Глава 1. Аналитическая геометрия13

Декартова система координат13

Линии на плоскости14

Кривые второго порядка на плоскости20

Парабола20

Гипербола 23

Окружность26

Эллипс'27

Графическое решение систем уравнений32

Поверхности в трехмерном пространстве37

Плоскость37

Поверхности второго порядка в пространстве40

Глава 2. Линейная алгебра49

Матрицы49

Операции с матрицами51

Транспонирование 51

Вычисление определителя матрицы53

Нахождение обратной матрицы54

Сложение и вычитание матриц 55

' ' Умножение матрицы на число.....^............ 57

Умножение матриц 57

■ Решение систем линейных уравнений63

Система п линейных уравнений с п неизвестными63

Система т линейных уравнений с п неизвестными69

Глава 3. Задачи оптимизации73

Постановка задачи оптимизации73

Решение уравнений с одним неизвестным74

Линейное программирование76

Аппроксимация экспериментальных данных85

Одна независимая переменная85

Несколько независимых переменных$.»•.......93

Глава 4. Элементы математического анализа 100

Производная100

Определенный интеграл105

Ряды110

Числовые последовательности111

Числовые ряды113

Функциональные ряды114

Ряды Фурье116

Комплексные числа121

Арифметические операции 123

Функции комплексной переменной125

Глава 5. Теория вероятностей128

Основные понятия теории вероятностей 128

Понятие случайного события 128

Вероятность события129

' Условная вероятность131

Основные понятия комбинаторики132

Перестановки132

Сочетания133

Размещения".135

Основные правила комбинаторики136

Бином Ньютона -137

Случайные величины138

Случайная величина с дискретным распределением139

Непрерывная случайная величина 141

Числовые характеристики распределениявероятностей........143

Законы распределения вероятностейJ;/..’.»... 147

Биномиальное распределение147

Нормальный закон распределения152

Другие законы распределения 158

Генерация случайных чисел 162

Глава 6. Статистикаi165

Основные понятия и определения165

Понятие математической статистики'.165

• Выборочный метод'166

Выборочная функция распределения167

Выборочные характеристики 172

Определение основных статистических характеристик174

Использование специальных функций174

Использование инструментов Пакета анализа177.

Проверка статистических гипотез180

Принятие статистических решений 181

Анализ одной выборки182

Анализ двух выборок188

Использование инструмента Пакет анализа для выявления различий между выборками194

Дисперсионный анализ197

Корреляционный'анализ200

Коэффициент корреляции 200

Корреляционная матрица203

Регрессионный анализ 206

Приложение215

Основные операции в Excel 2000215

Запуск Excel215

Окно Excel215

Открытие таблицы217

Создание новой рабочей книги217

Ввод данных217

Выделение блока ячеек217

Построение диаграмм217

Редактирование диаграмм218

Копирование218

Автозаполнение 218

Автосуммирование219

Ввод математических формул219

Копирование формул219

Печать результатов219

Форматирование рамки таблицы220

Работа с простейшими базами данных220

Отмена действий221

Сохранение результатов221

Закрытие рабочей книги221

Завершение работы 221

Получение справочной информации221

Сообщения об ошибках222

Ответы ирешения к упражнениям223

Глава 1.Аналитическая геометрия223

Глава 2.Линейная алгебра225

Глава 3.Задачи оптимизации 226

Глава 4.Элементы математического анализа228

Глава 5.Теория вероятностей229

Глава 6.Статистика232

Рекомендуемая литература236

Предисловие

Уважаемый читатель, книга, которую вы держите в руках, не классический учебник математики, но в то же время и не руководство по применению электронной таблицы Excel. В ней предпринята попытка последовательного, систематического изложения современных прикладных математических методов, основанных на использовании компьютера.

Любому специалисту в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Поэтому для специалиста-нематематика наиболее важным является практический аспект математики. Для него это прикладная наука, близкая к технологии. Здесь наиболее важным является умение провести необходимые вычисления. Математическая теория изменяется сравнительно медленно, однако технология применения математических методов претерпела значительно более существенные изменения. Буквально за последние десятилетия пройден путь от расчетов в уме и на бумаге к применению счетов, арифмометров, калькуляторов и далее — к расчетам на компьютере. Поэтому в настоящее время специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий применять математические методы на компьютере, не может считаться специалистом современного уровня.

Использование компьютера при проведении расчетов сдвигает акценты в математической подготовке специалиста. Если раньше основное внимание было сосредоточено на математических методах, которые предусматривали проведение расчетов вручную, то теперь, с появлением специализированных математических программ, необходимо научиться проводить требуемые вычисления на компьютере.

Для решения задач на компьютерах чаще всего применяется метод решения «в лоб», опирающийся на основное определение и использующий самый общий подход. Снижается значение частных случаев, различных свойств описываемых математических объектов, ориентированных на облегчение решений вручную. Например, при решении вручную квадратного уравнения аз? + Ьх + с = 0 помимо общего решения

2а2а—b ± Vi2 - 4 ас ^1,2 -

2а

2а

требовалось знать решения для частных случаев: когда квадратное уравнение разлагается на множители, когда b — четное, когда а = 1, по формулам Виета. При этом было принято считать, что решение «рационально», если для него используется подходящая частная формула. В настоящее время при применении компьютера, по-видимому, рациональным следует считать решение с использованием общих подходов, по общей формуле.

В то же время традиционное преподавание классической математики все еще ориентировано на дальнейшую работу с карандашом и бумагой. .

Наиболее важной отличительной особенностью предлагаемого материала является рассмотрение основных разделов курса математики не в традиционном изложении, а с перспективой дальнейшего применения компьютера. Причем, в отличие от курсов информатики, изложение материала ведется не «от пакетов программ и их возможностей», а «от математических задач к способам их решения на компьютере». При этом основное внимание сосредоточено на реализации способов решения математических задач, на том, как решать типовые задачи.

Компьютерный математический анализ данных предполагает некоторое математическое преобразование данных с помощью определенных программных средств. Следовательно, необходимо иметь представление как о математических методах обработки данных, так и о соответствующих программных средствах, то есть необходимо опираться на определенный программный пакет.

Существует значительное количество специализированных математических пакетов, таких как MatLab, MathCad, Math, Mathematica, Maple и др. Все они охватывают основные разделы математики и позволяют производить подавляющее большинство необходимых математических расчетов. Однако освоение этих пакетов самостоятельно — достаточно трудоемкая задача. В то же время в курс информатики в большинстве вузов включено изучение электронной таблицы Excel. Поэтому представляется оправданным реализованный в предлагаемом курсе подход, основанный на применении математических методов именно с помощью пакета Excel. Конечно, Excel сильно уступает специализированным математическим пакетам. Тем не менее большое количество математических задач может быть решено с его помощью.

Учебный курс включает следующие разделы математики: «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Решение задач оптимизации», «Элементы математического анализа», «Теория вероятностей» и «Статистика». Выбор разделов определялся соответствием институтскому курсу высшей математики, наиболее частым использованием описываемых методов на практике и наличием специальных процедур для реализации этих методов в пакете Microsoft Excel.

Изложение учебного материала разделов осуществляется в следующей последовательности. Вначале приводятся основные определения и формулы, затем дается описание соответствующих процедур и функций Excel, после чего приводятся решения типовых примеров. ■ •

Такое построение книги потребовало сделать изложение теоретического материала более кратким. Поэтому основные теоремы, выводы из них и математические формулы, упоминаемые в пособии, чаще всего даются без доказательства, чтобы основное внимание было сосредоточено на методике применения компьютера.

Для облегчения усвоения материала изложение сопровождается большим количеством примеров. Причем необходимым условием для обучающегося является возможность выполнения этих примеров на компьютере.

Задачи для самостоятельной работы даются в конце отдельных разделов глав под заголовком «Упражнения» (нумерация задач единая). Ответы к задачам приведены в конце книги.

Для работы с настоящим пособием желательно предварительное знакомство с пакетом MS Excel, хотя описание всех решенных примеров дается настолько подробно, что даже начинающий способен в нем разобраться. При этом для упрощения обычно рассматривается только один способ реализации процедуры в Excel. Кроме того, в приложении приводится краткая сводка основных правил работы с пакетом MS Excel. Все приведенные примеры даны с решениями в русифицированной версии MS Excel 2000, но рассмотренные приемы в принципе пригодны для использования в большинстве версий MS Excel.

Для лучшего восприятия материала все названия клавиш, кнопок, диалоговых окон и их полей, команд меню в книге выделены специальным стилем.

Книга будет полезна студентам, изучающим математику, преподавателям, а также специалистам, сталкивающимся с необходимостью математической обработки данных.

От издательства

Ваши замечания, предложения, вопросы отправляйте по адресу электронной почты comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).

Мы будем рады узнать ваше мнение!

На web-сайте издательства http://www.piter.com вы найдете подробную информацию о наших книгах.

fT) ГЛАВА

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты по их уравнениям. MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных уравнений. В Excel наиболее удобно осуществлять построение кривых на плоскости и поверхностей в пространстве.

Декартова система координат

Для описания точек геометрических объектов с помощью чисел и написания уравнений задают систему координат. Существуют различные системы координат: декартова, полярная, криволинейная и другие. Будем рассматривать наиболее употребительную — декартову систему координат на плоскости.

Декартова система координат может быть прямоугольной и косоугольной. В дальнейшем будем рассматривать декартову прямоугольную систему. На плоскости это две взаимно перпендикулярные числовые оси (рис. 1.1).

четвертьI четверть

*У

М (х; у)

о

четвертьIV четверть

Нижняя полуплоскость

Рис. 1.1. Декартова система координат на плоскости

Декартовыми координатами точки на плоскости называется упорядоченная пара чисел, являющихся проекциями точки на оси координат.

Запись: М^х; у), гдех — первая координата, абсцисса, у —вторая координата, ордината.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные числовые оси (рис. 1.2).;

Рис. 1.2. Декартова система координат в пространствеРис. 1.2. Декартова система координат в пространстве

Рис. 1.2. Декартова система координат в пространстве

Рис. 1.2. Декартова система координат в пространстве

Декартовыми координатами точки в пространстве называется упорядоченная тройка чисел, являющихся проекциями точки на оси координат.

Запись: М^х; у; z), где х — абсцисса, у — ордината, z — аппликата.

Линии на плоскости

Уравнением линии на плоскости Оху называются уравнения Е(х; у) = 0 или у = /(х), которым удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии и не удовлетворяют координаты всякой точки не лежащей на ней.

Если дано уравнение, то можно сказать, что линия, определенная уравнением в некоторой системе координат, это геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют уравнению.

Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах может записываться по-разному, в зависимости от условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом у = kx + b.

Здесь: к = tga — угловой коэффициент прямой, a — угол наклона прямой к оси х, b — ордината точки пересечения прямой с осью у (рис. 1.3).

у = kx + bу = kx + bхх

у = kx + b

у = kx + b

х

х

Рис. 1.3. Прямая в декартовых координатах

Уравнение прямой, проходящей через данную точку (xt; z/t) в данном направлении (с данным углом наклона к оси х) у - у^ = ^(х - х().

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х^ yj и (х2; у2).

У-Уг = х-хг

У; -уг х^ — х2

4.4.Уравнение прямой «в отрезках» (рис. 1.4).

4.

4.

х У л - + - = 1. а b

Рис. 1.4. Прямая, отсекающая на осях отрезки а и bРис. 1.4. Прямая, отсекающая на осях отрезки а и b

Рис. 1.4. Прямая, отсекающая на осях отрезки а и b

Рис. 1.4. Прямая, отсекающая на осях отрезки а и b

5. Общее уравнение прямой: Ах + By + С = 0.

В MS Excel для построения прямых, а также кривых и поверхностей, может быть использован специальный инструмент — Мастер диаграмм, дающий возможность строить различные типы графиков. Для применения Мастера диаграмм необходимо ввести точки прямой линии в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей оси х, ввести названия осей. Более подробно с использованием Мастера диаграмм удобнее знакомиться в ходе решения конкретных примеров.

Пример 1.1. Рассмотрим построение прямой в Excel на примере уравнения у = 2х +1. Пусть необходимо построить отрезок прямой, лежащий в I квадранте (х е [0; 3]) с шагом А = 0,25.

Решение. Задача построения прямой (как и любой диаграммы в Excel) обычно разбивается на несколько этапов. Пусть после запуска пакета открыт чистый рабочий лист. Этап 1. Ввод данных. Прежде чем строить прямую необходимо составить таблицу данных (х и у) для ее построения в рабочем окне таблицы Excel. Для этого значения х и у следует представить в виде таблицы, где столбцами являются соответствующие показатели. Пусть в рассматриваемом примере первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Прямая.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,25). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Далее вводим значения прямой. В ячейку В2 вводим ее уравнение: = 2*А2 + 1, предварительно переключившись на английский язык (Alt+Shift). Обращаем внимание, что уравнение прямой должно быть преобразовано к виду уравнения с угловым коэффициентом. Затем автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В14. ■

wwedjentf edgiaew энхо wosojoi/ehE1 8 iqwwEdjEHtf euhi Edogiqs d9wnd[j -g^ -эи^

QWAO^'QWAO^'.,| iMSHu).,| iMSHu)ше*^^ d^tiwsoduше*^^ d^tiwsoduWl<Wl<ьедажбид ТЭД ьевохя^яеЛц $е AiDOHxdaaou ^ ьедохюэиаи ^ьеяэтмиох О иныэеидо э Wьемьэко! ]yeaojAd» фьедажбид ТЭД ьевохя^яеЛц $е AiDOHxdaaou ^ ьедохюэиаи ^ьеяэтмиох О иныэеидо э Wьемьэко! ]yeaojAd» ф*Ht£i?djj*Ht£i?djjвегеьиамиц 3ewwedJoiDHj Ввегеьиамиц 3ewwedJoiDHj В| «^xctetfwwsH | w»ttdim*x)| «^xctetfwwsH | w»ttdim*x)IIt^J^jMMWffd IWlW UMI If CM t ЮМ) MMCdldMV <19199^t^J^jMMWffd IWlW UMI If CM t ЮМ) MMCdldMV <19199^VI sdgwndu ей 9I4hheW эннУохэи '94 ’зи<<VI sdgwndu ей 9I4hheW эннУохэи '94 ’зи<<

QWAO^'

QWAO^'

.,| iMSHu)

.,| iMSHu)

ше*^^ d^tiwsodu

ше*^^ d^tiwsodu

Wl<

Wl<

ьедажбид ТЭД ьевохя^яеЛц $е AiDOHxdaaou ^ ьедохюэиаи ^

ьеяэтмиох О иныэеидо э W

ьемьэко! ]

yeaojAd» ф

ьедажбид ТЭД ьевохя^яеЛц $е AiDOHxdaaou ^ ьедохюэиаи ^

ьеяэтмиох О иныэеидо э W

ьемьэко! ]

yeaojAd» ф

*Ht£i?djj

*Ht£i?djj

вегеьиамиц 3ewwedJoiDHj В

вегеьиамиц 3ewwedJoiDHj В

| «^xctetfwwsH | w»ttdim*x)

| «^xctetfwwsH | w»ttdim*x)

I

I

t^J^jMMWffd IWlW UMI If CM t ЮМ) MMCdldMV <19199^

t^J^jMMWffd IWlW UMI If CM t ЮМ) MMCdldMV <19199^

VI sdgwndu ей 9I4hheW эннУохэи '94 ’зи<<

VI sdgwndu ей 9I4hheW эннУохэи '94 ’зи<<

•(91 ’and) эняо woaoxoifB

-ИР 8 ЭЭ8ЕУ ЛЯНОНЯ КЭЕКИЖЕН OJdh Э1ГЭОЦ '(ЭНЯО WOSEdu 8 AKWECljEHV СЯСЯНРэбэ СяЛб -air) MWEdaxdEw э мифEdJ — Кие ‘мифEdJ — них wadagras adawndu wowaEsndiEwaaEd д •(эииН/ои NOHHEdgras ен ишнк ияпоня иозэе кояыгэХп) эняо KOHEdu s MKKEdjEHV hhiIZoh qiEdgiqs кэхес e ‘(иояноня Hosair еяыгэТп и ишнк kit -эхеееяЛ caqtnowon э) эяэинэ кояэи а них qxEdgiqs э1геьен8 окиРохдоэн iqwwEdxEHlZ ЕНИХ КИНЕЕЕЯЛ KIfy 'SOHHXPOH SOXHEHdES РИ8 КЭХЭЕР E8EdnO ‘WWEdjEHlZ 80НИХ ЯОЭ -инэ HaPaandu езэкэ iqwwEdjEMtf umi :(v ей i JEm) wwEdJEMtf daxDEW эняо коаохоптиР д •iqwwEdxEHP них яхеееяЛ iqwwEdjEMtf иих :(^ ей i JEm) wwEdJEMtf daxDEW эняо коаохоптиП кэкэшаиакон д '(EBEdna кЕхкп-KExdaaxah оныадо) wwEdJEMtf daxasw Хяноня яхежен окиРохдоэн «EHidEtf hexj aoxHawXdxaHH икэнен ен чаиивдхвиП впих dogiag ^ пвхе •(gi ’and) вПиидвх квПтсяЛРэкэ енэьЛиоп qxrag внжиоР axExqirXsad д

ЭтапЗ. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные:, которые необходимо представить на диаграмме.

Определение диапазона (интервала) данных является самым ответственным моментом построения диаграммы. Здесь необходимо указать только те данные, которые должны быть изображены на диаграмме (в нашем примере — значения точек прямой). Кроме того, для введения поясняющих надписей (легенды), они также должны быть включены в диапазон (в примере — Прямая).

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В 14), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = ЛистП$В$1:$В$14. Здесь наиболее важным для нас является указание диапазона В 1:В14, что подтверждает правильное введение интервала данных (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Пример задания диапазона данных

Если с первого раза не удалось получить требуемую запись в поле Диапазон, действия необходимо повторить.

Если диалоговое окно закрывает столбцы с данными, его можно отодвинуть, потянув за строку заголовка указателем мыши (при нажатой левой кнопке).

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. В примере значения точек прямой расположены в столбце, поэтому переключа-

тель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить В положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент?). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя его на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши, затем, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А14), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист 1!$А $2:$А$14. Здесь, как и для данных, наиболее важным для нас является указание диапазона A2A 14, что подтверждает правильное введение интервала подписей (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Пример задания диапазона подписей оси X

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: Прямая. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения (рис. 1.9).

Далее в данном окне необходимо выбрать вкладку Легенда и указать необходима ли Легенда (расшифровка кривых). Щелчком мыши устанавливаем флажок в поле Добавить легенду.

После чего нажать кнопку Далее.

Рис. 1.9. Пример задания названий диаграммы и осей

Этап 6. Выбор места размещения. В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): размещение диаграммы необходимо указать место размещения диаграммы. Для этого переключатель Поместить диаграмму на листе установить в нужное положение (на отдельном или текущем листе). В примере устанавливаем переключатель в положение имеющемся (щелчком указателя мыши черную точку устанавливаем слева от слова имеющемся).

Этап 7. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае следует нажать кнопку Назад и изменить установки.

Нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Построенная диаграмма прямой из примера 1.1

Упражнения

Построить прямую параллельную оси абсцисс (Ох) и пересекающую ось ординат (Оу) в точке Л(0; 2) в диапазоне х е [-3; 3] с шагом А = 0,5.

Построить биссектрису I—III координатных углов декартовой системы координат в диапазоне х е [-3; 3] с шагом А = 0,5.

Построить прямую Зх + 2г/ - 4 = 0 в диапазоне хе [-1; 3] с шагом А = 0,25.

Построить прямую, пересекающую ось ординат в точке Л(0; 2), а ось абсцисс в точке В(3; 0), в диапазоне хе [-1; 4] с шагом А = 0,25.

Построить прямую, проходящую через начало координат и точку Л(2; 3), в диапазоне хе [-1; 4] с шагом А =0,25.

Построить прямую, проходящую через точки Л(0; 3) и В(2; 2) в диапазоне хе [-1; 4] с шагом А = 0,25.

Построить прямую с условным коэффициентом а = 3/5 и проходящей через " точку К(-1; 2) в диапазоне хе [-1; 3] с шагом А = 0,25.

Построить прямую, проходящую через две данные точки: ЛГ(3; -7) и А/-2; 4) в диапазоне х е [-3; 3] с шагом А = 0,25.

Построить прямую, заданную общим уравнением: ^:Зх-5г/+15 = 0в диапазоне хе [-1; 3] с шагом А = 0,25.

Построить прямую, проходящую через точку Л(2; -4), параллельно прямой Л 2х-Зг/ + +1 = 0в диапазоне х е [-1; 3] с шагом А = 0,25.

Даны точки Л(-4; 0), В(1; -3), С(4; -2). Построить прямую I, проходящую через Л и параллельно ВС в диапазоне хе [-1; 3] с шагом А = 0,25.

Кривые второго порядка на плоскости

К кривым второго порядка, рассматриваемым в курсе аналитической геометрии, относятся парабола, гипербола, окружность и эллипс. Любая кривая второго порядка в общем виде описывается уравнением второй степени с двумя переменными:

Лх2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.(1-1)

Коэффициенты Л, В и С не равны нулю. Указанные выше кривые второго порядка являются частными случаями данного уравнения.

Парабола

Изучение кривых второго порядка, описываемых уравнением (1.1), начнем с параболы.

Параболой называется множество всех точек, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны (рис. 1.11).

Уравнение параболы получается из уравнения кривой второго порядка (1.1), если коэффициент В = 0, а также один из коэффициентов Л или С равен пулю, для определенности пусть Л = 0, С * 0, то есть:

(1.2)(1.2)Су2 + Dx + Еу + F = 0.

(1.2)

(1.2)

Это уравнение параболы с осью симметрии, перпендикулярной оси ординат.

При А * О, С = 0 получим:

(1.3)(1.3)Ar2 + Dx + Еу + F = 0.

(1.3)

(1.3)

В данном случае это — уравнение параболы с осью симметрии, перпендикулярной оси абсцисс.

Уравнения (1.2) и (1.3) представляют собой общие уравнения параболы.

Каноническими уравнениями параболы являются:

у2 = 2рх, г дер — параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы, для кривой с горизонтально расположенной осью;

х2 = 2ру — для параболы с вертикально расположенной осью.

Схематичное изображение параболы представлено на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Схематичное изображение параболыРис. 1.11. Схематичное изображение параболы

Рис. 1.11. Схематичное изображение параболы

Рис. 1.11. Схематичное изображение параболы

В MS Excel построение параболы осуществляется аналогично построению прямой. При этом уравнение параболы должно быть предварительно приведено к виду у = f(x) (разрешено относительно переменной у).

Пример 1.2. В качестве примера рассмотрим построение параболы вида у = х2'в диапазоне х е [-3; 3] с шагом А = 0,5.

Решение. Задача построения параболы (как и в случае прямой) разбивается на несколько этапов. Пусть открыт чистый рабочий лист (в противном случае — команда Вставка ► Лист).

Этап 1. Ввод данных. Для построения параболы необходимо составить таблицу данных (х и у). В рассматриваемом примере первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Парабола.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (-5). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (-2,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Далее вводим значения параболы. В ячейку В 2 вводим ее уравнение — = А2*А2. Затем автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В14.

Рис. 1.12. Исходные данные из примера 1.2

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.12).

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы.

В рассматриваемом примере выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

ЭтапЗ. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, которые необходимо представить на диаграмме.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В14), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист1!$В$1:$В$14. Здесь наиболее важным для нас является указание диапазона В1: В14, что подтверждает правильное введение интервала данных. Если с первого раза не удалось получить требуемую запись в поле Диапазон, действия необходимо повторить.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. В примере значения точек параболы расположены в столбце, поэтому переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши, затем, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А14),

затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист1!$А$2:$А$14. Здесь, как и для данных, наиболее важным для нас является указание диапазона А2: А14, что подтверждает правильное введение интервала подписей. После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название График параболы. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид параболы, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае следует нажать кнопку Назад и изменить установки.

Нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна появиться диаграмма, пока-

Гипербола

Кривая второго порядка (1.1) называется гиперболой, если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, то есть АС < 0.

Характеристическое свойство гиперболы выражается в том, что она является множеством точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (F1$ F2), называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами (рис. 1.14).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

22

а2 Ь2

с2 - а2 = Ь2 ,а<с.

Здесь с — расстояние от начала координат до фокусов, а — расстояние от начала координат до вершин гиперболы.

с ,

Е = — > 1 — эксцентриситет, а

b,

у -* — х — асимптоты гиперболы.

а

Схематичное изображение гиперболы представлено на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Схематичное построение гиперболыРис. 1.14. Схематичное построение гиперболы

Рис. 1.14. Схематичное построение гиперболы

Рис. 1.14. Схематичное построение гиперболы

В простейшем случае уравнение гиперболы имеет вид

к

У = ~

Задача построения гиперболы аналогична построению параболы.

Пример 1.3. В качестве примера рассмотрим построение гиперболы

в диапазоне х е [0,1; 10,1] с шагом А = 0,5.

Решение. Пусть открыт чистый рабочий лист (в противном случае — команда Вставка ► Лист).

Этап 1. Ввод данных. Для построения гиперболы необходимо составить таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Гипербола. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (Д 7). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,6). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А22).

Далее вводим значения гиперболы. В ячейку В2 вводим ее уравнение — = 1/А2. Затем автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В22.

В результате должна быть получена таблица данных для построения гиперболы.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг

1 из 4): тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

ЭтапЗ. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных ( В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В22), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист1 !$В$1:$В$22.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А22), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: = Лист1!$А$2:$А$22.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее. Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График гиперболы. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться диаграмма, показанная на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Диаграмма гиперболы из примера 1.3

Окружность

Общее уравнение окружности имеет следующий вид:

Ах2 + Ay2 + 2Dx + 2Еу + F= 0.(1.4)

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной, называемой центром.

Обычно общее уравнение (1.4) приводят к виду нормальных уравнений окружности:

х2 + у2 = R2 — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R. (х - а)2 +(у - bf = R2 — уравнение окружности с центром (а; 6).

Задача построения окружности по сравнению с параболой и гиперболой имеет небольшие отличия, связанные с приведением уравнений к виду у = /(х).

Пример 1.4. В качестве примера рассмотрим построение верхней полуокружности х2 + у2 = 4 в диапазоне хе [—2; 2 ] с шагом А = 0,25.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Этап 1. Ввод данных. Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку 81 — слово Окружность. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона ( -2). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (-7,75). Затем, выделив блок ячеек А2: АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А18).

Далее вводим значения верхней полуокружности. В ячейку 82 необходимо ввести ее уравнение, разрешенное относительно у = V4 - х2. Для этого табличный курсор необходимо поставить в ячейку 82 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем вид Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 4 - А2*А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки 82. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон 82:818. В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней полуокружности.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши

на левую верхнюю ячейку данных ( В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В 18), затем отпустить левую кнопку мыши.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах). .

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргумент?). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А18), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График полуокружности. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Диаграмма полуокружности из примера 1.4

Эллипс

Кривая второго порядка (1.1) называется эллипсом, если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки, то есть АС > 0. Если коэффициент В также равен нулю, то это эллипс с осями, параллельными координатным осям. Если, кроме того, коэффициенты D = Е = 0, то центр эллипса находится в начале координат.

Обычно в качестве определения эллипса используют его характеристическое свойство: эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса может быть получено из его определения.

Обозначим постоянную сумму расстояний от фокусов до точек эллипса 2а, а расстояние между фокусами — 2с.

Систему координат введем следующим образом: ось х проходит через фокусы, ось у — через середину отрезка/7,/*) (рис. 1.17).

У А , М (х; у)

^^► хFl (-с; 0)0 F2 (с; 0)

Рис. 1.17. Расположение фокусов и точки на эллипсе

Как видно из рис. 1.17 — 2а > 2с и а > с.

По определению: FtM + F2M = 2а.

Запишем это равенство в координатной форме:

■^(х + с)2 + у2 + 4^х - с)2 + у2 = 2а.(1.5)

Преобразуем уравнение (1.5):

7(х + с)2 + у2 = 2а- ^(х - с)2 + у2.

Возведем обе части в квадрат:

(х + с)2 + у2 = 4а2 - 4а^(х - с)2 + у2 + (х - с)2 + у2;

х2 + 2хс + с2 + у2 = 4а2 - 4а^(х - с)2 + у2 + х2 - 2хс + с2 + у2\

4хс - 4а2 = -4а^(х - с)2 + у2;

хс - а2 = -а^Дх - с)2 + у2.

Возведя обе части в квадрат, получим:

х2с2 -2а2 хс + а4 = ах2 - 2а2 хс + а2с2 + а2у2;

■ х2с2 - х2^ + а2у2 = а2с2 - а4.

Группируя, получим:

х2(с2 - а2) + а2у2 = а2(с2 - а2).

Пусть с2 - а2 = Ь2, тогда

х?Ь2у2а2 _ а2Ь2

а2Ь2а2Ь2 а2Ь2

Получаем

х2 и2

— + 2— = 1 — каноническое уравнение эллипса.

а2 Ь2

Эксцентриситетом эллипса называется величина

се = -

а

с

Так как а > с, то — < 1, то есть для эллипса, если коэффициент В = 0, эксцентриси- а

тет е < 1.

Схематичное изображение эллипса представлено на рис. 1.18.

Рис. 1.18. Схематичное изображение эллипса

Построение эллипса в MS Excel аналогично построению окружности.

Пример 1.5. В качестве примера рассмотрим построение верхней половины эллипса

94

в диапазоне х е [-3,5; 3,5] с шагом А = 0,5.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Этап 1. Ввод данных. Составляем таблицу данных (хи у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Эллипс. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (-5,5). В ячейку АЗ вводится

второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (-3). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А16).

Далее вводим значения верхней полуокружности. В ячейку В 2 необходимо ввести ее уравнение, разрешенное относительно

у = ^4(1-^).

Для этого табличный курсор необходимо поставить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx)). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем Корен ь. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 4*(1 - А2*А2/9). Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется #ЧИСЛО! (при х< -3 у не существует). Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В1б.

В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней полуокружности эллипса (рис. 1.19).

j А ’ В .йjАргумент ’Эллипс2 |-3,51#ЯИСЛО!

:' -3: О'

4"' -2 5П ,'105542

‘Sj -211,490712

г Зцв Г1,732051

7 -ifi,88561B

8-0.51,972027

9' 612

101С51.972П27

ll1,885618

1,5:1,732051

131 2:"1,490712

14 12бП, 105542

3l 0

16135’#ЧЙСЛО!

Рис. 1.19. Исходные данные из примера 1.5

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

ЭтапЗ. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, следует навести указа-

тель мыши на левую верхнюю ячейку данных ( В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В1 б), затем отпустить левую кнопку мыши. Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах.

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере — Аргументу Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А1б), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее. Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График эллипса. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 1.20):

Рис. 1.20. Диаграмма верхнего полуэллипса из примера 1.5

Упражнения

Построить верхнюю часть параболы уг = х в диапазонех е [0; 4] с шагом А = 0,25.

Построить гиперболу,,

1

2.Х

в диапазоне хе [0,1; 5,1] с шагом А = 0,25.

Построить верхнюю полуокружность эллипса

X2 2

— + У = 1

4

в диапазоне х е [-2,25; 2,25] с шагом Д = 0,25.

Постройте параболы:

у2 = 6х в диапазоне х е [0; 4] с шагом Д = 0,25;

х2 = 8г/ в диапазоне х е [-2,25; 2,25] с шагом Д = 0,25.

Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.

Постройте параболы (диапазон и шаг выберите самостоятельно):

проходящую через точки (0; 0) и (1; -3) и симметричную относительно оси Ох;

проходящую через точки (0; 0) и (2; -4) и симметричную относительно оси Оу.

Постройте окружность, имеющую центр в фокусе параболы у2 = 1рх и касающуюся ее директрисы, еслир = 2,5. Диапазон и шаг выберите самостоятельно.

Постройте множество точек, одинаково удаленных от ДО; 2) и от прямой г/ = 4. Найдите точки пересечения этой кривой с осями координат и постройте ее. Диапазон и шаг выберите самостоятельно.

Постройте множество точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой х = -4. Найдите точки пересечения этой кривой с осями и постройте ее. Диапазон и шаг выберите самостоятельно.

Постройте гиперболы (диапазон и шаг выберите самостоятельно):

^--у2=\.

25 9

16х2-9z/2 =144;

^--^ = 1.

81 64

Графическое решение систем уравнений

Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно решены графически. Их решением являются координаты точки пересечения линий, соответствующих уравнениям системы. При этом точность решения будет определяться величиной шага дискретизации (чем шаг меньше, тем точность выше).

Рассмотрим примеры графического решения системы двух уравнений.

Пример 1.6. Пусть необходимо найти решение системы

у = sinx у = cosx

в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.

Решение. Для построения диаграмм прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Аргумент. Затем в ячейку А2 — первое значение аргумента — 0. Далее будем вводить приращения аргумента с шагом 0,2. Введем в ячейку АЗ сумму левой границы диапазона плюс шаг (0,2). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А17).

Далее требуется ввести значения функции (в примере синуса). В ячейку В1 вводим слово Синус и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажмем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 (рис. 1.21) слева в поле Категория указаны виды функций.

©wow©wow10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень ФинансовыеДата и время10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень ФинансовыеДата и времяМатематическиеМатематическиеСтатистическиеСсылки и массивыРабота с базой данныхТекстовые Логические Проверка свойств и значенийСтатистическиеСсылки и массивыРабота с базой данныхТекстовые Логические Проверка свойств и значений■■COS COSH EXP LN LOG L0G1OCOS COSH EXP LN LOG L0G1OSINK TAN TANH ГРАДУСЫSINK TAN TANH ГРАДУСЫМастер дирекций • шаг 1 tea 2

©wow

©wow

10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень Финансовые

Дата и время

10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень Финансовые

Дата и время

Математические

Математические

Статистические

Ссылки и массивы

Работа с базой данных

Текстовые Логические Проверка свойств и значений

Статистические

Ссылки и массивы

Работа с базой данных

Текстовые Логические Проверка свойств и значений

■

■

COS COSH EXP LN LOG L0G1O

COS COSH EXP LN LOG L0G1O

SINK TAN TANH ГРАДУСЫ

SINK TAN TANH ГРАДУСЫ

^««йлтлел twc длин»-» угла,

Рис. 1.21. Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций

Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем его вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2 (рис. 1.22). Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2 в ячейки ВЗ:В17. Осуществляем это автозаполнением (за правый нижний угол ячейки В2 протягиваем до ячейки В17). Значения синуса получены.

Рис. 1.22. Пример заполнения диалогового окна SIN

Аналогично получаем значения косинуса. В ячейку С1 вводим имя функции — Косинус. Устанавливаем табличный курсор в ячейку С2. Для получения значения косинуса нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию COS. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно COS. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем его вправо, чтобы открыть столбец аргумента (А). Указываем значение аргумента косинуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке С2 появляется 1. Автозаполнением копируем формулу (за правый нижний угол ячейки С2 протягиваем до ячейки С17). Значения косинуса получены.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму.

Щелчком указателя мыши по кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее с помощью мыши указываем диапазон данных — В1:С17. Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси г. А2:А17. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы — Система, название осей х и у: Аргумент и Значения, соответственно. Нажимаем кнопку Готово.

Получена диаграмма кривых синуса и косинуса (рис. 1.23). Как видно из диаграммы, система имеет решение (есть точка пересечения), и оно единственное (в задан-

ном диапазоне имеется только одна точка пересечения). Таким образом, решением системы в заданном диапазоне являются координаты точки пересечения кривых. Для их нахождения необходимо навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой. Появляется надпись с указанием искомых координат: Ряд «Косинус». Точка «0,8». Значение: 0,69670671. Здесь Точка «0,8» соответствует .г, а Значение: 0,69670671 —у. Таким образом, приближенное решение системых = 0,8;у = 0,697. Пример 1.7. Зависимость спроса на некоторый товар у от его цены х выражается уравнением

а зависимость предложения г от цены товара — уравнением 2 = .г2 + 1. Найти точку равновесия в диапазоне х е [0,2; 3] с шагом Д = 0,2.

Решение. Точка равновесия — это точка пересечения кривых спроса-предложе- ния. Для построения этих кривых прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Цена. Затем в ячейку А2 — первое значение аргумента — 0,2. Далее будем вводить приращения аргумента с шагом 0,2. Введем в ячейку АЗ сумму левой границы диапазона плюс шаг (0,4). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А16).

Далее требуется вводить значения функции (в примере спроса). В ячейку В1 заносим слово Спрос и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение спроса соответствующее значению цены в ячейке А2. Для получения значения спроса вводим формулу уравнения у = 2/х + 2. Формула выглядит следующим образом: = 2/А2 + 2. Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 12. Теперь необходимо скопировать формулу из ячейки В2 в ячейки ВЗ:В16. Осуществляем это автозаполнением (за правый нижний угол ячейки В2 протягиваем до ячейки В16). Значения функции спроса получены.

Аналогично получаем значения предложения. В ячейку С1 вводим имя функции — Предложение. Устанавливаем табличный курсор в ячейку С2. Для получения значения предложения вводим формулу уравнения 2 = ^ + 1. Формула выглядит следующим образом: = А2А2 + 1. Нажимаем клавишу Enter. В ячейке С2 появляется 1,04. Теперь необходимо скопировать формулу из ячейки С2 в ячейки СЗ:С16. Осуществляем это автозаполнением (за правый нижний угол ячейки С2 протягиваем до ячейки С16). Значения функции предложения получены.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным (рис. 1.24) необходимо построить диаграмму.

Щелчком указателя мыши по кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее с помощью мыши указываем диапазон данных — В1:С16. Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси х — А2: А16. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы — Спрос-предложение, название осей х и у — Цена и Количество, соответственно. Нажимаем кнопку Готово.

Г —Г""

|:Спрос Предложение

j 6.2if1.04

Я 0.4' 7Г"

4 ]0,6:5,333333'1,36

5"| 0.8 4^1,64'

SJ Г4 f '

Л1,2:3,6666672,44!

Я1,4:3,428571;2.96

$]'"1,6:' 3,253.56

10 ] 1.83 J11111 4,24

"ГП f" 3 5

121"2,21'2 5096915 54'

13 j 2.4 ■"f8333336.76

"1412,6' 2,7692317,76,

15j 2 3 2 714236 5,34

1613'"f666667 10 '

Рис. 1.24. Исходные данные для построения диаграммы из примера 1.7

Получена диаграмма кривых спроса и предложения (рис. 1.25). Как видно из диаграммы, система имеет точку равновесия (есть точка пересечения), и она единственная (в заданном диапазоне имеется только одна точка пересечения). Таким образом, решением системы в заданном диапазоне являются координаты точки пересечения кривых. Для их нахождения необходимо навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой. Появляется надпись с указанием искомых координат: Ряд «Предложение». Точка «1,6». Значение: 3,56. Здесь Точка «1,6» соответствуете (цене), а Значение: 3,56 — у (количеству товара). Таким образом, приближенное решение — точка равновесия имеет координаты е= 1,6; у = 3,56.

Рис. 1.25. Кривые спроса-предложения из примера 1.7

Упражнения

Графически решить системы.

{

Z/ = 1п х

в диапазоне хе [0,2; 3] с шагом Д = 0,2.

[ у = 2/х

1в диапазоне х е [0,2; 3] с шагом Д= 0,2.

[г/2 = 2х

23.23.W + х2 = 4 \у = 2sinxW + х2 = 4 \у = 2sinxв диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.24.24.4уг + 9х2 = 36 у1 + х2/9 = 14уг + 9х2 = 36 у1 + х2/9 = 1в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.

23.

23.

W + х2 = 4 \у = 2sinx

W + х2 = 4 \у = 2sinx

в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.

в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.

24.

24.

4уг + 9х2 = 36 у1 + х2/9 = 1

4уг + 9х2 = 36 у1 + х2/9 = 1

в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.

в диапазоне х е [0; 3] с шагом Д = 0,2.

Поверхности в трехмерном пространстве

В этом разделе мы рассмотрим плоскость, а также поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка.

Плоскость

Любое линейное уравнение определяет плоскость и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Уравнение вида:

Ах + By + Сг + D = 0

называется общим уравнением плоскости.

Важные частные случаи уравнения плоскости возникают при равенстве нулю некоторых иэ коэффициентов А, В, С и D. Если D = 0, то уравнение Ах + By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Если Л = 0, то уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох; если Л = D = 0, то уравнение By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Ох; если А = В = 0, то уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Оху; если Л = В = D = 0, то уравнение Cz = 0 (или 2 = 0) определяет координатную плоскость Оху.

Существует также ряд уравнений, определяющих плоскости, обладающие специальными свойствами:

Уравнение плоскости в отрезках:

х у г , - + + - = 1, а о с

где а,Ь,с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с учетом знака.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M(xv yv 2,):

■ a(x-xt)+b(y-yt) + c(z-zt) = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М^х^ yv 2^, М2(х2, Уъ 2г\ М^х^, у^ 23):

х - xt у-ух 2-2,

х2 - X, уг- у, 22 - 2, = 0.

^з ^ч Уз Ух ^ ^i

В MS Excel Мастер диаграмм может быть также использован и для построения плоскостей. Необходимо ввести точки плоскости в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей оси х, ввести названия осей. ■

Пример 1.8. Рассмотрим построение плоскости в Excel на примере уравнения 2х + 4у - 2г + 2 = 0. Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в I квадранте (х е [0; 6] с шагом Д = 0,5, у е [0; 6] с шагом Д = 1).

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной г. В примере 2 = х + 2г/ + 1.

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Значения переменной г/ вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (0). В ячейку С1 вводится второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения ( 7). Затем, выделив блок ячеек В1 :С1, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки Н1).

Далее вводим значения переменной г. В ячейку В2 вводим ее уравнение — = $А2 + 2*В$1 + 7, предварительно переключившись на английский язык (Alt+Shift). Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А — переменной х и строки 1 — переменной г/. Затем автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2, после чего — в диапазон ВЗ:Н14 (протягиванием вниз).

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.26).

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных В2:Н14.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Ubj ияйвт кинэниоивЕ dawndu чгч 'эи<1

1Й||МЙ|р|^

X z : 1 va^OX z : 1 va^O, -,- - - ,р>а.иие$^ j-UHa?^ ’’^, -,- - - ,р>а.иие$^ j-UHa?^ ’’^ШУ ПЫИ1Н1и-и* xiuhVV тньолэй (у си £ ляп) НМ1П1 н>ии daiOBHШУ ПЫИ1Н1и-и* xiuhVV тньолэй (у си £ ляп) НМ1П1 н>ии daiOBH

X z : 1 va^O

X z : 1 va^O

, -,- - - ,р>а.иие$^ j-UHa?^ ’’^

, -,- - - ,р>а.иие$^ j-UHa?^ ’’^

ШУ ПЫИ1Н1и-и* xiuhVV тньолэй (у си £ ляп) НМ1П1 н>ии daiOBH

ШУ ПЫИ1Н1и-и* xiuhVV тньолэй (у си £ ляп) НМ1П1 н>ии daiOBH

И1эояэоуи иинэойюои кий хиннвИ ихаоюэйои dawndu 'дгч "эи^

Ш?

S'6L

S'ZL

9'91

:9'El

9'11

19'6

:9'9

I9i

61

21

91

;El

Ll

|6

.9

in

9'81

,9'91

9>L

i9'2L

9'01

:9'8

■9'9

:5‘9

61

■BL

91

^l

:2l

01

i8

i9

19

zt

9'21

9'91

9'EL

^9'11

9'6

I S'2

■S'9

i9>

Й

LV

91

■El

ill

6

U

■9

.V

ei

9’91

9'П

9'21

iS'OL

9'8

:9'9

:9'V

9'E

i

91

n

21

iOl

8

:9

if

£

8

9’91

9'£l

9'11

!9'6

9'2

LS'9

i9'£

:9'2

2

91

El

:ll

:6

2

■9

2

9

9‘П

9'21

9'01

19'8

9'9

i9'V

19'2

9' I

9

n

■21

01

ie

9

W

^г

;l

?

9'El

.9'll

S'6

:9'2

9'9

;9'£

^9'1

■9'0

€

BL

ll

■ 6

:2

9

:l

■0

el

9

9

V

:E

2

H

;0

X

i

i:™T "h .

. .0

•(£63 'ond) Уин ииШотЛУэуэ чхэки хэУлд tf nJ еяУеуян эхехчуЛеэЗ д "/ гжд — иэипее иэнУэуэоп оУ wosEdgo кияех кэкЗохноц 3-/2 ионнэиэЗэп эинэьене эоЗоха ииУоаа ин и эуоц аэьодвЗ а и £ QKj чэипее oiXdoxa кзениееял Иkj эуоп д иэхвд "Q — R ионнэиэЗэп эинэьене dogddH ииУ -ОНИ ‘ИШИИ ИЭУЭХЕЕЕЯЛ ОХЭ ЭЕаоЗиаИХЯЕ ‘ИНЦ ЭУОЦ 99hOgEd Н И ^ (ЖД ЧЭИПЕЕ OlXadaU КЭЕНИЕЕяХ ttKJ ЭУОЦ W9bOgEd Н OJOXG кур "R иэо иээипУоп кинэьене ииУоаа ЭЭУЕр

MV^V — х ИЭО ИЭЭИПУОП НОЕЕПЕИУ ИХЭЭНН и ‘ИШ1ЧИ ИЭУЭХЕЕЕЯЛ КЭП Н аХнЯУЭШ *Х ИЭО ИЭИийОЦ ЭУОП 41EH0dH£HHHl>IE ХэЛУЭУЭ OJO1G КУ^ "ИЭЭИПУОП НОЕЕПЕИУ ИЭЕНМСЕяЛ X ИЗО ИЭИийОЦ ЭУОЦ Н И ttKJ АяУЕУЯН K9EdHgi4Q

б£б£aaiDHBdiDodu woHdawxadi a niooHxdaaou

б£

б£

После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы, ввести с клавиатуры в данное поле название: Плоскость. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: х, у и г.

Далее нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена следующая диаграмма (рис. 1.28).

Рис. 1.28. Диаграмма плоскости из примера 1.8

Упражнения

Построить плоскость, параллельную плоскости Оху и пересекающую ось Ог в точке ЛДО, 0, 2). Диапазоны изменения переменных х и у. х е [0; 6] с шагом А = 0,5, у е [0; 6] с шагом А = 1.

Построить плоскость, отсекающую на координатных осях отрезки а = 3, b = 2 и с = 1. Диапазоны изменения переменных х и у. хе [-1; 4] с шагом А = 0,5, у е [-1; 3] с шагом Д= 1.

Построить плоскость, проходящую через точки М/З, 3, 1),М2(2, 3, 2),М3(1, 1, 3). Диапазоны изменения переменных хи у. хе [-1; 4] с шагом А = 0,5, у е [—1; 3] с шагом А = 1.

Поверхности второго порядка в пространстве

Общее уравнение поверхностей второго порядка имеет вид уравнения второй степени:

Ах2 + By2 + Сг2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0.(1.6)

Причем коэффициенты А, В, C, D, Е, Ене могут быть равны нулю одновременно.

Частными случаями уравнения (1.6) являются основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид и параболоид.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением:

(1-7)(1-7)222

(1-7)

(1-7)

а1Ъгс2

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида.

Эллипсоид представляет собой замкнутую овальную поверхность, обладающую тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.

Для построения эллипсоида в Excel каноническое уравнение (1.7) необходимо разрешить относительно переменной г (представить в виде г = /(х, г/)).

Пример 1.9. Рассмотрим построение эллипсоида в Excel па примере уравнения:

х У 2 , — + — + z2 = 1.

94

Пусть необходимо построить верхнюю часть эллипсоида, лежащую в диапазонах: х е [-3; 3], у е [-2; 2] с шагом Д = 0,5 для обеих переменных.

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере

L X2у1

2 = . 1—

V 94

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона ( -3). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (-2,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (-2). В ячейку С1 вводится второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения ( - 7,5). Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки Л).

Далее вводим значения переменной z. Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 1-$А2''2/9-В$1л2/4. Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А — переменной х и строки 1 — переменной у. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется #ЧИСЛО!

(при х= -3 и у = -2 точек рассматриваемого эллипсоида не существует). Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Для этого автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон B2:J2, после чего (протягиванием вниз) — в диапазон ВЗ:Л4.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.29).

, А - 4 .9 с J о1 ■ .F г ■ <3 "1 и ' ) ' 115 '

1 2" 3

4

6 ■в'

а' 9 ® 11* й 13 ■и

-2-3.5-V-3.60,0,511,52!

-3! #ЧИСЛО!; #ЧИСЛО!! #ЧИСЛО! ; #ЧИСЛО!;0 #ЧИСЛО!: #ЧИСЛО!: #ЧИСЛО! #ЧИСЛО! !

-2,5 #ЧИСЛО|:#ЧИСЛО!! 0.235702} 0,493007; 0,5527711 0,493007 0,235702 #ЧИСЛО!;#ЧИСЛО!

-2 #ЧИСЛО!:#ЧИСЛО!: 0,552771: 0,702179; 0,745356: 0,702179 0,552771 >#ЧИСЛО!:#ЧИСЛО!:

-1,5 #ЧИ:1Ю! 6,4336'ij!U./U/iU/:0,829156.!0,866025; 0,829156U,/U/1U/‘U.4JJU13ЙИСЛОЦ

-1 #ЧИ0ЛОо 0,5713056,799305;6,909059:9 9/0003 0,9090590,799305 ,0 Д71305ЯЧИСЛОН

-0.5 #ЧИСЛО|; 0 5400950,849837:0,953794!0,986013: 0,9537940,8498370,640095.#ЧИСЛО!:

0:0i 0,661438!0,866025]0.96824611; 0,9682460,866025 !0,6614380;

6,5' АЧЙСЛОГ 6,640095' 6.649837 . 6 953794 6 9350136,953794’’0.649337 9,640095 #Ч4СЛО1 ’ 1:#ЧЙСЛО1: 6,571305:0,799305:0.909059 Г 6,942809! 0,909059 ;0,799305!0,571305#ЧЙСЛО|Т

1.5 #ЧИСЛО1: 0,433013:0,707107!0,82915610,866025 0,829156 ^0,7071070.433013#ЧИСЛО|:

2 ^ЙСлЬ№ЙСлд|: 6,552771: 0,702179; 0,745356! 0,702179. 0,552771 #ЧИСЛО! #ЧИСЛО|!

2,5 #ЧЙСЛО’тЙСлЬ|: 6,235702: 6,493007: 0.552771 6,493007' 6,235702. #ЧЙСЛО! #ЧИСЛОС

3 #ЧИСЛО!: #ЧИСЛО!: #ЧИСЛО!! #ЧИСЛО|! 0#ЧИСЛО1 #ЧИСЛО! #ЧИСЛО! ■ #ЧИСЛО!:

Рис. 1.29. Результаты вычислений точек эллипсоида из примера 1.9

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных B2J14.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого щелкните в нем указателем мыши и введите диапазон подписей оси х — А2:А14.

Вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд указываем первую запись Ряд 1 и в рабочее поле Имя, активизировав его указателем мыши, вводим первое значение переменной у2. Затем в поле Ряд указываем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у — -1,5. Повторяем таким образом до последней записи — Ряд 9.

После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: Эллипсоид. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: х, у и г.

Далее следует нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена следующая диаграмма (рис. 1.30).

Рис. 1.30. Верхняя часть эллипсоида из примера 1.9Рис. 1.30. Верхняя часть эллипсоида из примера 1.9

Рис. 1.30. Верхняя часть эллипсоида из примера 1.9

Рис. 1.30. Верхняя часть эллипсоида из примера 1.9

Гиперболоид

Существует два вида гиперболоидов: однополостные и двухполостные.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1.8)(1.8)222

(1.8)

(1.8)

с?Ь2с2

Однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, расширяющейся в обе стороны от горловины.

Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

(1.9)(1.9)х2 у2 z2

(1.9)

(1.9)

Двухполостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из двух отдельных полостей, каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Уравнения (1.8) и (1.9) называются каноническими уравнениями гиперболоидов. Для построения гиперболоида в Excel канонические уравнения (1.8) или (1.9), как и в случае с эллипсоидом, необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде z=Дх, у)).

Пример 1.10. Рассмотрим построение двухполостного гиперболоида вида

22

X У 2,

+ —-Z2 =-1.

94

Пусть необходимо построить верхнюю часть гиперболоида, лежащую в диапазонах: х е [-3; 3], у е [-2; 2] с шагом Д = 0,5 для обеих переменных.

Решение.Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной г. В примере

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (-3). В ячейку АЗ — второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (-2,5). Затем, выделив блок ячеек А2;АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Значения переменной г/ вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (-2). В ячейку С1 — второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения (-/,5). Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Далее вводим значения переменной z. Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: У + 5Л2Л2/5 + В$1л2/4. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 1,732051. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Для этого автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон B2:J2, после чего (протягиванием вниз) — в диапазон B3:J14.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.31).

А

В 1С

Вк» 6 ! . ,Р ;

\ о

. Н ,

'к,.-

JL

-

-3

-2:-1,5

1,732051 1,600781

-1-0,5.0:

1,51,436141 1,414214;

0,51 1,436141,

1:1,5

1,5: 1,600781

2:

1.73Р051:

3 *

-2,5

1,641476 I 1,502313

1,394433- 1,325498 1,3017081

1,325498

1,3944331 1,502313

1,6414761

4

-2

1,5634721 1,416667

1,301708 1,227577 1.20185

1,227577

1,3017081 1,416667

1,563472:

5

-1.5

1,51 1,346291

1,224745:1,145644 1,118034.

1,145644

1,2247451 1,346291

1,51

6

-1

1,4529661 1,293681

1.166667 1,083333 1,0540931

1,083333

1,1666671 1,293681

1,4529661

7

-0,5

1,424001: 1,261062

1,130388: 1,044164 1,013794.

1,0441641

1,1303881 1,261062

1,424001:

8 ;

0

1,41421411,25

1,118034; 1,030776.11

1,0307761

1,11803411,25

1,4142141

9 '

0,5

1,424001: 1,261062

1,130388; 1,044164 1.0137941

1,044164:

1,1303881 1,261062

1,4240011

10

1

1,4529661 1,293681

1,166667' 1,083333: 1,0540931

1,083333:

1,1666671 1,293681

1,452966:

11

1,5

1.5= 1,346291

1,2247451. 1,145644 1,118034'

1,3017081 1.227577 1,201851

1,1456441

1,2247451 1,346291

..1,5:

■2

2

1,563472: 1,416667

1,2275771

1,3017081 1,416667

1,5634721

13

2,5

1,6414761 1,502313

1,3944331 1,325498 1.301708:

1,325498:

1,394433: 1,502313

1,641476:

145

3

1,7320511 1,600781

1,5 1,436141-. 1,4142141

1,4361411

1,51 1,600781

1,732051:

14

Рис. 1.31. Результаты вычислений точек гиперболоида из примера 1.10

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и виоле Диапазон мышью указать интервал данных В2:Л4.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать данное поле, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести в него диапазон подписей оси х — А2:А 14.

Вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд выбираем первую запись Ряд 1 и в рабочее поле Имя, активизировав его указателем мыши, вводим первое значение переменной у2. Затем в поле Ряд выбираем вторую запись — Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у1,5. Повторяем таким образом до последней записи — Ряд 9.

После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Далее щелкнув в рабочем поле Название диаграммы, ввести в него с клавиатуры название: Двухполостной гиперболоид. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: х, у и г.

Далее следует нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена следующая диаграмма (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Верхняя часть двухполостного гиперболоида из примера 1.10Рис. 1.32. Верхняя часть двухполостного гиперболоида из примера 1.10

Рис. 1.32. Верхняя часть двухполостного гиперболоида из примера 1.10

Рис. 1.32. Верхняя часть двухполостного гиперболоида из примера 1.10

Параболоид

Существует два вида параболоидов: эллиптические и гиперболические.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

22

(1.10)(1.10)X у „ — + — = 2z.

(1.10)

(1.10)

р q

Эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной эллиптического параболоида; числа ри q называются его параметрами.

= 2z.= 2z.(1.11)(1.11)Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением '

= 2z.

= 2z.

(1.11)

(1.11)

Р q

Гиперболический параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной гиперболического параболоида; числа/? и q называются его параметрами.

Пример 1.11. Рассмотрим построение гиперболического параболоида вида

Пусть необходимо построить часть параболоида, лежащую в диапазонах: х е [-3; 3], у е [-2; 2] с шагом Д = 0,5 для обеих переменных.

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере

z =—.

18 8

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (-3). В ячейку АЗ — второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (-2,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (-2). В ячейку С1 — второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения (-1,5). Затем, выделив блок ячеек В 1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Далее вводим значения переменной z. Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и ввести формулу — = $А2Л2/18-В$Г'2/8, после чего нажать клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Для этого автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон В2:J2, после чего (протягиванием вниз) — в диапазон В2:Л4.

В результате в диапазоне В2:Л4 появится таблица точек гиперболического параболоида.

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных В2:Л4.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать данное поле, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести диапазон подписей осих — А2:А14.

Вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд выбираем первую запись Ряд 1 и, активизировав рабочее поле Имя указателем мыши, вводим первое значение переменной у2. Затем в поле Ряд выбираем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у1,5. Повторяем таким образом до последней записи — Ряд 9.

После появления требуемых записей следует нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого нужно выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. После чего в рабочее поле Название диаграммы ввести с клавиатуры название: Гиперболический параболоид. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: х, у и z.

Далее нужно нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена следующая диаграмма (рис. 1.33).

Рис. 1.33. Гиперболический параболоид из примера 1.11

Конус второго порядка

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

0.0.222

0.

0.

222

а о с

Конус образован прямыми линиями (образующими), проходящими через начало координат (вершина конуса). Сечение конуса плоскостью, не проходящей через начало координат, дает эллипс.

В Excel построение конуса второго порядка аналогично построению других поверхностей, рассмотренных ранее.

Упражнения

Построить верхнюю часть эллипсоида:

Диапазоны изменения переменных хи у. х 6 [-2; 2] с шагом Д = 0,5, г/ 6 [-3; 3]

с шагом Д = 1.

Построить верхнюю часть однополостного гиперболоида:

г2 у2 г2 — н

494

Диапазоны изменения переменных хи у. хе [-3; 3] сшагомД = 0,5,г/ е [-4; 4]

с шагом Д = 1.

Построить эллиптический параболоид:

22

х у „

— + — = 2z.

49

Диапазоны изменения переменныххиг/:х е [-2; 2] с шагом Д = 0,5, у е [-3; 3] с шагом Д = 1.

Построить верхнюю часть конуса

X222-

— + -= 0.

494

Диапазоны изменения переменныххи у.х е [-2; 2] с шагом Д = 0,5, у е [-3; 3]

с шагом Д = 1.

^ ) ГЛАВА Линейная алгебра

Средства MS Excel оказываются весьма полезны в линейной алгебре, прежде всего для операций с матрицами и решения систем линейных уравнений.

Матрицы

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что же такое матрица? Как выполняются действия с матрицами?

Матрицей размера т х п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: а,;, где г — номер строки, j — номер столбца. Например, матрица А размера т х п может быть представлена в виде:

где г = 1, ..., m;j = 1п.

Две матрицы Л и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть а^ = Ь,, для любых г = 1, 2, ..., т; j = 1, 2п.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой:

Л = (ап аи,..., «!„),

а из одного столбца — матрицей (вектором)-столбцом:

Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно п, то такую матрицу называют квадратной n-го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:

Если у элемента матрицы ау номер столбца равен номеру строки (г =j), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица с равными нулю всеми недиагональными элементами называется диагональной.

Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и все диагональные элементы равны единице. Единичная матрица имеет следующий вид:

Е =

( 1 0 0

0 1 0 0

0 0 ГО .... 0

0 0 0 1 0 0

0 01

Различают единичные матрицы первого, второго, третьего и т. д. порядков:

Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

0 0 .... 0

т0^ =

00....0

00....0

Операции с матрицами

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонирование

Транспонированной называется матрица (Л7), в которой столбцы исходной матрицы (Л) заменяются строками с соответствующими номерами.

В сокращенной записи, если Л = (а^, то Ат = (аи\

' 3

-7

1Р

А =

18

19

39

-5

91

87 /

' 3

18

-5>

Ат =

-7

19

91

39

87

2

Для обозначения транспонированной матрицы иногда используют символ «'» (Л'). Транспонированием называется операция перехода.от исходной матрицы (Л) к транспонированной (Л7).

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица Л имеет размер m х п, то транспонированная матрица Л7 имеет размер п х тп.

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Функция имеет вид ТРАНСП(л<асгав). Здесь массив — это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

Пример 2.1. Предположим, что в диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 2x5

/Д 2 3 4 5"

“ 6 7 8 9 0 ’

Необходимо получить транспонированную матрицу.

Решение

Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (5 х 2). Например, А4:В8.

Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция —имя функции ТРАНСП (рис. 2.1). После этого щелкните на кнопке ОК.

Мастер Функций - шаг 1 из 2

10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень ФинансовыеДата и время МатематическиеСтатистические10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень ФинансовыеДата и время МатематическиеСтатистические||Ссылки и массивыСсылки и массивыРабота с базой данныхРабота с базой данных? Текстовые' Логические5 Проверка свойств и значений ТРАНСП(м«с«)? Текстовые' Логические5 Проверка свойств и значений ТРАНСП(м«с«)ИНДЕКСОБЛАСТИПОИСКПОЗПОЛУЧИТЬ.ДАННЫЕ.СВОДНОЙ.ТАБЛИЦЫПРОСМОТРСМЕЩСТОЛБЕЦСТРОКАИНДЕКСОБЛАСТИПОИСКПОЗПОЛУЧИТЬ.ДАННЫЕ.СВОДНОЙ.ТАБЛИЦЫПРОСМОТРСМЕЩСТОЛБЕЦСТРОКА[ТРАНСП[ТРАНСПЧИСЛСТОЛБ ЧСТРОКЧИСЛСТОЛБ ЧСТРОК'gfft«roi>sh

10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень Финансовые

Дата и время Математические

Статистические

10 недавно использовавшихся Полный алфавитный перечень Финансовые

Дата и время Математические

Статистические

|

|

Ссылки и массивы

Ссылки и массивы

Работа с базой данных

Работа с базой данных

? Текстовые

' Логические

5 Проверка свойств и значений ТРАНСП(м«с«)

? Текстовые

' Логические

5 Проверка свойств и значений ТРАНСП(м«с«)

ИНДЕКС

ОБЛАСТИ

ПОИСКПОЗ

ПОЛУЧИТЬ.ДАННЫЕ.СВОДНОЙ.ТАБЛИЦЫ

ПРОСМОТР

СМЕЩ

СТОЛБЕЦ

СТРОКА

ИНДЕКС

ОБЛАСТИ

ПОИСКПОЗ

ПОЛУЧИТЬ.ДАННЫЕ.СВОДНОЙ.ТАБЛИЦЫ

ПРОСМОТР

СМЕЩ

СТОЛБЕЦ

СТРОКА

[ТРАНСП

[ТРАНСП

ЧИСЛСТОЛБ ЧСТРОК

ЧИСЛСТОЛБ ЧСТРОК

Рис. 2.1. Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций

Появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 2.2).

Мекив^А! Е2 1:. =

В-о^Ш^Тренспан^оияныйижсе*, ' '';'' , ,. _-|||||||||111|1В1||Я|||^°-Масси» транспдаируеиый пассив на рабочем листе или из листе макросе». ,В-о^Ш^Тренспан^оияныйижсе*, ' '';'' , ,. _-|||||||||111|1В1||Я|||^°-Масси» транспдаируеиый пассив на рабочем листе или из листе макросе». ,Рис. 2.2. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСПРис. 2.2. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

В-о^Ш^Тренспан^оияныйижсе*, ' '';'' , ,. _-

|||||||||111|1В1||Я|||^

°-Масси» транспдаируеиый пассив на рабочем листе или из листе макросе». ,

В-о^Ш^Тренспан^оияныйижсе*, ' '';'' , ,. _-

|||||||||111|1В1||Я|||^

°-Масси» транспдаируеиый пассив на рабочем листе или из листе макросе». ,

Рис. 2.2. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

Рис. 2.2. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

Если транспонированная матрица не появилась в диапазоне А4:В8, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица:

Г1 6)

7

8

9

0

Вычисление определителя матрицы

Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы — это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы Л обозначается как |Л| или А. *

Определителем матрицы первого порядка Л = (аи), или определителем первого порядка, называется элемент ап.

А( =|Л| = ан.

Определителем матрицы второго порядка Л = (а^, или определителем второго . порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

— ^11^22^12^21’

Произведения апа22 и а12а21 называются членами определителя второго порядка. С ростом порядка матрицы и резко увеличивается число членов определителя (и!). Например, при п = 4 имеем 24 слагаемых. Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. При применении компьютера в использовании этих приемов нет необходимости.

В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Функция имеет вид МОПРЕД(л<ассив).

Здесь массив — это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:СЗ; или как массив констант, например, {1 ;2;3:4;5;6:7;8;9}. Для массива А1:СЗ, состоящего из трех строк и трех столбцов (матрица размером 3 х 3), определитель вычисляется следующим образом:

А(А1:СЗ) = А1 х (В2 х СЗ - ВЗ х С2) + А2 х (ВЗ х Cl - В1 х СЗ) ++ АЗ х (В1 х С2 - В2 х С1).

Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы.

Л =Л =О1О122 О22 О3"33"3Пример 2.2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица:

Л =

Л =

О

1

О

1

2

2 О

2

2 О

3"

3

3"

3

Необходимо вычислить определитель этой матрицы.

Решение'

Табличный курсор поставьте в ячейку, в которой требуется получить значение определителя, например, в А4.

Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

Появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите кнопку ОК (рис. 2.3).

^-МОПРЕД—'-'■— -—->™Д—~--'■ - -

V :Масти» )агсз|-

/в#эд»«|щааг бгоадалита^ naTpMifci (н№им ^реиигся а иастиаа),''. ,А

Рис. 2.3. Пример заполнения диалогового окна МОПРЕД

В ячейке А4 появится значение определителя матрицы — 6.

Нахождение обратной матрицы

Для каждого числа а * 0 существует обратное число а"\ и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. .

Матрица Л"1 называется обратной по отношению к квадратной матрице Л, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

Л х Л"1 = Л"1 х Л = Е.

Как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля (|Л| * 0); в противном случае (при [Л | = 0) матрица называется вырожденной или особенной.

Существуют специальные достаточно сложные алгоритмы для ручного вычисления обратных матриц.

В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица, рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

. (и ь

Л= с d

Тогда обратная матрица вычисляется следующим образом:

Л’1 =Л’1 ='d /(ad - be) b /(be - ad)c /(be - ad) a /(ad - be)

Л’1 =

Л’1 =

В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.

Функция имеет вид МОБР(жасснв).

Здесь массив — это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:СЗ; как массив констант, например {1;2',3'.4',5',6;7",8;9} или как имя диапазона или массива.

Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы.

Пример 2.3. Пусть в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица

Щ 2

А = 0 2 3

1 0 3

Необходимо получить обратную матрицу.

Решение

Выделите блок ячеек под обратную матрицу, например, блок ячеек А5:С7 (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК.

Появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1;СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 2.4).

* г?

MdK^eLii. • .-;

;^йяраш®т обратную«атрмцу ^матрща хранятся в массиве)»^ ,, , „,, v, „ ,, _ w# ,., ч 4

Рис. 2.4. Пример заполнения диалогового окна МОБР

Если обратная матрица не появилась в диапазоне А5:С7, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А5:С7 появится обратная матрица:

'1-1 О'

0,50-0,5

-0,33333 0,33333 0,33333

Сложение и вычитание матриц

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (а,у) и В = (Ь^ размера т х п называется матрица С = А+В, элементы которой

с,у = ау + Ь6} для i = 1, 2m;j = 1, 2, .... и (то есть матрицы складываются поэлементно). Например, если:"

,2 7)

А =;

■9 -1 13

к/

в(0 "4

19 31)’

то С = Л + 5:

< 1 -2 4 4[14 18 44,< 1 -2 4 4[14 18 44,(2.1)(2.1)с_Г1+0 2-47-34

< 1 -2 4 4[14 18 44,

< 1 -2 4 4[14 18 44,

(2.1)

(2.1)

”[э + 5 -1 + 19 13 + 31,

В частном случае Л + 0 = Л.

Аналогично определяется разность двух матриц С = А - В.

В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 2.4. Пусть матрица Л из рассмотренного примера (2.1), введена в диапазон А1:С2, а матрица В — в диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой.

Решение

Табличный курсор установите в левый верхний угол результирующей матрицы, например в А7.'

Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы =А1 + А4 (предварительно установив английскую раскладку клавиатуры).

Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку А7; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки С7; затем так же протяните указатель мыши до ячейки С8.

В результате в ячейках А7:С8 появится матрица, равная сумме исходных матриц.

Подобным же образом вычисляется разность матриц (2.1), только в формуле для вычисления первого элемента вместо знака + ставится знак -.

С=А+В=С=А+В=' 114 \' 114 \-218-218444 ’ /444 ’ /С =А-В =С =А-В =I4I46-206-2010 '-18 '10 '-18 '

С=А+В=

С=А+В=

' 1

14 \

' 1

14 \

-2

18

-2

18

4

44 ’ /

4

44 ’ /

С =А-В =

С =А-В =

I4

I4

6

-20

6

-20

10 '

-18 '

10 '

-18 '

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы Л на число к называется матрица В = кА, элементы которой Ь^ = ка;) для 1 = 1,2, ..., m;j = 1, 2, .... и. Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную: к*Аь,= (к*а().

Например, для матриц Л и В из предыдущего параграфа (2.1):

1*. Г0'5

2(4,5

1 3’5\

-0,5 6,5 J

Г о

-2*В = -10

86 )

-38 -62 '

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, то есть ОхЛ = 0.

В MS Excel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 2.5. Пусть, как и в предыдущем параграфе (пример 2.4) матрица Л (2.1) введена в диапазоны А1:С2. Необходимо получить матрицу С= 3 х А.

Решение

Табличный курсор поставьте в левый верхний угол результирующей матрицы, например в Е1.

Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы =3*А1 (предварительно установив английскую раскладку клавиатуры).

Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: поставьте табличный курсор в ячейку Е1; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки G1; таким же образом протяните указатель мыши до ячейки G2.

В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная исходной матрице, умноженной на постоянную — 3.

_ „ ( 3 6 21)

3*Л =.

27 -3 39J

Умножение матриц

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй..

Пусть Л = (a,j)m х п, В = (Ь,3п хр, тогда размерность произведения Л х В равна т хр. При этом матрица С (размера и хр) называется произведением матриц Л и В, если каждый ее элемент Сд равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы )-го столбца матрицы В:

Сц = «.А + u,2b2j +... + aip.Сц = «.А + u,2b2j +... + aip.1^ЛР г = 1,2т; j = \Д ...,п. к=\

Сц = «.А + u,2b2j +... + aip.

Сц = «.А + u,2b2j +... + aip.

Таким образом, перемножение матриц осуществляется по следующему правилу:

С=А*В=С=А*В=z 1 стр * 1 стб2 стр * 1 стбz 1 стр * 1 стб2 стр * 1 стб1 стр * 2 стб2 стр * 2 стб1 стр * 2 стб2 стр * 2 стб1 стр * р стб2 стр * р стб1 стр * р стб2 стр * р стб

С=А*В=

С=А*В=

z 1 стр * 1 стб

2 стр * 1 стб

z 1 стр * 1 стб

2 стр * 1 стб

1 стр * 2 стб

2 стр * 2 стб

1 стр * 2 стб

2 стр * 2 стб

1 стр * р стб

2 стр * р стб

1 стр * р стб

2 стр * р стб

т стр * 1 стбт стр * 1 стбтпстртпстр* 2 стб* 2 стбт стр * р стбт стр * р стб

т стр * 1 стб

т стр * 1 стб

тпстр

тпстр

* 2 стб

* 2 стб

т стр * р стб

т стр * р стб

Пусть, например,

С=А*В=С=А*В=(13О(13О3213214О-14О-12-122-12**1210121210123 '20-13 '20-11*1 + 3*2 + 4*10 + 2*121*3 + 3*2 + 4*0 + 2*(-!))'713*1 + 2*2 + 0*10-1*123*3 + 2*2 + 0*0-1*(-1)=-50*1 + 1*2-1*10 + 2*120*3 + 1*2-1*0 + 2*М)/16 к1*1 + 3*2 + 4*10 + 2*121*3 + 3*2 + 4*0 + 2*(-!))'713*1 + 2*2 + 0*10-1*123*3 + 2*2 + 0*0-1*(-1)=-50*1 + 1*2-1*10 + 2*120*3 + 1*2-1*0 + 2*М)/16 к7 '14-17 '14-1(2.2)(2.2)

С=А*В=

С=А*В=

(1

3

О

(1

3

О

3

2

1

3

2

1

4

О

-1

4

О

-1

2

-1

2

2

-1

2

*

*

1

2

10

12

1

2

10

12

3 '

2

0

-1

3 '

2

0

-1

1*

1 + 3*

2 + 4*

10 + 2*

12

1*

3 + 3*

2 + 4

*0 + 2

*(-!))

'71

3*

1 + 2*

2 + 0*

10-1*

12

3*

3 + 2*

2 + 0

*0-1

*(-1)

=

-5

0*

1 + 1*

2-1*

10 + 2*

12

0*

3 + 1*

2-1

*0 + 2

*М)/

16 к

1*

1 + 3*

2 + 4*

10 + 2*

12

1*

3 + 3*

2 + 4

*0 + 2

*(-!))

'71

3*

1 + 2*

2 + 0*

10-1*

12

3*

3 + 2*

2 + 0

*0-1

*(-1)

=

-5

0*

1 + 1*

2-1*

10 + 2*

12

0*

3 + 1*

2-1

*0 + 2

*М)/

16 к

7 '

14

-1

7 '

14

-1

(2.2)

(2.2)

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций умножения матриц (что следует из определений этих операций).

Для матриц верны общие свойства операции умножения.

Л(ВС) = (ЛВ)С — ассоциативность.

Л(В + С) = АВ + АС — дистрибутивность.

(Л + В)С=АС + ВС.

(аЛ)В = Л(аВ) = а(ЛВ), а —константа.

Однако имеются и специфические свойства операций умножения матриц.

Умножение матриц некоммутативно — АВ + ВА.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А и-го порядка на единичную матрицу Етого же порядка, причем это произведение равно Л.

Если Е — единичная матрица, то ЕА = А; BE=В.

Таким образом, единичная матрица играет при умножении ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

Из того, что А х В = 0, не следует, что Л = 0 или В = 0.

В алгебре матриц нет действия деления. Выражение A/В не имеет смысла. Его заменяют два различных выражения В'1 х Л и Л х В"1, если существует В'1.

Для квадратных матриц возможна операция возведения в степень. По определению полагают, что А0 = Е и А1 = А. Целой положительной степенью

А™(т > 1) квадратной матрицы А называется произведение т матриц, равных А, то есть:

Ат=А*А*...* А.

т раз

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМ- НОЖ, которая вычисляет произведение матриц (матрицы хранятся в массивах).

Функция имеет вид №Л'АН0Ж(массив1;массив2). Здесь массив1 ^массив2 — это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив 1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом: С= (^а^), где г — номер строки, aj — номер столбца.

Рассмотрим примеры умножения матриц.

Пример 2.6. Пусть матрица А из рассмотренного примера (2.2) введена в диапазон A1:D3, а матрица В (2.2) — в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С.

Решение

Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого требуется найти размер матрицы-произведения. Ее размерность будет т х р, в данном примере 3 х 2. Например, выделите блок ячеек F1:G3 (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция — имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК.

Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон исходной матрицы А — A1D3 в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В — А4:В7 введите в рабочее поле Массив2 (рис. 2.5). После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

*йнт "1

Массив! рЕТ2J = H,3H,4'J,2,J 13

Массив? рЕв'!*2 * -1.3.2.2 10 П 12.-1

; 8S|8$ltB#ll|l|!^^

Л '-’■ * {?1;М;|14:ад -с .

Извращает произведение матриц (матрице! хранятся в массивах).-

Рис. 2.5. Пример заполнения рабочих полей диалогового окна МУМНОЖ

Если произведение матриц Л х В не появилось в диапазоне F1:G3, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и еще раз нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне F1:G3 появится произведение матриц:

<71 7)

С=А*В= -5 14

Н6 °J

Пример 2.7. Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, РЗ и использует сырье двух типов S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья j-ro типа расходуется на производство единицы продукции. План выпуска продукции задан матрицей-строкой В = (100, 130, 90). Необходимо определить затраты сырья для планового выпуска продукции.

Решение. Для нахождения затрат сырья необходимо вычислить произведение матриц В х А.

Введите матрицу А в диапазон А1:В3, а матрицу В — в диапазон А4:С4.

Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Ее размерность будет т х р, в данном примере 1x2. Например, выделите блок ячеек F1:G1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК.

Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон исходной матрицы А — А1.ВЗ в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В — А4:С4 введите в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Если произведение матриц В х А не появилось в диапазоне F1:G1, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне F1:G1 появятся затраты сырья для планового выпуска продукции (то есть произведение матриц) В х А = (880, 900). Таким образом, для выполнения плана необходимо S1 = 880 единиц сырья первого типа и 52 = 900 единиц сырья второго типа.

Упражнения

Найдите произведение матриц А х В, где

2.

3.

4.

Найдите произведение матриц В х А из упражнения 1.

Найдите определитель матрицы В х А из упражнения 2.

Найдите произведение матриц С = А

х

А =

'2

4

7

3

1

2

Е, где

5'

3 ;

О

Е =

О

О

О 1 О

О'"

О

1

Найдите матрицу, обратную данной:

<1 -2<1 -2А = 2 3А = 2 3I3 "2I3 "23 '-4-53 '-4-5

<1 -2

<1 -2

А = 2 3

А = 2 3

I3 "2

I3 "2

3 '

-4

-5

3 '

-4

-5

Воспользуйтесь определением обратной матрицы (А х А'1 = А"1 х А = Е) и проверьте, верно ли найдена обратная матрица в упражнении 5: для этого найдите произведение матрицы А в упражнении 5 на обратную матрицу. Таким же способом проверьте, что А'1 хА = Е.

Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, РЗ и использует сырье двух типов S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

'3 24

А = 1 4

где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции. Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом

Определите стоимость затрат сырья на единицу продукции.

Какие из матриц можно перемножить? Найдите эти произведения.

А =А =2 О'

А =

А =

(1 3(1 32 12 10"3 ’/0"3 ’/-1 2/

(1 3

(1 3

2 1

2 1

0"

3 ’

/

0"

3 ’

/

С- 1 ;О

Z) = (2 1 1 О).

Вычислите: (А х В) х С; А х (В х С).

А =А ="1 2 О\3 1 2/"1 2 О\3 1 2/Г1 о АГ1 о АВ = 1 1В = 1 1I2 -1)I2 -1)"1 О 2 1"|3 1 -1 о J"1 О 2 1"|3 1 -1 о J

А =

А =

"1 2 О\

3 1 2/

"1 2 О\

3 1 2/

Г1 о А

Г1 о А

В = 1 1

В = 1 1

I2 -1)

I2 -1)

"1 О 2 1"|

3 1 -1 о J

"1 О 2 1"|

3 1 -1 о J

Покажите вычислением, что для указанных матриц верно утверждение: (А + + В)С = АС + ВС.

Го 3)Го 3)Г1 0 )Г1 0 )А = 1 1А = 1 1В = 1 1 ;В = 1 1 ;-1 2-1 22 -12 -1"10 2 1"3 1-10VУ"10 2 1"3 1-10VУ

Го 3)

Го 3)

Г1 0 )

Г1 0 )

А = 1 1

А = 1 1

В = 1 1 ;

В = 1 1 ;

-1 2

-1 2

2 -1

2 -1

"10 2 1"

3 1-10

VУ

"10 2 1"

3 1-10

VУ

И. Вычислите:

2) В* А =2) В* А =<11) А* В = 35<11) А* В = 35-2 4\3 2/-2 4\3 2/-2 4":3 2J-2 4":3 2J35 к35 к2"462"46

2) В* А =

2) В* А =

<1

1) А* В = 3

5

<1

1) А* В = 3

5

-2 4\

3 2/

-2 4\

3 2/

-2 4":

3 2J

-2 4":

3 2J

3

5 к

3

5 к

2"

4

6

2"

4

6

Какое свойство умножения матриц демонстрирует данный пример?

Найдите матрицы, обратные данным:

<2 -4<2 -41) А= 1 -21) А= 1 -23 -1\3 -1\3"453"45

<2 -4

<2 -4

1) А= 1 -2

1) А= 1 -2

3 -1

\

3 -1

\

3"

4

5

3"

4

5

|"2 -1 1А

В= 3 2 2

1 -2 1

V У

<231)

С= 4 -1 5

1 -2 4

к 7

Решение систем линейных уравнений

Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областях сводятся к решению системы линейных уравнений, поэтому особенно важно уметь их решать.

Система п линейных уравнений с п неизвестными

Пусть дана линейная система п уравнений сп неизвестными, гдеа^, b^i= 1,2 гг, j- 1, 2и) — произвольные числа, называемые, соответственно, коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

allxl+al2x2+... + a,„x„ = bx, a21xx + а22х2 +... +а2пхп = Ь2,(2.3)

a„1xi+a„2x2+- + V„ =b„.

Такая запись (2.3) называется системой линейных уравнений в нормальной форме. Решением системы (2.3) называется такая совокупность п чисел (х, = kv х2 = к2 х„ = ^„), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение и несовместна, если она не имеет решений.

Если совместная система уравнений имеет единственное решение, она называется определенной; напротив, система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений являются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная данной может быть получена с помощью элементарных преобразований системы (2.3).

Систему (2.3) можно также записать в виде матричного уравнения:

АхХ=В,(2-4)

где Л — матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы:

а21;а22;...;а2п ,

^ni ’ &п2^

X — матрица-столбец (вектор) неизвестных:

В — матрица-столбец (вектор) свободных членов:

в = 62 .

В развернутом виде систему (2.4) можно представить следующим образом:

Существует ряд методов решения системы (2.3), ориентированных на вычисления вручную: методы Крамера, Гаусса и т. д. Предполагая использование компьютера для проведения вычислений, наиболее целесообразно рассмотреть решение системы (2.3) в общем виде (метод обратной матрицы). Будем считать, что квадратная матрица системы А„„ является невырожденной, то есть ее определитель |А| * 0. В этом случае существует обратная матрица А"1.

Умножая слева обе части матричного равенства (2.4) на обратную матрицу А"1, получим:

А-1 х А х Х=А-1 х В, Е х Х= А1 х В;

ЕхХ = Х,

отсюда решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

Х=А"1хВ.(2.5)

Таким образом, для решения системы (2.4) (нахождения вектора X) необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных членов. Выполнение этих операций в пакете Excel рассмотрено ранее (пример 2.2).

Пример 2.8. Пусть необходимо решить систему

(Зх + 2 г/ = 7,[4т-5г/ = 40.

Решение

Введите матрицу А (в данном случае размера 2 х 2) в диапазон А1:В2

Вектор В = (7 40) введите в диапазон С1:С2.

Найдите обратную матрицу А"1. Для этого:

выделите блок ячеек под обратную матрицу. Например, выделите блок АЗ:В4 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. После этого щелкните на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:В2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если обратная матрица не появилась в диапазоне АЗ: В4, то следует щелкнуть указателем мыши в Строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне АЗ:В4 появится обратная матрица:

'0,217391 0,086957"

0,17 3913 -0,13043 '\/

Умножением обратной матрицы А"1 на вектор В найдите вектор X. Для этого:

выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор X). Ее размерность будет т х р, в данном примере 2x1. Например, выделите блок ячеек СЗ:С4 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажать на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция имя функции — МУМН0Ж. Щелкните на кнопке 0К;

появившееся диалоговое окно МУМН0Ж мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон обратной матрицы А"1 — АЗ:В4 в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В — СТ.С2 — в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если вектор X не появился в диапазоне СЗ:С4, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне СЗ:С4 появится вектор X. Причем х=5 будет находиться в ячейке СЗ, а у = -4 — в ячейке С4.

Можно осуществить проверку найденного решения. Для этого найденный вектор X необходимо подставить в исходное матричное уравнение А х X = В.

Проверка производится следующим образом, -)<‘

Выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор В), Ее размерность будет т хр, в данном примере 2x1. Например, выделите блок ячеек D1:D2 (указателем мыши при нажатой левой кнопке). ч

Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

В появившемся диалоговом окне Мастер функций .в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция —^имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК.' ,

Появившееся диалоговое окно МУМ Н ОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон исходной матрицы А — А1:В2 в рабочее поле Массив!. (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы X — СЗ;С4 — в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Если вектор В не появился в диапазоне D1:D2, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор В, и, если система решена правильно, появившийся вектор будет равен исходному В = (7 40).

Пример 2.9, Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд: В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов SI, S2, S3, Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода ингредиентов на 1 день заданы таблицей:

Ингредиент

Нормы расхода ингредиентов на одно блюдо (у. е.)

Расход ингредиентов на 1 день (У- е.)

BlВ2

' ВЗ

S1

53

4

2700

S2

21

1

800

S3

32

2

■ 1600

Нужно найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.

Решение. Пусть ежедневно ресторан выпускаетxt блюд вида В1, х2 блюд вида В2 и х3 — блюд вида ВЗ. Тогда в соответствии с расходом ингредиентов каждого типа имеем систему:

5xt + Зх2 + 4х3 = 2700,

• 2xv + х2 + х3 = 900,

Зх, + 2хг + 2х3 = 1600.

Решаем систему аналогично решению примера 2.8.

Введите матрицу А (в данном случае размера 3 х 3) в диапазон А1:СЗ

'523'5233123124^12 /4^12 /

'5

2

3

'5

2

3

3

1

2

3

1

2

4^

1

2 /

4^

1

2 /

Вектор В = (2700 900 1600) введите в диапазон 01:03,

Найдите обратную матрицу Л"1. Для этого:

выделите блок ячеек под обратную матрицу. Например, выделите блок А4:Сб (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите пункт Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Щелкните на кнопке 0К;

появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если обратная матрица не появилась в диапазоне А4:Сб, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ +ENTER.

В результате в диапазоне А4:С6 появится обратная матрица.

Умножением обратной матрицы А"1 на вектор В найдите вектор X. Для этого:

выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор X). Ее размерность будет т х р, в данном примере 3x1. Например, выделите блок ячеек D4:Dб (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите пункт Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМН0Ж. Щелкните на кнопке 0К;

появившееся диалоговое окно МУМН0Ж мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон обратной матрицы А"1 — АФ.С6 в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В — DT.D3 введите в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если вектор X не появился в диапазоне D4:Dб, следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне D4:Dб появится вектор X (рис. 2.6).

125;2:з: н4iГ2700900Sэ;212;1Б004-3.55271Е-16;2:-1i2005"Г:-2:3:300Е■Г-■и■Г200125;2:з: н4iГ2700900Sэ;212;1Б004-3.55271Е-16;2:-1i2005"Г:-2:3:300Е■Г-■и■Г200—"А8 . . С . _.D—"А8 . . С . _.DРис. 2.6. Результаты вычислений из примера 2.9Рис. 2.6. Результаты вычислений из примера 2.9

1

2

5;

2:

з: н

4i

Г

2700

900

S

э;

21

2;

1Б00

4

-3.55271Е-16;

2:

-1i

200

5

"Г:

-2:

3:

300

Е

■Г

-■и

■Г

200

1

2

5;

2:

з: н

4i

Г

2700

900

S

э;

21

2;

1Б00

4

-3.55271Е-16;

2:

-1i

200

5

"Г:

-2:

3:

300

Е

■Г

-■и

■Г

200

—"А8 . . С . _.D

—"А8 . . С . _.D

Рис. 2.6. Результаты вычислений из примера 2.9

Рис. 2.6. Результаты вычислений из примера 2.9

Причем х( = 200 будет находится в ячейке D4, х2 = 300 — в ячейке D5, а х3 = 200 — в ячейке D6.

Рекомендуется сделать проверку, подставив найденные значения в уравнение системы. Для этого найденный вектор X необходимо подставить в исходное матричное уравнение А х X = В. При проверке используется тот же способ, что и для решения примера 2.8.

Упражнения

Решите самостоятельно следующие примеры,

13.13.15.15.xv ~х2 +х3 =3, 2х, +х2 +х3 =11, х, +х2 +2х=8.

13.

13.

15.

15.

х, +2х2+Зх3 -2х4 =6, 2х, + 4х2 - 2х3 - Зх4 =18, Зх, + 2х2 -х3 +2х4 = 4, 2х; -Зх2 + 2х3 +х4 =- 8.

2x-3y + z - 2 = 0, x+5y-4z + 5 =0, 4x + y-3z + 4 = 0.

3x+2y + z = 5,

x-2y* 3z = 6,

16. .

2x+3y + z = l, 2x+y + 34z=ll;

4x - 3y + 2z = 9,

2x+3y-4z = 20, 3x-2y-5z= 6.

x + у + 2z = -1,

17. .

2x + 5y-3z = 4, 5x + 6y-2z = 18;

2x-y-z-4,

2x-у + 2z = - 4, 4x + y + 4z = -2.

3x + 4y +2z= 8,

18. .

3x + 4y-2z= 11,

3x-2y + 4z = ll;

x + у - z = 1,

2x - у - 3z = -4, x + 5y + z = 0.

xt -4x2 -2x3 =- 3,

19. .

20. .

8x + 3y - 6z = 2, ■ 4x + у - 3z = 3;

4xj +7x2 -3x3=-10, 2xx +9x2 -x3 = 8, x, —6x2 +3x3 =-3;

Эх, 3xt

+ x2 + x3 = 5, - 5x2 - 6x3 = - 9.

-Зх, +6x2 +8x3 = -7, 9Xj -llx2 -14x3 = -15, 18x, -22x2 -30x3 = -20.

Система т линейных уравнений с п неизвестными

Система т. линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

(2.6)(2.6)я11х1 + л12х2 +... + а1пх„ = Ьр a2lxt + а22х2 +... + я2„хп = Ь2.

(2.6)

(2.6)

«,„1^1®ml^2 + ^mn^n ~ ^т'

Как и система (2.3), система (2.6) может быть представлена в матричном виде (2.4): АхХ = В.

Возможны следующие три случая: т<п,т = пит>п. Случай, когда m = и, рассмотрен ранее (система п линейных уравнений с и неизвестными). При т<п, если система т линейных уравнений с и неизвестными является совместной, то она не определена и имеет бесконечное множество решений.

В случае, если т > п и система является совместной, то матрица А имеет по крайней мере т - п линейно зависимых строк. Здесь решение может быть получено отбором п любых линейно независимых уравнений (если они существуют) и применением формулы (2.5) (система п линейных уравнений с п неизвестными), то есть сведением задачи к ранее решенной. При этом полученное решение будет удовлетворять и остальным т-п уравнениям.

Однако при применении компьютера удобнее использовать более общий подход — метод наименьших квадратов. Для этого обе части матричного уравнения системы (2.4) умножаем слева на транспонированную матрицу системы АТ

Ат АХ = АТВ.

Затем обе части уравнения умножаем слева на матрицу (ЛГЛ)"‘. Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что (АтАу' * (АтЛ) = Е, получаем

X = (Ат А)"1 Ат В.(2.7)

Матричное уравнение (2.7) является решением системы тп линейных уравнений с п неизвестными при тп>п..

Пример 2.10. Пусть необходимо решить систему

Зх + 2 г/ = 7, 4х - 5г/ = 40, Зх + Зу = 3.

Решение

Введите матрицу А (в данном случае размера 3 х 2) в диапазон А1:ВЗ

'343'3432"

'3

4

3

'3

4

3

-5 ,3

Вектор В = (7 40 3) введите в диапазон С1:СЗ. '■ ь i

Найдите транспонированную матрицу Аг. Для этого:

выделите блок ячеек под транспонированную матрицу. Его размер в примере будет 2x3. Например, выделите блок А4:С5 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);,,

нажмите ид панели инструментов Стандартная ^нопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция — имя функции ТРАНСП. Щелкните на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от ис- " ходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:ВЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если обратная матрица не появилась в диапазоне АЗ:В4, то следует щелкнуть указателем мыши в Строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А4:С5 появится транспонированная матрица Ат.

Найдите произведение Ат х В. Для этого:

выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор АТВ\ Ее размерность будет и х 1, в данном примере 2x1. Например, выделите блок ячеек Е4:Е5 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон транспонированной матрицы Аг — А4:С5 в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В — С1:СЗ — в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если вектор АТВ не появился в диапазоне Е4:Е5, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне Е4:Е5 появится вектор

АТВАТВ190 '-177,190 '-177,

АТВ

АТВ

190 '

-177,

190 '

-177,

Аналогично находим произведение Атх А;„■

выделите блок ячеек под результирующую матрицу A^',1 Ее размерность будет п х п, в данном примере 2x2. Например, выделите блок ячеек А7:В8 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

далее действуйте так, как описано в пункте 3, указывая соответствующие диапазоны.

В результате в диапазоне А7:В8 появится матрица АТА:

1(34 -5"

38 j

Находим обратную матрицу (АТА)'1. Для этого необходимо:

выделить блок ячеек под обратную матрицу. Например, блок А1О:В 11 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажать на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория . выбрать пункт Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Затем щелкнуть на кнопке ОК;

появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы АТА — А7:В8 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После этого нажать сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если обратная матрица не появилась в диапазоне АЮ:В11, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне АЮ:Bl 1 появится обратная матрица (АТАУ' " ''0,029992 0,003946(

0,003946 0,026835/

Теперь умножением обратной матрицы (АГА)-1 на вектор АТВ находим вектор X. Для этого:

выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор X). Ее размерность будет и х 1, в данном примере 2x1. Например, выделите блок ячеек D1:D2 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория ' выберите пункт Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке 0К;

появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон обратной матрицы (ATA)"V — А10:В11 в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы АТВ — Е4'.Е5 — в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если вектор X не появился в диапазоне 01:02, то следует щелкнуть указателем мыши в (дроке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне 01:02 появится вектор X (рис. 2.7). Причем х = 5 будет находиться в ячейке 01, а у = -4 — в ячейке 02.

Обратите внимание, что решение примера 2.10 аналогично решению примера 2.8, но в последнем присутствует дополнительное уравнение.

1

3 *

5

6

МЯемйе 3

4

2

2■5......

4■5

7

" "40

" з

3

6|

190

177

7,3897,389■538■53834', "-5Т

7,3

8

9

7,3

8

9

■5

38

■5

38

0,029992 ' 0,003946

0,003946 0 026835

Рис. 2.7. Результаты вычислений из примера 2.10

Можно осуществить проверку найденного решения. Для этого найденный вектор X необходимо подставить в исходное матричное уравнение

АхХ = В.

Причем достаточно подставить X в любые п уравнений.

Упражнения

Решите систему:

8х + 5г/ = 10, 5х + 2?у = 4, 7х + 4у = 8.

Решите систему:

2х - 4г/ + 3z = 1, Зх - у + 5г = 2, х - 2у + 4z = 3, 6х- 2у + Юг = 4.

Решите систему:

2х - у - z = 1, х + 2у - Зг = 5, 4х - 2у - 2г = 2, х + Зу + 4г = б.

^ ) ГЛАВА Задачи оптимизации

Очень широкий класс задач составляют задачи оптимизации или, как их еще называют, экстремальные задачи. Обычно их решение сопряжено с большим количеством вычислений, что затрудняет их решение вручную. Ниже будут рассмотрены некоторые типы задач оптимизации: решение уравнений с одним неизвестным, задачи линейного программирования и аппроксимация функций.

Постановка задачи оптимизации

В задачах оптимизации требуется найти значения параметров или функций, реализующих максимум или минимум некоторой зависящей от них величины, например:

2=/(xpx2хп),(3.1)

часто при дополнительных условиях-неравенствах:

ф/х,,^x„)<0(z=l,2т).(3.2)

Во многих инженерных и экономических задачах, например, желательно найти максимум меры выполнения или минимум стоимости.

Другим приложением задач оптимизации является получение приближенных решений выбором неизвестных значений параметров или функций так, чтобы они давали минимум ошибки.

В простейшем случае одной независимой переменной х локальные максимум и минимум функции определяются следующим образом. Действительная функция /(х), определенная при х = а, имеет в точке а (локальный) минимум или (локальный) максимум/(а), если существует такое положительное число 5, что при всех Ах = х - а, для которых выполняются неравенства 0 < | Дх| < 5 и существует значение/(а + Дх), соответственно

А/=/(а + Ах) -/(а) < О 1

или,"

А/=/(а + Ах) -/(а) > 0. '- -

Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции. Определение локальный подчеркивает тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки а. При решении оптимизационных задач важно нахождение не локальных экстремумов, а глобального максимума или глобального минимума (наибольшего или наименьшего значений) функции на промежутке X.

Для поиска экстремумов существуют различные методы. Часто случается, что при отыскании максимумов и минимумов функций многих переменных получают сложную систему уравнений, в этих случаях экстремумы находятся численными методами, то есть при помощи последовательного применения метода проб. При этом применение компьютера является практически единственным способом решения задачи.

Решение уравнений с одним неизвестным

Одним из приложений задач оптимизации является численное решение систем уравнений с одним или несколькими неизвестными вида:

= 0.(3.3)

Нахождение корней уравнения вида (3.3) даже в случае алгебраических уравнений выше третьей степени представляет достаточно сложную задачу. Трансцендентные же уравнения чаще всего вообще не имеют аналитического решения. В этих случаях единственным путем является получение приближенных решений, выбором неизвестных значений параметров так, чтобы они давали минимум ошибки некоторой целевой функции (как правило, квадратичной). Обычно используются итерационные методы, когда вначале выбирают некоторое начальное приближение х|0) затем вычисляют последовательные приближения

0 = 0, 1,2,...).

Итерационные методы обеспечивают сходимость таких приближений к искомому значению х.

В MS Excel для решения уравнений вида (3.3) используется удобный и простой для понимания инструмент Подбор параметра. Он реализует алгоритм численного решения уравнения, зависящего от одной переменной.

Процесс решения с помощью процедуры Подбор параметра распадается на два этапа:

Задание на рабочем листе ячейки, содержащей переменную решаемого уравнения (так называемой влияющей ячейки), и ячейки содержащей формулу уравнения (зависящей или целевой ячейки).

Ввод адресов влияющей и целевой ячеек в диалоговом окне Подбор параметра и получение ответа (или сообщения о его отсутствии или невозможности нахождения, поскольку уравнение может не иметь решений или алгоритм решения (оптимизации) может оказаться расходящимся в конкретных условиях).

К сожалению, с помощью процедуры Подбор параметра могут быть решены только некоторые типы уравнений.ь

Пример 3.1. Найти решение’уравнения 1пг = 0.

Решение'

Первый этап ..

Открываем новый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение корня, например, 3.

Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А1. Для этого нажимаем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции; в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выбираем Математические, а в рабочем поле Функция имя функции LN. После чего щелкаем на кнопке ОК; появившееся диалоговое окно LN мышью отодвигаем в сторону от ячейки А1 и в рабочее поле Число щелчком мыши на ячейке А1 вводим ее адрес. После чего нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке В1 появляется число 1,098612.

Второй этап

Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис ► Подбор параметра).

В поле Установить в ячейке мышью указываем В1, в поле Значение с клавиатуры задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки мышью указываем А1 (рис. 3.1).1

Подбор парамегра

Уеч^наетпь в ачейч^^ :4J

Значение:.[о

Ижекяй ячейки!

Рис. 3.1. Пример заполнения диалогового окна Подбор параметра

Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора, отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на кнопке ОК, чтобы сохранить полученные значения ячеек, участвовавших в операции. В ячейке А1 получаем приближенное значение х = 0,999872 (рис. 3.2). При этом погрешность ' решения (значение правой части уравнения) — вместо 0 в ячейке В1 получаем 0,00013.’

' 1 . А

'8|

1 | 0,99987

2| -0,000131

Рис. 3.2. Результаты вычислений из примера 3.1

Таким образом, при значении х = 0,999872 правая часть уравнения 1пх = 0 приближается к нулю (-0,00013). Принимая во внимание, что полученный корень это приближенное решение, его можно округлить до 1, то есть х = 1, что и является известным аналитическим решением этого уравнения.

Пример 3.2. Найти решение уравнения х2 - Зх +2 = 0.

Решение. Уравнение имеет 2 корня. Решение начинаем с нахождения первого корня.

Открыть новый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение первого корня, например, 3.

Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А1. Соответствующая формула будет иметь вид=А1А2 - 3*А1 + 2.

Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис ► Подбор параметра).

В поле Установить в ячейке указываем В1, в поле Значение задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки указываем А1.

Щелкаем на кнопке 0К и получаем результат подбора, отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на кнопке 0К, чтобы сохранить полученные значения ячеек, участвовавших в операции. Таким образом, в ячейке А1 получаем приближенное значение хх = 2,000048. При этом точность решения (значение правой части уравнения) — вместо 0 в ячейке В1 получаем 4,85Е-05 (0,0000485).

Повторяем расчет для второго корня х2, задавая в ячейке А1 другое начальное значение, например -3. Получаем значение второго корня уравнения х2 = 0,9996.

Упражнения

Решить уравнение cosx = 0 в диапазонех е [0; 2].

Решить уравнение 2х2 - Зх + 1 = 0.

Решить уравнение х3 - Зх2 + х = 0.

Линейное программирование

В случае, когда оптимизируемая целевая функция (3.1) и ограничения (3.2) линейны, задача оптимизации решается методами линейного программирования и обычно называется задачей линейного программирования. Задача линейного программирования заключается в нахождении г переменных хр х2,..., х„ минимизирующих данную линейную функцию (целевую функцию):

(3.4)(3.4)(3.5)(3.5)Z = /(Хр Х2,..„ Xr) = С^ + С2Х2 + ... + с,х,.

(3.4)

(3.4)

(3.5)

(3.5)

(или максимизирующую — Z) при линейных ограничениях-равенствах:

а^х, + ai2x2 + ... + а^г = Аь где1 = 1, 2,..., п

и линейных ограничениях-неравенствах:

Ajvxv + Aj2x2 + ... +А,,Хг^В;, где;'= 1,2, ...,т.(3.6)

Часто задачу линейного программирования (3.4-3.6) сводят путем введения в случае необходимости вспомогательных переменных к стандартной форме (основной задаче линейного программирования). При этом требуется минимизировать целевую функцию:

Z=/(x1,x2,... ^Jsc^ + c^-f- ... +с„хп(3.7)

при т < п линейных ограничениях-равенствах

«цХ, + ai2x2 + ... + а^„ = Ьь гдег= 1,2, ...,т(3.8)

и и линейных ограничениях-неравенствах

xt>0, где А = 1,2и.(3.9)

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования является упорядоченное множество чисел (xv, х2, ..., х„\ удовлетворяющих ограничениям (3.8) и (3.9). Это точка в и-мерном пространстве. Допустимое решение, минимизирующее целевую функцию (3.7), называется оптимальным решением (оптимальным планом).

Чаще всего оптимальное решение, если оно существует, является и единственным. Однако возможны случаи, когда оптимальных решений бесчисленное множество. Процесс решения задачи линейного программирования обычно состоит из ряда этапов:

О 1-й этап: осмысление задачи, выделение наиболее важных качеств, свойств, величин, параметров. Это можно делать, составляя схемы, таблицы, графики и т. п.;

о 2-й этап: введение обозначений (неизвестных). Желательно ограничиваться как можно меньшим количеством неизвестных, выражая по возможности одни величины через другие;

о 3-й этап: создание целевой функции. Обычно в качестве цели могут выступать максимальная стоимость всего объема продукции, максимальная прибыль, минимальные затраты и т. п. Целевая функция записывается в виде (3.4) или (3.7).

