Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1. НЬЮТОНОВСКАЯ МЕХАНИКА
9
9
14
33
36
Законы Ньютона
Центральное поле сил
Системы, состоящие из многих частиц
Задачи
Глава
2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
38
§2.1. Связи
38
§ 2.2. Принцип Д’Аламбера
43
§ 2.3. Уравнения Лагранжа
50
§ 2.4. Циклические координаты
56
§ 2.5. Неголономные связи. Потенциал, зависящий
от скорости
60
§ 2.6. Законы сохранения
62
Задачи
66
Глаза
3. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
67
§3.1. Теория малых колебаний
67
§ 3.2. Двойной маятник
76
§ 3.3. Молекулярные колебания
80
§ 3.4. Нормальные колебания одномерного кристалла
■ 88
§ 3.5. Колебания около равновесного движения
93
Задачи
94
Г лава
4. ДИНАМИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
98
§4.1. Введение
98
§ 4.2. Уравнения Эйлера
105
§ 4.3. Вращающиеся системы отсчета. Силы Кориолиса
115
Задачи
118
Глава
5.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
123
§ 5.1. Уравнения Гамильтона
123
Канонические преобразования
Скобки Пуассона и Лагранжа; бесконечно малые
127
преобразования
§ 5.4. Вариационные принципы; время и эиеогия как
132
канонически сопряженные переменные
143
Задачи
150
Глава
6.
ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-Я КОВИ
153
§ 6.1. Уравнение Гамильтона — Якоби
153
§ 6.2. Переменные «действие—угол»
165
§ 6.3. Адиабатические инварианты
172
Задачи
180
Г лапа
7.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
182
§7.1. Ангармонический осциллятор
182
Каноническая теория возмущений
Эффекты Зеемана и Штарка для водородного
190
атома
199
Задачи
204
Гласа
8.
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
205
§ 8.1. Формализм Лагранжа и Гамильтона применительно к непрерывным величинам
205
§ 8.2. Звуковые волны; уравнения Максвелла
213
Задачи
219
220222220222Два математических дополнения Литература
220
222
220
222
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Ньютоновская механика существует уже около трехсот лет: знаменитая книга Ньютона «Математические начала натуральной философии», где были сформулированы законы Ньютона, вышла в свет в 1687 г. С этой даты можно начинать отсчет эпохи «современной» физики. Выход этой книги имел исключительное значение для физики, потому что без преувеличения можно сказать, что с этого момента механика составляла основное содержание физики. Отражением этого является то, что вплоть до середины XIX века всю физическую картину природы пытались построить на базе законов механики.
Прошедшие триста лет не затронули первые принципы механики, но и не обошли механику стороной. Появились новые методы и открылись новые области применения. Применение основных принципов механики к различным проблемам привело к созданию почти независимых наук. В качестве примера можно привести «небесную механику» с ясно выраженным астрономическим уклоном и «теоретическую механику», вполне приспособленную для инженерных целей. Справедливости ради стоит все же вспомнить, что именно Ньютон свел «небесную» и «земную» механику в единую науку.
Триста лет развития механики означали также триста лет преподавания этой науки. И здесь время не прошло зря. Сложились традиции преподавания, появились отличные учебники и добротные монографии.
Но к началу XX века и в особенности в двадцатые годы ньютоновская механика оказалась в совершенно новой ситуации, обусловленной быстрым и глубоким развитием физики. Во-первых, уже в самом начале нашего века были обнаружены границы применимости ньютоновской механики. Со стороны релятивистских скоростей она
должна была уступить место релятивистской механике. В области микромира она оказалась также бессильной, и ее место заняла квантовая механика. Поэтому все чаще и чаще для ньютоновской механики используют термин «классическая» механика, чтобы подчеркнуть существование квантовой механики (релятивистскую механику нередко также относят к «классической» механике).
Во-вторых, предыдущий XIX век широко раздвинул границы физики и углубил понимание физических явлений. Была создана теория электромагнитных явлений, включавшая в себя и теорию света (теория Максвелла); был найден теоретический подход к тепловым явлениям (термодинамика). Все эти проблемы уже вышли за рамки механики, и механика оказалась просто одним из разделов современной физики, правда, необыкновенно важным, открывающим путь к пониманию всей современной физики. Этим и определилось ее значение для современного физика. «Классическая механика» стала просто введением в физику, а при надлежащем уровне изложения — введением в теоретическую физику. Но классическая механика как введение в теоретическую физику, естественно, должна существенно отличаться от теоретической механики, необходимой инженерам. Теоретическая механика могла остаться по существу незатронутой в XX веке и фактически не претерпела заметных изменений. Классическая механика для физиков начала приобретать ясно очерченные контуры к тридцатым годам. Физикам был нужен особый курс ньютоновской механики, и такие курсы не заставили себя ждать: вспомним, например, книги Я. И. Френкеля и Л. Ландау и Л. Пятигорского.
Курс «механики для физиков» читается в университетах и пединститутах. Далеко не везде отказались от «теоретической» механики и перешли к «классической» механике, подразумевая под этим термином не просто изложение ньютоновской механики, а общую тенденцию курса как введения в теоретическую физику. Но переход к «классической» механике в этих учебных заведениях неизбежен; для физиков механика —все равно лишь первый раздел теоретической физики.
Учебник Д. тер Хаара представляет собой как раз курс классической механики. Он очень удачно перекрывает тот минимум сведений из механики, который необходим любому студенту-физику как в университете, так и в педагогическом вузе. Конечно, у наших студентов уже есть
книги по классической механике. Это видно из списка литературы, приложенного к этой книге. Но у книги тер Хаара есть свои особенности и достоинства. Прежде всего — это выбор материала. Достаточно заглянуть в оглавление, чтобы увидеть некоторые интересные вопросы, сравнительно мало освещенные в нашей учебной литературе. Разумный отбор материала предопределен тем, что автор — известный физик-теоретик, понимающий запросы физиков-теоретиков к механике. Книга, как это видно из предисловия автора, имеет свою историю и написана весьма квалифицированно. Но тем не менее, если в книге только «все правильно», то это далеко еще не учебник. Студенту очень важно, как учебник написан. Автор не только квалифицированный специалист, но и опытный лектор. Книга написана просто, ясно и кратко. Конечно, как и всякий хороший учебник, она требует усилий со стороны читателя, но учиться по-серьезному — это всегда труд, и не малый. В конце каждой главы имеется подборка задач, частью довольно оригинальных. Это тоже очень удобно. К сожалению, перерешать все задачи при подготовке книги не удалось, поэтому ответов к задачам нет.
Нет сомнений в том, что книга тер Хаара будет полезной нашим студентам-физикам, — ведь студенту всегда полезно иметь под рукой несколько книг по учебному предмету. Преподаватели могут обнаружить в книге новый подход и свежие материалы. Один из способов увеличить эффективность обучения — возможность отослать студента по тому или иному вопросу к разумной книге. Книга тер Хаара вполне подходит для этой цели.
Русский перевод выполнен с издания 1971 г. С согласия автора и при его участии исправлены некоторые погрешности и введены два небольших математических дополнения. В заключение мне хотелось бы поблагодарить автора за внимание к русскому переводу книги. Мне хотелось бы также поблагодарить В. Л. Гинзбурга от имени всех тех, кому эта книга будет полезной, за содействие ее изданию.
В. Угаров
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ
ИЗДАНИЮ
В течение пяти лет мне пришлось читать курс лекций, посвященных классической механике, студентам старших курсов в Оксфордском университете. Этот курс состоял примерно из тридцати лекций, охватывающих все те вопросы, которые представлены в этой книге. На материал, соответствующий каждой главе книги, приходилось, грубо говоря, одинаковое количество времени — что-то около четырех лекций. Мне кажется, что предлагаемый курс достаточно полно охватывает все те аспекты классической механики, с которыми должен быть знаком любой современный физик, оставляя в тени многочисленные тонкости, которыми столь богата классическая механика. Поскольку логические акценты и выбор материала в моих лекциях заметно отличаются от того, что можно найти в существующих учебниках, среди которых наиболее известными и распространенными являются книга Корбена и Стеля и книга Голдстейна, я решил, что появление моих лекций в виде книги может оказаться небесполезным.
Я хотел бы отметить также, что при подготовке этой книги я широко пользовался своими конспектами лекций Г. А. Крамерса, которые он в свое время читал в Лейдене.
Мне очень приятно, что теперь моя книга появляется и в русском переводе. Я надеюсь, что она окажется полезной и для советских читателей. Мне хотелось бы поблагодарить В. А. Угарова за подготовку русского издания и исправление некоторых неточностей в оригинале.
Д. тер Хаар
Глава 1
ньютоновская механика
В этой главе кратко рассмотрены законы Ньютона и их применение для случая центральных сил; особое внимание уделено силе, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Столь же кратко обсуждается рассеяние частиц в поле центральной силы. Устанавливаются некоторые общие свойства систем, образованных несколькими частицами, попарно взаимодействующими по центральному закону.
Законы Ньютона
Основу классической механики составляют три закона Ньютона, с которых мы и начнем наше изложение. Мы будем считать, что все термины, входящие в формулировку этих законов, имеют вполне определенный смысл (на самом деле все они имеют скорее интуитивный смысл), поскольку мы просто не хотим вдаваться в дискуссии вокруг вводимых этими законами представлений. Выписывая законы Ньютона, мы заранее предполагаем, что существуют такие системы отсчета, в которых они справедливы. Такие системы называются инерциальными системами отсчета, и мы будем исходить из того, что все рассматриваемые векторы определены в одной из таких систем. Следует напомнить, что любая-система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной системой.
Сформулируем теперь законы Ньютона.
Lex prima. Если на частицу не действуют никакие силы, то она будет сохранять состояние своего движения, т. е. продолжать двигаться по прямой линии с постоянной скоростью.
Lex secunda. Если на частицу действуют силы, то скорость изменения ее импульса равна полной силе, дейст-
вующей на нее. Импульс частицы определяется как произведение массы частицы на ее скорость.
Lex tertia. Когда две частицы взаимодействуют друг с другом, то сила, действующая со стороны первой частицы на вторую, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей со стороны второй частицы на первую. (Действие и противодействие, actio est react io.)
Говоря о частице, мы будем иметь в виду на протяжении всей этой книги точечную частицу (материальную точку), т. е. объект, характеризуемый своей массой т, радиус-вектором х *) и скоростью ®, определяемой производной от х по времени:
® = ^-,(1.Ю1)
где через t обозначено время (временная координата).
До тех пор, пока мы не касаемся релятивистских эффектов, можно считать т постоянной величиной, характеризующей частицу. Именно эту массу называют в специальной теории относительности массой покоя.
В математической форме законы Ньютона записываются так:
Lex prima: Если F = 0, то o = const; (1.102)
Lex secunda: -^-(шт) = F;(1.103)
Lex tertia:Fu — —F21, или F14 -J- F21 = 0. (1.104)
В этих равенствах через F обозначена полная сила, действующая на частицу, а через F12 (Fa) — сила, действующая на частицу 2 (1) со стороны частицы 1 (2).
При условии, что т является постоянной величиной, уравнение (1.103) можно переписать также в виде:
ma = F, а = ~,(1.105)
где через а обозначено ускорение частицы. Последняя форма второго закона Ньютона —сила равна произведению массы на ускорение — несколько более распространена, однако любопытно отметить, что сам Ньютон пользовался формулировкой (1.103), которая справедлива и в том слу-
*) Мы сохраняем введенное автором обозначение х для радиус- вектора, хотя в русской литературе принято писать г; затруднений это не вызовет, а обозначение х имеет свои достоинства. — Прим., перев. 10-'
чае, если масса т — величина переменная, как это имеет место, например, при движении ракеты. С другой стороны, (1.103) можно записать в виде:
~^=Р,(1.103а)
определив р согласно (1.110). В такой форме уравнение движения справедливо и в релятивистской механике, однако импульс определяется там уже не согласно (1.110), а иначе.
Первый закон Ньютона —это закон инерции Галилея; отсюда возник термин «инерциальные системы».
Масса т, которую надлежит определять согласно (1.103), называется инертной массой частицы; было доказано экспериментальным путем, что инертная масса равна тяжелой (или гравитационной) массе частицы, которая в свою очередь пропорциональна весу частицы. Здесь следует заметить, что такая эквивалентность обоих сортов массы довольно естественно вытекает из общей теории относительности.
Прежде чем переходить к следствиям ньютоновских законов, мы хотели бы отметить, что иногда называют четвертым законом Ньютона правило, согласно которому силы, действующие на материальную точку, складываются по правилу сложения векторов. Такое предположение действительно молчаливо содержится в уравнениях (1.103) и (1.104), поскольку силы уже с самого начала обозначались как векторы.
Даже не зная конкретного вида сил, можно получить некоторые следствия из (1.103) и (1.104). Давайте начнем с рассмотрения системы, состоящей из двух частиц, где единственными силами, действующими на частицы, будут силы Рх2 и рг1. Из (1.104) вытекает, что
г
$ (Лз + ^тИ-О.(1.106)
Г
Поскольку Р^ (Р^ является единственной силон, действующей на первую (вторую) частицу, с помощью (1.103) можно написать!
(1.107)(1.108)(1.107)(1.108)с dm^dm2v2
(1.107)
(1.108)
(1.107)
(1.108)
dt -
и из (1.106) и (1.107) мы получим:
[m^ + m.^J'',' = 0,
или
Pl + р2 = Pl + р2>
(1.109)
где импульс частицы определен равенством
р — тъ(1.110)
и где штрихи (и двойные штрихи) указывают на значения соответствующих величин, взятые в моменты времени f и t".
Равенство (1.109) выражает закон сохранения импульса *)\ мы только что доказали, что он справедлив для изолированной системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц..
Займемся теперь движением одной частицы под действием силы F и найдем значение интеграла
г
I = \lF.dx\(1.111)
v
Используя (1.103) и вспомнив, что dx = vdt, мы получим:
1 = (тх-х) А = [|тх2Г = Г'-Г, (1.112)
где мы ввели кинетическую энергию частицы Т соотношением
Т = ^-тт2 = у tn (х • х),(1.113)
причем точка над буквой (и соответственно две точки) означает и будет означать в дальнейшем по всей книге однократное (и двукратное) дифференцирование величин по времени.
Так как произведение (.F-®) представляет собой работу, производимую силой над частицей в единицу времени, то из (1.113) вытекает, что полная работа сил, действующих на частицу в промежутке времени (/', Г), равна изменению кинетической энергии частицы. Из (1.112) можно вывести закон сохранения энергии, если только поле сил, действующих на частицу, консервативно. Поле сил называется консер-
*) В оригинале употреблен термин «линейный импульс» (linear momentum), который в английской литературе противопоставляется термину «угловой импульс» (по нашей терминологии — момент импульса). — Прим, перев.
12
вативным, если сила в каждой точке может быть получена из потенциальной функции U дифференцированием, а именно:
F= — V U,(1.114)
где через V обозначен оператор градиента, компонентами которого являются операторы д]дх, д/ду, д/дг.
В этом случае
I"Г'
$ (F-dx^ — ^ (V U-dx^—Wto-U', (1.115) гг
или, принимая во внимание (1.111) и (1.112), t-w-t'-w'.(1.116)
Потенциал U носит название потенциальной энергии, и мы видим непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция U явно не зависит от t, полная энергия частицы Е, т. е, сумма кинетической и потенциальной энергии
E = T^U,(1.117)
представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую величину, которая не меняется во время движения частицы.
Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно определить консервативное поле сил требованием, чтобы интеграл / (1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени f и Г, но не зависел бы от пути, проходимого частицей в промежутке времени между К и Г.
Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом случае будет интегралом движения, и мы можем написать:
E^-mx^U to,(1.118)
или же, разрешая относительно х,
x = №im)(E-U)yi2.(1.119)
13
Из последнего равенства получаем непосредственным интегрированием:
t-t0 = ^^[E-U^ym^-^dx,(1.120)
*0
где через х0 обозначено положение частицы в момент времени t0. Простейшим примером такого случая может служить одномерный гармонический осциллятор, который определяется видом своей потенциальной энергии. Для гармонического осциллятора
U = ^ах\ (1.121)
Интегрирование (1.120) приводит в этом случае к выражению "
/ —/0 = (т/«),/2 arcsin [х yil^EY^y
или же
х = ^2Е1аУ^ sin 2nv (t — /0), 2nv = (а?т.У-2, (1.122) где через v обозначена частота гармонического осциллятора и где в целях простоты записи принято, что х0 равно нулю.
Заметим, что из (1.122) видно, что энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Центральное поле сил
Силы, действующие во многих физических системах, имеют одну характерную особенность — это центральные силы. Центральными силами называются такие силы, которые действуют вдоль линии, соединяющей тело, на которое действует сила, с телом, которое порождает действующую силу. Если ограничиться случаем одной частицы во внешнем поле сил, то центральным полем сил будет такое поле, в котором сила, действующая на частицу, всегда направлена по линии, соединяющей рассматриваемую частицу и некоторую фиксированную точку, называемую центром силового поля. Если выбрать начало координат в центре поля сил, то сила F, действующая на частицу, будет иметь вид:
F=f(x, у, г^х.(1.201)
Вообще говоря, такое поле сил вовсе не обязано быть консервативным. Если же оно консервативно, то функ- 14
ция f, входящая в (1.201), должна зависеть только от расстояния от начала координат, т. е. от г;
Р = Цг)х.(1.202)
В этом можно убедиться с помощью соотношения (1.114), справедливого для поля консервативных сил, рассматривая компоненты F. Имеем:
Fx = — Fg = — ^, Fz = -~-(1.203)
* дх ’“ оу ’2 дг * х '
с другой стороны, поскольку должно выполняться условие (1.201), мы получим в сферических координатах г, 6, ср выражения
dU , . .dU , . . .
(1.204)(1.204)5- = fr sin 6 cos ф, — 5-=/rsin6 sinro, дх 'r ду •r
(1.204)
(1.204)
^ = /rcos 6, дг '’
из которых следует, что
6(7г dUn dUп,.опСх
= — fr, = д- = 0-(1.205)
дг'’66дфх '
Из двух последних равенств следует, что функция U зависит только от г; из первого равенства мы обнаруживаем, что условие (1.202) будет соблюдено, если определить U в виде:
U (х) = U (г) = — $ г/ (г) dr. (1.206)
Частными примерами задач с центральной силой являются изотропный гармонический осциллятор и кулоновское или гравитационное поле сил. В первом случае потенциал дается выражением
(1.207)(1.207)(1.208)(1.208)U = ^ar»,
(1.207)
(1.207)
(1.208)
(1.208)
а во втором — уравнением
U = — k[r.
Если константа к, входящая в (1.208), положительна, то мы имеем дело с силой притяжения; если же она отрицательна—с силами отталкивания. Потенциал (1.208)
приводит, конечно, к силе, обратно пропорциональной квадрату расстояния от начала координат.
можно выразить другимиможно выразить другимиРис. 1. Центральное силовое поле. О — центр силового поля; Р — точка, где находится частица; х — вектор скорости частицы; F—сила, действующая на частицу.Рис. 1. Центральное силовое поле. О — центр силового поля; Р — точка, где находится частица; х — вектор скорости частицы; F—сила, действующая на частицу.
можно выразить другими
можно выразить другими
Рис. 1. Центральное силовое поле. О — центр силового поля; Р — точка, где находится частица; х — вектор скорости частицы; F—сила, действующая на частицу.
Рис. 1. Центральное силовое поле. О — центр силового поля; Р — точка, где находится частица; х — вектор скорости частицы; F—сила, действующая на частицу.
Орбита (траектория) частицы, на которую действует сила вида (1.201), оказывается плоской, т. е. лежащей в некоторой плоскости. Это видно из следующих соображений (см. рис. 1). Согласно второму закону Ньютона ускорение частицы направлено по той же прямой, по которой направлена действующая на нее сила. Следовательно, как ускорение, так и скорость частицы — в начальный момент и все остальные моменты времени — будут оставаться в плоскости, проходящей через начало координат и начальную скорость частицы. Этот же самый результат
словами: никогда не может появиться компонента ускорения, перпендикулярная плоскости, проходящей через начало координат и скорость частицы, так что частица никогда не выйдет из этой плоскости. Эга плоскость называется орбитальной.
Можно доказать, что орбита частицы, движущейся в поле центральной силы, плоская, рассматривая также момент импульса частицы. Момент импульса частицы относительно начала координат —- мы будем обозначать его буквой Л1 —определяется соотношением
М = [х, pl = [x, т*]. (1.209)
Иногда величину М называют угловым моментом. Этот термин естественно возникает при введении обобщенных координат, о которых речь пойдет в следующей главе.
Производная момента импульса по времени определяется равенством
М = [х, mx] + [x, тх] = 0 + [х, f (х, у, г) х] =0, (1.210)
причем мы учли в выкладках соотношения (1.105) и (1.201).
Таким образом, мы обнаружили, что для центрального поля вектор М представляет собой интеграл движения. Поскольку М—-это вектор, фактически мы обнаружили три интеграла движения: три компоненты М. Но поскольку вектор М постоянен, то из (1.209) ясно, что вектор х всегда лежит в плоскости, перпендикулярной М, а это и означает, что орбита частицы плоская.
Задача о движении частицы в поле центральной силы может быть, следовательно, сведена к двумерной (плоской) задаче. Решения исходных уравнений движения — трех дифференциальных уравнений второго порядка—должны содержать шесть постоянных интегрирования. За две из них могут быть выбраны направляющие косинусы вектора 7И; этими косинусами определяется нормаль к орбитальной плоскости. В остающейся двумерной задаче у нас возникают четыре постоянных интегрирования, которые вместе с двумя использованными направляющими косинусами и обеспечивают шесть необходимых констант движения в исходной задаче. Одной из четырех оставшихся констант будет, конечно, абсолютная величина вектора AL
Все то, что говорилось до сих пор, имеет совершенно общий характер и справедливо также и для сил, не являющихся консервативными. Но если силовое поле консервативно (а впредь мы будем это всегда предполагать), то одна из трех последних констант движения —это полная энергия, а две остальные возникают в результате интегрирования уравнений движения; эта операция всегда осуществима в случае центрального консервативного поля.
Направим ось г декартовой системы координат вдоль сохраняющегося вектора М, а в плоскости ху введем по лярные координаты гиб. Таким образом в орбитальной плоскости вводится система координат
x=rcos6, y = rsin0.x=rcos6, y = rsin0.(1.211)(1.211)Уравнения имеют вид;Уравнения имеют вид;движения, записанные в координатах х, у,движения, записанные в координатах х, у,_ х dU _тх =, туг dr ’_ х dU _тх =, туг dr ’к 14.г dr ’к 14.г dr ’(1.212)(1.212)
x=rcos6, y = rsin0.
x=rcos6, y = rsin0.
(1.211)
(1.211)
Уравнения имеют вид;
Уравнения имеют вид;
движения, записанные в координатах х, у,
движения, записанные в координатах х, у,
_ х dU _
тх =, ту
г dr ’
_ х dU _
тх =, ту
г dr ’
к 14.
г dr ’
к 14.
г dr ’
(1.212)
(1.212)
где потенциал U задан согласно (1.206), а сила определяется по (1.202).
Если через М обозначить абсолютную величину момента импульса, а через Е — полную энергию частицы, то в соответствии с (1.209) и (1.117) можно записать:
М=т^ху — ух\ Е= Х^ m^-Vy^ + U <г). (1.213)
Соотношения (1.213) могут быть, конечно, получены и непосредственно интегрированием (1.212),
Воспользовавшись полярными координатами, мы можем переписать (1.213) в виде:
(1.214)(1.215)(1.214)(1.215)М =тг^,
(1.214)
(1.215)
(1.214)
(1.215)
Е = ^тР + у mr1^ + U (г).
Соотношение (1,214) выражает так называемый закон площадей. Мы уже знаем, что М — постоянная величина.
Чтобы выяснить физический смысл правой части (1.214), обратимся к рис. 2. Допустим, что частица сместилась
за интервал времени t,t-¥dt от точки Р к точке Q. Из рис. 2 очевидно, что за время dt радиус-вектор, направ-
Рис. 2. Закон площадей. О — центр силового поля; Р — положение движущейся частицы в момент времени t; Q —положение частицы в момент t-\-dt. Через 6 обозначен полярный угол. «Треугольник» OPQ определяет площадь, «ометаемую» радиус-вектором, проведенным из О к движущейся частице.Рис. 2. Закон площадей. О — центр силового поля; Р — положение движущейся частицы в момент времени t; Q —положение частицы в момент t-\-dt. Через 6 обозначен полярный угол. «Треугольник» OPQ определяет площадь, «ометаемую» радиус-вектором, проведенным из О к движущейся частице.ленный к частице, «ометает» площадь «треугольника», равную ^ г2 de. Площадь, ометаемая радиус-вектором частицы в единицу времени, называется секторной скоростью точки. Мы получили, что секторная скорость частицы, во-первых, равна 4- г29, а во-вторых, обнаружили ее постоянство согласно (1.214). Это обстоятельство иногда отмечают следующим обра
Рис. 2. Закон площадей. О — центр силового поля; Р — положение движущейся частицы в момент времени t; Q —положение частицы в момент t-\-dt. Через 6 обозначен полярный угол. «Треугольник» OPQ определяет площадь, «ометаемую» радиус-вектором, проведенным из О к движущейся частице.
Рис. 2. Закон площадей. О — центр силового поля; Р — положение движущейся частицы в момент времени t; Q —положение частицы в момент t-\-dt. Через 6 обозначен полярный угол. «Треугольник» OPQ определяет площадь, «ометаемую» радиус-вектором, проведенным из О к движущейся частице.
зом: радиус-вектор части
цы ометает равные площади за равные промежутки времени. Для случая, когда рассматривается гравитационное поле (1.208), этот результат известен под названием второго закона Кеплера, но мы только что выяснили, что он справедлив для любой центральной силы, в том числе и неконсервативной.
Соотношение (1.215) определяет полную энергию части
цы в полярных координатах; мы видим, что кинетическая энергия в полярных координатах имеет вид:
T = l-mf2 + ^mr^,(1.216)
где два слагаемых в правой части относятся соответственно к радиальному движению частицы и к ее движению по окружности.
18
Исключая 6 из соотношений (1.214) и (1.215), мы приходим к выражению:
1мз
(1-217)
Последний член в правой части этого соотношения может быть назван центробежной потенциальной энергией. Абсолютное значение силы Ацб, соответствующей этому члену, определяется равенством
d мзМ2ти\
^6 = ——2 = —т(1.218)
dr 2mr2mr3 г ’v 7
где через у± обозначена компонента скорости, перпендикулярная радиус-вектору, т. е. направленная по касательной к соответствующей координатной окружности (М = тгиА). Выражение (1.218) представляет собой известное выражение для центробежной силы, действующей на частицу (см. формулу (4.302)). Обратите внимание на то, что центробежная сила возникает только при переходе к неинерциалыюй системе отсчета.
По своему общему виду (1.217) совпадает с выражением (1.118), которое было написано для одномерного случая, только теперь эквивалентная потенциальная энергия имеет вид (/(r) + yW2/2mr2, т. е. представляет собой сумму потенциальной энергии и центробежной потенциальной энергии. Уравнение (1.217) может быть, в точности так же, как и (1.118), решено в квадратурах, причем мы получим:
/dr
t — t0 =2U (г) М2 Wt (1.219)
г» L гн т тгг2 j
где через г0 обозначено значение г в момент /0. Используя (1.214), можно переписать (1,219) так:
09 = tг (1.220)
°} mr2 J Г2 {2m\E — U (г)] — М2Г2У'1
Последнее уравнение определяет зависимость 6 от г, т. е. дает уравнение траектории частицы. Две оставшиеся постоянные интегрирования теперь уже определены: ими будут значения 0 и г в момент t0.
Прежде чем переходить к количественному рассмотрению траекторий частицы, соответствующих определенному
19
Рис. 3. Качественное исследование траекторий при движении в центральном потенциальном поле.
а) Зависимость потенциальной энергии, центробежной энергии и кинетической энергии от расстояния от центра силового поля. Кривая /2 имеет в точности такой же вид, что и кривая —(2/m) U (г) — Мг!т-гг, но с осью абсцисс, исходящей соответственно из точек Л, В или С, вместо точки О. Положение оси абсцисс определяется значением Е, а именно: А соответствует Ej < 0; В соответствует Е2 > 0, точке С соответствует круговая орбита Е3 < 0.
Рис. 3. б) Радиальная скорость / как функция расстоянияот центра силового поля.
выбору потенциала U, а именно потенциалу (1.208), мы остановимся на качественном исследовании траекторий в том случае, когда U (г) зависит от г по закону г-1, для очень малых и очень больших значений г; для этих двух предельных случаев коэффициенты пропорциональности могут быть разными. Потенциал такого типа представляет интерес в задачах атомной физики. Действительно, наиболее удаленный («последний») электрон в атоме с зарядом ядра Z, находясь на большом расстоянии от ядра, будет находиться в потенциальном поле типа (—с/г), поскольку заряд ядра Ze заэкранирован остальными
Рис. 3. в) Траектории частицы для отрицательных и полон ительпых значений энергии Е. О —центр силового поля.
(2 — 1) электронами; если же электрон находится вблизи ядра, т. е. все остальные электроны расположены дальше него, то он находится в потенциальном поле —Ze/r. На рис. За изображены графики функций —26/(г)М, — КЕЧт1!4 и их сумма (пунктир), а также функция г2 в зависимости от г. Последнюю функцию можно получить в явном виде, переписав (1.217) так:
^1_ЖЧ_№ (1.221)
Следует заметить, что на рис. За ось абсцисс разная для разных значений £, когда строится график зависимости г2 от г. На рис. 36 приведен график функции г в зависимости от г для двух значений энергии Ег и Е^,
21
одно из которых положительно, а другое отрицательно. Как из рис. За, так и из рис. 36 видно, что при отрицательных значениях Е траектория частицы не уходит на бесконечность и частица всегда находится между двумя значениями радиуса г, между г, и г2- Вообще говоря, движение частицы будет происходить по розетке, общий вид которой изображен на рис. Зв. В предельном случае (соответствующем Е3 на рис. За), когда ось г только касается кривой /2(г), движение происходит по круговой орбите. Если же значения Ё положительны, траектория становится открытой (инфинитной): у частицы оказывается достаточный запас энергии, чтобы уйти на бесконечность. Это различие между открытыми и закрытыми (инфинитными и финитными) траекториями, определяемое знаком энергии Е, вновь обнаружится, когда мы займемся потенциалом вида 1/г (см. ниже исследование выражения (1.240)).
Во многих важных случаях уравнения движения существенно упрощаются, если ввести вместо г обратную ей величину а = 1/г. Эта замена составляет основу метода Бине, который особенно полезен в том случае, когда потенциал U задан в виде (1.208).
Мы начнем с разложения силы F, действующей на частицу в орбитальной плоскости, на две компоненты: Ец — вдоль радиус-вектора х и PL — перпендикулярно ему. Если введены полярные координаты (1.211), то это соответствует отысканию компонент Рг=Рц и F9 = FL, Эти компоненты нужны нам для того, чтобы записать соответствующие проекции уравнения движения. Использование комплексных чисел очень упрощает задачу. Записав уравнение движения частицы в декартовых координатах тх = F„т$ = Рд,
умножим второе из этих уравнений на z (z=]/=T) и почленно сложим; мы получим:
in (х + i^ =Fx + iFg.(1.222)
Слева в (1.222) стоит вторая производная от комплексного числа г — х-\-1у, умноженная на т, а справа — комплексная сила Z = Fx^viFg = Rei,v. Переход к полярным координатам несложен; по формуле Эйлера
г = ге1'6;
таким образом, комплексное число г сводит координаты радиус-вектора точки (1.211) в одну формулу. Комплекс-
пая сила Z приложена в том месте, где находится частица, поэтому ее нужно разлагать по осям локальной ортогональной декартовой системы. Нетрудно сообразить, что в точке, соответствующей комплексному числу 2, эта локальная система представляет собой повернутую на угол 6 исходную систему осей (х, у); в этой новой системе координат комплексная сила выглядит уже как Z' = Fr + iFQ. Но
Z' = Re!^-^ = Zeie, отсюда
Fx + IF у = фг + IF6) ei9.(1.223)
Таким образом, уравнение (1.222) можно записать в виде: т ^ (re'°) =+iF±) е''9>
или, производя дифференцирование в левой части,
m (Г - гб2 + zrS + 2zr6) е19 = ф^ + 1Рф еф (1.224)
Приравнивая действительные и мнимые части обеих частей (1.224), получим:
^ = щ(г0 + 2гё) = ^г2ё = 1^,(1.225)
F|i = т (г — гё2).(1.226)
Поскольку в рассматриваемом случае сила центральная, Fj_ обращаемся в нуль и (1.225) сразу же приводит к (1.214). Вместе с тем из (1.212) вытекает, что левая часть (1.224) равна — фи/dr) е‘9, так что (1.226) можно переписать в виде:
F^-^^m^f-r^.(1.227)
/Ложно заметить, что из (1.225) вытекает обратная теорема: если величина г30 постоянна, то компонента Fv обращается в нуль и мы имеем дело с центральной силой.
Вычислим теперь d2ald№. С помощью (1.214) находим:
da d 1 d 1 /dO f mf ,, oom dO ~ M r — dt r / di “ Аб ~ M ’‘
и, следовательно, принимая во внимание (1.227),
d-а d I mA / do mF 1 [dUmr§2 dO- dt \ Mj / dt MB MB [dr ,
, 1 dU, dU da m 'm dU
= — О Hг — = — О 4= — о,
MB drda dr MWM1 da
или жеили же(1.229)(1.229)d-o , _ т dUdr? — №da‘
или же
или же
(1.229)
(1.229)
До сих пор мы не делали никаких предположений по поводу конкретного вида U (г). Теперь мы займемся
Рис. 4. Геометрическое место точек Р является коническим сечением, если отношение | ОР | к | PR | постоянно. Здесь О — центр силового поля; Р— положение частицы. Углы PQO, PRS и RSQ — прямые. Вектор Я —постоянная интегрирования уравнения (1.236).Рис. 4. Геометрическое место точек Р является коническим сечением, если отношение | ОР | к | PR | постоянно. Здесь О — центр силового поля; Р— положение частицы. Углы PQO, PRS и RSQ — прямые. Вектор Я —постоянная интегрирования уравнения (1.236).уже частным случаем, когда U (г) задана в виде (1.208). В этом случае U ^ = — ка и соотношение (1.229), представляющее собой дифференциальное уравнение траектории, приобретает совсем простой вид:
Рис. 4. Геометрическое место точек Р является коническим сечением, если отношение | ОР | к | PR | постоянно. Здесь О — центр силового поля; Р— положение частицы. Углы PQO, PRS и RSQ — прямые. Вектор Я —постоянная интегрирования уравнения (1.236).
Рис. 4. Геометрическое место точек Р является коническим сечением, если отношение | ОР | к | PR | постоянно. Здесь О — центр силового поля; Р— положение частицы. Углы PQO, PRS и RSQ — прямые. Вектор Я —постоянная интегрирования уравнения (1.236).
а2 л .тк
Решение этого уравнения можно написать сразу:
1 тк ,а=7 = ^ +
+ Дсоз(6 -60). (1.230)
Таким образом, траектория представляет собой коническое сечение (см. рис. 4). На рис. 4 длина отрезка OS равна Л-1. Нетрудно видеть, что
| OQ | = г cos (0 — 60),| PR I = [1 — Л г cos (0 — 60)]/Л,
так что с учетом (1.230) мы получим:
= const.= const.(1.231)(1.231)| ОР\ _ гААМ1
= const.
= const.
(1.231)
(1.231)
| "рр |1 — Ar cos (6 — 60) тк
Геометрическое место всех точек Р, удовлетворяющих (1.231), как раз и есть коническое сечение, что и доказывает наше утверждение. Немного позже мы выясним, при каких условиях траекторией частицы будут соответственно эллипс, парабола или гипербола. Конечно, уравнение (1.230) можно было бы получить непосредственно из (1.220), подставив в (1.220) вместо U (г) выражение (1.208).
Желательно получить (1.230) еще и другим способом. Способ, о котором идет речь, использует векторное исчис-
ление я, & частности, очень удобен для потенциала 1/г. Уравнение движения (1.105) в этом случае имеет вид:
тх = — ^,(1.232)
где мы использовали (1.114) и (1.208). Вспомнив о том, что момент импульса М, определенный согласно (1.209), представляет собой постоянный вектор, мы введем еще один вектор Q, определив его следующим образом:
Q-[M, XV(1.233)
Поскольку вектор Q перпендикулярен вектору М, он лежит в орбитальной плоскости. Если принять во впи; мание 1.209), постоянство вектора М, уравнение (1.232) и равенство (х • х) = гг, которое вытекает из тождества г'г — (х х), мы найдем нижеследующее выражение для производной по времени от Q:
Q = \M,х],
XJ гз п( г г1;dt г ’
или же
Q= — kxQ,(1.234)
где через х0 обозначен единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора:
х6 = х]т.(1.235)
Уравнение (1.234) можно проинтегрировать; в результате интегрирования получим:
QA-kx» = — B,(1.236)
где В —постоянный вектор.
Составив скалярное произведение обеих частей равенства (1.236) на х0, мы получим:
М2
-™ + A = -Bcos(Q- 80),(1.237)
причем В = |В]; здесь предполагается, что вектор В образует угол 60 с осью х (в орбитальной плоскости), а вектор х0 —угол 6 с той же осью х (сравните (1.211) н рис. 2). Для получения (1.237) мы воспользовались преобразованием:
(Q • ^о) - (у ■ [М, х]) = j (М • [х, xj) = - ^. (1.238)
Уравнение (1.237) совпадает с уравнением (1.230), если положить В = АМ2!т.
Возведем в квадрат обе части равенства (1.236). Поскольку УИ перпендикулярен х, мы получим, что Q2 равно М2х2; следовательно,
Рис. 5. Возможные траектории частиц с заданным моментом импульса. О — центр силового поля.Рис. 5. Возможные траектории частиц с заданным моментом импульса. О — центр силового поля.М2х2 + к2 - -^- = В2, (1.239) где принято во внимание (1.238).
Рис. 5. Возможные траектории частиц с заданным моментом импульса. О — центр силового поля.
Рис. 5. Возможные траектории частиц с заданным моментом импульса. О — центр силового поля.
Уравнение (1.239) можно записать еще и в таком виде:
n I • „ к (В2 — к1) пг
(1.240) Таким образом, мы получили еще одно выражение для энергии частицы. Из (1.240) видно, что если к положительно, то знак Е, а значит и характер
траектории, определяется величиной В (если же к отрицательно, Е всегда положительно, а траектория всегда будет гипер
болой). Если В>>к, то частица может уйти на бесконечность с конечной скоростью; мы имеем дело с гипер
болой (кривая 1 наболой (кривая 1 нарис. 5). Мы должны подчеркнуть
болой (кривая 1 на
болой (кривая 1 на
в этом месте, что мы получили, конечно, только одну из двух ветвей гиперболы, поскольку г у нас —существенно положительная величина. Начало координат будет
внутренним фокусом, если к>0, и внешним, если к<_0. Если В = к, то скорость на бесконечности обращается
в нуль, а траекторией является парабола (кривая 2). Если В<_к, траекторией будет эллипс (кривая 3). Наконец, если В = 0, энергия достигает наименьшего значе
ния, совместимого с заданным значением М, и траекто
рия превращается в окружность.
Воспользовавшись равенством М2А#т = В, которое превращает (1.237) в (1.230), мы обнаруживаем, что условия В">к, В = к и B<_k соответствуют отношению |ОР| к ) PR | в (1.231), большему, равному и меньшему единицы; это еще раз показывает, что эти условия соответствуют гиперболическим, параболическим и эллиптическим траекториям соответственно.
А1аА1аИз (1.237) видно, что значение расстояния г для углов 6=60±л/2, часто называемое параметром р конического сечения, не зависит от величины В, т. е. от энергии, а зависит только от момента импульса:
А1а
А1а
(1.241)
Этот факт играл важную роль в выводах старой квантовой теории.
имеем:(1.242)имеем:(1.242)Рассмотрим еще апоцентрическое и перицентрическое значения г (rmax и Гты) для случая эллипса. Они достигаются при О = е04-л и 9 = 80 соответственно. Мы _ № Г min — ,„(й + 5) > _ м» ’ Гщах— m(k_B)
имеем:
(1.242)
имеем:
(1.242)
Большая полуось а удовлетворяет уравнению
2а = rmin + rmax = — ^-. ИЛИ Е = — -^. (1.243)
Выразим теперь эксцентриситет эллипса е и период обращения частицы по орбите т через величины Е, к и М. Из (1.242) и (1.240) вытекает соотношение для е:
(1.244)(1.244) rmax rmln __ ^, Г 2A42£
(1.244)
(1.244)
“ rmax + rmln" к ~+
Мы снова обнаруживаем, что условие Bik < I соответствует условию 8<1, т. е. эллипсу. Условие В = к соответствует е=1, т. е. параболе. Наконец, условие В,к">\ соответствует е>1, т. е. гиперболе. Используя равенство е = В!к и (1.241), мы можем переписать (1.237) в совсем привычном виде;
7= 1 4-е cos (6 — 60).7= 1 4-е cos (6 — 60).(1.245)(1.245)
7= 1 4-е cos (6 — 60).
7= 1 4-е cos (6 — 60).
(1.245)
(1.245)
Мы уже убедились в том, что второй закон Кеплера, с одной стороны, эквивалентен утверждению о том, что момент импульса М — величина постоянная; с другой стороны, он является просто законом площадей. Действительно, из (1.214) видно, что МЦт — это просто секторная скорость. Полная площадь эллипса, которую оме- тает за полный период обращения частица, равна nab,
или же ла2 (1 — е2)1'*, где через b обозначена малая полуось эллипса. Поэтому- мы можем написать;
ла2 (1 — е2)1/8/т = Л4/2т;
т2 _ 4л2/пт2 _ 4л2/па используя (1.243) и (1.244), имеем;
т2 _ 4л2/п
т2 _ 4л2/п
(1.246)
что сводится к третьему закону Кеплера, если подставить h = GmMco, где G — постоянная тяготения, а Мт — масса (бесконечно тяжелого) центрального тела. Если масса центрального тела имеет конечное значение, равенство (1.246) должно быть несколько подправлено, как мы сейчас увидим.
В начале этого параграфа мы определили центральную силу как такую силу взаимодействия между частицами, которая направлена ио линии, соединяющей две взаимодействующие частицы. С таким взаимодействием частиц мы очень часто сталкиваемся в физике; сейчас мы убедимся в том, что такая ситуация приводит к задаче о движении одной частицы во внешнем центральном поле, т. е. к той самой задаче, которую мы только что довольно подробно рассмотрели.
Пусть тх и т2 — это массы двух рассматриваемых частиц, и пусть силы, с которыми частицы действуют друг на друга, могут быть получены из потенциала U (г12), где г12 является расстоянием между двумя частицами. Нетрудно показать способом, использованным при выводе соотношения (1.206), что если рассматриваются консервативные силы, то они получаются из потенциальной функции, зависящей только от г12.
Запишем уравнения движения для обеих частиц;
т1х1 = — V^, m2x2 =— 44U.(1.247)
Вводя центр инерции (центр масс) и относительные координаты с помощью равенств
Х=тА + гтЧх4
mi + пЧ'
х = хк — х2,(1.2486)
мы получим из (1,247):
(т1 + т2)Л = 0,(1.249)
цХ = — ^U,(1.250)
2а
где через ц обозначена приведенная масса
<к251>
Уравнения (1.249) и (1.250) показывают, что движение двух частиц может быть описано как суперпозиция движения центра инерции, которое в нашем случае представляет собой просто свободное движение точки (1.249), и относительного движения (1.250), которое представляет собой движение частицы с приведенной массой, движущейся в центральном поле, определяемом заданной потенциальной энергией. Если масса одной из частиц существенно превосходит массу другой частицы, то приведенная масса приблизительно равна массе легкой частицы. Этим и объясняется тот факт, что третий закон Кеплера справедлив с большой степенью точности. Более точно его следовало бы записать так:
т1 4;i2ii 4л2
а3 к G (т + Мс) ’
где Мс — это масса центрального тела (Солнца в нашей планетной системе). Если Мс^>т, то правая часть последнего равенства сводится к постоянной величине 4л2/СМс.
Мы закончим этот параграф вопросом о рассеянии частиц в поле центральной силы. То обстоятельство, что это поле зачастую создается другой частицей, означает лишь то, что мы должны вместо массы свободной частицы всюду вводить приведенную массу. Изучая рассеяние частиц, интересуются не столько фактическим процессом рассеяния, происходящим тогда, когда рассеиваемая частица находится вблизи рассеивающей частицы, сколько конечным результатом процесса рассеяния. Иначе говоря, мы заинтересованы в таких величинах, как поперечник (или сечение) рассеяния, или же вероятность того, что рассеяние произойдет на некоторый определенный угол. Начальные условия задаются энергией и моментом импульса падающих (рассеиваемых) частиц. Пусть у будет скоростью налетающих частиц на бесконечности, и пусть прицельное расстояние, т. е. кратчайшее расстояние, на котором падающая частица прошла бы около рассеивающего центра, если бы он не изменял ее движения, будет равно р (см. рис. 6). Выражая энергию и момент импульса через и и р,
Е—^ти2, М^тср,(1.252)
6-60= $ Го6-60= $ ГоРис. 6. Рассеяние в поле отталкивающей центральной силы. Через г0 обозначено расстояние до точки максимального приближения; р— прицельныйпараметр;Osc—угол рассеяния.Рис. 6. Рассеяние в поле отталкивающей центральной силы. Через г0 обозначено расстояние до точки максимального приближения; р— прицельныйпараметр;Osc—угол рассеяния.
6-60= $ Го
6-60= $ Го
Рис. 6. Рассеяние в поле отталкивающей центральной силы. Через г0 обозначено расстояние до точки максимального приближения; р— прицельныйпараметр;
Osc—угол рассеяния.
Рис. 6. Рассеяние в поле отталкивающей центральной силы. Через г0 обозначено расстояние до точки максимального приближения; р— прицельныйпараметр;
Osc—угол рассеяния.
