ОТ РЕДАКЦИИ

Анри Пуанкаре (1854—1912) вошел в науку как математик и в течение тридцати с небольшим лет своей творческой деятельности сумел обогатить почти все области математики результатами первостепенного значения. Вместе с тем, оставаясь математиком и применяя математику, он в серии курсов и мемуаров охватил всю теоретическую и математическую физику своего времени, открыл своими работами новую эпоху в истории небесной механики, участвовал в создании зародившихся при нем теории относительности и квантовой теории, выступал по общим вопросам науки и был ее блестящим популяризатором. Его можно с полным правом назвать не только выдающимся математиком, но и первоклассным механиком, физиком, астрономом.

Очень многое в наследии Анри Пуанкаре остается живой составной частью современной науки, и огромный объем этого наследия делал задачу отбора работ для нашего собрания в достаточной мере затруднительной. Два решения представлялись все же бесспорными: свести к минимуму повторение в нашем издании работ Пуанкаре, имеющихся в русском переводе, и включить в него поразительные по богатству идеями и результатами три тома знаменитых «Новых методов небесной механики». Они занимают первый том и первую часть второго тома нашего издания. В остальную часть второго тома входят классические работы Анри Пуанкаре по топологии и некоторые другие мемуары, примыкающие к «Новым методам небесной механики». В третий том входят как математические работы, в частности, работы по теории функций, так и работы по физике и некоторые статьи по общим проблемам науки.

Первый и второй том «Новых методов небесной механики» переведены: первый — А. А. Бряндинской и И. В. Иословичем под редакцией В. И. Арнольда, второй — Ю. А. Даниловым под редакцией В. М. Алексеева. Редакторы переводов снабдили эти тома своими комментариями. Общая редакция «Новых методов» проведена В. И. Арнольдом.

Следует указать, что при подготовке настоящего тома к печати выполнена значительная работа текстологического характера, исправлены многочисленные опечатки в формулах французского оригинала.

Числами в квадратных скобках обозначены примечания редакторов, приведенные в конце книги.

НОВЫЕ МЕТОДЫНЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

I

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.

НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

LES METHODES NOUVELLES

DE LA MEGAN1QUE CELESTE

I

SOLUTIONS PERIODIQUES.

NON EXISTENCE DES INTEGRATES UNIFORMES.

SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES

ВВЕДЕНИЕ

Задача трех тел настолько важна для астрономии и в то же время настолько трудна, что все усилия геометров уже давно устремлены в этом направлении. Полное и точное интегрирование является, очевидно, невозможным и потому пришлось прибегнуть к приближенным методам. Сначала были использованы методы, состоящие в разложении в ряды по степеням масс. В начале нашего века достижения Лагранжа и Лапласа, а позднее вычисления Леверрье довели эти методы до такой степени совершенства, что до настоящего времени они были достаточны для всех практических нужд. Я мог бы добавить, что они будут достаточны, несмотря на некоторые расхождения в деталях, еще в течение долгого времени, однако не вечно, как это легко себе уяснить.

Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого вопроса, может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все астрономические явления; единственным способом разрешения этого вопроса является проведение насколько возможно точных наблюдений и сравнение их с результатами вычислений. Эти вычисления могут быть лишь приближенными и, кроме того, нет никакого смысла вычислять большее количество десятичных знаков, чем могут дать наблюдения. Поэтому бесполезно требовать от вычислений большей точности, чем от наблюдений, но нельзя от вычислений требовать и меньшей точности. Поэтому приближение, которое мы можем считать удовлетворительным сегодня, окажется недостаточным через несколько веков. Действительно, даже если сделать весьма маловероятное предположение, что измерительные приборы не будут более совершенствоваться, уже одно накопление наблюдений в течение нескольких веков позволит определить с большей точностью коэффициенты различных неравенств. Эта эпоха, когда придется отказаться от старых методов, конечно, еще очень далека, но теоретик должен ее предвидеть, так как труды теоретика должны опережать, и часто на много лет, труды вычислителей.

Не нужно думать, что для получения эфемерид с большой точностью в течение длинного ряда лет достаточно вычислить большее число членов в рядах, к которым приводят старые методы. Действительно, методы, состоящие в разложении координат, небесных тел по степеням масс, носят общие черты, которые мешают их применению для вычисления эфе-

мерид на долгий срок. Полученные ряды содержат члены, называемые вековыми, в которые время входит вне знака синуса или косинуса. Отсюда следует, что сходимость этих рядов может стать сомнительной для больших значений времени I.

Наличие этих вековых членов связано не с природой задачи, а только с применяемым методом. Действительно, легко видеть, что если истинное выражение координаты содержит член с sinam/, где a — константа, а т — одна из масс, то при разложении по степеням т появятся вековые члены

и присутствие этих членов дает весьма ложное представление о настоящем виде изучаемой функции.

Все астрономы уже давно ощущают это. Сами создатели небесной механики во всех случаях, когда требовалось получить формулы, пригодные на длительный срок, как, например, для вычисления вековых неравенств, должны были действовать иначе и отказаться от разложений просто по степеням масс. Таким образом, изучение вековых неравенств при помощи системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно считать относящимся скорее к новым, чем к старым методам.

Точно так же все усилия геометров во второй половине века имеют своей главной целью устранение вековых членов. Первый серьезный шаг в этом направлении был сделан Делоне, чей метод, безусловно, принесет еще много пользы.

Мы упомянем далее исследования Хилла по теории Луны («American Journal of Mathematics», v. I, «Acta mathematica», t. VIII). В этой работе, к сожалению неоконченной, можно увидеть зачатки большей части достижений науки, сделанных с того времени.

Но ученым, который оказал этой ветви астрономии самые важные услуги, является, несомненно, Гильден. Его работы касаются всех сторон небесной механики, он умело использует все возможности современного анализа. Гильден добился того, что из его разложений совершенно исчезли все вековые члены, которые так затрудняли его предшественников.

С другой стороны, Линдштедт предложил иной метод, значительно более простой, чем метод Гильдена, но менее общий, поскольку его невозможно применить при наличии членов, которые Гильден назвал критическими.

Благодаря усилиям этих ученых, трудности, происходящие от вековых членов, могут считаться полностью преодоленными, и новые методы, вероятно, будут еще долго удовлетворять требованиям практики.

Однако не все еще сделано. Большая часть этих разложений не сходится в том смысле, в котором геометры понимают это слово. Конечно,

в настоящее время это не имеет большого значения, поскольку мы уверены, что вычисление первых членов дает весьма удовлетворительное приближение. Но не менее верно и то, что эти разложения не могут давать сколь угодно точное приближение. Поэтому наступит момент, когда они станут неудовлетворительными. Кроме того, некоторые теоретические выводы, которые можно было бы сделать на основании вида этих рядов, не будут законными вследствие их расходимости. Так, например, они не могут служить для разрешения вопроса об устойчивости солнечной системы. Исследование сходимости этих разложений должно привлечь внимание геометров по причинам, которые я изложил и, кроме того, по следующей причине: цель небесной механики не будет достигнута, если мы вычислим эфемериды более или менее приближенно, не отдавая себе отчета в степени полученной точности. Действительно, если мы обнаружим расхождение между этими эфемеридами и наблюдениями, необходимо, чтобы можно было установить, виноват ли в этом закон Ньютона или все можно объяснить несовершенством теории. Поэтому важно определить верхний предел допущенной ошибки, на что, может быть, недостаточно обращали внимания до последнего времени.

Оказывается, методы, которые позволяют исследовать сходимость, дают нам в то же время этот верхний предел, что повышает их значение и практическую ценность.

Поэтому не следует удивляться, что я отвожу этим методам такое большое место в этой книге, хотя, быть может, я извлек из них не все, что они могут дать.

Я сам занимался этими вопросами и посвятил им мемуар, который появился в XIII томе «Acta mathematica»; в особенности я старался освежить те немногочисленные результаты, относящиеся к задаче трех тел, которые могут быть установлены с абсолютной строгостью, требуемой математикой. Только эта строгость придает некоторую ценность моим теоремам о периодических, асимптотических и двоякоасимптотических [решениях. Действительно, здесь можно будет найти твердую основу, на которую можно спокойно опереться, а это представляет ценность для всех исследований, даже для тех, где не требуется такой строгости.

С другой стороны, мне казалось, что мои результаты позволили мне объединить в некий синтез большинство новых, недавно предложенных методов, и это побудило меня предпринять настоящий труд.

В предлагаемом первом томе я должен был ограничиться изучением периодических решений первого рода, доказательством несуществования однозначных интегралов, а также изложением и обсуждением методов Линдштедта. '

Следующие тома я посвящу обсуждению методов Гильдена, теории интегральных инвариантов, вопросам устойчивости, изучению периодических решений второго рода, асимптотических и двоякоасимптотических решений и, наконец, новым результатам, которые я смогу получить к моменту опубликования этих томов.

Кроме того, я буду принужден, без сомнения, вернуться в последующих томах к вопросам, рассмотренным в I томе. Правда, логика при этом немного пострадает, но нельзя поступать иначе в отрасли науки, которая находится в стадии становления и в которой новые достижения следуют непрерывно одно за другим. Поэтому я заранее прошу извинить меня.

Последнее замечание: обычно результаты представляют в форме, наиболее удобной для вычисления эфемерид, выражая координаты в виде явных функций времени. Этот путь представляет, очевидно, значитель ные преимущества и большею частью я по возможности ему следовал; однако я так поступал не всегда и часто представлял результаты в форме интегралов, т. е. в виде неявных соотношений между координатами или между координатами и временем. Прежде всего, эти соотношения можно использовать для проверки формул, дающих координаты в явном виде. Но это не все; истинная цель небесной механики состоит не в вычислении эфемерид, так как в этом случае можно было бы удовлетвориться предвидением на короткий срок, а в том, чтобы убедиться, достаточно ли закона Ньютона для объяснения всех явлений. С этой точки зрения неявные соотношения, о которых я говорил выше, могут оказаться столь же полезными, как и явные формулы. Действительно, достаточно в них подставить наблюденные значения координат и проверить, удовлетворяются ли они.

Глава I

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И МЕТОД ЯКОБИ

Общие положения

Прежде чем приступить к основной теме моего исследования, я должен изложить некоторые предварительные сведения и вкратце напомнить основные принципы «Лекций по динамике» Якоби и теорию Коши, связанную с интегрированием дифференциальных уравнений с помощью рядов. Я намерен посвятить первую главу изложению метода Якоби, ограничиваясь чаще всего формулировкой результатов, доказательства которых хорошо известны.

Сначала дадим несколько пояснений по поводу обозначений и названий, которые будут использоваться во всей этой работе.

Мы будем иметь дело с дифференциальными уравнениями следующего вида:

dxida уdxn у.. .

где Xv, Ха, ..., Хп — аналитические и однозначные функции п переменных а^, Гу ..., т^. Что касается независимой переменной t, которую мы будем рассматривать как обозначающую время, то чаще всего будем предполагать, что она не входит явно в функции X.

Можно рассматривать систему (1) как систему порядка /г, так как она эквивалентна одному дифференциальному уравнению порядка /г. Однако, если функции X не зависят от t, порядок системы может быть уменьшен на единицу. Для этого достаточно исключить время и записать уравнения (1) в виде

dx\ dxidxn

Чтобы избежать путаницы, мы определим следующим образом смысл слов решение и интеграл.

Если уравнения (1) удовлетворяютс г при

^1 = Ф1(0, ж4 = ф2 (Ч'-“ ,^™ = Фп(Ч,(2)

то мы будем говорить, что уравнения (2) определяют частное решение уравнений (1).

Если некоторая функция переменных а^, х2, ..., жп,

F ^xv х2, . . . , хг1\

остается постоянной в силу уравнений (1), мы будем говорить, что эта функция F является частным интегралом системы (1).

Ясно, что знание интеграла позволяет понизить на единицу порядок системы.

В задачах динамики уравнения (1) встречаются в более частной форме, известной под названием гамильтоновой, или канонической формы\х\.

Переменные распадаются на два ряда; обычно мы обозначаем через

^1, ^2' • • • 1 ^р

переменные первого ряда и через

Vv У^ • • • > Ур переменные второго ряда и записываем дифференциальные уравнения в виде

dx.dFdy.aF

А =(i = E2, . ...p),(3)

dtdyidtdx. v

где F — однозначная функция 2p переменных x и у.

Эти уравнения допускают частный интеграл, которым является сама функция F, известный под названием интеграла живых сил.

Говорят, что xv уг, х2, у2, ..., хр, ур образуют р пар сопряженных переменных.

По примеру англичан мы скажем, что система (3) допускает р степеней свободы.

Эта система имеет порядок 2р, но знание интеграла живых сил позволяет понизить этот порядок на единицу. Так как время не входит явно в правые части уравнений (3), мы можем, как мы уже раньше указывали, посредством исключения времени понизить порядок еще на единицу, так что в конечном счете система, допускающая р степеней свободы, всегда может быть сведена к системе порядка 2р — 2.

Известно, например, что если система имеет только одну степень свободы, она может быть сведена к системе нулевого порядка, т. е. полностью проинтегрирована.

Примеры канонических уравнений

Наиболее простой случай уравнений динамики — это тот, когда изучается движение q свободных материальных точек в пространстве. Пусть т^ — масса первой из этих точек, xv х2, х3 — ее декартовы коорди-

наты; т2 — масса второй из этих точек, х41 х5, хв — ее координаты и т. д.; пусть, наконец, mq — масса g-й точки, x3q_2, x3q_x и x3q —ее координаты.

Спроектируем количество движения точки тх на три оси; пусть уг, у2, у3 — три проекции. Пусть также у4, у8, ув — проекции количества движения точки т2 и т. д.; y3q_2, Уэд-п Узд — проекции количества движения точки mq.

Пусть Fv F2, F3 — составляющие силы, действующей на m4; F4, Fb, Fe — составляющие силы, действующей на т2, и т. д.; F3q_2, F3q^, F3q — составляющие силы, действующей на mq.

Мы предположим, что составляющие F зависят лишь от 3g координат х. Если энергия сохраняется, то существует функция V от координат х, называемая силовой функцией, такая, что

и av

Половина живой силы Т будет иметь вид

Т - ^21±^1IУ! + ^+Уб,,Узд-? + Узд-i + Узд

2mi' 2тг''2т^*

и мы сможем записать уравнение живых сил в виде

Т — V = const.

Если ПОЛОЖИТЬ

Т — Е = F (хх, х2, .... х39; уг, у2, y3q\ то уравнения движения запишутся в виде

= —(t = 1, 2, . . . , 3g .(1)

dt dy^ dt dx^ x

Таким образом, уравнения движения g свободных материальных точек соответствуют 3g степеням свободы во всех случаях, когда силы зависят только от положения этих точек в пространстве и энергия сохраняется. В частности, задача трех тел соответствует девяти степеням свободы. Впоследствии мы увидим, что это число можно значительно уменьшить.

Если наши g материальных точек движутся все в одной плоскости, положение каждой из них будет определяться не тремя координатами, а лишь двумя. Число степеней свободы будет, следовательно, сведено к 2g.

Таким образом, если орбиты трех тел плоские и расположены в одной плоскости, задача трех тел (которую мы будем тогда называть плоской задачей трех тел) имеет лишь шесть степеней свободы.

В случае одной степени свободы уравнения немедленно интегрируются; поэтому мы будем заниматься в основном непосредственно следующим за

ним случаем, т. е. случаем, когда имеются лишь две степени свободы. Большая часть последующих результатов будет применяться лишь к этому относительно простому случаю.

Действительно, во многих задачах механики число степеней свободы может быть сведено к двум. Это, например, имеет место при изучении движения свободной материальной точки в плоскости или, более общим образом, для движения материальной точки, вынужденной оставаться на некоторой поверхности, во всех случаях, когда сила зависит лишь от положения этой точки. Мы приведем в числе других задач знаменитую задачу о движении тела, притягиваемого двумя неподвижными центрами, когда его начальная скорость находится в плоскости этих трех тел [2].

Но есть случай несколько более сложный и более важный для дальнейшего.

Пусть на плоскости даны О£ и От] — две ортогональные подвижные оси, совершающие равномерное вращательное движение вокруг начала координат О. Пусть п — угловая скорость этого вращательного движения, р — подвижная точка, движущаяся в той же плоскости, координаты которой по отношению к этим осям будут обозначаться через £и тр а масса б^дет принята за единицу.

Пусть I — силовая функция, зависящая только от £ и ц так, что проекции силы, приложенной в точке Р, на оси 0g и Ор равны соответственно dV/d^, и dV/d^.

Уравнения движения точки Р по отношению к подвижным осям Ос и Оц запишутся в виде

di1atd^, г

-г. 2п - — 4- п2пdlidtdi] +

Отсюда можно вывести следующий интеграл, называемый интегралом Якоби,

У [б/ + 4/1 - F + П2) = const, который является не чем иным, как интегралом живых сил в относительном движении.

Я утверждаю, что эти уравнения можно привести к каноническому виду, причем число степеней свободы будет равно двум.

Действительно, положим

5 = ^1,Ц = Т2,

tig^Ц । t

УГ ~= Уы УГ + ^ =

^ = т (^ + ^^ + Т (^ — ^i)2 — V — — (х® 4- ^).

Уравнения (2) примут вид

dxy dF dx2 dF dyidF dy2 dF

dtdyY’ dtdy2’ dtdxi’ dtdx2 ’

что и требовалось доказать.

Один из частных случаев задачи трех тел сводится к вопросу, который мы только что рассмотрели.

Предположим, что одна из трех масс бесконечно мала, так что движение двух других масс не возмущено и остается кеплеровским. Таким б/- дет, например, случай движения малой планеты под действием Юпитера и Солнца [3]. Представим себе, что эксцентриситет орбит двух больших масс равен нулю, так что эти две массы равномерно движутся по двум концентрическим окружностям вокруг общего центра тяжести, полагаемого неподвижным. Предположим, наконец, что наклонение орбит равно нулю и малая масса движется постоянно в плоскости этих двух окружностей.

Можно всегда предположить, что центр тяжести системы, являющийс i общим центром обеих окружностей, неподвижен. Возьмем его за начало координат, проведем через это начало две подвижные оси 0^ и Оц, причем ось О£ направим по прямой, соединяющей две большие массы, а ось <9ц— по перпендикуляру к 0g. Тогда:

эти две оси совершают равномерное вращательное движение;

две большие массы неподвижны относительно подвижных осей.

Таким образом, нам надо изучить относительное движение подвижной точки по отношению к подвижным осям под действием притяжения к двум центрам, неподвижным по отношению к этим осям, и мы снова вернулис , к вопросу, который только что рассматривали.

Итак, в этом частном случае уравнения задачи трех тел можно привести к каноническому виду лишь с двумя степенями свободы.

Перейдем теперь к уравнению, которое часто встречается в теории возмущений и которым часто пользуется Гильден.

Пусть

(3)

Это уравнение также можно привести к каноническому виду.

Действительно, / (я, i) можно всегда рассматривать как производную по х от некоторой функции ср (х, <), так что

d^_ dx *

Если теперь мы положим

dx,

Х=ХХ, "dT = У1’ У^

у?'

р = у — Ф (^1, У^ —

то уравнение (3) может быть заменено каноническими уравнениями (3) из предыдущего пункта и лишь с двумя степенями свободы, что и требовалось доказать.

Я приведу еще последний пример.

Рассмотрим тяжелое твердое тело, подвешенное в неподвижной точке, и изучим колебания этого тела. Чтобы полностью определить положение этого тела, надо задать три условия. Действительно, надо знать три угла Эйлера, которые дают положение системы осей, неизменно связанных с телом, относительно системы неподвижных осей. Итак, задача допускает три степени свободы, но мы увидим далее, что это число может быть уменьшено до двух.

Сказанного мной достаточно, чтобы показать, сколько задач механики сводится к интегрированию канонических систем с двумя степенями свободы, и дать понять важность этих систем. Было бы бесполезно увеличивать число примеров.

Первая теорема Якоби

Якоби показал, что интегрирование канонических уравнений

dt dy. ’ dt dx.dt dy. ’ dt dx.(1)(1)

dt dy. ’ dt dx.

dt dy. ’ dt dx.

(1)

(1)

сводится к интегрированию уравнения в частных производных

F fo, х2, ..., жр; ух, у2, ..., ур) = Ах,(2)

где hx — произвольная константа, а относительно ух, у2, ..., ур предполагается, что они представляют собой частные производные неизвестно! функции.

Пусть в самом деле

S (ггх, ж2, . . . , жр; /гх, А2,. . . , /гр)

— решение уравнения (2), содержащее кроме константы Лх еще р — 1 констант интегрирования

h2,, hp,

так что каковы бы ни были h,

и /db' dSdS X ,

г ^x, хг, . . . , ЗС- — ,А

.р dzi dx-idx^j 1.

Якоби доказал, что общий интеграл уравнений (1) можно записать в виде

^.=^(= = 2,3,...,?),(3)

dS , , V

Таким образом, 2р констант интегрирования будут следующие:

hv кг, h3,.. . ,hp,

^1» ^2, ^3» • • • 1 ^р*

Другая теорема, которой мы также будем пользоваться, это теорема Пуассона.

Пусть U и V — некоторые функции от х и у. Условимся обозначать

„ у. VI IdU dV dU dV \’.\d^ dydtp dap )

Пусть теперь ^ и ^ — два интеграла уравнений (1). То, что Рх — интеграл уравнения (1), можно записать как

[Л FJ = 0;

если Рг — тоже интеграл, то мы получим точно так же

1Л ^1 = 0.

Пуассон показал, что выражение [7^, T^l также является интегралом уравнений (1). Например, если в задаче п тел обозначить через Рг и Р^ левые части первого и второго интегралов площадей, то [Т^, ^J ^удет левой частью третьего интеграла площадей.

Вторая теорема Якоби; замена переменных

Обычно мы не будем использовать прямоугольные координаты и составляющие количеств движений как независимые переменные, Мы выберем переменные, лучше приспособленные для нашей цели, стараясь все же сохранить каноническую форму уравнений.

Посмотрим, как можно заменить переменные, не нарушая канонической формы уравнений (1) п. 3.

Пусть

5(.У1, уй, • ■ •, уР;

— некоторая функция р переменных у и новых р переменных h. Положим теперь

dS V dSах

К = 4й;(4)

Будем считать, что уравнения (4) определяют соотношения, связывающие старые переменные

ж^ ж2, . . . , жр,

У^ У^ • • • ,Ур

с новыми переменными

hv h2, . . . , hp,

hv h2, . . . , hp.

Якоби показал, что если сделать такую замену переменных, то уравнения останутся каноническими, и это верно при любой функции 8.

Замечательные замены переменных

За исключением одного особого случая, все замены переменных, которые не нарушают канонической формы, могут быть выведены по методу п. 4. Бывают, однако, случаи, когда проще действовать иным способом. Мы дадим два таких примера.

Предположим, что имеются канонические уравнения

dt dy ' dt dx^

и сделана следующая замена переменных:

#i = Pi, г ^i + Рг, i У г + • • • + Pn, I Уп-)

Как нужно выбрать константы а и р, чтобы уравнения оставались каноническими, когда за новые переменные берутся х^ и у,?

Если мы обозначим через

бх1г 6,г2, ... , Ьхп; 8уг, Ьу2, . . . , 6уп

виртуальные приращения переменных х и у, умножим уравнения (1) соответственно на бу^ и —Ьх^ и затем просуммируем, то получим

S

(dx.dy.\

= 6F.

\ dtdtl)

Чтобы уравнения оставались каноническими после подстановки (2), необходимо и достаточно, чтобы тождественно выполнялось равенство

S

ldx. dy. \ Idxidy; \

бу. - б^ = У Ь1 бу' -Ьх'. .(3)

\dtdt г]dt г)v '

Так как dxt зависят лишь от dx/, Ьу, от бу/, dy^ от dy^, adz, от Ьх^ , то должны тождественно выполняться равенства

7 dx.by. = У dx^by'.^ У dy.bx. = J dy’^x'..(4)

Так как соотношения (2) линейные, то dxY связаны с dx^' и б^ с dz/ теми же соотношениями, которые связывают х^ с .г/. То же самое справедливо для dy,, 6уь уи dy^ by-, у-.'

Соотношения (4) сохранятся, следовательно, когда в них dx^ и 6хе будут заменены на xb a dip и бу, на у,, dx^ и Ьх, па х{ и т. д. Итак, получим

У ^ = У х.у\.(5>

Обратное тоже верно: из соотношения (5) следуют соотношения (3) и (4).

Итак, необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнения оставались каноническими, является тождество

У Х^г = У ^'7.

Каково теперь условие того, чтобы эти уравнения оставались каноническими и в то же время имело место соотношение

®к,г = ^,1 ?

Я назову линейную замену переменных, такую, как (2), ортогональной, если справедливо тождество

У ^ = У х?.

т. е. если

3 Ctkii = 1, У ^к.г^Л,! = i=li=l

Это название оправдано само по себе, так как в случае, когда число переменных равно двум или трем и когда х или х' можно рассматривать как

координаты точки в плоскости или в пространстве, подобная подстановка является не чем иным, как прямоугольной заменой координат.

Итак, если, мн применим к переменным х и у одну и ту же ортогональную подстановку, то получим

У = Т У2 Ttf-=T у'^

У (^ + у У = У « + у'0‘г. откуда

^Уг = У *

"Уравнения останутся каноническими.

Уравнения также останутся каноническими, если произвести, например, только замену переменных ^ и ^ и положить при этом

^ = Ф«, У?. У1 = Ф(^, У?.

взяв за новые переменные xv и ух вместо хг и yv Я утверждаю, что уравнения останутся каноническими, если только функциональный определитель, или якобиан, хх и ух по xL и yt равен 1. Так, если положить

^ = ]/r2p cos со, ух = У 2р sin со, то каноническая форма уравнений не будет нарушена и переменные ри® будут сопряженными, как и ^ и yY.

Выше мы определили замену переменных dSdS ,,

dy4 1 dhi i* которая не нарушает канонической формы уравнений, когда S — какая угодно функция от yi и А,. Эта форма также не нарушается, если переставить ^ с у, и в то же время заменить F на —F.

Следовательно, если S — некоторая функция переменных ^х. *^2' • ■ • > я-р» ^х, h^' • • • > ^р и если положить dS , - dS

то каноническая форма уравнений не будет нарушена, когда за новые переменные мы возьмем hi ri h, и в то же время заменим F на —F.

Опа также не будет нарушена, если заменить

Ух- Ун • • • ,У« к F

на ^Z/ы Ху2, ...,Хуп и XFS

где X — некоторая константа.

Итак, рассмотрим опять функцию S переменных xt и ht и положим - dS , - dS аж.7

каноническая форма уравнений сохранится, если за новые переменные взять Xj и hi и заменить в то же время F на — XF.

Кеплеровское движение

Применим изложенные выше принципы к кеплеровскому движению.

В дальнейшем мы всегда будем предполагать единицы выбранными так, что сила притяжения двух единиц массы, удаленных друг от друга па единицу расстояния, равна единице силы, другими словами, что постоянная Гаусса равна единице.

Итак, рассмотрим движение подвижной массы под действием неподвижной массы, расположенной в начале координат и равной М. Пусть хи т2, х3 — координаты подвижной массы, а у1; у2, у3 — составляющие скорости; если мы положим

р = У+Уг+у!м

2/^2 ^2 ’

то уравнения движения запишутся в виде

(1)(1)_ dF -dt ' dyi ’ dt di^"

(1)

(1)

В силу п. 3, интегрирование этих уравнений сводится к интегрированию уравнения в частных производных

= 2Л,(2)= 2Л,(2)

= 2Л,(2)

= 2Л,(2)

где /& — произвольная постоянная. Положим

Ху = г sin cocos q), т2 = г sin cosing,, х3 = г cos to.

Уравнение примет вид

^\2 1 / dS У \dr ) + г2 \dco )^\2 1 / dS У \dr ) + г2 \dco )1/ dS \22Мг2 sin2 со \ dq> /г1/ dS \22Мг2 sin2 со \ dq> /г4-2й.4-2й.

^\2 1 / dS У \dr ) + г2 \dco )

^\2 1 / dS У \dr ) + г2 \dco )

1/ dS \22М

г2 sin2 со \ dq> /г

1/ dS \22М

г2 sin2 со \ dq> /г

4-2й.

4-2й.

Можно удовлетворить этому уравнению, введя две произвольные постоянные G и 0 и положив [4]

= 0 ум= Сйм,

а<р '*' sin2<o-^^

(dS .ч , GW 2M , O7H

\ аг /1г 1

Функция 8, определенная таким образом, будет зависеть от г, со, <р, G, 0, h или, что то же самое, от з^, гй1 ж3, G, 0, Л, а общее решение уравнений (1) запишется в виде

dS, , dSdS„ dS

y^dTyh -Vt = dh’g = ^G’6 = 5e ‘

где h', g и 6 — три новые произвольные постоянные. Если мы положим

ЛГ-М , мм ,

то сможем записать! dS dS dh . . М,

dL ~ dhdL - (A + 0« (/г + t) = I.

Тогда будет шесть постоянных интегрирования, а именно:

L, G, 0, К, g, е.

Легко установить значение этих постоянных и выразить их в виде функций тех постоянных, которые обычно используются. Если а, е и i обозначают большую полуось, эксцентриситет и наклонение, то

L = У а,С=Уа(1—е2),0 = Geos г.

С другой стороны, 6 — долгота восходящего узла, g + 9 — долгота перигелия, п — среднее движение, а / — не что иное, как средняя аномалия.

Если на движущуюся массу действует не притяжение массы М, а какие-нибудь другие силы, мы можем построить функцию 8 и определить шесть новых переменных

(4)(4)L, G, 0

(4)

(4)

I, g, О,

являющихся функциями а:{ и у; с помощью следующих уравнений:

dSdS , dSdS „

^ = 5T’dL=l’dG = ^5ё = е’(5)

причем L, G, О, g и 6 не будут больше постоянными. Мы можем воспользоваться теперь шестью переменными (4) для определения положения и скорости подвижной массы. Назовем эти переменные (4) кеплеровскими переменными. Важно заметить, что определение кеплеровских переменных зависит от начала отсчзта координат движущейся массы и от величины М.

Если движущаяся масса является планетой, на которую преимущественно действует масса М, а также различные возмущающие силы, то можно видеть, что кеплеровские переменные являются тем, что астрономы называют оскулирующими элементами данной планеты.

В частном случае, когда орбита тела mt является плоской, можно принять за новые переменные

L = У a,G = Уа (1 — е2)

со средней аномалией Z и долготой перигелия g. Число кеплеровских переменных равно тогда четырем.

По поводу использования кеплеровских переменных следует сделать- несколько замечаний. Отметим сначала, что старые переменные

2^1, Ж2, Ж3;у^, у^, Уз

и положение тела тТ не изменяются, когда Z, g или 0 возрастают на 2л, а остальные переменные не меняются. Таким образом, эти старые переменные являются периодическими функциями переменных Z, g и 0.

Затем, всегда должно выполняться соотношение

L1>G1>№.

Наконец, если G = ± 0, то старые переменные и положение тела т, не зависят больше от 0, а если L =-± G, то они не зависят больше от g.

Частный случай задачи трех тел

Возвратимся к тому частному случаю задачи трех тел, о котором мы говорили выше.

Две массы, одна равная 1 — р, а вторая р, описывают две концентрические окружности вокруг их общего центра тяжести, предполагаемого неподвижным. Постоянное расстояние между этими массами взято за единицу длины, так что радиусы двух окружностей соответственно равны р и: 1 — р, а среднее движение равно единице.

Предположим теперь, что в плоскости этих двух окружностей движется третья масса, бесконечно малая и притягиваемая двумя первыми.

Мы возьмем за начало координат О общий центр окружностей и отнесем положение третьей массы к прямоугольной системе двух неподвижных осей Оху и Охъ или же к системе двух подвижных осей ОХ и От], определенной как в п. 2. Так как среднее движение двух первых масс равно 1, мы-

можем предположить, что угол между О£ и 0х1 (т. е. долгота массы ц) равен t.

Так как мы предположили, что постоянная Гаусса равна 1, силовая функция сводится к

где т^ — бесконечно малая масса третьего тела, т^ — расстояние между телами mI и р, и г2 — расстояние между телом Wi и телом массы 1 — ц, так что

г/ = ц2 + (£ -|- ц — 1)2 = [^ — (1 — ц) sin Г]2 + [^ — (1 — ц) cos £]% г22 = Л2 + U + И)2 = 1^2 + psini]2 + ki + pcosti2.

Уравнение живых сил запишется тогда в виде

Условимся обозначать через — m^R левую часть этого уравнения, где R — функция от xv z2, yv у2 и Z; тогда уравнения движения запишутся в виде

dxi d (miR)dxi d (miR)diidiid (mi R)d (mi R)dtdyidyi d (mi R)dtdyidyi d (mi R)dzidzidtdyidyi d (mi R)dtdyidyi d (mi R)dt dxi *dt dxi *

dxi d (miR)

dxi d (miR)

dii

dii

d (mi R)

d (mi R)

dtdyi

dyi d (mi R)

dtdyi

dyi d (mi R)

dzi

dzi

dtdyi

dyi d (mi R)

dtdyi

dyi d (mi R)

dt dxi *

dt dxi *

Заменим переменные xv yv x2, y2 их значениями в виде функций от кеплеровских переменных L, G, I, g так, как это было описано в предыдущем пункте. Тогда R станет функцией L, G, I, g и t и уравнения движения примут вид

dt dL *dg dR dtdG "dt dL *dg dR dtdG "dL dR dt dl ’ dG _ dR dt dg 1

dt dL *

dg dR dtdG "

dt dL *

dg dR dtdG "

Эти уравнения уже имели бы канонический вид, если бы R зависело лишь от четырех кеплеровских переменных, но R также является функцией t, следовательно, надо преобразовать эти уравнения таким образом, чтобы время не входило в них в явном виде. Для этого посмотрим, как R зависит от t. .

Легко видеть, что R можно рассматривать как функцию L, GRu g— t. Действительно, если увеличить g и t на одну и ту же величину, не изменяя остальных переменных, то ни £, ни ц, ни rv ни г2, ни у{ + у2, ни, следовательно, R не изменятся. .

Из этого вытекает, что dR dR

Тогда, если мы положим х' = L, х' = G, y\ = L y2 = g~t, F' =R + G,

то F' будет зависеть лишь от ж1, ж2, yv и уг' и уравнения движения, которые запишутся в виде

^ — ^.'^^^m

^ dy^ 9^dx^

•будут каноническими.

Именно в такой форме мы обычно будем записывать уравнения этой задачи.

Если предположить, что масса р равна нулю, то масса 1 — р станет равной единице и переместится в начало координат; г2 сведется к V х\ + х^ •силовая функция V сведется к mjr2. Тогда мы найдем, что

г. 111

2а 2L* ~ 2х»

и

Когда масса р не равна нулю, сразу видно, что F' можно разложить в ряд по возрастающим степеням р, что позволит нам написать

Е' = Eq + рЕ! + . . . .

Мы видим также, что

и не зависит от р1 и у2.

Более того, Рг будет зависеть от всех четырех переменных, но эта функция будет периодической по ух и у2 и не изменится, когда любая из этих переменных возрастет на 2л.

Заметим, наконец, что если ^ = + ж2, эксцентриситет равен нулю, движение прямое и F^ зависит только от xv х2 и yY -\- у2.

Если же xt = — х2, то эксцентриситет равен нулю, но движение тогда обратное и FT зависит теперь лишь от х^, х2 и у^ — у2.

Использование кеплеровских переменных

Пусть xv х2, х3 — прямоугольные координаты точки; plt у2, у3 — составляющие ее скорости; т — ее масса.

Пусть Vm — силовая функция, так что составляющие силы, приложенной к рассматриваемой точке, равны

Если мы положим

^ = у(^+^+^)-^.

то уравнения движения точки примут канонический вид

dF dt dy. ’ dtdx^ ‘

В n. 8. мы определили некоторую функцию

S (xY, х2, х3, G, 0, L).

Мы видели, что если сделать замену переменных, определенную уравнениями dSdSdS „ dS , .

dx^ ^F dG &’ d& ’ dL ’ новые переменные являются не чем иным, как кеплеровскими переменными, которые мы только что определили.

В силу теоремы п. 7 уравнения сохранят канонический вид и заш:- шутся как

dL

_ dF

dGdF

de _

dF

dt

~’

dtdg

’ dt

de ’

dl

_ dF

dg dF

dB _

dF

dt

~ dL ’

dt dG ’

dt

de "

Может случиться,

что сила

постоянно

остается

в плоскости xYx2l И

подвижная точка тоже остается в этой плоскости.

В этом случае постоянно будет

G = 0

и функция F будет зависеть только от G, L, I и от долготы перигелия ^ + 6 = ®? мы будем иметь

dF _ dF _, dF

dg de d^ "•

Для сохранения симметрии мы положим

С = €) = П;

число кеплеровских переменных сократится от шести до четырех, а именно, П, L, S и I и уравнения примут вид

dL _ dF dt dl ’dl __dF dt ' dL ’dL _ dF dt dl ’dl __dF dt ' dL ’<Ш _dF~dt ~da ’d6> dF dt cill ‘<Ш _dF~dt ~da ’d6> dF dt cill ‘

dL _ dF dt dl ’

dl __dF dt ' dL ’

dL _ dF dt dl ’

dl __dF dt ' dL ’

<Ш _dF

~dt ~da ’

d6> dF dt cill ‘

<Ш _dF

~dt ~da ’

d6> dF dt cill ‘

Общий случай задачи трех тел

Перейдем к общему случаю задачи трех тел. Пусть АВС — треугольник, образованный тремя телами; а, Ъ, с — стороны этого треугольника; mv тг, т3 — массы трех тел.

Силовая функция запишется в виде

т^тз . тзтх . mim»а ' b с "

Будем обозначать силовую функцию через Бц, где р — некоторая по стоянная, которую мы более полно определим позднее.

Я буду предполагать, что центр тяжести системы трех тел неподвижен и обозначу через D центр тяжести системы двух тел А и В.

Я буду рассматривать две системы подвижных осей.

Первая система, оси которой всегда параллельны неподвижным осям, имеет своим началом точку А.

Вторая система, также с осями, параллельными неподвижным осям, имеет своим началом точку D.

Я обозначу через aty, х2, х3 координаты точки В относительно первых подвижных осей и через ^ц а;Б и а;е — координаты точки С относительно второй системы подвижных осей. Полная живая сила системы будет тогда иметь вид

тут»ту -р тзтут»ту -р тз’dx2 ~dP’dx2 ~dP. ^*2 ,, (mi + т^ тз+ dP + dP ) ' ту -\- тг -р тз. ^*2 ,, (mi + т^ тз+ dP + dP ) ' ту -\- тг -р тзАР +АР +dx2- dPdx2- dP"dP/"dP/

тут»ту -р тз

тут»ту -р тз

’dx2 ~dP

’dx2 ~dP

. ^*2 ,, (mi + т^ тз

+ dP + dP ) ' ту -\- тг -р тз

. ^*2 ,, (mi + т^ тз

+ dP + dP ) ' ту -\- тг -р тз

АР +

АР +

dx2- dP

dx2- dP

"dP/

"dP/

(см. Т i s s е г a n d. Mecanique celeste, chap. IV) I5]; если мы положим

□ mim2 (mi + m2) m3

mi -p m2 ’^ mi -p m2 + m3 ’

V, Уд + Уб + Ув

p2р +2[3'

о dxiДхгп <1хз

то уравнения примут канонический вид

Д$г _ dF^г. _dF

dt dy^'dtdxi ‘

Снова рассмотрим функцию

8 (^ ж2, xa, L, G, 0), определенную уравнениями (5) из п. 8. Сначала построим ее, взяв

т2.принявт2.принявМ = т^ -f Положим затем dS_ _ . dS_ dL-^’ dG — g’

т2.

приняв

т2.

приняв

Построим затем эту же функцию 8,

М = т1 + m2 + т3;обозначим таким образом построенную функцию8' (хц, хь, х6; L', G', 0')и положимdS' р dS' , dS'dT 1 ’ dG' = g’Пусть затем2 = |3S + p'S'.

Производными 2 no L, G, 0, L', G', 0' будут соответственно (И, pg, ре, p'r, p'g', р'е'. Если, кроме того, положим

то уравнения (1), (2) и (3) будут определять двенадцать старых переменных х и у как функции двенадцати новых переменных, которые я разделю па два ряда следующим образом:

^L, PG, ₽0, p'L', p'G', Р'0',

i; g,e,I',g\ . 0'.(4)

Тогда из теорем пунктов 4 и 7 следует, что канонический вид уравнений не изменится.

Легко дать себе отчет в значении этих новых переменных.

Все происходит так, как будто две массы, равные соответственно Рц и Р'р, имеют по отношению к неподвижным осям координаты: первая —• ху, т2, т3, вторая — т4, т5, т6, и как будто эти фиктивные массы подвержены действию сил, допускающих силовую функцию Ец.

Тогда если бы в некоторый момент силы, приложенные к первой фиктивной массе, исчезли и были заменены притяжением массы mY + т^, помещенной в начале координат, эта масса двигалась бы по закону Кеплера и элементами этого кеплеровского движения были L, G, О, I, gn 0.

Точно так же, если бы вторая фиктивная масса была подвержена лишь притяжению неподвижной массы mx + т2 + т3, расположенной в начале координат, элементами кеплеровского движения были бы L', G\ 0', Z', g' и 6'.

Заметим, что F зависит не только от переменных (4), но и от т4, т2.. т3 и ц.

Вообще, т2 и т3 будут очень малы, так что можно положить

т2 = а2ц, т3 = а3ц,

где ц мало и а2, asi Р и Р' — чаще всего конечные величины. Тогда функцию F, которую можно рассматривать как функцию переменных (4) и mlt а2, а3 и ц, можно будет с пользой для дела разложить в ряд по возрастающим степеням ц

F = Fo + ЛИ +

Если положить ц = 0, получим ь- азтпх а2»и „ К = — + —’ Р = а2, Р =а3

и

В3 В'3 а?

Г Г РI р2.3

~ 0 " 2 (BL)2 "Т" 2 (Р'Ц'Р — 2 ((3£)2 ** 2 (B'L')2 ’

причем F больше не зависит ни от одной переменной второго ряда I, g, 6, V, g', 6'. Добавим еще, что каково бы пи было ц, F является периодической функцией периода 2л по отношению к этим переменным второго ряда.

Остановимся вкратце на некоторых частных случаях. Если три тела остаются постоянно в плоскости xv т2, то мы имеем G = 0, G' = 0' и F зависит лишь от g + 6 и g'. + 6', так что мы будем иметь только четыре пары сопряженных переменных

^L, pG = p0 = pn, ^U, р'К'= р'О'= Р'П',

I, g + 9 = a, v, g' + 9' = а', как было сказано в п. 10.

Вернемся к обозначениям и. 11 и уравнениям этого пункта. Я представляю эти уравнения в новой форме, которая будет нам полезна в дальнейшем.

Рассмотрим сначала частный случай, когда наклонения равны нулю и три тела движутся в одной плоскости.

Полагаем

PZ = Л, рП = Л-Я, Z + a = X, ^ = -к,р'Я = Л', Р'П' = А'-Я', Z' + a' = r, а' = -/г'.

Получаем

dk _ _ dFdF _ _ dF dh __ dF _ _ dF

dt d (BL) d (ЗП) dX dt d ({311) dH '

^L—^L — ^L dH — dF dF — dFdt dl dk ’ dt dl dw dh "

Таким образом, мы видим, что новые переменные Л, Я, Д', Я', X, к, X', к’ также сопряжены и, следовательно, замена переменных (1) не изменяет канонического вида уравнений.

Перейдем теперь к общему случаю и вернемся снова к обозначениям л. И.

Положим

р£ = Л, WL’ = Д',X = Z + g + 0',р£ = Л, WL’ = Д',X = Z + g + 0',к = — g — В, £=—0,к = — g — В, £=—0,к'^-у-е-, r = -0'.к'^-у-е-, r = -0'.$G = X — H. № = Х-Н -Z,^G' = X'-H', р'6' = Л' - Я’ -Z',

р£ = Л, WL’ = Д',

X = Z + g + 0',

р£ = Л, WL’ = Д',

X = Z + g + 0',

к = — g — В, £=—0,

к = — g — В, £=—0,

к'^-у-е-, r = -0'.

к'^-у-е-, r = -0'.

Можно убедиться, как это делалось выше, что эта замена переменных (2) не нарушает канонической формы уравнений.

Эта каноническая форма не изменится также, в силу замечания п. 6, -если мы произведем замену

(3)(3)0)0)]/Л2Ясоз/г = ^, ]/2/fsin к = т],У2Н'cosh'= 1^, У2Н' sin к' = г]',

(3)

(3)

0)

0)

а два ряда сопряженных пере-а два ряда сопряженных пере-y2Zcos£ = p, y2Zs’nt,= q,У 2Z' cos £' = р',У 2Z' sin t,' = q'.

а два ряда сопряженных пере-

а два ряда сопряженных пере-

Уравнения остаются каноническими, менных будут следующие:

Л, Д', ^, Г, Р, Р',X, X', т], 1]', q, q'.

Вот какое преимущество может дать выбор переменных (4).

Функция F, выраженная через эти переменные, разложима как по степеням переменных g, £', т], т]', р, р', q, q , так и по синусам и косинусам углов, кратных X и X', причем коэффициенты зависят некоторым образом от Л и Л'.

Действительно, по определению предыдущих переменных имеем

Я =Л(1 — V1^72), Z = pG (1 — cos г).

Отсюда вытекает:

Н разложимо по степеням е2, причем первый член разложения содержит е2;

е2 разложимо по степеням Н, причем первый член содержит Н;

elYH разложимо по степеням Н;

г2 разложимо по степеням Z/pG = Z/(A — Я);

llVz разложимо по степеням Z/(A — Я) и, следовательно, по степеням Z и Я.

Но мы имеем

е _ е cos h 1^2 е sin h 1^21 i cos £ 1^2 i sin £ И 2

Vh "£=p - q "

Значит ecosA, esinA, г cos £, tsin£ разложимы по степеням £, т], p и q; также e'cosh', e'sinh', i'cos£', Z'sinV разложимы по степеням V, ц', p' И q .

Йо вид разложения возмущающей функции хорошо известен. Она разложима по возрастающим степеням эксцентриситетов и наклонений и но косинусам углов, кратных X, X', h,h', £, £'; при этом каждый член разложения имеет следующий вид (Т isserand. Mecanique celeste, t. 1, p. 307) [61:

Ae^e'^i^i'^cos (m^ + m2^' + ms^ + m4^' + тв£ + ^e^'),

где ц, — целые положительные или равные нулю числа и т^ — некоторые целые числа. Кроме того, имеем

ц, = | mi | -|- четное число

и, с другой стороны,

Ш! + m2 = m3 + т4 + тБ + тв.

Из этого можно заключить, что возмущающая функция разложима по степеням

ecos/г,esinA,icos^,isin^,

e'cosh',e'sinA',i'cos£',i'sin£',

3 А. Пуанкаре

и, следовательно, по степеням £. £'- л, л', р, pS q, q'-(5)

Кроме того, можно заметить, что разложения с cos 1г е sin h i cos £ i'sin £ Л ’ P ’<1’ " ' ’

содержат лишь четные степени переменных (5); отсюда заключаем, что разложение функции F будет иметь следующий вид:

^^^ _|_ иг2Х'),(6)

где М — коэффициент, зависящий лишь от Ли Л'.

Числа р;, V; — целые, положительные или нули, сумма которых Цз + V3 + 14 + V4 + Цб + v6 + 14 + ^6

равна | тх + ш2 | + четное положительное число или нуль.

Я оставил в выражении (6) двойной символ cos или sin; косинус надо брать, когда сумма

V3 + V4 + V5 + V6

четная и синус — в противном случае.

Отсюда следует, что функция F не изменяется, когда изменяют одновременно знак X, ц и д, она не изменяется также, когда заменяют X и X' на X + л и X' + л и в то же время изменяют знак £, ц, р и д.

Функция F обладает другим свойством, на которое необходимо обратить внимание: она не изменяется, когда меняют одновременно знак р, р', q и д'.

Основная задача динамики

Мы пришли к следующей задаче: изучить канонические уравнения

_ dF dVj _ dF dt dy^ ’ dtdx-t' '

в предположении, что функция F может быть разложена по степеням малого параметра у следующим образом:

Кроме того, предполагается, что Fo зависит лишь от х и не зависит от у и что Fv F2, ... являются периодическими функциями периода 2л по у.

Приведение канонических уравнений

Мы видели, что интегрирование уравнений (1) предыдущего пункта может быть сведено к интегрированию уравнения в частных производных

’dS dS’ 11 dxi ’ dx-г’dS dS’ 11 dxi ’ dx-г-.— = const. dzp)-.— = const. dzp)(2)(2)

’dS dS

’ 11 dxi ’ dx-г

’dS dS

’ 11 dxi ’ dx-г

-.— = const. dzp)

-.— = const. dzp)

(2)

(2)

Представим себе, что известен интеграл уравнений (1) предыдущего

пункта и что этот интеграл записывается в виде

Fi (х^ z2, . . . , хр; yv у», . . . , У^ = const;

(3)(3)это означает, что справедливо тождество [7^] = 0.

(3)

(3)

Я намерен показать, что знание этого интеграла позволяет понизить на единицу число степеней свободы.

Действительно, уравнение (3) означает, что существует бесконечное число функций S, удовлетворяющих одновременно уравнению (1) и уравнению

/dS dSdS \.

г1 хг, х», . . . , х- —.— ; —— , . . . , —,— = const.(4)

\dxidiidx у' '

Установив это, исключим из уравнений (1) и (4) dSIdx^, получим

ФФdS dSdS

Ф

Ф

3” dx-i ’ dx-з ’ " " " ’ dx

Производная d Fd x^ не входит в уравнение (5); ничто теперь не мешает нам рассматривать хх не как переменную, а как произвольный параметр; уравнение (5) тогда становится уравнением в частных производных всего с р — 1 независимыми переменными.

Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнений

dxi _ ^Ф d!'i _ ^Ф /;_9Цdt dyi ’ dtdx^ '’ ’ • ■ • ’

которые являются каноническими уравнениями всего с р — 1 степенями свободы.

Таким образом, если знание интеграла системы дифференциальных уравнений позволяет понизить порядок системы на единицу, то если эта система каноническая, можно понизить ее порядок на две единицы.

Возьмем в качестве примера задачу о движении тяжелого тела, подвешенного в неподвижной точке. Мы видели, что эта задача обладает тре-

мя степенями свободы,но нам известен один интеграл (интеграл площадей), следовательно, число степеней свободы может быть уменьшено до двух.

Что произойдет теперь, когда будет известен не один, a q интегралов уравнений (1) предыдущего пункта? Пусть

Fv F„ ...,Fq

— эти q интегралов, так что

[Л FJ = [F, F2] = ... = [F, FJ = 0.

Можно ли при помощи этих интегралов понизить число степеней свободы на q единиц? В общем случае это не так; для этого надо, чтобы q + 1 уравнений в частных производных

F = const, Fy = const, F% = const, ..., Fq = const(6)

были совместными, что требует выполнения условий \Рг,РкА = 0 Ц, к = 1, 2, .... qY

Если условия (7) выполнены, то можно исключить из уравнений (6) производные

dS dSdS

dii ’ dxi ’ ' ' " ’ dx^

и мы придем к одному уравнению в частных производных

Ф = 0,

не содержащему этих q производных. В этом уравнении независимыми можно будет считать только р — q переменных ж(Н1, жд+2, ..., хр, рассматривая q первых переменных хг, хг, ..., хч как произвольные параметры.

Таким образом, мы получим приведенную систему канонических уравнений, обладающую не более чем р — q степенями свободы.

Например, возьмем опять задачу трех тел, сохраняя обозначения начала п. 2. Мы видели, что число степеней свободы равно девяти.

Но мы имеем три первых интеграла движения центра тяжести, которые можно записать в виде

Fi = У1 + У 4 + У: = const,

Fi = У» + Уь + У» = const,(8)

F3 = Уз + Ув + У» = const.

Легко проверяется, что

VF41 F31 = \F31 ^1 = [Л, ^1 - 0.

Следовательно, число степеней свободы может быть уменьшено до шести.

Если ограничиться плоским случаем задачи трех тел, первоначальное число степеней свободы равно лишь шести. Но имеется только два интеграла, подобных (8). Поэтому после приведения останутся только четыре степени свободы.

Представим себе теперь, что кроме q интегралов Fv F2, ..., Fq нам известен еще один интеграл F qxv Можно ли вывести отсюда интеграл приведенной системы? Этот вопрос можно сформулировать иначе.

Известно уравнение в частных производных

Fq*x = COnSt, совместное с уравнением

F = const.

Будет ли оно совместно с системой (6)?

Сразу видно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы IF, F<7+il = [Л. F<7+11 = ■ ■ • = lFq, F5+1] = 0.

Дернемся, например, к задаче трех тел и рассмотрим три интеграла площадей

F4 = х2уа — хауг + х6у6 — х6у5+х8уа — х«улconst,

Л = хаух — ххуа + х6у4 — х4у6+xayi — х^а =const,

F6 = хху2 — х2ух + х4уь — хьу4+хху8 — хву^ =const.(9)

Легко проверить, что

[Л, Л1 = 0,[Е2, FJ = + Fa, [Fa, F4] = - F2,

[F1,Ft] = -Fa,lF2,F6] = 0, lFa,F6^+Fv IFV F6] = + F2, №, ^1 = - Fx, 1^з, Fe] = 0.

He нарушая общности, можно предположить, что центр тяжести неподвижен, т. е. что входящие в правые части уравнений (8) константы все равны нулю. Тогда

Fx = F2 = Fa = 0 и, следовательно, (Л, ^1=0 (i = 1, 2, 3; к = 4, 5, 6), откуда видно, что интегралы площадей являются также интегралами приведенной системы.

В заключение я попытаюсь понизить насколько возможно число степеней свободы в задаче трех тел, учитывая одновременно интегралы центра тяжести и интегралы площадей.

В частном случае, когда три тела движутся в плоскости, мы видели, что число степеней свободы может быть сведено к четырем, если учитывать уравнения (8). Таким образом, приведенная задача допускает еще один интеграл (интеграл площадей), что позволяет понизить число степеней свободы до трех.

В общем случае легко видеть, что

[F4, ^в] = F6, \Fb, F6] = F4, \F6, F,] = F 5.

Поскольку эти три скобки не равны нулю, знание трех интегралов площадей не позволяет понизить до трех число степеней свободы. Однако легко видеть, что всякий раз, когда каноническая система будет допускать три интеграла F4, F&, F6, то всегда можно будет найти две комбинации этих интегралов

<Р <F4, Fb>, F6),

Ф (Л, ^5, ^б), такие, что

[ф, гр] = О,

а это позволит понизить число степеней свободы на две единицы.

В рассматриваемом нами случае эти комбинации можно найти немедленно; достаточно взять F4 и

ср = F? + Fl + П-

Тогда будет тождественно выполняться условие

[ф, EJ = 0.

Таким образом, после всех приведений останется лишь четыре степени свободы.

Если вспомнить, что каноническая система с р степенями свободы может быть приведена к системе порядка 2р — 2, то можно заключить, что задача трех тел, которой в общем случае соответствуют четыре степени свободы, может быть приведена к системе шестого порядка.

В случае плоского движения она имеет три степени свободы и может быть приведена к системе четвертого порядка.

В частном случае п. 9 опа имеет две степени свободы и может быть приведена к системе второго порядка.

Приведение задачи трех тел

Речь идет о том, как это приведение проделать эффективно.

Рассмотрим сначала случай, когда три тела движутся в одной плоскости. Мы видели, что число степеней свободы может быть тогда понижено до трех. Попытаемся фактически выполнить это приведение.

Мы видели,

что уравнения движения можно записать в виде:

dL dF

"dt" = "ЗоТ •

dldF

аи_ dFdU_ dFdll'_ dF

dt,3dQ’dt^'dl'’dtp'dar ’

dadFdl'dFda'dF

—■

dt^dL

Кроме того,

’dl’dl'VdL' ’dt\FdiV "

dFdF „

cZg)dSV’

откуда получаем интеграл площадей

рп + виг = с, где С — постоянная. Положим

№ = //, р'1г = с-я, a — az = h,

откуда (если заменить П и ГТ их значениями в виде функций от С и Н) получим

dF __ dF dll ~" Р</П

dF

dF _ dF _ dh da

dF da'

(1)

P'dH' ’

и уравнения

движения примут вид

d (3L)

dF

d ^'L')

dF

dH

dF

dt

dl ’

dt

dl' ’

dt —

dh 1

dl

dF

dl'

dF

dh

dF

dt

~ d ([3L) ’

dt

dt

dH *

Осталось лишь три степени свободы.

Перейдем к общему случаю, когда число степеней свободы должно быть понижено до четырех. Уравнения тогда имеют вид

dL

dF

dG

dF

d0

dF

—™

dt

3d/ ’

dt

3dg ’

dt

3d0 *

dL"

dF

dG'

dF

d0'

dF

dt

^'dl' ’

dt

W ’

dt

P'd6' ’

dl

dF

dg _

dF

d^

dF

dt

^dL ’

dt

^dG ’

dt

BdH ’

dl'

dF

dg'

dF

dW

dF

dt

WdL' '

dt

^dG" ‘

dt

pye' *

Кроме того, имеются три интеграла площадей, которые, если взять в качестве первой координатной плоскости плоскость максимума площа-

дей, записываются в виде

30+3'0', = с, 9 = 0',

₽2 (G2 — 62) = 3'2(G'2 — 0'2).

Кроме того, имеемКроме того, имеем

Кроме того, имеем

Кроме того, имеем

dF dF

dQ + dti' —

откуда видно, что F зависит не от 0 и 0', а лишь от их разности, но так как эта разность равна нулю в силу интегралов площадей, F можно рассматривать как функцию, не зависящую ни от 0, ни от 0'.

Так же находим

0 = 0',

откуда

d6 dy

dt dt

И

pd6 ~ p'd6' ‘w

Положим теперь

G = Г, G'= Г', откуда

30 + 3'0'= С, 32Г2 — 3'2Г2 = С(30 —3'0')(3)

и

р 2 ' 2С 2С • Р 2 2С 20 ’{ '

откуда

илиилиdP dG dV dQ dr + de' dT

или

или

dF _ dF dF ЗГdF р2Г

dr dG" + de ~Cde' ^'C ’

или, наконец, в силу уравнения (2)

dF _ dF,dr — "dG

и также

dF _ dF d£' ” "dG7 '

Постоянную площадей С можно считать заданной. Следовательно, если в F заменить G, G', 0 и & их значениями (3) и (4), F будет зависеть лишь от L, U, I, Г, g, g', Г и Г', и уравнения движения можно будет записать в виде

dL

di-'

rZP

dF

dl/

dF

dV'

dF

di

(id I ’

dt

Pdg ’

dt

^>'dV ’

di

Wdg' ’

dl

dF

dg

dF

dl'

dF

dg'

dF

dt

^dL ’

dt

Mr •

dt —

^'dL' ’

dt

Так что остается лишь четыре степени свободы.

Вид возмущающей функции

Важно установить, каков вид функции F, когда применяются переменные двух предыдущих пунктов. Предположим сначала, что берутся переменные п. 15 и что три тела движутся в одной и той же плоскости; функцию, зависящую лишь от расстояний между тремя телами, можно будет разложить по косинусам и синусам углов, кратных I — V + h, коэффициенты этого разложения сами будут разложимы по возрастающим степеням

ecosZ, esinZ, е'cosZ', e'sinZ',

где через е и е' обозначены эксцентриситеты. Наконец, коэффициенты этих новых разложений сами будут однозначными функциями от L и L'.

Положим для краткости

№ = Л, ^'L' = Л';

отсюда вытекает в силу определения Н, что

е =е' = ifV -

Добавим, что F не изменяется, когда Z, I’ и h меняют знак. Следовательно, разложение F по косинусам и синусам углов, кратных этим трем переменным, может содержать только косинусы.

Следовательно, окончательно мы имеем

F = 2Л (Л2 — Я2) 2 [Л'2 — (Я — С)2] 2 cos (mtZ + m2Z' + m3A),

где p и q — положительные целые числа, тг, m2, т3 — произвольные целые числа и А — коэффициент, зависящий лишь от Ли Л'. Кроме того, | т3 — т1 | не превышает р и может от него отличаться лишь на четное число; точно так же | та Д- т2 | не превышает q и может от него отличаться лишь на четное число.

Такое разложение пригодно, когда Л — Н и Л' — (С — Щ достаточно малы; мы видим, что для

Л = Я

все члены, кроме тех, для которых m3 = т1, обращаются в нуль. Подобным образом для

X' = С — Н

все члены обращаются внуль, за исключением тех, для которых тл = — т.,. Следовательно, если имеем одновременно

Х = Н, Х' = С-Н,

то все члены обращаются в нуль, за исключением тех, для которых т3 = т1 =—т2, так что F становится функцией от I — I' -V h.

Если в одном из членов разложения F положить

Л = — Я, X' = Я — с,

то этот член также обратится в нуль, кроме случая т3 = mv = — m2. Можно было бы подумать, что при

Л = - Я, X' = Я - с

F все еще является функцией от Z — Z' + 7г, но это вовсе не так, потому что паше разложение пригодно лишь для малых значений Л — Я и Л' — — С + Я. Рассуждение, аналогичное только что приведенному, доказывает, напротив, что для Л -- — Я, X' = Я — С F является функцией от Z — V — h, а не от Z — V + h.

В случае, когда величина Л — Я крайне мала, может быть выгодно сделать специальную замену переменных.

Тождественно выполняется равенство

XI + Hh = Л (Z + Л) — А (Л — Я), поэтому в силу п. 5 канонический вид уравнений не нарушится, если заменить переменные

Л, Л', Я,

переменнымиZ, V, h

Л, Л', Л — Я,

I + h, Z',— h.

Положим теперь

Z + 7г = V, ]/'2 (Л— Я) ccs 7г = £*,— У^2(Л — Я) sin h = rf.

В силу п. 6 канонический вид уравнений продолжает сохраняться, если за переменные взять

Г, Z'.p*..

Эти переменные имеют то преимущество, что функция F, оставаясь периодической по X* и V, разлагается в ряд по степеням ^’ и ц*, когда эти переменные достаточно малы.

Возьмем теперь переменные и. 16, т. е.

PZ = A, ^L’-N',№ = Н, ^Y' = H',

I,V,g,g'.

Переменные H и FT подчинены некоторым неравенствам. Имеем

Я = Л ^Г=ДД откуда

Л2>Я2,(1)

Точно так же

д/2>Я'Е(2)

С другой стороны, в силу интеграла площадей,

Н cos i -j- Я' cos V = С, Я sin i + Я' sin f = О,

где С — постоянная площадей, рассматриваемая как одна из данных задачи. Отсюда выводятся неравенства

|Я[ + |Я'|>|С|,

\Н\-\Н'\<\С\.(3)

Посмотрим теперь, как функция F зависит от наших переменных. Для значений Я, близких к Л, функция F уже не голоморфна по Я; она разложима не по целым степеням Л — Я, но по степеням У Л.— Я.

В этих условиях полезны следующие переменные. Положим

Z + g = ^*,]/2 (А — Я)соз^ = ^*,/2 (Л — Я) sing = ц*.

Уравнения сохраняют канонический вид, если за независимые переменные принять

Л,А'Д*,Я'

я, Г, rf,g';

более того, функция F будет тогда разложима по целым степеням 4 и ц ’. Если надо рассмотреть значения Я', очень близкие к Л', то можно действовать аналогичным образом.

Посмотрим, что произойдет, если значения Я и Я' очень близки к пределам, которые определены неравенствами (3), т. е. если наклонения малы или равны нулю.

Предположим, например, что Н + Н' = С.

В п. 12 мы видели, что F разложима в ряд по возрастающим степеням переменных £, V; Л, Л» Р, Р*, Ч, ч' этих пунктов, т. е. по возрастающим степеням

V^l- ре,Уу и - p'G', урс — 30, V^g' — р'о'.

Если наклонения равны нулю, то

G = 0, G' = 0'

и два последних радикала обращаются в нуль, но не два первых; функция F голоморфна тогда по G, G' и

V^G - 30,V^'G' - 3'0'.

Но мы видели в п. 12, что F не изменяется, когда р, р', q, q' одновременно меняют знак или, что то же самое, когда два радикала ypG— ₽0 и V^'G' — 3'0' одновременно меняют знак.

Следовательно, для очень малых или нулевых значений наклонений функция F голоморфна по G и G', с одной стороны, и по у(3G — 30) (P'G' — 3'0'), с другой.

Но мы имеем

0/ = ААс+^А’ ррZpG /Zp \С /

откуда

У (№ - 30) ^'G' - Р'07) = 2^ f [(Я - су - Н'Ч [(Н' - су - НЧ или

У(ЗС - 30) ^'G' - Р'07) = 2L±^-£ У^н -С-Н'УН' - с-ну

Эти равенства показывают, что величины

g,g\ ууе-р0) (p'G'-p'0')

и, следовательно, F остаются голоморфными функциями Ни НЧ когда Н + Н' = С.

Инвариантные соотношения

Мы рассмотрели в п. 1, в связи с системой

(1)(1)^■cidt

(1)

(1)

с одной стороны, ее решения, с другой — ее интегралы. Но нам остается коснуться некоторых уравнений, которые связаны с этой системой и о которых можно сказать, что они занимают промежуточное положение между решениями и интегралами. Я теперь определю эти уравнения и назову их инвариантными соотношениями [7].

Пусть <р — произвольная функция хг, х2, ..., хп; тогда

dt dxi ' 1 dxi " 2 т • • • т ^я^ п-

Рассмотрим теперь систему уравнений

<Р1СП, ^2, ■ • • , ^п) = О,

Ф»^,^, . . . ,хп) = 0,(2)

Фр (ж,, хг, . . . , zn) = О

и предположим, что эти уравнения влекут как следствие соотношения

отсюда вытекает, что

Следовательно, если уравнения (2) удовлетворяются для некоторого значения t, они будут удовлетворяться для всех значений t; вот почему мы назовем систему (2) системой инвариантных соотношений-, и легко понять, какое значение может иметь знание подобной системы.

Предположим теперь, что система каноническая и возвратимся к системе (1) п. 3 и к уравнению

/dS dSdS \

1' dxi dxidxp j' '

которое с ней связано.

Знание одного частного решения этого уравнения (3) дает нам систему инвариантных соотношений.

Действительно, пусть 8 — решение; рассмотрим систему

dSdSdS...

dxi ’^2 ~ dx^ ’ " " ' ’ Ур — dxj; "

Я утверждаю, что это система инвариантных соотношений для канонических уразнени! (1).

В самом деле, дифференцируя уравнение (3), находим

dF dFd'-S dF d2SdFd^S

dx.~ dti.dx,dx.' dii.dx.dx.' ‘' dlldx dx.

Чтобы привести систему (4) к виду (2)

Ф1 = 'Рз =

Фз =

. . . = фр = 0,

ПОЛОЖИМ

<pi =

dS

dx, "

Получим

= 1,-^ = 0

d2S

"dxk ~

dx^x^ ’

откуда

= 2

rZ(p. dy^„ dq>.

dii. dt 'dx^

dxk

/ ^Ф; dF

-^\dxk ddk

Ду?г dF

dt

dt

di'k dxk

это показывает, что уравнения (5) приводятся к виду

(2=1,2,... ,р).

Но как мы только что видели, это как раз и означает, что система (4) есть система инвариантных соотношений.

Я добавлю еще, что в случае, когда имеются лишь дее степени свободы, каждая система двух инвариантных соотношений может быть получена этим способом.

Глава II

ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

Определения и леммы

Метод Коши доказательства существования интеграла дифференциальных уравнений применялся другими геометрами для доказательства большого числа теорем. Так как этот метод и эти теоремы будут нам полезны в дальнейшем, мне приходится посвятить им вводную главу. Для этого изложения я воспользуюсь одним обозначением, уже введенным мною в другом мемуаре; оно поможет мне избежать длиннот и повторений.

Пусть ф (х, у) и ф (х, у) — два ряда по возрастающим степеням х и у; предположим, что каждый из коэффициентов ряда ф действителен и положителен и превосходит по абсолютной величине соответствующий коэффициент ряда ф. Мы будем тогда писать

Ф (^, У) <СФ ^ у), или, если необходимо указать переменные, относительно которых производится разложение,

ф<СФ (arg х, у\

Нетрудно видеть, что если ф (ж, у) — ряд, сходящийся для некоторых значений х и. у (представляющий, следовательно, функцию от х и у, голоморфную при х = у ~ 0), то можно всегда найти два действительных положительных числа М и а таких, что

. ,ММ

Ф щ, У)ц — а^ а •

В случае, когда функция ф обращается в нуль при х = у ~ 0, можно написать

Ma (z 4- у) Ма(х 4- у) [1 + a (z + у)]

1 — а (z ф- у)1 — а (ж + у) '

Предположим, что ф кроме аргументов х и у, по которым она предполагалась разложенной в ряд, зависит еще от другой переменной I; тогда числа М и а будут в общем случае непрерывными функциями t. Если эти два числа не обращаются в нуль ни при одном из рассматриваемых зна-

чений <, можно установить для них нижний предел; следовательно, можно М и а придать постоянные значения, достаточно большие, для того чтобы предыдущие неравенства выполнялись.

Действия с неравенствами, определенными в предыдущем пункте, основаны на принципах, которые я приведу вследствие их очевидности без доказательства.

Если ряд ф сходится, то сходится и всякий ряд ср, для которого выполнено неравенствоф

Можно складывать любое число неравенств одного знака

Ф1 <С Фы Фа <С Фг, ■ • ■ , Фп <С Фп-

Если имеется бесконечное число неравенств одного знака

Фо^Фо-Ф1А Фы ■ • • . ФпА Фп. • • • Д° бесконечности (arg ж, у),

то можно записать, введя новую переменную, что

Фо + Ni + W2 + • • - ^Фо + М1 + ^2Фз + • • •(arg ж, уЛ\

Можно перемножить два неравенства одного и того же знака.

Если имеем

Ф^.^а, . . . , ^«Сф^рХа, . . . .х^ (arg^, ж2, . . . , х^ (1)

и, с другой стороны,

/1 (^ УХА А А /2 А У^ <С 02 А У),

Ш У^М3^ у) (argz, у), то мойшо в неравенстве (1) вместо хи ж2, ..., хп подставить в левую часть fv }г, ..., /„, а в правую часть 0!, 02, ..., 0П. Итак, можно записать

ф[ЛА УМг (х.у),. . . , fn(x, у)1<С ФА (х, у),02 (х, у), . . А (г, у)](arg х, у).

Можно дифференцировать неравенство

фА ?/)<СФ А У) (arg ж, у)(2)

по одной из двух переменных х и у.

Можно интегрировать неравенство, понимая интегрирование любым из двух способов: во-первых, можно интегрировать неравенство (2) по одной из двух переменных х или у, беря 0 за нижний предел интегрирования..

Тогда получаем

XX

J ф(я, у) dx<< J ф (х, y)dx. оо

Само собой разумеется, что при вычислении этих интегралов у считается постоянным.

Но может также случиться, что функции ср и ф зависят не только от двух аргументов х и у, но еще и от переменной t, причем мы не считаем, что функции разложены в ряд по степеням этой переменной.

Предположим, что неравенство (2) верно для всех значений t, заключенных между tQ и ^ можно проинтегрировать это неравенство по I, рассматривая х и у как константы, и записать

j ср (х, y,t)dt-^^ (х, у, Z) dt (arg х, у),

если, конечно, пределы интегрирования заключены между Zo и ^.

Рассмотрим функцию ср (х, у), разложенную в ряд по степеням х и у. Нам часто будет встречаться случай, когда х и у зависят от некоторого параметра ц и их можно разложить в ряд по степеням этого параметра. Таким образом, запишем

X = Ху + Ц^ + (.1% + ...,

У = Уо + ЦУх + Ц2у2 + — •

Предположим, что в функцию ср вместо х и у подставлены их разложения (1), тогда ср станет функцией от ц, х0, хг, ..., хр, ... до бесконечности и у0, Ух, "ч УР1 ■•• Д° бесконечности; более того, она может быть разложена в ряд по степеням pi, так что

ф = ф0 + Цф! + Ц2ф2 + ... .

Легко видеть, что ф0 зависит только от х0 и у0; фт от х0, у0, хги уг; ...; и, вообще, фр зависит от х0, хг, ..., хр; у0, yv ..., у р.

Предпдложим теперь, что имеет место неравенство

ф(я, УИСЛ 1х, У) {^х,у).

В ф подставляем вместо х и у их разложения (1), так что получаем

Ф = Фо + РФ1 + Ц2ф2 + . • ■ •

Легко видеть, что получается

Фо<СФо(arg ^0. Уо)-

Фх*<Фх(argz0, Уо-.я^Ух),

Фр^Фр (argz0, xv . . . , хр; у0, yv ... , Ур^.

4 А. Пуанкаре

В этом можно убедиться, применяя пятый принцип предыдущего пункта, что дает

Ф*^ Ф (srg Н> ^о-^г ■ ■ • Д° бесконечности, у0, уг, . . . до бесконечности).

Мы условимся записывать для краткости функцию фр(л:;, у^ вместо фр (^0, ^П ^pi Уо, У1< У?)•

Теорема Коши

Теорему Коши можно найти сегодня в любом классическом трактате, и я ограничился бы ее формулировкой без доказательства, если бы не хотел ее несколько дополнить.

Рассмотрим дифференциальные уравнения

^- = 0(ж, у, а, ц),

^- = ф(ж, у,з,ц),(1)

dz.

— = ф(ж, y,z,^.

Я предполагаю, что функции ср и ф разложены в ряд по возрастающим степеням независимой переменной х, двух неизвестных функций у и z и произвольного параметра ц.

Предполагая, что независимая переменная t не входит в правые части уравнений (1), я не ограничиваю общности, так как система порядка п, содержащая независимую переменную явно, может всегда быть заменена системой порядка n + 1, в которую эта независимая переменная не входит.

Действительно, пусть, например, dx /.,

= ф(ж,у,0-

Ясно, что эти два уравнения могут быть заменены следующими тремя:

^- = ф(ж, у,^,

(1у I г V X— = Ф(Ж,Р,2),

dz ,

= 1

dt 1.

Я намерен показать, что существуют три сходящихся ряда по степеням t, р ^о, Уб-, zo, которые удовлетворяют уравнениям (1), когда их подставляют вместо х, у и z, и которые сводятся к х0, у0 и z0 соответственно при t = 0.

Итак, вместо того чтобы разлагать, как это делал Коши, в ряд только по степеням независимой переменной х, я разлагаю в ряд также по степеням параметра р и по степеням начальных значений xQ, у0, z0. Но прежде надо доказать две новые леммы.

Пусть

"ST = Ф (ж, У, Д р),

-^--^.У-Др)

— дифференциальные уравнения, где (риф — два ряда по степеням неизвестных функций z и у, переменной t и произвольного параметра р.

Легко проверить, что существуют два ряда

/ (Д И), /1 (Д Н)(2)

по степеням t и р, обращающиеся в нуль вместе с t, такие, что если подставить их по обычным правилам в уравнения (1) вместо х и у, то эти уравнения формально удовлетворяются.

Если мы попытаемся определить коэффициенты рядов f и fv методом неопределенных коэффициентов, то найдем, что каждый коэффициент ряда / (или Д) является целым многочленом с положительными коэффициентами от различных коэффициентов рядов (риф.

Итак, рассмотрим другие уравнения того же вида, что и (1),

■^7 = ^4^ у, Др),(lb,s)

такие, что

Ф<<ф', Ф<СФ' (arg х, у, t, р).

