ЧАСТЬ I.

НЕ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ.

Принцип неопределённости и дополнительность).

Открытие волн материи де-Бройлем), матричной механики Гейзенбергом) и общее волново-механическое дифференциальное уравнение Шредингера), позволившее установить связь между этими двумя воззрениями, произвели последний, решающий поворот в квантовой теории. Принцип неопределённости Гейзенберга) и примыкающие к нему принципиальные пояснения Бора®) завершили предварительное построение основ теории.

Эти основы непосредственно связаны с двойственной (корпускулярной и волновой) природой света и материи и приводят к давно (но тщетно) искавшемуся решению задачи непротиворечивого и полного описания относящихся сюда явлений. Это решение приобретается ценой отказа от однозначной объекпугвируемоста (Objektivier-

barkeit) процессов природы, т. е. от классического пространственно-временного и причинного описания природы, которое существенным образом покоится на однозначной разделимости явления и средств его наблюдения..

Чтобы напомнить об обычных трудностях, которые возникают при одновременном использовании понятий о волнах и квантах света, рассмотрим в качестве примера точечный, приближённо монохроматический источник света, установленный против диффракционной решётки (разрешающая способность которой для простоты принимается бесконечно большой).- Согласно волновой теории, свет, диффрагированный решёткой, может попадать только на вполне определённые места, которые соответствуют разностям хода в целое число волн для пучков света, исходящих от отдельных штрихов решётки. Мы можем ' принять. на основании принципа суперпозиции, подтверждаемого чрезвычайно большим числом опытных данных, что этот вывод волновой теории соответствует действительности; он остаётся справедливым (что характерно для таких явлений) также и для произвольно слабых интенсивностей падающего излучения, д следовательно, и для отдельного излучающего атрма. С корпускулярной точки зрения явление протекает так: - сначала, в светящемся атоме происходит эмиссия света, затем (через промежуток времёни, необходимый для распространения света) ha диффракционной -решётке происходит процесс рассеяния, связанный с наблюдаемой отдачей импульса, и, наконец, в определённом месте свет поглощается. Как уж:е говорилось выше, свет .позади решётки может попадать только на такие .места, которые соответствуют дискретным (вычисляемым п О волновой теории) направлениям диффрагированного кванта. Это обстоятельство зависит от наличия всех атомов диффракционной решётки. Если теперь предположить, что возможно также установить, не ^изменяя при этом характера явления диффракции, то'место диффракционной -.решётки, на которое попадает световой квант, то это приведёт к, непреодолимым трудностям. Поведение светового кванта ‘должно в каждый момент определяться положением всех вообще существующих атомов. Однако

§ 1] ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ 9 прежде всего в этом случае недостаточно задание классического Ёолнового поля, чтобы предсказать дальнейшее статистическое поведение кванта. Именно нельзя, как ещё будет пояснено, построить волновое поле так, чтобы его интенсивность по всей решётке, за исключением одного единственного её штриха, обращалась бы в нуль и, кроме того, чтобы в нём были представлены только определённые направления рассеянных лучей. С помощью волнового поля можно осуществить либо только то > либо только другое свойство. Чтобы избежать противоречия с принципом суперпозиции, необходимо поэтому потребовать: констатирование того, что световой" квант попал на определённый штрих решётки и что на остальные штрихи он не попал, исключает влияние этих штрихов на наблюдаемое позади решётки диффракционноё явление; последнее должно быть таково, как если бы существовал только один этот штрих.

Это требование, конечно, не связано спёциальным видом диффракционного опыта, но может быть обоб- щено и для любого интерференционного опыта. Последние всегда основаны на том, что световые волны, прошедшие различные пути и вследствие этого обладающие разностью фаз, снова встречаются в одном месте. Надо постулировать, что утверждение о выборе световым квантом в определённом случае какого-нибудь , одного из этих путей исключает возможность наблюдения интерференционной картины, вычисленной по волновой теории (см. § 16).

Как уже упоминалось, это требование содержится в другом, более общем, которое мы можем сформулировать следующим образом: все (возможно только статистические) свойства других (предшествующих или последующих) результатов -измерений над световым кбайтом, которые могут быть выведены из знания какого- нибудь одного результата измерения, должны однозначно устанавливаться заданием определённого волнового поля, относящегося к этому результату измерения. На это волновое поле накладывается требование, чтобы его можно было всегда составить наложением , (суперпозицией) плоских волн различного направления и длин воли. В этих случаях говорят о волновом пакете. —

Ещё не анализируя более точно возможные результаты измерений, касающиеся светового кванта, мы можем сказать, что знание того, что световой квант находится в определённой пространственно-временной области, должно выражаться в соответствующем ему волновом пакете в том, что волновые амплитуды заметно отличны от нуля лишь внутри соответствующей пространственно-временной области. Запйшем плоскую волну с комплексной фазой в виде: '

где вектор к с компонентами кг имеет направление нормали к волне и абсолютную величину 2к/к. В дальнейшем мы будем его называть волновым вектором волны. Величины ® и у будут обозначать соответственно круговую частоту и число колебаний, помноженное на 2тг. Частота <о есть функция от kv kv ks, однозначно определённая природой волн. Например, для электромагнитных волн в вакууме просто:

' 2«"? (21 ■ г

где с означает универсальную постоянную —скорость света в вакууме. Важно заметить, что следующие заключения не зависят от специального вида функции со (ка kt к^. Для произвольного волнового поля можно каждую компоненту какой-либо напряжённости поля представить в виде

u(x,-, П = А(к)е v dk1dk1dk$, (3) где Д(Л) обозначает функцию от kv к,, к,. Путём простых выкладок можно показать следующее: если и (х#, /) для фиксированного момента времени заметно отлично от нуля только внутри пространственной области с размерами Дх^ Дха, Дх3, и одновременно А^ отлично от нуля только внутри области «Л-пространства» с размерами Дк,, ДЛа, Д/с3, то три произведения Дх,-ДЛ; не могут быть произвольно малыми, а должны быть, по край-

ней мере, порядка единицы:

Дх, Д/с, ~ 1.■ (4)

О количественном уточнении этого положения и о его доказательстве речь будет позже. Аналогичное положение относится к продолжительности интервала времени Д/, в течение которого заметно отлично от нуля и(х,-, /) для фиксированной точки пространства х^ х,, х3, и к размерам интервала частот Д<в, соответствующего упомянутой области к-пространства, внутри которой A (&) замётно отлично от нуля. Здесь также

ДшД/~1.(4')

Из условия (4) непосредственно следует, что в случае волнового пакета с шириной порядка расстояния между двумя штрихами решётки, угловая ширина рассеянного пучка лучей так велика, что она охватывает (по крайней мере) два следующих друг за другом диффракцион- ных максимума, и диффракционная картина становится совершенно смазанной.

Так как измерения, касающиеся светового кванта, осуществляются всегда посредством взаимодействия кванта с материальными телами, то условия (4) и (4'), которые существенны для непротиворечивого проведения корпускулярных представлений при явлениях интерференции, позволяют, обратно, делать некоторые заключения о материальных телах. Понятие о световых квантах вводится для расчёта обмена энергией и импульсом между светом и материей (веществом). В предположении, что законы сохранения импульса и энергии при этом обмене строго выполняются, —а только этими законами энергия и импульс определяются вообще —мы получаем, как известно, что обмен будет описываться правильно, если наделить световой квант энергией Йш и импульсом р в направлении его распространения с абсолютной величиной Й у. Здесь Й обозначает универсальную постоянную Планка Й, делённую на 2и.

Принимая во внимание определение вектора к и со- .отношение (2), это можно записать так:

- р = Нк. Е = М.(I)

Соотношения (4) и (4') приводят К следствию, что положение светового кванта в фиксированный момент времени не может быть определено совместно с импульсом, а йнёргия совместно с моментом времени, в который свет товой квант проходит определённое место, и что спра- ведливь! следующие выражения: .

Др1Дх/~Й, ДЕ Д/-^^. • (II)

Это и есть соотношения неопределённости, установлен-. ные впервые Гейзенбергом; приведённый здесь вывод их принадлежит Бору. Взаимодействие кванта света с материальным телом происходит (например, при процессе рассеяния), когда они совпадают в пространстве и времени, т. е. когда интервалы Дх и Д( для обоих одинаковы. Если бы значения pi и Е для материального тела до и после взаимодействия было возможно измерить точнее, чем это соответствует условию (II), то можно было бы с помощью законов сохранения получить: более точное [чем йо условию (II)] значение Др< и ДЕ для светового кванта. Если же считать строго справедливыми условия (П) для светового кванта и ■ законы сохранения энергии и импульса для его взаимодействия с материальными телами, то эти соотношения неопределённости должны иметь всеобщее значение и выполняться не только для световых квантов, но также и для материальных тел любого вида (как для электронов и протонов ), так и для макроскопических тел). ,

Простейшая интерпретация этого общего ограничения применимости классических представлений о корпускулах, к. которому мы таким образом приходим, состоит в предположении, что обычная материя ) также обладает волновыми свойствами, причём волновой вектор и частота волны определяются соотношением (I), которое отныне постулируется как универсальное. Наличие дуализма волн и частиц и справедливость выражения (1) для материи составляет как раз содержание гипотезы; де-Бройля

§ 1] ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ 13 о волнах материи, которая получила столь блестящее подтверждение в опытах по рассеянию ' заряженных и незаряженных материальных лучей на кристаллической решётке.

Необходимость универсального дуализма волн и корпускул для общего непротиворечивого описания явлений хорошо иллюстрируется на- рассмотренном выше примере диффракции светового кванта на решётке. Можно было бы сначала придумать такой способ определения места столкновения кванта с решёткой; представим себе отдельные части решётки подвижными друг относительно друга и установим, которая из этих частей испытает отдачу светового кванта, и тогда будем считать световой квант попавшим в неё. Такое опытное определение в действительности возможно, но, однако, неверно было бы думать, что теперь явление диффракции будет таким же, как и в том случае, когда части решётки жёстко связаны друг с другом. Во-первых, импульс той части решётки, о которой идёт речь, до столкновения со световым квантом должен быть определён с неточностью, меньшей,, чем переданный световым квантом импульс отдачи, для того чтобы последний был наблюдаем. Но тут проявляется волновая природа подвижной части решётки, и отсюда следует, согласно (II), неопределённость Axi > ^ положения подвижных частей решётки друг относительно друга. Эта неопределённость будет как раз такого порядка, что получающееся в результате явление диффракции будет таким, как если бы существовала только затронутая световым квантом часть решётки.

■ Всё, что до сих пор сказано о диффракции световых квантов, справедливо также для диффракции волн материи. Только связь между волновым числом и частотой, которая в случае световых волн давалась соотношением (2), для волн материи будет другой. Согласно релятивистской механике между ■ энергией и импульсом материальной точки существует соотношение

mV+ 2 pt (5)

где m — масса покоя частиц. ■ - ‘

Согласно (I) отсюда следует для волн

?="+2«=?+2И’р'>

где

Связь (I) между энергией и частотой, а также между импульсом и волновым векто'ром релятивистски инвариантна, так как и Qpt, i у) и Qc, i ^ образуют компоненты четырёхмерного вектора: соотношения (5) и (5') тоже инвариантны. Для т = 0 (5) и (5') переходят в соответствующие законы для энергии и импульса светового кванта.

Не только энергия и импульс, но также и скорость частицы может быть связана с простой характеристикой волны, отнесённой к частице. Скорость частицы, как показал де-Бройль, равна групповой скорости волн. Действительно, эта скорость определяется изсоотношения ):

</5 = 2 Vi dP<i

или

dE

6 Pi

причём групповая скорость определяется выражением

(7')(7')Ош

(7')

(7')

V<=dki"

Согласно (I) оба выражения совпадают. Это обстоятельство существенно потому, что когда можно пренебречь эффектом диффракции, волновые пакеты движутся вдоль классических механических траекторий, а следовательно,

в рассматриваемом здесь случае свободного движения — по прямым линиям (см. § 4). Если выполняется соотношение (5), то имеем:

(5а)(5а)дЕ _сгрг

(5а)

(5а)

дРг в '

Таким образом, р,= ^ v, и, подставляя эти выражения в (5), получаем хорошо известные выражения для энергии и импульса через скорость

(5Ь)(5Ь)

(5Ь)

(5Ь)

В нерелятивистском случае, очень важном для дальнейшего, когда |р|^щс, получается:

ИЛИ

В-га,+2й2^(8)

и, таким образом,

(8')(8')

(8')

(8')

Заметим ещё (о чём подробнее см. часть II, § 2), что, в согласии с опытом, мы здесь взяли положительный знак для Е и «>, однако формально можно было бы также положить:

Е--(тс’+я;2»(9)

Если мы ограничиваемся первым выбором знака, то целесообразно перенесением начала отсчёта энергии ввести

■ Е'=Е — тс®, <й' = ш — ш0.(10)

Тогда имеем

и, таким образом,

Л==|Т|=пп7’

где и обозначает скорость. Это есть известная формула для длины материальных волн, установленная де-Бройлем.

Соотношения неопределённости (II) для материи показывают, что уже в случае отсутствия сил классическая кинематика материальной точки не может применяться неограниченно. Эти соотношения содержат утверждение, что каждое точное знание местоположения частицы имеет одновременно следствием не только незнание, но и принципиальную неопределённость импульса и наоборот. Различие между (принципиальной) неопределённостью и незнанием имеет решающее для всей квантовой теории значение. Это можно более подробно пояснить на примере одного опыта. Пусть световой квант может проходить через два отверстия и создавать на расположенном за ними экране диффракционную картину (в статистическом среднем, при частом повторении опытов). В этом случае неизвестно, через какое именно отверстие пролетел световой квант. Если же имеется опытное устройство ), при котором для светового кванта

§lj ЙРИНЦИП ЙЕОЙРЕДЕЛЁННсеТИ И ДСПОЛЙИТЕЛЬЙССТЬ 17 наверняка открыто только одно отверстие, то мы говорим: неизвестно, через какое отверстие пролетел световой квант. Очевидно, в последнем случае диффракци- онная картина получается путём сложения интенсивностей диффракционных картин от одного отверстия,— возможно только без учёта множителя пропорциональности. Обобщая, мы можем сказать; при неопределённости некоторого свойства системы определённого устройства (при определённом состоянии системы) всякая попытка измерить это свойство уничтожает (по крайней мере частично) влияние прежних сведений о системе на (статистические) высказывания о позднейших возможных результатах измерений. Поэтому мы имеем право сказать, что в этом случае измерение приводит систему в новое состояние. При этом, впрочем, часть влияния, оказанного на систему измерительным аппаратом, остаётся сама опять неизвестной.

Таким образом, для определения положения частицы и её импульса должны быть использованы взаимно исключающие опытные устройства. Для измерения положения существуют пространственно фиксированные аппараты (масштабы часы, диафрагмы), на которые переносится неопределенная часть импульса; последнее делает невозможным точное пространственно-временное следование за частицей. Не помогает делу и предварительное определение положения частицы. Воздействие на систему аппаратом, измеряющим импульс (положение) таково, что в границах, даваемых соотношением неопределённости, использование прежних знаний положения (импульса) теряет своё значение для предсказания результатов более поздних измерений положения (импульса). Когда из подобного рода соображений использование одного классического понятия исключает другое, мы, согласно Бору, называем оба эти понятия дополнительными; таковы, например, координата и импульс частицы. По аналогии с термином «теория относительности» можно поэтому назвать современную квантовую теорию «теорией дополнительности».

Мы увидим, что эта «теория дополнительности» не имеет аналога в классической теории газов, которая Общие принципы волновой механики 2

ИЕРЕЛЯТЙВИСТСКАЯ ТЕОРИЯИЕРЕЛЯТЙВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ1818(ч. i

ИЕРЕЛЯТЙВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

ИЕРЕЛЯТЙВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

18

18

также оперирует со статистическими закономерностями2). Именно газокинетическая теория не содержит утверждений (справедливых прежде всего благодаря конечности величины кванта действия), что вследствие измерений системы добытые о ней предшествующими измерениями сведения, при известных условиях, утрачиваются, т. е. не могут быть больше использованы. (Это высказывание обусловливает, впрочем, также существенное отличие новой теории от прежней теории Бора, Крамерса, Слэтера.) Как уже упоминалось, тем самым утрачивается однозначная объективность физических явлений и вместе с тем возможность их причинного пространственно-временного описания (см. § 9). Если эти явления вообще подлежат описанию, то должен быть сделан произвольный внешний по отношению к описываемой (наблюдаемой) системе, совершаемый во время наблюдения выбор того, где следует отделить средства наблюдения от явления (см. §9). ■

В дальнейшем должно быть изложено, как при таком положении дел могут быть непротиворечиво установлены статистические характеристики состояния и статистические закономерности.

Измерение положения и импульса.

Для более детальной характеристики состояния материальной частицы необходимо прежде всего исследовать, насколько имеют смысл понятия положения и импульса частицы вне области применимости классической механики. Что касается положения частицы, то для его определения пользуются действием частицы, совершаемым ею лишь тогда, когда она находится в определённой точке. К счастью, как раз в рассеянии света мы имеем такое действие, могущее, впрочем, совершаться как элементарными электрическими части

*) С другой стороны, Н. Бор (N. Boh г, Faraday Lecture, Journ. Chem. Soc., 1932,349, особенно 376 и 377) указал на то, что также и в классической статистической механике, правда, в несколько другом смысле, можно говорить о «дополнительности», с одной стороны, микроскопического движения молекул, с другой стороны, —макроскопической температуры системы.

цами, так и макроскопическими телами. Представим себе, например, что плоскость (х, у) освещена посредством цуга волн ограниченной длины, причём так, что фиксированная точка (х0, у0) этой плоскости освещается в определённый момент времени /0. Этот момент определяется с погрешностью Ы, которая не может быть меньше 1/v, где v—средняя частота падающего света. Однако, применяя свет возможно более короткой длины волны, можно тем самым уменьшать М. Представим себе далее интенсивность света столь большой, что, по крайней мере, один световой квант, наверное, будет рассеян частицей, если только световой пучок её освещает. Можно использовать какие-либо оптические увеличительные приборы (камера-обскура, лупа, микроскоп), чтобы с помощью грубого макроскопического определения места действия рассеянного кванта добиться точного определения положения материальной частицы. Для этой цели достаточно наблюдать только один световой квант. Пределы точности определения положения всегда задаются границами оптического изображения, которые, в свою очередь, обусловливаются описываемым диффракционным эффектом классической волновой оптикой. Так, например, известно, что граница точности Дх изображения, полученного с помощью микроскопа, даётся следующим выражением:

Дх^™ ,(13)

sms' '

где X' обозначает длину волны рассеянного излучения, которая может быть отлична от длины волны падающего излучения, a s — половину апертуры объектива. Направление рассеянного кванта внутри этого угла в должно при этом рассматриваться как принципиально неопределённое, а стало быть х-компонента импульса материальной частицы после столкновения может быть определена с точностью до "

Дрх^^51пе,(14)

откуда следует подтверждение соотношения неопределённости

Др^Дх^Й.

Мы хотим, кроме того, обсудить, с какой точностью вообще возможно определение положения в рассматриваемом мысленном эксперименте. Очевидно, согласно {13), для увеличения точности целесообразно сделать длину волны рассеянного излучения возможно короче. Если бы длина волны рассеянного света была равна длине волны падающего излучения, то можно было бы сколь угодно повысить точность измерения положения, выбирая длину волцы произвольно малой. Одновременно можно было бы, как уже выше упоминалось, заключить также в произвольно малый интервал момент времени, в который определялось положение. Однако благодаря эффекту Комптона происходит изменение частоты рассеянного излучения, определяемое законами сохранения энергии и импульса. Это приводит к следствию, что даже в пределе при v—> со ^х=-^-—>0^ частотаv' рассеянного излучения не может превышать определённого конечного значения. Пусть р и Е = cJ/^mV + р“ — импульс и энергия материальной частицы до процесса рассеяния. Тогда в пределе v—»со, дающем максимум для v' и минимум для а' = c/v', имеем:

(При этом очень малые углы рассеяния не рассматриваются, так как они из геометрических соображений не могут быть пригодны для определения положения частицы ).) Отсюда для максимальной точности определения положения с помощью описанного здесь экспери-

мента — рассеяние светового кванта через оптический инструмент—получаем следующее выражение!

Последнее соотношение следует из того, что продолжительность процесса рассеяния, т. е. время, в течение которого может происходить взаимодействие между световым квантом и материальной частицей, никогда не может быть значительно меньше периода колебаний падающего и рассеянного излучений. Продолжительность измерения положения существенна потому, что она определяет пригодность результатов данного измерения для высказывания о последующих измерениях положения. Повторяемость измерения положения в позднейший момент времени существует в следующем смысле. Если по истечении времени т вновь определить положение, то результат этого измерения в единичном случае не может быть предсказан. Однако, в среднем, при многократном повторении опытов, можно найти определённое среднее положение х(/0 + т) со средней ошибкой Д = 1^(Дх)а . Уменьшая т, можно сделать выражениях(/0 + т) —х (f0) и Д (/„ + т) — Д (f0) сколь угодно малыми. Если бы момент времени первого измерения положения остался совершенно неопределённым, то результат этого измерения не мог бы применяться для предсказания результатов других таких же опытов и был бы в этом смысле физически неинтересен.

Данная выражением (16) граница точности определения положения имеет значение лишь для атомных ядер и электронов, так как размеры атомов в целом больше, чем отношение h[mc для них. Имеет ли эта граница для

электронов и ядер принципиальное значениег), или её можно обойти косвенными методами, нельзя сразу решить посредством элементарных соображений. Это зависит всецело от того, на каких основах может быть успешно построена релятивистская квантовая механика. Кроме того, чтобы не слишком усложнять задач и не переходить за пределы современных знаний, специально не учитывается атомистическая структура масштабов и часов. Поэтому мы не принимаем здесь во внимание невозможность осуществления произвольно малых диафрагм, линз или зеркал. Мы прежде всего здесь подчёркиваем положительное утверждение, что понятие координаты материальной частицы и определённый момент времени имеет также смысл за пределами применимости классической механики. Определение положения возможно во всяком случае с большей точностью, чем длина материальной волны

к1 _£.

m | р | mv К сг ’

так как согласно (16)

Ax^km^.(17)

Таким образом, по крайней мере, в нерелятивистской квантовой механике, где у < с, естественно следующее основное предположение: в каждом состоянии системы (в первую очередь в случае свободной частицы') в любой момент времени t существует вероятность lV(xI( ха, х3; О dx^dx^dx,, того, что частица находится с погрешностью в области dx1dxadx3 вокруг точки х1( х2, х3.

Формулированное основное предположение само по себе не очевидно и не является следствием соотношения неопределённости (П). Это явствует из того, что (как ниже подробнее будет объяснено, часть 2, § 6) в случае светового кванта подобное указание его местоположения вне границ применения классической геометрической оптики лишено смысла. Положение светового кванта не может быть определено точнее, чем длина волны

*) Эта точка зрения защищалась Л. Ландау и Р. Пейерльсом (Z s. /. Phys., 69, 56, 1931),

§ 2]

света, и за промежуток времени, меньший, чем период колебаний световой волны. Поэтому не существует плотности световых квант со свойствами, аналогичными плотности материальных частиц *). Вообще аналогия между светом и материей простирается совсем не так далеко, как это вначале кажется. Она, напротив, полностью исчерпывается фундаментальными соотношениями (I) между энергией-импульсом, с одной стороны, и частотой и волновым числом, с другой, справедливыми как для световых волн, так и для материальных частиц.

В формулировке основного положения содержится неравноправие координат точки и времени, так как координаты положения устанавливаются в промежутке dx{, а координата времени устанавливается точно ).

В действительности, как мы видели, этот момент времени может быть фиксирован не точнее, чем с погрешностью

М = —,.с

если ошибка в определении положения по порядку величины равна Дх. Только в предельном случае нерелятивистской квантовой теории, где с считается бесконечно большим, является разумной идеализацией пренебречь промежутком времени М при фиксированном Дх, что математически и означает положить Ы равным нулю.

Мы переходим к вопросу определения импульса частицы. Здесь также можно, согласно Бору, использовать рассеяние светового кванта на частице, так как эффект

*) В литературе, даже в некоторых учебниках, по этому вопросу встречаются различные неправильные указания.

Допплера в определённом направлении рассеянного излучения (вместе с частотой и направлением падающего излучения) позволяет сделать обратное заключение о скорости материальной частицы. Так как точность определения v' ограничена конечной продолжительностью Т взаимодействия между светом и материей, по соотношению

^'=1,(18)

то в этом случае — обратно тому, что было при определении положения,— выгодно выбрать время Т большим. Рассмотрим для простоты подробнее случай, когда материальная частица — перед процессом рассеяния — движется в направлении 4-х, т. е. уже заранее положено, что ру = рг = 0. Пусть на частицу падает излучение в направлении —х, рассеивающееся в направлении 4~х. Тогда имеем

с + Pz = Pz + "~ >

ИЛИ

Pz=Pz—(19)

а также

/zv—/zv' = Е'—Е.(20)

Так как v задано, то, зная точно v', мы знали бы точно Pz (и Pz)- Чтобы найти связь неточностей Дрх и Av', вычислим из (20) dVJdpx. считая рх, согласно (19), функцией рх и v', a v—постоянной величиной. Принимая во внимание, что

дЕ'_ ., дЕ__ .

6P«—Vl’ дрх~^х

(эти соотношения справедливы также и в релятивистском случае), находим

Для неточности Av' находим отсюда:

W-”<^Px

у$ для малых v приблизительно равно их; их убывает при возрастании у, затем становится отрицательным и для очень больших у переходит, наконец, в —с. Знаменатель l—ix/с возрастает при этом от 1 до 2 и по порядку величины всегда:

h^'^tyx—Vx)^Pi-(21)

и, согласно (18),

^Рх- ^^ .(22)

С другой стороны, для принципиальной неопределённости положения частицы после процесса, имеем:

Дх~(гх—г')Т,

так как остаётся неизвестным, в какой момент времени внутри интервала Т частица меняет свою скорость. Мы находим, таким образом, что соотношение неопределённости снова подтверждается:

bpxbx~h.

Уравнение (22) показывает сверх того, что импульс частицы мог бы быть определён даже в произвольно короткое время, если бы изменение скорости частицы в процессе рассеяния могло бы быть произвольно большим. В действительности это изменение скорости не может превышать 2с, так что по порядку величины имеем

^гя-(23)

Здесь вместо Т написано М, чтобы указать, что Т одновременно обозначает неопределённость момента времени, в который был получен импульс рх. Результаты (22) и (23), давая нижние границы ошибки kpx, не зависят, впрочем, от специальных предположений о направлении луча света и скорости материи.

Для свободной частицы несущественно ограничение точности измерения её импульса продолжительностью времени Т, так как импульс частицы в этом случае постоянен во времени. Мы можем, таким образом, предположить: в каждом состоянии системы, в первую оче-

редь в случае свободной частицы, существует вероятность W^рх, р3, p3)dp1dp1dp3 того, что в области dpxdp2dp3 импульс частицы имеет значение рх, р3, р3. (Это предположение в случае свободного излучения, очевидно, также справедливо и для световых квантов.)

Впрочем измерения импульсов, даже независимо от ограничения точности соотношением (22), вообще говоря, «неповторимы», так как при этих измерениях происходят, в зависимости от условий, большие, хотя и известные изменения импульса. Только если продолжительность времени измерения Т будет взята такой большой, что при заданном Дрт также и (р'х — рх) может быть сделано малым (падающий свет большой длины волны) — только в этом случае второе измерение, непосредственно следующее за первым, даст снова тот же результат. Однако, во всех случаях, а также и при кратковременном измерении, результат последующего измерения импульса может быть предсказан на основании предшествующего. Это обстоятельство существенно для вопроса об измерении импульса связанных частиц, так как в этом случае для измерения импульса имеется в распоряжении лишь ограниченный промежуток времени.

Волновая функция свободной частицы.

Теперь нам следует ввести такие основные предположения о вероятностях W(xv хг, х3) и W (рх, р3, р^ координат и импульсов частицы, которые находились бы в согласии с соотношением неопределённости (II) и волновым характером материи. При этом сначала мы ограничимся нерелятивистским приближением, считая, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, и частота волны связана с фазовым вектором к соотношением (8').‘

•=-.+&2«- <8')

Вследствие ограничения нерелятивистской областью световые кванты сразу же исключаются из рассмотрения. Связанные с этим вопросы будут обсуждаться лишь в следующем отделе. Образуем так же, как в § 1 [см. (3)],

функции:

Ф (хг, 0 = р^= 5 А W^ ^"^ki dk2 dk3, (24)

где к и <о всегда удовлетворяют соотношению (8') и таким образом всегда положительны. Множитель 1 / V"(2tc)8 вводится для удобства, как это вскоре выяснится. Далее мы образуем комплексно сопряжённую функцию

ф* (Xi, О = у^ ^ А* (к) е-№Ш1] dki ^ dka.(24#)

Если ввести, согласно (I), в (24) и (24*) импульс р = 1гк и энергию E = tus> частицы вместо к и со, то (24) и (24*) можно записать так:

. рl-[(p?>-Et]

Ш». t) = ^^A(p)e dPldp2dp3, (24')

■1 р~еПР®)—Ei]

Г(Х;’ f) = Х^Р^ dPtdP»dPf (24'*)

[А(р) и А (к) отличаются на такой численный множитель, что \A(p)\,tdp1dp2dp3 = \ А(к)\2 dk1dk2dk3]. Введём функцию

Ф(р) = А (р) е Ь ,(25)

которая удовлетворяет уравнению

-7S = £T-(E.+S&)v-<26>

Таким образом, можно написать:

, р 2 (PZ)

^^-‘^vMt^<24")

Обращение этих соотношений даёт согласно теории интеграла Фурье:

или

-»1 г»—=- [(Р $)—Et]

'':=Й=;?("|)?^ (27'>

и

А (к) = ^™ ^ Ф (хо t) е~' к* 5-ш‘1 dV.(27")

Далее имеет место соотношение замкнутости или полноты: ^ ^dV=\j^dp=\jA*Adp, (28) которое определяет сделанный выбор численного множителя в (24) и (24').

Легко видеть, что в силу (8') функции фиф* удовлетворяют дифференциальным уравнениям

-T5-(£.-£4)t.

+<29')

где, как в (6),

Ео = Йш0 = тос\

а А обозначает оператор Лапласа. Обратно, (24) есть общее х) решение дифференциального уравнения (29), если для каждой парциальной волны, входящей в (24), соблюдается соотношение (8'). Это соотношение получается в согласии с (I) из соотношения классической механики

E-E'4^(8)

§ 3] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ 29 которое даёт связь между энергией и импульсом частицы. Формально (29) прямо следует из (8), если ввести операторы (действующие на функции от координат и времени) Е=~Нг р^ч^ (3°) и затем заменить (8) операторным уравнением, тождественным (29):

^=(£о+^2^)^(31)

i

Кроме того, это уравнение формально аналогично (26). В дальнейшем мы будем иметь дело с различными операторами, которые все, однако, будут линейными. Под этим понимается, что рассматриваемый оператор D удовлетворяет условию:-

D (с^ + с,фа) = с,В^ + c2D^,,(32)

где сг и с,—две произвольные постоянные, а фа и фа— произвольные функции каких-либо переменных. Эти переменные, вообще говоря, не обязательно должны пробегать непрерывную последовательность значений, как в случае пространственно-временных координат, но могут принимать только дискретные значения, или даже конечное число значений. Однако, всегда функции D^ следует считать зависящими от тех же переменных, что и функции ф. Переходя к специальным операторам (26), заметим, что применение этих операторов к значениям энергии и импульса представляет лишь другое выражение для построения интеграла Фурье (24') при переходе от пространственно-временной функции ^Xt, t) к функции импульса <р(р).

Введённые здесь функции получают физический смысл лишь тогда, когда они связаны с вероятностями И7 (kt) и W (pt) энергии и импульса частицы. При этом существенно заметить, что, во-первых, эти вероятности не могут быть отрицательны, и, во-вторых, в каждый момент времени должны соблюдаться условия;-

И

^ W (p')dp1dp,dp3 = 1.(33')

Простейшее предположение относительно W(x), удовлетворяющее этим требованиям, заключается в том, что W (х) есть дефинитная квадратичная форма функций фР, фр, ... (р = 1, 2,.. -), каждая из которых удовлетворяет уравнениям (25) или (25*):

WW = Q^,^V(34)

(Конечно, только успех теории может показать, возможно ли обойтись без образования форм четвёртого или более высокого порядков.) Кроме того, чтобы, добиться постоянства во времени интеграла ^ W (х^ dx1dx1dx3, в согласии с (29) и (29*), необходимо положить:

<Ж- ^) = 2ср№<35)

р

где Ср—положительные действительные числа. В справедливости этого можно убедиться как из (24) посредством теоремы Фурье, так из (29) интегрированием по частям. Например, по последнему способу имеем:

- 4 44 <« - Е»‘ -£ 2£01)+я <erad «'-

+ Н 4 W) - Е.'Г-а 2 4 «О + к 'erad «'•

Но

i dt1 2m dx, V dxi Y dxt /

Таким образом, ни ^ф2</У, ни ^ф*2</У, ни какая-либо линейная комбинация обоих этих выражений не постоянна во времени, тогда как

( фф*</У = const.(36)

[При выполнении интегрирования предполагается, что появляющиеся вследствие интегрирования по частям поверхностные интегралы (по поверхности очень больших сфер) в предельном случае бесконечно большой области интегрирования обращаются в нуль.]

Заметим ещё для дальнейших применений, что последнее из написанных выше дифференциальных равенств принимает форму уравнения непрерывности

| + <НуГ=О, (37)

если наряду с р = фф* положить

^=2^^*£rad^-’^rad’H- <38)

Если условиться считать производную по времени вещественной функции — новой (второй) функцией, то можно утверждать следующее: из (31) следует, что одной действительной функции недостаточно, чтобы из волн типа (24) построить всюду неотрицательную вероятность, постоянную во времени после интегрирования по объёму1).

Иначе говоря, для этого необходимы, по крайней мере, две действительные функции или комплексная функция и ей сопряжённая. Постоянные СР могут быть.

х) Это связано с тем, что действительная часть f функции и = = у (W- Ф‘) [для мнимой части ^ — ~ (.р — ф*) дело обстоит аналогично] не удовлетворяет (согласно (25) и (25*) дифференциальному уравнению первого порядка относительно производной по времени, а удовлетворяет лишь «итерированному» дифференциальному уравнению второго порядка

/ К д , К , Л Z , Я д , Я’ . „ \ п(-тл+гт^^С+ТбТ+а;1-6)"-0

ИЛИ

Если составить из и квадратичное выражение, интеграл по объёму которого постоянен, то оно должно содержать не только и и его производные по координатам, но также и первые производные по времени.

очевидно, включены в ф, так что w(x)=2w₽=2w^

рр

является наиболее общим выражением для вероятности ^(х).

Как мы увидим позже, иногда действительно бывает необходимо ввести несколько Ф-функций: например, когда рассматриваются частицы с моментом импульса. Пока, однако, мы, ради простоты, не будем принимать это во внимание и буделГ оперировать с одной комплексной Ф-функцией. Таким образом, мы имеем:

И/(х) = |фР = ф*ф,(35')

с условием нормировки:

^ф*фйУ=1.(36)

Согласно уравнению непрерывности (37) мы можем теперь интерпретировать выражение (34) как статистическую плотность тока или поток вероятности, /(х) является вероятностью того, что через единицу поверхности, перпендикулярно к оси х, пройдёт в единицу времени на одну частицу больше в положительном направлении оси х, чем в отрицательном.

Теперь легко получить также плотность вероятности W(р) в пространстве импульсов, которая, впрочем, для свободной частицы будет сама постоянна во времени (не говоря уже об интеграле), так как в этом случае импульс частицы постоянен.

Эта вероятность даётся следующим выражением: \М(^ = \А<Ж = А*А = <Р*<?.(39)

Сначала может показаться, что W(р) определяется как wGMWMpW.

где С(р) —ещё более общим образом определяемая положительная функция. Однако, благодаря соотношению замкнутости (28), вытекающему из (24'), необходимо положить |С(р)| = 1, так как из

С W (х) dx = I

необходимо должно следовать:'

$ w^tTp^L

Этим полностью задан аппарат для статистического описания какого-либо состояния свободной материальной частицы. Каждое такое состояние описывается волновым пакетом ф(х,/) формы (24), из которого согласно (27) однозначно получается «пакет» <р(р) в пространстве импульсов. Однако, фазы функций ф(х, /) и <р(р) — эти функции часто называют «амплитудами вероятности» — непосредственно не наблюдаемы- непосредственно наблюдаемы лишь плотности вероятности W(х, /) и W(p). Комплексная волновая функция сама по себе носит, таким образом, символический характер и служит для того, чтобы осуществлять связь между W (х, /) и W (рУУ

Из развитых основных положений можно выводить различные простые следствия, которые могут непосред-, ственно сравниваться с экспериментом. В частности, можно образовать средние значения каких-либо функций от х или р и исследовать связь между этими средними и их изменение со временем. Например,

Xl== х^*^^> Pi=^ Pi^dp.(40)

Далее представляет интерес средняя протяжённость пакета в обычном пространстве и в пространстве импульсов, которая даётся «средним поперечником» волнового пакета («mittlere Querschnitte»):

№8 = t (xv-x^y^dV, 1

; JJ (41)

№PiY = yPi—РгУ^МР- J

Поведение средней точки пакета получается с помощью

33т) В настоящее время ещё не решён в общем виде математический вопрос о том: определяется ли однозначно ~ волновая функция ф заданием физически совместимых функций W (х) и IF (р), т. е. таких W (х) и W (р), которым соответствует по крайней мере одна волновая функция.

3

3

Общие принципы волновой механики

(24) и (27") посредством интегрирования по частям .

х, = -'— -. £ х,Ф* dV ф (Л) e1^ dk :

/(2«)8 JJ■

= U* dV t w - — (e^dk =

/(2«)8 J J ‘ дк^

V (2itn)8 j J o/>z L J

=(P)] dp f Ф’<* ^dV =

V (2itn)3 J opJ

= ^ ?*(p)^^[?(p)]^p-

Таким образом,

*i = $ ?* ^ m^ dp=^‘ (k)Q ^ T(fcj dk, (42) или также

хг= ^ A'(k)e^ Qi ^ VA^e-^dk.

Таким образом, окончательно

xt = ( A‘i d£dk + t{^ A'Adk.(43)

* J dkt ' J dkjx '

Из этого следует:

что представляет собой выражение для групповой скорости. С другой стороны, из уравнения непрерывности (37) легко получить, умножая (37) на xt и интегрируя по частям:

= L‘, dV = 1 ( ф< -К ) dV-(45)

dt J 1 m J т \ i dxf/ ’v J

далее из сравнения с (44) следует:-

Pi-^< (Р) Pi'? (Р) dp = J Ф’ (у Д ф) dV, (46)

что легко также проверить непосредственно.

Соотношения (42) и (46) могут быть широко обобщены. Пусть F(x) —какая-либо целая рациональная Функция от Xi, F(p)—какая-либо целая рациональная функция от р{. Тогда имеем следующие соотношения:

F(xJ = ^ ^F^x) ^dV = ^ ?‘Г Qi^ З^^р, (4?) ^-^(у^-)^ -^‘Ftp^dp. (47')

Справедливость этого можно непосредственно проверить, интегрируя по частям и пользуясь теоремой об интеграле Фурье ). Так, например:

^= Г yp^dp = ( Ф‘<-hid^dV= +Й2^6fV,

х^ = ^ф’х?Ф^— у' Гdp = -|- Й2 \ dp.

УУХ бруург бРг Р

Чтобы установить соответствующие соотношения для (Дх()2 и (Др()2, требуется только небольшое изменение этих уравнений. Оно достигается наиболее просто, если перейти к новой системе отсчёта: х' = х —х0—vt, г = t. При этом мы, конечно, должны использовать преобразование Галилея, так как релятивистские поправки пока последовательно пренебрегаются. Так как

Px = Px—mv, Е' = Е- pxv-F^ t1, то необходимо положить

'i Vf

n L^ J g n ’

чтобы, в соответствии с (26), удовлетворить уравнению:

В выражении для у' функция /, не зависящая от t, должна быть определена так, чтобы функция

■ Ф = /— - \ о (р Ук dp

обладала свойством:

W'(x') = W(x) или

^"(х')ф'(х') = Ф*(х)<Их).

Чтобы достичь этого, достаточно положить / = pzx0. Тогда окончательно получаем:

?Чр ) = ?(/>)е w(48)

, , , ,,, -тГтУ(х-Хо)-^гП

У (х )=ф (х) 6 М 2 je(4Qj

или

<У (х', Г)=ф (х'+ х0 +if) е й[№кс+2Т 1 ].(49)

Легко проверить, что эта функция действительно удовлетворяет уравнению:

Ъ, д у у,

- Ti>=VE»-^ X

Для плотности тока (38) отсюда следует

V = 1 — уф’ф.(50)

Непосредственное наглядное истолкование этого выражения очевидно.

Так как средняя точка волнового пакета движется, согласно (43), с постоянной скоростью, мы введём систему отсчёта К', которая движется вместе с центром волнового пакета, так что последний покоится относительно нового начала координат. Тогда в этой новой системе х = 0, р = 0 и

х2—(х — х)2 = (Ах)2, рг=(р—р)2 = (Др)2.

■Строго говоря, следовало бы писать Xt = O, ... , и т. д. для каждой координаты. Чтобы упростить обозначения, мы в дальнейшем будем рассматривать одномерный случай и опускать штрихи.

Среднее значение

?= J pV<?dp=^ ^- 6-^.dV

постоянно во времени; напротив,

х2 = {x^^'^dV--^2dp

j тj ор бр *

меняется со временем. Из последнего выражения, согласно (25), сразу следует:

, ГдА* дА . , СдЕдАл дА’Х. ,

х2 = й* \— • — dp + iM \т- ( А-тА — )dp +

Jдр др 1 Jдр Vордр /1 1

+'■ S ША’А* <5|> или

—,»з С 6А* дА . .

х ='* SV^^^

+ — ( pCA'^-A^Adp-V-,"?-(5Г)

m J г к др др У г 147

Средний поперечник произвольного волнового пакета вдоль каждой из осей координат является в случае свободной частицы квадратичной функцией времени. Она возрастает, после прохождения минимума, как позднее, так и ранее произвольно сильно. Легко также переписать (5Г) для координатного пространства. Обозначим через ф0 значение Ф при f = 0; через (х2)0= ^ хФ’Ф0й7 значение (х2) при t = 0; через z0 = ^ (Ф* grad Фо — Фо grad Ф‘) — значение i при/ = 0. Тогда получим:

.F2M^)0 + 2^(xz)z/V + ^Fs, (52')

ив нештрихованной координатной системе (с р=Ф‘ф):

ДР = №„ + 2f ^ (X-х) (z - -^ p)dV + ^ W. (52)

Этот результат не содержит ничего особенно характерного для квантовой теории, так как получилось бы то же самое для совокупности свободно движущихся точек, распределённых с плотностью р, плотностью тока z и средним квадратом импульса (Ар2).■

Вспомним, однако, что для повторяемости измерения положения важна непрерывность х и Дх как функций времени (при произвольно малых (Дх),). Можно также в трёхмерном случае вычислить изменение со временем среднего значения ДхгДхт произведения двух координат. Для этих произведений получается аналогично выражение, квадратичное относительно I:

А^Дхт = (Дх, Дхт)0 + ^ [ (Х( -х() (гт - р,^ +

+ (хт - Хт) (\ - £ Pt^ ] dV + ^2 Др, Дрт.(53)

Для квантовой теории характерно, однако, то обстоятельство, что между значениями (Дх)2 и (Др)2 существует соотношение, соответствующее соотношению неопределённости. В этом соотношении оба выражения (Дх)2 и (Др)2 не могут быть одновременно сделаны произвольно малыми1).

Проще всего можно получать это соотношение пре* образованием следующего неравенства:

О = — ^ + ? *>0.

2х2 т дх

Тогда

_ Xs . х / дф* . ,.дф\ дфдф*

— 4 (х2)2 ^ + 2Х2 С ' дх + ^ дх)дх дх ~

/ х \2,,, . 1 д / х ,1 1. дфдф*

= 4■ [х2—2x2]'>f+•

(хгу LJ 1 11 2 дх \ ха >т у 1 дх ох

Далее интегрируем:

( D^ = lp2-lJ.>0.

34 Х2

У См. Н. Weyl, Gruppentheorie u. Quantenmechanik, 2 Aufl., Leipzig, 1931, Anhang 1; В. Гейзенберг, Физкчежие основы квантовой механики, ОНТИ; Обсбщения см. Е. U. Condon, Science, 1929; Н. Р. Robertson, Phys. Rev., 34, 163, 1929 и прежде всего Шрёдингер (Berl. Вег. 1930, 296), где вйербые- в общем виде доказаны положения (51), (52).,.

Таким образом,

7lx* = №W >^(54)

Это выражение является количественным уточнением соотношения неопределённости. Мы получаем знак равенства в (54). лишь в случае, если

2 xi тТдх и

ИЛИ

ф = С/414(55)

Если интересуются произведением (Apf) (Дх8) только для одного определённого значения индекса I, то зависимость от остальных координат безразлична. Если мы хотим, чтобы, минимум был достигнут для всех трёх координат, следует положить:

»=С?'-1'|(55*)

В то время как Др? постоянно во времени, ДхГ меняется со временем; если минимум выражения V^PiY к^У достигается в момент ( = 0, то линейный относительно t член в (52) исчезает, и тогда для более раннего или позднего момента времени произведение (Др1)8(Дх1)* принимает большие значения. Последующими измерениями оно может быть, правда, снова уменьшено, но никогда не может стать меньше минимального значения. Функция импульсов у(р), соответствующая этому минимуму, очевидно, представляет собой тоже гауссовскую функцию, что следует из полной симметрии проблемы минимума относительно р, их:

?(р) = Сс4<^(56)

или

Ф (р) = Се Н < ‘F^3 ^ < W? й.(56').

В этом легко также убедиться непосредственным вычислением с помощью (24"). -

В заключение-рассмотрим общий метод решения (зависящего от времени) уравнения (29) при условии, если ф для 1 = 0 задана как функция координат ф0.

Эту задачу можно будет сразу решить, если нам удастся найти «фундаментальное решение» U(xv х8, х8, 1), которое при t = 0 представляет собой такую функцию, что для любой конечной области интегрирования

lim t UdV = { ’ еСЛИ V содеРжит нулевую точку, .^ f_,o[О, если V не содержит нулевой точки. '

(V)

Тогда вследствие линейного характера дифференциального уравнения искомым решением будет функция

Н*ь t^ — ^U (xi — хь t) ф(xt; 0) dV = =^U(xt, ^(x^x.rO)^.(58)

Чтобы найти основное решение- U для случая свободной частицы нерелятивистской волновой механики, полезно вспомнить о формальной аналогии дифференциального уравнения

(59)(59)^=Ддфdt 2т •

(59)

(59)

с уравнением теплопроводности или диффузии1).

Мы здесь для простоты положили Е„ = 0, так как Это может быть легко достигнуто отщеплением множи- теля t ь * от ф функции. Здесь, однако, '«коэффициент теплопроводности» является мнимым числом. Наше основное решение соответствует тогда решению уравнения теплопроводности для точечного источника тепла и дается для одномерного случая следующим выражением:

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

■д/ 2m 5х* '

Далее имеем:

.*,V ^кут -

J Щх, t)dx = C у ^^е-^.■

'^ 2й V7

Если'

■ъ

lima—> +оо, limb—>4-оо, то lim ^ e^d; =0. a

Если lima—>—оо, limb—>4-. оо,.

то.

•$*”.я

' lim ^ei62d£ = ^ e'62d$ = ]/яе‘4, . а— qo.

Таким образом, действительно, как требует условие (57),

lim\L/dx = >0■

= 1? если точка х=0 лежит I ВНУТРИ интервала (xtxa). (1( вне

При этом постоянная С должна быть выбрана следующим образом:.

■c='"V^'

■..• Г Zltn

Таким образом мы окончательно имеем:.

Образуя произведение

1Дхк, х„ х,; t)=U(xv t)U(xt, t)U(xe, t) =

33—I—

z2

получаем отсюда решение для трёхмерного случая.

Подставив это выражение в (58), получим общее решение волнового уравнения ^(х,, х2, х3; О ).

Основное решение U можно также найти, исходя из разложения U в интеграл Фурье, согласно (24) и (27), и используя (57).

Волновая функция в случае частицы, находящейся в силовом поле

Описание состояния системы частиц, находящихся в силовом поле, посредством статистических понятий и закономерностей получается обобщением подобного описания для свободных частиц. Очевидно, эти понятия и законы должны быть внутренне непротиворечивы и содержать в себе, как предельный случай, понятия и законы классической механики точечных частиц. Кроме этих общих требований, только успех может решить вопрос о пригодности определённых предпосылок. Для случая одной частицы и при пренебрежении релятивистскими поправками исходные предпосылки можно формулировать следующим образом:

Вероятность того, что в определённый момент времени t координаты Xi частицы находятся в интервале (х,-, xt-VdXi), является и здесь вполне определённым понятием. Эта вероятность снова даётся выражением

IV(хх, х2, х3, 1) dXx dx3 dx3 = ^*ф dxT dx3 dx3,(36)

где ^(Xj0-сама по себе не наблюдаемая, в общем случае комплексная, волновая функция, а ф# —ком-

плексно-сопряжённая ей. При таком написании ф мыслится нормированной следующим образом:

V^dV= 1.

Это предположение о вероятности весьма естественно потому» что определение координат может быть произведено в такое короткое время, что наличие сил не будет играть при этом никакой роли.

Из (36) следует условие для изменения ф во времени:

-b*OdV = O.

at j 1 1

Это условие выполнимо только в том случае, если для каждого момента времени ^ и -^- определяются заданными ф и ф*. (О необходимости использовать для частиц с моментом количества движения нескольких функций см. §13.)

Если мы положим

-^^н^,(62)

то Н должно быть линейным (но не более общим) оператором. Как уже упоминалось, применение оператора Н означает сопоставление функции ф новой функции Н^. При этом для произвольных постоянных с, которые могут быть также комплексными, имеет место соотношение:

HW=cH^Y

а для двух произвольных функций ф^ фе имеем:

(Из этих обоих свойств следует, кроме того, что Н^ неявно зависит от ф’.)

Требование линейности оператора Н может рассматриваться как обобщение принципа суперпозиции, так как линейность Н в случае свободной частицы, как мы уже видели, непосредственно выражает этот принцип, обязанный своим происхождением волновой теории.. Принцип суперпозиции существенен для непротиворечивой формулировки понятия измерения, поскольку связь системы

с измерительным аппаратом сама описывается квантовотеоретически (ср. § 9). Чтобы из (62) следовало постоянство ^*^dV во времени, Н должно обладать свойством:

[Ф*Яф - ф (Яф)*] dV = 0.(63)

При выводе (63) было использовано волновое уравнение A-^=W.(62*)

Условие (63) должно выполняться для всех регулярных функций, достаточно быстро исчезающих в бесконечности. Оператор Н, обладающий свойством (63), называют эрмитовским *). Вследствие линейности Н из (63) следует для двух произвольных функций:

^[фГЯф.-ф^Яф.Г^У-О.

Связь ф с «амплитудой» у(р) для импульса, определяющей вероятность согласно соотношению (39), даётся попрежнему2) выражением (24"), (27), но вероятность W (pi, 0 dpi dpt dpa уже более не постоянна. (Об измерении импульса связанных частиц см. § 5.) Соотношения (46), (47), так же как и (28), остаются справедливыми и здесь.'-

С точки зрения нерелятивистской волновой механики единственным путём для нахождения оператора Я определённой системы является сравнение поведения общего решения уравнения (62) со свойствами механических траекторий этой системы в классической теории, в соответствующих предельных случаях, как это следует из боровского принципа соответствия. Между различными возможностями, Вытекающими для Я из принципа соответствия, может сделать выбор лишь опыт.

!) Заметим, что из (63) ещё не следует линейность Н. Например, нелинейный оператор H^ = i^ ^ ^причём (Н^>У = — обладает свойством (63), так как фе//ф — ф(//ф)е = ^-~ (W*)- Принцип суперпозиции необходимо сформулировать как особое предположение. ’

■ ••) Это было в общем виде впервые замечено П. Иорданом (Zs. f. Phys., 40, 809, 1927)...

Как простейший пример рассмотрим частицу во внеш-нем поле сил с потенциальной функцией У(х1,х1, х3).Классическая гамильтонова функция в этом случае такова:н(Р«;Х^=^^ + У(х^.г

Принимая во внимание, что среднее значение pL согласно (47'), равно

P^PlMP^dp--^^ 5^ естественно предположить по Шредингеру1), что волновое уравнение имеет следующий вид:

Мы выведем отсюда некоторые следствия о средних значениях, которые аналогичны сформулированным в предыдущем параграфе положениям о поведении центра и ширины волнового пакета.

Прежде всего, так как при вычислении j| выпадает член, содержащий Уф, из (64) снова следует уравнение непрерывности

div i = 0, где р = ф*ф, и плотность тока выражается попрежнему [см. (38)] в виде

к 2mi V дхк dxhJ

Далее, отсюда снова сразу же следуют соотношения, данные в (44), (45), (46):

хк= xk^dV. "Fk=^Pk<?*<?dp=^<?* (j 5^)^*dxk С1 ~ /"сНХ

"df—y^dV — — Рк—у^У

т) Е. SchrOdinger, Алл. d. Phys., 79, 361, 1926. На необходимость статистического истолкования волновой функции указывал в особенности М. Борн (Zs. /. Phys., 38, 803,. 1926).

Мы получим, однако, нечто новое, если вычислим -—-, так как это выражение уже не равно нулю, как в случае свободной частицы. Для этой цели образуем сначала выражение'

m а - i [<"«' ё;гу^та+№) ss- ^VW". ~

Вторая скобка сразу же упрощается и сводится к — 37- Ф*Ф* Первую скобку следует преобразовать. Для двух произвольных функций и, v имеем:

'■иХ^ \ ОХ{ охг у -

Положив в этом выражении один раз у = ф и ы = ™

и другой раз у = ф, и = ^- и вводя, силу Ki — — 77 = дН.

= — ^, получим:

<65>

где.

ТI дф дф* ■ <)ф* дф

kl 2m L ' Ьхк Ьхг ‘ дхк дхг ~ дхк дх1 "г" дхк дхг J ‘ ' '

Симметричный тензор Т;г(Ты=Т£л) может быть назван «тензором напряжений» *). Далее получаем: .

О релятивистском обсбщении этого см. Е. Schrodinger, Ann. d. Phys., 82, 265, 1927; см. также часть II, § 2.

Это означает, что производная по времени среднего значения рк равна среднему значению силы по волновому пакету1). Последнее, вообще говоря, отличается от значения силы в центре хк волнового пакета. Однако если пакет, в согласии с соотношением неопределённости ДхкДрк'^К, может быть выбран так, что в области пакета сила меняется лишь незначительно, поведение пакета будет подобно поведению классической частицы, траектория которой удовлетворяет уравнению движения (см. §12)

агхк dv

Другое следствие из (65) касается теоремы вириала). Умножая (65) на хк и интегрируя по частям, получаем:

т ^ xkikdV = + ^ TkkdV—$ xkd^W-

Вследствие (66) получаем далее для первого интеграла правой части, интегрированием по частям

V Г дф* дф йу _ Pl m j дх.. дхк m " Таким образом

m xkikdV-^-fx^Y(68)

Если ещё просуммировать по всем значениям индекса к, то получим аналог теореме вириала.

Наконец, можно, аналогично (52), рассмотреть изменение со временем ширины волнового пакета; последняя даётся выражением:

(Ах*)" = ^ (хк — "xky^dV.(69)

Однако теперь, вследствие действия сил, уже невозможно в общем случае дать поведение (Дх*)* со временем;

i)P, Ehrenfest/Zs. /. Phys., 45, 455, 1927.

вместо этого мы вычислим первые и вторые производные (Ах,)1 по времени. Так как ^ (х, —х,)ф*ф</У = О, то

^№=$(x,-x,)8^(O)dV.

С помощью уравнения непрерывности и интегрирования по частям получаем

^№ = 2 ^Xb-x^UdV.(70)

Далее, так как = ibdV = — , то dt J к т

^^ = $ kxk-x^dV- ( 5 1к^.

Используя (68), имеем

2 jp (^*) m + ^Xk^Kk) или

^ ^(^ = ^^ + (Ax, AKJ.(71)

Соотношения (70) и (71) представляют собой естественное обобщение соотношения (52).

Прежде чем разбирать вопрос о взаимодействии нескольких частиц, рассмотрим, как нужно модифицировать волновое уравнение при наличии внешнего магнитного поля. Пусть Ф,— компоненты вектор-потенциала, е— заряд частицы, с— скорость света. Тогда магнитная напряжённость даётся следующим выражением:•

Я(72)

■ох, охг' '

§ 4]

В случае если Фк явно зависит от времени, к электрической напряжённости добавляется член:. '

Е^-^‘(73)

Сила выразится следующим образом: к«--|;+7(е+т2"«^)-■

—£+-Я-£‘+2(£-^М™

■<0.

механики■ d2xAв канонической форме^dxk _ дН dpk дН dt ~ дрк’ dt ~ дхкмеханики■ d2xAв канонической форме^dxk _ дН dpk дН dt ~ дрк’ dt ~ дхкКак известно, если сила задаётся выражением (74), уравнения движения ' можно написать если положить

механики

■ d2xA

в канонической форме^

dxk _ дН dpk дН dt ~ дрк’ dt ~ дхк

механики

■ d2xA

в канонической форме^

dxk _ дН dpk дН dt ~ дрк’ dt ~ дхк

я=2^(^-тф08+У(х)- '(75)

■'А

В этом случае изменится также обычная связь между импульсом и скоростью:

^А= "^ (^А—ТФй)’ Рь = тхк+е-Фк. (75')

. То обстоятельство, что классическая гамильтонова функция (75) получается из гамильтоновой функции в отсутствии магнитного поля заменой рк на рк—^ Фк, подсказывает нам, что волновое уравнение частицы при наличии магнитного поля получится из обычного волно-

вого уравнения без магнитного поля (64), если заменить оператор у ^ оператором у^—у Ф*. Сделав это, мы получим вместо (64) обобщённое уравнение:

к•

ИЛИ-

'-Н^+зМ+П- (76')

Оправдание сделанного предположения заключается в том, что из этого уравнения для средних значений рк и Хк, полного тока ik= ^ UdV и их производных по времени следуют выражения, которые аналогичны" соответствующим уравнениям движения классической механики.

Прежде всего снова имеет место уравнение непрерывности:.

^(n) + div7=0.(37)

Это вместе с тем доказывает, что Н—действительно эрмитов оператор. Но для тока I теперь получаем новое выражение:

и-а [<■■(* и;—: ф«)--'’ (т i+4M f]<77> • или

'<77')

Если мы образуем выражения:-

Рк= J Pk^dp^ J ф* y^dV • и

^^VkWV='Vkdv* (45,)

то- мы найдём, что

Это уравнение аналогично (75')-

Далее находим, аналогично (65) и (66):

4?--2^+(-1-7^)^+т2^. <’«) С)(0■

где

—’’’СД+йфО СШ+й Флг1,’)+ +(й-£адЖ+£>9+ +(^+£м-)(Й-£ф»)]’ *та> или■

Т '—Кг Г ГI I I

kl 4m I L ™ dxz дхк ” дхг дхк ’’” dxz дхк ’’” дх, дхк J Т+^ф*(^-<)+ф.6-Й-<)]+

.+S»Af't}- (SO)

Условие симметрии Ти — Ти. здесь снова выполняется. Если положить, принимая во внимание (74):

КН М^ + т"‘)^ + 72 "*■-'"]-W. <81) d(I)

то из (78) ^так как ^ ik dV = ^^) получим т^ = Кк,(82)

что является аналогом уравнения движения.

Далее с помощью выражения:■

$ [-^(ff.+7*)^+ 73«*'.]^<8-')

совершенно аналогично предыдущему, получим

ШуД xkikdV = ^ TkkdV+ хкКА..

Из (79) посредством интегрирования по частям следует:

5$ (%+ЬО ОН^) dv-

Оба последние выражения могут быть, правда, полностью оправданы лишь с точки зрения систематического операторного исчисления, которое будет рассматриваться позже. С этой оговоркой мы имеем:

m^ xkik dV = mxl + х^К"к,(83)

что является аналогом теоремы вириала.