о 4-й этап: составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины (3.5), (3.6) или (3.8), (3.9).

о 5-й этап: решение задачи на компьютере.

Инструментом для поиска решений задач оптимизации в Excel служит процедура Поиск решения (Сервис ► Поиск решения). При этом открывается диалоговое окно Поиск решения. Оно содержит следующие рабочие поля:

о Установить целевую ячейку — служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу:

О Равной — служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа). Чтобы установить число, необходимо ввести его в поле;

О Изменяя ячейки — служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку;

О Предположить — используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки;

О Ограничения — служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи;

О Добавить — используется для отображения диалоговогоокнаДобавить ограничение;

О Изменить — применяется для отображения диалогового окна Изменить ограничение;

О Удалить — служит для снятия указанного ограничения;

О Выполнить — используется для запуска поиска решения поставленной задачи;

О Закрыть — служит для выхода из окна диалога без запуска поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки, сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки Параметры, Добавить, Изменить или Удалить;

О Параметры — применяется для отображения диалогового окна Параметры поиска решения, в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения;

О Восстановить — служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска решения, используемых по умолчанию.

Рассмотрим примеры решения задач оптимизации.

Пример 3.3. В ресторане готовятся фирменные блюда трех видов (блюдо А, блюдо В и блюдо С) с использованием при приготовлении ингредиентов трех видов (ингредиент 1, ингредиент 2 и ингредиент 3). Расход ингредиентов в граммах на блюдо задается следующей таблицей:

Вид ингредиента

Блюдо А

Блюдо В

Блюдо С

Ингредиент 1

20

50

10

Ингредиент 2

20

0

40

Ингредиент 3

20

10

10

Стоимость приготовления блюд одинакова (100 руб).

Ежедневно в ресторан поступает 5 кг ингредиента 1 и по 4 кг ингредиентов видов 2 и 3. Каково оптимальное соотношение дневного производства блюд различного вида, если производственные мощности ресторана позволяют использовать весь запас поступивших продуктов?

Решение» Для решения задачи введем обозначения: пусть х, — дневной выпуск блюда А; х2 — дневной выпуск блюда В; х3 — дневной выпуск блюда С.

Составим целевую функцию — она заключается в стоимости выпущенных рестораном блюд: ■ и > >г ।;

'' 12= lJ00 х Xj + 100 х х2 + 100 х х3.

Определим имеющиеся ограничения (руководствуясь таблицей):

1. 20 хх, + 50 хх2 + 10 хх3< 5000;

2' 20 х х, + 0 х х2 + 40 х х3 < 4000;

3. 20 хх, + 10 хх2 + 10 хх3 < 4000.

Кроме того, поскольку нельзя реализовать часть блюда и количество блюд не может быть отрицательным, добавим еще ряд ограничений:

х, > 0;

х2>0;

х3 > 0;

х, — целое;

х2 — целое;

х3 — целое.

Теперь можно приступить к решению задачи на компьютере.

Откроем новый рабочий лист (Вставка ► Лист).

В ячейки А2, АЗ и А4 занесем дневной запас продуктов — числа5000,4000 и 4000 соответственно.

В ячейки Cl, D1 и Е1 занесем начальные значения неизвестныххрХз их3(нули) — в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.

В ячейках диапазона С2:Е4 разместим таблицу расхода ингредиентов.

В ячейках В2:В4 укажем формулы для расчета расхода ингредиентов по видам. В ячейке В2 формула будет иметь вид =$С$1*С2 + $D$1*D2 + $Е$1*Е2, а ос' тальные формулы можно получить методом автозаполнения (копирования).

В ячейку F1 занесем формулу целевой функции =100*(С1 + D1 + Е1\ Результат ввода данных в рабочую таблицу представлен на рис. 3.3.

. А

...В,ь

*

. О ’ .

Е . . F

1 1

0-

0:

0!G

ИЗ 5000;

0,

20

50;

10:;

э г 4ооо;

о:

20;

0^

40::

4 | aqciqj

0:

20-

10:

ю; ■:

Рис. 3.3. Результат ввода данных из примера 3.3

Дадим команду Сервис ► Поиск решения —откроется диалоговое окно Поиск решения.

В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (F1) (рис. 3.4). Установим переключатель Равной в положение максимальному значению (требуется максимальный объем производства).

Поиск решенияПоиск решения, 13®, 13®Г" дефЯНИЮ. joГ" дефЯНИЮ. jo' Вр|ПОЛ|«ТЬ |Вешить |' Вр|ПОЛ|«ТЬ |Вешить |^1к»Пе$Г^*4№жч$ния"—^1к»Пе$Г^*4№жч$ния"—3J федлЬпо^иг* [3J федлЬпо^иг* [II$В$2 $В$4 <- $А$2 $Д$4 $С$1 $Е$1 * целое $С$1.$Е$1 >-0$В$2 $В$4 <- $А$2 $Д$4 $С$1 $Е$1 * целое $С$1.$Е$1 >-0^1 Дойжить^1 ДойжитьЦ:мн«-, IХдатль |Ц:мн«-, IХдатль |s&!hi^§&ii^b!§Siibi4Si^&>&&^^®!^^s&!hi^§&ii^b!§Siibi4Si^&>&&^^®!^^Вокхавоиигь f "Йзмвка |Вокхавоиигь f "Йзмвка |

Поиск решения

Поиск решения

, 13®

, 13®

Г" дефЯНИЮ. jo

Г" дефЯНИЮ. jo

' Вр|ПОЛ|«ТЬ |

Вешить |

' Вр|ПОЛ|«ТЬ |

Вешить |

^1к»Пе$Г^

*4№жч$ния"—

^1к»Пе$Г^

*4№жч$ния"—

3J федлЬпо^иг* [

3J федлЬпо^иг* [

I

I

$В$2 $В$4 <- $А$2 $Д$4 $С$1 $Е$1 * целое $С$1.$Е$1 >-0

$В$2 $В$4 <- $А$2 $Д$4 $С$1 $Е$1 * целое $С$1.$Е$1 >-0

^1 Дойжить

^1 Дойжить

Ц:мн«-, I

Хдатль |

Ц:мн«-, I

Хдатль |

s&!hi^§&ii^b!§Siibi4Si^&>&&^^®!^^

s&!hi^§&ii^b!§Siibi4Si^&>&&^^®!^^

Вокхавоиигь f "Йзмвка |

Вокхавоиигь f "Йзмвка |

Рис. 3.4. Пример заполнения диалогового окна Поиск решения

В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных х,) — С1:Е1.

Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку мышью укажем диапазон В2:В4. В качестве условия зададим <=. В поле Ограничение мышью зададим диапазон А2:А4 (рис. 3.5). Это условие указывает, что дневной расход ингредиентов не должен превосходить запасов. Щелкнем на кнопке ОК.

Рис. 3.5. Пример заполнения диалогового окна Добавление ограниченияРис. 3.5. Пример заполнения диалогового окна Добавление ограничения

Рис. 3.5. Пример заполнения диалогового окна Добавление ограничения

Рис. 3.5. Пример заполнения диалогового окна Добавление ограничения

Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Е1. В качестве условия зададим >=. В поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что число приготавливаемых блюд неотрицательно. Щелкнем на кнопке ОК.

Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Е1. В качестве условия выберем пункт цел. Это условие не позволяет производить доли блюд. Щелкнем на кнопке ОК.

Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.

Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.

В результате получится оптимальный набор переменных (оптимальное количество приготавливаемых фирменных блюд) при данных ограничениях (при данном количестве ингредиентов): блюда А — 184 порции (х,), блюда В — 24 порции (х2) и блюда С — 8 порций (х3). При этом общая стоимость блюд (Z) будет макси-

мальной и равной 21 600 руб. При этом останутся неизрасходованными 40 г первого ингредиента (рис. 3.6).

2

3

4

5

. А.

184!24;821600;

5000

4000

4960;2050'10!;

4000

20о:40;

4000;4000

231010-

Рис. 3.6. Результат вычислений из примера 3.3

Проанализируем полученное решение. Проверить его оптимальность можно, экспериментируя со значениями ячеек Cl:Е1. Например, допустим, что решили приготовить количества блюд, соответственно 184, 23, 9. Тогда при той же общей стоимости блюд будет перерасход второго ингредиента на 40 г, что, естественно, недопустимо. Можно рассмотреть и другие варианты. Чтобы восстановить оптимальные значения, можно в любой момент повторить операцию поиска решения.

Пример 3.4. Туристская фирма заключила контракт с двумя турбазами: в г. Сухуми и в окрестных городах, рассчитанных, соответственно, на 200 и 150 человек.

Туристам для осмотра предлагается обезьяний питомник в городе, ботанический сад и поход в горы. Составьте маршрут движения туристов так, чтобы это обошлось возможно дешевле, если:

О обезьяний питомник принимает в день 70 человек, ботанический сад — 180 человек, а в горы в один день могут пойти 110 человек;

О стоимость одного посещения выражается таблицей:

Турбаза

ОП

ВС

Поход

1

5

6

20

2

10

12

5

Решение. Для решения задачи введем обозначения: пусть ^ — число туристов из турбазы в Сухуми, посещающих обезьяний питомник; хг — число туристов из турбазы в Сухуми, посещающих ботанический сад; х3 — число туристов из турбазы в Сухуми, отправляющихся в поход; х4 — число туристов из окрестной турбазы, посещающих обезьяний питомник; х5 — число туристов из окрестной турбазы, посещающих ботанический сад; х6 — число туристов из окрестной турбазы, отправляющихся в поход. Составим целевую функцию — она заключается в минимизации стоимости дневных мероприятий турфирмы: Z= 5 х Xj + 6 хх2 + 20 х х3 + 10 х х4 + 12 хх5 + 5 хх6.

Определим имеющиеся ограничения (руководствуясь условиями задачи):

xt+ х4< 70;

х2 + х3<180;

х3 + xfi < 110;

Xi + хг + х3 = 200;

х4 + х5 + х6 = 150.

Кроме того, поскольку турист неделим и количество туристов, участвующих в каждом мероприятии, не может быть отрицательным, добавим еще ряд ограничений: 1)х,>0;.

х2>0;

х3 > 0;’

х4 > 0;

х5>0;'

х6 > 0;

— целое;■

х2 — целое;

х3 — целое;

х4 — целое;

х3 — целое;

х6 — целое,

Теперь можно приступить к решению задачи на компьютере,

Откройте новый рабочий лист (Вставка ► Лист).

В ячейки А2, АЗ и А4 занесите дневное количество посетителей различных мероприятий — числа 70, 180 и 110, соответственно.

В ячейки А5 и Аб занесите количество туристов в обеих гостиницах — числа 200, и 150, соответственно.

В ячейки С1:Н1 занесите начальные значения неизвестных х„ х2хв (нули) — в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.

В ячейках диапазона С2: Н6 разместите таблицу коэффициентов основных ограничений:

• 1,0,0,1,0,0;

0, 1,0,0,1,0;

0,0,1,0,0,1;

1,1,1,0, 0,0;

0,0,0,1,1,1.

В ячейках В2:Вб укажите формулы для расчета ограничений. В ячейке В2 формула будет иметь вид=$С$1*С2 + $D$1*D2 + $Е$1*Е2 + $F$1*F2 + $G$1*G2 + + $Н$1*Н2, а остальные формулы можно получить методом автозаполнения (копирования).

В ячейку И занесите формулу целевой функции =5*С1 + 6*D1 + 20*Е1 + + 10*Е1 + 12* G1 + 5*Н1.

Дайте команду Сервис ► Поиск решения — откроется диалоговое окно Поиск решения.

В поле Установить целевую ячейку укажите ячейку, содержащую оптимизируемое значение (И). Установите переключатель Равной в положение минимальному значению (требуется минимальный объем затрат).

В поле Изменяя ячейки задайте диапазон подбираемых параметров (неизвестных х,) — С1:Н1.

Чтобы начать определять набор ограничений, щелкните на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку укажите диапазон В2:В4. В качестве условия задайте <-. В поле Ограничение задайте диапазон А2:А4. Это условие указывает, что дневное количество посетителей мероприятий не должно превосходить их возможностей. Щелкните на кнопке ОК.

Для продолжения определения набора ограничений щелкните на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку укажите диапазон В5:В6. В качестве условия задайте -. В поле Ограничение задайте диапазон А5.А6. Это условие указывает, что дневное количество посетителей мероприятий должно быть равно количеству туристов. Щелкните на кнопке ОК.

Снова щелкните на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажите диапазон СТ.Н1. В качестве условия задайте >-. В поле Ограничение задайте число 0. Это условие указывает, что число участников мероприятий неотрицательно. Щелкните на кнопке ОК.

Снова щелкните на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажите диапазон С1:Н1. В качестве условия выберите пункт цел. Это условие указывает, что турист неделим. Щелкните на кнопке ОК.

Щелкните на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.

Установите переключатель Сохранить найденное решение, после чего щелкните на кнопке ОК.

В результате получится оптимальный набор переменных (оптимальное количество туристов для участия в каждом мероприятии из каждой гостиницы) при данных ограничениях (при заданных возможностях мероприятий): число туристов из турбазы в Сухуми, посещающих обезьяний питомник (х, = 30), ботанический сад (х2 = 170) и отправляющихся в поход (х3 = 0); число туристов из окрестной турбазы, посещающих обезьяний питомник (х4 = 40), посещающих ботанический сад (х5 = 0) и отправляющихся в поход (х6 = 110). При этом суммарные расходы турфирмы (Z) составят 2120 руб. и будут минимальными.

Можно проанализировать полученное решение. Его оптимальность проверяется путем эксперимента со значениями ячеек С1:Н1. Чтобы восстановить оптимальные значения, можно в любой момент повторить операцию поиска решения.

Другими типовыми примерами задач линейного программирования являются задачи:

О рационе питания.

Об оптимальных перевозках.

Об оптимальном плане пошивочной мастерской.

О рациональном использовании сырья.

Рассмотрим эти задачи в качестве упражнений.

Упражнения

Каждому животному нужно ежедневно выдать не менее 6 единиц белков, 8 единиц жиров и 12 единиц углеводов. Есть два вида корма. Одна единица первого корма содержит 21 единицу белка, 2 единицы жира, 4 единицы углеводов и стоит 3 руб. Для второго корма соответствующие цифры следующие: 3, 2, 2 и 2. Составьте математическую модель и найдите оптимальный рацион питания.

Продукцию, производимую на предприятиях А и В, надо развезти по магазинам № 1, № 2 и № 3. Предприятие А производит 320 единиц продукции, предприятие В — 380. Магазин № 1 реализует за сутки 200 кг, № 2 — 280 кг; № 3 — 220 кг. Составьте план перевозок продукции, при котором их стоимость будет наименьшей, если стоимость перевозки 1 кг продукции задана таблицей:

Предприятие

Магазин

№ 3

№ 1

№ 2

А

2

4

б

В

4

5

3

Пошивочная мастерская планирует выпуск двух видов костюмов: мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. На мужской костюм — 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти и 240 м лавсана, 150 человеко-дней трудозатрат. Предусматривается выпуск не менее 110 костюмов, причем необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 руб. Определите оптимальное количество костюмов каждого вида, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 руб., а мужского — 20 руб.

Составьте оптимальный план производства продукции, чтобы стоимость всего объема произведенного была максимальной, если: цена 1 единицы каждой продукции по 20 денежных единиц. На каждую единицу первой продукции расходуется 2 единицы сырья; 4 единицы материалов и 1 человеко-день; второй продукции — соответственно, 2, 3 и 3. Общие объемы ресурсов:

фонд рабочего времени — 12;

фонд сырья — 16;

фонд материалов — 9;

цена 1 единицы сырья — 1 денежная единица;

цена материалов — 3 денежных единицы.

Проанализируйте математическую постановку этой задачи; как увеличить стоимость всей продукции, если можно привлечь дополнительные ресурсы, лишние продавать?

Составьте оптимальный план производства, чтобы стоимость всей продукции была максимальной, если:

Продукция

Стоимость 1 ед. продукции

Норма расходов ресурсов

Трудовых Сырьевых

Материалов

1 ■

40

68

' 6

2

30

57

5

Общие объемы ресурсов:

трудовых — 48;

сырьевых — 56;

материалов — 72;

цена одной единицы сырья — 2 денежные единицы;

материалов — 1,5 денежные единицы.

Проанализируйте составленный оптимальный план: как можно увеличить стоимость всей продукции, если исходить из возможности свободно распоряжаться ресурсами.

Аппроксимация экспериментальных данных

На практике часто приходится сталкиваться с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей или задачей аппроксимации. Аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы (р(х) для установленной из опыта функциональной зависимости у = f(x\ Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных.

Одна независимая переменная

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости у=/(х) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой- либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции. После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Во многих случаях, в особенности если функция/(х) задана графиком или таблицей (на дискретном множестве точек), для оценки степени приближения рассматривают разности /(х,) - ср(х,) для точек x0,xt, ...,х„. Существуют различные меры близости и, соответственно, способы решения этой задачи. Некоторые из них очень просты, быстро приводят к результату, но результат этот является сильно приближенным. Другие более точные, но и более сложные. Обычно определение парамет-

ров при известном виде зависимости осуществляют по методу наименьших квадратов. При этом функция ср(х) считается наилучшим приближением к/(т), если для нее сумма квадратов невязок 5, или отклонений «теоретических» значений ср(х;), найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений уь

2 = ф(х,)]2 -» min (3.10)

имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение. " Используя методы дифференциального исчисления, метод наименьших квадратов формулирует аналитические условия достижения суммой квадратов отклонений (3.10) своего наименьшего значения. Так, если функция ф(х) вполне определяется своими параметрами k,l,m, ..., то наилучшие (в указанном смысле (3.10)) значения этих параметров находятся из решения системы уравнений. Например, в простейшем случае, когда функция ф(х) представлена линейным уравнением у = ах + Ь, система имеет вид:

(3.11)(3.11)а * Е х- + b * Е х, = Е х, * У;,i=ii=i 1=1

(3.11)

(3.11)

а * Е х4 + Ь* п = Е у;.

В простейшем случае задача аппроксимации экспериментальных данных выглядит следующим образом.

Пусть есть какие-то данные, полученные практическим путем (в ходе эксперимента или наблюдения), которые можно представить парами чисел (^ г/). Зависимость между ними отражает таблица:

XXj...Хп

УУ.•••Уп

На основе этих данных требуется подобрать функцию у = <р(х), которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала общую тенденцию зависимости между х и у, исключая погрешности измерений и случайные отклонения. Это значит, что отклонения у4 - у,(х^ в каком-то смысле были бы наименьшими. Например, в смысле (3.10).

Выяснить вид функции можно либо из теоретических соображений, либо анализируя расположение точек (х„; у„) на координатной плоскости.

Например, пусть точки расположены так, как показано на рис. 3.7.

Учитывая то, что практические данные получены с некоторой погрешностью, обусловленной неточностью измерений, необходимостью округления результатов и т. п., естественно предположить, что здесь имеет место линейная зависимость у = ах + Ь.

у

Рис. 3.7. Возможный вариант расположения экспериментальных точек

Чтобы функция приняла конкретный вид, необходимо каким-то образом вычислить а и Ь. Для этого можно решить систему (3.11).

Расположение экспериментальных точек в виде кривой на рис. 3.8 наводит на мысль, что зависимость обратно пропорциональна и функцию <р(х) нужно подбирать в виде у = а + b/х. Здесь также необходимо вычислить параметры а и Ь.

Рис. 3.8. Другой вариант расположения экспериментальных точек

Таким образом, расположение экспериментальных точек может иметь самый различный вид, и каждому соответствует конкретный тип функции.

Построение эмпирической функции сводится к вычислению входящих в нее параметров, так чтобы из всех функций такого вида выбрать ту, которая лучше других описывает зависимость между изучаемыми величинами. То есть сумма квадратов разности между табличными значениями функции в некоторых точках и значениями, вычисленными по полученной формуле, должна быть минимальна.

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (х — отвлеченные величины) или точечного графика (х — имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда). Возможны следующие варианты функций:

Линейная — у = ах + Ь. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

Полиномиальная — у = ай +ахх + а2хг + ... + апх", где до шестого порядка включительно (и < 6), а, — константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени может описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени — не более трех экстремумов и т. д.

Логарифмическая — у = alnx + b, где а и b — константы, In —функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных дан-

ных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

Степенная — у = Ьх", гдеаиЬ — константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

Экспоненциальная — у = be”, где а и b — константы, е — основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений..

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (Д2). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1). Для осуществления аппроксимации на диаграмме экспериментальных данных необходимо щелчком правой кнопки мыши вызвать выплывающее контекстное меню и выбрать пункт Добавить линию тренда. В появившемся диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбирается вид аппроксимирующей функции, а на вкладке Параметры задаются дополнительные параметры, влияющие на отображение аппроксимирующей кривой.

Пример 3.5. Исследовать характер изменения с течением времени уровня производства некоторой продукции и подобрать аппроксимирующую функцию, располагая следующими данными:

ГодПроизводство продукции

199717,1

1998

18,0

1999

18,9

2000

19,7

2001

19,7

Решение

Для построения диаграммы, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Год. Затем в ячейки А2:А6 последовательно вводим годы, начиная с 1997. Далее в ячейку В1 заносим слово Продукция и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение 17,1 соответствующее значению года в ячейке А2. Аналогично заполняем ячейки ВЗ:В6.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму. Поскольку здесь необходимо строить динамику изменений производства продукции, не привязываясь к конкретному году, а от отвлеченных переменных — выберем диаграмму График.

Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График,

вид — левый средний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:Вб (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А6. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы — Производство продукции, название осей X и У: Годы и Условные единицы, соответственно. Нажимаем кнопку Готово.

Получен график экспериментальных данных.

Осуществим аппроксимацию полученной кривой полиномиальной функцией второго порядка, поскольку кривая довольно гладкая и не сильно отличается от прямой линии, Для этого указатель мыши устанавливаем на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся контекстном меню выбираем пункт Добавить линию тренда. Появляется диалоговое окно Линия тренда (рис. 3.9).

ГИуеифмИЧескад Цзл«адии»й>нея!ГИуеифмИЧескад Цзл«адии»й>нея!ига]ига]ДгйейяяДгйейяяПостроен на садеiПостроен на садеi

ГИуеифмИЧескад Цзл«адии»й>нея!

ГИуеифмИЧескад Цзл«адии»й>нея!

ига]

ига]

Дгйейяя

Дгйейяя

Построен на садеi

Построен на садеi

I ■ ОК

Рис, 3.9. Вкладка Тип диалогового окна Линия тренда

В этом окне на вкладке Тип выбираем тип линии тренда — Полиномиальная и устанавливаем степень — 2. Затем открываем вкладку Параметры (рис. 3.10) и устанавливаем флажки в поля показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (RA2). После чего нужно щелкнуть на кнопке ОК.

В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую (рис. 3.11).

Как видно из рис. 3.11, уравнение наилучшей полиномиальной аппроксимирующей функции для некоторых отвлеченных значений х (1, 2, 3,...) выглядит как

у = -0,14х2 + 1,5х + 15,66.

При этом точность аппроксимации достаточно высока — Р? = 0,986.

:иэПи1Г9В1 иэТпсяЛкэеэ оэ ииялэлэялооэ я чэвекнэиеи эиэ

-ОЯОЯ Я (if/ли) ВИТ^ЛНЭПНОЯ ОЛ9 ВЯЛЭ91ПЭЯ ОЛОЛИНО^К BDOdgHH 91ГЭОЦ '9'£ бэиибц

•(ЯСШ1ВИС1ВЯ хин

-H9dlOn99Bd ХХяК ей) ИН9Ц9ЛЭ И0d0ЛЯ ИЭИПЯНХф уОНЧ1ГВИИОНИ1ГОП KHTlBHHDMOd -UUB КЭЛ9К1ГЯК H9HHBnH9MOdUUB уЭШЬХкИВН ОЛЬ ‘ЧЛВЛИЬЭ ОНЖОИ 01 ‘yИH9ЖBd9OOЭ XИЯЭ9hИЛ9d0ЭЛ ОдИГГ-ХИЯВЯ ЛЭН И1ГЭ9 ЛиОЛЕОЦ '9Q6‘0 > 9ТД6‘О = гУ ~ HOHHdx уончив -ИИ0НИ1Г0П HHUBWHOMOdnUB ИЛЭОНЬОЛ ОН ЛЭВиХлэХ 0ЯЧ1ГОЯЭ9Н ииПянХф уэШонЫип -иэяodццв И0ЯЭ9hИифиdвЛ0If ИЭШЬХТГИВН 9I4H9HHBdX ‘gj '£ ’9Hd ей члэЯия онжои яв^

(ZT£ -ond) иоя

-иdя И0ЯЭ9hИИфиdвЛ0If — ИИIIBИИЭЯOdЦЦB лнвиdвя yOлXdIZ WHhXlfOII 9ЛBЛЧIfЛE9d g

’нeяDahиwфиdeJOl/

— BIZH9dЛ ИИНИ1Г НИЛ W9BdH9I4H U И1ЭЯРВЕЯЯ ВН BtfHэdЛ НИ Ни[/ эняо Я ОЛЬ 'олол иэинэь -ОНГЯЭИ BE •£ 'II HHlIBdgilO ^M9кd0ЛЯ0Ц ОЛОЛЕ KIT)/ "КИПянХф KBЯЭ9hИифиdEЛ0If кэлэ -KIfЯBЛЭff9dц иoлнвиdвя И1ЧНЖ0ИЕ0Я ЧЭЭРд '(ОЛОНЛВЯЯЭТ/В 991ГО9 онжоиеоя) ииП -янХф впил oлoлЛdIZ nodogm HHiiBnH9HodHHB оялээьвя члитьХтгХ noXgoduon '^

g-£ edawndu ей ‘yoandx уонянвиионинои anHHBaodnwnDModuuB 'эиннвИ ai4H4irBiHawndauDHG "[1‘Е ’^d

BtfHadi кин и Lf вняо олоаолоивиУ i4diawBdB[j внУвинд ‘ОГЕ ‘эиа

”^*»Т, |'"-"''^'""3 -

I ВМ|Й||ЙВШИЖВММЖВИ1М

' 1^а)"®^й1лЗЕ»"йТйй^фот7Ж'ан я&15®»1^ л; ?

. ‘ " .-./,/ j *' ^0| :»!^9i«A<H4soaMP»*t1M oHHeMse^dj^

MSlitWtWlMiiliNlilfilMW^

..eovendw oj :«h«miS1

' ' l - ' -f' -- "'"Ч ®°voHdau o| -si»»Sua sj

; j: 7.., ' ^sK/tMLi)s=iwenHWHirty )«»о»ы1м»«»*Ж'^'^

: 1лл_^лЛЧл^4~|^ййайонн«*»М{р»^винимФаицааин«й<м4-^

i^jyewwadA ииииу

Время после выброса (час)

Концентрация вещества (мг/л)

1

8,0

3

2,8

5

1,0

8

о,3

Производство продукцииПроизводство продукции—♦—Продукция—Логарифмический (Продукция)—♦—Продукция—Логарифмический (Продукция)Определить вид функциональной зависимости изменения концентрации вещества от времени и оценить его концентрацию в водоеме в момент выброса.

Производство продукции

Производство продукции

—♦—Продукция

—Логарифмический (Продукция)

—♦—Продукция

—Логарифмический (Продукция)

У - 1,7493Ln(x)* 17,005Rv - 0Э716

Рис. 3.12. Экспериментальные данные, аппроксимированные логарифмической кривой,из примера 3.5

Решение

Для построения диаграммы, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Время. Затем в ячейки А2:А5 последовательно вводим время: 1,3,5, 8. Далее в ячейку В1 заносим слово Концентрация и в диапазон В2:В5 вводим соответствующие концентрации вещества.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму. Поскольку здесь необходимо строить динамику изменений концентрации вещества в соответствии с изменениями времени — будем строить диаграмму Точечная. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграм м. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы Точечная, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:В5 (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А5. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы — Конирнтрация вещества, название осей X и У: Время и Концентрация, соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Получен график экспериментальных данных.

Осуществим аппроксимацию полученной кривой. Поскольку кривая напоминает экспоненту и из теоретических соображений наиболее вероятный закон изменения — экспоненциальный, целесообразно аппроксимировать кривую изменения концентрации экспоненциальной функцией. Для этого указатель мыши устанавливаем на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся контекстном меню выбираем пункт Добавить линию тренда. Появляется диалоговое окно Линия тренда.

В этом окне на вкладке Тип выбираем тип линии тренда — Экспоненциальная. Затем открываем вкладку Параметры и устанавливаем флажки в поля показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (RA2)( Кроме этого, для того, чтобы оценить концентрацию вещества в водоеме в момент выброса в поле Прогноз назад на устанавливаем 1 периодов. После чего щелкаем на кнопке О К. В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Экспериментальные данные, аппроксимированные экспоненциальной функцией из примера 3.6

Как видно из рис. 8.13, уравнение наилучшей экспоненциальной аппроксимирующей функции для зависимости концентрации от времени выглядит как

г/ = 11,844е’0'4695*.(3.12)

При этом точность аппроксимации очень высокая — R2 = 0,9951, что позволяет считать описание процесса изменения концентрации вещества в водоеме экспоненциальной функцией адекватным. Расчетная оценка концентрации вещества в момент выброса, как видно из графика, составляет около 12 мг/л. Более точные цифры могут быть получены из уравнения (3.12) прих = 0 (уй = 11,84 мг/л).

Упражнения

Построить функцию, наилучшим образом отражающую данную зависимость:

X

1,0

1,5

3,0

4,5

5,0

У

1,25

1,4

1,5

1,75

2,25

В 80-е годы уровень дефицита бюджета в СССР и США складывался следую щим образом:

Страна

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

СССР

2,9

2,3

3,1

2,2

2,0

2,7

6,5

8,0

9,1

США

2,8

2,6

4,1

6,3

5,0

5,4

5,3

3,4

3,2

Построить функции, наилучшим образом отражающие зависимости дефицита бюджета от времени в обеих странах.

Количество вложенных в производство средств и полученная в результате при быль соотносятся следующим образом:

х1,62,02,53,04,07,0

у8,59,011,013,022,070,0

Запишите аналитическую зависимость между х и у. Проанализируйте полученный ответ, Каковы перспективы предприятия? Какая будет прибыль, если вложить 10,0 единиц?

Сколько надо вложить средств, чтобы получить прибыль 100,0 единиц?

Несколько независимых переменных

В тех случаях, когда аппроксимируемая переменная у зависит от нескольких независимых переменных хх, х2,..., хп,

y=Rxvx2хп\

подход с построением линии тренда не дает решения. Здесь могут быть использованы следующие специальные функции MS Excel:

Л И Н Е Й Н и ТЕНДЕНЦИЯ для аппроксимации линейных функций вида:

у = ай + axxv + а2х2 +... + а„хп,(3.13)

ЛГРФПРИБЛ и РОСТ для аппроксимации показательных функций вида:

у = аоах’а?...<".(3.14)

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ служат для вычисления неизвестных коэффициентов я0, Яр .... ат в выражениях (3.13) и (3.14) соответственно, а также коэффициентов детерминации (Д2), значений критерия Фишера, стандартных ошибок коэффициентов я, и ряда других показателей.

Обе функции имеют одинаковые параметры:

ЛИНЕЙН (известные _значения_у;известные_значения_х;конст;статистика)

Л ГРФ П Р И БЛ (известные_значения_у;известные_значения_х;конст;статистика)

Здесь:

О известные_значения_у — множество наблюдаемых значений у из выражений (3.13), (3.14);

О известные_значения_х — множество наблюдаемых значений х„ х2, ..., х„. Причем, если массив известные_значения_у имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_х интерпретируется как отдельная переменная, а если массив известные_значения_у имеет одну строку, то тогда каждая строка массива известные _значения_х интерпретируется как отдельная переменная;

О конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа я0 была равна 0 (для функции ЛИНЕЙН) или 1 (для функции ЛГРФПРИБЛ).

При этом, если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то ай вычисляется обычным образом, а если конст имеет значение ЛОЖЬ, то а0 полагается равным 0 или 1;

О статистика — логическое значение, которое указывает, требуется ли вычислять дополнительную статистику по регрессии, если введено значение ИСТИНА, то дополнительные параметры вычисляются, если ЛОЖЬ, то — нет (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Пример заполнения диалогового окна функции ЛГРФПРИБЛ

Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют находить точки, лежащие на аппроксимирующих кривых (3.13) и (3.14), соответственно, для значений коэффициентов а0, а„ ..., ат найденных функциями ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ.

Обе функции имеют одинаковые аргументы:

ТЕНДЕНЦИЯ (^известные _значения_у;известние_значения_х^овие_значения_х;конст^;

РОСЦизвестные_значения_у;известные_значения_х;новые_значения_х;конст).

Здесь:

О известные_значения_у — множество значений у;

О известные—Значения_х — множество значений х;

О новые_значения—х — те значения х, для которых необходимо определить соответствующие аппроксимирующие или предсказанные значения у. Новые_зна- чениЯ—Х должны содержать столбец (или строку) для каждой независимой переменной, как и известные-Значения _х. Если аргумент новые-Значения _х опущен, то предполагается, что он совпадает с аргументом известные_значения_х;

О конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа а0 была равна 0 (для функции ТЕНДЕНЦИЯ) или 1 (для функции РОСТ). При этом, если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то а0 вычисляется обычным образом, а если конст имеет значение ЛОЖЬ, то а0 полагается равным О или 1 (рис. 3.15).

Пример 3.7. Источник радиоактивного излучения помещен в жидкость. Датчики расположены на расстоянии (х^ 20, 50 и 100 см от источника. Измерения интенсивности излучения (у, мРн) проводились через 1,5 и 10 суток (х2) после установки источника. Результаты измерений (у) приведены в таблице:

х/х1

1

5

10

20

61,2

43,6

28,3

50

33,6

24,0

15,6

100

12,3

8,8

5,7

Необходимо аппроксимировать данные уравнением вида (3.14) и найти неизвестные параметры.

ТЕНДЙ<|иЯ- -’ -ИгомяуР)ТЕНДЙ<|иЯ- -’ -ИгомяуР):2:С8:2:С8•\ Изе„теч_х[А2Ва, Ное„тач^с [аю-взо•\ Изе„теч_х[А2Ва, Ное„тач^с [аю-взоги = <л2 i-7S -1-1 ■’•" "З-ГШамоо^чзо ‘З-доод&ккл&иоги = <л2 i-7S -1-1 ■’•" "З-ГШамоо^чзо ‘З-доод&ккл&ио

ТЕНДЙ<|иЯ- -’ -

ИгомяуР)

ТЕНДЙ<|иЯ- -’ -

ИгомяуР)

:2:С8

:2:С8

•\ Изе„теч_х[А2Ва

, Ное„тач^с [аю-взо

•\ Изе„теч_х[А2Ва

, Ное„тач^с [аю-взо

ги = <л2 i-7S -1-1 ■’•" "З-ГШамоо^чзо ‘З-доод&ккл&ио

ги = <л2 i-7S -1-1 ■’•" "З-ГШамоо^чзо ‘З-доод&ккл&ио

- '«.'Г .1,’ 1 У. М J *5

И>бЗиеч_у нчожесч» течений у, дай которые уте имеете соотношение у «

55■P»##iWBeBI#Bie^^

5

5

^SS^kwSwS'SsKwwSiftSw^iis^Sife

Рис. 3.15. Пример заполнения диалогового окна функции ТЕНДЕНЦИЯ

Решение

Введем данные в рабочую таблицу: в ячейку А1 — символ хп в ячейку В1 — х2, в ячейку С1 — у. В диапазон ячеек А2:А1О внесем значениях,, в диапазон В2:В1О — значения х2 и в диапазон С2:С1О — значения у (рис. 3.16).

А8 . С

1 1 3

4- 5"

6

т 9. й

Х1Х2Y

20161 2

501;33,6:

«01:12,з:

20543,6:

50 i 524

100518,8

2010:28,3;

50;10:15,6:

ibo105,7

Рис. 3.16. Исходные данные из примера 3.7

Выделяем блок ячеек D1:F5 под массив результатов.

Поскольку уравнение для вычисления интенсивности излучения имеет степенной характер (3.14), вызываем функцию Л ГРФП РИБЛ (панель инструментов Стандартная, кнопка Вставка функции, рабочее поле Категория тип Статистические, рабочее поле Функция вид ЛГРФПРИБЛ).

Заполняем рабочие поля: Изв_знач_у — С2:С10, Изв_знач_х — А2:В10, Стат — 1 (рис. 3.14). Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

5. В результате в диапазоне D1:F5 получим следующие данные:

0,918043

0,980162

99,70907

0,000337

3,76Е-О5

0,003051

0,999983

0,003722

#н/д

174174,7

6

#н/д

4,8

8,31Е-05

#н/д

Здесь первая строка — значения коэффициентов а2, ах, а0, соответственно, вторая строка — стандартные ошибки этих коэффициентов, третья строка — коэффици? ент детерминации R2 и стандартная ошибка у, четвертая строка — значение критерия Фишера и число степеней свободы и нижняя строка — сумма квадратов регрессии и остаточная сумма квадратов.

Таким образом, искомое аппроксимирующее уравнение имеет вид:

у = 99,7* 0,98х' *0,92х=.

Причем точность аппроксимации очень высокая — R2 = 0,99998.

Пример 3.8. В бассейне проводится ежедневная частичная смена воды. Имеются данные семидневных наблюдений изменения уровня воды в бассейне (г/) от продолжительности заполнения водой (и времени выпуска воды (х2).

XI

Х2

Y

120

20

3,2

100

25

2,8

130

20

3,3

100

15

3,3

110

23

з,о■

105

26

2,8

112

16

3,3

Необходимо найти значения уровня воды в бассейне в зависимости от длительностей заполнения хх е [100; 130] и выпуска воды х2е [15; 25] с шагом А = 5 минут. Построить поверхность.

Решение

Введем данные в рабочую таблицу: в ячейку А1 — символ хх, в ячейку В1 — х2, в ячейку С1 — у. В диапазон ячеек А2:А8 внесем значения xb в диапазон В2: В8 — значения х2 и в диапазон С2:С8 — значения у.

Введем значения xt и х2 для получения расчетных значений у в соответствии с заданием: хх е [100; 130] в диапазон А10:А30, ах2 е [15; 25] в диапазон В10:В30 (рис. 3.17).

Выделим блок ячеек С10:С30 под массив расчетных (предсказанных) значений у.

Поскольку уравнение для вычисления уровня воды линейное (3.13), вызываем функцию ТЕНДЕНЦИЯ (панель инструментов Стандартная, кнопка Вставка функ-

ции, рабочее поле Категория тип Статистические, рабочее поле Функция вид ТЕНДЕНЦИЯ).

Заполняем рабочие поля: Изв_знач_у — С2:С8, Изв_знач_х — А2:В8, Нов_знач_х — АЮ'.ВЗО (рис. 3.15). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В результате в диапазоне С1О:СЗО получим предсказанные значения у (рис. 3.17).

Формируем блок данных для построения диаграммы. Для этого введем значения переменной х, в столбец Е. Для этого в ячейку Е1 вводим символ х. В диапазон ячеек Е2:Е8 — значения xt е [100; 130] с шагом А = 5 минут. В диапазон F1:H1 вводятся значения х215,20,30. Затем диапазон F2:H8 заполняется соответствующими расчетными значениями у.

9

XI

в

SHSSl iaSSMiBSXi

Х2

Y

10,

100

15

3,3

11„

105

15

3,3

11,

110

15

3,4

Л.

115

15

3,4

11.

120

16

3,5

-leL

125

15

„ 3.5„

18

130

15

3.6

17]

100

20

3,0

18

105

20

3.1

19_

110

20

3.1

20,„

.81

115

120

2Q

20

3,2 3.2

J5L

125

20

20

3.3,

гэ_

130

3.3

24

100

25

2.8

26

105

25

2.8

26 „

110

25

2.9

27„

115

25

2,9

28

120

25

3.0

20

125

25

3,0

30

130

25

3.1

Рис. 3.17. Расчетные значения у и соответствующие им значения х, и х2 из примера 3.8

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 3.18).

X 100 " 105 110

15

3,3

3,3

3,4

;20.

1з.оГ

i3,0i

] "3,1

... н ..!

25’

"ДО

2,8

2 8

115

3.4

:3.1:

2,9

120

3,5

:3,2:

2,9

125

3,5

:3.2:

3,0 :

130

3,6

i 3,3

3,0

Рис. 3.18. Данные из примера 3.8, подготовленные для построения плоскости

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы — Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг2 из 4):источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных F2:H8.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расйоложены ряды данных. Это определит ориентацию осей X и Y. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести диапазон подписей оси X — Е2:Е8.

Вводим значения подписей оси Y. Для этого в рабочем поле Ряд указываем, первую запись Ряд 1 и в рабочее поле Имя, активизировав его указателем мыши, вводим первое значение переменной Y (х2) — 15. Затем в поле Ряд указываем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной х2 — 20. Аналогично указываем хг = 25 вместо записи Ряд 3. После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле указателем мыши, ввести с клавиатуры в поля Ось X (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия: хь х2 и у.

Нажимаем кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена диаграмма изменения уровня воды в бассейне (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Диаграмма изменения уровня воды в бассейне в зависимости от соотношения времени заполнения и выпуска воды (пример 3.8)

Упражнения

В условиях примера 3.8 найти параметры аппроксимирующего уравнения и оценить его точность.

В условиях примера 3.7 найти расчетные значения интенсивности излучения для следующих значений х, и х2:

xt000200200

х201301

Застройщик оценивает стоимость группы небольших офисных зданий в традиционном деловом районе. Оценку цены офисного здания в заданном районе застройщик предполагает осуществлять на основе следующих переменных: у — оценочная цена здания под офис, xt — общая площадь в квадратных метрах, х2 — количество офисов, х3 — количество входов, х4 — время эксплуатации здания в годах. Предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (хь х2, х3 и х4) и зависимой переменной (г/), то есть ценой здания под офис в данном районе. Застройщик наугад выбирает 11 зданий из имеющихся 1500 и получает следующие данные:

Х1

*2

*3

*4

У

2310

2

2

20

142 000

2333

2

2

12

144 000

2356

3

1,5

33

151000

2379

3

2

43

150 000

2402

2

3

53

139 000

2425

4

2

23

169 000

2448

2

1,5

99

126 000

2471

2

2

34

142 900

2494

3

3

23

163 000

2517

4

4

55

169 000

2540

2

3

22

149 000

Здесь «полвхода» (1/2) означает вход только для доставки корреспонденции. Найти параметры аппроксимирующего уравнения.

В условиях упражнения 14 с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе, которое имеет площадь 2500 квадратных метров, три офиса, два входа, зданию 25 лет.

Элементы

ГЛАВА математическогоанализа

К математическому анализу относят совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Обычно в курс математического анализа включают также разделы: ряды и функции комплексного переменного.

Производная

Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

,'. lim — = lim

Д*-»0Дх Дг—»0 ^Х

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная /'(х0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона а) касательной, проведенной к кривой у -f(x) в точке х0, то есть к = /'(х0) (рис. 4.1).

Обычно производная характеризует скорость изменения различных функций. Например, скорость движения — это производная от пути по времени s'. Экономическим приложением производной, например, может быть нахождение производительности труда в момент t0 по функции количества произведенной продукции и = u(t). •

С ее помощью находятся такие показатели, как предельные затраты, предельная выручка, предельный спрос, предельная производительность и др. Внешним признаком наличия связи с производной в экономических приложениях является присутствие термина «предельный».

Предельные затраты — это производная от затрат по выпуску продукции.

Предельная производительность — это производная от выпуска продукции по затратам данного ресурса.

Предельный спрос — это производная от спроса по цене.

Поскольку производная fXx) сама является функцией, то она также может иметь производную. Продолжая дальше, можно сказать, что производной и-го порядка называется производная от производной (и - 7)-го порядка. Обозначаются производные высших порядков как:/"(х) — второго порядка (или вторая производная), Д'ХХ) — третьего порядка (или третья производная). Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры (/(4)(х)).

Продифференцировать функцию (найти ее производную) можно, используя таблицу производных простейших функций и правила дифференцирования:

Таблица производных простейших функций

Дх)

с = const

X

хп

Vx

sinx

cosx

/Хх)

0

1

и * х”"1

1

cosx

-sinx

Дх)

tgs

ах

ех

log,*

Inx

/Хх)

1

ах * Inez

ех

1

1

cos2 X

r*lna

X

Правила дифференцирования:

О производная суммы функций:

(/(я) + g<x) +... + Л(х))' = /Хх) + gXx) +... + hXx);

О производная суммы функций равна сумме производных Цг*Дх))' = h*/Xx\

Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной. О производная произведения:

(/(я) * gWY = /Хх) * g(x) + Дх) * gXx\

О производная дроби (частного, отношения):

w(x) _ и (.г) * п(х) - и^ * и (х)

О производная сложной функции:

(/(^М)) = ги^*§'(4

Однако в ряде случаев простейшими правилами дифференцирования воспользоваться достаточно сложно. Например, когда функция задана таблично или получена в результате наблюдений. В этих случаях прибегают к численным методам дифференцирования.

Численное дифференцирование очень чувствительно к ошибкам, вызванным неточностью исходных данных, отбрасываемых членов ряда и т. д., и поэтому должно применяться с осторожностью.

(4.1)(4.1)Существуют различные формулы численного дифференцирования. Из них простейшими являются явные трехточечные формулы, в частности:

(4.1)

(4.1)

Здесь y_v Уй^Ух- ТРИ последовательные точки, Дх — достаточно малый шаг дискретизации. Погрешность вычисления производной Д по формуле (4.1) может быть оценена из выражения:

Л г2

О

где x_t < ^ < хР Когда экспериментальные данные зашумлены более сильно (имеют большие погрешности) используют методы дифференцирования по большему числу точек. Примером может являться так называемая формула численного дифференцирования после сглаживания:

,1

У» ~ 4 АЛ '(“2^-2 ~ Ук-\ + Ук*\ + 2г/А+2) ■

ЮДх

Рассмотрим примеры численного нахождения производной.

Пример 4.1. Функция затрат, определенная экспериментально, имеет вид:

Объем

Затраты

1

1Д

1,2

1,3

2,693147

2,941937

3,188457

3,432909

Объем

Затраты

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9■

2

2,1

2,2

2,3

3,675469'

3,916291

4,155511

4,393252

4,629619

4,864711

5,098612

5,331402

5,563151.

5,793922

Найти предельные издержки производства при объеме выпуска х, = 2.

Решение. Для решения задачи необходимо найти производную затрат по объему производства в точке х= 2. Для этого:

Вводим в рабочий лист Excel в диапазон А1:ВЗ значения точек с объемом выпуска 1,9-2,1:

А

В

1,9

4,864711

2

5,098612

2,1

5,331402

В ячейку В4 вводим формулу дифференцирования (4.1): =(ВЗ -В1)/0,2.

После нажатия клавиши Enter получаем значение производной в точке х = 2 (2,333455).

Отметим, что истинное значение производной в данном случае равно 2- .

Пример 4.2. Найти производную функции у = sinx на промежутке х е [0; 6,2] при шаге дискретизации Ах = 0,2. Построить график функции и ее производной.

Решение

Для решения задачи прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово аргумент. Затем в ячейку А2 — первое значение аргумента — 0 (левую границу диапазона). Далее в ячейку АЗ введем второе значение: левая граница плюс шаг дискретизации — 0,2. Теперь необходимо скопировать формулу в ячейки А4:АЗ3 (выделяем блок ячеек А2:АЗ и за правый нижний угол протягиваем до ячейки АЗЗ, там появляется значение 6,2). Значения аргумента введены.

Далее требуется вводить значения функции (в примере синуса). В ячейку В1 заносим слово синус и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx). В появившемся

диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки 82 в ячейки 83:833. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку В2, и за правый нижний угол протягиванием копируем в ячейки 83:833. Значения синуса получены. ■

Теперь по введенным в рабочую таблицу данным необходимо найти значения производной. Для этого в ячейку С1 вводим слово производная. В ячейку СЗ вводим формулу дифференцирования (4.1): =(В4 - В2)/(2*0,2). Протягиванием (за правый нижний угол) копируем ее из ячейки СЗ в ячейки С4:С32 (в ячейках С2 и СЗЗ значения производной не определены, так как не заданы значения синуса в ячейках В1 и В34). Получены значения производной.

Далее по полученным данным строим диаграмму. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы — График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В 1:СЗЗ (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:АЗЗ. Нажав кнопку Далее, вводим названия осей X и У: Аргумент и Значения, соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Появляется диаграмма, изображенная на рис. 4.2.

Скорость

Объем производства

Рис. 4.2. Диаграмма синуса и его производной из примера 4

Как нетрудно заметить, график производной на рис. 4.2 совпадает с графиком косинуса, который и является точным значением производной от функции синуса.

Упражнения

Зависимость спроса на товар от цены выражается формулой:

,100

р +1

Построить график функции этой зависимости в диапазонер е [1; 3] с шагом Др = 0,1. С какой скоростью изменяется спрос при цене р = 2?

Зависимость полных издержек производства h от объема производства х выражается формулой:

, k = х3 - 4х2 + Эх.

Изобразите графически изменение издержек с изменением объема производства в диапазоне хе [1; 5] с шагом Дх = 0,2. Постройте график скорости изменения издержек в диапазоне хе [1,2; 4,8] с шагом Дх = 0,2.

Определенный интеграл

Пусть на отрезке [а, 6] задана функция р =/(х), и отрезок [а, 6] разбит на и элементарных отрезков точкамих0,хь ...,х„:

а = х0 < х < х2 < ... < хп = 6.

На каждом отрезке [х, _ „ л;] разбиения выбрана некоторая точка ^ и положено, что Дх; = х, - х, _ j, где г = 1, 2,..., и. Тогда сумма вида:

(4.2) ': = 1

называется интегральной суммой для функции р =/(х) на [а, 6]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [а, 6] точками х0, х,, ..., хп, так и от выбора точек ^ ^2, • • •, ^„на каждом из отрезков разбиения Лх, = х; - X; _ „ г = 1,2и. Обозначим через шах Ах, максимальную из длин отрезков [х,_1,х,],гдег= 1,2, ...,и. Тогда определенным интегралом от функции р = /(х) на [а, 6] называется предел интегральной суммы при стремлении шах Дх, к нулю, если он существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х,, х2,... и точек ^, ^2Определенный интеграл обозначается

ь

J /(x)cZx,

а функция /(х) называется интегрируемой на отрезке [а, 6], то есть:

f/(x)cZx = lim V/XEJAx,.(4.3)

*max Ax, —>0

При этом число а называется нижним пределом определенного интеграла, число b — его верхним пределом, функция /(х) — подынтегральной функцией, выраже-

ь

ние /(x^dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождении j f(x)dx — интегрированием функции/(х) на отрезке [а, 6].°

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем. Если ь

функция у = /(х) неотрицательна на отрезке [а, 6], где а < Ь, то J f(x)dx численно

равен площади S под кривой у =f{x) на [а, 6] (рис. 4.3). Действительно, отдельное слагаемое интегральной суммы (4.2) равно площади St прямоугольника со сторонами Ах,- и /(х,) (согласно определению значение определенного интеграла не зависит от способа выбора точек ^ ^2, •••), где i= 1, 2, ..., п (рис. 4.3). Поэтому вся интегральная сумма (4.2) равна площади 5, = 5( + 52 + ... + 5„ под ломаной, образованной на каждом из отрезков [х,_1; xj прямыми, параллельными оси абсцисс. При стремлении шах Ах, к нулю ломаная неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой S, = S.

