Введение

Численные методы широко применяются при решении задач аэрогидродинамики. Вычислительная аэрогидродинамика является разделом современной механики жидкости и газа. Эта дисциплина состоит из теории механики жидкости и газа, вычислительных методов, алгоритмических языков и математического обеспечения ЭВМ. Цель вычислительной аэрогидродинамики — в моделировании аэрогидродинамических течений посредством численного решения уравнений математической физики на ЭВМ. Численные методы позволяют предсказать основные закономерности течений, подтвердить и расширить результаты натурного или лабораторного экспериментов. Важную роль играет применение численных методов при решении задач автоматизированного проектирования, т. с. в том случае, когда необходимо рассмотреть большое число вариантов и выбрать оптимальное решение.

Данная книга посвящена вопросам численного решения некоторых пространственных задач внешней аэрогидродинамики. До недавних пор изучение течений около движущихся тел было ограничено относительно простыми формами (сфера, цилиндр, острые и затупленные конуса и др.). Проблема численного моделирования течений жидкости или газа около тел реальной формы (самолеты, корабли, автомобили и др.) значительно сложнее. При этом возникает ряд вопросов, связанных с моделированием геометрии, построением систем координат. Геометрическое описание реальной модели, построение дискретного множества (сетки) является трудоемкой задачей и требует использования аппарата дифференциальной геометрии, тензорного анализа. Математические вопросы задания геометрии произвольной формы и построения криволинейных систем координат рассматриваются в главе I.

В качестве*математической модели задач аэрогидродинамики и проблем входа в атмосферу широко используется модель вязкого теплопроводного сжимаемого неоднородного газа — уравнения Навье— Стокса. Эти уравнения применимы в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса, характеризующих влияние скорости течения, сил трения, теплопередачи и др. Уравнения Навье—Стокса в Целом правильно отражают общие физические свойства течения: наличие зон с резким изменением градиентов величин (пограничный слой, ударная волна и др.), явление отрыва потока, переход течения из ламинарного режима в турбулентный.

• В главе II рассмотрены вычислительные аспекты различных форм записи уравнений движения и граничных условий в произ-

вольных (неортогональных) системах координат для случая несжимаемой жидкости и сжимаемого однородного и неоднородного газа. Численное моделирование задач аэрогидродинамики проводится в рамках различных математических постановок и приближений. Обсуждаются вопросы обоснованности и пределы применимости математических моделей.

В следующих главах (III—VI) рассматриваются пространственные задачи для двух случаев: внешнее идеальное обтекание тел и течения в пограничном слое. Уделяется внимание конечно-разностным и интегральным методам решения задач пограничного слоя, основным закономерностям трехмерных «отрывных» течений.

Главы V и VI посвящены вопросам численного расчета пространственных ламинарных и турбулентных течений.

Для решения пространственных задач аэрогидродинамики удобно пользоваться разработанными конечно-разностными методами В главах III—VI излагаются конкретные примеры конечно-разностных методов решения пространственных задач аэрогидродинамики, обсуждаются вопросы аппроксимации, устойчивости, сходимости и реализации алгоритмов.

Основной вопрос, который возникает при анализе результатов численного моделирования, состоит в том, насколько точно они соответствуют реальной картине течения. При численном решении задач аэрогидродинамики кинематические, динамические, геометрические законы подобия передаются в рамках используемой математической модели, каждая из которых имеет свои ограничения. Точность конечно-разностных методов во многом зависит от дискретного множества (сетки) и от того насколько адекватно сетка отражает картину течения. Возможности алгоритма связаны с методом решения задачи и зависят от класса ЭВМ: быстродействия запоминающих устройств и др. Обычно считают, что лабораторные эксперименты правильно воспроизводят физическую картину течения: кинематические, динамические и геометрические законы подобия. Из-за конструктивных ограничений результаты получаются в определенном диапазоне определяющих параметров, размеров модели. В этом отношении вычислительный эксперимент обладает преимуществами: начальные данные, геометрия моделей, определяющие параметры задачи меняются быстро и легко изменением части программы. Лабораторный и вычислительный» эксперименты дополняют друг друга. Поэтому в рассмотренных задачах (главы III—VI) приведено сравнение экспериментальных и численных расчетов.

Книга нс претендует на полное освещение всего круга задач, возникающих при обтекании тел под углом атаки, и содержание определяется личными интересами автора в решении таких задач.

В книге использованы результаты исследований, проведенных автором совместно с В. А. Алексиным, С. Н. Казейкиным, Н. В. Погореловым, В. И. Сахаровым и др. Всем им автор выражает свою благодарность за творческое участие и обсуждение результатов.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

Математические основы проектирования геометрии сложной формы и принципы построения произвольных криволинейных систем координат

При численном моделировании пространственных течений жидкости и газа около тел сложной формы возникает ряд вопросов, связанных с построением поверхности обтекаемого тела, криволинейных систем координат, дискретного множества. При создании адекватной математической модели, при построении системы координат удобно пользоваться аппаратом тензорного анализа, дифференциальной геометрии.

Общие свойства криволинейных систем координат, метрика и геометрические свойства рассматриваются в разд. 1. Некоторые свойства векторных и тензорных полей, деривационные формулы, дифференцирование тензорных величин, связь физических и тензорных величин обсуждаются в разд. 2—3. Общие свойства теории поверхностей рассматриваются в разд. 4. Различные способы построения поверхности обтекаемого тела — алгебраические, дифференциальные и методы теории конформных отображений — изучаются в разд. 5.

Для численного моделирования пространственных задач аэрогидродинамики удобными являются произвольные криволинейные системы координат, в частности такие, в которых геометрия поверхности является одной из координатных поверхностей (разд. 6).

Рассматриваются различные способы построения криволинейных систем координат, основанные на алгебраических, дифференциальных методах и методах теории конформных отображений (разд. 7).

Система криволинейных координат.

Ковариантный и контравариантный базисы координатной системы

Введем прямолинейную прямоугольную (декартову) систему координат у1 (t=l, 2, 3); у1=х, у2—у, y3=z (см. рис. 1.1). За точку отсчета возьмем начало координат в точке О. Радиус-вектор любой точки пространства R можно представить в виде

R=y*i+y2j + y3k.

Здесь у1, у2, у3 — координаты точки радиуса R, векторы i, j, k — единичные векторы.

При решении конкретных задач наряду с декартовой системой координат удобно использовать криволинейные системы координат,

например цилиндрическую, сферическую, естественную (связанную с геометрией рассматриваемого тела) и др.

В каждой системе криволинейных координат можно указать различные способы выбора локального базиса. Локальный базис состоит из векторов, касательных к координатным линиям (кова

риантный базис) или перпендикулярных к ним (контравариантный базис). Такие базисные векторы сами являются векторными функциями точки. Радиус-вектор R выражается в виде R=y1(xl, х2, x3)i+y2(x\ х2, x3)j+y3(x*, х2, x3)k. Здесь xl, х2, х3 — произвольная криволинейная система координат, т. е. г/’^у^х1, х2, х3), i=l,2, 3.

С другой стороны, можно выразить координаты хг как функции от у1, у2, у3. Рассмотрим преобразова

ние

РИС. 1.1хг=хг(у‘. У2, У3)(г=1, 2, 3).

(1.1)

Здесь хт— произвольные функции от у1, у2, у3, дифференцируемые требуемое число раз. Если определитель

дхг

дх^дх1дхх

ду1ду^ду3

д (х1, х2, х3) дх2 дх2 дх2

dgs

д(уг, У2, У3)ду1 ду2 ду3

дх3дх3дх3

ду*ду2ду3

^=0,

то преобразование (1.1) обратимо, т. е. соотношение (1.1) можно разрешить относительно у1, у2, у3.

В дальнейшем будем рассматривать следующие системы координат: 1) у2' (i= 1,2,3) — правая прямоугольная прямолинейная (декартова) система координат; 2) хк (^=1, 2, 3) — криволинейная система координат, связанная с декартовой системой координат; 3) х'к (^=1, 2, 3) — произвольная криволинейная система координат, связанная с системой координат х* (нужна для установления тензорных или инвариантных свойств рассматриваемого поля независимо от выбора системы координат).

Предположим, что любой совокупности уг соответствует одна совокупность х\ и обратно. Переменные хт определяют точку в пространстве естественным образом, и система криволинейных координат ставит в соответствие каждой точке (у1, у2, у3) упорядоченную тройку действительных чисел х\ х\ х3. Условие ^(у1, у2, y3)=const определяет уравнение поверхности, а если придавать этой постоянной различные значения, то получаем семейство поверхностей.

Аналогично x2 = const, x3=const — уравнения двух других семейств поверхностей, и любая точка пространства определяется заданием трех поверхностей из этих семейств, пересечение которых задаст три кривые, будем их называть координатными. Точка М пересечения координатных поверхностей х1^ const, х2=const, х3=const имеет координаты х1, х2, х3.

Введем локальный базис Rt—R3. Векторы Ri—R3 являются векторами, касательными к кривым соответственно х1—х3 в точке М и определяются по формулам

(£=1,2, 3).(£=1,2, 3).R6S^5- = -^-i + ^Lj+-^-k dx dx dx dxR

(£=1,2, 3).

(£=1,2, 3).

Обычно говорят, что векторы Ri—R3 образуют ковариантный базис.

В системе координат х1—х3 рассмотрим точку М с координатами х1—х3 и бесконечно близкую точку АГ с координатами х^Ах1, х2+Ах2, х3 + Дх3. Любое бесконечно малое перемещение точки ММ'=АР можно разложить по трем линейно независимым векторам Ri—R3, взятым в точке М;'

AR= RiAx1 + R2Ax2 + R3Axs = RiAx\

В этой и следующей главах по одинаковому индексу, если нс оговорено противное, ведется суммирование.

В пределе при М'—^М получаем dR=R;dx\ Элемент длины дуги в пространстве хк имеет вид

ds2=dR-dR=^dxMxj (/, /=1, 2, 3).(1.2)

Здесь введено обозначение

^.=(R..R.)=2 dx1 Эх1

Отметим, что суммирование ведется по двум верхним индексам. В дальнейшем будем применять правило суммирования относительно «немого» (повторяющегося) индекса, считая, что латинские индексы принимают значения 1—3. Если индексы обозначены греческими буквами, то они принимают значения 1,2.

В каждой координатной системе хк (^=1, 2, 3) имеем систему функций gih называемую компонентами метрического тензора. При переходе к другой криволинейной системе координат (xZi) после подстановки соотношения dxr= {dxrjdxH)dxH в выражение (1,2) получим ds2=gzljdxz'dx/J (Z, /=1, 2, 3). Причем справедливо равенство

8а = —-—-^rs(r,s, щ = 1,2, 3).

dx дх 1

Величины gTS представляют собой координаты ковариантного тензора второго ранга. Положим g=det||grsi|. Введем контравари- антные компоненты метрического тензора по формулам gik=QiK]ge

Здесь G'" — алгебраическое дополнение gih. В каждой точке области выполняется условие t)=R1R2R3=#0. Очевидно, что |и| равен объему параллелепипеда, построенного на базисных векторах R,— R3. Можно показать, что |oj=yg. Рассмотрим вектор-функции

R1=-L(R3xR3),R2 = -^(R3xR1),R3 = -^(RiXR2).

KgKgKg

Причем

R^R^SJ.(1.3)

Векторы R3 образуют контравариантный базис. Величины б? — символы Кронекера (6/=!, если i=j и б/=0, если i#=j).

Для любой вектор-функции и можно написать два разложения:

и = и^ и u = ^R\(1.4)

Величины и1 и ut находятся из соотношений (1.4), если их умножить соответственно на R3 и R, и воспользоваться соотношением (1.3). Здесь ^=(u-Rz), tz2= (u-Ri)- Величины и1 и ьц называются соответственно контравариантными и ковариантными компонентами вектора и. Если в качестве и возьмем вектор-функции Rf и R3, то получим

ga = ga = (Ri • R/)> К1"=gil = (R* • Ю»

^-^-(R'-R/)^.(1.5)

Из равенств (1.4) при помощи формул (1.5) получим u^g^u^ и?= =gijUj. Связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора осуществляется с помощью опускания и поднятия индексов, реализуемых при помощи базисных тензоров ga и g^

Если система координат декартова, то Ri и R1— ортогональные орты. В этом случае gt^^ ^=№. Назовем систему координат ортогональной, если в каждой точке ее базисные векторы Rb R2, R3 попарно перпендикулярны, т. с. равенства (Ri-Rfe) =gik=0, если №к, выражают необходимое и достаточное условие ортогональности координатной системы. Для ортогональной системы координат имеем

£и = 4г> g^=-^T’ ^33=="^Г- ^/=:0 (i, j= 1,2,3, i=f=j).

Явное выражение для gn, gn, ga имеет вид

£и= (Rr Ri) = WW1^ ^1дх1У+ WIQx^y,

gM= (R2 • Ra) = WW2 + WW 4 WW4 \

gM= (R3 • R3) = Wldx3') -+- (дуЧ'дх3)4 + ^dy^dx^\

В математической физике применяются различные системы координат. Исходной, как правило, является декартова система ук. Базисные векторы — /, /, к. Затем вводим локальную систему ко-

ординат. Эта система координат — произвольная криволинейная, вообще говоря, неортогональная — составлена из базисных векторов R^dR/dx". Можно ввести локальную нормированную систему координат, составленную на базисных векторов R>=R,7|Ri|, |Ri| = = (R.-Ri)’"=V^ Иногда удобно выбрать векторный базис в одной координатной системе, в то время как независимые переменные задать в другой координатной системе.

Векторы i = ii, j = i2, k=i3, Ri, ег связаны между собой соотно

шениями

(1.6)(1.6). дх1, п дутг— дх1

(1.6)

(1.6)

im= -^1 = -^^ =У£« — еь

dtP дх1ду

Любой вектор и можно представить в различных базисах такими выражениями:

(1.7)(1.7)u = ^iz = ulRi = и^ = Vgauki = и (/) et*.

(1.7)

(1.7)

Здесь и/ = и^ — составляющие вектора в декартовой системе координат.

Скалярные, векторные и тензорные величины.

Физические компоненты вектора и тензора

В рассматриваемых задачах встречаются скалярные, векторные и тензорные величины. При переходе от одной системы координат к другой эти величины меняются. Рассмотрим, например, векторные функции. Представим их в виде разложения по базису декартовых координат. Если рассматривать векторную функцию в произвольной криволинейной системе координат, то удобно применять локальный базис и соответственно использовать разложение по локальному базису. Компоненты вектора при переходе к другой системе координат меняются.

Решая конкретные задачи, обычно интересуются результатами, которые не зависят от выбора системы координат. Поэтому естественно рассматривать уравнения движения в тензорной форме, позволяющей легко переходить от одной системы координат к другой, и такие соотношения, которые нс зависят от выбора системы координат, другими словами, являются инвариантными относительно преобразований системы координат. Простейший пример инвариантов — скалярные величины. Скалярная величина задастся одним числом и относится к тензорам нулевого ранга. Вектор задается тремя компонентами в таком виде: и=и‘Кг=игКг. Найдем скалярное произведение: (u-u) = ид'=иг'-и'\ Эта величина (квадрат длины вектора и) не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантной относительно преобразования координат. Вектор имеет только один независимый инвариант — длину, все остальные инварианты являются функциями этой величины. Напряженное состояние вязкой среды определяется девятью скалярными компонентами Р1\ совокупность которых составляет тен-

зор напряжений P^P^RiRj. В случае симметрического тензора число независимых компонент сокращается до шести: pik=pMt если i^k.

Тензор второго ранга имеет три инварианта: линейный, квадратичный и кубический.

Скалярные, векторные и тензорные функции, если нс оговорено противное, предполагаются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз. В основу определения тензора можно положить соотношения, связывающие компоненты тензора в различных системах координат. При переходе от одной системы координат к другой компоненты тензора подвергаются линейному однородному преобразованию. Тип тензора определяется законом преобразования его компонент. Объект называется скалярным (тензор нулевого ранга, инвариант), если в системе координат х2 он определяется функцией S(x\ х2, х3), такой, что при переходе к другой произвольной системе координат х^ связь между З^х'^х'2, х/3) и S(x\ х2, х3) в каждой точке имеет вид S(x\x2, х3) = r^S^x^, х,г> х'^У Другими словами, скалярные величины нс меняются при переходе от одной системы координат к другой.

Примером скалярных величин могут служить такие значения, как давление, плотность, температура. Эти величины, характери- зущие некоторое поле, не зависят от выбора систем координат и при переходе от одной системы координат к другой остаются локально (в точке) неизменными. ■

Объект называется контравариантным вектором поля (или контравариантным тензором ранга 1), если в каждой координатной системе х2 ему соответствует система трех функций и\ называемых компонентами контравариантного вектора, таких, что связь между компонентами w2 и и'к в любых двух координатных системах xi и х,к задается в каждой точке в виде

и,к=Цдх'к1дхг)и\ (1.8)

Примером контравариантного вектора являются дифференциалы переменных йх\ Действительно, йх'к= ^дх'Чдх1) йх\

Объект называется ковариантным вектором поля (или ковариантным тензором ранга 1), если в каждой системе координат хк ему соответствует система трех функций и^ называемых компонентами ковариантного вектора, таких, что связь между компонентами и/ и ик в любых двух системах координат х'т и хк задастся в каждой точке в виде

и/= (дхк/дх/г) ик. (1.9)

Если 3(х\ х2, х3) — скалярное поле, то градиент скалярной величины dSjdx* является ковариантным вектором поля.

Следует отмстить, что законы преобразования контравариант- ных и ковариантных векторов в принципе различны, и только в прямоугольной прямолинейной системе координат это различие пропадает.

ю

Простейшими примерами контравариантного и ковариантного векторов поля является поле скорости. В декартовой системе координат имеем и^=и^=и, и?=и^=и, и?=и*а=^. Для контрава- риантных и ковариантных составляющих связь с декартовыми координатами задается в виде

и1 = idxlldym^i^ 1цт=ЛМ

ut = $ут1дх^ и*т (t, m = 1,2,3).

физические компоненты, как будет показано дальше, связаны с кон- травариантными компонентами соотношениями вида и^-^^^.

Главное преимущество использования контравариантных и ковариантных составляющих вектора заключается в относительной простоте соотношений, связывающих эти величины в различных системах координат.

Объект называется контравариантным тензором поля второго ранга, если в каждой координатной системе х1 ему соответствует система функций р1к, называемых компонентами контравариантного тензора, таких, что связь между компонентами Р^Т и Pik в любых двух координатных системах х'1 и хк задается в каждой точке в виде

рЧг=дх2 дх2 р1к, дх1 дхк

Аналогично определяется ковариантный тензор второго ранга:

р;г=-^-^р1к.(мп

дх 1 дх г

Составляющие смешанного тензора второго ранга преобразуются по формулам

P^P^^l.(1.12)

дх4 дхг

Аналогично можно ввести тензоры ранга 3 и т. д.

К одному из примеров смешанного тензора второго ранга относятся символы Кронекера. Другим примером тензора ранга 2 служит метрический тензор gmn. Вязкие напряжения, возникающие в жидкости, также являются тензорными величинами ранга 2.

Над тензорами можно производить те же операции, что и над обычными числами. При этом важно, что результат действий над тензорами также является тензором.

Если умножить все составляющие тензора, например Prs, на постоянную величину С, то получим новый тензор, составляющие которого равны Cprs.

Операция сложения (вычитания) тензоров одного и того же вида определяется по правилу РГ8 = Тг--_кЕг\ т. е. нужно сложить

(вычесть) соответствующие составляющие тензоров. Сложение тензоров обладает обычными свойствами коммутативности и ассоциативности.

Рассмотрим произведение двух тензоров, например Рк и и5. Первый тензор имеет /г2, второй — п составляющих. Перемножим каждую из п2 составляющих первого тензора на каждую из составляющих второго. В результате получим тензор ранга s: Frs = = Pkus.

Рассмотрим операцию сокращения индексов. Предположим, что в предыдущем примере ковариантный и контравариантный индексы совпадают: F =Prku.h. Это означает, что по одинаковому индексу проводится суммирование. Из смешанного тензора можно сокращением одинаковых индексов получить новый тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного тензора.

При любом преобразовании координат компоненты тензоров преобразуются по законам, сохраняющим результаты сложения, умножения, свертывания, а также равенства тензоров. Каждое соотношение между тензорами инвариантно относительно преобразований координат. Если соотношение, записанное в виде уравнений между компонентами, имеет место в одной координатной системе, то оно справедливо во всех координатных системах, т. е. о тензорах и тензорных операциях можно говорить безотносительно к выбору координатной системы.

Ковариантные и контравариантные компоненты отличаются от компонент, используемых в математической физике. В ортогональных криволинейных координатах физические компоненты определяются в локальном базисе как компоненты в декартовой системе координат, чьи оси параллельны криволинейным координатам в этой точке. Эти физические компоненты являются величинами, которые обычно используются в векторном анализе и физике.

Пусть и1 — контравариантные компоненты вектора поля в системе координат хт. Тогда величина g^u^ инвариантная и равна величине квадрата длины диагонали параллелепипеда, чьи стороны параллельны координатным кривым и равны ^gX (по i не суммировать). В евклидовом пространстве этот результат выполняется всегда, но в неевклидовом, римановом, пространстве следует ограничиться рассмотрением бесконечно малого поля и\ для которого существует только бесконечно малый параллелепипед. В качестве определения физических компонент u(f) в произвольной криволинейной системе координат следует взять величины u(i) =^giiul (по I не суммировать).

Как известно, ковариантные и контравариантные компоненты вектора Ut и и5 при переходе от системы координат хк к системе координат х'к меняются по закону (1.8) и (1.9):

и- — (дх^дх'^ иь и,к= {дх,к!дх^ и\

Поэтому физические компоненты будут определяться из соотношений [3, 4]

иЦС) = 1/и У)(1.13)

г §и дх1

(по i не суммировать). Коэффициенты в (1.13) можно рассматривать как углы между координатными кривыми в системах координат х1 и xZi. Выразим физические компоненты и' ^ в величинах ковариантных компонент и/. Так как u^g^u,, то получим u(,i) = ^^и5 (по i не суммировать). Физические компоненты являются линейной комбинацией ковариантных компонент. В случае ортогональных криволинейных координат приведенные выше соотношения упрощаются: u^^u^gu^u^gu.

В декартовой системе координат разница между ковариантными, контравариантными и физическими компонентами исчезает. Единственно строгое объяснение причины использования физических компонент заключается в том, что физические компоненты имеют собственную физическую размерность, в то время как ковариантные и контравариантные компоненты такой размерностью не обладают.

Физические компоненты, введенные по формулам (1.13), имеют физическую размерность, и эта размерность является естественной размерностью поля. Действительно, рассмотрим переход от декартовой системы координат к произвольной. Так как dim (^g^x^ = = dim (длина) в любой системе координат, то получаем

dim (/ 7идхч)

dim и' (i) ==—— dim и (/) = dim и (j).

dim (уg^x1)

Физические компоненты и7^ имеют одинаковую размерность, являющуюся естественной размерностью поля.

Определение физических компонент тензоров второго ранга несколько сложнее. В математической физике физический смысл имеют скалярные и векторные величины. Если появляются тензорные величины, то физические компоненты следует определить в терминах скалярных и векторных величин. Вектор из тензора можно получить, например, если применить операцию свертки произведения тензора на вектор.

Пусть р/ будут составляющими смешанного векторного поля, а — контравариантного векторного поля. Тогда физические компоненты можно ввести, например, из соотношений Р1=Р^и\

Под физическими компонентами P(i, j) поля Р/ будем понимать систему таких величин, для которых выполняются соотношения РЦ)=Р(ц i)u(j). В результате умножения физических компонент тензора P(i, j) на физические компоненты u(j) получим физические компоненты поля вектора Р';. Формулы для P(i, j) получаются, если выразить Р1 и и, в величинах физических компонент. В результате имеем -^- = Р7- -^zr (по 1 не суммировать) или

V^H V^ii

^(0=1/ —^u(OPli (по i не суммировать). Величины F(T) и

U (/) имеют правильную физическую размерность.

Таким образом, единственно возможная система физических компонент задается в виде

Р {^1) = ^ёи1ёцР} (по 1* не суммировать).(1-14)

В результате получаем, что Р^ц i)=Pi\ т. е. диагональные компоненты тензора имеют естественный физический смысл, но внедиагональные компоненты в общем случае не имеют физического смысла.

В случае ортогональной криволинейной системы координат физические компоненты симметрического тензора задаются единственным образом:

Р(м) = 1/^=№*-^=.

В рассматриваемых здесь задачах тензорные величины являются симметричными.

Рассмотрим, как меняются физические компоненты при переходе от декартовой системы координат к произвольной криволинейной системе. Для физических компонент РЧч j) имеем: dimP^i, /)=dimP (i, /). Для произвольного тензорного поля Р/ в произвольной криволинейной системе координат физические компоненты, введенные по формулам (1.14), имеют естественную физическую размерность. Для того чтобы получить привычные уравнения для физических компонент из тензорных уравнений, для диагональных компонент следует взять смешанные компоненты тензора, а внедиагональные компоненты умножить на соответствующую величину ^nlgn-

Во многих случаях удобно использование компонент смешанных тензоров, которые имеют естественную размерность поля. Чтобы получить уравнения для физических компонент, следует записать уравнения в тензорной форме и, начиная с тензоров низшего порядка, заменить все тензорные компоненты их выражениями через физические компоненты.

Деривационные формулы.

Дифференцирование тензоров.

Основные выражения векторного анализа в произвольной криволинейной системе координат

Продифференцируем базисные векторы Rf системы координат по координатам х\ В результате получим

R1V = дН,/дхк=д2К!дх'дх\(1.15)

Разлагая их на составляющие относительно базисных векторов Rt,

имеем

Ri& = R^i — Г ikRl)(1-16)

r^IX/R1.(117)

Здесь rk, IXz— коэффициенты разложения векторов К,А соответственно по ковариантному и контравариантному базисам. Умножая эти равенства скалярно на базисные векторы R, и R\ получим формулы для нахождения коэффициентов разложения:

rA = (Rtft-Rz), Гй,;-= (R« • R/).(1.18)

Величины Г,м и Г« называются символами Кристофеля 1-го и 2-го родов, а выражения (1.16—1.17) — деривационными формулами для ковариантных и контравариантных базисных векторов. Индекс принимают значения 1, 2, 3. В силу равенств Rj—gAR*, R^g^Rb R=-R.и из соотношений (1.18) имеем

Г ik,i = Г^//,Г^ = Г шдё1\■

Г1^,/ = г^^/, гД = г{;.

Дифференцируя обе части равенства (R2-Rft) =gik по координате х\ получим

dg^dx^ = (Rr R;J + (R,r RJ.(1.19)

Переставляя в этом равенстве циклически индексы /, к, j, получим еще два равенства:

dg^dxk= (Rr RJ + (Rr Rjfe),(1.20)

og# = (Rfe • Ro) + (Rr Rm) •(1.21)

Если сложить эти равенства и вычесть из них (1.19), то в силу (1.18) получим

rtt,/ = (R/.Rw) = ^-№ + -^---^).(1.22)

2 ( д? дх1 дх' /

Умножая обе части (1.22) на gri и суммируя по /, имеем

r,, = r,yg-i=-Lg'l(^iL42\ dxRr,, = r,yg-i=-Lg'l(^iL42\ dxRдВм дх1дВм дх1dgjk дх’dgjk дх’(1.23)(1.23)

r,, = r,yg-i=-Lg'l(^iL4

2\ dxR

r,, = r,yg-i=-Lg'l(^iL4

2\ dxR

дВм дх1

дВм дх1

dgjk дх’

dgjk дх’

(1.23)

(1.23)

Таким образом, получено явное выражение для символов Кристофеля через составляющие метрического тензора.

Символы Кристофеля не являются тензорными величинами и обнаруживают тензорную природу только относительно группы аффинных преобразований. В декартовой системе координат символы Кристофеля обращаются тождественно в нуль. Символы Кристофеля второго рода являются симметричными относительно нижних индексов, т. е.

Г?. - Г^.

Пусть Ri—R3 — триэдр правой ориентации. Дифференцируя относительно координаты хк равенство (Ri^'Rs) =У£, получим

dfgjdx* = (Ru • R2 • R3) + (R. • R2» • R») + (R. • R2 • R*») •(1.24)

Выражая R1)n Ru, R3(l по формулам (1.16) и учитывая равенства (R,. Rr Rft) =0, если среди индексов i, i, & имеются два равных, из (1.24) получим

9VW = Vg (rift + Г?6 + Г^) = Vg^^-

Таким образом,

(1.25)определениюПодставляя(1.25)определениюПодставляяр/ _ 1 д Vg _ д In Vg

(1.25)

определениюПодставляя

(1.25)

определениюПодставляя

* Vg дхк dxk

Символы Кристофеля второго рода вводятся по из соотношения д^дх^Г1^. Величина R/= —~-i^. дх1 это выражение в предыдущее соотношение, получим

^< д / дук . \дЧдх1 п

—г = —г I —г U =—г К/.

дх1дх1 \ дх1 /дх!дх* дук

Отсюда следует, что символы Кристофеля второго рода могут быть найдены из соотношения

р/ д^ук дх1

дх^дх1 дук

Если i-й базисный вектор продифференцировать по /-му направлению, то /-я компонента изменения равна Г\>

Символы Кристофеля первого рода находятся из соотношений

г _ дЧ дуг дх1дх! дх1

В произвольной криволинейной системе координат хк векторы базиса Ri переменны. Поэтому выражение для частной производной для векторной величины и имеет вид (u=ukRk)

duldx*— ^дик,дх^ ^-Y^^d^Jdx^.

Разложим вектор dRk/dxl по базису Ri, используя символы Кристофеля Г^- Имеем dRjdx^rltRj. Поэтому выражение для частной производной будет следующим:

ди/дх£ = ^дик1д^ R^ + r^R/.(1.26)

Меняя местами порядок суммирования во втором члене выражения (1.26), получим•

du]dxt = икДк = (duW + Г^иГ) R6.(1.27)

Величина в скобках в правой части выражения (1.27) называется ковариантной производной контравариантного вектора и обозначается таким образом:

£t = V,^ = duW + T^W.(1.28}

Можно показать, что ид является тензором второго ранга

Введение понятия тензорной производной дает способ для преобразований векторных выражений в произвольных криволинейных системах координат. Если векторные операции можно выразить через тензорную производную, то это выражение будет инвариантно относительно преобразования систем координат. Здесь величины Г// — символы Кристофеля, определенные ранее. Если система координат декартова, то Гг7=0, и1—щ и формулы принимают вид и^ = дик]дх?.

В декартовых координатах ковариантные производные от компонент тензора первого ранга равны их частным производным в обычном смысле. В общем случае, как видно из формул (1.28), ковариантные производные являются комбинацией всех компонент тензора.

Ковариантная производная от ковариантных компонент тензора первого ранга находится аналогично:

иЬк = V^z = dujldxk — XjkUr.(1.29)

Найдем ковариантную производную контравариантных компонент тензора второго ранга. Рассмотрим тензор P = P^(R-Rk). В этом случае

R1) + р" № . R/) + р« ('r. -.

дх1 дх1\ дх1 /\ дх1 )

Воспользуемся соотношением (1.16), тогда получим

^_ = ^ (R, . R6) + р{% (R, . R.) + ^ (R, . rW.

дх1 дх1

Поменяем порядок суммирования в этих соотношениях:

■— = — (Ri • R») + Wrj (R, • R.) + Р rTkri (Ri. R») =

дх' дх'

= (dPikldxi + PrkVlr, + PirTkh (Ri • R») = ^ (Ri • R»).

По определению имеем

Pj = 4fPtk = ^1 + РГД< + Pl Г*.(1.30)

дх1

Величина Plj называется ковариантной производной контравариантных компонент тензора второго ранга.

Ковариантные и контравариантные производные суммы, разности и произведения тензоров подчиняются обычным правилам дифференцирования соответственно суммы, разности и произведения функций. Составляющие производной ст тензора по скалярному аргументу равны производным от соответствующих составляющих этого тензора.

Частные производные от скалярной функции образуют ковариантный вектор, ковариантная производная от контравариантного вектора является тензором 2-го ранга. Таким образом, ковариантное дифференцирование повышает ранг тензора на единицу. Метрический тензор при ковариантном дифференцировании ведет себя как постоянная величина, т. е. gi1h=0.

Рассмотрим повторное ковариантное дифференцирование. Для ковариантного тензора первого ранга ut имеем и^-ди^д#—Г//^. Если перенести член Yr..uT в левую часть, то получим

ОЩ1 дх1 = Иц j -f- ГцЫг* (1.31)

Применим к ковариантной производной от компонент тензора первого ранга вновь операцию ковариантного дифференцирования. Имеем .

Щ^к == dtliql дх^ Г jk^itr Г ikUrtj*

Внося выражение (1.31), получим

uiiM = дЧц!дхкдх*1 — Тцйг,к — YrjkUi,r •— Г^Щ-,/ —

-№)дхк + Тг^

Поменяем в этом равенстве местами индексы к и /, затем вычтем одно равенство из другого. Учитывая симметричность символов Г^ относительно нижних индексов, найдем

Uitkj Щ,]к== RijkUb (1 *32)

Здесь

Rltik = дГ^дхк - dVlikldxi -}- Г</Г^ - rrikrljr. (1.33)

Левая часть равенства (1.32) является ковариантным тензором третьего ранга. Отсюда следует, что R^u— тензор четвертого ранга, называемый тензором кривизны, или тензором Римана — Кри- стофеля.

Тензор Римана является количественной характеристикой не- коммутативности вторых ковариантных производных и описывает свойства пространства, отличающегося от евклидового.

Для того чтобы пространство было евклидово (существовала прямоугольная, прямолинейная система координат) необходимо и достаточно, чтобы тензор Римана — Кристофеля тождественно равнялся нулю. Это следует из факта, что для- декартовых координат Tij=O и, следовательно, 7?^ = О относительно этих координат. Но

Из этого следует, что тензор Rijk равен нулю относительно любой другой системы координат.

Р Ковариантные компоненты тензора кривизны выражаются формулой Ru^gipRtjk. Компоненты RHjh при i=j или к=1 всегда тождественно обращаются в нуль.

Ковариантные компоненты тензора кривизны удовлетворяют соотношениям

Rikl™ —~ ^ 1тгк RkUin Rikmb

Rltik+ Rlki3-V"Rl3M=O-

Эти соотношения называются тождествами Риччи. Тензор кривизны имеет (я2—1)п2/12 существенных компонент. В случае двумерного риманова пространства (например, при рассмотрении поверхности в трехмерном пространстве) тензор кривизны имеет всего лишь одну существенную компоненту, которая совпадает с гауссовой (главной) кривизной поверхности.•

В разд. 7 (гл. 1) будет приведен пример построения криволинейной системы координат, использующий условие равенства нулю тензора Римана — Кристофеля.

Пусть Rn R2, R3 — координатные векторы некоторой криволинейной системы координат. Вторые производные Ri; представляют собой векторы, которые в каждой точке пространства разлагаются по векторам Ri—R3. Представим это разложение в виде R^^r^Rfe* Если метрика пространства задается в виде (1.2), то Г// являются пространственными символами Кристофеля и выражаются в функциях g^.-

Будем рассматривать выражения (1.16) как систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно неизвестного вектора R. Действительно, уравнения (1.16) можно записать в таком виде:Rt = Г Л R&. Условия инте-

дх1

грируемости этих уравнений заключаются в том, что риманов тензор должен тождественно обращаться в нуль. Но верно и обратное утверждение: если риманов тензор обращается в нуль, то система (1.33) допускает решение, которое определяется значениями векторов Ri—R3 в начальной точке.

Для того чтобы функции g^ определяли систему координат, они Должны быть подобраны так, чтобы соответствующая форма (1.33) воспроизводила риманов тензор, тождественно обращающийся в нуль.

Риманов тензор кривизны Rw можно найти по следующим формулам:

р1 / ^Sll , ^gjk ^Sik ^gjl .

^tjki ~ — I —:1~:~— I +

\ dx^dxk дх'дх1 dx}dxl dxldxk )

* gmn (Г jk.nTU,m Г /7,пГik,m) •(1 -34)

Тензор имеет только шесть независимых компонент, которые в общем случае риманова пространства могут отличаться от нуля. Это следующие компоненты*. ^1212» ^1313, ^гзгз? ^1213» -^2123» ^з1зг> которые представляют собой совместную систему уравнений в частных производных для определения метрики пространства и дают возможность построить криволинейную систему координат в трехмерном пространстве. Отметим, что в случае ортогональной системы координат имеем шесть уравнений относительно g^ (I, j = V 2, 3) и шесть неизвестных ga- Зная метрику пространства, можно найти декартовы координаты.

Физический смысл имеют только те законы, которы не зависят от выбора системы координат или, как говорят, инвариантны относительно преобразований системы координат. Если известны, например, некоторые равенства, выражающие физические законы в декартовой системе координат а=Ь, то, переходя к тензорным величинам, получим ^=У или at = bi. Эти соотношения справедливы уже в произвольной системе координат. Запишем уравнения движения в виде законов сохранения в декартовой системе координат. Для того чтобы выразить эти соотношения в произвольной системе координат, необходимо заменить векторные и тензорные величины их инвариантным представлением в произвольной системе координат.

Соотношение для ковариантных производных векторов и тензоров были написаны ранее. Рассмотрим запись в произвольной криволинейной системе координат выражений для векторных операций gradf, divu, rotu, лапласиана скалярной и векторной величины, операции дивергентности от тензора второго ранга.

Выразим градиент скалярной функции / в произвольной криволинейной системе координат. В декартовой системе координат имеем

gradf=-^-i ~^-j+^-k.

дух ду2 J ду3

Вектор с составляющими df/dx1 — ковариантный вектор, так как при переходе от системы координат хк к х'\ составляющие вектора преобразуются по закону преобразования ковариантных векторов

df _ Of dxk

дх1 dxk дх 1

Отсюда следует, что ковариантными составляющими вектора gradf в любой системе координат являются величины df/dx\ Употребляется запись и в таком виде:

дПдх^л^4. (1-35)

Контравариантными составляющими этого вектора служат величины (grad fy = gik(dfldxky В случае ортогональных криволинейных координат физические составляющие gradf в проекциях на оси криволинейных координат имеют «ид (grad/)i=—V—"~-

V^ii дх

Запишем выражение для div и в произвольной криволинейной системе координат. В декартовой системе координат имеем divu= — dzz^x+<Ndy + <W<9z=cliz7di/\ (h=zz‘, v = u\ a = u3, x=y\ y= „г, z=y3Y (знак суммирования опущен). Поэтому в произвольной’криволинейной системе координат получим divu=w<

Выпишем явное выражение для дивергентности. Ковариантная производная контравариантного вектора имеет вид и u = диЧдхк-\- 4-r^Hs- Если i=k, то в этом случае получаем u‘i=duildxt-\-TtsiuS- Учитывая соотношение (1.25), запишем формулу в виде

(1.36) дх1 Ие дх1V gдх1

Таким образом, в любой произвольной криволинейной системе координат для div и справедливо выражение

Vg Эх1

Для ковариантной составляющей имеет место соотношение

„1 diyig*uk>

div u = ——^- .

Vg Sxl

В случае ортогональной криволинейной системы координат получаем

Ли=т>й[^(/^“Ф^(/1“Й)+

Рассмотрим выражение для rot и в произвольной системе криволинейных координат.

В декартовых координатах составляющие вектора в проекции на оси координат имеют такой вид:

<rotu).-=^-^-<’-37>

Образуем тензор второго ранга вида икЛ—и41к=дик1дх5—дщ,дх\ Из этого тензора образуем вектор, пользуясь контравариантным тензором еГ51, который вводится следующим образом: ег“ = вте1/^, ^rst* "Vs^rst- Здесь 6123—6231—6312-— 1, 6132-= 6213—6321=1, бйг^О

во всех остальных случаях.

Определим контравариантный вектор г1 = г1Мик^ составляющими которого являются

Г1 = 1 . (-^L ^“2 Л г2 — 1 / _^_ _^з

Vg \ ^2^3 ✓ ’ Vg ^3^х1

(1.38)(1.38)Г3=1 f

(1.38)

(1.38)

fg \ дхх дх^ У *

В декартовой системе координат эти выражения совпадают с выражениями (1.37), поэтому эти формулы дают контравариант- ные составляющие вектора rot и в произвольной криволинейной системе координат. Ковариантные составляющие находятся по формулам r^g^.

Для ортогональной криволинейной системы координат для физических составляющих вектора получим такие соотношения:

(rot и) =1 f_ д^и^А

Ковариантные и контравариантные компоненты некоторого вектора, который естественно назвать векторным произведением двух векторов А и В, задаются в виде

ur=SrstASB\ ит = ^TStAsBt.(1.39)

В самом деле, в случае декартовой системы координат эти выражения переходят в обычные векторные произведения.

Рассмотрим выражение лапласиана для скалярного поля в криволинейных координатах. В векторном виде в декартовой системе координат Acp^div(grad ср) = д2ф/5х2+<52ф/<^Если

ф(х\ х2, х3) — скалярное поле, то ф,^ — ковариантный тензор поля второго ранга. А величина gik<$,ik будет скалярным полем. Отсюда следует, что выражение для лапласиана в произвольной криволинейной системе координат х" для скалярного поля ф(х\ х2, х3) задается в виде

Aф = div(gradф) = g!\p^.(1.40)

Если использовать развернутую форму записи, то получим

Аф = £гб(-^--Цй^М .(1.41)

V дх1дхк dxs /

Таким образом, соотношение (1.40) является выражением лапласиана скалярного поля в криволинейных координатах хЧ

Более удобной является следующая запись:

Аф--^^^-^")-(1.42)

‘ Vg дх \ дхк /

В случае ортогональной системы координат (£^=0, i^k^ формула примет вид

1/ д (^ /"gtaggs дф \ д ( Г g33gu дф \Vg^5^\И £22 дх»)

,5511522

Рассмотрим выражение для лапласиана векторного поля. Пусть имеется дважды непрерывное векторное поле и. Ковариантный вектор поля и1 в декартовой системе координат имеет компоненты Uy1, Uy2, иь\ и для лапласиана величины Uy1 имеем \и^ = =д2и;! (ду1) 2А-дгМ W)2 + дХ'! (ду3') 2.

Аналогично выписываются соотношения для к/, ни3. Контравари- антный вектор поля ui в криволинейной системе координат хк будет удовлетворять следующим соотношениям:

Au^g^ (i=l, 2,3).(1.43)

Это является выражением лапласиана векторного поля, представляющее собой систему дифференциальных уравнений, в которых все три неизвестные, и1, и2, и3, встречаются в каждом уравнении.

Приведем еще одну формулу, которая понадобится при выводе уравнений движения вязкой жидкости. Обобщим понятие ди- вергентности на тензоры 2-го ранга.

Общее выражение для ковариантной производной от тензора имеет видР^г = дР1к/дхг + Рк8Г8г + РиГ8г. Дивергенцией тензора является вектор такого вида:

_ агД + 4 УД + ^«г;, = _L+1^. (, ,44)

дх1И g дх8Vg дх1

Если тензор антисимметричный, то при суммировании по i и 5 последний член выражения (1.44) пропадает. Получаем

(1.45)(1.45)Pi-P^Tr,»-Pi-P^Tr,»-1 ркг 98кг2 дх11 ркг 98кг2 дх1^ _ I 9kVgPlh

(1.45)

(1.45)

Pi-P^Tr,»-

Pi-P^Tr,»-

1 ркг 98кг

2 дх1

1 ркг 98кг

2 дх1

гСЛ — —Z;•

Vsдх1

Для симметрического тензора имеем

pik = 19 ^8P{k)1 ры ^.

Ki дх£ 2 дх1 ‘

Действительно,

Pi,It =Г + “iV sk — Psi lit =Г 4 5/dxfeV g dxs

_ 1 d(/'gP^6i d(K^)

7— Pl r.lk = ——

Kg dxkKg dxk

Заметим, что в случае произвольного тензора Р1к следует различать Р\к и Р\к, представляющие различные векторы. В случае симметричных тензоров, которые в дальнейшем будем рассматривать, разница пропадает.

Некоторые сведения из теории поверхностей. " Деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена.

Уравнения Гаусса и Петерсона—Кодацци.

Основная теорема теории поверхностей

Поверхность в трехмерном пространстве можно задать различными способами (в дальнейшем будем рассматривать регулярные, односвязаные поверхности). Распространенным способом является задание поверхности в декартовых координатах в явной или неявной форме: z=f (х, z/), F(х, у, 2) =0.

Допустим, что функция f (х, у)^С*а, т. е. имеет ^-ю производную, удовлетворяющую условию Гельдера — Липшица с показателем а. В этом случае поверхность 2=f(x, у) принадлежит классу SA(a), поверхность класса SJO) называют гладкой, 5Да) — поверхностью Ляпунова, a S2(0) — поверхностью с непрерывной кривизной. Напомним, что поверхностью Ляпунова называется поверхность, для которой выполнены три условия:

) в каждой точке поверхности существует определенная касательная плоскости и, следовательно, нормаль;

существуют такие два числа Д>0 и а, одни и те же для всей поверхности, такие, что для любых двух точек поверхности выполняется неравенство |у|<Ага (здесьу — угол между нормалями к поверхности s, г — расстояние между двумя точками);

существует число d>0, такое, что прямые, параллельные нормали в какой-либо точке поверхности, пересекают часть поверхности внутри сферы радиуса d с центром в у0 не более чем один раз.

При изучении поверхностей наиболее целесообразно рассматривать их в параметрической форме. Пусть задана вектор-функция г двух скалярных аргументов V, V ([5]):

r=r(V, ^=уЧ^ WVy4V, V)}^yW, № (1.46)

Здесь y1==x, у2—у, y2=z — координаты этой вектор-функции, зависящие от V, V-

Будем откладывать г(^, V) из начала координат. Тогда радиус-вектор опишет некоторую поверхность. Радиус-вектор г (£\ g2) имеет своими координатами следующие (см. рис. 1.2): yv=yv^\ VW=y4V> ^,у3=уЧ^ £2)-

Если зафиксировать параметр V, т0 получим уравнение кривой на поверхности ук=ук^ (£=1, 2, 3), называемой координатной линией V=const. Аналогично при фиксированном |2 получится координатная линия V = const. В общем случае эти координатные линии покрывают сплошь всю поверхность. Точка М, которая является пересечением координатных линий ^ = const, £2 = const, имеет своими координатами V, V-

Векторы, касательные к координатным линиям в точке Af(V, %2), определяются по формулам (см. рис. 1.3)

(1.47)(1.47)_ dr _ ду' . , ду8 . ду8 ,

(1.47)

(1.47)

Г1~ д^ д^ + J + d^i '

dr-^^i+^lj+^-k г2— д^ д^ <%2^2

Единичные векторы е1 = г1/|г1|, е2=г2/|г2| определяют (при условии, что они не коллинеарны) касательную плоскость к поверхности в точке М. Касательная плоскость представляет плоскость, в которой лежат все касательные к кривым на поверхности. Введем вектор нормали п в точке М. Этот вектор перпендикулярен к касательной плоскости в точке М и направлен таким образом, что и, е4, е2 образуют правую тройку векторов. Вектор нормали п

находится по формуле п= (nX^J/InXnl. Здесь (пХп) — векторное произведение. Тройка векторов гц е^ ег зависит от точки поверхности и называется сопровождающим трехгранником.

Элемент длины дуги на поверхности имеет вид

ds2=(drXdr)oaPd^d^, (a, 0=1, 2).(1.48)

Выражение в правой части (1.48) называется первой квадратичной формой поверхности. Здесь

д^ * а^ "* д^ ’ ^2

Наряду с ковариантным локальным базисом будем рассматривать контравариантный базис, состоящий из вектор-функций г₽,

удовлетворяющих условиям га-ге=бЛ Тогда аац=а»а= (га-гр), а“Р=аР“= (r“-rs), аа^ (ra-rs) =6а₽._

При переходе к другой системе координат V*> ъ'2 (криволиней

ной) на поверхности получим ds2=a'aBdV“dVp-

Причем справедливо равенство

Таким образом, функции aaB представляют собой координаты дважды ковариантного поля на поверхности и называются метрическим тензором поверхности. Положим a=det||aaB||=апа22—a22i au=a2Ja, а21=а12=—aja, а22=ац1а. Справедливо равенство аа^Р7=6та. Здесь 6та—символ Кронекера (бт“=0, если а#=7, б,“= = 1, если а=у). При переходе от системы ^“ к £'т функции а^ преобразуются по формулам

и образуют контравариантное тензорное поле на поверхности. Величины а' и а связаны соотношением а=Ра. Здесь

j = д й\ ^ с^ ^ д'^ ^

Первая квадратичная форма поверхности служит для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. Зная первую квадратичную форму, можно измерить длины, углы между кривыми, площади на поверхности. Эти свойства образуют так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Если представить себе поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки, которую можно изгибать, меняя ее форму, то первая квадратичная форма при этом сохраняется. Длины всех кривых, углы между ними, площади остаются прежними. Из плоского листа бумаги можно, например, получить свертыванием цилиндр или конус. При изгибании поверхности можно получить другую поверхность, но только определенного класса. Часть сферы, например, нельзя изогнуть на плоскость или сферу другого радиуса.

Рассмотрим вторую квадратичную форму поверхности. Выражение в правой части формулы

—dr • dn—&aPd^adV (1.49) называется второй квадратичной формой поверхности и определяет свойства кривизны поверхности. Так как (dr-n)=0, то, дифференцируя это равенство, получим (dr-dn) + (d2r-n)=0. Отсюда следует, что — (dr-dn) = (d2r-n) = b^d^d^. При смещении по поверхности из точки М в бесконечно близкую точку М' вторая квадратичная форма задает главную часть отклонения от касательной

плоскости. Здесь

bu=—(г-п,) — (Ги-n) Ьм=— (г2-п2) = (г22-п), ' ьи=Ьг1= — (n,-r2) = (г12-п).(1.50)

При переходе от одной системы координат ga на поверхности к другой системе VT справедливо равенство

д^ЛЧд^ЛЧЗдесь е — знак функционального определителя s —sign

д^ЛЧ

д^ЛЧ

функции &ар представляют координаты дважды ковариантного псевдотензора. Положим по определению 6 = det||6aP|| = b11b22—Ь12.

Пусть S— регулярная поверхность в трехмерном пространстве, М — произвольная точка поверхности. Проведем касательную

плоскость к поверхности и рассмотрим некоторую кривую, характеризующуюся единичным вектором 1 в касательной плоскости. Проведем плоскость через n-нормаль к поверхности и вектор 1. Кривая yz, получающаяся при пересечении этой плоскости и поверхности S, называется нормальным сечением, а величина к1= ЦДг^1 Ids^-n) — нормальной кривизной поверхности S в направлении 1. Здесь s — длина дуги кривой у. .

Всегда существуют два взаимно перпендикулярных направления, в которых кривизна соответствующих нормальных сечений в точке М соответствует главным кривизнам kY и к2 (см. рис. 1.4). Эти направления соответствуют направлениям осей выделенной системы координат и называются направлениями главной кривизны, а соответствующие сечения — главными (нормальными) сечениями поверхности. Если секущая плоскость образует с осью п Угол у, то кривизна kN нормального сечения в точке М равна kN = ^^icos^+^sin^. Это выражение, носящее название формулы Эйлера, выражает кривизну произвольного сечения через главные кривизны. В двух направлениях кривизна сечения kN принимает минимальное и максимальное значения, равные главным кривизнам kY и к2.

Если секущая плоскость образует с нормалью к поверхности угол 9=7^0, то кривая, являющаяся линией пересечения плоскости и поверхности, называется наклонным сечением поверхности. Кривизна наклонного сечения в точке /И вычисляется по формуле (теорема Менье, см. рис. 1.5) ^=^со5 0.

Выберем фиксированную точку поверхности Л4, проведем касательную плоскость к поверхности и выберем локально систему координат таким образом, что две координаты х, у лежат в касательной плоскости, а нормаль к поверхности совпадает по направлению с осью z. Сопровождающий трехгранник в точке М состоит из трех единичных векторов et, е2 и n = eiXe2.

Если поверхность допускает локальное задание уравнениями вида z = f(x, у), то эта поверхность относится к регулярной поверхности. В зависимости от степени регулярности функций, входящих в Ь\х, у, 2) =0, говорят о степени регулярности поверхности. Точка поверхности называется обыкновенной, если в ее окрестности при подходящем выборе системы координат х, у, z поверхность можно задать в виде z=f(x, у).

Пусть в окрестности точки М поверхность можно представить в виде z=f(x, у). Разложение по формуле Тейлора имеет вид

г =^Г~^У + ••• Ж°)) =

2 ох2 охоу 2 оу2\

_ д/(0,0) __ ^ (0,0) =()\дхду )

4чтобы z=-{kix2+k2y2) + .. .4чтобы z=-{kix2+k2y2) + .. .Поворотом декартовой системы вокруг оси z можно добиться того,

4

чтобы z=-{kix2+k2y2) + .. .

4

чтобы z=-{kix2+k2y2) + .. .

Величины к^^ &2 называются главны

ми кривизнами; R1=lfki, R2—l/k2 — главными радиусами кривизны, K=ktk2— гауссовой кривизной, Я= ^ (^+^2)—средней кривизной в точке М. •

Для выделенной точки поверхности М можно привести классификацию точек поверхности в зависимости от того, как ведет себя гауссова кривизна вблизи этой точки. Различают три случая точек: 1) R=ktk2>0 — эллиптическая; 2) К=к1к2<0 — гиперболическая; 3) К=0 — параболическая. Это значит, что в окрестности точки поверхность с точностью до членов 3-го порядка ведет себя или как: 1) эллипсоид, 2) однополосный гиперболоид, 3) цилиндр (Я=0, но ^12 + ^22=7^0) или плоскость (^1=^2=0).

Для произвольной системы координат на поверхности имеем

К^М(^11^22^12)/(^ц^22^12)

Н=^2аа^Ьа^= (Ьпа22—2а12&124-а11&22)/2а. Главные кривизны kt и к2 являются корнями квадратичного уравнения К2—2НКЛ"К=0-

Применение тензорного анализа к геометрии поверхностей полезно в том отношении, что, зная величины в удобной системе координат, можно выписать их значение в произвольной системе координат. Гауссова кривизна является инвариантом, т. е. при преоб-

пазовании систем координат не меняется. Поэтому достаточно найР ее значение в удобной системе координат. Это относится и к ве~ личине Н; псевдоскаляр Н — средняя кривизна поверхности.

Л 2. Изменение сопровождающего трехгранника вдоль поверхности описывается формулами для производных:

г“0 = ^ = ^^ = С“еГ° + 6а^(L5D

па = — = - 6аГа = - ЬаВГ“.(1.52)

формулы (1.51) и (1.52) носят название первой группы деривационных формул Гаусса и второй группы деривационных формул (Вейнгартена). Здесь G«B — символы Кристофеля 2-го рода на поверхности, 6аР — коэффициенты 2-й квадратичной формы. Получим первую группу деривационных формул Гаусса. Рассмотрим вторые производные радиус-вектора г по криволинейным координатам в данной точке. Каждый из этих векторов можно разложите, по векторам г,, г2, п, т. е. по двум касательным векторам rlf г2 в данной точке и по единичному нормальному вектору п. Действительно, дифференцируя базисные векторы га относительно коорди. нат Is, получим rag=dr/d^e. Эти векторы уже не принадлежат поверхности. Поэтому их можно представить в виде raB=Gap г0-|-^П. Если умножить обе части равенства (1.51) на п и учесть перпендикулярность п к г, и г2, то получим, что Ьа% совпадает с коэффициентами второй квадратичной формы (см. формулу (1.50) 6aB= (гаВ • •п). Если умножить обе части формулы (1.51) на г° и учесть равенства (п-г°) = 0, то получим (raB • ra) = Gap. Таким образом, доказана справедливость формулы (1.51).

Вторая группа деривационных формул получается следующим образом. Из перпендикулярности вектора п к касательным векторам п и г2 имеет (n-ra)=O (a=l, 2). Дифференцируя это тождество по любой из координат £\ V> получим-^-(n-ra) = О (а, В==

= 1,2) или (пгГа) + (п-гар) =0.

Второе слагаемое в силу (1.50) совпадает с 6аВ, и при любых аир имеем

(пгго)=—йар, (а, р=1,2).(1.53)

Выразим частные производные единичного нормального вектора п по ^ и £2 по основным векторам г„ г2. Для этого умножим справа и слева соотношения (1.53) на г“. В результате получим следующие формулы (формулы Вейнгартена):

пр = — Wa = — Рвгв (а, р = 1,2).

Смысл деривационных формул заключается в том, что они выражают частные производные rla и г2В через основные векторы в

данной точке поверхности: два касательных — п и г2 и один нормальный п. Производные от векторов п, r2, n по £\ V второго и выше порядков можно выразить через эти векторы.

Величины Ga^ называются поверхностными символами Крис- тофеля 2-го рода и выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Заметим, что пространственные символы Кристофеля 1-го, 2-го родов и поверхностные символы совпадают по виду (см. (1.22)):

G«.M — (fafl е Гу) — —- 1'— , Ga|3 — Я Gap,y.

2 \ д^ д£а д^ /

Символы Кристофеля GaM и Gap обладают теми же свойствами, что и пространственные символы Кристофеля (см. разд. 3 настоящей главы). Символы Кристофеля не являются тензорными величинами. Они обращаются в нуль тогда и только тогда, когда компоненты метрического тензора принимают постоянные значе-

TZ1 д (/"а

ния. Кроме того, имеем соотношение Gap = —.

Va

Из равенств

№а/^т = 52га/5^, na₽ = n₽a(1.54)

получаются так называемые условия интегрируемости (уравнения Петерсона—Кодацци и Гаусса), т. е. условия, по которым, зная первую и вторую квадратичную форму, можно восстановить поверхность.

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы гь г2 и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой ciap и bap, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три: формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно: полная кривизна поверхности K=kYk2 выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности kY и к2 при изгибании меняются по отдельности, а величина K=kvk2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не произвольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями

Ь Ь Ь2 — _^12_LL _^22_ I

11 2212 d^dg2 2 d^w 2

+ G^G^s — dtAa^.(1.55)

Полная кривизна поверхности определяется формулой

К = к^ = (^11^22Ь12)/(^11^22^12)*(1.56)

зо

Подставляя вместо bub,»—b^ его выражения в правую часть выражения (1.55), получаем, что полная кривизна поверхности опр метрическими коэффициентами первой квадратичной формы, их производными по поверхности.

V При изгибании поверхность в каждой точке меняет свою форму, т. е- главные кривизны меняют свои значения, но их произведение — полная кривизна К — остается постоянной. Другими словами, кривизна К может быть определена только из измерений на поверхности. Отсюда, в частности, следует, что всякая поверхность, изгибаемая на плоскость (или на кусок плоскости), есть развертывающаяся поверхность (К=0).

Формулы Петерсона—Кодацци получаются таким образом. Запишем коэффициенты второй квадратичной формы в виде Ьац= =—(га-п6). Продифференцируем эти равенства по £т и учтем, что n12=n2i.=d2n?dVd^,2. Составим выражение дЬ^д^—дЬа2/д^= = (n2-rai) — (п^Гаг). Подставим в эти формулы соотношения (1.51). Окончательно получим

дЬгЖ - дЬ^М1 - Ои + (Gu - G^) bM 4- G^b^ = О,(1.57)

дЬУЖ - дЬ2Ж - G^bu + (GL - G22) bia + G212 b12 = 0.

Сформулируем основную теорему теории поверхностей. Пусть заданы функции аар(«>0, пи>0) и &„Да, р= 1, 2) и выполнены условия интегрируемости — формула Гаусса (1.56) и Петерсона— Кодацци (1.57). Тогда существует поверхность r=r(g‘, V)> коэффициенты первой и второй квадратичных форм которой совпадают с заданными функциями. Если предполагать, что функции aaS дважды непрерывно дифференцируемые и Ьа6 — один раз непрерывно дифференцируемые, то поверхность г=г(§\ £2) будет трижды непрерывно дифференцируемой и будет определена однозначно с точностью до преобразований сдвига и поворота.

Для заданной поверхности можно ввести понятие вектора поверхности. Вектор, заданный в какой-нибудь точке поверхности и лежащий в касательной плоскости, называется вектором поверхности. На поверхности можно определить тензорные величины. В случае поверхности можно ввести понятие ковариантной производной. Аналогично пространственному случаю вводятся векторные операции grad ср, div u, rot и, лапласиана скалярной и векторной величин, операции дивергентное™ для тензорных величин.

Практические способы задания геометрии поверхности: алгебраические и дифференциальные методы

До недавних пор вычислительная аэрогидродинамика изучала течения около движущихся тел относительно простой формы. Задача численного моделирования течений жидкости или газа около тел реальной формы значительно сложнее. При этом возникает Ряд вопросов, связанных с построением геометрии тел, криволи-

иейных систем координат, записи уравнений движения в произвольной системе координат.

Геометрическое описание реальной модели является достаточно трудоемким занятием. На всех этапах проектирования (предварительном, эскизном, техническом и др.) выбор аэродинамической формы является одним из наиболее важных. На этапе предварительного проектирования получили распространение системы автоматизированного проектирования в диалоговом режиме.

С точки зрения задач аэрогидродинамики наилучшее приближение формы заранее неизвестно. Поэтому обычно приходится рассматривать некоторое множество форм, из которых требуется выделить «оптимальную». При этом необходимо, чтобы моделируемая геометрия зависела от конечного числа параметров, которыми можно управлять.

Изготовление моделей корпусов кораблей, фюзеляжей самолетов и кузовов автомобилей ведется следующим образом: проводится разметка в соответствии с набором опорных точек, заданных конструктором, а затем эти точки соединяются тонкими гибкими планками.

Технология изготовления форм и моделей накладывает свои ограничения на геометрические свойства объектов. С конструктивной точки зрения геометрия должна задаваться моделями с параметрической зависимостью для последующего изучения влияния параметров на характеристики формы. С аналитической точки зрения геометрия должна быть задана таким образом, чтобы она могла быть рассмотрена программами анализа геометрии. С точки зрения технологии производства необходимо, чтобы программы систем автоматизированного проектирования могли быть использованы на станках с программным управлением.

В зависимости от конкретной задачи требования к геометрии тела различны. В дозвуковой аэродинамике широкое распространение получил так называемый метод панелей. Решение задачи о нахождении потенциала течения сводится к интегральным уравнениям второго рода. Один из способов решения интегральных уравнений связан с разбиением поверхности на малые плоские многоугольники (панели). Геометрия тела представляется в виде большого числа плоских панелей, т. с. кусочно-гладких функций.

При расчете задач сверхзвукового обтекания в уравнения движения входят первые производные от радиуса поверхности тела. Поэтому естественно требовать их непрерывность.

В рамках уравнений Навье—Стокса и пограничного слоя характер течения вблизи стенки определяет во многом течение в остальной области. Вблизи поверхности возникают большие градиенты вязких напряжений. Поэтому разумно использовать такую систему координат, в которой поверхность является границей тела и граничные условия записываются наиболее простым образом. При численном решении уравнений Навье—Стокса необходимо знание метрических коэффициентов, символов Кристофеля. В этом случае геометрия тела должна иметь непрерывные нс только первые, но и

вторые производные Эти требования можно ослабить за счет использования метода расчета.

Перед тем как описывать геометрию математически, ее следует задать в каком-то виде. Конфигурация поверхности задастся, например, таблицами поперечных сечений тела и отдельных частей. Иногда требуется математически описать чертеж или модель, предложенную конструктором. Для построения геометрии сложной формы используются различные методы: 1) алгебраические, 2) дифференциальные, 3) методы теории конформных отображений [6— 11,15-16].

Если заданы таблицы, по которым следует провести кривую или поверхность, то эта задача является обычной задачей интерполяции. В задачах интерполяции используются алгебраические или тригонометрические многочлены. Однако применение многочленов высокой степени может привести к коротковолновым осцилляциям, к «волнистости» поверхности.

Построение интерполяционных функций многих переменных сводится к построению интерполяционной функции в одномерном случае. Задача сводится к отысканию функции y=f(x), заданной таблицей значений у0, Ув • • •, Уп Для ряда значений хк {k = G, 1, ... ,nY Вычисление ^=f(x) для произвольного значения хе[х0, хп] производится с помощью функции у=ф(х), принимающей в узлах xh заданные значения ук и приближенно представляющей функцию y=f(x) в других точках отрезка [х0, хп]. Рассмотрим один из методов построения интерполирующей функции ф(х), основанной на использовании алгебраических многочленов.

Общее решение задачи о «виде интерполяционного многочлена степени нс выше п, принимающего в точках х0, хь ..., хп значения у0, У^ ..., уп, задастся формулой Лагранжа

пп

у = Рп ^ = V ук1кХ = Уук ^7 — ■

Здесь

п

1к (х) = (0 (х)/(Х — Хк) to' (Xk), to(x) = TJ (х —Хй).

Остаточный член формулы Лагранжа в предположении, что у= =f(x), обладает на [х0, х„] производными всех порядков до м+1 включительно, может быть оценен по формуле |Р„(х)|^ ^Мп+1|©„(х) |/(п+1)! Здесь Afn+1=sup |f<n+1) (х) |,'хе[х0, х„].

Интерполяционный многочлен Р„(х) может быть представлен в виде

У = р„ (х)=у0+(х—Хо) t/oi+ (х—Хо) (Х—Xi)y0i2 + . . .

• • • 4“ (х Хо) • . • (х Хи—i) Уо1„.п*(1.58)

Здесь Уо1=(У1—Уо)/^,—х0), у012= (У12—У»1)/(х2—Хо), •••, Уо1...п= (у» .п—yoi...(n-i))/(x„—Хо). Величины у «...и носят назва-

33332 Ю. Д. Шевелев

33

33

нис разностного отношения /г-го порядка, а формула (1.58) — интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков. Если ограничиться первыми двумя членами формулы (1.58), то получим линейную интерполяцию. Удерживая три первых члена, получим квадратичную интерполяцию, четыре — кубическую.

В практике вычислений применение многочлена высокой степени у=Рп(%) нс всегда удобно и зависит от того, насколько точно заданы значения ук. Если эти значения известны из решения, например, разностных уравнений с определенной погрешностью, то порядок интерполяционного многочлена Рп(*) должен быть согласован с порядком точности задания величин ук. Действительно, вычисляя разностные отношения уоь У012, . • •, нетрудно заметить, что эти отношения не только не приводят к уточнению функции ср (%), а с некоторого момента дают неверные результаты. Если характер поведения решения известен, то приближенное решение задачи можно уточнить, используя свойства гладкости.

Если значения заданной функции известны в узлах хк с некоторой погрешностью, то для построения интерполирующей функции можно использовать метод наименьших квадратов.

Вопросы двумерной интерполяции с помощью алгебраических и тригонометрических многочленов или алгебраической интерполяции в одном направлении и тригонометрической интерполяции в другом ничем нс отличается от одномерного случая. Для функции z=f(x, у), заданной на множестве узлов (хь у,) (i=0, 1, ... ..., п; j=0, 1, ..., m) значениями £гз—-Нхь у^, интерполяционная формула имеет вид

п т

■ г = ф(х,г/) = 5 2 (х — х0)(х — х^ ... (х — х^Ну — УоНУ-У^--- 1=0 j=Q

... ку — у^f(х0,Х„ ...,Xi,у0,...,у,) + Rnm(X,у).

Здесь f (х0, хь ..., х„ у0, У^ • • •, У0 — обобщенное разностное отношение. Rnm — остаточный член, х—x_i=l, у—y.^L Величины f(x0, х1? ..., xb у0, ..., Уз) связаны между собой следующими рекуррентными соотношениями: /(х0, ..., хй у0, ..., у,) = (/(х0,..., хь Уо, . . . , Уз)-Кх0, ..., хь у0, ..., У,-1) )/(у—Уо) - Если n = m=L то формула имеет вид z=^x, у) =20,04-(х—Хо)/^, хь у0) + + (у—Уо)Н*о, Уо, У1) + (х—Хо) (у—УоШхо, Xi, Уо, У1)+^и(^ У).

Обычно интервал [х0, х4] разбивают на несколько частей и «склеивают» многочлены Лагранжа низких степеней, каждый из которых аппроксимирует функцию на части отрезка. При этом в точках разбиения интервала появляются изломы. Этот недостаток можно устранить, склеивая многочлены, которые интерполируют нс только функцию, но и заданное число последовательных производных. Для этой цели удобны сплайны.

Трудности моделирования с помощью интерполяции связаны с тем, что процесс вычисления данных о геометрии поверхности достаточно трудоемок как с точки зрения затрат времени на

ЭВМ, так и с точки зрения программирования. Интерполяцию данных проводить сложно, вычисленные нормали дают грубое представление о форме. Геометрия трудно поддастся изменениям. Даже небольшое конструктивное изменение требует проверки всей таблицы данных.

Полезным оказалось применение сплайнов [6—7]. Сплайнами называются функции, «склеенные» из «кусков» многочленов. Применение сплайновых интерполяций связано с тем, что интерполяция сплайнами малочувствительна к погрешностям в исходных данных. Интерполяционный сплайн хорошо приближает функции и ее производную. Кроме того, интерполяционные сплайны обеспечивают минимально возможную погрешность приближения на классе функций.

С вычислительной точки зрения при построении сплайн-интер- поляции возникают меньшие трудности, чем при интерполяции многочленами. В практике широкое применение нашла интерполяция кубическими сплайнами со сглаживанием, функций.

Пусть на отрезке [а, Ь"\ задана сетка а=х0<х1<.. .<хи=Ь. Причем в узлах сетки известны значения функции Цх). Задача интерполяции кубическими сплайнами функции f(x) ставится таким образом. На отрезке \сц Ь"\ найдем функцию ф(х), удовлетво ряющую следующим условиям:

В узлах сетки {xj (^=0, ..., и) функция ф(х) совпадает с заданными значениями {fj:

ф(^)=/с-

На каждом из отрезков [х^-ь xj функция ф(х) является кубическим многочленом вида

ф(х) = ^ а\^ (хк — х)' (6 = 1, .. ,,n —1).

Z=o

Функция ф(х) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно.

На границе функция ф(х) удовлетворяет следующим граничным условиям: а) ф"(я) =ф"W =0 (эти граничные условия носят название условий «свободного провисания»); если известны наклоны кривой в граничных точках, то в этом случае естественными является применение условий б) q/^z^o7, ф/(^)=/п/; в случае, когда известна кривизна в граничных точках, следует применять условия вида в) ф"(я)=А)", ф"^)^/'.

В случае неполных граничных условий дополнительные соотношения могут быть получены из условий непрерывности третьей производной на границе. Этот метод, хорошо работающий в случае интерполяционных сплайнов, приводит к появлению коротковолновых осцилляций в случае сглаживающих сплайнов, о которых речь пойдет ниже. В работе [7] предложен метод нахождения ф"(я) и ф"(Ь) из условий минимума среднеквадратичного разрыва третьей производной во всех внутренних узлах сплайна.

Кубические сплайны с различными граничными условиями имеют тс же свойства, что и сплайны, удовлетворяющие условию а). Поставленная таким образом задача о нахождении функции ф(х). склеенной из многочленов третьего порядка, имеет единственное решение. Гладкость «склейки» в каждом узле — второго порядка, поэтому вторая производная функция <р(х) непрерывна и линейна на каждом отрезке и значит, при x^-^x^x-i имеем

X, — XX — х,л

Ф (х) = т<-1-Vmt—-

h£hi

Здесь ht=Xi—Хг-^ тк—^{хк\. Интегрируя равенство два раза, по-

лучим

X _ х — х, л+в,^^hiX _ х — х, л+в,^^hi. чVi — x? . <x — xtV

X _ х — х, л

+в,^

^hi

X _ х — х, л

+в,^

^hi

Ф (х) = т£_г —-Ь т£

6/1/

Из соотношений Ф(х,-,)=А-1, ф(х,)=А найдем Л; и В£ — постоянные интегрирования. Подставляя значения х=х£ и x=xi_1 в предыдущее выражение для ф, получим А=тг(/1,-2/6) +5„ А_4= = mi_1(/ii2/6) -|-ЛР

Окончательно для функции у=ф(х) имеем

кх£ — х?(х-х^8/h^ \ xt-x

Ф W = т£-1 —Н т£-h Ь-г — т^ ~ —— 4- шс6ht\6 / h(

^-хУ (х-х^f£-f£-!

Найдем односторонние пределы производной в точках ^хД (i= = 1, ..., 1г— 1) и приравняем эти величины в силу условий непрерывности в точках х1? ..., xn-v

ф' (х£—о) =-^пн-х + 1ь.т{+ fi ,

ф'(^ + 0) = - h±Lm£-2^Lm£ti^2i^-!L.36

Таким образом, получаем (/i—l)-e — уравнение относительно неизвестных величин mt. Из условия 4а найдем, что, zn0=m„=G. Окончательно получим систему уравнений вида

Що = О,

а£т£-! + b£m£ + с£т£+1 = d£ (t = 1, ... , п — 1).

тп = 0.

Здесь a^/ti/6, bt= (^+/г,+1)/3, c^h^JG, df= (A+i—A)/A.+i—(А—

—L^/hi. Это система разностных уравнений второго порядка. В силу условия 2Ь^а4+^, система разностных уравнений является хорошо обусловленной. Методом решения такой системы уравнений является метод прогонки.

Интерполяционные кубические сплайны обладают важными экстремальными свойствами. Интерполяционные кубические сплайны минимизируют норму в классе 1^22, состоящем из функций, имеющих суммируемые с квадратом вторые производные.

Рассмотрим такую задачу: найти функцию (peWVt^, Ь]. q)(xu)=fk (&=0, 1, ..., п), такую, что при этом функционал имел минимум ь

F (ф) = J [ф" Ml2 dx. а

Ответ на решение этой задачи следующий. Минимум функционала достигается на кусочно-кубической сплайн-функции ф(х), которая была построена выше.-

Кубические сплайны дают четвертый порядок точности. Гладкость склейки в узлах характеризуется понятием дефекта сплайна. Говорят, что кубический сплайн ф(х) имеет дефект &f (1 или 2 в узлах х< (1^^^3), если в точке Xi непрерывны функции ф(х) ф'(х), ф"(х), а производная ф4~\ в точке х, терпит разрыв. В дальнейшем будем иметь дело с функциями минимального дефекта, т. с. дефекта 1.

Обычно значения функций известны с некоторой погрешностью, поэтому строят функцию, которая проходит вблизи заданных значений более «плавно», чем интерполяционная. В этом случае сплайн называется нс интерполяционным, а сглаживающим.

Сглаживающая сплайн-функция ф(х) находится из условия минимизации в W22Ya, b] функционала

Ьп

М«) = J [ф"124х + 2 РДФМ-М2-О-59)

а^=о

В этой записи содержатся, с одной стороны, условия интерполяции заданных значений, с другой — условие минимальности «изгибания» функции. Значения коэффициентов рч характеризуют степень влияния отдельных табличных значений на интерполяционный сплайн. Чем больше значения коэффициентов ph, тем ближе к заданным значениям проходит сглаживающая функция. .

С теоретической точки зрения алгоритмы построения интерполяционных и сглаживающих сплайнов являются универсальными, но на практике даже в двухмерном случае их трудно применять. Затраты времени на ЭВМ при вычислении геометрии в некоторых случаях сравнимы с временем основного модуля.

Удобно задавать поверхность аналитически, аппроксимируя исходные данные элементарными поверхностями. Такой подход приемлем, когда свойства аппроксимации являются такими же

важными, как и точность приближения. В этом случае метрика поверхности, символы Кристоффеля на поверхности, нормаль находятся с требуемой точностью. Зададим поперечные сечения для ряда значений одной из координат. Поверхность можно «натянуть» на эти сечения, используя линейчатые поверхности, поверхности второго и выше порядков, минимальные поверхности и др.

Преимущество такого подхода заключается в том, что его можно использовать на всех уровнях проектирования. В существующую модель легко могут быть внесены изменения. Каждая новая фаза моделирования требует изменения и добавления только части программы. Новая модель может быть получена синтезированием компонент из каталога имеющихся форм в банке данных и, если это требуется, последующим растяжением, вращением и сдвигом.

В задачах внешней аэрогидродинамики геометрия тела имеет некоторые общие свойства: можно выделить главное направление — направление движения, тело имеет плоскость симметрии.

Одним из наиболее простых классов поверхностей являются линейчатые поверхности, в частности развертывающиеся поверхности ([5]).

Параметрическая линейчатая поверхность задастся в виде (см. рис. 1.6)

r=OM=ON+NM=p(V) + VI (£2).

Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются образующими, а каждая кривая, пересекающая образующие, — направляющей кривой. Таким образом, p(V) — радиус-вектор направляющей линейчатой поверхности, a 1(V) — 'единичный вектор, который является функцией параметра V и задаст образующие поверхности. Величина V характеризует расстояние вдоль образующей.

Элемент длины линейчатой поверхности выражается следующим образом:

ds*=(dV)2 + 2(l.p)dVdVW2 + ^^^^

Множество точек линейчатой поверхности, в которых обращается в нуль геодезическая кривизна ортогональных траекторий образующих, называется стрикционной линией линейчатой поверхности (или линией сжатия, так как через каждую стрикционную точку в пределе проходит общий перпендикуляр двух бесконечно сближающихся образующих). Стрикционная точка на каждой образующей отмечает «самое узкое место» линейчатой поверхности в окрестности этой образующей.

Если двигаться вдоль образующей линейчатой поверхности, то в общем случае положение касательной плоскости к .поверхности будет меняться от точки к точке. Нормаль к касательной плоскости на данной образующей изменяет свое направление вслед за вращением плоскости. Если касательные плоскости к поверхности в точках, расположенных на одной и той же образующей, совпадают

между собой, то такая линейчатая поверхность называется развертывающейся. Смысл названия заключается в том, что развертывающуюся поверхность можно непрерывной деформацией развернуть на плоскость.

Развертывающимися поверхностями являются цилиндрические и конические поверхности (см. рис. 1.7, а, б). Геометрическое место точек касательных к произвольной кривой — пример развертывающейся поверхности (рис. 1.7, в).

У цилиндрической поверхности образующие параллельны. Это условие можно записать в виде l(V)=const или Г(£2)=0. Здесь знак «штрих» означает производную по £2.

Если рассматривать случай произвольной линейчатой поверхности r=p(g2)+s1UF), а случай цилиндрической поверхности (/7(£2)=0) исключить, то отклонение образующей от первоначального положения при бесконечно малом смещении угла поворота явится важной геометрической характеристикой линейчатой поверхности. Скорость вращения единичного вектора функции 1(£2) равняется модулю ее производной |l7(g2) |.

Действительно, если описать из точки Рис < 6 О (как из центра) окружность единич- ' ' ного радиуса, проходящую через концы векторов 1(£2) и 1(£2 + А£2), то угол между векторами численно равен длине дуги UL (см. рис. 1.8). При A^0 1imlAT/A£2| = |l7(^

При переходе от данного значения параметра £2 к бесконечно близкому значению g2+Ag2 образующая £2 принимает положение £2+А&2 (см. рис. 1.8), поворачиваясь на некоторый угол Аф и отклоняясь от прежнего положения на расстояние \Х=ММ,1

Предел отношения кратчайшего расстояния между двумя бесконечно сближающимися образующими линейчатой поверхности к углу между ними называется параметром распределения и является другой важной геометрической характеристикой линейчатой поверхности, показывающей, какое отклонение образующей от первоначального положения приходится на единицу угла поворота.

Параметр распределения имеет такой вид:

р=Ит _^=ЛЦЦПД^о |АМ|р=Ит _^=ЛЦЦПД^о |АМ|

р=Ит _^=ЛЦЦП

Д^о |АМ|

р=Ит _^=ЛЦЦП

Д^о |АМ|

Для каждой образующей параметр распределения имеет свое значение и является функцией параметра ^2. Для случая развертывающейся поверхности величины 1, Г, р7 компланарны и смешанное произведение обращается в нуль. Следовательно, р=0.

Один из способов аналитической записи уравнения поверхности и визуализации форм описан в работе [8].

Аналитическая запись поверхности, представленная в работе [8], удобна в том отношении, что позволяет задать поверхность конечным числом геометрических параметров. Геометрия представ-

ляется в виде совокупности элементов геометрии поверхности (например, фюзеляж, крылья и др.). Каждый из элементов поверхности состоит из совокупности отсеков. Определим положение поверхности в декартовой системе координат с помощью выражения

l^j> Rj — (^oj, У oh 20j) *

Здесь A3 — матрица преобразования координат точек поверхности /"-го отсека, заданных в системе координат O3x3y3z3, связанной с /-м отсеком, в систему координат Oxyz, связанную с поверхностью тела, a Rj — вектор преобразования.

Поверхность отсека представляется линейчатой поверхностью, уравнение которой в векторной форме записывается следующим образом: rj=r1(/) + (r/(Z)—г,(/))У. Здесь г^ — радиус-вектор направляющей линейчатой поверхности, (r/(Z)—rytyiV^V)— —г,(0| — единичный вектор, задающий образующие поверхности. Параметры I, V характеризуют точки поверхности.

Рассмотрим это уравнение для отсека фюзеляжа (рис. 1.9, а) в проекциях на оси координат. В системе O3x3y3z3 имеем в проекциях на оси координат:

^=х, (/) + (х/ (о —Xt (Z)) V,

у5=уЛП + (у^У-уЛтУ,(1.60)

z3=zytH^y(ty-zytyv,

Положим %i(/)=0, х2'(0=^» гДе L3 — длина отсека фюзеляжа, и выберем параметр V—U/L3. Функции у^^У z^ty уУ^У zy(Z) определим следующим образом:

У1(0=У1ф(0+Ус1;г1(/)=я1ф(/),

УУ^^УгЛ^-УУсг; zyy^Zz^ty

Здесь ус1 и ус2 — расстояние от оси фюзеляжа до оси х3 соответственно в сечениях х,=0 и x3=L3. Уравнение поверхности отсека фюзеляжа принимает вид

У) = У1Ф (0 + Уа + [У-<р (0 — У1Ф (О — кУи — УаУ Ш№,

Zj = 21(р (/) + (г:ф — Z1(p) UjLj^,

Xj = U..

Здесь ytT(Z) и z1T(Z) — функции, определяющие профиль сечения отсека при Xj=0; y^^ и z2T(Z) — функции, определяющие профиль сечения отсека фюзеляжа при х3—L3. Функции y^t) и zte(/) (^=1, 2) можно определить различным образом. Можно выбрать, например, такой вид поперечных сечений:

yM(Z) =6,.11sin Z+dft (sin Z)2,

2*Ф(0 =— cftl{cos ^+см(см+ (1—cM)sin Z) sin (2Z+ cMsin2Z)} /2

(0<Z^2n, fe=l, 2).

Рис. 1.7Рис. 1.7Коэффициенты dt (п=1, 2, т=1, ...Коэффициенты dt (п=1, 2, т=1, ...-hn И ^km.., 4) вы--hn И ^km.., 4) вы-Рис. 1.8Рис. 1.8Рис. 1.9Рис. 1.9хорду сечения,хорду сечения,кривизнукривизну

Рис. 1.7

Рис. 1.7

Коэффициенты dt (п=1, 2, т=1, ...

Коэффициенты dt (п=1, 2, т=1, ...

-hn И ^km

.., 4) вы-

-hn И ^km

.., 4) вы-

Рис. 1.8

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Рис. 1.9

хорду сечения,

хорду сечения,

кривизну

кривизну

ражаются через параметры сечения отсека фюзеляжа— ширину, толщину, кривизну и др.

Уравнение, определяющее поверхность отсека крыла, записывается аналогично и может быть выражено через геометрические параметры сечения отсека крыла: толщину профиля;

профиля и др. (рис. 1.9, б). Поверхность элементов, составленная из отсеков, имеет разрывы кривизны. Такой способ построения поверхности дает возможность строить геометрию в диалоговом режиме.

Можно аппроксимировать геометрию тела поверхностями второго порядка (эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды). Рассмотрим цилиндрическую систему координат.

Для построения математической модели отсеков поверхности зададим линии геометрии модели в двух видах: сверху (в плоскости YOZ) и в профиль (в плоскости XOZ). Контрольные точки линии тела известны в виде Уг=Уг^, xr—Xi^z) (рис. 1'10). Опишем математически линии тела, используя простые аналитические кривые между отдельными точками контура тела. Зададим попереч-

ные сечения (поперечное сечение получается в результате пересечения формы тела плоскостью, перпендикулярной к оси тела в сечении 2 = const). Построим модель поперечных сечений — математически опишем поперечные сечения, используя простейшие кривые. Для этого введем контрольные точки (контрольные точки — начальные и конечные точки для нахождения каждой дуги, логически выбранные между дугами поперечных сечений). Наиболее удобными элементами кривых для описания линий геометрии и поперечного сечения являются прямые, кривые второго порядка, кубическая парабола, степенные кривые, т. е. все элементы кривых сводятся к прямым, параболам, эллипсам и др. Из различных элементов кривых с использованием условий гладкости контура в точках сращивания можно составить кривую поперечного сечения. Следующий этап состоит в нахождении элемента поверхности подобно элементу кривой. В фиксированном положении элемент поверхности определяется координатами начала отсчета, наклоном контрольных кривых и концом отсчета. Однако элемент поверхности не фиксируется в частном сечении, а вместо этого непрерывно определяется вдоль некоторой части поверхности. Граничные условия для элемента поверхности поэтому определяются вдоль кривых, определяющих начало, конец, наклон контрольных точек.

Однокомпановочная модель может быть описана уравнением обобщенного эллипсоида (см. рис. 1.10) с изменяющимися полуосями в таком виде:

1 (0м^е^0л /=1, ...,n\1 (0м^е^0л /=1, ...,n\(X — Хр)^ | ^ — у^п а^ (z) Ь" ^

1 (0м^е^0л /=1, ...,n\

1 (0м^е^0л /=1, ...,n\

Если т=п = 2, то получаем уравнение, которое описывает геометрию тела с эллиптическими сечениями. Уравнение можно усложнить, если сделать так, чтобы а5 и Ь5 зависели бы от величины 6. С помощью этого выражения можно отыскать всю внутреннюю геометрию поверхности, символы Кристофеля, нормаль к поверхности и производные и т. д.

Если коэффициенты сц и Ь5 имеют непрерывные производные, то и геометрия поверхности имеет такого же порядка кривизну. На рис. 1.10 приведена геометрия, которая всюду имеет непрерывные первые производные и кусочно-непрерывные вторые.

Рассмотрим минимальные поверхности. Это понятие возникло при решении задачи об отыскании поверхностей наименьшей площади, натянутую на заданную кривую или подчиненных другим граничным условиям. Такие поверхности реализуются, например, в виде мыльных пленок, натянутых на проволочный каркас. Пленка по закону поверхностного натяжения принимает форму минимальной поверхности. Условие минимальности площади приводит к условию, что средняя кривизна (Я) равна нулю во всех точках, отсюда и название — минимальные поверхности. Условие минимальности представляет необходимое условие, вытекающее из равенст-

ва нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей класса С- с заданной границей.

Если поверхность S в пространстве х, у, г задана посредством функции 2=2 (х, г/) с непрерывными производными, то площадь этой поверхности S находится по формуле

S = ^ (1 + z* + zD^dxd^.

В

Здесь В — область плоскости х, у, ограниченная проекцией контура, представляющей замкнутую жордановую кривую 7.

Поверхность S является решением граничной задачи для дифференциального уравнения Эйлера:

2,Д 1 + — ^xyZxZy + Zyy (1 + Zx) = 0.(1.61)

Решение этого уравнения ведет себя отлично от решений линейных эллиптических уравнений. Это связано с нелинейным характером уравнения минимальной поверхности. Свойства решений уравнения (1.61) близки к свойствам квазилинейных дифференциальных уравнений.

Если задать уравнение поверхности в параметрическом виде, то площадь выражается интегралом

s=$=^Р«2.-

вв

Здесь Р = аиагг—а^

Условие минимальности поверхности приводит к уравнению Эйлера для варьируемого интеграла в виде системы дифференциальных уравнений:

д / dJ \[ д4 /д / dJ \[ д4 /(<=: 1,2,3). к дУу /(<=: 1,2,3). к дУу /(1.62)(1.62)——2,^222,^22Это соотношение выражает равенство нулю средней кривизны поверхности ук=ук^, i2).

д / dJ \

[ д4 /

д / dJ \

[ д4 /

(<=: 1,2,3). к дУу /

(<=: 1,2,3). к дУу /

(1.62)

(1.62)

—

—

2

,^22

2

,^22

^12^226, ^]26,^12^226, ^]26,33Рис. 1.10Рис. 1.10Предположим, что на поверхности введены изометрические координаты и, v, которые характеризуются условиями

^12^226, ^]26,

^12^226, ^]26,

3

3

Рис. 1.10

Рис. 1.10

Тогда / = аи = а22=Д и дифференциальные уравнения (1.62) принимают вид

Д^г^ + ^^О (£= 1,2,3).

Поверхности, для которых At/h = O, называются гармоническими.

Гармонические функции t^t^ £2) можно рассматривать как действительные части Reffe(z) аналитических функций ^ = ^(2) + + /“(2) комплексного переменного z = uA-iv. Здесь функция fk(z) — гармонически сопряженная с /^(2). *

Задача о нахождении поверхности наименьшей формы, натянутую на данную замкнутую жорданову кривую, сводится к решению уравнения Az/k = O (й=1, 2, 3). Хотя решение можно выписать в общем виде, дополнительные условия нахождения изометрической системы координат и удовлетворение условиям на границе являются достаточно сложными.

При построении геометрии полезными являются методы дифференциальной геометрии. Изменение сопровождающего трехгранника вдоль поверхности описывается формулами для производных (1.51 и 1.52).

Формулы для производных представляют собой систему из 18 дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для компонент векторов гь г2, п.

Из равенств га₽т = гат₽, пар = пРа получаются так называемые условия интегрируемости (уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци (1.55) и (1.57)), т. е. условия, по которым, зная первую и вторую квадратичные формы, можно восстановить поверхность.

Зададим функции яар (а>0, аи>0) и Ьа^ (а, ^=1, 2) и потребуем выполнение условий интегрируемости — формул Гаусса и формул Петерсона—Кодацци. Тогда существует поверхность r=r(g\ g2), коэффициенты первой и второй квадратичных форм которой совпадают с заданными функциями.

Поверхность эту можно построить следующим образом. Введем полугеодезическую систему координат. На основании формул Гаусса и Вейнгартена для производных однозначно находится сопровождающий трехгранник гь г2 и п, если он задан в некоторой фиксированной точке тИ(^, g2). Так как ra = dr/d§a, то можно найти г(^\ £2); радиус поверхности определяется однозначно, если потребо-= вать, чтобы поверхность проходила через точку М.

Специальные системы координат на поверхности

Рассмотрим специальные системы координат на поверхности тела. Если задано уравнение поверхности, то тем самым задана первая квадратичная форма поверхности aaP (a, ^ = 1, 2). В случае ортогональной системы координат а12 = 0. Элемент длины на поверхности имеет вид ds2 = a11(dV)2 + ^22(dg2)2- При выборе системы координат на поверхности тела имеется много возможностей. Кро-

общего случая произвольной криволинейной системы координат, используются специальные системы координат, связанные с линиями кривизны поверхности, полугеодезические, изометрические системы координат на поверхности. В задачах о пространственном пограничном слое вводят систему координат, связанную с линиями тока внешнего течения.

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с линиями кривизны. Найдем главные направления.

В силу теоремы Родрига необходимым и достаточным условием того, что направление 1 является главным, • является выполнение условия dn =—&dr. Здесь г — радиус-вектор поверхности, ап — вектор единичной нормали, к — кривизна. Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным.

На любой поверхности в достаточно малой окрестности какой- нибудь точки, не являющейся точкой округления, можно выбрать криволинейные координаты, совпадающие с линиями кривизны поверхности. Координатная сеть зависит от произвольного выбора криволинейных координат на поверхности, но координатная система, связанная с линиями кривизны, строится вполне однозначно. На поверхности вращения линии кривизны совпадают с ее меридианами и параллелями. Главные направления в каждой точке касаются меридиана и параллели. А если поверхность развертывающаяся, то линии кривизны совпадают с образующими и ортогональными им линиями.

Необходимый и достаточный признак того, что координатная система на поверхности совпадает с линиями кривизны, заключается в том, что в соответствующей системе координат g1, g2 коэффициенты первой и второй квадратичных форм а12 и &12 тождественно обращаются в нуль: а12 = 612 = 0.

Для главного направления имеем nt= —к^^ п2 = —кгг^ Введем обозначения: au = h^ a22 = h2 (а12 = а21 = 0).

Имеем

a = hX аи = ЦН^ а^=\,^ а^= а21 = О,

^11 ~ &]Дь Ь22==:^Ф'И Ьу^^^Ь^^^О.