Таким же образом получаем, аналогично (70) и (71):

^№=2^xk-xkVkdV, '(84)

у 5 №Р = m (хк - xkY + (Хк—хк) Кк-(85)

Как известно, потенциалы Фк определены лишь с точностью до добавочного градиента, так как произвольный добавочный градиент не меняет магнитной напряжённости Нк1. Таким образом, полагая

(86)(86)ф; = ф +2L,к 1 охк

(86)

(86)

где /—произвольная функция координат, мы совершаем допустимую подстановку; / может даже явно зависеть от времени, но только тогда одновременно следует положить.

W-V—(86')

,С 01

чтобы сохранить инвариантным выражением (74) для силы. Действительно, тогда мы будем иметь:

OW е дФ'к_дУ е дФк

дхк' с dt дхк с dt ’ kl kt *

Так как в волновое уравнение (76) входят не только магнитные и электрические напряжённости и сила, но также и сами потенциалы V и Фл, то может сначала показаться, что вытекающие из этого уравнения физические результаты также зависят от абсолютного значения потенциала. Это, однако, не так; действительно, если ф есть решение волнового уравнения (76) для потенциалов V и Ф, то с помощью подстановки:

-/

Ф' = феКс(86")

получим решение Ф' для. уравнения с потенциалами V и Фк, заданных выражениями (86), (86'). Определённая выражениями (86), (86'), (86") группа подстановок называется «градиентной группой» (Eichgruppe); величины, которые не изменяются по отношению к этой подстановке, называются шсН-инвариантными» величинами1). Замечательно, что не только плотность вероятности Ф*ф, но также данная выражением (17) плотность тока и определённый выражением (79) тензор напряжений Тк1 являются Ezc/i-инвариантными величинами. Следует отметить, что с этой точки зрения представляются весьма естественными как волновое уравнение (76), так и, в частности, специальный выбор оператора Гамильтона в этом уравнении. С другой стороны, это уравнение существенно связано с предположением, что характеристики поля V и Ф^ сами по себе могут рассматриваться как классические величины (заданные функции координат пространства и времени), т. е. что можно пренебречь возможным влиянием кванта действия на определение этих величин- поля (см. часть II, § 6).

Взаимодействие нескольких частиц. Операторное . исчисление.

Способ, которым в квантовой механике описывается система, состоящая из нескольких частиц, имеет для этой теории фундаментальное значение и является для неё более всего характерным. Этот способ показывает, с одной стороны, плодотворность идеи Шредингера о введении функции ф, удовлетворяющей линейному уравнению, с другой стороны, показывает чисто символический характер этой функции, принципиально отличной от волновых функций классической теории (поверхностные волны в жидкостях, упругие волны, электромагнитные волны).

Мы не получим удовлетворительного описания системы из нескольких частиц, если зададим только вероятность найти одну частицу в определённом месте. Представим себе, например, систему, состоящую из двух материальных частиц, находящихся в замкнутом ящике. Пусть этот ящик разделён на две части перегородкой с небольшим запирающимся отверстием. Закрывая внезапно отверстие и разделяя тем самым обе половины, можно установить, в какой из половин ящика находится каждая из частиц в соответствующий момент. Можно не только исследовать, как велика для каждой частицы вероятность находиться в одной или другой половине, но также определить,' как часто частицы находятся в той же самой или различной половинах ящика. Пусть вместо разделяющей перегородки применяется «микроскоп» с коротковолновым излучением и вместо разделения конечного объёма только на две части пусть будет произведено разделение пространства на произвольно малые части. Допустим, что имеется N частиц с координатами х^, ^’ • • • > ^^ причём мы для - простоты будем писать qlt ... .q^ где j = 3N означает число степеней" свободы, системы; далее будем писать просто dq вместо многомерного элемента объёма,^ dqt...dqj. '

Основные предположения, принимаемые для описания системы ■ из нескольких материальных частиц, можно тогда сформулировать следующим образом:

В каждый момент времени t существует вероятность '

W fa ...,qf,t) dqW fa ...,qf,t) dq(87)(87)

W fa ...,qf,t) dq

W fa ...,qf,t) dq

(87)

(87)

§ 5] ' ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕСКОЛЬКИХ частиц 55 того, что одновременно координаты первой частицы находятся в интервале (qk, qk + dqk) (fc. = 1,2, 3), координаты второй частицы — в интервале (qk, qk + dqk) (k = 4, 5, б), координаты N-ой частицы—в интервале (,qk,qk + dqkS

Для пояснения введённого понятия вероятности заметим, что здесь прежде всего предположена различимость частиц; вероятность найти первую частицу в интервале xW, х£> + + dxW и вторую в интервале х^, xS^-Vdx^, вообще говоря, будет, отлична от вероятности найти вторую частицу в интервале xW, x^-VdxW и первую—в интервале ^, x^ + d^ или, что то же самое, вероятность зависит от последовательности, в которой расположены х^) среди аргументов qt, .... qj функции IV. Подобная различимость действительно существует, если обе частицы принадлежат к- различным сортам, например, имеют различную массу (как электрон и протон или ядра двух различных изотопов).

Существование в природе точно одинаковых частиц, например, двух электронов или двух протонов или двух а-частиц, вынуждает нас, однако, к особой осмотрительности, которая, впрочем, не нашла ещё непосредственного выражения в основах современной квантовой теории. В случае частиц одинакового сорта можно лишь говорить о вероятности того, что одна из частиц находится в интервале (х^), xW + dxW), другая—в интервале (х^\ х^ + dx^ и последняя—в интервале (x<ftA'>, x^ + dx^)). Если, таким образом, существуют несколько частиц одинакового сорта, то можно считать имеющими смысл лишь такие функции IV, которые симметричны относительно координат одинаковых частиц. К этому вопросу мы возвратимся более подробно в § 14, а пока не будем принимать во внимание этого обстоятельства.

Посредством интегрирования по координатам всех частиц, кроме одной, получаем N новых функций:

W^Xp Xv Xs), IV, (Х4, Х5, Хв), .... WN(X3n-2, Xw—1, x3v).

Эти функции дают вероятность найти определённую частицу в определённой точке пространства при произвольном местонахождении всех остальных частиц. Они говорят

меньше о системе, чем первоначальная функция от / аргументов, так как, в то время как мы вывели эти функции однозначно йз первоначальной, обратное, очевидно, не может быть выполнено. (В рассмотренном выше примере ящика, состоящего из двух половин, в котором находятся две частицы, из указания: «для каждой частицы одинаково вероятно наход лъся в первой или второй половине», не следует ещё что-либо об относительной частоте случаев: «обе частицы в одной половине» и «обе частицы в разных половинах».)

Только в частном случае знание функций Wv ..., Ифу равнозначно знанию функции W^, qv ... , q^—именно, если эта функция W распадается на произведение:

W^.-.-.q^

= Иф (qv q„ q^ W4 ^qv qb, qt).. .^ (^.v-2, ^v-i, q^Y

В этом специальном, случае мы говорим, что частицы статистически независимы.

Существование вероятности W (qn ..., qf; /) содержит утверждение или возможно лишь в прёдположении, что измерения положения различных частиц не возмущают друг друга принципиально, т. е. что не теряется возможность использования сведений о положении одной частицы для предсказаний результатов других- измерений (например, координаты этой частицы в более позднее время), если мы знаем координаты других частиц. Такое положение дел тесно связано с вопросом, насколько существенна одновременность измерений положения различных частиц для существования вероятности. Это можно выразить ещё так: при каких условиях существует вероятность

W (хО> tW; х^Х t^X ...; ^\ t^} dq. ... dq3N, (88) что первая частица находится в момент tw в интервале х<*>, х^ + dx^X далее вторая частица в момент к2>— в интервале х^Х x^ + dx^X далее N-ая частица в момент fW—в интервале х^Х xW + ^xW. В общем случае, т. е. если между частицами существуют произвольные силы взаимодействия, отсутствие взаимного возмущения измерений гарантировано лишь тогда, когда имеет место еле-

дующее соотношение между расстоянием гаЬ какой-либо пары (а, Ь) частиц и соответствующим временем:'

ЛЧКр '(89)

Вызванное измерением координаты изменение силового воздействия частицы а на частицу b не может распространяться быстрее скорости света. Поскольку в релятивистской квантовой механике вообще принимается, что существует вероятность W (х,, х2, х3; /) dxtdxadx8 для местоположения одной частицы, следует принять существующей и вероятность (88), если значения аргументов удовлетворяют условию (89) *). В нерёлятивистской области последовательно считать скорость света с бесконечно большой величиной и потому ограничиться случаем, когда /(О—^^ ... =/0'’)=:/.

Как естественное обобщение аналогичных предположений для случая одной частицы, мы принимаем также и здесь существование функции ^(qv ... , qp t), причём

W(qv ... , qt;f) = Y’W(90)-

Допустим также, что функция ф опять-таки удовлетворяет уравнению:

-^t = H^(62)

где Н—линейный оператор. Функция (//ф)(у1qp f) при этом однозначно определяется значением функции 9 (^i, • • • , qp О Для того же момента времени /, так что не требуется знания ф для других моментов времени.

Чтобы выполнялось условие

^ ф'ф.^-О,

Н должно быть эрмитовским оператором, т. е. для двух произвольных функций фп ф2, удовлетворяющих лишь известным условиям регулярности, должно иметь место соотношение

^xH^dq = ^AH^iYdq- (63')

l) О необходимости нескрльких ^-функций для частиц со спином см. §13.

Обобщая (24") и (27), мы полагаем, что ^(Рт. •••. Pt; t) =

1 f , ,А -г(РЛ1+...+РЛр ,

=\ ^^’ "" ^ 1^е К И N. (91)

С обращением:

Ш, ...,qf;f)='

"<ip. Pi)

Тогда как•

w^pv Г.., pf; t) dp=^‘dp ’(92)

даёт вероятность, что в момент t импульс частицы находится в интервале (рк, pk + dpk). В этих выражениях положено: dq = dqv ..., dqf и dp = dpxdpf. Далее соблюдается соотношение

^ ®*^dp = ^ ^‘^dq.(93)

Отсюда следует, с помощью интегрирования по частям, совершенно аналогично (47j, (47'):

F^Pf) = J <P*f? dp =

= Ф* Г F (* 1 dq, (94)

F^v ...,qt)= ^*F^dp=.

==V*\_F(.iKd^iKd7f)^dp- (94,) Здесь F—целая рациональная функция / переменных. Эти соотношения мы разъясним несколько позже.

Что касается выбора оператора Гамильтона Н, то прежде всего положим, что в случае отсутствия взаимодействия между частицами, но при наличии, однакб, произвольных внешних сил оператор Гамильтона распадается на независимые слагаемые:

Н = Н^ + Н^ + ... +№,(95)

причём оператор HW изменяет лишь функцию ^(хГ’), содержащую координаты первой частицы, но функции,

содержащие координаты только других частиц, оставляет неизменными. Таким образом, имеем:

^w^OTy^2), .... ^)] =

= {Ж1)[ф(^1))]}ф(^2), ....q^. ' Аналогичные соотношения имеют .место для операторов Я(2), . ...Н^. Если, таким образом,

ф(‘)(qW), .... ф^)(q^) суть какие-либо решения волнового уравнения

_Л ^.^Я^ф^) (fl = l, 2, ...,N)

изолированной системы, то

ф = ф(О . ф(2) ... ф(Ю(96)

есть решение (правда, не наиболее общее) уравнения:

- А ^=н^ = vhw+н^ +... + я^)] ф-

Аддитивное разложение оператора Гамильтона на независимые слагаемые соответствует, таким образом, разложению волновой функции на независимые множители. Это находится в согласии с тем обстоятельством, что в случае статистически независимых частиц вероятность W (д^ .. ., qf; t) распадается на произведение. Так как Ф для всех времён однозначно определяется заданием ф0 для определённого момента времени t0, то можно утверждать, что если в случае несвязанных частиц волновая функция в определённый момент времени распадается на произведение, то это будет соблюдаться для всех моментов времени. Также справедливо следующее: если механй- чески несвязанные частицы статистически независимы для определённого момента времени t0, то они остаются статистически независимыми и для всех моментов времени.

На основании предыдущего параграфа мы знаем гамильтонов оператор Но для несвязанных частиц, находящихся под действием внешних сил. Он даётся выражением:

2 [ -2^ 2(^-4 4^W))+y“W>] ■

(97)

Если силы между частицами могут быть получены из потенциала V (^, ..., ^), зависящего только от координат . частиц, то естественно положить:

-t9 = W) = №) + V(^qtW (98) Высказанному предположению о характере сил между частицами удовлетворяют и кулоновы электрические силы между заряженными частицами, потенциал которых даётся выражением:-

(а.Ь) “Ъ•

(В этой сумме а ф b и каждая пара (а, Ь) берётся только один раз.) Вопросы магнитного взаимодействия двух частиц мы будем подробно разбирать при обсуждении релятивистской квантовой механики.

В нерелятйвистском случае выражения (97), (98), (99) для волнового уравнения проблемы многих тел представляют собой (не учитывая необходимого дополнения, касающегося спина, см. § 13) основу для расчёта строения атомов и молекул. Что касается их принципиального значения, то подчеркнём, что здесь потенциалы Ф(а), У<а) ) и V взяты из классической теории; это относится, в частности, и к кулонову потенциалу (99), который в свою очередь является следствием уравнений Максвелла. Таким образом, современная волновая механика покоится на двух различных основах: во-первых, на уравнениях для (понимаемых лишь символически) волн материи, которые должны рассматриваться как логическое обобщение классической механики частицы, вносящее в теорию квантов действие и, во-вторых, на электродинамических уравнениях Максвелла, которые, конечно, тоже нуждаются в квантово-механическом истолковании. Весьма заманчивым был бы охват обоих этих положений с одной логически единой точки зрения, пока ещё не найденной.

Этот вопрос должен быть связан с ещё не рещённой проблемой электрического элементарного кванта.

В настоящей главе мы будем, однако, рассматривать потенциал просто как заданную функцию координат пространства и времени. Прежде всего на наш случай могут быть непосредственно перенесены уравнение непрерывности (37) и уравнение (45') для изменения тока со временем. При этом целесообразно вместо е(а), mW, Ф(а) (х^), где к = 1,2, 3, (а) = 1, 2, ..., N, ввести обозначения ек, тк, Ф*, где к = 1, 2, ..., /,—так что, например, т1 = т1 = т3 = mW, mt = mb = m6=rA Тогда мы будем иметь в /-мерном пространстве вектор с / компонентами к (к = 1, ..., /); физический смысл этого вектора таков; /п например, есть вероятность того, что, при заданном положении всех частиц, в положительном направлении относительно оси хг—через перпендикулярную по отношению к оси хг единичную площадку пройдёт число частиц, на одну частицу ббльшее. Этот вектор i даётся в /-мерном пространстве выражением:

2mhi V bqh ' dqh J тк с г \-

и удовлетворяет уравнению непрерывности

^+2>=о-о»')

.Ь=1■.

Тензор напряжения также будет даваться в /-мерном пространстве выражением, плотностью аналогичным (79):

Условие симметричности Т,х = Тх, выполняется здесь только в случае, если* и К принадлежат той же частице. Аналогично (78) имеет место следующее соотношение:

дФх 1--5г№ +дФх 1--5г№ +6(v + 2v«O) а д?х ' с

дФх 1-

-5г№ +

дФх 1-

-5г№ +

При наших предположениях относительно Фх в последней сумме отличны от нуля лишь три члена (относящиеся к той же самой частице). Далее, снова имеем:

<75->

md-^=Kh,(82')

причём Кк определено выражением (81).

Последние из приведённых соотношений — уравнения движения —могут быть выведены весьма общим способом из волнового уравнения с помощью операторного исчисления. Мы обратимся сначала к соотношениям (91), (9Г), из которых следуют соотношения (94), (94'), еслиТ—целая рациональная функция. Из этих соотношений следует, что импульсам и координатам приводятся в соответствие операторы, которые действуют следующим образом:

Р^ (Ягq^ = 4 Wk ^’^(9 ^= q^-’ (1 °2)

рк?(Р1Pf) = Pk?(PiPtY

q^(PiР^ = -^^‘О02')

1, если Z = fc\ О, если Г^к)1, если Z = fc\ О, если Г^к)■ (103)■ (103)Отсюда следуют фундаментальные перестановочные соотношения

1, если Z = fc\ О, если Г^к)

1, если Z = fc\ О, если Г^к)

■ (103)

■ (103)

Pk4l — QlPk = 8lh*T"

PkPl —PlPk = 0, Qkqi —qi9k = 0-

Например:

Р'М = т ^ М>’ 9кР^ = Як 4 ~ ^.

Таким образом, действительно,

^Pkqh-qkph) t = т 0^ Wi-Як ^)=^'

То же самое получим, если используем для проверки перестановочных соотношений функцию у(рх, ..., pf). Аналогичным способом можно проверить и остальные перестановочные соотношения (103). Эта форма перестановочных соотношений является лишь другим выражением для связи (91), (9Г) <р(р) и Ф (д).

Далее заметим, что рк и qk являются эрмитовскими (линейными) операторами. Такие операторы определяются тем, что соотношение

Ф1 ^ dV = § ф, W^* dV(63)

должно иметь место для произвольных функций фж и ф2. Легко установить, что это соотношение справедливо для операторов (102). Мы напомним далее, что в результате двукратного применения (63) к двум эрмитовским операторам получается:

$ №1Г (Я2ф2)dV = § ф2 (Я. [ЯЛ1Г dV,

$ (Я2ф2)’ №a dV=^x (Я, [ЯЛ])’ dV;

таким образом,

^ДНЛНх№ДУ-^х(Нхт^^^ (104)

Отсюда следует: если Нх и Я2—эрмитовы линейные операторы, то таковыми же являются и операторы:

Г = Я1Я2 + Я2Я1,(105)

С = ЦНхНг—НгНхУ(105')

Если, в частности, Нх и Я2 комутативны, то Я^, также эрмитово; таким образом, каждая целая рацио-

нальная функция от Нг снова будет эрмитовой. Пусть А, В—два линейных оператора; для краткости мы часто будем использовать следующее обозначение: ■'

[Л, Bl = i{AB—ВАУ(106)

. Тогда имеем:

[Л,Л„ Ла] = Л, [Л2Л3] + [Л,Л8] Л2,(107)

[[л1( ад л,]+[[л,, ла ла+[[л,, ла ла=о. (к»)

Пусть F—произвольный эрмитов линейный оператор, неявно зависящий от времени, и Н — оператор Гамильтона. Мы хотим вычислить производную среднего значения (математического ожидания):

F = jф•(Fф) dV,(109)

bf-6 J * w 4V+* 5 f (Fy)w-

= i ^ДН^У (F^dV— i ^*(F№)dV = = i $ Ф* [(^F) ф] dV - i J Ф* [(F^) Ф] dV.

Таким образом,

К ^- = J ф*([Я, F] Ф)dV = [H, Fl = i{HF- FH). (110)

Далее имеем для каждой функции F{pv ...,р}1 от одних лишь р'

Fpk—pkF=0> Fqk-qkF = ^.(111)

Последняя формула справедлива для F = р{ и /для F=qf; если формула (111) справедлива для Ft и Ft, то она справедлива л для F^ F, и FT • F2, что очевидно из (107). Отсюда следует справедливость соотношения (111) и для любой целой рациональной функции F от р. Далее, в соответствии с определением рк = -7-^-, имеем для каждой функции G{qlt ...,qt) от одних лишь q-

PhO-Opk = 4^. qk°-°qk = O. '(112)

Из (111). и:.(112) вместе следует,• что для каждой функции типа

Н(р, q) = F(P1, ..., p^ + G^, ...,q), (ИЗ) где F—целая рациональная, a G—произвольная функция,■"

HWi-VGi.т^ + о^«а]».

нр^рл—У^, и^-дл=^. (114)

Наконец, пользуясь определением ph и qh, так же легко доказать формулу (114) ещё для функции вида:

H = F<pv, ..., Pf) + '^[Ah(q)Pk + PkAk(q)] +

+ G(q1q^. (113')

Как раз такой вид имеет гамильтонова функция в декартовых координатах, которые мы употребляли до сих пор. (Следует соблюдать симметрию в последовательности множителей Ан и рь", это, согласно (105), необходимо для того, чтобы оператор Н был эрмитов.)

Полагая в (НО) F = рь или F=qk, получим, принимая во внимание (114):

6t V6qh) ’ 6tU J

Это—уравнения для средних значений соответствующих величин, причём усреднение происходит по волновому пакету, являющемуся произвольным решением волнового уравнения. При этом, исходя из предшествующего, под средним значением выражения вида .Ah (?) рн + РьАь (q)

понимается интеграл

$Г [АК4)45й + Т55<Л‘<^^^^ ■

который имеет всегда действительное 'значение. Это определение оказывается оправданным во многих отношениях. Затем ив (НО), если положить F—H, следует Общие принципы волновой механики5

(для случая, когда Н не завйсит от времени явно)

^=0, Н = const.(116)

(так как [//,//] = 0).

Здесь мы усматриваем выражение закона сохранения энергии, так как Н может быть интерпретировано как среднее значение энергии по волновому пакету. Подобным же образом для общего импульса системы следует:

Это выражение обращается в нуль, если Н явно зависит лишь от разностей координат qk—qt. Далее имеем для момента количества движения (момента импульса), в случае отсутствия магнитного поля,

Jik = ^ ^^—^Р^У

' u^^-jun z,k= 1,2,3)(117)

[(c) —индекс частицы, пробегающий значения от 1 до IV].

dJA=—X Гд(а)_^Жа)2Е_1

dfdqW -к ^А"

Здесь, как в классической механике, правая часть обращается в нуль, если потенциальная энергия системы инвариантна относительно вращения всей системы как целого в пространстве. При наличии магнитного поля имеем:

(,19)

причём it определяется выражением (100).■

Далее имеем при нашем определения среднего значения:.

^ Htxix dV = ^ (H^qx+qxtM =

= ^ (HxXPK + PJM - ^ Н^Фх,

где

Таким образом

d^x V а£г дФг

т dt1 — dqt Г "ИГ "^

^V^H^xVqxH^ = K».

х

Затем

Лй=2 m(a) W^—tW^=

7V

а=1

N'

Ju = 2 т^ J VqWiW-qWl dqt ’(117") а=1’

^ =4 5 V^KW-qWKW) + mW-K^)] .(120) (а)

Здесь под 1С^ понимается оператор соответственной компоненты сил. (120) следует также и непосредственно из (78'). Правая часть (120) снова обращается в нуль, если система обладает симметрией вращения относительно оси, перпендикулярной к плоскости x,xft (ср. § 13).

Скажем несколько слов о случае, когда вместо декартовых координат употребляются какие-либо другие координаты. Так как классическая гамильтонова функция имеет тогда общий вид квадратичной формы от р, с произвольным образом зависящими от q коэффициентами, то здесь появляется, вообще говоря, двузначность относительно последовательности множителей f^q) и рк. Эта последовательность может быть установлена только посредством пересчёта в декартовы координаты1).

Для образования частных производных этого общего выражения по рк и q^, напротив, можно дать рациональные правила1), именно можно установить как определение, что при дифференцировании произведения двух функций F,Fa всегда должен иметь место следующий порядок сомножителей:

(121)

Для произведения произвольного числа сомножителей отсюда по индукции следует

+F, §-F,...F„+... +/,..-F„.,^. (121)

Здесь под X понимается любая из переменных pL,...,q^. (114) в этом случае снова справедливо, если //—целая рациональная функция от р и произвольная функция от q. Благодаря (107), (115) снова будет следствием волнового уравнения.

Мы можем сформулировать волновое уравнение в произвольных криволинейных координатах. Пусть элемент кривой

ds1 = g1Xdqxdqx

(по каждому индексу, который встречается два раза, в последующих уравнениях всегда подразумевается суммирование), где gx) = gX1— произвольные функций от qx, и множитель массы предполагается включённым в gxX. Из g1X может быть образована обратная gxX матрица; пусть далее D='K|g| будет квадратным корнем из детерминанта I g I = 18хХ I Функций gxX. Тогда в этих координатах волновое уравнение будет иметь вид:

ех

Здесь Ах есть помноженный на —— вектор-потенциал.

!) М. Born, Р. Jordan,W. Heisenberg, Z. S. /. Phys 35, 557, 1926.

Точно так же имеет место уравнение непрерывностй

др dtдр dtдЧхдЧх

др dt

др dt

дЧх

дЧх

где

+ А»-)].+ А»-)].'"-И" [f ( * ^ +А») + » ( - т"^

+ А»-)].

+ А»-)].

Вследствие присутствия множителя D в функции плотности мы будем называть оператор F эрмитовским, если

^ D/(F^ dq = ^ DW ^dq.

Пусть оператор импульса рг будет эрмитов в этом смысле и, кроме того, удовлетворяет перестановочным соотношениям:

К

Рх»,-ЗхРх=-7;

тогда

Легко установить отношение этого оператора к волновому уравнению и току. ,

В частном случае сферических координат

ds2 = т (dr2 + г2 d^2 + г2 sin2 6 df2)

и, таким образом,

m ’ 8 m r2 8 m r2sin26

Для дальнейших применений заметим, Что в этом случае

1 d (г2УЛ = 1 ^-(гП

75 V dr) Т dr2

Согласно (97*), оператор Гамильтона можно написать в следующей простой форме:

H+a(?”+T>v''

где

,& 1 d .)

Р^ — i г dr г* ’^(97"*)

Р2=-Йг(^-д^61Пб^+^Гд^^ • J

Такой способ написания часто встречается в старых работах по квантовой механике.

§ 6. Стационарные - состояния как" решения проблемы собственных значений.

Из решений обобщённого волнового уравнения

■-t%-h(t-s-<i><62>

особый интерес представляют те решения, для которых как плотность ^ф, так и плотность тока не зависят от времени. При этом мы всюду предполагаем, что входящие в Н значения полей V, Ф^ не содержат времени явно. Рассматриваемые решения соответствуют тогда так называемым стационарным состояниям системы. Поскольку ф*ф и ^*5-"ф ^- не зависят от времени, 6 должно иметь форму:

'^ = и (q^e-^W,

где и не зависит от /, а / не зависит от q. Из (62) следует далее:.

K^Fu^ = HVu(q)A.

что возможно только в том случае, если -^ не зависит от времени. Мы можем, следовательно, положить

^Е = и^е V5 ,(122)

"(т^^)“ = £“-<|23>

и* (Ни) dq=^u (Hv)* dq,и* (Ни) dq=^u (Hv)* dq,(124)(124)Мы имеем здесь, следовательно, однородное линейное дифференциальное уравнение, которое содержит один параметр. Такие дифференциальные уравнения, как известно, не всегда имеют регулярные решения при любых значениях Е, и потому возникает проблема собственных значений. Для того чтобы установить условия регулярности для проблемы1), мы будем исходить из уравнения '

и* (Ни) dq=^u (Hv)* dq,

и* (Ни) dq=^u (Hv)* dq,

(124)

(124)

§ б] СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 71 справедливого для двух любых функций и и у. От функций, допустимых в качестве решений (123), мы должны потребовать, чтобы эта «эрмитовость» или «комплексная самосопряжённость» оператора Н не нарушалась особыми точками. В частности, (124) должно быть справедливо, когда одна из функций иррегулярна. Об области изменения q и функции и могут быть сделаны ещё весьма общие предположения. [В общем случае можно подразумевать под dq дифференциал объёма р (q') dqT dqt... dq^ с соответствующей весовой функцией р(7)]. Например, при вращении твёрдого тела речь может итти об угловых переменных, которые изменяются только от 0 до 2л или от 0 до л. Речь может итти также о функциях ограниченного интервала [например (—1,4-1)], которые на концах интервала принимают одинаковые значения, или о функциях, определённых в полупространстве (0, со), которые должны исчезать при ^ = 0. Равенство (124) должно всегда выполняться в области функций, ограниченной условиями регулярности и краевыми условиями. При этом, однако, необязательно, чтобы и и и были повсюду регулярны. ф*ф = ии* имеет значение плотности вероятности; поэтому нужно также потребовать, чтобы интеграл

uu'dq (125)

существовал (т. е. имел конечное значение) по всей области изменения q. Во многих случаях эти требования определяют дискретные собственные значения Е. В случае непрерывных собственных значений требование (125) должно быть несколько смягчено, что легко увидеть на примере свободных частиц. Одним из решений уравнения

является плоская волна

upi ..... pf*~с

где pv ...,pf рассматриваются как постоянные интегрирования. Для этих плоских волн условие (125), оче- видно, не выполняется. Действительно, плоские водиц

представляют собой физически особый предельный случай, так как здесь вероятность нахождения частицы вне определённого конечного объёма в бесконечное число раз превышает . вероятность нахождения её внутри конечного объёма; только отношение вероятностей нахождения частиц в двух различных конечных областях пространства имеет определённое значение1). Как уже был» показано в § 2, эта особенность исчезает, если рассматривать волновые пакеты. Если образовать функ- • цию и с помощью интегрирования по конечной, но сколь угодно малой области ^-пространства:

uPh,pk = ^dpl...dpfuPiPf>

Ph_ то интеграл от и и* по всему ^-пространству существует. Обобщая условие (125) на случай собственных функций, зависящих непрерывно от нескольких параметров Х„ Х2,... (обозначим их сокращённо X без индекса), мы будем требовать, чтобы для

/К'

их-, х- = 5 Ux№ dX(126)

(где dX введено, как сокращение dXT dXa... dX^ существовал интеграл

^u'x'.x-Xq'iux-xAq'idq-(127)

Только эти «элементарные пакеты» ик’ х- должны удов- • летворять условиям (124) для всего q-пространства.

Уожно найти единую формулировку для дискретных и непрерывных собственных значений, полагая -

XХп

“х = j ^XlM 2 ир^’(126.')

Х3р = Х1 ..

где интегрирование выполняется по непрерывным собственным значениям, лежащим в интервале Х0^Х' < X а сумма берётся по всем дискретным собственным значениям лИ Х2,..., Хп, лежа- щйм в этом интервале, так что их может изменяться скачкооб-

'" *) С-м. также П. А. М. Д и ра к, Основы квантовой механики,.

разно. Для всякойнепрерывной функции /(Л) существует интеграл стильтьеса'

| / (Я) dux = j / W и- (7) <Д + 2 up t (^p),

.XqXoP=X1.

и функцию ux, могущую изменяться скачкообразно при изменении X, можно охарактеризовать (совершенно независимо от существования и^) с помощью уравнения■

X’ . X'

kH^-VHuxA = ^\HdU<\- ^E{X)dux, (123')

которое является обобщением (123). Дискретные значения Ev, Ег,... представляют собой значения В в точках разрыва Alt Хг,...

. Чтобы исследовать совместимые с (124) особенности функций и и и, нужно вернуться к уравнению

' ^ [у*(Яи)—uXHvyAdq = ^iN^e, u)df, (128)

которое получается из уравнения непрерывности

v*Hu — и (Яг)* = Div i (у*, и)

при интегрировании по конечному объёму в ^-пространстве. При этом z'(u‘, и) формально получается из обычной плотности тока / (ф‘, ф) путём замены ф*—>у*. ф—>и; Div определяется в /-мерном пространстве; поверхностный интеграл в первой части (128) берётся по замкнутой поверхности, ограничивающей область у; iN означает компоненту i в направлении внешней нормали к граничной поверхности. В Частности, если в левой части (128) стоит одномерный интеграл, то правая часть (128) вырождается в разность значений / на границах области интегрирования </1, qt. В тех случаях, когда входящие в Н потенциальные функции имеют особые точки, следует потребовать, чтобы в уравнении (128) интеграл по поверхности, окружающей особую точку, можно было сделать сколь угодно малым.

Отсюда легко, вытекает для различных случаев следующее;

Пусть дана одномерная задача с гамильтоновой функцией'■

2^(*^-7фИ)‘+1'(х).

В точке х0 нарушается непрерывность Ф(х) или V (х), или обеих функций. Так как в этом случае

‘V- ^ = "55 Р (т 5-7® « “) -

-<Т^-7»№-)] ’ следует потребовать

———-Ф(х)пнепрерывно,1

dx с хг прих = х0. ^ (129)

■и непрерывноJ

Это должно выполняться для всех рассматриваемых функций, в том числе и для v(x).;

®iNdf по сферё вокруг®iNdf по сферё вокругПусть для одной частицы в обычном пространстве V имеет особенность. Интеграл начала координат имеет вид

®iNdf по сферё вокруг

®iNdf по сферё вокруг

$ ["• (т5-7ф^)- (477-7®rV)] Пусть все функции и, и могут быть представлены в форме v}ra, и/га, где пи и регулярны в начале координат (в частности, они могут быть равными нулю, однако, это требование не обязательно). Тогда, как легко видеть, необходимо потребовать 2 — 2а > 0, т. е. а < 1, для того чтобы интеграл iNdf обращался в нуль в пределе при г—>0, для всех регулярных и и и. Иными словами, функции и и и должны стремиться к бесконечности при г —> О медленнее, чем 1/г. Собственные функции, для которых Игл (ги) — А ф 0 недопустимы (хотя ^ iTurMr для таких о

функций существует).

Мы получаем, таким образом, вполне определённую проблему о собственных значениях и вместе с тем естественный и свободный от произвола метод, позволяющий

определять допустимые значения энергии системы как дискретные, так и непрерывные. Этот метод ввёл впервые Шредингер1), которому тогда же удалось определить спектр собственных значений энергии для электрона с зарядом—е, находящегося в поле ядра заряда + Ze, т. е. обладающего потенциальной энергией V =— . Он по

казал, что из установленного им волнового уравнения [ср. (98), (99)]

следует, что энергия имеет отрицательные дискретные собственные значения—,— ™,...,—4г,... и примыкающие к ним непрерывные положительные собственные значения (0<Е<4-со). При этом

представляет собой постоянную Ридберга, умноженную на квадрат порядкового номера ядра. (Наличие в этом случае смешанного—дискретного и непрерывного—спектра собственных, значений энергии связано с поведением потенциальной функции в бесконечности: а именно, с её медленным убыванием от отрицательных значений до нуля при г—>оо. Напротив, точечная особенность потенциала V в начале координат не играет никакой роли, так как точечное ядро может быть с таким же успехом заменено маленьким заряженным шаром.)

Простейший пример системы, имеющей только дискретные уровни энергии, представляет собой гармонический осциллятор. В одномерном случае он имеет потенциальную энергию

, V = -2" to X1.

В случае трёхмерного изотропного осциллятора потенциальная энергия равна

*) Е. S с h г б d i n g e r, Abhandlungen гиг Wellenmechanik, т. I.

где о обозначает круговую частоту осциллятора. Уровни энергии для линейного осциллятора равны

£п=(п + 4)ЙШ (п=1. 2.3, а для изотропного трёхмерного осциллятора

Еп=(п^^^ (л = 1,2, 3, ...).

В рассмотренных здесь случаях (так же, как и в случае свободных частиц) значения энергии ограничены снизу: существует наименьшее значение энергии. Что это не всегда так 1), показывает пример, соответствующий постоянной силе, направленной вдоль 4-х:

V = — Fx.

В качестве примера на вычисление в криволинейных координатах мы рассмотрим здесь случай полярных координат (который входит также в упомянутую проблему водородного атома), так как он особенно важен для задачи о частице в центральном силовом поле, т. е. в поле, потенциальная энергия которого V (г) зависит только от расстояния г частицы от неподвижного центра. [Ср. уравнения (97"), (97"*) на стр. (9.] Оператор Д принимает в полярных координатах г, 6, <р вид

ДН—4--^T(rU)4--^-2w,гдех 1•

2г!L sin6 — ч-—

•sin 9 об сО sinz9 д?г

связано простым образом с оператором момента количества движения частицы, первая компонента которого имеет выражение

■1 i дх3 Хздх,/’

а остальные получаются циклической перестановкой. Квадрат вектора момента количества движения

Р^РНР^ + Р»равен просто

Р2=-Й22.

3) Вычисления для специального примера имеются у Бете, Квантовая'механика простейших систем..

В случае центрального поля сил волновое уравнение (123) допускает разделение переменных

ц = /(г)У (6, <р),

где У удовлетворяет уравнению

2У = ХУ(130)

с постоянным а, а / (г) — уравнению

-++ V(r)/ = E/.

Требуется найти решения уравнения (130) и собствен

ные значения 2. Ответ общеизвестен1). Только приХ = —Z(Z+1),

где /—неотрицательное целое число (/> 0),.существуют регулярные решения (130), а именно обобщённые шаровые функции порядка /. Для данного / существуют 2/4-1 линейно независимых шаровых функций. Собственные значения Р1 равны, следовательно, й/(/4-1), Можно выбрать У, (6, <р) так, чтобы оператор

р — И

8< о?

просто умножал бы функцию Yt (9, <р) на своё собственное значение. Собственные значения Р3 равны Кт, где т—целое число, лежащее между — / и 4-/:

^,m(6.¥) = yI>m(6)^.

Непосредственно очевидно, что функции Ybm ортогональны друг другу при одинаковом / и различных т. Ортогональность для различных / вытекает из дифференциального уравнения. Действительно, для любых двух функций У] и Уа

sine (y^-y.Qyj^fsin^y/^

.2 Г _L < у ^-Y,

O-f L-sin 6 V * ^?1 ^f / J

откуда при подстановке Y1>m вместо Уг и У'-,™- вместо

У, вытекает

Ур, m'Yl.m sin 6 </6 dtp = 0 при I ф V

в силу уравнения (130).

В связи с этим интересно обсудить возможность многозначных решений уравнения (130). Поскольку в общем спе А ип непосредственное физическое значение имеет только плотность ф*ф/можно было бы усомниться в необходимости требования однозначности и. Если все ип рассматриваемой системы умножаются при обходе определённого замкнутого пути на один и тот же множитель с модулем, равным единице, то ф*ф всё-таки остаётся всегда однозначным. Можно, однако, показать, что производные многозначных функций всегда имеют в известных местах такую особенность, которая нарушает ортогональность системы функций и самосопряжённость оператора Гамильтона (стр. 73). В частности, это имеет место в случае полуцелых шаровых функций У1,т(6, у), у которых как I, так и т различаются друг от друга на половину целого числа.•

Решения дифференциального уравнения (97*) имеют в этом случае следующее свойство: при полном обходе вокруг полярной оси они изменяют свой знак. Это ещё не даёт оснований запрещать такие решения. Однако, кроме того, для этих функций предел

IjmsinS [У^У^ .т-Уг.т^Укт] = Q (0)

не равен нулю, а имеет конечное значение. Определённая аналогично величина Q(*) оказывается равной

QW = (-1),4,'Q(O).

Полагая V — I, легко видеть, что функции У!,т с полу- целыми I и т соответствует полюсообразный источник в точке 6 — 0 и отрицательный источник (сток) такой же силы в точке 6 = ir, тогда как при нечётном Г—I не происходит никакой компенсации источников. Согласно установленному на стр. 79, 80 критерию, такие функции недопустимы в качестве собственных функций: действи-

тельно, при IФI' они даже не ортогональны; Таким образом, целочисленность квантовых чисел I и т в нашем случае вытекает даже из общей точки зрения, не требующей - заранее однозначности собственных функций.

Непосредственно из основного уравнения (124) для оператора Н вытекает важное свойство собственных функций, если мы заменим входящие туда функции г и и двумя решениями un и ит, которым соответствуют различные значения энергии £п, Ет. При этом мы займёмся сначала случаем дискретных собственных значений, чтобы иметь возможность применить это соотношение непосредственно к собственным решениям. В этом случае получаем1)-

Еп ^ Um ип dq = Ет ^ ип Um dq, откуда следует

’\.UmUndq = 0 при ЕпФ Ет. -(131)

Это свойство называют ортогональностью собственных функций. Здесь следует отметить, что одному значению энергии Еп ■ может соответствовать несколько линейно независимых функций. Наиболее общее решение для этого собственного значения имеет вид.

Un = C\Un,\ Н~ С1йпЛ + • • • + CgUn.gi

где сгсд — произвольные постоянные. Их число g— кратность состояния, или его вес—равно максимальному числу линейно независимых решений, которые существуют при данном состоянии. (В упомянутом выше примере водородного атома состояние п имеет кратность

*) При этом здесь уже предположено, что все Е вещественны. Это следует, однако, из (124) при u = u = un. так как это соотношение переходит тогда в

Еп \ к» ^п dV = Е» \ Un 0^ dV,

т. е.

Еп ™ Е^

п'1), для плоского осциллятора g = ZZ + 1, СОСТОЯНИЯ линейного ■гармонического осциллятора однократны.) Базис un,iип,д решений (123) с данным Еп можно всегда ортогонализовать, т. е. посредством образования определённых линейных комбинаций заменить его другим базисом, при котором условие (131) выполняется для всех пар различных функций ип, ит. В дальнейшем мы всегда предполагаем, что такая ортогонализация уже произведена. Ввиду того что постоянный множитель в каждой ип ещё не определён, мы можем далее предполагать их нормированными согласно соотношению

^UnUndq=\.■(13Г)

Комплексный множитель с модулем, равным 1 в пл, остаётся тогда всё-таки неопределённым.

Любую функцию /, для которой существует ^ | f dq, можно разложить в ряд

/~a1uI + a„u2+.. . + а„ил+...,(132)

где коэффициенты ап имеют значения

‘a^fMq,(133)

которые легко найти с помощью соотношений ортогональности (131), (13Г). Значок ~ означает, что ряд в общем случае не является сходящимся в обычном смысле, а только «сходящимся в среднем». Это означает, что ряд удовлетворяет равенству

lim \ I/—Уahtik\*dq = O.(132')

•N-»0 J iI

На это обстоятельство следует обращать особое внимание, когда / имеет какие-либо особенности, не нарушающие интегрируемости квадрата функции; для достижения сходимости в среднем функции цл отнюдь не обязательно должны повторять эти особенности и наоборот.

Интеграл в соотношении (132') можно преобразоватьN■ Л"■

j !/i2^—2а^ j fUk dq—^an J pUkdq-vh=lh=l

A'

+ 2 “^ J U^dq.

или, принимая во внимание (131), (13Г) и (133),

NJ \rfdq-^akak.к=1NJ \rfdq-^akak.к=1УN

N

J \rfdq-^akak.

к=1

N

J \rfdq-^akak.

к=1

§ U'fdq— 2 2^+2 aka*h

А = 1к=1

Поэтому (132') эквивалентно равенству

§ \ t\1dq='^akak,к = \§ \ t\1dq='^akak,к = \(134)(134)

§ \ t\1dq='^akak,к = \

§ \ t\1dq='^akak,к = \

(134)

(134)

причём одновременно доказана сходимость входящего сюда ряда. Это соотношение называется условием полноты (или замкнутости), так как оно служит критерием того, что к системе ип нельзя добавить новую линейно независимую функцию и что ни одна из функций ип не опущена. Поскольку соотношения между функциями / и коэффициентами ап линейны, для любых двух функций

/^а^Ч-...+а„и„+..., an=\1fu;dq, g~Mi+---+t,n“n+---, bn=^£u*dq справедливы формулы:

■VР"

у/^^=2а^ь> XJ^dq-^Ukbk. (134') й-1к—Л

Они могут быть получены из (133), если подставить в это соотношение Х/4-pg вместо / и ^ак-\-р-Ьк вместо ак> где X и р.—произвольные числа.

66Соотношения ортогональности можно обобщить, если ввести элементарные пакеты Uw = Uv—Uy с помощью

6

6

Общие принципы волновой механики

(126). Применение соотношения (124) к этим функциям даёт'

й*, ,и , ,dq = O,' (13Г)

.J ХД1 хд2

если (Х'Х') не перекрывается с (Х'Х^). Далее, в случае чисто непрерывного спектра существует предел ■

Игл \ ихд+дхЫхд+дх dq —> G(X),;■ .

ДХ-+О■

так что.

Х4-ДХ

^ Н*д+дхйхд + дх dg = § G(X)dX.(135)

(13Г) и (135) можно объединить уравнением

\u*,^,.dq = AgWK (136) J *1*1 *1*4

где (X', X") представляет собой общую часть интервалов (Х'Х') и (Х'Х'). В частности, если G(X) в (136) равно 1, то функция и и соответственно и называются нормированными по отношению к непрерывному параметру X. В этом случае

• ^Uxlx'Ux&dq^X’—Xty(137)

Если ввести вместо X функцию р = /(Х), как новый параметр, то по отношению к у нормированной будет функция

X' ,

й^-Цу^Их-х-.(137')

.V

или грубо гбворя: собственные функции Ux умножаются в этом случае на l^dy/ dX. Далее, разложение в ряд (132) заменяется здесь интегралом

§ axUxdX= axdUx, '' (138)

причём ■.

■axG(ky=^fu*xdq(139)

ИЛИ

Qx^juxdq,(139')

в том случае, если их нормировано согласно (137). Условие полноты гласит

lim \ / — \ OxUxdX dq = О

.ao J i

Xj|-*4~oo^

или

Cl CI8

lim \ / — \ axduxdx \dq = 0, Xi->—co JI

X,->+ooX1.

что, в силу соотношений ортогональности, равносильно

I/Ifd4 = 5 IcxpdX,(140)

или при отсутствии нормировки:

$ |/Г<й?=$|ахГ6(Х)</Х.(140')

Для двух функций /, g и коэффициентов их разложения ах, Ьх, ■^ fg*dq= ^ axbxG^dk.(140")

Эти результаты можно сформулировать так, чтобы объединить дискретный и непрерывный спектры1). Пусть снова их функция, определённая в (134'), которая может изменяться скачкообразно в зависимости от X; введём далее для сокращения .■

“х-х' = “х'-“х' .

и будем снова обозначать (X', X") общую часть обоих интервалов (Х(, X') и (X', X"), если они встречаются в одном уравнении (общая часть может в частном случае Исчезать). Отказываясь от нормировки, мы запишем условие ортогональности в виде:

5", »5х'- dq = G (X") - О (X'), (136') . мм iX,

где G (X) монотонно неубывающая с растущим X, всегда положительная функция, которая может изменяться скачкообразно. Отказ от нормировки удобен потому, что он позволяет лучше

г) См. J. V. Neumann, Getting. Nachr., 1927, стр. 1.

провести вычисления в случае вырождения, так как при определённых значениях Л к функции и^ может добавляться целое линейное многообразие собственных функций. Если вместо (139) записать

х*

К-х^.К-х^.(139')(139')а-^dG (Л) =

К-х^.

К-х^.

(139')

(139')

X'

то это равенство будет справедливо как для дискретного, так и для непрерывного спектра. Условие полноты может быть тогда записано в виде

l/P^ = J |ak|2dG(A)l/P^ = J |ak|2dG(A)(141)(141)

l/P^ = J |ak|2dG(A)

l/P^ = J |ak|2dG(A)

(141)

(141)

/8* dq =/8* dq =и соответственно

/8* dq =

/8* dq =

(142)

Рассмотрим теперь оператор Рх, который сопоставляет произвольной функции / ограниченную верхним пределом Л часть интеграла (138)

х

Л/ = $ М“х-

Этот оператор называют проецирующим оператором, так как он проецирует многообразие коэффициентов а^ на частичное многообразие этих коэффициентов, которое исчезает вне интервала (—оэ, Л). Каждый проецирующий оператор Р имеет, очевидно, свойство

Р» = Р ■ (143)

и, обратно, каждый оператор Р, обладающий этим свойством, мы будем называть проецирующим. В нашем случае оператор

Рх-х-=Рх-~рх- ПРИ А'>А'

является проецирующим оператором:

(РХ'Х')2 = (Л— Рх-У = Рх-х- Для всех Я" > Я'.(I)

Далее,

Р (— со) О, Р( + оэ) = 1(Ц)

для Л'> Л и Нт Л'—>Л* следует Р/ —> Рх.

н и Рх.н и Рх.(144)(144)(HI')(HI')(III) что равносильно следующему утверждению: для всех g имеет место соотношение<g‘Hhdq= J E^d(III) что равносильно следующему утверждению: для всех g имеет место соотношение<g‘Hhdq= J E^dJ ulux.d^-G^^'^J ulux.d^-G^^'^или = 8(Х' — X) в случае нормировки.или = 8(Х' — X) в случае нормировки.(146)(146)

н и Рх.

н и Рх.

(144)

(144)

(HI')

(HI')

(III) что равносильно следующему утверждению: для всех g имеет место соотношение

<g‘Hhdq= J E^d

(III) что равносильно следующему утверждению: для всех g имеет место соотношение

<g‘Hhdq= J E^d

J ulux.d^-G^^'^

J ulux.d^-G^^'^

или = 8(Х' — X) в случае нормировки.

или = 8(Х' — X) в случае нормировки.

(146)

(146)

■ рассмотрим теперь отношение между операторами Согласно (123')

. fTux,x.= ^E(X)diix, 'х-

и следовательно,■

X'

pvx'f= J Мч-

•X'.

X' . X'

НРк.x.f = f axExdHx =^EW<t(РХ.Х.П, К'к*

при Л' =— оо и V = +оо это переходит в

Hf = ^E^d^PJ1),

Вместо произвольного параметра Л здесь можно ввести непосредственно энергию. Требования (I), (II), (III) определяют проблему собственных значений весьма общим образом. Вопрос о её разрешимости мы обсудим ещё" в следующем параграфе.

Для вычислений часто удобно ввести интеграл

UxUxdq ."

как несобственный. Пусть 3 (X) — несобственная функция со свойствами х2.,

/(X)8(X)dX = l^^, если 0 лежит {““^‘(ХЛ), (145)

тогда

В дальнейшем мы будем также употреблять производную 8' от 8-функции, которая определяется следующим образом:.

/(Х)8'(X) ЯХ = — ^/'(X) 8 (X) ЯХ-=-■

= {(Г/ (0)>если 0 лежит047)

Эти соотношения должны рассматриваться как удобное формальное сокращение (136), (137). .

Следует также отметить, что общее дифференциальное уравнение (123) проблемы собственных значений всегда эквивалентнох) вариационной проблеме

8 ^ и* (ЯУ) ^ = 8 ^ (Яу)* и dq = 0(148)

с дополнительным условием

^u*udq=l.(149)

Здесь и и и* должны варьироваться независимо друг от друга. В случае необходимости (148) может быть ещё преобразовано с помощью интегрирования ■ по частям. Например, для гамильтоновой функции, записанной в декартовых координатах,

имеем:

3 L 2mh \dqk + Нс \dqk Нс к) +

+ Vy*y] dq = O .(150)

с дополнительным условием (149). Значение интеграла (150) для экстремальной функции в силу (123) точно равно собственному значению энергии. Эта вариационная проблема часто бывает полезна для приближённого интегрирования дифференциальных уравнений. Для этого выбирают определённую форму функции и и затем пытаются решить вариационную .задачу при этих дополни-

. 8 с h г б d i n ger, Лпл. d. P/ys., 7», 361, 1926.

тельных ограничениях. При. этом величина вариационного интеграла получается всегда больше, чем истинное собственное значение. ■

' Коснёмся ещё двух общих положений. В случае вещественных собственных функций, ■ если таковые имеются, наименьшим собственным значением обладает собственная функция без узловых поверхностей (корней). В случае вещественных собственных функций одной переменной расположению функций по возрастающему числу корней соответствует расположение их по возрастающим собственным значениям. Число корней имеет, таким образом, смысл «квантового числа» системы.

Общие преобразования операторов и матриц.

С помощью условия полноты можно установить важную связь между действующими на ип операторами и соответствующими им матрицами. Пусть F—линейный оператор, тогда каждой собственной функции ип соответствует разложение в ряд

. (Ftin^^UkFkn. где Fkn = t a^Fu^dq. (151) кJ

Если оператор F эрмитов, то -

^ик (Fun) dq = J (Fuky undq,

и следовательно,

Fkn = (Fnky;(152)

матрица Fkn в этом случае эрмитова. Рассмотрим теперь два эрмитовых оператора

Fun — ^ukF1;m Fkn=Suk(Fun)dq, 'kJ .

GUn^^Uk Gkn, Gkn Ци'к (Gun) dq.кJ

Мы применим к этим разложениям условие полноты (134') (справедливое для всех п, т), которое гласит: ■

t VFunY (QuJ dq=^ FknGlm,

k=A

и используем эрмитовость F:■

\uUFGu^dq='2lFnkGkm.(153)

Jк

На основании (134) каждому оператору сопоставляется матрица, причём каждому эрмитову оператору — эрмитова матрица. Из (153) далее следует: произведению двух операторов FG соответствует произведение матриц (F) • (G), образованное по обычному правилу матричного умножения, которое гласит:

VFG^nm='2lFnkGbm.(153')

■к.

Следует заметить, . что при этом предполагается только эрмитовость F и G, но не (FG); коммутативность F и G также не обязательна.

Если произвольной функции / соответствует разложение 2 ак ик, то функции Ft соответствует разложение к.‘

2 (Fu^ ak = 'S'ul Ftkak ). Таким образом, коэффициентам

(а^ аг,..., ат...) сопоставляются с помощью F другие коэффициенты (blt b2, ..., Ьп- • •)

bn=^Fnmam.(154)

m-

Матрица, эквивалентная оператору F, производит, следовательно, линейное отображение в векторном пространстве бесконечно большого числа измерений коэф-

фициентов разложения (а) нашей системы функций. Эрми- товость F находит своё выражение в соотношении

^а-пЬп = ^апЬ*п,(155)

пп

которое означает вещественность этого «скалярного произведения».

Общее выражение для матричных элементов (151) содержит, в частности, формулу

Fnn = ^ Un^Fu^dq(156)

для диагональных элементов. В предыдущем параграфе мы видели, что это выражение в простейших случаях имеет смысл среднего значения или математического ожидания. При этом мы исходили из выражения |<р(р)| dp, которое даёт вероятность того, что импульс рассматриваемой системы лежит между р и p + dp. Отсюда следует, что среднее значение любой целой рациональной функции импульса F (р) равно

^ FU^Wdp^ ^(q) [f(^t^) 9(9)] dq.

Аналогично для любой функции q

■ F(q)= ^ ^F(q)^dq,

что опять-таки совпадает с (156), если под F здесь понимать просто умножение на функцию от q. Займёмся, наконец, функцией F, которая зависит от р линейно,

Нт \ |g —gv|2d? = 0, то F/ = g. При этом не делается различия 7V->oo J '

между функциями g и g', для которых ^ |g — g'|2d?=0. В нашем случае существование такого g обеспечено, если сходится ряд

а от q произвольным образом:

Р = Т^Ак^Рк+ркАк^у к

(симметризация необходима для получения эрмитова F). Воспользуемся декартовыми координатами и введём плотность тока ik, соответствующую А-й степени свободы; тогда снова

F = '21\Ak(.q^mik^^kAdV =icJ

к

Поскольку, далее, математическое. ожидание суммы двух величин равно сумме математических ожиданий этих величин, а соотношение (156) линейно по отношению к F, (156) можно считать справедливым по отношению к величинам, равным сумме величин рассмотренных типов. В частности, это справедливо для гамильтоновой функции системы Н.

О подобных операторах F, которые таким образом приведены в соответствие с физическими величинами, т. е. свойствами системы, которые могут быть описаны заданием численных величин, причём эти численное величины в принципе можно однозначно определить с помощью соответствующей экспериментальной установки (измерить),— можно сказать: диагональный элемент Fnn равен математическому ожиданию соответствующей величины F в том состоянии системы, которое характеризуется собственной функцией ип. Только дальнейшее построение теории вместе с опытными фактами может решить, какие величины в системе имеют физическое значение, и как они могут быть измерены1). Заметим ещё, что даже для этих специальных опера-

х) Эта точка зрения противоположна другой, согласно которой каждому эрмитову оператору соответствует некоторая «наблюдаемая» величина системы, причём всегда имеет прямой физический смысл говорить о вероятности того, что эта величина F имеет в соответствующем состоянии определённое значение (см. § 9).

торов F прямой физический смысл имеют только диагональные элементы матрицы F. Недиагональные элементы связаны с возможными опытными данными только косвенно, а именно следующим образом: среднее значение любой целой рациональной функции/(F) оператора F и, в частности, среднее значение всех его степеней задаётся диагональным элементом [/(F)]nn оператора f(F). Если, с другой стороны, предположить закон матричного умножения при формальном образовании [/(F)]nn, то можно показать, что задание [/(F)]nn, вообще говоря, определяет также и недиагональные элейенты Fnm матрицы F однозначно. -

При введении общей связи (151) между операторами и матрицами о функциях И,, и„...,ип,... предполагалось только, что они образуют полную ортогональную систему. Полезно выяснить, как изменяются матрицы при переходе к другой системе функций и,, и,, ..., уп,..., также обладающей свойствами полноты и ортогональности, Каждой функции ут соответствует разложение

vm ^ 2 “” S™- где ^^ = $ “” [S“J dq=^u*n vmdq. (n)

.(157)

Матрица Snm определяет линейный оператор 5, который сопоставляет каждой функции / = at ut + а4 и, +... новую функцию g = ^ vt + а, и, 4-.. • с теми же коэффициентами разложения в новой системе. 5 имеет, следовательно, свойство

^ ju\dq = ^ \.St\»ndq

при всех /. Этот оператор 5 принадлежит, однако, к существенно иному типу, чем рассмотренные эрмитовы операторы F, которые, могут соответствовать физическим величинам. Мы будем называть 5 оператором преобразования. Поскольку в силу условия полноты справедливо соотношение

.A^n^mdq^^jSknSkm,

ортогональность и нормировка системы уп может быть выражена уравнением

8кп8кт8кп8ктО при пф т, 1 при п = т.О при пф т, 1 при п = т.(158)(158)

8кп8кт

8кп8кт

О при пф т, 1 при п = т.

О при пф т, 1 при п = т.

(158)

(158)

Далее, из t~^QkUk> g~S ак ик следует: ^ | а^2 = к

= ^ | /|2 dq = ^ | g |2 dq, что равносильно также требованию

^Sf^dq^^J^dq(159)

для всех /, а также

^Sn4S^dq=^r&dq(159')

для любых / И g.

Оператор 5 не является эрмитовым оператором. Согласно (159), он имеет, однако, свойство «сохранять длину», если пользоваться ^j/,2^ в качестве меры «длины» функции, или, более обще, ^ f~g\2dq, как мерой «расстояния» между двумя функциями. . Если, далее, «n^Su,,) образуют полную систему функций, то многообразие функций 5/ должно совпадать с многообразием /. Эго означает, что для всех / должен существовать оператор S"1, обратный оператору S'. Полнота системы у равносильна тому, что ип также могут быть разложены по функциям у„ согласно соотношениям: ^т'^ ^^ ^п §пт> Snm — ^ Уп [^ ^т] dq = ^ Уп Um dq", (1 57 ) (n).’

сравнивая с (157), получаем

Snk-S^n.(160)

Итак, (S) не эрмитова матрица; эрмитовски сопряжённая ей матрица (S), полученная из (S) с помощью перехода к комплексно сопряжённым величинам и перестановки строк и столбцов, совпадает с матрицей, обратной (S):

S-^S.(161)

Действительно, (158) в силу S;n = Snk равносильно

(158')(158')SS = L

(158')

(158')

(Sin) Skm — к(Sin) Skm — кО при лет, 1 при п = т,О при лет, 1 при п = т,(162)(163)(162)(163)если / означает единичную матрицу. Применяя к (157') условие полноты, легко видеть, что полнота (^стемы функций vn означает также

(Sin) Skm — к

(Sin) Skm — к

О при лет, 1 при п = т,

О при лет, 1 при п = т,

(162)

(163)

(162)

(163)

или в силу (160)

2 с, _1 о при пфт, ^пк^тк— <

кД 1 при п = т,

SSSSчто в матричной записи означает

SS

SS

(163')

Важно подчеркнуть, что (163') не является простым следствием (158'), а вытекает из (158') тогда и только тогда, если существует оператор З-1, обратный оператору S для всех /. Оператор S называется унитарным, если он, кроме свойства сохранять длину [уравнение (159)],. допускает построение обратного оператора для всех без исключения функций; соответственно матрица (S) называется унитарной, если она удовлетворяет обоим условиям (158') (163'). Операторы преобразования принадлежат к унитарным операторам. При последовательном применении (умножений) двух унитарных операторов (матриц) получается всегда снова унитарный оператор (унитарная матрица).

Может быть, полезно подчеркнуть аналогию с подобными соотношениями между величинами, могущими принимать лишь конечное число (N) значений. В этом случае полная система Функций состоит из N ортогональных (комплексных) векторов Щ (1), ид (2),.... Uk(N), где вместо q подставлены значения 91q^ соответствующей величины. Ортогональная система векторов в пространстве конечного числа измерений будет тогда и только тогда полной, когда число р векторов системы совпадает с числом измерений пространства N. В этом случае матрица $ удовлетворяет соотношению

ss=z.