Рис. 4.3. Диаграмма, поясняющая геометрический смысл определенного интеграла

В экономических приложениях, например, определенный интеграл может выражать объем произведенной продукции (и) при известной функции производительности труда (/(Г)):

ы = J f(t)dt..

о

Обычно для нахождения определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:

ь

j f(x)dx =F(b~) - F^a),(4.4)

где F(a) и F(b') первообразные для /(х) в точках а и Ь. Первообразной функцией для функции/(х) на промежутке Xназывается функция F(x), если в каждой точке х этого промежутка F'(x) = /(х).

Однако применение формулы (4.4) на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла

с требуемой точностью. Этот подход оказывается особенно предпочтительным при использовании компьютеров для нахождения интегралов.

Существует значительное количество численных методов вычисления интегралов. Они основаны на разных способах нахождения площади под кривой/(х) (рис. 4.3.):

О как суммы элементарных прямоугольников — метод прямоугольников:

>J f^dx =£ /(х,. )Ах;(4.5)

д1=1

О как суммы элементарных трапеций — метод трапеций:

|(4.6)

а-=12

Существуют также метод Симпсона и ряд других.

Формула метода прямоугольников (4.5) получается, если отрезок интегрирования [а, 6] разбить на и равных частей длиной

На каждом из отрезков разбиения [х, _ „ х,] участок кривой у =f(x) заменяется отрезком прямой, параллельным оси абсцисс. Тогда:

ь

j f(x)dx = 5, + 52 +... + 5„,

где 5„ 52, ..., S„ — площади прямоугольников на каждом из отрезков разбиения. Отдельное слагаемое 5,- равно площади прямоугольника со сторонами Ах и /(х,), где г = 1, 2, ..., и (рис. 4.3). Отсюда получается формула (4.5). Метод прямоугольников является простейшим, но и наименее точным.

Более точно определенный интеграл может быть вычислен по формуле трапеций (4.6). В этом случае, в отличие от метода прямоугольников, на каждом из отрезков разбиения [x,_lt х,] участок кривой y = f(x) заменяется хордами, стягивающими концевые точки. Тогда, отдельное слагаемое интегральной суммы 5, равно площади трапеции с основаниями/(х,) и/(х;_,) и высотой Ах, где г = 1, 2,..., п. То есть:

’2

Складывая площади элементарных трапеций и приводя подобные члены, получаем формулу (4.6).

Погрешность (А) вычисления определенного интеграла по формуле трапеций (5(и)):

ь

А = j f(x)dx-S(n)

может быть оценена из выражения:

Д <Д <(Ь-а?12и2(Ь-а?12и2М2,М2,

Д <

Д <

(Ь-а?12и2

(Ь-а?12и2

М2,

М2,

где М2 — максимальное значение модуля второй производной /Дх) подынтегральной функции у =f(x) на [а, 6].

Рассмотрим вычисления интегралов по методу прямоугольников и методу трапеций.

з

Пример 4.3. Методом прямоугольников и методом трапеций найти Jx^dx с шао

гом Ах = 0,1. Заметим, что этот интеграл легко может быть вычислен аналитически:

[ x^dx = —= 9- 0 = 9.

о°

Решение 1. Для нахождения определенного интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции Дх) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х е [0; 3] с заданным шагом Дх = 0,1.

Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Составляем таблицу данных (х и/(х)). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями /(х). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (ОД). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х = 3).

Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать ее уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2Л2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.

В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.

Теперь в ячейке ВЗЗ может быть найдено приближенное значение интеграла. Для этого в ячейку ВЗЗ вводим формулу =0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (fj). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку 0К. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования ВЗ:В32 (рис. 4.4).

сумк-^ч;

Чиию1 ]-. - .

Число?|

И - <3 О С1 С,Л и,й U

я

'€)»»«»♦« Sprywt*

Число 1: чиа»1;чисяо2;.<, от I до 30 аргументов, №орь№ суяинрунпся.. Логические значения игнорируются. - - -

Значение:®,^®Значение:®,^®ОтданаОтдана

Значение:®,^®

Значение:®,^®

Отдана

Отдана

Рис. 4.4. Пример заполнения диалогового окна СУММ

Нажимаем кнопку ОК. В ячейке ВЗЗ появляется приближенное значение искомого интеграла (9,455).

Сравнивая полученное приближение с истинным значением интеграла (9), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае довольно значительна — 0,455.

Решение 2. Для нахождения определенного интеграла методом трапеций, как и в случае использования метода прямоугольников, значения подынтегральной функции/(х) должны быть введены в рабочую таблицу Excel в диапазоне хе [0; 3] с заданным шагом Дх=0,1. Поэтому этапы 1-3 полностью аналогичны этапам предыдущего решения. Поскольку таблица данных для нахождения интеграла уже введена, приступаем сразу к этапу 4:

Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближенное значение интеграла ПО' методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2 + В32)/2 +, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (fx)). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования ВЗ:В31. Нажимаем кнопку ОК и еще раз ОК. В ячейке В34 появляется приближенное значение искомого интеграла (9,005).

Сравнивая полученное приближение с истинным значением интеграла (9), можно увидеть, что ошибка приближения метода трапеций в данном случае вполне приемлемая — 0,005.

Пример 4.4. Методом трапеций найти J sin таг с шагом Ах = 0,1. (Точное значение J smxdx = 2.)

Решение. Для нахождения определенного интеграла методом трапеций значения подынтегральной функции/(х) должны быть введены в рабочую таблицу Excel в диапазоне х![0;3,1] с заданным шагом Ах = 0,1.

Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Составляем таблицу данных (х и/(х)). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями /(х). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 — слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку АЗ вводит-

ся второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки АЗЗ, до значениях = 3,1).^

Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать ее уравнение (в примере синуса). Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (f„). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон ВЗ:ВЗЗ. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.

Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближенное значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2 + ВЗЗ)/2 +, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (fx)). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования ВЗ:В32. Нажимаем кнопку ОК и еще раз ОК. В ячейке В34 появляется приближенное значение искомого интеграла (1,997).

Сравнивая полученное приближение с истинным значением интеграла (2), можно видеть, что ошибка приближения метода трапеций в данном случае вполне приемлемая для практики — А = 0,003.

Упражнения

Методом прямоугольников и методом трапеций найти следующие интегралы:

,21

^хах при Ах = 0,1;

f1,5^ при Ах = 0,1.

х

Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция производительности труда имеет вид/(х) = (1 + t)e3', методом трапеций с шагом At = 0,2.

Ряды

При решении многих прикладных математических задач приходится рассматривать суммы, составленные из большого количества слагаемых, в том числе и из

бесконечного множества слагаемых. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

Числовые последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел и„ и2 ит расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность, называются ее членами. Последовательность считается заданной, если известен закон ее образования, то есть правило, по которому можно определить любой член последовательности. Примерами последовательностей являются натуральный ряд, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и т. д.

Пределом последовательности ы„ и2, ...,u„ называется число U, к которому числа ип подходят сколь угодно близко, если такое число U существует для данной последовательности. Предел последовательности обозначается как

U = Нты„.

Широко распространенными числовыми последовательностями являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением определенного числа а, называемого разностью прогрессии. Если а > 0, прогрессия называется возрастающей, если а < 0 — убывающей.

Мл = М|-(я-1)аи\=^^.(4.7)

Здесь Sn — сумма первых п членов прогрессии.

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего умножением его на определенное число q, называемое знаменателем (основанием) прогрессии. Если q > 1, прогрессия называется возрастающей, если 1^1 < 1, то убывающей.

‘и Sn = 1 i .(4.8)

Здесь 5„ — сумма первых и членов прогрессии.

В MS Excel члены последовательностей и их суммы удобнее вычислять не по формулам (4.7) и (4.8), а напрямую, поочередно член за членом. Кроме того, для нахождения членов арифметической или геометрической прогрессии существует специальная процедура Прогрессия. Для ее реализации необходимо:

Ввести значение первого элемента прогрессий в выбранную ячейку.

Выделить блок ячеек под требуемое количество членов прогрессии (либо в дальнейшем потребуется указать значение последнего элемента).

Выполнить команду меню Правка ► Заполнить ► Прогрессия.

В появившемся диалоговом окне Прогрессия указать тип и параметры формируемой последовательности значений (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Пример задания параметров прогрессии

Пример 4.5. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии с uv = 3 и разностью прогрессии а = 2.

Решение

Находим члены прогрессии. Для этого в ячейку А1 вводим значение первого члена — 3. В ячейку А2 вводим значение второго члена прогрессии — 5 (3 + 2). Выделяем блок А1:А2 и протягиванием за правый нижний угол до ячейки АЮ — автозаполнением находим остальные члены арифметической прогрессии.

Вычисляем частичную сумму. Устанавливаем табличный курсор в ячейку АН. Нажимаем кнопку Автосумма на панели инструментов Стандартная. Указателем мыши вводим диапазон суммирования Al:АЮ. Нажимаем клавишу Enter.

В результате в ячейке АН должна оказаться сумма первых 10 членов арифметической прогрессии — 120.

Пример 4.6. Построить первые одиннадцать членов геометрической прогрессии с первым членом и( = 4 и со знаменателем q = 3.

Решение.

В ячейку А1 введем значение первого члена — 4.

Выделим блок ячеек А1:А11.

Выполним команду меню Правка ► Заполнить ► Прогрессия.

2 =12:

ЗД 36 : 4J 108: 5'324

6 1972;

?j2916

818748

9'126244?

#|7873211: 236196:ЗЮ" ’’:

Рис. 4.6. Диапазон ячеек, заполненный членами геометрической прогрессии из примера 4.6

Заполним поля диалогового окна Прогрессия, переключатель Расположение поставим в положение по столбцам, переключатель Тип — в положение геометрическая, в поле Шаг с клавиатуры вводим значение знаменателя — 3 (рис. 4.5). Щелкаем на кнопке ОК.

В результате получаем диапазон ячеек, заполненный членами геометрической прогрессии (рис. 4.6).

Упражнения

Вычислить все члены арифметической прогрессии с и( = 4 и разностью прогрессии а = 3, не превосходящие 17.

Вычислить сумму 10 членов геометрической прогрессии с первым членом uv = 3 и со знаменателем q = 4.

Вычислить все члены геометрической прогрессии с и( = 2 и знаменателем прогрессии q = 2,5, не превосходящие 500.

Числовые ряды

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и„ и2,..., и„,..., соединенных знаком сложения:

u, + и2 +... + м„ +... = ^ и„.

П = 1

Числа иииг, ...,ип,... называются членами ряда, а член и„ — общим или и-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член ип = /(и) (п = 1, 2, ...), то есть задана функциями) натурального аргумента.

Сумма п первых членов ряда S„ называется и-й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть:

lim Sn = 5.

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

В математике существуют специальные приемы нахождения частичных сумм ряда. Применение компьютера позволяет вычислять частичные суммы напрямую. В MS Excel обычно вначале вычисляются п первых членов соответствующей числовой последовательности. Для этого вводится требуемое количество значений натурального аргумента, затем формула общего члена ряда копируется в п ячеек, после чего находятся требуемые суммы.

Пример 4.7. Необходимо вычислить сумму 12 первых членов гармонического ряда:

Решение

В ячейку А1 вводим слово Аргумент, в ячейку В1 — Ряд.

В диапазон А2:А13 вводим 12 значений аргумента: в ячейку А2 — число 1, в ячейку АЗ — второе значение аргумента 2, выделяем блок А2:АЗ и протягиванием за правый нижний угол блока заполняем диапазон А2:А13 значениями аргумента.

В ячейку В2 вводим формулу общего члена ряда: =1/А2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter.

Протягиванием (за правый нижний угол) копируем формулу из ячейки В 2 в диапазон ВЗ:В13.

Проводим суммирование. Для этого, установив табличный курсор в ячейке В14, на панели инструментов Стандартная нажимаем кнопку Автосумма и мышью указываем диапазон суммирования (В2:В13). Нажимаем клавишу Enter.

В ячейке В14 получаем сумму 12 первых членов гармонического ряда— 3,103211.

Упражнения

Найти сумму первых 7 членов ряда:

111

+ — + ... + —^— + ,,. .

1*2 2*3 и(и +1)

Найти сумму первых 10 членов ряда:

V W + 1 ч Я=1 Vn

Функциональные ряды

В отличие от числовых рядов членами функционального ряда являются функции. Поэтому ряд, составленный из функций одной и той же переменной х;

/Дх) + /2(х) + ... + /„(х) + ... = £/„(*),

Л = 1

называется функциональным. Примером функционального ряда может служить степенной ряд:

с0 + cvx + с2х2 +... + с„х" + ...

Здесь числас0, сь .... с„ — коэффициенты степенного ряда.

В MS Excel для некоторых функциональных рядов, имеющих важное прикладное значение (в основном, финансово-экономическое), существует значительное число специальных функций. Эти функции вычисляют частичные суммы, заданные члены и другие параметры функциональных рядов.

Например, в широко известной задаче о сложных процентах при вкладе в банк и0 денежных единиц с ежегодной выплатой х процентов годовых, функциональный ряд годовых приростов вклада будет выглядеть как

Ид + ийх + м0(1 + х)х + ... + м0(1 + хУ'х + ... = м0(1 + х)".(4.9)

Для вычисления частичных сумм этого ряда в Excel может быть использована функция Б3(норма;число_периодов;выплата;нз;тип). Здесь норма — процентная ставка х, указываемая в долях единицы; число_периодов — количество суммируемых членов ряда п, нз — сумма первоначального вклада м0 (заносится со знаком -), параметры выплата и тип в рассматриваемых примерах не указываются.

Имеется несколько функций для вычисления различных параметров ряда (4.9). Так функция КП ЕР позволяет определять число членов ряда п по его частичной сумме 5„, значению процентной ставки х и начальному значению м0. Функция ПЗ вычисляет начальное значение uQ по числу членов ряда и, его частичной сумме 5„ и значению процентной ставки х.

Кроме функций, применяемых для вычислений параметров ряда (4.9), в Excel имеются функции для работы с другими функциональными рядами, обычно используемыми для анализа инвестиционных проектов, работы с ценными бумагами и расчета амортизационных платежей.

Пример 4.8. Сумма вклада в банк 12 000 руб. Банк начисляет проценты по сложной ставке 8% годовых. Определить накопленную сумму на вкладе через 11 лет.

Решение

Устанавливаем курсор в свободную ячейку — А1.

С панели инструментов Стандартная щелчком мыши на кнопке Вставка функции вызываем Мастер функций. В поле Категория выбираем Финансовые, в поле Функция указываем БЗ. Нажимаем на кнопку ОК.

Заполняем поля диалогового окна БЗ. В поле Норма вводим 0,08, в поле Число_ периодов — У У, а в поле Нз12 000 (рис. 4.7). Нажимаем кнопку ОК.

Рис. 4.7. Пример заполнения диалогового окна функции БЗ из примера 4.8

В результате в ячейке А1 получаем ожидаемую накопленную через 11 лет сумму - 27575,67руб.

Упражнения

Сумма вклада в банк 2000 руб. Банк начисляет проценты по сложной ставке 6% годовых. Определить накопленную сумму на вкладе через 7 лет.

Определить сумму вклада через 3 года, если процентная ставка 15% годовых и исходная сумма вклада 5000 руб.

Ряды Фурье

Важным частным случаем функциональных рядов являются ряды Фурье. Во многих задачах бывает необходимо заменить заданную периодическую функцию/(х) с периодом Тточно или приближенно тригонометрической суммой (4.10):

(4.10)(4.10)5„(х) = ^- + 0^ cos (йх + а2 cos 2о>х +... + ап cos п(йх + bv sin (йх +

(4.10)

(4.10)

+ 62 sin 2(ох +... + b„ sin п(йх,

где

Приближение (4.10) для функции/(х) будет наилучшим в смысле минимума средней квадратической ошибки:

52 = J[/(^)-\(^)]2^^о

если коэффициенты ак иЬк(к = 0, 1, 2, ...) вычисляются по формулам Эйлера:

г

afe = — J/(x) cos itoxd х;

Т о

т

bk = — J /( х) sin itoxd х.

о

Нахождение ряда Фурье данной функции /(х) составляет задачу гармонического анализа.

Если для некоторой совокупности значений х, 5„(х) при п —> =» стремится к определенному пределу 5(х), то для этих х имеем сходящийся ряд Фурье данной функции/(х). Ряд Фурье функции/(х) сходится и сумма его равна /(х) в точках непрерывности /(х), а в точках разрыва она равна

/(х - 0) +/(х + 0)

если функция /(х) удовлетворяет некоторым условиям, называемым условиями

Дирихле. Условия Дирихле заключаются в следующем:

О интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция /(х) непрерывна и монотонна;1'

О во всякой точке разрыва /(х) существуют /(х + 0) и /(х - 0).

Непериодическая функция /(х) также может быть разложена в ряд Фурье (4.10) на промежутке 0 < х < /, если она удовлетворяет условиям Дирихле на этом промежутке. В этом случае

В MS Excel реализованы процедуры преобразования Фурье: прямая — разложение функции/(х) на промежутке т < х< /в ряд (4.10), и обратная — по значениям коэффициентов ak и bk (h = 0,1,2,...) ряда (4.10) восстанавливается исходная функция /(х).

Процедура Анализ Фурье включена в Пакет анализа и предназначена для решения задач в линейных системах и анализа периодических данных с использованием метода быстрого преобразования Фурье (БПФ). Эта процедура поддерживает также обратные преобразования, при этом инвертирование преобразованных данных возвращает исходные данные.

Для выполнения преобразования Фурье необходимо:

Ввести точки анализируемой функции /(х) в таблицу. Причем, вследствие использования БПФ, отсчеты должны быть взяты через равные промежутки х, их количество Nдолжно быть четной степенью 2 и максимальное число не должно превышать 4096 (М < 4096).

Командой меню Сервис ► Анализ данных вызвать диалоговое окно Пакета анализа и выбрать процедуру Анализ Фурье.

Задать параметры диалогового окна Анализ Фурье:

• входной интервал — введя ссылку на диапазон точек анализируемой функции, которые необходимо преобразовать;

1Аналиэ Фчрье

_ гйходные данные—рдщддддддддддд™? Езраиойинторвал:- Цвы'йиз °У |

' Г" УеГкн в первой строке■ • . .■

вывода:-f;

; Т*'.,Вуйодной интервал: . ]|С$2|। . ,,/,

• С Новый рабочий ®KTt|""" ""' """" j, :

; Г Новая рабочая ума, ■ ; -,. . . ;

I f^ii|^|||i|||i|lS8||il|||||Й^

Рис. 4.8. Пример установки параметров в диалоговом окне процедуры Анализ Фурье

инверсия — флажок устанавливается, если выполняется обратное преобразование, возвращающее данные в выходной диапазон в виде исходной функции. Если флажок сброшен, то в выходной диапазон выводятся значения коэффициентов ряда Фурье;

выходной интервал — введя ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (рис. 4.8). Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные.

Результаты анализа. В результате будет выведен столбец коэффициентов в виде (4.11): N

—+ 62г);

NК -X.

2 \a-N/2 + i + 0_N/2+1i),

2 aN/2’

N-х

2 \^N/2-l +4V/2-10>

2 (^ + ЧА)’у^+бр)-

Здесь коэффициенты ак и Ьк (к = 0, 1, 2, ...) являются коэффициентами разложения функции f(x) в ряд (4.10), где

2л

"N"

Пример 4.9. Получить коэффициенты ак и Ьк (к = 0,1,2,...) разложения в ряд Фурье отрезка функции у = sin/Ax,; = 0, 1, 2,..., 31, с шагом Ах= 0,4.

Решение

Введем значения синуса в таблицу. Для этого в ячейку А1 поместим слово Аргумент, а в ячейку В1 — Синус. В ячейку А2 заносим первое значение интервала — 0, в ячейку АЗ — второе 0,4. Выделяем блок ячеек А2:АЗ. За правый нижний угол выделенного блока мышью производим автозаполнение до ячейки АЗЗ и получаем нарастающие значения аргумента до значения 12,4. Проверяем, что число значений аргумента является целой степенью 2 (32 = 25).

Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и вызываем с панели инструментов Стандартная диалоговое окно Мастер функций (нажатием на кнопку Вставка функции). Указываем Категория — Математические, Функция — SIN. Нажимаем кнопку ОК. В рабочее поле Число диалогового окна SIN щелчком мыши на ячейке А 2 вводим значение аргумента. Нажимаем кнопку ОК. Автозаполнением за правый нижний угол копируем значения синуса из ячейки В2 в диапазон ВЗ:ВЗЗ.

Командой меню Сервис ► Анализ данных вызываем диалоговое окно Пакета анализа и выбираем процедуру Анализ Фурье.

Задаем параметры диалогового окна Анализ Фурье: Входной интервал — мышью вводим ссылку на диапазон точек анализируемой функции В2:ВЗЗ. В поле Инверсия флажок не устанавливаем. В поле Параметры вывода переключатель ставим в положение Выходной интервал, щелчком мыши активизируем рабочее поле справа и мышью вводим ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона — С2 (рис. 4.8). Нажимаем кнопку ОК.

В диапазоне С2:СЗЗ появляются значения коэффициентов ак и Ьк (рис. 4.9), причем N

в ячейке С2а0 и далее в соответствии с последовательностью (4.11) для гармо-

2л _ 2л „ 2л „ 2л 2л нических составляющих с частотами, - 2, - 32,

N\x N\x N\x N^x Nkx

(в примере — 0,49, -0,98, -1,47, .... 0,98, 0,49).

‘: В t . ^ Ь 1 . . . .'».

Аргумент Синус ;:;(•

82^0:о14,8744332О573282Ё-оЬ2;

3Л0 4? 0,38942 ;-2,71854388197b55E-602-O,378l 152446611361

4 '0 8 0.71736; <76101512258^6-15 7164746^^

8 '120.932041-0,174797964628419+0.717814398198421

^ ,1.6 >0.99957:-0.140478653886876+0782563551999639^

7^2< 0.9О931о,130227914826423+0.2633354099228171

j£22-4O67546 = -O.l255802637399O7+p.1986405l2000459i

9_2.80.33409Т-0,123б41362О17062+О.1563847118692261

iF3.2-О.0584Т-О.121498О16047588+0.1256756211634861 '

14'3.6-0.4425 r-O?12b^4l88676879+6/lbi7162393080271

1Z '4-O.75e£t£ll98<2263W973+£2p2^^

Й®4.4'-0.9516 V‘o?ll9337221063985+6,51799112055733Е-0021

Ж4.8-0.9962 :-0/l l9bo38O9O68714+5.O27l8975695l47E-o62i

§#$55.2<-0,8835 i-0,118773261329621+3,66954Q82170422E-O02i

^5.6"-0.6313?-0.118622077393989+2,40102521525438E-O02i

Ж 6 •: -0.2794 i-0.118536288041853+1,18740738767287 E-002 i

AS^ 6.4 0.116551-0.118508468336846i $9^6.8 '0.49411 -0.118536288041853-1.18740738767284Е-0О21"

W7,2 ■0.79367 i-0.118622077393981-2.40lb252152542E-002i

W§7.6:O,96792i-0.118773261329622-3,6695408217042E-p02i

:^8? 0,98936 i-0.119ОО38О9О68714-5.О271897569514бЁ-0О21

3$|8.40.8546:-01l9337221063985-6.5l799112055729E-002i

^8.8?0.58402 :-O.1l98l2263445977-8,2O28O3581OO712E-0O2i

25S920.22289 ■-0.120404188076879-0,1017162393080271" 7

26^9 6-0.1743--0.121408016047588-6,1256756211634861

да10i •O.544;-Ol123O4l362pi7pe££l5638471l869^

Ш^ 10.4 -0.8278;-0.1255802637зЬЬ6б-6’108640512000459 i да 10 8 -0.9809 :-O.l3O2279l4826424-0,2633354099228171

WS 11.2 • -0.9792 ;-0.140478653886876-0,3825635510996391

Wg 11.6 -0.8228; -0.174797964628422-0,71781439819842i Ы 12' -0.5366; 1.7610151225841 + 15.71647402226521

g§12 4-0j656j-2 71854388^^

Рис. 4.9. Пример представления результатов процедуры Анализ Фурье из примера 4.9

Пример 4.10. Провести анализ результатов, полученных в примере 4.9, построить зависимости изменения коэффициентов ак и Ьк от частоты, записать разложение в ряд Фурье в форме (4.10).

Решение

Занесем в разные диапазоны значения коэффициентов а» и 6t. Для этого в ячейки СЗб и D36 вводим названия ак и Ьк соответственно. 11

Устанавливаем табличный курсор в ячейку С37 и с панели инструментов Стандартная, нажатием на кнопку Вставка функций, вызываем Мастер функций. В появившемся диалоговом окне выбираем Категория — Инженерные, Функция — М Н И М. В Е Щ. Нажимаем кнопку О К. В рабочее поле Ком п л_ч и ело диалогового окна М Н ИМ. BEЩ щелчком мыши на ячейке С2 вносим ссылку на первую ячейку коэффициентов — С2. Нажимаем кнопку ОК. Затем протягиванием из ячейки С37 копируем в диапазон С38:С68 значения коэффициентов ак.-

Устанавливаем табличный курсор в ячейку D37 и повторяем все операции аналогично п. 2 с использованием функции МНИМ.ЧАСТЬ. В диапазоне 037:068 получаем значения коэффициентов Ьк.

Вычислим значения частот. Будем рассматривать только положительные частоты. В ячейку А68 и вносим первое значение к — 1, в ячейку А67 — второе значение — 2. Выделяем блок А68:А67 и автозаполнением заносим значения к в диапазон А68:А54. Далее в ячейку В68 вводим формулу для вычисления первой частоты =(2*ПИ())/(32*0,4)*А68. Нажимаем клавишу Enter. Протягиванием копируем эту формулу в диапазон В67:В54.

Строим диаграмму зависимости коэффициентов ак и Ьк от частоты. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов Стандартная вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы Точечная, вид — левый столбец, средний ряд (точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями). После нажатия кнопки Далее (с помощью мыши) указываем диапазон данных — B54:D68. Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Щелкаем на вкладке Ряд и в рабочем поле Ряд выбираем Ряд 1, после чего щелчком мыши активировав поле Имя вводим ак. Затем в рабочем поле Ряд выбираем Ряд 2 и, щелчком мыши активировав поле И мя, вводим Ьк. Нажав кнопку Далее, вводим названия осей X и У: Частота и Значение X(N/2) соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Появляется диаграмма вида рис. 4.10.

Рис. 4.10. Диаграммы коэффициентов ак и Ьк разложения в ряд Фурье из примера 4.10

Из диаграммы, изображенной на рис. 4.10, и найденных значений частот видно, что в ряду Фурье имеют значение только коэффициенты ак и Ьк для гармонических составляющих с частотой 0,98. Таким образом, приближенно исходную функцию можно представить в виде:

у = 1,76 /(IV /2) cosO,98/Ax + 15,72 /(IV / 2) sin 0,98/Ах,

то есть

у = 0,11 cos 0,98/Ах+ 0,98 sin 0,98/Ах,

что примерно соответствует заданной функции у = sin/Ax. Отличия связаны с тем, что эта функция рассматривается на ограниченном интервале, содержащем только два периода. .

Пример 4.11. По результатам разложения в ряд Фурье из примера 4.9 восстановить исходную функцию у = sin/Ax.

Решение

Командой меню Сервис ► Анализ да иных вызываем диалоговое окно Пакетаана- лиза и выбираем процедуру Анализ Фурье.

Задаем параметры диалогового окна Анализ Фурье: Входной интервал — мышью вводим ссылку на диапазон коэффициентов ак и Ьк, полученных в примере 4.9 — С2:СЗЗ. В поле Инверсия — устанавливаем флажок. В поле Параметры вывода переключатель ставим в положение Выходной интервал, щелчком мыши активируем рабочее поле справа и вводим ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона — Н2. Нажимаем кнопку ОК.

В диапазоне Н2:НЗЗ получаем значения с точностью до четырех знаков пос те запятой совпадающие со значениями исходной функции из диапазона В2:ВЗЗ.

Упражнения

Получить коэффициенты ак и bk (k = 0,1,2,...) разложения в ряд Фурье отрезка функции у = sin/Ax,/ = 0,1, 231, с шагом Ах = 0,2.

По результатам разложения в ряд Фурье из упражнения 12 восстановить исходную функцию у = sin/Ax.

Комплексные числа

Комплексные числа используются во многих приложениях математики. Теория функций комплексной переменной является мощным инструментом при применении математических методов в различных областях научной и инженерной деятельности.

Представление комплексных чисел '

Комплексным числом называется выражение вида:

z = x-Hy,(4.12)

где х и у — действительные числа, г — мнимая единица.

Число х называется действительной частью числа z и обозначается 7?e(z), а число у — мнимой частью числа z и обозначается Zm(z), то есть х = 7?e(z), у = 1т^.

Представление комплексного числа в виде (4.12) является алгебраической формой комплексного числа. Существуют также тригонометрическая и показательная формы.

В тригонометрической форме комплексное число может быть представлено как:

z = г(созф + гзтф),

а в показательной:

z= те141.

Здесь г — модуль комплексного числа z;

r=\z\=

а ф — аргумент комплексного числа z:

ф = Argz = arctgy/x

Числа г = х + гуиг = х-гу называются сопряженными.

Два комплексных числа z, = xt + гу, и z2 = х2 + iy2 называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

В MS Excel комплексные числа вводятся в ячейки в алгебраическом формате х + уг. Если вещественная часть отрицательная, то перед числом ставится апостроф, а если значение мнимой части равно 1, то она все равно должна вводиться, например, *-3 + И. Для получения различных элементов комплексных чисел и их преобразований существует ряд функций: КОМПЛЕКСН, МНИМ.АВ5, МНИМ.АРГУМЕНТ, МНИМ.ВЕЩ, МНИМ.СОПРЯЖ, МНИМ.ЧАСТЬ.

О функции МНИМ.ВЕЩ(кощил_чмсло) и МНИМ.ЧАСТЬ(компл_число) определяют, соответственно, вещественную и мнимую части комплексного числа компл-Число, представленного в алгебраической форме и записанного в одну ячейку в формате х + уг;

О функции МНИМ.АВ5(кощил_чмсло) и МНИМ.АРГУМЕНТ(кощил_чмсло) вычисляют, соответственно, значения модуля и аргумента комплексного числа, представленного в алгебраической форме в формате х + уг;

О функция М Н И М. СО П РЯЖ (компл_число) вычисляет сопряженное комплексное число для комплексного числа, представленного в алгебраической форме в формате х + уг;

О функция КОМПЛЕКСН(действительная_часть;мнимая_часть;мнимая_единица) преобразует коэффициенты при вещественной и мнимой частях комплексного числа в комплексное число в форме х + уг. Здесь параметр действителъная_частъ — это действительная часть комплексного числа. Мнимая_часть — это мнимая часть комплексного числа. Мнимая_единица — это обозначение мнимой единицы в комплексом числе. Если аргумент мнгшая_единица опущен, то предполагается, что он равен г.

Пример 4.12. Представить комплексное число z = 2 + 13 в тригонометрической форме.

Решение

Вводим число z в ячейку А1 в форме 2 + Зг.

Вычисляем модуль комплексного числа. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку А2 и с панели инструментов Стандартная нажатием на кнопку Вставка функции вызываем Мастер функций. В появившемся диалоговом окне выбираем Категория — Инженерные, Функция — МНИМ.АВ5. Нажимаем на кнопку ОК. В рабочее поле Компл_число диалогового окна МНИМ.АВ5 щелчком мыши на ячейке А1 вводим преобразуемое комплексное число (рис. 4.11). Нажимаем на кнопку ОК. В ячейке А2 получаем значение модуля — 3,605551.

WM.«0^WM.«0^Угипл.чисч (ЗУгипл.чисч (З• з,®ж$гя8• з,®ж$гя8ОтменеОтменезмаме*1$:з,б0^ 1275змаме*1$:з,б0^ 1275Рис. 4.11. Пример заполнения диалогового окна функции МНИМ.АВ5Рис. 4.11. Пример заполнения диалогового окна функции МНИМ.АВ5

WM.«0^

WM.«0^

Угипл.чисч (З

Угипл.чисч (З

• з,®ж$гя8

• з,®ж$гя8

Отмене

Отмене

змаме*1$:з,б0^ 1275

змаме*1$:з,б0^ 1275

Рис. 4.11. Пример заполнения диалогового окна функции МНИМ.АВ5

Рис. 4.11. Пример заполнения диалогового окна функции МНИМ.АВ5

Вычисляем аргумент комплексного числа. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку АЗ и с панели инструментов Стандартная нажатием на кнопку Вставка функции вызываем Мастер функций. В появившемся диалоговом окне выбираем Категория — Инженерные, Функция — МНИМ.АРГУМЕНТ. Нажимаем на кнопку ОК. В рабочее поле Компл_число диалогового окна МНИМ.АРГУМЕНТ щелчком мыши на ячейке А1 вводим преобразуемое комплексное число. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке АЗ получаем значение аргумента — 0,982794.

Таким образом, в тригонометрической форме комплексное число равно: z = 3,60555 l(cosO,982794 + isinO,982794).

Упражнения

Найти сопряженное комплексное число числу 2 - 15.

Вещественная часть комплексного числа равна 6, мнимая часть равна-2. Преобразовать в комплексное число в алгебраической форме.

Выделить вещественную и мнимую части комплексного числа -3 + 18.

Представить комплексное число z = -5 + 14 в тригонометрической форме.

Арифметические операции

На множестве комплексных чисел определены следующие арифметические операции.

Сумма (разность) комплексных чисел:

г, ±z2 =±х2 чг"^ ± У2У ,

Произведение комплексных чисел:1

ztz2 = (ад - уху2) + i(xxу2 + х2ух).

Деление двух комплексных чисел:

Z1 (ххх2 + Уху2) + г(х2У1 - Хху2) ,_ , пх -22

z2х2 + у2

Возведение комплексного числа в натуральную степень и: z” = г” cos и(р + zr" sin иф.

Извлечение корня из комплексного числа:

Ф + 2лА . ф + 2лАVz = Vr cos-+ zVr sin ,

ии

где к = 0, 1, 2,.... и - 1.

В MS Excel для выполнения арифметических операций с комплексными числами предназначены функции МНИМ.СУММ, МНИМ.РАЗИ, МНИМ.ПРОИЗВЕД, МНИМ.ДЕЛ, МНИМ.СТЕПЕНЬ и МНИМ.КОРЕНЬ.

О функции МНИМ.СУММ (колтл_число 1 ;компл_число2; ...)иМНИМ.ПРОИЗВЕД( компл - _число1;компл_число2\...^ предназначены для вычисления суммы и произведения, соответственно, до 29 комплексных чисел ^колтл_число1;компл_число2;,,,\ представленных в алгебраической форме;

О функции МНИМ.РАЗН(кол<ил_число7;кол<ил_число2) и МНИМ.ДЕЛ(компл_чис- ло1;компл_число2') предназначены, соответственно, для вычисления разности и частного от деления двух комплексных чисел ^колтл_число1 ;колтл_число2у представленных в алгебраической форме;

О функции МНИМ.СТЕПЕНЬ(кол<ил_число,"число) и МНИМ.КОРЕНЬ(кол<пл_число) вычисляют целую или дробную степень (число) комплексного числа (,колтл_чис- ло) и квадратный корень из комплексного числа (,колтл_число), представленного в алгебраической форме.

Пример 4.13. Найти (4 + гб)"3.

Решение

Вводим число z в ячейку А1 в форме 4 + 6г.

Вычисляем степень комплексного числа. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку А2 и с панели инструментов Стандартная нажатием на кнопку Вставка функции вызываем Мастер функций. В появившемся диалоговом окне выбираем Категория — Инженерные, Функция — МНИМ.СТЕПЕНЬ. Нажимаем на кнопку ОК. В рабочем поле Компл_число диалогового окна МНИМ.СТЕПЕНЬ щелчком мыши на ячейке А1 указываем возводимое в степень

'NTWMHW киПянЛф юАялзлэялооз иodoloя

*— §рляг + ^ + ^ и] = г щ

ямфиdяJOIf ojoHqifBdXiBH киПянЛф 7 'dXrWMHW 193хз ииПянЛф иончкяиПэиз я кяннвяоЕИквэд

‘ (й uis г + ft 803)^3 = ^э = гэ

ИОННЭКЭЙЭИ ИОНЭЯЭЕЦМОЯ ВИПяНАф ЕЕНЧКВИПНЭНОИЭЯе 3 жзлкзоню мин ^ •эяиlяяdц ян хтчмэЛечгонзи олзян ээводиян ‘ииПянЛф оячвояз

-эн нняяоеикяэб рзхд я ионнэмэбэн ионзяэенмоя ииПянЛф явзин олошчвод epj

^R 'х)а = а \R х^п = и

:х1чннэмэбэн хннчеэлиялзиэК хЛяК io ииП

-янЛф эяК 1ЧН13ЭЯЕИ ивзэ ‘янэЕэСэбно 1аг * п = ай и й.г * х = г эКл ‘{z)f= ай киПянАф

ионнэиэбэи И0НЭИЭ1/иИ0И ииЬмнЯф

(2?- G-)0? + 2)

чликзиычд J2

•дг + у яизиь олонзяэенмоя ей чнэdoя чьэгяви '02 ч + д- и у - д фг + g яезиь эинзяэенкоя чтижоеэ "gj

'? ~ 2_ ЕН £? ~ 2 о^эин чтиЕэУвяд "gj

кинaнжeduд

ЯНЗи31Э'ИИНИ ииЬянЛф еняо ojoaojoi/entf иэиои xkihoged кинаниоиеЕ dawndu ‘гт1^ "DMd

Kt?'*

Г^2еГ" iяоj/ '. too^$ta«d^4Ww«*h»H$ х

»ШШ1О1ОЖ1§ОШж^шВМ^Ж^жШ^1вИИ§ЖЖИО^ШШж1

■■■■■■■■■

СК8**.3 в ИЭЛИУЭСЕГа еоА.Фл *@i<3Hh eO4T»8JjH№ G16 -ОК)ИЬ"ШВ№)|

В|(1ШЙвя111ВЯМв1ИЙ8В(ЙИИ|||1ИЙ81ИЙИ1|Оя11И(1ииМЙИВ

' х ;^'5А ^»»J5^MHl»«#tf5Mh«J0K^<^«»bHH9V^^^n*hf^die»,rM?CKl<0$s

j»t-^- Pwiivi*»**"»*^ г-: _" <

■UZ^000‘0-LI-9Z00‘0 - из

-иняе HojXdP я иеи ip00-3l-Sl-‘S-£00-31l-9‘(:оезин эонзяэенмоя чнэнэлз я эоннэКэяеоя мэянЛеон гу эяиэьк д яо Ляноня ян мэямижяц "(ST’V ’3Hd) fчнэцэтз миКояя IчdЛlяияяIfя з онэи h экой oohogHd д 'оезин эонзяэеимоя

дгт нкна

Функция десятичного логарифма

lg z = Igelnz,

ее осуществляет функция МНИМ.ЮСЮ.

Функция логарифма по основанию 2

log2 z = log2 е In z,

которой соответствует функция МНИМ.ЮС2.

Функция синуса

sin z = sin х chy + i cos x shy,

которой соответствует МНИМ,SIN,

Функция косинуса

cos z = cos x chy - i sin x shy,

которой соответствует МНИМ.COS. Здесь shy и chy — гиперболические функции синуса и косинуса соответственно:

32

, в* + в"chy = —.

Все специальные функции Excel, реализующие названные функции комплексной переменной: МНИМ.ЕХР, MHMM.LN, МНИМ.ЮСЮ, МНИМ.ЮС2, MHHM.SIN и МНИМ.COS имеют единственный параметр — колтл_число. Компл_число — это комплексное число в алгебраической форме, которое является переменной z для соответствующей функции. Результатом вычислений также является комплексное число в алгебраической форме.

Пример 4.14. Найти значение е3"'2.

Решение

Вводим число z в ячейку А1 в форме 3 - 2i.

Вычисляем экспоненту комплексного числа. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку А2 и с панели инструментов Стандартная нажатием на кнопку Вставка функции вызываем Мастер функций. В появившемся диалоговом окне выбираем Категория — Инженерные, Функция — МНИМ.ЕХР. Нажимаем на кнопку ОК. В рабочее поле Компл_число диалогового окна МНИМ.ЕХР щелчком мыши на ячейке А1 вносим ссылку на комплексное число, являющееся степенью е (рис. 4.13). Нажимаем на кнопку ОК. В ячейке А2 получаем экспоненту комплексного числа - -8,35853265093537-18,26372704066681.

W/MEXPW/MEXPК6ипя_число рЙТК6ипя_число рЙТ

W/MEXP

W/MEXP

К6ипя_число рЙТ

К6ипя_число рЙТ

1

IMIM

|1|мМВМ|М|М

] Б)|Знамение:-5 35853265093537-16,21 О | Оттен» |

ifeSOTa^st^^^ils^^*дШ*М&Жмм йШ&ч?# ММьУй*&>^**л?^^

Рис. 4.13. Пример заполнения диалогового окна функции МНИМ.ЕХР

Упражнения

Вычислить десятичный логарифм комплексного числа 4 - г.

Найти ln(2 - z'2)/sin(3 + г'2).

Вычислить sin( 1 + z’2)cos(2 - г’З).

) ГЛАВА Теория вероятностей

Не всегда можно предсказать наблюдаемые явления с помощью точно определенных правил. Часто какие-либо предположения делаются на основе статистических данных. Например, как правило, нельзя точно предсказать течение заболевания; можно говорить о прогнозе лишь с некоторой долей уверенности. Занимаясь прогнозированием, человек обычно оперирует событиями, которые могут иметь несколько различных исходов. Эти исходы и связанные с ними события имеют неодинаковые шансы на появление. Количественное описание правдоподобия отдельных исходов и событий основывается на понятии вероятности. Предполагается, что каждому событию, возможному в данном случайном испытании, может быть приписана числовая мера его правдоподобия, называемая его вероятностью. Анализом таких событий занимается теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Понятие случайного события

Наблюдение какого-либо явления, происходящего при определенных условиях, в теории вероятностей принято называть испытанием (случайным испытанием). Результат испытания является событием. Например, выполнение одиннадцатиметрового штрафного удара в футболе есть испытание, а попадание (или непопадание) в ворота — событие.

Все события делятся на элементарные и составные. Элементарные события содержат один исход (элементарный исход), составные — несколько возможных исходов. Говорят, что событие произошло, если свершился один из исходов, входящих в событие. Те исходы, при которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятными исходами. Особо выделяется невозможное событие, не со-

держащее ни одного исхода, то есть событие, которое никогда не сможет произойти. Если появление одного из событий исключает появление других событий в этом же испытании, события называются несовместными.

Множество всех допускаемых исходов называется пространством элементарных событий. Событие, состоящее в реализации какого-либо из всех элементарных событий пространства, — достоверное событие, которое произойдет обязательно, так как в нем содержится любой возможный исход. События образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным.

Например, при бросании игральной кости событие, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 1,2,3,4,5 или 6 очков, является достоверным, а событие, состоящее в том, что в результате выпадет 7 или 8 очков, является невозможным.

Операции над событиями дают возможность описывать новые более сложные события и их структуру. Рассмотрим основные операции над событиями:

Сумма событий. Сумма или объединение событий АиВ это событие С, содержащее все исходы, входящие в А и В, и в оба события вместе.

Обозначается как С = А + В или С = АиВ.

Например, объединением события А, состоящего в том, что в результате бросания кости выпадет меньше 4 очков, и события В, состоящего в том, что в результате бросания кости выпадет 3 или 6 очков, будет событие А + В, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 1, 2, 3 или 6 очков.

Произведение событий. Произведением или пересечением событий АиВ называется событие С, состоящее из всех исходов, общих для АиВ.

Обозначается как С = АВ или С = АпВ.

Например, пересечением АВ событий А и В из предыдущего примера будет событие, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 3 очка.

События, которые не могут произойти одновременно, то есть произведение которых равно нулю (АВ = 0), называются несовместными.

Отрицание. Событие А является отрицанием или называется противоположным событию А, если оно содержит все исходы пространства событий, не вошедшие в А. Возвращаясь к рассматриваемому примеру, получим, что отрицание события А (событие А ) состоит в том, что в результате бросания кости выпадет 4, 5 или 6 очков. Разность. Разностью называется событие С, содержащее все исходы А, не входящие в В (С = А - В).

В условиях предыдущего примера разностью А - В является событие, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 1 или 2 очка.

Вероятность события

Каждому элементарному событию А, пространства ставится в соответствие числовая мера его правдоподобия, называемая вероятностью этого события Р(А).

Приведем классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных элементарных исходов к числу всех возможных исключающих друг друга исходов.

'Р(Л) = ^.

п,

Здесь Л — событие, п — число всех возможных исходов, т — число благоприятных исходов; Р(Л) — вероятность события Л.1■

События, вероятности которых одинаковы, называются равновероятными. Для равновероятных событий вероятности вычисляются по формуле Р(Л,) = 1 /к, где к — число элементарных событий пространства,

Например, бросание игральной кости приводит к выпадению одной из шести граней. Это шесть элементарных исходов, которые являются равновероятными. Следовательно, вероятность каждого из них равна 1 /6.

Свойства вероятности, вытекающие из определения:

Вероятность любого случайного события неотрицательна и не больше 1. Пусть Л — случайное событие и т < п.

Р(А) =—<1.п'

Следовательно, 0 < Р(Л) < 1 для любого события Л.

Вероятность достоверного события равна единице. Если Л — достоверное событие, то т = п

P^=-=Vп

Р{А) = \.

Вероятность невозможного события равна нулю. Если Л — невозможное событие, то т = 0

Р(Л) = - = 0;п .

Р(Л) = 0.

Вероятностью Р(А + В) составного события А + В называется сумма вероятностей элементарных событий (исходов), составляющих Л и В:

Р(Л + В) = Р(Л)+Р(В),(5.1)

если события Л и В несовместны, то в общем случае:

Р(А + В) = Р(А) +Р(В)-Р(АВ).

Формула (5.1) может быть распространена на произвольное количество элементарных событий, то есть вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следовательно, сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1. Пример 5.1. Какова вероятность того, что наугад вырванный из календаря листок соответствует 30 числу, если в году 365 дней?

Решение. Событие Л — на листке календаря число 30.

Количество всех возможных исходов п = 365. Количество благоприятных исходов тп=11..

Устанавливаем табличный курсор в ячейку А1 и вводим формулу: =11/365. Нажимаем клавишу Enter. Получаем, что вероятность события Л:

р(А/=- = ^- = 0,030137.р(А/=- = ^- = 0,030137.п 365п 365

р(А/=- = ^- = 0,030137.

р(А/=- = ^- = 0,030137.

п 365

п 365

Ответ: вероятность того, что вырванный наугад из календаря листок соответствует 30 числу, равна р(А) = 0,03.

Условная вероятность

Если на событие А влияет исход некоторого события В (в зависимости от того, произошло ли событие В и с каким именно исходом, наступает или не наступает определенный исход Л), речь идет об условной вероятности А при условии В. Например, вероятность дожития до определенного возраста, скажем, 90 лет, будет различной в зависимости от того, вычисляется она для 10-летнего ребенка или 80летнего старика. В этом случае рассматривается условная вероятность Р(Л|Р) события А при условии, что событие В уже наступило, определяемая по формуле:

Р(А\В) = Р(АВ)/Р(В).

Если событие А: «Человек доживет до 60 лет» и событие В; «Человеку исполнилось 20 лет, то Р(А\В) — вероятность для 20-летнего дожить до 60 лет.

Независимые события. Из формулы условной вероятности можно вывести вероятность совместного появления двух событий:

Р(АВ) = Р(А\В)Р(В\

Если событие В не влияет на исход А, то

Р(А\В) = Р(А) и Р(АВ) = Р(А)Р(В\

В этом случае события АиВ называются независимыми, то есть появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Если независимость событий не следует явно из предметных соображений, то она проверяется по формуле, то есть находят Р(А), Р(В) и их произведение сравнивают с Р(АВ\ .

Вероятность появления хотя бы одного из событий At, А2, ..., Л„, независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий:

Р(Л) = 1 - qiq2...qn, где q{ = 1 -Pi.

Если события имеют одинаковую вероятность, то

P(A) = l-qn.

Основные понятия комбинаторики

В ряде случаев сравнительно нетрудно подсчитать как общее число элементарных исходов, так и число исходов, благоприятных для данного события. Однако в большинстве случаев именно этот подсчет и представляет наибольшую трудность при решении более сложных задач на классическую вероятность. Для того чтобы вла-. деть некоторыми стандартными приемами при расчетах по схеме классической вероятности, рассмотрим понятия перестановки, размещения и сочетания и приведем основные правила комбинаторики.

Перестановки

Перестановкой п элементов множества называется их комбинация, отличающаяся только порядком расположения.

В комбинаторике принято следующее обозначение: если в множестве имеется п элементов, то Пп — число перестановок элементов этого множества.

Как вычислить число перестановок? Рассмотрим конкретные множества:

и = 0: Ло = 1 — по определению;

п = 1:^ = 1;

и = 2: например, есть множество {1, 2}, возможны числа 12 и 21, значит, П2 = 2;

и = 3: сколько различных трехзначных чисел можно составить из множества {1,2, 3}? Начнем с тех, которые начинаются с 1:123,132, затем с 2: 213, 231, и с 3: 312 и 321. Всего получается 6 чисел. Это значит, что П3 = 6.

Можно предположить, что

П„ = пхП„_1.(5.2)

И это действительно так. Доказывается, например, методом математической индукции.

Формула (5.2) называется рекуррентной, так как позволяет вычислять значение очередной величины через предыдущее.

Применяя формулу (5.2) для множества п элементов последовательно, начиная с первого, получим:

П„ = пх(п- 1) х (и - 2) х ...хЗх2х1 = 1х2хЗх ...хи;

'П„ = и! = 1 х 2 х Зх ... х и.

Формула числа перестановок в множестве из и элементов.

Для нахождения числа перестановок в Excel используется специальная функция — ФАКТР. Рассмотрим пример нахождения числа перестановок на компьютере.

Пример 5.2. Сколькими способами можно расставить шесть различных книг на полке?

Решение

Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение числа перестановок.

Для получения значения числа перестановок воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Катего- ’ рия указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию ФАКТР. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно ФАКТР. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число переставляемых объектов (в примере — 6). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляется искомое число перестановок — 720. Следовательно П6 = 61 = 1x2x3x4x5x6 = 720.

Упражнения

Сколькими способами можно рассадить за столом 7 человек гостей?

Сколько различных восьмизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, 6,7,8?

Сколько различных комбинаций букв можно составить из всех букв слова «бухгалтер»?

Сколько различных слов можно составить из всех букв слова:

колобок;

пудель (если принять, что с «ь» слова не начинаются).

Вычислить:

121+131.

2) ' 8!

151+17!

}16! ’

Сочетания

Рассмотрим пример. Какие наборы можно составить из различного количества предметов, если всего их 4 — Шампанское, Печенье, Конфеты, Апельсины?

Были составлены наборы из 1 предмета, из 2, из 3, из 4, на основе исходных 4 предметов. Иначе можно сказать: были составлены подмножества из 1, 2, 3, 4 предметов, из 4 элементов данного множества. Такие подмножества называются сочетаниями.

По 1 предмету

' По 2 предмета

По 3 предмета

По 4 предмета

Ш

Ш,А

шдп

ШДП,К

А

Ш,К

ШАК

П

ш,п

ПДА

К

к,п

П,К,Ш

.К,А

П,А

Всего 4

Всего 6

Всего 4

Всего 1

Сочетаниями называются конечные подмножества, составленные из элементов данного множества. Если в множестве элементов — п, а в подмножестве т, то общее количе-. ство всех сочетаний обозначается и читается как число сочетаний из п элементов по т;

CL

Очевидно, что п > т. Приведем формулу для вычисления числа сочетаний:

”т\*(п-т)\

Для нахождения числа сочетаний в Excel используется специальная функция — ЧИСЛКОМБ. В функции ЧИСЛКОМБ(чнсло; число-выбранных) должны быть заданы следующие параметры: число — это число объектов и; число-выбранных — это число объектов в каждой комбинации т.'