мы получим согласно (1.220) уравнение траектории в виде:
(1.253)(1.253)ри dr
(1.253)
(1.253)
r2[y2_(2(//m)_(pi^)]1^ *
Если выбрать за г0 расстояние до точки наибольшего приближения к центру, т. е. значение г, для которого
г = 0, т. е. значение г, удовлетворяющее уравнению
„ 2U (г) р2и2 Л и2— —=(1.254)
то мы получим для угла рассеяния 65С (см. рис. 6; обратите внимание на то, что 6 изменяется от л до 6SC, когда г изменяется от оо до г0 и снова до оо):
ОО
л - 9SC = 2 ^™ .(1.255)
J r2[u2-(2V/m)-(p2a2/r2)]1/2 v '
Дифференциальное сечение рассеяния du для рассеяния на угол от 9SC до 6sc + d9sc определяется как отношение числа частиц, рассеянных в единицу времени в этот интервал углов, к интенсивности падающего пучка. Интенсивность же падающего пучка определяется как полное число частиц, падающих на рассеивающий центр, 30
приходящееся на единицу площади в единицу времени. Падающий пучок предполагается однородным. Из (1.255) видно, что угол рассеяния 6SO является функцией прицельного расстояния р, и вместо того, чтобы интересоваться числом частиц, которые рассеиваются на заданный угол 9SC, мы можем искать число падающих частиц, обладающих прицельным параметром в пределах от р до p + dp. Это число равно Snip dp (/ — интенсивность падающего пучка), как это легко понять из рис. 6. Таким образом, мы получим для дифференциального сечения:
do = 2лр dp,(1.256)
а разрешая (1.255), мы можем найти дифференциальное сечение, выраженное через угол 9SC. Полное сечение рассеяния можно получить, интегрируя это выражение по всем возможным значениям 9SC от 0 до л.
Рассмотрим теперь отдельно случай, когда потенциал U имеет вид k/r, причем введем обозначения:
“ = 7>4-W = W'(1.257)
Переменная и по существу есть переменная Бине; что касается величины Ь, то она представляет собой то расстояние, на котором абсолютная величина потенциальной энергии равна кинетической энергии частицы на бесконечности; другими словами, Ь — это расстояние наибольшего приближения частицы, обладающей скоростью и и нулевым моментом импульса, к отталкивающему центру рассеяния. Воспользовавшись этими переменными, можно получить из (1.255), положив и0 = р(г0;
п °sc С duл . у
22 J [1_^ц_и2]1/22(у2+ 4) '2
пли же
1б-^=2^(1.258)
Обычно принято выражать da в виде произведения элемента телесного угла dQ = 2л sin 6SC d9sc, соответствующего рассеянию на углы от 9SO до 6so + d6sc, и сечения рассеяния R (9SC):
da = R (6SC) dQ = R (9SC) • 2л sin 9SC d6s0.(1.259)
31
Тогда для сечения рассеяния мы найдем из (1.256), (1.258) « (1.259):
R (6SC) = ^ Ь‘г cosec4 -^ (1.260)
~ знаменитую формулу рассеяния Резерфорда. Для этого конкретного процесса рассеяния полное сечение atot ( = j do = j R dQ) расходится. Это обстоятельство связано с тем фактом, что кулоновский потенциал имеет длинный «хвост». Можно несколько по-иному взглянуть на этот результат, заметив, что, как бы ни было велико значение р, все равно рассеяние остается. Другими словами, мы могли бы ожидать бесконечнее полное сечение рассеяния для любого потенциала, который не исчезает на больших расстояниях, в противоположность квантовомеханическому случаю, когда неисчезающий потенциал сам по себе еще недостаточен для того, чтобы полное сечение стало бесконечным.
Рассматривая процессы рассеяния, мы предполагали до сих пор, что рассеивающий центр неподвижен. В реальных экспериментах по рассеянию происходит рассеяние одной частицы на другой. В этом случае мы сталкиваемся с ситуацией, подобной той, какая рассматривалась несколько раньше в этом же параграфе; речь идет о задаче двух частиц, взаимодействующих между собой. Мы видели там, что относительное движение частиц выглядит так, как если бы центр масс всей системы покоился, а частица, масса которой равна приведенной массе, двигалась бы в силовом поле, порождаемом тем самым потенциалом, из которого получались силы, действующие между частицами.
Замена массы рассеиваемой частицы на приведенную массу — операция достаточно тривиальная. Тот факт, что только что полученные нами формулы для сечения рассеяния пригодны для случая, когда рассеивающие центры покоятся, тогда как в реальных экспериментах по рассеянию покоятся частицы мишени, имеет, конечно, существенное значение для анализа данных по рассеянию. Если частицы мишени покоятся, то это значит, что центр инерции системы будет двигаться, и данные по рассеянию, полученные в лабораторной системе отсчета, должны быть пересчитаны к системе центра инерции, прежде чем можно будет воспользоваться полученными нами формулами.
§ 1.3. Системы, состоящие из многих частиц
Теперь мы переходим к системам, состоящим из нескольких точечных масс. Мы будем предполагать, что сила Ft, действующая на г-ю частицу, может быть получена из потенциальной функции U (х,) следующим образом;
Ft = — ^tU,(1.301)
так что уравнения движения запишутся так:
mtXt = Ft = — ^tU.(1.302)
Первое следствие предположения (1.301) состоит в том, что рассматриваемая система консервативна; это значит, что ее полная энергия Е, определяемая равенством
Е=-Т+и = -^т1х1-^и,(1.303)
является константой, поскольку
~ЦТ (Г ч- U) - 2 т- ^ ■ ^ V^Xf^ = Q.it
Далее мы несколько ограничим класс рассматриваемых систем, предположив, что потенциальная энергия представляет сумму потенциальных энергий пар частиц и что сами эти потенциальные энергии зависят только от расстояний между соответствующими парами частиц г^л
U-^Uy^, Utj-Uju UiL = 0. (1.304) i. I
Одним из следствий только что выписанных уравнений будет то, что сила, действующая на каждую отдельную частицу, равна векторной сумме (центральных) сил, действующих на эту частицу со стороны всех остальных частиц; это означает, что силы, действующие в системе, аддитивны. Чтобы доказать это утверждение, мы отметим сначала, что сила Ец, действующая со стороны частицы / на частицу I, находится по правилу:
— дГцdrtj'Tti'’ Xtj-Xt — Xj.
(1.305)
2 Д. тер Хаар — 123033
Полная (суммарная) сила, действующая на мо частицу, найдется как
Fi = -^iU=-'^XiUi) = yiFu, (1,306)/i
откуда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Если потенциальная энергия системы имеет вид (1.304), так что единственными силами, действующими па частицы, входящие в состав рассматриваемой системы, будут силы взаимодействия между частицами, то не только полная, энергия Е, но также полный импульс системы Р и полный момент импульса системы /И будут интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. Запишем выражения для полного импульса системы и его производной по времени;
Р-^пг^,(1.307)
5JL _ \ т.х-У УУу ^У- И 3081
dt ” ^П1Х1" L dry ry*
ii, i
где мы использовали (1.305), (1.306) и (1.302). В выражении (1.308) индексы i и / немые, и мы вправе поменять / на j и наоборот — при этом двойная сумма не изменится. С другой стороны, если мы просто переменим местами индексы z и / в этой двойной сумме, сумма должна изменить свой знак, поскольку Xij —— xjb Так как сумма оказывается равной самой себе с обратным знаком, она должна быть равна нулю; отсюда и вытекает, что Р— постоянный вектор.
Аналогично, мы записываем выражения для полного мбмента импульса и его производной по времени:
M-^mJx,-, х,],(1.309)
rfAl V г - п = ^т;\хь х,] = --^y-V-'Wl^"^' ,L3l0) I. iI, i
где мы использовали (1.305), (1.306), (1,302) и определение Xij = Xi — Xj.
С помощью тех же самых рассуждений, какие использовались при доказательстве того, что Р— интеграл дви- 34
жения, можно показать, что и вектор Л1 —константа движения.
Не лишено интереса непосредственное доказательство постоянства Р и М с помощью третьего закона Ньютона (Fij = — Fjt), второго закона Ньютона и геометрических соображений. Мы предоставляем сделать это читателю в виде упражнения.
Как в классической, так и в квантово:) механике играет важную роль так называемая теорема вириала, касающаяся среднего по времени от так называемого вириала Клаузиуса ^, определяемого как
^^Цч-х^(1.311)
i
Вириал Клаузиуса можно переписать также в виде:
(1.312) i\I
Если рассматриваемая система не разлетается, иными словами — ни одна из величин х, или xt никогда не становится бесконечно большой, среднее по времени от первого члена, стоящего в правой части (1.312), будет равно нулю, и для этого случая можно записать:
27 + ^ = 0,(1.313)
где черта над буквенным символом означает усреднение по времени:
<+ тf = lira Г1 \ f^dt.
■Г -* со.
Если к тому же справедливо равенство (1.301), можно также написать, что
(1.314)
В том довольно часто встречающемся случае, когда U представляет собой однородную функцию координат порядка g, можно воспользоваться теоремой Эйлера для таких функций и написать вместо правой части (1.314) — gU. Из сопоставления формул (1.313), (1.314) и (1.303) мы получаем:
2T-gU = 0,T^U = E,
2*35
вативным, если сила в каждой точке может быть полу- ч .ена из потенциальной функции U дифференцированием, а именно:
F= — 4U,(1.114)
где через V обозначен оператор градиента, компонентами которого являются операторы д[дх, д[ду, д/дг.
В этом случае
<"г*-
J (F-dx^ — $ (V U-dx) — — ir-W, (1.П5)
или, принимая во внимание (1.111) и (1.112), т-v и* = т w'.(1.116)
Потенциал U носит название потенциальной энергии, и мы видим непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция U явно не зависит от I, полная энергия частицы Е, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии
E = T-VU,(1.117)
представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую величину, которая не меняется во время движения частицы.
Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно определить консервативное поле сил требованием, чтобы интеграл / (1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени V и Г, но не зависел бы от пути, проходимого частицей в Промежутке времени между f и Г.
Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом случае будет интегралом движения, и мы можем написать:
E^-mx^A-U <у^,(1.118)
или же, разрешая относительно х,
x = [(2lm)(E-U)]'i\(1.119)
13
Капли и показать, что ее ускорение стремится* некоторому конечному пределу, когда время стремится к бесконечности.
6. Частица, масса которой равна единице, движется в потенциальном поле с потенциальной функцией U = — цг“".
Показать, что частице можно сообщить некоторую конечную скорость в любой точке А (за исключением начала координат) так, что она уйдет на бесконечность, в том и только в том случае, когда ч > 0.
Найти минимальную начальную скорость (скорость отрыва), необходимую для того, чтобы частица ушла на бесконечность, как функцию расстояния точки А от начала координат (это расстояние обозначим через а).
Пусть частица испускается со скоростью отрыва из точки А. Показать, что в любой точке своей траектории частица обладает скоростью, равной скорости отрыва; показать, что траектория частицы — если она не прямая линия — будет окружностью при п = 4; показать также, что траектория частицы—если она не прямая — не уходит в бесконечность, если п > 2.
Частица, масса которой равна единице, запускается из точки г о со скоростью ф вдоль прямой, расстояние которой от начала координат (т. е. по нормали, опущенной из начала координат на прямую) равно р. На частицу действует сила притяжения — Nr/r3. Показать, что если N/r0 <^ с2, то частица будет отклонена на угол, равный примерно л — 2 arctg (v2p/N).
Вывести соотношение (1.258), не прибегая к помощи (1.255) Указание. Полное изменение импульса рассеиваемой частицы / л Bsc 1
направлено по г0 (см. рис. 6) и равно гтисоз!-^-^ / • С другой стороны, сила, действующая в этом направлении, в любой момент времени равна (/?cos6)/r. Изменение импульса по данному направлению равно интегралу по времени от компоненты силы по данному направлению. Интегрирование по времени можно заменить интегрированием по углу В, если воспользоваться (1.214). С учетом (1.252) формула (1.258) получается непосредственно.
Вычислить дифференциальное сечение рассеяния точечной частицы на потенциальной функции, соответствующей рассеянию на жесткой сфере радиуса а.
Выразить дифференциальное сечение, полученное в предыдущей задаче, через энергию, теряемую рассеиваемой частицей.
Глава 2
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
В этой главе мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему; мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д’Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном- ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости; специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения.
Связи
Рассматривается система из N частиц; xt — радиус-вектор, проведенный к z-й частице (г = 1, 2, ..., N). Обозначим через Fi силу, действующую на Z-ю частицу. Полная сила, действующая на частицу, может быть разбита на две части: первая часть, Z^J"1, создается частицами, входящими в систему, вторая, FT\ обусловлена действием внешнего поля сил:
/^/^'Ч/Т1. (2.101)
Рассматриваемая система имеет 3N степеней свободы, и если известны все /Ч и Г^, то в принципе возможно решить все уравнения движения. Часто, однако, невозможно задать заранее все F"11 и Ftxt. Более того, часть 38
этих сил может иметь такую природу, что фактически число степеней свободы уменьшается и становится меньше, чем 3N. Чтобы понять, как такое может случиться, обратимся к трем частным случаям, когда потенциальная энергия задается соответственно в виде:
UiUi. х2) = ™а(хт — х2 — !)2; (2.102)
У2(х) = 0, |х|<4^;
(2.103)(2.103)(72(х) = ^А, 1£^|х[^1£(1 + 6), иг(х)-1, 1L(1+6)<W;
(2.103)
(2.103)
U^x, У, z^^c^ax-V^y-V^z-dY, ]а2 + Р8 + у2= 1. /
Первый потенциал относится к одномерной системе, состоящей из двух частиц; второй — к одиночной частице, движущейся в одном измерении; третий — к одной частице, движущейся в трех измерениях. Мы будем исходить из того, что в рассматриваемых случаях действуют силы, обусловленные только этими потенциалами.
В первом случае, когда потенциал определен согласно (2.102), мы вводим в качестве новых переменных относительную координату х1 — х2 и координату центра инерции (т^ + т^гУ^+тг)- Как мы видели в § 1.2, координата центра инерции описывает равномерное и прямолинейное движение системы, а для относительной координаты мы имеем [ср. с (1.122)]:
x1-x2 = l + ^?fsin^^(<-f0), (2.105) где через Е обозначена энергия относительного движения, а через р—приведенная масса, вычисляемая согласно (1.251).
Перейдем теперь к пределу, когда а стремится к бесконечности при постоянном значении Е. Мы видим, что частота колебаний разности хт — х2 вокруг значения Z возрастает, а амплитуда уменьшается. В пределе мы находим:
хт — х2 = 1; (2.106) это означает, что система ведет себя так, как если бы обе частицы находились на строго фиксированном расстоянии I
39
друг от друга. Если говорить на современном языке: степень свободы, соответствующая относительному движению, оказалась замороженной. Такое вымораживание степеней свободы имеет важное значение в тех случаях, когда используется квантовая механика. В классической же механике достаточно сказать, что на систему наложены связи;
6)
Рис. 7. а) Потенциал U2, соответствующий двум стенкам конечной высоты, равной 1/Ь.
б) Скорость частицы и в зависимости от времени для случая стенок .конечной высоты.
в) Скорость частицы у в зависимости от времени для бесконечно высоких стенок.
для той системы, которую мы только что исследовали, связь.задается уравнением (2.106).
Потенциал L\ может быть следующим образом обобщен на три пространственных измерения:
и; = 4 a' VVv^^^^Hi^ 'Л (2.107) и тогда связь (2.106) заменится уже на
1^ —л:а| = /,(2.108)
если а' стремится к бесконечности. Доказательство того, что возникает именно эта связь, довольно непосредственно и предоставляется читателю, 40
С другим случаем связи мы сталкиваемся в системе, в которой действует потенциал U2 (см. рис. 7, а); этот случай соответствует физически двум стенкам высотой 1/6. Движение частицы одномерное, и с помощью (1.120) можно найти зависимость ее координаты от времени. Нетрудно показать, что если энергия частицы Е меньше, чем 1/6, она будет двигаться взад —вперед между двумя стенками, от которых она будет отражаться. Когда частица достигает точки, соответствующей отметке А па рис. 7, а (скажем, в момент /,), она замедляет свое движение до тех пор, пока ее скорость не обратится в нуль (допустим, в момент /2 —отметка В на рис. 7, а). Затем она начинает обратное движение, ускоряясь от В к А, пока, наконец, ее скорость не достигает в точке А первоначального значения, но уже в противоположном направлении.
На рис. 7, б представлена скорость частицы как функция времени. Время /, соответствует координате частицы х = У^Е, тогда как скорость частицы у в этой точке равна у0 = (2E/mY,*. В момент времени /2 скорость у = 0, а координата частицы равна х = г/2Е + 1/гЕЬгЕ (мы предполагаем, что Д<1/6, так что '/гЛ + '/г^^^С1/?^/! 4“^))- В момент /8, соответствующий возвращению в точку А, скорость у =— у0, а координата снова равна х — 112Ь. Время т, проведенное частицей в «области стенки», определяемой неравенством V8L^х^V2L(1 4-6), можно получить из уравнения
»/,L(l + E6«)
т = 2(/а-Л) = 2(+
4.L
упростив которое мы получим:
х = тийЬ2Е.
Из этих формул видно, что в пределе 6->0 время т->0; частица просто отражается от стенки, а ее скорость меняется скачком, как это изображено на рис. 7, в. В этом предельном случае движение частицы ограничено интервалом
(2.109)
другими словами, ее движение ограничено одномерным ящиком с упругими стенками.
Третий потенциал Ua приводит к следующим уравне Ниям движения:
тх = са (ax + Pi/ + ?z — d),(2.110а)
ту = с₽ (ax + Ру + ч2 — d),(2.1106)
mi = су (ах + ₽J/ + yz — d);(2.110в)
если умножить (2.110a) на а, (2.1 Юб) на ₽, (2.110в) на у и затем сложить полученные уравнения, мы найдем, что решением полученного дифференциального уравнения будет ax+py + yz-</ = y^ siny^^-^), (2.111) где через Е обозначена энергия, соответствующая движению частицы перпендикулярно плоскости
ax-V^y-V^z = d.(2.112)
Если перейти к пределу с->оа, мы обнаружим, что движение частицы ограничено плоскостью, определяемой уравнением (2.112).
Подводя итоги, мы видим, что в трех разобранных случаях мы столкнулись со связями следующих типов: а) связи, которые фиксируют,расстояния между частицами, входящими в систему (первый случай); б) связи, которые требуют от частицы, чтобы она двигалась по заданной поверхности или вдоль заданной кривой (третий случай); в) связи, которые предписывают частице — или системе, состоящей из частиц, —движение в ограниченной области пространства (второй случай). Связи первых двух типов могут быть выражены в виде уравнений, которым должны удовлетворять координаты частицы (или частиц):
Xiх^ = 0.(2.113)
Уравнения такого вида называются кинематическими связями или иногда голономными кинематическими связями. Связи последнего типа описываются неравенствами;
Gm(xu .... XixN)^0,(2.114)
и тогда связи называются уже неудерживающими. Есть еще один вид связей, которые могут быть выражены только в дифференциальной форме; они называются неип- тегрируемыми; к этому случаю связей относится чистое качение сферы по плоскости. В дальнейшем мы ограни- 42
чимся исключительно голономными связями; лишь в §2.5 совсем кратко коснемся иеинтегрируемых связей.
Один из способов наложения связей на систему заключается в том, чтобы сказать, что рассматриваемая система обладает уже не 3N степенями свободы, а только s степенями, где число s определяется равенством
s = 3N-p, (2.115)
причем через р обозначено число кинематических соотношений (2.113), которые должны удовлетворяться. Эти кинематические соотношения ведут к появлению некоторых сил, действующих в системе и обеспечивающих выполнение этих соотношений. Если обозначить эти силы через Fi, то полную силу, действующую на z-ю частицу, можно представить в виде суммы, один член которой будет равен Ft, а другой член Ft обязан действию всех иных источников. Тогда уравнение движения z-й частицы можно записать так [ср. (2.101)]:
m^-F^F. (2.116)
Неизвестными величинами являются здесь xt и Ft, т. е. 6М переменных, тогда как уравнений у нас всего 3N-\-р, а именно 3N уравнений (2.116) и р уравнений (2.113). Нам необходимы еще дополнительные уравнения. Их можно получить, если воспользоваться принципом Д’Аламбера.
Принцип Д’Аламбера
Вернемся к тем связям, которые возникли как предельные случаи потенциалов (2.102) и (2.104). Рассмотрим виртуальные перемещения частиц bxi. Под виртуальными перемещениями мы будем понимать такие перемещения частиц, которые не нарушают кинематических соотношений. Найдем работу, совершаемую силами Ft, когда частицы совершают виртуальные перемещения. Мы убедимся, что в двух разобранных случаях виртуальная работа, совершаемая силами, действующими со стороны связей, равна нулю.
В трехмерном случае (2.107) в систему входят две частицы, и две силы, действующие в системе, /^ и F, равны по величине, противоположны по направлению (третий закон Ньютона!) и направлены вдоль прямой,
43
соединяющей эти частицы. Следовательно,
/4 =— /^ = — а' 1хх — х^,(2.201)
где а'—скалярная величина. Связь (2.106) в трехмерном случае принимает вид (2.108):
На = (хх -XfXj — х^ = /а,(2.202)
и виртуальные перемещения бхх и бха, не нарушающие уравнение связи (2.202), должны удовлетворять уравнению
кхг — хг • бх^ — бха) = 0.(2.203)
Виртуальная работа бй^, совершаемая силами связи, определяется как
6W = (Fx • 6xJ + (Га - 6х2\(2.204)
Используя выражения (2.201) и (2.203), мы получим!
6W = —a' (Xi — х, • бха + а* (Хх — ха • бха) —
= — а' (хх — ха • бхх — бха) — 0,(2.205)
откуда и вытекает доказательство нашего утверждения.
В другом случае мы записываем уравнение связи (2.112) в виде:
(n-x) = d,(2.206)
где через п обозначен единичный вектор с направляющими косинусами а, 0 и у. Сила, действующая со стороны связи F, направлена по нормали к плоскости (2.206), т. е.
F - Ал,(2.207)
где А —скаляр; виртуальное перемещение удовлетворяет условию
(л-бх)-О.(2.208)
Объединяя (2.207) и (2.208), мы находим виртуальную работу 6W, совершаемую силой F:
бГ = (Г-бх) = А(л-бх) = 0,(2.209)
что и доказывает наше утверждение и в этом случае.
Теперь мы просто определим механическую систему как такую систему, в которой виртуальная работа, совершаемая силами связи, равна нулю. Эго и есть принцип Д’Аламбера: «Виртуальная работа, совершаемая силами,
действующими со стороны связей, равна нулю в любой механической системе». В последующем мы будем рассматривать исключительно механические системы.
Здесь мы использовали принцип Д’Аламбера таким образом, что определили механические системы как такие системы, для которых этот принцип справедлив. Другими словами, мы определили Механические системы как такие системы, в которых силы, действующие со стороны связей, не могут совершать виртуальной работы. Можно, конечно, иначе ввести этот принцип (по существу этот другой способ очень мало отличается от того, что мы только что сделали), считая его просто гипотезой, которая оказывается фактически оправданной. Следует, конечно, помнить, что этот принцип теряет силу, как только мы хотим учесть влияние трения.
Принцип Д’Аламбера выражается уравнением 5(/^.6xz)-0 (2.210)
при условии, что 6xt удовлетворяют р уравнениям
2(бхгТДМ, /-1, 2, ..., р, (2.211)
где Gi — функции, входящие в кинематические соотношения (2.113). Уравнения (2.211) определяют виртуальные перемещения, т. е. такие перемещения, при которых Xi + бХь так же как Xt, удовлетворяют соотношениям (2.113).
Используя (2.210) и (2.211), мы можем теперь уже найти еще 3N — р соотношений, которые вместе с (2.116) и (2.113) позволяют нам полностью определить движение всей системы частиц. Если никаких ограничений на значения 6Xt нет, уравнения (2.210) совместны только с уравнениями Л7 = 0. Это в свою очередь приводит к исходным уравнениям движения (mzxz =/\) для того случая, когда на систему не наложены никакие кинематические соотношения. Уравнения F[ = 0 как раз и представляют нам недостающие 3N соотношений. Если же на систему наложены кинематические соотношения, тогда не все 8xt являются независимыми, но они обязаны удовлетворять (2.211). Тогда мы можем выбрать произвольно всего лишь ЗУ — р компонент §Xt из их общего числа ЗУ, а оставшиеся р компонент найдутся уже из (2.211). Можно попытаться исключить р этих компонент из (2.210),
добавив к ним р уравнений (2.211), умножив каждое из них на должным образом подобранный множитель Хь Тогда мы должны получить:
(2-2i2>
Множители Xt мы выберем таким образом, чтобы коэффициенты. при первых р компонентах бх, обратились в нуль:
f;+V/\/V;Gz = 0. (2.213)
Уравнения (2.213) справедливы для р компонст и позволяют определить всеХ;. Подставляя полученные множители Xt в (2.212), мы видим, что сумма по I, которая вначале подразумевала суммирование ЗУ слагаемых (/ = = 1, 2, ..., У и три слагаемых в каждом скалярном произведении), свелась уже к сумме ЗУ — р слагаемых. По теперь уже оставшиеся ЗУ — р компонент бх, независимы и (2.212) могут удовлетворяться только в том случае, если все коэффициенты при вх, обращаются в нуль, т. е. если (2.213) справедливо для остающихся ЗУ — р компонент. Именно это уравнение и позволяет нам, в принципе, найти решение интересующих нас уравнений движения. У насесть теперь ЗУ уравнений (2.116), р уравнений (2.113) и ЗУ уравнений (2.213) для ЗУ значений х,, для ЗУ значений F'i и р значений Xt.
Изложенный метод называется методом неопределенных множителей или методом множителей Лагранжа. Сейчас мы выясним физический смысл множителей Лагранжа Xt.
Из (2.213) и (2.116) мы приходим к уравнениям движения Лагранжа первого рода
m.Xt^Ft-^X^tGt (2 214) (=i
совместно с р кинематическими соотношениями (2.113). Мы хотели бы, однако, подчеркнуть, что, говоря об уравнениях Лагранжа, практически всегда подразумевают не уравнения (2.214), а уравнения Лагранжа второго рода, о которых речь будет идти в следующем параграфе.
Из (2.213) непосредственно видно, что Xt тесно связаны с силами, возникающими из-за наличия связей. Мы покажем это на нескольких простых примерах. Возможно, 46
простейшим примером будет наличие связи (2.206), которая ограничивает движение частицы плоскостью. В этом случае имеется всего лишь одно кинематическое соотношение и соответствующая функция G дается уравнением
G (ху= (п • х) — d, (2.215)
так что из (2.213) мы получаем:
F' = — Хп.F' = — Хп.(2.216)
F' = — Хп.
F' = — Хп.
Мы обнаруживаем, что в этом случае X — это просто абсолютная величина силы, обусловленной наличием связи.
Интересно отметить, что из ". м
мы получаем для компоненты силы Fm нормальной плоско-z
сти (2.112), в том случае, когда с имеет еще конечное значение:z'
Fa — m (х • п) =с [(л • х) — d], (2.217)
Множитель X оказывается просто v предельным значением выражения,о
стоящего в правой части (2.217).т1w
Аналогичная ситуация возникает и в машине Атвуда, состоящей'г
ИЗ Двух масс тх И т2, связанных Рис- 8. Машина Атвуда, между собой невесомой нитью заданной длины; нить перекинута через невесомый блок, вращающийся без трепня (рис. 8). Запишем уравнение связи для этого случая:
G^, z2)^zl + zi — l — 0.(2.218;
Согласно (2.213) мы получим сейчас:
F'^ — X, F't = — X.(2.219)
Уравнения же движения запишутся так:
/72^ =— m^g — X, maza =—trug — X, (2,220) где g — ускорение силы тяжести. Из этих уравнений видно, что X — это просто натяжение нити. Решить уравнения движения можно с помощью (2.218), и мы найдем, что более тяжелая масса, скажем, ть движется вниз с постоянным ускорением а, величина которого определяется по
формуле
(2.221)(2.221)a = tig,тх + m2 °
(2.221)
(2.221)
а натяжение нити X равно
_ l = ^^gt(2.222)
Результат (2.221) интуитивно очевиден: «движущая» сила равна разности сил mxg и m2g, тогда как инерциальные свойства системы описываются суммой масс тх и т2.
В качестве последнего примера мы рассмотрим двухатомную молекулу (гантель), центр инерции которой ограничен в своем движении плоскостью. Уравнений связи в этом случае уже два:
Gi ^ (хх - хгу + (ух - у2у + (г! - г2у -1е = 0,
G2 = (тххх + т,х2 -n)-d = 0.
Из (2.213) мы получим:
F, = —2/ч (хх — xd) — Х2тхп,
F4 = 2/., (хх — х4) — Х2т2п.(2.224)
Из этих уравнений следует, что возникающие из-за наличия связи силы направлены вдоль оси молекулы. Силы эти пропорциональны Zj и подчиняются третьему закону Ньютона (действие равно противодействию). Возникают также силы связей, пропорциональные Х2. Если мы составим их результирующую, действующую на центр инерции молекулы, мы получим:
/^.и м.”1X2(jnx-\-tn^ п..(2.225)
Это выражение полностью аналогично силе связи, определяемой согласно (2.216), но теперь уже оно относится к центру инерции молекулы, а не к отдельной частице.
Вернемся теперь к обсуждению общего случая.Объединив (2.210) и (2.116), мы можем придать принципу Д’Аламбера вид:
2 <mtxt - Ft • 6х,) = 0,(2.226)
где вх, удовлетворяют уравнениям (2.211). Рассмотрим теперь две возможные траектории системы. Это значит, что мы рассматриваем две траектории, для которых выполняются кинематические соотношения. Пусть, далее, одна
48
и» етих траекторий, а именно х,(/), соответствует действительному движению системы. Вторая возможная траектория описывается уравнением X, (/) Ц-бх, (/). Мы рассматриваем возможные траектории, достаточно близкие к действительной, и поэтому можем считать 6X1 (/) малыми величинами. Для вариаций 6xi скоростей мы найдем:
6^ = ^ (х, + бх,) - -^ Xi = ^ 6х<, (2.227)
обнаружив при этом важную особенность вариационного исчисления: переставимость варьирования и дифференцирования. Если рассмотреть две траектории, проходимые в промежутке времени от tx до Z2, мы найдем из (2.226):
fl
(2.228)(2.228)§ У (т^, — Fi • бх,) dt = О, t* i
(2.228)
(2.228)
поскольку подинтегральное выражение тождественно равно нулю в любой момент времени. С помощью (2.227), интегрируя первый член по частям, мы получим:
O^^irii (Xf&Xi) £O^^irii (Xf&Xi) £бГ + У^гбха dt,бГ + У^гбха dt,(2.229)(2.229)
O^^irii (Xf&Xi) £
O^^irii (Xf&Xi) £
бГ + У^гбха dt,
бГ + У^гбха dt,
(2.229)
(2.229)
где через Т обозначена полная кинетическая энергия:
Т = ^2т;Х,5.(2.230)
Если же ограничиться системами, в которых силы Ft получаются из потенциальной энергии U,
Fi^ — ^iU,(2.231)
так что
У (Ft- 6Xj) = - 6U,(2.232)
и такими вариациями бх,, что
6X1 = 0 при t — ty и при t = t4,(2.233)
то из (2.229), (2.232) и (2.233) мы получим: ftftfl
^(6Т— 6U) dt = 6 ^(T — U) dt = b ^Ldt = 0,(2.234)
где через L обозначена функция Лагранжа (или лагранжиан), определяемая согласно равенству
L = T — U.(2.235)
Уравнение (2.234) носит название вариационного принципа Гамильтона; оно годится в том случае, когда концы траекторий остаются без изменений, т. е. не варьируются. Принцип Гамильтона эквивалентен как принципу Д’Аламбера, так и исходным ньютоновским.уравнениям движения, если только траектории, по которым движутся частицы, удовлетворяют кинематическим соотношениям. Преимущество принципа Гамильтона над двумя вышеупомянутыми формулировками законов движения состоит в том, что он не зависит от выбора координат, с помощью которых описывается система.
Уравнения Лагранжа
Мы уже говорили о том, что кинематические соотношения ограничивают число степеней свободы рассматриваемой системы до ЗУ — р (=s), и во многих случаях более удобно сразу ввести s независимых переменных, задание которых полностью определяет состояние системы, чем по-прежнему пользоваться N величинами Xt (т. е. ЗУ декартовыми координатами) наряду с кинематическими соотношениями и множителями Хь Следует отдавать себе отчет в том, что, переходя к обобщенным координатам qk (^=1, 2, .... s), как принято называть такие новые параметры, мы, Как и раньше, имеем дело с механическими системами, для которых справедлив принцип Д’Аламбера; Однако эта гипотеза не выступает здесь уже столь очевидным образом. Обобщенные координаты qk являются функциями всех Xt и обратно; что касается обобщенных скоростей i)k, то они связаны с Xt соотношениями
<2-301)
Подставляя х-п выраженные через qk согласно (2.301), в выражение (2.230) для кинетической энергии, мы получим;
Т — 2 ^ аыМьТ — 2 ^ аыМь(2.302)(2.302)
Т — 2 ^ аыМь
Т — 2 ^ аыМь
(2.302)
(2.302)
где ам являются функциями от qb, определениями согласно формулам
<2.3031
Из (2.302) видно, что Т есть однородная квадратичная функция qk.
Вплоть до этого момента всюду предполагалось, что потенциальная энергия (/-зависит только от координат х,; теперь, следовательно, потенциальная энергия будет функцией только обобщенных координат дк, т. е. U — U(q^. Лагранжиан же будет функцией как qk, так и qk (в этой же главе ниже будет также кратко рассмотрен и потенциал, зависящий от скоростей):
L = L^qk, ^k) = T(q,„ q^-U<qk\ (2.304)
Применим теперь вариационный принцип Гамильтона к лагранжиану (2.304). Вариация лагранжиана запишется в виде:■■ \-
<2-305) hk
тогда как граничные условия (2.233) здесь уже перепишутся так:
6qb = 0 при t — tY и при ( = (2.(2.306)
Из вариационного принципа (2.234) мы получим теперь:
°- VLdl-
+ У 3 - 6qk dt = ( У Г~ - 5 6qk dt. (2.307)
Мы воспользовались здесь тем обстоятельством, что 6<7/< и 8qk не независимы друг от друга: величины 6qk являются просто производными по времени от 6qk [ср.
Настало время, когда мы можем воспользоваться преимуществами, которые нам предоставляет введение обобщенных координат. Поскольку обобщенных координат ровно столько, сколько степеней свободы у системы, вариации 6qk являются независимыми функциями времени и уравнение (2.307) может быть удовлетворено только в том случае, если справедливы следующие s уравнений:
= ^=1, 2, ...,s. (2.308) di dqk oqk ’ ’ ' '
Уравнения (2.308) называются уравнениями Лагранжа второго рода или чаще просто уравнениями Лагранжа. Поскольку вывод соотношений (2.308) не зависит от выбора координат, то, переходя от одних обобщенных координат qk к другим q'k, мы придем к уравнениям Лагранжа вида
(2.309)(2.309)d dL dLdt дЧ*к ~ °4k
(2.309)
(2.309)
Прежде чем заниматься более подробным исследованием уравнений Лагранжа, мы введем обобщенные импульсы Рк, определив их равенствами
Ph dqVPh dqV(2.310)
Ph dqV
Ph dqV
Для декартовых координат обобщенные импульсы рк совпадают с проекциями обычного импульса отдельных частиц. Используя обобщенные импульсы, можно переписать (2.308) в виде:
»--№ <2^Н)
Применим теперь уравнения Лагранжа к исследованию некоторых физических систем. Прежде всего заметим, что для системы без связей в качестве обобщенных координат можно использовать декартовы координаты хь В этом случае лагранжиан имеет вид:
£=’ ^пШ1 + а’ + ^-Щхх, xit ...), (2.312) i
так что
dUдх/ "dUдх/ "dL . dL . dL . dL
dU
дх/ "
dU
дх/ "
-™ = rnixi, ~=тЛ:, -— = miZi, — dxi ‘ ' dyi 3 dudxt
и уравнения (2.308) сводятся к ньютоновским уравнениям движения (1.302).
52
В качестве следующего примера мы рассмотрим одну частицу в поле сферически симметричного потенциала U (г). Здесь удобно выбрать в качестве обобщенных координат сферические координаты, т. е. положить ^ = г, qt = 6 и <7з = Ч Кинетическая энергия системы может быть представлена в виде:
Г - ’ т (гЧ г’б2 + г2 sin’ В ф2),(2.313)
так что лагранжиан запишется так:
L = 1 щ (г2 + г’62 + г2 sin2 9 ф’) - U (г).(2.314)
Выпишем обобщенные импульсы для этого случая:
pr = ^ = mf,(2.315)
ре = ^ = тг^,(2.316)
P<r=’^ = mr2s'n,94l-(2.317)
Из (2.315) видно, что р, представляет собой радиальный импульс, т. е. компоненту импульса в направлении радиус-вектора. Обобщенный импульс рф (2.317) представляет собой компоненту полного момента импульса относительно полярной оси. Если сферические координаты г, В, <р связаны с декартовыми координатами обычными формулами
х=г$1п8со$ф, у = г sin 0 sin ф, z = rcos8, (2.318) то рф равно z-компоненте момента импульса М, определяемого согласно (1.209), в чем легко убедиться простой подстановкой переменных (2.318).
Квадрат абсолютной величины момента импульса М* может быть выражен через рв и рф:
(Ы|91
Из уравнений Лагранжа мы получим:
/>Ф = 0,(2.320)
Р9 = ^-.(2.321)
53
Последнее уравнение дает!
(2.322)(2.322)P^ctge"6 mr2 sin2 В ‘
(2.322)
(2.322)
Сопоставляя (2.319), (2.320) и (2.322), мы обнаруживаем, что Л1 = 0 или что М2 = const. Если мы выберем полярную ось таким образом, чтобы она в какой-то точке пересекала траекторию частицы, то увидим из (2.317), что в точке пересечения, где 6 = 0, а г и ф конечны, обобщенный импульс рф обращается в нуль. А так как согласно (2.320) рф — О, то р„ всегда равно нулю. Из (2.319) выте
Рис. 9. Маятник Томсона —Тэта. Невесомый стержень АВ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через CD, a CD может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости CDE.Рис. 9. Маятник Томсона —Тэта. Невесомый стержень АВ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через CD, a CD может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости CDE.кает тогда, ЧТО рд в этом случае будет полным моментом импульса. Соотношение (2.316) тогда совпадает с (1.214) и последнее уравнение движенияРг-^ (2.323)кает тогда, ЧТО рд в этом случае будет полным моментом импульса. Соотношение (2.316) тогда совпадает с (1.214) и последнее уравнение движенияРг-^ (2.323)и г2 наряду со связью (2.218) координату q (= zx), так чти г2 наряду со связью (2.218) координату q (= zx), так чтсведется к (1.227), если принять во внимание (2.314), (2.315) и Рф = 0.Вернемся теперь еще раз к машине Атвуда (рис. 8). Вместо двух координат гг мы введем одну обобщенную > гй — 1 — q. Потенциальнаясведется к (1.227), если принять во внимание (2.314), (2.315) и Рф = 0.Вернемся теперь еще раз к машине Атвуда (рис. 8). Вместо двух координат гг мы введем одну обобщенную > гй — 1 — q. Потенциальнаяэнергия дается уравнениемэнергия дается уравнением
Рис. 9. Маятник Томсона —Тэта. Невесомый стержень АВ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через CD, a CD может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости CDE.
Рис. 9. Маятник Томсона —Тэта. Невесомый стержень АВ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через CD, a CD может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости CDE.
кает тогда, ЧТО рд в этом случае будет полным моментом импульса. Соотношение (2.316) тогда совпадает с (1.214) и последнее уравнение движения
Рг-^ (2.323)
кает тогда, ЧТО рд в этом случае будет полным моментом импульса. Соотношение (2.316) тогда совпадает с (1.214) и последнее уравнение движения
Рг-^ (2.323)
и г2 наряду со связью (2.218) координату q (= zx), так чт
и г2 наряду со связью (2.218) координату q (= zx), так чт
сведется к (1.227), если принять во внимание (2.314), (2.315) и Рф = 0.
Вернемся теперь еще раз к машине Атвуда (рис. 8). Вместо двух координат гг мы введем одну обобщенную > гй — 1 — q. Потенциальная
сведется к (1.227), если принять во внимание (2.314), (2.315) и Рф = 0.
Вернемся теперь еще раз к машине Атвуда (рис. 8). Вместо двух координат гг мы введем одну обобщенную > гй — 1 — q. Потенциальная
энергия дается уравнением
энергия дается уравнением
U = — mTgq - nttg (l-q),U = — mTgq - nttg (l-q),(2.324)(2.324)
U = — mTgq - nttg (l-q),
U = — mTgq - nttg (l-q),
(2.324)
(2.324)
тогда как кинетическую энергию системы можно предста- ить так:
Т-1 <тгА-т^.(2.325)
Уравнения Лагранжа (2.308) дают:
(mi + m2) q = (mi - m2) g(2.326)
в соответствии с (2.221). Мы не получили, конечно, выражения для натяжения нити, но можем его вычислить по силе, действующей на одну из масс, входящих в систему.
Наш последний пример —это так называемый маятник Томсона —Тэта (рис. 9), который состоит из двух равных 64
масс т, закрепленных на концах невесомого стержня АВ, длина которого равна 26. Середина этого стержня С прикреплена к концу невесомого стержня CD, длина которого равна а. Стержень CD может свободно двигаться в горизонтальной плоскости, а стержень АВ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через прямую CD. Система имеет две степени свободы, и в качестве обобщенных координат мы выберем угол ср между CD и заданным направлением DE в фиксированной горизонтальной плоскости и угол 9 между АВ и CD (см. рис. 9). Поскольку обе массы равны и центр инерции фиксирован в горизонтальной плоскости, потенциальная энергия в гравитационном поле (которое предполагается однородным) сводится к константе, которую можно считать равной нулю. Кинетическая энергия системы может быть получена из выражения
тЦ-пЦ^Ш^МШ (2.327)
если воспользоваться следующими выражениями для хи Vi, Zb хг, у2, Z2i
Xj — a cos ф 4- 6 cos 6 cos ф, х2 = а cos ф — 6 cos 6 cos ф, уv = a sin ф4-6 cos 6 sin ф, t/2 = asin ф— b cos 6 sin ф, (2.328) 2, =6 sin 6,z2= —6sin9.
Окончательно кинетическая энергия, а следовательно, и лагранжиан запишутся в виде;
L — T = ^гп [6292 + (а + Ь cos 9)2 ф2] +
+ т [6262 + (а — b cos 9)2 ф2] =
= m62924-m (а24-62со52 9)ф3. (2.329)
С помощью (2.308) мы находим уравнения движения:
|ф-= ^ = 0 илн Р<р = const,(2.330)
2m626+ 2m62 cos 6 sin 6 ф2 = 0.(2.331)
Из (2.330), (2.331) и выражения для р^,
р^ = 2m (а2 + b2 cos2 9) ф,
мы находим дифференциальное уравнение
sin 6 cos 6
(2.333)
из которого функция 6 может быть найдена двойной квадратурой. Мы еще вернемся к (2.333) в следующем параграфе.
Циклические координаты
Нередко бывает так, что какие-то координаты сами в лагранжиан не входят, а входят лишь их производные по времени. В предшествующих параграфах мы встречались с такими случаями; например, в лагранжиан (2.314) не входил полярный угол ф, а в лагранжиан (2.329) не входил угол ф, имеющий, правда, иной смысл. Такие координаты принято называть циклическими (или реже игнорируемыми). Появление первого термина связано с тем, что очень часто такими координатами оказываются углы (как это и было в двух приведенных примерах); что касается второго термина, то его происхождение станет ясным чуть позже.
Пусть qs — игнорируемая координата. Тогда из (2.308) и (2.310) мы найдем, что
==(2.401)
dt dqs dqs dt ’v 7
или же
ps = const.(2.402)
Равенство (2.402) можно использовать для того, чтобы исключить (игнорировать) степень свободы, связанную с обобщенной координатой qs. Делается это следующим образом. Равенство (2.402) определяет связь между Ах» Аг, ...» As-ъ As, qi> Чг> ■••• Qs-i и постоянной величиной ps. Это равенство можно рассматривать как уравнение и разрешить его относительно As, выразив эту величину через остальные переменные:
As = As(.Ai, АгAs-v qi, •••» 4s-v* ps), (2.403) где мы не должны забывать о том, что ps — постоянная величина. Введем теперь так называемую функцию Рауса, определив ее следующим образом:
Если воспользоваться теперь (2.402) и (2.403), мы пай дем, что
R = R^i, ... qs-i, qiq$-i. PsY (2.405)
Чтобы написать уравнения движения через функцию Рауса, составим вариацию
откуда непосредственно вытекает выражение для 6R:
6R = 6(L- psqs) = 6L- ps6q$ - qs6ps =
= 5 P»6<7« + У pfe6qfe-qs6p$1 (2.406) 4 = 14 = 1
причем мы использовали для рк их выражение через (2.310), а также (2.401). Из (2.406) находим:
<2-407)
iiS-S—О, 4-1S-1.(2.408)
dt dqk dq6*’v 7
Можно решить уравнения (2.408), и когда все рк и qk для к = 1, ..., s—1 будут найдены, можно воспользоваться уравнением
4=--^.(2.409)
чтобы получить qs в зависимости от времени. Отметим, что уравнения (2.408) по форме совпадают с уравнениями Лагранжа (2.308), но их на одно уравнение меньше; точло так же (2.407) по форме совпадают с (2.310) и (2.311).
Если циклических координат не одна, а несколько, можно всех их игнорировать одновременно, составив функцию Рауса
R-L-^Piih,(2.410)
где суммирование ведется по всем игнорируемым степеням свободы.
Мы продемонстрируем применение функции Рауса на примере игнорирования степеней свободы, связанных с центром масс. Рассмотрим систему из N частиц с координатами Xi (<=1, ..., N), потенциальная энергия которых зависит только от относительного расстояния между частицами:
U=lA\Xi-Xj\Y(2.411)
Введем координаты центра масс
MX=£mix1, М = ^т,(2.412)
. ii
и координаты относительно центра масс
x'i = Xi — X,(2.413)
которых остается всего лишь 3N — 3, поскольку они должны удовлетворять равенствам
^miXi^O,(2.414)
i
как это сразу же вытекает из (2.412) и (2.413).
Кинетическую энергию системы можно представить в виде:
T = ^mA3Ci.x1) = ^MU-X') + ^mi(sxi.XH ii
^^m-AXi-x'^T. + T^ (2.415)
где мы воспользовались (2.414) и где через Т\ и Т2 обозначены соответственно кинетическая энергия, связанная с движением центра масс, и кинетическая энергия, связанная с движением частиц относительно центра масс:
Т^Л^Х-Х), Т^^^пгАхиХ^. (2.41G)
Из (2.411) вытекает, что потенциальная энергия зависит только от x'i, так что лагранжиан
L = T-U = T1 + T1-U(2.417)
не содержит координат центра масс, которые оказываются, таким образом, игнорируемыми. Введем функцию Рауса
R-L-^P. X),(2.418)
где
р.^^^мкдХ
(2.419)
представляет собой вектор полного импульса. Функция Рауса превращается тогда в
R=-TX-V1\-U,(2.420)
и уравнения (2.408) дают уравнения относительного движения, тогда как (2.409) описывает равномерное и прямолинейное движение центра масс.