Если же S не квадратная матрица, а прямоугольная Snw (n= 1,2,..., N; т= 1,2, ..., р), число строк которой р меньше числа столбцов N, то, очевидно, SS^I, так что SS не будет единичной матрицей. Ясно, что линейное отображение S, которое переводит вектор/(г) = ^ °huh(r)> г=1, 2, ...,N в [S/(r)] = h-1 Р

= 2 ah°h(r) будет тогда и только тогда иметь обратное отобра

жение S-1 для всех /(г), если p = N. Наряду с SS = / должно бытьсправедливо55=/; это требование равносильно здесь тому, что S квадратная матрица. Для матриц S с бесконечным числом строк и столбцов свойство полноты нельзя, однако, установить простым подсчётом; в этом случае существование обратной матрицы выступает как новое требование наряду с соотношением SS=/.

Теперь мы можем ответить на вопрос о том, как изменяется матрица, соответствующая согласно (151) оператору F, при переходе от системы функций ик в системе функций »к. Согласно (157), имеем -

F'nm = ^ t>n (FOm) dq,

F™ = 22 $ SlnUkSimFWq, (15Г) и, следовательно, благодаря тому, что

Fh = J UkF^dq, )получаем1)I(164)

\ Fnm= 2 ^hn FkiSim, или в матричной записи

(F')=8FS = 8"1 F'S,(164)

и обратное соотношение .■•

(F) = SF'S? = SF'S.(164')

Легко установить, что если F эрмитова матрица, то иР также будет эрмитовой матрицей. На языке операторов

*) Здесь мы не рассматриваем вопроса о сходимости рядов в (164), который в общем довольно сложен.

соотношение (164), очевидно, обозначает, что если F переводит функцию / в функцию g, то F переводит функцию 5/ в функцию 5g. Однако при такой интерпретации «координатная система» и2, ..., и„ остаётся неизменной', а изменяется оператор, тогда как мы исходили из представления о постоянном операторе F и изменяющейся координатной системе.

Фундаментальные перестановочные соотношения (103) для операторов ри и qi переходят, очевидно, в соответствующие матричные уравнения, если заменить функции f, на которые действуют эти операторы, последовательностями an аж, ...,ап, ... их коэффициентов разложения по произвольной полной системе ортогональных функций и,, и„ ..., и„, ... Действительно, эти перестановочные соотношения остаются, очевидно, инвариантными по отношению к любым унитарным преобразованиям вида (164).

Теперь мы можем охарактеризовать очень простым образом специальные собстгенные функции olf и,,..., которые удовлетворяют уравнению

Ни = Еи

и соответствуют стационарным состояниям системы с гамильтоновым оператором Н. Это такие ортогональные нормированные функции и, для которых матрица гамильтоновой функции (энергия), определённая согласно (151),

■ (Hnm)—^Un(Hum)dq

имеет диагональную форму

I 0 прилет, •"■ ( Е„ при п-т. <165>

Этот результат позволяет сформулировать проблему определения собственных значений энергии Еп и матриц Рпт» Я(пт даже без знания волнового уравнения. Сначала записывают перестановочные соотношения с помощью правила умножения матриц. Далее, выражают матрицу энергии с помощью того же правила через матричные элементы р^ и q(k) и требуют, чтобы она была диагональной матрицей. Этот метод приводит к бесконечному числу уравнений для определения матричных элементов р

иди собственных значений энергии. Это было основным предположением «матричной» механики Гейзенберга, которая исторически предшествовала формулировке волнового уравнения1). Практическое решение этйх уравнений удаётся получить только в немногих случаях, например, для гармонического осциллятора. В случае водородного атома также можно ещё получить значение энергии, однако, матричные элементы р и q уже определить не удаётся. Это связано с тем, что здесь наряду с дискретным присутствует также и непрерывный спектр, наличие которого сильно осложняет матричное исчисление. Мы скоро вернёмся к этому вопросу. Напротив, матричное исчисление часто оказывается удобным, если речь идёт о подпространстве конечного числа измерений. Такое подпространство получается, например, для вырожденных систем, когда одному определённому значению энергии соответствует несколько состояний, число которых мы обозначим g. В этом случае можно ещё произвести внутри соответствующего g-мерного подпространства состояний любую унитарную трансформацию матриц (164), не нарушая уравнений, которым они удовлетворяют, так как в этом подпространстве матрица энергии равна единичной матрице, умноженной на постоянное число Е, а единичная матрица при рассматриваемых трансформациях сохраняется. В волновой механике этому соответствует возможность преобразовывать принадлежащие Е собственные функции щ, и2, ..., ид по формулам:

д

и'т = ^ип8пт (Щ= 1, 2,..., g).'

П=1

Если, в частности, здесь S унитарная g-строчная (квадратная) матрица, то ортогональность системы функций при этом сохраняется. В матричном рассмотрении проблема о собственных значениях может быть сформулирована также несколько иначе. Можно ввести для Ро qk какие-либо произвольные матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (в волновой механике им соответствует произвольная ортогональная система

*) W. Не i s en b е г g, Zs. f. Phys., 33, 879. 1925.

§ 7] ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРОВ И МАТРИЦ 97 функций). Применяя матричные правила умножения, получают определённую эрмитову матрицу Нпт для энергии. Задача'состоит тогда в том, чтобы привести её унитарно к диагональному виду, т. е. решить бесконечное число линейных уравнений '

S^HS-E

или

HS = SE; ^HnmSm = SnE(166)

т'

для всех возможных Е. Условие унитарности 5 требует нормировки коэффициентов:

2isnr=Lо66')

Для каждого возможного значения Е? энергии Е получается система коэффициентов Sn,P. Легко видеть, на основании (158'), что эти коэффициенты автоматически образуют унитарную матрицу, если Н эрмитово. Хотя практически эта система уравнений в общем случае также неразрешима, мы увидим, однако, что она может быть использована в теории возмущений ).

Теперь же мы Обсудим обобщение этих результатов для непрерывного спектра, не касаясь, однако, вопросов сходимости. Если собственные функции и нормированы относительно параметра X или параметров \v---> то можно образовать, по аналогии с (151),

Fux^ UyFvxdX'; Fx’x = ^ Ux> (Fu^dq. (15Г)

В Fk'x и даже в само и могут, однако, входить 8-символы, определённые посредством (145) и (147). Например, для X, имеющего численные значения q, можно выбрать и в виде 8-функции: ug-(^) = 8 (^ — q'), где 8(^ — ^') обозначает сокращённо 8(^ — ^)8(^,— q'^.. .b(qf — q'^ Тогда получаем

$ Uq- (q) u^dq = ^4q-q34q-q^ d? = 3 (^ - q"Y

Матрица q будет иметь вид.

q^q'.q^= \4q-q'Yqk4q-qMq

qAq'.q’^q'kHq' -q^ -067)

аналогично

pAq^q^^q-q^^Hq-Wq

. •РА^^-ад-^.de?')

где последнее выражение введено как сокращение для произведения-..

8 (9^ — 91) • • •8 (q'k-i — q'k-i) 8 (Як—9k)8 (9*+i — 9*+i) • • • ...4q;-q"f).

Таким образом устанавливается формальное равенство

VPk(q*. q'") qk (q'". q^- qk (q*. q'") pk (9'"9")] dq'" =

= 78(9'-9,')<

В действительности все эти символы только тогда получают смысл, если их умножить на произвольные функции /* и g от аргументов q' и q" и проинтегрировать, например,

^ /‘ ^ 9к W’ ^ 8 (^ dq'dqe= ^ f (q) q^ (q) dq,

91 91.91

где (9i,9i) обозначает общую часть интервалов (9^,9*), (91,0-.

Точно так же существует преобразование от полнрй системы их к другой полной системе v^, формально ана- ■ логичное (157):

. V (Р-; 9) = U (X; 9) S(X, pt) dx, .

гдегде. S (X, р) = ^ u* (X; q^ v (p; ^) dq.. S (X, р) = ^ u* (X; q^ v (p; ^) dq.(157')(157')

где

где

. S (X, р) = ^ u* (X; q^ v (p; ^) dq.

. S (X, р) = ^ u* (X; q^ v (p; ^) dq.

(157')

(157')

Матрица S(X, р) унитарна и удовлетворяет соотношениям

. S*(X, p)S (X, р') ^Х = 8 (р—t1')». (158")

.$ $(X,p)S’(X', p)dp = 8(k—к'),(163")

аналогичным (158) и (163). Формула преобразования операторов.

-f7(и-;Р-') = ^ S' (k,p)F(k,k,)S(k,,p,)dkdk'(164')

аналогична (164).

■ Особенно интересен смешанный случай, когда один из индексов пробегает дискретные значения, а другой —непрерывные. Тогда мы имеем

и«(?) = $ u(X;?)Sn(X)dk, u^;q’) = '2iy*'.q')S^, (168)

SnW=^u4\;q)vn^dq,(169)

5 Sn MSm (X) dX = 8„.m, 2 sn (X) s; (X') = 8 (X—X') (170)

(8n,m = 0 при n=£ m, 8„,m=l при n = mY

F„,m=^S;(X)F(X,X')Sm(X')dXdX',' ‘

г (171)

F(X,k') = 2Sn(X)FnmS^(X'). .4*

Эти формулы особенно просты, если, в частности, ввести для и (X, q^. систему и,- (q) = 8 (q — q'). Тогда, очевидно, '

Sn (q') = ^ 4q-q')»n(q)dq = vn (?'),(169')

5 yn(9)yrn(9)dq = 8n,m, ^"(^"to'^to-9')’ (17°')

Fn,m = ®n (?) F (q, q ) ym (? ) dq dq ,.}(171')

Fkq.S'^^^nkq'iFn.mVm^q'Y

n,m

Мы получили важнейший результат, что собственные функции ип(д) сами представляют собой частный случай функций преобразования, которые осуществляют трансформацию от системы 3(<у —</') к самой системе un(9). Если, в частности, выбрать в качестве ып (<?) такие ып(^), которые приводят определённый оператор Гамильтона Н к диагональному виду Нпт = Епйпт, то можно сказать, что в силу (169'), ип№ являются функциями преобразования от оператора q к оператору Н, ибо q имеет диагональную форму в системе 3(^—д'), а Я в системе ип(д). Что касается второго соотношения (170'), то оно представляет собой только другое — символическое выражение условия полноты. С помощью интегрирования для двух произвольных функций /, g можно перейти снова к «действительному» (не символическому) уравнению

2 $ fWnWdq • ^ &Vi'WqW= $ Г* п

которое точно совпадает с условием полноты (134'). В частности, это условие справедливо, если / и g равны 1 внутри определённых (не обязательно совпадающих) областей ' и равны нулю вне этих областей.'

Общая форма закона движения.

Наряду с перестановочными соотношениями мы ввели в качестве второго основного положения матричной механики требование, чтобы матрица энергии имела диагональную форму

Нп,т = ЕпКт.(165)

Гейзенберг прибавил ещё одно дальнейшее определение, относящееся к изменению матричных элементов во времени. Он установил, что матричные элементы любой, не содержащей времени явно величины зависят от времени по формуле:■-

■Fn,m(0 = Fn,m^eM(172)

или, при введении унитарной диагональной матрицы:

'Un.mW = 4meK ",(173)

F(f) = UWF^U-4t) = UWF^ UW. (174) В случае, если оператор Гамильтона не содержит времени явно, применение (174) к F=H даёт сохранение диагональной формы энергии (165) для любого L Соотношение (172) можно также выразить с помощью ' дйф- ференциального уравнения

|F„,m = F„.m(E„-Em),(175)

или

yF=HF-FH,(176)

если под Н понимать специально диагональную матрицу (165). В силу (165), из (176) следует обратно выражение (172) ).•

Соотношение (172) означает не что иное, как введение в формулу (151) для вычисления матричных элементов вместо функций ип .

4Ent

М<М/ ,(177)

которые удовлетворяют волновому уравнению

Действительно, тогда

г^(ЕМ=ЕП)1 г

Fk,n = ^k (F^n) dq = eKик (Fun) dq =

'^(Es-En)t

= e^ Fk,n^..

Мы можем теперь обобщить эти соотношения, вводя в качестве базиса для матриц произвольную ортогональ-

ную систему ф„, которая не обязательно имеет специальную форму (177); при этом, однако, нужно наложить существенное требование, чтобы все эти yn(t) удовлетворяли волновому уравнению

-тК-Н^п.(178)

Для всех решений (178) ^ ф*ф(/У постоянно во времени. Подставляя сюда решение cnyn + cmym для любых сп, ст> получаем

^Ф^^-О,(179)

т. е. ортогональность и нормировка функций сохраняются во времени. Далее, дифференцируя

Fn.m-^UFOdq,(180)

получаем соотношение

^Кл = \ [(Я?„Г IF?™) - ^ (FH?m)l dq =

= J V^HF^ - <pn (FH^A dq =

■= (HF^-FH)n, m.

справедливое для любого эрмитова оператора F, не содержащего времени явно. Таким образом мы получили уравнение (176)•

.^F = HF-FH,(176)

на этот раз уже без специального предположения относительно матриц. В силу этого правила, каждая система (совместных друг с другом и не содержащих времени явно) перестановочных соотношений сохраняется с течением времени, если она выполняется для f = 0 1),

Введём теперь предположение (до сих пор не обязательное), что Н тоже не содержит времени явно. Тогда, в силу (176), Н не зависит от времени. Следовательно, существует не зависящее от времени унитарное преобразование S, которое приводит Н к диагональной форме

S 1HS = E.

Это то же самое преобразование S, которое приводит <?„ согласно

= 2 ?n^n, mп

к специальной форме фп, данной в (177). Тогда из (173) и (174) мы получаем с помощью S

F(f) = 1/(0 F(0) и-Ц!),(174')

где

U=SeKEt S"1.

Под е» здесь понимается диагональная матрица 8nme» 1/, очевидно, унитарно, так как оно получается в результате перемножения унитарных матриц. Благодаря

SES^H

можно также написать

ии^А"-^ а(^"-йС1+^")” <175’>

которое формально получается из (176) при подстановке t вместо F. В общем случае невозможно построить эрмитов оператор (например, как функцию ри д), удовлетворяющий этому уравнению. Это получается уже потому, что из записанного перестановочного соотношения следует, что Н. имеет непрерывный спектр собственных значений от —со до 4-со (ср. Дирак, Квантовая механика), тогда как, с другой стороны, возможны и дискретные собственные Значения Н. Итак, мы заключаем, что введение оператора t зепрещается основами теории, и время в квантовой механике необходимо рассматривать как обыкновенное число («с»-число).Ср^ в связи с этим также E.Schrdding ex, Berl, Вег,, 1931, стр. 238. *

Это следует и прямо из (176), без перехода к диагональному представлению Е. Мы докажем далее, что U унитарно в том случае, когда существуют все степени Н для любого /. Прежде всего

U^U^U^t^(176)

и, в частности, '

.U^U <-t^ = U^ = L

так что.

U-1(f) = U( — f) = e ь .

Следовательно, если U ( — t) существует для того же множества функццй, что и U (t), то условие существования обратного оператора выполнено. Далее, последовательным применением■

ДбЧНЧ^дЦ(Н^УМд

ко всем степеням (Я)п оператора И можно показать, что^g4Undg=^U-^Vidg

и, в частности, для g = Ot

^ (Un4Undg=^rtdg.*

Таким образом, доказано, что U сохраняет нормировку функций. Uудовлетворяет дифференциальному уравнению

■ ^U HU, ^U'^-U'H,(177)

из которого, в силу (174), легко получается (176). Что касается значения Uj, то U в применении к коэффициентам разложения / по постоянной системе у, (0), <р, (0), ...

a.v av .... ■

должно переводить их в an(0 = S^n,m(0am(0)- В част- •.т

ности, можно выбрать систему ф4(0) в виде 8(^—д'\ Тогда U непосредственно переводит функцию / (0) в функцию /(0 так, что последняя удовлетворяет волновому

уравнению и произвольным начальным условиям • / (0) при t = 0:.

f(q^ = UWHq,O)=^Ulq,q'HW.W^ (178)

uAq-q'-yp^^ti-q'^A '

— y^U(q,q';ty=HU(fl,q'\f).(179)

Свойство U сохранять нормировку функций следует непосредственно из уравнения непрерывности и равносильно ^ U (q, q'-, tyU* (q, q"; t) dq = 8 tf - q-y, (180) далее должно иметь место

U4q'.q.t) = U(q.q'-, ^П-и-'^М'^(181)

и вообще

J U(q, q'-, tt)U(q', q-, ^ dq'= U <q’, q"; 0 + 0). (182) В этой функции U легко узнать обобщение функции, введённой в уравнение (60) § 2:

'in . / /-— im (fl—fl'P

mq.q'H) = lHq-q'0) = e 4 ^ Ду^к t

для свободной материальной точки, двигающейся в одном измерении. Образуя произведения функций из (60), легко получить согласно (61) 67-функцию для материальной точки, двигающейся в трёх измерениях, и совершенно аналогично —функцию для любого числа материальных точек. Для материальных точек, находящихся в поле сил, U зависит вообще не только от разностей координат (q — q') и в общем случае может быть построено только окольным путём, с помощью перехода к собственным решениям. Действительно,

U(q,g'-, 0=2 uUne^Untq), (183)

так как тогда, согласно (170'), условия (179) выполняются. Собственные функции ц„ характеризуются равенством

Uun = e-kEntun.(184)

Однако, существование рассмотренного здесь унитарного U должно быть постулировано как физически необходимое. Действительно, оно означает только, что волновое уравнение разрешимо при любой начальной функции /(^, 0), а также, что ко времени t может осуществиться любая функция Кд, /). Последнее равносильно тому, что любую функцию f(q, t) можно с помощью волнового уравнения проследить от момента времени/в прошлое.

Это положение связано с проблемой разложения эрмитова оператора по его собственным значениям, которая была сформулирована в уравнении (П1') на стр. 85. Прежде всего нужно более подробно исследовать область определения Оператора И, применяемого к многообразию функций /, для которых существует J | /1 * dq. Очевидно, нельзя требовать, чтобы оператор Я был определён повсюду, так как это не осуществляется уже для оператора умножения на ? (J?*|/|*tf? существует не для всех /). Можно, однако, .потребовать, чтобы область определения Н была повсюду плотной; это означает, что каждому /, для которого имеет смысл Я/, можно сопоставить такое g, чтобы существовало Hg, и J*|/— g\'dq было сколь угодно мало. Кроме того, следует потребовать линейную замкнутость Н: из

Нт \ |/—fyl *dq = O и Пт \ | F — Hf№\*dq = 0

N-*co -иN-*oo J

должно следовать H] — F.

Нейман1) в своих исследованиях об эрмитовских операторах получил замечательный результат, что не все операторы допускают разложение по собственным значениям (III). Оказалось, что для того, чтобы такое представление оператора Я было возможным, необходимо потребовать, чтобы Я можно было свести к унитарному оператору U. Это требование необходимо и достаточно для существования спектра собственных значений Я. Унитарный оператор U всегда допускает- разложение по соб-

ственным значениям в форме

'2я ‘

(иП=^е<в<1(РяП.(185)

о'

аналогичной (III)1). Здесь Рв и Рд — РЕ, —снова проецирующие операторы с свойствами (I) и (II). Собственные значения унитарного оператора всегда имеют модуль 1. Для унитарных операторов со свойством (176) можно записать разложение по собственным значениям сразу для любого t в форме•

U(t)f= уе к d(PEn-(185')

Для того чтобы свести оператор Н к унитарному оператору U, Нейман рассматривает оператор специальной формы

и=1±1*

X—iH

и приходит к выводу, что такое U повсюду определено. Специальный выбор U не играет здесь роли; достаточно, например, рассмотреть оператор. .

Г и \ N

который ближе соответствует физической интерпретации).

Покажем теперь, что, как уже упоминалось, существует исключительный оператор Н, который не может быть сведён подобным образом к унитарному оператору. Мы обсудим его здесь вкратце, так как он отнюдь не является чем-либо особо «патологическим», а напротив, Может быть простым образом интерпретирован физически. Рассмотрим материальную точку, движущуюся вдоль оси х (одномерный случай). Пусть при х —0 она отражается от вполне упругой стены, так что движение возможно только в полупространстве х > 0. Это означает, что мы рассматриваем, как допустимые, только такие функции /, которые определены в интервале 0<х<со, имеют интегрируемый квадрат модуля (существует j* |/|*dx) и, кроме того, исчезают при х=0, т. е. /(0) = 0. В этом функциональном пространстве vpx = v у- ^

представляет собой допустимый эрмитов оператор (и —постоянная с размерностью скорости, так что vpx имеет размерность энергии), так как, во-первых, область определения его повсюду плотна и, во-вторых, в силу /(0) — 0, он удовлетворяет условию самосопряжённости. Действительно,

^g*(px/)dx-^ (/>^)^ОО-

Однако для этого оператора в рассматриваемом пространстве не существует разложения по собственным значениям! Это становится очевидным, если рассмотреть решение уравнения

К ^, ft ^4»

i dti dx

или..

dt ' dx ’ которое имеет форму

Их, O-Z^-oO-(186)

Это решение справедливо в интёрвале времени 0 < t < т только в том случае, если при любом / этого интервала /=0 в точке х = 0. Следовательно, / (5) должно быть определено для области — vr<^<oo и, кроме того, должно выполняться условие:

/(0 = 0 при -вт<5<0,(186')

т. е..

^^}(I860

У(Х, t) = /(x — vt) при VT^XCOO. J'

Действительно, в силу (186),'

j I Ф(х, т) I1 dx = | ф (х, 0) ]1 dx оо

справедливо только, если выполняется (186"). Отображение U, которое переводит / (х) в функцию у (х, т), определённую равенствами (186"), не унитарно, хотя оно и сохраняет длину (нормировку) функции. Многообразие ф(х,т) меньше многообразия / (х) или, что то же самое, обратный к U оператор U-1 существует не для всех / (х), а только для таких . / (х), которые исчезают в интервале О^х^.вт. Для остальных / решение волнового уравнения в интервале — т</<0 не существует. Для того чтобы в рассматриваемом пространстве одновременно имели смысл N первых степеней рх, нужно тем больше .видоизменить первоначальную функцию /, чем больше"N. Подобный оператор, очевидно, не допустим в качестве функции Гамильтона. Опера-

§ 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ ЦЮ тор ^, напротив, ведет себя в рассматриваемом пространстве нормально и имеет собственные функции sin кх точно так же, как

R д _

и оператор -у — в обычном пространстве. Совершенно аналогично "д-*

оператору —^ в полупространстве ведет себя оператор радиальной слагающей импульса />г/=Д^(г/) в обычном пространстве. Это эрмитов оператор, но его матрица не может быть приведена к диагональному виду. Однако для входящего в функ-

1 д2

цию Гамильтона оператора pfi — —R* .—^(г/) такое приведение осуществимо; собственные функции этого оператора sin kr]r.

§ 9. Определение стационарных состояний системыс помощью измерений. Общее исследование понятияизмерения.

Прежде чем мы займёмся общим исследованием поведения системы при внешнем вдзмущающем влиянии, следует привести типичные примеры того, как возможно определение стационарного состояния системы при помощи измерения, т- е. посредством специально подобранного внешнего воздействия. При этом существенно принимать во внимание, что система, даже если она изолирована извне, не обязательно должна находиться в стационарном состоянии, или, что то же самое, не обязательно должна с достоверностью обладать одним единственным значением энергии. Напротив, наиболее о^цее состояние системы задаётся функцией

^ = ^сп^е^ un^=^cn^uAqY (187) п .

с не зависящими от времени, но в остальном произвольными коэффициентами сп(0). (Если речь идёт о системе с непрерывным спектром энергии, сумму следует заменить интегралом.) В общем случае только измерительная аппаратура создаёт стационарное состояние. Мы исследуем теперь, как отображается этот процесс в математическом аппарате волновой механики. При

НОнерелятивистская Теория(ч. l

этом мы получим в качестве основного результата простое статистическое истолкование коэффициентов сп.

Простейший способ исследования состояния системы (атома или молекулы) заключается в воздействии на систему внешним силовым полем, на которое системы, находящиеся в различных состояниях, реагируют по- разному. Пусть Q обозначает координату центра тяжести атома или молекулы. Произвольная функция ф^, Q; t) может быть представлена в виде

№QH)=^cnlQ^u,Aq.Q).

п

Здесь q обозначает координаты частиц системы по отношению к её центру тяжести, ип (q, Q) — собственные функции с значениями энергии En(Q), которые соответствуют рассматриваемым функциям ФА (q, Q) и V (д, Q) внешних потенциалов и удовлетворяют уравнениям

№3

-2^3 [(^-'£W+«+ а-1к

+ VW(x<a4QHV(qi, ....q^u^q, Q) = En(Q)un,

аналогичным (97). Q в этих уравнениях играют роль внешних параметров. Если внешние силы на протяжении системы изменяются мало, то ФА(х<а>4-р) и V<“>(x<a) + Q) можно разложить в ряды и ограничиться небольшим числом первых членов; в большинстве случаев даже первым членом:

з

Фк (х<“> + Q) = Ф* (Q) + 2 ^ xw + • • • •

У<«) (х<“)-I-Q) = V^(Q) + 2 tJ^ + • • •i-i

Тогда из общего волнового уравнения для cn(Q,/) мы получаем, пренебрегая опущенными здесь смешанными

членами, волновые уравнения следующего вида:

з

-т^“-^3^+в»«>с-(|88>

1=1

Физическое значение этих уравнений заключается в том, что зависящее от положения центра тяжести системы собственное значение внутренней энергии системы можно рассматривать просто как потенциальную энергию для движения центра тяжести всей системы.

Что касается природы опущенных смешанных членов, которые будут более подробно рассмотрены в § 11, стр. 141 — 142, то они затрудняют разделение волновых уравнений по сп, так как зависят от всех сп и их первых производных. Влияние их мало в том случае, когда движение системы происходит настолько медленно, что среднее смещение системы A^ = Q (f+т) — Q (/) за время '=Е ^_Е удовлетворяет условию

^AQ«En-Em.(189)

Особая осторожность нужна в том случае, когда при отсутствии внешнего силового поля рассматриваемое состояние системы вырождено, так что разность энергий Еп—Ет пропорциональна интенсивности внешнего поля. В этом случае неравенство (189) тоже является условием применимости волновых уравнений (188).

Волновые уравнения этого типа составляют основу всех опытов по отклонению молекулярных лучей во внешних силовых полях. Чтобы иметь дело со случаем, когда нет вырождения при наличии внешних силовых полей, можно сначала рассмотреть различные возбуждённые состояния, при которых суммарный вращательный момент системы равен нулю, и исследовать их разделение во внешнем электрическом поле. Пусть F — напряжённость электрического поля в точке Q; тогда в нашем случае Еп^ примет, вообще говоря, форму

£n(Q) = -“fF4Q),(190),

где ап, ..., ат, ... — значения электрической поляризуемости атома или молекулы в состояниях л,... ,т,...

В первоначальных опытах Штерна и Герлаха с молекулярным пучком разделились не различные возбуждённые состояния атома, а состояния с различным направлением вращательного момента атома. Энергия этих состояний равна

Ет = ЕеЛ-Ъопг, 1 (191) где т—магнитное квантовое число, пробегающее значения от — / до + / (целые" или полуцелые). Величина о, пропорциональная напряжённости внешнего магнитного поля Н, равна .частоте ларморовой прецессии ), умноженной на численный фактор g (так называемый фактор расщепления Ланде):

° = ^‘ (192>

Условие (189) означает здесь, что величины компонент Н по трём закреплённым в пространстве направлениям должны в месте нахождения атома испытывать лишь малые относительные изменения за время ‘/о-

Мы можем теперь, положив в снову волновое уравнение (188), обсудить, при каких условиях могут быть разделены во внешнем поле лучи, принадлежащие состояниям п и т. Представим себе цилиндрический луч с поперечником d, распространяющийся в направлении х. Согласно (82)\ центр волнового пакета движется вдоль классической траектории, соответствующей потенциальной функции En(Q). В силу (84) и (85) и соотношений неопределённости, ширина такого волнового пакета изменяется в соответствии с неизбежным разбросом начальных импульсов в направлении, перпендикулярном к лучу, порядок которого, по крайней мере, Pg^h/d. Это можно представить себе так же, как результат диффрак- ции луча при прохождении через ограничивающую диафрагму с отверстием d. Вычислим теперь отклонение

у„, .... , ут,... лУча во внешнем силовом поле по направлению у, соответствующее состояниям п, ... , т, ... за время /. С другой стороны, оценим расширение Ду луча в поперечном направлении за счёт упомянутого явления диффракции за то же время. Чтобы получилось два отчётливо разделённых луча, должно соблюдаться условие:

Уп-Ут»дУ. (193)

Если подставить значения входящих сюда величин

' Уп 2М dQ„ ’ Ут 2М dQ8 ’ у Md ’ то условие (193) даёт

rf^п.(194)

Соответствующая разности энергий Еп—Ет частота vnm равна

vn,m = -^2-.(195)

Обозначим теперь через 8/ = d -^- изменение какой-либо величины / на протяжении поперечника луча. Тогда /Ч,т»1-(194')

<vn,m»l. (196) находится ли система в состоянии п за произвольно короткое время. Для необходимо минимальное время .1 к<vn,m»l. (196) находится ли система в состоянии п за произвольно короткое время. Для необходимо минимальное время .1 кВо всех случаях далее справедливо неравенство 8vn,m<vn. т (в действительности Bvnt m много меньше^ чем vni m). Поэтому имеем:

<vn,m»l. (196) находится ли система в состоянии п за произвольно короткое время. Для необходимо минимальное время .

1 к

<vn,m»l. (196) находится ли система в состоянии п за произвольно короткое время. Для необходимо минимальное время .

1 к

Нельзя определить, или в состоянии т такого определения

^п.т . Вп — Ет

В случае классического опыта Штерна и Герлаха энергия даётся соотношением (191), а минимальное время равно, таким образом, */», Мы увидим, что минимальное время

88Общие принципы волновой механики

8

8

Vvn.m получается при всех методах определения состояния системы, а не только для рассмотренного здесь *).

Отличительным свойством опытов по отклонению .молекулярных пучков является то, что если до опыта молекула (или атом) находилась в одном из состояний. п, т^ ... , то после этого опыта она практически с достоверностью находится в одной из областей Vn, Vm, ..., совершенно разделённых между собой (но, возможно, зависящих от времени). Если, таким образом, вначале было с„ = 1, ст = 0 для п + т, то после такого процесса решение имеет вид

Mq.Q;n = <UQ, t)un(q,Q). (197)

Здесь различные ип (q, Q) при любом заданном Q ортогональны между собой, как функции переменной q. Кроме того, в случае постоянного в пространстве внешнего поля, и не зависит от координат Q. Далее, как следствие уравнения непрерывности, имеем

^anandQ=\, ^a*namdQ = O при n=£m, (198) и благодаря указанным свойствам опыта,

an(Q, 0 вне УпЦУ(199)

Линейность волнового уравнения, которую мы здесь используем существенным образом, позволяет найти волновую функцию ^(д, Q; t) системы после опыта по отклонению луча при произвольном внутреннем начальном состоянии системы ^cnun(.qy. п

Ф (q. 910 = 2 с^п ^q. QH^^ спап (Q, 0 ип VbQ), (200)

Согласно развитым уже общим принципам вероятность нахождения системы в области (Q, Q + </Q) при произ.

^Соотношение (196') не равносильно по содержанию с рассмотренным ранее соотношением неопределённости AEAf~R, так как в последнем речь шла о продолжительности времени, в течение которого частица с энергией, определённой с точностью до ДЕ, находится в определённом месте. Здесь, напротив, не участвуют никакие g-величины, кроме Е и L

§ 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ Ц§ вольном значении q равна

W^dQ = dQ $ Wq, Q;ndq = ^\cnVK(QjyfdCK2O^ (n)

В силу (199), мы находим далее, что в общем случае вероятность найти атом в области Vn равна

^W№dQ = \cn\\(202)

v*

Это статистическое утверждение можно по определению считать равносильным следующему высказыванию: в общем случае |сп|2 представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии Еп.

Вероятность найти после опыта по отклонению пучка координату q между q и q + dq (при любом значении Q) равна, в силу (200) и (198),

W (?) dq= dq $ П Vb Qv t)dQ = ^ | cn |2 | un j2 dq. (203) (n)

При этом предполагается, что ип уже не зависит от Q, как было пояснено выше. Совершенно такое же выражение получается для вероятности в пространстве импульсов. Эти результаты оправдывают сделанные выше определения.

Мы можем рассматривать центр тяжести атома как специальный «измерительный аппарат» (при этом существенно только, чтобы его координаты были новыми степенями свободы системы), а энергию Еп внутреннего состояния системы—как измеряемую величину. Вместо центра тяжести атома можно использовать любой другой аппарат (при этом Q описывает как бы положение стрелки прибора). Необходимо только потребовать, чтобы этот аппарат с достоверностью различно реагировал на различные состояния системы, что как раз и выражает уравнение (199). Последующее отвлечение от степеней свободы аппарата, которое при расчёте формально сводится к интегрированию вероятностей по q, приводит, в силу (203), к следствию: фазы амплитуд ст, относящихся к измеряемой величине, не входят в окончательный результат. Вероятность найти какую-либо величину Е, характеризующую систему, между Е и Е + (/Е равна сумме

этих вероятностей для тех случаев, когда измеряемая величина имеет определённое значение, умноженных на соответствующие весовые факторы |сп|:-

W(6) Я = 21 сп 1‘ W„ (5) Я ( 21 ^ |* = 1), (203') nn

в частности, это верно для канонически сопряжённых величин q и р, причём W„ (?) = | и„ (?) i*; a Wn^ = ^ М/0 !*• В этом случае рассматриваемую совокупность называют смесью (Gemisch) в отличие от чистого состояния (reine Fall), при котором вероятность W(5) не может быть представлена в виде суммы соответствующих вероятностей всех возможных случаев одновременно для всех величин 5 или, чего уже достаточно, для двух канонически сопряжённых величин 6. Измерение внутренней энергии Еп системы и связанное с ним отвлечение от степеней свободы измерительной аппаратуры создаёт из чистого состояния, для которого

W (q) dq = | V cnun (?) |* dq; W( p) dp = 12 cn»n (P) dp |*.

в общем случае (т. е. когда не все сп, кроме одного, исчезают) смесь, для которой

^ (?) dq=21 сп i‘ I ип (?) I’ dq; IF (р) dp = 2! сп |* | vn (р) \Мр. 71П ‘

Этот результат, который вытекает из введённых нами ранее предположений, без дополнительных допущений, и существенным образом основывается на линейности всех волновых уравнений, имеет решающее значение для свободного от противоречий понимания измерительного процесса и связанных с ним понятий в волновой механике. Действительно, этот результат указывает, что получаются одинаковые результаты, независимо от того, где производится необходимое разделение между наблюдаемой системой, которая описывается волновой функцией, и измерительной аппаратурой1).

То обстоятельство, что применяется определённая измерительная аппаратура, находит непосредственное выражение в математическом аппарате квантовой механики. Иначе обстоит дело, когда нужно констатировать, что измерение дало вполне определённый результат; в нашем случае: «центр тяжести атома находится после опыта в области Уп», «энергия атома имеет значение Еп, а не какое-либо другое значение». Такое установление физического факта при помощи не принадлежащих к системе измерительных средств (наблюдателя или регистрирующей аппаратуры) представляет собой с точки зрения математического аппарата теории, описывающего прямо лишь возможности (вероятности), особый акт, не определённый заранее законами природы, который дополнительно входит в вычисления как редукция волнового пакета (в нашем случае ^cnun(q) переходит в ип(^)). Совершенно аналогично обстоит дело уже и с измерением положения частицы. В этом случае следует заменить 2 спип (?) функцией ф (_q, О и понимать под Q координату светового кванта в фокальной плоскости окуляра у-луче- вого микроскопа. Как уже было замечено в § 1, необходимости такого особого акта не следует удивляться, если вспомнить, что при каждом измерении имеет место некоторое принципиально неконтролируемое взаимодействие с измерительной аппаратурой. При этом важно обратить внимание на то, что способ выражения, согласно которому система должна обязательно иметь - определённую внутреннюю энергию Еп, или, что то же самое, находиться в определённом стационарном состоянии, независимо от определения энергии с помощью измерений, легко приводит к противоречию, особенно там, где старая квантовая теория говорит о «переходах» между различными стационарными состояниями системы. - .

. Обычно в квантовой механике то, что здесь говорилось об измерениях энергии системы, распространяют также на измерения «любой физической величины». Мы, напротив, обсудим это обобщение несколько позже из-за того, что, как мы видели, для таких измерений необходимо в общем случаё конечное минимальное время,, и поэтому приходится принять во внимание, что рассматриваемые

величины могут измениться с течением времени (ср. §10). При измерении энергии системы это усложнение отпадает, так как энергия постоянна во времени. Действительно, вероятность того, что энергия системы равна Еп, даётся | сп |8 и, в силу соотношения сп (t) = сп (0) е ^ ?* , получаем |cn№i2 = Vn(0)|8.(204)

Вероятность найти определённое значение энергии Еп замкнутой системы не зависит от времени. Это—наиболее общее выражение закона сохранения энергии. Доказанная выше теорема, которая гласит, что среднее значение энергии Е всегда постоянно во времени, получается отсюда как частный случай, так как среднее значение равно

Ё = 2М%.(205)

п

Здесь полезно ввести матрицу плотности Р. Эта эрмитова матрица, введённая впервые И. Нейманом1), позволяет удобно вычислять средние значения какой-либо величины в заданном состоянии.

Пусть имеется состояние, которому соответствует собственная функция

Ф = 2 ^(ФФпС?- 0 = 2 сп(0)« К " Un(qY п

Определим в матричном представлении, в котором Н=Е приведена к диагональному виду, матрицу

Рт,п = ^т№(206)

Тогда среднее значение энергии даётся выражением пп

среднее значение q, в силу того, что п,тп,т

х) J . v. Neumann, Gottinger Nachr., 1927, стр. 245; ср. также Р. А. М. Dirac, Proc. Camb idge Phil. Soc., 25 , 62,1929; 26, 376,1930 ; 27, 240,1930.

§ 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ И9 равно

n,mп

Подобно этому среднее значение любого оператора F даётся выражением:

F = ^ Г ^ d? = 5 с» ^ с« ^ Fn_m (0) =n,m

= 2(0) Bm,n= 2

Шпур матрицы X, по определений), равен сумме диагональных членов

Spur (Д) =2 Хпп. ’(207)

п

Шпур матрицы имеет важное свойство: шпур произведения двух матриц А и В не зависит от порядка сомножителей, т. е. представляет собой коммутативное образование

Spur (АВ) = Spur (ВА).(208)

Действительно,

Spur (АВ) = ^ An,mBm,n•т,п■w

симметричен относительно А и В. Если подставить в (208) A = S~IX; B=S, то отсюда получается важное для дальнейшего соотношение:

Spur (S-1XS) = Spur X.(209)

В частности, шпур матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования матриц.

Наши предыдущие результаты могут быть объединены следующим образом: для наиболее общего состояния системы матрица плотности Р определяет среднее значение оператора F

'В = Spur (РВ) = Spur (РР);(210)

в частности, можно подставить сюда вместо F Координату q, импульс р, или энергию системы Н.

Это выражение, вследствие (209), инвариантно относительно изменений представления матриц. Например, если q приведено к диагональной форме, имеем

Р= Р(»', 7") Р(»', »')</»'d»'.

Таким образом, если, например:

PW, q’) = W. О A*w кч*. 0; F^q', q',') = 6(q,-q,')F(q''),

то

/ (?, OF (1)*(1, 0 <11.

как и должно быть. Далее, зависимость Р от времени выбрана так, что для не зависящей явно от времени матрицы F получаем правильную зависимость от времени среднего значения F. Действительно, согласно (206)

4р —р р"р р

( т.п т.п^а *-’т т.п'

и, следовательно, вообще

уР=- (НР-РН).(211)

Подставляя это в (210), действительно получаем [в соответствии С (176)]

F = Spur (PF) = — Spur (HPF) + Spur (PHF) = = - Spur (PFH) + Spur (PHF) = = -Spur (P, FH-HF)=(HF-FH).

Следует отметить, что знаки в правой части (211) и (176) противоположны.

До сих пор мы рассматривали только чистые состояния. Из (206) следует, что для наиболее общего чистого состояния матрица Р после приведения к диагональной форме с помощью унитарного преобразования всегда равна

ГО0

Р_ — = 8„ т, т. е Р= n,tn nftn*

о

0J

Следовательно, одно из собственных значений Р равно 1, остальные равны нулю. Мы увидим, что это является также достаточным условием чистого состояния.

Как заметил Нейман, матрицу Р можно обобщить таким образом, чтобы соотношения (210) и (211) имели место также для смеси. А именно: матрица Р наиболее общей смеси получается путём линейной суперпозиции возможных матриц Рх, Р*. ... чистых состояний по следующей формуле:

Р^^РпР^ (212)

9

где

З^”^1, Р«^>°'(212')

(п)

Легко видеть, что так как Spur(P„) = l для всех Рп, то, в силу (212'), имеем универсальное соотношение

Spur(P)=l.(213)

Соотношение (213) действительно необходимо вследствие (210). Это легко обнаружить, подставив вместо Г единичную матрицу. Мы утверждаем, что Р положительно дефинитно, т. е. что все неисчезающие собственные значения Р положительны.

Р не имеет отрицательных собственных значений. (214).

Это высказывание равносильно другому: для всех (эрмитовых операторов, представляющих собой квадрат, соблюдается неравенство

Spur (РА*) >0.' (214')

Действительно, если привести Р к диагональному виду, то из (214') следует ■

5^,„5iAn,Ni*^o

п к

для всех А„ h; таким образом, Рп п^0 при любом л. Отсюда, обратно, следует справедливость (214') при таком специальном представлении матриц. Благодаря инвариантности шпура это справедливо в любом представлении. Из (214') можно видеть, что сумма двух положительно дефинитных матриц есть снова положительно дефинитная матрица. Поэтому сумма нескольких положительных матриц может обратиться в нуль только в том случае, если все слагаемые порознь равны нулю. Поскольку рпРп являются положительно дефинитными матрицами, мы теперь видим, что (214) действительно есть следствие (212); обратно наиболее общую эрмитову матрицу, удовлетворяющую условиям (213) и (214), можно представить в форме (212), причём матрицы Рп, которые соответствуют чистым состояниям, могут даже рассматриваться как коммутативные. В частности, если представить себе Р в диагональной форме (РП1П)> то достаточно просто положить рп = Рп п, тогда как Рп только на л-ом месте имеет элемент 1, а остальные элементы все равны нулю.

Мы можем теперь охарактеризовать чистые состояния с общими матрицами Р, которые удовлетворяют только условиям (213) и (214), более простым образом, а именно с помощью соотношения

Р»=Р.(215)

Эрмитова матрица тогда и только тогда удовлетворяет соотношению (215), когда этому соотношению удовлетворяют все её собственнее значения, т. е. корда они равны —1,0 иди +1. Соб-

ственное значение — 1 исключается благодаря (214), а из (213) тогда следует, что только одно собственное значение равно 1, а остальные равны 0. В общем случае Р — Р1 всегда положительно дефинитная матрица, так как собственные значения Р в силу (213) всегда меньше или равны 1.

Мы покажем теперь, что при сложении двух совокупностей с матрицами плотности Q и Р согласно‘

P = PiQ-V-P*R (0<Pi< 1, 0<ра< 1, Pi+p2=l)

никогда не может возникнуть новое чистое состояние. Оно получается только,, когда Q = R = P. Чтобы показать это, образуем

P'-pXQ^PiP^qr^rqHpXRV .

с другой стороны, имеем:'

(Q-P)» = Q«_(QP + PQ) + P*

и, следовательно,'

Р* = Р1<Р + PiR*—РА (Q — R)1

(при этом уже принято во внимание, что Pi + p2=l, и потому подставлено р^ + РА = Pi и р^+ ра = РгУ Таким образом находим

Р-Рг = Pi (Q - О’) 4- р. (Я-R4 + pa (Q —R^; *

в правой части стоит тогда сумма существенно положительных матриц. Если бы Р принадлежало чистому состоянию, то благодаря Рг - Р обращались бы в нуль все матрицы правой части в отдельности, и, в частности, мы имели бы:

.(Q-R? = 0.

Однако, квадрат эрмитовой матрицы может исчезать только тогда, когда все элементы самой матрицы равны нулю (это видно, например, из (Д*)п,п=2 l^n.hi*)- Итак, получаем

к'

Q = R,

что и требовалось доказать. Определение чистого состояния, как такой совокупности, для‘которой собственное значение матрицы плотности равно 1, а остальные 0, оказывается, таким образом, эквивалентным другому определению, по которому чистое состояние не может быть получено путём смешения двух различных совокупностей.

Нейман *) далее показал, что величина

-s Spur (Р log Р)■(216)

' *) Изложение общей квантовой статистики на основе волновой механики лежит вне рамок настоящей книги. См. П. Иордан, Статистическая механика на основе квантовой теории, 1935. "

§ 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ 123 с точностью до фактора 1/fc (к — постоянная Больцмана) играет роль энтропии для распределения плотности Р. Для чистого состояния, и только для него, энтропия исчезает, так как Pn n logPn-n = 0 как при РП;П = 0, так и при Рпп = 1. Если, как мы всегда предполагаем, соблюдается соотношения (213) и (214), то условие...

Spur(P logP) = 0(215')

будет равносильно условию (215). Распределение Р, которое при заданном среднем значении энергии

E = Spur(//P)•

даёт наименьшее значение величине Е, представляет собой каноническое распределение

P = Ce~Hie, .(217)

где 0 —постоянная, которая имеет значение температуры, умноженной на к, а С должно быть определено из условия нормировки (213). Свободная энергия даётся выражением

e-F/® = Spur(e~"/e),(218)

так что (217) можно также написать в виде

. р = е^-н^в.(217')

Если оператор Гамильтона Н приведён к диагональному виду, то Р также диагонально Рп п = е~Еп1е и, согласно (218),

e-Fie_\^ ,-Enie.(2i8')

п

Однако, инвариантность (218) относительно представления матриц в некоторых случаях оказывается полезной ).

Рассмотренный выше способ измерения энергии системы обладает тем свойством, что непосредственное повторение измерения даёт то же самое значение измеренной величины. Иными словами, в том случае, когда результат применения измерительного аппарата неизвестен, а известен только сам факт такого применения (по терминологии первого параграфа в этом случае измеренная величина остаётся после измерения неизвестной, но определённой); вероятность того, что измеренная величина имеет какое-либо определённое значение после измерения, такая же, как и до измерения. Мы будем называть такие измерения измерениями первого рода. Может, напротив, случиться, что измерение изменяет состояние

системы контролируемым образом, в частности, это происходит, если в начальном состоянии (до измерения) измеряемая величина с достоверностью имела определённое значение. Результат повторного измерения тогда не совпадает с результатом первого измерения. Несмотря на это, не исключена возможность однозначных заключений о значении измеренной величины в данной системе до измерения по результатам измерения. Такие измерения мы будем называть измерениями второго рода '). Уже в § 2 мы увидели, что измерения импульса первого рода выполнимы только за достаточно большое время, измерения импульса второго рода осуществимы, однако, и в короткое время. •

Примером измерения энергии второго рода является возмущение атомной системы посредством удара с последующим измерением энергии ударяющей частицы. Пусть в момент времени 0 измеряемая система находится в состоянии л, а ударяющая частица имеет начальную кинетическую энергию е. Вероятность того, что ко времени t возмущённая система находится в состоянии т, а ударяющая частица обладает кинетической энергией между ®' и e' + ds', даётся следующим выражением:

Wm(3') de' = Апт Г ] de'_ (219) Эта формула следует из общего аппарата теории возмущений [§ 10, уравнение (241,) и стр. 137—138]. Здесь уже выполнено интегрирование по направлениям начального и конечного импульсов, и подразумевается, что энергия и импульс связаны соотношениями е = рг[2т и е' = р'*[2т. Если t > ■, „ А-.----., как в (196'), то выражение в скобках существенно отлично от нуля только тогда, когда

Em-En-(e-?)~f »

т. е. когда измеренная величина е —s' лежит вблизи значения разности Е, —Е„ (для какого-либо /), если система находилась в состоянии п или вблизи Ei — Em, если она была в состоянии т. Благодаря наложенному

। g] ойрёдёлёние стационарных состояний системы 12В на время условию, интервалы (е —в'), в которых IV(в') заметно отлично от нуля, чётко отделены друг от друга. Таким образом можно различить, обладала ли система первоначально энергией Еп или Ет.

Этот опыт становится ещё несколько проще, если благодаря удару система ионизуется, так что энергия Ет оказывается непрерывной, и можно записать вместо (219)

W^E^de'dE'» '

= АДЕ')[^^^-^^ (219') Тогда становится возможным измерение в, в' и Е' с помощью известных методов и, если система находилась до удара в состоянии п, то Е' 4-е —е' с точностью до ^jt оказывается равным Е„.

При этом особенно существенно сохранение энергии в процессах столкновений. Кроме того, можно показать, что в границах справедливости неравенства (196') энергией взаимодействия системы можно в энергетическом балансе пренебречь. Тем самым снова оправдано, что Е„ можно называть собственным значением энергии системы.

Мы исследуем теперь, какие заключения можно сделать из опыта с соударением при произвольном начальном состоянии системы, которое может быть задано следующим образом: .

Ф=Ж«л-

Если выполнено неравенство (196'), то в правой части (219) или (219') исчезают все смешанные члены, получающиеся при умножении величин с различными значениями индексов п и т. Поэтому при измерении е — е' или соответственно е—;е' и Еп получается непосредственно мера |cn|*An>m или |сп|*Ап(Е'). Усложнение, вносимое фактором Anm или А„(Е'), можно обойти, если заставить ударяющую частицу продолжительное время отражаться взад и вперёд так, чтобы она каждый раз соударялась с системой, и измерить полное окончательное изменение её энергии. Это последнее будет в | сп |* случаях совпадать с одной из разностей Еп — Ет (т—произвольно). В случае ионизации и одновременного измерения в —в' и Е' в |сп|* случаях Е'—(• — «') будет совпадать б Еп.

Теперь мы можем дать общую схему измерений второго рода с помощью собственной функции 9 измеряемой системы и ЧТ измерительного аппарата. Установленные состояния измерительной аппаратуры могут описываться системой функции ик (ортогональной, полной и нормированной). В приведённом выше примере под к следует понимать разность энергий е—е'. Так как нет существенного различия между случаями дискретного и непрерывного к, то мы будем пользоваться обозначениями первого случая и писать суммирование по к, также и тогда, когда речьидёт фактически об интеграле. Пусть*

Ф - 2 ^

—состояние измеряемой системы до измерения (un ортогональная и полная система). Тогда

2 фа

—состояние составной системы (измеряемая система-]-измерительный аппарат) после ивмерения. Кроме того, благодаря линейности всех гамильтоновых функций фА линейно зависят от сп:

ф^=2^п)-(220)

п•

При этом 2 \ 1Ф^М9=! для всех сп* следовательно, 2\l^)18dg=L После того как зафиксировано определённое значение к для «аппарата», волновой пакет ф видоизменяется, превращаясь, с точностью до постоянного нормирующего фактора, в волновой пакет фА. Однозначное заключение о сп на основании измеренной величины к возможно тогда и только тогда, когда для каждого к существует только одно vW, отличное от нуля. (Различным к могут, однако, соответствовать также и совпадающие л.) Состояния к могут быть тогда разложены в отдельные друг от друга группы тацрм образом, чтобы

§ 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ 127 каждая группа соответствовала одному определённому значению л. Мы заменим поэтому/с двойным индексом л, т и запишем вместо (220)

фп, m ” Спип, т,(220 )

где для всех сп из 2 I cn i2 = 1 должно следовать .

2 5 l^.ml2dQ=L

"п,т•

Это равносильно

^Уп,т12^=1.(221)

Вероятность получить аппарат после измерения в группе л, m с определённым п должна равняться вероятности того, что система до измерения находилась в состоянии л. В соответствии с этим находим.

.Ki2=2$l^l,dQ-(222)

т'

yn, m можно конечно разложить по ип:

Для каждого (л, /л) тогда следует из (220)

^Tiin.m^l.(223)

I ,т'

Это условие, очевидно, значительно слабее, чем условие ортогональности. В частности, при измерениях первого рода Т—единичная матрица. В общем случае измерений второго рода специальные состояния, при которых одно из сп равно 1, а остальные равны 0, обладают тем свойством, что о результате измерения может быть сделано некоторое определённое высказывание с достоверностью. А именно: измеренное к должно попасть в определённую группу (л, /л) с наперёд указанным л.

Вернёмся снова к нашему примеру измерения энергии с помощью столкновения. Если речь идёт о возбуждении, то мы предположим, что каждое значение разности энергий Еп—Ет соответствует только одной определённой паре состояний. Тогда "каждому к, т. е. каждому

значению е—е', соответствует одно единственное Еп. Кроме того, тогда все un-m совпадают с точностью до постоянного фактора с ит и, следовательно, не зависят от п. В случае же ионизующих столкновений мы будем предполагать, что энергия Е* вылетающего электрона также измеряется специальным аппаратом, е—е' и Е' играют тогда вместе роль к. Каждому к соответствует одно единственное п, которое определяется равенством Е*—(е —е') = Еп, в то время как Е' играет роль т. u„im здесь снова не зависит от л и представляет собой собственную функцию непрерывного спектра с энергией Е‘.

Общий аппарат теории возмущений.

Для многих приложений существенно иметь приближённый метод для решения волнового уравнения, который был бы применим, когда матрица энергии хотя и не совсем диагональна, но недиагональные элементы Нт> п малы по сравнению с разностями диагональных элементов ■

Нт1П«Нт.т-Нп;п.(224)

При этом мы вначале ограничимся исследованием стационарных решений волнового уравнения и будем предполагать, что уже введена подходящая полная ортогональная система функций и,, и в которой это условие выполнено. В этой системе волновое уравнение для стационарных состояний гласит

2Ят,псп = стЕ.(225)

.(»)■'

Собственная функция, принадлежащая Е, равна

«<Е)-^сп(Е)еп,' птак как из .

HVm='21VnHn,m,

тогда, в силу (225), действительно следует

Ни = Еи.

§ Ю]

Если vn ортогональны и нормированы, то чтобы нормировать и, необходимо потребовать

2:сп!*=1;(226)

п

из (225) далее следует, что для различных Е всегда имеет место равенство■

2с;(Е)сп(Е') = 0, когда Е Ф Е*.(226')

Если Е дискретно, т. е. если (225) разрешимо только для дискретных значений энергии Е„ Е,то можно вместо сп{Ек") писать также

сп (^t)= 8п,к,

причём тогда, в силу (226) и (226'), Sn,k образуют унитарную матрицу. Предполагая, что А может также пробегать известные области значений (быть может, многомерные) непрерывно, мы получим самый общий случай, если заменим в этих областях все суммы по к интегралами.

Введём теперь для того, чтобы приближённо решить уравнения (225), предположение, что недиагональные элементы НП1т малы по сравнению с диагональными элементами. Чтобы формально выразить это обстоятельство, мы представим себе недиагональные элементы умноженными на некоторый числовой параметр е, по степеням которого должны быть разложены сп. Мы полагаем

Нп,п = Е® + sSn,n; Нт^ = е2т,„ при и ^ т, (227) и будем искать теперь решение, лежащее вблизи собственного значения Е^, т. е. систему коэффициентов сп, которая в нулевом приближении обращается в 8nk:

(228)(228)Е^Е^Ч еЕ^Ч^Ч ... 1

(228)

(228)

Сп.к = 8n Jc + ®СпЛ + ^СпХ + • • •'

Общие принципы волновой механики

Приравнивая в уравнении (225) выражения при равных степенях е, получаем:

Е^ с^к + 2m,ft = 6т.лЕ^ + ЗД\(229х)

= 8m,hEh2) + сМР + с^кЕ(^. (229,)

Из первого уравнения (229) прежде всего следует, что при т = к

E^ = Qk,k.(230)

Изменение к-го собственного значения равно диагональному элементу (математическому ожиданию) энергии возмущения 2 в этом состоянии. При т Ф к получаем

с^ = - e^eW приток. (231J

Значение с^к при этом остаётся неопределённым. Мы должны, однако, принять ещё во внимание условие нормировки (226), которое после разложения по s даёт

сй+сй‘ = о,(232,)

^4-^-+2к»У=0.(232,)

Из первого уравнения тогда следует, что с^ может быть произвольным, чисто мнимым числом. Эта неопределённость соответствует тому обстоятельству, что в решении (225) всегда остаётся произвольной фазовая постоянная.«Если сп.к является решением, то и

при произвольном 8* также будет решением, и можно, не приходя в противоречие с предположением (228), допустить, что

8л = в8^ + в«8^)+..., где 8^, 8<г), ... совершенно произвольны.

Перейдём теперь к обсуждению второго приближения. Прежде всего из (229а), принимая во внимание (230!), получаем для т = к

-Vo,. /-WV

Ch — ^кпС„-,к —£(0)_£(0) —

nn n ^

_ XI' I Qk,« I2_ XI' I Qk,« I2(230,)(230,)

_ XI' I Qk,« I2

_ XI' I Qk,« I2

(230,)

(230,)

Штрих у знака суммы означает, что при суммировании опускается значение п = к. Для самого нижнего состояния к это возмущение собственного значения всегда отрицательно. При т Ф к из (229,) получаем

£(2) гп(0)р(0)1 /ОО ^ л^) Х^' О V^

п^=тдля т^к (231 а)п^=тдля т^к (231 а)^mik l^m ’ С*к J —(“m,m ™к,к) Спцк « /1 ^m,n Сп>к>

п^=т

для т^к (231 а)

п^=т

для т^к (231 а)

*(2) _ (^m,m^h,Z?) ^«Л ।

m>h (Е^>-£<»>)•

■ XI'^m.n^n.h

+ 7 (Е^-Е^НЕ^-Е^) пфт

с^ не входит в эти уравнения и должно только удовлетворять условию (232а). Мы можем сформулировать эти результаты более наглядно, введя эрмитову матрицу Т с элементами

7X^ = 0, Tm^^i ,Q) ^^(о) Для т Ф к1, (233) Ьт —Ек

тогда

Cm\k = iTm,k при тфк,(231')

.E(h2) = (Te)hh.(232;)

c^--'^FSrTrn,h-(r)m,h при тфк. (231^

Заметим, кроме того, что бесконечно малое унитарное преобразование 5 всегда может быть представлено с помощью эрмитовой матрицы Т, умноженной на мнимую единицу L Действительно, если-

S=14-efT,(234)

то условие

$5=5s-1.

При пренебрежении высшими степенями е эквивалентно

Т= Т.(234')

т. е. эрмитовости I (ср. § 8). Благодаря этому согласно (232х) и (231') с^ с точностью до множителя i равно эрмитовой матрице.

Из выражения (231) для с^^, учитывая (227), можно видеть, что условие (224) действительно необходимо для применимости нашего метода разложения. Если это условие нарушено, то малость е ещё не оправдывает применения нашего метода, так как е с^к становится тогда по порядку величины сравнимым с 1. В частности, это имеет место, когда рассматриваемая система вырождена, т. е. когда несколько значений энергии точно совпадают. В этом случае приходится сначала особо рассматривать соответствующее подпространство конечного числа измерений и отдельно решать задачу о собственных значениях

в

^Н^-с^Е, т=1,2g. (225') п—1

В пространстве g измерений, в котором EW—Е^ совпадает по порядку величины с Qm,„, эта задача представляет собой чисто алгебраическую проблему и всегда разрешима. g новых собственных значений Е определяются из условия равенства нулю определителя [так называемого «секулярного (или векового) детерминанта»]:

Н„ -Е, Н.Н1д

(235)(235)H1V Ни—ЕН1д

(235)

(235)

ЙдцНдг> • • •> Ндд—Е

которое представляет собой уравнение степени g относительно Е и при эрмитовом Нп,т имеет всегда g вещественных корней. После выполнения преобразования йт = 2 с«;"*уп>

п

с сп;т, определёнными из (225') при Е = Ет, наша орто-

§ 10]

тональная система vn как бы приспособляется к функции возмущения 2, и тогда можно снова применять первоначальный метод возмущения. После такого преобразования обращаются в нуль все Qm,k, для которых т и к оба лежат в рассматриваемом подпространстве. Поэтому (231J) и (230а) опять применимы, если соответствующим образом обобщить определение при т ч=к и л 4= к. Мы будем теперь под этим понимать: что состояния тик или, соответственно, пик, обладают существенно различными невозмущёнными энергиями (лежат в различных из рассмотренных выше конечных подпространств). Неравенство (224) теперь должно выполняться только для этих пар состояний..

Разберём вкратце, как видоизменяется рассмотренный метод возмущения, когда .соответствующие значения энергии лежат в непрерывном спектре. Если заменить индекс л непрерывным параметром л, то получаем:

и(к) =с (л, k)v(ri)dn,

Ни (т) =и (л) Н (л, т) dn,

И (т, п)с(п, k)dn-=c(m, к)Е(к).