Рассмотрим пример нахождения числа сочетаний на компьютере.

Пример 5.3. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 5 книг, имеющихся в наличии?

Решение

Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение числа сочетаний.

Для получения значения числа сочетаний воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию ЧИСЛКОМБ. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно ЧИСЛКОМБ. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры общее число объектов п (в примере — 5). В рабочее поле Выбранное число вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, т (в примере — 3). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляется искомое число сочетаний С; = 10.

Таким образом, 3 книги из 5 имеющихся можно выбрать десятью способами.

Упражнения,

Сколько различных списков дежурных из 5 человек можно составить в группе из 25 человек?i

Сколько различных букетов из 9 цветков можно составить из 15 полевых ромашек?

Размещения .

Допустим, что есть ткань трех цветов: Красная, Синяя, Белая. Какие сочетания по 2 цвета можно составить? Следующие:

{К; С}, {С; Б}, {К; Б}.

А сколько различных двухцветных флагов можно составить?

КССБКБ

СКБКБК

В данном случае подмножеств, состоящих из элементов «красная» и «синяя», два, поскольку каждое из них представляет свою расцветку флага:

КраснаяСиняя

Синяя . Красная

Чем отличаются эти подмножества от сочетаний? Тем, что во втором случае важен порядок расположения элементов. Такие подмножества называются размещениями. Размещениями называются конечные упорядоченные подмножества из элементов данного множества. Общее количество размещений обозначается как: Л” и читается: число размещений из п по т (п > тп).

Приведем формулы для вычисления числа размещений:

Для нахождения числа размещений на компьютере можно воспользоваться формулой А^ = С” *т\ или специальной функцией — ПЕРЕСУ. В функции ПЕРЕСТ(чнс- ло; число ^выбранных) должны быть заданы следующие параметры: число — число объектов п; число_выбранных — число объектов в каждой комбинации т.

п!

=, п > ТП.

(п-т)[

Рассмотрим оба способа нахождения числа размещений.

Пример 5.4. Сколькими способами можно расставить на полке 3 выбранных книги из 5 книг, имеющихся в наличии?

Решение 1

Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1.

Находим число сочетаний. Нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева

в поле Категория выбираем вид Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Ч ИСЛ КОМ Б. Нажимаем на кнопку ОК. В диалоговом окне Ч ИСЛ КОМ Б в рабочем поде Число вводим с клавиатуры общее число объектов и (в примере — 5). В рабочее поле Выбранное число вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, т (в примере — 3). Нажимаем на кнопку ОК. В ячейке А1 появляется искомое число сочетаний = 10.

Указателем мыши щелкаем в Строке формул после последней скобки формулы =ЧИСЛКОМБ(5;3) и вводим с клавиатуры знак умножения — *.

Для получения значения ml воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле функция выбираем функцию ФАКТР. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно ФАКТР. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число переставляемых объектов т (в примере — 3). Нажимаем на кнопку ОК..

В ячейке А1 появляется искомое число размещений Л? = 60.

Решение 2

Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А2 .

Для получения значения числа размещений воспользуемся специальной функцией ПЕРЕСТ — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистические. Справа в поле Функция выбираем функцию ПЕРЕСТ. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно ПЕРЕСТ. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры общее число объектов п (в примере — 5). В рабочее поле Выбранное число вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать и переставить, т (в примере — 3). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А2 появляется искомое число размещений Д,3 = 60.

Таким образом, 3 книги из 5 имеющихся можно выбрать и расставить на полке шестьюдесятью способами.

Упражнения

Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 7, 9, 6, 5, 4? Что здесь нужно считать: перестановки, сочетания или размещения? Почему?

Сколько трехзначных чисел, не начинающихся с 0, можно составить из всех цифр?

Основные правила комбинаторики

Если некоторый выбор Л можно осуществить т способами, а выбор В — и способами, то выбрать либо А либо В можно т + п способами. Это правило называется правилом суммы.

Если некоторый выбор А можно осуществить тп различными Способами, а для каждого из этих способов некоторый другой выбор В можно осуществить п способами, то выбор А и. В можно осуществить тп х п способами. Это правило произведения.1',

Оба приведенных выше правила могут быть распространены на произвольное число совместно осуществляемых выборов.

Решая комбинаторную задачу, прежде всего надо ответить на вопрос — с каким из основных понятий в данной ситуации мы имеем дело?

А для этого отвечаем на два вопроса:

Все элементы множества используются или нет? Если используются все элементы, то это перестановка.

Важен порядок расположения элементов или нет? Если порядок важен, то это размещение. В противном случае — сочетание.

Бином Ньютона

Бином Ньютона служит для возведения в степень суммы двух слагаемых (бином — это двучлен). Формулы для квадрата и куба суммы хорошо известны. Они приведены в таблице.

БиномБиномКоэффициенты разложения

Бином

Бином

1; 11; 2; 11; 3; 3; 11; 4; 6; 4; 11; 11; 2; 11; 3; 3; 11; 4; 6; 4; 1(a + bj'-a' + b1

1; 1

1; 2; 1

1; 3; 3; 1

1; 4; 6; 4; 1

1; 1

1; 2; 1

1; 3; 3; 1

1; 4; 6; 4; 1

(а + b)2 - а2 + 2 х ab + Ь2

(а + Ь)3 - а3 + 3 х а2 х b + 3 х ab2 + Ь3

(а + Ь)4 - (а + Ь)3х(а + Ь)«

• а + 3 х а3х b + 3 х а2х Ь2+ а х Ь3+

+ а3х b + 3xa2xb2 + 3xaxb3 + b-

-a + 4xa3xb + 6xa2xb2 +

+ 4xaxb3 + b

По аналогии можно записать формулу бинома в общем виде:

(а+ЬУ =о” +С„ ^^ *Ь+С% *сГ2 *# +...+Сп~1 *а*Г ^Ъ".

При этом формула общего члена может быть представлена выражением:

ТЬ1=^*Й'-‘’М.(5.3)

Тогда в сокращенной записи формула бинома будет выглядеть как:

(а + ЬУ = 2 С**а"-‘*М.

Отметим, что биномиальные коэффициенты разложения для различных степеней (в таблице), образуют так называемый треугольник Паскаля.

Упражнения

Сколькими способами из 9 человек можно выбрать комиссию из 5 человек?

Сколько различных пятибуквенных слов можно составить из букв слова «треугольник»? (Слово может начинаться с любой буквы и представлять собою любую комбинацию букв).

В группе из 20 юношей и 10 девушек формируется волейбольная команда. Какова вероятность того, что команда будет состоять из 4 юношей и 2 девушек?

С какой вероятностью можно угадать три номера в тираже спортлото «5 из 36» ?

Составляется букет из 11 ромашек и 8 васильков. Если в букете 9 цветов, какова вероятность того, что он будет состоять из 5 ромашек и 4 васильков?

Какова вероятность того, что патруль будет состоять из одного офицера и двух солдат, если в подразделении 60 солдат и 5 офицеров?

Какова вероятность того, что, составляя слово из букв И, М, А, 3, получится слово «зима»? Из букв А, М, А, М получится «мама»?

В меню указано три первых блюда, пять вторых, четыре третьих. Сколько различных комплексных обедов можно составить?

Из Санкт-Петербурга в Москву можно добираться самолетом, поездом, на автомобиле. Из Москвы во Владивосток можно долететь, доплыть, доехать поездом. Сколькими способами можно добраться из Санкт-Петербурга до Владивостока через Москву?

Сколькими способами можно выбрать с полки 3 книги, если их там 10 штук?

Сколькими способами можно выбрать для сотрудничества 2 турфирмы, если их 25?

Сколько различных маршрутов можно составить для знакомства с городами Париж, Вена, Берлин, Мадрид, Рим?

Сколько возможно маршрутов, если клиент пожелал первым посетить Рим?

Сколько возможно маршрутов, если путешествие должно завершиться в Париже?

Сколько возможно маршрутов, если маршрут должен начаться в Риме, а закончиться в Вене?

Вы заключили контракт с турфирмами 9 европейских городов. В маршрут хотите включить 3. Сколько различных маршрутов можно составить?

Случайные величины

Переменная величина, принимающая различные числовые значения в зависимости от случая, называется случайной величиной. Допустим, что некоторая величина X может принимать значения:

Каждый раз, как выполняется некоторое сочетание условий, величина X принимает одно из значений (5.4). Пусть при этом вероятности для X принять то или иное из значений (5.4) соответственно равны:

PvPiРк-■(5-5)

Очевидно, должно выполняться равенство:,

1^ = ^<5-6)

i = 1

поскольку (5.4) — полная группа событий.■

Если вероятности (5.5) известны, то говорят, что распределение случайной величины X известно и что случайная величина Xзадана. Можно сказать, что задается полная система событий, и события состоят в том, что случайная величина принимает то или иное из значений (5.4) с вероятностями (5.5).

Случайная величина с дискретным распределением

В практических задачах обычно используются два вида случайных величин — дискретные и непрерывные. Рассмотрим сначала дискретные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принять, можно пронумеровать. Число этих значений может быть и неограниченным, нужно лишь, чтобы мог быть указан метод нумерации, при котором не будет пропущено ни одного возможного значения случайной величины. Иначе говоря, дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать значения, образующие счетные множества.

Примером дискретной случайной величины может, например, быть число солнечных пятен с площадью, большей некоторого заданного значения S, наблюдаемых в течение дня на солнечном диске.

Случайной величиной является также число лепестков в цветке сирени. Как известно, вероятность того, что у случайно выбранного цветка сирени имеется четыре лепестка, близка к единице, вероятности наличия трех и пяти лепестков малы, а вероятности наблюдения других значений числа лепестков ничтожно малы.

Законом распределения случайной величины X называется соответствие между значениями случайной величины (5.4) и вероятностями их реализации (5.5). Закон распределения может быть задан в виде таблицы, формулы или графика. Распределение дискретной случайной величины называется дискретным распределением.

Интегральным законом распределения или интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности Р(Х < х), то есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее

Очевидно, что

Н» = £ Р-

где суммирование ведется по всем I, для которых х, < х.

Функция F(x) является монотонно возрастающей функцией, так как при возрастании х к правой части (5.7) могут только добавиться положительные члены — вероятности событий. То есть если а > Ь, тоЕ(а) > F(b). При изменении тот -°° до +оо функция F(т) растет от 0 до +1 и для дискретных случайных величин имеет ступенчатый вид, как, например, это показано на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Интегральная функция распределения дискретной случайной величины

Если возможные значения X ограничены снизу величиной Mv то ДА/,) = 0. Если возможные значения X ограничены сверху величиной М2, то F(M2 + А) = 1, где А — положительная величина.

Если а < Ь, то на основании теоремы сложения вероятностей (5.1) справедливо равенство:

Р^Х < а) + Р^а < X < 6) = Р(Х < Ь\

откуда на основании (5.7) следует:

F(b) - F(a) = Р(а < х < b),

то есть вероятность для случайной переменной принять значение, лежащее между а и Ь, равна разности интегральных функций распределения для значений b иа.

В качестве примера построения интегрального закона распределения возьмем электролампу, которая многократно включается и выключается. Вероятность перегорания лампы при одном включении и выключении равна/?. Необходимо рассмотреть случайную величину — порядковый номер включения и выключения, при которых лампа перегорит, и найти ее распределение.

Эта случайная переменная имеет, очевидно, бесконечно большое число возможных значений. Вероятность того, что лампа перегорит при А-м включении и выключении, равна произведению вероятности того, что она не перегорит при k - 1 первых включениях и выключениях, на вероятность того, что при А-м включении и выключении она перегорит:

(1-р)‘-1р,А=1,2

Следовательно, возможные значения случайной переменной: 1, 2к, ... имеют соответственно вероятности:

рА^ -р)хр,...Л^-рУ'ххр,....

Вероятность того, что лампа не перегорит после к включений и выключений равна (1 - рУ, поэтому интегральный закон распределения:

ед = 1-(1-р)‘Д=1,2,...,

что можно получить и суммированием вероятностей значений случайной переменной до к - 1.

Непрерывная случайная величина

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой либо интервал (например, температура воздуха на улице).

Допустим, что возможными значениями случайной величины X являются любые значения из некоторого промежутка [а, 6]. Назовем интегральным законом распределения этой случайной величины, как и для дискретной случайной величины, функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее г.

F^x) = Р(Х < х).(5-8)

Предположим также, что существует такая функция/(х), что для любых значений х выполняется равенство:

F (х) = J №W(5.9)

из которого также следует:

/(х) = F\x\

Функция /(х) называется дифференциальным законом распределения или дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины. Для того чтобы понять ее смысл, на основании (5.8) и (5.9) рассмотрим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

6

Р(а < X < b) = ^ f(x)dx.(5.10)

Приняв x = a,ax + dx = b, получим:

Р(х < X < х + dx) = J K^dF, = f(x)dx+ <Xdxy(5-И)

Таким образом, произведение/(х) на dxc точностью до бесконечно малых высших порядков равно вероятности того, что случайная переменная примет значение,

заключенное между хи х + dx. Вследствие этого для функции/(х) наряду с термином «дифференциальный закон распределения» употребляют также название «плотность вероятности». Обоснованность этого названия следует из аналогии с плотностью вещества. Например, если рассматривается стержень с переменной линейной плотностью (массы)/(х), то выражение (5.10) дает массу стержня, заключенную в промежутке [а, 6], а выражение (5.11) — массу стержня в промежутке [х, х + dx], Поэтому функция/(х) может быть названа плотностью вероятности, поскольку левые части равенств (5.10) и (5.11) определяют вероятности.

Из того, что вероятность для непрерывной случайной величины принять значение, заключенное между хи х + dx, равна f{x)dx, следует, что вероятность для нее принять некоторое фиксированное точное значение всегда равна нулю, так как при этом следует считать, что dx = 0.

Вероятность для любого промежутка [х, х + dx] есть неотрицательная величина, следовательно, и плотность вероятности — неотрицательная функция

/(г)>0.

J /(х)</х = 1.J /(х)</х = 1.Поскольку limF(x) = 1, то

J /(х)</х = 1.

J /(х)</х = 1.

(5.12)

Плотность вероятности есть функция, нормированная к единице. Если случайная величина может принимать значения только в промежутке [а, Ь], то условие нормировки можно написать в виде:

ь

^ f(x)dx = 1.

Однако его всегда можно приводить и в виде (5.12), имея в виду, что вне промежутка [а, Ь] плотность вероятности/(х) = 0.

Произведение f(x)dx есть вероятность, то есть величина безразмерная. Дифференциал dx имеет размерность случайной величины, следовательно, плотность вероятности имеет размерность случайной величины в степени -1.

График функции F(x) для непрерывного распределения имеет примерный вид, приведенный на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Функция распределения непрерывной случайной величиныРис. 5.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Рис. 5.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Рис. 5.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная функция считается заданной, если известна ее функция распределения (F(x) или/(%)).

Числовые характеристики распределения вероятностей.

Числовые характеристики распределения вероятностей полезны тем, что помогают составить наглядное представление об этом распределении. Наиболее часто употребляемыми характеристиками случайной величины (и соответствующего распределения вероятностей) служат моменты и квантили. Дадим их определения для дискретных и для непрерывных случайных величин.

Начнем с так называемого первого момента случайной величины £, называемого также математическим ожиданием, или средним значением £. Его обозначают через Л/^, или ЕХ-

Математическим ожиданием дискретной случайной величины со значениями хх, х2,.... имеющих вероятностирх,р2является

MX = ^xkpkк

Если число возможных значений £, конечно, то MX всегда существует и не зависит от способа нумерации этих значений. В том случае, если число возможных значений счетно, необходимо, чтобы сумма ряда ^хкрк не зависела от нумерации значений х, то есть чтобы этот ряд сходился абсолютно:

Sl^l Рк <“к

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностьюр(х), является

, MX = j xp(x)dx,

причем интеграл должен сходиться абсолютно.

Приведенные определения MX не являются исчерпывающими, поскольку пригодны не для всех видов случайных величин. Универсальные (пригодные для любых случайных величин) определения этих характеристик требуют весьма сложного математического аппарата (они основаны на теории меры, интеграла Лебега-Стилтьеса и т. д.). Перечислим без доказательства основные свойства математического ожидания:

Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть М(Х + Л) = MX + My\.

Математическое ожидание произведения случайной величины на константу равно произведению этой константы на математическое ожидание случайной

величины, то есть Ма^ = аМ^ (другими словами, постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания).

Кроме математического ожидания случайной величины, которое в определенном смысле характеризует Центр распределения вероятностей, представляет интерес и разброс случайной величины относительно этого центра. Для оценки данного разброса в теории вероятностей используют второй центральный момент случайной величины. Его называют дисперсией и обычно обозначают через £)£..

Дисперсией D^ случайной величины ^ называется величина

D^ = M^-M^)2

или

D^ = Me? -(Ж?-

Дисперсия, так же как и математическое ожидание, существует не для всех случайных величин (не для всех распределений вероятностей).

Если необходимо, чтобы показатель разброса случайной величины выражался в тех же единицах, что и значение этой случайной величины, то вместо D^, используют величину 7^, которая называется средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины £.

Из свойств дисперсии отметим следующие:

Дисперсия постоянной равна нулю.

Для любой неслучайной постоянной а

П^аЖ

D(a^) = a2D®.

Кроме первого и второго моментов, при описании случайных величин иногда используются и другие моменты: третий, четвертый и т. д.

Дадим их определения отдельно для дискретных и для непрерывных случайных величин.

Для дискретной случайной величины й-м моментом со значениями.г,, х2 имеющих вероятностирьр2,..., называется величина

а ^-м центральным моментом —

^(Xi - Mx)kр,.

Для непрерывной случайной величины с плотностьюр{х), ^-м моментом называется величина

j xkp(x)dx,

а ^-м центральным моментом —1

J (х - Mx)kp(x)dx.

Чтобы приведенные формулы имели смысл, требуется, чтобы суммы и интегралы сходились абсолютно. Так же как математическое ожидание и дисперсия, моменты существуют не для всех случайных величин,

В отличие от обычных моментов, центральные моменты не меняются при прибавлении к случайной величине постоянного слагаемого, то есть они не зависят от выбора начала отсчета в шкале измерения случайной величины. Но от выбранной единицы измерения зависимость остается: если, скажем, случайную величину начать измерять не в метрах, а в сантиметрах, то значения центральных моментов также изменятся. Иногда это бывает неудобно. В таких случаях, чтобы устранить подобное влияние, моменты тем или иным способом нормируют, например, деля их на соответствующую степень среднего квадратического отклонения. В результате получается безразмерная величина, не зависящая от выбора начала отсчета и единиц измерения исходной случайной величины.

Чаще всего из нормированных моментов используются асимметрия и эксцесс — соответственно третий и четвертый нормированные центральные моменты. Для случайной величины асимметрия высчитывается по формуле:

W - М^№3/2 '

а эксцесс —

М^-М^4та2 ■

Принято считать, что асимметрия в какой-то степени характеризует несимметричность распределения случайной величины, а эксцесс — степень выраженности «хвостов» распределения, то есть частоту появления удаленных от среднего значений. Иногда значения асимметрии и эксцесса используют для проверки гипотезы о том, что данные (выборка) над которыми велось наблюдение, принадлежат заданному семейству распределений, например нормальному. Так, для любого нормального распределения асимметрия равна нулю, а эксцесс — трем.

Для случайных величин, принимающих вещественные значения, часто используются такие характеристики, как квантили.

Квантилью хр случайной величины, имеющей функцию распределения F(x), называется решение хр уравненения F(x) =р, гдер — заданная вероятность.

Величина хр часто называется ^-квантилью или квантилью уровня р распределения F(x). Среди квантилей чаще всего используют медиану и квартили распределения.

Медианой называется квантиль, соответствующая значению/? = 0,5. Верхней квартилью называется квантиль, соответствующая значению/? = 0,75. Нижней — квантиль, соотвествующая значению/? = 0,25.

В описательной статистике (см. главу 6) нередко используют децили, то есть квантили уровней 0,1; 0,2; ...; 0,9. Значение децилей позволяет неплохо представлять поведение графика у = F(x) в целом.

Отметим, что уравнение F(x) = р, определяющее ^-квантили, для некоторых значений/?, 0 <р < 1, может не иметь решений либо иметь неединственное решение. Для соответствующей случайной величины это означает, что некоторые р-кван- тили не существуют, а некоторые определены неоднозначно.

В MS Excel для вычисления некоторых числовых характеристик дискретных распределений вероятностей могут быть использованы специальные функции СРЗНАЧ, ДИСПР, СТАНДОТКЛОНП, КВАРТИЛЬ и ПЕРСЕНТИЛЬ.'.

О СРЗНАЧ — вычисляет математическое ожидание для всей совокупности значений дискретной случайной величины. Например, если ячейки А1:А7 содержат числа 10,14,5,6,10,12 и 13, являющиеся дискретным распределением, то математическим ожиданием СРЗНАЧ(А1:А7) является 10;

О ДИСПР — позволяет оценить дисперсию дискретного распределения. Например, Д И С П Р(10; 14;5;6; 10; 12; 13) равняется 10;"

О СТАНДОТКЛОНП — вычисляет стандартное отклонение дискретного распределения. Например, СТАНД0ТКЛ0НП(70;74;5;6;70;72;13) равняется3,162278;

О КВАРТИЛЬ — позволяетопределитьквартили расцределения. Функция КВАРТИЛЬ имеет формат КВАРТИЛЬ(лшссыв; значение'). Массив представляет собой интервал ячеек, содержащих все значения дискретной случайной величины, или сами значения, а значение определяет, какая квартиль должна быть найдена (0 — минимальное значение распределения, 1 — нижний квартиль, 2 — медиана, 3 — верхний квартиль, 4 — максимальное значение распределения). Например, КВАР- ТУ\ЛЬ({10;14;5;6;10;12;13}; 3) равна 12,5. Это означает, что четверть всех значений распределения больше чем 12,5.

О ПЕРСЕНТИЛЬ позволяет получить р-квантили заданного распределения. Например, если ячейки А1:А7 содержат числа 10, 14, 5, 6, 10, 12 и 13, то квантилью со значением 0,1 является ПЕРСЕНТИЛЬ(Л 1;А7; 0,1), равная 5,6.

Пример 5.5. Дано дискретное распределение со значениями 1,2,3,4,10,2,3,1,3,3,5. Найти 90%-ную р-квантиль.

Решение. Для нахожденияр-квантили прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Открываем новую рабочую таблицу. Вводим в ячейки С1:С11 значения случайной величины.

Затем необходимо установить табличный курсор в свободную ячейку (С12). На панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выбрать категорию Статистические и функцию ПЕРСЕНТИЛЬ, после чего нажать на кнопку 0К. Появившееся диалоговое окно ПЕРСЕНТИЛЕ» за серое поле мышью отодвинуть вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши в рабочее поле Массив ввести диапазон данных распределения (С1:С11). В рабочее поле к с клавиатуры ввести требуемое значение — 0,9 (рис. 5.3). Нажать на кнопку 0К.

В ячейке С12 появится значение 90% квантили распределения — 5. Это означает, что 90% всех значений распределения меньше чем 5.

; -' ' Мас<>®)1ПаПИИЙЙИИИЙИЙЙ^-

®1ШВКШ|Я|ЖВОЯ111|МЖВ^

jEwsepatw^r Ню перки m доя значений диапазона,

। массив или диапазон с численными значения^ «азторый ог^двладт

OTMOOfrertoHM положение.

111И£О|811Й®1й1Я®811Й1Я

Значаще: 5II Отмена |

Рис. 5.3. Пример заполнения диалогового окна ПЕРСЕНТИЛЬ

Упражнения

Найти математическое ожидание и стандартное отклонение дискретного распределения 0,2; 0,5; 2; 3; 5,1; 8; 2; 3.

Найти 25%-иую квартиль для распределения из упражнения 26.

Найти дисперсию для распределения из упражнения 26.

Законы распределения вероятностей

Зная распределения вероятностей интересующих нас случайных величин, можно делать выводы о событиях, в которых участвуют эти величины. Правда, эти выводы будут также носить случайный характер.

Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые на практике используют особенно часто. Эти распределения детально изучены, и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знания — таких как теория массового обслуживания, теория надежности, теория измерений, теория игр и т. п.

Большинство применяемых на практике распределений являются дискретными или непрерывными. Среди дискретных распределений наиболее важные — биномиальное и пуассоновское, среди непрерывных — нормальное, показательное и распределения, связанные с нормальным: Стьюдента, хи-квадрат и F-распределе- ние Фишера. Далее будут рассмотрены некоторые из наиболее важных распределений вероятностей.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение — это одно из самых распространенных дискретных распределений, оно служит вероятностной моделью для многих явлений. Оно возникает в тех случаях, когда нас интересует, сколько раз происходило некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. При этом распределении разброс вариант (в простейшем случае есть событие или нет события) является следствием влияния ряда независимых и случайно сочетающихся факторов.

Примером дискретной случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону распределения, является число появлений события Л при выполнении п испытаний. Возможными значениями этой случайной величины т являются О, 1, 2, ..., п.

Если для каждого отдельного испытания ввести случайную величину £, которая может принимать только два значения —1с вероятностью р и 0 с вероятностью q = (1 -р), то соответствующие вероятности появления т успешных (то есть 1) случайных величин вычисляются по формуле:

рМ = мРтЧП"т №"" (5.13)

Формула (5.13) называется формулой Бернулли. Условие равенства суммы всех вероятностей единице (5.6) легко проверяется. В самом деле, поскольку (5.13) представляет собой выражение для общего члена разложения бинома Ньютона (5.2), то, имея в виду, что/? + q = 1, находим:

^P„W = £ ”’ ..pmqn-” = (p + q)n = 1.

Таким образом, выражение (5.13) определяет распределение случайной величины — числа появлений события А при п испытаниях. Это распределение, вследствие того, что оно имеет такой же вид, как и общий член разложения бинома Ньютона (5.2), называют биномиальным распределением.

Если число испытаний п велико, а вероятность р реализации события А в одном испытании не очень близка к нулю и не очень близка к единице, то маловероятно, чтобы событие А при п испытаниях случилось очень малое число раз или число раз, близкое к п. Очевидно, что при т, равном малому числу единиц, вероятность рп(т) растет с увеличением тп, а для т, близких к п, она убывает при увеличении т. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение, соответственно, равны:

МА = пр, DA = пр{ 1 - р). (5-14)

Эти выражения (5.14) легко получить, если Л представить в виде:

Л = ^1 + ^+... + ^,

где случайные слагаемые в данной формуле статистически независимы и одинаково распределены. Для любого k от 0 до п выполняется M^k = p, D^k = p(l - р), поэтому, согласно свойствам математического ожидания и дисперсии («Числовые характеристики распределения вероятностей»): МА = пМ^, DA = nD^, что и приводит к указанным выше выражениям (5.14).

При большом количестве испытаний биномиальное распределение стремится к нормальному (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Биномиальные распределения при различных рил

Примером практического использования биномиального распределения может являться контроль качества партии фармакологического препарата. Здесь требуется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям. Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными и не зависящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации не возможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий (и). Эти образцы всестороннее проверяют и регистрируют число бракованных изделий (т). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до и, но вероятности этих чисел различны. В основе принятия решения лежит сравнение распределения результатов контроля, то есть данных, полученных опытным путем, и теоретического распределения, при котором гарантируется необходимое качество всей партии — достаточно низкая вероятность брака Р(т < &), где & — предельное число бракованных изделий.

В Excel для вычисления вероятности отдельного значения биномиального распределения или значения случайной величины по заданной вероятности используются функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ.

Функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача, испытания независимы, и вероятность успеха постоянна на протяжении всего эксперимента.

Функция использует следующие параметры — БИНОМРМА\(число_успехов;число_ис- пытаний;вероятностъ_успеха;интегральная^; Здесь:

О число_ успехов — это количество успешных испытаний;

О число _испытаний — это число независимых испытаний. При этом число_успе- хов и число испытаний являются целыми числами;

О вероятностъ_успеха — это вероятность успеха каждого испытания;

О интегральная — это логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная имеет значение ИСТИНА (V), то функция БИНОМРАСП возвращает интегральную функцию распрёделепия, то есть вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения аргумента число_ успехов; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ (0), то вычисляется значение функции плотности распределения, то есть вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число_ успехов.

Интегральное биномиальное распределение имеет следующий вид:

т=о т=йтЦп-ту.

Функция КРИТБИНОМ вычисляет наименьшее значение числа успешных исходов случайной величины, для которого интегральное биномиальное распределение больше или равно заданной величине (критерию). Эта функция наиболее часто используется в приложениях, связанных с контролем качества.

Функция использует параметры: КРИТБИНОМ(чмсло_мсиытанмм;0ероя/инос7иг>_г/сие- ха;альфау Здесь:

О число _испытаний — это число независимых двухальтернативных испытаний;

О вероятность _у спеха — это вероятность успеха в каждом испытании;

О альфа — это значение критерия, которое фактически является уровнем значимости.

Пример 5.6. Какова вероятность того, что трое из четырех следующих новорожденных будут мальчиками?

Решение

Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомой вероятности.

Для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМ РАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно БИНОМ РАСП. В рабочее поле Числом вводим с клавиатуры количество успешных испытаний т (в примере — ЗУ В рабочее поле Испытания вводим с клавиатуры общее количество испытаний п (в примере — 4). В рабочее поле Вероятность_5 вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании р (в примере — О,5). В рабочее поле Интегральный вводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (в примере — 0). Нажимаем на кнопку ОК. В ячейке А1 появляется искомое значение вероятности р = 0,25.

Таким образом, ровно 3 мальчика из 4 новорожденных могут появиться с вероятностью р = 0,25.

Если изменить формулировку условия задачи и выяснить вероятность того, что появится не более 3 мальчиков, то в этом случае в п. 4 в рабочее поле Интегральный вводим 1 (вид функции распределения интегральный). Тогда вероятность этого события будет равна р = 0,9375.

Пример 5.7. Построить диаграмму биномиальной функции плотности вероятности Р(А = т) при п = 10ир = 0,2.

Решение

В ячейку А1 вводим символ количества успешных исходов т, а в ячейку В1 — символ вероятности — р.

Заполняем диапазон А2:А12 возможными значениями исходов: 0, 7,2, *, 10.

Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию Б И НОМ РАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно Б И НОМ РАСП. В рабочее поле Число_5 вводим количество успешных испытаний тп (в примере адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке). В рабочее поле Испытания вводим с клавиатуры общее количество испытаний п (в примере — 70). В рабочее поле Вероятности вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании р (в примере — 0,2). В рабочее поле Интегральный вводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (в примере — 0). Нажимаем на кнопку ОК .

В ячейке В2 появляется значение вероятности р = 0,107374.

Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В12 копируем функцию БИНОМ РАСП в диапазон ВЗ:В12.

По полученным данным строим искомую диаграмму биномиальной функции распределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы Гистограмма, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:В12 (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А12. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей X и У: т и р, соответственно. Нажимаем на кнопку Готово.

Получена диаграмма биномиальной функции плотности распределения (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Гистограмма биномиальной функции плотности вероятности Р(А = т) при п = 10 и р = 0,2

Пример 5.8. В условиях предыдущего примера (биномиальная функция плотности вероятности Р(А = т) при п = 10 ир = 0,2) найти значение числа т, для которого вероятность интегрального распределения равна или больше Р> 0,3.

Решение

Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомого числа т.

Для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией КРИТБИНОМ: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слевав поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию КРИТБИНОМ. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно КРИТБИНОМ. В рабочее поле Испытания вводим с клавиатуры количество испытаний п (в примере — 10). В рабочее поле Ве- роятность_5 вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании р (в примере — 0,2). В рабочее поле Альфа вводим с клавиатуры критическое значение вероятности интегрального распределения Р (в примере — 0,3). На-, жимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляется искомое значение числа успешных событий m = 1.

Таким образом, при вероятности интегрального распределения Р> 0,3 появится не менее одного (m > 1) успешного события. Действительно, вычислив БИНОМ- РАСП(1;10;0,2;1) получим 0,37581, а БИНОМРАСП(0;Ю;0,2;1) -0,107374. Это также можно видеть из рис. 5.5.

Упражнения

При бросании монеты может выпасть орел или решка. Вероятность того, что при очередном бросании выпадет орел, равна 0,5. Найти вероятность того, что орел выпадет в точности 6 раз из 10.

Построить диаграмму биномиальной функции плотности вероятности Р(А = т) при и = 10ир = 0,5.

Построить диаграмму биномиальной интегральной функции распределения Р(А <т) прип= Юи р = 0,2.

Выборочный контроль продукции проводят так: из партии в 100 изделий выбирается 20 и при обнаружении в этой выборке хотя бы одного дефектного изделия вся партия бракуется. В партии имеется 10 дефектных изделий. Какова вероятность того, что хотя бы одно дефектное изделие попадет в выборку?

Найти количество успешных испытаний для критического значения интегральной функции распределения, равного 0,75, если общее количество испытаний равно 6, а вероятность успеха в испытании — 0,5.

Нормальный закон распределения

Большинство экспериментальных исследований в биологии, медицине, технике и других областях связаны с измерениями, результаты которых могут принимать практически любые значения в заданном интервале и описываются моделью непрерывных случайных величин. Одним из важнейших непрерывных распределений является нормальное, или гауссово распределение.

Нормальное распределение получило широкое распространение для приближенного описания многих случайных явлений, в которых на результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно

выделяющихся. Например, рассеяние снарядов при стрельбе. Кроме того, многие распределения, связанные со случайной выборкой, при увеличении ее объема переходят в нормальное.. .

/W =/W =—ОО< X < ОО—ОО< X < ОООднако следует отметить, что в природе встречаются экспериментальные распределения, для описания которых модель нормального распределения малопригодна. Плотность вероятностей нормально распределенной случайной величины задается формулой ■

/W =

/W =

—ОО< X < ОО

—ОО< X < ОО

(5.15)

Здесь а и о - параметры распределения. Иногда используют краткое обозначение N(a, а2).

График плотности (нормальная кривая) представлен на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Плотность вероятностей нормального распределенияРис. 5.6. Плотность вероятностей нормального распределения

Рис. 5.6. Плотность вероятностей нормального распределения

Рис. 5.6. Плотность вероятностей нормального распределения

Можно сказать, что нормальное распределение это совокупность объектов, в которой крайние значения некоторого признака — наименьшее и наибольшее — появляются редко; чем ближе значение признака к математическому ожиданию, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному распределению.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины £, распределенной как N(a, о2), равны:

M^-q.D^-o2. (5.16)

Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки а, то есть положительные и отрицательные равновеликие отклонения от центра распределения (математического ожидания) встречаются одинаково часто. Поэтому медиана нормального распределения равна а. При этом в точке а функция /(х) достигает своего максимума, который равен l/(V2na). Параметр а характеризует положение диаграммы функции на числовой оси (параметр положения). При х—> ±оо функция/(х) стремится к нулю.

Параметр а характеризует степень сжатия или растяжения (плотности) диаграммы. Чем больше а, тем «шире» кривая, а ее максимальная высота ниже. Кривая как бы растягивается в стороны.

В выделенную на рис. 5.6 область от а - а до а + а нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 0,683. В пределы от -2а до +2а случайная величина попадает с вероятностью 0,955, а в пределы от -За до +3а — с вероятностью 0,997. Последняя закономерность трактуется как правило трех сигм.

Формула (5.15) описывает целое семейство нормальных кривых, зависящих, как было сказано ранее, от двух параметров — а и а, которые могут принимать любые значения, поэтому существует бесконечно много нормально распределенных со- вокупностей.

Особую роль играет нормальное распределение с параметрами а = 0 и а = 1, то есть распределение ^(0,1), которое часто называют стандартным или нормированным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения вычисляют по формуле:

—/(^) = -7т=е 2 .

Функция распределения стандартного нормального распределения равна:

ф^)=^Ле-у2/2^

В Excel для вычисления значений нормального распределения используются функции НОРМ РАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР и НОРМАЛИЗАЦИЯ.

Функция НОРМ РАСП вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция имеет очень широкий круг приложений в статистике, включая проверку гипотез. Функция имеет параметры — Н ОРМ РАСП {х;среднее;стандартное_откл,‘интегральная). Здесь:

О х — значение, для которого строится распределение;

О среднее — среднее арифметическое распределения;

О стандартное_откл — стандартное отклонение распределения;

О интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то вычисляет значение функция плотности распределения.

Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, то есть НОРМСТРАСП.

Функция НОРМСТРАСП используется для вычисления стандартного нормального интегрального распределения. Это распределение имеет среднее равное нулю и стандартное отклонение равное единице. Эта функция может использоваться вместо таблицы для стандартной нормальной кривой.

Функция имеет параметры — НОРМСТРАСП(z), где z — значение случайной величины, для которого строится распределение.

Функция НОРМОБР вычисляет значения квантилей для указанного среднего и стандартного отклонения (решения уравнения F(x) = р).

Функция имеет параметры — \\ОРМ№Р(вероятностъ;среднее;стандартное_откл). Здесь:

О вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распределению;

О среднее — среднее арифметическое распределения;

О стандартное—откл — это стандартное отклонение распределения;

Функция НОРМСТОБР аналогична функции НОРМОБР в случае, если среднее = 0 и стандартное—отклонение = 1. При этом используется стандартное нормальное распределение. Единственным параметром функции НОРМСТОБР является вероятность;

Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ позволяет по значению х и параметрам распределения найти нормализованное значение, соответствующее заданному х. Формат функции — НОР^АкЛ^ЗкЦИЯ^х^реднее^тандартное—Отклонение).

Пример 5.9. Построить диаграмму нормальной функции плотности вероятности Дх) при М= 24,3 и а = 1,5.

Решение

В ячейку А1 вводим символ случайной величины х, а в ячейку В1 — символ функции плотности вероятности — f(x).

Вычисляем диапазон М+За — от 19,8 до 28,8. Вводим в диапазон А2:А21 значения х от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5. Для этого в ячейку А2 вводим левую границу диапазона (19,8), а в ячейку АЗ левую границу плюс шаг (20,3). Выделяем блок А2:АЗ. Затем за правый нижний угол протягиваем мышью до ячейки А21 (при нажатой левой кнопке).

Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно НОРМРАСП. В рабочее поле х вводим значением, для которого строится распределение (в примере адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке). В рабочее поле Среднее вводим с клавиатуры значение математического ожидания М (в примере — 24,3). В рабочее поле Стандартное_откл вводим с клавиатуры значение среднеквадратического отклонения а (в примере — 1,5). В рабочее поле Интегральный вводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (в примере — 0). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке В2 появляется вероятностир = 0,002955.

Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В21 копируем функцию НОРМРАСП в диапазон ВЗ:В21.

По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции распределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1 :В21 (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А21. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей X и У; х и/(х), соответственно. Нажимаем на кнопку Готово.

Получен приближенный график нормальной функции плотности распределения (рис. 5.7).

Рис. 5.7. График нормальной функции плотности вероятности для примера 5.9

Пример 5.10. Построить диаграмму стандартного нормального интегрального распределения.

Решение

В ячейку А1 вводим символ случайной величины х, а в ячейку В1 — символ функции стандартного нормального распределения вероятности — Ф(х).

Вводим в диапазон А2:А14 значения х от — 3 до5 с шагом 0,5. Для этого в ячейку А2 вводим левую границу диапазона (-3), а в ячейку АЗ левую границу плюс шаг (-2,5). Выделяем блок А2:АЗ. Затем за правый нижний угол протягиваем мышью до ячейки А14 (при нажатой левой кнопке).

Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМСТРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно НОРМСТРАСП. В рабочее поле z вводим значение х для которого строится распределение (в примере адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке В2 появляется вероятности р = 0,00135.

Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В14 копируем функцию НОРМСТРАСП в диапазон ВЗ:В14.

По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции распределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — Bl:В14 (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А 14. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей X и У: х и Ф(х), соответственно. Нажимаем на кнопку Готово.

Получен график стандартизованной нормальной функции распределения (рис. 5.8).

Рис. 5.8. График стандартизованной нормальной функции распределения для примера 5.10

Пример 5.11. Найти верхнюю и нижнюю квартили для нормальной функции плотности вероятности f(x) при М = 24,3 и а = 1,5.

Решение

Устанавливаем табличный курсор в ячейку А1 и для получения значения верхней квартили воспользуемся специальной функцией: НОРМОБР — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМОБР. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно НОРМОБР. В рабочее поле Вероятность вводим значение вероятности верхней квартили — 0,75 (с клавиатуры). В рабочее поле Среднее вводим с клавиатуры значение математического ожидания М (в примере — 24,3). В рабочее поле Стандартное_откл вводим с клавиатуры значение среднеквадратического отклонения а (в примере — 1,5). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляется значение верхней квартили 25,31174.

Устанавливаем табличный курсор в ячейку А2 и для получения значения нижней квартили повторяем пункты 1-4. За исключением того, что в п. 3 в рабочее поле Вероятность вводим значение вероятности нижней квартили — 0,25.

В ячейке А2 появляется значение нижней квартили 23,28826.

Таким образом, верхняя и нижняя квартили для нормальной функции плотности вероятности f(x) при М=24,3 и о= 1,5 соответственно равны 25,31174 и 23,28826.

Упражнения

Найти вероятность того, что появится случайная величина х < 42 при нормальном законе распределения вероятностей с М = 40 и а = 1,5.

Построить диаграмму нормальной функции плотности вероятности Дх') при М= 10 и а = 2.

Построить диаграмму интегральной нормальной функции распределения вероятности Дх) при М = 30 и о = 3.

Найти квантиль для/, = 0,908789 и нормального распределения с М= 40 и о = 1,5.

Найти нормализованное значение х, если х= 21, М = 20, а= 1,5.

Другие законы распределения

На практике помимо уже рассмотренных биномиального и нормального распределений часто приходится сталкиваться со случайными величинами, распределенными по равномерному закону, закону Пуассона, с показательным распределением, а также использовать распределения, связанные с нормальным: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.

Равномерное распределение

Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным.

Дискретное равномерное распределение — это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений случайной величины одна и та же, то есть:

Р^х) = 1/N,

где N— количество возможных значений случайной величины.

Для непрерывного равномерного распределения плотность вероятности и функция распределения определены формулами:

/(х) =,-о» <а < х <Ь <о°,

Ь- а

F(_x) = ——-,-oo<a<x<b<oo.

Ь- а

Графики обеих функций представлены на рис. 5.9.

.1'

0,8 ■/

0,4 ■

0,2 ■

Рис. 5.9. Плотность вероятности и функция распределения для непрерывного равномерногозакона распределения

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона — это дискретное распределение. Оно проявляется в ситуациях, когда в течение определенного отрезка времени или на определенном пространстве происходит случайное число каких-либо событий (число радиоактивных распадов, выпадение частиц аэрозоля, случаи заболеваний и т. и.).

Случайная величина £, которая принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2, .;., имеет закон распределения Пуассона с параметром X > О, если

Р(^ = к | X) = — ех для к = 0, 1, 2,...,(5.17)

к\

гдеХ = пр — интенсивность. Основное отличие этого закона распределения (5.17) — резко выраженная асимметрия. Если в биномиальном распределении обозначить вероятность одного события через р, то вероятность другого события q будет равна (1 - р\ Распределение этих событий будет тем асимметричней, тем больше различаются р и q. В крайнем случае, когдар очень мало, a q, соответственно, близко к 1 (или наоборот), получается крайне асимметричное распределение — распределение Пуассона. Особенностью этого распределения является то, что дисперсия и среднее арифметическое при таком распределении равны между собой.

M^ = X,D^ = X.(5-18)

Равенство дисперсий и среднего в распределении Пуассона позволяет проводить ориентировочную оценку эмпирических (опытных) распределений.

Например, если в ходе статистической обработки дискретных рядов, получены среднее и дисперсия, которые равны между собой, то распределение можно считать, подчиняющимся закону Пуассона.

Распределение Пуассона и биномиальное распределение связаны между собой, а также с нормальным распределением и рядом других.

В Excel для вычисления значений пуассоновского распределения используется функция ПУАССОН (х;срвднвв;интегралънъ1йу Она позволяет вычислить вероятность заданного числа появлений событий х при заданном значении среднего.

Показательное распределение

Показательное распределение (экспоненциальное) — это непрерывное распределение. Обычно используется в задачах массового обслуживания и в задачах, связанных с «временем жизни». Так, например, распределены интервалы между обращениями граждан во многие организации.

Положительная случайная величина X имеет показательное распределение с параметром X > 0, если ее плотность задана функцией:

р^хЛ^Хе"^ <х>0\(5.19)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по показательному закону с параметром X, равны:

МХ = 1Д, DX = 1/Л2.(5.20)

В Excel для вычисления значений показательного распределения используется функция ЭКСПРАСП^лял/бЭа/ннтег/чтльный). Она позволяет вычислить вероятность заданного значения функции х при заданном значении параметра лямбда.

Распределение хи-квадрат

Это непрерывное распределение, связанное с нормальным. Если случайные величины ^, ^2^п~независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное

распределение ЛГ(0,1), то случайная величина Хп, определенная как:'

х2„ = ^ + ... + ^,

имеет распределение хи-квадрат с и степенями свободы.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Хп равны:

Мх2„ =n,Dx2n =2п.(5.21)

В Excel для вычисления значений распределения хи-квадрат используются функции ХИ2РАСП(х;стеиени_сеободы) и Х\Л20БР (вероятностъ;степени_свободы), которые при заданном числе степеней свободы вычисляют вероятность (по заданному значению Х„, для которого требуется вычислить распределение) и значение случайной величины Хп (по заданной вероятности), соответственно.

Распределение Стьюдента

Это также непрерывное распределение, связанное с нормальным. Если случайные величины £(, ^2, •■■^п — независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение ^(0,1), то случайная величина:

имеет распределение, называемое распределением Стьюдента.

(5.22)(5.22)Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:

(5.22)

(5.22)

Mtn = 0, Dtn =

В Excel для вычисления значений распределения Стьюдента используются функции СТЬЮДРАСП(т;с7тгепени свободъцхвостъ^ и СТЬЮДРкСТОБР^вероятпностпыстепвни- свободы), которые при заданном числе степеней свободы вычисляют вероятность (по заданному численному значению х, для которого требуется вычислить распределение) и t — значение распределения Стьюдента (по заданной вероятности), соответственно.

F-распределение (Фишера)

Это также непрерывное распределение, связанное с нормальным. Если случайные величины Лр Т|2, ..., Ля и ^(, £2> ..., £„ (пит — натуральные числа) — независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение ^(0,l), то случайная величина Fm„:

-(Л? +-.. + Ля) г = Ш,П 4

п

имеет Е-распределение с параметрами тип, называемыми степенями свободы.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины FmJ1 равны:

MFmn = Л- для п>2, DFmn = и ~ 2) для п > 4.(5.23)

п-2т(п - 2)2(п - 4)

В Excel для вычисления значений Е-распределения используются функции ЕРАСП и ЕРАСП0БР(х;степенм_свободыЕ-степеям_с8ободы2), которые при заданном числе степеней свободы тип вычисляют вероятность (по заданному численному значению Fm_n, для которого требуется вычислить распределение) и численное значение Ега„ (по заданной вероятности), соответственно.

Другие распределения в Excel

Excel позволяет также рассчитывать параметры еще нескольких распределений вероятностей. К ним относятся бета-распределение (функции БЕТАРАСП и БЕТАОБР), распределение Вейбулла (функция ВЕЙ БУЛЛ), гамма-распределение (функции ГАМ- МАРАСП и ГАММАОБР), гипергеометрическое распределение (функция ГИПЕРГЕОМЕТ), распределение Паскаля (функция ОТРБИНОМРАСП) и логнормальное распределение (функции ЛОГНОРМРАСП и ЛОГНОРМОБР).

Пример 5.12. Найти вероятности появления значений меньших и равных 11,98 в экспоненциальном распределении со средним значением 4.

Решение

Устанавливаем табличный курсор в ячейку А1 и для получения значений вероятностей экспоненциального распределения воспользуемся специальной функцией: ЭКСПРАСП — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (fx).

В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию ЭКСПРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно ЭКСПРАСП. В рабочее поле х вводим численное значение функции — 11,98 (с клавиатуры). В рабочее поле Лямбда вводим с клавиатуры величину, обратную значению математического ожидания М (в примере — 0,25). В рабочее поле Интегральный вводим с клавиатуры значение ИСТИНА (в примере — 1). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляется значение вероятности — 0,949963.

Таким образом, вероятность того, что в экспоненциальном распределении со средним значением 4 появится число, меньшее или равное 11,98, равна 0,95.,

Упражнения।

Найти р-квантили для распределения хи-квадрат с 14 степенями свободы для р = 0,95; 0,975; 0,99.

Найти значение интегрального экспоненциального распределения с параметрами: случайная величина х = 0,2 и математическое ожидание MX = 0,1.

Найти значение случайной величины F64 в ^-распределении, появляющееся с вероятностью р = 0,01.•

Найти вероятность появления случайной величины t = 1,96, распределенной по двустороннему закону Стьюдента с 60 степенями свободы.

Генерация случайных чисел

Еще одним аспектом использования законов распределения вероятностей является генерация случайных чисел. Бывают ситуации, когда необходимо получить последовательность случайных чисел. Это, в частности, требуется для моделирования объектов, имеющих случайную природу, по известному распределению вероятностей. Например, можно использовать нормальное распределение для моделирования совокупности данных по росту индивидуумов, или использовать биномиальное распределение для двух вероятных исходов, чтобы описать совокупность результатов бросания монетки.

В этом случае можно воспользоваться процедурой Генерация случайных чисел, которая является одним из инструментов пакета анализа. Эта процедура используется для заполнения диапазона случайными числами, извлеченными из одного или нескольких распределений.

Можно также воспользоваться функциями из категории Математические Мастера функций: СЛЧИС() (в результате ее выполнения на листе вычислений будет получено равномерно распределенное случайное число, большее или равное 0 и меньшее 1) и СЛУЧМЕЖДУ() (в результате будет получено случайное число, лежащее между произвольными заданными значениями).

В случае использования процедуры Генерация случайных чисел необходимо заполнить рабочие поля диалогового окна Генерация случайных чисел.

В поле Число переменных вводится число столбцов значений, которые необходимо разместить в выходном диапазоне. Если это число не введено, то все столбцы в выходном диапазоне будут заполнены.

В поле Число случайных чисел вводится число случайных значений, которое необходимо вывести для каждой переменной. Каждое случайное значение будет помещено в строке выходного диапазона. Если число случайных чисел не будет введено, все строки выходного диапазона будут заполнены.

В поле Распределение необходимо выбрать тип распределения, которое следует использовать для генерации случайных переменных.

В их число входят:

О равномерное — характеризуется верхней и нижней границами. Переменные извлекаются с одной и той же вероятностью для всех значений интервала. Обычно приложения используют равномерное распределение в интервале 0...1;

О нормальное — характеризуется средним значением и стандартным отклонением. Обычно приложения для этого распределения используют среднее значение 0 и стандартное отклонение 1;

О биномиальное — характеризуется вероятностью успеха (величина^) для некоторого числа попыток. Например, можно сгенерировать случайные двухальтернативные переменные по числу попыток, сумма которых будет биномиальной случайной переменной;

О дискретное — характеризуется значением и соответствующим ему интервалом вероятности. Диапазон должен состоять из двух столбцов: левого, содержащего значения, и правого, содержащего вероятности, связанные со значением в данной строке. Сумма вероятностей должна быть равна 1;

О распределения Бернулли, Пуассона и Модельное.

В рабочее поле Параметры вводятся параметры выбранного распределения.

В поле Случайное рассеивание вводится произвольное значение, для которого необходимо генерировать случайные числа. Впоследствии можно снова использовать это значение для получения тех же самых случайных чисел.