Рис. 10. Случай «скрытых» масс. Масса т3 свободно движется в горизонтальной плоскости, а нить, связывающая массы тг и т2, может двигаться без трения через отверстие в этой плоскости.Рис. 10. Случай «скрытых» масс. Масса т3 свободно движется в горизонтальной плоскости, а нить, связывающая массы тг и т2, может двигаться без трения через отверстие в этой плоскости.дифференциальное уравнениедифференциальное уравнениеВ заключение этого параграфа мы коротко остановимся на одном вопросе, который в наше время почти полностью утратил актуальность, но вызывал огромный интерес на заре развития классической механики. Вернемся к маятнику Томсона — Тэта, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Там оказалось, что угол ср был игнорируемой координатой. Мы обнаружили, что переменную ср можно исключить и получить уравнение движения (2.333) для оставшейся координаты 6. Конечно, то же самое уравнение можно было бы получить, если ввести функцию Рауса и игнорировать переменную ср способом, который мы только что описали. Если взглянуть на гюлучень
Рис. 10. Случай «скрытых» масс. Масса т3 свободно движется в горизонтальной плоскости, а нить, связывающая массы тг и т2, может двигаться без трения через отверстие в этой плоскости.
Рис. 10. Случай «скрытых» масс. Масса т3 свободно движется в горизонтальной плоскости, а нить, связывающая массы тг и т2, может двигаться без трения через отверстие в этой плоскости.
дифференциальное уравнение
дифференциальное уравнение
то видно, что хотя никакой потенциальной энергии у системы нет, уравнение (2.333) имеет в точности такой же вид, как уравнение одномерного движения в потенциальном поле. Обратив внимание на такие случаи, Герц пришел к выводу, что в сущности никакой потенциальной энергии не существует: она появляется только тогда, когда мы рассматриваем незамкнутую систему. Такая точка зрения уже неприемлема в наше время; действительно, можно подойти к этому вопросу с несколько другой стороны, как мы убедились в этом в самом начале етой главы: мы показали, что кинематические соотноше-
ния могут быть получены предельным переходом из подходящим образом выбранной потенциальной энергии.
В этой связи говорят иногда о скрытых массах1, такие скрытые массы, как это предполагалось, вызывают посредством кинематических соотношений псевдопотенциаль- ную энергию такого типа, с каким мы столкнулись в (2.333). Разберем очень простой пример, в котором и в самом деле скрытая масса создает такую псевдопотенциальную энергию (рис. 10). Две массы тх и т2 связаны невесомой нитью длины /. Масса т2 может свободно перемещаться по горизонтальной плоскости, нить может двигаться без трения через отверстие в плоскости, а масса тх движется вертикально. Система обладает двумя степенями свободы, и за обобщенные координаты мы примем величины х и <р (см. рис. 10). Лагранжиан системы запишется в виде: ’
L = у т^2 + у т2х2 + 2 тг (/ — х)2ф2 + тх§х. (2.421)
Координата <р — игнорируемая, и мы можем ее проигнорировать, составив функцию Рауса:
Я = L - рфф = * ^х + m,) ^2 - 2^ДЗ^ + т^- (2.422)
Исходная система свелась к одномерной, вместе с тем появился «псевдопотенциал» U'x
(2.423)
Неголономные связи. Потенциал, зависящий от скорости
Хотя у нас нет намерения входить в подробности, касающиеся неголономных связей, есть один интересный класс неголономных связей, на котором нам хочется хотя бы коротко остановиться. Речь идет о неинтегрируемых связях. В качестве примера физической системы, где встречаются такие связи, мы можем взять обруч (см. задачу № 4 к этой главе). Если через х и у обозначить координаты точки, в которой обруч касается земли, а через 6 —угол, показывающий, на сколько повернулся обруч, условие чистого качения имеет вид]
6л-2 + 6//2 = /?2662,
где через R обозначен радиус обруча,
Рассмотрим систему, в которой кроме р связей вида (2.113) действуют еще г неинтегрируемых связей типа ^a^bqk = O, /=1г. (2.501)
В соотношениях (2.501) уже введены обобщенные координаты qk, т. е. мы уже приняли во внимание наличие голономных связей.
Вариационный принцип (2.307) остается справедливым, так что мы можем написать
-S^]6»“" = °-S^]6»“" = °(2.502а)(2.502а)
-S^]6»“" = °
-S^]6»“" = °
(2.502а)
(2.502а)
вместе с условиями
6g* = 0 при ^ = ^ и при 1 = 1г,(2.5026)
но теперь уже 6qk больше не независимы, поскольку в любой момент времени они должны удовлетворять соотношениям (2.501). Выход из этого затруднения открывается снова в методе множителей Лагранжа, из которого в данном случае вытекает равенство
(2.503)
Теперь уже можно рассматривать 6qk в качестве независимых переменных (ср. рассуждения в § 2.2), и тогда мы получаем уравнения движения
4- У = 0(2.504)
dt dqk dqk Li 1x '
в форме, которая является промежуточной между уравнениями Лагранжа первого и второго рода. Множители Хр как и раньше, связаны с силами, действующими со стороны связей, а сопоставляя (2.504) с (2.501), можно найти величины qk и X/ в зависимости от времени. Пример такого промежуточного случая можно найти в задаче 4, упомянутой выше (см. стр. 66).
До сих пор всюду предполагалось, что потенциальная энергия U зависит только от qk. Однако вывод уравнений (2.308) не изменится и в том случае, если U зависит не только от qk, но и от cjk. В этом случае уравнения (2.308)
примут ВИД!
d дТd 6U'ЭТ , ди п
dt d4fedtdqkdqk^ dqh~Q-<2'505)
Очень важным примером такого случая является движение заряженной точечной частицы в электромагнитном поле ). Через Е мы обозначим напряженность электрического поля, а через В —магнитную индукцию; эти величины связаны со скалярным и векторным потенциалами формулами:
£=_?Ф-^, S = [V, Л].(2.506)
Уравнения движения могут быть получены из (2.505), если принять за потенциальную энергию выражение
£7 = еф-е(Л-х).(2.507)
Действительно, используя формулу
^ = ^ + (х-7)Л,(2.508)
мы получим из (2.505):
тх = — е7ф — е^ + е[л:, [V, Л]] = /Д,(2.509)
где через FL обозначена сила Лоренца:
FL = e{E + [x, В]}.(2.510)
Законы сохранения
Тот факт, что любой обобщенный импульс, соответствующий игнорируемой координате, является интегралом движения [см. (2.402)], подсказывает нам общую теорему о том, что если лагранжиан инвариантен относительно некоторой группы преобразований, включающей в себя бесконечно малые преобразования, то отсюда следует наличие какого-то закона сохранения ). В этом пара-
графе мы получим три закона сохранениям помощью таких соображений.
Рассмотрим преобразование
Xi — XiA-^Xt, или qit —qjA^qh. (2.601)
Эти преобразования изменяют лагранжиан, причем его изменение SL можно описать формулами:
6L = У ^iL-бхА или 6Е = У^6^. (2.602)
Левая формула удобна в том случае, когда система описывается декартовыми координатами, правая — когда применяются обобщенные координаты qk. Если группа преобразований, о которой шла речь в начале параграфа, может быть описана через изменение одной подходящим образом выбранной обобщенной координаты, скажем qr, то для любого произвольного изменения qr, т. е. для любого 6qr, лагранжиан не должен изменяться, т. е. 5L = 0, и следовательно,
а^=о,(2.603)
откуда вытекает, что
pr = const.(2.604)
В §2.4 мы убедились в том, что для систем, потенциал которых зависит только от относительного расстояния между частицами, импульс, соответствующий координатам центра масс, является интегралом движения. Соответствующими обобщенными импульсами рг будут, таким образом, три компоненты полного импульса системы. Чтобы показать это, мы замечаем, что для систем такого рода лагранжиан инвариантен относительно любого поступательного перемещения (трансляции), т. е. инвариантен относительно всех преобразований вида
(2.605)(2.605)Xi — Xi + е,
(2.605)
(2.605)
где через 8 обозначен произвольный вектор. Из (2.602) тогда следует, что
6L = 0^ V^L' е)>6L = 0^ V^L' е)>(2.606)(2.606)
6L = 0^ V^L' е)>
6L = 0^ V^L' е)>
(2.606)
(2.606)
или же
поскольку вектор е — произвольный. Используя уравнения Лагранжа (2.308), получим:
= о(2.607)
или
У^- = У m.^-P-const.(2.608)
i 1 Т
Мы видим, что закон сохранения полного импульса следует из того, что лагранжиан инвариан тен относительно любых поступательных перемещений.
Теперь перейдем к случаю, когда лагранжиан инвариантен относительно вращения вокруг некоторой оси. Пусть эта ось параллельна некоторому вектору л; через бф мы обозначили угол поворота вокруг этой оси. Координатой qr, фигурирующей в (2.603), является, таким образом, угол ф, и следует ожидать, что соответствующий обобщенный импульс р^ окажется интегралом движения. Этот импульс оказывается просто моментом импульса относительно этой оси.
Проще всего это обнаруживается, если вспомнить, что вращение вокруг л на угол бф соответствует преобразованию координат
xt — X, + бф [л, х,],(2.609)
и (2.602) может быть поэтому записано в виде:
б£=-0=5бф(7,£.[л, X,]).(2.610)
i
Последнее выражение может быть преобразовано:
бф^^Ч-^п^Й = 0- (2.611)
i\</
Или же окончательно:
m^d^const = М„,(2.612)
\ i/
где через М„ обозначена компонента полного момента импульса системы (1.309) вдоль направления ц,
Отсюда сразу же следует, что если лагранжиан инвариантен относительно любых вращений, то полный момент импульса системы сохраняется.
И, наконец, остановимся на том случае, когда лагранжиан инвариантен по отношению к изменению временной координаты, т. е. когда лагранжиан не зависит от времени явно:
^ = 0.(2.613)
В этом случае мы найдем, что
dLv dL , , V dL - . dL
dttidqh 4* ^dqj,' dt
кk
Ldtdq^» 1 ^d^ dt ~^dtA^ <W ккк
где в промежуточных выкладках использованы лагранжевы уравнения движения и (2.613). В том случае, который для нас особенно интересен, когда потенциальная функция U зависит только от координат qh, a qh входят только в кинетическую энергию, которая к тому же является однородной квадратичной функцией qk, мы получим:
= У<?ЛГ = 2Г.(2.615)
кк
Тогда из равенства (2.614) вытекает:
»(I - 2° - а '1Т^ <2-6161
\ А /
откуда, наконец, можно заключить, что
Е = Т-V (/ = coast,(2.617)
где через Е обозначена полная энергия системы.
Итак, если лагранжиан инвариантен относительно преобразования времени, то из этого обстоятельства вытекает1 закон сохранения энергии. Фактически этот результат представляет собой лишь частный случай первого закона сохранения, полученного выше, если декартовы координаты рассматривать на равных правах с времен- нбй координатой (ср. § 5.4).
ЗАДАЧИ
Рассмотреть движение сферического маятника с помощью уравнений Лагранжа первого рода.
Рассмотреть движение точечной частицы на наклонной плоскости в однородном поле тяжести с помощью уравнений Лагранжа первого рода.
Используя уравнения Лагранжа первого рода, рассмотреть движение частицы, ограниченной в своем движении линией пересечения поверхности сферы и заданной плоскости.
Исследовать движение обруча, катящегося по наклонной плоскости,
С помощью уравнений Лагранжа исследовать движение двух частиц, связанных гибкой нерастяжимой пятью, движущейся без трения. Одна из частиц движется по гладкому горизонтальному столу, а нить проходит через небольшое отверстие в столе к другой частице (см. рис. 10 на стр, 59).
Твердый однородный цилиндр массы т и радиуса г катится без скольжения по наклонной плоскости клина массы М, который лежит на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Угол, составляемый наклонной плоскостью и горизонтом, равен ip; движение происходит в плоскости, перпендикулярной горизонтальной плоскости, проходящей через нормаль к наклонной плоскости. Найти ускорение клина, используя уравнения движения Лагранжа.
Однородный стержень весом .Ид и длиной L опирается одним концом на гладкую горизонтальную поверхность, а другим —на гладкую вертикальную стенку, В начальный момент стержень покоится, находясь в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенке, составляя угол 60° с горизонтальной плоскостью. Интегрируя уравнения Лагранжа, определить движение стержня до того, пока он не ударится о горизонтальную поверхность.
Бусинка массы т свободно скользит по гладкой проволоке, изогнутой в виде окружности радиуса а, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через одну из ее точек нормально к плоскости окружности. Исследуйте подробно движение бусинки и найдите выражение для реакции связи, действующей со стороны проволоки но бусинку.
Глава 3
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Довольно подробно рассматривается общая теория малых колебаний около положения равновесия; показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А2В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения.
Теория малых колебаний
Мы начнем этот параграф с того, что займемся состояниями равновесия механических систем, т. е. систем, движение которых может быть описано уравнениями Лагранжа:
dt dqk dqk v 1
Мы снова предположим, что потенциальная энергия U не зависит от обобщенных скоростей, так что лагранжиан L можно представить в виде:
L(qb qk) = T(qk, q^-U^, (3.102) где Т — кинетическая энергия системы.
Состояния равновесия системы определяются как такие состояния, описываемые набором обобщенных координат qk\ для которых qk = 0 при qk = q'kt причем и все высшие производные по времени от qk также обращаются в нуль:
qk = q™ и qk = 0-yqk = 0, qk = 0, "qk=A ... (3.103) Это означает, что если все частицы, составляющие систему, находятся в покое в положениях, соответствующих
обобщенным координатам qk = qk, то они и всегда останутся в покое, т. е. условие qR = qk вместе с <7/, = О при / = (0 должно иметь следствием соблюдение равенств qk = q£ в любой последующий момент времени.
В предыдущей главе мы установили (см. (2.302)), что кинетическая энергия системы может быть записана в виде:
T=^aklqkqb(3.104)
к, I
причем aki( = alk') в общем случае зависят от qk. Если воспользоваться равенством (3.104) для кинетической энергии Т, то из (3.101) можно получить:
Уа^1=°- (3•1 °5)
II, tnI, пг
dQmk daim 1 dqtdqk J ’dQmk daim 1 dqtdqk J ’Если ввести так называемые символы Кристоффеля <>
dQmk daim 1 dqtdqk J ’
dQmk daim 1 dqtdqk J ’
(3.106)
то (3.105) можно переписать в виде:
\qiqm = Fkl(3.107)
/I, tn
где мы ввели обобщенные силы FS;
(3.108)(3.108)гй9U
(3.108)
(3.108)
к8Цк ’
Символы Кристоффеля играют важную роль в римановой геометрии. С их значением дтя формулировки классической механики можно познакомиться в книгах: Д. Д. Мак-Коннел, Введение в тензорный анализ, Физматгиз, 1963; И. Сокольников, Тензорный анализ, «Наука», Главная редакция физ.-мат. литературы, 1971.
Из условий (3.103), определяющих состояние равновесия, и равенства (3.105) вытекает, что необходимыми условиями равновесия являются равенства
'5^ = °' Л=1S ПрИ ^Ч” (/ = 1s)‘
k (3.109)
Это означает, что в положении равновесия потенциальная функция имеет экстремум, или, точнее, принимает 68
стационарное значение. Существует, однако, несколько возможностей, некоторые из которых для случая s = 2 иллюстрируются на рис. 11. Рис. 11, а соответствует абсолютному минимуму, и состояние равновесия устойчивое. Рис. 11, г соответствует абсолютному максимуму, а
Рис. 11. Возможные формы поверхности уровня двумерной потенциальной энергии как функции обобщенных координат для различных состояний равновесия: а) устойчивое равновесие, б) неустойчивое равновесие, в) безразличное равновесие, а) неустойчивое равновесие.
рис. 11,6-- седловой точке; в обоих последних случаях равновесие неустойчивое. Наконец, рис. 11, а соответствует безразличному ■ равновесию.
Теперь мы займемся малыми отклонениями от положения равновесия. Для упрощения формул мы перенесем начало координат в ^-пространстве так, чтобы для рассматриваемого состояния равновесия (не следует забывать, что может быть вовсе не один набор значений координат, удовлетворяющий условиям равновесия) все q^1 обратились в нуль. Это значит, что, когда мы будем рассматривать малые отклонения от положения равно-
весия, значения qk будут малы, и мы можем воспользоваться разложением в ряд по этим малым величинам, ограничившись лишь несколькими первыми членами. Именно таким образом можно записать приближенные значения кинетической и потенциальной энергий:
кк, I
(3.110)
Т(«,++(3.111)
A, Z Lni_
Воспользовавшись (3.109), полагая 1/(0) = 0 и опуская все члены в U третьего порядка и выше по q и все члены первого порядка и выше в Т, мы получим следующее выражение для лагранжиана:
L = T-U = ^СиДи^ - 1 ^ Мк<Ь (3.112) к.1к. I
где
См = (Щ/)о = Cik) Ьк^^^Л^ b[k. (3.113)
Уравнения Лагранжа (3.101) приводят к основным уравнениям теории малых колебаний:
^МЯ-^ММ А=1s- (З.Н4)
Для решения этих уравнений мы будем искать собственные колебания системы, т. е. такие решения, при которых все qk колеблются с одной и той же частотой. Это эквивалентно (как мы сейчас убедимся) отысканию другой совокупности координат, Qm) таких, что в этих координатах уравнения движения приобретают простой вид:
Qm + ^mQm = O, m=ls. (3.115)
Величины Qm получаются из qk линейным преобразованием, откуда следует, что если собственные колебания qk удовлетворяют равенствам
qk = Ake^,(3.116)
где частота со одинакова для всех qk, то амплитуды Ак должны удовлетворять определенным уравнениям.
70
Чтобы убедиться во всем этом, мы исходим из (3.114). Умножая каждое из уравнений на постоянный множитель аА и суммируя по к, получим:
5 ckiMi + 2 bkla.kqt = 0. к, Iк, I
Воспользовавшись симметрией коэффициентов с1а и ЬЫ1 заменим в последней сумме индекс к на / и наоборот. Тогда мы получим то же самое выражение, но в более удобном для дальнейшего виде;
5C4Za^& + 5 bk№lQk = 0.(3.117)
к, Iк.1
Если это уравнение должно совпадать с (3.115), где является линейной комбинацией qh>
Qm=W'^(3.118)
к
то аЛ и Р<&т) должны удовлетворять уравнениям
yjbkla.l = 'Km^\=(3.119)
или
S(^z-^Az)«z = 0, 2C/iZaz = p("-).(3.120)
zz
Первая система уравнений, входящая в (3.120), будет иметь нетривиальные решения для аи т. е. решения, отличные от тривиального решения az = 0, для /= 1, 2, ... ..., s, лишь в том случае, если Хт будет одним из корней уравнения, записанного в виде определителя:
I bkt — KnCkl | = 0, или же:
^Ц ХСц ••• ^15 ^15
621 — Xc2i ••• b2s — Xc2s _ q(3 121)
b$i Х<щ ... bss Xcss
Если X,„ —один из корней уравнения (3.121), то из (3.120) можно найти отношения величин ак, а следовательно, и величин $^п\ что и позволяет в конечном счете составить линейную комбинацию qk, образующих Qm, которые в свою очередь удовлетворяют (3,115).
Заметим прежде всего, что из теории линейных уравнений вытекает, что ай должны быть пропорциональны минору й-го элемента любой строчки определителя (3.121). Отсюда следует, что отношения, которые мы находим для аЛ, зависят от Хт. Уравнение (3.121) имеет s корней, и таким образом найдется s наборов величин ак (о^"1'; т = 1, 2, .... s) и, следовательно, $ наборов Р^т) и з величин Qm. Описанная процедура проводится совершенно непосредственно лишь в том случае, когда корни Лт невырожденные, т. е. если среди корней Х,ч нет равных. Ситуация усложняется, когда есть кратные корни. Мы не станем разбирать здесь случай кратных корней, отсылая читателя к другим руководствам, а будем предполагать, что все корни различны. Если кратных корней нет, мы находим s различных значений Хт, s различных наборов ак и s величин Qm. Мы отметим только, что даже в том случае, когда корни кратные, возможно найти такую совокупность различных Qm, для которых а^т) удовлетворяют к тому же (3.122). Вплоть до конца параграфа мы в целях простоты будем считать, что все корни (3.121) различны. ■
Мы начнем с доказательства того, что все Х;а действительны. Чтобы убедиться в этом, перепишем (3.119) так:
У, Ьк!а^ = Х,„ У сма^,(3.122)
где верхним индексом (т) отмечено, что для различных значений %,„ величины ай различны. Умножая (3.122) на а))’1* и суммируя по к, получим:
У Ьк1а^*а^ ^К„£ск1а^>*^(3.123)
/г, Ik, I
Вычитая из полученного выражения (3.123) комплексно сопряженную ему величину, мы получим:
(л,,. - ^)У= 0.(3.124)
к, I
Поскольку Ciei~c[k, а сами си — действительные величины, сумма по к и I также действительная величина. Кроме того, эту сумму можно переписать в виде:
У с^Г М'” = У с^^аГ + Vс^ПГ, (3.125)
к. Iк,1к, I
где через а^'*' и bw обозначены действительная и мнимая части а^п), Из физического смысла суммы
являющейся кинетической энергией, вытекает, что обе суммы в правой части (3.125) положительно определены. Но тогда из (3.121) следует
Хт = ХТп.(3.126)
другими словами, что все Хт действительны. Ясно, что этот результат является следствием того, что кинетическая энергия является положительно определенной величиной.
Если все Х,п действительны, то из того, что а^ пропорциональны минорам определителя (3.121), следует возможность выбора всех а*"1’ также действительными величинами. (Поскольку весь набор а^’ для данного значения т можно умножить на общий множитель, который может быть и комплексным, мы не можем утверждать, что все ад действительны; однако их можно выбрать действительными.) Мы будем предполагать, что сделан именно такой выбор а^ для заданного т. Мы выберем к тому же с4т) так, чтобы выполнялось условна
(3.127;
к. I
Последнее уравнение называется условием нормировка а.';"1*. Если умножить (3.122) на cc*1’ и просуммировать по к, мы получим:
5 Ъ^Га^-Х^ cbLa.^^. (3.128 к. Iк.1
Вычитая из уравнения (3.128) это же самое уравнение, но в котором индексы тип поменялись местами, мы придем к соотношению:
(Х^-Х^^с^а^-О;(3.129)
к. I
из (3.129) следует, что при т^л
(3.130) к.1
Таким образом, объединяя (3.127) и (3.130), мы приходим к следующим условиям ортонормировки;
^с^а-Т = 6тп.(3.131)
к. 1
где 6,„п —символ
Кронекера,
6тп = 0, т^.п;бт„=1, т = п. (3.132)
Если умножить (3.131) на aZ и произвести суммирование по п, мы получим соотношение
из
которого непосредственно следует
^ск1аГ а^ =6кг.(3.134)
1. И
Из (3.123) можно получить:
'(3.135)
/2 Z1 ск1ак °^
(3.133)
к
(т)(т)
* = «г »
В (3.135) знаменатель дает значение кинетической энергии, когда qk равны а^. Если с4т) нормированы согласно (3.131), знаменатель превращается в 1/2. Числитель равен потенциальной энергии, если qk равны акп\ Если мы рассматриваем систему вблизи положения устойчивого равновесия (см. рис. 11,«), это выражение будет положительно определенным и все Хт будут положительными. Если же мы находимся вблизи такого положения равновесия, которое изображено на рис. 11, г, числитель будет отрицательным и все Хт окажутся отрицательными. В случае, соответствующем рис. 11,6, мы должны ожидать как положительные, так и отрицательные Хт, тогда как в случае безразличного равновесия по крайней мере одна из Хт обращается в нуль. В следующем параграфе мы столкнемся со всеми этими возможностями.
Вернемся теперь к Qm, для которых мы имеем из (3.118) и (3.119):
Qm=Y1ckla^qk.(3.136)
к, /
Умножая это равенство на г/™\ суммируя по m и используя (3.134), получим:
У^пг= £ cHWqk = qr. (3.137) глА, /, т
Совокупность равенств (3.136) и (3.137) и определяет преобразование от qk к Qm и наоборот.
Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы через Qm и Qm;
т = ’ 2 с^^1 = 2 21
к. IA, Z, пtil
(3.138)
и = у 2 МьЧ1 = 2 2 b^"WQmQn =
А, Iк, I, пг, п
= 2 У^У^хГ^^-^^(3.139)
пг, п. к, Iпг
где нами использованы соотношения (3.131) и (3.128).
Мы обнаружили, что преобразования (3.137) приводят как кинетическую энергию, так и потенциальную к сумме квадратов соответствующих переменных или, другими словами, приводят их к главным осям.
Уравнения движения переходят, конечно, в (3.115), решения которых можно записать в виде:
Qm = Q,Teu“<(3.140)
где
tom = V^m-(3.141)
Мы обнаруживаем, что положительным значениям Хт соответствуют действительные значения ыт и, следовательно, настоящие колебания, тогда как отрицательные Хт ведут к чисто мнимым гот и, следовательно, к монотонно возрастающей или убывающей амплитуде. Теперь мы уже в состоянии увидеть связь между видами потенциальной энергии в окрестности равновесного состояния (рис. 11) и устойчивостью равновесия.
Величины Qm называются нормальными координатами, и каждой из них соответствует одна из нормальных частот. Если только одна из них отлична от нуля, мы
получаем для qk выражения типа (3.116), где общая частота m просто равна ют, в то время как амплитуды Л* пропорциональны а^* В общем случае qk представляют собой линейные комбинации различных С'т, образуемые согласно (3,137).
Двойной маятник
Теория, изложенная в предыдущем параграфе, будетТеория, изложенная в предыдущем параграфе, будетпроиллюстрирована В качестве первогопроиллюстрирована В качестве первогона нескольких простых примерах, примера мы выбрали так называемый двойной маятник (рис. 12). В такой маятник входят две массы М и ш; первая масса находится на фиксированном расстоянии а от точки подвеса Р, а вторая —па фиксированном расстоянии b от первой массы. Мы можем ограничиться движением системы в одной плоскости, так что система будет обладать двумя степенями свободы. Более того, для упрощения вычислений мы будем считать а = Ь. В качестве обобщенных координат мы выберем углы <р и ф (см. рис. 12). Потенциальная энергия системы U запишется в виде:
Теория, изложенная в предыдущем параграфе, будет
Теория, изложенная в предыдущем параграфе, будет
проиллюстрирована В качестве первого
проиллюстрирована В качестве первого
U = С — Mga cos <р —
— mga (cos <р 4- cos ф), (3,201)
где С —константа, определяющая нуль потенциальной энергии, a g —ускорение силы тяжести.
Положения равновесия определятся из уравнений
^- = p^asln<p = 0,^ = mga sin ф = 0. (3,202)
Здесь через р обозначена сумма масс обеих частиц;
у, = пгА-М.(3.203)
Уравнения (3.202) имеют четыре совокупности решений;
феч = фе, = 0; (II) <Peq = 0, фед = Л;
/тттхл /тт г\(о.^ич)
фед = Л, фед = 0; (IV) фед = фе., = Л.
Непосредственно видно, что решение (I) соответствует
устойчивому равновесию, а потенциальная энергия в окрестности этого положения равновесия ведет себя так, как па рис. ll.cz. Решения (II) и (III) соответствуют рис. 11,6, а решение (IV) —рис. 11, г. Если мы обозначим <71 = <р — <Peq, 7г = ф —Фер» МЫ ПОЛуЧИМ ДЛЯ ПОТеНЦИЗЛЬ- ной энергии системы в приближении малой амплитуды:
Щ =™gcz[p7i4-m^J,(I);
= |боМ-тЙ,(II);
(3.205) = 2 £a[-i4i + wn>(Ш);
= ^ ga[-№-m^],(IV).
Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия в том же приближении запишется следующим образом:
Т = ^ рд2ф2 -|- у та2^2 + та2фф cos (ср — ф),
или же
Т = V'a2 [Ml + Зпгд^аЧ- mqy, (I), (IV); (3.206)
= у й2 [ji^i —2/72^72+ т7з],(П), (НО-
Уравнение (3.121) для нашего случая запишется так:
Xpcz2 — pga Xma2Xma2 Xma2 — mgaXpcz2 — p-ga — Xma2— Xma2 Xma2 4- mgaXpcz2 — pga Xma2Xma2 Xma2 — mgaXpcz2 — p-ga — Xma2— Xma2 Xma2 4- mga(i);(i);(ii);(ii);Xpcz2 + (Jiga— Xma2Xpcz2 + [igaXma2Xpcz2 + (Jiga— Xma2Xpcz2 + [igaXma2— Xma2Xma2 — mga— Xma2Xma2 — mga= 0 (III);= 0 (III);(3.207)(3.207)Xma2Xma2 + mgaXma2Xma2 + mga= 0 (IV).= 0 (IV).
Xpcz2 — pga Xma2
Xma2 Xma2 — mga
Xpcz2 — p-ga — Xma2
— Xma2 Xma2 4- mga
Xpcz2 — pga Xma2
Xma2 Xma2 — mga
Xpcz2 — p-ga — Xma2
— Xma2 Xma2 4- mga
(i);
(i);
(ii);
(ii);
Xpcz2 + (Jiga
— Xma2
Xpcz2 + [iga
Xma2
Xpcz2 + (Jiga
— Xma2
Xpcz2 + [iga
Xma2
— Xma2
Xma2 — mga
— Xma2
Xma2 — mga
= 0 (III);
= 0 (III);
(3.207)
(3.207)
Xma2
Xma2 + mga
Xma2
Xma2 + mga
= 0 (IV).
= 0 (IV).
Из уравнения (3.207) вытекают алгебраические уравнения для X:
(I) WX2-2pgflX + p^2 = 0;
(II), (III) Ма2Х2 - pg2 = 0;(3.208)
Ма2Х2 + 2^аХ 4- pg2 = 0.
Корни этих уравнений — собственные значения X — таким образом равны:
(I)X], 2 — (р^/Ма) [I ± К т/ц];
(И), (Ш) х^^с^КцЖ; (3-209)
(IV) Хь 2 = - (p,g/Ma) [I ± Кт/р],
причем мы использовали (3.203).
Мы нашли, что в случае (I) оба значения X положительны (поскольку т-<р); в случаях (II) и (111) одно значение X положительно, а другое отрицательно; в случае же (IV) оба значения X отрицательны. Этот результат находится в полном соответствии с рассуждениями в связи с (3.135). Очень поучительно взглянуть на нормальные координаты в случаях (I), (II) и (III). Мы найдем их из (3.136) и (3.131). Второе из этих двух уравнений определяет нормировку «К; если не принимать в расчет нормировку, мы обнаружим, что Qm не обязательно приводят одновременно кинетическую и потенциальную энергию к виду (3.138) и (3.139). Очень просто найти отношения «Ж и довольно утомительно добиваться их нормировки. Выпишем окончательный результат:
Чтобы понять, какой вид движения соответствует нормальным колебаниям (модам), начнем с первого случая (I). Если реализуется только первая мода колебаний Qu то Q2 должно равняться нулю, откуда следует, что qx и q, должны быть противоположного знака и амплитуда q4
3131Рис. 13. Нормальные моды двойного маятника. Р— точка подвеса.Рис. 13. Нормальные моды двойного маятника. Р— точка подвеса.
31
31
Рис. 13. Нормальные моды двойного маятника. Р— точка подвеса.
Рис. 13. Нормальные моды двойного маятника. Р— точка подвеса.
с) Первая мода для случая (I), когда потенциальная энергия имеет абсолютный минимум.
Вторая мода для случая (I), когда потенциальная энергия имеет абсолютный минимум.
Первая (устойчивая) мода для случая (II), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
Вторая (нестабильная) мода для случая (II), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
Первая (устойчивая) мода для случая (III), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
Вторая (неустойчивая) мода для случая (III), когда потенциальная энергия имеет седлообразную точку.
На рис. в, а, д, е кривая, описываемая центром масс двух масс tn и М, изображена пунктирной линией.
больше амплитуды qx в ]/p/m раз. Это означает, что рассматриваемая мода выглядит примерно так, как это изображено на рис. 13, а. Аналогичным образом мы получим для второй моды картинку, приведенную на рис. 13, б. В случаях (II) и (III) мы сталкиваемся с одной устойчивой модой (соответствующей положительному значению Хг) и одной неустойчивой модой (для отрицательного значения Х2). Эти моды изображены на рис. 13, в — е.
Мы хотим обратить внимание читателей на то обстоятельство, что устойчивая мода в случае (II), например, включает в себя движение обеих масс М и т. С первого взгляда может показаться, что масса М будет оставаться в покое. Однако если масса М имеет конечное значение, то при движении массы т на нее будет оказываться некоторое действие; поэтому устойчивая мода реализуется только в том случае, когда обе массы движутся (в противоположном направлении) таким образом, что потенциальная энергия фактически возрастает. Любопытно отметить, что если М-^-ео, стабильная мода действительно соответствует движению только одной массы т.
В предельном случае М -э- 0 мы найдем для случая (I), что для первой моды ^-э-оо: масса т расположена па вертикали под точкой подвеса Р (в этом случае 1/! = — <72), тогда как масса М колеблется с бесконечно большой частотой. Для второй моды мы находим, что <71 = <73 и X1 = g/2a: система колеблется так, как если бы у нас был обычный маятник длиной 2а!
Молекулярные колебания
Теория малых колебаний играет важную роль при изучении колебаний молекул. В этом параграфе мы довольно подробно разберем колебания двухатомных молекул, таких, например, как НС1, нелинейных трехатомных молекул с симметричной равновесной конфигурацией, таких как Н2О, и, наконец, линейных трехатомных молекул типа СО2. В большинстве рассуждений предполагается, что взаимодействия между атомами, входящими в молекулу, аддитивны и что они могут быть описаны r.ежатомным потенциалом, общий вид которого приведен на рис. И.
Начнем с двухатомной молекулы, которую мы будем представлять себе в виде гантели, т. е. системы, обра- зозаппой двумя массами тх и т4, взаимодействующими
между собой по центральному закону с потенциалом U (г). Лагранжиан такой системы запишется в виде:
L = j т, Щ + у\ + ^) + 4 т. № + ft + ЭД + U (г12), (3.301)
Рис. 14. Межатомный потенциал U в зависимости от расстояния между атомами г; г0— положение равновесия.Рис. 14. Межатомный потенциал U в зависимости от расстояния между атомами г; г0— положение равновесия.где г12 = ]/(х1 - х2)2 + (уг - у^ 4- (zx - z2)2 и где хъ уь zx, хг, y%, z2 — декартовы координаты первой и второй частиц. За обобщенные координаты мы примем координаты центра масс X, У и Z и сферические координаты г, 6 и ф для относительных координат:
Рис. 14. Межатомный потенциал U в зависимости от расстояния между атомами г; г0— положение равновесия.
Рис. 14. Межатомный потенциал U в зависимости от расстояния между атомами г; г0— положение равновесия.
MX = тххх 4- т2х2, 44 У — т^уу 4* т^г, MZ = /nl214-m222,
M = m1-Vmz> (3.302) г sin 6 cos ф = Xj — x3, r sin 6 sin ф = yv — y^, r cos 6 = Z3 — Z2.
Перепишем лагранжиан в обобщенных координатах: L = 4 М (Л« 4- У1 + 22) 4- 4Н ^ + г262 + г2 sin2 8 Ф2) -V <6, (3.303) где через р обозначена приведенная масса,
у = тупгдМ.(3.304)
Положение равновесия находится из условия:
^ = О,(3.305)
откуда г = г0 (см. рис. 14). Остальные пять координат можно выбрать произвольно. Допустим, что мы выбрали Хо, Уо, Zo, 60 и ф0. Определитель — уравнение для определения кт — теперь имеет вид:
ХМ
0
0
0
0
0
0
хм
0
0
0
0
0
0
хм
0
0
0
0
0
0
Хц —Ь
0
0
= 0, (3.306)
0
0
0
0
Хрг®
0
0
0
0
0
0
?Д1Г^ sin2 60
где
(3.307)
Стандартными методами (которые лишь слегка усложняются тем, что корень Л — 0 — пятикратный) мы найдем следующие значения Хт и соответствующие им Qm [или, может быть, точнее: мы найдем, что мы можем выбрать Qx, Q2, Qs, Qn Qa и Qc в том виде, который приведен в (3.308)]:
Лх = о,
Qx = X У"М;
Х4 6/Р,
Q4 = ryy
^2=0,
Q3 = У УЖ
х5 = о,
Qs-zoKM:
х3 = 0,
Q3 = ZVM;
^6 = 0,
Q6 = r0]/p sin 60cp.
(3.308)
Из шести нормальных координат пять — циклические: Qi> Qa> Qa> Qa и Qo- Из них Qx, Q2 и Q3 соответствуют трансляциям, тогда как Q6 и Q6 соответствуют поворотам. Единственная нециклическая координата Q4 соответствует колебаниям вдоль оси молекулы.
Представляет интерес свести рассматриваемую задачу сначала к двумерной, а затем и к одномерной. Этого можно добиться, игнорируя сначала Z и ср, а затем игнорируя У и 6, используя в обоих случаях подходящим образом выбранную функцию Рауса, по методу, изложенному в § 2.4. В исходной задаче было шесть степеней свободы, пять из которых (три трансляционные и две вращательные) были циклическими. В двумерном случае мы опускаем в .лагранжиане (3.303) члены Ч^МХ1 и Vapr2 sin2 6 ф2. Теперь уже остаются четыре степени свободы, соответствующие Q1( Q2, Q4 и Q5, три из которых (две трансляционные Qx и Q2 и одна вращательная Q5) являются циклическими. Одномерный случай, который получается отбрасыванием членов УМУ1 и ^рг2!)2, имеет две степени свободы Qx и Q2, из которых Qx —трансляционная (циклическая) степень. В этом случае очень несложно избавиться от циклических степеней свободы, но это далеко не всегда так. В общем случае исключение движения центра масс, например, системы многих частиц приводит к уравнениям куда более сложным, чем исходные.
Сейчас мы займемся трехатомными молекулами, но ограничимся лишь типом АаВ. Прежде всего мы рассмот- 82
рим молекулу Д2В, равновесная конфигурация которой нелинейна (см. рис. 15, а). Примером такой молекулы служит молекула воды. Обозначим через х радиус-вектор атома В (массу его обозначаем через т^ и через Xi и хг— радиус-векторы атомов А (с массами т^. Координатные
Рис. 15. а) Равновесная конфигурация молекулы АгВ; б) две неравновесные конфигурации молекулы Л2В с одинаковой потенциальной энергией.
оси можно выбрать таким образом, что в положении равновесия
х_у = 2 = 0;
х1 = о, Уг = с, z1 = 0; х2 =— о, у.л = с, z2 = 0.
Кинетическая энергия молекулы представится в виде;
Т = j тд № + (й + z; + хХ + уХ + ^ +4 -riu (.v2 + у= + z2),
(3.310)
а потенциальная энергия (аг = 62-]-с2, см. рис. 15, а)
и = 4 а [(I А*1 - х 1" аУ + (I х2 - XI - а)2] +
(3.311)
Можно воспользоваться в качестве координат величинами: х, у, г, Х! — Ь, У1 — с, zu хгД-Ь, у^ — с и z2. Если обозначить эти координаты штрихованными буквами х', у', z', х'^ у{, z,, хХ, уХ и zX, то в предельном случае малых колебаний придем к следующему выражению для потенциальной энергии:
и = ^ьЧх'-х;у + сЧу--у;уа-
+ 2ос (у' - уО (х' - Л-;) + Ь2 (х’ - хХУ + с3 (у' — уХУ -
- 2Ьс (х’ - хХ) (у' - у()] + 1 Р W - хХУ. (3.312)
Заметим, что координаты г', z\ и г', — циклические. Этого следовало ожидать, поскольку трехмерные задачи с девятью степенями свободы обладают шестью циклическими степенями свободы (три вращательные и три трансляционные), тогда как двумерные задачи с шестью степенями свободы имеют три циклические степени свободы (одну вращательную и две трансляционные), причем в обоих случаях у нас остаются три нециклические степени свободы.
Удобно ввести другой набор координат по формулам: q^x*, qi = y’, qa = z’, ^^уМ-г-Гз), q5= ^^-х^, q6 — ™ QA-y-^, (3,313) q^ = у UA + U^’ As = 4 ‘A ” z^’ 4» = 5 (^ + z2\
Для выяснения смысла введения этих координат рассмотрим две конфигурации молекулы, изображенные на рис. 15,6, где
X = — х, .д = — х3, У2 = — хз
д = У. Ui=Ua, У^У^ ,,,,,, 2 = z, 2j — z3, г2 — гг
(или 2 =—г, 2г =—с2, ?., — — zj.
Из соображений симметрии непосредственно вытекает, что потенциальная энергия в обоих случаях одна и та же. Из этого следует, что потенциальная энергия должна быть инвариантной при следующих преобразованиях:
<71-^ —<71, q-1-^q^ Уз-* Уз (или q3^-qaA
q4-* — q^ Уа^-у-.. Уа^-Уа (или q8^—qs\ (3.315)
<7б -*- — 7e> q- ~* q-> q» -* У» (или q» -> - q^.
Это означает, что в потенциальную энергию не должны входить члены, содержащие произведения следующих трех групп переменных: (_qv q4, q^, (q2, q5, q^ и (7з, 7s, 7s)- Но это в свою очередь означает, что секулярное уравнение может быть представлено в виде произведения, что позволяет нам найти как собственные значения, так и нормальные моды колебаний. Потенциальная энергия, записанная через qt, имеет гид:
U = ^) [6= ^ 4- q; J- q; - 2qtqA + c- № + q^Qi- 2q^) - - 2bc Vhq» 4- q^» - q4q6 - <7.-,<7?)] -r ^q^, (3.316)
а секулярное уравнение может быть факторизовано на 84
три более простых уравнения:
(П)(Ш)где(П)(Ш)гдеУ2—Y?.!<--у50002Л/пл0=0002ХтлУ2—Y?.!<--у50002Л/пл0=0002Хтл(3.317)(3.317)
(П)
(Ш)
где
(П)
(Ш)
где
У2
—Y
?.!<--у5
0
0
0
2Л/пл
0=0
0
0
2Хтл
У2
—Y
?.!<--у5
0
0
0
2Л/пл
0=0
0
0
2Хтл
(3.317)
(3.317)
у^тА<.тЧаЬ\ ^ = с/Ь,
v m.uli/2mA, р' = р«5Ма. 1 '
В нормальных колебаниях, соответствующих уравнению (3.317, I), только qy, q4 и q6 отличны от пуля; для уравнения (3.317, II) отличны от нуля q^, q^ и qv, в случае же (3.317,111) отличны от пуля q8, q8 и q^.
Оказывается, что все 2. в группе (III) равны нулю, что соответствует тому факту, что все три z-координаты — циклические. Нормальные координаты могут быть выбраны таким образом, чтобы соответствовать трансляции в 2-направлении и вращениям вокруг осей х и у.
Из совокупности X группы (I) два значения равны пулю; они соответствуют трансляциям вдоль оси х и вращению вокруг оси г. Поучительно убедиться в том, что па самом деле для этих двух движений q8 и <75 обращаются в нуль (ср. рис. 16, а и б). Третье значение К отличное от нуля, соответствует нормальному колебанию вида, изображенного на рис. 16, в.
Из совокупности Л группы (II) одно значение, соответствующее трансляции в направлении оси у, обращается в нуль (рис. 16, г); два других отличны от нуля (рис. 16, д и е). Мы предоставляем читателю определение нормальных координат для различных случаев; это не очень веселое,
но достаточно простое упражнение.
Теперь мы займемся линейной молекулой типа AJ3, примером которой может служить СОа. На первый взгляд, можно ожидать, что появятся четыре собственных значения, отличных от нуля, поскольку теперь остались только две циклические координаты, соответствующие вращению. Это соответствует, конечно, пяти степеням свободы жест-
кой линейной структуры, такой как молекула типа гантели. Оказалось, что именно так можно рассматривать двухатомную молекулу, о которой шла речь в начале этого параграфа. Более того, можно было ожидать также,
Рис. 16. Нормальные моды нелинейной трехатомной молекулы в плоскости; а, б, в соответствуют корням (3.317, I); г, д, е соответствуют корням (3.317, II).
что о поведении линейной молекулы можно судить по предыдущему случаю, считая в нем с равным нулю. Оказалось, однако, что, вместо четырех отличных от нуля собственных значений, мы получаем только два таких значения. На рис. 17 изображены шесть нормальных мод
Рис. 17. Нормальные моды линейной трехатомной молекулы в плоскости.
линейной молекулы типа А^В в плоскости, соответствующей шести модам рис. 16. Собственные значения, соответствующие рис. 17, а, б, г, е, стали теперь равными нулю, тогда как собственные значения, соответствующие движениям, выводящим частицы из плоскости, остались равными пулю. Причины такого поведения собственных значений состоят в следующем. Мода, изображенная на
рис. 17, е, соответствует смещениям такого характера, что изменение расстояния между любой парой атомов, образующих молекулу, будет квадратичной функцией смещений атомов, и таким образом первый неисчезающий член в потенциальной энергии (3.311) будет квадратичным; при малых колебаниях этим членом можно пренебречь.
Мы знаем, что те моды движения, которые нарушают линейность молекулы (примером может служить мода, изображенная на рис. 17, е), обладают отличной от нуля частотой. Поэтому нам следует заняться нецентральными силами. Простейшим случаем будет потенциал вида
U = ^ « [W - х'? + (xj - x')2l +1Р [(у! -у'У + (г; - г'У+
+ ^ - /)2 + ^ - г')Ч + у у (х; - хОа, (3.319)
где а, Р и у —постоянные, а х', у, г', ... — те же самые координаты, которые мы использовали в (3.312). Секулярное уравнение в случае линейной молекулы также может быть разложено на множители (факторизовано); каждый из множителей соответствует одной из трех координатных осей. Снова вводя qx согласно (3.313) и группируя теперь уже qu qt, qb, а также q2, q6, q^ и, наконец, qa, q8, q9, мы найдем три группы собственных значений. Первые три собственных значения будут корнями уравнения
О о 2Хтл —2а —4уО о 2Хтл —2а —4уХтв—2а—2а
О о 2Хтл —2а —4у
О о 2Хтл —2а —4у
(3.320)(3.320)— 2а 2Хтд— 2а
(3.320)
(3.320)
ОО
а двум другим группам соответствует один и тот же триплет собственных значений, благодаря тому, что теперь задача симметрична по у и г. Эти три двукратно вырожденных собственных значения будут корнями уравнения
Xm£ —2Р 002Хтд — 2^- 20 0= 0-2002Л/т?л — 20Xm£ —2Р 002Хтд — 2^- 20 0= 0-2002Л/т?л — 20(3.321)(3.321)
Xm£ —2Р 0
0
2Хтд — 2^
- 20 0
= 0
-20
0
2Л/т?л — 20
Xm£ —2Р 0
0
2Хтд — 2^
- 20 0
= 0
-20
0
2Л/т?л — 20
(3.321)
(3.321)
Здесь отличныхЗдесь отличныхмы нашли уже шесть собственных значений, от нуля *), а именно те, которые соответствуют
Здесь отличных
Здесь отличных
рис. 17, в и 17, о (решениям (3.320)), и те, которые соответствуют рис. 17, б и 17, е (решениям (3.321); эти собственные значения двукратно вырождены). То обстоятельство, что у нас теперь оказалось два отличных от нуля собственных значения, в значительной мере связано с тем, что потенциал (3.319) уже не инвариантен относительно вращений; такой потенциал не очень приемлем с физической точки зрения.