Зависимость Е от к остаётся при этом ещё совершенно произвольной, и мы можем определить её из соображений удобства. Вместо (227) следует положить

Н (т, л)=Е<,°>6(л1-л) + 82(л1, л), причём теперь сюда вошла несобственная 6-функция, определённая посредством (145). Точно так же

с(п, к) = 6(п — к) + tcW (л, к) + вМ1) (л, Л) + .. .

(229j) принимает следующий вид:

[Е°(т)-Ее(Ф] с^Цт, к)= — [Q (т, к) - EW (к) 6 (т - к)1. Благодаря присутствию 6-функции здесь нельзя просто подставить . т=к и ЕОЦк) оставить произвольным. Если Q(m, к) не обла-

т4 в

дает особенностью при т= к или, точнее говоря, если ^ S(m, k)dk m-в

при в—>0 исчезает, то целесообразно положить просто £(*)(/:) = 0. Итак, мы полагаем

й (т, ф-ЕМ (к") 6 (m - k) = Q' (ffl, к)

и требуем, чтобы ш+в

Пт \ Й' (т, к) dk — O. в-»о J■

1т-в

Тогда ...., хй'(т, к)

с()(т,к) —£(„) (т) _EW ^

обладает особенностью при т = к. Более подробное рассмотрение показывает, что для интеграла•

А+а

/ (т) cP) (т, к) dm, '

.А—а

где / (т) непрерывно, но в остальном произвольно, всегда допустимо брать его главное значение. Это последнее определяется как

А+аА—в А+а

Я\=НтГ\ + \1,J е^о L J J JА—аА—а А+в

или же как

А4-аА4-а

И ^ F (т, к) dm = 2. ^ [F (т, fc)-pF (1к — т, A)] dm, к-aк—а

где подинтегральная функция теперь регулярна. Это справедливо, в частности, для вычисления и (к) и v (п) с помощью с(п, к), а также для вычисления £(2)(А) и с(2)(ш, к). •

Перейдём теперь к рассмотрению возмущений, зависящих от времени. Мы будем искать решение уравнений

-^т = ^Нт,псп>(236)

считая заданным начальное состояние (при / = 0). Здесь матричные элементы разложения Н по зависящей от времени ортогональной системе равны

.(237)

причём может быть задана любая зависимость матричных элементов 2 от времени. Невозмущённое решение имеет вид .■

„ с(и°) (0 = с^ (0) е К .

Возмущённое решение мы будем искать в форме

Сп № = cW (0 + ecV> (0 + ^ (/) + ...

с заданными значениями сп(О) = с(,оЧО); таким образом с^ (0) = с^ЦО) =. .. = 0. Целесообразно выделить в сп

множитель е & * :.

=(238)

и положить

. е;,п (0 = 2m.n (0(239)

Тогда

-T^^Q'm.nWa^n(237')

п'

и, полагая -

а„ (0 = а№ (0 + eaw W + е2а<2) (/) + .., (й£*Ц/) = о^ЦО) = const), . имеем

-т^^Зй^Ю^ЧО),

-т^^е^мчо- n

Эти уравнения можно непосредственно проинтегрировать

aW^ = -^ W) Qm.nWdt, (240,) "о•

^>(0 = -^S^ ^AW^Wdt-1

' 0,t4240J

= -^S fl(»0)(0) st 2^(4^ t 2Z,n(^)^'. ■ n .Jo0'

Особый интерес представляет тот частный случай, когда Qm,„ не зависит от времени, так что, согласно (239), д' (О = В еГ^"^.'

“т.п V/ “т.пс••

Тогда (240) даёт £.<EW-EW)t

WH-S я^ (0) Qm>zl (0) е ^^(о) ~1,(241>)

XX.(241,).(241,)a^w= +2 aW) 2 Qm,z(O)Q,,„ (0) х пI

X

X

.(241,)

.(241,)

№°> - Е^) (еФ -Е<°>) - № - Е^) W - Е^) J

Если в (241J EW = E<°>, то рассматриваемая величина принимает следующий вид:

aTW Qm,n(0)lL

Эта формула применима, пока >| |Bm,n(0)l^-^ 1* Если в этом случае, когда один из знаменателей исчезает (резонансный знаменатель), нужно получить решение, пригодное для большого промежутка времени," то метод возмущений следует видоизменить аналогично тому, как это было сделано в случае стационарных решений для вырожденных или почти вырожденных систем.

Часто встречается смешанный случай, при котором отдельное собственное значение энергии невозмущённой системы лежит в области, содержащей также и непрерывный спектр собственных значений (явление предиссоциации, эффект Оже). В этом случае мы будем считать в (2411) индекс п дискретным, а т—непрерывным, причём матричные элементы Qm>n предположим нормированными относительно непрерывного параметра т. (Случай нескольких параметров m совершенно аналогичен этому.) Тогда может возникнуть вопрос о вероятности перехода системы за время t в какое-либо состояние т,

для которого:

Е^—^Е< E<°>(m) < Е<,°> + ДЕ, если в момент времени / = 0 она с достоверностью находилась в дискретном состоянии п [а^и) (0) = 1; а<,°>(/л; 0) = 0]. Для этой вероятности перехода W (/) получаем -

W (0 = у (т, 0 \*dm=^ dm \ 2m>n (0) |* х

•4 sin1 ^ (E^fm) — Е^) ^ J

Х [Е<0)(т)-Е(°)]а*

При этом интегрирование по т нужно выполнить по области, соответствующей интервалу энергии (Е^—ДЕ, Е(#°> + ДЕ). Если

^»Ь(242)

то здесь можно, введя в качестве переменной интегрирования'

[EW(m)-EW]f

с достаточным приближением вынести из-под знака интеграла |2m-n (0) [• и взять оставшийся интеграл в пределах от —• оо до 4-оо по х. Таким образом получаем

pym = iq (ОТ* ——

W 1 ыт,п W Iч ха ах,

и, так как интеграл равен л, то

"MO^ia^o)!';^. (243) Множитель ^L_ соответствует переходу от нормировки матричного элемента 2 относительно т к нормированию по EW^m). Если имеется несколько параметров т, например mv т4, /л8,то следует рассмотреть элемент объёма в m-пространстве для области энергии Е” — ДЕ < < Е(тх, т„ т,) < Е° 4- ДЕ. Если объём этой области

равен

dm1dm2dms ~ ш (Е") 2ДЕ,

(Е^ —ДЕ < E(mlf/п2, /па) < Ei +ДЕ), то вместо Иро^у в (243) входит множитель ш (Ei).

Использованное в § 9 уравнение (219) для вероятности перехода при соударении точно так же получается из общей формулы (241J. В этом случае невозмущённая система состоит из двух независимых частей. При этом полная энергия системы, входящая в (2411), равна сумме энергии обеих подсистем, так что Е, следует заменить через Еп + е, а Е° (/п) соответственно через Ет + е'. Еп и Ет здесь относятся к одному атому, а е и s' —к ударяющей частице.

До сих пор мы выбирали в качестве начальных состояний системы дискретные состояния. Можно точно так же рассмотреть и случай непрерывных состояний. Из (241) снова получается формулы типа (243):

W^t^^Q^Oy^^L^P^, (243') где Р (т) dm — плотность систем в m-пространстве. Это означает, что мы рассматриваем большое число систем, Р(т) dm-ая часть которых обладает значением т между т и m-V-dm. Далее: т0 означает такое т, для которого E(m0) = Ei. При этом, однако, здесь произведено усреднение по фазам а°т^У a |<Zm(0)|8, как не зависящее в рассматриваемом интервале от т, вынесено из-под знака интеграла и заменено через Р(/п0)- Вследствие эрмито- вости Q всегда Qm,n(0) |‘ = | Qn>m (0))“, что, согласно (243) и (243'), приводит к важному при рассмотрении теплового равновесия соотношению между частотой прямого и обратного перехода.

Рассмотренные здесь «процессы перехода» уже и в старой квантовой теории представляли собой случай, где причинное описание явлений становится невыполнимым,—в частности, уже потому, что из одного и того же начального состояния возможны различные переходы, выбор между которыми производит исключительно еде*

§11] АДИАБАТИЧ. И ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ 139 пой случай. Квантовая механика, строго говоря, не знает таких понятий, как разрывный «процесс», так как все изменения состояния системы во времени происходят непрерывно. Только наблюдение (измерение) устанавливает, в какое состояние система фактически перешла и дискретность, обусловленная конечностью кванта действия, связана исключительно с редукцией волнового пакета (символического и описывающего систему только статистически), которая необходима для разделения наблюдаемой системы и средств наблюдения.

§11. Адиабатические и внезапные возмущения системы. Наиболее общие статистические суждения квантовой механики.

Особый интерес йредставляют собой такие внешние воздействия на систему, которые могут быть описаны с помощью изменения внешних параметров (напряжённости внешнего поля, положения стенок и т. д.). Уже в старой квантовой теории существовал относящийся к этим случаям известный адиабатический принцип Эренфеста), который гласит, что система, находившаяся вначале в определённом стационарном квантовом состоянии, остаётся в этом состоянии, если изменение параметров системы происходит достаточно медленно. Подобная теорема имеет место также и в волновой механике и была впервые сформулирована и доказана Борном ).

Итак, допустим, что оператор Гамильтона Н зависит от параметра а, и будем считать, что решениями проблемы собственных значений для всех входящих в рассмотрение значений а являются собственные функции

ип^а>) и собственные значения энергии Еп(а). Они удовлетворяют, таким образом, уравнению

н (р. q. °) un (а) = Еп (а) ип (а)- (244)

тождественно при всех а. Дифференцируя по а, получаем отсюда

(£)„, ".(«Н^*-^ “• тЕ"%- (^

Положим теперь

TV*mdSdq=kmn’ (245)

где ктп вследствие ортогональности и нормировки и—эрмитова матрица. Далее, благодаря эрмитовости Н, имеем

Т S ^С" «)^"Т^ ^«.y'^dq-^ В^.

так что после умножения (244') наЛцД и интегрирования по ^-пространству получаем

Ч<246>

Это уравнение следует понимать как матричное равенство, в котором Е представляет собой диагональную матрицу. В этом случае диагональные члены в правой части исчезают тождественно, так что, в частности,

=(246')

\да у ппда'1

и.

»~-Ё^т(^)„„ ”Р”(246-)

Если аизменяетсясо временем,то решение уравнения

-^=Н(р, q,a(t)^

ищут в форме:

^ = Scn(0un(<z).

п

так что

— у ^ит^ dq = ^ Um H^dq = Em(a) ^ Um^dq,

- тст + а 2 ктпсп = Fm(a)cm. . (247)

Более подробное рассмотрение этих уравнений показывает ), что:.

стЮ-Ст^=‘аР.(248)

Здесь при определённом конечном аТ = а (Г) — а (0) и при limT —> оо и, следовательно, при lima —>0 F остаётся конечным. При этом здесь предполагается, что во время процесса ни одна из разностей Еп — Ет не переходит через нуль. Подобный исключительный случай был особо рассмотрен Борном и Фоком, причём здесь играет существенную роль приём Лауэ *). Также и в этом случае при фиксированном а(Т)—o(Q) имеет место равенство

lim (ст (Г) —ст(0)) = 0.(248')

ан-О

Из (248) следует, что | cm (Т) — ст (0) |* для малых а равно, по порядку величины, а*..

В частности, для случая ст (0) получается | ст (?) |а ~а". Вероятность перехода из одного стационарного состояния в другое, вызванного изменением параметра а (эффект встряски), следовательно, пропорциональна а'.

Несколько более общий, чем рассмотренный выше, случай имеет место, когда благодаря параметру а к системе прибавляются новые степени свободы. Если, например, атом проходит через силовое поле, изменяющееся в пространстве, то в первом приближении можно рассматривать его ядро как бесконечно тяжёлое, и считать проблему собственных значений решённой для каждого положения Q центра тяжести атома

НЛЧ. Q)«n(9. Q) = En(Q)un.(249)

Здесь, однако, следует рассматривать Q не как параметр, изменяющийся во времени, а как координату, которая соответствует новой степени свободы.

*) См. работы, указанные в примечании 1, стр. 139.

Нужно решить уравнение

4$Ч-я25^ + "-)Ж®' ' <2S0> к к

где Н» действует только на q, а не на Q. Аналогичная проблема возникает также для молекул, когда ядра в первом приближении считают закреплёнными (М -* со) и только во втором приближении учитывают их движение (колебание и вращение). Если мы положим

^(», Q)= 2 Tn^’ ^ Un^’Q^'(251)

то, согласно (249):

- т 2 £ -- «■ ® - 2 {[ -2^2 ?§+Е-'«’-Ь«' ® -

пк п

ft* Г ? V ду^ дц" , - V12Af L2 2idQhdQk+^n dQt2J J •

кк

Введём для сокращения эрмитовы матрицы

^""М i ymdQhd9’- Втп-~ 2MVmti dQ^ dq ^52>

и оператор возмущения У, определённый посредством

=2(2 А^т^+в”^') ■<253)

п к

Тогда

к

В частности, имеются стационарные решения

для уравнения

- 2$ 2 Ш + Em (Q) Va + ^" = Еи” •(;54')

к *

Здесь Е может, конечно, обладать как дискретным, так и непрерывным спектром или обоими вместе.

В известных случаях можно рассматривать оператор возмущения S2 как малый, и применять к (204) или (254') обычные методы теории возмущений. При этом в качестве нулевого приближения следует исходить из решений уравнения

i dt 2М 2j dQ\ + Ет ^ ^т (255)

или соответственно

-^З^^”^™^™<255')

(которые принимаются в качестве нулевых приближений). Этот метод применяется как при рассмотрении колебаний ядер в молекуле, так и при прохождении атома через внешнее силовое поле, а также и в ряде других проблем1). Это приближение можно назвать адиабатическим, потому что в этом приближении система всегда сохраняет своё внутреннее состояние т, а также потому, что это приближение тем лучше, чем меньше изменяется пакет за время R/[Em (Q) —En (Q)], или, в случае дискретного спектра (255'), тем лучше, чем меньше разности энергий Е'—Е этого спектра по сравнению с разностями Ет — Еп спектра внутренней энергии (малость частот колебания ядер по сравнению с электронными частотами).

Уравнения (254) и (254') являются также основными уравнениями для теории прохождения атомных пучков через магнитное поле с изменяющимся в пространство направлением 2). В этом случае достаточно учесть в операторе возмущения 2 (253) конечное число состояний, соответствующих пространственному квантованию. Из строго доказываемого существования стационарных решений, в силу (254'), здесь, кроме того, следует, что также и при учёте эффекта встряски (поскольку внешнее поле не изменяется во времени) сумма внутренней энергии и энергии поступательного движения остаётся постоянной.

Наряду с предельным случаем адиабатического процесса особый интерес представляет случай «внезапного» изменения параметра а. Понятие «внезапного» изменения подлежит здесь уточнению: мы потребуем, чтобы относительное изменение а за рассматриваемые периоды времени — = -=было велико:

',7ПЯ

а>а^^?.(256)

Тогда мы можем в уравнении

пш

после интегрирования по времени, за которое происходит

М. Born u. J. R. Oppemheimer. Алл. d. Phys., 84, 457, 1927; J. Frenkel, Phys. Zs. der Sowjetunion, 1, 99, 1932; L. Landau, там же 1,88 и 2,46, 1932.

изменение,

-Т 2 CnUn(a)|‘= ^ 'SlEmCmUmdt. ' п* 0 т

при конечном изменении параметра а положить в первом приближении равными нулю все величины, пропорциональные /. Поскольку это справедливо для правой части нашего уравнения, то же самое должно иметь место и для левой части: следовательно, здесь

2Мп= 2Cn(0)Un(0),

что означает непрерывность функции ф = 2 спип при внезапном изменении параметра а

c^n^S^c,^,(257)

п где

Smn= ^ Um Wu^dq.

Пусть Нтп — матричные элементы новой, соответствующей значению параметра а, функции Гамильтона по отношению к системе функций, принадлежащих /7(0),

Нтп = ^ и*т (0) Н (а) ип (0) dq.(258)

Тогда

EASHS'1,(259)

е. S приводит матрицу новой функции Гамильтона к диагональному виду.

Теперь мы можем обсудить общее статистическое суждение квантовой теории (при этом мы для простоты записи применяем величины с дискретными собственными значениями). Это суждение можно формулировать следующим образом: спрашивается, какова вероятность того, что в определённый момент времени /, известная величина F принимает частное значение Fn, если до этого в момент /0 = / — т другая величина G имела значение Gm. Если S —матрица преобразования, переводящего из представления матриц, при котором F(/o) приведено к диагональному виду, в представление, при котором G^)

§ И] АДИАБАТИЧ. и ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ 145 диагонально, то искомая вероятность равна

^(Fn;Gm) = |Snm|*. (260) (Она симметрична относительно величин F и G.) Это суждение содержится в наших предыдущих суждениях, если: а) одна из величин F и G или обе являются координатами или1 импульсами (может быть, для различных моментов времени, см. §§ 3, 4, 5 и 9), или Ь) по крайней мере, одна из величин коммутирует с гамильтоновой функцией системы и, следовательно, постоянна во времени.

Если ни та, ни другая из этих возможностей не осуществляются, то можно помочь делу посредством некоторого ухищрения, которое представляет собой третью возможность для измерения величин и основывается на только что разобранном внезапном изменении функции Гамильтона. Суждение (260) справедливо также и Тогда, когда с) можно, изменяя параметр, например, выключая внешнее поле, «внезапно» (в приведённом выше смысле) сделать рассматриваемую величину постоянной во времени (т. е. так изменить функцию Гамильтона, чтобы рассматриваемая величина с ней коммутировала)—(«стоп- предположение»), В этом случае Можно сперва в момент времени /0 сделать постоянной величину F и измерить её, а затем, по истечении времени т, считая от конца измерения, сделать постоянной G и измерить последнюю. Действительно, из доказанного выше результата относительно внезапного изменения параметра и выводов § 9 следует в этом случае справедливость (260).

Следует, однако, заметить, что такая возможность внезапной «остановки» какой-либо величины осуществима только в весьма ограниченном числе случаев-. Так, например; невозможно выключить внезапно ядерный заряд протона и тем самым сделать импульс электрона в атоме водорода постоянным во времени. В этом случае удаётся, правда, определить собственную функцию ?п(р) в ПР°* страйстве импульсов с помощью измерения второго рода (непосредственное повторение которого даёт уже другой результат) [возможность (а)]. В общем вйде, однако, ещё не доказано, что любая величина может быть измерейа за произвольно короткое время, даже'если допустить измерения второго рода.

Общие принципы волновой механики 10

На этом основании мы предпочитаем, в отличие от догматического обоснования теории преобразований, не вводить в качестве аксиомы общее суждение (260). В конечном счёте ведь каждое измерение, если оно возможно, сводится к измерению пространственной координаты аппарата. Аппарат измеряет величину F, если при разложении функции ф по нормированной ортогональной системе принадлежащего F оператора F «стрелка» аппарата с достоверностью даёт показания Qn или Qa, ... , или Qn, коль скоро до измерения ф равнялось и,, или и или соответственно ип и т. д. В общем случае тогда вероятность показания стрелки Qn по определению равна вероятности того, что до измерения величина F имела значение Fn. Из физического значения функции ф аппарата и линейности всех операторов Гамильтона тогда следует, что эта вероятность равна квадрату модуля коэффициента разложения сп функции ф измеряемой системы (до измерения) по системе функций ип (сп = = Ju^nd^). Пусть после этого над системой производится новое измерение другой величины G с помощью нового измерительного аппарата с новыми координатами указателя Q1( Q тогда вероятность того, что новая величина G имеет определённое значение Gm, если раньше величина F с достоверностью имела значение Fn, по определению совпадает с вероятностью того, что новый аппарат даёт показание Qm, если известно, что первый аппарат, который в этом случае должен давать возможность однозначного заключения о состоянии после измерения (не совпадающего в случае измерений второго рода с состоянием до измерения), с достоверностью имел показание Qn. Последнее равносильно тому, что состояние измеряемой системы после первого измерения описывается собственной функцией и^. Если у,, у,,..., ут, ... — собственные функции величины G, то веро-

*) Если у (9, Qn) — функция сложной системы (система+аппа- .у (с, Оп)

рат) после измерения, то следует построить _^—.

(/|у(9.<гп)№)1/2

Благодаря действию аппарата система теряет всякое воспоминание о прошлом состоянии, так как фаза в сп изменяется неконтролируемым образом.

§ 12] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОДИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Ц7 ятность W^Ft)Gm^ действительно равна тогда |Snm|*, где Snm = ^uno^dq.

Тем самым, казалось бы, все суждения о любых величинах F, G сводятся к вероятностным высказываниям о показаниях аппарата, т. е. к вероятностям для пространственных координат. Мы оставил!, однако, открытым вопрос о том: существуют ли в действительности аппараты с постулированными свойствами для любых величин F, G, по той причине, что это существенным образом зависит от того, какие гамильтоновы функции действительно встречаются в природе, а об этом нерелятивистская волновая механика не может сделать никаких заключений. Более того, её понятие и её математический аппарат настолько последовательны и всеобщи, что эта теория осталась бы свободной от противоречий даже при существовании любых (эрмитовых) операторов Гамильтона.

§ 12. Предельный переход к классической механике. Связь со старой квантовой теорией.

. Уже в § 5 мы указали связь уравнения волновой механики с классической механикой; а именно оказалось, что центр волнового пакета всегда движется так же, как движется материальная точка, на которую действует сила, равная среднему значению классической силы, по волновому пакету. Это само по себе не означает ещё полного предельного перехода к классической механике. Действительно, ведь классическая сила может на протяжении волнового пакета очень сильно изменяться, и поэтому среднее значение классической силы может сколь угодно сильно отличаться от значения силы в центре тяжести пакета. Только тогда, когда можно построить волновой пакет, внутри которого классическая сила изменяется достаточно мало, получается совпадение со свойствами системы, выведенными из траекторий классической механики. Кроме того, волновой пакет можно рассматривать только за такой промежуток времени, в течение которого размеры пакета изменяются лишь немного. Если речь идёт о стационарных состояниях и периоди-

ЙЕЙЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯЙЕЙЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ148148h- 1

ЙЕЙЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

ЙЕЙЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

148

148

ческих траекториях, то нужно потребовать, чтобы это время равнялось, по крайней мере, нескольким периодам обращения. Только тогда свойства содержащихся в волновом пакете стационарных состояний, если последние относительно мало отличаются друг от друга, могут приближённо описываться с помощью траекторий.

Предельный переход от волновой механики к классической механике формально аналогичен переходу от волновой оптики к оптике геометрической (Гамильтон). Эта аналогия послужила даже исходной точкой для рассуждений де-Бройля и Шредингера, которые привели к установлению волновой механики. Этот переход получается, если в общем волновом уравнении

t dt , сделать для ф подстановку

ф = е& (261)

и разложить, после этого S по возрастающим степеням h(i ^

S^S.+ ^S. + dys.-b ... (262)

Введём следующее предположение для оператора Гамильтона, который мы запишем сперва в декартовых координатах: ■ "

[ср. (97) и (98)]; мы заменили здесь З^М на V (^, ..., qf). Здесь Ак =—у ФА и V могут быть любыми (вещественными)' функциями координат q. Тогда

J) Такое предположение было сделано впервые в статьях: G. Wentzel, Zs. f. Phys., 38, 518, 1626 и L. Brillouin, C. R., 183, 24, 1926.

согласно (261)

(‘^+^41+^

(U+A0‘^=

Ч(М+7(М)]^

Волновое уравнение даёт, следовательно, после сокращения на множитель eb S, без каких-либо пренебрежений

Lb

♦т£.(М+Л‘)] + ''’ (263)

что в силу разложения (262) переходит, наконец, в последовательные уравнения'

-^-^Gt+AO’+^Ct'»-.) ^

к

^это означает, что здесь в гамильтоновой функции просто заменяется рк на ) ; далее,

«Як/

dSj _ XI 1 Г g / dSp . д X dS! ,

6d fdS0 A XI ^(264.)

Вместо (264J можно также написать .

^‘-S&t^+^W (265)

к'

Уравнение (264О) и (265) имеют простой физический смысл. Первое представляет собой известное дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона- Якоби классической механики. При этом следует заметить, что в области, достижимой рассматриваемым семей-

ством траекторий, решения этого уравнения вещественны. Согласно (264J, тогда и Si вещественно в этих областях. Если предположить, что 80 и S, вещественны, то (265) совпадает с уравнением непрерывности (при пренебрежении S,...). Действительно, тогда

р = ф* Ф = еЮ1

Так как

»‘=i"^(t+A‘)'<М6>

то

ik = Йк(267)

и (265) принимает форму уравнения непрерывности:

Й+З^й*)-0-(265')

к

Проведём через точку ^-пространства, в которой 80 вещественно, механическую траекторию в соответствии с уравнением (266). [Если решение 80 уравнения (264О) не содержит иных параметров, то получается одна траектория; в общем случае каждому специальному выбору числовых значений, входящих в 80 параметров ах, а2 соответствует определённая механическая траектория.] Согласно (265')> плотность остаётся постоянной во времени вдоль этой траектории. Следовательно, в рассматриваемом приближении волновые пакеты ведут себя точно так же, как совокупности материальных точек, движущихся по классическим механическим траекториям. Справедливость второй половины классических уравнений движения

для этих траекторий является, как известно из теории Гамильтона-Якоби, простым следствием (2640) и (266).

Что касается области применимости рассматриваемого приближения, то она может быть, согласно (263), оха-

рактеризована следующим образом: в (263) член, умноженный на h/i, должен быть мал по сравнению с первым членом. Итак, вводя сокращённое обозначение

кк = ^-h + Ak = Pk + Ak = mkq,(266а)

получаем

12 5% « 2 *<268)

кк

Для отдельной частицы при отсутствии магнитного поля имеем:

ft^к~ Рк~ ^ пк >

где пк—компоненты единичного вектора в направлении движения, так что (268) тогда запишется так:

или

2(^-"^)«1-<268)

В одномерном случае, когда пк = ± 1, это условие ещё проще:

|gj«L(268")

Неравенство (268), вообще говоря, нарушается в точках возврата, где одно из itk и, следовательно, qk обращается в нуль, так что в этих точках d^k/dqk может сделаться бесконечно большим. В частности, это всегда имеет место в случае одномерного движения. Следовательно, вблизи таких точек возврата классическая механика отказывается служить. Поведение решений вблизи этих критических точек требует особого исследования, и мы обсудим его ниже. Уравнения (264) и (265) можно, однако, применить также и в недостижимой по классической механике области, где So мнимо, так как при выводе

этих уравнений не было сделано никакого предположения о вещественности функций. Для стационарного решения 1'

Ф = е » и ■ можно положить - 1s S= — Et-{-S, и = е^ , где теперь S и и не зависят от t. Разлагая

S = S0 + ^S1+(262')

тогда получаем

s^C^+^y+^-^CS-»*)-s- <26о

° - 2 ^ [ 2 (g + 4,)g= + A (g + А) ] ■ (2641)

0-2^Ш^+^>!а]- <265'>

Предыдущие рассуждения легко обобщить на случай криволинейных координат. Пусть ds* = ^ ^ gxxdqx dqx — элемент х X'

длины, gxX—матрицы, обратная Sxx(Sxag>'a —3Ь’ ° — квадратный корень из детерминанта S'= 1 gxx 1- Тогда волновое уравнение, согласна § 5, стр. 68 (97*), имеет вид

Ч^Ст^а)»^*^)^

При этом множители тх мы считаем уже включёнными в gxV Здесь и в дальнейшем всегда производится суммирование по каждому из индексов, встречающемуся два раза. Подстановка ' (261) тогда даёт

' cS 1 -х / dS , . X Z dS , . X ,

+ этi',<‘‘(|+'^У,'■ '2a*,

Введение разложения (232) (при учёте gxX = gXx) приводит к

dt 2 V d»x ) V»x )

dSi _xX Г^5q , . \ dSi , 1 b n xX / bS0 . \ /ойл»\ ^ + A')br- + 2D^Dg {bq^)*(2641)

ИЛИ

-W‘2S‘-5^[ds’4S+A0'M‘]' w

Для

p =D^*^

'--^[^(t ^+A0+<-T^+Af)]

из волнового уравнения вытекает общее уравнение непрерывности

^ + —/х = 0 bt bqx

и при вещественном $0 и Si в рассмотренном приближении снова получаем

р=г281, ?-^-е“й+лх)'

г=р?.(267*)

Отсюда можно получить те же следствия, которые мы раньше имели в декартовых координатах-

Введение криволинейных координат важно, однако, потому, что при подходящем выборе последних для некоторых гамиль- тоновыу функций удаётся достигнуть разделения переменных. В этом случае стационарное решение и распадается на произведение функций различных переменных

u = u1(q1) ...uf(qf),

a S соответственно, распадается аддитивно:

5 = 5i(7i)+ •+5^(7/),

Каждая из этих функций 5Х (?х) удовлетворяет тогда в этих переменных дифференциальному уравнению второго порядка. Наряду с постоянной энергией в решение входят в качестве параметров ещё /—1 новых постоянных «1, ..., а^. Всё, что в дальнейшем говорится о системе с одной степенью свободы, справедливо без каких-либо изменений также и для движения каждой отделённой координаты qx и для соответствующей собственной функции их (q,) системы с разделяющимися переменными. В частности, это верно для радиального движения материальной точки под влиянием центрального поля сил.

Разберём теперь более подробно одномерный случай. При этом векторный потенциал следует положить равным нулю, так как магнитное поле в одномерном случае не может проявиться. Для простоты мы будем писать пока S вместо $0 и а вместо г81 и исследуем стационарное решение. Тогда в рассматриваемом приближении

1s

и — ае^ .

Таким образом (264') и (265') принимают следующий вид:

+(2М>

и, следовательно,

р(х) = /2щ(Е-У(х)) = ±^,(271)

где ■

S = ± p(x)dx.

При этом мы ещё можем распорядиться нижним пределом интеграла в (271), а двойному знаку соответствуют два различных частных решения уравнения (269). Отсюда следует-

а2^ = const = с2,'

а =.(272)

Итак, общее решение уравнений (269) и (270) гласит:

и = -Ь=е ai + —aa .

У Р(х)\ р№■ ■

Это решение теряет силу вблизи точек, где р(х) обращается в нуль. В областях, не достижимых по классическим траекториям, где Е—У(х) отрицательно, а р^х), следовательно, чисто мнимо, также существует решение в форме (273). Мы, ради ясности, запишем решение для этой области в виде

/1 PW I/1 P(X) |'

Одного рассмотрения дифференциальных уравнений (269) и (270) геометрической оптики (классической механики) ещё не достаточно, чтобы составить правильное решение из частных решений (273) и (273') вблизи критической точки возврата, где р(х) = 0. Под «правильным» решением здесь следует понимать, что эти различные частные решения должны апроксимировать одно и то же частное решение точного волнового уравнения

^ + рЧх)и = 0

в различных областях, где р2(х)>0 и р2(х)<0. По крайней мере, вблизи точек возврата неизбежно приходится использовать строгое волновое уравнение.

Поднятый здесь не совсем простой математический вопрос был подробно исследован Крамерсом и его учениками1). Они получили следующий результат: предполо-

*) Н. А Кг am е г s, Zs. f. Phys., 39, 828, 1926; A. Zwaan, Dissert., Utrecht, 1929, см., в частности, гл. Ill, § 2; К- F. N i e s- sen, Ann. d. Phys., 85, 497, 1928; H. A. Kramers u. О. P. Ittmann, Zs. f. Phys., 58, 217, 1929, в особенности стр. 221 и 222. '

для х< а,для х< а,и(х) =и(х) =сс•Щр№-г]•Щр№-г]

для х< а,

для х< а,

и(х) =

и(х) =

с

с

•Щр№-г]

•Щр№-г]

жим, что V (х) непрерывно в точке возврата (это даёт возможность использовать комплексную плоскость как вспомогательное средство при доказательстве). Пусть далее справа от точки возврата х —а, т. е. при х>а, ра(х)>0, а при х < а, напротив, р* (х) < 0. Тогда, по Крамерсу, имеем следующее «правильное решение»:

а

-4Jlp(z)|dz u(x)=^=e *

СГ 1

"(х)^Жот2с05М'’W'**

(274)

В более общем виде

и(х)

(275)(275)для х < а,

(275)

(275)

для х > а.

Образуя вещественную часть обоих выражений (275), что всегда допустимо, снова приходим к (274). Выделение мнимой части приводит также к правильному решению. Второй член в первом выражении (275) настолько мал по сравнению с первым, что лежит в пределах ошибок самого ассимптотического разложения. Для многих целей им можно просто пренебречь. Однако, во всех вопросах, где не только модуль и(х), но и фаза и(х) играет существенную роль, отбрасывание этого члена приводит к ошибке. В частности, только благодаря ему поток, образованный для х<а, равен потоку для х<а в соответствии с требованием уравнения непрерывности.

Вблизи второй точки возврата b > а, слева от которой лежит разрешённая область, аналогично имеем;

и(х) =

с м

VI pw/

|p(z)|dx

С'

и (х) = ■■ .^=- 2cos

Vp^

b

[7^ p(x)dx—7]

-для x < b.

. (275')

Теперь мы можем сформулировать квантовые условия для того случая, когда область, в которой р2(х)>0, при рассматриваемом значении энергии состоит из одного непрерывного интервала а < х < Ь. Мы вводим это предположение. Как при х = — со, так и при х = +со функция н(х) должна оставаться ограниченной. Поэтому в обеих областях, х< а и х>Ь, следует исключить экспоненциально нарастающие частные решения и оставить там только спадающие (весьма круто) решения. Для этого, согласно (275) и (275'), необходимо, чтобы для всех х в интервале а < х < b "

XЬ

Ceos [-^ p(x)dx — ^-] = C'cos [^ p(x)dx—^-]. ах

Это возможно только тогда, когда (постоянная) сумма обеих фаз равна целому кратному к:

ь

p(x)dx—= пк.

а

Обозначая

ь

J = 2^ р(х) dx = ^ р (х) dx.(276)

имеем

7-(л + |)2«, J-(_„ + r)l,.(277)

Кроме того

С' = (—1)ПС.

Это равносильно тому, что п означает число корней собственной функции. Действительно, когда х изменяется от а до Ь, фаза

^P^dx-^а

«/1 X л

возрастает от—^ до( n+^ J^—-^-, следовательно, косинус п раз принимает значение 0.'

Результат (277) приводит к правилу квантования старой квантовой теории, но с «полуцелым квантованием». Это означает, что фазовый интеграл старой квантовой теории равняется полуцелому кратному h. Оказывается, таким образом, что это правило квантования даёт лучшее приближение к волновой механике, чем квантование в целых числах. Из сказанного выше, это следует также и для систем со многими степенями свободы, если переменные для них разделяются. При этом, однако, особо предполагается осцилляторный характер рассматриваемой степени свободы, т. е. предполагается, что в определённом интервале каждому значению рассматриваемой координаты q соответствуют два значения скорости частицы q, отличающиеся друг от друга знаком, так что каждая точка этого интервала в течение полного периода проходится два раза; тогда как ^-точки вне рассматриваемого интервала не должны быть достижимы для механических траекторий с теми же значениями постоянных интегрирования. Осцилляторный тип степеней свободы противоположен ротационному типу, примером которого может служить угловая координата (прецессионное движение вокруг неподвижной в пространстве оси). Мы увидим, что в этом случае (поскольку речь идёт об орбитальном движении частицы, а не о спине) волновая механика приводит к целочисленному квантованию..

- Если для частицы с одной и той же полной энергией имеется больше, чем один разрешённый классической механикой интервал, то волновая механика приводит к своеобразным явлениям, которые основаны на том, что, согласно (275), волновая функция в классически недости-

§ 12] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 159 жимой области не равна точно нулю, а только мала. В то время как по классической механике «потенциальный барьер» конечной высоты совершенно разделяет две области для частицы с определённой полной энергией, волновая функция может «просочиться» из одной области в другую, а стационарное решение будет даже иметь в обеих областях по порядку величины одинаковую плотность1). Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для многочисленных применений квантовой теории2). Мы ещё вернёмся к нему в части II, § 5, в связи с релятивистской квантовой теорией.

Что касается условия (268"), то вдали от точек возврата оно выполняется тем лучше, чем больше квантовое число л. Мы можем теперь нормировать наши собственные функции, причём следует заметить, что при больших квантовых числах фаза

представляет собой быстро изменяющуюся функцию. Поэтому теми интегралами, которые содержат быстро изменяющуюся фазу, можно пренебречь по сравнению с другими, содержащйми только медленно колеблющуюся или совсем постоянную фазу. В этом приближении собственные функции ортогональны. Для нормировки получаем условие

Ья

х) Прямое обнаружение частицы на потенциальном барьере посредством измерения координаты здесь всегда связано с такой неопределённостью сообщённой частице энергии, что после такого добавка энергии частица и классически могла бы достигнуть запрещённой области.

*) Ср. Н. Ф. Мотт, Волновая механика и физика ядра, ОНТИ, 1936; а также Г. Бете и А. Зоммерфельд, Электронная теория металлов, ОНТИ, 1938; и особенно Е. Schrodinger, Berl, бег., 1929, стр. 668.

или

dx

тх

Сат®

1,

если [принимая во внимание определение (276) фазового интеграла J]

1 = 2^ = 2m t= 2(278)

°* Н)/2т(Е-У(х)) №

.аа

означает период классического движения. Итак,

Un (х) = 1/2 cos Г у t рп (х) dx—^ 1(279)

■ " Pr№ L JJ

•On

х = \ хи и dx = \ х \/ ^~п-1/ ^пт J липитил j^r р (х) г 'х = \ хи и dx = \ х \/ ^~п-1/ ^пт J липитил j^r р (х) г 'представляют собой нормированные функции. Построим теперь матрицу х„т:

х = \ хи и dx = \ х \/ ^~п-1/ ^пт J липитил j^r р (х) г '

х = \ хи и dx = \ х \/ ^~п-1/ ^пт J липитил j^r р (х) г '

PmW *■

XX

X 2 ( cosX 2 ( cos[ 4 J Р^ dx - ~ ^ рт (х) dx ]«пат

X 2 ( cos

X 2 ( cos

XX•

+ cos [ 1 рп (х) dx + ^ Р”^ dx—^] } dx. Onйт

Вторым членом можно будет пренебречь по сравнению с первым, так как он содержит сумму фаз и поэтому осциллирует значительно быстрее, чем первый член, в который входит разность фаз. Далее, все величины будут сравнительно медленно изменяться с квантовым числом. Поэтому все разности вида Fn—Fm можно за- dF

менить дифференциалами -^ (л—т), где J снова обозначает фазовый интеграл (276). Дифференцирование по X

нижнему пределу интеграла \ p(x)dx ничего не вносит,

§ 12] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 161 • так как при х — а подинтетральное выражение равно нулю. Таким образом, полагая

т = л—т,(280)

мы получаем, как это было показано Дебаем1), Ъх'

х™ = 2 jjx^cos(2™ j^dx^dx.

•а а

Поскольку др_д_рт = ш■

'dJ~dEldE р(х) £

и, следовательно,

'\^dx = tot,■

а получаем 1/,ш1/<й

xnm=2 x(0tocos(2irw/)(// = w x(Ocus(2irto)/)dL оо

Разложим классическое движение в ряд Фурье, полагая х = 0 при / = 0:

х = 2 От cos 2ктш/т = 0■

и•

1/ш

ат = 2ш ^ x(f) cos (2K0)tf)dL о

Итак, в предельном случае больших квантовых чисел мы получаем следующее соотношение:’

^nm = ”^ От = ~2 ап-т-(281)

Благодаря множителю 72 сумма V , »2nivn п^-т* । у л2л»?П1п-т*

т) Р. Debye, Phys. Zs. 28, 170, 1927. Общие принципы волновой механики11

переходит как раз в

ат cos 2гстш/.

Точно таким же ‘ образом можно вместо координатной матрицы вычислить матрицу импульсов. Одновременно этот вывод устанавливает связь с первоначальной формой боровского принципа соответствия.

Путём суперпозиции нескольких собственных функций в области больших квантовых чисел можно легко построить волновой пакет, который совершает периодическое движение вблизи классического пути. Этот пакет описывает состояние, при котором приближённо существует траектория частицы1'2). Пусть пакет охватывает состояния от п — к до п + к. Время /, в течение которого пакет проходит мимо определённого места, обладает неточностью М, задаваемой выражением

шА,Ч- а так как

ЬЕ = 6^ hj = mkh,

dJ то

^EM — h:. (282)

С другой стороны, если ввести в качестве циклической переменной ш/ ф- 60 = w, то

^J^w — h.(282')

Здесь, мы предположили, что в волновой пакет входит большое число состояний, иначе фаза w совсем потеряет свой смысл.

Следует, однако, отметить, что для системы подобного рода можно ввести в качестве оператора (функция от р и q\ если не w, то, во всяком случае, e£w и точно так же ру При этом J является эрмитовым, a efw уни-

!) Р. Debye, Phys. Zs., 28, 170, 1927.

*) С. G. Darwin, Proc. Roy. Soc., London (A), 117, 258, 1927, и, в частности § 8.

a) P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc., London (A), 111, 279, 1926.

§ 12] ПРЕДЕЛЬНЫЙ переход к КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 163 тарным оператором. Оба оператора удовлетворяют пере;, становочным соотношениям

jeiw_eiwj=eiwh или J^^^y-VhV (283а) откуда при умножении слева на е~*®, равно как и при умножении справа на е'1ю, следует

e-iwj—je-i™ = e-iwh, или Je~iw —e-iw(J—K). (283b)

Мы, однако, не будем использовать эти операторы в применениях.

Существенно, что знание фазы периодического движения частицы и знание стационарного состояния взаимно исключают друг друга. Фаза движения частицы (на траектории) в стационарном состоянии не существует, ибо каждая попытка обнаружить её перебрасывает систему в другое стационарное состояние. Только в предельном случае больших квантовых чисел плотность группы волн из многих стационарных состояний может изменяться с течением времени в согласии с классической траекторией. Эта возможность "вытекает уже из следующих простых соображений. Вследствие соотношений неопределённости волновой пакет в фазовом пространстве занимает по крайней мере площадь h, тогда как классическая траектория с энергией Еп, п-го состояния, охватывает в фазовом пространстве площадь nh. Только если п большое число, эта площадь велика по сравнению с h. Только в этом случае, следовательно, действительно может существовать пакет плотности, совершающий обращение по классическому пути. z

Мы должны ещё разобрать, как ведёт себя подобный пакет за длительный промежуток времени. При этом существенно, что частоты, входящие в выражение плотности пакета

^п+т~^п+»й *

где—fc<T<.-|-ft, —fc<a< ф-Л в общем случае не равны точно целым кратным (т—а)ш основной частоты, как это было бы при классической периодической траектории, ибо классическая частота, вообще говоря, зависит от зна-

чения фазового интеграла. Мы можем приближённо положить

J (£п+т—£п+о/= (т—ff) “ +-^-Л ^ (t’~9).

Как показал Дарвин, из этого следует, что к неопреде-'

лённости \[к фазы добавляется ещё новая неопределён- ность kh^jt. Итак, за время

ММkhd-khdjkhd-khdj(284)(284)

М

М

khd-khdj

khd-khdj

(284)

(284)

пакет целиком размазывается по всей орбите, и фаза полностью теряется. Это происходит после

М =(284')

оборотов. Волновой пакет может длительно удерживаться, не размазываясь, только для специальных систем, когда частота ш совершенно не зависит от начальных условий. Так, например, это соблюдается для гармонического осциллятора или при движении электрона в плоскости под влиянием однородного магнитного поля, перпендикулярного к этой плоскости. Первый из этих случаев был рассмотрен Шредингеромх), второй — Кеннардом2) и Дарвином3). В обоих случаях были даны точные решения для волновых групп с такими свойствами.

В заключение следует указать, что прежняя квантовая теория вообще могла сделать определённые высказывания о стационарных состояниях только в частном случае многократно периодических систем, тогда как в волновой механике проблема собственных значений имеет решение всегда. Даже и в этом общем случае, как мы видели, всегда можно построить волновые пакеты, которые движутся’ вдоль траекторий классической механики. С те-

Е. S с h г б d i n g г, Maturwissensch., 14, 664, 1926.

*) Е. Н. Kennard, Zs. f. Phys., 44, 326, 1927.

§ 13) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 165 чением времени, однако, всегда проходит диффузия волнового пакета (волновой пакет расплывается). По этой причине тот факт, что плотность такого пакета содержит только дискретные частоты, не связан непосредственно с простой периодичностью траекторий классической механики за большие промежутки времени. Периодические соотношения классической механики, как известно, очень сложны (например, для проблемы трёх тел). Для при: менений волновой механики к атомным системам это в силу вышеизложенного не имеет, очевидно, никакого значения, что явилось счастливым обстоятельством для волновой механики.

§ 13. Функция Гамильтона, допускающая группу преобразований. Момент количества движения и спин.

Если оператор Гамильтона инвариантен относительно некоторой группы преобразований (трансформаций) переменных, то из каждого решения un(q) волнового уравнения можно получать новые решения, применяя к ип (q) преобразования этой группы. Пусть Т—преобразование группы, Я —оператор Гамильтона, / — любая функция, un(q)—решение уравнения

Ни (д) = Ей (q\.

Равенство

■тхнп-щтп

справедливо для любого /, откуда следует/ что функция

«^=Ти^

х) О связи волновой механики с теорией групп имеются обширные руководства: Н. Weyl, Grtippentheo'ie und Quant enrnectto- nik, 2 AufL, Leipzig, 1931; E? Wigner, Gruppentheorie uhd ihe Anwendungen auf die Quantenmechaniк der Atoms. Berlin, 1931; В а н-д e p-B a p д e н, Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938. Мы даём здесь лишь весьма сжатый очерк этого предмета и ссылаемся при всех доказательствах и во всех частных вопросах на эти учебники. - -

тоже удовлетворяет уравнению.

Нс ^ = Ес (q).

Если определённому значению энергии соответствует конечное число, например, ft собственных функций (ft-кратное вырождение), то ft-мерное векторное пространство, принадлежащее собственному значению Е, имеет базис Ui, и„‘... , uh, так что каждое решение уравнения

Нс = Ес

можно представить в форме

С = ^СкОк.■к

Преобразования Т нашей группы, применённые к uv uv ... , uh, преобразуют это векторное пространство линейно таким образом, что последовательное применение двух различных преобразований Т равносильно двум соответствующим отображениям. Чтобы сохранить согласие с законом матричного умножения, целесообразно при Этом принять следующее определение. Если над переменными q функции и^) производится преобразование Т, определяемое переходом к новым переменным q? — = f?(Qi> ..., qi), то этому преобразованию переменных q сопоставляется оператор Т, преобразующий функцию и^гqt) в функцию и'^!, ... , qt):

. Тц=и', .'

причём и* (qlq’f) = и (^, ... , q^, и следовательно,

u,(Tq') = u(q)

ИДИ'

иЧ<П=иО)- '

Только при таком определении применению двух операторов в последовательности: сначала Tv потом Тг соответствует такая же последовательность преобразований переменных (/.Действительно, пусть

7’2u(^) = u'(7) = u(T;1^,.

заменяя q на T^q, получаем

(7.7,) и = и' (Т^) = и (TyTyq) = u^TJW q), как и должно быть. 1

Введём матричную записьл

(7ua = S^cw (285)

Тогда

^kl ( 7. 7,) = 2 ^кт ( 7.) ^ml ( 7,)(286)

и соответственно в матричной записи

с^Т^^с^с^).(286')

Мы будем говорить, что соответствующие линейные- отображения образуют представление группы. Различным Преобразованиям группы могут, конечно, в представлении соответствовать одинаковые линейные отображения. Если при преобразовании Т детерминант- новых переменных Ч'? — !?^!» • • • , q^ по отношению к старым qf равен единице, и, кроме того, все q'f вещественны одновременно с q, то для преобразования

T»(qv ,qO = vUi^dt^. •••• h^Y получаем

^ ul^dq^ ^ (Тику ^Tv^dq.

В этом случае матрицы с (7) унитарны для любого 7, и представление тогда тоже называют унитарным. Нормированная ортогональная система переходит в этом случае опять в нормированную ортогональную систему.

. Существенное значение имеет понятие редукции (приведения) представлений. Представление называется при* водимым, если существует инвариантное подпространство меньшего числа измерений, чем первоначальное пространство представления. Это значит, что при надлежащем выборе базис линейно независимых функций uv ... , ид ^£<ЬУ образующих только часть полного базиса их, ...,iih, трансформируется при преобразованиях сам в себя. Полная

матрица с (Г) имеет при таком выборе базиса вид

^=(П)><287>

где а g-мерно, a b (ft —g)-MepHO. Если не существует таких инвариантных подпространств, то представление называется неприводимым. Изменение базиса означает трансформацию с' = ScS'1 матрицы представления. Два представления, которые различаются друг от друга только такой трансформацией, называются эквивалентными. Если с — унитарная матрица, то из уравнения (287) следует, что, изменяя базис, можно обратить г в нуль, и тогда говорят, что представление с распадается. Для конечных групп можно показать, что каждое представление эквивалентно унитарному представлению, и поэтому каждое приводимое представление распадается. Для непрерывных групп это удаётся не всегда и выполнимо только для определённого класса непрерывных групп: так называемых полупростых групп. Группа вращений принадлежит к этому классу, так же как и группа всех линейных преобразований с детерминантом, равным единице, причём последнее ограничение существенно. В квантовой механике мы имеем дело только с унитарными представлениями и поэтому не будем рассматривать усложнений, .возникающих в общем случае.

Каждое представление (D) группы, распадается на неприводимые представления

(D) = (D1) + (D,) +

причём можно показать, что это разложение однозначно. Степень вырождения собственного значения энергии Е совпадает со степенью неприводимого представления. Вырождение, соответствующее неприводимому представлению, не может быть снято с помощью непрерывного изменения оператора Гамильтона, пока он инвариантен по отношению к группе (в отличие от случайных вырождений, соответствующих более высоким степеням приводимого представления). Если, однако, изменять оператор Гамильтона так, чтобы он был инвариантен только по отношению к некоторой подгруппе основной группы, то по отношению к этой меньшей группе представление будет

§ 13] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 169 в общем случае приводимо. Для того чтобы представление при этом распалось, необходимо изменить, выбор базиса. Этот процесс называют также приведением первоначального представления по отношению к подгруппе. Ему соответствует (в общем случае) распадение исходного уровня энергии Е на различные уровни, если в гамильтониан введена возмущающая функция, которая инвариантна только по отношению к подгруппе. -

Из двух представлений (DJ и (Dz) степени hi и h4 можно образовать произведение (Dx X D2)—представление степени hih*, которое строится следующим образом. Из базиса ик (й = 1, 2h^,принадлежащего (О,), и ба

зиса иг (/= 1, 2, .... , h^, принадлежащего (D2), образуют hT h4 произведений uftrz- Когда ик испытывает линейное отображение Dx (Т), a vt—линейное отображение D, (Т), то произведения ик иг также подве ргаются линейному отображению, которое и определяет произведение (D, х D^. В частности, может быть (DJ = (D,). Произведение фг У D^ в общем случае, разумеется, приводимо, даже если (D^ и (D2) были неприводимы. Изменением выбора базиса hi й,-мерного пространства можно тогда добиться распадения фг х D^, причём неприводимые составные части могут быть отличны от фт) и (D^. Такое образование произведения представлений осуществляется всегда при соединении независимых систем.

Для непрерывных групп особое значение имеют бесконечно малые преобразования, близкие к тождественному отображению. Эти преобразования образуют линейное многообразие—векторное пространство с числом измерений, равным числу независимых параметров группы (например, для группы вращений в трёхмерном пространстве— трёхмерное векторное многообразие). Действительно, из Т(0, ... , 0) = / следует

T(ave ег) = / -ф SjCO, -ф е2ш2 -ф . .. -ф е,и),, поскольку зависимость Т от е непрерывна. Здесь ф1( со,,..., сог, так же как и Т, являются операторами, которые применяются к аргументам q собственных функций. Поскольку эти преобразования образуют группу, скобка Пуассона {<»р, coQ] = сор<од—<одШр может быть выра-

Жена через сами ш с характерными для данной группы коэффициентами:

.[%- “>gl = S СР9, s^-.(288)

■6=1

Эти коэффициенты должны только удовлетворять известным соотношениям, вытекающим из тождества

[[“р, шд] шг] + [Д’ ^1 "p] + [К, “р] шд] = 0.

При введённом выше правиле расположения трансформаций переменных и соответствующих операторов, действующих на собственные функции, они удовлетворяют одинаковым перестановочным соотношениям, и можно поэтому не делать между ними никакого различия в обозначениях. Инвариантность оператора Гамильтона по отношению к рассматриваемой группе находит своё выражение в коммутативности ш и Н;'

шр/7—/7шр = О,.

точно так же, как и для оператора Т в случае конечных трансформаций. Это равносильно тому, что шр, как матрицы, не зависят от времени, т. е. являются интегралами движения. Если Т унитарны, то матрицы шр эрмитовы с точностью до множителя i (ср. § 10, стр. 131). Каждому представлению группы принадлежит система матриц для шА, которые удовлетворяют соотношениям (288).

Приведём пример. Для группы преобразований, смещающих координаты х^) (fc = 1, 2, 3) на величину Ак х'^ = х£° + Ак (Ди А,, А,—непрерывные параметры), имеем: .

что соответствует с точностью до множителя R/i полному импульсу системы. Действительно, инвариантность функции Гамильтона по отношению к этой группе означает, что потенциальная энергия системы зависит только от взаимных расстояний частиц.

Теперь мы перейдём к рассмотрению группы вращений координатного пространства, выполняемых одновре-

менно для всех частиц системы. Здесь можно применить два различных метода. Можно исходить сначала из бесконечно малых преобразований, найти форму для операторов, ф*, описывающих бесконечно малые вращения> и, основываясь на их перестановочных соотношениях, построить чисто алгебраическим путём соответствующие матрицы представления. Или же можно пытаться найти представление посредством анализа группы конечных вращений. Оба метода дополняют друг друга. Мы рассмотрим сначала первый метод..

В качестве трёх независимых бесконечно малых вращений трёхмерного пространства мы выберем вращения вокруг координатных осей

Sx^O, 8х, = —в1х,, 8х, = в1х|;(289)

два других бесконечно малых вращения получаются . из записанного циклической перестановкой. € помощью элементарных кинематических соображений (предельный переход от конечных вращений к бесконечно малым) получаем перестановочные соотношения, характерные для; бесконечно малых вращений

ш^,—ш1ш1 = ша(290)

причём Операторы ф, или соответствующие линейные отображения определяются так, чтобы, например, к преобразованиям (289) [принадлежал оператор 7-Ьв^. Эти соотношения должны выполняться для всех представлений группы вращений. Так как. в дальнейшем мы будем рассматривать также зеркальные отображения, то подчеркнём, что ф ведут себя по отношению к этим преобразованиям, как антисимметричные тензоры, а не как векторы.

Вводя обозначения ф,8< о>31, ф„ вместо ф1( ф,, ®8, причём ф^=—шы, мы можем переписать (290) в виде

toiktolm—tolmtoik = hl^im + W4l—^iltokm—^kmtoil (290')

(8It = 0 при I ф k ийц = 1 при i = k), Такая форма перестановочных соотношений для бесконечно малых вращений верна также и для л-мерного пространства, и мы будем

ею пользоваться ниже при рассмотрении группы преобразований Лоренца.

Рассмотрим одну частицу. В соответствии с нашими предыдущими определениями бесконечно малому вращению (289) принадлежит оператор 1+ео»! (или / + еш23), который переводит и(х1,х4,х1) в и (х^ х2 4-ех3, хэ—sx2), так что

~*/ ди ди X

toiu = -V^-x»dTj •

В случае многих частиц координаты всех частиц должны претерпевать одинаковое вращение:

_д д^_д д^где суммирование производится по всем частицам. Поскольку поступательный импульс р'^ представляется опера

_д д^

_д д^

тором у-тором у-о связано простым соотношением с сум

тором у-

тором у-

марным моментом количества движения

=т2(^-^). №

а именно

®к = -^Рк.(292)

Это снова подтверждает, что <о отличается от эрмитова оператора множителем L Из перестановочных соотношений (103) для рк и qk следует

АД-ЛА»-*^(293)

При этом, однако, особенно существенно указать на то, что существование интегралов трёх компонент момента количества движения, которые с точностью до чисто мнимого множителя совпадают с операторами бесконечно малых вращений <п, может быть доказано независимо от перестановочных соотношений (103), причём перестановочные соотношения для о> вытекают непосредственно

из кинематики группы вращения. Это справедливо также относительно следующих перестановочных соотношений:

К. С]=0 и [Л, С] = 0(294)

для любого скаляра С, а также

К, Л8] = -Д> ла = л, (295) и соответственно

[Р„ Л8] = —[Р8, л,]=-|л,(295')

для компонент любого векторного оператора- А. При этом предполагается, что С и А суть функции только от рк и qk, причём эти функции не содержат постоянных векторов. Эти перестановочные соотношения можно получить из более общих соотношений, справедливых для конечных вращений:

ТС=СТ или TCl^C(296)

и

ТА'и = АкТ или А'к = 1-1АкТ,(297)

в качестве предельного случая, считая вращения бесконечно малыми. Первое соотношение означает инвариантность С (как в случае оператора Гамильтона), второе—ковариантность А относительно вращений. Существование такой унитарной трансформации Т следует уже из того, что совокупность компонент Ль имеет те же собственные значения и удовлетворяет тем же перестановочным соотношениям, как и Ак. На основании (291) и фундаментальных перестановочных соотношений (103) можно показать, что из них следует также (296). В частности, эти соотношения верны для Ак = р^ или Ak=q^, далее, (294) справедливо для С = Р1 = Р\Д-P\~V Pv что следует также непосредственно из (293):

РгРк—Р^-О.(298)

Отсюда следует, что Р1 и одна йз компонент Рк могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Легко найти -элементарным, чисто алгебраическим путём все конечные эрмитовы матрицы, которые удовле-

творяют соотношениямХ293)х). Приводя Р2 и Ра к диаго. нальной форме, находим, что собственные значения Р2 равны ' '' .. ’ ■ ' '

Р2 = Й2/0+0>•(299)

•13-

/ = у ’ "') неотрицательные числа. Данному собственному значению Р2 принадлежит 2/ +1 различных собственных значений компоненты Р8, а именно:.

Ра = 1гт, где —i<m<j,Ра = 1гт, где —i<m<j,(300)(300)

Ра = 1гт, где —i<m<j,

Ра = 1гт, где —i<m<j,

(300)

(300)

причём т изменяется от одного «собственного значения к другому на одну единицу и является одновременно с / целым или полуцелым. При фиксированном /" получаем следующие матрицы, для Рх и Р2:

(Р1 “Ь l'Pj)m+l, m —■

(301)(301)= Й ViU-V 1)—m(m+ 1) = й V U—m)U+ 1 +rn),

(301)

(301)

(Pi—iPe)m, m+1— (Pl “b iP0m+l, m>(P8)m, m — /ИЙ.

Остальные матричные элементы матриц (Pj—z"P8) и (Рг + z"P8) равны нулю. Каждому значению / соответствуют матрицы (301) некоторого представления бесконечно малых вращений. Это представление неприводимо.

Из (295) вытекают следующие выражения для коор

динатных матриц любого вектора Л (не зависящего от векторов с определёнными численными компонентами) 2).

(Х+гЛ^Щ, m+l; у, m= — ^/+1. J^O+ т + 2) 0+m + 1)1 У (Л1 /Л ,)/+!, m-1; j, т=^/+1; j ]/"(/" — т Н- 2) О— /И -|- 1),

М3);+1, ">; i. "1 ”^/+1, iV^U' + т + 1)0—т+1);J

(ЗОГа)

Ml + iA2)j, m+l; /, m — Aj, j ^/^(/" +/Л +1) (/—/Л), }•

(Л1—1Л2)/, m-i; j, m—Aj, j ^У^-А-тА (j—m-f-l)> ^ (^^ b) Ms)/, т;Ц, m = Aj^jm; ■J,

(301 'c)(301 'c)Mi + iA^j-t, m+i; j, m=Aj_1, ^(j~m) Q—m—iy Mi iA^j-1, m-1; j, m — ^/-l, / У U^m^ (J~A~m 1),

(301 'c)

(301 'c)

M,)/-i, m; j, т=Ам, j Уи + т) U—m). .