Если

_f(t,^, k(t,^(2 bis)

— ряды по t и р, обращающиеся в нуль вместе с t и формально удовлетворяющие уравнениям (1 bis) при подстановке их вместо х и у, то можно заключить, что

/*</', fi-Cf'1 (arg Др).

Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта. Предположим, что (риф разлагаются в ряд по степеням х, у и р для всех значений t, заключенных между 0 и Д (Д > 0) (мы условимся рассматривать лишь зна-

чения t, заключенные между этими пределами). Здесь я не предполагаю, что ф и ф разлагаются по степеням t.

Тогда существуют ряды по степеням р /(i, р),fx^,^),

которые обращаются в нуль вместе с t и удовлетворяют формально урав- ниям (1) (коэффициент при любой степени р является функцией i, не обязательно разложимой в ряд по степеням i).

Как определить коэффициенты рядов / и txt

Пусть хт — коэффициент при рт в /, а ут — коэффициент при рт в /Р

Тогда для определения хт и ут находим следующие уравнения:

^- = 4>^Q,y0, t, 0),^- = Ф(^о, У0Л, 0),

dt dxo 1 ' dyo ^L '11 dt dxo 1 ' dyo У1 '11

dt — dxo m "T" dy0dt — diodyo

где Xm и Ут разложены в ряд по степеням

^1 У11 ж2> Угт-ч ^т-1, Ут-1

и, с другой стороны, зависят от х0 у0 и t.

Кроме того, в d<pfdxOl dyldya, d^!dx0, d^ldy0 переменные x, у и параметр р должны быть заменены на х0, уа и 0.

Пусть теперь уравнения (Ibis) предыдущего пункта

-^- = Ф' (х, y,i,p),

-^- = Ф' (х, y,t, р)

таковы, что

Ф^Ф » Ф^Ф' (argx, у и р, но не arg/).

Пусть■

f (i, р) = х0 + pxi + р3Х2 + . . . ,

/1 (^, И) = Уо + H-Z/i + Н-2Уа + ■ • •

— ряды но степеням р, обращающиеся в 0 вместе с t и удовлетворяющие формально приведенным выше уравнениям (1 bis).

Получаем dx_-’,

-^-^Ф (z0, Уой.О), -^ = ip (2:0, у0, i.O),

dt - dx.

В начальный момент времени имеем

z' = z0 = 0, у0 = Уо = О и, кроме того,

Ы<ф', ItK'f.(2)

откуда .

I dt I dt ' I dt I dt '' *

х0’ и у о' для малых положительных значений t положительны и по абсолютной величине больше, чем х0 и у0.

Итак, запишем, что

|^о К ^ |Уо|<Уо-(4)

Неравенства (4) не могут нарушиться до тех пор, пока не нарушены неравенства (3). Йо это не может произойти, так как неравенства (4) вместе с неравенствами (2) влекут за собой неравенства (3). Следовательно, неравенства (4) будут всегда справедливы при

0< << ^.

Я предполагаю доказанным, что

1^11 <^>I У11 < Ут,1^11 <^>I У11 < Ут,I ^2 I < 2^2, • . . ,I Уз I < Уа, - • • ,I ^2 I < 2^2, • . . ,I Уз I < Уа, - • • ,| 2"m- 11I Ут-i || 2"m- 11I Ут-i |2^т-1,2^т-1,Ут-1,Ут-1,(5)(5)

1^11 <^>

I У11 < Ут,

1^11 <^>

I У11 < Ут,

I ^2 I < 2^2, • . . ,

I Уз I < Уа, - • • ,

I ^2 I < 2^2, • . . ,

I Уз I < Уа, - • • ,

| 2"m- 11

I Ут-i |

| 2"m- 11

I Ут-i |

2^т-1,

2^т-1,

Ут-1,

Ут-1,

(5)

(5)

и намерен доказать, что

^тл,^тл,"Ут*

^тл,

^тл,

Действительно, изI d<p I d(f'I dx0’Действительно, изI d<p I d(f'I dx0’неравенств (5)I </<р I dtp'I ^0 I ^ dV0 ’неравенств (5)I </<р I dtp'I ^0 I ^ dV0 ’можно заключить, чтоI|dip' I dip II dye. !dy'Q ’ I dx0 Iможно заключить, чтоI|dip' I dip II dye. !dy'Q ’ I dx0 IсЦ/ dxnсЦ/ dxn

Действительно, из

I d<p I d(f'

I dx0’

Действительно, из

I d<p I d(f'

I dx0’

неравенств (5)

I </<р I dtp'

I ^0 I ^ dV0 ’

неравенств (5)

I </<р I dtp'

I ^0 I ^ dV0 ’

можно заключить, что

I|dip' I dip I

I dye. !dy'Q ’ I dx0 I

можно заключить, что

I|dip' I dip I

I dye. !dy'Q ’ I dx0 I

сЦ/ dxn

сЦ/ dxn

Следовательно, мы должны заключить, что из неравенств

следуют неравенства

1^н\^Ут_ / аУт

I dt dl ’| dt dt "

С помощью аналогичного рассуждения можно показать, что

I ^т || Ут | <С Ут при 0 <^ t -^ t^.

Эти же неравенства можно записать в виде /1^/1 (argp, но не argi).

Вернемся к уравнениям (1) п. 23

= 9(а:,у,2,у^= ч>(зс,у,г,^,=(1)

Эти уравнения формально удовлетворяются некоторыми рядамиж = /1 (С ха, у0, 20, р),

У = M,x0,y0,za, И)-(3)

z = /3^.4), Z/o.zo,p)

по возрастающим степеням t, ж0, у0, z0, р, приводящимися соответственно к ж0, у0, z0 при t = 0.

Чтобы доказать сходимость этих рядов, сравним их с рядами, полученными из других уравнений.

Можно всегда найти три положительных действительных числа М, аи^ таких, чЮ если положить

м

9 — ф — ф —,(1)

то получим

0 <9', ф-<ф', (argж, у, 2, р). ф-^ ф'.

Рассмотрим уравнения

at1

^ = ^',(2bis)

Аг . /

которые также можно записать в виде

dx dy dz М.

dt dt dt(1—3p)[l—ct (z + у -p z)] *' 1S'

Этим уравнениям можно удовлетворить с помощью рядов, аналогичных рядам (3), которые также являются рядами по степеням t, ж0, у0, z0 и р и сводятся к х0, у0 и z0 при t = 0.

Положения п. 24 показывают, что ряды (3) сходятся всякий раз, когда сходятся упомянутые только что мажорантные ряды.

Уравнения (3bis) легко интегрируются и выражения, которые являются их интегралами, могут быть записаны в виде

х = ^о + -^ (^ — КS2 — М),

y = ya + 4r<s~ Vs^hi),

где мы положили для краткости

8 = 1 — а(x0 + у0 + z0), h = -j —pjT •

Эти ряды, расположенные по степеням р, t, ж0, у0, z0, сходятся, если только

IM- Н koh |УоЬ Ы достаточно малы.

Следовательно, то же самое справедливо и для рядов (3), что и требовалось доказать.

Обобщение теоремы Коши

Из п. 26 следует, что решения дифференциального уравнения можно разложить в ряд по степеням произвольного параметра р, но только для достаточно малых по модулю значений независимой переменной I. Мы попытаемся теперь освободиться от этого ограничения.

Рассмотрим следующие уравнения:

-^- = <р(.Г, у, Ср), -^ =ф(х, у, Ср).(1)

Здесь я снова предполагаю, что переменная t явно входит в уравнения, Пусть

ж = 0 (С р), у = со (С р)

то из решений уравнения (1), для которого начальные значения ж и у при t = 0 равны нулю.

Я предполагаю, что для всех значений t, заключенных между 0 и £0, обе функции ф и ф можно разложить в ряд по степеням р, ж — 0 (Z, 0), у — го (<, 0) (причем коэффициенты разложений являются функциями /).

Это условие можно выразить иначе: если для некоторой системы значений ж, у, t и р одна из функций ф или ф перестает быть голоморфной, то говорят, что эта система значений соответствует особой точке уравнений (1). Следовательно, мы можем сформулировать предыдущее условие несколько некорректным, но удобным способом, сказав, что частное решение

р = 0, ж = 0 (f, 0), у = to (f, 0)

не будет проходить ни через одну особую точку.

Я утверждаю, что если это условие выполнено, то для всех значений I, заключенных между 0 и <0, 0 (Z, р), го (Z, р) можно разложить в ряд по степеням р (именно р, а не t и р), если только | р | достаточно мал.

Замечу прежде всего, что, не уменьшая общности, можно предположить, что функции ф и ф тождественно обращаются в нуль при

ж = у = р — 0,

или, что то же самое, предположить, что тождественно выполняется равенство

0 («, 0) = ю («, 0) = 0.

Действительно, если бы это было не так, можно было бы сделать за’ мену переменных

ж' = ж — О (С 0), у* = у — ю (i, 0)

и прийти к случаю, который мы только что указали, ибо преобразованные уравнения допускали бы в качестве решений при р = 0

х* = 0, у' = 0.

Итак, примем это предположение. Функции ф иф будут разлагаться в ряд по степеням х, у и р, но я не предполагаю, что они разлагаются в ряд по степеням t.

Мы сможем найти ряды * (3), разложенные по степеням р и такие, что если их подставить вместо ж и у, они формально будут удовлетворять уравнениям (1). Кроме того, эти ряды обращаются в нуль при t = 0.

Чтобы доказать сходимость этих рядов, образуем уравнения, аналогичные уравнениям (2bis) из п. 26.

Функции ф и ф разлагаются в ряд по степеням ж, у и р, если только

O<t<to..

* Имеются в виду ряды, аналогичные рядам (3) предыдущего пункта. (Прим. ред.).

Когда t будет изменяться от 0 до <0, радиусы сходимости этих разложений тоже будут изменяться, но можно указать для них нижнюю границу. Можно, следовательно, согласно п. 20 найти два положительных числа М и а,, таких, что для всех значений t, заключенных между 0 и t0, будут выполняться неравенства

ф<<ф',ф«<ф' (arg ж, у, р),

где

Л7( + у + р)[1+а(.г + у4Р)]1 — а (ж + у + р)

Составим тогда уравнения

<2Ыз)

Эти уравнения можно удовлетворить рядами (3 bis) того же вида, что и ряды (3), удовлетворяющими формально этим уравнениям *.

Согласно п. 25 ряды (3) будут сходиться, когда ряды (3 bis) сходятся.

Итак, если мы положим

х + у + р = S,

то наши уравнения дадут

as 2MS{s + i) или

откуда, поскольку S = р при t = 0,

Легкопроверить, что5и, следовательно, м у разлагаются в рядпостепеням р и что разложения сходятся для всех значений t, если только | р | достаточно мал; из этого можно заключить, что ряды (3 bis) и ряды (3) сходятся, что и требовалось доказать.

При гожения к задаче трех тел

Результаты предыдущего пункта, очевидно, остаются в силе, когда вместо одного произвольного параметра р имеется несколько. Вот как мы собираемся использовать этот результат. В п. 27 мы рассмотрели лишь частное решение, для которого начальные значения х и у равны нулю. Предположим, что мы рассматриваем частное решение, для которого эти начальные значения равны х0 и у0, и собираемся разложить это решение в ряд по степеням т0, у0 и р.

Но мы можем идти еще дальше: вернемся к уравнению (1) предыдущего пункта и рассмотрим частное решение, такое, что

х = х0, у = у0

при / = 0; попробуем затем разложить значения х и у при t — t0 + t в ряд по степеням х0, у0, р и т.

Затем положим

Х = х +х0, у = у +уа, t = t —t;

z0

уравнения (1) примут вид

dx'to / , ,, ,tQ -4- Т

Мы можем здесь рассматривать х', у' и t' как переменные, а р, т, х0, у0 как четыре произвольных параметра.

Рассматриваемое нами частное решение таково, что при £ = 0

^ = ^о, У = Уо

и, следовательно,

х' = у’ = 0.

Кроме того, нам надо вычислить значения х' и у’ при / = /0 + т, т. е. при t' = t0.

Таким образом, мы снова возвращаемся к случаю, изученному в предыдущем пункте, и видим, что х и у разлагаются в ряд по степеням х0, у9 тир, если только модули этих величин достаточно малы. Все это верно при единственном условии, что частное решение, для которого начальные значения х и у равны нулю и в котором, кроме того, предполагается, что р = 0, не проходит ни чёрез одну особую точку.

Применим это к уравнениям п. 13

dx. _ aF dyi _ aF dt dyi ’ dtdx^ ’

где

F = ^0 + И^ 1 + И'^ 2 + • • •

и где Fg не зависит от у.

F будет функцией х и у, голоморфной всюду, кроме некоторых особых точек. Может получиться так, что если придать х значения

то функция убудет голоморфной для всех значений у.

Представим себе, что поставлена следующая задача. Рассмотрим частное решение, такое, что при t = О

1/1=г/? + Л1. Уй = Уй +Л2- • • • - Ур = Ур + Чу

и рассмотрим, в частности, значения переменных при

t = tg + т;

необходимо разложить эти значения в ряд по степеням ц, т, £ и т).

Это разложение будет возможным; действительно, если положить одновременно

Р = т = ^ = i]i = О,

то частное решение сведется к

Ж» = А, Уг = ^ + у?

(где Ai — значение dFgldxt при xh = ж”) и, как мы только что предположили, это решение не проходит ни через одну особую точку.

Посмотрим, что происходит в частном случае задачи трех тел. Функция F может перестать быть голоморфной лишь в случае, когда два из трех тел столкнутся. Частное решение, которое мы рассматриваем, представляет собой при ц = 0 совокупность двух кеплеровых эллипсов, описываемых двумя малыми массами под действием притяжения массы, равной единице и расположенной в начале координат. Для того чтобы могло произойти столкновение, нужно, чтобы эти два эллипса пересекались, чего никогда не бывает в астрономических приложениях.

Следовательно, мы приходим к такому заключению.

В задаче трех тел положение системы задается двенадцатью переменными, определенными в п. 11. Задаются значения ж,0 + ^, у;0 + т], этих переменных при t = 0 и спрашивается, каковы будут значения этих переменных в момент tg + т. Мы только что видели, что эти значения разлагаются в ряды по степеням масс, |, т] и т.

Есть только один исключительный случай. Предположим, что при t = = 0 начальные значения переменных равны ад и у,; при нулевых массах движение продолжается по законам Кеплера; если при этих условиях столкновение происходит до момента t0, то сказанное выше не будет верным.

Таким образом, можно было бы оценить снизу время, в течение которого пригодно разложение координат планет в ряды по степеням масс, но полученный предел будет слишксм далек от точного предела, чтобы такое вычисление представляло интерес.

Использование тригонометрических рядов

Для интегрирования дифференциальных уравнений можно применять не только степенные ряды, пользуются также тригонометрическими рядами. Я хочу здесь сказать о них несколько слов, прежде чем приступить к уравнениям в частных производных.

Известно, что периодическая функция от ж периода 2л разлагается в ряд следующего вида:

F (х) = Ло + Аг cos х + А^ cos 2х + . . . + Ап cos пх -ф . . .

. . . + Вх sin х -ф В^ sin 2х 4- ... 4- Вп sin пх+ -.-.(1)

Я показал в Астрономическом бюллетене (ноябрь 1886) [8], что если функция / (ж) конечна и непрерывна вместе со своими р — 2 производными и если ее (р — 1)-я производная ограничена, но имеет конечное число точек разрыва, то можно найти положительное число К, такое, что как бы велико ни было п,

КАП|<.К, |нр5„|<К.

Если / (ж) — аналитическая функция, она будет конечной и непрерывной со всеми своими производными. Следовательно, можно найти число Кт такое, что

\нйАп\<К, \п?Вп\<К.

Отсюда следует, что ряд

IЯ о | + | Аг | -|- । А^ | + . . . -ф [ Ап | -ф . . . -ф | Вх | -ф | Вг | -ф . . . -ф | Вп | -ф . .

сходится и, следовательно, ряд (1) абсолютно и равномерно сходится.

Установив это, рассмотрим систему линейных дифференциальных урав,- нений

" Ф1, А + Ф1, 2^2 + • • • + Ф1, А'

а, ~ Фг, А + Фг, 2^2 + • ■ • + Фг, А,

фп, 1^1 А Фп, 2 А А • - * А Фп, п^п-

В этой системе п2 коэффициентов фг,к являются периодическими фуик- щиями с периодом 2л. Следовательно, уравнения (2) не изменяются, если заменить t на t + 2л.

Пусть теперь

— Ф1,1 (О-Ж1 — Фг, 1 (О’— Ф1,1 (О-Ж1 — Фг, 1 (О’*1 = Фп,1(0’*1 = Фп,1(0’Г3 = Ф1, 2 (О’ ' • ’ ’ ^2 = Ф2,2(0- ’ • ' ’^2 = Фп, 2(0’ • ■ ' -Г3 = Ф1, 2 (О’ ' • ’ ’ ^2 = Ф2,2(0- ’ • ' ’^2 = Фп, 2(0’ • ■ ' -^п — Ф1, та (О’ $п = Фг,н(О.•^п = Фп, п (О^п — Ф1, та (О’ $п = Фг,н(О.•^п = Фп, п (О(3)(3)

— Ф1,1 (О-

Ж1 — Фг, 1 (О’

— Ф1,1 (О-

Ж1 — Фг, 1 (О’

*1 = Фп,1(0’

*1 = Фп,1(0’

Г3 = Ф1, 2 (О’ ' • ’ ’ ^2 = Ф2,2(0- ’ • ' ’

^2 = Фп, 2(0’ • ■ ' -

Г3 = Ф1, 2 (О’ ' • ’ ’ ^2 = Ф2,2(0- ’ • ' ’

^2 = Фп, 2(0’ • ■ ' -

^п — Ф1, та (О’ $п = Фг,н(О.

•^п = Фп, п (О

^п — Ф1, та (О’ $п = Фг,н(О.

•^п = Фп, п (О

(3)

(3)

— п линейно независимых решений уравнений (2). Уравнения не изменяются, если заменить t на t + 2л, а п решений принимают вид

= Ф1,1 (^ + 2л), . . . ,г„ = фь Д1 + 2л),

^i = Фг, 1 (^ + 2л), . . . ,хп = ф2, n (t + 2л),

з\ Фп, 1 (^ Ф* 2л), . . . ,фп, п (£ ф- 2л).

-Следовательно, они должны быть линейными комбинациями п решений (3), так что

Ф1, 1 (^ + 2Л) — Ль jl})^ j (О ф- Ф1, 2Ф2,1 (О Ф" • • • Ф" Ф1, пФп, 1 (0>

Фз,1 (^ Ф* 2л) = Л2) j^xp!, j (О ф- Ф2, 2Ф2,1 (О Ф" • • • Ф" Фг, пФп, 1 (О’0)

Фп, 1 (^ ф- 2л) = ФП) 1ф1, ! (О ф- Фп, 2Ф2,1 (О Ф" ■ • • Ф" Фп, пФп, 1 (О’

где А — постоянные коэффициенты.

Кроме того, получим так же (с теми же коэффициентами)

Ф1, 2 (^ + 2Л) = Alf 1ф1, 2 (О Ф" Ф1, 2Ф2, 2 (О Ф" ’ • • Ф" Ф1, пФп, 2 (О

Теперь образуем уравнение относительно S

Ф1, 1 —Ф1, 2• ■ •Ф1,п

(5)(5)Ф2, 1Фг, 2 — У . . .Ф2, п

(5)

(5)

Фп, 1Ф», 2. . . Фп, п ^

Пусть 8} — один из корней этого уравнения. В силу теории линейных подстановок всегда существуют п постоянных коэффициентов

Вг, В2, . .. , Вп,

таких, что если положить

^1, 1 W = 5хфх, х (Z) + В2^4, 1 (<) + ••■ + 5пфп, х (<),

^1, i W = ■^1'1’1, i (О + ^Фа, i W + • • • + ДгФп, i (О’

$1, 1 (^ + 2л) = iViOi, 1 (О’ а также

е1Н(< + 2л) = 8^,^.

Положим

£х = е11^.

Тогда

е-а, ц+г^д^ х _(_ 2Л) = 51е-2а>"е-а«ге1, х (Z) = е~а>г01, х (О-

Это уравнение показывает, что

^бцЛО

является периодической функцией, которую мы можем разложить в тригонометрический ряд

1 (О-

Если периодические функции ср^к (f) аналитические, таковы же будут решения дифференциальных уравнений (2) и функция ХЬ1 (Z). Ряд ХЬ1 (Z) будет, следовательно, сходиться равномерно и абсолютно.

Также

— периодическая функция, которую можно представить тригонометрическим рядом

^1,1 (О-

Итак, имеется частное решение уравнений (2), которое записывается

^ = ea-iXlil(Z), ^2 = e"Ali2(Z), . . . , жп = ea*%, n (Z).(6)

Каждому корню уравнения (5) соответствует решение вида (6).

Если все корни уравнения (5) различны, имеются п линейно независимых решений этого вида и общее решение будет

^i = C1eai<Xltl (Z) -|- C2e“2iXj. »(0 + • • • + С^е '^'^x^nktY

^2 = Схв^'^^ х (Z) -|- C2ea2<X2i 2 (Z) -|- . . . -|- Спе n Х2, n (Z)r (7)

жп = С1еа*<ХП1 х (Z) -|- С.леа'^ХП) 2 (Z) + . . . + С^е " A,n^n (Z)..

Здесь С — постоянные интегрирования, а — постоянные и X — абсолютно и равномерно сходящиеся тригонометрические ряды.

Теперь посмотрим, что происходит, когда уравнение (5) имеет двойной корень, например, когда о^ = а2. Вернемся к формуле (7). Положим в ней.

С3 = С^ = ... = Сп = О

и заставим а2 стремиться к av Получим

Ж1 = е^ [СЛ,! (Z) + С^-^ 'Х2, ! (Z)]

или, положив

Ci = с; - С2, С2 =

1111 а2 —он

получим

Ясно, что разность

^2, 1 W ’ ^1, 1 (О

обратится в нуль при а2 = ат. Следовательно, мы можем положить ^2, 1 (О — ^1, 1 (0 + (а2а1) ^ (О-

Таким образом получим

Ж1 = e^t [CAi, i + C^i, i e а2_а/ + C2X' (t) ^

и в пределе (при а2 = «i)

хх — Ci6”1^!, i + C^"1' [ZXlt i + limX' (Z)].

Можно убедиться, что предел X' (Z) при ос2 = ах также является равномерно и абсолютно сходящимся тригонометрическим рядом.

Итак, следствием наличия двойного корня уравнения (5) было появление в решении членов вида

e”‘‘X(Z),

где X (f) — тригонометрический ряд.

Легко видеть, что тройной корень приведет к появлению членов вида

ea*‘Z2X (Z)

И Т. д.

Я не останавливаюсь на всех этих деталях. Эти результаты хорошо известны из работ Флоке, Калландро, Брунса, Стилтьеса, и если я и привел здесь доказательство in extenso для общего случая, то только потому, что его крайняя простота позволила это сделать в нескольких словах.

Неявные функции

Если имеются и + р величин yv у2, ..., уп; xv ж2, ..., жр, между ко- горыми имеется п соотношений

А (Уы у2. - ■ •, Уп; ^i> ^з,..., жр) = о,

fl (Ун h---, Уп, ж1т хг, ,хр) = 0,(7)

/п (У1- Уз. • • • > Ун- ^i’ ^2. * • • . ^р) = 0,

если / разлагаются в ряд по степеням х и у и обращаются в нуль вместе с этими п + р переменными; если, наконец, функциональный определитель / по переменным у не равен нулю, когда все х и у равны нулю одновременно, то можно из уравнений (7) определить п неизвестных у в форме рядов по степеням хх, ха, ..., хп.

Действительно, рассмотрим х^ как единственную независимую переменную, а ха, ха, ..., хп — как произвольные параметры. Мы сможем заменить уравнения (7) п дифференциальными уравнениями

ILlJ^l а_ ^j_^b_ а_ ^К_(\ а _ 1 о

dyi dxi d№ du "ГДу^ du dxi' — ’ ’ • 1 1 ’

Таким образом, мы пришли к случаю, которым только что занимались.

В частности, если / (у, ж1? хг1 ..., х^ — функция, разлагающаяся в ряд по степеням у и х, если при

у = xv= хг = ... = хп = 0

будет

dy '

и если у определяется из равенства

/=0,

о у можно разложить в ряд по степеням х.

Этот результат можно выразить иначе. В самом деле, рассмотрим .любое алгебраическое уравнение

/ W = 0.

Если для некоторого значения ж0 переменной ж функция / (ж) обращается в нуль, а ее производная не равна нулю, то говорят, что ж0 — простой корень уравнения; ж0 — кратный корень порядка п, если для значения ж = = ж0 / обращается в нуль вместе со своими п — 1 первыми производными.

Так же, если имеется произвольная система алгебраических уравнений, например, состоящая из трех уравнений, а именно:

/1 (я, У, z) = О,

/г (я, У. z) = О,

/з (ж, у, г) = О, то говорят, что

Ж = Жо, у = Уо , z = z0

— простое решение этой системы, если при этих значениях /1? /2, /3 обращаются в нуль, а их якобиан, или функциональный определитель, не равен нулю.

Можно сохранить те же наименования в случае, когда /1? /2 и /3 являются не целыми многочленами от ж, у, z, а голоморфными функциями от Ж, у, Z.

Результат предыдущего пункта можно выразить тогда следующим образом: если имеется р уравнений (относительно неизвестных yv уг..., ур)

fi (У1, Уг,- • ■ - УР; 2а, ж2, . . . , ж„) = О,ккУ1*УгУр;^,^- • ••.^п) = 0,

/р <У1, Уг,..-, Ур, ХХ, ж2, . . . , жп) = 0,

левые части которых голоморфны, и если при

Ж1 = ж, = . . . = жп = 0 система значений

Ух = У г = ■ • ■ = Ур = 0

является простым решением уравнений, то у разлагаются в ряд по возрастающим степеням ж. Следовательно, если дать переменным ж достаточно малые значения, то наши уравнения будут допускать действительное решение.

Алгебраические особые точки

Рассмотрим уравнение

/ (у, ^) = оw

5 А. Пуанкаре

и предположим, что при

Ж = у = О

/ обращается в нуль вместе со своими тп — 1 первыми производными по у. Тогда при х = 0 значение 0 переменной у является решением порядка тп этого уравнения.

Можно показать, что существует тп сходящихся разложений у по дробным положительным степеням х, обращающихся в нуль вместе ежи удовлетворяющих этому уравнению (см. классические работы Пюизе об алгебраических уравнениях).

Эти тп сходящихся разложений распределяются по группам следующим образом.

Пусть ±(2)

у = aLx р +а2хР 4- ... 4- апх р 4- . ..

— одно из этих разложений и X — корень р-й степени из единицы. Разложение

2п

у = а^х р 4- а^х р 4* • • • + ^т^^ р + • • •

будет также удовлетворять уравнению (1). Можно, следовательно, получить из разложения (2) р — 1 других разложений, которые вместе с ним образуют группу; я назову ее группой порядка р.

Сумма порядков всех групп, очевидно, равна тп. Предположим, что имеются qp групп порядка р; сумма их порядков будет равна qpp, и мы получим

Qi + 2^ 4- З^з 4- ... 4- pqp = тп.

Коэффициенты pqp разложений, принадлежащих к группам порядка р, будут заданы алгебраическими уравнениями порядка pqp.

Если pqp нечетно, эти уравнения будут иметь по меньшей мере один действительный корень и по меньшей мере одно разложение будет иметь действительные коэффициенты. Поскольку, кроме того, р нечетно, если pqp нечетно, то соответствующее значение у также будет действительным.

Но если тп нечетно, по крайней мере одна из величин pqp будет нечетна, следовательно, тогда по меньшей мере одно из значений у будет действительным.

Итак, если тп нечетно, уравнение (1) допускает по меньшей мере одно действительное решение при малых значениях х.

Можно еще добавить, что числа действительных решений при малых положительных и отрицательных значениях х будут оба той же четности, что и тп. Речь идет о тех действительных решениях, которые обращаются в нуль вместе с х.

Исключение

Рассмотрим теперь уравнение / (у, xv х», • х^ = 0(1)

и представим себе, что если у и х обращаются в нуль, то / обращается в нуль вместе со своими m — 1 первыми производными по у, а m-я производная не обращается в нуль.

В начале моей диссертации о функциях, определяемых с помощью уравнений в частных производных (Paris, Gautier-Villars, 1879) [®] я доказал, что подобное уравнение можно преобразовать в другое, имеющее следующий вид:

Ф (у, $v х2, хп) = О, где ф — многочлен степени т от у, коэффициент при ут равен единице, а остальные коэффициенты голоморфны по х.

Если предположить, что т = 1, то это уравнение сведется к виду: у — (голоморфная функция от х^ = О, и мы снова вернемся к теореме п. 30.

В этой же диссертации я доказал (лемма IV, стр. 14), что если фг, ф2, ... ..., фр — р голоморфных функций от zn z„ ..., zp; хи х2, .... хр, если эти функции обращаются в нуль, когда все z и х равны нулю, если уравнения

Ф1 = ф2 = ф3 = ... = фр = 0(2)

остаются различными, когда все х равны нулю; если, наконец, z определяются как функции от х уравнениями (2), то р таким образом определенных функций являются алгеброидными. Это означает, в терминах цитированной диссертации, что уравнения (2) можно заменить р уравнениями

Ф1 = 0, ф2 = 0, ..., фр = О

того же вида, но левые части которых являются целыми многочленами относительно z.

Пусть теперь имеем два совместных уравнения

Ф (я, у, z) = О,

(3) ф (ж, у, z) = О,

определяющих у и z как функции от х. Я предполагаю, что левые части голоморфны по х, у и z и обращаются в нуль одновременно с этими тремя переменными.

Одно из двух: либо, когда х равно нулю, оба уравнения остаются различными, тогда, как мы только что показали, можно заменить эти два урав-

нения двумя другими, им эквивалентными

Ф1 (ж, у, z) = О,

Фг (ж, у, ^ = о,

левые части которых будут целыми многочленами от у и z; можно из этих двух уравнений, ставших алгебраическими по неизвестным у и z, исключить, например, z и прийти к единственному уравнению

F (ж, у) = 0.

Либо, когда ж равно нулю, два уравнения (3) совпадают. Но тогда мог^т представиться два случая.

Либо можно найти такое число а, что уравнения (3) остаются различными, если положить ж = ау. Тогда, если мы положим ж' = ж — ау, уравнения остаются различными при ж' = 0, и мы приходим к предыдущему случаю. Можно исключить z из обоих уравнений (3) и свести их к единственному уравнению между ж' и у' или, что то же самое, между ж и у.

Либо нельзя найти такого числа а; но это может случиться, лишь если уравнения (3) не являются различными; таким образом исключение возможно во всех случаях, кроме последнего.

Вообще, пусть

Ф1 (zn z2, ..., zp; ж) = 0,

ф2 (zv z2, ..., zp; ж) = 0,(4)

<рр (zn z2, ..., zp; ж) = 0

— Р уравнений, левые части которых голоморфны и которые определяют z как функции от ж; если эти уравнения различны, то можно всегда исключить z2, z#, ..., zp из этих р уравнений и свести их к единственному уравнению вида

F (х, z,) = 0.(5)

Я предполагаю, что уравнения (4) все еще различны при ж = 0 и, следовательно, F не делится на ж.

Я предполагаю, что фп ф2, ..., фр обращаются в нуль вместе с z и ж, так что

Zi = z2 = z3 = ... = zp = 0(6)

решение системы (4) при ж = 0 и zT = 0 — решение уравнения (5).

Если zT = 0 — решение порядка т уравнения (5), я буду называть решение (6) решением порядка т системы (4).

Если решение нечетного порядка, мы можем утверждать, что уравнение (5) и, следовательно, система (4) допускают действительные решения и при малых значениях ж.

Теорема о максимумах

Пусть F (zu z2, ..., zp) — произвольная голоморфная функция otz. Известно, что можно найти все максимумы этой функции, если решить систему

ар _ араг

dzi dzi " ' ' dzp ’' '

но известно также, что не все решения этой системы соответствуют максимумам.

Я утверждаю, что, для того чтобы некоторое решение могло соответствовать максимуму F, необходимо, но разумеется не достаточно, чтобы порядок решения был нечетным.

Это очевидно, когда имеются единственная переменная и единственное уравнение

В самом деле, известно, что максимума не может быть, если первая производная F, не обращающаяся в нуль, не является производной четного порядка.

Распространим подобный результат на общий случай и для определенности рассмотрим случай лишь двух переменных zx и z2. Будем считать zv и z2 координатами точки на плоскости; мы всегда можем предположить, что за начало координат взята точка, соответствующая максимуму, так что максимум имеет место при

Z1 = z2 = 0.

Можно тогда описать вокруг начала координат замкнутую кривую С, очень маленькую и такую, что во всех ее точках выполняется неравенство

F {z^ z^ < F (0, 0).

Более того: можно предположить, что эта кривая имеет уравнение вида

F (zv z2 ) = F (0, 0) - X2,

где X — очень малая постоянная, и что внутри этой замкнутой кривой С имеет место неравенство

F (Z1, z2) > F (0, 0) - X2;

следовательно, при пересечении кривой С снаружи внутрь /’растет. Мы хотим установить, что

Zx — Z2 — 0

— решение нечетного порядка системы

dF _ dF _ 0 dzi ~ dz^ —

Это сводится к следующему: пусть F (z15 z2, р) — функция от zt и za, обращающаяся в F (zx, z2) при ц = 0. Тогда система

аг ар _ пdz\ dz^

при ц = 0 имеет кратное решение

2^ — Z^ — 0.

Можно всегда выбрать функцию F (zlt z2, р) (которая нам задана лишь при р = 0 и остается произвольной при других значениях р) таким образом, что при отличных от нуля значениях р эта же самая система имеет лишь простые решения. Итак, необходимо установить следующий факт: если р достаточно мало, то внутри кривой С имеется нечетное число этих простых решений.

В моем мемуаре «Snr les courbes definies par les equations differentielles» Ipt. IV, chap. XVIII. (Journal de Liouville, serie 4, t. II, p. 177)] [10] я имел случай изучать распределение особых точек системы дифференциальных уравнений и определить для этой цели индекс Кронекера замкнутой кривой или замкнутой поверхности по отношению к этой системе дифференциальных уравнений. Здесь нам надо рассмотреть следующую систему:

dzi dz2/<n

/ dF ' ~ ("

\ dzi /\ dzi /

и в более общем случае

dzidzidz^

/ dF ) = / dF A = • • ■ = Щ " ( dz\ /\ dz^, )\dzn /

Особые точки системы (2) будут решениями системы (1).

Нам надо вычислить индекс Кронекера [и] замкнутой кривой С по отношению к системе (2). Можно проверить, что он равен единице при р. = = 0 и отсюда заключить, что он остается равным единице для малых значений р, так как может изменяться лишь в том случае, если одно из решений системы (1) пересекло кривую С.

Следовательно, число положительных особых точек системы (2), расположенных внутри С, равно числу отрицательных особых точек плюс единица.

Итак, общее число особых точек, т. е. общее число решений системы (1), простых по предположению и расположенных внутри С, нечетно, что и требовалось доказать.

Эти рассуждения без изменений применимы в случае более чем двух переменных.

Новые определения

Чтобы не слишком удлинять изложение этих предварительных сведений, я не буду говорить в данный момент о применении методов Коши к уравнениям в частных производных, хотя и намерен позднее вернуться к этому вопросу.

Я закончу эту главу новым обобщением обозначения <^ из и. 20.

Пусть ф (ж, у, £), ф (ж, у, 7) — два ряда, расположенных по возрастающим степеням х и у, так что коэффициенты являются периодическими функциями от t, разложенными по синусам и косинусам кратных t или, что то же самое, по положительным и отрицательным степеням еи.

Итак, рассмотрим разложение ф иф по степеням х, у, и е*'. Если каждый из коэффициентов ф веществен, положителен и больше по абсолютной величине, чем соответствующий коэффициент ф, мы будем писать

Ф^ф (arg я, у, еУ).

У = I Уо I. t = о,У = I Уо I. t = о,Если ряд ф сходящийся при х = | х0 |,

У = I Уо I. t = о,

У = I Уо I. t = о,

ряд ф будет сходиться при

х = х0, у = у0, t — любая действительная величина.

Я добавлю, что достаточно, чтобы ряд ф сходился при t = 0 для того, чтобы он сходился при любом t.

Если ряд ф (ж, у, t) сходится и представляет собой аналитическую функцию, то из рассмотрений предыдущего пункта следует, что сходимость абсолютная и равномерная.

Можно, следовательно, найти такую вещественную положительную постоянную а и такую периодическую с периодом 2л функцию М от t, что:

все коэффициенты разложения М по положительным и отрицательным степеням е’( положительны и вещественны;

имеет место неравенство

М1 — а (х + у)

(arg х, у, е±и).

МпМп(argж, у),(argж, у),Следовательно, мы имеем a fortiori, что для любого t

Мп

Мп

(argж, у),

(argж, у),

' 1 — а (ж + у)

где Мо — значение М при t = 0. Действительно, пусть

Ф = УАх^^ет^,

тогда

—т^- =— ^Ар2хтупеРи.

Этот ряд должен сходиться, по предположению, для всех вещественных значений t и всех значений х и у внутри круга сходимости. Предположим, например, что сходимость имеет место при

Члены ряда должны быть ограничены по абсолютной величине, так что можно записать, обозначив через К некоторую положительную постоянную,

Если положить

то получим

(1 — аж) (1 — ау) 1 — а (ж + у) *

Глава III

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Пусть

4д- = ^ a = i,2,(1)

система дифференциальных уравнений, где X — данные однозначные функции переменных х^ ж2, ..., хп.

Пусть теперь

^1 = Ф1(0> Х2 = ф2 (<),.. ., яп = Фп(0(2)

частное решение этой системы. Представим себе, что в момент Т п переменных х, принимают свои начальные значения, так что

Ф1(0) = Ф1(Г).

Ясно, что в этот момент Т мы будем находиться в тех же условиях, что и в момент 0 и, следовательно, для любого t

Ф1(0 = Фг(^ + TY

Другими словами, функции <р, будут периодическими функциями t.

Тогда говорят, что решение (2) является периодическим решением уравнений (1).

Предположим теперь, что функции Х; зависят не только от х,, но и от времени t. Более того, я предполагаю, что X, — периодические функции и период равен Т. Тогда, если функции <р, таковы, что

фДО^ФДТ),

то из этого по-прежнему можно заключить, что

ф, W = ф» (# + Т)

и решение (2) по-прежнему будет периодическим.

Вот другой, немного более сложный случай. Предположим снова, что функции Х^ зависят только от х, но являются периодическими функциями

первых р переменных х, а именно, хг, х2, ..., хр, так что Х{ не изменяются, когда xt заменяют на хх + 2л или же х2 на х2 + 2л, ..., или же хр на хр + 4- 2л.

Представим себе теперь, что

Ф1 (Л = Ф1 (0) + ^к^, фа(7’) = ф2(0) + 2&2л, ..., фр (Г) = фр(0) + 2/с„л,

Фр+1 (^) ~ Фр+1 (0)’ Фр+г^) = фр+2(0),--ч Фп (^) — Фп (0),

тде А1? к2, ..., кр — целые числа.

В момент Т первые р переменных х возрастут на некоторое кратное 2л, ап — р оставшихся переменных не изменятся; следовательно, Хг не изменятся, и мы будем находиться в тех же условиях, что и в момент 0.

Следовательно, будем иметь

Ф»(£ + Т) = фИ?) + 2кф(I = 1, 2, . . ., pV4

Ф1(< + Т) = ф{(0(i = р +1, р+2, . . ., п).

Мы условимся по-прежнему говорить, что решение (2) — периодическое решение.

Наконец, может случиться, что при подходящей замене переменных появятся периодические решения, которых не было при старых переменных.

Вернемся, например, к уравнениям (2) из п. 2

d^ , о d£ dV , 2

Напомним, что речь идет о движении точки, отнесенном к двум подвижным осям О£ и От] под действием силы, составляющие которой по этим осям суть </У/Д^ и dF/dr).

Во многих приложениях У зависит лишь от £ иф и уравнения допускают такие частные решения, что £ и ц являются периодическими функциями 1, причем период равен Т.

Если бы точку отнесли к неподвижным осям Ох и Оу, имели бы место равенства

х = £ cos nt — г] sin nt,

у = ^ sin nt + т] cos nt

ихиуне были бы периодическими функциями t, если только Т не соизмеримо с 2л/п.

Таким образом, при переходе от неподвижных осей к подвижным появляется периодическое решение..

Задача, о которой здесь будет идти речь, следующая.

Предположим, что в уравнениях (1) функции Х} зависят от некоторого параметра р, и что в случае ц = 0 удалось проинтегрировать уравнения и установить таким образом существование некоторого числа периодических решений. При каких условиях мы будем иметь право заключить, что уравнения имеют периодические решения и для малых значений ц?

Возьмем, например, задачу трех тел. Выше мы условились (п. 11) обозначать через а2ц и а3ц массы двух самых малых тел, причем ц очень мало, а а2 и а3 конечны. При ц = 0 задача разрешима, причем каждое из двух малых тел описывает вокруг третьего кеплеров эллипс; легко видеть тогда, что существует бесконечное число периодических решений. Далее мы увидим, что можно заключить отсюда, что задача трех тел имеет бесконечное число периодических решений, если ц достаточно мало.

На первый взгляд кажется, что этот факт не может представлять никакого интереса для практики. В самом деле, лишь с нулевой вероятностью начальные условия движения будут в точности соответствовать начальным условиям периодического решения. Но может случиться, что они отличаются от этих условий лишь оченьмало, и это имеетместо как раз в случаях, когда старые методы неприменимы. Тогда можно с успехом брать периодическое решение за первое приближение, за промежуточную орбиту по терминологии Гильдена.

Более того, вот факт, который я не смог строго доказать, но который тем не мепее кажется очень правдоподобным.

Если даны уравнения вида, указанного в п. 13, и некоторое частное решение этих уравнений, то можно всегда найти такое периодическое решение (период которого, правда, может быть очень большим), что разность между обоими решениями будет сколь угодно мала на протяжении любого сколь угодно большого промежутка времени. Кроме того, особая ценность этих периодических решений заключается в том, что они являются единственной брешью, через которую мы могли бы попытаться проникнуть в область, считавшуюся недоступной [121.

Вернемся к уравнениям (1) п. 36

dx,

G = l,2,...,n),

и предположим, что Х^ — функции п неизвестных xv х2, ..., хи1 времени Z и произвольного параметра ц. Предположим, кроме того, что эти функции периодические по t с периодом 2л.

Представим себе, что при ц = 0 уравнения имеют периодическое решение с периодом 2л

Ж; = <Pi (;),

так что

<Рг (0) = <Pi (2Л).

Выясним, будут ли уравнения (1) допускать периодическое решение с периодом 2л, если р не равно нулю, но очень мало.

Рассмотрим сначала любое решение.

Пусть ф{ (0) + Pt — значение ж{ при t = 0; Ф, (0) + Р, + ф, — значение ж, при t = 2л. По теореме п. 27 ф, будут голоморфными функциями р и 0, и эти функции обратятся в нуль при

р = Pi = Р2 = ... = Рп = 0.

Чтобы решение было периодическим, должны выполняться уравнения

Фх = Ф2 = ••• = Фп = 0.(1)

Если функциональный определитель, или якобиан, ф по Р не равен нулю при р = Pi = 0, то, как мы знаем из теоремы п. 30, можно решить эти п уравнений относительно р и найти

Pi = 6i (и),

где 04 (р) разлагаются в ряды по степеням р и обращаются в 0 вместе с р.

Из этого следует, что для достаточно малых значений р дифференциальные уравнения допускают периодические решения. Все это верно, если якобиан ф не равен нулю или, другими словами, если при р = 0 уравнения (1) допускают простое решение

Pi = Рг = ••• = Рп = 0.

Что произойдет, если решение кратное?

Предположим, что оно кратное порядка т. Пусть тх — число решений системы (1) при малых положительных значениях р и т2 — число решений той же системы при малых отрицательных значениях р; речь идет о таких решениях, что р1т р2, ..., р„ стремятся к 0 вместе с р.

В силу того, что мы видели в п. 32 и 33, все три числа т, тх и т2 одной и той же четности. Следовательно, если т нечетно, то при малых значениях р как положительных, так и отрицательных заведомо существуют периодические решения.

Если тх не равно т2, разность может быть лишь четным числом; следовательно, может случиться, что когда р непрерывно увеличивают, некоторое число решений исчезает в момент, когда р меняет знак (или в более общем случаев момент, когда р проходит через некоторое значение р0, так как значение р = 0 ничем не отличается от других значений р), но число исчезающих решений всегда должно быть четным.

Итак, периодическое решение может исчезнуть лишь слившись с другим периодическим решением [13].

Другими словами, периодические решения исчезают парами подобно действительным корням алгебраических уравнений.

В силу п. 33 можно исключить из уравнений (1) п — 1 переменных 0lt 02, 03, •••, 0n-i и получить единственное уравнение

ф (0п, и) = 0,(2)

левая часть которого голоморфна по 0П и р, и обращается в нуль вместе с этими переменными.

Если рассматривать теперь 0П и р как координаты точки на плоскости, то это уравнение будет представлять кривую, проходящую через начало координат; каждой из точек этой кривой соответствует периодическое решение.

Таким образом можно составить представление обо всех возможных случаях, изучая форму этой кривой в окрестности начала координат.

Интересен частный случай, когда при р = 0 дифференциальные уравнения допускают бесконечное число периодических решений.

Пусть

ж, = <р2 (7, А), ж2 = <р2 (<, А), ..., хп = <рп (7, А)

— система периодических решений, содержащих произвольную постоянную h. Какова бы ни была эта постоянная, функции <рг — периодические с периодом 2л по t и удовлетворяют дифференциальным уравнениям, когда их подставляют вместо х, полагая р = 0.

В этом случае при р = 0 уравнения (1) не будут независимыми и уравнение (2) должно сводиться к тождеству.

Тогда функция Ф должна содержать р в качестве множителя и сводиться к цФ^ так что кривая (2) распадается на прямую р = 0 и другую кривую Фт = 0.

Каждой точке этой кривой Фг = 0 соответствует периодическое решение, так что изучение этой кривой позволит разобраться в различных случаях, которые могут представиться.

Но эта кривая Фг = 0 не всегда проходит через начало координат. Следовательно, мы должны прежде всего распорядиться произвольной постоянной h так, чтобы эта кривая проходила через начало координат.

Вот еще один частный случай, который кажется мне достойным интереса. Предположим, что откуда-нибудь известно, что кривая Ф = 0 имеет ветвь В, проходящую через начало координат. Каждой точке этой ветви будет соответствовать периодическое решение. Представим себе, кроме того, что почему-либо известно, что ветвь В не касается прямой ц = 0; наконец, предположим, что функциональный определитель ф по 0 равен нулю. Отсюда можно заключить, что

и так как ветвь В по предположению не касается прямой ц = 0, то

Это показывает, что кривая Ф = 0 в начале координат имеет кратную точку, следовательно, одна или несколько ветвей кривой, отличных от 5, проходят через начало координат. За исключением особых случаев, к которым мы вернемся позже, по крайней мере одна из этих ветвей действительна.

Следовательно, кроме периодических решений, соответствующих ветви В, будет существовать другая система периодических решений, и решения обеих систем сольются вместе при р, = 0. Вот обстоятельства, при которых представляется этот случай.

Мы обозначали выше

Ф1 (0) + Pt

значение х^ при t = 0 и

Vi (0) + Р, + ф{

значение х^ при t = 2л.

Обозначим также

Ti (0) + Pi + ф»'

значение хл при t = 2Ал, где к — целое число.

Я предполагаю, что при ц = рт = рз = ...= Р„ = 0 функциональный определитель ф по Р, который я обозначу через А, не обращается в нуль, тогда как функциональный определитель ф' по р, который я обозначу через А', обращается в нуль.

Из того, что А не обращается в нуль, можно заключить, что существует периодическое решение с периодом 2л, которое обращается в

хг = Фг (0

при р. = 0. Если мы построим кривую

ф = о,

соответствующую так определенным периодическим решениям, то эта кривая пройдет через начало координат, а прямая р, = 0 не будет ее касательной, так как А не равен нулю.

Но решение с периодом 2л можно также рассматривать как периодическое решение с периодом 2Ал.

Попытаемся найти периодические решения с периодом 2Ал. Для этого нам надо решить уравнения

Ф1 = фг= ■•• = фп = 0.

Исключая из этих уравнений 0И 02i • ••> Pn-i, мы получим единственное уравнение

Ф'фп, Ц) = о.

которое в силу наших соглашений будет представлять кривую, проходящую через начало координат. Среди решений с периодом 2/сл имеются наши решения с периодом 2л; следовательно, кривая Ф = 0 будет одной из ветвей кривой Ф' = О (Ф' будет, следовательно, делиться на Ф) и эта ветвь не касается кривой pi = 0.

Более того, так как Д' равен нулю, то имеет место равенство

Следовательно, начало координат — кратная точка кривой Ф' = 0. Итак, существуют решения с периодом 2/сл, отличные от решения с периодом 2л и сливающиеся с ним при pi = 0.

Имеется несколько исключительных случаев, к которым мы вернемся в дальнейшем.

Я должен еще остановиться на случае, когда уравнения (1) п. 36 допускают интеграл

F (z1T z2, ..., хП1 f) = const,

левая часть которого (я буду для краткости обозначать ее через F [#ь i]) является периодической функцией от t с периодом 2л.

Я утверждаю, что в этом случае уравнения

Ф1 = ф2 = ... = фп = 0(1}

не будут, вообще говоря, независимыми.

Действительно, тождественно будет выполняться равенство

F [<Pi (0) + ?i; 0] = F [Ф{ (0) + ^ + фi; 2л] = F [Ф{ (0) + ^ + ф4; 0]. (2)

Рассмотрим теперь уравнение

F [<Pi (0) + Р4 + фъ 0] - F [tpi (0) + pi, 0] = 0.(3)

Левую часть можно разложить в ряд по степеням ф^, Pi и ц; более того, она обращается в нуль, когда ф1 обращаются в нуль.

Предположим, что при ^ = ф4 (0), pi = 0 нарушено равенство

Производная по ф„ левой части (3) не будет обращаться в нуль приф, = 0, Pi = 0, pi = 0.

Следовательно, в силу теоремы п. 30 мы можем получить из уравнения (3)

Фп = 9(Ф1- Фа- • ■ -, Чп-ь Pi- Ра- • • •- Pw F-).

где 6 — ряд по степеням фц ф2, ..., фп-1; Pi, Ра, • ••, Рп и Ц, обращающийся

в нуль, когда одновременно

41 = 'Ра — • • • — Ч'»-1 = 0-

Итак, п-е из уравнений (1) является следствием п — 1 первых. Если бы мы имели

при Xi = фi (0), то первое из уравнений (1) было бы следствием п — 1 последних.

Во всех этих случаях уравнения (1) не независимы.

Исключением является лишь тот случай, когда одновременно

dF dF __ dF _ g

dx^ = dx^ """ dxn

при Xi = ф4 (0), p = 0.

Итак, исключим одно из уравнений (1), например,

^ = 0

(если dF/dxn =^ 0) и разрешим относительно ^ систему

41 — 4з = ••• = Ч'п-1 — 0,

к которой прибавим п-е уравнение, выбранное произвольно, например, р; = произвольная постоянная, или F = С {С — заданная постоянная).

Итак, при каждом значении р имеется бесконечное число периодических решений с периодом 2л; если же зафиксировать постоянную С (которой равна F), то в общем случае имеется только одно периодическое решение.

Если бы вместо одного однозначного интеграла мы имели два

F (^j хй, ..., хп, t) = const,

Fi (zlf x2, ..., xn, t) = const,

то два последних уравнения (1) были бы следствиями п — 2 первых, если только якобиан

dF dFi dF dFidxn dx^ dx^ dx^

не был бы равен нулю при хг = ф, (0), р = 0.

Тогда можно было бы отбросить эти два последних уравнения

Ч’п-i = 4™ = о и заменить их двумя другими, выбранными произвольно.

Случай, когда время не входитявно в уравнения

В предыдущих рассмотрениях мы предполагали, что функции Xlt Хй1 ..., Хп, входящие в дифференциальные уравнения (1) п. 36, зависят от времени t.

Результаты изменились бы, если бы время t не входило в эти уравнения.

Прежде всего между этими двумя случаями имеется разница, которую невозможно не заметить. Мы предполагали прежде, что X были периодическими функциями времени и период был равен 2л; из этого вытекало, что если уравнения допускали периодические решения, то период этого решения должен был быть равным 2л или кратным 2л. Если, наоборот, Хг не зависят от t, то период решения может быть произвольным.

Затем, если уравнения (1) п. 36 допускают периодическое решение (и если X не зависят от /), то этих решений бесконечное число.

В самом деле, если

= Фг (О»^2 = фг W, ..., тп = ср„ (г)

— периодическое решение уравнений (1), то при любой постоянной h то же самое можно сказать и о

*1 = Ф1 (< + А),^2 = фг и + А), .= Фп (г + А).

Итак, случай, на котором мы остановились прежде всего и когда при ц = 0 уравнения (1) допускают единственное периодическое решение, не может представиться, если X не зависят от t.

Займемся теперь случаем, когда время t не входит явно в эти уравнения и предположим, что при ц = О они допускают периодическое решение с периодом Т■

^1 = Ф1 М, ^2 = Фг®п = Ф„(4)

Пусть ф; (0) + Р; — значение ад при t = 0; если ср;(О) + р; + ф; — значение xt при t = Т + т, то фг будут голоморфными функциями Ц, рх, Рг, ..., Р„ и т и будут обращаться в нуль вместе с этими переменными.

Итак, нам надо решить п уравнений

Ф1 = Фг = ■••= Фп = 0(5)

относительно n + 1 неизвестной

Pi, Рг, Pm т-

У нас имеется одна лишняя неизвестная, поэтому мы можем распоряжаться ею произвольно, например, положить

Рп = 0.

6 А. Пуанкаре

Из уравнений (5) мы затем найдем 0П р2, ..., рп и т в виде голоморфных функций от р, обращающихся в нуль вместе с р. Это можно сделать, если только определитель

dipl

dipl

dipl

dP,

dT

dlp2

dlp2

dip2

dr

dPT

dp2 • • •

<Л-1

dr

не равен нулю при р = ^ = т = 0.

Если определитель равен нулю, то вместо того, чтобы произвольно полагать рп = 0, можно положить, например, р{ = 0. Наш метод не проходит, если все миноры матрицы

dipi dpT dip2 Ж”

dipidipidipi\

dp2-‘1dPndr\

dip2dip2dip2

dp2-"1dpndr

dPi

dP2 ' " ‘ dpn dr /

равны нулю одновременно (следует заметить, что определитель, полученный вычеркиванием последнего столбца этой матрицы, всегда равен нулю при ц = р^ = т = 0).

Так как в общем случае все эти миноры не равны нулю одновременно, то дифференциальные уравнения (1) п. 36 допускают при малых значениях ц периодическое решение с периодом Т + т.

Обозначим через

△1, Да« • • • м Дп> Дп+1

определители, содержащиеся в этой матрице; определитель А4 получается, если в матрице вычеркнуть i-й столбец.

Исходное периодическое решение дифференциальных уравнений, которое они допускают при ц = 0, записывалось, как мы помним, в виде

^i = Ф1 (0-

Я обозначаю через <р/ (i) производную от функции ф2 (i) и намерен доказать следующее! если производная <р„'(0) не равна нулю, то определи-

тель Дп не может обратиться в нуль, если только все определители

△1, Да, • • •> ^п> Дп+1

не обращаются одновременно в нуль.

В самом деле, предположим, что не все эти определители равны нулю одновременно, а определитель Дп равен нулю. Я утверждаю, что фп'(0) будет равна нулю.

Так как дифференциальные уравнения не содержат время в явном виде, то они допускают при ц = О периодическое решение,

х^ = Ti (t + ^).

какова бы ни была константа К.

Следовательно, если положить

т = 0, р = О, & = ф> (Л) — ф4 (0),

то фг обратятся в нуль при любом К.

Это будет иметь мест о и при бесконечно малом h, что приводит к соотношениям

dll).dll).dib.

-< (°)+х ^(0)+• • •+ (0)=0 0 = 1,2пу (6)

Эти соотношения показывают прежде всего, что определитель Дп+1 равен нулю.

Кроме того, величины dipt ^Ф(

не могут быть связаны с другими линейными соотношениями того же вида, т. е. вида

dib.dib.dib.dib.

^■dp^ Ла^р;+• • •+л«"ф7+Лп+1 <^ = 0(2)

(i = 1, 2, . . ., ri).

Действительно, в противном случае все определители обратились бы в нуль одновременно.

Мы предположили, что Д„ равен нулю. Между тем этот определитель является не чем иным, как функциональным определителем фт, ф2, ..., ф„ и рп по р!, р2, ..., рп и т. Сказать, что этот определитель равен нулю,— это сказать, что между производными от ф имеются соотношения вида (2) и что, кроме того,

dpdpdpdp

A + Л2 ^ + ... + Лп + л„+1= os

т. е.

Лп =0.

Но других соотношений вида (2), кроме соотношений (6), не может быть, Значит

Л„ = Фп (0) и, следовательно,

Ф^ (°) = °-

Итак, если фп'(0), не равно нулю (а это можно всегда предположить, так как, если бы было не так, то подходящей замены переменных было бы достаточно, чтобы прийти к этому случаю), то бесполезно рассматривать все определители Аь достаточно рассмотреть А„.

Если Ап не равен нулю, то разрешим относительно Р уравнения

Ф1 = ^2 = —= Рп = 0.(3)

Сперва может показаться, что произвольное введение уравнения р„ = — 0 уменьшит общность и что таким образом можно найти лишь те периодические решения, для которых Рп равно нулю при £ = 0. Но другие решения получаются, если заменить t на t + К, где А — произвольная постоянная.

Если, наоборот, А„ равен нулю, то, исключая р2, рз, ..., Рл и т из уравнений (3), получим единственное уравнение

Ф (рп р) = о, аналогичное уравнению того же вида из предыдущего пункта.

Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой, проходящей через начало координат, и изучение этой кривой позволяет исследовать все возможные случаи.

Впрочем, мы встретимся здесь в точности с теми же явлениями, что и в предыдущем пункте.

Например, когда р непрерывно меняется, периодические решения могут исчезать лишь парами, подобно корням алгебраических уравнений.

Может также случиться, что при р = 0 и рл = 0 существует бесконечное число периодических решений. Тогда Ф делится на р и можно записать

ф = рфп

так что кривая Ф = 0 распадается на две — прямую р = 0 и кривую Фг = = 0. В этом случае мы сможем заменить уравнение

Ф = 0 уравнением

Фг = 0.

Может даже случиться, что некоторые из функций ф1 будут делиться на р, так что, например,

Ф1 = цфь ф2 = рф2, ф3 = р.-фз,

где ф/, ф2', ф3' — голоморфные функции ц, р и т.

Мы сможем тогда заменить уравнения (3) следующими:

Р« = 0, ф; = фг = фз = 0, ф4 = ф6 = ... = фп = 0.

Примеры этого мы увидим в дальнейшем.

Если предположить, что существует интеграл

F (яц ж2, .„, zj = const,

то уравнения (3) не все независимы и их можно заменить следующими:

Р„ = 0, F = С + Хц, ф2 = фз = ...= фп =0, где

С = F [Ф1 (0), ф2 (0), ..., фп (0)],

а X — произвольная постоянная.

Можно также заменить уравнения (3) следующими:

Р„ = 0, т = 0, ф2 = фз, = ... = фп = О,

откуда вытекает важное следствие: в общем случае при малых значениях ц нет периодического решения, имеющего тот же период Т, что и при р = 0; наоборот, если существует интеграл F = const, то можно найти, при достаточно малых ц, периодическое решение, имеющее период, в точности равный Т.

Действительно, если при xt = ф1 (0) нарушается равенство

то из уравнений'

Фа *= Фз = -•• = Фп = 0

вытекает, что фх = 0.

Вот другое обстоятельство, с которым мы уже встретились в предыдущем пункте и к которому возвращаемся здесь.

Пусть Pi — значение^ при t = 0, Pi + ф, — значение х^ при t = Т-\- + т и Pi + ф/ — значение х^ при ( = кТ + т, где к — целое число.

Представим себе, что функциональный определитель ф1 по рп ра, ..., Рп-ы т не равен нулю, но функциональный определитель фх' равен нулю.

Исключив |32, Рз, ..., Рп и т из уравнений ^i = 0, Рп = о, мы получим единственное уравнение

Ф (3^ ^) = 0;

мы будем рассматривать его как уравнение кривой, имеющей в начале координат простую точку.

Исключим теперь р2, рз, ..., рп и т из уравнений

^ = 0- Рп = о> ПОЛуЧ!'М

Ф'(Ры Н) = 0.

Мы видим, как и в предыдущем пункте, что Ф' делится на Ф. Кривую Ф = 0 можно, следовательно, рассматривать как одну из ветвей кривой Ф' = 0. Так как функциональный определитель ф/ равен нулю, должно выполняться равенство

= 0

Следовательно, или кривая Ф' = 0 имеет несколько ветвей, проходящих через начало координат, или же ее касательной должна быть прямая р = 0.

Но одна из ветвей кривой Ф' = 0, а именно Ф = 0, нам уже известна, и мы знаем, что касательная к этой ветви не является прямой р = 0. Следовательно, кривая Ф' = 0 имеет другие ветви, проходящие через начало.

Это означает, что дифференциальные уравнения допускают периодические решения, период которых мало отличается от кТ", эти решения отличны от периодических решений с периодом Т при малых значениях р, но совпадают с ними при р = 0.

Приложение к задаче трех тел

Допускает ли задача трех тел периодические решения? Будем снова пользоваться обозначениями п. 11 и обозначим три массы через тп1? а2р и с$3р. Если положить р = 0, т. е. если две малые массы считать равными нулю, то большая масса будет неподвижной и каждая из двух малых масс будет описывать вокруг большой кеплеров эллипс.

Тогда ясно, что если средние движения этих двух малых масс соизмеримы между собой, то вся система через некоторое время придет в начальное положение и, следовательно, решение будет периодическим.

Но это еще не все: вместо того, чтобы отнести три массы к неподвижным осям (или же подвижным, остающимся всегда параллельными неподвиж-

ным осям, как в п. 11), можно их отнести к подвижным осям, находящимся в равномерном вращательном движении.

Тогда может оказаться, что координаты трех масс относительно неподвижных осей не будут периодическими функциями времени, в то время как координаты относительно подвижных осей будут, напротив, периодическими функциями времени (ср. п. 36).

Предположим теперь, что ц = 0; две малые массы будут описывать кеплеровы эллипсы. Предположим также, что оба эти эллипса будут лежать в одной плоскости, например, в плоскости хгх2, и что их эксцентриситеты равны нулю. Движение двух малых масс будет тогда круговым и равномерным. Пусть п и п' — средние движения этих двух масс (н' > п).

Предположим, что за начальный момент времени было выбрано соединение, причем начальные долготы обеих масс равны нулю.

По прошествии времени 2л/(н' — п) эти долготы станут соответственно 2ли/(и' — н) и 2ли Цп — н) и их разность будет равна 2л.

Так как две массы находятся в соединении, взаимное расположение всех трех тел будет то же, что и в начале. Но только вся система повернулась на угол, равный 2ли/(и' — и).

Итак, если пользоваться системой координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью п, то координаты трех тел относительно этих подвижных осей будут периодическими функциями времени с периодом 2л/(и' — и).

С этой точки зрения и в силу того, что мы говорили в конце п. 36, это решение можно рассматривать как периодическое.

Итак, в предельном случае, когда ц = 0, задача трех тел допускает периодические решения. Имеем ли мы право отсюда заключить, что периодические решения существуют и при малых значениях ц? Именно к этому заключению позволяют нам прийти принципы пунктов 37 и 38.

Первым периодическим решением, которое было обнаружено в случае ц > 0, было решение, открытое Лагранжем; при этом три тела описывали подобные кеплеровы эллипсы, в то время как их взаимные расстояния сохраняли постоянное отношение (ср.: Laplace. Mecanique celeste, livre X, Chap. VI). Этот случай слишком хорошо изучен, чтобы к нему возвращаться.

Хилл в своих знаменитых исследованиях о теории Луны («American Journal of Mathematics», t. I) [и] изучил другой случай, важность которого с практической точки зрения значительно больше.

Я вернулся к этому вопросу в «Bulletin astronomique» (t. I, p. 65) [15J и пришел к заключению, что надо различать трисорта периодических решений: для решений первого сорта наклонения равны нулю, а эксцентриситеты очень малы, для решений второго сорта наклонения равны нулю и эксцентриситеты конечны. Наконец, для решений третьего сорта наклонения не равны нулю.

Во всех этих случаях взаимные расстояния трех тел являются периодическими функциями времени; в конце каждого периода все три тела нахо-

дятся всегда в одном и том же относительном положении, только вся система поворачивается на некоторый угол. Для того чтобы координаты трех тел были периодическими функциями времени, их надо относить к системе подвижных осей, совершающей равномерное вращательное движение.

Скорость этого вращательного движения конечна для решений первого сорта и очень мала для решений второго и третьего сорта.

Решения первого сорта

Я хочу воспроизвести здесь то, что уже излагал по поводу этих трех сортов решений. Начну с решений первого сорта, которые содержат в качестве частного случая решения Хилла.

Вновь воспользуемся обозначепиями п. 11. Пусть А, В, С — три массы, которые я предполагаю остающимися все время в одной плоскости. Пусть D — центр тяжести А и В; хг и х2 — координаты В относительно осей, параллельных неподвижным осям, с началом в А; х3 и х4 — координаты С относительно осей, параллельных неподвижным, с началом в D.

Примем переменные п. 12, т. е. переменные

^Х'ЛЛ',р.Р'.

X, X', 1], ц', q, д'.

В данном случае, так как движение происходит в плоскости, р = р' = q = д' = 0.

Взаимные расстояния между тремя телами и производные по времени этих расстояний являются функциями переменных

Л, Л', gcosX — цатА,, ^sinX-}-ц cosX,g'cosX'— rfsinA/, ^'sinX'+ ц'cos X'

и разности X’ — X.

Поэтому, чтобы решение было периодическим, надо, чтобы в конце периода переменные (1) принимали свои первоначальные значения и чтобы разность X* — X увеличивалась на величину, кратную 2л; например, пусть X' — X увеличится на 2л.

Если положить ц = 0, движение будет кеплеровым; предположим, кроме того, что первоначальные значения X, X', 5, ц, 5\ т/ равны нулю, тогда движение будет круговым и равномерным.

Если начальные значения Ло и Ло' величин Л и Д' выбраны так, что средние движения равны п и п’, решение будет периодическим с периодом 2л/(п' — п).

Не будем больше предполагать, что ц равно нулю и рассмотрим произвольное решение. Мы можем выбрать за начальный момент времени момент

соединения и за начало отсчета долгот долготу этого соединения. Начальные значения X и X' будут тогда равны нулю.

Пусть Ло + Pi, Ло' + Р2 — начальные значения Л и Л'; |0, "По- So'» ц0' — начальные значения £, л и £', ц'. Это будут также и начальные значения четырех последних переменных (1).

Пусть теперь 2л + фо — значение X' — X в конце периода 2л/(л' — и).

Пусть в конце того же самого периода

Ло + Pi + Фк Ло + Р2 + фа

значения Л и Л' и

So + Фз, Л0 + Ф4, So + Фб» Ло + Фе

значения четырех последних переменных (1).

Для того чтобы решение было периодическим, необходимо, чтобы

Фо = 'Pl = 'Ра = Фз = Фб = Фб = Фе = 0.

Эти уравнения не все независимы; действительно, дифференциальные уравнения движения допускают два интеграла: интеграл живой силы и интеграл площадей. Якобиан этих двух интегралов по Л и Л' не равен нулю при

Ц = 0,£ = г; = £' = ц' = 0.

Уравнения Ф1 = ф2 = 0 являются поэтому следствием пяти остальных.

Следовательно, нам надо разрешить систему

Фо = Фз = Ф4 = Фб = Фе = 0,(2)

к которой мы присоединим уравнение живых сил F = С, где постоянную С будем рассматривать как фиксированную.

Итак, нужно рассмотреть функциональный определитель левых частей этих шести уравнений по шести переменным

Рк Рг» So, Ло, So, Ло

и показать, что этот определитель не обращается в нуль при

Р = 31 — Рг — So — Ло — So = Ло — 0.

Но при р = 0 р _ р _ Т . V (Ao+iv (л;+р2)2 ’

где у и 7' — постоянные, зависящие от масс,

Ч’з = Eo(cosXo — 1) — T)osinXo,ф4 = g0smX0 + i]0(cosX0 — 1),ф5 = ^(cosXo — 1) — riosinXg,ip6 = ggsin Xg + Цд (cosXg — 1),Ч’з = Eo(cosXo — 1) — T)osinXo,ф4 = g0smX0 + i]0(cosX0 — 1),ф5 = ^(cosXo — 1) — riosinXg,ip6 = ggsin Xg + Цд (cosXg — 1),

Ч’з = Eo(cosXo — 1) — T)osinXo,ф4 = g0smX0 + i]0(cosX0 — 1),

ф5 = ^(cosXo — 1) — riosinXg,ip6 = ggsin Xg + Цд (cosXg — 1),

Ч’з = Eo(cosXo — 1) — T)osinXo,ф4 = g0smX0 + i]0(cosX0 — 1),

ф5 = ^(cosXo — 1) — riosinXg,ip6 = ggsin Xg + Цд (cosXg — 1),

где

Итак, Xo и Xo' обозначают значения двух долгот в конце периода, так что

2л + 1ро = Хд Хд.

Таким образом, при ц = 0 F и ф0 зависят только от рх и р2; ф3 и 1р4 от рх, g0 и ц0; ф6 и -ф6 от ₽2, go' и ц0'.

Следовательно, наш функциональный определитель является произведением трех других:

определителя Fo и ф0 по Pi и Ра’,

определителя -фа и ф4 по g0 и т]0;

определителя 1р8 и фв по g0' и ц0'.

Первый из этих трех определителей обращается в нуль лишь при Ло = = — Ло', п = —п ; впрочем, это неважно, потому, что если он обращается в нуль, то вместо того, чтобы присоединять к системе (2) уравнение живых сил, к ней можно присоединить любое другое произвольно выбранное уравнение относительно р4 и р2. Как бы то ни было, поскольку случай п = —п представляет трудности различного рода и не интересен для приложений, мы не будем его касаться.

Второй определитель сводится к

(1 — cos Х0)2 + sin2X0.

Следовательно, он может обращаться в нуль, лишь если Хо кратно 2л. При

Pi = Ра — So = Но = ёо — По = 0

имеет место равенствоимеет место равенствоХо —Хо —2 71 л7?/ — )1 *2 71 л7?/ — )1 *

имеет место равенство

имеет место равенство

Хо —

Хо —

2 71 л

7?/ — )1 *

2 71 л

7?/ — )1 *

Следовательно, наш определитель обращается в нуль, только если п кратно разности п' — п.

Точно так же третий определитель обратится в нуль, лишь если п' и, следовательно, п кратно п' — п.

Из этого следует, что для любых значений постоянной живых сил С, равной

и для малых значений р. задача трех тел допускает периодическое решение первого рода с периодом 2л/(и' — и).

Исключением является лишь тот случай, когда п кратно п' — п или п = — п'.

Имеется четырехкратно бесконечное множество периодических решений первого сорта; действительно, при достаточно малом р мы можем произвольно выбрать:

Период 2л/(п0' — п0) = Т.

Постоянную С.

Момент соединения, который в предыдущих рассуждениях был нами выбран за начальный момент времени.

Долготу соединения, которую мы выбрали за начало отсчета долгот.

Таким образом, для каждого значения р мы имеем оо4 периодических решений.

Эти решения можно найти следующим образом.

Предположим, что в начальный момент времени имеем

X = X' = т] = т/ = 0;

три тела будут в соединении, а их скорости будут перпендикулярны соединяющей их прямой; эта прямая будет, кроме того, осью Ахи которая в этот момент совпадает с осью Dxa. Из этой симметрии положения трех тел в момент 0 немедленно вытекают следующие следствия: значения радиусов- векторов в моменты t и — t будут одинаковыми; значения долгот в моменты t и —t будут равными, но с противоположными знаками.

Мы будем говорить тогда, что в момент 0 три тела находятся в симметричном соединении.

Мы предположили, что в момент 0 имеет место симметричное соединение и в этот момент общая долгота трех тел равна нулю; таким образом, мы определим четыре из оскулирующих элементов: X, X', г] и т]'; остаются еще четыре, которые являются произвольными, а именно, Л, Л', £ и |'. Мы распорядимся ими так, чтобы в момент Т/2 снова было симметричное соединение и чтобы общая долгота трех тел была

71Я•Jt .

= —,, V = —7h

п — пи — п 1

где v и v' — истинные долготы.

Здесь, собственно говоря, речь идет не о симметричном соединении, но о симметричном противостоянии.

Для того чтобы имело место симметричное соединение (или противостояние), необходимы, как только что было показано, четыре условия. Следовательно, мы получим четыре уравнения для определения четырех элементов, оставшихся произвольными. Эти четыре уравнения могут быть разрешены, если соответствующий функциональный определитель не равен нулю; но в общем случае он не равен нулю, в чем можно убедиться с помощью нетрудных вычислений, подобных тем, которые были проделаны выше и приводить которые снова не имеет смысла.

Итак, радиусы-векторы имеют одинаковые значения в момент ( и момент —t, а также в момент Z и Т — t (поскольку в момент TI2 имеет место симметричное соединение). Что касается разности долгот, ее значения в моменты ( и —t (или же в моменты t и Т — Z) равны по величине и имеют противоположные знаки.

Следовательно, взаимные расстояния между тремя телами меняются периодически с периодом Т. Итак, эти решения, которые представляют то симметричные соединения, то симметричные противостояния, являются периодическими решениями.

Можно было бы подумать, что таким образом определенные периодические решения являются менее общими, чем те, существование которых мы доказали вначале. Ничуть не бывало; таких решений также четырехкратно бесконечное множество, так как мы можем выбрать произвольным образом моменты соединения и противостояния и долготу трех тел в момент соединения и противостояния; следовательно, остаются четыре произвольные постоянные. Отсюда видно, что все решения первого сорта принадлежат одной этой категории. Если подходящим образом выбрать момент О, то для всех решений первого сорта в начале каждого периода будет иметь место симметричное соединение, а в середине каждого периода — симметричное противостояние.

В этом можно убедиться еще и следующим образом.

Всегда можно предполагать, что начальный момент времени был выбран так, что начальные значения X и X' равны нулю. Для этого достаточно за начальный момент времени принять момент соединения, а за начальное значение долготы — долготу этого соединения.

С другой стороны, уравнения задачи трех тел представляют следующую симметрию: они не изменяются, если заменить t на —t или же одновременно заменить X на —X и X' на — X'.

Следовательно, если имеются периодические решения, с начальными значениями переменных Л, Л', X, X', £, ц, |', ц', равными Ло + plt Ло' + + р2, 0, 0, |0, т]0, £0', т]0', то периодическим будет и решение с начальными значениями .

Ло + Ри Ло' + Р2, О, О, £0, — т]0, |0', — т]0'.

Следовательно, уравнения (3) не изменяются, когда т]0 и т]0' заменяют на — Т]о и — Т]0'.

Но эти уравнения (3) имеют лишь одно решение; следовательно, должно выполняться равенство

П = По = О, овначающее, что в начальный момент времени имеет место симметричное соединение, что и требовалось доказать.

