениями (1.3.23) при 02 = 0,45. Коэффициенты вовлечения в столкновительных членах вычисляются как среднеарифметические по различным направлениям
fl + 2 fn
/
т J иа 1 иао *
Решения уравнений (6.4.1) и (6.4.2) проведены для условий, соответствующих результатам прямого лагранжева траекторного моделирования движения частиц в турбулентном поле, генерируемом методом крупных вихрей Gourdel et al. (1998). Рассматривалось движение смеси частиц одинакового размера (га = 325 мкм), но разной плотности (рр1 = 117,5, рР2 = 235 кг/м3) в воздушном потоке с плотностью pf = 1,17 кг/м3. Объемная концентрация частиц сорта 1 фиксировалась Ф1 = 1,3- 10~2, а объемная концентрация частиц сорта 2 варьировалась. Столкновения предполагались упругими (е = 1).
Рисунок 6.4.1 представляет осредненные скорости частиц обеих групп Vax и среднемассовую скорость бидисперсной системы Vx в зависимости от концентрации тяжелых частиц Ф2. Также показаны скорости седиментации частиц V^, соответствующие их свободному падению при отсутствии столкновений. Приведенные скорости удовлетворяют неравенствам: V^ < V\x <VX < V^x < V^. Благодаря столкновениям происходит перенос импульса от тяжелых частиц, имеющих большую скорость седиментации, к легким частицам, в результате чего разность между скоростями У^х и У\х с ростом Ф2 уменьшается. Сред-
Рис. 6.4.1. Осредненные скорости движения частиц: / — V”; 2, 6 — У\х;
3 - V2~; 4, 7 - V2x; 5, 8 — Ух; 2, 4, 5 - модель (6.4.1) и (6.4.2);
6,7,8 — Gourdel et al. (1998)
Рис. 6.4.2. Кинетическая энергия частиц: 1, 3 — кр\ ; 2, 4 — кр2; 1,2 — модель (6.4.1) и (6.4.2); 3,4- Gourdel et al. (1998)
немассовая скорость бидисперсной системы в целом Ух близка к V^ при малых значениях Ф2 и стремится к У^ при относительно больших Ф2. Видно хорошее согласие между результатами, полученными на основе модели (6.4.1) и (6.4.2), и данными численного моделирования Gourdel et al. (1998).
Рис. 6.4.3. Интенсивности пульсаций скоростей частиц: 1,5— (t/L);
2, 6 - (4„); 3, 7 - (v'L); 4, 8 - (t/|v>; 1-4 - модель (6.4.1) и (6.4.2); 5-8 — Gourdel et al. (1998)
На рис. 6.4.2 показано влияние концентрации Ф2 на кинетическую энергию частиц обоих сортов. Обращает на себя внимание отчетливо выраженный максимум в зависимости кинетической энергии легких частиц кр\ от концентрации тяжелых Ф2. Наличие максимума объясняется тем, что при малой концентрации Ф2 кинетическая энергия легких частиц не зависит от столкновений, а определяется взаимодействием с турбулентностью. По мере роста Ф2 увеличивается генерация кр\ за
счет столкновений с тяжелыми частицами. При относительно больших значениях Ф2 осредненное скоростное скольжение между легкими и тяжелыми частицами в результате столкновений становится незначительным и, следовательно, вклад столкновений в генерацию кинетической энергии частиц снижается. Интересным является также тот факт, что при малых Ф2 величина fcP2 больше, чем кр\, а при относительно больших значениях Ф2, наоборот, кР2 меньше, чем kpi. Соотношение кр2 > кр\ при малых Ф2 связано с тем, что концентрация Ф1 остается неизменной, и поэтому кинетическая энергия тяжелых частиц кР2 определяется, главным образом, их столкновениями с легкими частицами. Постольку с ростом Ф2 роль генерации за счет столкновений уменьшается, кр2 становится меньше, чем кр\, т.к. тяжелые частицы хуже вовлекаются в турбулентное движение, чем легкие.
На рис. 6.4.3 показаны зависимости интенсивностей пульсаций скоростей частиц обеих групп. Рисунок 6.4.3а представляет интенсивности пульсаций скоростей, полученные в результате учета только столкновительных членов С^9^ (6.3.25), соответствующих изотропной гауссовой ФПВ (6.3.6), а рис. 6.4.36 — на основе полных столкновительных членов С^ (6.3.24), учитывающих также анизотропную составляющую ФПВ (6.3.15). Обращает на себя внимание сильная анизотропия пульсаций скоростей частиц, связанная с двумя механизмами генерации пульсаций. Во-первых, «столкновительный механизм» генерации, как следует из (6.3.24)-(6.3.26), играет преимущественную роль в направлении средней скорости дрейфа между частицами разного сорта. И, во-вторых, вследствие эффекта неразрывности (раздел 1.3) время взаимодействия «частицы-турбулентность» и степень вовлечения частиц в пульсационное движение турбулентной жидкости в вертикальном направлении оказываются большими, чем в горизонтальном. Влияние этих двух механизмов генерации на анизотропию пульсаций скоростей частиц направлено в одну и ту же сторону, что и приводит к существенно большей интенсивности пульсаций скоростей частиц в вертикальном, чем в горизонтальном направлении при всех значениях Ф2. Как видно из сравнения рис. 6.4.3а и 6.4.36 учет столкновительных членов с"/301 (6.3.26) приводит к значительному снижению анизотропии пульсаций скоростей частиц обеих групп.
Уравнения для двухчастичной ФПВ и ее моментов
Рассмотрим статистическое описание движения двух частиц в однородном бессдвиговом турбулентном поле при отсутствии силы тяжести и без учета вклада столкновений. Анализ проведем на основе кинетического уравнения для двухточечной двухскоростной ФПВ (Алипченков и Зайчик, 2005; Zaichik et al., 2006)
P(xi,Vi,X2,V2,t) = (p) =
= (5(Xl - R^t))^ - vpl(t))J(x2 - Rp2(t))5(v2 - vp2(i))). (6.5.1)
Транспортное уравнение для двухчастичной ФПВ с учетом уравнений движения частиц (5.1.1) имеет вид
^ + у L fc_^_ + 1 9(Uk-Vgk)P\ = _ Л ^Э^^р)
9t . \ 9хак Тра 9vak ). ^ра 9'VOlk
(6.5.2)
Моделируя поле скорости турбулентной жидкости, как и в разделах 2.1 и 5.1, гауссовым случайным процессом с известными корреляционными моментами, выражаем корреляцию пульсаций скоростей сплошной среды с плотностью вероятности скоростей частиц в виде
<U.(xQ,<)p) =
(6.5.3)(6.5.3)(6.5.4)(6.5.4)= 1 g jiniMtx,, е)«1(х№ Ц^»5&^^
(6.5.3)
(6.5.3)
(6.5.4)
(6.5.4)
5p(xi, V1,X2, V2,^) \ _ _ V^ / 9/ SRpaj^
Suk^xpo.^dxpodto/^ \9xaj \ Su^xpo^dxpodto
9/SRpaj^
9*uqj \ 6nk(xpot to^dxpodto
Коэффициент 1/2 в (6.5.3) введен для того, чтобы не учитывать дважды вклад частиц при их перестановке в пространстве. Для нахождения функциональных производных в (6.5.4), как и в 2.1, применяется операция функционального дифференцирования к решениям уравнений (5.1.1). В результате для бессдвигового турбулентного поля получаем
&2^L— = <5j*;<5(Rpa(io) - хр0) [1 - expf-—^)lli(t -t0), ouk^xp^t^dx^dtQ\ Тра J
(6.5.5)
^pg j (t)^^к^хр^^ to^dxpodto^pg j (t)^^к^хр^^ to^dxpodto= —<5(Rpa(#o) - Хро) exp (-Тра\= —<5(Rpa(#o) - Хро) exp (-Тра\t-tpтраt-tpтраH(f-to).H(f-to).
^pg j (t)^^к^хр^^ to^dxpodto
^pg j (t)^^к^хр^^ to^dxpodto
= —<5(Rpa(#o) - Хро) exp (-Тра\
= —<5(Rpa(#o) - Хро) exp (-Тра\
t-tpтра
t-tpтра
H(f-to).
H(f-to).
С учетом (6.5.4) и (6.5.5) корреляция пульсаций скорости жидкости и плотности вероятности скоростей частиц (6.5.3) представляется в виде
<U.(Xa,t)p) =
2\ др
= ~ ^I (w-(xa,t)4(Rpp(to).io))exp (—- ) dt0^— +
t^J\^ / о^Рк
—1 L—ОО*
+ j <U-(Xa,t)Ufc(Rpp(to),to))
— ОО
c?to
ЭРдхрк
(6.5.6)
Для вычисления интегралов в (6.5.6) необходимо, прежде всего, определить лагранжев двухчастичный (двухточечный) корреляционный момент скоростей жидкости
®Lv(r,r) = (w<(Ra(f),t)tz'(R^ 4-т)),Ra(t) = х, Rp(t) = х + г,
где Ra и R/з — векторы, описывающие траектории элементов сплошной среды. С этой целью привлечем аппроксимацию (1.1.17), которую можно представить в виде
Вь0(г,т) = - ^ФЬг(т|г), (6.5.7) где ^Uj) — одноточечные моменты пульсаций скорости жидкости, Sij^ — двухточечная эйлерова структурная функция второго порядка, ФДт) — лагранжева автокорреляционная функция пульсаций скорости жидкости, Фьг(т|г) — лагранжева автокорреляционная функция инкремента пульсаций скорости жидкости. Между моментами и автокорреляционными функциями пульсаций и инкрементов пульсаций скоростей имеют место соотношения
^Нт^5^(г) = 2(tz^tz'), (6.5.8)
Пт Фы(т|г) = Фь(г). (6.5.9)
Далее примем допущение об идентичности корреляций пульсаций скорости, определенных вдоль траекторий жидких и инерционных частиц, т. е. будем пренебрегать эффектом инерционности на корреляции скорости сплошной среды. Кроме того, с целью уменьшения громоздкости записи, в отличие от ранее принятых аппроксимаций (2.1.14), (2.1.15) и (5.1.15), пренебрегаем вкладом «транспортного члена» в аппроксимацию двухчастичного корреляционного момента ^Ыэ^т.тУ Отметим, что принятые допущения не являются неизбежными ограничениями двухчастичной кинетической модели и в принципе исключенные эффекты могут быть приняты во внимание.
Аппроксимация (6.5.7) позволяет представить корреляцию (6.5.6) как
(
ЭРЭР \/
fua~^~ V Tpagua— ) — I (Мг^д.)/п0 —O^akOXak/\
Sik , \ ЭР (. , , x Sik ^ OP oo
fra = I Фьг(т*|г) exp ( j (/Т, Qua = fuatTpa j\ Tpa /Tpa
0 OO(6.5.11)
f T \Ты
fua = — Фь(т) exp I1 dr, gra = —- - frQ.
Tpa J\ Tpa уTpa
0
Коэффициенты fua и 9иа определяют степень участия частицы сорта а в пульсационном движении сплошной среды, а коэффициенты fra и gTa характеризуют вовлечение пары частиц сорта а, разделенных расстоянием г, в турбулентное движение жидкости. Согласно (6.5.9) между этими коэффициентами имеют место соотношения
(6.5.12)(6.5.12)Пш fra — fuatИш gTa — 9иа>
(6.5.12)
(6.5.12)
т—юог—^оо
Подставляя (6.5.10) в (6.5.2), получаем замкнутое кинетическое уравнение для двухточечной двухскоростной ФПВ пары частиц в однородной бессдвиговой турбулентности
а?у( 9Р । 1 №-^)pV
8t \ “к дхак Тра dvak )
_Л[, , ,хНиа Э2Р Э2Р \
— 2 \игик) I 9иа"^ ) Ч"
\ Тра У^аг^ак^'^oti^otk /
, 1 Л / sikt \ э2р ,
(w^gup - ^-дгД-^4— , З^а- (6.5.13)
Тра \/ У^РгО'Оак J
Члены в левой и правой частях уравнения (6.5.13) описывают соответственно конвективный и диффузионный перенос в двенадцатимерном фазовом пространстве (xi, vi, Х2, vg). Моделирование турбулентных пульсаций скорости сплошной среды гауссовым случайным процессом позволило выразить взаимодействие «частицы-турбулент- ность» в кинетическом уравнении в виде диффузионного оператора второго порядка типа Фоккера-Планка. Нужно отметить, что впервые кинетическое уравнение для двухчастичной ФПВ в турбулентном потоке было получено Деревичем (1996). Основное отличие от подхода Деревича (1996) состоит в том, что для построения (6.5.13) привлекается лагранжева двухточечная автокорреляционная функция инкремента пульсаций скоростей Фьг(т|г), а не только лагранжева одноточечная автокорреляционная функция пульсаций скорости жидкости ^l^tY Из (6.5.13) с учетом (6.5.8) и (6.5.12) следует, что при увеличении расстояния между частицами (г —> оо) двухчастичная ФПВ становится равной произведению двух одночастичных распределений P(xi, vi, Х2, V2, t) = Pi (xi, vi, ^)Рг(х2, V2, t\ удовлетворяющих кинетическому уравнению (Деревич и Зайчик, 1988, 1990; Reeks, 1991)
ЭРд , ЭРд 1 №-^)Ра _ , , (fug Э^ 92Ра\ dt Vk Эхк Трд dvk U1Uk \ Тра dviVk 9иа 8XiVk J ‘
Если для определения коэффициентов вовлечения (6.5.11) привлечь би-экспоненциальные автокорреляционные функции (1.1.5) и (1.1.21), то они примут вид
2Па 4- г22Па 4- г22Па + 2? — z2Q(2Па + 2? — z2Q(2Па + 2П2+22- Зиа Па(2По + 2П2 +z2)>2Па + 2П2+22- Зиа Па(2По + 2П2 +z2)>Q =lE2L а,(6.5.14)Q =lE2L а,(6.5.14)_ 2Пга + Z^_/г“- 2Пга + 2П2а + г2- 9га-_ 2Пга + Z^_/г“- 2Пга + 2П2а + г2- 9га-2Пта 4- 2р — 22QrQ2Пта 4- 2р — 22QrQClTa(2flra 4- 2Q2q 4- z2)ClTa(2flra 4- 2Q2q 4- z2)о - 122L^ьта ~ гр ♦о - 122L^ьта ~ гр ♦
2Па 4- г2
2Па 4- г2
2Па + 2? — z2Q(
2Па + 2? — z2Q(
2Па + 2П2+22- Зиа Па(2По + 2П2 +z2)>
2Па + 2П2+22- Зиа Па(2По + 2П2 +z2)>
Q =lE2L а,
(6.5.14)
Q =lE2L а,
(6.5.14)
_ 2Пга + Z^_
/г“- 2Пга + 2П2а + г2- 9га-
_ 2Пга + Z^_
/г“- 2Пга + 2П2а + г2- 9га-
2Пта 4- 2р — 22QrQ
2Пта 4- 2р — 22QrQ
ClTa(2flra 4- 2Q2q 4- z2)
ClTa(2flra 4- 2Q2q 4- z2)
о - 122L
^ьта ~ гр ♦
о - 122L
^ьта ~ гр ♦
Когда характеристики турбулентности (^Ц), ^(r), TL, Ты. тт, ттт известны, уравнение (6.5.13) с учетом (6.5.14) полностью определяет одноточечную и двухточечную статистику пары частиц в однородном бессдвиговом турбулентном потоке на кинетическом уровне.