В поле Выходной диапазон вводится ссылка на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные.

Если необходимо получить случайные числа на новом листе или в новой книге — в полях Новый лист и Новая книга устанавливаются соответствующие переключатели. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.13. Повар столовой может готовить 7 различных первых блюд (уха, харчо, щи, борщ, бульон, грибной и гороховый супы). Необходимо составить меню на месяц, так чтобы первые блюда чередовались в случайном порядке.

Решение

Пронумеруем первые блюда по порядку: 1 — уха, 2 — харчо, 3 — щи, 4 — борщ, 5 — бульон, 6 — грибной и 7 — гороховый. Введем числа 1-7 в диапазон А1:А7 рабочей таблицы.

Укажем желаемую вероятность появления каждого первого блюда. Пусть все блюда будут равновероятны (р = 1/7). Вводим число 1/7 в диапазон В1:В7. Для этого в ячейку В1 вводим формулу = 1/7 и затем копируем эту формулу в диапазон В2:В7 (автозаполнением).

Вменю Сервис выбираем пункт Анализ данных и далее указываем строку Генерация случайных чисел. В появившемся диалоговом окне указываем Число переменных — 1, Число случайных чисел — 30 (количество дней в месяце). В поле Распределение указываем Дискретное (только натуральные числа). В поле Входной интервал значений и вероятностей вводим (мышью) диапазон, содержащий номера

супов и их вероятности — диапазон А1:В7. Указываем выходной диапазон. Для этого устанавливаем флажок в левое поле Выходной диапазон и в правое поле ввода Выходной диапазон вводим, например, С1. Нажимаем на кнопку ОК.

В столбце С появляются случайные числа, например: 3, 1, 5, 7, 7, 7, 1, 3и т. д. Полученные результаты означают, что в первый день следует готовить щи, во второй — уху и т. д.

Пример 5.14. Пусть спортсмену необходимо составить график тренировок на 10 дней, так чтобы дистанция, пробегаемая каждый день, случайным образом менялась от 5 до 10 км.

Решение

В меню Сервис выбираем пункт Анализ данных и далее указываем строку Генерация случайных чисел. В появившемся диалоговом окне указываем Число переменных — 1, Число случайных чисел — 10 (требуемое количество дней). В поле Распределение указываем Равномерное (действительные числа, появляющиеся с равной вероятностью). В поле Параметры Между вводим (с клавиатуры) значение — 5, в поле и — 10. В поле Случайное рассеивание — любое число. Указываем выходной диапазон. Для этого устанавливаем флажок в левое поле Выходной диапазон и в правое поле ввода Выходной диапазон вводим, например, А1. Нажимаем на кнопку ОК.

В столбце А появляются 10 случайных чисел, например: 7,759331; 6,807917; 9,960326; 6,042055; 9,3804 74; 7,511521; 7,486496; 5,538499; 6,706595; 6,963561.

Эти числа обозначают расстояние в километрах, которое нужно пробегать спортсмену в соответствующий день.

Упражнения

Создать последовательность, состоящую из 10 действительных случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне от 3 до 7.

Создать последовательность из 10 целых случайных чисел из диапазона 2,3,4,

с равной вероятностью появления.

Составить расписание на месяц для случайной демонстрации на телевидении одного из четырех рекламных роликов турфирмы. Причем вероятность появления рекламного ролика № 1 должна быть в 2 раза выше, чем остальных рекламных роликов.

(В ) ГЛАВА Статистика

В работе любого специалиста часто приходится сталкиваться с необходимостью обработки и анализа данных, полученных в результате наблюдения, Например, экономические данные формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Стохастическая природа экономических данных обусловливает необходимость применения специальных статистических методов для их анализа и обработки.

Основные понятия и определения

Приступая к изучению статистики, дадим определение понятия математической статистики, методов статистического исследования, а также рассмотрим выборочные функции распределения и основные выборочные характеристики.

Понятие математической статистики

Раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей, называется математической статистикой.

Математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями. Она тесно связана с теорией вероятностей и базируется на ее математическом аппарате.

Целью статистического исследования является обнаружение и исследование соотношений между статистическими данными и их использование для изучения, прогнозирования и принятия решений.

Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений.

Математическая статистика подразделяется на две основные области: описательную и аналитическую статистику. Описательная статистика охватывает методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и т. п.

Аналитическая статистика или теория статистических выводов ориентирована на обработку данных, полученных в ходе эксперимента, с целью формулировки выводов, имеющих прикладное значение для самых различных областей человеческой деятельности.

Пакет Excel оснащен средствами статистической обработки данных. И хотя Excel существенно уступает специализированным статистическим' пакетам обработки данных, тем не менее этот раздел математики представлен в Excel наиболее полно. В него включены основные, наиболее часто используемые статистические процедуры: средства описательной статистики, критерии различия, корреляционные и другие методы, позволяющие проводить необходимый статистический анализ экономических, медико-биологических и иных типов данных.

При рассмотрении применения методов обработки статистических данных ограничимся только простейшими и наиболее часто используемыми методами, реализованными в мастере функций и пакете анализа Excel.

Выборочный метод

По охвату статистической совокупности исследование может быть сплошное или не сплошное. При сплошном статистическом исследовании группа наблюдения формируется путем полного охвата всех единиц изучаемого явления. Множество всех единиц наблюдения, охватываемых таким сплошным наблюдением, называется генеральной совокупностью.

Основным методом не сплошного наблюдения является выборочный метод. Если интересующая нас совокупность слишком многочисленна, либо ее элементы малодоступны, а также если имеются другие причины (организационные, финансовые, физические и т. п.), не позволяющие изучать сразу все ее элементы, прибегают к изучению какой-то части этой совокупности. Эта выбранная для полного исследования группа элементов называется выборкой или выборочной совокупностью.

Выборка — это группа элементов, выбранная для исследования из всей совокупности элементов. Задача выборочного метода состоит в том, чтобы сделать правильные выводы относительно всего собрания объектов, их совокупности. Например, пробуя пищу, повар по одной ложке делает заключения о качестве приготавливаемого во всей кастрюле.

Конечной целью изучения выборочной совокупности всегда является получение информации о генеральной совокупности. Поэтому естественно стремиться сделать выборку так, чтобы она наилучшим образом представляла всю генеральную совокупность, то есть была бы репрезентативной или представительной. Для получения репрезентативной выборки необходимо четко определять, что понимается под генеральной совокупностью. Ее состав и численность зависят от объектов и целей проводимого исследования. Например, если мы хотим получить данные о поступающих во все вузы города, то абитуриенты данного института есть выборка из более широкой генеральной совокупности — всех абитуриентов вузов города, и эта выборка не обязательно будет являться представительной.

В тех случаях, когда генеральная совокупность недостаточно известна, обычно не удается предложить лучшего способа получения представительной выборки, чем случайный выбор. При этом случайная выборка формируется случайным отбором — из генеральной совокупности наудачу извлекается по одному объекту.

Выборочная функция распределения

Рассмотренные в разделе «Числовые характеристики распределения вероятностей» главы 5 характеристики случайной величины опираются на знание закона ее распределения F(x). Для практических задач такое знание — редкость. Здесь закон распределения обычно неизвестен, или известен с точностью до некоторых неизвестных параметров. В частности, невозможно рассчитать точное значение соответствующих вероятностей, так как нельзя определить количество общих и благоприятных исходов. Поэтому вводится статистическое определение вероятности. По этому определению вероятность равна отношению числа испытаний (т), в которых событие появилось, к общему количеству произведенных испытаний (и). Такая вероятность называется статистической частотой.

В результате на практике сведения о законе распределения случайной величины получают независимыми многократными повторениями опыта, в котором измеряются значения интересующей исследователей случайной величины (варианты). На основе информации из полученной выборки можно построить приблизительные значения для функции распределения и других характеристик случайной величины.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения случайной величины £, построенной по выборке^, х2, ..., х„, называется функция Fn(x), равная доле таких значений х,, что х, < х, i = 1п.

Другими словами, F„(x) есть частота события х,< х в ряду хь х2, ...,х„.

Связь между эмпирической функцией распределения и функцией распределения (теоретической функцией распределения) такая же, как связь между частотой события и его вероятностью: функция F„(r) —» F(x) при п —» =.

Для построения выборочной функции распределения весь диапазон изменения случайной величины X разбивают на ряд интервалов одинаковой ширины. Число интервалов обычно выбирают не менее 5 и не более 15. Затем определяют число значений случайной величины X, попавших в каждый интервал. Поделив эти числа на общее количество наблюдений п, находят относительную частоту попадания случайной величины Xв заданные интервалы. По найденным относительным частотам строят гистограммы выборочных функций распределения. Если соответствующие точки относительных частот соединить ломаной линией, то полученная диаграмма будет называться полигоном частот. Кумулятивная кривая будет получена, если по оси абрцисс откладывать интервалы, а по оси ординат — число или доли элементов совокупности, имеющих значение, меньщее или равное заданному.

При увеличении до бесконечности размера выборки выборочные функции распределения превращаются в теоретические: гистограмма превращается в график плотности распределения, а кумулятивная кривая — в график функции распределения.

ПГПГII-йхбдиые данное ; бедной интервал: 'Ицтвреал карианоа:>Г &eTW .-йхбдиые данное ; бедной интервал: 'Ицтвреал карианоа:>Г &eTW .Отпек»" |iСреда» IОтпек»" |iСреда» I

ПГ

ПГ

I

I

-йхбдиые данное ; бедной интервал: '

Ицтвреал карианоа:

>Г &eTW .

-йхбдиые данное ; бедной интервал: '

Ицтвреал карианоа:

>Г &eTW .

Отпек»" |i

Среда» I

Отпек»" |i

Среда» I

В Excel для построения выборочных функций распределения используются специальная функция ЧАСТОТА и процедура пакета анализа Гистограмма.

О Функция ЧАСТОТА вычисляет частоты появления случайной величины в интервалах значений и выводит их как массив цифр. Функция задается в качестве формулы массива. Ч^ЮТ^массив-данных^ассив^арманов). Здесь:

массив_данных — это массив или ссылка на множество данных, для которых вычисляются частоты.

массив _карманов — это массив или ссылка на множество интервалов, в которые группируются значения аргумента массив _данных.

Отметим, что количество элементов в возвращаемом массиве на единицу больше числа элементов в массив _карманов. Дополнительный элемент в возвращаемом массиве содержит количество значений, больших, чем максимальное значение в интервалах.

О Процедура Гистограмма используется для вычисления выборочных и интегральных частот попадания данных в указанные интервалы значений. Процедура выводит результаты в виде таблицы и гистограммы.

Гистограмме

IIfoNfWWI рй «ЫШМ;

I

I

Г* ивемр4йямц5Ннг« >8 s '

Г .фрат» (отсортировлиая Mrgrpswa):

^ Интегрмбньйррвдтнт ’ '" ч Д

С Р Меддафиме ' -

Рис. 6.1. Пример заполнения диалогового окна Гистограмма

Параметры диалогового окна Гистограмма представлены на рис. 6.1:

во Входной диапазон вводится диапазон исследуемых данных;

в поле Интервал карманов (необязательный параметр) может вводиться диапазон ячеек или необязательный набор граничных значений, определяющих выбранные интервалы (карманы). Эти значения должны быть введены в возрастающем порядке. В MS Excel вычисляется число попаданий данных между началом интервала и соседним большим по порядку. При этом включаются значения на нижней границе интервала й не включаются значения на верхней границе. Если диапазон карманов не был введен, то набор интервалов, равномерно распределенных между минимальным и максимальным значениями данных, будет создан автоматически;

рабочее поле Выходной диапазон предназначено для ввода ссылки на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически;

переключатель Интегральный процент позволяет установить режим генерации интегральных процентных отношений и включения в гистограмму графика интегральных процентов;

переключатель Вывод графика позволяет установить режим автоматического создания встроенной диаграммы на листе, содержащем выходной диапазон.

Пример 6.1. Построить эмпирическое распределение веса студентов в килограммах для следующей выборки: 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 60, 60, 61,65, 62,62, 60, 64, 61, 59, 59, 63, 61, 62, 58, 58, 63, 61, 59, 62,60, 60, 58, 61, 60, 63, 63, 58, 60, 59, 60, 59, 61, 62, 62, 63, 57, 61, 58, 60, 64, 60, 59, 61, 64, 62, 59, 65.

Решение

В ячейку А1 введите слово Наблюдения, а в диапазон А2:Е12 — значения веса студентов.

Выберите ширину интервала 1 кг. Тогда при крайних значениях веса 57 кг и 65 кг получится 9 интервалов. В ячейки G1 и G2 введите названия интервалов Вес и кг, соответственно. В диапазон G4:G12 введите граничные значения интервалов (57,58,59, 60, 61, 62, 63, 64, 65).

Введите заголовки создаваемой таблицы: в ячейки Н1:Н2 — Абсолютные частоты, в ячейки 11:12 — Относительные частоты, в ячейки J1:J2 — Накопленные частоты.

Заполните столбец абсолютных частот. Для этого выделите для них блок ячеек Н4: Н12 (используемая функция ЧАСТОТА задается в виде формулы массива). С панели инструментов Стандартная вызовите Мастер функций (кнопкаfx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций Выберите категорию Статистические и функцию ЧАСТОТА, после чего нажмите кнопку 0К. Появившееся диалоговое окно ЧАСТОТА необходимо за серое поле мышью отодвинуть вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши в рабочее поле Массив_ данных введите диапазон данных наблюдений (А2:Е12). В рабочее поле Двоич- ный_массив мышью введите диапазон интервалов (G4:G12). Последовательно нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В столбце Н4:Н12 появится массив абсолютных частот.

В ячейке Н13 найдите общее количество наблюдений. Табличный курсор установите в ячейку Н13. На панели инструментов Стандартная нажмите кнопку Автосумма. Убедитесь, что диапазон суммирования указан правильно (Н4:Н12), и нажмите клавишу Enter. В ячейке Н13 появится число 55.

Заполните столбец относительных частот. В ячейку 14 введите формулу для вычисления относительной частоты: =Н4/Н$13. Нажмите клавишу Enter. Протягиванием (за правый нижний угол при нажатой левой кнопке мыши) скопируйте введенную формулу в диапазон 15:112. Получим массив относительных частот.

Заполните столбец накопленных частот. В ячейку J4 скопируйте значение относительной частоты из ячейки 14 (0,036364). В ячейку J5 введите формулу: =J4 +15. Нажмите клавишу Enter. Протягиванием (за правый нижний угол при нажатой левой кнопке мыши) скопируйте введенную формулу в диапазон J6: Л 2. Получим массив накопленных частот.

В результате после форматирования получим таблицу, представленную, на

рис. 6.2.

1

3'

; a i.ct о 5 б if Наблюдения ;;

64! 62: 58! 63i 61' ' 5Г К2 : КЗ 58 : 58

Вес кг

Абсолютные частоты

. .. I.

Относительные частоты

Накопленные частоты

4

63; 60, 611 60, 60'.

57

2

0,036

0,036

5

62! 64; 59 59 64!

58

6

0,109

0,145

6

5В 61! 62! 60 60

59

7

0,127

0,273

’

8

9

61!59!605959

6359:6061*"61*

60!63!58;6264

60 "61

62

10

9

8

0,182

0,164

0.145

0,455

’ 0,618

0,764

Ш

11

12

60! 61: 61 62! 62' " бГ; К2! 60! 63 59 " 65 56 63 57 65

63

65

7

4 "

2

0,127

0,073

0,036 '

0,891 0,964 i.boo '

13

••:=.

55

Рис. 6.2. Результат вычислений относительных и накопленных частот из примера 6.1

Постройте диаграмму относительных и накопленных частот. Щелчком указателя мыши по кнопке на панели инструментов вызовите Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выберите вкладку Нестандартные и тип диаграммы График/гистограмма2. После нажатия кнопки Далее укажите диапазон данных — 11:312 (с помощью мыши). Проверьте положение переключателя Ряды в: столбцах. Выберите вкладку Ряд и с помощью мыши введите в рабочее поле Подписи оси X диапазон подписей оси X: G4:G12. Нажав кнопку Далее, введите названия осей X и У: в рабочее поле Ось X (категорий) — Вес; Ось Y (значений) — Относ.частота; Вторая ось Y (значений) — Накоплен.частота. Нажмите кнопку Готово.

После минимального редактирования диаграмма будет иметь такой вид, как на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Диаграмма относительных и накопленных частот из примера 6.1Рис. 6.3. Диаграмма относительных и накопленных частот из примера 6.1

Рис. 6.3. Диаграмма относительных и накопленных частот из примера 6.1

Рис. 6.3. Диаграмма относительных и накопленных частот из примера 6.1

Пример 6.2. Для данных из примера 6.1. построить эмпирические распределения, воспользовавшись процедурой Гистограмма.

ГистограммаГистограмма120,00% 100,00%80,00%60,00%40,00%20,00% ,00%120,00% 100,00%80,00%60,00%40,00%20,00% ,00%ЧастотаИнте гр аль ный %ЧастотаИнте гр аль ный %КарманКарман

Гистограмма

Гистограмма

120,00% 100,00%

80,00%

60,00%

40,00%

20,00% ,00%

120,00% 100,00%

80,00%

60,00%

40,00%

20,00% ,00%

Частота

Инте гр аль ный %

Частота

Инте гр аль ный %

Карман

Карман

Решение

В ячейку А1 введите слово Наблюдения, а в диапазон А2:Е12 — значения веса студентов.

Для вызова процедуры Гистограмма выберите из меню Сервис подпункт Анализ данных и в открывшемся окне в поле Инструменты анализа укажите процедуру Гистограмма.

В появившемся окне Гистограмма заполните рабочие поля (см. рис. 6.1):

во Входной диапазон введите диапазон исследуемых данных (А2:Е12);

в Выходной диапазон — ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (F1). Установите переключатели в положение Интегральный процент и Вывод графика;

После этого нажмите кнопку ОК.

В результате появляется таблица и диаграмма (рис. 6.4).

.и?.j-.:^.^..?^.^...^^:.:/^

Карман .ЧастотаИнтеарэпьный % 57i2,3,5-4%

59.6БББ7'Тз!""27,27%:

62,33333:""27i 7БЗБ%

Еще;13;1оо,оо%:

Рис. 6.4. Таблица и диаграмма из примера 6.2

Как видно, диаграмма на рис. 6.4. несколько отличается от диаграммы на рис. 6.3. Это объясняется тем, что диапазон карманов не был введен. Количество и границы интервалов определялись в процедуре ГИСТОГРАММА автоматически. Если бы в рабочее поле Интервал карманов был бы введен диапазон ячеек, определяющих выбранные интервалы, как в примере 6.1 (57,58,59,..., 65), то полученная диаграмма была бы идентична предыдущей.

Упражнения

Постройте эмпирические функции распределения (относительные и накопленные частоты) для роста (в см) группы из 20 мужчин: 181,169,178,178,171,179, 172,181, 179, 168, 174, 167, 169, 171, 179, 181, 181, 183, 172, 176.

Найдите распределение по абсолютным частотам для следующих результатов тестирования в баллах: 79, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88 и 97 (используйте границы интервалов 70, 79, 89).

Постройте эмпирические функции распределения (абсолютные и накопленные частоты) успеваемости в группе из 20 студентов: 4, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 4,

4, 3,5, 3,5.

Выборочные характеристики

Замена теоретической функции распределения F(x) на ее выборочный аналог F„(x^ в определении математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения и т. п. приводят к выборочному среднему, выборочной дисперсии, выборочному стандартному отклонению и т. д. Выборочные характеристики являются оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности. Эти оценки дол-' жны удовлетворять определенным требованиям. В соответствии с важнейшими требованиями, оценки должны быть:

О несмещенными, то есть стремиться к истинному значению характеристики генеральной совокупности при неограниченном увеличении количества испытаний;

О состоятельными, то есть с ростом размера выборки оценка должна стремиться к значению соответствующего параметра генеральной совокупности с вероятностью, приближающейся к 1;

О эффективными, то есть для выборок равного объема используемая оценка должна иметь минимальную дисперсию.

Среди выборочных характеристик выделяют показатели, относящиеся к центру распределения (меры положения), показатели рассеяния вариант (меры рассеяния) и меры формы распределения. К показателям, характеризующим центр распределения, относят различные виды средних (арифметическое, геометрическое и т. п.), а также моду и медиану.

Простейшим показателем, характеризующим центр выборки, является мода.

Мода — это элемент выборки с наиболее часто встречающимся значением (наиболее вероятная величина).

Средним значением выборки, или выборочным аналогом математического ожидания, называется величина

х = -£х,.

П (=1

Иначе говоря, среднее значение — это центр выборки, вокруг которого группируются элементы выборки. При увеличении числа наблюдений среднее приближается к математическому ожиданию. Среднее значение обозначается также буквой М.

Выборочная медиана — это число, которое является серединой выборки, то есть половина чисел имеет значения большие, чем медиана, а половина чисел ймеет значения меньшие, чем медиана. Для нахождения медианы обычно выборку ранжируют — располагают элементы в порядке возрастания. Если количество членов ранжированного ряда нечетное, медианой является значение ряда, которое расположено посередине, то есть элемент с номером (и + 1 )/2. Если число членов ряда четное, то медиана равна среднему членов ряда с номерами и/2 и и/2 + 1.

Основными показатели рассеяния вариант являются интервал, дисперсия выборки, стандартное отклонение и стандартная ошибка.

Интервал (амплитуда, вариационный размах) — это разница между максимальным и минимальным значениями элементов выборки. Интервал является простейшей и наименее надежной мерой вариации или рассеяния элементов в выборке.

Более точно отражают рассеяние показатели, учитывающие не только крайние, но и все значения элементов выборки.

Дисперсией выборки, или выборочным аналогом дисперсии, называется величина

s2 = -Ц^(х,-х)\,=|

Дисперсия выборки — это параметр, характеризующий степень разброса элементов выборки относительно среднего значения. Чем больше дисперсия, тем дальше отклоняются значения элементов выборки от среднего значения.

Выборочным стандартным отклонением (среднее квадратичное отклонение) называется величина

s = Vs2".

Это параметр, также характеризующий степень разброса элементов выборки относительно среднего значения. Чем больше среднее квадратичное отклонение, тем дальше отклоняются значения элементов выборки от среднего значения. Параметр аналогичен дисперсии и используется в тех случаях, когда необходимо, чтобы показатель разброса случайной величины выражался в тех же единицах, что и среднее значение этой случайной величины. Часто выборочное стандартное отклонение обозначают буквой о (сигма).

Стандартная ошибка или ошибка среднего находится из выражения

s т =

STI

Стандартная ошибка — это параметр, характеризующий степень возможного отклонения среднего значения, полученного на исследуемой ограниченной выборке, от истинного среднего значения, полученного на всей совокупности элементов. С помощью стандартной ошибки задается так называемый доверительный интервал. 95%-ный доверительный интервал, равный х ± 2m, обозначает диапазон, в который с вероятностьюр = 0,95 (при достаточно большом числе наблюдений п > 30) попадает среднее генеральной совокупности MX.

Выборочной квантилью называется решение уравнения

Fn^ = p.

В частности, выборочная медиана есть решение уравнения

FAX') = 0,5.

Показателями, характеризующими форму распределения, являются выборочные эксцесс и асимметрия.

Эксцесс — это степень выраженности «хвостов» распределения, то есть частоты появления удаленных от среднего значений. .

Асимметрия — величина, характеризующая несимметричность распределения элементов выборки относительно среднего значения. Принимает значения от -1 до 1. В случае симметричного распределения асимметрия равна 0.

Часто значения асимметрии и эксцесса используют для проверки гипотезы о том, что данные (выборка) принадлежат к определенному теоретическому распределению, в частности, нормальному распределению. Для нормального распределения асимметрия равна нулю, а эксцесс — трем.

Определение основных статистических характеристик

В результате наблюдений или эксперимента получаются наборы данных, называемые выборками. Для проведения их анализа данные подвергаются статистической обработке. Первое, что всегда делается при обработке данных, это вычисление элементарных статистических характеристик выборок (как минимум: среднего, среднеквадратичного отклонения, ошибки среднего) по каждому параметру и по каждой группе. Полезно также вычислить эти характеристики для объединения родственных групп и суммарно по всем данным.

Использование специальных функций

В мастере функций Excel имеется ряд специальных функций, предназначенных для вычисления выборочных характеристик. Прежде всего, это функции, характеризующие центр распределения.

О Функция СРЗНАЧ вычисляет среднее арифметическое из нескольких массивов (аргументов) чисел. Аргументы число1, число?, ... — это от 1 до 30 массивов, для которых вычисляется среднее. Например, если ячейки Al: А7 содержат числа 10, 14, 5, 6,10, 12 и 13, то средним арифметическим СРЗНАЧ(А7;А7) является 10 (рис. 6.5.).

О Функция СРГАРМ позволяет получить среднее гармоническое множества данных. Среднее гармоническое — это величина, обратная к среднему арифметическому обратных величин. Например, СРРКРМ(10;14;5;6;10;12;13) равняется 8,317.

О Функция СРГЕОМ вычисляет среднее геометрическое значений массива положительных чисел. Функцию СРГЕОМ можно использовать для вычисления средних показателей динамического ряда. Например, СРГЕОМ( 10;14;5;6;10;12;13) равняется 9,414.

О Функция МЕДИАНА позволяет получать медиану заданной выборки. Медиана — это элемент выборки, число элементов выборки со значениями больше которого и меньше которого равно. Например, МЕДИАНА(10;74;5;6;10;72;73) равняется 10.

1НАЧ-1НАЧ-

1НАЧ-

1НАЧ-

чди ссь?лкаии и» ямечки с w^w*.

' ^рвАнее*;

Зн£Чй<Ив1 10Зн£Чй<Ив1 1014141* t-на [1* t-на [

Зн£Чй<Ив1 10

Зн£Чй<Ив1 10

14

14

1* t-на [

1* t-на [

Рис. 6.5. Диалоговое окно функции СРЗНАЧ

О Функция МОДА вычисляет наиболее часто встречающееся значение в выборке. Например, M0p,h(10;14;5;6;10;12;13) равняется 10.

К специальным функциям, Вычисляющим выборочные характеристики, характеризующие рассеяние вариант, относятся ДИСП, СТАНДОТКЛОН, ПЕРСЕНТИЛЬ.

О Функция ДИСП позволяет оценить дисперсию по выборочным данным. Например, Д\ЛСП(,10;14;5;6;10;12;13) равняется 11,667.

О Функция СТАНДОТКЛОН вычисляет стандартное отклонение. Например, СТАН- Р,ОТКП0Н(,10;14;5;6;10;12;13') равняется 3,416.

О Функция ПЕРСЕНТИЛЬ позволяет получить квантили заданной выборки. Например, если ячейки А1:А7 содержат числа 10, 14, 5, 6, 10, 12 и 13, то квантилью со значением 0,1 является ПЕРСЕНТИЛЬ(АУ:А7;О,7), равная 5,6.

Форму эмпирического распределения позволяют оценить специальные функции ЭКСЦЕСС и СКОС.

О Функция ЭКСЦЕСС вычисляет оценку эксцесса по выборочным данным. Например, 3KCV\t.tt(10;14;5;6;10;12;13') равняется -1,169.

О Функция СКОС позволяет оценить асимметрию выборочного распределения. Например, ^0^10;14;5;6;10;12;13^ равняется -0,527.

Пример 6.3. Рассматриваются ежемесячные количества реализованных турфирмой путевок за периоды до и после начала активной рекламной компании. Ниже приведены количества реализованных путевок по месяцам.

С рекламой

Без рекламы

162

135

156

126

144

115

137 ■ .

125,

145

140'

121 .'.'

112

-151

130

Требуется найти средние значения и стандартные отклонения этих данных.

Решение

Для проведения статистического анализа прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Откройте новую рабочую таблицу. Введите в ячейку А1 слово Реклама, затем в ячейки А2:А8 — соответствующие значения числа реализованных путевок. В ячейку В1 введите слова Дез рекламы, а в В2:В8 — значения числа реализованных путевок до начала рекламной компании. Отметим, что рассматриваемые группы данных со статистической точки зрения являются выборками.

При статистическом анализе прежде всего необходимо определить характеристики выборки, и важнейшей характеристикой является среднее значение. Для определения, среднего значения в контрольной группе необходимо установить табличный курсор в свободную ячейку (А9). На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию СРЗНАЧ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно СРЗНАЧ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных контрольной группы для определения среднего значения (А2: А8). Нажмите кнопку ОК. В ячейке А9 появится среднее значение выборки — 145,714.

В качестве упражнения определите в ячейке В9 среднее значение числа реализованных путевок без активной рекламы. Для этого табличный курсор установите в ячейку В9. На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне выберите категорию Статистические и функцию СРЗНАЧ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно СРЗНАЧ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см отданных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных для определения среднего значения (В2:В8\ Нажмите кнопку ОК. В ячейке В9 появится среднее значение выборки — 125,571.

Следующей по важности характеристикой выборки является мера разброса элементов выборки от среднего значения. Такой мерой является среднее квадратичное или стандартное отклонение. Для определения стандартного отклонения в контрольной группе необходимо установить табличный курсор в свободную ячейку (АЮ). На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию СТАНДОТКЛОН, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно СТАНДОТКЛОН за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных контрольной группы для определения стандартного отклонения (А2:А8). Нажмите кнопку ОК. В ячейке АЮ появится стандартное отклонение выборки — 12,298. Существует правило, согласно которому при отсутствии артефактов данные должны лежать в диапазоне М ± Зо (в примере 145,7±36,9).

В качестве упражнения требуется в ячейке ВЮ определить стандартное отклонение числа проданных путевок до начала рекламной компании. Для этого установите табличный курсор в ячейку ВЮ. На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне выберите категорию Статистические и функцию СТАНДОТКЛОН, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно СТАНДОТКЛОН за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см

от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных для определения стандартного отклонения (В2:В8). Нажмите кнопку ОК. В ячейке В10 появится стандартное отклонение выборки — 10,277.

Упражнения

Найдите среднее значение и стандартное отклонение результатов бега на дистанцию 100 м у группы студентов: 12,8; 13,2; 13,0; 12,9; 13,5; 13,1.

Найдите выборочные среднее, медиану, моду, дисперсию и стандартное отклонение для следующей выборки 26, 35, 29, 27, 33, 35, 30, 33, 31, 29.

Определите верхнюю (0,75) и нижнюю (0,25) квартили для выборки результатов измерений роста группы студенток: 164,160,157,166,162,160,161,159,160, 163, 170, 171.

Определите выборочные асимметрию и эксцесс для данных измерений роста из упражнения 6.

Использование инструментов Пакета анализа

В пакете Excel помимо мастера функций имеется набор более мощных инструментов для работы с несколькими выборками и углубленного анализа данных, называемый Пакет анализа, который может быть использован для решения задач статистической обработки выборочных данных.

Для установки раздела Анализ данных в пакете Excel сделайте следующее:

О в меню Сервис выберите команду Надстройки;

О в появившемся списке установите флажок Пакет анализа.

Ввод данных. Исследуемые данные следует представить в виде таблицы, где столбцами являются соответствующие показатели. При создании таблицы Excel информация вводится в отдельные ячейки. Совокупность ячеек, содержащих анализируемые данные, называется входным диапазоном.

Последовательность обработки данных. Для использования статистического пакета анализа данных необходимо:

О указать курсором мыши на пункт меню Сервис и щелкнуть левой кнопкой мыши;

О в раскрывающемся списке выбрать команду Анализ данных (если команда Анализ данных отсутствует в меню Сервис, то необходимо установить в Excel пакет анализа данных);

О выбрать необходимую строку в появившемся списке Инструменты анализа;

О ввести входной и выходной диапазоны и выбрать необходимые параметры.

Нахождение основных выборочных характеристик. Для определения характеристик выборки используется процедура Описательная статистика. Процедура позволяет получить статистический отчет, содержащий информацию о центральной тенденции и изменчивости входных данных. Для выполнения процедуры необходимо:

О выполнить команду Сервис ► Анализ данных;

О в появившемся списке Инструменты анализа выбрать строку Описательная статистика и нажать кнопку 0К (рис. 6.6);

Еоаяяшойкяв^^

I ЙКСТруифНТЫ«Н&ЛИМ *\Ч У' %'" '> г'\^—X |

$, IОдмофвкторныи дисперсионным анализ♦I ,' •••••••,**,,*****,“

? Двухфакторный дисперсионным анализ с повторениями Т1 - '‘Огдена | =

| Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений ,J -w*«*~***--^

ч Корреляция^1 \х -1' |

* Ковариация' |;

)писэтельна« статистика..

* Экспоненциальное сглаживаниеа"\" 1 V'

1 |Двухвыборочмь(йР-гест для дисперсии^' £„ s' "

* Анализ Фурье^ „, s * \

5 |Гистограмма

Рис. 6.6. Окно выбора метода обработки данных

О в появившемся диалоговом окне указать входной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие анализируемые данные. Для этого следует навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

О указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить переключатель в положение Выходной диапазон (навести указатель мыши и щелкнуть левой клавишей), далее навести указатель мыши в поле ввода Выходной диапазон и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верхнюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши;

О в разделе Группировка переключатель установить в положение по столбцам;

О установить флажок в поле Итоговая статистика;

О нажать кнопку ОК.

В результате анализа в указанном выходном диапазоне для каждого столбца данных выводятся следующие статистические характеристики: среднее, стандартная ошибка (среднего), медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия выборки, эксцесс, асимметричность, интервал, минимум, максимум, сумма, счет, наибольшее, наименьшее, уровень надежности.

Пример 6.4. Рассматривается зарплата основных групп работников гостиницы: администрации, обслуживающего персонала и работников ресторана. Были получены следующие данные:

Администрация

ПерсоналРесторан

4500

21003200

4000

21003000

3700

20002500

3000

20002000

2500

20001900

19001800

1800

1800

Необходимо определить основные статистические характеристики в группах данных.

Решение

210(73200210(73200Для использования инструментов анализа исследуемые данные следует представить в виде таблицы, где столбцами являются соответствующие показатели. Значения зарплат сотрудников администрации введите в диапазон А1:А5, обслуживающего персонала — в диапазон В1:В8 и т. д. В результате получится таблица, представленная на рис. 6.7.

210(73200

210(73200

2100[ 2ро6Г 200 оГ 2000Т 1900Г 1800 Г isooF2100[ 2ро6Г 200 оГ 2000Т 1900Г 1800 Г isooF3000250020001900180030002500200019001800Jj 4500 '$] IODO JJ ^РР jU 3000 "Л ^500 в]

2100[ 2ро6Г 200 оГ 2000Т 1900Г 1800 Г isooF

2100[ 2ро6Г 200 оГ 2000Т 1900Г 1800 Г isooF

3000

2500

2000

1900

1800

3000

2500

2000

1900

1800

Рис. 6.7. Таблица из примера 6.4

Далее необходимо провести элементарную статистическую обработку. Для этого, указав курсором мыши на пункт меню Сервис, выберите команду Анализ данных. Затем в появившемся списке Инструменты анализа выберите строку Описательная статистика.

;■ Видней интервал: '" |$А$1 $с$851 L—2-—J' - ■, , V л ' Отмене Jь Группирование:ч пр столбцам—» ::'-' : .Спомогай '. _ 5-травка |i Руетки впервой строка--.....- - '.';■ Видней интервал: '" |$А$1 $с$851 L—2-—J' - ■, , V л ' Отмене Jь Группирование:ч пр столбцам—» ::'-' : .Спомогай '. _ 5-травка |i Руетки впервой строка--.....- - '.'

;■ Видней интервал: '" |$А$1 $с$851 L—2-—J

' - ■, , V л ' Отмене J

ь Группирование:ч пр столбцам—» :

:'-' : .Спомогай '. _ 5-травка |

i Руетки впервой строка--.....- - '.'

;■ Видней интервал: '" |$А$1 $с$851 L—2-—J

' - ■, , V л ' Отмене J

ь Группирование:ч пр столбцам—» :

:'-' : .Спомогай '. _ 5-травка |

i Руетки впервой строка--.....- - '.'

jW9 ---'-^

«\н»ыйр»б9чийаи<*! ' Г™""""' \. - : -

ICHosaa рабочая swa..,. - ,.'~, < -' .,''_.,.-

V» X г-птачат, гига

? Г* уюаеге, надежности: " .(я? ' - %. -.г

^. Г"к-еЙуименыг»»» |1 ’ ._

8 Т"К-ыймаи&ЛМ№»р ' . F” X'J'J V ' Vr

Рис. 6.8. Пример заполнения диалогового окна Описательная статистика

В появившемся диалоговом окне (рис. 6.8) в рабочем поле Входной интервал укажите входной диапазон — А1:С8. Активировав переключателем рабочее поле Выходной интервал, укажите выходной диапазон — ячейку А9. В разделе Группировка переключатель установите в положение по столбцам. Установите флажок в поле Итоговая статистика и нажмите кнопку ОК.

В результате анализа (рис. 6.9) в указанном выходном диапазоне для каждого столбца данных получим соответствующие результаты.

9 Стопбец1.;Столбец?■СтолбецЗ;;

10j;!i

11;Среднее,3540Среднее'19Б2.5Среднее2400;

12 Стандартная ошибка':355,8089Стандартнаяошибка'41,99277Стандартная ошибка243,5843'

13 Медиана ;3700Медианаj2000Медиана 2250:

JA-МодаiЯН/ДМода;2000МодаiЯЧ/Д ■

J<§_Стандартное отклонение'795,613Стандартноеотклонение118,7735Стандартное отклонение596,6574;

16 Дисперсия выборки;633000Дисперсиявыборки:14107,14Дисперсия выборки356000

Я^ Эксцесс* -1,29385'Эксцесс; -1,22929 Эксцесс' -2,06887

18 Асимметричностьj-0 24502Асимметричность;-0,39433Асимметричность0,457606

19 Интервал2000 Интервал300 Интервал1400

20'Минимумf2500Минимум1800Минимум1800

21 ;Максимум'4500Максимум2100Максимум3200

22 Сумма;17700 Сумма:15700 Сумма14400

23 i С чет :5Счет 8 Счет 6

Рис. 6.9. Результаты работы инструмента Описательная статистика

Все полученные характеристики были рассмотрены ранее в разделе «Выборочные характеристики» данной главы, за исключением последних четырех:

О минимум — значение минимального элемента выборки;

О максимум — значение максимального элемента выборки;

О сумма — сумма значений всех элементов выборки;

О счет — количество элементов в выборке.

Среди этих характеристик наиболее важными являются показатели Среднее, Стандартная ошибка (среднего) и Стандартное отклонение.

Упражнения

Найдите наиболее популярный туристический маршрут из четырех реализуемых фирмой (моду), если за неделю последовательно были реализованы следующие маршруты (приводятся номера маршрутов): 1,3, 3, 2,1,1,4,4, 2,4,1, 3, 2, 4,1, 4, 4, 3,1, 2, 3,4, 1,1,3.

В рабочей зоне производились замеры концентрации вредного вещества. Получен ряд значений (в мг/м3): 12, 16, 15, 14, 10, 20, 16, 14, 18, 14, 15, 17, 23, 16. Необходимо определить основные выборочные характеристики.

Проверка статистических гипотез

Помимо описательной статистики, важной областью является также аналитическая статистика. Как уже указывалось в разделе «Понятие математической статистики», аналитическая статистика или теория статистических выводов ориентирована на обработку данных, полученных в ходе эксперимента, с целью формулировки выводов, имеющих прикладное значение. Здесь решается вопрос, отражают ли наблюдаемые данные объективно существующую реальность. Указанный во-

прос решается проверкой соответствующих статистических гипотез. При этом могут выявляться достоверности различий между выборками, взаимосвязи между выборками, влияющие факторы и т. п. -

Принятие статистических решений

Статистическая гипотеза — это предположение о виде или отдельных параметрах распределения вероятностей, которое подлежит проверке на имеющихся данных. Проверка статистических гипотез — это процесс формирования решения о возможности принять или отвергнуть утверждение (гипотезу), основанный на информации, полученной из анализа выборки. Методы проверки гипотез называются критериями. В большинстве случаев рассматривают так называемую нулевую гипотезу (нуль- гипотезу Но), состоящую в том, что все события произошли случайно, естественным образом. Альтернативная гипотеза (Н,) состоит в том, что события случайным образом произойти не могли, и имело место воздействие некого фактора.

Обычно нулевая гипотеза формулируется таким образом, чтобы на основании эксперимента или наблюдений ее можно было отвергнуть с заранее заданной вероятностью ошибки а. Эта, заранее заданная вероятность ошибки, называется уровнем значимости.

Уровень значимости — максимальное значение вероятности появления события, при котором событие считается практически невозможным. В статистике наибольшее распространение получил уровень значимости, равный а = 0,05. Поэтому если вероятность, с которой интересующее событие может произойти случайным образом р < 0,05, то принято считать это событие маловероятным, и если оно все же произошло, то это не было случайным. В наиболее ответственных случаях, когда требуется особая уверенность в достоверности полученных результатов, надежности выводов, уровень значимости принимают равным а = 0,01 или даже а = 0,001. Величину Р, равную 1 - а, называют доверительной вероятностью (уровнем надежности), то есть вероятностью, признанной достаточной для того, чтобы уверенно судить о принятом статистическом решении. Соответственно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95, 0,99 и 0,999.

Рис. 6.10. 95%-ный доверительный интервал для среднего значения

Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью Р = 1 - а находится оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом. В соответствии

с доверительными вероятностями на практике используются 95%-, 99%-, 99,9%-ные доверительные интервалы. Граничные точки доверительного интервала называют доверительными пределами (рис. 6.10).

Выбор того или иного уровня значимости, выше которого результаты отвергаются как статистически не подтвержденные, или, соответственно, доверительной вероятности, в общем случае является произвольным. Окончательное решение зависит от исследователя, традиций и накопленного практического опыта в данной области исследований.

Анализ одной выборки

Анализ однородности выборки. Одним из важных вопросов, возникающих при анализе выборки, является вопрос: относится та или иная варианта к данной статистической совокупности? Решение вопроса не представляет сложности, если распределение в этой совокупности является нормальным. Для этого достаточно использовать правило трех сигм. Согласно этому правилу, в пределах М ± За находится 99,7% всех вариант. Поэтому, если варианта попадает в этот интервал, то она считается принадлежащей к данной совокупности. Если не попадает, то она может быть отброшена. Хотя этот метод и предполагает нормальность исходного распределения, на практике он успешно работает и может быть использован в большинстве других случаев.

При числе элементов в выборке п < 30 способ более точного определения границ доверительного интервала по формуле

(6.1)

будет показан ниже в примере 6.5. В формуле (6.1) М — среднее значение, 5 — стандартное отклонение, tnp — табличное значение распределения Стьюдента с числом степеней свободы п и доверительной вероятностью р.

Построение доверительных интервалов для среднего. Еще одной важной задачей, возникающей при анализе одной выборки, является сравнение выборочного среднего арифметического со средним значением генеральной совокупности. Эта задача решается с помощью статистических критериев. При этом выясняется, значимо ли отличие выборочного среднего значения от среднего значения генеральной совокупности, из которой предположительно взята выборка, или наблюдаемое различие является случайным.

Действительно, средние значения, получаемые по выборочным данным, обычно не совпадают с генеральным средним (математическим ожиданием). В связи с этим возникает вопрос: можно ли по результатам выборочной оценки судить о свойствах всей генеральной совокупности?

Поскольку каждую оценку, полученную в отдельной выборке, можно рассматривать как случайную величину, то при увеличении числа выборок распределение отдельных оценок будет принимать характер нормального распределения. Это значит, что в случае средних арифметических значения выборочных средних относительно генерального среднего распределяются по нормальному закону. То есть так

же, как относительные отклонения нормально распределенных вариант от среднего арифметического выборки.

Отсюда, в частности, следует, что 68,3% всех выборочных средних находятся в пределах Д = М ± т, где Д — предельная ошибка выборки, М — среднее выборочное, т — стандартное отклонение среднего значения. Иными словами, имеется вероятность 0,683, что выборочное среднее отличается от генерального не более, чем на ±772, Здесь 0,683 — доверительная вероятность, 1 - 0,683 = 0,317 — уровень значимости а, Д = М ± 772 — 68% доверительный интервал.

Для принятой в большинстве исследований доверительной вероятности 0,95, доверительный интервал для средних при достаточно большом числе наблюдений (тг > 30) примерно равен +2т (см. рис. 6.8). При доверительной вероятности 0,99, доверительный интервал составит примерно ±3т. Для более точного определения границ доверительного интервала можно воспользоваться формулой

где М — среднее значение, 5 — стандартное отклонение, t„p — табличное значение распределения Стьюдента с числом степеней свободы п и доверительной вероятностью/), п — количество элементов в выборке.

В MS Excel для более точного вычисления границ доверительного интервала и при числе элементов в выборке и < 30 можно воспользоваться функцией ДОВЕРИТ или процедурой Описательная статистика.

Функция Д0ВЕРИТ(йЛЬ(£а;станд_о?7г7сл;раамер) определяет полуширину доверительного интервала и содержит следующие параметры:

О Альфа — уровень значимости, используемый для вычисления доверительной вероятности. Доверительная вероятность равняется 100*(1 - алъфа?)% процентам, или, другими словами, альфа, равное 0,05, означает 95%-ный уровень доверительной вероятности;

О Станд_откл — стандартное отклонение генеральной совокупности для интервала данных, предполагается известным;

О Размер — это размер выборки.

Пример 6.5. Найти границы 95%-ного доверительного интервала для среднего значения, если у 25 телефонных аккумуляторов среднее время разряда в режиме ожидания составило 140 часов, а стандартное отклонение — 2,5 часа.

Решение

Откройте новую рабочую таблицу. Установите табличный курсор в ячейку А1.

Для определения границ доверительного интервала необходимо на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ДОВЕРИТ, после чего нажмите кнопку ОК.

В рабочие поля появившегося диалогового окна ДОВЕРИТ с клавиатуры введите условия задачи: Альфа — 0,05; Станд_откл — 2,5; Размер —25 (рис. 6.11). Нажмите кнопку 0К.

В ячейке А1 появится полуширина 95%-ного доверительного интервала для среднего значения выборки — 0,979981. Другими словами, с 95%-ным уровнем надежности можно утверждать, что средняя продолжительность разряда аккумулятора составляет 140 ± 0,979981 часа или от 139,02 до 140,98 часа.

Рис. 6.11. Пример заполнения диалогового окна ДОВЕРИТ

Пример 6.6. Пусть имеется выборка, содержащая числовые значения: 13, 15, 17, 19,22, 25,19. Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для среднего значения и для нахождения «выскакивающей» варианты.

Решение

В диапазон А1:А7 введите исходный ряд чисел.

Далее вызовите процедуру Описательная статистика. Для этого, указав курсором мыши на пункт меню Сервис, выберите команду Анализ данных. Затем в появившемся списке Инструменты анализа выберите строку Описательная статистика.

В появившемся диалоговом окне в рабочем поле Входной интервал: укажите входной диапазон — А1:А7. Переключателем активизируйте Выходной интервал и укажите выходной диапазон — ячейку В1. В разделе Группировка переключатель установите в положение по столбцам. Установите флажок в левое поле Уровень надежности: и в правом поле (%) — 95. Затем нажмите кнопку 0К.

В результате анализа в указанном выходном диапазоне для доверительной вероятности 0,95 получаем значения доверительного интервала (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Исходная выборка (А1:А7) и результат вычислений (СЗ) из примера 6.6

Уровень надежности — это половина доверительного интервала для генерального среднего арифметического. Из полученного результата следует, что с вероятностью 0,95 среднее арифметическое для генеральной совокупности находится в ин-

тервале 18,571 ± 3,77. Здесь 18,571 — выборочное среднее М для рассматриваемого примера, которое находится обычно процедурой Описательная статистика одновременно с доверительным интервалом.

Для нахождения доверительных границ для «выскакивающей» варианты необходимо полученный выше доверительный интервал умножить на 4п (в примере — V7, то есть 3,77* 4l = 9,975). В Excel это можно выполнить следующим образом. Табличный курсор установите в свободную ячейку С4; введите с клавиатуры знак =; мышью укажите на ячейку СЗ (в которой находится результат вычислений); введите с клавиатуры знак *; с панели инструментов Стандартная вызовите Мастер функций (кнопка fx); выберите категорию Математические, тип функции Корень; нажмите ОК; введите с клавиатуры число и = 7 и нажмите ОК. В результате получим в ячейке С4 значение доверительного интервала — 9,975.

Таким образом, варианта, попадающая в интервал 18,571 ± 9,975, считается принадлежащей данной совокупности с вероятностью 0,95. Выходящая за эти границы может быть отброшена с уровнем значимости а = 0,05.

Проверка соответствия теоретическому распределению. Следующей задачей, возникающей при анализе одной выборки, является оценка меры соответствия (расхождения) полученных эмпирических данных и каких-либо теоретических распределений. Это связано с тем, что в большинстве случаев при решении реальных задач закон распределения и его параметры неизвестны. В то же время применяемые статистические методы в качестве предпосылок часто требуют определенного закона распределения.

Наиболее часто проверяется предположение о нормальном распределении генеральной совокупности, поскольку большинство статистических процедур ориентировано на выборки, полученные из нормально распределенной генеральной совокупности.

Для оценки соответствия имеющихся экспериментальных данных нормальному закону распределения обычно используют графический метод, выборочные параметры формы распределения и критерии согласия.

Графический метод позволяет давать ориентировочную оценку расхождения или совпадений распределений (рис. 6.13).

Рис. 6.13. Сопоставление выборочного распределения веса студенток и кривой нормального распределения

При большом числе наблюдений (и > 100) неплохие результаты дает вычисление выборочных параметров формы распределения: эксцесса и асимметрии (см. разделы «Использование специальных функций» и «Использование инструментов Пакета анализа»). Принято говорить, что предположение о нормальности распределения не противоречит имеющимся данным, если асимметрия близка к нулю, то есть лежит в диапазоне от -0,2 до 0,2, а эксцесс — от 2 до 4.

Наиболее убедительные результаты дает использование критериев согласия. Критериями согласия называют статистические критерии, предназначенные для проверки согласия опытных данных и теоретической модели. Здесь нулевая гипотеза Но представляет собой утверждение о том, что распределение генеральной совокупности, из которой получена выборка, не отличается от нормального. Среди критериев согласия большое распространение получил непараметрический критерий X2 (хи-квадрат). Он основан на сравнении эмпирических частот интервалов группировки с теоретическими (ожидаемыми) частотами, рассчитанными по формулам нормального распределения.

Отметим, что сколько-нибудь уверенно о нормальности закона распределения можно судить, если имеется не менее 50 результатов наблюдений. В случаях меньшего числа данных можно говорить только о том, что данные не противоречат нормальному закону, и в этом случае обычно используют графические методы оценки соответствия. При большем числе наблюдений целесообразно совместное использование графических и статистических (например, тест хи-квадрат или аналогичные) методов оценки, естественно дополняющих друг друга.

Использование критерия согласия хи-квадрат. Для применения критерия желательно, чтобы объем выборки п > 40, выборочные данные были сгруппированы в интервальный ряд с числом интервалов не менее 7, а в каждом интервале находилось не менее 5 наблюдений (частот).

Отметим, что сравниваться должны именно абсолютные частоты, а не относительные (частости). При этом, как и любой другой статистический критерий, критерий хи-квадрат не доказывает справедливость нулевой гипотезы (соответствие эмпирического распределения нормальному), а лишь может позволить ее отвергнуть с определенной вероятностью (уровнем значимости).

В MS Excel критерий хи-квадрат реализован в функции ХИ2ТЕСТ. Функция ХИ2- ТЕСТ вычисляет вероятность совпадения наблюдаемых (фактических) значений и теоретических (гипотетических) значений. Если вычисленная вероятность ниже уровня значимости (0,05), то нулевая гипотеза отвергается и утверждается, что наблюдаемые значения не соответствуют нормальному закону распределения. Если вычисленная вероятность близка к 1, то можно говорить о высокой степени соответствия экспериментальных данных нормальному закону распределения.