Все оо4 периодических решений первого сорта связаны между собой простыми соотношениями. Можно перейти от одного решения к другому следующими способами: 1) изменяя начало отсчета времени; 2) изменяя начало отсчета долготы; 3) изменяя одновременно единицы длины и времени таким образом, чтобы единица длины увеличивалась в №• раз, когда единица времени увеличивается в к раз. Все эти изменения не меняют формы уравнений и, следовательно, могут только заменить одно периодическое решение на другое. Итак, по существу имеется только однократная бесконечность периодических решений, действительно различных; каждое из этих решений характеризуется отношением nQ' /(n^ — п0), или, что то же самое, разностью между долготой симметричного соединения и долготой следующего за ним противостояния.

Исследования Хилла по теории Лупы

Имеется частный случай, когда решения первого сорта упрощаются. Это тот случай, когда одна из масс, например масса т2, бесконечно мала.

Поскольку движение С относительно Л остается тогда кеплеровым, симметричное соединение может произойти, лишь когда С проходит перигелий или афелий, если только движение С не круговое. Но долгота симметричного соединения должна тогда отличаться от долготы симметричного противостояния, которое за ним немедленно следует, на угол, кратный л. Однако так может быть, только если nQ'Ирг» — п^ целое, а это как раз тот случай, который мы исключили. Следовательно, мы должны заключить, что движение С является круговым.

Положение еще больше упрощается, если предположить, что масса С намного больше массы А и что расстояние АС очень велико (что как раз имеет место в теории Луны). Если мы предположим АС бесконечно большим и массу С бесконечно большой, так, чтобы угловая скорость С на ее орбите оставалась конечной; если в то же время отнести массу В к двум подвижным осям, а именно к оси А £, совпадающей с А С, и оси Лц, перпендикулярной первой, то уравнения движения, как было показано Хиллом, примут вид

где п — угловая скорость С.

Периодические решения первого сорта все еще существуют в этом случае и являются теми решениями, существование которых первым установил Хилл, как я уже заметил выше.

Они допускают симметричные соединения и противостояния, которые могут иметь место лишь па оси £. Но они также допускают другие весьма важные конфигурации, которые можно было бы назвать симметричными квадратурами; в этих конфигурациях угол ВАС прямой и скорость точки В относительно точки А перпендикулярна ВА.

Действительно, уравнения столь симметричны, что они не изменяются при замене В на —|. Периодические решения, следовательно, не должны изменяться при замене | па —|. Следовательно, если рассматривать относительную траекторию точки В по отношению к системе подвижных осей А | и Лц, то эта траектория является замкнутой кривой (поскольку решение периодическое), которая симметрична одновременно и относительно и относительно Игр

Если, наоборот, предполагая движение С круговым и беря за ось | прямую Л С, не предполагать расстояние Л С бесконечным (если, другими словами, в теории Луны учитывать параллакс Солнца, продолжая пренебрегать наклонением орбит и экцентриситетом Солнца), то эта относительная траектория была бы замкнутой кривой, симметричной относительно оси £, но она не была бы симметричной относительно оси гр

Уравнения (1) имеют интеграл, который записывается в виде

Хилл изучил, как изменяются решения первого сорта при увеличении С; он установил, что относительная траектория является замкнутой симметричной кривой, форма которой напоминает в грубом приближении форму эллипса, большой осью которого является ось тр Когда С очень мало, эллипс подобного рода очень мало отличается от окружности и его эксцентриситет быстро растет вместе с С. Для больших значений С кривая начинает сильно отличаться от эллипса, но отношение большой оси к малой продолжает расти вместе с С; наконец, для некоторого значения С, которое я буду называть Со, кривая будет иметь две точки возврата, расположенные на оси Т]. Это то, что Хилл называет орбитой «Луны наибольшей лунации» (Moon of maximum lunation). Его вычисления, основанные то на использовании рядов, то на использовании механических квадратур, слишком длинны, чтобы приводить их здесь; я замечу только, что Хилл точно построил кривую для различных значений С, в частности для случая С = Со. Не может быть ни малейшей тени сомнения по поводу точности его результатов.

Нетрудно отдать себе отчет в значении этих точек возврата, Я предполагаю, что в некоторый момент скорость массы В по отношению к подвиж-

ным осям станет равной нулю, так что одновременно

^1 — ^Л. — О-

dt dt ’

ясно, что относительная траектория будет иметь точку возврата. Именно это происходит в случае «Луны наибольшей лунации» Хилла. Хилл говорит далее следующее*:

«The moon of the last Une (т. e. «Луна наибольшей лунации») is, of the class of satellites considered in this Chapter, that which, having the longest lunation, is still able to appear at all angles with the Sun and then undergo all possible phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this Moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures and that the Moons describing them would make oscillations to and for, never departing as much as 90° from the points of conjunction or of opposition».

Co стороны автора это всего лишь простая интуиция, не основанная ни на каком рассуждении или вычислении. Простые рассмотрения аналитического продолжения позволяют мне утверждать, что эта интуиция его обманула [16].

Можно прежде всего задать вопрос, существуют ли периодические решения первого сорта при С )> Соили, другими словами, может ли класс спутников, изученный Хиллом, быть продолжен за орбиту «Луны наибольшей лунации»?

Предположим с этой целью, что в начальный момент времени масса В (т. е. Луна) находится в квадратуре (на оси ц) и что ее скорость относительно подвижных осей перпендикулярна к оси ц.

Я обозначу через £0, £0', ц0, ц0' начальные значения переменных £, d^/dt = £', ц и d^ldt = г/. В случае хилловой «Луны наибольшей лунации» имеем

So = So = По = °,

и я обозначу через ц“ соответствующее значение ц0.

По истечении времени Т, равного четверти периода, эта Луна будет находиться в симметричном соединении и будут выполняться равенства

п = о, V = 0.

* «Луна последней кривой (т. е. Луна наибольшей лунации) является таким спутником из класса рассматриваемых в настоящей главе, который, имея наибольшую луна- цию, может еще появляться под всеми углами относительно Солнца и затем проходить всевозможные фазы. Вопрос о том, правильно ли будет продолжить рассматриваемый класс за эту Луну, может быть решен только с помощью дальнейшего применения механических квадратур.

Но во всяком случае не подлежит сомнению, что эти орбиты, если они существуют, не пересекают линии квадратур и что луны, описывающие эти орбиты, будут совершать колебания, никогда не отклоняясь более чем на 90° от точек соединения и противостояния».

Рассмотрим теперь другое частное решение наших дифференциальных уравнений и пусть

о, ^1 По, О

— начальные значения

L V, п, и',

так что в начальный момент времени имеет место симметричная квадратура. Рассмотрим значения ц и £' по истечении времени Т + т и пусть

П = /г (^ + т. Е®, По).

^ = /а кТ + т. ^о, По)-

fy и /2 будут разлагаться в ряд по степеням с, £®' и ц0 — ц®0 и обратятся в нуль при

т = ^ = О, По = По-

Если

А = Л = 0,(2)

то по истечении времени Т + т произойдет симметричное соединение и решение будет, периодическим с периодом 4 Г + 4т.

Из уравнений (2) можно выразить т и ц® в виде функций от £®', и т и По будут разлагаться в ряд по степеням ^.

В силу п. 30 исключением будет лишь тот случай, когда функциональный определитель /, и /2 по ти ц® обращается в нуль в точности при

т = ^ = О, По ~ По-

Представляется крайне невероятным, чтобы дело обстояло так; однако могли бы еще оставаться некоторые сомнения, если бы механические квадратуры Хилла не доказывали обратное. В самом деле, вот как Хилл действовал, чтобы определить ц®. Он вычислил для различных значений Т и цо функции

А (^, 0, Цо), /а ^Т, 0, ц®),

а затем определил с помощью интерполяции те значения Т и ц®, при которых эти функции обращаются в нуль. Если бы функциональный определитель /г и /2 обращался в нуль в точности для этих значений, обычная интерполяция была бы невозможной. Следовательно, мы должны заключить, что открытый Хиллом класс спутников может быть продолжен за пределы «Луны наибольшей лунации».

Какой же становится за пределами этой Луны форма орбиты? Величины и ц зависят от времени t и параметра £®', так как другое начальное значение ц® задано как функция от |6' в силу уравнений (2).

Если ^' и t достаточно малы, 5 и Л могут быть разложены в ряд по степеням этих двух переменных. Более того, из соображений симметрии £ будет содержать лишь нечетные степени t, а т] будет содержать лишь четные степени t. Следовательно,

,ev

где ^— начальное значение n-й производной £0.

Если £0' и t достаточно малы, я могу без ощутимой погрешности ограничить ряд 5 его двумя первыми членами; кроме того, £0 разлагается в ряд по возрастающим степеням £0'; но так как £0' очень мало, я могу ограничиться значением £0 , которое эта величина принимает при £0' = 0. Но при |0' = 0 имеем

отсюда следует(По )а

Для рассмотренных Хиллом Лун, у которых «лунации» меньше, чем у «Луны наибольшей лунации», величина £0' отрицательна, оба члена правой части (3) одного и того же знака и £ не может обращаться в нуль при весьма малых значениях <, за исключением значения / = 0.

Напротив, для новых спутников, о которых идет речь и которые встречаются за орбитой «Луны наибольшей лунации», £0' положительно, а £ обращается в нуль при

Следовательно, имеются три очень малых значения Z, при которых 5 обращается в нуль, т. е. три квадратуры в очень близкие моменты времени.

Итак, относительная траектория при С ^> Со имеет форму, представленную на рис. 1.

7 А. Пуанкаре

В течение одного периода масса В находится шесть раз в квадратуре, так как ее относительная траектория пересекает ось р в двух двойных точках и двух простых.

Таким образом, Хилл ошибается, полагая, что этот род спутников никогда не находится в квадратуре; имеются, напротив, три квадратуры между двумя последовательными сизигиями.

Это не значит, что не существует периодических решений, при которых масса В никогда не может быть в квадратуре: мы их изучим в дальнейшем, вп. 52; но эти решения не являются аналитическим продолжением тех, основополагающее исследование которых проделал Хилл в «American Journal of Mathematics».

Те же результаты остаются справедливыми, если не пренебрегать параллаксом Солнца, за исключением того, что симметрия относительно оси ц исчезает.

Приложение к основной задаче динамики

Прежде чем приступить к изучению периодических решений второго и третьего сорта, мы изучим сейчас более общим образом периодические решения уравнений динамики.

Вернемся к уравнениям п. 13

dt dyi ’ dtdx^ ’' '

а также к предположениям этого пункта. Функция F разложена в ряд по степеням очень малого параметра ц, так что

В = F 0 + pAj + ц2^ + •••;

F — периодическая функция у, Fo — функция, зависящая только от х. Я предположу для определенности, что имеются лишь три степени свободы.

Легко проинтегрировать эти уравнения при ц = 0 и F = Fo.

Действительно, так как Fo не зависит от у, эти уравнения сводятся к

d^ _ О ^i __ dF0 _dt ’ dtdx^ Пг'

Таким образом, ^ и, следовательно, п^ постоянны.

Итак, уравнения (1) при ц = 0 допускают решения

yi = ntt + av y2 = n1t + &1, ys = n3t~ss,

где все а и S — постоянные интегрирования, ап — функции от а.

Ясно, что если

^Т, п2Т, п3Т

кратны 2л, то это решение периодическое с периодом Т.

Предположим теперь, что ц не равно нулю, и представим себе, что в некотором решении значения переменных хну при t — 0 равны соответственно

^1 = «1 + 31,х2 = а2 + За,^з = аз + Зз,

= 81 + ЗиУз = 82 + За.Уз = 83 + Зб-

Предположим, что в том же решении значения х и у при t = Т равны ^1 = Й1 + 31 + Фы ^з = я2 + Зз Ф- Фз, ^з = «з + Зз + Фз, У1 = 8j + пгГ + 31 + Ф», Уз = 82 + п-^ + За + Фз>■

Уз = 83 + п3Т + Зе + Фб-

Чтобы это решение было периодическим с периодом Т, должно выполняться равенство

Ф1 = Фз = Фз = Ф» = Фз = Фе = 0.(12)

Шесть уравнений(12)не все независимы. В самом деле, так как уравнение F = const является интегралом уравнений (1) и, кроме того, F — периодическая функция относительно у, имеем

F каг + Зг, 8; + 3<+з) = F каг + 3i + Ф1> ®г + М^Т + 31+3 + Ф1+з) == F (а^ -|- Pi -|- ф{, 3, -|- pi+3 -|- ф^+з).

Поэтому достаточно будет удовлетворить пяти уравнениям (12). Кроме того, я предположу, что

81 = 31 = 0.

Для этого достаточно выбрать начальный момент времени так, чтобы уг равнялся нулю при t = 0.

Легко видеть, что ф{ и ф1+3 — голоморфные функции ц и 0, обращающиеся в нуль, когда все эти переменные обращаются в нуль.

Следовательно, речь идет о том, чтобы доказать, что можно из пяти последних уравнений (12) получить 04 в виде функций от ц.

Заметим, что, если ц равно пулю, тождественно выполняются равенства.

Ф1 = Фз = фз = 0.

Следовательно, г^ , ф2 и Ч’з? будучи разложенными в ряд по степеням р и Р, содержат множитель р. Мы отбросим этот множитель р и запишем, следовательно, пять уравнений (2), которые нам надо решить, в виде

При р = 0 известно общее решение уравнений (1); следовательно, легко можно найти

Ф* = Т -^- /'о ^ах + 31, «2 + З2, аз + Зз)’

Фз = Т -з^- I* 0 (а^ + 31, а2 + р2, аз + Рз),

Фб = - ^ -^- F0 V1! + 31, а2 + З2, «3 + Рз)'

Функциональный определитель ф4, ф5 и фв по 04, р2 и Рз равен с точностью до множителя — Та гессиану Fo по х. Я намерен теперь выразить ф1/р, ipa/p и ■ф3/р в виде функций от р4, р5 и рб, положив р = 0 и в то же время

31 = Рг ~ Зз = 0.

Итак, находим

at к р ) dVi dy. + dy. 1 1 откуда

■т т

f dFi , Г dFi ,о

—= —£^ + р\-—dt-V... (z = l,2,3)p J ay, ' r г ay, 1/

о0

или при p = 0

± =(3)

P J dy.' '

n

Поскольку мы предполагаем p = 0 и в то же время

31 = Зг = Зз = 0,

и помним, что 34 = р4 = 0, то мы должны в правой части уравнения (3) заменить хх, х2, х3, yv у2, у3 соответственно на

Я1, а2, а3, nxt, Ti2t -|- S2 -|- Зв* из^ Ч~ ®з Ч~ Зв’

Тогда dFJdy^ становится периодической функцией t.

Мы можем записать

Fx = ЕЛ sin (т-гУг + тгуг + тгу3 + А),

где тх, тп2, тп3 — целые положительные числа, а А и h — функции х, не зависящие от у.

Тогда получим

= ЕЛ sin го,= ^Ат^ cos го =,

dyiгааг ’

где для краткости положено

го = t (т^ + тйпг + m3n3) + ^ + «2 (S2 + Рз) + ^з (эз + Ре)-

Таким образом Ех становится периодической функцией t с периодом Т; в то же время она является периодической функцией с периодом 2л относительно а2 + р6 и э3 + рв.

Я буду обозначать через [^J среднее значение периодической функции Fv так что

т

[FJ = -^-^ Fk dt = SA sin со,о

где символ S означает, что суммируются все те члены, для которых

тп^ + m2n2 + m3n3 = 0-

Тогда получаем, что

Р d&4 ’^з^ \ р / dat dak '

Отсюда заключаем, что:

Всегда можно выбрать Э2 и й3 таким образом, что уравнения

^2 _ ^3 ^ QР Р

будут удовлетворяться при р5 = рб = 0.

Действительно, конечная функция [^1 периодична по 32 и й3; следовательно, она имеет максимум и минимум; для них будем иметь

W1 _ WJ п...

d&i d& и отсюда

^2 = ^3 = о

Р р'

что и требовалось доказать.

Функциональный определитель ф2/р иф3/р по р5 и рб равен Т'2, умноженному на гессиан [^J по S2 и З3.

Отсюда следует, что можно выбрать постоянные S2 и S3 так, чтобы удовлетворялись уравнения (13). Для того чтобы установить существование периодических решений, остается показать, что функциональный определитель этих уравнений, т. е.

. / ^2 1рЗ\

9(31, Ра, Зз, Зз, Зе) ’ не равен нулю.

Но при [1=0, ф4, ф5 и ф6 зависят только от р15 ^2, Рз, 110 не от Ps и Ре- Этот функциональный определитель, следовательно, является произведением двух других

/ф2 -фз \

\ И ’9 (гр4, -фз, фз)

9(35, Зб)d(3i, Зз, Зз) 1

Но мы только что вычислили эти два функциональных определителя и увидели, что они равны, с точностью до постоянного множителя, один — гессиану 1^] по й2 и'Эд, другой — гессиану Fo по х.

Итак, если, ни один из этих гессианов не равен нулю, уравнения (1) имеют периодические решения при малых значениях ц.

Мы попытаемся теперь определить не только периодические решения с периодом Т, но и решения с периодом, мало отличающимся от Т. За отправную точку мы взяли три числа nv п2, п3; мы можем с таким же успехом выбрать три других числа п/, п^, п3 , лишь бы они были соизмеримы между собой, и мы придем к периодическому решению, период которого Т' будет наименьшим общим кратным величин 2л/п1', 2л/пг', 2л/и3'.

Если мы возьмем, в частности,

711 = ^(14-8), U^ = И2(1 4- 8),711 = П3(1 4-8),

то три числа тг/, п^, п3 будут соизмеримы между собой, поскольку они пропорциональны числам л1, и2 и п3.

Это приведет нас к периодическому решению с периодом

Т

7 + т =,

так что мы получим

^ = ф;(/н-е). Уг = фИ*, И, 8),(14)

где (р; и у/ — функции, разложимые в ряд по степеням ц и 8 и периодические по t, но таким образом, что период зависит от 8.

Если в F мы заменим х^ и yi их значениями (14), F должна стать независимой от времени постоянной [поскольку F = const является одним из

интегралов уравнений (1)]. Но эта постоянная, которая называется постоянной живых сил, будет зависеть от р и е и может быть разложена в ряд по возрастающим степеням этих переменных.

Если постоянная живых сил В задана, то уравнение

F (р, е) = В

можно рассматривать как соотношение, связывающее е с р. Следовательно, если мы произвольно зададим В, то всегда будет существовать периодическое решение, каково бы ни было значение этой постоянной, но период будет зависеть от е и, следовательно, от р.

Более частным случаем, чем тот, который мы только что подробно рассмотрели, является случай, когда имеются лишь две степени свободы. Тогда F зависит лишь от четырех переменных хг, уг, х2, у2 и функция [EJ зависит только от одной переменной 32. При этом соотношения (6) сводятся к

= °-<15>

а гессиан функции [/^il сводится к d? [Ej/cZSa2, откуда можно заключить следующее: каждому простому корню уравнения (7) соответствует периодическое решение уравнений (1), которое существует при всех достаточно малых значениях р.

Я мог бы даже добавить, что так же будет обстоять дело и для каждого корня нечетного порядка.

После того как доказано существование периодических решений, остается показать, что эти решения можно разложить в ряды по степеням р и записать в виде

= 0г, 0 (О + P0i, 1 (О + H20i. 2 (0 + • • • G = 1 > 2, . . ., п),

где 0ilO (/), 9ia (Z), ... — периодические функции t, разложимые в ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2nt/(T + т).

В силу теоремы п. 28 мы имеем

Xi = Яi [( — И, р, X® — q^ (0), х®2 — фа(0), . . ., Ж® — ср„, (0)],

если х”, х^, ..., х” — начальные значения х1Т х2, ..., жп при t = 0.

Н, разлагается в ряд по степеням

t — h, р и Xi — (pi(0),

если р достаточно мало и если t достаточно близко к tv а ^° — к <р, (0), Мы возьмем

i.

Кроме того, возьмем

ж? — <р4 (0) = pi.

Выберем Pi и т так, чтобы получить периодическое решение, т. е. так, чтобы удовлетворялись уравнения вида (12). Мы только что видели, что если т и Pi удовлетворяют этим уравнениям, то можно разложить т, рг, р2, ... ..., Рп в ряды по возрастающим степеням р, и что т и р4 обращаются в нуль вместе с р.

Следовательно, будем иметь

хх = Щ ^ , р, РЛ, Ва, . . .,P,l)=A'i(p), где A'i — функция, разложенная в ряд по степеням р. Ai зависит не только от р, а еще и от t^, поэтому мы запишем

a?i = К^, р),

имея в виду, однако, что А4 разложено в ряд по степеням р, по не по степеням tv

В этих предположениях, когда tx увеличивается до Т, t увеличивается до Т + т и, так как мы условились рассматривать периодическое решение с периодом Т + т, х^ не должно изменяться; следовательно, мы имеем

Ai(<1 + r,p) = Ai(<1, р).(10)

Так как К4 разлагается по степеням р, можно записать

^г Ui, И) = ®«,о + 6i,l р + 0i,2 р2 + . . .,

где 0i)O, 0itl, 0i|2, ... зависят только от tv Тождество (10) показывает тогда, что 0iift не изменяется, когда заменяют £х на tY -|- Т. Следовательно, 0i^ — периодическая функция и может быть разложена в ряд по синусам и косинусам углов, кратных

2лц 2л?

Т " Т + т 1 что и требовалось доказать.

Случай, когда гессиан равен нулю

Может возникнуть трудность в случае, когда гессиан функции Ао равен нулю.

Вот как в довольно большом числе случаев можно избежать этой трудности.

Предположим, что гесиан Ао по переменным х равен нулю, но можно найти функцию от Ао, которую будем называть <р (А0) и гессиан которой не равен нулю.

Мы преобразуем уравнения (1) следующим образом.

Эти уравнения имеют интеграл живых сил, который записывается в виде

F = С.

Пусть ф' — производная функции ф, тогда при F — С будем иметь

ф' (Л = ф' (С)

и ф' (С) будет постоянной, которую можно считать известной, если предположить, что начальные условия движения известны и позволяют, следовательно, вычислить постоянную С.

Уравнения (1) можно тогда записать как

dt ^'<C^dyt * dt^’^dx^ "

Они сохраняют прежнюю форму, но функция Fo заменена функцией ф (F^, гессиан которой не равен нулю.

Возьмем, например, частный случай задачи трех тел, изученный в п. 9, тот случай, когда одна из масс равна нулю, а две другие движутся по окружности.

В этом случае мы нашли

следовательно, имеем

d2F0 d^F0 g

dx^ " dx^dx^ ”1

Наш гессиан, таким образом, тождественно равен нулю, но если мы возьмем

Ф W = Fp =-||- + ^2,

то гессиан ф (Fo) равен

6

и отличен от нуля.

Таким образом, все предыдущие рассуждения применимы к этому частному случаю задачи трех тел, в котором имеются периодические решения при малых значениях р.

Рассмотрим, напротив, общий случай задачи трех тел, о котором шла ПАЧТ. П ТТ 11

Мы нашли, что эта задача может быть приведена к канонической форме, причем два ряда переменных будут следующими:

3L, 3G, 3©, 3'^', P'G', 3'©',

I, g, 6, V, g', 6'.

Функция F может быть разложена в ряд по степеням р.

F = Fо + Н^1 + Р^а + . . ., и мы имеем

р _ З3 ,З'3

0 ~ 2 (3L)2 Т 2 $'и)г 1

Если, возвращаясь к обозначениям, использованным в этой главе, мы обозначим два ряда сопряженных переменных через

^1» ^21 ^3, *^41 ^5» ^б?

Ун Уг, Уз, У^ Уз, Ус, так что

х4 = ^L, ж4 = УЬ', то получим

р З3 I З'3°2^ + 2®f

и гессиан функции Fo, очевидно, равен нулю.

Если мы рассмотрим некоторую функцию ф (Fo), то эта функция будет зависеть только от ^ и ^4и ее гессиан будет снова равен нулю. Таким образом прием, который мы употребили выше, более не применим и рассуждений настоящего пункта недостаточно, чтобы установить существование периодических решений.

В этом источник трудностей, которые мы попытаемся преодолеть в пн. 46—48.

Эти трудности происходят также, как мы только что видели, от того, что Fo зависит лишь от ж1 и ж4, т. е. от того, что мы имеем

dF0 dFn dFn dFtt q dxidxadx:,dx»

или еще при ц = 0 dya dy-з dys _ dye q dtdtdtdt"

Эти уравнения означают, что в кеплеровском движении перигелии и узлы неподвижны.

Однако при любом другом законе притяжения, отличном от закона Ньютона, перигелии и узлы не были бы неподвижными.

Следовательно, при законе, отличном от ньютоновского, мы не встретили бы при отыскании периодических решений задачи трех тел той трудности, на которую я только что указал и которой в дальнейшем будут посвящены пп. 46—48.

Прямое вычисление рядов

Мы только что показали, что уравнения (1) п. 43 допускают периодические решения и что эти решения могут быть разложены в ряды по степеням ц.

Попытаемся теперь на деле построить эти разложения, существование и сходимость которых мы доказали заранее.

Для начала я замечу, что в вычислении этих разложений можно ввести важное видоизменение. Выше мы ввели три числа

П1, пг, п3,

таких, что

ПуТ, п^Т, п3Т

кратны 2л и, следовательно, соизмеримы между собой. Эти три числа характеризуют рассматриваемое периодическое решение.

Я утверждаю, что всегда можно при изучении частного периодического решения предполагать, что

пг = п3 = 0.

Действительно, предположим, что это не так. Мы заменим переменные, положив

У1 — otxZ/i + <ХгУз + азУз> У» = PiZ/i + P2V2 + Рз2/з, Уз = Г1У1 + Г2У2 + ТзУз.У1 — otxZ/i + <ХгУз + азУз> У» = PiZ/i + P2V2 + Рз2/з, Уз = Г1У1 + Г2У2 + ТзУз.$1 — <ХуЖу + 31^2 + 71^31 ж 2 = ааХу + Рг-^а + Тг-^з, Жд = а3^! + Р3ж2 + г3ж3.$1 — <ХуЖу + 31^2 + 71^31 ж 2 = ааХу + Рг-^а + Тг-^з, Жд = а3^! + Р3ж2 + г3ж3.

У1 — otxZ/i + <ХгУз + азУз> У» = PiZ/i + P2V2 + Рз2/з, Уз = Г1У1 + Г2У2 + ТзУз.

У1 — otxZ/i + <ХгУз + азУз> У» = PiZ/i + P2V2 + Рз2/з, Уз = Г1У1 + Г2У2 + ТзУз.

$1 — <ХуЖу + 31^2 + 71^31 ж 2 = ааХу + Рг-^а + Тг-^з, Жд = а3^! + Р3ж2 + г3ж3.

$1 — <ХуЖу + 31^2 + 71^31 ж 2 = ааХу + Рг-^а + Тг-^з, Жд = а3^! + Р3ж2 + г3ж3.

Уравнения (с новыми переменными ж' и у') сохранят каноническую форму.

Если, кроме того, а, р и у — целые числа и составленный из них определитель равен 1, то функция F, периодическая по у, будет также периодической по у'.

Характеристические числа п1, п2, п3 после замены переменных превратятся в три числа, которые мы обозначим через Пу , п3 , п/ и которые определяются из уравнений

п-у = avny + a2?z2 + a3n3,И2 = Р1И1 + р2И2 + РзИ3>и3 = Yi^i + у2и2 -|- YsK3-

Так как пх, п2 и п3 соизмеримы между собой, то, очевидно, можно выбрать целые числа а, р и у так, чтобы

п/ = п3' = 0.

Итак, всегда можно предполагать, что п2 = п3 = 0, что мы и будем делать впредь.

Мы попытаемся удовлетворить уравнениям (1) п. 43, положив 0 I 1 ■2 2 I

#1 — Х^ —j— |l<2-i —J- |Л Я\ —)— • • », ^2 = 2^2 4“ Уж2 4“ р22?2 4" ■ • ■ , ^3 = жз 4- И^ 4- М2^ 4- ■ • •,(2)

У1 = У? 4-НУ1 4-Н2У2 4-• • у2 = Уз 4-цу2 4-иаУз 4- • ■•.

Уз = Уз + нУз4-Н2у14- • .

где х^.иу1^ — периодические функции времени с периодом Т; х^ — такие постоянные, что

Fo (ж?, ж2, ж3) = — пь па = пв=0

и, с другой стороны,

У? = ^ + Эь откуда

Уз 32, Уз = ®з> где S2 и S3 — постоянные, которые мы точнее определим в дальнейшем. Поскольку начальный момент времени остается произвольным, мы сможем выбрать его так, чтобы у^ = 0 при любом р и t = 0. Отсюда следует, что у®, у*, у^, ... будут равны нулю одновременно при t = 0 и что Зх = 0. Вместо х и у подставим в F их значения (2), затем разложим F по возрастающим степеням р, как это делалось в п. 22. Получим

F = Фо 4~ рФ14~ раФ2 + • • • и

Фо — Fо (^j хг, ж3).

Далее получим (если вспомнить, что dF^dx^ = —^ и п2 = п3 = 0) Ф1 = F-y (xlt xit х3, уг, у2, у3) — пгх}.(3)

Вообще

1 к dF» । к dF0 i к dFo Фц = ^к — ^l = Or + ^1 ГТ + $1+ Ха ТТ

dx^dx"dx"

и функция Or будет зависеть лишь от

Х^х\,ytyL

Относительно переменных у® она будет периодической с периодом 2л.

Теперь мы можем записать дифференциальные уравнения, приравнивая одинаковые степени ц: dx®dx®dx®

—- = —- = —1 = О dtdtdt

Затем находим

dt dy® ’

И dy^ _ _ d®^ ~ dx®

(4')

dx? 1 dx® dx?2 dx® dx?3 dx® dx?

”dF = И1’

dt" ~ И2’

<dt

п3.

dz\ _ dFi dt dyO ’

ckgdt

dFi_ ^Уз

dt ' и вообще

dx^ dOk

и

dtdx?

dy\ "~5Г

t/ф}

^Узdt

йФ1 dx®.

Проинтегрируем сначала уравнения (4). В Fx мы заменим у®, у®, у® их значениями

Hyt, S2t S3.

Тогда правые части уравнений (4) будут периодическими функциями t с периодом Т; эти правые части, следовательно, можно разложить в ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2л1/Т. Для того чтобы значения переменных х^, х^и х^, полученные из уравнений (4), были периодическими функциями t, необходимо и достаточно, чтобы эти ряды не содержали постоянных членов. .

Действительно, я могу записать

FT = 2 Л sin (тп^ + m2y® + т3у3 + А), где тг, m2, m3 — положительные или отрицательные целые числа и где Л и А — функции ^, ж®, ^. я буду писать для краткости

Fx = 2Л sin со, положив

со = пг^® + т3у3 + т3уа + А.

Тогда я найду

^^1v лdFi v ,dF-i v .

—— = LAm. cos to,—— — LAm» cosco, =2Лт, cosco

dy^2’ dy»3

И

co = tm^ + h + 7п232 + m3S3.

Среди членов этого ряда я выделю те, для которых пгг = О, но которые не зависят от t.

Ft — периодическая функция t. Я буду обозначать через [FJ среднее значение этой функции и получу

[^J = 8Л s:nco, (z^ = 0, со = А + т2<32 + m3S3), где суммирование, обозначенное значком S, распространяется на все члены Fv для которых коэффициент при t равен нулю. Мы получим тогда d\Fi\ с лс л

- V — 8Лт2 cos со, —- = SAm, cos со.

Значит, если

о®2 d^ ’v >

то поскольку тг равно нулю, мы получим

ЗЛ/^ cosco = 0, 8Л7«2соз со = 0, 8Л'«3соз со = 0.(7)

Итак, если соотношения (6) удовлетворяются, то ряды 2Лттгг cos щ не будут содержать постоянных членов и уравнения (4) нам дадут

1 Xi Al Sin СО .1 Л771з sin СО .

хну 1mvu

где С^, С^ и CJ — новые постоянные интегрирования.

Мне остается показать, что можно выбрать постоянные 32 и ®з так, чтобы удовлетворялись соотношения (6). Функция [/Д — периодическая функция Й2 и ®з, не изменяющаяся, когда одна из этих переменных увеличивается на 2л. Кроме того, она конечна, следовательно, она имеет по меньшей мере один максимум и один минимум. Значит, имеются по меньшей мере два способа выбрать Э2 и й3 так, чтобы удовлетворить соотношениям (6).

Я мог бы даже добавить, что имеются по меньшей мере четыре таких способа, хотя и не могу этого утверждать, когда число степеней свободы больше трех [17].

Я постараюсь теперь определить при помощи уравнений (5) три функции у/ и три постоянные СЧ

Мы можем считать известными z? и у^; а^ также известны с точностью до постоянных (X Следовательно, я могу записать уравнения (5) в следующем виде:

(8>(8>dy\л ^Fn . d^F.. d^F

(8>

(8>

”dT " 1 ~ 1 dx»dz9 — 2 dx»dx93 da^dx® ’

где Н^ представляют собой полностью известные функции, разложенные в ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2n,tiT. Коэффициенты при Сф С^ и С^ постоянны и их можно считать известными.

Для того чтобы значение у^, полученное из этого уравнения, было периодической функцией I, необходимо и достаточно, чтобы в правой части постоянный член был равен нулю. Поэтому если /Д означает постоянный член тригонометрического ряда Н^ то должны выполняться равенства

d^Fp „х d-Fo(PFo „о

dx«dx® + 2 dx®dx® + 3 dx®dz91

Три линейных уравнения (9) определяют три постоянные Сф, С^ и С^ Исключением будет лишь тот случай, когда определитель этих трех уравнений равен нулю, т. е. когда гессиан Fo по а:”, а:” и х® равен пулю. Мы исключим этот случай из рассмотрения.

Уравнения (8) дадут

dt '

или.

У1 = Л1 + ^1, У1 = Лг + ^2, Уз = Лз ^3’

где ц1 — периодические, полностью известные функции t, а/с1 —три новые постоянные интегрирования. Кроме того, из только что записанных уравнений следует, что ц1 = Л2 = Л3 = 0 при Z = 0.

Перейдем теперь к уравнениям (4'), полагая в них к = 2 и i = 1, 2, 3, и попытаемся определить при помощи трех таким образом полученных уравнений три функции ж] и три постоянные Ц.

Легко видеть, что

©2 — ^2 + У1 "TV + Уй "—-5- + Уз "Т^"Уу( dy” dy”

где Q2 зависит только от х?, yS и х^ и, как выше, мы имеем

= 2Amt cos со. dy?

Уравнения (4') запишутся тогда в виде

а=ч _ dQ2 у ! _^i_tU dy® /^И/^Уг

или

= Н\ — А^ЕЛ^т^шсо — к^Ат^щ sin и — k^Am.im^ sin со, (10)

где № — периодическая функция t, которую можно считать полностью известной. Для того чтобы можно было получить из этого уравнения aS в виде периодической функции, необходимо и достаточно, чтобы правые части уравнений (10), разложенные в тригонометрические ряды, не содержали постоянных членов. Мы должны, следовательно, так распорядиться величинами Ц, чтобы уничтожить эти постоянные члены. Таким образом, мы придем к трем линейным уравнениям между тремя величинами А!, но поскольку определитель этих трех уравнений равен нулю, возникает небольшая трудность, и поэтому я вынужден остановиться на некоторых деталях.

Мы раньше предполагали, что yj = 0 при t = 0, поэтому имеем

^ = 0;

у нас остается всего две неизвестные величины к^ и к^ и три уравнения; но не независимые, как мы это сейчас увидим.

Действительно, обозначим через Ег постоянный член ряда №, тогда эти три уравнения запишутся (если вспомнить, что знак суммирования S относится к членам, для которых = 0) в виде

Ег = 0,

Ег = ^S^^sinco + &aS;lm3masin (о*

S3 = ^S^^mgSinco -]- Л38Л^ sin ®;(11)

два последних уравнения системы (11) можно записать в виде

da)2da)27.1 ^№13 d^idSs7.1 ^№13 d^idSs' - 7-1 ^l]32 ЙЙ2 d®3' - 7-1 ^l]32 ЙЙ2 d®31 d2 [^113 ^з1 d2 [^113 ^з

da)2

da)2

7.1 ^№1

3 d^idSs

7.1 ^№1

3 d^idSs

' - 7-1 ^l]

32 ЙЙ2 d®3

' - 7-1 ^l]

32 ЙЙ2 d®3

1 d2 [^11

3 ^з

1 d2 [^11

3 ^з

Из этих двух уравнений можно получить^ и к^, если только гессиан [Т^з^] по 32 и З3 не равен нулю. Если придать кХ полученные таким образом значения, то два последних уравнения (9) нам дадут ^и^в следующем виде;

^ = ^ + G2,^ = ^ + С|,

где ^ — вполне определенные периодические функции t, а С^ — новые постоянные интегрирования.

Чтобы найти х^, мы можем, вместо того чтобы использовать первое из уравнений (10), воспользоваться следующими соображениями: уравнения (1) п. 43 допускают интеграл

F = В,

где В — постоянная интегрирования, и я предполагаю, что опа разложена в ряд по степеням ц

В = В 0 + ц5т + у?В2 + ..., так что

Фо = Вд, Ф3 = By, Ф2 = 52, ...,

где Вд, Вх, Ва, ... — различные постоянные.

Левая часть уравнения

Ф2 = 52

зависит от переменных яд, у"., х\, у1., переменных ^и ж2, которые являются известными функциями t, и от величины Ху, которую мы еще пе вычислили. Поэтому мы можем получить ж2 из этого уравнения в следующем виде:

^ - К + С1,

где ^2 — вполне определенная периодическая функция t, а б’2 — постоянная, зависящая от Ва, С^ и С3.

Мы можем заключить отсюда, что первое из уравнений (11) должно удовлетворяться и, следовательно, эти три уравнения (11) не независимы.

Возьмем теперь уравнения (5') и положим в них к = 2. Мы получим три уравнения, которые нам позволят определить постоянные С^, С^ и

8 А. Пуанкаре

С"- и из которых мы получим, кроме того, у^ в виде

у? = Ц? + ^,^ = ^ + *1^ = ^ + ^-

где у — вполне определенные периодические функции <, а к — три новые постоянные интегрирования.

Вернемся затем снова к уравнениям (4'), положив в них к = 3. Если мы положим № = 0, то сможем найти из полученных уравнений сначала две постоянные к^ и к^ а затем ж? в виде

^ = й + ct

где ^ — определенные периодические функции t, а С^ — три новые постоянные интегрирования. И так далее.

Вот способ нахождения рядов по степеням р, периодических с периодом Т относительно времени и удовлетворяющих уравнениям (1) п. 43. Этот способ будет несостоятельным лишь в том случае, когда гессиан Fo по переменным х^ равен нулю или же когда гессиан [EJ по й2 и о>3 равен нулю.

Прямое доказательство сходимости

Может быть полезным знание прямого доказательства сходимости рядов, которые мы построили и существование и сходимость которых мы предварительно доказали в п. 28. Я дам сначала это прямое доказательство в частном случае. Пусть

5-+рж у)=о^>

— дифференциальное уравнение. Мы видели в п. 2, что это уравнение (изученное Гильденом и затем Линдштедтом в работах о небесной механике) может рассматриваться как частный случай уравнений динамики всего с двумя степенями свободы.

Я предположу, что / (ж, у) можно разложить в ряд по степеням у:

f = f0 + Ку + V + „.,

где /0, /г, /а— функции х, периодические с периодом 2л. Я предположу, что среднее значение /0 равно нулю.

1/о1 = 0.

Попытаюсь теперь разложить у в ряд по степеням р, так что

У = г/1Н + У»^" + • • • + УпР-™ + ■ • ••

Подставляя это значение у в /, получаем

/ = Фо + ИФ1 + Н2Фг + • ■ • + p’4 + • • - ,

и дифференциальные уравнения принимают вид

dx1 и’ dx1 Р<” dx1 Pl > • • • , dx1 фп-i,....

Мы хотим, чтобы уи у2, ... были периодическими функциями зс. Это возможно, если средние значения правых частей равны нулю, т. е.

[<Ро1 = 0, LVi] = 0, . . . ,[ф„] = 0.

Первое условие выполняется само собой, так как

Фо = /о. [фо] = 1/о1=О.

С другой стороны, получаем

фп = On + /1Уп»

причем 6„ зависит лишь от уи у2, ..., yn-v

Пусть [y,J — среднее значение уп; положим

Уп = Пп +

так что ц„ — периодическая функция ж, среднее значение которой равно пулю.

Представим себе теперь, что мы уже определили

Лы Т12, • • ■ , Пп-

' [У1Ыу2],.-.,[Уп-1]

и, следовательно, также уг, у2, ..., yn_t и что нам надо вычислить т]^ и Ij/J.

Соотношение [фп] = 0 можно записать в виде

[6J —[ЛПп] + 1/1] LZ/J =0-

В этом уравнении [0П] и [/хг]п] можно считать известными, поскольку величины (2) известны; постоянная [/х] известна; можно, следовательно, найти

Имеет место равенство

dx'1 ' dx'1 ’п‘

Если положить

Фп = 2 Mmcosm.r+ 2 Smsinm^,

771=1771=1

то получим

Пп+1 = — S ^ C0S ^ — ^-^ sin ^

Следовательно, ц, [у] и у могут быть вычислены рекуррентно.

Отсюда следует, что если ip — периодическая функция х, такая, что (в обозначениях п. 20, дополненных в п. 35) имеем

Фп-СФ(arge±“),

то a fortiori

Ппы-СФ(arge^*).

В дальнейшем мы будем писать

О = / — /о — /1У = /2Z/2 + /зУ3 + • • • , так что

о (нг/1 + Н22/а + P-3Z/3 +•••) = 0аН2 + 03^ + • •. + 9пИ” + • ■ . .

Пусть теперь /' — функция хну того же вида, что и /, т. е.

/' = /о + fiti + /а£/2 + • • • >

где /0', f^, f2', ... — периодические функции х и, кроме того, предположим, что

f<cf (arg у, e±ix).

Если затем положить

/' (P-Z/i + ^У» + ^3Уз + •••)= Фо + Р-Ф1 + • ■ • + ^"фп + • • • , то получим

Фа^Сфп (arg У!, у2, yn, ei“).

Положим также

0' = /' — 4 — bib

0' (P-Z/i + ^Уа + П31/з + ••■) = 0гН2 + ОзЦ3 + ■ • • + 6пЦп + . . .,

откуда0„■ 04

Запишем, наконец,

Пусть теперь у’, г/ из — три неизвестные функции, связанные соотношением

у' = ц' 4-2

и разложенные в ряд по степеням р, так что

У' = НУ^ + ^Уа + • ■ • . i|' = Ph + P^ila + • • • , z = pzx + p2z2 + . . . .

(3)(3)Определим эти функции следующими уравнениями: if =Vf Go if +z),

(3)

(3)

2 = ^/pf +^9' Со if + Z). Сначала найдем

ill = Фо, и так как, с другой стороны, мы имеем

d2T]l

то заключаем

ili

<<ih(arge’Bx).

Затем находим

Zi = X/ph

и, с другой стороны,

[yJ = [Л] [А^Ь

откуда

[У11<С2г

У1<СУг

Затем получим

Яа = Ф1 СО У1)

и, с другой стороны,

d21l2/,

откуда

'Па'^'Иа;

затем

z2 = ХДЦа + Х62 (ж, pi)

и, с другой стороны,

[Уа]

- уЛ [/ailal [У1] [0я],

откуда

[ .Уз]z2>Уз <С У г

и т. д. Закон очевиден, и мы получим

Уп << Уп(аГ§ 6 '“)

и

У<Су'(argR. е^ху

Следовательно, если ряд

У* = ИУ1 + Н2Уз + Н3Уз + ■ . •(4)

сходится, то ряд

У = НУ1 + НгУ2 + • • •

сходится a fortiori. Остается установить, что ряд у' сходится или, что то же самое, что уравнения (3) могут быть разрешены относительно т/ и z.

Но функциональный определитель, соответствующий уравнениям (3), может быть записан в виде

и его значение при ц' = z = ц = О равно 1. Следовательно, он не равен нулю, и таким образом по теореме п. 30 уравнения (3) могут быть разрешены.

Итак, ряд (4) сходится, что и требовалось доказать.

Уравнения, рассмотренные в этом пункте, являются частным случаем тех, которые были предметом обсуждения предыдущего пункта. В общем случае может быть дано аналогичное непосредственное доказательство сходимости. Мы вернемся к этому в дальнейшем.

Изучение важного исключительного случая

В силу только что доказанного, положения п. 42 оказываются несостоятельными в случае, когда гессиан Fo по х0 равен нулю.

Изучим случай, когда этот гессиан равен нулю и в частности случай, когда Fo не зависит от некоторых из переменных х.

Я буду предполагать для определенности, что число степеней свободы равно четырем; две из переменных, хх и хг1 входят в Уо; две другие, х3 и х4, не входят в Fo и, наконец, гессиан Уо по хг и х2 не равен нулю (гессиан по хг, х2, ^з и х4 равен нулю, поскольку dF3/dx3 =dF0!dx4 = 0). При ц = 0

общее решение дифференциальных уравнений записывается в виде

ОООО01 t

У-2 = n^t + 32> Уз = ®з> У» = ®4>(1)

где ж® и Э; — постоянные.

Если х® и х® выбраны так, что п®Т и п®Т являются кратными 2л, то решение будет периодическим с периодом Т при любых начальных значения я®, я®, Sn Э2, S3 и 34.

Рассмотрим теперь любое решение при любом значении ц и пусть

^ = Ж1 + р;, y^Si + Pi(2)

— начальные значения х^ и t/i при t = 0. Пусть

^г = 2° -ф- Pj -(- ф{, У; = П®Т + pi + ф, 4* Si

— значения х^ и у^ при t = Т.

Для того чтобы решение было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Ф1 = ф2 = Фз = Ф» = 0,

, . . ,(3)

ф' = ф' = ф' = ф' = о,

Я замечу:

Что можно всегда выбрать начальный момент времени таким образом, что начальное значение уг будет равно нулю как для периодического решения (1), так и для решения, соответствующего начальным значениям (2). Следовательно,

а, = р; = о.

Что F = С — интеграл наших дифференциальных уравнений и производная d,FldxT не равна нулю (dFldxr равна и®). Уравнения (3), следовательно, не независимы и я могу отбросить первое из них

фх = 0.

Что при ц = 0 тождественно выполняются равенства

ф2 = ф3 = ф4 = ф' = ф' = 0

и вследствие этого ф2, Фз, Фи Фз'» Ф/ делятся на ц. Итак, я могу заменить систему (3) следующей:

И р Иг И

Я намерен:

Определить

ж®, ж®, S2, З3 и Й4

(предполагается, чтоа^ и ж® уже определены и йх равно нулю) так,£чтобы уравнения (4) удовлетворялись при

и = о, р{ = о, р; = 0.

Исследовать, равен ли функциональный определитель левых частей системы (4) нулю или, другими словами, является ли при ц = 0 решение

р{ = 0, р' = 0

простым решением этой системы или по крайней мере решением нечетного порядка.

Для этого надо исследовать, во что превратятся уравнения (4) при ц= 0.

Мы имеем

тт

оо

или, поскольку dF^dy^ = 0,

т

Дуг \ Р

или при ц = 0

н J Дуг ’

при р, — 0 имеем

^г —+ Pi, Уг — ^Д + ®^г + Pi>

^о(^ + р1>Я« + р2)

п^= — т, П3 = /г 4 — U.

Подставим эти значения ж, и у{ в правую часть уравнения (5).

Если, кроме того, приравнять [Д = р2 = 0, то п4 и п2 сведутся к п® и п® и функция F4 станет периодической функцией t с периодом Т. Помимо этого она является периодической функцией й2 + 0а\ Э3 + Рз\ ®4 + 0/ с периодом 2л. Наконец, она зависит еще от ж® + 03 и ж® + 04. Мы можем записать

Fx = 2 A cos (ni1y1 + m2y2 + т3у3 + т4у4 + /с),

где m4, т2, т3 и т4 — целые числа; А и к — функции хг.

Действительно, функция Fx по предположению периодическая с периодом 2л по yv

После подстановки получаем

F4 = S A cos (at + Р), где

а = пг4пх -ф- т3п3, 3 = к -(- пгй (й2 -[- р2) -[- т3 (й3 -{- рз) 4- т4 (g)4 -f- р4).

Среди членов разложения Fx я выделю те, для которых а = 0, и обозначу через R множество этих членов, так что

R = S A cos Р,где суммирование распространяется на все члены, для которыхт4п» + т3п» = 0.

Функция F4 — периодическая функция времени с периодом Т, a R не что иное, как среднее значение этой функции, так что

т

TR = ^Fxdt,о

или, дифференцируя по 32, получаем

т

0

Но

dFi dFi dyi dFi

dbi2dy2 dSi2dy2

Таким образом, уравнение (5) принимает вид

^z _ 4R т. р. — d&21 ’ так же можно найти

4>3 _ dR_ т1р4 ~dR т

[1 с^Йз ’И С?Й1

Аналогичными вычислениями находим

цu J ахзатз V иоо ' r z

или при U — 0-

и также

т dR

Иdz®4 *

С другой стороны, получаем

niT 4- ^ = — J — dt о или при р = О

п^Т + 41 =Т,

Так же находим

4г = («2 — и”) Т.

Прежде всего мы хотим, чтобы при

р = 0,^ = О, Р< = О

система (4) удовлетворялась. Но если Pi = Рг = 0; то п\ и из сводятся к /г» и «2,4/ и4г' сводятся к 0, так что два из уравнений (4) удовлетворяются сами по себе. Система (4) сводится просто к

dR dR dR dR dR g,g.

dz^dz®^®3dOsda4 '' '

Таким образом, положив Pj = P' = 0 в функции R, рассмотрим затем R как функцию х®, х®, Зг, Э3, Э4; если эта функция имеет максимум или минимум и если придать х® и 85^ значения, соответствующие этому максимуму или минимуму, то уравнения (6) будут удовлетворены.

Приведет ли нас это решение системы (6) к периодическим решениям, сохраняющимся при малых значениях р?

Для этого достаточно, чтобы функциональный определитель уравнений (4) не обращался в нуль при

р = Pi = р; = о.

Но ip! и ф2 зависят (если положить ц = 0) лишь от рц и |32, так как Fo и две ее производные—пт и — и2 являются функциями лишь ж^ + (1Х и ж^ + + ₽2-

Следовательно, этот функциональный определитель является произведением двух других:

Определителя ip' и ф2 по рх и р2 (но это не что иное, как гессиан Fo по ж, и ж2, который мы предполагаем отличным от нуля).

Определителя величин

1р2 1рз 1р4%%тх

по

р3, Зг, ₽;, р;, р;.

Но величины (7) являются функциями

4 + Рз, Ж4 "Ь Рд, ®2 + р2т ®3 + Рз> ®4 + р4-

Производная любой из величин (7) по р; или р/ равна ее производной по ж? или 3,.

Следовательно, искомый определитель является функциональным определителем величин (7) по

4, 4, а2, а3, s4.(8)

Мы должны вычислить значение этого определителя при

ц = р; = р; = о.

Но когда ц, pj и Pi' обращаются в нуль, величины (7) сводятся к левым частям уравнений (6).

Следовательно, наш определитель является не чем иным, как гессианом 7? по переменным (8).

Если этот гессиан не равен нулю, паши дифференциальные уравнения будут иметь периодические решения при малых значениях р.

Этот результат можно выразить иначе. Периодические решения сохраняются при малых значениях р, если только уравнения (6) имеют простое решение. Более того, периодические решения сохранятся, если уравнения (6) имеют решение нечетного порядка.

Но в силу п. 34 точка максимума функции R будет всегда соответствовать решению уравнений (6) нечетного порядка.

Следовательно, если функция 7? имеет максимум или минимум, паши дифференциальные уравнения будут иметь периодические решения при малых значениях ц.

Решения второго сорта

Применим предыдущие рассуждения к задаче трех тел, предположив сначала, что три тела движутся в одной плоскости, и займемся отысканием периодических решений второго сорта.

Примем переменные п. 15, т. е. переменные

№ = Л, ^L' = К, Н,I,Г, h’.

Решение будет периодическим, если в конце периода Л, Н и Л' примут свои начальные значения и если I, V и h увеличатся на величину, кратную 2л.

Функция F равна

о + И ^i + \FF2 + • • •

и Fo зависит только от Ли Л'.

Поэтому если предположить, что р = 0, и обозначить через

Ло, Ад, Нд,

^0> 4, ^0

начальные значения наших шести переменных, то четыре из этих шести переменных, Л, Л' , Н и h будут постоянными и

Л = Ло, Л' = л;, Н = Нд, h = h0.

Если, кроме того, положить

то получим

I == nt —|- tg, I = П t —|- 1g .

Следовательно, при р = О, если Ло и Ло' были выбраны так, что пТ и п'Т кратны 2л, решение будет периодическим с периодом 2л, каковы бы ни были постоянные Нд, 10, 1й', 1г 0.

Мы зададим себе следующий вопрос: можно ли выбрать постоянные Но, 10, 1д и h0 таким образом, чтобы для малых значений р уравнения движения имели периодическое решение с периодом Т, такое чтобы начальные значения шести переменных были соответственно равны

Ло + 31, Ло + Зг, Но + Зз>^0 + 31’^о + Зз> ^о + Зб’

где 3; — функции р, обращающиеся в нуль вместе с р.

Чтобы разрешить этот вопрос, достаточно применить положения предыдущего пункта.

Поскольку Рх — периодическая функция по I, V и h то мы можем записать

Рд = 2 A cos (m^ + m2l' + m3h, 4- k^,

где А и к — функции Л, Л' и Н.

Заменим в Рх шесть переменных

А, Л', Н,

I, V, h величинами

^0*^о,Ну,

Zq "Ф* ^7, Z« "Ф* ^ Р ку, получим

Рх = 2 A cos (а< + 3), где

а = т1и + т2п',3 — к + miZ0 + m2^> + тз^о-

Рх — периодическая функция I; пусть 7? — среднее значение этой функции, так что

R = 2 A cos 3,где сумирование распространено на все такие члены, чтоа = 0 или тхп 4- т2и' = 0.

В силу принципов предыдущего пункта найдем искомые значения Но, 10, 10' и h0, решив систему

dR _ dRdR _ dR

dll оdindhtt "

n

Мы всегда можем предполагать, что начальный момент времени был выбран так, что 1ц = 0.

С другой стороны, в силу определения функции 7? имеем

Следовательно, можно заменить предыдущую систему более простой системой

dHo ~ dl- ~ dhtt -

Могло бы случиться, что все решения системы (1) не подходят; однако имеются решения, которые безусловно подходят: это те, порядок кратности которых нечетен, и в частности те, которые соответствуют настоящему максимуму или минимуму функции R.

Итак, чтобы установить существование решений второго сорта, достаточно показать, что функция R имеет максимум.

Но эта функция R ограничена, более того, она периодическая по Zo' и Zi0; она зависит еще от Но; я добавлю, что она может быть разложена в ряд по степеням

ух^т^ и i/aT^T/^qs(2)

где С ■— постоянная площадей.

Функция R будет, следовательно, вещественной, только если будут выполняться неравенства

я02<л2, <H0-cy<x0\(3)

Но должно быть всегда заключено между этими двумя пределами. Я могу выбрать переменную ф так, что Но и два радикала (2) будут двоякопериодическими функциями ф.

Таким образом, R — однозначная, периодическая и ограниченная функция всего лишь трех переменных (поскольку Ло, Ло' и С считаются фиксированными и Zo = 0), а именно, переменных Zo, hg и ф.

Эта функция имеет, следовательно, по меньшей мере один максимум и один минимум, так что всегда имеются по меньшей мере два периодических решения второго сорта.

Известно, что разложение возмущающей функции Ег содержит лишь косинусы, так что величина, которую мы обозначили к, всегда равна нулю.'

Следовательно, если положить

Zq Zo = hg = 0, то

dR _ dR, _ q.

dl'Q ~~ ’

останется удовлетворить уравнению

или, что то же самое,

dR d^dR d^= 0.= 0.

dR d^

dR d^

= 0.

= 0.

Это всегда возможно, поскольку R — периодическая функция гр и должна иметь по меньшей мере один максимум и один минимум.

Следовательно, всегда существуют по меньшей мере два решения второго сорта, для которых

1о = 1й — h0 — 0.

Если р = 0, то начальные значения I, V и h равны нулю, а это означает, что имеет место симметричное соединение.

Рассуждением, аналогичным приведенному в п. 40, можно заключить отсюда, что для малых значений п также будет симметричное соединение и что если в начале периода было симметричное соединение, то оно будет и в середине периода..

Итак, среди периодических решений второго сорта имеются всегда такие, которые допускают симметричные соединения (или противостояния) в начале и середине каждого периода.

Все же может представиться некоторая трудность, и я вынужден о ней сказать несколько слов.

Функция R зависит от l0', h0, Нй, так как мы считаем Ло и Ло' фиксированными и выбираем Zo равным нулю.

Функция R периодическая по 10' и h0; кроме того, третья переменная Но подчиняется некоторым неравенствам, например, следующему:

Ло > Нй.

Из этого мы заключили, что функция R всегда имеет максимум и минимум.

Однако можно задать себе вопрос, что произойдет, если функция достигнет максимума именно тогда, когда Н6 достигнет одного из пределов, определенных неравенствами (3).

Будут ли еще применимы выводы и. 46?

В этом можно усомниться, так как если R достигает максимума при Но —■ Ло, например, то производная dR!dHQ не равна пулю, а, напротив, бесконечна.'

Верно, что для задачи трех тел можно без труда убедиться, что максимум R достигается не при этом значении Н01 но поскольку этот случай мог бы представиться при возмущающих силах, отличных от тех, которые рассматриваются в задаче трех тел, то более подробное изучение его представляет некоторый интерес.

Предположим, например, что мы рассматриваем значения Htt, очень близкие к Ло; мы можем воспользоваться переменными из п. 17, т. е. переменными

Л, А', Г,

X* I', ц*.

Обозначим тогда через

Л-о + Pi >^о + Рг,ёо + Рз >

^0 + ?4,?0 + Рз,ПО + Рв

начальные значения этих шести переменных и посмотрим, можно ли выбрать эти начальные значения так, что решение будет периодическим, а -Рг будут функциями ц, обращающимися в нуль вместе с р..

Мы видели, что для этого достаточно выбрать

^о, 1о и По

так, что R будет максимальной или минимальной; с другой стороны, мы знаем, что Ло и Ло' нужно рассматривать как фиксированные и всегда можно предположить, что Zo' равно нулю. Если R достигает максимума при Ло = Но, то в новых переменных этот максимум будет достигнут при

1о = По = 0.

Но на этот раз нет никакой трудности, потому что R — голоморфная функция |о и Цо, которая может быть разложена в ряд по степеням этих переменных, тогда как при прежних переменных эта трудность возникала из-за того, что R переставала быть голоморфной функцией Но при Ло = Но и разлагалась в ряд не по целым степеням Ло — Н01 но по степеням /Ло - Но.

Итак, результаты предыдущего пункта остаются справедливыми даже тогда, когда функция R достигает своего максимума при Ло = Но или, более общим образом, когда Но достигает одного из пределов, определенных неравенствами (3).

Решения третьего сорта

Попытаемся теперь найти периодические решения третьего сорта, т. е. те, для которых наклонения не равны нулю.

Возьмем переменные п. 16, т. е.

ВЛ = Л, р'£'=Л', рГ = Я, рТ'=Я',

g.g'.

Предположим сначала, что р = 0 и пусть

Ао» ^о, Но, Но,

^0, ^0- go* go

— начальные значения этих восьми переменных. Если Ло и Ло' выбраны

так, чтотак, чтопТ = —Т аЛу ’пТ = —Т аЛу ’п'Т = - Тп'Т = - Т

так, что

так, что

пТ = —Т аЛу ’

пТ = —Т аЛу ’

п'Т = - Т

п'Т = - Т

кратны 2 л, то решение будет периодическим при любых значениях шести постоянных

И о, Ио , /0, /0 > ^о- Во •

Можно ли выбрать эти шесть постоянных так, чтобы для малых значений [л уравнения задачи трех тел допускали периодическое решенье с периодом Т, такое, чтобы начальные значения восьми переменных были функциями р, которые сводятся к

^0’ Иц, Ну,

/», Ан Sai Во при ц = О?

Мы будем действовать так же как и в предыдущем пункте. Прежде всего предположим, что начальный момент времени был выбран так, что 10 = 0. Затем построим, как и в предыдущем пункте, функции Ft и R.

В силу результатов двух предыдущих пунктов мы должны определить пять постоянных Но Но', to', So и So 'так, чтобы/? была максимальной или минимальной. Каждому максимуму или минимуму функции R будет соответствовать периодическое решение.

Функция R, рассматриваемая как функция от Zo, g0 и g0', является периодической функцией с периодом 2л. С другой стороны, Но и Но' подчинены некоторым неравенствам, которые я запишу, как и в п. 18, в виде

|Л0|>|Я0|, |л;|>|н0|,

(3) l^o|-|^oK^<|^ol + l^o|.

Следовательно, две переменные Но и Но' могут изменяться лишь в ограниченной области и функция R будет неизбежно иметь максимум и минимум, которые должны соответствовать периодическим решениям.

Однако, как и в предыдущем пункте, может возникнуть трудность. Не может ли случиться, что функция R достигнет максимума в момент, когда переменные Но и Но’ достигнут пределов, определенных неравенствами (3) ? Что тогда произойдет?

Предположим сначала, что максимум достигается при

И» = Ло.

9 А. Пуанкаре

Тогда мы используем переменные из п. 18, а именно:

А, Л', Г, Н',V, Г, if, g'.Положим, таким образом,

^o = ^o+go. go=/2(Ao —^cosgo, ло= ^2 (Ао — Яо) sin g0.

Мы увидим тогда, что R достигает своего максимума при

Во = По = 0

и так как R разлагается в ряд по степеням |* и т]*, трудность будет преодолена.

Итак, даже если максимум достигается при Н0 = Ло, этому максимуму тем не менее соответствует периодическое решение; то же самое и по той же причине будет и в случае, когда максимум достигается при Но' = Ло'.

Остается рассмотреть случай, когда максимум достигается для значений Но' и Но, удовлетворяющих условию

С = ± Но ± Но' ;

но это именно тот случай, когда наклонения равны нулю. Итак, если максимум достигается при подобных значениях Но и Но', то мы возвращаемся к случаю решения второго сорта, изученному в предыдущем пункте. Поэтому подобному максимуму также соответствует периодическое решение.

Итак, мы показали, что функция R всегда имеет по меньшей мере один максимум и один минимум и что каждому из этих максимумов и минимумов соответствует периодическое решение. Однако трудность еще не преодолена.

Решения третьего сорта, которые мы здесь изучаем, включают в себя как частный случай решения второго сорта, существование которых мы доказали ранее.

Можно задать себе вопрос, существуют ли другие решения; более глубокий анализ дает нам ответ на этот вопрос. Мы увидим, что функция R имеет максимумы и минимумы, отличные от тех, которые соответствуют нулевым наклонениям, и, следовательно, существуют решения третьего сорта, отличные от решений второго сорта.

Для этой цели изучим более подробно форму функции R. Нам надо удовлетворить, с одной стороны, соотношениям

dRdRdR n...

dlo'^' dg0

а с другой стороны, соотношениям

(5)(5)dR dR q— dHy —

(5)

(5)

Я утверждаю, что если положить

V = go = go = О,

то уравнения (4) будут удовлетворены, так что останется только удовлетворить уравнениям (5), т. е. отыскать максимумы и минимумы функции R как функции, зависящей только от Нй и Но'.

Действительно, я замечу, что R имеет следующую форму (если предположить, как мы это делали, Zo' = 0, 6 = 6'):

R = 2 A cos (YjZ0 + r2g0 + r3g0),

где А зависит от Ло, Ло', Но, Но'.

Значит, если предположить, что

I»' = go = go = О,то одновременно будут выполняться соотношенияdR_ _ dR_ _ 8R _ уУ^о Sg(> е§о

Представим себе, что мы делаем замену переменных, беря за новые переменные эксцентриситеты е и е' и наклонения i и V, т. е. полагая

^ = Go = Ло ]/Т^, Go = У УГ^ = ^,

0o = ^occsi,6)0 = G0cosi',

так что одно из уравнений площадей принимает вид

^Ьй |/ 1 — е2 sin i + P'Lo У1 — е'2 sin V = О,(6)

а другое принимает вид

РА, |/1 — e2cos i + [ГД, /1 — e'2sin I' = с.(7)

Теперь речь идет о том, чтобы найти максимумы функции R, рассматриваемой как функция е, е', i и i', причем предполагается, что эти четыре переменные связаны между собой уравнениями площадей (6) и (7). Теперь мы можем записать уравнения, которые вместе с (7) должны определить

е, е', i и i' в следующем виде (где к обозначает вспомогательную величину)} d,Recosi

4е r ° ]Л1 _ ег ’

^- = /c3Losin i У1 — e2,

' e'cosr/Ox

de' a‘ '°

= ’:3'Z'osin V 1/1 — e'2.dr . ит

Можно ли удовлетворить этим уравнениям? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, каков вид функции R. Я замечу прежде всего, что эта функция зависит не от i и V, а только от их разности i — i', так что

8R 8Rdi ' 8i'"

Далее, R представляется в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням е, е', i и I', так что общий член разложения будет иметь следующий вид (с точностью до коэффициента, зависящего лишь от Lo и Lo')’

ea-e'a4a=i'«-cos (Y^o + Tile + Tago + Y^o).

Более того, должно выполняться, как я уже сказал выше, равенствопр] + и'р г = О

и, с другой стороны,

I Yi + Тг | <С ai + аг + аз + а4,«1>1Г1 + Гз|- а2>|Г2 + Г4|.

Я утверждаю, что члены R, для которых рг и р2 не равны одновременно нулю, будут иметь по меньшей мере третью степень относительно эксцентриситетов и наклонений, если только п не кратно (л — п^12.

Действительно, пусть Ti и р2 — Два целых числа, которые могут быть положительными или отрицательными, но не равны нулю одновременно и которые удовлетворяют равенствам

пр! + и'Рг = 0,| Ъ + Га | = 0, 1 или 2.

Если мы положим -

Г1+р2 = е, е = 0,+1 или 4- 2,

то получим

71 = 6 —, 7о = 8г .

1 п — пп — п

Прежде всего видно, что е не может быть нулем, иначе Yi и Yi были бы равны нулю одновременно. А так как, с другой стороны, ^ и уа должны быть целыми и е равно + 1 или + 2, то число 2п/(?г — п') должно бы было быть целым, а это означало бы, что п кратно (п — п')/2 вопреки нашему предположению.

Итак, чтобы вычислить R до членов второго порядка, достаточно положить в ^ ут = Y2 = О, т- е- сохранить в FT только так называемые вековые члены.

Но вычисление этих членов давно уже было проведено основателями небесной механики. Я ограничусь тем, что отошлю читателя, например, к Тиссерану (Т i s s е г a n d. Mecanique celeste, t. I, p. 406). Итак, находим

R = ~ Л(о) + 4 5(1) k2 + *'2 - (i - *')2] - 4 №ee’ cos ^° ~ So) + «■

Коэффициенты A<0), В® и В®, зависящие лишь от Lo и Lo', определены в цитированной работе Тиссерана, a Q означает множество членов по меньшей мере третьей степени относительно е, е*, i и i'.

Следовательно, вопрос заключается в том, чтобы сделать эту функцию R максимальной или минимальной, предполагая, что е, е', i и V связаны соотношением (7)

^Lo У1 — е2 cos I 4- ^'Lo У1 — е'2 cos V = С.

Уравнения (8) могут тогда быть записаны (если предположить, как и выше, Zo' = g0 = go' = 0) в виде

А, вше _ А_ BW + D1 = к ^Loe + В»),

A-BR> (V — Г) + D3 = к $Loi + М(9)

pZ-Q У1 — e2 sin Z -|- P'Lq У1 — e'2 sin V = 0,

4 Btoe' - 4 B®e + D1 = k ^e' + B8),

где Di обозначают множества членов по меньшей мере второго порядка относительно е, е', Z и Z'.

Что касается уравнения (7), оно запишется в виде

₽£0 У1 + П + уь'й (е'2+ 1'У + D. = р2,(10)

где р обозначает положительную постоянную, равную

2₽£0+ 2р'В;- 2С,

a Dg обозначает множество членов по меньшей мере третьей степени относительно е, е', i и V.

Из уравнений (9) и (10) шестью различными способами можно получить е, е', t и V в виде рядов по возрастающим степеням р.

Положим, в самом деле,

е = ер, е' = е'р, I = ip, V = i'p;

подставим эти значения в уравнения (9), которые мы разделим на р, и в уравнения (10), которые мы разделим на р2. Левые и правые части этих уравнений будут тогда разложены в ряды по возрастающим степеням к, е, е', I, i' и р.

Я добавлю даже, что левые и правые части этих уравнений можно разложить в ряды по степеням р, е — е0, е' — е0', i — i0, i' — i0', к — k0 (если эти переменные достаточно малы по абсолютной величине) при любых постоянных е0, е0', 10, io\ к0.

При р — 0 эти уравнения сведутся к

А в^а — А- В® а’ = k^Lga,

_1_ в^а' — -i- В^а = к^е',

А-В^^' - 0 = №1,(И)

Р^О1 + Р ^ol' = ^,pL0(e2 + l2)+p^(e,2+l^) = L

Уравнения (11) имеют шесть решений, а именно:

к = -=Д ВМ, 8 = 8' = 0, I =,

■4\ 3^0?/L0 /h. '

l' =, h = + V^LgLg^Lg^^'Lg),

к-А^вЦА-^ AL\ 8 = F/ = 01 = ^,

L' = 2^, h=-V^'LgLo^Lg+^Lgy(12)

к — k^,

I =:

I' = 0,

8 = 8lf

s' = e1T

к = — kx,

I =

t' = 0,

8 = — 81,

ti' = — 81,

к = k2l

t ~

1/ = 0,

e = e2,

e' = e2,

к = k^,

I —

I' = 0,

e = — e2,

s' = — e2.

Каждое из этих шести решений простое, откуда мы можем заключить в силу того, что мы видели в п. 30, что можно шестью различными способами разложить е, е', t и i' и, следовательно, е, е', i и I' в ряд по возрастаю- щпм степеням р.

Следовательно, мы можем записать

е =е'= к х(р),1 = ккР^ ^=Л. х(р),(13)

где индекс X может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6; положим X = 1, отправляясь от первого из решений (12); положим % = 2, отправляясь от второго из решений (12) и т. д.

Из шести разложений (13) четыре последних должны быть отброшены, так как они дают

i = V = 0,

и периодические решения, к которым они приводят, не отличаются от решений второго сорта, изученных в предыдущем пункте. Но два первых могут быть сохранены и приведут к новым периодическим решениям, для которых наклонения не равны нулю и которые можно назвать решениями третьего сорта.

Впрочем, эти два разложения не ведут к двум действительно различным периодическим решениям.

Мы изучили более подробно решения, для которых ^о — ^о = ^о >

эти уравнения выражают тот факт, что в случае р = 0 в начале периода имеет место симметричное соединение.

Рассуждение, полностью аналогичное рассуждению п. 40, показало бы, что и для всех значений р в начале и середине каждого периода происходит симметричное соединение.

Это не означает, что не существует также периодических решений третьего сорта, для которых симметричных соединений не бывает; действительно, может случиться, что функция будет иметь максимумы и минимумы, отличные от тех, которые соответствуют случаю Zo' = g0 = g0' = 0. Мы еще вернемся к этому вопросу.

Приложения периодических решений

Как мы уже говорили, маловероятно, чтобы в какой-либо прикладной задаче начальные условия движения в точности соответствовали периодическому решению. Поэтому может показаться, что рассуждения, изложенные в этой главе, практически бесплодны. Но это не так; они уже принесли пользу астрономии, и я не сомневаюсь, что астрономы и в дальнейшем будут часто к ним прибегать.

Я покажу в следующей главе, как можно взять периодическое решение за начало серии последовательных приближений и изучить таким образом решения, которые отличаются от них очень мало. Полезность периодических решений станет тогда очевидной.

Но я хочу сейчас встать на несколько другую точку зрения. Предположим, что в движении некоторого небесного светила имеется очень значительное неравенство. Может случиться, что истинное движение этого светила отличается очень мало от движения идеального светила, орбита которого соответствует периодическому решению.

Тогда довольно часто значительное неравенство, о котором мы только что говорили, будет иметь почти тот же коэффициент для реального светила и для нашего идеального; но этот коэффициент гораздо проще вычисляется для идеального светила, движение которого проще, г! орбита периодична.

Первым приложением этого принципа мы обязаны Хиллу. В своей теории Луны он заменяет этот спутник в первом приближении идеальной Луной, орбита которой периодична. Движение этой идеальной Луны описано в п. 41, где мы говорили об этом частном случае периодических решений первого сорта, которыми мы обязаны Хиллу.

Тогда движение этой идеальной Луны, так же как и реальной Луны, подвержено значительному неравенству, хорошо известному под названием вариации-, коэффициент почти один и тот же для обеих Лун. Хилл вычислил его значение для своей идеальной Луны с большим числом десятичных знаков. Для того чтобы перейти к реальному случаю, надо исправить полученный таким образом коэффициент, учитывая эксцентриситеты, наклонение и параллакс. Без сомнения, Хилл сделал бы это, если бы закончил публикацию своего замечательного мемуара.

Вот другой случай, который будет часто представляться и к которому я хотел бы привлечь внимание. Выше мы видели, что периодические решения первого сорта перестают существовать, когда отношение средних движений п и п' равно

п / — 1

п' —/’

где / — целое число, т. е. когда пЧ^и — п^ равно целому /.

Но если отношение пЧ(п'— п\ не являясь целым, очень близко к нему, то периодическое решение существует и имеет очень значительное неравенство.

Если истинные начальные условия движения мало отличаются от тех, которые соответствуют подобному периодическому решению, это значительное неравенство сохранится и его коэффициент будет почти тот же; следовательно, можно с успехом вычислить его значение, рассматривая периодические решения.

Это проделал Тиссеран («Bulletin astronomique», t. Ill, p. 425) при изучении движения Гиперона (спутника Сатурна). Отношение среднего

движения этого спутника к среднему движению Титана в действительности очень близко к 3/4.

Те же рассуждения применимы к изучению малых планет, среднее движение которых почти вдвое больше среднего движения Юпитера; они были предметом замечательной работы Харцера; они также применимы к планете Гильда, среднее движение которой примерно в 3/2 больше среднего движения Юпитера.

Тиссеран отмечает, кроме того, в работе, которую мы цитируем, случай Урана и Нептуна, отношение средних движений которых близко к 1/2. Во всех этих случаях существует значительное неравенство и изучение этого неравенства может быть облегчено рассмотрением периодических решений первого сорта.

Напротив, периодические решения второго и третьего сорта не получили еще практических применений; однако все указывает на то, что со временем они найдут свое применение; это произошло бы, если бы подтвердились предвиденья Гаусса по поводу Паллады.

Спутники Юпитера

Но наиболее поразительный пример доставляет нам сам Лаплас своей замечательной теорией спутников Юпитера.