Путем интегрирования (6.5.13) по подпространству скоростей (vi,V2) может быть получена цепочка уравнений для двухточечных моментов ФПВ двух частиц. Так, уравнением для числовой плотности частиц в бидисперсной суспензии N\2 будет
9Ny2 9Nx2V\k 9N\2V2k n m at ox\k dx2k
NX2 =NX2 =Pdvxdv2l =N\2Pdvxdv2l =N\2VaiP dv\dV2.VaiP dv\dV2.
NX2 =
NX2 =
Pdvxdv2l =
N\2
Pdvxdv2l =
N\2
VaiP dv\dV2.
VaiP dv\dV2.
Уравнение для осредненной скорости частиц Vai записывается как
9Vai v 9Va% т/ 9V™ и^ " V-
8xak 8xpk8xak 8xpk—КГ" 4- Vak-г Vpkr = dt dxak 9xpk Tpa
8xak 8xpk
8xak 8xpk
(6.5.16)(6.5.16)Da ik d In М2 DaP ik d In Ni2 55 P^a.
(6.5.16)
(6.5.16)
Tpa OXak Tpa OXpk
Daij = Tpa ^ai^aj^ + ^ua^i^j)) ,Dafiij = ^ak'Cai^pj) + Tpp {dup^i^j) — 9rpSij/2^ .
Уравнение для вторых моментов пульсаций скоростей частиц одного сорта представляется в виде
Wati9^а^1 (9Ni2^ai<j'l),akX) .
Г Vak—5h Vpk—5г I 5г dtdX(xkdxpk -^*12 \ 9X(xk
9xpk9xpk= — UuaWj) - ^ai<j^ *= — UuaWj) - ^ai<j^ *Daik 9VajTpa 9xakDaik 9VajTpa 9xak
9xpk
9xpk
= — UuaWj) - ^ai<j^ *
= — UuaWj) - ^ai<j^ *
Daik 9Vaj
Tpa 9xak
Daik 9Vaj
Tpa 9xak
Dap 3 k 9VaiTpa 9x^kDap 3 k 9VaiTpa 9x^k{3^ot. ^.ЬЛ^{3^ot. ^.ЬЛ^
Dap 3 k 9Vai
Tpa 9x^k
Dap 3 k 9Vai
Tpa 9x^k
{3^ot. ^.ЬЛ^
{3^ot. ^.ЬЛ^
Dajk 9VaiDa^ik 9Vaj
Tpa 9xak Tpa 9xpk
Уравнение для вторых моментов пульсаций скоростей частиц разного сорта записывается как
otиХакдхрк
+ 1 (QNWaiVVak) + ^M^jV^fc) \ =М2 \ 8хак8хрк/
= (^ + М ^ - + ^) ^ - (— + —)
\ ^"ра Трр)\ ТраТр^ у 2 у ТраТрр у
Daik ^^PjDpjk dVai Dapik dVpj Dpajk &Vai ^ _^
Тра ЭхакTpp ЭхркТра ^Xpk Tpp Эхак
(6.5.18)
Так как в дальнейшем понадобятся уравнения, описывающие относительное движение пары частиц, то введем переменные, характеризующие относительное движение двух групп частиц (г, w)
г = х2 - Xi, w = v2 - V1.
Переходя к новым координатам в (6.5.15)—(6.5.18) с учетом однородности турбулентности получим систему уравнений
- dNx.BNx^Wk п_
—= 0'(6
dVai dVai UiJL^l _ Г-Н» (Wati _ Wai^X dt + к Этк тра V 1 \ дгкдтк )
/ ixa^oiik Dapik Э1П N\2,,
Wa^aj') w Э^аАз) _ (-1)“ Э^^аУаМк ~ <fc)> dt + k Этк М28rk"
Dq3k Dapjk 9VaiDq3k Dapjk 9Vai(6.5.21)(6.5.21)Tpa^kTpa^k= У- iLcM-» -KAA -(-ir-D«“-D-'’“^i-• pa*paUTk
Dq3k Dapjk 9Vai
Dq3k Dapjk 9Vai
(6.5.21)
(6.5.21)
Tpa^k
Tpa^k
ЭУаУрз') w ЭУаУрз') _ (-1)Q dM2«i^(^fc ~ <fc)) dt k дгк M12Этк
Dpjk Dpajk 9VgiDpjk Dpajk 9VgiDa ik Dap ik 8Vj3jDa ik Dap ik 8Vj3j(6.5.22)(6.5.22), Tpa Tpp /\ Tpa Tpp /\ Tpa Tpp /
Dpjk Dpajk 9Vgi
Dpjk Dpajk 9Vgi
Da ik Dap ik 8Vj3j
Da ik Dap ik 8Vj3j
(6.5.22)
(6.5.22)
Траdr kTpp 8тк
p^a, Wi = V2i-Vu.
Далее рассмотрим стационарную покоящуюся суспензию в однородной стационарной турбулентности с нулевой средней скоростью. В этом случае имеют место равенства
Ui = V\i = V2i = Wi = 0(6.5.23)
и, следовательно, уравнение баланса для числовой плотности частиц (6.5.19) может быть исключено из анализа, т. к. удовлетворяется тождественно. Из (6.5.20) с учетом (6.5.23) следует уравнение
Э^гк + ^гк ^ПГ = 0(6 5 24)
ОТк Тр отк
Spij = <W>') = Н^) +- (^иу) -
nr(ij — -^12 ij , D^ij — -^21 ij ^o ,
U™-T»\ TpX+ Tp2 )-Tpbpij+
, 2 (rp2 - Tpi) (Tpigui - Tpig^ x , (Tpi9rl + Т^9т^
Tp\ 4“ Tp2Tp\ Tp2
2тр1Тр2Мг
Тр1+Тр2N1N2
Здесь Spij — структурная функция второго порядка пульсаций скоростей частиц, D*^ — коэффициент относительной диффузии двух частиц, тр — эффективное время релаксации двух частиц, Г — радиальная функция распределения, Na — средняя числовая концентрация частиц группы а. Уравнение (6.5.24) может быть интерпретировано как баланс между силой турбофореза, обусловленной градиентом интенсивности пульсаций относительной скорости двух частиц, и диффузионной силой в пространстве относительного движения пары частиц.
Уравнение для структурной функции SPij получается из (6.5.21), (6.5.22) с учетом (6.5.23)
dVSpijk 2Г Г (тр2 тр1)(/п1 fu2) , . ,1 р L'pl т Тр2
(6.5.25)(6.5.25)(Tp[frX 4* Tp2fr%) £7р1 4~ ^”р2
(6.5.25)
(6.5.25)
$,да = 5^±3(,ым-":а)+
+ тР1 +тр2 ^, .^.(^ _ ^ _ ^Vy + -u^i^k - VXk^. LTp\+ тР1 +тр2 ^, .^.(^ _ ^ _ ^Vy + -u^i^k - VXk^. LTp\^7р2
+ тР1 +тр2 ^, .^.(^ _ ^ _ ^Vy + -u^i^k - VXk^. LTp\
+ тР1 +тр2 ^, .^.(^ _ ^ _ ^Vy + -u^i^k - VXk^. LTp\
Для замыкания системы уравнений (6.5.24) и (6.5.25) необходимо определить корреляцию третьего порядка SPijk- В монодисперсной системе частиц эта величина представляет собой структурную функцию третьего порядка Spijk = (w^w'w^.). В разделе 5.2 SPijk находится из соответствующего дифференциального уравнения путем прене-
брежения в нем членами, характеризующими эволюцию во времени, конвекцию и генерацию вследствие градиентов осредненной скорости. В результате получается алгебраическое соотношение для структурной функции третьего порядка пульсаций скоростей монодисперсных частиц (5.2.6). Примем, что соотношение (5.2.6) справедливо и для бидисперсной системы частиц. Тогда (6.5.24) и (6.5.25) с учетом (5.2.6) позволяют моделировать двухточечную статистику относительной скорости пары частиц в бидисперсной суспензии на уровне уравнений для вторых моментов.
Эффект аккумулирования и его влияниена частоту столкновений бидисперсных частицв изотропной турбулентности
В изотропной турбулентности благодаря сферической симметрии, подразумевающей независимость относительных скоростей и плотности распределения частиц от пространственной ориентации вектора г, решение уравнений (6.5.24) и (6.5.25) с учетом (5.2.6) сводится к
задаче
(6.6.1)(6.6.1)2(<5'рп ^pnn) . dSpu Dpa d In Гfdr St dr
(6.6.1)
(6.6.1)
+2Г+2ГSt 3г4St 3г43f DpU3f DpU■^pnn dr■^pnn dr(St2 - Sti)(/Ui - f^RexSti^H-St2^2-^ _-g15>/2(st, +St2)Sti+St2 111(St2 - Sti)(/Ui - f^RexSti^H-St2^2-^ _-g15>/2(st, +St2)Sti+St2 111= 0, (6.6.2)= 0, (6.6.2)
+2Г
+2Г
St 3г4
St 3г4
3f DpU
3f DpU
■^pnn dr
■^pnn dr
(St2 - Sti)(/Ui - f^RexSti^H-St2^2-^ _-g
15>/2(st, +St2)Sti+St2 111
(St2 - Sti)(/Ui - f^RexSti^H-St2^2-^ _-g
15>/2(st, +St2)Sti+St2 111
= 0, (6.6.2)
= 0, (6.6.2)
(St2 - Sti)(/ui - /u2)ReA Sti/ri + St2/r2— q 1 _ n 15'/2(Stl+St2)+ St1+St2 bnn ^™]-U’
■(6.6.3)
7Г _ c+c _L 2(St2-Sti)(Stigui - St2gu2)ReA (Stfgri + St|gr2)^
DpU - Dtbpu +i5i/2(St1+St2)+ Stj+St2 51
^pnn — StSpnn +^pnn — StSpnn +2(St2 — Sti)(Stigtt| — St2gu2)ReA151/2(St1 +St2)
^pnn — StSpnn +
^pnn — StSpnn +
2StiSt2Sti 4- St22StiSt2Sti 4- St2, (Stfgri + St|gr2) —T n o
2StiSt2
Sti 4- St2
2StiSt2
Sti 4- St2
В (6.6.1)-(6.6.3) черта сверху обозначает безразмерные переменные, определенные с использованием колмогоровских масштабов длины и скорости; Sta = TpajTk — число Стокса, характеризующее инерционность частиц; Spu и Spnn — продольная и поперечная компоненты структурной функции скоростей частиц SPij. Таким образом, как и в
случае монодисперсной системы частиц, расчет статистических характеристик бидисперсных частиц сводится к решению нелинейной системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиальной функции распределения и продольной и поперечной структурных функций пульсаций скоростей частиц. Для моноДисперсных частиц система уравнений (6.6.1)-(6.6.3) переходит в (5.3.1)-(5.3.3), если в последних уравнениях пренебречь вкладом «транспортного эффекта» (для этого можно формально принять /ri = 0).
Граничные условия для уравнений (6.6.1)-(6.6.3) задаются в виде
г = Ог = ОГ —> ООГ —> ООdSpu dSpnn q dr dr■q (Ad 4* f^^^^xp *^pll ^pnn —15V2’dSpu dSpnn q dr dr■q (Ad 4* f^^^^xp *^pll ^pnn —15V2’(6.6.4)(6.6.4)
г = О
г = О
Г —> ОО
Г —> ОО
dSpu dSpnn q dr dr
■q (Ad 4* f^^^^xp *
^pll ^pnn —15V2’
dSpu dSpnn q dr dr
■q (Ad 4* f^^^^xp *
^pll ^pnn —15V2’
(6.6.4)
(6.6.4)
Продольная структурная функция пульсаций скорости жидкости и временной масштаб инкремента пульсаций скоростей задаются аппроксимациями (5.3.17) с учетом (1.1.4), (1.1.6), (1.1.7) и (1.1.41), а поперечная структурная функция определяется в соответствии с (1.1.39). Коэффициенты вовлечения частиц в турбулентное движение жидкости описываются соотношениями (6.5.14).
Ядро столкновений определяется соотношением
0 = ^8риИх/2а2Цст),(6.6.5)
справедливым в предположении нормального закона распределения для радиальной относительной скорости, в соответствием с которым (|wr|> = ^Spul'KY'2- В отличие от (6.1.1) выражение (6.6.5) учитывает вклад эффекта аккумулирования в частоту столкновений.
Уравнения (6.6.1)-(6.6.3) вместе с граничными условиями (6.6.4) решались численно, и полученные результаты сравнивались с данными DNS (Zhou et al., 2001). Однако вначале рассмотрим асимптотические решения этой задачи в случае мало- и высокоинерционных частиц.
Для безынерционных частиц сорта 2 (St2 = 0, /^2 = Л2 = 0 из (6.6.1)-(6.6.3) следует
"Q — (1 ~ А1)Вед \ f "Q
п 1;\r(6-6-6)
"q _ (1 /nl)ReA . г "q Г — 1 ^рпп —151/21
Подстановка (6.6.6) в (6.6.5) приводит к следующей зависимости для ядра столкновений частиц с размерами, не превышающими колмогоровский пространственный микромасштаб:
/Г Tf2 \1/2
0 = (8тг)‘/2 W ^1 _ Л1 + ^^J .(6.6.7)
Из сравнения (6.1.9) и (6.6.7) видно, что при достаточно больших числах Рейнольдса эти формулы практически совпадают. Если
частицы сорта 1 также безынерционны, (6.6.7) переходит в формулу Saffman-Turner (4.1.17).
Предельный переход к случаю высокоинерционных частиц (тра —> —► оо) приводит к кинетическому ядру столкновений Abrahamson (6.1.10). Если высокоинерционными являются только частицы сорта 2 (St2 -► ОО, /П2 = Л-2 —► 0), то из (6.6.1)-(6.6.3) следует
Spll = Spnn = ^^, Г = 1, (6.6.8) и подстановка (6.6.8) в (6.6.5) дает ядро столкновений (6.1.11).
Сравнение представленной модели с данными численного моделирования Zhou et al. (2001) показано на рис. 6.1.2, 6.1.3, 6.6.1 и 6.6.2. Результаты даны в виде зависимостей от времени релаксации частиц группы 2, отнесенного к временному макромасштабу турбулентности Те = м/2/е, при фиксированных значениях времени релаксации частиц группы 1.
Рисунок 6.1.2 демонстрирует влияние инерционности частиц на среднюю относительную радиальную скорость, отнесенную к пульсационной скорости жидкости. Видно, что при тр2 = 0 в соответствии с (6.6.6) величина (|wr|)/i? монотонно возрастает с увеличением тр\/Те. что обусловлено уменьшением корреляции между скоростями частиц с ростом их инерционности. Напротив, при больших значениях тр2/Те согласно (6.6.8) (|wr|)/i? монотонно снижается с ростом тр\/Те, что связано с уменьшением вовлечения более инерционных частиц в турбулентное движение окружающей сплошной среды.