Можно подправить дело, воспользовавшись несколько иным потенциалом:
U - ^ “ IW - x'f + (х» - *')21 + Т Р 1^' - V'Y +
+ & - z')3 4- (у» -- у'У 4- (z£ - г')2 -^ (у[- у^ - -|(z;-z^]4-yTW-^)a. (3.322)
В этом случае только двукратно вырожденное собственное значение, соответствующее рис. 17, б, обращается в нуль, и мы действительно остаемся с четырьмя собственными значениями, отличными от нуля. Секулярное уравнение оказывается достаточно простым, и нормальные координаты могут быть в конце концов найдены. Но все это мы оставляем в качестве упражнения читателю.
Нормальные колебания одномерного кристалла
В качестве последнего примера малых колебаний около положения равновесия мы рассмотрим случай одномерного кристалла. Одномерный кристалл представляет собой систему точечных масс, которые по предположению находятся в равновесии, если все расстояния между ними равны, Мы начнем с того случая, когда массы всех частиц, образующих кристалл, одинаковы и равны М, а затем перейдем к случаю, когда кристалл образован последовательно чередующимися частицами с разными массами М и т. Мы не можем здесь останавливаться на всех аспектах этой задачи, имеющей колоссальное значение для установления термодинамических свойств твердого тела, н вынуждены отослать читателя к специальной литературе.
Чтобы избежать рассмотрения явлений на границе кристалла, мы будем предполагать, что «кристалл» имеет форму окружности, так что N-я точечная масса граничит с первой. Это предположение делает нашу задачу акви- 88
валентной задаче о бесконечном кристалле, на который наложены периодические граничные условия:
4j4n = 9/i4j4n = 9/i(3.401)
4j4n = 9/i
4j4n = 9/i
через qj здесь обозначено смещение /-й точечной массы от положения равновесия.
Если все массы одинаковы, кинетическая энергия системы запишется в виде:
(3.402)(3.402)Т-^М^Д,
(3.402)
(3.402)
и если предположить к тому же, что силы, действующие между отдельными массами, гармонические и действуют только между ближайшими соседями, то потенциальная энергия запишется равенством
U=\(3.403)
/
Мы видим, что потенциальная энергия квадратична no q;, так что можно применить теорию малых колебаний, развитую в первом параграфе этой главы. Можно воспользоваться известными методами из теории определителей для определения собственных значений и, следовательно, нормальных координат. Однако более удобно воспользоваться тем обстоятельством, что следует ожидать нормальные колебания с длинами волн, начиная от периода «решетки» до удвоенной длины кристалла. Исходя из этих соображений, мы введем совокупность координат, определенных следующим образом:
(ЗЛ04)
/
Если воспользоваться равенством
N
У е-^= N6jm,(3.405)
Л=1
мы можем разрешить (3.404) относительно q, и найдем:
1 V
(3-406)
к
Подставляя эти выражения для q} в формулы, определяющие Т и U, и используя (3.405), получим:
T = -^QkQ-k,(3.407)
^=т 5- 2 ^-ь sin21Г-<3-408)
6
Заметим, что, хотя мы не привели полностью Т и D к виду (3.138) и (3.139), уравнения движения имеют уже вид (3.115); уравнения движения для Qk следуют из уравнений Лагранжа для Q_k и наоборот. Собственные частоты определяются равенствами
ю» = 2(м) sln"T*(3.109)
Обратим внимание на то, что Qk — комплексные величины и что, таким образом, каждой Qk соответствуют две степени свободы. Совокупность Qk отнюдь не переопределяет систему, поскольку соблюдаются равенства
Qft = Ql*.(3.410)
Из (3.404) видно также, что Q6 удовлетворяют уравнению, тождественному уравнению (3.401) для q^ а именно:
Q» = Q^n,(3.411)
и мы можем, следовательно, ограничить к интервалом (мы будем считать N четным числом)
O^k^^N(3.412)
и получим 44N +1 независимых Qk, соответствующих N независимым действительным координатам [обратите внимание, что из (3.410) и (3.411) вытекает, что Qo и QNri действительны], за которые мы можем принять действительные и мнимые части Qk.
Qh = Rfc-ViSh.(3.413)
Если выразить кинетическую и потенциальную энергию через Rk и Sk, мы получим:
^=12^+^' ^=42ю|№+^); (ЗЛ14) кк
теперь мы уже получили суммы только квадратов величин Rk, ^kt Rk и 8к.
90
Выясним теперь физический смысл нормальных колебаний. Для этого в выражении (3.406) мы положим все Qk. за исключением одной, равными нулю. Отличную от нуля Qk положим равной Л exp (jtokf). Тогда мы получим:
дДГ^М^1--Аехр2т^ 2nvA = wA. (3.415)
Из (3.415) видно, что нормальные колебания представляют собой бегущие волны, волновыми числами которых будут tyaN, где через а обозначен период решетки.
Из (3.409), прежде всего, вытекает, что одна собственная частота, w0, обращается в нуль. Эта «частота» соответствует трансляции всего «кристалла» как целого. Во-вторых, мы видим, что для малых к можно приближенно написать:
tok-2nka1!4NM'i»; (3.416)
это выражение совпадает со спектром звуковых волн (см. гл. 8). Наконец, наибольшая собственная частота №n;2 соответствует длине волны, равной 2«, т. е. тому случаю, когда две соседние точечные массы всегда движутся в противоположных направлениях. Если бы мы использовали Rk и Sk вместо Qk для описания нормальных мод, мы получили бы вместо бегущих волн стоячие волны.
Случай, когда «кристалл» образован линейной цепочкой из двух сортов чередующихся масс, оказывается более сложным ). Кинетическая и потенциальная энергии теперь- уже запишутся так:
(3.417)
и = * а У [(7у - <72У,1)2+ ^j - qy-iYY (3.418)
Вместо одной группы координат (3.404) или (3.406) мы введем две группы (в последующем повсюду будут использоваться комплексные переменные, и Rk теперь уже будут комплексными переменными, в отличие от (3.413), где они были действительными):
(3.419)
к
II
<7s./+l = V^ 26-М '2/+ 11 ^Кь'(3"'20)
к
Кинетическая и потенциальная энергии перепишутся в этих координатах так:
т=4 2 ^-к+R^-^(ЗЛ21>
к
I^RkQ-k + K-kQk)1
(3.422)
Мы снова обнаруживаем, что моды с различными значениями к не связаны между собой, но величины Qk и А^ с одним и тем же к — связаны. Уравнение для собственных значений при заданном к имеет вид:
2а .2а2лУ
М 6КтМN
2а2л/гог,
у--- COS_„bV-
V тМNm к
из него мы получаем значения со*:
Для заданного значения юк отношение Qk]Rk получается обычным путем, и мы приходим к результату:
Q/, _ т ГМ a cos (2лА/:У) _ ГМ а—V2mtol „ А/, — г . т a — CV'VIcu;: — V m а cos (2л/г/У)' ' •
Из (3.424) и (3.425) можно выяснить физическую природу нормальных координат. Если в (3.424) выбрать нижний знак, то соа всегда меньше, чем ^.офи, и меньше, чем 2а/М, так что Qk и Rk имеют одинаковый знак: две соседние массы движутся в фазе [см. (3.419) и (3.420)]. При к—>-0 собственные частоты соА пропорциональны к, и мы имеем дело со звуковыми волнами. Та ветвь спектра собственных частот, которая соответствует нижнему знаку, называется поэтому акустической ветвью.
Если взять верхний знак, т. е. верхнюю ветвь, сод всегда больше, чем 2а[т и 2а/М, и две соседние массы будут двигаться в противоположных направлениях. Если
две эти массы обладают различными электрическими зарядами, как это имеет место, например, в кристаллах галогенидов щелочных металлов, нормальные колебания связаны с колебаниями дипольного электрического момента. Поэтому ветвь колебаний, соответствующая верхнему знаку в (3.424), называется оптической ветвью. В галогенидах щелочных металлов этой ветви соответствуют лежащие в инфракрасной области частоты, называемые частотами остаточных лучей (Reststrahlen).
Другие свойства нормальных колебаний в кристаллах остаются читателю для самостоятельного рассмотрения.
Колебания около равновесного движения
Существует немало задач, когда нас интересует устойчивость не только положения равновесия, но также н устойчивость равновесного (устойчивого) движения. Эти проблемы вышли на первый план при исследовании орбит частиц в ускорителях.
Здесь мы займемся простым двумерным случаем ) частицы, движущейся по круговой орбите под действием центрального потенциала U (г), задаваемого формулой
—Лга,(3.501)
где Л и а — постоянные, а г —расстояние от центра. Нас интересует вопрос, насколько устойчиво такое движение по окружности радиуса гй. Лагранжиан системы имеет вид:
L =-^ т ^гг A-r^W Ага,(3.502)
где через 6 обозначен полярный угол, а уравнения Лагранжа имеют вид:
тг — тг№ ф- аЛд“-1 = 0, mr28 + 2mrrQ = 0. (3.503)
Если мы имеем дело с движением по кругу, то г = 0; поэтому из второго уравнения следует, что 6 = const. Положим 6 = соо. Тогда из первого уравнения мы получим:
тгою» = аЛ/у01-1.(3.504)
Теперь мы рассмотрим колебания около этого равновесного движения, характеризуемого величинами г0 и «о, связанными между собой соотношением (3.504). Для
(3.505)(3.505)исследования колебаний положим:
(3.505)
(3.505)
= +9 = Мо + 72-
Подставляя (3.505) в (3.503) и пренебрегая членами второго порядка относительно qu мы получим (члены нулевого порядка сокращаются в силу (3.504)):
mqL - mto;.,qL - 2mr0№0q2 - ex (a 4- 1) Ar;»-2qv = 0, o • n(3.506)
и д> периодичныи д> периодичныmr^q., J- 2mrttto»qv = 0.
и д> периодичны
и д> периодичны
Если мы предположим теперь, что q2 во времени с одной и той же частотой,
^ = Ахем, q.2 A^’™,(3.507)
аналогично (3.116), то мы придем к следующему секулярному уравнению для со:
= 0. (3 508)= 0. (3 508)т (— со2 — му — a (a + I) Лгу ^ ’5 —- ‘2/nr0co0
= 0. (3 508)
= 0. (3 508)
2mrowo<oтгди
Из этого уравнения найдется один нулевой корень, соответствующий слегка смещенной равновесной круговой орбите, где (г0Н-Л^ и (<оо++) удовлетворяют тому же уравнению, которому раньше удовлетворяли величины г0 и соо, т. е. уравнению (3.504). Уравнение, которому удовлетворяют остальные корни, имеет вид:
(3.509)(3.509)го2 = (2 - а) со,
(3.509)
(3.509)
Отсюда видно, что при условии a < 2 орбита будет устойчивой.
Обратим внимание на то, что секулярное уравнение (3.508) куда более сложно, чем (3.121), поскольку здесь со входят не только через го2, но и в первой степени. Это не удивительно, поскольку мы занимаемся уже не положен ними равновесия, а равновесным движением.
ЗАДАЧИ
Исследуйте*) малые колебания однородного прямого стержня в вертикальной плоскости; стержень подвешен на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к одному из его концов.
Исследуйте малые колебания следующей системы: однородный прямой стержень свободно вращается около фиксированной точки, в которой закреплен один из его концов; на другом его конце на невесомой и нерастяжимой нити подвешена точечная масса. Колебания происходят в вертикальной плоскости.
Однородный круговой диск подвешен к неподвижной точке с помощью невесомой нерастяжимой нити, закрепленной в одной из точек граничной окружности диска. Исследовать малые колебания этой системы под действием силы тяжести. Колебания происходят в вертикальной плоскости.
На тонкой гладкой тяжелой проволочке, согнутой в форме окружности, может скользить бусинка. Исследуйте малые колебания системы в поле тяжести, если проволочка, закрепленная в одной из своих точек, раскачивается в своей плоскости, а бусинка скользит по проволоке.
Невесомая нерастяжимая нить длиной (2 ^2+0“ закреплена своими концами в точках Д и О, отстоящих друг от друга, на расстояние За на одном и том же горизонтальном уровне Две частицы с одинаковыми массами т закреплены на нити соответственно в точках В и С, причем AB=CD=V2 а. Частица с массой т подвешена на невесомой нерастяжимой нити длиной а к массе, находящейся в точке В, и другая частица той же массы т подвешена аналогичным образом к С. Исследуйте малые колебания этой системы под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, в которой расположены все нити.
Невесомая нить длиной 4а растянута до натяжения Т между двумя заданными точками; три частицы, каждая из которых обладает массой ц, закреплены в точках, делящих нить на четыре равные части.
Пренебрегая влиянием силы тяжести, исследуйте малые продольные и малые поперечные колебания системы.
Невесомая нить длиной 4а растянута между двумя фиксированными точками А и В до натяжения Т. Частица массы m закреплена в ее середине С. Две другие частицы массой m прикреплены к нити в точках D и Е, являющихся серединами отрезков АС и СВ. Когда система покоится, мгновенно сообщают небольшие поперечные скорости в одном и том же направлении частицам D и Е. Найти смещение частицы С как функцию времени.
Однородный твердый прямой стержень АВ лежит на гладком горизонтальном столе. Концы стержня Д и В привязаны невесомыми нитями к фиксированным точкам стола С и О. При равновесии точки CABD лежат на одной прямой. Исследовать малые поперечные колебания стержня.
Три частицы с различными массами подвешены на невесомой нерастяжимой нити, один из концов которой закреплен. Докажите, что если периоды трех нормальных мод совпадают с периодами простых маятников длиной Xi, Х3, Х3, то сумма X- + Х3 + Х3 равна расстоянию от точки подвеса до самой нижней частицы.
На каждую из двух параллельных горизонтальных проволочек надето закрепленное невесомыми растяжками кольцо массы т; когда кольцо смещается на расстояние у от положения равновесия, на него действует возвращающая сила Ху. Когда кольца находятся в положении равновесия, линия, соединяющая их, перпендикулярна обеим проволочкам, а расстояние между ними равно I. Однородная струна с линейной плотностью р растянута между кольцами до натяжения Т. Исследовать нормальные колебания системы.
Однородный твердый брусок массы М и длины L, шириной которого мы пренебрегаем, симметрично подвешен на двух вертикальных струнах, каждая из которых имеет коэффициент упругости а; расстояние между струнами равно х (x<L). При равновесии брусок занимает горизонтальное положение. Показать, что при условии х=ЫУй возможно возбудить такие колебания бруска в вертикальной плоскости, при которых наперед заданная точка бруска останется в покое.
Однородная струна длиной L и линейной плотностью р лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Один ее конец жестко закреплен в некоторой точке А плоскости, а другой прикреплен к кольцу массы М, которое скользит по гладкому горизонтальному стерженьку, расположенному в этой плоскости на расстоянии I от точки А. Натяжение струны равно Т. Найти уравнение, определяющее период малых колебаний системы.
Металлический блок массой 3m имеет внутри сферическую полость радиуса а, где скользит, без вращения, шар массы т, радиус которого мал по сравнению с а. Блок скользит по гладкой горизонтальной плоскости К блоку прикреплена горизонтальная пружина, коэффициент упругости которой равен 4mg/a; другой конец пружины закреплен. Исследовать малые колебания системы, когда она движется вдоль направления пружины.
Однородный тонкий полый цилиндр массой 2m и радиусом 2а катится по абсолютно шершавой горизонтальной плоскости. Внутри него катитсд второй однородный тонкий полый цилиндр массы m и радиуса а, у которого в одной из точек на поверхности закреплена частица с массой 2m. Исследовать малые колебания этой системы,- если скольжения между цилиндрами нет.
Ромб, образованный четырьмя одинаковыми стержнями длиной 2L, соединенными на шарнирах, расположен симметрично в вертикальной плоскости над мягко закрепленным цилиндром радиуса а; ромб находится в равновесии, когда все стержни наклонены под одним и тем же углом ф к горизонтальной плоскости и когда нижние стержни не касаются цилиндра. Определить значение ф и вычислить частоту малых колебаний ромба, когда эти колебания симметричны, через величину ф.
Карманные часы лежат на гладком горизонтальном столе. Предполо?кив, что они совершают колебания с малой амплитудой и что они показывают точное время, когда корпус часов неподвижен, вычислите, насколько быстрее пойдут часы в условиях задачи.
ABCD — однородная квадратная пластинка со стороной 2а. '•"гол А может без трения скользить вдоль закрепленного горизон- галыюго стержня. Угол В привязан невесомой нерастяжимой нитью длиной а/3 к неподвижной точке, так что при равновесии пластинка зисит в вертикальной плоскости перпендикулярно стержню, нить тасположепа вертикально, сторона СО —горизонтально и ниже АВ. icc-ледовать малые колебания системы.
Рассмотреть одномерный «кристалл», состоящий из Л' атомов, Щ|сиоложеиных по окружности (см. § 3.4). Допустим, что в мо- лепт / = 0 один из атомов смещается на малое расстояние d. Опирать последующее движение атомов кристалла.
Тонкая проволочка массы М изогнута в виде винтовой ли шн х = а cos if; у = а sin if; z = aiftgp и может свободно вращаться юкруг оси г, направленной горизонтально. Длина проволочки выб- 'ана так, чтобы центр масс лежал на оси г. По проволочке сколь- шт без трения кольцо массы т. Проволочка покоится, когда кольцу, сходящемуся в самом нижнем положении, сообщается горизонталь- 1ая скорость ato вдоль проволочки. Показать, что, если с» не слиш- ;ом велико, плоскость, проходящая через кольцо и ось, колеблется ;ак математический маятник длиной
a (Al -\-т sin2 р)
М cos2 p-|-m sin2 Р
। что проволочка поворачивается на угол
mtoT sin2 р cos р
М cos2 р + т sin2 р
а каждый период Т движения маятника.
Однородный стержень АВ длиной 2Z и массой т движется вертикальной плоскости под действием силы тяжести, причем дин из его концов ограничен в своем движении горизонтальной мией LM; это движение происходит с постоянным ускорением а, 1а11ти период малых колебаний стержня около его относительного сложения равновесия.
Исследовать малые колебания маятника Томсона—Тэта см. § 3.2) около равновесного движения.
Частица ограничена в своем движении гладкой поверхностью, аданной уравнениями
x = pcosi|>, г/= р sin if, z = &sin9,
де p = a-i-bcos6 (а>й).
Доказать, что в том случае, когда никаких сил, кроме реакций вязи, нет, движение вокруг внешнего экваториального круга будет стойчивым; если же это движение будет слегка возмущено, новая раекторпя будет пересекать экватор па расстояниях л| 6(а4-Ь)-
Показать также, что движение вокруг внутреннего экваториаль- ого круга нестабильно и что, если это движение слегка возмущено, раекторпя частицы будет пересекать внешний экваториальный круг од углом 2 arctg ] bja .
Глава 4
ДИНАМИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого тела: одно — описывающее его поступательное движение, другое — его вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости, отнесенные к главным осям тела. Выведены уравнения Эйлера и прилагаются к рассмотрению твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения. В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко).
Введение
До сих пор рассматривались системы, состоящие из многих точечных частиц, которые в общем имели ту особенность, что каждая из этих частиц могла двигаться в известной степени независимо. В этой главе мы займемся системами частиц, которые уже не могут быть расположены вдоль прямой и которые обладают той особенностью, что расстояние между любой парой частиц остается всегда неизменным. Такие системы называют твердыми телами.
Твердое тело имеет шесть степеней свободы. В этом можно убедиться двумя способами. Во-первых, можно просто ожидать три поступательные и три вращательные степени свободы у твердого тела. Этот интуитивный подход требует, конечно, более строгого обоснования. Возьмем для начала три частицы, не лежащие на одной прямой. Положение каждой из этих частиц может быть определено заданием трех ее координат, но в случае твердого тела 98
zzРис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система хуг неподвижна в пространстве.Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система хуг неподвижна в пространстве.
z
z
Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система хуг неподвижна в пространстве.
Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система хуг неподвижна в пространстве.
есть еще три связи типа (2.108), которые оставляют системе всего лишь шесть степеней свободы (ср. рассуждения в § 3.3 по поводу трехатомной молекулы). Положение каждой следующей частицы в системе снова определится тремя координатами, но расстояния этой частицы
до первых трех частиц заданы и поэтому не возникает никаких новых степеней свободы.
В качестве шести обобщенных координат, определяющих конфигурацию твердого тела, мы выберем три координаты центра масс X, Y и Z и три угла 8, ф и ф, ха
рактеризующих ориентацию тройки взаимно перпендикулярных осей в пространстве. Очевидно, что три первые степени свободы соответствуют поступательным степеням свободы, тогда как второй триплет соответствует вращательным степеням свободы. Чтобы определить угловые координаты, мы выбираем три координатные оси X, Y и Z жестко связанными с телом, тогда как через х, у, г обозначены оси, неподвижные в пространстве (см. рис. 18). Угол 8 определяется просто
как угол между осями г
и Z. Угол ф — это угол между осью х и линией узлов, ко
торая определяется как линия пересечения двух плоскостей: оху и OXY. Наконец, угол ф представляет собой угол между линией узлов и осью X. Введенные таким образом углы называются углами Эйлера.
Следует предупредить читателя, что в литературе нет единообразия ни в определении, ни в обозначении углов Эйлера. Использованное здесь определение — наиболее распространенное, но если вам приходится сопоставлять те или иные выражения в разных руководствах, непременно следует проверить определение углов Эйлера.
Для будущего удобно получить выражения для косинусов углов между одной из осей х, у, г и одной из осей X, Y, Z. Эти выражения легко получаются из рис. 18,
если воспользоваться формулами косинусов и синусов сфе р и чес ко й тр и тонометр и и:
cos а = cos b cos с ф- sin b sine cos А, (4.101)
(4.102)(4.102)sin а _ sin b _ sin сsin Д — sin В — sin С ’
(4.102)
(4.102)
где через a, b, с обозначены длины дуг сферического треугольника АВС, а через А, В, С —углы между соответствующими дугами (см. рис. 19).
Результаты представлены в табл. 1. Каждая из вели
чин, приведенных вчин, приведенных вРис. 19. Сферический тре-Рис. 19. Сферический тре-угольник.угольник.таблице,—это значение косинуса угла между осью, указанной в верхней части соответствующего столбца, и осью, указанной в левой части соответствующей строки. Стоит отметить, что результаты, сведенные в табл. 1, могут быть также получены более непосредственно, если заметить, что преобразование от осей XYZ к осям xyz можно расщепить на три последовательных
чин, приведенных в
чин, приведенных в
Рис. 19. Сферический тре-
Рис. 19. Сферический тре-
угольник.
угольник.
вращения: поворот на угол ф вокруг оси Z, поворот вокруг оси X
на угол 0 и поворот на угол ф вокруг оси г.
Таблица 1
Косинусы углов между осями, жестко связанными с телом, и фиксированными пространственными осями, выраженные через углы Эйлера
У
z
X
cos ф cos ср — — cos 0 sin ф sin ср
— sin ф cos ср— — cos 6 cos ф sin ф
sin 8 sin ф
У
cos ф sin фф-
■r cos 6 sin Ф COS ф
— sin ф sin ф + Д- cos 6 cos ф COS ф
— sin В COS ф
г
sin ф sin 8
cos ф sin 9
cost
В дальнейшем будет удобнее описывать движение твердого тела через угловые скорости вращения относительно осей X, У, Z, чем через производные 6, ф, ф. Тем не менее, поскольку 8, ф и ф войдут в уравнения Лагранжа, необходимо иметь связь между этими двумя наборами угловых скоростей. Если р, q и г (или же <о1, ма и го3) являются угловыми скоростями вращения тела
относительно осей X, Y и Z, мы найдем!
сох = р = В созф-ф ф sin В sin if, со2 = р =— 6 sin if+ ф sin 0 cos ф, (4.103) <о3 = г = ф cos 6 + if.
Эти уравнения можно получить, если помнить, что 8, фиф представляют собой угловые скорости вращения вокруг линии узлов ОП, вокруг оси г и вокруг оси Z соответственно.
Теперь мы найдем уравнения движения твердого тела в системе отсчета, неподвижной в пространстве, другими словами, в инерциальной системе. В конце концов нам понадобятся эти уравнения и в той системе отсчета, которая жестко связана с телом. Для получения этих уравнений мы воспользуемся принципом Д’Аламбера (2.226):
5 (тр^ - Ft • 6xi) = 0,(4.104)
i
где через Ft обозначены внешние силы, действующие на частицу, и где перемещения 6xt таковы, что кинематические соотношения не нарушаются. Последнее требование накладывает довольно сильные ограничения и означает фактически, что допустимы только два типа 6х,;
) 6х, = 8 и (II) 6хг = [8, xj, (4.105)
соответствующих трансляциям и вращениям тела.
Комбинируя (4.104) и (4.105,1), получим:
^е • 2 tTiiX^ = (е • 2 ^ >(4 106)
или же, поскольку е —произвольный вектор,
MXa.„. = P = Fp„,(4.107)
где через М обозначена полная масса системы:
М^^ти(4.108)
Через Хц.и. обозначен вектор, компонентами которого являются координаты центра масс (центра инерции):
Х^-^^М,(4.109)
(4.110)(4.110)а через Fpe3 —результирующая сила, действующая на тело:
(4.110)
(4.110)
^рсз = 2^.I
С другой стороны, если скомбинировать (4.104) и (4.105, II), мы получим:
Л]\(4.111)
\ Z/\ I/
или, поскольку е — снова произвольный вектор, )=Х(4.112)
где через J обозначен полный момент импульса тела, J^YXu т^а,(4.ПЗ)
i
а через ®^ — полный (вращающий) момент сил, действующих на тело:
^ = ^1Хь F^.(4.114)
Уравнения (4.107) и (4.112) являются основными уравнениями движения твердого тела. Первое из них выражает тот факт, что центр масс твердого тела движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена именно в этой точке и все силы действовали бы на нее. Второе уравнение определяет производную по времени от момента импульса тела, которая равна полному моменту сил, действующих на тело. Обе эти величины — полный момент импульса и полный момент сил — вычислены относительно одной и той же точки, за которую выбрано начало координат как в (4.113), так и в (4,114).
Займемся на время чистым вращением твердого тела. Мгновенное вращение можно охарактеризовать вектором ю, компоненты которого определяются согласно (4.103). Скорости частиц, образующих твердое тело, можно найти по формуле [ср. (4.105,11)]:
Х/ = [<», х;].(4.115)
Из (4.113) и (4.115) вытекает (имея в виду, что г’ = = (х,-х,)), что
J = 5 т< 1^0 1Ю> ^<11 = fS m^^ Ю ~ S ^iXi <-Xi • “)• ‘\ i j i
Мы можем переписать полученное равенство еще и так:
Jk = У Dkl№U к = х, у, г, (4.117) / = *, у, г
где введено обозначение:
Dkl = £пц И6к( — XifcXuY к,1 = х, у или г, (4.118)
Из (4.116) или (4.117) видно, что в общем случае вектор J и вектор to не совпадают по направлению.
Тензор второй валентности (второго ранга) DH (4.118) называется тензором инерции. Его диагональные элементы носят название моментов инерции, а недиагональные элементы — моментов девиации. Эти же самые элементы, взятые с обратным знаком, называются также иногда произведениями инерции. Очень поучительно перейти сейчас к случаю непрерывного распределения масс. Формально это означает, что сумму по точечным массам mz мы заменим на интеграл от/ плотности массы р по объему тела. Мы получим тогда для компонент тензора инерции:
D,x = V^A-^ d3x, Ан = $ Р (г2 + хг) Фх, D„ = \p(x2 + y3)d3x, где через d3x обозначенПричина, вызвавшаяD,x = V^A-^ d3x, Ан = $ Р (г2 + хг) Фх, D„ = \p(x2 + y3)d3x, где через d3x обозначенПричина, вызвавшаяDxy = — 5 рху d3x = Dyx, DUi: = — $ руг d3x = Dzy, (4.119) Dzx = — $ pzx d3x = Dxz, элемент объема dx dy dz. возникновение термина «момент
D,x = V^A-^ d3x, Ан = $ Р (г2 + хг) Фх, D„ = \p(x2 + y3)d3x, где через d3x обозначен
Причина, вызвавшая
D,x = V^A-^ d3x, Ан = $ Р (г2 + хг) Фх, D„ = \p(x2 + y3)d3x, где через d3x обозначен
Причина, вызвавшая
девиации», состоит в том, что, если недиагональные элементы тензора инерции отличны от нуля, появляются «силы», стремящиеся изменить направление J [(ср. (4.205)], если только вектор J не направлен вдоль какой-нибудь из трех главных осей (см. ниже).
Хорошо известно из теории тензоров второй валентности, что для симметричного тензора всегда можно подобрать такую ориентацию осей, что тензор инерции превратится в диагональный тензор. Преобразование к таким осям носит название преобразования к главным осям, а про тензор говорят, что он приводится к главным осям. Следует подчеркнуть, что в общем случае, когда ориентация твердого тела меняется во времени, меняется со временем и ориентация его главных осей в пространстве. Если только не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что оси XYZ, жестко связанные с телом, совпадают с главными осями тензора инерции. Тот факт,
что эти оси всегда совпадают с главными осями, указывает на возможные преимущества описания движения твердого тела в системе XYZ по сравнению с таким же описанием в системе xyz, неподвижной в пространстве.
Если (4.117) записать в системе координат, совпадающей с главными осями, эти равенства упрощаются;
^ = DA,(4.120)
или
J.x = Ap, Jy = Bq, Jz = Cr, (4.121)
где через А, В и С обозначены главные моменты инерции тела.
Из (4.120) или (4.121) видно, что при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей вектор момента импульса J совпадает по направлению с вектором угловой скорости со.
С помощью (4.115) можно получить выражение для кинетической энергии вращательного движения в виде;
Т " 21 т^ = 24 mi ^ю’ Х/^' ^’ Х/^ 12 DkI®litoi'iikJ
(4.122)
или же, если оси х, у, г направлены вдоль главных осей,
Т = ^АргА-^Вд»^\Сг».(4.123
Если тело движется с линейной скоростью у и одно временно, вращается с угловой скоростью со, вместо (4.115) мы получим:
л:; = у+[со, лг;],(4.124)
а (4.122) заменится на
Т^^-М-о^аЦ ^°^®л“сч-(®-[«, 44^.,,.]), (4.125) к, I
где 44 и Хц „ определяются согласно (4.108) и (4.109). Если выбрать начало координат в центре масс, последний член в правой части (4.125) обращается в нуль и кинетическая энергия превращается в сумму энергий поступательного и вращательного движения; '
7=144^ + 12^^.(4.126)
kJ
есть еще три связи типа (2.108), которые оставляют системе всего лишь шесть степеней свободы (ср. рассуждения в § 3.3 по поводу трехатомной молекулы). Положение каждой следующей частицы в системе снова определится тремя координатами, но расстояния этой частицы
до первых трех частиц заданы и поэтому не возникает никаких новых степеней свободы.
В качестве шести обобщенных координат, определяющих конфигурацию твердого тела, мы выберем три коор
динаты центра масс X, У рактеризующих ориентацию тройки взаимно перпендикулярных осей в пространстве. Очевидно, что три первые степени свободы соответствуют поступательным степеням свободы, тогда как второй триплет соответствует вращательным степеням свободы. Чтобы определить угловые координаты, мы выбираем три координатные оси X, У и Z жестко связанными с телом, тогда как через х, у, г обозначены оси, неподвижные в пространстве (см. рис. 18). Угол 6 определяется просто
и Z и три угла 6, ф и ф, ха-и Z и три угла 6, ф и ф, ха-Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система xyz неподвижна в пространстве.Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система xyz неподвижна в пространстве.как угол между осями г
и Z и три угла 6, ф и ф, ха-
и Z и три угла 6, ф и ф, ха-
Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система xyz неподвижна в пространстве.
Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом, система xyz неподвижна в пространстве.
и Z. Угол <р — это угол между осью х и линией узлов, ко
торая определяется как линия пересечения двух плоскостей: оху и OXY. Наконец, угол ф представляет собой угол между линией узлов и осью X. Введенные таким образом углы называются углами Эйлера.
Следует предупредить читателя, что в литературе нет единообразия ни в определении, ни в обозначении углов Эйлера. Использованное здесь определение — наиболее распространенное, но если вам приходится сопоставлять те или иные выражения в разных руководствах, непременно следует проверить определение углов Эйлера.
Для будущего удобно получить выражения для косинусов углов между одной из осей х, у, г и одной из осей X, У, Z. Эти выражения легко получаются из рис. 18,
или же в кохшонентах, если воспользоваться (4.121):
Ар -НС - B)qr = е<г,
Bq + (A-C)pr = ^2,(4.206)
Сг -К (В — /1) pq = аДС^,
Эти уравнения и называются уравнениями Эйлера.
Начнем с того, что рассмотрим случай <^ = 0 , т. е. случай, когда нет вращательных моментов (моментов сил). Мы еще раз напомним, что поступательное движение, описываемое (4.107), не рассматривается. Когда =// = 0, мы получим вместо (4.206):
Ap-HC-B)qr = 0,
BqHA-C)pr = 0,(4.207)
Cr + (S- A)qp = 0,
где точки над буквами относятся к производным по времени в системе XYZ. Теперь становится ясным преимущество использования уравнений движения в системе XYZ; выбрав однажды оси координат вдоль главных осей тензора инерции, мы можем быть уверены в том, что они всегда будут совпадать с этими осями. Но это было бы совсем не так, если бы мы работали в системе хуг. Два интеграла движения системы (4.207) могут быть найдены немедленно. Умножая каждое из уравнений (4.207) на р, q и г соответственно и складывая их, мы найдем:
у Др2 + у Вр2 + у Сг2 = const;(4.208)
этот интеграл — интеграл энергии [ср. (4.123)].
Умножая уравнения (4.207) на Ар, Bq и Сг соответственно и затем складывая их, мы получим:
Л2р24-В2<724-С2г2 = const;(4.209)
это равенство показывает, что абсолютная величина полного момента импульса является интегралом движения. Воспользовавшись двумя полученными интегралами движения (4.208) и (4.209), можно выразить общее решение уравнений (4.207) через эллиптические интегралы. Но мы не станем этого делать, а вместо этого рассмотрим несколько частных случаев.
Прежде всего мы отметим, что можно найти решение уравнений (4.207) в форме
р = const = Ру, или же в видеq = const = q0, а также в видег = const — г0,р = const = Ру, или же в видеq = const = q0, а также в видег = const — г0,<7 = 0, /- = 0(4.210а)р = 0, л —0,(4.2106)р = 0, q = 0.(4.210в)<7 = 0, /- = 0(4.210а)р = 0, л —0,(4.2106)р = 0, q = 0.(4.210в)
р = const = Ру, или же в виде
q = const = q0, а также в виде
г = const — г0,
р = const = Ру, или же в виде
q = const = q0, а также в виде
г = const — г0,
<7 = 0, /- = 0(4.210а)
р = 0, л —0,(4.2106)
р = 0, q = 0.(4.210в)
<7 = 0, /- = 0(4.210а)
р = 0, л —0,(4.2106)
р = 0, q = 0.(4.210в)
Эти решения соответствуют вращениям с постоянной угловой скоростью вокруг трех главных осей. Можно показать, что (4.210) определяют те единственные случаи, когда (4.207) при трех неравных главных моментах инерции имеют решение
о ■= const,
или же
Р = Ро. Q™q6l r = r0. (4.211)
Чтобы убедиться в этом, подставляем (4.211) в (4.207) и обнаруживаем, что эти уравнения можно решить, если по крайней мере две из трех величин р0, q6 и г0 обращаются в нуль. Мы напомним в этой связи наше замечание об источниках происхождения термина «момент девиации» в предыдущем параграфе.
Интересно выяснить устойчивость вращения (4.210). Это можно сделать тем же самым способом, каким мы пользовались, исследуя малые колебания в предыдущей главе; итак, мы положим:
(4.212)(4.212)Р = Ро + л, q = ^, г = р.
(4.212)
(4.212)
подставим эти выражения в (4.207) и отбросим члены, квадратичные по л, § и р. В результате получим:
(4.213)(4.213)Ал = 0,
(4.213)
(4.213)
В£ + М-С) роР = О,Ср + (В-Л)м-0.
Первое уравнение приводит к малым колебаниям нулевой частоты и к решению л = const, ^ = 0, р = 0, т. е. к решению, которое снова имеет вид (4.210а), но теперь уже со слегка изменившейся угловой скоростью вращения вокруг оси X. Последние два уравнения
системы (4.213) дают для частоты малых колебаний со уравнение
ВС<^ = (А-С)(А — В) р^, (4.214) из которого мы заключаем, что решение (4.210а) устойчиво при условии, если А будет наибольшим или наименьшим из трех главных моментов инерции. Вращения вокруг двух главных осей, соответствующих наибольшему и наименьшему моментам инерции, являются, таким образом, устойчивыми равновесными вращениями, тогда как вращение вокруг третьей главной оси, с которой связан промежуточный главный момент инерции, является неустойчивым равновесным движением.
Второй частный случай, который нас интересует,—это случай, когда A=BV=C. Последнее уравнение (4.207) становится совсем простым:
(4.215)(4.215)Сг = 0, или г = const = г0.
(4.215)
(4.215)
Полагая А=В в первых двух уравнениях, получим:
(4.216)(4.216)(4.217)(4.217)Ар + (С - Л) qr0 = 0,Л^ + (Л-С)рго = О.
(4.216)
(4.216)
(4.217)
(4.217)
Решения (4.216) имеют вид:
p = p0c.os [(С — АУг^/АЛ. q = qosinV(C —AVoWAL
Полученное решение дает прецессию вектора © вокруг оси Z. Это можно усмотреть также, записав уравнение движения в виде;
и = — [Q, ©],и = — [Q, ©],(4.218)(4.218)
и = — [Q, ©],
и = — [Q, ©],
(4.218)
(4.218)
где Я —вектор с компонентами 0, 0 и (С — Л)г0/Л.
Земля дает нам хороший пример тела, для которого А=В. Для Земли (С — Л)/А составляет около 1/300, а г0 имеет порядок 1 сутки-1, Таким образом, период прецессии составляет около одного года.
Теперь мы займемся некоторыми случаями, когда уже есть моменты сил. Первый из них — тяжелый симметричный волчок. Имеется в виду тело, у которого А = В, а одна из точек оси симметрии закреплена. Если обозначить через / расстояние между точкой закрепления и центром масс волчка, через m — массу волчка, потенциальная 108
энергия волчка запишется в виде:
(4.219)(4.219)С = Ж cos 9, W = mgl,
(4.219)
(4.219)
где g — ускорение силы тяжести (которое в этой задаче считается константой) и где ось г направлена по вертикали, так что 0 будет одним из эйлеровских углов.
Кинетическая энергия волчка запишется в форме:
7 = -* А №-WH-2Cr\(4.220)
или же, если воспользоваться (4.103),
7 = ~ Л (б2 + ф2 sin2 0) -{- ~ С (ф cos 9 + ф)2. (4.221)
Лагранжиан задачи теперь уже выглядит так:
L А Л (О2 + Ф2 sin2 9) 4- 1 С (ф cos 9 + ф)2 - W cos 9,
(4.222) и мы сразу обнаруживаем в нем две циклические координаты ср и ф, так что
Рф = С0П51 = С(фС0$6 + ф),
рф = const = Лфsin29 + Ceos9 (фсозВ-рф), ' "
Первое из этих уравнений эквивалентно равенству Cr — const, которое следует из последнего уравнения Эйлера, поскольку А=В И а//3 = 0.
В задачу входят три степени свободы, и следует ожидать шесть постоянных интегрирования. Две из них мы уже нашли, это р^ и р^, а третьей будет энергия Е:
£ = -’ Л (62 + ф2 sin2 9) -|- | С (Ф cos 9 + ф)2 W cos 6.
(4.224)
С помощью (4.223) можно исключить ф и ф:
«Ч^+'^^Ч^+ireose. 0.225)
Последнее уравнение может быть проинтегрировано:
t = $ [/(г)Г'/2^,(4.226)
z(0)
где введены обозначения
/ (z) = (1 - z2) (а - az) - ф - Ьг^,
СЛс. = 2СЕ-р^ А^Рф, Ла = 2Ж, АЪ^р^ 1
а также
г = cos 6.
(4.228)
В принципе из уравнения (4.226) можно найти 0 в зависимости от времени. Из (4.223) мы можем уже найти <р и ф как функции времени. Все три угла выражаются через эллиптические интегралы. Не так уж интересно обсуждение полного решения во всех деталях, но физический смысл решения можно понять из (4,226). Функция / (г) представляет собой кубический полипом относительно г, и ее поведение видно на рис. 20. Из (4,228) следует, что значения г лежат в интервале между -1 и 4-1. В этих точках функция Цг) не положительна [см. (4.227)1.
Рис. 20. График функции f (г), определенной согласно (4-227).Рис. 20. График функции f (г), определенной согласно (4-227).
Рис. 20. График функции f (г), определенной согласно (4-227).
Рис. 20. График функции f (г), определенной согласно (4-227).
Из (4.226) следует, что . (г) не может быть отрицательной с физической точки зрения. Но это значит, что значения г лежат между значениями гх и г2 или что значения 0 заключены в соответствующих пределах 62 и 6»: ось волчка обнаруживает нутацию. Физически возможные пределы изменения г часто оказываются еще более ограниченными, чем это предполагалось до сих пор во всех наших рассуждениях. Если, например, мы имеем дело с обычным волчком на столе, то угол 0 всегда должен быть меньше л/2 и г должно быть положительным.
В общем случае ф не равно пулю; это соответствует прецессии волчка. Возможное движение иллюстрируется на рис. 21. Пересечение оси волчка со сферой, центр которой находится в точке закрепления волчка, описывает некоторую кривую типа изображенного на рис. 21. Окружность АВС соответствует углу 6 = 09, а окружность DEF-углу 0 = 6!.
Ось Земли обнаруживает и нутацию, и прецессию. В этом случае вращательные моменты, действующие на земную ось, обусловлены силами притяжения со стороны Солнца п Луны. Для начала мы рассмотрим только влияние Солнца, Решение задачи удобно проводить, исходя
из уравнения движения, промежуточного между уравнениями Эйлера (4.207) и уравнениями (4.112). Вместо того чтобы пользоваться системой координатных осей, неподвижных в пространстве, (4.112), или же жестко связанных с Землей, (4.207), мы воспользуемся несколько иной системой (см. рис. 22): ось £ направляется вдоль оси Земли, ось £ —вдоль линии узлов, т. е. пересечения экваториальной плоскости Земли с плоскостью орбиты Земли при ее движении вокруг Солнца (эта плоскость, называемая плоскостью эклиптики, конечно, в той же степени является и плоскостью солнечной орбиты при движении Солнца вокруг Земли; для обсуждаемой темы удобнее
Рис. 21. Нутация и прецессия тяжелого симметричного волчка.Рис. 21. Нутация и прецессия тяжелого симметричного волчка.Рис. 22. Орбита Солнца вокруг Земли. Е—центр Земли, S — некоторое положение Солнца на его орбите вокруг Земли, EQ—линия узлов.Рис. 22. Орбита Солнца вокруг Земли. Е—центр Земли, S — некоторое положение Солнца на его орбите вокруг Земли, EQ—линия узлов.
Рис. 21. Нутация и прецессия тяжелого симметричного волчка.
Рис. 21. Нутация и прецессия тяжелого симметричного волчка.
Рис. 22. Орбита Солнца вокруг Земли. Е—центр Земли, S — некоторое положение Солнца на его орбите вокруг Земли, EQ—линия узлов.
Рис. 22. Орбита Солнца вокруг Земли. Е—центр Земли, S — некоторое положение Солнца на его орбите вокруг Земли, EQ—линия узлов.
именно последняя точка зрения). Что касается оси ц, то она выбирается так, чтобы оси £, т], £ составляли правую тройку ортогональных осей.
Уравнения движения запишутся теперь так:
У 4~ [<Oq, У] — е^,У 4~ [<Oq, У] — е^,(4.229)(4.229)
У 4~ [<Oq, У] — е^,
У 4~ [<Oq, У] — е^,
(4.229)
(4.229)
где через о)о обозначен вектор угловой скорости осей £, т] и С (компоненты этого вектора в системе £, т], £ мы обозначим через со^, со^ и со?). Поскольку ось £ направлена по оси симметрии Земли, справедливо соотношение (4.120), и можно написать:
J^ = Ap, J^ = Aq, H = Cr, (4.230)
где мы считаем, что В = А, а р, q и /" — компоненты угловой скорости Земли.
Компоненты момента силы =■№ можно найти по формуле ^-[Х, F\,(4.231)
где Л--• радиус-вектор Солнца, записанный в системе е, 1], £ (его компонентами будут X, У, Z), a F — сила, действующая со стороны Солнца на Землю. Для того чтобы определить F, мы замечаем, что она может быть записана в виде:
F™VxU(X),(4.232)
где [/ — гравитационный потенциал, создаваемый Землей, г?д д д о
a v^ —вектор градиента с компонентами ^, ^-,, ^. Записывая (4.232), мы использовали третий закон Ньютона. Потенциал U определяется интегралом:
1/(20 = -G/И, (4.233)
где р (лг) — плотность вещества в точке х где-то внутри Земли, G--гравитационная постоянная, а /И, — масса Солнца. Разлагая модуль \х — Хр1 по степеням $ лг;/! А'"1, мы получим с точностью до членов порядка R'3 (7? = |Х.):
и ~ R 1
., 1 ^ , 3 ХМ Уг , 3 У I ..
Я3Ч ча"г 22 R; а'‘”2 /^Д’ (4-3-)
где через Л1 обозначена масса Земли, а коэффициенты а п у определяются по формулам
a-Jp^d^-Jp//2/?^, y-Jp^z. (4.235) Используя соотношения .
Д = В = а4-у, С-2а,(4.236)
мы получим:
, GMM-.ХМ-У”-273
U-.-.-СМ^С-Л)—. (4.237)
Первый член не дает вклада в «^, а из второго члена с помощью (4.231), (4.232) и (4.237) можно получить:
-GAI.;. (С-Л) У г-GAI.;. (С-Л) У г3GM ДА-С)Х7.3GM ДА-С)Х7.c/zs = 0.(4.238)c/zs = 0.(4.238)
-GAI.;. (С-Л) У г
-GAI.;. (С-Л) У г
3GM ДА-С)Х7.