Действительно, существуют истинные периодические решения первого сорта, когда вместо трех тел рассматриваются четыре или более. Рассмотрим, в самом деле, центральное тело большой массы и три других малых тела нулевой массы, вращающихся вокруг первого в соответствии с законами Кеплера. Представим себе, что эксцентриситеты и наклонения равны нулю, так что движение будет круговым. Предположим, что между тремя средними движениями п, п' и п" существует линейное соотношение с целыми коэффициентами

ап + ри' + уи" = 0,

где а, р и у — три целых взаимно простых числа, таких, что

а + р + у = 0;

тогда можно найти три целых числа X, X' и X", таких, что

аХ + рХ' + уХ" = 0, и будем иметь

и = ХА + В, п = Х'А + В, и" = Х"А + В,

где А и В — некоторые величины.

По прошествии времени Т долготы трех тел увеличатся на величины КАТ -У ВТ, ГАТ-\-ВТ, ГАТ-V ВТ,

а разности между долготами второго и третьего спутников и долготой первого увеличатся на

(К-Г) АТ, (К —Г) АТ.

Значит, если выбрать Т так, чтобы АТ было кратным 2л, то углы, образованные радиусами-векторами, идущими от центрального тела к трем спутникам, примут свое первоначальное значение. Итак, рассмотренное решение при ц = О является периодическим с периодом Т.

Сохранит ли задача периодическое решение с периодом Т, если принять во внимание взаимодействие трех малых тел, так что их движение не будет кеплеровским или, другими словами, если параметр ц принимает значение, не равное нулю, но очень малое?

Исследование, аналогичное тому, которое было проведено в и. 40, показывает, что это действительно так: имеется периодическое решение с периодом Т, аналогичное решениям первого сорта, при котором орбиты почти круговые. Три малых тела находятся как в начале, так и в середине каждого периода в симметричном соединении или симметричном противостоянии.

Лаплас показал, что орбиты трех спутников Юпитера очень мало отличаются от тех, по которым они бы следовали в подобном периодическом решении и что п сложения этих трех малых тел постоянно колеблются около положени , которые они имели бы в этом периодическом решении.

Периодические решения вЗтизи пмькшя равновесия

Периодические решения, о которых шла речь до сих пор, не исчерпывают всех тех периодических решений, существование которых можно доказать. Так, задача трех тел допускает периодические решения следующей природы: два малых тела описывают вокруг большого орбиты, очень мало отличащиеся от двух кеплеровских эллипсов Е и Е'; в некоторый момент эти два малых тела проходят очень близко одно от другого и оказывают друг на друга значительное возмущающее действие, затем они снова удаляются друг от друга и описывают орбиты, которые очень близки к двум новым кеплеровским эллипсам Ег и ЕУ значительно отличающимся от Е и Е'. Два малых тела очень мало отклоняются от эллипсов Ег и Е^ до тех пор, пока снова не оказываются очень близко одно от другого. Таким образом движение почти кеплеровское за исключение некоторых моментов, когда расстояние между двумя телами становится очень малым и когда возникают очень значительные, но очень коротковременные возмущения. Может случиться, что подобные столкновения повторяются

периодически и так, что по прошествии некоторого времени тела снова вернутся на эллипсы Е и Е*. Тогда решение будет периодическим. Позже я вернусь к этому виду периодических решений, которые совершенно отличны от изученных нами в этой главе.

Я оставлю до другого тома периодические решения, названные мною решениями второго рода и определенные в моем мемуаре в XIII томе «Acta mathematica» [18], но их изучение не может быть произведено раньше, чем мы изучим теорию интегральных инвариантов.

Однако есть целая категория периодических решений, теория которых тесно связана с теорией решений второго рода, но о которых я все же хочу сказать здесь несколько слов, хотя и буду их рассматривать более подробно в другом месте.

ctZndtctZndtПусть

ctZndt

ctZndt

(1)(1)-уу

(1)

(1)

— система дифференциальных уравнений. Я предполагаю, что Х^ разлагаются в ряд по возрастающим степеням жг, х2,. . ,,хп и параметра ц.

Кроме того, я предполагаю что при

жх = ж2 = . . . = хп = О

одновременно (и при любом ц) выполняются равенства

X, = Х2 = . . . = Хп - 0.

Тогда система (1) допускает в качестве частного решения жх = 0, х2 = 0,. . ., жп = 0,

и так как значения хи х2, . . ., хп постоянны, то это решение можно рассматривать как периодическое решение с любым периодом.

Я намерен изучить периодические решения, которые от него отличаются очень мало.

Пусть рх, р2,. . ., рп— начальные значения х1; х2,. . ., хп, пусть Ф1 + Pi, Фг + Ра,- • -, Фп + P« — значения этих же величин при t = Т.

Можно разложить ф17 ф27. . ., фп в ряды по степеням р17 р2). . ., pR

Рассмотрим следующее уравнение относительно 8:

dXy с

dXx

dXi

dxy

dx»‘

*dx

dX^

dX^ ■ c

dX»

dxi

dx»

dX

dX

dX

Tl0

dzi

dx»‘

" dx^

= 0,

в котором предполагается, что

pi = хх = ж2 — . . . = хп = 0.

Если это уравнение не имеет кратных корней, я обозначу через 5lt А2,. . ., Sn его п корней.

Можно тогда проверить, что функциональный определитель ф по становится равным

А = (eS,T _ 1) (es^_. (es„T _ 1)

при

Ц = [Д = [32 = . . . = ^n = 0.

Для того чтобы рассмотренное решение было периодическим с периодом Т, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

4i = 42 = • • - = Фп = 0.(2)

Эта система обладает следующим очевидным решением:

₽1 = ₽2= ...^ = 0.(3)

Это нам не дает ничего нового, поскольку мы знаем, что хг = х2 = = . . . =хп = 0 можно рассматривать как периодическое решение уравнений (1). Имеют ли эти уравнения помимо этого очевидного периодического решения другие, которые отличны от него, но отличны очень мало? Другими словами, могут ли уравнения (2) удовлетворяться, когда вместо р в них подставляют функции от р, которые, не будучи тождественным нулем, обращаются в нуль при р = 0?

Если определитель А не равен нулю, решение (3) при р = 0 является простым решением системы (2); следовательно, помимо решения (3) система (2) не может удовлетворяться функциями р, обращающимися в нуль вместе с р.

Если, напротив, определитель А обращается в нуль, можно найти одним или несколькими способами сходящиеся ряды, расположенные по дробным степеням р, обращающиеся в нуль вместе с этой переменной и которые при подстановке их вместо р, удовлетворяют уравнениям (2). Имеют ли таким образом определенные ряды действительные коэффициенты?

Только специальное обсуждение, к которому я вернусь при изучении периодических решений второго рода, поможет это выяснить; если эти ряды имеют действительные коэффициенты, они определяют новую категорию периодических решений, которые существуют при малых значениях р и в которых хх, х2,. . .,хп принимают только очень малые значения.

Для того чтобы определитель А обращался в нуль, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей обращался в нуль, т. е. чтобы

имело место равенство

esiT = 1,

где S; — один из корней уравнения относительно S. Для того чтобы это было возможным, необходимо, чтобы S^ было комплексным; тогда уравнение относительно S будет иметь сопряженный комплексный корень S, и будет также выполняться равенство

SaTе 31,

откуда видно, что два множителя А обращаются в нуль одновременно.

Луны без квадратуры

В качестве приложения вернемся к уравнениям Хилла

I (— Зга2 Ё — О

dPdt + г» ап

Эти уравнения удовлетворяются, если положить

з X Ц

Л = 0,^ = |/ 3^2.(2)

Здесь g и ц — постоянные; можно считать, что уравнения (2) определяют периодическое решение уравнений (1).

Легко заметить астрономический смысл этого решения. Уравнение ц = 0 означает, что Луна находится постоянно в соединении или противостоянии, а второе из уравнений (2) означает, что расстояние от Луны до Земли постоянно. Таким образом, это периодическое решение есть не что иное, как решение, определенное Лапласом в «Mecanique celeste», Livre VI, Chap. X.

Но мы намереваемся определить периодические решения, которые очень мало от него отличаются, применяя принципы предыдущего пункта. С этой целью предположим сначала, что единица длины выбрана так, что

ЯГ-1- Н = 3»!

и что единица времени выбрана так, что

п = 1 + а,

где а — очень малый параметр.

Если мы положим ^ = 1 + ^, то система (1) может быть заменена следующей, аналогичной системе (1) предыдущего пункта:

=^ = 2 (1-ф а) ц'3 (1 4-а)2 (ж-ф 1)/^-— 1 j ,

^^^^ -^г=-2(1+а)^' + 3(1+а)^.

Если мы образуем теперь уравнение предыдущего пункта относительно 5, то получим

А4 _ 253 — 27 = 0.

Это уравнение имеет два действительных корпя и два мнимых

5Х = ///28- 1",

S2 = - ]/^Т/ /28- 1.

Если теперь мы положим

/ /28 — 1 ’

то получим

eSiT = е8гТ = 1.

Определитель А предыдущего пункта, следовательно, равен нулю и можно образовать ряды, которые расположены по дробным степеням р, (здесь эти ряды будут расположены по целым степеням V ц) и которые после подстановки их вместо / удовлетворяют уравнениям (2) предыдущего пункта. Можно проверить (и я вернусь к этому позже), что коэффициенты этих рядов действительны.

Уравнения (1) Хилла допускают, следовательно, периодические решения, мало отличающиеся от решения (2). В этих решениях т] остается очень малым и Луна всегда находится почти в противостоянии (или соединении). Хилл был прав, заявив, что можно представить себе класс спутников, которые никогда не смогут быть в квадратуре; однако способ, которым он намеревался получить этот, так сказать угаданный им результат, никак не мог к нему привести; действительно, этот класс не является, как думал Хилл, аналитическим продолжением того класса, который он изучал вначале столь глубоко и блистательно.

Я добавлю, что в этой категории периодических решений Луна находится в симметричном противостоянии в начале и середине каждого периода.

Глава IV

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

Уравнения в вариациях

Маловероятно, чтобы в каком-либо приложении начальные условия движения в точности соответствовали периодическому решению; ио может случиться, что они отличаются от него очень мало. Тогда, если рассматривать координаты трех тел в их истинном движении и, с другой стороны, координаты, которые эти же три тела имели бы в периодическом движении, то разность остается очень малой по крайней мере в течение некоторого времени, и в первом приближении можно пренебречь квадратом этой разности.

Пусть

dx.

1Г = Хх (i = 1,2, . . . ,тг)(1)

— система дифференциальных уравнений, где Х^ — данные функции

Пусть

= Ф1 <1\ = Фг (О- • • • -= Фп (0(1 bis)

— некоторое решение этих уравнений, которое мы назовем порождающим решением.

Пусть

*1 = Ф1 (0 + £1> ^2 = Ф2 (0 + ^2, - . • , ^„ = <р„ (/) + £„(1 ter)

— решение, мало отличающееся от первого.

Если пренебречь квадратами £, то можно записать

dt,. dX. dX.dX.

V = 5r=- + ^6-+"- + B;E..«-‘•2*<2>

Уравнения (2) мы назовем уравнениями в вариациях уравнений (1). Понятно, что можно в первом приближении пользоваться этими уравнениями в вариациях для определения §.

Предыдущих рассуждений достаточно, чтобы понять важность этих уравнений. Поэтому мы займемся их подробным изучением, делая упор в основном на уравнения в вариациях для уравнений динамики. '

Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта и уравнениям (2), которые являются их уравнениями в вариациях.

Когда известно решение уравнений (1), содержащее некоторое число произвольных постоянных, то можно, исходя из него, найти частные решения уравнений (2).

Действительно, предположим, что уравнения (1) удовлетворяются при

^i = Ф1 G. ^1, А2, . . . , Ар),

,т2 = tp2(<, Alt А2, . . . , Ар),(3)

х,г = 4,^(1, кг,Н2, . . . , Ар).

Я предполагаю, что порождающее решение получается, если положить в уравнениях (3)

Aj = А2 = . . . = Ар ~ О,

где Ап А2, А3, . . ., Ар — р произвольных постоянных.

Ясно, что уравнения (2) допускают р частных решений

« йф1

~ dhi ’

^2 =

^фз dhi ’" "

dh\

» _ </ф1

^2 =

^ф2

dh^ ’" "

d^n dhi

_ rfq>i

“1 —' dh ' р

^2 =

^ф2

d(?n

dh p

Конечно, в этих производных dc^ldh^. после дифференцирования надо положить

Aj = А2 = . . . = Ар = 0.

Предположим теперь, что известен один интеграл уравнений (1), и пусть

F (э^, £2, . . . , я:п) = const — этот интеграл.

Тогда для решения (1 bis) солучтм

F [<Pi W, q>AtV-- ,<iO)l = с

и для решенит (1 ter)

^[<pi(^)+^i. «мои»<Рп(о+^1Чс'-

где с и с' — две числовые постоянные.

Если мы предположим, что £ очень малы, то же самое можно будет сказать о разности с' — с, и если пренебречь квадратами этих величин, то получим

dF - , dF - ,, dF »,..

+= с = const-(4)

В частных производных dFIdxt надо, конечно, после дифференцирования положить

+ = Ф1(<),Х,=^^,..., X.H = ^n.UY

Уравнение (4) даст тогда интеграл уравнений (2). Важно заметить, что этот интеграл, вообще говоря, содержит время в явном виде.

Таким образом, если известен интеграл уравнений (1), можно из него получить интеграл уравнений (2).

Приложение к теории Луны

Я уже говорил выше, в и. 53, о возможных приложениях уравнений в вариациях и их полезности для астрономии. Поразительным примером этого является замечательная теория Луны Хилла.

Я говорил в и. 41 о том, как этот ученый-астроном, составив уравнения движения Луны, подробно изучил одно частное решение этих уравнений, которое достаточно мало отличается от решения, соответствующего истинным начальным условиям движения. Это решение периодично и принадлежит к тем решениям, которые я назвал в предыдущей главе решениями первого сорта.

Ограничиваясь этим решением, мы тем самым пренебрегаем не только параллаксом и эксцентриситетом Солнца, но также и наклонениями орбит и эксцентриситетом Луны.

Тем не менее это первое приближение позволяет нам, как я отметил в п. 49, достаточно точно найти коэффициент одного из самых важных неравенств Луны, известного под названием вариации.

Пусть теперь

+ = <Pi(0,^2 = ф-г(^),^3 = cp3(f) = o

координаты Луны в этом частном периодическом решении, Пусть

Хг = Фг (^) + 51

истинные координаты Луны.

Во втором приближении Хилл пренебрегает квадратами £ и приходит таким образом к системе линейных дифференциальных уравнений. Другими 1 О А. Пуанкаре

словами, он образует уравнения в вариациях, беря за порождающее решение прежде изученное им периодическое решение. Тем не менее это второе приближение дает ему некоторые из наиболее важных элементов движения Луны, а именно, движения перигея, узла и коэффициент эвекции.

В действительности опубликованы лишь результаты, касающиеся движения перигея («Cambridge U. S. А.», 1877, и «Acta mathematica», т. VIII), но полученное численное значение чрезвычайно удовлетворительно [19].

Уравнения в вариациях в динамике

Пусть F — функция двойного ряда переменных ^1.^2^п.

Ум и времени t.

Предположим, что имеются дифференциальные уравнения dxt _ dFdytdF

dt dy^dtdx^

Рассмотрим два бесконечно близких решения этих уравнений: решение ^1, хг, . .. , хп1 yv у»,.. . , У^

которое послужит порождающим решением, и

^1 + ^п ^ + £2.^ + 1»,Z/1 + Лы У2+Л2, •Уп + Лп.

где £ и ц достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их квадратами.

Тогда | и ц будут удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям

dtdy^dx^^ dy^ '*’^2)

^г _у ^е у ^F

dt — dx^dx^Zj dxdy^ I*’

которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).

Пусть ^/, ц/ — другое решение этих линейных уравнений, так что

d^ d^F s' 1 у d^F 'dt “ dy.dx' =* т dx.dy^ ^*-

^ _ у d?F . у d^F .(2')

dt ~dx.dx"dy.d4i. ^^

Умножим уравнения (2) и (2') соответственно на ц/, — ^j — 41> 5< и просуммируем все эти уравнения; получим

/ <\' d^F ।' d^F .

S ^t-^-^t+s-t -23(^‘^^ + ,,1,|, т^ + i1 k

. y y' d-F ,d^F \ ——/ v- d^F .- d^F .

+ ^k^1 dz.dx. + Tl*^1 dx.dy^ ) 3SHiS)c dy-dx "^ T*l^k dy dy.

+ 5i6k д д + 614kI •

ИЛИ

24^-6^] = 0,

или, наконец,

Th 5i — 5^i + 4^2 — 5г4г + • • • + 4n5„ — ^ц„ = const. (3)

Это соотношение связывает между собой два любых решения линейных уравнений (2).

Легко найти другие аналогичные соотношения.

Рассмотрим четыре решения уравнений (2)

51,5ь 51, 5Г,

41, т]1, 41, 4t"-

Затем рассмотрим сумму определителей

51 51 5^' 5ГО у 41 41 41 4?f к 5к 5к 5к 5к

4к 4к 4к 4к

где индексы i и к изменяются от 1 до п. Легко проверить, что и эта сумма постоянна.

Вообще, если образовать при помощи 2р решений уравнений (2) сумму определителей

2 I 5ai4a25a24a, • • • 5ap4ap |»

a,, a2, . . . , ap

(fll, Д2, • • • , ®"p — 1,2, • • • , ^)|

то эта сумма будет постоянной.

В частности, определитель, образованный значениями 2п величин £ и т] в 2п решениях уравнений (2), будет постоянным.

Эти рассуждения позволяют найти одно решение уравнения (2), когда известен один его интеграл, и обратно.

Действительно, предположим, что

bi " ®Ь Лг " Зг

— частное решение уравнений (2) и обозначим через ^ и т], произвольное решение этих же уравнений. Должно выполняться равенство

2^i —^^ = const’

которое является интегралом уравнений (2).

Обратно, пусть

2^i + 2/^ = const

— интеграл уравнений (2); тогда должно выполняться уравнение

2"аг + 2+ 2 ^+ 2 йч-йч—^м

iгi к 1 кк 1 К !

i Ч k к г:-’

откуда получаем

_ V__d^F_ л । vi ^-г у,at—^Ay^dx^кZjdx^dx^k’

dBiуd^Fуd^F

dtdy^dy.dx.dyKk'

Это показывает, что

= Sb ru = - Л

является частным решением уравнений (2).

Если теперь

■ Ф (xit у{, J) = const

— интеграл уравнений (1), то

аФ =. . аФ.

2 d77^ + 2727Tli = const

будет интегралом уравнений (2) и, следовательно, е — ^Ф _ _ ^Ф — dyt *^ — dx^

будет частным решением этих уравнений.

Если Ф = const, Ф! = const — два интеграла уравнений (1), то

S

I о!Ф ЙФ1 ЛФ dФl\ , Н7-т— = const.

\ dxi dy^dx. I

Это теорема Пуассона.

Рассмотрим частный случай, когда переменные х обозначают прямоугольные координаты п точек в пространстве, будем их обозначать при помощи двойных индексов

где первый индекс относится к трем прямоугольным осям координат, а второй — кп материальным точкам. Пусть т^ — масса i-й материальной точки. Тогда

где V — силовая функция.

Тогда уравнение живых сил имеет вид

т. / dx... \2

2— Р = const.

Положим далее dx..

откуда

Е == const(3)

И4 ’

dt dy.^ ’ dt dxu ‘' '

Пусть

— решение этих уравнений (1'), тогда другим решением будет ^и= Фн(< + А), ум = m^i(< + А),

где Л — любая постоянная.

Считая h бесконечно малой величиной, можно получить решение уравнений (2), которое соответствует (1) так же, как уравнения (2) соответствуют (1),

,.dV

£щ = ^фм W = к , Tlki = /гт4<рм (<) = h ,

где h — постоянный очень малый множитель, который можно опустить, когда рассматриваются лишь линейные уравнения (2).

Зная решение

этих уравнений, можно вывести из них интеграл

Но этот же интеграл получается очень легко дифференцированием уравнения живых сил (3).

Если материальные точки избавлены от всяких внешних воздействий, то из решения (4) можно получить другое решение

= Фн W + h + кч Уц = ^1фп (0 + ^,

^2i = ф21(<),Z/2i = ”^4фя4 (<),

23i = фз« (0.У аг = ^Фз1 (i),

где h и к — произвольные постоянные. Считая эти постоянные бесконечно малыми, получим два решения уравнений (2')

^li " 1 >?2i = £;$i = *111^2i ™ Пз1 ” 0?

£ц = СSai = Sn = Hai = Пз; = 0- Лн = ^i-

Таким образом получаются два интеграла уравнений (2')

2Л1г = COIlSt,

2 л^ ~ 2 т^ = consL

Эти интегралы можно получить с помощью дифференцирования уравнений движения центра тяжести

2 тп4хи = t ^ Ун + const,

2.Ун = const.

Если повернуть решение (4) на угол to вокруг оси к, то получится другое решение

Xxi = фц COS 0) — ф2{ S1U— Tli cos м — Tli sln ^J

xal = фн sin co + ф2,cos ®>= Фи Sln w + Tai cos co,

^si — Tsi,m — Tsi-

Считая о) бесконечно малым, находим решение уравнений (2')

Sit = ж2й Лн =Z/2i>

^2i = ^ц,T^i = У1м

Gai = 0,ц.з, = О,

откуда получается интеграл уравнений (2')

S^ii^hi — Z/iisai — ^Пн + yai^ii) = const, i

который можно было также получить, дифференцируя интеграл площадей уравнений (!')

S(^ny2i — >2iz/ii) = const.

Предположим теперь, что функция V однородна и имеет степень — 1 относительно переменных х, как это и есть в природе.

Уравнения (!') не изменятся, если умножить t на X3, х на X2 и у на X-1, где X — произвольная постоянная. Тогда из решения (4) мы получим следующее решение:

= ^T/ci (дг) - Ун = ^"Wi ^-^ •

Если рассматривать значение X, очень близкое к единице, то в качестве решения уравнений (2') получим

1кг = 2ф,ц — З/фй , Tiki = — т£фм — Зш^фи или

dV

^i = 2xki — 3/ —, 4ki — — Ukt — 5tj—,(5)

откуда получается следующий интеграл уравнений (2'), который в отличие от рассматриваемых до сих пор нельзя получить дифференцированием

известного интеграла уравнений (I'):

2 (^нЛн += 3i ^ (’^^ - ^ ^)] + const-

Применение теории линейных подстановок

57. Прежде чем идти дальше, я должен напомнить некоторые свойства

линейных Пусть

преобразований, которые нам будут полезны в дальнейшем.

Yi = а1Р1 + язРа + язРз,

Ya = ^131 + ^zPa + ^зРз,(1)

Ya = ciPi + с-’Рз + сзРз,

есть линейная подстановка, связывающая переменныер с переменными у.

Определитель

этой подстановки

есть’

ах си а3

А =

ьх ь.2 Ь3 ,

Ci с2 с3

а уравнение

ах — А

а.2а3

ъх ь4

-8 Ь3 =0(2)

Я1

с2 с3 S

— так называемое уравнение относительно 8 подстановки (1). Если применить к р и у одну и ту же линейную подстановку, т. е. если положить

Pi — ^1,1 Р1 + ^i,2 Ра + ^г,3 Рз>

Yi = ^i,l Yl + ^i,2 Yz "4" ^i,3Ys>

где X—постоянные, то у' и р' будут связаны между собой линейными соотношениями того же вида, что и (1), и мы получим

(3)(3)Y1 = Я1Р1 + ягРа + язРз,

(3)

(3)

Ya = ^iPi + ^аРа + 53р3, Тз = С1Р1 "4“ С2р2 "4“ СзРз-

Линейная подстановка (3) будет называться тогда преобразованной подстановкой (1).

Из теории линейных подстановок нам известно:

что новое уравнение относительно S

аг— 5Ь'1аг— 5Ь'1b^-Sb^-S63Сз —63Сз —= О= О

аг— 5

Ь'1

аг— 5

Ь'1

b^-S

b^-S

63

Сз —

63

Сз —

= О

= О

не отличается от прежнего уравнения (2) относительно 5;

что если определитель А равен нулю вместе со своими минорами до р-го порядка включительно, то то же самое верно и для определителя

^i ®2

Av =Av =61 62 Ь361 62 Ь3

Av =

Av =

61 62 Ь3

61 62 Ь3

с 2 С3

(в самом деле, миноры порядка р определителя А' являются линейной комбинацией миноров порядка р определителя А);

что можно выбрать X таким образом, что подстановка (2) сведется к самому простому, так называемому каноническому виду. Этот вид характеризуется следующим.

Если все корни уравнения относительно А простые, то одновременно можно обратить в нуль а2', а3 , Ъх', Ь3 , сх , с2'.

Если уравнение относительно А имеет двойной корень, то можно одновременно обратить в нуль а/, а3', Ь3', Ьх',сх'; тогда Ъ2 = с3 .

Если уравнение относительно 6 имеет тройной корень, то можно одно временно обратить в нуль а2', а3 и Ъ3; тогда ах = Ъ2 = с3'.

Во всех случаях можно предполагать, что X были выбраны так, что

сь2 — п3 — 63 — 0.

^2 — «3 — 63 — 0, то среди миноров А' есть три, которые сводятся к^i 6 , 6 2 с3 , сц, с3 ;^2 — «3 — 63 — 0, то среди миноров А' есть три, которые сводятся к^i 6 , 6 2 с3 , сц, с3 ;Если уравнение относительно S имеет нулевой корень, то и А равен нулю, и обратно. Предположим теперь, что все миноры первого порядка определителя А равны нулю, тогда то же верно и для определителя А'. Но поскольку

^2 — «3 — 63 — 0, то среди миноров А' есть три, которые сводятся к

^i 6 , 6 2 с3 , сц, с3 ;

^2 — «3 — 63 — 0, то среди миноров А' есть три, которые сводятся к

^i 6 , 6 2 с3 , сц, с3 ;

они могут обращаться в нуль, лишь если две из трех величин а2 , Ъ2 и с3 равны нулю. Но эти три величины суть три корня уравнения относительно 5. Следовательно, если миноры А все равны нулю, уравнение относительно S имеет два пулевых корня.

Обратное неверно.

Действительно, уравнение относительно 5

1 - 8

0

0

0

— 5

0

= 0

0

1

-8

имеет два нулевых корня, однако не все миноры равны нулю.

Мы предположили для определенности, что имеем дело с линейной подстановкой относительно только трех переменных, однако те же рассуждения применяются и при любом числе переменных.

Если определитель линейной подстановки равен нулю вместе со всеми минорами первого, второго и т. д., до (р — 1)-го порядка, то уравнение относительно S будет иметь р нулевых корней.

Пусть, как и в предыдущей главе,

dx.

— система дифференциальных уравнений. Пусть 24 = <Pi w

— периодическое решение этих уравнений, имеющее период Т.

Пусть в решении, близком в этому периодическому решению, q>i(0) + + pj — значение х. при Z = О и <Pi (0) + Pi + Ф» — значение Xt при t = Т + т.

Рассмотрим функциональный определитель ф по р

С?ф1Йф1Йф1

dpidp2 ' " ' d3n

^n^Фп

d₽idpn

Его можно рассматривать как таблицу коэффициентов линейной подстановки Т.

Если совершить линейную замену переменных х, то р и ф подвергнутся той же линейной замене переменных, и линейная подстановка Т превратится в преобразованную подстановку в смысле предыдущего пункта.

Следовательно, мы можем выбрать линейную замену переменных х, р и ф так, чтобы возможно сильнее упростить таблицу коэффициентов Т, как это было указано выше.

Итак, мы можем всегда предполагать, что совершена такая замена переменных, что

при всех г < к.

В этом случае корни уравнения относительно S, соответствующего подстановке Т, равны

dipl ^фг ^п

dpi ’ dp2 ’ ‘ " " ’ dpn ‘

Более того, мы можем выбрать замену переменных х, [3 и ф так, что эти корни уравнения относительно S будут располагаться в том порядке, в каком нам угодно. Если, например, уравнение относительно 5 имеет два нулевых корня, можно выбрать эту замену переменных так, что

^-1 __ 0

Если уравнение относительно S имеет лишь один корень, равный 4^1(1^, то можно выбрать замену переменных так, что

dl|)2 _ dips __0/ОХ

Предположим теперь, что уравнение относительно S имеет один и только один нулевой корень; мы можем в силу изложенного выше предположить, что этот нулевой корень есть dipj/dpx, так что

_ пdBi “’

и выбрать в то же время замену переменных так, чтобы удовлетворялись условия (1) и (2).

Итак, если уравнение относительно S имеет один и только один нулевой корень, то можно всегда предположить, что

dipi dipi _ dipt n

d3i d[%' " ' d0n ’

dipl _ ^2_ ^n 0

dpi dpid3i -

Определение характеристических показателей

Пусть

dx,

(2 = 1,2n)(1)

— система дифференциальных уравнений, где Хп Х2,. . .,ХП—данные функции от хх, х2, . . ., хп. Мы можем предполагать либо, что время t не

входит явно в эти функции Х^, либо, наоборот, что функции Xi зависят не только otztj, х2, . .. , хп, но еще и от времени I; в последнем случае Х-, должны быть периодическими функциями t.

Предположим, что эти уравнения (1) допускают периодическое решение

^ = ф;(().

Возьмем это решение за порождающее и образуем уравнения в вариациях (см. п. 52) уравнений (1), положив

X = <Pi(0 + Hf

и пренебрегая квадратами 5-

Эти уравнения в вариациях запишутся в виде

а» ах. ах.ах.

Хи =(2)

Они линейны относительно 5 и их коэффициенты dXJdxi (где х^ заменены на (fi (i)) являются периодическими функциями t. Итак, нам надо проинтегрировать линейные уравнения с периодическими коэффициентами.

В п. 29 мы видели, какова в общем случае форма интегралов этих уравнений; мы получаем и частных интегралов следующего вида:

^^e^'Sn, с2 = е^и, ■ ■ • , L = e'4lSnV5i = еа=г512, 5г =. . . ,|„ = eaitSn2,

^=6^*8^,52 = ea<S.,n, . . . , 5. = ea^8,in,

где a — постоянные a S,h — периодические функции от t того же периода, ЧТО И ф{ (/).

Постоянные а называются характеристическими показателями пе- реодического решения.

Если а чисто мнимое, так что его квадрат отрицателен, то модуль е'и есть постоянная, равная единице. Если, напротив, а действительное или если а такое комплексное число, что его квадрат не является действительным, то модуль еа1 стремится к бесконечности при t = +оо или t = —оо. Итак, если все а имеют действительные и отрицательные квадраты, величины 51; ^21- • •> ?п остаются конечными; я скажу тогда, что периодическое решение х^ = дф (i) устойчиво; в противном случае я скажу, что это решение неустойчиво.

Интересным частным случаем является случай, когда два или несколько характеристических показателей равны между собой. В этом случае интегралы уравнений (2) уже нельзя записать в виде (3). Если бы,

например,

^1 — &2 1

то уравнения (2) допускали два частных интеграла вида

Si = ^8г, г и

Si = te^Si, i + ^lSi,2,

где Sit2 и SiA — периодические функции t (см. п. 29).

Если бы три из характеристических показателей были равны между собой, то вне знаков тригонометрических и экспоненциальных функций могло бы появиться не только t, но и t2.

Уравнение, определяющее характеристические показатели

Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта; рассмотрим какое-нибудь решение

= фг (0 + Ъ-

Пусть Т — период порождающего периодического решения ж, = = ф; (2); пусть фг (0) + р, — значение ^ при t = 0 и ф, (Г) + р, + ф, — значение ^ при t = Т.

Поскольку фг обращаются в нуль вместе с р; и разложимы в ряд по возрастающим степеням рн мы можем написать по формуле Тейлора

rill). rill).riil).

Если рассмотренное решение достаточно мало отличается от периодического и можно пренебречь квадр -: ми <• то можно будет также пренебречь квадратами р и останется

ri'll), rill).ri'll).

ТЙГ Р1 "*" "Зр? Ра + • • • + ^-Pn (t = 1,2, .. . , п).

Рассмотрим одно из частных решений уравнений в вариациях (2); при t = 0 мы имеем

Si = Pi, а при t = Т

Si = Pi + Ф1-

Мы видели в п. 59, что среди этих частных решений п имеют замечательный вид: это решения (3); пусть

Si = ea'I'51,k, S2 = ^Xs,..-,

— одно из этих решений (3), или, опуская индекс к для сокращения записи,

Функции St (О — периодические функции t с периодом Т; следовательно, при t = О

₽i = ^(0)

и при t = Т

Р< + Ф, = ^ (П = e^Si (0) = е»тр.

или при замене ф; его значением

с?тЬ.ciib.

(i = 1, 2,. .. ,и).

Исключая pn р2,. . ., pn из этих n уравнений, получаем

йРз

С?ф1

^фг

+ 1 _ е«Т . dps

йфз

dpi

^п ар2

откуда следует правило: чтобы получить характеристические показатели а, составляем функциональный определитель ф по Р; образуем соответствующее уравнение относительно 8; корни этого уравнения равны еаТ — 1.

Само собой разумеется, что в частных производных dфi/dp^ надо после дифференцирования положить все Pj равными 0.

Случай, когда время не входит' явно

Когда время t не входит явно в уравнения (1) п. 59, по меньшей мере один из характеристических показателей равен нулю. Пусть

^< = ф< (<)

— порождающее решение; если положить

^i == Ф« (^ + Л),

где h — произвольная постоянная, то получим еще одно решение уравнений (1); тогда в силу п. 54 получим одно решение уравнения в вариациях, положив!

51 — ан ~ at 1

Но поскольку ф{ — периодическая функция #, то такою же будет и ее частная производная d^/dt.

Решение (4) имеет, конечно, вид (3) (т. е. равно показательной функции, умноженной на периодическую функцию от t\ Только в этом случае показательная функция обращается в единицу и характеристический показатель равен нулю. Это и требовалось доказать.

Впрочем, мы уже видели в предыдущей главе, что в этом случае функциональный определитель ф по р равен нулю.

Новая формулировка теоремы пунктов 37 и 38

В п. 37 мы вначале рассмотрели случай, когда уравнения (1) зависят от времени t и параметра р и при р = 0 допускают единственное периодическое решение. Мы видели, что если функциональный определитель

5(Mрп)

то и при малых значениях р. уравнения допускают периодическое решение.

Этот определитель можно записать в виде

с/фгdi|)2А =d$id^tс/фгdi|)2А =d$id^tcZipi cZipi d₽i 0^2cZipi cZipi d₽i 0^2di4?idips d|3ndi4?idips d|3n<^n d₽n<^n d₽n

с/фг

di|)2

А =

d$i

d^t

с/фг

di|)2

А =

d$i

d^t

cZipi cZipi d₽i 0^2

cZipi cZipi d₽i 0^2

di4?i

dips d|3n

di4?i

dips d|3n

<^n d₽n

<^n d₽n

Но характеристические показатели а даны уравнением

dPid^• • • d|3n

1 _„aT^h

d^id'^• • • rf₽n

d₽id^1 * • d₽n

Поэтому сказать, что А равен нулю, значит сказать, что один из характеристических показателей равен нулю, и мы можем следующим образом выразить первую из теорем, доказанных в предыдущем пункте.

Если уравнения (1), зависящие от параметра ц, допускают при р = О периодическое решение, ни один из характеристических показателей которого не равен нулю, то они будут допускать периодическое решение и при малых значениях р.

Можно прийти к аналогичному результату, если предположить, как и в п 38, что время не входит явно в дифференциальные уравнения.

В п. 38 мы видели, что для сохранения периодических решений при малых значениях р достаточно, чтобы при р = 0 не все определители, содержащиеся в матрице .

/ rflpl

dipi

dipl

dlpl

dpi

dpi "

dx

dips

rfTp2

dtps

dips

d^i "

' 'd?,

dx

dK

.

\ d?i

fl'|3>

' dK

dx

обращались в пуль одновременно.

Рассмотрим теперь уравнение относительно S

d’piedipidiptd3i °d3s"" d3dipsd^z cdip-2——dpid p2'd’P,,dK■d'didiid'Kd’piedipidiptd3i °d3s"" d3dipsd^z cdip-2——dpid p2'd’P,,dK■d'didiid'K= 0.= 0.

d’pie

dipi

dipt

d3i °

d3s"

" d3

dips

d^z c

dip-2

—

—

dpi

d p2'

d’P,,

dK

■

d'di

dii

d'K

d’pie

dipi

dipt

d3i °

d3s"

" d3

dips

d^z c

dip-2

—

—

dpi

d p2'

d’P,,

dK

■

d'di

dii

d'K

= 0.

= 0.

Как мы уже видели в п. 60, его корни равны еаГ — 1, где Т— период, а — характеристический показатель. Поскольку время не входит явно в уравнения, один из этих показателей равен нулю в силу п. 61.

Следовательно, уравнение относительно 5 имеет по меньшей мере один нулевой корень; я утверждаю, что если оно имеет только один нулевой корень, то периодические решения сохраняются при малых значениях р.

Действительно, в силу того, что мы показали в п. 58, всегда можно предположить, что

d’pi dipi dipirfipi

d[31 dj3z d(3s " " " dji^

dipt dlp2 dips _

d[3id,3id&i ' ' " d3i

Левая часть уравнения относительно 5 записывается в виде

с/фз

С с/фз

с/фз

d {За

с/р3' '

с/фз

с/фзс

с/фз

-S

с/Рз

С/Рз■ ■

^Фп

с/ф п \

с/р2

с/Рз

Итак, если уравнение относительно S имеет лишь один нулевой корень, то функциональный определитель 6 величин гр2, гр3, . . ., фп по р2>Рз» • • •- Ра не равен нулю.

Тогда определитель, полученный из матрицы вычеркиванием первого столбца, сводится к

6

с/т

Я утверждаю, что он не равен нулю. В самом деле, А^/^т не может обращаться в нуль по следующей причине.

Равенства

С/Л|?1 cZlp2 __ с/фп _ р

йт с/т^

не могут выполняться одновременно.

Если бы эти равенства выполнялись, то это означало бы, что для периодического решения

^1 = Ф1(0- ж2 = ф2(/),. ..,жп=ср„(/),

которое соответствует р. = 0 и с которого мы начинали, мы имели бы при t = Т (следовательно, также при всех значениях /)

dxi dx^dx

= == —— = о

dt dt ' " ‘ dt ’

так что ф! (/), ф2 (<),• • ч Фп (О были бы постоянными, а этот случай мы исключим из рассмотрения.

С другой стороны, я утверждаю, что

с/фз с/ф8с/фп

с/т с/Т " " " dx '

Действительно, мы имеем, как это было показано выше (см. п. 38), с/ф! с/ф. , </ф2 </ф{ ,? „X .

с/т c/^i ' с/тd&^ Т • • • г ^т

11 А. Пуанкаре

НоНо

Но

Но

</31

следовательно, мы имеем ряд линейных уравнений

(1 = 2, ЗД . . , И)(1 = 2, ЗД . . , И)dlp2 dlpj^"Фп ^i

(1 = 2, ЗД . . , И)

(1 = 2, ЗД . . , И)

dr d$tdx ^3n

и, поскольку определитель этих уравнений (т. е. 6) не равен нулю, полу

чаем

dlp2 ^3С?1рп

dx dx " " " dx

Исключая из рассмотрения случай, когда q^ (t), q>2 (<),..., <pn (t) постоянны, который будет изучен отдельно в п. 68, мы приходим к заключению, что

ciipidx

что и требовалось доказать.

Таким образом, если дифференциальные уравнения не содержат времени в явном виден допускают периодическое решение при ц=0, то один из характеристических показателей этого решения будет всегда равен пулю; если, кроме того, ни один из остальных показателей не равен нулю, то периодическое решение существует и при малых значениях ц.

Случай, когда уравнения допускаютоднозначные интегралы

Предположим, что уравнения

G = l,2,...,n),(1)

где Хх — однозначные функции xv х2, . . ., хп и t, периодические по t с периодом 2л, допускают периодическое решение с периодом 2л

^1 = Ф1(0>^2 = ф2(^)>• ■•. ^п = фп(^

так что qq (2л) = фг (0) и не зависящий от времени, однозначный по хх, х2, . . ., хп интеграл

F (хх, х2, . . ., хп) = const.

Я утверждаю, что один из характеристических показателей равен нулю всегда, кроме исключительного случая, о котором скажу позже.

Действительно, определим величины ф и р, как и в п. 37, и рассмотрим функциональный определитель ф по р. Я утверждаю, что этот определитель равен нулю.

В самом деле, тождественно имеем

Лф1(0) + & + ф4] = тЧфИОНМ, где для краткости вместо

F (жр ж2, . . ., жп) мы пишем F (ж,).

Дифференцируя это тождество по ръ находим

dF сМл dF йфгdF

++ +=(2)

■ndF dFdF

В производных , , • • • ,■ надо заменить xL, ж2, • • ч жп на

du dxi"

Ф1 (0), ф2 (0), Фп (0).

Мы можем положить в уравнениях (2) Z = 1, 2, . . ., и; таким образом получаем п линейных уравнений относительно величин

dFdFdF

dxidxidxn

Тогда будет верно одно из двух: либо определитель этих уравнений (2), т. е. функциональный определитель ф по р, будет равен нулю, и тогда, как мы видели в п. 62, один из характеристических показателей будет равен нулю.

Либо одновременно будут выполняться равенства

(3)(3)d£_ _dF_ __ dF

(3)

(3)

dxi dxi ' " " dx^ "

Эти уравнения должны удовлетворяться при

ж1 = Ф1(2л), ж2 = ф2(2л),. .., ж„ = фп(2л),

или, что то же, при

^1=Ф1(0),^2=ф2(0),. . ., Жп = ф„ (0).

Но начальный момент времени остается полностью произвольным; следовательно, мы должны заключить, что уравнения (3) будут удовлетворены для любого t при

ж1 = Ф1(0.^2 = Фг(«),^п^Фп^).

Впрочем, в этом можно убедиться следующим образом.

Предположим, что уравнения (3) удовлетворяются для системы значений х^, х2, • • ч^п! я утверждаю, что они также будут удовлетворяться для бесконечно близкой системы хх+ dxlt х2 + dx2,. . ,,xn+dxa, если только в соответствии с дифференциальными уравнениями

dxj d$tdxn

Другими словами, я утверждаю, что из уравнений (3) следуют уравнения

d^Fdx.dxid^Fdx.dxid^Fdx.dxid^Fdx.dxidx.dx Xu Uг ndx.dx Xu Uг n(i = 1,2, . . . , и).(i = 1,2, . . . , и).

d^Fdx.dxi

d^Fdx.dxi

d^Fdx.dxi

d^Fdx.dxi

dx.dx Xu Uг n

dx.dx Xu Uг n

(i = 1,2, . . . , и).

(i = 1,2, . . . , и).

Действительно, тождественно выполняется равенство

(поскольку F — интеграл дифференциальных уравнений). Дифференцируя это тождество по х^, получаем

” d^FdF dXk \

S ( di ai х* + S^T) = 0

или в силу уравнений (3)

что и требовалось доказать.

Таким образом, если дифференциальные уравнения допускают однозначный интеграл, то один из характеристических показателей любого периодического решения будет равен нулю, если только все частные производные интеграла не обращаются в нуль во всех точках этого периодического решения. Последнее обстоятельство может представиться лишь в исключительном случае.

Предположим снова, что правые части дифференциальных уравнений (1) содержат время в явном виде и являются относительно этой переменной периодическими функциями с периодом 2л.

Я утверждаю, что если дифференциальные уравнения имеют два однозначных интеграла F и Е1: то два характеристических показателя равны нулю.

Действительно, как и в предыдущем

пункте,

найдем

dF <7ф1dF с?фз

dF

dxi dp. ' dxi tZP; ' " "

" 1 dxn

dFi rfipidFi tZipa

dFi

С?Фп A

dxi dPi ' dxi dp; ' ’ ’ ’

1 dln

, = 0

(2)

(i = 1,2, . . . , п)

[^1 = Ф1(0), л:а = ф2(0),. .., жп = фп(0)].

Отсюда можно заключить, что не только функциональный определитель ф по р равен нулю, но также равны нулю все его миноры первого порядка,

если только одновременно не выполяются уравнения

dF

dF

dF

dxi

dx-i

dx^

(3)

dFi

dFi - ‘’

dFi ‘

dxi

dxi

dx

Но в силу п. 57 это может случиться, лишь если уравнение относительно S, составленное при помощи функционального определителя величин ф, имеет два нулевых корня, т. е. (поскольку эти корни равны еаТ — 1) если два характеристических показателя равны нулю.

Итак, если имеются два однозначных интеграла, то найдутся два нулевых характеристических показателя, если только уравнения (3) не удовлетворяются во всех точках периодического решения, что, очевидно, может произойти лишь в исключительном случае.

Точно так же можно было бы доказать, что если имеются р однозначных интегралов FT, Fz, . . .,FP, то р характеристических показателей будут равны нулю, если только все определители матрицы

/ ^ dF1 dF1dxi dxt " " " dx^

dFi dFi dFidxi dxi " " " dx^

dFdFdF

I p pp J

\ dxidx2" " ' dxn

не обращаются в нуль во всех точках периодического решения.

Представим себе теперь, что время не входит явно в наши дифференциальные уравнения и что, кроме того, эти уравнения имеют одно-

значный интеграл

F (^,^2,. . . , х^ = const,

не зависящий от времени t.

Я утверждаю, что два характеристических показателя будут равны нулю.

Прежде всего, мы видели, что один из этих показателей всегда равен нулю, когда время не входит явно. Если, кроме того, имеется интеграл F, то, как в п. 64,

л<е(0) + Р1 + 1М = л<мо) + Ра

и, дифференцируя это соотношение по р, и т, получим

dF d^ , dF d^ (, dF dl?

dF dipi dF dipsdF dip

- —_—I1—I--4= о

du. dx dxt dr ।। dxn dx

Отсюда следует, что или одновременно

dF dFdF

dxi ~ dxi = • • • dx^ '

во всех точках периодического решения, или же все определители, содержащиеся в матрице

dipi

dipt

dipi

dipi

d[3i

d{12'

" ‘ d|3n

dr

dips

dips

dips

dips

dpi

dps ' ‘

dr

dBi

d^s ’

dr

одновременно равны нулю.

Но мы видели в п. 63, что это может случиться, лишь если два характеристических показателя обращаются в нуль.

Я намереваюсь теперь доказать следующее.

Предположим снова, что время не входит явно в наши дифференциальные уравнения; предположим, что эти уравнения имеют р аналитических и однозначных интегралов, в которые время также не входит явно. Пусть Fu F^, . . . ^Fp — эти р интегралов.'

Тогда либо р + 1 характеристических показателей равны нулю, либо все определители, содержащиеся в матрице

dF. \

--г--- (г = 1,2,.. . , р; к = 1,2, . . . , nV

dx^ )7

равны нулю во всех точках порождающего периодического решения. Действительно, предположим для опредленности, что

п = 4, р = 2.

Мы будем тогда иметь следующие уравнения:

dFi dx\

dF^, d$i

dFv

d3i +

d3^ + dipt [

dFi dxi

dFj dxi

dFT

dips ,

dlp2 !

d^2,

dFi dxs

dFi dx3

dFi

dips.dFxdipt

d^dx4d^

dips,dFidipt

d^dx4d3i

dips, dFt dip4

drdxi dx

dips.dFidipt

dxdx4dx

= o,

= o,

= 0,

о

(t = 1,2, 3,4)

dxi dFi

dx ।

dt

du dFi

dx 1

dlp2 ,

dxs dFi

dxi

du

dX '

di3

Из этих уравнений можно вывести, что либо все определители, содер

жащиеся в матрице

dFx \ dx4dFjdx4 /dFx \ dx4dFjdx4 // dF\dFidFi

dFx \ dx4

dFj

dx4 /

dFx \ dx4

dFj

dx4 /

dxidxidxs

dFidFidFi

\ dxidxidxs

равны нулю одновременно, либо все рице

/dipidiptdipt

/d;6id^id3s

dipadipsdip>

^3i^Зз

t/i|)3f/фзс^грз

ldBi'd3id3s

\diptdip)dipt

\d3id32d3s

определители, содержащиеся в мат-

dipidipi \

d3tdx \

dip2 dips \

d3i dx

dips dips’^ ^

d3idx

dip) dip) /

d3tdx /

равны нулю одновременно вместе со своими минорами первого порядка. Как мы видели в п. 58, можно всегда предполагать, что

dip^

= 0

к.к.при

к.

к.

С другой стороны, поскольку все миноры определителя, полученного вычеркиванием последующего столбца матрицы (1), должны быть равны нулю, то соответствующее уравнение относительно 5 будет иметь два нулевых корня; следовательно, я могу предположить, что

dips C?Tp4 . ~ d^a — dB4

Я намерен показать, что уравнение относительно 8 имеет третий нулевой корень и, следовательно,

dipi _ п dpi

или dipa _ п dPa ‘

В самом деле, в силу самого определения ^ имеем ф; = 0, если положить

Рл = <Pk W — Фк (0),

где h — любая постоянная; отсюда, дифференцируя по h и полагая затем h = 0, получаем

S-dp^^W-o.

Но

Ф.<0) = ^;

следовательно,

dip.dip,dip.dipsdip*dipsdip.dip4

dPidTdPadx1 dpsdr1 dp4dr—d,

(2)

Полагая i = 1, получаем

dipi dlpi _ p dPi dr’

откуда

'dipi _ p

dpi

или

dtp!

В первом случае теорема доказана. Во втором случае запишем уравнение (2), положив I = 2; получим

(/фа (/фг _ Q

(/Ра dx ’

откуда или

<^2 _ Л

или

(/фа Лdx - ’

В первом случае теорема доказана, во втором случае имеем

(/ф1 _ (/фа qdx dx ’

откуда можно заключить (поскольку мы исключаем из рассмотрения случай, когда все йф;/йт равны нулю одновременно), что производные йф3/йт и йф4/йт не обе равны нулю.

Образуем миноры, получаемые вычеркиванием в матрице (1) третьего и четвертого столбцов и третьей строки (или третьего и четвертого столбцов и четвертой строки).

Эти два минора должны равняться нулю; это дает

rfipi(/фа</фз (/ф1</фа</фз л

(/Pi(/Раdx</31</3»dx '

откуда вытекает (поскольку Дф3/^т и йф4/йт не обе равны нулю), что или

^1 _ л

<Z3i ~ ’

или

(/фа _ р(/Ра ’

а это и требовалось доказать.

В п. 67 мы исключили из рассмотрения случай, когда

Ф1(0.Фг(0. • • • ,Фп(0

постоянны, т. е. когда одновременно выполняются равенства

б/ф1 _ ^Ф2 __ ^Фк _ у

dx dx " " ' dx "

Если по-прежнему предполагать, что время не входит явно в исходные дифференциальные уравнения, то остаются в силе уравнения

(/ф. </ф1</ф{ (/фа(/31 dx ^~ (/За dx(/ф. </ф1</ф{ (/фа(/31 dx ^~ (/За dx^i «^n _0dp dx •^i «^n _0dp dx •

(/ф. </ф1</ф{ (/фа

(/31 dx ^~ (/За dx

(/ф. </ф1</ф{ (/фа

(/31 dx ^~ (/За dx

^i «^n _0

dp dx •

^i «^n _0

dp dx •

Но из этих уравнений не вытекает более ни что функциональный определитель ф по р равен нулю, ни что один из характеристических показате- телей всегда равен нулю.

Итак, если дифференциальные уравнения имеют р интегралов, то из этого можно только заключить, что по меньшей мере р характеристических показателей равны нулю (но не р + 1), как в случае, когда время явно входит в уравнения.

Случай уравнений динамики

Перейдем теперь к уравнениям динамики

dr.dFdy-dF

=(г = 1,2, . . . ,и),(1)

dtdy^dtdx^ '''

куда, я предполагаю, время не входит явно. Они имеют интеграл живых сил

F = const.

Предположим, что уравнения (1) имеют периодическое решение с периодом 2л

^ = Ф1(0- г/г = Ф1(0

и составим уравнения в вариациях, положив

^ = фг(О + ?г> Уг = ФИО + Пь

В п. 56 мы показали, что если £,, ц^и^', ц/— два произвольных частных решения уравнений в вариациях, то

2 (^i — ^Пг) = const. i=l

Я утверждаю, что отсюда следует, что характеристические показатели попарно равны по величине и противоположны по знаку.

В самом деле, пусть ^ и ц? — начальные значения ^ и щ при t = 0 в некотором решении уравнений в вариациях; пусть £1 и ц^ — соответствующие значения ^ и Ц; при t = 2л. Ясно, что £1 и ц1 будут линейными функциями ^ и ri», так что подстановка I, переводящая £• и ц® в £1 и т^, будет линейной подстановкой.

Пусть

апа12. . . я113и

®21й22• • • я2,2п

®2П,1 а2п,2 •• • а'2п,2п

— таблица коэффициентов этой линейной подстановки.

Составим уравнение относительно X:

^н X а12■ • • ^i,2n

&21#22^• • •®2,2п

#2п,1#2п,2• • •#2п,2п^

2п корней этого уравнения будут так называемыми мультипликаторами линейной подстановки Т. Но эта линейная подстановка Т не может быть произвольной; необходимо, чтобы она не изменяла билинейной формы

Для этого уравнение относительно X должно быть возвратным. Действительно, теория линейных подстановок нас учит, что если линейная подстановка не изменяет билинейной формы, то ее уравнение относительно S должно быть возвратным. Итак, если положить

X = е2ал,

то величины а должны быть попарно равными по абсолютной величине и противоположными по знаку, что и требовалось доказать. Мы вернемся к этому в п. 70.

Уравнения (1) предыдущего пункта всегда допускают интеграл, называемый интегралом живых сил

F = const.

Я предполагаю, что они имеют, кроме того, р однозначных интегралов

Ег = const, Fa = const, . . ., Fp = const.

Я предполагаю также, что попарные скобки Пуассона этих интегралов равны нулю, т. е.

[Л. Ук] = 0(Z, к = 1, 2, . . РУ

Впрочем, известно, что для произвольного интеграла Е^

[F, га = о.

Я собираюсь доказать, что в этом случае либо все функциональные определители функций F, F^, Еа, . . ,Ер по любым р + 1 переменным xt и yt одновременно равны нулю во всех точках периодического решения, либо 2р + 2 характеристических показателей равны нулю.

Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) п. 56, т. е. уравнения в вариациях уравнений (1). Пусть |{, ц, — частное решение этих уравнений; обозначим это решение через У; пусть 5/, ц/ — другое рзшение этих же уравнений; обозначим его через 8'.

Мы знаем, что

S^i —^Лг) = const.

Я обозначу (8, 8') левую часть этого соотношения.

Мы видели в и. 59, что среди решений предложенных уравнений некоторые имеют замечательный вид. Для одних каждая из величин ^ и тр равна показательной функции е7/, умноженной на периодическую функцию от t. Эти решения я буду называть решениями первого вида.

Для других каждая из величин ^ и ц4 равна показательной функции eaf, умноженной на целый многочлен от £, коэффициенты которого являются периодическими функциями t. Я буду их называть решениями второго вида.

Уравнения (2) могут допускать только 2га линейно независимых решений. Следовательно, произвольное решение может рассматриваться как линейная комбинация 2га решений, называемых фундаментальными.

Если из 2га характеристических показателей р различны, можно выбрать в качестве фундаментальных решений р решений первого вида и 2га — р решений второго вида.

Пусть

8^, 82, - ■ • , Sq

— q частных линейно независимых решений уравнений (2); обозначим через 8' произвольное решение.

Линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям

№, 5') = (82, S’) = . . . = (Sq, S') = 0(3)

не может быть больше 2га — q.

Действительно, пусть

1г = £, Ъ = Ц?

— решение б^; сохраним буквы ^ и ц, для обозначения решений 8', тогда условия (3) нам дадут q линейных соотношений между £; и тц; эти соотношения различны, если частные решения 8Х, 8й,. . ., 8q линейно независимы. Следовательно, они дадут возможность понизить на q единиц порядок линейных дифференциальных уравнений (2). После этого понижения порядка уравнения будут иметь только 2га — q линейно независимых решений, что и требовалось доказать.

Теперь предположим, что 8 — решение первого или второго вида, соответствующее характеристическому показателю а, и что 8' — решение

первого или второго вида, соответствующее характеристическому показателю р. Составим выражение

(3, 3').

Это выражение имеет следующий вид: показательная функция е^*^1, умноженная на целый многочлен от t, коэффициентами которого являются периодические функции t.

Но это выражение должно сводиться к постоянной. Ясно, что это может быть лишь в двух случаях: либо если эта постоянная равна нулю, либо если а + р = 0.

Отсюда можно заключить, что если имеется q характеристических показателей, равных +а, найдется еще q, равных —а, что подтверждает результат, полученный в п. 69. Действительно, если q характеристических показателей равны +а, то показателю а соответствуют q линейно независимых решений первого или второго вида.

Пусть Su St, . . , Sq — эти q решений. Независимых решений 3", удовлетворяющих соотношениям

(V') = M = -.. = (V) = 0'

не может быть больше 2п — q.

Следовательно, среди фундаментальных решений (которые все первого или второго вида) имеются q, для которых по меньшей мере одна из постоянных (5Ь 3") не равна нулю, и, следовательно, для которых показатель р равен —а.

Предположим теперь, что уравнения (1) допускают интеграл

Ft = const.

Как мы видели в п. 54, уравнения (2) будут допускать в качестве частного решения

Обозначим через 3’1 это решение; функции dF^dx^ и dF^dy^ (где надо будет заменить х^ и yt их значениями, соответствующими порождающему периодическому решению) будут периодическими функциями t. Следовательно, решение 8г первого вида и его характеристический показатель равен нулю. .

Если F4 = const — другой интеграл и 3’2 — решение

£i =£i =dFidFidFidFidyt ’111 dx.dyt ’111 dx.

£i =

£i =

dFi

dFi

dFi

dFi

dyt ’111 dx.

dyt ’111 dx.

TOTO

TO

TO

(St, 32) = [Fn F21.

Предположим теперь, что наши уравнения (1) допускают р + 1 интеграл

F = const, F\ = const, F2 = const, . . . , Fp = const, и пусть

— p -|- 1 решений уравнений (2), соответствующих этим интегралам.

Справедливо одно из двух: либо эти р + 1 решений независимы; либо все функциональные определители F, Fx, F21. . ., Fp по р + 1 переменным, выбранным среди х^ и z/;, одновременно равны нулю во всех точках периодического решения.

Предположим, что это не так и что решения S, Sv S2, . . ., Sp независимы.

Во всех случаях мы будем иметь

1^1 = 0(7 = 1,2, ...,р),

откуда

(5, S0 = 0.

Я предполагаю, что, кроме того,

[Л>Л1=0(0к = 1,2, . . . ,рУ

Равным образом будем иметь

^\, S^ = 0.

За 2п фундаментальных решений я возьму р + 1 решений S, S17 S2, ... ,SP и 2п — р — 1 других решений первого или второго вида.

Среди фундаментальных решений заведомо найдется р + 1, которые (я обозначу их SO не будут одновременно удовлетворять соотношениям

^s,so = ksvso = ... = (^р,^') = о

и которые, следовательно, будут иметь характеристический показатель, равный нулю.

Но эти р + 1 решений не совпадут с р + 1 решениями

S, iV^, S2, .. . , Sp.

Я утверждаю, что, например, не может иметь место равенство

так как по предположению

(5, 5к) = №, S^ = . . . = (Sp, Sj,) = 0,

a S' в силу самого своего определения этим свойством не обладает.

Предположим теперь, что существуют р интегралов (кроме F = const), а именно,

FT = const, F2 = const, . . . , Fp = const,

но что попарные скобки Пуассона этих р интегралов не равны нулю. Все, что можем утверждать в этом случае, это что р + 2 характеристических показателя равны нулю. Но мы знаем, что по меньшей мере р + 1 фундаментальных решений (тех, что мы обозначили 8, S^ S2, . . ., Sp) будут первого вида с нулевым показателем.

Поэтому если было установлено, что уравнения (2) допускают лишь р линейно независимых решений первого вида с нулевым показателем, то можно быть уверенным, что уравнения (1) имеют не более чем р + 1 интегралов (включая F = const) или по крайней мере что если эти р + 1 интегралов существуют, то все их функциональные определители по р + 1 из 2п переменных х и у одновременно равны нулю во всех точках периодического решения.

Замена переменных

Посмотрим, что происходит с характеристическими показателями при замене переменных.

Пусть

— наши дифференциальные уравнения, куда, я предполагаю, время не входит явно. Пусть

^i = Фг W

— периодическое решение с периодом Т. Пусть

^i = Ф1(О + £г,

откуда получаем уравнения в вариациях

Пусть

^ = е«'ф;(г)

— решение этих уравнений в вариациях, где ф; периодичны по t.

Сделаем замену переменных, заменяя время t новой переменной т, определенной соотношением

xv х2,. . ., хп; получаем дифференциальныеxv х2,. . ., хп; получаем дифференциальные= Ф, ат

xv х2,. . ., хп; получаем дифференциальные

xv х2,. . ., хп; получаем дифференциальные

где Ф — данная функция уравнения

(Ibis)(Ibis)dx.

(Ibis)

(Ibis)

dx

и уравнения в вариациях

dxdx(2bis)(2bis)

dx

dx

(2bis)

(2bis)

Уравнения (Ibis)Уравнения (Ibis)допускают периодическое решениедопускают периодическое решение^ = Ф- (т),^ = Ф- (т),соответствующеесоответствующее^г = ф,(0>^г = ф,(0>

Уравнения (Ibis)

Уравнения (Ibis)

допускают периодическое решение

допускают периодическое решение

^ = Ф- (т),

^ = Ф- (т),

соответствующее

соответствующее

^г = ф,(0>

^г = ф,(0>

период которогопериод которогоравенравен

период которого

период которого

равен

равен

Г' — С —

;) Ф ’

о

В Ф до интегрирования следует ад заменить на <рг (<).

Чтобы решить уравнения (2bis), мы учтем величину dtldx и запишем

^. dX.^. dX.dффdфф(2ter)(2ter)

^. dX.

^. dX.

dф

ф

dф

ф

(2ter)

(2ter)

Положим затем

?г — 4i + УД;

получим

+ X1"di

Л^ v аФ у "arZj3^Ak’Л^ v аФ у "arZj3^Ak’dX.dX. X. /уф

Л^ v аФ у "arZj3^Ak’

Л^ v аФ у "arZj3^Ak’

= 2^- + S^^ + ^2£>

отсюда видно, что можно удовлетворить уравнениям (2ter), полагая

Из этого можно получить

7. = еа10 (7)

^ = е^04(7),

где й (7) и 94 (7) — периодические по 7. Затем следует заменить 7 его значением, полученным из уравнения

^- = ф[гР1(7), ф2(7),фп(7)].

Таким образом, находим

t = ^? т + Ж),

где / (т) — периодическая функция т. Итак, получаем

откуда видно, что после замены переменных новые характеристические показатели равны старым, умноженным на Т!Т'.

Разложение показателей.

Вычисление первых членов

Вернемся к уравнениям

^^ __ 4F dyj _ dF dt dy^ ’ dtdx.^^ __ 4F dyj _ dF dt dy^ ’ dtdx.(7 — 1,2,..., r)(7 — 1,2,..., r)(1)(1)

^^ __ 4F dyj _ dF dt dy^ ’ dtdx.

^^ __ 4F dyj _ dF dt dy^ ’ dtdx.

(7 — 1,2,..., r)

(7 — 1,2,..., r)

(1)

(1)

из n. 13 и к предположениям этого пункта. Положим

При р = 0 Zj постоянны; с другой стороны, имеем

У г = Mil + Si, где й^ — постоянные.

Пусть п®, п^,. . ., п?, — такие значения пп что величины п^Т кратны 2л. Пусть ж" — такие значения хь что

н{ — п®.

2 Л. Пуанкаре

В п. 42 и 44 мы видели, что уравнения (1) имеют периодическое решение с периодом Т, которое разлагается в ряд по степеням р и которое при ц = 0 сводится к

О0 • t

^i = Ж,, yt = Hit -\- til,

где 3“ — некоторые частные значения постоянных 3{. Рассмотрим теперь произвольное решение.

Пусть л^ + (3j — начальные значения ^ и 3, — начальные значения рг при t = 0. Пусть Аф — приращение ф и п^Т -Н А^ — приращение р, когда t изменяется от 0 до Т.

Вот как составляется уравнение, дающее характеристические показатели.

Построим определитель, элементы которого даются следующей таблицей. В этой таблице первый столбец указывает номер строки, второй указывает номер столбца, а третий дает соответствующий элемент определителя .

Номер

строки

Номер столбца

Выражение для элемента

1

(i<

n)

к

(к-

к ф 1)

йДа:^

г

(i <

n)

к =

г

dAo^(

dPi‘

i

-|- n

('^

>0)

к

^к.

С ”)

dSix^ d®t

1

(i<

к +

п

к

>0)

<1^Ук

i

+ "

(i /

. 0)

/= +

п

и^;

>0, k-^i)

d^ 'Ц d^i.

t

-1- „

V >

.0)

п =

1 +

dAyi

Приравнивая нулю построенный таким образом определитель, получим уравнение относительно 5, корнями которого являются выражения

еаТ - 1,

где а — характеристические показатели.

Аф и Ар{ разлагаются в ряды по степеням р, |3, и ь\ — гФ. То же самое можно сказать о величинах

(3)(3)d\xvdAr. <1Лу.dAyf.

(3)

(3)

п, кп, к^ п, к ф I.^ п, к ф I.dp^ ’ dQ. ’ df^da^ '

п, к

п, к

^ п, к ф I.

^ п, к ф I.

Здесь следует заменить |3 и й€ значениями, соответствующими периодическому решению и разложимыми в ряды по степеням ц, так что после этой подстановки величины (3) будут разложены в ряды по степеням ц.

Поскольку, с другой стороны,

5 = е“т — 1,

мы видим, что наш определитель является целой функцией от а, разложимой в ряд по степеням ц.

Я обозначу эту функцию G (а, ц) и для определения а как функции от ц буду иметь уравнение

G (а, ц) = 0.(4)

Теперь положим

а = е "Уц.

Разделим первые п строк определителя, а также его п последних столбцов, на |/р. Если записать элементы определителя в том же порядке, что и в (2), то они примут вид

dNx^dAx^ s d&z^ dAypdAyk

Vp d^ ’VH ^VИ * ^йг ’ ^г ’VИ ^^i ’

Ий dai Vy. ’

и уравнение (4) превратится в уравнение

ц^п G (е у^р, ц) = Gx (е, V у. ) = 0.

Посмотрим, во что превратится это уравнение при ц = 0, или, другими словами, образуем определитель GT (е, 0).

При [1 = 0 Да;к равны нулю, а Аук зависят лишь от f^. Следовательно, dAzfc/d|3j, dAxkld-^i и ^Аук/^й; делятся на р. Итак, получаем

dAx., lim —— = lim ——= 0 при ц = 0.

У и di?4VИ <№>.

С другой стороны,

S ПшеТ£^^-1„

lim —— =—= в7 .

УнУр

Затем получим (при ц = 0)

лСd F о,. грdF о

Ду,, =— \-5—at= — 1-—.

J dxvdx^

ок

В dFa!dxh нужно заменить ^ на ж® + р^ Следовательно, получаем

= т t№"t/Bjdx^dx.^ '

В d^F^dx^x^ после дифференцирования надо положить Pt = 0, т. е. ЯЧ = х^.

Мы имеем (по-прежнему при р. = 0)

т

1 л С dF'о

В dF^dyk следует xt заменить на х^ + рй а р{ — на гц t + S{; это показывает прежде всего, что

dFi dFi

Поскольку мы намерены дифференцировать Axh по Sj, а не по р;, можем сразу же дать р4 их окончательные значения и положить р, = 0, откуда п = тц°. Тогда Fx становится периодической функцией с периодом Т по t и с периодом 2л по Э{. Пусть

[Л1=Д

— среднее значение функции Fu рассматриваемой как периодическая функция от I; получим

Ад- ^ __ гр dRdcaK ’

откуда d^k _ „ d^R рс?б)| d^x d&

Таким образом, элементы определителя Gx (е, 0), если их записать в том же порядке, что и в (2), примут вид

°- - еТ- Т — Т • °- - бГ-ао^ах^ах^

Таким образом, мы получаем алгебраическое уравнение относительно е; вообще, это уравнение имеет два нулевых корня, а все остальные различны и отличны от нуля.

Применив теорему п. 30, мы увидим, что из уравнения

^(е, У у ) = 0

можно получить в (и, следовательно, о) в виде ряда по степеням Уц.

Итак, мы должны исследовать уравнение

GY (е,0) = 0.

Если мы заменим е на —е, то это уравнение не изменится.

Действительно, если мы умножим п первых строк и п последних столбцов на —1, то определитель не изменится и все элементы определителя также не изменятся, за исключением элементов главной диагонали, которые были равны —еТ и станут равными +е7\

Я утверждаю, что уравнение имеет два пулевых корня. Действительно, если мы приравняем е нулю, определитель станет равным произведению двух других, а именно:

гессиана — TF0 по х4;

гессиана TR по Эг.

Последний гессиан равен нулю, так как по определению R о d^R . о d^Rn d^R п

'ч da. дат + ”2 "daX + ••■+«„ da. rfa" ~ °-

Следовательно, уравнение удовлетворяется при е = 0 и, поскольку его корни попарно противоположны по знаку, оно должно иметь два нулевых корня.

Для того чтобы было больше двух нулевых корней, необходимо, чтобы коэффициент при е2 в GY был равен нулю. Но этот коэффициент можно подсчитать следующим образом. Умножим первую строку GY на тЦ и прибавим к ней вторую, умноженную на га®, третью, умноженную на Ид,..., га-ю, умноженную на n„. Все элементы GY остаются неизменными, за исключением элементов первой строки, которая принимает вид

— п°&Т, — п?еТ, п°еТ, ..., — п°еТ, 0, 0, ..., 0.г ’23’ п’

Умножим теперь (п + 1)-й столбец на и® и прибавим к нему (га + 2)-й, умноженный на га®, (га + 3)-й, умноженный на га®, . ., 2га-й, умноженный на га®. Все элементы остаются неизменными, кроме элементов (га + 1)-го столбца, которые принимают вид

0, 0, ..., 0, — га®б7\ — п^еТ, ..., — п^еТ.

С помощью этой двойной операции мы умножили наш определитель на (га),)2. Разделим его теперь на е2, разделив на е первую строку и (га + 1)-й столбец.

Положим затем е = 0 и найдем искомый коэффициент.

Элементы полученного таким образом определителя представлены следующей таблицей:

Номерстолбцаi (i < n)м 4~ 1iAn(i>l)i(i < n)i t* n(t ^> 1)t(Z < n)n + 1i + n (i > 1)Номерстолбцаi (i < n)м 4~ 1iAn(i>l)i(i < n)i t* n(t ^> 1)t(Z < n)n + 1i + n (i > 1)Номер строки1к(к < n)к^>1,к<п)к(7с > 1,к<. п)1к + и(к > 0)к + п(к/-О')к 4" п(Тс > 0)Номер строки1к(к < n)к^>1,к<п)к(7с > 1,к<. п)1к + и(к > 0)к + п(к/-О')к 4" п(Тс > 0)ЗначенияэлементаЗначенияэлемента—^т0агктdt^dd ц0О—^т0агктdt^dd ц0Оd^F0Т- dx^dx^-п°кТd^F0Т- dx^dx^-п°кТОО

Номерстолбца

i (i < n)

м 4~ 1

iAn(i>l)

i(i < n)

i t* n(t ^> 1)

t(Z < n)

n + 1

i + n (i > 1)

Номерстолбца

i (i < n)

м 4~ 1

iAn(i>l)

i(i < n)

i t* n(t ^> 1)

t(Z < n)

n + 1

i + n (i > 1)

Номер строки

1

к(к < n)

к^>1,к<п)

к(7с > 1,к<. п)

1

к + и(к > 0)

к + п(к/-О')

к 4" п(Тс > 0)

Номер строки

1

к(к < n)

к^>1,к<п)

к(7с > 1,к<. п)

1

к + и(к > 0)

к + п(к/-О')

к 4" п(Тс > 0)

Значенияэлемента

Значенияэлемента

—^т

0

агк

т

dt^dd ц

0

О

—^т

0

агк

т

dt^dd ц

0

О

d^F0

Т- dx^dx^

-п°кТ

d^F0

Т- dx^dx^

-п°кТ

О

О

Мы видим, что этот определитель с точностью до знака равен

T2n НхНг,

а Нг — гессиан R поа Нг — гессиан R погде Нх и Нг — два следующих определителя:

а Нг — гессиан R по

а Нг — гессиан R по

и'1

«2■

0

d^Fo

d^Fo

d^F«

dx^

dxidx-i "

* * dxi dx n

Нг =

d^F0

d»Fo

d^Fo

n°

dxi dxi

^^2

" " dxidx^

d^F0

d^Fn

Пп

dxi dxn

dxn

S2, йз, Sn.

Замечая, что п" равен с точностью до знака dFJdx^ я вижу, что Нх не изменяется при замене в первой строке и последнем столбце тц на dFJdxi. Составленный так определитель будет называться окаймленным гессианом Fo по хх, х2, . . ., хп.

Таким образом, уравнение Gx (е, 0) = 0 не может иметь больше двух нулевых корней и, следовательно, не может быть более двух нулевых характеристических показателей, если только Нх или Н2 не обращаются в нуль.-

В частном случае задачи трех тел, который мы рассматривали в п. 9, имеются лишь две степени свободы и

тогда получаем

dFodFo0dxidxiPFnPFndFoНх =dx^dxi dx-2dxid-Fod"-FndFodx\ dx»dx^.dx-2dFodFo0dxidxiPFnPFndFoНх =dx^dxi dx-2dxid-Fod"-FndFodx\ dx»dx^.dx-210=3x^000110=3x^0001

dFo

dFo

0

dxi

dxi

PFn

PFn

dFo

Нх =

dx^

dxi dx-2

dxi

d-Fo

d"-Fn

dFo

dx\ dx»

dx^.

dx-2

dFo

dFo

0

dxi

dxi

PFn

PFn

dFo

Нх =

dx^

dxi dx-2

dxi

d-Fo

d"-Fn

dFo

dx\ dx»

dx^.

dx-2

1

0

=

3x^

0

0

0

1

1

0

=

3x^

0

0

0

1

следовательно, определитель ^ не равен нулю; можно проверить, что

На =На =PRPR

На =

На =

PR

PR

также не равен нулю.

Итак, в этом частном случае задачи трех тел два характеристических показателя равны нулю, а два других отличны от нуля.

Определитель Gy можно немного упростить подходящим выбором переменных. Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что

(1)(1)00о п

(1)

(1)

п2 = И3 = ... = пп = 0.

Действительно, если это не так, можно было бы заменить переменные,

взяв за новые переменные х{ и у/, и положить

Z/i — aii?/i + У-йУг + ... + У-пг Уш

Xi = «цХ^ + a2ix2 + ... + anixn',

где а5)ь — постоянные коэффициенты. После этой линейной замены переменных уравнения сохранят канонический вид, а величины, которые будут соответствовать и®, п”, . . ., п” и котороые мы обозначим п», п^,. . ., п^, будут задаваться соотношениями

п» = «н^ + a2in0 + ... + anin«,

поскольку

,n dFo _ dFo dFo dF0 dxk „ dF0

n.° =- ,=;— ,—7- = V —

г dx.ZJ dxZJ

гnк

Так как числа и,, т?§, . . ., п^ соизмеримы между собой, мы всегда можем выбрать а^ таким образом:

чтобы а!к были целыми числами;

чтобы их определитель был равен 1.

Эти два условия необходимы, чтобы F оставалась периодической по у', так же, как она была периодична по у;'

чтобы

п^,0 — ^д° = .. ■ = ^° = 0.