Рис. 6.6.1. Влияние числа Рейнольдса на радиальную относительную скорость частиц: 1,2 — модель (6.6.1)-(6.6.4); 3, 4 — Zhou et al. (2001); 1,3 — Нед = = 45; 2,4 - Нед = 58
Рис. 6.6.2. Радиальная функция распределения при г = 1 и Rex = 45: 1-6 — модель (6.6.1)-(6.6.4); 7-12 - Zhou et al. (2001); 1,7 - St, = 0,5; 2, 8 - 1,0; 3, 9 — 1,17; 4, 10 — 2,34; 5, 11 — 11,7; 6, 12 — монодисперсные частицы
Из рис. 6.1.2 также видно, что относительная радиальная скорость в соответствии с DNS вначале снижается с ростом тР2/Те, достигает минимума, а далее увеличивается, стремясь к постоянному значению, предсказываемому (6.6.8). Минимум в зависимости (IwJ)/?/ от тр2(Те особенно ярко выражен при малых значениях параметра тр\/Те. Как отмечается в Zhou et al. (2001), сравнение с результатами для моно- дисперсной системы показывает, что разница в инерционностях частиц повышает относительную скорость между ними. Поэтому величина ([wrD/n' в бидисперсной системе всегда больше, чем в монодисперсной, т. е. ограничена снизу соответствующим значением для монодисперсной системы (кривые 3). Таким образом, минимумы на рис. 6.1.2 соответствуют значениям тР2 = тр\. Полученные значения (|wr|)/V практически совпадают с результатами Zhou et al. (2001) для малоинерционных частиц (Sti,St2 ^ 1); согласие для высокоинерционных частиц (Sti,St2 > 1) несколько хуже, что, по-видимому, связано с допущением об идентичности корреляций пульсаций скорости, определенных вдоль траекторий элементов сплошной среды и инерционных частиц. В целом, представленная в данном разделе модель, в отличие от приведенной в разделе 6.1 модели, правильно предсказывает основные особенности поведения относительной радиальной скорости во всем диапазоне изменения времен релаксации частиц обеих групп.
Рисунок 6.6.1 демонстрирует влияние числа Рейнольдса на радиальную относительную скорость частиц при f = 1 и Sti = 1 в сопоставлении с результатами Zhou et al. (2001) для двух различных чисел
Кед. Как видно, имеет место хорошее соответствие с DNS, особенно для малоинерционных частиц. Следует отметить, что модель правильно предсказывает снижение и рост (|wr|) с увеличением Нед соответственно при малых и относительно больших значениях числа St2.
Результаты расчета радиальной функции распределения в зависимости от St2 при фиксированных значениях Sti вместе с данными DNS приведены на рис. 6.6.2. Как следует из (6.6.6) и (6.6.8), в предельных случаях мало- и высокоинерционных частиц одной из групп относительное распределение частиц из разных групп в пространстве однородно, и, следовательно, Г = 1. В соответствии с данными прямого численного моделирования радиальная функция распределения проходит через максимум по мере возрастания St2, хотя полученные значения максимумов несколько сдвинуты в направлении более высоких значений St2 по сравнению с DNS. Максимумы достигаются при совпадении времен релаксации частиц обеих групп, т. е. при Sti = St2. На рис. 6.6.2 приведены также радиальные функции распределения для монодисперсной системы частиц, соответствующие максимумам зависимостям F(St2) для бидисперсной суспензии и ограничивающие их сверху. Таким образом, эффект аккумулирования наиболее заметно проявляется в монодисперсной суспензии и становится менее заметным при увеличении разности в инерционностях частиц.
Из (6.6.5) следует, что, как и в монодисперсной системе, взаимодействие инерционных частиц с турбулентными вихрями вызывает два физических явления, определяющих частоту столкновений: относительную скорость между соседними частицами (турбулентный транспортный эффект) и неоднородное распределение частиц в пространстве (эффект аккумулирования). Сопоставление ядра столкновений, определенного из решения задачи (6.6.1)-(6.6.4) согласно (6.6.5) и отнесенного к соответствующей величине для безынерционных частиц (4.1.17), с результатами численного моделирования представлено на рис. 6.1.3. Видно, что зависимость PIPst от тР2/Те, предсказываемая представленной в данном разделе моделью, может иметь немонотонный характер, отражая наличие минимума и максимума в соответствующих зависимостях для (|wr|) и Г. В соответствии с результатами DNS Zhou et al. (2001) получено, что в случае, когда эффект аккумулирования частиц пренебрежимо мал (Sti,St2 < 1 или Sti,St2 > 1), благодаря увеличению средней относительной скорости между частицами, принадлежащими к разным группам, ядро столкновений в бидисперсной суспензии оказывается большим, чем в монодисперсной. Напротив, когда эффект аккумулирования оказывается существенным (Sti, Sti ~ 1), ядро столкновений в бидисперсной суспензии становится меньшим, чем в монодисперсной. Таким образом, ядро столкновений монодисперсных частиц благодаря их аккумулированию частиц может превышать ядро столкновений бидисперсных частиц.
Список литературы
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 1998а. Осаждение инерционных частиц из турбулентного потока в трубе. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. Nb2. С. 68-75.
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 19986. Моделирование динамики сталкивающихся частиц в турбулентном сдвиговом потоке. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №4. С. 105-112.
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 2001. Частота столкновений частиц в турбулентном потоке. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №4. С. 93-105.
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 2003. Кластеризация частиц в изотропном турбулентном потоке. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №3. С. 78-95.
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 2004. Статистическая модель движения и дисперсии частиц в анизотропном турбулентном потоке. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №5. С. 70-83.
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 2005. Дисперсия и кластеризация би- дисперсных частиц в изотропной турбулентности. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №1. С.94-107.
Алипченков В. М., Зайчик Л. И. 2006. Моделирование турбулентного движения частиц в вертикальном канале. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №4. С. 50-65.
Алипченков В.М., Зайчик Л. И., Симонин О. 2001. Сопоставление двух подходов к построению граничных условий для континуальных уравнений движения частиц в турбулентном потоке. Теплофизика высоких температур. Т. 39. №1. С. 108-114.
Баренблатт Г. И. 1953. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. Прикладная математика и механика. Т. 17. Вып.З. С. 261-274.
Буевич Ю. А. 1971. Последовательные приближения в гидромеханике дисперсных систем. Прикладная математика и механика. Т. 35. Вып. 3. С. 464-481.
Вараксин А. Ю. 2003. Турбулентные течения газа с твердыми частицами. М.: Физматлит. 192 с.
Вараксин А. Ю., Полежаев Ю. В., Поляков А. Ф. 1998. Экспериментальное исследование влияния твердых частиц на турбулентное течение воздуха в трубе. Теплофизика высоких температур. Т. 36. №5. С. 767-775.
Вараксин А. Ю., Поляков А. Ф. 2000. Экспериментальное исследование пульсаций скоростей частиц в турбулентном потоке воздуха в трубе. Теплофизика высоких температур. Т. 38. № 5. С. 792-798.
Ватажин А. Б., Клименко А. Ю. 1994. Континуальные модели движения инерционных частиц в ламинарном и турбулентном потоках, основанные на уравнениях Фоккера-Планка. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №2. С. 27-35.
Винберг А. А., Зайчик Л. И., Першуков В. А. 1992. Расчет переноса импульса и тепла в турбулентных газодисперсных струйных течениях. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №3. С. 69-80.
Волков Э. П., Зайчик Л. И., Першуков В. А. 1994. Моделирование горения твердого топлива. Мл Наука. 320 с.
Гусев И. Н., Зайчик Л. И. 1991. Моделирование динамики частиц в пристеночной области газодисперсного турбулентного потока. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. № 1. С. 50-60.
Гусев И. Н., Гусева Е. И., Зайчик Л. И. 1992. Модель осаждения частиц из турбулентного газодисперсного потока в каналах с поглощающими стенками. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. № 1. С. 58-65.
Грибова Е.З., Жукова И. С., Лапинова С. А., Саичев А. И., Эльперин Т. 2003. Особенности диффузии падающей частицы. Журнал эксперимент, и теорет. физики. Т. 123. Вып.З. С. 543-551.
Деревич И. В. 1993. Турбулентная диффузия инерционных частиц в поле массовых сил. Инженерно-физический журнал. Т. 64. №2. С. 141-149.
Деревич И. В. 1994. Статистическое описание турбулентного потока га- зовзвеси крупных частиц, соударяющимися со стенками канала. Инженерно-физический журнал. Т. 66. №4. С. 387-397.
Деревич И. В. 1996. Столкновения частиц в турбулентном потоке. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №2 С. 104-116.
Деревич И. В. 1999. Вероятностная модель столкновения частиц с шероховатой поверхностью. Журнал прикл. механика и техн, физики. Т. 40. №5. С. 239-245.
Деревич И. В. 2002. Гидродинамика и тепломассоперенос частиц при турбулентном течении газовзвеси в трубе и осесимметричной струе. Теплофизика высоких температур. Т. 40. № 1. С. 86-99.
Деревич И. В., Ерошенко В.М. 1990. Расчет осредненного скоростного скольжения фаз при турбулентном течении дисперсных потоков в каналах. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. №3 С. 69-78.
Деревич И.В., Ерошенко В.М. 1991. Граничные условия для уравнений тепло- и массопереноса грубодисперсных аэрозолей в турбулентном потоке. Инженерно-физический журнал. Т. 61. №4. С. 546-553.
Деревич И. В., Зайчик Л .И. 1988. Осаждение частиц из турбулентного потока. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. №5. С. 96-104.
Деревич И. В., Зайчик Л. И. 1990. Уравнение для плотности вероятности скорости и температуры частиц в турбулентном потоке, моделируемом гауссовым случайным полем. Прикладная математика и механика. Т. 54. Вып.5. С. 767-774.
Зайчик Л. И. 1992а. Кинетическая модель переноса частиц в турбулентных потоках с учетом соударений. Инженерно-физический журнал. Т. 63. №1. С. 44-50.
Зайчик Л. И. 19926. Модели турбулентного переноса импульса и тепла в дисперсной фазе, основанные на уравнениях для вторых и третьих моментов пульсаций скорости и температуры частиц. Инженерно-физический журнал. Т. 63. №4. С. 404-413.
Зайчик Л. И. 1996. Об уравнении для функции плотности вероятности скорости частиц в неоднородном турбулентном потоке. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №2. С. 117-124.
Зайчик Л. И. 1997. Моделирование движения частиц в неоднородном турбулентном потоке на основе уравнения для функции плотности ве-
роятности. Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 1. С. 132-138.
Зайчик Л. И., Алипченков В. М. 1998. Кинетическое уравнение для функции плотности вероятности скорости и температуры частиц в неоднородном турбулентном потоке. Анализ течения в сдвиговом слое. Теплофизика высоких температур. Т. 36. №4. С. 596-606.
Зайчик Л. И., Алипченков В.М. 1999. Время взаимодействия сталкивающихся частиц с турбулентными вихрями. Теплофизика и аэромеханика. Т. 6. №4. С. 529-537.
Зайчик Л. И., Алипченков В.М. 2001. Моделирование вторых моментов пульсаций скорости и температуры частиц в равновесных турбулентных течениях. Теплофизика высоких температур. Т. 39. №5. С. 748-757.
Зайчик Л. И., Алипченков В. М. 2004. Статистические модели кластеризации частиц в пристеночном и изотропном турбулентных потоках. Теплофизика высоких температур. Т. 42. №3. С. 426-441.
Зайчик Л. И., Першуков В. А. 1995. Моделирование движения частиц в турбулентном потоке с учетом соударений. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. № 1. С. 62-78.
Зайчик Л. И., Першуков В. А. 1996. Проблемы моделирования газодисперсных турбулентных течений с горением и фазовыми переходами. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №5. С. 3-19.
Зайчик Л. И., Симонин О., Алипченков В.М. 2003. Сопоставление двух статистических моделей для расчета столкновений частиц в изотропной турбулентности. Теплофизика высоких температур. Т.41. №5. С. 734-745.
Зайчик Л.И., Симонин О., Алипченков В.М. 2005. Столкновения би- дисперсных частиц в условиях изотропной турбулентности. Теплофизика высоких температур. Т. 43. №3. С. 408-421.
Картушинский А. И., Михаелидес Э. Э., Руди Ю. А. 2004. Численное моделирование потоков газовзвеси в вертикальных трубах и эффект столкновений частиц. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №5. С. 84-93.
Картушинский А. И., Михаелидес Э. Э., Руди Ю. А. 2006. Моделирование движения концентрированного газодисперсного потока в горизонтальном канале. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. № 2. С. 76-87.
Кляцкин В. И. 1980. Стохастические уравнения и волны в случайнонеоднородных средах. М.: Наука. 336 с.
Кляцкин В. И. 2001. Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит. 528 с.
Кляцкин В. И. 2003. Кластеризация и диффузия частиц и плотности пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. Успехи физических наук. Т. 173. №7. С. 689-710.
Кляцкин В. И., Эльперин Т. 2002. Кластеризация поля плотности числа малоинерционных частиц в случайных бездивергентных гидродинамических потоках. Журнал эксперимент, и теорет. физики. Т. 122. Вып. 2. С.328-340.
Кондратьев Л. В., Шор В. В. 1990. Исследование турбулентного течения газовзвеси в трубе с учетом соударения со стенкой и вращения частиц. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. № 100. С. 56-64.
Крошилин А. Е., Кухаренко В. Н., Нигматулин Б. И. 1985. Осаждение частиц на стенку канала в градиентном турбулентном дисперсном потоке. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. №4. С. 57-63.
Кузнецов Р. В., Сабельников В. А. 1986. Турбулентность и горение. М.: Наука. 288 с.
Монин А. С., Яглом А. М. 1965. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Наука. 640 с.
Монин А. С., Яглом А. М. 1967. Статистическая гидромеханика. 4.2. М.: Наука. 720 с.
Наумов В. А. 1989. Два подхода к описанию удара сферического тела о шероховатую стенку. Прикладная механика. Т. 25. №5. С. 116-119.
Обухов А.М. 1941. О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Изв. АН СССР. Сер. географии и геофизизики. Т. 5. №4-5. С.453-466.
Степанов А. С. 1996. О связи эйлеровых и лагранжевых характеристик турбулентности. Метеорология и гидрология. № 5. С. 50-9.
Хинце И. О. 1963. Турбулентность. М.: Изд-во физ.-мат. лит. 680 с.
Шрайбер А. А., Гавин Л. Б., Наумов В. А., Яценко В. П. 1987. Турбулентные течения газовзвеси. Киев: Наукова думка. 240 с.
Abrahamson J. 1975. Collision rates of small particles in a vigorously turbulent fluid. Chern. Eng. Sci. Vol. 30. №11. P. 1371-1379.
Ahmed A. M., Elghobashi S. 2001. Direct numerical simulation of particle dispersion in homogeneous turbulent shear flows. Phys. Fluids. Vol. 13. P. 3346-3364.
Aliseda A., Cartellier A, Hainaux F., Lasheras J.C. 2002. Effect of preferential concentration on the settling velocity of heavy particles in homogeneous isotropic turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 468. P. 77-105.
Arcen B., Taniere A., Oesterle B. 2004. Numerical investigation of the directional dependence of integral time scales in gas-solid channel flow. In Proc. Sth Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №297. Yokohama, Japan.
Arcen B., Taniere A., Oesterle B. 2005. Particle laden channel flow: preferential concentration and statistics. In Proc. 11th Workshop on Two- phase Flow Predictions. Merseburg, Germany.
Armenio M., Fiorotto V. 2001. The importance of the forces acting on particles in turbulent flows. Phys. Fluids. Vol. 13. №8. P. 2437-2440.
Armenio M., Piomelli U., Fiorotto V. 1999. Effect of subgrid scales on particle motion. Phys. Fluids. Vol. 11. № 10. P. 3030-3042.
Bagchi P., Balachandar S. 2003. Effect of turbulence on the drag and lift of a particle. Phys. Fluids. Vol. 15. №11. P. 3496-3513.
Bagchi P., Balachandar S. 2004. Response of the wake on an isolated particle to an isotropic turbulent flow. /. Fluid Meeh. Vol. 518. P. 95-123.
Balkovsky E., Falkovich G., Fouxon A. 2001. Intermittent distribution of inertial particles in turbulent flows. Phys. Review Letters. Vol. 86. №13. P. 2790-2793.
Batchelor G.K. 1949. Diffusion in a field of homogeneous turbulence. II. Eulerian analysis. Australian J. Sci. Research. Vol. 2. P. 437-450.