Здесь kY и к2—главные кривизны поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности имеют вид (координаты ^ и g2 обозначим соответственно | и -ц)

d^ = № +W,

Ms = кДй^ 4- &2Мт-

Для символов Кристофеля 1-го и 2-го родов получим следующие выражения:

Gu.^h^, G^-h^, Gv.,x = G21,1=h1-^.,

0.,,, = —ft2^_,hi 5g ’0.,,, = —ft2^_,hi 5g ’G — ft ^aAi dhtG — ft ^aAi dhtGh =Gh =hl дП ’hl дП ’Gv . = Gn.=h, - л" " 5g ’G^ — G21 — — — , hx dr)Gv . = Gn.=h, - л" " 5g ’G^ — G21 — — — , hx dr)G^G^h2 дНг hl 5g ’h2 дНг hl 5g ’G\.=G\.=1 dh4h2 dv]1 dh4h2 dv]G?/o2 1 dh212G21 — "7”Й2 5gG?/o2 1 dh212G21 — "7”Й2 5g

0.,,, = —ft2^_,hi 5g ’

0.,,, = —ft2^_,hi 5g ’

G — ft ^a

Ai dht

G — ft ^a

Ai dht

Gh =

Gh =

hl дП ’

hl дП ’

Gv . = Gn.=h, - л" " 5g ’

G^ — G21 — — — , hx dr)

Gv . = Gn.=h, - л" " 5g ’

G^ — G21 — — — , hx dr)

G^

G^

h2 дНг hl 5g ’

h2 дНг hl 5g ’

G\.=

G\.=

1 dh4

h2 dv]

1 dh4

h2 dv]

G?/o2 1 dh2

12G21 — "7”

Й2 5g

G?/o2 1 dh2

12G21 — "7”

Й2 5g

Уравнения Гаусса и система уравнений Петерсона—Кодацци соответственно примут вид

1 Г д / 1 ^Л2 \ । д / 1 ^х \ 1^1^2 L ^ \ ^i dg / ^л \ ^2 ^Л / J *

dkji^ дНг ^Ч 2 dr] ’dkji^ дНг ^Ч 2 dr] ’5^2 _ £ _^25g1 5g5^2 _ £ _^25g1 5gЦля операции div и А на поверхности получим выраженияЦля операции div и А на поверхности получим выражения

dkji^ дНг ^Ч 2 dr] ’

dkji^ дНг ^Ч 2 dr] ’

5^2 _ £ _^2

5g1 5g

5^2 _ £ _^2

5g1 5g

Цля операции div и А на поверхности получим выражения

Цля операции div и А на поверхности получим выражения

Рассмотрим три семейства поверхностей, зависящие каждое от одного параметра: F^x, у, г)=Съ F^x, у, z)=C2, F3(x, у, z^C^.

Семейства поверхностей образуют триортогональную систему, если три плоскости, касательные к этим поверхностям в точке М, взаимно ортогональны во всех точках. Линии, по которым поверхности какого-нибудь одного семейства триортогональной системы пересекаются с поверхностями двух других семейств, являются линиями кривизны. Это утверждение составляет теорему Дюпена, которая дает способ отыскания линий кривизны.

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие- нибудь две точки, всегда является «прямой» линией на поверхности и «кратчайшей» среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая.

Элемент длины в полугеодезической системе координат имеет вид ds2 = dx2 + /?2dz/2. Здесь х — длина дуги вдоль геодезической линии, R — местный радиус, у — координата, перпендикулярная геодезической линии. В полугеодезической системе координат символы

Кристофеля 1-го и 2-го родов примут следующий вид: 6ц,i = 0, Оц,2 = 0, 012,1 = 021>1 = о,

г - R^-611 = 0, 011 = 0, Gs~ R дх ’г - R^-611 = 0, 011 = 0, Gs~ R дх ’G.2,^R^~, GV2 = G-.12 = R^-,дудх

г - R^-

611 = 0, 011 = 0, Gs~ R дх ’

г - R^-

611 = 0, 011 = 0, Gs~ R дх ’

012 = 611 = 0,

^21 dR 1 dR

R dyЛ R дх

Полная кривизна вычисляется по формуле

ana22 R дх^

Пусть в полугеодезических координатах х, у задано скалярное поле на поверхности ф(х, у); тогда скалярный квадрат его градиента (первый дифференциальный параметр)—7ф. В полугеодезической системе координат он примет вид

верхности:V (ф, ф) =верхности:V (ф, ф) =Аналогично вычисляется V (ф, ф) для двух скалярных полей на по

верхности:

V (ф, ф) =

верхности:

V (ф, ф) =

дф дф . 1 дф дф дх дх R^ ду ду

Если взять скалярные функции в виде ф(х, у) = х, ф(х, у) = у, то получим

(1.63)(1.63)V(x) = l, V(x,y)=0.

(1.63)

(1.63)

Предположим, что выбрана произвольная криволинейная система координат V, I2, а полугеодезическую систему координат х, у ищем в виде функций от ^ и g2.

Перепишем уравнение (1.63), выразив левые части в координатах £\ g2, так как значения V (V), V (£\ %2) не зависят от выбора системы координат на поверхности. Получаем дифференциальные уравнения в частных производных для искомых функций х(^\ £2), Ы^\ §2):

a“8(gi(^)_^-_^=i) oa^i^J^-^L^. (i,64)

Для того чтобы отыскать полугеодезические кординаты, следует решить уравнения (1.64). Эти уравнения являются не только необходимым, но и достаточным условием, чтобы функции х(£‘, £2), tiW, I2) являлись полугеодезическими координатами. Действительно, запишем уравнения, которым удовлетворяют х, у, приняв в то же время х, у за координаты j1, |2- Получаем a“ = l, а12=0 (так как дх]д^=\, dyJdV = O, дх[д^ = О, ду1д^=^, откуда следует аи = 1, ai2 = 0, т. е. система действительно полугеодезическая.

В случае тела вращения линии кривизны совпадают с‘ее меридианами и параллелями, так как главные направления в каждой точке касаются меридиана и параллели. Если в качестве одной из координат выбирать, скажем, длину дуги параллели, то получим полугеодезическую систему координат.

Можно ввести понятие геодезических координат. Геодезические координаты — декартовые прямоугольные координаты проекции на плоскость, касательную к поверхности. Геодезические координаты образуются семействами геодезических линий, обобщающих понятие прямой на случай поверхности. Поведение геодезических линий напоминает поведение прямых на плоскости. Геодезические линии на выпуклых регулярных поверхностях (К>0) продолжаются единственным образом.

. Если задан метрический тензор ааР, то геодезические координаты V определяются условиями дааР/д£т = 0, эквивалентными условию Gap=0. В геодезических координатах ковариантная производная поля тензора совпадает с обычными производными.

Нахождение геодезических линий представляет сложную задачу. Уравнения идеальной газовой динамики можно интерпретировать как движение вдоль геодезических линий для некоторых римановых пространств. Решение уравнений можно истолковать как равномерное движение по геодезическим линиям.'

На всякой регулярной поверхности существует так называемая изометрическая система координат, относительно которой первая основная квадратичная форма имеет вид ds2=A(x, у) (dx2+dg2), Л>0..

Такая система координат может быть построена на поверхностях, развертывающихся на плоскость (/(=0). Тогда можно считать Л=1. Примером таких поверхностей являются цилиндрические и конические поверхности. Строгое доказательство существования изометрической системы координат неочевидно и требует доказательства (см., например, [1]).

В случае изометрической системы координат на поверхности компоненты метрического тензора выражаются формулами:

с?и — cz22=Л,а=Л?,

а“ = а22=\/Л, а12 = ам = 0.

Выражения для символов Кристофеля в случае изометрической системы координат имеют вид

л* 1 дЛ л ,1 дЛ

^11,1 ~=^21,1 ~ “ , ^22,2^11,2 ““ •

2 дх2 ду

z>-5Лх->

^12,1 ^12,1’ 1 ~"_,^12,2

2 дх

с;, = С!, = -1--У-, 6;, = С:, 2Л ду

G = 1 аЛ

12,22 дх *

1 дХ

— Сгц —•

2Л ду

_ 1 5Л

L Л дх *

Оператор Лапласа относительно изометрической системы координат:

div (gradФ) = -L № + ^^ = А ^Ф.

div ч/ д ( дхг ду. ) л дгд-

/ д 1 / 5. д \ д 1 f д . . д \\

/ —— = 1I I , Iр II I ,

\ дг 2 \ дх ду J ^2 \ дх ду / /

Уравнения Гаусса записываются в следующей форме:

2Л \ дх^ дуй J 2Л

А система уравнений Петерсона—Кодацци имеет вид

^22_ Ц ^А Q ^11 ^ ^Л дх дхду ду

Изометрические системы координат на поверхности обладают важным свойством. При конформных преобразованиях 1-го и 2-го родов изометрическая система координат переходит в изометрическую систему координат. Изометрическое отображение поверхности на плоскость является конформным.

Пространственные криволинейные системы координат.

Методы построения: алгебраические, дифференциальные и теории конформных отображений

Построение криволинейной системы координат является ключевым моментом "при создании численного алгоритма решения уравнений в частных производных в областях с произвольно заданными границами.

При изучении пространственных течений идеального и вязкого газов следует учитывать наличие ударных волн, внутренних скачков уплотнения и разрежения, энтропийного слоя, взаимодействия ударных волн и пограничного слоя, областей «отрыва» потока, линий «стекания» и «растекания». Для получения равномерно точного решения во всей области необходимо производить сгущение координатных линий вблизи областей сильного изменения величин.

При численном моделировании задач аэрогидродинамики одна из основных трудностей состоит в построении дискретных криволинейных сеток около тел сложной формы и в удовлетворении граничных условий на поверхности тела. Точность решения задачи зависит от расположения узлов сетки, их размера, возможности сгущать сетку в областях сильного изменения функций. В практике вычислений приходится использовать различные системы координат, иногда с подвижным центром.

Применение формы записи уравнений в произвольной неортогональной системе координат несколько усложняет вид уравнений, появляются смешанные производные, добавочные члены, но эти преобразования не меняют характера уравнений.

При построении криволинейных сеток используются алгебраические, дифференциальные и методы теории конформных отображений.

Рассмотрим алгебраические методы. В практике вычислений используются различные системы координат, иногда с подвижным центром: сферические (R=Ri), цилиндрические (R = R2), естественные (R=r+x3n, г — поверхность тела, и— нормаль к телу) и др. Построение криволинейной системы координат следует производить таким образом, чтобы сетка ^хк=хк^, у2, z/3)= const) адекватно отражала физическую картину течения.

При решении задач внешнего обтекания в рамках вязких уравнений для предсказания величин трения, характера теплообмена следует учитывать сильные градиенты величин вблизи поверхности. При численной реализации граничные условия должны выполняться с высоким порядком точности. Поэтому вблизи поверхности удобно использовать систему координат, связанную с геометрией тела. В этом случае поверхность тела является координатной и граничные условия записываются наиболее просто. Например, граничное условие прилипания можно записать в виде ц = и = со = 0 при х3 = const.

Пусть S — регулярная поверхность. Представим радиус-вектор любой точки Р, расположенной вблизи поверхности, в виде суммы

R = r+x3n.(1.65)

Здесь R — радиус-вектор, проведенный из начала координат; г — радиус-вектор, скользящий по поверхности; п— нормаль к поверхности; х3— проекция вектора R—г на нормаль поверхности.

В качестве системы координат любой точки, расположенной вблизи поверхности, можно выбрать числа х\ х2, х3, причем х1, х2— координаты на поверхности. Координатные линии составляют семейство нормалей к поверхности S, а координатные поверхности х3 = const образуют семейство эквидистантных поверхностей. Поверхность рассматриваемого тела совпадает с поверхностью х3 = с.

Базисные вектор-функции координатной системы имеют вид Ra = ra + x3na, R3 = n (a, ^=1, 2). Здесь ra — базисные вектор-функ- нии координатной системы на поверхности. В силу формул Вейнгартена имеем

Ra — ^* cz Х^ЬаУ К,R3 —■ П

ИЛИ

^=(4-^)^, R3 = n (a,£ = 1,2).(1.66)

Найдем выражения для ковариантных компонент пространственного метрического тензора. Имеем

ga^ = (R» . Rp) = aap - 2x26aP + (x3)2 bXe («,£= 1,2),

^s=(Ra-R3)=0, g33=(R3-R3) = 1.(1-67)

Предположим, что при х3 = 0 координатные линии совпадают с линиями кривизны поверхности. В этом случае имеем

R, = (1—к^ го R2 = (1—&2х3) r2, R3 = и

gu = (1— к^уаи, g^= (1—к2хзуам, g33=l, gti=0, если t#=j. Здесь ki, ka — главные кривизны поверхности, аа6, ba6 — первая и вторая основные квадратичные формы поверхности. Дискриминант пространственной метрической формы выражается в виде

F g=а (1 —k^)2 (1 —^х3) 2 = а (1 — 2Нх3+К (х3)2).

Здесь Н— средняя, а К — главная кривизна поверхности.

Таким образом, построена триортогональная система координат, связанная с линиями кривизны поверхности. Уравнение нормали имеет вид n= (R1-R2)/yg'= (п-Гг)/^. Следовательно, орт нормали любой координатной поверхности х3 = const совпадает с п. Отметим, что построенная система координат справедлива только вблизи поверхности S при |^i||x3|<l, р2||х3|<1. Если /(^0, то построить систему координат, связанную с поверхностью тела, можно во всей области. Однако если Л<0, то в этом случае нормали к поверхности могут пересекаться в некоторой точке и следует вводить новую систему координат, совместную с естественной системой координат.

Выпишем формулы Гаусса и Вейнгартена. Имеем

ëР= СарГа + ЬарП,(а, £=1,2)

П« == ЬдХ X.

Для величины RaP получим

Rap = [GaP,£ — Xs (ЬаХ,р + GaPbvx)l ГХ + (6„р — Х3ЬаЬ^ П,

Ra3 = ^r\ R33 = 0.(1.68)

Символы Кристофеля 1-го рода выражаются по формулам

Гу,к= (Rir R&) •

В силу (1.67) и (1.68) получим

ГаРЛ = GaP.X - X3 (&аМ + 2G^M + (х3)2 (&v№(1 -69)

Гар,з== — Газ1р=Ь<хР X3ta^Xp, Газ,з = 0,Г33,б = 0.

Если выбрать систему координат, связанную с линиями кривизны поверхности, то получим

Rap = (1 — V) Гар—Я3 (^а W) Га,

R3a=—^ага, R33=0 (по а не суммировать).

В этом случае формулы (1.69) примут вид

ГарЛ = (1 - ках8^ (1 — feaX3) Сарл - X3 (1 - кхХ ) -^ аах,

Х (1.70)

1 «Р,з 1 аз,р— ^оф(1^а^3)> Ь^— ^i^iv ^22— ^2^22’

Я12 = Ь12 = 0.

Поверхностные символы Кристофеля выражаются в виде

Величины GaPi3 равны коэффициентам второй основной формы координатной поверхности: GaP)3 = baP.

Для пространственных символов Кристофеля 2-го рода имеем r/, = (R^Rf,) = g^

Пользуясь формулами (1.70), получим

ГаРГаР1 — кпхд лv-з дкп 1

ГаР

ГаР

1 Z Г i Z 7 й”

—1 — ЙЛ^ дх₽

Пр = ^(1-«, r^3 = -^/(l-W, Газ = 0, Гз3з = 0

(1.71) (по а, р, *у не суммировать).

Здесь Gap —поверхностные символы Кристофеля, а именно Gap = o^Ga^= (raP-r^). Так как k^ — b^ к^Ь^ Ь^Ь^-О, то равенства (1.71) перепишутся в виде

ар — Gap;;— Gpa^v + Gpv^a *

— ^;/ \ дх6/

В приближении пограничного слоя x3^iyRe— малая величина. Поэтому 1±&16*~1, 1±&26*~ 1, где 6* — толщина пограничного слоя. В этом случае можно пользоваться приближенными формулами:

Ra = ra, R3 = n, Ra = ra, R3 = n,

ga» = aa», gia = ga3 = 0, gss=l, g“S = a“P, g“3 = g3™ = 0,

g33=l,(1.72)

Гар,?.=== Gap,?.> Гар,з —^аР> Газ.р = 6аР> Газ.з—:0) Г(хр = Сар> Г«р = 6аР> Г₽з = -^. Г^з = 0, Г^^О.

В естественной системе координат, связанной с поверхностью тела, любая точка в поле течения определяется заданием точки на поверхности и расстоянием вдоль нормали к телу. Для геометрии с отрицательной кривизной (К<0) нормали от разных участков могут пересечься, поэтому этой системой координат можно пользоваться только на расстояниях вблизи поверхности, меньших наименьшего радиуса отрицательной кривизны поверхности.

В некоторых случаях удобно использовать систему координат, которая сочетает свойства сферической (вблизи затупления), ци-

линдрической (при наличии выделенного направления) и естественНой (вблизи поверхности) систем координат (R = a1R1 + a2R2 + a3(r+ д-х3п)). Использование алгебраических методов дает возможность контролировать формирование сетки. Сложную топологию трехмерных областей можно упростить, рассматривая в характерных областях как квазидвумерную. Возможность точно задать расчетную сетку, вычислить все требуемые величины (метрику, символы Кри- стофеля и др.) с необходимой точностью является важным преимуществом алгебраического подхода.

При вычислении нерегулярных границ конечно-разностными ме- годами можно использовать специальные приемы. Один из таких подходов заключается в использовании специальных уравнений вблизи границ, например характеристических соотношений. Можно применять неравномерные сетки вблизи границ тела и записывать уравнения для неравномерных сеток. При этом можно использовать координатные преобразования, при которых граница переходит в одну из координатных линий. Если преобразуется только одна координата, то в этом случае все достаточно просто.

Предположим, что заданы поверхности St и S2 в декартовой системе координат. Если от декартовой системы координат перейти в сферическую или цилиндрическую, то геометрия St и S2 задается в виде Г1 = Г1(г, 0) и г2 = г2(г, 0) в цилиндрической системе координат. Пространственная система координат между двумя поверхностями может быть построена в результате использования следующих связей: Х=(г—П)/(г2—rj, zv = z, 0t = 0. Таким образом, перешли из цилиндрической системы координат г, z, 0 к системе координат Л, 2, 0, в которой поверхность ^ = ^(2, 0) совпадает с координатой Х = 0, а поверхность г2 = г2(г, 0) совпадает с координатой Х= 1. Затем можно сгустить узлы сетки вблизи поверхности rY или г2.

Это преобразование можно задать аналитическим путем или находить численно в процессе расчетов. Численное преобразование является более общим случаем и может быть самонастраивающимся в зависимости от решения.

. В последние годы широкое распространение получили методы генерирования криволинейных систем координат с помощью решения систем уравнений в частных производных [16]. Если рассмотреть задачу об идеальном обтекании тела, то в двумерном случае задача о нахождении линий тока и функций тока в задаче о внешнем обтекании сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала ср и функции тока ф с соответствующими граничными условиями: д2ф/дх2 + д2ф/ду2 = 0, д2-^1дх2 + д2^ду2 = 0. В этом случае функции ф(х, у) и ф(х, у) образуют ортогональную криволинейную систему координат, связанную с поверхностью обтекаемого тела. Функция тока принимает постоянное значение вдоль линии тока.

При использовании уравнений эллиптического типа обеспечивается принцип максимума и минимума, т. е. экстремальные значения решения могут быть достигнуты только на границе области. Это обеспечивает взаимнооднозначное соответствие между физической и преобразованной областью. Так как изменение координат

вдоль фиксированной границы должно быть монотонным, то, следовательно, экстремальные значения координат будут достигаться на границе области, а не внутри.

Другое важное свойство систем координат, генерируемых уравнениями эллиптического типа, состоит в том, что разрыв границы не распространяется внутрь области.

Наиболее простая система уравнений в частных производных, для которых выполняется принцип экстремума и которая обладает свойствами гладкости решения, является система уравнений Лапласа: d2g/dx2+d2§/dy2 = 0, дгт\,дхг + д2х\1ду2 = 0.

Плоскость (х, у) —физическая плоскость, а ^(х, у) и т](х, у) — криволинейная система координат. Величина ^>0, если линии т] = = const являются выпуклыми по отношению к внешней области, следовательно, ^<0, расстояние между ^-линиями будем увеличивать по у0. •

Таким образом, координатные трлинии стремятся более тесно покрыть область около выпуклого сегмента. Для вогнутого сегмента, получаем, что ^<0, так что ^>0, и, следовательно, расстояние между координатными трлиниями будет уменьшаться при отходе от границы.

Особенно широкое распространение получил метод с использованием систем неоднородных уравнений Лапласа — уравнений Пуассона. Неоднородные члены являются произвольными величинами. Введение этих дополнительных членов производится для контроля распределения криволинейных координатных линий в области и сгущения сетки в областях сильного изменения функций.

Рассмотрим уравнение Пуассона d2^/dx2+d2^/dy2=P(x, у), д2т)/дх2 + д2г|^ у).

Система обладает свойствами экстремальности, если выбираемые произвольные функции Р(х, у) и Q(x, у) не меняют знак в области. Следует отметить, что принцип экстремума является достаточным, но не необходимым условием взаимно однозначного соответствия. Координатные линии £ = £(х, у) и т) = т) (х, у) образуют прямоугольную сетку в преобразованной области. Уравнения в преобразованной области имеют вид

ах^ — 2^ + ух^ = — Р фх^ + Qxn),

^ — 2?>у^ + чу^ = — Р фу^ + Qyn). (1.73)

Здесь /=х^хп—х^ — якобиан преобразования, а = хп2 + уп2, р = =ХбХп+УбУп, ^ = х^ + у^2. Хотя уравнения являются нелинейными, решить эту систему для х = х(£, т]), у = у^ т]) не представляет труда обычными релаксационными методами. В случае, если якобиан преобразования не обращается в нуль в рассматриваемой области, между преобразованной и физической областями можно установить взаимнооднозначное соответствие. Рассмотрим граничные условия для системы (1.73). Для задач обтекания с отошедшей ударной волной (см. рис. 1.11) в качестве граничных условий можно выбрать обычные условия Дирихле. Координатная линия т] = Y]min совпадает

Рис. 1.11Рис. 1.11

Рис. 1.11

Рис. 1.11

с телом, а т] = г]тах— с внешней границей — ударной волной. Точки координатных линий g = const произвольно распределены вдоль этих границ. Можно регулировать граничные точки, распределяя их в плоскости х, у оптимальным образом, что является одной из возможностей этого метода. Гармонические функции Р и Q позволяют ввести сгущение около координатных линий, но контролировать сгущение трудно.

Для генерирования систем координат в трехмерном случае можно ввести систему уравнений Лапласа: d2x7dx2 + d2x7dy2 + d^^ = 0 (f=l,2, 3).

Если от системы координат хг‘ перейти к другой х'\ удовлетворяющей тем же граничным условиям, то получим систему уравнений <W(x^+W(^ х'2, х/3).

Таким образом, с помощью преобразования х'^х'Дх1, х2, х3) можно перераспределять координаты х1, х2, х3, которые являются решением исходной системы уравнений, любым образом.

Рассмотрим случай конформного отображения внешности двумерной области Gt на внешность • двумерной области G2 (рис. 1.12). Задача об эффективном построении отображающей функции бывает достаточно сложной. Хотя ответ на вопрос о существовании функции, совершающей взаимно однозначное преобразование, известен. Теорема Римана утверждает, что существует аналитическая функция W=f(z)1 которая взаимно однозначно и конформно отображает одну односвязную плоскость Gt на другую G2, если только ни одна из областей Gt, G2 не принадлежит к числу

двух исключений: одним из таких исключений является вся расширенная плоскость, другим — вся плоскость с одной выключенной точкой..

Для того чтобы обеспечить единственность отображающей функции Ц7=/(г), достаточно в какой-нибудь точке 20 области Gt задать значения Wo^f^, argf'(20) = 0О.

Единственность отображения будет обеспечена, если для некоторой точки г0 области G4 будет указана точка Wo в G2 и заданное направление в точке z0 перейдет в заданное направление в точке Wt.

Приближенное конформное отображение можно получить, составляя комбинации простых и наиболее употребляемых функций, например полиномов. В области G4 можно построить полином, который отличается от функции, преобразующей внешность области на внешность круга как угодно близко в любой внутренней части G4. Аналогичное утверждение справедливо, если рассматривать отображение внутренности области Gt на внутренность круга.

Если граница области Gt имеет кратные точки, то одними полиномами для получения равномерно точного приближения всюду в этой области не обойдешься. Если граница области G4— простая кривая (без кратных точек), то полином в G4 можно подобрать таким образом, чтобы он отличался от преобразующей функции сколь угодно мало всюду в G4, включая и границу.

Приближенное конформное отображение произвольного контура, заданного в плоскости 2, можно получить, составляя комбинацию простых функций, например полиномов [21—22].

Рассмотрим конформное преобразование следующего вида:

2 = 2 ап^п.

Здесь z — исходная физическая плоскость, а £— преобразованная плоскость, причем z=x-Vly, ^=t/+fy, р„=3—2и.

Используя полярную систему координат в ^-плоскости (£ = — ге^, см. рис. 1.12), можно записать

N

х = 2 ОпГ cos pnq>,

Л=1

(1.74) n Р

У = 2 a"r "sinM- л=1

При r=const выражение (1.74) представляет отображение окружности в плоскости £ в контур у в плоскости г. Коэффициенты ап можно найти, если задать систему точек в исходной плоскости. Коэффициенты выбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений расстояний между точками, получен-

ними из преобразования, и заданными значениями контура

5 = 2 f(s йпс°8Рпфр — *Л "*"(s “-’^Йр-^ ) •(1-75)

р=1 \ \П—1/X П=1/ /

Необходимым и достаточным условием минимума Е являются условия

дЕ?да5=0 (/=1, ...,1V),

(1.76)

дЕ1д^, = 0 (/ = 1, • • •, РУ

Здесь Р число заданных точек на контуре ^^P>Ny Эти условия представляют систему N+P нелинейных уравнений для определения неизвестных величин ап и фР.

Уравнения (1.76) являются линейными относительно величин ап и могут быть решены непосредственно, если величины фР известны. Вместо того чтобы решать систему нелинейных уравнений для фР при заданных коэффициентах ап, можно воспользоваться обратным интерполяционным процессом для определения углов фР, которые минимизируют уравнения (1.75). Для этого систему нелинейных уравнений (1.76) следует решать итерационным методом. Для заданных коэффициентов ап ищутся углы фР. Затем используются уравнения для определения ап, и процедура повторяется.

Если углы известны, то можно найти поправку для коэффициентов ап. Поправка находится из соотношения

= ° U=L...,N).(1.77)

да,да„да,

Полагая dEjda^S^ и д2Е/дапда^Е^п, имеем

Fjn\au= —S, или \ап= -(F^^-Sj.

Можно показать, что р

Fjti=^ cos2(/— п)фр.

Если фР известны, величины Fjn могут быть вычислены и обратная матрица находится один раз.'

Для того чтобы задать поверхность, будет считать, что коэффициенты ап зависят от координаты zb Конформное отображение (1.74) будет задавать преобразование контура ч на окружность г=const в заданном сечении г4 = const.

Пусть коэффициенты ап найдены для ряда значений zv Найдем величины ап в виде полинома

м

ап (2л) = ^ Amn (2j) 1.

/п—1

Рис. 1.14Рис. 1.14

Рис. 1.14

Рис. 1.14

Если ап известны в заданных сечениях, то коэффициенты Ати могут быть найдены, например, методом наименьших квадратов.

Таким образом, получим пространственную систему координат, в которую исходная поверхность будет автоматически включена:

N М

* = 2 S Атп ^m~lr ”c°sM,

л—1 т=1

N М

У =2 2

п=1 т—1

Z = ZV

Заданная поверхность в физической плоскости соответствует поверхности г=1 в преобразованной плоскости. Линии r = const3>l при 2=const соответствуют окружностям, концентрическим единичной окружности:

x = atr cos ф+О(1/г),

y^a^sm ф+О(1/г).

Система координат является неортогональной, но в плоскости 2t = const является ортогональной, так как при построении использовалось конформное отображение.

С помощью такого способа можно построить криволинейную систему координат около корпуса корабля (см. рис. 1.13). Информация о сечениях (2 = const) задается в виде набора данных (см. рис. 1.14)..'

Методы теории конформных отображений полезны при преобразовании внешности произвольной области на внешность круга. Один из способов, предложенный в работе [15], состоит в следующем. Предположим задана произвольная область (см. рис. 1.15), которую следует преобразовать на внешность, близкую к внешности круга. Поперечное сечение, приведенное на рис. 1.15, имеет несколь-

Рис. 1.15Рис. 1.15

Рис. 1.15

Рис. 1.15

ко углов и острых кромок. Каждый острый угол контура можно сгладить конформным преобразованием вида

£-1£+1£-1£+1г-Д \6з + А* уг-Д \6з + А* у(1.78)(1.78)

£-1

£+1

£-1

£+1

г-Д \6

з + А* у

г-Д \6

з + А* у

(1.78)

(1.78)

Здесь z— физическая плоскость, £— преобразованная, Л— координата угла или острой кромки в комплексных координатах, Л*— комплексно-сопряженная величина и 6 — внешний угол в радианах. При таком преобразовании угол в плоскости £ сглаживается, а остальные углы остаются неизменными. Повторяя эту процедуру Для различных углов, контур можно сгладить. Результаты последовательного применения преобразования приведены на рис. 1.15, а—ж. Окончательный профиль контура является гладким. Система координат, которая получается в этом случае, приведена на рис. 1.15, з. При применении преобразования (1.78) удобно начинать с преобразования внешних углов, больших по величине, и переходить к углам, которые меньше.

С каждой поверхностью можно связать триортогональную си- етему поверхностей, в состав которой она входит. Выберем на заданной поверхности S систему координат, связанную с линиями кривизны. Вдоль каждой координатной линии проведем бесконечно

малые нормали к поверхности одинаковой длины, на концы которых натянем поверхность SP Поверхность, которая соответствует линиям кривизны одного семейства, образует первое однопараметрическое семейство поверхностей. Поверхность, составленная траекториями, выходящими из линий кривизны другого семейства, образует второе однопараметрическое семейство поверхностей. Вместе с заданным семейством Sj они и составляют триортогональную систему.

Действительно, поверхности пересекают параллельные поверхности ортогонально в силу определения последних и пересекают по линиям кривизны, а из этого обстоятельства вытекает, что и друг друга эти поверхности пересекают ортогонально. =

Рассмотрим дифференциальные методы. Необходимым и достаточным условием существования евклидового пространства является условие равенства нулю риманова тензора кривизны. Для того чтобы составляющие метрического тензора воспроизводили триортогональную систему координат, они должны удовлетворять шести дифференциальным уравнениям в частных производных (1.34):

RPuP = (dp f -г- 9pkt \ + й ( -7- 9thp ) 4

+ — д^ДнД — О, (р =^ к =4= 0

1 1 (L79)

RpHk = ^i -(dp^/ii - дph^lip - - d^hidphA = 0.

Здесь hi—^git — коэффициенты Лямэ, д^д!дх\ Компоненты тензора Rtjhl при i = j или к = 1 всегда тождественно обращаются в нуль.

Зададим составляющие метрического тензора в виде ht = = h2 = F(x\ х2) А3=1. Для величины F получаем дифференциальное уравнение вида d2ln Fjd (х1) 2+ дЧп F(d (х2)2 = 0. Следовательно, InF— гармоническая функция и общее решение имеет вид lnF = = Ф(2) + Ф(г). Здесь Ф(2) —произвольная аналитическая функция (2 = х1 + /х2).

Зададим составляющие метрического тензора в виде /i^ = А2= ^о + с^(х3))Р(х\ х2), Н3 = Щх3>). Функция f(x3)—произвольная; с0, с^— постоянные. В этом случае система уравнений сводится к уравнению дЧп РАДх^+дЧп 77д(х2)2=—kF2 (к>0, k = c2).

Введем новую функцию и = Р2 и переменные £ = У&х, т]=^ку, тогда уравнение примет вид дЧп м/д£2+дЧп и!дх\2 =—2м. Общий интеграл можно записать в виде [1]

^=4|фд^)|/(1+|ф(о|2)2, н-нч).

Литература

Векуа И. Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука. ' 1978. 296 с.•

Седое Л. И. Механика сплошной среды. М/. Наука, 1970. Ч. 1. 492 с.

Trusdell С. The physical components of vectors and tensors.— ZAMM, 1953, ‘ N 3, p. 345—346.

Williams G., Hector D. A note on physical components.— ZAMM, 1969, N 49, p. 665—670.

Рашевский П. К. Курс дифференциальной . геометрии. М.: Гостехтеориздат, ’ 1956, с. 420.

Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 325 с.

Бабиков П. Е. Модифицированная версия комплекса программ для вычисления геометрических характеристик таблично заданных поверхностей сложной конфигурации. М., 1982. 22 с. (Тр. ЦАГИ; Вып. 2134).

Лебедь В. Г., Любимов А. Н., Русанов В. В. Метод представления ^визуализации формы *в диалоговых системах машинного проектирования.—Автометрия, 1982, № 4, с. 35—42.

Годунов С. К., Прокопов Г. П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток.— Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1967, № 5, с. 1031—1059.

Годунов С. К- Об автоматическом построении сеток для уравнений в конечных разностях в области сложной формы.— In: Actes Congr. Intern. Math., 1970, Paris, 1971, vol. 3, p. 99—104.

Прокопов Г. П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами: Препр. № 17 Ин-та прикл. математики. М., 1974. 18 с.

Проектирование самолетов/А. А. Бадягин, С. М. Егер, В. Ф. Мишин, В. Ф. Склинский, Н. А. Фомин. М.: Машиностроение. ’1972. 306 с.

Принс М. Д. Машинная графика и автоматизация проектирований. М.: Сов. радио, 1975. 230 с.

Мишин В. П., Осин М. И. Введение в машинное проектирование летательных аппаратов. М.: Машиностроение. 1978. 342 с.

Moretti G. Conformal mappings for computations of steady, three-dimensional supersonic flows. Numerical laboratory/computer methods in fluid mechanics.— Trans. ASME, 1976, p. 13—28.

Numerical grid generation techniques.— NASA Conf. Publ., 1980, N 2166, p. 561.

Warsi Z. Basic differential model for coordinate generation.— In: Symp. on numer. generation of curvilinear coordinate systems. Nashville, 1982, p. 1—7.

Осин M. И. Методы автоматизированного проектирования летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1984. 243 с.

Миранда Л. Р. Применение вычислительной аэродинамики при проектировании самолетов.—Аэрокосмич. техника, 1985, № 2, с. 3—23.

Hirt С. W., Ramshaw I. D., Stein L. R. Numerical simulation of three-dimensional flow past bluff bodies.— Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng., 1978, vol. 14, N 1, p. 23—28.т

Ives D. C. Conformal grid generation.— Appl. Math, and Comput. 1982, N 10/11, p. 107—135.

Kerczek C., Tuck E. The representations of ship hulls by conformal mapping functions.— J. Ship Res., 1969, N 12, p. 284—298.

ГЛАВА ВТОРАЯ

Уравнения движения вязкого теплопроводного неоднородного сжимаемого газа в произвольной криволинейной системе координат

Уравнения Навье—Стокса как математическая модель течений вязкого теплопроводного сжимаемого газа применимы в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса. Область применения этой математической модели охватывает вопросы аэрогидродинамики и входа в атмосферу. В настоящее время численное моделирование течений жидкости и газа в зависимостй от характера рассматриваемой задачи проводится в рамках различных математических постановок и приближений.

Если рассмотреть течения вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости в зависимости от числа Маха (этот параметр характеризуется отношением скорости течения к скорости звука среды), то при изменении этой величины различают дозвуковые течения (0< <М<1), трансзвуковые (М«1), сверхзвуковые и гиперзвуковые (М>1 и М>1).

Дозвуковые течения характеризуются тем, что жидкость можно считать несжимаемой средой, а влиянием теплопроводности можно пренебречь. При движении тела по мере увеличения скорости по сравнению со скоростью звука возникают местные сверхзвуковые зоны, появляются скачки уплотнения, т. е. начинают проявлять себя эффекты сжимаемости среды. При сверхзвуковых течениях (М>1) влияние сжимаемости среды становится существенным моментом. При обтекании тел идеальным сверхзвуковым потоком возникают ударные волны, параметры течения перед ударной волной и за ней меняются скачком. Влияние теплопроводности и вязких диссипационных факторов становится более существенным, особенно вблизи поверхности движущегося тела.

С математической точки зрения все эти явления описываются уравнениями Навье—Стокса. Нелинейный характер уравнений передает общие физические свойства течений: наличие зон с резким изменением градиентов величин (пограничные слои, ударные волны и т. п.), «отрыв» потока, возможность ламинарного, переходного и турбулентного режимов течений, появление квазипериодиче- ских, неустойчивых решений и бифуркации решений. Асимптотический анализ уравнений Навье—Стокса позволяет выделить в рассматриваемой задаче характерные области течения в зависимости ст характерных параметров задачи.

В разд. 1 рассматриваются уравнения движения нестационарной вязкой жидкости в произвольной криволинейной системе координат. Уравнения движения записываются в переменных СКОрОСТЬ-

давление, скорость—завихренность и в переменных векторная функция и потенциал.

Б разд. 2 рассматриваются уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости в произвольной криволинейной системе координат.

Естественным состоянием реальных течений является турбулентный режим. Физическая структура турбулентности носит сложный характер и требует детального изучения во времени и пространстве. Изучение осредненной по времени турбулентности, основанное на полуэмпирических моделях замыкания, интенсивно развивается для случая несжимаемой и сжимаемой жидкости и полезно с точки зрения инженерных приложений. Численные методы расчета ламинарных течений могут быть использованы для расчета осредненных турбулентных течений (разд. 3). При гиперзвуковых течениях проявляются реальные теплофизические свойства среды. Увеличение скорости летательных аппаратов сопровождается физико-химическими процессами (разд. 4).

Решение полных уравнений Навье—Стокса является трудоемкой задачей, и обычно рассматривают предельные случаи — уравнения идеальной жидкости и пограничного слоя. Физически это соответствует тому, что вязкими силами и теплопроводностью пренебрегают и учитывают их влияние только вблизи поверхности. С математической точки зрения уравнения идеальной жидкости и пограничного слоя являются внешним и внутренним асимптотическими разложениями уравнений Навье—Стокса при Re^-oo. Упрощенные математические формулировки задач обтекания тел вязким теплопроводным газом приведены в разд. 5.

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в произвольной криволинейной системе координат

Рассмотрим нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости около тела конечных размеров. Движение называется нестационарным, если скорость хотя бы в одной точке движущейся жидкости зависит от времени. Жидкость называется несжимаемой,, если плотность постоянна во всем объеме, занятом жидкостью.

В дальнейшем будем рассматривать течения вязкой жидкости^ иначе говоря, такой жидкости, которая обладает внутренним трением. Внутреннее трение проявляется в сопротивлении изменению формы жидкости и приводит к появлению вихрей, «отрыва» потока, подъемной силы и сопротивления. Поверхностные силы, приложенные к элементу поверхности любого объема жидкости, имеют, кроме нормальных, еще и касательные составляющие.

Уравнения движения представляют собой запись законов сохранения (массы и количества движения). В векторной форме при отсутствии массовых сил эти уравнения записываются в виде [ 1 ]:

div и = О,

. <2Л) p(du/d/) = divP, (d/d^d/d^+uV).

Первое уравнение системы — уравнение неразрывности, второе — уравнение динамики движения в напряжениях. Здесь и — вектор скорости, р — плотность, Р— тензор вязких напряжений. Величину Р можно представить в виде суммы двух величин: Р = —p/+2p,jE, где р — давление, ц— вязкость жидкости, / — единичный тензор, Е— тензор скоростей деформаций. Первая величина — тензор напряжений для идеальной (лишенной внутреннего трения) жидкости и вторая величина Е — тензор скоростей деформаций, связанный с наличием не только нормальных, но и касательных напряжений. Напомним, что жидкость называется идеальной, если закон изотропности давления выполняется и для движущейся жидкости. При наличии внутреннего.трения закон изотропности давления в движущейся жидкости нарушается.

В векторной форме уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости можно записать в таком виде:

div и = О,

(2.2) du/d£+uVu = —(1/р) gradp+vAu,(v = p/p).

Для определения величины давления р получим уравнение, применяя операцию div ко второму уравнению системы (2.2). Пользуясь тем, что div и = О, получим А(р/р) = —div ((u-V)u). Воспользуемся формулой векторного анализа: (uX^u^rotuXu + grad (Lf2/2), U2 = = u u. Учитывая, что div (grad Z72/2) = А(172/2), имеем div(rotuX Xu) = urot (rotu)—rotu-rotu+A(Z72/2).

Для определения величины p получим уравнение A(p/p+J72/2) == = —u rot (rot u) + rot u • rot u.

В переменных и—p (скорость и давление) имеем три уравнения параболического типа для компонент скорости и одно уравнение эллиптического типа для давления.

Одна из основных трудностей при решении приведенной выше системы уравнений заключается в удовлетворении граничных условий на стенке. Величину давления на поверхности тела, например, следует задавать таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям прилипания на теле и граничному условию для давления на бесконечности.

Запись уравнений в физических переменных для пространственных задач привлекательна в том отношении, что можно пользоваться численными алгоритмами, разработанными для двумерных задач.

Вязкость ц является физической характеристикой жидкости, характеризующей силу внутреннего трения. Эта величина определяется как сила сдвига на единицу площади. Обычно вязкость выражается в паузах, ее размерность имеет вид [ц], дин-с/см2.

В аналитической форме компоненты тензора скоростей деформации Е задаются в виде

еу = 7г (М/дуЧ дщ/ду^,Ц, / = 1, 2, 3).

Таким образом, для отыскания трех компонент вектора скорости и^и, у, со) и давления р имеем систему четырех уравнений. Граничные условия на обтекаемом теле состоят в выполнении условий прилипания, т. е скорость частиц жидкости на поверхности непроницаемого тела о равна нулю; ■

и = 0 или цп=0,ит = 0.(2.3)

Здесь и^ ит —величины скоростей: нормальной и касательной к поверхности тепа. Условия на бесконечности:

uL^u,, р О0=роа.(2.4)

Задача состоит в нахождении решения системы уравнений (2.1) с граничными условиями (2.3), (2.4).

Для нестационарных течений в. начальный момент времени / = 0 должны быть заданы и, р как функция координат х, у, х*.

и (х, у, z. 0) = и0 (х, у, z\ div u° = 0, [ div udy •= f unds. (2.5)

Vs

При числением решении задачи бесконечная область заменяется конечной и граничные условия сносятся на границу конечной области. Следует отметить, что решение задачи чувствительно к тому, какого рода условия ставятся на границе, в частности на той границе, из которой поток вытекает. Если в процессе решения граница конечной области выбирается на относительно близком расстоянии от тела, то может быть получено физически неверное решение, особенно при больших числах Рейнольдса. Поэтому в процессе вычислений обычно исследуют влияние границы, меняя ее положение и сравнивая полученные результаты.

Выпишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в произвольной системе координат хк. В декартовых координатах у1 векторная форма записи уравнений (2.1) примет вид

— = 0,'. (2.6)

дук

ди1. ь ди11др./ д2^. д^и1, д^и1 \

dt ду*рdyi'\dW dW dW)

^Л = 1,2,3).

Если формально положить v равным нулю, то получим уравнения движения идеальной жидкости. В этих уравнениях и^и^у1, у2, у, t)—составляющие компонент скорости жидкости (i=l, 2, 3); р(у\ У2^ У\ t) —давление; рС^/1, у2, у3, t) —плотность; v = p/p— кинематическая вязкость.

6565Если даны соотношения, связывающие обычные и частные производные тензоров в декартовых координатах, то, заменяя обычные производные на абсолютные, частные — на ковариантные, векторные выражения — их представлениями в произвольной криволиней-

65

65

ной системе координат (см. разд. 2, гл. I), получим тензорное равенство, справедливое в любой системе координат.

Поэтому уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в произвольной системе координат для контравариантных составляющих примут вид

икк = 0,

+ иЧк =L g^ + ^kruV (Г, i,k - 1,2,3).

(2.7)(2.7)Для ковариантной составляющей вектора скорости уравнения количества движения запишутся таким образом:

(2.7)

(2.7)

^k,k ==: О, ди,1 др

—— + ubUt,k =—г + vgkrUi,kr, (i,k,r=l,2,3).

dtр dxv

дик dxk ди1 "dt"дик dxk ди1 "dt"VVkrkUr = 0,VVkrkUr = 0,Здесь индекс — запятая внизу — обозначает ковариантное дифференцирование, основанное на символах Кристофеля. Выражения для ковариантной производной и символов Кристофеля приведены в гл. I. Если заменить ковариантные производные в уравнениях (2.7) их выражениями, то система уравнений примет следующий вид:.

дик dxk ди1 "dt"

дик dxk ди1 "dt"

VVkrkUr = 0,

VVkrkUr = 0,

дхкдх1

Г1 Г? )

— J- spi кг ^

В случае произвольной неортогональной криволинейной системы координат такая форма записи является громоздкой. Систему уравнений (2.7) можно привести к такому виду:

4=о, р (duHdt + ики‘^ = Р*,к.

Здесь Pih =—pgih-V2p,eik — тензор напряжения, a eik— тензор скоростей деформаций, который имеет вид e^^l^g^u^+g^tpj. Система уравнений может быть представлена в консервативной форме:

Действительно, умножим первое уравнение —уравнение неразрывности— на и1 и сложим со вторыми уравнениями — уравнениями количества движения, воспользовавшись тем, что g^ =0. Эту систему уравнений можно записать в виде, удобном для применения численных методов, пользуясь формулами (1.36) и (1.44). В этом случае уравнения неразрывности и количества движения примут вид

(У^) = 0.

V g Sxk

4- (V g^+-Д- /g (utui + —gtj—X +

otдх' \P/

+ Vg ( итШ -v-— gmi — ттЛ Гт/ = 0 (Z,/,m = 1,2,3).

XP/

Здесь

Vi = 2ve^, eli = -^- ^1ки\к + gikuW '

Если уравнения (2.1) записать в безразмерном виде, выбрав в качестве масштаба характерное время, длину, скорость, то в уравнения войдут безразмерные числа подобия: число Рейнольдса — Re=UL/v и число Струхаля Sh = L/UT. К этим уравнениям следует добавить начальные и краевые условия, обезразмеренные таким же образом.

Если уравнения в безразмерной форме, начальные и граничные условия одни и те же для двух течений, то эти течения подобны между собой. В этом случае числа Рейнольдса и Струхаля для двух течений одинаковы. Для идеальной жидкости подобие выполняется, если обеспечено геометрическое подобие обтекаемых тел.

Общие теоремы существования и единственности для нестационарных пространственных вязких течений нам неизвестны, хотя для частных классов движения вязкой несжимаемой жидкости такие теоремы существуют [2]..

Запишем уравнения движения (2.2) в форме Громека—Лам- ба сначала в векторной форме, а затем — в произвольной криволинейной системе координат. Выделим в уравнении количества движения из конвективного ускорения его потенциальную часть. Для этого воспользуемся следующей формулой векторного анализа:

(u-V)u = rot uXu + grad (/72/2).

Затем учтем, что величина rot (rot и)= grad (divu)—Au. Пользуясь уравнением неразрывности (divu = 0), получим Au= —rot (rotr/) = = —rot co. Здесь введена функция m = rotu. Таким образом, уравнения движения запишутся в таком виде:

divu = 0,

du/d^4-(oXu+gr^d Р=—v rot (о, <o = rot u.(2.9)

Здесь введено обозначение P=t/2/2 + p/p. В случае несжимаемой идеальной жидкости величина Р не меняется вдоль линии тока. Действительно, рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости (м = 0). В этом случае уравнение (2.9) примет вид

gradP +юХи = 0.(2.10)

Умножая обе части (2.10) скалярно на вектор скорости и, получим u-gradP = 0. Здесь второе слагаемое обратилось в нуль в силу перпендикулярности к и. Если ввести производную по направлению вдоль линии тока, то получим

dP № ,№ . dPп

= иу у[-со= 0, ds дх ду дг

Отсюда следует, что вдоль линии тока величина Р сохраняет свое значение [/2/2 +р/р = const (вдоль линии тока). Полученное равенство носит название интеграла Бернулли.

Выпишем уравнение для определения Р. Применим операцию div ко второму уравнению системы и учтем, что div (rot и) =0. В результате получим div (gradP) = —div (соXu). Величину div (©Xu) можно представить в таком виде: div (©Xu) = u-rotо—to-rotu = = urot(o—(о • (о. В результате для нахождения величины Р приходим к такому уравнению:

div (grad Р) = —u rot (о + (ю • со).

Систему уравнений (2.9) можно записать в переменных и—Р—ю:

div и = 0,

(2.11) 5u/d^+ojXu+gradP= —vroto,

div (gradP)=—u rot (o+<o (o.

Здесь (o = rotu, V=U2l2+plp. Такая форма записи является удобной в том отношении, что граничные условия можно выписать довольно просто.

Для решения нестационарной задачи для вектора и (второе уравнение системы) необходимо задать условия в некоторый момент времени и°(х, у, 2, 0), divii° = 0. Если значения скорости в начальный момент известны, то можно найти величину завихренности. Для задач внешнего обтекания граничным (краевым) условием на поверхности тела является условие равенства нулю величины скорости. Вдали от тела скорость известна. На границе, из которой жидкость вытекает, ставятся приближенные краевые условия экстраполяционного типа или записываются упрощенные уравнения движения. Величина Р находится из решения смешанной задачи для уравнения Пуассона. Вдали от тела величина Р известна, на других границах вдали от тела граничные условия можно получить из первого уравнения системы для производных от Р, на поверхности тела имеем соотношение (gradP)r = —v(roto)T.

Запишем эти уравнения (2.11) в произвольной криволинейной системе координат для ковариантных составляющих вектора скоростей:

du, ЛР

1^imnumton ~ — vAt-, (I, к, т, п = 1, 2, 3),

dt дх1

~~ — ( Vg' gsk— gmnUmKn + gnmtomton.

у g dxs \дхк )

Здесь Р = йЧ/2 + р/р, о/ =1V- —^тп^т>п.

Выберем систему координат, связанную с поверхностью тела. На поверхности тела (х3 = const) будет выполняться условие прилипания (мг‘ = ^=0). Отсюда следует, что на поверхности тела справедливы условия дР1дхг= —vAr, Р = р/р.

Для двумерных-задач вязкой жидкости накоплен опыт решения в переменных функции тока и завихренности. В пространственном случае отличие заключается в том, что необходимо вводить понятие векторного потенциала и завихренности. Основная трудность при переходе от физических переменных и, —р к переменным ю, ф состоит в формулировке граничных условий для векторного потенциала.

Рассмотрим задачу о пространственном движении вязкой несжимаемой жидкости в переменных ф (векторного потенциала) и сэ (завихренности). Понятие векторного потенциала и завихренности введем следующим образом: и = го!ф, со = rot и. Тогда rotu = = rot (rot ф) = grad (div ф)—Аф. Величине дивергентности нового вектора ф можно приписать любую желаемую величину. Если выбрать-б1уф=0, то Аф= —(о, б1уф = 0. Таким образом, уравнение для векторного потенциала записывается в виде векторного уравнения Пуассона:

dtojdt-p (uV)<o—(<oV)u = ^A(d,

Аф =— (о, б1Уф = 0, и = rot ф, (о = rot и.

Граничные условия на неподвижной стенке имеют вид

(rot ф)т = 0, (от = (rot u)T, (d(o/dOT = v А(от, (div ф)т = 0.

В произвольной криволинейной системе координат для ковариантной составляющей ю получим такую систему уравнений:

dtoridt + ustoriS — №sur)S — ^giktor,ib

Й^^тлк===^m, Фг,г ^ 0,

Ur = 8г^тф^.т, G)r — EfkmUktm (f, к, Г, S, /П —1, 2, 3).

В пространственном случае для компонент завихренности имеется система трех параболических уравнений. Уравнение для функции тока в пространственном случае заменяется тремя уравнениями Пуассона для компонент векторного потенциала.

Течения вязкой несжимаемой жидкости отличаются тем свойством, что теорема Гельмгольца о сохранении вихрей, справедливая для идеальной жидкости, не выполняется. В вязкой жидкости вихрь не может сохраняться бесконечно долго. За счет работы сил внутреннего трения вихрь диффундирует в объем жидкости. Уравнения движения вязкой жидкости обладают свойством выравнивания со временем значений завихренности в различных точках пространства. При обтекании тела потоком вязкой несжимаемой жидкости интеграл от завихренности по всему пространству остается постоянным во все моменты времени. Суммарный поток завихренности от границы тела постоянен и равен нулю.

Уравнения движения вязкого сжимаемого однородного теплопроводного газа в произвольной криволинейной системе координат

Выпишем уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости или газа. Поле течения определяется кинематическими, термодинамическими величинами и параметрами, характеризующими теплофизические свойства заданной среды. Изменения величин связаны между собой законами сохранения массы, количества движения, энергии.

Для нестационарного течения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид — С р d и = 0. Применяя правило

v

дифференцирования интеграла по подвижному объему, получим

f f^+ div(Pu)) dv = 0.

J \ dt/

V

Дифференциальная форма записи уравнения неразрывности в переменных Эйлера имеет вид dp/d^+div (ри) =0.

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы жидкости в единице объема: сумма массы, втекающей в единицу объема в единицу времени и вытекающей из того же объема, равна изменению массы, происходящему вследствие изменения плотности.

В тензорных обозначениях это уравнение (в декартовой системе координат) удобно записать в виде

^- + А_(Р«») = О.(2.12)

дук'

Здесь по одинаковому индексу к ведется суммирование.

Для любого индивидуального объема сплошной среды можно написать уравнение количества движения в таком виде:

— fpudv= CPds.(2.13)

Vs

Здесь }Pds—поверхностная сила. Входящая производная — суб- s

станциональная (— = —) + (u-V). Изменение количества движе- \ d / dt )

ния объема du равняется действующим поверхностным силам. Поверхностные силы зависят от скорости, с которой жидкость деформируется в рассматриваемом поле скоростей. Совокупность поверхностных сил определяет напряженное состояние сплошной среды.

Вычислим индивидуальную производную от вектора количества движения и воспользуемся уравнением неразрывности, затем преобразуем поверхностный интеграл в объемный, пользуясь формулой Гаусса. В результате получим

Ср — dv = ^dwPdv.(2.14)

J dt J

Это соотношение справедливо для произвольного объема du, поэтому можно переписать уравнение (2.14) в дифференциальной форме:

p^L^divP.(2.15)

d t

Интегральная форма уравнений сохранения количества движения здесь справедлива для любых движений вязкого сжимаемого теплопроводного газа, при этом допускается существование разрывных движений, т. е. таких движений, при которых решения являются разрывными функциями. В области непрерывного изменения интегральная форма записи уравнений эквивалентна дифференциальным уравнениям движения.

Тензор вязких напряжений Р представим, явно выделяя давление, в таком виде: Р=—Р^+Т. Связь составляющих тензора напряжений Т и тензора скоростей деформации для ньютоновской среды является линейной и задается в виде Т=—2/3ц div и- 14-2ц£'. Первый член выражает скорость изменения элементарного объема, а второй — скорость изменения формы.

В декартовой системе координат величина и° —тензора скоростей деформации Е — имеет такой вид:

е</==4(— + (М = 1,2,3).

\ ду1 ду1 /

Тензор напряжений Т в тензорных обозначениях (в декартовой системе координат) перепишется в виде

т^ = —++(i,/, £=1,2, 3).(2.16)

дук \ ду1 ду1 )

Здесь 6ij — символ Кронекера (6iJ=0 при l^, 6ij=l при i = j). Знак суммирования по повторяющемуся индексу опущен.

Таким образом, для изотропной ньютоновской жидкости выражения для тензора напряжений Р имеют*вид

р‘7 = — pbif — -') + ц [ йм + 6‘"6 — ) (t, j, k= 1,2, 3).

3\ дук )\ дук дук /

'(2.17)

Представим уравнения количества движения в тензорной записи (в декартовой системе координат):

(

ди1 ,, ди1 \1 о1 ох

VW—7G,/ = 1,2,3).(2.18)

^ ду* ) ду*

Умножим уравнение неразрывности (2.12) на величину и1 и сложим с уравнением (2.18). В результате получим

7Г + — Hui - Р£0 = °-(2.19)

ду1

Взаимодействие движущегося тела и окружающей среды происходит не только за счет законов гидродинамики, но и за счет явления теплопередачи.,

В процессе движения частицы жидкости или газа тепловой баланс определяется изменением внутренней энергии, теплопроводностью, конвекцией тепла, возникновением тепла за счет вязких сил трения и других явлений.

Первый закон термодинамики в применении к произвольному объему утверждает, что изменение полной энергии Е (суммы кине тической и внутренней энергии) равно работе, совершаемой над единичным объемом за единицу времени поверхностными напряжениями и посредством подвода тепла вследствие теплопроводности:

. — fpd^ = f(P-u)ds— C^ds.

\ 2 j JJ

Заменим поверхностные интегралы объемными, вычислим индивидуальную производную и воспользуемся уравнением неразрывности. В результате получим уравнение для полной энергии в интегральной форме:

— div(Р- u) + divq du = 0, fp = — + ^

(2.20)(2.20)или в дифференциальной:

(2.20)

(2.20)

р ^у — div (Р-u) + divq = 0.

Прибавим в левой части выражения (2.20) уравнение неразрывности, умноженное на Е. Получим уравнение энергии в дифференци-

альной форме:

~^р — + div [р£ u -J- q — Р и] — О, (q = — л grad TY dt

В тензорной записи (в декартовой системе координат) для полной энергии в дивергентной форме уравнение имеет вид

^ + — YpEui — ftui-Y <7'1 = 0, q‘= — to1'—.(2.21)

dt ду1'ду

Иногда уравнение энергии записывают для удельной внутренней энергии е (энергии поступательного движения молекул). Полная энергия Е связана с внутренней энергией соотношением Е = = е+и2/2. Если ввести удельную энтальпию h по формуле h = e-vpip, то можно записать уравнение энергии через удельную энтальпию. Полезна запись уравнения энергии через полную энтальпию: Н = = h+u2/2. Выпишем различные формы уравнения энергии, которыми в дальнейшем будем пользоваться. .

Уравнение энергии (2.20) можно записать в таком виде, подставляя величину Е = е+и212:

Р^ + Р^^)=^М^П+Д(^(2.22)

dr dr \ 2 /ду1

Воспользуемся уравнением количества движения Р"}"^"^-)^

= Uj^— и заменим в (2.22) составляющие тензора напряжения ду1

составляющими тензора скоростей деформации:

р — = — div q — р (div u) — — р (div u)2 + 2p^7 —L e(2.23)

d /3dyi

Нетрудно показать, что е”(дщ!ду*) = е^е^. Величина е15еч является инвариантной относительно преобразований координат, и, таким образом, в любой системе координат вид для этого члена сохраняется. Введем обозначение 0)=2е^е^—2/3(divu)2. Тогда уравнение (2.23) можно переписать в следующей форме:

р — = — div q — р div u + рФ.(2.24)

dt

Воспользуемся уравнением неразрывности, умноженным на величину р, в виде

pdivu =— —+ р—f—V(2.25)

dt dt ( p )

Подставим это выражение вместо р div и в уравнение (2.24). Введем новое обозначение e-Yplp = h, где h — удельная энтальпия. Тогда уравнение (2.25) примет вид

р _ div <7 + — + рФ.(2.26)

d t -d t

Прибавим к обеим частям (2.26) уравнение количества движения в виде

Л d / ы2 \дрм

р—— ие

d/ U Уду1 .

Получим после введения новой переменной (Н = h-Vu2!2— полная энтальпия) уравнение (2.26) в виде

d tdt ду1

Прибавляя к обеим частям уравнение неразрывности, умноженное на Н, получим в тензорной форме (в декартовой системе координат) уравнение вида

Л (ря - р) + А ^НШ - tW + q^ 0.(2.27)

ду^

Нестационарные уравнения движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в дивергентной форме в прямоугольной декартовой системе координат имеют следующий вид:

5" + — (9^ = 0, (i,/ = 1,2,3),

dt ду1

^- + — (ptM — p{i) = 0, dt ду'

(2.28)

+ -^— (pEui — piu1 + qi} = 0 или

dtду'

^-(рН — р^-^— ^Hu’ — Tiut + ^ = °-

dt ■ dy’

В декартовой системе координат разница между ковариантными, контравариантными и физическими компонентами пропадает. Поэтому аналогичные формулы можно выписать для ковариантных компонент. Здесь первое уравнение — уравнение неразрывности, второе — уравнение количества движения, третье — уравнение для полной энергии. Выражения для тензора вязких напряжений ^\ q3) теплового потока, Е— полной энергии для совершенного газа имеют такой вид:

pli = — р№ + V/ = — р№ — ~ pd^ + 2р^,

еИ ” *2~ (^ ~^ ^”~~^”) — тензоР скоростей деформации,

Е = СиТ + ^-,(2.29)

nJ = — Ло 7 —7 — тепловой поток или

л дТ — Y^ де

Qi —^.. •

ду1° ду1

Здесь л — коэффициент теплопроводности, ц — коэффициент вязкости, ср и cv — удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме. Коэффициенты ц, X, ср и с^ полностью характеризуют теплофизические свойства газа.

К этим уравнениям следует добавить уравнение состояния р = =р(р, Е). Отметим, что коэффициенты ц, X зависят от температуры. Следовательно, к системе уравнений следует добавить зависимости ц = |л(Г), Х = Х(Т).

Таким образом, получили замкнутую систему уравнений шесть уравнений и шесть неизвестных: р, р, и\ Е (/=1, 2, 3). Вопрос об условиях существования и единственности решений для этой системы уравнений остается открытым. Начальные и граничные условия будем рассматривать в каждом конкретном случае в зависимости от рассматриваемой задачи.

Задавая переменные р, u, Т (или Е, h, Н) в некоторый начальный момент времени, можно из уравнений Навье—Стокса найти решение в близкий момент времени. Система уравнений записана в виде, в котором производные от этих переменных по времени явным образом будут разрешены.

Для совершенного газа можно выразить величины е, h через температуру следующим образом: e=Cyl\ h = cpT. Здесь су, ср— удельная теплоемкость соответственно при постоянных объеме и давлении. Обычно в качестве термодинамических переменных используются величины р, р, е, Т и энтропия S. Из этих пяти величин только две независимые. В этом случае уравнение состояния можно записать как p = pRT= (у—1)ре= ((у—1) /у) рА = (у—1)р(£— ^/2) = ((у-1)/у)р(Я-^/2).

Запишем уравнения в безразмерной форме. В качестве безразмерных параметров, характеризующих задачу, введем характерные величины скорости ^и^, плотности (р«>), длины (L — например, радиус затупления передней части). Свойства газа будем характеризовать коэффициентом вязкости (цоо) и величиной у ^ = сРос1сг^. Уравнения Навье—Стокса (2.28) в безразмерной форме имеют вид

4+4.й-)=о,

dt ду1

~ (ри‘) 4—“ (puW + Р^1’ — Re" 1т‘О = О, ду1(2 зо)

4? (pH) + -Црй‘Н - (у - 1) ML ^"НМй; -

dtду1 \

— Re"1— (v — 1)= 0.

ду‘! )dt

В систему уравнений войдут безразмерные параметры: число Рейнольдса (Re^p^f/ooL/jiu), число Маха (Мю = ию)а, а — скорость звука), число Прандтля (о = цсрД). Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения. Число Маха выражается отношением местной скорости к скорости звука и характеризует свойства сжимаемости потока. Теплофизические свойства среды характеризуются числом Прандтля.

Систему уравнений (2.28) в случае произвольной криволинейной системы координат можно записать в виде

(2.31)(2.31)dpfdt-V (p^O.i^O, (^ / = 1, 2, 3), dpWldt-V ^и’-р^ i5 = 0, dpEldt-V ^pEW—pX + q5) 5=0.

(2.31)

(2.31)

Здесь индекс «запятая внизу» обозначает ковариантную производную. Выражения для тензора вязких напряжений рг\ полной энергии Е и теплового потока q5 в произвольной системе координат имеют такой вид:

Р1' = — Pg4 + ^' = — PgM — 2!^gli (Р^ + 2у,еЧ,

(2.32)(2.32)ei/^i/^-'^ + g/^),

(2.32)

(2.32)

Е = cvT + «^/2, q' = — ^g1' фТ[дх1У

Для тензоров второго ранга удобнее всего использовать смешанные обозначения, так как в этом случае переход к физическим компонентам осуществляется наиболее просто (см. разд. 2, гл. I).-

Если заменить ковариантную производную явным выражением, то получим следующую систему уравнений:

<«+4(Рл«')=о, дх

+ — [ Vg^ui + pg1' — т'/)] + дх'

(2.33)

дрЕ VgdtдрЕ Vgdt+ Vl^W + pgmi — ^g1'} Vmj = 0 (4, j, tn = 1, 2, 3),

дрЕ Vgdt

дрЕ Vgdt

+- — Vg ((pE + p) a' — T/u6 — Xgik ^~

dx1 L \dxk

Краевые условия формулируются следующим образом. Вдали от тела выбирается внешняя граница области, на которой задаются условия невозмущенного потока. Эта граница выбирается таким образом, чтобы возмущения от поверхности тела и области ударного перехода не достигали ее.

На поверхности тела выполняются условия прилипания, непроницаемости и теплообмена или 1) тепловой изоляции, или 2) охлаждения и др. На поверхности, ограничивающей расчетную область вниз по потоку, т. е. на границе, из которой газ вытекает, используются приближенные краевые условия экстраполяционного типа. Обычно используются так называемые «мягкие условия» [6] ^2f/5v- = o, f = f(^, и, со, Е) или задается непрерывность потоков через границу области: дЕ/дх = 0, Е= (р^, р^ + р, рысо, р^со, Е).

В начальный момент времени задается невозмущенное поле течения, а на теле — краевые условия. При проведении серийных расчетов выбор начального приближения сильно влияет на скорость сходимости вычислительного процесса. Влияние положения границ и задания граничных условий необходимо исследовать в процессе вычислений.

При достаточно больших числах Рейнольдса ударную волну можно рассматривать как поверхность разрыва и в качестве внешней границы выбирать ударную волну, положение которой заранее неизвестно и определяется в процессе численного расчета. В этом случае на внешней границе значения функции находятся из условий Ренкина—Гюгонио.

При решении задач, имеющих плоскость симметрии, задаются дополнительные условия симметрии. При расчете сверхзвуковых течений следует учитывать, что поверхность тела слабо возмущает поток впереди себя. Это позволяет при расчете методом установления разбивать расчетную область на подобласти, в которых имеется преимущественное направление передачи возмущений.

В режимах течения с, низкой плотностью используются граничные условия на теле с учетом скольжения и скачка температуры. При умеренных числах Рейнольдса значения функций за головной ударной волной находятся из обобщенных соотношений Ренкина— Гюгонио.

Использование уравнений движения в строго консервативной форме позволяет построить консервативные разностные схемы, т. е. такие, для которых выполняются интегральные законы сохранения, справедливые для исходных уравнений. При этом важно, чтобы выполнялись законы сохранения не только полной энергии, но и дополнительные балансы по отдельным видам энергии [7]. Если уравнения движения в дифференциальной форме преобразовать таким образом, что искомыми переменными становятся консервативные величины р, ри\ рЕ, то применение к этим уравнениям конечно-разностных схем, обладающих свойствами консервативности, обеспечивает в разностной форме сохранение массы, количества движения и энергии.

Условия на поверхностях сильного разрыва основаны только на этих законах сохранения. Поэтому устойчивые разностные схемы, обладающие свойствами аппроксимации, правильно передают условия на разрывах, которые могут встретиться при решении задачи.

При переходе к произвольной криволинейной системе координат в общем случае строго консервативная форма записи уравнений

движений нарушается, так как возможно появление свободных (нс- гочниковых) членов. Тем не менее систему уравнений движений можно записать в строго консервативной форме и различными способами. Для скалярных величин (массы, энергии и др.) уравнения движения можно представить в виде

daldt+ div v = р.(2.34)

Напишем скалярную величину divv в произвольной криволинейной системе координат х1 (см. разд..З, гл. I):■

Vs дх1

Уравнение (2.34) записывается в строго дивергентной форме (все величины стоят под знаком производной) таким образом:

дх1

В векторном виде законы сохранения обычно представляются такими выражениями:

da/^+divf = 0.(2.35)

Здесь а— вектор, F— симметричный тензор: a — aKRk=ahRk=a?V F=F*J \k-ij=Fib ^-R^F^Rj-R^F^Rt-Rj. Величины аЛ, F*1—ле- картовые компоненты вектора и тензора соответственно.

Дивергенция тензора в произвольной криволинейной системе координат записывается в виде

div F = F^ = - L -ti-Ь- + r^‘s (£=1,2,3).(2.36)

Vg дх1

Эти выражения имеют недивергентную форму, так как член Г^Р5 не входит под знак дифференцирования. При численной реализации уравнений вида (2.36) характер аппроксимации этих членов имеет важное значение. Ошибка в аппроксимации Источниковых членов может привести к нарушению выполнения законов сохранения, если они выполняются, диссипативных свойств системы.

Запишем уравнение (2.35) в строго дивергентной форме. Дивергенцию тензора можно представить в таком виде:

div F = -К -A ^g Ftk R6).(2.37)

Vg дх1

Подставим в это уравнение выражение для вектора Rh через единичные базисные векторы im декартовой системы координат (it = i, i2 = j, i3 = k) : Rk= ^дут]дхкУ\т. Учтем, что вектор а можно записать в виде а = а,^ = а^дук1дх1У\к = аЛ\к. Так как единичные базисные векторы ik постоянны, то их можно выносить из-под знака производной. Для m-й компоненты декартовой системы координат вектора а,

определенного в криволинейной системе координат, получим

— I vW"^+ —hW'6—-^1 = 0, (m= 1,2,3).(2.38)

dt \ дх1 / дх1 \дхк /

Эту систему уравнений при численном решении записывают в таком виде:

-^- + —в"" = о, (т= 1,2,3).

dt дх{

Здесь Ат = Vg'a1^-, Btm= ^gF1'^^-. Численное решение на- дх1dxk

ходится для консервативных величин Ah на новом временном слое л + 1, затем находят значения неизвестных неконсервативных переменных а? из решения системы алгебраических уравнений третьего порядка.

Другая форма записи уравнений движения была использована в работе [8] в смешанной форме записи. Уравнения записывались в произвольной криволинейной системе координат для декартовых компонент вектора и тензора. Подставим в уравнение (2.35) вместо вектора а его выражения в декартовой системе координат: а = = а™\т (а™ — декартовые компоненты вектора). Далее подставим в уравнение (2.37) выражение для векторов R; в декартовой системе координат, а для компонент тензора Fij— его связь с декартовыми координатами тензора F™n:.-

plj dxl дх1 ртп

дут дуп * '-

дх1 дук .

Пользуясь тем, что - = 6П, получим для 6-й компоненты такое уравнение:

^(l^b + ^lVg^-^-O (6= 1,2,3).(2.39)

dtдх1 удут )

В этом случае находятся в криволинейной системе координат составляющие вектора а? в декартовой системе координат. Можно использовать промежуточную форму записи между записью в виде (2.38) и (2.39). В этом случае

-^/i^+4(^F^=° (^=1>2,3).(2.40)

dtдх1 \дх1 /

С аналитической точки зрения все эти формы записи уравнений являются эквивалентными. С точки зрения численной реализации (уменьшение времени счета, упрощение алгоритма, способы вы: числения величин дх^дут или дук(дх^ форма уравнений (2.39) и (2.40) с первого взгляда проще, так как в этом случае решение получается сразу для искомой функции. Для конкретной задачи ис-

пользование формы записи уравнений связано с выбором системы координат, физическими и математическими особенностями решения. В частности, могут возникнуть особенности, связанные с тем, что якобиан преобразования близок к нулю (или бесконечно большой). В этом случае следует проводить раскрытие особенности.

В работе [8, 9] приводится способ записи уравнений движения в строго консервативной форме в произвольной криволинейной системе координат. Эти уравнения содержат компоненты, определенные в произвольной криволинейной системе координат, в проекциях на оси этой же системы координат. Для каждой точки поля течения в исходной системе координат aV 0" 1> 2, 3) будем рассматривать окрестность точки Ро. Для любой точки Р(х\ %2, х3), принадлежащей окрестности точки р0, введем величины

^=(RbRs), R$ = (Rft-Rs0).(2.41)

Здесь Rs и Rh— составляющие нового базиса. В силу определения имеем

(Qbo = (R» • Rso) = бЬ(Rbo = (Ro • Rso) = 6b

Величины Qs* и R^ являются функциями x\ Отметим ряд свойств этих величин:

(dQbcW)0 = rL - (д^дх^Гк(2.42)

1. е. производные Qsh и Rsk совпадают с символами Кристофеля. В силу того, что символы Кристофеля перестановочны по индексу s и Z, получаем

dQbdx5 = dQbdx\ dR^dx* = dRkt[dxs.

pik 1 д*Vg дх1= 1 дVs дх1pik 1 д*Vg дх1= 1 дVs дх1kVgF^-VV1^ =kVgF^-VV1^ =Рассмотрим уравнение (2.36):

pik 1 д

*Vg дх1

= 1 д

Vs дх1

pik 1 д

*Vg дх1

= 1 д

Vs дх1

kVgF^-VV1^ =

kVgF^-VV1^ =

^•VgFk\дх1/^•VgFk\дх1/(Vg Fik) 4- — Fts = -L- ( -^-^

^•VgFk\

дх1/

^•VgFk\

дх1/

-^-^(VgQlH. V g dx

Аналогично можно показать, что

FVi = ^--^<V"iRskF^.

Vs дх1 .

Таким образом, уравнение ^ + div?" = 0 может быть представлено в виде

~^ + — ^8 QsFis) = 0

дх1

или _

+ — (Vg RkF^) = 0, (^ = 1, 2, 3). di dx1

Если использовать выражения (2.42), заменяющие символы Кристофеля, то уравнение (2.31) можно записать в строго консервативной форме:

dt ^х1

др ^f-“- + — ^Vg V(pumui + pg"4 - ^ Q^} = o, (i, J=l,2,3), dt dx!

. dp V g Edt. dp V g EdtдТ 1дТ 1+ — Vg (рЕ + р)и> — Tiufe — kg* —- =0.dx1dxR+ — Vg (рЕ + р)и> — Tiufe — kg* —- =0.dx1dxR(2.43)(2.43)

. dp V g Edt

. dp V g Edt

дТ 1

дТ 1

+ — Vg (рЕ + р)и> — Tiufe — kg* —- =0.

dx1dxR

+ — Vg (рЕ + р)и> — Tiufe — kg* —- =0.

dx1dxR

(2.43)

(2.43)

Здесь Q^ — величины, определенные выражением (2.41).

До сих пор преобразования х^х^у1, у2, у3) (i=l, 2, 3) и обратные не зависели от временной координаты. '

Рассмотрим более общее преобразование ([9]):

х^х^У”, у\ У2, У3) и обратно

ук=ук(х\ х1, х2, х3),(i, ^=1,2, 3)..

Отображение, которое сохраняет разделение переменных на временные и пространственные координаты, называется разделенным отображением (y°=t, х0=^.

Далее рассмотрим разделенные отображения. Положим дуЧдх’= =а5\ дх'[ду’=А? (I, j = 0, 1, 2, 3). Величины а/ и А/ связаны между собой соотношением а5‘Ак5=6к. Здесь 6к — символы Кронекера (6^=0, если 1^=к и 6^=1, если 1=к, I, ^ = 0, 1, ..., 3). Кроме того, если А = det ||а/||, то det ||А/|| = А-1.'

Введем в рассмотрение вектор ® = {<й() с составляющими

<й1=а61=дхЧд1(i=l,2,3).

Аналогично введем

Wk=Ak=dyNdt, (6=1,2,3).

Вектор о* задает компоненты скорости движения точки по траектории yk(t, х1, х2, х3) при фиксированном х1, х2, х3. Аналогично 1F* задает компоненты скорости движения точки по траектории x^t, У1, У2, У3) при фиксированном у1, у2, у3..

Величины и4 и Wk связаны между собой соотношениями (a1jAot=

to*' = — а>\ W* = — А-(О/ (I, / = 1, 2, 3).

В случае разделенного отображения в евклидовом пространстве

метрические коэффициенты принимают вид

?оо=2 «И =1 + 2 QtA = 14" №'

get = 2 a1ai = 2 ^/^S ^i®'* &=01=1/=1

Ь = 2 aia^^ ^^-gti (i,/ = 1,2, 3). &=or=i

Метрика гиперплоскости F3 (t =const) совпадает с метрикой евклидова пространства в координатах х\ х2, х3, которые зависят не только от у\ но и от t.

Символы Кристофеля находятся следующим образом:

ns=0, Г^ = А< ~ = А1,^- (й, i,/=1,2, 3; r,s = 0, .. 3), дхк dt

Г^ = Г^ = А^, (i,j,s,k = 1,2,3).

дх1

Законы сохранения в координатах Y--^i/^ (^ = 1, 2, 3) имеют вид

др । dpt/ 0

dt dtf

——(i,/=1,2,3),(2.44)

dtду1

^-V-A-^Eui-pWA-q'^O.

dtdy1

Формулы законов сохранения для контравариантного тензора первого Aj и второго Т^ рангов имеют в пространстве хк (& = 0, 1, 2, 3) следующий вид:

divA = = — (ДА*), А дхк

div Т = - — (ДТ£/) + rU'As, 0", /, k, s = 1, 2, 3). д дх1

Для разделенного отображения вектор {А"} в координатах t, х1, х2, х3 имеет компоненты А°=А°, А{= —ю<А° + А<.

Здесь ю1, Xj — компоненты векторов {«в’}, {Aj} в пространстве х1, х2, х3. Поэтому выражение div примет вид

— (ДА0) + — (Д (А/ — ©М°)1 = 0.

dtдх1

Рассмотрим первые два уравнения (2.44) как тензорный закон сохранения контравариантного тензора второго ранга:

р

ри1

ры2

ри3

ри1

ри1!!1 + р11

ри'и2

+ р12

ри'и3 + р13

ри2

pwV +'р21

ри2и2

+ р22

ри?и3 4^р23

ри3

pM3^1 + р31

рИ3И2

+ р32

ри3и3 + р33

В координатах 1, х1, х2, х3— компоненты тензора Tik примут вид

Г00 = р, Г' = Г° = р.(н' — S'), Тм = р (й1 — S') ^ — ^) + рМ.

Закон сохранения массы, импульса и энергии примет вид

^^ + ~ [р Vg $—®‘)1 = о, dt дх1

dpVg G? — шЬdtdpVg G? — шЬdt+ — дх1+ — дх1PVg(u£ — to') (ы/ — го') + Vg Pl'\ + (2.45)PVg(u£ — to') (ы/ — го') + Vg Pl'\ + (2.45)

dpVg G? — шЬdt

dpVg G? — шЬdt

+ — дх1

+ — дх1

PVg(u£ — to') (ы/ — го') + Vg Pl'\ + (2.45)

PVg(u£ — to') (ы/ — го') + Vg Pl'\ + (2.45)

+ p Vg+ p Vgdto1 . o dto1,

+ p Vg

+ p Vg

—+ 2---(M/ —to/) Д+

d/ gxlJ

Hs =0,Hs =0,pks .

Hs =0,

Hs =0,

+ (и* — to*) Vs — tos) -]Г..

p J /

+ ~~т (P VgE (v - S') + Ptkuk - <79=0, (t, /, M=\, 2, 3). ot dxv

Преобразование x^x^t, у\ у2, у3) можно рассматривать как переход к системе координат с подвижной сеткой. Отметим, что лагранжевы координаты получаются из уравнений в случае, когда й?—o)j=O (f=l, 2, 3).

В задачах внешнего обтекания в основном применяется эйлерова система координат, которая позволяет следить за пограничными слоями, «отрывом» и другими явлениями.

3. Осредненные уравнения движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа

Большинство реальных течений, которые встречаются в природе и технике, характеризуются большими числами Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса течение жидкости или газа становится турбулентным. Если инерционные силы значительно превосходят вязкие, то возникают пульсации гидрогазодинамических параметров. Вязкость демпфирует такие пульсации, но при больших числах Рейнольдса возникает неустойчивость течения, которая приводит к пульсациям, имеющим по сути случайный характер. Гидрогазодинамические параметры претерпевают хаотическое, Неупорядоченное изменение во времени и пространстве.

Методы изучения турбулентных течений можно разделить на несколько категорий.

Обычные корреляционные методы, полученные из экспериментальных данных, дают коэффициент турбулентного трения, число Нуссельта и другие величины как функцию числа Рейнольдса. Применимость этих методов ограничена только классом простых геометрий.

Интегральные методы позволяют упростить исходную задачу и свести ее к математически разрешимой. Эти методы в значительной степени используют результаты экспериментальных исследований и физических предположений.

Наиболее широко используемый в настоящее время подход основан на идее об усреднении уравнений Навье —Стокса по ансамблю идентичных течений или некоторых эквивалентных (временных и пространственных) течений. В результате получаются уравнения для осредненных величин.

В последние годы получили развитие методы численного моделирования турбулентности с помощью уравнений Навье — Стокса; одни из них основаны на моделировании крупномасштабной турбулентности, другие —на численном решении полных уравне- ний Навье — Стокса.

Будем полагать, что уравнения Навье — Стокса являются строгими уравнениями и в случае турбулентного течения. Это, вероятно, выполняется, так как самые маленькие вихри на несколько порядков величин больше, чем масштаб длины молекулярного движения. Физическая структура турбулентности носит сложный характер и требует детального изучения во времени и пространстве. Для понимания процессов переноса в турбулентных течениях следует рассматривать взаимодействие различных процессов: «мелкомасштабной» и «крупномасштабной» турбулентности, структуру пристеночного турбулентного пограничного слоя и др.

Изучение осредненных по времени величин и введение полуэм- пирических зависимостей дают возможность предсказать характеристики турбулентного течения в более общих случаях. Сравнение с экспериментальными данными для медленно меняющихся («равновесных») течений при таком подходе показывает удовлетворительное совпадение.

Будем рассматривать параметры газа в виде суммы двух величин— осредненного по времени и пульсационного движения:

i — J+T (2.46)

Здесь /— величины, осредненные за определенный промежуток времени в фиксированной точке пространства, а /' — компоненты пульсаций. Не определяя оператор осреднения, отметим, что колебания пульсаций величины / около среднего значения в течение длительного промежутка времени достаточно часты и равны нулю.

Удобно применять среднемассовые параметры течения, которые позволяют учесть различные виды процессов переноса с помощью меньшего числа членов. Средние компоненты скорости определя-

ются соотношением цг‘=рн7р. Здесь использованы различные символы: черта сверху обозначает обычное осреднение по времени, а символ «тильда» — осреднение по массе.

Величину скорости представим в виде суммы двух величин — осредненной по массе и пульсационной (символ «двойной штрих» обозначает пульсации относительно величины, осредненной по массе): и —u-Vul/' •

Средние по массе значения пульсаций равны нулю: ри?"=0, хотя средние по времени — отличны от нуля. Аналогично вводятся среднемассовые параметры температуры, энтальпии и других величин. Отличие между величинами, осредненными по времени, и среднемассовыми значениями определяются корреляциями этих величин с плотностью, т. е. /—/ = р77р.

Рассмотрим стационарное турбулентное течение, полагая, что средние величины от времени не зависят. Несмотря на неупорядоченность движения, все же можно говорить о стационарном состоянии, если оно поддерживается длительное время. В данной точке давление, плотность, скорость и другие величины имеют пульсации, тем не менее можно вычислить средние значения этих величин, и течение будет иметь установившуюся турбулентность. Уравнения для осредненных величин получаются подстановкой величин (2.46) в уравнения (2.28) и осреднением. Вклад в турбулентные пульсации получается только из-за нелинейных членов, в частности конвективных членов, так как осредненные по времени линейные турбулентные пульсации равны нулю по определению.

Применим два вида осреднения (по времени и по массе) к нелинейному члену, входящему в конвективную часть уравнения дви- жения. Имеем pu7ji=puiuJ+pzr7?, + frp'^,+ ^ =pnfn; + pwi//z?//. Применим операцию осреднения к стационарным уравнениям (2.28). В результате получим (см. [8]), опуская выкладки, следующую систему уравнений:

-^-Г ЙО = О,

ду1

-2— $М — рЧ + paW) = 0,(2.47)

dyi

~ (pHtii — ^' + qi 4- ^7") = 0.

dyi

Осредненные составляющие турбулентного течения отличаются от соответствующих уравнений ламинарного течения присутствием членов, которые добавляются к напряжениям вязкого течения в осредненное уравнение количества движения и действуют на развитие течения как дополнительные напряжения. Величины RTk= ~—риУ'и?" называются напряжениями Рейнольдса. При выводе этих уравнений пульсации вязкости, пульсации других коэффициентов переноса предполагались малыми величинами по сравнению

с осредненным значением. В уравнении энергии величина — рие,Н" выражает перенос энергии, обусловленный турбулентными пульсациями.

Уравнение состояния после осреднения: p = pRT.

Уравнения (2.47) следует дополнить граничными условиями и выражениями для теплофизических характеристик вязкости, теплопроводности и коэффициентов турбулентного переноса. Уравнения (2.47) не замкнуты (число неизвестных больше числа уравнений), так как они содержат осреднения скоростей флюктуации и т. п. Дальнейшее осреднение не приводит к замкнутой системе, и для замыкания вводятся различные модели турбулентности. Существующие гипотезы замыкания выражают неизвестные осред- ненные величины более высокого порядка в терминах величин более низкого порядка, которые можно вычислить явным образом. В зависимости от способа замыкания различают алгебраические, дифференциальные методы различного вида. Все турбулентные модели переноса являются полуэмпирическими теориями. Каждая модель включает одну или более эмпирических констант, которые получены для простых течений на основании экспериментальных данных для умеренных градиентов давления.

Алгебраические модели переноса основаны на полуэмпириче- ской теории турбулентной вязкости. Рейнольдсовы напряжения RiJ=—риши?" представляются в виде

R4 = Ит (— + dto—V \ дук ду^ /

Эти соотношения связывают напряжения Рейнольдса с осреднен- ными параметрами потока. Здесь рт— коэффициент турбулентной вязкости, выражение для которого может быть получено на основе обработки результатов экспериментов. Аналогично вводится связь пульсационных величин со средними значениями, например, в уравнении энергии

— рйЙ?=Мм — .

Другие методы замыкания основаны на уравнениях переноса для осредненного значения плотности турбулентного потока импульса Ru, кинетической энергии турбулентности, масштаба турбулентности, турбулентной вязкости и др. Дальнейшие упрощения получаются в обычных предположениях теории пограничного слоя (см. гл. VI).

Большинство методов вычислительной аэрогидродинамики мо- гут быть использованы для расчета осредненных турбулентных течений. Причем в некоторых случаях численное решение осреднен- ных уравнений турбулентного течения оказывается «проще», чем расчет уравнений ламинарного движения в том смысле, что ламинарное течение является менее «устойчивым» вблизи «отрыва»,

чувствительно к шероховатости поверхности, влиянию кривизны поверхности, различного рода возмущениям и поэтому труднее воспроизводится на ЭВМ, чем осреднеыное турбулентное течение.

Уравнения движения вязкого теплопроводного химически реагирующего газа

Увеличение скорости летательных аппаратов сопровождается физико-химическими процессами — возбуждением вращательных и колебательных степеней свободы молекул при AL=5-b7, диссоциацией (^ = 7-4-15), ионизацией и излучением (AU>15-4-20), Учет этих факторов при рассмотрении течений вязкого теплопроводного химически реагирующего газа приводит к существенному усложнению задачи. Свойства газа являются существенно неоднородными. Коэффициенты переноса (вязкость, теплопроводность, диффузия, термодиффузия) зависят от давления, температуры, состава газа, размеров молекул и характера их взаимодействия.

Уравнения сохранения массы, количества движения и энергии для однородного газа были приведены выше. Для теплопроводной химически реагирующей смеси газов вывод уравнений приведен в строгой постановке в кинетической теории газов как решение уравнений Больцмана в работе [И].

Кинетическая теория газов дает строгие результаты при определенных допущениях: в газе происходят только столкновения двух молекул; движение молекул описывается законами механики; столкновения являются упругими; межмолекулярная потенциальная функция является симметрической или межмолекулярные силы действуют только между центрами молекул. Кинетическая теория газов использует влияние межмолекулярных сил взаимодействия. Для каждого вида межмолекулярного взаимодействия получается решение для коэффициентов переноса.

В реагирующей смеси газрв неупругие столкновения приводят к изменению кинетических коэффициентов. Влияние неупругих столкновений на коэффициенты переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии, термодиффузии с учетом химических реакций) приведено в работе [12]. Ниже даются феноменологические уравнения движения вязкого теплопроводного, химически реагирующего газа и выражения для кинетических коэффициентов, полученных из кинетических уравнений.

Выпишем систему уравнений движения вязкого многокомпонентного, химически реагирующего газа при наличии реакций диссоциации и ионизации, отсутствии внешних электромагнитных полей и излучения, условии квазинейтральности потока газа.

Многокомпонентную смесь обычно представляют как совокупность континуумов, заполняющих один и тот же объем, занятый смесью. Будем предполагать, что газ состоит из совокупностей совершенных газов, молекулы которых взаимодействуют только при столкновениях. Каждый из континуумов имеет свою плотность, скорость и т. д.

Среднюю плотность, скорость, давление, внутреннюю энергию, энтальпию для смеси газов будем обозначать по-прежнему р, ц. р^ е, h и т. д. Соответствующие величины, относящиеся к f-ir компоненте, входящей в состав смеси, будем обозначать р6 щ, pb е^ h^ Будем характеризовать состав смеси массовой концентрацией, ct каждой компоненты. Массовая концентрация характеризует отношение массы i-й компоненты ко всей массе газа в целом в данном элементе объема с = рг/р, (^^=1), где р£=^Мй р=2 Pi= = ^щМь гц — число молей в единице объема, Mt — молекулярный вес.

- Для величины среднемассовой скорости смеси в целом имеем ри — ^РА или “=2 ^Ui* Здесь и — среднемассовая скорость смеси. Уравнение неразрывности для смеси газов в целом, уравнение количества движения записываются так же, как и для однокомпонентного газа, имеющего плотность и коэффициент вязкости, соответствующие смеси газов, а давление, равно сумме парциальных давлений компонент.

Таким образом, уравнение неразрывности для смеси в целом имеет вид

dp/d^+div(pu) =0.(2.48)

Уравнение количества движения для смеси в целом запишется в виде

р — = div Р или рh ip =рч.(2,49)

di\ didyi / dyi

Здесь

рч — — рЬч + тч,

тИ = — уj + 2.и^,(2.50)

еч = 1 к1'6 — + b‘fe — к

2 \ дук дук /

В этих выражениях ри— тензор вязких напряжений, е^ — тензор скоростей деформаций. Уравнение состояния для смеси газов получается в виде, полностью совпадающем с уравнением для однокомпонентного совершенного газа, если величину газовой постоянной взять в виде R — 2 crRr-

Действительно, уравнение состояния i-й компоненты имеет вид pr=^rRrT. Тогда давление смеси будет равно сумме парциальных давлений компонент, Следовательно, p = ^Pr = ^PrRrT= =p^crRrT~pRTf R = 2 cTRT.

Выведем уравнение диффузии. Диффузия — механизм выравнивания концентрации вследствие молекулярного переноса веще-

ства смеси из одной части потока газа в другую. Наряду с теплопроводностью и вязкостью диффузия является источником диссипации энергии в газовой смеси. Уравнение диффузии для /г-й компоненты представляет уравнение переноса этой компоненты. Диффузионная скорость /г-й компоненты относительно движущегося центра масс имеет вид VA=uft—и. Введем также понятие массового диффузионного потока по формуле Ji=p(,Vf[=p4(uft—и). В силу определения и имеем 2 ^=0.

Изменение массы 6-й компоненты в неподвижном произвольном объеме происходит за счет притока массы 6-й компоненты извне и за счет образования 6-й компоненты в результате химических реакций. Уравнение диффузии компонент запишется в виде

d

p^ + divJ^—U^ (^=1, N\ (2.51)

Здесь cfe=pft/p, Jft=pft(uft—u)=pftVft, Wk — массовые скорости возникновения fe-й компоненты в единице объема за единицу времени за счет физико-химических превращений.

Заметим, что из соотношений (2.51) независимыми будут только Аг—1. Суммируя эти уравнения, придем к уравнению неразрывности для смеси в целом.

Для нахождения WK (^ = 1, . N—1) необходимо рассмотреть кинетику физико-химических превращений. Химическую кинетику описывает закон действующих масс, суть которого состоит в том, что реакции происходят в результате столкновений молекул. Частота столкновения пропорциональна числу молекул в единице объема. т. е. концентрациям отдельных компонент. Рассмотрим химические реакции вида

Массовую скорость образования WK частиц сорта к в единицу времени в единице объема можно записать в виде

li'ё = С< — vp кх П Wi '■ + ^'к — V") к, П tot V 1=1i=i

Здесь v/, v/'— стехиометрические коэффициенты; wK— число__мо- лекул компоненты к в единице объема смеси, wk=pJMk, И\ = =1Гк/Мк; кь к2— скорость соответственно прямой и обратной реакций. Если в смеси протекает I гомогенных реакций, то молярная скорость образования вещества к за счет всех гомогенных реакций имеет вид

—Г т/ _т' т_v

Р П Ci’r-9Ц С,'.

г=1L 7=17=1

Здесь

^=Sv*r, ^= 2xV’ cfe^M)1^. k=l^=1

Вблизи состояния детального химического равновесия эту величину можно переписать в виде

„, nV V ^ _< (к р \Пгр N V l

П^Л-И 2 е* IWr •

r=iL/=1 \р r \^=i / //=1

(2.52)

Пусть N означает максимальное число возможных компонент в потоке газа, образующихся в результате всех возможных гомогенных и гетерогенных реакций и возможного вдува дополнительных компонент со стороны обтекаемых поверхностей, например, вследствие их термодинамического разрушения. Число независимых базисных компонент, за которые, в частности, можно брать химические элементы и электронную компоненту, обозначим через Ne. Тогда с помощью стехиометрических уравнений реакций остальные компоненты (продукты реакций) At (/=1, ..., NT, Nr=N—Ne) можно выразить через базисные компоненты А5 ^j = NTA-\, ..., N) в следующем виде:

N

Ai = 2 ^Aj (z = 1, 2, ..., Nr\(2.53)

j=Nr+i

где Vij — стехиометрические коэффициенты. Уравнения химических реакций составлены таким образом, чтобы образующиеся в результате реакций из базисных компонент А5 (j=Azr+l, ..., N) входили только по одному в каждую реакцию. Тогда, располагая их слева, а все остальные компоненты — справа и разделив на стехиометрический коэффициент перед продуктом реакции, все реакции можно представить в виде (2.53).