Таким образом, мы можем всегда предполагать, что условия (1) выполнены, и мы получим отсюда следующие уравнения:

= °= 1-2, .... пу(2)

Интересным частным случаем является случай, когда одна или несколько переменных xt не входят в F. Предположим, например, что Ед не зависит от хп. Тогда все элементы n-го столбца (и 2п-й строки) равны нулю, за исключением тех из них, которые принадлежат главной диагонали и остаются равными еТ.

Я предположу, кроме того, что переменные были выбраны так, что условия 1 и 2 предыдущего пункта выполнены.

Отсюда следует, что элементы первой строки (и (и + 1)-го столбца) все равны нулю, за исключением тех из них, которые принадлежат главной диагонали и остаются равными — е.Т.

Таким образом, все элементы 1-й ии-й строк и и-го и (п + 1)-го столбцов делятся на е (я добавлю, что все элементы, принадлежащие одновременно одной из этих строк и одному из этих столбцов, равны нулю и, следовательно, делятся на е2); отсюда видно, что определитель делится на е4, и следовательно, что уравнение Gx=0 имеет четыре нулевых корпя.

В каком случае оно может иметь больше четырех нулевых корней?

Чтобы отдать себе в этом отчет, разделим 1-ю и 2п-ю строки и п-й и (н + 1)-й стобцы на с и положим затем е = 0. В каком случае таким обра- ом полученный определитель, равный

lim-^- при е = 0,

будет равен нулю?

Мы можем также разделить определитель Gt на в4Т4, отбрасывая 1-ю, n-ю, (и + 1)-ю и 2и-ю строки и столбцы с теми же номерами. Если затем положить е = 0, мы увидим, что все элементы равны нулю, кроме тех, которые принадлежат одному из п — 2 последних оставшихся столбцов и одной из первых п — 2 строк или же, наоборот, одному из п — 2 первых столбцов и п — 2 последних строк.

Таким образом, определитель равен с точностью до степени Т произведению двух гессианов, а именно:

гессиана Ей по хг, х3, . . .,хп_г;

гессиана R по й2, S3, . . ., Sn-X.

Если ни один из этих двух гессианов не равен нулю, то уравнение Gx = 0 будет иметь не более четырех нулевых корней и поэтому число нулевых характеристических показателей не превосходит четырех.

Что станет с этим условием, если предположить, что переменные произвольны и что условия 1 и 2 предыдущего пункта не выполняются?

В этом случае надо подвергнуть определитель тому же преобразованию, что и в конце п. 74; тогда мы увидим, как и в конце этого пункта, что после преобразования элементы первой строки будут равны

— г^ьТ, — п^еТ, ..., — п° еТ, 0, 0, ..., О,

а элементы (и + 1)-го столбца будут равны

О, 0, О, — п^еТ, — п^еТ ,— п®еТ.

Важно только заметить здесь, что п’ равно нулю, так как

Затем мы сможем разделить этот определитель на еЛТ4, отбрасывая п-ю и 2п-ю строки и столбцы с теми же номерами и разделив на еТ элементы первой строки и (п + 1)-го столбца. Если затем положить е = 0, то определитель сведется к произведению двух других, а именно:

окаймленного гессиана Fo по ^j хй, . . , ,^n-i;

гессиана 7? по Э2, Э3, . . ., Sn_x.

Для того чтобы нулевых характеристических показателей было больше четырех, необходимо (но не достаточно), чтобы один из этих гессианов был равен нулю.

Предположим теперь, что Fo не содержит ни хп, ни xn_v Рассуждая подобным образом, можно прийти к следующему результату.

Уравнение Gx (е, 0) всегда имеет шесть нулевых корней; для того чтобы оно имело больше нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы окаймленный гессиан Fo по хг,х2, . . ., хп_й был равен нулю или же чтобы гессиан R по S2 й3,. . ., Sn_2 был равен нулю. Это условие, следовательно, необходимо (но не достаточно) для того, чтобы имелось более шести нулевых характеристических показателей.

77. Вернемся к предположениям, сделанным в начале п. 76, а именно, что Fo не зависит от хк и что условия 1 и 2 и. 75 выполнены.

Мы видели, что уравнение

СДе, 0) = 0

Допускает тогда четыре и только четыре нулевых корня и из этого заключили, что число нулевых характеристических показателей не превосходит четырех. Напротив, отсюда нельзя заключить, что четыре нулевых показателя равны нулю; это доказывает лишь, что в разложении этих показателей по степеням ]/р первый член разложения равен нулю для. четырех из них.

Нам остается выяснить, равны ли нулю также и последующие члены разложения.

Я знаю, что два показателя равны нулю, поскольку время не входит явно в дифференциальные уравнения, и что F = const является интегралом. Я намерен исследовать, что произойдет с двумя другими, и для этого найду коэффициент при ц в их разложении.

Положим

а = щх, откуда е = ц ]Лр;

разделим уравнение

G(a, ц) = С(г]ц, ц) = О

на подходящую степень ц и затем положим ц = 0; получим уравнение, которое даст значения и.

Из того, что Fo не зависит от хп, можно заключить, что величины, обозначенные через п; и равные — dFJdXi, также не зависят от хп и, следовательно, от рп.

Поэтому zzj = п“ не только, как в п. 74, когда все р равны нулю, но и когда рп не равно нулю, если только остальные Р равны нулю.

Итак, если мы предположим

р1 = р2 == pn_i = 0, рп^=о,

будем по-прежнему иметь

Л*1 = у dRр - dak ‘

Это позволяет дифференцировать тождество по рп и записать

ЩЙ ™ 1 da,.d^ '

Вычислим теперь

M^k pdpn •

Получим

т

о

где, поскольку dF0/dxn = 0, имеем при ц = 0

Цdi.(УЗ

о пп

Это тождество имеет место, если только

Pl = Р2 —~ Pn-t = 0.

Следовательно, мы можем его дифференцировать по йк или по |3П, что дает

dK dak ’ l^3n < •’

Что касается величин

dAvn dkyk

нам достаточно заметить, что они делятся на ц.

Надо еще исследовать элементы первой строки определителя, а также элементы ^п + 1)-го столбца.

Элементы первой строки равны

,(1&И т d&xi dkxi dkxi d&xi dkxi d&xi

e ’ T<7^ ’ "^7 ’ "daT’ 1a^ ■

Они все делятся на ц, но я утверждаю, что п + 1 последних элементов, т. е.

d\xi d\xid^^ и dak

делятся на р2. Действительно, мы нашли при ц = 0

dkxi гр d-Rdkxi j, d^R

pd3n d&i d3n ’ y^da^ daidak

Но в силу определения R имеем

° dR_1 day° dR_1 day0 Ctrl , I 0И2 rf&+ +и"0 Ctrl , I 0И2 rf&+ +и"= 0 da= 0 da

° dR_

1 day

° dR_

1 day

0 Ctrl , I 0

И2 rf&+ +и"

0 Ctrl , I 0

И2 rf&+ +и"

= 0 da

= 0 da

или в силу соотношений (1) п. 75

dRdai

откуда (дифференцируя это тождество) получаем

d\xi d&xi

Pd£n ~ pda,.

при ц = 0, что и требовалось доказать.

Элементы (га + 1)-го столбца записываются в видеc/Axi dhxz d&xn dhyi . , ^r dAyt ^At/ndSi ’ dQi ’ ’"' ’ dtoi ’ d8>i6’ dG>i ’’ dQx '

Все эти элементы делятся на ц; но я утверждаю, что га первых и последний делятся на р2, или, что то же самое,

dkxk ^Ау

pcZBi prfffii при р = 0.

Действительно, мы нашли d^xk d^R dAy^ _ _ d^R

И

" = 0,

откуда дифференцированием получаем

d^R _ jRR_ _ 0dQidG>k dS>i dpn ’

что и требовалось доказать.

Теперь я делю каждый элемент нашего определителя G (ц, р, р) на Т, затем 1-ю строку на р, строки 2, 3, 4,. . ., га, 2га на Т^р, (га + 1)-й столбец на р, столбцы га, га + 2, га + 3, . . ., 2га па )4р. В конечном счете определитель разделен на Т'27,рп+2. Затем я полагаю р = 0.

Я замечаю, что следующие элементы равны нулю:

Строка, которой принадлежит элемент

Столбец, которому принадлежит элемент

Степень р., на которую элемент делится

Степень ц, на которую элемент был разделен

9

ПО п вкл. и 2 п

1 ПО 71 — 1 ВКЛ.

р-

1

71 И 71 4- 2 по 2п вкл.

Р2

Pl^P, (4>

2

по п вкл. и 2 п

71 4-1

и3

Р^Р

п

+ 1 по 2 71 — 1 вкл.

71 И 71 + 2 ПО 2 71 вкл.

р

Кр"

Заметим также,

что следующие элементы

конечны:

п

+1 по 2 п — 1 вкл.

1 ПО 71 — 1 вкл.

степень 0

степень 0

1

1 ПО 71 ■— 1 ВКЛ.

Р

Р

2

по п вкл. и 2 п

71И71 + 2по2т1 вкл.

Р

р (4bis)

1

71 + 1

Р3

Рг

71

4-1 по 2п— 1 вкл.

71 + 1

Р

Р

Следовательно, конечные элементы принадлежат только 1-й строке и строкам с (п + 1)-й по (2п — 1)-ю включительно и столбцам с 1-го по (и — 1)-й включительно и (п + 1)-му столбцу или же к строкам с 2-й по п-ю включительно и 2и-й строке и n-му столбцу или столбцам с (п + 2)-го по 2п-й включительно.

Наш определитель становится равным произведению двух других, которые я обозначу через Dx и Da.

Определитель Dx получится вычеркиванием строк с номерами

1, п + 1, п + 2,. . ., 2п — 1

и столбцов с номерами

2, 3,. . .,« — 1, n + 1.

Определитель D2 получится вычеркиванием строк с номерами

3, 4, . . ,,п, 2п и столбцов с номерами

п, п + 2, п + 3,. . ., 2и.

Посмотрим, как эти определители зависят от ц. С этой целью я замечу что величина

11 = lim 7F <при I1 = °)

входит лишь в члены главной диагонали, причем определитель Dv содержит два из этих членов: один, принадлежащий столбцу и строке с номером п, а другой — столбцу и строке с номером 2п.

Определитель D2 также содержит два из этих членов: один принадлежащий столбцу и строке с номером 1, другой— столбцу и строке с номером п + 1.

Отсюда следует, что Dx и В2 являются многочленами второй степени от ц. Таким образом, наше уравнение относительно ц распадается на два уравнения второй степени

Dx = О, D2= 0.

Исследуем сначала уравнение Dv = 0.

Чтобы составить определитель Dx, можно применить следующее правило.

Записать гессиан R по

изменить знаки в последней строке (той, которая содержит производные от dR/d^^ и прибавить затем —ц к тем двум элементам, которые равны d?RldSnd^n и — d?R/dSnd^n.

То же самое уравнение можно получить проще (только изменив знак левой части), беря гессиан функции 7? и прибавляя —т] к одному из двух элементов, равных по абсолютной величине dP'RidS^^ и +л к другому. Запишем уравнение DT = 0, предполагая для определенности, что п = 4,

d2 К

d2R

d2R

d2R

70^

doh 70з

70s 701

702 7pl

d2R

d2R

d2R

d2R

d&zd^3

7Sg

doh 70i

70з 73.1

d2R

d-R

d2R

d2R

= 0

dohdoh

70s 70i

^

701731

d-R

d-H

d2R

72Л

doh 73з

70s 7 3i

doh 731

При такой записи непосредственно видно то, что, впрочем, можно было предвидеть: это уравнение относительно т] имеет два корпя, противоположных по знаку.

Эти два корпя будут конечными, если гессиан 7? по

®2’ ^3’ ®4> “-I ®п-1 не равен нулю.

Они будут отличны от нуля, если гессиан R по

®2> ®з, 84,®п-1, Й„, Ри

не равен нулю.

Что касается уравнения D2 = 0, то оно будет иметь два нулевых корня. В самом деле, мы знаем, что всегда имеются два нулевых характеристических показателя и, следовательно, два из значений т] равны нулю;, но мы только что видели, что корни D1 = 0 в общем случае не равны нулю; итак, приходится заключить, что это корни уравнения D2 = 0 всегда равны нулю.

Как изменились бы результаты, если бы условия (1) п. 75 не были выполнены?

В этом случае следовало умножить (как мы это делали в п. 74) первую строку на и» и прибавить к ней 2-ю, 3-ю,. . .,и-ю строки, умноженные соответственно на п“, Пд,. . ., п® (я напомню, что и” равно нулю); затем надо было бы умножить (и + 1)-й столбец па п^ и прибавить к нему (п + + 2)-й, (п + 3)-й, . . ., 2и-й столбцы, умноженные соответственно на и”, 1г®, . . , п®,. После этого преобразования все элементы определителя G (цц, р) остаются прежними, кроме элементов первой строки и (и + 1)-го столбца.

Кроме того, каждый элемент (как элементы первой строки и (и + 1)-го столбца, так и все остальные) делится на степень р, указанную в 3-м

столбце таблиц (4) и (4bis). Разделим затем каждый элемент на Т и на степень ц, указанную в 4-м столбце тех же таблиц.

Когда мы положим ц = 0, некоторое число элементов обратится в нуль, а остальные будут конечны в соответствии с таблицами (4) и (4bis). Наш определитель останется равным произведению двух других, DT и D2, получающихся так, как описано выше.

Все элементы этих двух определителей будут иметь тот же вид, что и в предыдущем случае, за исключением элементов первой строки и (п + 1)-го столбца. Но D^ не содержит ни одного элемента этой строки и этого столбца. Следовательно, Dx выражается так же, как и в предыдущем случае, и справедливы те же выводы.

Значения ц конечны, если гессиан R по 32, й3,. . . , Эп-х не равен нулю, и отличны от нуля, если гессиан R по Э2, S3, . . . , Эп, рп не равен нулю.

Итак, если Fo не зависит от хК1 если окаймленный гессиан Fo по xv. ж2,. . .,хп_т не равен нулю, если гессианы R по й2, ©3, . . . , Эп-х и по й2, й3, . . . , Эп-х, йп, [5П не равны нулю, то лишь два характеристических показателя равны нулю.

Перейдем к случаю, когда Fo не зависит ни от жп-х, ни от хн.

Рассуждая аналогичным образом, мы увидим, что если окаймленный гессиан Fo по х^ х2, . . ., хп~2 не равен нулю, если гессианы от R по й2, й3,. .., йп_2 и по й2, а3, . .., йп_2, an-i, s„, зп, и рп не равны нулю, то лишь два показателя равны нулю.

Приложение к задаче трех тел

Применим предыдущие результаты к задаче трех тел. Мы видели в пунктах 15 и 16, как можно понизить число степеней свободы до трех в случае плоской задачи и до четырех в общем случае.

Запишем уравнения движения в виде, указанном в пунктах 15 и 16.

Два ряда сопряженных переменных тогда будут

рл, ^L\ Н,

I, U, h

в случае плоской задачи и

^L, ^'L', рГ, Р'Г',

I, V, g, g'

в общем случае. Кроме того,

Fo = AL2 + A'U"2,

где и А и А' —- постоянные коэффициенты.

Мы видели, что Fo не зависит от Н в случае плоской задачи и от Г и Г' в общем случае.

В первом случае окаймленный гессиан Fo по рЛ и ^'L' равен

BL-4J"6 + В'L~4:-\

где В и В' — постоянные коэффициенты. Следовательно, окаймленный гессиан не равен нулю.

Гессианы функции 7? также, вообще говоря, не будут равны нулю, в чем можно убедиться на примерах; впрочем, мы вернемся к подробному изучению этого вопроса в следующей главе.

Следовательно, периодические решения задачи трех тел имеют два и только два характеристических показателя, равных нулю.

Полное вычисление характеристических показателей

Рассмотрим снова уравнения (1) п. 74, полагая для определенности п = 3,

d-x. aFi dy{ dF

==(t = l,2,3).(1)

Предположим, что найдено периодическое решение этих уравнений

^ = <Pi(0> Уг^г^)

и попытаемся определить характеристические показатели этого решения. Для этого мы положим

^ = ф{(0+£ь Уг = ФИО + Ль

затем составим уравнения в вариациях уравнения (1), которые запишем в^виде

dt ~ 2^dyidx]. + ^dy^dy^

d^ _— 54-d^F (l,fc= 1,2,3)(2)

dt ZAdx.dx. ’k ' dx. dy,. ^

и попробуем проинтегрировать эти уравнения, полагая

h = ^Sb Чг = ^Т^(3)

где Si и Тг — периодические функции от t. Мы знаем, что в общем случае существует шесть частных решений этого вида (поскольку линейные уравнения (2) шестого порядка). Однако важно заметить, что в рассмат-

риваемом нами частном случае только четыре частных решения имеют эту форму, потому что два из характеристических показателей равны нулю и два частных решения имеют, следовательно, вырожденный вид.

Теперь предположим сначала, что р = О, тогда F сводится к Fo и зависит только от ж?, ж®, ж®.

Тогда уравнения (2) сводятся к следующим:

(2')(2')5l = о = _ vdt ' dt Z1 ДД^О

(2')

(2')

It г R

Коэффициенты при §r во вторим уравнении (2') постоянны. В качестве решений уравнений (2') возьмем

£1 = §2 = ^3 = 0,П1=П?. П2 = ^> Пз = Л^.

где г,®, ц®, т)з — три постоянные интегрирования.

Это решение не самое общее, так как оно содержит лишь три произвольные постоянные, но оно самое общее среди тех, которые можно свести к виду (3). Таким образом, мы видим, что при р = 0 шесть характеристических показателей равны нулю.

Не будем больше предполагать, что р. равно нулю. Мы попытаемся теперь разложить a, S; и Т^ не по возрастающим степеням р., а по степеням Ур, записывая

а = <х1Ур 4- а2р + а3р Ур, + ...,

Si = Si -f- xSt У р. 4" ‘^«Р’ + «S^p Ур 4* ■ • • >

Ti = T°i + ny^+ ^р + ^р УУ-р....

Я намерен прежде всего установить, что разложение возможно.

Мы видели в п. 74, что характеристические показатели а разлагаются в ряд по возрастающим степеням У р..

Покажем теперь, что Si и Ti также разлагаются в ряд по степеням Ур-

Действительно, S, и Д задаются уравнениями

dt1 ^Idy^dx^ 11 ' ^ldyidyj. k’

-(2")

I . _ VI d F „, ’PF „

dt *1dXjdx^ k ‘ ^dx^dy^ ^ ’

Пусть Pi— начальное значение 5{ и Pi'— начальное значение Тр значения ^ и 7\ для некоторого значения t разлагаются в силу п. 27 13 А. Пуанкаре

в ряд по степеням р., а, Pi и р/. Кроме того, в силу линейности уравнений эти значения будут линейными и однородными функциями р, и р/.

Пусть, если использовать обозначения, аналогичные обозначениям п. 37, Pi + ф{— значение 5Ь а р/ + ф/— значение Т ^ при t = Т. Условие периодичности решения таково:

Ф1 = Ф- = 0.

Функции ф; и ф,' линейны по Pi и Pi'; следовательно, эти уравнения линейны относительно этих величин. Вообще, эти уравнения не допускают другого решения, кроме

Pi = Р: = о,

так что уравнения (2) не имеют другого периодического решения, кроме

^ = Zi = 0.

Но нам известно, что если выбрать а так, чтобы удовлетворялось уравнение G (а, р.) = 0, то уравнения (2") будут допускать другие периодические решения, отличные от 5t = 7\ = 0. Следовательно, определитель линейных уравнений фi = ф4' равен нулю. Таким образом, мы можем найти из этих уравнений отношения

pi

—7-И—-

Pl Р1

в виде рядов по степеням аир,.

Поскольку р/ остается произвольным, мы условимся брать 3/ = 1, так что начальное значение Тг будет равно 1. Тогда Pi и р/ разложимы в ряды по степеням а и р; но Si и Ть как мы это уже видели, разлагаются в ряды по степеням а, р., р; и р/ и, с другой стороны, а разлагается в ряд по степеням У^.

Итак, 5,и Д разлагаются в ряды по степеням |/р., что и требовалось доказать.

В частности, мы имеем

Л = п + п уу + т^ + ....

Поскольку в силу нашего предположения pi', являющееся начальным значением Tj, должно быть равным 1 при любом р, мы имеем при t — 0

7^=1,0 = 7^ = 7\2=... = Т™=....

Доказав таким образом существование наших рядов, мы постараемся определить их коэффициенты..

Имеем

(-1)

тг—"|тг + И^г+-.+«П + «»Т П +

С другой стороны, разложим вторые производные F, входящие в качестве коэффициентов в уравнения (2), в ряды

Эти разложения содержат лишь целые степени ц и не имеют в отличие от разложений (4) членов, зависящих от ]/ц.

Мы заметим, что

А^ = B^ = D4k = О, /тМ лттут Dm лтг\т

C-ik = ^КЬ Ь^К " £>ки А^ = —IJ};i-

Подставим в уравнения (2) значения (4) и (5) вместо £, ц, их производных и частных производных F. В выражении (4) я предполагаю, что а разложено в ряд по степеням ]/ ц, кроме того случая, когда эта величина входит в экспоненциальный множитель ет!.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях |/ р и получим ряд уравнений, который позволит определять последовательно

аг, а2, а3,4, SL Т", Т^

Выпишем лишь первые из этих уравнений, полученных приравниванием свободных членов, членов с ]/ц, членов с ц и т. д.■

Сократим сначала на множитель ^(л, который встречается всюду.

Приравняем члены с ]Лр; получим

d5A

+ «1^ = 2 Asi + 2 №kк

-дГ + ^ = 2С^ + ^АП.

кк

Приравняем члены с р, получим

5- + а^ + a2S? = 2 <A»sk + As” + АН + В^П) (Z = 1, 2, 3) к

(8)

и еще три аналогичные уравнения, дающие dT^/dt,

Если учесть теперь соотношения (6), уравнения (7) примут вид

Первое из этих уравнений показывает, что SJ, S2, ^ постоянны. Что касается второго, то оно показывает, что dT\!dt — постоянная, но поскольку 7, должна быть периодической функцией, эта постоянная долж- н а быть нулем, так что

•^i1!?^ ^nSi "Ф См^г + Ci3Sj,(9)

что дает три соотношения между тремя постоянными ц|, тремя постоянными Si и неизвестной величиной а;.

Со своей стороны, уравнение (8) запишется в виде

—^1- ajSf — 2 S^rT]®.к

Функции 5ik — периодические функции £; разложим их по формуле Фурье и пусть Ь^ — постоянный член В\. Получим

- ai^i — 3 ^i^fc к

или, учитывая уравнения (9),

к=з

(Ю)(Ю)Ot^Sj = 2 ^ik (^Ri^i + Cfc2S2 + Скз^з).

(Ю)

(Ю)

k=i

Полагая в уравнении (10) i = 1, 2 и 3, получаем три линейных и однородных соотношения между тремя постоянными SE Исключая эти три постоянные, получаем уравнение третьей степени, которое определит «г

Если для краткости положим

pnt — ^n^it + 6.2^21- 4~ ^з^зк»

то уравнение, возникающее вследствие этого

исключения, запишется

в виде

еи аге12е13

^21^22 а1^23

= 0.

(И)

2

e3i^32е33 ос^

Его можно еще записать в виде

— «1

00С?!С?2

0

- «г 0С^ с"2

С 23

0

0- «!С°31С32

с-33

= 0.

^ii

^12^13^1^

0

^21

^22^23^Л1

0

00

— а.

Определение ах — это единственная часть вычислений, представляющая некоторую трудность.

Уравнения, аналогичные уравнениям (7) и (8), образованные приравниванием в уравнениях (2) коэффициентов при одинаковых степенях У у., позволяют затем определить без труда aft, S™, Т™. Итак, мы можем сформулировать следующий результат.

Характеристические показатели а разлагаются в ряд по возрастающим степеням ]/ ц.

Итак, сосредоточивая все наше внимание на определении alt особо изучим уравнение (11). Мы должны постараться прежде всего определить величины С “к и bi;s.

Мы имеем, очевидно,

d^J'g

и

d2Fi

или

В\ = — ^Ат^ sin и, (и = m^” + m2z/2 + m.^ + ^)

и

b^ = — 8Лтрпк sin to.

Суммирование, представленное знаком 5, распространяется на все члены, каковы бы ни были целые значения mv m2 и m3. Суммирование, представленное знаком 8, распространяется только на такие члены, что

и1^1 + гЧтч + пзтз = 0.

Следовательно, под S мы имеем

со = /тг2о52 -|- m3S3 + h.

Это нам позволяет записать

Ь^ = '.мч (при 1 и к =2 й'ли 3>-

Если один или два индекса I и к равны единице, то by. определяется соотношением

и^ц + п.Д2 + n3bi3 = 0.

Мы будем с помощью этого последнего соотношения преобразовывать уравнение (11) так, чтобы выявить существование двух нулевых корней и свести уравнение к уравнению четвертой степени.

Действительно, простым преобразованием определителя и делением на а/2 я нахожу

"1

п2

п3

0

0

0

О

—xL

0

Ьм

^23

0

0

0

—а1

^3 2

^33

0

г» '13

'23

33

-«1

0

Из

= 0.

*12

^22

'32

0

—«1

н2

и21

Ыз1

0

0

Н1

В частном случае, когда степеней

свободы

всего

Две

это уравнение запи-

сывается в виде

И1

/?2

0

0

0

-di

с!гН da^

0

= 0

С°

ZlO

^22

—«1

н2

Gii

Г°

U 21

0

И1

ИЛИ

Выражение nYC2; •— 2nYn2CY2 + n2CYY зависит лишь от xY и z2 или, если угодно, от nY и и2. Когда будут даны два соизмеримых числа nY и н2, мы сможем рассматривать п^С22 — 2nYn2CY2 + n2CY1 как известную постоянную. Тогда знак а12 зависит только от знака ^Rld^T1-

Когда заданы nY и и2, образуем уравнение

= 0.(12)

Мы видели в п. 42, что каждому корню этого уравнения соответствует периодическое решение.

Рассмотрим общий случай, когда уравнение (12) имеет только два простых корня; каждый из этих корней соответствует тогда максимуму или минимуму R. Но функция R, будучи периодической, в каждом периоде имеет по меньшей мере один максимум и один минимум и ровно столько максимумов, сколько минимумов.

Для значений й2, соответствующих минимуму, d?RldT>2 положительна; для значений, соответствующих максимуму, эта производная отрицательна. Следовательно, уравнение (12) будет иметь ровно столько корней, для которых эта производная положительна, сколько корней, для которых эта производная отрицательна, и, следовательно, столько корней, для которых о^2 положительно, сколько корней, для которых «j2 отрицательно.

Это равносильно тому, что будет ровно столько периодических устойчивых решений, сколько неустойчивых, если этим словам придавать тот же смысл, что и в п. 59.

Таким образом, каждой системе значений nY и п2 соответствуют по меньшей мере одно устойчивое и одно неустойчивое периодические решения, причем устойчивых решений ровно столько, сколько неустойчивых, если только ц достаточно мало.

Я не буду рассматривать здесь, как обобщаются эти результаты на тот случай, когда уравнение (12) будет иметь кратные корни.

Вот как следует продолжать вычисления.

Пр‘диоложим, что мы полностью определили величины

®1> ®2 > • • • > ^т и функции

5« StST

/7’0 mlm яг— 1

и что функции 5™+1 и Т™ известны с точностью до постоянной. Предположим, что надо вычислить ат+1, закончить определение функций 5™+1 и 7” и определить функции 5™+2 и 7™+1 с точностью до постоянной.

Приравнивая одинаковые степени р, в уравнениях (4), получаем уравнения следующего вида, аналогичные уравнениям (7) и (8):

— ат™*1

^Н 2^^™+1 — а17Г — ®т+17? = известная величина, к

^У™+2

—^h 2 #№7^ — «^Г1 — ат+11$1 = известная величина

к

(i = 1, 2, 3).

Обе части уравнений (13) являются периодическими функциями L Приравняем средние значения обеих частей. Если обозначим через [С7] среднее значение некоторой периодической функции U; если заметим, что для периодической функции 77

и если вспомним, что так как Т” известна с точностью до постоянной, 7™ — [7™] и [Sik (7™ — [7™])] — известные величины, то получим следующие уравнения:

2^ik I-Sx1*1] — «1 [7,^] — «m+i7? = известная величина,

"(14)

S^tk [7™] — ai [^T^1] —“m+i^i = известная величина к

(i = 1, 2, 3).

Уравнения (14) помогут нам вычислить am+], IT”] и [5”+1] и, следовательно, закончить определение функций 7” и ^Г1, известных пока лишь с точностью до постоянной.

Если просуммировать уравнения (14), предварительно умножив их соответственно на

ol q1 q1 m0 rnO

Dl, D2, O3, 1 1} 1 2? 1 з, то найдем

2515’17®ат+1 = известная величина,

что определяет am+1.

Если в уравнениях (14) заменить am+1 на найденное таким образом значение, то для определения шести неизвестных [7™] и [5”+11 будем иметь шесть линейных уравнений, из которых лишь пять независимы.

Теперь можно определить [7’™J из условия, что [Г^] равно нулю при t = 0 в соответствии со сделанным выше предположением, и пять уравнений (14), остающихся независимыми, позволят вычислить пять остальных неизвестных величин.

Уравнения (13) позволят нам затем вычислить dT^^ldt и dS™+~ldt и, следовательно, определить функции Т™*1 и 5Г+1 с точностью до постоянной и т. д.

Вырождающиеся решения

Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта

dx,dy. dF

== (i = 1,2,3).(1)

dt dy^ dtdx. x’

Мы предположили, что существует периодическое решение с периодом Т

^ = <М0,^ = 14(0.

Положив затем

^i = Ф1 + ?Ь Уг = Ф» + Пь

мы составили уравнения в вариациях

^г _ d^F ?d2F

dt £A dy.dxh ^'^Ady.dyk ^K’

^i_ „ d^F , _ v d^FX '

dtdx.dx^ ”kdx.dy^ ^^'

Так как эти уравнения имеют в общем случае четыре отличных от нуля характеристических показателя, то у них имеются четыре частных решения вида

= еаХ Пг =

где 5, и Ti— периодичны. Мы научились составлять эти интегралы.

Но уравнения (2) будут иметь, кроме того, два нулевых характеристических показателя; следовательно, у них будут два частных решения вида

^ = SL .^ = 71,

?г = Si + tSi,г], = Ti -}- tTi,(3)

где Si, Ti, Si и Ti — периодические функции того же периода, что и Ф» фо Si и Тг..

Как нам получить решения (3)?

В и. 42мы видели, что уравнения (1) допускают периодическое решение

^i = Ф1К, Щ е), у^Шм)(4)

с периодом'

Т

сводящееся к ^ = Ф1(0-^^^(О

при 8 = 0.

Функции <Pi и фг разлагаются в ряды по возрастающим степеням е. Положим теперь

откуда

и = t (1 + е).

Если мы подставим это значение вместо t в уравнения (4), то получим

^i = 0{ (и, ц, 8), у; = 0; (и, ц, е).

Функции 0; и 0; будут также разлагаться в ряды по степеням ц и е; но опи будут периодическими по и и период будет постоянным и равным Т; следовательно, они будут разлагаться в ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2яи/Т.

Если h — любая постоянная, то

*i = Ti(< + А, ц, е), уг = ф^ + h, ц, е)

— также решение уравнений (1), поскольку время не входит в явном виде в эти уравнения. Это решение содержит две произвольные постоянные, h и 8.

Пункт 54 дает нам способ вывести отсюда два решения уравнений (2) в вариациях.

Эти решения запишутся в виде

£ — ^— ^1

" dh ’111 — dh

И

~ ds ’“ ds ’

После дифференцирования надо положить й = е = 0.

Но, как мы видели,

<Pi(K Ц, 8) = 0£ [i (1 + 8), Ц, 8],

Фг(#, Ц, 8) = ©i [/(1 + 8), Ц, 8],

откуда

dh

— ^2 dt

_ ^Oj du

du dt

d&.

^i

dip

idO^ ди

de.

(1 +e) du ''

dh

dt

du dt

и при 8 = 0

dWi

dt^dipi

г

dh

du. 'dh

du '

С другой стороны,

de

d0{

du

du^9j

dede

d0.d0.

t- -1-

du ' de '

de

dO^ du

du^0j

dede

№,d^,

du 1 de

вли при г —

0

de

da.dQ.dip.

( —L _iL.L

' dt 1 de ’de

dip{ d0i dt + de "

Искомые

решения

уравнений (2), следовательно, будут

= sb

d^

„ dip{

== ~dF

И

= tSi

+ s*, Hi =

где

s- =

dti.,

de ’ Tг

d^i de "

Я утверждаю, что функции St, Тг, Si и Тг периодические по t с периодом Т. Действительно, 0; и 0; периодические по и функции с периодом Т; поскольку этот период не зависит от е, производные

dti- ct©.d&. dO.

L LL

du ’ du ’ de ’ de'

будут также периодическими по и. Но и = t при 8 = 0, поэтому если положить после дифференцирования е = 0, то эти четыре производные (5), т. е. четыре функции Si, Si, Ti, Т,, будут периодическими no t, что и требовалось доказать. .

Эти четыре функции будут, как и 0, и 0,, производными которых они являются, разлагаться в ряд по возрастающим и положительным степеням ц (я напоминаю, что S\ и 1\ в предыдущем пункте разлагались в ряд не по степеням р, а по степеням У ц).

При р = 0 q>i сводится к постоянной г?; следовательно, d^^dt = 5г обращается в нуль. Следовательно, St делится на р так же, как в предыдущем пункте 5i делилась на Ур.

Напротив, А* не делится на р.

В мемуаре, который я опубликовал в «Acta mathematica» (т. XIII, стр. 157) [201, я пришел к рассмотрению уравнений, аналогичных уравнениям (2), и двух частных решений этих уравнений

Bi = St,Hi = Tit

Bi — Si -|- atSi, тр = Ti -|- atT,.

Я обозначаю через а один из характеристических показателей, так что а разлагается в ряд по нечетным степеням у^р, а р само разлагается в ряд по степеням а2 и делится на а2.

Я предполагаю, что р заменено этим значением, так что все наши функции оказываются разложенными в ряды по степеням а. Я утверждаю затем, что SV и SV' делятся на а. Действительно, как мы только что видели, SV делится на р, а р — на а2.

С другой стороны, очевидно, что

8" = aS*t,

поскольку следует умножить на а только что изученное решение

Bi = А* + tSi,

чтобы получить решение, рассмотренное в «Acta mathematica»,

Bi = Si -|- atSi.

Я счел себя обязанным сделать это замечание, потому что невнимательный читатель мог бы не обратить внимания на этот множитель а и усмотреть противоречие между результатом, сформулированным в «Acta», и тем, что я только что доказал.

Глава V

НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Рассмотрим вновь наши канонические уравнения

ДтЧ _ dF dVj _ _ dFdt dv, ’ dtdx,

11(1)

F = Fo + P^ i + P2^2 + • • • •

Я предполагаю сначала, что функция Fo, не зависящая от у^, зависит от п переменных х^ и что ее гессиан по этим п переменным не равен нулю.

Я собираюсь доказать, что за исключением некоторых особых случаев, которые будем изучать в дальнейшем, уравнения (1) не допускают никаких других аналитических однозначных интегралов, кроме интеграла F = const I21].

Вот что я понимаю под этим.

Пусть Ф — аналитическая и однозначная функция х, у и ц, которая, кроме того, должна быть периодической по у.

Не обязательно предполагать, что эта функция аналитична и однозначна при. всех значениях переменных х, у и ц.

Я предполагаю лишь, что эта функция аналитична и однозначна для всех действительных значений переменных у, для достаточно малых ц и для систем значений х, принадлежащих некоторой области D; впрочем, область D может быть произвольной и сколь угодно малой. В этих условиях функция Ф разлагается в ряд по степеням ц и можно записать

Ф = Фо -Г рФ^ 4* 112Фа 4* • • •,

где Фо, Фп Ф2, . . . однозначны относительно х и у и периодичны по у, Я утверждаю, что функция Ф такого вида не может быть интегралом уравнений (1).

Необходимое и достаточное условие того, чтобы функция была интегралом, записывается в обозначениях п. 3 в виде-.

[F, Ф] = О

или, если заменить F и Ф их разложениями,

0 = 1^о. Фо! + Н (1Л. Ф«1 + [^о, ФД) + Ц2 (1^2, Фо1 +

+ 1Л, ФД + [^’о, Ф21) + -.-

Таким образом, мы имеем в отдельности следующие уравнения, которые я использую в дальнейшем:

[^о, Фо] = О(2)

и

1Л, Фо1 + |Фы ^о] - 0.(3)

Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что Фо не является функцией от Fo. Действительно, предположим, что

Ф0 = 1Ш

Я утверждаю, что ф будет, вообще говоря, однозначной, когда переменные х остаются в области D. В самом деле, мы имеем

^0 = ^о(^ы *2- • • •> Al)-

Можно разрешить это уравнение относительно xt и записать

А = 0(^0- А, • ■ Аг)

и 0 будет однозначной функцией, если только dFJdxi не обращается в нуль внутри области D.

Заменяя хх его значением 0 в

(

^111 • * • 1\

Ух, Уг, • ■ •, У,г/ получаем х». . . х.Л

Фо= ^ () •

\Ух, У», • • Уа) \У1, Ун • ■ Уп/

Фо — однозначная функция х и у; если заменить в ней xv однозначной функцией 0, то получим однозначную функцию от Fo, х2, х3, ... , хп и у, но по предположению эта функция ф зависит ли нь от Fo. Следовательно, Ф — ф — однозначная функция Fo.

Все это так в предположении, что dF0!dxv не обращается в нуль в области D; равным образом достаточно, чтобы одна из производных dFojdxi не обращалась в нуль в области D.

Теперь, если Ф — однозначный интеграл, то такова же и разность

Ф — ф^’).

Ф — ф U7) разлагается в ряд по степеням р и, кроме того, делится на р, поскольку Фо — ф (^о) равно нулю. Итак, положим

Ф — ф (F) = рФ';

Ф' будет однозначным и аналитическим интегралом вида

ф = Фо + рФ1 + А + . . ..

Вообще говоря, Фо' не будет функцией Fo; если бы это было так, то можно было проделать все сначала.

Я утверждаю, что, повторяя таким образом эту операцию, мы в конце концов придем к интегралу, не сводящемуся к функции от Fo при р = 0, если только Ф не будет функцией от F; в последнем случае интегралы F и Ф не были бы различными.

Действительно, пусть J — якобиан, или функциональный определитель Ф и F по двум из переменных х и у. Я могу предположить, что этот якобиан не равен тождественно нулю, поскольку если бы все якобианы были равны нулю, то Ф была бы функцией от F, а этот случай мы исключаем.

Очевидно, J разлагается в ряд по степеням р. Кроме того, J обращается в нуль вместе с р, поскольку Фо есть функция от F. Следовательно, J делится на некоторую степень р, например на рр.

Пусть теперь J' — функциональный определитель, или якобиан функций Ф' и F; тогда

J = pJ',

так что I' делится только на рр-1.

Таким образом, через самое большее р операций мы придем к якобиану, который уже не будет обращаться в нуль одновременно с р и который, следовательно, будет соответствовать интегралу, не сводящемуся при р = = 0 к функции от Fo.

Следовательно, если существует аналитический и однозначный интеграл Ф, отличный от F, по такой, что Фо является функцией от Fo, то всегда можно найти другой интеграл того же вида, не сводящийся к функции от Fo при р = 0.

Таким образом, мы всегда имеем право предполагать, что Фп не является функцией от Fo.

Я утверждаю теперь, что Ф. не может зависеть от переменных у.

Действительно, если Фо зависит от переменных у, она будет периодической функцией этих переменных, так что мы сможем записать

Фо = 2ЛеГЛ(т,!Л+т2У2+-”+тА) = 2Я£,

где Wj — положительные или отрицательные целые числа, А — функции от х^ и £ есть краткое обозначение экспоненты от мнимого аргумента,на которую множится А.

Теперь мы имеем

I Г rh 1 VI

поскольку Fo не зависит от у и dFJdyi равны нулю.

С другой стороны,

так что уравнение (2) имеет вид а ( dF^ । dF® ।. dFn \

и, поскольку это равенство должно выполняться тождественно, мы будем иметь для всех систем целых значений mt

= ог

Z-1 г dx^ '

так что тождественно выполняется одно из равенств

Л = 0(4)

или же

=<5)

Из тождества (5) выводим с помощью дифференцирования

= 0(^ = 1, 2, . .п).

dx. dx,,х'

= 11»

Но это может иметь место лишь в двух случаях: если

тх = ш, = . . . = тп = 0

или если гессиан функции Fo равен нулю. Однако мы предположили вначале, что гессиан не равен нулю. Следовательно, Л должно быть тождественным нулю, за исключением того члена, где все пц равны нулю. Иными словами, Фо сводится к одному члену, не зависящему от у, что и требовалось доказать.

Изучим теперь уравнение (3). Поскольку F6 и Фо не зависят от у, это уравнение можно записать в виде

v-i с?Фо dF\ х , dFo с?Ф1 г.

— У —;;к У —;; = 0.

ZJ ах. dy^ 1 ZJ dx„ dy^

С другой стороны, Fy и Фх периодические по у функции и, следовательно, они разлагаются в ряды по экспонентам вида

еТЛ-Щт,у!+т2112+...+т)1р)г)

где ?щ — положительные или отрицательные целые числа.

Для краткости я буду обозначать, как и выше, эту экспоненту через £ и буду писать

Fy = £5£, ф1 = Ж

где В и С — коэффициенты, зависящие только от х.

Тогда

так что уравнение (3), разделенное на ]/—1, запишется в виде

= о.

I Дх II1 Дх I

\ 1г /\ гг '

Поскольку это уравнение оказывается тождеством, мы должны иметь при всех системах целых значений

(6,

Соотношение (6) должно выполняться при всех значениях х. Дадим теперь х такие значения, что

тогда правая часть соотношения (6) обращается в нуль. Следовательно, каждый раз, когда х удовлетворяют уравнению (7), должно выполняться равенство ■

5 = 0 (8)

или же равенствоили же равенство2т<2т<dOodx.dOodx.= 0.= 0.(9)(9)

или же равенство

или же равенство

2т<

2т<

dOodx.

dOodx.

= 0.

= 0.

(9)

(9)

14 А. Пуанкаре

Функция FT задана, следовательно, заданы и коэффициенты В. Поэтому легко распознать, следует ли из равенства (7) равенство (8). Вообще говоря, это окажется не так и придется заключить, что равенство (9) с необходимостью вытекает из равенства (7).

Пусть pv р^..., рп — некоторые целые числа. Представим себе, что мы дали ж такие значения, что

(10)(10)dF^ dFodFH

(10)

(10)

dx.dx„" " ' р dx '

v 1 1'22z n n

Можно найти бесконечное число систем целых чисел т^, т^, . ., тп, таких, что

miPi + тгра + . • ■ + mnpn = 0.

Для каждой из этих систем целых чисел должно выполняться равенство и, следовательно,

Сравнение этих двух уравнений показывает, что

dFndF«dF»

dx1dx,dx^

dф^>dФo " " " cM>o ’

dxYdx^dxn

t. e. что якобиан Рй и Фо по любым двум из величин одолжен быть равен нулю.

Так должно быть для всех значений ж, которые удовлетворяют соотношениям вида (10), т. е. для всех таких значений, что dFojdxi соизмеримы между собой. В произвольной области, как бы мала она ни была, имеется, следовательно, бесконечное число систем значений х, для которых этот якобиан обращается в нуль, и поскольку этот якобиан — непрерывная функция, то он должен быть тождественным нулем.

Равенство всех якобианов функций Fo и Фо нулю означает, что Фо есть функция от Fo. Однако это противоречит выводу, сделанному нами в конце предыдущего пункта. Следовательно, мы должны заключить, что уравнения (1) не допускают другого однозначного интеграла, кроме F = С, что и требовалось доказать.

Случай, когда В обращается в нуль

В предыдущем доказательстве мы предполагали, что коэффициенты В не были равны нулю. Случай, когда один или несколько из этих коэффициентов равны нулю (и особенно, когда бесконечное число этих коэффициентов обращается в нуль), следует изучить подробнее.

Чтобы сформулировать результаты, которые я сейчас получу, я должен ввести новую терминологию.

Каждой системе индексов mv т2, . . . ,mn (где т; — целые числа) соответствует коэффициент В. Я назову этот коэффициент вековым, если принимают такие значения, что

=(7)

dx.4 '

Такое наименование может быть оправдано следующим образом.

Когда при вычислении возмущений предполагается, что средние движения соизмеримы между собой, некоторые из членов возмущающей функции перестают быть периодическими, и тогда можно сказать, что они становятся вековыми; совершенно аналогичным образом обстоит дело и в нашем случае.

Я скажу, что две системы индексов ^mv тг, ...,mn) и(т/, m2', . . .,mn') принадлежат одному и тому же классу, если

и что два коэффициента В принадлежат одному и тому же классу, когда они соответствуют двум системам индексов, принадлежащим одному и тому же классу.

Чтобы доказать теорему предыдущего пункта, мы предположили, что ни один из коэффициентов В не обращается в нуль, становясь вековым.

Для справедливости этой теоремы достаточно, чтобы в каждом из классов имелся по менъшей мерс один коэффициент В, который не обращается в нуль, становясь вековым.

Действительно, предположим, что коэффициент В, который соответствует системе (jnv т^, ..^т^, обращается в нуль, но что коэффициент В', который соответствует системе (т/, т^, .. ., т^, не равен нулю.

Если давать х такие значения, что

2

dF о

= °’

то также будут выполняться соотношения

и, следовательно,

Первое из этих равенств не позволяет еще утверждать, что

потому что В равен нулю; но, поскольку В' не равен нулю, второе равенство нам дает

' йФг> пdx.

и, следовательно

УШ; = 0.dx^

Остальные рассуждения проводятся так же, как в предыдущем пункте.

Прежде чем идти дальше, рассмотрим сначала частный случай, когда степеней свободы всего лишь две.

Мы будем иметь тогда лишь два индекса тх и т3 и класс будет полностью определен отношением этих индексов. Пусть X — некоторое рациональное число; пусть С — класс индексов, для которых m1/m3 = X. Я скажу для краткости, что этот класс С принадлежит к области D или находится в этой области, если можно дать х; такую систему значений, принадлежащих этой области, что

a dFо , dFол

dxi dxt ‘

Я назову класс особым, если все коэффициенты этого класса обращаются в нуль, становясь вековыми, и обыкновенным в противном случае.

Я утверждаю, что теорема останется верной, если предположить лишь, что во всякой области 6, составляющей часть D, можно найти бесконечное число обыкновенных классов.

Действительно, пусть имеется некоторая система значений Ху и хг, такая, что в этой точке

л= о.

dx^

Предположим, что X рационально и что класс, соответствующий этому значению X, обыкновенный. Рассуждения предыдущего пункта можно тогда применить к этой системе значений и мы найдем, что для этих значений хг и х4 якобиан Fo и Фо по хх и х2 обращается в нуль. Но по предположению в любой сколь угодно малой области 6, составляющей часть D, су-

ществует бесконечное число подобных систем значений rri и ж2. Следовательно, наш якобиан должен обращаться в нуль во всех точках D, а это показывает, что Фо есть функция от Fo.

Отсюда можно заключить, как и в предыдущем пункте, что не существует однозначного интеграла, отличного от F.

Дело обстояло бы иначе, если бы нашлась область/), все классы которой особые. Тогда можно было бы спросить, не может ли существовать интеграл, который остается однозначным не для всех значений х, а только когда эти переменные не выходят из области D. Мы бы увидели, что вообще это не так; чтобы убедиться в этом, достаточно было бы рассмотреть в уравнении

[F, Ф] = О

не только член, не зависящий от ц, и член с ц, но также член с ц2 и следующие члены.

Я не останавливаюсь на этом, так как это не представляет интереса, поскольку я не думаю, чтобы в какой-либо естественно возникающей задаче динамики все классы области D были бы особыми тогда, когда не все коэффициенты В обращаются в нуль, становясь вековыми.

Перейдем теперь к случаю, когда число степеней свободы больше двух. Результаты будут аналогичными, хотя их формулировка и сложнее. Пусть

Ри Рп

— п произвольных целых чисел. Рассмотрим все системы индексов ти т^, ..., тп, которые удовлетворяют условию

miPi + т2р2 + ... + тпрп = 0.

Я скажу, что все соответствующие коэффициенты принадлежат одному и тому же семейству.

Рассмотрим q классов, определенных следующими системами индексов:

"11,1, ™2,1> • • ч ^п, 1,

mi, 2, m2i2, . . ., т„,2,

Если нельзя найти q целых чисел

таких, что'

2= 0(^ = 1, 2, . . ., п),

i=l

то я скажу, что эти q классов независимы.

Я назову семейство обыкновенным, если можно найти в нем п — 1 независимых обыкновенных классов, и особым в противном случае. Семейство будет особым первого порядка, если можно найти в нем п — 2 независимых обыкновенных класса, особым q-ro порядка, если можно найти в нем п — q — 1 независимых обыкновенных классов и нельзя найти больше.

Я скажу, что семейство, определенное целыми числами (рц рг, . ^р^, принадлежит области D, если в этой области существуют такие значений х, что

dF» _ dFo dFo

Pi a$i ” ^2^2 ~ ‘~ pn din '

Теперь я утверждаю, что если в любой области 6, составляющей часть D, можно найти бесконечное число обыкновенных семейств, то не может существовать никакого однозначного интеграла, отличного от F.

Действительно, рассуждения предыдущего пункта применимы ко всякой системе значений х, соответствующей обыкновенному семейству.

Якобианы Fo и Фо по любым двум из переменных х должны, следовательно, обращаться в нуль бесконечное число раз в любой области б, составляющей часть D, что может произойти, лишь если они тождественно равны нулю.

Теперь я утверждаю, что если можно найти во всякой области б, составляющей часть D, бесконечное число особых классов q-ro порядка, то число различных однозначных интегралов, которые может допускать уравнение (1), не превосходит q + 1 (включая интеграл Fy

Действительно, предположим, что имеются q + 2 различных интеграла; пусть

F, Ф1, Ф2, . . Фч+1

— эти интегралы, и предположим, что при р = 0 они сводятся к

Fo, Ф»1, Фо2, . . ., Ф.Г1.(И)

Пусть система значений х соответствует особому семейству q-ro порядка. Положим

п — q — 1 = р.

В этом семействе будет существовать р обыкновенных классов. Пусть m-i.it, тгл, . . ., тпЛ (к = 1, 2, . . ., р) есть системы индексов, соответствующих этим классам.

Для рассматриваемых значений х будем иметь

2=122=1i

(к = 1, 2, . . ., р; h = 1, 2, . . ., q 4- 1).

Отсюда заключаем, что якобианы от 5 + 2 функций (И) по любым g + 2 переменным ж должны обращаться в нуль при рассматриваемых значениях ж. И поскольку это должно иметь место бесконечное число раз в каждой области д, то отсюда вытекает, что эти якобианы тождественно равны нулю, и, следовательно, наши q + 2 интеграла не могут быть различными.

Впрочем, эти рассмотрения не представляют практического интереса, и я их привожу здесь только для полноты и строгости. Очевидно, можно искусственно построить задачи, в которых встречаются различные подобные ситуации; однако в естественно возникающих задачах динамики всегда оказывается, что либо все классы особые, либо они все обыкновенные, за исключением конечного числа.

Случай, когда гессиан равен нулю

Перейдем теперь к случаю, когда Fo зависит не от всех переменных Жи жа, . ., жп.

Я предположу, что Fo зависит только от жт и ж2 и его гессиан по этим двум переменным не равен нулю.

Чтобы лучше отметить разницу между этими переменными «j и ж2 и их сопряженными переменными ух и у2, с одной стороны, и другими переменными ж и у, с другой, мы условимся обозначать

Уз, У^ • • ., Уп через

Ч’ ^2> • • ч 2п_2,

Заметим прежде всего, что выводы п. 81 сохраняют силу, и если существует однозначный интеграл Ф, отличный от F, то всегда можно предположить, что Фо не есть функция от Fo.

Теперь мы должны прежде всего показать, что

А 1dFn ^Ф» । ciFn ^Фо п

v иayi 1 clxi ауг

Положим

£ _ е ^-1 (т^+т^,).

мы можем записать

где А — коэффициенты, зависящие от я^, ж2, 2 и “• Тогда получим

чл * { dF»dFn \

V -12 ^ (mi -d^?+ т^Г °-

Это соотношение должно выполняться тождественно, и с другой стороны, поскольку гессиан функции Fo не равен нулю, равенство

dFodF0 n

m, -5p m2 -у— = 0

1 du 1 dx^

не может выполняться тождественно, если только mv и т2 не равны оба нулю. Из этого можно заключить, как и в п. 82, что Фо не зависит ни от Ун ни от у2.

Запишем затем уравнение (3) п. 81, получим

с?Фо dF\ dii dy-.с?Фо dF\ dii dy-.dФo dFi dx-i dy*dФo dFi dx-i dy*dFn dOi dxi dyidFn dOi dxi dyidFt, dФl dx^ dy*./ dFi ЙФо\^ dz^ diudFt, dФl dx^ dy*./ dFi ЙФо\^ dz^ diudF\ dФ0 \ du^ dz^ )dF\ dФ0 \ du^ dz^ )= 0.= 0.

с?Фо dF\ dii dy-.

с?Фо dF\ dii dy-.

dФo dFi dx-i dy*

dФo dFi dx-i dy*

dFn dOi dxi dyi

dFn dOi dxi dyi

dFt, dФl dx^ dy*

./ dFi ЙФо

\^ dz^ diu

dFt, dФl dx^ dy*

./ dFi ЙФо

\^ dz^ diu

dF\ dФ0 \ du^ dz^ )

dF\ dФ0 \ du^ dz^ )

= 0.

= 0.

Положим по-прежнему

F^^BL, ФТ = 2С£.

Когда будет необходимо выявить индексы, я буду писать

X1 Р _ V-1 (т1У,+т2у8)

Получим

। , с. / dF dФo dB dФ^ \лI dz. du^ du^ dzi j

Это соотношение должно быть тождеством; следовательно, мы можем приравнять нулю коэффициент при каждой экспоненте ^. Кроме того, придадим ж такие значения, что

(12)(12)dFt>dF о ц

(12)

(12)

т. -7к тпъ—_— = 0,

1 du 12 dx^ ’

чтобы члены, зависящие от С, исчезли.

Полу чим

тэ / с?Фо । dOo \х-, / dB dФo dB dФo \. _

-S^id^ + m^j+2(^7^7-^7^7) =0.(13)

Будем считать, что два коэффициента Вт^т2 и Вт', т' принадлежат одному классу, если

т^тп^ — т^т^ = О,

и я скажу для краткости, что коэффициент Вт„ т, принадлежит классу m1/m2. Из этого определения следует, что коэффициент В0,й принадлежит одновременно всем классам.

Как мы видели, если дать ж значения, удовлетворяющие соотношению (12), то соотношение (13) должно выполняться для всех коэффициентов В класса т^Шу

Пусть теперь р и о — два взаимно простых целых числа, таких, что

ПоложимПоложимmi _ _р_тг q

Положим

Положим

_ е"ЕИ(рУ1+зу2)

и

Ох = Вхр, х£ , -Ш = р-^ + q-— .

Если придать ж такие значения, что

U2bi.-)(13 bis)U2bi.-)(13 bis)dF0 dF» n axi 4

U2bi.-)

(13 bis)

U2bi.-)

(13 bis)

то соотношение

/ ДВ-V с/Ф„ d,Dv с/Ф„ \

должно выполняться при всех целых значениях Л, положительных, отрицательных или нулевых.

Это может иметь место лишь в двух случаях.

1. Либо когда

Я = 0, 4г2- откуда

= 04^ = 0 (i = l, 2, . . ., п-2),

dFo с?ФоdFo dФo q

dxi diidx^ dii

Отсюда можно вывести с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям п. 82, что Фо является функцией от Ео, что противоречит предположению, сделанному вначале.

Либо когда якобиан от любых 2п — 3 функций Dx по 2л — 3 переменным £, Zj и щ равен нулю.

Отсюда заключаем, что если придать ^ и ж2 постоянные значения, удовлетворяющие условию (12 bis), то это приведет к соотношению между любыми 2п — 3 функциями D\, так что все эти функции можно выразить через 2п — 4 из них.

Можно сформулировать этот результат иначе.

Рассмотрим следующие выражения:

Вхр, XqBx^p, X'q-(14)

Если предположить, что хх и хг принимают постоянные значения, удовлетворяющие уравнению (12 bis), то эти выражения (14) зависят только от 2п—4 переменных, а именно от z{ и и^.

Если существует однозначный интеграл, то все эти выражения являются функциями 2п — 5 из них, или, другими словами, можно найти соотношение между любыми 2п — 4 из них.

Каково условие существования трех различных однозначных интегралов

F = const, Ф = const, ф = const?

Пусть Fo, Фо иф0 — значения этих трех интегралов при ц = 0. Можно было бы доказать, как и выше, что всегда можно предполагать, что между Fo, Фо и ф0 не существует никакого соотношения.

Затем, полагая

мы нашли бы

щJ—■ Jд— = 0.(Idler)

Таким образом, уравнение (12bis) влечет с необходимостью не только уравнение (13bis), но и уравнение (13ter). Рассуждением, подобным предыдущему, можно было бы убедиться, что это может произойти в двух случаях: либо когда имеется соотношение между Ео, Фо и ф0, что противоречит только что сделанному предположению; либо когда якобиан от 2п — 3 любых из функций D\ равен нулю вместе со всеми своими минорами первого порядка.

Отсюда следовало бы, что если ^и х^ удовлетворяют условию (12bis), то между 2п — 3 функциями D\ имеется не одно, а два соотношения. Другими словами, величины (14) могут быть выражены с помощью 2п — 6 из них.

Выражения (14), которые зависят от коэффициентов разложения функции Fv заданы, и всегда можно проверить, имеется ли между 2п — 4 из пих одно или два соотношения.

В общем случае окажется, что таких соотношений нет, и из этого можно заключить, что не существует аналитического и однозначного интеграла, отличного от F.

А что произошло бы, если бы дело обстояло иначе? Чтобы иметь возможность формулировать результат полно и строго, я воспользуюсь терминологией, аналогичной терминологии предыдущего пункта. Я назову класс обыкновенным, если между 2п— 4 из выражений (14), образованных с помощью коэффициентов из этого класса, нет соотношений; особым первого порядка, если существует одно такое соотношение; особым второго порядка, если существуют два таких соотношения и т. д. Вообще, класс будет особым q-ro порядка, если существуют q соотношений между любыми 2п — 3 из величин D,.

Пусть б — некоторая область, содержащая бесконечное число систем значений xY, х2, z и и.

Если можно найти в области 6 значения хх и х2, удовлетворяющие условию (12bis), то я назову класс p!q принадлежащим этой области. Я говорил о значениях xY и х2, а не о значениях xY, х2, и и z, потому что левая часть (12bis) зависит лишь от xY и х2.

Я могу теперь сформулировать следующий результат.

Обозначим через D область, содержащую бесконечное число систем значений xY, х2, z и и.

Если в любой области б, составляющей часть D, можно найти бесконечное число обыкновенных классов, то можно быть уверенным, что, кроме F, не существует другого интеграла, который был бы аналитическим и однозначным по х, у, z и и, периодическим по yY и уг и который оставался бы таковым при всех действительных значениях yY и у2, при достаточно малых ц и при значениях xY, х2, z и и, принадлежащих области D.

Если в любой области б, составляющей часть D, можно найти бесконечное число особых классов q-то порядка, то не могут существовать более <?]+„! различных однозначных интегралов, включая F.

Приложение к задаче трех тел

Теперь я займусь приложениями предыдущих понятий к различным случаям задачи трех тел.

Начнем с частного случая, определенного в п. 9. В этом случае мы имеем всего две степени свободы и четыре переменных

xY = L, х2 — G,

У1 = ЛУ г = g

(ср. и. 9,); кроме того, -

Fo =•

Гессиан функции Fo равен нулю, однако можно с помощью приемов п. 43 свести задачу к случаю, когда этот гессиан не равен нулю.

Итак, если бы существовал однозначный интеграл, то в разложении Рг (которая является возмущающей функцией в астрономии) по синусам и косинусам углов, кратных уг и у2, все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль, становясь вековыми.

Изучение хорошо известного разложения возмущающей функции показывает, что это не так.

Следовательно, мы должны заключить, что в этом частном случае задачи трех тел нет отличных от F однозначных интегралов [2а].

В моем мемуаре из «Acta mathematica» (т. XIII) [23] я воспользовался для доказательства того же утверждения существованием периодических решений и тем фактом, что характеристические показатели не равны нулю. Доказательство, которое я даю здесь, отличается от доказательства в «Acta» лишь по форме, но оно больше подходит для обобщения, которое будет проведено в дальнейшем.

Рассмотрим теперь немного более общий случай задачи трех тел, а именно случай, когда движение происходит в плоскости, и предположим, что мы свели число степеней свободы к трем, как это было показано в п. 15.

Тогда мы имеем шесть сопряженных переменных, а именно

ЗА, ^L', ЗП = н,

Г, h = 3 — 3'.

Предположим, что мы разлагаем возмущающую функцию F, следующим образом:

р _ V R „T’-lW+mzZ')

причем коэффициенты Вт11 тг будут функциями от ЗА, 3'£'i Н и h.

Пусть р и q — любые два взаимно простых целых числа; образуем выражения (14) п. 84

Bxp.xqBxp, Vq (X, X' = 0, +1, +2, . . . до беек.).

Дадим А и А' значения, удовлетворяющие условию (12bis), т. е. такие, что отношение средних движений будет равно — q/p.

Чтобы задача допускала однозначный интеграл, отличный от интеграла живых сил, было бы нужно, чтобы любые два (п=3, 2п—4=2) из них были связаны соотношением, т. е. чтобы все выражения (14) были функциями от Воо, т. е. от вековой части возмущающей функции. Однако изучение хорошо известного разложения этой функции показывает, что это не так.

Следовательно, мы должны заключить, что, кроме интеграла живых сил, задача пе допускает однозначного интеграла следующего вида:

Ф (A, L’, Н,1, Г, X) = const,периодического по I и V.

Но этого нам не достаточно, надо еще доказать, что задача не допускает и интеграла следующего вида:

Ф (Л, L*, П, ГГ, /, V, 3, 3') = const,

где функция Ф зависит произвольным образом и от Зий', а не только разности 3 — 3'.

Для этого надо взять задачу с четырьмя степенями свободы, как мы это делали в п. 16.

Тогда мы будем иметь восемь сопряженных переменных

ЗЛ ^1Л РП, З'П',

V, 3, 3'.

Коэффициенты Вт1,т2 и выражения (14) п. 84 зависят тогда от L, L', П, П, 3 и 3'. Когда L и L' получат постоянные значения, при которых отношение средних движений будет равно — q!p, выражения (14) предыдущего пункта будут зависеть только от четырех переменных П, ГТ, 3 и 3'.

Для того чтобы имелся однозначный интеграл, отличный от интеграла живых сил, необходимо, чтобы любые четыре (2п — 4 = 4, п = 4) выражения из (14) предыдущего пункта были связаны между собой, что имеет место на самом деле, поскольку все эти выражения являются функциями лишь трех переменных: П, ГГ, 3 — 3'.

Таким образом, ничто не препятствует существованию интеграла, отличного от интеграла живых сил, и он действительно существует, а именно интеграл площадей.

Для наличия двух интегралов было бы нужно, чтобы между любыми тремя из этих выражений имелось соотношение, т. е. чтобы все эти выражения зависели лишь от двух из них. А это не так.

Таким образом, кроме интегралов живых сил и площадей, задача не допускает других однозначных интегралов.

Перейдем, наконец, к наиболее общему случаю задачи трех тел и поставим задачу как в п. 11, т. е. с шестью степенями свободы и двенадцатью переменными

3L, 3G, р@, ^'L', ^G', 3'0',I, g, 0, Г, g', 6'.

Выражения (14) п. 84, когда L y.U получают постоянные значения, выбранные подходящим образом, как и выше, зависят снова от восьми переменных G, G', 0, 0', g, g', 9, 9'.

Для существования q однозначных интегралов, отличных от F, было бы нужно, чтобы между любыми 2п — 3 — q = 9 — q из указанных выражений (14) существовало соотношение.

Легко убедиться в том, что эти выражения зависят только от пяти переменных, а именно от

G, G*, g, g'

и от угла плоскостей двух оскулирующих орбит.

Следовательно, между любыми 6 = 9 — 3 из наших выражений (14) имеется соотношение. Поэтому ничто не препятствует существованию трех новых интегралов, и они на самом деле существуют: это интегралы площадей.

Но между произвольными 5=9 — 4 из выражений (14) не существует соотношения. Следовательно, задача трех тел не допускает другого однозначного интеграла, кроме интегралов живых сил и площадей.

Чтобы не прерывать изложения, я ограничился простым утверждением, что соотношений между выражениями (14) не существует; я вернусь к этому вопросу позднее. Известно, что Брунс доказал («Acta mathema- tica», т. II), что задача трех тел не допускает нового алгебраического интеграла, кроме уже известных.

Предыдущая теорема в некотором смысле более общая, чем теорема Брунса, так как я доказал не только то, что не существует алгебраического интеграла, но и что не существует даже однозначного трансцендентного интеграла, и не только что интеграл не может быть однозначным при всех значениях переменных, но что он не может даже оставаться однозначным в ограниченной области, определенной выше.

Но в другом смысле теорема Брунса более общая, чем моя; действительно, я установил лишь, что алгебраический интеграл не может существовать при достаточно малых значениях масс; Брунс же доказал, что он не существует ни для какой системы значений масс.

Задачи динамики,в которых существует однозначный интеграл

Имеются задачи, о которых известно, что однозначный интеграл существует, и можно попробовать проверить, что условия, сформулированные в предыдущем пункте, действительно выполнены.

Возьмем в качестве примера задачу движения подвижной точки М, притягиваемой двумя неподвижными центрами А и В.

Я предположу для простоты, что движение происходит в плоскости; кроме того, я предположу, что масса А велика, тогда как масса В равна очень малой величине р, так что притяжение точки В можно рассматривать как возмущающую силу.

Мы определим теперь положение точки М с помощью оскулирующих элементов ее орбиты относительно А и обозначим эти элементы буквами L, П, I и S, как в п. 10. Тогда получим

7 = 277 + лТТГ * откУда = мд :

Ег разлагается в ряд следующего вида:

F, -

Коэффициенты Вт зависят от L, П и 3; для того чтобы существовал интеграл, необходимо, чтобы между двумя произвольными коэффициентами одного класса имелось соотношение (п=2, 2п—2=2; я говорю, 2п — 2, вместо 2п — 4, потому что Fo зависит не от двух переменных хт и хй, как в пунктах 84 и 85, а от одной переменной), когда L принимает значение, удовлетворяющее соотношению (12bis) п. 84.

Но здесь все коэффициенты Вт (у которых теперь всего один индекс) принадлежат одному классу, и соотношение (12 bis) записывается просто так

или L = оо. Следовательно, трудность могла бы возникнуть лишь при бесконечных значениях L. Поэтому если мы вернемся к сокращенной терминологии предыдущих пунктов и обозначим через D произвольную область, образованную бесконечным числом систем значений L, П и Э, но такую, что для всех этих систем значение L конечно, то класс, к которому принадлежат все эти коэффициенты В, не будет принадлежать области D. Итак, ничто не будет препятствовать существованию интеграла, однозначного в этой области D.

Перейдем к другой задаче, а именно задаче движения тяжелого тела вокруг неподвижной точки.

Эта задача была проинтегрирована в трех различных частных случаях Эйлером, Лагранжем и Ковалевской (см. «Acta mathematica», т.ХП). Как мне кажется, Ковалевская открыла еще новые случаи интегрируемости [24].

Итак, можно спросить, препятствуют ли существованию однозначного интеграла, отличного от интегралов живых сил и площадей, соображения, изложенные в этой главе.

Я предположу, что произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса очень мало, так что можно записать уравнения задачи в виде

^i dF dy^ _ dFdt dy^ ’ dt dx^ ’

= ^o + Л

Переменные х^ и y^ образуют три пары сопряженных переменных; F обозначает полную энергию системы, Fo — половина живой силы, ц — очень малая величина, а цА1 представляет собой произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до горизонтальной плоскости, проходящей через точку подвеса. '

В случае, когда ц равно нулю (т. е. когда центр тяжести совпадает с точкой подвеса), движение твердого тела сводится к движению по Пуан- со. Поскольку мы предполагали ц очень малым, то это движение Пуансо будет служить нам первым приближением подобно кеплеровскому движению при изучении задачи трех тел с помощью последовательных приближений.

Прежде чем идти дальше, я должен определить величины п и п', которые я назову двумя средними движениями и которые будут играть важную роль в последующих рассмотрениях. В движении по Пуансо эллипсоид инерции катится по неподвижной плоскости. Пусть Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки подвеса на эту неподвижную плоскость, и Q — точка касания. Эта точка касания принадлежит кривой, неподвижной относительно эллипсоида и называемой полодией. По истечении некоторого времени Т та же точка полодии снова коснется неподвижной плоскости в точке Q’. Пусть а — угол QPQ'. Мы положим

п и п' будут средними движениями.

Теперь уравнения движения по Пуансо можно записать следующим образом.

Пусть х, у и z — координаты произвольной точки твердого тела, а за начало координат взята точка подвеса, причем ось z вертикальна.

Положим

I = nt —|— с,1 = п t —|- е ,

где е и е' — две постоянные интегрирования. Тогда имеем

ж = cos 0 (£ cos V — т] sin Г) — sin 9 cos ф (£ sin Г + ц cos Z')+ ’I’ sin 9 s™ Ф>

у = sin 9 (£ cos Г — т] sin Z') + cos .6 cos ф (£ sin V + ц cos Z') — ip cos 0 sin <p,

z = sin ф (g sin V + ц cos Z') + ip cos ф,

где £, ц и ip — три периодические по I функции от п, п* и I с периодом 2л (эти функции, как известно, выражаются через эллиптические функции); 0 и ф — две новые постоянные интегрирования.

Если предположить, что точка (ж, у, z) — центр тяжести твердого тела, то Ех сводится с точностью до постоянного множителя к z, так что мы сможем записать

Fx = 2 Bm, j+ S Bm, Oe/=I <m9 + 2 Bm, _r <mW-),

где коэффициенты В зависят только от п, п' и ф.

Как только мы дадим пип' постоянные значения, удовлетворяющие условию (12bis) п. 84, коэффициенты В будут зависеть лишь от ф, так что

любые два из них будут связаны соотношениями. Dx будут зависеть только от ф и £, если положить, как и в предыдущих пунктах,

Dx = BXp,Xq ^.

Следовательно, любые 2и — 3 = 3 из Dx связаны соотношением. Таким образом, любой класс будет особым первого порядка.

Итак, ничто не препятствует существованию одного однозначного интеграла, отличного от интеграла живых сил; и действительно, нам известно, что существует один такой интеграл, а именно интеграл площадей. Но вопрос состоит в том, чтобы узнать, существует ли третий интеграл.

С этой целью посмотрим, какие классы будут особыми второго порядка. Для этого необходимо и достаточно, чтобы между любыми тремя из Dx было два соотношения и, следовательно, чтобы все Dx были функциями одной из них. Таким образом, мы должны различать несколько разновидностей классов.

Класс 1/0, содержащий все коэффициенты Вт>й. Он является особым второго порядка. Действительно, имеем

Вт, о — Ст, о COS ср.

где Ст,о зависит лишь от и и п и должна, следовательно, рассматриваться как постоянная, потому что мы предположили, что значения п и п постоянные. Тогда имеем

Dx = Сх, о cos ф ^.

Для ТОГО чтобы Dx были функциями от одной из пих, необходимо, чтобы все Сх, о, за исключением одной, обращались в нуль, т. е., чтобы функция ф сводилась к экспоненте

Но чтобы удовлетворить условию (12bis) п. 84, необходимо дать п значение 0; каково же то движение Пуансо, для которого п = 0? Несколько более внимательное рассмотрение показывает, что это то, которое соответствует равномерному вращению вокруг одной из осей инерции. В подобном движении функция ф является постоянной, не зависящей от I. Это доказывает, что все Сх, о, за исключением Со, о, равны нулю для всех особых значений пип'.

Следовательно, этот класс особый второго порядка.

Классы вида тп/1, которые содержат лишь три коэффициента

Вт, К Вд о, В-т, -1-

Эти классы могут быть особыми второго порядка лишь в случае, когда

Вт, 1 — В-т, -1 — 0,

15 А. Пуанкаре

или, что то же самое, когда в разложении £ + гц и £ — гт| по положительным и отрицательным степеням e1Z нет члена с e+mtZ (в предположении, что £ и ц действительны).

Это не так, вообще говоря, когда эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, но если этот эллипсоид является эллипсоидом вращения, мы получим

£ = Л cos I + В sin I + С, 1] = A' cos I + В' sin Z + С', где А, В, С, А', В', С' — постоянные. Отсюда следует, что

Вт, 1 — ’ В_т, -1 = О,

исключая случаи m = 1, 0 или —1.

Все классы mA будут тогда особыми второго порядка, за исключением 10— 1

классов -г- , -г- и —ч— .

1’11

Все другие классы, которые сводятся к единственному коэффициенту Вй1й, будут особыми второго порядка.

Итак, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то все классы ,10—1

особые второго порядка, за исключением классов -р, у и —j— .

Поэтому ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла и даже тому, чтобы он был алгебраическим, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль при п' = 0 или п' = ±п. (Это последнее условие не является необходимым в случае Лагранжа, т. е. если точка подвеса находится на оси вращения, потому что тогда £ и ц сводятся к постоянным).

Если, напротив, эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то имеется бесконечное число классов, не являющихся особыми второго порядка, а именно классы mA; но рассмотрим область D, включающую бесконечное число систем значений п, п', <р и 6, и предположим, что пи для одной из этих систем п не кратно п, ни один из классов mA тогда не будет принадлежать этой области. Теперь ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п’ становится кратным п; отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим.

Поскольку сформулированные в этой главе условия являются необходимыми, но не достаточными, ничто не доказывает, что этот третий интеграл существует; прежде чем высказывать суждение по этому поводу, следует дождаться полной публикации результатов исследований Ковалевской .

Интегралы, не голоморфные относительно р.

До сих пор мы предполагали, что наш однозначный интеграл разлагается в ряд по целым степеням р. Легко распространить результат на случай, когда мы отказываемся от этого предположения.

Предположим, например, что Ф разлагается в ряд по целым степеням ]/ р; мы сможем записать

Ф = Ф' + /цФ".

где Ф' и Ф" разлагаются в ряды по целым степеням р.

Если Ф — интеграл, то должно тождественно выполняться равенство

[F, Ф] = VF, Ф'] + /Й^, Ф") = 0.

Поскольку [7^, Ф'] и [/’, Ф"] разлагаются в ряды по целым степеням ц, должны отдельно выполняться равенства

[F, Ф'] = [F, Ф"] = 0.

Следовательно, Ф' и Ф" оба должны быть интегралами. Итак, если доказано, что не может существовать однозначного интеграла, разложимого в ряд по целым степеням ц, то тем самым доказано, что не может существовать и однозначный интеграл, разложимый в ряд по целым степеням (/ р..

Более общим образом пусть

едц), о2(ц),...,ор(ц)(1)

— р любых функций от р..

Предположим, что Ф имеет вид

Ф = Ho^Qj (р) + ЛХ11 р.0! (р.) + Л2)1 р-2 01 (р.) + . • .