Batchelor G.K. 1952а. Diffusion in a field of homogeneous turbulence. II. The relative motion of particles. Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 48. №2. P. 345-362.
Batchelor G.K. 1952b. The effect of homogeneous turbulence on material lines and surfaces. Proc. Royal Soc. London. Ser. A. Vol. 213. P. 349-366.
Bec J. 2003. Fractal clustering of inertial particles in random flows. Phys. Fluids. Vol. 15. №11. P.L81-L84.
Bec J. 2005. Multifractal concentrations of inertial particles in smooth random flows. J. Fluid Meeh. Vol. 528. P. 255-277.
Bec J., Celani A., Cencini M., Musacchio S. 2005. Clustering and collisions of heavy particles in random smooth flows. Phys. Fluids. Vol. 17. №7. P. 073301-1-073301-11.
Bec J., Biferale L, Boffetta G., Celani A., Cencini M., Lanotte A., Musacchio S., Toschi F. 2006. Acceleration statistics of heavy particles in turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 550. P. 349-358.
Berlemont A., Desjonqueres P., Gouesbet G. 1990. Particle Lagrangian simulation in turbulent flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 16. P. 19-34.
Berlemont A., Simonin O., Sommerfeld M. 1995. Validation of inter-particle collision models based on large eddy simulation. In Proc. 6th Int. Symp. on Gas-Particle Flows. ASME FED. Vol. 228. P. 359-369.
Bernard P. S., Rovelstad A. L. 1994. On the physical accuracy of scalar transport modeling in inhomogeneous turbulence. Phys. Fluids. Vol. 6. №9. P. 3093-3108.
Biferale L., Boffetta G., Celani A., Devenish B.J., Lanotte A., Toschi F. 2005. Lagrangian statistics of particle pairs inhomogeneous isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 17. №11. P. 115101-1-115101-9.
Binder J.L., Hanratty T.J. 1991. A diffusion model for droplet deposition in gas/liquid annular flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 17. № 1. P. 1-11.
Boffetta G., De Lillo F., Gamba A. 2004. Large scale inhomogeneity of inertial particles in turbulent flows. Phys. Fluids. Vol. 16. №4. P. L20-L23.
Boivin M., Simonin O., Squires K.D. 1998. Direct numerical simulation of turbulence modulation by particles in isotropic turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 375. P. 235-263.
Boivin M., Simonin O., Squires K.D. 2000. On the prediction of gas-solid flows with two-way coupling using large eddy simulation. Phys. Fluids. Vol. 12. №8. P. 2080-2090.
Borgas M.S., Sawford B.L. 1994. A family of stochastic models for two- particle dispersion in isotropic homogeneous stationary turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 279. P. 69-99.
Borgas M.S., Yeung P.K. 2004. Relative dispersion in isotropic turbulence. Part 2. A new stochastic model with Reynolds-number dependence. J. Fluid Meeh. Vol. 503. P. 125-160.
Boulet P., Oesterle B., Taniere A. 1998. Two-fluid computation of particle effects on fluid dynamics and heat transfer in a gas-solid pipe flow. In Proc. 3rd Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №613. Lyon, France.
Bourgoin M., Ouellette N.T., Xu H., Berg J., Bodenschatz E. 2006. The role of pair dispersion in turbulent flow. Science. Vol. 311. P. 835-838.
Brooke J. W., Hanratty T.J., McLaughlin J.B. 1994. Free-flight mixing and deposition of aerosols. Phys. Fluids. Vol. 6. №10. P. 3404-3415.
Brooke J.W., Kontomaris K., Hanratty T.J., McLaughlin J.B. 1992. Turbulent deposition and trapping of aerosols at the wall. Phys. Fluids A. Vol. 4. №4. P. 825-834.
Brunk В. K., Koch D. L., Lion L. W. 1997. Hydrodynamic pair diffusion in isotropic random velocity fields with application to turbulent coagulation. Phys. Fluids. Vol. 9. №9. P. 2670-2691.
Brunk В. K., Koch D. L., Lion L. W. 1998. Turbulent coagulation of colloidal particles. J. Fluid Meeh. Vol. 364. P. 81-113.
Burton T. M., Eaton J.K. 2005. Fully resolved simulations of particleturbulence interaction. J. Fluid Meeh. Vol. 545. P. 67-111.
Buyevich Y. A. 1971. Statistical hydromechanics of disperse systems. Part
Physical background and general equations. /. Fluid Meeh. Vol. 49. №3. P. 489-507.
Buyevich Y. A. 1972a. Statistical hydromechanics of disperse systems. Part 2. Solution of the kinetic equation for suspended particles. /. Fluid Meeh. Vol. 52. №2. P. 345-355.
Buyevich Y. A. 1972b. Statistical hydromechanics of disperse systems. Part
Pseudo-turbulent structure of homogeneous suspensions. J. Fluid Meeh. Vol. 56. №2. P. 313-336.
Caballina O., Kheiri A., Oesterle B. 2004. An anisotropic dispersion model based on a G.L.M.-like approach for turbulent shear flows. In Proc. 3rd Int. Symp. on Two-Phase Flow Modelling and Experimentation. Pisa, Italy.
Caporaloni M., Tampieri F., Trombetti F., Vittori O. 1975. Transfer of particles in nonisotropic air turbulence. J. Atmos. Sci. Vol. 32. P. 565-568.
Caraman N., Boree J., Simonin O. 2003. Effect of collisions on the dispersed phase fluctuation in a dilute tube flow: Experimental and theoretical analysis. Phys. Fluids. Vol. 15. № 12. P. 3602-3612.
Carlier J.-Ph., Khalij M.. Oesterle B. 2004. Modelling of anisotropic particle motion in turbulent channel flow and comparison with experiments. In Proc. 3rd Int. Symp. on Two-Phase Flow Modelling and Experimentation. Pisa, Italy.
Carlier J.-Ph., Khalij M., Oesterle B. 2005. An improved model of anisotropic dispersion of small particles in turbulent shear flows. Aerosol Sci. and Technol. Vol. 39. P. 196-205.
Cate A. T., Derksen J. J., Portela L. M., Van den Akker H.E.A. 2004. Fully resolved simulations of colliding monodisperse spheres in forced isotropic turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 519. P. 233-276.
Cerbelli S., Giusti A., Soldati A. 2001. ADE approach to predicting dispersion of heavy particles in wall-bounded turbulence. Int. I. Multiphase Flow. Vol. 27. P. 1861-1879.
Chapman S., Cowling T. G. 1970. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases. Cambridge University Press.
Chen С. P., Wood P. E. 1986. Turbulence closure modeling of the dilute gas-particle axisymmetric jet. AIChE I. Vol. 32. № 1. P. 163-166.
Chen Н., Orszag S. A., Staroselsky L, Succi S. 2004. Expanded analogy between Boltzmann kinetic theory of fluids and turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 519. P. 301-314.
Chen L., Goto S., Vassilicos J.C. 2006. Turbulent clustering of stagnation points and inertial particles. /. Fluid Meeh. Vol. 553. P. 143-154.
Chen M., Kontomaris K., McLaughlin J. B. 1998. Direct numerical simulation of droplet collisions in a turbulent channel flow. II. Collision rates. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 24. P. 1105-1138.
Chen M., McLaughlin J. B. 1995. A new correlation for the aerosol deposition rate in vertical ducts. J. Colloid and Interface Sci. Vol. 169. P. 437-455.
Chen Q., Ahmadi G. 1997. Deposition of particles in a turbulent pipe flow. J. Aerosol Sci. Vol. 28. №5. P. 789-796.
Cho W. C., Chung M. K., Kim K., Sung H.J. 2005. Tensorial time scale in turbulent gradient transport of Reynolds stresses. Phys. Fluids. Vol. 17. P. 071701-1-071701-3.
Choi J., Yeo K., Lee C. 2004. Lagrangian statistics in turbulent channel flow. Phys. Fluids. Vol. 16. P. 779-793.
Chronopoulos E., Hardalupas Y. 2004. The statistics of particle pair dispersion in turbulent flows. In Proc. 5th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №415. Yokohama, Japan.
Chun J., Koch D.L. 2005. Coagulation of monodisperse aerosol particles by isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 17. №2. P. 027102-1-027102-15.
Chun J., Koch D. L., Rani S. L., Ahluwalia A., Collins L. R. 2005. Clustering of aerosol particles in isotropic turbulence. I. Fluid Meeh. Vol. 536. P. 219-251.
Cleaver J. W., Yates B. 1975. A sublayer model for the deposition of particles from a turbulent flow. Chern. Eng. Sci. Vol. 30. P. 983-992.
Clift R., Grace J. R., Weber M. E. 1978. Bubbles, Drops and Particles. New York: Academic Press.
Collins L. R., Keswani A. 2004. Reynolds number scaling of particle clustering in turbulent aerosols. New I. Physics. Vol. 6. №119. P. 1-17.
Corrsin S. 1959. Progress report on some turbulent diffusion research. In Advances in Geophysics. Vol. 6. P. 161-184. New York: Academic Press.
Crowe С. T., Sommerfeld M., Tsuj'i Y. 1998. Multiphase Flows with Droplets and Particles. Florida, USA: CRC Press.
Crowe С. T., Troutt T. R., Chung J. N. 1996. Numerical models for two-phase turbulent flows. Annual Review Fluid Meeh. Vol. 28. P. 11-43.
Csanady G. T. 1963. Turbulent diffusion of heavy particles in the atmosphere. I. Atmos. Sci. Vol. 20. P. 201-208.
Cuzzi J. N., Hogan R. C., Paque J., Dobrovlskis A. 2001. Size-selective concentration of chondrules and other small particles in protoplanetary nebula turbulence. Astrophys. I. Vol. 546. P. 496-508.
Davies C. N. 1966. Deposition from moving aerosols. In Aerosol Science. London: Academic Press.
Dekeyser L, Launder В. E. 1985. A comparison of triple-moment temperature-velocity correlations in the asymmetric heated jet with
alternative closure models. In Turbulent Shear Flow 4. P. 102-117. Berlin: Springer.
Derevich I.V. 1991. The statistical concept of coarse particle motion in a turbulent pipe flow. In Proc. Sth Symp. on Turbulent Shear Flows. P. 10-4-1-10-4-6. Munich, Germany.
Derevich I.V. 2000a. Statistical modelling of mass transfer in turbulent two-phase dispersed flows. 1. Model development. Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 43. № 19. P. 3709-3723..
Derevich I.V. 2000b. Statistical modelling of mass transfer in turbulent two-phase dispersed flows. 2. Calculation results. Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 43. №19. P. 3725-3734.
Derevich I.V. 2001. Influence of internal turbulent structure on intensity of velocity and temperature fluctuations of particles. Int. I. Heat and Mass Transfer. Vol. 44. P. 4505-4521.
Derevich I. V., Yeroshenko V. M., Zaichik L. I. 1989a. Hydrodynamics and heat transfer of turbulent gas suspension flows in tubes. 1. Hydrodynamics. Int. I. Heat and Mass Transfer. Vol. 32. № 1. P. 2329-2339.
Derevich I.V., Yeroshenko V. M., Zaichik L. I. 1989b. Hydrodynamics and heat transfer of turbulent gas suspension flows in tubes. 2. Heat transfer. Int. I. Heat and Mass Transfer. Vol. 32. № 1. P. 2341-2350.
Deutsch E., Simonin O. 1991. Large eddy simulation applied to the modelling of particulate transport coefficients in turbulent two-phase flows. In Proc. Sth Symp. on Turbulent Shear Flows. P. 10-1-1-10-1-6, Munich, Germany.
Devenish B.J., Swailes D. C., Sergeev Y. A., Kurdyumov V. N. 1999. A PDF model for dispersed particles with inelastic particle-wall collisions. Phys. Fluids. Vol. 11. №7. P. 1858-1868.
Ding J., Gidaspow D. 1990. A bubbling fluidization model using kinetic theory of granular flow. AlChE I. Vol. 36. №4. P. 523-538.
Dodin Z., Elperin T. 2002. On the collision rate in turbulent flow with gravity. Phys. Fluids. Vol. 14. №8. P. 2921-2924.
Druzhinin O. A., Elghobashi S. E. 1998. Direct numerical simulation of bubble-laden turbulent flows using the two-fluid formulation. Phys. Fluids. Vol. 10. №3. P. 685-697.
Durbin P. A. 1980. A stochastic model of two-particle dispersion and concentration fluctuations in homogeneous turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 100. P. 279-302.
Eaton J. K., Fessler J. R. 1994. Preferential concentration of particles by turbulence. Int. I. Multiphase Flow. Vol. 20. P. 169-209.
Elghobashi S. E. 1994. On predicting particle-laden turbulent flows. Appl. Sei. Res. Vol. 52. P. 309-329.
Elghobashi S. E, Abou-Arab T. W. 1983. A two-equation turbulence model for two-phase flows. Phys. Fluids. Vol.26. №4. P.931-938..
Elghobashi S., Truesdell G.C. 1992. Direct simulation of particle dispersion in a decaying isotropic turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 242. P. 655-700.
Elperin T., Kleeorin N., Rogachevskii I. 1996. Self-excitation of fluctuations of inertial particle concentration in turbulent fluid flow. Phys. Review Letters. Vol. 66. №77. P. 5373-5376.
10 Л. И.Зайчик. В. Алипченков
Elperin Т., Kleeorin N., L’vov V. S., Rogachevskii L, Sokoloff D. 2002. Clustering instability of the spatial distribution of inertial particles in turbulent flows. Phys. Review E. Vol. 66. P. 036302-1-036302-16.
Etasse E., Meneveau C., Poinsot T. 1998. Simple stochastic model for particle dispersion including inertia, trajectory-crossing, and continuity effects. Trans ASME. J. Fluids Eng. Vol. 120. P. 186-192.
Falkovich G., Fouxon A., Stepanov M. G. 2002. Acceleration of rain initiation by cloud turbulence. Nature. Vol. 419. P. 151-154.
Falkovich G., Pumir A. 2004. Intermittent distribution of heavy particles in turbulent flow. Phys. Fluids. Vol. 16. №7. P. L47-L50.
Fan F.-G., Ahmadi G. 1993. A sublayer model for turbulent deposition of particles in turbulent ducts with smooth and rough surfaces. J. Aerosol Sci. Vol. 24. P. 45-64.
Fede P., Fevrier P., Simonin O. 2004. Numerical study of the effect of the fluid turbulence microscales on particle segregation and collisions in gas-solid turbulent flows. In Proc. 5th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №343. Yokohama, Japan.
Fede P., Simonin O. 2003. Modelling of kinetic energy transfer by collision of a non-settling binary mixture of particles suspended in a turbulent homogeneous isotropic flow. In Proc. 4th ASME-JSME Joint Fluids Eng. Conf. FEDSM2003-45735.
Fede P., Simonin O. 2005. Application of a perturbated two-Maxwellian approach for the modelling of kinetic stress transfer by collision in nonequilibrium binary mixture of inelastic particles. In Proc. ASME Fluids Eng. Division Summer Meeting and Exhibition. Houston, USA.
Fede P., Simonin O. 2006. Numerical study of the subgrid fluid turbulence effects on the statistics of heavy colliding particles. Phys. Fluids. Vol. 18. P. 045103-1-045103-17.
Fede P., Simonin O., Villedieu Ph. 2002. Monte Carlo simulation of colliding particles in gas-solid turbulent flows from a joint fluid-particle PDF equation. In Proc. ASME Joint US-European Fluids Eng. Conference. FEDSM2002-31226. Montreal, Canada.
Ferrand V., Bazile R., Boree J., Charnay G. 2003. Gas-droplet turbulent velocity correlations and two-phase interaction in an axisymmetric jet laden with partly responsive droplets. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 195-217.