Химические реакции и изменение состава определяются характерным временем pt — временем протекания реакции. Изменения гидродинамического течения определяются своим характерным временем t^. Отношение D = t^JtQ (число Дамкелера) характеризует тип течения, которое встречается в потоке:

Если 7?3>1, то химические реакции не успевают произойти в потоке. В этом случае говорят, что течение «заморожено». Изменение состава происходит только в результате диффузии, реакций на поверхности или вдува (отсоса) на поверхности. В самом потоке химические реакции отсутствуют: 1^=0 (6=1, . N—1).

Если Р<^1, то реакции протекают бесконечно быстро. Когда N

в потоке имеется N—L независимых реакций ^VpAh=0 (г=

= 1, ..., N—А) и они протекают бесконечно быстро, состав опре-

деляется из алгебраических соотношений Гульдберга—Вааге (закон действующих масс) и условий Саха для реакций ионизации

П pf = kr{T\ (г=1, ...,АГ-Ц.(2.54)

к-1

Если ввести вместо парциальных давлений рк массовые концентрации по формуле p ^p^mlm^Ci (т— средний молярный вес смеси), то получим вместо (2.54) соотношение

МП,МП,

МП,

МП,

N

где vr>=2 ^Г (^=1, •N—L). Здесь ^(Т)—константа равно-

к=1

весия для парциальных давлений. Недостающие уравнения определяются из условий сохранения L химических элементов в потоке. Если каждое из уравнений диффузии (2.51) умножить на долю массы элемента I в массе i-й компоненты, т. е. на число т1к и просуммировать по всем компонентам, то получим

p(dcz^)+divJz* = 0,(/=1, ..., L),(2.55)

где

NN

Ct =y т1кск, Jz=ymZ6Jfe (/=!,...,£). fc—1k=l

В этом случае (D<^1) говорят, что течение «равновесное», для которого N уравнений (2.51) заменяются N—L конечными уравнениями (2.54) и А — дифференциальными (2.55).

Если D — X, то влияние диффузии и химической кинетики сравнимы. В этом случае величины РК должны быть заданы как функции давления р, температуры и состава сь

В зависимости от характерного времени протекания химического процесса исследуются три типа возможных течений: «замороженные», «равновесные» и релаксационные. Зона протекания химических реакций обычно, например при горении, довольна узка, и учет релаксационных процессов наиболее сложен.

Пусть е — полная внутренняя энергия единицы массы многокомпонентной смеси газов, а ек — внутренняя энергия й-й компоненты. Тогда 5=2 сье^-

Энтальпия смеси определяется как сумма произведений энтальпий отдельных компонент на концентрацию этих компонент: h = = 2 ^^- Энтальпию единицы массы й-й компоненты удобно определить по формуле т

hk — ^CpkdT + h^. о

Энтальпия единицы массы й-й компоненты состоит из теплосо- т

держания этой компоненты (hk= ^ сркйТ) и химической энергии, ■о

которую нужно затратить для получения данного вещества из элементов— энтальпии образования .(^о).

Если hk— удельная энтальпия й-й компоненты, определяемой соотношением ckhk=ckeH-Ypk!^ то выполняется соотношение, аналогичное однородному случаю h=e-vplp.

При движении многокомпонентной химически реагирующей смеси газов уравнение энергии выражает условие баланса подвода тепла, с одной стороны, а с другой — изменение полной энергии и совершенной работы. Для реагирующей смеси появляется источник теплообразования за счет химических реакций и вследствие диффузии газов. Первый закон термодинамики в применении к произвольному объему многокомпонентной газовой смеси утверждает, что изменение суммы кинетической и внутренней энергии равно работе, совершаемой над объемом у за единицу времени поверхностными напряжения*ми плюс скорость подвода тепла вследствие теплопроводности плюс выделение энергии за счет химических реакций плюс работа, совершаемая в единицу времени над веществом, образующимся внутри объема.

Уравнение энергии записывается в том же виде, что и уравнение энергии для однокомпонентного газа, если под q (см. гл. II, разд. 2) будем понимать поток тепла, получаемый не только за счет теплопроводности, но и других возможных механизмов: диффузии массы, бародиффузии, диффузионного термоэффекта (также учитывается тепло, возникающее в результате химических реакций). В результате будем иметь

(Uи dui

Р— = — divq- рч -^- .

d *ду1

Выражение для вектора потока тепла в отсутствие переноса энергии излучением имеет вид [12]

iVN N х DT

^-XgradT + 2 М< + 7?Г5 S' -^(¥,-¥,).(2.56)

Эта формула получена из строгой кинетической теории газов. Первый член в этом выражении — обычный подвод тепла за счет конвективного переноса, второй член — количество тепла, переносимое вследствие относительного движения компонент смеси (диффузии). Последний член выражает поток тепла, возникающий за счет градиента концентраций или разности диффузионных скоростей отдельных компонент (эффект Дюфора). В большинстве случаев этот член мал и при практических вычислениях его опускают, хотя сохраняют в общих уравнениях. Другие виды уравнения энергии могут быть получены аналогично, если под вектором потока понимать выражение (2.56).

Выражение для диффузионной скорости Z-н компоненты можно выразить через градиенты концентраций, плотности и температуры, пользуясь результатами кинетической теории газов.‘Приведем результаты работы [12] для диффузионной скорости i-й компоненты:

мdT

Vi = — У mjDti [grad х, + ^f — c^ grad (In p)] grad (In T\

(2.57)

Здесь D^ D? — коэффициенты диффузии и термодиффузии многокомпонентной смеси, п— число молей в единице объема, ^==Ц;М — молярная концентрация. Это выражение показывает, что диффузионная скорость зависит от градиентов: концентрации, давления и температуры. Коэффициент термодиффузии обычно мал по сравнению с обычной диффузией, связанной с наличием градиента концентрации. Безразмерное отношение D^lpD^ для многих пар газообразных веществ i и / меньше 0,1. Последним членом обычно пренебрегают, если градиент температуры меняется слабо.

Пренебрегая бародиффузией и термодиффузией, можно выразить диффузионную скорость /-компоненты в следующем виде:

N

Vi = — V m(Di{ grad xt.(2.58)

ft

Вместо N формул (2.57) иногда удобнее пользоваться соотношениями Стефана—Максвелла

х-х-

grad xt = 2(V/ — V,) — (ci — п^ grad (In р) +

/=i Ч

+ ^ СП /_ A) grad (In Т\(2.59)

ft P^/ \ ci ci /

Если пренебречь термодиффузией и бародиффузией по сравнению с массовой диффузней, то соотношения упростятся и примут такой вид:

gradxz=2 ф-^-^-^'60)

Если перейти от молярной к массовой концентрации с^пгЛп^п)-т, то получим

/=11 4k=i /=11

Ввиду сложности уравнений (2.61) во многих приложениях стремятся их упростить.

Для бинарной смеси газов или в случае, когда коэффициенты бинарной.диффузии для каждой пары компонент равны между собой, выражение (2.61) упрощается, если эффект термодиффузии и бародиффузии мал. В этом случае можно записать соотношения между диффузным потоком и градиентом концентрации в виде закона Фика:

Л=—pD^grad Ci.

Действительно, из соотношения (2.60) имеем

Di, gradx, = х<2 XjVj — x£V£ (t = 1, ..., N).

/=1

По определению,

Sc-v.=o, 3^ = 1,

t=l1=1f=l

Умножая полученное выше уравнение на cjxt и суммируя -по ц N

придем к соотношению для ^ xi^b которое можно снова подста- вить в это уравнение и найти, что

Nt = 2 ci'grad (In х^ — grad (In x,).(2.62)

/=1

Подставив в это уравнение тождество

N

х£ = Q/тЛ2 ci!mi\ (< = 1, .. •, W)

во все члены в левой части уравнения (2.62), получим закон Фика

—grad(lnG) (t=l, ..., N) или

J;=—pAj grad c^(2.63)

который является простейшей из возможных форм записи.

Выпишем уравнения нестационарного движения вязкого теплопроводного, химически реагирующего газа в произвольной криволинейной системе координат:

(Р /S + ^7 (Р Tg ^ = 0,

dtдх1

-^(P^g1^ + —[ /g (pCrU'+4)] = Wr, (r= 1, . . ., N— 1)

dtdx1

4? (p Vg ^ + — I Vg (р^ы' + Pg4 — ^Ol +

dtax1

+ V"g <pumui + Pg11’ — хтГ^ Гт, = 0(1, j,m = 1,2,3),(2.64)

(p i^)+—< Vg l(p£+P) “z - 4uk+^D=°-

dtdx1

Здесь х^х^у1, у2, z/3)—произвольная криволинейная система координат, и5 — контравариантные составляющие вектора скорости, р —плотность, сг — массовая концентрация r-й компоненты, WT — источниковый член, // — контравариантная составляющая вектора, р ■— давление, gu — контравариантные составляющие метрического тензора, g— детерминант метрического тензора, ГД/—символы Кристофеля, Tij — тензор вязких напряжений, Е— полная энергия» Компоненты тензора напряжений имеют вид р15——pg^4-Tlj и выражаются через компоненты тензора вязких напряжений, зависящих от тензора скоростей деформации:

^' = — у (ЫУ + 2р,е'',

дТ NN^ х DT

Ц^-Ч1^^^ M^RT^ 2 -L±_^_^_ дхm

r=ii=i/=11 и

Выпишем уравнения Навье—Стокса в прямоугольной системе координат для бинарной смеси газов:

। dF3G

di дх дудх

Здесь

Р рс ри ру рсо pEjР рс ри ру рсо pEjри

Р рс ри ру рсо pEj

Р рс ри ру рсо pEj

рис — J1

ри2+ р—^и

рии— т21

рнсо— т31

ририс — J2рии — т12ру2 + р — т22русо — т32.и (рЕ + р) — т^^ — ^2ририс — J2рии — т12ру2 + р — т22русо — т32.и (рЕ + р) — т^^ — ^2\и (рЕ + р) — т^^ — дЦ

ри

рис — J2

рии — т12

ру2 + р — т22

русо — т32

.и (рЕ + р) — т^^ — ^2

ри

рис — J2

рии — т12

ру2 + р — т22

русо — т32

.и (рЕ + р) — т^^ — ^2

рсо

рсос — Р

Q ipuco — т13

русо — т23

рсо2 + р — т33

со (рЕ + р) — т^ — Z/3

Величины т15, Г, q\ х^ (i, j, k=\, 2, 3) находятся по следующим формулам:

.2f диди ,до) \. n ди

Т22 =^= т2а = — -И -+ - +—+ 2^- ,

3\дхдудг )ду

09 оо/ди) . ди \

Т=Т='1з2 = Т23 = Тз =тЗ = 1Л—+ —,

\ду дг )

3 \dx ду дг j дгq^k^L^pD^-h^^-, Jv^-pD^,дхдхдх

q^k^-YpD^-h^^, P = -oD„^-. дидиди

q^^A-^hv-h^^-, P = -pDla^,

u —^(7, с), Х = Х(7, с), D^^D^^T, с\

Постановку граничных условий для случая течений многокомпонентного, химически реагирующего газа можно найти в работе ИЗ].

Кинетическая теория газов умеренной плотности дает выражения для вычисления коэффициентов переноса вязкости, теплопроводности, коэффициентов диффузии в виде отношения определителей порядка N^ где N— число компонент, п— число приближений, т. с. число удерживаемых коэффициентов в разложении функции возмущения по полиномам Сонина. Выражения для этих коэффициентов приведены, например, в работе [11]. Ссылки на обзоры работ, посвященных вычислению коэффициентов переноса, можно найти в [14].

Будем считать, что многокомпонентная смесь газа состоит из смеси «чистых» газов. Для «чистого» газа вязкость является мерой сил внутреннего трения для к-п компоненты и определяется как сила сдвига на единицу площади. Вязкость зависит от давления, температуры и размеров молекулы (см. [14]):

(2.65)(2.65)цй = 2,67-10'8—^——

(2.65)

(2.65)

Здесь размерность вязкости выражается в г/см-с, Мк— молекулярный вес к-й компоненты, Т— температура, ак— диаметр столкновений, Qfe2-2)—- интеграл столкновений для переноса импульса, выражающий меру отклонения от модели, в которой газ рассматри-

дается как твердые шары (для них О^;^!). При известной потенциальной энергии взаимодействия ф(г) можно рассчитать значение Ол,/^ Решение для интегралов столкновения получается в виде функции от безразмерной температуры Г=кТк, к — постоянная Больцмана, е— характеристическая энергия. Одним из наиболее распространенных потенциалов взаимодействия является потенциал Леннарда —Джонса: ^(г) =4е[ (о/г)12—(о/г)6].

Значения ti^p приведены для некоторых случаев в работе [И] в широком диапазоне зависимости от Т=кТ!ьк— приведенной температуры, где ejk— параметр потенциальной функции межмолекулярного взаимодействия.

Величины ак и в(к определяются по результатам экспериментов, а в простых случаях — из физических соображений.

В кинетической теории получены точные выражения для определения вязкости многокомпонентной газовой смеси, которые представляют собой отношения двух детерминантов, содержащих вязкости каждой компоненты, мольные доли, молекулярные веса, температуру и интегралы столкновений.

Удобна следующая эмпирическая формула, выражающая коэффициент вязкости смеси через коэффициенты вязкости р£ отдельных компонент и молекулярные концентрации (приведена в работе [16]): пп

и=2 ^Xti S GikXk-(2-6о

i=lк=1

Здесь

Р 1(1 +! Ш^М№?

== —= — e

2^2* (1 -V M^M^12^2(1 -VMJM^1

Если рассмотреть воздух, то при температуре порядка 1000° состав определяется молекулярным азотом (N2) и молекулярным кислородом (О2). Атомные веса азота и кислорода близки, и можно считать воздух однородной средой. При температуре порядка 10 000 К воздух становится многокомпонентной смесью газов (М2, N, О2, О, М+, е и др.), которую можно рассматривать как смесь, составленную из молекул, атомов, ионбв и электронов. На рис. 2.1 приведены результаты сравнения расчета вязкости воздуха в зависимости от температуры по различным формулам. При температурах до 6000—7000 К удобно пользоваться формулой (2.66). Вязкость, вычисленная по этой формуле, даст хорошую точность до начала явления диссоциации. При температурах, больших 6000— 7000 К, когда воздух полностью диссоциирован, точность формулы неудовлетворительна и гораздо точнее формула, приведенная в работе [17]. Коэффициент вязкости воздуха при р = 1 атм приведен на рис. 2.1. Кривая 1 построена по данным работы [16], кривая 2— по данным работы [17], кривая 3— по данным [19], в которой используется комбинация формул работ [16—17]. Исполь-

4 Ю. Д. Шевелев97

зование приближенных формул в несколько раз сокращает время, необходимое на расчет коэффициента вязкости по точным формулам.

Для теплопроводности кинетическая теория газов дает формулу

X = ^ткТУ1 — (2.67)

или в более удобном для вычислений виде

(2.68)(2.68)- _ 1,989 • 10”4 (Т/А!)^

(2.68)

(2.68)

a2Q2,2^

Здесь л — теплопроводность, кал/см-с, Т — температура, К, tn — масса молекулы, М — молекулярный вес, о — характеристический размер молекулы, A; Q(2-2)— безразмерный интеграл столкновений. Уравнение (2.68) получено из уравнения (2.67) в предположении, что cv=*l2k, где к — постоянная Больцмана. Если поделить уравнение (2.68) на выражение для вязкости (2.65), то получим

X/^=2,5.(2.69)

Если ввести число Прандтля 0=^/% и ^ = сР1с^ то получим

о = р,ср/Х=^/2,5.(2.70)

Поскольку 7 для одноатомных газов близко к 5/3, то из уравнения (2.71) получаем о~2/3. При получении этого соотношения члены о и Q(2-2) исключаются, и результат не зависит от выбора межмоле- кулярного потенциала. Для неодноатомных газов величина Х/н^= =/ значительно меньше 2,5. Энергия молекул может проявляться в иных формах: вращательных и колебательных степенях свободы.

Эйкен предложил модифицировать уравнение (2.69) для многоатомных газов, выделив составляющие энергии поступательного движения и внутренней энергии в отдельные члены: Х/ц=(15Л)^ + -^-f(c„—СЛ)^)- Если выбрать f=l, то получаем известную корреляцию Эйкена для многоатомных газов. При высоких температурах используют модифицированную корреляцию

1/ц = 1,32 с„+3,52=1,32 ср/7+3,52.(2.71)

В последние годы опубликовано несколько обзоров, обобщающих различные методы расчета теплопроводности смесей ([12]).

Теплоемкость газовой смеси можно искать в форме, аналогичной соотношению для вязкости

(2.72)

АИХ1

Здесь h — теплопроводность чистой компоненты/, х< — мольная доля t-й компоненты.

Упростив более точное выражение для величины X одноатомных газов и использовав предложение Гиршфельдера об определении коэффициента Эйкена для смеси многоатомных газов, величины Ац можно представить в виде

д = k[±+w^

42/2(1 +Mi/Mj)*A

Здесь Mi — молекулярный вес, Хг — коэффициент теплопроводности для одноатомного газа, 6 — коэффициент, значение которого близко к единице. Для одноатомных газов cvi=cVj=3/2R. Тогда

Отсюда видим, что Ац=О1Ь где Gi3— параметр взаимодействия для вязкости газовой смеси.

На* рис. 2.2 приведены результаты расчета коэффициента теплопроводности при р = 1 атм в зависимости от температуры. Результаты определены по данным: 1—[18], 2—[15], 3—[19]. При температуре до 15 000 К можно пользоваться для воздуха низшими приближениями, выведенными в работе [11].

(2.73)(2.73)с) Общая теория диффузии в многокомпонентных газовых смесях изложена в работе [11]. Коэффициент диффузии, получаемый из решения уравнения Больцмана, имеет вид

(2.73)

(2.73)

D£j = - 2лкТ —И Ц— 16 \ MjMj ) плацй3^

Здесь Мь М5 — молекулярные веса t-й и /-й компонент, п— плот-

ность (число молекул в 1 см3); к — постоянная Больцмана; Т — температура, К; Q(M)— интеграл столкновений для диффузии; оу — характеристическое расстояние.

Коэффициент диффузии можно записать в следующем виде:

Da = 1,858. КГ3?’4Da = 1,858. КГ3?’4(Mt + Mj/M^^1(Mt + Mj/M^^1(2.74)(2.74)

Da = 1,858. КГ3?’4

Da = 1,858. КГ3?’4

(Mt + Mj/M^^1

(Mt + Mj/M^^1

(2.74)

(2.74)

Здесь D^— коэффициент диффузии, см2/с); Т— температура, К;. р — давление, атм; оу— характеристическое расстояние, A; ^‘^— безразмерный интеграл столкновений.

Общераспространенный потенциал взаимодействия Леннарда— Джонса связывает межмолекулярную энергию взаимодействия ф двух молекул с расстоянием г между ними в таком виде: ф(г) = = 4е[(а/г)12—(о/г)6]. Здесь е и о — характеристическая энергия и длина (энергетический и силовой параметры). Трудной задачей является нахождение о и е. Для «чистых» компонент многие значения а и е затабулированы в работе [И].

Величина Dtj слабо зависит от еу и даже от вида потенциала взаимодействия. Коэффициент самодиффузии можно определить, используя выражение для вязкости

DuDu= 1,2= 1,2RT ^Мр Qd-г)RT ^Мр Qd-г)Hi.Hi.

Du

Du

= 1,2

= 1,2

RT ^

Мр Qd-г)

RT ^

Мр Qd-г)

Hi.

Hi.

Здесь вязкость выражена в пуазах. Отношение интегралов столкновений Й^М/^ является слабой функцией температуры ^Т/е и приблизительно равно 1.1. Отсюда следует, что величина Dalp^ не зависит от выбора модели сил взаимодействия и потенциальной функции. Этим объясняется, что число Sc^- (Scij=p/pAj) слабо зависит от температуры.

Если один или оба компонента газовой смеси являются полярными газами, то в этом случае следует использовать уточненные формулы для коэффициентов переноса [14].

Если записать уравнения движения в безразмерной форме, то появляются определяющие параметры задачи в виде чисел Прандтля, Шмидта, Льюиса. Число Прандтля в случае многокомпонентной смеси газов меняется довольно значительно. На рис. 2.3 приведены графики изменения аэф в зависимости от температуры для модели воздуха, состоящей из девяти компонент (О2, N2, NO, О+, N+, NO+, О, N, с) в случае «замороженных» и «равновесных» реакций.

Число Шмидта показывает отношение процессов переноса импульса и переноса массы и определяется в виде 8с^=р/р2)^. В случае многокомпонентной смеси число Шмидта определяется для каждой пары компонент. Кроме того, в уравнениях движения появляется параметр /=цр/цере. На рис. 2.4. приведено изменение величины рр для воздуха в зависимости от температуры. При не-

больших температурах цр ведет себя как постоянная для широкого интервала изменения давления.

Кинетическая теория газов дает связь между тепловыми и диффузионными потоками, которые выражаются через коэффициенты переноса и

первые производные от параметров потока. Коэффициенты переноса выражаются в виде функций некоторых величин, называемых интегралами столкновений и зависящих от динамики бинарных столкновений между молекулами. Интегралы столкновений нейтральных частиц приводятся в работе (11) в виде функций некоторых безразмерных комбинаций. Интегралы столкновений нейтральных и заряженных частиц могут заметно отличаться от интегралов столкновений нейтральных частиц, если при этом происходит обмен зарядом. Величина интегралов столкновений нейтральных и заряженных частиц сильно влияет на коэффициент теплопроводности.

Будем постулировать, что при химических реакциях полное ко

личество энергии остается постоянным, энергия только переходит из одного вида в другой. Полная скорость изменения энтальпии и кинетической энергии в единице объема при химических превращениях равна нулю.

Рассмотрим реакции между газообразными веществами, адсорбируемыми на поверхности твердого тела или жидкости. Согласно кинетическому подходу, впервые развитому Лэнгмюром, в адсорбированном на поверхностном слое газа реакции протекают в такой последовательности: а) компонента смеси газа перемещается к поверхности, б) компонента газа поглощается поверхно-

стью, в) компоненты газа вступают в реакцию с образованием адсорбированных продуктов, г) компоненты продукта реакции покидают поверхность, д) компоненты продукта реакции переносятся в газ. Поскольку эти процессы протекают последовательно, скорость суммарной реакции определяется скоростью самой медленной реакции.

Скорости протекания реакций зависят от вида поверхности и условий на ней. Характер влияния поверхности на гетерогенные реакции зависит от каталитических свойств поверхности. В некоторых случаях поверхность играет роль катализатора. Если речь идет, например, о реакции диссоциации, то поверхность в этом случае способствует рекомбинации атомов в молекулы. На абсолютно каталитической стенке концентрация атомов будет равна нулю: сА = 0, на абсолютно некаталитической стенке дсА/ду=0. Обычно рассматриваются граничные условия, учитывающие поток массы к стенке и поглощение компоненты на стенке со скоростью, пропорциональной некоторой степени концентрации компоненты.

В газодинамических приложениях обычно предполагают, что скорости первой (а) и последней стадий (д) определяются скоростями молекулярной диффузии или скоростями массопереноса через пограничный слой и эти стадии протекают быстро, так что их влиянием на скорость реакции можно пренебречь.

Стадии б) и г) зависят от механизма поглощения (адсорбции) и десорбции. Молекулы газа удерживаются на поверхности ван- дер-ваальсовыми силами притяжения или более сильными связями химического типа (хемисорбция), зависящими от химических характеристик адсорбированной молекулы и поверхности. Для некоторых хемисорбированных процессов разумно предположить, что наличие химической связи приводит к появлению мономолекуляр- ного или мультимолекулярного слоя, поглощенного поверхностью. В газодинамических приложениях обычно предполагается, что реакция адсорбции и десорбции протекает быстро и не определяет скорости процессов в целом. Рассмотрим случай, когда на поверхности протекают реакции каталитической рекомбинации вида

Д,| А„ (2.75)

где &! и &2 — константы скоростей прямой и обратной поверхностных каталитических реакций. Выражение для скорости образования компоненты А,, даваемое кинетическими уравнениями, можно записать в виде

ГА1== 61 мау - И/1Л/'

где пг и Пз — порядок прямой и обратной реакций соответственно, [Аг] и [AJ — концентрации реагента и продукта реакции на стенке. Для стационарного пограничного слоя скорость образования каждого компонента равна диффузионному потоку этого компонен-

та к поверхности:

Ji = hi {[Д]"' — k [Л/]"'}. (2.76) Зависимость к; от температуры во многих случаях описывается законом Аррениуса: ki=kioe—Ea/RT. Здесь ki0— константа исследуемой реакции, Еа — энергия активации. Отношение Еа к универсальной газовой постоянной R можно рассматривать как «характеристическую» температуру Та.

Обычно реакции на стенке (2.75) далеки от термохимического равновесия, [А]>*[А](Д). Поэтому вторым членом в правой части равенства (2.76) можно пренебречь. В этом случае Л=—к^рс^и или рВ^дс^ду^Црс^. Здесь к — константа скорости каталитической рекомбинации, зависящая от температуры по закону Аррениуса, п— порядок реакции. При небольших температурах на стенке идут реакции первого порядка (п=1).

Упрощенные математические формулировки задач обтекания тел вязким теплопроводным газом

Уравнения движения вязкого теплопроводного газа описывают сложную картину течения, которая для одной и той же задачи имеет области с различными физическими и математическими свойствами. В рассматриваемых задачах можно выделить область пограничного слоя, ударной волны, отрыва потока и следа за телом. Течения вязкого газа характеризуются наличием мелкомасштабных и крупномасштабных вихреобразований, возникновением турбулентности.

При рассмотрении пространственных сверхзвуковых течений вязкого газа возникают внутренние ударные волны, волны разре- жения и сжатия, контактные поверхности разрыва типа энтропийного слоя, происходит явление взаимодействия и поглощения энтропийного слоя пограничным слоем, появляются поперечные и продольные зоны отрыва потока.

Для расчета двумерных и осесимметрических течений газа широко применяется метод установления для полных уравнений Навье—Стокса. При решении пространственных задач методом установления требуются ЭВМ с большим быстродействием и объемом запоминающих устройств. Поэтому в ряде работ используются упрощенные уравнения, которые получаются из полной системы уравнений за счет пренебрежения членами, которые выражают диффузию завихренности вдоль потока и в поперечном направлении. При этом члены завихренности, перпендикулярные к поверхности тела и вносящие основной вклад, сохраняются. В стационар ном случае уравнения движения обладают свойствами эллиптичности. Переход к другой системе уравнений в частных производных позволяет свести задачу к более простой задаче, имеющей параболический характер.

Математически появление пограничных слоев объясняется наличием малого параметра при старших производных в уравнениях

движения. При переходе к безразмерному виду в уравнениях движения появляется безразмерный параметр е= 1/уКе. Число Рейнольдса, характеризующее отношение инерционных сил к вязким, изменяется в задачах обтекания, например при входе тел в атмосферу, от значений Re—10 на больших высотах до чисел Re^lO9 вблизи поверхности. Число Re считается «малым» (Re^l04-103) в обычных условиях «медленного» движения тел, при движении в разреженном газе или в случае движения мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе. В обычных условиях течения характеризуются числами Рейнольдса порядка 103—109.

Асимптотический анализ уравнений Навье—Стокса для различных режимов сверхзвукового пространственного обтекания затупленных тел потоком совершенного газа в зависимости от малого параметра e=l/yRe позволяет выделить различные режимы течения: 1) область невозмущенного течения + ударная волна + невяз- кий ударный слой-рпограничный слой на теле (рис. 2.5), 2) область невозмущенного течения+ударная волна+вязкий ударный слой; 3) область невозмущенного течения переходит в полностью смешанный слой, когда ударная волна не является поверхностью разрыва. При небольших и умеренных числах Рейнольдса вязкость влияет на течение во всей области.

Упрощенные модели, которые следуют из уравнений Навье— Стокса, допускают разрывные решения. Асимптотический анализ уравнений Навье—Стокса в зависимости от малого параметра (вязкости) позволяет в области течения выделить подобласти, в которых влияние вязкости существенно (ударная волна, пограничный слой и др.), и область идеального течения (без учета трения). В этом случае в зависимости от конкретной задачи можно вязкость не учитывать, а подобласти заменить поверхностями разрыва. Эти разрывы могут быть разного характера. Если разрыв претерпевают газодинамические параметры, то говорят о поверхностях сильного разрыва. Если разрыв претерпевают производные от основных параметров, то в этом случае говорят о поверхности слабого разрыва. Иногда поверхность разрыва является неизвестной границей, положение которой определяется в ходе решения задачи. Ударная волна является примером такой поверхности разрыва. Исходную постановку задачи в рамках уравнений Навье—Стокса с учетом вязкости, теплопроводности и др. можно заменить упрощенной постановкой без учета этих факторов. При этом возникают поверхности разрыва типа ударной волны, пограничного слоя и др.

Следует отметить, что хотя сами газодинамические величины претерпевают разрыв, но некоторые комбинации этих величин остаются непрерывными при переходе через поверхность разрыва. Такими величинами является величина массы, количества движения, полной энтальпии.

Возможно появление скачков, на которых терпят разрыв только отдельные величины, например касательные составляющие скорости. В этом случае поверхность разрыва является поверхностью

скольжения или контактной поверхностью. Если имеется поток

массы через поверхность, то поверхность является ударной волной.

В качестве примеров разрыва можно привести условия на ударной волне (условия Ренкина—Гюгонио) при изучении сверхзвуковых течений идеального газа. Поверхность обтекаемого тела явля

ется поверхностью скольжения. Решение задачи о сверхзвуковых течениях в приближении идеального обтекания будет кусочно-непрерывным. Вырождение полных

уравнений Навье—Стокса, решение которых, вообще говоря, непрерывно, связано с тем, что коэффициенты при старших производных в уравнениях движения стремятся к нулю при Re-> ->00 (v~^0). Физически это обозначает, что силы вязкости проявляются в узких областях типа пограничного слоя (6 « 1 /(Re) “) и при больших числах Рейнольдса, толщина этих областей стре-

УеЯСНЛЯ ЗиЛЧЯ

ногитечения

Рис. 2.5

/I ,

; I 1 течение \

Л\

/7иераничнбгйслей

мится к нулю. •

. Если представить решение' в виде разложения по малому параметру е, то члены 0(1) дают уравнения движения идеального газа, которые в слабоконсервативной форме в произвольной криволинейной системе координат имеют следующий вид:

4" (Р Vg) + -^7 (р Vg ч{)=о, dtах1

4r^vgи^+—t vg ^ч’+pgM^ + dtдх’

(2.77)(2.77)+ Arg^4mui + pgmO Vlmi = О,

(2.77)

(2.77)

4? (Р Vg Б) + Л (Vg (р£ + р) Щ) = 0. dtдх1

Эти уравнения дополняются условиями непротекания на поверхности тела, симметрии потока, начальными условиями и условиями на ударной волне.

Выпишем соотношения на поверхностях сильного разрыва. Для этого воспользуемся наиболее общим видом уравнений движения вязкого теплопроводного в интегральной форме, допускающим разрывные решения.

На поверхностях разрыва можно получить законы сохранения массы, количества движения и энергии, если записать уравнения движения в интегральной форме для объема, содержащего рассматриваемую поверхность, и перейти к пределу, стягивая объем интегрирования к этой поверхности.

Скорость изменения интеграла от некоторой произвольной функции F^y1, у\ у\ t) по данному подвижному объему у равна

£(Pdl'M^d!’+jV("-',,ds-

\и/ и*8

Здесь s — поверхность, ограничивающая объем у; п— внешняя нормаль к поверхности; Un— скорость движения по нормали поверхности разрыва. Изменение интеграла F происходит за счет изменения величины F (первый член в правой части) .по времени и от изменения объема. По теореме Гаусса поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный:

$ FUn d s = J div (F U) d u.(2.78)

sи

Следовательно, выражение для полной производной от объемного интеграла можно записать в таком виде:

J- Г Fdu = f ( ^- + div (F u)) du

О Z Je/ \/

UV

ИЛИ

(2.79)

AV/7du=f f— + Fdivu^du.

dz JJ \ dz'

Vr

Здесь d/d/=^+(u-V).

Аналогичная формула для векторной функции А (у1, у2, у3, /) имеет вид

— fAd и = Г— + div (А ■ u)') d и,

d / J J \ dt/

VV

— С Adu = f f— + A div и') du.

dZ JJUz)

Vи

Напомним, чтоосновные интегральные уравнения движения —

уравнения неразрывности, количества движения и энергии — имеют следующий вид:

-^- J pudu = J Pnd.s,(2.80)

и8

” Р (~ + *0 ^У== | (^п1М)^5— \ ^S-

dt J \ 2/ J<у

vss

Интегрируя уравнение неразрывности по объему у и вычитая уравнение (2.79), при /7 = р получим

j р (u — U) n ds = — A- j pd;\ sу

Перейдем к пределу, когда у-^0 (объемный интеграл становится фактически поверхностным), и предположим, что масса на поверхности нс накапливается.

В пределе интеграл по поверхности равен сумме двух слагаемых, а именно сумме интегралов на каждой из сторон слоя. В результате получим piUln = p2U2n (и^=дп—U). Это соотношение говорит о том, что поток массы с одной стороны поверхности разрыва равен потоку массы с другой. Здесь U — скорость движения поверхности разрыва. Таким образом, величины плотности и скорости являются разрывными функциями, но поток массы при переходе через поверхность разрыва остается непрерывной величиной.

Аналогично выводятся соотношения на поверхности разрыва для импульса и энергии. Приведем полный результат:

Pl^in — р^Апл

Pl^in + Pl = Р2^« + P2,

т Pi । uXn т p2 . £|n

T — 1 Pl 2 Y — 1 p2 2

При переходе через поверхность разрыва масса, количество движения, полная энтальпия сохраняются. Влияние вязких сил и теплопроводности не учитывается.

Полный вывод уравнений сжимаемого пространственного пограничного слоя для произвольной* криволинейной системы координат, связанной с поверхностью тела, довольно трудоемок. Поэтому наметим только основной путь вывода уравнений и приведем окончательные результаты.

Стационарные уравнения движения вязкого теплопроводного газа в произвольной криволинейной системе координат имеют такой вид:

риЛ = О,

(2.82)(2.83)(2.82)(2.83)ри?и1.= рЧ, (С / = 1, 2, 3),

(2.82)

(2.83)

(2.82)

(2.83)

pui -^- = Ш + —. (^i f X+ 2p^lV

дх1’ дх^ дх1 \\ дх1 ))

Здесь

Рм = — Pgij — у №tV ^ + 2^17,

еИ = ^(gik^k + g7^^)»

Индекс «запятая внизу» в уравнениях обозначает ковариантное дифференцирование по координатам х\

Рассмотрим систему уравнений (2.82) —(2.83) применительно к системе координат, связанной с поверхностью тела [20]. Выразим все пространственные ковариантные производные в величинах ковариантных производных на поверхности и частной производной по нормали к поверхности. При этом символы Кристофеля', которые возникают при пространственном ковариантном дифференцировании по поверхности, в координатах х1 имеют такой вид: Рм= = GT^, если z = v=l, 2, /=р=1, 2, ^ = 6=1, 2; 0^ —символы Кристофеля, которые возникают при ковариантном дифференцировании по поверхности. Далее,

Г3р = _1^, г“р = Гр3— а“т.

212 д^

Другие символы Кристофеля — это те, в которых два или все индексы i, j, ^ = 3 тождественно исчезают.

Уравнения Навье—Стокса для течения в пограничном слое значительно упрощаются. Поле течения в обычных предположениях теории Прандтля разделится на две области: тонкую область вблизи поверхности, в которой существенны силы вязкости, и внешнюю область идеального течения (см. уравнения (2.77)). Система уравнений содержит малый параметр, за который естественно принять величину 1/yRe. Предположим, что толщина пограничного слоя и скорость, нормальная к поверхности, будут порядка е = 1/VRe, а остальные величины — порядка единицы (х3~е, и3~8, и1, и2~О(1), dldx^dldx\ djdx^.

Рассмотрим уравнение неразрывности

(р^)з=0.(2,84)

Запишем его, выделяя ковариантное дифференцирование по поверхности и дифференцирование по нормали к поверхности, в таком виде:

(ри/), / = (риР) ;Р + др^/дх3 + ри3гД = 0.(2.85)

Индекс «точка с запятой снизу» обозначает ковариантное дифференцирование по поверхности. Если произвести оценку последнего члена в выражении (2.85), то очевидно, что этот член порядка е = = 1/уКе, так как tr~s. При обычных предположениях теории пограничного слоя этим членом можно пренебречь. Окончательно имеем•

(pus).p + dpu/d^ = O,(u3=su, х3^).(2.86)

Уравнения количества движения запишем в таком виде:

и£и^ + uW» = — а’6 — -^- + — 77- (И 77] + фу, р дх° р дх® \ дх® /

(2.87)

др/дх3 = Ф3, (у = 1, 2).

или

(2.88)(2.88)о v . ди4.,, 1 др

(2.88)

(2.88)

иущ&-[- у= — аУ6т

’Р д^р дх6

$=Фз (7=1,2).

ос,

Если заняться оценкой членов в выражении (2.88), то окажется, что Ф/, Ф3' являются членами порядка 1/fRe и выше. Действи- тельно, перейдем к физическим координатам по формулам м(а) = = иа"^ааа и и (a) = aa6u^gaa, (по а не суммировать) (и(1) = = и, и(2)=(о). Затем запишем уравнения в безразмерном виде, выбирая в качестве характерного масштаба значения скорости, плотности, давления, коэффициента вязкости (а также абсолютной температуры и коэффициента теплопроводности) в определенной точке потока, масштаба длины—характерный размер обтекаемой поверхности, и, пользуясь обычными предположениями теории пограничного слоя при Re->oo, получим систему уравнений движения, которая, если вернуться к субтензорной (инвариантной относительно преобразований координат поверхности) записи, имеет вид

к v । диУ и»и.й 4- ик v । диУ и»и.й 4- иg^pP. р дх&g^pP. р дх&(2.89)(2.89)

к v । диУ и»и.й 4- и

к v । диУ и»и.й 4- и

g^pP. р дх&

g^pP. р дх&

(2.89)

(2.89)

-^ = 0.

Рассмотрим уравнение баланса энергии. Выделим ковариантное дифференцирование по поверхности и дифференцирование по нормали к поверхности:

( дТРЧМ ^( дТРЧМ ^дТ дх3дТ дх3

( дТ

РЧМ ^

( дТ

РЧМ ^

дТ дх3

дТ дх3

+ 2ц (eaPei|1gaV,‘ + езАа§33§33 + Зсза^И +

(2.90)(2.90)др. о др2[ I з \2

(2.90)

(2.90)

—— 4- Ц3 —U (М;а + ^,з) .

дха д.г33Х ’

Величина аа|3 fпредставляет тепловой поток параллельно

\ дха

поверхности, и этим членом можно пренебречь по сравнению с кон- вективным тепловым потоком.

Существенный вклад в выражение (2.90) вносится вязким членом диссипации, который после оценки входящих в него членов запишется в видеаар—- • —- . Член др/дх3 — 0 выпадает в силу вто- дх3 дх3

рого уравнения из (2.89). Членом 2/3 нС^а + ^.з) можно также пренебречь, так как его порядок 0(e). Окончательно получаем следу-

ющее уравнение баланса энергии:

„ ат , ат а /, ат \ . дий ди6 , „ ар

Рср» 7-^ + РсРу^ = 77 х^ +^ар —^г + “ т^ ‘дхд£ д^ \/ди д^ дх

(2-91)

Воспользуемся уравнениями движения (2.89) для того, чтобы свести уравнение притока тепла к другому, более удобному виду. Если подставить значение иа (др/дха) из уравнений движения (2.89), то после некоторых преобразований получим

(2.92)(2.92)

(2.92)

(2.92)

илиилио = у-сД, Н = срТ + 4^12.о = у-сД, Н = срТ + 4^12.(2.93)(2.93)Система уравнений в окончательном виде запишется щим образом:(рыт);т+<5ру/д^=0, (7=1,2),Система уравнений в окончательном виде запишется щим образом:(рыт);т+<5ру/д^=0, (7=1,2),следую-следую-(2.94)(2.94)

или

или

о = у-сД, Н = срТ + 4^12.

о = у-сД, Н = срТ + 4^12.

(2.93)

(2.93)

Система уравнений в окончательном виде запишется щим образом:

(рыт);т+<5ру/д^=0, (7=1,2),

Система уравнений в окончательном виде запишется щим образом:

(рыт);т+<5ру/д^=0, (7=1,2),

следую-

следую-

(2.94)

(2.94)

о v , ди4 UPU-й + Уо v , ди4 UPU-й + Уgv6 дрр Ох6gv6 дрр Ох6й дТ . дТ илин дН . ОН дРМ ТТ + Ру ^Г = ^7 дхр at, at,й дТ . дТ илин дН . ОН дРМ ТТ + Ру ^Г = ^7 дхр at, at,V -=0, диа ди6 . и„ др д'С д^ [д^V -=0, диа ди6 . и„ др д'С д^ [д^L Г дНс . д^L Г дНс . д^

о v , ди4 UPU-й + У

о v , ди4 UPU-й + У

gv6 дрр Ох6

gv6 дрр Ох6

й дТ . дТ или

н дН . ОН д

РМ ТТ + Ру ^Г = ^7 дхр at, at,

й дТ . дТ или

н дН . ОН д

РМ ТТ + Ру ^Г = ^7 дхр at, at,

V -=0, диа ди6 . и„ др д'С д^ [д^

V -=0, диа ди6 . и„ др д'С д^ [д^

L Г дН

с . д^

L Г дН

с . д^

Эти уравнения в физических координатах имеют вид

=--0,

Ъ \“11/ иЧ х и22/иЪ

и ди . to ди . ди . л п лл

~7=т=НУН Ди + A<° + AjLtto =^

Кац dg Уа,г дч д^ 12

(2.95)

^ = 0,

“+“ *L + ^ + В1Ы2 5>шг+ в _

Гаи д^ Т Уа,г дп д^ 1'

В4 . 1 д ( дсо \

= — Нмы — ,

р р ^ \ д^ /

ИЛИ ри дТСр V"C "дГИЛИ ри дТСр V"C "дГр«_ дн ■ р®_дн ан _ а (ц г ая , п а № Хр Гаи ^ ^«22 дП Р д^ дПа L <^^\2/JJ

ИЛИ ри дТ

Ср V"C "дГ

ИЛИ ри дТ

Ср V"C "дГ

, рю дТ . дТ1 д / л дТ \ и др

Га22 Л ас ас ^ д^!У ап ас

"7 —' 1 Ц — i I + 2 COS Ч

Г ^22 ^п 1\^7 к ^ Уд£ д£

уравнение состояния: p = pRT.

Таким образом, перешли к физическим координатам по формулам и(а) = иа^ааа и ы(а) =ибйб^2аа (по а не суммировать). Физические составляющие вектора скорости м(1)=м, ^(2)=со, v = v вместо х1, %2, х3 берутся соответственно как $, т], £.

Коэффициенты At—Л4, Bv—В4 определяются геометрией тела и внешним идеальным потоком. Выражения для этих коэффициентов выписываются в следующем разделе. •

Граничные условия для системы уравнений (2.95) будут такими:

u=(o = O,u = v0, Н—Но или Т=Т0 при ^ = 0,

и-^ие, о)-^(ое,Н-^Не—const,T-VTe при ^-^оо.

На внешней границе пограничного слоя уравнения переходят в обычные уравнения идеальной жидкости. Поэтому

(2.97)(2.97)а1 ^р

(2.97)

(2.97)

и и№ - - ^ ^р ,

где Ua и IP— соответственно контравариантная и ковариантная составляющие вектора скорости внешнего течения. Кроме того, на внешней границе /7e = const или peCpUa(dTeldxa) = Ua(dpldxa).

Уравнения, приведенные выше, являются уравнениями пограничного слоя, полученными при обычных предположениях теории Прандтля. Эти уравнения можно рассматривать как приближение первого порядка внутреннего разложения уравнений Навье—Стокса при изучении их методом внешних и внутренних асимптотических разложений. Влияние членов более высокого порядка не учитывается, т. е. эффекты толщины вытеснения, взаимодействие внешнего течения с пограничным слоем, влияние завихренности при таком подходе не рассматриваются.

Все системы координат на поверхности равнозначны. В выборе систем координат имеется довольно широкий произвол. Обычно интересуются результатами, инвариантными относительно преобразований систем координат на поверхности.

Рассмотрим общий случай криволинейной системы координат на поверхности. Элемент длины для произвольной криволинейной системы координат, нормально связанной с поверхностью, запишется в виде ds2 = aaPdxadx₽ + d^2, (a, ^=1, 2).

Многие авторы использовали системы координат, связанные с линиями кривизны на поверхности, с линиями тока внешнего течения и полугеодезические системы координат, которые можно рассматривать как частный случай произвольной криволинейной системы координат на поверхности.

Коэффициенты At—Л4, В^—В^ в уравнениях (2.95) запишутся следующим образом:

1^11^11^6а?2

А = -Д=($1 + су-Г ^22А = -Д=($1 + су-Г ^2215 Гаи .Г аиа,2дт) ’15 Гаи .Г аиа,2дт) ’в1 =-^Gin«ив1 =-^Gin«и°^1d ^2Г а22а22 дп°^1d ^2Г а22а22 дпв3в31 fG2 I G2 )* d Г«22 .К «иV ацОггdg1 fG2 I G2 )* d Г«22 .К «иV ацОггdg_022 V«и 1 dpо Ре dg_022 V«и 1 dpо Ре dg012 К«иа012 К«иа1 др .Ре дг) ’1 дрРе dg *1 др .Ре дг) ’1 дрРе dg *где р— давление на внешней границе пограничного слоя, a 6«р — символы Кристофеля, которые определяются в таком виде:где р— давление на внешней границе пограничного слоя, a 6«р — символы Кристофеля, которые определяются в таком виде:(а, М = L 2).(а, М = L 2).

А = -Д=($1 + су-

Г ^22

А = -Д=($1 + су-

Г ^22

15 Гаи .

Г аиа,2дт) ’

15 Гаи .

Г аиа,2дт) ’

в1 =-^Gin«и

в1 =-^Gin«и

°^1d ^2

Г а22а22 дп

°^1d ^2

Г а22а22 дп

в3

в3

1 fG2 I G2 )* d Г«22 .

К «иV ацОггdg

1 fG2 I G2 )* d Г«22 .

К «иV ацОггdg

_022 V«и 1 dp

о Ре dg

_022 V«и 1 dp

о Ре dg

012 К«иа

012 К«иа

1 др .

Ре дг) ’

1 дрРе dg *

1 др .

Ре дг) ’

1 дрРе dg *

где р— давление на внешней границе пограничного слоя, a 6«р — символы Кристофеля, которые определяются в таком виде:

где р— давление на внешней границе пограничного слоя, a 6«р — символы Кристофеля, которые определяются в таком виде:

(а, М = L 2).

(а, М = L 2).

Для произвольной криволинейной системы координат на поверхности коэффициенты At—At, Bt—Вь, выраженные через метрические коэффициенты и давление во внешнем потоке, запишутся в виде

^ 012 _ d Г «и । 012 д К Оц1 dOi2

1 о L дц ' «и dg jK Оц 5g J’

(2 98)

Л _ /оц rda12 г—гдГа22 ai2 dV"a^ 1

^2 —~;V “22 ^77=: •

а дт)5g г «22 dr) J

а12] дГаи _ 2а д Г 422

«11022 /51]12 5g

__ 022 V «111др+а12 г Оц15р

«Реdgаредп ’

_ V Г до12 г— д V Оц _ о12 дУа^о I dgV11дПГ5Г1dg

“12 Г V “22| “12^“22^12

a L 5g а22 oqа22 dq

В3 — — аВ3 — — а"1/^^11022"1/^^11022^ д V а^. _ 2й д Vап“п“12 / dg12 dq _

В3 — — а

В3 — — а

"1/^^11022

"1/^^11022

В,В,“11 ^“22“11 ^“22аа1 5р | “12 К °22 1 дрРе ^l аРе di'1 5р | “12 К °22 1 дрРе ^l аРе di'

В,

В,

“11 ^“22

“11 ^“22

а

а

1 5р | “12 К °22 1 дрРе ^l аРе di'

1 5р | “12 К °22 1 дрРе ^l аРе di'

Если линия тока внешнего течения совпадает с геодезической линией на поверхности, вдоль которой градиент поперечного давления обращается в нуль, то на этой линии поперечная потоку скорость отсутствует (теорема о линиях растекания). Действительно, как следует из уравнения плоской геодезической линии, Gu=0, но тогда и 5^011=0. Если давление вдоль этой линии достигает относительного максимума или минимума, то систему координат на поверхности можно выбрать так, что уравнение для поперечной составляющей скорости примет вид

и dto . со д(о . бсо , D 9 . D 52со

=- ——h vк В.,оз2 4- B.uto =

с граничными условиями о) = 0 при ^=0 и сое-^0 при ^-^оо. Очевидно, что решением будет со = О. И наоборот, если на некоторой, линии тока, совпадающей с геодезической линией на поверхности, поперечная скорость обращается в нуль, то поперечный градиент давления обращается вдоль этой линии также в нуль.

Если удается найти все промежуточные линии растекания, то течение в каждой из выделенных областей можно рассчитывать независимо.

Использование криволинейной системы координат на поверхности, и в частности неортогональной системы координат, приводит к дополнительным членам в уравнениях пограничного слоя. Однако это не меняет характера системы уравнений. Добавочные члены, связанные с кривизной поверхности, не усложняют, например, численного решения уравнений, а приводят только к некоторому увеличению числа арифметических операций. С вычислительной точки зрения преимущество системы координат, связанной с линиями тока внешнего течения, незначительно. При численных расчетах использование неортогональной системы координат на поверхности тела является общим случаем, и переход к ортогональной системе координат связан с небольшим изменением программы расчетов. Алгоритм конечно-разностных расчетов, численная устойчивость в линейном приближении и сходимость метода практически остаются неизменными, так как члены, связанные с кривизной, являются членами низшего порядка и не содержат производных.

При приближенном аналитическом подходе к решению з.адачц о трехмерном пограничном слое удобно использовать систему координат, связанную с линиями тока внешнего течения. Количество'

параметров, определяющих решение задачи, при этом уменьшается, и физическое объяснение результатов наиболее удобно. Предположение о малости вторичного течения в этой системе координат является наиболее естественным. В предположении, что внешнее течение известно, вычисление линий тока, казалось бы, не представляет труда. Однако эти вычисления достаточно трудоемки. После построения линий тока необходимо построить систему линий, перпендикулярных к линиям тока, и найти градиент давления вдоль линий тока и поперек. Часто удобнее использовать результаты в той системе координат, в которой они получены, например с помощью метода сеток, для внешнего идеального течения.

Для ортогональной системы координат на поверхности коэффи- диенты Л!—Л4, BY—В4 упрощаются (я12=0):

(2.99)(2.99)А-О,

(2.99)

(2.99)

J дУац в =3 _ дУа^ .

Уаиаю dr) *3 У а^а^ д=

1 др В =1—9eV"aiX dV 4 ре KS ^П *

Координатная сеть (х1, х2) определяет криволинейные координаты с точностью до преобразований /(х1), <р(х2) и зависит от произвольного выбора начала отсчета криволинейных координат на поверхности. Сеть линий кривизны строится на данной поверхности вполне однозначно. По теореме Дюпена линии пересечения триортогональной системы поверхностей являются их линиями кривизны и при любом выборе триортогональной системы координат поверхности § = const и i] = const должны пересекать поверхность S вдоль линий кривизны, т. е. независимо от выбора триортого- нального семейства поверхностей, содержащего S, поверхности семейства £ = const, T] = const пересекают поверхность вдоль линий кривизны.

Естественно стремиться к тому, чтобы уравнения пространственного пограничного слоя и граничные условия были максимально упрощены одновременно. В частности, для решения было бы удобно, например, если метрические коэффициенты исчезли из уравнений. Это возможно для класса развертывающихся поверхностей (например, цилиндра). Когда поверхность не является развертывающейся (гауссова кривизна отлична от нуля), метрические коэффициенты одновременно не являются константами.

Поясним смысл величин Л2, Л3, BY и В3. Для этого определим геодезическую кривизну линии на поверхности. Если определить на поверхности семейство ортогональных линий § = const, т] =

= const, то геодезическая кривизна этих линий связана с метрическими коэффициентами соотношениями= const, то геодезическая кривизна этих линий связана с метрическими коэффициентами соотношениямикт = Л2 = — В2 =^2 =: ^1 ===^3 ==:кт = Л2 = — В2 =^2 =: ^1 ===^3 ==:13 К ^221дУаГз,У ^11^22 ^П13 К ^221дУаГз,У ^11^22 ^Пгде kY и й2— геодезические* кривизны линий £ = const, q — const. Величина kY положительна, если ось g ориентирована внутрь вогнутости кривой £=const. Если kv>0, то линии r]=const сходятся, если kv<0, то линии r]=const расходятся (рис. 2.6).При переходе от одной системы координат на поверхности к другой метрические коэффициенты меняются по законугде kY и й2— геодезические* кривизны линий £ = const, q — const. Величина kY положительна, если ось g ориентирована внутрь вогнутости кривой £=const. Если kv>0, то линии r]=const сходятся, если kv<0, то линии r]=const расходятся (рис. 2.6).При переходе от одной системы координат на поверхности к другой метрические коэффициенты меняются по закону(2.100)(2.100)где §*а— старая, V — новая системы координат. При этом меняются и составляющие скорости. Если, например, известны контравариантные составляющие вектора скорости стеме координат, то контравариантные составляющиегде §*а— старая, V — новая системы координат. При этом меняются и составляющие скорости. Если, например, известны контравариантные составляющие вектора скорости стеме координат, то контравариантные составляющиев одной си- вектора сков одной си- вектора скорости в другой системе связаны законом преобразования контрава- риантных векторов:рости в другой системе связаны законом преобразования контрава- риантных векторов:иа =иа =д^д^(2.101)(2.101)

= const, то геодезическая кривизна этих линий связана с метрическими коэффициентами соотношениями

= const, то геодезическая кривизна этих линий связана с метрическими коэффициентами соотношениями

кт = Л2 = — В2 =

^2 =: ^1 ===^3 ==:

кт = Л2 = — В2 =

^2 =: ^1 ===^3 ==:

13 К ^22

1дУаГз,

У ^11^22 ^П

13 К ^22

1дУаГз,

У ^11^22 ^П

где kY и й2— геодезические* кривизны линий £ = const, q — const. Величина kY положительна, если ось g ориентирована внутрь вогнутости кривой £=const. Если kv>0, то линии r]=const сходятся, если kv<0, то линии r]=const расходятся (рис. 2.6).

При переходе от одной системы координат на поверхности к другой метрические коэффициенты меняются по закону

где kY и й2— геодезические* кривизны линий £ = const, q — const. Величина kY положительна, если ось g ориентирована внутрь вогнутости кривой £=const. Если kv>0, то линии r]=const сходятся, если kv<0, то линии r]=const расходятся (рис. 2.6).

При переходе от одной системы координат на поверхности к другой метрические коэффициенты меняются по закону

(2.100)

(2.100)

где §*а— старая, V — новая системы координат. При этом меняются и составляющие скорости. Если, например, известны контравариантные составляющие вектора скорости стеме координат, то контравариантные составляющие

где §*а— старая, V — новая системы координат. При этом меняются и составляющие скорости. Если, например, известны контравариантные составляющие вектора скорости стеме координат, то контравариантные составляющие

в одной си- вектора ско

в одной си- вектора ско

рости в другой системе связаны законом преобразования контрава- риантных векторов:

рости в другой системе связаны законом преобразования контрава- риантных векторов:

иа =

иа =

д^

д^

(2.101)

(2.101)

Если перейти к физическим составляющим, то получим закон преобразования (правило перехода) составляющих вектора скорости при переходе от одной системы координат на поверхности к другой (по ос не суммировать):

(2.102)(2.103)(2.102)(2.103)Ы(а)= 1/^.^„*(р)

(2.102)

(2.103)

(2.102)

(2.103)

или

, х Г „R ^ ( *' “*(6) \и (а) = Vа^а^ -^ ат6 -1--' .

^ \ -У^б /

Обычно в несжимаемой жидкости известен потенциал внешнего течения ф(цх=^ф/^, и^дф!ду, иг=дф(дузу и в этом случае составляющие вектора скорости на поверхности тела выражаются следующим образом (по £ не суммировать):

(2.104)(2.104)«(Р) = ^«^“-^г •

(2.104)

(2.104)

Удобно выбирать систему координат, связанную с линиями тока внешнего течения. При этом система уравнений упростится:

toe = 0.toe = 0.(2.105)(2.105)РЛ = pS

toe = 0.

toe = 0.

(2.105)

(2.105)

Г «и 5gJ/ ana22dn

.Метрические коэффициенты будут выражаться через параметры внешнего течения "^an = \IUe, ^a22=\jrUe.

(2.106)(2.106)Действительно, например, в несжимаемой жидкости потенциал внешнего течения Ф известен, тогда

(2.106)

(2.106)

g11 Ф2 4-Ф - +Ф\ ~ U'-

6У1 ‘ yi 1 уз е

и линейный элемент, записанный в координатах линий тока внешнего течения и функции тока, будет иметь следующий вид:

- ds2 = — (d<p2 + — бф2 + d^2,

где ср, гр — координаты линий тока и функции тока; £— координата, нормальная к поверхности; г—некоторая функция.

Наиболее простой вид имеет линейный элемент, а вместе с ним система уравнений в полугеодезической системе координат:

ds2=dx2 + R2 dz/2+d^2,

где x — длина дуги вдоль образующей линии, R— местный радиус, у — меридиональный угол.

Так как двумерная поверхность конформна плоскости, то на поверхности всегда можно ввести ортогональную систему координат, в которой первая квадратичная форма поверхности будет иметь вид

ds2=A2(dx2+dz/2).

При практических расчетах удобно пользоваться (при отходе от критической точки) произвольной криволинейной системой координат. Затем, рассчитав течение до некоторой плоскости х= — const, удобно перейти к полугеодезической системе координат.

Уравнения двумерного пограничного слоя — уравнения параболического типа. Это означает, что главный механизм, определяющий характер течения в направлении, перпендикулярном к стенке, является механизмом диффузии момента количества движения и диффузии потока тепла в сжимаемых средах. Произвольное возмущение мгновенно передается поперек пограничного слоя, так как предполагается, что скорость диффузии бесконечно велика. Общие свойства уравнений двумерного пограничного слоя сохраняются и для трехмерного пограничного слоя. При рассмотрении, например, трехмерного пограничного слоя на осесимметическом теле под углом атаки естественно предполагать, что уравнения трехмерного пограничного слоя непрерывно переходят в уравнения двумерного пограничного слоя при стремлении угла атаки к нулю.

Условия на внешней границе пограничного слоя вычисляются из уравнений Эйлера (2.97), соответствующих системе (2.95) с граничными условиями (2.96). Эти уравнения формально можно получить, полагая вязкость тождественно равной нулю. Уравнения Эйлера можно решить численными методами, например методом характеристик для внешнего сверхзвукового течения, или, решая уравнения Лапласа или Пуассона, для дозвуковых течений. С вычислительной точки зрения важно, чтобы решения уравнений Эйлера были найдены с той же точностью, с которой ищется решение уравнений пограничного слоя. Ошибки вычисления внешнего течения могут заметно повлиять на свойства решения, получаемого в пограничном слое.

Произвольное возмущение в пограничном слое распространяется вдоль линий тока с некоторой конечной и с бесконечной скоростями в направлении, перпендикулярном стенке. В трехмерном пограничном слое возникает понятие о зоне зависимости и о зоне влияния. Возмущение, возникающее в некоторой .дочке пограничного слоя, распространяется не на всю область, а только на рай

он влияния этой точки. Об- Рис. 2.7 ласть зависимости и область влияния - определяются двумя поверхностями, образованными нормалями к поверхности, проходящими через предельную линию тока на теле и линию тока внешнего течения. Угол между двумя поверхностями задает максимальный угол разворота вектора скорости в плоскости, касательной к поверхности тела. Когда угол между двумя поверхностями стремится к нулю, предельные линии тока имеют то же направление, что и линии тока внешнего течения, и область зависимости и влияния вырождается в одну поверхность, перпендикулярную к поверхности тела (рис. 2.7)."

Если начальные условия заданы на некоторой поверхности, перпендикулярной к поверхности тела, т. е. известны (в несжимаемой жидкости) составляющие скорости и^ rj, £), оз(§, ц, £) и температура Г(§, т], g) или энтальпия //(§, т], £) (в сжимаемом газе), тогда решения уравнений трехмерного пограничного слоя можно найти только в некоторой области, определяемой областью, которая зависит от начальных данных на поверхности Sp Если имеется точка торможения, то решение определяется в 'окрестности точки торможения, а затем с учетом влияния начальных данных последовательно во всей остальной области.

Классическая теория пограничного слоя имеет ограниченную область применения и позволяет в рамках теории находить газодинамические параметры вблизи поверхности только до неизвестной границы — поверхности «отрыва потока».

Эффекты слабого взаимодействия, например эффект вытесни ния, можно рассмотреть в процессе итерационного решения уравнений движения идеального газа и пограничного слоя. Сначала, решаются уравнения движения без учета вязкости, затем находится толщина вытеснения из теории пограничного слоя. Потом определяется распределение давления и скорости около тела, образованного наращиванием на заданную поверхность толщины вытеснения и т. д. На практике проводят одну или две итерации, для того чтобы учесть влияние пограничного слоя на распределение давления и другие величины.

Эффекты сильного взаимодействия, например «отрыв потока»» требуют пересмотра концепций пограничного слоя. В настоящий момент для численного исследования пространственных стационарных течений вязкого газа в сжимаемом газе изучается параболическое приближение, для которого можно использовать «маршевый» метод. В этом случае не требуется отдельного вычисления невязкого и вязкого течения, учитываются эффекты вытеснения» поглощение энтропийного слоя, наличие поперечного отрыва.

Если представить параметры потока в виде рядов по малому параметру е = 1/yRe, подставить эти разложения в полную систему уравнений Навье—Стокса, затем собрать члены порядка 0(1)» 0(e), 0(е2) и т. д., то получим системы уравнений движения газаг пригодные для расчета течений в различных областях: уравнения, идеального газа, пограничного слоя, промежуточные уравнения между полной системой уравнений вязкого газа и пограничного* слоя. Уравнения идеального газа и пограничного слоя были рассмотрены выше.

Введем произвольную криволинейную систему координат, нормально связанную с поверхностью тела. Пусть х3=0— уравнение поверхности, а х1 и х2— координаты на поверхности. В этом случае выполняются соотношения grap = ^ap—2Ьа^х3^ачЧ)чаЬХ£(<хзУ\ g-3a=0» ^зз=1, ga^=a^ при х3 = 0, ga3 = g3a = 0, g33=l.

Если х3 меняется в промежутке 0^х3^6, где 6 — малая величина, то можно положить l+fetS^l, 1±&26~1. В этом случае

Г^=М. Г^=.-&1 Газ = 0> Гзз = 0.

Вблизи поверхности х3 = 0, gap^^ap, det||^11 = det||^«р 11 = ti-

Метрические коэффициенты и символы Кристофеля определяются метрикой на поверхности аа₽ и второй квадратичной формой Ьа^. Рассмотрим уравнения Навье—Стокса, полученные из системы уравнений (2.33) с помощью оценки членов уравнений по параметру вязкости e=l/]/Re. В этих уравнениях можно выделить явно члены порядка е и е2. о

Дифференциальные уравнения в произвольной криволинейной системе координат (^>0) запишутся в виде

(р / iu") + ^(р ^^ = °’

^(Г [/g(p»a«p + Pg“p)l + у- (p /gu4^ + Vg ^^ + Pg^ G?m+ + 2p /^Г?3 = А /и /^^ W е0Ф®, (a = 1, 2),

(2.107)

-^ (p Vg№ + A (p vgyH) =

’^ГГ [^"+ ( ° яЛТ; jj+ ° p

Здесь £=x3, v — u3 и величины Ф^ и Fv имеют вид

Ф“ = 4" (^ ?т“3) + V"g W^ + 2rv3r“3) +

Л -if г (» - ^i+^ (тН -(г ^(Я) ■

ф1 = -^г(/^33) — Tfe (р Vg^) +(/gT3a) + /^Гу?.

Величины таР определяются по формулам

т“В = — 2/3pg“P <ик^ 4- 2peatt,

^ = хк^и^А- ^и^>

^ = хк{^ + g^l

^ = и\ (а,Р=1,2).

К системе уравнений (2.107) следует добавить уравнение состояния и зависимости вязкости, теплопроводности от температуры:

р=—p/i, ^ = ц(Л, х = х(т). V

В качестве граничных условий на поверхности тела принимаются условия прилипания и непроницаемости. При умеренных и низких числах Рейнольдса следует учитывать эффекты скольжения и скачка температуры (см., например, [40]).

На головной ударной волне ставятся модифицированные соотношения Ренкина—Гюгонио, учитывающие эффекты скольжения. Эти соотношения приведены в ряде работ [39—40].

Система уравнений (2.107) с условием на поверхности тела и соотношениями на головной ударной волне дополняется заданием

начальных распределений искомых величин в некотором начальном сечении.

Система уравнений (2.107) является системой уравнений. Навье—Стокса, записанной в системе координат, связанной с поверхностью тела (х3 = 0). В левой части уравнений присутствуют только члены уравнений для невязкого течения. Если пренебречь вязкими членами, то получим систему уравнений движения идеального газа. Для величины давления в этом случае получается уравнение

^ Р V g = -- Vg (Риа^ + Pg°^ Г«р (а, 0=1,2).

Если член в правой части мал, то в этом случае др(д^ = 0. Величина р=р(х\ х2). Если известно давление за ударной волной, то сразу находится давление на теле. Отметим также, что выполняется интеграл //=const.

Если 8о = О, то система уравнений (2.107) напоминает по виду уравнения пространственного пограничного слоя с той разницей,, что добавляется еще одно уравнение для нормальной составляющей скорости, которое в случае пограничного слоя сводится к уравнению ^p/^ = O(iyRe). Это приближение называют приближением тонкого вязкого ударного слоя. Такая модель справедлива в тех зонах, где ударный слой является тонким, например на наветренной части затупленных тел при гиперзвуковых скоростях.

Если используется уравнение для нормальной составляющей общего вида, то такое приближение называется моделью .вязкого ударного слоя. Если учесть диффузию завихренности в поперечном потоку направлении, то такое приближение называется параболическим. Каждый из таких подходов требует отдельного рассмотрения граничных условий и обоснования пределов применимости, корректности постановки задачи.

Трудности решения этой системы уравнений связаны с тем, что при «маршевом» методе расчета возможно распространение возмущений вверх по потоку через дозвуковую область. Если ударный слой тонкий, то эллиптичность исходной задачи проявляется слабо. Основное отличие системы уравнений (2.107) от уравнений пограничного слоя заключается в том, что появляется дополнительное уравнение для нормальной составляющей количества движения и граничные условия ставятся не на внешней границе пограничного слоя, а на ударной волне, если она выделяется явно.

Параболизация задачи основана: 1) на введении регуляризующих поправок [29]; 2) на учете градиента продольного,давления с предыдущего слоя [28]; 3) на методе подслойной аппроксимации [41, 45, 46]; 4) на методе осреднения [42]. Метод введения регуляризующих слагаемых [29] основан на введении в уравнения движения дополнительных слагаемых, которые в дозвуковой части сводят уравнения к параболическому типу, не меняя при этом уравнения в сверхзвуковой части.

Если брать др/д^ с запаздыванием, то можно подавить разви

то

тис неустойчивости, однако при небольших размерах шага вдоль поверхности такой подход неустойчив. Метод подслойной аппроксимации состоит в замене величины давления при £ = £* постоянным значением, взятым из сверхзвуковой части.

Вторая трудность связана со способами задания ударной волны. Правильное решение может быть получено методами установления либо глобальными итерациями [31].

Сравнение решений полной системы уравнений Навье—Стокса и приближенных моделей [21], в которой сохраняются члены порядка e2=l/Re, показывает, что решения системы уравнений, в которой сохраняются члены порядка е2, и полной системы уравнений Навье—Стокса совпадают с хорошей точностью (~5%) до чисел Re~102. При более низких числах Рейнольдса течение стано- вится полностью вязким и ударная волна не является поверхностью разрыва. Если учитывать в уравнениях только члены пограничного слоя, то при числах Рейнольдса Re~103 (Л4^ 10) решение приближенной системы и полной системы уравнений согласуются в окрестности линии торможения, а при Re^3000— с решением обычных уравнений пограничного слоя. Однако около боковой поверхности различие нарастает и приводит к потере точности. Для гиперзвуковых течении (Л1« 10) и при больших числах Рейнольдса система уравнений, в которой члены порядка е2 отброшены, дает заметную погрешность по сравнению с решениями полной системы уравнений.

Решения полной пространственной системы уравнений Навье— •Стокса трудно получить с удовлетворительно точным пространственным разрешением для ЭВМ настоящего поколения. В задачах обтекания численные методы позволяют получить решения уравнений динамики вязкой жидкости при относительно «небольших» числах Рейнольдса порядка 10—104. При увеличении числа Рейнольдса физическое решение становится чувствительным к выбору начальных и граничных условий. При использовании конечно-разностных схем возникает понятие «схемной» вязкости, которая может стать одного порядка с физической вязкостью. Это приводит к тому, что вместо реальной картины течения численные методы предсказывают физически другую ситуацию.

Уравнения движения вязкого газа описывают течения с существенно различными физическими и математическими свойствами. При численном моделировании область интегрирования следует разбивать таким образом, чтобы учесть характер решения в каждой области. Например, для задач внешнего обтекания можно ввести такие, подобласти: течение вблизи затупления, вблизи отошедшей ударной волны, зона разворота потока, пограничного, слоя, возникновения местных дозвуковых зон, область взаимодействия пограничного слоя и ударной волны, области резкого изменения кривизны профиля обтекаемого тела, зоны взаимодействия и поглощения энтропийного слоя и т. п.

Каждая из подобластей требует своего подхода и учета своих специфических особенностей решения. При численных расчетах

вес требования сводятся к выбору размеров шага расчетной сетки. При решении пространственных задач область интегрирования удобно разбить на ряд пересекающихся подобластей. Это возможно в том случае, если последующие области слабо влияют на предыдущую. Затем нужно решать задачи последовательно в подобластях. На границе, через которую газ вытекает из области, удобно ставить «мягкие» условия вида линейной экстраполяции искомых функций. Удобно пользоваться неравномерными сетками, которые позволяют учесть появление областей сильного изменения решения. Для проверки результатов требуется проведение итерационных расчетов на разных сетках и стыковка решения на границах из условия непрерывности потоков, самих функций или же условия совместности.

Если заранее характер течения известен, то с помощью аналитического преобразования можно заранее ввести неравномерную сетку, которая учитывает особенности решения.

Если заранее эти области неизвестны, то полезно применение самонастраивающихся или адаптивных сеток. В работе [23] применяется способ построения адаптивных сеток по величине градиента функции. Построение сетки удобно связать с величиной локальных градиентов функции исходя из минимизации нормы по грешности решения или других функционалов.

Литература

Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 847 с.

Ладыженская О. Л. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

Фрязинов И. В. Консервативные разностные схемы для трехмерных уравнений Навье — Стокса в криволинейных ортогональных координатах для несжимаемой жидкости: Препр. № 9 Ин-та прикл. математики. М., 1982. 26 с.

Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Щенников В. В. Метод расщепления в. применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.— Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1975, т. 15, № 1, с. 197—207.

Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, т. 1. 492 с.

Кокошинская Н. С., Павлов Б. М., Пасконов В. М. Численное исследование- сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: Изд-во МГУ, 1980. 247 с.

Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. 351 с.

Vinokur М. Conservation equations of gas dynamics in curvilinear coordinate systems.— J. Comput. Phys., 1974, N 14, p. 105—125.

Котенев В. П., Сахаров В. И., Тирский Г. А. Строго консервативная форма уравнений Навье — Стокса для многокомпонентного газа и плазмы с учетом химических реакций.— В кн/. Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М/. Изд-во МГУ, 1981, с. 6—28.

Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М/. Наука, 1982. 312 с.

И. Гиршфельдер Д., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкости. М/. Изд-во иностр, лит., 1961. 572 с.

Алексеев Б. В. Математическая кинетика реагирующих газов. М.: Наука,. 1982. 420 с.

Суслов О. И., Тирский Г. А., Щенников В. В. Описание химически равновесных течений многокомпонентных ионизированных смесей в рамках уравнений Навье — Стокса и Прандтля.— ПМТФ, 1971, № 1, с. 73—82.

Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, 1982. 591 с.

Соколова И. А. Расчет сечений соударений заряженных частиц в ионизированном газе —В кн/. Аэрогазодинамика. Новосибирск: Наука, 1973, с 116— 127.

Wilke С. R. A viscosity equation for gas mixture.—J. Chem. Phvs., 1950, vol. 18, p. 232—237."

Buddenberg I. W., Wilke C. R. Calculation of gas mixture viscosites.— Industr. and Eng. Chern., 1949, vol. 41, N 7, p. 105—117.

Hansen P. Approximations for the thermodynamic and transport properties of high-temperature air.— NASA Techn. Rep., 1959, N 50, p. 28.

Казейкин С. H., Шевелев Ю. Д. Трехмерный пограничный слой в многокомпонентном, частично ионизированном газе.— ПММ, 1976, т. 40, № 3, с 490— 500.

*20. Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М/ Наука, 1977. 229 с.

Головачев Ю. П., Кузьмин А. М., Попов Ф. Д. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел с использованием полных и упрощенных уравнений Навье — Стокса.— Ж урн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, т. 13, №4, с. 1021—1028.

Афонина Н. Е., Власов А. Ю., Громов В. Т. Расчет течения в пространственном вязком ударном слое на удлиненных телах.— Численные методы механики сплошной среды, 1983, т. 14, № 3, с. 3—17.

Березин Ю. А., Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Разностный метод решения задач обтекания в «естественных» координатах.— В кн.: Аэромеханика. М/ Наука, 1976, с. 253—259.

Бабаков А. В., Белоцерковский О. М., Северинов Л. И. Численное исследование течения вязкого теплопроводного газа у тупого тела конечных размеров.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1975, № 3, с. 112—123.

Толстых А. И. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и о применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1978, т. 18, с. 139— 153.

Анкудинов А. Л. Вязкий ударный слой около параболоида.— В кн.: Аэродинамическое нагревание при сверхзвуковых скоростях потока. М., 1973, с. 47— 61. (Тр. НАГИ; Вып. 1448).

Карякин В. Е. Расчет сверхзвукового обтекания тел вращения вязким газом при малых углах атаки.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1980, т. 21, № 1, с. 150—156.

Воронкин В. Г. Расчет вязкого ударного слоя на притупленных конусах.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1974, № 6, с. 99—105.

Ковеня В. М., Черный С. Г., Яненко Н. Н. Упоощенные уравнения для описания течений вязкого газа.— ДАН СССР, 1979, т. 245, № 6, с. 1322—1324.

Черный С. Г. Расчеты пространственных течений около тел сложной конфигурации: Препр. № 7 ИТПМ СО АН СССР. Новосибирск, 1983. 26 с.

Василевский С. А., Тирский Г. А. О некоторых способах численного решения уравнений вязкого ударного слоя.— В кн/. Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. М/ Изд-во МГУ, 1979, с. 87—99.

Головачев Ю. П., Фурсенко А. А. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел вязким газом с помощью маршевой схемы: Препр. № 731. ЛФТИ им. А. Ф. Иоффе АН СССР. Л., 1981. 26 с.*

Гершбейн Э. А., Щелин В. С., Юнацкий С. А. Численные приближенные аналитические решения уравнений гиперзвукового пространственного вязкого ударного слоя при умеренно малых числах Рейнольдса.— В кн/ Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М/. Изд-во МГУ, 1981, с. 72—82.

Седов Л. И., Михайлова М. П., Черный Г. Г. О влиянии вязкостей теплопроводности на течения газа за сильно искривленной ударной волной. Вести. МГУ, 1953, № 3, с. 95—100.

Магомедов К. М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1970, № 2, с. 45—56.

Гусев В. Н. О гиперзвуковом моделировании, обусловленном изменением чисел М и Re.—Учен. зап. ЦАРИ, 1979, т. 10, № 6, с. 19—29.

Марков А. А. Исследование стационарного течения вязкого газа в тонком трехмерном ударном слое.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1980, № 5, с. 115—126.

Дэвис Р. Т. Численное решение уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя.— РТК, 1970, т. 8, № 5, с. 3—13.

Васкиевич Ж., Мюррей А., Льюис К. Гиперзвуковой вязкий ударный слой около сильно охлажденной сферы.— РТК, 1978, т. 16, № 2, с. 55—64.

Мюррей А., Льюис К. Применение приближения вязкого ударного слоя к расчету трехмерного гиперзвукового обтекания затупленных тел.— РТК, 1978, т. 16, № 12, с. 81—90.

Lin I., Rubin Б. Viscous flow over a cone at moderate incidence, hypersonic tip region.— Comput. and Fluids, 1973, vol. 37, N 1, p. 37—57.

Ли К. П. Расчет неявным методом ударного слоя около произвольного тела.— РТК, 1982, т. 20, № 3, с. 18—29.

Ballenr L., Peyret R., Viviand H. Numerical studies in high Reynolds number aerodynamics.— Comput. and Fluid, 1980, vol. 8, N 1, p. 1—31.

Сривастава Б. H., Верле M. Дж., Дэвис P. T. Численное решение уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя.— РТК, 1979, т. 17, № 1, с. 125—126.

Schiff L. В., Steger I. L. Numerical simulation of steady supersonic viscous, flow.—AIAA Paper, 1978, N 79-0130, p. 26.

Zogineni P. R., Lewis С. H. Hypersonic viscous shocklayer flows including leeside separation.— J. Spacecraft, 1980, vol. 17, N 4, p. 316—322.

Lin T., Rubin S. A numerical model for supersonic viscous flow over a slender reentry vehicle.— AIAA Paper., 1979, N 79-0205, p. 21.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Пространственные течения в несжимаемой жидкости около затупленных тел

В этой главе рассматриваются конечно-разностные методы расчета пространственных течений в идеальной жидкости и в пограничном слое.

В разд. 1 рассматриваются некоторые общие вопросы теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость и сходимость.

В разд. 2 предлагается конечно-разностный метод расчета пространственных идеальных течений жидкости около тел произвольной формы, основанный на методе расщепления.

В разд. 3 изучаются уравнения несжимаемого пространственного ламинарного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Система уравнений несжимаемого трехмерного пограничного слоя сводится к. виду, удобному для интегрирования. Вводятся переменные, аналогичные переменным подобия. Параметры, характеризующие внешнее течение и геометрию тела, содержатся только в коэффициентах преобразованной системы п нс входят в граничные условия.

В разд. 4 представленные численные методы позволяют определить основные характеристики трехмерного пограничного слоя около тел достаточно сложной формы (разд. 4). Предложены классы разностных схем для расчета пространственного пограничного слоя.

В разд. 5 рассматривается метод последовательных приближений. Уравнения количества движения интегрируются поперек пограничного слоя от текущего значения до бесконечности с учетом, граничных условий. Если интегрирование проводится от нуля до бесконечности, то уравнения переходят в соотношения Кармана— Польгаузена. Если проинтегрировать систему вторично с использованием граничных условий на стенке, то получается система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Для решения такой системы уравнений применяется метод последовательных приближений. Решение в первом приближении получено в виде простых формул.

В разд. 6 изучаются особенности течения вязкой жидкости, возникающие около поверхности тела: исследуются различные физические модели «отрыва», проводится анализ особенностей в зависимости от геометрических и динамических свойств течения, рассматриваются некоторые примеры расчета задач пространственного пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости (разд. 7), указывается на неединственность решений уравнений трехмерного по-

граничного слоя. Результаты аналитических расчетов в критической точке на плоскости, пересеченной цилиндром, и о*коло эллипсоидов под углом атаки сравниваются с результатами численных расчетов и экспериментальными данными.

Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем

Выбор метода численного решения математической задачи зависит от многих факторов. Обычно исходная задача представляет собой математическую запись законов сохранения (массы, количества движения, энергии).

В настоящее время для решения задач аэрогидродинамики применяются такие методы: а) интегральные; б) панелей и дискретных вихрей; в) конечно-разностные; г) конечных элементов; д) спектральные и др.

Интегральные методы и метод интегральных соотношений сыграли важную роль в развитии численных методов для ЭВМ первого поколения. В настоящее время в практике расчетов эти методы используются гораздо меньше, хотя при решении ряда задач, например в системах автоматизированного проектирования, они являются полезными [1].

В дозвуковой и околозвуковой аэродинамике нашел свое применение метод дискретных вихрей и панелей [2].

Широкое применение нашел метод «крупных частиц» [3]. Me год конечных элементов используется при решении ряда задач аэрогидродинамики.- К преимуществам метода можно отнести то, что с его помощью граничные условия вычисляются автоматически. При решении сложных задач построение и изменение сеток является трудоемким. При алгоритмизации задачи используется достаточно сложная матричная алгебра, что обусловливает трудности при построении алгоритмов.

Примеры использования спектральных методов в решении задач аэрогидродинамики можно привсти только для отдельных задач с простой геометрией течения. Метод обладает повышенным порядком точности. Спектральные методы нашли применение для исследования перехода ламинарного течения в турбулентное [4].

В настоящий момент конечно-разностные методы являются наиболее разработанными и перспективными для решения пространственных задач аэрогидродинамики [6—9].

Рассмотрим корректно сформулированную дифференциальную задачу в символической записи Zu—f. Здесь Z— дифференциальный оператор, и — искомое решение, f— произвольная функция. Будем полагать, что эта форма записи включает формулировку начальных и граничных условий, которые обеспечивают единственность поставленной задачи.

Заменим исходную дифференциальную задачу конечно-разностной. Для этого заменим область непрерывного изменения аргумента D областью дискретного изменения Dh) или, как говорят в таком

случае, введем разностную сетку, т. е. некоторое множество точек,, принадлежащих Dh. Соответственно функцию и и f заменим сеточными функциями и^> и Р\ которые будем рассматривать на множестве Dh. Заменяя дифференциальный оператор Z конечно-разностным оператором Zh, получим вместо исходной дифференциальной задачи алгебраическую: Zhu(h,=fw.

При переходе от непрерывного пространства изменение параметров к дискретному и замене исходного дифференциального оператора дискретным будем требовать, чтобы основные свойства исходного оператора сохранялись. При переходе от исходной задачи к конечно-разностной сохраняется основная информация о поведении решения. Но при таком переходе может появиться и «новая» информация, например из-за аппроксимационной вязкости и т. п.

Для построения разностных схем развиваются вариационные’ принципы, интегро-интерполяционные методы и традиционные способы [6]. Требования к разностным схемам становятся более жесткими. Обычные конструкционные требования (точность, гибкость, при выборе шага и т. д.) дополняются рядом новых ограничений. К условию дивергентности схемы (свойство выполнения законов сохранения в разностной форме) добавляются требования близости дисперсионных, диссипативных, групповых свойств исходной задачи и разностной монотонности свойств разностного оператора.

При решении пространственных задач важна простота алгоритма, а также важно иметь возможность использования его для ЭВМ с векторным процессором. С точки зрения алгоритмизации наиболее простыми являются явные схемы, но они условно устойчивы. Неявные методы — безусловно устойчивые, но алгоритмизация несколько сложнее. Перспективно использование безытерационных. явно-неявных схем.

При замене дифференциального оператора Zu = f разностным Zhuw = ^ допускается погрешность, которую можно оценить локально, если рассмотреть разность между дифференциальным оператором и разностным в узлах разностной сетки.

Разностный оператор ZK аппроксимирует дифференциальный оператор Z с порядком п>0 (п— порядок аппроксимации) в области Dh, если выполняется соотношение \\^Z.u^Dh—Zhuw\\ = O(hn)

Здесь близость дифференциального и разностного операторов характеризуется величиной |Ы|, которая является нормой в пространстве сеточных функций и выбирается аналогично норме в: обычном пространстве. Например, под записью || • || можно понимать сеточную норму, подобную обычной норме в пространстве непрерывных функций или, например, норму в Л2.

В процессе вычислений различают теоретическую, асимптотическую и практическую точность результатов. Обычно рассматриваемые задачи являются нелинейными, и теоретически обоснованная: точность для модельных задач нарушается. Понятие об асимптотической точности возникает при9 решении задач в итерационном цикле или при отыскании решения в пределе, например если решение стационарной задачи ищется как решение нестационарной задачи

при t-^oo. При вычислениях стремятся получить равномерную точность во всей рассматриваемой области решения.

Замену исходного дифференциального оператора разностным можно сделать различными путями. Основное требование к разностной схеме заключается в том, чтобы схема была устойчивой. Под устойчивостью будем понимать непрерывную зависимость решения разностной задачи от начальных и граничных условий правых частей.

Если исходная дифференциальная задача аппроксимируется разностной и эта задача устойчивая, то из условия аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Другими словами, разность между решением приближенной задачи и точным решением дифференциальной задачи, взятой в пространстве сеточных функций, -стремиться к нулю при уменьшении размера шага сетки: II (м) z>A— —w(Zl)||->0 при h-^0.

Проверку локальной аппроксимации дифференциального оператора разностным можно провести, подставляя вместо сеточных функций их разложение в ряд Тейлора относительно заданной точки.

Понятие устойчивости разностной схемы связано с понятием корректности разностной схемы. Будем говорить, что разностная задача поставлена корректно, если решение существует и единственно при всех начальных и граничных условиях допустимого вида, причем решение разностной задачи непрерывно зависит от начальных данных и равномерно относительно величины шага сетки. Вторая часть условия корректности является как раз устойчивостью схемы по начальным данным. Для линейных задач условие устойчивости по начальным данным и устойчивость по правой части эквивалентны. Условие устойчивости связано с реакцией разностной схемы на ошибки, которые вносятся в правую часть (Zu = f), в начальные и граничные условия. Рост возмущений приводит к неустойчивости численных расчетов. Если ошибки не накапливаются в процессе вычислений, то разностная схема устойчива.

Далее для тех задач, которые будут рассматриваться, приводятся несколько примеров разностных схем для расчета пространственных течений: типа расщепления для решения задачи обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости, неявные разностные схемы с различной аппроксимацией конвективных членов для уравнений пограничного слоя, явные схемы для расчета пространственных сверхзвуковых течений, неявные методы повышенного порядка точности и неравномерной сеткой для уравнений пространственного турбулентного пограничного слоя.

Исследования устойчивости разностных схем приводятся для модельных задач на основе принципа максимума и спектрального метода. Алгоритм вычислений в задачах аэрогидродинамики представляет набор арифметических блоков, соединенных логическими блоками или операциями. Для сложных задач необходимо проводить двойные расчеты, проверку на мини-ЭВМ каждого блока программы. При расчете всей программы следует предусматривать

сравнение решения с аналитическими решениями, с решениями более простых или эталонных задач. Один из способов проверки способностей схемы является расчет последовательности задач на сетке с уменьшением шага. Это дает возможность практически проверить устойчивость алгоритма. Если решение обладает свойствами выполнения законов сохранения, то в качестве контроля вычислений следует предусмотреть вычисления интегральных характеристик.

В процессе вычислений получается огромное количество информации, которую практически трудно переработать. Математическое обеспечение становится важным инструментом. Решение пространственных задач требует наглядности в проведении численных экспериментов, возможности контролировать ход вычислений. При решении многомерных задач вопросы обработки результатов, представление решения в удобном виде играют важную роль.

В настоящее время создаются специализированные ЭВМ, предназначенные для решения задач вычислительной механики жидкости и газа. Эти ЭВМ представляют новое поколение вычислительных машин с более сложной архитектурой, иерархией, возможностями быстродействия, запоминающих устройств и т. д. Иногда их называют векторными ЭВМ из-за способности проводить операции над векторами. При переходе на ЭВМ с матричным процессором вопросы алгоритмизации, распараллеливания алгоритмов, математического обеспечения выдвигаются на первый план.

Технология вычислений все время усложняется. При решении пространственных задач требуется не одна программа, а набор программ-модулей, из которых можно составлять более сложные проблемно-ориентированные пакеты, способные решать классы задач для различных геометрий, граничных и начальных условий. Для пакетов программ возникают вопросы обращения к пакетам, создания управляющих программ, заменяемости функционального наполнения, мобильности программ.

Уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости в произвольной криволинейной системе координат

Рассмотрим потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости около тел произвольной формы. В случае безвихревого течения можно ввести потенцйал скорости ф(х\ х2, х3) таким образом: Нг=д^1дхг (/=1,2, 3).

Здесь иг—ковариантные составляющие вектора скорости. Потенциальное течение удовлетворяет уравнению Лапласа (Аф = 0), которое в произвольной криволинейной системе координат имеет вид

ЛЛко^М. (3.1)

Здесь ^g=I— якобиан преобразования при переходе от декартовой системы координат ук к произвольной криволинейной; х\ gij—контравариантные компоненты метрического тензора.

5 Ю. Д. Шевелев 129

Граничные условия: (u-n)=0— условие непротекания на поверхности тела и условие симметрии, если, например, рассматривается симметричное обтекание тела под углом атаки.

Будем считать, что вдали от тела течение представляет однородный поток, потенциал скорости которого известен и соответствует набегающему невозмущенному потоку.

Выберем систему координат, связанную с поверхностью тела таким образом: х1, х2—координаты на поверхности, х3—координата, перпендикулярная к поверхности 5.

В системе координат, связанной с поверхностью тела, условие непротекания записывается в виде дф/дх3 = 0. На внешней границе 5 потенциал скорости соответствует невозмущенному потоку.

Будем искать решение задачи в виде суммы двух потенциалов:

Ф = ф+Ф. (3.2)

Здесь ф является известным потенциалом и соответствует течению невозмущенного потока. Потенциал для возмущенного потока Ф удовлетворяет уравнению Лапласа (3.1) вместе с граничными условиями, которые получаются при подстановке соотношения (3.2) в граничные условия на теле и вдали от него. На больших расстояниях будем иметь ф—^ф, так что граничное условие для Ф — в следующем виде: ф->0 при х3--^оо.

При применении конечно-разностных методов к решению краевой задачи удобно сводить бесконечную область к конечной. С помощью преобразования £ = 1—е-х3 расчетная область сводится к области 0^£^1, Ci^x^g^Ca, b^x^-xv^b^ .

Для нахождения потенциала пространственного обтекания применим метод типа метода расщепления. Идея метода расщепления основана на сведении сложной задачи к последовательности более простых. Уравнение для потенциала представим в виде

Дф^+Вфсс + Сфпп+£)—F=0. (3.3)

Методы решения эллиптических задач типа уравнения (3.3) приведены в работе [6]. Величина D, F зависит от смешанных производных и первых производных величины ф. Величины Д, В, С определяются геометрией поверхности и метрикой пространства. В случае декартовой системы координат Д = В = С=1, a 2) = jF=O. Заменим область D (£i^£^£2, Л1 ^^2 = П^Па) непрерывного изменения аргумента областью дискретного изменения Dh. Введем сетку ^=jh2, x\K=kha, i=ib ..., /; ..., J;

Внутренняя граница физической области (поверхность тела) отображается на координатную плоскость ^ = ^, а внешняя граница, расположенная в области невозмущенного потока, переходит в координатную плоскость £ = £2. Плоскость симметрии в наветренной стороне соответствует плоскости т^тц, а на подветренной стороне— т] = г]2. Величина g меняется в пределах ^i^^^^2. Заменим производные их конечно-разностными отношениями второго поряд-

ка точности:

Е^ил^ Иб»+ 56^ + 06^+О—Р)ц)ил.(3.4)

Здесь нижние индексы i, j, к указывают положение узла в разностной сетке Dh. Разностные операторы б», 6W 6^ определяются следующим образом:

б^()i,/’,^ " К)iH,/,&2()i,/,^ 4™ ()i—1ш/’д]/^1,

Мкм = [(Ы,.-2(ki^-Kкн,Ж,

$44 ()i,/,^ “ К)м’Д+12 (ki,k + ()i,/,^-11/^3.

Предположим, что L— положительно определенный оператор и L = L1 + L2-vL3 (Еь L2, L3^0).

Эффективным методом решения задачи являются итерационные методы следующего вида:

Л-(фп+1—ф^) + L^ = 0, q° = g-(3.5)

Здесь п— номер итерационного цикла, Ефп—вектор невязки итерационного метода, который показывает, насколько хорошо удовлетворяет разностному уравнению на лг-й итерации решение фп. Введем вектор ошибок ф^ф”—ф* (здесь ф*—точное решение задачи Еф* = 0).

Итерационную разностную схему (3.5) можно рассматривать как метод последовательной верхней релаксации с матрицей У, зависящей от параметра т. Выберем матрицу N в виде N = N}N2— произведения сомножителей, например N= (Е+хЦ) (E+xL2)/xi (x = xJ2). Если матрицы Lv—L3 симметричны, то за счет выбора оптимального параметра можно добиться лучшей скорости сходимости чем в любом стационарном методе. Реализация алгоритма довольно простая. Действительно, запишем разностное уравнение для двумерного случая в виде

Fn = L^,

(E + xL^^^-F^

(Е + т^Г1-^(3.6)

ф«+1 — ф^ -|- т£п+1.

Здесь £\ £2—вспомогательные величины, позволяющие свести исходную задачу к последовательности более простых. Первое и последнее соотношения записаны в явном виде, обращать операторы необходимо для второго и третьего соотношений (3.6).

Операторы, которые встречаются в уравнениях (3.6), имеют трехдиагональные матрицы вида огфг+14-Ьгфг + Сгфг-1 = ^г (t=L 2, ... ..., /—1). Систему уравнений, записанную в конечно-разностном виде, удобно решать методом прогонки.