Матричные элементы для всех остальных пар значений j, т в начальном и конечном состояниях обращаются в нуль. Эти формулы содержат правила отбора для / и m и соотношения интенсивностей мультиплетных термов ): Следует добавить ещё одно замечание о соединении двух систем с моментами количества движения/\ и /, в одну сложную систему. Допустим, сначала, что соответствующие компоненты Р^ и Р^* одновременно приведены к диагональной форме и имеют собственные значения т, и т2, которые пробегают значения от —д до д йот —Л Д° А- Образуем суммарный импульс Pr = P^> +^г2) з•.

и его квадрат Р1='21Р'Т. При этом Р3 уже имеет диа- тональную форму, а каждое из его собственных значений

т = тг 4- т, имеет кратность, равную числу комбинаций, с помощью которых оно может быть представлено в виде суммы двух чисел, лежащих в интервале (—К» j^> и (—к» кУ Полагая jX>k’ мы находим следующие выражения для краткости Z(m) собственного значения т: для

j—k<m<k-A-k.

—(Д’—ьХпку— /,.

— (/1 + А) < т < — Vk—к) -

ZkmXiXit-m-VX. Z(mX2b+L ZA.mXii-Vii-¥m.

Если мы теперь приведём к диагональной форме Р2 ), т. е. /, для каждого т вместо тхитг, то, как нам уже известно, получится ряд состояний с различными /, так что для каждого / величина т пробегает значения от —/ до +/'. Если / имеет кратность N(j), то общее число состояний Z (т) с определённым т получается из

Ztm^^Nvj),j>m

Формула справедлива при т>0. Мы можем этим ограничиться, так как случай т<0 не вносит ничего нового. Отсюда, далее, следует

N(n=zu')-zu4i).

Это приводит в нашем случае к тому, что осуществляются все различающиеся между собой на единицу значения /, которые лежат в интервале

l/i—АК/ХА + А, (302)

причём каждое из них встречается только один раз, а остальные не встречаются вовсе, что соответствует «векторной модели» старой квантовой механики. Отсюда может быть легко получена с помощью введённого ранее определения произведений двух представлений следующая форма представления группы конечных вращений

h+ia

m^X^Dj^ 2 (D/). (302') j=lh-j*l

До сих пор случаи целых и полуцелых / были совершенно равноправны. В § 6 было, однако, доказано, что обозначенное там через / вместо / квантовое число момента количества движения одной частицы в центральном поле сил имеет всегда целочисленное значение. Из (302) следует то же самое для многих частиц, причём положение не изменяется также и при включении любых сил вза-

имодействия между частицами (благодаря непрерывности этого включения). При обобщении, необходимом для введения спина, однакЬ, существенно, что перестановочные соотношения матриц момента количества движения (293) так же, как и перестановочные соотношения (294), (295) допускают полуцелые значения / и т. Целочисленность j. и т вытекает только из определения (291) момента количества движения в соединении с перестановочными соотношениями для координат и импульсов 1). По этой причине мы должны обобщить определение (291).

(303)(303)Построим теперь неприводимые представления группы конечных вращений 2) (второй метод), соответствующие целым и полуцелым значениям /. При этом, однако, целесообразно вместо группы вращений в трёхмерном пространстве рассмотреть сперва группу унитарных преобразований U, двух комплексных переменных 5Х, $а с детерминантом, равным единице:

(303)

(303)

где

аа*+^»=1.(304)

Соответствующее преобразование av аг, которое оставляет линейную форму

(303')(303')a^i + a^iинвариантной, имеет видOi = аа1-|- ^а2,а'=—^ + «*0,.

(303')

(303')

В силу (303), у+1 произведений степеней 6?,^^

преобразуются между собой линейно. Они образуют тем самым представление рассматриваемой группы степени

х) Доказательство этого следствия с помощью матричного исчисления см. М. В о г n u. Р. J о г d а п, Elementare Quantenmecha- nik стр. 164, Berlin, 1930....

■*) Кроме цитированных в прим, на стр. 186 учебников см.-

также Н. A. Kramers, Proc. Amsterdam, 33,.953, 1930 и Ht’C- Brinkmann, Dissert. Utrecht, 1932, где разобраны применения, к расчёту различных матричных элементов. .'

Общие принципы волновой механики■12

v-Ц. Это представление неприводимо. Выбирая

в =HL= (г = 0, 1..... v)(305)

в качестве нового базисного вектора, мы получаем даже унитарное представление, так как одновременно с EiE* + -Ма^ является инвариантом и (Е^’ + ЕгЕ*)”» т- е- 2 ®^-

Г

Полагая и = 2/ и г=/—т, мы получим связь с прежними обозначениями. Таким образом построено представление О/ степени 2/+ 1 группы унитарных преобразований с детерминантом 1. Ое—тождественное представление, Di/,—сами первичные преобразования.-

Связь с группой вращений в трёхмерном пространстве получается при рассмотрении Dv При/=1,и —2 коэффициенты с0, cv с, преобразуются так, что

■ y^i +с1£1<1 +*2^2

остаётся инвариантным. При этом определитель

является инвариантом, так как детерминант преобразования равен 1. Если положить

x-H'y = Ci, х—iy = —c0, z = cv (306) то

x1 + y, + z‘ = |x + zyi|x-zyi + z* = c11—сос„

и, следовательно, отображение Dj представляет собой обыкновенное вращение в пространстве (х, у, z). Легко показать, что (х, у, z) преобразуются как

. а^.Ч^Ь i (а^—а,^), а^—а,^,

если ах, at преобразуются согласно (303'). Поскольку эти числа вещественны, речь идёт, очевидно, о вещественных вращениях. Для вращения с эйлеровыми углами 6, Ф, ф получаем следующие значения коэффициентов пре-

образования, входящих в (303) и (303'):

g -5(9+4-).g -^(Нф)

a = cos^e , р=—zsin^f . (307)

В частности, при 6 = 0 получаем вращение вокруг оси г на угол <р + ф, причём матрица диагональна. Тождественному «вращению»соответствует не только тождественное преобразование (303), но также и преобразование

Следовательно, вращения представляют собой сокращённое представление иг, и наоборот, Di/, есть двузначное представление группы вращений. Рассматривая величины Е„ определённые в (305), можно с помощью (307) вычислить также общие матрицы представлений для Dj, как функции углов 6, у, ф 1). Они уже приведены относительно подгруппы вращений вокруг оси г. Для по- луцелых / получаются двузначные представления, для целых /—однозначные. Шаровые функции порядка / преобразуются с помощью представления Dv

Следует отметить, что функция Гамильтона инвариантна также относительно зеркальных отображений от центра тяжести системы

^=-х.(308)

Эти зеркальные отображения перестановочны со всеми вращениями. Поэтому каждая собственная функция должна при таких отображениях просто умножаться на постоянный множитель. (Можно также представить себе, что благодаря введению внешнего магнитного поля, вырождение, связанное с группой вращений, совершенно снимается без нарушения инвариантности функции Гамильтона относительно зеркальных отображений.) Двукратное зеркальное отображение даёт тождественное преобразование. Поэтому фактор -е, определяемый равенством

U(—q, ....—qt} = eu(.qq^,(309)

может быть равен только ±1:

.8=±L(310)

Мы назовём этот множитель характером или сигнатурой зеркального отображения (Das Spiegelungsmoment или die Signatur). Терм называется чётным при е= +1 и нечётным при е — •—1. Для одной частицы в центральном поле сил из свойств шаровых функций получается

. е = (-1)ь

а для многих частиц:

в = (—l)z*+r*+—+1^.(311)

Это получается сперва только для невзаимодействующих частиц, однако, включение сил взаимодействия не может, благодаря его непрерывности, ничего изменить. Элементы матрицы координат частиц только тогда отличны от нуля, когда е имеет различные знаки в начальном и конечном состояниях (правило Лапорта)..

С этими вспомогательными средствами уже легко установить обобщённые волновые уравнения для частиц со спином. При этом мы сперва займёмся элементарными частицами (электроны, протоны) *). Мы будем понимать под спином частицы её момент количества движения, не сводимый к поступательному движению материальной точки. Модуль спина (в отличие от его отдельных компонент) мы будем считать постоянным числом. Такая Точка зрения, повидимому, необходима, так как при современном состоянии квантовой теории мы вынуждены трактовать подобным образом не только спин элементарных частиц, но и спин . атомных ядер (если он отличен от нуля). Повидимому, невозможно описывать состояние ядра с помощью собственной функции, содержащей пространственные координаты находящихся внутри ядра электронов. Можно, однако, описывать реакцию ядра как целого по отношению к внешним силам с помощью волновой функции, которая содержит в качестве независимой переменной, кроме координаты ядра, ещё его спино-

вую координату, причём ядро может пребывать в определённом возбуждённом состоянии. ‘

Описание спина основывается на следующих предположениях: 1) Кроме орбитального момента

zi =r(xidx7—Хад^)^312)

имеется спиновый момент с компонентами s1( s2, sa, которым соответствуют операторы, действующие на волновую функцию. Эти операторы должны быть коммутативны с координатами и импульсами частиц. При этом мы считаем, что оба момента импульса измеряются в единицах Й. 2) Бесконечно малым вращениям соответствует применение операторов '

- фа = —Ц1кЛ-8к)' (313)

к собственным функциям, так что .

Pk-Hk-W(313')

играет роль суммарного момента импульса. Действительно: этот суммарный оператор коммутирует со всеми инвариантами вращения, если функция Гамильтона инвариантна относительно вращений и не зависит от времени. Если функция Гамильтона инвариантна только по отношению к вращениям вокруг одной оси, например оси ха, то остаётся всегда постоянным только Pv Из этих предположений чисто кинематически вытекают перестановочные соотношения (290) для шк, и следовательно, поскольку 1к коммутативно с sk, перестановочные соотношения *)'

. 5,5,—S2S, ZS3,- (314)

аналогичные (293). Мы всегда рассматриваем-

.*) Первоначально эти перестановочные соотношения основы

вались просто на аналогии с перестановочными соотношениями для /„, которые выводились из канонических перестановочных соотношений для рк и qh. Возможность кинематического вывода перестановочных соотношений для s, из группы вращений была указана впервые -Нейманом и Вигнером: J. v, Neumann и. Е. Wigner, Zs. f. Phys.’. 47, 203, 1927.

как заданное постоянное число, которое, как мы видели, может принимать, согласно (314), только значения s (s + 1) с целым или полуцелым s

М + . (315)

Поэтому мы можем ввести в волновую функцию в качестве независимой переменной, кроме пространственных координат частиц, ещё только одну из компонент, s^, например s3. Волновая функция приобретает тогда следующую форму:

. Ф(х, $,;/). (316)

Переменная s, принимает здесь, как мы видели, только дискретные значения — s, — (s —1), .. ., + s, так что мы можем вместо (316) писать также ■

Ф(х, s3; 0 = 2<Us»Hh(x, 0;(316')

^(s,) не зависят от х и / и определяются равенствами

^(s8) = {^(s8) = {при $3 = Ц, при 5,+ ц.при $3 = Ц, при 5,+ ц.(317)(317)

^(s8) = {

^(s8) = {

при $3 = Ц, при 5,+ ц.

при $3 = Ц, при 5,+ ц.

(317)

(317)

^(s,) нормированы и ортогональны, т. е. удовлетворяют соотношениям

+»2+»2Сц(8д) Су» (Sg) Сц(8д) Су» (Sg) при ц = ц', при ц + р'.при ц = ц', при ц + р'.(317')(317')

+»

2

+»

2

Сц(8д) Су» (Sg)

Сц(8д) Су» (Sg)

при ц = ц', при ц + р'.

при ц = ц', при ц + р'.

(317')

(317')

В применениях, впрочем, специальный выбор си (s3) в уравнениях (317) не играет роли, а существенны только соотношения (317'), которые сохраняются при вращениях системы жоординат.

Вообще ф^и является попрежнему вероятностью в пространстве конфигураций и спина. Плотность в пространстве одних координат положения равна, таким образом,

Р = 2Ф*(х, s3; ОФ(х, s3; П = 2ф;(х, ОФДх.Ц. (318)

г»

Объёмный интеграл плотности не зависит от времени. Условия нормировки и ортогональности для собственных функций стационарного состояния

и (х, 8а) = 2 Сц (s3) “н (х)

имеют вид:

2 ^dxu„(x, s3)um(x, »3) =

— с/ 1 при m =

— ^^Un^X)Umv.(x)dX=^0 при тфП- (318')

Компоненты тока рассматриваются в релятивистской теорйи.

Результат применения операторов slt st, s3 к волновой функции может быть проще всего получен из их матричного представления, аналогичного (301):

(319)(319)($i + isJu+tn — V (s—Ю (s+ 1 +!*)•(St - is,V i, и = / (s-^+l)(s + ^).

(319)

(319)

Мы получаем вообще

($*) ’Vh (*> 0 = 2 Ф^' ($a)h'« h •(320)

причём, однако, не более двух матричных элементов (з^-.у. отличны от нуля. Например:

^Ф^^^+^’^+у^-^ф»-

= 2^-i]As — P’+1)(s + p) +

причём при n = s исчезает второй член, при ц= — s первый. С другой стороны, имеем просто

Мн = ФнИ-

Функция Гамильтона в общем случае содержит, кроме х, ещё»,,. Например во внешнем магнитном поле с компо-

нентами Нр Ht, Н, функция Гамильтона получает добавок K^H^StH^SgH,), где численный множитель К обозначает отношение магнитного момента к моменту импульса частицы. Вообще форма оператора Гамильтона должна быть определена на основании аналогии с классической теорией ).

Си и фи в (316') преобразуются при пространственных вращениях как коэффициенты си и переменные Ен инвариантной формы

причём, согласно (305),

е*+цг«-Ц g .. Si %1

11 /(7 + и)! (s-h)1 '

где положено и = 2s, r = s—у, a EIf Е, преобразуются согласно (303). Таким образом, преобразование фи определяется непосредственно представлением (D^ группы вращений, которое однозначно или двузначно в зависимости от того, является ли s полуцелым или целым числом. При зеркальном отражении индексы функции фи могут оставаться неизменными, так как s , представляющее собой антисимметрический тензор, остаётся инвариантным. В случае s = 1 функции ф,, ф0, ф_, преобразуются при вращении D-1 их аргументов так, как преобразуются — (х, — zx,), ха, x^+zx, при вращении D, так что соответствующие линейные комбинации фц могут рассматриваться как компоненты векторов.

Особый интерес представляет, однако, случай s = 1/i, потому что, как показывает опыт, он осуществляется для элементарных частиц (электронов, протонов). Согласно (317), мы получаем в этом случае

(Si -|- ZSa)+i/2, -1/, = (», — ZS,)-i/„ +i/ g = 1,

иди, в матричной записи,

т. е., обозначая

(321)

VG М? G). «.-GG). (322)

Если писать вместо ф+1/1(х, /), ф_1/2(х, /) соответственно ф«(х, О, ф?(х, О, а вместо С+1/, и C_i/e просто С+ и С_, то получается

Ф(х, s,; /)=С+фа(х, /) + С-фР(х. О- (316")

Далее, на основании (320), можем записать

С1Фа = Ф?> М^Фа, £ф.=Ф₽С М?=Ф«(-0,

а3ф« = ф«, =зФ? = Ф|ь

и «компоненты плотности вероятности спинового момента»

(323)(323)^1 = Ф^Ф«+ Ф^Ф? = Фаф? + Ф?Фа,

(323)

(323)

d, = Ф^,Фа+ Ф^.Ф? = I (фа*? — ф?фа), ^а = Ф^зФа+Ф₽58Ф₽ = ФЖ — Ф?Ф?>

преобразуются как компоненты вектора, тогда как

(324)(324)Р = Фафа + Ф?Ф? (318') остаётся инвариантным. Эти матрицы аА удовлетворяют соотношениям

(324)

(324)

которые являются частным случаем (314), (315) и обо- значают, что ак перемножаются как единицы кватернионов; умноженные на I. фо. Ф? преобразуются при пространственных вращениях, как Ev Е„ введённые в (303), т. е. с помощью матрицы

которая выводится из (307). Как уже упоминалось, ■*.1 ■*

. .Ю/(= -lSk = - J Gk

определяет преобразование (фо, фр) при бесконечно малых вращениях.

Обобщение на случай Многих взаимодействующих между собой частиц, Обладающих спином, не представляет затруднений. 'Вводятся собственные функции

■ Ф (^Г1« Хг1, ХГ8, $гз)« (325)

причём индекс г обозначает здесь номер частицы и пробегает значения от 1 до N, где N — число частиц. При этом каждое згз изменяется от — зг до sr. В индексной записи собственные функции имеют вид

ф (х^, зг3, 0 =

= ■ 2 См(з1$)... С^^Здгз) ф^,..., ^(хи,..., Хд'з), (325 )

где рг пробегает значения от — зг до + зг. В случае одних лишь электронов каждое р принимает только два значения + 1/, и —11. и соотношения (325') определяют 2V функций. Оператор srk действует только на индекс рг с тем же номером г, причём совершенно так же, как в рассмотренном выше случае.

Существенное различие между сложными и элементарными частицами (электронами и протонами), так же как и обоснование значения */, для спина последних, было выяснено впервые в релятивистской квантовой механике (ср. часть II, § 2). '

. § 14. Собственные функции многих одинаковых частиц1)»Перестановки. Принцип Паули.

Если мы имеем дело со многими одинаковыми частицами, то появляются некоторые особенности, которые связаны с тем, что оператор Гамильтона инвариантен

§ 14] СОБСТВЕН. ФУНКЦИИ МНОГИХ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 187 при любых перестановках частиц. Если частицы имеют спин, то спиновые координаты srs должны при этом переставляться одновременно с пространственными координатами хгд (fc = l, 2, 3). Если оператор Гамильтона содержит только пространственные координаты, то, конечно, инвариантность относительно одних пространственных координат уже существует, и если зависящая от спина часть функции Гамильтона относительно мала, то такая инвариантность осуществляется приближённо. К этому обстоятельству мы вернёмся позже; сначала мы рассмотрим одновременную перестановку спиновых и пространственных переменных, по отношению к которой осуществляется точная инвариантность. Итак, пусть Р— перестановка N чисел 1, 2, ..., г, .... N, нумерующих N одинаковых частиц; тогда из каждой собственной функции ^(Хц, .... xN3, Sis, •.., S/vs, 0> применяя перестановку Р, мы получим новую собственную функцию, которая принадлежит к тому же самому наблюдаемому состоянию:

9'(хи, ..., 8д.3, 0 = ^(Х11, . .., SNa, t).

Действительно, для каждого оператора, симметричного относительно переменных этих частиц, и, в частности, для оператора энергии мы получим одно и то же среднее значение, если один раз вычислим его для ф', а другой раз для ф. Но только такие симметричные операторы я соответствуют наблюдаемым величинам для одинаковых частиц. Вследствие полной неразличимости одной частицы от другой имеет смысл спрашивать, например, только о вероятности того, что одна из частиц находится в точке х1; и имеет спин $,,, другая —в точке х, и имеет спин sa8, и т. д., но нельзя говорить о вероятности того, что первая частица имеет пространственные координаты и спин xv., sl8, вторая —х№ $„. Первая из этих вероят-. ностей равна

2 р IФ (х1ь • • • ’ s™) * dx“ • • • dxN»« (326) p

если мы всюду считаем пространственные координаты xrk определёнными с точностью до dxrk, а спиновые координаты пробегают значения от — s до + s (для электронов значения — 7, и + 7»)-

Из общих теорем предыдущего параграфа вытекает, что стационарные состояния составной системы должны распадаться на различные системы — серии термов, которые соответствуют различным неприводимым представлениям группы перестановок. Кроме того, матричные элементы симметричных величин отличны от нуля только, если начальное и конечное состояние принадлежит одной и той же серии термов. Если представление имеет степень 1, то термы не вырождены (случайное вырождение или такое вырождение, которое связано с инвариантностью гамильтоновой функции относительно другой группы, отличной от группы перестановок, мы пока не рассматриваем); собственные функции при каждой перестановке умножаются на численный множитель. В более общем случае, когда представление имеет степень h, соответствующие уровни энергии й-кратно вырождены. В соответствующем й-мерном линейном векторном пространстве собственных функций можно найти базис из ортогональных друг другу и нормированных собственных функций

uv и,uh, которые при перестановке Р, соответствующей линейному отображению с(Р) представления, переходят в новые собственные функции-

h ■

Р^-^и^ДРУ(327)

Представление унитарно, так как

2 5 “*Us dx = 2 S (Pu^‘ ^PUs^dx *rSr

(здесь по каждому s„ производится суммирование от — s до + s), и функции Ри, также" ортогональны и нормированы, если таковыми были ит. Из любой функции f(qv ...» qN) (где q, объединяет х1т, х1г, хвг и s3r) можно получить специальную функцию «^q,q^. которая

преобразуется согласно представлению (327). Действительно, для этого достаточно образовать .

и (flu .... qN^^Ap.Pf (qv..... qNy (328) p'.

где коэффициенты Ар выбраны подходящим образом.

Специальные представления степени 1 соответствуют симметричным и антисимметричным собственным функциям. В первом случае-

Ри^у<7у) = и(<7Р .... q^ (329)

представление тождественно. Это означает, что каждому элементу группы соответствует тождество. При антисимметричном представлении следует различать чётные и нечётные перестановки. Пусть 8Р= 1 для чётных и 8р= — 1 для нечётных функций; тогда для антисимметричных функций имеем:

Pu(qv ..., q^ = М (qxqN). (330) Поскольку •-

Вру = 8р.Ву, Вр_1 = 8р, 81 = 1,

мы действительно получаем представление, и для выполнения равенства'(330) достаточно, чтобы и меняло знак

нерелятивистская теориянерелятивистская теория190190[ч. t

нерелятивистская теория

нерелятивистская теория

190

190

при перестановке каждых двух переменных. Согласно (328), из произвольной функции / получаем симметричную функцию, если положить все АР равными 1:.

Osymm(^i» •■•» 9n) =^PHqi q^>(328')

или антисимметричную функцию, если положить Ар = 8р (т. е. ± 1)

Mantis. (?i, • • • » Qn) ~^WthqNy. (328") 'р.

Если имеются только две частицы, то симметричное и антисимметричное представления являются единственными неприводимыми и поэтому уровни энергии распадаются просто на эти две серии.

Если однажды система из N частиц находилась в определённой серии термов (которая соответствует известному неприводимому представлению с(Р) группы перестановок), то никакое внешнее воздействие (силовое поле, излучение) не может перевести её в другую серию термов, потому что энергия возмущения симметрична относительно частиц и её матричные элементы с начальным состоянием из рассматриваемой серии и конечным— из другой серии, обращаются в нуль. Благодаря волновому уравнению для зависящей от времени волновой функции характер симметрии, который имел место при ( = 0, сохраняется для любого времени. Поэтому говорят также о некомбинирующих сериях- термов. При этом, однако, требует особого рассмотрения тот случай, когда число частиц N рассматриваемого сорта непостоянно, например, когда система соударяется с новой частицей рассматриваемого рода..■

Пусть, например, дана атомная система с N электронами. Мы предположим, что она находится в состоянии с собственными функциями и,^, .,.,qNy которые принадлежат к определённому неприводимому представлению Dw группы 2jv перестановок N элементов. Пусть, далее, атом соударяется с новым (N-|-1)-hm электроном, а собственные функции U?(qv ...,qN, q^+i) всей составной системы до удара выбраны так, что они принадлежат определённому неприводимому представлению

D(jw) группы перестановок ^-^-1 элементов. Тогда Up имеет вид

иР = 2ap,»pui(9i. - .-.q^D(9/v+i), p

где у (^v+i) —собственная функция ударяющего электрона, а Лр|Р—соответствующие численные коэффициенты. Представление DN для и должно содержаться ■ в представлении 0^+^ для U при редукции по подгруппе 2w группы 2-V+1- Так как, кроме того, и быстро исчезает при удалении на большее расстояние R одного из электронов 91. - ..,qN> то мы получаем в хорошем приближении

Up(^, ...,qN1R) = A1?u1^qv .... qN)v(R). • .

После удара получается новая функция

U; (qv..., qN+t) = 2 АР.»Рих (qv ...,qN)v' (qN+l)р.

с аналогичным свойством. Up должно обязательно принадлежать тому же представлению D^+n группы Swi. что и Up. Напротив, и' могут преобразоваться при применении перестановок Р группы 2^ по представлению (приводимому или нет, в зависимости от обстоятельств), которое может содержать любые неприводимые представления DN, получающиеся из Df^o при редукции по подгруппе 2.v группы З^+ь Таких представлений в общем случае несколько, и поэтому атом, сталкиваясь с новым электроном, может перейти из состояния одной серии в состояние другой серии. Только в двух частных случаях, как уже упоминалось, многозначность Dw исключена. А именно, если мы имеем дело с симметричной или антисимметричной функцией U (qx9,v+i) ^+ 1 ■ частиц, то us и иа должны быть обязательно тоже симметричны или, соответственно, антисимметричны по отношению к ^ переменным qv ..., qN, что следует из разложений

^(91.?л+1) = 2 Pu(qi. ---. qN)v(qN+l) =

.р

Л+1

= 2 TN+t,kUs(Qv • • • > Qn) у (qN+i)’

Ua (Qx?n+i) = 2 ^pU ^Sn)v (Qn+a) = p

N+l’

= 2 ^^-М.к Ua (?i> • • • > Qn)^ (^N+l)'

■h=A

Здесь TN+i,k означает перестановку двух чисел АГ +1 и к* Tn+i. w+i> следовательно,— тождество, а 8а= + 1 при /c = 2V+ 1 и 8а=—1 при l<fc<N. .■

Опыт показывает, что —коль скоро мы одновременно переставляем пространственные и спиновые переменные— для каждого сорта частиц имеется только один единственный класс состояний. Этот класс может быть только либо симметричным, либо антисимметричным. Опыт показывает далее, что элементарные частицы (электроны, протоны) принадлежат к антисимметричному классу, который только и встречается в природе. Для других частиц, например, ядер Не (а-частиц), в природе встречается и симметричный класс. Весьма своеобразно то обстоятельство, что волновая механика приводит к большему, числу возможностей, чем встречается в природе, и притом к возможностям, равноправным в смысле принципа соответствия. Можно надеяться, что будущая теория электрических элементарных частиц приведёт также и к более глубокому проникновению в сущность этого ограниченного выбора природы ")•*'

Свойства классов симметрии выступают более ясно, если рассмотреть частицы, которые в первом приближении не связаны между собой, т. е. свободны от взаимодействия. Они могут, однако, находиться во внешнем силовом поле. Пусть в этом случае ^(q), ..., uN(q) —

§ 14] Собствен, функции многих одинаковых частиц 193 собственные функции состояний, в которых находятся N электронов, причём между этими состояниями могут, однако, встречаться также и одинаковые. Тогда симметричной собственной функцией будет сумма произведений:

Us<Jb ^) = 2Р“1(^) ••• MQnY ’ (331) р

Здесь должны переставляться индексы координат частиц при фиксированных индексах 1,2, ...,N состояний, между которыми могут также встречаться и одинаковые. (Для нормировки Us нужно ввести ещё соответствующий численный множитель.) Подобным образом находят антисимметричную собственную функцию:

Ua(qv ....Ц^^рРИа^) ... uN(qN) =р'

"i(»i) • • • M?i)

(332)(332) На (9з) . . . и^ (9а)

(332)

(332)

ui(9n) • • • ик(9к)

которая записана также в виде детерминанта. Антисимметричная функция тождественно обращается в нуль, если два состояния совпадают (ut(q) = uk(q) при к ф I). Таким образом, пока речь идёт о системе частиц с антисимметричными состояниями, то две частицы никогда не могут находиться в одном и том же состоянии. В этом состоит содержание принципа Паули, который был сформулирован ещё до установления квантовой механики для электронов. Справедливость этого принципа для протонов стала известна позже. Из справедливости принципа Паули для определённого сорта частиц обратно следует, что эти частицы имеют антисимметричное состояние. Ибо только антисимметричные собственные функции имеют свойство всегда обращаться в нуль, если две частицы находятся в одинаковом состоянии.

1313Общие принципы волновой механики

13

13

Для возможности непротиворечивым образом исключить все классы симметрии, кроме одного, существенно то обстоятельство, что в рамках применимости классической механики (геометрической оптики) нельзя установить вид класса симметрии. Рассмотрим для простоты только две частицы. Мы принципиально всегда можем различить эти частицы, используя, например, непрерывность изменения их местоположения, если их волновые функции ^.(q, 0 и ^,(q, /) нигде не перекрываются, т. е. отличны от нуля в совершенно разделённых между собой областях пространства. ^Строго говоря, достаточно полного разделения областей в пространстве спинов и обычных координат; мы пишем далее временно ^ dq вместо 2 § dx1dx,dx,.^

В этом случае имеет место равенство №ММ=О (г=1,2)

во всём ^-пространстве за весь рассматриваемый промежуток времени. Поэтому средние значения любого симметричного относительно частиц оператораF(pvрг, qv q2) для симметричных и антисимметричных функций

^(9.9.0 =

(33 Г)(33 Г)= ^[Ф1(91- t^^qv 0 + Ф1(^, 0Ф.(91, 0],

(33 Г)

(33 Г)

^(919.0 =

совпадают

F (0 = J ^FT, dq. dq, = J У^ dq. dq, =1

Т^МиШг 01^1(91^.(91,01^9.= }(332')

= J ^(9=, 0Ф; (9i, 0 №(91, 0^,^., t)]dq.dq„

так как в этом случае (по крайней мере, когда F—целая рациональная функция р)

ф: (91, оф; (9= о [^(9., оф. (9, oi=o.

Часто тот факт, что электроны удовлетворяют принципу Паули, т. е. имеют антисимметричные состояния, представляют наглядным образом, говоря, что все электроны «заключают между собой договор» или «должны знать друг о друге», чтобы удовлетворять этому принципу. Мы видим, однако, что этот «договор», если- можно так выразиться, автоматически вступает в силу только тогда, когда волновые пакеты электронов перекрываются, т. е. когда возможность их совпадения в пространстве спинов и обычных координат не исключена заранее (не учитывая уже класса симметрии).

Мы рассмотрим теперь ещё несколько подробнее поведение многих электронов, возвращаясь к разделению на пространственные и спиновые координаты. Во многих случаях допустимо рассматривать взаимодействие между спином и орбитой и, следовательно, —ту часть оператора Гамильтона, которая содержит операторы спина—как малое по сравнению с взаимодействием электронов. В нулевом приближении (каждый из электронов движется в одинаковом внешнем поле) оператор Гамильтона имеет вид

я«»=2 hw,

Г=1

где Каждое Н^ действует только на пространственные координаты г-го электрона. В первом приближении добавляется возмущение

r,s ’

симметричное по отношению к пространственным координатам частиц. Это есть введённая уже в (98), (99) кулоновская энергия взаимодействия частиц.. Только во втором приближении к ней присоединяется энергия взаимодействия между спином и орбитой

Я<2) = У(ХГ/£,5Г8).

Если Я<2> можно рассматривать не только как малое по сравнению с Н№, но и как малое по сравнению с HW, то говорят о рессель-саундерсовской связи.

Исследуем теперь более подробно на простейшем примере двух частиц поведение собственных функций, соответствующих этим предположениям. Согласно (328") целиком антисимметричные решения (т. е. антисимметричные по отношению к спиновым и пространственным координатам вместе) в нулевом и первом приближении имеют вид

U (Хц ^1> S13> Sgg) = U (Хц Slg) V (Xj, S2j)■

—u(x2, s23)u(x1, s15),(333)

где

U (xv s13) = и (x) [o«C+(s3) + a?C_(23)],и (xa, s23) = v (x) YbaCXss) + 6?C_(s3)]

(индекс к = 1, 2, 3 пространственной координаты каждой из частиц мы опускаем). Эта запись выражает разделение пространственных и спиновых переменных в нулевом и первом приближениях, и(х) и и (х) — пространственные собственные функции одного электрона в одном из рассматриваемых состояний. Если оба электрона по отношению к пространственным координатам находятся в одинаковом состоянии, то следует положить и (х) = и (х). Если сначала, как мы предположили, внешнее силовое поле отсутствует, и оператор Гамильтона, следовательно, инвариантен относительно вращений, то при любом выборе а„ а?, Ьа> Ь^ мы получим допустимую собственную функцию. Тогда U (xt, х3, s13, s23) представляет собой линейную комбинацию следующих четырёх (ортогональных друг другу и нормированных) собственных функций: трёх функций'•

U4Xi, х2, sl3, s23) =

= ^ t“ (Xi) U (Х.) - U (Х») и (Х1)1 Ат, ($,1. $32),

где ms= — 1, О, + 1, а

A-i ($1з> $зз) = С- ($13) С_ (S13),

А6 = ^ [С+ (s13) С_ (s23) + C_(s13) С, (s„)],

A*i = С t (s13) Ct (s23)■

и функции■..

Uu(xv х8, s18, s„) = ^[u(x1) u(x8)4-u(x1)u(x2)] х X ^= [С+ (s„) С_ (s„) - С_ (s18) С+ (sS8)].

Спиновая функция входит здесь как множитель, причём в первом случае она симметрична, а во втором—антисимметрична. Во втором случае применение какого-либо из операторов $й = $/й4-$2й к спиновой собственной функции даёт нуль. Уже из этого следует инвариантность этой функции по отношению к вращениям. Это, однако, видно и непосредственно, так как она при любом линейном преобразовании умножается на такой же детерминант преобразования, как и C+(s13)C_(s13) или С+(s18)С_(s83); но, как мы видели, детерминант преобразования вращения для С+, С_ имеет значение 1. Итак, U11 соответствует терм с S = 0 (сингулет). Даже тогда, когда благодаря инвариантности оператора Гамильтона по отношению к вращениям одному и тому же значению энергии принадлежит несколько и и несколько и ’) (с не равным нулю результирующим вращательным моментом орбитального движения) включение энергии возмущения Hw не вызывает дальнейшего расщепления терма. В случае и(х) = и(х) первый нормирующий множитель в U11 заменяется на х[г, так что можно просто писать ц(х)и(х). В первом приближении, т. е,-пренебрегая Н®\ получаем для U11 возмущение терма

ДЕп-Л+Л,(334а)

где.

Л= lu(Xi)|aMx,)|1V(x1,xa)</x1dx2,

*- (ииЭ)

Jt = $ и* (х^ и (х2) и* (хх) U (х2) V (хх, ха) dxT dxv J

Ji —так называемый обменный интеграл.

В первом случае, т. е. для U1 спиновые собственные функции симметричны. А.,, Ао, А, преобразуются при

■ х) В этом случае нужно построить соответствующие линейные комбинации различных их (xj vx (х3) + их (х2) v^ №).

вращениях друг в друга. Это происходит в конечном счёте потому, что вращения и перестановки коммутативны, и следовательно, при вращении характер симметрии собственных функций никак не может измениться. Собственные функции одного спина А^, Ао, Аа соответствуют здесь значениям — 1, 0, 1 квантового числа ms третьей компоненты s3 = s13 + s23 результирующего спинового момента и значению s = 1 квантового числа модуля результирующего спинового момента. Соответствующее возмущение энергии равно в первом приближении

ДЕт^Л-Л,(334b)

где Jo и Jj обозначают те же интегралы, что и выше. Если L—орбитальный вращательный момент, то, вообще говоря, из-за энергии возмущения Я(2) получается дальнейшее расщепление терма, причём приводимое представление

Di X D, группы вращений распадается на свои неприводимые составные части Dj, где

J = L+L L, L—1.

Для L = 0 (S-терм) расщепления, очевидно, не получается. Таким образом, мы имеем здесь дело с триплетной системой. Следует заметить, что при ц(х) = и(х) собственная функция U1 тождественно исчезает.

Мы получаем следующий важный результат: благодаря принципу Паули, состояниям двух электронов, симметричным относительно перестановки одних пространственных координат, соответствуют сингулетные термы; состояниям же, антисимметричным относительно пространственных координат, соответствуют триплетные термы. Даже если пренебречь силами взаимодействия между спином и пространственными координатами, эти термы энергетически различаются обменными интегралами. При не встречающихся в природе целиком симметричных состояниях соотношения мультиплетности для различных классов симметрии относительно одних только пространственных координат были бы как раз обратны.

Это утверждение составляет сущность содержания гей- зенберговой теории спектра гелия*). Благодаря неразличимости электронов перемена мест электронов принципиально не может наблюдаться. Что же касается «обмена» электронов, то в принципе в атоме Не может самое большее наблюдаться перестановка спина внешнего и внутреннего электронов с течением времени, если эти спины противоположны.

Теория может быть обобщена со случая двух электронов на любое число N электронов1). Мы не будем, однако, проводить здесь доказательства, а только набросаем результаты. При этом не рекомендуется исходить из общей теории представлений, так как фактически, благодаря принципу Паули, может встретиться лишь небольшая часть всех возможных представлений для симметрии собственных функций относительно перестановок одних координат. Рекомендуется ввести в детерминант (332) выражения вида (333) и для функции un(y) соответствующим образом расположить полученные выражения (195). При этом видно, что результат применения оператора 3 N

s‘ = 2 2 $*к к спиновой собственной функции всегда Й=1 Г=1

состоит в умножении функции на число вида s(s-pi). Характер симметрии спиновых и тем самым—в силу принципа Паули—пространственных собственных функций определяется тогда однозначно.

Из этого, далее, следует, что при рессель-саундерсов- ской связи (малость взаимодействия //<2) по сравнению с HW) термы различной мультиплетности также и для N электронов разделяются друг от друга; энергетически они отличаются линейными комбинациями «обменных интегралов».

Следует ещё заметить, что применение предыдущих рассуждений о столкновении к вопросу о симметрии соб-

J)Cp. Г. Бете, Квантовая механика простейших систем.

а) Ср. Р. А. М. Dirac, Proc. Roy.' Soc. London (A), 123, 714, 1929; J. C. Slater, Phys. Rev., 34, 1293, 1929. Общие обзоры в Rapport du Congris de Solvay, 1930, Referat W. Payli, в о обенности 1 §'4; далее M. Born; Zs* f. Phys , 64, 729, 1930; Ergebn, d. exakt, Naturwissensch, 10, 387, 1931.

ственных функций при перестановку одних пространственных координат показывает, что, даже если пренебречь спиновыми силами при соударении электрона с атомом, этот последний может перейти в терм с иной мультиплет- ностью, чем исходный терм. Ибо здесь, кроме симметричного и антисимметричного, могут встретиться и другие классы симметрии.

Нам осталось ещё обсудить статистические применения теории, которые характерны для системы из многих одинаковых частиц с определённым классом симметрии (симметричным или антисимметричным). Представим себе большое число невзаимодействующих свободных частиц, заключённых в замкнутом объёме V, так что собственные функции имеют вид плоских стоячих волн. Число стационарных состояний частицы, лежащих в элементе объёма рк, Pk"Yd.pk (к — 1,2,3) пространства импульсов, тогда равно • ■

Z=V ^dpxdp,dpv

Для частиц со спином сюда следует добавить ещё весовой фактор g = 2s +-1 (g = 2 для электронов и протонов), однако, мы для простоты пока его опустим. При этом целесообразно рассматривать не одно состояние, а группу из/ состояний рассматриваемого рода, причём Z должно быть большим числом. С другой стороны, энергия частицы внутри группы должна изменяться так мало, чтобы множитель Больцмана

е кТ для группы состояний оставался почти постоянным. Тогда возникает вопрос об априорной вероятности W того, что N частиц лежат в рассматриваемой группе состояний. Согласно общим принципам она задаётся числом стационарных состояний составной системы из N частиц, при которых каждая частица имеет импульс между рк и рк + -V-dpk. Это число зависит от класса симметрии и отличается от априорной вероятности для независимых частиц, которая равна просто

W = ZN. (336)

Для частиц с симметричными состояниями дело обстоит совершенно иначе. Тому случаю, когда первая частица находится в состоянии 1, а вторая—в состоянии 2, и дру-

тому случаю, когда первая частица находится в состоянии 2, а вторая—в состоянии 1, соответствует только одно состояние для системы из двух частиц; следовательно, здесь a priori равновероятно, что одна из двух имеющихся частиц находится в состоянии 1, а другая —в состоянии 2, или что обе они находятся в одинаковом состоянии 1, или же в одинаковом состоянии 2. Для независимых частиц, напротив, вероятность каждой из двух последних возможностей равна только половине вероятности первой. Вообще для N частиц каждая симметричная функция однозначно охарактеризована, если задано, сколько молекул из общего числа N находится в каждом из Z-состояний группы. Такое задание мы будем называть «распределением». Для симметричных собственных функций число таких распределений равно

W~ '^Y(Z—1)1 (симметРичные состояния). (336а)

В случае антисимметричных собственных функций (принцип Паули) нужно из этих распределений вычеркнуть все те, при которых более чем одна частица находится в одинаковом состоянии. Тогда получается

(антисимметричные состояния), (336b)

причём обязательно должно быть N<Z. Если имеется несколько групп состояний отдельных частиц, то общее число соответствующих состояний составной системы равно произведению чисел IV для отдельных групп. (При независимых частицах здесь входит ещё множитель N'.IN^.N,'...., где Nn обозначают число частиц в отдельной группе, a N=2N"—полное число частиц. Для частицы со спи-

п

ном эти W нужно просто возвести в степень g, если под N понимается число частиц с определённым спиновым состоянием.)

До того, как были исследованы свойства симметрии собственных функций N одинаковых частиц, эти статистические соотношения казались особым гипотетическим пред-

писанием, особенно в случае симметричных состояний. Они были введены Бозе1), так как при толковании света как газа, состоящего из корпускулярных световых квантов, они приводят к правильным результатам. (Мы вернёмся к этому в части II, § б.) Эйнштейн ) перенёс эти соотношения на материальные газы. Поэтому часто говорят о статистике Бозе-Эйнштейна. Здесь речь идёт, однако, не о новом роде статистики, ибо, как мы теперь знаем, априорная вероятность всегда пропорциональна числу соответствующих стационарных состояний составной системы. Мы предпочитаем поэтому говорить о статистике симметричных состояний. Она должна применяться к таким материальным частицам, которые обладают симметричными состояниями, например к а-частицам. Для частиц, которые удовлетворяют принципу Паули, соответствующие статистические следствия были получены Ферми1) и независимо от него Дираком *), который уже основывал свои рассуждения на антисимметрии собственных функций. Поэтому часто говорят также о статистике Ферми-Дирака, мы предпочитаем, однако, говорить о статистике антисимметричных состояний1).

Мы обсудим ещё одно из применений этих статистик, которое можно формулировать, не вдаваясь в вопросы теории теплоты. Речь идёт о флуктуациях числа частиц и энергии в выделенной части объёма для рассматриваемой здесь совокупности N свободных частиц, лежащих внутри определённого интервала скоростей. Мы рассмотрим сначала более простые соотношения для числа частиц. Пусть хТ—сокращённое обозначение для трёх пространственных координат п-й частицы, тогда число пространственных координат хт, лежащих в рассматриваемой части объёма, равно

N

n(xv ..., Xn)= 2 $ dxb(x—xr),(337)

r=l v

*) L. с., см. прим. 1, стр. 186,

где интегрирование выполняется по объёму Ь. Далее имеем л = ^ л (xt, ... , xN) | U (xv ... , xN) J dxx ... dxN, пг = ^ л8 (xt, ... , xN) | €7(xt,... , x^ [«dx!... dxN,. ■ где U^xv...,xN) обозначает собственную функцию. Интегрирование здесь возможно. Если в рассматриваемой группе Z состояний, где Z—большое число, каждое состояние составной системы рассматривается как равновероятное, и если для простоты ограничиться случаем частичного объёма и, малого по сравнению с полным объёмом, то для числа частиц в и получается известный результатх):

(^пу = п2—(л)2 = л4-“ для симметричных

(ДП)« = „•—(„)« = „ _ZL(ДП)« = „•—(„)« = „ _ZLсостояний, (338а)

(ДП)« = „•—(„)« = „ _ZL

(ДП)« = „•—(„)« = „ _ZL

для антисимметричных

состояний, (338b)

где z — Zy-. Напротив, для независимых частиц, как известно, (Дл)‘ = л. При этом важно заметить, что здесь мы пренебрегаем величинами порядка 1/z по сравнению с выписанными членами. ■

Аналогичный вопрос об энергии выделенного объёма требует известной осторожности, так как знание импульса частицы влечёт за собой неопределённость в знании её положения. Измерение числа частиц в выделенной области можно осуществить просто, определяя координаты всех частиц, численное значение которых лежит в требуемых границах. Наоборот, для определения энергии нужно обязательно ввести стены (потенциальные барьеры) или включить аналогичные внешние влияния, которые осуществляют ограничение объёма. После такого включения энергия в общем совпадает с энергией, находившейся до включения в некотором объёме. Однако, границы этого объёма определены с точностью

до величины порядка длины волны материи. Только когда выделенная область велика по сравнению с такой средней длиной волны, вопрос об энергии выделенной-области вообще получает определённый смысл. Следует заметить, что если записать энергию выделенной области в форме

Е=^ S PrD(xr)pr,D (х) = ^ 8 (х—х') tfx',

Т. V

то появляются известные особенности, которых можно, однако, как заметил Гейзенберг), избежать, если заменить функцию D(x) непрерывной функцией, т. е. ввести весовую функцию, которая вне рассматриваемой области и хотя и спадает круто, но всё же исчезает непрерывно.

С G(x')8(x—x')t/x' = G(x), E = 2rn 2 PrG^r)Pr.

Тогда аналогично (338) получаем:

(ДЕ)а = Еа—Ea = ^paE-V^- для симметричных состояний,(339а)

(ДЕ)“ = Е8—Еа = 2траЕ—— для антисимметричных состояний.(339b)

Здесь следует обсудить своеобразный математический метод, развитый Иорданом и Клейном8) (случай симметричных состояний) -и Иорданом и Вигнером), который может быть назван вторичным квантованием волн в обычном трёхмерном пространстве. Этот метод возник исходя из аналогии между материальными частицами (состояния которых симметричны), с одной стороны, и световыми квантами излучения, с другой стороны. (Ср. часть П, §6.) Представляется сомнительным, чтобы речь шла здесь действительно о глубоко идущей физической аналогии. Кроме того, известно, что все результаты волновой механики могут быть получены и без применения этого метода. Однако, он должен быть приведён, по крайней мере, как метод вычислительный.

В § 9 мы описывали посредством ссп вероятность того, что частица находится в состоянии, характеризуемом собственной функцией un(x). Введём теперь (зависящие от времени) операторы (матрицы) al и ап, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям

тогда кактогда какяпят ®m°n —япят ®m°n —О при п^т, 1 при п = т,О при п^т, 1 при п = т,Чп^т ^т^п — О, а^а^—а^а! — 0.Чп^т ^т^п — О, а^а^—а^а! — 0.(340)(340')(340)(340')

тогда как

тогда как

япят ®m°n —

япят ®m°n —

О при п^т, 1 при п = т,

О при п^т, 1 при п = т,

Чп^т ^т^п — О, а^а^—а^а! — 0.

Чп^т ^т^п — О, а^а^—а^а! — 0.

(340)

(340')

(340)

(340')

При этом а* всегда обозначает оператор, эрмитовски сопряжённый оператору а. Тогда легко видеть, что собственные значения

(341)(341)аЛа— = N—

(341)

(341)

представляют собой целые числа 0, 1, 2,... Если записать Nm в виде диагональной матрицы, то матрицы а^ и ат примут следующий вид

при Nm = Nm — 1, при M^^/Vm—1.при Nm = Nm — 1, при M^^/Vm—1.(342а)(342а)

при Nm = Nm — 1, при M^^/Vm—1.

при Nm = Nm — 1, при M^^/Vm—1.

(342а)

(342а)

(°™)awZV^(°™)awZV^(З42'а)(З42'а)/Nm + 1 при N'm = Nm + 1,О при N^=^Nm + 1.

(°™)awZV^

(°™)awZV^

(З42'а)

(З42'а)

Следовательно, а„ как оператор, действующий на функцию /(Nm), переводит последнюю в j^Nm+l /(Mm + 1), тогда как ат переводит f(Nm) в VNmHNm — >)• Положим:

dm = V ^т^тг &т = ^т р'^т, (343)

гдетогдагдетогдаД™ Д« = 1 );△/(Nm) = /(Nm + l). 1V/(Nm) = /(Nm-l)- JД™ Д« = 1 );△/(Nm) = /(Nm + l). 1V/(Nm) = /(Nm-l)- J(344а)(345а) .(344а)(345а) .

где

тогда

где

тогда

Д™ Д« = 1 );

△/(Nm) = /(Nm + l). 1V/(Nm) = /(Nm-l)- J

Д™ Д« = 1 );

△/(Nm) = /(Nm + l). 1V/(Nm) = /(Nm-l)- J

(344а)

(345а) .

(344а)

(345а) .

Совершенно аналогичные перестановочные соотношения могут быть по Иордану и Вигнеру, установлены для частиц с антисимметричными состояниями, где Nn имеют значения только 0 и 1. Согласно этим авторам здесь можно положить

.. f 0 при пфт,

а™ а« = А v ’(340b)

причём

anam + aman = 0, a;a^+a^al = 0 при тфп, (340'Ь)

и снова•

-a*an = Nn.(341)

Теперь матрицы а имеют вид"

(°*)1,о = 6«> (lan)o,l = s4> (a^NnNn = ^^NuNn’ (342Ь) где $„ = -^1; знак зависит от и и подлежит ещё определению. Чтобы установить этот знак, нужно представить себе состояния п распределёнными в определённой последовательности. Тогда можно положить

е= Д (1 -2АГт).(346)

Это выражение равно +1 или — 1, в зависимости от того, является ли число лежащих перед рассматриваемым состоянием занятых состояний чётным или нечётным Далее следует положить

а:/(^!,..

.,о„,.

..) = e„(Ni0п,...Н№, ... = -^№,..., Г»,...)/^,.

Jn,..)= 1 .., 1„,...), Д345Ь)

аУ№„.

..)=о,

)

«пН^,..

• А,.

..)=о,

anf(Nlt..

. > 1п> ■

..) = =„ (^,...,0„, ...)/(^,...

,0п,...)= )(345'Ь)

= -=„№... 1„,...)/(^,..

От апа* легко перейти к самым функциям £ согласно соотношениям:

^№=2о»(,)1,п№, Г(?)=2 °»Wun(?)> (346) п п

где q объединяет пространственные и спиновые координаты, а ип и и„ представляют собой обыкновенные числа, образующие нормированную ортогональную систему. Последнее обстоятельство влечёт за собой перестановочные соотношения, аналогичные (342а, Ь):

?(?)HWT<(}'h(?)=»W)' 1, (347) ¥* W*' (^Т Y*J?') ^(?) = 0, I (347')

где верхний знак соответствует симметричным состояниям, а нижний ~ антисимметричным. Здесь стоит 6(,q — q') вместо 8 (х—х') 8№,, причём 8^,— обыкновенный 8-символ для дискретной спиновой координаты.

В качестве применения этого метода можно прежде всего снова вычислить флуктуации энергии и флуктуации плотности, причём следует построить

n=2 ^‘dx,Sg V

) 2тп дх дх

и образовать средние значения (математические ожидания) величины п, пг и Е, Е1 для рассматриваемой группы состояний. Результат получается такой же, как и при вычислении в конфигурационном пространстве1).

Это есть частный случай общей эквивалентности метода квантованных собственных колебаний и метода конфигурационного пространства, которая, как показали названные авторы, распространяется даже на проблему одинаковых взаимодействующих частиц. Пусть

"-2Й 2 [ - №2 V,3 2 Щ„ to] W

ггr<s

оператор Гамильтона. Здесь внешние силы представлены потенциалом V (qT), а функции В, зависящие от пары частиц, описывают взаимодействие. Для кулоновских электростатических сил е2

было Нг,=—. Имея в виду дальнейшее обобщение, которое касается магнитного взаимодействия частиц, мы допустим, что V и И зависят от спиновых координат. Рассматривая р(9) = = у* (9) * (9) как классическую плотность заряда электронного облака, можно записать энергию взаимодействия частиц s и г классически

^ ^ dqT dqa 2 (9„ 9s) Р (9,) Р (9.)-

По аналогии с этим можно определить оператор Гамильтона как «=я2И‘<<+^->^>+

■*1Г

+22^7* (9') ^(9) 2 (9. q'^WHWdxdx', (348') $ЗГ ®ЭЗ

где фф точно1 так же операторы, которые, согласно (346), могут быть выражены через а? ах, появляющиеся при разложении у по подходящей системе ортогональных функций. Введём число частиц Nn в определяемых этой системой состояниях л в качестве переменных волновой функции Ф (Nu N*, ..., t), на которую действует оператор (348'). Тогда мы можем установить волновое уравнение

-Т^Г^Ф^1’^ ...,/). (349)

Можно показать, что вытекающие из этого уравнения следствия полностью совпадают со следствиями полученного с помощью оператора (348) волнового уравнения в пространстве конфигураций. Это справедливо как для частиц с симметричными состояниями, так и для частиц с антисимметричными состояниями1). Для этого совпадения существенна последовательность множителей в (348').

Если имеется несколько различных сортов частиц (электроны, протоны), то можно для каждого сорта частиц ввести особый ф-оператор, причём ^-операторы, принадлежащие частицам различного сорта, коммутативны.

Это и есть вкратце метод квантованных собственных колебаний. Следует подчеркнуть, что несмотря на формальную математическую аналогию, имеется существенное физическое различие между переходом от величин р, q классической механики материальной точки к волновомеханическим операторам р, q, с одной стороны, и переходом от функций у*, ф в обычном пространстве к операторам ф*, у, с другой стороны, потому что уже функции ф*, у являются символическими величинами, которые сами не могут быть непосредственно наблюдаемы и содержат квант действия.

Рассмотрение процессов излучения с помощьюпринципа соответствия

Исторически, как известно, процессы излучения света играли существенную роль при основании матричной механики Гейзенберга, причём была указана прямая и непосредственно примыкающая к классической электродинамике связь матричных элементов электрического момента атома с напряжённостью электрического поля, полученного при соответствующем переходе света. Борн,

Гейзенберг и Иордан :) распространили этот аппарат на явления дисперсии. Соответствующий волновомеханический способ рассмотрения был дан Клейном2). При этом, однако, оказалось, что заключения относительно испущенного атомом света по электрическому моменту атома можно было сделать, если ввести особые предписания, которые, казалось, не могли быть выведены из общих принципов квантовой механики. Этот недостаток был устранён только последовательным квантовомеханическим рассмотрением световых волн, проведённым Дираком. Поскольку, с другой стороны, эта последовательная теория, которая будет более подробно изложена в части II, §§ 6 и 7, приводит к особым трудностям, связанным с нерешённой проблемой строения электрона^ представляет известный интерес и первоначальный способ рассмотрения, основывающийся на соответствии с классической теорией, более ограниченный вследствие отказа от квантования электромагнитного поля. Мы сформулируем его ниже таким- образом, чтобы обеспечить впоследствии возможно более непосредственный перенос полученных рассуждений и заключений в теорию излучения Дирака. При этом сначала мы не будем вводить ограничивающих предположений о числе электронов в атоме и отношении длины волны к размерам атома.

Рассмотрим сначала "классически систему частиц, для которых имеются определённые статистические данные. А именно: для каждой конфигурации положения частиц х£а (А = 1, 2, 3; а = 1, ..., N) в интервалах dx^ задана вероятность этой конфигурации и соответствующий средний поток /^(хр), ..., х^;/) частицы (а). Тогда плотность р^Р,<--х^; /) и ток частицы (о) в точке х^ в момент времени t, усреднённые по положениям остальных частиц, равны

р(«) = £ р dV, ... dV^”1^ dV^w ... dV^; ' 15(350)

. dVi»-^ dV^+v ... dV^, J

:) M. Born, W. Heisenberg и P. Jordan, Zs. f; Phys., 35, 557, 1926.,"

z) O. Klein, Zs. I. Phys., 41, 407, 1927.' '

Общие принципы волновой механики •^

Средние значения скалярного потенциала Фо и векторного потенциала Фл в точке наблюдения Р с координатами хР в момент времени t по классической электродинамике, как известно, равны

Nфо(^;О-2 5а=1Nфо(^;О-2 5а=1^а),^а),N<М®р? 0-Sа=1N<М®р? 0-Sа=1dV(q\dV(q\(351)(351)

Nфо(^;О-2 5а=1

Nфо(^;О-2 5а=1

^а),

^а),

N

<М®р? 0-S

а=1

N

<М®р? 0-S

а=1

dV(q\

dV(q\

(351)

(351)

Эти выражения упрощаются, если рассматривать расстояние от точки наблюдения Р до точки источника Q, как большое по сравнению с размерами области, в которой р(а) и i^ заметно отличаются от нуля или, короче говоря, по сравнению с размерами системы. В волновой зоне для Р, рассмотрением которой мы ограничимся в этом параграфе, можно, как известно, положить

rPQ = RP — (xQri), (352)

где RP — расстояние внешней точки Р от закреплённой точки О в системе, л — единичный вектор в направлении от Q к Р, a xq —радиус-вектор, проведённый из О в Q. Чтобы быть последовательными, мы должны ограничиться в этой волновой зоне величинами, пропорциональными 1 /Rp как в выражениях для потенциалов, так и в соответствующих выражениях для напряжённости поля. Из (351) и (352) тогда следует

Фо(жр;О =

-si $ ^’ (^ ‘-^+7?».") ) П>.

».(s;0-

N

“S 2 5 7il” ^+4 &■ ">) * а-1

При переходе к напряжённостям поля следует заметить, что дифференцируя по (хр^, нужно RP в рассматриваемом приближении считать постоянным, причём из соотношения:

для волновой зоны, согласно (352), следует:

Тогда для той части напряжённости поля, которая пропорциональна 1/RP, получаем

DА 1 дФ .1 дФе А

с »l 8rad •-(354)

Й-rotS—[Х^].J

В то время как Н перпендикулярно к п, кажется на первый взгляд, чтоЕ содержит и продольную, т. е. параллельную п часть. Исходя из уравнения непрерывности для i№ и р<а>, легко, однако, получить соотношение1)

(355) с dt к с dt ух '

справедливое для волновой зоны. Из этого соотношения, в силу (354), следует, что продольная часть электри-

ческого поля равна нулю

(Еп) = О .(355')

в волновой зоне (это означает, что (Еп) исчезает с расстоянием быстрее, чем 1/RP). .

Вводя трансверсальную компоненту векторного потенциала .■

Ф1Г = Ф—п(^Ф) =

= ^2 т 5 ^ (xQ; t-^a-l&.n)) dV^, (356)

<< 1

можно, в силу (355), переписать соотношения (354) в виде"

Н = - Гп = №• (357) с dtL с J 1 J V

Вектор Поййтинга равен .-

8-^АЕЩ = -У^ = Ун\(358)

Мы пришли теперь к вопросу о том, как следует перенести эти результаты классической теории в квантовую механику. Ведь в квантовой механике каждое состояние системы описывается принципиально статистически, а именно с помощью какого-либо решения соответствующего волнового уравнения

9 (xv ..., xsN; 0 = 2 спип ^Х1х^’ О’

где ип обозначает какую-нибудь нормированную систему частных решений этого уравнения. На первый взгляд может показаться, что' нужно в выражение для тока, билинейное относительно ф* и ф, прямо подставить написанное выражение для ^ и после этого построить Ф^ и Е,Н, согласно (356) и (357), которые должны дать среднее значение (математическое ожидание) потенциала .и напряжённости поля в рассматриваемой точке. Однако измерение излучения системы отнюдь не заключается в определении среднего значения силы поля. Так, например, это последнее исчезает для

J 15] РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ИЗЛУЧЕНИЯ 213 стационарного состояния, при котором z не зависит от времени. Здесь речь - идёт всегда об определении средних значений, квадратичных по отношению к напряжённости поля выражений. Ниже мы увидим даже, что при процессах с ничтожной интенсивностью света, при которых играет роль лишь небольшое и вполне определённое число световых квантов, сама напряжённость поля всегда должна рассматриваться как неизмеримая величина (если пренебречь установлением тривиального факта, что среднее по времени математического ожидания напряжённости равно нулю). В действительности можно, разумеется, не только измерять среднее по времени от квадрата суммарной напряжённости поля в данном месте, но и определять средние по времени значения квадратов амплитуды различных компонент Фурье Е или Н, поскольку фотографические пластинки, ионизационные камеры, поглощающие атомы и другие средства для изучения света различно реагируют на различные частицы. Мы имеем в виду здесь разложение Е и Н во временной ряд Фурье

Е (хР; 0 = 2 Е (ш; iP) е™(, Н (хР; О = 2 Н (хР; ш) е™«; ’ (ш) ■ . (ш)

сумма может быть также заменена интегралом, причём

Е(-ш) = Е*(со), Н(-ш) = Н’(ш), - т. е. для <о и — ш амплитуды принимают комплексно сопряжённые значения. Мы не будем пока разбирать, сколь подробно можно проследить с помощью измерений изменение среднего. значения Еш в пространстве. Это может, во всяком случае, иногда осуществляться в пространственных областях, малых по сравнению с длиной волны, что известно, например, из опытов со. стоячими световыми волнами.