Ferry J., Balachandar S. 2001. A fast Eulerian method for disperse two-phase flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 27. P. 1199-1226.
Ferry J., Balachandar S. 2005. Equilibrium Eulerian approach for predicting the thermal field of a dispersion of small particles. Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 48. P. 681-689.
Fessler J.R., Kulick J.D., Eaton J.K. 1994. Preferential concentration of heavy particles in a turbulent channel flow. Phys. Fluids. Vol. 6. №11. P. 3742-3749.
Fevrier P., Simonin O. 1998. Constitutive relations for fluid-particle velocity correlations in gas-solid turbulent flows. In Proc. 3rd Int. Conf, on Multiphase Flow. Lyon, France.
Fevrier P., Simonin O., Legendre D. 2001. Particle dispersion and preferential concentration dependence on turbulent Reynolds number from
direct and large-eddy simulations of isotropic homogeneous turbulence. In Proc. 4th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper № 798. New Orleans, USA.
Fevrier P., Simonin O., Squires K.D. 2005. Partioning of particle velocities in gas-solid turbulent flows into a continuous field and a spatially-uncorrelated random distribution: theoretical formalism and numerical study. J. Fluid Meeh. Vol. 533. P. 1-46.
Fichman M., Gutfinger C., Pnueli D. 1988. A model for turbulent deposition of aerosols. J. Aerosol Sci. Vol. 19. № 1. P. 123-136.
Fohanno S., Oesterle B. 2000. Analysis of the effect of collisions on the gravitational motion of large particles in a vertical duct. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 26. P. 267-292.
Friedlander S. K., Johnstone H. F. 1957. Deposition of suspended particles from turbulent gas streams. Ind. Eng. Chern. Vol. 49. №7. P. 1151-1156.
Frisch U. 1995. Turbulence. Cambridge University Press.
Fukagata K., Zahrai S., Bark F. H. 1998. Force balance in a turbulent particulate channel flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 24. P. 867-887.
Fukagata K., Zahrai S., Bark F. H., Kondo S. 1999. Influences of the near-wall drag correction in a Lagrangian simulation of particulate turbulent channel flow. In Turbulence and Shear Flow Phenomena - /. P. 259-264. New York: Begell House Inc.
Fukagata K., Zahrai S., Kondo S., Bark F. H. 2001. Anomalous velocity fluctuations in particulate turbulent channel flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 27. P. 701-719.
Fung J. С. H., Hunt J. C. R., Malik N.A., Perkins R.J. 1992. Kinematic simulation of homogeneous turbulence by unsteady random Fourier modes. J. Fluid Meeh. Vol. 236. P. 281-318.
Gardiner 0. W. 1985. Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Berlin: Springer.
Gatski T. B., Speziale C. G. 1993. On explicit algebraic stress models for complex turbulent flows. J. Fluid Meeh. Vol. 254. P. 59-78.
Girimaji S. S. 1996. Fully explicit and self-consistent algebraic Reynolds stress model. Theoret. Comput. Fluid Dynamics. Vol. 8. P. 387-402.
Girimaji S.S., Pope S. B. 1990. A diffusion model for velocity gradients in turbulence. Phys. Fluids A. Vol. 2. №2. P. 242-256.
Gorbis Z. R., Spokoyny E. E. 1995. Momentum and Heat Transfer in Turbulent Gas-Solid Flows. New York: Begell House Inc.
Goton T., Fukayama D. 2001. Pressure spectrum in homogeneous turbulence. Phys. Review Letters. Vol. 86. P. 3775-3778.
Gourdel C., Simonin O., Brunier E. 1998. Modeling and simulation of gas-solid turbulent flows with a binary mixture of particles. In Proc. 3rd Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper № 504. Lyon, France.
Gourdel C., Simonin O., Brunier E. 1999. Two-Maxwellian equilibrium distribution function for the modeling of a binary mixture of particles. In Proc. 6th Int. Conf, on Circulating Fluidized Beds. P. 205-210. Frankfurt, Germany.
Grad H. 1949. On the kinetic theory of rarefied gases. Commun. on Pure and Appl. Math. Vol. 2. P. 331-407.
io*
Graham D. I. 2004. Development of particle dispersion characteristics from arbitrary initial conditions in isotropic turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 501. P. 149-168.
Guha A. 1997. A unified Eulerian theory of turbulent deposition to smooth and rough surfaces. J. Aerosol Sci. Vol.28. №8. P. 1517-1537.
van Haarlem B., Boersma B. J., Nieuwstadt T. M. 1998. Direct numerical simulation of particle deposition onto a free-slip and no-slip surface. Phys. Fluids. Vol. 10. № 10. P. 2608-2620.
Hadinoto K., Jones E.N., Yurteri C., Curtis J.S. 2005. Reynolds number dependence of gas-phase turbulence in gas-particle flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 31. P. 416-434.
Han K. S., Sung H.J., Chung M. K. 1991. Analysis of heat transfer in pipe carrying two-phase gas-particle suspension. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 34. №1. P. 69-78.
Hanjalic K, Launder В. E. 1972. A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows. J. Fluid Meeh. Vol. 52. №4. P. 609-638.
He J., Simonin O. 1993. Non-equilibrium prediction of the particle-phase stress tensor in vertical pneumatic conveying. In Proc. 5th Int. Symp. on Gas-Solid Flows. ASME FED. Vol. 166. P. 253-263.
Hesthaven J. S., Nielsen A. H., Pecseli H.L., Rasmussen J.J. 1995. The Eulerian-Lagrangian trasformation in two-dimensional random flows. J. Atmos, and Terrest. Phys. Vol. 57. №3. P. 215-223.
Hogan R. C., Cuzzi J. N. 2001. Stokes and Reynolds number dependence of preferential particle concentration in simulated three-dimensional turbulence. Phys. Fluids. Vol. 13. № 10. P. 2938-2945.
Hyland К. E., McKee S., Reeks M. W. 1999a. Derivation of a pdf kinetic equation for the transport of particles in turbulent flows. J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 32. P. 6169-6190.
Hyland К. E., McKee S., Reeks M. W. 1999b. Exact analytical solutions to turbulent particle flow equations. Phys. Fluids. Vol. 11. №5. P. 1249-1261.
Iliopoulos I., Mito Y., Hanratty T.J. 2003. A stochastic model for solid particle dispersion in a nonhomogeneous turbulent field. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 375-394.
Jaberi F. A. 1998. Temperature fluctuations in particle-laden homogeneous turbulent flows. Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 41. P. 4081-4093.
Jenkins J.T., Richman M. W. 1985. Grad’s 13-moment system for a dense gas of inelastic spheres. Arch. Rat. Meeh. Anal. Vol. 87. №4. P. 355-377.
Johansen S. T. 1991. The deposition of particles on vertical walls. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 17. №3. P. 355-376.
Jongen T., Gatski T. B. 1998. General explicit algebraic stress relations and best approximation for three-dimensional flows. Int. J. Eng. Scl. Vol. 36. P. 739-763.
Kaftori D., Hetsroni G., Banerjee S. 1995. Particle behavior in the turbulent boundary layer. II. Velocity and distribution profiles. Phys. Fluids. Vol. 7. P. 1107-1121.
Kallio G.A., Reeks M. W. 1989. A numerical simulation of particle deposition in turbulent boundary layer. Int. I. Multiphase Flow. Vol. 15. №3. P. 433-446.
Kaufman A., Simonin О., Poinsot Т. 2004. Direct numerical simulation particle-laden homogeneous isotropic turbulent flows using two-fluid model formulation. In Proc. 5th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №443. Yokohama, Japan.
Khalij M., Arcen B., Taniere A. 2004. Improvement of the formulation of the dispersed phase boundary conditions for a rough wall needed in two-fluid model. In Proc. 3rd Int. Symp. on Two-Phase Flow Modelling and Experimentation. Pisa, Italy.
Khalij M., Konan A., Simonin O., Oesterle B. 2005. On the dispersed phase boundary conditions in gas-solid flows with irregular particle-wall bouncing. In Proc. 11th Workshop on Two-Phase Flow Predictions. Merseburg, Germany.
Khalitov D. A., Longmire E.K. 2003. Effect of particle size on velocity correlations in turbulent channel flow. In Proc. 4th ASME-JSME. Joint Fluids Eng. Conference. FEDSM03-45730. Honolulu, Hawaii.
Koch D. L. 1990. Kinetic theory for a monodisperse gas-solid suspension. Phys. Fluids A. Vol. 2. № 10. P. 1711-1723.
Konan A., Simonin O., Adou J. 2005. Derivation of rough wall boundary conditions for Eulerian particulate models in the frame of PDF approach. In Proc. 10th Int. Symp. on Gas-Particle Flows. FEDSM05-77311. Houston, USA.
Kontomaris K., Hanratty T. J. 1993. Effect of molecular diffusivity on turbulent diffusion in isotropic turbulence. Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 36. №5. P. 1403-1412.
Kontomaris K., Hanratty T. J., McLaughlin J.B. 1992. An algorithm for tracking fluid particles in a spectral simulation of turbulent channel flow. J. Comput. Phys. Vol. 103. P. 231-242.
Kostinski A. B., Shaw R. A. 2001. Scale-dependent droplet clustering in turbulent clouds. I. Fluid Meeh. Vol. 434. P. 389-398.
Kraichnan R. H. 1964. Relation between the Lagrangian and Eulerian correlation times of a turbulent velocity field. Phys. Fluids. Vol. 7. №1. P. 142-143.
Kraichnan R. H. 1965. Lagrangian-history closure approximation for turbulence. Phys. Fluids. Vol. 8. P. 575-598.
Kraichnan R. H. 1966. Dispersion of particle pairs in homogeneous turbulence. Phys. Fluids. Vol. 9. P. 1937-1943.
Kraichnan R. H. 1970. Diffusion by a random velocity field. Phys. Fluids. Vol. 13. №1. P. 22-31.
Kraichnan R. H. 1977. Eulerian and Lagrangian renormalization in turbulence theory. J. Fluid Meeh. Vol. 83. № 1. P. 349-374.
Kruis F. E., Kusters K. A. 1996. The collision rate of particles in turbulent media. J. Aerosol. Sei. Vol. 27. Suppl. 1. P. S263-S264.
Kuerten J.G.M. 2006. Subgrid modeling in particle-laden channel flow. Phys. Fluids. Vol. 18. №2. P. 025108-1-025108-13.
Kuerten J.G.M., Vreman A. W. 2005. Can turbophoresis be predicted by large-eddy simulation? Phys. Fluids. Vol. 17. №1. P. 011701-1-011701-4.
Kulick J. D., Fessler J.R., Eaton J. K. 1994. Particle response and turbulent modification in fully developed channel flow. /. Fluid, Meeh. Vol. 277. P. 109-134.
Kumaran V. 2003. Stability of a sheared particle suspension. Phys. Fluids. Vol. 15. №12. P. 3625-3637.
Kussin J., Sommerfeld M. 2002. Experimental studies on particle behaviour and turbulence modification in horizontal channel flow with different wall roughness. Experim. Fluids. Vol. 33. P. 143-159.
Lain S., Aliod R. 2000. Study on the Eulerian dispersed phase equations in non-uniform turbulent two-phase flows: discussion and comparison with experiments. Int. J. Heat and Fluid Flow. Vol. 21. P. 374-380.
Lain S., Kohnen G. 1999. Comparison between Eulerian and Lagrangian strategies for the dispersed phase in nonuniform turbulent particle-laden flows. In Turbulence and Shear Flow Phenomena - /. P. 277-282. New York: Begell House Inc.
Larsen M. L., Cantrell W., Kannosto J., Kostinski A. B. 2003. Detection of spatial correlations among aerosol particles. Aerosol Set. and Technol. Vol. 37. P. 476-485.
Laufer J. 1951. Investigation of turbulent flow in a two-dimensional channel. NACA Report. № 1053.
Launder В. E. 1976. Heat and mass transport. In Turbulence. P. 232-287. Berlin: Springer.
Lavieville J. 1997. Numerical Simulations and Modeling of Interactions between Turbulence Dragging and Interparticle Collisions Applied to Gas- Solid Two-Phase Flows. These de Doctorat de I’Universite de Rouen.
Lavieville J., Deutsch E., Simonin O. 1995. Large eddy simulation of interactions between colliding particles and a homogeneous isotropic turbulence field. In Proc. 6th Int. Symp. on Gas-Particle Flows. ASME FED. Vol. 228. P. 347-357.
Lavieville J., Simonin O., Berlemont A., Chang Z. 1997. Validation of inter-particle collision models based on large eddy simulation in gas-solid turbulent homogeneous shear flow. In Proc. 7th Int. Symp. on Gas-Particle Flows, ASME Fluids Eng. Division Summer Meeting. FEDSM97-3623.
Lee J.T., Stone G. L. 1983. Eulerian-Lagrangian relationships in Monte Carlo simulations of turbulent diffusion. Atmos. Environment. Vol. 17. № 12. P. 2483-2487.
Lee M. M., Hanratty T.J., Adrian R.J. 1989. The interpretation of droplet deposition measurements with a diffusion model. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 15. №3. P. 459-469.
Lee S. L., Durst F. 1982. On the motion of particles in turbulent duct flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 8. P. 125-146.
Legendre D., Merle A., Magnaudet J. 2006. Wake of a spherical bubble or a solid sphere set fixed in a turbulent enviroment. Phys. Fluids. Vol. 18. №4. P. 048102-1-048102-4.
Li A., Ahmadi G. 1991. Dispersion and deposition of spherical particles from point sources in a turbulent channel flow. Aerosol Sci. and Technol. Vol. 16. P. 209-226.
Li A., Ahmadi G. 1993. Deposition of aerosols on surfaces in a turbulent channel flow. Int. J. Eng. Sci. Vol. 31. №3. P. 435-451.
Li C., Mosyak A., Hetsroni G. 1999. Direct numerical simulation of particleturbulence interaction. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 25. P. 187-200.
Li Y., McLaughlin J. B., Kontomaris K., Portela L. 2001. Numerical simulation of particle-laden turbulent channel flow. Phys. Fluids. Vol. 13. №10. P. 2957-2967.
Liljegren L. M. 1993. The effect of a mean fluid velocity gradient on the streamwise velocity variance of a particle suspended in a turbulent flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 19. P. 471-484.
Liu B. Y. H., Agarwal J. K. 1974. Experimental observation of aerosol deposition in turbulent flow. J. Aerosol Sci. Vol. 5. P. 145-155.
Loth E. 2000. Numerical approaches for motion of dispersed particles, droplets and bubbles. Progress in Energy and Combust. Sci. Vol. 26. P. 161-223.
Louge M. Y., Mastorakos E., Jenkins J.T. 1991. The role of particle collisions in pneumatic transport. J. Fluid Meeh. Vol. 231. P. 345-359.
Lumley J. L. 1962. An approach to the Eulerian-Lagrangian problem. /. Math. Phys. Vol.3. №2. P. 309-312.
Lun С. К. K. 2000. Numerical simulation of dilute turbulent gas-solid flows in horizontal channels. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 23. P. 1707-1736.
Lun С. К. K., Liu H. S. 1997. Numerical simulation of dilute turbulent gassolid flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 26. №3. P. 575-605.
Lun С. К. K., Savage S. B., Jeffrey D. J., Chepurniy N. 1984. Kinetic theories for granular flow: inelastic particles in Couette flow a slightly inelastic particles in a general flow field. J. Fluid Meeh. Vol. 140. P. 223-256.
Lundgren T. S. 1981. Turbulent pair dispersion and scalar diffusion. /. Fluid Meeh. Vol. 111. P.27-57.