3GM ДА-С)Х7.
c/zs = 0.
(4.238)
c/zs = 0.
(4.238)
Обозначим через % угол между ES и осью £ (т. е. сол нечную долготу; см. рис. 22), а через 6 —угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью. Тогда, принимая во внимание (4.101), можно написать:
X = 2?cosx, У = 7?sin х cos 6, Z = R sin x sin 6. (4.239)
Эти формулы поясняются аналогичен рис. 18, если на рис. 18 считать 8 = 6, ф = X и q) = 0; следует, конечно, помнить, что оси XYZ на рис. 18 жестко связаны с твердым телом, тогда как теперь только ось £ жестко связана с Землей, а линия узлов вращается в |т]-плоскости; сами же оси В, т] поворачиваются относительно Земли.
Полагая
/< = ЗСМ^(С-Л)Ж (4.240)
на рис. 23; последний рисунокна рис. 23; последний рисунокРис. 23. Положение Солнца на его орбите вокруг Земли 'определяется углами 6 (угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли) и х (солнечная долгота).Рис. 23. Положение Солнца на его орбите вокруг Земли 'определяется углами 6 (угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли) и х (солнечная долгота).можно переписать уравнение (4.229) в компонентах следующим образом:
на рис. 23; последний рисунок
на рис. 23; последний рисунок
Рис. 23. Положение Солнца на его орбите вокруг Земли 'определяется углами 6 (угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли) и х (солнечная долгота).
Рис. 23. Положение Солнца на его орбите вокруг Земли 'определяется углами 6 (угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли) и х (солнечная долгота).
Ap-V Crtoq — Aqto^ = К sin2 х sin 6 cos 6, Aq + Apto^ — Crto-t = К sin x cos x sin 6,(4.241)
Cr + Aqto^ — Aptow= 0.
Чтобы найти компоненты ю0, мы заметим, что единственным различием между системой осей g, т], ^ и системой осей, жестко связанных с главными осями инерции Земли, будет то, что система &т]С поворачивается вокруг оси £ относительно второй системы. Но это значит, что
to^ = p, to4 = q, tor —г — ф,(4.242)
е. ws=# г.
Из третьего уравнения (4.241) н равенств (4.242) следует:
г = const = Q,(4.243)
где через Q обозначена угловая скорость суточного вращения Земли.
На этой стадии разумно ограничиться приолиженными решениями уравнений (4.241). Это можно сделать, если вспомнить, что в первом приближении со^ = 0, р = 0 и q = 0 (положение земной оси по отношению к плоскости эклиптики меняется не слишком заметно), так что членами второго порядка от этих величин можно пренебречь. В том же самом приближении можно пренебречь первыми производными по времени от р и q. Действительно, можно показать, что р и q меньше, чем q или со;, на множитель порядка отношения периода обращения Солнца вокруг Земли к периоду обращения Земли вокруг ее собственной оси [см., например, Л. Вебстер, Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел, § 96, ГТТИ, 1933]. Пренебрегая всеми членами высшего порядка, мы получим из двух первых уравнений (4.241):
р = —(K/CQ) sin х cos х sin б,
q = (K/CQ) sin2 x sin 6 cos 6.''
Из сопоставления рис. 18 и 23 и формул (4.103) следует, что, положив ф == 0, 0 = 6,
6 = —(/</CQ) sinх cosy sin 6,/4
ф = (К/С<>) sin2 X cos 6.
Правильная аппроксимация требует, чтобы мы записали для солнечной долготы х:
X = W^,(4.246)
где со соответствует периоду в один год. Заметим, что среднее по времени от величины 6 дает нуль: в нашем приближении никакого секулярного вклада в нутацию земной оси нет. Для секулярной прецессии мы получим выражение
ф = Ксозб/2СО,[ (4.247)
где мы заменили член sin2x его средним по времени, равным половине.
До сих пор мы учитывали только влияние Солнца. Аналогичные вычисления можно провести для действия Луны на Землю. Так как лунная орбита расположена практически в плоскости эклиптики, то в первом приближении можно просто заменить К на К', где К' получается из (4.240), где Му и R заменятся на массу Луны и расстояние от Земли до Луны соответственно. Масса Луны значительно меньше, чем масса Солнца, однако
Луна расположена намного ближе к Земле, так что величина К' почти вдвое превосходит К.
Найдем период прецессии согласно (4.247):
К cos 6 _ GM^ J £ — Аз cos 6
2CQ Ri" Q С 2=
3cos6 co C — A1/л пло,
—2 Й С 80 000 Ю’ (4.248)
где использован третий закон Кеплера (1.246) и следующие численные значения: С/(С — Л) = 300, Q/co = 365, 6 = 23°. Различие между получаемым таким образом периодом (около 80 000 лет) и наблюдаемым периодом (26 000 лет) легко объясняется влиянием Луны.
Вращающиеся системы отсчета. Силы Кориолиса
В предыдущем параграфе мы вывели уравнения Эйлера, воспользовавшись формулой (4.203), определяющей связь между производной по времени от вектора в системе координат, неподвижной в пространстве, и производной по времени от того же вектора во вращающейся системе отсчета. В этом параграфе мы применим ту же самую формулу (4.203), но уже к (4.107), а не к (4.112). Специально мы остановимся на движении материальных точек на поверхности Земли. Если на частицу массы т действует сила F, то уравнение движения частицы имеет вид:
t <Рх\ — F_\ dP , хуг " m ’
а используя дважды (4.203), мы найдем во вращающейся системе отсчета:
тх = — 2т [со, х] — m {[о, х] —[о, [«, х]]} + /7, (4.302) где точка означает дифференцирование в системе XYZ, т. е. (dldt)xYZ-
Во всех случаях, которые рассматриваются далее, ю — это вектор угловой скорости вращения, соответствующий суточному вращению Земли. С достаточной степенью точности можно положить тогда w = 0. Выражение |<d, [со, х]], как это легко видеть, определяет центробежное ускорение. Его компонента вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли к точке земной поверхности, равная Q2/? cos ср (где Q—угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси; R — радиус Земли; ср —широта точки на поверхности Земли), составляет около 0,003g cosф(g —
ускорение силы тяжести) и должна приниматься во внимание наряду с обычным ускорением силы тяжести. Вместе с тем поправка эта составляет не более 0,3 % от g, поэтому ею можно пренебречь во многих задачах; именно Так мы и поступим в дальнейшем.. Мы также пренебрежем остальными компонентами вектора [о, [ю, .г]].
Тогда у нас останется следующее (приближенное) уравнение движения;
т^ = — 2/и[<», х] + Л (4.303)
Первый член в правой части —это так называемая сила Кориолиса. Если частица движется в северном полушарии в направлении па север, то на нее будет действовать сила, направленная па восток. Это обстоятельство имеет значение при рассмотрении течения рек и для понимания законов образования и циркуляции циклопов. Мы же ограничимся двумя простыми механическими примерами, в которых силы Кориолиса имеют существенное значение. Первый пример—это падение частиц в поле тяжести Земли, точнее — траектория частицы, брошенной с некоторой высоты. Второй пример —маятник Фуко.
Выберем сейчас координатные оси следующим образом: пусть ось г направлена вдоль радиус-вектора, идущего от центра Земли к точке на ее поверхности, где будет производиться эксперимент; ось у направим по касательной к окружности постоянной широты в направлении «запад — восток»; ось х направим по касательной к меридиану в направлении «север —юг» (напомним, что направления выбранных таким образом осей х, у, г в разных точках Земли различные). Вектор <в имеет в этой системе осей компоненты — Йсо$ф, О, Q sin ср, где, как и раньше, Я— угловая скорость вращения Земли, а ср — широта места, где проводится опыт. Запишем уравнение (4.303) в компонентах:
К = 2Q sin ф § + Fxliu,
у = — 2Q cos ф 5 — 2Q sin ф ^ 4- Pshn, (4.304) г = 2Q cos ф у 4- Fjtn.
В первой задаче можно считать Гх = ?,,= 0, Z< — — mg (где при желании можно подправить g па центробежное ускорение, о котором только что шла речь). /Ложно проинтегрировать первое и третье уравнение из (4.304) и подставить полученный результат во второе уравнение
принимая во внимание начальные условия (х = — у —0, z = h и x=y=z=0 при / = 0):
у = — 4Q2y Jr 2Q cos ср gt.(4.305)
Можно пренебречь членом, содержащим Й2, по сравнению с другими членами; тогда мы найдем величину смещения Ду для точки, где окажется на Земле падающая частица, относительно той точки, куда бы она упала, если бы Земля не вращалась (й = 0):
Ау = -| Й cos ср gP;(4.306)
здесь через Т обозначено время, необходимое частице, чтобы упасть на Землю,
(4.307)
Подставив (4.307) в (4.306) и полагая /г=102 я, мы найдем для Ау величину около 0,02 м, Физическая причина этого отклонения очень проста: частица падает из точки, где линейная скорость в направлении запад —восток была больше, чем на Земле.
Второй пример —это маятник, обладающий двумя степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника н решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (г будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содержащую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины Fjm и FJm будут равны соответственно — gxjl и — gy'l, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут:
х — 2Й sin (р у — — gxH, у -Ь 2Й sin <р i — — gyjl. (4.308)
Заметим, что (4.308) сводятся к уравнениям движения обычного маятника, если положить <2 = 0.
Решение системы (4.308) дает простое гармоническое колебание, но такое, что плоскость колебаний равномерно поворачивается с угловой скоростью й sin ф. Это видно сразу же, если ввести систему координат х’, у', вращающуюся с угловой скоростью й sin ф относительно системы х, у. Если поступить таким образом, члены, про-
117
порциональные Q, исчезают. Другими словами: эти члены являются двумерными аналогами ускорения Кориолиса. Аналитически можно найти решение, если ввести комплексную переменную
и х f- iy.(4.309)
Через эту переменную система (4.308) запишется в виде:
Рис. 24. Опыт Фуко с маятником. Эллипс III —та самая кривая, которую описывает нижняя точка маятника.Рис. 24. Опыт Фуко с маятником. Эллипс III —та самая кривая, которую описывает нижняя точка маятника.и + ‘21Й sin ф и + gujl = 0.
Рис. 24. Опыт Фуко с маятником. Эллипс III —та самая кривая, которую описывает нижняя точка маятника.
Рис. 24. Опыт Фуко с маятником. Эллипс III —та самая кривая, которую описывает нижняя точка маятника.
(4.310)
Если искать решение в форме и — Ае1®1,(4.311)
то, пренебрегая членами, содержащими Q2, мы получим:
(О = ± (Оо — Й sin ф,(О = ± (Оо — Й sin ф,(4.312)(4.312)или жеили жеи — (А^1”^ + Be <т«у~ ,я s,n ^.
(О = ± (Оо — Й sin ф,
(О = ± (Оо — Й sin ф,
(4.312)
(4.312)
или же
или же
'(4.313)
Сумма, стоящая в скобках, представляет эллиптиче-
скую орбиту (см. рис. 24): член Ае№»1 соответствует движению по кругу I, член Be"-^ —движению по кругу II в обратном направлении. Эллипс III представляет собой сумму двух первых движений. Множитель е~ш Sln ^ показывает, что этот эллипс вращается по часовой стрелке С УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ Й8Шф.
Такое вращение плоскости колебаний маятника было экспериментально показано Фуко в его знаменитом эксперименте 1851 г. в Пантеоне. За этот опыт Фуко получил в 1855 г. медаль Копли от Королевского Общества.
ЗАДАЧИ
Твердое тело, способное свободно вращаться около фиксированной точки О, находится в покое, когда на него действует импульсная пара сил *) с компонентами е, е, 1 вдоль главных осей инерции тела
в точке О; предполагается, что е—малая величина. Предполагая, что С > В > А, показать, что наклон мгновенной оси вращения относительно оси С в последующем движении с точностью до первого порядка по е всегда меньше или равен ке., где к — число, зависящее только от отношений С! А и В; А. Найти число к, если С = 1А и В = 2 А.
Главные моменты инерции твердого тела относительно некоторой заданной точки равны А, В и С (Л < В < С), а соответствующие компоненты угловой скорости -- &>i, ш2 и w3. Показать, что выражения А (С — Л) Ы^-В^С — В) Щ; И С (С — А) <;)■■ -\-В (В — Л) СО; являются интегралами движения. Допустив, что эти' интегралы выражены через отношение С—В к В — А и, кроме того, заданы начальные условия для Wj! oij — соо и d>1=0 при /==0, найти зависимость Wj от времени.
Пользуясь функцией Рауса, исключить циклические координаты для случая симметричного волчка, вращающегося вокруг неподвижной точки, и получить дифференциальное уравнение, являющееся уравнением движения для нециклических координат.
Пусть Г—кинетическая энергия вращающегося твердого тела, а У—величина его момента импульса [ср. выражения (4.208) и (4.209)}. Доказать, что если J- — 2TC (1 -фе), где к—малая величина, н если Л > 5 >С, то ш1 н ш2 совершают простые гармонические колебания. Рассчитать период этого движения и найти поправку с точностью до членов, пропорциональных | е , к амплитуде колебаний с частотой сор
Рассмотреть волчок массы М, центр масс которого при вертикальном положении волчка находится па высоте к; аксиальный момент инерции волчка равен С, поперечный момент инерции А; волчок вращается на шероховатой плоскости, ось волчка направлена по вертикали, п — угловая скорость волчка.
Показать, что если Сгп2 < AAMgh, то возможным движением вблизи вертикали будет движение, при котором проекция центра масс волчка на горизонтальную плоскость приблизительно описывается уравнением логарифмической спирали:
V 4AMgh — C2n2 .
г = Гйехр6.
Твердый однородный прямой круговой конус массы М и высотой h имеет при вершине угол полураствора а. Конус свободно вращается вокруг своей оси симметрии. В некоторый момент времени одна из точек окружности основания конуса закрепляется. Доказать, что ось, вокруг которой будет вращаться конус, составляет угол р с осью конуса, причем |3 = 5 tg а/(2+ 3 tg2 а).
На сферу радиуса а и массы М помещены грузы так, что Центр масс системы по-прежнему совпадает с центром сферы, но главные моменты инерции равны уже А, А, С. Показать, что воз. можно устойчивое движение, при котором сфера катится по шероховатой горизонтальной плоскости, так что ось С (т, е. та ось, которой соответствует момент инерции С) наклонена под постоянным
углом а и с постоянной угловой скоростью прецессии со описывает конус вокруг вертикальной осп, проходящей на расстоянии с от центра сферы. Найти компоненту угловой скорости со вдоль осн С для этого устойчивого движения.
Один конец оси симметричного волчка закреплен, а другой свободно скользит по легкому направляющему желобу, выполненному в форме окружности, лежащей в вертикальной плоскости с центром в точке, где находится закрепленный конец оси; эта окружность может вращаться вокруг вертикального диаметра, который неподвижен. Показать, что если желоб вращается относительно своего неподвижного вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью со, то (К = const)
Д02 = Х + 2 (Спсо— Mg/i) cos 6 — Део2 cos2 6.
Здесь С — аксиальный момент инерции волчка; п — угловая скорость; О — соответствующий угол Эйлера.
Показать, что можно выбрать начальные условия таким образом, что 6 монотонно уменьшается от своего начального значения а (> 0) и стремится к нулю при t —»со. Найти 6 как функцию времени для этого случая.
Симметричный волчок, масса которого равна М, расстояние центра масс от точки опоры /;, аксиальный момент инерции С и поперечный момент инерции Д, вращается на шероховатой горизонтальной плоскости. Его ось составляет угол 60 (6отьО) с вертикалью, ориентированной вверх. Задана угловая скорость волчка п относительно его оси, причем C2n2 ^ 4AMgh. Показать, что центр масс опускается вниз примерно на расстояние 2Mg№A sin2 60/С2п2 ц что наблюдается прецессия волчка с угловой скоростью
MghСпMghСпCnt '-cos —Cnt '-cos —
MghСп
MghСп
Cnt '
-cos —
Cnt '
-cos —
Круговой диск радиуса а вращается на гладком столе вокруг вертикального диаметра. Найти условие устойчивости движения.
Тонкий диск радиуса а и массы т вращается с угловой скоростью со вокруг нормали, проходящей через его центр, который закреплен. Показать, что небольшое возмущение движения диска приведет к тому, что ось диска начнет прецессировать с частотой со в системе отсчета, связанной с телом, и с частотой 2со в лабораторной системе.
Допустив, что движение возмущено конечным моментом импульса J относительно диаметра, найти максимальный угол отклонения осн.
Тонкий круговой диск радиуса а катится по шероховатому горизонтальному столу. Пусть 6 и ф —угловые координаты его оси, отнесенные к вертикали и заданной вертикальной плоскости, ап— угловая скорость диска относительно его оси. Найти уравнения движения для величин 6, ф и п.
Найти условия устойчивости движения диска, если Диску сообщено вращение с угловой скоростью со относительно вертикального диаметра.
и определением (5.103), мы убедимся, что
6/-=Wu +IX6г» - 2*+2р^- <5-106) 6ккк
так ЧТО
6/7 = У гкбрк - ^pk6qk = У qk6pk - У pkbqk. (5.107) АААА
Отсюда следует, что
А —<•(5.108)
Полученные уравнения движения называются уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения.
При выводе уравнений (5.108) мы все время пользовались, пока это было возможно, совокупностью координат qk, rk, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы оперируем с набором 2s независимых переменных. Очень часто, когда излагают теорию уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, на это обстоятельство не обращают должного внимания, и вместо (5.104), (5.105) и (5.106) можно увидеть:
H^p^-L,(5.104')
а
бН^^рМ + ^фМ-бЬ,(5.105')
АА
“ - 2 ^ ’’•+2 ^ ^=2'>*+2ам- <5-106'> Аккк
Фактически и мы воспользуемся этими выражениями, когда перейдем к рассмотрению гамильтоновского формализма для сплошных сред (гл. 8). Кроме того, мы повсюду предполагаем, что L не зависит от времени явно; если это так, то это будет справедливо и по отношению к Н.
Мы хотели бы обратить внимание на сходство (5.104), (5.107) и (5.108), с одной стороны, и (2.404) [или (2.410)], (2.406), (2.407) и (2.409)-с другой.
Выясним теперь физический смысл Н. Еще раз допустим, что кинетическая энергия Т — однородная квадратичная функция qk и что потенциальная энергия U совсем не зависит от qk. Из теоремы Эйлера об однородных функциях мы получим!
^“Z^^Jj^^Z^a.(51109)
ААА
Частица массы т может свободно перемещаться по гладкому
горизонтальному столу, закрепленному на поверхности Земли на
широте X. Движениешироте X. Движениепроисходит в потенциальном поле U = -^ тр’-г2.
широте X. Движение
широте X. Движение
где через г обозначено расстояние от точки О. В момент времени / = 0 частице, находящейся в точке О, сообщается скорость и. Показать, что при подходящем выборе полярных координат уравнение траектории частицы будет иметь вид:
рг — и sinрг — и sinсо sin Xсо sin X
рг — и sin
рг — и sin
со sin X
со sin X
где пренебрежено квадратами отношения со/p; со — угловая скорость вращения Земли.
Исследовать движение, ротора Фуко, представляющего собой твердый цилиндр, вращающийся вокруг своей оси и подвешенный за ось в точке, проходящей через центр тяжести цилиндра. Ось ориентирована в направлении с востока на запад.
Гироскопический компас представляет собой гироскоп, вращающийся вокруг своей оси и способный свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Предполагая, что центр гироскопа покоится относительно вращающейся Земли, показать, что ось гироскопа, если она направлена па север, может сохранять свое положение относительно Земли.
Угловая скорость гироскопа относительно его оси равна п, угловая скорость Земли со, причем п д. <о. Показать, что если ось слегка возмущена, то она будет колебаться относительно истинного направления на север с периодом, приблизительно равным 2л V А;Спе> cos X, где А и С — поперечный и аксиальный моменты инерции гироскопа, а X— широта точки, где находится гироскоп.
Г л а в а 5
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе прежде всего будет рассказано о том, как можно описать движение механической системы с s степенями свободы в 2$-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа. Канонические преобразования обсуждаются весьма кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как можно рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами qk.
Уравнения Гамильтона
На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобным пе- рейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, q^ величины qk и qk не являются независимыми переменными, поскольку qk — это производные по времени от qh. Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, гк, согласно соотношениям
Як = гк.Як = гк.(5.101)
Як = гк.
Як = гк.
123
Уравнения (5.101) представляют собой s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих между собой 2s переменных qk и гк. Лагранжиан представляет собой теперь функцию тех же самых 2s переменных, L(qk, гк), а уравнения Лагранжа (2.308) теперь уже превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка,
^.Ю2)
Уравнения (5.101) и (5.102) совместно образуют систему 2s уравнений первого порядка, и таким образом поставленная задача решена. Как и раньше, состояние механической системы полностью определено, если в определенный момент времени заданы значения всех qk п гк. Однако, если в гл. 2 мы рассматриваем траекторию системы как кривую в s-мерном ^-пространстве, теперь траектория системы представляется уже как кривая в 2$-мерпом (g, /)- пространстве.
Удобно вместо совокупности переменных qk, гк ввести другую совокупность переменных, с помощью которых уравнения движения приобретают более симметричный вид, чем уравнения (5,101) и (5.102). Мы снова обращаемся к обобщенным импульсам рк, определяемым по (2.310); теперь (2.310) запишутся так:
Эти соотношения, пли, точнее, эти з уравнений совместно с тривиальными равенствами qk = qk и есть те уравнения, с помощью которых мы совершаем преобразование от qk, гк к qk, рк. Если мы хотим записать уравнения движения через переменные qk, рк, нам следует вместо лагранжиана L (qk, гк) ввести гамильтониан системы, определив его следующим образом:
(5.104) к
Теперь уже мы рассматриваем вариацию Н,
^Н =У1Рк^гк+’У1гк6рк — 6Р.(5.105)
кк
Если воспользоваться уравнениями движения (5.101), 124
(5.102) и определением (5.103), мы убедимся, что
61 - 2£6»+2^-6г* - 2»а»+2 ^ <5-106* кAUк
так что
вя = У гкбРк - У РиЦи = У q^Pk - У PiM. (5.1 о?) кккА
Отсюда следует, что
. ЭНЭН
ак = л—,Рк =з—•(5.108)
' орк ’dqkх
Полученные уравнения движения называются уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения.
При выводе уравнений (5.108) мы все время пользовались, пока это было возможно, совокупностью координат qk, Г/,, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы оперируем с набором 2s независимых переменных. Очень часто, когда излагают теорию уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, на это обстоятельство не обращают должного внимания, и вместо (5.104), (5.105) и (5.106) можно увидеть:
H = ^Pk(ik-L.(5.104')
к
ЬН^рМк + У^Рк-^,(5.105')
кк
^к=It*+2PiM-(5-106,) кккк
Фактически и мы воспользуемся этими выражениями, когда перейдем к рассмотрению гамильтоновского формализма для сплошных сред (гл. 8). Кроме того, мы повсюду предполагаем, что L не зависит от времени явно; если это так, то это будет справедливо и по отношению к Н.
Мы хотели бы обратить внимание на сходство (5.104), (5.107) и (5.108), с одной стороны, и (2.404) [или (2.410)], (2.406), (2.407) и (2.409)-с другой.
Выясним теперь физический смысл Н. Еще раз допустим, что кинетическая энергия Т — однородная квадратичная функция qk и что потенциальная энергия U совсем не зависит от qk. Из теоремы Эйлера об однородных функциях мы получим:
27=2 S =2 ж =2(5Л09)
ккк
а из (5.104') и (2.235)
H^pkqb-L==2T-(T-U> = TA-U, (5.110)
откуда видно, что Н — это просто полная энергия, выраженная через переменные рк и qk.
Если Н не зависит от времени явно, то из (5.108) непосредственно вытекает, что энергия является интегралом движения,
(5.111)(5.111)dH _ V дн - । V 9Н . дН _ дН
(5.111)
(5.111)
Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом; следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущений. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход; 25-мерное (р, ^-пространство в статистической механике называется фазовым пространством.
Из того обстоятельства, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно преобразований от одной совокупности переменных qk к другой qk [см. (2.309)], немедленно вытекает, что если определить рк согласно формуле
Рк =Рк =OLVq', 4)dqkOLVq', 4)dqk(5.112)(5.112)
Рк =
Рк =
OLVq', 4)dqk
OLVq', 4)dqk
(5.112)
(5.112)
то уравнения движения, записанные через переменные 126
qh, pL будут [[.меть вид:
^ = ^^1 (5.113) 6рк ’ dqk
Теперь, когда для описания нашей системы выбрана совокупность 2s координат, безусловно существуют более общие преобразования от одной совокупности координат к другой. Такими преобразованиями мы займемся в следующем параграфе.
Канонические преобразования
Очень часто найти решения уравнений движения (5.108) оказывается невозможным. Одним из возможных способов упрощения уравнений может быть преобразование от совокупности переменных рк и qk к другой совокупности переменных, скажем, ак и р6 (4= I, 2, .... s). Если окажется, что в новых переменных уравнения движения проще, мы должны считать это за успех. Мы не станем заниматься всеми возможными преобразованиями, а ограничимся лишь каноническими пли контактными преобразованиями, которые определяются как такие преобразования, которые и в новых переменных оставляют уравнения движения в канонической форме. Итак, если уравнениями
pf, = pk (а, Р), qk = qk (а, р) (5.201) задаются канонические преобразования от переменных р и q к переменным а, р. то уравнения движения, записанные через переменные ос и р, должны иметь вид
где через Н обозначен гамильтониан (энергия), выраженный в переменных аир.
Нетрудно найти простые примеры канонических преобразований. Такие преобразования, как
qk = ak, Pk = — Р* или же
qk — "~ ak, pk = ^k,
очевидно, являются каноническими.
Точно так же точечные преобразования
P/^PHvi, М<5-203)
оказываются каноническими, как мы убедились в этом Ei конце предыдущего параграфа.
Теперь мы покажем, что необходимым и достаточным условием того, чтобы преобразование от рк и qk к переменным ак и р* было каноническим, является существование такой функции W (рк, рД от qk и рЛ., что
Рк-"дЦк’ ак(о.204,
Для доказательства >' щ .ости мы прежде всего
вспоминаем,что из основ i ори i вариаций вытекает равенство
6™-Л,6Г = 0,(5.205)
dt div 7
которое можно развернуть следующим образом:
- м£ ЛЙл- Ь У йЛ/Г- У “сбД - У РДаЛ = 0. (5.206) ккк"к
Из уравнений (5.108) можно получить:
У qM^H, (5.207) кк
а сопоставляя (5.206) и (5.207), мы находим:
6Я = 6Я = — у аДрл + ^рДаъ (5.208)
*к
— выражение, из которого сразу же следуют уравнения (5.202), поскольку Н и Я —это одна и та же функция, но выраженная через разные переменные.
Мы должны теперь показать, что если преобразования канонические, то можно найти функцию W (q, р) такую, что удовлетворяются уравнения (5.204). Эти уравнения, конечно, и определяют само преобразование.
Для того чтобы найти функцию W (q, р), мы покажем сначала, как получаются канонические уравнения движения из модифицированного принципа Гамильтона, а именно из условия
<j L Д exlremtmi, (5.209)
где теперь, в отличие от исходного соотношения (2.234), подинтегралыюе выражение считается функцией 2s переменных. Снова вводя переменные гк, чтобы подчеркнуть этот
факт, опять рассматривается задача об экстремуме интег
раларалаЦ1Ддк, r^dt — O,Ц1Ддк, r^dt — O,(5.210)(5.210)
рала
рала
Ц1Ддк, r^dt — O,
Ц1Ддк, r^dt — O,
(5.210)
(5.210)
где (5.ИН) п-п тупают как дополнительные условия.
13 гл. 2 мы уже сталкивались с тем, как нужно пользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа, чтобы решать вариационные задачи с дополнительными условиями. Однако сейчас возникают некоторые осложнения, и мы рассмотрим всю процедуру в деталях. Если мы подробно распишем (5.210), мы найдем под знаком интеграла вариации 6qk к бгк, которые теперь уже будут функциями I; поэтому мы явно отметим эту зависимость, написав Д^ДП и ?>гк (/). Эти функции времени не независимы; они должны удовлетворять условию
(5.211)
где, так же как и в гл. 2, через ?Дк обозпачены производные по времени от bqk. От ограничений, наложенных па вариации &qk и бгА, можно избавиться обычным путем, умножая левую часть каждого из s уравнений (5.211) на миожитель ХА> зависящий от времени, затем складывая эти выражения и добавляя полученную сумму к пол* интегральному выражению в (5.210). Таким образом мы приходим к новой задаче на экстремум:
66(5.212)(5.212)
6
6
(5.212)
(5.212)
Теперь уже вариации qk и гк могут рассматриваться как независимые, и, как это следует из выражения длг коэффициентов перед 5г к,
(5.213)(5.213). dL
(5.213)
(5.213)
~ drк
Следовательно, (5.212) перепишется так:
ббdt = O.dt = O.(5.214)(5.214)
б
б
dt = O.
dt = O.
(5.214)
(5.214)
Воспользовавшись (5.103) и (5.104), мы обнаруживаем, что пришли к вариационному принципу:
(5.215)(5.215)
(5.215)
(5.215)
18»18»6 Д. тер Хеор
18»
18»
где подинтегральная функция зависит от 2s переменных рк и qk и где ^ — функции тех же самых переменных, определяемые уравнениями
*5.216)
Расписывая явно вариацию подинтегрального выражения в (5.215), интегрируя члены, содержащие 6^, по частям и принимая во внимание, что благодаря (2.306) проинтегрированные члены обращаются в нуль, мы получим:
$2I(»«-S6'H',‘+36»P^ <5-217>
откуда п вытекают уравнения (5.108). Мы показали таким образом, что вариационный принцип (5.215) эквивалентен каноническим уравнениям движения (5.108).
Если преобразование от переменных рк, qk к переменным ак, р6 каноническое, то вариационный принцип (5.215) должен вести к тем же самым уравнениям, но уже в переменных ак и рй:
6 С /^ а*Р*— H\dt = 0, (5.218) ' \ а /
где Н — та же самая функция, что и Н, но выраженная уже через переменные ак и р*. Уравнения (5.215) и (5.218) могут быть одновременно справедливыми только при условии
c(yPkqk-H\ = ^.a^k-H + ^W(q, Р), (5.219) \ А
где С —отличная от нуля постоянная. Поскольку Н=Н, то и уравнения (5.204) удовлетворяются; тем самым доказательство завершено.
Функция W (q, Р) называется производящей (порождающей) функцией, так как уравнения (5.204) порождают канонические преобразования. Можно рассмотреть другие порождающие функции. Фактически существуют четыре различные комбинации двух наборов s переменных: qk, рй; qk, ак, рк, Р* и рк, ак, которые очевидным образом подходят для нашей цели. Четыре произво-
дящие функции и соответствующие уравнения, определяющие преобразования переменных, мы здесь выпишем!
(а);
W(qk, Р6);
dW Рк=ч~,
dW
ак- d^k’W'
(Ь):
S (qk, о,ку,
as
р dqk'
W = S-^k;
(с):
Т(рк, Р»);
дТ qk — дрк ’
-^-^ w = T^Pkqk;
(d):
и (Рк, аку,
dU qkдрк ’
О _ди ^к-дак*
t6
(5.220)
Мы привели здесь также соотношения между соответствующей производящей функцией и функцией W, которая согласно теореме, доказанной в начале этого параграфа, всегда существует для любого канонического преобразования.
Преобразования, определяемые согласно (5.220), являются примерами преобразований Лежандра, играющих важную роль в термодинамике.
Рассмотрим несколько весьма простых преобразований;
w=^qkpk;
к
Т = -^р^к;
к
/1in(5.221)
(1П) и = к
S = ^akQk(q). к
Из первого преобразования вытекает, что
Рк = ^ь Pk = — ^k,(5.222)
именно это преобразование и было кратко рассмотрено в начале этого параграфа; оно приводит к совокупности переменных, в которой «старые» импульсы превращаются в «новые» координаты, а старые координаты превращаются в новые импульсы. Из этого преобразования видно,
что едва ли имеет смысл придерживаться терминов «импульсы» и «координаты» для величин ак и р&. Куда лучше называть их канонически сопряженными переменными.
Обратим внимание на то, что для преобразования (5.222) не существует производящей функции Т. Из (5.220) и (5.222) непосредственно следует, что в этом случае Т ^ 0.
Второе преобразование —это тождественное преобразование
qk = ^>k, ak = pk.(5.223)
В этом случае мы найдем, что W ^0. Это в точности такое же преобразование, какое порождается функцией
S = 2^a.(5.224)
Т р е г ь е преобразование
qk = — aL, ^k=pk(5.225)
совпадает с первым.
Последнее преобразование, точечное, так же как и преобразование (5.203),
Р.-^^-(5.226)
Мы не станем рассматривать здесь никаких других преобразований, потому что в следующей главе нам придется заняться обширным классом преобразований типа (5.220 b).‘
Скобки Пуассона и Лагранжа; бесконечно малые преобразования
Канонические уравнения движения (5.108) описывают поведение рк и qk. Из этих уравнений движения можно найти и уравнение движения для любой функции F (рк, qk) этих переменных (для простоты мы будем полагать, что функция F не зависит явно от времени). Нетрудно убедиться в том, что
F = 7 v + - - p), — - -г- »i , (5.301) ta4\dqi<^\dqkopk dpitdquj’ x '
кк
где использованы уравнения (5.108) и принято во внимание сделанное предположение о том, что dF(dt = 0.
Если ввести обозначение
If ,а \i,. л /г. 'Vr
’ ’ ^* ^«'дЧкОрь Qp^y'qiJ -’
к
то (5.301) можно переписать в виде
F=\F, Н\.(5.3(2
Комбинация У, 5} носит наименование скобок li уиссооо. Удобство выражения (5.303) заключается в том, чт" оно не зависит от выбора координат, потому что, кат мы сейчас докажем, скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований. В атом парат рафе мы выведем некоторые свойства скобок Пуассона, а также связанных с ними скобок Лагро.нока, кото;:; определяются соотношением
^А if dg~dfdg =-U. П. (5-Лж к
Скобки Лагранжа ташке инвариантны относи юлын канонических преобразований. Сравнивая (5.302) и (5.304), можно заметить, что скобки Лагранжа в некотором смысле являются обратней величиной скобок Пуассона. Это утверждение можно уточнить следующим образом. Если у* (/е=1, 2, ..., 2s) —набор 2s независимых функций ы рк и qk, то можно доказать прямей подстановкой справедливость равенства
>' (Ть То [Ты У»](5.305
где 6W —символы Кронекера, определенные согласно (3.132).
Вычислим так называемые фундаментальные скобки, т. е. скобки, примененные к рк и qk. Поскольку рк и q являются независимыми переменными, мы можем написать:
^Рк _ х дрк dq;, р ддк».-
Нз (5.302), (5.304) и (5.306) нетрудно получить, чт..
IC- /'5 ^6^. Vk, ЛНО, \Рк, Рп :;=^(5.30).
[ч'т, /д'—6 , у- , ф] = 0, [рх, /><] — 0.(5.305:
Равенства (5.307) и (а.308) определяют инвариантное свойство канонических переменных. Действительно
133
вычисляя дН (а, Р)/да;, мы получим:
йН_ = V [ 9_Рк ^*1 = У Г Л 9-РК_ А ^1 = да; Ы \ дрк да, ‘ dqk да, |\?к да,"к да;]
кк
Д-Г^РА^Та _ д^дрА] ' 1
~el]da;dP; да.дР/]^ ^[да, да, да,-да/] -
= £ №/, а<] Р/+5 [“/• “J “/•(5-309)
откуда сравнением (5.309) с (5.202) следует, что
[Ру, а;] = 6;у, [ау, а,-] = 0.(5.310)
Последние фундаментальные скобки Лагранжа [Р;, Ру] также обращаются в нуль, как это следует из рассмотрения d/7/dP;.
Аналогично, для величин ак) Ра выполняются соотношения:
{Ру, а;}=б;у, {«;, «у} = 0, {р;, Ру} = 0.(5.311)
Для доказательства составим выражение для ад
• _ V [да; . , да; . 1 VI Гда, д/7 да; дНЛ
~ L № Чк + ЭРк Рк\ [д^к дРк~дрк Wk\ ~ /гк
V (Гда/ дауда/ дау 1 дН . Гда/ друда/ дру"1 дНу
“ Х1ддд дрк дрк д^А J да, ‘ Vdqk дркдРк ^7а] дР/1 ~
-2 to. ^й-+2|“- м1-<5-з12)
i/
Из сопоставления (5.202) и (5.312) (а также из аналогичного выражения для Р;) вытекают приведенные выражения (5.311).
Мы доказали, что фундаментальные скобки удовлетворяют соотношениям (5.307) и (5.308) независимо от выбора канонических переменных. Это означает, что при переходе от переменных рк, Qk к переменным az, Р; выполняются следующие соотношения-
k*. PiY = ^k, pA = 6ki, ^к, qty ={qk, ql^ = 0, кРк, Pl}' = {Pk, Pi\ = 0.
Строго говоря, мы доказали это утверждение для а,- и Р;, но точно такое же доказательство годится и тогда, когда мы рассматриваем скобки (5.313). В (5.313) мы отмстили скобки Пуассона, записанные в переменных az,
р;, штрихом. Соотношения, сходные с (5.313), справедливы также и для скобок Лагранжа.
Теперь мы покажем, что скобки, которые до сих пор были определены через канонические переменные специального вида рк и qk, инвариантны относительно канонических преобразований. Мы проведем доказательство для скобок Пуассона; другими словами, мы хотим доказать:
V-gY = Y,gY(5.314)
доказательство для скобок Лагранжа нетрудно получить тем же самым методом или же принимая во внимание тот факт, что (5.305) справедливо независимо от выбора канонических переменных.
До начала доказательства отметим, что
/1=-^. I?..(5.315)
Если вместо / подставить сюда Н, то с учетом (5.303) уравнения (5.315) сведутся к уравнениям движения (5.108). Теперь займемся выражением {/, gY-.
VI’ Si ^[d^ да, dat
_ X Г ^'-L J^g_dPk\^ ( ds d4k I dg dpk Л _
L dP; \ dqk dat "т" dpk da, )dat \ dqk d^ dpk d^i /J
- 2 < If’ »>' + К ШР^'.(5.316)
кк
Полагая в (5.316) сначала t — qu а затем f^pt, и используя (5.313) и (5.315), мы найдем:
^ь ^'=2^ кк
кк
= -%7=VbgY(5.317)
gy=l^{pi’ ^'+2^^’кк
=2^^- ^4+2^ {р,. Рк\= кк
= -lfr^Pi.g\.(5.318)
Имея б виду инвариантность скобок \qb g} и \pb g}, мы получаем из (5.316), воспользовавшись соотношениями Д.315):'
U’ gi "'^Iqk v*’ qki ^ dPk 1M ~
»*! 9qk дпк др^ Oq., j "’ g>’ fc
'Тим и завершается паше доказательство.
Перейдем теперь к интегралам движения; здесь нам понадобится так называемое тождество Якоби:
{Л to, МЖя. № ЛШ^. \L gAW. (5.320)
Доказательство соотношения (5.320) утомительно, но несложно, и мы оставим его читателю; отметим только полезное соотношение:
V, g'-WAh ''ША g\h. (5.321)
Из равенства (5.303) следует, что необходимым и достаточным условием того, чтобы функция F была бы интегралом движения, будет условие
AF, Я} = 0. (5.322)
Если воспользоваться формулой (5.320), положив там f™-F, g^=G и 1г^Н, где Н — гамильтониан системы, a F и G — интегралы движения, мы найдем:
VU. G}} = — {F, {G, Я}} + {<?- AF, Д}}-0; (5.323, другими словами: если функции F и G являются интегралами движения, то их скобка Пуассона также будет интегралом движения. Очень часто таким способотч можно построить новые интегралы движения; очень часто, но далеко не всегда. Мы вскоре в этом убедимся.
В качестве примеров интегралов движения мы можем упомянуть полный момент импульса и полный импульс системы частиц. Мы остановимся па свойствах этих величин несколько подробнее.
11ачнем с вектора момента импульса системы частиц М. Допустим, что система может быть описана декартовыми ■координатами лу, так что обобщенными импульсами будут обычные импульсы рь Вектор полного момента импульса определяется согласно (1.309) п записывается через л:, и
Pi в виде:
^ = ^[^-^l-(5-324)
Из (5.324) и (5.307) нетрудно получить, что
{Л4Л, My\ = Mz, {Му, MZ\ = MX, {Mz, МД = МН. (5.325) Можно доказать также и следующие соотношения:
{Л42, ЛЦ = 0, {Л12, Л4у} = 0, {Л42, Mz} = 0; (5.326)
{Рх, Мх} = 0, {PtJ, МуА°, {Pz, Mz}=0;
{Рх, М2} = 0, {Pti, М2} = 0, {Рг, М2} = 0;
{Рх, МУ{ = {МХ, Py{ = Pz,(5.327)
{Ру, Mz} = {My, PZ} = PX,
{Рг, Мх] = {Мг, PAPg.
где через P обозначен полный импульс системы:
Р = ^Рь(5.328)
Из (5.328) н (5.307) вытекает, что для любой пары компонент Ph и Pi вектора Р мы получим: {Р1:, РД=0.
В гл. 2 рассматривалась связь между бесконечно малыми преобразованиями и интегралами движения. Мы еще раз вернемся к этой связи, но на этот раз с точки зрения уравнений Гамильтона.
Допустим, что гамильтониан Н инвариантен относи тельно бесконечно малых преобразований такого вида, что только одна из обобщенных координат изменяете: (скажем, qA тогда как все остальные координаты и все импульсы остаются без изменения; это означает, что
6Д = 0, если qk.-* qkA^k.» (5.329) или же
^ = 0.(5.330)
Из (5.330) и (5.315) вытекает, что
{Н,рк.\=0,(5.331
и рк„ оказывается, таким образом, интегралом движения. (Можно, конечно, сразу из (5.330) и (5.108) получить, что Д^ = 0, т. е. что рка — константа.)
Часто можно указать целый класс преобразований включающий в себя бесконечно малые преобразования.
137
относительно которого гамильтониан Н остается инвариантным; однако не всегда легко найти ту конкретную координату qk0, которая соответствует этим бесконечно малым преобразованиям; поэтому не всегда сразу ясно, какая функция координат и импульсов будет интегралом движения.
Два простейших случая, которыми мы и ограничимся,—трансляционная и поворотная инвариантность. В двух этих случаях мы сможем найти конкретную qka, соответствующую бесконечно малым преобразованиям. Обсуждая трансляционную и поворотную инвариантность, мы будем предполагать, что можем обойтись декартовыми координатами xt (/=1, ..., N).
Начнем с трансляционной инвариантности. Это значит, что гамильтониан Н инвариантен относительно преобразований
х;-+.гф-£, /=1, ..., N. (5.332)
Координаты qko, которые нас интересуют, — это, конечно, три компоненты радиус-вектора центра масс системы, так что компоненты вектора полного импульса системы Р, определяемого согласно (5.328), оказываются интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. С одной стороны, мы имеем:
{Р, Я} = 5 {а, Я} = - 5 ?(Я, (5.333)
где мы воспользовались (5.315). С другой стороны, из изменения 6Я гамильтониана при преобразованиях (5.332)
6Я = £ М ■ 7;Я) = ^i^t (5.334)
и из требования, чтобы 6Я = 0 для любого е, вытекает, что 2 ^Н обращается в нуль; таким образом, из (5.333) мы и получаем, что три компоненты Р являются интегралами движения.
Мы увидим ниже, что про вектор Р можно сказать, что он порождает трансляцию. В этой связи интересно рассмотреть изменение функции / от координат х, при преобразовании (5.332). А1ы найдем;
6/ = 2 ^ • ^h = [е • 2 V,-/\ = (е • V, Р}). (5.335)
Очень сходна ситуация и для поворотной инвариантности. Здесь нас интересует преобразование
a:z-»-a:z + [8, Xi], z=lN;e = n89, (5.336а) соответствующее вращению вокруг оси, параллельной единичному вектору п, на угол 69. Преобразование (5.336а) справедливо для всех векторов в декартовой системе координат, так что, определяя изменение в гамильтониане или какой-либо иной функции от Xt и рь мы должны помнить, что импульсы Pi преобразуются в точности так же, а именно согласно формуле
Pi-^-Pi-VV6' Pi]. z = l. N- (5.3366)
Координаты ^0, которые мы хотим найти,—это углы; соответствующие интегралы движения — компоненты момента импульса. В рассматриваемом случае мы имеем прежде всего:
{Я ^} = [№. Pi\. H^=-^\xb 7гЯ] +
+ 5 l^H, Pi] = - ^ [-rz, V^J, (5.337)
где через ^Pi обозначен символический вектор с компонентами didpxi, д!дру-и djdpzi, а также учтен тот факт, что в декартовых координатах гамильтониан Н содержит импульсы Pi лишь в комбинациях рЦ2т, так что 4piH = = рМь
Вместо (5.334) мы получим теперь:
№ = 5 ([8, Xi] . ^Н) + 5 ([8, Pi]. 4piH) =
= |8 • £ ^i,• 5 [Pi, VplH]\ =
=V^Jj.(5.338)
\ i/
Из того, что 6Я = 0 для любого 8, вытекает, что {Л1, Я' = = 0, так что три компоненты вектора полного момента импульса Л1 будут интегралами движения, если гамильтониан Я инвариантен относительно вращений.
Выясним сейчас, в каком смысле про момент импульса М можно сказать, что он порождает вращения. Для дальнейших рассуждений полезно найти изменение 6/ функции f(Xi, Pi) при преобразовании (5.336). Для величины
139
V мы находим:
= М/, *Ф-(5.339)
Допустим на мгновение, что гамильтониан Н инвариантен как по отношению к трансляциям, так и по отношению к вращениям. Пусть мы нашли, что интегралами движения являются Мх, Ми и Рх. Тогда можно воспользоваться результатом, полученным нами ранее, а именно тем, что скобки Пуассона двух интегралов движения снова дают интеграл движения; комбинируя этот результат с (5.325), мы докажем, что компонента Mz должна быть также интегралом движения, а в сочетании с (5.327) мы докажем, что Р-, и тогда уже и Р„, также должны быть интегралами движения. Таким образом, мы выяснили, что если две компоненты вектора момента импульса являются интегралами движения, то третья компонента также будет интегралом движения. Но это не верно для вектора импульса, поскольку \РХ, Ру}=0. Коль скоро мы нашли Рх, Pti, Р2, Мх, Му, М2, мы исчерпали все возможности полностью. Никаких новых интегралов движения из скобок Пуассона, содержащих шесть этих величин, получить уже нельзя.