Функция имеет следующие параметры: Х\А2ЮТ(фактический_интервал;ожидае- мый_интервал). Здесь:

О фактический_интервал — это интервал данных, которые содержат наблюдения, подлежащие сравнению с ожидаемыми значениями;

О ожидаемый_интервал — это интервал данных, который содержит теоретические (ожидаемые) значения для соответствующих наблюдаемых.

Пример 6.7. Проверить соответствие выборочных данных из примера 6.1. (64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 60, 60, 61,65,62,62, 60, 64, 61, 59, 59, 63, 61, 62, 58, 58, 63, 61, 59, 62, 60, 60, 58, 61, 60, 63, 63, 58,60, 59,60, 59, 61, 62, 62, 63, 57, 61, 58, 60, 64,60, 59, 61, 64, 62, 59, 65) нормальному закону распределения.

Решение

Повторите пункты 1-7 решения примера 6.1. В результате получится таблица (см. рис. 6.2).

Найдите теоретические частоты нормального распределения. Для этого предварительно необходимо найти среднее значение и стандартное отклонение выборки.

В ячейке 113 с помощью функции СРЗ НАЧ найдите среднее значение для данных из диапазона А2:Е12 (60,855). В ячейке ИЗ с помощью функции СТАНДОТКЛОН найдите стандартное отклонение для этих же данных (2,05). В ячейки К1 и К2 введите название столбца — Теоретические частости. Затем с помощью функции НОРМ- РАСП найдите теоретические частости. Установите курсор в ячейку К4, вызовите указанную функцию и заполните ее рабочие поля: х — G4; Среднее — $1$13; Стан- дартное_откл — $J$13; Интегральный — 0. Получим в ячейке К4 0,033. Далее протягиванием скопируйте содержимое ячейки К4 в диапазон ячеек К5:К12. Затем в ячейки L1 и L2 введите название нового столбца — Теоретические частоты. Установите курсор в ячейку L4 и введите формулу =Н$13*К4. Далее протягиванием скопируйте содержимое ячейки L4 в диапазон ячеек 15:112. Результаты вычислений представлены на рис. 6.14.

G

... Н,„

i

J

К.

838ЙЕЗ

1

Вес

Абсолютные

Относительн

Накопленные

Теоретические

Теоретические

2

КГ

частоты

частоты

частоты

частости

частоты

3

4

57

2

0,036

0,036

0,033205828

1,82632055

5

58

6

0,109

0,145

0,073795567

4,058756212

&

59

7

0,127

0,273

0,129258576

7,109221655

7

60

10

0,182

0,455

0,178443849

9,814411704

-

61

9

0,164

0,618

0,194158732

10,67873029

9

62

8

0,145

0,764

0,16650428

9,157735407

■

63

7

0,127

0,891

0,112540024

6,189701326

11

64

4

0,073

0,964

0,059951732

3,297345259

12

65

2

0,036

1,000

0,025171529

1,384434082

Рис. 6.14. Результаты вычисления теоретических частостей и частот из примера 6.7

С помощью функции ХИ2ТЕСТ определите соответствие данных нормальному закону распределения. Для этого установите табличный курсор в свободную ячейку L13. На панели инструментов Стандартная нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ХИ2ТЕСТ, после чего нажмите кнопку 0К. Появившееся диалоговое окно ХИ2ТЕСТ отодвиньте вправо на 1-2 см от данных. Указателем мыши в рабочие поля введите фактический Н4:Н12 и ожидаемые 14:112 диапазоны частот (рис. 6.15). Нажмите кнопку 0К. В ячейке L13 появится значение вероятности того, что выборочные данные соответствуют нормальному закону распределения — 0,9842.

L4:L12. 1

Рис. 6.15. Пример заполнения рабочих полей функции ХИ2ТЕСТ

Поскольку полученная вероятность соответствия экспериментальных данных р = 0,98 много больше, чем уровень значимости а = 0,05, то можно утверждать, что нулевая гипотеза не может быть отвергнута и, следовательно, данные не противоречат нормальному закону распределения. Более того, поскольку полученная вероятность р = 0,98 близка к 1, можно говорить о высокой степени вероятности того, что экспериментальные данные соответствуют нормально-' му закону.

Упражнения

Определите, лежит ли значение 19 внутри границ 95%-ного доверительного интервала выборки 2, 3, 5, 7, 4, 9, 6,4, 9, 10, 4, 7, 19.

И. Определите с уровнем значимости а = 0,05 максимальное отклонение среднего значения генеральной совокупности от среднего выборки 3, 4,4, 2, 5, 3,4, 3, 5, 4, 3,5, 6.

Найдите соответствие экспериментальных данных нормальному закону распределения для следующей выборки весов детей (кг): 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22,22, 22, 22, 23, 23,23, 23, 23, 23, 24, 24, 24,24,24,24,24,24,24,24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25,25, 25,25,25,25,25,25,25,25,26,26,26,26,26,26, 26, 26,26, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27.

Анализ двух выборок

Выявление достоверности различий. Следующей задачей статистического анализа, решаемой после определения основных выборочных характеристик и анализа одной выборки, является совместный анализ нескольких выборок. Важнейшим вопросом, возникающим при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между этими выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве генеральных средних. В рассмотренном ранее примере 6.3. такие различия выявляются путем сравнения данных реализации турфирмой путевок за периоды до и после начала активной рекламной компании. Если сопоставить средние значения числа реализованных за месяц путевок до (125,6) и после (145,7) начала рекламной компании, видно, что они различаются. Можно ли по этим данным сделать вывод об эффективности рекламной компании?

Для решения задач такого типа используются так называемые критерии различия. Для проверки одной и той же гипотезы могут быть использованы разные статистические критерии. Правильный выбор критерия определяется как спецификой данных и проверяемых гипотез, так и уровнем статистической подготовки исследователя.

Статистические критерии различия подразделяются на параметрические и непараметрические критерии. Параметрические критерии служат для проверки гипотез о параметрах определенных распределений генеральной совокупности (чаще всего нормального распределения). Непараметрические критерии для проверки гипотез не используют предположений о законе распределения генеральной совокупности и не требуют знания параметров распределения.

Параметрические критерии. Параметрические критерии служат для проверки гипотез о положении и рассеивании. Из параметрических критериев наибольшей популярностью при проверке гипотез о равенстве генеральных средних (математических ожиданий) пользуется t-критерий Стьюдента (t-критерий различия).

Критерий Стьюдента (t) наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности». Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних относятся к одной и той же совокупности. Если эта вероятность р ниже уровня значимости (р < 0,05), то принято считать, что выборки относятся к двум разным совокупностям.

При использовании t-критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящие, например, из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения.

В обоих случаях в принципе должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп и равенства дисперсий в сравниваемых совокупностях. Однако на практике по большому счету корректное применение t-критерия Стьюдента для двух групп часто бывает затруднительно, поскольку достоверно проверить эти условия удается далеко не всегда.

Для оценки достоверности отличий по критерию Стьюдента принимается нулевая гипотеза, что средние выборок равны между собой. Затем вычисляется значение вероятности того, что изучаемые события (например, количества реализованных путевок в обеих выборках) произошли случайным образом.

В MS Excel для оценки достоверности отличий по критерию Стьюдента используются специальная функция ПЕСТ и процедуры пакета анализа (см. раздел «Использование Пакета анализа для выявления различий» ниже).

Все перечисленные инструменты вычисляют вероятность, соответствующую критерию Стьюдента, и используются, чтобы определить, насколько вероятно, что две выборки взяты из генеральных совокупностей, которые имеют одно и то же среднее.

Функция ПЕСТ использует следующие параметры: ПЕСТ (массив 1;массив2,хвосты;- тип). Здесь:

массив 1 — это первое множество данных;

массив2 — это второе множество данных;

хвосты — число хвостов распределения. Обычно число хвостов равно 2;

О тип — это вид исполняемого t-теста. Возможны 3 варианта выбора: 1 — парный тест, 2 — двухвыборочный тест с равными дисперсиями, 3 — двухвыборочный тест с неравными дисперсиями.

Пример 6.8. Выявить, достоверны ли отличия при сравнении данных реализации турфирмой путевок за периоды до и после начала активной рекламной компании (см. пример 6.3).

Решение

Введите данные (как в пункте 1 примера 6.3).

Для выявления достоверности отличий табличный курсор установите в свободную ячейку (All). На панели инструментов необходимо нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ПЕСТ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно ПЕСТ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных контрольной группы в поле Массив 1 (Л2:Л8). В поле Массив 2 введите диапазон данных исследуемой группы (В2:В8\ В поле Хвосты всегда вводится с клавиатуры цифра2 (без кавычек), а в поле Тип с клавиатуры введите цифру 3. Нажмите кнопку ОК. В ячейке All появится значение вероятности — 0,006295.

Поскольку величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (0,006295) меньше уровня значимости (а = 0,05), то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, различия между выборками не случайные и средние выборок считаются достоверно отличающимися друг от друга. Поэтому на основании применения критерия Стьюдента можно сделать вывод о большей эффективности реализации путевок после начала рекламной компании (р < 0,05),'

Как указывалось выше, при использовании t-критерия выделяют два основных случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть две различных выборки, количество элементов в которых может быть также различно. При заполнении диалогового окна ПЕСТ при этом указывается Тип 3.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными (при заполнении диалогового окна ПЕСТ указывается Тип /). Например, сравнивается реализация путевок двумя фирмами в соответствующие месяцы.

В качестве упражнения рассмотрим пример.

Пример 6.9. Сравнивается количество наличных денег у двух групп студентов (в рублях):

30

10■

30

20'

40

30

50

40

60

50■

Необходимо определить достоверность различия между группами при двух вариантах постановки задачи:

О группы состоят из различных студентов (тип 3);

О группы состоят из одних и тех же студентов, но первая — до посещения буфета, а вторая — после (тип 1).

Решение. В ячейки С1:С5 введите количество денег у студентов первой группы. В ячейки DI:D5 введите количество денег у студентов второй группы.

Табличный курсор установите в свободную ячейку (Сб). На панели инструментов необходимо нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ТТЕСТ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно ТТЕСТ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши ввести диапазон данных первой группы в поле Массив 1 (С1:С5\ В поле Массив 2 введите диапазон данных второй группы (D1:D5\ В поле Хвосты всегда вводится цифра 2 (без кавычек), а в поле Тип введите цифру 3. Нажмите кнопку ОК. В ячейке Сб появится значение вероятности — 0,228053.

Поскольку величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (0,228053) больше уровня значимости (а = 0,05), то нулевая гипотеза не может быть отвергнута (принимается). Следовательно, различия между выборками могут быть случайными и средние выборок не считаются достоверно отличающимися друг от друга. Поэтому на основании применения критерия Стьюдента нельзя сделать вывод о достоверности отличий двух групп студентов по количеству карманных денег, имеющихся у них (р > 0,05).

Табличный курсор установите в свободную ячейку (Об). На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ТТЕСТ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно ТТЕСТ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных первой группы в поле Массив 1 (С1:С5). В поле Массив 2 введите диапазон данных второй группы (D1:D5}. В поле Хвосты всегда вводится цифра 2 (без кавычек), а в поле Тип введите цифру 1. Нажмите кнопку ОК. В ячейке Об появится значение вероятности — 0,003883.

Поскольку величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (0,003883) меньше уровня значимости (а = 0,05), то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, различия между выборками не могут быть случайными и средние выборок считаются достоверно отличающимися друг от друга. Поэтому на осно-

вании применения критерия Стьюдента можно сделать вывод о том, что в двух группах студентов выявлены достоверные отличия по количеству карманных денег (р < 0,05), что явилось результатом посещения буфета.

Таким образом, ясно, что применение различных типов критерия Стьюдента может приводить к различным результатам на основании одних и тех же исходных данных. Можно предложить следующий приблизительный способ выбора типа критерия: если не ясно, какой тип критерия выбирать, выбирается тип 3; если очевидно, что выборки зависимы, связаны (например, это одни и те же студенты), то следует выбирать тип 1.

Критерий Фишера. Критерий Фишера используют для проверки гипотезы о принадлежности двух дисперсий одной генеральной совокупности и, следовательно, их равенстве. При этом предполагается, что данные независимы и распределены по нормальному закону. Гипотеза о равенстве дисперсий принимается, если отношение большей дисперсии к меньшей меньше критического значения распределения Фишера.

с2

F = —, F<F2 ’крит’

S2

где Екрит зависит от уровня значимости и числа степеней свободы для дисперсий в числителе и знаменателе.

В MS Excel для расчета уровня вероятности выполнения гипотезы о равенстве дисперсий могут быть использованы функция ФТЕСТ(лшссмв/;лшссмв2) и процедура пакета анализа Двухвыборочный F-тест для дисперсий.

Непараметрические критерии. Непараметрические критерии используются в тех случаях, когда закон распределения данных отличается от нормального или неизвестен. Из большого числа непараметрических критериев рассмотрим критерий хи-квадрат.

Критерий согласия х2. Бывают ситуации, когда необходимо сравнить две относительные или выраженные в процентах величины (доли). Примером может служить случай проверки успешности трудоустройства молодых специалистов, когда известен процент трудоустроившихся выпускников двух институтов. Для проверки достоверности различий здесь критерий Стьюдента применить не удастся. В таких задачах обычно используют критерий %2 (хи-квадрат). Критерий хи-квадрат относится к непараметрическим критериям.

Здесь, как и в случае с критерием Стьюдента, принимается нулевая гипотеза о том, что выборки принадлежат к одной генеральной совокупности. Кроме того, определяется ожидаемое значение результата. Обычно это среднее значение между выборками рассматриваемого показателя. Затем оценивается вероятность того, что ожидаемые значения и наблюдаемые принадлежат к одной генеральной совокупности.

В MS Excel критерий хи-квадрат реализован в функции ХИ2ТЕСТ. Функция ХИ 2- ТЕСТ вычисляет вероятность совпадения наблюдаемых (фактических) значений и теоретических (гипотетических) значений. Если вычисленная вероятность ниже уровня значимости (0,05), то нулевая гипотеза отвергается и утверждает-

ся, что наблюдаемые значения не соответствуют теоретическим (ожидаемым) значениям.

Функция имеет следующие параметры: ХИ2ТЕСТ(фсгктический_интервйл;ожгидсге- мый_интервал). Здесь:

О фактический_интервал — это интервал данных, которые содержат наблюдения, подлежащие сравнению с ожидаемыми значениями;

О ожидаемый_интервал — это интервал данных, который содержит теоретические (ожидаемые) значения для соответствующих наблюдаемых.

Пример 6.10. Пусть после окончания двух институтов экономического профиля трудоустроилось по специальности из первого института 90 человек, а из второго 60 (обе группы молодых специалистов включали по 100 человек).

Решение

Принимается нулевая гипотеза, что выборки принадлежат к одной генеральной совокупности.

Определяется ожидаемое значение результата (среднее значение между выборками): (60 + 90)/2 = 75, то есть мы ожидали, что разницы между группами нет, и в обоих случаях должно было трудоустроиться по 75 человек.

Затем вычисляется значение вероятности того, что изучаемые события (трудоустройство в обеих выборках) произошли случайным образом. Для этого введите данные в рабочую таблицу: 90 — в ячейку Е1, 60 — в F1, 75 — в E2,F2. Табличный курсор установите в свободную ячейку (ЕЗ). На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию ХИ2ТЕСТ, после чего нажмите кнопку 0К. Появившееся диалоговое окно ХИ2ТЕСТ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши введите диапазон данных наблюдавшегося количества трудоустроившихся в поле Фактический интервал (E1:F1). В поле Ожидаемый интервал введите диапазон данных предполагаемого количества трудоустроившихся (E2:F2). Нажмите кнопку 0К. В ячейке ЕЗ появится значение вероятности — 0,014306.

Поскольку величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (0,0143) меньше уровня значимости (а = 0,05), то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, различия между выборками не могут быть случайными и выборки считаются достоверно отличающимися друг от друга. Поэтому на основании применения критерия хи-квадрат можно сделать вывод о том, что в двух группах выпускников выявлены достоверные отличия по успешности трудоустройства (р < 0,05), что, по-видимому, явилось результатом более высокой репутации выпускников первого института.

Упражнения

Даны результаты бега на дистанции 100 м в секундах в двух группах студентов. Студенты первой группы в течение года посещали факультативные занятия по физкультуре. Определите, достоверны ли отличия по результатам бега в этих группах.

Посещавшие факультатив

Не посещавшие

12,6

12,3

11,9

12,2 13,0

12,4

12,8

13,2

13,0

12,9

13,5

13,1

В ходе социологического опроса на вопрос о перенесенном в детстве заболевании ответы распределились следующим образом:

Да Нет Не помню

Мужчины581110

Женщины352523

Есть ли достоверные отличия в ответах женщин и мужчин?

Приведены данные ежемесячной результативности (количество голов) футбольной команды в двух сезонах:

Месяц

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2000 г.

3

4

5

8

9

1

2

4

5

2001 г.

6

19

3

2

14

4

5

17

1

Определите, есть ли статистические различия в ежемесячной результативности команды в рассматриваемых сезонах?

Определите, имеют ли выборки {6; 7; 9; 15; 21} и {20; 28; 31; 38; 40} различные уровни разнородности (отличаются ли дисперсии)?

Использование инструмента Пакет анализа для выявления различий между выборками

Для анализа двух выборок с помощью t-теста Стьюдента могут быть использованы следующие процедуры: Парный двухвыборочный t-тест для средних; Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями и Двухвыборочный t-тест с различными дисперсия- м и. Как указывалось в разделе «Анализ двух выборок», в общем случае необходимо воспользоваться процедурой Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями, так как процедуры Парный двухвыборочный t-тест для средних и Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями относятся к частным, специальным случаям.

Для выполнения процедуры анализа необходимо:

О выполнить команду Сервис ► Анализ данных;

О в появившемся списке Инструменты анализа выбратьстрокуДвухвыборочныйЬтест с различными дисперсиями, щелкнуть левой кнопкой мыши и нажать кнопку ОК;

О в появившемся диалоговом окне указать Интервал переменной 1, то есть ввести ссылку на первый диапазон анализируемых данных, содержащий один столбец данных. Для этого следует навести указатель мыши на верхнюю ячейку первого столбца данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

О указать Интервал переменной 2, то есть ввести ссылку на второй диапазон анализируемых данных, содержащий один столбец данных. Для этого следует навести указатель мыши в поле ввода Интервал переменной 2 и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем навести указатель мыши на верхнюю ячейку второго столбца данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

О указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить флажок в левое поле Выходной диапазон (навести указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной диапазон и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верхнюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные.

О нажать кнопку ОК.

Результаты анализа. В выходной диапазон будут выведены: средняя, дисперсия и число наблюдений для каждой переменной, гипотетическая разность средних, df (число степеней свободы), значение t-статистики, Р^Т<= t) одностороннее, t критическое одностороннее, Р(Г<= t) двухстороннее, t критическое двухстороннее.

Интерпретация результатов. Если величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (Р(Г<= t) двухстороннее) меньше уровня значимости (а = 0,05), принято считать, что различия между выборками не случайные, то есть различия достоверные.

Пример 6.11. Рассматривается заработная плата обслуживающего персонала и работников ресторана (из примера 6.4).

Персонал

Ресторан

2100

3200

2100

3000

2000

2500

2000

2000

2000

1900

1900

1800

1800

1800

Можно ли по этим данным сделать вывод о большей зарплате работников ресторана? Решение. Для решения задач такого типа используются так называемые критерии различия, в частности, t-критерий Стьюдег та.

Введите данные: для персонала — в диапазон А1:А8; работников ресторана — в диапазон В1:Вб.

Выбор процедуры осуществляется из трех вариантов t-теста. Поскольку данные не имеют попарного соответствия, число их различно и говорить о равенстве дисперсий затруднительно, выберите процедуру Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями.

Для реализации процедуры в пункте меню Сервис выберите строку Анализ данных и далее укажите курсором мыши на строку Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями.

В появившемся диалоговом окне задайте Интервал переменной 1. Для этого наведите указатель мыши на верхнюю ячейку столбца (А1), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протяните указатель мыши к нижней ячейке (А8), затем отпустите левую кнопку мыши.

Аналогично укажите Интервал переменной 2, то есть введите ссылку на диапазон второго столбца В1.Вб.

Далее укажите выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в положение Выходной диапазон (наведите указатель мыши и щелкните левой кнопкой), затем наведите указатель мыши на правое поле ввода Выходной диапазон и, щелкнув левой кнопкой мыши, указатель мыши наведите на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (С1). Щелкните левой кнопкой мыши и нажмите кнопку ОК.

Результаты анализа. В выходном диапазоне С1:Е13 появятся результаты процедуры Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями (рис. 6.16).

А | Й 1С .. D 1 Е I

■

г з~

4

5

6

7

'в'

9

ДО

11

12

ЙВ

2100:3200‘Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями;

21 OCt3000 :

2000:2500 iПеременная 1эременная 2

2000 2000 Среднее \1962,5: 2400'

20001900 Дисперсия14107,14286:356000

1900.1800,Наблюдения;8; 6

1800:Гипотетическая разность средних ;0;

' ' 1800 . ' ’15:

:^статистика; -1 76998297•

:P(T<=t) одностороннее : 0,068475305;

:h критическое одностороннее: 2,015049176,

:Т(Т<=*) двухсто-оинее 0,13695061

;:t критическое двухстороннее; 2,570577635;1

Рис. 6.16. Исходные данные (А1:В8) и результаты анализа (С1:Е13) из примера 6.11

Интерпретация результатов. Средние значения заработной платы (1962 руб. для персонала и 2400 руб. для работников ресторана) довольно сильно отличаются. Тем не менее нулевая гипотеза о том, что разницы между группами нет (то есть

средние выборок равны между собой), отвергнута быть не может. Это следует из того, что вероятность реализации нулевой гипотезы достаточно велика (р = 0,1389, что больше чем уровень значимости 0,05, то естьр > 0,05) и величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (Р(Т<= t) двухстороннее) больше уровня значимости (а = 0,05). А это позволяет говорить, что различия между выборками могут быть случайными, то есть различия недостоверные.

Таким образом, из полученных результатов исследования вытекает/что на основании приведенных данных нельзя сделать вывод о достоверно большей зарплате работников ресторана.

Упражнения

Определите, достоверны ли различия в количестве приобретаемых туристских путевок семейными парами и отдельными туристами.

Количество приобретаемых путевок

Месяцы

1

2

3

4

5

6

Пары

67

75

58

89

96

94

Одиночки

43

56

78

87

85

90

В таблице приведены результаты группы студентов по скоростному чтению до и после специального курса по быстрому чтению.

Студент

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

До курса

86

83

86

70

66

90

70

85

77

86

После

82

79

91

77

68

86

81

90

85

94

Произошли ли статистически значимые изменения скорости чтения у студентов?

Дисперсионный анализ

В случае необходимости оценить достоверность различия между несколькими группами наблюдений (выборками) используют методы дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ предназначен для исследования задачи о действии на измеряемую случайную величину (отклик) одного или нескольких независимых факторов, имеющих несколько градаций. Причем в однофакторном, двухфакторном и т. д. анализе влияющие на результат факторы считаются известными, и речь идет только о выяснении существенности или оценке этого влияния.

Применение дисперсионного анализа возможно, если можно предполагать соответствие выборочных групп генеральным совокупностям с нормальным распределением и независимость распределений наблюдений в группах.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением простейшего случая дисперсионного анализа — однофакторного анализа. При этом задача заключается в том, чтобы сравнить дисперсию, обусловленную случайными причинами, с дисперсией,

вызываемой наличием исследуемого фактора. Если они значимо различаются, то считают, что фактор оказывает статистически значимое влияние на исследуемую переменную. Значимость различий проверяется по критерию Фишера.

Влияние случайной составляющей характеризуют внутригрупповая дисперсия, а влияние изучаемого фактора — межгрупповая. Внутригрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

s2 = - V1 - А- X £ (^ - М^\

межгрупповая:

S^^-SW-A/)2.

Здесь М — общее среднее, Mi = — ^ х^, т — количество групп, п — количество элементов в группе.п

В MS Excel для проведения однофакторного дисперсионного анализа используется процедура Однофакторный дисперсионный анализ.

Для проведения дисперсионного анализа необходимо:

О ввести данные в таблицу, так чтобы в каждом столбце оказались данные, соответствующие одному значению исследуемого фактора, а столбцы располагались в порядке возрастания (убывания) величины исследуемого фактора;

О выполнить команду Сервис ► Анализ данных;

О в появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать процедуру Однофакторный дисперсионный анализ, указав курсором мыши и щелкнув левой кнопкой мыши. Затем нажать кнопку ОК;

О в появившемся диалоговом окне задать Входной интервал, то есть ввести ссылку на диапазон анализируемых данных, содержащий все столбцы данных. Для этого следует навести указатель мыши на верхнюю левую ячейку диапазона данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней правой ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши (рис. 6.17);

О в разделе Группировка переключатель установить в положение по столбцам;

О указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить переключатель в положение Выходной интервал (навести указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верхнюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные.

Г построган _' справкаГ построган _' справкаГ Щетки в первой строке;- ЙРьфа: | о, О5Г Щетки в первой строке;- ЙРьфа: | о, О5

Г построган _' справка

Г построган _' справка

Г Щетки в первой строке;

- ЙРьфа: | о, О5

Г Щетки в первой строке;

- ЙРьфа: | о, О5

гПараметры вывода—-4

<♦ Вводной интервал; IWsj3

Г Новый рабочий дзет; I """" "

' С новая рабочая gHwa

Рис. 6.17. Пример заполнения диалогового окна Однофакторный дисперсионный анализ

Результаты анализа. Выходной диапазон будет включать в себя результаты дисперсионного анализа: средние, дисперсии, критерий Фишера и другие показатели. Интерпретация результатов. Влияние исследуемого фактора определяется по величине значимости критерия Фишера, которая находится в таблице Дисперсионный анализ на пересечении строки Между группами и столбца P-Значение. В случаях, когда P-Значение < 0,05, критерий Фишера значим и влияние исследуемого фактора можно считать доказанным.

Кроме рассмотренной процедуры однофакторного дисперсионного анализа, для проведения двухфакторного дисперсионного анализа в пакете анализа реализованы процедуры Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями и Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений.

Пример 6.12. Необходимо выявить, влияет ли расстояние от центра города на степень заполняемости гостиниц. Пусть введены 3 уровня расстояний от центра города: 1) до 3 км, 2) от 3 до 5 км и 3) свыше 5 км. Данные заполняемости представлены в таблице.

Расстояние

Заполняемость, %

до 3 км

92

98

89

97

90

94

от 3 до 5 км

90

86

84

91

83

82

свыше 5 км

87

79

74

85

73

77

Решение

Исследуемые данные введите в рабочую таблицу Excel по столбцам: в столбец А — заполняемость гостиниц в центре города, в столбец В — гостиниц, находящихся на расстоянии от 3 до 5 км и т. д. (диапазон А1:Сб).

Выполните команду Сервис ► Анализ данных. В появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа щелчком мыши выберите процедуру Однофакторный дисперсионный анализ. Нажмите кнопку ОК.

В появившемся диалоговом окне Однофакторный дисперсионный анализ в поле Входной интервал задайте А 1:С6. Для этого наведите указатель мыши на ячейку А1 и протяните его к ячейке Сб при нажатой левой кнопке мыши.

В разделе Группировка переключатель установите в положение по столбцам.

Далее необходимо указать выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в положение Выходной интервал (наведите указатель мыши и щелкните левой кнопкой), затем щелкните указателем мыши в правом поле ввода Выходной интервал, и щелчком мыши на ячейке А8 укажите расположение выходного диапазона (рис. 6.17). Нажмите кнопку ОК.

Результаты анализа. В результате будет получена таблица, показанная на рис. 6.18.

...... А : В . ; С i , ВJ ., Fj

i&g Однофакторный дисперсионный анализ :_> _ _ , _ J

W итогиIГ Г ■ \

ЗвГруппы: Счет ; Сумма i Среднее Дисперсия

12 Столбец 1i 6530 93,33333: 13,46667 I

13 'Столбец2:6516:8314

14" Столбец З' 1647579 '3-37V 936-7

:;:zzzzz...

18j:I;‘:

171Диспепсионный анализ:i:■:

Источник вариации: SS i df \ MS F Р-ЗначениеР критическое

Между группами : 602,3333:2i 301,1667; 14,95036. □.□□□2604: 3,682316674

20 Внутри групп: 302,1667:15 20,14444

::

22 'Итого 9045:Z’':

Рис. 6.18. Результат работы инструмента Однофакторный дисперсионный анализ

Интерпретаицярезулътатов. В таблице Дисперсионный анализ на пересечении строки Между группами и столбца P-Значение находится величина 0,0002684. Величина Р-Зна- чение < 0,05, следовательно, критерий Фишера значим и влияние фактора расстояния от центра города на эффективность заполнения гостиниц доказано статистически.

Упражнение

Определите, влияет ли фактор образования на уровень зарплаты в гостинице на основании следующих данных:

Образование

Зарплата сотрудника

высшее

3200

3000

2600

2000

1900

1900

среднее спец

2600

2000

2000

1900

1800

1700

среднее

2000

2000

1900

1800

1700

1700

Корреляционный анализ

Важным разделом статистического анализа является корреляционный анализ, служащий для выявления взаимосвязей между выборками.

Коэффициент корреляции

Выявление взаимосвязей. Одна из наиболее распространенных задач статистического исследования состоит в изучении связи между некоторыми наблюдаемы-

ми переменными. Знание взаимозависимостей отдельных признаков дает возможность решать одну из кардинальных задач любого научного исследования: возможность предвидеть, прогнозировать развитие ситуации при изменении конкретных характеристик объекта исследования. Например, основное содержание любой экономической политики в конечном счете может быть сведено к регулированию экономических переменных, осуществляемому на базе выявленной тем или иным образом информации об их взаимовлиянии. Поэтому проблема изучения взаимосвязей показателей различного рода является одной из важнейших в статистическом анализе.

Обычно взаимосвязь между выборками носит не функциональный, а вероятностный (или стохастический) характер. В этом случае нет строгой, однозначной зависимости между величинами. При изучении стохастических зависимостей различают корреляцию и регрессию.

Регрессионный анализ (см. раздел «Регрессионный анализ») устанавливает формы зависимости между случайной величиной У и значениями одной или нескольких переменных величин.

Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя случайными величинами X и У. В качестве меры такой связи используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции оценивается по выборке объема и связанных пар наблюдений (хь у^ из совместной генеральной совокупности X и У. Существует несколько типов коэффициентов корреляции, применение которых зависит от предположений о совместном распределении величин X и У.

Для оценки степени взаимосвязи наибольшее распространение получил коэффициент линейной корреляции (Пирсона), предполагающий нормальный закон распределения наблюдений.

Коэффициент корреляции (R, г) — параметр, характеризующий степень линейной взаимосвязи между двумя выборками. Коэффициент корреляции изменяется от -1 (строгая обратная линейная зависимость) до 1 (строгая прямая пропорциональная зависимость). При значении 0 линейной зависимости между двумя выборками нет. Здесь под прямой зависимостью понимают зависимость, при которой увеличение или уменьшение значения одного признака ведет, соответственно, к увеличению или уменьшению второго. Например, при увеличении температуры возрастает давление газа, а при уменьшении — снижается (при постоянном объеме). При обратной зависимости увеличение одного признака приводит к уменьшению второго и наоборот. Примером обратной корреляционной зависимости может служить связь между температурой воздуха на улице и количеством топлива, расходуемого на обогрев помещения.

Выборочный коэффициент линейной корреляции между двумя случайными величинами X и У рассчитывается по формуле

. Г ^х-м^Чу-м,?’

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и его значение не зависит от единиц измерения случайных величин X и У.

На практике коэффициент корреляции принимает некоторые промежуточные значения между 1 и -1 (рис. 6.19). Для оценки степени взаимосвязи можно руководствоваться следующими эмпирическими правилами. Если коэффициент корреляции (г) по абсолютной величине (без учета знака) больше, чем 0,95, то принято считать, что между параметрами существует практически линейная зависимость (прямая — при положительном г и обратная — при отрицательном г). Если коэффициент корреляции |г| лежит в диапазоне от 0,8 до 0,95, говорят о сильной степени линейной связи между параметрами. Если 0,6 < |г| < 0,8, говорят о наличии линейной связи между параметрами. При |г| < 0,4 обычно считают, что линейную взаимосвязь между параметрами выявить не удалось.

Рис. 6.19. Примеры прямой (г = 0,7, а) и обратной (г = -0,8, б) корреляционной зависимостиРис. 6.19. Примеры прямой (г = 0,7, а) и обратной (г = -0,8, б) корреляционной зависимости

Рис. 6.19. Примеры прямой (г = 0,7, а) и обратной (г = -0,8, б) корреляционной зависимости

Рис. 6.19. Примеры прямой (г = 0,7, а) и обратной (г = -0,8, б) корреляционной зависимости

О В MS Excel для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции используется специальная функция КОРРЕЛ. Параметрами функции являются КОРРЕЛ(л<ас- сивТгмассив2'), где: .массив — это диапазон ячеек первой случайной величины;

О массив2 — это второй интервал ячеек со значениями второй случайной величины. Пример 6.13. Имеются результаты семимесячных наблюдений реализации путевок двух туристских маршрутов тура А и тура В.

Тур А Тур В

120

20

121

15

105

18

92

16

113

19

90

16

80

15

Необходимо определить, имеется ли взаимосвязь между количеством продаж путевок обоих маршрутов.

Решение. Для выявления степени взаимосвязи прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Откройте новую рабочую таблицу. Введите в ячейку А1 слова Тур А. Затем в ячейки А2:А8 — соответствующие значения числа продаж. В ячейки В1:В8 введите название и значения для тура В. Затем вычисляется значе-

ние коэффициента корреляции между выборками. Для этого табличный курсор установите в свободную ячейку (А9). На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию КОРРЕЛ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно КОРРЕЛ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 см отданных (при нажатой левой клавише). Указателем мыши введите диапазон данных Тур А в поле Массив 1 (А2:А8у В поле Массив 2 введите диапазон данных Тур В (В2:В8\ Нажмите кнопку ОК. В ячейке А9 появится значение коэффициента корреляции — 0,995493. Значение коэффициента корреляции больше чем 0,95. Значит, можно говорить о том, что в течение периода наблюдения имелась высокая степень прямой линейной взаимосвязи между количествами проданных путевок обоих маршрутов (г= 0,995493).'

Корреляционная матрица

При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять из нескольких рядов числовых данных, для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами. Корреляционная матрица — это квадратная (или прямоугольная) таблица, в которой на пересечении соответствующих строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами.

В MS Excel для вычисления корреляционных матриц используется процедура Корреляция. Процедура позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами.

Для реализации процедуры необходимо:

О выполнить команду Сервис ► Анализ данных;

О в появившемся списке Инструменты анализа выбрать строку Корреляция и нажать кнопку ОК;

О в появившемся диалоговом окне указать Входной интервал, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие анализируемые данные. Для этого следует навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши. Входной интервал должен содержать не менее двух столбцов.

О в разделе Группировка переключатель установить в соответствии с введенными данными;

О указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить флажок в левое поле Выходной интервал (навести указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верхнюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные (рис. 6.20).

Корреляция

ОтменаОтмена55Водкой интераал: .

Отмена

Отмена

5

5

' Группирование: ''

Г" Йртки а первом столбив

у ^ б^рдири интервал* |$АЯ

Я , <” Ноем# рабочий spCTi , | " "7

^ Сном» рабочая (миге . ,

Рис. 6.20. Пример установки параметров корреляционного анализа

Результаты анализа. В выходной диапазон будет выведена корреляционная матрица, в которой на пересечении каждых строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат значение 1, так как каждый столбец во входном диапазоне полностью коррелирует с самим собой.

Интерпретация результатов. Рассматривается отдельно каждый коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Его числовое значение оценивается по эмпирическим правилам, изложенным в разделе «Коэффициент корреляции». Отметим, что хотя в результате будет получена треугольная матрица, корреляционная матрица симметрична, и коэффициенты корреляции

Пример 6.14. Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.

Число ясных дней

Количество посетителей музея

Количество посетителей парка

8

495

132

14

503

348

20

380

643

25

305

865

20

348

743

15

465

541

Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.

Решение. Для выполнения корреляционного анализа введите в диапазон A1:G3 исходные данные (рис. 6.21).

Затем в меню Сервис выберите пункт Анализ данных и далее укажите строку Корреляция. В появившемся диалоговом окне укажите Входной интервал B1:G3. Укажите, что данные рассматриваются по строкам. Укажите выходной диапазон. Для этого поставьте флажок в левое поле Выходной интервал и в правое поле ввода Выходной интервал введите А4 (рис. 6.20). Нажмите кнопку ОК.

1

А

Ясные дни

2Г"'

" ' В ■ ..

25

f

20

15

8

14

Посещаемость музея

495

503

380

305

348

465

3

Посещаемость парка

132

348

643

865

743

541

Рис. 6.21. Исходные данные из примера 6.14

i1В,,.. C D

4 ,; Строка 1■ Строка 2 Строка 3 i

5 Строка 1[1С . j , i

G Строка 2: -9,92185:i| 1

J , Строка 3 9974=76 -9,9' 938l]

Рис. 6.22. Результаты вычисления корреляционной матрицы из примера 6.14

Результаты, анализа. В выходном диапазоне получаем корреляционную матрицу (рис. 6.22).

Интерпретация результатов. Из таблицы видно, что корреляция между состоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,92, а между состоянием погоды и посещаемостью парка — 0,97, между посещаемостью парка и музея — г=-0,92.

Таким образом, в результате анализа выявлены зависимости: сильная степень обратной линейной взаимосвязи между посещаемостью музея и количеством солнечных дней (г=-0,92) и практически линейная (очень сильная прямая) связь между посещаемостью парка и состоянием погоды (г = 0,97). Между посещаемостью музея и парка имеется сильная обратная взаимосвязь (г= -0,92).

Подразумевается, что в пустых клетках в правой верхней половине таблицы находятся те же коэффициенты корреляции, что и в нижней левой (симметрично расположенные относительно диагонали).

Упражнения

Определите, имеется ли взаимосвязь между рождаемостью и смертностью (количество на 1000 человек) в Санкт-Петербурге:

Годы

Рождаемость

Смертность

1991

9,3

12,5

1992

7,4

13,5.

1993

6,6

17,4

1994

7,1

17,2

1995

7,0

15,9

1996

6,6

14,2

Определите, имеется ли взаимосвязь между годовым уровнем инфляции (%), ставкой рефинансирования (%) и курсом доллара (руб./$), по следующим данным ежегодных наблюдений:

Уровень инфляции

Ставка рефинансированияКурс $

84

45

56

34

23

856,3

5514

6520

4028

2829

Регрессионный анализ ■

При исследовании взаимосвязей между выборками помимо корреляции различают также и регрессию. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. Соответственно, наряду с корреляционным анализом еще одним инструментом изучения стохастических зависимостей является регрессионный анализ.

Регрессионный анализ устанавливает формы зависимости между случайной величиной У (зависимой) и значениями одной или нескольких переменных величин (независимых), причем значения последних считаются точно заданными. Такая зависимость обычно определяется некоторой математической моделью (уравнением регрессии), содержащей несколько неизвестных параметров. В ходе регрессионного анализа на основании выборочных данных находят оценки этих параметров, определяются статистические ошибки оценок или границы доверительных интервалов и проверяется соответствие (адекватность) принятой математической модели экспериментальным данным.

В линейном регрессионном анализе связь между случайными величинами предполагается линейной. В самом простом случае в линейной регрессионной модели имеются две переменные X и У. И требуется по п парам наблюдений (Л), У(), (Х2, У2), ..., (Х„, У„) построить (подобрать) прямую линию, называемую линией регрессии, которая «наилучшим образом» приближает наблюдаемые значения. Уравнение этой линии У = аХ + b является регрессионным уравнением. С помощью регрессионного уравнения можно предсказать ожидаемое значение зависимой величины Yo, соответствующее заданному значению независимой переменной Хо.

Таким образом, можно сказать, что линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика и его уравнения для набора наблюдений. В регрессионном анализе все признаки (переменные), входящие в уравнение, должны иметь непрерывную, а не дискретную природу.

В случае, когда рассматривается зависимость между одной зависимой переменной У и несколькими независимыми Хь Х2,..., Х№ говорят о множественной линейной регрессии. В этом случае регрессионное уравнение имеет вид

У = а0 + o^j + g2X2 +... + апХп,

где а^а,, ...,а„ — требующие определения коэффициенты при независимых переменных Х,,Х2, ..., Хп; ай — константа.

Мерой эффективности регрессионной модели является коэффициент детерминации R2 (Д-квадрат). Коэффициент детерминации (Я-квадрат) определяет, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение описывает (аппроксимирует) исходные данные.

Исследуется также значимость регрессионной модели с помощью Д-критерия (Фишера). Если величина F-критерия значима (р < 0,05), то регрессионная модель является значимой.

Достоверность отличия коэффициентов а0, аь а2, .... а„ от нуля проверяется с помощью критерия Стьюдента. В случаях, когда р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым, а это означает, что влияние соответствующей независимой переменной на зависимую переменную недостоверно, и эта независимая переменная может быть исключена из уравнения.

В MS Excel экспериментальные данные аппроксимируются линейным уравнением до 16 порядка:

У — Gq а^Х^ а^Х^ а^^Х^

где У—зависимая переменная,^, ...,Х16 — независимые переменные, а0, av..., а16 — искомые коэффициенты регрессии.

Для получения коэффициентов регрессии используется процедура Регрессия из пакета анализа. Кроме того, могут быть использованы функция ЛИНЕЙН для получения параметров регрессионного уравнения и функция ТЕНДЕНЦИЯ для получения предсказанных значений У в требуемых точках (см. раздел «Несколько независимых переменных» главы 3).

Для реализации процедуры Регрессия необходимо:

о выполнить команду Сервис ► Анализ данных;

О в появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать строку Регрессия, указав курсором мыши и щелкнув левой кнопкой мыши. Затем нажать кнопку 0К;

О в появившемся диалоговом окне задать Входной интервал У, то есть ввести ссылку на диапазон анализируемых зависимых данных, содержащий один столбец данных. Для этого следует навести указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

о указать Входной интервал X, то есть ввести ссылку на диапазон независимых данных, содержащий до 16 столбцов анализируемых данных. Для этого следует навести указатель мыши на поле ввода Входной интервал X и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем навести указатель мыши на верхнюю левую ячейку диапазона независимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней правой ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

о указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить переключатель в положение Выходной интервал (навести указатель мыши и щелкнуть левой кноп-

-fixVAman# дф-ные —; • • •-fixVAman# дф-ные —; • • •Видной интдааяйI$Bt 1 :$В$8*9-Г" И?ткя ', Г” Кастета - ноль -Г" ^р<*яньнадааеиосги: р5 %Видной интдааяйI$Bt 1 :$В$8*9-Г" И?ткя ', Г” Кастета - ноль -Г" ^р<*яньнадааеиосги: р5 %"11^"11^кой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верхнюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши (рис. 6.23). Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные;

-fixVAman# дф-ные —; • • •

-fixVAman# дф-ные —; • • •

Видной интдааяйI$Bt 1 :$В$8*9-

Г" И?ткя ', Г” Кастета - ноль -

Г" ^р<*яньнадааеиосги: р5 %

Видной интдааяйI$Bt 1 :$В$8*9-

Г" И?ткя ', Г” Кастета - ноль -

Г" ^р<*яньнадааеиосги: р5 %

"11^

"11^

-Пзрагетры выводе -' ' /' ' — —

- ^ Выходной интервал: |я:м51 ’

Новый рабочий акт: . |.~ ,

' С Новее ребом^й ичиге-_|

I" Остатки———- —•:— — ;

Г" Остатки- Г" График остатков i ;

Г" СхандартиаоеянНьи остатки £7 й^"Ж??ЧЙ ’ iHis^iMiiiBiWieiisSsls^^

' | Г График нрриальной вероятностиI :

Рис. 6.23. Пример заполнения диалогового окна Регрессия

О если необходимо визуально проверить отличие экспериментальных точек от предсказанных по регрессионной модели, следует установить флажок в поле График подбора;

О нажать кнопку ОК.

Результаты анализа. Выходной диапазон будет включать в себя результаты дисперсионного анализа, коэффициенты регрессии, стандартную погрешность вычисления Y, среднеквадратичные отклонения, число наблюдений, стандартные погрешности для коэффициентов.

Интерпретация результатов. Значения коэффициентов регрессии находятся в столбце Коэффициенты и соответствуют:

О У-пересечение — а0;

О переменная XI — at;

О переменная Х2 — а2 и т. д.

В столбце P-Значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля. В случаях, когда Р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым, что означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную.

Приводимое значение R-квадрат (коэффициент детерминации) определяет, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение аппроксимирует исходные данные. Если R-квадрат > 0,95, говорят о высокой точности аппроксима-

ции (модель хорошо описывает явление). Если R-квадрат лежит в диапазоне от 0,8 до 0,95, говорят об удовлетворительной аппроксимации (модель в целом адекватна описываемому явлению). Если R-квадрат < 0,6, принято считать, что точность аппроксимации недостаточна и модель требует улучшения (введения новых независимых переменных, учета нелинейностей и т. д.).

Пример 6.15. В отделе снабжения гостиницы имеется информация об изменении стоимости стирального порошка за длительный период времени. Сопоставляя его с изменениями курса доллара за этот же период времени, можно построить регрессионное уравнение. Ниже приведены стоимость пачки стирального порошка (в руб.) и соответствующий курс доллара (руб./USD).

NПорошок

Курс

15

6,3

27

9

39

12

412

15.

515

19

616

21

720 ■

25

825

29,3

Необходимо на основании этих данных построить регрессионное уравнение, позволяющее по курсу доллара определять предполагаемую стоимость пачки стирального порошка.

Решение

Введите данные в рабочую таблицу: стоимость пачки порошка — в диапазон А1:А8; курс доллара в диапазон В1:В8 (заметим, что знаку запятой, отделяющей целую часть от дробной, соответствует «запятая»),

В пункте меню Сервис выберите строку Анализ данных и далее укажите курсором мыши на строку Регрессия.

В появившемся диалоговом окне (рис. 6.23) задайте Входной интервал У. Для этого наведите указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных (А1), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протяните указатель мыши к нижней ячейке (А8), затем отпустите левую кнопку мыши. (Обратите внимание, что зависимые данные — это те данные, которые предполагается вычислять.)

Так же укажите Входной интервал X, то есть введите ссылку на диапазон независимых данных В1:В8. (Независимые данные — это те данные, которые будут измеряться или наблюдаться.)■

Установите флажок в поле График подбора.

Далее укажите выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в положение Выходной интервал (наведите указатель мыши и щелкните левой кнопкой), затем наведите указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и,

щелкнув левой кнопкой мыши, указатель мыши наведите на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (С1). Щелкните левой кнопкой мыши (рис. 6.23). Нажмите кнопку ОК. i

Результаты анализа. В выходном диапазоне появятся следующие результаты й график подбора (рис. 6.24).’:1 ' 1

Рис. 6.24. Результаты анализа и график соответствия экспериментальных точек и предсказанных по регрессионной модели из примера 6.15

Интерпретация результатов. В таблице Дисперсионный анализ оценивается общее качество полученной модели: ее достоверность по уровню значимости критерия Фишера — р, который должен быть меньше, чем 0,05 (строка Регрессия, столбец Значимость F, в примере — 1,58Е—07 (0,000000158), то есть р = 0,000000158 и модель значима) и степень точности описания моделью процесса — 72-квадрат (вторая строка сверху в таблице Регрессионная статистика, в примере 72-квадрат = 0,992). Поскольку 72-квадрат > 0,95, можно говорить о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает явление (рис. 6.24)).

Далее необходимо определить значения коэффициентов модели. Они определяются из таблицы в столбце Коэффициенты — в строке Y-пересечение приводится свободный член; в строках соответствующих переменных приводятся значения коэф-

фициентов при этих переменных. В столбце p-значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля. В случаях, когда р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым. Это означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную и коэффициент может быть убран из уравнения.

Отсюда выражение для определения стоимости пачки порошка в рублях будет иметь следующий вид: -0,83 + 0,847*(Курс доллара, руб./USD).

Полученная модель с высокой точностью позволяет определять стоимость пачки стирального порошка (R2 = 99,2%).

Воспользовавшись полученным уравнением, можно рассчитать ожидаемую стоимость пачки стирального порошка при изменениях курса доллара. Например, для расчета при курсе доллара 35 руб./USD необходимо поставить табличный курсор в любую свободную ячейку (АЮ); ввести с клавиатуры знак =, щелкнуть указателем мыши по ячейке D17, ввести с клавиатуры знак +, щелкнуть по ячейке 018, ввести с клавиатуры знак * и число 35. В результате в ячейке АЮ будет получена ожидаемая стоимость пачки порошка — 28,8 руб.

Пример 6.16. Построить регрессионную модель для предсказания изменений уровня заболеваемости органов дыхания ( У) в зависимости от содержания в воздухе двуокиси углерода (X,) и степени запыленности (Х2). В таблице приведены данные наблюдений в течение 29 месяцев.

*2

У

1

1,3

1160

1

1,3

1155

1,1

1,4

1158

1Д

1,4

1157

1Д

1,5

1160

1,1

1,5

1161

1

1,4

1157

1

1,5

1159

1,2

1,6

1256

1,2

1,7

‘ 1260

0,6

1

1040

0,6

1

1039■

0,7

1,1

1039

0,7

1,15

‘ 1040

0,75

1,2

1040

0,7

1,2.

, 1039

0,7

■ . 1,3 , ><

г 1040 . , ,

0,7

1,3

1039

0,8

1,4

1140

0,8

1,4

. 1138

продолжение

Продолжение таблицы

^

Y

0,78

1,5

1240

0,8

1,5

1239

0,78

1,5

1241

0,78

1,6

1240

0,8

1,7

1239

0,8

1,8

1239

0,75

1,8

1240

0,78

1,9

1238

0,75

1,9

1238

Решение

Введите данные наблюдений в диапазон А1:С30 рабочей таблицы Excel.

В пункте меню Сервис выберите строку Анализ данных и далее укажите курсором мыши на строку Регрессия. Нажмите кнопку ОК.

В появившемся диалоговом окне задаем Входной интервал Y. Для этого наведите указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных (С2), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протяните указатель мыши к нижней ячейке (СЗО), затем отпустите левую кнопку мыши. (Обратите внимание, что зависимые данные — это те данные, которые предполагается вычислять).

Так же укажите Входной интервал X, то есть введите ссылку на диапазон независимых данных А2:ВЗО. (Независимые данные — это те данные, которые будут измеряться или наблюдаться).

Установите флажок в поле График подбора.

Далее укажите выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в положение Выходной интервал (наведите указатель мыши и щелкните левой кнопкой), затем наведите указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и, щелкнув левой кнопкой мыши, указатель мыши наведите на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (D1). Щелкните левой кнопкой мыши. Нажмите кнопку ОК.

В выходном диапазоне появятся результаты регрессионного анализа и графики предсказанных точек (рис. 6.25).

Рис. 6.25. Графики расположения фактических и предсказанных точек (пример 6.16)

¥

Переменная X 2 Г рафик подбора

1300 -

1200 ■

1100 ■

1000

900

800

♦Y

□ Предсказажое

¥

1

Переменная X 2

Интерпретация результатов. В таблице Дисперсионный анализ оценивается достоверность полученной модели по уровню значимости критерия Фишера (строка Регрессия, столбец Значимость F, в примере — 1.4Е-09 (1,4*10-9), то естьр « 0,05 и модель значима) и степень описания моделью процесса — R-квадрат (вторая строка сверху в таблице Регрессионная статистика, в примере R-квадрат = 0,89). Поскольку R-квадрат > 0,8, можно говорить о довольно высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает зависимость заболеваемости от содержания углекислого газа и запыленности воздуха (рис. 6.25)).'