Lundgren T. S. 2003. Kolmogorov turbulence by matched asymptotic expansions. Phys. Fluids. Vol. 15. №4. P. 1074-1081.
Lundgren T. S., Pointin Y. B. 1976. Turbulent self-diffusion. Phys. Fluids. Vol. 19. №3. P. 355-358.
Mann J., Ott S., Pecseli H.L., Trulsen J. 2002. Predator-prey encounters in turbulent waters. Phys. Reuiew E. Vol. 65. №2 (026304).
Marchioli C., Guiusti A., Salvetti M. V., Soldati A. 2003. Direct numerical simulation of particle wall transfer and deposition in upward turbulent pipe flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 1017-1038.
Marchioli C., Soldati A. 2002. Mechanisms for particle transport and segregation in a turbulent boundary layer. /. Fluid Meeh. Vol. 468. P. 283-315.
Mashayek F., Jaberi F. A., Miller R.S., Givi P. 1997. Dispersion and polydispersity of droplets in stationary isotropic turbulence. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 23. №2. P. 337-355.
Mashayek F., Pandya R. V. R. 2003. Analytical description of particle/droplet-laden turbulent flows. Progress in Energy and Combust. Sci. Vol. 29. P. 329-378.
Mashayek F., Taulbee D. B. 2002. Turbulent gas-solid flows. Part II: Algebraic models. Numer. Heat Transfer. Part B. Vol. 41. P. 31-52.
Matsumoto S., Saito S. 1970a. On the mechanism of suspension of particles in horizontal pneumatic conveying: Monte Carlo simulation based on the irregular bouncing model. J. Chern. Eng. Japan. Vol.3. № 1. P. 83-92.
Matsumoto S., Saito S. 1970b. Monte Carlo simulation of horizontal pneumatic conveying based on the rough wall model. J. Chern. Eng. Japan. Vol.3. №2. P.223-230.
Maxey M. R. 1987. The gravitational settling of aerosol particles in homogeneous turbulence and random flow fields. /. Fluid Meeh. Vol. 174. P. 441-465.
Maxey M. R., Riley J. J. 1983. Equation of motion of a small rigid sphere in a non-uniform flow. Phys. Fluids. Vol. 26. P. 883-889.
Mazzitelli I. M., Lohse D. 2004. Lagrangian statistics for fluid particles and bubbles in turbulence. New J. Physics. Vol. 6. №203. P. 1-28.
McCoy D. D., Hanratty T.J. 1977. Rate of deposition of droplets in annular two-phase flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol.3. P.319-331.
McLaughlin J. B. 1989. Aerosol particle deposition in numerically simulated channel flow. Phys. Fluids A. Vol. 1. №7. P. 1211-1224.
McLaughlin J. B. 1991. Inertial migration of a small sphere in linear shear flows. J. Fluid Meeh. Vol. 224. P. 261-274.
McLaughlin J.B. 1993. The lift on a small sphere in wall-bounded linear shear flows. J. Fluid Meeh. Vol. 246. P. 249-265.
McLaughlin J.B. 1994. Numerical computation of particles-turbulence interaction. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 20. Suppl. P. 211-232.
Mei R., Adrian R. J. 1995. Effect of Reynolds number on isotropic turbulent dispersion. Trans ASME. J. Fluids Eng. Vol. 117. P. 402-409.
Mei R., Adrian R.J., Hanratty T.J. 1991. Particle dispersion in isotropic turbulence under Stokes drag and Basset force with gravitational settling. J. Fluid Meeh. Vol. 225. P. 481-495.
Mei R., Hu K.C. 1999. On the collision rate of small particles in turbulent flows. J. Fluid Meeh. Vol. 391. P. 67-89.
Michaelides E. E. 2003. Hydrodynamic force and heat/mass transfer from particles, bubbles, and drops - the Freeman scholar lecture. Trans ASME. J. Fluids Eng. Vol. 125. P. 209-238.
Middleton J. F. 1985. Drifter spectra and diffusivities. /. Marine Res. Vol. 43. P. 37-55.
Minier J.-P., Peirano E. 2004. PDF model based on Langevin equation for polydispersed two-phase flows applied to bluff-body gas-solid flow. Phys. Fluids. Vol. 16. №7. P. 2419-2431.
Mito Y., Hanratty T.J. 2002. Use of a modified Lagrangian equation to describe turbulent dispersion of fluid particles in a channel flow. Flow, Turbulence and Combustion. Vol. 68. P. 1-26.
Mois B., Oliemans В. V. A. 1998. A turbulent diffusion model for particle dispersion and deposition in horizontal tube flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 24. №1. P. 55-75.
Moreau M., Bedat B., Simonin O. 2005. From Euler-Lagrange to Euler-Euler large-eddy simulation approaches for gas-particle turbulent flows. In Proc. ASME Fluids Eng. Summer Conf. FEDS2005-77306. Houston, USA.
Moreau М., Fede Р., Simonin О., Villedieu Ph. 2004. Stochastic Lagrangian modelling and Monte Carlo simulation of collisions in gas-solid homogeneous shear turbulent flows. In Proc. 5th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №426. Yokohama, Japan.
Mostafa A. A., Mongia H.C. 1987. On the modeling of turbulent evaporating sprays: Eulerian versus Lagrangian approach. Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 30. №12. P. 2583-2593.
Narayanan C., Lakehal D., Botto L., Soldati A. 2003. Mechanism of particle deposition in a fully developed turbulent open channel flow. Phys. Fluids. Vol. 15. №3. P. 763-775.
Nicolleau F., Vassilicos J.C. 2003. Turbulent pair diffusion. Phys. Review Letters. Vol. 90. №10. P. 024503-1-024503-4.
Nicolleau F., Yu G. 2004. Two-particle diffusion and locally assumption. Phys. Fluids. Vol. 16. №7. P. 2309-2321.
Nir A., Pismen L. M. 1979. The effect of a steady drift on the dispersion of a particle in turbulent fluid. /. Fluid Meeh. Vol. 94. Pt 2. P. 369-381.
Oesterle B. 1989. Internal kinetic transfers in the dispersed phase of a low concentration suspension flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 15. №2. P. 155-171.
Oesterle B. 2004. Added mass effects on concentration inhomogeneities and dispersion of inertial particles in isotropic turbulence. In Proc. 5th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №383. Yokohama, Japan.
Oesterle B., Petitjean A. 1991. Simulation of particle-to-particle interactions in gas-solid flows. In Int. Conf, on Multiphase Flows. P. 91-94. Tsukuba, Japan.
Oesterle B., Petitjean A. 1993. Simulation of particle-to-particle interactions in gas-solid flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 19. № 1. P. 199-211.
Oesterle B., Zaichik L.I. 2004. On Lagrangian time scales and particle dispersion modeling in equilibrium turbulent shear flows. Phys. Fluids. Vol. 16. №9. P. 3374-3384.
Ott S., Mann J. 2000. An experimental investigation of the relative diffusion of particle pairs in three-dimensional turbulent flow modes. J. Fluid Meeh. Vol. 422. P. 207-223.
Ounis H., Ahmadi G. 1991. Motions of small particles in a turbulent simple shear flow field under microgravity condition. Phys. Fluids A. Vol.3. P. 2559-2570.
Ounis H., Ahmadi G., McLaughlin J.B. 1991. Dispersion and deposition of Brownian particles from point sources in a simulated turbulent channel flow. /. Colloid and Interface Sci. Vol. 147. P. 233-250.
Ounis H., Ahmadi G., McLaughlin J.B. 1993. Brownian particle deposition a directly simulated turbulent channel flow. Phys. Fluids A. Vol. 5. P. 1427-1432.
Pan Y., Banerjee S. 1996. Numerical simulation of particle interactions with wall turbulence. Phys. Fluids. Vol. 8. № 10. P. 883-889.
Pan Y., Banerjee S. 1997. Numerical investigation of the effects of large particles on wall-turbulence. Phys. Fluids. Vol. 9. № 12. P. 3786-3807.
Pandya R. V. R., Mashayek F. 2002a. Two-fluid large-eddy simulation approach for particle-laden turbulent flows. Int. J. Heat and. Mass Transfer. Vol. 45. P. 4753-4759.
Pandya R. V. R., Mashayek F. 2002b. Kinetic equation for particle transport and heat transport in non-isothermal turbulent flows. AIAA Paper. 2002-0337. P. 1-10.
Pandya R. V. R., Mashayek F. 2003. Non-isothermal dispersed phase of particles in turbulent flow. J. Fluid Meeh. Vol. 475. P. 205-245.
Papavergos P. G., Hedley A. B. 1984. Particle deposition behaviour from turbulent flows. Chern. Eng. Res. Des. Vol. 62. P. 275-295.
Pascal P., Oesterle B. 2000. On the dispersion of discrete particles moving in a turbulent shear flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 26. P. 293-325.
Pedinotti S., Mariotti G., Banerjee S. 1992. Direct numerical simulation of particle behavior in the wall region of turbulent flow in horizontal channels. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 18. P. 927-941.
Peirano E., Minier J.-P. 200S. Probabilistic formalism and hierarchy of models for polydispersed two-phase flows. Phys. Review E. Vol. 65. P. 046301-1-046301-18.
Philip J. R. 1967. Relations between Eulerian and Lagrangian statistics. Phys. Fluids. Vol. 10. Suppl. Pt 2. P.S69-S71.
Phythian R. 1975. Dispersion by random velocity fields. /. Fluid Meeh. Vol.67. Ptl. P. 145-153.
Pialat X., Simonin O., Villedieu P. 2005. Direct coupling between Lagrangian and Eulerian approaches in turbulent gas-particle flows. In Proc. ASME Fluids Eng. Summer Conference. FEDS2005-77078. Houston, USA.
Picciotto M., Marchioli C., Reeks M. W., Soldati A. 2005. Statistics of velocity and preferential concentration of micro-particles in boundary layer turbulence. Nuclear Eng. and Design. Vol. 235. P. 1239-1249.
Picciotto M., Reeks M.W., Simonin O., Soldati A. 2005. Lagrangian quantification of particle segregation in homogeneous isotropic turbulence. In Proc. 11th Workshop on Two-Phase Flow Predictions. Merseburg, Germany.
Pinsky M. B., Khain A. P. 1997. Turbulence effects on droplet growth and size distribution in clouds. J. Aerosol Sci. Vol.28. №7. P. 1177-1214.
Pismen L. M., Nir A. 1978. On the motion of suspended particles in stationary homogeneous turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 84. Pt 1. P. 193-206.
Pope S. B. 1975. A more general effective-viscosity hypothesis. J. Fluid Meeh. Vol. 72. Pt 2. P. 331-340.
Pope S. B. 1994. Lagrangian PDF methods for turbulent flows. Annual Review Fluid Meeh. Vol. 26. P. 23-63.
Pope S. B. 2000. Turbulent Flows. Cambridge University Press.
Pope S. B. 2002. Stochastic Lagrangian models of velocity in homogeneous turbulent shear flow. Phys. Fluids. Vol. 14. №5. P. 1696-1702.
Portela L. M., Cota P., Oliemans R.V.A. 2002. Numerical study of the near-wall behaviour of particles in turbulent pipe flows. Powder Technology. Vol. 125. P. 149-157.
Pozorski J. 1998. Derivation of the kinetic equation for dispersed particles in turbulent flows. J. Theor. Appl. Meeh. (Warsaw, Poland). Vol. 36. №1. P. 31-46.
Pozorski J., Minier J.-P. 1998. On the Lagrangian turbulent dispersion models based on the Langevin equation. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 24. P. 913-945.
Pozorski J., Minier J.-P. 1999. Probability density function modeling of dispersed two-phase turbulent flows. Phys. Revier E. Vol. 59. №1. P. 855-863.
Praskovsky A., Oncley S. 1994. Probability density distribution of velocity differences at very high Reynolds numbers. Phys. Review Letters. Vol. 73. №25. P. 3399-3402.
Rambaud P., Oesterle B., Taniere A. 2002. Assessment of integral time scales in a gas-solid channel flow with relevance to particle dispersion model. In Proc. 10th Workshop on Two-Phase Flow Predictions. P. 182-194. Merseburg, Germany.
305. Rani S. L., Balachandar S. 2003. Evaluation of the equilibrium Eulerian approach for the evolution of particle concentration in isotropic turbulence. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 1793-1816.
Rani S. L., Winkler С. M., Vanka S. P. 2004. Numerical simulations of turbulence modulation by dense particles in a fully developed pipe flow. Power Technology. Vol. 141. P. 80-90.
Ranz W. E., Marshall W. R. 1952. Evaporation from drops. Chern Eng. Prog. Vol. 48. P. 141-173.
Razi Naqvi K., Mork K. J., Waldenstrom, S. 1982. Reduction of the Fokker- Planck equation with an absorbing or reflecting boundary to the diffusion equation and the radiation boundary condition. Phys. Review Letters. Vol. 49. №5. P. 304-307.
Reade W. C., Collins L. R. 1998. Collision and coagulation in the infinite- Stokes-number regime. Aerosol Sci. and Technol. Vol. 29. P. 493-509.
Reade W. C., Collins L. R. 2000. Effect of preferential concentration on turbulent collision rates. Phys. Fluids. Vol. 12. № 10. P. 2530-2540.
Reeks M. W. 1977. On the dispersion of small particles suspended in an isotropic turbulent fluid. J. Fluid Meeh. Vol. 83. Pt3. P. 529-546.
Reeks M. W. 1983. The transport of discrete particles in inhomogeneous turbulence. /. Aerosol Sci. Vol. 14. №6. P. 729-739.
Reeks M.W. 1991. On a kinetic equation for the transport of particles in turbulent flows. Phys. Fluids A. Vol.3. №3. P. 446-456.
Reeks M.W. 1992. On the continuum equation for dispersed particles in nonuniform flows. Phys. Fluids A. Vol.4. №6. P. 1290-1303.
Reeks M.W. 1993. On the constitutive relations for dispersed particles in nonuniform flows. 1: Dispersion in a simple shear flow. Phys. Fluids A. Vol. 5. №3. P. 750-761.
Reeks M.W. 2005a. On probability density function equations for particle dispersion in a uniform shear flow. /. Fluid Meeh. Vol. 522. P. 263-302.
Reeks M.W. 2005b. On model equations for particle dispersion in inhomogeneous turbulence. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 31. P. 93-114.
Richardson L. F. 1926. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph. Proc. Royal Soc. London. Ser. A. Vol. 110. №756. P. 709-737.
Righetti M., Romano G. P. 2004. Particle-fluid interactions in a plane nearwall turbulent flow. J. Fluid Meeh,. Vol. 505. P. 93-121.
Riley J. J., Corrsin S. 1974. The relation of turbulent diffusivities to Lagrangian velocity statistics for the simplest shear flow. J. Geophys. Res. Vol. 79. №12. P. 1768-1771.
Riley J. J., Patterson G.S. 1974. Diffusion experiments with numerically integrated isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 17. P. 292-297.
Rizk M. A., Elgohbashi S. E. 1989. A two-equation turbulence model for dispersed dilute confined two-phase flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 15. №1. P. 119-133.
Rodi W. 1976. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses. ZAMM. Vol. 56. P.T219-T221.
Rogers С. B., Eaton J.K. 1990. The behaviour of solid particles in a vertical turbulent boundary layer in air. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 16. P. 819-834.
Rotta J.C. 1951. Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz. Z. Physik. V. 129. P. 547-572.
Rouson D.W.I., Eaton J.K. 1994. Direct numerical simulation of particles interacting with a turbulent channel flow. In Proc. 7th Workshop on Two- Phase Flow Predictions. Erlangen, Germany.