Из того, что {Л4Х, Му\=М2, и из соотношения \Рк>рД™0 вытекает, что две компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно каноническими импульсами. С другой стороны, {/И2, -МД = О, так что абсолютная величина полного момента импульса может быть каноническим импульсом одновременно с одной из своих компонент (ср. задачу о движении в поле центральной силы, § 2.3, и хорошо известную ситуацию з квантовой механике).
В предыдущем параграфе мы видели, что производящая функция
S-^зд(5.340)
приводит к тождественным преобразованиям, т. е.
ОЦк
Рассмотрим теперь бесконечно малые преобразования, порождаемые функцией
S = S^ + Ef(a- q),(5.342)
где е—бесконечно малая величина, а / — произвольная функция а., и 7*. Преобразование, порождаемое функцией (5.342), имеет вид:
+ Рд = 74 + =^,(5.343)
так что с точностью до первого порядка по е оно эквивалентно преобразованию:
~ п р д/ (р, q) а । - 5/ (Р, 7) /к оид\
— Рк" 6—, Р»— <74-г»—.(D.d44)
Теперь мы займемся несколькими специальными случаями бесконечно малых преобразований. Первый интересующий нас случай возникает, если е = б/ и f = H (a, q), где // — гамильтониан системы, Тогда из (5.344) мы имеем:
Pft - qk = 6qk = б/ ^, ак -рк = 6рк = - б( -^; (5.345) другими словами: гамильтониан порождает движение системы в фазовом пространстве во времени.
В качестве второго частного случая мы выбеоем / — = («■■₽(«)), где Р(pi) — полный импульс системы, определяемый согласно (5.328), и где а —векторы, связанные с р,- точно так же, как а* связаны с рк. Выражение для / может быть записано еще и так:
f=(n- Р (а)) = in- V а^(5.346)
и мы получим из (5.344):
°ч—Рь Рг-= Л\ + 8,(5.347)
где г — гп и где Р; — векторы, канонически сопряженные с К/. Выражения (5.347) совпадают с соотношениями (5.332), которые описывают трансляции.
Последний пример получится, если положить
/=(п-Л|(а, x)) = (/n-2 [^ь(5.348)
\/
где /И —полный момент импульса, определяемый согласно (5.324). Из (5.344) мы получим теперь:
а,=Р< + [8. Pi]. Р/ = Лй+[е, лу-],(5.349)
141
где опять же е = ел. Выражения (5.349) совпадают с (5.336) и соответствуют, таким образом, вращению.
Только что проведенные рассуждения разъясняют, что мы имели в виду, когда утверждали, что полный импульс и полный момент импульса порождают соответственно трансляции и вращения.
Изменение произвольной функции F (р, q) от рк и qk при преобразованиях, порождаемых функцией S (5.342), определяется равенством
6f“2[Cs’'+l>]-
L dqk дрк дрк dqkl 11 v '
к
Можно сравнить это выражение с (5.335) и (5.339), которые получаются подстановкой выражений (5.346) и (5.348) для / соответственно в (5.350) с учетом того, что е = ел.
Интересный частный случай получится, если подставить в (5.350) вместо функции F гамильтониан Н. Мы получим тогда:
&Н = ЦН,Г\,(5.351)
и мы видим, что любой интеграл движения порождает бесконечно малые преобразования, оставляющие гамильтониан Н инвариантным, поскольку, если / интеграл движения, то \Н, /} = 0. Это как раз теорема, обратная той, которую мы доказали чуть раньше: всегда можно найти интеграл движения, если известны бесконечно малые преобразования, оставляющие Н инвариантным.
В заключение этого параграфа мы разберем движение точечной заряженной частицы в электромагнитном поле. Уравнения движения мы выберем в форме, вытекающей из (5.108) и (5.315):.
qk = \qk, И}, рк = {рк, Щ,(5.352)
— в форме, являющейся частным случаем (5.303). Гамильтониан этой задачи можно получить из лагранжиана [см. (2.507)]:
L = -^mxa — eq? + е (Л • х),(5.353)
откуда сначала мы найдем:
а затем уже и гамильтониан:
Н = 1р- х) — L = (р~ еАУ 12т + еф.(5.355)
Уравнения движения примут вид:
х = {х, Щ, р = {р, Щ,(5.356)
или
х = ф — еАут,(5.357)
что совпадает с (5.354), а также
р = — е7ф + (е/т) [(р — еА), [V, Д]],(5.358)
что эквивалентно (2.509) и может быть, следовательно, приведено к виду:
тх = ЦЕ + [х, В]}, Е = — Vф-^-, B = [V, Д].
(5.359)
Вариационные принципы; время и энергия как канонически сопряженные переменные
Мы доказали в гл. 2, что принцип Д’Аламбера может быть выражен в форме (2.229), которая, если воспользоваться (2.232), эквивалентна выражению
(5.401)(5.401)$ 6 (Г — Щ dt = ^mt (х, • 6xJ
(5.401)
(5.401)
в (5.401) 6x; —любые вариации xt, совместимые с кинематическими соотношениями. Для того круга вопросов, к которому мы переходим, очень существенно подчеркнуть, что при выводе (5.401) рассматривались такие вариации, при которых время не варьировалось. Другими словами, сравнивались точки на исходной и новой траекториях в одни и те же моменты времени (точки Ап и Вп на рис. 25).
В гл. 2 мы убедились также в том, что если сравниваются две допустимые траектории при условии 6х; = 0 как при t = tv так и при t = t^, уравнение (5.401) эквивалентно соотношению
(5.402)(5.402)5 bL dt = 0
(5.402)
(5.402)
Рис. 25. Вариация траекторий.Рис. 25. Вариация траекторий.
Рис. 25. Вариация траекторий.
Рис. 25. Вариация траекторий.
— выражению, из которого совершенно непосредственно вытекают уравнения Лагранжа (2.308).
Теперь мы рассмотрим вариации орбит иного типа, а именно такие, когда сравниваются Xi в момент / с XiA-Axi в момент / + А< (точки Л„ и Сп на рис. 25).
На рис. 25 Лъ А^ ...— точки исходной траектории, которые проходятся соответственно в моменты времени tb
Ви В2, ...— точки на новой траектории, которые проходятся в те же самые моменты времени tu tv ...; Cv С2,...—точки на новой траектории, которые проходятся в варьированные моменты времени /1-)-Д/1, /24~Д^,-.- Каждой точке А„ исходной траектории сопоставляется точка Вп в тот же самый момент времени на новой траектории на равных правах с точкой Сп в варьированное время на новой траектории, так что можно записать:
(5.403)(5.403)Хщ = Xia + &Хь
(5.403)
(5.403)
Xie = X; а + АХь
где 6xt и Axt связаны соотношением
Axt = 6xtA-Xi Д/.(5.404)
Уравнения (5.402) были получены для Л->В-вариации. Если нас интересует вариационный принцип для А-^-С- вариации, нам следует принять во внимание, что теперь уже нужно варьировать также и пределы интегрирования.
Прежде всего мы определим интеграл действия уравнением
I = ^2Т dt.(5.405)
Его вариация запишется следующим образом:
6/ = 6 J 2Т dt = 6 (2Т) di + 2Т 6/ =
= $ 6 (Т + U) dt + j 6 (Г - U) dt +2Т Д/12,
1*4
или же
Ы = \6Edt + ^ mi (Xi • \xt) f,(5.406)
где были использованы (5.401) и (5.404) и тот факт, что 6/ == А/; кроме того, мы применили основную формулу варьирования интеграла:
6 $ f(x) dx = 6/ dx -Vf(q)6q-f (р) 6р.(5.407)
Причина, по которой мы можем воспользоваться (5.401) с 6Xi (а не с kxi), состоит в том, что вариация времени учтена в выражении 2Т М для двух граничных точек; иными словами: сначала сравниваются те части исходной и новой траекторий, для которых / пробегает один и тот же интервал, а затем уже рассматривается вклад от сегментов на двух концах траекторий.
Первый вывод, следующий из (5.406), относится к случаю двух периодических орбит, каждая из которых является допустимой орбитой; это означает, что полная энергия Е является интегралом движения и, следовательно, не варьируется на траектории. Если обозначить через т период движения по орбите, мы получим:
G 1Ц+т
6/ = $ 6Е dH^mAxrkXi)^ = 6Е $ Л = т6Е,
(5.408) или же
т~дЁ’(5.409)
где через / обозначен интеграл действия, распространенный на полную орбиту. Проинтегрированный член обращается в нуль, поскольку мы имеем дело с двумя периодическими орбитами, так что выражения на верхнем и нижнем пределах оказываются равными.
Соотношение (5.409) представляет интерес даже в одномерном случае, когда можно вместо 2Т написать pq [ср. (2.302) и (2.310)], так что для I мы получим:
G+т^х + т
= $ pq dt = $ pdq = §pdq, (5.410)
где знак ^ указывает на интегрирование по полному периоду. Согласно старой квантовой теории интеграл в правой части (5.410) должен быть проквантован; его нужно считать равным nh (Л — постоянная Планка). Тогда
I^nh,(5.411)
и если мы применим (5.408) к конечным изменениям / и Е, т. е. к А/ и ^E, мы получим:
M = h и Е = Ый,(5.412)
где
ы=1/т.(5.413)
Здесь нужно сослаться также на обсуждение вопроса о переменных действие — угол, которое можно найти в § 6.2.
Второй случай, когда использование (5.406) оказывается удобным, возникает тогда, когда сравниваются две траектории, соответствующие одной и той же энергии (6£' = 0), обладающие одной и той же начальной и конечной точками [Дх/ = 0, t = ty или t = t2; обратите внимание па то, что две эти конечные точки достигаются вовсе не в одно и то же время на исходной и новой траекториях: сравните рассуждения, связанные с формулой (5.406)]. В этом случае мы приходим к принципу наименьшего действия;
61 = 0, если 6£ = 0 и ^xi = 0 для t = tY и t = L.
(5.414)
Мы пришли к выводу, что если сравнить две чуть-чуть отличающиеся траектории с теми же самыми конечными точками, то возникают две возможности:
если время не варьируется, то
6 ^L dt = 0;
если энергия не варьируется, то
6 ^2Tdt = 0.
Мы уже видели, как получаются уравнения Лагранжа из первого вариационного принципа; сейчас мы обнаружим связь между вторым вариационным принципом и каноническими уравнениями движения.
Для выявления этой связи мы покажем, что канонические уравнения движения эквивалентны вариационному 146
принципу:
J У Ри dqh = 0 <6qk = 0, 6pk = О в конечных точках),
' L(5.415)
при условии
611 = 0 в любой точке траектории. (5.416)
Отличие от принципа наименьшего действия состоит сейчас в том, что рассматриваются такие вариации, при которых все 2s переменных рк, qk являются независимыми.
Допустим, что можно ввести параметр и, определяющий положение точки на траектории, так что 6qk и 6рк окажутся функциями и. Вариацию (5.415) можно будет записать тогда в виде:
t У Ph dqk = С /2 6Р« d4h + У Ph 6dqk\ =
J fe*' \ кк/
= У (6ph dqk - 6qk dpk)+Ph 6qk |2 =
^^бр^-бо.-^уи.(5.4I7)
Вариацию (5.416) можно переписать так:
2(^^+^-М-0’<5-4|8)
h
причем полученное соотношение справедливо в любой точке траектории, другими словами, для любого значения и. Воспользовавшись методом множителей Лагранжа, мы получим:
S 2 [^ (S - >■ <«) 8Й -6»- (S+х w ^du-°' h
(5.419) или же
Т = М-<.(5.420)
Эти выражения определяют направление траектории в 2б-мерном фазовом пространстве. Если ввести переменную t согласно соотношению
dt = Х(и) du, или t = ^ и) du, (5.421)
выражения (Б.420) превратятся в канонические уравнения движения:■
(5.422)(5.422)dqk дН_ dpk = _дН_dt дрк’ dt — 0qk"
(5.422)
(5.422)
Связь с принципом наименьшего действия становится даже еще более прозрачной, если мы напишем [ср. (5.109)]:
'^pkdqk = ^pkqkdt^-:2Tdt. $А23) кк
Мы завершим эту главу, рассказав, как можно ввести время и энергию (с отрицательным знаком) в качестве канонически сопряженных переменных. Для этих рассуждений нам придется отбросить то ограничение, которого мы до сих пор придерживались, а именно считать, что гамильтониан уже может содержать время t явно. Нетрудно убедиться, что в этом случае канонические уравнения движения (5.108) по-прежнему справедливы, но что вместо (5.111) мы получим теперь:
(5.424)(5.424)dH^ _ у (дН, . ОН . \ , 011 _ ОНdt — 2- \дрк Рк "I dqk 01 — 01 ‘
(5.424)
(5.424)
Наиболее удовлетворительный способ введения времени в качестве одной из координат q состоит в использовании вариационного принципа Гамильтона в форме (5.215). Этот вариационный принцип выглядел следующим образом:
226 ( L dt = 6226 ( L dt = 6^РкЯк-Н (рк, qk, t) к^РкЯк-Н (рк, qk, t) кdt = O, (5.425)dt = O, (5.425)
22
6 ( L dt = 6
22
6 ( L dt = 6
^РкЯк-Н (рк, qk, t) к
^РкЯк-Н (рк, qk, t) к
dt = O, (5.425)
dt = O, (5.425)
где теперь уже рк и qk образуют совокупность 2s независимых переменных. Мы введем сейчас функцию р9, а также изменим переменную интегрирования, перейдя от t к и: через и обозначена любая функция времени, которая определяет положение изображающей точки на траектории в фазовом пространстве. Мы приходим тогда к вариационному принципу:
С / s\
(5.426)(5.426)6 \ ( У Pkq'k + Paq'o) du=0,
(5.426)
(5.426)
Y \*=1/
с дополнительным условием
р0= —Н (рк, qk, q0).(5.427)
Штрихи в (5.426) указывают на дифференцирование по и\ кроме того, мы заменили явно входящую временную координату через ^0:
(5.428)
Соотношение (5.427) можно переписать еще и так:
у//?„-{-/7 = О, или 6.7f = 0.(5.429)
Из (5.426) и (5.429) мы получим уравнения
d_P3.= _х М-,= X 4—(5.430)
dudqk ’ du Эркх '
в точности так же, как из (5.415) и (5.416) следует (5.420). Вводя время с помощью соотношения (5.421), мы получим из (5.430):
dpk dVf i9Hdqk Р if ЭИ
dt ~dqk— ~ dqk’di” ~0р7 "дрк’ (5.431)
к= 1, . .. , S,
уравне-уравне-(5.432)(5.432)— выражения, которые являются каноническими ниями движения, и соотношения
уравне-
уравне-
(5.432)
(5.432)
dp» = _ ^'^ 9И_ 93»?VL — ]
dt dq„ " dq0 ’ dtdp0
Из второго уравнения (5.432) видно, что q0 и в самом деле может быть отождествлено со временем, тогда как из (5.431) и (5.432) следует, что
d?ff _ v / д?«dt “ I dqkd?ff _ v / д?«dt “ I dqk4 k + ~J~ f>k 0,4 k + ~J~ f>k 0,(5.433)(5.433)
d?ff _ v / д?«dt “ I dqk
d?ff _ v / д?«dt “ I dqk
4 k + ~J~ f>k 0,
4 k + ~J~ f>k 0,
(5.433)
(5.433)
п '-екольку в этом выражении уже нет явно входящего времени t (его место заняла координата q^. Из (5.433)
следует, чтоследует, что7f = const,7f = const,(5.434)(5.434)
следует, что
следует, что
7f = const,
7f = const,
(5.434)
(5.434)
и мы можем без всякой потери общности положить эту постоянную равной нулю, так что ц0 = — Н. Так как голичины рс, qa выступают точно в такой роли, как и все остальные рк и qk, мы видим, что на самом деле — Н^-р^ является величиной, канонически сопряженной с t( = q^. Для нерелятивистской механики этот результат не очень существен, однако он имеет огромное значение для релятивистской механики, где время выступает
уже на равных правах с пространственными координатами.
Напоследок мы хотим обратить внимание читателей на то, что вместо функции Гамильтона Н мы перешли уже к уравнению Гамильтона ^f = 0. Левая часть этого уравнения Гамильтона попадалась нам в уравнениях движения (5.431) и (5.432). Следует заметить, что далеко не всегда непосредственное использование левой части заданного уравнения Гамильтона может привести к каноническим уравнениям движения. Для того чтобы функция 3€, фигурирующая в правых частях этих уравнений, была бы действительно той функцией, которая стоит в левой части уравнения Гамильтона, необходимо, чтобы р0 входило в 3€ линейно с коэффициентом, равным единице; иначе второе из уравнений (5.432) будет уже несправедливо и координата д0 уже не будет временем. Для пояснения наших утверждений взглянем на уравнение Гамильтона для точечной заряженной частицы в электромагнитном поле — релятивистское соотношение между четырьмя компонентами 4-вектора энергии —импульса частицы в электромагнитном поле:
О = 3€' = (р0 + еф)2 — с2 [(р — еЛ)2 + т2с2], (5.435) где ф и Л, как и раньше, —скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. Составляя функцию 3€, имеющую размерность энергии и содержащую р6 линейно с коэффициентом единица, мы получаем новое уравнение Гамильтона:
О = 3£ = р^ + еф — с [(р — еЛ)2 + т2с2Р2.(5.436)
Предоставляем читателю доказать, что (5.431) и (5.432) с 3€, определяемым (5.436), приводят к релятивистским уравнениям движения [ср. вывод уравнения (2.509)]:
в]}’ ^^ <5-437>
где, так же как в гл. 2, Е — напряженность электрического поля и В —магнитная индукция.
ЗАДАЧИ
Гамильтониан системы с двумя степенями свободы задан равен ством
н=\ (Р^+рМ — 2«9i),
где а —постоянная величина. Доказать, что
qi = A cos q4 +В sin q4 4- С,
где А, В, С—константы.
Доказать, что преобразование
Q = ln ^ sin р), P = pctgp
является каноническим, и найти производящую функцию S (р, Q).
Доказать, что преобразование
р = Л^]/2а cos Р, р =}^2а sin р
является контактным; найти производящую функцию S (a, q) и применить это преобразование в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе.
Показать, что преобразование
Qi = ql + Pl, Q^^qHql + p'i+pl).
pi = 4" arctg— 4 arclgf^ , Р2= — arctg
а \Р2/
является контактным преобразованием.
Воспользоваться этим преобразованием для решения уравнений движения системы, гамильтониан которой равен Н=-^-(р1 + р; + + ql + ql); сравнить полученное решение с решением уравнений движения в исходных переменных.
Доказать, что преобразование
Р1 = К&1«1 sin Pi + К^2 «2 sin р2, р2 = — K^l«l sin Pi + К^2«2 81п Р2, Р1=Уai/&i cos Pi+V «2/^2 cos р2, q^ = —Va.1!k1 cospt +K«2/^2 cos Pa является контактным преобразованием. Использовать это преобразование для решения уравнений движения системы, гамильтониан которой задан в виде:
н=pi+р1+4- ^i (qi - q»^ + 4 kl +p2)a.
Выяснить физический смысл этого гамильтониана.
Показать, что преобразование
Xi = P2Xi+WPi, pt = PilPi, i=\,...,n, где
Р2=^Р2 и W=-2 ^XjPi,i = ii=l
является каноническим преобразованием.
Показать, что если гамильтониан системы задан в виде
i=i L i .
то в любом решении, для которого полная энергия обращается в нуль, величины X, остаются постоянными во времени, а величины Pl являются линейными функциями и, где u = ^P-2dt.
Проанализировать результаты, полученные в этой задаче.
Система с л степенями свободы описывается гамильтонианом
пЛ -|- 1
Н - у Р;+ ^ ^r-qr-iY> Уо = ^+1^°-
Г=1г=\
Используя контактное преобразование, порождаемое производящей функцией
2ctg Qr,2ctg Qr,
2
ctg Qr,
2
ctg Qr,
где
2. 5ГЛ- . гл
asr = ——- sin wr = 2 sin
((n+I)tcr n-}-I’2(n+I)’
решить уравнения движения для qr и найти нормальные координаты задачи. Проанализировать полученные результаты.
Глава б
ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
В этой главе мы введем функцию Гамильтона — Якоби, которая является решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Функция Гамильтона — Якоби ведет к гамильтониану, содержащему только одну совокупность канонических переменных. Находятся решения уравнения Гамильтона — Якоби для нескольких простых случаев, в том числе для задачи Кеплера. Во втором параграфе этой главы вводятся так называемые «переменные действие — угол». Их значение видно из того, что переменные действия представляют собой адиабатические инварианты. Адиабатические инварианты играли существенную роль в старой квантовой теории и имеют немалое значение в теории ускорителей. Они кратко рассмотрены в последнем параграфе этой главы.
Уравнение Гамильтона — Якоби
В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме; эти преобразования были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы особенно внимательно займемся преобразованиями типа (5.220b). Смысл всех этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических переменных (скажем, а;,) и совсем не содержит переменных другой совокупности (0ft). Если мы получили такой гамильтониан Н (аА), уравнения движения приобретают вид:
а;,==—^=0, а*—const, (6.101) Ра=^ = const =уА, Ра = ТаН-6й, (6.102)
где вторая группа уравнений (6.102) следует из того обстоятельства, что ah являются постоянными согласно (6.101) и что гамильтониан Н является функцией только от ак. Функции уА являются, таким образом, известными функциями ак, a 2s постоянными интегрирования будут служить ак и 6*.
Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы отыскать такую производящую функцию S^ak, qkY что преобразования
Pi,"dqk’ ^^§rlk (6.103)
преобразуют гамильтониан Н (рк, q^ в гамильтониан И (ак), не зависящий от величин р&. Это означает, что функция S должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
Л(^? ^ = //ы_£Ы1(6J04)
Уравнение (6.104) и есть уравнение Гамильтона — Якоби. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что правая часть (6.104) есть полная энергия системы, мы обозначили ее через Е.
Зачастую решить уравнение Гамильтона — Якоби трудно, но коль скоро функция S найдена, решение преобразованного уравнения движения тривиально и дается формулами (6.101) и (6.102). Правда, у нас остается еще задача найти исходные рк и qk как функции времени, а преобразование от ак и |3;, к рк и qk нередко довольно сложно (см., например, решение задачи Кеплера в конце этого параграфа).
dS v dS . , V OS •м dq к^я* оа^кккdS v dS . , V OS •м dq к^я* оа^кккЧтобы понять физический смысл S, вычислим ее производную по времени:
dS v dS . , V OS •м dq к^я* оа^к
кк
dS v dS . , V OS •м dq к^я* оа^к
кк
5 ра -т v ₽л = 2 р^ь
ккк
(6.105)
где пришлось воспользоваться (6.103) и (6.101). Из (6.105) вытекает, что
S \ ^ РЙк dt = /,кS \ ^ РЙк dt = /,к(6.106)(6.106)
S \ ^ РЙк dt = /,к
S \ ^ РЙк dt = /,к
(6.106)
(6.106)
где / — интеграл действия, определенный согласно (5.405) [ср. также (5.109)].
Мы должны указать здесь, что все наше рассмотрение годится лишь в (наиболее часто встречающемся) случае, когда гамильтониан не содержит времени явно. Если же время явно содержится в гамильтониане, мы должны ввести время как q0 и воспользоваться уравнением Гамильтона
Н^к, qk, q^ + p^Q,(6.107)
которое, вместе с производящей функцией 5 (qk, a*; q0, а0), приводит к уравнению
или жеили же„Ids \ । ds пWQh 1/ di„Ids \ । ds пWQh 1/ di(6.108)(6.109)(6.108)(6.109)
или же
или же
„Ids \ । ds п
WQh 1/ di
„Ids \ । ds п
WQh 1/ di
(6.108)
(6.109)
(6.108)
(6.109)
Заметим, кстати, что именно (6.109) нередко называют уравнением Гамильтона — Якоби. Чтобы выяснить физический смысл 5, следует также найти ее производную по времени:
dS V dS л । V 8S • . dS . . dS • VI . .
d7 = 2 <^ + 2 d^at+ d^ + d^0” 2 P^Po
4=1k=l'4 = 1
или жеили жеPkAk-Vp0\dt =PkAk-Vp0\dt =(6.110)
или же
или же
PkAk-Vp0\dt =
PkAk-Vp0\dt =
\I^PkAk-H\dt=\Ldt. (6.111)
J \ 4J
Если H не содержит времени явно, то Н является константой, которую можно обозначить через Е; тогда из (6.111) мы получим:
S = I — Et = S—Et,(6.112)
а (6.109) превратится в (6.104).
В этом месте удобно напомнить читателю связь между функцией Гамильтона — Якоби и волновой функцией Шредингера. Чтобы обнаружить эту связь, достаточно рассмотреть одномерный случай, когда гамильтониан задается выражением
H=W2tn) + </(<?),
которое приводит к шредингеровскому уравнению,
где через ф обозначена волновая функция.
Если в это уравнение Шредингера, не зависящее от времени, ввести подстановку
ф^-Г^,(6.113)
мы получим новое уравнение:
Ui d^S („
2m\dqq 2т dq2’
которое в пределе Л — О превращается в одномерное уравнение Гамильтона — Якоби [ср. (С.114)].
Если в (6.113) вместо S ввести функцию S из (6.112), мы получим вместо не зависящей от времени волновой функции волновую функцию, зависящую от времени.
Наконец, мы напомним читателю, что (6.113) является исходным пунктом для приближения Венцеля — Крамерса — Бриллюэна, которое называется также нередко квазиклассическим приближением, по причинам, которые должны быть достаточно ясными из предыдущих рассуждений.
Разберем теперь три простых примера, чтобы проиллюстрировать применение теории Гамильтона — Якоби. В качестве этих примеров мы выбрали гармонический осциллятор (в одном и трех измерениях), частицу в однородном гравитационном поле и, наконец, задачу Кеплера.
Мы начнем с одномерного гармонического осциллятора. В самом общем случае гамильтониан одномерной системы имеет вид:-
Н (р,(q),
откуда мы получаем уравнение Гамильтона — Якоби
^У + 2тЕ (q) = 2тЕ (а) = 2та, (6.114) где мы положили
Е (а) = а.(6.115)
В этом случае уравнение Гамильтона — Якоби особенно просто, поскольку координат всего одна и из уравнения Гамильтона — Якоби непосредственно получается dSJdq как функция q п параметра а. Интегрирование сразу же приводит к результату:
Используя уравнения (6.103), мы получим:
Р = £ =^Ym^^-U^dq,(6.117)
Р^ =[2m(a-t/)]^.(6.118)
Далее, из (6.101) и (6.102) вытекает, что
а = const,(6.119)
р = д/7/да = 1, р = ^-/0.(6.120)
Из выражений (6.117) и (6.120) можно найти q как функцию времени. Выражения (6.117) — (6.120) — это и есть общие решения задачи в одномерном случае. Непосредственно видно, что (6.117) совпадает с (1.120), поскольку (6.118) —это просто закон сохранения энергии.
В частности, для гармонического осциллятора
иЦад2,(6.121)
и из (6.117), (6.120) и (6.121) мы получим:
q — q0 = [2a/cz]’ 2 sin l(a/m)1/2 (^ —Q];(6.122)
это выражение является хорошо известным решением задачи о гармоническом осцилляторе.
Давайте разберем заодно и трехмерный гармонический осциллятор; ему соответствует гамильтониан
Н = к ^ + р^г + р^ + 4 ^ + ^^ + 4 “^ ’ (6 •123)
из которого получается следующее уравнение Гамильтона — Якоби:
/ dS \2 . / dS \2 . / 58 \2 .„3 . g л с \
W) +W) ^Ws)ка.к\
(6.124)
Это уравнение нетрудно решить, предположив, что 5(91, 9а, 9з, “1, а2, а3) =
= Si(9i, aJ + Sa (9-2, а2) + 53(9„ а3).(6.125)
Метод решения уравнения Гамильтона — Якоби, когда делается предположение (6.125), называется методом
разделения переменных. В общем случае, когда разделение переменных возможно, каждое Sh содержит только одну qh, но каждая из них может включать в себя все aft; в случае трехмерного гармонического осциллятора каждая из Sk содержит лишь одну ак, но уже в этом же параграфе мы столкнемся с более общим случаем.
Мы обращаем внимание на то, что разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби производится представлением S в виде суммы членов, каждый из которых содержит лишь одну координату qk, тогда как в случае уравнения Шредингера разделение переменных осуществляется через запись волновой функции в виде произведения членов такого типа. Это, конечно, есть следствие соотношения (6.113) между волновой функцией и функцией Гамильтона — Якоби. Упомянем здесь также и то, что если для данной физической системы уравнение Гамильтона—Якоби может быть решено при некотором выборе координат, то при том же выборе координат можно провести разделение переменных и в уравнении Шредингера.
Подставляя выражение (6.125) в уравнение (6.124), мы получаем три уравнения для трех Sk:
(^УА-такРк^^так,(6.126)
и Е = «1 + а2 + аз1 Для каждой из трех степеней свободы мы пришли к уравнениям, полностью аналогичным соотношениям (6.116) — (6.122).
Вторым случаем, который мы разберем, будет точечная частица в однородном гравитационном поле. Теперь уже гамильтониан запишется так:
^ = ^№ + ^ + ^) + m5z, (6.127) а уравнение Гамильтона — Якоби примет вид;
Е= 1 №Sy + ^y + №-| + „,gz.(6.128)
2т L\ дх ) 1 \ ду / 1 \ дг / J 1 ьх '
Если положить
5 = 51(х) + 52(.0 + 53(г)(6.129)
и произвести разделение переменных, мы придем к уравнениям:
р ==(6.130)
дх 11 ду "
[2mka3 — /ngz) — a^ — al]1/2 = -^,(6.131)
или же
ау;
S= $ a1dx-Y- j «2^4" J [2m(a8 — mgz) — а,— a.2]I/2<Zz.
*0? 0Zo
(6.132)
Так как мы положили £ = ag, то из (6.102) и (6.103) следует:
г
Ра = t - /о = F—,(6.133)
J [2m (a3 — mgz) -ai — a2J ' тогда как
Pl = СОП51 = X - Хо - ( —,
(6.134)(6.134)J [2m (a3 — mgz) — aj — a2J ' Zq
(6.134)
(6.134)
г
P2 = const = У — y6 — t f—;77777 .
3 [2m (a3 — mgz) — a) — a j1 /2
Если обозначить через x0, y0, z0 положение частицы в момент времени t = t6, то Pi = P2 = 0, и из (6.133) и (6.134) можно получить:
х-х0= («i/m) (t-t0), t/-t/o=(«2/m) (t-t0),(6.135)
г - z0 = [2m (a3 - mgz^ - a; - aFT2^2 - j g V - to?.
Эти уравнения определяют параболу, как это и следовало ожидать. Линейные члены в правой части равенств (6.135) описывают равномерное прямолинейное движение, т. е. то движение частицы, в котором бы она участвовала, если бы не было ускорения.
В этом последнем примере все координаты кроме одной циклические. В таком случае уравнение Гамильтона — Якоби может быть всегда решено методом разделения переменных. Для этого достаточно положить все импульсы, соответствующие s — 1 циклическим координатам, равными «!,..., o^-f, остающаяся часть функции Гамильтона — Якоби может быть тогда получена простым интегрированием.
И, наконец, последний пример — задача Кеплера. Запишем гамильтониан задачи в сферических координатах
[ср. (2.313)-(2.317)]:
Я = - +•(6.136)
2т 2тгг 2тгг sm2 0 4леогv
Здесь, для того чтобы иметь в виду конкретную задачу, мы остановились на проблеме водородоподобного атома, т. е. задаче о движении электрона с зарядом —ев поле заряженного ядра (заряд Ze). Масса т, входящая в (6.136), фактически является приведенной массой (см. рассуждения в § 1.2).
Вводя функцию Гамильтона — Якоби S(r, 6, ср) и используя метод разделения переменных, мы полагаем
S(r, О, cp)=S1(/-) + S,(0) + S3(cp).(6.137)
Полагая, кроме того, полную энергию системы равной одной из а», скажем, а[, мы имеем следующее уравнение:
dS3\21 _ Ze2 dip / J 4леогdS3\21 _ Ze2 dip / J 4леог(6.138)(6.138)= 1 №\2 л-14-1
dS3\21 _ Ze2 dip / J 4леог
dS3\21 _ Ze2 dip / J 4леог
(6.138)
(6.138)
1 2т [\ dr / ' гг \ де ) 'г2 sin2 9
где мы воспользовались формулами (6.103). Над а, появился индекс — штрих; дело в том, что нам будет удобнее позже ввести функцию, зависящую от а[, принимая ее за ах [см. (6.143)].
Производя разделение переменных в уравнении (6.138), мы приходим к уравнениям:
^ = а3 = const = р(Г, S3 = <pa3;(6.139)
(6.140)
\ об / 1 sm2 6 z 2 Ji * sin26J v *
,1 Г№\2 । a2|
a* 2m \ dr / 1 г2 4л80г’
r(6.141)
с С / I niZe» a’ p/2 ,
S^X 2ma]+^„4 dr,J I.2леог r2 J
Величина a[ является энергией; величина ая —моментом импульса относительно полярной оси (ось г); величина а2 удовлетворяет уравнению
= +=(6.142)
1 sm2.9sm20''
причем мы использовали (2.319). Мы обнаруживаем, таким образом, что а2 —это полный момент импульса. Из (6.142),
а также из физического смысла а2 и а3 вытекает, что а2^а3. Знак минус во втором из уравнений (6.140) введен для того, чтобы Р2 и рз имели простой физический смысл [см. (6.148) и (6.151)].
Теперь мы введем вместо величины а] величину ап связанную с а] соотношением
^ = £ = -2тЙЬ- (6J43>
Причина такого переопределения станет ясной в следующем параграфе. Заметим, что, сделав предположение об отрицательности энергии Е, мы ограничили наши рассуждения исключительно эллиптическими орбитами. Мы заметим также, что cq обладает размерностью момента импульса, т. е. той же самой размерностью, какую имеют а2 и а3.
Вводя величину R по формуле
R = Zme2/4ne0,(6.144)
мы можем переписать (6.141) в виде:
Поскольку величина dS\ldr согласно своему физическому смыслу должна быть действительной, из (6.145) непосредственно следует, что: a) aj должно быть больше или по крайней мере равно а2; б) если а1 = а2, то орбита представляет собой окружность, поскольку в этом случае мы получаем, что R/a1 = a1/r.
С помощью уравнений (6.103) можно найти физический смысл Р&. Функция Гамильтона — Якоби определяется согласно (6.137), (6.139), (6.140) и (6.145). Заметим попутно, что теперь уже 5Ь например,содержит два afe, так же как и S2. Из (6.143) видно, что Е содержит только ап так что величины Р2 и рз являются интегралами движения. Для рз мы найдем:
Рз = ^-=+(6.146)
das J sin 6 У ag sin2 6 — a?
где мы выбрали в качестве нижнего предела интеграла, входящего в S2, значение л/2. Введем угол /, определяемый выражением
a3 = а8 cos i,a3 = а8 cos i,(6.147)
a3 = а8 cos i,
a3 = а8 cos i,
6 Д, те» Хаар6 Д, те» Хаар161
6 Д, те» Хаар
6 Д, те» Хаар
из которого следует, что i — это угол между полярной осью и нормалью к орбитальной плоскости (см. рис. 26). Тогда (6.146) можно переписать в виде:
□ С cosidf) ,
Рз = \.И Ф =
sin 0 V sin2 6 —cos2 i
= — arcsin(ctg( ctg6) + ф = —р + ф,(6.148)
где через р обозначен уголгде через р обозначен уголАОВ на рис. 26. Это следуетАОВ на рис. 26. Это следует
где через р обозначен угол
где через р обозначен угол
АОВ на рис. 26. Это следует
АОВ на рис. 26. Это следует
Рис. 26. Задача Кеплера. ОАС — плоскость орбиты; ОД —линия восходящего узла; ОР —большая полуось; ОС—радиус-вектор точки орбиты; угол i — угол наклона плоскости орбиты; р3 — долгота (величина угла) восходящего узла.Рис. 26. Задача Кеплера. ОАС — плоскость орбиты; ОД —линия восходящего узла; ОР —большая полуось; ОС—радиус-вектор точки орбиты; угол i — угол наклона плоскости орбиты; р3 — долгота (величина угла) восходящего узла.Рис. 27. Задача Кеплера. Углы, отмеченные значком |_, — прямые. Все обозначения те же, что и на рис. 26.Рис. 27. Задача Кеплера. Углы, отмеченные значком |_, — прямые. Все обозначения те же, что и на рис. 26.
Рис. 26. Задача Кеплера. ОАС — плоскость орбиты; ОД —линия восходящего узла; ОР —большая полуось; ОС—радиус-вектор точки орбиты; угол i — угол наклона плоскости орбиты; р3 — долгота (величина угла) восходящего узла.
Рис. 26. Задача Кеплера. ОАС — плоскость орбиты; ОД —линия восходящего узла; ОР —большая полуось; ОС—радиус-вектор точки орбиты; угол i — угол наклона плоскости орбиты; р3 — долгота (величина угла) восходящего узла.
Рис. 27. Задача Кеплера. Углы, отмеченные значком |_, — прямые. Все обозначения те же, что и на рис. 26.
Рис. 27. Задача Кеплера. Углы, отмеченные значком |_, — прямые. Все обозначения те же, что и на рис. 26.
из рассмотрения рис. 27, откуда следуют равенства
(6.149)(6.149). . , АВ ВС АВ .
(6.149)
(6.149)
dgz ctg -ф — 5С • ов — ов — sin р.
Мы видим, таким образом, что рз —это просто угол, определяющий положение линии узлов (т. е. линии пересечения плоскости орбиты с экваториальной плоскостью),— угол хОА на рис. 26. Мы будем называть этот угол долготой восходящего узла.
Обратимся теперь к р2, для которого имеем: Г6
о д8 ('— а2 dr fr^С а2 sin 0 d0
2 5а2JГaf —а| "ЛРаД2 J /а| sin2 0—ар
Vл/2
или же, вводя обозначения
а = 3, 3=1-е2> g = Hecos%, (6.150)
Р2 = arcsin [cos 6/sin z] — X = Ф — X. (6.151)
где мы снова обратились за помощью к рис. 27; гр —это угол ДОС, а х — истинная аномалия (см. рис. 28).
Причина появления последнего из соотношений (6.150) заключается в том, что, как легко убедиться, корень, входящий в Sj, принимает действительное значение лишь
в том случае, когда г лежит между а (1 + е) и а (1 — е); это обстоятельство, конечно, тесно связано с нашим выбором отрицательного знака энергии, что в свою очередь обусловливает финитные орбиты. Последнее ищ соотношений (6.150) показывает, что такими финитными орбитами являются эллиптические орбиты; заметим также, что величина е должна быть меньше или по крайней мере равна единице, поскольку а2 ^ ах. Это последнее из соотношений (6.150) определяет величину радиус-вектора как функцию истинной аномалии, т. е. является уравнением орбиты.
Поскольку рз—постоян-
Рис. 28. Орбиты в задаче Кеплера. О —начало координат, за которое выбран центр сил; FP = a (большая полуось); ОР = а(1—е) — расстояние от начала координат до перицентра; OF = ae; FG = aV\— е2 = 6 (малая полуось); ОЕ — р (параметр эллипса);х—истинная аномалия и, наконец, и — эксцентрическаяРис. 28. Орбиты в задаче Кеплера. О —начало координат, за которое выбран центр сил; FP = a (большая полуось); ОР = а(1—е) — расстояние от начала координат до перицентра; OF = ae; FG = aV\— е2 = 6 (малая полуось); ОЕ — р (параметр эллипса);х—истинная аномалия и, наконец, и — эксцентрическаяаномалия.аномалия.ная величина, долгота восхо
Рис. 28. Орбиты в задаче Кеплера. О —начало координат, за которое выбран центр сил; FP = a (большая полуось); ОР = а(1—е) — расстояние от начала координат до перицентра; OF = ae; FG = aV\— е2 = 6 (малая полуось); ОЕ — р (параметр эллипса);х—истинная аномалия и, наконец, и — эксцентрическая
Рис. 28. Орбиты в задаче Кеплера. О —начало координат, за которое выбран центр сил; FP = a (большая полуось); ОР = а(1—е) — расстояние от начала координат до перицентра; OF = ae; FG = aV\— е2 = 6 (малая полуось); ОЕ — р (параметр эллипса);х—истинная аномалия и, наконец, и — эксцентрическая
аномалия.
аномалия.
дящего узла задана. Тот факт, что угол z постоянен, полностью определяет положение орбитальной плоскости в пространстве; так как Р2 тоже постоянно, а х = Ф —Ра [последнее равенство следует из (6.151)], мы видим, что орбита остается неизменной в пространстве, другими
словами, оси эллипса сохраняют свое направление в про
странстве.
Уравнение орбиты можно записать также и в форме
(6.152)(6.152)а 1 + е cos %7 ~ 1—62•
(6.152)
(6.152)
откуда видно, что а является большой полуосью, а е — эксцентриситетом эллипса [сравните рассуждения в связи с формулами (1.237), (1.240), (1.243) и (1.244)].
Теперь займемся величиной р1# Для начала нам нужно несколько подробнее рассмотреть орбиту (см. рис. 28). Параметрическим представлением орбиты через декартовы координаты £ и г] будет:
(6.153)(6.153)g = г cos х = й (cos и — е),
(6.153)
(6.153)
1] = г sin % = a (1 — е2)1/2 sin и,
где мы ввели эксцентрическую аномалию и согласно уравнению:
г = а (1 — г cos и).г = а (1 — г cos и).(6.154)(6.154)
г = а (1 — г cos и).
г = а (1 — г cos и).
(6.154)
(6.154)
Угол и — это угол DFP на рис. 28, где CD параллельно оси г]. Из рис. 28 и из того, что длина OF равна аг, а отношение DH к СН равно отношению большой и малой полуосей, легко получаются уравнения (6.153); так как g2 + Л2 = f2, то непосредственно следует и (6.154).
Из (6.102) мы получаем для рх:
Ь-ТК-б,(6.155)
а из (6.103) вытекает, что
о _ 53 С № dr
J а’ Г«1 —а1ур/- =
L с2-\«i г / J
и
= (1 — е cos u) du = и — е sin и. (6.156) о
Объединяя (6.155) и (6.156), мы получим:
u — е sin и = у (/— 6).(6.157)
Теперь уже ясно преимущество введения эксцентрической аномалии: она довольно просто связана со временем, хотя (6.157) в действительности трансцендентное уравнение. Из (6.157) и (6.153) можно найти зависимость истинной аномалии от времени. Уравнения (6.153), описывающие орбиту в декартовых координатах, окажутся еще полезными в следующей главе.
Нам хочется выписать здесь еще выражение для параметра р эллипса. Этот параметр равен значению г при 164
(6.158)(6.158)р=а(\ — в2) = «2/7?.р=а(\ — в2) = «2/7?.% = л/2, т. e. значению радиуса в точке пересечения эллипса с осью т]. Из (6.152) и третьего из уравнений (6.150) получаем:
(6.158)
(6.158)
р=а(\ — в2) = «2/7?.
р=а(\ — в2) = «2/7?.
Мы обнаружили, что величина р не зависит от «п а зависит от «2, т. е. только от полного момента импульса.
Резюмируем вкратце результаты наших расчетов в той части, которая касается физического смысла а* и рА: величина «1 определяет энергию или же большую полуось (6.143) и (6.150)]; «2 —это полный момент импульса (6.142)], определяющий совместно с «х эксцентриситет эллипса [(6.150)]. Константа «3 — компонента момента импульса вдоль полярной оси [(6.139)], определяющая совместно с аа наклон орбитальной плоскости [(6.147)]; величина р3 — это долгота восходящего узла [(6.148)]. Значение р2 определяет направление на перицентр в орбитальной плоскости [(6.151)]. Наконец, рх дает связь между эксцентрической аномалией и временем [(6.157)]. Величина 6 в (6.155) — шестая и последняя константа движения; ее физический смысл состоит в том, что она дает время прохождения через перицентр. Величины а* и 0А называются элементами орбиты.
Переменные «действие — угол»
Мы начнем с того, что займемся одномерной системой. Допустим, что движение периодическое. Периодическое движение может осуществляться двумя различными путями. Либо различным значениям q соответствуют различные состояния системы и обе функции р и q являются периодическими функциями времени: спустя период т обе функции р и q возвращаются к тем же самым значениям (либрация-, см. рис. 29, а); либо всякий раз, когда координата q возрастает на определенную постоянную величину q0, повторяется то же самое состояние системы: через период т величина р принимает то же самое значение, но величина q возрастает на q0 (вращение- см. рис. 29, б). В одной и той же системе могут осуществляться и либрация, и вращение. Простой маятник, например, совершая малые колебания, обнаруживает либрацию; однако если энергия, сообщенная маятнику, достаточна, чтобы он перекидывался через верхнюю точку, он будет вращаться. Вообще говоря, первый случай обычно имеет место тогда, когда
система движется между двумя состояниями, в каждом из которых кинетическая энергия обращается в нуль; во втором же случае всегда можно за координату q выбрать угол и так выбрать ее масштаб, чтобы q0 было равно 2л.
Допустим, что решение уравнения Гамильтона — Якоби для нашей системы найдено и что аир, возникающие в результате решения,--новые канонические координаты.
Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным одномерным периодическим движениям: а) либрация; б) вращение; в) траектории простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и вращение.Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным одномерным периодическим движениям: а) либрация; б) вращение; в) траектории простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и вращение.
Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным одномерным периодическим движениям: а) либрация; б) вращение; в) траектории простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и вращение.
Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным одномерным периодическим движениям: а) либрация; б) вращение; в) траектории простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и вращение.
Мы знаем, что в этом случае Р должно быть линейной
функцией времени t [см. (6.102)]:
P = Y^-U(6.201)
Тогда у нас открываются две возможности:
либрация:q (Р + ут) = q^,(6.202 а)
вращение:q (Р + ут) = q (Р) + 2л.(6.202 6)
Тогда можно совершить преобразование от а и р к новой совокупности канонических переменных J и кд таких, что
(6.203)(6.203)W = р/уг.
(6.203)
(6.203)
Уравнения (6.203) представляют собой «точечные» преобразования типа (5.221, IV) или (5.203) и соответствуют, таким образом, каноническому преобразованию. Действительно, оно порождается функцией
S' = /р/ут,(6.204)
из которой следует (6.203) и равенство
(6.205)(6.205)J = аут.