+ ^0,2 02 (Н) + ^1,2 Н 02 (Н) + • • • +

++(2)

+ ^о,р 0р (и) + ^1,р Н0р (н) +•••>

где Л — функции от ж и у, не зависящие от р..

Мы всегда можем предположить, что между р функциями (1) нет соотношений вида

Tl®! + Ф202 +---+фр0р — 0,(3)

где фп ф2, ..., ерр разлагаются в ряды по степеням^р..

Действительно, если бы имело место соотношение (3), то одна из функций срх, ф2, ..., фр не содержала р. в качестве множителя, поскольку если бы все эти функции содержали множитель р, то мы разделили бы левую часть (3) на р.■

Предположим, например, что q^ не обращается в нуль вместе с р; тогда можно разрешить уравнение (3) относительно 6Х и мы получим

0Х = -0, - -^ 03 - . .. - ^ 0Р,

1 Ф1 “ q>i 3Ф1 р

где —, -^-, ... разлагаются в ряды по степеням р. Если заменить в выражении (2) 0Х полученным значением, то мы сократим на единицу число функций (1).

Итак, предположим, что эти функции не связаны соотношением вида (3).

Мы сможем записать

ф = ФД + ф203 + . . . + Фр0р,

где Ф], Ф2, ..., Фр разлагаются в ряды по степеням р. Если Ф — интеграл, то

1^, Ф] = 0Х [Л Фх] + 02 YF, Ф2] + . . . + 0О \F, Фр] = 0.(4)

Я утверждаю, что по отдельности

[Л ФД-^, Ф2] = ...-[^, Фр]-0.(5)

Действительно, в противном случае, поскольку величины [F, Ф^ (г = 1, 2, ..., р) разлагаются в ряды по степеням р, соотношение (4) имело бы вид (3), а это противоречит только что сделанному предположению.

Следовательно, соотношения (5) имеют место.

Итак, Ф15 Ф2, ..., Фр — интегралы.

Таким образом, если бы мы показали, что не может быть однозначного интеграла, разлагающегося в ряд по степеням р, то мы бы доказали, что нет также однозначного интеграла вида (2).

Я добавлю, что это рассуждение можно применить, когда имеется бесконечное число функций (1).

Исследование выражений (14) п. 84

Я возвращаюсь к вопросу, который выше был временно оставлен без рассмотрения, а именно к доказательству того факта, что в случае задачи трех тел не существует соотношения между произвольными 2ге — 4 из выражений (14) п. 84.

Для определения упомянутых только что выражений мы предположили, что возмущающая функция Ег разложена в ряд следующего вида:

(1)(1)

(1)

(1)

где коэффициенты Вт1,т, — функции остальных переменных

l, L', п, П', а, а' или

L, L\ G, G', g, g', 0, 0', 0, О'.

Обычно в небесной механике возмущающую функцию разлагают иначе. За переменные берут большие оси, эксцентриситеты, наклонения, средние долготы и долготы перигелиев и узлов.

Однако легко видеть, что это сводится к тому же.

Если мы положим

Р Г рУ-^Дт^+т^'+т1й+тпгй'’) то получим

Р± = 2 Cmi[m,(;+g+fl)+mz(r+g'+9')] .(2)

Экспоненциальный множитель зависит лишь от средних долгот ^+^ + 6, ^+g' + 9'

и множитель Ст1,тз зависит лишь от остальных переменных: больших осей, эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев и узлов. Таким образом, мы снова придем к обычному разложению возмущающей функции.

Выражения (3) и. 84 можно тогда записать в виде

рХ' z1^Z1-^

^Xp, Xg ^X'p, X'q — ^Xp, Xq ^X'p, X'q*

Следовательно, чтобы в этом случае существовал однозначный интеграл, необходимо, чтобы между произвольными 2п — 4 (п =4 в плоскости, п = 6 в пространстве) из выражений

Схр, Xq С^р, Vq (X, V = 0,+ 1,+2,.. . до беек.), (14bis) образованных при помощи коэффициентов разложения (2), существовало соотношение.

Таким образом, чтобы применить принципы настоящей главы, не обязательно находить новое разложение возмущающей функции с помощью новых переменных, а именно разложение (1). Можно воспользоваться разложением, уже употреблявшимся астрономами, т. е. разложением (2).

Коэффициенты Ст,,т, разлагаются в ряды по возрастающим степеням эксцентриситетов и наклонений. Рассмотрим теперь разложение одного из этих коэффициентов в ряд по степеням эксцентриситетов и наклонений. Известно (см. п. 12), что все члены этого разложения будут по меньшей мере степени | т1 + пц | относительно этих величин, и если их степень отличается от | mt + т21, то отличается на четное число.

Следовательно, мы сможем записать

Ст,, тг = Cmii m2 -{- Cmt, m2 4" • • • 4" ^mt, m2 4~ • ■ • >

где Cm1>m. представляет собой множество членов разложения степени

| №1 4- m 2 I 4- 2р

относительно эксцентриситетов и наклонений.

Мы скажем, что C°mim, — главный член Ст,т2 и что остальные его члены второстепенные.

Исключение составляет коэффициент С010; в этом случае

Со,о = Со,о 4* С^о+ ....

Со.о зависит лишь от больших осей, если эти большие оси временно считать постоянными, как мы это делали в предыдущих пунктах [действительно, существование однозначного интеграла влечет за собой соотношение между 2га — 4 выражениями (14) п. 84 в предположении, что большие оси постоянны]. Итак, если большие оси постоянны, то Со,о будет также постоянной, не играющей никакой роли в вычислениях.

Поэтому главным членом С0|0 условимся называть член второй степени относительно эксцентриситетов и наклонений Cj 0.

Тогда если заменим разложение (2) следующим:

Со,о + Ci,о + S С°т1тге^ ^ (^W^H^o')],(3)

мы скажем, что записали разложение возмущающей функции /4, приведенное к главным членам.

Найдем теперь условие, при котором между любыми 2га — 4 из выражений

(X, V = 0, ,1. + 2, . . .)(14)

имеется соотношение.

Образуем таблицу, составленную из бесконечного числа строк, следующего вида. Различные строки соответствуют различным целым значениям индекса X, положительным, отрицательным или нулевым. Первый элемент строки с индексом X будет

^Схр, Хд,

другие будут производными от Схр, хд по переменным

в, е', Э, S', I, V, 9, 0',

е. по эксцентриситетам, долготам перигелиев, наклонениям и долготам узлов.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы существовало соотношение между 2п — 4 = 8 (/г = 6 в пространственном случае) выражениями из (14), является равенство нулю определителей, составленных из девяти произвольных строк описанной выше таблицы.

Само собой разумеется, что в более простых случаях, например, когда три тела движутся в плоскости, число столбцов и строк в этих определителях меньше девяти.

Мы видели, что все члены разложения Ст1>ТП2 имеют степень по меньшей мере |mj + m2|. Следовательно, первый среди элементов строки с номером X (которые предполагаются разложенными по степеням эксцентриситетов и наклонений), ХСхр, xq, начинается членом степени

1Ч + ЧГ

То же самое можно сказать о производных СхР, xg по S и 9, тогда как производные С-кр,^ по е и i начинаются членами степени

I ^р + К : — 1 •

Для строки с номером О первый олен сводится к нулю; разложения производных С'0;0 по Зипо 0 начинаются членами второй степени, а разложения Со,о по е и i начинаются членами первой степени.

Наши определители в свою очередь можно разложить в ряды по сте пеням е и i. Если определитель А образован из строк с номерами

то все члены его разложения будут по меньшей мере степени

I Р + Ч I (\ ^1 I + 1 ^2 | + • • • + | ^8 I I ^9 |) — 4.

Я буду обозначать эту величину через а.

Случай, когда Хй = 0, представляет собою исключение: все члены тогда имеют по меньшей мере степень

I Р + Ч I (I ^i I + 'Лг 1 + • • • + I ^8 |) — 2.

И эту величину я буду обозначать через ос.

Поскольку определитель А должен быть тождественно равен пулю, совокупность членов степени а тоже должна быть тождественно равна нулю. Но мы получим эти члены степени а, заменив в определителе А каждый из коэффициентов СхР, хд его главным членом С'.р,^ (или Cj,0- если X = 0).

Полученный таким образом определитель Ао должен, следовательно, быть тождественно равным нулю; но что же означает условие

Ао = О?

Образуем выражения

«Лр, xqW (С^р, x.g)-\(X, X' = ±1, +2, . . .),(14bis)

полученные заменой каждого коэффициента С в выражениях (14) его главным членом.

Если мы положим X = 0 в выражении (14), то это выражение сведется к ^0,0, главный член которого есть Cji0.

Мы прибавим к таблице выражений (14bis) выражение Cj>0, являющееся целым многочленом второй степени относительно е и i.

Итак, условие До = 0 означает, что любые восемь выражений из (14 bis), содержащиеся в дополненной таким образом таблице, связаны соотношением.

Итак, для того чтобы имелся однозначный интеграл, необходимо чтобы любые восемь из выражений (14bis) были связаны соотношением.

Коэффициенты С были бесконечными рядами, а выражения (14) были представлены в виде отношения двух таких рядов.

Напротив, выражения (14bis) рациональны относительно е и i, синусов и косинусов Э и 0.

Следовательно, проверка облегчается заменой коэффициентов их главными членами. Она становится даже легкой для малых значений целых чисел р и q.

Убедившись таким образом, что определители, соответствующие малым значениям целых р и q, не равны пулю, трудно надеяться, что определители, соответствующие большим значениям этих целых чисел, могут обращаться в нуль и допускать таким образом существование однозначного интеграла.

Тем не менее некоторое сомнение могло бы еще сохраниться.

Можно было бы предположить, как бы это ни показалось неправдоподобным, что среди классов (в терминологии п. 84) имеется конечное число обыкновенных и что это именно те классы, которые мы проверяли; но что имеется также бесконечное число особых классов.

Чтобы окончательно разрешить это сомнение, надо было бы иметь общее выражение функций (14) и (14bis) для всех целых значений X, X', р и q, и это выражение не могло не быть крайне сложным.

К счастью, Фламм в недавней диссертации дал приближенное выражение членов высокого порядка в разложении возмущающей функции, и этого приближенного выражения гораздо более простого чем полное, достаточно для наших целей.

Однако вид, который Фламм дал этому разложению, не самый удобный для интересующей пас задачи; мы будем вынуждены дополнить его результаты и значительно их преобразовать.

Я вернусь к этому вопросу в следующей главе, после того, как будет рассмотрено приближенное вычисление различных членов возмущающей функции, потому что, хотя предыдущие рассмотрения и могли убедить любого скептика, они все же не составляют строгого математического доказательства.

Проверку в некоторой степени может облегчить еще одно замечание.

Рассмотрим вновь соотношение (13) из п. 84, имеющее вид

mi, тЦ 1 ^Ж1 + 2 ^^ У + 21 ^ dz^ du. du^ dL /

Положив в этом соотношении m1= Хр, т2 = Xq, я получу частное соотношение, которое я обозначу (13bis); положив в нем mt = Х'р, т2 = X’q, я получу другое частное соотношение, которое я назову (13ter).

Пусть далее

Mx, X' — Вхр, Xq Вур, X’q,

где МХ1х- будет одним из выражений (14), которые играли столь большую роль в предыдущем пункте.

Умножим (13bis) и (13ter) соответственно на »и ■=, DXp, Xq DX'p, X'q сложим и получим

/cHogM^ ^Фо _ ^log^x.x- ^Фо ) = 0

Z-J \ dz^ du^du^ dz^ /

или, принимая обозначения Якоби для скобок Пуассона, [logMx, л-, Фо] = О, или же

[Ж,х-, Фо] = 0.

Итак, если М и М*—два выражения из (14) предыдущего пункта, при- надлежащие одному и тому же классу, то мы должны иметь

VM, Фо] = \М', Фо] =0

или по теореме Пуассона

[[Л/, М% Фо] = 0,

откуда можно заключить, что [М, М'^ — функция 2/г — 4 из выражений (14).

Не следует забывать, что скобки должны быть вычислены в предположении, что хх и х2 (т. е. в случае задачи трех тел рЛ и Р'^') являются постоянными.

Глава VI

ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Формулировка задачи

Как я уже говорил, Фламм дал замечательное приближенное выражение членов высокого порядка возмущающей функции. Ему удалось это сделать с помощью метода Дарбу, позволяющего найти коэффициенты высокого порядка ряда Фурье или же ряда Тейлора, если известны аналитические свойства функции, представленной этими рядами.

Но метод Дарбу применим только к функциям одной переменной, в то время как возмущающая функция должна быть разложена по синусам и косинусам углов, кратных двум средним аномалиям. Вот к какой уловке прибегнул Фламм: он получил сначала обычным способом первое разложение возмущающей функции, члены которого имеют вид

Ара еИЗо+Yu), р'а' gi (З'ю'+y'u')^

где р — радиус-вектор первой планеты; и — истинная аномалия; и — эксцентрическая аномалия; р', V и и' — аналогичные величины, соответствующие второй планете.

Тогда два множителя р^е1 (3»+™) и р'а' е1 (3'’;'+y'u') зависят только от одной переменной, а именно: первый — от средней аномалии £ первой планеты, второй — от другой средней аномалии £'. Фламм применил к каждому из этих двух сомножителей метод Дарбу.

Этот прием недостаточен для наших целей; нам необходимо, напротив, применять метод Дарбу непосредственно к возмущающей функции и для этого распространить этот метод на случай функций двух переменных!25].

Функцию, которую надо разложить, мы обозначили через F^, я напомню еевыражение, приняв сноваобозначенияп. 11. Мыимеем

у[ -I- "Д + Уз , У4 + У? + Уцтгтз m3miт^тг

Ь'231"2В7Н ~ р АС— р АВ ‘

Определеннаятаким образом функцияF зависит отпеременных(4)из

11, от тг, т2, т3 и от р. Если мы предположим, что тп1, тг и т4 — известные функции параметра р и разлагаются в ряд по возрастающим степеням этого параметра, то F будет зависеть лишь от переменных (4) и от р и будет разлагаться в ряд по возрастающим степеням р..

Здесь возможно бесконечное число вариантов; мы предположим, например, что m15 Р и Р' есть постоянные, не зависящие от р.

Переменные (4) являются кеплеровскими переменными, соответствующими двум оскулирующим орбитам, определенным в п. И. Радиус-вектор первой оккупирующей орбиты есть АВ, радиус-вектор второй орбиты есть CD. Угол между этими двумя радиусами-векторами (который является не чем иным, как разностью двух истинных долгот двух оккупирующих орбит, если эти орбиты находятся в одной плоскости) — это угол ВВС, который я буду обозначать через D.

Величины (pj2 + у22 + J/з2), (/А2 + Уь2 + У в2) и А В зависят только от переменных (4) и не зависят от р. Напротив, а17 а3, АС и ВС зависят не только от переменных (4), но еще и от р. Следовательно, мы можем попытаться разложить а2, а3, МАС и МВС по степеням р. Таким образом, мы найдем

на р2,на р2,на p2,делящиеся на p,на p2,делящиеся на p,а3 = р' 4- 4— -р члены делящиеся11,= -7============^--^= + члены,VАВ2-V-CD'1 —2AB.CD cos D '11 Bp АВ cos D .,а3 = р' 4- 4— -р члены делящиеся11,= -7============^--^= + члены,VАВ2-V-CD'1 —2AB.CD cos D '11 Bp АВ cos D .,а2 = р +—г члены, делящиеся

на р2,

на р2,

на p2,

делящиеся на p,

на p2,

делящиеся на p,

а3 = р' 4- 4— -р члены делящиеся

11,

= -7============^--^= + члены,

VАВ2-V-CD'1 —2AB.CD cos D '

11 Bp АВ cos D .,

а3 = р' 4- 4— -р члены делящиеся

11,

= -7============^--^= + члены,

VАВ2-V-CD'1 —2AB.CD cos D '

11 Bp АВ cos D .,

-77-, = — — • ,,™ p члены, делящиеся на p-. AC CD mi CD- 1।

Тогда если положить

F = Fо + pF! + . . . , то получим

_ ?/2 + У2 + Уз , У» + Уб + У23'mi 3^1

23+23'CDАВ'

р р-З'233'! 33' АВ cos I.)

~ АВCDУлВ^А- CD2 — 2АВ • CD cos D + CD2 "

Рассмотрим последовательно различные члены возмущающей функции Fv

Прежде всего первый член

32_ _ _АВ ~ г

зависит только от средней аномалии I и не зависит от средней аномалии Г; следовательно, в разложении не будет членов с sin(mZ + «Z') или cos(mZ + nV'), где п =j= 0.

Также второй член

CD — - г'

не сможет дать в разложении членов с sin(mZ + nZ') или cos (ml + nZ'), где m =/= 0.

Следовательно, вообще мы сможем отбросить эти два члена. Последний член

33' АВ cos D

CID

может быть представлен в другой форме.

Если я обозначу через i наклонение орбит, а через и и и' — истинные долготы, отсчитанные от линии узлов, то получим

cos D = cos и cos v' + cos i sin v sin v',

откуда

AB cos D , . D , cos у' .. , . D ., sin V

C№ - = (AB cos n)-^ + cos г (AB sin n) -^- .

Метод Фламма непосредственно применим к четырем множителям

АВ cos и, "с]^"' АВ siov, -Qjyr -

Остается, таким образом, разложить третий член

v ABI Н- CD1 — г АВ • CD cos D ’

который известен под названием главной части возмущающей функции. Разложением этой главной части мы сейчас и займемся.

Отступление об одном свойстве возмущающей функции

Можно было бы попытаться избежать разложения главной части возмущающей функции, используя следующий искусственный прием.

Мы нашли

_ 32_ +рз^о 4. 33>£osm

обозначив через гиг' два радиуса-вектора и через со — угол между этими радиусами-векторами.

Чтобы достигнуть этого результата, мы взяли, как и в и. 11, за оску- лирующие орбиты орбиту В относительно А и орбиту С относительно D, центра тяжести А и В. Но ясно, что было бы можно равным образом выбрать за оскулирующие орбиты орбиту С относительно А и орбиту В относительно Е, центра тяжести А и С.

Это равносильно перестановке планет В и С; таким образом мы бы получили в качестве новой возмущающей функции

А = - -^- -+ №' Ру +,

откуда

Х-Л = РР' (r_^_L^).

Если существует интеграл

Ф = const, то его можно записать, взяв в качестве переменных оскулирующие элементы двух первых орбит [переменные (4) п. И], и мы получим

Фо + ц®! + . . . = const.

Его можно записать также, выбирая в качестве переменных оскулирующие элементы двух новых орбит (орбиты С относительно А и В относительно Е); тогда получим

Фо + рФ1 + ... = ccnst, где Фо' будет образовано из элементов двух новых орбит так же, как Фо было образовано из соответствующих элементов двух старых орбит, но Ф/ не будет образовано подобно Фг

Как мы видели в п. 81, мы должны получить

[Фо, Л] + №, Л1 = о, а также

[Фо, ^*11 + [Ф1, ^о! = 0;

поскольку Ф(/ образовано так же, как Фо, то я могу опустить штрих и написать

[Фо, А1 + [Фь Т^] = 0, откуда

[Фо, fV - Л) + [Ф1 - Ф1, ^0] = 0.(1)

Мы видели, что если существует однозначный интеграл и если, после того как мы разложили F^ образовать выражения (14) из п. 84, то между этими выражениями должно существовать некоторое число соотношений.

Но, рассуждая относительно уравнения (1) аналогично тому, как мы это делали относительно уравнения (3) из п. 81, мы пришли бы к аналогичному результату.

Разложим F/ — Ft и образуем с помощью этого разложения выражения (14) п. 84; если существует однозначный интеграл, то между этими выражениями должно существовать некоторое число соотношений.

Итак, если можно было бы установить, что этих соотношений не существует, то мы бы установили, что не может существовать однозначный интеграл. Поскольку разложение разности Fx — Р1 несравненно проще, чем разложение Fv то, по-видимому, этот способ должен сильно облегчить нашу задачу.

Но он настолько искусствен, что можно a priori почувствовать сомнение относительно эффективности этого метода и задать себе вопрос, не является ли он иллюзорным. Это на самом деле так, поскольку выражения (14), образованные с помощью F^— Р1, равны нулю или же не определены.

Предположим, что мы разложили F/ — Pi в ряд вида

Л - Рг = 2 5m„ mae^-i W).

Коэффициенты Bmi>m, будут функциями от рР, Р'Р' и других оскулирующих элементов (за исключением I и Z'). Дадим L и L* такие значения, что

т^п + тпп' = О (обозначая через пип’ средние движения).

Я утверждаю, что для этих значений L и L коэффициент Вт11тг обратится в нуль.

Для этого я воспользуюсь следующей леммой.

Пусть

xv хг,... , ^; уг, у2,.--,уп(2)

— система попарно сопряженных переменных, пусть

Tv 2-г, ... , х„; ух, уа, . . . ,уп(3)

— другая система сопряженных переменных. Предположим, что эти две системы связаны такими соотношениями, что от одной к другой можно перейти, не изменяя канонического вида уравнений. Тогда согласно п. 5, должно иметь место соотношение

2 (dxj бу; — dy^ 6^) = 2 (dz, 6yt — dy, бзД.(4)

Предположим, что ж/ и у/ зависят от некоторого параметра р, и разлагаются в ряды по степеням ц; кроме того, при р, = О яД и у/ совпадают с ^ и yv

Тогда будем иметь

= X; -|- р^ + . . . ,

Уг = Уг + РЛг + • • • -(5)

где ^ и т], — функции от ^ и у^.

Тогда выражение

2(^ Йг — 4\id.x^=AS будет полным дифференциалом. Это с необходимостью вытекает из тождества (4), из которого, очевидно, вытекает следующее тождество:

^у^ — Йг 5£i + ^ ^Hi — driiS^) = 0.

Рассмотрим теперь канонические уравнения йУг — dF dt dyi ’ dt dx^ ’ где

F = Fo (хи y^ 4- H^i (^i, Уг) + • •

Сделаем замену переменных и за новые переменные возьмем (3); получим

F = Fo (з^ yt) 4~ р^! (xi, у^ + • • ••

Если мы заменим х^ и у^’ их значениями (5), то получим

''’’XI / dFO\о

Fu (хь yj = Ео (х^ Уд + V- Zj Si + "d^i) + члены, делящиеся на ц2,

^1(3:,, Уг) = Р1(х;, у^ 4" члены, делящиеся на ц,

откуда, приравнивая оба разложения, получим

Ео(^, у4) = Ро(^, У th ,^-, / dF. dF. \

y^-F^, у4 4-2^—^4-—тр J.

Если заметить, что Fo ^х^ у^ = Fo' (xiy у^ и что

. dSdS

^ = d?Y' ^=-dZ’

то можно записать

Fi-F;=VFo, ^].

Предположим, что Fo зависит лишь от двух переменных ху и хг и что Ed F2 — периодические функции с периодом 2л по у^ и уг. Так обстоит дело во всех задачах, которые мы до сих пор рассматривали.

Предположим, кроме того, что S периодична по ^ и у2 и пусть

S = ^AeV-i(тпм+тгУг),

где А зависит от zn z2, ..., хп; у3, у^ ..., уп.

Предположим, что мы желаем разложить f/ и ^ — F^ в ряды того же вида и пусть

Fx — F1 = 'S Be ^(адад,).

Уравнение (6) показывает, что

В = У — 1 Л ттг, тt- т» -у— .'\ 1 du 11 dxi)

Итак, если мы даем xY и хг такие значения, что

dF» dFt\ ~

27?-^ з— -|- 772-2 5— = О,1 dxi 1 dxi

то получаем также

В = 0.

Применим этот результат к случаю, который нас интересует. Пусть

^L, ^G, 30, ^’U, p'G', 3'0';

I, g, 6, V, g',6'

есть переменные (4) из п. 11, соответствующие двум старым оскулирую- щим орбитам: В относительно А и С относительно D.

Пусть

ЗА, ЗА, ЗА.ЗА.ЗА, 310'1!

^1,£], 91,^1, gv 61

есть переменные (4) из п. 11, соответствующие двум новым орбитам (5 относительно Е, С относительно Л).

Эти переменные (8) смогут заменить переменные (7) так, чтобы канонический вид уравнений не нарушился; они будут зависеть от переменных (7) и от р; они будут разлагаться в ряды по степеням р и сведутся к переменным (7) при р = 0.

Таким образом, мы окажемся в условиях, когда применим предыдущий результат, и мы должны заключить, что если положить

р; - F, = 2 Bmi. m2 е w+miп ,

то BmiVm, обращается в нуль при

I dFo7711 я— "Н ^2 л— ” 0.

dxi 12 dxi

Этот результат легко можно проверить непосредственно. Действительно, обратимся к выражениям, данным Тиссераном в книге «Mecanique celeste» (t. I, p. 312).

Результат, который нам надо проверить, в терминологии Тиссерана может быть сформулирован следующим образом (я напоминаю, что Тис- серан обозначает через сг косинус угла между радиусами-векторами).

Если положить

О - 4) = 5Хп'

то 5П]П' обращается в нуль при

Действительно, обращаясь к выражениям цитированной страницы, находим

где С зависит только от эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев и узлов; следовательно, это выражение обратится в нуль при

п2 _ п'2

и, следовательно, при

что и требовалось доказать.

Я счел себя обязанным тем не менее связать эту теорему с более общей теорией, которая позволит, быть может, открыть новые аналогичные предложения.

Основы метода Дарбу

После этого отступления я возвращаюсь к своей основной теме. Прежде всего следует напомнить результаты Дарбу, из которых мы будем исходить.

Пусть ряд

Ф (ж) = Sanzn

имеет радиус сходимости г.

Если п бесконечно возрастает, то

lim anpn = 0, если P<Lr,

limanpn = oo, если р>г.■

16 А. Пуанкаре

Представим себе теперь, что функция

Ф (ж) = 2 апжп

остается конечной на окружности радиуса г вместе с р первыми производными; тогда произведение np+1 ппг”не будет неограниченно расти с ростом п.

Если имеет место равенство

ф (ж) = (1 — аж)4 = 2апжп, то приближенно выполняется

ап — Г (— к) ’

я хочу сказать, что отношение обеих частей равенства (1) стремится к 1 при неограниченном возрастании п.

Предположим теперь, что функция ф (ж) имеет на окружности радиуса г две особые точки ж = а и ж = Р; что в окрестности точки ж = а мы имеем

ф(ж) = д fl - |Г+ л2 fl - |Г+ . . . + А (1 - ^Г+ ф (ж),

а в окрестности точки р

ф (ж) = В, (1 - |f + В, fl - |f + . . . + Bk fl - I)8' + ф, (ж),

где ф (ж) и фг (ж) остаются конечными вместе со своими первыми производными. Тогда получаем при п = оо

1™- s а—- 2 в. у;гА>] -

откуда выводится приближенное значение аи.

Если мы имеем

Ф(ж) = log'(l — ж), то

если

Ф(ж) = log(l — ж)(1 — ж/', то мы будем приближенно иметь

_ — n1-11 log га .

“-1 Г (-4);

Последняя формула применима лишь в случае, если к не есть целое положительное число, в этом случае

(—1)к+1/с!

Яп га (п— !)...(«— к) "

Пусть

ср (ж) = San^n + Sa_nz-n

— ряд, содержащий положительные и отрицательные степени и сходящийся при

| ^ | <^ Я, | х | "> г.

Пусть аир — две особые точки функции ср (ж), расположенные на окружности |х| = Я; пусть Y и 6 — две особые точки ср (х) на окружности |х| = — г. Предположим, что ср (х) не имеет на этих окружностях других особых точек.

Пусть

ф (ж) = Т.ЬиХп, фх (х) = 5спжп

— два ряда, сходящиеся при

И<Я.

Пусть

Фг (х) = S6_n^'n, Фз (л) = Vc-^-"

— два ряда, сходящиеся при

И > г.

Если разности ср — ф, ср — ф1? ср — ф2, ср — ф3 и их первые р производные конечны, причем первая из них в окрестности точки х = а, вторая — около точки х = р, третья — возле точки х = ф, а четвертая — когда х находится вблизи точки б, то мы будем иметь

lim п^ЧГ (ап — Ьп — сп) = О,

lira ni’+V"" (а_„ — 6_п — с_„) = О, п₽и к = ^

Приближенные значения коэффициентов ап, следовательно, зависят лишь от особенностей, которые имеет функция ср (х) на окружностях, ограничивающих сходимость.

Обобщение на случай нескольких переменных

Применим эти принципы к интересующему нас случаю.

Речь идет о разложении некоторой функции Я° двух средних аномалий I и Г в ряд следующего вида:

* 1 ZjZlmifm8 с

Мы имеем, следовательно

4лМт1,т2=.

о о

Нам надо найти приближенное значение коэффициента Атътг в случае, когда отношение тп^т^ дано и конечно, а два числа mY и т2 очень велики или же, более общим образом, когда

т1 = ап + b, т2 = сп + d, где а, Ъ, с, d — конечные целые числа, ап — очень большое целое число, а и с взаимно просты.

Если я утверждаю далее, что приближенно выполняется равенство Лт1. m2 = ф (и), kmi = ап + Ь, т2 = сп + d), то это будет означать, что отношение д

ф(”) стремится к единице, когда п неограниченно возрастает, a a, b, с, d остаются конечными.

Сформулировав таким образом задачу, я введу следующие обозначения.

Положим г '= tc, е^’ = г» 2 c.

тогда т?0 ул.m,c-m2a c

Г ^ Zj-cItti^ ти2 tZ .

Если мы затем положим для краткости d E(z, <) = то найдем

E(z, t) = ^Ami>mf полагая для краткости

а = тхс — т2а -^ ad — be — 1.

Пусть теперь

ф ^=^V^' ^^

интеграл берется по t вдоль окружности |<| = 1. Мы будем иметь

А-

Ф(2)=с ^dt.

Все интегралы равны нулю, кроме тех, для которых а. = —1 и которые равны 21л.

Если а = — 1, мы будем иметь

, ,, , тг — d

т1 = ап + о, тй = сп + о,—-— = п.

Теперь получаем

Ф (z) = S-4mii mizn.

Поэтому если мы разлагаем Ф (z) в ряд вида

Ф (z) = 2anzn + ^a_nz-n,

то коэффициент Аmh№1 есть не что иное, как ап при

тх = ап + 6, т2 = сп + d.

Итак, нам нужно искать приближенное выражение для ан при очень больших п и, следовательно, изучать особенности функции Ф (z).

Функция Ф (z) определена как интеграл по t вдоль окружности |<| = 1. Можно заменить эту окружность произвольным контуром С, удовлетворяющим все же некоторому условию.

Зафиксируем временно z и будем рассматривать F (z, t) как функцию от t. Эта функция будет иметь некоторое число особых точек.

Необходимо, чтобы между окружностью |£| = 1 и контуром С не оказалось ни одной из этих особых точек.

Будем теперь изменять z непрерывным образом; эти особые точки будут непрерывно перемещаться. Если в то же время непрерывно деформировать контур С так, чтобы он никогда не проходил ни через одну особую точку, то функция Ф (z) останется голоморфной.

Следовательно, функция Ф (z) сможет перестать быть непрерывной только тогда, когда станет невозможным деформировать контур так, чтобы он не проходил ни через одну особую точку. Вот как это может произойти: представим себе, что при некотором значении z мы имеем две особые точки аир, одну вне, а другую внутри контура С. Если при непрерывном изменении z одна из них, например а, попадает на контур С, то мы можем деформировать С, заставляя его, так сказать, убегать от этой подвижной особой точки, так что эта точка а не сможет никогда достигнуть контура. Таким образом, а останется всегда вне С, а р — внутри С. Но предположим теперь, что аир неограниченно сближаются; контур С, так сказать, по-

павший между двух огней, не сможет больше отступать перед этими двумя подвижными точками, и функция Ф (z) не будет больше голоморфной.

Следовательно, чтобы получить все особые точки функции Ф (z), достаточно записать условие совпадения двух особых точек функции F (z, £), рассматриваемой как функция t.

Ряд

Ф (z) = ^anzn + ^a_nz"n

будет сходящимся в области, ограниченной двумя окружностями

|z| = R, |z| = г,

причем эти две окружности будут проходить через одну или несколько особых точек, которые я только что определил.

Но если мы хотим знать, какие из этих особых точек находятся на этих окружностях и определяют, следовательно, пределы сходимости нашего ряда, то необходимо более углубленное исследование.

Действительно, нам подходят не все особые точки и тому есть несколько причин.

Во-первых, функция F (z, t) неоднозначна; если две особые точки а и р функции F, рассматриваемой как функции t, сливаются при некотором значении z, то для того, чтобы это значение было действительно особой точкой Ф (z), необходимо, чтобы аир принадлежали одной и той же ветви F и, кроме того, чтобы эта ветвь была той же, которая фигурирует в интеграле вдоль С,

определяющем функцию Ф.

Кроме того, надо, чтобы эти две точки аир, перед тем как слиться в одну, не находились по одну сторону от контура С.

Пусть Н — путь, проведенный в плоскости z и идущий от точки z0 модуля 1 к особым точкам zv определенным выше. Предположим, что мы следуем по этому пути из z0 в zL и изучаем изменения Ф (z), беря за начальное значение

Ф (z0) = 2anz" + 2a_„z;n.

Хотя функция Ф (z) может не быть и, вообще говоря, не является однозначной, частная ветвь Ф (z), которую мы имеем в виду, полностью определена, так как мы задали начальное значение и пройденный путь.

Теперь требуется узнать, является ли точка zx в действительности особой точкой для этой частной ветви функции Ф (z).

Поскольку функция F (z, Z) неоднозначна, надо изменять t не на плоскости, а на римановой поверхности S, имеющей столько же листов, сколько ветвей имеется у функции F (это число может быть бесконечным).

Когда z будет изменяться, следуя по пути Н, особые точки будут перемещаться и риманова поверхность будет деформироваться. Контур С следует считать проведенным на этой римановой поверхности.

Этот контур при z = z0 сведется к окружности |Z| = 1, проведенной на одном из листов S; когда поверхность 8 деформируется, то надо также деформировать контур С так, чтобы на него не попадало ни одной особой точки. Тогда специальное, иногда весьма тонкое исследование позволит увидеть, находятся ли для значения z, близкого к z1( две особые точки функции F (z, Z), сливающиеся в одну при z = zn по разные стороны от контура С, что является необходимым и достаточным условием того, чтобы точка z = zx была особой для рассматриваемой нами частной ветви функции Ф (z).

Как определить теперь, находится ли точка zT на одной из окружностей

|z| = R, |z| = г, которые ограничивают область сходимости ряда + Sa_nz"n,

и, таким образом, от нее ли зависит приближенное значение, которое мы ищем?

Проведем путь Н, идущий из точки z0 модуля 1 в точку z1; так что модуль z изменяется монотонно. Если точка принадлежит одной из двух наших окружностей, то она должна быть особой точкой для ветви Ф (z), определенной путем Н, и это выясняется способом, который я только что объяснил.

Если точка Zj удовлетворяет этому условию, то я скажу, что эта особая точка допустимая.

Теперь среди всех допустимых особых точек модуля, большего 1, те будут находиться на окружности |z| = R, у которых модуль будет самым маленьким.

Точно так же среди всех допустимых особых точек модуля, меньшего единицы, те будут находиться на окружности |z | = г, у которых модуль самый большой.

Я добавлю в заключение, что функция Ф (z) имеет несколько ветвей, которые переходят одна в другую, либо когда две ветви функции F (z, Z) переходят одна в другую, либо когда две из особых точек F (z, Z) обходят одна вокруг другой.

Я попытаюсь вначале определить особые точки Ф (z); я определю затем с помощью специального исследования, какие из них подходят к нашему случаю.

Отыскание особых точек

Ограничимся случаем движения в плоскости.

Пусть и и и — эксцентрические аномалии, sing) и sing)' — эксцентриситеты, I? и L'2 — большие оси, 3 и Я' — долготы перигелиев. Будем

иметь

I = и — sinq)sinn, V = и'—sinq/sinu'.

Координаты первой планеты по отношению к большой оси ее эллипса и перпендикуляру, проведенному через фокус, будут

L2(cosu— sinq)) и L2 cos q) sin и.

Таким образом, это будут вещественная и мнимая части выражения ^Л2, если положить

В = cos и, — sin q> + К—1 cos q) sin и.

Если положить также

т) = cos и' — sin q)' + ]/ — 1 cos q>' sin и', то координаты второй планеты, отнесенные к тем же осям, что и координаты первой, будут вещественной и мнимой частями выражения

Пусть

Р = L^L^e^®-^, пусть

Во = cos и — sin ср — К—1 cos ср sin и,

т]0 = cos и' — sin q)' — К—1'cos ср' sin^u',

Ро = L^L^V^'-ab

получим

Z2E? =1- .

Кк — Зп) (^о — ЗоДо)

Особые точки функции^ (z, /) те же, что у функции Е?, поскольку F (z,i) отличается от F^ лишь степенью t, и точка t = 0, которая, впрочем, не войдет в рассмотрение, является уже особой точкой F^.

Особыми точками F^ будут те точки, для которых и и и' и, следовательно, В, ц, Во, т]0 перестанут быть однозначными функциями от I и V и, следовательно, z и i; кроме того, те, для которых

6 = Рп или Во = роцо.

Я полагаю

х = е™, у = е*“',

откуда

I sin и = X — — , Z Sin U = тг

зтф'зтф'Из этого мы получаем

зтф'

зтф'

,sin Ф /1

I = Н\Х

и

sin <₽'

еи = хееи = хееи = уе

еи = хе

еи = хе

Затем получим

t = е

sin ф

"е"

z = eicVtca = ycxQeto,

полагая для краткости

с smс sma sin Ф

с sm

с sm

to2“

С другой стороны, будем иметь

£ =

П =

COS ф' /

2

£

X

Особые точки F (z, t) даются уравнениями

= 1 — sm (р cos и = 0,

— = 1 — sin ф cos и = 0;

duт’

я = g - Рл = о,

# о = £о ~ РоПо - 0.

Мы можем переписать эти уравнения, используя переменные z и у; тогда эти уравнения станут алгебраическими; в самом деле, два первых запишутся в виде

(1)(2)(1)(2)(3)(3)2х — sin ф (ж2 + 1) = О,

(1)

(2)

(1)

(2)

(3)

(3)

2у — зтф' (у2 + 1) = 0,

а два последних, после избавления от знаменателей, в виде

У К^2 + 1) — 2ж sin ф + cos ф (ж2 — 1)] = Pz[(y2 + 1) — 2уз1пф' ++ cos ф' (у2 — 1)],

У К^2 + 1) — 2а;sinф — cos ф(х2 — 1)] = 30z [(у2 +1) — 2увтф' —— COS ф' (у2 — 1)].

Чтобы найти особые точки Ф (z), достаточно записать условие совпадения двух особых точек функции F (z, t).

Но это слияние может произойти двумя способами.

Либо особая точка, определенная одним из четырех уравнений ^ = 0, ^7 = 0, Н = 0, Но = 0, сливается с особой точкой, определенной другим из этих четырех уравнений: таким образом, мы получим особые точки первого рода функции Ф (z).

Либо две из особых точек, определенных одним из этих четырех уравнений, сливаются в одну. Таким образом, мы получим особые точки второго рода функции Ф (z).

Чтобы получить точки первого рода, достаточно попарно скомбинировать уравнения (1), (2), (3), (4). Мы видим, что эти точки никак не зависят от целых чисел а и с.

Чтобы получить точки второго рода, надо действовать следующим образом.

Пусть / (z, t) = 0 — одно из четырех уравнений (1), (2), (3), (4); чтобы выразить совпадение двух особых точек, определенных этим уравнением, достаточно написать

/-о, У-о.

Если мы заменим переменные, выразив z и t, и, следовательно, / в виде функций от I и Г, то получим

df _ —t / df df

dt — I у dl a dl'j ’

так что уравнение df/dt = 0 можно будет заменить уравнением

или еще

с dja dj

1 — sin ф cos и du1 — sin ср' cos и' du

Левые части уравнений (1) и (2) зависят лишь от и, или же от z/; мы их можем не рассматривать; но мы имеем особые точки, которые лаются двумя уравнениями

я=о, ^ = 0

at

или двумя уравнениями

Яо = О, ^ = 0.

Мы имеем

Н = cos и — sin ф + г cos ф sin и — 3 (cos и' — sin <р' + i cos q/sinu').

Уравнение dH/dt = 0 может быть, таким образом, заменено следующим:

с (— sin и + icos <p cos u)аЗ (— sin и.' -\- i cos ф' cos u') g

1 — sin Ф cos и1 — з1пф'сози'

или

C [COS ф (z2 + 1) + ^2 — 1)] , «3 [COS Ф' (у2 + 1) + (y2 — 1)1= n /^x

2x— зшф(£2+1)2g— вшф'(y2+1)’'

Аналогично уравнение dHJdt = 0 может быть заменено следующим:

с[— С03ф(а:2+1) + (х2 — 1)] аЗо [— cos ф' (у2 + 1) + (у2— 1)] _ р 2х— sin ф (z2-|-1)2у— sin ф'(у2-|-1)"' '

Особые точки второго рода, таким образом, даются уравнениями (3) и (5) или же уравнениями (4) и (6); следовательно, в противоположность точкам первого рода они зависят от отношения целых чисел а и с.

Все особые точки Ф (z) находятся поэтому с помощью алгебраических уравнений. Эти алгебраические уравнения упрощаются, если предположить, что ф' = 0. Тогда можно предположить и что 3' = 0 и, следовательно, что f}0 = Р-

Уравнение (1) не изменяется, уравнение (2) сводится к у = 0 и его можно больше не учитывать, уравнения (3) и (4) принимают вид

(z2 + 1) — 2xsin ф -|- cos ф (ж2 — 1) = 2^ху,(3)

У К^2 + 1) — 2zsin ф — cos ф (z2 — 1)] = 2^х.(4)

Уравнения (5) и (6) становятся следующими:

С [С03ф(12+ 1) +(х2— 1)]л/сх

2х — sin ф (г2 -|- 1) Tia ’V-1

с [— cos ф (х^ + 1) + (i2 — 1)] _ «3 _ п,„

2х — sin ф (z2+l)уV ’

Комбинация уравнений (3) и (5) дает

2с [cos ф (х2 + 1) + (z2 — 1)] а [(х2 -|- 1) — 2х sin ф -|- cos ф (х2 — 1)] ,^х

2х— sin ф (ж2 -|- 1)х’( )

а комбинация уравнений (4) и (6)

2с [— cos ф (z2 + 1) + (д2 + В] “[(^Ч-!) — 2х sin ф—созфрс2 — 1)] р 2х — sin ф (х^ + 1)х(О[

Уравнения (7) и (8) дают значения ж, соответствующие точкам второго рода; уравнение (1) дает значения ж, соответствующие некоторым точкам первого рода.

Нам остается рассмотреть точки первого рода, определяемые уравнениями (3) и (4), поскольку уравнение (2) становится иллюзорным.

Уравнения (3) и (4) записываются в виде

5 — ЗП = 5о — ЗоПо = 0.

Если они удовлетворяются одновременно, то мы имеем

^Ео = 333W=32-

Но

Ко = (1 — sin ср cos и)2.

Таким образом получаем

— sin ф cos и = + 3,

так что значения х, соответствующие такому роду особых точек, даются двумя уравнениями

2х— simp (ж2 + 1) = 23^,(9)

2х — sin ф (ж2 — 1) = — 23ж.(10)

Значения х, соответствующие особым точкам, мы будем находить из пяти уравнений (1), (7), (8), (9) и (10). Заметим, что уравнения (1), (9) и (10) возвратны и что уравнения (7) и (8) переходят одно в другое при замене х на Мх. Итак, если х — особая точка, то и Мх также будет особой точкой. Это было нетрудно предвидеть.

Если положить ф = 0, то наши уравнения сведутся к х = 0, следовательно, когда ф стремится к нулю, корни уравнений (1), (7) и (8) стремятся к нулю или к бесконечности.

Если положить'

то уравнения (3) — (8) соответственно принимают вид (я - ^

у з (1 + т2) х *

3 (1 + т2) х

У (1 — хт)2 •*

- с ^ + ст) । ^з = оX — т’

с (я + т) а(х — т)2 _

1 tx (1 + Т2) х ’

С (1 + И) с(1 — тх)2

X — Т I" (1 + Т2) X "

С другой стороны, уравнение (1) дает нам решение

1 х = т, х = — .

т

Когда ф и т очень малы, мы видели, что значения х очень малы или очень велики, и поскольку уравнения не изменяются при замене х на Мх, мы должны прийти к выводу, что имеется ровно столько же очень малых значений, сколько и очень больших.

Наши уравнения и соответствующие значения х немного упрощаются, если, предполагая <р очень малым, пренебречь квадратом этой величины.

Уравнения (1), (9) и (10) тогда дают нам соответственно для х три очень малых значения, приближенно равные

ж-5_$ = ^J_ X = ^_L_(in

— 2 ,2 1 — 3’2 1 + 3’4

и три очень больших значения — приближенно равные

21 =2(1 + Р>.(llbis)

ффф'z

Уравнение (7) дает два очень малых значения, определенные приближенно уравнением

4ж2 (а + с) + 2а?ф (с — 2а) + аф2 = 0,(12)

и одно очень большое значение, равное приближенно

Из уравнения (8) находим два очень больших значения, определяемых уравнением

4 (а + с) + 2жф (с — 2а) + аж2ф2 = 0,(12bis)

и одно очень малое, которое записывается в виде

а~"г У+с ‘

Легко проверить, что корни уравнений (12) и (12bis) вещественны при da <^ 0. Итак, если с и а имеют противоположные знаки, а ф достаточно мало, то корни уравнений (7) и (8) вещественны.

После того как мы определили таким образом значения х, соответствующие различным особым точкам, остается определить значения у и z.

Прежде всего я замечу, что если имеем особую точку, соответствующую некоторым значениям х, у и z, то обратные величины 1/z, 1/у и 1/z будут соответствовать другой особой точке, которую я назову обратной к первой. В самом деле, наша система уравнений не изменяется при замене х, у, z на 1/z, l/y, 1/z, и это, впрочем, легко было предвидеть.

Значения х и у будут определяться следующими парами уравнений: (1), (3); (1), (4); (7), (3); (8), (4); (9), (3) или (4); (10), (3) или (4).

Из этих уравнений мы видим, что если ф очень мало и может рассматриваться как бесконечно малая величина первого порядка, то у очень мало, если х очень мало, и очень велико, если х очень велико.

С другой стороны, мы имеем

a sin у _1^)z = усхае 21

Если ф — бесконечно малая величина первого порядка, то х бесконечно малая (или бесконечно большая) того же порядка; то же верно и для a sin / 1\,

у; тогда показатель —-— х I конечен, следовательно, z — бесконечно малая (или бесконечно большая) величина порядка а + с.

Среди особых точек я выделю ту, которая определяется равенством х = т (решение уравнения (1)) и уравнением (3).

Действительно, для этой точки у и z равны нулю.

Точно так же для точки, обратной предыдущей и определяемой равенством х=1/т (другое решение уравнения (1)) и уравнением (4), значения у и z бесконечны.

Поэтому в дальнейшем мы не будем заниматься исследованием этих Увух особых точек.

Исследование

Остается разрешить следующий вопрос.

У меня всего четырнадцать особых точек, семь из которых соответствуют очень малым значениям ж и у, а семь — очень большим.

С другой стороны, семь из этих точек соответствуют очень малым значениям z, а семь — очень большим. Требуется определить, для какой из семи первых точек модуль z самый большой (это нам в то же время позволит узнать, какой из семи других точек соответствует самый малый модуль z, поскольку значения z попарно обратны, так же как значения х и у).

Если соответствующие особые точки допустимы, то именно они определяют окружности

j z’| = R, | z | = г ^здесь R = ^ .

Чтобы не удлинять исследование изучением слишком большого числа различных частных случаев, я сделаю несколько частных предположений. Я предположу, что■

Р >1.

Предположу также, что отношение а/с близко к отношению средних движений с противоположным знаком, т. е. что приближенно выполняется равенство

ап + сп' = О,

где п и п — средние движения. Действительно, наиболее интересны те члены, которые соответствуют малым делителям.

Таким образом, приближенно имеем

это показывает, что с и а имеют противоположные знаки. Я предположу, например, что с положительно, а а отрицательно; поскольку (3 больше 1, с + а будет положительно.

Благодаря этим предположениям, все значения ж вещественны.

Это позволит нам дать простую геометрическую картину, которая облегчит исследование. Мы представляем каждую особую точку точкой плоскости с прямоугольными координатами ж и у.

Я сделал два рисунка (рис. 2 и 3); первый представляет квадрант плоскости, заключенный между положительной частью оси ж и положительной частью оси у, а второй — квадрант, заключенный между отрицатель ними частями оси к и оси у.

Рис. 2Рис. 3

Прямые AS и A'S' имеют соответственно уравнения

1

ж = т, Ж = — .т

Две ветви кривой C'B'DBP и QFAE'B' имеют уравнение

'_ (ж — т)2

~ Р (1 + Т2) X ’

т. е. уравнение (3) предыдущего пункта; две ветви кривой B'D'BCOREL и R'F'Q'

имеют уравнение (4) предыдущего пункта

_ Р (1 + т2) ж

у (1 — и)2 '

Различные особые точки представлены на рисунках следующими точ

ками:

Ауравнения (1) и (3) (ж = т)

В(9),(3), и (4) [2-е уравнение (И)],

С(8)и (4)[(13)],

D(7)и (3)[(12), отрицательныйкорень],

Е.(1)и (4)(ж = т),

F(7)и (3) [(12), положительный корень],

Я(10)(3) и (4) [3-е уравнение (11)]

и точками А',В',С,D', Е', F' ий', соответственно обратными предыдущим.

Легко проверить, что если ф достаточно мало, то действительно точки расположены в порядке, указанном на рисунках, т. е. их абсциссы возрастают при обходе точек в порядке С, В', D', D, В, С, F, R, Е, Е', R', F'.

Сравним значения z, соответствующие этим различным точкам. Прежде всего видно, что для точек рис. 2 (где ж ^> 0, у ^> 0) z вещественно и положительно и что для точек рис. 3 (где ж <^ 0, у <( 0) аргумент z равен (с + а) л, а аргумент zj равен (1 + а/с) л. Остается посмотреть, как изменяется модуль z. Если идти вдоль кривой (3) или (4), то максимумы и минимумы |z| соответствуют точкам касания кривых (3) и (4) с кривыми

a sin ф ( 1^)

Z = усЖаС " ж = const,

т. е. точкам С, D, F, А для кривой (3) и точкам D', С, F' для кривой (4).

Вот картина изменения [z|.

Когда мы следуем вдоль кривой (3)

В О'I z I = 0В QI z I = 0

Из О' вС' . . . возрастаетИз QвF...возрастает

ВСmaxВ Яmax

Из С вD . . . убываетИз FвА...убывает

В DminВ А[ z | = 0

Из D в Р . . . возрастаетИз Л в О" . . . возрастает

В Р| z | = ооВО"| z | = ОО

Когда мы следуем вдоль кривой (4)

В Р'.। z | = ОВО| z | = О

Из Р' в D' . . . возрастает Из О в L или в Л' ... воз-

В О'шахрастает

Из D' в С . . . убываетВЛ'| z | = оо

ВСminИзЛ'вF' ... убывает

Из С вО . . .возрастаетВ Р'min

ВО| z | — ооИзF'вQ' ... возрастает

В Q'| z | = оо

Отсюда заключаем, что z в точке В больше, чем в точке С, a z в точке Е больше, чем в точке 7?.

Точно так же значение z в точке D меньше, чем в точке S, a zb точке R меньше, чем в точке F.

Мы видели, что поскольку функция F (z, /) неоднозначна, то контуры интегрирования надо проводить на соответствующей римановой поверхности с бесконечным числом листов. Чтобы избежать рассмотрения этой римановой поверхности, можно сделать замену переменных. Заметим, в самом деле, что квадрат F^ — однозначная функция $ и у и что, следовательно, квадрат F (z, /) — однозначная функция ж1/с и z1/c.

Итак, если мы условимся придать определенное значение z1/c, которое мы рассматриваем временно как постоянное, то одной точке плоскости ^Vc будут соответствовать только два противоположных значения F (z, t). Мы сможем тогда провести наши контуры интегрирования на плоскости ж1/с.

Дадим сперва z1/c начальное значение £0, модуль которого равен 1.

Определяя Ф (z), мы условились, что контур интегрирования, вдоль которого берется интеграл

Ф (z) = ^ F (z, /) dt,

должен сводиться к окружности |/| = 1 для значений z с модулем 1.

Для z1/c = £0 мы должны, следовательно, за контур интегрирования принять в плоскости t окружность |/| = 1 и в плоскости ж1/с окружность l^l = 1.

Итак, вот правило, позволяющее узнать, допустима ли особая точка функции Ф (z). Пусть аг — значение ж1/с и ^ — значение z^, соответствующие этой особой точке. Предположим, например, что модуль ^ меньше 1; как мы знаем, половина особых точек Ф (z) имеет модуль меньше 1. Мы будем изменять z1/c следующим образом: его аргумент должен оставаться постоянным и равным аргументу ^, а его модуль будет возрастать от |£{| до 1. Другими словами, точка zUc опишет отрезок прямой А, ограниченный точками ^ и £V| ^ |.

Для каждого из значений z1/c функция F (z, /), рассматриваемая как функция от ж1/с, имеет некоторое число особых точек; при zl c = ^ две из этих особых точек сливаются в одну точку а^ Когда z1/c пробегает пря- 17 А. Пуанкаре

мую А, эти две особые точки изменяются непрерывным и вполне определенным образом. Когда z1/c достигает конечного значения ^/|^|, то конечные положения этих двух особых точек могут оказаться либо оба внутри, либо оба вне окружности ]я:1/с| = 1, и тогда‘ рассматриваемая точка недопустима; либо же конечное положение одной точки — внутри, а другой — вне этой окружности, и тогда рассматриваемая точка допустима.

Функция F (z, t) умножается на корень с-й степени из единицы, когда х16 умножается на корень с-й степени из единицы.

Предположим теперь, что для данного значения z1/c точка

1

х с = у

— особая точка функции F (z, t), рассматриваемой как функция от ххс. Тогда особыми будут также точки

12in14гл12 (с—]) in

х с = ^е с , хс — ^ес ,. . ., х с — ^е с

Мы видели, что значения х, соответствующие особым точкам Ф (г), все вещественны и, следовательно, их аргумент равен 0 или л. Соответствующие значения ж1'' будут поэтому иметь аргумент кк!с, где к — целое число. Итак, если а, — одно из этих; значений, то я могу написать

akin

а, = а^е с ,

где аргумент а/ равен 0 или л/с, а к — целое число.

Если а, соответствует особой точке функции Ф (z), т. е. двум слившимся особым точкам функции F (z, t), то это же верно и для а/.

Я утверждаю, что для того, чтобы точка cq была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы точка а/ была допустимой.

Действительно, применим правило: когда точка z1^ будет пробегать прямую А, две особые точки, первоначально слившиеся в ай будут иметь конечные положения в Y и г'; точно так же две особые точки, первоначально слившиеся в а/, будут иметь конечные положения

2kin2kin

уе с и ^'е с .

Очевидно, для доказательства сформулированной теоремы достаточно заметить, что

Итак, достаточно будет исследовать особые точки, соответствующие вещественным положительным значениям х1^, т. е. точкам F, R и Л ри-

супка, и особые точки, соответствующие значению л/с аргумента хЧе, т. е. точкам В, D и С рисунка.

Точка Е недопустима', действительно, соответствующее значение а, равно

1

аг = тс ;

когда точка z1/c будет пробегать прямую А, две особые точки, первоначально слившиеся в aj, останутся вещественными. Каждой из них будет соответствовать одно значение х и одно значение у и, следовательно, одна изображающая точка на нашем рисунке.

Одна из этих изображающих точек будет пробегать тогда прямую ES, а другая — кривую EL.

Итак, одна из особых точек останется неподвижной и равной т1/" и будет, следовательно, всегда иметь модуль меньше 1.

Начальное значение ^ величины z1^ вещественно и положительно; следовательно, прямая А будет частью вещественной оси, а конечное значение Сг/I Сг | будет равно 1.

Другая особая точка (соответствующая изображающей точке, которая пробегает кривую ЕЕ) имеет положительное вещественное значение, которое я обозначу т; требуется определить, будет ли т больше или меньше 1.

Когда эта изображающая точка описывает кривую ЕЕ от Е до L, модуль z возрастает от некоторого очень малого значения до бесконечности; следовательно, он пройдет в точности один раз через значение единица. Требуется показать, что соответствующее значение Y2 величины х меньше 1. Для этого достаточно показать, что когда абсцисса х этой изображающей точки достигает значения 1, то |z | будет больше 1.

Но мы находим, что при х = 1

a sinv / 1\

z = усхае 2 ж = ус.

Следовательно, остается доказать, что у /> 1. Но очевидно, что

„ .РИ + т2)у (1— т2)„ .РИ + т2)у (1— т2)> 1.> 1.

„ .РИ + т2)

у (1— т2)

„ .РИ + т2)

у (1— т2)

> 1.

> 1.

Таким образом, Т < 1. Итак, точка Е недопустима, что и требовалось доказать.

Точка F недопустима; в этом случае прямая А также будет частью вещественной оси, поскольку £, будет вещественна. Особые точки, первоначально слившиеся в а{, не останутся вещественными, но они останутся комплексно-сопряженными, следовательно, они имеют один и тот же модуль, таким образом, невозможно, чтобы, когда z1/c достигнет конечного значе-

ния Ci/ iCi I = 1, одна из этих точек была больше 1, а другая — меньше 1 по абсолютной величине, что и требовалось доказать.

Однако нам полезно знать, будет ли общий модуль этих двух особых точек больше или меньше 1, когда z1/c достигнет конечного значения 1. Поскольку он первоначально был меньше 1, то он может перестать быть меньше 1, лишь пройдя через значение 1. Следовательно, необходимо, чтобы для комплексного значения ж с модулем 1 величина z1/c имела вещественное положительное значение.

Итак, проведем в плоскости ж линии равного аргумента функции

a sin ф

(я — Т)2С „2

z = — -хае

[3(1 + г^]с

Эти линии представлены на рис. 4, по крайней мере в той части плоскости, которая только нас и интересует — в окрестности точки О.

Замечательными точками являются точка ж = 0, соответствующая точке О рис. 2, точка ж = т, соответствующая точке Л, и две точки, соответствующие точкам/) и F. Эти точки, впрочем, обозначены на рис. 4 теми же буквами.

Рис. 4

Некоторые линии равного аргумента, а именно те, которые рассматриваются как замечательные, обозначены сплошной чертой. Это, с одной стороны, вещественная ось и, с другой стороны, линии, идущие из точки О к точке F и из точки Л к точке D. Другие линии равного аргумента, которые оканчиваются либо в точке О, либо в точке А, либо в обеих, обозначены пунктиром.

Когда точка z1/c будет пробегать прямую А, точка ж будет описывать кривую, обозначаемую сплошной линией FO нашего рис. 4.

Вторая изображающая точка описывает DB'\ я утверждаю, что конечное значение |ж| больше 1. Для этого надо показать, что при ж < 1 |z| = 1, но при х = —1

I 2 I = I У Г-I 2 I = I У Г-М =М =р (1 + Т2)1р (1 + Т2)1(если т достаточно мало).(если т достаточно мало).

I 2 I = I У Г-

I 2 I = I У Г-

М =

М =

р (1 + Т2)1

р (1 + Т2)1

(если т достаточно мало).

(если т достаточно мало).

Из наших трех конечных абсолютных величин две меньше 1, а одна больше 1.

Следовательно, точка допустима, что и требовалось доказать. Таким образом, из шести точек B,C,D ,E,F,R только точка D допустима.

Точно так же из шести обратных точек В' ,С ,D' ,Е' ,F' ,R' лишь точка D' допустима.

Итак, если один из эксцентриситетов достаточно мал, а другой равен нулю, наклонение орбит равно нулю, большая ось круговой орбиты больше, чем большая ось эллиптической орбиты; если отношение —da мало отличается от отношения средних движений, то точки D и D' определяют радиусы сходимости г и R = 1/г.

Чтобы облегчить понимание этого исследования, я сделал пятый чертеж, где изобразил изменение особых точек, взяв за абсциссу ось х, если х вещественно, и |ж|, если х комплексно, а за ординату — |z|. Я изобразил, однако, лишь те особые точки, которые играют роль в нашем исследовании. Прямые, проведенные штрих-пунктирной линией, — оси координат ж = 0и|г|=0и прямые х = +1, |z| = 1

Рис. 5Рис. 5

Рис. 5

Рис. 5

Кривые, проведенные сплошной линией, изображают изменение вещественных особых точек, а кривые, проведенные пунктиром,— изменение комплексных особых точек. В соответствии со сделанными выше допущениями, каждая из точек этих пунктирных кривых изображает две комплексно-сопряженные особые точки.

Различные замечательные точки обозначены теми же буквами, что и соответствующие точки на предыдущих чертежах. Чтобы найти различные конечные значения, к которым приходим, двигаясь из той или иной осо-

бой точки, надо следовать вдоль сплошных или пунктирных кривых, двигаясь всегда вниз (поскольку на чертеже положительная ось |z| направлена вниз) до прямой |z| = 1. Таким образом, находим:

Для точки D конечные значения равны

Т1, Та И

Тз

»» В »»»

Та И Тз,

»» С »»»

Тз, Тз И

Т4,

»» F »»»

Тб,

»» В »»»

Тз, Тб И

Тт,

»» Е »»»

Тс и Тт.

Я напомню, что у5 изображает два комплексно-сопряженных конечных значения. Мы видим, что все найденные конечные значения, кроме и, меньше 1 по абсолютной величине.

Исследование в общем случае

Недостаток места не позволяет мне провести исследование в самом общем случае; однако я могу в нескольких словах наметить путь, которым оно должно быть проведено.

Если мы будем изменять элементы орбит непрерывным образом, то особые точки функции Ф (z) будут также изменяться непрерывным образом. Предположим, что мы изменяем эти элементы так, что орбиты остаются вещественными и ни в какой момент не пересекаются в вещественной точке, так что ни в один момент особые точки функции Ф (z) не сливаются. Рассмотрим особую точку функции Ф (z); она будет непрерывно изменяться, и поскольку мы предположили, что она никогда не сливается ни с одной другой точкой, то можно проследить за ее изменениями, не опасаясь неоднозначности.

Я утверждаю, что если эта точка допустима в некоторый момент, то она всегда останется допустимой, и обратно, за исключением одного случая, к которому мы еще вернемся.

Действительно, допустимость особой точки равносильна тому, что среди конечных значений ж, соответствующих этой точке, имеются такие, модуль которых больше 1, и другие, модуль которых меньше 1.

Здесь, однако, необходимо некоторое уточнение. Действительно, в частном случае, рассмотренном в предыдущем пункте, F (z, I) была однозначной функцией z1/c и ж1/с, что позволило нам изобразить особые точки F (z, I) на плоскости ж1,:.

В общем случае дело обстоит иначе, и такое простое представление становится невозможным. Надо изображать особые точки функции F (z, t) (рассматриваемой как функция от <) на специальной римановой поверхности, обозначенной мною выше через S.

Эту поверхность можно определить следующим образом. Имеем

a sin ф / 1 \ с sin ф'z = ж"е 2 х усе 2a sin ф / 1 \ с sin ф'z = ж"е 2 х усе 2(1)(1)

a sin ф / 1 \ с sin ф'

z = ж"е 2 х усе 2

a sin ф / 1 \ с sin ф'

z = ж"е 2 х усе 2

(1)

(1)

Если мы зафиксируем z, то это уравнение будет определять соотношение между х и у, которому удовлетворяет бесконечное число систем значений х и у, или же х^ и у^. Каждую из этих систем значений можно назвать аналитической точкой. Каждой точке римановой поверхности будет соответствовать одна и только одна из этих аналитических точек, и обратно.

Когда мы станем изменять z, риманова поверхность 8 также будет изменяться, потому что особые точки функции F (z, t) перемещаются.

Пусть 50 — значение 5, когда модуль z становится равным единице. Мы сможем провести на поверхности 80 окружность, которую я обозначу Со и уравнение которой

М = lyl = 1-

(В самом деле, если придать х произвольное значение с модулем 1, то всегда можно выбрать значение у, также имеющее модуль 1, так что z будет иметь любое наперед заданное значение с модулем 1.)

Окружность С0 делит риманову поверхность 80 на две области. Ту из двух областей, которая содержит соседние с Со точки с |z| < 1, я обозначу Ro, а другую — R»'.

Итак, предположим, что точка г1/0 пробегает прямую А из предыдущего пункта, и пусть мы изучаем изменения особых точек функции F (z, t). Когда z изменяется, эти точки перемещаются по поверхности 8, в то время как поверхность 8 сама изменяется. Две из этих точек, первоначально слившиеся в одну (которая является особой точкой функции Ф (z)), разделяются; когда модуль z достигает значения 1, а 8 сводится к 80, они достигают на этой поверхности 80 конечных положений. (Исследование предыдущего пункта нам показало, что существуют случаи, когда одна из этих особых точек сама разделяется на две другие; тогда имеются два конечных положения, но то, что я скажу, все равно остается применимым.) Если все конечные положения принадлежат одной и той же из двух ограниченных окружностью Со областей на поверхности 50,то соответствующая особая точка функции Ф (z) недопустима; в противном случае она допустима.

Отметим небольшое отличие этой формулировки от той, которая была дана первоначально и соответствует частному случаю, указанному в предыдущем пункте. Аффиксы двух рассматриваемых особых точек могут быть по абсолютной величине один — больше, а другой — меньше единицы, но эти две точки могут тем не менее принадлежать одной и той же из двух указанных выше областей, если они не принадлежат одному и тому же листу римановой поверхности.

Я утверждаю теперь, что при изменении элементов двух орбит особая точка, которая сначала была допустимой, не может, вообще говоря, стать недопустимой, и обратно. В самом деле, рассмотрим изменения поверхности So и изменения значений, которые мы назвали конечными. Для того чтобы особая точка действительно перестала быть допустимой или стала ею, надо, чтобы соответствующее конечное значение пересекло окружность Со, чтобы перейти из одной области в другую. Но каков же смысл уравнений этой окружности Со

И = Ы = 1? (2)

Они означают, что обе эксцентрические аномалии вещественны. Каждой точке М римановой поверхности S, и в частности поверхности So, соответствует пара точек Р иР', лежащих на орбитах и определенных значениями эксцентрических аномалий, или, что то же самое, значениями х и у. Если точка М находится на окружности Со, то точки Р и Р' вещественны. Точка М может быть особой лишь в том случае, когда расстояние РР' равно нулю или же когда одна из точек находится на нулевом расстоянии от Солнца. Второе обстоятельство не может представиться в случае, когда точки Р и Р* вещественны; первое также не может представиться, если, как мы предположили, орбиты не пересекаются ни в одной вещественной точке.

Таким образом, невозможно, чтобы точка’окружности Со была особой, т. е. чтобы одно из конечных значений достигло окружности; другими словами, чтобы особая точка функции Ф (z) приобрела или потеряла свойство допустимости.

Остается, однако, рассмотреть один случай, когда это рассуждение не проходит. Я предполагаю, что точка z1/c пробегает прямую Д, и мы изучаем соответствующие изменения особых точек функции F (z, t). Вначале две из этих точек слились в одну и, следовательно, совпадают с особой точкой А функции Ф (z); затем они разделяются; пусть а — одна из этих точек; может случиться (и мы видели примеры этому в предыдущем пункте), что для некоторого значения z точка а сливается с другой особой точкой функции F (z, Z) (вообще говоря, отличной от той, с которой она совпадала вначале) и, следовательно, с особой точкой В функции Ф (z). Затем они разделяются, так что особая точка А имеет не два, а три конечных значения.

В этом случае для краткости я буду говорить, что точка В подчинена точке А; для этого надо, чтобы значение z в точке В имело тот же аргумент, что и значение z в точке Л, а его модуль был ближе к единице, чем в точке А.

Пусть теперь А и В — две особые точки функции'Ф (z) и предположим, что их z первоначально имели различные аргументы. Будем непрерывно изменять элементы двух орбит и, следовательно, точки А и В; если в некоторый момент точка В становится подчиненной точке А, то может слу-

читься, что в этот момент вопреки общему правилу, сформулированному выше, точка Л становится допустимой или перестает ею быть.

Посмотрим, как это может произойти. Заметим сначала, что значения ж, соответствующие особым точкам функции Ф (z), определяются из алгебраических уравнений. Если точки А аВ определены, таким образом, одним и тем же неприводимым уравнением, я скажу, что они имеют одну природу, а в противном случае — различную. Нетрудно видеть, что если точки А и В различной природы, то точка В может стать подчиненной точке А; при этом последняя не потеряет и не приобретет свойства допустимости.

Теперь я предположу, что точки А и В одной природы. Если точка В недопустима, то она может стать подчиненной точке А, причем последняя не станет допустимой и не перестанет ею быть. Если, напротив, точка В допустима, то в общем случае может случиться, что в момент, когда В станет подчиненной А, точка А перестанет быть допустимой, если до этого она была таковой или же станет допустимой, если она не была допустимой. При этом точка В всегда сохраняет свойство допустимости или недопустимости.

Итак, предыдущие рассуждения позволяют нам определить, какие из точек допустимы, непрерывно изменяя элементы орбит и следуя за изменениями особых точек. При этом можно либо ограничиться таким изменением элементов, при котором две особые точки ни в один момент не имеют z с одним и тем же аргументом (чтобы избежать исследования, необходимого для определения того, действительно ли они подчинены одна другой), либо не ограничивать изменения элементов, но проводить исследование подчиненности особых точек.

Можно изменять не только элементы орбит, но и отношение dd, отвлекаясь при этом от того, что оно должно быть рациональным; последнее мы предполагали лишь в очень частных целях, не имеющих никакого отношения к изучению допустимости особых точек. Для того чтобы только что сказанное нами было применимо, это отношение dd должно все же оставаться вещественным и не проходить ни через 0, ни через бесконечность.

Итак, для того чтобы можно было применить предыдущие рассуждения, достаточно знать, какие особые точки допустимы для некоторых значений элементов. Таким образом, того, что я говорил в предыдущем пункте по поводу частного случая, нам, по-видимому, достаточно; однако в этом частном случае некоторые особые точки оказывались либо 0, либо бесконечностью, и я на них не останавливался в нашем исследовании. Поэтому мне необходимо добавить еще несколько слов.

Предположим вначале, что оба эксцентриситета конечны, а наклонение остается пулевым. Пусть

Особые точки функции F (z, t) будут тогда определены следующими уравнениями:

1,1

ж = т,ж = — ,?/ = т , м = — ,

’т3 т

У ^ — Т)2 „ (V -JET/Ч\

1+т2 ~ РЖ Г^Т'2 ’W

(1 — Tz)2 о (1—т'.у)2,,.

“ ^°Ж 1+т'2 ‘

Кривые (3) и (4) третьего порядка; для того чтобы они были вещественными, необходимо и достаточно, чтобы большие оси двух орбит совпадали, т. е. чтобы разность й — й' была равна 0 или л.

Предположим, что й = й', тогда на кривой (3) будет двойная точкаж = т, у = т'.

Если т' очень мало, то кривая будет иметь три ветви: первая, которую я обозначу у,, будет мало отличаться от ветви B'DBP рис. 3; вторая, которую я обозначу у2, пройдет через начало и через двойную точку. Она будет вначале асимптотически приближаться к отрицательной оси ж и будет очень близка к ней; затем, пройдя через двойную точку, она будет мало отличаться от ветви АО" рис. 2. Третья ветвь, которую я обозначу Тз> будет асимптотически приближаться к оси у; она очень мало отличается вначале от ветви QRA рис. 2, затем проходит через особую точку и очень близка к оси ж, к которой она асимптотически приближается. Отныне я буду говорить, что две точки обратны, если они переходят одна в другую при замене ж на 1/ж, у на Му, z на Mz и V—1 на — К — 1- Две кривые (3) и (4) тогда обратны друг другу. Если й = й' и, следовательно, наши кривые вещественны, то это определение не отличается от определения предыдущего пункта.

В качестве особых точек мы имеем.

Пересечения кривых (3) и (4), очень мало отличающиеся от точек В, В', R, R' рис. 2 и 3 и которые я по-прежнему могу обозначать теми же буквами. Мы видели, что они недопустимы.

Пересечения ж = т и кривой (4); ж = 1/т и кривой (3), мало отличающиеся от точек Е и Е' рис. 2; они также недопустимы.

Три точки, расположенные на кривой (3) и очень мало отличающиеся от точек D, F, и С рис. 2 и 3; лишь одна первая допустима.

Три точки, обратные предыдущим, расположенные на кривой (4); лишь та, которая мало отличается от D', допустима.

Точку, определенную уравнениями (3) и (5), расположенную на ветви у2 и сводящуюся к у = 0, ж = —т при т' = 0. Эта точка, которую мы не рассматривали в предыдущем пункте, требует особого исследования. Исследование докажет, что эта точка, которую я обозначу Т, допустима; две особые точки функции F (z, t), совпадающие с ней, разделяются,

когда z1/c пробегает прямую Д, и вначале комплексно сопряжены, потом они снова соединяются в одну точку, соответствующую точке D, и затем опять разделяются, становясь вещественными. Конечные значения Т те же, что и D; таким образом, Т допустима, как aD.

Точку Т', обратную Т и, следовательно, допустимую, как и она.

Двойную точку х = т, у = т', которую я обозначу U; через эту точку проходят две из ветвей кривой (3) и две прямые х = т, у = т'. Этой точке соответствуют четыре конечных значения, поскольку, когда г1/с пробегает прямую А, четыре особые точки F (z, t), вначале сливающиеся в одну, разделяются таким образом, что четыре изображающие точки описывают соответственно две ветви кривой (3) и прямые х = т, у = т'; среди этих конечных значений три меньше 1 по абсолютной величине или, более точно, принадлежат области Ro римановой поверхности SQ. Четвертое конечное значение — то, которое соответствует ветви y2 кривой,— принадлежит другой области. Таким образом, точка допустима.

Точку U', обратную U, т. е. двойную точку кривой (4); она по той же причине допустима.

Остаются еще точки пересечения прямой у = т' с кривой (4), которые я обозначу V и W', и точки пересечения прямой у = 1/т с кривой (3), которые я обозначу У' и W; к ним я добавлю две взаимно обратные точки

^ = т,г/ = 1) и =1, у = т'),

которые я обозначу X и X'. Точка X недопустима, и оба конечных значения, соответствующие двум прямым х = т и у = 1/т, принадлежат области 7?0-

Перейдем к точке V (очень близкой к началу координат точке пересечения прямой у = т' с кривой (4)); когда точка zVc пробегает А, две изображающие точки, соответствующие двум разделяющимся особым точкам, следуют: первая — кривой (4) до точки R, а вторая — прямой у = = т' до точки U. Точки RaU подчинены, следовательно, У, и эта точка У допускает в качестве конечных значений множество конечных значений точек R и U. Все конечные значения R принадлежат области Ro; конечные значения точки U, которая является допустимой, принадлежат обеим областям. Итак, точка У допустима, но она перестает быть таковой, как только разность 8 — S', перестав быть равной нулю, становится очень малой. Действительно, в этом случае R и U уже не подчинены У и у У остаются лишь два конечных значения: одно, близкое к одному из конечных значений R, а другое — близкое к одному из конечных значений U (соответствующему прямой у = т'); оба эти конечные значения U принадлежат области Ro.

Наконец, W — недопустимая особая точка [точка пересечения кривой (3) с прямой у = 1/т, близкая к оси у]. Действительно, этой точке подчинены F и X, конечные значения которых принадлежат Ro.

Таким образом, если наклонение равно нулю, разность 3 — 8' очень мала, эксцентриситет ф мал, а эксцентриситет ф' очень мал по отношению к ф, то единственными допустимыми точками будут D, Т, U и обратные им.

Предположим теперь, что наклонение не равно нулю, но очень мало.

Если мы запишем, что расстояние между двумя планетами равно нулю, то получим не два разных уравнения (3) и (4), как в предыдущем случа е, а единое уравнение

0 (ж, у) = О,

которое, если рассматривать (как на рис. 2) ж и у как координаты точки в плоскости, будет определять кривую шестого порядка.

Эта кривая распадается на две кривые третьего порядка (3) и (4), когда наклонение равно нулю; для того чтобы она была вещественной, необходимо и достаточно, чтобы большие оси орбит были перпендикулярны линии узлов.

Если наклонение очень мало, то особыми точками будут.

Точки, очень мало отличающиеся от Е, D, F, С, Т, V, W, X и им обратных; я обозначу их теми же буквами; ясно, что допустимы лишь D и Т и обратные им.

Две точки Вг и В^, очень мало отличающиеся от В; две точки Вг и В2, очень мало отличающиеся от R, и обратные им. Все эти точки недопустимы.

Девять точек, мало отличающихся от U, а именно: ж = т, у = т'; два пересечения прямой ж = т и 0 = 0; два пересечения у = т' и 0 = 0, четыре точки 0 = 0. Необходимо особое исследование.

Определив таким образом, какие точки допустимы, мы должны посмотреть, какая из них соответствует значению |z|, самому близкому к единице, чтобы выяснить, какую из этих точек следует сохранить.

Если эксцентриситет, соответствующий большей из двух больших осей, и наклонение малы по отношению к другому эксцентриситету, и если разность 3 — 3' мала, то подходящая нам точка есть D.

Я вынужден ограничиться этим и прекратить здесь исследование, которое только наметил в общих чертах. Однако мне кажется, что важность темы может вдохновить не одного исследователя; кроме этого исследования, он должен будет дать быстрый и практичный метод решения алгебраических уравнений, к которым мы пришли, учитывая малость некоторых величин и тот факт, что можно ограничиться чаще всего посредственным приближением. Впрочем, его задача будет в большой мере облегчена полным аналитическим исследованием функции Ф (z) и ее различных ветвей.

Применение метода Дарбу

99. Предположим теперь, что мы с помощью предыдущих исследований установили, какая особая точка функции Ф (z) нам подходит, и, еле-

довательно, мы знаем, каковы окружности

Ы = г, |z| =

ограничивающие область, в которой функция Ф (z) разлагается в ряд Лорана, и какие особые точки расположены на этой окружности. Вообще, на каждой окружности имеется по одной особой точке.

Итак, пусть z0 — особая точка, расположенная на окружности |z j = г.

Пусть ж0, у о и t — соответствующие значения х, у и t. Легко видеть, что х0 и у0 вполне определены алгебраическими уравнениями, которые мы исследовали выше; напротив, значение

определено не однозначно, но имеет с значений, которые я обозначу

ГХ,

где / — первообразный корень с-й степени из единицы.

Применим к разложению функции Ф (z) метод Дарбу. Для этого нам необходимо знать, как эта функция ведет себя в окрестности особой точки Z = z0.

Когда z очень близко к z0, функция F (z, Z) имеет две особые точки tx и Z2, очень близкие к t0, она имеет также с — 1 пар других особых точек

Дг и Д2, jX и y2Za, • . - , f^X и /с"^2, очень близких соответственно к

До, pt0, . . ., f-1t0.

Контур интегрирования С, вдоль которого берется интеграл

ф^=MF^’

должен проходить между точками Zx и Z2 и также между точками jtx и jt2, .... Можно, кроме того, предположить, что этот контур имеет следующую симметрию: он будет составлен из с дуг Со, Сх, ..., Cc_v где дуга Сй переходит в дугу Ск при замене t на tjk; поскольку

?Х tf) = fkF (z, Z),

интеграл, взятый вдоль каждой из с дуг Со, Сх, ..., Сс_1, будет один и тот же, и мы будем иметь

ф (z) =\ F (z, t)dt.

С’о

Дуга Со, которая является нашим новым путем интегрирования, пройдет тогда только между особыми точками t0 и 7Х; кроме того, разобьем дугу С0 на три частичные дуги Cd, Cd', Cd", я назову аир концы Со, Р и у— концы Со', ф и 6 — концы Cd".Я буду предполагать, что именно Cd' пройдет между 71 и 72 и что, когда z стремится к z0, ни одна из четырех точек а, р, у, д не будет стремиться к t0, так что все эти четыре точки будут находиться на конечном расстоянии от tT и t2.

Наш интеграл, взятый вдоль Со, является суммой трех других, взятых соответственно вдоль Cd, Cd' и Cd". Первый и третий интегралы остаются голоморфными функциями z в окрестности точки z = z0, поскольку точки t^ и 72 находятся на конечном расстоянии от дуг Cd и Cd". Таким образом, только второй интеграл, взятый вдоль Cd', имеет z0 особой точкой; следовательно, изучение именно второго интеграла позволяет установить поведение функции Ф (z) в окрестности z = z0.

Итак, посмотрим как ведет себя функция F (z, t) в окрестности точки z = z0, 7 = t0. Конечно, это зависит от природы рассматриваемой особой точки. Я предположу сначала, что это одна из точек, которые мы обозначили буквами D, F, Т, С и теми же буквами со штрихами или же, когда наклонение не равно нулю, одна из тех точек, которые мы обозначили буквами Вг, В2, В±, В2 или обратных к ним. Это наиболее важный случай, поскольку мы видели, что если наклонение и один из эксцентриситетов очень малы, то нам подходит точка D.

При сделанном предположении [С (z)]-2 разлагается в ряд по возрастающим степеням z — z0 и t — t0.

Таким образом, мы имеем

F^z, t) = —1,

I)

где через ф (z, 7) обозначен ряд по возрастающим степеням z и t.

Я предположу, что z достаточно близко к z0 и что точки, обозначенные Р и у (концы Cd'), достаточно близки к 70, хотя их расстояние от этой точки по предположению конечно, чтобы ряд ф сходился при 7 = 3 и 7 = у.

Каков будет теперь вид ряда ф? Во-первых, при

t = ^01^ = Zq

мы должны иметь

Ф = 0,| = 0.

Итак, если в ф положить z = z0, то первый член разложения ф будет членом (7 — 7О)2. Отсюда и из одной теоремы Вейерштрасса следует, что тождественно выполняется равенство

Ф= W — ^)2 + ^]Ф1,

где ip! — ряд по степеням z — z0 и t — t0, обращающийся в нуль лишь при z = z0, < = <0; где h и к — два ряда по степеням z — z0, которые приводятся соответственно к t0 и 0 при z = z0 (W е i е г s t г a i s. Abhandlungen aus der Funktionenlehre. Berlin, Springer, 1886, стр. 107 и сл.; см. также: Poincare. These inaugurale. Paris, Gautier-Villars, 1879),

Теперь мы можем положить l/^ipi = 0, откуда

где 0 разлагается по возрастающим степеням z — z0 и t —■ <0.

Сделаем другое предположение, а именно, пусть при наклонении, равном нулю, особая точка z0 совпадает с одной из точек В, R, В' или R'. Мы увидим тогда, что F (z, <) имеет тот же вид, однако имеется некоторое различие. При первом предположении к делится на z — z0, но не на (z — z0)2, при втором к делится на (z — z0)a.

Последние предположения, которые нам остается рассмотреть, это те, при которых z0 = т или 1/т, либо у0 = т' или 1/т'. В этом случае полезно сделать замену переменных.

Предположим вначале, что

11

х0 = т или -, Уо=^т .+

Мы возьмем тогда за новые переменные не t и z, а х и z; в окрестности рассматриваемой особой точки у разлагается в ряд по возрастающим степеням t — t0 и z — z0 и, следовательно, по степеням х — х0 и z — z0. Функция [F10]'"2 также разлагается в ряд по степеням z — z0 и х — х0.

Итак, если мы положим

^ = ltF(z, <)Г2,(1)

то ф будет разлагаться в ряд по степеням х — х0, z — z0 и мы будем иметь

2(лФ (z) = С («-tHI-tz) = С Я (z, х) dx.V 7 J cx^Vф 1 + T j V 7

Функция H (z, х^ под знаком интеграла имеет особую точку лишь при ■ф = 0.

Чтобы функция Ф (z) имела особую точку, надо, чтобы две из особых точек Н (z, х) сливались в одну. Но это происходит, если одновременно

Ф=^ = 0.т ах

Уравнение ф=0 соответствует кривым (3) и (4) предыдущего пункта (или кривой шестого порядка, которая их заменяет, когда наклонение не равно

нулю). Уравнения ф = d^idx = 0 соответствуют особым точкам, исследованным при предыдущих двух предположениях.

Отсюда вытекает, что точка Е и обратная ей лишь кажущиеся особые точки функции Ф (z) и их не надо исследовать.

Предположим теперь, что

^0^, ^О ф ’У0 = —ф7или т .

Возьмем за новые переменные у и z; сохраняя за ф значение, определен ное уравнением (1), мы найдем

2глФ (г) =2глФ (г) =— Д) Ду — ^Д (1 — t'in ауг У Ф1 + г 2

2глФ (г) =

2глФ (г) =

Отсюда мы заключим, что точки, определенные уравнениями уй = -^7 ИЛИ T , ф = U

(и для которых в то же время d^ldy = 0), т. е. точки У, W и обратные им, являются для функции Ф (z) лишь кажущимися особыми точками.

В случае, когда одновременно выполняются

х0 = т или —, у0 = т' или —^т ,

выбор замены переменных, который, впрочем, может быть произведен бесконечным числом способов, более деликатен. Вот как можно сделать этот выбор.

Мы имеем

a sin» / А _ х\ csin»' ,j_ _ х z = аДе в к х/ усе 2'у' ,

а sin ф / 1,с sin ф',1\

z0 = х^е 2V угйе 2.

Положим а sin ф / 1\a sin ф / 1\

.тае 2\ X / =Ж“е 2 Uo °) (1 _|_ £2),

с sin ф' / 1 _ \с sin ф' / 1 _ \

усе 2 iу V/ = у^е 2 ''Уо ' (1 ф- ц2).

Тогда х будет разлагаться в ряд по степеням g, а у — по степеням ц; мы будем иметь х = х0 при g = 0 и у = уй при ц = 0.

С другой стороны, получим

— - 1 = ^2 + ц2 + ^ц2, zo

18 А. Пуанкаре

откуда

Т1 = 1/f — zp — ^2

V Z0 (1 + У)

Вообще F (z, Z) и Z будут разлагаться в ряды по степеням £ и р, за исключением, однако, случая, когда наклонение будет равно нулю и когда

^о = т, у0 = т' или же

1

ж0 - —, z/o — т,;

в самом деле, эта точка х = т, у = т', которую мы обозначили через U,— двойная точка кривой (3); этот случай заслуживал бы специального исследования»

Итак имеем, взяв за независимые переменные z и £,

Ф(г) = ^ф(гЛ)^,

где ф (z, £) разлагается в ряд по степеням g, z — z0 и ]/z — z0 — g2. Это позволяет нам записать

Ф (z) = ф^ + t -7=£5= ,a а у z - г» - v

где ф^ и ф2 разлагаются в ряды по степеням £ и z — z0.

Первый интеграл — голоморфная функция z в окрестности точки z = = z0; что касается второго, то он имеет тот же вид, что и интеграл

к которому мы пришли при первых двух предположениях. Мы должны, следовательно, заключить, что точки

„1-1

х0 = т или — , у0 = Т ИЛИ "от-

будут для Ф (z) настоящими особыми точками, а не только кажущимися.

На первый взгляд может показаться удивительной разница между кажущимися особыми точками, такими, как Е, У, W и т. д., и настоящим i особыми точками, такими, как х = т, у = т' или D и т. д.

Действительно, их происхождение, по-видимому, одно и то же; мы получаем эти точки, записывая, что две особые точки 1Ъ tz функции F (z, Z) сливаются в одну. Но исследуем эту ситуацию немного подробнее. Дадим z значение, очень близкое к z0, так что точки tt и Z2 будут очень мало отличаться одна от другой, и изучим поведение функции F (z, Z)

в окрестности этих двух точек. Разница между двумя случаями очень велика.

Первый случай. Точка z0 — такая точка, как точка D или х = т, у = т', т. е. настоящая особая точка функции Ф (z).

Тогда два значения F (z, t) переходят одно в другое при обходе вокруг точки ix и эти же значения также переходят одно в другое при обходе вокруг точки t2. Если построить кривую, взяв t за абсциссу, a F (z, Z) — за ординату, то эта кривая будет изменяться при изменении z, а при z = г0 она будет иметь двойную точку.

Второй случай. Точка z0 — такая точка, как точка Е, т. е. кажущаяся особая точка Ф (z).

Тогда четыре значения F (z, f) переставляются друг с другом при обходе вокруг t3 и i!2, а именно первое — со вторым, третье — с четвертым, при обходе вокруг t1 и второе — с третьим, при обходе вокруг t2.

Теперь построим риманову поверхность, соответствующую функции F (z, t), т. е. риманову поверхность, имеющую столько же листов, сколько эта функция F (z, f) имеет ветвей.

В первом случае порядок связности этой поверхности понизится на две единицы, когда z станет равным z0; во втором случае он останется прежним. В этом истинная причина различия обоих случаев.

То обстоятельство, что некоторые особые точки лишь кажущиеся, способно при надлежащем употреблении значительно облегчить исследование двух предыдущих пунктов..

Теперь нет ничего легче, чем выяснить поведение функции Ф (z) в окрестности точки z = z0.

Действительно, мы имеем

Ф (z) = Фх (z) + С,

где Фх (z) остается голоморфной при z = z0 и интеграл берется вдоль дуги С».

Поскольку 0 разлагается в ряд по степеням t — t0 и z — z0, a h — по степеням z — z0, мы можем записать

0 == 0о + ®i (^ — ^) + 02 (^ ~ ^)2 + • • • + 0ц (^ — ^)п + • • •,

так что, полагая

iVkt-hY-vk

получаем

Ф(г) = Ф£(г) + 50пУ„.

С другой стороны,

2ш/. - (-=2=^ „ iOg.

Отсюда мы заключим (заметив, что путь интегрирования проходит между tt = h + К^ и U = h -— фЛ^), что

2;л/0 = Хо (z) + log (z — z0),

где Хо (z) голоморфна при z — z0.

В случае, когда к будет делиться на (z — z0)2, надо было бы писать 2 log (z — z0) (второе предположение предыдущего пункта), а не log (z — z0). Затем получаем

2inJ\ =—у^ к = голоморфная функция z,

nJ^ -\-k\n — 1) /п_2= голоморфная функция z.

Следовательно, функция а п остается голоморфной по z, если п нечетно. Если теперь п четно и мы полагаем

_ (а -1)(п — 3). . , 1» а (а — 2) ... 2’

то получаем

2(л/и = Xn (z) + (— /с)тап log (z — z0),

где Xn (z) голоморфна no z.

Итак, окончательно имеем

Ф(г)= 2 92,г ( 2^' ~-bg(z- z0) + Ф2(г), п=9

где Ф2 остается голоморфной по z при z = z0.

Я могу еще записать

Ф (z) = Ф2 (z) + Ф3 (z) log (z — z0),

где Ф2 и Ф3 остаются голоморфными при z = z0.

Мы имеем

Ф (z) — 2 ^4an+b, cn+d Z .

Итак, если

Ф3 (2) = 60 + 6j (Z — Zo) + 6.2 (Z — Z0)2 + . . . и если

(z — г0)л log (z — z0) = 2 Tn^z",то приближенно при очень больших п будем иметь

•^an+b, cn+d — 6gYn>o + 61Тп,1 + • • ■ + брУп.р-

Вообще можно ограничиться первым членом

6oYn,o6oYn,o®0,0 — 12 in п го’1 ’®0,0 — 12 in п го’1 ’

6oYn,o

6oYn,o

®0,0 — 1

2 in п го’1 ’

®0,0 — 1

2 in п го’1 ’

где 60]0 — значение 60 при z = z0 или значение 6 при z = z0, t = t0.

Но если я обозначу через А квадрат расстояния между двумя планетами, то

Итак, d л 1 ,ad-bc у <72Д Тго zo ^>

при условии, конечно, что мы полагаем 7 = 70, z = z0 в <P\ldF [26].

Сказанное применимо как в первом, так и во втором предположении предыдущего пункта. Если положить

.г0 = т или —, у = т' или -^-,

то можно было бы применить аналогичный метод, поскольку в этом случае мы свели Ф (z) к интегралу

J Vz — Zo — V ’

который имеет тот же вид, что и

a V\t — h)2 + к

Коэффициент Лтитг, который мы вычислили, тот же, что и в разложении главной части F^ возмущающей функции. Действительно, мы положили

Теперь следовал» бы учесть дополнительную часть F1 — Е? возмущающей функции. Итак, положим

F — V RPV—1 (m^+m^')

Затем

F' (z,t) = F^-^z ”,27лФ' (z) = J F' (z, 7) dt.

Если предположить, что m1 = ап + 6, m2 = сп + d, то 5m,,m2 будет коэффициентом при z" в Ф' (z) точно так же, как Amvimi было коэффициентом при zn в Ф (z).

Функция F' (z, t) — F (z, i) не имеет других особых точек, кроме тех, что находятся на прямых

1,1

х = т, х = — , у =т , у =

Следовательно, функция Ф' (z) — Ф (z) будет иметь лишь четыре особые точки, а именно

1,1

т = т или — , и = т или —г .

Из этого следует, что если подходящая в нашем случае особая точка не является одной из этих четырех, т. е. в двух первых предположениях п. 99 (а это наиболее обычный случай), разность Вт,^ — Amijma будет пренебрежимо малой по отношению к Л^^.и приближенное значение 5mbm, будет таким же, как приближенное значение Лт, т2.

Если, напротив, особая точка z0, подходящая в нашем случае, будет одной из этих четырех точек, то надо учитывать разность Sm,-m, — Лт >тг, что, впрочем, не представляет трудности.

Применение к астрономии

Чаще всего можно ограничиться довольно грубым приближением; в самом деле, нам надо определить, пренебрежимы ли некоторые члены, порядок которых очень высок, но которые вследствие почти соизмеримости средних движений подвержены действию очень малых делителей. Чаще всего они будут пренебрежимыми, и достаточно лишь составить представление о порядке их величины.

Я возьму в качестве примера знаменитое неравенство Паллады. Чтобы исследовать его, надо проделать вычисления при

а = 2, b = 1, с = —1,d = 0, и = 8,

откуда

= 17, т2 = —8.

Кажется, что этим способом можно было бы прийти к результату Леверрье Р7].

Применение к доказательствунесуществования однозначных интегралов

Но не это главная цель, которую я себе поставил, принимаясь за эту работу. Напомню, что цель состоит в заполнении пробела в доказательстве несуществования однозначных интегралов, о котором я упомянул в конце предыдущей гаавы.

Действительно, в п. 85 я установил следующее. Пусть

Л = 2 Вт„ т/^ ww,

где Вт,_т, зависит одновременно от обеих больших осей, обоих эксцентриситетов, наклонения орбит и от долгот обоих перигелиев (отсчитываемых от узла), т. е. от семи переменных.

Пусть

тг = ап, тг = сп,

где а, с и п — целые числа, а и с взаимно просты и противоположных знь- ков. Дадим двум большим осям определенные значения, выбранные таким образом, что отношение средних движений равно — с/а. Коэффициенты Вт,.т, будут теперь зависеть лишь от пяти переменных. Положим, как в предыдущей главе,

D^ = Ван,С1&\

где Dn будет зависеть от шести переменных, а именно обоих эксцентриситетов, долгот перигелиев, наклонения и £.

Итак, если бы существовал однозначный интеграл, то между любыми шестью из величин Dn существовало соотношение и все величины

D_n,. . . , D_v Do, Dv ВгDn

могли быть выражены как функции только пяти, а не шести переменных. Но мы имеем

Ф' (z) = 3 Sun, ™zn и, следовательно,

Ф' (zg) = S D^.

Таким образом, если бы существовал однозначный интеграл, то коэффициенты разложения в ряд функции Ф' (z£) зависели бы лишь от пяти параметров.

Применяя правила предыдущего пункта, мы нашли бы, что для очень большого п приближенно выполняется

D =Шп^. + ^.4^+ Уп \ 20 j \ п ' п'1 1 п? ‘/

Тогда легко можно было бы увидеть, что если D^ выражается с помощью только пяти переменных, то же самое можно сказать и о

и, следовательно, Е^ зависят лишь от четырех переменных. Затем мы убедились бы в том, что это не так.

В этом заключался мой первоначальный замысел; однако проще действовать иначе.

Особые точки функции Ф' (z^) зависят, очевидно, лишь от коэффициентов Dn; следовательно, они должны быть функциями лишь пяти переменных.

Пусть

21, 22, ..., Z6

— шесть особых точек Ф' (z); соответствующими особыми точками Ф' (z^) будут

~1 z2z6

? 1 $$

и они зависят от £ и от наших других пяти переменных: эксцентриситетов, наклонения, долгот перигелиев, которые я временно обозначу

°1, И2> •••> °5-

Если бы существовал однозначный интеграл, то особые точки должны были бы зависеть лишь от пяти переменных и функциональный определитель

/ Zj z3Z6 \

с (ь, 31, «2, ■ ■ . , а6)

должен был бы быть равен нулю.Но этот определитель равен

г6

£' d (a,, a2,. . . , з5)

Однако z не равно нулю, а £ не бесконечно, следовательно, мы должны были бы иметь

222326

= 0.= 0.д («1, «2д («1, «2, «о), «о)Z1 ’ Z1 ' " " ■ ’ Z1

= 0.

= 0.

д («1, «2

д («1, «2

, «о)

, «о)

Другими словами, попарные отношения особых точек функции Ф' (z) должны были зависеть лишь от четырех переменных, которые я обозначу Ри Рг> Рз> IV Но эти особые точки бывают двух родов.

Рассмотрим сначала те, которые даются уравнениями

1,1

X = т или —■,у = Г ИЛИ —г ,

a sin ф 1\ с з1пф' / 1\

z = хае 2 ж' усе 2 iу' .

Я назову их z4, z2, z3 и z4.

Сразу видно, что zv z2, z3 иг4 зависят лишь от обоих эксцентриситетов,, т. е. от т и т', и что

z4z3 = z2z4 = 1.

Отношение z4/z3 зависело бы лишь от наших четырех переменных ₽i> Ра» Рз, Pt! но это отношение равно z4. Итак, z4,a также и z2, z3, z4 зависели бы лишь от четырех переменных р;.

То же самое можно было бы сказать иотит', которые явно выражаются через z4 и z2.

Перейдем к особым точкам второго рода, которые даются уравнениями

Если в этих уравнениях взять за переменные х и у, то они станут алгебраическими. Уравнение А = 0 определяет тогда, как мы уже видели, кривую шестого порядка, которая при нулевом наклонении распадается на две кривые (3) и (4) третьего порядка; из уравнения d\ldt = 0 в сочетании с А = О можно при нулевом наклонении получить два других, а именно уравнения (5) и (6) из п. 98.

Если z0 — один из корней уравнений

А = ^- = °-со

то отношения z0/z4, z0/z3 и, следовательно, z0 зависели бы лишь от четырех переменных р4.

Итак, если z0, z0, z0 — три корня уравнений (1), то z0, z0, Zg, т и т' зависели бы только от этих четырех переменных, так что функциональный определитель

д(т,т',=о, 4 z")

У («ь «2, ОГЗ, d4, Oto)

был бы равен нулю. Предположим, например, что а4 и а2 — эксцентриситеты; т будет зависеть от а4, а т' •— от а2, так что этот функциональный определитель равен

dx dx' 9 (zq, zn, zn)

dx-i dxa d (i, S, S') ’

поскольку три последние перемённые есть наклонение I и долготы перигелиев 3 и S'.

Тогда мы должны были бы иметь

это означает, что корни уравнения (1) (при фиксированных эксцентриситетах и, следовательно, т и т') зависели бы лишь от двух переменных.

Мне остается доказать, что это не так.

Начнем с того случая, когда наклонение равно нулю. В этом случае корни уравнения (1) п. 102 зависят лишь от больших осей, эксцентриситетов и разности В — 3'. Если, как мы только что это сделали, мы зафиксируем большие оси и эксцентриситеты, то эти корни будут зависеть лишь от разности В— S'.

Припоминая сказанное в п. 85 и рассуждая так же, как в предыдущем пункте, мы увидим, что для того, чтобы плоская задача трех тел допускала однозначный интеграл (отличный от интегралов живых сил и площадей), надо, чтобы эти корни не зависели от В — В' и оставались постоянными, когда большие оси и эксцентриситеты остаются сами постоянными, а наклонение равно нулю.

Однако ясно, что это не так, поскольку z0 вещественно, когда 3 — В' равно нулю и, вообще говоря, комплексно в противном случае.

Вернемся теперь к случаю, когда наклонение не равно нулю.

Пронумеруем особые точки, получаемые из уравнений

Д=0’ ^=°-(^

Для этого предположим, что наклонение очень мало, и мы увидим, обратившись к сказанному в п. 98, что существуют:

Восемь особых точек, очень мало отличающихся от D, С, F, Т и им обратных.

Восемь особых точек, две из которых очень мало отличаются от В, две другие —■ от R, еще по две очень мало отличаются от каждой из их обратных.

Четыре точки, очень мало отличающиеся от U (х = т, у = т); и действительно, когда наклонение равно нулю, обе кривые А = 0, •d\/dt = 0 имеют в U двойную точку.

Четыре точки, очень мало отличающиеся от U' (х = 1/т, у = 1/т'). Итого 24 особые точки.

Можно прийти к тому же результату другим способом.}

Мы видим, что

ж^у^ = Р

— целый многочлен шестой степени по х и у, так что уравнение

Р = Оявляется уравнением кривой шестого порядка, которая распадается на дведругие, когда наклонение равно нулю.

С другой стороны, уравнение d\ldt = 0 можно заменить следующим; Q = сх2 (1 + т2) (у — т') (1 — т'у) ^ — ay2 (1 + т'^ (я — т) (1 — тх> ^ = = 0.

Это уравнение Q = 0 является уравнением кривой девятого порядка, и особые точки будут точками пересечения этих двух кривых, за исключением точек в нуле и бесконечности, которые надо отбросить.

Кривая Р = 0 имеет в начале координат двойную точку, а оси являются ее двойными асимптотами; кривая Q = 0 имеет в начале координат тройную точку, а оси являются для нее тройными асимптотами.

Более того, можно заметить, что Р является суммой трех квадратов, так что я могу записать

i^uUt?U^=-W.

тде

U = Ах2у + Вху2 + Сху + Dx + Еу.

С другой стороны, можно положить

V = х ‘^ — U = Ах2у — Еу, откуда

-VP. аж1

Итак, получаем, учитывая, что Р = 0,

Q = 2сху (1 + т2) (у — т') (1 — т'у) 2 (Ах2 — Е) U —

— 2аху (1т'2)(;г — т) (1 — тх) 2 (By2 — ^) U,

так что после избавления от множителя 2ху система Р = Q = 0 может быть заменена следующей: Р = 0,

В = с (1 + т2) (у — т') (1 — т'у) 2 (Ах2 — Е) U —

—а (1 + т'2) (х — т) (1 — тх) 2 (By2 — S) U = 0.

Кривая R = 0 имеет всего седьмой порядок; в начале координат она имеет простую точку. В качестве асимптот ей служат обе оси,, две прямые, отличные от оси ж и параллельные ей, две прямые, отличные от оси у и параллельные этой оси, и одна прямая, не параллельная осям.

Две кривые R = О, Р = 0 имеют всего 42 пересечения. Среди этих пересечений два приходятся на начало координат. Посмотрим, сколько пересечений находится в бесконечности по направлению оси ж.

Кривая R имеет три асимптоты, параллельные оси ж, в том числе ось. ж; для кривой Р эта ось является двойной асимптотой; вообще говоря, это дало бы семь точек пересечения. Действительно, вообще говоря, двойная асимптота означает наличие «точки возврата на бесконечности». Для кривой Р' это не так; у нее имеются две различные ветви, соприкасающиеся на бесконечности, что дает не семь, а восемь точек пересечения.

Таким образом, мы имеем на бесконечности восемь точек в направлении оси ж и восемь в направлении оси у.

Следовательно, остается 42 — 2 — 8 — 8 = 24 особые точки.

Возможно ли теперь, чтобы значения z в этих 24 особых точках зависели лишь от двух переменных?

Обозначим через ^ и у2 эти Две переменные.

Мы можем выбрать третью переменную y3 так, что I, 3 и 3' будут функциями от Yi, Т2, Тз- Тогда, при изменении Т3, когда две другие переменные Ti и у2 остаются постоянными, величина z не должна была бы изменяться.

По предположению имеем

Д = о, ^ = 0.at

Дифференцируя первое из этих уравнений, находим

d\ , d\ , dA j ndt ' dz 1 d^ 3

Но ЛЫ dt = 0 и, с другой стороны, dz должно было бы равняться нулю, поскольку z не должно изменяться. Следовательно,

(2)

Посмотрим, что означает это уравнение. Если изменять т3, то кривая А = 0 (или, что то же самое, кривая Р = 0) изменяется; рассмотрим кривую

Д + ^^з = 0,

бесконечно близкую к Р = 0; ее я обозначу Р'.

Уравнение (2) означало бы, что эта кривая Р' должна проходить через 24 особые точки.

Но кривые Р и Р' шестого порядка, следовательно, они не могут, не сливаясь, иметь больше 36 точек пересечения.

Они имеют 4 точки пересечения в начале координат, где у обеих по двойной точке.

В качестве двойной асимптоты им служит ось ж, что дает (если учитывать замечание, сделанное выше относительно природы этой двойной асимптоты) восемь точек пересечения в бесконечности в направлении оси х. Столько же точек будет в направлении оси у.

Это даст всего 24 + 4 + 8 + 8 = 44 пересечения. Следовательно, кривые должны были бы слиться в одну.

Таким, образом, при изменении + кривая Р = 0 не должна изменяться.

Истолкуем этот результат.

Рассмотрим эллипсы, описанные обеими планетами. Эти два эллипса будут неизменны по форме и величине, поскольку мы зафиксировали большие оси и эксцентриситеты; но при изменении i, 3 и 3' эти два эллипса будут перемещаться относительно друг друга. Я могу предположить, что один из эллипсов, Е, неподвижен, а другой, Е', подвижен.

Неизменность кривой Р = 0 при фиксированных ^ и у2 означает, что можно найти закон движения Е', такой, что если в некоторый момент точка М', принадлежащая Е', находится на нулевом расстоянии от точки М, принадлежащей Е, то расстояние между этими двумя точками постоянно останется равным нулю (само собой разумеется, поскольку эти две точки комплексные, они могут находиться на нулевом расстоянии, не сливаясь в одну).

Пусть Mq —■ положение точки М' в некоторый момент. На Е имеются четыре точки М4, Ме, М3, М4, которые расположены на нулевом расстоя- лии от Мо'; эти четыре точки не могут лежать на одной прямой. Следовательно, точка М' должна бы оставаться на четырех сферах нулевого радиуса с центрами в Мг, Мг, М3, М4; но поскольку эти центры не лежат ша одной прямой, то четыре сферы могут иметь лишь две общие точки на конечном расстоянии. Следовательно, невозможно, чтобы точка М' перемещалась, оставаясь на этих четырех сферах.

Несуществование однозначных интегралов, таким образом, строго доказано.

Глава VII

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Пусть dx. — = Xi (i = l,2и)(1>

— система п дифференциальных уравнений, X — функции х и t. Они разлагаются в степенные ряды по х и периодичны по t с периодом 2л.

Пусть /у -'у

ьХ/ 1 '1 12 — 2 ?• • • > 71 — *^ Tt

— частное периодическое решение этих уравнений; х® будут периодическими функциями t с периодом 2л. Положим

хг = Д + £i-Получимdt

где Е будут функциями £ и t, периодическими по t и разложимыми в ряд по степеням £; но в разложении не будет содержаться члена, не зависящего- от

Если £ очень малы и мы пренебрегаем их квадратами, то уравнения (2) сводятся к уравнениям dKdX.dX.dX.

ULdx^dx^dx^

которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).

Они линейны и имеют периодические коэффициенты. Известен вид их общего решения, а именно:

£i = А1е 1 срп 4- A2e“2 ср21 + ■ . . + Anea,«f(pnl, ^2 = Аге 1 Via + Айе * <р22 + . . . + А^е п (рп2,

^п = AYe 1 <р1п 4- И2е 2 ср2п + • • • + Аие п <р„„.

где А — постоянные интегрирования, а — фиксированные константы, называемые характеристическими показателями, ф — периодические функции t.

Тогда, если положим

£1 = Л1Ф11 + ЛаФа! + • • ■ + Чпфпы

Со = 'П1Ф12 + 112ф22 + ■ • • + ЧпТпЗ,

Сп — П1Ф1а + Л-гФгп + • • • + Лпфпп-

то уравнения (2) примут вид

где Hi — функции от t и ц, того же вида, что и Е.

Мы можем далее записать

^ = ^ + ^? + ..+^Г+...,(2")

где Hi представляет множество членов Hi степени р по ц.

Что касается уравнений (3), то они примут вид

сйъ ,

А ==(3')

Попытаемся найти теперь вид общих решений уравнений (2) и (2').

Я утверждаю, что мы должны найти тр, функции, разложенные в ряд по степеням Л!^1*, А^1, ..., Апе”п*, коэффициенты которых периодические функции от t.

Мы можем тогда записать

П; = Пг + Чг + • • ■ + П? + ■ ■ • ,(4')

где ц? представляет множество членов тр степени р по А.

Заменим тр их значениями в Hi и найдем

И? = НТР + Я?'р+1 + . . . + HV + . . . ,

где Hi’4 обозначает множество членов степени q по А.

Мы найдем тогда

^ - а^ = ну + Н^ + . . . + Н^ = Kq.

Эти уравнения позволят последовательно вычислить 23а

Т]^ , р, , . . . , Pi , . . ..

В самом деле, Кд зависит лишь от р1, р2, ..., р9-1. Если мы предполо- -жим, что эти величины были заранее вычислены, то сможем записать Kq в •следующем виде:

^ = 2л^..2п^^^

где |3 — положительные целые числа, сумма которых равна 7, а ф — периодическая функция.

Можно еще записать

ф = 2С<Г'1/~1»

тде С — вообще говоря, комплексный коэффициент, ат — положительное или отрицательное целое число. Для краткости положим

Л^’Л^ . . . Лпп = A4, аД + a2pa + . . . + anpn = ^ ap,

тогда получим

"ST ~ ^ = 2jCA9^ /-i+^ю .

Лг= 2Лг= 2Но этому уравнению можно удовлетворить, полагая

Лг= 2

Лг= 2

Т K^T + Sap — cr ■

Исключение составляет случай, когда

Y]/ — 1 +2aP —ai = 0.

В этом случае в формулах возникнут члены с t. Рассмотрение этого частного случая мы отложим.

Сходимость рядов

Мы должны теперь изучить вопрос о сходимости этих рядов. Единственная трудность возникает, впрочем, как мы увидим, из-за делителей

Т]/-1+2ар-аг.(5)

Заменим уравнения (2') следующими:

е1Ъ = е^ге ’ hi hi -f- . . . -f- Н?4- • • • •(2")

Определим Н?. Нетрудно видеть, что Щ имеет следующий вид: нх = ^с«.. - p=i,

где С — произвольная константа, р — положительные целые числа, сумма которых равна р, т — положительное или отрицательное целое число. Возьмем тогда

Полученные таким образом ряды будут сходящимися, если только тригонометрические ряды, определяющие периодические функции, от которых зависят Н, сходятся абсолютно и равномерно; но последнее всегда имеет место, так как эти периодические функции аналитичны. Что касается е, то это положительная константа.

Из уравнений (2") можно получить ц в следующем виде:

Пг = 2 М^А^А^ . . . ЛМ^)'.(4")

Здесь многие члены могут соответствовать тем же показателям р, а б — положительное целое число. Если сравнить их с рядами, полученными из (2Г), которые имеют вид

то можно заметить следующее.

М —■ действительное положительное число, большее, чем | N |.

П означает произведение делителей (5), число которых меньше или равно б.

19 А. Пуанкаре

Итак, если ряд (4") сходится и если ни один из множителей (5) не меньше с, то ряд (4') также сходится. Итак, вот каким образом можно сформулировать условие сходимости.

Ряд сходится, если выражение

Г S ~

не может стать меньше любой данной величины е для положительных целых значений р и целых (положительных или отрицательных) значений у; другими словами, если ни один из двух выпуклых многоугольников, содержащих: первый а и + У—1, второй а и —У— 1, не содержит начало координат; или если все величины а имеют вещественные части одного и того же знака и ни одна из них не имеет нулевой вещественной части.

Что мы будем делать, если это не так?

Предположим, например, что Zc из величин а имеют положительные вещественные части, а и — А: величин а имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Тогда ряд (4') останется сходящимся, если в нем равны нулю константы Л, соответствующие тема, у которых вещественные части отрицательны или равны нулю, так что эти ряды дадут нам не общее решение рассматриваемых уравнений, а решение, содержащее только к произвольных постоянных. Это решение представлено рядом (4') по степеням

А^е , Л2с , . . . , Аке А .

Поскольку по предположению вещественные части

®1> ®2, • - • , «|t положительны, экспоненты

adad

е , е , . . . , е к

стремятся к 0, когда t стремится к — оо. Следовательно, то же самое верно и для величин тр; это означает, что, когда t стремится к — оо, решение, представленное рядом (4'), асимптотически приближается к рассматриваемому периодическому решению. По этой причине мы назовем его асимптотическим решением.

Мы получим вторую систему асимптотических решений, приравнивая пулю в ряду (4') все коэффициенты А, соответствующие показателям а, вещественная часть которых положительна или равна нулю. Тогда этот ряд будет рядом по степеням

, Л2еа2' , . . . , А^1,

где показатели а/, а2', ..., а/ имеют отрицательную вещественную часть. Если теперь устремить t к + оо, соответствующее решение будет асим-

птотически приближаться к рассматриваемому периодическому решению.

Если мы предполагаем, что данные уравнения являются уравнениями динамики, то, как мы видели, п четно и а попарно противоположны.

Тогда, если к из них имеют положительную вещественную часть, к других будут иметь отрицательную вещественную часть и п — 2к — нулевую вещественную часть. Беря сначала те а, которые имеют положительную вещественную часть, мы получим частное решение, содержащее к произвольных постоянных; второе решение мы получим, беря показатели а с отрицательной вещественной частью.

Впрочем, в случае, когда ни один из а не имеет нулевой вещественной части, и в частности, если все а вещественны, получим

Предположим, что в уравнениях (1) X зависят от параметра ц и функции X разлагаются в ряды по степеням этого параметра.

Представим себе, что при ц = 0 характеристические показатели а все различны, так что эти показатели, определяемые уравнением G (а, ц) =0 (аналогичным уравнению п. 74, но таким, что все корни уравнения G (а, 0) = 0 различны), сами разлагаются в ряды по степеням ц в силу пунктов 30 и 31.

Предположим, наконец, что, как мы только что говорили, мы обратили в нуль все константы А, соответствующие таким а, вещественная часть которых отрицательная или нулевая.

Ряды (4'), определяющие величины щ, тогда будут зависеть от ц. Я намерен установить, что эти величины можно разложить в ряды не только по степеням A^tt, но еще и по степеням ц.

Рассмотрим выражение, обратное одному из делителей (5)

(г у — 1 + 2а? — ai)-1-

Я утверждаю, что это выражение можно разложить в ряд по степеням ц.

Пусть a1T a2j --ч ак — к характеристических показателей, вещественные части которых положительны при ц = 0 и при малых значениях ц и которые мы договорились сохранить. Каждый из них может быть разложен в ряд по степеням ц. Пусть а® — значение аг при ц = 0; мы сможем взять ц0 достаточно малым для того, чтобы а отличалось как угодно мало от а? при | Ц | < Но- Пусть тогда h — положительная величина, меньшая, чем самая малая из вещественных частей к величин а”, а° , ..., а”; мы сможем взять Цо достаточно малым для того, чтобы при | ц | < ц0 вещественные части к показателей alf a2, ..., a;£ были больше h. '

Вещественная часть Т V — 1 + S °Ф ~ at будет тогда больше, чем К (если Pi > 0), так что будем иметь

| Т~ ai|>^(6)

Таким образом, при | р | < р0 функция

(r/^ + S^—а^-1

остается однозначной, непрерывной, ограниченной и меньшей по абсолютной величине, чем 1/Л.

Отсюда в силу хорошо известной теоремы мы заключим, что эта функция разлагается в ряд по степеням ц и что коэффициенты разложения меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения

Следует заметить, что числа Ли р0 не зависят от целых чисел р и у. Исключением был бы случай, когда Pi равно нулю. Вещественная часть делителя (5) могла бы быть меньше к и даже отрицательной.

В самом деле, она равна вещественной части выражения Sap, которая положительна, минус вещественная часть а,, которая также положительна и которая может быть больше вещественной части Sap, если Pi равно нулю.

Предположим, что вещественная часть а; остается меньше некоторого числа кх при | ц | < р0. Тогда если

2з>4 + !’

то вещественная часть (5) заведомо больше, чем к; итак, трудности могут встретиться лишь для тех делителей (5), для которых неравенство (7) не выполняется.

Предположим теперь, что мнимая часть величин au а2, ..., а^ остается постоянно меньше по абсолютной величине, чем некоторое положительное число Л2; если тогда мы имеем

|г|>^23 + ^ (8)

то мнимая часть (5) и, следовательно, его модуль будут все еще больше к, так что трудности могут возникнуть для тех делителей (5), для которых ни одно из неравенств (7) и (8) не выполняется. Но этих делителей, которые не удовлетворяют ни одному из этих неравенств, конечное число.

В силу сделанного выше предположения ни один из них не обращается в нуль для рассматриваемых нами значений р; следовательно, мы можем взять h и р0 достаточно малыми для того, чтобы абсолютное значение любого из них оставалось больше, чем h, когда | р | остается меньше р0.

Тогда выражение, обратное произвольному делителю (5), разлагается в ряд по степеням р и коэффициенты разложения меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения

11

1

1

Мы писали выше

В силу наших предположений С можно разложить в ряд по степеням р, так что я могу положить

c = 2^z, яг = 2 ярЧ1^... <^ т-1.

Вернемся теперь к уравнениям (2"), полагая в них

\ У

ЯГ = 2l я |ргпЫ2. • -п^-

Правые части уравнений (2") будут тогда сходящимися рядами по степеням Р, Ли Ла, -, Лп.

Из них можно найти т|^ в виде сходящихся рядов (4 ) по степеням

р, А1еа,‘А2еаг‘,...,Акеак‘.

С другой стороны, из уравнений (2') мы получим т|4 в виде рядов (4') по степеням р, A^1*, А^е”"2*, . . . , А$еа*‘ , е1 Т— i, e—t Т—i.

Каждый из членов (4')меныпе по абсолютной величине соответствующего члена (4"), а поскольку ряды (4") сходятся, то будут сходиться и ряды (4').

Асимптотические решенияуравнений динамики

Вернемся к уравнениям (1) из п. 13

dt dy. ’ dtdt dy. ’ dtdFdx^dFdx^(i = 1, 2, . . . , n)(i = 1, 2, . . . , n)(1)(1)

dt dy. ’ dt

dt dy. ’ dt

dFdx^

dFdx^

(i = 1, 2, . . . , n)

(i = 1, 2, . . . , n)

(1)

(1)

и предположениям, сделанным на их счет в этом пункте.

В п. 42 мы видели, что эти уравнения допускают периодические решения, и мы можем из этого заключить, что если хотя бы один из соответствующих характеристических показателей а веществен, то эти уравнения допускают также асимптотические решения.

В конце предыдущего пункта мы рассмотрели случай, когда в уравнениях (1) и. 104 правые части Хг разлагаются в ряды по степеням р, но характеристические показатели остаются различными при р = 0.

В случае уравнений, которыми мы сейчас займемся, т. е. уравнений (1) п. 13, правые части также разлагаются в ряды по степеням р, однако все характеристические показатели равны нулю при р = 0.

Отсюда следует большое число важных различий.

Прежде всего, характеристические показатели а разлагаются в ряд не по степеням р, а по степеням j/"p (см. п. 74). Точно так же функции, названные мною ф1,к в начале п. 104 (которые в интересующем нас частном случае уравнений динамики совпадают с функциями 8^ и Т^ из п. 79), разлагаются в ряд не по степеням р, а по степеням Ур.

Тогда в уравнениях (2') п. 104

правая часть Щ разлагается в ряд по степеням ц, е1 ^—1, е-1 1-1 и |/ р (а не р).

Отсюда можно найти гр в виде рядов, полученных в п. 104

/131 /|3г

Чг= ^N Х’ 2П " ef(S“3+v К-D,

a N и П разлагаются в ряды по степеням Ур.

Тогда естественным образом возникают несколько вопросов.

Мы знаем, что N и 11 разлагаются в ряды по степеням Ур; разлагается ли в такой ряд их отношение Л7П?

Если это так, то существуют ряды по степеням |/ р , Л^7^ , е' ^”1 е—f ^—1 которые формально удовлетворяют предложенным уравнениям; сходятся ли эти ряды?

Если они не сходятся, какую пользу можно извлечь из них для вычисления асимптотических решений?

Разложение решений в ряд по степеням Ур

Я намерен доказать, что можно разложить М/П в ряд по степеням Ур и что, следовательно, существуют ряды по степеням Ур, Л;еа^ , е' K-i, e-fK-y которые формально удовлетворяют уравнениям (1). Можно было

бы в этом усомниться; действительно, П — произведение некоторого числа делителей (5) из п. 104. Все эти делители разлагаются в ряды по степеням Уц; но некоторые из них, те, для которых у равно пулю, обращаются в пуль вместе с Уц. Следовательно, может случиться, что П обращается в нуль вместе с ц и содержит в качестве множителя некоторую степень (/ ц. Тогда, если бы N но содержало той же степени в качестве множителя, то хотя отношение N/П разлагалось бы в ряд по возрастающим степеням У р., это разложение начиналось бы с отрицательных степеней.

Я утверждаю, что это не так и что разложение TV/П содержит лишь по ложительные степени Уц.

Посмотрим, каким образом эти отрицательные степени Уи исчезают. Положим

и рассмотрим х и у как функции переменных ( и ш.

Прежде чем идти дальше, важно сделать следующее замечание: среди 2тг характеристических показателей а два равны нулю, а остальные попарно противоположны. Мы сохраним лишь самое большее п — 1 этих показателей, полагая равными нулю коэффициенты А^ и переменные w^ соответствующие п + 1 отброшенным показателям. Мы сохраним лишь те показатели, вещественная часть которых положительна.

Теперь уравнения (1) принимают вид

(2)(3)(2)(3)dxi,dXidF

(2)

(3)

(2)

(3)

dt1ZJk к к dw^dy^

XаУ1dF

dtI- zL^dwkdx^ "

Попытаемся, исходя из этих уравнений, разложить хх и у— пг1 в ряды по возрастающим степеням У ц и w так, чтобы коэффициенты были периодическими функциями t.

Мы можем записать

а,, = 4 /ц + 4 [г + . . . = 2а;щр/2,

поскольку мы видели в п. 74, как можно разложить характеристические показатели в ряды по степеням Уц.

Напишем, с другой стороны,

хг = Xi -ф Xi Уц -у . . . = 5ж?цр/2,

= У0{ +У} КЙ + • • • =

где Xi и у; — функции t и w, периодические по t и разлагающиеся в ряды по

степеням w.

Если в уравнениях (2) и (3) мы подставим эти значения вместо ак, ж, и у,, то левые и правые части этих уравнений будут разложены в ряды по степеням ]Л |t.

уравненияуравненияПриравняем в обеих частях уравнений (2) коэффициенты при |1<р+1>/2, а в обеих частях уравнений (3) коэффициенты при цр/2; получим следующие

уравнения

уравнения

7 Г) 7 0^’к ^Ук7 Г) 7 0^’к ^Уках?^ „ . ах?

7 Г) 7 0^’

к ^Ук

7 Г) 7 0^’

к ^Ук

—+ МЮ^кк

^г1 _ тр V № тр<Н 1“ ах^ах» к’^г1 _ тр V № тр<Н 1“ ах^ах» к’(4)(4)dy? . V 1"ST + 21 «^

^г1 _ тр V № тр

<Н 1“ ах^ах» к’

^г1 _ тр V № тр

<Н 1“ ах^ах» к’

(4)

(4)

к

где Zi и Ti зависят лишь от

Ж®, Xi, Xi \г/?, у}, -.., ур.

Условимся, как мы уже это делали раньше, через [ tZ] обозначать среднее значение U, если U периодическая функция t.

Из уравнений (4) мы сможем тогда вывести следующие:

2.4^ -^ + 2,2.4^ -^ + 2,^i Р-1^i Р-12^/-^-№-2,2^/-^-№-2,1<1гГ0 р'k ах^1<1гГ0 р'k ах^(5)(5)

2.4^ -^ + 2,

2.4^ -^ + 2,

^i Р-1

^i Р-1

2^/-^-№-2,

2^/-^-№-2,

1<1гГ0 р

'k ах^

1<1гГ0 р

'k ах^

(5)

(5)

Предположим теперь, что из предварительных вычислений мы уже нашли

Xi, Xi, . . . , Ж?-1, Xi — [ж?],

yL у},..., уХЛ уГ1 - [уГ-1] -

Уравнения (5) позволят вычислить [ж?] и [yf х] последовательно, ж? и y7i-1. Уравнения (4) позволят затем определить

l^-i J И У гIУ г J,

так что этот способ даст по индукции все коэффициенты разложений ж, и Уг-

Единственная трудность заключается в определении [жГ] и [yf-1] из уравнений (5).

Функции [х?1 и [уГ-1] разложены в ряды по возрастающим степеням ю, и мы будем вычислять различные члены этих разложений, начиная с членов наименьшей степени.

Для этого вернемся к обозначениям п. 79, т. е. положим

dz:®dz^dz:®dz^ИИГ-I = ,Г-I = ,

dz:®dz^

dz:®dz^

И

И

Г-I = ,

Г-I = ,

(для нулевых значений wY

Тогда если мы обозначим через ^ и щ коэффициенты при

w1\w2 , . . . , W "-1

в [яП и [у? 1], то для определения этих коэффициентов будем иметь следующие уравнения:

(6)(6)^кбсРк — ^, — ^,^■цС^к — 5r]i = ц,.

(6)

(6)

В уравнениях (6) X, и щ— известные величины, потому что они зависят лишь от

х®, х^, . . ., х^ \ Xi — [ж?],У®' У^ . . yV' УТ1— l^1]

или же от членов разложений [х?] и [yf 1], степень которых по ш меньше, чем

тг + т2 + . . . + ти_х.

Кроме того, для краткости мы полагали

S = т^ + т2а2 -f- . . . -f- Wn^aLi-

Итак, для вычисления коэффициентов ^ и щ у нас есть система линейных уравнений. Трудность может возникнуть лишь в том случае, если детерминант этой системы равен нулю. Но этот детерминант равен

52 [52 - (а})2] [52 - (а^)3] . . . [52 - (а^)2] •

Он может обращаться в нуль лишь при

Л’ = О, S = Ч— Д, т. е. при

77?! + т2 + . . . + тп_г = 0 или 1.

Следовательно, затруднение может встретиться лишь в вычислении членов нулевой и первой степени по w.

Но нам не надо возвращаться к вычислению этих членов; действительно, мы научились вычислять члены, не зависящие от w, в п. 44 и коэффициенты при

wv w^, . . ., w^

в п. 79. В самом деле, члены не зависящие от w, суть не что иное, как ряды (2) из п.44, а коэффициенты при

wv w^, . . .,

— не что иное, как ряды S; и Т^ из п. 79.

Мне остается сказать несколько слов о первых приближениях.

Мы придадим ж? постоянные значения, такие же, как в п. 44.

Тогда будем иметь следующие уравнения:

dtRdi}^i VI i dl\кKdtRdi}^i VI i dl\кKду\ , V 1 а^ V d'2F"1

dtRdi}

^i VI i dl\

кK

dtRdi}

^i VI i dl\

кK

^ + 2j^-T = -~2j^y^

dFi(7)

В Fй, зависящем лишь от Ж;, эти величины должны быть заменены гга ж'. В Ру величины т^ заменены на ж?, а у; на п^. Тогда Fx становится периодической функцией t с периодом Т. Мы обозначим через ф среднее значение этой периодической функции F^, ф будет тогда периодической функцией у® с периодом 2л.

Два первых уравнения (7) показывают, что у® и ж? зависят лишь от w.

Приравнивая в двух последних уравнениях (7) средние значения обеих частей, получаем

"(8)

S

t dxL

Уравнения (8) должны служить для определения у” и ж; как функций от w. Можно ли удовлетворить этим уравнениям, подставляя вместо у? и ^ ряды по степеням и?? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующие дифференциальные уравнения:

dt д^О

Эти дифференциальные уравнения относительно функций у® и ж? допускают периодическое решение

^1 = о, у® = а.,

где обозначение 3, было введено в п. 44.

Характеристические показатели, соответствующие этому периодическому решению, суть в точности величины а,1. Мы условились сохранять лишь те из этих величин, вещественная часть которых положительна. Уравнения (9) допускают систему асимптотических решений, и легко видеть, что эти решения представляются в виде рядов по степенями;. Тогда эти ряды будут удовлетворять уравнениям (8). Итак, эти уравнения разрешимы.

После того как мы определили таким образом ж? и у®, остальные вычисления больше не представляют, как мы уже видели, никакой трудности.

Следовательно, существуют ряды по степеням Уц, w и еУ^-1, формально удовлетворяющие уравнениям (1).

Это доказывает, что разложение TV/П в ряд никогда не начинается с отрицательной степени Ур. Исследование пунктов 110 и 111 даст нам новое доказательство этого.

Расходимость рядов п. 108

К несчастью, ряды, полученные таким образом, не сходятся. Рассмотрим в самом деле

1

К—1Т + 2а,3 — «j

Если Т не равно пулю, то это выражение можно разложить в ряд по степеням У н; однако радиус сходимости полученного таким образом ряда стремится к нулю, когда T/S^ стремится к нулю.

Итак, если мы разлагаем в ряд различные величины 1/П по степеням j^p, можно всегда найти среди этих величин бесконечное число таких, у разложений которых радиус сходимости как угодно мал.

Можно было бы еще надеяться, сколь бы невероятным это ни показалось, что дело обстоит иначе для разложений различных величин TV/П; но доказательство, которое я дал в т. XIII «Acta mathematica» (стр. 222) [2Ч и к которому я возвращусь впоследствии, показывает, что в общем случае это не так. Итак, следует отказаться от этой слабой надежды и прийти к выводу, что ряды, которые мы только что построили, расходятся.

Но нельзя ли извлечь из них некоторую пользу, даже если они и рас-

Рассмотрим сначала следующий ряд, более простой, чем наши ряды:

Этот ряд сходится равномерно, когда р, остается положительным и и? остается меньше по абсолютной величине, чем положительное число zy0, меньшее единицы, в остальном произвольное. Ряд

1 d^F (w,p)nV р' dw- —(1 + np)”+1

также сходится равномерно.

Если теперь мы попытаемся разложить F (zy, р) в ряд по степеням р, то ряд, к которому мы приходим,

Swn(—н)Рр,Р,(10)

не сходится . Если в этом ряду пренебречь всеми членами, в которых степень р больше р, то получим некоторую функцию

Ф„(гу, ц).

Легко видеть, что выражение

F (w, И) — Фр (w, р)

стремится к 0, когда р, стремится к 0, оставаясь положительным, так что ряд (10) асимптотически представляет функцию F (zy, р) при малых значениях р, так же, как и ряд Стирлинга асимптотически представляет эйлерову функцию при больших значениях х.

Я намерен установить в следующем пункте, что расходящиеся ряды, которые мы научились строить в п. 108, полностью аналогичны ряду (Ю).

В самом деле, рассмотрим один из рядов

S-^^'^ • ••^»'t^^-i = P(W, ^i, w2zy;., г);(10')

рассуждения п. 105 показали, что эти ряды равномерно сходятся, если w меньше по абсолютной величине некоторых пределов и ^р веществен.

Если разложить N/H в ряд по степеням Ур, то ряды (10'), как мы уже говорили, будут расходиться. Предположим, что в разложении мы пренебрегаем членами с показателями при У р, большими р; мы получим некоторую функцию

Фр(/ц, wv wai. . ., тук, г),

которую можно разложить в ряд по степеням ш, е*'^-1 и которая будет многочленом степени р по У р.

Далее мы увидим, что выражение

F — Ф р

стремится к нулю, когда р стремится к нулю, оставаясь положительным, как бы велико ни было р.

В самом деле, если обозначить через Нр множество членов разложения TV/П, в которых показатели при ]/рне превышают р, то получим

и я покажу, что ряд в правой части равномер'но сходится и что все члены стремятся к 0, когда р стремится к 0.

Следовательно, можно сказать, что полученные нами в и. 108 ряды представляют асимптотические решения при малых значениях р,, подобно тому как ряд Стирлинга представляет эйлеровы функции.

Новое доказательство предложения п. 108

Чтобы доказать это, я подвергну уравнения преобразованию, которое мне в то же время даст новое доказательство теоремы, обсуждавшейся в п. 108. Для определенности предположим, что имеются всего две степени свободы; тогда мы сохраним лишь одну из величин w и сможем записать наши уравнения в следующем виде:

—t—Hau?—;— = -3—,—г— + au? = — -3—(i = l,2).

ataw ay^ atawax.x 1 r

•отбрасывая ставшие ненужными индексы при а и ш.

Нам известно, что а разлагается в ряд по нечетным степеням У Р-. и, следовательно, а2 — по степеням р; обратно, ц разлагается в ряд по степеням а2; мы можем заменить р этим разложением, так что функция F будет разложена в ряд по степеням а2. При а= 0 F сведется к F0, зависящему лишь от xt и хй.

Пусть

— исходное периодическое решение. Положим, как и в и. 79, ^i = ЧЧ (0 + Bi. Уг = Фг W + Т]-

наши уравнения примут вид dtdw 1 dt 1 dw *

где В4 и H, разлагаются в ряды по степеням ^, тр и а2, а коэффициенты — периодические функции t.

При а = 0, dFIdyi и, следовательно, Е{ обращаются в нуль; итак,. Bi делятся на а2 и я могу положить

Ei = a2Xi + a2Xb

где а2Х/ означает сумму членов первой степени по £ и ц, а а2Х/ означает сумму членов высших степеней.

Точно так же, когда а равно нулю, dF/dxi и, следовательно, Щ зависят лишь от ^, но не от тр.

Итак, я могут положить

ni = yi + y; + a2Qi + a2Q;,

где Уг + o?Qi означает сумму членов первой степени по £ и тр в то время как У/ + a2<?i' означает сумму членов степеней, больших первой. Кроме того, я предполагаю, что У4 и У^ зависят лишь от ^ и £2. Положим

6i — aCi> 62 — а£г-

Уi будут делиться на а, а У/ — на а2, так что я смогу положить у. + a2(2i = aZi, y.' + a2^ = a2Zb

и наши уравнения примут вид dt.dt,.,

(12)(12)+ aw—^ = аХг + aXj, dt1dw

(12)

(12)

dn .dr).,

+ aw-т2 = aZi + a2Zi. dt1dw

Рассмотрим уравнения

(13)

Эти уравнения линейны относительно неизвестных ^и ц4. Они отличаются от уравнений из п. 79 лишь тем, что ^ и £2 заменены на a£i и а£2-

Как мы видели в пунктах 69 и 74, уравнение, определяющее характеристические показатели, имеет четыре корня: один равен +«, другой равен —а, а оставшиеся два равны нулю.

Первому корню, т. е. корню а, будет соответствовать решение уравнений (2) из п. 79, которое мы научились строить в этом пункте и которое мы записали в виде

^ = е«^, р{ = eatTv

Я напомню, что Si равно нулю и, следовательно, 5, делятся па а.

Второму корню, —а, будет соответствовать другое решение уравнений (2), которое мы запишем в виде

£i = е Sv Pi = e Tv

Наконец, двум нулевым корням будут соответствовать (ср. п. 80) два решения уравнений (2), которые мы запишем в виде

U = S" + atS", Pi = f- + atT",

Ti, Ti, Ti , Si, Si , Si — периодические функции t, так же как и 5i и Т„ Как мы видели в пунктах 79 и 80, 8г', З^ и St = aS^* будут, как и 8,, делиться на а.

Положим теперь

a^i = tS191 -|- 5x02 -|- У1О3 + ^104,

а^2 = ^261 4" ^2^2 4" ^2^3 4* ^264,(13bis)

Р1 = та + та + та + ТА,41 = 7 20i + ТА + ТА + ТА-

Определенные таким образом функции 0, будут играть роль, аналогичную той, которую играют функции р; из п. 105. Уравнения (12) примут тогда вид

<701 .<701„<70г ,<702 .„„

——b aw а0, = а®!, -у-—h aw —, h atk = «©2,dt 1 dw 111 dt 1 dw 122

<703 ,<70зо ,<704 , ~ <704_

—:— —j— CLW —:— — OC0j -4- CC0o,—5- p CLW —j — OCS^,

dt ‘ dw' A dt ' dw 4

©i, 02, Оз и 04 — функции, разложенные в ряды по степеням 01; 02, 03, 0>4 и а, все члены которых по меньшей мере второй степени по переменным 0 и коэффициенты которых являются периодическими функциями t. Кроме того, 0 должны быть периодическими функциями t и члены первой степени по w в 015 02, 93 и 0'4 должны сводиться к w, 0, 0, и 0.

Уравнения (14) аналогичны уравнениям (2') из п. 105.

В самом деле, находим

ехХ; = ©i^Vj 4- @2^1 + 03*^i + 04^i >

aZi = 017' j 4- 02^г + 03? i 4” 04^ г ,

что дает нам четыре уравнения, из которых можно получить четыре функции 0, поскольку 8, Т, X' и Z* — известные функции. Я утверждаю, что мы найдем

01 - t?i, i^i + UгХ2 4- Uit 3/2 4- U 4Z2,

где U — периодические функции t, которые можно разложить в ряд по возрастающим и положительным степеням а. В самом деле, для этого достаточно, чтобы детерминант

а 1

—s;

Ct 1

а 1

Ct х

Д =

— s2

Ct 2

а

а 2

Т.

т;

т;

т;

Тг

т".

т;

не делился на а, т. е. не обращался в нуль при а = 0.

При а = 0 SJa сводится к величине, которую мы назвали 81 в п. 79, а Т, — к Zi > и эти величины удовлетворяют уравнениям (9) и (10) того же п. 79. _

Здесь мы разлагаем в ряд не по степеням Ур, а по степеням а, так что величина, которую мы назвали а4 в п. 79, равна 1. Уравнения (9) из п. 79 будут, следовательно, записываться в виде

у С°гА , ^г a*а

— = bixTг 4- Ь^Т2

и должны будут удовлетворяться при а = 0.

Что касается второго решения, для него показатель равен —а и, следовательно, а4 равно —1, так что эти уравнения примут вид

аа

а

а

дЪцТх 4- btiT г.

Это позволяет предположить, что

т\ = Tv s\=- sv

Так как Si" делятся на а2, то 5,7а обращаются в нуль при а = 0. В то же время при а = 0 имеем

При а = 0 ТЛ — аТ * обращаются в нуль, и мы имеем

Находим

тц = (ЛА + (ЛА

Отсюда мы можем заключить, что определитель А при а = 0 сводится к

А = 2

51 а

52 а

£ а £

а

Т1 И11

т

2 И2 |

Кроме того, находим

Л

5

£

а

а

Си С12

Т-1 и2

52

5

2

z*»0 /чО

С 21 1^22

а

а

Определитель, образованный из (Лк , который есть не что иное, как гессиан функции Fо, вообще говоря, не обращается в нуль, так что А может обратиться в нуль только, если

Г1 = Га .

№1 Пг ’

но если заметить, что

«Лг + пгЬи = 0,

то заключаем отсюда, что

А = ^ = оа а ’

а этого не может быть.

20 А. Пуанкаре

Следовательно, детерминант А не равен нулю. Можно еще установить это следующим образом. Рассмотрим следующие уравнения:

dtt^li~dtdtt^li~dt= ^Ph + ^2.= ^Ph + ^2.= CU1 + с^2.= CU1 + с^2.

dt

t^li

~dt

dt

t^li

~dt

= ^Ph + ^2.

= ^Ph + ^2.

= CU1 + с^2.

= CU1 + с^2.

Это линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Они допускают четыре линейно независимых решения, а именно:

S'.. -

=,^=е‘Тс,

s"„

Bi = ~^ F ^> Лг = ^ i + ^i-

Разумеется, в ^ и SJa надо положить a = 0, так что эти величины сведутся к постоянным.

Поскольку эти четыре решения линейно независимы, их определитель при t = 0 не должен обращаться в нуль; но этот определитель как раз и есть А. Следовательно, А не равен нулю, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы видим, что функции 0; действительно обладают указанными свойствами.

Предыдущие исследования немедленно распространяются на случай, когда имеется больше двух степеней свободы. Если мы положим

Bi = /ЙВй

то уравнения можно будет записать, как в предыдущем пункте,

-dr + S^^ /рХ; + цХх

-57- + 2“^= Wzt + V-Zi

Функции Xj, X{ Zi и Z/ обладают теми же свойствами, что и в предыдущем пункте, т. е. их можно разложить в ряды по степеням щ, ^и /р,и они являются периодическими по t. Кроме того, X, и Z, линейны по щ и ^i, а X/ и Z/ содержат лишь члены самое меньшее второй степени относительно этих переменных.

Рассмотрим затем уравнения

Щ];Щ];dt. —

Щ];

Щ];

IT = V'^,

они допускают 2тг — 2 линейно независимых решений, соответствующих 2тг — 2 характеристическим показателям, не равным нулю; эти решения могут быть записаны в виде

]/|1^ = ^ = А'б\,,, Чг = ^511Л (к = 1, 2, . . ., 2п — 2);

они допускают сверх того два вырожденныхрешения, определенных в п. 80, которые я запишу в виде

VР^г — *М, 2n-l,Mi — ^i.an-l

"У P^i — ^i, 2n “F VP^^i, 2?l-li"У P^i — ^i, 2n “F VP^^i, 2?l-liHi — ^1,21* + У P^i, 2ii-l‘Hi — ^1,21* + У P^i, 2ii-l‘

"У P^i — ^i, 2n “F VP^^i, 2?l-li

"У P^i — ^i, 2n “F VP^^i, 2?l-li

Hi — ^1,21* + У P^i, 2ii-l‘

Hi — ^1,21* + У P^i, 2ii-l‘

Функции 5цй и T^ (k = 1, 2, ..., 2n) периодические no t. Кроме того, Siik делится па^ц].

Мы можем теперь положить

М = 2^Лк=1М = 2^Лк=1ф= ^тг,ке,,к=1ф= ^тг,ке,,к=1

М = 2^Лк=1

М = 2^Лк=1

ф= ^тг,ке,,к=1

ф= ^тг,ке,,к=1

тогда мы получим уравнения

+ ^W ^ - ^01 = Кр 0111 = 1, 2, . . 2п - 2),

- V И Ли-

Функции 0к определены 2п уравнениями первой степени

2П

^= 2

Л=1 ' Iх

Определитель этих 2я уравнений, т. е. определитель А, образованный из Sik/|/ ц и Т\>к, не обращается в нуль при ц = 0. Это можно было бы

20*

доказать, как в предыдущем пункте; второе доказательство, в частности, может быть применено без изменений в случае, которым мы занимаемся.

Мы заключаем отсюда, что функции 0к периодические по t и разлагаются в ряды по возрастающим и положительным степеням 0; и ]Лц.

Теперь легко доказать предложение п. 108.

Действительно, предположим, что р характеристических показателей ап a2, ..., ap имеют положительную вещественную часть и попытаемся удовлетворить уравнениям (14bis), заменяя 0; рядами по степеням u^, w2,.-., шр. Итак, пусть

01 = 3^ 31, За, - • Зр, У] е^ММ’. . .w^p,

где plt р2, ..., рр — положительные целые числа, у — положительное или отрицательное целое число, а коэффициенты [i, рх, р2, • ••, Рю Th которые я для краткости буду также обозначать [i, pk, т],— константы, которые надо определить.

Если мы подставим значения 04 в 0Й то получим

©t = 3(z- 31, 32, ■ . Зр, у) ет ^ш^2 • • ■ w^P,

причем коэффициенты (i, ри р2, ..., Рр.^или (i, pk, т) будут константами, зависящими по некоторому закону от неопределенных коэффициентов [i, Pk, У1« Я утверждаю, что [i, pk, у], и, следовательно (i, pk, у), можно разложить в ряд по возрастающим степеням /|1 и что разложение не содержит отрицательных степеней.

Действительно, уравнения (14bis) нам дают

[i, 3k, У1 = (i, 3k, Г) —

при i = 1, 2, ..., 2n— 2 и

[2n, 3;., Г1 = (2«, Y) ■ -r—^^,

[2n-v 3k, Yl = №, 3k, ri + (2«—1, Pk, y)} ——.

7 У —1 + Bk

Эти формулы позволяют вычислить последовательно коэффициенты [у Pk, УЬ Действительно, если мы условимся говорить, что коэффициент [i, Pk, Т1, так же как и (z, Pk, У), имеет степень

31 + З2 + • ■ • + Зр,

то легко видеть, что величина (i, pte, т) зависит лишь от коэффициентов [у Pk, У1 меньших степеней, которые мы можем предположить известными из предыдущих вычислений.

Можно также доказать по индукции сформулированное предложение. Действительно, я утверждаю, что оно верно для [г, pk, yL если оно верно для коэффициентов меньшей степени; в самом деле, если это так, то оно будет верно для (г, рк, у), который зависит лишь от этих коэффициентов меньшей степени.

Итак, остается доказать, что дробь г К=1+5аЛ--а1 разлагается в ряд по положительным степеням У ц. Но это очевидно, потому, что если Y не равно нулю, то знаменатель не делится на Уц. Если Т равно нулю, то знаменатель делится на У у,, но не на ц, но то же самое можно сказать о числителе.

Таким образом, предложение п. 108 снова доказано.

Преобразования уравнений

Вернемся к случаю, когда имеются лишь две степени свободы и снова рассмотрим уравнения (14) из п. НО.

Пусть Ф — функция, которая, так же как и 0Х, 02, ®з и ®«» разлагается в ряд по степеням 0V 02, 03, 04, а, е'^-1 и е-1^-1, причем каждый из ее коэффициентов веществен, положителен и больше по абсолютной величине, чем коэффициент при соответствующем члене в 0Х, 02, 03 и 04; все члены Ф, кроме того, будут, как и члены 0{, по меньшей мере второй степени по 0.

Заметим, что число

(где п — положительное, отрицательное или равное нулю целое число, ар— положительное целое число, не меньшее единицы) всегда по абсолютной величине больше единицы, каковы бы ни были п, р и а. Но числа, играющие роль делителей (5) из п. 105, разделенные на а, имеют в точности такой вид.

Построим теперь уравнения

01 = и> + Ф, 02 = Ф, 03 = 04 + Ф, 04 = Ф, (15)

аналогичные уравнениям (2") из п. 105,

Из уравнения (14) можно получить 0 в виде рядов по степеням н?и е±<^~1, аналогичных рядам (4') из п. 104. Из уравнений (15) можно получить 0 в виде рядов по степеням тех же переменных, что и ряды (4"') из п. 105. Каждый из членов этих последних рядов положителен и больше по абсо-

лютной величине, чем соответствующий член первых рядов *; итак, если они сходятся, то сходятся и ряды, полученные из уравнений (14).

Но легко видеть, что можно найти число гг0, не зависящее от а, такое, что если | w | < w0, то ряды, полученные из (15), сходятся.

Из этого следует, что ряды по степеням щ полученные из (14), сходятся равномерно, как бы мало ни было ц, как я уже говорил ранее. Это рассуждение во всем подобно рассуждению п. 105, причем функция аФ играет роль Й2г + Н® + ..., а — роль е, потому что делители (5) имеют вид n V—1 + ар и, следовательно, превосходят а по абсолютной величине.

Теперь мы имеем 9 в виде рядов по степеням w и e±z^-1; коэффициенты — известные функции а. Если разложить каждый из этих коэффициентов в ряд по степеням а, то мы получим 9 в виде рядов по степеням а. Полученные таким образом ряды расходятся, как мы уже видели ранее; пусть, однако,

9i = 9- + а9- + а292 + . . . + а7^ + . . .(16)

— эти ряды.

Положим

Я1 = 81 +9lt Я2 = ©2-92, Я3 = ©3 + 94, Я4 = ©4.

Положим

91 = 9? + а9? + а292 + . . . + a"9f + о^и^(17)

приравнивая 9; р + 1 первым членам рядов (16) плюс дополнительный член арщ.

Если в Я, заменить 9; их разложениями (17), то Я, разлагаются в ряд по степеням а и можно записать

Я; = О? + а©1 + а2©2 + . . . + а'"18Г1 +

где ©f' не зависят от а, a Щ разлагаются в ряды по степеням а. ' Тогда мы будем иметь уравнения

d^dO1.

—L = 0,—L + w= ©9

atat 1али

d^deldefdef-1

dtdtdw

<-)f 1

(18)

и затем

du.du.dOf

dt 1dw 1air*•

(19)

*■ См. далее доказательство, подробно изложенное в аналогичном случае, относящееся к уравнениям (21) и (21 bis).

делиться на ар’ в apU,■ и на аР^-1' в[ Ui, равных нулю; будем иметь= l^L(20)d№У3 = ^-п4, V4 — U’4,аги + сш2 = аУ2, dt 1 die 122(21)du4 ,du4 T7' *+ аги—г— = аУ4. dt 1dwржат лишь члены по меньшей меределиться на ар’ в apU,■ и на аР^-1' в[ Ui, равных нулю; будем иметь= l^L(20)d№У3 = ^-п4, V4 — U’4,аги + сш2 = аУ2, dt 1 die 122(21)du4 ,du4 T7' *+ аги—г— = аУ4. dt 1dwржат лишь члены по меньшей мере

делиться на ар’ в apU,■ и на аР^-1' в

[ Ui, равных нулю; будем иметь

= l^L(20)

d№

У3 = ^-п4, V4 — U’4,

аги + сш2 = аУ2, dt 1 die 122

(21)

du4 ,du4 T7' *

+ аги—г— = аУ4. dt 1dw

ржат лишь члены по меньшей мере

делиться на ар’ в apU,■ и на аР^-1' в

[ Ui, равных нулю; будем иметь

= l^L(20)

d№

У3 = ^-п4, V4 — U’4,

аги + сш2 = аУ2, dt 1 die 122

(21)

du4 ,du4 T7' *

+ аги—г— = аУ4. dt 1dw

ржат лишь члены по меньшей мере

Вот каков вид функции U^ величины Oj можно рассматривать как известные функции t и w, определенные уравнениями (18) и уравнением (20), которое я напишу ниже, в то время как Ui остаются неизвестными функциями. Тогда функция Щ разложена в ряд по степеням w, е^^-1, а и ut. Кроме того, любой член 7-й степени по и^ имеет по меньшей мере степень р (q — 1) по а. Действительно, Hi и, следовательно, аp^7i разлагаются по степеням 0г и, следовательно, по степеням ак04 и а^и^ Следовательно, любой член 7-й степени по н; будет и,.

Пусть U® — значение Ui при а 1

a [Of j

Далее я могу, положив

U'i = Ux и затем

vx = u;-uv v^ = u;^u

представить уравнения (19) в виде

dui ,du.

—г-—k аги —. аи, = аг,,d t 1d ie ±'

du, , du,T7

dt 1 dw 43

Тогда можно видеть, что У{ соде второй степени по w и и;.

В самом деле, 0{ делятся на w и сводятся к w или к 0 при отбрасывании членов, степени выше первой по w. Из этого следует прежде всего, что Отделится на нА С другой стороны, правая часть уравнения (17) будет содержать лишь члены по меньшей мере первой степени по ю и по и4. Итак, 0; содержит лишь члены второй степени по ш и по иг. Отсюда следует, что единственные члены первой степени, которые могут уцелеть в Uv U2, U3 U4, сводятся соответственно к иг, — и2, и4 и 0.

Кроме того, w е= dQi/dw делится на ш2. Итак, 14 содержат лишь члены по меньшей мере второй степени, что и требовалось доказать.

Из уравнений (21) можно получить н4 в виде рядов по степеням w и АПрименяя к этим уравнениям то же рассуждение, что и к уравнениям (14), я докажу, что эти ряды сходятся, когда | w | < w^, и что схо- димссть остается равномерной, как бы мало ни было а.

. То же самое будет иметь место для рядов, представляющих duil.dw, d^uddw2,....

Отсюда будет следовать, что uit du^dw, d^ui/du^, ... можно приписать верхнюю грань, не зависящую от а, если только |ш|< w0.

Затем я покажу ниже, в пунктах 116 и 117, что это верно и для всех положительных значений w.

В самом деле, пусть Ф — функция, разложенная в ряд по степеням a, щ, w и е^^-1, и такая, что мы имеем (при z = 1, 2, 3, 4)

Уг<СФ (argUx, и2, и3, и4, a, w, gi^-i).

Пусть Ф' — значение Ф, когда и4, и2, и3, и4 заменяются на и4', и2, и3, Рассмотрим следующие уравнения:

и4 = w + Ф , и2 = Ф , zz3 = zz4 -J- Ф , н4 = Ф ,(2Ibis)

аналогичные уравнениям (15). Ясно, что эти уравнения имеют такое решение, что и41 и2 , и3 ,и4 разлагаются в ряды по степеням zz;, а и ^^-t и обращаются в нуль вместе с ю.

Эти ряды и4 , и2 , и3 , и4 будут сходящимися, если только |ш| не превосходит некоторого предела, который я назову w0. Сравним теперь уравнения (21) и функции и4, и2, и3, и4, которые им удовлетворяют, с уравнениями (21 bis) и функциями zz/, и2 , и3 , и4, которые удовлетворяют последним.

Я собираюсь установить, что

UiUiUiUi(arg w, еУ^”1).(arg w, еУ^”1).

Ui

Ui

Ui

Ui

(arg w, еУ^”1).

(arg w, еУ^”1).

(Я обращаю внимание на то, что а не входит в число аргументов, относительно которых берется это неравенство.)

В самом деле, пусть и^ и zz/" означают суммы членов Ui и щ' степени самое большее п по ш; предположим, что мы установили, что

Ui

Я покажу, что

п+1 Uiп+1 Ui

п+1 Ui

п+1 Ui

Тем самым я по индукции установлю неравенство, которое надо доказать.

Если подставить в У; и в Ф' вместо щ и щ разложения этих величин в ряды по степеням w п е^У-1, то функции У4 и Ф' сами будут разлагаться в ряды по степеням и? и еУ^~\

Обозначим еще через V4n и Ф'п сумму членов степени не больше п по w.

Тогда если и" <^ и", то будем иметь также

Пусть— член Ф'п+1 иПусть— член Ф'п+1 иAw^’e^-1А^еР1Aw^’e^-1А^еР1

Пусть

— член Ф'п+1 и

Пусть

— член Ф'п+1 и

Aw^’e^-1

А^еР1

Aw^’e^-1

А^еР1

— соответствующий член ’У^1 ! будем иметь

|А|<А

Пусть теперь

В^М^А и B^w^eP^A

— соответствующие члены и^ и и{.

Уравнения (21) и (21bis) нам дают тогда

Вг =7=р V—1Вг =7=р V—1ааТ яТ яо^215 О у. -р V—1„—+« + 2а 11D£4+^8Вз — —^т=о^215 О у. -р V—1„—+« + 2а 11D£4+^8Вз — —^т=В^ —В^ —^4а 1^4а 1

Вг =7=

р V—1

Вг =7=

р V—1

а

а

Т я

Т я

о^2

15 О у. -

р V—1„

—+« + 2

а 11

D£4+^8

Вз — —^т=

о^2

15 О у. -

р V—1„

—+« + 2

а 11

D£4+^8

Вз — —^т=

В^ —

В^ —

^4

а 1

^4

а 1

\Bi\<B\,иГх<и'Гг\Bi\<B\,иГх<и'Гг

\Bi\<B\,иГх<и'Гг

\Bi\<B\,иГх<и'Гг

а

Ву = В^' = В^ = А, В3 — В4 Т" А.

Так как

то имеем откуда

и по индукции

что и требовалось доказать.

Поскольку это неравенство берется по переменным w и е±1^-1, оно может быть продифференцировано как по и>, так и по t, так что мы имеем

du^ , du^ dt dt ’

du^du^

dwdw ’

d2u^ "d^A

Пусть и® — значение н/ при t = 0; если ui<<;ui', то для положительных значений w будем иметь

Но величина и® разлагается в ряд по степеням а; следовательно, можно приписать ей верхнюю грань, не зависящую от а при малых значениях а, поскольку эта величина стремится к конечному пределу, когда а стремится к нулю.

Тем же свойством в силу установленных неравенств обладает и | м4 |.

Можно было бы также показать, что тем же свойством обладают производные

d^u^dw2d^u^dw2du. I I du^dt ’\ dw

d^u^dw2

d^u^dw2

чю и требовалось доказать.

Приведение к каноническому виду

ИЗ. Заметим, что уравнения (14), а также уравнения (21) можно привести к каноническому вид/

Действительно, если мы положим, как в начале п. 110,

^■=фг(О+^. Уг = Ф, W + TJi,

то канонические уравнения движенит

^i_ _ ДТ_йугdF

dt dy; ’ dtdx^

принимают вид

dt dp. ’ dt^t ’

где F* определена следующим образом.

Если в функции F заменить х^ и гр на ф^ (Z) + ^ и ф{ (/) + Pi, т0 полученная функция F разлагается в ряд по степеням £ и р, причем коэффициенты периодичны по t. Пусть теперь F' — сумма членов степени 0 и 1 по Ей р; положим -

F* = F - F'.

Если обозначим через 6^, и Sip некоторые виртуальные приращения^ и Pi, а через ЬР—соответствующее приращение F*, то эти уравнения можно

будет записать в виде

З^бщ-йщб^бГ^.

Что станет с этим уравнением, если взять за новые переменные величины 0;?

Принимая обозначения, аналогичные обозначениям п. 70, мы положим (U, U') =^8^-8?!'0

и определим также (U, U"\ (W, £7"), ....

Из п. 70 мы знаем, что все эти величины равны нулю, за исключением (U, U'^ и (£7", £7"'), которые постоянны. Эти постоянные должны делиться на а, но они могут быть в остальном произвольными, поскольку 8^ Т y, Sy , Ty , ... определены лишь с точностью до постоянного множителя. Следовательно, мы можем положить

(£7, £7') = (£7", £7"') = а.

Если, с другой стороны, заметить, что

dt,i = 04 <1Sy + 02 dSi + 03 dSt + 04 dS” + Sy d04 + 8г dQ.i + 8; d93 -f- Sy d64,

65; 5;604 + 5^602 + 5-603 + 5"694, • • •,

то можно заключить, что

a (d0i 602 — d02604 + d03604 — d04603) = (6E* + 6Q) dt,

где через 6Q обозначено линейное как по 0{, так и по 604 однородное выражение, причем коэффициенты этой билинейной функции периодичны по С

Я утверждаю, что 6Q — точный дифференциал; в самом деле, уравнения (14) нам дают

a (с/0^602 - dO2604 + d03604 — d04603) = a2 (6G + 6G') dt,

где bG — точный дифференциал функции

G = 0г02 4—^- и где

bG' = 64662 - 02604 + 03694 - 04603.

Я утверждаю, что bF* + 6Q = a2 (bG + bG") — точный дифференциал; чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что в этом выражении члены первой степени по 0i5 сводящиеся к bG, являются полным дифференциалом и то же самое верно для членов степени выше первой, поскольку bF* — точный дифференциал и 6Q содержит лишь члены первой степени.

Итак, мы можем положить

6F* + 6Q = а26Ф, где

1 а2

причем F" обозначает множество членов F степени выше второй по ^ И Гр.

Следовательно, мы можем записать

c/0i аФ (/02_, (/Ф

1Г = а "Ж * "dT ='

Вспоминая, что 6 зависят от / не только непосредственно, но и через w, мы запишем эти уравнения в виде

(/01 .(/01(/Ф(/02.(/02(/Ф,. ,, .

-j— + aw -з— = a -35- ,-т-+aw -3— =— a-35- ,(14bis)

dtdwatii■at 1 dwdQx''

к которым надо добавить два аналогичных уравнения, получающиеся из предыдущих при замене 0Х и 02 на 03 и 04.

Таким образом, мы привели уравнения (14) к каноническому виду.

Надо то же самое сделать и с уравнениями (21).

Если в Ф заменить 0{ их значениями (17), то полученная функция разлагается в ряд по возрастающим степеням а и пр, если затем мы обозначим через а2РФ' множество членов степени по меньшей мере 2р по а, то наши уравнения превратятся в

^мг , dux (/Ф' dua , dux(/Ф',

—т—-\-aw-3—— а-3—,—Haw-—= — а-з—(21bis)

• dt 1 dw dm dt 1 dwdux ''

и два аналогичных уравнения.

Таким образом, мы привели уравнения (21) к каноническому виду.

Вид функций Ft

Рассмотрим функцию

F (яи *2, 4п 4^

и заменим в ней др на

х^ 4- axi 4- o^Xi 4- . . . + apJtlXi+1 4" <xp+1i;i(22)

и ух на

и1< + 4t + «4t + «241 + • • • + «Р4г 4- «Pv'i.(22bis)

Обозначения

ж®, х^, xf, . . ., xt+1,(23)

nv Уг Уг ■••'УХ

имеют тот же смысл, что и в п. 108. Единственная разница заключается в том, что у нас имеются здесь лишь две степени свободы и параметр, по которому мы разлагаем в ряд и который играет роль ц, равен здесь а2; величины (23), следовательно, являются известными функциями и и w. Что касается аг+1п{ и ару/, то это некоторые дополнительные члены. Я намерен исследовать, при каком условии F разлагается в ряд по степеням a, у, и у/.

Положим для краткости

aarj + a2z? + .. . + ap+1^p+1 + ар+1у{ = Хг,ау\ + а?уХ + . . . + аУуХ + ару- = yV

Для того чтобы функция

F (х® + Хг, n^t + У® + У^

разлагалась в ряд по возрастающим степеням xt' и уХ и, следовательно, по степеням а, у4 и у/, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы точка

^г = *Ь Уг = М + у®

не была особой точкой для F.

Но 4 и п, — константы, а у” — функции гу, определенные уравнениями (8) из п. 108. Далее, в большинстве приложений функция F остается голоморфной, каковы бы ни были вещественные значения у®, если х® и и, имеют постоянные значения, соответствующие периодическому решению.

Возьмем, например, задачу из п. 9 и предположим, что хх = L, хг = G определяют форму эллипса, описанного бесконечно малой массой, а уг = I, Уг = g — t определяют положение перигелия этого эллипса и положение массы на орбите.

Для того чтобы F перестала быть голоморфной, эта бесконечно малая масса должна была бы встретить одну из двух других масс; если эллипс не пересекает окружности, описанной второй массой, как это и бывает почти во всех приложениях, то эта встреча никогда не сможет произойти, каковы бы ни были вещественные значения I и g — t.

Так же обстоит дело в случае большего числа степеней свободы, когда мы исследуем задачу трех тел во всей общности.

Тогда переменные xt определяют форму эллипсов и взаимное наклонение их плоскостей, переменные yt определяют положение узлов, перигелиев и самих масс. Тогда в большинстве случаев значениям х® переменных Xi, соответствующим периодическому решению и предельному значе-

нию ц = 0, отвечают два эллипса, которые не могут пересекаться, как бы они ни вращались в своих плоскостях. Функция F, следовательно, не может перестать быть голоморфной ни при каких вещественных значениях у,.

Таким образом, мы должны предположить, чтоприж;= ж? F голоморфна для всех вещественных значений у.. Случаи, когда это не так, не имеют значения с точки зрения приложений.

Впрочем, мы всегда делали это предположение.

Если теперь заменить в F величины х^ и у^ выражениями (22), то F разлагается в ряд по степеням а, uL и vV и это разложение, коэффициенты которого зависят от t и w, сходится при всех значениях t и w. Радиусы сходимости как по а, так и по щ и щ' непрерывно зависят от t и w и не обращаются в нуль ни при одном вещественном значении этих переменных,

Если заметить, что xi; 6^ щ, ^, щ, ... связаны между собой соотношениями

•^i = Ti(0+a^-У г = Фг W + Пг

и соотношениями (13bis), (17) и (23), то можно заключить, что F и, следовательно, Ф' разлагаются в ряды по степеням а и ut, что коэффициенты разложений и радиусы сходимости непрерывно зависят от t и w и что эти радиусы сходимости не обращаются в нуль ни при одном вещественном значении t и w.

Из этого факта и из того, что мы уже знаем о функциях V{ (которые являются не чем иным, как производными Ф'), мы можем заключить следующее.

Можно найти два вещественных положительных числа М и р, не зависящих от t и w и достаточно больших, для того чтобы выполнялось (полагая для краткости s = u^ + щ + u3 + u4)

V, <С Mu^ + Mws -](arg a, ux, u2, u3, и^)

1 — За — 3«ps

для всех вещественных значений t и всех значений ш, заключенных между О и произвольным верхним пределом W. Величина W может быть сколь угодно велика, но числа М и р должны быть выбраны тем большими, чем больше будет IV,

Фундаментальная лемма

Установим теперь следующую лемму.

Пусть ф (ж, t, nF), ф' (ж, t, w) — две функции от ж, t и w, которые разлагаются в ряды по степеням х и такие, что для всех рассматриваемых значений t И W

ф<<ф' (arg ж).

Рассмотрим два следующих уравнения: и dx' , dx' i\

+ aw-ч- = Ф (^ , t, w).)

at 1 dw T7

Рассмотрим частные решения каждого из этих двух уравнений, выбранные так, что при w = w0 (ш0 — произвольное положительное значени; ?) имеем

J X | < X .

Я утверждаю, что при всех значениях ш, больших ш0, будет еще выполняться

М< х*.(2)

Заменим переменные, положив

t = —log w + т.

Мы будем иметь, обозначая через 8 частные производные, взятые по перо менным т и w,..

дхdx 1 dx

8wdw ~ aw dt "

Поэтому наши уравнения примут вид

дхдх? ,

aw — = ср, aw — = ср .dwow

Если для некоторой системы значений переменных

W = Wy, X = Ху

неравенство (2) удовлетворяется, то

дх I . дх'

dw | 8w '

так что неравенство (2) будет еще удовлетворяться при

w = Wy-^- dw, х = тг,

поскольку

| х | < х’, I dw I < -4^— dw 1 1\ dw I ' ow

и, следовательно,

Iж + dw I <" 1 х I + I dw I <Г х' + dw.

Итак, для того чтобы неравенство (2) сохранялось при 1У^>1У0, Т = Т1, достаточно, чтобы оно было справедливо при w = w0, т = тт.

Но мы предположили, что оно справедливо при любом t и, следовательно, т при w = w0; следовательно, оно сохранится при любом т и, следовательно, t при w > w0, что и требовалось доказать.

Можно было бы абсолютно таким же образом доказать немного более общую лемму.

Пусть ф1; ф2, ..., ф„, Ф/, фа', ..., ф„ — функции х^ х2, ..., хп, taw разлагающиеся в ряды по степеням х и такие, что при всех рассматривае мых значениях t и w имеют место неравенства

Ф^Фр Ф2<Ф21 • •-I Фп^Фп (arg-z^, za, . ..,:£„). Рассмотрим уравнения dz.dz,

-^Г + аш 1йГ = ^^ хг, . . .,хп1 t,w)(3)

и dx.' dz.' ,,,,

"IF + аю "d^" = ^^ ^ • -«^ ^^ (i = 1, 2,. .., n).(3')

Предположим, что для любого t при w = w0 мы имеем

I -^i I <~. ^-i т

тогда это неравенство справедливо при любом t0, если w > w0. Сделаем теперь более частные предположения о функциях ф{ и ф/.

Предположим:-

что эти функции периодические по t с периодом 2л;

что для малых значений и? они разлагаются в ряды по возрастающим степеням w (это может выполняться не для всех рассмотренных значений w; достаточно, чтобы это было справедливо для малых значений переменной);

что эти функции разлагаются в ряды по целым степеням параметра а и делятся на а; кроме того, пусть

Фг ”< Ф{ (arg ж1# а-д,. .., а);

что, если обозначить через фч° иф,° значения функций фч и ф; при всех х, равных нулю, эти величины ф; и фч° делятся на иг1.

Если все эти предположения выполнены, то в силу теории, изложенной в предыдущих пунктах, существуют частные решения уравнений (3) и (3') следующего вида:

= Д',2^2 + Д,3^3+ ■ ■ ••

^г = А, 2^ 4“ ^г, 3^

где Лч1П и Л^п — функции t и а, периодические по t и разлагающиеся в ряды по возрастающим степеням а.

Уравнения (3) [или (3'), которые имеют тот же вид] можно привести к виду уравнений (2) из п. 104.

Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) из п. 104; они записываются в виде

ЭЕ —

где Е{ разлагаются в ряды по степеням ^ и очень малого параметра и, кроме того, зависят от t; они обращаются в нуль вместе с ^.

Величины ^ зависят от t не только прямо, по и косвенно, через посредство экспонент

А^11, А^1, . . ., А^.

Здесь мы предполагаем, что все коэффициенты Av Аг,..., Ап равны нулю, за исключением одного; таким образом, мы будем рассматривать лишь одну экспоненту w = Aeat. Итак, ^ будут зависеть от Z, во-первых, прямо и, во-вторых, через w. Поэтому, если мы обозначим частные производные через d, а полные производные через д, то получим

' д^г d^i , d^i—^3— —7.-]— CCW -3— ,

at 1dw

и наши уравнения примут вид

d^i , ^гг—

dt 1 dw 1v 7

Единственное формальное отличие уравнений (3) от уравнений (5) заключается в том, что правые части уравнений (3) зависят от w и не обра-

21 А. Пуанкаре

вдаются в нуль при

xv = х2 = . . . = хп = 0.

Однако легко избавиться от этого формального отличия. Для этого достаточно присоединить к уравнениям (3) следующее уравнение:

^n+l .^n+l

■™ + aw — = azn+i,

at1 awL

которое допускает решение zn+1 = w, и заменить w на жп+1 в ФУНКЦИЯХ

Тогда функции <р4 не будут больше содержать w и будут обращаться в нуль при

^ = ^ = ... = zn+1 = 0.

Итак, мы можем применить к уравнениям (3) и (3') результаты п. 104 и

прийти к выводу, что эти уравнения допускают решения вида (4).

Вычисление коэффициентов Л^а, Л^3, ... производится очень просто по индукции способом п. 104.

Итак, предположим, что мы нашли таким образом

I Hj, 2 | "С Иг, 2

при любом t.

Отсюда мы заключаем, что

ИшИшX.гw2X.гw2х.lim —W4х.lim —W4(при w = 0)(при w = 0)

Иш

Иш

X.

г

w2

X.

г

w2

х.

lim —

W4

х.

lim —

W4

(при w = 0)

(при w = 0)

и что, следовательно, можно найти значение ш0 переменной w, достаточно малое для того, чтобы выполнялось

I 2Ь I

для всех вещественных значений t и всех значений w, меньших w0 и больших нуля.

Тогда мы будем иметь в силу доказанной выше леммы

I | <^ х'^

для всех вещественных значений t и всех положительных значений w.

Аналогия между рядами п. 108 и рядами Стирлинга

Применим предыдущую лемму к уравнениям (21), которые мы запишем в виде

(21)(21)du, , dai "dT^d^^-

(21)

(21)

Как мы видели в конце п. 114, мы можем найти два положительных числа М и р, таких, что для всех вещественных значений t и всех значений ю, заключенных между 0 и РУ (и это остается справедливым, как бы велико ни было W), мы будем иметь

C7i<C ик + Mw2 + Mws Н (arg а, м1, м2, м3, иЛ,

1 — За — |3aps

S =■ UL —j- 1^2 —И W3 ~Н ^4*

Что касается индекса к у иК, то он равен I при i = 1 или 2 и равен 4 при I = = 3 или 4. Теперь положим

Mod's2

Ur -|- Mw1 -j- MwS -|" ~T~T = Ф (w, U1, Mg, u3, u4)

— Pa — Paps

и сравним уравнения

+— = аФ(ш.и', un1 uo, u\(21bis)

dt 1 div'113 vx '

с уравнениями (21).

Среди частных решений уравнений (21) и (21bis) мы выберем те, которые делятся на ш2 (это будут именно те решения, которые мы выше обозначали через иф

I W J О и)I W J О и)Ясно, что мы всегда можем взять М достаточно большим, чтобы

I W J О и)

I W J О и)

Отсюда мы заключим, что

при

0< w< W.

Попытаемся теперь проинтегрировать уравнения (21bis). Я замечу прежде всего, что, так как Ф не зависит от t, ъц' тоже не зависят от t и мы имеем

“; = и2 = ыз = м4 = т -

1 ds' s' ,2 I ' I Mat’s'2

—= Mw2 + Ms w 4— .

4 dw 4 111 1 —Pa-Paps'

Это последнее уравнение имеет интеграл

s' = ф (in, a).

разлагающийся в ряд по степеням w и а и делящийся на ю2. Когда а стремится к 0, s', очевидно, стремится к интегралу уравнения

Ms'w.

4 dw 4 11

Это линейное уравнение интегрируется очень просто, и мы находим

Km s' = w (е*^0 — 1) (при а = 0).

Эта формула нужна мне только для того, чтобы заключить, что если

0< w< iP,

то s' и, следовательно, ut, и2, и3 и м4 стремятся к конечному пределу, когда а стремится к 0.

Отсюда следует, что ряд

9» + а0| + а2Э2 + _

представляет функцию 0; асимптотически (т. е. подобно ряду Стирлинга) или, другими словами, что выражение

0{ — 6? — ае) — а30? —«Р-^?-1

стремится к 0 вместе с а. Действительно, это выражение равно а (9Г+ и^ и мы только что видели, что Of' + и^ остается конечным, когда а стремится к 0.

Но это не все; я утверждаю, что dujdw остается конечной, когда а стремится к 0.

Действительно, мы имеем

+ оно+ оно^г duk^ dUj^dak dw 1 dw^г duk^ dUj^dak dw 1 dw

+ оно

+ оно

^г duk^ dUj

^dak dw 1 dw

^г duk^ dUj

^dak dw 1 dw

dUildu-f. и dU^ !dw — функции t, ш, а и u^ но, как мы только что видели, мы можем ограничить и^ сверху; следовательно, мы можем ограничить сверху также и dUilduk и dU^ldw. Предположим, например, что выполняются неравенства

dU\ dukdU\ dukdU\dwdU\dwВВ(при w<^W),(при w<^W),

dU\ duk

dU\ duk

dU\dw

dU\dw

В

В

(при w<^W),

(при w<^W),

где Л и В — положительные числа.

С другой стороны, мы знаем, что можно ограничить dujdw сверху при w=wlf если поменьше величины, обозначенной нами через io0 в конце и. 112.

Например, предположим, что

<“0 ПРИ =

где и0' — положительное число. Пусть затем и' — функция, определенная следующим образом:

и' = UQ при U) = wv

Очевидно, будет выполняться неравенство

I dus |,

| агу I

Но легко видеть, что и' зависит лишь от ш и удовлетворяет уравнению

w^u’^A + W) + S.

Следовательно, и конечно; значит, dujdw остается конечной, когда а стремится к 0. Итак, мы имеем асимптотически (вкладывая в это слово тот же смысл, что и выше)

de; de? def „do?

т = +otd^ + a d^ + ----

Можно было бы также доказать, что асимптотически de?

"dT = ИГ + a "dt + a "dF + 1 ’d2^d2№„ d2e?

dw2 dw- i" a dw2 i" a dw2 ‘ ’

Итак, вот конечный вывод, к которому мы приходим. Ряды ж” + Уц4 + рх® + . . ., пг1 4- у° + У цу? + ру? 4- . . ., определенные в этом пункте, расходятся, но они имеют то же свойство, что и ряды Стирлинга, так что асимптотически выполняются равенства

$Х = Ж? 4" У И ^-i 4“ H^-i 4“ ■ • •,

У1 = nd- 4* yt 4* Уv-Уг 4* ру? 4* • • • •

Более того, если D — произвольный символ дифференцирования, т. е. если мы полагаем

dt^^w^’dw^2. . . da^k

то асимптотически

Dx^ = Dx® + У"p-Dx^ + uDx't + . . .,

Dy г = D (п^ + У?) + V V-Dyt + V-DyX + • • • -

Что касается изучения рядов, аналогичных рядам Стирлинга, я отсылаю читателя к § 1 моего мемуара, опубликованного в «Acta mathemati- са» (t. VIII, р. 295) [29]. Кроме того, ясно, что подобные же рассуждения остались бы в силе, если бы имелось больше двух степеней свободы и, следовательно, п — 1 переменных и^, w2, ..., и?1г_г вместо одной.

НОВЫЕ МЕТОДЫНЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

II

МЕТОДЫ НЬЮКОМА, ГИЛЬДЕНА,ЛИНДШТЕДТА И БОЛИНА

LES METHODES NOUVELLES

DE LA MECANIQUE CELESTE

II

METHODES DE MM. NEWCOMB, GYLDEN,LINDSTEDT ET BOHLIN

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методы, которые я хочу изложить во втором томе, возникли в результате усилий многих современных астрономов. Однако большую часть этого тома я посвящу методам Гильдена, которые наиболее совершенны.

Одна общая черта присуща всем этим методам. Ученые, разработавшие их, стремились к тому, чтобы разлагать координаты небесных тел в ряды, все члены которых представляют собой периодические функции, и таким образом избавляться от встречавшихся в старых методах последовательных приближений членов, называемых вековыми, в которые время не входит под знаком синуса или косинуса. Но зато авторов новых методов не интересовал вопрос о том, сходятся ли получаемые ими ряды в том смысле, в каком понимают сходимость геометры.

Поэтому то, что я намереваюсь изложить, истинно лишь в некотором приближении, точность которого, несомненно, очень велика (причем тем больше, чем меньше массы планет), в то время как результаты, полученные в первом томе, были выведены со всей привычной для геометров строгостью. Оценить точно ошибку, совершаемую в каждом отдельном случае, весьма трудно, но можно найти верхний предел ошибки, который, вероятно, будет значительно завышен.

В самом деле, члены этих рядов сначала очень быстро убывают, а затем начинают возрастать. Но поскольку астрономы обрывают разложение после нескольких первых членов и задолго до того, как эти члены перестают убывать, то для практических целей получаемое приближение оказывается достаточным.

Расходимость таких разложений будет представлять неудобство лишь в том случае, если мы будем пытаться использовать их для строгого обоснования некоторых результатов, например для доказательства устойчивости солнечной системы.

В главе VIII я стараюсь разъяснить, в чем состоит различие в понимании слова «сходимость» между геометрами и астрономами, каким образом астрономы могут пользоваться рядами, которые геометры называют рас- ходящимися, и как можно к таким рядам применять обычные правила анализа. Методы, которые позволили мне получить эти последние результаты, быть может, несколько громоздки, но обладают тем преимуществом, что позволяют найти верхний предел ошибки. Впрочем, можно связать главу VIII с теми рассуждениями, которые приведены в конце главы VII.

В последующих главах я излагаю наиболее простые из новых методов, а именно методы Ньюкома и Лиидштедта. Я показываю, каким образом можно преодолеть некоторые трудности, с которыми приходится сталкиваться при применении этих методов к наиболее общему случаю задачи трех тел.

Имеются две такие трудности. Во-первых, чтобы метод Лиидштедта (либо в своей первоначальной форме, либо в том виде, который я придал ему впоследствии) был применим, необходимо, чтобы средние движения в первом приближении не были связаны никаким линейным соотношением с целыми коэффициентами. Однако в задаче трех тел необходимо принимать во внимание не только средние движения планет, но и средние движения перигелиев и узлов. Между тем в первом приближении, т. е. в кеплеровском движении, перигелии и узлы неподвижны, следовательно, их средние движения равны нулю и то условие, о котором говорилось выше, т. е. отсутствие линейного соотношения с целыми коэффициентами, не выполняется. Разъяснив, каким образом следует строить последовательные приближения для того, чтобы преодолеть эту трудность, я перехожу ко второй. Она возникает в том случае, когда эксцентриситеты очень малы. Я показываю, что вторая трудность носит искусственный характер и что ее можно обойти, если в качестве исходной принять следующую точку зрения. Будем считать, что в том случае, когда эксцентриситеты равны нулю, кеплеровские эллипсы переходят не в окружности, а в орбиты, описываемые планетами в случае периодических решений первого сорта, рассмотренных в главе III.

В последующих главах я прежде всего излагаю первые методы Гиль- дена. Эти методы основаны на принципах, аналогичных тем, о которых только что говорилось, и позволяют преодолеть те же трудности. Многочисленные же частные затруднения, возникающие помимо двух указанных выше трудностей, преодолеваются с помощью искусственных приемов, столь же изящных, сколь и остроумных.

Несколько пунктов я посвящаю методам интегрирования некоторых дифференциальных уравнений, которые Гильдену пришлось рассматривать. Особенно подробно я останавливаюсь на одном из этих уравнений, представляющем особый интерес. Это уравнение рассматривали также и многие другие геометры.

При рассмотрении этих методов я часто отхожу от первоначального изложения их авторами. Я отнюдь не хочу переделывать то, что было сделано ранее и сделано хорошо. Поэтому при изложении этих методов я не старался представить их в виде, наиболее удобном для численных вычислений. Моя цель состояла лишь в том, чтобы наиболее выпукло показать их существо и облегчить сравнение с другими методами.

Когда читатель дойдет до соответствующих разделов, ему станет ясно, что всегда можно избавиться от членов, называемых вековыми, которые возникали более или менее искусственно в старых методах вычислений. Однако вычислители часто сталкиваются с более серьезным затруднением,

а именно с наличием малых знаменателей, когда средние движения почти соизмеримы. В этом случае методы, изложенные в первой части этого тома, становятся неприменимыми и необходимо обратиться либо к методу Делоне, либо к тесно связанному с ним методу Болина. Последнему методу я посвящаю отдельную главу. Однако этот метод несовершенен, ибо он приводит если не к малым знаменателям, то по крайней мере к большим множителям, которые могут в некоторых случаях сделать приближение неудовлетворительным. Следовательно, остается сделать еще один шаг. Он состоит в применении второго метода Гильдена, которым и заканчивается том. Даже если этот метод и не обладает совершенством с точки зрения геометра, то по крайней мере он является наиболее совершенным из известных нам методов.

Употребляемые обозначения

Чтобы избавить читателя от необходимости непрестанно обращаться к первому тому, следует кратко напомнить введенные в нем некоторые обозначения, которые будут использованы во втором томе.

Прежде всего напомним, что тело т2 рассматривается относительно тела тх, а тело тэ — относительно центра тяжести тел тх и т2. Я ввел обозначения (см. п. 11)

= _™_=

1 тх тгг тх + та + тз

так что параметр р, будет очень малым, а р и р' конечными.

У означает полную энергию системы, деленную па и. Эта функция допускает разложение по степеням ц.

Определим теперь оскулирующие элементы первой планеты, т. е. тела тг в его движении относительно тела тх.

Через а я обозначил (п. 8) большую полуось, через е — эксцентриситет, через i — наклонение и положил

L=Va, PL = A, G=Va(l—е2),0 = 6 cos 6

Через I я буду обозначать среднюю аномалию, через X — среднюю долготу, 0 — долготу узла, g + 9 — долготу перигелия, которая обозначается также через й.

В п. 12 были введены обозначения

= У 2р {L — 6) cos й,ц = — У 2р CL — 6) sin й,

/? = У"2Р(6— О) cos 9,q =— У2р (6 — 0) sin 9.

Таков смысл символов

Р, L, A, G, 0, Z, X, g, 9, й, £, ц. р, д,

относящихся к движению первой планеты. Те же символы, но со штрихами имеют те же значения и относятся к движению второй планеты, т. е. к движению тела т3 относительно центра тяжести тел тх и т2.

Глава VIII

ИСЧИСЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ

Различный смысл слова сходимость

Геометры и астрономы по-разному понимают слово сходимость. Геометры, всецело озабоченные достижением безукоризненной строгости и зачастую совершенно безразличные к продолжительности сложных вычислений (выполнимость которых они предполагают, не задумываясь о ее фактическом осуществлении), говорят, что некоторый ряд сходится, если сумма его членов стремится к какому-то определенному пределу, даже в том случае, когда первые члены ряда убывают чрезвычайно медленно. В противоположность этому астрономы обычно говорят, что некоторый ряд сходится, если, например, первые двадцать членов этого ряда убывают очень быстро, несмотря на то, что последующие его члены неограниченно возрастают.

В качестве простого примера рассмотрим два ряда, общий член которых имеет вид

1000п1.2.3. .,7?.

■ .- „ „ и .

1-2-3. ..711000п

Геометры скажут, что первый ряд сходится и причем быстро, поскольку его миллионный член много меньше 1/999999. Но второй ряд они будут считать расходящимся, поскольку общий член этого ряда неограниченно возрастает.

Астрономы же, наоборот, будут считать первый ряд расходящимся, поскольку первые 1000 членов этого ряда возрастают, а второй ряд сходящимся, так как его первые 1000 членов убывают, причем сначала это убывание происходит очень быстро.

Обе точки зрения законны: первая — в теоретических исследованиях, вторая — в численных приложениях. Обе господствуют безраздельно, но в различных областях, и границы этих областей необходимо четко различать.

Астрономы не всегда точно знают границы применимости своих методов, но ошибаются они редко. То приближение, которым они довольствуются, обычно лежит в тех пределах, где их методы применимы. Кроме того, интуиция позволяет им предвидеть правильный результат, а если бы они и совершили ошибку, то сравнение с наблюдениями позволило бы исправить ее надлежащим образом.

Все же я полагаю, что будет уместно внести в этот вопрос несколько большую точность, и именно это я и собираюсь сделать, хотя по самой своей природе рассматриваемый вопрос не слишком пригоден для этого. Во избежание всяких недоразумений я с самого начала хочу предупредить, что, если противное не оговорено, я всегда буду употреблять слово сходимость в том смысле, в каком его понимают геометры.

Ряды, аналогичные рядам Стирлинга

Первым примером, который ясно показал законность использования некоторых расходящихся разложений, явился классический пример ряда Стирлинга. Коши доказал, что члены этого ряда сначала убывают, а затем возрастают, так что ряд расходится. Однако если этот ряд оборвать на самом малом члене, то он будет представлять функцию, рассмотренную Эйлером, причем аппроксимация будет тем лучше, чем больше аргумент.

Впоследствии стали известны многочисленные аналогичные примеры и я сам в т. VIII «Acta mathematica» исследовал важный класс рядов, обладающих теми же свойствами, что и ряд Стирлинга [30].

Я позволю себе привести еще один пример, представляющий особый интерес. Этот пример может понадобиться нам в дальнейшем.

Пусть w0 — положительное число, меньшее 1.

Ряд

Ф^Н)^^(^

сходится при всех значениях w и р таких, что

Кроме того, эта сходимость абсолютна и равномерна. С другой стороны,

1 + 71UХ

Р

Поэтому можно попытаться приравнять ср (w, р.) двойному ряду

Но этот ряд не сходится абсолютно. Расположим все же его члены по возрастающим степеням р и получим

Aq — ^1Н + А2р2 — А3р2 -}- . ..,(2)

где

^0=2^"»A^^^^nw", A2 = '^in2wn, А3 = ’21n3ixn, . . .

Ряд (2), расположенный по возрастающим степеням р, расходится. Предположив для определенности, что w — вещественная положительная величина, получим

Ясно, что ряд

2(—^р)к

расходится и что a fortiori расходится ряд (2). Однако из рассмотрения ряда

V (- Ц)^!

(1 — wf

видно, что если выражение р/ (1 — w) очень мало, то первые члены этого ряда убывают весьма быстро, хотя последующие члены возрастают неограниченно.

Представляет ли ряд (2) приближенно функцию ср (щ р)? Чтобы ответить на этот вопрос, положим

Фр (to, Н) = Л — Ар + Яар2 — . . . + ПррР.

Я утверждаю, что

lim Ф^_Фр = 0.

р.->0 рр

В самом деле,

Ф — Фр/, \р+1м v ^Ai?

^р — ( о Н2л + лр-

Нетрудно видеть, что ряд

у np+1wn

^-■-1 + пр

сходится равномерно, следовательно, при р —> 0

11т Л —— = Л n^V = конечная величина

1 + пр

и, следовательно,

lim 1=12? = 0,рР

что и требовалось доказать.

Исчисление асимптотических рядов

Итак, мы должны рассмотреть соотношение новой природы, которое может существовать между функцией аргументов ж и ц, которую мы будем обозначать символом ф(з:, ц), и расходящимся рядом, расположенным по степеням ц,

/о + Н/1 + М-^з + • • • + V^fp + • • • .(1)

Коэффициенты /0, fv ... могут быть функциями, зависящими лишь от а: и не зависящими от р (именно так обстояло дело в предыдущем примере) или же зависящими одновременно и от ж, и от ц.

Положим

Фр = /о + НА + Р2/г + • • • + М-р/р- Если

ПшЫ = 0, р.^0 у.р

то я буду говорить, что ряд (1) является асимптотическим представлением функции ф, и употреблять запись

ф(ж, р) = /0 + Wi + Н2/г + . . • -(2)

Соотношения вида (2) я буду называть асимптотическими равенствами.

Ясно, что если параметр ц очень мал, то разность ф — фр также будет очень мала, и хотя ряд (2) и будет расходиться, сумма р + 1 его первых членов будет служить очень хорошей аппроксимацией функции ф.

Астрономы сказали бы, что этот ряд сходится и что он представляет функцию ф. Они постоянно имеют дело с рядами, которые формально удовлетворяют дифференциальным уравнениям, и оставляют в стороне вопрос о сходимости этих рядов. На первый взгляд такой подход кажется совершенно незаконным и тем не менее именно такой подход часто приводит к цели.

Чтобы объяснить, в чем здесь дело, необходимо более подробно остановиться на этом вопросе. Именно это я и собираюсь сделать.

Введем несколько новых определений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

§ = ^ (i = l,2,...,n).(3)

Я предполагаю, что Х^ — однозначная функция, зависящая от t, xlt хй, ..., хп и параметра ц, которая разлагается в ряд по возрастающим степеням р,.

Рассмотрим теперь п расходящихся рядов, которые я запишу в виде ^1 = /о,1 + Р/1,1 + P-Vi^ + • • ^2 = /о,2 + Р/1,2 + Р^/г^ + . . .,

8п = /о, n + Р/1, п + Р2/2,п + • •

Я предполагаю, что /^ — известные функции, зависящие от t и ц, и что, кроме того, эти функции допускают разложение в сходящиеся ряды по возрастающим степеням ц.

Пусть фр11с — сумма первых р + 1 членов ряда 8^. Я буду говорить, что ряды Sj, S4, ..., Sn формально удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3), если после подстановки величин

Фр, 1 ’ Фр, 2, • • • i Фр, п вместо

хг, х», . . ., хп

разность dxjdt — Х^ будет делиться на цр+1.

Введя это определение, я намереваюсь доказать следующее. Рассмотрим частное решение уравнений (3), а именно то, для которого

хт = х^ = . . . = хп = О

при t ----- 0.

Пусть ^1 = 61(1), ж2 = е2(о ^n = en(i).

Я предполагаю, что все функции f^k при t = 0 обращаются в нуль.

Я утверждаю, что будут выполняться следующие асимптотические равенства:

@1 (^ Р) —> 62 (^i Р) = ^21 ■ • ч 9n (f, ц) = 8^.(4)

В самом деле, положим

*1 = Фр, 1 + ^Р+1^^2 = Фр, 2 + JP”"1^, • • ч ^п = фр, п + Рр+1^.

Подставляя в (3) вместо х^ выражения (pPjl + цл+1 £, мы сможем записать эти уравнения в виде

dtdt 1

После такой подстановки Xt можно разложить в ряды по возрастающим степеням ц и величин

ЦР+ЧП pP«U---i PP+4niпричем коэффициенты разложения будут известными функциями времени.

Не представляет исключения и тот случай, когда частное решение

ж1 = 61(<, 0), хг = 62 (Z, 0), . ;rn = 6n(Z, 0), р, = 0

при каком-нибудь из рассмотренных значений Z будет проходить через одну из особых точек дифференциального уравнения [так же, как и в главе II (п. 27), я буду называть особыми те совокупности значений xv х2, ..., хП1 Z и ц, при которых функции Xt перестают быть голоморфными].

Точно так же, как в п. 27, можно найти два положительных числа М и а, таких, что

-Yi~, P+i=V,—(arg (и’ ^Э1

Однако по предположению ряды Sv S2, ..., Sn формально удовлетворяют уравнениям (3). Это означает, что если положить

= 6г = • • • = 6п = 0>

откуда

= фр, it

то разности Xi — d^Piildt будут делиться на цр+1. Следовательно, можно записать неравенство

’ 1 dt 1-а(р + рР+Ч1 + .-. + рр+Чп) '

Если для краткости мы обозначим правую часть неравенства (5) символом pp+1 Z и положим

X —= u,p+i:y.

то уравнения (3) запишутся в виде

> - Y«®

причем

У1<2.

Рассмотрим частное решение уравнений (6), такое, что при Z = 0

61 = 62 = • • • = 6п = 0.

Это решение можно записать в виде

_ 01 (t, ц)-фР1 1

22 А. Пуанкаре

Для того чтобы доказать асимптотические равенства (4), достаточно установить, что величины ^ ограничены. Для этого достаточно сравнить уравнения (6) с уравнениями

^ = 7-(6bis)

Поскольку решение уравнений (6 bis) ограничено, то ограниченным будет и решение уравнений (6). Однако уравнения (6bis) легко интегрировать, ибо если положить

61 + 6з + • • • + 6п =

то для рассматриваемого нами частного решения

61 = 6з = . . . = 6п =

и

ds _ Ma (с^ + з)

At 1 — otp, — app+1

Последнее уравнение легко интегрируется, откуда мы получаем, что величина о ограничена и что о стремится к конечному пределу, когда р стремится к нулю.

То же относится и к ^, что и требовалось доказать.

Эта теорема служит обоснованием метода, применяемого астрономами, если только параметр р достаточно мал. Вероятно, этот результат можно было бы установить и более просто, однако приведенное выше доказательство дает нам простой способ для нахождения верхнего предела совершаемой ошибки.

Нам осталось рассмотреть вопрос о том, в какой мере обычные правила математического анализа применимы к исчислению формальных рядов.

Для этого рассмотрим систему двух уравнений

(1) dtdl 1х '

где X и Y — однозначные функции от х, у, t и р, допускающие разложение по степеням р.

Произведем замену переменных

^ = Ф1 (6, ’1).

У = Фз (6, П).

где фх и ф2 зависят от g, ц, t и р. Рассматриваемые дифференциальные уравнения запишутся в виде

5-Х-, 5-У-.(2)

гдегде

где

где

dxДуД^dxДуД^dx rfi"! dy Д>1

dx

Ду

Д^

dx

Ду

Д^

Функции X' и У' можно разложить по возрастающим степеням р., если dx dy dx dy , „ n

только определитель^^— d^dj Не буиет делиться на р, что ли» заранее не предполагаем.

Установив это, введем в рассмотрение два расходящихся ряда

S = to"V нА + ^/2 + ■ • • -

S' = to + p7i У ^ta + • • •,

где функции ti и ft зависят от t и р' и допускают разложение в ряд по возрастающим степеням р'.

Я предполагаю, что ряды S и S' формально удовлетворяют уравнениям (2), если подставить их вместо £ и г) и положить р' = р.

Произведем теперь в этих двух уравнениях замену переменных я = ^i^- П). У = Фг(£, И), а вместо ё и Я подставим S и S'. Затем разложим функции

ФЛ5, S'), ^S, S')

по возрастающим степеням р. Несмотря на то, что ряды S и S’, по предположению, расходятся, это разложение производится по обычным правилам. Под этим я понимаю следующее.

Пусть Sp и Sp — суммы р + 1 первых членов рядов S и S'. Предположим, что требуется вычислить р + 1 первых членов разложения функций фх (S, S') и ф2 (S, S'). Чтобы получить р + 1 член этих разложений, необходимо взять р + 1 член разложения функций

Ф1 (Sp, Sp) и ф2(^р, Sp).

При этом мы получим два расходящихся ряда, которые можно записать следующим образом:

Фг (S, S') = Fo + pFi + p2F2 + • • ч

Ф2 (S, S') = Fo -f- pF 1 + p2F2 + . . • ■

Эти ряды имеют тот же вид, что и ряды S и S'.

Я утверждаю, что эти ряды формально удовлетворяют уравнениям (1), если подставить их вместо ж и у, а затем положить р' = р.

Действительно, если

х = 1^(Sp, Sp), y — ^ii^p, Sp),

то разность между правой и левой частью уравнений (1) будет делиться на цр+1.

С другой стороны, если обозначить через 2Р и 2Р суммы первых р + 1 членов рядов (3), то разности

2р-Ы^р- Sp), ^p-^(Sp, S'p)

будут делиться на рр+1.

Теперь нетрудно видеть, что если

х = S , у = 1 ,р’ 3

то разность между правой и левой частью уравнений (1) будет делиться на рр+1, что и требовалось доказать.

Пусть теперь имеется одно уравнение

5=*-

где X зависит от х, < и р.

Положим

тогда

Пусть

S = /о + p/i + р2/а + • • •

— некоторый расходящийся ряд, который формально удовлетворяет уравнению (4).

Составим ряд

S' = /о + Н/1 + ^/г + . • .,

полученный почленным дифференцированием первого ряда по t.

Я утверждаю, что ряды S и S' формально удовлетворяют уравнениям (4) и (5).

В самом деле, пусть Sp и Sp означают сумму р + 1 первых членов рядов S и S', тогда

с/ dSр

Положим

X = Х(х, о,dX . dX vх

= У’ V-

Я утверждаю, что разность

- dS’

Y(SP,SP, делится на p^+i.

В самом деле, по предположению разность и - X (S„ I) - ^ делится на рр+1, следовательно, точно так же будет делиться на рр+1 и ее производная

dU у / с А ^рг др, — dt ,что и требовалось доказать.

Таким образом, обычные правила анализа оказываются применимыми и к исчислению формальных рядов.

Чрезвычайно интересный для последующего вопрос состоит в том, чтобы выяснить, будут ли теоремы Якоби, изложенные в пунктах 3 и 4, применимы в формальном исчислении.

Ответ на этот вопрос должен быть утвердительным. Мы покажем это несколько дальше, в п. 125, на одном частном примере, однако доказательство можно без изменений перенести и на общий случай.

На стр. 295 т.УШ журнала «Acta mathematica» я привел доказательства некоторых свойств асимптотических равенств.

Два асимптотических равенства можно складывать, точно так же два асимптотических равенства можно умножать друг на друга.

Пусть теперь

S = /о + P/i + ^fi + • • •

— расходящийся ряд, а функции Д зависят от t. Пусть

ф(^ Н)^5

— некоторое асимптотическое. равенство.

Предположим, что /0 = 0, чтобы при р = 0 выполнялись равенства

5 = 0,ф(#, 0) = 0.

Пусть, кроме того, некоторая функция, зависящая от z, голоморфна в окрестности точки z = 0.

Подставим ряд S вместо аргумента z в f (z) и разложим F (S) по степеням р, следуя обычным правилам анализа так, как это сделано в предыдущем пункте. Мы получим асимптотическое равенство

Лф(^ p)]^(S).

Вряд ли стоит воспроизводить здесь доказательства этих утверждений. Читатель сможет найти их в указанном выше мемуаре, однако я не советую этого делать, поскольку доказательства настолько легки, что можно очень быстро восстановить их самому.

Пусть теперь у нас имеется некоторое асимптотическое равенство

У (t, р) = /0 4- р.Д + ра/2 4-...,

в котором функции / зависят от t и р. Я предполагаю, что эти равенства выполняются равномерно. Этим я хочу сказать, что выражение

где фр означает сумму первых р 4- 1 членов ряда, стремится вместе с р к нулю равномерно относительно t. Другими словами, можно найти некоторое число е, не зависящее от £, а зависящее только от р и обращаю щееся в нуль вместе с р, такое, что

ТогдаТогда|<Р —<Рр1Оре.

Тогда

Тогда

что и доказывает справедливость асимптотического равенства

^фЛ = ^/0 dt 4- р ^ f^dt 4- р2 ^/24/ 4- ■ •

Следовательно, асимптотическое равенство можно интегрировать Напротив, дифференцировать же его, вообще говоря, нельзя. Однако имеется один случай, когда изложенные выше принципы позволяют нам выполнить дифференцирование.

Пусть ф (i, р) — решение некотор ого дифференциального уравнения, а 5 — ряд, формально удовлетвори ющий этому уравнению.

Можно записать асимптотическо е равенство ф (Z, р) = S.

Пусть 8’ — ряд, полученный поч ленным дифференцированием ряда 8.

Из сказанного в предыдущем пу нкте следует, что этот ряд формально удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, которому удовлетворяет в обычном смысле производная d^idt.

Следовательно, выполняется следующее асимптотическое равенство}

_ г,,

Я приношу свои извинения читателю за то, что так подробно останавливался на столь простых вопросах. Однако мне хотелось отчетливо показать сущность того различия в понимании слова сходимость, о котором говорилось выше. Точно так же, прежде чем приступить к изучению методов последовательных приближений, применяемых в небесной механике, я хотел объяснить, почему астрономы могут использовать эти методы, хотя с точки зрения геометров они приводят к расходящимся выражениям.

Глава IX

МЕТОДЫ НЬЮКОМА И ЛИНДШТЕДТА

Исторический очерк

В 1882 г. в журнале «Memoires de l'Academie de Saint-Petersburg» Линдштедт изложил метод интегрирования с помощью последовательных приближений следующего уравнения:

5 + пЧ = РФ (ж, 1\(1)

где ф (ж, Z) — функция, допускающая разложение в ряд по возрастающим степеням х с коэффициентами, периодически зависящими от времени I.

Линдштедт также показал, что тот же метод применим и к уравнениям

др + «1 $ = рср (ж, у, Z),

$ + т^У = рф(ж, у, /),

имеющим более общий характер, чем уравнение (1). Эти уравнения при условии, что

С?ф с?ф

di, dx ’

являются одним из частных случаев уравнений динамики.

Уравнение (1) играет чрезвычайно важную роль в небесной механике, так как Гильден неоднократно приходил к этому уравнению в ходе своих прекрасных исследований.

Линдштедт не доказывал сходимость тех разложений, к которым приводит его метод, и в действительности эти ряды расходятся. Однако в предыдущей главе мы видели, что они тем не менее могут представлять интерес и быть полезными.

Имеется и еще одна весьма серьезная трудность. Легко доказать, что этот метод применим в первых приближениях, но можно усомниться, будет ли он применим в последующих приближениях. Линдштедт не су-

мел доказать это строго и оставил здесь кое-какие сомнения. Эти сомнения оказываются безосновательными, и его прекрасный метод всегда законен. Я доказал это сначала с помощью интегральных инвариантов в мемуаре, помещенном в журнале «Bulletin astronomique» (т. Ill, стр. 57), а затем, уже не прибегая к этим инвариантам, в «Comptes rendus» (т. CVIII, стр. 21) I31]. Именно это второе доказательство я и воспроизведу в этой главе. Я укажу также один способ изложения метода Линдштедта, который позволяет применить его к наиболее общему случаю уравнений динамики.

Тем не менее имелось еще несколько частных случаев, не поддававшихся этому методу, и среди них общий случай задачи трех тел.

Последний в силу своей важности привлек внимание Линдштедта. В «Comptes rendus» (т. XCVII, стр. 1276 и 1353) он показал, каким образом можно было бы применить его метод в этом случае.

К сожалению, те трудности, о которых шла речь выше, все еще оставались, и разложения не только становились расходящимися, о чем по причинам, изложенным в предыдущей главе, можно было бы не беспокоиться, но и сама возможность таких разложений и, следовательно, законность самого метода оказывались под сомнением.

Я полагаю, что мне удалось устранить эти сомнения. Именно этому я и посвящаю главу XI.

Чтобы показать, каким образом метод Линдштедта можно применить к задаче трех тел, я буду придерживаться такого способа изложения, который не совпадает со способом изложения самого автора этого метода и не приспособлен для вычисления различных членов разложения, но зато наилучшим образом подходит для доказательства законности метода.

На том пути, по которому пошел Линдштедт, он имел предшественника — Ньюкома («Smithsonian contributions to Knowledge», декабрь 1874), который первый указал ряды, представляющие движение планет и содержащие лишь синусы и косинусы. Его метод, к рассмотрению которого я еще вернусь, основан па вариации произвольных постоянных.

Хотя среди методов, недавно появившихся в небесной механике, методы Линдштедта не являются первыми по времени, я все же считаю, что изложение новых методов последовательных приближений удобно начать именно с них. В самом деле, я не мог бы отделить их изложение от изложения методов Ньюкома, которые хронологически были предложены первыми. К тому же методы Линдштедта по существу являются наименее сложными из всех методов и более других пригодны при рассмотрении наиболее простых случаев. Эти методы оказываются несостоятельными лишь тогда, когда имеются весьма малые знаменатели. В этом случае предпочтение приходится отдавать более совершенным методам Гильдена. Мой способ изложения теории Линдштедта значительно отличается от изложения самого автора. Кроме того, я применяю методы Линдштедта к большему числу случаев. Однако, как я покажу

несколько дальше, ряды, которые я получу, оказываются тождественными с его рядами.

Кроме того, я во многом дополнил эти результаты и попытался применить их к возможно большему числу задач.

Изложение метода

Рассмотрим еще раз уравнения, указанные в п. 13 I32]:

dt — dy. ’ dt — dz. (l — 1, 2, . • . , n),(1)

F = Fo + НЛ + №+••..

Задача состоит в том, чтобы формально удовлетворить уравнениям (1) с помощью рядов, имеющих следующий вид:

О I1 I О 2 I। ТТ,

^ =+ рж; +4- . . . + pFZi + . . . ,

Уг = Уг + PZ/i + l^Z/i + • • • + У^Уг + • • • I^

где сами величины хч и у? имеют вид

z? = S Л cos kt + S В sin kt 4- С,

у? = 2 Л' cosA< 4- 2 В' sin ht 4- C't 4- D' •

Коэффициенты А, В, С, А', В', С' и D’ не зависят от параметра р и времени I, но могут зависеть от некоторого числа постоянных интегрирования, величины к представляют собой коэффициенты, зависяирхе от р и допускающие разложение по степеням этого параметра.

Когда я говорю, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям (1), я подразумеваю под этим следующее.

Подставим в уравнения (1) ряды (2), оборванные на р + 1 члене, т. е.

хг = ж® 4- p^t 4- р2^? + • • • + рр^Г>

Уг = Pi + м-^i + P2Pi + • • • + УРУ1-

Я буду говорить, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям (1), если в результате этой подстановки разность между правыми и левыми частями этих уравнений будет делиться на рр+1.

Чтобы найти ряды (2), воспользуемся методом, полностью отличным от того метода, которым пользовался Линдштедт.

Попытаемся построить ряд, имеющий вид

8 = 50 4- p^i 4* Н2*5,2 + • • • + Р^р + • • • ,-(3)

несколько дальше, ряды, которые я получу, оказываются тождественными с его рядами.

Кроме того, я во многом дополнил эти результаты и попытался применить их к возможно большему числу задач.

Изложение метода

Рассмотрим еще раз уравнения, указанные в п. 13 l3ah dt dy^ ’ dt dx^, > j\ )

F = Fo + p/4 + p2F a + • • • •

Задача состоит в том, чтобы формально удовлетворить уравнениям (1) с помощью рядов, имеющих следующий вид:

24 = х® + рх^ + р3^2 + . . . + p^z" 4~ • • • ,

Ui = Уг + PZ/i + У?У1 + • • • + P"Z/i + • • • 1^

где сами величины 24 и yt имеют вид

х* = 2 A cos ht + 2 В sin ht + С,

у? = 2 A' cos At + 2 В' sin At + C't + D'.

Коэффициенты А, В, С, А', В', С' и D' не зависят от параметра р и времени t, но могут зависеть от некоторого числа постоянных интегрирования, величины А представляют собой коэффициенты, зависящие от р и допускающие разложение по степеням этого параметра.

Когда я говорю, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям (1), я подразумеваю под этим следующее.

Подставим в уравнения (1) ряды (2), оборванные на р + 1 члене, т. е.

Xi = X® 4- р2Ц + р3жа 4- . . . + pP^f,

Уг = У°г + PPi 4- P2?/i + . . - +

Я буду говорить, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям (1), если в результате этой подстановки разность между правыми и левыми частями этих уравнений будет делиться на рр+1.

Чтобы найти ряды (2), воспользуемся методом, полностью отличным от того метода, которым пользовался Линдштедт.

Попытаемся построить ряд, имеющий вид

8 = So + P^l + p2^2 + • • • + Р^р + • • • ,-(3)

Коэффициенты этого полинома являются периодическими функциями от т°, ж2, ..., ж” и уг, у2, ..., уп (период по у равен 2л).

Я утверждаю, что функцию 5Р можно найти из уравнения (6), причем так, что производные dSp/dy^ dSp/dy2, ..., dSpldyn будут периодическими функциями по у с периодом 2л.

В самом деле, предположим, что это верно для производных от ^Ы ^2» •■•, ^р-i по У-

Тогда Фр будет периодической функцией от yv у2, ..., уп и я могу записать, что

фр = А + 2 В COS (П11У1 + ТП2у2 + . . . +7ИпУп) +

2 сsin(zn1y1 + m2y2 + . . . + mnyn).

Числа mv m2, ..., m, — целые, в то время как коэффициенты А, В и С постоянны и не зависят от у.

C cos (miyi + miyi + ...-{- mny )mi^® + m2P® + • ■ ■ 4- mn"”C cos (miyi + miyi + ...-{- mny )mi^® + m2P® + • ■ ■ 4- mn"”В sin (miyi + тауг 4- . . . +mn?jn)mm^ + man” 4- ... 4" mnn”В sin (miyi + тауг 4- . . . +mn?jn)mm^ + man” 4- ... 4" mnn”Функцию 8р можно представить в виде 8Р = <Xp,i Ух + ^р,2 У г + ■ • • + ap,n Z/n + 2

C cos (miyi + miyi + ...-{- mny )mi^® + m2P® + • ■ ■ 4- mn"”

C cos (miyi + miyi + ...-{- mny )mi^® + m2P® + • ■ ■ 4- mn"”

В sin (miyi + тауг 4- . . . +mn?jn)mm^ + man” 4- ... 4" mnn”

В sin (miyi + тауг 4- . . . +mn?jn)mm^ + man” 4- ... 4" mnn”

Величины aPjj являются константами, которые можно выбирать произвольно, лишь бы они удовлетворяли^'условию

ар,1к1 4“ ар,2 к2 ~Ь • ■ • ~Ь ap,n Т1п = А 4" Ср

и слагаемое Ср было произвольным.

Этот метод оказывается несостоятельным, если найдутся целые числа mv m2, ..., mn, такие, что

2 ^п® = 0.

Мы предполагаем, что этот случай не имеет места.

Следует заметить,* что определенные таким образом функции Sp содержат произвольные постоянные. Они зависят прежде всего от

00

■ , *<-n,

затем от

ai,li ai,2> •

• • 1 al,n

затем от

• • , a2,n

затем от

ap,l’ ap,2> • •

• > ^p,n »

Мы хотим оставить произвольными лишь п констант. Этими произвольными постоянными будем считать х“, а величины ai)k выберем каким- нибудь произвольным образом и зафиксируем их. Например, а,, ь можно выбрать так, чтобы

О = G = С2 = .. . = Ср = . .. ,

но я предпочитаю полагать все а,^ равными нулю. В этом случае константы Сг, Сг, ..., Ср, ... уже не равны нулю. Вообще говоря, они так же, как и Ср, зависят от х®, х^, ..., я®.

Условившись об этом, положим

ПустьПустьSp — 50 + р^ + р2^ + • • • + р^р-

Пусть

Пусть

^р_

dz^

Если мы произведем замену переменных, выбрав в качестве новых переменных xi и wt вместо хг и yt [новые переменные связаны со старыми соотношениями (7)], то теорема из п. 4 будет означать, что уравнения по- прежнему будут иметь канонический вид, и мы получим [33]

4зЧdF dw^dF

dtdw^ * dtdxo (l — 1, 2, . . . , n).

Посмотрим теперь, какой вид будет иметь функция F, если ее выразить через новые переменные z- и Wv По предположению ряд 8 формально удовлетворяет уравнению (4). Это означает, что

/ 7 V\

F (жг, Уд = F [ -5—- > Уг ) = Со + рСг + р3С2 + . . . + рРСр + рри Фр.

Функция Фр зависит от х®, ^ и р и может быть разложена по степеням р. Что же касается величин Се, Сх, ..., Ср, то мы видели, что они зависят от х®.

dCdCПоложим

dC

dC

dC» dCi dCidz®^ dz®^ dz® '

Тогда при p = О величина v? будет равна п°. Отсюда

dz® "dtdz® "dtdФw рР+1—Л? dw.dФw рР+1—Л? dw.dw.d<$>_

dz® "dt

dz® "dt

dФw рР+1—Л? dw.

dФw рР+1—Л? dw.

— LlP+1 -

^1dz®. ■

Если пренебречь величинами порядка рр+1, то из этих уравнений следуетz® = const, w, = vfI + const.

На языке главы VIII этот результат означает, что теорема Якоби, приведенная в п. 3, применима и в формальном исчислении.

Положим dC^, dCi о dCn п,= — р—-pz —-— . . . и т. д. до бесконечности.

Мы получим при этом ряд, расположенный по степеням р, который может расходиться. Однако это обстоятельство не имеет для нас особого значения, поскольку мы стоим на точке зрения, изложенной в предыдущей главе, т.е. на формальной.

Положим затем

wx = пф -|- Sj.

Величины Qi можно считать постоянными интегрирования. Рассмотрим уравнения

Величины X; и i/i можно найти из уравнений (8) в виде ряда, расположенного по степеням р, коэффициенты которого зависят от х° и юх. Несущественно, между прочим, будут ли эти ряды сходящимися или расходящимися.

Если в эти ряды вместо Wi подставить п^ + Qi и считать х' постоянными, то они будут формально удовлетворять уравнениям (1).

Пусть этими рядами будут ряды

^ = z® -|- рх, + p2Zj -р . . . ,(2)

У г = Ui + PJ/i + ^У^ + ■ 1 •

Посмотрим, какой вид имеют коэффициенты х? и у-1. При р = 0 ряд S сводится к сумме

50 = XL уТ -р Х^у^ + • • • + xti У п.

и, следовательно, в этом случае

Xi = X°i, yi = Wv

Итак, первый член разложения хх представляет собой константу, а пер вый член разложения ух (т. е. у°) равен выражению

щ4 = и^ + ®п

Если вместо того, чтобы выражать хг и у, из уравнений (8), мы нашли эти величины из уравнений (7), то первые р + 1 члены остались теми же, поскольку разность S — Sp имеет порядок pTJ+1.

Чтобы найти величины

х^, pi (i = 1,2, . .. , n; к = 0,1,2, . . . , р), рассмотрим уравнения (7), которые запишем в следующем виде:

d(Sp-50) г + dy.d(Sp-50) г + dy.(^р — 5о)(^р — 5о)(7bis)(7bis)

d(Sp-50) г + dy.

d(Sp-50) г + dy.

(^р — 5о)

(^р — 5о)

(7bis)

(7bis)

Мы можем найти х, и yt из уравнений (7bis) в виде рядов, расположенных по степеням р и сходящихся, если параметр р достаточно мал. Для этого достаточно применить теорему, изложенную в п. 30, поскольку разность Sp — iS'o представляет собой вполне определенную функцию, а не только формальное выражение.

Мы предположили, что величины сс^ равны нулю; отсюда вытекает, что 8к (к ^> 0) и, следовательно, Sp — Л'о являются периодическими функциями с периодом 2л по у^ Значит, если в уравнениях (7bis) произвести замену у, на у, + 2А{Л и тг на ш, + 2^л (кг, кг, ..., к^ — целые), то эти уравнения не изменятся. Следовательно, найденные из этих уравнений величины Xi и pi — ш4 будут периодическими с периодом 2л относительно w.

Итак, величины х* и ух в рядах (2) представляют собой периодические функции с периодом 2л относительно Wi,

Различные виды рядов

Итак, существование рядов (8) доказано. Можно попытаться получить эти ряды, не обращаясь на промежуточных этапах к вспомогательному выражению S.

Однако прежде я хочу доказать, что можно формально удовлетворить уравнениям (1) предыдущего пункта с помощью бесконечного набора других рядов, имеющих тот же вид, что и ряды (2).

Рассмотренная выше функция S определяется уравнением (4) лишь с точностью до некоторой константы или, точнее, поскольку величины 0 0 о

хх, хч, ..., Хп рассматриваются как постоянные, с точностью до произвольной функции, зависящей от х®, х®, ..., х^.

Таким образом, если функция 5 удовлетворяет уравнению (4), то и функция

S' = S + R

будет также удовлетворять уравнению (4). Здесь R означает некоторую функцию, зависящую OTj х®, х®, ..., х®, и ц, которую можно разлагать по возрастающим степеням ц.

Рассмотрим вместо уравнений (8) следующие уравнения: dS' asdS' dS . dR

~ dy^ ■" dy^ ’” <ц + dlo •(8bis)

Мы можем предположить, что R делится на р. Тогда ^ и у^ можно найти из уравнений (Sbis) в виде рядов (2bis), аналогичных рядам (2).

Имеем

■^i = ^i ~Р Р^г "Р Р ^i "р • • • ,(2Ыз)

Уг = ^ + РУ? + Р2У? + • ■ • ■

Коэффициенты xj1 и у/ так же, как и х* и уг, представляют собой периодические функции от io.

Сравнение уравнений (8bis) и (8) показывает, что ряды (2bis) получаются из рядов (2), если в последних заменить Wi на ю^ + dRIdxl.

Рассмотрим более общий случай.

Пусть

(Ov <о2, . . . , юп

— п функций, зависящих от х^, хХ, ..., х« и р, которые допускают разложение по степеням р.'

Если в рядах (2) заменить Wy, w^ ..., юп на

ю^ -р роф, w2 -р рсо2, . . . , го.п -р pto,,,

то вид этих рядов не изменится. В самом деле,

ж{ = л:® + рф{(и7к,р),^2)

Уг = ^г + РФ1(^,Р),

где функции фг и фг допускают разложение по степеням ц и периодичны ПО 10.

Если шг заменить на ю\ + pcoj, то

Хг = Xi + рф1 (u?k + р<Ок, р),

y^zyi-PpLWj-pipi^-Ppto^,^].(2ter)

Отсюда следует, что функции ф (и?к + рсок, р) и со, + ф, (wR + + рсоц, р) также допускают разложение по степеням р и также периодичны по ио.

Кроме того, ряды (2ter) формально удовлетворяют уравнениям (1).

В самом деле, ряды (2) удовлетворяют этим уравнениям, если произве-

сти замену переменных

Wi = п^ -|- Sj, при любых значениях 3,.

Величины од являются функциями от z°, которые являются константами. Следовательно, сами од также константы. Таким образом, замена Wj на шг + (г®, приводит к тому, что константы интегрирования 3{ заменяется другими константами 3; + цо,, что в силу только что сделанного нами замечания не мешает нашим рядам по-прежне.му удовлетворять дифференциальным уравнениям (1).

Итак, ряды (2 ter) формально удовлетворяют, уравнениям (1).

Лишь при одном условии эти ряды нельзя найти из уравнений (8) и (8bis), а именно при условии, что выражение

ц (одс/ж? + ®2^2 + • • • + tond^n)

не будет полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от х®, ж”, ..., ж". Эта функция представляет собой не что иное, как рассмотренную нами несколько выше функцию R.

Подставим в ряды (2) вместо

д?2, ад, ..., хп величины

^i + H*i> ^2 + RV2, . . . , $п + цтп,

где vlt v2, ..., vn зависят от х\, х^, ..., Гп и ц и допускают разложение по степеням ц.

Если величины х" считать константами, то и v{ будут константами.

Если изменить каким-либо образом значения постоянных интегрирования, то вид рядов (2) не изменится и эти ряды будут по-прежнему формально удовлетворять уравнениям (1).

Итак, записав ряды (2) в виде

Xi = Xi + Цф, (wk, Xk, Ц), yi = Wi 4- Цф( (lT,:, Ж®, Ц),

мы видим, что хг — а^ и Уг — Wi зависят не только ОТ U'k и ц, но и ОТ х°к..

Пусть теперь

«р ®2, . . . , ®n; Vp v2, . . . . vn

— 2 п функций, зависящих от ^ и ц и допускающих разложение по степеням ц.

23 А. Пуанкаре

Запишем ряды

х£ = х® + р [Vi + Vt (и^ + р®й, х® + pv/c, р)],

Pi = z^i + р [toi + Чч (юй + ршй, л + pvk, p)j. (2quater)

Каковы бы ни были функции ®i и vif эти ряды будут формально удовлетворять уравнениям (1).

Кроме того, если функции

q>i(wk,x®,p) И ф1(юй,Х®, р)

периодичны по и?, то и функции

Vi + ф{ (wk + pOk, 4 + pvk, р) и toi + ф1 ^ws + ptok, 4 + pvt, p)

также будут периодическими.

Еще одно замечание.

Положим

Vi + ф{ (wk + р«й, 4 + pvk, р) = cpi (w,., x®, p),

toi + Tpi (ws + p®;., X® + pv^, p) = ФЧ fa, 4, P).

Функции <pi, ф1, ф/ и ф/ являются периодическими функциями от и?. Я намереваюсь рассмотреть средние значения этих периодических функций и обозначу их соответственно символами

ф?(х®, р), ф?(х®, р), ср-® (х®, р), ф? (х®, р).

После этого я намереваюсь доказать следующее.

Пусть Oi и Ц; (i = 1, 2, ..., га) — 2га совершенно произвольных функций, зависящих от 4> 4, ■ ■■> 4 и р, которые должны лишь разлагаться по степеням р.

Я утверждаю, что каковы бы ни были функции 0i и T]i, всегда можно выбрать функции v, и ®i так, чтобы

4 = 6i, ф® = 4i.

В самом деле, для этого достаточно определить vt и го, из следующих уравнений:

Vi + ф® (х® + ртй, р) = 9i (х®, р),toi + ф? (х? + pVt, р) = Т]; (х^, р).

Итак, функции v4 и о, всегда можно найти из этих уравнений в виде рядов, расположенных по степеням р, коэффициенты которых зависят от х®.

Если ряды (2 quater) представить в виде

Хх = Xi -f- рХх -|- P^Xi -}- . . . ,

У! =+ РУ; + Р2У? + . .. ,

то у^ и xt будут периодическими функциями от и?. В силу предыдущего замечания эти периодические функции х* и ух всегда можно подобрать так, чтобы их средние значения были искомыми функциями от х®, х^, ..., х^.

Прямое вычисление рядов

Перейдем теперь к непосредственному вычислению рядов (2qu- ater).

Для этого предположим, например, что в производную dF/dyx, которая зависит от Xi, ух и pi, вместо этих переменных подставлены их разложения

х” + р.хх + p2z? + . . . ,

™х + РУ, + р2У? + . • . ,

после чего эта производная dFIdy^ стала функцией переменных а^, ^ У?, Wv И р.

Эта функция периодична по Wx, разлагается по степеням р, хх и у* (при k _> 1) и как-то зависит от х^.

Запишем эту производную в виде

^-=^" + р^ + р^ + ...+ц^+...,(9)

где коэффициенты Хх представляют собой функции, зависящие от гщ, хх, ух, х° и периодические по гщ.

Аналогичным образом получим

— '"^7 = ^i + P^i + Р2^? + • • • + Р^У? + . . ..(10)

Функции Хх имеют такой же вид, как и функции Хх.

Если вспомнить, что производная dFJdyx равна нулю, а производная dF0!dxx не зависит от у,, то нетрудно понять, что коэффициенты X* зависят только от ■

Хх, Хх, . . . , Хх-1,

Wx, У,, . . . уТ1.

Коэффициенты Y^ зависят от этих же величин и, кроме того, от ж?, но не зависят от у^. Коэффициент X} равен нулю, а коэффициент У? равен ^.

Предположим, что

= n^t + S^

тогда

Мы предполагаем, что гц можно разложить по степеням ц, и записываем

^i = и? + |T«i + ци? + . . . .(Ч)

Тогда наши дифференциальные уравнения приобретают вид

^ dF XI d,yidF

£-ln'- dw, d-у. ’dw.dx. •(12)

В самом деле, dx^ ^ dx^ dwk ^ dx^ dtdw^ dt^ dw^ '

Заменим в уравнениях (12) величины dFidy^, — dFidxi и n^ их разложениями (9), (10) и (11) и приравняем затем коэффициенты при одина

ковых степенях ц.

Обозначим для краткости

П Р—1dx?"4

2 2 й’ ~d^~ = ~ Z1? (6СЛИ Р>^' Z^ = °’ k=l q=lК

n P—1 diF-q

2 2"’^™- = -^ (еслиц>1), T\ = 0. k=l q=l,:

Приравняв коэффициенты при ц? кр^> 1), получим

ккdw4dw4^Y^+Tl-^nl^Y^+Tl-^nl^1dwk^1dwk

к

к

dw4

dw4

^Y^+Tl-^nl

^Y^+Tl-^nl

^1dwk

^1dwk

Приравняв члены, не зависящие от р, получим

V о ^i n V о ^^ о

— уравнения, которым, как мы уже видели, можно удовлетворить, положив

ж® = const, у® = 10^.

После этого уравнения (13) приводятся к виду

21п°к ~du2 = ^ + ^’ 2пк"^— = YX + ТХ — пХ-(14)

Посмотрим, каким образом можно воспользоваться уравнениями (14), чтобы последовательно найти функции

И уХ,

периодические по и?, средние значения которых являются искомыми функ- о

циями от х^.

В двух предыдущих пунктах мы видели, что найти такие функции можно.

Предположим, что мы уже вычислили ^,(15)

и что требуется найти хХ и уХ с помощью уравнений (14).

Так как Xf и ZX зависят лишь от переменных (15), правая часть первого из уравнений (14) представляет собой известную функцию от w, периодическую по этим переменным.

Пусть

XX + ZX = 2 A C0S ^X^l + "<2^’2 + • • • + ™1X™U + ^)

— такая функция. Интегрируя уравнение (14), мы получаем