Rouson D.W.I., Eaton J.K. 2001. On the preferential concentration of solid particles in turbulent channel flow. J. Fluid Meeh. Vol. 428. P. 149-169.
Saffman P. G. 1963. An approximate calculation of the Lagrangian autocorrelation coefficient for stationary homogeneous turbulence. Appl. Sei. Res. A. Vol. 11. P. 245-255.
Saffman P. G. 1965. The lift on a small sphere in a slow shear flow. J. Fluid Meeh. Vol. 22. P. 385-400.
Saffman P. G. 1968. Corrigendum to “The lift on a small sphere in a slow shear flow”. J. Fluid Meeh. Vol. 31. P. 624.
Saffman P. G., Turner J. S. 1956. On the collision of drops in turbulent clouds. J. Fluid Meeh. Vol. 1. Pt 1. P. 16-30.
Sakiz M., Simonin O. 1999. Development and validation of continuum particle wall boundary conditions using Lagrangian simulation of a vertical gas-solid channel flow. In Proc. 7th Int. Symp. on Gas-Solid Flows. ASME/FED. Paper №7898.
Sakiz M., Simonin O. 2001. Continuum modeling and Lagrangian simulation of massive frictional colliding particles in a vertical gas-solid channel flow. In Proc. 4th Int. Conf, on Multiphase Flows. New Orleans, USA.
Sato Y., Hanzawa A., Hishida K., Maeda M. 1995. Interactions between particle wake and turbulence in a water channel flow (PIV measurements and modelling for turbulence modification). In Advances in Multiphase Flow 1995. P. 27-40. Amsterdam: Elsevier.
Sato Y., Yamamoto K. 1987. Lagrangian measurement of fluid-particle motion in an isotropic turbulent field. /. Fluid Meeh. Vol. 175. P. 183-199.
Sawford B. L. 1991. Reynolds number effects in Lagrangian stochastic models of turbulent dispersion. Phys. Fluids A. Vol.3. P. 1577-1586.
Sawford В. 2001. Turbulent relative dispersion. Annual Review Fluid Meeh. Vol. 33. P. 289-317.
Sawford B. L, Yeung P. K. 2000. Eulerian acceleration statistics as a discriminator between Lagrangian stochastic models in uniform shear flow. Phys. Fluids. Vol. 12. №8. P. 2033-2045.
Sawford B. L., Yeung P. K. 2001. Lagrangian statistics in uniform shear flow: Direct numerical simulation and Lagrangian stochastic models. Phys. Fluids. Vol. 13. №9. P. 2627-2634.
Schade К.-P., Hadrich Th. 1998. Investigation of influence of wall roughness on particle-wall collision. In Proc. 3rd Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №250. Lyon, France.
Shaw R. A., Kostinski A. B., Lanterman D.D. 2002. Super-exponential extinction in a negatively correlated random medium. J. Quant. Spectr. and Radiat. Transfer. Vol. 75. P. 13-20.
Shin M., Kim D. S., Lee J.W. 2003. Deposition of inertia-dominated particles inside a turbulent boundary layer. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 893-926.
Shin M., Lee J.W. 2001. Memory effect in the Eulerian particle deposition in a fully developed turbulent channel flow. J. Aerosol Sci. Vol. 32. P. 675-693.
Shotorban B., Balachandar S. 2006. Particle concentration in homogeneous shear turbulence simulated via Lagrangian and equilibrium Eulerian approaches. Phys. Fluids. Vol. 18. №6. P.065105-1-065105-13.
Shraiber A., Naumov V. 1994. Boundary conditions of the mass, momentum and energy transfer equations in a turbulent two-phase flow. In Proc. Estonian Academy of Sciences. Physics, Mathematics. Vol. 43. №4. P. 222-236.
Sigurgeirsson H., Stuart A.M. 2002. A model for preferential concentration. Phys. Fluids. Vol. 14. № 12. P. 4352-4361.
Simonin O. 1991a. Second-moment prediction of dispersed-phase turbulence in particle-laden flows. In Proc. Sth Symp. on Turbulent Shear Flows. P. 7-4-1-7-4-6. Munich, Germany.
Simonin O. 1991b. Second-moment prediction of dispersed-phase turbulence in particle-laden flows. Annexe 3: Third-moment closure. Rapport EDF. HE 44/91.24.
Simonin O. 1996. Combustion and turbulence in two-phase flows: Continuum modelling of dispersed two-phase flows. Lecture Series 1996-02. Belgium: Von Karman Institute for Fluid Dynamics.
Simonin O., Deutsch E., Boivin M. 1995. Large eddy simulation and second- moment closure model of particle fluctuating motion in two-phase turbulent shear flows. In Select. Papers 9th Int. Symp. on Turbulent Shear Flows. P. 85-115. Berlin: Springer.
Simonin O., Deutsch E., Minier J.-P. 1993. Eulerian prediction of the fluid/particle correlated motion in turbulent two-phase flows. Appl. Sci. Res. Vol. 51. P. 275-283.
Simonin O., Fevrier P., Lavieville J. 2002. On the spatial distribution of heavy particle velocities in turbulent flow: From continuous field to particulate chaos. J. Turbulence. Vol. 3 (040).
Simonin О., Viollet Р. L. 1990. Modelling of turbulent two-phase jets loaded with discrete particles. In Phase-Interlace Phenomena in Multiphase Flow. P. 259-269. New York: Hemisphere Publ. Corp.
Simonin O., Wang Q., Squires K. D. 1997. Comparison between two-fluid model predictions and large eddy simulation results in a vertical gas-solid turbulent channel flow. In Proc. 7th Int. Symp. on Gas-Particle Flows, ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting. FEDSM97-3625.
Slater S. A., Leeming A. D., Young J.B. 2003. Particle deposition from two- dimensional turbulent flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 721-750.
Smoluchowski M. V. 1917. Versuch einer mathematischen Theorie der Koagulationskinetik kolloider Losungen. Zeit. Phys. Chern. Vol. 2. P. 129-168.
Snyder W. H., Lumley J. L. 1971. Some measurements of particle velocity auto-correlation functions in a turbulent flow. J. Fluid Meeh. Vol. 48. P.41-71.
Sommerfeld M. 1990. Numerical simulation of the particle dispersion in turbulent flows: the importance of particle lift forces and different particle/wall collision models. In Numerical Methods for Multiphase Flows. ASME FED. Vol. 91. P. 11-18. New York.
Sommerfeld M. 1992. Modelling of particle-wall collisions in confined gasparticle flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 18. №6. P. 905-926.
Sommerfeld M. 1995. The importance of inter-particle collisions in horizontal gas-solid channel flows. In Proc. 6th Int. Symp. on Gas-Particle Flows. ASME FED. Vol. 228. P. 335-345.
Sommerfeld M. 1999. Inter-particle collisions in turbulent flows: a stochastic Lagrangian model. In Turbulence and Shear Flow Phenomena - /. P. 265-270. New York: Begell House Inc.
Sommerfeld M. 2000. Theoretical and experimental modeling of particulate flow: overview and fundamentals. Lecture Series 2000-06. Belgium: Von Karman Institute for Fluid Dynamics.
Sommerfeld M. 2003. Analysis of collision effects for turbulent gas-particle flow in a horizontal channel. Part I. Particle transport. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 675-699.
Sommerfeld M., Huber N. 1995. A laser strobe technique combined with digital analysis to study particle-wall collisions. In Proc. Int. Symp. on Measurement Techniques for Multiphase Flows. P. 428-440. Nanjing, China.
Sommerfeld M., Huber N. 1999. Experimental analysis and modelling of particle-wall collisions. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 25. №6. P. 1457-1489.
Sommerfeld M., Kussin J. 2003. Analysis of collision effects for turbulent gas-particle flow in a horizontal channel. Part II. Integral properties and validation. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 29. P. 701-718.
Sommerfeld M., Zivkovic G. 1992. Resent advances in the numerical simulation of pneumatic conveying through pipe systems. In Computational Methods in Applied Sciences. P. 201-212. Amsterdam: Elsevier.
Speziale C.G., Mac Giolla Mhuiris N. 1989. On the prediction of equilibrium states in homogeneous turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 209. P. 591-615.
Squires К. D., Eaton J. К. 1991a. Lagrangian and Eulerian statistics obtained from direct numerical simulations of homogeneous turbulence. Phys. Fluids A. 1991. Vol.3. №1. P. 130-143.
Squires K. D., Eaton J.K. 1991b. Measurements of particle dispersion obtained from direct numerical simulations of isotropic turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 226. P. 1-35.
Squires K. D., Eaton J.K. 1991c. Preferential concentration of particles by turbulence. Phys. Fluids A. Vol.3. №5. P. 1169-1178.
Squires K. D., Simonin 0. 2002. Application of DNS and LES to dispersed two-phase flows. In Proc. 10th Workshop on Two-phase Flow Predictions. P. 152-163. Merseburg, Germany.
Sreenivasan K. R. 1995. On the universality of the Kolmogorov constant. Fhys. Fluids. Vol. 7. №11. P. 2778-2784.
Stock D. E. 1996. Particle dispersion in flowing cases - 1994 Freeman scholar lecture. Trans ASME. J. Fluids Eng. Vol. 118. P. 4-17.
Sundaram S., Collins L. R. 1997. Collision statistics in an isotropic particleladen turbulent suspension. Pt 1. Direct numerical simulations. J. Fluid Meeh. Vol. 335. P. 75-109.
Swailes D. C., Darbyshire K. F. F. 1997. A generalized Fokker-Plank equation for particle transport in random media. Physica A. Vol. 242. P. 38-48.
Swailes D. C., Reeks M. W. 1994. Particle deposition from a turbulent flow. I. A steady-state model for high inertia particles. Phys. Fluids. Vol. 6. № 10. P. 3392-3403.
Swailes D.C., Sergeev Y. A., Parker A. 1998. Chapman-Enskog closure approximation in the kinetic theory of dilute turbulent gas-particulate suspensions. Physica A. Vol. 254. P. 517-547.
Takeuchi S., Douhara N. 2005. Effects of turbulence characteristics in the spray combustion. JSME Int. J. Ser. B. Vol. 48. № 1. P. 151-155.
Tanaka T., Kiribayashi K., Tsuji Y. 1991. Monte Carlo simulation of gas-solid flow in a vertical pipe or channel. In Int. Conf, on Multiphase Flows. P. 439-442. Tsukuba, Japan.
Tanaka T., Tsuji Y. 1991. Numerical simulation of gas-solid two-phase flow in a vertical pipe: On the effect of inter-particle collision. In Proc. 4th Int.. Symp. on Gas-Solid Flows. ASME FED. Vol. 121. P. 123-128.
Taniere A., Khalij M., Oesterle B. 2004. Focus on the dispersed phase boundary conditions at the wall for irregular particle bouncing. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 30. P. 327-345.
Tatarskii V. I. 2005. Use of the 4/5 Kolmogorov equation for describing •some characteristics do fully developed turbulence. Phys. Fluids. Vol. 17. P. 035110-1-035110-12.
Taulbee D. B. 1992. An improved algebraic Reynolds stress model and corresponding nonlinear stress model. Phys. Fluids A. Vol. 4. №11. P. 2555-2561.
Taulbee D. B., Mashayek F., Barre C. 1999. Simulation and Reynolds stress modeling of particle-laden turbulent shear stress. Int. J. Heat and Fluid Flow. Vol. 20. №4. P. 368-373.
Tavoularis S., Corrsin S. 1981. Experiments in nearly homogeneous turbulent shear flow with a uniform mean temperature gradient. Part 1. J. Fluid Meeh. Vol. 104. P. 311-347.
Tavoularis S., Karnik U. 1989. Further experiments on the evolution of turbulent stresses and scales in uniformly sheared turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 204. P. 457-478.
Taylor G. I. 1921. Diffusion by continuous movements. Proc. London Math. Soc. Vol. 20. P. 196-211.
Ten Cate A., Derksen J. J., Portela L. M., Van den Akker H.E.A. 2004. Fully resolved simulations of colliding monodisperse spheres in forced isotropic turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 519. P. 233-271.
Thomson D. J. 1996. The separation of particle pairs in the eddy damped quasinormal Markovian approximation. Phys. Fluids. Vol. 8. P. 642-644.
Thomson D. J., Devenish B.J. 2005. Particle pair separation in kinematic simulations. J. Fluid Meeh. Vol. 526. P. 277-302.
Tsuji Y., Morikawa Y. 1982. LDV measurements of an air-solid two-phase flow in a horizontal pipe. /. Fluid Meeh. Vol. 120. P. 385-409.
Tsuji Y., Morikawa Y., Shiomi H. 1984. LDV measurements of an air-solid two-phase flow in a vertical pipe. J. Fluid Meeh. Vol. 139. P. 417-434.
Tsuji Y., Morikawa Y., Tanaka T., Nakatsukasa N., Nakatani M. 1987. Numerical simulation of gas-solid two-phase flow in a two-dimensional horizontal channel. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 13. P. 671-684.
Tsuji Y., Oshima T., Morikawa Y. 1985. Numerical simulation of pneumatic conveying in a horizontal pipe. Powder Sei. and Technol. in Japan. KONA. Vol.3, P. 38-51.
Uijttewaal W. S. J., Oliemans R.V.A. 199.6. Particle dispersion and deposition in direct numerical and large eddy simulations of vertical pipe flows. Phys. Fluids. Vol. 18. № 10. P. 2590-2604.
Ushijima T., Hu Y., Kitoh O. 2003. Numerical investigation of the relationship between Lagrangian and Eulerian statistics in a turbulent channel flow. In Turbulence, Heat and Mass Transfer 4. P. 165-172. New York: Begell House Inc.
Van Kampen N.G. 1992. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Amsterdam: Elsevier.
Vance M. W., Squires K. D., Simonin O. 2006. Properties of the particle velocity field in gas-solid turbulent channel flow. Phys. Fluids. Vol. 18. №6. P. 063302-1-063302-13.
Vedula P., Yeung P. K. 1999. Similarity scaling of acceleration and pressure statistics in numerical simulations of isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 11. №5. P. 1208-1220.
Verzicco R., Camussi R. 2002. Structure function exponents and probability density function of the velocity difference in turbulence. Phys. Fluids. Vol. 14. №2. P. 906-909.
Voth G. A., La Porta A., Crawford A. M., Alexander J., Bodenschatz E. 2002. Measurements of particle acceleration in fully developed turbulence. /. Fluid Meeh. Vol. 469. P. 121-160.
Voth G. A., Satyanarayan К., Bodenschatz Е. 1998. Lagrangian acceleration measurements at large Reynolds numbers. Phys. Fluids. Vol. 10. №9. P. 2268-2280.
Wallin S., Johansson A. V. 2000. An explicit algebraic Reynolds stress model for incompressible and compressible turbulent flows. J. Fluid Meeh. Vol. 403. P. 89-132.
Wang L.-P., Ayala O., Xue Y. 2005. Reconciling the cylindrical formulation with the spherical formulation in the kinematic descriptions of collision kernel. Phys. Fluids. Vol. 17. №6. P.067103-1-067103-8.
Wang L.-P., Maxey R. M. 1993. Settling velocity and concentration distribution of heavy particles in homogeneous isotropic turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 256. P. 27-68.
Wang L.-P., Stock D. E. 1993. Dispersion of heavy particles in turbulent motion. J. Atmos. Sei. Vol. 50. № 13. P. 1897-1913.
Wang L.-P., Wexler A. S., Zhou Y. 1998. Statistical mechanical descriptions of turbulent coagulation. Phys. Fluids. Vol. 10. № 10. P. 2647-2651.
Wang L.-P., Wexler A. S., Zhou Y. 2000. Statistical mechanical description and modelling of turbulent collision of inertial particles. /. Fluid Meeh. Vol. 415. P. 117-153.