Рассмотрим вопросы аппроксимации и устойчивости разностной схемы. Запишем разностную схему в таком виде (ограничимся

случаем двух переменных):

(f + T^^ + T^)-2^ + ^РИ = О, v° = g.

При достаточной гладкости решение задачи аппроксимирует нестационарную задачу <Эф/<Э/+£ф = О, ф° = £ со вторым порядком точности по тР Действительно, с помощью алгебраических преобразований уравнение приводится к виду

(Е + т^Ц) -5^ + L -^ ^У = О, Ф» = g.

тт2

Рассмотрим устойчивость разностной схемы. Запишем уравнение в виде (E + tEJ (Е + тЕ2)фп+1== (Е—tEJ (Е—tL^фп, ф^^. Это уравнение получается с точностью до членов О(т2) после некоторых алгебраических преобразований (Е = Е1 + Е2). Разрешим разностное уравнение относительно фп+1. Получим фп+1= (Е+тЕ2)-1Х Х(Е + тЕ1)-(Е—tEJ (Е—тЕ2)фп. Если положить (Е + тЕ2)фЛ = фп, то для неизвестной гр приходим к уравнению г|)п+1 = Гг|)п. Здесь Т= = (Е + тЕ^ЧЕ—tEJ (Е—тЕ2) (Е+тЕг)"1—оператор шага.

‘ Задача об устойчивости сводится к оценке норм оператора Т. Можно показать, что выполняется оценка ||гр+1|| ^ 11Е||||гр||-

Оценим норму оператора Т: ||Т||^:||Т1||||7'2|| = Ц (Е+тЕ^-ЧЕ— -тЕ1)||||(Е-тЕ2)(Е + тЕ2)-1||. Здесь Л-(Е-тЕ.) (Е + тЕОЛ 72 = = (Е—тЕ2) (Е+тЕ,)-1.

Выражение для Т^ получено из тождества (E + tEJ (E+tEJ = = Е. Умножая это выражение слева на ^E-VtL^^^E—tEJ и используя коммутативность операторов Е—rEt и Е + тЕ^ получим || (Е—тЕа) (Е + тЕа)||<1, если Еа^0 и т^О (а=1, 2). Это следует из леммы Келлога [6]. Таким образом, ||Т||^1 и, следовательно, П^п+111^11^11.

Для доказательства устойчивости исходной задачи перепишем последнее соотношение в виде || (Е + тЕ2)фп+1||^|| (Е + тЕ2)фп||. Если ввести обозначение II (Е + тЕ2)ф|| = (С2ф, ф)’/2= ||ф||с2, то в данной норме получим ||фп+1||^||фп||.

Здесь С2 = (Е + тЕ2*) (Е + тЕ2) , Е2*—сопряженный оператор.

За счет выбора параметра rt можно увеличить скорость сходимости.

С помощью разностного метода (3.6) были проведены расчеты потенциального течения для эллипсоидов вращения с различными соотношением полуосей и под различными углами атаки. Результаты сравнивались с известными аналитическими решениями.

Уравнения пространственного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела

поверхности тела. Уравнения трехмерного пограничного слоя для несжимаемой жидкости имеют вид (см., например, [10—11])

gll .gll .■— ди g"dE■— ди g"dEи ди 7gTi"di ^ = о, asи dcoи ди 7gTi"di ^ = о, asи dco(3.7)со ди । ди । д 2 । л э ! лл । о-и7Х^ + %Г + Л +Л® +A«® = 4tv — ,(3.7)со ди । ди । д 2 । л э ! лл । о-и7Х^ + %Г + Л +Л® +A«® = 4tv — ,со dcoсо dcoKgn dg "Г Kg^ anKgn dg "Г Kg^ an+ ^ + В^ + В^ + В2шй = В, + V ^ .+ ^ + В^ + В^ + В2шй = В, + V ^ .

gll .

gll .

■— ди g"dE

■— ди g"dE

и ди 7gTi"di ^ = о, as

и dco

и ди 7gTi"di ^ = о, as

и dco

(3.7)

со ди । ди । д 2 । л э ! лл । о-и

7Х^ + %Г + Л +Л® +A«® = 4tv — ,

(3.7)

со ди । ди । д 2 । л э ! лл । о-и

7Х^ + %Г + Л +Л® +A«® = 4tv — ,

со dco

со dco

Kgn dg "Г Kg^ an

Kgn dg "Г Kg^ an

+ ^ + В^ + В^ + В2шй = В, + V ^ .

+ ^ + В^ + В^ + В2шй = В, + V ^ .

Граничные условия для этой системы уравнений будут следующие: и = со = 0, у — у0 ПРИ С = 0 и

U->Ue, (О-^СОе При ^-^оо.(3.8)

Здесь и, со, X) — составляющие вектора скорости соответственно вдоль осей £, т), £; р—давление; v — кинематический коэффициент вязкости.

Запишем систему уравнений (3.7) в безразмерном виде. Отнесем значения скорости и, V, со к характерной величине скорости на бесконечности и^ а в качестве масштаба длины выберем характерный масштаб I. Если перейти к безразмерным величинам в соотношениях (3.7), затем сделать преобразование ^^Re^ и у = = DyRero, то нетрудно заметить, что уравнения (3.7) явно не будут зависеть от числа Rero (Re^^/t/oo/v):

ЛЙ/1^ + ^Й/^^ + ^^-=0>

dj \ Г gll / dn \ г gM ) 5S

иди.юди.- ди .—т—2 .-д — 2 .д "Д',д2и

-7=-^+-т=7="+ У ЗУ +Л1“ +Л*“ +А3»™ = А4-г -=7 ,

Vgnd=Vg^dTi^д-

(3.9)

идт.соdco- dco।r Даt R 72i R 7/7 Ri ^®

+_+.У-^- + В^ + В2(о + BaUto - bx -г .

Vgu Vg» d^ dfe--

В дальнейшем черта в системе уравнений (3.9) будет опущена.

На внешней границе пограничного слоя (при ^оо) уравнения (3.9) переходят в уравнения такого вида:

ир дие со_ дие , „ о , . 2 , .л

—1Н А^й^ 4- Л2сое -Г А3ие<де — А4,

К §11 дс, у fe dn

ир да)» да)р да)е Q A DD

—=1 T=-1- B^Ue + B^de + B^Uetoe — 54.

V §11 д^ V §22 dll

Существуют два рода задач теории пограничного слоя. В случае задачи об обтекании жидкостью затупленного тела в окрестности точки торможения (^ = 0, q = 0) к условиям задачи следует добавить еще условие остановки потока U |^0 = 0. В случае зада- ^ = 0

чи о продолжении пограничного слоя, например при £ = £*, задается начальный профильл)» °*l^^^iCS, л) и требует

ся определить течение в пограничном слое при £>£*.

Дальнейшее изложение будет касаться в основном задач первого рода. В задачах о пограничном слое обычно интересуются величиной местного напряжения трения на стенке или коэффициентом сопротивления (при^з^О):

tl = ц (дц/д£), т2 — ц (д<о/д9, cfl = т^р^, с;-2 = т2/р^.

Основное отличие гидродинамики трехмерного течения в пограничном слое от двумерного заключается в появлении поперечного, или, как его еще называют, вторичного течения. Линии тока внешнего идеального течения на поверхности тела искривлены. Внутри пограничного слоя существует градиент давления, перпендикулярный к линиям тока внешнего течения, наряду с градиентом давления вдоль этих линий. При обычных предположениях теории пограничного слоя давление поперек пограничного слоя постоянно, т. е. совпадает со значением на внешней границе пограничного слоя. Так как скорость в пограничном слое уменьшается по мере приближения к поверхности тела, центробежные силы, действующие против сил давления, уменьшаются вблизи стенки. Поэтому результирующее направление линий тока внутри пограничного слоя отличается от направления на внешней границе. Поперечный градиент давления создает поперечный поток и вызывает поперечные напряжения. Внутри пограничного слоя развивается вторичное течение, направленное в центр кривизны внешних линий тока. Поперечное течение может изменить свое направление по отношению к линии тока внешнего течения внутри пограничного слоя. Если поперечное течение имеет различное направление по отношению к линии тока на разном расстоянии от поверхности тела, то образуются S-образные профили поперечной скорости. Изменение направления течения в различных сечениях приводит к значительному усложнению картины течения в пограничном слое. Небольшое поперечное течение вызывает сильное изменение характера потока в пограничном слое при положительном градиенте давления. Из-за вязких сил течение вблизи тела значительно ослабевает и поперечное течение может увлечь за собой весь поток, что и происходит вблизи «линии отрыва».

При положительных градиентах давления величина продольного напряжения трения уравновешивается градиентом давления вблизи стенки и частицы жидкости движутся по инерции вдоль некоторой предельной поверхности, огибая ее. Если пристеночные линии тока проникают при этом во внешнее течение, то происходит явление «отрыва» пограничного слоя. Понимание физической кар-

тины «отрыва», устойчивого и неустойчивого характера течения, явления перехода ламинарного течения в турбулентное во многом связано, на наш взгляд, с пониманием закономерностей трехмерных вязких течений.

Уравнения двумерного пограничного слоя являются уравнениями параболического типа. Общие свойства уравнений двумерного пограничного слоя сохраняются и для пространственного пограничного слоя. Это означает, что главный механизм, определяющий характер течения в направлении, перпендикулярном к стенке, является механизмом диффузии момента количества движения и диффузии потока тепла в сжимаемых средах. Произвольное возмущение мгновенно передается поперек пограничного слоя, так как в этом направлении скорость диффузии бесконечно велика. Произвольное возмущение в пограничном слое распространяется вдоль линий тока с конечной скоростью. В трехмерном пограничном слое возникает понятие о зоне зависимости и о зоне влияния [14]. Возмущение, возникающее в некоторой точке пограничного слоя, распространяется не на всю его область, а только на пространство влияния этой точки. Область зависимости и область влияния определяются в виде клина, образованного двумя поверхностями, перпендикулярными к поверхности, проходящей через предельную линию тока на теле и линию тока внешнего течения. Угол между двумя поверхностями задает максимальный угол разворота вектора скорости в плоскости, касательной к поверхности тела. Когда угол между двумя поверхностями стремится к нулю, предельные линии тока имеют то же направление, что и линии тока внешнего течения, и области зависимости и влияния вырождаются в одну поверхность, перпендикулярную к поверхности тела. Если начальные условия заданы на некоторой поверхности, перпендикулярной к поверхности тела, т. е. известны составляющие скорости (в несжимаемой жидкости) и температура или энтальпия (в сжимаемом газе), тогда решения уравнений пространственного пограничного слоя можно найти только в некоторой области, определяемой областью, которая зависит от начальных данных на поверхности. Правильную картину течения в пограничном слое, особенно вблизи «отрыва», можно построить только с учетом перетекания жидкости, т. е. зон зависимости и зон влияния.

Произведем замену переменных:

и = ut^, 11) f^, Л, ^).

О) = р (Е, 11) Ue (Е, л) (6 (И, Л, ^ + Ф (Е, 11) Е (Е, 11, X)), <р - <.*е) (3.10) и = 1ZM^L Г V (Е, 11, X) — -^Е — - -EL (G н- ф£) ^1 ,

V а (е, 11) L “К8пК812^П

х=

V а 6, Т])

где а, Р — пока произвольные функции, которые будут выбраны ниже.

Смысл преобразования (3.10) заключается в том, что граничные условия на теле и на внешней границе пограничного слоя в преобразованных переменных будут принимать постоянные значения. Функция Е^и)ие является преобразованной величиной продольной скорости (Е = 0 при £ = 0, Е-^\ при g-^-oo). Величина С? получается следующим образом. Введем вначале функцию D = = to/^ue—преобразованную продольную составляющую скорости. Эта функция принимает значение, равное нулю, на теле, и D^ ->-ые1$ие (при S^00) на внешней границе пограничного слоя. Если вычесть из уравнения для D преобразованное уравнение для функции Е, умноженное на величину ф, то получим уравнение для функции G. Достоинство такого преобразования состоит в том, что граничное условие для величины G на теле и на бесконечности равно нулю. Таким образом, уравнения записаны в общем виде для произвольной задачи. Все неизвестные содержатся только в коэффициентах.

Если рассматривать обтекание тел, имеющих плоскость симметрии, то поперечная потоку величина скорости со равна нулю в плоскости симметрии. Функция ^ выбирается таким образом, чтобы в плоскости симметрии получилось уравнение для величины со^О. Функцию ос можно выбирать при обтекании затупленных тел таким образом: сх^Ъ (д = ц = 0 — точка торможения). Тогда система уравнения пространственного пограничного слоя (3.7), записанная в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела, может быть приведена к следующему виду:

— — = Р^Е + P*G + N4 — + N6 — + ф^б — , длд^ дч дч

(Е2 — 1) + N*G2 + N*SEG + N4E — +

•+ ^(С + ф£)^,(3.11)

дч

— _ у 6G_ +(£2 _ i) + M*G2 + M«EG + NiEdG_ +

dX dXd£

+ N5(G + Ф£).

ОГ]

Граничные условия примут вид

Е = G = 0, V = Уо при X = 0,

(3.12)

Е-*\,G-* 0 при ос.

Коэффициенты системы (3.11) будут следующими:

N* = Л\ + фЛ^3 + VW2, N* = N2, N» + 2фЛ^3;

44 = М1 — фЛ^ 4- ф ГМ з — ф2У3) 4- ф2 (М2 — ф^2) +

Мг = -И2 — ф/У2> ,Из = .W3 — <pN3 4- 2ф (.и2 — фЛг„) + М5 ;

“ ch]

(3.13)

Pi-A + vA + A^. К = Р.;,

/gn «е112 Н 2’

оф 1 дие/5^ “е ^Поф 1 дие/5^ “е ^П+- «РА;+- «РА;

оф 1 дие

/5^ “е ^П

оф 1 дие

/5^ “е ^П

+- «РА;

+- «РА;

М, = — Вп/И, = арв2 +— ^-,

Р'3/g22 U, дП ’

М3 — а,В3 —7= ~—-(KY

да11да113/ gn 1Р«е 5g еЬ

да

11

да

11

Vg“e 5g \ V gu /2 кgii \ Uc 5g

V"&ue ^Л \ к ^22/2 /g22 \ «е дл ^Л /

Коэффициенты N,\ N2\ N3\ Мх\ М2\ М3\ Р^ Рг\ N„ N,— известные функции, зависящие от параметров внешнего течения и геометрии тела. Система уравнений (3.11) с граничными условиями (3.12) такова, что характер изменения решения зависит от внешнего течения, геометрии тела и определяется функциями, зависящими только от координат £ и тр Ниже будет приведено решение уравнений пространственного пограничного слоя в общем случае для произвольного внешнего течения и геометрии методом последовательных приближений (разд. 5).

Положим E = fx (^ ц, X) и G=gx ^ ц, X) и проинтегрируем преобразованное уравнение неразрывности. После подстановки значения V в оставшиеся уравнения система (3.11) с граничными условиями (3.12) примет вид (Уо = О)

+ K»L*4.vir^^L-^ ”-]н.

дкдХ L 5Х dXdg dg dX2 J

+ M5+ M5'д^ + ф/) 52f_ dX ЭХдг|'д^ + ф/) 52f_ dX ЭХдг|d(gA-wD 57]dq dX2 J ’d(gA-wD 57]dq dX2 J ’5- - - (Р7 + Pig) S- + 'и.’ [ (ЧУ -i ] + дл8ом L \ oA / J5- - - (Р7 + Pig) S- + 'и.’ [ (ЧУ -i ] + дл8ом L \ oA / J(3.14)(3.14)+ м;Г.(У d£l + ML’dX dX J 4+ м;Г.(У d£l + ML’dX dX J 45/ d»g dX ,SXdg5/ d»g dX ,SXdg5/ 52g5g 5X25/ 52g5g 5X2

+ M5

+ M5

'д^ + ф/) 52f

_ dX ЭХдг|

'д^ + ф/) 52f

_ dX ЭХдг|

d(gA-wD 57]dq dX2 J ’

d(gA-wD 57]dq dX2 J ’

5- - - (Р7 + Pig) S- + 'и.’ [ (ЧУ -i ] + дл8ом L \ oA / J

5- - - (Р7 + Pig) S- + 'и.’ [ (ЧУ -i ] + дл8ом L \ oA / J

(3.14)

(3.14)

+ м;Г.(У d£l + M

L’dX dX J 4

+ м;Г.(У d£l + M

L’dX dX J 4

5/ d»g dX ,SXdg

5/ d»g dX ,SXdg

5/ 52g

5g 5X2

5/ 52g

5g 5X2

+ M,+ M,5 (g + фЛ 52g дХ дХдк\5 (g + фЛ 52g дХ дХдк\5 (g + Ф/) ^g ] dr] dX1 J

+ M,

+ M,

5 (g + фЛ 52g дХ дХдк\

5 (g + фЛ 52g дХ дХдк\

Граничные условия:

f = g fh = gx = 0 при X = 0;

(3.15)

fx -> 1, gx ->- 0 при 2i -> оо.

Система (3.11) с граничными условиями (3.12) обладает тем преимуществом перед системой (3.14) с граничными условиями (3.15), что не содержит смешанных производных. При численных расчетах для каждой точки g, i] надо использовать только две функции Е и G, тогда как для системы (3.14) надо использовать Д g и их производные.

4» Конечно-разностные методы расчета пространственного ламинарного пограничного слоя

В настоящее время разработаны эффективные конечно-разностные методы расчета двумерных и осесимметричных течений с учетом физико-химических превращений, основанные на замене исходной дифференциальной задачи конечно-разностным аналогом. Обзор численных методов исследования двумерных и осесимметрических пограничных слоев, обсуждение вопросов аппроксимации, устойчивости, сходимости приводятся, например, в работах [11, 12] и др.

Развитие методов расчета задач пограничного слоя привело к созданию классов разностных схем повышенного порядка точности, неявных безытерационных схем, обладающих свойством быстрой стабилизации высокочастотных возмущений [11—13].

При исследовании задач теории пространственного пограничного слоя, так же как и при расчетах двумерного пограничного слоя, используются уравнения в различных формах записи. Обычно применяемые формы записи уравнений пограничного слоя такие: непосредственно в физических переменных; в переменных подобия; в переменных, аналогичных переменным Крокко.

В каждом конкретном случае использование численных методов вызывает свои специфические трудности при различных формах записи. Например, при конечно-разностном методе расчета пограничного слоя в физических переменных толщина пограничного слоя быстро растет, и для того чтобы удовлетворить условиям на внешней границе пограничного слоя, необходимо‘ строить подвижную сетку и вводить преобразование, сгущающее сетку вблизи поверхности.

Наиболее часто используется переход от формы записи уравнений в физических переменных к форме записи уравнений в переменных подобия, как это сделано в предыдущем разделе. Продольная и поперечная составляющие скорости нормируются по отношению к скорости на внешней границе пограничного слоя и по нормали к телу вводится переменная подобия. В этих переменных реше-

ние уравнений пограничного слоя меняется сравнительно слабо. При численном интегрировании уравнений достигается единообразие алгоритма во всей расчетной области от точки начала развития пограничного слоя до появления особенности — точки или поверхности «отрыва». Бесконечный интервал интегрирования заменяется конечным. Правильное решение задачи о пограничном слое определяется асимптотическим поведением решения на больших расстояниях от тела. При использовании переменных подобия использование асимптотики позволяет гладко аналитически продолжить численное решение, полученное в конечной области, и выделить единственное решение.

Использование формы записи уравнений пространственного пограничного слоя в переменных Крокко приводит к понижению порядка системы уравнений, бесконечная область интегрирования становится конечной. Однако на внешней границе пограничного слоя вводится математическая особенность. Из однозначности соответствия преобразованной и физической задачи следует сильное ограничение на характер изменения профиля скорости. Преобразование Крокко справедливо в случае монотонного изменения профиля скорости.

Впервые неявный конечно-разностный метод расчета пространственных течений был предложен в работах [16] для расчета течений около эллипсоидов под углом атаки в несжимаемой жидкости и сжимаемом газе. Одновременно в работе [17] конечно-разностный метод применялся для расчета течения около затупленного конуса. Затем в работах [15, 18] были рассмотрены неявные конечно-разностные схемы для расчета течений в трехмерном пограничном слое и получены результаты расчета течений около различных эллипсоидов под углом атаки; на плоскости, пересеченной цилиндром; на прямых и обратных затупленных конусах под углом атаки и др.

Уравнения пространственного ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости представляют собой нелинейную систему уравнений в частных производных, состоящую из двух уравнений количества движения второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности). Для этой системы уравнений в каждом конкретном случае задаются начальные и граничные условия.

Система уравнений пространственного пограничного слоя после введения переменных подобия такова, что уравнения сводятся в критической точке или линии к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение, полученное в критической точке, служит начальными данными для расчета следующей точки на линии растекания. Течение вдоль линии растекания в некоторых случаях можно определить независимо, получая таким образом начальные данные во всей плоскости на линии растекания. Используя решение, найденное на линии растекания и в критической точке, можно построить решение последовательно во всей области, наблюдая за поведением линий тока внутри пограничного слоя.

Выберем систему координат с началом в критической точке так, чтобы линия i] = 0 совпала с плоской геодезической линией на поверхности и линией тока внешнего течения. Это сделать нетрудно при наличии плоскости симметрии у рассматриваемого течения. Поперечная по отношению к потоку скорость на этой линии отсутствует, но производная скорости по поперечной координате отлична от нуля. Если начало координат выбрать так, что ие^с, toe~*Y\ (или tie^^ G)e^§r|), а метрические коэффициенты ^g^^c, ^g^~ ~сг, g12~c3 (или ^gu~c, "^g21~^ g 12 ~£ч), то особенности коэффициентов Ni\ -М* устранимы. Коэффициенты при производных функций Е и G по | и по т] в уравнениях (3.11), если выбрать -а~|, Э^Т], будут M4 = N4=P3^^ M5 = N5 = P4^^ (или Л^-М4=Р3~^ /И5 = Л‘5 = Р4^1]). Таким образом, в критической точке получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, а вдоль линии растекания—систему уравнений с двумя независимыми переменными.

Рассмотрим модельное уравнение следующего вида:

д^и А = уд^и А = удидид£2д£24- и* — + to” — + f. d§ дП ‘ '4- и* — + to” — + f. d§ дП ‘ '(3.16)(3.16)

д^и А

= у

д^и А

= у

ди

ди

д£2

д£2

4- и* — + to” — + f. d§ дП ‘ '

4- и* — + to” — + f. d§ дП ‘ '

(3.16)

(3.16)

Предположим, что функции и*(£, Ч> £)> ZU, Л- М, и‘ = а^> ю*=Ьк\ известны, а, b— некоторые постоянные: O^g^g*, О^ч^Л*, 0^ ^^Г, (а, Ь>0).

Граничные условия:

и(1, П. °)=Фо(^ Л) ПРИ 5=0, '•(3.17)

«(^П. Г) = ф1(^ ч) при £ = £*. -

Начальные данные получаются при | = ч = 0 после интегрирования уравнения (3.16).

Рассмотрим простейшую сетку с координатами £ = (Д£, £ = шД£, Ч = яДч (Z=0, ..., L; m = 0, 1, 2, ..... М; п=0, ..., NY Для уравнения типа уравнения (3.16) используем неявные разностные схемы по £, обеспечивающие устойчивость в направлении £. В качестве примера рассмотрим следующую разностную схему:

**l*l,fn,n ^и1.т,п "Г ^i-i.m.n * u/+l,m,n °/-i,m,n

=u^n-^+ km,n + О (Д£2, Д^, Дч)

(Z = 1, ... , L— 1; m — 0, 1, ... , M; /г = 0, 1, ... , N).(3.18)

Граничные условия:

«о,т,п=фот,п при Z=0,

Hl,т.п ф1т,п ПрИ Z—Г/,

причем

Wi.m.n = Vttnui,m.-1,n + bnui,,n>n-i)!(ain + to), Ac* =,

am + bn

Ъп m^ T]n = пАт].

На рис. 3.1, а) приведены точки, которые используются при разностной аппроксимации. Схема имеет первый порядок точности по

| и по ц и второй — по £. В направлении, перпендикулярном к поверхности, используются неявные схемы, обеспечивающие устойчивость. Оператор, соответствующий конвективным членам, аппроксимируется в целом. В дальнейшем будем следовать тем определениям и обозначениям, которые приводятся в работе [19].

Для исследования устойчивости введем простейшие нормы:

II M(h'|L = max | ut,m,n |, || /№^_ =- max |Л.т,„|, " l,m,nn l.m.n

|ф = max m,n|ф = max m,nWotm.n Фо,т-1,п-1ATWotm.n Фо,т-1,п-1AT+ max т.п+ max т.пД£Д£+ max | m,o.o |.+ max | m,o.o |.

|ф = max m,n

|ф = max m,n

Wotm.n Фо,т-1,п-1AT

Wotm.n Фо,т-1,п-1AT

+ max т.п

+ max т.п

Д£

Д£

+ max | m,o.o |.

+ max | m,o.o |.

Для того чтобы найти решение, рассмотрим систему уравнений:

^й.т.п — фо,т,м>^й.т.п — фо,т,м>ГГU-l+i.m.nU-l+i.m.n— 2г— 2г

^й.т.п — фо,т,м>

^й.т.п — фо,т,м>

Г

Г

U-l+i.m.n

U-l+i.m.n

— 2г

— 2г

+ Г ^1 + у/»т,п У") Щ—1,т,п = — Wiimtn 4“ ^fl.m.m(3.19)

(r = ^*№,

uL.m.n = ^L.m.n (Z=^ 1, ... , L — 1; m = 0, ... , M; n = 0, ... , NY

Будем искать решение (3.19) в виде суммы

^Й.ти.П ^ V^т/п. + ^Ut^m^(3.20)

Слагаемые являются решениями вспомогательных систем

V»,т.п — фо,т-1,п-1>(3.21)

Г f 1Vl.m.n V[+1 т.п — 2г h + —— V( т п 4*

\2 /\ 2г /

4" ^ ^1 4“ ^1,т,п ~^~^ Vi-i^.n = — ^1,т,П)

VL.m.n ==: фЕ,т-1,п-1) (I == 1, . . . , L\ П1 = 0, . . . , М*. /2=^0, . . . , NY,

(3.22)

Uti.m.n — (фг.т.п — Фоеш-1,п-1)/Л^*,

UL^n — (фь,ш,п — фогп-1,п—1)/^В

(/— 1, .. . , и т - 0, ... , М; п = 0, . .. , N).

Выведем оценки решений разностных уравнений (3.21) и (3.22) для доказательства устойчивости и сходимости решений разностных уравнений к дифференциальным.

Известно, что система разностных уравнений [19]

Ро = «,

апрп-1 — 2bnpn + cnprt+1 = grt (п = 1,2, ... , N — 1),

(3.23)

P.v = Р,

коэффициенты которых удовлетворяют условиям а„>0, с„>0, Ьи> >(а„+с„)/2+6 (6>0), имеет единственное решение, каковы бы ни были числа а, ^, gn. Это решение удовлетворяет неравенству

шах | р„ | ^ max пшах | р„ | ^ max пI“bIPЬ тттахЫI“bIPЬ тттахЫ(3.24)(3.24)

шах | р„ | ^ max п

шах | р„ | ^ max п

I“bIPЬ тттахЫ

I“bIPЬ тттахЫ

(3.24)

(3.24)

Поэтому для систем разностных уравнений (3.21) и (3.22) получаем такие оценки (при этом полагаем, что выполнено соотношение | и\т,п(АГ2) | < 1 и АГ>0, 6=1/2):

ГОЯХ | Vi,m,n |HiaX [| фо,т-1,п-11) |ф£,т-1,п-i |> | —^Лт,п|],(3.25)

тахШ;.т,п|< maxiiтахШ;.т,п|< maxiiФо.т.п *Ро,т-1,п-1АГФо.т.п *Ро,т-1,п-1АГ

тахШ;.т,п|< maxii

тахШ;.т,п|< maxii

Фо.т.п *Ро,т-1,п-1

АГ

Фо.т.п *Ро,т-1,п-1

АГ

Фь,т,пФ£,т—1,п—1АГФь,т,пФ£,т—1,п—1АГ

Фь,т,пФ£,т—1,п—1

АГ

Фь,т,пФ£,т—1,п—1

АГ

13.26)

Учитывая, что

(3.27)(3.27)max | Wum.n | С max | ul>m,n | ,

(3.27)

(3.27)

I,т.п (am+bn=с)l.m.n (am+bn^-1-)

получим

max \щ,т,п | < max | Vi,m,n | + АГ max | Ui>m,,i | ^

l.m.n ^am*bn=c')l,т.пl.m.n

■ <max \ul>m>n\ +АГ(||Ф'Й)||Ф'+||^Ы.(3.28)

l,т.п <amrbn—c-i^nn

Аналогично

max |uz,m,n| ^ max \ui,m,n\ + АГ (II Ф(Лфй Л1 fЛ'L).(3.29

l.m.n (дт+bn—c—i) l.m.n (дтлЬп—с—5^' an

max |ut,m,n| < max|ul>M| + АГ(||ф<а>L + ||/(A’L).

l.m.n {атл-Ьп^^)an

Окончательно получаем

ll^ 11^(1 Ч-тш^^-ЛМ^ (T=W).(3.30)

Это свидетельствует об устойчивости разностной схемы. Устойчивость имеет место при любых положительных r = AV/A^2- Из ап-

проксимации и устойчивости [19] следует сходимость решения раз- костной задачи к решению исходной.

Система разностных уравнений хорошо обусловлена. Связь между шагами в направлении § и т] определяется из соотношения апъ.+ + Ьп = с. В случае постоянных коэффициентов соотношение ат + -Vbn = c представляет сетку прямых в плоскости ^ и г] с постоянным углом наклона. В случае переменных коэффициентов угол наклона зависит от геометрии поверхности и связан с отношением приращения поперечной скорости к продольной. Шаг можно выбирать в процессе счета для фиксированной точки поверхности, и при разных значениях толщины пограничного слоя можно построить пучок прямых, которые разворачиваются в плоскости g, г] от некоторого положения, связанного с внешним течением до предельного, связанного с линией тока на поверхности.

Можно определить «зону влияния» и «зону зависимости» в виде клина, развертывающегося вниз и вверх по течению. Рассмотрим трехмерный профиль скорости. На рис. 3.2 приводится профиль скорости в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. Угол расхождения линий тока будет естественным образом определяться таким образом:

tgy =pim(co/^) = limp (гр + GtJElV(3.31)

На плоской геодезической линии поверхности, совпадающей с линией тока, угол расхождения равен нулю. При численном счете будем учитывать «зону влияния» и «зону зависимости», если это требуется, выбирая расчетную точку внутри криволинейного клина.

В преобразованном виде «зона влияния» и «зона зависимости» трансформируются. Действительно, введем новый угол у', такой, что

tg l'=tg т/р = ф+О'^оЖ^О.(3.32)

При численных расчетах удобнее пользоваться двухслойными аппроксимациями по £ и г) или аппроксимациями в половинных узлах. Можно предложить несколько неявных разностных схем, у каждой из которых есть свои достоинства и недостатки.

Рассмотрим возможные варианты разностных схем для уравнения (3.16).

В отношении аппроксимации левой части выражения (3.16) особых сомнений нет. Будем пользоваться неявной разностной аппроксимацией второго порядка точности по £. Рассмотрим оператор, стоящий в правой части. Разностная схема, соответствующая приведенному на рис. 3.1, б шаблону, будет такой:

uU-i»nw»n ^wZ/n^-i,n + wZ-i,m+i,n 71*^Z+i./n+i,п wZ-i,m+i,n .

^! ^^ :— — ul,m4-i,n-!: -|-

0^1д™0^1д™^-)-2 («а»,«^-)-2 («а»,«UljHA-lttl 1^>т-з , пUljHA-lttl 1^>т-з , пAgAg+ 2 (Ьи^тл+ 2 (Ьи^тлAl] _Al] _(3.33)(3.33)

0^1

д™

0^1

д™

^-)-2 («а»,«

^-)-2 («а»,«

UljHA-lttl 1^>т-з , п

UljHA-lttl 1^>т-з , п

Ag

Ag

+ 2 (Ьи^тл

+ 2 (Ьи^тл

Al] _

Al] _

(3.33)

(3.33)

Эта задача сводится к краевой задаче для разностного уравнения второго порядка. Действительно, уравнение (3.33) можно представить в таком виде:

^о,т+1л — фо,яш,п>

^/,m+i,/i^/ri,m—1Л + bt%mA-i,nUltm 1,п + cl ,m-H,nUl-itim,n —fl,mri,n)

UL^nwhn = Ф1,тг+1Л

(/=1, ... , L—1; m-0, 1, ... , M; n = 0, 1,, N\

Воспользуемся достаточным признаком хорошей обусловленности разностной краевой задачи (см. [19]), который заключается в том,

Рис. 3.2Рис. 3.2

Рис. 3.2

Рис. 3.2

| &k,m,n СЦ,т,п| &k,m,n СЦ,т,п

| &k,m,n СЦ,т,п

| &k,m,n СЦ,т,п

что коэффициенты cu.m^m bt^i^ о.^+^п должны удовлетворять условиям

\cktm,n —C/t^|rt|^Dl—-—I , D>0, (0 ^> 0.

Решение ulim,n удовлетворяет оценке

| Ш,т,п | ^ A4 ШЭХ (| фо,т,п |, | Ф1 ,m,n |> ШВХ | /[,m,n |), ltm,n

где M не зависит от L.

Достаточный признак хорошей обусловленности в этом случае перепишется в виде а>0. Схема второго порядка точности — по каждой независимой переменной. Для схемы а) условие устойчивости прогонок будет выполняться при любых поперечных течениях, пока не возникнут возвратные течения.

Совершенно аналогично можно написать для модельного уравнения по приведенному шаблону на рис. 3.1 разностную схему второго порядка точности. Признак хорошей обусловленности в данном случае имеет вид ^zg/Д§ + йт]/Ат)>0. Аппроксимация неудобна тем, что вдоль £ и ц решение будет немонотонным. Численные эксперименты подтверждают это утверждение.

При расчетах удобна следующая разностная схема (рис. 3.1, г). Условие хорошей обусловленности будет таким же, как в случае а) (^>0). Схема автоматически следит за поведением линий тока внутри пограничного слоя. Линии тока могут быть направлены произвольно внутри пограничногд слоя.

Вблизи линии отрыва удобно пользоваться несимметричными разностными схемами с использованием узлов, приведенных на рис. 3.1, д. Достаточный признак хорошей обусловленности запишется в виде Ь>0.

Приведем еще одну несимметричную разностную схему (рис. 3,1, е). Условие устойчивости прогонок будет таким же, как в случае а). Схема 3.1, д, е имеет второй порядок точности.

Иногда полезны схемы с односторонней трехточечной аппроксимацией производных по £ и по ц. Эти аппроксимации полезны в том отношении, что достаточно просто выбирается неравномерная сетка. Условие устойчивости прогонок имеет такой вид: а£/А£ + ;+&ц/Аг|>0 (рис. 3.1, ж). Схема второго порядка точности. Решение монотонно по | и т). Схема хорошо «гасит» высокочастотные возмущения.

Вопрос о граничных условиях рассмотрим на примере модельного уравнения

д2и * ди ,* ди ди . t

г = и "^ + ю т- + У -— + fl(3.34)

St? d^ dr) d^

в области Z)(0^£^£*, O^r^rf, О^^Соо) с такими граничными условиями:

ы=0 при £ = 0, и->-1 при £->оо.(3.35)

Будем полагать, что функции и*, со*, и*, ft—известные функции переменных |, Т), £.

Если в качестве и*, со*, и* выбрать выражения

и” = и0 VI, ®* = ®о УЯ и* = — 2^ [с0 — (1ЛШо — У Л/®о)212> А=°, где и», со»—постоянные, то решение модельного уравнения с граничными условиями можно записать в таком виде:

u=erf(O = 1—z0(c^), где с = с0—(yV«0—Уп/®»)2- с>0.

Здесь

Z0(P = --^-fe-ML

Обсудим вопрос о задании начальных условий. Рассмотрим случай а) ^о = (оо=1. Характеристики уравнения: с = с0—(У^—7ц)2. Решение вдоль характеристического направления остается постоянным для каждого значения £. На рис. 3.2, б приведены характеристики в области О^ц^ц* и 0^^^^. Для правильного построения решения .необходимо задать начальные условия при q^=0, £>0 и £ = 0, ОСцСц*.

Рассмотрим случай б) z/0=l, <оо =—1. Характеристики изображены на рис. 3.2, в.. В этом случае начальные условия необходимо задавать на характеристике ц = ц*, ^>0 или на отрезке О^ц^ц", £ = 0. Характеристики модельного уравнения имеют смысл линии тока, т. е. при численном решении уравнений пространственного пограничного слоя необходимо следить за направлением линий тока в каждой расчетной точке.

Решение имеет смысл только при значении с>0. Решение вблизи линии с = 0 можно рассматривать как решение вблизи линии «отрыва».

Рассмотрим один из возможных вариантов численного алгоритма для системы уравнений (3.11) пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Введем равномерную сетку ^ ^т, цп, где /=0, 1, ..., L; т = 0, 1, ..., М; zz=O, 1, ..., N. Заменим вторую и первую производные по £ разностными отношениями:

(

d^U \ul-n,m,n ^^l.m.n'V и1-\,,т,п

h.m.n’

(3.36)

[ ди\^h-i.m.n и1-1.т,п

Производные по и по г] заменим следующими разностными отношениями:

и __ — Uи —- — и

ОН Um-vhn-w Lm,n+i . l.nwi.n I,т.п ~2Д£—2ДЕ- ’

~пг~т

(3.37)

я и — - — и — - и—и,

ОН , Z,m+i,n+l l,m+i,n 1.т,п*1 Цт.п

дц2Дг]-^^д

Пусть через точку с координатами /, т+1/2, м+1/2 проходит какая-то линия тока внутри пограничного слоя. Производные ди^ и ди!д^\ заменяются с помощью значений функции в точках т, п. На рис. 3.3 приведен шаблон, поясняющий смысл промежуточных

точек т и п. Нетрудно показать, линейно интерполируя значения в узлах сетки (с чертой) через значения в основных узлах, что

дм ^,лги,/7+1и1,т,г4-1। ^Мп-и.п и1,т,п

2А^2аГ ’

ди।и1,т,п+1 Ul,m,n

^Л2Дт]Л' ЗДт^

С помощью этой разностной аппроксимации можно следить за поведением линий тока внутри пограничного слоя в каждой расчетной точке.

Если в системе уравнений (3.11) с граничными условиями (3.12) заменить производные их разностными отношениями (3.36), (3.37),

Рис 3.3

то исходная дифференциальная задача сведется к алгебраической. В результате получается система двух нелинейных разностных уравнений второго порядка, для которой необходимо решить краевую задачу

Ео.т^а ” Go,ап,п ==; О, t р(&) 17^+1) . г /7(^+1)

л<£)х>(£+1)। p(^)Xfe+l) । W^)Wfe+l) гл^

^+1,т+1,л+1 i ^/,л+1,л+1 "T 'A-bm+i.n+i—,

Еь,т,п”*^ Gt.m.n'^O(3.38)

(/=1,, L; m = 0, 1,, M —1; n - 0, 1, ... , N — 1).

Разностный аналог уравнения неразрывности приводит к разностному уравнению первого порядка. При конкретном решении задачи система нелинейных уравнений заменяется линейной системой разностных уравнений. Здесь к — номер терации при отыскании решения в итерационном цикле.

Первые два уравнения решаются, например, методом скалярной прогонки последовательно, одно за другим. После того как най-

дены Еifc’n+i,nvi и G^mvi.nVh во всех Z = 0, ..., L производится пересчет всех величин по формулам

E?tm+i,n+i = ф£/^tnvi, П+1 + (1 — ^ Е^т+1>п+1,

Gl,mvi,n+i = ^Gl.m+l.n-vi + (1 ф) Gljn-i.nrl»

где ф — параметр релаксации. После этого в качестве следующего приближения выбираются Е*,ШЬ1,п+1 и Сцт+1л+1. Величина ф подбирается так, чтобы сходимость итераций была скорейшая. Чтобы рассчитать все точки стандартным образом, необходимо найти начальные данные Elf0>n, Gli0,n и Ew, Gw.

Уравнения устроены таким образом, что они вырождаются при £ = ^ = 0. Чтобы получить начальный слой, возьмем, например, ^ = 0 и найдем решение для всех т] как решение двумерной задачи или аналогично найдем решение при ц = 0, £— произвольное. Вблизи линии отрыва, граница которой заранее неизвестна и которую необходимо найти в процессе вычислений, производить расчеты стандартным образом не удается и приходится применять схемы, представленные в п. 4 д), е) и некоторые другие их модификации.

Как показывают расчеты [18], эта разностная схема — немонотонная. Более удобны двухслойные аппроксимации производных по £ И Т] (см. гл. VI).*

5. Метод последовательных приближений

Обзор интегральных методов решения уравнений трехмерного пограничного слоя и соответствующие библиографические справки можно найти в работе [11]. Остановимся на основных моментах применения интегральных методов, развитых для двумерных задач, к задачам пространственного пограничного слоя. Для того чтобы решить интегро-дифференциальные уравнения импульсов, необходимо сделать некоторые дополнительные предположения о конкретном виде профилей скорости или величин трения на повер(хно- сти. Эти предположения основываются либо на экспериментальных результатах, либо на результатах численных расчетов.

Приближение, связанное с предположением о малости «вторичного» течения, позволяет свести решение пространственной задачи к решению набора двумерных задач около тела с некоторым эквивалентным радиусом. Обычно в этом случае используется система координат, связанная с линиями тока внешнего течения. Вдоль линий тока задача решается путем использования теории пограничного слоя для двумерных течений. Профили скорости задаются в параметрическом виде

и]ие=НМ, N, £, Т], О, tojtoe=g<M, МЛ-чЛ).

где М, N — параметры, зависящие от внешнего течения и геометрии тела.

Рассмотрим метод последовательных приближений, предложенный для двумерных задач в работе [21], применительно к про-

странственному пограничному слою [20]. Если ограничиться первым приближением, то метод сохраняет все основные достоинства интегральных методов и еще имеет то преимущество, что решение задачи получается в виде простых формул.

Формально проинтегрируем преобразованные уравнения количества движения системы (3.11) по переменной X от некоторого текущего значения X до оо с учетом граничных условий (3.12). Найдем

-- у (£ - о+(А* + n;) 9п+(А + до е21+ж2+

ок

+ nX-pX + n^ + <p^ + n^ ,(3.39)

5Sdr,dr]

- ^- - VG + M^ ^' + 91) + (р1 + М^ 921 + ок

+ (А + * + W4 ^- + Af/-|^ + WNS ^. д^дт]^г]

Здесь используется асимптотическое стремление к нулю производных дЕ/дХ, dG/dX при Х-^оо, а также учитываются соотношения

f^d^-y^-i)- fAXS-Dd^,

J &J

XX

- — VG — f V?.G d

J | dXJ

где Vx задается первым уравнением системы (3.11). При этом предполагается существование интегралов

0U = С(£ — l)£dA, 021 = j£GdXv 922=Jg4X1( XXX

.(3.40)

е12 = ?(£ — l)GdXb 04= J (£—Od^, 02 = jGdAv XXX.

В левой части уравнений (3.39) получаются компоненты, пропорциональные напряжению трения на стенке, если нижний предел интегрирования по X положить равным нулю.

Интегрируя уравнения (3.11) почленно второй раз поперек пограничного слоя от нуля до текущего значения % и используя граничные условия при Л = 9, получим следующие уравнения:

- £ = 90\+(р;+^) д;,+nx.+(р; + X) э:,+nx -

- рХ -VnX 0н 4- ф^ ^- о^ + А ^ 011.'

— g — 9; 4- м; (9ц + $ + (P*2 4- мГ) e;3 4- (?; + wig) 9^ +

+ N<^1 + ^5 ^ ^ MyX<3-41)

d|дяan

При этом используются граничные условия E=G = 0 при Х = 0 и допускается возможность замены порядка интегрирования и дифференцирования.

В уравнениях (3.41) приняты такие обозначения:

XX

9^ = $ V(l—£)db, 9^ = — JVGdX; Оо

(3.42)(3.42)9ц = J J(£ — l)£dW, 9ц = $ JcM^dXp О Xiо ^

(3.42)

(3.42)

С = 5 jBGd^d^,о 71С = 5 jBGd^d^,о 71X ООЭ,*^^^—DGdX^Xy,X ООЭ,*^^^—DGdX^Xy,0^ $J(£-l)dWо Xi0^ $J(£-l)dWо Xi9^ = ^ jGdX2dXvо Xi9^ = ^ jGdX2dXvо Xi

С = 5 jBGd^d^,

о 71

С = 5 jBGd^d^,

о 71

X ОО

Э,*^^^—DGdX^Xy,

X ОО

Э,*^^^—DGdX^Xy,

0^ $J(£-l)dW

о Xi

0^ $J(£-l)dW

о Xi

9^ = ^ jGdX2dXvо Xi

9^ = ^ jGdX2dXvо Xi

(в дальнейшем индексы 1 и 2 под интегралами опускаются).

Таким образом, получается система интегро-дифференциальных уравнений для определения продольной и поперечной составляющих скорости в пограничном слое.

Изменение величин скорости зависит от членов, входящих в выражение (3.41), и характеризует влияние факторов различной природы. Поведение составляющих скорости связано с нелинейным взаимодействием продольного, поперечного и перпендикулярного к стенке течений, геометрией тела, внешним давлением.

Качественный характер воздействия этих факторов на значение величин скорости различен. Основное влияние на профиль продольной составляющей скорости оказывают тс же члены, что и в двумерном течении (0^, (Р1* + ЛТ1*)0*г> ^*6^). Член Р2*62* характеризует основное влияние вторичного течения на величину продольной скорости. Член (Р2* + Л^з*)6^ в первом уравнении выражения (3.41) является результатом взаимодействия течений в продольном и поперечном направлениях. Член Л’2*022 связан с нелинейным влиянием вторичного течения на профиль продольной скорости.

Основное воздействие на величину поперечной составляющей скорости оказывают члены 0*2> ^^(б^ + Э/). Если величина М/ равна нулю, то вторичное течение исчезает. Например, в осесимметрическом случае коэффициент Mt*=0. Если величина М_* сравнительно небольшая, то и вторичное течение мало. Члены (Р/ + + Л43*)021, (Р2*+Л12*)022 характеризуют взаимодействие течений в продольном и поперечном направлениях.

Результаты конечно-разностных расчетов течений в пограничном слое (см. [15]) для ряда задач (эллипсоидов под углом атаки, прямых и обратных конусов под углом атаки и др. тел) показывают, что величины 0oi, 0L 6*1, 0*2, 6*1, 6*2, 6ь 6* и 0И, 022, 021, 012, 0П 62 являются гладкими функциями и меняются сравнительно слабо вдоль поверхности тела, хотя профиль скорости и величина трения меняются довольно заметно. Кроме того, интегралы 0.22, 0*ь О^, 6* и 622, 621, 612, 62 намного меньше, чем интегралы 0/, 0П и 0Ь 0И в области «безотрывного» пограничного слоя. Это связано с тем, что профиль поперечной скорости G меняется от значения, равного нулю на стенке, до значения нуль на бесконечности и подтверждает предположение о малости вторичного течения. Интегралы, в которые входит величина G, мало влияют на трение на стенке и на другие интегральные характеристики потока. Величины Е и G заметно меняются только вблизи «линии отрыва», но характерный размер области быстрого изменения этих величин мал по сравнению с характерным размером области безотрывного пограничного слоя. Поэтому приближенные подходы к интегрированию уравнений пограничного слоя при вычислении интегральных характеристик (например, трения), основанные на замене величин 0И, 022, 021, 612, 61, 62 некоторыми осредненными по поверхности тела значениями, обоснованы большим количеством расчетных и экспериментальных данных. Производные от толщин вытеснения по координатам § и т), как показывает сравнение численных расчетов с учетом этих производных и без них, оказывают основное влияние вблизи «линии отрыва».

Рассмотрим метод последовательных приближений.

Систему уравнений (3.41) можно записать в виде, который позволяет найти (n + 1 ^-приближение, если известно ^-приближение

—£(л+1) = ей"' + (Ру + лО е;^ ++ (Р*. + N1) ей"' +

+ n&№ - p;e:(n)+n4 4- С+МНЕ + N^ -г 9^’

— G("H) = 0ОТ + М* (ОЙ"1 + ОЙ"’) + (Р* + л£) 0ЙП) 4

+ (р: + <) ей"» + м4 4 ей"’ + ^5 ^- ^ + м,ф ^- ейп) dgdi]оц

.(3.43)

Граничное условие при Х = 0, очевидно, удовлетворяется автоматически. Для выполнения граничного условия на внешней границе пограничного слоя (Х-^-оо) на каждом шаге итераций введем «управляющие» функции с<п) (£, т]) и bw^, л) следующим образом:

EW =EW ^ ^ ^у

(3.44)

Gw = bwG (Е, л, с*К).

При предлагаемом подходе решения задачи на каждом шаге итерационного процесса получаем при }.-*оо уравнения для с(п) и &("’. Если итерационный процесс сходится при п->-со, то величины с"" и Ь'"' будут стремиться к 1.

Перейдем от переменной % к переменной интегрирования ^(л), где ^"^с^’^Х/Уб'’1’. Из удовлетворения граничным условиям Е1”*1’^-!, G(n+1)->0 при £->оо получаются уравнения для 6<п) и Ь^*' такого вида:

О^<713ОТ]

■+ bw (А^ + b^X" + bwC^ = — 1,(3.45)

т dbln) .(„) dbW . -^ dbW . „пдЬ^

«ы —— + а^ —у ай! —— + а,4 —- +

о- .01]Осот]

+ V^’W + бп) (А^ Ь^п В^ + b^W) - 0.

Величины Ай В^ Ct (i=l, 2) и а^ (ц /— 1, 2, 3) приведены в работе [20].'

Для удовлетворения граничным условиям на бесконечности на каждом шаге итераций введены «управляющие» функции. Из условий на внешней границе пограничного слоя получаются дополнительные дифференциальные уравнения (3.45) для .их определения. При таком построении алгоритма итераций граничные условия как на теле, так и на внешней границе пограничного слоя будут выполняться.

В общем случае пространственного пограничного слоя для неизвестных «управляющих» функций в методе последовательных приближений получается система уравнений в частных производных.

В системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, часто используют осесимметрическую аналогию. Уравнения трехмерного пограничного слоя сводятся к виду, напоминающему осесимметрический случай. Вдоль каждой линии тока решается двумерная задача, как около тела с некоторым «эквивалентным» радиусом. В этом случае для неизвестных «управляющих» функций получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение в первом приближении получается в квадратурах. В случае локально-автомодельного приближения относительно неизвестных «управляющих» функций получается алгебраическая система уравнений.

Предположим, что /^-приближение найдено. Для вычисления (/г4-1)-го приближения введем в ^-приближение уравнения (3.44) неизвестные «управляющие» функции 6(п) и Ь^. В (м4-1)-м приближении получаем систему уравнений в частных производных (3.45) относительно неизвестных функций. Предположим, что, решив эту систему, найдем 6(п+1) и Ь^1^. Тем самым построим (лг+ 1)-е приближение, удовлетворяющее системе интегро-диффе-

ренциальных уравнений (3.43) и соответствующим краевым условиям. Повторим этот итерационный процесс до тех пор, пока (п+1)-е приближение нс будет отличаться от п-го приближения в соответствующей норме с заданной точностью е.

Приведенный алгоритм последовательных приближений можно реализовать различными способами, в частности с помощью ЭВМ. Поскольку трудности численной реализации этого алгоритма, по- видимому, такого же порядка, как и конечно-разностного алгоритма, то основная цель настоящего подхода заключается в том, чтобы получить решение в виде алгебраических формул. С этой целью рассмотрим первое приближение. При решении сложных задач пространственного пограничного слоя метод последовательных приближений в его аналитическом варианте будет оправдан в том случае, если он даст решение, близкое к искомому, уже в первом приближении,

Остановимся на решении квазилинейной системы уравнений (3.45). Основная трудность при решении задач трехмерного пограничного слоя по излагаемому методу состоит в нахождении на каждом шаге итераций «управляющих» функций из системы (3.45) с соответствующими граничными условиями. Исследуем характеристики этой системы. Имеем

«и Ча — av2^s «л По — «82 £<Т = q

'пУ(п с.*

^14 ^а #23 Ля #24 Но

Из этого соотношения получается уравнение для характеристик

#Ло — ЗЬЕаЛ^ ~Ь ^о — о,

где а = «, с-а^-аМ^ 2Ь = аМ-сМ^

Хорошо известно, что, когда ас2—Ь2>0, имеются две характеристики (система гиперболического типа), если ас—Ь2 = 0, то характеристика одна (система параболического типа), если ас—&2<0, то характеристики мнимые (система эллиптического типа).

Условие гиперболичности системы (3.45) запишется в виде 4а>‘з’ № - аМ) - (аМ - « + « )2 < 0. В случае гиперболической системы уравнений получаются четыре характеристических соотношения:

Ла ?1?а ^ 0, ЛЗ ^3 " ^’

.(3.46)

Ж +- S) Ьа += о,

Т^ +-S)b6- № ~ Н) ^ 0,

где а(£, -q) =const и ^(^, т]) = const — семейство характеристик, причем

ТnWn1^ л^л№ <?Л№ лП^л№'

/ —— а^ а^ - а^ а^2 >—— #12 #23#22 #13i

^ = anhi — a^h^ ,n=a12b2 —#22^1 •

Здесь

f2 = -1 - /6^л(^ - еГ gC + ь^ + ь ^ст^,

е. = - vW^ - 6W (Л^ + bwB.^ + ь^с'^у

Далее будет показано, что в первом приближении система уравнений (3.45) гиперболического типа. Коэффициенты Д, В, С и другие приведены в [11].

Для системы уравнений (3.45) можно решать различные задачи. Задача Коши заключается в отыскании решения системы (3.45), если функции 6(п) и bw заданы на некоторой дуге гладкой кривой С, нс имеющей характеристических направлений ни в одной точке. В теории трехмерного пограничного слоя эта задача связана с задачей о продолжении пограничного слоя. В задаче Гурса требуется найти решение системы (3.45), если на двух характеристиках, выходящих из одной точки, заданы значения 6(п) и Ь(п\ причем значения соответствующих функций совпадают в общей точке. В теории трехмерного пограничного слоя такая задача возникает при обтекании осесимметрического затупленного тела под углом атаки. Вдоль линии симметрии (iq = 0, g— произвольное) решение строится независимо. И эта линия совпадает с одной из характеристик системы (3.45). Решая задачу локально в окрестности точки торможения, получим решение вдоль другой характеристики. Значения bw и bw в общей точке будут согласованы. Первая смешанная задача заключается в построении решения б^ и bw системы (3.45), когда значения б(п) и Ь^ заданы на характеристике и на линии, которая ни в одной точке нс имеет характеристического направления. Вторая смешанная задача заключается в отыскании решения системы (3.45), когда известны значения 6(п) и bw на характеристике и линейная комбинация этих функций на линии, нс имеющей характеристических направлений.

В дальнейшем решение системы уравнений (3.45) рассматривается более подробно в первом приближении для конкретных задач. Можно показать, что эта система гиперболического типа, затем исследовать уравнения направления характеристик, дифференциальные соотношения вдоль них.

С помощью приведенного выше алгоритма можно получить решение системы интегро-дифференциальных уравнений. Как уже отмечалось, основная трудность состоит в нахождении на каждом шаге итерационного цикла величин 6(п) и bw из системы уравнений (3.45). Если характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни, то эту систему можно решить, например, обычным методом характеристик.

Рассмотрим локально-автомодельное приближение. В качестве независимых переменных выберем переменные подобия. При таком выборе задача локально (например, в точке торможения) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Производные от искомых функций вдоль координат ^ и ц при использовании автомодельных переменных малы (в окрестности точ-

ки торможения) и этими производными можно пренебречь, т. е. координаты ^ и г] будут входить в коэффициенты решения как параметры, определяющие внешнее течение, геометрию тела.

Решение в этом случае получается в виде простых алгебраических формул.

Для двумерных задач в работе [21] рассматривались различные способы задания нулевого приближения. Показано, что если в качестве нулевого приближения для функции Е = и/ие выбрать интеграл ошибок, то в первом приближении получим результаты с точностью ~1—3%. Поэтому в данной работе для пространственных задач пограничного слоя в качестве начального приближения для продольной составляющей скорости выберем интеграл ошибок. Для поперечной составляющей скорости в качестве нулевого приближения выбираем такой профиль скорости, который зависит от «управляющих» функций b и 6 и удовлетворяет требуемым граничным условиям на теле и на внешней границе пограничного слоя. Применяя метод последовательных приближений, получим формулы для безразмерных компонент трения на стенке в таком виде [20]: _

Cfl /R?a = Ex = У ё^ [0.233Р* + 0.797^ + b№ (0.209^ —

— 0.112 X) - 0.07b№N*2A — Vo,(3.47)

Gx = У6М [0.797M; + b'^ (P* + Мз) — 0.071У”2 (P^ + -X)], где величины 6(0) и bw вычисляются по формулам

№>> = [+ (0.31 Х + 0.194.X-0.262Vo/yR-((0.31P;+ 0.194 X—

—О.262Уо/У^)2 + 1.636 X (0.1 Р^ +0.0478Х)У/(0.2Х +

+ 0.095.Х),(3.48)

(УЙ"1 = 0,5 {- О.564Уо + [(O.564Vo)2 +4(0.25Х + 0.409^ +

. +bw (0.194Х —ОЛОЗХ) — У^О^ЗХУ).

Если в качестве начального приближения для функции Gw выбрать случай G(0) = 0, то формулы величин трения на стенке записываются в следующем простом виде:

Ех - V^40S3 37P; + 0.7978^) —Ко,

* Gx- V>4).7978M1*.(3.49)

Здесь величина б(0), связанная с толщиной вытеснения, находится таким образом:

с«» = 1/^6^= — 0.294Ео+ [(О.294Ео)2 + 0.25P*-p 0.409^]^.

(3.50)

Напомним, что коэффициенты Р*, N*, М* определяются по формулам (3.13). Эти величины известны, если известна геометрия тела и параметры внешнего течения.

Анализ результатов наиболее удобно производить в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. В этой системе координат имеем

1 а

Положим 1/^22 = ^, тогда геодезическая кривизна линии тока В3 находится по формуле

и есть величина, характеризующая сходимость или расходимость линий внешнего течения на поверхности. Если В3>0, то это означает, что две соседние линии тока удаляются друг от друга, а если В3<0, то линии тока сходятся.

Коэффициенты N*, М^ и Р* в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, имеют вид-

, din ие1 +in ( 2а

1 dln$1 ’12 ' dlnsx \Ue

Mx = 2l 2^£l 7 (a = sjue, ₽ = 1). Ft OH,

Безразмерная величина продольной компоненты вектора трения на поверхности тела определяется продольным градиентом скорости, геодезической кривизной линии тока, толщиной вытеснения пограничного слоя и параметром вдува.

■ т =£^^^0.116 + 0.233^^+ 0.564-^^)—Уо. (3.51)

\д In Siд In Si 7

Безразмерная величина поперечной компоненты трения на поверхности тела в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, имеет вид

(3.52)(3.52)г a in и, т2 = 0.797 у 6-^-

(3.52)

(3.52)

21гх дп

и определяется поперечным градиентом скорости.

Рассмотрим случай, когда т^Тг^О. Если величина Tf обращается (s^O) в нуль, то тогда выполняется соотношение

^ + 0.116 + 0.564^-— + 0.233 —— = 0.(3.53)

Уб'0)Uc д$1rx dsx

(3.54)(3.54)Величина т2 обращается в нуль в том случае, если выполняется условие

(3.54)

(3.54)

dUJdn-0.

Соотношение (3.53) связывает изменение эквивалентного радиуса и градиента скорости внешнего течения в тех точках поверх-

ности тела, в которых величина Tj обращается в нуль. Величина । dU е

77* ~— отрицательна в области, благоприятной для «отрыва», так как dpIds^Q, а величина —^ , которая характеризует расходи- мость линий тока, может быть как положительной, так и отрицательной. Если эта величина положительна, то линии тока расходятся и «отрыв» наступает позднее. Если линии тока сходятся, то «отрыв» наступает раньше.

Если величины rt и т2 одновременно обращаются в нуль в какой-то точке поверхности, то возникающая особенность будет существенно трехмерной. Если производная полной скорости по поперечной координате обращается в нуль, то направление скорости меняет знак и величина поперечного трения обращается в нуль. Этот результат получен в автомодельном приближении и носит качественный характер, так как на всякое изменение, возникающее в пограничном слое, течение реагирует с некоторым запаздыванием.

Угол между предельной линией тока на’теле и линией тока внешнего течения (g12 = 0, ф = 0) определяется следующим образом:

^- = tgT=lim^=^=._A.

dSl7»—>0^7. 0 Tj

В координатах, связанных с линиями тока внешнего течения, имеем

0.797 —

tg у -.(3.55)

r—dlnr.dint/,v

- Vo/V 6'0,+ 0.116 + 0.233 ——• + 0.564 — dlnS!OlnS!

На внешней границе пограничного слоя градиент давления уравновешивает центробежные силы:

р V ^22 дпр дпдп

в 1 _dUe

1 . UeV^_ дп

Линии тока внешнего течения имеют такую кривизну, при которой давление возрастает в направлении, внешнем по отношению вогнутости. Внутри пограничного слоя вблизи поверхности тела, где инерционные силы малы, градиент давления dpldn стремится создать течение, направленное внутрь вогнутости внешней линии тока, вызывая вязкие силы, которые противоположны этому движению. Если кривизна линий тока меняется, то градиент поперечного давления меняет знак и вслед за этим поперечное течение также меняет знак. Влияние инерционных сил передается в ответ на изменение др/дп с некоторым запаздыванием. Поэтому изменение

знака поперечного течения наблюдается вниз по течению от точки изменения кривизны внешней линии тока.

Это поведение профилей скорости можно изучать по изменению величины tgy = T2/T1 около поверхности тела. Предположим, что вблизи поверхности Т1 остается постоянной величиной, равной т1(> на поверхности тела. Тогда получим

im=l»^. k^M /Т1о = =^1_ .(з.56)

дХ \ тх /т10 дХ \ гг дп JIт10

Пусть Si>0, тогда со>0 (так как течение направлено внутрь вогнутости). В этом случае величина д]дХ^^ отрицательна, другими словами, величина у поперек пограничного слоя уменьшается. В точке перегиба линии тока S^O величина 4 остается постоянной, и когда величина Bi становится отрицательной, величина у увеличивается перед поверхностью тела. Трехмерный профиль принимает s-образную форму.

Определим толщину вытеснения пограничного слоя в таком виде:

6Х= J(l— UfUeW(3.57)

о

Толщина потери продольной компоненты импульса находится следующим образом:

6„= С—fl-—W(3.58)

J ие \ ие / о

В первом локально-автомодельном приближении для величин бь 6И получим такие формулы:

6г =0-564 у №>, 6и = |/"^- 0.233 /6^.

Если dpjds^^ или —~>0, то толщина вытеснения погра-

dsi

ничного слоя меньше. Если dpfds^O [или — <0) , то зона

\ Ue dsx )

вязкого течения увеличивается. Если линии тока внешнего течения расходятся, то толщина вытеснения пограничного слоя уменьшается. Если линии тока сходятся, то это соответствует нарастанию пограничного слоя.

Рассмотрим влияние параметра отсоса или вдува Ео. Величина поверхностного трения вдоль тела Ех при V0>0 (вдув) убывает, а при Е0<0 (отсос) возрастает, величина Gx—компонента поперечного трения явным образом от Fo нс зависит, а зависит неявным образом — через величину &(0) и 6(0). Зависимость продольной составляющей величины трения от параметра вдува близка к линей-

ной. При увеличении вдува толщина пограничного слоя возрастает, а при отсосе — убывает. Профиль поперечной составляющий скорости в зависимости от вдува, так же как величина поверхностного трения, меняется мало по сравнению с величинами продольной скорости и продольной компоненты трения. Вдув сильно влияет на положение предельных линий тока на теле. При отсосе (К<0) предельные линии тока становятся ближе к линиям тока внешнего течения. Это соответствует уменьшению градиента поперечного давления, и поэтому отсос можно использовать для уменьшения расхождения линий тока внешнего течений и линий тока на теле. Из формул (3.55) нетрудно найти величину Уо, при которой отклонение поверхностной линии тока от линии тока внешнего течения будет меньше заданной величины е. Следует, однако, заметить, что формулы (3.51) и (3.52) справедливы при сравнительно небольших параметрах отсоса и вдува (|К0|~1). При вдуве расхождение линий тока будет увеличиваться, так как величина поперечного трения практически изменится мало, а продольная компонента трения уменьшится значительно. Влияние параметра вдува и отсоса на компоненты поверхностного трения в пограничном слое особенно заметно при малых значениях продольного градиента давления.

Результаты численных расчетов течений в пространственном пограничном слое позволяют оценить область применимости полученных формул (3.47), (3.48) и их точность. Такое сравнение будет проведено далее для ряда задач (разд. 7). Полученные простые формулы позволяют достаточно легко и наглядно представить качественную картину течения в пограничном слое и характер возникающих особенностей.

Локально-автомодельное приближение дает достаточно точную картину течения в пограничном слое при благоприятном градиенте давления вдоль всей поверхности тела. При умеренно положительном (неблагоприятном) градиенте давления влияние отброшенных в локально-автомодельном приближении членов становится существенным и их необходимо учитывать. Рассмотрим задачу о пространственном пограничном слое в приближении «осесимметрической» аналогии.

Будем пользоваться криволинейной ортогональной системой координат g, ц и £, связанной с линиями тока внешнего идеального течения. Координата £— это расстояние от поверхности тела по нормали, так что £ = 0—уравнение обтекаемой поверхности, линии т] = const— линии тока невязкого течения на поверхности, а линии g = const — их ортогональные траектории, т. е. эквипотенциальные линии.

Сделаем предположение, что скорость вторичного течения и ее производные малы по сравнению со скоростью вдоль линий тока (to<CuY Заметим, что поперечная скорость равна нулю на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя. Поэтому предположение о малой интенсивности вторичного течения до известной степени обосновано, по крайней мере до тех пор, пока внешние ли- 160

нии тока имеют малую геодезическую кривизну. При значениях отношения скорости поперечного течения в пограничном слое к полной местной скорости, равных mfU^0,34-0,4, можно использовать принцип независимости поперечного течения от продольного. В предположении о малости вторичного течения получаем уравнения движения, аналогичные уравнениям пограничного слоя около осесимметрического тела, из которых находится продольная скорость, и отдельного уравнения для поперечной скорости, которое дает возможность определить эту величину. Параметры трехмер-'* ного пограничного слоя можно рассчитать, пользуясь этой аналогией, если известен эквивалентный радиус тела гь который определяется не только геометрией тела, но и параметрами внешнего потока. Для расчета метрического коэффициента используют поле скоростей идеального невязкого потока или распределение давления на поверхности (см. гл. V). Воспользуемся методом последовательных приближений (см. [22]).

Рассмотрим первое приближение. Зададим нулевое приближение следующим образом:

= 1 -20 ^,6(0) = b№ (Zo © - Z.t (1)),

z0® =- А=

V л J•

Безразмерные компоненты трения по поверхности можно представить в виде

С$1 у Re = Е^о = 0.414---^ + 0.936 —= ,(3.59)

Cf yR^ = qW о= О.ЗбвУ^г +

+ Ьм (0.204 - угр) — 0.5 —L4.

\5 In ^у51) /

Отметим, что для продольной составляющей трения получается в точности такой же результат, который был получен для двумерных течений в работе [21].

Решая уравнение для 6(1), найдем .

(3.60)

где М = №4"-/г2 = (£-|0) ЮТг\.

Отметим, что б(1), полученное из локально-автомодельного решения при ^=0, находится из (3.48) при |j = 0. Величина bw находится из соотношения

6(1) = —21124г Г

■ N J dq лV 7

1611616 Ю. Д. Шевелев

161

161

гдегде

где

где

(3.61)

Продольная составляющая трения вдоль каждой линии тока зависит от градиента скорости и корня квадратного величины 6(1). Она обращается в нуль в случае положительного градиента давления. Из соотношения (3.59) можно найти координаты точек, в которых EV1) = 0, G*“’=0.

Найдем толщину вытеснения

d1= J(i -U]U^ d: =Оd1= J(i -U]U^ d: =Оl^kC(i_£)dX.оl^kC(i_£)dX.о

d1= J(i -U]U^ d: =

О

d1= J(i -U]U^ d: =

О

l^kC(i_£)dX.о

l^kC(i_£)dX.о

Если в это выражение вместо Е подставим начальное приближение и проинтегрируем, то получим

6 = 2

1 К л Ue V ’

где величина б(1) задается выражением (3.60). Величина поперечной составляющей трения зависит от поперечного градиента давления, эквивалентного радиуса г, толщины вытеснения, продольного градиента давления, величины bw. Отметим, что в линейном приближении, как и в локально-автомодельном случае, Gx=o обра-, щается в нуль, если производная полной скорости по поперечной координате обращается в нуль. Действительно, если dUe]dn=0, то и bw равно нулю и, следовательно, Gl=o = O. Этот результат получен в линейном приближении. Если оставить нелинейные члены, то величина bw может быть найдена из решения дифференциального уравнения, например численным путем. Решение в приближении осесимметрической аналогии справедливо при условии малости вторичных течений и производных от поперечной скорости по поперечной координате.

Построим первое приближение в общем случае. Представим систему уравнений (3.45) в каноническом виде:

A1u^-VB1u4-VC1u^-VD1v1x-VE1 = O)-

(3.62)

A^u^-V В^и^Л* C^y^-V D^v^-V Е^=0.

В данной системе уравнений — и= 1/с(°,=Уб(°,) v = bw"Vbw, а коэффициенты Аъ Blt Съ Dt, Еъ Аг, Вг, Сг, Da, Ег имеют такой вид:

Av = NJ^ В^МЖCt = 0,Dt=—0.103^5,

Ex = (E^ — 1Ж Л2 = — 0.116M4o,

Вг=—0.048 N5 (v^u) —0.116 ф Nbo,Сг = -0.194 Ntu,

D2=0.147 N5y—0.194 <p N5u, Ег=—Са№.

Величины EV11 и Ga(1) задаются формулами [11]. Уравнения направления характеристик в системе координат, связанной с линиями тока (<р=0), имеют вид

/ dn \Ni vdn у-drjусох

( —Ч= — — а, 3или—L = £+,— = g ,.(3.63)

\ dg /1.2Nt ad;d;

Семействохарактеристикзадаетсякакa(|, т])=с+, р(|, т])=с_1.

Дифференциальные соотношения вдоль характеристик первого и второго семейства принимают вид

7ua+a^+va+ (7^+—/7) ^«=0,

(3.64) Ти6+а1;_у6+^--Щ^=О.

Здесь Т=—0.0119У4ЛГ6о7«, «=—0.048 «МД K=—N4Gawl4+ '+0.116N4(Eaw—1)и/4, Н=0.048 N# (Eaw—1)/«2. Решив эту систему вдоль характеристик первого и второго семейства, найдем величины bw и 6<0,, а следовательно, величины трения на стенке и профили скорости.•

Система уравнений (3.62), как показывает исследование, является системой гиперболического типа. Действительно, уравнение характеристик имеет такой вид:

a0Y]a — Sb^a + с<& = °-

Здесь «е=—0.048 №, bo = O.O125iV4;V5n, с„ = 0.00497 М5ги\ ^- =

=—- — с+. Условие гиперболичности системы в данном случае вы- Ns и

полняется. Нетрудно получить следующее уравнение для направления характеристик:

(

dn А _2^i ——f—^ — ^4 у “3

ds /1 У5 и a2 ’ \ dg /2 У5 и «! ’

В этом случае |a3|<|ai|, и поэтому одно из семейства характеристик имеет вид dr]/d|«O.

Если Ь = 0, то оба семейства характеристик совпадают с линией тока и это соответствует осесимметрическому случаю. Семейства характеристик близки к линиям тока внешнего течения, если отношение via мало.

Рассмотрим соотношение (3.64) вдоль характеристики второго семейства, совпадающего с линией тока внешнего течения. Имеем, учитывая, что ^-=0, Тич—11^=0 или d«/d£ = 77/7=4(1— Eaw)/N4u.

Помня, что м=]/б(п), получаем уравнение, которое в точности совпадает с первым уравнением (3.60) для величины 6, которое получилось при решении задачи в осесимметрическом приближении в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. Решение этого уравнения имеет такой вид:

Vd = 8/Mj(M/H1)dg1, М = ^Х^гг.(3.65)

Вдоль одного семейства характеристик величина и="^ известна. Поэтому вдоль этого семейства характеристик можно найти интересующие нас составляющие компонент трения на теле.

Таким образом, при малых вторичных течениях система урав- нёний гиперболического типа сводится к системе уравнений параболического типа, т. с. система уравнений (3.62) обладает свойствами слабой гиперболичности.

6. Анализ и классификация особенностей, возникающих в трехмерных вязких течениях. Критерии «отрыва»

Пространственные отрывные течения представляют большой теоретический и практический интерес. В настоящее время понимание закономерностей трехмерного «отрыва» связано в основном с анализом экспериментальных результатов по визуализации течений различными методами: нанесения масляных покрытий, термоиндикаторных пленок, термоанемометрии, лазерного «ножа» и др.

Картина пространственного отрывного течения на затупленных телах зависит от многих параметров: геометрии тела, угла атаки, числа Рейнольдса, числа Маха набегающего потока, температуры стенки и других факторов.

Рассмотрим некоторые результаты экспериментальных и теоретических работ. Одна из первых классификаций «отрывных течений», основанная на результатах эксперимента [23], состоит в том, что отрывные течения делятся на два типа: свободный вихревой слой и течения с застойными зонами (рис. 3.4). В некоторых случаях возможна комбинация этих двух типов течения. При отрыве вихревой слой отходит от поверхности тела. Сходящие с поверхности частицы жидкости могут свертываться в вихреобразования. Возможно появление завихренности внутри основного вихря. Линии тока, отошедшие от поверхности, могут опять присоединиться к поверхности.

Наиболее простым видом пространственного отрывного течения является отрыв потока на бесконечном цилиндре со скольжением (рис. 3.5). В этом случае течение в продольном направлении определяется независимо от течения в поперечном направлении. Явление «отрыва» имеет по сути двумерный характер, и естественно пользоваться обычным критерием «отрыва» для двумерных и осесимметрических течений: ^du)dt)^o = O (др{дк^ = 0). Другим хорошо известным примером является «отрыв» при обтекании острого конуса под углом атаки при сверхзвуковых скоростях. Отрыв ламинарного пограничного слоя приводит к образованию устойчивых вихрей и ядер завихренности, причем реализуемая картина течения заметно отличается при малых, умеренных и больших углах атаки. При умеренных углах атаки на боковой поверхности конуса «отрыв» происходит вдоль образующей. Критерий «отрыва» можно связать с появлением возвратного течения, т. с. в этом случае (dto/d^):=o = 0, (dp/^ = 0) (рис. 3.6).

Рис. 3.4Рис. 3.4Рис. 3.6Рис. 3.6

Рис. 3.4

Рис. 3.4

Рис. 3.6

Рис. 3.6

На рис. 3.7 рассматривается пример образования отрыва на пластине с установленным на ней цилиндрическим препятствием. «Отрыв» является существенно трехмерным. В этом случае «отрыв» « ди дю начинается от точки, в которой — и — равны нулю.

В ряде экспериментальных работ исследуется картина «отрыв

ного» течения для осесимметрических тел, эллипсоидов, конусов, крыльев и тел более сложной формы под углом атаки. Изменение

картины пространственного «отрыва» при обтекании затупленного тела под углом атаки представлено на рис. 3.8 (см. гл. V).

При нулевом угле атаки (рис. 3.8, а) поток вблизи тела присоединен к поверхности. Все линии тока начинаются в узловой точке— точке торможения потока — и для гладкой поверхности уходят в бесконечность или отрываются от поверхности в узловой точке отрыва. Топология течения достаточно проста: две узловые Доч

ки при отсутствии седловых.

При небольших углах атаки топологическая структура остается неизменной. Все предельные линии тока начинаются в узловой точке присоединения потока и исчезают в узловой точке отрыва. При благоприятном поперечном

Рис. 3.9Рис. 3.9градиенте давления линии тока направлены с наветренной стороны на подветренную, где они стремятся к предельной ли" нии тока, направленной вдоль луча на подветренной стороне. Картина линий тока показана на рис. 3.8, б. Нетрудно выделить огибающую предельных линий тока на поверхности. При дальнейшем увеличении угла атаки возможно при определенных условиях возникновение поперечной неустойчивости, в некоторых случаях приводящей к переходу в пограничном слое. Картина течения

Рис. 3.9

Рис. 3.9

схематично представлена на рис. 3.8, в. Внутри области возвратного течения наблюдается сложная вихревая картина. Возникает спиральный вихрь, который распространяется во внешний поток.

Дальнейшее увеличение угла атаки приводит к картине течения, изображенной на рис. 3.8, а, д. Если вблизи линии «отрыва» предельные линии тока сходятся, то толщина пограничного слоя быстро растет. Если расстояние между двумя соседними линиями тока обозначим п, a h — высота прямоугольной трубки тока (в предположении, что локально вектор скорости образует линейный профиль), то поток массы через трубку тока выражается в виде (см. рис. 3.9) m = punh.

Здесь р — плотность, и — средняя скорость в поперечном сечении. Составляющие поверхностного трения на стенке имеют вид rt и т2. Результирующее поверхностное трение можно представить вблизи стенки в виде tw=h(^M/2)-

Если трение на поверхности известно, то скорость й находится в форме й = TwA/2p,. Отсюда следует, что

m = nhzxwl2v = const или Н = с^1пт№У\ v = p,/p.

Таким образом, вблизи линии «отрыва» величина h увеличивается по двум причинам: первая — расстояние между линиями тока уменьшается, так как линии тока сходятся вблизи предельной линии тока, вторая — результирующее поверхностное трение стремится к нулю по мере приближения к точке «отрыва».

Физическую природу трехмерного течения и «отрыва» можно понять, изучая структуру поведения поверхностных линий тока.

Предельные линии тока на поверхности трехмерного тела образуют семейство кривых, которые указывают на характерные особенности поля течения и характер «отрыва» потока.

Понятия «линии отрыва», «поверхность отрыва» были рассмотрены в ряде работ [28, 29, 11] и др. Под словами «отрыв» для двумерного пограничного слоя обычно понимают случай, который возникает, когда нулевая линия тока отходит от тела и течение из пограничного слоя проникает во внешний поток. В трехмерном пограничном слое «линию отрыва» в некоторых работах определяли как огибающую предельных линий тока на поверхности тела. При этом предельная линия тока проходит через точку на поверхности тела, в которой напряжение трения обращается в нуль. В других работах (например, [28]) под «поверхностью отрыва» понимают предельную поверхность тока, которая разделяет потоки, приходящие из разных областей. В работе [29] введено понятие необходимого условия «отрыва»:

тю grad р = 0, uegradp>0, (3.66)

где тю—вектор трения на поверхности тела, ие— вектор скорости на внешней границе пограничного слоя, р— давление. Каждое из этих определений «линии отрыва» имеет недостатки, так как реальная картина течения более сложная.

Рассмотрим особенности, которые могут возникнуть в трехмерном вязком течении несжимаемой жидкости около произвольной гладкой поверхности S. Под особыми точками, возникающими на поверхности тела, будем понимать изолированные точки или линии, в которых составляющие вектора трения обращаются в нуль. Особенности могут быть нескольких видов. Ими являются хорошо известные особые точки на поверхности: узел, седло, фокус и др. Особые точки связаны между собой. Предельные линии тока, соединяющие особые точки, подчиняются правилам топологии: ^ Nt— — S^^^- Число узловых точек Nt (узлов, фокусов или тех и других) превышает число седловых точек Sft на две единицы.

Точка торможения (критическая точка) потока является узловой точкой. Если поток «отрывается» от поверхности и особая точка является седловой, то при этом возникает новая разделяющая линия тела или поверхность «отрыва», вдоль которой идут линии тока. Эта поверхность разделяет потоки, приходящие из разных областей. Линии тока, которые проходят через особую точку в «седле» продолжаются до особых точек типа узла, фокуса и др.

Особенность типа «фокус» формируется течением .на стенке из различных областей и, отрываясь, распространяется в поток жидкости как концентрированная вихревая линия (рис.. 3.10). Особые точки на поверхности появляются и взаимодействуют друг с другом: например, фокус появляется вместе с седловой точкой. Комбинации узловой, седловой точек и фокуса приводят к различным формам «отрыва» потока. '

(3.67)(3.67)Характеристический детерминант полной системы уравнений Навье — Стокса вырождается вдоль поверхности тока. Уравнение поверхности тока Щх1, х2, х3) является решением уравнения

(3.67)

(3.67)

и1 —г = 0. dxv

Другими словами, gradQ, направленный по нормали к поверхности Q(x\ х2, Xs) = с, будет перпендикулярен к вектору ; скорости ^(х1, х2, х3). Интегрирова

ние этого уравнения даст картину поведения линий тока, которые проходят через некоторый начальный профиль. Через одну регулярную (нсособую) точку в непрерывном векторном поле проходит только одна траектория. Тип особенностей, число особенностей и связь

рис 310между ними характеризуют

* *течения. «Отрыв» потока

происходит, если в некоторой области накапливаются частицы жидкости и это определяется сходимостью линий тока к предельным линиям или точкам. Единственное решение можно найти в том случае, если профиль нс является характеристическим. Если профиль характеристический, то, отступив на некоторую малую величину и проинтегрировав уравнение линий тока, получим картину, близкую к предельным линиям тока.'

Пусть вектор скорости U имеет составляющие ^ (t=l, 2, 3) вблизи поверхности тела. Составляющие скорости ^ являются функциями координат хг и имеют непрерывные ограниченные производные по всем координатам. Предположим, что в окрестности точки Р (х1 = 0, х2 = 0) функции п1, и2, и3 разложимы в ряд по целым положительным степеням х1, х2, х3 координат.

Вблизи стенки х3=0 имеем (с необходимостью требуем, чтобы Тю = Т20 = 0)

W( 1} = X3 (ТцХ1 + т12х2 + т13х3), п2 = X3 (т^Х1 + т22х2 + т23х3), п3= (х3)2т33.

Из уравнения неразрывности следует соотношение

2Тзз~|-Т11Н-Т22 = 0.

Если не учитывать' влияние нелинейных членов, интегрирование уравнения (3.67) сводится к изучению системы трех уравнений первого порядка

dx1d.v3dx3 ,,

=== d<.

и1и2и3

Эту систему уравнений можно подставить в таком виде: йх/йЕ=Лх, где

х = (х1, х2, х3).х = (х1, х2, х3).Тц т12 Т13

х = (х1, х2, х3).

х = (х1, х2, х3).

^гГ Т22 т23

0. о т33

Теория решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными.коэффициентами хорошо известна. Пусть Хь Х2, Х3— собственные, числа матрицы Л, определяемые характеристическим уравнением |Л—ХЕ | =0— уравнением третьего порядка X3—5Дг+ H-SjX—$з = 0, ГДе 51 = Т11 + Т22 + т3з = Х1 + Х2+Аз = —т33, s2 = A—т^, s3 = = ДтЭз,ГДеД'—ТИТ22—Т12Т22.

Система уравнений dx/d^=Лx неособым линейным преобразованием Т может быть сведена к виду dujdt=Ju, где J = TAT-1—жорданова матрица. Вектор и имеет компоненты u=(w, и, о). Собственные значения матрицы J встречаются в таких комбинациях: I — собственные числа действительны и различны; II— собственные числУ действительны и два совпадают; III — собственные числа действительны и совпадают; IV — два собственных значения комплексные. Матрица в зависимости от поведения собственных значений тЫеет следующую каноническую форму:

Ли.Ли.7 Xj О 0 "ох2 о

Л

и.

Л

и.

1 0 01 х3_

о о

О О '

Ч о 0 Ч_

22 —

Xt о о

о о

Х2 1 о х2

III.

Г х о о

31

0X0

О О X

V32

'X 0 0 "

О X 1О О X

J 33

X 1 О "

О X 1 О О X

IV.

4 ~

^i

О

О

ReX2

О

JmX2

О —JmX2 ReX2

где цифры I—IV — номера матриц, на которые ниже дается ссылка.

Ограничимся перечислением особых точек, которые возникнут в данном случае. Среди этих особенностей выделим те, которые приводят к изменению параметров внешнего течения, или, как говорят, к «отрыву» пограничного слоя. ■

Характеристическое кубическое уравнение может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два комплексных. В зависимости от расположения этих корней на плоскости комплексного переменного х получаются различные случаи. Корни характеристического уравнения связаны соотношением Х14-^2+^з= = т11 + т22 + т33=—т33. Из анализа возможностей получаем такие соотношения (исследование поведения фазовых кривых в каждом конкретном случае не представляет особого труда).

Три собственных числа действительны и отличны. Решение в этом случае имеет вид u. = cv^, v = c^\ т = е3еКз‘. Получаем седловой узел с неустойчивым и устойчивым плоским узлом (рис. 3.11, а, б). Если А>0, т33<0 или А<0, т33>0, то имеем неустойчивый плоский узел, если т33<0, А<0 и т33>0, А>0, то устойчивый плоский узел.

47Л47Л

47Л

47Л

Устойчивый трехмерный узел приведен на рис. 3.11, в (т33>0, 0< Д<2т33). Линия седловых точек показана на рис. 3.11, г, если т33 = 0 и Д<0 или т33 произвольное и Д = 0.

Если собственные значения действительны и два из них совпадают, то решение можно записать в таком виде: a) и — с^, v = c2^, со = с3е^ или б) и = с^х\ и=(с2+ +с30е^, (о = с3ем.

Если три собственные значения действительны и совпадают, то решение записывается в виде

и^с^1, и = с2ем, т = с3еК1;

и = (Ci + c2/+tV2/2)ev,

v = (Сг+СзОе^, (o = c3e^;

и^с^, и= (СгЛСз^е^, to = c3eKt.

Возникающую особенность можно назвать седловой звездой с устойчивой и неустойчивой плоской звездой. Если Д>0, т33<0 или Д<0, т33>0, то имеем неустойчивый случай; если Д>0, т33>0 и Д<0, т33< <0, то устойчивый случай. Другие особенности, представленные на рис. 3.11, е—ж, можно получить для различных случаев: т33>0, Д<0; Д<2т|3 и др. .

Рис. 3.13Рис. 3.13Если два из трех собствен

Рис. 3.13

Рис. 3.13

ных значений комплексны, то в этом случае решение имеет такой вид: и^с^1, г = с2е™2\ ф = 1ш%2(^+^з)« При этом возможен случай седловой спирали с устойчивым и неустойчивым плоским узлом; если Д>0, т3з>0 и Д<0, т33<0 — устойчивый случай; если Д>0, т33<0 и Д<0, т33>0, то неустойчивый случай (рис. 3.11, з). Особенность типа «линии плоских центров» возникает, если т33 = 0, Д>0. В указанном приближении могут возникнуть только приведенные выше особенности (см. рис. 3.11, а—з). Эти случаи физически соответствуют поведению линий тока вблизи особенностей (точки торможения потока; застойные зоны; схождения вихревой ленты; возникновение вихря и др.).

Рассмотрим особенности «отрывного» течения на эллипсоиде с соотношением полуосей 6:6:1 при нулевом угле атаки. Схема течения, полученная на основе обработки результатов визуализации течения, приводится на рис. 3.12. Здесь показано поведение предельных линий тока на поверхности. От особой точки в плоскости

симметрии линии тока направлены в другую особую точку, которая возникает на боковой поверхности. Отметим свертывание вихревых доро'жек, которые отходят от поверхности эллипсоида, образуя два симметрических вихря.

На рис. 3.13 приводится схема течения на эллипсоиде, с соотношением полуосей 6:6:1 под углом атаки 10°. На наветренной стороне линия «отрыва» приближается к концу эллипсоида. Линии тока сходят с поверхности: На подветренной стороне картина тече-‘ ния в пограничном слое усложняется. На боковой поверхности можно выделить два симметрических спиральных вихря (точка С), которые распространяются во внешний поток. Образуется внутренняя застойная зона (точка D). На подветренной стороне эллипсоида в точке А получается особенность типа «устойчивого трехмерного узла», в точке S — седлового узла, в точке С —^едловой спирали, в точке D — линии седловых точек.

Однако не все из перечисленных особенностей приводят к «отрыву» пограничного слоя. «Отрыв» пограничного слоя .произойдет тогда, когда пристеночные линии тока проникнут во внешнее течение. «Отрыв» может носить и локальный характер, т. е. пристеночная линия тока отойдет от тела, а затем произойдет присоединение потока. Частицы вблизи «линии отрыва» останавливаются, и достаточно небольшого поперечного перепада давления, чтобы началось перетекание жидкости вблизи поверхности отрыва.

Таким образом, особенности в пограничном слое, возникающие вблизи стенки, определяются при т = 0 из условия

и* 5^=0, х3-+0. (3.68)

Это условие приводит к «отрыву» потока, если выполнены соотношения

и3>0 или т33>0, х3->0. (3.69)

Из этого определения «отрыва» следует необходимое условие, приведенное в работе [26]. Действительно, если продифференцировать соотношение (3.68) по координате, нормальной к поверхности тела, а затем перейти к пределу при х3-^0, то получим То grad /7=0 (p=Q). Из условий (3.68) следуют особенности, которые возникают в вязких течениях, а условие w3>0 дает возможность отобрать те особенности, которые приводят к изменению течения на внешней границе. При численных расчетах течений в пограничном слое «маршевым» методом решение можно построить вплоть до возникающих особенностей. Так называемая критическая точка — точка торможения потока — является примером одной из возможных особенностей, которая не приводит к «отрыву». «Маршевые» конечно-разностные методы расчета не позволяют автоматически пройти особенности. Поэтому необходимо особое рассмотрение течения вблизи «отрыва» и учет влияния особенностей на течение в целом исходя из полной системы уравнений Навье— Стокса.

Пользуясь формулами, которые получены выше для компонент трения в продольном и поперечном направлениях, можно найти точки на поверхности, в которых Ti и т2 обращаются в нуль, и определить характер возникающей особенности. Линни тока на поверхности* тела можно построить с помощью приведенных выше приближенных формул. Картина течения в реальных потоках, естественно, более сложная. Взаимодействие пограничного слоя и внешнего течения приводит к перераспределению давления на поверхности тела, и поведение течения зависит от наведенного давления.

При обычных предположениях теории пограничного слоя можно показать, что положение «линии отрыва» от числа Re не зависит. Из теории пограничного слоя следует, что при больших числах Re линия тока отходит от поверхности тела по касательной, так как угол «отрыва» ,

lim tgа = u?(V(и1Р + (^2)2 ~ 1 / V^Re.

. Отсюда видно, что пользоваться теорией пограничного слоя вблизи «линии отрыва» следует с осторожностью. В частности, величина скорости; перпендикулярной к поверхности, становится сравнимой с другими величинами скорости. .Аналогично можно рассмотреть особенности, появляющиеся в нестационарных трехмерных течениях вязкой жидкости. Устойчивый или неустойчивый характер особенностей, возможно, связан с явлением перехода ламинарного течения в турбулентный. В этом разделе рассматривается случай сингулярного вырождения (тш = 0). Он аналогичен двумерному случаю, когда только одна из компонент трения обращается в нуль. . .

При изучении особенностей пространственных течений предпринимаются попытки изучения в рамках топологических структур, устойчивости структур, бифуркационных явлений. • .

С предельными линиями тока на поверхности, представляющими векторное поле, можно связать фазовый портрет вектора вязких напряжений. Если отображение одного фазового портрета на другой сохраняет траектории, то фазовые портреты имеют одну и ту же топологическую структуру. Топологические свойства не меняются при отображениях, которые сохраняют траектории. Под топологическими свойствами понимают число и тип особенностей, траектории, соединяющие особые точки. Топологические свойства образуют структуру. Фазовый портрет является структурно устойчивым, если при изменении некоторого параметра (например, числа Рейнольдса) топологическая картина не меняется. Если небольшие возмущения при изменении параметра стремятся к нулю при /-^оо, то течение асимптотически устойчиво. Асимптотическая неустойчивость приводит к бифуркации топологической картины, нарушению симметрии, диссипативным структурам.

В последнее время большое внимание уделяется экспериментальному и теоретическому изучению контроля отрывной зоны, управлению «отрывом» различными способами. Изучается влияние

отсоса и вдува на течение около трехмерных тел. Исследуется влияние вращения, движущихся поверхностей на общую картину течения, проводятся исследования влияния колеблющейся передней кромки на поле течения. Используются асимметрические профили для создания полностью безотрывного ламинарного течения или с локализованным «отрывом» около тел сложной формы под углом атаки.

7. Некоторые примеры течений в пограничном слое

Наиболее простыми задачами теории пространственного пограничного слоя являются задачи, которые сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. К таким случаям относятся течения вблизи точки торможения двоякой кривизны и др. (параметры внешнего потока, геометрия тела и теплофизические свойства газов удовлетворяют определенным условиям).

Частные решения получают с помощью методов отыскания автомодельных решений, симметрических решений, разделения переменных. Полезными являются ме-

X\тоды исследования инвариантно

/_1 ^У—г групповых свойств дифференциаль-

/?. ных УРавнен™ и построения инва-

гЧ^^ риантных решений различного ран-

/га. В этих случаях система уравне-

\^ I /Г н™ в частных производных сводит'/ся к системе уравнений с меньшим

количеством независимых перемен-

Рис. 3.14ных. Если удается свести систему

уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то далее можно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом аналитических численных или приближенно-аналитических методов. Полученные частные решения связаны с исходной системой уравнений, поэтому доказательства существования и единственности решения основаны именно на частных решениях.