(6.205)
(6.205)
Мы можем записать теперь (6.202) через переменную w; либрация: q (w-V \) = q(w), (6.206а) вращение: ^(^ + 1) = д(щ) + 2л. (6.206 6)
Каноническое преобразование от pHqxJnw является преобразованием Гамильтона — Якоби; поскольку преобразуемый гамильтониан был функцией только а и поскольку J не содержит 0, преобразованный гамильтониан Н будет функцией только от J. Пусть 5 (q, J) будет функцией Гамильтона — Якоби, порождающей это преобразование, так что
dS dS
P=-^'ra = -dT- <6-207)
Из этих уравнений вытекает:
to _ _L dS_ _ dp, dq ~ dJ dq ~ dJ ’(6.208)
или же
d C , d C dS , C dw , C ,,
-dj^Pd(l = -dJ^d(l = ^-d7d(l=Tw=V (6-209)
где знак ф указывает на интегрирование по полному периоду и где использовано то обстоятельство, что щ выбрано так, что оно увеличивается ровно на единицу за период [см. (6.206)]. Из (6.209) вытекает, что
(6.210)(6.210)J = §р dq,
(6.210)
(6.210)
а из первого уравнения (6.207) и (6.210) мы видим, что J представляет собой увеличение 5 за период. Мы замечаем также, что J — это в точности интеграл действия, взятый за один период. Поскольку размерность J совпадает с размерностью момента импульса, размерность w совпадает
с размерностью угла; отсюда можно понять, почему J и w называются переменными «действие — угол».
Гамильтониан оказывается теперь функцией только J. т. е. E = E(J), и из канонических уравнений движения можно получить:
J — const и ==(6.211)
или
w = v (t — t^.(6.212)
Учитывая, что w за период увеличивается на единицу, мы имеем:
Дщ=1=уг, или v=1/t,(6.213)
так что v = dE/dJ является частотой движения. Отсюда ясно, что можно получить частоту (или период) движения, как только мы нашли гамильтониан как функцию переменной действия J, даже не решая уравнений движения [ср. (5.409)].
Мы могли бы ввести J согласно (6.210) без того, чтобы предварительно обсуждать уравнения (6.202), и могли бы таким способом фактически доказать, что величина w изменяется за период на единицу. Именно такой подход мы используем, переходя к системам с многими степенями свободы. Единственные системы, которыми мы станем заниматься,— это системы, обладающие многократной периодичностью, другими словами — периодичные относительно каждой своей координаты qt и для которых уравнение Гамильтона — Якоби может быть решено разделением переменных, так что
S kq, а) = ^ Si {qр ak).(6.214)
Новые переменные (действия) Jt вводятся согласно уравнениям
Ji = ^Ptdqt,(6.215)
где каждый из интегралов распространяется по периоду соответствующей qp эти периоды, конечно, вовсе не должны быть одинаковыми. Заметим, что все Jt имеют размерность момента импульса или действия. Отметим также, что в том случае, когда qi — циклическая координата, так что соответствующий параметр pt будет константой [см. (2.402)], из (6.215) немедленно следует, что Ji — 2прь
Интегрирование в (6.215) ведется по ^; но координата 7/— единственная из всех координат qk, которая входит в интеграл правой части (6.215), поскольку уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных. Поэтому J£ будут функциями только ак и не будут содержать рЛ. Это означает, что преобразование от рк и qk к Ji и ш£ будет преобразованием Гамильтона — Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану Н, который будет функцией только Jt. Допустим, что это преобразование Гамильтона — Якоби порождается функцией Гамильтона—Якоби 5. Из того, что исходное уравнение Гамильтона—Якоби допускало разделение переменных, и из того, что Jt зависят лишь от ак, следует, что <5? можно записать в виде:
S(q, J) = ^Si(qi-, Jk); (6.216) i
затем, используя первое из уравнений преобразования,
dS dS[dS
Pi-dq£- dq£ - ™i-lT£'(6.217)
мы видим из (6.215), что Jt равны просто возрастанию S£ за период.
Из канонических уравнений движения мы получим: w£ — ^ = vz (J£Js), или w£ = v£ t + 6;. (6.218) Докажем сейчас, что vz действительно являются частотами движения. Пусть координата qj проходит свой период, тогда как все остальные координаты q остаются неизменными. Тогда мы получаем для приращения w£ (индекс / при А и 6 указывает на то, что меняется только qj^;
^w£ = ^jw£ = ^^dqj = ^^Tidqj =
= дГ£^ pi ="dJ7 = ^ljl (6.219)
Следовательно, если через tz обозначен период, соответствующий координате q£, мы с помощью (6.218) и (6.219) получим:
k£w£ = vztz = 1,(6.220)
что и доказывает наше утверждение.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим два примера: одномерный гармонический осциллятор и задачу Кеплера. Из (6.118), (6.121) и (6.210) мы имеем:
J = § [2ma — maq-y^ dq =
2л
= 2а yniay^ ^ cos2 9 с/9 = 2ла (m/а)1/2, (6.221) о
где мы воспользовались подстановкой q = (2а/а)й"2 sin 9. Из (6.221) и (6.115) вытекает, что
£ = а = (7/2л) (ц/щ)'/2,(6.222)
и из (6,211) — что
v = dEldJ = (2л)'1 (аМУ-2.(6.223)
Мы и в самом деле нашли частоту движения, не прибегая к решению уравнений движения.
В задаче Кеплера мы можем показать, что Jv J2 и J3 являются линейными комбинациями av а, и а3. Мы получим из (6.215), учитывая (6.139), (6.142) и (6.141):
J3 = (^ /л, dq = § «з t/<p = 2ла3,(6.224)
J, - f $ а! -)2 Г/2 dO = 2л (а2 - аф, (6.225)
Л = Рг dr = £ 2тЕ +Г" dr =
1 JJ L 2ле0г г2 J
„, Ze2 . Г 2т п.
= —2ла, + -^- у г^ = 2л (а^-а,).(6.226)
Из выражения (6.226) следует, что энергию Е можно выразить через величины J^ J2 и J3 следующим образом:
(6.227)(6.227)- Z-mc1
(6.227)
(6.227)
6е: (^i + ^2 4~ з)2
Мы видим, что в этом случае v2 = v3 = v3. Ничего удивительного в этом нет, поскольку мы имеем дело с замкнутыми орбитами.
Из (6.226) можно усмотреть также одно из преимуществ использования аг вместо aj. Все преимущества использования Jk станут очевидными в следующем параграфе; здесь же мы обратим внимание только на то, что именно эти величины квантовались в старой квантовой теории по правилам Вильсона — Зоммерфельда,
Уравнения (6.225) и (6.226) могут быть по, чены прямым интегрированием, однако существуют уда более элегантные пути достижения тех же самых ; зультатов. Простейший путь вычисления J2 состоит в м, чтобы, вспомнив смысл выражения ргг + Ро9 + рФФ Kai удвоенной кинетической энергии частицы, разбить его на ’ри части, соответствующие движениям в г-, 6- и ср-на давлениях
Рис. 30. Контуры обхода особых точек в комплексной r-плоскости, используемые при вычислении интеграла Ч в (6.231).
соответственно. Если разбить кинетическую энергию таким образом на три части, соответствующие радиальному движению, поперечному (трансверсальному) движению в плоскости орбиты и движению, перпендикулярному орбитальной плоскости (это движение не дает вклада в кинетическую энергию), то мы получим в ре зультате:
Р^ + Ре9 + рФФ = Р/ + Рх)С + 0, (6.228) где через х снова обозначена истинная аномалия; поскольку рх представляет собой полный момент импульса М, мы получим:
ре6=Л1х-РфФ=а2х-а3ф, (6.229)
откуда следует (6.225), если вспомнить, что траектория замкнутая; в свою очередь это означает, что когда угол 6 проходит свой период, от значения л/2 —i до значения л/2+z и обратно, то углы х и Ф увеличиваются на 2л.
Чтобы вычислить Jv можно ввести новую переменную и согласно уравнению
2r=(r1 + r2) + (r1-r2)u, (6.230)
где через г\ и г2 обозначены максимальное и минимальное значения г. Более изящный метод, которым мы обязаны Борну, с помощью которого можно вычислить J^,
171
состоит в том, что интеграл по г рассматривается как интеграл в комплексной плоскости (см. рис. 30). Подинтегральная функция рг двузначна, и поэтому необходимо ввести в г-плоскости разрез между двумя точками ветвления ^ и г2. На рис. 30 ветви выбраны так, что положительный квадратный корень располагается над действительной осью, а отрицательный — под ней. Тогда можно написать:
J1 = ^prdr.(6.231)
с,
Контур Сг охватывает разрез, но, деформируя его в два контура С2 + С3, мы приходим к двум интегралам, каждый из которых может быть вычислен с помощью теоремы Коши о вычетах. У подынтегрального выражения два полюса г = 0 и г = оо, так что мы можем написать:
Ji = ^Prdr-V^prdr =
с, с,
= 2лг[Кез(при г = 0) + Res (при г = оо)].(6.232)
Легко видеть, что первый вычет равен za2, а вычислить второй можно, вводя новую переменную г-1 и раскладывая в ряд подынтегральное выражение по г'1; таким путем мы снова придем к выражению (6.226).
Адиабатические инварианты
В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования; а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона — Якоби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных «действие — угол» значительно хитрее. И действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. Ми определим
адиабатические инварианты как такие величины, которые остаются инвариантными, если параметры, входящие в гамильтониан, медленно изменяются. Мы дадим более количественное определение адиабатических инвариантов чуть позже и покажем, что переменные действия на самом деле являются адиабатическими инвариантами.
Нам хотелось бы сказать несколько слов о значении адиабатических инвариантов и о тех причинах, по которым они были введены в старую квантовую механику. В свое время Эренфест показал, что если необходимо найти величины, подходящие для квантования, то эти величины должны быть адиабатическими инвариантами. Обоснования этого утверждения состоят в следующем.
Если параметр в гамильтониане меняется настолько медленно, что в его фурье-разложений оказ'ываются только частоты ниже определенного значения, скажем v0, которое меньше, чем любая частота, соответствующая боровским условиям для квантовых переходов, то за время изменения параметра никакие квантовые переходы происходить не могут. Это в свою очередь означает, что по мере медленного изменения параметров, происходящего в гамильтониане, не могут изменяться квантовые числа; тем более не могут изменяться квантованные величины. Поскольку переменные действия оказались адиабатическими инвариантами, они могут служить подходящими объектами для квантования; фактически именно для них были предложены правила квантования Вильсона — Зом- мерфельда.
Причина, по которой такие медленные изменения были названы адиабатическими, состоит в том, что из статистической механики вытекает следующее утверждение: энтропия системы определяется распределением образующих систему частей по возможным энергетическим состояниям. Поскольку никаких переходов в другие состояния во время адиабатического изменения параметров быть не может, энтропия должна оставаться неизменной; такое положение дел соответствует термодинамическому определению адиабатического изменения. Стоит заметить здесь, что адиабатические инварианты играют также важную роль и в современной квантовой механике; соответствующее утверждение звучит в этом случае так: система, находящаяся в стационарном состоянии, будет продолжать находиться в этом состоянии даже при наличии адиабатических процессов.
Совсем недавно вновь вспыхнул интерес к адиабатическим инвариантам, поскольку они играют важную роль в теории ускорителей и теории движения заряженных частиц в магнитном поле, весьма существенной для проблемы управляемого термоядерного синтеза.
Ради простоты мы докажем адиабатическую инвариантность переменных действия только для одномерного случая; можно заметить, что аналогичное доказательство справедливо также и для случая с большим числом степеней свободы, если не существует соотношения типа
2^ = 0, (6.301)
где kt — положительные или отрицательные целые числа, а частоты vz определены согласно (6.218). Система, для которой удовлетворяется хотя бы одно соотношение вида (6.301), называется вырожденной. Такие системы в этом параграфе мы рассматривать не будем, хотя они нередко встречаются в природе. В задаче Кеплера мы как раз столкнулись с такой системой: мы уже указывали в предыдущем параграфе, что из (6.227) следовало, что V! = v2 = vs.
Мы займемся теперь системой, описываемой гамильтонианом
Н = Н<р, q; а У)),Н = Н<р, q; а У)),(6.302)(6.302)
Н = Н<р, q; а У)),
Н = Н<р, q; а У)),
(6.302)
(6.302)
где через а (7) обозначен параметр, меняющийся со временем. В пределе, когда
(6.303)(6.303)й (7) -> 0,
(6.303)
(6.303)
мы говорим, что имеем дело с адиабатическим изменением. Для осуществления преобразования от переменных р, q к переменным «действие — угол» J, w мы используем производящую функцию вида (5.220а) W (q, w, а), которая зависит теперь уже от времени через параметр a\t\ Преобразование задается уравнениями
_dW , dq ’dw ‘_dW , dq ’dw ‘(6.304)(6.304)
_dW , dq ’dw ‘
_dW , dq ’dw ‘
(6.304)
(6.304)
Поскольку в этом случае гамильтониан зависит от времени, нам нужно действовать с осторожностью. Мы используем то обстоятельство, доказанное в § 5.4, что канони-
ческие уравнения движения эквивалентны вариационному принципу (5.425). Это значит, что из уравнения
2
6j[p^ — Н (р, q,a)]dt = O(6.305)
1
должно следовать уравнение
2_
6 $ [Jw - H(.J, w, a)] dt = 0,(6.306)
i
поскольку преобразование (6.304) является каноническим. Далее мы получаем:
pq — H(p, q, а) = Jw — Ну, w, a)-\-^V (q, w, a), (6.307)
и, принимая во внимание (6.304) и сравнивая коэффициенты при q и w в обеих частях этого уравнения, мы обнаруживаем, что
V=W,(6.308)
а также и что
Ну, w, а) = НУ, аН", (6.309)
где учтено, что после преобразования гамильтониан Н не будет содержать переменную w. Уравнения движения для w и J приобретут теперь вид:
. дНдН , д 6WдН . д dW Д/с о
dJdJ 1 dJ dtdJ ' dJ \da j’x '
у d/7 dH(J, a) d dW d (dW .\ dwdw dw dt dw\ da )''
Допустим теперь, что J принимает при / = 0 заданное значение J (0), и выясним, как изменяется эта величина в течение интервала времени Т, за который параметр а изменяется от своего исходного значения а0 до значения «о + ба. Для упрощения рассуждений будем считать, что а изменяется линейно; это означает, что производная d (которая равна в нашем случае ба/71) постоянна, а также и то, что d стремится к нулю, если интервал Т стремится к бесконечности, причем произведение аТ остается конечной величиной. Из выражения (6.311) для
приращения J мы получаем!
т
jm-im^-^^adt(6.312а)
о"
т
6\-и1,1<6-3|26>
о
т
= -а\ ^ Ahy,aV^ikwdt(6.312в)
О А^О
т
= -а\ £X + W...)x
О А^О
X ехр [2л/ (v^ + 60 + (v^ + 6^) А +dt
(6.312г)
= —dU 2 ^^ ,exp[2nzA(v0<+60)]dn+
0J
+ d2$ (,..)^ + ...(6.312д)
При переходе от (6.312a) к (6.3126) использовано наше предположение о том, что й — const. Уравнение (6.312в) следует из того, что рассматриваемая система — периодическая по w с периодом, равным единице, так что величина U7 может быть разложена в ряд Фурье. Переменная w не является уже, строго говоря, линейной функцией времени, но из (6.310) следует, что
ty = ^-t + 6 (J, «) = v (У, d^t-уЬЦ, а) =
= v0t + 60 + 6V2 + Md + ...,(6.313)
где величина 6 (J, а) была бы настоящей константой, если бы а не менялось, и где мы разложили величины v и 6 в ряд по степеням t.
Перейдем теперь к пределу, когда Т-*оо. Поскольку модуль интеграла, стоящего в первом члене (6.312д), на верхнем пределе принимает конечное значение, равное
Рис. 31. Изменение движения простого маятника при адиабатическом изменении его длины от / до /—dl;Рис. 31. Изменение движения простого маятника при адиабатическом изменении его длины от / до /—dl;Р— точка подвеса маятника.Р— точка подвеса маятника.
Рис. 31. Изменение движения простого маятника при адиабатическом изменении его длины от / до /—dl;
Рис. 31. Изменение движения простого маятника при адиабатическом изменении его длины от / до /—dl;
Р— точка подвеса маятника.
Р— точка подвеса маятника.
то этот член стремится к нулю, если d стремится к нулю. Второй член по порядку величины самое большее совпадает с величиной d?T = (dT) й, которая также стремится к нулю, если d->0. Мы видим, что в предельном случае d->0 величина J просто не меняется. Мы не хотим заниматься рассмотрением более общего случая, когда выс
шие производные от а по времени отличны от нуля, отсылая читателя к соответствующей литературе ).
Полезно хотя бы кратко обратить внимание на связь
между инвариантностью J и теоремой Лиувилля в статистической механике. Эта теорема
утверждает, что элемент объема в фазовом пространстве инвариантен. Для выявления этой связи в одномерном случае, который мы только что рассматривали, мы записываем:
J = ф р dq = 55 dpdq = 55 t/Q,
где через dti обозначен элемент фазового пространства.
В завершение этого парагра
фа мы рассмотрим два примера. Первый из них — математический маятник, причем мы ограничимся случаем малых колеба-
ний, так что уравнение движения маятника будет совпадать
с уравнением линейного гармонического осциллятора. Второй пример— движение заряженной частицы в магнитном
поле.
Пусть I будет длиной математического маятника, 0 — угол его отклонения от вертикали, q — линейное смещение, а V —частота колебаний. Обозначим через Е энергию маятника; т — масса шарика, g — ускорение силы тяжести. Вопрос, на который мы хотим ответить, состоит в следующем: как изменится амплитуда 0О, если / будет меняться адиабатически? Ответ на этот вопрос можно получить двумя путями. Первый путь состоит в том, что изменение механической системы при адиабатическом изменении длины маятника от / до l-\-dl рассматривается
совершенно непосредственно. Второй путь — куда более быстрый — заключается в использовании адиабатической инвариантности J. Мы остановимся на обоих методах.
Работа dW, совершаемая при изменении /, разбивается на две части — работу против силы тяжести и работу, совершаемую против центробежных сил:
dW = — mg cos 6 dl — m№ dl,(6.314)
где черта над величинами означает усреднение по промежутку времени, за который происходит изменение /. После того как длина маятника достигает своего нового, окончательного значения, можно подвести баланс энергии и записать:
dW = — mg dl-VdE,(6.315)
где через dE обозначено изменение энергии маятника; что касается величины — mgdl, то она представляет собой изменение потенциальной энергии массы т за счет изменения ее положения в поле тяжести. Объединяя (6.314) и (6.315) и полагая при этом cos 61 — 1/262, получим:
dE = у mg№ dl — m№dl.(6.316)
Поскольку длина меняется медленно, т. е. изменение длины занимает время несравненно большее, чем период колебаний маятника, можно написать
^Е = 1 т№ = у mg№(6.317)
и переписать (6.316) уже так:
dE = — (Е/21) dl.(6.318)
Отсюда следует, что величина ЕЧ является инвариантом, а поскольку Е пропорционально /О,® [ср. (6.317)], где 60 — амплитуда колебаний, то мы видим, что
/36д = invariant.(6.319)
Если же воспользоваться адиабатической инвариантностью J, доказательство (6.319) совсем просто. Из (6.222) и (6.223) мы имеем:
J = E/v,(6.320)
и поскольку Е пропорционально Z65, то (6.319) следует отсюда немедленно, так как для математического маят-
ника v пропорционально \[VI • Мы обращаем внимание на то обстоятельство, что, сочетая пропорциональность v и \)V I с (6.318), мы сразу же получаем доказательство инвариантности отношения E/v, т. е. величины J для данного примера.
Наконец, несколько слов о заряженной частице в магнитном поле. Мы остановимся только на самом важном из адиабатических инвариантов; кроме того, мы ограничимся простейшим случаем, когда магнитное поле однородно и направлено вдоль оси г; это означает, что векторный потенциал А такого поля имеет компоненты — у By, — у Вх, 0. Переменная действия, которую следует ввести, имеет вид:
^9=^р9<19,(6.321)
где временно введены цилиндрические координаты г, 6, г. Выразим лагранжиан системы в цилиндрических координатах [ср. (5.353)]:
L = ^my^r^^zYH^eBr^.(6.322)
Из лагранжиана (6.322) мы получим выражение для р9:
р9 = тг^А-^-еВг\(6.323)
Чтобы еще больше упростить задачу, мы рассмотрим случай, когда z = 0 и г = 0, т. е. случай, когда частица движется по окружности вокруг силовых линий магнитного поля с циклотронной частотой сос,
гос = еВ1т,(6.324)
так что G = ®c Из выражений (6.321), (6.323) и (6.324) мы получим тогда:
Je = (6лт/е) (тиэг/2В) = (6лт/е) р, (6.325) где через и± обозначена поперечная скорость:
иг = г6,(6.326)
а через р — магнитный момент, соответствующий движению частицы,
р = 2 evLr = ev-j2ac = mv\l2B. (6.327)
Таким образом, для нашего частного, крайне упрощенного случая доказано, что магнитный момент ц является адиабатическим инвариантом. Этот результат остается справедливым и для более сложных движений заряженной частицы, причем поле вовсе не обязательно однородно. Кроме магнитного момента р есть еще два других адиабатических инварианта. Для движения заряженной частицы в магнитных полях таких конфигураций, как земное магнитное поле или магнитное поле, используемое в термоядерных реакторах (магнитные зеркала), можно доказать *), что частица, однажды захваченная магнитным полем, навсегда останется в этом поле, если только не нарушатся условия адиабатической инвариантности (предполагая, что рассеяния нет, так как иначе возникает иной источник потерь частиц).
ЗАДАЧИ
Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала U = yijr, описывая движение в координатах и = г-\-х, и = г — х.
Используя уравнение Гамильтона — Яко'>и, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала 1! = -^агг, описывая движение в координатах и и и, определяемых формулами х = ch и • cos и, у = sh и • sin и.
С помощью уравнения Гамильтона — Якоби и эллиптических координат описать движение заряженной частицы в поле, создаваемом двумя зарядами, закрепленными на конечном расстоянии друг от друга.
Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, показать, что траектория частицы, движение которой описывается гамильтонианом
Я = -J- (р? + pD № + дУ1 + М + gir1,будет коническим сечением в плоскости qiqi-
Б. Исходя из уравнения Гамильтона —Якоби, рассмотреть эффект Штарка в атоме водорода, используя параболические координаты. Разложить полученное решение в степенной ряд по напряженности электрического поля и сравнить с результатами, приведенными в § 7.3.
В некоторой системе с двумя степенями свободы одним из интегралов движения является энергия Н (qlt q4, ръ рг, l')=h, а другим F((h, д4, Ръ р^—с.
*} ( например, Northrop and. Teller, Phys. Rev. 117, 215 (I960).
Показать, что в этом случае существует функция ф (<7i, q^, h, с), такая, что
Уф Уф
Р1“^’ Р»”^’
движения будут:дф ,.—f = const. dhдвижения будут:дф ,.—f = const. dhи что остающимися интегралами дф . = const, дс ’
движения будут:
дф ,.
—f = const. dh
движения будут:
дф ,.
—f = const. dh
Убедиться в том, что если
Н = qiPi - q»Pi + ар* - ар*, то имеет место также интеграл движения
Р1Ч1 + Р^ " Зар^ = const; завершить полностью решение задачи.
Частица, масса которой равна т, а энергия Е, движется в плоскости ху в поле потенциала U. Пусть щ = ф + /ф — аналитическая функция комплексной переменной г = х + 1у, такая, что
Показать, что полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби имеет вид:
S = ф cos ах -|-ф sin at + «2, где aj и a2—постоянные интегрирования.
Определить траектории частиц, идущих из бесконечности, где их энергия Е — 0, в потенциальное поле
. Х*ОР»
UАР^-ВР1’
где А, В, О и Р — точки с координатами (а, 0), (—а, 0), (0, 0) и (х, у), а X — некоторая постоянная.
Глава 7
ТЕОРИЯ ВОЗА1УЩЕНИЙ
В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущенной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений; эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается квантовомеханическая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секулярных и периодических возмущениях.
В последнем параграфе, наконец, разобран вопрос о влиянии слабых электрического и магнитного полей на движение заряженных частиц, в частности на движение частиц в атоме водорода.
. Ангармонический осциллятор
Случаи, когда можно найти точное решение уравнений движения реальной физической системы, являются скорее исключением, чем правилом. Причин для этого немало. В предыдущих главах мы обычно занимались задачами, которые можно было свести к относительно простым уравнениям, записанным для одной частицы. Многие из этих задач, касающиеся одной частицы, имеют дело с центральными силами, которые, как мы видели, допускают решение в квадратурах [см.(1.219)], Задачи, которые мы исследовали, по большей части выбирались так, что квадратура вела к решению в замкнутой форме. Но такие 182
простые решения для одиночной частицы для большинства систем будут лишь первыми приближениями настоящих уравнений движения и являются результатом пренебрежения «возмущающими» влияниями. Такие возмущения могут быть нескольких различных типов. Прежде всего, возможен случай, когда невозмущенную систему помещают в некоторое внешнее поле, такое, например, как внешнее электрическое или магнитное поле. Тогда можно наблюдать явления Штарка или Зеемана, — явления, к которым мы обратимся в последнем параграфе этой главы.
Во-вторых, встречаются случаи, когда, интересуясь невозмущенной системой, мы просто пренебрегаем влиянием составных частей этой системы. В качестве примера можно привести движение Луны вокруг Земли. В первом приближении можно считать как Луну, так и Землю точечными частицами, движущимися по орбитам, определяемым исключительно силами тяготения, действующими между двумя точечными массами. Но это решение безусловно должно быть скорректировано как на влияние Солнца на орбиту Луны, так и на тот факт, что Земля отнюдь не является абсолютно твердым телом, а напротив, в высшей степени подвержена деформациям, поскольку она покрыта океаном, испытывающим приливы и отливы. Мы не станем вдаваться здесь в эту тему — она более подходит для курса небесной механики.
В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме; нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как «возмущение». Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль-
тониане учитываются все остальные члены. Самым важным из них является, конечно, кубический член.
Мы не станем заниматься общей задачей, касающейся систем со многими степенями свободы, которые в первом приближении сводятся к задаче о малых колебаниях (см. гл. 3); мы рассмотрим поподробнее одномерный ангармонический осциллятор, гамильтониан которого задается уравнением
(7.Ю1)
Причина, по которой имеет определенный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что «невозмущенная» задача довольно близка к интересующей пас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение «возмущенной» задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении, — так, например, как входит множитель Л в выражение (7.101); тогда можно надеяться — поскольку предполагается достаточная малость X, — что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацию решения возмущенной задачи.
13 следующем параграфе будет систематически развита теория для задач такого типа, основанная на использовании переменных действие — угол, введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимо — если не касаться непосредственной связи вопроса с кван- товомехапическоп теорией возмущений — бросать в бой тяжелую артиллерию канонических преобразований; в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На это можно возразить, обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу задолго до появления квантовой механики; но самым убедительным аргументом является, пожалуй, то, что во многих случаях, как можно убедиться, прямые методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к ошибочным результатам; нередко случается, что они одновременно и неудобны, и ошибочны.
Чтобы не быть голословными, мы разберем в этом параграфе применение двух прямых методов. Эти методы будут применены к решению задачи об ангармоническом 184
осцилляторе, гамильтониан которого задан выражением (7.101). Полученные результаты мы сравним с теми результатами, которые следуют из канонической теории возмущений; они будут получены в следующем параграфе.
Задача, которой мы будем заниматься в этой главе, — это задача о движении системы, гамильтониан которой задан в виде:
H = H0-VkHv,(7.102)
где через /70 обозначен гамильтониан невозмущенной системы, а через ХНу — возмущение. Нам нужно решить следующие канонические уравнения движения:
дНдН
Рк~ —Я к = (7.103)
дЯьдркv '
Первый метод решения этих уравнений состоит в том, что записывают
Ри = < + ^Рк + Wk +..., Як = р£ + W + Wk + • • •
(7.101)
Через рк и qk обозначены решения невозмущенной задачи:
<7Л0ь)
где индексом «0» отмечено, что вместо рк и рк следует подставлять их невозмущенные значения рк* ирк*. Величины р'к и р’к находятся подстановкой (7.102) и (7.104) в (7.103) с учетом (7.105). Эта процедура приводит к следующим уравнениям:
* (7Л06)
pV. (7.107)
\ др к у оM \ dp к dq, Jr, ’*^ (dpk dpih
Таким способом можно найти столько членов ряда (7.104), сколько желательно.
Второй метод может быть использован только для многократно периодических систем, где можно воспользоваться методом разделения переменных (см. § 6.2). В этом случае можно воспользоваться функцией Гамильтона — Якоби вида
ар, л),(7.108)
где каждая из Sk зависит только от одной координаты qk, но может содержать любые a, (z = 1, 2, ..., s; s — число степеней свободы). В выражении для 3 (7.108) явно указано, что Sk являются функциями параметра возмущения А. С помощью Sk можно ввести переменные действия Jk согласно определению:
зк = ^^аАк,(7-109>
где интегрирование ведется по полному периоду переменной qk. Энергия системы Е является функцией величин аь п поскольку теперь благодаря определениям (7.109) величины Jк зависят от аь можно найти энергию Е как функцию Jk. Практически раскладывают Sk и Jk в ряд по степеням А. Следует, однако, иметь в виду, что периоды qk в возмущенной системе уже иные.
Если необходимо найти изменения qk, требуется ввести также и угловые переменные, согласно определению [ср. (6.208)]
(L110>
и уравнения, определяющие преобразование от величин рк и qk к величинам ®к и Jk.
Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то нет никакой необходимости использовать теорию возмущений; но, как правило, мы имеем дело с системами, где этого как раз нет и где просто необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по степеням X.
Применим теперь изложенные методы к системе, гамильтониан которой задается выражением (7.101). Мы имеем в этом случае:
Н^-(7ЛП)
Используя первый метод, мы получим уравнение нулевого порядка:
+= 0,(7.112)
решением которого будет
^0> = A sin tot.(7.113)
Уравнение первого порядка имеет вид:
mqv1^ Л-то)2^1* = — 3 (<7(°))2 = — ЗЛ2 sin2 tot, (7.114)
а его решение запишется таю
?(1) = ~ 2^<3 + cos2(< I7'115)
Уравнение второго порядка
mqw + mro2q№ = — 6<7(О)^(1) = -^^ sin mt (3 + cos 2co/) (7.H6) имеет своим решением
= -A— I —sin 3mt —mt cos mt + a sin w/1, (7.117) где через а временно обозначен соответствующий произвольный параметр.
Связь p(f) и q1-^ определяется соотношением pw = mqw,(7.118)
и мы получаем выражение для энергии:
E = EW-VXE^-V^EW-V....(7.119)
где
E«» = lmcoM2, Е^ = 0,=(7.120)
2’’тсо2 \16 / 4'
В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ по двум причинам; прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для qw и qw допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению ^(1), а добавили к решению ^t2). Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений— для Е(1) и Е№. Если положить к тому же a равной 11/8, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный t cos tot, в выражении для ^(2). Если разложение в ряд по степеням X имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать X столь малым, чтобы члены, содержащие Хп (м ^ 0), оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как t cos mt. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для qw,
получаемом из канонической теории возмущений, такой член не появляется [см. (7.235)].
Следует добавить, что перечисленные трудности присущи только задаче, связанной с гармоническим осциллятором, поскольку в этом случае — и только в этом случае — невозмущенное уравнение движения представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение. Вместе с тем, поскольку уравнение движения гармонического осциллятора едва ли не самое важное в теоретической физике, отмеченные трудности достаточно серьезны.
Воспользуемся теперь вторым методом для решения задачи об ангармоническом осцилляторе. Мы увидим, что этот метод не сталкивается с отмеченными выше трудностями, но при этом определить с его помощью возмущенное движение довольно затруднительно. Фактически
Рис. 32. График функции f (_q), определенной согласно (7.122); е^ et и еа—-корни функции f (q).
самый простой способ получения первых отличных от нуля поправок как к энергии Е, так и к координате д состоит в использовании канонической теории возмущений, которой мы займемся в следующем параграфе.
Мы будем следовать Борну ) и воспользуемся переменными действие —угол. Если через Е обозначить энергию системы, мы получим:
Е = -^ + у ^Я1 + W»
или же
р = /2тХ/ (д),(7.121)
причем
+(7.122)
Обозначим через е^ е2 и «3 три корня кубического многочлена /(9), которые мы выберем так, что ey-^-^Eimto^Y11, ег-^—^Elmti^Y12 и> наконец, е3->—оо, если Х->-0 (см, рис. 32). Тогда выражение для /(9) (7.122) можно переписать так:
/(?) = (ei-?)(?-e2)(?-es) =
= — 63(61-9) (9-62) [1-(9/63)]• (7.123)
Будем искать точное решение уравнений движения в виде ряда по степеням X в предельном случае Z->0. При этом предельном переходе е3 стремится к бесконечности по закону —V1; извлекая квадратный корень из выражения (7.123), мы можем представить его в виде степенного ряда по е3Ч
U(9)11/2 = (-63)1/21(61 -?)(?- 62)]'/2 х
Х[1-№)-№ + ...]. (7.124)
Из (6.210) и (7.121) можно ввести переменную действия J;
J = §pdq=(— 2тХезу^ U№ - (J(1,/26s) - U^WY + •••],
(7.125) где J^ определяются согласно соотношению
Jw - $ I (61 - 9) (9 - 4)11/2 Чк dq.(7.126)
Если ввести вместо переменных q новые переменные -ф, определив их из соотношения [ср. (6.230)]:
29= (ех + е2) 4-(^ — е2) sin ф, (7.127)
то угол Яр меняется от л/2 до 5л/2, когда координата а проходит значения от ег до е2 и обратно, так что для JW мы получим:
Jw = 4 (61 - е2у [4 (ei + ег) + 2(61 ~ е2) sin яр]* соз2ф£/ф,
(7.128)
откуда следуют следующие выражения для J(0), Jw и Jw:
J№ = 1 л (6i - е2)г, dw = 4 л (в1 + б2) (^ - е2)2,
!(7.129)
V*2' = 54 Л ^ - ^)2 15 ^ + 6^ - 4^
Теперь мы можем написать:
(7.130)(7.130)61,2 = ± (2£/тсо2) */2 -р ai, 2Х + pif 2Х2 4е3 = (— m®’A) (1 + а3Х + рз2Л + ...);
(7.130)
(7.130)
для получения величин «; и р; надо последовательно подставить выражения для е^ е2 и е3 в выражение (7.122), определяющее Цд), и потребовать обращения этого выражения в нуль; при этом приравниваются нулю коэффициенты при различных степенях X. В результате получим:
«1 = а2 = — 2£/т2йф а3 = 0,(7131)
^ =--р2 = (5£/т3м7) (2£//n)l/2, f)3 = — 8£/т3йв.‘
Воспользовавшись (7.123) и (7.127) — (7.129), найдем:
J = —I 1.1,(7.132)
ИЛИ
E = vJ+ v = M/2n.(7.133)
Чтобы выразить q через угловую переменную ш, мы используем (6.208), т. е. пишем:
f Ор ,/ т \1/2 dE dq
I 1(/.134)
J 0J ' (27 У dJ J VUqV
где учтены (7.121) и (7.122) и то обстоятельство, что в (7.122) от J зависит только энергия Е.
Разлагая [/(<7)]_ 1/2 в ряд, аналогично разложению в ряд (7.124), и пользуясь подстановкой (7.127), мы найдем прямым, но утомительным вычислением:
2 лт = ф 4- X yinmdto^1/2 cos ф +...(7.135)
Объединяя выражения (7.127), (7.130), (7.131), (7.133) и (7.135), мы получаем в конце концов выражение и для q1.
ХА2
q = A sin 2лк/ — =—;- (3 + cos 4лы') +...,
А = М—^2.(7.136)
\ rant» j''
7.2. Каноническая теория возмущений
В этом параграфе будет развита последовательная теория получения решения гамильтоновских уравнений движения. Представим гамильтониан в виде:
(7.201)(7.201)
(7.201)
(7.201)
Обычно в правой части (7.201) стоит всего лишь один член, кроме Но> как, например, во всех случаях, разбираемых в этой главе, тем не менее мы допускаем возможность наличия членов высшего порядка, что символически отмечено включением члена /?Нг.
Допустим, что интересующие нас задачи решаются путем введения переменных действие — угол, т. е. соответствуют уравнению Гамильтона — Якоби с разделяющимися переменными (см. § 6.2). В целях простоты ограничимся здесь одномерными системами. В конце этого параграфа мы остановимся на том, как можно распространить эту теорию на многомерные системы. Переменные действие — угол, соответствующие невозмущенной системе с гамильтонианом Но, обозначим через Jo и а>0. Уравнения движения решаются методом Гамильтона—Якоби, а функция Гамильтона — Якоби ищется в виде степенного ряда по параметру X,
S = S0 + XS1 + X2S2 + ... (7.202)
Эта функция Гамильтона—Якоби порождает преобразование от невозмущенных о>0 и Jo к возмущенным переменным w и J, определяемое уравнениями:
J» = "£;’ w = ^’ S = SH J). (7.203)
Исходная координата ^ — известная функция &у0 и Jo, так как мы предполагаем, что невозмущенная задача может быть решена путем введения переменных действие-угол. Если параметр Х->-0, мы возвращаемся к невозмущенной задаче, так что So должно соответствовать тождественному преобразованию; следовательно, эта функция должна быть вида [ср. (5.224)]
(7.204)(7.204)S0 = w0J.
(7.204)
(7.204)
Тогда из соотношений (7.203) мы получим:
(7.205)
Функции Sj, S2, ... зависят от ш0 и J, но можно воспользоваться (7.205), чтобы найти Jo и w0 в виде степенных рядов по X, причем каждый из членов ряда зависит
IN
от w и J:
Когда мы приступали к решению задачи, Но, Hlt Нг, ... были функциями р и q, но уже после первого преобразования Гамильтона — Якоби, благодаря которому были введены переменные ш0 и Jo и одновременно решалась невозмущенная задача, мы получаем:
Н = Нй(ЛНММт0, J^ + ^H^w^ Jo) + ... (7.208)
Новое уравнение Гамильтона — Якоби, которое следует решать для нахождения функции S, имеет вид:
Ц^+ХЦ™- ^+Х'НА^ ^+--Ет-
(7.209)
Представляя S в виде ряда (7.202), раскладывая энергию Е (J) в ряд по степеням X,
Е (J) = Ео (7) + ХЕг (J) + Х»Е2 (JH-...(7.210)
принимая во внимание (7.204), (7.205), мы получим из (7.209):
//о (7) + X + X2f )2 + • • •
0 к 7 ‘ dJ0 dw0 ‘ oJ0 ow0 1 2 oJ^ \ ow0 / ‘ ... + MMW», ЛА-Х^^ + ... + Х»Н.Дт0,
= Eo (7) + °XE1 (J) + X2£2 (7) +...(7.211)
Собирая все члены, соответствующие одной и той же степени X, имеем:
H0(J) = E0(J),(7.212)
4^Ж7 + //‘(Ш“ 1Hl№<7-213)
дЩ- dSa . £ дгН0 (дМ* I 0Jo dw0 ' 2 dJ^ \ 5w0 / ‘
+ Sr S +(ш°’ J) = £a w- ■ • • (7-214)
Уравнение (7.213) определяет Sx и Ev уравнение (7.214) — S2 и Е2, и т. д. Чтобы показать, как это практически делается, вспомним, что р и q являются периодическими функциями от да0 с периодом, равным единице (см. § 6.2). Это остается в силе и сейчас, хотя переменная to0 уже не будет линейной функцией времени. Поскольку р и q периодичны относительно tw0, то же самое относится и к Яь Н2, ... Поэтому все эти величины можно разложить в ряды Фурье:
Нх = ^ И» (Jo) exp (2л//№0),(7.215)
//2 = 2^ W СХР (2шпйу0), ...(7.216)
Удобно также разложить в ряд Фурье и величины Sb S2,
Sj = У Sn (J) exp (2лт^0),(7.217)
S2 = ^Sn (J) exp (2ninw0), ...(7.218)
Из (7.217) и (7.218) вытекает, что в рядах Фурье для dSJdie0 и д5г)дш0 нет членов с и = 0 и что, следовательно, средние за период от dSjdw0 и dS2/to0 равны нулю. С другой стороны, если вычислять среднее за период от Нх, Н2, ... или их производных по Jo, то там окажется член, соответствующий п = 0. Поэтому, если вычислять среднее от уравнений (7.213) и (7.214) за период (это среднеемыобозначаем чертой надсоответствующими
величинами), мы получим:
E1(J)=H1,(7.219)
Е(7 220)
Обратимвниманиена то, чтохотяdS1/dmo = O, два
последних члена в правой части уравнения (7.220) вовсе не обязательно обращаются в нуль. Уравнения (7.219) и (7.220) определяют Ег и Е2.
Если произвольную функцию G от ц'о записать в виде
(7.221)(7.221)G = G —G,
(7.221)
(7.221)
т. е. обозначить волнистой чертой чисто периодическую часть функции от w0, мы получим из (7.213), (7.214),
7 Д. тер Хаар,193
(7.222)(7.223)(7.224)(7.222)(7.223)(7.224)219) и (7.220) следующие уравнения, из которых мы можем найти и S2:
(7.222)
(7.223)
(7.224)
(7.222)
(7.223)
(7.224)
aw, v ’
5Sa = Г fl _ 1 ~d^TdSxy _ df^ SSi \
dw,) v [22 dJ^ \ dct>0 у <)J0 du'o ] ’
где мы положили [ср. (7.212) и (6.211)]
дН6
Можно выразить St и S2 через коэффициенты Фурье Н'п и Нп разложений (7.215) и (7.216), но мы не станем здесь этого делать.
Прежде чем переходить к обобщению теории на многомерные системы, мы применим только что изложенную одномерную теорию к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе. Переходя к ангармоническому осциллятору, прежде всего следует вспомнить решение Гамильтона—Якоби для невозмущенной задачи. Из (7.136) видно, что координата q, выраженная через переменные ш0 и 70, определяется равенством
q = (Joinnuoyi* sin 2nK'o.(7.225)
Гамильтониан, выраженный через ку и 70, примет вид:
Н-Н0 + ХНи где
H0 — vJ0, Нх = (J^mna)'^ sin” 2лку, (7.226)
а V —величина, определяемая согласно (7.133), т. е. равенством v = co/2n [ср. также (7.224)].
Из (7.219) и (7.222) получаем:
Ех = 0,(7.227)
4^- =. ——'i '‘sin’2nu.v,(7.228)
ои’о v \ лтоо у
или же
= ^(^У1тСО52ли^<7-229)
откуда мы имеем с точностью до членов, линейных по X:
я-^Г81пs™- »-^3+cos4л^ ^2зо> в соответствии с выражением (7.136).
1^4
Из (7.220) мы получим теперь!
Е-~<7-231>
в соответствии с выражением (7.133).
С помощью (7.223) можно найти dStldwQ и, следовательно, S2. В результате получим:
^ = 4HW ["" ■& sin 4лфо + "I? sin 8лш0 - -^ sin 12лф0].
(7.232)
После утомительных вычислений можно найти выражения для Jti, u>0 и <7 с точностью до Ха, выраженные через J и w:
7 4 —11sin блш — A sin 2ло^ 4
и 1 v \я/пш / \ 44/ 1
+—о cos 8л ш — л-cos 4лш4 4--, (7.233)
2v2 (л/пш)3 \821 16 / 1'
jy0 = гу 4** ^созблйУ — 4cos2л4-
и 1 2ш/ \лтш j \ 124/ 1
+sin 4лш4 хьзшвлйу —sin 12лю 4---,
2va (лтш)3 \64‘32192/
(7.234) о = fZl sin 2лю — А—~ (3 4 cos 4ло>) 4 4 уют® /2тш лтсо ' 1
+— Д sin 6лш4т8^п 2лш') 4 •(7.235)
m2wJ \ лтсо / \161'
Отметим, что, отвлекаясь от неограниченно возрастающего члена, выражение q<2\ определяемое согласно (7.117), совпадает с коэффициентом при Xе в выражении (7.235), если считать а = 11/8. Стоит подчеркнуть, что каноническая теория возмущений быстро приводит к результату, если нужно получить добавок к энергии, но она же требует весьма утомительных вычислений, если требуется найти изменение координат. Однако она в обоих случаях работает быстрее, чем второй метод, изложенный в предыдущем параграфе. Следует помнить, что окончательное выражение для энергии оказывается зависящим только от J, так что w будет линейной функцией времени.
В заключение этого параграфа мы коротко рассмотрим случай задачи с многими степенями свободы, оставив, однако, то ограничение, что невозмущенная задача допускает решение методом разделения переменных, если ввести переменные действие — угол; другими словами, мы рас-
сматриваем многократно периодические системы. Пусть w'k и J*(fe=l, 2, ..., s; s — число степеней свободы) будут переменными действие — угол для невозмущенной системы. Все координаты qk будут периодическими функциями к> а, точно так же как и Нъ Нг, ...в (7.201). Теперь мы повсюду используем разложение в ряды Фурье, о котором шла речь в начале этого параграфа, и по аналогии с (7.215) и (7.216) запишем:
Нх= У, /77ь ...(J/T ...)ехр2л/У/д^Т, (7.23
Н2 = У /Тф,,. ..07,0 ...)ехр 2л:у/г^ , (7.237) nv, n2l ...к
где разложение Фурье ведется уже по всем переменным.
Будем искать S\, S2> ... в виде рядов Фурье:
Si= У S^ Пг, ... (Ji, ...)ехр2л/у nkw'g\ (7.238)
S2= У 5,?,,П2,.Д71,...)ехр2л/У«^. (7.239)
Вместо (7.213) мы получим теперь:
2^у§+//1№(7-24°)
и аналогичное соотношение для Е2. Отмечая теперь усреднение по всем величинам хук чертой над соответствующей величиной, т. е.
_1 I
G = $...$M0’ ...М°О,(7.241)
о о
мы найдем из (7.240):
Ег = Мг = Hqq(/.242)
Тогда уже можно разрешить (7.240) относительно 8^, и мы найдем:
S^n2,..=^^.(7.243)
2niy
где■
Члены более высокого порядка в выражении для S могут быть получены аналогичным путем. Из выражения
196
(7.243) видно, что нас ждут неприятности, если для полученного набора чисел v*' можно подобрать такую совокупность целых чисел nvns, не обращающихся одновременно в нуль, что удовлетворяется равенство
У. Wk = 0.
а(7.245)
Такой случай называется случаем вырождения системы. Если исключить этот случай, можно еще найти такую комбинацию пк, что сумма "^пкх’к будет сколь угодно малой. Это приводит к тому, что практически для всех возмущений Hv ряды Фурье (7.238) и (7.239) расходятся, как это было показано Пуанкаре. Однако эти ряды являются полусходящимися, т. е., подходящим образом оборванные, эти ряды с высокой степенью точности могут предсказывать поведение системы в течение достаточно большого, но не произвольно большого периода времени.
Найдя S“ (кроме Soo..., которое можно положить равным нулю) и, следовательно, из уравнений типа (7.205) и (7.207) новые переменные действие — угол, можно выразить координаты через новые переменные и тем самым предсказать поведение системы.
Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные Uk и J"k, которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из рк и qk каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые V^ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что v1=v2=v3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины av а2 и сс3, введенные нами в § 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины alf а2 и а3 через J'i°, J^ и J^', а канонически сопряженные переменные — через w?’, иф и и>з°, то мы придем к невозмущенной системе, для которой
нй = нйцпнй = нйцп(7.246)
нй = нйцп
нй = нйцп
197
уравнениями движенияуравнениями движенияи для которой (невозмущенными)
уравнениями движения
уравнениями движения
будут
(7.247)(7.247)У?’-О, Л0’-о, j3°=o,t^’-vV", ^0,-0,z^3°' = 0,
(7.247)
(7.247)
где V,0 определяется согласно (7.244).
Если обратиться теперь к возмущенному гамильтониану
(7.248)(7.248)H^H0 + XHlt
(7.248)
(7.248)
то из него следуют уравнения движения:
^^v^'+X^,
у1лдt<,
/'О'
5^’
(7.249)
/ «
J8 =
Мы еще раз воспользуемся рядом Фурье и запишем Нг в виде:
Нг =£Н^_ п„ „, (У)01) exp 2л/ £ п^'. (7.250)
О^.Ле.Пза — со* *■ 1
Отметив штрихом сумму по ль не включающую в себя член с пг = 0, мы запишем (7.250) в виде:
H^FtJr; to1,°’, w'°')+<W;^i', wa')> (7.251)
где
F = ^ H^n, exp 2nz (n2^0’ + л8№з0’)>
П“n*(7.252)
^ = ^ 2 Н'мчп, exp 2nz (n^0 ’ + n^ '+n3ty'°). П1 nt. nt
Теперь мы приступаем к решению уравнений движения методом последовательных приближений. Это означает, что мы можем подставить в HY решения невозмущенных уравнений движения (7.247). Этими решениями будут: ^’’.tt'j”, Ji01, J201 и J30'— все постоянны, a wj01 — линейная функция времени. Таким образом, из (7.251) видно, что функция F не зависит от времени вообще, а функция Q является периодической функцией времени. Фактически функция F — это просто среднее по времени
от Hv Теперь займемся возмущенными уравнениями движения, например, уравнением для Ji”. Это уравнение может быть записано в виде!
dFdF(7.253)(7.253)
dF
dF
(7.253)
(7.253)
Интегрируя его, мы получим:
л, Л], л«к
(7.254)
Мы нашли две поправки к Ji”! первая из них, связанная с б?, является периодической и всегда остается ограниченной; однако вторая из них, обусловленная функцией F, представляет собой секулярный член, который линейно растет с течением времени. Решение (7.254) оказывается, таким образом, пригодным только для достаточно малого промежутка времени.
Аналогичная ситуация возникает также и для всех других переменных кроме переменной Ji”, поскольку дР/дш1"' = 0. Мы не станем обсуждать здесь вопрос о том, как нужно вести себя с системами, где есть и секулярные, и периодические возмущения, но мы должны указать, что, в противоположность квантовой механике, где сравнительно легко удается отделаться от секулярных членов, в классической механике это сделать совсем не просто. Дальнейшие подробности, касающиеся этого вопроса, можно найти в литературе, приведенной в конце книги.
Эффекты Зеемана и Штарка для водородного атома
Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, гамильтониан которой обладает сферической симметрией. Известно, что в этом случае после введения сферических координат г, 8 и ф угол ф будет циклической координатой. Соответствующий импульс pq, можно ввести тогда в качестве одной из постоянных а, (см. § 6.1), а соответствующая переменная действия Jq, определяется равенством [ср. (6.224)]
J, — 2яр*.J, — 2яр*.(7.301) 1W
J, — 2яр*.
J, — 2яр*.
За соответствующую угловую переменную ti'q может быть выбрана долгота восходящего узла (см. § 6.1), деленная на 2л.
Теперь допустим, что включается однородное магнитное поле В. Поскольку невозмущенная система обладала сферической симметрией, направление полярной оси может быть выбрано произвольно; мы можем выбрать ее теперь так, чтобы она была направлена вдоль магнитного поля. Мы уже упоминали раньше о том, что влияние магнитного поля может быть учтено тем, что в кинетической энергии квадрат импульса р2 заменяется на ^р — еА)2, где Л — вектор-потенциал магнитного поля [см. (5.355)]. Вектор-потенциал А можно выбрать в виде;
Л = -* [В, х];(7.302)
предполагая магнитное поле слабым, мы можем записать возмущенный гамильтониан в виде суммы:
H = HOA-HV(7.303)
где
Н = ^Р-еД^р»ЦА-р) _
2шЧтт
= -^Г(Р‘1В’х"^-^ЛВ' Ь^ Р^ = -^ Вр,. (7.304)
Индукция магнитного поля В играет здесь роль малого параметра А, введенного в предыдущем параграфе, по которому проводится, разложение.
Так как Нх содержит только Jv, единственной переменной, участвующей в первом приближении, будет Из канонических уравнений движения мы получаем:
. ЭН ЭН0 . ЭНХ ЭНх еВ п djrp dJ(p 1 dJq, dJ^ 4лтс v '
Из (7.305) следует, что орбитальная плоскость вращается вокруг направления магнитного поля с угловой скоростью eBpZmc, так называемой ларморовской частотой; это вращение орбитальной плоскости называется ларморовской прецессией.
Случай слабого однородного электрического поля несколько более сложен. Одним из способов решения этой задачи может служить второй метод, описанный в первом параграфе этой главы (см. задачу 5 к гл. 6). Мы не
станем здесь заниматься этой задачей во всех деталях, а ограничимся секулярными эффектами в однородном электрическом поле. Мы начнем с элементарного подхода, который в принципе годится также для случая скрещенных электрических и магнитных полей (см. задачу 3 к этой главе), а затем уже применим теорию секулярных возмущений, кратко изложенную в конце предыдущего параграфа. Во всех случаях мы будем заниматься только атомом водорода п воспользуемся результатами, полученными в предыдущей главе.
Направим опять ось г по направлению поля, так что возмущение гамильтониана запишется в виде:
Н^ебг, (7.306) где через Е обозначена напряженность электрического поля.
В качестве переменных J и w мы воспользуемся величинами а; и р; из § 6.2; мы вспомним также связь между большой полуосью а, полным моментом импульса Л1, эксцентриситетом е, наклоном орбитальной плоскости / и alt а2, а3 — с одной стороны, и между временем, долготой перицентра, долготой восходящего узла и величинами pit ^2 и Рз-с другой. Все необходимые соотношения были получены в § 6.1, и мы ими воспользуемся.
В предшествующем параграфе мы ^установили, что секулярные возмущения обусловлены средним значением по времени от возмущающей энергии Ну. Нам нужно поэтому вычислить среднее по времени от положения электрона; это среднее одновременно определяет значение «центра заряда» водородного атома. Мы увидим, что эта величина не совпадает с началом координат в случае эллиптической орбиты. Таким образом, атом ведет себя как электрический диполь, и нам следует ожидать секулярных эффектов, возникающих в результате действия электрического поля.
Причина, по которой центр заряда не совпадает ни с центром масс (которым служит начало отсчета, т. е. фокус эллипса), ни с центром эллипса, состоит в том, что электрон движется быстрее вблизи перицентра, чем вблизи апоцентра, и проводит поэтому большее время в тех частях траектории, которые ближе примыкают к апоцентру.
Для вычисления 2 мы найдем прежде всего средние значения прямоугольных координат ^ и г], введенных на рис. 28 и определяемых соотношениями (6.153). Исполь-
зуя тот факт, что Р!—линейная функция времени [см.(6.155)] и связана с и соотношением (6.156), и то, что период переменной и составляет 2п, мы получим:
2л
—1 ез
^ = 2^\а (cos и — е) (1 — е cos и) du = — у ае,
_°2л(7.307)
т] = ^ ^ а (1 — е8)1/» sin и (1 — е cos и) du = 0. о
Если еще раз обратиться к рис. 26 и заметить, что «центр заряда» находится на линии ОР, как это видно из выражений (7.307), мы найдем:
— -з
г = £ sin р2 sin I = — ^еа sin р.2 sin /.(7.308)
Прежде чем обсуждать полученный результат, мы воспользуемся более элементарным методом для установления влияния электрического поля 8. Поле будет создавать момент силы, действующий в точках траектории электрона: — е[х, 8]; здесь через х обозначен радиус-вектор электрона. Если обозначить через п единичный вектор, направленный вдоль главной оси к апоцентру, то мы получим из соотношений (7.307) для среднего по времени 3
от х значение у гап и тем самым для среднего по времени от момента силы значение — ^- еае[я, 8].
Теперь мы рассмотрим два частных случая: а) поле 8 перпендикулярно орбитальной плоскости, б) поле 8 лежит в орбитальной плоскости, составляя угол ф с главной осью.
Случай (а). Интересующее нас уравнение движения определяет производную по времени от момента импульса Mi
dM—;
—у = моменту силы = — е^х, 6], или
d-^ = leeaVn,4(7-309)
Вектор момента импульса /И перпендикулярен орбитальной плоскости, а вектор [л, 8] лежит в орбитальной плоскости и направлен вдоль малой оси. Таким образом, оказывается, что орбитальная плоскость поворачивается 808
вокругбольшойоси. Скорость вращенияопределяется
равенством
г = ^еы&}М.(7.310)
Случай(б). Уравнение движения теперь ужеимеет вид:
^ = -|-ееа^51пф,(7.311)
поскольку теперь Л1 и [л, 8] параллельны.
Выражение для 2 не зависит от времени по определению, и это можно записать так:
ув a cos тр = const.(7.312)
В предыдущем параграфе мы убедились, что величина «! не подвержена секулярным возмущениям. Это означает, что а — постоянная величина. Следовательно, равенство (7.312) дает нам связь между скоростью изменения е и ф, т. е. между скоростью изменения эксцентриситета и скоростью изменения ориентации орбиты. Из выражений (7.311), (7.312) и равенств (6.150), определяющих связь между Л1(=а2) и е (имея в виду, что о^— постоянная), мы получаем для производных по времени от е и ф:
7.313)7.313)37 = —^(^^^шф,
7.313)
7.313)
Орбита представляет собой розетку, лежащую в орбитальной плоскости.
К решению этой задачи можно подойти иначе. Для этого нужно вернуться к уравнениям движения (7.249). Используя (6.147) и (6.150), можно видеть, что г, а следовательно и Hlt определяются выражением
Si= - S ^ “ “^ ^ - a^V'sin Р” <7’314)
Мы видим, что «! и а3 не меняются. Если подставить это выражение для Нг в усредненные по времени выражения (7.249), мы получим уравнения движения для секулярных изменений величин аа, 0Ь р2 и р,. Из этих уравнений можно получить уравнения движения для координат
203
х и у центра заряда. Эти координаты можно выразить через р2» Рз 11 i в виде:
х = — (cos р2cosp3— sin р2 sin p3cos z), 3(7.315)
t/= — g- tie (cos p2 sin p3 + sin p2 cos p3 cos z).
Вспоминая, что at и a постоянны, e = 1 — (ao/aj), □ dHt a dHt ■ dHx - 03=55? Рз = ^> a2 = -^,(7.316)
мы получим после несколько громоздких вычислений следующие уравнения движения для величин х, у:
.. /Зае^з .. (Зае!
x=-WP’ ^-Ыпу- (7'317)
Из уравнений (7.317) видно, что центр заряда совершает гармонические колебания с частотой го, определяемой равенством
где мы заменили а согласно (6.150) и (6.144).
Заканчивая эту главу, мы должны сказать о том, что здесь фактически рассмотрена лишь незначительная часть многочисленных аспектов теории возмущений. Так, например, вопрос о периодических возмущениях, играющий необычайно важную роль в небесной механике, оставлен нами вовсе без внимания.
ЗАДАЧИ
Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения.
Исследовать возмущение одномерного гармонического осциллятора членом четвертой степени q [см. (7.201)].
Глава 8
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
В этой главе мы расскажем о том, как можно поступать с уравнениями движения для непрерывных систем, в точно такой же манере, как мы поступали с системами, обсуждавшимися в предшествующих главах. Мы используем здесь для получения канонических уравнений движения, описывающих такие непрерывные системы, метод, состоящий во введении и использовании компонент Фурье от величин Q (х), описывающих систему. Далее описываются те видоизменения, которые необходимо ввести в формализм Лагранжа и Гамильтона, чтобы использовать его и для непрерывных систем. Во втором параграфе этой главы теория, развитая в первом параграфе, применяется к звуковым волнам и электромагнитному полю.
. Формализм Лагранжа и Гамильтона применительно к непрерывным величинам
В предыдущих главах формализм Лагранжа применялся к системам, состоящим из точечных частиц, и к твердым телам; формализм же Гамильтона использовался только для точечных частиц. В качестве одного из достоинств формализма Гамильтона было указано, что он открывает нам сравнительно простую возможность перехода к квантовой механике. Все системы, о которых шла речь до сих пор, описывались конечным числом переменных. Однако существует немало физических систем, которые должны описываться бесконечным числом переменных. Это обычно получается тогда, когда вместо переменных qk, где к=\, 2, ..., s, мы имеем одну (или более одной) совокупность переменных Q(x); эти переменные Q (х) являются функциями непрерывной переменной х, точно так же как величины qk следовало считать функциями дискретной переменной к. Такая ситуация возникает в двух существенно различающихся между собой случаях. Во-
первых, имеются сплошные среды, такие, например, как газы или жидкости. Во-вторых, имеются поля. Мы рассмотрим примеры как для одного, так и для другого случаев.
Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов, довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае результат обобщают затем на произвольные системы. Другой способ заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо Q(x) их фурье-коэффициенты в качестве обобщенных переменных.
Преимущества этого метода двоякие. Прежде всего, теперь мы имеем дело с функцией дискретной переменной к (по крайней мере до тех пор, пока можно считать систему заключенной в конечный, пусть даже сколь угодно большой, объем), вместо того, чтобы рассматривать функции непрерывного аргумента х. Во-вторых, теория в ее канонической форме более удобна для квантования, а сами фурьр-коэффициенты часто используются как операторы рождения и уничтожения. Наилучшим примером применения такого подхода может служить электромагнитное поле. Однако мы отложим обсуждение этого случая до следующего параграфа. Для электромагнитного поля возникают присущие только этому случаю трудности, связанные с наличием условия калибровки Лоренца, и поэтому в качестве основы для нашего подхода мы выберем продольные упругие волны в одномерной сплошной среде. На этом примере мы постараемся проиллюстрировать основные идеи метода.
Проблема, которая встала перед нами, может быть описана следующим образом. У нас есть совокупность уравнений движения (уравнения Максвелла в случае электромагнитного поля, волновое уравнение в случае звуковых волн и т. д.), описывающих интересующее нас явление вполне удовлетворительным образом. Мы пред- 206
Почли бы, однако, записать зти уравнения движения в канонической форме; другими словами, нам хотелось бы подобрать новую совокупность переменных и гамильтониан, который был бы функцией этих переменных, таких, что уравнения движения могли бы быть написаны в канонической форме (5.108). Найдя как нужные переменные, так и гамильтониан, мы сведем задачу к тому, как ввести канонический формализм, если исходные переменные были функциями непрерывно изменяющейся переменной.
Одномерные продольные упругие волны описываются волновым уравнением
pS-E^O, (8.101)
где через £(х, /) обозначено смещение среды в момент времени t в точке х, через р обозначена плотность среды, а через Е — модуль Юнга той же среды. Предполагается, что среда имеет конечную протяженность L. Мы можем потребовать, чтобы £ (или же д^/дх) обращалась в нуль на границах, и тогда £ (х, t^ можно разложить в ряд Фурье:
§(х, 0 = 5^(0 sin Ах, (8.102) к
где А принимает значения пя/L (п = 0, 1, 2, ...). Более удобно, однако, воспользоваться периодическими граничными условиями, наложенными на £:
Ux + U t) = ^x, П, (8.103) чем накладывать условие обращения в нуль g (или dg/dx) на концах стержня. Следует подчеркнуть здесь, что очень мало можно сказать в оправдание предположения (8.103); оно используется в силу своего удобства, и, кроме того, обычно реальные граничные условия не оказывают влияния на решение задачи, так что их можно выбирать, сообразуясь с удобством, в частности, согласно (8.103). Надо добавить еще, что оказывается очень удобным пользоваться вместо разложения (8.102) рядом Фурье в комплексной форме:
^(х, 0 = (8.104)
где волновые числа А могут уже принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если мы пользуемся разложением (8.104), то"£А уже комплексны, тогда как gi, входившие в (8.102), были действительными чис-
207
Лами. Следствием этого будет то, что в гамильтониане (8.112) и лагранжиане (8.110) вместо квадратов величия 5*, появятся произведения вида ^_*.
Мы обращаем внимание на то, что, поскольку £ (х, $ — величина действительная, величины £6 и £_6 не является двумя независимыми комплексными переменными (т. е. соответствующими четырем независимым переменным), ибо они должны удовлетворять равенству
6» = ^;(8.105)
таким образом, мы имеем столько независимых переменных, сколько значений принимает к. Величины £6 могут быть получены из ^(х) обычным образом:
6» = L-i/2^(x)^ dx.(8.106)
(8.107) извест(8.108)Фурье, (8.109)(8.107) извест(8.108)Фурье, (8.109)Если нам нужно перейти к континууму значений к, мы устремляем L к бесконечности и рассматриваем следующие пределы: которые в конце концов приводят нас к хорошо ным выражениям для интеграла Фурье:
(8.107) извест
(8.108)
Фурье, (8.109)
(8.107) извест
(8.108)
Фурье, (8.109)
g(x, t) = (2л)->/2(к, ^^dk,
£ (к, 0 = (2л)-'/2 $ £ (х, /) dx.
Переходя в уравнении (8.101) к компонентам мы получим:
pfft + ^^ = O,
что и является уравнениями движения нашей системы — системы с бесконечным числом степеней свободы.
Эти уравнения могут быть получены из следующего лагранжиана:
l &к, и=| р 2 tu - у £ 2 ^^- (8-110)
С помощью уравнений движения Лагранжа (2.308), используя лагранжиан (8.110) и считая обобщенными координатами |6, мы действительно приходим к уравнениям движения (8.109). Любопытно заметить, что уравнения движения, в которые входят £*, получаются из уравнений Лагранжа, написанных для £_А.
208
Из лагранжиана (8.110) обычным путем можно найти- и гамильтониан. Прежде всего мы вводим импульс л^, сопряженный с £*, равенством [см. (2.310)]:
n» = ^ = pU(8.111)
где мы учли то обстоятельство, что в сумму по к входят члеры как с положительными, так и отрицательными к, и поэтому член ^-к встречается дважды. Из (5.104')- можно найти теперь и гамильтониан:
Н^к, лА) = Ул4А-Л=1УлАл_А + 1£У^_А;
кРТк (8.112)'
канонические уравнения движения (5.108) снова дают нам (8.109).
Мы знаем, что уравнения движения могут быть получены также и из вариационного принципа Гамильтона. Для рассматриваемого случая это означает, что уравнения (8.109) могут быть получены из вариационного принципа:'
b\Ldt = O,(8.113)
где L определено согласно (8.110).
Теперь нам следует выяснить, как изменяются полученные нами формулы при переходе от £6 к ^(х). Наша процедура должна быть такой, чтобы уравнения движения в конце концов сводились бы к (8.101). Нужный переход может быть проведен с помощью равенств (8.107) и (8.108), если считать, что протяженность системы L стремится к бесконечности.
Мы начнем с того, что займемся гамильтонианом и лагранжианом, причем обе суммы, входящие в них, мы рассмотрим раздельно. Используя определения (8.111), мы обнаруживаем, что первая сумма в обоих случаях имеет вид:
^Р^и-к-^Ши-КИк- к
= 1 р (2л) -1/2 J dx £ (х) J dk ^ I (- k) =
= 1 p ^ dx | (x) g (x) = ^(x) dx, (8.114)
гдегде
где
где
<T(x) = lpt(x)i(x)(8.115/
представляет собой плотность кинетической энергии, т. е. кинетическую энергию единицы объема.
Теперь мы вернемся ко второй сумме, для которой найдем:
4 £ 2= У Е W 6 (~ А) ^ =
- 1 £ (2л)-1/2 dx dk £ (х) AV'^ ^ (— А) =
= 1 £ (2л)-'/2 $ $ dx dk Ш^_ ^ ^ ц_^ =
- | Е (2л)-'/2 $ dx [- ^ (х)] $ dk (Г!-“ I (-k) =ф^[-^фх) =
= ^Е (^dx^p^dx, (8.116) где
^=РЕ^5(8J17)
представляет собой плотность потенциальной энергии. Это следует из обычного определения плотности упругой (потенциальной) энергии, равной половине модуля упругости (у нас он обозначен через £), умноженной на квадрат соответствующей компоненты напряжения (в нашем случае эта компонента представляет собой удлинение, отнесенное к единице длины, т. е. дудху
Преобразование от ^-представления к х-представлению в уравнениях движения (2.308) или (5.108) осуществить не так-то просто. Простейший путь состоит в том, чтобы вспомнить, что эти уравнения следуют самым непосредственным образом из (8.113). Если это верно тогда, когда в качестве переменных выбраны £*, то это остается верным и тогда, когда вместо ^ вводим £ (х). В лагранжиане L, записанном уже через § (х, /), мы обнаружим уже не только £ (х, /) и |(х, /), но также и д^дх [см. (8.117)], и вариация L будет содержать вариации £, £ и д^дх, причем две последние вариации не будут независимыми от первой [ср. получение уравнений (2.308)]. Вводя 219
плотность лагранжиана X согласно равенству
Х^^-У,(8.118)
вариационный принцип (8.113) можно переписать в виде:
б 55 X dx dt - 0.б 55 X dx dt - 0.(8.119)(8.119)
б 55 X dx dt - 0.
б 55 X dx dt - 0.
(8.119)
(8.119)
Отметим, что в (8.119) пространственная и временная координаты входят на равных правах. Можно ожидать поэтому, что вариационный принцип, представленный в форме (8.119), будет особенно удобен для использования в релятивистском случае. Так оно на самом деле и есть.
Плотность лагранжиана X будет функцией g, g и д^дх, и из (8.119) мы получим, учитывая, что б| и 6^ не являются независимыми вариациями:
б ^ X dx dt = ^ бX dx dt =
С С (dX ^ у дХ Kv ,ЭХ $^\ J ,,
Ш
дХ д дХ д 8Ж ...
< dt af dxd№dx)\^>dxdt +
55 д №/дх) б£ dt’
где мы учли, что 6g обращается в нуль на границах как временного, так и пространственного интервалов. Таким образом, мы получаем уравнения движения:
(8.121)(8.121)д дXdX , d дХ
(8.121)
(8.121)
dt аХдхд(дудх) =
Нетрудно обнаружить, что для плотности гамильтониана X, определяемой согласно (8.115), (8.117) и (8.118),
(8.122)(8.122)
(8.122)
(8.122)
б/б/ва1_ дdg Ьхд^дхУва1_ дdg Ьхд^дхУ
б/
б/
ва1_ д
dg Ьхд^дхУ
ва1_ д
dg Ьхд^дхУ
уравнения (8.121) сводятся к волновому уравнению (8.101). Если ввести функциональные производные 6/6g от функции,
(8.123)
то можно записать (8.121) в виде:
о./о 194л
эти выражения формально тождественны с уравнениями движения Лагранжа (2.308). Следует подчеркнуть, однако, что в (8.124) входит плотность лагранжиана X, а в (2.308) входит полный лагранжиан L.
Можно ввести плотность канонического импульса л, определив ее соотношением:
л = ^,(8.125)
а также плотность гамильтониана, определив ее соотношением [ср. (5.104')]:
уе = ^-Х.(8.126)
Из вариационного принципа (8.119) можно теперь найти:
\\6Ui-^dxdt = 0,(8.127)
а вспоминая, что УС есть функция л, £ и д^[дх, мы получим способом, аналогичным тому, который был использован при выводе (8.121):
$$№~^)6n4" + <M^ = 0- (8J28)
Из (8.128) сразу же получается:
где мы заменили д^/дл функциональной производной bscjbn, чтобы получить симметричные выражения. Отметим, что уравнения (8.129) отличаются от канонических уравнений (5.108), полученных нами ранее, в трех отношениях: вместо обычных частных производных появились функциональные производные, вместо полного гамильтониана фигурирует плотность гамильтониана и, наконец, импульс сменился на плотность импульса.
Если этот канонический формализм использовать в случае одномерных упругих волн, мы найдем из (8.125):
л = р£,(8.130)
а сравнивая полученное выражение с (8.111) и вспоминая 212
(8.106), мы обнаруживаем, что величины лА —это фурье- компоненты плотности импульса л, соответствующие волновому числу — к. Из определения (8.126) для плотности гамильтониана получается выражение:
= щ + 4 Е 7 = ^ + %,(8.131)
2р 1 2\дх]’
которое можно получить также из (8.112), используя равенства (8.130), (8.115) и (8.117). Мы замечаем, что в этом случае плотность гамильтониана совпадает с плотностью полной энергии .
Из первого уравнения (8.129) получаем:
£ = л/р,(8.132)
что совпадает с (8.130); второе уравнение (8.129) дает:
Л = £§.(8.133)
Волновое уравнение (8.101) сразу же получится, если рассмотреть совместно (8.132) и (8.133).
Обобщение теории, развитой здесь, на случай нескольких переменных и на трехмерные системы производится совершенно непосредственно. Например, для звуковых воли в трехмерной среде компоненты g, т), £ вектора смещения g (х) будут функциями х, у, г; лагранжиан будет функцией £, т], £, |, т], t, д^/дх, $уду, dt/dz, dv\/dx, ch^dy, df]/dz, д^дх, dt,]dy и d^dz. Для каждой из трех компонент мы будем иметь уравнение Лагранжа вида (8.124), а функциональные производные будут уже определяться так:
6ф = д/ _ д__д$_ф д[ф_дф „ .„..
6) — Д дх д^ ду д^
дх ду dz
В следующем параграфе мы используем как формализм функциональных производных, так и формализм, опирающийся на компоненты Фурье.
§ 8.2. Звуковые волны; уравнения Максвелла
Физическая система может быть определена уравнениями движения, которым она должна удовлетворять, или же —на равных правах —ее лагранжианом. Первый случай как раз и имел место для тех систем, которые рассматривались в этой книге. Второй случай! часто ветре-
213
чается в различных полевых теориях. В этом параграфе мы убедимся, что выбор определенного лагранжиана (или, точнее, плотности лагранжиана) приводит к определенным уравнениям движения для рассматриваемой системы, но мы не станем поступать здесь так, как поступали в предшествующих главах и даже предшествующем параграфе,—мы не станем получать лагранжиан из уравнений движения. Мы займемся сначала звуковыми волнами, а затем и уравнениями Максвелла, исходя из подходящей плотности лагранжиана. После этого проанализируем уравнения Максвелла методом компонент Фурье.
Докажем, что волновое уравнение для звуковых волн
р —s2Vap = 0(8.201)
может быть получено, если считать плотность лагранжиана равной
-5?= 2 (t • t) — 4 5® <V • 6)*-(8.202)
В этих выражениях через р обозначена плотность рассматриваемой системы, постоянное (равновесное) значение которой равно р0, через s —скорость звука, а через g — вектор смещения с компонентами £, т], £. Плотность р и смещение § связаны между собой уравнением непрерывности:
P + Po(v Л) = г или Д-^=-(7.§). (8.203) Ро
Из лагранжиана (8.202) мы найдем:
8j?:8j?• дХ 1
- дт)
дЖ _ дХ = ах = 0.,Я9П4.
(8.204)
ЭХдуЭХдудХ а > дхдЖ д-З.дхдХ а > дхдЖ д-З.дх
ЭХ
ду
ЭХ
ду
дХ а > дх
дЖ д-З.
дх
дХ а > дх
дЖ д-З.
дх
Из этих уравнений вытекает, что
еь -s V ы Sl] ес ,еь -s V ы Sl] ес ,(8.205)(8.205)
еь -s V ы Sl] ес ,
еь -s V ы Sl] ес ,
(8.205)
(8.205)
и на (8.124) мы получаем уравнение
(8.206)(8.206)I _ $*v (V. 5) = о,
(8.206)
(8.206)
которое превращается в (8.201), если взять дивергенцию обеих частей этого уравнения и учесть (8.203). Из (8.204) и (8.125) найдется вектор плотности импульса:
«-t(8.207)
а из (8.126) —и гамильтониан системы:
^ = |я.я + _^2(7.^.(8.208)
Уравнения (8.129) снова приводят нас к (8.206).
И наконец, в заключение этого параграфа мы обратимся к электромагнитному полю. Магнитная индукция В, напряженность магнитного поля Н, вектор электрической индукции D и напряженность электрического поля Е удовлетворяют в вакууме уравнениям
В = щН, D = e0E,(8.209)
а также уравнениям Максвелла:
(V-P)-p;(II) ^-Щ-О;
[V,=(IV) [V,
где через ри/ обозначены плотности заряда и тока, через е0 и р0 — электрическая и магнитная проницаемости вакуума. Снова вводим векторный потенциал А и скалярный ф, определяя их связь с полями уравнениями [см. (2.506)]:
B=[V, Л], Е = —7ф--^-;(8.211)
будем рассматривать ф и Л как Q (л:) системы. Плотность лагранжиана электромагнитного поля задается в виде
^-|е0(Е«-с*В«)-рф + (/Л),(8.212)
где с — скорость света в вакууме. Из (8.212) находим:
«—р, «_0д<р г’ оф«—р, «_0д<р г’ оф
«—р, «_0
д<р г’ оф
«—р, «_0
д<р г’ оф
причем отсюда (8.210, I) следует в качестве уравнения движения Лагранжа. Мы получим также:
дХдХ _ и ОХ и (8.214)
ТМдГ Л йдАх ~Пг’ ,0Av -
дхоуог
где использованы формулы (8.211) и равенство е0ц0 = с*2. Из (8.214) и (8.124) вытекает уравнение Максвелла (8.210,1V). Что касается уравнений (8.210,11 и III), то они удовлетворяются уже самим выбором потенциалов, определяемым формулами (8.211).
Так как X не содержит ф, то мы не в состоянии ввести плотность импульса, соответствующую <р; поэтому невозможно, не вводя дальнейших модификаций, найти плотность гамильтониана такую, чтобы уравнения Максвелла (8.210) следовали бы из уравнений (8.129). Однако мы увидим, что уравнения Максвелла могут быть записаны в канонической форме, если воспользоваться компонентами Фурье переменных поля.
Мы начнем с того, что введем комплексную переменную F, определив ее следующим образом:
F = E-HB.(8.215)
Тогда уравнения (8.210) можно переписать в виде:
(V-F) = -P-; (II) [V, Е]-^ = 1У^j.
(8.216)
Теперь мы воспользуемся разложением Фурье и одновременно разложим каждый член на три компоненты — одну, параллельную волновому вектору к, и две другие, нормальные вектору к;
F = Q-1/2 5(а^.11 + ^^’ + скёП- (8.217)
к
Здесь через е^ обозначены единичные векторы, образующие правую тройку (предполагается, что координатная система х, у, z правая); вектор е* параллелен к, так что W, ё^=ё£\ №, е*? ] = ё^, [в»3’, ^1=^',
1к, ёЛ=кёйг; [к, ёй'А^ — W, \к, ё^ = 0, (8.218) (к-еГ) = (к-её^0, (кёП = к,
где \к\ = к; наконец, Q —это конечный объем, на границах которого по предположению выполняются периодические граничные условия. Следует заметить, что разложение с использованием ёк , ёк, ёк различно для различных к, т. е. для различных членов, входящих в сумму по волновым векторам.
Записывая аналогичное разложение для р и /,
p = Q-i/2(8.219)
к
j= Q-1/2 2 е^ • ^ е? + /^’ + Цё^ ), (8.220) к
мы получим из уравнений (8.216) следующие связи:
(8.221)(8.221)ikCfc = Рк^д,
(8.221)
(8.221)
(I) — ikbk — iakc 1 = iRtijk,
(II)
(III)
ikak — ibkC 1 = iRojk',(8.222)
— iCkC”1 = iRu№,
где
7?o = (Po/eo)1/2(8.223)
представляет собой характеристический импеданс вакуума.
Из уравнения непрерывности
(V-j)+f =0(8.224)
мы найдем, что
ikiil = — Рк,(8.225)
откуда ясно, что (8.222, III) следует непосредственно из (8.221).
Ниже мы будем предполагать, что никаких зарядов и токов нет, так что р* = fk’ = fk = fk =0, и поэтому, также из (8.221),
с* = 0.(8.226)
Электромагнитное поле в этом случае представляет собой поперечное поле (поле излучения) и описывается (комплексными) переменными ак и Ьк. Поскольку эти переменные комплексные, мы можем взять за независимые переменные либо их действительные и мнимые части,
217
либо принять за независимые переменные а», bk, al, bl. Ситуация здесь отличается от той, какую мы имели в начале предыдущего параграфа и которая привела нас к (8.105), потому что F — величина комплексная, тогда как £ была действительной. Уравнения движения, определяющие изменение этих переменных, будут теперь [ср. (8.222,1 и II)]!
а» = — ckbh, at - — ckbt,^
Ьа = скац,bl = ckat.
В качестве независимых переменных мы выберем здесь действительную и мнимую части а* и Ьк и запишем:
а» = е-1/2(рд + ^А), Ьк — ксе^'^^к + ^к), (8.228)
так что уравнения (8.227) примут вид:
рк - — (ску qk, Рк = Рк, Рк = — (ску qk, qk=Pn. (8.229)
Эти уравнения можно получить из канонических уравнений движения (5.108), если в качестве гамильтониана выбрать
tf^lpHWdWW (8>23°)
и если величины pfe, qh и рк, Рк рассматривать как пары канонически сопряженных переменных.
Если выразить Н через а», bfe, al, bl, мы получим:
H^V^kdl-ybkbt),(8.231)
к
и если мы выберем в качестве канонических импульсов у^а» и ^кО.к, а в качестве их сопряженных координат ЧьЬ1 и ^Ьк, где Уа = 80/2сЛ, уравнения (8.227) будут следовать из (5.108).
Из (8.230) ясно, что задача о поле электромагнитного излучения может быть сведена к задаче о совокупности гармонических осцилляторов. Мы отметим также, что выражение для Н (8.230) может быть переписано с помощью (8.228), (8.226), (8.217) и (8.215) в виде:
Н - 1 е0 J (Е* + с2 В1) d'x;(8.232)
вто — хорошо известное выражение для энергии электромагнитного поля.
Случай, когда р и J отличны от нуля, может быть рассмотрен аналогичным образом, но мы предоставим его разбор читателю. Существуют, однако, некоторые тонкости, обсуждение которых можно найти в соответствующей литературе *).
ЗАДАЧИ
Исследовать продольные упругие колебания бесконечно длинного упругого стержня, аппроксимируя ату систему дискретной системой точек равной массы, связанных между собой одинаковыми пружинками пренебрежимо малой массы. Предполагается, что силы — чисто гармонического характера (т. е. соответствуют закону Гука) и что массы отстоят друг от друга на равных расстояниях. Рассмотреть предельный случай, когда расстояния между точечными массами стремятся к нулю, и получить этим способом волновое уравнение (8.101).
Показать, что в предельном случае очень длинных волн распространение продольных волн вдоль бесконечной линии эквидистантно расположенных атомов, упруго взаимодействующих только с ближайшими соседями, с чередующимися массами т и М, соответствует распространению продольных волн вдоль эквивалентной однородной линии.
Струна длиною 2L растянута до натяжения Т между двумя фиксированными точками х = — L и х = L. Плотность струны в точке
х определяется формулой ———.—^. Найти уравнение, которому должна удовлетворять частота малых поперечных колебаний.
Однородная струна растянута до натяжения Т между точками х — 0 и x — Z. Небольшая переменная поперечная сила величиной F (х, f), отнесенная к единице длины, приложена в момент t в точке х. Найти поперечное смещение в зависимости от х и t.
Участку струны Л — 6<х<А-|-6 молотком сообщается поперечная скорость V, тогда как остальная часть струны в начальный момент времени остается в покое. Найти смещения точек струны в последующие моменты времени и рассмотреть специально случай, когда отношение Л/Z является целочисленным.
Одни из концов однородной гибкой цепи длиной Z прикреплен к вертикальному стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью О. Если пренебречь влиянием силы тяжести, то можно считать, что цепь описывает круг в горизонтальной плоскости. Используя вариационный принцип Гамильтона, получить волновое уравнение для малых поперечных колебаний; найти частоту основной (фундаментальной) моды колебаний.
•) См., например, Я. A. Kramers, Quantum Mechanics, North Holland Publishing Company, 1957, гл. 8.
ДВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОПОЛНЕНИЯ
Теорема Эйлера (к. главам 2, 5).
Функция Нхь хг, ..., хп) называется однородной порядка s, если она удовлетворяет условию: для любого X справедливо тождество
f(^i, Хх2Xxn) = Xsf(xb хг, ..., хпу
Дифференцируя левую и правую части этого тождества по X, получим:
Т^Хх +T(Uj X1 д (L„) ^^'^ ‘^- ...,х„).
Полагая в этом равенстве X = 1, мы приходим к теореме Эйлера:df , df ,. df.
dx1Z1+ dx2A2 + ”'+ dxn Xn-s"^x^ x^ x^’
t. e. сумма всех произведений первых производных однородной функции порядка s на соответствующие переменные равна самой функции, умноженной на порядок однородности.
Теорема о решениях системы однородных уравнений (к гл. 3, § 1).
Пусть задана система п однородных уравнений с п неизвестными:
°11Х1 + а1»х2 + • • • + а1пХП = 0, '
агЛ + °22-Y2 +---Н а2пхп — 0, .(*)
anlxl + ап2х2 + • • • + аш1Хп =0. '
Если определитель этой системы
° Иа12•••а1п
е^е^°21°22•••а2п
е^
е^
Ощ°п2•••°пп
отличен от нуля, система имеет единственное решение — нулевое, т. е. ^ = О, х2 = О, ..., хп = 0.
Если же определитель системы D равен нулю, то система имеет бесчисленное множество ненулевых решений, т. е. решений, отлич пых от нулевого.
Напомним, что если собрать все члены определителя, содержащие определенный элемент а^, и вынести этот элемент за скобки,
то в скобках окажется выражение, называемое адъюнктой элемента aik. Адъюнкта элемента aik обозначается через Aik.
Если из определителя D вычеркнуть Лю строку и +й столбец, т. е. вычеркнуть строку и столбец, в которые входит элемент а-1к, то, сохранив расположение оставшихся строк и столбцов, мы получим определитель (п—1)-го порядка, называемый минором определителя D. Этот минор соответствует вычеркиванию элемента aik, и поэтому минор обозначается через М1к. Приведем схему образования минора:
“ii
а21
012
а22
• а1, к-1
• а2, к-1
«1к
а1к
°Ь к+1•
°2. к+1•
■ °1л
• агп
<4-1, 1
°1-1,2 •
• • aZ-l, к-1
<4-1, к
<4-1, к+1 •
•• °/-1, л
<41
а,-2.
• <4, к-1
<4, к
4, к+1
■ • aL п
ai+i.i
0/+1, 2 •
•• <4+1, к-1
ai+l. к
<4+1, к+1 •
-• й/+1» п
ап1
ал2 .
апк
ап. к+1•
- - апп
Можно показать, что
Aik = ( - l)i+liMih.
Ль Л^Хп ХпЛь Л^Хп ХпЕсли 0=0, а хотя бы одна из адъюнкт отлична от пуля, то из системы (*) можно найти единственное решение для отношений
Ль Л^
Хп Хп
Ль Л^
Хп Хп
Пусть существует решение однородной системы (0 = 0) в виде значений
Xi = СС^, Х2 — СС2, . .. , Хп — CLn, удовлетворяющих системе (*); тогда все остальные решения найдутся из условий
АХцАХц«1^2 = «2алхп ^п«1^2 = «2алхп ^пХл~1 +г-1X п апХл~1 +г-1X п ап
А
Хц
А
Хц
«1^2 = «2
алхп ^п
«1^2 = «2
алхп ^п
Хл~1 +г-1
X п ап
Хл~1 +г-1
X п ап
которые можно переписать так:
М : х2 : ...: хп = ах: аг :... : ал.
Отсюда видно, что решения определены с точностью до одной постоянной, скажем ал; чтобы получить все решения системы (*), достаточно знать лишь одно из решений.
Можно доказать, что в качестве решения можно выбрать адъюнкты какой-либо строки определителя (**). Следовательно, одно из решений системы (*) будет
М = Ал1, ^2 = Ал2, ..., хп = Алл (AnnV=0), а все остальные найдутся из равенств
%1: х2 • - ■ ■ • хп = А,ц : Ал2 : ... : Алл.
Ясно, что одному из неизвестных может быть приписано произвольное значение.
ЛИТЕРАТУРА *)
Мы приводим небольшой список литературы для дальнейшего чтения. Книги 3, 7, 9, 10 и 13 представляют собой современные учебники, посвященные классической механике, написанные примерно на том же уровне, что и предлагаемая книга. В книге 7 имеется наиболее полная библиография, частично снабженная аннотациями. Книги 15 н 17 также являются учебниками; несмотря на свой солидный возраст, онн до сих пор не утратили своего значения. Читатели, желающие найти задачи по теоретической механике, обнаружат их в книгах 3, 7, 9, 13 и 17. Следует заметить, однако, что эти задачи очень существенно отличаются по своей трудности. Книги 4, 5 и 8 посвящены основным идеям и историческому развитию классической механики, а книги 11 и 16 —применениям классической механики в области небесной механики. Ссылки на книги 2 и 6 даны здесь в связи с тем, что они касаются адиабатических инвариантов, а найти где-либо изложение этих вопросов затруднительно. Что касается книг 1 и 12, то они представляют интерес для классической механики лишь постольку, поскольку позволяют объяснить свойства атомных систем.
Макс Борн, Лекции по атомной механике, т. 1, Гостехиздат Украины, Харьков, 1934.
J. М. Burgers, Het Atoommodel van Rutherford-Bohr, Loosjes, Haarlem, 1918; Versl. Kon. Akad. Wet., Amsterdam, 26, 849, 918, 1055 (1916/7); Anh. Phys. (Lpz.) Б2, 195 (1917).
H. C. Gorben, P. Stehle, Classical Mechanics, New York, 1950. 4. J. L. Destouches, Principes de la Mecanique Classlque, Paris, 1948. 5. R. Dugas, Histoire de la M6canlque, Neuchatel, 1950.
П. Эренфест, Избранные труды, «Наука», М., 1972.
Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, М., 1957. 8. Handbuch der Physik, Volume V, Grundlagen der Mechanlk, Me- chanik der Punkte und Starrer Korper (Springer, Berlin, 1927).
Л. Д- Ландау, E. M. Лифшиц, Механика, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, изд. 8-е, 1973.
♦) При переводе сохранен полный список (семнадцать книг), приведенный в оригинале; большинство этих книг имеется на русском языке. Литература с книги 18 вместе с краткими аннотациями добавлена в русский перевод по согласованию с автором.
Обратим внимание читателей на то, что на русском языке имеется много курсов теоретической механики, не предполагающих подготовку к изучению теоретической физики, но представляющих самостоятельный Интерес. Часть нз них можно найти в библиографиях к книгам 20, 21. — Прим. мрее.
Дж. Лич, Классическая механика, ИЛ, 1961.
Анри Пуанкаре, Избранные труды, т. I, Новые методы небесной механики, «Наука», М., 1971.
А. Зоммерфельд, Строение атома и спектры, тт. I и II, Гостех- издат, М., 1956.
А. Зоммерфельд, Механика, ИЛ, 1947.
R. С. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, Oxford University Press, 1938.
А. Г. Вебстер, Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел, ГТТИ, 1933.
A. Wintrier, The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton University Press, 1941.
E. T. Уиттекер, Аналитическая динамика, ОНТИ, 1937.
Ф. Р. Гантмахер, Лекции по аналитической механике, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1966.
Лекции готовят читателя к изучению теоретической физики; автор предпочитает ббльшую математическую строгость по сравнению с тем, как в тех же самых случаях поступают физики.
К- Ланцош, Вариационные принципы механики, «Мир», 1965.
Эта книга написана с большим педагогическим тактом. Главные акценты сделаны на развитии идей и понятий, причем автор все время старается быть доступным для читателя, его книга «выполнена в скромном стиле и предназначена для обычных читателей, а не суперменов» (из предисловия автора).
Дж. Синг, Классическая динамика, Физматгиз, 1963.
Книга написана математиком, много занимающимся теоретической Физикой; это перевод статьи из Handuch der Physik (Springer-Verlag, 1960). Рассмотрено много вопросов, имеющих специальный интерес для физиков.
И. И. Ольховский, Курс теоретической механики для физиков, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1970.
А. Парс, Аналитическая динамика, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971.
Две последние книги необходимо иметь в виду, если есть необходимость углубиться в детали и нетрадиционные вопросы. Существенно превышают по объему материал «тридцати лекций», обычно отводимых в учебных заведениях на курс механики.
Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, Сборник задач по классической механике, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1969.
В этом задачнике собрано большое количество задач, по своей тематике соответствующих содержанию книг 7 и 9 из этого списка, а также содержанию данной книги.
Д. тер Хаар
основы
ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ
М., 1974 г., стр. с илл.
Редактор В. А. Григорова. Техн, редактор С. Я. Шкляр. Корректор Н. Б. Румянцева.
Сдано в набор 22/1 1974 г. Подписано к печати 10/VI 1974 г. Бумага 84X108732, тип. № 1. Физ. печ. л. 7. Условн. печ. л. 11,76. Уч.-изд. л. 11,35. Тираж 15 000 экз. Цена книги 54 кон. Заказ № 1230.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц, изготовленных Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографией № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзнолиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197138, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26, 4-й типографией издательства «Наука». Новосибирск, 77, Станиславского, 25. Тип. зак. № 187,
*) Г, Голдстайн, Классическая механика, Гостехиздат, 1957.
Д. тер Хаар
ОСНОВЫ
ГАМИЛЬТОНОВОЙ
МЕХАНИКИ
Передо? с английского
В Д. УГАРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВЫ,ХЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
И о с к и а 19 7 4
530.1 Г 35
УДК 530.1
International Series of Monographs in Natural Philosophy, Volume 34
ELEMENTS OF HAMILTONIAN MECHANICS
Second Edition
D. ter Haar
University Reader in Theoretical Physics, Oxford
Pergamon Press
Основы гамильтоновой механики. Д. тер X а а р. Перевод с английского. Издательство «Паука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1974 г.
Кинга представляет собой учебник теоретической механики для студентов-физиков п содержит минимум сведений из механики, который необходим лля дальнейшего изучения теоретической физики. В основу книги положен курс лекций, который читался автором (известным физиком-теоретиком) в Оксфордском университете.
За границей книга выходила трижды (практически в неизменном виде) — в 1961, 1964 и 1971 гг.
© Перевод па русский язык. Издательство «Наука», 19/4.
203G2—078 ■ 9 / - / 4
053(02)-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика5
Предисловие автора к русскому изданию8