Поскольку z билинейно относительно ф и ф’, мате-, матическое ожидание любой линейной относительно компонент напряжённостей поля величины можно представить в форме - ~ v

■ F Уху, = "^ с^ Fn,m (хР; 1) ст, . (^59)

n,m

где Fn,m — матричные элементы, получающиеся при подстановке ф* = «п и <$> = Dm в /. Тогда математическое ожидание F4 равно

(F2) = 2 СД С^)”-™ (ХР> О Ст ”

п,т

= 2 ^п 2 Fп'* (ХР’ ^ F^m (Хр^ 0 Ст, n,m I

как было показано в § 7. Далее, среднее по времени математического ожидания (F2) равно

(й=2с" 2 2 Fn-1 (ш; хр) Fi-m (-ш’ хр) cm= n I 01

= 2C"2 2 (^(^p)^-^^

+ F„,i (—0>; Xp) Fl>m (0), Xp)] cm.(360)

В этом месте возникает известная двузначность в толковании принципа соответствия, так как Fn, m(°>;®p) могут быть не эрмитовыми, а в общем случае удовлетворяют только соотношению

F„,m( — ®) = Fm,„(a>).(360')

Эта двузначность устраняется, если ввести особое предписание, сформулированное Клейном. Смысл этого предписания при таком способе рассмотрения неясен, однако, оно необходимо, чтобы сохранить согласие с опытом, или даже хотя бы с законом сохранения энергии при отдельном процессе излучения или рассеяния. Для волновой зоны, т. е. для области, внешней по отношению к самой излучающей или рассеивающей системе, это предписание гласит:

величину F сле- согласнох)(361)мы не интепесиемсявеличину F сле- согласнох)(361)мы не интепесиемсяПредписание /: Рассматриваемую дует разделить на части FW и F<->,

величину F сле- согласнох)

(361)

мы не интепесиемся

величину F сле- согласнох)

(361)

мы не интепесиемся

F^FW + fW’,

’) Мы опустили здесь F^ = F, так как здесь статическими полями,

F^ = 2 Р^ю; xP)eiu>t,'

(362)(362)ш>0

(362)

(362)

Fi-i =2 ^(ю; xP)eiult = 2 ^(—ш;хР)е~<ш1, ш<0o»0-

следовательно

(362')

и заменить среднее по времени от математического ожидания классической величины F1 выражением 2F+ F-: '

^->2 (F+F-)^->2 (F+F-)(363)(363)

^->2 (F+F-)

^->2 (F+F-)

(363)

(363)

и соответственно

F^)F(-<»') + F(-to')F(<to)-»2F^F(<-to') =

= 2 2cA2F".‘(“)F‘.m(-o>)cm.(363')

n,m I

Это предписание одинаковым образом применяется при излучении и при рассеянии, причём в первом случае следует подставлять для ип ортогональные решения волнового уравнения невозмущённой системы, а во втором — ортогональные решения *) системы, возмущённой внешним излучением. Сама (зависящая от времени) ортогональная система остаётся пока совершенно произвольной.

В качестве применения этих общих рассуждений мы рассмотрим более подробно излучение света. Для ип мы выберем решения

.ип(х„ ..., х№)е R , ■

’) Согласно § 8, ортогональность и нормировка системы решений волнового уравнения сохраняются с течением времени и для зависящей от времени функции Гамильтона, если Только она вещественна. .

которые соответствуют стационарным состояниям невозмущённой системы и зависят от времени экспоненциально. Согласно (356) матричные элементы поперечной слагающей векторного потенциала для излучённого света тогда равны'

($„).,„ -3 t & № »J / »w V.

.1

(364)

Здесь введена частота излучения

v„,m = ^.(365)

и волновой вектор к„,т излучённого света:

Кп,т— с П. ..

Множитель (—е), равный заряду электрона, введён, чтобы при решениях, нормированных к единице, установленное выше выражение для i обозначало поток частиц. В силу (77) и (100),

(“n. Um) =

= ^dVwdV® ...dV^^dV^ ...dV№yX

x<36»

если для простоты предположить, что постоянное магнитное поле отсутствует. В релятивистской теории мы должны будем использовать другое выражение для тока, но (364) остаётся справедливым и там. Подставляя (364) в (366), убедимся в эрмитовости матриц (Ф1г)п,т> причём существенно, что берутся поперечные компоненты.

и Ф<~> весьмаи Ф<~> весьма(Еп>Ет),(Еп>Ет),(367)(367)Согласно (364), разложение Ф на просто, а именно: (Ф(г)п*,т= (Ф(г)",т При Vn,m > О (Ф<г)п,т = 0При Vn m < О,

и Ф<~> весьма

и Ф<~> весьма

(Еп>Ет),

(Еп>Ет),

(367)

(367)

(Еп>Ет),(Еп>Ет),(Ф tr)n, т= 0' ПрИ Vn,m>0

(Еп>Ет),

(Еп>Ет),

(Ф,г)п,т (Ф;г)п.т при Vn,m<^0

Для энергии, излучённой в направлении ц на единицу телесного угла dQ в единицу времени, мы получаем, следовательно, согласно (358), (364), (366),(367) на основании предписания (363) выражение

(S) = ^S2[E(+)xH<-)]m;m = 5-12 2 |Cn,m|\(368) m’. т (Ет<Е„).

где сокращённо обозначено

Чи-^-а-^- е64'*

Это есть излучаемая энергия, если сначала имело место только состояние п. Таким образом, то обстоятельство, что здесь приходится суммировать только по таким состояниям /л, для которых Ет < Еп, существенно связано с особым предписанием (363). Если бы мы взяли также [Е(_> х //<+)], то, в противоречии с законом сохранения •энергии, получилось бы излучение, которое соответствует переходу в состояние с .энергией, большей, чем энергия начального состояния.

■ Если вначале имеется не только одно единственное стационарное состояние, а волновой пакет

'2 ,

(П)...

то согласно (354) нужно построить- следующее образование:, -■■

(S)=-£^2 2c;(2Cn,iCi,m^ (369) . •'п/т1'

где Et < Еп, • Е; < Ет. При образовании среднего по времени исчезают, однако, все члены, для которых yn,m ф О, т. е. Еп и Ет различны. Вырожденная система может, конечно, иметь несколько состояний с одинаковойэнергией Еп — Ет, '.. .

Упомянем также, что из (364) вытекает простое правило отбора, которое строго справедливо для произвольно коротких длин волн (мультипольное излучение). Если как в начальном, так и в конечном состоянии собственные функции инварианты относительно вращений, что согласно § 13 соответствует равному нулю моменту количества движения, то Cn,m обращается в нуль и вместе с тем исчезает излучение. Действительно, если вращать координатную систему вокруг оси, параллельной кп,т, то в этом случае подинтегральное выражение сохраняет своё значение и свою форму; с другой стороны, благодаря дифференцированию по xtr оно преобразуется как вектор (например меняет знак при повороте на 90°); то и другое совместимо только при Сп,т, равном нулю. Скачок момента количества движения J от значения 0 к значению 0 при спонтанном излучении, следовательно, строго исключается. Легко видеть, что это остаётся справедливым и при учёте спина (ср. § 13), если поду понимать суммарный вращательный момент спина и орбиты. Для одного результирующего вращательного момента орбиты L это правило справедливо только лишь, когда можно пре- • небречь взаимодействием орбитального момента со спиновым.

До сих пор мы не делали никаких предположений об отношении размеров системы к длине волн излучаемого света. Если это отношение мало, то собственные функции заметно отличны от нуля только при малых значениях ЦсП1тХ) и тогда целесообразно разложить экспоненциаль- -«(к "х (о)) ную функцию е п-т в степенной ряд. Отдельные ' члены этого разложения соответствуют дипольному, квадрупольному, <.. излучениям. В частности, если за- -< (к "х^)■

менить е п«т единицей, получается дипольное излучение. Такая замена равносильна полному пренебрежению членом — fan), учитывающим запаздывание в аргументе времени для тока. Поскольку матричные элементы коор-

§ 15] динат xn,m связаны, в силу уравнения непрерывности, с матричными элементами тока соотношением

ZVn.m Xn,m — 1п,т [ср. § 5 уравнения (75')], для дипольного излучения можно также положить

(Сп.т)дипольн. = —Vn.mXn.m(370)

и, согласно (368), получаем

(5)п,дипольн. — “^ д^ 2"2 vn,m | Xtr.n.m |*.(371)

т (Ет<Е„)

Это соотношение Гейзенберг первоначально использовал для определения матриц.

Подобным образом можно трактовать также дисперсию. Но в этом случае прежде всего необходим аппарат теории возмущений, чтобы учесть влияние внешнего поля на собственную функцию атома. Мы введём это возмущение в вычисления так, как будто бы речь шла о классическом, изменяющемся во времени, электромагнитном поле с заданной зависимостью от времени, и будем описывать его векторным потенциалом Ф^(х, у, z; Г). Разумеется, поле падающей световой волны вовсе не может быть классически измеримой величиной, однако, получаемые следствия так же, как и обсуждаемое ниже квантование поля излучения, оправдывают такой способ рассмотрения. В случае плоской волны

Фл = ^Р<+) ^# (vt — Ах) _|_ у^—) ^—#(vt — Ах),. ^372)

причём

.?^) = (?1+))‘>■(373)

т. е. ф^_) комплексно сопряжено с yW. Среднее по времени значение квадрата силы поля равно

'' Ё’ = 782<р<+)?£-) = 2/Ыа.(374)

Для световых волн всегда можно положить скалярный потенциал равным нулю, а векторный потенциал нормировать согласно

S5=o*(372'>

т. е. выбрать его трансверсальным. Тогда, согласно (97), оператор возмущений функций имеет вид):

■АЗ3■

г=жт2 {72 2 4w^?2W->)}.

•с.=1Л=1"71=1■

Если.

._ 1а,к — 2тТ V dx^ — ^dxw)

— невозмущённый ток, то матрица пропорциональной Ф/{ части возмущающей функции даётся выражением

.Л" 3 .

еа-7 {2 2 ф*<хМ)7м}пт- (373)

а=11=1

Далее, согласно (100), к z добавляется член возмущения: "i^^W.(374)

пропорциональный ФЛ.. Оба добавочных члена —первый в функции Гамильтона, второй в векторном потенциале— являются согласно (356) причиной появления матричных элементов векторного потенциала излучаемого света, пропорциональных амплитуде падающего света. Членов высших порядков мы здесь не касаемся).' (Следует только отметить, что выражение (373) для возмущающей функции сохраняется также и в релятивистской теории,: несмотря на то, что оператор тока там иной; (374), напротив, там несправедливо.)_

Применение аппарата теории возмущений к общей формуле (356) даёт следующее общее выражение для матричного элемента рассеянного излучения з■

к=1

+ ^Ьк;папе^п’т^\ (359)

если ограничиться выражениями, линейными по отношению к потенциалу Ф, падающей волны. Величины, относящиеся к рассеянному свету, отмечены здесь штрихами в отличие от величин, относящихся к падающему свету. Напряжённости поля получаются отсюда дифференцированием . по времени (с последующим делением на с). В силу эрмитовости оператора Гамильтона, матрица (Ф(г)п,т сама тоже эрмитова; следовательно [ср. (373)],

Ь к; n,m = Як-, п,т(360)

или, иначе говоря, ак не. является эрмитовой матрицей, но Ьк есть матрица, эрмитовски сопряжённая ак. ■

Применим теперь общее предписание (363) для получения выражения излучённой энергии. Если начальное состояние было п, то с частотой v' = vn,m + v излучается энергия:' -

Sn- 4^ v'2 21 ф, Л ак._ n,m"bk, n,m = ^ V2 2 Ы2 "ак., п,т\\ (361J если V = v„,m -ф v > 0, а с частотой V — vn>m—v энергия: Sn = ^v'22|<p,|2d*;n,maA.;m,n = ^v'22|<^ а*;„,т|2, (3622) если v' = vn,m—v > 0.

Если бы мы не применяли особых правил разделения величин на члены, пропорциональные eitof, и члены, пропорциональные e-<u>t (ш > 0), то состояние т и состояние л ничем не отличались бы друг от друга, и для обоих состояний мы получили бы излучение у (Sn + Sm). Однако в особом случае п = т, v=v', предписание, о котором идёт речь, не даёт ничего нового, так что случай рассеяния без изменения частоты может быть рассмотрен и без применения этого предписания.

Что же касается общей формы для ак.,п,т и её обсуждения, то мы отсылаем к статье Вентцеля1). Укажем только на один частный случай ввиду его принципиального значения. Мы рассмотрим падающее излучение, ча

стота которого v велика по сравнению с работой выхода электрона из системы. Можно показать, что в этом случае в (359) играют существенную роль члены, обязанные своим происхождением смешанным членам (374) тока, в то время как членами, связанными с изменением собственных функций благодаря внешнему возмущению, можно пренебречь. Согласно (356), первые члены дают следующее выражение для векторного потенциала рассеянного излучения:

N

X 2 S(*?(й))+< ^(a),Un Um dVw•.. dvw. (375)

a«i .

где К и К'—волновые векторы падающей и рассеянной световых волн:

К=^п,К'-^п'.

Рассмотрим несколько более общий случай, когда падающий свет с частотой v каким-либо образом составлен из плоских волн различных направлений, и векторный потенциал его задан в виде

фк = Ф(к+) (Х1, Х2, х8) ewt + Ф^’ (хп х,. X,) e-wt-

Тогда вместо (376) получаем

X 2 $®r+) Wa)> х^. хр>) ё^и'п umdVw • • • dVw. (376) a=l

Суммарная интенсивность света всех частот V, рассеянного в одном направлении, если заменить К' одним единственным средним значением, в силу условия полноты, может быть тогда написана в виде:‘

N

х 2^2 ф£W.xW.xW^(377)

a-1

а для плоской падающей волны

N '

5 = 4- ^-4.2 ^|У ^-iwM^XdV^.. .(/У^>. (377') a=l■

В это выражение входит только плотность начального состояния и*ип, а остальные состояния не входят вовсе. Поэтому в границах применимости этой формулы принципиально возможно измерить плотность распределения частиц в этом состоянии, применяя, например, сходящийся пучок света," интенсивность которого в одном месте много больше, чем во всём остальном пространстве. Точно так же можно с помощью исследования спектрального распределения интенсивности рассеянного света в плоской падающей волне измерить распределение импульсов связанных частиц в начальном состоянии, используя (376). Об этом была уже речь в § 2 и § 11. Однако справедливость рассматриваемых формул и вместе с тем возможность простого и прямого определения плотности частиц в пространстве координат и в пространстве импульсов ограничивается релятивистскими поправками, которыми мы здесь пренебрегаем. Когда частота рассеянного света делается сравнимой с mc.*[h, возможность прямого определения плотности и распределения токов по многим причинам утрачивается (ср. раздел в § 5).

В предыдущих рассуждениях речь шла только 66 излучении и рассеянии света, но не о сопровождающем эти процессы изменении стационарных состояний атома. От полной теории, однако, следует потребовать, чтобы она давала также способ расчёта для нарастающей во времени вероятности найти атом при излучении в менее возбуждённом состоянии. Для того чтобы установить возможно ли это, мы исследуем снова влияние падающей плоской волны на атом, пользуясь возмущающей функцией (373); но будем искать в этом случае зависящее от времени решение, которое при / = 0 совпадает с невозмущённым решением. Таким образом мы представим возмущённую собственную функцию в виде

- ф=5с"Ф " и ип

и разложим сп (О по степеням амплитуды падающей волны.

где с(п0) не зависят от времени, а с^1^ с^ обращаются в нуль при / = О, причём верхний значок при коэффициентах с^ указывает, в какой степени в них входит амплитуда падающей волны (ср. § 10). Тогда

$=1^Тт,Л\(378)

п

где Т, как показывают вычисления, —эрмитова матрица ’). Для плоской падающей волны с напряжённостью поля

£== £(+)e^t-K?)_|_g(-)e-,(Vt-K^•

Т имеет вид

Тт,п = ЧТТ—V" -mE<+) +

Матрица Vn,m здесь не обязательно эрмитова. Особый интерес представляет здесь поведение решений при резонансе, т. е. при таких v, когда один из знаменателей в (379) исчезает (v = — vn,m= vm,n или v.-=vn,m). Это приводит к таким членам в | 4^ (/) |2, которые после суммирования по малому интервалу v линейно возрастают со временем. Эти члены равны (остальные опускаем): \с^^\г = с^^с^Чп =

= 2+ / (У^,пЕ<-^ (Vm,nEW) +

+ 2l /- +v— \ (Vn,mEWHVn,mE^y (380) п■

Мы получаем в точке резонанса v = vn,m (энергия конечного состояния меньше энергии начального) после сум

§ 16] СВОЙСТВА КОГЕРЕНТНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ 225 мирования по v

\c^4t)? = t. В^,

где В™ зависит ещё от направления и Поляризации падающей волны. Аналогично при v = vm,n (энергия конечного состояния больше энергии начального)

|4П (0|2 = /. £?™Pw

где [х,—плотность энергии падающего излучения. Первый случай соответствует индуцированному излучению, второй-поглощению. Спонтанное излучение при этом не получается. Чтобы получить его, нужно ввести новое, на первый взгляд произвольное предписание, аналогичное предписанию I.

Предписание И. Нужно формально записать (Cm^Oi2 с последовательностью множителей Ст^Ст^ и обратить внимание на последовательность множителей Е^ и Е^~>; смешанные члены, в которых EW стоит впереди Е^-\ нужно отбрасывать и сохранять члены, в которых 5(^ стоит впереди Е^, заменяя при этом.^ на р^ + -^-.

Оправдание введённых здесь ad hoc предписаний получается только из квантования электромагнитного поля по Дираку. С другой стороны, уже предписания I достаточно для того, чтобы иметь возможность обсудить без противоречий интерференционные опыты и вопросы когерентности. Это будет показано в следующем параграфе.

§ 16. Применение к свойствам когерентности излучения *)

Мы рассмотрим прежде всего спонтанное излучение света и исследуем, когда спонтанно излучённый двумя атомами свет будет когерентным. Пусть начальное состояние описывается коэффициентами разложения сп и соответственно с'п волновых функций атомов по собственным функциям этих атомов. Матричные элементы суммарной напряжённости электрического поля в точке Р имеют

тогда вид

«-«ntn1 ^т.т' —

= kn'W4m^%W»^^(381)

Здесь п, /я —квантовые числа рассматриваемых пар состояний для одного атома, а п', т' — для другого атома. Матричные элементы излучённого первым (вторым) атомом поля диагональны по отношению к квантовым-числам второго (первого) атома. Если атомы одинаковы, то для подобных переходов an,m = cin',m'. vn,m = Vn-,m'. Далее, пусть RP, Rp — расстояния атомов (которые мы пока считаем фиксированными) от точки наблюдения. Тогда для математических ожиданий квадратов напряжённостей электрического поля в точке Р, видоизменённых согласно предписанию 1, мы получаем следующее выражение:

(£(+)£(-)) = ^=

т,т'

= 2 Cnanjai,mCme/Vn-’”' +

Е[<Еп.

£l<Em

+2 Cn-an',vav1m-Cm'e;Vfi'.’”,t +

Ег'<Ет' Er<E»'

Ч* 2 CnCn'dn.mdn',т'СтСт’ X

Ет<Е« . Е»/<Ет'

* £(Vn,m4-Vnzjm')t-- (VnemRp+VnzemzRp)J .

“Г /1 СтСт’ ^т.п^тп* ^’СпСп' X.

Ет<Еп.

£»/<Ет/■

, < [(Vn.m+vn'.m') t-^(vm,nR_P4-Vm/,nzRp)]. X € LcJ .

Первые два члена соответствуют наличию одного только первого или второго атома, оба последние члена

представляют собой интерференционные выражения, которые нас сейчас и интересуют. Принимая во внимание, что Сп,т, ап',т' представляют собой эрмитовы матрицы, диагональные элементы которых исчезают, можно придать средним по времени величинам очень простую форму, если, как мы здесь будем делать, не рассматривать вырождения. В обеих первых суммах тогда только члены с т = п, т' = п' дают отличную от нуля часть, тогда как в обеих последних суммах остаются члены с т' = п, п = т.

Интенсивность света частоты vn,m в точке Р равна тогда окончательно

У (Vn,m) = I Cn,m |2 { | Cn i2 ~Н С« |8 ~Н CnCmCn^m С с^ Н-

+ спСтСпСтвс Р }•

Это выражение можно ещё упростить, если ввести геометрическую разность хода

Д = ^(^р_^)

и фазы амплитуд вероятностей для атомов согласно:

сп = I сп' е^, ст = | ст | еЧ ^т = 6п-8т,

Сп ~ | Сп | £ ”, Ст = | Сщ | £ т» ^п,т = ^п 6т.

Тогда

J (vn,m) = | Un,m |* { |СП 1* + I сл 2 +

+ 2 | Сп | | Ст | Сп | |ст | COS (8п,т — 8п',т' Н- А)-(382)

Отсюда прежде всего видно, что если вначале один из рассматриваемых атомов с достоверностью находился ТОЛЬКО В возбуждённом СОСТОЯНИИ (ст = о ИЛИ Ст = 0), то никакой интерференции не получается. Далее видно, что никогда фаза 8П отдельной собственной функции атома не может быть доступна наблюдению. Возбуждая оба атома одинаковым светом, можно создать пакет, состоящий из основного и одного возбуждённого состояния с постоянным фазовым соотношением 8n,m —8п',ш' для обоих атомов. В этом смысле, следовательно, резонансное излучение когерентно.'

Поучительно разобрать вкратце некоторую модификацию этого случая, которая получается, если рассматривать атомы как подвижные. Мы должны тогда ввести, кроме состояний п,т... электронов атома, ещё координаты Q его центра тяжести, так что амплитуды вероятности сп теперь станут функциями Q. Далее, для того чтобы найти, каким образом видоизменяются матричные элементы напряжённости поля, мы вернёмся обратно к выражениям (352) классической теории. Чтобы сделать возможным переход к содержащемуся в (353) запаздыванию с помощью плоских волн, мы должны предположить, что расстояние точки наблюдения от атома велико также по сравнению с размерами волнового пакета, описываемого cn(Q) (т- е. по сравнению с неточностью определения места центра тяжести атома), что, несомненно, может осуществиться. Далее влиянием тока самих атомных ядер при излучении света можно всегда пренебречь. В выражениях (353) для запаздывающего тока электронов после интегрирования по относительным координатам частиц, однако, всё же остаются,, вследствие запаздывания, координаты центров тяжести, именно xq, которое представляет собой сумму относительных координат и координат центра тяжести. И, наконец, в матричном элементе излучённого поля для стационарных состояний (п, т) электронной системы, зависимость которого от времени описывается фактором e5'in.mt, остаётся, следовательно, множитель.•

i -> ->^п.т-(Ол)

где Кп,т = ^! п. Никаким другим образом координаты центра тяжести системы не входрт. Итак, всюду вместо матричного элемента ап,т в п-пространстве входит матричный элемент

an.m(Q, Q') = <z„,m№,™O)8(Q-Q')(382')

в (п, (^-пространстве. Поучительно перейти с помощью

* Cn(P)=5 ^e'^^dQ

[ср. § 3 уравнение (27)] к импульсному пространству атома. В этом пространстве имеем:

an,m(P. Р^-ап.тЧ—Р+Р' + ^Кп.т).(383')

Это означает, что испускание света связано с отдачей, которая точно соответствует сохранению импульса, если приписать излучённому свету импульс hv/c в направлении его распространения, в согласии с результатом Эйнштейна, полученным из представления о световых квантах. Отдача при испускании света принципиально наблюдаема всегда, когда размеры пакета сп(Р) начального состояния в пространстве импульсов малы по сравнению с Йу/с. Отдача должна также проявиться в виде эффекта Допплера, которым мы здесь пренебрегаем, что вполне последовательно, если всюду пренебрегать давлением света. Если сделать такое' пренебрежение, то суммарная интенсивность излучённого в направлении п света при начальном состоянии атома cn(Q) равна снова

J t*n,m) = i Qn,m |Z | Cn |8,где под |cn|* теперь понимается

. kn I1 = $ I Cn (Q) I3 dQ = $ ! cn (P) I3 dP. (384)

Применение к интенсивности света, излучённого двумя одинаковыми атомами, приводит теперь к Выражению

J (vn.m) = I fln.m |! { kn |2 + |Cn I2 +

4" 2 C n,m | | Cn,m ] C OS (8n,m ^n',m' 4" Д)}>(382 )

где для сокращения положено вместо (382)

Cn,m=|Cn,m С {^п»т =

= 5 ^ № ^«^Ст № dQ=- С^п (385) и аналогично для С'п,т- При этом в Д = ^?1(Рр —Рр) RP и Rp отсчитывается от фиксированной точки (тбй же самой, что и для Q в (385) и Q' при аналогичном определении Сп,ш). Значение полученного результата заключается в следующем: для когерентности резонансного

излучения не только необходимо, чтобы в начальном состоянии обоих атомов были представлены как основное, так и возбуждённое состояния, но необходимо также, чтобы эти состояния могли осуществиться с -неисчезающей вероятностью при одинаковом положении центров тяжести атомов. Если же функции cn(Q) и cm(Q) нигде не перекрываются, как это имеет место в том случае, когда оба состояния пряностью отделены друг от друга внешними силами, то Cn(Q)cm(Q) всюду исчезает, и вместе с тем исчезает также интерференционный член в (382'). Мы имеем здесь пример того, что каждое устройство, позволяющее установить, в каком состоянии находится атом, уничтожает возможность интерференции между излучением этого атома и излучением другого атома *).

Исследуем, наконец, вопрос об когерентности излучения, испущенного одним атомом в различных направле- -*-►

ниях nt и п„ так как этот вопрос касается часто обсуждавшегося ранее противоречия между «игольчатым излучением» и «шаровой волной». Всякое устройство для исследования интерференционной способности излучения в этих направлениях основывается на том, что оба световых пучка в конце-концов соединяются в точке Р после соответствующих отражений и преломлений. В этой точке, стало быть; классическая напряжённость поля представляет собой линейную комбинацию из Е^п^ и Е^пг\ т. е. из напряжённостей поля пучков, которые первоначально были испущены в направлениях п^ и пг. Пусть Jo—сумма тех интенсивностей, излучённых в этом направлении пучков, которые наблюдались бы в точке Р при отсутствии интерференции. Тогда действительная интенсивность равна по классической теории

J = Jo + constECnJE^,).

Мы, таким образом, должны вычислить квантовотеоретически математическое ожидание -.

л •E<+)(^)E<-)(n2) + E^

” *) См. также W. Heisenberg, Zs. j. Phys., 43. 172, 1927; в то время вопрос о связи' фазы собственных функций атома со свойствами излучённого света оставался ещё неясным.

в качестве меры когерентности пучков. Это последнее пропорционально

D= ^ dQCntQ') ^ Яп,т(п,; Q, Q")am,n(nt’, Q", Q') х

"xdQ"cn(Q')dQ'+...

или также.

D = ^ dP Сп (Р) ^ ап,т (nv, Р, Р") ат,п (л,; Р", Р') х xdP"cn(P')dP'+...

причём + • • • обозначает члены, которые получаются из выписанных перестановкой пТ и п,. На основании (383) и (383') получаем сразу

. 0=2 ^1 cn(Q) |а cos ^[(n^nJQldQ (386) или также

О=${сПР)сп(Р + ^(п3-п])) +

+ cn (Р) Сп (р + ^ (л2 - nj) } dP. (386')

Из этих выражений следует, что возможность установить с помощью измерения отдачи, был ли световой квант излучён в направлении nv или в направлении п2, и устройство, которое позволяет получить интерференцию между излучёнными в направлениях пг и п2 световыми пучками, взаимно исключают друг друга.

Действительно, требуемое измерение отдачи возможно только тогда, когда начальный импульс частицы определён точнее, чем^1-” п2 — n^. Но тогда сп (Р) должно быть отлично от нуля только в области ДР, меньшей чем ^-^ | п2 — Hj |, а в этом случае/) всегда исчезает, что очевидно из (386'). С другой стороны, чтобы иметь возможность с несомненностью определить разность хода между пучками, излучёнными по направлению гг и п2, cn(Q) должно отличаться от нуля лишь в области AQ, малой по сравнению с -—। •

Оба эти требования . противоречат друг другу, что

является непосредственным следствием соотношения неопределённости Гейзенберга, которое проявляется здесь уже в проведённом пересчёте от cn(Q) к с„(Р). .

Подобно тому, как мы сделали это здесь для простейшего случая излучения света, можно также обсудить когерентность рассеянного атомом излучения. Следует также ещё отметить, что данный здесь способ рассмотрения не является полным, так как мы пренебрегали затуханием излучения. Оно может быть рассмотрено только с помощью изложенной в части II квантовой теории света Дирака.

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕОРИИ

Принципиальные замечания о современном состоянии релятивистской квантовой механики

В противоположность нерелятивистской квантовой механике, которая может считаться логически замкнутой, в релятивистской области мы стоим перед нерешёнными ещё принципиальными проблемами, которые упираются в вопросы атомизма электрического заряда, отношения масс электрона и протона и строения ядра. Можно сказать, что в настоящее время мы имеем лишь отдельные части релятивистской волновой механики. Во-первых, это квантовая теория релятивистской проблемы одного тела, описывающая поведение электрической элементарной частицы (электрона или протона, но не произвольной макроскопической частицы) в заданном внешнем электромагнитном потенциальном поле. Во-вторых, это теория поля излучения и его взаимодействия с материей, содержащая предположение об энергии и импульсе излучения, вытекающее из представления о световых квантах. Обе названные теории, обязанные своим происхождением Дираку), являются принципиальным успехом волновой механики; однако, последовательное развитие этих теорий приводит к характерным трудностям. Так, теория проблемы одного тела приводит к существованию состояний электрона с отрицательной кинетической энергией (отрицательной массой)

и к возможности перехода электронов в эти состояния из обычных состояний с положительной массой, причём эти переходы могут осуществляться как под влиянием соответственного внешнего поля, так и вследствие спонтанной или индуцированной внешним излучением, эмиссии света.. (§ 5.) Так как опыт не даёт нам частиц с отрицательной массой, то это следствие нужно рассматривать как недостаток теории. Независимо от этой трудности существует ещё другая трудность, возникающая, когда применяют теорию излучения к взаимодействию электрона со своим собственным полем. Тогда оказывается, что не существует стационарного решения с конечной энергией для общей системы, состоящей из электрона и квантованного электрического поля. Это происходит потому, что та часть оператора Гамильтона, которая описывает взаимодействие частицы с внешним полем, представляет собой, по принципу соответствия, аналогию классического взаимодействия точечной частицы с её собственным полем, а собственная энергия такой частицы будет и по классической теории бесконечно большой. Правда, формально можно, хотя и не без некоторого произвола, избежать появления этой бесконечности, изменив функцию Гамильтона таким образом, чтобы она отражала в духе принципа соответствия взаимодействие частицы конечного размера с полем (§ 8); однако, при этом мы не смогли бы сохранить релятивистскую инвариантность теории. Указанная трудность препятствует развитию дираковской теории излучения в строгое и непротиворечивое релятивистское рассмотрение проблемы многих тел.

При таком положении дел во многих случаях трудно точно ограничить физическую область применимости существующих в настоящее время частей релятивистской квантовой механики, тем более, что её результаты охватывают оба известных предельных случая: нерелятивистскую квантовую механику и релятивистскую классическую теорию. Едва ли это ограничение можно провести при современном состоянии наших. знаний однозначным образом во всех случаях.

Мы должны в дальнейшем удовольствоваться разработкой обеих релятивистских теорий, чтобы получить из них новые физические представления и затем сравнить

результаты с действительностью. В §§ 2 —5 это сделано для релятивистской теории проблемы одного тела, в §§ 6 — 8 для теории излучения и совокупности обеих теорий.

Волновое уравнение Дирака для электрона

а) Случай свободного электрона. Фундаментальная связь между импульсом и энергией, с одной стороны, волновым вектором и частотой волны, —с другой, из которой мы исходили в части I, § 1:

p = Kk, E = hv,(1,1)

уже является релятивистски инвариантной. Величины (^р, i у^ , Qk, i^ образуют четырёхмерные векторы, и следовательно, трансформируются при лоренцовом преобразовании одинаковым образом. Поэтому естественно сохранить соотношения (1,1) в качестве основных положений и в релятивистской квантовой теории. В классической релятивистской механике мы имеем [см. часть I, уравнение (5)] следующее соотношение между энергией и импульсом частицы с массой покоя т:

3

Е=т^^рх.(1)

i=i

Из этого соотношения и соотношения (1) следует:

5=i£+2^+2^

(2)

где

тс4

(3)

Наиболее общая сумма плоских волн

Ф(х,, ха, х3; 0=5 А^е^^к, (4) где А (к) — произвольная функция, a v и к связаны соотношением (2), удовлетворяет дифференциальному уравнению:

и обратно, (4) является по существу наиболее общим решением (5). При этом заметим, что, согласно (2), данному Значению h принадлежат два значения v—одно положительное и одно отрицательное:

ii

и что в общем случае оба значения могут быть представлены в (4). Волновое уравнение (5) релятивистски инвариантно, если считать, что <р скаляр.

До сих пор мы использовали только фундаментальные соотношения де-Бройля (I) и принцип суперпозиции волновой теории. Если мы проследим соответствующее построение нерелятивистской волновой механики; то увидим, что там следующий шаг состоит в введении плотности вероятности, указывающей, какова вероятность найти частицу в момент времени в области хр Xj + dx^ ...; х3, x3 + dx3. Если подобная плотность вероятности W (х) существует, то, во-первых, она должна быть везде положительной (или равной нулю):

IV(x)>0,(6)

и, во-вторых, как следствие волнового уравнения должно соблюдаться равенство:

^W^dx-O,(7)

так что функцию IV (х) можно нормировать:

^lV(x)dx=l.(7')

Далее следует потребовать инвариантность этой нормировки по отношению к преобразованию Лоренца:

IV (х) dx = inv.(8)

Если мы теперь попытаемся построить из (4) выражение, удовлетворяющее условиям (7) и (8), то мы однозначно получим:

К^ИЧх)--»-!^.?1^.

Далее, если ввести вектор

z = с (ф* grad ф — ф grad ф*),(8')

где ф* — комплексно сопряжённая ф-функция, то будет удовлетворяться также уравнение непрерывности:

^- + divz=O.■

от 1

р и z могут быть соединены в один четырёхмерный вектор с компонентами:

откуда следуют (7) и (8)1). Первоначально различные авторы пытались развивать теорию в намеченном выше направлении 2). Однако, при этом не соблюдается требование (6) —ведь ф и д^ могут быть оба, согласно (5), выбраны произвольно в заданный момент времени — и потому выражение (8") для четырёхмерного тока с физической точки зрения недопустимо8). На основавии этих

г) В дальнейшем мы всегда будем обозначать греческими буквами индексы, пробегающие значения от 1 до 4, латинскими буквами—индексы, пробегающие значения от 1 до 3, далее через х4 будем обозначать мнимую временную координату x4=ict, через х0— действительную x0 = ct; таким «образом, х4 = ix0.

2) Е. Schrodinger, Ann. d. Phys., 81, 129, 1926, особенно §6; О. Klein, Zs. h Phys.; 37, 895, 1926; V. Fock, ibid, 38, 242, 39, 226, 1926; J. Kudar, Ann. d. Phys., 81, 632, 1926. Относительно выражения для четырёхмерного тока см. W. Gordon, Zs. f. Phys., 40, 117, 192э. Все авторы рассматривают сразу общий случай: заряженная частица во внешнем электромагнитном поле, который мы рассматриваем позже (см. § 2d).

’) Если в основу положить только требование (7), без требования (8), то становится возможным допущение:

р=И ®)2+(grad ?)а+¥’

так как тогда из (5) следует:

5? + divy grad^=O.

Это допущение замечательно тем, что при нём можно обойтись одной единственной действительной функцией у, и требование (6) при этом выполняется. Однако, тогда pdV является 4-й компонентой некоторого'вектора, а не скаляром.

238 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕОРИИ [ч. II результатов можно прежде всего подвергнуть сомнению разумность понятия «плотность вероятности для частицы» в релятивистской волновой механике. '

Действительно, во-первых, уже в самом определении плотности вероятности содержится неравноправие времени и пространства: в то время как для пространственных координат допускается погрешность dxk, время, напротив, устанавливается точно; во-вторых, если мы хотим определить координаты частицы с погрешностью, меньшей чем длина де-бройлевской волны, и в то же время скорость частицы сравнима со скоростью света, то непосредственное измерение положения частицы уже более невозможно [см. ч. 1, § 2, уравнение (16)]; в-третьих, для светового кванта не существует, как мы увидим позже, плотности вероятности, удовлетворяющей требованиям (6), (7) и (8).

Тем не менее, Дирак показал, что можно составить удовлетворяющее требованиям (6), (7) и (8) выражение для IV (х), если ввести несколько «p-функций, фР, р= 1,2,..., которые все, в случае свободного электрона, удовлетворяют уравнению (5). Несмотря на большой успех этого предположения, заключающийся в том, что автоматически получается спин электрической элементарной частицы, всё же необходимо проследить за всеми следствиями, вытекающими из него, и затем снова вернуться к исследованию упомянутых соображений, поскольку мы наталкиваемся далее на принципиальные трудности теории Дирака (состояния отрицательной энергии).

Основное положение теории Дирака заключается в том, что устанавливается следующее выражение для W(x):

?==W(x) = S^„ ' (9)

которое уже само обеспечивает положительно дефинитный характер И7(х). Поскольку должно выполняться соотношение: .

в $ 2w- ^ - И 2 ^ «•+« ^) ^=°. (И

■тт- и — не могут быть выбраны произвольно в опре-

§ 2] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА 239 делённый момент времени; таким образом, ф„ должны удовлетворять дифференциальным уравнениям первого порядка относительно ^. Тогда, чтобы уравнения были релятивистски инвариантны, необходимо предположить, что они линейны также относительно производных по пространственным координатам ^. Мы полагаем вместе с Дираком, что эти дифференциальные уравнения имеют следующий вид:.

з

4^'+2Шк+-тМ.)-о.(Ю)

h=l №'■

Пока оставим открытым вопрос о числе значений, которое принимает каждый из индексов р и с, и численные значения ар, и Рр,. Чтобы (9') следовало из (10), достаточно принять:

. аре — Ядр, Рр„ = Р„р.(11)

Тогда из (10) следует:

4¥+2 2(^^-гтм;)=о:<10,)

(р)'

Умножим (10) на 9р и просуммируем по р, а (10*) умножим на ф, и просуммируем по а; если положить теперь

1 — с У, ^фрЯрдфд,(12)

то получим уравнение непрерывности:

£ + div7=0.(13)

Чтобы упростить запись и не писать индексов, целесообразно ввести обозначения матричного исчисления. При этом ак и р будут квадратные, эрмитовы матрицы—их эрмитовость обеспечивается требованием (11); Ф рассматривается как прямоугольная матрица с одним столбцом (элемент фр), а ф‘ —как прямоугольная матрица с одной строкой (элемент фр). Чтобы, в соответствии

с правилом умножения матриц, получать разумные образования, следует всегда писать ф’ слева, а й —справа от матриц ак и р. Тогда выражения (10), (10*), (9) и (13) можно записать в более простой форме:

з

fS + Z^^ + 'Tw-o. о°')

h=l

3

Й=1

Р = (О)>(9) i = c^*a.^.(12')

Подобно тому, как из уравнений Максвелла первого порядка для напряжённостей поля следует волновое уравнение второго порядка для каждой из напряжённостей, здесь из уравнений (10) должно следовать уравнение (5) для каждой из компонент ф

с2 ^2 Т ZJdx,(2 Ь2 ■w

к=1

Чтобы это проверить, подействуем оператором:

д । г д . , тс Q с dt 1 ^-j бх‘ 1 К г г

на (10) слева. Это единственная операция, в результате которой выпадают члены первого порядка относительно ^. Отсюда получаем:

I к

+i=2(,»p+pi»)^-^n=o,

к

или, симметризуя второй член относительно I и к:

+ /2£2(,.р + ;),-.)^_^И = 0.

к

Из сравнения с (5) следует, что, для того чтобы последнее выражение совпадало с (5), необходимо и достаточно:■

■^-(aftaz +azaft) = й^ь , aftp+pa,! = O, р2 = 7(1)

(в последнем члене под 7 понимается единичная матрица). Первые из этих соотношений эквивалентны следующим:

‘ (aft)2 = /, аЛа1 = — azaft при к=М. (Г)

Таким образом, соотношения (I) совершенно симметричны относительно всех четырёх матриц ак и р, и матрица р не является выделенной.

Теперь следует выяснить, как и сколькими способами можно удовлетворить соотношениям (1) и требованию эрмитовости. Можно показать, что число строк матриц, удовлетворяющих (1), должно быть по меньшей мере равно четырём. Одно из решений с четырехрядными матрицами получается тогда с помощью употребляемых в нерелятивистской теории спина двурядных матриц:

Эти матрицы удовлетворяют соотношениям:

®1®2 =®2®l = i°3> •••> 1/1И'\

(Многоточие обозначает, что остальные соотношения получаются циклической перестановкой индексов у написанных.)■

Одно из решений системы уравнений (1), при котором р диагонально, даётся следующими матрицами:

>-GG)-<15>

Здесь применён «расщеплённый» («gespaltene») способ написания четырёхрядных матриц ак и -Р; под 1 понимается двухрядная единичная матрица, а под 0 —двухрядная нулевая матрица; четырёхрядные матрицы получаются, если вписать в (15) двухрядные матрицы полное стью. Матрицы (1-5) удовлетворяют требованию эрмитовости.'

Общие принципы волновой механики16

трицытрицыa^Sa^"1, p'-SpS"1,a^Sa^"1, p'-SpS"1,(16)(16)Что касается дальнейшего вопроса о существовании других решений уравнения (I), тр во всяком случае ма

трицы

трицы

a^Sa^"1, p'-SpS"1,

a^Sa^"1, p'-SpS"1,

(16)

(16)

образованные из »к и р с помощью унитарной (чтобы сохранить эрмитовость), но в остальном произвольной матрицы S, также являются решениями (I). Далее возможно тривиальное обобщение решения (15) посредством следующего перехода от четырёхрядных к многорядным матрицам:

• /ад 0 0 ...\/р000

д _ 0 ак 0 ...\/-0р00...

к 0 ак ...’ ■I о0р 0...

Здесь все написанные элементы в свою очередь являются четырёхрядными матрицами. Наконец, А и В можно преобразовать при помощи «большой» унитарной матрицы S:

Ah = SAkS-\ BABBS'1.

Теперь более не видно непосредственно распада А' и В' на отдельные матрицы. Можно показать, что, кроме указанных тривиальных обобщений данного решения, других решений не существует ). .

До сих пор мы показали, что положенные в основу уравнения (10) вместе с выражениями (9) и (12) для плотности и тока удовлетворяют уравнению непрерывности и что первоначальные уравнения (5) являются следствием (10). Мы должны ещё показать, что уравнения (10) также релятивистски инвариантны и что плотность и ток

соединяются в один четырёхмерный вектор. Из последнего обстоятельства сама собой будет следовать требуемая соотношением (8) инвариантность нормировки фр посредством pdv.

b) Релятивистская инвариантность. Для исследования релятивистской инвариантности системы уравнений (10) целесообразно преобразовать эту систему так, чтобы' четыре координаты хц(р.= 14), где x4 = ict, бы

ли равноправны. Для этой цели умножим (10) слева на—i'P; в результате получим (так как Р‘?=1)'

Где положено:

Y* = p, -i^k = ’tK;"(17)

следовательно,

P = Y*> ak = i'(*"(k.(17')

удовлетворяют аналогичным соотношениям:^(^-НЧ*1)^^-'-Вставив (17') в уравнение (10*) и сократив лучим:кПоложим далеенф+ = z ф*у* * ф* = — 1ф+у4.Тогда будем иметь:удовлетворяют аналогичным соотношениям:^(^-НЧ*1)^^-'-Вставив (17') в уравнение (10*) и сократив лучим:кПоложим далеенф+ = z ф*у* * ф* = — 1ф+у4.Тогда будем иметь:Как и ak и р, матрицы y“ эрмитовы и вследствие (1)

удовлетворяют аналогичным соотношениям:

^(^-НЧ*1)^^-'-

Вставив (17') в уравнение (10*) и сократив лучим:

к

Положим далее

нф+ = z ф*у* * ф* = — 1ф+у4.

Тогда будем иметь:

удовлетворяют аналогичным соотношениям:

^(^-НЧ*1)^^-'-

Вставив (17') в уравнение (10*) и сократив лучим:

к

Положим далее

нф+ = z ф*у* * ф* = — 1ф+у4.

Тогда будем иметь:

(18)(В»):(18)(В»):(Г) на i, ’по-

(18)

(В»):

(18)

(В»):

Введение множителя i в определение ф* (18) целесообразно потому, что тогда четырёхмерный вектор 5ц ском- понентами'

г0,<19)

^релятивистские Теорий(ч. 11

принимает в соответствии с (9) и (12) следующий вид: s^^y^-(20)

Из выражений (II) и (1Г) ф+ определяется при заданном ф с точностью до множителя, который нормируется соотношением (18). Употреблённый здесь способ написания уравнения Дирака удобен при исследовании свойств релятивистской инвариантности, в то время как употреблённый ранее способ обладает тем Преимуществом, что делает более наглядным вещественность функции ф.

Мы рассмотрим теперь ортогональные преобразования координат:

Хц= ^j Сц^У’ ЯщОцв = 8ра> I ■

*;У . (21)

. -Ху = 2 ДцуХи, СрцДру=5цу, I

и положим:

:»' = №(22)

где S — четырёхмерная матрица, которую следует ещё найти. Из уравнения

должно следовать:-

или

.23 t-s^S+T5»-0-

или;

22(s-ys)c^+^=o.

Поставленное условие выполняется, если

2 (S^S)^^*,

ИЛИ '

5-у5=2^.(А)

■V

Тогда, если положить:.

ф*'= (ф*^-1),(22*)

то из (II*) следует:

J^-™^0'(23)

Далее, очевидно, что если имеет место (А), то выражения (20) для 5ц действительно образуют четырёхмерный вектор, и

/ = (П)

является инвариантом. С помощью элементарных выкладок далее получаем, что

М^= — М^ф-р ф ([i#v)(24)

— антисимметричный тензор второго ранга, - - .

Kw = /ф^^ТФ (^^P^v)(25)

— антисимметричный тензор третьего ранга относительно всех трёх индексов и

.^ = фYф(26)

—псевдоскаляр, если"

Y^yWy4.(27)

Действительно, при преобразовании координат:

" N' = N\aw\, ~•

причём детерминант ортогонального преобразования [ а^] равен +1 при собственном вращении и равен — 1 при зеркальном отражении *). Отметим ещё, что матрица Y6 удовлетворяет соотношениям:

(y‘)2 = 1. yV + ^Y^0-<28)

!) См. J. V. Neumann, Z$. /. Phys,,48, 868, 1928

Таким образом, существует пять независимых четырёхрядных матриц, удовлетворяющих (1) ).

Матрица S вследствие мнимого характера четвёртой координаты не унитарна; действительно, а4к и а*4 (где к = 1, 2, 3) чисто мнимы, и лишь ак1 и а44 действительны. Поэтому матрицу S, эрмитовски сопряжённую S, следует положить равной не S"1, а :

. S = y4S-Y или Sy^Y^-1,(29)

тогда имеем:

ф*' = ф*§-.

Таким образом, и в новой системе координат, аналогично (18):'■'

Теперь всё сводится к тому, чтобы доказать, что для каждого ортогонального преобразования (21) существует матрица S, являющаяся функцией а^ и удовлетворяющая соотношению (А). Так как матрицы вследствие (21), удовлетворяют тем же. соотношениям (1), что и Yu, то существование матриц S следует уже из упомянутой на стр. 244 однозначности (с точностью до эквивалентности) неприводимого представления Yu- • Второе независимое доказательство можно получить, используя групповые свойства ортогональных преобразо-

ваний, показав, что равенство (А) выполнимо для бесконечных малых преобразований. Такое преобразование даётся выражением:

Хц = 1 -f- ^2 е^х^> где ep.v = evn’(30)

причём антисимметричность еИ7 обеспечивает выполнений условий ортогональности. Мы предположим, что S линейно относительно е^:

s = ^ + 42 2Т^=— Т^\(31)

где Т^ — матрицы, которые будем нумеровать парой индексов. Теперь вставим (31) в (А) и пренебрежём в этом выражении величинами порядка выше первого относительно е^. Тогда получим:

г 4 2 2 ^ - 4 2 2 е^и= х v. х v

= 2 ^Y = "2" 2 2 sxv(®xnYv 6WYX)- VX V

Приравнивая написанные в антисимметричной форме коэффициенты при eXv, имеем:

Y^-TXV-V-V- (А')

Этому равенству действительно можно удовлетворить четырёхрядными матрицами Т'^ и доказать, таким образом, релятивистскую инвариантность уравнения Дирака и векторный характер sv. Действительно,

TXv = у у^ для X ^ v (TXv = 0 для X = v) (32)

есть антисимметричное относительно X и v решение (А'), что легко проверить, пользуясь (1").

Мы должны ещё проверить выполнение условия (29), устанавливающего соотношения вещественности. Оно даёт:

2 е^ = - 2 YЧ^Т.•(33)

Учитывая, что е1й чисто мнимо, а е1к действительно, если z, к пробегают значения от 1 до 3, имеем:

f4A=+y474Ay4, T'a=-y4T<ay4 (z, к = 1, 2, 3). (33z)

Так как из (32) следует, что TXv = — Т^, то легко проверить, пользуясь (I"), что (33') действительно выполняется.-

Нетрудно установить, насколько однозначно решение уравнений (А') и (33). Уравнение (А') допускает, ещё аддитивный дополнительный член в выражении для TXv, который должен коммутировать со всеми y11- Этот член необходимо должен быть вида:

где Д^—обыкновенные числа. Из уравнения (33) вытекает далее требование, чтобы выражение

Д = 2 ®xvAxv .-

было чисто мнимым. Так как, учитывая величины лишь первого порядка,

1+1|д| = е<|д1, .

то мы имеем здесь дело с дополнительным фазовым множителем (бесконечно малым изменением фазы), общим для всех четырёх компонент ф. Такой множитель, действительно, всегда остаётся произвольным. Его нормировка посредством выражения (32) соответствует утверждению, что’

Spur (7^) = О,(34)

если, как обычно, понимать под шпуром матрицы сумму её диагональных элементов. При конечных преобразованиях это приводит к следствию, что

(34')(34')Det (S) = 1,

(34')

(34')

.причём под Det понимается детерминант матрицы.

Заметим ещё, что, согласно (32), TXv коммутативны С матрицей y6, определённой выражением (27)

y6TXv—TXY=O,. (35)

При конечных преобразованиях, которые могут быть получены из бесконечно малых непрерывным продолжением, это ведёт к следствию'

Выше уже было, однако, замечено, что

Л^ = фУф

является псевдоскаляром. Это равнозначно вытекающему из (А) утверждению, что -

S'YS=±y‘.(36)

с положительным или отрицательным знаком для ортогонального преобразования координат с детерминантом, равным + 1 или — 1. Последний случай соответствует зеркальному отображению. Рассмотрим, например, зеркальное отображение

Xh=—xk для к= 1,2,3; Xt = xv (37) Согласно (А), мы должны найти S, удовлетворяющее следующим соотношениям:

• чк5=—5чк для к = 1,2,3; y4S = Sy.

Отсюда следует [принимая во внимание дополнительные условия (29) и (34')]:

■S = t*.(37)

С помощью решения (32) уравнений (А') можно в частном случае вращения вокруг одной из координатных осей — при котором будут изменяться лишь две координаты—указать решение уравнений (А) для конечного вращения координатной «системы1). Рассмотрим, например, сначала вращение в плоскости (x^xj, которое даётся следующими уравнениями:

х[ = х, cos ш—х2 sin 0),

■■X2 = Xj sin ш-|-Х8 COS (О.

Тогда, с учётом того обстоятельства, что здесь матрицы S (<о) переставимы друг с другом для всех значений

ш, должно, согласно (32), выполняться соотношение

. да)2

Это дифференциальное уравнение для матрицы S будет иметь следующее решение (учитывая, что 8 = 1 для ш = 0):

• 'О).

8 = е = cos-j + Ы1 sin.(38)

Последнее преобразование основано на том, что

так как в этом случае соотношение ■■

.2ш ।•<11

е 4 = COS "2 + 1 Sin "2

осгаётся справедливым, если заменить I матрицей -^• Из результата (38) следует, что при полном обороте (ш = 2к) матрица S не возвращается к своему первоначальному значению единичной матрицы, но переходит в-(/):

£=—(/) для ш = 2к.(38')

Здесь мы имеем дело с двузначным представлением группы вращения трёхмерного пространства, с которым мы познакомились уже в нерелятивистской теории спина. Мы ещё вернёмся к связи- матриц Т^ (i, к = 1, 2, 3) и операторов момента количества движения.

Аналогично получается закон преобразования ф, т. е. матрица S, в частном случае лоренцовского преобразования, соответствующего относительному движению координатной системы в направлении х,, т. е. вращению в плоскости (xt, xj. Мы должны заменить х2, у2 через х4, у4. Если мы хотим оперировать с действительной временной координатой xa = ct вместо x4 = zx0, мы должны ещё заменить угол вращения ш через ш = iy с действи-

5 2] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА g51 тельным у. Тогда мы будем иметь:

х! = хх ch x-^shy. thy = 4’ :

= — ®i sh х + ^о ch х> ch у = > 1, sh у = , и^ , dxx=—dxxa, dxa=-dxxv

5 = гТ'Т1Т4 = сь4-1'Ы«8Ь-|.

Подводя итог, подчеркнём ещё раз, что существование четырёхмерного тока с надлежащими релятивистскими инвариантными свойствами, с одной стороны, и положительной дефинитной плотности, с другой, является важнейшей чертой- теории Дирака. При попытке переписать волновое уравнение Дирака в векторной или тензорной форме это свойство теории теряется.

При исследовании поведения ф относительно преобразования Лоренца мы не вводили никаких специальных представлений -матриц уР • Однако в зависимости от рассматриваемых проблем бывает целесообразно вводить различные представления. Чтобы установить связь с математической литературой, мы выберем теперь такое представление, в котором у5 диагонально. (Оно отлично от данного в (15), где диагональным выбрано ^f4-) Мы можем тогда положить, употребляя «расщеплённый» способ описания, при котором написанные величины сами являются двурядными матрицами:

Т*-( ° Д) для?=(5J) ^(oJ) (^Э

[/—двурядная единичная матрица, ад определяется уравнениями (14)]. Заметим далее, что матрица S, определяющая преобразование 4* по формуле

/ = $?

согласно (36), коммутирует с у5 для преобразования координат с детерминантом +1. Отсюда сразу следует, что для этих, так называемых собственных преобразований, S принимает следующую форму:

/У о \

s=(o 2')-(39)

гдеЗиЗ— двурядные матрицы. Из (29) [со значением у*,

данным (15)')] следует, что Z = 2i ■ Таким образом:

/V 0 \

(40)

Для случая бесконечно малого вращения будем иметь, согласно (32), (14') и (15'), следующие матрицы Т^:

т1'2-4'(о •”)■■■■<1|а>

т*.*-4<(«ад

причём ненаписанные матрицы получаются посредством циклической перестановки индексов 1, 2, 3.

Отсюда видно, что четыре компоненты ^ь ••., ф« распадаются на две пары, которые при собственном лоренцовском преобразовании преобразуются только между собой, и именно вторая пара преобразуется контраградиентно к .паре, комплексно сопряжённой с первой, т. е.

Й & + yJ 4<

является инвариантом. Наше четырёхрядное представление собственной лоренцовской группы (детерминант-)-1) распадается на два двурядных. Двукомпонентные величины у£, ?г, трансформирующиеся при лоренцовом преобразовании по закону

y'=S?,(42)

называются спинорами или также полувекторами. Матрицы 2 всегда имеют детерминант, равный 1, так как шпур cft равен нулю. Подгруппе трёхмерных вращений соответствует унитарная матрица 2 (как это имело место также и в нерелятивистской теории спина), в то время как при лоренцовских преобразованиях, не изменяющих четвёртую координату х4, вследствие мнимого характера этих преобразований, 2 не унитарно. Подсчётом числа параметров легко показать, что наиболее общие двуряДные матрицы 2 с детерминантом 1 действительно соответствуют определенному лоренцовскому преобразованию.

Распад обсуждаемого здесь четырёхрядного представления лоренцовской группы на двурядные уже не и.меет места, если мы рассматриваем также зеркальное отображение. Для частного случал рассмотренного ранее зеркального отображения (37)

х*=—хд для /с= 1,2,3; х£ = х4,

где, согласно (37'),

получаем, используя выражение (15') для матрицы р4;

Y1=Y»> Yi = ?4, Ф»=ЧЧ> Y^Y»-

Это означает, что обе пары (уп ^а) и (^, ^) просто меняются местами.

Исчисление величин, которые ведут себя при лоренцовском преобразовании подобно уп уа или подобно у3, у4, разработано Ван-дер-Варденом-) как систематическое «спинорное исчисление», представляющее обобщение обычного тензорного исчисления и допускающее использование возможных неприводимых представлений лоренцовской группы.

Мы хотёли бы здесь заметить, что это исчисление, несмотря на свою формальную замкнутость, не всегда выгодно. Расщепление всех четырёхкомпонентных величин на две двухкомпонентные, связанное со специальным диагональным представлением ц*, иногда приводит к ненужным усложнениям формул. Для некоторых проблем оказываются более удобными представления для т*1, отличные от данных в (15')—например,такое, при котором р4 диагонально [см. (15)].

Упомянем ешё коротко о возможности установления уравнений, инвариантных относительно преобразования Лоренца и содержащих только введённые выше двухкомпонентные величины у*). Эта возможность покоится на том, что каждая ковариантная величина, построенная только из матриц, коммутирующих с 7®, остаётся ковариантной, если её записывают лишь для отдельной двухкомпонентной составляющей. Возвратимся снова к матрицам, определённым выражениями (17')

™* = ?Т4Т*, ? = 7**

В нашем случае, согласно (15), эти матрицы имеют следующий вид:

Возвратимся также к первоначальной форме уравнения Дирака:

. cdl *^*i дхк

А=1

и выражения для тока:

SA = (f*a^), $4 = 1^*^.

Прежде всего видно, что величины, составленные только из двух- компонентных у следующим образом:

8л = (?*оА?), st = is0=i (?*f),(43)

образуют компоненты четырёхмерного вектора. Этот вектор то; ждественно удовлетворяет соотношению:

з'

S? = 3k(43'>

Далее мы видим, что не коммутирующая с ^5 матрица ?, ко-' торая меняет пары (^х, ^) и (^, у*), не должна входить в составленное только из двух компонент у ковариантное волновое уравнение. Таким образом, член волнового уравнения, содержащий массу покоя, должен отсутствовать в двукомпонентном уравнении. Зачёркивание этого члена физически означает переход к частице с массой покоя 0, скорость которой всегда равна скорости света с, а энергия Е и импульс связаны соотношением:

. ?«3^<44>

к

подобно тому, как это имеет место в случае светового кванта, Тогда мы имеем следующее двукомпонентное волновое уравнение:

.■з

45+3-.^-°'|45>

.'■ h=l

Оно релятивистски инвариантно. Для вектора s^, определённого выражением (43), из уравнения (45) следует уравнение непрерывности:

4 ■

Тем не менее эти волновые уравнения, как явствует из их вывода, не инвариантны относительно зеркального отображения (перемены правого на левое) и вследствие этого неприменимы к физическим объектам. Отсутствие инвариантности волнового уравнения относительно зеркального отображения проявляется в своеобразной связи между направлением спинового момента импульса и тока, однако, мы не будем здесь более детально входить в эти вопросы. Упомянем ещё, что уравнения (45) имеют собственные решения, относящиеся к состояниям как положительной, так и отрицательной энергии. При заданных значениях энергии и импульса, удовлетворяющих соотношению (44), мы имеем, однако, лишь одно собственное решение.

Поведение волнового пакета в случае свободной частицы. Так же, каки в части I [уравнения (24") и (27)], из. собственных функций % (х, /) пространства координат мы получаем- посредством разложения Фурье собственные

§ 2] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА 255 функции фР(р, /) пространства импульсов:

Фр (7.0 =\ Фе 7.0 г dx, dx, dxv (46)

1 C ■*+t(P®)

Фр (7,0 =-7^5F6 \ фр (p. О < dpi dP» dpv (46a) (Zien) 2 J

При этом

W (p,, pt, p^ dp. dp, dp^^\ <pp (p, 0 Is dpx dp, dp, (47)p

интерпретируется как вероятность того, что компоненты импульса частицы находятся между рк и pk-\-dpk. В нерелятивистской волновой механике значение энергии однозначно определяется значением импульса. Однако, в релятивистской механике, согласно (5), возможны оба, отличающиеся друг от друга знаком, значения энергии:

1^=±±/^+М1(Г)

ск.