Уравнения трехмерного пограничного слоя в несжимаемой жидкости в окрестности точки торможения сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система является также точным решением уравнений Навье—Стокса. Внешний поток предполагается безвихревым и задается в виде [ag, 6ц, — (а+6)£], где g, ц — прямоугольные координаты в плоскости, касательной к точке торможения; £ —координата, вычисляемая по нормали в критической точке. Свойства решения зависят от параметра c = b/a (O^c^l). Предельные значения с = 0 и с=1 соответствуют двумерному и осесимметрическому течениям. Подобные решения существуют и для случая, когда с^ —1. Решения при O^c^l соответствуют течению вблизи точки торможения Р с положительной кривизной (7<>О). Подобные решения при —l^i<5;0 соответ-

ствуют течению вблизи точки Q с отрицательной кривизной (см. рис. 3.14).

Уравнения трехмерного пограничного слоя вблизи точки торможения сводятся к таким уравнениям:

ди . дю . ди п = и, ag ' ал ' ^’

(3.70)

ди , ди , ди 1 др . д®иUk toк V— =— + V ,

иН соН у— =— + v — .

Граничные условия имеют следующий вид:

и=® = У=0 при £=0,

(3.71) м->а|, со->&г) при ^оо.

Будем искать решение в виде и = аУ' (X), оз = Ьт]^' (X),

D = -^.(af + bg),(3.72)

а'*

где \=а\1у1г. После подстановки (3.72) в систему уравнений (3.70) с граничными условиями (3.71) получим

Г+(/+^)Г+1-Г=о,

(3.73) g"'A-<^cg^g"^ck\-g'^=O.

Граничные условия будут

f=g=f'=g, = O при £=0, '(3.74)

f'-И, g'-Л при ^-*1.

Если искать решение в виде u=agf'(X), со = ar\g'(X), у= = — vVtf+g), где X=a'hyVl2, то система уравнений (3.70) с граничными условиями (3.71) сводится к такому виду:

r+(f+g)r+H'2=o,

(3.75) g'"+(f+g)g"+c2-g,2 = 0

с граничными условиями

t=g=V = g'=^ при Х=0,

(3.76) f'->-l, g'^-c при Х->-оо.

При больших значениях X задача линеаризуется и поведение

решения представляется в виде (с#=—1)

1 — /' — Аге-хгьх-м [ 1 + о (х-1)] + S^Ai ^) [ 1 + О (х ^J,

(3.77)

c — g*~ А^2- 2х~^^ч^' [1+0 (х'1)] + Вгх^ ^с- [ 1 + О (х-1)].

Здесь Аь Bi9 Л2, В2 —некоторые постоянные, (1+с),/2х=Х(1+с) — —а—р и а, р — соответственно значения X—/, сХ—g при Х-^оо. Для выделения единственного решения условия (3.71) обычно дополняют требованием, что скорость в пограничном слое приближается к параметрам на внешней границе быстрее, чем другие решения.

Система уравнений (3/73) с граничными условиями (3.74) получается из системы уравнений (3.11) с граничными условиями (3.18), если ввести замену E = f/9 D = gx и проинтегрировать уравнения неразрывности, причем D=Gjc+E,

Применим метод последовательных приближений для интегрирования уравнений (3.73) с граничными условиями (3.74). Зададим нулевое приближение в виде

Е^ = 1-20 (г X);Gw = bw (z0 (сХ) -z_t (cX)),

где (c=l/]/6). Здесь z»^ =—^ fe-^d^, Z-^e^2.'

Тогда величина безразмерного трения в критической точке находится по формулам

Ек=^ (1,0315+0,2337 с—0,1125Ь(0)),

GA = Y6^ (—0,7978с(1—с)+0,2095(1+Зс)Ь(0)—0,142Ь(0)2).

Здесь величины б(0) и Ь(0) вычисляются следующим образом:

6(0)= (0,659+0,25^-0, ЮЗ^^^”1,

Ь <0) = (0,31 +0,698с ± V (0,31 +0,698с) 2+0,24 (с2-с)) /0,295.

Заметим, что для bw получаем два значения. Величина под радикалом для —1<+<:1 строго положительна, т. е. для каждого значения с в данном интервале существуют два различных решения, удовлетворяющих всем требуемым условиям. Одно решение, которое имеет физический смысл, легко выбрать из условия отсутствия вторичных течений в осесимметрическом случае (6(0) = 0). Другое решение можно получить, выбирая знак «плюс» перед радикалом. Указанная неединственность решений уравнений трехмерного пограничного слоя приводит к трудностям, которые проявляются при численных расчетах. Использование асимптотики решения на внешней границе пограничного слоя позволяет выделить единственную ветвь решения. .

Сравнение результатов, полученных численным интегрированием системы уравнений (3.73) с граничными условиями (3.74), с результатами приближенного решения показывает хорошее совпа-

дение компонент трения во всем диапазоне изменения параметра с. Пользуясь значениями функций zmi нетрудно построить профили скорости в продольном, поперечном и нормальном направлениях к стенке.

Рассмотрим полубесконечную пластину с прямолинейной передней кромкой, обтекаемую под нулевым углом атаки или под углом скольжения дозвуковым потоком вязкой жидкости. Выберем криволинейную систему координат на поверхности, как показано на рис. 3.15. Координаты g и ц выбираются на плоскости, причем линия g = 0 совпадает с кромкой плоскости, а координата £ направлена перцендикулярно ей. Косоугольная система координат 1, ц

на поверхности связана с прямоугольной системой координат х, z (см. рис. 3.16) соотношениями

x = g+r) sin 6—d; 2 = t]cos6, у = ^; g = x—tgOz+d; T) = z/cos6, g = y.

Решение задачи об обтекании полубесконечной тонкой пластины потоком вязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя хорошо известно и описывается решением Блазиуса. Если на поверхность пластины поместить препятствие, а это можно сделать различными способами, то течение становится трехмерным. Внешнее течение, которое необходимо для расчета пограничного слоя, в случае цилиндрического или осесимметрического препятствия нахо

дится из теории потенциального плоского или осесимметрического идеального течения, поскольку бесконечно тонкая пластина возмущения в идеальное течение не вносит. Например, в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, пересекающего плоскость, потенциал течения известен: Ф = сх(1 + 1/(х2+г2)). Составляющие скорости в системе координат х, 2, связанной с центром цилиндра,

имеют видих = дФ/дх —симеют видих = дФ/дх —с(л-2 4- z2)2 + z2 — л-2(л-2 + z2)2(л-2 4- z2)2 + z2 — л-2(л-2 + z2)2их = дФ]дг = — сих = дФ]дг = — с2xz(х2 + Z2)2xz(х2 + Z2)

имеют вид

их = дФ/дх —с

имеют вид

их = дФ/дх —с

(л-2 4- z2)2 + z2 — л-2(л-2 + z2)2

(л-2 4- z2)2 + z2 — л-2(л-2 + z2)2

их = дФ]дг = — с

их = дФ]дг = — с

2xz

(х2 + Z2)

2xz

(х2 + Z2)

Составляющие скорости ие, юе в косоугольной системе координат §, т) имеют вид

ие = дф/дх—tg0dO/d2=Mx—tg0uz,■'

to8 = дФ/dz —i— = Uz/cos 9.

cos 9

Рассмотрим уравнение линий тока на внешней границе: ^]ие= — бт]/сое. Интегрируя это уравнение, получим: ц cos 9—(ц cos 6+с) * * [ (£+ц sin 9—й)2+ц2 cos2 9] =0.

Задавая значения параметра с, найдем линии тока на плоскости, пересеченной цилиндром. Метрические коэффициенты в новой системе координат будут такими:

5и = 1, 522=1, 512== sin 9, 5 = cos29;

gu = l/cos29, 512 = 512 = — sin 9/cos2 9, g22 = 1/cos2 9.

Уравнения пространственного пограничного слоя для этой задачи значительно упрощаются: ди . до) , ди п = и*, ^g

ди . ди , ди 1 др , д^и др Л ик соНу — = Н, — = 9;

^ Р д^ ’ д^

дю . дю . дю1 др , д2со

ик сок у— = Н,

^П ^Р ^П ^2

где и, о), у — компоненты скорости вдоль соответственно g, ц и g; р и р — давление и плотность.

На внешней границе пограничного слоя выполняется интеграл Бернулли p/p+t/e2== const и условия отсутствия вихрей:

дх дг ’ дх дг

где иХ1 иг — составляющие скорости на внешней границе пограничного слоя в прямоугольной системе координат х и 2.

Граничные условия для уравнений (3.78) выберем следующими:

w = g) = 0, у = у0 при g=0;

(3.79)

и-^ие, G)-HDe При g->OO.

Рассмотрим локально-автомодельное приближение. Формулы для безразмерных компонент трения в первом локально-автомодельном приближении имеют вид (6 = 0)

EK=V^^^рХ + 0,797У*),G^=0,797M* V^\

где

/ .X ^иехг ^иеРг = — 1фуие дхие дг/ .X ^иехг ^иеРг = — 1фуие дхие дг* у ди*у» дир

/ .X ^иехг ^ие

Рг = — 1ф

уие дхие дг

/ .X ^иехг ^ие

Рг = — 1ф

уие дхие дг

Nx = — т^+Ф —

ие дхие дг

/Их = X (р“ -j + 2 — , ф = ,

у дх дг jzue

Ue = Ux — tg 6u2, toe = — u2l = (0,25P* + 0,409^)^.

cos 6

(^.7^7М*Л= г ^0,233?* + 0,7972V*(^.7^7М*Л= г ^0,233?* + 0,7972V*Рассмотрим линии тока на теле в локально-автомодельном приближении. Уравнение линий тока имеет вид

(^.7^7М*Л

= г

^0,233?* + 0,7972V*

(^.7^7М*Л

= г

^0,233?* + 0,7972V*

dzо) /,

— = пт— = 2Н ф dxу—>о м у ^7,

а граничные условия: х=0, 2 = 2*. Предельную линию тока на теле при х = 0, 2 = е можно построить следующим образом:

dz,.— = lim 2dx2->эdz,.— = lim 2dx2->э+ ф+ ф0,7972И*

dz,.

— = lim 2

dx2->э

dz,.

— = lim 2

dx2->э

+ ф

+ ф

0,233Р* + 0,79782V*

Решая уравнение при .различных значениях г и строя картину предельных линий тока, можно определить положение линии отрыва пограничного слоя. Можно поступить и иначе. Найдем на линии растекания (2 = 0) точку, в которой величина безразмерного трения Е/ обращается в нуль. Предельная линия тока, проходящая через, точку х = х*, в которой Е/ = 0, определяется как решение дифференциального уравнения бх/б2=Пт(£х72(0х/+ф£х/) с условиями 2 = ег(0<8*С 1), х = х*—81, где х* — координата, в которой Ех = 0.

Рис. 3.17Рис. 3.17

Рис. 3.17

Рис. 3.17

Результаты расчетов по этим формулам даны на рис. 3.17. Линии тока на плоскости приведены для d = 3 и 4. Сплошными линиями обозначены линии тока на теле, пунктиром — предельная линия тока.

Трехмерная особенность согласно приведенной классификации (см. разд. 7, гл. III) будет типа седлового узла с устойчивым плоским узлом.

Рассмотрим ту же задачу с помощью предложенного выше :метода последовательных приближений с использованием осесимметрической аналогии [22]. В случае кругового цилиндра в качестве координаты g выбираем потенциал внешнего идеального течения Ф:

= ф = [/х Г1 + —-Ь—) +Ф0, (U-uA

V л12 + г2 /1

где х, 2 —декартовы координаты на плоскости, отнесенные к радиусу цилиндра. Поскольку невязкое течение в данной задаче двумерное, в качестве координаты ¥ можем взять функцию тока .•

Т] = т = иг (1 .

\Л'2 + Z2 /

Тогда г=1, §-и=^22 = 1 IUe2..

В координатах х, г уравнение передней кромки пластины имеет вид x+d=ztg0. Напишем это уравнение в координатах Ф, V: '

Ф = U [(z tg 9 — d) [ Ц!^ 4-Ф0,'

LV (ztg0-d)2+zVj 0

= Uz (1!) .

\(z tg 0 — d2) + z2 /

Исключая отсюда 2, можем найти £ = £о(л)- Продольная и поперечная составляющие скорости и трение на пластине находятся по формулам (3.59), в которых г надо положить равным единице.

Рассмотрим задачу на линии растекания 2=0. Для безразмерного трения получаем выражение

(3.80)

Давление в пограничном слое вдоль линии растекания по мере приближения к цилиндру будет возрастать. Поэтому поток в пограничном слое тормозится и возникает «отрыв» пограничного слоя. Найдем точку «отрыва» на линии растекания, т. е. точку, в дие которой трение обращается в нуль. Так как dx = dg/we, =

1 д“е

=,то уравнение для координаты х — положение точки «от- ие дх

рыва» — принимает вид

у8/Л-Ы р /1 ч4/Л+1

—^757-; I 1 — Д) dx+ 0,1412 = 0.

Vx2 - i)4/^3 J V Vx2 )

Заметим, что точка «отрыва» на линии растекания зависит только от d и не зависит от угла скольжения 0.

Зависимость положения точки отрыва на линии растекания от величины d — расстояния оси цилиндра до передней кромки пластины—выраженная формулой (3.80), представлена на рис. 3.18. Положение точки «отрыва» отсчитывается от оси цилиндра. Здесь же даны экспериментальные данные и данные численных расчетов [11] (штрихпунктиром обозначен настоящий расчет, круглыми точками — экспериментальные данные, крестиками — результаты конечно-разностных расчетов). Видно,* что и экспериментальные точки, и точки конечно-разностного решения хорошо ложатся на расчетную кривую. На этом же рисунке показана зависимость точки отрыва на линии растекания от d для локально-автомодельного решения (пунктир). Форма отрыва (0 = 0) перед цилиндром хорошо совпадает с дугой окружности, центр которой лежит в точке пересечения оси цилиндра с плоскостью пластины.

/2. z Компоненты трения^

^Г^1г' полученные по прибли-

/женным формулам, срав-

\\\\\\\\\\^Х‘ нивались при У^е сколь/. . жения, равном нулю, и

величине d=4 с резуль- v4 4 4 4 4 4 I 4 4 4 4 \ татами численных расче-

^/- И М И И И Iтов и с локально-автомо-

х///^^/4/414 дельным решением. Ре- Х ', , I it t % I । ♦зультаты первого при-

X.1111ближения довольно хо-

\ х ^ ^ ^ / ^ ^ *рошо совпадают с резуль-

х^^хХ/44*^^^^татами численных расче-

”2 ”хх^^^!^ * 4 4' 4тов и экспериментальны-

74 4 4 *. 4ми Данными. При удале-

, l 11 к к к к к к нии от оси симметрии

кт 4ттттТ*тт*л пространственность те- 4444444444444чения становится несу-

4444444444444щественной и характери

стики исследуемого тече- Рис321ния стремятся к значени-

*‘ям, которые определяют

ся решением Блазиуса. На рис. 3.19 приводится сравнение безразмерных величин продольной и поперечной компонент трения, полученных в «осесимметрической» аналогии, с результатами конечно-разностных расчетов и в локально-автомодельном приближении. На рис. 3.20 приводится безразмерная компонента продольной компоненты трения (штрихпунктиром обозначен настоящий расчет, сплошной линией — результаты конечно-разностных расчетов, пунктиром — локально-автомодельное приближение). На рис. 3.21 приведена картина поведения «предельных» линий тока на теле (d=3, 6=0)» Вдоль линий тока внешнего течения построен tg ^=Gx /£/, где величины Gx и Ex задаются формулами (3.59). Как следует из результатов, предложенный метод позволяет построить картину «предельных» линий тока всюду на поверхности пластины. Картина течения в пограничном слое полностью отличается от картины внешнего идеального течения. Нетрудно заметить «линию отрыва», которая в данном случае является огибающей «предельных» линий тока.

На рис. 3.22 приведена картина поведения предельных линий тока на теле при наличии угла скольжения (d = 3, 6 = 45°). Точка «отрыва» на линии растекания не зависит от угла скольжения, но в каждой из плоскостей картина поведения линий тока несимметрична. За «линией отрыва» можно заметить образовавшийся вихрь. Предлагаемый метод позволяет найти картину поведения предельных линий тока всюду на теле, в частности за «линией отрыва». Результаты, полученные за линией отрыва, следует рассматривать с известной осторожностью, поскольку положения теории погранич-

/ / / / / // / / / / /Рис. 3.22Рис. 3.22И х х х х х X0 Н Шt имиИ х х х х х X0 Н Шt ими4 I* X X4 I* X X# ^ / М И/ / / / / /# ^ / М И/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

Рис. 3.22

Рис. 3.22

И х х х х х X

0 Н Ш

t ими

И х х х х х X

0 Н Ш

t ими

4 I

* X X

4 I

* X X

# ^ / М И/ / / / / /

# ^ / М И/ / / / / /

ного слоя и предположение о малости вторичного течения вблизи линии отрыва не выполняются. При подходе к линии пересечения поверхности тела с плоскостью пластины можно заметить, что предельные линии тока направлены внутрь цилиндра. Это означает, что в окрестности линии пересечения поверхностей не выполняется условие непротекания жидкости через поверхность.

В строгой постановке задача об обтекании вязкой жидкостью комбинации тела вращения и пластины является довольно сложной. Поэтому приближенный подход дает возможность исследовать отдельные аспекты этой задачи.

Внешнее потенциальное течение для эллипсоида известно. Рассмотрим эллипсоид

(у1) 2М2+ (у2) W+ (у3) 2/с2 = 1, (3.81)

который движется в направлении оси х со скоростью U.

Распределение давления, значения скоростей на внешней границе трехосного эллипсоида под углом атаки зависят от соотношения полуосей эллипсоида, от угла атаки. Меняя соотношение полуосей эллипсоида, можно рассчитать пограничный слой на телах, которые близки по своей форме к крылу (а<<Ь<Сс), цилиндру со скольжением (a<Cb<Cc), затупленному цилиндру под углом атаки (Ь = с<Ся). Тривиальный случай, когда a = b = c = R, соответствует

обтеканию сферы. Если угол атаки у = 0 (а^Ь^с), то у эллипсоида' имеются две оси симметрии.

Пусть вектор скорости внешнего течения образует с осями эллипсоида у1, у2 углы у, 6. Потенциал скорости на поверхности задан следующим образом:

12у cos у2 - Ло12у cos у2 - Ло9\+ у2 cos 6) ,2-B0J9\+ у2 cos 6) ,2-B0J(cos 6 = sin у),(cos 6 = sin у),ф = Vooф = Voodu(a2 + “) К (a2 + u) (b2 + u) (c2 + u) ’du(a2 + “) К (a2 + u) (b2 + u) (c2 + u) ’(3.82)(3.82)

12

у cos у

2 - Ло

12

у cos у

2 - Ло

9\

+ у2 cos 6) ,

2-B0J

9\

+ у2 cos 6) ,

2-B0J

(cos 6 = sin у),

(cos 6 = sin у),

ф = Voo

ф = Voo

du

(a2 + “) К (a2 + u) (b2 + u) (c2 + u) ’

du

(a2 + “) К (a2 + u) (b2 + u) (c2 + u) ’

(3.82)

(3.82)

Cdu

Co = abcCo = abcJ (b2 + и) V (a2 + u) <b2 + a) (с2 + a) о

Co = abc

Co = abc

Cdu

J (с2 + и) ^ (a2 + и) (b2 + u) (c2 + u) о

Если a>b = c, то величины Ло и Bo имеют следующий вид:

262_ ab2 ln a — fa2 - b2

a2 — b2 (a2 — b2^^ a + a2 — b2

B0 = C0 = а^ + b^ + „.^з/, In —^== 2 (a2 + b2)/2 a + Ka2 — »2

Если a<.b = c, то интегралы вычисляются в явном виде:

Л о = 2]/1 —е2— (е/У 1 —е2—аге sin е)/е3,

В0 = С0 = У1—е2(—eyi—е2+агс sine)/e3,

где

е=Ус2—а2/с.

Зададим уравнение поверхности эллипсоида в таком виде:

у3) =^- cos | — -^- sin | cos т],

У;а) - - ^ COS £ + ^ sin I COST],(3.83)

yf3) = с sin ^ sin i], (У1')2 , (У2)2 , (У3)2 L

а2 Ь2 с2

Если a = b = c = R, то преобразование соответствует повороту вокруг оси у3 на угол у, где а, Ь, с — главные полуоси эллипсоида, а

р = 2uoo cos у/(2 — Ло), q = 2м.» cos 6/(2 — В^,

I = V а1рй + ь^.

Вычислим метрические коэффициенты и составляющие вектора скорости

«и = (Yi — Y2) sin2 £ + 72 + 2^4 sin £ cos 5 cos n.

a22 = sin2Easin'21] +vlcos2 nJ,

a12 = sin g sin я [(73 — 7») cos g cos t] — 74 sin E],(3.84)

Y = Ya cos21] + уз sin2 t], yi — (a‘p2 + biq2')H2,

-y2 = a2b2 (p2 + q^/l2, y| = c2, 7'4 = ^ (b2 — a2),

U= = l^Wi, Pq> = 1/^^ .

Решение задачи о течении в трехмерном пограничном слое в локально-автомодельном приближении с учетом малости вторичного течения было приведено выше. Составляющие величин трения на поверхности записываются в виде простых формул

clf V^ - /6 (0,2337^ + 0,797^*) — Ко,

с^ VRe = 0,7978 У 6 М^ + с17 У Re tg у,

где величина б определяется из соотношения 6/2 = —О,282Ко+ + (0,0795У2+0,25Л*+0/409Л^*) /2. Здесь Re—местное число Рейнольдса (Re = ue£/v), Уо —параметр вдува или отсоса, величины Р/, ^1*, ТИ/— известные функции геометрии тела и параметров внешнего потока, tgy —угол расхождения между линиями тока на теле и на внешней границе пограничного слоя.

Так как внешнее течение и геометрия тела известны, то нетрудно найти величины Р/, Ni\ М^ по приведенным формулам и определить составляющие трения, профили скорости, толщины вытеснения и потери импульса, расхождение линий тока и т. п. Таким образом, можно построить качественную картину течения около произвольного эллипсоида под произвольным углом атаки в указанном приближении.

Рассмотрим некоторые результаты расчетов пространственного ламинарного пограничного слоя, возникающего при обтекании потоком несжимаемой жидкости эллипсоидов под углом атаки. Ограничимся рассмотрением эллипсоидов вращения и трехосных эллипсоидов под углом атаки. Следует заметить, что физическая картина течения в пограничном слое около эллипсоидов под углом атаки, как показывают эксперименты, довольно сложная. При изменении угла атаки режим течения около эллипсоидов меняется. При нулевом угле атаки существует замкнутая область возвратного течения. При небольших углах атаки течение вблизи зоны «отрыва» неустойчиво. По мере увеличения угла атаки происходит изменение картины течения. Конечно-разностные методы позволяют построить картину вплоть до зоны «отрыва» [16, 32—33]. Полная картина течения может быть исследована на основе полных уравнений

Навье—Стокса, хотя основные моменты и трудности охватываются уравнениями погранаичного слоя.

Ниже рассматриваются результаты численных расчетов и качественное поведение «линий отрыва» для эллипсоидов вращения при различных углах атаки. На рис. 3.23—3.26 приведены данные расчета пространственного ламинарного пограничного слоя на эллипсоиде вращения с соотношением полуосей 2:1:1 под углом атаки а=15°.

На рис. 3.23 приведен эллипсоид вращения под углом атаки 15° с нанесенной на поверхность координатной сеткой (вид сбоку, в плоскости XY). Решение получено во всей области вплоть до линий «отрыва», которая проходит через отрезки координатных линий, обведенных жирной линией. На рис. 3.24 приведены значения функции Е = и!ие в зависимости от X при различных £ в плоскостях г| = 0, л/2, л. Пограничный слой является обычным по поведению профиля продольной составляющей скорости, составляющей трения. На рис. 3.25 приведены профили G — поперечной составляющей

скорости вдоль координаты X —толщины пограничного слоя в различных экваториальных сечениях в фиксированных меридиональных плоскостях (т] = 0, л/2). На подветренной стороне (т] = л) эллипсоида решение 0 = 0. По мере приближения к «линии отрыва» в пространственном пограничном слое возникает s-образный профиль скорости. Величина Ех, пропорциональная касательной величине трения на стенке, при фиксированных значениях ц (ц = 0, л/2, л) приведена на рис. 3.26. Максимальное значение величины Ех наблюдается на подветренной стороне эллипсоида в той области, где изменение продольной кривизны наибольшее. На подветренной стороне эллипсоида величина Ех падает быстрее, чем на наветренной стороне. «Отрыв» на подветренной стороне наступает при меньшем значении g. Посредством экстраполяции можно найти значение продольной координаты, при котором наступает «отрыв», если известно асимптотическое поведение Ех вблизи «отрыва».

По мере увеличения угла атаки величина поперечной составляющей скорости растет. Значение величины, соответствующей поперечной компоненте скорости, зависит от отношения радиусов главных кривизн и, вообще говоря, сильно возрастает, если поперечная кривизна намного меньше продольной. При больших углах атаки (а = 30°) профиль скорости на наветренной стороне меняется сравнительно мало, вплоть до тех значений продольной координаты, при которых наступает явление «отрыва». На подветренной стороне эллипсоида изменение более заметно, причем оно особенно быстро происходит вблизи «линии отрыва».

Если рассматривать профили скорости для фиксированного меридиана (т] = л/2), то вблизи «линии отрыва» профиль поперечной скорости имеет точку перегиба и возникает течение, направленное

вдоль «линии отрыва». Линии тока огибают «линию отрыва», которая непроницаема для жидкости, текущей в пограничном слое. Линии тока в пограничном слое разворачиваются внутри некоторого угла, который связан с линией тока внешнего течения и предельной линией тока на теле. По мере подхода к «линии отрыва» этот угол будет увеличиваться и достигать предельного значения. Огибающая предельных линий тока на теле проходит через особые точки решения уравнений пограничного слоя в плоскостях симметрии, в которых двумерный критерий отрыва выполняется.

Если рассмотреть поведение профиля поперечной компоненты скорости вдоль фиксированной плоскости £=£* и различных т], то

нетрудно заметить, что течение в верхней части эллипсоида направлено в сторону возрастания поперечной координаты, а в нижней — в обратную. Существует линия на поверхности эллипсоида, вдоль которой перетекание жидкости из верхней части эллипсоида в нижнюю отсутствует. Как показывают результаты численных исследований,- развитие

«отрыва» происходит в сравнительно небольшой области, размеры которой порядка основного* расчетного шага; положение «линии отрыва» можно уточнить, сгущая расчетную сетку в области предполагаемого «отрыва».

Поскольку внешнее давление считается известным, нетрудно найти направление изменения поперечного градиента давления. На рис. 3.27 приведены линии на поверхности эллипсоида (вид сбоку в плоскости XY), для которых величина поперечного градиента давления меняет знак. Эти линии приведены при различных углах атаки: а=15, 30, 45, 60, 90°. При а = 0 имеем др1дтр=0. При увеличении угла атаки критическая точка сдвигается по поверхности эллипсоида в плоскости симметрии, а область, в которой поперечный градиент давления меняет знак, увеличивается. При угле атаки а=15° производная др)дк\ обращается в нуль в плоскостях симметрии и вдоль линии Па1\ при угле атаки а = 30° такой линией будет линия ШЫ, при угле 45° — IV сЦ при угле атаки 60° — Vdl. При расчете эллипсоида с соотношением полуосей 2:1:1 под углом атаки 90° наблюдается та же картина течения, что и при расчете эллипсоида с соотношением сторон 1:2:1 под углом атаки а = 0°. В этом случае будет две плоскости симметрими и промежуточная линия, на которой dpfd^ обращается в нуль, совпадает с новой плоскостью симметрии. При небольшом угле атаки (до а=15°) численный расчет можно вести от наветренной стороны эллипсоида до подветренной стороны «насквозь», поскольку промежуточная линия примыкает близко к плоскости симметрии. При большом угле атаки, когда эта область заметно увеличивается, численный расчет необходимо вести, учитывая перетекание жидкости в пограничном

Рис. 3.28Рис. 3.28

Рис. 3.28

Рис. 3.28

слое и наблюдая за поведением линий тока внутри пограничного5 слоя независимо от каждой из линий растекания, используя решение, полученное, например, в области ШЫ для построения решения .во всей области. Разностная схема должна следить за направлением линий тока. Сетка на поверхности строится последовательно во всей области подобно тому, как решается методом характеристик, смешанная задача для гиперболических уравнений.

При расчете пространственного пограничного слоя в плоскости симметрии эллипсоида вблизи «отрыва» можно наблюдать особенность: первые производные от продольной составляющей скорости по поперечной координате терпят разрыв, т. е. появляются вязкие- силы, «выталкивающие» жидкость или, наоборот, «всасывающие» ее в пограничный слой.

В работе [24] приводятся теоретические и экспериментальные- результаты расчета течения около эллипсоида с соотношением полуосей 6:3:1 под различными углами атаки. Теоретический метод расчета состоял в том, что уравнения трехмерного пограничного течения в предположении малости вторичного течения сводились к двумерным уравнениям. Затем применялся приближенный метод, расчета, предложенный К. Польгаузеном. Этот метод дал положение точки возникновения возвратного течения (5^/^^|£=о = О). Без- „. d2 dU„

размерный параметр Л =, возникающим при таком подхо-

v дс,

де в случае выполнения условия -^= 0, равен Л = —12.

Изменение предельных линий тока для эллипсоида с соотношением полуосей 6:3:1 при различных углах атаки дано на рис. 3.28. Если угол атаки равен нулю (а = 0), то существуют две плоскости’ симметрии (др/дт) = 0). Линия максимальной внешней скорости совпадает с экватором (dp/d£ = dpM] = 0). Других линий (др1д^) = = 0 на поверхности эллипсоида больше не имеется. Пересечение линий (др/д^)=О и Л= —12 позволяет найти четыре особые точки на поверхности, в которых вектор трения обращается в нуль (тю = = 0). Особенности в двух точках (т = 0), расположенных на большем меридиане, являются особенностью типа узловой точки (сте-

:кание потока). Для двух точек на меньшем меридиане особенность является типа седловой точки (растекание потока).

При увеличении угла атаки поведение линий др/д£ = 0, др,дт^ = = 0, Л= —12 развивается способом, показанным на рис. 3.28. Можно заметить, что точки стекания потока, расположенные при а=0 в плоскости большего сечения, переходят на боковую внешнюю сторону эллипсоида. При некотором критическом угле атаки (а ^9°) на наветренной стороне остается одна особая точка, в которой т = = 0, особенность типа узловой точки, а на подветренной стороне возникает особенность типа седловой точки. Поэтому при изменении угла атаки происходит смена режимов течения. На рис. 3.28, г показано расположение предельных линий тока на эллипсоиде с соотношением полуосей 6:3:1 при углах атаки, больших критического (а ^9°). Положение линий тока напоминает положение их на эллипсоиде вращения под углом атаки.

На наветренной стороне характер течения остается неизменным по мере увеличения угла атаки. Имеется одна особая точка — точка пересечения линии Л = —12 и линии др1дт\ = 0. Эта точка располагается в плоскости симметрии и является особенностью типа седловой точки (рис. 3.28, г).

Таким образом, характер течения в пограничном слое меняется при изменении угла атаки. Возможны несколько режимов течения, юдин из этих режимов, например, проявляется при малых углах атаки, а другой — при больших. Существует критический угол атаки. Экспериментальная проверка подтверждает существование режимов течения. Один из режимов, как показывает эксперимент, является неустойчивым и несимметрическим и соответствует небольшим углам атаки. В то же время другой, более устойчивый и симметрический, устанавливается при углах атаки, превышающих критический угол. .

Распределение давления на поверхности тела, полученное из потенциального обтекания на эллипсоиде с соотношением полуосей 4.3: 1 : 1 под углом атаки 30°, приведено на рис. 3.29 [25]. Здесь величина ср = (р—р^/ри^2. Отметим, что в продольном направлении на наветренной стороне имеется благоприятный градиент давления и подобный неблагоприятный градиент давления — на подветренной стороне. Если двигаться с наветренной стороны на подветренную, то благоприятный градиент давления находится приблизительно в передней части половины эллипсоида, а неблагоприятный — в оставшейся части эллипсоида. Пограничный слой формируется под влиянием поля давления. На наветренной части линии тока внешнего течения расходятся, и это приводит к расхо-. димости предельных линий тока на поверхности. На наветренной части градиент давления образует сравнительно тонкий пограничный слой, вторичные течения малы. На подветренной части неблагоприятный градиент давления приводит к замедлению течения в пограничном слое, к увеличению толщины пограничного слоя с последующим «отрывом» потока. Частицы жидкости, двигаясь вдоль

Рис. 3.29

предельных линий тока на поверхности, после прохождения линии? минимального давления попадают в область неблагоприятного градиента и подтормаживаются. Линии тока на поверхности разворачиваются по отношению к линиям тока внешнего течения таким образом, что течение жидкости становится сходящимся к некоторому предельному положению, толщина пограничного слоя растет и поток отрывается от поверхности. Эта «предельная» поверхность тока образуется линиями тока, приходящими с разных сторон.

Ниже приведены результаты экспериментальных исследований' около эллипсоида с соотношением полуосей 4.3: 1 : 1 при числе Рейнольдса, вычисленном по длине эллипсоида и равном Re = 8*10\ При таких числах Рейнольдса пограничный слой является ламинарным всюду на поверхности.

При нулевом угле атаки (а = 0°) течение является осесимметрическим. «Отрыв» соответствует приблизительно величине x]L^ =0,8, и течение имеет обычные свойства осесимметрических течений—скорость поперечного течения равна нулю. На рис. 3.30 по казаны предельные линии тока на эллипсоиде под углом атаки а = = 5°. Приведены три вида: а — сверху (с подветренной стороны),, b — сбоку и с — снизу (с наветренной стороны). Как видно из рисунка, точка S2 является особой седловой точкой, которая находится на подветренной стороне в плоскости симметрии и располагается при значении величины л7£ = 0,84, т. с. немного дальше точки: «отрыва» по сравнению с осесимметрическим случаем. Линии тока расходятся от особой седловой точки S2. На наветренной стороне линии тока вначале сходятся и затем расходятся (рис. 3.30, в). Линия «отрыва» показана пунктиром и разделяет течение от передней критической точки Л, от которой развивается пограничный слой, и течение от задней критической точки В. В задней части эллипсоида образуется замкнутая «поверхность» отрыва. Так как

течение от седловых точек St и S2 расходится и растекание происходит вдоль замкнутой линии «отрыва», то должна возникнуть особая точка типа узла, к которой течение сходится. Таким образом, вместе с особой узловой точкой Nt\ симметрично расположенной с другой стороны эллипсоида, на поверхности имеются четыре узловые точки (А, В, Л\ и ^1*) и две седловые точки (St и S2). Это удовлетворяет правилам топологии, что число узловых точек должно превышать число седловых точек на два и более (М—5^2).

Результаты экспериментальных исследований течения в пограничном слое при а=10° приведены в виде предельных линий тока на поверхности (рис. 3.31). Увеличение угла наклона приводит к тому, что линии тока расходятся от наветренной линии симметрии сильнее. На наветренной стороне можно заметить расходящиеся линии тока при значении величины x/L^0,45. Линии тока, приходящие с наветренной и подветренной части, встречаются. Линия на поверхности тела, вдоль которой происходит встреча потоков, приходящих с разных сторон, в некоторых работах называется линией «открытого» отрыва. Пограничный слой свертывается в поперечный вихрь вдоль этой линии. Течение в этой области является неустойчивым, и из экспериментальных данных трудно уточнить начало возникновения вихревой зоны, ее относительные размеры и интенсивность. Узловая точка Л\ (и симметрическая точка Nt* с другой стороны эллипсоида) образуется точно так же, как и в предыдущем случае (а = 5°). Хотя из экспериментальных данных это не- очевргдно, на рис. 3.31, б схематично показано, что узловая точка совпадает с пересечением линий открытого и замкнутого «отрыва».

Тогда в этом случае обработка полученных результатов визуализации течений в пограничном слое показывает появление новых линий «стекания» и «растекания», «отрыва» и «присоединения потока». На рис. 3.32, б приведены три такие линии на поверхности: нижняя AN^ соответствует линии «стекания», верхняя ВЫ^ — ли-

нии «стекания»; между ними появляется линия «растекания» CS3. Также показано схематично, что линии «стекания» приходят в особые узловые точки Nv и N\ в которых начинается отрыв замкнутого типа, и появляется особая точка S3 типа седла.

В данном случае на поверхности тела имеются 6 узловых и четыре седловых точек. При увеличении угла атаки область возвратного течения растет и проникает на большие расстояния от подветренной части. Структура течения в пограничном слое показана при угле атаки с% = 30° на рис. 3.32.

Эти закономерности наблюдаются при числе Рейнольдса, при котором течение является ламинарным. При увеличении числа Рейнольдса до чисел Re^2,5-105 — течение ламинарное, а при Re=7- • 105 — турбулентное. При турбулентном режиме общие закономерности течения в пограничном слое сохраняются. В осесимметриче-

ском случае точка «отрыва» сдвигается до xJL = 0, 95, т. с. «отрыв» сдвигается вниз по направлению потока в сравнении с ламинарным случаем (xJL = 0,80y При больших углах атаки (а^20°, 40°) качественная картина для ламинарного и турбулентного случаев также похожи. При небольших углах атаки численные методы расчета пограничного слоя дают результаты, близкие к результатам эксперимента. При больших углах атаки картина течения стано-

Рис 333вится сложнее и характер те* 'чения можно предсказать с по

мощью численных методов только на наветренной стороне.

Различие между результатами численных исследований и экспериментом можно объяснить, в частности, тем, что используется распределение давления, взятое из потенциального течения. На подветренной стороне «отрыв» потока приводит к изменению давления. Поэтому реальное распределение давления будет другим.

На рис. 3.33 приведена качественная картина течения на эллипсоиде с соотношением полуосей 5:1:1 при Re = 7,2-106. В этом случае можно наблюдать зону перехода течения из ламинарного режима в турбулентный, «отрыв» потока при изменении угла атаки: а) а = 0, б) а = 2,5, в) ос = 5°, г) а= 10°, д) а = 30°.

На рисунке показаны зоны: / — ламинарного течения, 2 — перехода, 3 — турбулентного течения, 4 — «отрыва».

Дальнейший подход заключается, вероятно, в рассмотрении в пространственной постановке полной системы уравнений Навье— Стокса.

Литература

Дородницын А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики.— В кн.: Тр. III Всесоюз. мат. съезда. М.: Изд- во АН СССР, 1958, т. 3, с. 447—453.

Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253 С.

Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 391 с.

Рождественский Б. Л., Левитан Ю. Л., Моисеенко Б. Д. и др. О методах численного моделирования турбулентных течений несжимаемой вязкой жидкости: Препр. Ин-та приклад, математики. М., 1979, № 14, 31 с.

Христианович С. А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981.

Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 534 с.

Годунов С. К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Новосибирск: НГУ, 1962. 264 с.

Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 519 с.

Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с. ■

Струминский В. В. Общая теория пространственного пограничного слоя на произвольной поверхности. М., 1956. 16 с. (Тр. ЦАРИ; Вып. 693).

Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М.: Наука, 1977. 223 с.

Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.

Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое.— В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: ВЦ АН СССР, 1964, с. 309—325.

Raetz G., Der I. Solution of general three-dimensional laminar boundary layers problems by an exact numerical method. IAS Paper, 1962, N 62—70, p. 16.

Шевелев Ю. Д. Разностные методы расчета пространственного ламинарного пограничного слоя.— В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамики. М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 1, с. 100—195.

Шевелев Ю. Д. Численный расчет пространственного пограничного слоя в несжимаемой жидкости.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1966, № 5, с. 112—117.

Введенская Н. Д. О трехмерном ламинарном пограничном слое на затупленном теле.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1966, № 5, с. 36—40.

Шевелев Ю. Д. О пространственном пограничном слое в несжимаемой жидкости.— В кн.: Тр. Всесоюз. семинара по численным методам механики вязкой жидкости (1968). Новосибирск. Наука, 1969, с. 245—255.

Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 399 с.

Тирский Г. А., Шевелев Ю. Д. О методе последовательных приближений для задач несжимаемого ламинарного пограничного слоя (локально-автомодельный случай).— ПММ, 1973, № 6, с. 974—984.

Тирский Г. А., Ковач Э. А. Применение метода последовательных приближений к интегрированию уравнений пограничного слоя.— ДАН СССР, 1970, № 1, с. 61—64.

Брыкина И. Г., Шевелев Ю. Д. Приближенное решение задачи о трехмерном ламинарном пограничном слое в несжимаемой жидкости.— ПМТФ, 1974, № 2, с. 50—60.

Maskell Е. С. Flow Separation in Three Dimensions.— RAE, 2265, 1955, p. 37.

Eichelbrenner E. Decollement laminaire en troits dimensions sur un obstacle fini — ONERA, Publ. N 89, 1957, p. 23.

Han T., Ratel V. Flow separation on a spheroid at incidence.— J. Fluid Meeh., vol. 92, p 643—657.

Сычев В. В. О ламинарном отрыве.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1972, № 3, с. 47—59.

Нейланд В. Д. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке.—Изв. АН СССР. МЖГ, 1971, № 3, с. 19—25.

Авдуевский В. С., Медведев К. И. Отрыв трехмерного пограничного слоя.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1967, № 1, с. 25—33.

Бам-Зеликович. О необходимом условии отрыва трехмерного пограничного слоя.—Изв. АН СССР.МЖГ, 1970, № 2, с. 109—113.

Зубцов А. В. Расчет трехмерного пограничного слоя при двумерном потенциальном потоке на его внешней границе. М., 1969. 150 с. (Тр. ЦАГИ; вып. 1125).

Cebeci, Keller Н. Separating Boundary-Layer flow Calculations. Journal of Computational Physics, 1979, N 31, p. 363—378.

Blottner F., Ellis M. Finite-difference solution of the Incompressible ThreeDimensional Boundary Layer Equations for a Blunt Body, Computers and Fluids, 1973, vol. 1, p. 133—158.

IFan^ К. C. Boundary Layer over a Blunt Body of Low Incidence with circum- ferentoal uverseo flow.— J. Fluid. Meeh., 1975, vol. 72, N 1, p. 49—65.

Meier H. V., Kreplin N. P. Experimental Investigation of the Transition and Separation Phenomena on a Body of Revolution. Proc. 2th Symp. on Turbulent Shear Flows, London, 1979, p. 17—25.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

Пространственное сверхзвуковое обтекание теп идеальным газом

В этой главе рассматривается задача об обтекании затупленных тел равномерным сверхзвуковым потоком газа. В случае стационарного течения можно выделить три различные области: однородный поток до отошедшей ударной волны, дозвуковое течение после ударной волны и сверхзвуковую область между телом и ударной волной. Возникающее течение математически описывается нелинейной системой уравнений в частных производных. В этом течении возможно появление неизвестных заранее границ, таких, как ударные волны, волны разрежения и сжатия, локальные дозвуковые зоны, контактные поверхности разрыва. Течение имеет различные физические и математические свойства. В разных областях уравнения движения меняют свои свойства. В дозвуковой области уравнения являются уравнениями эллиптического типа (Л1<1), а в сверхзвуковой — гиперболического (Л1>1). Переходная область является трансзвуковой (Л1^1).

Для решения задач о сверхзвуковом обтекании применяются следующие методы: интегральных соотношений, прямых характеристик, а также конечно-разностные методы. Обзор работ, посвященный этим вопросам, приведен в работе [8]. Метод интегральных соотношений, предложенный А. А. Дородницыным и О. М. Белоцерковским, положил начало применению ЭВМ для расчета течений с отошедшей ударной волной. С помощью этого метода решены. многие задачи, в том числе и пространственные. Применение метода характеристик к пространственным задачам является довольно трудоемким. Поэтому количество работ с использованием этого метода значительно уменьшилось. Появились так называемые полухарактеристические и сеточно-характеристические методы, основанные на двумерном методе характеристик и использующие разностные аппроксимации [1].

Широкое распространение для решения трехмерных задач получили конечно-разностные схемы [2—7]. При расчете такого рода задач применяются два способа. Один из них связан с явным выделением всех скачков. Этот метод позволяет предсказать положение, интенсивность разрывов, характер их взаимодействия. Для вычисления величин за скачком используются точные аналитические соотношения. В области непрерывного изменения величин используются разностные схемы. Второй способ —метод «сквозного» расчета. В этом случае разрывы нс выделяются, а находятся в процессе вычислений'и «размазываются» на несколько узлов сетки.

Применение консервативной формы записи позволяет при переходе к разностному аналогу сохранить свойства консервативных величин, т. с. законы сохранения массы, количества движения, энергии будут локально выполнены. В этом методе расчета иногда удобно выделить внешнюю ударную волну и рассмотреть ее как поверхность разрыва, а внутренние скачки рассчитывать не выделяя.

При расчете течений около затупленных тел задача разделяется, как правило, на две задачи: расчет дозвуковой части течения и расчет сверхзвукового потока.

Решение стационарной задачи обтекания можно получить с помощью метода установления, который довольно удачно применяется для расчета дозвуковых областей. Решение стационарной задачи ищется как предельное решение нестационарной задачи при t-^oo. Математическая задача при этом упрощается, несмотря на введение дополнительной независимой переменной — времени. Уравнения движения являются уравнениями гиперболического типа, и при расчетах можно использовать для расчета дозвуковой и сверхзвуковой областей течения одни и те же конечно-разностные методы. Применение метода установления требует значительных затрат времени в процессе вычислений на ЭВМ. Стационарную задачу в области сверхзвукового течения можно решать как задачу Коши с начальными условиями для системы уравнений гиперболического типа. В этом случае используется «маршевый» метод расчета, для которого требуется двумерная сетка. Поэтому наиболее распространенными методами расчета являются: 1) расчет пространственной области течения в дозвуковой области методом «установления», 2) использование «маршевого» метода в сверхзвуковой области. Для интегрирования уравнений пространственного сверхзвукового обтекания разработаны алгоритмы расчета течений около тел сложной формы в областях непрерывного течения с вычислением возможных разрывов, возникающих в области течения, с учетом появления энтропийных слоев и других особенностей. В ряде работ учитываются физико-химические превращения, возникающие в реальных условиях при гиперзвуковых скоростях течения. -•

В разд. 1.2 настоящей главы рассматриваются явные конечноразностные методы расчета нестационарных и стационарных пространственных сверхзвуковых течений невязкого нетеплопроводного газа. Для численного интегрирования гиперболической системы уравнений, записанной в консервативной форме, применяется явная конечно-разностная схема второго порядка точности. Область интегрирования располагается между телом и ударной волной. Внутренние поверхности разрыва не выделяются. Рассматриваются различные способы вычислений условий на границах. В разд. 3 приводятся некоторые результаты расчетов обтекания тел под углом атаки.

Численное исследование нестационарного обтекания затупленных тел сверхзвуковым потоком газа

К одним из наиболее распространенных относится метод установления, применяемый для решения стационарной задачи обтекания затупленных тел.

Важным свойством течения с отошедшей ударной волной является существование дозвуковой области, т. е. области, в которой число Маха меньше единицы (см. рис. 4.1). Такие области появляются позади ударной волны, если угол между нормалью к волне и направлением внешнего потока больше некоторой величины, зависящей от числа Маха на бесконечности. Дозвуковая область (М< <1) располагается в передней части тела ударной волны. Затем течение между ударной волной и телом разгоняется и снова становится сверхзвуковым. Внутри потока возникает звуковая поверхность S, на которой число Маха равно единице. Дозвуковая область расположена между поверхностью тела, ударной волной и звуковой поверхностью S.

Рис. 4.1Рис. 4.1Уравнения движения в стационарной постановке имеют смешанный эллиптико-гиперболический тип вблизи передней части затупления, поэтому необходимо решать смешанную задачу для уравнений типа уравнения Трикоми. Эта задача является нелинейной, так как положение и форма ударной волны, звуковой поверхности и предельных характеристик заранее неизвестны и зависят от решения в дозвуковой зоне. Если искать решение методом установления, то введение новой независимой переменной (времени) приводит к тому, что уравнения движения становятся уравнениями гиперболического типа и можно применять конечно-разностные методы, разработанные для уравнений гиперболического типа.

Рис. 4.1

Рис. 4.1

При расчете обтекания тел сложной формы под углом атаки правильный выбор системы координат является важным условием ус-

решения задачи. При расчете обте-решения задачи. При расчете обте-пешногопешного

решения задачи. При расчете обте-

решения задачи. При расчете обте-

пешного

пешного

кания затупленных тел вблизи точки торможения удобна сферическая система координат, повернутая соответствующим образом (см. рис. 4.2). В сверхзвуковой части течения обычно используется цилиндрическая система координат. Поэтому удобно пользоваться такой системой координат, которая сочетает свойства сферической системы координат, затем постепенно переходит в цилиндрическую систему координат. Полезно записать систему уравнений движения в произвольной неортогональной системе координат. Это дает возможность выбрать систему координат, которая «следит» за физической картиной течения. В этом случае удобны адаптирующиеся алгоритмы, которые позволяют использовать метод установления в дозвуковой и маршевый метод в переходной области S4—S2 (см. рис. 4.2). Если поверхность Si лежит в сверхзвуковой области, т. е. является гиперболической в направлении основного потока, то область разворота от Si к S2 можно рассчитать маршевым методом в неортогональной системе координат. Далее можно использовать стандартную методику расчета, например в цилиндрической системе координат.

Выпишем систему уравнений нестационарного пространственного сверхзвукового течения невязкого нетеплопроводного газа в декартовой системе координат в виде законов сохранения в матричном виде:

(WM+dEM+d^ (4.1)

Здесь

и,

Е,

F,

G — пятикомпонентные векторы, которые в случае

идеально

го г;

Р 1 ри

1за

1

имеют вид

' pwf ри

pH2 + ррио

Г p(D 1 ptZG)

U :

ру рй)

. е ,

Е = рии , F = р + pv2

•pUtopUto

. (е+р) U)v(e + p) u j

, G =pc/G) .

P+ рю2

I(e+pR

В этих уравнениях приняты следующие обозначения: и, у, ^ — компоненты скорости соответственно в направлениях %, у, 2, а р, р, е — соответственно давление, плотность и полная энергия единицы объема газа. Система уравнений дополняется уравнением состояния р = р^ р). Для совершенного газа уравнение состояния имеет вид

р = рА, h = СрТ.

Величина е —внутренняя энергия единицы массы, которая определяется уравнением е/р = в+(iz2+y2+(o2)/2. Граничные условия для системы уравнений (4.1) будут приведены ниже.

Система уравнений (4.1) записана в дивергентном виде, и коэф- (Ьициенты при производных постоянны и равны единице. При замене системы дифференциальных уравнений разностными эти уравнения будут обладать свойствами сохранения массы, импульса и энергии с. точностью аппроксимации в каждой расчетной точке.

Запишем систему уравнений (4.1) в произвольной криволинейной системе координат:

^-(/№) + ^г(/?Р“') = «.

А (/«>“') + Л К^в (₽“'“' + рр">1 + T”iVe (р“”“' + р«“0 = о.

О1ох1

(4.2)

-^(/i<0 + 57 (/£(*+?)«') = о..

Здесь и1 — контравариантные составляющие скорости в произвольной системе координат лЛ Величина у^ — определитель метрического тензора g^.

Перейдем к физическим составляющим по формулам и^ = =^ёи^ (по i нс суммировать). Система газодинамических уравнений (4.2) перепишется в таком виде:

4* (Zip) +( V^ рр = О,

^- (^р««)) + A pg 1^1 + Рр) +

dtдх'\ WSagj} //

+ r^/i(p^L + pgp = 0, (/ = 1,2,3)(4.3)

4 (^ ?е)+A f iP— (е+р) ы№'1= °*

9 tдх1 \ V 8н/

Если ввести следующие обозначения: и = и^\ u = uw, ^ = и^\ то уравнения (4.3) в матричном виде имеют вид

dU7^+dE7dx4dF7dx2+dG7dx3=H.

Здесь

и' = Vgи' = Vgр ри ри роур ри ри роуI еI е]/-^- ри2 + pg11 /g.gn■|// рии A-Pg^ Vg-g22V—pUiy+Pg13 Vg-g33 T- Su]/-^- ри2 + pg11 /g.gn■|// рии A-Pg^ Vg-g22V—pUiy+Pg13 Vg-g33 T- Su

и' = Vg

и' = Vg

р ри ри роу

р ри ри роу

I е

I е

]/-^- ри2 + pg11 /g.gn

■|// рии A-Pg^ Vg-g22

V—pUiy+Pg13 Vg-g33 T- Su

]/-^- ри2 + pg11 /g.gn

■|// рии A-Pg^ Vg-g22

V—pUiy+Pg13 Vg-g33 T- Su

V 7" рии + pg12 V.ggll' ' ^22/t-p^+ps22 VggM’ gw]/— pw + pg23i<gi^Г §22V— (^ + p) у”^22 ..JV 7" рии + pg12 V.ggll' ' ^22/t-p^+ps22 VggM’ gw]/— pw + pg23i<gi^Г §22V— (^ + p) у”^22 ..JG' =G' =V —pwГ g33 ;1/ -§-puw+pgV3VggTlT ^331/—py®+Pg2V gg.ir ^33У — pw^^pg^Vgg-^ г ^33K~ (e + P) ®V —pwГ g33 ;1/ -§-puw+pgV3VggTlT ^331/—py®+Pg2V gg.ir ^33У — pw^^pg^Vgg-^ г ^33K~ (e + P) ®(4.4)(4.4)

V 7" рии + pg12 V.ggll

' ' ^22

/t-p^+ps22 VggM

’ gw

]/— pw + pg23i<gi^

Г §22

V— (^ + p) у

”^22 ..J

V 7" рии + pg12 V.ggll

' ' ^22

/t-p^+ps22 VggM

’ gw

]/— pw + pg23i<gi^

Г §22

V— (^ + p) у

”^22 ..J

G' =

G' =

V —pw

Г g33 ;

1/ -§-puw+pgV3VggTl

T ^33

1/—py®+Pg2V gg.i

r ^33

У — pw^^pg^Vgg-^ г ^33

K~ (e + P) ®

V —pw

Г g33 ;

1/ -§-puw+pgV3VggTl

T ^33

1/—py®+Pg2V gg.i

r ^33

У — pw^^pg^Vgg-^ г ^33

K~ (e + P) ®

(4.4)

(4.4)

Н'М = ^7-7^8«W/ Vga + Pg1’ VguA — 2 git dx>■

— Гт/ (V g-gii (pU'^UP/Vgmmgij + P^Ol (» = 2, 3, 4).

Важным частным случаем произвольной системы координат является ортогональная криволинейная система координат. Метрический тензор* gtj имеет простой диагональный вид: ^=0, i^j. Введем обозначения: ga = hi2 (по I не суммировать). Нетрудно найти, что g^hyh^hy*, а символы Кристоффеля имеют такую форму:

Г//1 —о iw+uy^5)

,. ^gkk a? hfc дхк ''

■рк ГА 1 д8кк " \'

^бкк дх1 ^к дх1 ,

Выражения (4.4) примут следующий вид:

U' = h^^U' = h^^Р ри ри pwеР ри ри pwеt' .= /i2/i3t' .= /i2/i3риp-Vpu2риириp-Vpu2рииpuw\e-Vpypuw\e-VpyF' = /1^3F' = /1^3py 1 puu p+ py2 риш (e+p)upy 1 puu p+ py2 риш (e+p)u

U' = h^^

U' = h^^

Р ри ри pw

е

Р ри ри pw

е

t' .= /i2/i3

t' .= /i2/i3

риp-Vpu2рии

риp-Vpu2рии

puw\e-Vpy

puw\e-Vpy

F' = /1^3

F' = /1^3

py 1 puu p+ py2 риш (e+p)u

py 1 puu p+ py2 риш (e+p)u

G' = hji^G' = hji^^ p&y puw puw

G' = hji^

G' = hji^

p + p^2

. (^ +pN,

ггооpuuh^dhv дх^(p + pv2)h3 3- dx1(P + pay3’ ^x1pvwhldh2 дх^+ h3puv ^ —(P + pu2)puwh2dh3 дх1+ ^рш> ® dx^(P + pu2)^x3puuh^dhv дх^(p + pv2)h3 3- dx1(P + pay3’ ^x1pvwhldh2 дх^+ h3puv ^ —(P + pu2)puwh2dh3 дх1+ ^рш> ® dx^(P + pu2)^x3Н' -Н' -оо)

г

г

о

о

puuh^

dhv дх^

(p + pv2)h3 3- dx1

(P + pay3

’ ^x1

pvwhl

dh2 дх^

+ h3puv ^ —

(P + pu2)

puwh2

dh3 дх1

+ ^рш> ® dx^

(P + pu2)

^x3

puuh^

dhv дх^

(p + pv2)h3 3- dx1

(P + pay3

’ ^x1

pvwhl

dh2 дх^

+ h3puv ^ —

(P + pu2)

puwh2

dh3 дх1

+ ^рш> ® dx^

(P + pu2)

^x3

Н' -

Н' -

о

о

(4.6)

Метрические коэффициенты в цилиндрической системе координат записываются в виде (x^z, x2 = r, х3 = ф), h^X, h^r, h3 = X.

Для сферической системы координат (х^г, х2=ф, х3 = 0) мет-- рические коэффициенты имеют вид h^X, ft2 = rsin0, h3 = r. В случае системы координат, связанной с поверхностью тела (х1^, х2 = = ц, х3 = £), метрические коэффициенты, если координатные линии на поверхности совпадают с линиями кривизны поверхности, примут вид h2 = aY^X—kvx3y; h22 = a22(X—k2x3y, h32=X. Здесь па3 — метрический тензор на поверхности тела, а^и к2 — главные кривизны.

Область течения ограничена поверхностью тела, внешней ударной волной, плоскостью симметрии и замыкающей поверхностью Sle Поверхность тела задана, а положение ударной волны находится.

В рамках модели совершенного газа форма ударной волны зависит только от геометрии тела и скорости невозмущенного потока. Экспериментальные и теоретические данные показывают, что значительное изменение формы затупления, обладающей достаточной гладкостью при положительной кривизне, как правило, слабо меняют форму ударной волньт Зависимость положения ударной волны при изменении числа Маха при фиксированной форме тела заметна, когда число Маха невозмущенного потока стремится к единице. В другом предельном случае при увеличении числа Маха (М^-^оо) положение ударной волны стремится к некоторому предельному положению.

Выпишем граничные условия на ударной волне и на теле. На ударной волне выполняются следующие условия:

Рг^зп — Pi^ ini Un — Qn D\ ^ulh + p2 - piUih + Pi;

т p2T — 1 02т p2T — 1 022у — 1 pi 22у — 1 pi 2(4.7)(4.7)Чзт — Qit

т p2

T — 1 02

т p2

T — 1 02

2у — 1 pi 2

2у — 1 pi 2

(4.7)

(4.7)

(три скалярных соотношения, из которых два независимых).

Индекс 1 относится к параметрам невозмущенного потока, 2 — к параметрам за ударной волной, п —к нормальной составляющей

вектора скорости, ат — к касательной составляющей. Здесь Un, qT— проекции вектора скорости q на единичную нормаль п к поверхности ударной волны и на плоскость, касательную к ней, D — скорость перемещения ударной волны по направлению нормали. Соотношение q2T = qi-r — условие сохранения тангенциальной составляющей скорости.

На поверхности неподвижного тела выполнено условие непроте- кания (q-nT)=0, где q — вектор скорости течения, пт —единичная нормаль к поверхности тела. •

Будем считать,.что течение симметрично относительно плоскости 9 = 0, л и при 0 = 0 и 0 = л получаем дополнительные граничные условия

ди)д6 = ди(д9 = др,д9^др(д9 = 0 и w = 0.

Замыкающая поверхность Si должна быть выбрана в сверхзвуковой области. В этом случае задача будет поставлена корректно и обратной передачи возмущений вверх по потоку нс будет.

Для проведения расчетов следует задать значения параметров в начальный момент времени. Одна из трудностей при расчете сверхзвуковых течений связана с определением положения и формы ударной волны. При аналитических исследованиях обычно делаются предположения о близости в окрестности точки торможения формы ударной волны и тела. Положение и форма ударной волны зависят от геометрии тела, скорости невозмущенного течения, термодинамических свойств газа. Некоторые выводы о форме ударной волны можно сделать из анализа экспериментальных работ, данных численных расчетов. Основные расчеты к настоящему моменту проведены для выпуклых поверхностей типа затупленных конусов под углом атаки, эллипсоидов, гиперболоидов и т. п. При осесимметрическом обтекании затупленных тел в работе [23] был отмечен следующий факт. Если рассмотреть наряду с затупленным телом острый конус, то для каждого числа AL можно найти критический угол Ркр(Моо) — максимальный угол полураствора кругового конуса, для которого еще возможно течение с присоединенной ударной волной. Пусть S — рассматриваемое затупленное тело. Присоединим к нему коническую часть с углом полураствора ркр таким образом, чтобы конус касался поверхности S (см. рис. 4.3, а).

Обозначим через 6кр расстояние АВ. Между этими величинами эмпирически обнаружено соотношение 6кр/6 = е. Причем зависимость величины к от числа Маха незначительна. Например, для сферы к = 1,6, а для торца к = 1,4 в диапазоне чисел Маха 2^Моо< <оо. Зная значение ркр(Л1оо), можно найти отход ударной волны в широким диапазоне чисел Моо по данным одного расчета. Если в процессе вычислений внешняя ударная волна выделяется явно как поверхность разрыва, то необходимо задать ее положение и производные вдоль поверхности. В начальный момент времени (/ = 0) удобно задавать эту поверхность (аналитически) эквидистантно поверхности тела или из данных о решении близкой задачи.

Рис. 4.3Рис. 4.3Значения газодинамических величин за ударной волной можно получить из предположения, что скорость ударной волны равна нулю. Задав одну из величин за ударной волной и пользуясь соотношениями Ренкина—Гюгонио, можно найти остальные. Начальное распределение давления на теле можно найти, пользуясь формулой Ньютона p = poo-V + (^ооПт)2. Все величины в данной формуле отнесены к pooU2,». Формула Ньютона дает результаты, близкие к расчетным, при больших числах Ма

Рис. 4.3

Рис. 4.3

ха. На рис. 4.3, б приведены пределы применимости линейной тео

рии (/), теории Ньютона (2) в зависимости от числа Маха и угла отклонения потока. Если величину энтропии на поверхности тела

положить равной максимальной величине, вычисленной по пара

метрам невозмущенного потока, то, зная давление, можно определить величину плотности на поверхности тела, а затем — полную

скорость.

Газодинамические величины внутри области получаются линейной интерполяцией переменных на теле и на волне. Если известно решение для близкой задачи, то в качестве начальных условий удобно задать газодинамические параметры этого решения.

ди atди at। ди А+ а — = 0.дх। ди А+ а — = 0.дх(4.8)(4.8)Рассмотрим модельное уравнение для системы уравнений (4.1) в таком виде:

ди at

ди at

। ди А+ а — = 0.дх

। ди А+ а — = 0.дх

(4.8)

(4.8)

Предположим, что коэффициент a = const>0. Для этого уравнения изучают различные постановки начальных и граничных условий.

Будем искать решение в области —оо<х<оо, />0. Обсудим задачу Коши для этого уравнения: н(х, 0) =w0(x).

Рассмотрим область O^x^l, />0. Зададим условия в начальный момент времени и^х, О)=ыо(х) на границе х = 0 для всех моментов времени t: м(0, /) =ф(^). Такая постановка начальных и краевых условий уравнения ближе к нашей задаче.

Для уравнения (4.8) легко построить точное решение задачи в таком виде: и = и(х—at). Действительно, ut = u^—а), их=иъ ^ = = х—at. Если подставить эти значения в исходное уравнение, то, очевидно, что и = и(х—at)—решение задачи. Для того чтобы удовлетворить начальным и граничным условиям, в качестве функции и выберем ее значения в начальный момент времени t = 0. Таким образом, решение задачи в случае а) задастся в виде и = и^х—at)^

а в случае б) решение имеет вид и = и0(х—at), если x^at и и — = ф(/—х]а) при x<.at.

Модельное уравнение можно переписать в таком виде:

duди , ди дх А

— =1—

d/dt дх dt

Уравнение (4.8) можно заменить следующими: dxldt = a— уравнение характеристик и duldt = 0 — соотношение вдоль характеристик.

Задача для исходного уравнения сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений: dx]dt = a, du = 0 — вдоль характеристики. В данном случае эти уравнения легко решить. Решение записывается в виде х—at = c, и = const вдоль характеристики с. Если коэффициент а зависит от решения а = а(и, х, t), то при определенных начальных данных уравнение dxldt = a{u, х, t) может иметь характеристики, которые пересекаются в области решения. Это приводит к неоднозначности и появлению разрывов. Разрывы решения возникают и для гладких начальных условий и распространяются по характеристикам.

Если задана система 'линейных уравнений подобного вида, то система сводится к уравнениям вида duldt-\-A(duldx)=Q.

Здесь А — постоянная матрица, собственные значения которой Хг-. Изучение задачи сводится к одному уравнению. Действительно, матрицу А запишем в виде Д = 5Л5“1. Здесь Л —диагональная матрица. Применяя преобразование S-1 й обозначая 5-1и = й, придем к уравнению du/dt+A(du/dx) = 0. Если все собственные значения матрицы действительные и различны, то система уравнений называется системой гиперболического типа.

Решение задачи Коши для исходного уравнения можно представить в виде интеграла Фурье [27]:

и (х, t) = ^L=.- J и (со, t) e^^dco.

Здесь функция v (со, t) удовлетворяет уравнению dy/d/+incoy = = 0. Отсюда находится решение и = у(со, 0)е~гаю*. Величины v(co, 0) — коэффициенты Фурье для начального значения и^х, 0).

Следовательно, решение исходного уравнения будет иметь вид

и (х, t) =и (х, t) =^1= J и (со, 0) е^^Мсо.^1= J и (со, 0) е^^Мсо.

и (х, t) =

и (х, t) =

^1= J и (со, 0) е^^Мсо.

^1= J и (со, 0) е^^Мсо.

Решение исходной задачи и^х, t) представлено в виде суперпозиции решений частного вида (гармоник) и (со, Q)^x-at\

При исследовании устойчивости разностных уравнений используется метод гармоник, который связан с изучением поведения частных решений разностного уравнения и которые получаются, если предыдущее выражение представить в виде u=Xeitox» где X = e-iatot.

Такого типа решения имеются у всех линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим двухшаговую явную разностную схему для уравнения (4.8):

Uk = Uk — о^ [(1 — е) u^-Y (1 —^Uk— Шк-Л h

—«предиктор»,

Uk^ — ” (^ + иь^— а2“(8^+i + (1 — 2е)и^ + (е — 1)Ц^-i)

— «корректор».

Здесь а4, сс2, е — некоторые параметры.

Если положить cci=l, сс2 = 72, то предиктор вычисляется в точке (п+1)т. Для случая (п=1) при е±= 1 или 8 = 0 получаем одну и ту же разностную схему, которая после исключения промежуточного шага имеет вид

иТ1 = ипк — г (ик^ — ик_^ + у (4+1— 24 + 4-1), (Г = T//i).

Нетрудно показать, пользуясь разложением в ряд Тейлора, что схема имеет локальную аппроксимацию второго порядка точности по т и h [26].

Частные решения разностного уравнения будем искать в виде икп=ХпегИ. Величина X находится после подстановки этого соотношения в разностную схему и равна Х = 1—ik sin ср—2&2 sin2<p/2. Если |Х|^1, то все частные решения ограничены. Если для некоторого ср величина |Х(ср)|>1, то соответствующие гармоники с увеличением п будут неограниченно расти. Поэтому соотношение |Х|^1 является необходимым условием устойчивости. В данном случае |Л,| = ( 1—4г2(1—г2)sin4(ф/2))1/а. Величина |Х|<1, если г<1, т. е. выполняется соотношение между т и h вида т/й<1, которое называется условием Куранта.

Разностная схема обладает собственными диссипативными (сглаживающими) свойствами. Диссипативные свойства разностной схемы связаны с аппроксимационной или схемной вязкостью. Подставим в разностную схему разложения в ряд Тейлора для величин щп+\ mYh и iCV^. В результате получаем

диди(А2 — т2)д3и] т (А2 — т2)д4и_ g

diдх 6дх38дх4

Диссипативные и дисперсионные свойства связаны с членами, которые появились в данном разложении [29].

Запишем систему уравнений в безразмерном виде. Физические переменные и, и, со, р, р, г, t отнесем соответственно к величинам уроо/роо, poo, poo, /, Ipjpjl, где / -характерный размер тела, а индекс оо относится к параметрам невозмущенного параметра.

Предположим, что рассматриваемая задача имеет в качестве передней части затупленного тела сферу. В этом случае удобно

пользоваться сферической системой координат, повернутой таким образом, чтобы скорость невозмущенного потока совпала с направлением радиус-вектора от точки отсчета до точки торможения.

Геометрия тела и внешней ударной волны задастся следующими соотношениями:

RT = RT(x\ х3),

RB = R^t, х\ х3).

Здесь RT — известная функция, RB — радиус ударной волны, который определяется в процессе решения задачи.

Для системы координат x^R, х2=у, х3 = 9 введем такое преобразование, при котором положение ударной волны и тела совпадают с координатными линиями, а именно 1^ = 1; ^=[7?—^т(6, ф) ]/ l\R^> 0, ф)— ^т(0, ф) ]; л = Л (ф); 01 = 0*-

Таким образом, величина £ = 0 соответствует поверхности тела, а величина 41 — положению ударной волны. Преобразование т] = = л(ф) позволяет сгущать точки в области сильного изменения кривизны тела.

После перехода к новым независимым переменным получим

ди/^+дЕ/^+дР/дт]+дС/д6 = Н.(4.9)

Здесь

U = U',Е=f ^ +/2Е/+/зЕ,+Ди',F7=f4Fz,G = Gz,

H = Н'+^СЧ^ЕЧ^иЧ/^

Zi = Se, /2 = ^, fs — ^/4 = Лф7> А = Si-

ЕсЛИ проинтегрировать уравнения (4.9) по переменной /, то в результате будет найдена консервативная переменная U.

Зная величину вектора U=(p, рц, ру, рсо, е), можно найти физические переменные р, р, и, и, со. Эти величины находятся после решения системы нелинейных алгебраических уравнений, причем

P^/Vi и^иЖ, v = U^ аЖЖ e=Ujfg.

Для численного интегрирования системы уравнений (4.4) применим метод, предложенный в работе [5, 7] (см. п. 2 этого раздела).

Рассмотрим модельное уравнение

dUfdH-dEfd^dFfd^ +dG/dQ = Н(4.10)

в области D (/^0, 0^S41, 0ЧЧ> ОЧбЧбтах)-

Заменим область непрерывного изменения аргумента D областью дискретного изменения Dh, т. с. введем сетку. Здесь

Dh { (^n> S&> Ль 0m) > tn /ГТ, Sft ^//1,

Лг = /Ч 9m = mh3, /1 = 0, 1, ..., N; к = кь...,К; т = тъ...,МУ

Введем такие обозначения (см. рис. 4.4): U\iim= Щпт, kht, lh2, mh^ и т. д. Величина Е выражается через функцию U следующим

образом: EwK,iim=E^Uwt,tim, пт, khb lh2, mh3y и т. д. Заменяя производные в (4.10) их разностными отношениями, будем иметь («предиктор»)

UV.l.m = Uьд.пг — 0^ f-— ([1 — 8i) Е^1гцт — (1 — 281) Е^д.т

81£а-1Д,тп] 4 :— [(1 "~ $2) Fk.h-i.tn (128g) Fьд.пг

1ч ,

— 6tFfe,l-i,m\ 4[(1 — 6з) G&,i,m*i (12б3) Gk,l,m

— 8gGft,;,m-i] — тЯд•(^' ^ )

(для всех h, I, m от 1 до соответственно К—1, L—1, М—1) , Второй.

1 /I Ы1)v k,l,m — ~ I ktl,m ~r k,l,m ^2 1 /I Ы1)v k,l,m — ~ I ktl,m ~r k,l,m ^2щаг схемы («корректор») имеет вид

1 /I Ы1)

v k,l,m — ~ I ktl,m ~r k,l,m ^2

1 /I Ы1)

v k,l,m — ~ I ktl,m ~r k,l,m ^2

A+i,Z,m +

+ (1 - 2eJ E^,™ + (81 - 1) E^l + -b [e +

+ (1 - 2s2) F^,m + (ea - 1) ^Lb^] + 4- ^m +

+ (1 - 2e3) G^,m + (83 - 1) G^Uj - 1^%}(4.12>

(для всех ^=1, 2, K-l; Z=l, 2, .... L-\; m=\, 2,M-l),

Если положить cci=l, а2 = 1/г, то предиктор вычисляется в точке (п+1)т. Параметры 8Ь е2, е3 могут встречаться в разных комбинациях, в зависимости от того, вычисляются ли точки внутри области или на границе. .

Удачное применение численных методов связано с вычислением граничных условий. При расчете дозвуковой области сверхзвукового обтекания затупленных тел такими границами являются поверхность тела, ударная волна, плоскость симметрии и замыкающая поверхность. Задание величин на этих границах формирует течение внутри области.

Рассмотрим вычисление величин на ударной волне. Значения параметров перед ударной волной известны. Если известно давление р2 за ударной волной, то из соотношений Ренкина—Гюгонио вычисляются остальные параметры, необходимые для расчета параметров за ударной‘волной. Определим р2 по схеме «предиктор». Тем самым определяются нормальная компонента вектора скорости перед скачком и плотность за скачком, выраженные через величину давления за ударной волной, из соотношений

^1П = 1/2[(Т+1)Р2+(7-1)1,’

^±(yz^Mv±iL.(4ЛЗ)

1 + р2(т-1)/(т+1).

Здесь Uln — скорость потока, перпендикулярная к поверхности ударной волны, в системе координат движущейся вместе с волной.

Составляющие вектора скорости по нормали и касательной к поверхности ударной волны определяются следующим образом (см. рис. 4.5):

Чш= (q~-nB)nB,q1T = q=o—qi„.(4.14)

Здесь вектор внешней единичной нормали к поверхности ударной волны пв = V//1V/1, f=R—RM 0, <p) =0.

В произвольной криволинейной системе координат

Vf R\ е< = Rf/| Rj | (| Rf I =

Пусть Щи — составляющая скорости потока, перпендикулярная к ударной волне и вычисленная в системе координат, движущейся вместе с ударной волной. Тогда Uvu = |qm| — I qB | - Подставляя величину (4.14), получим

Ь1П= [(q«>-nB) —|qB|]nB.(4.15)

Здесь | qB | — проекция qB на нормаль к поверхности волны. Следовательно,

Ы = |и1п|-|Ч1П|.(4.16)

Вектор скорости за ударной волной имеет вид

q2 = q2n+q2r = q2n+qir.(4.17)

При переходе через скачок уплотнения касательная составляющая вектора скорости нс меняется: q2T = qiT.

В движущейся системе координат, связанной со скачком, из закона сохранения массы для нормальной составляющей скорости за скачком имеем р2| U2n| = Uin, U2n = |q2n| — I qB | -

Отсюда находим |q2n|. Зная |q2n|, можно найти q2n = — | q2n | nB.

Таким образом, вектор скорости за ударной волной определен. Действительно, вектор q2n найден, а вектор q2 находится по формуле q2T = qir~q^o qm*

Перемещение ударной волны находится из соотношения

dRJdt=qBR.(4.18)

Здесь величина qBR известна.

Таким образом, если с помощью схемы «предиктор» найдена величина р2, то можно найти все величины за волной. Из соотношения (4.18) можно найти новое положение ударной волны, зная

— предиктор.

А затем, повторяя вычисления, можно найти и на шаге «корректор»:

Рассмотрим вычисление граничных условий на поверхности тела. В случае неподвижной поверхности условие непротекания имеет вид

qnT = 0, где q — вектор скорости, а пт — внешняя единичная нормаль к поверхности тела.

Для вычисления условий на границе используются 1) дополнительные характеристические соотношения; 2) соотношения вдоль поверхности как вдоль линии тока. При решении задачи методом установления решение ищется при /-^оо и промежуточные результаты нс имеют значения. Один из способов удовлетворения условия

непротекания заключается в том, что на каждом временном шаге нормальная составляющая скорости полагается равной нулю, а остальные величины на теле находятся по схеме первого порядка точности. Если для любой произвольной точки вблизи границы определить зону зависимости и зону влияния, то шаг интегрирования следует выбирать таким образом, чтобы за временной интервал область зависимости не выходила за размеры шаблона интегрирования. На границе тела область зависимости, естественно, связана с самой границей. Влияние поперек границы можно учесть, если перейти в систему координат, связанную с телом. В этом случае характеристическое соотношение, соответствующее характеристике, идущей из потока к телу, даже при односторонней аппроксимации производных удовлетворяется практически точно. В рассматриваемом случае консервативные переменные на поверхности тела находятся по схеме «предиктор», причем производные вблизи тела заменяются односторонними разностями, затем находятся газодинамические переменные по формулам декодировки (4.9). Вектор скорости в результате погрешности вычислений не обязательно лежит в касательной плоскости и может быть представлен в виде

q = qT+qn,

где qT — касательная компонента вектора скорости, a qn —нормальная компонента. При этом получаем

q=(q.nT)nT#0,

(4.19) qT = q-qn.

Нормаль к поверхности тела находится следующим образом:

nT = Vf/|Vf|.

Здесь f=R—RT = 0. Если приравнять нулю нормальную к телу компоненту скорости, то получим скорректированный вектор скорости:

q = qr,(4.20)

и соответственно можно определить компоненты этого вектора на поверхности ^—q3. Новый вектор по модулю меньше модуля q. Для того чтобы модуль вектора сохранился, введем корректирующий множитель а= (Aqi-q^Kqrq5))44-

Компоненты скорости найдем из соотношений

qi = aqi.(4.21)

Ошибка в вычислении нормальной компоненты скорости связана с вычислением других газодинамических величин. Если положить величину qn равной нулю, то соответствующим образом должны быть подправлены остальные величины.

В работе [34] показано, что ошибки в вычислении давления и скорости связаны соотношением

C8inp = Y8q.(4.22)

Здесь 8inp и eu —ошибки в вычислении логарифма давления и нормальной составляющей скорости, а — скорость звука, у —отношение теплоемкостей. Величина давления в момент времени tn^ = = ^п+т может быть подправлена, и правильное значение давления находится из соотношения

р = р*е-^п/с. (4.23)

Замыкающая граница St берется в области сверхзвукового течения. В этом случае возмущения не распространяются вверх по потоку. Вдоль этой границы удобно использовать разностную схему с односторонними разностями или применить условия линейной экстраполяции. Данные для расчета сверхзвукового течения после установления следует брать, отступив от границы St на один расчетный шаг, где точность расчета будет иметь второй порядок точности. Условия симметрии в процессе вычислений заменяются условием отражения.

При использовании явных схем условие устойчивости разностной схемы соблюдается, если размер шага по времени удовлетворяет некоторым ограничениям. Воспользуемся методом локальной линеаризации и «замораживания» коэффициентов. Система уравнений (4.4) записывается в виде

^+a^+b^ + c^ + d = o, dt дх1 дх2 дх3

(4.24)

га дЕ' о dF'dG'

U = Yu, у, w, р, р] , А =, В —, С =.

LdUrdUr

Собственные значения матриц А, В, С будут следующими: of,2,s = UlV ^, of,6 = u/g^ ± С "j/g11, of 2,3 = V/ /g^, of,5 = V Vg^ ± с V"?,(4.25)

of,2,3 = to/Vg^, 04,5= to/V^ ± C Vg33.

Здесь с — скорость звука.

Величины ok могут быть рассмотрены как линии тока и характеристики в плоскостях t—х1, /—х2, t—х3.

Ограничения на временной шаг для разностной схемы (4.11) — (4.12) представляются в виде

б*2 М Сд26) ^ ""К^тахГ Д^ КФтах! ’ Д^ I (^Хх Г

Система исходных уравнений (4.9) в переменных g, т), 6 имеет вид.

-^+^+q4£+7?4t+h=0-(4-2?)

at 5?5г]59

Здесь P = Efs+Af2+Bf3+Cft, Q = Bf4, R = C, Е— единичная матрица.

Преобразование независимых переменных приводит к изменению собственных значений .исходной системы уравнений.

Таким образом,

Q ^1,2,3 —Q ^1,2,3 —V §22V §22"»-/.(ч7=±с^") ■

Q

^1,2,3 —

Q

^1,2,3 —

V §22

V §22

(4.28)(4.28)\ V §22/ ,

(4.28)

(4.28)

„Р f f f ^ Ifif ®

а1.3.3 — Аб + Аг ./-— + Аз v-r-" + Ai ,/■— г 511 V §22 V 5зз

Р Р -' гРОТ,5 — ^1,2,3 — СГ 4w5.

Кроме того, имеем OiXs.t.s = Oi.t.s.i.s, и ограничения на временной шаг будут"

ДА < С1ДА С2ДА < С3

А? K^maxl ’ An l(^)maxl ’ АО I (О*)тах | '

Рассмотрим двумерную задачу об обтекании затупленного конуса или клина равномерным сверхзвуковым потоком совершенного газа [25]. Для некоторых углов полураствора клина или конуса (0) и чисел Маха набегающего потока (М^), течение за ударной волной при обтекании острого клина или конуса с тем же углом полураствора будет сверхзвуковым. Затупление конуса приводит к появлению дозвуковой области. При углах полураствора клина или конуса 0, меньших 0* (0* —угол полураствора клина, для которого течение за ударной волной становится звуковым: М2=1), дозвуковая зона располагается вблизи затупления и звуковая линия начинается на ударной волне и заканчивается на теле. Для затупленных клиньев и конусов имеется диапазон углов 0, для которых звуковая линия уходит в бесконечность и около клина течение является дозвуковым. На рис. 4.6 показаны заштрихованные области, в которых дозвуковая зона независимо от формы затупления уходит в бесконечность. Случай «а» соответствует обтеканию клина, «б» —конуса. При пространственном обтекании возможно появление локальных дозвуковых зон и распространение этих дозвуковых зон вниз по потоку (рис. 4.6).

Рассмотрим структуру течения в дозвуковой области [6, 23]. Общая качественная картина течения показана на рис. 4.7: форма ударной волны, звуковые линии S, трансзвуковые области G и предельные характеристические поверхности для случая плоских и осесимметрических течений. Эти результаты получены на основании численных расчетов.

Течение вблизи звуковой поверхности S обычно называется трансзвуковым . (см. рис. 4.7). Возмущение, возникающее в какой- либо точке потока Р, влияет на определенную область течения. Под трансзвуковой областью G будем понимать область зависимости для точек звуковой поверхности S. Точка Р принадлежит G, если 1) точка Р находится в сверхзвуковой области и 2) малые возмущения, возникающие в Р, достигают по крайней мере одной точки поверхности S. Если в некоторой точке Q поверхности S вектор

скорости не перпендикулярен к этой поверхности, то вблизи Q существуют точки G. Такая ситуация встречается в течениях около затупленных тел. Кроме поверхности S, область зависимости G имеет в качестве составной части границу поверхности3тела и ударной волны. Поверхность Г отделяет G от остального сверхзвукового потока. Используя характеристические свойства гиперболических систем, можно показать, что Г или является характеристической поверхностью, или касается S, или проходит через линии пересечения S с поверхностью тела или ударной волны. Будем называть Г предельной характеристической поверхностью. При расчете методом установления необходимо замыкающие условия ставить в области, которая выходит за предельную характеристическую поверхность.

Для плоских течений реализуется картина течения типа I и II. Для осесимметрических течений реализуются течения II и III. Тип течения II или III зависит от знака угла % между вектором скорости и нормалью к звуковой линии. Этот угол зависит от числа Маха, формы тела. Для определения знака % был выбран класс тел, для которых было проведено численное исследование этой величины в зависимости от формы тела (см. [6, 23]). Было рассмотрено семейство поверхностей второго порядка

r2 = 2z+gz2. (4.29)

Тела представляли семейство поверхностей второго порядка (эллипсоиды при gCO, параболоиды при g = 0, гиперболоиды для £>0). Для % получена функция x = F(M^ g)n % = 0 —уравнение не-

которой линии g = g0 (М^У отделяющей течения типа II и III в плоскости g, *С (рис. 4.8).

Тип III течения отделяется справа линией g = gv (И^1), соответствующей течению около гиперболоидов, для которых числа Маха на поверхности стремятся к единице при г-^оо. Если точка (g,+G) приближается к линии g = gY (М^) с левой стороны, то значение % стремится к л/2 и звуковая линия — к бесконечности. Вычисления течений около гиперболоидов показывают, что при достаточно больших расстояниях от носовой части тела давление между телом и ударной волной приближается к значению, которое имеет течение возле острого конуса с тем же углом полураствора. Если асимптотическое поведение давления строго выполняется для g>gt (М^1) тогда существуют два других типа, а именно тип IV или V течений около гиперболоидов. Тип IV может быть реализован, если gi (М"1) <g<g2 (Ж1). Звуковая линия для течений типа IV не касается поверхности тела, а приближается тем же образом, что и предельная линия тока при г-^оо. Звуковая линия для течения типа V приближается, но не к телу, а к некоторой прямой линии, расположенной между волной и телом. Область существования течения типа V ограничена линией g = g3 (ti). При g>g3 №) стационарного состояния течения около гиперболоида не существует. Функции g] (МТ1), g2 (МТ1) и g3 ( ИТ1) могут быть вычислены для течения около острого конуса и соответствуют линиям, приведенным на рис. 4.8.

В трехмерном случае структура трансзвуковой области становится более сложной даже для течений относительно простой формы. Это справедливо и для течений около симметричных тел под углом атаки. Если угол атаки не очень большой, то структура трансзвуковой области заметно не меняется и напоминает тип течения II, поверхность Г касается звуковой поверхности S вдоль замкнутой линии между волной и телом. Структура течения для течения типа III изменяется при произвольно малом угле атаки и становится существенно более сложной, не напоминая двумерный или осесимметрический случай.

Примеры расчетов обтекания тела, затупленного по сфере под углом атаки а = 30° (М^^б), представлены на рис. 4.9. В этом слу чае выбрана произвольная криволинейная система координат, которая постепенно разворачивается до некоторого предельного положения S^ На рис. 4.10 представлено распределение давления на обтекаемом теле. Следует отметить, что в зависимости от расстояния от точки торможения распределение давления и плотности на сферической части совпадает со значениями давления и плотности на сфере. Если линии сопряжения в геометрии обтекаемого тела лежат в сверхзвуковой области, то они практически не влияют на характер течения вблизи точки торможения до углов 9 = 60°.

Давление на сфере можно представить в широком диапазоне чисел Маха и условий в таком виде: р!рй = 1 — 1,17 sin2 9+ +0,225 sin6 9.

Рис. 4.8Рис. 4.8Рис. 4.9Рис. 4.9Рис. 4.10Рис. 4.10Здесь р — давление на сфере, р0 — давление в точке торможения, 0 — угол отсчета от точки торможения.

Рис. 4.8

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Рис. 4.10

Применение неортогональных систем координат может быть полезным при решении практических задач газовой динамики. Использование представленного семейства координат и применение в сверхзвуковой части стационарного метода расчета позволяет без больших затрат машинного времени и с достаточной точностью получить данные, которые могут служить начальными при решении в цилиндрической системе координат стационарной задачи о сверхзвуковом обтекании тел сложной формы под большими углами атаки. Кроме того, запись уравнений в

произвольной неортогональной системе координат позволяет в случае необходимости осуществлять выбор системы координат, наиболее соответствующей физической картине течения.

Явный метод расчета пространственного сверхзвукового стационарного обтекания тел

Рассмотрим сверхзвуковое стационарное течение около затупленного тела под углом атаки. Предположим, что течение в передней дозвуковой части области известно и известны значения зависимых переменных, включая положение ударной волны и ее наклон, вдоль всей плоскости 2 = 20 в сверхзвуковой части потока.

Система уравнений, описывающая стационарное течение невязкого нетеплопроводного газа в цилиндрической системе координат в форме законов сохранения, в матричной записи имеет вид [18]

(4.31)(4.31)dE4dz+dFldr+dG'fd4) = Н'.

(4.31)

(4.31)

Здесь Е', F', G', Н' даются следующими выражениями:

Здесь р— безразмерное давление, р — безразмерная плотность, и, и, а> — безразмерные составляющие вектора скорости в направлениях 2, г, ф соответственно. (Обезразмеривание проведено по характерным параметрам: роо — давление в набегающем потоке, роо — плотность и 7?3 — радиус сферического затупления.)

Система уравнений (4.31) представляет собой законы сохранения массы, импульса в проекциях на оси координат. Добавляя к системе уравнений (4.31) уравнение энергии, которое в стационарном случае задается выражением для полной энтальпии

к(р, р)+g2/2 = const,(4.32)

получим замкнутую систему уравнений.

Здесь q — модуль скорости, к — статическая энтальпия, которая для совершенного газа имеет вид к = —-— — , у— показатель

Т — 1 Р

адиабаты. В случае реального газа уравнение состояния может быть найдено аппроксимацией экспериментальных данных.

Геометрия тела и внешней ударной волны описывается следующими зависимостями:

ГТ = ГТ(2, ф), ГВ = ГВ(2, ф).(4.33)

Здесь гт—известная функция, а гв—радиус ударной волны, который определяется в процессе решения задачи.

На поверхности тела выполнено условие непротекания

(q-nT)=0,(4.34)

где q — вектор скорости течения, пт—единичная нормаль к поверхности тела.

В случае выделения скачка в. явном виде граничные условия получаются из законов сохранения массы, количества движения, энергии. На поверхности ударной волны выполнены соотношения Ренкина—Гюгонио:

P^U^n = Pitkin,

Р2 + Р2^ = Pi + Pi^n,(4.35)

V РгV—1 Р2V РгV—1 Р2V Pi7 - 1 PiV Pi7 - 1 Pi+ ~ Uyn,

V Рг

V—1 Р2

V Рг

V—1 Р2

V Pi

7 - 1 Pi

V Pi

7 - 1 Pi

Qx2Qxoo

(три скалярных соотношения, из которых независимых два).

Здесь индекс 2 соответствует значениям за фронтом волны, 1 — параметрам невозмущенного потока, п относится к нормальной составляющей вектора скорости, ат — к касательной составляющей вектора скорости.

Начальные условия при z=z* заданы, т. е. известны параметры потока для всех значений гид), форма ударной волны и наклон.

Таким образом, рассматривается задача Коши для гиперболической системы квазилинейных уравнений с пятью неизвестными функциями от трех независимых переменных. Область, в которой ищется решение при z>z\ ограничена поверхностью тела, ударной волной, а также плоскостью z=z\ Течение симметрично относительно плоскостей 0 = 0, л и при 0 = 0 и ц = л будем иметь дополнительные граничные условия симметрии

дм/д0 = ду/д0 = д^^со = 0..

Перейдем к новым независимым переменным (г^ g, ц) по формулам

21 = 2,

£(z, г, ф) = (г—гт)/(гв—гт),(4.36)

л(2> ф) = arctgЩz)tgф].

Эти преобразования обеспечивают нормировку расчетной области в радиальном направлении и позволяют сгущать расчетную сетку по углу в области больших градиентов газодинамических параметров.

При ^(2) = 1 сетка становится однородной; при к<\ происходит сгущение сетки вблизи меридиональной плоскости (ф = 90°). Преобразованная система уравнений (4.31) в новых независимых переменных, записанная в форме законов сохранения, имеет следующий вид:

дЕ/дг+дЕ/д^+^С/дц = Н.(4.37)

Здесь

Е=Е', F = f1.E'+f2.F'+f3.G', G = /4.G'+f5.E',

Н = Н' [(гВ2 — гТ2) • Е' 4~ (/'гф — /*тф) • G'J/^b — GO 4"

-—— sin (2 ц) • G' 4—- cos (2ц) • Е',

кк

гтх 4“ £ ^bz гтз)гтх 4“ £ ^bz гтз)' Вк2 cos2 ц 4" sl'n2 И' Вк2 cos2 ц 4" sl'n2 И' Втк -f^^ sin (2'1).' Втк -f^^ sin (2'1).(4 38)(4 38)

гтх 4“ £ ^bz гтз)

гтх 4“ £ ^bz гтз)

' В

к2 cos2 ц 4" sl'n2 И

' В

к2 cos2 ц 4" sl'n2 И

' Вт

к -

f^^ sin (2'1).

' Вт

к -

f^^ sin (2'1).

(4 38)

(4 38)

Уравнения (4.37) могут быть проинтегрированы по переменной 2, в результате чего определяется консервативная переменная Е, по компонентам которой могут быть найдены физические переменные р, р, и, v, co. Процедура нахождения этих переменных заключается в решении нелинейных алгебраических уравнений (4.32) и уравнений для Et (t=l, 2, 3, 4) с пятью неизвестными газодинамическими параметрами. Физические величины находятся из консервативных переменных по формулам

v=EJEi, ^=EJE^ p^tT^^-E^fr,

(4.39) p(u)=EJru, u2/2 + h(p, p) +72(y2 + (o2)— const = 0.

Для совершенного газа [h = —-—— ) последнее уравнение мо-

V V — 1 Р 7'

жет быть разрешено относительно скорости

и = — В + 1<В2 - 4ЛС

- 2Л *'

Здесь А =, В — Е^Е^, С = v~— (const —- (у2+<о2)) ,

V\2У

Для интегрирования системы уравнений (4.37), записанной в дивергентной форме, применим метод [5, 10, 18], основанный на использовании явной конечно-разностной схемы второго порядка точности.