Wang Q., Squires K. D. 1996a. Large eddy simulation of particle-laden turbulent channel flow. Phys. Fluids. Vol. 8. №5. P. 1207-1223.
Wang Q., Squires K. D. 1996b. Large eddy simulation of particle deposition in a vertical turbulent channel flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 22. №4. P. 667-683.
Wang Q., Squires K. D., Chen M., McLaughlin J. B. 1997. On the role of the lift force in turbulence simulations of particle deposition. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 23. №4. P. 749-763.
Wang Q., Squires K. D., Simonin O. 1998. Large eddy simulation of turbulent gas-solid flows in a vertical channel and evaluation of second-order moments. Int. J. Heat and Fluid Flow. Vol. 19. P. 505-511.
Wang Q., Squires K.D., Wu X. 1995. Lagrangian statistics in turbulent channel flow. Atmos. Environment. Vol. 29. № 18. P. 2417-2427.
Wassen E., Frank Th. 2001. Simulation of cluster formation in gas-solid flow induced by particle-particle collisions. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 27. P. 437-458.
Water W. van de, Herweijer J. A. 1999. High-order structure functions of turbulence. I. Fluid Meeh. Vol. 387. P. 3-37.
Wells M. R., Stock D. E. 1983. The effects of crossing trajectories on the dispersion of particles in a turbulent flow. J. Fluid Meeh. Vol. 136. P. 31-62.
Weinstock J. 1976. Lagrangian-Eulerian relation and the independence approximation. Phys. Fluids. Vol. 19. № 11. P. 1702-1711.
Williams J.J.E., Crane R. I. 1983. Particle collision rate in turbulent flow. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 9. №4. P. 421-435.
Wood A. M., Hwang W., Eaton J. K. 2005. Preferential concentration of particles in homogeneous and isotropic turbulence. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 31. P. 1220-1230.
Wood N.B. 1981. A simple method of calculation of turbulent deposition to smooth and rough surfaces. I. Aerosol Sei. Vol. 12. P. 275-290.
Wu J.-S., Faeth G. M. 1994a. Sphere wakes at moderate Reynolds numbers in a turbulent environment. AIAA J. Vol. 32. P. 535-541.
Wu J.-S., Faeth G.M. 1994b. Effect of ambient turbulent intensity on sphere wakes at intermediate Reynolds numbers. AIAA J. Vol. 33. P. 171-173.
Yamamoto Y., Potthoff M., Tanaka T., Kajishima T., Tsuji Y. 2001. Large- eddy simulation of turbulent gas-particle flow in a vertical channel: effect of considering inter-particle collisions. /. Fluid Meeh. Vol. 442. P. 303-334.
Yang C. Y., Lee U. 1998. The role of turbulent scales in the settling velocity of heavy particles in homogeneous isotropic turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 371. P. 179-205.
Yang T.S., Shy S.S. 2003. The settling velocity of heavy particles in an aqueous near-isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 15. №4. P. 868-880.
Yang T. S., Shy S. S. 2005. Two-way interaction between solid particles and homogeneous air turbulence: particle settling rate and turbulence modification measurements. J. Fluid Meeh. Vol. 526. P. 171-216.
Yarin L. P., Hetsroni G. 1994. Turbulence intensity in dilute two-phase flows. 2. Temperature fluctuations in particle-laden dilute flows. Int. J. Multiphase Flow. Vol. 20. №1. P. 17-25.
Yeh F., Lei U. 1991a. On the small particles in a homogeneous isotropic turbulent flow. Phys. Fluids A. Vol.3. № 11. P. 2571-2586.
Yeh F., Lei U. 1991b. On the small particles in a homogeneous turbulent shear flow. Phys. Fluids A. Vol.3. № 11. P.2758-2776.
Yeung P. K. 1994. Direct numerical simulation of two-particle relative diffusion in isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 6. №10. P. 3416-3428.
Yeung P. K. 1997. One- and two-particle Lagrangian acceleration correlations in numerically simulated homogeneous turbulence. Phys. Fluids. Vol. 9. №10. P. 2981-2990.
Yeung P. K. 2001. Lagrangian characteristics of turbulence and scalar transport in direct numerical simulations. J. Fluid Meeh. Vol. 427. P. 241-586.
Yeung P. K., Borgas M. S. 2004. Relative dispersion in isotropic turbulence. Part 1. Direct numerical simulations and Reynolds-number dependence. J. Fluid Meeh. Vol. 503. P. 93-124.
Yeung P. K., Pope S.B. 1989. Lagrangian statistics from direct numerical simulations of isotropic turbulence. J. Fluid Meeh. Vol. 207. P. 531-586.
Yeung P.K., Pope S. B., Lamorgese A. G., Donzis D.A. 2006. Acceleration and dissipation statistics of numerically simulated turbulence. Phys. Fluids. Vol. 18. P. 065103-1-065103-14.
Young J.B., Hanratty T. J. 1991. Optical studies on the turbulent motion of solid particles in a pipe flow. J. Fluid Meeh. Vol. 231. P. 665-688.
Young J. B., Leeming A. D. 1997. A theory of particle deposition in turbulent pipe flow. /. Fluid Meeh. Vol. 340. P. 129-159.
Yudine M. I. 1959. Physical consideration on heavy-particle diffusion. In Advances in Geophysics. New York: Academic Press. Vol. 6. P. 185-191.
Yuu S. 1984. Collision rate of small particles in a homogeneous and isotropic turbulence. AIChE J. Vol. 30. P. 802-807.
Zaichik L. I. 1998. Transport and deposition of inertial particles in turbulent pipe flow. ERCOFTAC Bulletin. №36. P. 16-19.
Zaichik LI. 1999. A statistical model of particle transport and heat transfer in turbulent shear flows. Phys. Fluids. Vol. 11. №6. P. 1521-1534.
Zaichik L. I., Alipchenkov V.M. 1997. Simulation of transport of colliding particles suspended in turbulent shear flows. In Proc. 2nd Int. Symp. on Turbulence, Heat and Mass Transfer. P. 823-832. Delft, The Netherlands.
Zaichik L. I., Alipchenkov V.M. 2001a. A statistical model for transport and deposition of high-inertia colliding particles in turbulent flow. Int. I. Hept and Fluid Flow. Vol. 22. №3. P. 365-371.
Zaichik L. I., Alipchenkov V.M. 2001b. Transport and algebraic models of particle kinetic stresses in turbulent flows. In Proc 2nd Int. Symp. on Turbulence and Shear Flow Phenomena. P. 193-198. Stockholm.
Zaichik L. I., Alipchenkov V.M. 2003. Pair dispersion and preferential concentration of particles in isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 15. №6. P. 1776-1787.
Zaichik L. I., Alipchenkov V.M. 2005. Statistical models for predicting particle dispersion and preferential concentration in turbulent flows. Int. J. Heat and Fluid Flow. Vol. 26. №3. P. 416-430.
Zaichik L. I., Gusev I. N., Guseva E. I. 1990. Turbulent flow and precipitation of particles in channels. In Engineering Turbulence Modelling and Experiments. P. 907-916. Amsterdam: Elsevier.
Zaichik L. I., Nigmatulin В. I., Pershukov V. A. 1995. Modelling of dynamics of aerosols in near-wall turbulent flows and particle deposition in pipes. In Advances in Multiphase Flow 1995. P. 75-84. Amsterdam: Elsevier.
Zaichik L. I., Oesterle B., Alipchenkov V.M. 2004a. On the probability density function model for the transport of particles in anisotropic turbulent flow. Phys. Fluids. Vol. 16. №6. P. 1956-1964.
Zaichik L. I., Pershukov V. A., Kozelev M. V., Vinberg A. A. 1997a. Modeling of dynamics, Heat Transfer and Combustion in two-phase turbulent flows: 1. Isothermal flows. Exper. Therm, and Fluid Sci. Vol. 15. P. 291-310.
Zaichik L. I., Pershukov V. A., Kozelev M. V., Vinberg A. A. 1997b. Modeling of dynamics, Heat Transfer and Combustion in two-phase turbulent flows: 2. Flows with heat transfer and combustion. Exper. Therm, and Fluid Science. Vol. 15. P. 311-322.
Zaichik L.I., Simonin O., Alipchenkov V.M. 2003. Two statistical models for predicting collision rates of inertial particles in homogeneous isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 15. № 10. P. 2995-3005.
Zaichik L.I., Simonin O., Alipchenkov V.M. 2006. Collision rates of bidisperse inertial particles in isotropic turbulence. Phys. Fluids. Vol. 18. P. 0351101-1-035110-13.
Zaichik L.I., Soloviev S. L, Skibin A.P., Alipchenkov V.M. 2004b. A diffusion-inertia model for predicting dispersion of low-inertia particles in turbulent. In Proc. 5th Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper №220. Yokohama, Japan.
Zaichik L. I., Vinberg A. A. 1991. Modelling of particle dynamics and heat transfer in turbulent flows using equations for the first and second moments of velocity and temperature fluctuations. In Proc. Sth Symp. on Turbulent Shear Flows. P. 10-2-1-10-2-6. Munich, Germany.
Zhang Н., Ahmadi G. 2000. Aerosol particle transport and deposition in vertical and horizontal turbulent duct flows. /. Fluid Meeh. Vol. 406. P. 55-80.
Zhang X., Zhou L. X. 2002. A two-fluid particle-wall collision model accounting for the wall roughness. In Proc. 10th Workshop on Two-Phase Flow Predictions. P. 44-51. Merseburg, Germany.
Zhang X., Zhou L. X. 2004. Simulation of gas-particle channel flows using a two-fluid particle-wall collision model accounting for the wall roughness. In Proc. Sth Int. Conf, on Multiphase Flow. Paper № 162. Yokohama, Japan.
Zhou L. 1993. Theory and Numerical Modeling of Turbulent Gas-Particle Flows and Combustion. Florida, USA: CRC Press.
Zhou L. X., Huang X. 1988. Particle turbulent energy transport equation in suspension two-phase flow. In Front. Fluid Meeh.: Proc. Beijing Int. Conf, on Fluid Meeh. P. 791-793. Oxford, UK.
Zhou Q., Leschziner M. A. 1996. Modelling particle dispersion in anisotropic turbulence. In Proc. ECCOMAS Computer Fluid Dynamics Conference. P. 577-583. Paris.
Zhou Y., Wexler A. S., Wang L.-P. 1998. On the collision rate of small particles in isotropic turbulence. II. Finite inertia case. Phys. Fluids. Vol. 10. №5. P. 1206-1216.
Zhou Y., Wexler A. S., Wang L.-P. 2001. Modelling turbulent collision of bidisperse inertial particles. /. Fluid Meeh. Vol. 433. P. 77-104.
Научное издание
ЗАЙЧИК Леонид ИсааковичАЛИПЧЕНКОВ Владимир Михайлович
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦВ ТУРБУЛЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ
Редактор: Ярунин В.С.
Оригинал-макет: Жабицкий Я.В.Оформление переплета: Гришина И.В.
Подписано в печать 29.03.07. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 19,5. Уч.-изд. л. 23,7. Тираж 400 экз.Заказ № 822.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http: // www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Московская типография № 6»115088, г. Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24
В предельном случае определяющей роли эффекта пересечения
Л.И. ЗАЙЧИК
В.М. АЛИПЧЕНКОВ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦВ ТУРБУЛЕНТНОЙЖИДКОСТИ
МОСКВАФИЗМАТЛИТ2007
УДК 532.5ББК 22.253317УДК 532.5ББК 22.253317Издание осуществлено при поддержке и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 06-08-06008
УДК 532.5
ББК 22.253
317
УДК 532.5
ББК 22.253
317
Зайчик Л. И., Алипченков В. М. Статистические модели движения частиц в турбулентной жидкости. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 312 с. - ISBN 978-5-9221-0828-7.
Книга посвящена статистической теории и континуальному методу моделирования гидродинамики и теплообмена в дисперсных турбулентных течениях на основе кинетических уравнений для функции плотности вероятности скорости и температуры частиц дисперсной фазы. Основные теоретические проблемы, рассмотренные в книге, связаны с взаимодействием частиц с турбулентными вихрями несущей сплошной среды и столкновениями частиц друг с другом в турбулентных потоках. Особое внимание уделяется явлению аккумулирования (кластеризации) частиц в пристеночной и однородной турбулентности. В качестве примеров приложения представленных статистических моделей рассматривается поведение частиц в изотропной, однородной сдвиговой и пристеночной турбулентности.
Книга предназначена для научных работников, а также аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области математического моделирования турбулентных течений, динамики многофазных сред и механики аэрозолей.
ISBN 978-5-9221-0828-7ISBN 978-5-9221-0828-7© ФИЗМАТЛИТ, 2007
ISBN 978-5-9221-0828-7
ISBN 978-5-9221-0828-7
© Л. И. Зайчик, В. М. Алипченков, 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 8
Глава 1. Движение и теплообмен частиц в однородной изотропной турбулентности 16
Характеристики однороднойизотропнойтурбулентности 16
Движение и теплообмен одиночной частицы 27
Корреляции скорости и температуры жидкости вдоль траекторий инерционных частиц 30
Корреляции скорости и температуры частиц в стационарной изотропной турбулентности 48
Глава 2. Движение частиц в градиентныхтурбулентных потоках57
Кинетическое уравнение для одноточечной ФПВ скорости частицы58
Уравнения для одноточечных моментов скорости частиц 66
Алгебраические модели турбулентных напряжений 72
Граничные условия для уравнений движения дисперсной фазы . . .81
Вторые моменты пульсаций скорости в однородном сдвиговом потоке 94
Движение частицв пристеночнойобласти ПО
Движение частицв вертикальномканале 121
Осаждение частиц в вертикальном канале 133
Глава 3. Теплообмен частиц в градиентных турбулентных потоках 143
Кинетическое уравнение для совместной ФПВ скорости и температуры частицы 143
Уравнения для одноточечных моментов температуры частиц 151
Алгебраические модели турбулентных тепловых потоков 155
Вторые моменты пульсаций скорости и температуры в однородном сдвиговом потоке 160
Глава 4. Столкновения частиц втурбулентном потоке 166
Частота столкновений монодисперсных частиц в изотропной турбулентности 167
Частота столкновений при совместном действии турбулентности и градиента осредненной скорости 180
Столкновения частиц в анизотропном турбулентном потоке 182
Граничные условия для дисперсной фазы с учетом столкновений частиц 190
Влияние столкновений на турбулентные напряжения частиц в однородном сдвиговом потоке 192
Влияние столкновений на движение частиц в вертикальном канале 196
Глава 5. Относительная дисперсия и кластеризация монодисперс- ных частиц в однородной турбулентности 204
Кинетическое уравнение для двухточечной ФПВ относительной скорости пары частиц 206
Уравнения для двухточечных моментов относительной скорости пары частиц 211
Статистические свойства стационарной суспензии частиц в изотропной турбулентности 214
Влияние эффекта аккумулирования на частоту столкновений частиц 234
Относительная дисперсия двух частиц в изотропной турбулентности 238
Глава 6. Столкновения и аккумулирование бидисперсных частиц в однородной турбулентности 248
Частота столкновений бидисперсных частиц в изотропной турбулентности 248
Частота столкновений частиц при совместном действии турбулентности и силы тяжести 255
Столкновения бидисперсных частиц в однородном анизотропном турбулентном потоке 257
Вертикальное движение бидисперснойсмесичастиц 266
Уравнения для двухчастичнойФПВ иеемоментов 270
Эффект аккумулирования и его влияние на частоту столкновений бидисперсных частиц в изотропной турбулентности 277
Список литературы 282