Для <рР(р) из (10) следует, если снова перейти к матричному способу записи относительно индекса компонент р:

з

-т-™=-(2‘1>'’‘+тс₽><48>

Общее решение этого уравнения есть:

тасЧ £р«сТ4.1-1/m‘1C’+ £рlet

Тр=Ср(+)е+С/-)е К, (49)

где С^) и С(~> удовлетворяют уравнениям:

+ ]/^т2с2 + 2р1С(+) = (2^рй + /п^)с(+), (50J

-]//п‘с2+2р1С(-) =(3 »кРк+тс^) с<->. (50.)

Каждое из этих уравнений имеет ещё два линейно неза-

висимых решения. Вследствие эрмитовости ак' имеем также:

+ V^mlc2+2pjC*<+) = C4+)(^ + тср), №h=l6=1.

зз'

-У mV+2(505)

Ь=1.Л=1■

Умножая уравнения (50J слева на С*^ и уравнения (50‘) справа на С(+>, получаем условие ортогональности:

■^С^+^ЗФ’С^^О.(51)

■рр-

Таким образом, вероятность W(,pv pv р^ постоянна во времени:■

w ^Pv Pv р8) = 2 {I С<+) Iя +1 С<-> ;2} = const. (52) ' р

Здесь следует заметить, что упомянутые ранее соображения против существования плотности W (х^ х2, х3) в координатном пространстве только в ограниченной степени относятся к соответствующей плотности вероятности в пространстве импульсов. Проблематичным'является здесь только то, можно ли точно измерить импульс частицы в произвольно короткий промежуток времени [см. ч. I, уравнение (23)]. Нет сомнения, напротив, что импульс может быть измерен с любой точностью за достаточно продолжительное время. Таким образом, для волнового пакета свободной частицы, когда импульс не меняется со временем, W(pv р,, р3), несомненно, определимо точно. Больше того: если даже свободная частица подвержена действию каких-либо сил (взаимодействию с другими частицами или излучением) в течение конечного интервала времени, можно измерить с произвольной точностью импульс частицы до и после взаимодействия. Распределение скоростей частиц после соударения является и в релятивистской квантовой теории точным и вполне разумным понятием. То же самое относится, как мы

увидим позже, к распределению интенсивности рассеянного частицей излучения в зависимости от частоты и направления.

После этого отступления рассмотрим следствия для поведения волнового пакета, вытекающие из существования решений фр—\ принадлежащих к отрицательным энергиям. Прежде всего в отличие от нерелятивистской теории здесь следует, что общий ток, который, согласно (12) и (46), даётся выражением

4^= ^ (^*а'^)^= S ^(53)

уже непостоянен во времени. Введём в (53) выражение (49) для ?Р:

^Jk = $ ^VcS^dpA-^ {C'^C^)dp +

' + $ [(С^а'С^

+ ^W^ ^ ^ ^^p1^ ] др. " (54)

Оба первых члена постоянны во времени и соответствуют тому, что можно было ожидать по аналогии с классической релятивистской механикой. Раскроем их значение, умножим (50*) справа на а'С и (50) слева на С*а1. Складывая и учитывая перестановочные соотношения (I), получим: .

mV + 2 ^ (С,(+>а'С(+>) = pt (С<+>еС<+>), к.

mV + 3 pl (С(-)*агС(->) = pt (С(-)*С(->).

Используя выражения для энергии .

E=±cVm*T^plk .~,к.

и скорости частицы, совпадающей с групповой скоростью волны:'‘•

V1=^_^_ ;■(55)

Общие принципы волновой механики17

получим, что независящую от времени часть Jk можно записать так:

К = 5 d+)(p)(CW+))(Zp + ^"ЧрИС^С^Р- (54')

Накладывающуюся на это осцилляцию с ■ частотой 2 J-^-L Шредингер назвал «дрожанием» («Zitterbewegung»). Это осциллирующее движение является следствием интерференции частей волнового пакета, принадлежащих к положительным и отрицательным энергиям; если волновые пакеты содержат собственные функции, соответствующие только одному знаку энергии, то идрожание» отсутствует.•-

Так же как и в токе, «дрожание» проявляется^ в движении центра волнового пакета:

Хк^х^^йх^-^^^йр.(56)

р

Из уравнения непрерывности непосредственнно следует:

^ = Jk-(57)

Постоянной во времени части Jk соответствует равномерное движение хк, осциллирующей части—осцилляции Хк. Прежде всего приходит мысль ввести дополнительное условие в теорию, допускающее лишь такие волновые пакеты, которые содержат собственные функции, принадлежащие исключительно к положительным энергиям. Это действительно возможно, если иметь в виду только случай свободной частицы; однако при наличии сил такое условие не согласуется с релятивистской инвариантностью и принципом соответствия с классической релятивистской механикой (см. § 5).

Математическая формулировка поведения общего волнового пакета и его свойств с течением времени становится более наглядной, если перейти от волновых, функций к операторам1.) Этот пе-

*) Е. SchrCdinger, Berl, Вег., 1930, стр; 418; 1931, 8. 63; V. Fock, Zs. /. Phys., 55, 127, 1929; 68, 527, 1931 (в этой работе имеется также применение к случаю наличия сил). Далее, дискуссия, см. Е. Schrodinger, ibid, 70, 808, 1931; V. Fock, ibid, 70, 811, 1931.

реход производится точно так же, как в случае нерелятивистской волновой механики, только операторы действуют теперь также на индекс р, который пробегает четыре значения и всегда, когда производится интегрирование по координате или импульсу, следует суммировать также по р. Если D—оператор, который действует на функции ир (х), то

Оператор будет эрмитов, если для произвольных функций uf и i>f имеем:

2 <z,v)p“pdx= ^ 2 uVDuVx- '(58)

РР

Изменение оператора во времени определяется требованием, что для двух произвольных решений фр(О> Ур(О волнового уравнения должно соблюдаться соотношение;

^ 2/р(О[Д(°) /№1р<К= ^ 2 ^(°И5(О /(0)1р</х.

р.Р

Тогда

№—4-HI

DV) = e» D^>e 6

и, таким образом,

^-=^-(HD-D#).(59)

Действительно, так как

। dti dt

где H—гамильтонов оператор, являющийся эрмитовым, и принимая во внимание (58), имеем:

4 $ 2 Wdx=-И 2 л’ <"°-DH^ ^dx- <59'> рр

При этом предполагается, что D не зависит явно от времени.

Напишем теперь оператор гамильтона уравнения Дирака для свободной частицы:

з

Н=с ( 2 ^Ри^-^сУ

к-1

причём а”, 3 коммутируют с рд и Хд и удовлетворяют соотношениям (I) и, кроме того, выполняется соотношение:

-Р.Лк-xPk = ^&uJ.160)

Далее, находим:■-

К = -^(.Нх„-х„ Н) = са„,(6h)

Рк ^-ЛНр —р. Ну- 0,(612)

^„А-^-аУНУ^-^ср.-^Н^^Ша.-ср^, (61,)

Р=4 (^ - ^>=Т’(т£* - ?">=2 № - mc*>-(6 u>

последнее соотношение имеет место вследствие того, что:

-Hah + ahH = 2cpfc, Щ+?Н=2тс*.(62) '

Особенно замечательно уравнение (611), которое показывает, что сад формально играют роль скоростей, и что последние не связаны так непосредственно с импульсами, как в классической механике. На это обстоятельство впервые указал Брейт1). Уравнения (61,) определяют согласно (59') изменение общего тока во времени.

Отсутствие связи между скоростью и импульсом как раз теснейшим образом связано с возможностью состояний отрицательной энергии. Чтобы в этом убедиться, введём прежде всего по Шредингеру общее разложение волнового пакета на отрицательные и положительные функции. Положительной называется составная часть пакета, образованная исключительно из С^'^

t

*(P+)=\c(+>(r)eft dp.(63)

Точно так же

) cP-)(p>eR dP-(63'>

При этом С<+) и Ср-) удовлетворяют соответственно уравнениям . (501) и (50а). Введём теперь оператор А, определённый следующим образом:.

Z_ iWHE—.(64)

*) G. Breit, Proc. Nat. Acad. Amer., 14,553, 1928; ibid, 17, 70, 1931.

Этот оператор определён в пространстве импульсов, и ясно, каким образом он действует на функции ?р(р). Л—эрмитов оператор, квадрат Л равен I:

(65)(65)Д*=1.

(65)

(65)

Таким образом, Л вместе с тем унитарно, далее Л коммутирует с рд и с оператором Гамильтона. Очевидно, Л переводит каждую из функций ^+^ саму в себя, каждую из функций ^“^ в ту же функций, но с отрицательным знаком:

(66)(66)(67)(67)д?(+)=?(+),д?( —yt ).

(66)

(66)

(67)

(67)

Таким образом;

AVp = V^+) —V(p-), если VP= Р^+) +Р^-)-

Теперь нетрудно определить Л так же и в координатном прост- ранстье. Оператор ри будет просто — -^—, остаетсяТеперь нетрудно определить Л так же и в координатном прост- ранстье. Оператор ри будет просто — -^—, остаетсялишь опре-лишь опре-делить операторделить оператор11Но для функции"к.Но для функции"к.

Теперь нетрудно определить Л так же и в координатном прост- ранстье. Оператор ри будет просто — -^—, остается

Теперь нетрудно определить Л так же и в координатном прост- ранстье. Оператор ри будет просто — -^—, остается

лишь опре-

лишь опре-

делить оператор

делить оператор

1

1

Но для функции

"к.

Но для функции

"к.

?р(х) = ей

этит оператор уже определён. Таким образом:

т- pxAf(p)ehт- pxAf(p)ehdp =dp =А, (р)А, (р)ТР1 dp.ТР1 dp.

т- px

Af(p)eh

т- px

Af(p)eh

dp =

dp =

А, (р)

А, (р)

ТР1 dp.

ТР1 dp.

Далее, так какДалее, так какAf{P) (2«ft)8/ то, введя функциюAf{P) (2«ft)8/ то, введя функциюФр (х') е ь dx'.Фр (х') е ь dx'.

Далее, так как

Далее, так как

Af{P) (2«ft)8/ то, введя функцию

Af{P) (2«ft)8/ то, введя функцию

Фр (х') е ь dx'.

Фр (х') е ь dx'.

e &pX== dp^PadPs =ke &pX== dp^PadPs =k

e &pX

== dp^PadPs =

k

e &pX

== dp^PadPs =

k

получаем:получаем: 2л ft 1(2«ft)’/» I г 2л ft 1(2«ft)’/» I гт- рг&— ет- рг&— е.+ТРГ.+ТРГтЧй + р1тЧй + р1-pdp,-pdp,

получаем:

получаем:

2л ft 1

(2«ft)’/» I г

2л ft 1

(2«ft)’/» I г

т- рг

&— е

т- рг

&— е

.+ТРГ

.+ТРГ

тЧй + р1

тЧй + р1

-pdp,

-pdp,

%(х) = \ Dkx-x'-^xW-

Мы не будем здесь исследовать более детально функцию D(x), которая имеет особенность в г = 0. Подчеркнём лишь, что А также и в координатном пространстве обладает свойством:

— 4+)-А/р_)=—|

’ 4+) = ^(1 + А)^ ^’^yd-A)^, J (66)

Заметим ещё, что

.1- . .Д=(68)

1/ m’c’ + ^P*тЧ^У^р»

Vкк

1

так как, умножив правую и левую части на — Н, получаем тождество.

С помощью оператора А мы можем разложить каждый оператор D на «чётную» и «нечётную» составные части. При этом «чётным» оператором называется такой, который каждую положитель- ну4о (или отрицательную) функцию преобразует снова в положительную (или отрицательную); «нечётным» — такой, который каждую положительную (или отрицательную) функцию преобразует в отрицательную (положительную). Так как все положительные функции ортогональны ко всем отрицательным, то математическое ожидание для «нечётных» операторов равно нулю во всех состояниях, которые представлены пакетом только с положительными или только с отрицательными энергиями:

APAy(+> = AZ)/+)= (£>/+>/+> — (»/+)/-),

APA/“>= —ЛР/~)= —(р/-))^).^^^)^-).

Следовательно,

^-(Р+ЛРА)= yA(AP + pA)=g(p)(69,)

— «чётная» часть, а

^-(П-ЛПЛ)= 1(РА-ЛП)Л = и(Р)(62)

— «нечётная» часть D, посредством унитарного преобразования

D-*XDX

D = ^Jru переводится в g —и.

Теперь легко найти «чётные» части аА и ?. Имеем:

g (ад) = с Н"грк, g (?) = тс» Н-Ч(70)

«Чётные» части ак и ? имеют снова классическую связь с импульсом и энергией, которая не выполнялась для первоначальных операторов ад и ?.

Далее находим, принимай во внимание соотношение:

ft ^Т дрк ’ft ^Т дрк ’

ft ^

Т дрк ’

ft ^

Т дрк ’

«нечётную» часть хк"..

uM — cH-^-p^lTV^cirhi^ .(71)

что совпадает с выражением, найденным Шредингером.

Волновое уравнение при наличии сил. В классической релятивистской механике точки мы получаем функцию Гамильтона для заряженной частицы, находящейся под действием внешнего электромагнитного поля посредством замены энергии Е через Е0 + еФ0, импульса рк — через р*+ уФА. При этом заряд частицы полагается равным—е, что удобно, если мы рассматриваем электрон, Фо—электрический скалярный, а ФА — магнитный векторный потенциалы внешнего поля. Соединяя (ФА, /Фо) в четырёхмерный вектор потенциала Ф^, а (Тк^т^-' в четырёхмерный вектор импульса и энергии р^, можно формулировать замену в инвариантной форме так, что p-t должно быть заменено через Pv + y®v> Дирак сохранил это положение также и в квантовой теории, допустив, что волновое уравнение (И) следующим образом обобщается для случая заряженной частицы, находящейся под действием внешних сил:

S^Ct^+t0^-'™^0,(П1)

или■

Sb(^+^»»)Hft-o. ' (ПГ)

Для функции ^^^ определённой выражением (8), тогда имеем:

S(£4W^-СШ.)

Определения (20), (9) и (12) для четырёхмерного вектора тока можно оставить неизменными, так как уравнение непрерывности

V=1

является и здесь следствием волнового уравнения. Также не изменяются, рассуждения о релятивистской инвариантности.

Чрезвычайно важным для теории является то обстоятельство, что лишь напряжённости поля:

дФ^ дФ^дх^

имеют непосредственный физический смысл, тогда как потенциалы определены с точностью до градиента произвольной функции /(х^ ..,, х4). Действительно, за

меняя Фц через

(73а)

мы оставляем FM неизменными. Подстановка (73а) в (III) показывает, что при переходе от Фи к Ф^ волновые функции фР преобразуются следующим образом:

фр= фре R= .(73b)

Действительно, тогда

Имея в виду подобное положение в прежней, развитой Вейлем теории гравитации и электричества, преобраг зевания (73а) и (73b) называют градиентным преобразованием («Eich-преобразованиями»), а инвариантность вол-

») К. London, Zs- /. Phys., 42, 375, 1927; Н. Weyl, ibii, 56, 330, 1929

§2] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА 265 нового уравнения относительно этих преобразований—градиентной инвариантностью («Eich-инвариантностью» *). Переходя от у* к аЛ и р, можно написать волновое уравнение (Ill) также следующим образом:

+3<S+£**0+iTW=°-<75>

к=1'

Таким образом оператор Гамильтона, определяемый уравнением

имеет следующий вид:

Н= -еФ0 + с [^ ift (рк+|Фк ) + тер ] . (76)

Введём далее вместо рк и Н операторы, инвариантные относительно градиентного преобразования:

тс =—+ -Ф = — — 1 —+ —ф)(77)

'.0 С С о I С dt^ С °’ (7

. К д . е

.^г7Го=т^+тф*- .

Тогда снова имеем:

4"

■2 Т^нФ ~ imc^ = О,(ПГ)

однако, тгц удовлетворяют перестановочным соотношениям:

7Гц7Г* — ТГ^ТСц = у у Гц^,(78)

в то время как pw коммутируют друг с другом.

Требования релятивистской инвариантности, градиентной инвариантности • и соответствия с классической механикой не определяют ещё однозначно выбора вира-

жения (III). Остаётся ещё возможность изменить выраже-* ние (I II), прибавив к нему дополнительный член

где F^ означают, как и прежде, напряжённости внешнего поля, а М — вещественную постоянную, размерности произведения заряда на длину. Можно, однако, показать, что, уже исходя из волнового уравнения первого порядка без такого дополнительного члена, мы получаем согласие с опытом. При этом автоматически подучается также спин электрона (или протона), включая абсолютную величину ^ его магнитного момента. Это следует считать важнейшим успехом теории Дирака. Действительно, перейдём с помощью тех же операций, которые в случае свободного электрона привели к уравнению (5), от (III) к волновому уравнению второго порядка. Действуя на (ПГ) оператором

слева, получаем:

22т'т«[(^+^»,)(Д+&»’-)-^]»-о.

Отделим здесь члены с n = v от членов cp.^v. Первые, в согласии с прежними релятивистскими теориями, дают

так как (л*У = I; члены с n^v дают

422т^{(^Чф0(^Чф’>-

- (®+К »’ ) (е + К Ч♦Ч 2 2 TV £ F,*

так как ТрЪ = — ТЧи Для p^v- Здесь напряжённости поля снова определяются выражением (72). Таким обра-

§ 2] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА 267 зом конечный результат следующий:

+ 4SS Y^^F^ = O,(79)

Кд или, введя операторы Pv=y^-:

2 (,Р + тФу)^42 Sr^Avt=O. (79') Vр. V

Из рассуждений следующего параграфа станет ясно, что в последнем характерном дополнительном члене действительно содержится энергия взаимодействия спина с внешним полем; в этом параграфе будет показано в общем виде, что нерелятивистская волновая механика спина, развитая в части I, § 13, является приближением релятивистской теории Дирака.

Трактовка процессов излучения по принципу соответствия может быть непосредственно перенесена на теорию Дирака. Только тогда в формулу (373) (часть I) для возмущающей энергии излучения следует вместо нерелятивистского выражения [часть 1, (77)] для тока подставить выражение:

^ = (-е)с(ф*«кф).

То обстоятельство, что в теории Дирака четырёхмерный вектор-потенциал совсем не входит в выражение для тока и только линейно в оператор Гамильтона, упрощает многие доказательства и выкладки по сравнению с нерелятивистской теорией. Важнейшими приложениями теории Дирака, приводящими к характерным для этой теории эмпирически . проверяемым следствиям, являются, во- первых, точные собственные значения электрона в куло- новом центральном поле, совпадающие с выведенными ранее Зомерфельдом в его теории релятивистской тонкой структуры1), во-вторых, формула Клейна-Ни-

х) W. Gordon, Zs. L Phys., 48, 11, 1928; C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A),118, 654, 1928. См. главу 3 Handb- d. Phys, Bd. XXIV, 1933.

шины*) для интенсивности рассеяния коротковолнового излучения свободным электроном.

Наряду с законом сохранения заряда имеется ешё закон энер-' гии-импульса. Правда, он утверждает не просто сохранение энергии и импульса одного лишь поля материи. Это имеет место только в случае отсутствия сил. При наличии же электромагнитного поля импульс и энергия будут передаватося системе. В общем случае существует, однако, тензор энергии-импульса Г^, который удовлетворяет соотношению:

.2^-= З^А=<-<>2^(/^<>

7=17 v"V

Действительно, посредством элементарного вычисления легко вывести это соотношение из волнового уравнения, если положить а):

Второй член прибавлен сюда, чтобы придать компонентам Т^^ должную вещественность. При этом ещё не были использованы перестановочные соотношения для дираковских матриц. Однако, их можно использовать, чтобы симметризовать тензор энергии- импульса. Чтобы это показать, умножим сначала волновое уравнение (III) слева на у11 т\ а волновое уравнение (IU+) справа на ти т\ и сложим. При этом получаем:

4

2 V+ iW [(^+ 7ФР) t] +

р=*. ,

+ [ (^р- 7 фр) *+1 Vt11 т’,Ф=о.-

О. Klein u. Y. Nishina, Zs. f. Phys., 52 , 853, 1929; Y. Nishina, Ibid, 52. 869, 1929; также J, Waller, ibid, 58,

Для нас интересен только случай р^т, который мы в дальнейшем и рассматриваем. Отделим члены с р = р и p = v, с одной стороны, и члены ср^р, p=#v, с другой, причём последние будем отмечать Штрихом при знаке суммы. Учитывая перестановочные соотношения (I*) для матриц у и, получаем:

—| (Т^-Т^) = ^' Ф+ Y*1 w Тр [ (р + у»

Р=#Н

+ [(рр-7фр) г] yW

или

1(Т^-Т^) = ^ S'^G+y^Y^yM-(77)

Отсюда, однако, следует, что вследствие антисимметрии х* Х? относительно р и v при p#=v дивергенция Т^— Туц обращается в нуль: '4

Sor/7^-74^0-(7?,)

'V—1

Образуем антисимметрический тензор:

6^ = 0W = 1 (Ти7+Т7и) = ТИт - ^ У'^^ yW) (78)

(для p = v последний член опускается). Этот тензор удовлетворяет также соотношениям вида (75)'

44..

5^г = 5 ^=(-0 2 v=l v V

Нако частном применении соотношений (75) и (75') упомянем о законе сохранения импульса и законе сохранения момента импульса. Производя преобразования с помощью интегрирования по частям и учитывая (18), получаем для к = 1, 2, 3:

Jk= ^T1Adv = ^е^у=.

= Т 5 (^V”^)^^ ^ G*^.?)'!!'(79)

И■

(80)(80)Jk^-^^F^dV.

(80)

(80)

Согласно (59), это эквивалентно следующему операторному соотношению, которое можно вывести непосредственно из (76):

+ Г(^-^) =(-<)fЕл + 2F^) •(80')

■1-1

Далее из (75') следует закон сохранения момента импульса: Если

Р1к= -Ркг=^ ^ (X^-X^dV 11,к = \,2, 3)(81)

И■

^И-ф^-хАЦ '<82)

или, в операторном виде з■

d«A = (-f) [xiEA-xAEi+2 (х^и-ХкР^вг j ,(82')

то имеем.

Pth=^dihdV.(83)

При выводе последнего соотношения из (75') существенно использовать симметрию тензора О;к.'

Подставляя (76) и (78) в (81), можно преобразовать выражения для компонентов момента импульса. Выполнив эту подстановку, получаем:

‘ Pik = 7 ^ /+) 7* (х^к — x^i) ф dV+ ^ ^ (у^^у) dV,или, согласно (18):’

Ргк= ^ f [(X^-X^j) + у (-y»V) ] WV. (84)

Соотношение (83) также может быть написано в операторной форме:■

Ргк=х^х^ + ^1а«а\ ^Рц^Дц» (85) что легко вывести непосредственно путём перестановки стоящего слева оператора с Н.

Наличие добавочного члена ^ aV в операторе момента импульса тесно связано с позедением фр относительно бесконечно малого вращения, за которое, согласно (32), как раз ответственен оператор /7*7* = faV. По аналогии с нерелятивистской теорией можно интерпретировать первую часть оператора

§ з] НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ВОЛЙОВАЙ МЁХАНЙКА 271 момента импульса х,^ — х^, как «орбитальный момент», вторую часть у /а'а*—как «спиновый момент». Однако, следует всегда помнить, что в релятивистской теории это разделение момента импульса на две части не соответствует непосредственно наблюдаемым физическим явлениям. В электрическом поле с центральной симметрией момент dtk, очевидно, исчезает и момент импульса остаётся постоянным во времени.

§ 3. Нерелятивистская волновая механика спина как первое приближение.

Чтобы совершить переход к нерелятивистской теории спина в первом приближении для медленно движущихся частиц, целесообразно выбрать для матриц ак и р форму (15); здесь р приведено к диагональной форме. Тогда оказывается, что еели скорости частиц малы по сравнению со скоростью света, то две из компонент становятся малыми по сравнению с двумя другими. Чтобы это показать, введём вместо одной четырёхкомпонентной величины (ф„ ф,, ф,, ф4) две двухкомпонентные величины (ф1ф2) и (Х^,); причём, как обычно, в нере- лятивистской волновой механике (см. часть I, стр. 40

—^-mc2t

и § 4) следует отделить множитель е »

i<\

- —mc2fI

Ф1 = ?1С А.Ф» = ф^ А ((86)

Ф» = Х1« А,ф4 = Х«е К■ J

Тогда имеем из (75) и (76):

з

т и -^.т+2 "» (41+7 М - °'№

1

3

-2тс’^ ^ -еФбХ + 2 сак 0 g. +^ФлТ) =0,

(87.) где ак—снова двурядные матрицы, определённые выражениями (14). Здесь существенно, что при величинах у член, происходящий от дифференцирования по времени показательного множителя, сокращается с «членом массы»,

умноженным на ₽; однако, при величинах у эти члены складываются. Это обусловливает возможность разложения по обратным степеням скорости света \]с. Если величины <р рассматривать как величины нулевого .порядка, то величины % будут первого порядка. Введём, как и (77), операторы:

Тогда мы получим вплоть до величин первого порядка:

Х = й2™-<881>

к

Следующее приближение даёт:

* =2 ™ + 4^, (у ^-^о ) 2(88^

кк

Вставив это выражение в (87J, получим, сохраняя все величины до порядка 1/с® включительно:

?м-^о?+к 3 2 тата+

+i 2 2 ^к ( ■ £ - еф«) та=о. к I

Разделяя члены с к = 1ик=Ми учитывая соотношение (78) и (14'), имеем далее:

О*»^) (тя~гФ.т)+252*$ +

. + {5б2("<-)+^4^(2[Вх?]А)-

-^ЬУ^Ь"0'(89)

Множитель, стоящий перед Л^ , соответствует поправке на изменение массы, далее имеем нерелятивистский член взаимодействия спина с внешним магнитным полем с

§ 3] нёреляТиВиСтсКая Волновая механика 273 eft.'

правильным значением — ^ магнитного спинового момента, затем член, соответствующий поправке Томаса во внешнем электрическим поле с правильным- множителем 1/2, и, наконец, своеобразный дополнительный член, впервые найденный Дарвином1). Можно, впрочем, получить это волновое уравнение непосредственно, подставив (88J в строгое волновое уравнение второго порядка (79).

Полученный результат содержит доказательство того, что если:-

(4^-<ф.)?«2тс’?’(9°)

то из волнового уравнения Дирака следует, как первое приближение, волновое уравнение нерелятивистской квантовой механики спина. Этого достаточно, например, когда речь идёт о сравнении собственных значений энергии в обеих теориях. Однако, существенно, что в этом приближении в обеих теориях совпадают также следствия относительно величины вероятности перехода при испускании света. Этот вопрос будет сводиться по принципу соответствия к сравнению выражений для вектора тока в обеих теориях.

Чтобы провести это сравнение, целесообразно преобразовать сначала вектор тока

■5н = ф+Тцф

по способу, предложенному впервые Гордоном2).

Подставим, согласно волновым уравнениям (HI), (HL), в выражение для 5И один раз

- Ь S rv (Pv + 4 ф* ) » вместо »

и другой раз ..

+S [ (л- 4 ф0 ф(+) ] rv вместо ^.

■ . х) С. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A), 118, 654, 1928. a) W. Gordon, Zs. f.Phys., 50, 630, 1927.

Общие принципы волновой механики18

и сложим. Отделяя члены с р. = v и р. =£ v, получаем: s^s^ + sW,• (91)

40)= 2^ { [ (^-т^)^] Ф-Ф^+т^»’ '(92.)

=(92J

где

М^ = —Mw = —ф(+)т^.(93)

Здесь М^ можетрассматриватьсякак антисимметричный

тензор поляризации и намагничения. Замечательно, что

2(М)

Таким образом, sW и sW сами по себе удовлетворяют уравнению непрерывности. Переходя к |\ получим следующие выражения для пространственных компонент плотности тока: ■

'<1>«)f]№} .(92»

■(1) = CS(1) = А у(921)

и.

Мы = —Mik = 4 ОТалар^для к Ф /и к, I = 1,2, 3,Lg3^ , Мк1 = 1-^‘^).j .

Если мы снова отделим временный множитель, - согласно (86), и возьмём матрицы ак и р в форме (15), то увидим, что Мк1 будет порядка 1/с”, а Мк1, пренебрегая членами порядка 1/с*, равно:'

Afii = —^,i = ('p,a3,P),-"(95)

Если пренебречь членами порядка \]с\ то i^ совпадает с выражением для тока не релятивистской теории. Дополнительный член

z<i> = rot (ч?*о<р)(96)

не может быть, согласно части 1 (364) и (370), причиной дипольного излучения, так как в результате интегрирования по объёму все его матричные элементы исчезают. Однако, он должен быть учтён при расчёте квадрупольного или мультипольного излучения.

Интересно сравнить выражение (81), (84) для момента импульса Ptk с выражением для магнитного момента:

Mtk = ^ ^ ^iik—«kid dV =

= $ *’ [^^-^Р+^Т М)] ^- (97) Вследствие наличия в последнем выражении матрицы р, обе ч^сти Mik и Ptk в общем случае не пропорциональны друг другу. Пропорциональность имеет место лишь для малых скоростей частицы, когда можно пренебречь величинами порядка v*[c*. В этом случае частное магнитного и механического моментов для первой части равно—е]2тс, для второй—е}тс в соответствии с требованиями опыта1).

Валлер4) сравнил, пользуясь принципом соответст-, вия, следствия, вытекающие из волнового уравнения Дирака для рассеяния света, со следствиями из волнового уравнения нерелятивистской теории. В первой (дираковской) теории оператор возмущения га мильтоновской з

функции имеет вид просто 2 с(а^л)> гДе $* вектор- к-1

потенциал внешнего поля излучения; в противоположность нерелятивистской теории в релятивистской функции возмущения отсутствуют члены, пропорциональ-

*) См. также С. О. Darwin, Proc. Royc.Soc. London, 120, 621, 1928; о величине магнитного момента водородоподобиых атомов О. Breit, Nature. 122, 649, 1928.

*) I. Waller, Zs. t Phys., 58, 57, 1929.

‘18*

Релятивистская ТеорийРелятивистская Теорий2%2%(ч. И

Релятивистская Теорий

Релятивистская Теорий

2%

2%

ныеФ*. Поскольку в нерелятивистской теории (как упоминалось в части I, § 15) в случае, когда рассеивается квант с энергией Av, большой по сравнению с ионизационным потенциалом системы и малой по сравнению с тс1, как раз эти квадратичные члены ФЕ функции возмущения дают главную часть рассеянного излучения, то можно с первого взгляда усомниться, совпадают ли здесь хотя бы приближённо результаты, полученные с помощью волнового уравнения Дирака с результатами нерелятивистской теории. Однако, оказывается, что те матричные элементы выражения 2 а^Ф^, которые соот- к

ветствуют переходам от состояний с положительной к состояниям с отрицательной энергией, дают в конечном счёте как раз те члены интенсивности рассеянного излучения, которые в нерелятивистской теории обязаны своим происхождением члену гамильтоновской функции, пропорциональному ФЕ-' Это особенно важно потому, что отсюда следует, что матричные элементы функции воз- мущения^ относящиеся к упомянутым переходам, не‘могут быть просто вычеркнуты. Эти матричные элементы оказываются особенно существенными для согласования результатов, получающихся при вычислении интенсивности рассеяния света низкой частоты (Av << me1) на свободных электронах, если вычисление проводится один раз с помощью волнового уравнения Дирака, другой раз с помощью классической теории (формула Томсона).

§ 4. Предельный переход к классической релятивистскоймеханике частицы.

Релятивистская квантовая теория должна в двух предельных случаях смыкаться с известными теориями: с одной стороны, с нерелятивистской, волновой механикой, с другой—с классической релятивистской механикой частицы. Можно грубо охарактеризовать эти предельные случаи тем, что в одном случае lime—>оо, в другом Итй—>0. Первый случай обсуждался в предыдущем параграфе, второй мы рассмотрим сейчас. Этот случай важен, например, при рассмотрении опытов по отклонению электронов со скоростями, сравнимыми со скоро-

стью света, во внешних электрических и магнитных полях; как известно, такие опыты использовались для определения зависимости массы частицы от скорости.

Классическая релятивистская механика частицы с зарядом (— е) и массой покоя т покоится на вытекающих из функции Гамильтона

/ з

Н (Рк. х^сД/ mV + 2 (Рк + у Фк)’ - еФ0<98)

канонических уравнениях движения:

• дН • дН

, Рк = ~•(99)

* dphдхкi '

Введём величины

тск= Рк + ^Фк-

Тогда уравнения движения можно зайисать так:

хк--«А = (-е)(ЕА+4(ххЯ]А),

-(100)

где Е и Н, как и прежде, — напряжённости поля, полученные из потенциалов Фо, ФА. Чтобы исследовать, вытекают ли эти уравнения в предельном случае из волнового уравнения, необходимо совершить предельный переход от волнового уравнения к геометрической оптике, аналогичный тому, который разбирался в части 1, § 12, в случае нерелятивистской волновой механики. По аналогии с соотношением (261) (часть I) положим и здесь:

^? = ate^(101)

и разложим аР по степеням й/й

Op —Oop + yOi?* • •(192)

При этом существенно и необходимо, чтобы , волновая функция (эйконал) S не зависела от индекса р, так как иначе входящий в волновое уравнение экспоненциалу-

ный множитель не сократился бы и потому разумное разложение по степеням й было бы невозможно. Далее, подставляя (101) в волновое уравнение (75), (76), получим

-.--7”+тф- --^+7ф-(I”)

(-..+S^+H0+t(4^+2-‘ к>0-

h=lh=l

(104)

Здесь индексы снова опущены, и под а (в противоположность S, ir0, "к) следует понимать одностолбцовую матрицу, как раньше 9. Подставляя разложение (102) для а, получаем далее последовательно, одно за другим, уравнения:

(-^o+2^a,i+'mcP)ao = O- (Ю5е) (-% +2^ + т^)й1= -(1^+2 а^^(1051) кk-iI

Чтобы однородная система уравнений (1О5о) имела решения, ir0, т.к должны удовлетворять условию:

3

-^3+2 ^4-^” = 0,(106)

которое, в силу (ЮЗ), идентично с уравнением в частных производных Гамильтона-Якоби в механике частицы. Уравнение (105,)даёт тогда *), что в областях, которые достижимы для частицы с точки зрения классической механики, т. е. где %, ^к вещественны, для

P=(«X)

имеет место уравнение непрерывности

з■

4=1

Так как"

дН СТк Орк ~ «о ’ и в силу (106), это означает, что частицы распространяются вдоль классических траекторий, определяемых уравнением (99). Это заключение вполне аналогично тому, что мы имели в нерелятивистской волновой механике, и здесь также условием малости щ по сравнению с а„ будет малость градиента длины волны материи по сравнению с 1.

Однако, для релятивистской волновой механики характерным обстоятельством является то, что получающиеся траектории есть траектории частицы без спина. Влияние спина на пространственно-временное поведение плотности и тока частицы проявляется лишь в амплитудах av содержащих также эффекты диффракции; в этом следующем приближении понятие траектории вообще уже теряет смысл. Это происходит потому, что магнитный спиновый момент пропорционален кванту действия, и проистекающие от спина эффекты описываются теорией Дирака автоматически, не требуя введения нового дополнительного члена. Это подтверждает тезис Бора1): Спиновый момент электрона, однозначно отделённый от орбитального момента, никогда не может быть определён посредством опытов, к которым применимо классическое понятие траектории частицы. Действительно, опыты, определяющие спиновый момент свободного электрона посредством отклонения в соответствующих внешних силовых полях (например посредством устройства, аналогичного опыту Штерна-Герлах с пучком молекул), приводят к следующему характерному положению: чтобы отклонение не смазывалось диффракционным эффектом, пучки должны

*) N. Bohr, Atomtheorie and Naturbeschreibung, Berlin, 1931. Вступительный обзор стр. 9; далее Earaday Lecture, Journ, Chern. Soc. 1932, стр. 349, особенно стр. 367 и 368.

быть достаточно больших размеров. Однако тогда действие силы Лоренца, происходящей от изменения напряжённости поля внутри пучка, делает невозможным наблюдение отклонения, вызванного только действующей на спин силой).

Тем не менее для доказательства наличия спина свободного электрона возможно использовать другие эксперименты, не связанные с классической механикой и с понятием траектории. Наиболее интересна возможность доказательства с помощью поляризации электронных волн. Аналогично известному опыту в классической волновой оптике при двукратном рассеянии электронного пучка на каком-либо атоме (или отражении от какого- либо зеркала) интенсивность третичного излучения будет зависеть не только от значений угла рассеяния (угла отражения), но также от угла Ф между плоскостью, проходящей Через первичный и вторичный лучи, и плоскостью, проходящей через вторичный и третичный лучи. Но в противоположность классической оптике, где интенсивность J третичного излучения зависит только от cos* Ф, в случае электронов эта интенсивность при фиксированном угле рассеяния линейна относительно cos Ф и может быть записана в следующей форме

;=;.(1+8со5Ф).

Для случая рассеяния электрона на неэкранированном ядре этот эффект был рассчитан Моттом8).

Другая разновидность поляризационных эффектов может быть получена с помощью применения уже направленных атомов1). Мы не будем подробнее вдаваться в этот вопрос, так как до сих пор не имеется ещё не возбуждающих сомнения экспериментов, которые можно было бы однозначным образом сравнивать с теорией.

§ 5. Переходы в состояния с отрицательной энергией. Граница применимости теории Дирака

Мы видели уже в случае свободного электрона, что волновое уравнение кроме собственных решений С положительной энергией имеет также собственные решения, принадлежащие отрицательным энергиям. При наличии силовых полей это обстоятельство может, как показал впервые Клейн1), привести к своеобразным парадоксам.

Рассматривая классическую теорию при наличии внешних сил, мы видим, что здесь дифференциальное уравнение в частных производных (106) Гамильтона-Якоби допускает оба решения:

% = + |/^’+'2^

А

И

% = -|/m1ci+2^. А

Последний случай соответствует отрицательной кинетической энергии частицы и следующей гамильтоновской функции:

Н= -с /т1с*+^рк + -с Ф*) —еФ0. (98') к .

Уравнение движения получаем из (100), просто изменив знак квадратного корня, так что при неизменных irt имеем:

хк =(100')

Таким образом, в этом случае ускорение направлено противоположно силе. Области, которые, согласно (98), (положительная кинетическая энергия) соответствуют определённому значению общей энергии (кинетическая

t) О. Klein, Zs. f. Phys., 53, 157, 1929-

плюс потенциальная) и области, которые, согласно (98'), (отрицательная кинетическая энергия) соответствуют тому же значению общей энергии, всегда разделены в. пространстве конечной промежуточной областью.

Перейдём теперь к волновой механике и рассмотрим частный случай одномерного электрического поля (Ф = О, Фо зависит только от ж) и зависящую только от ж волновую функцию (движение в направлении ж); пусть далее Фо непрерывно убывает с возрастанием ж. При заданной общей энергии Е следует различить три области:

ж<а, тс* < Е + еФ0 (ж),

а < х < Ь, — тс* < Е + еФв (я) < тс*,

Ь<х, Е + сФ0< —тс1.

Точка х = а соответствует точке поворота, проходящей в области 1, классической траектории частицы с положительной ■ кинетической энергией; лежащая правее точка х = Ь соответствует точке поворота, проходящей в области 3 траектории частицы с отрицательной кинетической энергией и тем же значением Е общей энергии. Область 2 с классической точки зрения недостижима для частицы, так как в этой области импульс ■

р (х) = |/ -^i^^- _ m,c,(i о?)

будет мнимым..

В волновой механике эта промежуточная область, однако, не полностью непроницаема. Коэффициент проницаемости D при весьма общих условиях даётся выражением

П = е-^,(Ю8)

где ъь

5 Ip^)I^=4 J/mV’-f^^px.oog)

аа.

IV есть разделённый на к интеграл действия1), распро-

§ 5] ПЕРЕХО ДЫ В СОСТОЯНИЯ С ОТРИЦАТ. ЭНЕРГИЕЙ 283 странённый по промежуточной области. При этом, во- первых, предположено, что W очень малое число, что практически всегда выполняется и, во-вторых, что потенциал Фо непрерывен. Первоначальное вычисление Клейна относилось к сингулярному случаю, когда Ф0(ж) разрывно в некоторой точке, так что область 2 стягивается в одну точку оси х. В этом случае, при котором легко провести непосредственное интегрирование волнового уравнения, соотношение (108) более не применимо. ' ;

Таким образом теория Дирака приводит к заключению, что частицы с положительной массой покоя могут с конечной вероятностью проходить через промежуточную область и превращаться в частицы с отрицательной массой покоя (при сохранении суммы кинетической и потенциальной энергий). Очевидно, этот вывод теории, противоречит опыту и возникает вопрос, как выйти из этого положения? Во-первых, во всяком случае верно, что при все* практически осуществимых напряжённостях поля вероятность «катастрофических» переходов ничтожно мала. Так как, однако, речь идёт о принципиальном вопросе, нужно тем не менее потребовать в правильной теории не только малости, но и точного исчезновения этих переходов. При напряжённостях поля, для которых интеграл (109) имеет значение порядка 1, не могли бы стабильно существовать создающие поле атомы. Поэтому интересно исследовать, не вводя понятия внешнего феноменологически заданного электрического поля, при каких взаимодействиях элементарных частиц друг с другом или элементарных частиц с излучением могут произойти, согласно теории, переходы от состояний с положительной энергией к состояниям с отрицательной энергией.

. Рассмотрим простейший случай, когда взаимодействуют только две частицы, именно: или соударение двух заряженных частиц, обладающих массой покоя, или рассеяние светового кванта на свободной частице, обладающей массой покоя. В этих случаях уже только из законов сохранения энергии и импульса следует, что переходы к состояниям с отрицательной энергией не могут происходить. Это можно показать следующим образом. Пуст^

(Е, Р), (Е',Р') —энергия и импульс одной частицы (E^PJ, (Е', Pj) —энергия и импульс другой частицы до и. после столкновения. Тогда имеем:

5-Ра = ^-Р" = т1с\ ^-р^^-р;1 = т\с\ С»С2С4 1 С4 11

е + е1=е, + е;, р + р^р'4-р;.

Отсюда получаем, возводя в квадрат два последних равенства:.

ф-срро^^-ср'р;),

или.

EEt У. с1№)> Е'ЕгГл £(№)>с1 V EEi у с1 ч е-е; )‘

Стоящие в скобках выражения всегда положительны, так как мы предположили, что по крайней мере одна из частиц — материальная частица —и для неё всегда соблюдается „ - < 1 и „, У < 1, в то время как для

I I . _ ,1^1■

с4 Р I

второй частицы - ^ 1 ■ < 1, если m > О (материальная частица), или ^^^ = 0, если т1 = 0 (световой квант). Таким образом Е'Е' должно иметь тот же знак, что и ЕЕ,, т. е., по предположению, —положительный. Далее, по закону сохранения энергии Е' и Е^ не могут быть оба отрицательны, если Е, Ел оба положительны. Отсюда следует положительный знак для Е' и Е' в отдельности1). . Этот вывод не имеет, однако, принципиального значения, так как при взаимодействии более чем двух частиц «катастрофический» переход к состоянию с отрицательной энергией уже не запрещается законами сохранения. При этом возможны следующие типы процессов:

Три заряженные частицы сталкиваются друг с другом, и одна (или больше) из них переходит без излучения в состояние с отрицательной энергией. Можно также предположить, что две частицы, например электрон и протон, первоначально находятся в связанном состоянии (Н-атом), и допустить, что с ними сталкивается в дальнейшем быстрый электрон. Для таких процессов ещё не произведены количественные расчёты, однако, нет сомнения, что, согласно теории Дирака, эти' переходы действительно должны происходить.

Две частицы, обладающие массой покоя при своём взаимодействии (например, Н-атом), спонтанно излучают световой квант, и система из двух частиц остаётся в состоянии с отрицательной энергией. Кроме спонтанной, здесь также может произойти индуцированная эмиссия света, которая наступает, если в начальном состоянии уже имеется световой квант с той же частотой, что и излучаемый "). Согласно оценке Оппенгеймера), длительность жизни Н-атома в основном состоянии равна по теории лишь 10"10 сек.

Рассеяние светового кванта на двух взаимодействующих частицах с конечной массой (например, Н-атом) с переходом системы в состояние с отрицательной энергией.

Спонтанная эмиссия свободным электроном двух световых квантов, причём электрон переходит в состояние с отрицательной массой покоя"). Для расчёта последнего процесса используются высшие приближения тео-

йвб Релятивистская теория [ч. 11 рии излучения подобно тому, как при выводе формулы Клейна-Нишины, в то время как для упомянутых ранее процессов это не требуется.

Попытка снасти теорию в её теперешней форме кажется в свете этих следствий уже с самого начала безнадежной; с другой стороны, трудно предсказать, с какой количественной точностью .результаты теперешней теории будут приближённо справедливы в будущей, правильной теории. Предлагаемые до сих пор попытки модифицировать теорию едва ли могут рассматриваться, как удовлетворительные. Сам Дирак ) предпринял такую попытку. Он предположил, что в пустом пространстве все состояния с отрицательной энергией заполнены, каждое—одним электроном. Вследствие принципа Паули такое состояние стабильно. Далее вводится дополнительное предположение, что бесконечный заряд этих электронов не создаёт поля, но поле создаётся только отклонением заполнения состояний от нормального заполнения. В этом случае незаполненные состояния с отрицательной энергией ведут себя как по отношению к создаваемому ими полю, так и по отношению к своему поведению во внешнем поле подобно частицам с зарядом + е и положительной массой. Однако, эти «дырки» нельзя отождествить с протонами, так Как, во-первых, масса частиц должна точно равняться массе электронов и,: во-вторых, по этой теории должна была бы очень часто происходить аннигиляция электрона и протона (например, атома водорода), сопровождаемая излучением. Поэтому недавно Дирак предложил уже обсуждавшийся ранее Оппенгеймером выход—отожествить «дырки» сантиэлектронами, частицами заряда 4-е с массой электрона. Аналогично этому кроме протонов должны существовать антипротоны. Фактическое отсутствие таких частиц пытаются объяснить особым начальным состоянием, при котором имеются как раз частицы лишь одного сорта. Этот выход является уже потому неудовлетворительным, что законы природы в этой Теории совершенно симметричны относительно электронов и антиэлектронов. Но тогда фо-

§'&] ПЕРЕХОДЫ В СОСТОЯНИЯ С ОТРИЦАТ. ЭНЕРГИЕЙ 287 тоны у-излучения (чтобы удовлетворить законам сохранения энергии и импульса, их должно быть по крайней мере два) могут спонтанно превращаться в электрон и антиэлектрон. Мы не думаем, таким образом, чтобы намеченный путь мог быть серьёзно принят во внимание. ■ .

Другая модификация теории была предложена Шрр- дингером1). Он предложил так изменить разность —еФ0 +е2аФ* в операторе Гамильтона, чтобы сохранить лишь «чётную» часть оператора (см. § 2, с). Тогда, если начальное состояние волнового пакета при разложении на собственные функции свободной частицы содержит состояния только с положительной энергией, то это свойство будет всё время сохраняться. Таким образом, переходы в состояния с отрицательной энергией не смогут происходить. 'Гак как, однако, При этом видоизменении теории ■ теряется релятивистская инвариантность и «Eich-инвариантность», то Шредингер сам отказался от этого пути. Далее при такой модификации теории получилось бы противоречие с классической формулой Томсона для рассеяния света низкой частоты на сводных электронах.

Таким образом, оказывается, что существующая в теории трудность является действительно Глубокой, и её нельзя ни отбросить, ни преодолеть каким-либо простым способом. В этой связи мы возвращаемся к критике понятия вероятности положения электрона или импульса электрона в точно определённый момент времени. В части I, § 2 указано, что, как показали Ландау и Пайерлс1), непосредственное измерение координат электрона возможно лишь с точностью:

(111)(111)и для временного интервала

(111)

(111)

Ьх,С

а измерения импульса для временного интервала Д/ возможны лишь с точностью:

йсМ *йсМ *(Н2)(Н2)

й

сМ *

й

сМ *

(Н2)

(Н2)

A priori мыслима, конечно, непротиворечивая теория, которая использовала бы в качестве вспомогательных средств не непосредственно измеримые величины. Однако, как раз то обстоятельство, что в теории Дирака появляется трудность с состояниями отрицательной энергии, указывает, по нашему мнению, на то, что упомянутые ограничения в возможностях измерения найдут более непосредственное выражение в аппарате. будущей теории и что с этой новой теорией будет свя- - зано существенное и глубокое изменение основных понятий и формального аппарата современной квантовой теории1). Ограничения в измерении координат и времени, формулированные в уравнениях (ПО) и (111), как раз таковы, что колебания «средней точки» и общего тока в случае свободной частицы (для волнового пакета, составленного из состояний положительной и отрицательной энергии), дающиеся уравнениями (54) и (57), являются ненаблюдаемыми. Будущая теория должна . будет так же, как особенно настойчиво подчёркивает ■ Бор1), установить связь между атомистической структурой электрического заряда и существованием-кванта действия и, кроме того, разрешить проблему устойчивости электрона и соотношения масс электрона и протона.

§ 6. Квантование свободного излучения.

а) Классическая теория. Как известно, собственные колебания кубической полости (Hohlraum) со сторонами, равными/, объёмом V = P и идеально отражающими стенками, обладают следующими свойствами: компоненты kt вектора распространения волны, абсолютная величина которого равна Ч-к/к, имеют собственные значения:

Л( = 2к^ , s„ sa, s, = 1, 2, 3, ... , где целые числа s,- могут принимать лишь положительные значения, так как мы имеем стоячие волны. Число собственных колебаний dN со значениями кь лежащими в интервале (кt, k^dk^, равно:

dN — V • 2 • 8-^idk.dk^dk.,

причём первый множитель, 2, учитывает два направления поляризации волны, в то время как второй множитель, 8, получается потому, что в случае стоячих волн следует принимать во внимание лишь положительный октант в /с-пространстве.

Для дальнейшего, однако, удобнее иметь дело с бегущими волнами. Мы получаем то же общее число собственных колебаний в определённом интервале частот, если наложим на поле следующее требование: поле периодично относительно каждой из трёх пространственных координат с периодом I . Собственные значения кч тогда равны:

/С,.= 2к^, s, = 0, ±1, ±2, .. . (ИЗ)

Эти собственные значения могут быть теперь положительны и отрицательны. Число собственных колебаний между kt, kj-Vdkt будет.

dN=V .2 -^dMMk,,(114)

причём, однако, теперь уже используется всё /с-простран- ство, а не только положительный октант. Электриче- ская и магнитная напряжённости Е(к, х) иН(к, х) Общие принципы волновой механики19

волны, распространяющейся в направлении к, могут быть удобно записаны, если ввести только один комплексный вектор напряжённости поля F(k)

E(k, х) = F(к) е^”) + F'(k) е~{^,(115)

Н(к,х) = [^у, F(k,x)^ .(116)

. При этом выполняется условие трансверсальности

(кЁ(к,хУ) = (кНЦс,х)) = О.(117)

Таким образом также:

(kF) = 0,(kF') = 0.(118)

Между F(k), F( — k) и их комплексно сопряжёнными значениями не существует больше никаких соотношений.

Разложение Е (к, х) производится так, что зависимость F от времени даётся для всех значений к множителем е"м, зависимость же от времени F* даётся множителем e+iv,j

F(k, t) = F(k, 0)е-*, F‘(k, t) = F‘(k, 0)e+^, (119) где v—всегда положительное число:

v = c|A|.(120)

Следовательно, F и F* удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

^=-ic\k\F, d^=+ic\k\r.(119')

Заменяя к на —к в (115), (116), получим напряжённости поля волны, распространяющейся в противоположном направлении.

Кроме разложения напряжённости Е(к, х) на две части с временными множителями e~w или e+‘vt для каждого к бывает часто целесообразно разлагать общую напряжённость поля в пространственный ряд Фурье:

Е(к, x) + E( — k,x)’=E(k)ei^-\-E(—k)e~i^, 1

Ё^—к^ — Ё* (к),J <120а)

Н (к ,х)-ЁН(—к,х)=Н (к) е&^^н (—к) е~ ^ у

Н(-к) = Н*(к)./ (120Ь)

Тогда, как видно из сравнения с (115) и (116):

E(k) = F(k) + F4-k').1

г к1((121)

Н(к) =F(k)-F4-k)\ , J

откуда обратно следует:

F(A:) = l{E(/c)-, )

1 М V<122)

Соотношения (118), (119), (121) представляют собой полное выражение уравнений Максвелла. Если известны в определённый момент времени значения Е(к, х) и Е^ — к,х) отдельно, то этим уже определено Н^к.х); напротив, задание Е(к) и Е( — к) в момент времени не определяет ещё значения Н (к).

Энергия Е(к) волны, распространяющейся в направлении. к, равна [учитывая, что Нг(к, х) = Ее(к, х)у.

(123)(123)(124)(124)Е(к)=-^ [Е2 (к, х) + Н2 (к, х)] dV == 2(F (к1) F* (k^V..

(123)

(123)

(124)

(124)

7 Р(к) = ^ \Е(к, х), Н(к, x)]dV =

-ИЯ )в‘(‘’х)‘я, = «т*| W-tF-MV.

Можно далее разложить F (к) F* (к) и тем самым также Е и Н на два поляризованных собственных колебания.

Положим: р^ = ^ е(\, к) А (X, к) = Х=1, 2

(125) ■(125) ■= 2 7(к, к)В(кЛ)е~^, Х=1, 2

(125) ■

(125) ■

F4k)= 5 к) АЧк,к^ =

= ^e’Q^B’Q^eW.

Здесь, во-первых, согласно (119), для обоих значений к

(е (к, к) к) = 0, таким образом также (е*-к) = О, и во-вторых:"

(7(1,/сИ(2,/с))н7Ч1./с)7^^|

(7(1,/с)7*(1,/с)) = (е(2, /с)7*(2, к))=\. J

Это означает, что e^l.k), е(2,к) в общем случае комплексные единичные векторы, ортогональные друг по отношению к другу и относительно к.

Отсюда следует согласно (123), что энергия Е(к) аддитивно разлагается на:

Е(к) = 2[Д(1, А)А*(1, /с)+'А(2, к) А* (2, к^ V. (126') Если, в частности, три компоненты е—действительные числа [отвлекаясь от (возможного) общего фазового множителя], то мы имеем дело с линейно поляризованными собственными колебаниями.

Вместо того, чтобы рассматривать сумму напряжённостей поля, соответствующих различным собственным значениям кг переменной к, часто бывает также целесообразно перейти к пределу V —> со, причём тогда условие периодичности отпадает, и мы имеем дело с непрерывно меняющимися к, стало быть, с интегралом Фурье. В таком случае мы получим1):

Е(х)-—E^e^a^,

-1 г —<127>

■ Е (к) = —V \ Е (х) е - <W dx^.

.(2«) '* J '

То же самое имеет место для Н (х) и F(x), причём связь Е^к), Н(к), F(k) попрежнему задаётся (115), (116). Общая энергия и общий импульс волнового пакета даются выражениями:

Е = 1 (Е8 + Н1) dx® = 2 ^ F* (к) F (к) dk™,(128)

Р = ^ [Е, Щ dx^ = з ^ -щ F* (к) F (к) dk^.(129)

Для момента импульса D с компонентами Djj— — Dj, получаем посредством интегрирования по частям, принимая во внимание условие трансверсальности (119)1),

Dd-y^ [х[ЕЯ]Ых® =

8

(130)(130)-т $ та 2 (^ та^-^та *-)dk®* а = 1

(130)

(130)

*-AtTx№F-F-,F^№.

Мы увидим ниже, что это разделение момента импульса на две части в известном отношении аналогично разделению момента импульса электрона на орбитальный и спиновый моменты [см. (84)].

Ь) Квантование. Мы подходим теперь к вопросу, как производить квантование поля излучения. При этом исходят из аналогии между (поляризованным) собственным колебанием и гармоническим осциллятором. Из исследования теплового равновесия известно, что энергия такого собственного колебания с вектором распространения кг и индексом поляризации \ обладает дискретными собственными значениями:

E = N(k, X)H = N(k, W\kr\. (131) При этом здесь нашло уже своё выражение то обстоятельство, что различным собственным колебаниям должны быть приведены в соответствие независимые квантовые числа. Следует также отметить, что в противоположность материальному осциллятору здесь более последовательно не вводить на каждую степень свободы нулевую энергию Avr/2. Дело в том, что, с одной стороны, она привела бы, вследствие бесконечного числа степеней свободы, к бесконечно большой энергии на единицу объёма; с другой стороны, эта энергия была бы принципиально ненаблюдаема, так как она не может быть ни излучена, ни абсорбирована или рассеяна, ни заклю-

*) См. С. G, Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A), 136. 36, 1932.

чена внутри определённого объёма, и не создаёт, как это видно из опыта, гравитационного поля.

Подобно тому как прежде к собственным колебаниям вакуумного излучения (Hohlraumstrahliing) применялся метод квантования фазовых интегралов, теперь должен быть применён волновомеханический метод. Этот метод имеет то преимущество, что он применим также и к бегущим волнам. Очевидно, в согласии с (123)— (136), следует выразить, что энергия

Ех=2УДИх(126')

поляризованной (X = 1, 2) бегущей волны обладает собственными значениями Nhv. Положим

(132)(132)х" V 2V " ttx — V ’ °х’

(132)

(132)

У 2V * ^х—т 2V йх" Таким образом,

a^.k^a^^^N^.k^

соотно-(133)(134)нулевойсоотно-(133)(134)нулевойдолжны обладать собственными значениями 0, 1, 2, ... Это имеет место, если эрмитовски сопряжённые величины а* и а удовлетворяют перестановочным шениям:

соотно-

(133)

(134)

нулевой

соотно-

(133)

(134)

нулевой

а(Х, кг)а'^.', к^—a* (V,ks')a(\,kr) =

тогда как

а (X, lr) a VV,"k^ — aQV, к^ а ^Гкт^ = О и

а*(Х, кг) а*(Х’, ks) — a*(X’, ks)a*(X, кг) = 0

[см. часть I, (340а) и (340а')]. Мы избегаем

энергии осциллятора, устанавливая в (126') такую последовательность множителей, чтобы А* предшествовало А.

Симметричное выражение

2V • у (ЛМх + ЛхЛ*) = у • (а*ах—ахах)

имеет собственные значения материальных гармонических осцилляторов, (N + y^v. Действительно, эрмитовы величины

Р=|/^(а + ®*)' q = i )/^(а-ае), или

р=|/У(Л+Ле), q = LVVAA-A*Y'

удовлетворяющие перестановочным соотношениям:

pq—qp = -Иг,аналогичны импульсу и энергии осциллятора. Такжевыражение для энергии, увеличенное на нулевую энергию,E^ = V (А* А + АА *) = 4 ^ + ^ •

имеет такую же форму, как и энергия гармонического осциллятора с массой, равной 1 и частотой v. В дальнейшем, однако, удобнее оперировать прямо, с величинами а и а* или А и А* вместо р и q, Уравнения

а (X, кт) = — ic | к | а (X, kr)\ а (X, кг) = -\- к\к а* (X, кг) могут быть с помощью оператора Гамильтона

Н=^2¥Ае(\.кЛА(\,кг) = к, X

= ^Кс\кЛаЧХ,1сг)а(\,"кг) (135) kr X

написаны в обычной форме:

а0Лг^ = 1дН.а^.№

а - (X. kr) = i V», аЧХ. kT)V(136)

Величины а и а*, рассматриваемые как операторы, действуют следующим образом на волновую функцию <p(N(k, Лг)) — или просто <p(N), если мы имеем дело с одниц только собственным колебанием:

^^(N^-yN^^N— 1); a<p(N) = ]/N+1?(^+О (137)

или в матричной форме..

a(N, N— 1) = /jV, a4N-\,N) = V"N. (138)

Остальные матричные элементы обращаются в нуль.

Введя вспомогательные операторы Л* и А:

a‘ = )/JVAe, a = A|/N,(139)

удовлетворяющие условию Л‘Л = 1, получим

A<p(N) = <p(N+l), A’<p(N) = <p(N-l)(140)

[см. часть I, (342)—(345)].