Рассмотрим модельное уравнение

dEfdz + dFjd^ + dGfd^ = Н(4.40)

в области Z)(O^g^l, 0^т]^л, 2^2*).

Заменим область непрерывного изменения аргумента областью дискретного изменения, т. е. введем сетку Z)^{2m = mA2, gz = /Ag, т)п=пАт]}. Величины т, /, п принимают значения т=1, 2, ...; /= = 0, 1, ..., L; п = 0, 1, ..., N; \^=\/Ц кх\ = л/Ы. Размер шага А2 выбирается в процессе вычислений.

Заменим дифференциальную задачу разностным аналогом. Интегрирование системы уравнений (4.37) производится по следующему алгоритму («предиктор»):

= Е^ - ^ [(1 - ej FT^.n - (1-261) FT.n - г^Д +

+ ^ l( 1 — еа) G^n+1 - (1 -2е2) G?.» - e^J - \гНТД .

.■(4.41)

Затем величины пересчитываются по формулам («корректор»)

^^ = 0,5 ^ + £^) - 0,5 j ^ [8,/ЦЦ + (1 -261) F^ 4-

+ (81 - 1) Е'ДД + ^ [e^U + (1 - 2е2) d^ +

+ (е2 — 1) G^-il - ^Н'Ц .(4.42)

Здесь

Ei,n = Е (2m, Е/, Цп),

Е^п-ЕфТ.п.г^ Е/, г].),

Fti=Fti (E^zm+b Е/, ri„)

Параметры в! и е2 здесь могут встречаться в следующих комбинациях:

1. 81 —— 82 — 052. 81 — 82 — 1,

3.81 = 0, е2=1;4.81=1, 82=0.

Граничные условия в плоскости симметрии моделируются при численных расчетах методом отражения.

В работе [10] показано, что для обтекания тел сложной формы в случае, когда образующиеся внутренние скачки уплотнения движутся от поверхности тела, первая комбинация дает лучшие результаты (меньшие осцилляции на фронтах размазанных скачков) и является наиболее универсальной для всех расчетов.

При расчетах величину 81 на поверхности тела и ударной волны следует выбирать таким образом, чтобы не выйти за границу расчетной области.

При обычных преобразованиях вида (4.36) собственные значения матриц меняются. Систему уравнений после преобразования можно записать в аналитической форме:

dEfdz+дА Е,дХ + dBEfd^ = Н.(4.43)

Матрицы Л и В для гиперболической системы уравнений имеют действительные собственные значения и могут быть приведены к виду

Л = ВдЧд5д, В = SB\\BSB.

Здесь ЛА и Лв—диагональные матрицы, а V и V— собственные значения матриц Л и В. Замораживая коэффициенты Л и 6 и выписывая матрицу перехода для разностной схемы, получим матрицу перехода и условия устойчивости.

Запишем систему уравнений в линеаризованном виде в более простом двумерном случае. Линеаризованные уравнения можно записать в виде двух систем уравнений:

dU/dz+A(dU№)=0,(4,44)

dUfdz + B (dUfd^ = 0.(4.45)'

Характеристическое уравнение для А и В имеет вид

—о£|=0,

det | В—о£|=0.

Величины ga и ов являются собственными числами характеристических уравнений и задают характеристические направления семейства I и II уравнений для характеристик. Отсюда находятся собственные значения о/ и g2b в таком виде:

а^ = 6zE = arctg ,(4.47)>

и

of = 02n=arctg-9-^-.(4.48>

и

Величины о/ и оЛ соответствуют линиям тока в плоскостях ^г и y^z соответственно. Из условия устойчивости можно получить для уравнений (4.44), (4.45) такие ограничения на шаг вычислений:

А2/А§ < с/max | оА |(4.49)

для уравнения (4.44),

. А2/Ат] с/тах | о? |(4.50)

для уравнения (4.45)

Минимальное значение А2 находится применением условия А2^ ^тт(А£/тах|щА|, Ат]/тах|gb|) по всем узлам сетки в плоскости |, Г).

Для пространственной задачи условие устойчивости для явных. схем состоит в том, что размер шага вычислений был таков, чтобы не выходить из зоны зависимости.

После вычисления по схеме «предиктор» (соотношение (4.41)) и нахождения давления на волне р^п с помощью соотношений Ренкина— Гюгонио находятся другие параметры, связанные с расчетом скачка уплотнения. Затем давление р^п рассчитывается по* схеме «корректор» (4.42), и все остальные газодинамические параметры приводятся в соответствие с этим давлением условиями на скачке. Обозначим газодинамические параметры перед скачком индексом 1, после него — 2. Значения параметров перед ударной волной совпадают со значениями в набегающем потоке.

Формулы для нормальной компоненты вектора скорости к поверхности ударной волны перед скачком и плотности за скачком в случае совершенного газа, выраженные через давление за ударной волной, получаются из соотношений (4.35)

= */»((?+ 1)Р= + (V— 1)1.

P. = (p=+^)/(l+ft^).(4.51).

С другой стороны, нормальная и касательная составляющие вектора скорости к поверхности скачка уплотнения определяются следующими выражениями:

Uln = —(qro.nB)nB,

(4.52)

Qit qoo Ufn.

Здесь вектор внешней единичной нормали к поверхности ударной волны .

^r rbz^z (гыр1г^ еф

Пв —.... =

V 1 + Г В2-+ (Гвф/Гв)2

Итак, нормальная составляющая вектора скорости может быть выражена через производные от уравнения поверхности скачка с помощью (4.52). Полученное выражение может быть разрешено / от '\

относительно гЕ2 = гв2 .Окончательно получим

\ dz V

гВ2 = tiooQ 4" Uxn {Q2 4“ [1 4“ Vеф/^в)2]/(^°° — ^14}^S(4.54)

где Q(Voo — со эо (rBT/rB)/(^L — UXnY

Вектор скорости за скачком уплотнения

q2=Un2 + qT2.(4.55)

Касательная составляющая вектора скорости при переходе через скачок уплотнения не терпит разрыв, поэтому qT1 = qT2, а из закона сохранения массы для нормальной компоненты скорости за скачком имеем U2n — ^mPi/p2. Тогда получим

q2 = Я.» + a ^T—r^x—V^lr^ еФ).(4.56)

где а = Uin (1 — 1/р2)//1 + ^в2 + (Гвф/Гв)2.

Проведение расчета для удовлетворения граничного условия на волне выглядит следующим образом: с помощью уравнения (4.54) находится производная к поверхности скачка, затем вычисляется его радиальная координата

^ = ^ + ^2.(4.57)

А с помощью Pl,л,рассчитанного по уравнению (4.41), из (4.51) находится нормальная составляющая скорости перед волной и плотность за скачком, по которым из (4.56) определяются составляющие вектора скорости за скачком уплотнения UlV UlV ^ь,п.

Для расчета производной по угловой координате используются центральные разности (гвф=дгв/дср)

■(4.58)

Таким образом, шаг, связанный со схемой «предиктор», считается законченным. Вслед за этим осуществляется шаг, связанный

со схемой «корректор», в котором в отличие от первого вместо (4.57) используется соотношение

(4.59)(4.59)m+iт , Az ( щ , (1k

(4.59)

(4.59)

в = в И " V ez + f вг Л

На поверхности тела должно быть выполнено условие непро- текания (4.34). В случае цилиндрической системы координат для вектора скорости и нормали к поверхности тела имеем следующие выражения:

q —ut2 + ver + соеф, Гтф

(4.60)

Здесь функция f=r—гт(2, ф) =0 описывает геометрию тела.

После применения схемы «предиктор—корректор» (формулы (4.41)), в результате чего находятся значения консервативных переменных на новом слое по 2, происходит переход к физическим переменным по формулам (4.38) и (4.39) и определяются, в частности, значения и^\ р^п\ ро^\

Вектор скорости q {^*^+\ ^Т1’ ^оТ1) не удовлетворяет условию непротекания (4.34) и должен быть повернут от касательной плоскости к поверхности тела на некоторый угол А9, определяемый следующим выражением:

де = arcsin (q^1 • nT)/| qi^11. (4.61)

Если A9>0, то при повороте вектора скорости происходит расширение потока, если А9<0, то — сжатие. Изменение давления в потоке при повороте вектора скорости на бесконечно малый угол А9 дается выражением [18]

= 1^!i_ Д6 + vM2_(v + i)^-4(^-1LaQ2 0 03)

(М2—1)/зГ4(Л<2_1)21 v ъ

’(4.62)

где M^W, ^^УтГО1).

/ nmvi \ 1/у m-нIРо , П I\ с/ nmvi \ 1/у m-нIРо , П I\ сДалее в предположении сохранения энтропии вдоль поверхности тела находится новое значение плотности:

/ nmvi \ 1/у m-нI

Ро , П I

\ с

/ nmvi \ 1/у m-нI

Ро , П I

\ с

(4.63)(4.63)= 2?Л^-(?-!) /Г (у + 1) Л^ Р(v+O / Ls + lY-D^ . '

(4.63)

(4.63)

Величина вектора скорости определяется из интеграла Бернулли (4.32):

№)3 = т^ + -21№)3 = т^ + -212? Р^пv-i р?72? Р^пv-i р?7(4.64)(4.64)

№)3 = т^ + -21

№)3 = т^ + -21

2? Р^п

v-i р?7

2? Р^п

v-i р?7

(4.64)

(4.64)

Так как вектор q^1 был повернут в плоскости векторов пт и ^п на угол АО, то направление скорости q^1 теперь должно совпадать с направлением

(4.65)(4.65)т. е.

(4.65)

(4.65)

Ч(),П^0,П•

Или, расписывая последнее соотношение в проекциях на оси координат, имеем,

m+i _ т^х (-*^ . М \ /, ^о,п — чо,п ^о, п "г 'тг ~77 , \N //

„w+i _ m+i /~*m+1 vo,n ~ Чо,п V0,n„w+i _ m+i /~*m+1 vo,n ~ Чо,п V0,n(4.66)

„w+i _ m+i /~*m+1 vo,n ~ Чо,п V0,n

„w+i _ m+i /~*m+1 vo,n ~ Чо,п V0,n

, m+im+i (,гтф M A t

&otn — 4o,n wo,n "1"77 ,

\4^)1

Здесь

-*m+i -*mvi—*m+iM=( Uotn ^Tz+^O./l ^0,n(^Тф/^Т,-*m+i -*mvi—*m+iM=( Uotn ^Tz+^O./l ^0,n(^Тф/^Т,# = П +4 + (гтф/гт)а]'/2,# = П +4 + (гтф/гт)а]'/2,

-*m+i -*mvi—*m+i

M=( Uotn ^Tz+^O./l ^0,n(^Тф/^Т,

-*m+i -*mvi—*m+i

M=( Uotn ^Tz+^O./l ^0,n(^Тф/^Т,

# = П +4 + (гтф/гт)а]'/2,

# = П +4 + (гтф/гт)а]'/2,

Следует, однако, отметить, что схема «предиктор — корректор» (4.41) — (4.42) является схемой второго порядка точности по всем .переменным только для внутренних точек течения. В граничных -точках порядок аппроксимации дифференциальных уравнений разностными является первым ввиду того, что производные по § за- .меняются односторонними разностями. Для того чтобы вести расчет со вторым порядком точности во всей области течения, необходимо при расчете граничных точек в шаг «корректор» (4.42) включить добавочный член, представляющий собой разностный аналог второй производной по g. При этом, правда, нарушается дивергентность разностной схемы. При расчете поля течения вблизи разрыва кривизны геометрии тела предпочтительнее использовать схему первого порядка точности ввиду негладкости газодинамических параметров.

Решение задачи стационарного обтекания тел потоком совершенного газа позволяет определить значение аэродинамических коэффициентов: волнового сопротивления, коэффициента подъемной силы, аэродинамического качества и др.

Пусть OXYZ— декартова система координат с осью OZ, параллельной вектору скорости набегающего потока. Введем декартову систему координат OX^Z^ причем ось OZV совмещена с харак-

терной осью тела. Проекции полной аэродинамической силы на направления этих координатных осей можно представить в виде

Х= Q^S, Y= Q^CyS, Z= QroczS;

(4.67)

X^Q^S, Yl=Qa>cVlS, Zt=Q„cZlS;

где S— площадь характерного поперечного сечения; Qo» = p«,(?2o=,/2; сх, cv, сг— безразмерные коэффициенты, зависящие от формы тела и условий обтекания, причем

Cy=cyicosa—cz,sina,сг=с^х sin a+cz, cos a(4.68)

Для ах и cV1 имеем

с21 = — -j—?fС (р — 1) (nT)z d a;

cH1 = — -— [ [ (p -- 1) (ГтЬ d a,(4.69)

где 2 — поверхность тела. Для коэффициента момента тх, вычисленного относительно носка тела, имеем

тх =—С С [(р — 1)(Пт)гУ— (р — 1ШМ da, (4.70)

-WL JfJ'

L — характерный линейный размер.

Итак, вычисление аэродинамических коэффициентов сводится к интегрированию соответствующих величин вдоль поверхности тела, причем направляющие косинусы нормали к телу известны, а давление находится в результате решения задачи.

Естественным вопросом, возникающим при обсуждении результатов численных расчетов, является вопрос о точности получаемых результатов.

Конечно-разностный метод для уравнений движения в дивергентной форме обеспечивает выполнение разностных аналогов интегральных законов сохранения. Контроль работы алгоритма расчетов обеспечивается точностью выполнения законов сохранения массы, энергии и импульса в проекциях на оси координат для объема газа, содержащего всю возмущенную область между поверхностью тела и ударной волной до плоскости z=zm. Для выбранной контрольной поверхности законы сохранения массы, энергии и импульса в проекции на ось OZ запишутся в виде

s2s2У уМоо (S + S^ cos a = J J ри d a,

s2

s2

V?M. ^ + ^p) (S + « eos « - JJ f ) d o.

(4.71)

(1 4- V И^, cos2 a) (S + S2) = ^(p + p«2)da +JJp(nT)2da.

VS2 2

Здесь S— поперечное сечение тела, S2—возмущенная область между поверхностью тела и ударной волной в сечении z=zm; 5 — поверхность тела (рис. 4.2).

Структура течения в сверхзвуковой области и форма ударной волны определяются значениями газодинамических параметров на предельной характеристической поверхности и формой тела. Ударная волна образуется в результате взаимодействия невозмущенного потока и течения вблизи 'поверхности тела и влияет на сверхзвуковую область течения, расположенную ниже по течению. Механизм передачи возмущений тесно связан с поведением характеристик и линий тока, вдоль которых распространяются возмущения. Характеристики соответствуют волнам сжатия или разрежения, если давление и плотность увеличиваются или соответственно уменьшаются вниз по потоку от одной характеристики к другой вдоль характеристик другого семейства. Это определение носит локальный характер и не отражает возможных более сложных ситуаций, но вместе с тем оказывается удобным для понимания качественных свойств течения [23].

Взаимодействие волн сжатия, разрежения с ударной волной имеют важное значение для формирования течения. Волны сжатия, разрежения распространяются, отражаясь от ударной волны вдоль другого семейства характеристик.

Из вычислений и экспериментов можно увидеть появление волн сжатия (разрежения) при резком изменении кривизны образующей тела. Интенсивность волн сжатия (разрежения) зависит от М^, от формы тела, включая носовую часть. Иногда волны сжатия являются настолько интенсивными, что появляются внутренние ударные волны.

Трудность точного вычисления внутренних ударных волн связана с тем, что интенсивность возникающей ударной волны относительно небольшая (порядка 1.1). Поэтому методы, не обладающие достаточно высокой точностью, могут только подтвердить наличие таких зон, но не ответить с определенностью на вопрос, возникает ли при этом внутренняя ударная волна. Точное определение положения внутренних ударных волн требует специальных алгоритмов. Один из важных вопросов при расчете сверхзвукового течения связан с определением формы отошедшей ударной волны. При течении газа около тел с непрерывным изменением кривизны тела наклон ударной волны o(z)=rBZ уменьшается монотонно вдоль z от л/2 в точке, соответствующей затуплению, до некоторого значения о*, которое зависит от формы тела. Около тел с раз-

рывом образующей функция 0(2) меняется немонотонно. Немонотонность поведения связана с волной сжатия, которая достигает отошедшую ударную волну и приводит к уменьшению 0(2).

Для затупленного конуса под углом атаки с углом полураствора р при 2-^оо угол а(2)-^щ(р, MTO), где oh— наклон ударной волны для течения около острого конуса с углом полураствора р.

В случае появления внутренних волн-* в точке их пересечения с отошедшей ударной волной функция 0(2) имеет скачок. Несмотря на малые значения этого скачка, можно заметить быстрый рост 0(2). Анализ течений показывает, что волна сжатия, отразившись от отошедшей ударной волны, затем от тела, может снова перейти в волну сжатия и достигнуть второй раз отошедшую ударную волну, уменьшая при этом 0(2) или увеличивая.

Вдоль линии тока, проходящей через некоторую точку Р отошедшей ударной волны, значение*энтропийной функции S=p/p7 остается постоянным и зависит только от угла наклона ударной волны в точке Р. Так как а(2р) уменьшается, функция S также уменьшается и при o=sin-1Af ^ функция 5=1, если рто и р,» выбраны как единицы плотности и давления в невозмущенном потоке.

При увеличении 2 предельные линии тока,' проходящие через носовую часть ударной волны и имеющие большее значение энтропийной функции, становятся все более близкими к поверхности. Таким образом, около поверхности образуется слой, в котором энтропия изменяется довольно резко от максимального значения на поверхности до значительно меньшего значёния на границе энтропийного слоя.

Так как давление около тела при больших 2 изменяется сравнительно мало вдоль нормали, то величины температуры и плотности остаются высокими внутри энтропийного слоя даже на значительных расстояниях от носка тела. Присутствие энтропийного слоя определяет на больших расстояниях величину теплопередачи и влияет на переход течения из ламинарного режима в турбулентный. Поэтому энтропийные слои и методы их вычисления являлись предметом исследования во многих работах [6, 19].

Главная трудность в вычислении энтропийных слоев заключается в больших градиентах плотности и компонент скорости вблизи поверхности тела.

Толщину энтропийного слоя по отношению к отходу ударной волны можно приблизительно найти следующим образом [19]. Рассмотрим осесимметрическое обтекание затупленного конуса (см. рис. 4.11). На рис. 4.11 представлены: ND — сферическая, a DB — коническая части. Форма ударной волны между точками А и F определяется сферой, причем F— это точка ударной волны, в которую приходит характеристика из точки сопряжения сферы и конуса. На больших расстояниях от затупления ударная волна приближается к положению ударной волны для острого конуса. Энтропия-позади ударной волны достигает-минимального значения в некоторой точке L, местонахождение которой можно указать как пересечение конической ударной волны GQ и касательной к удар-

Рис. 4.12Рис. 4.12Рис. 4.11Рис. 4.11

Рис. 4.12

Рис. 4.12

Рис. 4.11

Рис. 4.11

ной волне в точке F. Поток массы через волну между А и L состоит из потока массы между поверхностью тела DB и линией тока ЕЕ, проходящей через точку L. В произвольном сечении BG суммарный поток массы складывается из потока массы, прошедшего через ударную волну AG. Будем предполагать, что вихревой слой определяется размером BE и толщина этого слоя по отношению к радиусу затупления равна 6. Далее будем предполагать, что течение в области EG имеет конический характер. Пусть величины b и d соответственно толщины конуса НВ и ударного слоя BG в том же сечении.

Распределение плотности и осевой скорости в данном сечении для острого конуса схематично показано на рис. 4.12, а сплошными линиями. Предположим, что в энтропийном слое величины плотности и осевой скорости имеют качественное поведение, которое изображено на рисунке пунктирной линией. Предположим, что р и и можно аппроксимировать линейной функцией

р = Рь+(рс—рь)у, и=иь+(ис—иь)у. (4.72)

Здесь у= (г—Ь)/6.

Величины рс и ис принимают значения, соответствующие острому конусу, а рЬэ иь—значения плотности и осевой скорости на поверхности тела. Вычислим значения рь и иъ. Предположим, что те-

чение около острого конуса с теми же углом полураствора 0 и числом Маха на бесконечности Моо, как и для затупленного конуса, известно. В частности, известен угол 0* (положение ударной волны), величина давления, плотность и скорость на поверхности конуса. Давление торможения в точке Лг равно давлению в точке А позади ударной волны:

22.vav-d Г у + 1.vav-d Г у + 11/(Т—1)Рос*1/(Т—1)Рос*

2

2

.vav-d Г у + 1

.vav-d Г у + 1

1/(Т—1)

Рос*

1/(Т—1)

Рос*

Статическое давление в точке В предполагается равным давлению в точке N конического течения рс. Локальное число Маха Мь будет следующим:

MlMl2 Г/роа(т-1/? !

Ml

Ml

У-1 [\ Рь /

Локальная скорость звука в точке В находится по формуле

&Ь — Qq&Ь — QqУ — 12У — 12

&Ь — Qq

&Ь — Qq

У — 1

2

У — 1

2

Здесь а0—скорость звука торможения в свободном потоке. Следовательно, pb=ypb/ab2 и ub = Mbab cos 0. Поток массы между В и Е получается в виде .

1

(4.73)(4.73)т& = 2л6 ^ ры (6 + Ьу) d у.

(4.73)

(4.73)

6

Здесь р и и определяются из формулы (4.72). Заметим, что значение пг6 можно вычислить таким образом:

т6 =лр00ао9М00г2.(4.74)

Из (4.73) и (4.74) имеем

/ rL.V 26 С[Ь . ,6 \ .

— =Н^Н + гг^ d^

\ 4 /р^М, 4 J\d \d )

О

Так как

4 = tge/tge*,(4.75)

а-

то известно отношение rLld как функция б/d. Чтобы получить величину d, следует для заданного б/d определить rL. Величину гь из известных результатов для сферы можно выразить как функцию числа М^ и точки D. Величина b находится из выражения (4.75). Тогда значение 2, вычисленное в точке О в величинах радиуса носика, можно выразить как функцию числа М^ и величины 0:

г = d-Vb, tg6* sin 6 *

Результаты вычислений, проведенных в работе [32], представлены на рис. 4.13, а, б для 2=6/d=0,l и 0,05 соответственно. Результаты . слабо зависят от числа Маха набегающего потока. Из представленных результатов видно, что при больших углах полураствора конуса начальная завихренность стремится сконцентрироваться в узком слое на относительно коротком расстоянии (10—20 радиусов закругления) от передней части. Качественное поведение энтропии вблизи точки минимума энтропии и качественное поведение производной от величины энтропии поперек ударного слоя приведены на рис. 4. 14, а. Наклон дуги АВ в распределении Sr не является строго вертикальным, так что величина Sr не терпит разрыва. При практических численных расчетах удобно рассматривать АВ как разрыв. В физической плоскости можно найти линию, вдоль которой Sr может испытать скачок, а величина будет непрерывной поперек. Такая линия является не линией

контактного разрыва, а линией тока. Если найти точку минимума энтропии после прохождения ударной волны, то соответствующая линия тока в осесимметрическом случае будет делить поле течения на две части. ,

В энтропийном слое происходит значительное сжатие потока, локальная скорость звука увеличивается, что зачастую приводит к тому, что вблизи поверхности тела формируется узкая область дозвукового течения.

Запишем систему уравнений в характеристической форме вдоль линий пересечения характеристических поверхностей и поверхностей тока с меридиональными плоскостями q) = const. Производные по угловой координате заменим разностными соотношениями [18].

Уравнения характеристик в плоскости g, 2 можно записать в виде

dVd2=o,(4.76)

где Оо=Л/и, о±= (мЛ—^(f^p))/^2—с2),

X = f^ + f2u + f3co/r,'

Р2 = К^2 - с2) (Л2 + Пп^ + (Л - ки№.

Для точек, лежащих на поверхности тела, в силу условия не- протекания о0 = 0; характеристика о- исключается, так как не влияет на решение в граничных точках (о_>0). После соответствующих вычислений уравнения вдоль характеристики о0 запишутся в виде ds / £ . (о £ \ d s u- = — Wb-\Мг .

dz \ г j dv\

и — (rTq)/rTu + й) = q. dz

а вдоль характеристики о+— в виде

а дрdp . dA \ .

Р — — — ^+— + Р^ + с2»(4.78)

где с4 и с2—функции, содержащие производные по угловой координате, параметры потока и геометрии тела.

Уравнения (4.77) и (4.78) с применением схемы (4.41), (4.42), а также уравнение для полной энтальпии (4.32) и условие непро- текания (4.34) могут быть использованы для нахождения параметров потока вдоль поверхности тела. Подбором надлежащей линейной комбинации характеристических уравнений можно добиться, чтобы в уравнения входили производные по нормали к телу только от давления и нормальной компоненты скорости, которые не претерпевают разрыв при переходе через него.

В выражение (4.78) входят производные поперек энтропийного слоя только от гладких функций. Развитие сильных энтропийных слоев не препятствует проведению расчетов до тех пор, пока вблизи тела не возникают местное дозвуковые зоны. Эту особенность

можно исключить, уменьшая энтропию потока у стенки путем линейной экстраполяции ее по внутренним точкам течения. При этом из системы (4.77), (4.78) исключается первое уравнение. Лучшим способом по сравнению с методом уменьшения энтропийного слоя является сгущение узлов сетки у поверхности тела. Метод уменьшения энтропийного слоя не дает представления о сложной картине линий стекания и растекания потока, образующихся на поверхности. Метод недостаточно обоснован. В работе [16] проводилась экспериментальная проверка применимости метода, при этом использовались различные граничные условия. При возникновении локальных дозвуковых зон, в которых использование «маршевого» метода становится невозможным из-за нарушения 2-гиперболичности системы уравнений, для правильного расчета следует применять метод установления по времени. Если эти зоны небольшие; то небольшое изменение геометрии поверхности может привести к тому, что течение становится сверхзвуковым и можно применять «маршевую» методику. Этого же можно добиться выбором системы координат, в которой гиперболичность системы уравнений восстанавливается.

Основная задача при вычислении пространственного сверхзвукового поля течения заключается в том, чтобы точно вычислить положение, интенсивность всех разрывов газодинамических величин. В областях, в которых газодинамические величины непрерывны, применение конечно-разностного метода дает возможность проводить вычисления без потери точности. Сверхзвуковое поле течения около крыльев, комбинации фюзеляж—крылья содержит ударные волны, сжатия и разрежения, контактные поверхности разрыва.

При взаимодействии ударных волн в зависимости от их интенсивности возможны различные случаи, классификация которых приведена в работе [20]. Если волны являются волнами слабой интенсивности, то их скорости после взаимодействия имеют общее направление. Схема течения приведена на рис. 4.15, а и соответствует первому типу классификации. Две слабые волны после точки пересечения А разворачивают сверхзвуковой поток к одному общему направлению вдоль контактной линии разрыва С (показанной на рисунке пунктирной линией). Скорости вдоль свободной границы обычно разные, и граница представляет границу скольжения.

Если увеличить интенсивность ударных волн, то течение после взаимодействия не приходит к общему направлению. Вместо одной точки пересечения ударных волн получаются две: А и Аг (рис. 4.15, б). Вдоль криволинейной границы течение переходит в дозвуковую струю (3). Точки пересечения А и А' связаны между собой сильной ударной волной и отраженными ударными волнами от сдвигового течения. Эту ударную волну часто называют махов- ским отражением. Такая схема соответствует второму типу взаимодействия.

Третий тип возникает при взаимодействии слабой и сильной

ударных волн. Этот случай наблюдается, например, при взаимодействии падающей ударной волны и отошедшего скачка уплотнения около затупленного тела. Этот случай приведен на рис. 4.15, в. Контактная поверхность Л С присоединяется к поверхности тела. В области 2 течение дозвуковое, в области 4 газ, имеющий сверхзвуковую скорость, проходит через возникающий скачок уплотнения ВС. Точка В является тройной точкой.

Если точка С отходит от поверхности, т. е. скачок ВС отсоединяется от тела, возникает четвертый тип взаимодействия ударных волн (рис. 4.15, г); он возникает, если косой скачок уплотнения падает на участок отошедшей, ударной волны, перпендикулярной скорости набегающего потока. В этом случае образуется струя, полное давление в которой выше, чем в дозвуковом потоке. В некоторых случаях струя может привести к увеличению тепловых потоков и давления. Если струя не попадает на поверхность, то получаем картину, изображенную на рис. 4.15, д.

При взаимодействии скачков одного семейства возникает случай, показанный на рис. 4.15, е (пятый тип). Падающий скачок уплотнения влияет на все поле течения. Скачок уплотнения ВС взаимодействует с пограничным слоем, отражается от тела, затем от поверхности разрыва, вновь приходит на тело и т. д.

Схема взаимодействия ударных волн, приведенная на рис. 4.15, ж, возникает при сверхзвуковом обтекании передней кромки крыла. В этом случае от точки А идут волны разрежения. Отражаясь от тела, они попадают на ударную волну АВ и вновь отражаются. Слой смешения AD отделяет область 2 от областей 5 и 6. Тип взаимодействия зависит от углов наклона падающего скачка и головной ударной волны, их интенсивности, скорости набегающего потока.

Отдельно рассмотрим взаимодействие падающей ударной волны со стенкой без учета вязких эффектов. Если ударная волна попадает на стенку, расположенную наклонно по отношению к волне, то она отражается от нее. При отражении ударной волны возможны несколько различных типов отражения, приведенных на рис. 4.16: обычное (а), простое маховское (б), сложное маховское (в), двойное маховское (г). Характер отражения зависит от числа Маха, интенсивности ударной волны, угла наклона стенки, термодинамических свойств газа. Случай обычного отражения приведен на рис. 4.16 (случай а). Падающая ударная волна / отражается от стенки в точке А. Отраженная волна обозначена буквой R.

При простом маховском отражении (случай б) отраженная волна / и течение со скольжением ТС выходят из точки пересечения наклонной ударной волны Т и маховской ударной волны АТ. Точка Т называется тройной. Отраженная волна TR имеет гладкую кривизну. На рис. 4.16, в приведен случаи сложного маховского отражения. Отраженная ударная волна имеет переходную зону ТК, точка К связывает тройную точку и волну KR. Схема двойного маховского отражения показана на рис. 4.16 (случай г). Можно отметить появление второй отраженной волны RR.

Из приведенных данных о взаимодействии ударных волн между собой и стенкой следует, что «маршевая» методика расчета в некоторых случаях, если появляются локальные дозвуковые зоны, требует пересмотра.

Некоторые примеры расчетов

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание конусов с углом полураствора 0=15° под углом атаки сс=5, 10, 15, 20° (^=74-7.5). Общая картина течения около конуса под углом, атаки- представлена на рис. 4.17. -

На рис. 4.17, а приведено положение ударной волны, изменение в зависимости от угла атаки, экспериментальные результаты поло* жения ударной волньГ для различных радиусов затупления и пре* дельное положение ударной волны для острого конуса (Пунктир) [32-33].

На рис. 4.17, б показано распределение давления на сферической части и вдоль наветренной образующей конуса (0=15°) при различных углах атаки (сплошная линия —результаты численных расчетов, штрихпунктирная линия — распределение давления в приближении теории Ньютона). Для этого случая были проведены исследования влияния толщины вытеснения пограничного слоя. Эффект вытеснения мал, и кривая практически совпадает с распределением давления без учета эффекта вытеснения. Результаты экспериментов показывают хорошее совпадение результатов. Числа Рейнольдса в этих экспериментах, вычисленные по диаметру затупления, были равны 6,3-104 и 5,3-105 (в работах [33, 32] соответственно). В этих условиях локальное число Рейнольдса, при котором происходит переход от ламинарного течения в турбулентное, порядка Re^lO6, т. е. числа Рейнольдса в экспериментах были меньше тех значений, при которых происходит переход.

Результаты расчетов, полученные для невязкого нетеплопроводного газа, дают правильную картину положения ударной вол-

Рис. 4.17

!ны, распределения давления и других характеристик на наветренной стороне.

На рис. 4.18 показано распределение давления в продольном направлении в зависимости от длины s(R для различных образующих конуса (т] = 0, 45, 90, 180°). Здесь же представлено распределение давления в окружном направлении для различных sjR (s/R = 7, 12, 15, 25). На рисунках приведено сравнение распределения давления с результатами экспериментальных исследований. Обратный градиент давления при сс=5° до величин s(R = 25 не появляется. Для сс=10° на подветренной стороне появление обратного градиента давления можно отметить при sjR^lS, для а,— = 15°—при sIR^l, а для сс=20°—при s/7?^4. На рис. 4.18 при угле атаки сс=15° показано распределение давления в поперечном направлении и стрелками отмечены точки «отрыва» по результатам экспериментальных исследований. «Отрыв» появляется вслед за появлением обратного градиента давления, но не сразу, а с некоторым запаздыванием..

При увеличении угла атаки появляется зона сверхзвукового течения в поперечном направлении. Это течение ограничено небольшой зоной вблизи тела. Распределение давления1 на теле в этом случае показано на рис. 4.19 (Л4 —3, а=15°, 0 = 7,5°). Вблизи тела появляется поперечный скачок, его интенсивность быстро ослабевает при отходе от тела.--

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание тел с эллиптическими поперечными сечениями [9]. Уравнение поверхности имеет вид (см. рис. 4.20)-

, х ( COS2 ф ,51П2ф\^/2

Гт Z, ф)= Л+~^•

I ttyд2 /

Передняя часть тела — сфера, а поперечные сечения (а), вид сверху (б), вид сбоку (в) представлены на рисунке. Геометрия тела имеет непрерывные первые и кусочно-непрерывные вторые производные и определяется тремя параметрами: 6, 6Ь 62. Задавая раз-

Рис. 4.18

личные значения 6t и б2, можно получить различные формы летательного аппарата.

На рис. 4.21 приведены результаты расчетов давления на поверхности тела при тИто = 6, а=5° и угле 6=15°. Результаты приведены в зависимости от координаты ср при 2=10 для различных геометрий (случай 1—4). Случай 4 соответствует обтеканию кругового конуса. Если нижнюю часть кругового конуса заменить эллиптическим конусом, то это соответствует случаю 3, представ- ленному на рисунке. Давление на наветренной части конуса при этом заметно упало, но на подветренной (неизмененной) части осталось практически прежним. Отметим принцип «независимости»: изменение геометрии в нижней части приводит к изменению поля течения только в той области, в которой изменялась геометрия, Если в геометрии кругового конуса поменять не нижнюю, а

Рис. 4.23Рис. 4.2350°/20°/50° 050°/20°/50° 0Рис. 4.24Рис. 4.24/020 Z/020 ZРис. 4.25Рис. 4.25

Рис. 4.23

Рис. 4.23

50°/20°/50° 0

50°/20°/50° 0

Рис. 4.24

Рис. 4.24

/020 Z

/020 Z

Рис. 4.25

Рис. 4.25

верхнюю часть (случай 2), то при этом давление на нижней части будет как на круговом конусе, а на подветренной — существенно упадет. Если в круговом конусе заменить и верхнюю, и нижнюю части эллиптическими сечениями, то получим распределение давления, которое будет на наветренной части совпадать со случаем 3 (ф^0-~90°), а на подветренной части — со случаем 2 (ф^90ч-180°).

На рис. 4.22 представлены результаты расчетов давления на поверхности конуса для Моо = 6, а=10°, 2=5 при различных значениях параметра 6, который характеризует стреловидность (см. рис. 4.20, вид в плане). Следует отметить, что изменение угла 0

приводит к сильному изменению давления в окрестности боковой кромки крыла, причем при увеличении 6 давление на боковой кромке значительно увеличивается.

На рис. 4.23 представлено распределение . давления на поверхность тела (случай 3) для двух

углов атаки, сс=О° (пунктир) и а=10° (сплошная линия) (Моо= =6, 2=5), и различных углов: 0=5, 15, 25°. Распределение давления на подветренной части хорошо согласуется с распределением давления на круговом конусе для тех же углов атаки. На наветренной части распределение давления такое же, как и на эллиптическом конусе. При небольших значениях 0 поле течения напоминает течение около затупленных конусов. При увеличении 0 происходит перестройка течения (см. рис. 4.23).

На рис. 4.24 для случая ^^ = 8, а=15°, 2=5 (геометрия — случай 3) показано распределение давления на теле при различных углах атаки: а=—10, —5, 0, 5, 10, 15, 20°. Следует отметить, что величина давления на кромке крыла при изменении угла атаки слабо меняется.

На рис. 4.24 появляются зоны с положительными градиентами давления, которые могут привести к отрыву потока. На рис. 4.25 приведено распределение давлеция на поверхности тела вдоль образующих; сплошные линии соответствуют наветренной стороне, пунктирные — подветренной. При 2^20 распределение давления не меняется вдоль образующих, приближаясь к асимптотическим значениям. Для случая 3 при ф=180° таким значением является значение для острого конуса. В плоскости ф = 0° при угле атаки а=109 распределение давления приближается при увеличении угла 0 к значениям для плоского треугольного крыла. При сс=О° давление на поверхности в плоскости ф = 0° тем ближе к давлению невозмущенного потока р^, чем меньше угол 0.

Распределение давления на теле можно определить по теории Ньютона, если известен угол между вектором набегающего потока и нормалью к поверхности. На наветренной части вблизи плоскости симметрии при увеличении числа Маха результаты теории и численных расчетов согласуются между собой.

На рис. 4.26 показаны изобары в сечении, 2=5 при Л4ОО = 8, 0 = = 15° и различных углах атаки (геометрия — случай 3; а—а=—10°, б — 0, в — 10, г — 20). На рис. 4.27 показаны изобары в сечении 2=10 (^00 = 6, а=5, 0=15°) для различных геометрий: а — геометрия 1, б— геометрия 2, в — геометрия 3, г — геометрия 4).

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание тела более сложной формы. Геометрия тела, поперечные сечения и две проекции (сверху и снизу) изображены на рис. 4.28 [13—16, 18]. На рис. 4.29 представлены результаты расчетов обтекания тела при нулевом угле атаки и при числе Маха в набегающем потоке 714^ = 6, а также местоположения внешнего скачка уплотнения в различных сечениях, 2=11, 20, 24, и в двух проекциях (вид сверху и снизу). Следует отметить пересечение отошедшей ударной волны со скачком уплотнения от кабины летательного аппарата, в результате чего образуется контактная поверхность, положение которой можно проследить по распространению энтропийного, следа от точки пересечения скачков. Взаимодействие внутреннего скачка уплотнения и внешней ударной волны происходит в районе крыльев.

Рис. 4.27

Качественная картина течения соответствует взаимодействию шестого типа, представленного на рис. 4.15, ж.

На рис. 4.30 показано распределение давления на поверхности тела в зависимости от продольной координаты в трех меридиональных сечениях: ф = 0, 90, 180°. Резкое возрастание давления на поверхности при 2^5 в меридиональной плоскости ф=180° обусловлено торможением потока в окрестности кабины, а затем происходит расширение потока и давление падает. В плоскости ф = = 90° видно увеличение давления в области сжатия потока вблизи появления крыльев 2=15. Давление вдоль меридиональной плоскости ф = 0° меняется слабо и напоминает течение вблизи линии симметрии плоского треугольного крыла.

Рис. 4.30

'/25°

На рис. 4.31 показано распределение давления на поверхности тела в зависимости от угловой координаты ф для 2=15, 20. Увеличение' давления в окрестности ф=90° связано со сжатием потока вблизи передних кромок крыльев. '

Следует отмстить, что в меридиональной плоскости ф=90° в области передних кромок крыльев, происходит резкое увеличение давления, а газодинамические параметры имеют резкие градиенты в этих областях. Развитие сильного энтропийного слоя приводит к тому, что возникают резкие градиенты параметров течения вблизи поверхности, а число Маха у поверхности становится порядка единицы.

На рис. 4.32—4.34 представлены результаты расчетов обтекания той же конфигурации при Л4Ю = 6 и угле атаки а=5°. Результаты для этих двух случаев получены методом уменьшения энтропийного слоя. *

Изобары на поверхности тела приведены на рис. 4.35. Следует отмстить зоны сжатия вблизи передней части и крыльев и зоны разрежения. Максимальное значение давление принимает в точке торможения, локальный максимум давления находится на крыле.

Рис. 4.35

Вблизи кабины на подветренной стороне находится точка, в которой изобары сходятся. Там же находится локальный максимум давления. Течение в пограничном слое определяется распределением давления на поверхности и результаты течения в пространственном пограничном слое будут приведены ниже (см. гл. V, VI).

Большое влияние на характер течения оказывают реальные свойства воздуха и протекающие физико-химические превращения: диссоциация, ионизация и др. В зависимости от скорости протекания реакций различают неравновесные, равновесные и замороженные процессы, что соответствует конечной, бесконечной и равной нулю скоростям реакции. Скорости химических реакций возрастают с ростом плотности, поэтому «замороженные» реакции встречаются на больших высотах, затем основное влияние оказывают неравновесные процессы, а на меньших высотах течение проходит в режиме равновесного протекания реакций.

В работе [30] приведено численное исследование сверхзвуко; вого обтекания геометрии (рис. 4.21) сверхзвуковым потоком равновесного воздуха. Строгий учет равновесных реакций и приближенный (эффективный показатель адиабаты не меняется вдоль линии тока за отошедшей ударной волной) дает близкие результаты. Отличие наблюдается в областях скачков уплотнения. При увеличении числа Маха влияние реальных физико-химических свойств воздуха становится более заметным. Это влияние особенно заметно по изменению величины плотности и, следовательно, температуры, по изменению значения скорости, отхода ударной волны, но мало сказывается на величине давления на теле.

Наиболее простой учет влияния равновесных свойств воздуха состоит в использовании эффективного показателя адиабаты 4. Результаты для давления на поверхности тела с использованием эффективного показателя адиабаты и расчет равновесного состава в строгой постановке дают близкие результаты.

Влияние свойств реального воздуха проявляется в областях с высокой температурой нагретого воздуха, т. с. в окрестности передней точки торможения, вблизи крыла, и становится незначительным при отходе от зон высоконагретого воздуха.

Учет реальных свойств воздуха в равновесном приближении проводится с использованием существующих таблиц термодинамических функций воздуха по давлению и энтальпии [31]. Разница в постановке задачи по сравнению с разд. 2 заключается в том, что уравнение состояния берется из аппроксимации табличных значений и при декодировке физических переменных из консервативных используется итерационный процесс. Задача распадается на две последовательные: расчет газодинамических уравнений, а затем по известному давлению и энтальпии можно найти состав [24].

На рис. 4.36 приведены результаты расчета обтекания геометрии, представленной на рис. 4.28, при 714^=20 и а=5°, и здесь же приведено местоположение скачков уплотнения для случая обтекания совершенным газом (пунктирная линия). Для случая совершенного газа обход ударной волны больше, чем в случае реально-.

го газа, а пересечение внешней ударной волны со скачком от кабины происходит дальше.

На рис. 4.37 показано сравнение расчетов давления на поверхности тела для совершенного газа (пунктир) и реального газа в равновесном состоянии (сплошная линия). Штрихпунк- тирной линией показаны результаты для случая, когда эффективный показатель 4* нс менялся вдоль линии тока и брался равным значению в точках за ударной волной.

На рис. 4.38 представлено распределение давления в области между поверхностью тела (^=0) и ударной волной (£=1) для различных 2, равных 4, 5, 7 (ф= = 180°).

Градиенты величин в случае реального газа выражены болееГрадиенты величин в случае реального газа выражены болеезаметно.

Градиенты величин в случае реального газа выражены более

Градиенты величин в случае реального газа выражены более

На рис. 4.39, а приведен эффективный показатель адиабаты ч* для ср = О, 90, 180° вдоль поверхности тела, а на рис. 4.39, б — изменение у* для 2=4, 5, 7 между поверхностью тела и ударной волной (ф=180°). .

Литература

Белоцерковский О. М., Холодов Л. С. Численное исследование некоторых задач газовой динамики сеточно-характеристическим методом.— В кн.: VI Междунар. конф, по численным методам в гидродинамике. Тбилиси, 1978: Сб. докл. М.: ВЦ АН СССР, 1978, т. 2, с. 37—47.

Бабенко К. И., Воскресенский Г. П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1961, т. 1, № 6, с. 1051—1060.

Годунов С. К., Забродин Л. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных уравнений газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1961, т. 1, № 6, с. 1020—1050.

Иванов М. Я., Крайко Л. Н:, Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных течений.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, т .12, № 2, с. 441—463.

Кестенбойм X. С., Турецкая Ф. Д., Чудов Л. А., Шевелев Ю. Д. Эйлерова и лагранжева методики для расчета точечного взрыва в неоднородной атмосфере.— В кн.: Тр. II Междунар, коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. М.: ВЦ АН СССР, 1969, с. 226—232.

Любимов А. И., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел. М.: Наука, 1970, Т. 2. 379 с.

MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering.— AIAA Pap., 1969, N 354, p. 28.

Воскресенский Г. IL, Чушкин П. И. Численные методы решения задач сверхзвукового обтекания тел.— В кн.: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1978, т. 2, с. 5—65.

Михайлов Ю. Я., Нерсесов Г. Г., Челышева И. Ф. Численное исследование обтекания сверхзвуковым потоком затупленных тел одного семейства. М., 1974, 17 с. (Тр. ЦАРИ; Вып. 1614).

Kutler Р. Computation of three-dimensional inviscid supersonic flows.— Leet. Notes Phys., 1975, vol. 41, p. 287—372.-

Нестационарное обтекание головной части затупленного тела идеальным га- зом/К. И. Бабенко, В. Н. Иванова, Э. П. Казанджан, М. А. Кукаркина. М.: Ин-т прикл. математики АН СССР, 1969. 170 с.-

Попов Ф. Д., Тимофеева Т. Я. О расчете трехмерных течений около затупленных тел.— Тр. ЛПИ, 1976, № 352, с. 55—59.

Погорелов Н. В., Шевелев Ю. Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел под углом атаки: Препр. Ин-та пробл. механики № 175. М., 1981. 52 с.

Погорелов Н. В., Шевелев Ю. Д. Об использовании неортогональных криволинейных систем координат при расчете сверхзвукового обтекания передней части затупленных тел под, большими углами атаки.— В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1981, т. 12, № 6, с. 264—269.

Сахаров В. И., Шевелев Ю. Д. О расчете стационарного невязкого обтекания пространственных тел.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1980, № 4, с. 172—175.

Погорелов Н. В., Шевелев Ю. Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел сложной формы под большими углами атаки.— В кн.: Численные методы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: Наука, 1983, с. 262—268.

Abbett М. J. Boundary condition calculation procedures for inviscid supersonic flow fields.— In: Proc. AIAA comput. Fluid dyn. conf. Palm Springs (Cal.), 1973, p. 153—172.

Сахаров В. И., Шевелев Ю/Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел сложной формы: Препр. Ин-та пробл. механики. № 116. М., 1978. 58 с..-

Moretti G., Pandolfi М. Entropy layers.— Comput. and Fluids, 1973, vol. 1, p. 19—35.'

Боровой В. Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. М.: Машиностроение, 1983. 141 с.

Reinhardt W. A. Parallel computation of unsteady, three-dimensional, chemically reacting, nonequilibrium flow using a time-split finite-volume method on illiac. IV.—J. Phys. Chern., 1977, vol. 81, N 25, p. 2427—2435.

Луцкий A. E., Прокопов Г. П., Черкашин В. А. Расчет стационарных течений смешанного типа: Препр. Ин-та прикл. математики № 87. М., 1980. 44 с.

Rusanov V. В. A blunt body in a supersonic stream.— Annu. Rev. Fluid Meeh., 1976, vol. 8, p. 377—404.

Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 328 с.

Терентьев Е. Д. О форме звуковой линии при обтекании затупленного клина сверхзвуковым потоком совершенного газа.— ДАН СССР, 1979, т. 247, № 2, с. 319—323.

Годунов С. R., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 400 с.

Рихтмайер. Разностные методы решения краевых задач. М.: Изд-во иностр, лит., 1960. 262 с.

Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979. 221 с.■

Сахаров В. И., Котенев В. П., Тирский Г. А. Применение неортогональных

координат в расчетах сверхзвукового невязкого обтекания тел под большими углами атаки.— В кн.: Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М.: Изд-во МГУ, 1981, с. 106—113.

Синченко С. Г. Аппроксимация термодинамических функций "воздуха.—Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1968. т. 8, № 4, с. 917—922.

Cleary J. Effects of angle of attack and bluntness on laminar heating-rate distributions of a 15° cone at a mach number of 10.6.— NASA Tech. Note, 1969, ND-5450, p. 27.

Nomura S. Similar boundary layer analysis for Lee-surface heating on yawed blunted cone.—AIAA J., 1976, vol. 14, N 4, p. 366—401.

De Neef T. Treatment of boundaries in unsteady inviscid flow computations. Delft, 1978. 36 p. (Delft Univ. Rep.; N LR-262).

MacCormack R. A numerical method for solving the equations of compressible viscous flow.—AIAA J., 1982, vol. 20, N 9, p. 1275—1281.

Hollanders M., Peyret R. Schemas implicites a deux pas pour la resolution d’une equation de conservation.— Rech, aerosp., 1981, N 4, p. 287—294.

Ikur L, Matsuo K. Aoki T., Kondoh N. Mach reflection of a shock wave from an inclined wall.— Mem. Fac. Eng. Kyushu Univ., 1981» vol. 41, N 4, p. 31—45.

ГЛАВА ПЯТАЯ

Пространственные ламинарные пограничные слои в сжимаемом газе

В этой главе рассматривается постановка задачи о трехмерном пограничном слое в сжимаемом- газе. Выписываются уравнения пространственного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат.

Система уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе с помощью преобразования А. А. Дородницына сводится к системе уравнений, напоминающих уравнения несжимаемой жидкости. Используется форма записи уравнений в переменных подобия.

В разд. 2 представлены конечно-разностные методы расчета пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе. Применяется методика расчетов, разработанная для несжимаемой жидкости (см*, гл. III). Рассматривается конечно-разностный аналог уравнений пограничного слоя и алгоритмы нахождения решения.

В разд. 3 система уравнений сводится к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Используется метод последовательных приближений для задач пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе, аналогичный методу последовательных приближений в несжимаемой жидкости. Проводится анализ характера определяющей системы уравнений. Рассматривается решение задачи в локально-автомодельной постановке и в приближении «осесимметрической» аналогии. Проводится анализ решения задачи в зависимости от параметров задачи.

В качестве примеров рассматриваются следующие задачи: о течении в окрестности точки торможения, на линии растекания острого конуса под углом атаки, на конусах под углом атаки, на сегментальном теле под углом атаки и др.

Проводится сравнение экспериментальных результатов с результатами конечно-разностных расчетов.

.Уравнения пространственного ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе

Система уравнений пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе в случае произвольной криволинейной системы координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела, имеет вид

и ди , о ди . ди . л 9 А 9 А

-^ = 0, d?

u dcoViTi diu dcoViTi di= 5i + -— |A — P dg \ d^= 5i + -— |A — P dg \ d^pu dH . pco7^Г1Г + Vl^pu dH . pco7^Г1Г + Vl^dHdn 'dHdn '. dH+ p -5Г. dH+ p -5Г

u dco

ViTi di

u dco

ViTi di

= 5i + -— |A — P dg \ d^

= 5i + -— |A — P dg \ d^

pu dH . pco7^Г1Г + Vl^

pu dH . pco7^Г1Г + Vl^

dH

dn '

dH

dn '

. dH

+ p -5Г

. dH

+ p -5Г

-^ — + v — + b# + b^ + Bauto =

VgM dn d? ' 1 ^ 2 ~ 3

Первое уравнение системы (5.1)—уравнение неразрывности, три последующих — уравнения количества движения в проекциях соответственно на оси g, ^ и г] и последнее — уравнение для полной энтальпии. Система уравнений замыкается уравнением состояния p = pRT и связями, определяющими коэффициент вязкости, теплопроводности в зависимости от температуры (ц = с7’“, X=cTto).

В уравнениях (5.1) g^—компоненты метрического тензора, причем g«^ = aa^ g33=l, g3a = 0 (а=1, 2); g=gng22—g^ ; U) у, co — компоненты скорости,., направленные соответственно по осям g, £, ц; Н — полная энтальпия, р— давление; р — плотность; Т— тем

пература, з= ——число Прандтля. Ось £ ортогональна к по

верхности тела. Коэффициенты Аь В{ определяются в разд. 5 гл. II.

Граничные условия на поверхности являются обычными услб: виями «прилипания» для касательной составляющей скорости. Распределение вдува или отсоса для компоненты скорости, перпендикулярной к поверхности, задается. Температура стенки считается постоянной, т. е. система (5.1) решается при следующих граничных условиях:

w=(D = 0,у = у0, H=HQ при £ —0.(5.2)

Условия на внешней границе пограничного слоя находятся из уравнений идеальной газовой динамики (гл. 4). Эти уравнения вблизи тела формально можно получить, полагая в уравнениях (5.1) вязкость тождественно равной нулю. Уравнения идеальной газовой динамики решаются, например, конечно-разностными методами для внешнего сверхзвукового течения. Таким образом, на внешней границе пограничного слоя имеем.

и-^ие, to^toe,Н^Не = const при ^-^оо.(5.3)

Это соответствует рассмотрению пограничного слоя при изэнтропическом внешнем течении.

Система уравнений (5.1) приведена к безразмерному виду. В качестве характерных размеров выбраны: характерная длина скорость набегающего потока U. В качестве масштабов плотности,

вязкости и теплопроводности выбраны характерные значения этих величин в набегающем потоке.

Систему уравнений (5.1) можно свести к виду, при котором в уравнения не войдет явно число RCoo. Действительно, обезразмери- вая исходные уравнения, получаем, что число Re^ входит множителем при старших производных. С помощью замены переменных g1=yReoog и y1=VReooy зависимость от числа Re^ исключается.

В задачах о продолжении пограничного слоя необходимо задать первоначальные профили скоростей в некоторой области. В задачах об обтекании ввокрестности критической точки следует добавить условие торможения потока. Начальные условия должны быть выбраны так, чтобы обеспечить единственность решения поставленной задачи.

В системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, граничные условия упрощаются, так как ue-^Ue, сое-^0.

В этом случае уравнения количества движения на внешней границе пограничного слоя записываются в таком виде:

L^u^, —1—®L=bxUV

Ре ds д$ Ре V g22 дп

Следует отметить, что если внешнее течение изэнтропическое, то из соотношения Крокко .имеем (rot Ue) Ue + Te gradS = 0, где S— энтропия. Поэтому получим для течения без сильных разрывов (rot Ue) Ue = 0. Составляющая вектора завихренности равна нулю

d^g^U;! d/g^

—7== О, и так как51 =т= —, получа-

¥211222 . дП¥ 211222 дП

ем, что геодезическая кривизна внешних линий тока Bv связана с градиентом скорости в поперечном направлении соотношением D11п

= -7—. С другой стороны, имеем

¥ 222 Ue дП

В 1

Ре^ дп

Окончательно получаем

1 др1 dUe

, —7== — OeUe -7=.

V 222 дпV g^ On

В качестве граничных условий можно выбрать и другие условия. Например, условие отсутствия теплоотдачи с поверхности тела запишется в виде дТ(д^ = 0.

С помощью преобразования, аналогичного преобразованию А. А. Дородницына = С р d £„=ри 4—JL- _^Д,

\ J¥2и д^Vg^ Эч /

систему уравнений (5.1) можно свести к виду, напоминающему вид уравнений для несжимаемой жидкости [2]:

и ди ।(0 ди , ди . л дя

".г— ~ + V— дЬ ^1 —— + Л^2 + Л3(Й2 + AgUto = г 8и dl V 822 di] d^

(5.4>

^ = 0, d^i

—F=Н -т=-Н У1h 5хи -f В,ы2 -г

V811 д^ Г^22 дЛ 1 д^ 1 т 2 л

+ В-Uto = В,Д1,

и dH , to дН .дН д ( ЦР Г 9Н , , 1Х д №]

.—•—т=Ну, = — р2—f- (ст —1).

Veil dg Г&2 dr) 1 1 ^ ^l a [d^'' d^ 2 lj

Граничные условия:

(5.5>(5.5>(5.6>(5.6>и = co = 0, у = у0, Н = Но при 5 = 0 U->Ue, to-^-toe, Н->Не при £->ОС.

(5.5>

(5.5>

(5.6>

(5.6>

Введем замену переменных:

V HcPea ■J

где a(^, т]) —некоторая произвольная функция. Переменная подо бия имеет вид

Jpdr.Jpdr.,( ие V/,

Jpdr.

Jpdr.

Л = I I

\ НА? /

Перейдем от искомых функций и, to, v, Н к новым переменным: ^(ib Пь ^), G(?i> Пь М. ^(§i. Пь ^)- 0(Вь Л1. ^) п0 формулам (индекс 1 при 51, Л! в дальнейшем опускаем):

и = ие (5, л) Е (Е, Л, ^),

= Р (5, n) Ue (5, П) (G (Е, П, ^ + <р£ kV п, ^)),(5.7)-

Ух = 1/"—^L(G + <p£)— ) ,

V a \^811 ;d5к§22дц/

H = HQ + {He — H0)d, ф = о)е/ргге.

Функции a, р — пока произвольные функции переменных g и т). Смысл этих функций такой, как и в случае несжимаемой жидкости. Функция р выбирается таким образом, чтобы в окрестности плоскости симметрии (ю = 0) рассматривалось уравнение не для величины со, а для производной со^.

В результате замены (5.6), (5.7) система (5.1) принимает вид

- (I= V — + ^ (Е2 — F) + №2 + №$ +

d2i \ дХ ) дХ

+ ^4£^. + ^5(0 4-ф£)^-,

_1Л^. = у^- + М;(£2 — £) + M’G2 + Ato+(5.8)

дХ \ дХ дХ

+ N4E^ + N5(G + ^E)-^-,

А(;59_\ = y^ + ^(LzE—Ll[£2 + p2(G_|_ <р£)2 +

дХ \ дХ ) дХ dX\o(\—t0) к дХv

+ 2Р cos 4'0 (G + ф£) £]} 4- N4 (1 - 6) Ег y-L-4-

+ АГ4£^ + ЛГб(С + ф£)^+ЛГ5(1_9)(С4-Ф^

dr]1 — to "Л

— тг = piE + ЛО + N4 — + Nb — + 4>N5 — дХд£ дцdi]

Здесь

^0 — И^Не,

£= ре/р=1 +•(!-/„) (6-1) (14-

_ V"1 Ml Г1£!+11(!1±^Р£Л+^_

261 + Р2ф2 + 2Рф cos 4>0

= №/|^еРе.

Коэффициенты N*, М* выражаются через Nt и Mt (i=l, 2, 3), Л (/=1,2):

Л^^^Ч-^зЧ-ф2^, Лг2* = ^, ^ = Ма + 2ч>Мг,

м; = Мг - ф^1 + Ф (М3 - ф^3)4- Ф2 (М2 - ^ 4- N4 ^4-ЛГ5ф J

дп

Ml = М2 - ф^, м; = М3 - фЛ^з 4- 2ф (М2 - ф^) + Ns^-, (5.9)

Л’ = Л+ фЛ4-^5|^-, Р\=Р2, N4=a/Vgn, Ns=c^jVgi2-

Коэффициенты N< и М^ связаны только с геометрией тела и параметрами внешнего течения:

мг -5" + аЛ1- ^2 = аМ2’ Na = 47^"+ аИ,

Г^и“еVgM ие dr]

MY = a^Bv M2 =+ а?В2,

К gMUe dn

М3 = аВ3 +

а

V 5ГМ

,« д / Г €\1/ а du« 1 дРе?еа \

\ ==1 / — Ue \7=-,

V §^е д^ \ V §И /2 §П \ ие д§ №^/

2 = "7=Р ] / — ие\т=8 .

V §tie ^Ч \£222 Г £22 \ ие дц рере Эп /

Если известна геометрия тела и величины ие, сое, р,е, р9 на внешней границе пограничного слоя, то вычисление коэффициентов Niv Mh Pj не представляет особого труда. Величины Ab Bt выписаны в разд. ‘5 гл. II. В точке торможения возникают особенности -вида t дие

-2и т. д., которые легко разрешаются. Величины к и cos фо Ue

определяются по формулам

к = УШе = (1 + 7—Г ) (1 + 2Рф COS % + Р2ф2),

\ ■ (V - 1) М’ у

costo-giV/gu^-

Здесь приняты такие обозначения: у — отношение теплоемкостей ^=cpJc1)); Ме—число Маха на внешней границе пограничного слоя; о — число Прандтля.

Граничные условия (5.5) в результате преобразования (5.6) и (5.7) примут вид*

£ = G = 6 = 0, V= Vo при Х=0,

(5.10)

Е, 6-И, G->0 при Х->оо.

Такой вид система уравнений и граничные условия принимают в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Расчет сверхзвукового идеального обтекания гладких тел обычно производится в ортогональной криволинейной системе координат, например, сферической. Однако если центр системы координат сместить относительно оси симметрии тела, как это иногда делают при численных расчетах сверхзвукового идеального обтекания пространственных тел, то пересечение ортогональной системы координат с поверхностью тела приводит к неортогональным сеткам. Поэтому естественно рассматривать общий случай криволинейной системы координат, связанной с поверхностью тела. Вид уравнений (5.8) упрощается в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. В этом случае со9 = 0, а следовательно, и ср = О. Отсюда N*=Nh М,*=МЬ Р? = Р^ Ц= = 1, 2, 3; /=1, 2). Если проинтегрировать уравнение неразрывности и положить £=//(§, г), X) и G=g/(^ г), X), то система (5.8) сводится к виду

м - - (p;r+л7) г».+к $ - Ре/Р)+м+WaW +

+ ^4 (AAs — Ым) + ^5 [(^ + ф/^) An - (g + vf)п A^L (5.11)

<м>.=- (л7 + Kg1) g». + м; (fx - м>)+м^>. +

+ MafxgX + N4 (fxgx&~ AgwJ+M, Kg+фА) g?.^ — (£+фАп’£М.1. f—=-(p*j+p^r>.+

+ {—~lA + P (gx + ФА)2 + 2₽ cos^fx (gx + ФА)]} + -

'+ N4 (fxR% — hRx) + ^5 [(^ + фЛ) ^ — (g + ф/% Rx\ •

Граничные условия имеют вид (Vo = O)

fx = gx = f = g = 0, R = Rq при X = 0,

(5.12)

fx-^ 1, gx-*- 0, R->-1 при X->oo.

Конечно-разностные методы расчета пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе

Рассмотрим гладкое тело S в потоке жидкости или газа. Возмущения, возникающие в некоторой точке внутри пограничного слоя, распространяются вдоль линий тока и накапливаются около сгущений линий тока и около линии «отрыва», т. е. вблизи огибающей предельных линий тока. Одновременно эти возмущения распространяются вдоль нормали к телу. В плоскости g, г] линии тока, (проходящие через нормаль к поверхности, разворачиваются внутри угла, стороны которого связаны с линиями тока внешнего течения и предельными линиями тока на поверхности. Если у рассматриваемого течения имеется линия растекания и известны параметры внешнего течения, то, двигаясь от этой линии с учетом зоны зависимости и влияния, можно найти решение во всей области вплоть до линии «отрыва». Если имеются две линии растекания, то в пространственном пограничном слое выделяется промежуточная линия растекания, на которой вектор скорости внешнего течения совпадает по направлению с вектором скорости внутри пограничного слоя. Сложнее обстоит дело, если зоны влияния от разных линий растекания пересекаются. Возможен случай вязкого взаимодействия пространственных профилей скорости от разных линий растекания, ведущий к образованию и зарождению в пограничном слое вихрей.

В общем случае расчет пространственного пограничного слоя -следует начинать с отыскания критической точки (точки торможения) и плоских геодезических линий, проходящих через эту точку. Предположим, что удалось найти такую систему координат с началом в критической точке и линией т] = 0, совпадающей с линией

тока внешнего течения и плоской геодезической линией на поверхности, что ис~^, ю,~^к\, lfgu~c, ^g^^, gi2~&\- При таком вы- боре системы координат на поверхности особенности, возникающие в критической точке и на критической линии, легко устранимы и уравнения локально сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Построим решение вблизи точки на поверхности go, Ло, наблюдая за поведением линий тока внутри пограничного слоя, а затем в согласии с концепцией зоны зависимости и зоны влияния — и во всей области.

Рассмотрим один из возможных вариантов конечно-разностного метода расчета уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. Заменим систему уравнений (5.8) страничными условиями‘(5.10) системой конечно-разностных уравнений. Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе в преобразованном виде представляют собой систему трех нелинейных уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности).

Заменим область непрерывного изменения аргумента £)(0^л^ ^rf, O^g^g*, O^g<g*) областью дискретного изменения аргумента Dh^n, g™, Xz), где /=0, 1, 2, ..., L; т — 0, 1, ..., М; п = = 0, 1, ..., N. Производные по X заменяются такими разностными отношениями:

^U]d^ = 4i,lUui,m,n + Ъ.1и1,т,п + Ъ.1и1-1.т.п + Фи

duldt, = ^jUiv^^.n + ^-i.Ml.m.n + bgjUh^n.n + ^2-

Величины гр± и ф2—погрешности аппроксимации, которые записываются в следующем виде:

... _ i ,K^\f^u\1 iдЧ ,

ши Ц I

3 [\ ^3/4 к ^1-?//

Ъ —4\ 5£4 У 3!‘ ’

где 62g = gz+1—2gz + gz-i.

Следует заметить, что погрешность гр1 = О(^г+1—2g1 + gz-1), в то время как погрешность гр2=О[ (Sz+±—£0 (^—£z-i)L если производные, которые входят в выражение для и ф2, будут порядка единицы. Погрешность аппроксимации гр± и ф2 имеет одинаковый порядок величины, если потребуем, чтобы отношение размеров сетки в соседних узлах (gz—gz-i)/(gz+i—£0 было порядка l + (gz—gz-i). Тогда погрешность ф1 = О(ф2) =О(й2). Нетрудно проверить, что для случая равномерной сетки аппроксимация дает второй порядок точности.

Здесь

22

Vi , = 'V * Z =

2572579 Ю. Д. Шевелев

257

257

(^1 — ?Z-x) (?z+i ?Z-i)^Z+l ?/) (?Z+1^Z—1^

гдегдеПроизводные по £ и по t] заменяются односторонними разностными отношениями:

где

где

^m^m—i ^m—2

^l,m

йт-к ^т-г^-^т^m-i)

В —

2Пп Лп-! ^/1-2

0^3,m ^^

Pl,rt —

(^m^>m-0 ^m ^m-2^

Рг.п =

- nn_8

Oln-i ^п-г) (^n^n-i)

Рзл

(Л/г ^n-2) (^n—1^n—2^

dujdt = ^1>тщ,т,п 4“ &2,m^Z,m-i,n 4“ &3,m^Z,m-2,fi 4~ Фз, ди[дх\ = ^i1nUltm,n 4“ P2,n^Z»m,n-i 4“ Рз,п^,т,п-2 4“ Ф4,

Для случая равноотстоящих узлов разностная аппроксимация дает второй порядок точности по всем независимым переменным: g, ц и X. Величины ф3 и ф4—погрешности аппроксимации — имеют такой вид:

Фз = (W) (^ - ^_2) ^п - Ы + • • • ,

Ф4 = (дЧс/дч3) Ob — Пп-2) Ьп — n^-i) 4- • • • .

Следует отметить, что погрешности аппроксимации г|ч—ф4 при резком изменении размеров шага сетки играют роль дополнительных источников или стоков и вносят ошибку в вычислении поля течения. Выше отмечалось, что погрешность аппроксимации г^ имеет порядок ^2 = O(h2), если отношение размеров сетки (^—^-1)/ /(^+i—^1) порядка 1 + (^—^-i)- Практически удобнее выбирать шаг сетки равномерным и увеличивать (уменьшать) в областях, где градиенты соответственно уменьшаются (увеличиваются).

Исходная система дифференциальных уравнений (5.8) с граничными, условиями (5.10) заменяется системой трех нелинейных разностных уравнений второго порядка и одного разностного уравнения первого порядка:

Eotmtn ^^ Gotm,n ^^ ^i Ro.m.n^^ Rqi

^к,1^(1^к,тгп “Г4“ ^i,z£/-i,m,n — L>kl,m,ni

A^IMivkwm%n + ^>2,/СГ/,^л 4“ С2/ и/-!,™,/! = bf2/,m|n,(0.10 J

Д^п(к) ।। p(k') n

^.lixl+i^m.n "T" ^зД^хит.п n” ^sjixl-i.m.n — Мз/,т,п,

Еь,т,п = 1) GLtm,n — 0, RL,mtn — l9 (Z=l,2, . .. , L— 1).

Эта система алгебраических уравнений рассматривается для всех O^m^M, O^n^N.

Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений. Зафиксируем т=т* и п=п*. Предположим, что решение для (й—1)-й итерации известно. Тогда находятся коэффициенты Л%, В^ь С$, D^ (1=1, 2, 3). Затем система уравнений (5.13) решается при помощи метода скалярных прогонок последовательно. Обычно вначале решались конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнениям движения, затем энергии. Используя новые значения Е^т,п» С^л и R^kn, находим нормальную составляющую скорости И/^из разностного аналога уравнения неразрывности. Затем процесс повторяется. Для сходимости достаточно 5—6 итераций, если решение на предыдущем слое (О^/^L) близко к искомому. Граничные условия при l=L удовлетворяются с точностью 8-ю-4~ю-5.

Систему уравнений можно записать еще в таком виде:

Uo,m,n — ^о,т,т

(5.14)(5.14)Х^ ии Iи П^)

(5.14)

(5.14)

гдегдеЦь,т,п— ф£,т,п, (I— 1, 2, . . . , L 1),Ць,т,п— ф£,т,п, (I— 1, 2, . . . , L 1),^iJtm.nUivi.mtn "тVi,/,m,пУЧ-1,m,n — ul,m,n-

где

где

Ць,т,п— ф£,т,п, (I— 1, 2, . . . , L 1),

Ць,т,п— ф£,т,п, (I— 1, 2, . . . , L 1),

О

DU

О

U/+l,m,nU/+l,m,n^кг.т^^кг.т^^Ivhm.n^Ivhm.n(Dil^m.n \

U/+l,m,n

U/+l,m,n

^кг.т^

^кг.т^

^Ivhm.n

^Ivhm.n

Оцд.п I ’

О^Цт^п /

Рассмотрим алгоритм матричной прогонки. Будем искать решение в виде

Uikkn = E^mX^(/=1,2, ... L — 1).(5.15)

Предположим, что матрица Е^,п и вектор tikm,n невырожденные.

Подставим u^.n^F^.nU^^систему (5.14) и разре

шим относительно и^.п. Приравнивая коэффициенты в соотношении (5.15) и вновь полученном соотношении, получим систему матричных и векторных уравнений для нахождения EIm„ и ^т,п (для всех /^ 1):

/о(^) I р^)

' М,т,п— —"г ^Utm,ncl-i,mtnJ ™il,mtn,

f^m,n = (Bi/fw,n 4“ Су^.т^пУ l-i,mtn) 1 (Pum.n ' Cibm.nf/-i.zn.n),

У^т.п ^^ фо,^,«»

Таким образом, прямая прогонка позволяет найти ^т,п, tw для всех /, если матрица (В^^ + С^тл^-т^т.пУ1 остается невырожденной. Обратный ход прогонки состоит в нахождении и^л из соотношения (для всех 1^/^L—1):

1

U/^ = E/,^^ПРичем ^L = 0

Вариант скалярной прогонки обладает простотой, не требует запоминания матриц Е/^^/^, В$^ Сщт>№ и т. д., и время счета при удачном выборе параметров релаксации сравнимо со временем счета методом матричной прогонки.

В гл. III подробно рассматривался вопрос об аппроксимации конвективного оператора. Односторонние аппроксимации производных конвективного оператора, применяемые в данном разделе, дают условную устойчивость. Область зависимости дифференциальной задачи должна содержать область зависимости разностной задачи. При конкретных расчетах необходимо следить за поведением линий тока внутри пограничного слоя в каждой расчетной точке. Как показали расчеты, использование односторонних аппроксимаций производных, входящих в конвективный оператор, полезно для ряда задач, например, для расчета течений около конусов с произвольным углом полурастворов. Для более сложных задач следует использовать другие аппроксимации (см. гл. VI).

Поле внешнего течения обычно известно из расчетов внешней задачи и задается таблицами распределения внешнего давления и поперечной составляющей скорости. Все остальные значения (плотности* продольной составляющей скорости, температуры) вычисляются из законов сохранения.

Метод последовательных приближений

Приближенные интегральные методы расчета трехмерного пограничного слоя в несжимаемой жидкости могут быть обобщены на случай течений в сжимаемом газе.

Проинтегрируем уравнения системы (5.8) по координате X от некоторого текущего значения X до бесконечности с учетом второ-

го из граничных условий (5.10). Получим

- z ^ = - v (£ -1) + №* + лО еи + м^ + (р: + лф 021 +

+ n; f (i - f) dx + nx - p:e2 + n. ^ +

dT]dT]

— I— = - VG + Mi fen + 01 + [ (1 — F) dx) +

+ (p;+m;) e22 + (p; + m3*) o21+w4 ^-+w5 ^ + фм5 ^, d;dr]di]

(5.16

--^ = -V(0-l)-^ —L^A[£2 + p2(C+(p£)2 +

а дХa к (1 — /0) дХ

+ 2p cos Ф (G + <p£) P] + PX + PX + N4 A 031 +

+ n5 + 4>n5 ^ + w4e31 -d ln(1~Zo) + дт]дт]

+ ^(032 +ф031)^ц^-, dr]

_^-=р^ + р;с + ^4^-+^5^ + ф^5^ .

oX.dr]dr]

Здесь

Or = ^ (1 — ^) d^ = Pi (0x + 0ц) + P2O21+P3O22 — (1 — U (1 + Pt) ®з»

P1 = игеК2Не - U^ = ^1 Mt

p2 = 2₽Px (cos % + Рф)/(1 + PV + 2₽ф cos 1|)O),

Рз = P2Pi/( 1 + PV + 2Рф cos ip0).

Величины 01—03, 0ц, 012, ©21, ©22, Озь ©зг имеют вид

01=J(F-i)dX, 02 = j6dX, 03 = J(0— l)dX,

0n = J(F— l)£dX, 012= J(£ —l)GdX, 02t = j£GdX, ZXX

022 = jG2dX, 031 = J(0-l)£dX, 032 = ^ (0 — 1)GdX

Проинтегрируем систему (5.16) по координате X от нуля до некоторого значения X с учетом первого из граничных условий (5.10). Компоненты скорости и профиль энтальпии получим в таком виде:

-е=е0; + <р;+yj вц + n* (о;+оа + nx+^+n^ е^ -

* *50*50*50*

3g dqЗг]

(5.17)

- g=о:2+м; (9^+9р+$+(р;+л^ о:2+<р; + ло 0:;+

, 30*30’,30*„

+ ^4 ~+ ^5 ——+фЛГ5 ——+ S3,

4 3g 5 зпаг) 3

- 4 =Х - -L2£ _L^ [£2 + р (G + £)2 +

оо ^(1—/о)

+ 2р COS Фо (^ "Ь Ф^) ^] + Л&31 + Р2^32 +

59*50*[50*_

+ ^4-^ + ^5-^ + ф^--^- + 32,5g5ч5ч

XX/ ^\

— V = -Vo+ Pi CfdX + P; fGdX + lV4 — I [,£dX| +

JJ3g I J

00'0/

+ ^^-( fGd%)+q)^5^- f£dX .

3n IJ / dr] I J 'O'\0'

Здесь приняты такие обозначения:

e0;= Jz-^o—E)dx,

e;2 = — J rwGdx,

X

90*3 = J I W(Y -O)dX,

0

2,

0

X

0

X

0i = p-^dX,

o.; = j/-ie2dx,

0з = ^ Г1^ dX,

0 X

o;1= J/"i0n dx, 0

0*2= ^Z’^d^ 0

62*!= J/^idX, 0

6*2<= /-1022 d^?

0

63*1== p-^dX, 0

e;2= Jz-^dX. 0

Величины Si—S3 находятся по формулам 2,_2._к

s^-nA9n ^d%-^ f e12^dx-<pN5 f en ^a, J 3gJ dr]J di]

000

s8 = - n, J e21 ^ db - m5 J (022 + Фе21) ^- dx, nъ0

s = N4^^- о; + ^-^—^- $2 + <) -

- w4 f e31 ^ ax - #5 f (632 + фб31) ^ ax, о0

OfOfX ooX ooо Xо X(1 — F^dX.(1 — F^dX.

Of

Of

X oo

X oo

о X

о X

(1 — F^dX.

(1 — F^dX.

Эти величины появляются за счет неоднородности потока в пограничном слое, связанной с сжимаемостью /=цр/|ыер^ и температурным фактором. Если /=1, /0 = const, то эти члены тождественно обращаются в нуль. Решение полученной нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений с граничными условиями

Е-> 1, G->0, 0->1 при X —> ос (6.18)

эквивалентно решению системы (5.8) с граничными условиями (5.10).

Система (5.17) с граничными условиями (5.18) представляет сложную нелинейную систему интегро-дифференциальных уравнений. Будем решать эту систему уравнений методом последовательных приближений аналогично случаю несжимаемой жидкости.

Предположим, что известно (п—1)-е приближение

Е^ (Е, -п, X),G<n-1) й, т], X),е'""1’ (Е, Т], А).

Подставим эти функции в правые части системы (5.17). Произведем соответствующее интегрирование и получим п-е приближение. На каждом шаге итерационного процесса необходимо удовлетворять краевым условиям задачи. Для того чтобы п-е приближение удовлетворяло граничным условиям (5.18), введем в (п—1)-е приближение неизвестные «управляющие» функции таким образом, чтобы граничные условия для (п—1)-го приближения сохранились. Для этого правые части системы (5.17) представим зависящими от Е, G, 6—Е. В правые части уравнений системы (5.17) подставим вместо

Е^Ч^ П, ^),G^^, Л, М, O^U, л, X)— Е^ЧЪ Л, X)

(5.19) соответственно

Е^ а, л, ^), bG^ (£, л, сХ), d^^—E^)

[с=с(£, ц),6 = й(^,п),d=d(£, т])].

При таком способе введения «управляющих» функций граничные условия для Е, G, Е—6 сохраняются. Таким образом, метод последовательных приближений отличается от обычного введением «управляющих» функций для удовлетворения граничных условий.

Рекуррентные соотношения для получения /г-го приближения можно записать в виде

р(п) ф ^(П-О; ^Cn-1)^ ^П-!), ^П-i)^

где

p(n)_^(n)^ QW^ 0(n)).

«Управляющие» функции удовлетворяют следующей системе уравнений (Е(п+1,->1, G(n+1)->0, 0(п+1,->0 при £->оо):

nW 56^1100 5gnW 56^1100 5g,(п) d6w,(п) d6w^2100^2100“3100“31005gд6№5gд6№,(л( дб'п'<п) дЬвддчдЧ<п>d6w . w9b'^1*2200Г" ^2 Зое5n5g/Ю56'"’ , илдЬ*^di]5ч,(л( дб'п'<п) дЬвддчдЧ<п>d6w . w9b'^1*2200Г" ^2 Зое5n5g/Ю56'"’ , илдЬ*^di]5чb R^b R^(п) dbw(п) dbw+- Оз"»+- Оз"»dr]dd^l5gdr]dd^l5g+ R”' = о,+ R”' = о,(5.20)(5.20)

nW 56^1100 5g

nW 56^1100 5g

,(п) d6w

,(п) d6w

^2100

^2100

“3100

“3100

5g

д6№

5g

д6№

,(л( дб'п'<п) дЬвд

дчдЧ

<п>d6w . w9b'^

1*2200Г" ^2 Зое

5n5g

/Ю56'"’ , илдЬ*^

di]5ч

,(л( дб'п'<п) дЬвд

дчдЧ

<п>d6w . w9b'^

1*2200Г" ^2 Зое

5n5g

/Ю56'"’ , илдЬ*^

di]5ч

b R^

b R^

(п) dbw

(п) dbw

+- Оз"»

+- Оз"»

dr]

dd^l

5g

dr]

dd^l

5g

+ R”' = о,

+ R”' = о,

(5.20)

(5.20)

+ аХ— + С)-<т* = О) ■ дч

(а*= 1/0-(1 - а)/[о(1 -UC/2+ 1/(7- 1) М’1).

Здесь foo = lim Щ, 4, £), где j— произвольная функция, ^оо

Вид коэффициентов R^n)—Rsw определяется геометрией поверхности, параметрами внешнего течения и предыдущим приближением. В случае сжимаемой жидкости вид этих коэффициентов приведен в работе [7].•

В процессе итераций находятся коэффициенты трения на стенке и тепловой поток к телу.

Таким образом, система (5.20) сводится к виду

гдегде^L + B-^ = g, 5^ 5ч^L + B-^ = g, 5^ 5ч(5.21)(5.21)

где

где

^L + B-^ = g, 5^ 5ч

^L + B-^ = g, 5^ 5ч

(5.21)

(5.21)

В системе уравнений (5.21) координата ^ — времеподобная. Систему (5.21) будем называть определяющей для системы уравнений (5.20). Исследуем характеристики системы уравнений (5.21). Уравнение характеристик для приведенной выше системы имеет такой вид: .

dgdg= 0,= 0,

dg

dg

= 0,

= 0,

где Е — единичная матрица, |-|—обозначает определитель матрицы.

В нашем случае уравнение характеристик имеет такой вид:

03cL di)/—I «М103cL di)/—I «М1с^ ап‘.“1'00 i 240сс^ ап‘.“1'00 i 240с^1 Л ^** 1 Г№ '^1 Л ^** 1 Г№ 'I a1’1a^? a(n) a{n)\ ЦОС2 ЗоеЛос ЦооI a1’1a^? a(n) a{n)\ ЦОС2 ЗоеЛос Цоо= 0.= 0.(5.22)(5.22)

03cL di)/—

I «М1

03cL di)/—

I «М1

с^ ап‘.

“1'00 i 240с

с^ ап‘.

“1'00 i 240с

^1 Л ^** 1 Г№ '

^1 Л ^** 1 Г№ '

I a1’1a^? a(n) a{n)

\ ЦОС2 ЗоеЛос Цоо

I a1’1a^? a(n) a{n)

\ ЦОС2 ЗоеЛос Цоо

= 0.

= 0.

(5.22)

(5.22)

Из соотношений (5.22) следует, что система всегда имеет семейство характеристик, задаваемое уравнением d?]/d^ = a^L^L.

Необходимым и достаточным условием строгой гиперболичности системы является условие

/<^ лП^ I!

^W^2ooWj3oo ~] 1^цоо<*24оо1*14 ос I*_1оо/ ~]

+ 4aMl (ДД - аМ^ > 0.+ 4aMl (ДД - аМ^ > 0.(5.23)(5.23)

+ 4aMl (ДД - аМ^ > 0.

+ 4aMl (ДД - аМ^ > 0.

(5.23)

(5.23)

Дальнейшее рассмотрение системы уравнений (5.20) удобно проводить в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения.

В этом случае характеристическое соотношение (5.23) упрощается, причем в соотношение не войдет величина d. Уравнение энергии, которое добавляется к системе уравнений количества движения, если сравнивать с несжимаемым случаем, не влияет на характер определяющей системы. При этом следует помнить, что выбор нулевого приближения является существенным моментом, влияющим на характер и свойства определяющей системы.

Выпишем уравнения характеристик в системе координат, связанной с линиями тока. Имеем

(5.24)(5.24)—Г =btnMn,U d$ 11,4,3

(5.24)

(5.24)

Из соотношения (5.24) следует, что при 6(п) = 0 три семейства характеристик совпадают и являются линиями тока внешнего течения п=const. Случай, когда 6^0, соответствует малым вторичным течениям. Из соотношения (5.24) следует также, что точка г=0 является особой для определяющей системы. Все характеристики начинаются в этой точке или линии.

Выпишем условия на характеристиках определяющей системы. Представим определяющую систему уравнений (5.20) в таком виде: .

ai^s + b^n + cxbs + d^n + gTds + hxdn + ^ = 0,

аА 4* b^n + c^bs + d^bn + g^ds + ^2^« + ^2= 0»

^3^s + b36n + c3bs ^^bn + g^ds + h^dn + ^3 = 0.

Коэффициенты системы зависят от s, п, d, b, d. Здесь приняты такие обозначения: fs — df/ds, fn=df/dn. Условия на характеристиках этой системы получаются из соотношения •

(

а^ — Ь^у .a^ — b^Sya3na—bss0 \

^l^j ^1S6c^no ^SgС^0 daS^1 = 0.

Мо+^а+^о+е^ a^g-V^bg-Vg^dy + е^ а360+ с3Ьа+ 'g^ + e3sgу

(5.25)

Здесь fa обозначает производную от функции / по направлению а. Вдоль характеристик выполняются соотношения /га=£12 3sff.

Формулы (5.24), (5.25) являются канонической записью определяющей системы. Если начальное приближение задать в виде F(0) = [£(0) (сХ), b^G^ (сХ), d0(O)(cX)], то коэффициенты, входящие в уравнение характеристик (5.24), а также другие величины упрощаются, и поэтому в первом приближении можно построить семейства характеристик. После этого несложно проинтегрировать и соотношения (5.25). Постановка граничных условий для системы уравнений (5.21) аналогична случаю несжимаемой жидкости и выше уже рассматривалась (гл. 3, разд. 5).

1. Рассмотрим систему уравнений (5.17). В правые части каждого из уравнений системы входят члены с производными по координате вдоль поверхности тела, члены с производными по координате поперек поверхности тела и члены, свободные от производных по координатам £ и т). Основной характер изменения величин в пограничном слое определяется диффузией поперек пограничного слоя, а не конвекцией вдоль него. Пренебрежем в правых частях системы (5.17) членами, содержащими производные по координатам ^ и г]. Для определенного класса внешних течений решение задачи (5.17) сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, в точке торможения система уравнений (5.17) локально сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому предлагаемый подход, назовем его локально-автомодельным приближением, дает точный результат, когда решение автомодельное, и можно рассчитывать на удовлетворительные результаты, когда решение близко к автомодельному. Характер изменения решения определяется коэффициентами Л4Д N^ Р-* в системе уравнений (5.17). Если изменение этих коэффициентов мало в какой-то области пограничного слоя, то решение близко к автомодельному.

Построим аналитическое решение задачи о пограничном слое в явйом виде.

Зададим нулевое приближение следующим образом:

^ = \-Ш^=bw(z^)-z_Mt■

^-l-Zo^ + Az^-z.^)),'

z0® = -^J^dC, z.x^ = ^

где V=c^, т])Х.

Найдем составляющие величины трения на стенке, а также тепловой поток к телу. В локально-автомодельном случае для произвольной геометрии тела и внешнего течения получаем [7]

cfl ]ARe = Zo£?.=o = Vd^ (0.233 P* + [0.797 — 0.564 (1 — Q] (1 +

+ Pi) Ni + b№ (0.209 N*3 — 0.112 Pt + 0.209 pX) —

- 0.071 bw X + pgN^ - 0.322 d№Nl (1 - Po) (1 + P1)},

(5.26)

Ch V^S = l^ = V^ {.< (1 + P1) [0.797 - 0.564 (1 - Q] +

+ 0.209 bw X + Ml + pX) - 0.071 bw X + ^ + pXi) - - 0.322 d(°X (1-/,)(!+ Pi)),

Nu/VR^ = — 0x=0 = ]/^) [Pj (0.233 + 0.209 cl^ —

— №*(0.112 +0.071 cOb•

Здесь

d(0) = [(0.159 + 0.25 Zo) (1 + pj N1 + 0.194 bw (Nt + pX —

- 0.047 X+PsNiXX,

bw = (0.25 P’ — 0.103 VX + 0.31 ^Pl — 0.1 b^X)""1,

b№ = [5 — (B2 + tAC^/SA,'

г = 0.25 (1 + p^) (1 — Zo) N* + 0.31 P’ — 0.099 b№Pt.

Величины А, В и С находятся по формулам:

А = 0.1 Р2‘ + 0.047 X + рХ>

В = 0.31Р* + 0.194 X + РзК),

С = м; (1 + Р1) (0.159+O.25Zo — 0.25de) (1 — /0)).

Рассмотрим влияние определяющих параметров на решение задачи. Вид коэффициентов для произвольной криволинейной системы координат достаточно сложен. Поэтому рассмотрим систему координат, связанную с линиями тока внешнего течения. В этом случае коэффициенты, приведенные выше, запишутся таким образом:

M"Y—^^, p-=s±in(^v^}.

Ue dsRUe dr)ds \ ue J

Величины трения и тепловые потоки находятся по формулам

С. VR= - № - V»" [о-233'

([d In s

+ (1 + Pi) ^у [0.797 - (1 - /0) (0.564 + 0.322d(0,)]|,

си у Re = Z0G- = V6(0) ^- ^ (1 + ft) [0.797 - (1 - Zo) х

R дп

X (0.564 + 0.322 d(i)],(5.27)

N j/ V Re = — 0/. = о(0.233 + 0.209 d ^.

Gд Ins

Здесь

ft = (T~ О 44^/2,

(5:28)(5:28)д In (R Vr/v U^ 25 + 0 31

(5:28)

(5:28)

5 In s

d” = (0.159 + 0.25/0)/1 0.25(1 — Q + 0.31

v0// [ v 0dins /

-d In U,1

d Ins

Вдоль линий тока внешнего течения получены простые алгебраические формулы, которые показывают влияние температуры стенки, числа Маха внешнего течения и изменения скорости внешнего течения, произведения величин вязкости и плотности вдоль тела на коэффициенты сопротивления и 'Теплообмена. В частности, эти формулы вырождаются в формулы для осесимметрического случая, когда din Ue/dn=Q. Если Pi = 0, ^0=1, то результат напоминает случай несжимаемой жидкости для пространственной задачи.

Продольная составляющая локального напряжения трения на поверхности имеет такой вид (в дальнейшем индекс е внизу обозначает, что значения параметров следует брать из условий на внешней границе пограничного слоя):

Т1 = 1^.(5.29)

Введем определение продольной составляющей локального коэффициента сопротивления трения следующим образом:

с1/=ц(дм/д^)/реие2.(5.30)

Выразим локальный коэффициент сопротивления через локальное число Рейнольдса и величину 1ОЕК. Имеем■

clfYRe=l0Ex,(5.31)

где Re=Mepea/pe.

Формулу для локального напряжения трения можно записать в таком виде:

Напомним, что величина 1ОЕК в предположении о малости вторичного течения вычисляется по первой из формул (5.27). Величина

продольной компоненты местного коэффициента сопротивления на поверхности определяется в основном продольным градиентом скорости dln<7e/dlns, изменением эквивалентного радиуса тела dln7?/dlns, изменением фактора d In цере/д In s вдоль линии тока, температурным фактором стенки /0, числом Маха на внешней границе пограничного слоя, величиной ^=cPlcv и параметром отсоса или вдува Vo- Локальный коэффициент сопротивления растет, если растет величина d In цере/д In s. Фактор цере определяется значением температуры на внешней границе пограничного слоя. Для многих задач эта величина меняется сравнительно мало. Причем величина цере убывает от некоторого максимального значения в точке торможения потока при отходе от точки торможения вдоль линии тока внешнего течения. При увеличении скорости влияние этой величины становится, существенным.

Локальный коэффициент сопротивления увеличивается, если увеличивается величина dlnRIdlns. Резкое изменение эквивалентного радиуса приводит к резкому изменению величины трения на поверхности. Если радиус изменяется, например, по степенному закону, то величина д\п Ridins дает вклад в величину трения в виде постоянной. Продольный градиент скорости (или давления) оказывает различное действие в зависимости от температурного фактора стенки t0. При увеличении числа Маха Ме влияние растет с ростом Ме как величина Pt=l + ^—1)Ме2/2. При увеличении числа Маха реальное значение величины у уменьшается от значения у=1,4 до значения порядка 7=1,104-1,20. Рост числа Маха компенсируется уменьшением величины у. Продольная составляющая локального коэффициента сопротивления с изменением параметра вдува (или отсоса) меняется при малых вдувах по линейному закону, если не учитывать влияния параметра вдува (отсоса) на величину 6(0).

Отметим, что при ^0=1, pepe=const, Pt=O формула для локального коэффициента сопротивления в сжимаемом газе совпадает с формулой для несжимаемой жидкости. При охлаждении стенки локальный коэффициент сопротивления стремится к некоторому предельному значению (^~^0):

С, fRe =0.233 а1"<^^-1 +

Lд In $

(5.32)(5.32)+ (0.223 — 0.322 dl0)) (1 + р^ д-^ . д In s

(5.32)

(5.32)

Влияние изменения числа Ме и величины у уменьшается. Безразмерная величина продольной составляющей трения обращается в нуль при некотором значении длины дуги s, и это значение определяется из соотношения

(1 + Pi) тН f°-564 zo - 0.322 dw (1 - QI +

d Ins

+ 0.233 ^— 1П ^R V pePeSjUe = 0.• (5.33)

o In s

Если ^ = 1, Pi=0 и pepe=const, то это соотношение совпадает с соотношением для несжимаемой жидкости. Для сильно охлажденной стенки (/о-^О) условие Ti=0 стремится к такому выражению:

0.116- 0.205 (1 + Р1)+ 0.233 ^ +0.116 ^^ = о.

д In sд In sд In s

(5.34)

Градиент скорости отрицателен в области положительных градиентов давления, и в отличие от несжимаемой жидкости этот член оказывает стабилизирующее влияние на положение точки отрыва. Величина dln7?/dlns характеризует расходимость линий тока. Если линии тока расходятся: dRlds>Q, то отрыв наступает позднее. Влияние фактора рере вдоль линии тока на положение точки «отрыва» определяется изменением величины д In pepe/d In s. Если эта величина положительная, то «отрыв» замедляется, если отрицательная, то он наступает раньше. Если Vo — отрицательная величина (отсос), то положение точки «отрыва» смещается вверх по потоку. Если Vo — положительная величина (вдув), то «отрыв» потока наступает раньше. Из этого соотношения можно найти значение параметра вдува или отсоса, при котором «отрыв» не наступает. Следует, однако, помнить те ограничения, при которых была получена эта формула.

Поперечная составляющая локального напряжения трения на поверхности имеет такой вид:

т2=р(дсо/^). .(5.35)

Определим поперечную составляющую локального коэффициента сопротивления следующим образом:

с2/=ц(д(1)/д£)/реыЛ' (5.36)

Выразим поперечную составляющую локального коэффициента сопротивления с помощью выражения для локального числа Рейнольдса:

c2/yR^=C1/yR^tgY + p/0Gx,(5.37)

(tg Y=®e/«e) .

В системе* координат, связанной с линиями тока внешнего течения о)е=0, имеем

c2№=i0Gx.(5.38)

Поперечная составляющая локального коэффициента сопротивле- ния в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, имеет вид

C2i V^=V^ _2_^ (1+Р1) [0.797—(1 — /0) (0.564 + 0.322d,0))]_

(5.39)

При Pi=O, /0 = 1 эта формула совпадает с аналогичной формулой для несжимаемой жидкости. Величина поперечной компоненты трения определяется в основном производной скорости в поперечном направлении (dUe/dn) и зависит от продольного градиента давления неявным образом — через 6(0) и dw. Оценим влияние члена в квадратных скобках при сильном охлаждении стенки. При /о-^О величина dw стремится к некоторому предельному значению п величина в квадратных скобках стремится к нулю, т. с. при охлаждении стенки компонента поперечного трения уменьшается.

При увеличении числа Маха поперечная компонента трения возрастает в 1 + (т—1)Ме2/2 раз. Поперечное течение по мере отхода от критической точки уменьшается с ростом эквивалентного радиуса. Величина т обращается в нуль, когда dkiUJdn и ф=0.

Как было показано выше, для bw получается кубическое уравнение, если исключить из соотношений величины 6(0) и dw. Выше отмечалось, что наряду с решениями, имеющими физический смысл, возможны другие решения уравнения, удовлетворяющие всем требуемым условиям.

Перейдем к определению теплопередачи на поверхности тела. Удельное количество тепла с единицы поверхности будет равно

-д0=ЦЭТ/д^.(5.40)

Для определения локальной теплопередачи введем локальное число Нуссельта:

Nlli = ( g^ OkCpJ'Ke (Не //0) ,

(5.41) Кс^ЦеРеа/Це.

В частности, отсюда следует связь удельного количества тепла с числом Нуссельта:

=■(И2)

Нетрудно проверить, что в наших обозначениях

Nm/VRe^/oWdX).(5.43)

Иногда удобнее вводить локальное число Нуссельта, определяя его через значения не на внешней границе пограничного слоя, а на стенке:

NUa= (^0) ОССр0/Хо (Не Но) ,

(5.44) Re=izepoa/po.

В этом случае удельный тепловой поток выражается через число Нуссельта и локальное число Рейнольдса следующим образом:

•(5.45)

О»г a (у Re / 2

Очевидно, что связь между (Nu/]/Re)t и (Nu/]/Re)2 запишется в таком виде:

(Nu/yRe)1=y70(Nu/yRe)2 (/„^oPo/iM^)-(5.46)

Число Нуссельта запишется так:

^1^5^51^(0,233 +0,209(5.47)

о ИЙ Лdins v ’4’ х

Оценим влияние различных параметров на величину теплопередачи. Если фактор цере меняется мало, то изменение безразмерной о» д

составляющей теплового потока определяется величиной——

д 1ns ln(R)UeY Эта величина характеризует изменение геометрии тела, так как изменяется эквивалентный радиус тела вдоль линии тока. Влияние фактора ц,ере аналогично влиянию изменения геометрии поверхности. При небольших значениях параметра отсоса (вдува) величина коэффициента теплопередачи увеличивается (уменьшается) почти по линейному закону.

Вдув или отсос через стенку оказывает большое влияние на параметры пограничного слоя и переход от ламинарного режима течения к турбулентному. На сильно охлажденной стенке влияние градиентов давления уменьшается, так как плотность газа вблизи стенки намного больше плотности газа на внешней границе пограничного слоя, и поэтому влияние одного и того же градиента давления на плотный будет меньше. Вторичное течение, как было показано выше, по мере охлаждения стенки уменьшается. Влияние слабого вдува на компоненты трения и толщину пограничного слоя в сжимаемом газе в общем аналогично влиянию вдува в несжимаемой жидкости. Влияние вдува на коэффициент теплопередачи и профили энтальпии или температуры является более существенным. С увеличением вдува вблизи стенки появляется область, в которой энтальпия или температура близка к энтальпии или температуре стенки. Коэффициент теплопередачи сильно убывает с величиной вдува. Изменение числа Nu/yRe в а раз быстрее, чем компоненты касательного трения на стенке с^УКе.

Рассмотрим угол расхождения между линией тока внешнего течения и линией тока на теле. Имеем'

tg Yi = Ит т/и = — + ср,(5.48)

где ^— угол, образованный предельной линией тока на теле и линией тока внешнего течения. Напомним, что в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, ср = О.

Рассмотрим изменение этой величины поперек пограничного слоя, причем tg v^lim w/w около поверхности тела. Если 6^0, (о>0, то течение направлено внутрь вогнутости линии тока. В этом

случае величина у- (tg^i) отрицательна, т. е. 7, уменьшается. В точке перегиба В,=0, + постоянно, и когда В, отрицательно, о)случае величина у- (tg^i) отрицательна, т. е. 7, уменьшается. В точке перегиба В,=0, + постоянно, и когда В, отрицательно, о)увеличивается около тела, профиль скорости стремится знак:

случае величина у- (tg^i) отрицательна, т. е. 7, уменьшается. В точке перегиба В,=0, + постоянно, и когда В, отрицательно, о)

случае величина у- (tg^i) отрицательна, т. е. 7, уменьшается. В точке перегиба В,=0, + постоянно, и когда В, отрицательно, о)

а—

—- (т2/ T-J =реУ е — Gz/( V§22 ^^) •'

dt,on

Расхождение линий тока определяется соотношением

L ,. <0[0.797-(1-Q (0.564 + 0.322 dw)]X(l+Pi)

tg Т1 = 11 rn —

^э U 0.233 Р* + ЛГ* [0.797 — 0.564 (1- /0)1 (1 + Pi)

изменитьизменить(5.49)(5.49)Гф- (5.50)Гф- (5.50)При увеличении градиента поперечного давления расхождение линий тока растет. При сильно охлажденной стенке расхождение линий тока уменьшается. Отсос уменьшает расхождение линий тока> а вдув, наоборот, увеличивает. При увеличении числа Маха расхождение линий тока увеличивается в pi=l + ^— 1)Л1е2/2 раз.

изменить

изменить

(5.49)

(5.49)

Гф- (5.50)

Гф- (5.50)

Введем определение толщин вытеснения и потерь импульса следующим образом:,

p^di = ^ (реие — ри) d с, РА§2 = ^ (ре^е ~ р^) d £, оо

рЖ, = ^ (ие — и) ри d £, рлЭ21 = j (сое — to) ри d £, оо

рс+012 = $ (“е — «) Р® d £, РеЫ^гз = ^ (®е — ®) Р® d £. оо

Основной интерес представляет толщина вытеснения

6i= f fl--^W(5.51)

J к РА/ о

и толщина потери импульса

0n=ffl5L)-P^d£.(5.52)

J k ue ) Peue

0

В двумерном пограничном слое толщина вытеснения является мерой толщины пограничного слоя. В трехмерном пограничном слое толщина вытеснения нс определяет действительную физическую толщину пограничного слоя. За счет вторичного течения возможно перетекание жидкости внутри пограничного слоя, и это перетекание влияет на реальную толщину пограничного слоя. При малых вторичных течениях явлением перетекания жидкости можно пренебречь.

Получим выражения для толщины вытеснения пограничного слоя в первом приближении. Имеем

у^ [0.564 + 0.209 Ь№рг — 0.071 Ь№р3 —

V Rei

- (1 -t6) (1 + р^ (0.564 + 0.322 d(0))].(5.53)

Отметим, что это выражение совпадает с аналогичным выражением для толщины вытеснения пограничного слоя в несжимаемой жидкости при Z0=l, Pi=0.

Напомним, что величина 6(0) приближенно вычисляется по такой формуле (вторичное течение мало, V0 = 0):

6<0) :!.(5.54)

Р* (0.25 + 0.31 dw)-

Толщина пограничного слоя увеличивается с ростом величины Pi=^—l)Af//2. При охлаждении стенки толщина вытеснения пограничного слоя уменьшается и стремится к такому значению (Я>1):•.'

=V^ [0.233 рх — 0.322 d(0) (1 + P1)L(5.55)

KRei '

Если отношение величин PC и Л// порядка единицы и если величина (у—VW^M то при сильно охлажденной стенке величина dw порядка 0,64. Поэтому величина 6(0) зависит только от \/РС - Локально-автомодельное приближение для расчета течений в пространственном пограничном слое даст хорошее совпадение с результатами, полученными с помощью конечно-разностного метода, например на лобовой части обтекаемого тела. Этой формулой можно пользоваться и при малых вторичных течениях. Однако отброшенные в этом приближении продольные и поперечные производные становятся существенными вблизи «поверхности отрыва». Если учесть, что вторичные течения развиваются только в сравнительно узкой области вблизи «отрыва», то приближенные формулы дают нс только качественную, но и количественную картину течения.

Рассмотрим уравнения пространственного пограничного слоя в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. Из условий м=0 при ^=0 и со—^0 при ^->0 обычно делают вывод о малости вторичных течений всюду внутри пограничного слоя. При таком подходе система уравнений трехмерного пограничного слоя сводится к системе, аналогичной системе уравнений для осесимметрических течений. Расчет трехмерного пограничного слоя сводится к расчету двумерных задач вдоль различных линий тока внешнего течения, или, другими словами, к расчету набора задач с некоторым эквивалентным радиусом. Действительно, пользуясь этим предположением, уравнения пограничного слоя (5.1) нетрудно упростить, и они принимают такой вид:

4- (p“r)+i (pyr)=°* dsd£

du . du tj ^e 1 d / du \ pU — + pd — = peUe — + — Mi —,

(5.56)(5.56)ds d^ds dg \ d^ J

(5.56)

(5.56)

^ = 0,

3g

dm ,1 3<o.do , Di о ггз/ P“2 i\ d/ 3®\

pU H pco — 1- py— + B3pU(0+ B^Ue 1 ] —— p — .

ds г дк\ d^I p u^ / 3g К 3g/

Система уравнений (5.56) замыкается уравнением состояния p=pRT и связями, определяющими теплофизические свойства газа. Граничные условия выберем в таком виде:

и=а»=у=0, Н=Н6 при g=0,

(5.57)

вдоль тела иId _ d ViTi д^ " dsвдоль тела иId _ d ViTi д^ " dsи-нЛе, G)-^(Oe=0, Н-^Не При £“>ОО.

вдоль тела и

Id _ d ViTi д^ " ds

вдоль тела и

Id _ d ViTi д^ " ds

для продольдля продольУравнение неразрывности, количества движения уравнение энергий можно решить независимо. Здесь ^ds является элементом длины) и У§‘22=^

для продоль

для продоль

Уравнения неразрывности, количества движения

ной компоненты и энергии имеют такой же вид, как для осесимметрического течения около тела с радиусом r=r(s, п). При осесимметрической аналогии г является функцией s и п, причем п можно

рассматривать как* параметр.

Найдем метрические коэффициенты в координатах, связанных с линиями тока внешнего течения. Будем считать, что поле, скоростей внешнего течения известно и задано, например, в цилиндрической системе координат.

Пусть а, р— расстояния в криволинейной ортогональной системе координат, связанной с линиями тока, причем координата а направлена вдоль линии тока, ар — в касательной плоскости к поверхности тела, перпендикулярно линиям a=const. Цилиндрическая система координат 2, ф связана с координатами а, р соотношениями

(5.58)(5.58)а=а (2, ф), р=р (2, ф).

(5.58)

(5.58)

Выпишем уравнение, выражающее расхождение соседних линий тока на поверхности через известное поле скоростей и параметры, определяющие геометрию тела. Внешнее течение, геометрия поверхности заданы в цилиндрической системе координат 2, г, ф. Координата гт является функцией от 2 и ф: гт=гт(2, ф). Центр координатной системы находится на оси 2.

Найдем положение линии тока на поверхности. Вдоль линии

л.л.Рис. 5.1Рис. 5.1

л.

л.

Рис. 5.1

Рис. 5.1

тока p=const на поверхности выполняется следующее уравнение ([10], рис. 5.1):'

/^1§0tgTV(5.59)

V*4=cor>st Гт ( tg6cos7 /

(5.60)(5.60)Здесь приняты такие обозначения?

(5.60)

(5.60)

tgd = — —, tgy = cosd—. rT dtpoz

Следовательно, величины 6 и 7 известны, так как геометрия тела задана. Углы 6 и у показаны на рис. 5.1а, б).

Угол 6 — угол между осью ф=сопз1 и линией тока p=const.

Этот угол находится из соотношения

tg0=G)eM.(5.61)

Здесь сое, ие — составляющие скорости в цилиндрической системе координат на поверхности тела. Если составляющие о)е и ие известны, то угол 9 легко определить.

Для того чтобы найти положение линии тока на поверхности, найдем ф=ср(г), т. с. изменение угла в зависимости от г вдоль линии тока p=const. Поскольку все величины в соотношении (5.59) найдены, то можно построить линию тока на поверхности. .

Для заданной плоскости 2=const изменение угла вдоль линий тока задается соотношением

(5.62)(5.62)_ Г COS 6

(5.62)

(5.62)

V ^22 Д •

rT cos 6

Следовательно, метрический'коэффициент ^g,^=R — радиус экви- залентного тела — можно найти из этого соотношения:

V £жV £жТт cos 0cos 6Тт cos 0cos 6z=constz=const(5.63)(5.63)

V £ж

V £ж

Тт cos 0cos 6

Тт cos 0cos 6

z=const

z=const

(5.63)

(5.63)

Величина (дф/<3^)г=со1181 находится следующим образом. Проведем линию тока p=const на поверхности тела, пользуясь уравнением

Рис. 5.2Рис. 5.2

Рис. 5.2

Рис. 5.2

(5.59). Одновременно проведем вторую линию тока (3 + А(3 = const на поверхности.

Вычислим (dcp/dp) z=Const = = ф(Р + АР)—ф(р)/Ар м, таким образом найдем эквивалентный радиус. Расстояние вдоль линии тока находится из соотношения

( —)=. (5.64)

V ^/₽=constcose cos т

Если известны составляющие скорости в цилиндрической системе координат г, ф, 2, то составляющие скорости ие и <ое находятся из соотношений (см. рис. 5.2)

(5.65)(5.65)ие=и/ sin 4 + WY cos 7, (06=1^3 cos (ф—6)—И7251п(ф~6).

(5.65)

(5.65)

Величина и/ находится из соотношения

и/= W3 sin (ф—6) + W2 cos (ф—6).

Смысл величин у/, Wt—И73 ясен из рис. 5.2.

Рассмотрим первое приближение. Нулевое приближение зададим следующим образом:

Ew = 1 - 20 (9, 0'°’ = Ew + dw (z0 (9 - z. х (9),

(5.66)

^C)=-^f^2d?, ^-i® = e^.

у л J

Найдем величины безразмерного местного коэффициента со-

противления трения и потока тепла на поверхности тела в первом приближении в таком виде [11] (о=1):

cti /Ri = l0E>. = / б^ (1 + Р1) ^-е (0.085 + 0.33/0-

о In S

— 0.08 с!1* (1—/0)) +-у=-, V 6( ’

Nu//Ri = —= 1^(1 +р1)^^ (0.159+—d(1)lz^ х

од 1ns \44 /

X с f 1 + 1.24 dti ( 1р=-)) ,(5.67)

\\/ 6(1) 7 7

с:} /Ri = /^ ^- ^£ (1 + Р1) (- 0.79+0.56 (1 - /0) +

R дп

+ 0.32 d!1)(l—/0))+0.21 (V1^-!^+ /б(1)—] .\ dsds /

Для продольной и поперечной составляющих компонент трения получается в точности такой же результат, который был ранее получен для трехмерных течений в несжимаемой жидкости при pY=0y цере=1, /о=1 (см. гл. III).

Величина продольной составляющей компоненты трения вдоль каждой линии тока зависит от градиента скорости, величины 6(1), температуры стенки, числа Маха на внешней границе пограничного слоя, изменения величины цере. Компонента трения Tt обращается в нуль в случае положительного градиента давления. Из соотношения (5.67) можно найти координаты точек, в которых clt=c2f=0.

Величина поперечной составляющей компоненты трения зависит от поперечного градиента давления, эквивалентного радиуса величины (I+рО, продольного градиента давления, величины температуры стенки. Отмстим, что в линейном приближении, как и в локально-автомодельном случае, с21 обращается в нуль, когда производная полной скорости по поперечной координате обращается в нуль. Действительно, если dUe]dn=0, то и Ь^ равно нулю и, следовательно, f2/=0. Величина с2/уКс получена в линейном приближении. Если оставить нелинейные члены, то величина bw может быть найдейа из решения дифференциального уравнения, например численным путем. Решение в приближении эквивалентного радиуса или осссиммстричсской аналогии, полученное выше, справедливо при условии малости вторичных течений и производных по поперечной координате.

Для определения 6(s, п) получим уравнение s

J Mds

6'" ”> = 7^5-'(5'68)

где М = PePeR4J/v;i+p№

Для функции dw (s, п) имеем следующее уравнение:

^s,n)=fC^[(^ + A)(i+p1)^ +

I J s L \2л4 /dins

'О

— ° (1 —^1) 1 ds 1 К— W,

б^’о V (2-У (1 + у/ ' 42л/

где

(5.69)(5.69)Г 3( VT-1)_

(5.69)

(5.69)

Д^ (g rt) = [S ®^^ U^Pi'to-ioVt— s/i-l'f/^Wd]

Уравнение для Ь(1) можно записать в таком виде: fc^-M’l^L^Qds,'(5.70)

Q j R дп о С ds с ^sW где Q = [//е 0 IR.

Величины Ct—с3 имеют следующие значения:

= (1 + Р1) (1,02 + 1,59 /0 — 1,59 d;i> (1 — Q),

с2 = 6.392,

с3 = (1 +Р1)(_о,818— 1,286/0+ 1,286 d(1)(l — Q).

Зная 6(1), dw и b^\ нетрудно найти первое приближение для компонент скорости, энтальпии, для трения и потока тепла на стенке.

4. Некоторые примеры пространственных течений

Рассмотрим течение в окрестности трехмерной критической точки. Возьмем систему координат с началом в точке торможения потока (£=11=0). Координаты £, т] выбираются в плоскости, касательной к поверхности тела, а координата £ — перпендикулярно к этой плоскости. Если поверхность регулярна в точке торможения, то уравнения, описывающие течение вблизи этой точки, имеют вид

5(р«) । ^(Р®) । ^(Р^) = ^ дп д^

(5.71)

др , д f dto \ — ч— и — ,

/дТдТ. дТ \дрдр

ОСп \ и — О)к у — = и —-со —

Ч^дх\ д^)д^дп

Система уравнений замыкается зависимостью, определяющей вязкость от температуры: р=р(Т). Число Прандтля (|ыУрД=а) постоянно. Если о=1, то уравнение энергии имеет простое решение. Умножая второе и четвертое уравнения системы (5.71) соответственно на и со и добавляя их к последнему уравнению, получим

/ дН , дН . дН \д f дН \-

р иh со^у— = — р, — ,

Ч ^ dUd

где//=^7 + 72 (^2 +со2)—полная энтальпия системы. При любом законе вязкости величина H=He=H0=const — интеграл системы уравнений (5.71).

Решения для трехмерного пограничного слоя в несжимаемой жидкости в окрестности критической точки двоякой кривизны приведены в гл. III. Будем предполагать, что внешнее течение безвихревое. Составляющие скорости вблизи критической точки можно представить в виде ие=а^ toe=b^, ve=—(a + b)^. Граничные условия вблизи точки торможения имеют вид

м=у=со=0, Н=Нй при £=0,

(5.72)

«->«£,®->&Т], Н^-Не При £->ОО.

Введем функции тока ф и Ф, удовлетворяющие уравнению неразрывности и определяемые следующим образом:

ЗУзф/ЗУ . зф \

Рм = Ро~, Рм = Ро-7Г, ру = — ро — + —‘ •

3g\ 3g Зц)

Будем искать решение в виде-

Т = (voa) '^fM, Ф=b (vja) '^g (ц),

s=(H-H^IH0=sroh^, где

■q = a,/2X/v*/2, Х = j (~) О-

Преобразованные составляющие вектора скорости и энтальпии f.gnh удовлетворяют уравнениям

Г+ <f+cg)r+ (\+sroh-n=o, g'"+(f+cg)g"+(l+swh-g^=O,'(5.73)

h"+(f+cd')h'=O.

Граничные условия выберем следующим образом:

f=g=f,=g,=O)А=1 При ^=0,-

(5.74) f->l,£->1,h-^0 при ?]->oo.

Введем такие обозначения: hx=E-VG]^ и fK=E. Тогда система уравнений в переменных Е и G примет в точности такой же вид, как система (5.11). Функции a(g, ц) и р(^, ц) выбраны следующим образом: a=g, ^ц/^ q=bla. Коэффициенты МЛ ЫЛ Рк (/=1, 2 ,3; ^=1, 2) имеют вид1

М^ф2 — ф, /И.:=1, < = 2ф, ^ = 1, К = 0, М3* = 0,

р:=1 + ф, x=i.

Связь между переменными очевидна. Применим изложенный' выше метод последовательных приближений к рассматриваемой задаче и сравним с численными расчетами, проведенными в работе [8]. Нулевое приближение зададим следующим образом:

' Ew = 1— 20 (сХ),G^=± b (z0(c^ —2-! (сХ)),

6(0) = 1 — 20 (сХ) + d (20 (сХ) —2-! (сХ)) .

Применим описанную выше процедуру метода последовательных приближений для определения профилей скорости, величин сопротивления трения и потоков тепла к телу. Выпишем окончательные формулы для вычисления безразмерных коэффициентов трения на стенке и теплового потока (/=1, о=1):

Ех= [0.467 + 0.233ф + 0.564^—0.112b—0.322d (Д-Ш/с,

ОЛ=[ф(ф—!) (С^233+О.564^о)+6(О.2О7+О.622ф)—0Л^

—0.322бф(ф—1) (1—/0) ]/С(5.75)

0х= [ (1 + ф) (0.233 6 + 0.2073d) —b (0.1125 + 0.071 d) ]/с.

Здесь

с= [ 0.25 (1 + ф) —0.1036 + 0.31 d (1 + ф) —0.0996d] Л

d= (0.159 + 0.25/о)/(0.56—О.25^о + О.31ф—0.0996),(5.76)

Ь= {± (0.31 + 0.69?ф) =Р [ (0.31 + 0.699ф)2 + 0.59ф{ф—

—1) (0.159 + О.25/о—0.25 (1 — /0) d) ]Ч/0.295.

Система уравнений для управляющих функций с, b и d сведена к такому же виду, как в случае несжимаемой жидкости. Решение системы неединственно. Если в третьем уравнении системы (5.76) перед радикалом выбрать знак «минус», то из второго уравнения системы (5.75) видно, что при ф=0 и ф=1 величина G обращается в нуль, что соответствует физической природе течения (ф=1 —осесимметрический случай, ф=0 — плоское течение). Остальные решения, которые возникают и удовлетворяют исходной системе уравнений, граничным условиям, в данном разделе не рассматриваются.

Уравнения системы (5.76) связаны между собой, поэтому для нахождения корней нелинейной трансцендентной системы алгебраических уравнений применяется простая итерационная схема. Положив 6=0, из второго уравнения системы (5.76) находим d. Затем находим новое значение b и т. д. Добившись требуемой точности, находим величину с из первого уравнения системы (5.76). Получив из (5.76) значения с, b и d, найдем величину продольного и поперечного трения на стенке, а также теплового потока на стенку. Решение зависит от параметра ср и t0. Параметр ср характеризует отношение градиентов скорости внешнего течения в точке торможения.

Для несжимаемой жидкости решение задачи рассматривается в гл. III. Предельные случаи ф=0 и ф= 1 соответствуют двумерному и осесимметрическому случаям (ф=6/а). Решения при —К <Ф<0 соответствуют течению вблизи седловой точки поверхности. Параметр t0 характеризует температуру стенки. Если /0=1 и о=1, то это соответствует случаю теплоизолированной стенки. Случай /0>1 соответствует нагреванию стенки, /0<1— охлаждению стенки. Для течения в точке торможения параметр ф изменяется в интервале 0^ф<1; для точки, имеющей седлообразный характер, ф принимает значение —1^ф<0.

Результаты, полученные на основании системы (5.75), сравнивались с результатами работы [8], полученными численным интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений. Это сравнение приведено на рис. 5.3. При ф<—0,5 численный метод расчета, предложенный в работе [8], сходимости не давал. Первое приближение метода последовательных приближений дает хорошие результаты для случая критической точки двоякой кривизны во всем диапазоне изменения параметра ф и в широком диапазоне изменения параметра t0.

Для случая теплоизолированной стенки изменение параметра ф приводит к небольшим изменениям составляющей скорости в направлении |, но составляющая скорости в направлении т] с изменением величины ф меняется значительно, при ф<—0,4294 профиль поперечной составляющей становится возвратным.

Для значений ф в интервале 0<ф^1 при охлажденной стенке профиль скорости в направлении £ таков, что,значения скорости не превышают значений на внешней границе пограничного слоя. При некоторых значениях температуры стенки, больших значений температуры на внешней границе, величина скорости в пограничном слое начинает превышать величину скорости на внешней границе пограничного слоя. Это обусловлено тем, что при распространении тепла в пограничном слое плотность поперек пограничного слоя уменьшается и скорость для одного и того же градиента давления увеличивается внутри пограничного слоя для газа меньшей плотности. При —1^ф<0 охлаждение стенки препятствует возникновению профилей скорости со значениями, большими значений на внешней границе пограничного слоя, и охлаждение замедляет возникновение возвратных профилей скорости. Нагревание стенки уве-

личивает чувствительность напряжения трения к градиенту давления, особенно в поперечном направлении.

Величина безразмерного потока тепла к телу уменьшается с уменьшением значения ф, достигая минимального значения около точки, где возникает возвратное течение, и затем снова увеличивается. Возможное объяснение этого факта заключается в том, что при возникновении возвратного профиля компонента скорости близка к нулю вблизи поверхности, так что тепло передается от поверхности тела за счет теплопроводности и конвекции в направлениях | и тр Компонента скорости в направлении £ меняется слабо, в зависимости от величины ф. Отсюда следует, что величина безразмерного потока тепла будет увеличиваться, когда устанавливается возвратный профиль для составляющей скорости в направлении Т).

Задача о пространственном пограничном слое на остром конусе под углом атаки являлась предметом исследований многих авторов.

Использование конечно-разностных методов позволило решить уравнения пограничного слоя для конического характера внешнего потока без упрощающих предположений. В случае внешнего конического течения задача становится по сути двумерной. Численное исследования пограничного слоя на острых конусах под углом атаки проводилось, например, в работе [13]. Пограничный слой на острых эллиптических конусах исследовался в [12]. Теоретические исследования отличаются методами расчета, диапазоном исследуе-

мых параметров потока, различным заданием течения идеального потока. Особый интерес, который проявляется к этой задаче, объясняется ее практической важностью и тем, что задача существенно упрощается для конического класса поверхностей.

Опубликованы результаты экспериментальных работ, в которых исследовалось влияние различных параметров: угла атаки,, угла полураствора при вершине конуса, чисел Маха и Рейнольдса, завихренности на параметры пограничного слоя (см. [11]).

В дальнейшем изложении этого раздела будем брать за основу работу [13], в которой проведено совместное теоретическое и экспериментальное исслёдова- j^^ние течений около кругового

^'конуса с углом полураство-

)Ра при вершине, который ра-

вен 9е при изменении угла атаки от 0 до 20°. В этих ра- ботах изучается влияние уг- ла атаки на явление отрыва, числа Рейнольдса — на переход от ламинарного к тур-

Рис. 5.4булентному режиму течения.

Теоретическое исследование уравнений пограничного слоя проводится при обычных предположениях, что газ совершенный (величины сР и у являются постоянными), течение на внешней границе пограничного слоя коническое и изэнтропическое, коэффициент вязкости является функцией температуры.

Выберем систему координат на поверхности следующим образом: | — расстояние от вершины вдоль образующей конуса, т] — угол, отсчитываемый от плоскости симметрии, £ — расстояние по нормали к поверхности, г=г(£) —текущий радиус конуса. Составляющие скорости соответственно будут ц, ш и ц (рис. 5.4).

В системе координат £, т] и £ уравнения пограничного слоя запишутся при обычном предположении конического течения (др/д^ = О) в таком виде:

д ( диUto = ц —э^ U atд ( диUto = ц —э^ U at^- (ргм) + — Т^- (pro) + (pry) = 0,

д ( ди

Uto = ц —

э^ U at

д ( ди

Uto = ц —

э^ U at

ди . pto du . ди Ры^ + —г + Ри^ d£ г дп д£

^ = 0,

d^

(5-77)

dto . pto dto . dto .Pu 7Г + ~T" + PU^ +d^ r dr) d£dto . pto dto . dto .Pu 7Г + ~T" + PU^ +d^ r dr) d£pr^Utopr^Uto1 dpг дц1 dpг дцd ( dto \d ( dto \

dto . pto dto . dto .

Pu 7Г + ~T" + PU^ +d^ r dr) d£

dto . pto dto . dto .

Pu 7Г + ~T" + PU^ +d^ r dr) d£

pr^Uto

pr^Uto

1 dp

г дц

1 dp

г дц

d ( dto \

d ( dto \

dh . pw dh . dhco dp . 1 d / dh\

puH -^ pp — =£ -^ц — +

d£ r ^ d£r dr) о ^ V dU

(578)(578)Граничные условия будут следующие:'

(578)

(578)

и = т — у = 0, h — hQ при £ = 0;

и-^иЕ, to->toe, h-^he при £ -> оо.

Будем искать решение в виде и = ие(х\)Е^ X),

« = ^е(т])6(т], X), h = he(vi) F^X).

Здесь X— переменная подобия, записывается в виде

(5.79)(5.79)^8^8Г f—VL\ ox /Г f—VL\ ox /\ 21HF] + K'G — ,)dr]\ 21HF] + K'G — ,)dr]

(5.79)

(5.79)

^8

^8

Г f—V

L\ ox /

Г f—V

L\ ox /

\ 21HF

] + K'G — ,

)dr]

\ 21HF

] + K'G — ,

)dr]

Система уравнений (5.77) сводится к системе уравнений

lh^L\=K — + K'G(L'E — K'G) + K’G — ,

dX \ dX jdXdr)

(l^\ = К— -V G(К M'G) + K’G— + P'T,

0X\ OX )dX

f- —^ = K — + GFK' (n' — K'P' —) —

dX \ a dX / dX\he /

^- = — 2£_g[m' + ^(Q' — 77)1 — K' — .

dX 2 L ■2 v J dt]

Здесь вводятся такие обозначения:

Я',/ I. 1д“6 М. 1 d Юе м- 1 й1г«

К = toe!ue, L =, М =, N =,

ие d т]“е d т]“е d ц

р, _ и dpPeuetoe d П ’р, _ и dpPeuetoe d П ’Q'Q'~ (М-еРе)-PePe dri~ (М-еРе)-PePe dri

р, _ и dp

Peuetoe d П ’

р, _ и dp

Peuetoe d П ’

Q'

Q'

~ (М-еРе)-

PePe dri

~ (М-еРе)-

PePe dri

Причем они связаны соотношениями

K' = U, Р' = — (1 + M'), N' = K'P'^-.

Граничные условия для системы уравнений (5.79) являются следующими:

(5.80)(5.80)E — G = K = 01 F = FQ при Х = 0;

(5.80)

(5.80)

Е, G,F-*\,Е, G,F-*\,при Х-> ОО.

Е, G,F-*\,

Е, G,F-*\,

Система уравнений (5.79) является системой уравнений параболического типа. Граничные условия задаются условиями (5.80). Задачу вдоль направления т] можно решить, если известно решение в некоторой плоскости начальных данных, например при т]=0 на наветренной стороне конуса. В этой плоскости система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Общая система уравнений интегрируется с использованием конечно-разностного метода по схеме Кран- ка — Никольсона.

Визуализация течения в пограничном слое достигалась методом нанесения масляного покрытия на поверхность конуса. В процессе

Рис. 5.5Рис. 5.5эксперимента масляное покрытие переносится вдоль поверхности конуса под действием сил поверхностного трения и капиллярности. Линии тока масляного покрытия совпадают с линиями тока на поверхности. Если после эксперимента поверхность конуса накрыть впитывающей бумагой, то можно зафиксировать поведение линии тока на поверхности. При изменении угла атаки характер течения сильно меняется. Сравнение теоретических и экспериментальных результа

Рис. 5.5

Рис. 5.5

тов показывает, что можно выделить несколько различных режимов течения. При изменении угла атаки в интервале 0^а^акр с помощью конечно-разностного метода можно получить решение, непрерывное для любого т] (О^т^л). Величина акр в рассматриваемом случае равна 1,14°. Результаты расчетов при угле атаки сс=Г хорошо согласуются с результатами эксперимента. На рис. 5.5 представлено значение параметра ар,

которое определяется как отношение составляющих трения вдоль образующей конуса и в поперечном направлении в зависимости от величины т). На рис. 5.5 1 соответствует теоретическим, 2— экспериментальным данным при ^00 = 7, 0ft=9°, а=1°, /о=О,5, Reoo = = 1,Ы05/см.

При значениях угла атаки в интервале акр<а<а0Тр теоретическое решение характеризуется особенностью при т]->л. Величина <хотр обозначает то значение угла, свыше которого наступает «отрыв». В рассматриваемом случае аотр равно приблизительно 7,8°. Возникающая особенность интересна тем, что решение терпит разрыв, например, первых производных по поперечной координате от компонент скорости и других величин.

На рис. 5.6 приведено сравнение [13] теоретического [1] и экс-

Рис. 5.6Рис. 5.6Рис. 5.7Рис. 5.7

Рис. 5.6

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Рис. 5.7

периментального (2) распределений ар для угла атаки а=5° (акр< а<аотр) при тех же данных, что и для рис. 5.5 (в случае а — а=5\ б — 8°, в — 10°, г— 12°). Это сравнение свидетельствует о хорошем совпадении теоретических и экспериментальных данных на наветренной стороне. На подветренной стороне существует расхождение. Экспериментальные данные указывают на существование области «отрыва», в которой в точке |т происходит переход от ламинарного к турбулентному течению. Это связано, вероятно, с тем, что возникает положительный градиент давления в окружном направлении, не выполняется условие непрерывного распределения энтропии во внешнем потоке из-за взаимодействия вязкого и невязкого потоков, утолщения пограничного слоя. «Отрыв» потока наступает при таком угле атаки, при котором численные методы дают расхо-

димость. Экспериментальные значения толщины вытеснения в этом случае характеризуются резким ее увеличением.

При некоторых значениях угла атаки, больших аотр, на подветренной стороне конуса «отрыв» становится более заметным. На поверхности конуса «отрыв» происходит вдоль образующей конуса, которая близка к огибающей предельных линий тока. При а<аотр местоположение образующей конуса, вдоль которой происходит «отрыв» потока, хорошо согласуется с экспериментальными данными, так же как и величины теплового потока, положение предельных линий тока и других параметров.

При больших углах атаки местоположение образующей, при котором наступает явление «отрыва», по-видимому, не зависит от числа Рейнольдса. При больших углах атаки возможно появление новых линий растекания на поверхности. Как показывают экспериментальные данные, положение образующей, при котором наступает «отрыв», нс зависит от угла атаки, несколько большего половины угла при вершине конуса. Численные расчеты подтверждают, что местоположение образующей, вдоль которой происходит «отрыв» потока, слабо зависит от выбора теоретического или экспериментального распределения давления. Толщина пограничного слоя, вычисленная теоретически, совпадает на наветренной части плоскости симметрии с экспериментальными данными. На подветренной стороне сравнение показывает расхождение результатов, что свидетельствует о несостоятельности теории пограничного слоя в обычных предположениях для исследования вязкого течения на подветренной стороне, если угол атаки превышает некоторое предельное значение.

Экспериментальные значения безразмерного теплового потока ^/^а==0 (на рис. 5.7, а) в зависимости от угла атаки и соответствуют среднему значению q(x), измеренному в области ламинарного течения вдоль образующей и отнесенному к величине ^а=0М, соответствующей конусу при нулевом угле атаки. Теоретические значения q!qa=^ которые не зависят от значений абсциссы в силу сделанных предположений, находятся в хорошем соответствии с экспериментом, за исключением окрестности т]=л при сс=5° и вблизи ц=т]отр при а=10°. Экспериментальное распределение тепловых потоков в окружном направлении для а=10° характеризуется минимумом при значении меридионального угла приблизительно 165° и максимумом при т] = л. Характер течения, наблюдаемый при визуализации течения, свидетельствует о существовании области «отрывного» течения, ограниченной образующими, вдоль которых происходит основной и вторичный «отрыв» потока. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что минимум теплового потока располагается внутри области «отрывного» течения. Эти результаты подтверждают картину течения, представленную на рис. 5.7,8.

Результаты теории пограничного слоя справедливы при числах Рейнольдса, стремящихся к бесконечности. Но при больших числах Рейнольдса пограничный слой становится полностью турбулентным. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов

показывает хорошее совпадение в области достаточно больших чисел Рейнольдса, когда течение остается ламинарным.

Уравнения пограничного слоя вблизи наветренной или подветренной плоскостей симметрии сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ системы уравнений показывает ряд интересных фактов: неединственность и многозначность решения, отсутствие автомодельных решений для некоторого диапазона определяющих параметров и др.

Структура ламинарного и турбулентного сверхзвукового пространственного течения имеет сложную картину, заметно меняющуюся при относительно небольшом изменении угла атаки числа Рейнольдса (см. рис. 5.8). Основная качественная черта ламинарных и турбулентных течений при изменении угла атаки (Л4>1) заключается в том, что образуют-

Рис. 5.8Рис. 5.8ся вихревые системы раз

Рис. 5.8

Рис. 5.8

личных видов. Причины здесь две: завихренность вызывается кривизной головного скачка уплотнения и пограничным слоем. Экспериментальная проверка структуры пространственных течений проводится для ламинарных и турбулентных сверхзвуковых течений, причем структура течений подобна.

Численные методы расчета позволяют рассматривать сверхзву

ковые течения совершенного газа в широком диапазоне определяющих параметров. Реальная картина течения сильно зависит от учета влияния вязкости. При больших углах атаки >30° боковые силы и момент, действующие на тело, изменяются из-за вихревой картины течения на подветренной стороне. Например, при сверхзвуковых течениях, близких к трансзвуковым режимам, величина

боковой силы может достигать в отдельных случаях 60% нормальной силы при углах атаки от 30 до 50°. Величину боковой силы и момент скольжения можно менять за счет затупления передней части тела.

Рассмотрим характер внешнего течения около конуса со сферическим затуплением под углом атаки. Распределение давления и скоростей на поверхности конуса можно получить в результате численных расчетов (см. гл. IV). Основной особенностью в распределении давления вдоль образующих конуса является наличие локальных отрицательных градиентов давления в окрестности сопряжения сферы и конуса и появление положительных градиентов давления на наветренной стороне конуса (рис. 5.9; здесь Л4оо = 20; 6=10°; а=10°, у=1,4). Характер изменения давления вдоль образующих конуса заметно меняется при переходе на подветренную сторону. Наблюдаемый на наветренной стороне вдоль образующей конуса положительный градиент давления уменьшается на подветренной стороне конуса. На рис. 5.10 приводится распределение давления по окружности конуса в различных сечениях. На небольших расстояниях от носка конуса давление на наветренной стороне больше давления на подветренной. На больших расстояниях появляется минимум в распределении давления. Давление на подветренной стороне плоскости симметрии возрастает. Если в качестве размерных величин выбрать роо, у-, то на рисунках давление связано с размерными величинами как pe=p/pooV2oo.

На рис. 5.9, 5.10 приводится распределение давления вдоль образующих и по окружности, когда угол атаки а=10°, угол полураствора конуса 6=10°, число 714^=20, а показатель адиабаты 7=1,4. Плотность находится из соотношения —pe/peT=const. Полная скорость на внешней границе пограничного слоя находится из

соотношений

Ue=U^— 2he, №зх=1 +2/(7 — 1)^, ht = CpTe,

he = 4Pe!^— l)Pe-

Если известна одна из составляющих вектора скорости на поверхности, то нетрудно найти составляющую скорости в используемой системе координат. Величина поперечной составляющей скорости на внешней границе пограничного слоя приведена на рис. 5.11.

Рассмотрим результаты расчета трехмерного пограничного слоя около конуса со сферическим затуплением под углом атаки а=5, 10° при тех же параметрах, что приведены на рис. 5.12—5.13. Число Прандтля равно единице, температурный фактор стенки /?о=О,5 (R0=HJH0). Величина местного коэффициента трения с^УКе приводится на рис. 5.12 для различных меридиональных сечений ц=сопз1. На наветренной стороне конуса местный коэффициент трения возрастает в окрестности сопряжения сферы и конуса, затем падает до некоторого минимального значения, а потом начинает медленно возрастать вдоль обр_азующей. При переходе на подветренную сторону величина cfJ^Re вдоль образующей конуса r)=const ведет себя аналогично. Величина местного коэффициента трения на наветренной стороне больше величины на подветренной стороне. На подветренной стороне вдоль образующей конуса СнУИе — местный коэффициент трения меняется мало. На рис. 5.12 приводится сравнение численных и аналитических расчетов (сплошная линия — численный метод, штрихпунктирная — результаты аналитических расчетов). Видно, что интегральный метод последовательных приближений дает хорошее совпадение на наветренной стороне конуса.

На рис. 5.13 приводятся результаты расчетов местной теплопередачи на стенке в различных меридиональных сечениях r]=const при температурном факторе стенки Ro=O£ и при тех же условиях. На наветренной стороне, на линии растекания местная теплопередача увеличивается в области сопряжения сферы и конуса, затем уменьшается до минимального значения и начинается рост местного коэффициента теплоотдачи. Вдоль образующей конуса r]=const наблюдается та же картина. Абсолютная величина местного коэффициента теплоотдачи Nu/VRe больше соответствующего значения на подветренной стороне. При переходе на подветренную сторону местный коэффициент теплоотдачи падает, оставаясь приблизительно постоянной величиной вдоль образующей конуса. Сравнение результатов численных и аналитических расчетов дает вполне удовлетворительное согласие. Качественная и количественная картина выражается простыми формулами (5.27), (5.28), зависящими от параметров внешнего течения и параметров пограничного слоя (разд. 3).

Поперечный градиент давления вызывает вторичное течение и перетекание жидкости с наветренной стороны на подветренную.

Толщина пограничного слоя меньше на наветренной стороне, жидкость перетекает на подветренную сторону. При однородном вдуве или отсосе происходит соответственно уменьшение или увеличение величины сопротивления трения и теплового потока на поверхности. Это связано с тем, что при вдуве (отсосе) газа происходит увеличение (уменьшение) толщины пограничного слоя. Поэтому градиенты скорости и температуры уменьшаются (увеличиваются), и это определяет уменьшение (увеличение) сопротивления трения и теплового потока. Зависимость величины продольной составляющей трения и теплового потока близка к линейной при небольших значениях параметра вдува. Действительно, в

предположении малости вторичных течений имеем (разд. 3)

cHW=-Vo + Уб^ A,Nu№=- Vo + Уб^

Функции ft—f3 не зависят от величины вдува и определяются параметрами внешнего потока. Зависимость продольной составля-

Рис. 5.13

Рис. 5.14

юшей величины трения на поверхности от величины вдува (отсоса) для конкретной точки поверхности приводится на рис. 5.14. Эти результаты получены при помощи конечно-разностного метода при различных параметрах равномерного вдува (отсоса). Пунктирная линия соответствует приближенному методу расчета (т]=0; ^=6; а=5°; /о=О,5). Приближенный аналитический метод дает хорошее совпадение при небольших скоростях вдува (Ко^О,5). При безразмерной скорости вдува Уо^О,8 наблюдается отклонение численных результатов от результатов аналитических расчетов.

При увеличении угла атаки обтекания на подветренной стороне конуса наблюдается явление «отрыва» (Уо=О) пограничного слоя.

«Отрыв» начинается в особой точке на подветренной стороне плоскости симметрии (см. рис. 5.8). Через особую точку проходит огибающая предельных линий тока на теле. В предотрывной области толщина вытеснения резко увеличивается. Этот факт может иногда служить признаком начала «отрыва». В этой области необходимо учитывать эффекты взаимодействия вязкого течения с невязким. Численные расчеты показывают, что продольная составляющая величины трения имеет конечную величину вплоть до «линии отрыва». Поперечная составляющая величины трения обращается в нуль нри подходе к «линии отрыва», которая разделяет область положительных и отрицательных значений поперечной величины трения. •

При увеличении угла атаки на подветренной стороне конуса происходит «отрыв». С увеличением угла атаки особая точка на подветренной стороне приближается к сферическому затуплению. Если сравнить «отрыв» на остром и затупленных конусах, то на остром конусе «отрыв» происходит вдоль образующей конуса, а на затупленном конусе «отрыв» начинается в плоскости симметрии на подветренной стороне, и «линия отрыва» постепенно приближается к образующей конуса.

При угле атаки а=5° конечно-разностный метод дает результаты практически во всей области. При х~17 сходимость метода на подветренной стороне ухудшалась (о=1, /?о = О,5, Мсо = 20, ц^ ~ р,7б) Это связано с тем, что решение ищется в «предотрывной» зоне. Развитие «отрыва» происходит^ сравнительно небольшой области, размеры которой порядка основного расчетного шага.

Конечно-разностный метод не позволяет рассчитывать течение в «отрывной» области. В процессе численных расчетов об «отрыве» можно судить по поперечной составляющей величины трения. Эта составляющая обращается в нуль при подходе к «линии отрыва», а затем меняет свой знак.

Экспериментальные и теоретические результаты показывают, что течение в «отрывной» зоне сверхзвуковое. Пограничный слой накручивается на линии тока, образуя спиральные вихри. Модель «отрыва» содержит сверхзвуковые спиральные вихри с линией присоединения по линии симметрии наветренной стороны.

«Отрыв» незначительно влияет на общее сопротивление летательного аппарата, но при повторном присоединении могут возник-

нуть большие местные тепловые потоки. Вихревой след, оторвавшийся от поверхности, взаимодействует с поверхностями, которые находятся ниже по потоку от места «отрыва». При умеренных углах атаки трехмерное отрывное течение является симметричным.

При несимметричном «отрыве», который может возникнуть при больших углах атаки, возникает боковая сила, связанная с наличием скачков уплотнения во вторичных потоках. Несимметричность течения зависит от степени затупления конуса, числа Маха, числа Рейнольдса, геометрических размеров тела.

Направления невязких предельных линий тока и предельных линий тока на теле в пограничном слое, взятые из результатов экспериментов [14], близки друг другу в интервале ф»0н-120°. В области ф>120° направления невязких линий тока и предельных вязких линий тока в пограничном слое не согласуются друг с другом. Это расхождение объясняется тем, что вторичные течения в этой области более значительные.

На рис. 5.15, в приведены изобары на теле. Видно, что линия отрыва проходит приблизительно параллельно области низкого давления между двумя областями повышенного давления и отрыв возникает немного позднее, чем появляется обратный градиент давления в направлении, перпендикулярном к области циклона. Критерий отрыва для пространственного пограничного слоя может быть записан в виде

т = ц—- = 0.

Здесь индекс р обозначает компоненту скорости, перпендикулярную к изобарам циклона.

На рис. 5.16 показаны предельные линии тока на поверхности тела и структура отрывной зоны для затупленных конусов под углом атаки а=5, 10, 15, 20°, угол полураствора 0=10°, Л100=6 ([24]). При изменении угла атаки от а=0° до а=10° «отрыв» не наблюдается, по крайней мере для тех значений г, для которых получены результаты экспериментально. Линии тока переходят с наветренной стороны на подветренную и накапливаются вблизи линии симметрии, причем толщина вязкого слоя растет. В окрестности линии стекания образуются вязкие напряжения, которые приводят к «выталкиванию» жидкости из этой области, которая отходит от поверхности и приводит к «отрыву» потока. При угле атаки а=15° «отрыв» течения явно выражен. При угле 20° линия симметрии на наветренной стороне становится линией растекания и видно, как формируются вихревые жгуты. При увеличении угла атаки до 25° структура течения заметно не меняется.

В работах [15—16] рассмотрено обтекание острых и затупленных конусов с углом полураствора 0=10° при различных углах атаки (^=5,6, Ке^ЗЛО^З-Ю6).

При обтекании конических тел в подветренной стороне происходит скопление вторичной завихренности с вектором течения, направленным вдоль образующих конуса.

Рис. 5.11Рис. 5.11

Рис. 5.11

Рис. 5.11

При обтекании острых конусов при больших углах атаки (а/6> >1) и больших числах Рейнольдса (ReooL>106) в теневой области образуется сложная вихревая картина (рис. 5.17, а). В окрестности вершины образуется пара вихревых жгутов, а ниже возникают три пары вихревых жгутов, которые приводят к появлению вторичных «пиков» тепловых потоков. На рис. 5.17, г приведена качественная картина течения около поверхности конуса вблизи линии симметрии на подветренной стороне. Здесь 1—3 — вихревые жгуты, которые связаны с точками, в которых две составляющие скорости в плоскости 2=const обращаются в нуль. Точки пересечения поверхностей v=co=0 являются центрами вихревых жгутов (см. правую часть рис. 5.17, г). Дополнительная особая точка (4) является седловой точкой торможения для поперечного течения и появляется в окрестности линии стекания на поверхности. Вязкие напряжения трения возрастают в окрестности линии стекания, и седловая точка «всплывает» с поверхности.

Течение в подветренной части около конуса формируется теми частицами газа, которые прошли через головную ударную волну в передней наветренной части потока. Завихренность потока вызывается кривизной головного скачка уплотнения. Если скачок уплотнения имеет точку перегиба, то газ, прошедший через головной скачок за точкой перегиба, имеет иную завихренность, чем частицы,, которые прошли через ударную волну раньше. В результате в подветренной части затупленного конуса образуется вихревой жгут с противоположной направленностью вращения относительно основного жгута. При увеличении угла атаки в плоскости наветренной образующей возникает вторая точка перегиба и это приводит к дополнительным вихреобразованиям.

При обтекании затупленных конусов под большими углами атаки на подветренной стороне картина течения напоминает течение обтекания острого конуса с тремя парами вихревых жгутов и дополнительной пары вихревых жгутов, возникающей в окрестности сопряжения сферической и конической части модели. При удалении вихревые жгуты с одним направлением вращения могут объединиться в один. Образование дополнительных вихревых жгутов связано с кривизной головного скачка уплотнения, который обладает двумя точками перегиба. Точка перегиба головного скачка: разделяет области течения газа с различным направлением завихренности, перетекающего в подветренную область.

Распределение тепловых потоков на подветренной стороне конуса под углом атаки а=15° й 20° показывает качественное поведение тепловых потоков (темная линия на рис. 5.17, б, в) и ее ширина характеризуют уровень теплообмена). Обнаружены режимы течения, при которых возникают вторичные пики тепловых потоков, которые могут образовываться раньше образования огибающей (5) предельных линий тока (6). На некотором расстоянии от вершины модели происходит ветвление (2) основного пика (У) теплового потока в окрестности образующей.

Рис. 5.19Рис. 5.19Рис. 5.18

Рис. 5.19

Рис. 5.19

В этой работе отмечается ячейкообразная вихревая структура на подветренной стороне острого конуса в зоне перехода ламинарного течения в турбулентное.

Рассмотрим тело, составленное из сферы и 60-градусного конуса (рис. 5.18, а). Подобная конфигурация возникает в задаче о тепловом щите. Если известно внешнее давление ре и поперечная скорость сое, то нетрудно найти остальные неизвестные параметры на внешней границе пограничного слоя. На наветренной стороне давление почти постоянно вплоть до конца конуса, где происходит ускорение потока и падение давления. При переходе с наветренной -стороны обтекания на подветренную давление падает. Точка торможения потока находится на наветренной стороне при £=0,2.

С помощью конечно-разностного метода было построено поле скоростей и температур в трехмерном пограничном слое. Использовалась система координат, связанная с поверхностью тела. Ортогональная система координат выбиралась на поверхности следующим образом: ds2 = d£2+7?2d-q2, где £ выбирается вдоль образующей конуса, т] — координата, отсчитываемая от наветренной стороны конуса. Коэффициенты Р*, P^\ N*—N3\ М*—М3* содержат особенности в окрестности точки торможения и линий растекания. Скорость внешнего течения обращается в нуль в точке торможения и мала в ее окрестности, поэтому необходимо предварительно правильно вычислить эти коэффициенты. Если отступить от точки торможения и критической линии, то нетрудно найти предельные значения градиентов скорости и затем экстраполировать эти результаты в область точки торможения и критической линии. Компоненты невязкого течения ре, сое дают возможность найти все остальные величины в расчетных точках и затем вычислить производные по продольной и поперечной координатам.

Начальные условия для решения задачи по общему алгоритму

находятся при а=ф=0 из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, потом на наветренной стороне вдоль линии растекания (р=0, а — переменное), при р=Д1] и затем во всей области.

Были проведены расчеты пограничного слоя на 60-градусном конусе при угле атаки а=10°, ^4^=18, у=1,4 и различных температурах стенки 7?=0,05; 0,25; 0,5. Некоторые результаты расчетов приводятся на рис. 5.18, 5.19, где 1 — т)=0; 2—л/2; 3— л. На наветренной стороне, на линии растекания величина коэффициента трения постоянна вплоть до конца конуса, где трение сильно увеличивается. Это связано с увеличением градиента скорости.

В локально-автомодельном приближении безразмерная величина продольной составляющей компоненты трения записывается следующим образом: сяуКе=У6{0,2336Р1*+ (l + pj (0,7978—0,5642(1 — —Q]M*}> (сн=рфи)д^,реие2). Продольный безразмерный коэффициент трения определяется градиентом скорости в продольном направлении. Сравнение результатов применения численного и приближенно-аналитического методов показывает хорошее совпадение (сплошные линии — результат применения конечно-разностного метода, пунктирные — приближенно-аналитического). При понижении температуры стенки величина продольного коэффициента трения уменьшается. На подветренной стороне конуса области, благоприятной для «отрыва» потока, изменение трения вдоль линий T)=const становится менее заметным. Величина трения при уменьшении температурного фактора стремится к предельному значению. Явление «отрыва» замедляется за счет уменьшения роли градиента скорости. Как следует из численных расчетов, при угле атаки а=10° коэффициент местного трения Cy^Re всюду отличен пт нуля, течение безотрывно на всей поверхности конуса.

Коэффициент теплопередачи в локально-автомодельном приближении можно представить следующим образом: Nu/yRe= =y6Pt* (0,2336 + 0,2095d). Коэффициент теплопередачи на стенке определяется величиной Р* и зависит от величины d, которая, в свою очередь, зависит от температуры стенки и внешних условий. Как следует из расчетов, на наветренной стороне 60-градусного конуса число Нуссельта постоянно, а затем увеличивается при подходе к концу конуса (т]=0, £^1,2). Другими словами, коэффициент трения и коэффициент теплопередачи увеличиваются в области, где внешний поток разгоняется. При переходе на подветренную сторону коэффициент теплопередачи падает. Характер изменения величины коэффициента теплопередачи в зависимости от § при различных т) представлен на рис. 5.19, где 1 — т]=0; 2 —л/2; 3 — л; а=10°; Л4оо=18; 0=60°; 7=1,4. Охлаждение стенки действует ста- билизирующе на пограничный слой. Безразмерная поперечная составляющая компоненты трения определяется величинами Л4/, Яо,

Рассмотрим пограничный слой на телах сегментальной формы, передняя часть которых — сфера, а задняя — обратный конус

Рис. 5.20Рис. 5.20Рис. 5.22Рис. 5.22

Рис. 5.20

Рис. 5.20

Рис. 5.22

Рис. 5.22

(рис. 5.20). При обтекании такого тела под углом атаки образуется отошедшая ударная волна, вблизи сферической части поверх

ности имеется дозвуковая зона течения, которая переходит в сверхзвуковую. На поверхности тела образуется пограничный слой. Общая картина отрывного течения, напоминающая схему обтекания

плоского обратного уступа сверхзвуковым потоком, приведена на

рис 5.21. При обтекании сегментально-конического тела поток разворачивается около передней кромки (/), затем отрывается (3), следует зона возвратного течения (4), возникают течение сжатия (5) и скачок уплотнения (2). Около поверхности тела образуется

пузырь от присоединения оторвавшегося пограничного слоя (окре-

стность точки Q) и ограниченный линией стекания S, а также две симметрично расположенные области, ограниченные линиями стекания. Эти области отделены друг от друга потоком, движущимся из окрестности области присоединения оторвавшегося пограничного слоя. В работах [22—23] вы

полнены расчеты внешнего

идеального течения около сегментально-конических тел при различных углах атаки айв широком диапазоне угла обратного конуса. Реальные аппараты сегментально-конической формы в области сопряжения сферической и конической поверхностей имеют плавное округление. Контур тела можно аппроксимировать анали

тическим выражением

^ + — ( arctg^ + — ( arctgRo sin 0*Яо cos 0* + ZRo sin 0*Яо cos 0* + Z

^ + — ( arctg

^ + — ( arctg

Ro sin 0*

Яо cos 0* + Z

Ro sin 0*

Яо cos 0* + Z

где

/=sin(Oo*—^)/sin p*.

Это уравнение задает поверхность сегментального тела в сферической системе координат с центром, расположенным в центре лобовой сферической поверхности. В зависимости от показателя т радиус округления в окрестности сопряжения сферы и конуса можно сделать достаточно малым. При т^40 минимальный радиус округления составляет г^ (0,02-^0,03) 0, где D— диаметр сферы. При выводе уравнений пространственного пограничного слоя обычно делается предположение о том, что радиус кривизны профиля обтекаемого тела имеет величину того же порядка, что и характерная длина тела. При резком изменении кривизны профиля, а также при наличии разрыва кривизны уравнения Прандтля, по крайней мере в окрестности точки сильного изменения кривизны, могут стать слишком грубым приближением при малых, но конечных числах l/]/Re. На скруглении малого радиуса градиенты вдоль поверхности становятся соизмеримыми с градиентами поперек пограничного слоя. «Отрыв» потока может возникнуть в окрестности сопряжения сферы и конуса.

Поведение линий тока в окрестности пространственной критической точки и характер особенностей для тел сегментальной формы показывают [22], что внешнее течение в окрестности критической точки существенно трехмерно и сильно зависит от угла атаки. При нулевом угле атаки картина течения будет симметричной. При угле атаки а^15° картина растекания напоминает докритический узел (рис. 5.22, б). По мере увеличения угла атаки линии тока внешнего течения приближаются к общей касательной, перпендикулярной к плоскости симметрии, и картина растекания напоминает узел (рис. 5.22, в).

Сильное локальное изменение кривизны профиля в окрестности сопряжения сферы и обратного конуса приводит к необходимости выделять при численных расчетах три различные области течения газа — на сфере, в области сильного локального изменения кривизны профиля, на поверхности обратного конуса — и в соответствии с этим строить криволинейную расчетную сетку на поверхности тела.

Распределение давления в окрестности критической точки в основном следует закону Ньютона. Направление наиболее быстрого

падения давления в окрестности критической точки близко к направлению главного сечения с наибольшей кривизной. Направление растекания примерно соответствует главному направлению с наименьшей кривизной. При переходе потока через скругление происходит сильное уменьшение давления. На поверхности конуса распределение давления характеризуется сильными локальными положительными градиентами давления, которые могут привести к местному отрыву потока с возможным последующим присоединением. Давление на наветренной части больше давления на подветренной. Характер течения около тела сегментально-конической формы меняется при увеличении угла атаки не только на сферической, но особенно на боковой поверхности конуса. При умеренных и больших углах атаки течение в пограничном слое на поверхности конуса и сферы развивается самостоятельно, взаимодействуя в предотрывной области.

Поведение линий тока внешнего идеального течения (сплошные линии) и предельных линий тока в пограничном слое (пунктирные линии) показано на рис. 5.23. В окрестности точки торможения разница углов расхождения небольшая, и эта величина увеличивается по мере отхода от точки торможения.

При расчете пространственного пограничного слоя на сегментальном теле криволинейная сетка на поверхности тела строится так, как показано на рис. 5.22, а. На область сильного локального изменения кривизны профиля приходится большее количество счетных точек.

Можно показать, что предельный переход при сс^-О и р^О в уравнениях (5.8), (5.10) дает то же решение, что и первый член разложения при отыскании решения в виде ряда. Система уравнений (5.8) такова, что при сс=р=О получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых легко находится и служит начальными данными для расчета следующей точки на линии растекания, а затем во всей области вблизи окрестности особой точки. Расчет пограничного слоя ведется от критической точки на поверхности тела, соответствующей максимуму давления. В окрестности критической точки на сферической части вторичное течение в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, мало.

На рис. 5.24—5.28 приведены некоторые результаты расчетов пространственного пограничного слоя на сегментальном теле при угле атаки а=15°, ^4^=00, р*=30°, 7?о=О,5. На рис. 5.24 показаны величины: 1 — ие,2 — ^toel^ue,

3 0.05а 1 дие 0.2а дфар 1 дие О.Зар дф у ц

KS"i ие д^ ’ KiT/ ag ’К^ ие an ’ Vg^ an ’

вдоль продольной координаты £ при фиксированном значении поперечной координаты ц(ц=2л/5). Вблизи сильного локального изменения кривизны профиля градиенты всех величин меняются очень сильно.

Рис. 5.25

Рис. 5.26

На рис. 5.25 приведено изменение величины радиуса тела и производных 1 — R, 2— R^ R^=bR^sm^smy\, 4— 0.027?u, 7?*™= = 5/?n7sin g, 7?\n=0,57?^/sin т] вдоль линии т] = 2л/5. Этими величинами полностью определяется геометрия тела. С помощью этих величин, и величин, показанных на рис. 5.24, вычисляются коэффициенты PY\ Р^, N*, N2, N3\ М*, М2\ М3\ которые входят в систему уравнений.

На рис. 5.26 показано изменение величины c^yRe, пропорциональной изменению продольной составляющей трения на стенке при т]=0, т]=л/5, т]=2л/5. Резкое возрастание трения в окрестности сопряжения сферы с конусом связано с разгоном внешнего потока и уменьшением толщины пограничного слоя. При переходе через скругление поперечная потоку скорость резко увеличивается.

В области сопряжения сферы и конуса градиенты всех величин велики, что приводит к резкому изменению параметров пограничного слоя. Величина местной. продольной компоненты трения и теплового потока растет, профиль скорости становится более выпуклым. После прохождения скругления толщина пограничного слоя увеличивается, величина теплового потока уменьшается (рис. 5.27).

Локально-автомодельное приближение дает не только качественную картину течения, но позволяет получить количественные результаты, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов даже в такой сложной задаче. Сравним результаты численных расчетов с расчетами, которые получаются по формулам (5.27) и (5.28) в локально-автомодельном приближении. Поскольку внешнее течение считается известным, нетрудно найти коэффициенты Р*, N^, М*, где /=1, 2, 3; 1=1, 2. Затем на основании (5.28) найдем значения функций 6, 6, d. Из (5.27) определим величины продольной и поперечной составляющей тензора напряжений и теплового потока на стенку.

На рис. 5.28 приводится сравнение результатов, полученных аналитически в локально-автомодельном приближении, с результатами, полученными с помощью конечно-разностного метода (здесь сплошная линия — данные конечно-разностных расчетов, пунктирная — приближенно-аналитический).

Экспериментальное исследование структуры течения вблизи поверхности сегментально-конических тел проведено в работах [24, 25]. Модель представляет комбинацию шарового конуса 0=30° и обратного конуса с углом полураствора конуса р. Изучение течения проведено при числе Маха MTO=3,6 и различных углах атаки — от 0 до 30°. Картина течения была получена различными способами с помощью визуализирующих покрытий, теплеровской фотографии и киносъемки.

Изучены общие закономерности распределения давления, тепловых потоков на поверхности тела в зависимости от геометрической структуры областей отрыва.

Для тел сегментально-конической формы выделены характерные области с различными градиентами давления, измерены и сопоставлены тепловые и динамические характеристики на наветренной части, в области сопряжения сферы и обратного конуса, в области отрыва, для которой характерно наличие градиентов давления.

Подробно изучено поведение течения в зоне пространственного отрыва, в которой наблюдается сложная топологическая структура течения, характеризующаяся наличием особых точек (узел, седло, фокус), линий растекания и стекания.

Предельные линии тока на поверхности показывают сложный и многообразный характер поведения вектора вязких напряжений, различный характер возникающих особенностей. При изменении угла атаки происходит смена режимов обтекания. Различные типы течения, которые получаются в отрывной зоне сегментально-конических тел, классифицированы в зависимости от угла атаки и угла обратного конуса.

При небольших углах атаки предельные линии тока на поверхности плавно переходят с наветренной стороны тела на подветренную и сгущаются вблизи плоскости симметрии (М^^б, а=5°, рис. 5.29, а\ Следует отметить появление линии стекания S2, в которой встречаются два потока и в результате вихревого взаимодействия газ сворачивается в вихревой жгут и сходит с поверхности. Можно заметить появление линии стекания S3. При увеличении угла атаки (cz=7°30', рис. 5.29, б) на подветренной стороне появляется особая седловая точка Q. В точке S формируется замкнутая зона возвратных течений. Линии стекания S2 и S3 разделены промежуточной линией растекания ev Области течения разделены линией тока RQ на две области, в которые приходят частицы жидкости из разных областей. Увеличение угла атаки приводит к небольшим деформациям картины течения при изменении угла атаки до величины а=25°. При угле атаки а=15° можно заметить, что точка Q смещается вверх по потоку и намечается тенденция к из-

Рис. 5.29Рис. 5.29/Г/Г

Рис. 5.29

Рис. 5.29

/Г

/Г

менению картины течения в окрестности этой точки. Меняется характер течения в точках Т. При увеличении угла атаки точка Q смещается вверх по потоку и зоны отрыва сливаются в одну зону (рис. 5.29, г, д).

Характер течения в отрывной зоне связан с распределением давления. Линиям стекания соответствуют локальные минимумы в распределении давления, а линиям растекания — максимумы давления. На рис. 5.30 приведена картина течения в отрывной зоне и поведение изобар на боковой по

верхности сегментально-конического тела под углом атаки а=10° для числа Маха набегающего потока Л1оо = 6.

На рис. 5.31 приведено изменение предельных линий тока на поверхности сегментально-конических тел под углом атаки а=5°, MTO=3 в зависимости от угла обратного конуса ^=5°; 10°; 12,5°; 15°; 20°.

При изменении угла обратного конуса от ^=5° до 10° картина течения не меняется. Линии тока плавно переходят с наветренной

части тела на подветренную и накапливаются в задней части тела, где появляются линии стекания St и S2. При £=12,5° характер течения заметно отличается. Образуется замкнутая возвратно-циркуляционная область течений. При дальнейшем увеличении угла £ зона отрыва вытягивается вблизи сопряжения сферы и конуса. При угле обратного конуса £ = 20° зоны отрыва в передней части около линии сопряжений сферы и конуса смыкаются с зоной отрыва в задней области и формируется картина течения, приведенная на рис. 5.31, д.

В работе [26] представлены результаты численного расчета линий тока на поверхности

тела в приближении теории погратела в приближении теории пограничного слоя и результаты экспериментального исследования (а = 20°, £=10°, ^00 = 6). В задней части обратного конуса возникают огибающие предельных линий тока на поверхности Sz, которые заметны на поверхности тела на некотором расстоянии от плоскости симметрии течения.

тела в приближении теории погра

тела в приближении теории погра

Расчеты, проведенные в рамках пограничного слоя, отличаются

от результатов эксперимента по расположению линии стекания. По мере увеличения угла атаки структура течения сильно усложняется и картина линий тока отличается от экспериментальных данных. Вместе с тем совпадение положения линии стекания, полученной в результате расчетов и из эксперимента, свидетельствует о слабой зависимости влияния давления, индуцированного пограничным слоем на картину течения (рис. 5.32).

При больших углах атаки совпадение результатов численных и экспериментальных данных следует ожидать только на наветренной стороне, поскольку давление, возникающее действительности, сильно отличается от используемого при расчете пограничного слоя.

Рассмотрим течение на плоской пластине [27, 28] с помещенным на ней препятствием (рис. 5.33). Характер течения зависит от параметров, определяющих характер течения: невозмущенные профили скорости, толщина пограничного слоя, число Маха, число Рейнольдса и др. В зависимости от формы препятствия, ориентации его по отношению к вектору скорости невозмущенного течения характер течения сильно меняется. В качестве препятствия выберем цилиндр диаметром D, к — размер препятствия, б— толщина

Рис. 5.31Рис. 5.31пограничного слоя. Положение точки отрыва определяется функцией s/D=f(k/D, D/8, Re, Л1). Положение точки «отрыва», возникающей на расстоянии s от передней кромки, слабо зависит от размера препятствия к, диаметра D и числа Рейнольдса, влияние числа Маха также невелико. Для данного препятствия и заданного числа Маха образуется сложная картина течения, характеризующаяся наличием различного числа вихреобразований в зависи- ' мости от числа Рейнольдса между препятствием и первичным «отрывом». Число вихрей чувствительно к изменению единичного числа Рейнольдса (Re/Z).

Рис. 5.31

Рис. 5.31

Структура предельных линий тока на по

верхность тела в пограничном слое показана на рис. 5.33. Отметим, что всегда можно выделить первичную линию «отрыва» S и линию

Рис. 5.32

присоединения А. Течение между этими поверхностями меняется заметно.

Рассмотрим картину течения, представленную на рис. 5.33, г. Буквой 3 обозначена первая линия «отрыва» и буквой Л—линия присоединения в плоскости симметрии. Такая система вихрей часто обнаруживается в турбулентном пограничном слое. При изменении единичного числа Рейнольдса Re/Z при фиксированном числе Маха число вихрей меняется. На рис. 5.33, б, в показан случай четырех и шести вихрей. Результаты экспериментов приведены для Л4=2.5 и чисел Re в диапазоне 3-107m^Rc^/Z^19.3-106/м.

Рис. 5.35

При увеличении числа Re структура течения изменяется, число вихрей уменьшается при увеличении Re/Z. В случае б линии AY и S4 исчезают, но Л2 и S2 остаются, и поэтому получается конфигурация с четырьмя вихрями (см. рис. 5.33, в).

Детали качественного процесса, при котором линия «отрыва* и линия «присоединения» сближаются, а затем исчезают, показаны на рис. 5.33, б, з для случая четырех вихрей. Часть рис. 5.33, б, е показывает движение St к ЛР Когда At и 34 совпадают (рис. 5.33, ж), получается промежуточный вариант. Течение около 34 меняется таким образом, что вблизи плоскости симметрии линия S4 исчезает и линии тока проникают до линии S (рис. 5.33, з). Две ветви являются по-прежнему линиями отрыва, напоминая открытый тип «отрыва», который получен для течений около тел под углом атаки.

. Причина, по которой одна структура течения легко переходит в другую при изменении числа Рейнольдса, требует дальнейшего изучения. Аналогичный характер изменения структуры течения наблюдается и при дозвуковых скоростях при ламинарном течении около небольших возмущений. В этом случае можно наблюдать различное число устойчивых вихрей, образующихся около цилиндра и образующих различную ширину при увеличении &/6 и tu. Изменение числа вихреобразных областей происходит дискретным образом. *

Структура линий тока в плоскости симметрии показана для случая 6,4 и 2 вихревой структуры. На рис. 5.34 показаны возни-

кающие вихревые структуры. Расстояния от точки отрыва S до точки А приблизительно одинаковы. Но точки А и S не связаны с линиями тока и не образуют замкнутый вихрь. Течение вблизи точки А приходит из области потока, обладающей большой кинетической энергией вблизи пограничного слоя. Поэтому в рассматриваемой области течения вблизи точки А возникают области, в которых величина трения значительна. Как показывают эксперименты, точка А является также центром области больших градиентов потока тепла к поверхности. Структура вихрей, приведенная на рис. 5.34, связана с существованием критических точек (точки S, А, Лп Si).

Рассматривая течение вблизи плоскости симметрии, можно выделить в поле течения линию «отрыва» S. Линию «присоединения» А можно продолжить от линии симметрии за препятствие. Линии тока вблизи S2 отходят от поверхности, в то время как линии тока вблизи St остаются вблизи поверхности.

Схематический характер течения вниз по потоку от препятствия показан на рис. 5.35. Линия «присоединения» показана пунктиром. Два потока от препятствия и с боков взаимодействуют друг с другом. Течение от линии «присоединения» переходит в два спиральных вихря. Эти вихри отделяются от поверхности, накручиваясь на линии тока.

При увеличении размера препятствия картина течения качественно отличается при изменении единичного числа Рейнольдса и числа Маха. Структура течения показана на рис. 5,35, б. Спиральные вихри из предыдущего рисунка нс появляются в данном случае.

Литература

Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе.— ПММ, 1942, т. 6, № 6, с. 32—46.

Струминский В. В. Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе для произвольной поверхности.— ДАН СССР, 1957, т. 114, № 2, с. 271— 274.

Авдуевский В. С. Приближенный метод расчета трехмерного ламинарного пограничного слоя.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1962, №2, с. 11—16.

Основы теплопередачи в авиационной и ракетной технике/В. С. Авдуевский, Ю. И. Данилов, В. К. Кошкин, И. Н. Кутырин, М. М. Михайлова, Ю. С. Михеев, О. С. Сергель. М.: Оборонгиз, 1960. 427 с.

Анфимов Н. А. «Ламинарный пограничный слой в многокомпонентной смеси газов.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1962, № 1,с. 25— 31.

Шевелев Ю. Д. Численное исследование пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1967, № 4, с. 171—176.

Шахов Н. Н., Шевелев Ю. Д. Метод последовательных приближений для задач сжимаемого трехмерного ламинарного пограничного слоя.— ПММ, 1974, № 5, с. 837—846.

Poots G. Compressible laminar boundary layer flow at a point of attachment — J. Fluid Meeh., 1965, vol. 22, p. 197—208.

Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 236 с.

Jarnette F. de, Hamilton Н. Inviscid surface streamlines and heat transfer on Shuttle tyre configurations.— J. Spacecraft, 1973, vol. 10, N 5, p. 18—24.

Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя, М.: Наука, 1977. 223 с.

Башкин В. А. Исследование теплообмена на острых эллиптических конусах в сверхзвуковом потоке при больших углах атаки.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1969, № 1, с. 84—85.

Roux В., Marcillat I. Experimental and theoretical study of supersonic viscous flow over a yawed circular cone.— AIAA J., 1972, vol. 10, N 12, p. 1013—1019.

Nomura S. Similar boundary layer analysis for Lee-surface heating on yawed blunted cone.— AIAA J., 1976, vol. 14, N 14, p. 774—781.

Иванов А. К. Особенности сверхзвукового течения газа и теплообмена в теневой области острого конуса.—Учен. зап. ЦАГИ, 1982, т. 13, № 1, с. 15—22.

Иванов А. К. Влияние затупления и полуугла раствора конуса на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный при Мто = 6.— Учен. зап. ЦАГИ, 1984, т. 15, № 3, с. 83—87.

Бражко В. Н., Ковалева Н. А., Лапина Н. Г., Майкапар Г. И. Аэродинамическое нагревание тел вращения при больших углах атаки. Аэродинамическое нагревание при сверхзвуковых скоростях.— Тр. ЦАГИ, 1981, вып. 2107, с. 13— 21.

Фей Д., Риддел В. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом.— В кн.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. М.": Изд-во иностр, лит., 1962, с. 190—224.

Андреев Г. Н., Шевелев Ю. Д. О пространственном пограничном слое на сегментальном теле при сверхзвуковых скоростях.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1971, № 3, с. 41—48.

Петров Г. И., Лихушин В. Я., Некрасов И. П., Соркин Л. И. Влияние вязкости на сверхзвуковой поток со скачками уплотнения. М., 1952. 27 с. (Тр. ЦИАМ, № 224).

Андреев Г. Н., Шевелев Ю. Д. О пространственном пограничном слое на сегментальном теле при сверхзвуковых скоростях.— Тр. Секции по числен, методам в газовой динамике, 1969, т. 1, с. 236—247.

Миносцев В. Б., Теленин Г. Ф., Тиняков Г. П. Исследование картины сверхзвукового пространственного обтекания тела сегментальной формы.— ДАН СССР, 1968, т. 179, № 2, с. 304—307.

Миносцев В. Б. Метод расчета сверхзвукового трехмерного обтекания гладких тел.—Изв. АН СССР. МЖГ, 1967, № 2, с. 126—133.

Глаголев А. И., Зубков А. И., Л ягу шин Б. Е. Некоторые общие закономерности отрывных течений, возникающих при обтекании затупленных тел сверх- и гиперзвуковыми потоками.— В кн.: Проблемы современной механики. М.: Изд-во МГУ, 1983, ч. 1, с. 65—78.

Глаголев А. И., Зубков А. И., Л ягу шин Б. Е. Закономерности изменения основных параметров зон отрыва на поверхности тел сегментально-конической формы в сверхзвуковом потоке.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, № 3, с. 157— 160.

Андреев Г. Н., Глаголев А. И., Зубков А. И и др. О структуре течения вблизи боковой поверхности и о формировании отрывных зон на телах сегментально-конической формы.— ДАН СССР, 1976, т. 230, № 3, с. 541—544.

Westkaemper J. С. Turbulent boundary-layer separation ahead of cylinders.— AIAA J., 1968, vol. 6, N 7, p. 1352—1355.

Sedney R. Visualization of boundary-layer flow patterns around protuberances using an optical-surface indicator technique.— Phys. Fluids, 1972, vol. 15, N 12, p. 2439—2441.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

Численное моделирование пространственных турбулентных течений

При больших числах Рейнольдса, определенных по параметрам набегающего потока и характерному размеру тела (ReooL^lO6^- — 109), течение имеет турбулентный характер. Для большинства реальных течений, которые встречаются,в природе и технике, числа Рейнольдса изменяются в этом диапазоне.

При обтекании затупленных тел сверхзвуковым потоком газа важное значение имеет определение таких параметров течения в турбулентном режиме, как трение, теплообмен, толщины вытеснения и др. Теория пространственного пограничного слоя дает возможность моделировать и предсказывать на основе численных расчетов основные характеристики турбулентных течений.

Для расчета течения используются осредненные уравнения движения. В качестве модели замыкания полезными являются простейшие алгебраические модели эффективной вязкости и длины «перемешивания», обобщенные на случай пространственных течений газа.

В данной главе рассматриваются два алгоритма расчета пространственного пограничного слоя: схема второго порядка точности с переменным шагом в направлении, перпендикулярном к стенке, и схема четвертого порядка точности. В качестве замыкающих условий используются наиболее простые физические предположения об эффективной вязкости и длине «пути перемешивания», проводится сравнение результатов расчета на основе различных моделей эффективной вязкости.

Разработанные методы расчета пространственного пограничного слоя сохраняют свою ценность и для более усложненных моделей. Дальнейшее развитие моделей турбулентности для усредненных уравнений не изменит алгоритмы расчета, а внесет некоторую корректировку в вычисление эффективной вязкости. Уравнения турбулентного пограничного слоя по своим математическим свойствам близки к свойствам ламинарного пограничного слоя, поэтому методы расчета ламинарного и турбулентного пограничных слоев имеют много общего.

Основные вопросы турбулентных течений, структура турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости и сжимаемом газе описаны в ряде известных работ [5—14].

Обзор современного состояния турбулентных течений, методов расчета приведен в работах [1, 17, 19].

Уравнения пространственного турбулентного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат

Вывод осредненных стационарных уравнений движения турбулентного движения газа приведен в гл. IL Эти уравнения записаны в тензорном виде в декартовой системе координат.

Уравнения движения для осредненных характеристик турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе в произвольной криволинейной системе координат имеют вид [44]

(рмО./ =0,

^ ^ =— (р?о,/ + ^Ал —¥^).ь / х ~ \ - puihj = uipj + gli — Л,И — (puih")tj + 2|1е^/ — gkfpu^u^h

P=pRT.(6.1)

Здесь даны уравнения системы: неразрывности, количества движения, энергии и последнее — уравнение состояния. Уравнения записаны в тензорной форме, запятая внизу обозначает ковариантное дифференцирование. В уравнениях движения содержатся величины, обусловленные турбулентными пульсациями, и с ними связана проблема замыкания.

При выводе уравнений, как обычно, корреляции более высокого порядка, чем второй, отброшены. Пульсации величин, связанных с молекулярным переносом (вязкость, теплопроводность, теплоемкость и др.), не учитываются. '

Запишем уравнения движения (6.1) в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. При обычных предположениях теории Прандтля градиенты величины вдоль тела намного меньше градиентов поперек пограничного слоя (д1дх*<^д1дх\ i=l, 2), а величина скорости, перпендикулярная к телу, и3<СиЧ

В этом случае уравнения турбулентного пространственного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат имеют вид

Й/+-^грУ = 0 (1=1,2),

St,

puiu1,]- + РУ ^": ^ = 0,—■ dh , ~ dh рШ — + РУ —дх’ St,puiu1,]- + РУ ^": ^ = 0,—■ dh , ~ dh рШ — + РУ —дх’ St,,ь др . д (— ди1 ~-ч~S "7 + 77 Р 77 — рм удхк St, I д^,ь др . д (— ди1 ~-ч~S "7 + 77 Р 77 — рм удхк St, I д^d / X dhd / X dhpu"h" I +pu"h" I +(6.2)(6.2)

puiu1,]- + РУ ^": ^ = 0,

—■ dh , ~ dh рШ — + РУ —

дх’ St,

puiu1,]- + РУ ^": ^ = 0,

—■ dh , ~ dh рШ — + РУ —

дх’ St,

,ь др . д (— ди1 ~-ч~

S "7 + 77 Р 77 — рм у

дхк St, I д^

,ь др . д (— ди1 ~-ч~

S "7 + 77 Р 77 — рм у

дхк St, I д^

d / X dh

d / X dh

pu"h" I +

pu"h" I +

(6.2)

(6.2)

(

—дик du1—77—7-1 du1 \ । dp

ngb;gkipy U k + Цк

или

"Та 9Н . — дН д ( X 9Н X д ft? ри’Н ри — = — {—

дх« 9^ дП Пр 9^.~ср9^\2

+ Мм^к 4г “' — Pu"h" — gkipukv" 9^

P = pRT.

Рис. 6.1

Здесь выделено дифференцирование по нормали х3=^ нормальная составляющая скорости имеет обозначение и3=и. Запятая и индекс обозначают ковариантное дифференцирование конт- равариантных компонент вектора по поверхности.

1. Система уравнений для осредненных характеристик пространственного турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе относительно произвольной криволинейной системы координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела, в физических переменных имеет вид (см. рис. 6.1)

Л(р V^А + т^р l^/-®)+V‘^4'^=0-

91 х r git / 9ц \ r g^ Jd£

и du TgTidi

to du . du , л о , Л , *

Tf= — + У — + Ди2 + А®2 + Ам® =

М dto . to dto , dto I D 9 I D 9 I h-7=HuH Вги? + Вж + BoUto =

Г gu 9? Г ^9ц^123

(6.3)

^(p/iV) +^(p/iV) +pu dh . pto dh . dh d I X dh \

^(p/iV) +

^(p/iV) +

VTi"d^ + 7gZd^ + PU'd^~"d^\^"d^)

.Г / 9u \2 , n - . du dto .

+ u —+ 2 cos ^oF

L\dU To ^

_ pti)"v" — + 72. e 4- 244 — 9^ Vgn d£ ^Vgaa dr]

1~ dto , —ir*n du \

+ cosipg H« У ^- + P® У -^-J •

В системе уравнений и, и, и — компоненты скорости, направленные соответственно по осям g, rj, £; ^„ — компоненты метрического тензора, р — статическое давление, р — плотность, Н — полная энтальпия газа (H=h+u2[2'). Координаты £, т] располагаются на поверхности тела, ось £ ортогональна к ней. Коэффициенты A,, Bi связаны с геометрией тела и параметрами внешнего течения. Индекс е относится к величинам на внешней границе пограничного слоя, го — на стенке, Т — к характеристикам, определяющим турбулентный режим; черта обозначает операцию осреднения, «штрих» относится к пульсационным величинам. В дальнейшем черта для осредненных величин опущена.

Система уравнений (6.3) дополняется уравнением состояния p=pRT и зависимостями коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры:

p=p.Whey, X=Xe(hfhe)a.

Граничные условия:■

и=<й=0, и=иш, Н=НВ при £=0,

(6.4)

н->«е, йк-^Юе, Н-+Не при £->-ОО.

Для замыкания системы уравнений (6.4) при турбулентном режиме течения используются коэффициенты турбулентного переноса. Напряжения трения по осям j и т], включающие в себя напряжения трения и рейнольдсовы напряжения (—рм"и"), (—p®"v") определяются следующим образом:

Чди ди——

Т^^эф — = Ц — — р« и ,

(6.5)

5(05(0——

Полный тепловой поток представляется какПолный тепловой поток представляется как^эф dh_% dh_ -дуср д£ср д^Р '^эф dh_% dh_ -дуср д£ср д^Р 'С учетом (6.5) и (6.6) видеС учетом (6.5) и (6.6) видеТ2 = Р2эф —= Р —— Р<ОУ ,

Полный тепловой поток представляется как

Полный тепловой поток представляется как

^эф dh_% dh_ -ду

ср д£ср д^Р '

^эф dh_% dh_ -ду

ср д£ср д^Р '

С учетом (6.5) и (6.6) виде

С учетом (6.5) и (6.6) виде

(6-6)

система уравнений (6.3) записывается в

(р V ^-®) + TAf-^P^0’

V Г ^22 У»£

и ди . со ди , ди . ... я

-^=7— + v=— 4- и т- + А« + А® + А«®

Vgnd^VgMdx\di

Л I 1 5 /du \

(6.7)

И Su 5g Л Г 822 5,л dg 12'

~В4 + 7^Гэф^} ’

р« dh/8?! д6р« dh/8?! д6рсо dh , dh d ^эф !dh \ .

р« dh

/8?! д6

р« dh

/8?! д6

—Н 00= —+

\ СР дч

+ Нэф1+ Нэф1ИМ +cos%^^u

+ Нэф1

+ Нэф1

LUU 5g ad

К5Й ^Ч 1чтобы обеспечить В случае наличия остановки потока:(6.8)К5Й ^Ч 1чтобы обеспечить В случае наличия остановки потока:(6.8)/до V .> ди дю 1 , РЛ dhe

К5Й ^Ч 1

чтобы обеспечить В случае наличия остановки потока:

(6.8)

К5Й ^Ч 1

чтобы обеспечить В случае наличия остановки потока:

(6.8)

TWlUjT 0 5g 5g 1^/571 д^

Начальные условия задаются таким образом, единственность решения поставленной задачи, точки торможения потока добавляются условия

Если имеется плоскость симметрии, то в критической точке на линиях растекания решение в некоторой области можно получить независимо.

В задачах продолжения пограничного слоя необходимо задать начальные профили скорости, энтальпии вдоль некоторой дуги S для всех значений поперек пограничного слоя:

Us —и0(^, ч> ^) > h\s = h0^ П, £)• (6.9)

На этой поверхности течение удовлетворяет условию пп>0.

Уравнения пространственного пограничного слоя (6.7) с помощью замены переменных

511=5, Ч1 = ч> ^ = р -^-Ud£(6.Ю)

о

приводятся к виду, удобному для численного интегрирования. При этом осуществляется переход от функций и, и, w, h к новым переменным

£(^i. Ч1А),0(51.Ч1А).^(5ь ЧьЧ и^.х)

по формулам

и = ие ®, ц) Е (Е, т], X),

® = Р (5, ч) ие (g, ri) [О 6, ч. X) + ^Е (Е, Г), X)],(6.11)

/"НеРеиг Г,.а р дХ а₽„. дХ "1

рУ = I/ V-= Е7^=- (G 4- ф£) — ,

V а LV511 5g Vg23dr) ]

h = he^, ч)/(5. Ч. X),.

где a(g, -г]) и р(|, т]) — произвольные пока функции, которые выбираются аналогично случаю несжимаемой жидкости (гл. III).

После замены переменных (6.10) и введения новых безразмерных функций (6.11) система (6.7) представляется в виде

£ (/фи —) = V ^ + N*t ^ -IH № + N*SEG +

(/Л \ ОК / ОК

+ ^£^ + ^(0 + 4,5)^, dr)

^ (^^ S-)=у ^+м* ^ - ^+М‘^+M'EG+^ 5-+

дл \ дХ / дкд%

+ ЛГ5(С + ф£)^,(6.12)

aT^^-^ + Qif'-—W&f/--') [G+Ф^Ч-

dX \ Рг дл / дк \ р /\ р /

+ Ti^ — +2pcost|>o —-v^^7 + Д ок Jок ок

+р2 [^ (°+ч^П+N*E ^+^ (°+^ ^

— ^L = р*Е-^-p*QN dA + N5 — ^-4)Ns — .

dk 112 14 д§ 5 дп дп

Здесь введены такие обозначения:'

Ф1.=Ф1.(Л1, т].);ф2*=ф2*И2. П*). ф-^ф-Иь Л2, т].),

F=F(cp., ц., Рг, Ргт), т].=т].(^, т]), 1=Цр/ц„Ре, Tl=Ue2//le, Л^Ц^/ц,Л2=Ц12/ц.

Коэффициенты N*, М*, Р5* (i=l, 2, 3; /=1, 2) здесь зависят только от геометрии поверхности и параметров внешнего течения и имеют такой же вид, как и в случае ламинарного течения (см. гл. V):

А^^^ + ф^з + Ф2^, N;=N4i М*з = АГз + 2<рЛГ2, .(6.13)

М^.И, -+ Ф (М3 - ф^з) + Ф2 (М2 - Ф^) + n4 5 + М>Ф ,

dr]

М* = М2 - фМ2, м1= М3 - фЛ^з + 2ф (М2 - ф^2) + ^5 ^ ,

р:=л + фР2^nX,pX=р3, n4=aiVgTi, n5=ар/г^2.

^! = -Д -+ «А, N, = арЛ2, Na = ^-L^__^ арлз,

Vguu, ^' Vg„ “е дП

Мг — — Вь М2 = —^=Ь аРВ2

РУ8г»ие дч

a 8 (1/ 8^*/ a due * d)

Vgue dg \' gu J^V gn\ue d%pepe dg/

p =“ d2 Vgued4p =“ d2 Vgued4P /_a_^e2УКД“е dr)P /_a_^e2УКД“е dr)1 d\—pepea , HA dn)1 d\—pepea , HA dn)

p =“ d

2 Vgued4

p =“ d

2 Vgued4

P /_a_^e

2УКД“е dr)

P /_a_^e

2УКД“е dr)

1 d\

—pepea , HA dn)

1 d\

—pepea , HA dn)

Q1=-^^ In/^, Q2Q1=-^^ In/^, Q2^L^mk.Vg» dll^L^mk.Vg» dll

Q1=-^^ In/^, Q2

Q1=-^^ In/^, Q2

^L^mk.

Vg» dll

^L^mk.

Vg» dll

Граничные условия (6.4) после преобразования (6.10) и (6.11) имеют вид

E = G = 0,V = V0,I = IW при К = 0,

(6-14)

E,I-*\,G->-0 при Х->оо.

Исключим из системы уравнений (6.12) уравнение неразрывности. Проинтегрируем уравнение неразрывности и значение V подставим в оставшиеся уравнения системы. После введения функций /, g, Е=дЦдХ, G=dgfdX система (6.12) сводится к виду

-Й+^^ + я:-Й+^^ + я:d/VdX /d/VdX /+»:№+«;\dX)+»:№+«;\dX)d^dgdX дХd^dgdX дХ+ лЦ+ лЦd/ d d/d2/ d/\ .х.dX dg дХdX* dg ) +d/ d d/d2/ d/\ .х.dX dg дХdX* dg ) +

-Й+^^ + я:

-Й+^^ + я:

d/V

dX /

d/V

dX /

+»:№+«;

\dX)

+»:№+«;

\dX)

d^dg

dX дХ

d^dg

dX дХ

+ лЦ

+ лЦ

d/ d d/d2/ d/\ .х.

dX dg дХdX* dg ) +

d/ d d/d2/ d/\ .х.

dX dg дХdX* dg ) +

дХ дХ / dt] дХдХ дХ / dt] дХ_^V лй + ф^'П дХ2 \ дт) дт) / ._^V лй + ф^'П дХ2 \ дт) дт) / .+ ^5+ ^5

дХ дХ / dt] дХ

дХ дХ / dt] дХ

_^V лй + ф^'П дХ2 \ дт) дт) / .

_^V лй + ф^'П дХ2 \ дт) дт) / .

+ ^5

+ ^5

+ М2+ М224-m;^^ЭХ dX24-m;^^ЭХ dXд dg дт) dXд dg дт) dX4 \ dX dl dX dX» dg / ' (6.15)4 \ dX dl dX dX» dg / ' (6.15)дт) / Jдт) / J

+ М2

+ М2

24-m;^^

ЭХ dX

24-m;^^

ЭХ dX

д dg дт) dX

д dg дт) dX

4 \ dX dl dX dX» dg / ' (6.15)

4 \ dX dl dX dX» dg / ' (6.15)

дт) / J

дт) / J

— U^ .F -1 = - (Pif + P'g) - + fcp.Yi dX ( Y^ dXJ x 1161 dX^ Y,ri

4- 2р cos ф0 -5-L (4- фТ Р 0 дХ2 ( дХ2( дХ д^ дХ di, J4- 2р cos ф0 -5-L (4- фТ Р 0 дХ2 ( дХ2( дХ д^ дХ di, J+ <р+ <р2п2пдт) дХ \ д)1дт) дХ \ д)1

4- 2р cos ф0 -5-L (4- ф

Т Р 0 дХ2 ( дХ2

( дХ д^ дХ di, J

4- 2р cos ф0 -5-L (4- ф

Т Р 0 дХ2 ( дХ2

( дХ д^ дХ di, J

+ <р

+ <р

2п

2п

дт) дХ \ д)1

дт) дХ \ д)1

Граничные условия определяются следующим образом:

U = ^ = °- f = fw, g = g™, I = Jw При Х = 0,(6.16)

ок ок

— -> 1, —0, / ->-1 при X -> ос.

дХ дХ

Полуэмпирические модели турбулентности в случае пространственного пограничного слоя представляют собой обобщение моделей, применяемых для двумерного пограничного слоя: а) модель эффективной вязкости и «пути перемешивания» Прандтля; б) модели, основанные на применении уравнения баланса кинетической энергии турбулентности; в) модели, основанные на использовании уравнений турбулентного движения для продольной и поперечной составляющих рейнольдсовых напряжений и др.

Для двумерных турбулентных течений имеются хорошо установленные экспериментально и обоснованные теоретически факты. Течение в турбулентном пограничном слое принято делить на зоны (области) вблизи стенки: вязкий подслой 1, область логарифмического профиля скоростей 2, зона закона следа и перемежаемости 3 (см. рис. 6.2). Иногда вязкий подслой, переходную область и область логарифмического профиля скорости объединяют в одну, называемую областью закона стенки и характеризуемую «мелкомасштабной» турбулентностью. В этой области хорошо работает модель эф

— ри'"и"=ит- = рРду— ри'"и"=ит- = рРдуди диду дуди диду ду(6.17)(6.17)фективной вязкости и длины «пути перемешивания». Рейнольдсовы напряжения трения определяются локальными значениями производной от осредненной скорости по нормали к поверхности:

— ри'"и"=ит- = рРду

— ри'"и"=ит- = рРду

ди ди

ду ду

ди ди

ду ду

(6.17)

(6.17)

Здесь цт — турбулентная вязкость, / — длина «пути перемешивания». Иногда величину I рассматривают как характерный масштаб турбулентности, или средний размер вихрей.

I = ^D, D = 1 — expI = ^D, D = 1 — expВ вязком подслое в качестве I используется величина

I = ^D, D = 1 — exp

I = ^D, D = 1 — exp

(6.18)

Демпфирующая функция D учитывает взаимодействие молекулярного и молярного обменов в пристеночной области. В этой формуле значения трения, вязкости, плотности выбираются в некоторой точке пограничного слоя. Значения константы Кармана к и величины А* принимаются обычно равными ^=0.4, Д*=26.

Во внешней области течение имеет характер «крупномасштабной» турбулентности и зависит от предыстории развития, релаксационных эффектов. Величина /=const и выражение для рейнольд-

совых напряжений в этой области можно задавать в виде

— pu"v" = pd2 (-ГX ^ / max— pu"v" = pd2 (-ГX ^ / maxди дуди дудиду *диду *(6.19)(6.19)

— pu"v" = pd2 (-Г

X ^ / max

— pu"v" = pd2 (-Г

X ^ / max

ди ду

ди ду

ди

ду *

ди

ду *

(6.19)

(6.19)

Таким образом, для использования простейшей модели турбулентности следует определить постоянные: А* — фактор демпфирования, к — постоянную области, в которой выполняется закон стенки, и величину (Z/6)max Для внешней области. В пространственном турбулентном пограничном слое вектор скорости изменяет свое направление по отношению к вектору скорости внешнего течения. Это приводит к анизотропии вихревой вязкости, так как длина «пути перемешивания» зависит нс только от изменения величины локальной скорости, но также от изменения направления.

Аналогично вводится

-7^=^ (дГ/ду).(6.20)

Для замыкания системы уравнений при турбулентном режиме течения используются различные алгебраические модели коэффициентов переноса, являющиеся непосредственным обобщением двумерной модели переноса. При этом делается предположение об изотропности коэффициента турбулентной вязкости. Это значит, что турбулентная вязкость является скалярной функцией координат и составляющих тензора скоростей деформации. Направление суммарного касательного напряжения совпадает с направлением результирующего градиента скорости G с компонентами ^ди[д^ dw/d^. Длина «пути перемешивания» Прандтля является скалярной функцией и нс зависит от преобразования координат к=1г=1. Обобщение гипотезы Прандтля для пространственного пограничного слоя естественно задать в виде

^T=pZ2| G|.(6.21)

Для криволинейной нсортогональной системы координат, связанной с поверхностью тела,

Г (duV , fdto \2 , о . dudto Ч^

G =— + — 4- 2 cos .

Использование эффективных коэффициентов турбулентного переноса совместно с обобщенной формулой Прандтля приводит к тому, что локальное число Рейнольдса Кед=цт/ц, равно

Кел = 2^1 Г (^Г + Г^У + 2 созфо^Г ’(6-22)

при этом Цэф1=Цдф2=рт, где рэф1 - продольный эффективный коэффициент вязкости, ц8ф2 — поперечный эффективный коэффициент вязкости. Соответственно продольная и поперечная составляющие напряжения трения равны

,, х ди ди..дсо

^1 = (и + Нт) — = Нэф —, Т2 = (р + Рт) — = ^— •

Полное трение представляется в виде т=(т1*-|-Тгг+2соз'фт1Т2)’\

Т — ЦэфТ — Цэф(6.23)

Т — Цэф

Т — Цэф

Сравним различные модели эффективной вязкости, которые позволяют замкнуть систему уравнений турбулентного пограничного слоя.

(6.24)(6.24)Наиболее простая модель

(6.24)

(6.24)

a) HT=p/2|Gl>

где длина «пути перемешивания» Wk^D. Здесь D — демпфирующий множитель Ван Дриста:

В этом случае величины т, р, v вычисляются по данным, полученным на поверхности тела.

В ряде работ используются многослойные модели турбулентности. Турбулентная вязкость для алгебраической модели отличается заданием длины «пути перемешивания». В работе [23] длина «пути перемешивания» задастся формулами, которые соответствуют трсхслойной концепции турбулентного пограничного слоя:

I. — = 0.41— ( 1 — ехр—| | , —<0.1,66 \26 / /6/г // т* \f т\2II. — = 0.41 -М 1 — ехр ( — 2-1 — 1.535 (-2- —0.1 +S6 \(26/(6/(г\3/г\4t+ 2.75б(-^—0.1] — 1.884 ( ——0.11, 0.1 ^< 0.6, (6.25) Uу\б)s v 7III.- = 0.089, 0.6 <-^<1.66Здесь £* =—1 / —, ти, рш, тш — значения трения, плотностиI. — = 0.41— ( 1 — ехр—| | , —<0.1,66 \26 / /6/г // т* \f т\2II. — = 0.41 -М 1 — ехр ( — 2-1 — 1.535 (-2- —0.1 +S6 \(26/(6/(г\3/г\4t+ 2.75б(-^—0.1] — 1.884 ( ——0.11, 0.1 ^< 0.6, (6.25) Uу\б)s v 7III.- = 0.089, 0.6 <-^<1.66Здесь £* =—1 / —, ти, рш, тш — значения трения, плотности

I. — = 0.41— ( 1 — ехр—| | , —<0.1,

66 \26 / /6

/г // т* \f т\2

II. — = 0.41 -М 1 — ехр ( — 2-1 — 1.535 (-2- —0.1 +

S6 \(26/(6/

(г\3/г\4t

+ 2.75б(-^—0.1] — 1.884 ( ——0.11, 0.1 ^< 0.6, (6.25) Uу\б)s v 7

III.- = 0.089, 0.6 <-^<1.

66

Здесь £* =—1 / —, ти, рш, тш — значения трения, плотности

I. — = 0.41— ( 1 — ехр—| | , —<0.1,

66 \26 / /6

/г // т* \f т\2

II. — = 0.41 -М 1 — ехр ( — 2-1 — 1.535 (-2- —0.1 +

S6 \(26/(6/

(г\3/г\4t

+ 2.75б(-^—0.1] — 1.884 ( ——0.11, 0.1 ^< 0.6, (6.25) Uу\б)s v 7

III.- = 0.089, 0.6 <-^<1.

66

Здесь £* =—1 / —, ти, рш, тш — значения трения, плотности

и кинематической вязкости на стенке, 6 — толщина пограничного слоя. Демпфирующий множитель D выбирается, как в предыдущем случае, и учитывает влияние кинематической вязкости на турбулентность вблизи стенки. Можно было бы привести примеры других многослойных моделей.

В ряде работ длина «пути перемешивания» задастся формулой

/ = p,6th f—-^/ = p,6th f—-^k Р. 6k Р. 6(6.26)(6.26)

/ = p,6th f—-^

/ = p,6th f—-^

k Р. 6

k Р. 6

(6.26)

(6.26)

Здесь р*=0.085, А=0.4, 6 — толщина пограничного слоя. Эта модель удобна при численных расчетах в том отношении, что в этом случае нет деления течения на зоны и расчеты можно проводить без выделения характерных зон.

Модель эффективных коэффициентов переноса, введенная в работе [27] для двумерного пограничного слоя, представляет собой суперпозицию молекулярной и турбулентной вязкости

р,Эф=^1 + нА.(6.27)

Коэффициенты kt и &2 выбраны таким образом, чтобы в ламинарном подслое при £->0 величины* ^^1, 62->0, в турбулентном ядре при больших значениях ^ величины ^4=0, &2=1> как и в двухслойной модели. Коэффициенты к1 и &2 изменяются непрерывным образом от значений, соответствующих ламинарному подслою, до значений в турбулентном ядре. Их явный вид выбран таким образом, чтобы получить наилучшее согласование расчетного профиля скорости с экспериментальными данными:

R^ —— ——————— f— е

1+ReW^»“1 + Re2/Re^-

Множители ^i, &2 являются функциями локального числа Рейнольдса Re и локального критического числа Рейнольдса: Rc=^ =ZVt/p/v, Ren*=ReKp.

В выражение для эффективной вязкости входит параметр Ren., который связан с толщиной вязкого подслоя. Эта величина зави сит от перепада давления, локального числа Рейнольдса, построен ного по толщине потери импульса, числа Маха.

В ламинарном подслое демпфирующее действие молекулярной вязкости на турбулентные пульсации в этой модели переноса характеризуется степенью убывания слагаемого &2р,т при £->0. В соответствии с экспериментальными данными модель вязкости (6.27) даст четвертый порядок убывания при £->0. Имеем ^ЦТ~О(£4). Используя выражение для эффективной вязкости цэф, учитывающее взаимодействие молекулярного и молярного переносов в пристеночной области, представим трение следующим образом:

Т = !1±^У!)^|О|.(6.28)

i+pv(p»"r«;,)

где КеЛ=(р/2/р) |G|, т=<р.р|С|, Re2=Z2T/pv2=/2| С|ф.р^2=ф.РеЛ.

Длина пути смешения определяется эмпирической формулой

Г/1 /Г

l-^A^W^-K 1-ехР(-т-т)1/ И-^рх

„X г» ® /-

X 0.75y--j-)] ,(6.29)

где 0^Ф.<1 при 0^£<оо, к — константа Кармана, равная 0,4. Вблизи стенки из этой формулы следует 1«к^, при £->оо, Ф,->-р„

p.=const. В расчетах принимается р.=0,1. Толщина пограничного слоя определяется по профилю полной скорости и.

Аналогично коэффициентам эффективной вязкости для пространственного пограничного слоя определим коэффициент эффективной теплопроводности:

%эф=^(^1 + ^Рг-КеА/Ргт)(6.30)

или в функциональном виде

ХЭф=Х<р.7:'(КеА, Re„#, Рг, Ргт), где

РгНед/Re^

Ргт / 1 + Ф. Re^/Re^

Коэффициент эффективной вязкости (6.27) зависит от локального числа Рейнольдса ReA, от безразмерной величины локального критического числа Рейнольдса Ren., определяющего местоположение границы, которая отделяет область с преобладающим ламинарным режимом от области с преобладающим турбулентным режимом. Коэффициент полной теплопроводности (6.30), помимо этих величин, зависит от величин Рг, Ргт. Числа Прандтля определяются по коэффициентам молекулярного и турбулентного переноса, которые в расчетах были выбраны таким образом: Рг=0,7, Ргт= =0,9.

Результаты экспериментальных исследований при гиперзвуковых скоростях течения [5] показывают значительное уменьшение турбулентного касательного напряжения с увеличением числа Маха. Уменьшение температурного фактора TJT, оказывает аналогичное воздействие на рейнольдсовы напряжения. Основное влияние на механизм генерации и диссипации турбулентности оказывает число Маха. При больших гиперзвуковых числах Маха (Ме>10) в условиях холодной стенки TJT.и0.11 -5-0.15 измерения турбулентной вязкости и длины пути смешения показывают значительное уменьшение безразмерной эффективной вязкости p,t/ue6 во внешней области. Постоянная р. в формуле для длины пути смешения (6.29) уменьшается с увеличением числа Маха. При гиперзвуковых скоростях течения в условиях холодной стенки модель турбулентного переноса может быть уточнена введением функциональной зависимости для ,р.:

Р. = Р.(Я, ^)..(6.31)

Турбулентное число Прандтля Ргт задается в общем случае с помощью эмпирической зависимости:

Ргт=Ргт(^+, Рг), (6.32)

M(fr./p)/v.

Такая зависимость может быть найдена сопоставлением численных результатов с экспериментальными данными. В работе [22]. приводятся полуэмпирические модели турбулентного числа Прандтля, построенные таким образом, что они учитывают взаимодействие молекулярной и молярной природы вблизи стенки, а вдали от стенки принимают почти постоянное значение, порядка 0.9. Результаты экспериментальных исследований по определению значений турбулентного числа Прандтля Ргт показывают, что в пристеночной области пограничного слоя Ргт>1, во внешней области пограничного слоя Ргт<1. Влияние вдува и отсоса газа на Ргт не обнаруживается.

В практических расчетах принимается PrT=const. При течениях в сверхзвуковых потоках газа турбулентное число Прандтля определяется из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными по коэффициенту восстановления температуры, результаты такого сопоставления дают значение Ргт=0.9.

При изучении пространственных пограничных слоев в ряде случаев необходимо обобщение понятий толщин вытеснения пограничного слоя: толщины вытеснения, толщины потери импульса и т. д. В пространственном пограничном слое в отличие от двумерного, где толщины вытеснения определены через конечные формулы, они находятся в результате решения уравнений в частных производных. Такой общий подход является довольно трудоемким, поэтому в ряде случаев используются приближенные формулы для толщин вытеснения, потери импульса. Так, при определении числа Рейнольдса можно ввести аналог толщины потери импульса 6,:

6S = Сfl— d £, IP = и? + со2 + 2 cos фощо

J Р А К

и определить Re^ как Re6s = UeQshe.

В системе координат, связанной с линиями внешнего течения, число Рейнольдса может быть определено следующим образом:

Re01 =иД — fl—^ d£/ve.

J РАив

В задачах с малыми вторичными течениями явлением перетекания можно пренебречь, и величины Re01, Р+ могут быть определены по профилю основного течения.

При расчетах использовались четыре модели эффективных коэффициентов переноса: модель I — в форме (6.24), модель II — в форме (6.24), (6.25), модель III — в форме (6.24) — (6.26), модель IV — в форме (6.27). Проводилось сравнение результатов расчета, полученных на основе вышеупомянутых моделей эффективной вязкости.

На рис. 6.3 показано распределение эффективной вязкости в пограничном слое. В пристеночной области наблюдается хорошее согласование (до — 5%) всех четырех моделей, в области турбулентного ядра согласование моделей II—IV удовлетворительное (до — 10%), а модель I существенно завышает значения эффективной вязкости.

В пространственном турбулентном пограничном слое вторичные течения малы по сравнению с ламинарным пограничным слоем. Увеличение вторичных течений можно наблюдать в областях отрыва, причем зона «отрыва» является узкой по сравнению с основным течением. Алгебраические модели турбулентности применимы при углах расхождения линий тока внешнего течения и предельных линий тока на теле до углов —15°. Поле течения вблизи «отрыва» чувствительно к используемой модели турбулентности. Градиент давления в этой области меняется поперек пограничного слоя, поэтому сама модель пограничного слоя и ее применимость требуют уточнения.

Все модели замыкания уравнений турбулентного пограничного слоя являются полуэмпирическими. Алгебраические модели достаточно хорошо предсказывают параметры потока медленно меняющихся течений.

При построении моделей пространственного турбулентного пограничного слоя следует требовать, чтобы вводимые функциональные зависимости являлись инвариантными относительно преобразования координат. Более сложные модели, основанные на использовании уравнения баланса кинетической энергии турбулентности и на уравнениях турбулентного движения для определения составляющих Рейнольдсовых напряжений, построены таким образом, чтобы в пристеночной области пограничного слоя, где сумма членов уравнений, характеризующих генерацию и диссипацию энергии турбулентности, близка к нулю, выполнялась обобщенная формула Прандтля.

Двухпараметрическая модель турбулентности, включающая уравнения для энергии турбулентности q и скорости диссипации турбулентной энергии 8, используется, например, для решения задач пространственного турбулентного пограничного слоя в работе [18]. В декартовой системе координат уравнения имеют вид

да . да , dq д \Ч dq pU-^ 4- 0(0-2- + 0V — =-

(6.33)

de , de . de d ( \Ч de\ . е .„ eq

Ри^++ ^-pT G|2 — c2p— »

d§ d^ d£ dt \o& dq q^

где цт определяется из формулы Прандтля—Колмогорова рт=р^7е,

Сц—0.09;^=1.44;f2=1.92; og=l; о2=1.3; # = 0.4.

Эта модель описывает течение во внешней части турбулентного пограничного слоя. Здесь принята гипотеза об изотропности коэффициента турбулентной вязкости. При использовании подобных моделей турбулентности возникают трудности при задании граничных условий для функций q и 8.

В ряде работ предприняты попытки создания для пространственных пограничных слоев неизотропных моделей турбулентной вязкости, основанных на уравнениях баланса кинетической энергии турбулентности и уравнениях турбулентного движения.

В работе [21] используется модель турбулентности, в котирую входят дополнительные уравнения для рейнольдсовых напряжений Ti=—pii't)', r^—pw^7. В ортогональной системе координат эти уравнения имеют вид

И U lj । W C/Tj । yi vTjИ U lj । W C/Tj । yi vTj

И U lj । W C/Tj । yi vTj

И U lj । W C/Tj । yi vTj

(6.34)(6.34)и дт277)17и дт277)17, to дт2 , Vg^ dn, to дт2 , Vg^ dn

(6.34)

(6.34)

и дт2

77)17

и дт2

77)17

, to дт2 , Vg^ dn

, to дт2 , Vg^ dn

— (Ч + ^V14iV p ^) — ^ (5 (T- +1)1^ ^iVpl 1 -

— (1 + <УА Tj /p L) — -^ [G (T1 + т’) 7x т2// p]] .

В ^уравнения введены эмпирические функции L=6<p(£/6), G= =G(|/6), а—0,15. При выводе этих уравнений использовалось соотношение между турбулентными напряжениями и кинетической энергией турбулентности ^"у'^х^а^ и приближенное соотношение для диффузии турбулентной энергии

WVpW = ^ V L в.

\/ р

Уравнения для ть т2 описывают области полностью развитых турбулентных течений, т. е. течений вне вязкого подслоя и при числах Рейнольдса we6*7v^5000. Сравнение результатов расчетов, выполненных с применением моделей турбулентной вязкости, урав-’ нений баланса кинетической энергии турбулентности и уравнений турбулентного движения с экспериментальными данными [25], показывает, что все эти модели дают приблизительно одинаковый результат и хорошо согласуются с экспериментальными данными по интегральным характеристикам пограничного слоя, за исключением области, близкой к области «отрыва» потока.=

2. Конечно-разностные методы расчета-

Схема повышенной точности

Рассмотрим разностные схемы расчета пространственного турбулентного пограничного слоя. В настоящее время разработаны конечно-разностные методы расчета задач двумерного ламинарного и турбулентного пограничных слоев. Особое место среди них занимают методы повышенного порядка точности [30, 31]. Эти методы позволяют значительно сократить число расчетных узлов в направлении, перпендикулярном к поверхности, что особенно важно при численных расчетах турбулентных режимов течения, а также течений с физико-химическими превращениями. Разработаны методы повышенной точности аппроксимации производных в касательном направлении к поверхности.

В разд. 4 гл. III приводится обзор численных методов расчета ламинарного пограничного слоя, обсуждаются вопросы, связанные с аппроксимацией, устойчивостью, сходимостью разностных схем. Развитие методов расчета задач пространственного ламинарного пограничного слоя привело к созданию методов расчета турбулентного пограничного слоя. Для численного интегрирования уравнений турбулентного пограничного слоя используются в основном методы, ранее опробованные на задачах ламинарного пограничного слоя и соответствующим образом модифицированные для решения уравнений турбулентного пограничного слоя.

Для численного решения системы (6.12) с граничными условиями (6.14) и* эффективным законом изменения турбулентной вязкости использовался метод [2], применяемый для расчета трехмерных ламинарных слоев.

Область непрерывного изменения аргумента D(0^§^§\ 0^ 0<^О заменяется областью дискретного изменения аргумента Dh^m) т]п, ^), где Z=l, 2, ..., L, m=l, 2, ..., М; п= = 1, 2, ..., N.

Производные по £ заменяются разностными соотношениями:

d^tlldZ^ = ’VijU^^.m п 4“ Y 1,1^1,т,п 4“ Уз,/^/-1,/?г.п 4“ Ф1>

(6.35)

ди/д^ = &i,lUi_v.m,n 4" ^'1,1^1,т.п 4“ ^.lUt-x.m.n 4“ Фг-

Здесь =2Здесь =2^"Ы^х"^ ’

Здесь =2

Здесь =2

~ ^х-^И^х-^

^1 6/-1) (6/+1 6/-1)

Производные по £ и по т) заменяются односторонними разностными соотношениями:

ди]д^ = (^х,тШ,т,п 4“ ^tmUl.m-Xtn “Н ^з,т^1,т—2,п 4" ^з»

(6.36)

9ufdx\ = ^х.пЩ.т^п 4“ ^2,nU-l,m,n-x 4“ ^зл^Ьт.п-^ 4“ 4^7

2^>т ^т-х ^т-26/77-2

^т 6/71-2) (6/71 5m—1)(Em—12) ^т ^т-9

6/п6/?i-iО ^п ^«-1^п-2

(6/?16/71-2) (6/716/71-2)(^П^/1-2) (^n^l/l-l)

ft ^/l^/1-2ft ^П

Р2П — ;7 7 Рз,п — ;™7 •

(Лп-i ^n-J (^n^-1)(^n Лп-г) (Лп-i ^/1-2)

Для случая равномерной сетки аппроксимация первых и вторых производных даст второй порядок точности по всем направлениям. При использовании сильно неоднородной сетки возможно появление ошибки. Поэтому удобно пользоваться неравномерной сеткой с постоянным изменением шага по закону геометрической прогрессии. Предположим, что изменение шага происходит следующим образом:

Д^^Х п=1,2, ...Л.

Наиболее удачный размер начального шага для расчета турбулентного пограничного слоя Д£=0,0005. Величина к характеризует число точек сетки по координате ^. Например, при А£=0,0005, ^=1,12 и при £l=35 будут использованы 100 расчетных точек.

Система уравнений (6.12) с граничными условиями (6.14) заменяется системой конечно-разностных уравнений. Уравнения трехмерного пограничного слоя в преобразованном виде представляют собой систему трех нелинейных уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности). Систему аппроксимационных уравнений можно представить в виде

Ao.m.nUxtm.n 4“ Во^п^о.т^п === DQtrntni

A[>tn,nUl*x,m>n 4" ^19т,п^1,т,п 4" Сi^nW-x.m^n == — В[>Пг,Пч(6.37)

Аь,т;пЦь,т,п 4“ Bl,m,n^L-l,m,n — DL,m, th

(Z=lL — 1; m = 0, .... M; n = 0, ..., N).

Матрицы Л)>тп, В1-т,п, Ci.m.n являются квадратными, порядок которых равен г.

Систему (6.37) можно решить методом прогонки по трем точкам: Z—1, I, Z+1 для всех индексов тип (индексы т и п в дальнейшем опустим):

11! = Pzuz+1 + Qi (l = L—i, .1),

?! = (£!-стаAl(Z= 1, ..L — 1).

Qi = (Bz - Ста-1 (CiQi - Di1),Z = (L - 1, ..., 1).

Условие устойчивости обратной прогонки ||Л11<1 (Z=0, ... ..., L—1) выполняется [34], когда ||В|-‘Л(||+1|Вг1С|||<1.

Систему (6.37) можно представить в виде скалярной системы уравнений и решать последовательно одно за другим с помощью метода скалярной прогонки с итерациями. На рис. 6.4 приводятся результаты численного расчета продольного коэффициента трения ct в зависимости от координаты g при т]=0 и в зависимости от угла т) при g=6.

В рассмотренных случаях при использовании модели II—IV вязкости вызвали изменение в абсолютном значении с, до 15%, модели I — до 25%.

Проведено исследование теплообмена на затупленном конусе при температурном факторе //„=0,3. Распределение числа Стантона в зависимости от координат g и т] показано на рис. 6.5. Расхождение в коэффициенте теплоотдачи, вызванное применением моделей II—IV» составляет ~ 10%, а модели I ~20%.

Отличие в абсолютных значениях коэффициента трения и числа Стантона при использовании различных моделей коэффициен-

St^-/^St^-/^тов турбулентного переноса может оказаться существенным, в особенности если модель не учитывает многослойной структуры турбулентного пограничного слоя.

St^-/^

St^-/^

Рис, 6.5Рис, 6.5На рис. 6.4—6.5 представлены также относительные значения величин c^Re и Stoo для моделей I—IV (кривая 5).

Рис, 6.5

Рис, 6.5

Результаты расчета относительных величин (с^с^ совпадают с точностью до 2% для всех моделей.

Следовательно, хорошее совпадение относительных величин дает возможность рассчитывать характеристики турбулентного пограничного слоя с помощью упрощенной модели I, которая сокращает время счета по сравнению с моделями II—IV в 2—3 раза.

Для численного интегрирования уравнений пространственного турбулентного пограничного слоя в работе [44—45] использован конечно-разностный метод повышенной степени точности^ предложенный для двумерных задач в работе [30]. Этот метод получил широкое применение при исследовании течений в двумерных ламинарных и турбулентных пограничных слоях [26]. Чис- • ленный метод обеспечивает повышенный (четвертый) порядок точности интегрирования по нормальной к поверхности координате.. Используются граничные условия общего вида, при этом порядок точности интегрирования и вычислительный алгоритм остаются однородными. В направлениях, касательных к поверхности, задаются также неравномерные интервалы интегрирования в зависимости от интенсивности перестройки течения. Конечно-разностная схема основывается на двух- и трехслойных пространственных, шаблонах.

Рассмотрим модельное уравнение для системы уравнений (6.15) и граничных условий (6.16). Каждое из уравнений этой системы имеет вид'

\ ОТ]ох\ )

диг!дХ=иъ

(6.38} dusjdX=u2.

Здесь ы,=и.

Решение ищется в области ^^^^^м, t)i^ti^t]w> О^Х^Х... Граничные условия запишем в общем виде:

Тю + Т11М1 + Т12“2+Т1зи3=0,(6.39)

Т2о+Т21“1+Т22и2+Т2зиз=О при Х=0,

И Тзо+Тз1«1+Тз2и2+Тзз«з = О при Х=Х„.

Коэффициенты т, о<, р,, qt (i—2, 3) являются функциями координат и искомых функций g, Т], X, Ut.

Коэффициенты граничных условий являются в общем случае функциями независимых переменных и функций |, т], X и решения.. Нелинейная система уравнений (6.38) с граничными условиями общего вида (6.39) сводится к линейной с помощью методов линеаризации. Коэффициенты т, «н, pi, qt, ^{ определяются по значениям решения из предыдущей итерации.

'ззз;

Уравнения первого порядка (6.38) аппроксимируются по X конечными соотношениями с точностью аппроксимации, равной О(/гг4), где ht — полушаг интегрирования. С этой целью вводится вспомогательная сетка Хг+у„ так что узел Хг+у, является центром отрезка [Хг, Х!+1], /=0, ..., L. Значения функции и1+ч, и ее производной (du/dX)i+y, могут быть определены с четвертым порядком точности О (ft,4) через значения функции и производной в узлах I и /4-1 следующими формулами:

u^a = («/ + «/«)/2 - (-^- --^) № 4- О (К^(6.40)

VdXt /

®= |(«^-«»-{^ + ^V44-O(ftfr (6.41)

\дХ//+1^2\ dXz 5Х/+1 / /

Исходные уравнения (6.38) будут аппроксимироваться с использованием интегральной формулы Симпсона

5 udX = (и/ 4“ 4u/+i/s 4- u/+i) hi/3 4- О (ft?)(6.42)

и интегральной формулы

^udX^^A-u^ht- f-^--^21+0(hh,(6.43)

2h/11

которая получается исключением из (6.42) значения Ui+4, по (6.40). Формула (6.41) является обращением формулы Симпсона (6.42). После аппроксимации уравнений для каждой пары основных узлов /, /+1 получаются три линейных аппроксимационных уравнения первого порядка, связывающих значения функции и в этих узлах.

Производные по g и т) аппроксимируются в зависимости от свойств течения различными способами по двум или трем точкам в соответствии с выбранными шаблонами (рис. 6.6).

Аппроксимационные отношения представляются в общем виде для двух- и трехслойных неявных разностных схем выражениями

duid^ = a.lituu,n 4- a.?,iUi,{-i.n 4- «з,М,<-2,п 4- Ф1,(6.44)

du/дт] = Pi.nW/.f.n 4" ^2,n^l,i,n -i 4- Рз.пУ/Дп—2 4“ Фг*

В работах [30—32] приводятся схемы, обладающие хорошими свойствами. Для уравнений этого типа используется разностная аппроксимация по t> Л» обеспечивающая устойчивость. На рис. 6.6 приведены точки, которые используются при разностной аппроксимации производных по двум слоям, а также представлен шаблон, применяемый при аппроксимации производных по трем слоям в каждом направлении — g и тр Для повышения порядка аппроксимации в нормальном направлении используются значения функций в половинных узлах 1+1!г, по этим значениям также определяются производные функций по д!дс, и д]д-х\.

Значения функции в промежуточном узле (Z+V2) исключаются с использованием двух оставшихся уравнений системы (6.38) и (6.40)-(6.41).

Линейные аппроксимационные уравнения представляются в виде.

^юН“^11^1^4"^12^2>/4"^13^3^ — ^10 + ^11^1,/ + 1 + ^12^2,Z+1+ ^13^3,Z+1> (6.45)

^20 4" ^21^1,Z + ^22^2,Z 4“ ^23^3,Z^ ^20 4" ^'21^1,Z+l 4" ^22^2,Z + 1 4" ^23^3,Z+l,(6.46)

£30 4" C31U1Z+ Сз2^2,/4" ^33^3,Z==^3o4" ^31^1,Z+14" ^32^2,Z+1 4" #33^3,Z+l-(6.47)

Здесь индексы г, и, характеризующие конкретную точку на поверхности, опущены.

Первое аппроксимационное соотношение (6.45) получается интегрированием первого уравнения системы (6.38) с применением формулы Симпсона; второе аппроксимационное уравнение — за счет интегрирования второго уравнения (6.38) по отрезку 2А, с использованием формулы (6.42); при этом применяются все три уравнения системы (6.38) и формула Симпсона.

Третье аппроксимационное уравнение получается применением интегрального выражения (6.43) ко второму уравнению системы (6.38), при этом используется также третье уравнение этой же системы.

Система разностных уравнений с линейными граничными условиями в матричной формуле представляется в виде

GoUo=go»

(6.48)(6.48)Aj.i-^Um.i Cj+^Uj— D;+y2(/—0, ..., L 1),

(6.48)

(6.48)

GbUL=gL, («!={«,, U2, U3}<T),

где Go, Gl, Ai+v„ Ci+./, — матрицы порядков 2X3, 1X3, 3X3, 3X3. В общем случае порядки матриц равны rtXr, r2Xr, rXr, гХг, где г — порядок аппроксимационной системы уравнений, г, — число граничных условий на поверхности, г2 — число граничных условий на внешней стороне пограничного слоя, причем rt + r2=r. Первое и третье аппроксимационные уравнения дают выражения для приращения функций ut и «з на отрезке [/+1, Z]. В случае m=const второе аппроксимационное уравнение (6.46) даст приращение функции ы2 на интервале интегрирования.

Матрицы Go, Gl для системы третьего порядка г=3 имеют вид

(6.49)(6.49)/Ун» Ti2> Т1з1 JТю!

(6.49)

(6.49)

1?21> ?22> T23JIV20*

Gl—{Vsi> Тз2> Тззк gt—{ Узо}-

Предположим, что система (6.48) имеет решение и оно единственное. Следовательно, определитель матрицы

Go,0,0..• • 0,0 -Сз^Ач«005 =С»/,. А/, . ■С/-у2,Ai-y,_0б 00Cl _Go,0,0..• • 0,0 -Сз^Ач«005 =С»/,. А/, . ■С/-у2,Ai-y,_0б 00Cl _(6.50)(6.50)

Go,

0,0..

• • 0,

0 -

Сз^

Ач«

0

0

5 =

С»/,. А/, . ■

С/-у2,

Ai-y,

_0

б 0

0

Cl _

Go,

0,0..

• • 0,

0 -

Сз^

Ач«

0

0

5 =

С»/,. А/, . ■

С/-у2,

Ai-y,

_0

б 0

0

Cl _

(6.50)

(6.50)

ютличен от нуля. Ранг матрицы равен гХ (Z+ 1). В случае аппроксимационной системы третьего порядка ранг матрицы и число неизвестных функций равно 3(/+1): Л = {и0, ..., uL}. Система уравнений

SX=Y,(6.51)

тде Y=^gti, ..., Dz+V2, ..., ^Д, может быть решена различными способами.

Для решения этой системы используется метод прогонки, алгоритм которой построен таким образом, что граничные условия переносятся с узла / на узел Z +1.

Процесс решения методом прогонки состоит из двух этапов: прямой и обратной прогонки. Сначала выполняется прямая прогонка, в процессе которой граничные условия переносятся на узел со следующим номером. Для произвольного узла / возьмем г^ граничных условия и г аппроксимационных уравнений:

Gzu,=gz,(6.52)

Az+V2uz+1—Cz+y2uz=—Dz+V1.(6.53)

Эта система образует г линейно независимых уравнений, если

возьмем g граничных условий (6.52) и г2 последних уравнений

системы (6.53)..

Определим uz через uz+1:

Ч/ = G/U/+1 — d/-h%(6.54)

G/ = — фь ^z);div/4 = Pi 1d^ %.

Подставляя uL в оставшиеся r^ аппроксимационных уравнений

az+V2uz+1—cz+V2uz =—pz,(6.65)

(6.56)(6.56)получим уравнение Gz+iUz+1=gz+1.

(6.56)

(6.56)

Здесь

Р/Р/a/p/2 =a/p/2 =^10 сю^10 сюQ-r^ — Crt9Q-r^ — Crt9

Р/

Р/

a/p/2 =

a/p/2 =

^10 сю

^10 сю

Q-r^ — Crt9

Q-r^ — Crt9

G 1+1=а1+гк—с1+гкОf, gz+1——pz+1—cz+y2dz+v2.

Коэффициенты третьего аппроксимационного уравнения зависят только от hb Вследствие этого получается минимальное число прогоночных коэффициентов, которые необходимо запоминать в процессе прямой прогонки.

На внешней границе пограничного слоя (/=£) выберем г^ граничных условий (6.56) и г2 граничных условий (6.48), которые образуют г уравнений для определения uL. Эта система разрешима, что следует из разрешимости полной системы (6.51).

На втором этапе выполняется обратная прогонка — по известному значению uz+1 из (6.56) определяются значения uz. Прогоночные коэффициенты Gt и dl+xk определены в процессе прямой прогонки. Из построения алгоритма прямой прогонки следует, что процесс обратной прогонки неоднозначен, хотя решение uz от него не зависит в силу единственности решения всей системы (6.51).

Устойчивость прогонки складывается из устойчивости прямой и обратной прогонок. Устойчивость метода прогонки связана с корректностью краевой задачи (6.51).

Согласно работе [35], задача (6.51) считается корректной, если ее решение X единственно и устойчиво относительно правых частей и граничных условий

НН^СоМ, (6.57)

где Al=max{||goll, llgidl, max||dz+vJI}.

Прогонка считается устойчивой, если прогоночные матрицы и векторы равномерно по hL ограничены:

WGA^c^ (6.58)

11^11^с2Л1,

где с0, с^ сг не зависят от L (или h^.

Устойчивость прямой прогонки — ограниченность норм прогоночных матриц и векторов правых частей (6.58) — может быть обеспечена нормировкой элементов матриц Gb Введем нормировку выражения (6.56) таким образом (^=1):

Gr-GJM, g^gJWGAV

Тогда Gh gi будут ограничены и условие (6.58) будет выполнено, а прямая прогонка, будет устойчивой. В общем случае при г^\ в работе [29] приводятся методы, обеспечивающие устойчивость прямой прогонки. Устойчивость обратной прогонки для корректной задачи зависит от выбора алгоритма определения прогоночных матриц и векторов.

Для хорошей обусловленности краевой разностной задачи необходимо и достаточно [29], чтобы выполнялось каждое из следующих условий.

Среди корней уравнений (6.48)

detH-pC)=0,(6.59)

detM-C)=0

нет равных по модулю единице, причем корни и и v удовлетворяют условиям

|ц|<1—9/2, |v|<l—6/2,.

(6.60)

|ц-41 <1—9/2, Iv-1! <1-0/2,

где 9>0 и не зависит от g.

Число тех корней ц, модуль которых меньше единицы, равно размерности g, соответственно число корней у, модуль которых меньше единицы, равно размерности г2.

Граничные условия (6.48) регулярны, т. е. выполнены п. 1 и 2 при ^=0 и S=U» а также матрицы Go, GL удовлетворяют условиям

det{G0Z0}^9, det{GL^L}^0.

Здесь Zo — матрица размерности гХгъ состоящая из столбцов собственных векторов, отвечающих г^ собственным значениям цп 1= = 1, ..., r^ WL — матрица размерности rXG, столбцы которой являются собственными векторами, соответствующими собственным значениям 'ViU^i-V-1, .. ., г).

Доказательство устойчивости обратной прогонки для корректной задачи в общем случае переменных коэффициентов уравнений довольно трудоемко. Поэтому проводилась проверка хорошей обусловленности разностной краевой задачи при условии независимости коэффициентов уравнений от £ и hi и при г=2.

Каждое из уравнений (6.15) и граничных условий (6.16) мо-

жет быть представлено в виде (6.38). Уравнения решаются последовательно/одно за другим. Причем каждое уравнение импульсов итерируется по отдельности, а затем осуществляется итерация всей системы уравнений. Сходимость определяется по профилям вторый производных функций f, g, fh в двух последующих итерациях. При этом требуется выполнение следующего критерия:

. ei,. ei,

. ei,

. ei,

где 81 — заданное достаточно малое число (е^ 10“4ч-10-5). Система уравнений в переходной и турбулентной областях из-за введения эффективных коэффициентов турбулентного переноса становится сильно нелинейной. Для (&+1)-й итерации производится пересчет искомых функций по формулам

В качестве следующего приближения берутся величины u*w. Величина s=const подбирается таким образом, чтобы сходимость итераций была скорейшая.

Для аппроксимации исходных уравнений в пространстве переменных (g, т), £) вводится сетка, величина шагов интегрирования которой определяется характером изменений течения, условиями внешнего невязкого обтекания, граничными и начальными условиями, метрикой поверхности обтекаемого тела. Введение обобщенных переменных подобия удобно в том отношении, что искомые функции в ламинарном пограничном слое изменяются по поперечной координате £ подобным образом при разных значениях g и ц. В турбулентной зоне пограничного слоя изменение всех величин становится в тех же переменных подобия более заметным, толщина расчетного пограничного слоя сильно увеличивается. Поэтому можно использовать неравномерную сетку по £ для увеличения числа точек сетки в ламинарном подслое. В данном методе это легко делается. Шаг интегрирования по координате, перпендикулярной к телу Az(Z=l, ..., L), выбирается переменным таким образом, чтобы он уменьшался вблизи стенки и увеличивался во внешней области пограничного слоя. В ламинарном подслое развитого турбулентного пограничного слоя выбирается примерно десять узловых точек. Выбор значений массива Az (Z= 1, ..., L) может определяться величинами вторых производных: д^д^2, d2g]d^\ O^h/d^.

Производные по £ и т] могут быть аппроксимированы различными способами в соответствии с выбранными пространственны-

Рис. 6.7

ми шаблонами. Существуют конечно-разностные схемы, в которых производные по одному из двух направлений g, т] аппроксимируются явным образом, что с необходимостью накладывает ограничения на соотношение шагов интегрирования по £ и т). В работе [2] приводятся разностные схемы, которые устойчивы для модельного уравнения. В работе [36] производные по т] аппроксимируются явным образом так, что конечно-разностное представление дифференциального оператора сод/дт] всегда остается положительным, что достигается слежением за направлением со. Отметим, что приведенные схемы, хотя и обладают хорошей устойчивостью и сходимостью, накладывают существенные ограничения на шаги интегрирования, и это приводит к трудностям при решении ряда сложных задач теории пограничного слоя.

При расчете турбулентного пограничного слоя используется алгоритм расчета характеристик трехмерного пограничного слоя, основанный на использовании неявных конечно-разностных шаблонов и на методе слежения за направлением скорости потока. Ограничение на шаг интегрирования в этом методе не существует, если нет продольного отрыва, метод прост при практическом использовании. С помощью такого подхода можно рассчитывать области поперечного течения в рамках уравнений пограничного слоя при некоторых дополнительно введенных модификациях.

Рассмотрим вычислительный алгоритм для случая, когда профиль продольной составляющей скорости является монотонным: и^О (тш^О). Аппроксимация производных по g осуществляется

с использованием двух и трех предыдущих слоев. В зависимости от знака поперечной составляющей скорости W в принятой системе координат течение разделяется на следующие зоны: а) область I — регулярное течение, где II^^O и профиль W—£)-образный (рис. 6.7, в); б) зона II — течение, где IF^O; в) область III — нерегулярное течение, имеющее поверхность раздела, на которой 1^=0, профиль W в этой области S-образный. Область I, как правило, располагается от линии растекания до линии стекания или до поверхности раздела потоков; область II — от линии стекания до линии растекания. Вычислительный процесс ведется в направлении возрастания т] с наветренной линии симметрии до подветренной линии симметрии через все области непрерывным образом. Местоположение линий стекания, растекания и поверхностей раздела потоков заранее неизвестно, они определяются в результате вычислений. Область II, например, рассчитывается при движении в положительном направлении т] против вектора скорости, так как Q^O (рис. 6.7, б). Вычислительный алгоритм разбивается на два этапа. Вычисления на этапе 1 производятся в полуавтомодельном приближении (б/бт]=О). С помощью найденного решения определяются углы разворота линий тока в пограничном слое и предельные линии тока, местоположение линий стекания и растекания, т. е. выделяются характерные области течения I—III. При вычислении в области II счет ведется до линии растекания. Вычисление на этапе II производится в обратном направлении. В качестве начального профиля используется найденное решение. При этом используются аппроксимации (6.44) производных б/бт], в которых индекс (я—1) заменяется на (п+1). Вычисление производится до линии стекания.

При расчетах применялись и сравнивались различные итерационные процедуры. Для тел простой формы эти вопросы не возникали.

Итерационная процедура вычисления вниз и вверх по потоку с использованием полуавтомодельного приближения. Характеристики пограничного слоя в области III определяются с помощью итерационной процедуры, заключающей в себе элементы алгоритмов и этапов I и II. Сначала производится вычисление в полуавтомодельном приближении (этап I) при движении в положительном направлении координаты т](б/бт]=О), затем вычисление производится в противоположном направлении (этап II). Поперек пограничного слоя в области III скорость W меняет знак, поэтому в области, где величина №>0, производные принимаются б/бт] = =0, т. е. при движении против потока всегда используется полу- автомодельное приближение. Такая итерационная процедура может осуществляться несколько раз до сходимости решений с учетом производных по т]. Течение в области III обладает эллиптическими свойствами, возмущения в потоке передаются как в положительном, так и в отрицательном направлениях т], в зонах соответственно выше и ниже поверхности раздела потоков. В то же время возмущения передаются и поперек пограничного слоя, по-

этому необходима итерационная процедура, включающая в себя вычисления вниз и вверх по потоку.

Б. Итерационная процедура счета вниз и вверх по потоку с запоминанием найденного решения. Возможна несколько иная процедура вычисления характеристик в области III. Отличие от итерационной процедуры А состоит в том, что только на первой итерации поперек пограничного слоя, где 1^^0, принимается д)дт\ = =0. Для й>1 (й — номер итерации) производная д/дт] вычисляется в положительном или отрицательном направлении т] в соответствии со знаком W таким образом, что конечно-разностное представление оператора №(д/дт]) положительно. При таком алгоритме вычисления необходимо запоминать решения для всей области III, т. е. на всех слоях по и, что приводит к дополнительным затратам машинной памяти.

Аппроксимация производных по значениям, найденным из полуавтомодельного приближения. Решение на первой итерации дает достаточно точный результат по интегральным характеристикам пограничного слоя, и для исследования обтекания тел сложной формы применяется упрощенная процедура вычислений, состоящая из одной итерации (й—1). Движение вниз по потоку (по- луавтомодельное приближение) и вверх — определение решения — осуществляется только на один шаг по т) (рис. 6.7). Такая схема расчета похожа на явные аппроксимации производных по координате т] при движении против потока, но существенное отличие состоит в том, что не накладывается ограничение на соотношения шагов по £ и чр

3- Некоторые примеры расчетов

При исследовании турбулентных течений в пространственном пограничном слое возникает необходимость в проверке принятых моделей и гипотез турбулентности, которая осуществляется сопоставлением результатов расчета с экспериментальными данными. В этом пункте исследуется пространственное течение, которое возникает при обтекании острого конуса под углом атаки (рис. 6.8).

Теоретическому и экспериментальному исследованию этой задачи посвящены работы [38—41]. Вязкое пространственное течение, возникающее при обтекании острого конуса при больших Rcoo, определяется в рамках турбулентного пограничного слоя, при этом используются различные модели турбулентной вязкости, выражения для длины пути смешения. При численном интегрировании исходной системы уравнений использовались различные независимые переменные и координаты подобия. В работе [38] использовались переменные подобия для нормальной координаты £=£/6 (6 — толщина пограничного слоя), в работе [39] — переменная ^=Ш» гДе £ — продольная координата.

Возникающая особенность на подветренной стороне конуса, обтекаемого под большими углами атаки сжимаемым газом, при-

Рис. 6.8Рис. 6.8Рис. 6.9Рис. 6.9

Рис. 6.8

Рис. 6.8

Рис. 6.9

Рис. 6.9

водит к значительным трудностям при численных расчетах вязкого течения в рамках уравнений пограничного слоя. Для исследования характера течения и вязкого-невязкого взаимодействия в области отрыва потока применяются методы решения уравнений Навье—Стокса или уравнений, моделирующих эллиптические свойства течения в окружном направлении. Добавление вязких членов со второй производной по окружной координате в систему уравнений и применение поперечных прогонок позволило в работе [40] просчитать область «отрыва» в рамках ламинарного течения. В работе [41] обтекание острых конусов под углом атаки исследуется на основе численных решений уравнений Навье—Стокса при турбулентном режиме течения, при этом применяются турбулентные коэффициенты переноса.

Метод расчета и модели турбулентности апробируются сравнением с экспериментальными данными работы [37], в которой исследовано обтекание острого конуса с углом полураствора при вершине 12° под углом атаки 15° сверхзвуковым потоком газа, Л4оо=1,8, при значении числа Рейнольдса Reoo=2,5-106, температура поверхности близка к температуре торможения набегающего потока Т*. Параметры невозмущенного потока характеризуются большой степенью турбулентности; в расчетах предполагалось, что переход к турбулентному режиму заканчивался при zIL^ =0,06 и течение на остальной части конуса имело турбулентный режим.

Для численных расчетов выбрана система координат, связанная с поверхностью конуса: £ — расстояние от вершины вдоль образующей конуса; т] — угол, отсчитываемый от плоскости симмет-

рии; £ —расстояние по нормали к поверхности; г=г(£) — текущий радиус, рис. 6.8, а. Функции аир соответственно равны g и т].

Внешнее течение на остром конусе, как показывают экспериментальные данные, является коническим (др/д^ = О) и задано в соответствии с данными работы [37]. Сравнение численных результатов для продольной и(ие) поперечной со/ие составляющих скорости и температуры Т,Те с экспериментальными данными приведено на рис. 6.9 для значения углов т]=135° и z/L=0,85 (г — расстояние по оси конуса). Пунктиром нанесены численные результаты работы [37], в которой используется модель турбулентной вязкости Ван Дриста. Аппроксимация производных в касательной плоскости осуществлялась по двум и трем расчетным узлам. Расчеты показали, что использование трехслойных разностных шаблонов позволяет получить результаты с большей точностью, чем двухслойные схемы, и значительно сократить число расчетных узлов; шаг интегрирования Дт]=5° дает приемлемую точность почти во всем поле течения, за исключением области, близкой к области отрыва. Интегрирование по координате £ производилось на существенно неравномерной сетке, шаг интегрирования значительно изменялся от поверхности до внешней границы. Высокий порядок точности аппроксимации в нормальном к поверхности направлении и неравномерная сетка позволяют получить численное решение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными на сравнительно небольшом числе расчетных узлов (7= =48).

т т£ inг /сю / ди \

На рис. 6.10 расчетные значения угла G)to=arctg

сравниваются с экспериментальными данными. Наибольшее значение со© течение имеет при т]=90° (сои—ые^ 7°), с увеличением т] лод действием положительного градиента давления в поперечном направлении на подветренной стороне конуса происходит «отрыв» потока. В предотрывной области резко возрастает толщина пограничного слоя. Поперечная составляющая величины трения т2 обращается в нуль при подходе к «линии отрыва» G)to=0, и» течение разворачивается вдоль образующих. В экспериментах отрыв по-

тока происходит при 7)= 159°, в расчетах это значение заключалось в диапазоне т]=1604-165°.

На рис. 6.11 приводится сопоставление расчетных направлений линий тока со внутри пограничного слоя с данными опыта для значений т)=45, 90, 135е.

На рис. 6.12 представлены результаты численных расчетов для продольного и поперечного коэффициентов трения cf/2=TipeVe2y cfJ2=T2lpeVe2 в зависимости от угла т) при z/L=0,85.

Здесь представлены примеры численного исследования обтекания затупленных конусов под углом атаки потоком сжимаемого газа. Набегающий поток характеризуется большими числами Маха и Рейнольдса (Reoo~ 106 4- 108), и ламинарный режим течения переходит в турбулентный вблизи передней критической области, поэтому трехмерное течение предполагается турбулентным. На характеристики теплообмена в пограничном слое в значительной степени сказывается величина температурного фактора TJT*, поэтому исследуется влияние этого параметра на развитие пространственного течения и на Л2 теплообмен в пограничном слое.

Отметим, что исследование задачи об- ^5 текания затупленных конусов в рамках ' ламинарного пограничного слоя приводится в разд. 4 гл. 5.

Рис. 6.12Рис. 6.12В данной работе рассматривается обтекание 10-градусного конуса со сферическим затуплением сжимаемым потоком ^ газа при числе AL = 6. Для численных

Рис. 6.12

Рис. 6.12

Рис. 6.16Рис. 6.16

Рис. 6.16

Рис. 6.16

расчетов используется система координат, связанная с поверхностью тела. Ортогональная система координат выбрана на поверхности следующим образом: g выбирается вдоль образующих конуса; т) — координата, отсчитываемая от наветренной стороны конуса; £ —нормаль к поверхности конуса. Метрически коэффициенты равны Vg*n= 1, ]/§'зз = ^(£), ^12 = 0. Геометрия затупленного конуса и система координат приводятся на рис. 6.13. Функция R^ определена как

/?=/?osin(^//?o), ^^о, где ^=R0 (л/2—6С),

R=R0cosBc + (g-g0)sinec, £>£„,

Ro — радиус затупления конуса, 9С — угол полураствора конуса.

Параметры внешнего невязкого течения получены с помощью программ расчета работ [48—49].

Начальные данные для решения задачи течения в пограничном слое определяются в точке торможения из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (а=р=0).

Численные расчеты были проведены на 10-градусном затупленном конусе при угле атаки 5° и различных значениях температурного фактора Тю/Т*=0,3; 0,5. Рассматривался случай течения в пограничном слое полностью турбулентного течения (Reoo= =2,5-106). Внешнее невязкое течение задано в сверхзвуковой области обтекания (г>1). На рис. 6.14 приведено распределение давления на поверхности конуса по компонентам невязкого течения ре, (ое и Не (полная энтальпия), определялись остальные величины в расчетных точках, а также производные по продольной и поперечной координатам. Кривые 1—5 соответствуют £=0,15; 4; 9; 14; 19. Начальные условия в этом случае определялись приближенно в полуавтомодельном приближении: д/дт^О, d/d£=O на слое g=ga UH=1).

При угле атаки а=5° течение на поверхности конуса (1^г^ ^10) было «безотрывным». На наветренной и подветренной поверхностях конуса течение регулярное (и^О, со^О, сою^О). Направление линий тока на внешней границе совпадает с направлением предельных линий тока на поверхности: (o^^arctg^co/^r]/ 1ди1дт\У Наветренная линия симметрии является линией растека- кания, подветренная линия симметрии — линией стекания.

Тепловые потоки к поверхности характеризуются коэффициентом теплопередачи Stoo=qwlpooVooU^—H*). Кривые изменения числа St^ приводятся на рис. 6.15 для различных значений z в зависимости от поперечной координаты тр Максимальное значение теплового потока достигается на линии растекания т]=0 для всех значений z. С увеличением продольной координаты £ при движении по лучу T]=const величина теплового потока убывает (Tto/T*= =0.3,0.5,07).

Вторичные течения в пограничном слое характеризуются разностью углов со ю—со е. Кривые распределения (oto в зависимости от поперечной координаты т] приводятся на рис. 6.16. Для турбулентного режима течения максимальное значение разности сою—сое равно 4° при т]=л/2. С увеличением температурного фактора Тю/Т» вторичные течения в пограничном слое возрастают. На рис. 6.16 приводятся распределения (oto для значений Tto/T# = 0.1 (/); 0.3 (2); 0.5 (5); 0.7 (4) (£ = 5).

Величины сопротивления трения при различных значениях г в зависимости от поперечной координаты приведены на рис. 6.17. Численные результаты по теплообмену на поверхности затупленного конуса качественно согласуются с экспериментальными данными работы [43], которые получены для несколько других параметров внешнего невязкого потока.

Данные настоящей работы предназначены для течений в областях обтекаемых тел с небольшими значениями г(г<20), и на-

бегающий поток характеризуется большими числами Рейнольдса Reoo>106, поэтому учет эффектов второго порядка, обусловленных взаимодействием вязкого и невязкого потоков, незначительно сказывается на характеристиках трения и теплообмена в пограничном слое. На телах большего удлинения пограничный слой утолщается как в продольном, так и поперечном направлениях, линии тока вблизи поверхности проходят через различные точки косого скачка уплотнения и имеют различные значения энтропии. Эти линии тока вливаются в пограничный слой, и происходит взаимодействие и поглощение энтропийного слоя, нарушение условия из- энтропичности внешнего невязкого течения.

В данном пункте рассматривается пространственное течение на телах с эллиптическими поперечными сечениями, обтекаемых сжимаемым потоком газа под углом атаки. Уравнение поверхности рассматриваемых тел в цилиндрической системе координат {г, г, ср} имеет вид

/ (г, ф) = (cos2 ^idj + sin2 ф/Ь/)-1/з.

Поперечные сечения тел состоят - из двух эллипсов с полуосями a^z), b(z) и a2(z), b(z) (см. рис. 6.18, а). Функция, описывающая поверхность рассматриваемых тел, имеет непрерывные первые производные и кусочно-непрерывные вторые производные (см. разд. 3 гл. 4). В уравнения поверхности входят параметры 0, б4, 62, которые определяют форму тела и являются углом наклона боковой образующей и параметрами, характеризующими наклоны прямолинейных образующих в плоскости симметрии.

Внешнее невязкое обтекание рассматриваемого семейства тел взято из работ [47], в которых представлены результаты расчетов сверхзвуковой части области возмущенного течения в широком диапазоне изменения углов атаки и числа М,». На рис. 6.19 представлено распределение давления на поверхности (а — наветренная сторона, б — подветренная). Пересчет данных внешнего невязкого течения из цилиндрической системы координат в систему, нормально связанную с поверхностью обтекаемого тела, производился по формулам перехода.

Система координат, связанная с поверхностью обтекаемого тела, задается следующим образом: g — координата, отсчитываемая вдоль образующих тела; т] — угол между меридиональной плоскостью, проходящей через данную точку, и наветренной линией растекания; £ —координата, направленная по нормали к поверхности тела.

Компоненты метрического тензора g^ в системе координат {g, т], У определяются по значениям г0, г0/, г0/, где г0 — расстояние от точки поверхности до оси г, уравнение поверхности представляется в виде

r=r0(z, ф).

При переходе к системе координат {g, т), У величина г0 определяется как функция у т](£=0) и находятся производные iV,

Z7,05

r^ и r^\ r0^\ roU". Метрические коэффициенты поверхности определены как а^ = — — + —, {х, у, 2} — декартова

d^ad^ dga д^ д£а д£р*

система координат (g4=£, £2=т], £3=£). Метрические коэффициенты равны (нормировка масштаба произведена на радиус затупления тела):

^1=1 + гХ а^ = Го + гХ ^12 = 4^.

Коэффициенты системы уравнений Л/, В; находятся по формулам гл. II. Функции а(£, т]), PU, т]) выбраны в виде a=£+ 1, р=т).

Численные расчеты пространственного пограничного слоя проведены для широкого диапазона изменения чисел Рейнольдса Кеос для тела с параметрами 9=15°, б^О, б2=0,5, обтекаемого под углом атаки а=10° сжимаемым потоком воздуха при Моо=20. Течение исследовалось при ламинарном и турбулентных режимах. Ниже приводятся результаты расчетов обтекания поверхности би- эллиптического тела со значениями температурного фактора 0,3; 0,5. В случае турбулентного режима течения Rea,=2,5-107.

При обтекании тела биэллиптической формы под углом атаки возникает сложное пространственное течение, характеризующееся наличием линий растекания и стекания, поверхностей раздела потоков и особых точек.

Качественная картина поведения предельных линий представлена на рис. 6.20 (а — наветренная сторона, б — подветренная).

Течение на наветренной и подветренной сторонах тела в зависимости от характера течения разделяется на следующие области. Область регулярного обтекания 1^2^24, линии тока в пограничном слое распределяются от наветренной линии растекания А0А1 до подветренной линии стекания BOBV В этой области поперечная составляющая скорости положительна (со^О) и имеет D-образный профиль.

Продольная составляющая скорости и для значений z из диапазона 1^2^15 положительна, компонента трения т4 в нуль не обращается и знака не меняет, поэтому используются аппроксимации производных по z по потоку для ^^0.

При значениях 2=24, О^т^тц на наветренной стороне тела предельные линии тока на поверхности разворачиваются и имеют отрицательные углы gu, при этом внешнее течение сохраняет положительные значения угла сое между линиями тока на внешней границе и координатными линиями T]=const. В пограничном слое существует линия Р, где со(Р)=О, £Р 0, ^Р ¥= ^L, т. е. компонента скорости со имеет S-образный профиль.

При увеличении 2 от 24 до 22 компонента скорости сое внешнего течения уменьшается до нуля (сое=О при 2=22) и меняет знак

(coe<0, z>z2). Компонента скорости со отрицательна и при этом образуется линия растекания С2С4.

Для турбулентного режима течения (Reoo=2,5-107) значения zv близки к 3, в случае обтекания с ламинарным режимом 2^2. Координата линии растекания в пограничном слое равна приблизительно 80°. Линия симметрии поверхности тела Л-2Л4 является линией стекания, поток направлен против возрастания т] (д(о/дт]< <0, со=0).

На подветренной стороне тела выделяются следующие области течения: регулярного течения СйСаВаВй (1^2^23, ц^ц^л) и область С3С4В4В3, имеющая особую линию т]=т]2 (ц2^135°).

На этой линии поток разворачивается и возникает поверхность раздела потоков. Поперечная составляющая скорости со изменяется от положительных значений на внешней границе до отрицательных и имеет S-образный профиль. Поверхность раздела ограничивает области течения в пограничном слое, потоки которого направлены от поверхности т]=180° до линии стекания т] = 135° и потоки, имеющие одинаковое направление с невязким внешним течением. Линия В3В4 на поверхности тела является линией растекания. Поверхность раздела потоков определяется значением координаты £р, где со(£р)=0, в этой точке составляющая скорости о меняет знак.

Наличие в потоке при обтекании тел сложной формы линий стекания и растекания, поверхностей раздела потоков определяет выбор конечно-разностных схем и пространственных шаблонов для расчета характеристик пограничного слоя. В данном разделе приводятся результаты расчетов, полученных с использованием неявных конечно-разностных схем, учитывающих направление линий тока, приводятся также характеристики пограничного слоя, соответствующие полуавтомодельному приближению (д/дт]=О). Такие подходы дают возможность получить качественную и количественную характеристики течения, выделить основные особенности сложного характера перетекания потоков в пограничном слое и определить величины тепловых потоков и трения.

Пространственность течения в пограничном слое характеризуется разностью величин o^—сое. Кривые распределения tgcoe, tgcoo приводятся на рис. 6.21 для турбулентного режима течения и на рис. 6.22 — для ламинарного режима. Для турбулентного режима течения максимальное значение разности (ош—(ое достигается для 1^2^6 при т]^60, 110°; для 2>6 при т]^60, 110, 140°. С увеличением значений продольной координаты z вторичные течения в пограничном слое возрастают.

Кривые распределения tgco^, tgoe, приведенные на рис. 6.21, дают возможность проследить за изменением предельных линий тока и выделить характерные области течения.

Ламинарный режим течения на телах биэллиптической формы характеризуется большими значениями вторичных течений, чем турбулентный режим. На рис. 6.22 приводятся кривые распределения tgcDo, tg(oe в зависимости от координаты т] для различных

Рис. 6.22

(с/оо/£2^

/7°50°/22° т?

Рис. 6.25

значений 2(1 ^2^7). При 2=7, т]=110° разность со^—сое достигает значения, равного 47°, что вдвое больше значения, соответствующего турбулентному режиму, где аи—сое~ 19°. При 2=7, т]=60° величина (о^—сое^35°, а при турбулентном режиме эта разность равна 9°.

Пространственность течения в пограничном слое характеризуется также распределением составляющих трения по продольной и поперечной координатам т1(0 и т2м. На рис. 6.23 и 6.24 приводятся кривые изменения локальных коэффициентов трения q,/2 и с/2/2 от координаты т] при различных значениях продольной координаты 2.

Максимальные значения коэффициента cfJ2=%i(J$eUe2 (рис. 6.23) достигаются при т]=80°, локальные минимумы находятся при т]=20° и т]=160с. Кривые распределения коэффициента трения С/2/2=т2(о/ресое2 (рис. 6.24), показывают изменение с/2/2 с увеличением продольной координаты 2. Максимальное положительное значение достигается при т]=100°, максимальное отрицательное находится в диапазоне 50°^ц^8(Г, причем имеется локальный минимум в диапазоне т] = 1604-180°. Кривые 1—4 относятся соответственно к значениям 2=3, 6, 9, 12, Re=2,5-107, Тй/Л=0,3.

Распределения полного трения характеризуются коэффициентом cfоо/2=Т(о/р(оУ2оо и приводятся на рис. 6.25. Максимальное значение трения достигается при т]=80° для всех значений 2, т. е. оно определено на линии С0С4 — линии растекания. Минимальное значение трения достигается для 2 6^2^14 при т]=135°, т. е. на линии стекания и на границе образования поверхности раздела потоков. Имеется также локальный минимум на линии стекания Л2Д4 для значений 2 из интервала 4^2^14. С увеличением продольной координаты 2 значения Су^/2 уменьшаются незначительно (10^2^14), решение выходит на решение, близкое к автомодельному по координате 2.

Величина теплового потока характеризуется числом Stro = ^JpcoV^Hw—H*), кривые изменения которого приведены на рис. 6.26 для различных значений 2. Максимум теплового потока достигается, так же как и трения, при т]=80° для всех 2, локальные минимумы имеют место на линиях растекания и на поверхности раздела потоков при т]=0; 135°. Для значений продольной координаты 2^10 величина теплового потока меняется незначительно с увеличением 2 до 14. Кривые 1—5 относятся соответственно к значениям 2=3, 6, 9, 12, 15.

Приведенные результаты численных расчетов характеристик пространственного пограничного слоя на телах биэллиптической формы, обтекаемых под углом атаки потоком сжимаемого газа, показывают сложный пространственный характер перетекания потоков в пограничном слое и образование значительных вторичных течений, которые определяют велйчины трения и тепловых потоков на поверхности. _

Исследуем течения в пограничном слое на телах сложной пространственной конфигурации, обтекаемых потоком сжимаемого газа под углом атаки. Форма рассматриваемого семейства тел приводится на рис. 6.27 и задается в цилиндрической системе координат {2, г, ср} уравнением поверхности Ф(г, ф, г). В неявном виде уравнение поверхности представляется как г=г0(2, ф), где г0 — расстояние от точки поверхности ДО ОСИ 2. Функция г0(2, ф) имеет непрерывные первые производные и кусочнонепрерывные вторые производные. Для пересчета компонент вектора скорости внешнего не-

Рис. 6.26вязкого течения из цилиндриче

ской системы координат в систему координат, нормально связанную с поверхностью обтекаемого тела {£, ц, £}, вводится декартова система координат {х, у, 2}. Уравнения преобразования координат имеют вид

X=r0COST] + £фь y=rosinT] + £ф2,2=g+ £фз,

где ф={ф1, ф2, фз} — вектор нормали к поверхности F(2, г, ф) = ^r—r^z, ф). В декартовой системе координат компоненты вектора нормали определены как

fi = ^r I ^ I"1'. ^ = ^ IVF Г1; Фз = ^" I ^^ Г1.

Для нахождения компонент вектора скорости V в системе {£, т], У по компонентам вектора V в системе {х, у, z) вычисляется матрица {&/}:

6/=дт)7дх’

т]1^,т]2=т], 4“?;х*=х, хг=у, x3=z..

Для этого находится обратная матрица {а/}:

а^Ь* = б/а1,- = дх1(дх\ = (t/)-1.

Тогда У'5=Ь<5и\ N'=\y^ yn, ус}, V={ux, п„ yz}. Отсюда находятся формулы преобразования компонент вектора скорости из цилинд-

Рис. 6.27

рической системы координат в систему координат, связанную с поверхностью тела.

Для определения компонент метрического тензора g^ в системе координат {Е, т), у вычисляются значения функций г0, г№', г0/. Первые производные по Е и q от функции г0 аппроксимируются с использованием узлов сетки на слоях Е+А£, Е-АЕ, т) +Ат|, q—Aq с порядком точности ДЕ2, Aq2 по формулам

1V=(MI+^ q)-r0(E-AE, q))/2AE,

r0/= (r0 (E,q + Aq) —r0 (Е, q—Aq)) /2Aq.

Для определения производных компонент метрического тензо- . д Э

ра по § и q —gtj, — gi; вычисляются значения вторых произ- „ Л . дт>

водных r0^ rotrn, г0^. Для нахождения кусочно-непрерывных функций г^ Го^ используются следующие аппроксимации производных по пяти характеристическим слоям в каждом направлении g и т):

г^ = (г0 G + 2 АЕ, q) - 2r0 (I + ДЕ, q) + 2r0 (Е, q) -

- 2г0 (Е - АЕ, q) + r0 (Е - 2АЕ, q))/2AE2 + Ч,(6.61)

С^ = (г« & q + 2Aq) — 2r0 (Е, q + Aq) + 2r0 (Е, q) —

— 2r0(E, q —Aq) + r0(E, q — 2q)) / 2Aq2 + r2.

Производные определяются как полусумма значений производных справа и слева в точке (g, т]) и аппроксимируются по трем точкам, т. е. берутся средние значения функций г^ (g+Ag, т]) и г^ (Е—A^, q), r^ (Е, q + Aq) и r^ (Е, q-Aq) соответственно. Эти аппроксимационные выражения позволяют численно найти производные в точках разрыва функций г"^, г" . Смешанная производная г^ аппроксимируется по формуле

С^ = (ro (t + At, q + Aq) — г0(Е — ДЕ, q + Aq) —

— r0 (Е + AE, q — Aq) + r0 (E — AE, q — Aq)) / 4AEAq + r3.

(6.62)

Аппроксимационные формулы (6.61) — (6.62) имеют следующие порядки точности: r^O (Ag2), г2=О(Ат]2), r3=O(AgAT]).

Метрические коэффициенты поверхности gy в приближении пограничного слоя определены через значения функций г0, г0/, г0/ таким образом:+ г0/2, 5г22=Го24-Гоп/2, g^r^r^.

Внешнее невязкое течение известно из работ [48—49], в которых представлены результаты численных расчетов сверхзвукового обтекания тела рассматриваемой формы сжимаемым потоком газа под углом атаки (см. гл. IV). Численные расчеты исходной системы уравнений пространственного пограничного слоя проведены в широком диапазоне изменения определяющих параметров.

Рис. 6.28. Направления линий тока

Турбулентный режим — короткие стрелки, на внешней границе — длинные, ламинарный режим — прерывистые

В этом пункте приводятся результаты расчетов для обтекания тел под углом атаки &=5°, с числом 714^=6, температурный фактор соответствует условиям холодной стенки и изменяется в пределах Тм/Д=0,1 ^-0,5. Рассматриваются ламинарные и турбулентные режимы течения.

Качественная картина направлений предельных линий тока на поверхности, линий тока на внешней границе по отношению к принятой системе координат представлена на рис. 6.28. Такое представление картины течения позволяет проанализировать свойства перетекания потоков в пограничном слое, выделить основные особенности и характерные области течения. Исследуются также проекции направлений линий тока на внешней границе и предельных линий тока на горизонтальную Y0Z и вертикальную плоскости X0Z. Проекции этих направлений на горизонтальную плоскость позволяют выделить особенности течения на наветренной и подветренной сторонах тела, а проекции на вертикальную плоскость — особенности на боковой поверхности тела.

Пространственность потока в пограничном слое характеризуется интенсивностью вторичных течений, которая определяется разностью углов (о^—сое. В принятой неортогональной системе координат значения соо,, сое находятся по формулам

. (дю /ди Г . . / /. , дю /ди , \ 1)

®« = arctg j — - sin гр0/ 1 + — - cos %,

, f to _ Г / /\ 11

(D5 = arctg — sin ф0/ 1 Hcos Фо ;

I “5 L / V ue / J J

разность этих выражений дает значение угла разворота предельных линий тока по отношению к линиям тока на внешней границе пограничного слоя. На рис. 6.29 приводятся значения сое, аи в зависимости от поперечной координаты т] при различных значениях £ из интервала l^g^7. Результаты представлены для турбулентного режима течения с числом Рейнольдса 1^=2,5-107. Сплошная линия соответствует распределению сое, пунктирная — ю<ЛТиК=03); линии, соответствующие значениям со^ при Т^[Т*= =0,5; 0,1 имеют аналогичный вид.

Продольная составляющая скорости и положительна (и^О) для значений g из интервала l^g^25. Продольная составляющая трения также положительна Ti>0 и при расчетах используются аппроксимации производных d/dg по потоку.

Для турбулентного режима течения значения угла соо, близки к значениям угла сое. Линия распределения (ою в основном следует за изменением линии сое. При движении вдоль поверхности для значений продольной координаты g из интервала l^g^25 выделяется несколько характерных областей. Первая область (l^g^S) начинается от сферического затупления тела и продолжается до кабины. Начало второй области характеризуется наличием кабины на подветренной стороне тела, и она продолжается до крыль-

ев. Третья область включает крылья и продолжается до больших значений g (11^^^25).

В первой области (1^£^5) при движении по поперечному направлению т] выделяются следующие зоны течения, которые различаются углами поворота предельных линий тока со^ и линий чока на внешней границе: О^т^тц, со(0<0; т]1<т]<т]2, сош>0; т]2< <т|<л, СО(0<0. Значения тц, т]2 есть функции g: П1=П1 (^)» Л2=П2(Ю- Линия симметрии г]=0 на наветренной стороне является линией стекания ^>1: дсо/дт)<О, со=0, т]=0. Поток в первой и третьей зонах направлен против возрастания координаты тр Значения угла би являются положительными во второй зоне. В этой зоне наблюдаются минимальные значения вторичных течений, разность |о)(о—сое | — наименьшая при т)«л/2. С увеличением продольной координаты £ до 5 интенсивность вторичных течений в третьей зоне возрастает и разность | сою—сое | достигает 5°.

Резкое возрастание и затем убывание давления в окрестности значения £=5 на подветренной стороне конуса л=180°, обусловленное наличием кабины, приводит к значительной перестройке течения в пространственном пограничном слое' В области ^>5 на подветренной стороне тела возникает сильное вторичное течение. При значении 13 = 170° наблюдается максимум значения угла (о^, разность значений углов | со,»—сое| превышает 8°. В зоне со значениями т] т^^Сц^л течение в пограничном слое разворачивается и имеет положительные значения угла (о^. В области течения с £^9 образуется линия растекания при т]=80°. Линии симметрии г]=0 и г]=л являются линиями стекания. С увеличением продольной координаты £ до 10 возрастают углы разворота направлений предельных линий тока и линий тока на внешней границе относительно координаты £. При £=10 (0(0=16°, сое=6°.

Численно исследовано влияние температурного фактора TJT* на развитие пространственного течения. Приводится распределение угла g)(o от координаты 13 для До/Т^ОД Возрастание температурного фактора ведет к увеличению вторичных течений в пограничном слое. Значения (ош для TtoIT*=0,5 отличаются от соответствующих значений при T<JT*=0,3 на величину порядка 2°.

При ламинарном режиме течения в пограничном слое интенсивность вторичных течений значительно больше, чем при турбулентном режиме. Значения углов (Оо, отличаются от значений (ое на величину, превышающую 9°. Пространственное течение характеризуется отрицательными значениями (о^. В области 1^£^6 максимальное значение угла со^ достигается при т)=90°.

Распределение коэффициента полного трения c/oo/2=Tw/poof оо2 приводится на рис. 6.30, а, б для различных значений продольной координаты £. Для области 1^£^5 максимальное значение трения достигается при т]=л, т. е. на линии растекания. Имеется локальный максимум при т]=90с. С увеличением координаты £ в области 6^£^10 линия симметрии т]=л является линией стекания, на ней наблюдается локальный минимум трения. В этой области максимум трения достигается при т]=90°. С увеличением температурного фактора TJT* от 0,3 до 0,5 полное трение несколько уменьшается, но характер изменения кривых с/Оо/2 в зависимости от т] подобен. Кривые 1—4 соответствуют значениям £=3, 6, 9, 12 (случай а) и £=15, 18, 21.

» Величина теплового потока к поверхности характеризуется изменением числа Stoo, которое определено как SL^o/pooVoo (HJH^\ Приводятся расчетные значения коэффициента теплопередачи для различных значений £ из интервала 1^£^21 для турбулентного режима течения (рис. 6.31). Максимальное значение теплового потока наблюдается, как и для полного трения, на линии растекания т]=л при 1^£^6. Имеется локальный максимум Stoo при ц=90°.

В области 6^£^10 максимум теплового потока достигается при т]=90° на боковой поверхности тела, минимальное значение число Stoo имеет на линии стекания при т]=л на подветренной сто-

Рис. 6.30

Рис. 6.31

роне. Кривые распределения числа SU приводятся на рис. 6.31 для значения температурного фактора 0,3. С увеличением температурного фактора Tto/U тепловые потоки к поверхности уменьшаются, в то же время кривые распределения St- от т] остаются подобными. Кривые 1—4 соответствуют значениям Н=3, 6, 9, 12 (случай а) и кривые 1—3 соответствуют £=15, 18, 21.

Приведенные результаты численного исследования пространственного течения на телах сложной формы дают возможность выделить характерные области в пограничном слое, линии стекания, растекания, области отрыва потока, местоположение максимумов теплового потока к поверхности и определить характеристики поля скоростей и температур.

При ламинарном и турбулентном режимах течения в некоторых областях происходит утолщение пограничного слоя и возникает необходимость в учете взаимодействия вязкого и невязкого потоков. Возможно заметное утоньшение энтропийного слоя и поглощение его пограничным слоем, и тогда необходимо принимать

во внимание неравномерность внешнего невязкого потока. Затупление носовой части тела в значительной степени влияет на особенности течения и теплообмена на подветренной стороне тела [52, 53], где возможно образование областей повышенного вихревого течения, взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем и отрыва потока, и приводит к искривлению головной ударной волны, что в итоге сказывается на возникновении неравномерности невязкого потока и образовании тонкого энтропийного слоя.

В зависимости от характера затупления линии тока, которые проходят через отошедшую головную ударную волну, могут подойти достаточно близко к поверхности тела. Поверхность тела является линией тока, и энтропия на поверхности является постоянной или кусочно-постоянной величиной. Таким образом, получается, что в достаточно близкие точки линии тока приносят свою информацию. Вблизи поверхности возникает контактная поверхность разрыва — энтропийный слой. В рамках модели вязкого газа возникает вязкое взаимодействие, которое приводит к усилению тепло- и массообмена вблизи" стенки.

Если оценить толщину энтропийного слоя и сравнить с толщиной пограничного слоя в физических переменных, то в этом случае возникают различные ситуации. Если энтропийный слой намного толще пограничного слоя, то в этом случае пограничный слой развивается независимо. Если энтропийный слой намного меньше пограничного слоя, то происходит поглощение энтропийного слоя пограничным слоем. Режим взаимодействия и поглощения энтропийного слоя пограничным слоем характеризуется условием: величина толщины энтропийного слоя и пограничного одного порядка. В приближении асимптотической теории задача о вихревом взаимодействии рассмотрена в работах [55—56]. Для осесимметрического случая переход течения из ламинарного режима в турбулентный связан с характером ‘поверхности, ее шероховатостью и др.

Эксперименты, проведенные для конусов и сферы, позволяют установить максимально допустимый размер шероховатости. Поверхность возмущает пограничный слой, и необходимо контролировать ее гладкость.

При входе тела в атмосферу возможно образование рельефной поверхности структуры, которая оказывает влияние на теплопередачу и динамику полета. По отношению к характеру теплообмена возникновение рельефной поверхностной структуры приводит к изменению формы шероховатости поверхности и увеличению теплопередачи по сравнению с гладкой стенкой.

В экспериментах наблюдаются три типа рельефной структуры: продольные канавки, турбулентные клинья и рельефные сетки. Обзор теоретических и экспериментальных работ по условиям возникновения или подавления рельефной поверхности структуры можно найти в работе [54].

Если в пограничный слой вносятся возмущения, например выступами на поверхности, то образуется поверхностная рельефная 362

картина. Если число Рейнольдса пограничного слоя достаточно велико и превышает некоторое предельное значение, то возмущения в ^пограничном слое будут усиливаться и ламинарный пограничный слой перейдет в турбулентный. Если число Рейнольдса в пограничном слое недостаточно велико, то возмущения будут затухать на коротких расстояниях от источника возмущений и поверхностная рельефная картина не возникает.

Физический механизм и природа образований поверхностной рельефной структуры зависят от многих факторов, но возникновение этой структуры возможно только в сверхзвуковых течениях.

Одна из моделей образования основана на концепции клиньев турбулентности, образующихся при разрушении системы присоединенных вихрей. Присоединенные вихри образуются из-за возмущенной в потоке, например шероховатости поверхности, разрушения поверхности и др. Область возмущения представляет конус Маха. Вдоль вершины конуса образуются дополнительные продольные вихри, которые приводят к возмущению давления. Возмущение от вторичных вихрей распространяется в конусах Маха. Рельефная сетка возникает в результате пересечений конусов Маха.

Литература

Методы расчета турбулентного пограничного слоя/А. С. Гиневский, В. А. Иосе- левич, А. В. Колесников, Ю. В. Лапин, Н. В. Пилипенко, А. Н. Секундов— В кн.: Итоги науки: МЖГ. М.: ВИНИТИ, 1978, т. 11, с. 28—69.

Шевелев Ю. Д. Разностные методы расчета пространственного ламинарного пограничного слоя.— В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 1, с. 100—195.

Reynolds О. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion.— Philos. Trans. Roy. Soc. London A, 1894, vol. 186; рус. пер. в кн/. Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ, 1936, с. 23—-36.

Van Driest Е. R. Turbulent boundary layer in compressible fluids.— J. Aerospace Sci., 1951, vol. 18, N 3; рус. пер/, б. переводов „Механика“, 1952, № 1,

с. 20—29.

Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. 312 с.

-6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

Хинце И. О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1968. 296 с.

Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л/. Судостроение, 1973. 253 с.

Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск: Наука, 1971. 296 с.

Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. 352 с.

Монин А. С., Нелом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. ' Ч. 1. 427 с.

Иевлев В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М/. Наука, 1975. 378 с.

Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерения. М/ мир, 1Э/4. 317 с.

Либби П., Вильямс Ф. Турбулентные течения реагирующих газов. М.: Мир,

1983 325 с.

Bushnell D., Cary A., Harris 1. Calculation methods for compressible turbulent ’ boundary layers.— NASA Spec. PubL, 1977, N 422, p. 273.

Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массообмен в пограничных слоях. М.: Энергия, 1978. 285 с.

Reynolds W. C. Computation of turbulent flows.— Annu. Rev. Fluid Meeh., 1976, vol. 8, p. 240—280.

Launder В. E., Spolding О. B. Mathematical models of turbulence. L.: Acad, press, 1972. 236 p.

Three-dimensional turbulent boundary layers/Ed. H. H. Fernholz, E. Krause, Springer, 1982. 389 p.

Nash, J. F. The calculation of three-dimensional turbulent boundary layers in incompressible flow —J. Fluid Meeh., 1969, vol. 37, pt 4, p. 14—27.

Bradshaw P. Calculation of three-dimensional turbulent boundary layers.— J. Fluid Meeh., 1971, vol. 46, pt. 3, p. 163—176.

Meier H., Roti a J. Experimental and ‘ theoretical investigations of temperature distributions in supersonic boundary layers.— AIAA Pap., 1970, N 744, p. 23.

Pletcher R. H. On a finite difference solution for constant propertiy turbulent boundary layer.— AIAA J., 1969, vol. 7, N 2, p. 12—19.

Michel R., Quemard C., Cousteix J. /Methode practique de prevision des couche limites turbulents bi- et tri-dimensonnelles.— Rech, aerosp., 1972, N 1, p. 1—14.

Johnston J. P. Measurement in a three-dimensional turbulent boundary layer induced by a swept forward-facingstep.— J. Fluid Meeh,. 1970, vol. 42, N 4, p. 823—844.

Алексин В. А., Совершенный В. Д. Численный расчет турбулентного пограничного слоя с резким изменением граничных условий.— В кн/. Турбулентные течения. М/ Наука, 1977, с. 58—66.

Совершенный В. Д. Модель полной вязкости в пристеночной области турбулентного пограничного слоя.— ИФЖ, 1974, т. 24, № 5, с. 22—29.

Van Driest Е. R. On turbulent flow near a wall.— IAS, 1956, vol. 23, N 11, p. 87—92.

Любимов A. H., Рисанов В. В. Течение газа около тупых тел. М.: Наука, 1970. Ч. 1. 386 с.

Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое.— В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратные формулы: Прил. к «Журн. вычисл. математики и мат. физики», 1964, т. 4, с. 309—325.

Hirsh R. S. Higher order accurate difference solutions of fluid mechanics problems by a compact differencing technique.— J. Comput. Phys., 1975, vol. 19, N 1, p. 90—109.

Keller H. B., Cebeci I. Accurate numerical methods for boundary-layer flows. Pt 1. Two-dimensional laminar flows.— Leet. Notes Phys., 1971, vol. 8, p. 92.

Петухов И. В. Об одной разностной схеме аппроксимации для численного решения уравнений параболического типа.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1966, № 6, с. 1019—1028.

Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М/ Наука, 1971. 550 с.

Рябенький В. С. Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений.— Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1964, т. 4, № 2, с. 242—255.

Дуайер X. А., Сандерс Б. Р. Физически оптимальная разностная схема для трехмерных пограничных слоев.— В кн.: Численное решение задач гидромеханики. М.: Мир, 1977, № 14, с. 107—116.

Adams J. Three-dimensional compressible turbulent boundary layer on a sharp cone at incidence in supersonic flow.— Intern.— J. Heat and Mass Transfer, 1974, vol. 17, p. 581—583.

Бонту П., Ру Б. Турбулентный пограничный слой на конусе, обтекаемом под углом атаки потоком сжимаемой жидкости.— РТК, 1976, № 5, с. 3—5.

Каупс Б., Севечи Т. Расчет турбулентного пограничного слоя на конусе, установленном под углом атаки.— РТК, 1977, № 5, с. 145—148.

Ру Б., Форестье Б. Исследование сжимаемого пограничного слоя на конусе, установленном под углом атаки.— Тр. ЦАРИ: Рефераты, 1976, № 501, с. 34— 44.

McRae М. D. S., Hussaini М. У. Supersonic viscous flow over cones at incidence.— In: Proc, of sixth intern, conf, on numer. meth, in fluid dyn., Tbilisi, 1978, p. 37—42.

Raibird W. 1. Turbulent boundary-layer growth

cone.—AIAA J„ 1968, N 12, p. 126—131.and separation on a yawed

Widhopf G. F. Turbulent heat transfer measurements on я

of attack.-AIAA Pap., 1971, N 38, p. 21.°n a blunt cone at angle

Алексин В. А., Шевелев Ю. Д. Численное исследование пространственные турбулентных пограничных слоев. Метод расчета: Препр. ИПМ дн ссгп № 147. М., 1980. 66 с.

Алексин В. А., Шевелев Ю. Д. Пространственные турбулентные пограничные слои на телах сложной формы: Результаты расчетов: Препр. ИПМ № 188 М., 1981. 67 с.

Авдуевский В. С. Влияние кривизны ударной волны на теплообмен при трехмерном обтекании тел сверхзвуковым потоком.— В кн.: Исследование теплообмена в потоках жидкости и газа. М.: Машиностроение, 1965, с. 87—92.

Михайлов Ю. Я., Нерсесов Г. Г., Челышева И. Ф. Численное исследование обтекания сверхзвуковым потоком затупленных тел одного семейства.— Тр. ЦАРИ, 1974, вып. 1614, с. 5—21.

Сахаров В. И., Шевелев Ю. Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел сложной формы: Препр. ИПМ АН СССР № 116. М., 1978. 57 с.

Погорелов Н. В.Шевелев Ю. Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания передней части затупленных тел под большими углами атаки: Препр. ИПМ АН СССР № 175. М., 1981. 51 с.

Нейланд В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло.— Учен. зап. ЦАРИ, 1974, т. 5, № 3, с. 28—39.

Дудин Г. Н. Конечно-разностный метод решения трехмерных уравнений пограничного слоя на режим сильного вязкого взаимодействия.— Тр. ЦАРИ, 1983, вып. 2190, с. 3—25.

Боровой В. Я., Дав лет-Киль деев Р. 3., Рыжкова М. В. Об особенностях теплообмена на поверхности некоторых несущих тел при больших сверхзвуковых скоростях.— Изв. АН СССР. МЖГ, 1968, № 1, с. 101—105.

Майкапар Г. И. Аэродинамическое нагревание подветренной стороны тела при сверхзвуковых скоростях.— Учен. зап. ЦАРИ, 1972, т. 3, № 6, с. 25—30.

Свигарт Д. Критический обзор исследований рельефной поверхностной'структуры.— Ракет, техника и космонавтика, 1974, т. 12, № 10, с. 8—30.

Елькин Ю. Г., Ермак Ю. Н., Липатов И. И., Нейланд В. Я. К теории вихревого взаимодействия на затупленном конусе.— Учен. зап. ЦАРИ, 1983, т. 13, с. 50—60.

Елькин ГО. Г., Ермак Ю. Н., Липатов И. И., Нейланд В. Я. Поглощение энтропийного слоя на затупленном конусе в гиперзвуковом потоке вязкого газа.—Учен. зап. ЦАРИ, 1983, т. 14, № 1, с. 18—25.

Алексин В. А., Шевелев Ю. Д. Пространственные турбулентные пограничные слои на биэллиптических телах, обтекаемых потоком сжимаемого газа под углом атаки.—Изв. АН СССР. МЖГ, 1983, № 2, с. 39—47.

Оглавление

Введение 3

Глава первая

Математические основы проектирования геометрии сложной формы и принципы построения произвольных криволинейных систем координат 5

Система криволинейных координат. Ковариантные и контравариантные базисы координатной системы 5

Скалярные, векторные и тензорные величины. Физические компоненты вектора и тензора 9

Деривационные формулы. Дифференцирование тензоров. Основные выражения векторного анализа в произвольной криволинейной системе координат14

Некоторые сведения из теории поверхностей. Деривационные формулы Гаусса и Петерсона — Кодацци. Основная теорема теории поверхностей 24

Практические способы задания геометрии поверхности: алгебраические и дифференциальные методы31

Специальные системы координат на поверхности44

Пространственные криволинейные системы координат. Методы построения: алгебраические, дифференциальные и теории конформных отображений 49

Глава вторая

Уравнения движения вязкого теплопроводного неоднородного сжимаемого газа в произвольной криволинейной системе координат ...62

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в произвольной криволинейной системе координат63

Уравнения движения вязкого сжимаемого однородного теплопроводного газа в произвольной криволинейной системе координат70

Осредненные уравнения движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа83

Уравнения движения вязкого теплопроводного, химически реагирующего газа87

Упрощенные математические формулировки задач обтекания тел вязким теплопроводным газом103

Глава третья

Пространственные течения в несжимаемой жидкости около затупленных тел125

Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем .126

Уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости в произвольной криволинейной системе координат129

Уравнения пространственного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью обтекаемого тела 132

Конечно-разностные методы расчета пространственного ламинарного пограничного слоя138

Метод последовательных приближений149

Анализ и классификация особенностей, возникающих в трехмерных вязких течениях. Критерии «отрыва» .. 164

Некоторые примеры течений в пограничном слое174

Глава четвертая

Пространственное сверхзвуковое обтекание тел идеальным газом196

Численное исследование нестационарного обтекания затупленных тел сверхзвуковым потоком газа198

Явный метод расчета пространственного сверхзвукового стационарного обтекания тел216

Некоторые примеры расчетов235

Глава пятая

Пространственные ламинарные пограничные слои в сжимаемом газе .250

Уравнения пространственного ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе250

Конечно-разностные методы расчета пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе256

Метод последовательныхприближений260

Некоторые примеры пространственныхтечений279

Глава шестая

Численное моделирование пространственных турбулентных течений . .314

Уравнения пространственного турбулентного пограничного слоя в произвольной криволинейной системе координат315

Конечно-разностные методы расчета. Схема повышенной точности ..329

Некоторые примеры расчетов342

Юрий Дмитриевич Шевелев

Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики

Утверждено к печати

Институтом проблем механики АН СССР

Редактор В. К. Черкасов

Редактор издательства Н. А. Ермолаева Художник Ф. Н. Буданов .

Художественный редактор Н. А. Фильчагина Технический редактор Л. И. Куприянова Корректор Н. И. Казарина

ИБ № 31558

Сдано в набор 07.01.86

Подписано к печати 19.04.86

Т-06178. Формат 60X90Vi6

Бумага кн.-журнальная

Гарнитура литературная

Печать высокая

Усл. печ. л. 23. Усл. кр.-отт. 23,25. Уч.-изд. л. 23,8

Тираж 2100 экз. Тип. зак. 4728

Цена 2 р. 50 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»,

117864, ГСП-7, Москва, В-485,

Профсоюзная ул., 90

2-я типография издательства «Наука», 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6

I ^^т.п I । а19т,п 1 I cl,m,n\

dn = Шах (| CLl,m,n |> I bittn,n |> | Cltm,n |)«

Можно проверить, что коэффициенты al)m^ bltTn,n, Ci>m,n удовлетво

ряют условиям гладкости для всех т и п:

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

Ю.Д. ШЕВЕЛЕВ

Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики

Ответственный редактор кандидат физико-математических наук В. А. АЛЕКСИН

МОСКВА «НАУКА» 1986

УДК 532.518

Шевелев Ю. Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики.— М.: Наука, 1986.

В монографии излагаются современные подходы к конечно-разностным методам решения задач аэрогидродинамики, обсуждаются вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости. Численное моделирование проводится в рамках различных математических постановок и приближений. Рассматриваются основные закономерности трёхмерных «отрывных» течений жидкости и газа. Уделено внимание приближенным методам расчета задач и физическим особенностям пространственных течений.

Для специалистов в области прикладной математики и механики сплошной среды.

Рецензенты:

Ю. П. РАЙЗЕР, Ю. С. РЯЗАНЦЕВ

щ 1703040000—251042 (02)-86

136—86—11

© Издательство «Наука», 1986 г.