Далее необходимо определить значения коэффициентов модели. Они определяются из таблицы в столбце Коэффициенты — в строке Y-пересечение приводится свободный член а0 = 682; в строках соответствующих переменных приводятся значения коэффициентов при этих переменных а, = 91 и а2 = 275. В столбце p-значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля. Все коэффициенты значимы, то есть р < 0,05, и коэффициенты могут считаться не равными нулю.

Поэтому выражение для определения уровня заболеваемости органов дыхания в зависимости от содержания углекислого газа и пыли в воздухе будет иметь вид:

У= 682 + 91*Xt + 275*Х2.

Упражнения

Постройте зависимость зарплаты (руб.) от возраста сотрудника гостиницы по следующим данным:

Возраст

Зарплата

20

800

50

2500

45

40

25

2500

2000

1200

30

1800

Постройте зависимость жизненной емкости легких в литрах ( У) от роста в метрах (ХД и возраста в годах (Х2) для группы мужчин:

Y

1,85

1,8

1,75

1,7

1,68

1,73

1,77

1,81

1,76

185,4

255,7

204,8

245,1

214,5

194,8

225,1

235,6।

184,7

Определите должное значение жизненной емкости легких для мужчины возраста 22 лет и роста 183 см из регрессионного уравнения, полученного в предыдущем упражнении.

Имеются данные о цене на нефть х (ден. ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл. ед.):

X

У

17,28

17,05

18,30

18,80

19,20

18,50

537

534

550

555

560

552

Постройте зависимость индекса акций нефтяных компаний от цены на нефть.

Приложение

Основные операции в Excel 2000

В качестве справочной информации приведем краткую сводку основных операций с электронной таблицей Excel 2000. Эта информация может быть полезной в случае появления затруднений при выполнении примеров и упражнений.

Запуск Excel

Для запуска Excel необходимо воспользоваться меню, которое появляется при нажатии на кнопку Пуск.

После запуска на экране появится главное окно программы Excel (рис. П.1).

Окно Excel

Строка заголовка (верхняя граница окна Excel) содержит:

О имя работающего приложения — Microsoft Excel;

О кнопки оконного меню (в конце Строки заголовка):

восстановитьвосстановить

восстановить

восстановить

— развернуть— свернуть— закрыть— развернуть— свернуть— закрыть

— развернуть

— свернуть

— закрыть

— развернуть

— свернуть

— закрыть

В заголовке окна, кроме названия программы, приводится и имя редактируемого файла.■

Ц Microsoft Excel - Книга!ИЕаО

]® ®ей^ О^^'йиД BcYgex* 'Ферме* Cgpenc-Денные ,йкно £лрабхв ^ -?;j ; , -- !*=l xl

1 g- ц K,# gюд „ I . .

Ьам1неиаыЬ№еавебыыйаявавйвМ№Ыав81ыш«зд9«<)МЫУК|»ж4«р^яиыб&а№£ые1а1Ьшиьмй11№а1Аы»иШ12тш^1ын<еякЬй2^ B4

Рис. П.1. Главное окно программы ExcelРис. П.1. Главное окно программы ExcelСтрелки прокруткиСтрелки прокруткиБегунокРис. П.2. Горизонтальная полоса прокруткиБегунокРис. П.2. Горизонтальная полоса прокрутки

Рис. П.1. Главное окно программы Excel

Рис. П.1. Главное окно программы Excel

Стрелки прокрутки

Стрелки прокрутки

Бегунок

Рис. П.2. Горизонтальная полоса прокрутки

Бегунок

Рис. П.2. Горизонтальная полоса прокрутки

Строка меню занимает вторую строчку основного окна и содержит команды меню, упорядоченные по функциональному признаку,

Под строкой меню находятся так называемые панели инструментов Стандартная и Форматирование. Кнопки на этих панелях предназначены для более быстрого выполнения команд по сравнению с выбором из меню, Ниже панелей инструментов находится Строка формул, предназначенная для ввода текста, чисел и формул в ячейки таблицы.

Таблица в Excel называется рабочим листом. Один файл Excel может содержать несколько рабочих листов и называется рабочей книгой. Для выбора нужного рабочего листа в нижней части окна находятся ярлычки рабочих листов. Выбор листа осуществляется щелчком мыши на нужном ярлычке.

Справа и снизу рабочей таблицы находятся вертикальная и горизонтальная полосы прокрутки, состоящие из стрелок прокрутки и бегунка (рис, П.2).

Открытие таблицы

Открытие таблицы Excel осуществляется одним из следующих способов:

С помощью кнопки Открыть S на панели инструментов Стандартная;

С помощью команда Открыть в меню Файл.

Создание новой рабочей книги

Два способа создания новой рабочей книги:

В меню Файл выбрать команду Создать;

Щелкнуть на кнопке Создать П на панели инструментов Стандартная.

Ввод данных

Ввод может осуществляться только в активную ячейку. Активная ячейка — это ячейка, выделенная указателем ячейки (табличным курсором). Смена активной ячейки производится с помощью клавиш управления курсором (стрелок) или мыши.

Ввод информации в активную ячейку выполняется в Строке формул и заканчивается нажатием клавиши Enter.

Для удаления содержимого ячейки необходимо установить табличный курсор на интересующую ячейку и нажать клавишу Delete.

Выделение блока ячеек

Для выделения блока ячеек необходимо указатель мыши установить в левом верхнем углу блока, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская, переместить указатель в правый нижний угол блока ячеек. Отпустить левую кнопку.

Построение диаграмм

Ввести данные в таблицу.

На панели инструментов нажать кнопку Мастер диаграмм.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4) указать тип диаграммы.

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4) выбрать вкладку Диапазон и в поле Диапазон указать интервал данных. Указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Выбрать вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей. Нажать на кнопку Далее.

В окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4) ввести заголовок диаграммы и названия осей. . Выбрать вкладку Легенда и указать необходима ли легенда (расшифровка кривых). Нажать на кнопку Далее.1

В окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4) указать место размещения диаграммы.

Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид, нажать на кнопку Готово. В противном случае нажать на кнопку Назад и изменить установки.1

Редактирование диаграмм.

Для редактирования диаграммы необходимо выделить ее как объект — щелкнуть левой кнопкой мыши в поле диаграммы. Щелкнув правой кнопкой мыши в поле диаграммы на соответствующем элементе, можно вызвать контекстное меню, содержащее пункты, относящиеся к редактированию этого Элемента.

Например, тип диаграммы можно изменить, если воспользоваться командой Тип диаграммы из контекстного меню, появляющегося после щелчка правой кнопкой мыши в белом поле диаграммы.

Копирование■

Общий способ .

Установить табличный курсор в ячейку, содержащую копируемую информацию (источник), или выделить соответствующий блок ячеек.

Нажать кнопку Копировать на панели инструментов.

На рабочем листе с помощью мыши выделить блок (ячейку), в который будет осуществляться копирование.

Нажать кнопку Вставить на панели инструментов. "

Копирование протягиванием

В тех случаях, когда копирование необходимо осуществлять в соседние с источником ячейки, удобнее воспользоваться методом протягивания. Для этого курсор устанавливается в ячейку-источник и за правый нижний угол курсора мышью при нажатой левой кнопке осуществляется протягивание до последней ячейки блока, в который производится копирование. Обычно таким образом копируют формулы.

Автозаполнение

Автозаполнениел! можно создавать последовательности данных в виде арифметической прогрессии. Для этого в две соседние ячейки вводят первый и второй члены арифметической прогрессии. Затем, выделив блок указанных ячеек, протягиванием получают все требуемые значения арифметической прогрессии (за правый нижний угол выделенного блока протягивают до ячейки, содержащей последний член прогрессии).■

Автосуммирование

Установить табличный курсор в ячейку, в которой должна находиться сумма.

Указателем мыши нажать кнопку Автосумма на панели инструментов.

, Если указываемый пунктиром блок соответствует требуемому диапазону суммирования, нажать-клавишу Enter. В противном случае с помощью указателя мыши выделить требуемый блок и нажать клавишу Enter.

Ввод математических формул

Ввод формулы должен начинаться со знака = (равно). Все записи в формулах должны осуществляться латинскими буквами (для переключения языка нажать комбинацию клавиш Alt+Shift или Ctrl+Shift). В формулах используются знаки: + (сложение), - (вычитание), * (умножение),/ (деление), л (возведение в степень), а также специальные функции (кнопка Вставка функции (fx) на панели инструментов Стандартная). Для задания очередности операций используются круглые скобки ().

Копирование формул

Копирование формул осуществляется аналогично обычной процедуре копирования. При этом происходит автоматическое изменение адресации ячеек, то есть результат в очередной ячейке вычисляется для данных, полученных из новых ячеек (обычно соседних с исходными). Если необходимо, чтобы адрес какой-то ячейки в формуле оставался неизменным, то перед буквой и цифрой адреса ячейки ставится знак $. Например, $G$23.

Печать результатов

Печать всего рабочего листа:

перед печатью необходимо убедиться, что содержание и форма выводимого документа имеют требуемый вид. Для этого на панели инструментов с помощью мыши нажать кнопку Предварительный просмотр;

) в случае если документ удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям, на панели инструментов нажать кнопку Печать;

в появившемся диалоговом окне печати нажать кнопку ОК.

Печать фрагмента рабочего листа:

выделить блок интересующего фрагмента с помощью мыши;

- Открыть: раздел меню Файл, выбрать пункт Область печати И подпункт Задать;

далее перейти к Нункту 1.1.1

Печать одной диаграммы:

активизировать интересующую диаграмму;

далее перейти к пункту 1.1.

Форматирование рамки таблицы

Выделить блок ячеек, вдоль границ которых должна быть проведена линия.

С помощью мыши на панели инструментов Форматирование нажать стрелку справа от кнопки Границы.

В открывшемся меню выбрать местоположение и тип рамки.

Щелкнуть левой кнопкой мыши.

Если рамка сформирована не полностью, повторить процедуру, начиная с п. 1.

Для удаления рамки следует выделить соответствующий блок ячеек, повторить п. 2 и в открывшемся меню выбрать вариант без рамки (левый верхний квадрат).

Работа с простейшими базами данных

Простейшая база данных (список данных) — это таблица, строки (записи) которой содержат однотипную информацию. Первая строка таблицы должна содержать имена столбцов (полей).

Просмотр списка данных может осуществляться при помощи клавиш управления курсором (стрелки, PgUp, PgDn).

Для работы со списками используются команды меню Данные:

О Сортировка — осуществляет сортировку списка. Открывает диалоговое окно Сортировка диапазона, в котором можно выбрать до трех полей сортировки (по возрастанию или по убыванию). После нажатия кнопки ОК вначале выполняется сортировка по первому полю, затем в тех позициях, где в первом поле были одинаковые значения, происходит сортировка по второму полю и затем, аналогично, по третьему полю.

О Фильтр — осуществляет выбор из списка указанного набора записей. Режим автофильтрации позволяет проводить отбор записей, удовлетворяющих заданному критерию. Для фильтрации необходимо выполнить следующие действия:

переместить курсор в любое место списка;

в подменю команды Фильтр выбрать режим Автофильтр;

щелкнуть мышью на одной из появившихся кнопок списков столбцов;

в появившемся списке значений выбрать нужное значение.

Отмена результатов фильтрации осуществляется выбором значения Все в списке столбца.

О Форма — окно формы данных используется для просмотра, ввода и обработки данных. Окно позволяет вести поиск записей по заданному критерию, дополнять список новыми записями, удалять ненужные, а также редактировать данные.

О Итоги — позволяет вычислять промежуточные итоги по заданному столбцу. Для подведения итогов необходимо выполнить следующие действия:

расположить табличный курсор в любое место списка;

выполнить сортировку списка по заданному столбцу (см. Сортировка);

выбрать команду Итоги из меню Данные;

заполнить диалоговое окно Промежуточные итоги.

Отмена действий

Для отмены действий используются кнопки Отменить — и Вернуть J2LU на панели инструментов Стандартная.

Сохранение результатов

Первичное сохранение:

Кнопка Сохранить В! на панели инструментов Стандартная.

Команда Сохранить как в меню Файл.

Текущее сохранение:

Кнопка Сохранить на панели инструментов Стандартная.

Команда Сохранить в меню Файл.

Рекомендуемая универсальная последовательность действий:

1.

2.

3.

Открыть меню Файл.

Выбрать пункт меню Сохранить как.

В появившемся диалоговом окне указать диск, папку и в поле Имя файла ввести имя файла.

Закрытие рабочей книги

Для закрытия рабочей книги используется кнопка Закрыть х|на панели инструментов Стандартная или команда Закрыть в меню Файл.

Завершение работы

Для завершения работы и закрытия приложения Excel необходимо нажать кнопку в правом верхнем углу экрана.

В случае появления диалогового окна с предложением сохранить данные — при необходимости сохранить их. В противном случае нажать кнопку Нет.

Получение справочной информации

Возможны следующие варианты получения справочной информации:

Всплывающие подсказки.

Контекстное меню (правая кнопка мыши).

Помощник.

Справочная информация.

Сообщения об ошибках

#ДЕЛ/ОI — попытка деления на ноль.

#ИМЯ? — имя функции задано неверно.

#Н/Д — нет данных в ячейке.

#4 ИСЛО! — проблема с числовым значением (например, ячейка содержит отрицательное число вместо положительного).

Ответы и решения к упражнениям

Глава 1. Аналитическая геометрия

Указание: у = 2, далее в соответствии с Примером 1.1 (в ячейку А2 ввести значение —3, в АЗ — значение -2,5, в В2 — значение 2).

Указание: у = х (в ячейку В2 ввести =А2).

Указание: у = (4 - Зх)/2.

Указание: из уравнения прямой в отрезках находим у = (6 - 2х)/3.

Указание: из уравнения прямой, проходящей через две точки, находим у = = 3/2х.■

Указание: из уравнения прямой, проходящей через две точки, находим у = 3 - х/2.

Указание: используется уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: у -у\ = к(х - х,). Поэтому в данном случае решение будет следующим:

■у - 2 = 3/5(х- 1);

г/- 2 = 3/5х-3/5;

5у - 10 = Зх- 3;

-Зх + 5г/ - 7 = 0.

Указание: здесь используется уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

у - у, _ х - х. , х - 3 _ у + 7 _ х - 3 _ у - 7

у2 ~ У1 *2 ~ xi ’ ~2 - 3 4 + 7 ’ -511

Получается: 11х - 33 = -5у - 35 или 11х + 5г/ + 2 = 0.

Указание: у = 0,бх + 3.

10.10.Указание: прямая £: I: у =Указание: прямая £: I: у =2х + 132х + 13212= — х + -; следовательно, Kt = -212= — х + -; следовательно, Kt = -

10.

10.

Указание: прямая £: I: у =

Указание: прямая £: I: у =

2х + 1

3

2х + 1

3

212

= — х + -; следовательно, Kt = -

212

= — х + -; следовательно, Kt = -

Далее используется уравнение прямой с заданным коэффициентом, проходящей через данную точку.

И. Указание: прямая t — это прямая, проходящая через точку А. Используйте угловой коэффициент, который можно вычислить, исходя иэ условия параллельности i и ВС:

BC:»±3=£^; ti,^ Зу+9 = х-1;

2+3 4-113

х-Зг/-10 = 0 илих-Зг/-10 = 0 илих-10 1 10 у == — х;* 3 3 3х-10 1 10 у == — х;* 3 3 3

х-Зг/-10 = 0 или

х-Зг/-10 = 0 или

х-10 1 10 у == — х;

* 3 3 3

х-10 1 10 у == — х;

* 3 3 3

11

= -, значит, К, = -;

“с 3f 3

1:г/ + 0 = |(х + 4); У = |х + |.

Указание: у = Vx (использовать функцию КОРЕНЬ), в остальном — в соответствии с решением Примера 1.2.

Указание: решение аналогично примеру 1.3.

Указание: у = Vl-x2/4.

Указание:

г/= Тбх ;

у = 1/8x2.

Указание:

у = VOx ;

у = -х2.

Указание: у = >/б, 25 - (х- 1,25)2.

Указание: г/2 =3.

а 4

Указание: г/2 = 8(х + 2).

х = 0,6, у ~ -0,2.

х = 1,2, у =1,55.

х = Х,у= 1,73.

х = 1,8, у = 0,8.

26.26.Указание: 2 = 2, остальное в соответствии с решением примера 1.8.

26.

26.

Указание: 2 = 1- — -—. 3 2

Указание: г = 4-х.

и2

Указание: 2 = J4(l- — --^-), остальное в соответствии с решением примера 1.9.

Указание: 2 = ,14(-1+ — + —).

V 4 9

Указание: 2 = — + —.

8 18

Указание: 2 = ,/4(— + —).

V 49'

Глава 2. Линейная алгебра

1. (32).

Ч 8 12'

5 10 15

6 12 18

0.

(2 3 5)

С = 4 1 3

7 2 0

V 7

5.5.'0,3965520,034483'0,3965520,0344830,224138V0,224138V0,2758620,017241'0,241379 -0,172410,068966 -0,120690,2758620,017241'0,241379 -0,172410,068966 -0,12069'1,01,11£-160,0V'1,01,11£-160,0V1,11022£ -161,66533£-16'1,0-5,55112£-17-5,55112£-171,01,11022£ -161,66533£-16'1,0-5,55112£-17-5,55112£-171,0(230'210330V 7(230'210330V 713. (4;2;1)14. (1;2;-1;-2)15. (5;6;10).13. (4;2;1)14. (1;2;-1;-2)15. (5;6;10).

5.

5.

'0,396552

0,034483

'0,396552

0,034483

0,224138

V

0,224138

V

0,2758620,017241'

0,241379 -0,17241

0,068966 -0,12069

0,2758620,017241'

0,241379 -0,17241

0,068966 -0,12069

'1,0

1,11£-16

0,0

V

'1,0

1,11£-16

0,0

V

1,11022£ -161,66533£-16'

1,0-5,55112£-17

-5,55112£-171,0

1,11022£ -161,66533£-16'

1,0-5,55112£-17

-5,55112£-171,0

(230'

210

330

V 7

(230'

210

330

V 7

13. (4;2;1)

14. (1;2;-1;-2)

15. (5;6;10).

13. (4;2;1)

14. (1;2;-1;-2)

15. (5;6;10).

х = 0, у = 2

22 х = -1,у = О,2 — 1

23. х — 1,3, у = 1,7, z = -О,1

Глава 3. Задачи оптимизации

х» 1,570632.

х,» 1,000051, х> = 0,499928.

х, = 0,382176, хг = -0,00055, х3 = 2,618039.

Построение целевой функции и ограничений к задаче.

1-й этап. Условия этой задачи можно представить в виде таблицы:

Б

Ж

У

Стоимость 1 ед.

1 корм

21

2

4

3

2 корм

3

2

2

2

Всего

>6

>8

>12

min

Оптимальный рацион питания представляет собой необходимое количество первого и второго кормов, то есть два числа.

2-й этап. Пусть х — количество первого корма, у — количество второго корма. 3-й этап. Целевая функция Z=3x+2y —> min выражает стоимость рациона.

4-й этап. Составляем систему уравнений:

х > 0, г/>0, 21х + Зг/ > 6, 2х + 2г/ > 12, 4х + 2г/ > 12.

Например: 21х + Зг/ — это количество белка, которое получит животное, съев х единиц первого корма и у единиц второго корма и т. п.

Ответ. Оптимальный рацион: 2 единицы первого корма и 2 единицы второго.

Построение целевой функции и ограничений к задаче.

1-й этап. Для усвоения задачи удобно нарисовать такую схему:

320v .200

>^280380-^^220

Неизвестно 6 величин, означающих, сколько продукции надо перевезти с каждого предприятия в каждый магазин.

2-й этап. Пусть:

х( — количество продукции, перевозимое с предприятия А в магазин № 1, х2 — количество продукции, привозимое с предприятия А в магазин № 2, х3 — количество продукции, привозимое с предприятия А в магазин № 3, х4 — количество продукции, перевозимое с предприятия В в магазин № 1, х5 — количество продукции, привозимое с предприятия В в магазин № 2, х6 — количество продукции, привозимое с предприятия В в магазин № 3.

Далее решение осуществляется аналогично Примеру 3.4.

Ответ. Оптимальный план перевозок можно записать так:

Предприятие

Магазин №1

№2

№3

А

200

120

0

В

0

160

220

Необходимо сшить 70 женских костюмов, 80 — мужских.

Построение целевой функции и ограничений к задаче.

2-й этап. Пусть х — количество первой продукции, ау — второй.

3-й этап. Z=20xx + 20xz/—»min.

4-й этап. Система ограничений

х > 0,

■ 4х + 2г/ < 16,х + Зг/ < 9,2х + Зг/ < 12.

Ответ. Оптимальный план: 3 единицы первой продукции и 2 единицы второй.

Целесообразно выпустить 7 единиц первой продукции и 0 единиц — второй.

г/ = 0,202х+ 1,024.

Для СССР - у = ОДЗх2 + 0,82х + 2,81, для США - у = 0,18г2 + 0,09х + 2,81.

И. г/ = 4,1359е°'404х, Я2 = 0,9953.

г/= 3 + O.Olx, - 0,05х2; .R2 = 1.

Расчетные значения интенсивности излучения у.

X,х2

У

00

01

03

2000

2001

99,70907

91,53722

77,14785

1,812644

1,664086

Л И Н ЕЙ Н (E2:E12;A2:D 12;TRUE;TRUE)

у = 27,6ix Xi + 12530 хх2 + 2553 хх3 + 234,24 хх4 + 52318.

158261 руб.

Глава 4. Элементы математического анализа

При цене/? = 2 скорость изменения спроса равна 11,1235.

Скорость

Объев производства

метод прямоугольников — 2,1; метод трапеций — 2;

метод прямоугольников — 0,489261; метод трапеций — 0,405927.

261 796,1.

4; 7; 10; 13; 16.

1 048 575.

2; 5; 12,5; 31,25; 78,125; 195,3125; 488,2813.

0,875.

7,016334.

3007,26.

И. 7604,38.

Частота

аЬ

0

0,981748

1,963495

2,945243

3,926991

4,908739

-0,00152

0,0552290,988658

-0,0044-0,02481

-0,00393-0,01362

-0,0038-0,00944

-0,00374-0,00713

Частота

аЬ■

5,890486

6,872234

7,853982

8,835729

9,817477

10,79922

11,78097

12,76272

13,74447

14,72622

-0,00371-0,00563

-0,0037-0,00455

-0,00369-0,00372

-0,00368-0,00304

' , -0,00367-0,00247-

-0,00367-0,00197

-0,00367-0,00153

-0,00367-0,00112

-0,00366-0,00073

-0,00366-0,00036

Полученные значения совпадают со значениями функции у = sinj'Ar из упражнения 12.

2 +5г.

6-2г.

-3;8.

2 = 6,4031242(cos2,4668517 + z"sin2,4668517).

-0,2 + г'1,6.

2 + гЗ.

2,2806933416653 + 1,096157889501521

2,66667 - г’0,8.

0,615224460689137 - 0,1063928815800331.

0,255960567063808 + 0,251722503769581.

-31,1138794580373 + 20,62780307085081.

Глава 5. Теория вероятностей

Т77 = 7! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 = 5040.

Л8 = 8! = 7! х 8 = 40320.

77д = 9! =81x9 = 362880.

П 71

К == -—- = 4*5*6*7 = 840;

3! 3!*2!

К = П6 - П5 = 720 - 120 = 600 — где П5 — количество слов, начинающихся с «ь».

53 130.

5005.

8.

Размещения, так как 798 и 987 — это разные числа.

9.

10.

„ИЗ 10! ыЛ и2 9!

Всего вариантов До =Начинающихся с 0: Д = —.

Ответ: количество чисел, не начинающихся с 0: Д30 - Л^ = 648.

126.

И. 55 440.

0,367185.

0,012.

0,350083.

0,20261.

16.

1/24;

1/6.

17. 60.

9.

^ = 120.

С225 = 300.

Математическое ожидание — 2,74444; стандартное отклонение — 2,321451.

1.

5,389136.

БИН0МРАСП(6; 1О;О„5;ЛОЖЬ) равняется 0,205078.

32. 0,878.

КРИТБИН0М(6;0,5;0,75) равняется 4.

Н0РМРАСП(42;40; 1,5;ИСТИНА) равняется 0,908789.

Н0РМ0БР(0,908789;40; 1,5) равняется 42.

0,666667.

6,57; 5,63; 4,66.

ЭКСПРАСП(0,2;У0;77СГИНЛ) равняется 0,864665.

РРАСП0БР(0,0У;6;4) равняется 15,20675.

СТЬЮДРАСП(Л96;60;2) равняется 0,054645 или 5,46%.

4,528001; 3,402722; 5,385937; 6,596423; 6,538438; 6,833857; 3,057985; 4,629688; 6,452986; 3,554338.

4; 2; 5; 5; 5; 5; 2; 4; 5; 3.

Указание: входной интервал значений и вероятностей.

0,4

0,2

0,2

0,2

Глава б. Статистика

2 ij 45 6 ~7 " Т ’9 10 Яд 12 j2 ij 45 6 ~7 " Т ’9 10 Яд 12 jВ с ойКерман Частота Интегральный %В с ойКерман Частота Интегральный %167171175179Еще167171175179Еще1.51зТ6*5"1.51зТ6*5"5,00% 30,00% 45 00%75,00%100,00%5,00% 30,00% 45 00%75,00%100,00%ГистограммаГистограмма150,00% 100,00% 50,00% ,00%150,00% 100,00% 50,00% ,00%167171 175179Еще167171 175179ЕщеКарманКарман^ж Частота—•— Интегральный%^ж Частота—•— Интегральный%

2 ij 4

5 6 ~7 " Т ’

9 10 Яд 12 j

2 ij 4

5 6 ~7 " Т ’

9 10 Яд 12 j

В с ой

Керман Частота Интегральный %

В с ой

Керман Частота Интегральный %

167

171

175

179

Еще

167

171

175

179

Еще

1.

51

зТ

6*

5"

1.

51

зТ

6*

5"

5,00% 30,00% 45 00%

75,00%

100,00%

5,00% 30,00% 45 00%

75,00%

100,00%

Гистограмма

Гистограмма

150,00% 100,00% 50,00% ,00%

150,00% 100,00% 50,00% ,00%

167171 175179Еще

167171 175179Еще

Карман

Карман

^ж Частота

—•— Интегральный

%

^ж Частота

—•— Интегральный

%

Баллы введены в диапазон А1:А9, интервалы в диапазон С4:Сб, тогда ответ получаем с использованием функции ЧАСТ0ТА(Л/:А9;С4:С6). Ответ: {0:2:5:2}.

Гистограмма

10 т-г'50,00%10 т-г'50,00%345 ЕщеКарман ,345 ЕщеКарман ,^ш1 1астота-а- Интегральный %^ш1 1астота-а- Интегральный %

10 т-г'50,00%

10 т-г'50,00%

345 Еще

Карман ,

345 Еще

Карман ,

^ш1 1астота

-а- Интегральный %

^ш1 1астота

-а- Интегральный %

Среднее — 13,083333; стандартное отклонение — 0,248328.

30,8; 30,5; 35; 9,9555556; 3,1552426.

164,5; 160.

0,897391;-0,00769.

1.

1"

Стоп6ец1

С

2

3

Среднее

1571429

4

Стандартная ошибка

0,860798

6

Медиана

15,5

8

Мода

16

7

Стандартное отклонение

3,220811

8

Дисперсия выборки

10,37363

9

Эксцесс

1,2402

10

Асимметричность

0,606819

11

Интервал

13

12

Минимум

10

13

Максимум

23

14

Сумма

220

15

Счет

14

Выходит за границы 95% интервала.

±0,673887.

р = 0,09346 (по критерию хи-квадрат). Гипотеза о нормальности распределения не отвергается.

р = 0,005018 (по критерию Стьюдента). Различия достоверны.

Расчетная таблица ожидаемых ответов.

Да

Нет

Не помню

Мужчины

45,35

17,56

16,09

Женщины

47,65

18,44

16,91

Значение ХИ2TECT(BJ?;C5;BP:C7 7) равняется 0,000308. Различия достоверны.

ЗначениеШСТ(У;4;5;8;9;1;2;4;^6;19^^равняется0,196016.

Различия недостоверны.

Значение ФТЕСТ({6;7;9;75;2 7};{20;28^7;38;40}) равняется 0,648318. Не имеют.

-

Е

* Двухвыборочный 1-тест с различными дисперсия 2!

МИJ

3

беременная

беременная 2

4 Среднее

79,8333333

73,16666667.:

: 5' 1 Дисперсия

242.166667

368,5666667;

6 Наблюдения

6

6i

7 Гипотетическая разность средних

0

ЛдбГ

10

9 1-статистика

0,66078253

10 PJ<=t; одностороннее, 11 t критическое одностороннее

0,26184096 1.81246151

12 P(T<=t) двухстороннее

0,52368192

13 t критическое двухстороннее

2,22813924

р = 0,523682, различия недостоверны.

1 фарный двухвыборочный t-тест для средних i

3'Переменная 1\Переменная 2

4 ^Среднее

79,9

83,3

6 fДисперсия

71,87777778

58,67777778

6 !Наблюдения

7 'Корреляция Пирсона

10

0,761861515

10

8 "ипотетическая ревность средних

0

9 Idf

9

10't-статистика

-1,91264943

11 ,P(T<=t) одностороннее

0,044043629

12it критическое одностороннее

1,833113856

13 P(T<=t) двухстороннее

0,088087258

14 |t критическое двухстороннее

2,262158887

р = 0,088087, различия недостоверны.

19.19.гг^7Т77Г&1737~2ЛГ1Г7137сЗПЛ^

19.

19.

г

г

1 Юднофакторный дисперсионный анализ 2di i ;

3 И'СГЙ” 1 I

4 й ГруппыхСтрока 1?з Строка 2■ Стоска 3814 й ГруппыхСтрока 1?з Строка 2■ Стоска 381Счет : Сумма , Среднее Дисперсия б1 14600^ 2433,333 Г 338666,7Счет : Сумма , Среднее Дисперсия б1 14600^ 2433,333 Г 338666,76i 120006?111006i 120006?111002000j 100000;1850- iodod’2000j 100000;1850- iodod’9ДiШзДисперсионный анализ 13аИсточник вариации. SS9ДiШзДисперсионный анализ 13аИсточник вариации. SSdidiMSMS12g Между группами13 Внутри групп14318 Итого12g Между группами13 Внутри групп14318 Итого1101111228833311011112288333F Р-Значениер критическоеF Р-Значениер критическое2 : 550555,6 ; 3,608886 0,0525328 3,682316674фГ 152555,67"7'.7 J2 : 550555,6 ; 3,608886 0,0525328 3,682316674фГ 152555,67"7'.7 J338944433894441717

4 й Группы

хСтрока 1

?з Строка 2

■ Стоска 3

81

4 й Группы

хСтрока 1

?з Строка 2

■ Стоска 3

81

Счет : Сумма , Среднее Дисперсия б1 14600^ 2433,333 Г 338666,7

Счет : Сумма , Среднее Дисперсия б1 14600^ 2433,333 Г 338666,7

6i 12000

6?11100

6i 12000

6?11100

2000j 100000;

1850- iodod’

2000j 100000;

1850- iodod’

9Дi

ШзДисперсионный анализ 13аИсточник вариации. SS

9Дi

ШзДисперсионный анализ 13аИсточник вариации. SS

di

di

MS

MS

12g Между группами

13 Внутри групп

143

18 Итого

12g Между группами

13 Внутри групп

143

18 Итого

1101111

2288333

1101111

2288333

F Р-Значениер критическое

F Р-Значениер критическое

2 : 550555,6 ; 3,608886 0,0525328 3,682316674

фГ 152555,67"7'.7 J

2 : 550555,6 ; 3,608886 0,0525328 3,682316674

фГ 152555,67"7'.7 J

3389444

3389444

17

17

р-Значение = 0,052533 > 0,05. Влияние фактора недостоверно.

Ввести данные в рабочую таблицу. Открываем новую рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Рождаемость. Затем в ячейки А2:А7 — соответствующие значения рождаемости. Аналогично в ячейки В1:В7 вводим слово Смертность и значения смертности населения. Затем вычисляется значение коэффициента корреляции между выборками. Для этого табличный курсор устанавливается в свободную ячейку (А8). На панели инструментов необходимо нажать кнопку Вставка функции (fx). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выбрать категорию Статистические и функцию КОРРЕЛ, после чего нажать на кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно КОРРЕЛ за серое поле мышью отодвинуть вправо на 1-2 см от данных (при нажатой левой кнопке). Указателем мыши ввести диапазон данных рождаемости в поле Массив 1 (А2:А7). В поле Массив 2 ввести диапазон данных смертности (В2:В7). Нажать на кнопку 0К. В ячейке А8 появится значение коэффициента корреляции0,68456. Значение коэффициента корреляции по абсолютной величине больше чем 0,6. Значит можно говорить о том, что между рождаемостью и смертностью населения в С.-Петербурге имеется некоторая обратная линейная взаимосвязь (г=-0,68456), Это позволяет предположить зависимость снижения рождаемости и увеличения смертности в С.-Петербурге от одних и тех же факторов.

21.21.. А . , , В [ . С „ В . i

21.

21.

■Столбец "(Столбец 2Стопбец 3

3 ^Столбец 1

3 4Столбец2 0,989343

4 (Столбец 3: -0 904632 -0 315172:

3 = В х 56,42857 - 175 (3 — зарплата, В — возраст).

]ВЫВОДИТОГОВ !Г!:::

21iii!

. i Регрессионная статистика :i;, ::

Множественный Ri 0,9753714:1: ":

R-квадратi 6,9513493: |i; ::

Нормированный R-квадрат: 6,9351324: :] ':

.Стандартная ошибка: 0,1063757:!ii

Наблюдения:::

ii1;;

^Дисперсионный анализ :]■>::

j• df ■SSMSF 'Значимость Fi

-12 (Регрессияi 21,327660819 0,663830409 - 66 66403 0,000115^i’

О Остаток!61O',667894737 Г' O’Ol'i 315789!!!i

14 (Итого]Bf1,395555556-;i:

16 jКозффициен^анаертная оши^-статистика^-Значениг Нижние 95% .ерхние 95%17 Y-пересеченив: -8,1951524:1,302495155--6,291887016 0,000751-11,38224552: -5,00806:'*1В1Переменная Х iГ’б,3296399!6,700576416]' 9,634902899'"6",ОбОЮЗ:""4 615389901 -"" 8,04389:"19 Ьегеменная X 2:’ 6,10бб925Г"' 6,014701027^6,84935281'2" ’6’,0004760,6б4720377: 0,136665]16 jКозффициен^анаертная оши^-статистика^-Значениг Нижние 95% .ерхние 95%17 Y-пересеченив: -8,1951524:1,302495155--6,291887016 0,000751-11,38224552: -5,00806:'*1В1Переменная Х iГ’б,3296399!6,700576416]' 9,634902899'"6",ОбОЮЗ:""4 615389901 -"" 8,04389:"19 Ьегеменная X 2:’ 6,10бб925Г"' 6,014701027^6,84935281'2" ’6’,0004760,6б4720377: 0,136665]*15(ii i

16 jКозффициен^анаертная оши^-статистика^-Значениг Нижние 95% .ерхние 95%

17 Y-пересеченив: -8,1951524:1,302495155--6,291887016 0,000751-11,38224552: -5,00806:'

*1В1Переменная Х iГ’б,3296399!6,700576416]' 9,634902899'"6",ОбОЮЗ:""4 615389901 -"" 8,04389:"

19 Ьегеменная X 2:’ 6,10бб925Г"' 6,014701027^6,84935281'2" ’6’,0004760,6б4720377: 0,136665]

16 jКозффициен^анаертная оши^-статистика^-Значениг Нижние 95% .ерхние 95%

17 Y-пересеченив: -8,1951524:1,302495155--6,291887016 0,000751-11,38224552: -5,00806:'

*1В1Переменная Х iГ’б,3296399!6,700576416]' 9,634902899'"6",ОбОЮЗ:""4 615389901 -"" 8,04389:"

19 Ьегеменная X 2:’ 6,10бб925Г"' 6,014701027^6,84935281'2" ’6’,0004760,6б4720377: 0,136665]

Уравнение регрессии У = -8,195 + 6,330Х( + 0,101Х2.

R1 = 0,95 — модель обладает высокой точностью.

Модель значима — значимость критерия F= 0,0001 « 0,05.

5,6109.

a = 12,078, b = 328,32, у = 12,078х + 328,32.

Рекомендуемая литература

ДоджМ., Стинсон К. Эффективная работа: Microsoft Excel 2002. СПб.: Питер, 2003.

Гельман В. Я. Практикум по математике на компьютере. СПб.: СПИГ, 2001.

Маркович Э. С, Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1987,

Высшая математика для экономистов / Ред. Н. Ш. Кремер. М.: Банки и биржи, 1999.

Экономическая информатика / Ред. П. В. Конюховский, Д. Н. Колесов. СПб.: Питер, 2000.

Лапач С. Н., Чубенко Л. В., Бабич П. Н. Статистические методы в медико-биологических исследованиях с использованием Excel. Киев: Морион, 2001.

Пикуза В., Геращенко А. Экономические и финансовые расчеты в Excel: Самоучитель. СПб.: Питер, 2002.

КНИГА-ПОЧТОЙКНИГА-ПОЧТОЙ

КНИГА-ПОЧТОЙ

КНИГА-ПОЧТОЙ

ЗАКАЗАТЬ КНИГИ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА «ПИТЕР» МОЖНО ЛЮБЫМ УДОБНЫМ ДЛЯ ВАС СПОСОБОМ:

по телефону: (812) 387-01 -04;

по электронному адресу: postbook@piter.com;

на нашем сервере: www.piter.com;

по почте: 197198, Санкт-Петербург, а/я 619 ЗАО «Питер Пост».

ВЫ МОЖЕТЕ ВЫБРАТЬ ОДИН ИЗ ДВУХ СПОСОБОВ ДОСТАВКИ И ОПЛАТЫ ИЗДАНИЙ:

^ Наложенным платежом с оплатой заказа при получении посылки на ближайшем почтовом отделении. Цены на издания приведены ориентировочно и включают в себя стоимость пересылки по почте (но без учета авиатарифа). Книги будут высланы нашей службой «Книга-почтой» в течение двух недель после получения заказа или выхода книги из печати. Оплата наличными при курьерской доставке (для жителей Москвы и Санкт-Петербурга). Курьер бесплатно доставит заказ по указанному адресу в удобное для вас время в течение трех дней. Такой заказ лучше оформлять по телефону.

ПРИ ОФОРМЛЕНИИ ЗАКАЗА УКАЖИТЕ:

фамилию, имя, отчество, телефон, факс, e-mail;

почтовый индекс, регион, район, населенный пункт, улицу, дом, корпус, квартиру;

название книги, автора, код, количество заказываемых экземпляров.

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМВы можете заказать бесплатный журнал «Клуб Профессионал».

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ

ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА «ПИТЕР»предлагают эксклюзивный ассортимент компьютерной, медицинской,психологической, экономической и популярной литературыРОССИЯМоскваЕкатеринбургПредставительство издательства «Питер»Представительство издательства «Питер»ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА «ПИТЕР»предлагают эксклюзивный ассортимент компьютерной, медицинской,психологической, экономической и популярной литературыРОССИЯМоскваЕкатеринбургПредставительство издательства «Питер»Представительство издательства «Питер»М. «Калужская», ул. Бутлерова, д. 176, офис 207, Телефакс (095) 777-54-67E-mail: sales@piter.msk.ruСанкт-ПетербургПредставительство издательства «Питер»М. «Выборгская», Б. Сампсониевский пр., д. 29аТел. (812) 103-73-73, факс (812) 103-73-82E-mail: sales@piter.comВоронежПредставительство издательства «Питер»Ул. Ленинградская, д. 138Тел. (0732) 49 68 86E-mail: piter-vrn@vmail.ruМ. «Калужская», ул. Бутлерова, д. 176, офис 207, Телефакс (095) 777-54-67E-mail: sales@piter.msk.ruСанкт-ПетербургПредставительство издательства «Питер»М. «Выборгская», Б. Сампсониевский пр., д. 29аТел. (812) 103-73-73, факс (812) 103-73-82E-mail: sales@piter.comВоронежПредставительство издательства «Питер»Ул. Ленинградская, д. 138Тел. (0732) 49 68 86E-mail: piter-vrn@vmail.ru240 Ул. Завокзальная, д. 4а, склад 10а Тел.(3432) 33-96-40E-mail: piter-ural@r66.ru'Нижний НовгородПредставительство издательства «Питер»Ул. Премудрова, д. 31аТел. (8312) 58-50-15, 58-50-25E-mail: piter@infonet.nnov.ruРостов-на-ДонуПредставительство издательства «Питер»Ул. Калитвинская, д. 17вТел. (8632) 95-36-31, (8632) 95-36-32 E-mail: jupiter@rost.ru240 Ул. Завокзальная, д. 4а, склад 10а Тел.(3432) 33-96-40E-mail: piter-ural@r66.ru'Нижний НовгородПредставительство издательства «Питер»Ул. Премудрова, д. 31аТел. (8312) 58-50-15, 58-50-25E-mail: piter@infonet.nnov.ruРостов-на-ДонуПредставительство издательства «Питер»Ул. Калитвинская, д. 17вТел. (8632) 95-36-31, (8632) 95-36-32 E-mail: jupiter@rost.ruСПЕЦИАЛИСТАМКНИЖНОГОБИЗНЕСА!

ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА «ПИТЕР»предлагают эксклюзивный ассортимент компьютерной, медицинской,психологической, экономической и популярной литературы

РОССИЯ

МоскваЕкатеринбург

Представительство издательства «Питер»Представительство издательства «Питер»

ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА «ПИТЕР»предлагают эксклюзивный ассортимент компьютерной, медицинской,психологической, экономической и популярной литературы

РОССИЯ

МоскваЕкатеринбург

Представительство издательства «Питер»Представительство издательства «Питер»

М. «Калужская», ул. Бутлерова, д. 176, офис 207, Телефакс (095) 777-54-67

E-mail: sales@piter.msk.ru

Санкт-Петербург

Представительство издательства «Питер»

М. «Выборгская», Б. Сампсониевский пр., д. 29а

Тел. (812) 103-73-73, факс (812) 103-73-82

E-mail: sales@piter.com

Воронеж

Представительство издательства «Питер»

Ул. Ленинградская, д. 138

Тел. (0732) 49 68 86

E-mail: piter-vrn@vmail.ru

М. «Калужская», ул. Бутлерова, д. 176, офис 207, Телефакс (095) 777-54-67

E-mail: sales@piter.msk.ru

Санкт-Петербург

Представительство издательства «Питер»

М. «Выборгская», Б. Сампсониевский пр., д. 29а

Тел. (812) 103-73-73, факс (812) 103-73-82

E-mail: sales@piter.com

Воронеж

Представительство издательства «Питер»

Ул. Ленинградская, д. 138

Тел. (0732) 49 68 86

E-mail: piter-vrn@vmail.ru

240 Ул. Завокзальная, д. 4а, склад 10а Тел.(3432) 33-96-40

E-mail: piter-ural@r66.ru'

Нижний Новгород

Представительство издательства «Питер»

Ул. Премудрова, д. 31а

Тел. (8312) 58-50-15, 58-50-25

E-mail: piter@infonet.nnov.ru

Ростов-на-Дону

Представительство издательства «Питер»

Ул. Калитвинская, д. 17в

Тел. (8632) 95-36-31, (8632) 95-36-32 E-mail: jupiter@rost.ru

240 Ул. Завокзальная, д. 4а, склад 10а Тел.(3432) 33-96-40

E-mail: piter-ural@r66.ru'

Нижний Новгород

Представительство издательства «Питер»

Ул. Премудрова, д. 31а

Тел. (8312) 58-50-15, 58-50-25

E-mail: piter@infonet.nnov.ru

Ростов-на-Дону

Представительство издательства «Питер»

Ул. Калитвинская, д. 17в

Тел. (8632) 95-36-31, (8632) 95-36-32 E-mail: jupiter@rost.ru

УКРАИНА

Харьков

Представительство издательства «Питер»

Ул. Энгельса, д. 29а, офис 610

Тел. (0572) 23-75-63, (0572) 28-20-04, (0572) 28-20-05, факс (0572) 14-96-09

E-mail: piter@tender.kharkov.ua

Киев

Представительство издательства «Питер»

Пр. Красных казаков, д. 6, корп. 1

Тел./факс (044) 490-35-68, 490-35-69 E-mail: office@piter- press, kiev. ua

БЕЛАРУСЬ

Минск

Представительство издательства «Питер»

Ул. Бобруйская д., 21, оф. 3

Тел/факс (37517) 226-19-53

E-mail: piterbel@tut.by

МОЛДОВА

Кишинев

«Ауратип-Питер»

Ул. Митрополит Варлаам, 65, офис 345

Тел. (3732) 22-69-52, факс (3732) 27-24-82

E-mail: lili@auratip.mldnet.com

Ищем зарубежных партнеров или посредников, имеющих выход на зарубежный рынок.

Телефон для связи: (812) 103-73-73.

E-mail: grigorjan@piter.com

>^ Редакции компьютерной, психологической, экономической, юридической, медицинской, учебной и популярной (оздоровительной и психологической) литературы Издательского дома «Питер» приглашают к сотрудничеству авторов.

Обращайтесь по телефонам: Санкт-Петербург - тел.: (812) 103-73-72, Москва - тел.: (095) 234-38-15, 777-54-67.

УВАЖАЕМЫЕ ГОСПОДА!

КНИГИ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА «ПИТЕР»ВЫ МОЖЕТЕ ПРИОБРЕСТИ' ОПТОМ И В РОЗНИЦУ ■

У НАШИХ РЕГИОНАЛЬНЫХ ПАРТНЕРОВ.

Башкортостан

Уфа, «Азия», ул. Зенцова, д. 70 (оптовая продажа), маг. «Оазис», ул. Чернышевского, д. 88, тел./факс (3472) 50-39-00.

E-mail: asiaufa@ufanet.ru

Дальний Восток

Владивосток, «Приморский торговый дом книги», тел./факс (4232) 23-82-12.

E-mail: bookbase@mail.primorye.ru

Хабаровск, «Мирс», тел. (4212) 30-54-47, факс 22-73-30.

E-mail: sale_book@bookmirs.khv.ru

Хабаровск, «Книжный мир», тел. (4212) 32-85-51, факс 32-82-50.

E-mail: postmaster@worldbooks.kht.ru

Европейские регионы России

Архангельск, «Дом книги», тел. (8182) 65-41-34, факс 65-41-34.

E-mail; book@atnet.ru

Калининград, «Вестер», тел./факс (0112) 21-56-28, 21-62-07.

E-mail: nshibkova@vester.ru

http://www.vester.ru

Ростов-на-Дону, ПБОЮЛ Остроменский, пр. Соколова, д. 73, тел./факс (8632) 32-18-20.

E-mail: ostrom@don.sitek.net

Северный Кавказ

Ессентуки, «Россы», ул. Октябрьская, 424, тел./факс (87934) 6-93-09.

E-mail: rossy@kmw.ru

Сибирь'

Иркутск, «ПродаЛитЪ», тел. (3952) 59-13-70, факс 51 -30-70.

E-mail: prodalit@irk.ru

http://www.prodalit.irk.ru

Иркутск, «Антей-книга», • тел./факс (3952) 33-42-47.

E-mail: antey@irk.ru

Красноярск, «Книжный мир», тел./факс (3912) 27-39-71.

E-mail: book-world@public.krasnet.ru

Нижневартовск, «Дом книги», тел. (3466) 23-27-14, факс 23-59-50. E-mail: book@nvartovsk.wsnet.ru

Новосибирск, «Топ-книга», тел. (3832)36-10-26, факс 36-10-27.

E-mail: office@top-kniga.ru http://www.top-kniga.ru

Тюмень, «Друг», тел./факс (3452) 21-34-82.

E-mail: drug@tyumen.ru

Тюмень, «Фолиант», тел. (3452) 27-36-06, факс 27-36-11.

E-mail: foliant@tyumen.ru

Челябинск, ТД «Эврика», ул. Барбюса, д. 61, тел./факс (3512) 52-49-23.

E-mail :evrika@chel .surnet.ru

Татарстан

Казань, «Таис», тел. (8432) 72-34-55, факс 72-27-82.

E-mail: tais@bancorp.ru

Урал

Екатеринбург, магазин № 14, ул. Челюскинцев, д. 23, тел./факс (3432) 53-24-90.

E-mail: gvardia@mail.ur.ru ,

Екатеринбург, «Валео-книга», ул. Ключевская, д. 5, тел./факс (3432) 42-56-00.

E-mail: valeo@etel.ru

Е. Строганова И. Корнеев Ю. СуркисВ. Шендерова Е. Ваулина,О. Щербакова В. ШендероваИ. Смирнова А. Келле-ПеллеЕ. Строганова И. Корнеев Ю. СуркисВ. Шендерова Е. Ваулина,О. Щербакова В. ШендероваИ. Смирнова А. Келле-Пелле

Е. Строганова И. Корнеев Ю. Суркис

В. Шендерова Е. Ваулина,

О. Щербакова В. Шендерова

И. Смирнова А. Келле-Пелле

Е. Строганова И. Корнеев Ю. Суркис

В. Шендерова Е. Ваулина,

О. Щербакова В. Шендерова

И. Смирнова А. Келле-Пелле

Гельман Виктор Яковлевич

Решение математических задач средствами ExcelПрактикум

Главный редактор Заведующий редакцией Руководитель проекта Технический редактор Литературные редакторы

ХудожникКорректор

Верстка

Лицензия ИД № 05784 от 07.09.01.

Подписано в печать 14.11.02. Формат 70x100/16. Усл. п. л. 21,93.

Тираж 4000 экз. Заказ № 1860.

ООО «Питер Принт». 196105, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, д. 67в.

Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 953005 - литература учебная.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Печатный двор» им. А. М. ГорькогоМинистерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.

197110, Санкт-Петербург, Чкаловский пр., 15.

СЕРИЯ

УЧЕБНИК / ДЛ Я ВУЗОВ

СОЛИТЕР

В. Я. Гельман

Решение математических задач средствами Excel

ПРАКТИКУМ

СОЛИТЕР

Москва ■ Санкт-Петербург ■ Нижний Новгород ■ ВоронежРостов-на-Дону • Екатеринбург ■ СамараКиев • Харьков ■ Минск

2003

ББК 32.973.233я7

УДК 681.3.068(075)

Г32

Г32 Решение математических задач средствами Excel: Практикум /

В. Я. Гельман. — СПб.: Питер, 2003. — 240 с.: ил.

ISBN 5-94723-315-0

За последнее десятилетие подход к математическим расчетам изменился коренным образом. На смеиу счётам, арифмометрам, логарифмическим линейкам и калькуляторам пришли компьютеры. Специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий на практике применять знания, производить математические вычисления с помощью компьютера, едва ли может считаться высококлассным. Настоящее пособие предлагает в качестве осноаного средства для решения математических задач использовать широкие возможности пакета Microsoft Excel. Для облегчения восприятия материала книга иллюстрирована большим количеством примеров с подробными решениями. Книга будет полезна студентам, изучающим математику, преподавателям, а также специалистам, по долгу службы сталкивающимся с необходимостью математической обработки данных.

ББК 32.973.233я7

УДК 681.3.068(075)

Информация, содержащаяся в данной книге, получена из источников, рассматриваемых издательством как надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или технические ошибки, издательство не может гарантировать абсолютную точность и полноту приводимых сведений и не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.

Краткое содержание

Предисловие10

Глава 1. Аналитическая геометрия13

Глава 2. Линейная алгебра49

Глава 3. Задачи оптимизации73

Глава 4. Элементы математического анализа100

Глава 5. Теория вероятностей 128

Глава 6. Статистика165

Приложение215

Ответы и решения к упражнениям223

Рекомендуемая литература236

Содержание

Предисловие10