Произведённое квантование поля излучения уже передаёт все корпускулярные свойства света. Например, собственное значение импульса бегущей волны, согласно (124) и (131), равно

P(k) = NKk,(131')

а его модуль, таким образом, равен liv/с. Таким образом, если приписать световому кванту или фотону импульс hk и энергию ^v, то квантовые числа ЛГ (X, к) могут быть истолкованы как числа фотонов с заданным импульсом и данной поляризацией. Флуктуации энергии и импульса излучения в некоторой части объёма также могут быть правильно дписаны с помощью формального аппарата квантованных волн, как уже упоминалось в части I, § 15. К этим фотонам, правда, неприменймо классическое понятие механической траектории, но квантованные волны по содержанию полностью эквивалентны частицам, описываемым методами волновой механики в конфигурационном пространстве и пространстве импульсов (часть I, § 15 и следующие).

Рассмотрим предварительно некоторые формальные свойства квантованных волн. Сначала вкратце выведем, как изменятся функции от числа световых квантов, если перейти от одного вида поляризации к другому. Это соответствует следующему пересчёту амплитуд А в (125):..

А'М= 2 с(Х,\')А(\'),-

Х' = 1,2

где с унитарно:

2^(Х, Х')с* (X",X') = 8U.;‘

таким образом,•

с(2, 1) = —с* (1,2), с (2, 2) = с* (1,1).

Этому соответствует переход от единичных векторов е(1), б (2) к новым единичным векторам е'(0> в'(2)

e'(k)^= 2c‘(k',k)e(k'),

X'

которые снова ортогональны друг к другу [уравнение (126)]. ,.

Пусть N'v N*—числа световых квантов, соответствующие векторам, е* (1), е’ (2) и ^'(^.^—соответствующая собственная функция, тогда, согласно общей теории преобразований [см. часть I, ур. (151)], переход от старых чисел световых квантов Nv N2 и соответствующих собственных функций к новым определяется соотношением:

?4NvN;i= 2 -p^.Nas^,^; N'vrQ,

.Nl,Na

причём, согласно части I, уравнения (157) и (164), для всех Nv N2, N'v N[ и X= 1, 2 должно иметь место:

2 $ W’ N2; N', N'8) A- (X) (N'v N'; N'v N'^ =

'= 2 c(x-^) 2 ^(х'ил^л^.мах

V = l,2j^^

xS(NvN4;N'vN;y.

Если подставить значения (137) для матричных элементов [постоянный множитель, на который отличаются А (К) и а(Х), выпадает], то мы получим рекуррентные

формулы:'

SCN^NVbQV'N^ '

=с(1,1)Кадн,ад+лн

-Vc(i)2)Vn1s(nvn1-iln'1-i,n;'),s^n.-.n^n^vn^,

= с (2, 1) VH^N-1, N2; N;, N'-1) 4

+ c(2, 2)^,8(Nv N8—l; N'v N;—l). .

Легко видеть, что S(NV N2; N'v Мо лишь тогда отлично от нуля, когда Ni + N2 = Ni + N' = N. Так как S должно быть унитарно, то, очевидно, имеем 5(0, 0, 0, 0)= 1. Для одного светового кванта сразу получаем из (141):

5(1,0; 1,0) = с(1, 1), 5(0, 1; 1,0) = с(1, 2),5(1,0; О, 1) = с(2, 1), 5(0, 1; 0, 1) = с(2, 2).

Таким образом,

?'(1,0) = ?(1,0)С(1,1) + ?(0,1)С(1,2), |?'(0, 1) = ?(1,0)с(2, 1) + ?(0, 1)с(2, 2). J

Это означает, что <р преобразуются, как А (к). В общем случае N световых квантов переход от (N+1) величин ^(NltN—N^ (N^O, ...,N) к (N+l) величинам <p' (N'VN—N',) (N' = 0, 1, ...,N) аналогичен переходу от (N+l) выражений |/" (^ ^ A^A^y^ к штрихованным выражениям ^Л Q ^ ^ А'^А'^у^1. Эти оба преобразования определяют неприводимое унитарное представление степени N+ 1 группы линейных унитарных преобразований двух комплексных переменных (см. часть I, § 13).

Мы перейдём далее к тому, чтобы установить перестановочные соотношения для компонент векторов E(k'), Н (к) и Р^к), сначала для определённого собственного значения к. Прежде всего из (132), (133), (134) для Р^к) следует, согласно (125), (126) и вытекающим

§ 6]

из (124) и условий трансверсальности соотношениям:

2,(126а)

Х = 1,2

ЧТО

^(к), FjOT^O, [П (к), Р, (А/)] = О,

[F,. W. П W1 = VFi (к), Р (/с)] = №1 («о ~^0 ■ (143)

Перейдём теперь к непрерывному спектру. В этом случае для оператора Гамильтона

Н= ^ Пс1к | 2 а‘(к. к)а(к, k)d№.(135')

■X—1,2

Для того чтобы сохранились соотношения (136), следует вместо (133) положить:

а(Х, к) а* (X', к')— а* (X', /с')а(Х, к) = Ь^Ъ (к — к’), где второй 8-множитель представляет собой введённую уже в ч. I (145) несобственную функцию, которая определяется следующим образом;

8 Г/с) dk® — ( °’ если ^ не содеРжит ТОЧКУ к —О, i— I 1, если V содержит точку к=О.

Соотношения (133) остаются справедливыми так же, как и первая строка соотношений (143), а вместо второй строки (143) имеем:

[F,(/c),F)(/c')] = [F,(/c'),F)(/c)] =

= -^(^-^)Цк-к'у. (143')

Обозначаемые прежде через N(k, к) квантовые числа переходят, правда, при предельном переходе к непрерывному спектру, в несобственные числа N(k, к) 8 (к — к'); однако можно говорить о собственных значениях выражений

a'^.k^a^.^dk^^N^.K,1) (X = 1, 2) (144а)

Ко

И

$ 2F*WF(k')d№ = NA,K0') + N(2, IQ. (144b) Ко

Эти собственные значения будут целыми числами. Они дают число световых квантов в обозначенном через Ко интервале <<&»-пространства, по которому проводится интегрирование в левой части формулы; (144а) даёт число квантов с определённой поляризацией, (144b) даёт число квантов с произвольной поляризацией. Для суммы двух интервалов Кг и К4, очевидно, имеем тождественно: N(k, IQ + Nfk, Ki^N^k, Кг + КА- Перестановочные соотношения для компонент Фурье электрической и магнитной напряжённостей поля Et и Н1к ——Нм (написание последних в виде антисимметричного тензора наиболее целесообразно) получаются, согласно (121), из соответствующих соотношений (143), (143') для ?',-:

VEAk\ Е,-(к'^ = 0, 1Н11(к\НкАк'')} = 0, (145,) [Ez (к), Hn (к')] = Йс8 (fc + Г') №—^1к5').- (145.)

Заметим, что здесь аргументом 8-функции является k-V к’, а не к—к', и что, таким образом, критической точкой будет к= — к’; далее мы видим, что множитель, содержащий абсолютное значение (/с), здесь отсутствует, в противоположность перестановочным соотношениям для F и F*. Левые части условий трансверсальности (117), (118) переместительны со всеми величинами, как и должно быть.

Это облегчает переход к перестановочным соотношениям для напряжённостей поля, записанных как функции координат:

Е ^^^гДе^^^, Н$=^Н(к) e^dk^, F^e^dkF),

Мы можем формально положить:

(что имеет место в обычном смысле, лишь, если проинтегрировать выражение, стоящее слева по конечному объёму х-пространства), следовательно:

С ke^dk^ = 1 — 8 (xY.

(2и)8 J 1/ dXi w

С помощью этих соотношений получаем перестановочные соотношения для напряжённостей поля1):

[£,. (ж), £-j(^')] =0, [ЯйСО.Я^СИЬО, (1460

[Ег (х), Нц (я')] = ^ (sr/ Д - 8„ Д ) 8 (х-х'). (146J

Чтобы формулировать соответствующие перестановочные соотношения для компонент F и F, следует сначала определить оператор (^—Д и обратный ему ^Д-^ • Это—линейные операторы, которые действуют на функцию следующим образом: ,

(147,)(1472)(147,)(1472)"—Де=^ = |/с[е^

(147,)

(1472)

(147,)

(1472)

ргкх — pikx

Легко видеть, что оба оператора эрмитовы. Двукратное применение оператора V—А Даёт оператор Лапласа

с отрицательным знаком, откуда становится понятным

принятое обозначение. Тем самым уже неявно опреде

на произвольнуюна произвольнуюлено, как действуют |/ —Д и -?=-

на произвольную

на произвольную

функцию /(х). Введём функции:

D1/8(x) = /-A8(x) = ^3$|k|^^(148,)

D_ 1 (х) = у _^ 5~ (2k)8 5 [Tj ^ ^^ ~ (2л)2 г2 ’48а^

из которых первая является несобственной функцией; существует лишь интеграл этой функции по конечному объёму в ^-пространстве. Тогда1)

V~M ^=^1G') DiI4 (х — х') dx'^,(1490

^=t^= /(x')D_i/, (x-x'^dx'^(149г)

и, согласно (143), (143')а), имеем:

[Г,- (х), F, (а/)] = 0, [Ft- (х), Fj (а/)] = 0,• (1500

(1500(151)(152)(1500(151)(152)[F;(x), FJ (х')] = [Fj (х), F(x'H = J,

(1500

(151)

(152)

(1500

(151)

(152)

Оператор Гамильтона, согласно (128), будет:

Н^ F (x)F(x)dx^, импульс, согласно (129):

Условия трансверсальности суть просто:

divF = divF* = O;(153)

они коммутируют с оператором Гамильтона. Далее имеем:

F* = 4 \Н, F] = - к /=д F, •F*=^YH,F*\ = kV-^K .(154)

х) См. L. Landau и R. Pei er Is, Zs. f. Phys., 62. 188, 1930.

2) Введение величин F и F* с целью избегнуть нулевой энергии встречается у L. Rosenfe Id и J. S о 1 о m о и, Journ. de phys. (7), 2, 139, 1931, а также J. Solomon., Thise de doctoral, Paris. 1931. Данные там соотношения коммутативности между F и F* однако неверны, так как они несовместны с условиями: divF=0 и div F*=0.

Наличие операторов /—Ди ^.1— в перестановочных соотношениях мало удовлетворительно, так как эти операторы не носят характера бесконечно малых операций, т. е. их значение в данной точке зависит от всего пространственного поведения функции, а не только от поведения функции вблизи рассматриваемой точки. Это приводит далее к тому, что преобразование по формулам Лоренца величин F(x) и F*(X), связанных с Е и Н, согласно (121), (122), соотношениями:

E(x) = F(x)+F*(x),

Я(х) = -7Ц1го1(Р(х)-Р*(х)),(121')

■у —А I

.Г(х)=1(£(х) + ^го1я);

А (х) = 1(£(х)-^го1я) ,(122')

носит совершенно не наглядный характер.

Введение образованных несколько искусственно величин F и р* служит только для того, чтобы избежать нулевой энергии. Вследствие того что

4 (Р2 + Я2) d^ = ^ (РР+РР*) dx^, оператор Гамильтона по (151) будет::

Н=1 ^ { (P-FH^ + i [Е,р==го1я] } dx^. (155)

Второй член выражения в скобках нужен для того, чтобы компенсировать содержащуюся в первом члене бесконечно большую нулевую энергию; второй член содержит также оператор 1/К—△•’ '

Причина появления здесь формальных усложнений заключается в том, что средние значения (математическое ожидание) функций напряжённостей поля в определённой точке пространства, например квадратичных функций, даже в предельном случае больших квантовых чисел в общем случае не переходят в значения классических величин,.а во многих случаях становятся даже

бесконечно большими. Это происходит потому, что мы здесь имеем дело с системой, обладающей бесконечно большим числом степеней свободы (причём не существенно, берём ли мысчётное бесконечно большое число степеней свободы или континуальное множество степеней свободы). Например, бесконечное произведение собственных функций для компонент Фурье электрической напряжённости не сходится, даже если возбуждено лишь конечное Число собственных колебаний. Применение аппарата волновой механики кажется поэтому оправданным с точки зрения принципа соответствия, только поскольку можно ограничиться конечным числом степеней свободы. Например в ^-пространстве можно вовсе не рассматривать достаточно большие собственные значения к; или ц обычном пространстве, прежде чем перейти к предельному случаю больших квантовых чисел, можно произвести сначала усреднение напряжённостей по малым, но конечным объёмам (мы скоро увидим, что это всегда происходит само собой при реальных измерениях напряжённостей) или можно, используя как переменные числа фотонов N (к), что являемся наиболее естественным, ограничиться тем случаем, когда существует лишь конечное число световых квантов. Применения теории к случаям, когда ограничение конечным числом степеней свободы недостаточно, приводят действительно к противоречию с опытом (§8).

Границы точности для измерения напряжённостей поля1). Остаётся ещё исследовать, как точно могут быть вообще измерены напряжённости поля. Электрическая напряжённнсть определяется измерением импульса пробного тела заряда е за время 8f

еЕЫ ^Р — Р'.

Если Р перед измерением напряжённости известно точно и по истечении времени 8/ снова измерено с точностью ДР за время Д/, то

е>ЕМ>^Р. (156)

*) См. L. Landau u R. Peierls, Zs. f. Phys., 69, 56, 1931, особенно § 3 и 4; В. Гейзенберг, Физические основы квантовой теории, гл. 3, § 2.

Для измерения импульса произвольного тела мы имеем [часть I, (22), (23)] следующее соотношение:

ДР М>ДР М>hи —и'hи —и'(157)(157)

ДР М>

ДР М>

hи —и'

hи —и'

(157)

(157)

Сначала кажется, что, применяя тела с большим е, можно измерить напряжённость сколько угодно точно. Однако, Ландау и Пайерлс опровергли это утверждение последующим соображениям. Испытывая ускорение за время измерения импульса, заряженное тело излучит энергию1):

АР ^(у'-у)1

Это даёт добавочную неопределённость импульса:

ДР > -,^-и

и, следовательно,

(158)(158)дрд/>^.(У'_У)

(158)

(158)

В этом месте в аргументации Ландау и Пайерлса имеется, однако, существенный пробел, так как излученный импульс и излученная энергия могут быть точно измерены. Изменение энергии и импульса заряженного тела, возникающее вследствие излучения, не может поэтому без дополнительных рассуждений рассматриваться как неопределённое. Вследствие этого дальнейшие следствия являются ненадёжными, и вопрос о точности измерения поля следует пока считать невыясненным.

Из (157) и (158) следует посредством перемножения:

ДРД/>-г/; с г he ’ таким образом,

l4=l>W-<‘59>

t+At

‘ 1 t у* Д( (° "-—, если заданы АГ и начальная и конечная

t

скорости.•

20 Общие принципы волновой механики

Такое же неравенство соблюдается и для магнитной напряжённости:

С59')

Наиболее благоприятный случай , будет достигнут, если

.сз (v'-v^h..

Так как средняя частота излучённого света равна 1/Д1, то это означает, что среднее число излучённых световых квант будет по крайней мере порядка 1. Измерение напряжённости связано с конечным и неопределённым изменением числа световых квантов. «Нулевая» энергия тех волн, частота которых v меньше, чем 1/Д1, как раз соответствует квадрату напряжённости поля:

■р2 vy Av he

П с3 2 (с Д/) 1

Эта величина совпадает с правой частью (159). Таким образом, она не может быть измерена, если выполняется (159).. ■

Дальнейшие выкладки показывают, что при одновременном измерении Е и Н в пространственной области Д/ имеем:

■(160)

Это соотношение лишь приД/ <сД/ является более жёсткой оценкой, чем граница точности ЙсДсД!)1, которая получается перемножением величин (159) и (159'). Для волновых полей, т. е. на расстояниях от тел, создающих поля, больших, по сравнению с длиной волны, оценка (160) не даёт ничего нового. Из неё следует:

ДЕ||ДН|(Д/)3>^- для М<^-,(160')

что можно считать непосредственным выражением перестановочных соотношений (146). Статические поля, очевидно, можно измерять с произвольной точностью1).

То обстоятельство, что в классическом предельном случае напряжённости Е и Н (относительно своего поведения в пространстве и времени), а также и их фазы являются измеримыми величинами, приводит к следствию, что световые кванты должны иметь симметричные состояния (принадлежат статистике Бозе-Эйнштейна).

Иначе обстоит дело в случае материальных частиц. Здесь ф-функции являются величинами, не поддающимися измерению, и случаи симметричного и антисимметричного состояний нескольких одинаковых частиц будут равноценны с точки зрения принципа соответствия. Совокупность материальных частиц, имеющих симметричные состояния, как, например, ядра гелия, не аналогична совокупности световых квантов, пока не происходят процессы, при которых изменяется число частиц. Дело в том, что если последнее не имеет места, то для функции ф, [имеется в виду функция ф, q = число (оператор), в обычном трёхмерном пространстве (см. часть 1, § 14), а не функция ф в координатном пространстве] нет аналогии с силой Лоренца, её фаза не входит ни в оператор Гамильтона, ни в другие физические измеримые величины, функция ф неизмерима.

Переход к конфигурационному пространству для световых квантов’). Так же, как и в случае нескольких одинаковых материальных частиц (часть I, § 14) и в случае световых квантов возможен переход от Конфигурационного пространства к пространству числа частиц в элементе объёма координатного простран- беэ рассмотрения излучения: . .

ес (Д<)2 " е» (с Af)1 ’

что (так как -^^- ~ 137) является высшей границей, чем (159). Вопрос о точности измерения поля посредством электрона рассматривается ещё в работе П. Иордана и В. А. Фока (Zs. /. Phys., 66, 206, 1930). Они нашли несколько отличное соотношение: , '

VKc

Ч L. Landau u R. Peierls, Zs. h" Phys., 62, 188, 1930; см. также J. R. Oppenheimer, Phys. Rev., 38, 725, 1931.

ства импульсов обратно. Для случая, когда имеется одна частица, этот переход тривиален. Пусть ki, к2, ... —сначала дискретные значения к", тогда в пространстве N (Л, г) (Я = 1,2), ? < ^ (Л, Л) } отлично от нуля, лишь если N (Л, Лг) для определённой точки к„ к, равно 1 или 0. Это значит, что собственные значения N (Л, к^ равны

®хх«® (^г ^*) •

Подставим это собственное значение для определённых Л, и к, как аргумент в <р <N(k, к)} и образуем, согласно (125):

7 (*,) = Ч^ к,) ? < V <*г- к.) }•

Тогда вектор f, перпендикулярный kj, может рассматриваться как волновая функция светового кванта в пространстве импульсов. Аналогично этому обстоит дело и при наличии нескольких световых квантов. При N световых квантов собственные значения N (Л, кг) будут равны:

причём суммировать следует по lV-точкам s. Из них некоторые могут встречаться многократно. Пусть рг —число однократных, р2 — число двукратных, рЛ —число lV-кратных точек, так что:

Р1 + 2р2 •+ • • • + Npw= N.

Тогда следует образовать ещё комбинаторный множитель

(l!)Pi(2!)pi... (М!)РУ и положить:

вательность функции:

/о> Л (А), /2 (^ii А2) > • • • । /а (Ап А2Ад), ... ,(162)

относящихся к случая.", когда существует 0,1 N световых

квантов. Тогда F, (А) переводит функцию /д (Ап ..., Ад) в следующую:

^ to iN;.ч $N^ - Ад) = 7^.1Ч ^ (А^, ... , A^), A). (163)

Результат применения F* получается из того, что F* есть оператор, сопряжённый оператору F; далее результат применения операторов напряжённостей поля получаем на основании (121'). Мы увидим, что проведённый в (Ь) пересечёт волновой функции <p<W(A, к)> из одного вида поляризации в другой в конфигурационном пространстве, т. е. для /д, становится тривиальным.

Как пример, рассмотрим оператор вращательного импульса (130). Он удовлетворяет тем же перестановочным соотношениям,

что и оператор момента импульса материальных частиц (см. часть I, ур. 13). Это необходимо должно иметь место, потому

что перестановочные соотношения следуют единственно из группы вращения. Поэтому оператор (130) имеет те же собственные значения; каждая компонента D^j имеет собственное значение mh,

а квадрат D1 = 3 В1^ —собственные значения jU+^)- Ддя слуг

чая, когда имеется один световой квант, оператор, определяемый выражением (130), следующим образом действует на Л (А):

Для одного светового кванта из условия трансверсальности

S/to = °

следует, что собственное значение f = 0 неосуществимо. Действительно, для этого должно выполняться соотношение

для всех /, /, I. Положим l — j и просуммируем по /. Тогда имеем;

Это, однако, невыполнимо вследствие условия трансверсальности. Действительно, сначала имеем: ■

'2h = ki’21^'

умножая скалярно на к, затем получаем:

О,

21 дк,

I

следовательно, А = 0, т. е. все компоненты / должны обращаться в нуль, что и требовалось доказать. Обоснованное в части I, § 15, стр. 218 правило отбора, запрещающее переходы / = 0 —> / = 0 при эмиссии светового кванта, следует непосредственно отсюда и из закона сохранения момента количества движения.

Функции /^(х(1>, ..., xtIf>) в пространстве импульсов определяют соответствующие функции в пространстве координат: 7Их-,^^^ = ^/у^'1’, ..., к1-^') eiZc<l>z<1>+...+ilc<A>T(A)j^(3yv>i

Эти функции не имеют, однако, непосредственно отношения к плотности частиц. Например, при наличии одного светового- кванта /*(х)/(х) определяет плотность энергии, а не пространственную плотность фотонов. Последнюю можно попытаться определить выражениями:"

(7’7),(7’7),или

(7’7),

(7’7),

где

причём последнее выражение положительно дефинитно. Подобное определение было бы, однако, с физической точки зрения произвольно и не гарантировало бы (как следуе! из излагаемой ниже теории взаимодействия между материей и излучением), чтр квант не производит никакого действия в точке пространства, где так определённая плотность обращается в нуль. Обращение в нуль функции / или g в определённой точке пространства не имеет непосредственного физического смысла.

. Далее, благодаря сложному поведению F при преобразовании Лоренца оказывается, что для светового кванта не существует четырёхмерного вектора плотности тока, который удовлетворял бы уравнению непрерывности и имел положительно дефинитную плотность. Можно удовлетворить формально лишь одному из; обоих требований: либо векторному характеру плотности тока при лорен- цовских преобразованиях, либо положительному характеру плотности. Это находится в резкой противоположности с описанием материальных частиц в теории Дирака, где можно удовлетворить* обоим требованиям. Отсутствию плотности для световых квантов соответствует также то обстоятельство, что нельзя подобрать оператора в обычном смысле для координаты светового кванта (координата светового кванта не есть «наблюдаемая» в смысле определений теории преобразований; часть I, §§ 7 и 9).

Действительно, обсуждение измерительных возможностей для координаты светового кванта *) показывает, что эта координата не может быть определена точнее, чем■

.im>4>о®)

где Е— энергия кванта, причём для определения координаты требуется промежуток времени, не меньший чем

■(166)

Это совпадает, однако, как раз с областью применимости геометрической оптики, так как для светового кванта hc(E равно h(P или равно длине волны. [Для материальной частицы справедливы те же соотношения; часть I, уравнения (16), (17), но там, однако, hc!E может быть 'значительно меньше, чем длина материальной волны.] Только пока применимо классическое понятие «луча», координата светового кванта имеет физический смысл.

С этим не следует смешивать измерение средних значений по времени (за время, большое по сравнению с периодом света) величин Еаили Н4. Эти величины могут быть измерены, например, в случае стоячих волн, в области пространства, меньшей, чем длина волны.

Взаимодействие излучения и материи.

Теория квантования поля излучения лишь тогда полна» когда она описывает также взаимодействия с материей- Пусть имеются п материальных частиц; мы будем обозначать пространственные координаты и импульсы этих частиц (последние разделены на к) большими буквами X,Хп и Kv .... Кп. в противоположность соответствующим величинам х,, ..., xN, кг, ..., кн для световых квантов. Прежде чем выбрать оператор Гамильтона, мы хотим рассмотреть перестановочные соотношения для операторов й уравнения, которые описывают изменение этих операторов со временем. Чтобы иметь дело лишь с калибровочно-инвариантными операторами, целесообразно для каждой из п материальных частиц ввести операторы т,к (к.= 1, 2, 3), аналогичные введённым в (77):

"^ = р^ + ^Фк(Х^*+ f Ф* (№). (167)

. *) L. L, a n d a u и R.P e i e г 1 s, I, <;,

Здесь S — индекс, нумерующий частицы, который пробегает значения от 1 до п; в потенциалы вставлены координаты s-й частицы. Сначала мы, однако, совершенно не будем использовать это определение операторов к^ и будем рассматривать лишь их перестайовочные соотношения и их изменения со временем. Первые будут аналогичны (78):-

^iV^-^W^(168,)

;^M^-X^ = Wik^(1682)

последние же аналогичны (80'):

^ = (-е){ЕИй)+2^<1№)^} •(169)

При этом мы сверх того теперь же введём для каждой частицы операторы а^, ^\ которые коммутируют со всеми остальными операторами и согласно дираковской теории электрона подчиняются следующим соотношениям:

(170)(171)(170)(171)^№^W 2Мнк. ^ГЧ^'Ч^О, [1^Р-[£№р = 1,

(170)

(171)

(170)

(171)

Для напряжённости поля сохраняются перестановочные соотношения (145) и (146) электродинамики вакуума:

V^ (х), Ej (х')] = 0, VHa М, Ны (х')] = 0,)

VE.to.H^xA-^^MK-r^^Hx-x'Y j °46)

Далее устанавливаем, что напряжённости поля должны коммутировать с Ху и ау. '

Важнейшее требование заключается в том, что операторы напряжённостей поля должны удовлетворять

§ 7] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И МАТЕРИИ 313 уравнениям Максвелла при наличии зарядов:

l^+rot£ = O, div^=O,(172)

-►n

-у^+го1Я(х) = (-е) 2^Цх-Х<^, (173J $=i

div£ = (-e)25(x-№).(173,)

*=i

Появление 8-функции соответствует предположению о то- чечности заряда в классической теории. Позже мы обсудим предположение о замене 6-функции произвольной функцией О(х — Х^), что должно соответствовать конечному распределению заряда.

Соотношение (1732) весьма замечательно, так как оно не содержит производных по времени и должно выполняться таким образом уже в заданный момент времени; оно представляет собой дополнительное условие. Его производная по времени обращается тождественно в нуль в силу уравнений (173,) и (171), что необходимо должно иметь место, чтобы теория была непротиворечивой.

Нам пока ещё нехватает перестановочных соотношений для к^ и напряжённостей поля. Эти перестановочные соотношения так же, как и все другие, должны удовлетворять следующим условиям: во-первых, они должны быть совместны друг с другом, во-вторых, они должны сохраняться во времени в силу дифференциальных уравнений для операторов и, в-третьих, все операторы должны коммутировать с дополнительным условием (1732). Это выполняется, если положить1):

Й-5), Яд^-О, [K^,’E/(x)] = (-e)^8i/8(x-№). (174) Например, тогда будем иметь:

£<Д divE(x)]H-e)7^8(^

Ч В литературе эти соотношения выводятся из (167) и предположения: [$a(x), Ej (x')J = у 6 (х -х'),. которое мы не используем.

в согласии с (1732) и (1682); далее, производные по времени перестановочных соотношений (174), вследствие остальных соотношений, сами собой удовлетворяют требуемым условиям.

Затем находим оператор энергии

п 3

я = с 2 2 w^ + ™>) +1+ я« + До) dV (175)

s=l к=1

и оператор импульса:

л-2^8)+Н и^хяы-да^, (176)

*=1

коммутирующие с (173s).

Добавочные величины До, Д; в подинтегральных выражениях, которые не выписаны в явном виде, коммутируют со всеми операторами (с-числа) и служат для исключения нулевой энергии [см. (155)]. Для каждого из применяемых операторов

"^\ Х^Л^Л^'Е!^, HjkW

и даже вообще для каждой функции (которая не содержит явно координат хк и /) этих операторов, / имеем:

S^ + g-T.t'Wl' 1'78)

Можно исходить также из требования существования оператора Гамильтона и оператора импульса и вывести отсюда дифференциальные уравнения в соответствии с (177). Замечательно отсутствие скалярного потенциала в (175). В развиваемой здесь теории член ( — е) Ек в правой части (169) получается, однако, непосредственно из коммутирования ик с (£)’.

Мы приступим тепёрь к обсуждению вопроса о релятивистской инвариантности теории, Рассмотрим ортогональное преобра-

§7] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И МАТЕРИИ 315 зование координат

V=1

(x4 = icO; тогда мы можем рассматривать операторы в новой системе отсчёта, т. е. от

^s)(n. ^(O.^W.^W; Ei(x,/), HJh(x,t) перейти к

«'^Нп, х-рчп, 4зЧп, v^4vy. Е-дх'.гу н;к(х-,п.

В величины, относящиеся к материальным частицам, подставим

3

Ict^-a^ct+^a^xW (Г).

г=1

При этом напряжённости поля должны преобразовываться как антисимметричный тензор в четырёхмерном пространстве, а определяе- мые выражения (17) величины ри, именно (— ifah, £), как четырёх- мерный вектор, JQ^ вместе с let, и наконец, {тсд, / (JX^ + mcp)} образуют вместе один четырёхмерный вектор. Далее, Qp(1, ~~Н^ должны образовывать четырёхмерный вектор. Перестановочные соотношения также должны иметь в штрихованной системе ту же форму, что и в нештрихованной. Для проверки удобнее не фиксировать «мировую точку», а изменить её так, чтобы штрихованные координаты новой «мировой точки» имели те же значения, что нештрихованные координаты старой мировой точки. Это означает, что мы переходим от нештрихованных координат к

^s4t), Х^НО, «'^тЛ'^Ю; Е'^Г), H'jk(x,t), причём / и х, t есть значения штрихованных координат. Мы будем называть это преобразованием второго рода, в то время как ранее данное преобразование назовём преобразованием первого рода. Релятивистская инвариантность теории будет доказана, если существует унитарный оператор S, который производит преобразование второго рода для любой из написанных величин, а также и для любой функции f от этих величин:

f (f) = Sf (OS'1.(179)

Для доказательства достаточно показать, что это соотношение выполняется для бесконечного малого преобразования координат:

При этом учитываются лишь величины первого порядка относительно е^„ Вместо (179) имеем тогда:

S=/+^_A,(180)

Г(Х, 0=/(х, 0+4-[^/(х>01.081)

Оператор Д зависит линейно от е^:

I = 2^v>(182>

p.<v

причём А = — Д^ образуют, как мы увидим, компоненты антисимметричного тензора и остаются постоянными во времени, являясь таким образом интегралами уравнений поля. Бесконечно малое преобразование первого рода величин - / получают следующим образом из бесконечно малого преобразования второго рода. Функции напряжённостей поля /, взятой в определённой точке пространства, относим выражение:

2 {2 ^+th •

А=1 v-1

Величинам^1) и Х^^ относим следующие выражения:

зз .

*=1k-t

Теперь запишем А отдельно для пространственного вращения и преобразования Лоренца. Положим:

+ у x(ExW)]MdV, (183J

*А = 1

—^ х/ (^ +я« + До) d V.(1822)

Здесь Ру снова компонента импульса, данная выражением (176). В ^fk узнаём интеграл момента импульса и именно сумму

§ 7] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И МАТЕРИИ 317 момента (84), относящегося к материи, и момента (130), относящегося к излучению; далее, Д4у—дополняющие пространственно- временные компоненты, .образующие совместно с Ajk антисимметричный тензор. Как показывает вычисление, производные по времени Л^ равны нулю, так что они являются интегралами уравнений поля (уравнений движения). В членах -уД-а^а^ > — ajs), которые можно объединить в -уТ^Т^, Узнаём величины, существенные [согласно (134) ] для преобразования волновых —►—►

функций Дирака (здесь сами a^s\ Bfs^). этим завершается доказательство релятивистской инвариантности.теории.

Существуют общие систематические исследования относительно квантования каких-либо классических уравнений поля и возможности вывода и перестановочные соотношения из канонической схемы. Мы не будем их подробно касаться, так же как и вопроса о связи с рассмотренным в части 1, § 15 квантованием материальных волн, но укажем на относящуюся сюда литературу). Некоторые особенности появляются, когда функция Гамильтона обладает инвариантностью относительно группы, преобразования которой содержат произвольные функции. В случае квантовой электродинамики это —группа «Eich-преобразований» (преобразований калибровки). В данном здесь представлении мы, отказываясь от применения систематического метода для нахождения перестановочных соотношений, применяли лишь «Eich-инвариант- ные» величины. Если хотят сохранить потенциалы, то всего нагляднее метод Ферми. Согласно этому методу, связанная с излучением часть оператора Гамильтона выбирается в виде

Н^Ж*)1^)']-

к <

дФ* дФ0

уу и -^ играют роль импульсов, канонически сопряжённых с Фд и Фо; часть оператора Гамильтона, относящаяся к частицам,

*) Обзорные работы: L. Rosenfeld, Мёт. de i’lnst. Henri Poincari, 2, 24,1932; E. Fermi, Rev. oj. Mod. Physics, 4, 87, 1932. Оригинальные работы: G. Mie, Ann. d. Phys. (4), 85, 711, 1928; W. Heisenberg u. W. Pauli, I, Zs. j. Phys., 56, 1, 1929; II, ibid., 59, 168, 1929 u 63, 574, 1530 (Замечания к этому

дополняется членом —е^ФоСХ^). Тогда следует требовать вы- s

полнения дополнительного условия:

2^дхк с dt

и его производной по времени, которую можно написать в форме:

' div£=7= 2 $(х—-^’Э’

S

Оба условия, поскольку они выполняются, переместительны с оператором Гамильтона, т. е. они сохраняйтся во времени, если осуществляются в момент t = 0. Дополнительные условия существенно ограничивают «Eich-преобразования», однако, метод Ферми очень удобен для доказательства инвариантности теории относительно преобразований Лоренца. Окончательные результаты тождественны с результатами, получающимися из данного здесь или ' какого-либо другого непротиворечивого представления квантовой электродинамики..

Чтобы вывести в данной системе отсчёта следствия из основных уравнений теории, целесообразно разложить электрическую напряжённость поля Е на продольную и поперечнук* части:

E=^4^,r\(184)

Под этим понимается, что при пространственном разложении Е в ряд Фурье, т. е. переходе к ^-пространству, Ew (к) будет параллельно к, а Е^, напротив, перпендикулярно к. В координатном пространстве это равнозначно тому, что поле Е1 лишено вихрей, а поле Е№— источников:

.rot£f = 0, div£(,r) = 0(185)

■ для 2? сразу же следует из (173,):

^=-grad(-e)2-l-=-e2^’ (186)

SS 8•

где.

rs = |x-X(s)|

§ 7] Взаимодействие излучения и материй зю

означает расстояние точки наблюдения от положения s-й частицы1). Затем обычным образом получаем:

EwEwdV = 0,

1^»-у^-12 2г^.

S где

—расстояние частицы s от частицы s'. В этом выражении при s = s' мы получаем бесконечно большие члёны, что соответствует бесконечно большой электростатической собственной энергйи частиц (которая, очевидно, появляется уже в случае одной единственной частицы). Чтобы можно было использовать теорию для расчётов, нужно заменить выражение:

1 V2 j1 V2 j, 'ss1.rsss ss<sf, 'ss1.rsss ss<sf

1 V

2 j

1 V

2 j

, 'ss1.rss

s ss<sf

, 'ss1.rss

s ss<sf

выражением:

Тем самым мы нарушаем, однако, релятивистскую инвариантность теории.

С этим изменением оператор Гамильтона (175) примет следующий вид:

я’-^^З^+т^и

8-1 L к

+ 2^+4 V^^^dV-(187)

s<s

Здесь можно, как в электродинамике вакуума, выразить

Ew через числа световых квантов, но теперь эти

числа будут меняться с течением времени, в то время как в электродинамике вакуума они были постоянны.

Мы введём теперь функцию Шредингера:

^.р,РП(Х(1)X(n);N(X,*)),

которая зависит, с одной стороны, от индексов спина (пробегающих значения от 1 до 4) и координат материальных частиц, и с другой стороны, от чисел световых квантов в пространстве импульсов. Квадрат абсолютного значения этой функции означает соответствующую вероятность. В то время как действие на W операторов а ^, р (s), Хк\ N(X, к) ясно, ещё не определено однозначно, как действуют на У напряжённости Е, Н и ir^, действительно, в нашем определении ЧГ до сих пор ещё остается произвольном фаза ги в за_

висимости от того, как она будет выбрана, действие операторов Е, /7 и ir^s) на ЧГ будет давать различные результаты. Само по себе каждое определение разрешается или запрещается в зависимости от того, согласуется ли оно с перестановочными соотношениями. ■

Мы можем установить, что Е№ и Н действуют точно так же, как в электродинамике вакуума; тогда согласно (121), (125), (132):

Е(<r) = Е (к) e<k?dkw = (F (к) + Г* (— к)) е^IkW =

= $/—^ 2 [e(M)a(>.,k) +'

X = l,2-

+ ё* (X, - к) а* (X, -к)] ?^dkw, Н ^ ^ Н (к) е^ dk^ =

” $ ["Г’ ^W-F* <-k)^e^d№ =

= Vt 2 { [^(Х,Л)]«(Х, А) +

'X—1, 2

+ [Ге*^’-*)]0*^--^}^^-

Действие операторов а; а* дано выражениями (137)— (140).-

Мы получаем следующее, совместное. с перестановочными ' соотношениями определение действия операторов 7t($);.

7<» У (X, N №)- {4 ^+1 (1'2 ^ «*} ’-

= { 7+7 F=i№ |Х<,>) - й (Х<4) J}

или в ^-пространстве:'

^^ФДХ, ад =.'

= {7^+7l-oSi4l[№ro-

-Ж-*)] f^^^^jT; (188J таким образом к^ЦХ,ад =

=0Гё)(Х, k}dO„ кН

I' дх^ с ‘ ' 3 у 2 IM L

+ е;(х,—й)а*(х,-к)р^|^.(188,)

Подставив это в оператор Гамильтона, получим: -

-dl+^NW=oW4к™ +=S 2,(«^7SB+™#“’) +

■+2,—+"4Ф”°,089)

где

- 3 и

нгг^-Ц ^Z^^riS^^^ 2ЛгД.^а ^х.к)+к=1s=l1Д.8

+ е;(х,-/с)й*(Х,-^]^3},г- (160)

Общие принципы волновой механики21

Иногда бывает удобнее ввести вместо непрерывных значений к — дискретное.

Если бы в (189) не было члена Н^, то мы имели бы дело с материальными частицами, между которыми действуют электростатические силы, и с не зависящим от этих частиц полем излучения. Член//1ЧГ определяет, таким образом, связь частиц с полем излучения и имеет решающее значение при описании эмиссии, абсорбции и дисперсии света. Успех изложенной в части I волновой механики существенно основан на предположении, что связь с полем излучения может рассматриваться как бесконечно малое возмущение. В дальнейшем мы обсудим, насколько существующая теория соответствует этому требованию. Подчеркнём ещё, что уравнения (189) образуют по существу основу первоначальной теории Дирака взаимодействия между излучением и материейх).

Вместо того чтобы использовать переменные N (к) в качестве аргументов функции ЧГ, можно по Ландау и Пайерлсу2) ввести fc-пространство световых квантов. Тогда для каждого общего числа N наличных световых квантов мы будем иметь следующие функции:

Здесь спиновый индекс р, материальной частицы пробегает значения от 1 до 4, каждый из индексов / световых квантов —от 1 до 3. Результат применения onef атора Гамильтона к этим функциям даётся непосредственно формулой (163), если используется форма (188,) операторов ир\

Применения. Все применения теории взаимодействия излучения и материи, базирующейся на квантовании

*) Дирак, во-первых, оперировал при квантовании со стоячими волнами, а не бегущими, во-вторых, тогда ещё не существовала его теория электрона, и он поэтому вставил в оператор Гамильтона для каждой частицы член, соответствующий нерелятивистской волновой механике ^2,I7 вместо с2 t0^i + mcji). Это, конечно, приближённо справедливо для небольших скоростей частиц. Оппенгеймером (Phys. Rev., 35, 461, 1930) и Ферми (Lincei Rend., 12, 431, 1930) было показано, что уравнения (189), (190) следуют из квантовой электродинамики.

2) L. Landau u. R. Р е i е г 1 s, Zs. {. Phys., 62, 188, 1930.

§7] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И МАТЕРИИ 323 поля излучения, т. е. на понятии фотона, покоятся на том, что связь излучения и материи, т. е. член с Нг в (189), рассматривается как относительно малое возмущение. Формально эта теория возмущения соответствует разложению по степеням заряда е.

Что касается результатов теории для явлений эмиссии, абсорбции и дисперсии, то мы отсылаем читателя к гл. V Handb. d. Phys., т. XXIV, 1933. Важный успех этой теории заключается в возможности рассмотреть корректным образом затухание излучения (и, следовательно, также вопрос о ширине спектральной линии). ..

Мы хотим ещё вкратце показать, как предписания I и Н, появляющиеся при рассмотрении явлений излучения ио принципу соответствия (часть 1, § 15) и кажущиеся там произвольными, оказываются справедливыми сами собой, если пользоваться теорией фотонов. Что .касается испущенного или рассеянного излучения, то нет необходимости непосредственно употреблять оператор Гамильтона, но можно, по Гейзенбергу1), прямо интегрировать с помощью запаздывающих потенциалов уравнения Максвелла, рассматриваемые как операторные. При этом целесообразно в качестве переменных ввести невозмущённые стационарные состояния системы вместо координат электронов и разлагать функцию 'Г(Х1, ... , Хп, N (к, к), /) по собственным функциям щ (Х^ ... , Х„) этих состояний:

^(йх,„ Щк,X) 0 = 2 ЦХ^к,^ О щ (Л. ..., Ъ-

Вычисление испущенного или рассеянного излучения производится далее точно так же, как в случае вычисления по принципу соответствия, только операторы или матрицы, вообще говоря, действуют также и на световые кванты..

Что касается предписания 1, то оно следует непосред ственно из того, что среднее значение интенсивности

*) W. Heisenberg, Ann. d. Phys. (5), 9, 338, 1931. В противоположность Гейзенбергу мы здесь не применяем метод квантования материальных волн; взаимодействие между электронами атома может быть тогда произвольным.

излучения даётся выражением 2F*F, а не FF-V FF*. Разложение напряжённости на части, пропорциональные е+-ж и е~^', проведённое в части 1, §15 [часть I, уравнение. (361)], соответствует в точности, согласно (121), разложению напряжённости на части, содержащие или только F, или только F. (Эго верно, по крайней мере, в тех точках пространства, где плотности зарядов и токов обращаются в нуль, что соблюдается на больших расстояниях от атома.) Весь приём введения предписания^ сводится в теории фотонов к образованию среднего значения F*F.

Совершенно подобно этому получаем обоснование предписания Н, которое необходимо, чтобы учесть обратное действие излучения на атом. Мы нашли в части I [уравнения (378) и (379)] следующее выражение для возмущённых амплитуд состояния cj^:

Вместо f**) и £<-> можно также писать F* (А) и F(k)-, далее заметим, что с*^ являются операторами (или матрицами), которые действуют и на числа световых квантов. .

Следует вычислить J c»V(N’,t)2 или, вследствие того, что с*,Р (N't) = 2 ^Р kN', N) c^ (N, t), выражение 2 i 4P kN', N) 2, где N — число световых квантов в началь- ном состоянии. Положим:

11 так что

cW4N,N3 = U^4N',N)y.

Таким образом:

2 ; СО) kN', /V) ,2 = 2 с+ {N, N') ст (N-, N) = (с+ c„Kv ' А'Л"

Таким образом мы действительно построили математическое ожидание с+.ст, где cj; стоит слева от ст.

Далее, математическое ожидание 2F’F пропорционально I к | N (к), математическое ожидание 2FF пропорционально |^;^(к)+ !)• Множитель Ih'^lc^, данный в первой части, получается обычным образом из плотности собственных колебаний.

При введении в волновые функции чисел световых клантов, как независимых переменных, оба особых правила, вводимых при рассмотрении процессов излучения методом соответствия, сводятся, таким образом, к общим принципам волновой механики.

Из других проблем, которые легко можно рассмотреть с помощью теории, упомянем опыт Гейгера-Боте, обнаруживший в явлении Комптона связь между моментом времени появления рассеяния электрона и моментом времени появления рассеянного при этом процессе кванта. Из теории сразу следует, что эти моменты времени должны в пределах точности геометрической оптики и ширины определяющего начальное состояние волнового пакета находиться в определённых границах1).

§ 8. Собственная энергия электрона.Границы современной теории.

Уже при вычислении из квантовой электродинамики электростатической энергии частиц мы видели, что электростатическая собственная энергия одной частицы получается бесконечно большой. Далее, однако, оказывается, что даже после удаления этой бесконечно большой части Энергии результирующие уравнения (189), (190) всё ещё приводят к бесконечно большой магнитной собственной энергии.

Действительно, если произвести при наличии одной частицы разложение по заряду е частицы', мы .получим для стационарного состояния, согласно общим формулам теории возмущения [часть I, уравнение (230)), дополнительную энергию, пропорциональную е2:'

л С V m0:nl >

Em-F.a-hc\kV

Здесь //<>—оператор, определённый выраж£нием(190), индексы т, п относятся к начальному и промежуточному состояниям частицы, 0 и к?—числа световых квантов, в начальном и промежуточном состояниях-. Если исходить из начального состояния, при котором световые кванты отсутствуют, то от нуля будут отличны лишь матричные элементы, соответствующие таким переходам, когда в промежуточном состоянии имеется один световой квант. Раскрывая оператор HW, получим:

ДЕ - г2 2 ^ d^ 2| к I £Я-ЕП + he i к j x‘

з з

х 2 2 S “*« w “-•“'-Lx)ц’ <х')х

Ж 1,2 i \ i '.. '

X ^ит,(х') e*',,ej,eik^' dx^dx'<3>.

В случае отсутствия сил можно положитьц«(х)-а^Я

где р —индекс спина, и роль индекса и замещается К и спиновыми состояниями (два с положительной и два с отрицательной энергиями).

Если мы имеем дело со связанными частицами, то оказывается, что связанные состояния несущественны, поскольку мы интересуемся лишь вопросом, бесконечно ли ДЕ или нет. За это ответственны в случае отсутствия сил большие значения К, в общем случае — сильно возбуждённые квантовые состояния. В последнем случае, однако, в области, где и^ху заметно отлично от нуля, и„ (х) можно заменить собственной функцией свободной частицы, если для К подставить среднее волновое число п-го состояния в области начального состояния т. Таким образом, достаточно рассмотреть случай свободной частицы1).

Далее следует сначала просуммировать по к, затем по 4 возможным, при заданном К, состояниям материальной частицы и проинтегрировать по х', х и К- Вычисление даёт, как показали Валлер1) и Оппенгеймер), зависящее от к выражение, которое обращается в бесконечность для больших к. Именно, ^Е содержат два члена, которые после интегрирования по всем направлениям к принимают следующий вид:

ДЕ = А ( Кт II к I dk + А (Кт) ^ dk.

Для частицы, покоящейся в начальный момент, jx отлично от нуля, в то время как /8 для малых Кт пропорционально |Кт|’» т. е. квадрату скорости. Первый (положительный) член соответствует энергии спина, второй (отрицательный) член —возникающему вследствие трансляционного движения магнитному полю.

Прямой связи между трудностью с бесконечно большой собственной энергией и ранее обсуждавшейся трудностью с состояниями отрицательной энергии нет. Даже теории, допускающие лишь состояния положительной энергии (исключение промежуточных состояний с отрицательной энергией по Шредингеру или замена оператора Гамильтона 2ал + тсР оператором mc4 +

приводят к бесконечно большой собственной энергии.

Далее подчеркнём, что трудность с бесконечно большой собственной энергией появляется уже в том приближении (члены, пропорциональные е!), которое требуется для теории дисперсии. Эту трудность избегают в теории дисперсии лишь тем, что при обсуждении решения для функции Ч" ограничиваются членами, содержащими резонансный знаменатель для энергии и сильно нарастающими со временем.

Мы видели, что трудность собственной энергии проистекает, главным образом, из-за коротких волн

поля излучения, следовательно, из-за малых длин. Спрашивается, помогло ли бы такое изменение теории, которое соответствовало бы конечному протяжению электрона в классической электродинамике. Формально такое изменение теории возможно, но лишь ценой отказа от релятивистской инвариантности теории,.

Не меняя оператора Гамильтона (175) и выражения для импульса (176), можно ввести «форм-фактор» электрона D(x\ в перестановочные соотношения между ~Д' друг с другом и ^£ с электрической напряжённостью Е. Этот «форм-фактор» Г)(х) должен быть заметно отличен от нуля лишь для х порядка классического радиуса-электрона d = etlmct (а в остальном может быть 'произволен)’). ‘ Тогда перестановочные соотношения (168) и (174) должны быть заменены следующими:

[nW, т^Д = 8SS, ^ ^ D (х - X<s>) //„ (х) dx^, (168')

k<AE/(x)]H-e)4^(174')

Дополнительное условие (173е) будетзаменено следующим:

div£ = (—e^Dix—Х^У,

уравнения движения будут:•

^ = (-е) $ D <х-Х^ {^ (х) + 2 Hkl ^> } dx

и, наконец, уравнения Максвелла для тока:

- т ^+rot # (?) = (- о 2 D (х - ^д •

«=1

Собственная энергия будет конечна, потому что из-за

D-функции она приобретает множитель, который

*) См. М. Born u. G.Rumer, Zs. j. Phys., 69, 141, 1931.

§ 8] практически сводит на-нет подинтегральное выражение в^-пространстве для к 5> 1/d (фактор структуры электрона).

Так как, однако, при этом теряется, как. и в случае соответствующего приёма в классической теории, релятивистская инвариантность теории —в • штрихованной координатной системе D содержит явно время —такой приём вряд ли годится для решения трудности с собственной энергией. То обстоятельство, что собственная энергия становится по теории бесконечно большой, препятствует также последовательному релятивистскому рассмотрению проблемы многих тел1).

Замечательно, что формально совершенно аналогично случаю электрона получается также бесконечно большая собственная энергия создаваемого световым квантом гравитационного поля, когда последнее квантуется, хотя здесь в классической теории и не имеется точечной особенности2). Это связано с тем, что, как уже подчёркивалось в § 7, применение волновомеханического аппарата к системе с бесконечно большим числом степеней свободы является выходом за пределы допустимого по принципу соответствия. Мы можем усмотреть здесь указание на то, что не только понятие поля, но также и понятие «пространства — времени» для малых областей подлежит коренному изменению.

О необходимых изменениях понятия поля можно заметить ещё следующее: современная теория покоится на двух логически независимых основах. Это —волновая механика материальной частицы и волновая меха-

*) Приближённые рассмотрения этой проблемы имеются у Ерейта (О. Breit, Phys. Reu., 34, 553, 1929; 36, 383, 1930) (магнитное взаимодействие, но без запаздывания), Handb. d. Phys., т. XXIV, ч. I, 1933, гл. Ill; С. Moller, ZsJ-Phys., 70, 786, 1931 (соударения со слабым запаздывающим взаимодействием), далее, Ann. d. Phys., 14, 531, 1932; см. также Handb. d. Phys., т. XXIV, ч. I, 1933, гл. 3, § 50, гл. 5, § 6; см. также A. D. Fokker, Physica, 12, 145, 1932 и Zs. j. Phys., 58, 386, 1929, где рассматривается проблема двух тел с частично запаздывающим, частично опережающим потенциалами, при которых классически излучения нет.

2) L. Rosenfeld, Zs. j. Phys., 65, 589, 1930; J. Solomon, ibid., 71, 162, 1931. .

пика поля излучения (теория фотонов). (В классической теории им соответствуют механика точки и уравнения Максвелла.) С этим связано то, что эта теория не позволяет рассчитать атомную структуру электрического заряда, так как она согласуется с произвольно большими, а также с произвольно малыми электрическими элементарными зарядами. С этим связана также (неудачная) попытка всё собственное поле движущегося электрона превратить в фотоны, вместо того, чтобы представлять это поле как существующее с электроном, неделимое целое, что неразрывно связано с определённым значением безразмерного числа е2/^с- Здесь будущая полная релятивистская теория должна внести глубокое разъяснение основных положений.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адиабатические изменения параметров 139 и далее

Внезапное изменение параметров 143

Волновая функция системы частиц 57

—■ —■ — частиц со спинами 186

Волновое уравнение в произвольных криволинейных координатах 68

— — в сферических координатах 69

— — свободной частицы 28

частицы в магнитном поле 50

частицы в потенциальном поле 45

Волновой вектор 10

— пакет 9

— — в теории Дирака 255

Вторичное квантование 204

Градиентная инвариантность (eich-инвариантность) 53

Диагональные элементы матрицы 90

Дирака уравнение для электрона:

■, переход к неквантовой релятивистской механике 276

к не релятивистской теории 271

— — при наличии поля 263

— — — — , релятивистская инвариантность 243

Дирака уравнение для свободного электрона 235

Дифференциальное уравнение проблемы собственных значений и вариационный принцип 86

Дополнительные понятия 17

Измерения 1-го рода 123

— 2-го рода 124

Квантование свободного излучения 293

Координатные матрицы вектора 174—175

Кратность состояния' (вес) 79

' Линейный оператор 29, 63

Матрица плотности 118

Мет|0д возмущений:

для непрерывного спектра 128

для. нестационарных возмущений 134

для стационарных возмущений 133

Некомбинирующиеся серии термов 190

Одномерное движение 154

Оператор Гамильтона 58 для взаимодействующих частиц 60

для невзаимодействующих частиц 59

Оператор преобразования 91

Перестановочные соотношения 62

Переход к классической механике (криволинейные координаты) 152

Плотность и поток вероятности свободной частицы в пространстве импульсов 32

-— — — — свободной частицы в пространстве координат 32 — — в силовом поле 45

—- — — — в теории Дирака

248, 251

Представления неприводимые 168

— приводимые 167

Принцип Паули 193

—■ суперпозиции 8—9, 43 Проблема собственных значений 70

Проецирующий оператор 84

Производная среднего значения оператора по времени 64

Редукция 117, 167

Рессель-саундерсовская связь 195

Смесь 117

Собственные функции 79 Соотношение неопределённости 12, 39

Спектр энергии осциллятора 75 электрона в поле ядра 75.

Спин частицы 180'

— — возможность его измерения 279

Спонтанное излучение света 225

Среднее значение функций 33

Средняя протяжённость пакета 33

Статистика Бове-Эйнштейна 202•

— Ферми-Дирака 202

Статистически независимые частицы 56

Стационарные состояния 70

Тензор напряжений 46, 51, 61

— энергии-импульса 268

Унитарная матрица 93

Унитарный оператор 93

Уравнение Гамильтона-Якоби 149

— непрерывности для взаимодействующих частиц 61

Условие нормировки 80

— полноты 81

Формула де-Бройля 16

Характер зеркального отображения 180

Центрально-симметричное поле 76

Чистое состояние 116

Эрмитовость оператора 44, 57, 63.

Редактор В. А. Угаров. Техн, редактор И. А. Тумаркина. Подписанок печати 31JVII 1947 г. 20,75 печ. л. 18,28 уч.-изд. л. 35 600 тип. зн.в печ. л. Тиране 10 000 экз. А-06374. Цена книги 12 р. 50 к. Переплёт 2 р.Заказ № 1323.

16-я тип. треста «Политрафкнига» ОГИЗа при Совете Министров СССР,Москва, Трёхпрудный, 9.

3) W. Heisenberg, Z. S. f. Phys., 33, 879, 1925; M. В or n u. P. Jordan, ibid., 34, 858, 1925; M. Born, W. Heisenberg u. P. Jordan, ibid., 35, 557, 1926; P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc., London, 109, 642, 1925.

1926; 80, 437, 1926; 81, 109, 1926. Тоже в Abhandlungen der Wel

■ 6) W. Heisenberg, Z. S. f. Phys., 43, 172, 1927.

*) A. Somme r-f е 1 d, Wei lenmech. Ergawzungsband zu Atom- bau imd Spektrallinien Braunschweig 1£29, гл. II, § 9.

сходится для всех /(.

*) Р. Giittingeг, Zs. f. Phys.?73, 169, 1931.

*) Ср. учебники, цитированные в прим. 1, стр, 186. Обращаясь к истории вопроса, заметим следующее. Проблема многих одинаковых частиц в волновой механике была рассмотрена впервые Дираком (Р. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. London (A), 112, 661, 1926) (здесь ещё без спина) и Гейзенбергом (W. Heisenberg, Zs. /. Phys., 40, 501, 1926) (здесь впервые сделано важное

•) P. Jordan и О. Klein, Zs, /. Phys., 45, 751. 1927.

*) Это связано с тем, что благодаря уравнению непрерывности выражения (351) всегда удовлетворяют условию

которое в волновой зоне переходит в (355).

Ц*

*) Ср. О. Wentzel, Handb. d. Phys., 24/1, 1<ар. 5.

2) Это было указано Вейлем (Н. Weyl, Zs. t. Phys., 56,

330, 1929.)

*) N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. London (A), 124 , 425, 1929.

3) Cm. A. Land6, Naturwissensch., 17, 634, 1929; E. Fues

и H. Hellmann, Phys. Zs., 31, 465, 1930; N. F. Mott, Proc.

Roy. Soc. London (A), 125, 222, 1Q29; далее в прим. 2 цитир.

работ Сольвей-конгресса.

*) В случае спонтанной эмиссии одного светового кванта при . переходе электрона в состояние отрицательной энергии в формуле следовало бы положить Е1 = Р1 = 0. Отсюда следует обращение в нуль правой части последнего равенства. Это, однако, возможно лишь, если Е( = Р{ = 0, т. е. рассматриваемый переход •невозможен. Он требует эмиссии по крайней мере двух световых квант.'

*) Отсюда впрочем видно, что универсальная наименьшая длина наверное нр может существовать, как это также следует на основании релятивистской инвариантности.

*) Е. Schrodinger, Berl. Вег., 1931, S. 63.

*) L. Landau u. R. Pe 1 eг 1 s, Zs. /. Phys., 69, 56, 1931.

•) N. Bohr, Faraday Lecture, Journ. Chem. Soc., 1932, стр. 349.■■

Э Мы пишем dkw для краткости вместо dk1dk1dks и также

В. ПАУЛИ

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ

ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГОпод редакцией К. В. НИКОЛЬСКОГО

огиз ,ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО "ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1 9 4 7 ЛЕНИНГРАД4

ОГЛАВЛЕНИЕ.

От редакции . . 5

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ.

Часть I. Нерелятивистская теория 7

Принцип неопределённости и дополнительность . .7

Измерение положения и импульса . • 18

Волновая функция свободной частицы 26

Волновая функция в случае частицы, находящейся в силовом поле 42

Взаимодействие нескольких частиц. Операторное исчисление 54

Стационарные состояния как решения проблемы .собственных значений 70

Общие преобразованияоператоров и матриц . . . .87

Общая форма закона движения100

Определение стационарных состояний системы с помощью измерений. Общее исследование понятия измерения 109

Общий аппарат теории возмущений . 128

Адиабатические и внезапные возмущения системы. Наиболее общие статистические суждения квантовой механики139

Предельный переход к классической механике. Связь . со старой квантовой теорией147

Функция Гамильтона, допускающая группу преобра-

• зований. Момент количества движения и спин . . . . 165

Собственные функции многих одинаковых частиц. Перестановки. Принцип Паули •• 186

Рассмотрение процессов излучения с помощью принципа соответствия 208

Применение к свойствам когерентности излучения . 225

Часть П. Релятивистские теории . 233

Принципиальные замечания о современном состоянии релятивистской квантовой механики"233

2. Волновое уравнение Дирака для электрона . . . . 235

Нерелятивистская волновая механика спина как

первое приближение . 271

Предельный переход к классической релятивистской механике частицы276

Переходы в состояния с отрицательной энергией. Граница применимости теории Дирака.. . 281

Квантование свободного излучения289

Взаимодействие излучения и материи311

Собственная энергия электрона. Границы современной теории 325

Предметный указатель . . 331

ОТ РЕДАКЦИИ.

Предлагаемая книга содержит две работы известного физика-теоретика лауреата нобелевской премии Воль- ганга Паули. «Общие принципы волновой механики»— глава из 24-го тома второго издания «Handbuch der Phy- sik», изданного Гейгером и Шеелем в 1933 г. ■

Написанная в 1932 г., эта работа содержит в некоторых местах высказывания, не отвечающие современному состоянию вопроса. Тем не менее редакция не сочла возможным вносить существенные изменения или дополнения. .

В этой книге приняты следующие обозначения:векторы р, к, х (латинские буквы);операторы Н,р, a, 8, р, л;векторы-операторы Н, Е.

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ.