Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЕЙИ ЕГО УСТОЙЧИВОСТЬ
Простая теория и доступные опыты
Москва
2002
УДК 531УДК 531Интернет-магазинИнтернет-магазинhttp://shop.rcd.ruhttp://shop.rcd.ruфизикаматематикабиологиятехникафизикаматематикабиологиятехника
УДК 531
УДК 531
Интернет-магазин
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
http://shop.rcd.ru
физика
математика
биология
техника
физика
математика
биология
техника
Рецензенты:
Г. 3. Гершуни,Г. 3. Гершуни,д.ф.-м.н., профессор
Г. 3. Гершуни,
Г. 3. Гершуни,
к.ф.-м.н., доцент А. А. Черепанов (ПТУ),
к.ф.-м.н., профессор В. В. Васькин, к.ф.-м.н., доцент В. П. Бовин (УдГУ).
Автор благодарен администрациям Глазовского государственного педагогического института, Глазовского филиала университета Российской Академии образования, Глазовского физико-математического лицея за поддержку проекта издания книги.
Саранин В. А.
Равновесие жидкостей и его устойчивость. Простая теория и доступные опыты. — Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 144 стр.
В книге рассмотрены известные классические и некоторые новые задачи на равновесие жидких масс под действием капиллярных сил, а также сил гравитационного, электрического и магнитного полей. Почти все случаи равновесия жидкостей исследуются на устойчивость. Приведены описания простых опытов, иллюстрирующих явления равновесия и устойчивости (неустойчивости) жидких масс. Сформулирован ряд заданий для самостоятельной проработки.
Книга написана на уровне, доступном для чтения старшими школьниками и студентами младших курсов. Она может быть также полезной всем, кто интересуется гидродинамикой и ее различными приложениями.
ISBN 5-93972-137-0
© Институт компьютерных исследований, 2002
© В. А. Саранин, 2002
http://rcd.ru
Содержание
Предисловие 5
Введение 7
Часть 1. Равновесие и устойчивость равновесия простых жидкостей и жидких пленок 9
. Механическое равновесие и его устойчивость 9
1.2. Межмолекулярные силы. Смачивание. Поверхностное натяжение. Капиллярные силы 15
. Равновесие мыльной пленки и его устойчивость 21
Цепная линия 21
Поверхность мыльной пленки 24
Устойчивость равновесия катеноида 27
1.4. Равновесие жидкого цилиндра и его устойчивость 29
Упрощенный анализ устойчивости 29
Разбиение цилиндра на капли 31
. Мениск у плоской пластины. Капиллярное поднятие. Капилляры 35
Высота мениска 35
Линия сечения мениска 36
Численное построение кривой сечения мениска . . . . 39
Что такое капилляр? 40
. Опыты с трубками и водой 41
. Неустойчивость Релея-Тейлора 43
Энергетический подход 43
Гравитационно-капиллярные волны и неустойчивость 46
. U-образная трубка 49
Равновесие и колебания 49
Устойчивость 51
. Явление Лейденфро ста 53
1.10. О формах капли 58
1.11. Испарение. Пузырьковое кипение 62
1.12. Пленочное кипение, неустойчивость Релея - Тейлора и явление Лейденфро ста 66
. О равновесии капель и пузырей 71
Периодическая структура свисающих капель 71
Одиноко висящая капля 73
1.14.Неустойчивость Бенара 77
1.15.Неустойчивость Марангони 80
.О конвекции 83
1.17.Стабилизация равновесия 84
Часть 2. Равновесие жидкостей и его устойчивость в электрическом и магнитном полях 89
. Равновесие и устойчивость электрически заряженной капли 89
. Приложение теории электрического деления капель 93
. Шаровая молния. Деление заряженного пузыря и высоковольтный пробой в жидкости 96
.Неустойчивость Тонкса-Френкеля101
2.5. Явление Лейденфроста в электрическом поле или взлетающая капля110
2.6.Магнитные жидкости. Равновесиеплоскойповерхности
магнитной жидкости в магнитном поле112
.Равновесие цилиндрического столбамагнитной жидкости
и его устойчивость116
Заключение119
Приложение122
Литература141
Предисловие
Задачи о механическом равновесии жидкости возникают в различных областях науки и техники. Обычно они не просты и для решения требуют привлечения высшей математики и некоторых специальных методов. Еще более сложными, а потому и более интересными, являются задачи об устойчивости равновесия. Часто задачи о равновесии жидкостей и его устойчивости возникают или рассматриваются на стыке наук, и тогда неспециалисту в области физики трудно сориентироваться и понять проблему. Так, некоторые задачи, рассмотренные в книге, имеют прямое отношение к синергетике и теории катастроф, к космической технологии и метеорологии. Все это приводит к необходимости достаточно целостного и доступного изложения соответствующего материала, тем более что имеющиеся научно-популярные публикации по теме книги немногочисленны и к тому же разрознены.
В физике жидкостей много нерешенных проблем. Однако среди исследователей эта область науки не столь популярна, как, например, физика твердого тела. Правда, в последнее время интерес к гидродинамике, в частности и к капиллярным явлениям, которым посвящена большая часть настоящей книги, значительно возрос в связи с их существенным проявлением в процессе космической технологии. С целью привлечения внимания начинающих и будущих исследователей к физике жидкостей в книге рассмотрены некоторые задачи, у которых нет классических вариантов теории. Знакомство с ними может послужить стимулом к дальнейшему исследованию.
По мере изложения материала в книге формулируются небольшие теоретические или экспериментальные проблемы, которые читателю предлагается решить самостоятельно. Эти места выделены специальным значком на полях. В приложении приведены решения этих проблем либо даны указания, как их решать. По значимости приложение не уступает основным частям книги, и его следует читать независимо от того, будете Вы выполнять задание самостоятельно или нет.
Ряд опытов и большинство простых теорий, рассмотренных в книге, являются личной разработкой автора и ранее не публиковались. Все опыты могут быть воспроизведены в школьной лаборатории, а для усвоения теории достаточно уровня средней школы.
Список литературы не следует рассматривать как библиографический обзор, это лишь вехи, призванные сориентировать любознательного читателя в огромном поле специальной литературы, посвященной затронутым в книге вопросам.
Автор благодарен администрации физико-математического лицея г. Глазова, в особенности его директору В. П. Докучаеву, за предоставленную возможность апробации некоторых тем, вошедших в книгу, в работе с лицеистами, а также за моральную и материальную поддержку; искренне признателен профессору В. В. Майеру, доцентам В. П. Бовину и А. А. Черепанову, высказавшим ряд полезных замечаний в адрес книги.
Книга рекомендуется школьникам, студентам, учителям и преподавателям физики, а также всем, кто интересуется изложенными в ней явлениями.
Введение
Автор очень надеется, что Вы, уважаемый читатель, будете не просто читать эту книгу, но и работать с ней. Для этого, чтобы работа была более эффективной, надо в какой-то степени понять замысел книги, увидеть ее структуру
Все параграфы в книге можно разделить на два типа. Первый тип — это параграфы, носящие вводный или связующий характер (см. §1.1, 1.11, 12). В них содержится авторское изложение в общем-то известного материала. Второй тип параграфов посвящен исследованию какого-либо физического явления.
Исследование носит комплексный характер. Здесь, несомненно, есть элементы физики — экспериментальная часть и теоретическая часть, есть элементы специального математического аппарата (дифференциальное и интегральное исчисления и т. д.), есть элементы информатики (численное моделирование). Физик-профессионал и инженер-исследователь в своей работе сталкиваются чаще всего именно с такими комплексными проблемами. Правда, иногда экспериментальную часть выполняет физик-экспериментатор, теоретическую — физик-теоретик, математик составляет программу и работает на ЭВМ. Вы тоже можете пойти по этому пути. Например, опустить сложную теорию и проделать все опыты, описанные в книге. Или наоборот, не делать опыты, но посмотреть и повторить все теоретические выкладки.
Однако существует и другой подход. Пройти через всю задачу самому. И в этом есть глубокий смысл! Дело в том, что в новых нерешенных проблемах существуют такие нюансы, которые могут быть незаметны для математика или программиста, не знающего в достаточной мере физику. Например, при решении дифференциальных уравнений физики выбор начальных или граничных условий часто осуществляется из физических соображений. Чувствуя и видя всю проблему в целом, Вы сможете гораздо эффективнее и подобрать численный метод, и составить программу.
Резюмируя сказанное, можно выделить следующие этапы исследования проблемных задач, рассмотренных в книге.
Физическое явление.
Экспериментальное наблюдение или исследование.
Физическое истолкование явления (качественное объяснение).
Применение математического аппарата для построения теории.
Элементы информатики, применение численных методов, программирование.
Анализ полученных результатов. Сравнение результатов экспериментального и теоретического (численного) исследований.
Формулировка новых проблем, возникших при решении данной задачи.
Кстати, по поводу последнего пункта следует отметить, что умение ставить проблему не менее важно, чем умение решить ее.
Работая с книгой, вы можете проявить творческую инициативу — например, разработать лабораторные опыты по экспериментальному определению порога устойчивости, провести исследование на более глубоком уровне и т. д.
Поскольку предполагается, что основными читателями будут старшие школьники и студенты младших курсов, в приложении приводятся некоторые математические понятия и формулы, не входящие в школьный курс, но содержащиеся в данной книге.
Часть 1
Равновесие и устойчивость равновесияпростых жидкостей и жидких пленок
Механическое равновесие и его устойчивость
Большинство задач, с которыми приходится сталкиваться физикам, сводятся к следующей схеме. В какой-то момент (принимаемый за начальный) известно состояние системы и характер ее взаимодействия. Следует определить состояние системы в последующие моменты времени. В этом плане состояние устойчивого равновесия системы уникально: наравне с начальным состоянием становятся известны и все последующие состояния. Подобной значимостью для физики обладают законы сохранения. Значение сохраняющейся величины со временем не меняется. Отсюда понятна важность изучения и исследования равновесных состояний. Состояния равновесия системы могут быть различными: термодинамическое равновесие, механическое равновесие и т. д. В этой книге мы будем рассматривать механическое равновесие, т. е. равновесие в смысле отсутствия макроскопического движения тела или его частей.
Любой разговор в области математики и физики желательно начинать с определения обсуждаемых понятий и величин. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих на тело сил:
mac = y2F»-(1Л)
Здесь 52 — знак суммы, ас — ускорение центра масс тела.
Механическое равновесие тела — это такое состояние, при котором, в отсутствии вращения тела, ас = 0. Заметьте, равномерное поступательное движение тела тоже можно считать равновесием! (В какой системе отсчета?) Итак, для невращающегося тела условием равновесия является обращение в нуль результирующей всех сил:
EF» = °-<L2)
Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то к (1.2) необходимо добавить условие равенства нулю алгебраической суммы моментов всех сил относительно выбранной оси:
(1.3)
Известные примеры равновесных состояний приведены на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Различные случаи равновесия шарика: а) устойчивое, б) безразличное, в) неустойчивое.Рис. 1.1. Различные случаи равновесия шарика: а) устойчивое, б) безразличное, в) неустойчивое.ляется возможным, то состояние в считают абсолютно неустойчивым, аляется возможным, то состояние в считают абсолютно неустойчивым, аДадим определение устойчивости. Равновесие тела считается устойчивым, если малое внешнее воздействие приводит к малому (часто обратимому) изменению состояния тела. В природе малых внешних воздействии (их называют возмущениями) бесконечно много. На рис. 1.1 в изображен у-квант, передающий импульс шарику. Если трения нет, то шарик слегка сдвинется на наклонную часть горки и перейдет в состояние а. Поскольку учесть подобные малые возмущения не представ-
Рис. 1.1. Различные случаи равновесия шарика: а) устойчивое, б) безразличное, в) неустойчивое.
Рис. 1.1. Различные случаи равновесия шарика: а) устойчивое, б) безразличное, в) неустойчивое.
ляется возможным, то состояние в считают абсолютно неустойчивым, а
ляется возможным, то состояние в считают абсолютно неустойчивым, а
переход в а — самопроизвольным.
Отметим, что устойчивому состоянию а соответствует минимум потенциальной энергии, а неустойчивому в — максимум. Система, предоставленная самой себе, всегда стремится занять состояние с наименьшей возможной энергией. Это так называемый принцип минимума энергии. Иногда исследование равновесия на устойчивость производится на основе этого принципа.
Чаще всего устойчивые состояния равновесия условно устойчивы. Пример такого состояния шарика показан на рис. 1.2, положение х = xq. Равновесие при х = xq устойчиво по отношению к малым возмущениям, но неустойчиво по отношению к конечным возмущениям, амплитуда которых превышает АТЕ При этом AW можно считать высотой потенциального барьера.
А теперь рассмотрим шарик массой т, лежащий на дне ямы с очень гладкими стенками (рис. 1.1 а). Согласно условию равновесия, mg + N = 0. В проекции на ось у; —mg + N = О, N = тд.
Пусть теперь шарик отвели в сторону, как показано на рис. 1.3. Предоставленный самому себе, он уже не будет находиться в равновесии. Рас-
Рис. 1.2. Равновесие шарика устойчиво в точках жо и жх по отношению к малым возмущениям, но неустойчиво к возмущениям, энергия которых превышает AW.
Рис. 1.3. Шарик совершает малые колебания около положения равновесия ж = 0.
смотрим силы, действующие на шарик, в проекции на оси координат:
= — Ж sin р, Fy = TVi cos р — тд.
При малых углах ср <С 1, cos ^ ~ 1, sin ^ ~ tg ^,
М ^ N = mg, Fy ^ О, Fx ^ -mg tg у?.
Согласно геометрическому смыслу производной функции производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. Будем считать, что дно ямы задано уравнением у = у^х\ Поэтому tg ср = yf = ^. Тогда
dy _ d(mgy) _ aW
Ft — TTLQ ——.
dx dxdx
где W — потенциальная энергия шарика. Мы получили замечательное соотношение между проекцией силы и потенциальной энергией. Оно справедливо для проекции на любое направление £:
F 9WЛ
Fe =(L4)
Форма ямы на нашем рисунке похожа на параболу. Пусть так и будет: у = bx\ b = const,(1.5)
где b — постоянная, от которой зависит «крутизна» ямы. Тогда потенциальная энергия шарика
W = mgbx2 = ^-.(1.6)
Здесь мы ввели обозначение к = 2тдЬ, т. е. к — некоторая новая постоянная. Теперь сила
Fx == -кх.(1.7)
ОХ
Формулы (1.6) и (1.7) в точности совпадают с соответствующими для шарика на упругой пружине. И смысл силы (1.7) тот же — это возвращающая сила. Под действием этой силы шарик на пружине совершает малые колебания около положения равновесия. Шарик в яме, будучи выведенным из положения равновесия, также начнет совершать малые колебания. Это положение справедливо практически для всех систем: система, предоставленная самой себе, может совершать малые колебания около положения равновесия. Пользуясь приведенной аналогией, можем вычислить частоту колебаний шарика в яме:
Рис. 1.4. а) Под действием сосредоточенной силы жидкость в целом остается неподвижной. б) Под действием распределенной силы, создающей разность давлений, жидкость течет.Рис. 1.4. а) Под действием сосредоточенной силы жидкость в целом остается неподвижной. б) Под действием распределенной силы, создающей разность давлений, жидкость течет.
Рис. 1.4. а) Под действием сосредоточенной силы жидкость в целом остается неподвижной. б) Под действием распределенной силы, создающей разность давлений, жидкость течет.
Рис. 1.4. а) Под действием сосредоточенной силы жидкость в целом остается неподвижной. б) Под действием распределенной силы, создающей разность давлений, жидкость течет.
Заметим также, что, согласно (1.7), к = Поэтому для частоты собственных колебаний системы около положения равновесия имеем вместо (1.8) следующую, достаточно общую формулу:
и =и =(Pw\ дх2 /(Pw\ дх2 /(1.9)(1.9)
и =
и =
(Pw\ дх2 /
(Pw\ дх2 /
(1.9)
(1.9)
В дальнейшем мы будем рассматривать равновесие жидкостей и его устойчивость. Особенностью жидкости является то, что сосредоточенной силой (приложенной в точке жидкости) ее нельзя привести в движение (рис. 1.4 а). Это можно сделать, распределив силу по поверхности жидкости, например, поршнем (рис. 1.4 6). Тем самым для жидкости условия равновесия (1.2) и (1.3), вообще говоря, не приемлемы. Вместо них используют условие равенства давлений либо условие минимума потенциальной энергии.
Пусть, например, в U-образную трубку налита жидкость 1 (рис. 1.5). Жидкость будет находиться в равновесии, если давления на каком-либо уровне в том и другом колене одинаковы и являются функцией только вертикальной координаты: ру = рг = Р^)-
Другая формулировка условия равновесия — на основе минимума потенциальной энергии системы. Как известно, в точке минимума функции ее первая производная обращается в нуль. Поэтому условие равновесия запишется так:
^=0, (1.10)
где х — некоторая координата.
Условие (1.10) выполняется как в точках минимума W, так и в точках максимума, поэтому в точках устойчивого равновесия дополнительно должно выполняться условие 2
Это условие обеспечивает необходимую вогнутость графика W(х) в точке минимума (рис. 1.2).
Для демонстрации того, что условие равенства давлений и условие минимума потенциальной энергии, по сути, одинаковые, рассмотрим однородную жидкость в U-образной трубке (рис. 1.5).
В состоянии а давления одинаковы: pi = р^ = p^rpgh, а потенциальная энергия пусть равна Wi. Допустим теперь, что жидкость в правом колене поднялась на высоту АД, а в левом, соответственно, опустилась. Эта операция эквивалентна «срезу» столбика жидкости высотой АД в левом колене с последующим переносом в правое и подъемом центра тяжести (жирная точка) на высоту АД. Соответственно потенциальная энергия системы возросла на АД = mg&h, где т — масса столбика. Нарушилось и равенство давлений. Теперь
Р1 =Ра= pg(h - М),
Р2=Ра = Pg(h + Ah), P^pV
Таким образом, при возврате в состояние а будут выполняться и условие минимума потенциальной энергии, и условие равенства давлений.
Рис. 1.5. а) В равновесии на одном и том же уровне давления одинаковы в разных коленах (pi = р^. б) При отклонении от положения равновесия увеличивается потенциальная энергия жидкости и создаётся разность давлений, стремящаяся вернуть жидкость в исходное положение.
Межмолекулярные силы. Смачивание.
Поверхностное натяжение. Капиллярные силы
Жидкости, как и все вещества, состоят из молекул. Характер поведения молекул в жидкости несколько отличается от их поведения в газе и твердом теле. Если в газе длина пробега молекулы от столкновения с одной молекулой до столкновения с другой во много раз превышает размеры самих молекул, то в жидкости молекула за один акт перемещения проходит расстояние порядка своих размеров, то есть, образно говоря, перемещение молекул в жидкости очень напоминает перемещение пассажиров в битком набитом автобусе. Продолжая образный ряд, можно сказать, что молекулы в твердом теле подобны солдатам в строю — каждый занимает определенное положение достаточно долго. Характер расположения (тесно друг к другу), движения и взаимодействия молекул в жидкостях определяет и свойства последних. Жидкости легко изменяют форму — текут, но, с другой стороны,
они несжимаемы.Молекулы в телах взаимодействуют между собой. Это взаимодействие имеет электромагнитную природу. Потенциальная энергия взаимодействия молекул в зависимости от расстояния между ними показана на рис. 1.6. Зафиксируем молекулу Mi в начале координат. Координату молекулы М2 будем считать переменной. На М2 действует сила со стороны Mi*.они несжимаемы.Молекулы в телах взаимодействуют между собой. Это взаимодействие имеет электромагнитную природу. Потенциальная энергия взаимодействия молекул в зависимости от расстояния между ними показана на рис. 1.6. Зафиксируем молекулу Mi в начале координат. Координату молекулы М2 будем считать переменной. На М2 действует сила со стороны Mi*.FaFadW Эх *dW Эх *Рис. 1.6. Зависимость потенциальной энергии взаимодействующих молекул от расстояния между ними.Рис. 1.6. Зависимость потенциальной энергии взаимодействующих молекул от расстояния между ними.В области I (ж < жо) производная ^^ отрицательна (функция убывает), следовательно, Fx > 0 при х < хд. Это означает, что при х < х > хд, ^^ > О, Fx < 0 — молекулыВ области I (ж < жо) производная ^^ отрицательна (функция убывает), следовательно, Fx > 0 при х < хд. Это означает, что при х < х > хд, ^^ > О, Fx < 0 — молекулыхд молекулы отталкиваются, а припритягиваются (область II). Положе-хд молекулы отталкиваются, а припритягиваются (область II). Положе-
они несжимаемы.
Молекулы в телах взаимодействуют между собой. Это взаимодействие имеет электромагнитную природу. Потенциальная энергия взаимодействия молекул в зависимости от расстояния между ними показана на рис. 1.6. Зафиксируем молекулу Mi в начале координат. Координату молекулы М2 будем считать переменной. На М2 действует сила со стороны Mi*.
они несжимаемы.
Молекулы в телах взаимодействуют между собой. Это взаимодействие имеет электромагнитную природу. Потенциальная энергия взаимодействия молекул в зависимости от расстояния между ними показана на рис. 1.6. Зафиксируем молекулу Mi в начале координат. Координату молекулы М2 будем считать переменной. На М2 действует сила со стороны Mi*.
Fa
Fa
dW Эх *
dW Эх *
Рис. 1.6. Зависимость потенциальной энергии взаимодействующих молекул от расстояния между ними.
Рис. 1.6. Зависимость потенциальной энергии взаимодействующих молекул от расстояния между ними.
В области I (ж < жо) производная ^^ отрицательна (функция убывает), следовательно, Fx > 0 при х < хд. Это означает, что при х < х > хд, ^^ > О, Fx < 0 — молекулы
В области I (ж < жо) производная ^^ отрицательна (функция убывает), следовательно, Fx > 0 при х < хд. Это означает, что при х < х > хд, ^^ > О, Fx < 0 — молекулы
хд молекулы отталкиваются, а припритягиваются (область II). Положе-
хд молекулы отталкиваются, а припритягиваются (область II). Положе-
нию равновесия молекулы М2 отвечают равенства х = хд, = — Fx = 0.
Область III вблизи равновесия очень напоминает дно параболической ямы, рассмотренной выше, а поведение молекулы около х = хд в точности похоже на поведение шарика в яме поля тяжести. Отметим, что в жидкостях
(да и в твердых телах) расстояния, соответствующие положению равновесия жо, близки к размерам самих молекул. Колебания молекул около положения равновесия называют тепловыми. Их амплитуда зависит от температуры. Чем больше температура, тем больше амплитуда. При большой амплитуде колебания не гармонические, и на рис. 1.6 видно, что из-за асимметричности кривой W(x) молекула дольше будет находиться в области II, ввиду ее пологости, т. е. средняя сила будет силой притяжения.
Рис. 1.7. Результирующая сила, действующая на молекулу Mi, равна нулю, а на молекулу М2 — направлена вглубь жидкости.Рис. 1.7. Результирующая сила, действующая на молекулу Mi, равна нулю, а на молекулу М2 — направлена вглубь жидкости.Рассмотрим теперь молекулу Mi, находящуюся в толще жидкости (рис. 1.7). Со стороны множества соседей на нее будут действовать разнонаправленные силы, взаимно компенсирующие друг друга. Другое дело — молекула М2, расположенная вблизи поверхности жидкости. Ее соседи, находящиеся преимущественно на глубине, «тянут» ее туда с результирующей силой F. Эта сила называется когезионной. Допустим теперь, что жидкость соприкасается с твердой стенкой. Тогда со стороны молекул твердого тела Т на молекулы жидкости тоже действуют силы притяжения. Эти силы назы
Рис. 1.7. Результирующая сила, действующая на молекулу Mi, равна нулю, а на молекулу М2 — направлена вглубь жидкости.
Рис. 1.7. Результирующая сила, действующая на молекулу Mi, равна нулю, а на молекулу М2 — направлена вглубь жидкости.
Рис. 1.8. а) Адгезионные силы превышают когезионные. Жидкость смачивает твердую поверхность, б) Когезионные силы больше адгезионных. Поверхность не смачивается жидкостью.Рис. 1.8. а) Адгезионные силы превышают когезионные. Жидкость смачивает твердую поверхность, б) Когезионные силы больше адгезионных. Поверхность не смачивается жидкостью.ваются адгезионными. Если адгезионные силы превышают когезионные, то жидкость как бы натекает на твердую стенку. В это случае говорят, что жидкость смачивает твердое тело (рис. 1.8 а).
Рис. 1.8. а) Адгезионные силы превышают когезионные. Жидкость смачивает твердую поверхность, б) Когезионные силы больше адгезионных. Поверхность не смачивается жидкостью.
Рис. 1.8. а) Адгезионные силы превышают когезионные. Жидкость смачивает твердую поверхность, б) Когезионные силы больше адгезионных. Поверхность не смачивается жидкостью.
Рис. 1.9. Краевой угол 0 в случае а) частично смачиваемой, б) частично несмачиваемой поверхностей.
В противоположном случае, показанном на рис. 1.8 5, когезионные силы превышают адгезионные и жидкость стремится «уйти в себя» — имеет место не смачивание. Смачивание и не смачивание могут быть полными и частичными. В количественном отношении это характеризуется углом смачивания 6 (рис. 1.9). При 6 = 0° имеет место полное смачивание, при 0 = 180° — полное несмачивание. Угол 0 называется краевым углом. Как видно из рис. 1.9, он является углом между твердой поверхностью и касательной к поверхности жидкости в точке (на линии) их соприкосновения. Отсчитывается обычно от твердой стенки к жидкости.
При рассмотрении вопроса о силах, действующих на молекулу жидкости, мы, казалось бы, упустили из виду газ, который должен окружать жидкость и твердое тело. Дело в том, что среднее расстояние между молекулами газа и жидкости велико по сравнению с межмолекулярным расстоянием в жидкости и твердом теле, а, следовательно, адгезионные силы газ- жидкость малы по сравнению с когезионными в жидкости, и мы ими пренебрегаем. Поверхность жидкости, граничащую с газом, будем в дальнейшем называть свободной поверхностью.
При увеличении свободной поверхности жидкости число молекул, вынужденных быть на поверхности, будет расти. Следовательно, увеличивая поверхность, мы совершаем работу против молекулярных сил, препятствующих выходу молекул на поверхность. Так как увеличивать поверхность можно сколь угодно медленно, то, очевидно, затраченная работа пойдет на увеличение потенциальной энергии жидкости. Итак, чем больше свободная поверхность жидкости, тем больше ее потенциальная энергии. Это
утверждение в самом простом случае можно записать как прямую пропор
циональностьциональностьW = aS.W = aS.(1.12)(1.12)
циональность
циональность
W = aS.
W = aS.
(1.12)
(1.12)
Рис. 1.10. Поверхность жидкости подвержена действию сил натяжения подобно упругой пленке.Рис. 1.10. Поверхность жидкости подвержена действию сил натяжения подобно упругой пленке.Н м'Н м'
Рис. 1.10. Поверхность жидкости подвержена действию сил натяжения подобно упругой пленке.
Рис. 1.10. Поверхность жидкости подвержена действию сил натяжения подобно упругой пленке.
Н м'
Н м'
где S — величина свободной поверхности, а — коэффициент пропорциональности, который носит название коэффициента поверхностного натяжения жидкости. Он зависит от сорта жидкости и от температуры. А само явление стягивания свободной поверхности до минимума называется поверхностным натяжением. Формула (1.12) позволяет объяснить, почему капли жидкости стараются принять шарообразную форму — при заданном
объеме минимальная поверхность будет у шара. Это обеспечивает минимум потенциальной энергии в условиях равновесия капли.
Рассмотрим свободную поверхность жидкой мыльной пленки, натянутой на прямоугольный каркас с подвижной поперечиной (рис. 1.10). Поверхностная энергия пленки равна W = 2alS. Коэффициент 2 здесь взят потому, что свободных поверхностей у мыльной пленки две. Сила поверхностного
натяжения пленки
(1.13)(1.13)Еж == —2aZ
(1.13)
(1.13)
ОХ
Эта сила действует на всю подвижную часть рамки и стремится уменьшить поверхность пленки. Она называется также капиллярной силой. Равенство \F\ = 2al даст второе определение коэффициента а как величины, численно равной силе, приходящейся на единицу длины смачивания. Напомним, что первое определение коэффициента а численно равно величине энергии единицы поверхности. Отсюда и две единицы измерения а;
Основные свойства сил поверхностного натяжения заключаются в том, что они направлены:
по касательной к поверхности жидкости;
перпендикулярно линии, вдоль которой распределены (рис. 1.10, 1.11).
На рис. 1.11 представлен участок свободной поверхности жидкой капли (пузыря) и распределение сил поверхностного натяжения, действующих на
Рис. 1.11. Сила поверхностною натяжения направлена по касательной к свободной поверхности жидкости и перпендикулярна линии приложения силы.Рис. 1.11. Сила поверхностною натяжения направлена по касательной к свободной поверхности жидкости и перпендикулярна линии приложения силы.Рис. 1.12. К выводу формулы для лапласовского давления.Рис. 1.12. К выводу формулы для лапласовского давления.
Рис. 1.11. Сила поверхностною натяжения направлена по касательной к свободной поверхности жидкости и перпендикулярна линии приложения силы.
Рис. 1.11. Сила поверхностною натяжения направлена по касательной к свободной поверхности жидкости и перпендикулярна линии приложения силы.
Рис. 1.12. К выводу формулы для лапласовского давления.
Рис. 1.12. К выводу формулы для лапласовского давления.
(1.14)(1.14)этот участок. Всякая распределенная по поверхности сила создает давление на поверхность
(1.14)
(1.14)
Рл AS’
где Fn — проекция силы на нормаль к площадке AS. Выберем участок сферической поверхности капли (пузыря) (рис. 1.12). Тогда ^Fin = aMi cos 0 — сила, действующая на один из участков кольца длиной AZ^ и радиусом г. Очевидно, полная сила
Fn = ^АГт = a cos (3 ^ Mt = 2тгга cos /3;
AS ~ тгг2; cos0 =
К
При подстановке всех этих формул в (1.14) получим
(1.15)
где R — радиус кривизны поверхности. В случае если радиусы кривизны поверхности разные по разным направлениям (рис. 1.13), то
Рл = «Рл = «Я1 д2Я1 д2(1.16)(1.16)Рис. 1.13. Мыльная пленка, натянутая на два проволочных каркаса, имеет два радиуса кривизны.Рис. 1.13. Мыльная пленка, натянутая на два проволочных каркаса, имеет два радиуса кривизны.
Рл = «
Рл = «
Я1 д2
Я1 д2
(1.16)
(1.16)
Рис. 1.13. Мыльная пленка, натянутая на два проволочных каркаса, имеет два радиуса кривизны.
Рис. 1.13. Мыльная пленка, натянутая на два проволочных каркаса, имеет два радиуса кривизны.
На рис. 1.13 цифрой 1 обозначены проволочные каркасы, цифрой 2 — мыльная пленка между ними. Кстати, здесь форма поверхности как раз удовлетворяет минимальности ее площади (см. следующий параграф). Давление, рассчитываемое по (1.15) или (1.16), называется капиллярным или лапласовским давлением.
Формулу (1.16) следует прокомментировать, чтобы в дальнейшем не было неясностей. Для этого рассмотрим искривленную поверхность J2, служащую границей раздела сред 1 и 2 (рис. 1.14).
Величина К = -^- + -^- называется кривизной поверхности. Давление в средах вблизи поверхности обозначим pi и р2- Тогда формула Лапласа запишется так:
Pi -Р2 = аК = рл. (1.17)
Кривизна поверхности положительна К > 0, если поверхность выпуклая. И наоборот, К < 0 для вогнутой поверхности. Следовательно, давление
Рис. 1.14. Давление под выпуклой поверхностью жидкости больше, чем над ней.
больше в той среде, поверхность которой выпукла. В нашем случае очевидно, что К > 0 и pi > р2.
Таким образом, давление внутри капли или пузыря больше атмосферного на величину лапласовского (капиллярного) давления.
Равновесие мыльной пленки и его устойчивость
Цепная линия
На рис. 1.15 изображена тяжелая цепь (1), висящая в поле тяжести, и поверхность мыльной пленки (2), натянутой на два одинаковых прово- [Т^ лочных кольца радиусом R. На опыте Вы можете убедиться и том, что линия цепи (1) в точности может повторить линию диаметрального сечения мыльной пленки (2). В выбранных координатах эти линии описываются уравнениями у = у^ иг = г (ж) Для нахождения уравнения у^ рассмотрим гибкую тяжелую цепь, подвешенную в точках А и В, считая ее сплошной (рис. 1.16). Выберем отрезок цепи между точками О' и М(ж, у). На этот отрезок действуют силы натяжения Д и Т2 и сила тяжести тд. Условие равновесия:
Тх + Т2 + mg = 0.(1.18)
В проекциях на оси
Ох : —Т\ + Т2 cos О = 0, Оу : Т2 sin# — тд = 0.(1-19)
Рис. 1.15. Линия провисшей цепи и линия сечения мыльной пленки совпадают.Рис. 1.15. Линия провисшей цепи и линия сечения мыльной пленки совпадают.Рис. 1.16. К выводу уравнения цепной линии.Рис. 1.16. К выводу уравнения цепной линии.
Рис. 1.15. Линия провисшей цепи и линия сечения мыльной пленки совпадают.
Рис. 1.15. Линия провисшей цепи и линия сечения мыльной пленки совпадают.
Рис. 1.16. К выводу уравнения цепной линии.
Рис. 1.16. К выводу уравнения цепной линии.
Если материал цепи таков, что масса единицы длины цепи р, то т = рЦ где I — длина дуги цепи О'М. Исключим Т) из системы (1.19), тогда получим
tg»=^z=ti.ts^,tg»=^z=ti.ts^,(1.20)(1.20)
tg»=^z=ti.ts^,
tg»=^z=ti.ts^,
(1.20)
(1.20)
где к — постоянная величина. Так как силы натяжения всюду направлены по касательной к линии цепи, то tg 0 равен производной у' = в точке М.
Если взять небольшой отрезок цепи длиной △/ (рис. 1.16), то видим, что
Д/ to д/Аж2 + А?/2 = АжД/ to д/Аж2 + А?/2 = Аж
Д/ to д/Аж2 + А?/2 = Аж
Д/ to д/Аж2 + А?/2 = Аж
Переходя от конечных разностей к пределу бесконечно малых, т. е. к производным, получим
dl = dx^l + (у') или
dldxdldx
dl
dx
dl
dx
Если теперь взять производные от обеих частей равенства (1.20), то слева будет стоять производная от производной, т. е. вторая производная, а справа — kV. Итак, вместо (1.20) получаем
у" = kV = kVl + (у')2-(1.21)
Теперь это уравнение содержит одну неизвестную у, однако она находится под знаками первой и второй производных. Уравнения такого вида называются дифференциальными. Мы приведем лишь решение этого уравнения. Подстановкой в (1.21) Вы можете убедиться в его правильности. Оно имеет вид
у = с + ^ekx + e"kx^ <L22)
где С — постоянная, зависящая от выбора начала координат. Если выбрать
оси координат так, чтобы расстояние ООГ равнялось у, то С = 0. Функция к
екх ।
вида - часто встречается в физике и математике и носит специ
альное название: гиперболический косинус ch.
Итак,
ch кх =ch кх =^кх ।— кх2^кх ।— кх2(1.23)(1.23)
ch кх =
ch кх =
^кх ।— кх
2
^кх ।— кх
2
(1.23)
(1.23)
С другими гиперболическими функциями и их свойствами Вы можете познакомиться, обратившись, например, к книге [б]2.
С учетом сказанного, уравнение провисшей цепи будет таким:
у = ^ ch кх.(1-24)
Эта функция так и называется — цепная линия. А поверхность, образованная вращением линии у(х) вокруг оси х, называется катеноидом. Коэффициент к для провисшей цепи, очевидно, зависит от ее натяжения (при заданной плотности материала) и может быть любым.
Поверхность мыльной пленки
Найдем теперь уравнение линии сечения пленки. Для этого введем координаты х, г (рис. 1.15). В этих координатах искомое уравнение представляет собой некоторую функцию г (ж). Для нахождения этой функции выберем два произвольных сечения пленки перпендикулярных плоскости х, г. Если пренебречь действием силы тяжести (очевидно в рамках этой задачи это возможно), то на часть пленки, зажатую между сечениями, действуют силы поверхностного натяжения ДЕв и ДЕс (рис. 1.17).
Рис. 1.17. Силы, действующие на участок сечения мыльной пленки, обеспечивают ей равновесие.
Вблизи точки В выберем элемент дуги Д/^ сечения пленки. По определению силы поверхностного натяжения на этот элемент действует сила ДЕв^, по модулю равная:
^Fb. = 2Д/^о,
а — коэффициент поверхностного натяжения пленки, коэффициент 2 перед выражением обусловлен двойной поверхностью мыльной пленки. Анало-
гично для элемента длины Mt около точки С;
^Fci = 2Д/^о.
Условие равновесия дает равенство:
£ДГВ;+£ДГС; =0.
В проекции на ось г это равенство выполняется тождественно, так как каждая из сумм обращается в нуль. В проекции на ось ж имеем:
— 2о(^2 в ' COS ®В + 2«(^2 ^^С • COS 0С = 0.
Так как ^ ^г = 2тгг, то условие равновесия пленки дает:
г в • cos 0в = тс • cos 00-
След овательно, всюду на поверхности пленки (см. рис. 1.15):
Г • COS 0 = const = Го-
Выражая cos 0 через tg 0 и учитывая, что тангенс равен производной tg 0 = т\х\ получим условие равновесия в виде:
f_ 0)2 = L
Если ввести новые переменные г = (у^ и ж = (^), то это уравнение преобразуется к виду:
^-Г/2 = 1.(1.25)
Итак, разность квадратов двух функций, одна из которых равна производной от другой, равна единице. Это очень напоминает sin и cos. Как Вы уже, наверно, догадались функции, удовлетворяющие (1.25), тоже называется синусом и косинусом, но только гиперболическими. Гиперболический синус равен:
sh х = ^ех
Известны основные свойства гиперболических синуса и косинуса:
chV = sh^, chV — shV = 1.
Таким образом, уравнение сечения мыльной пленки, как и линии провисшей цепи, имеет вид:
r = r0-ch^.(1-26)
То есть поверхность мыльной пленки, натянутой на два кольца, есть поверхность вращения цепной линии, называемая катеноидом. Из опыта следует, что минимальное расстояние от оси х до пленки го, зависит от радиуса колец — R и расстояния между ними — h. Следовательно, го должно определяться из условия, что при х = h/2 должно быть г = R, то есть
R = го -ch А(1.27)
Для удобства вместо го введем величину % = I/tq. Тогда вместо (1.27) получим следующее уравнение для определения % (а значит и го)
R.x = ch^=fto.(1-28)
Полученное уравнение не простое, уравнения такого типа называется трансцендентными. Решить его можно различными способами, но самый простейший — это графический. Для этого построим графики каждой из функций, входящих в (1.28). Координаты точек их пересечения дадут значения корней.
Пусть /1(%) = R • %, Л(х) = ch —^- На рис. 1.18 а качественно изображены графики /1 и /2 (для разных h\ И снова, к счастью, перед нами проблемы (если бы их не было — было бы неинтересно). Во-первых, видно, что корней может быть два. Это значит, что при заданных R vv И может быть две разных поверхности катеноидного типа. Но сколько бы Вы не бились, на опыте будете получать всегда одну. Математика здесь бессильна что-либо объяснить. Обратимся к физике. Дело в том, что мы совсем «забыли» следующее: если мы наблюдаем равновесие пленки и оно устойчиво, то энергия пленки должна быть минимальна. Так как энергия пленки пропорциональна ее поверхности W = aS, то у наблюдаемой пленки поверхность минимальна. Какому же корню, меньшему или большему, соответствует минимальная поверхность?
Обратимся к опыту. Если после получения катеноида раздвигать кольца, увеличивая h, то видно, что го уменьшается. Это соответствует увеличению х- С другой стороны, увеличению К соответствует изменение функ- 2] ции /2(х), показанное на рис. 1.18 а. Видно, что при этом возрастает значение меньшего корня. Следовательно, меньшему корню Xi и соответствует
Рис. 1.18. а) Равновесию пленки соответствует один из корней Xi,2- При 2Л и более равновесие становится неустойчивым, б) Равновесие пленки становится неустойчивым в момент, когда на графике достигается максимум.Рис. 1.18. а) Равновесию пленки соответствует один из корней Xi,2- При 2Л и более равновесие становится неустойчивым, б) Равновесие пленки становится неустойчивым в момент, когда на графике достигается максимум.
Рис. 1.18. а) Равновесию пленки соответствует один из корней Xi,2- При 2Л и более равновесие становится неустойчивым, б) Равновесие пленки становится неустойчивым в момент, когда на графике достигается максимум.
Рис. 1.18. а) Равновесию пленки соответствует один из корней Xi,2- При 2Л и более равновесие становится неустойчивым, б) Равновесие пленки становится неустойчивым в момент, когда на графике достигается максимум.
устойчивая поверхность. А сейчас очень и очень интересно взять какие-либо R и h из Ваших опытов и, найдя два корня xi,2> по формуле (1.26) построить сечение поверхностей катеноидов. И Вы увидите катеноид, соответствующий %2, который Природа не может показать Вам.
Устойчивость равновесия катеноида
Теперь вторая проблема. На рис. 1.18 а видно, что если расстояние между кольцами велико, то корня может и не быть вовсе! Что это означает физически? Физически это означает, что равновесие мыльной пленки при раздвижении колец становится неустойчивым. Эта неустойчивость абсолютная, в том смысле, что равновесие неустойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям. В дальнейшем мы будем понимать неустойчивость именно в этом смысле.
Выполняем опыты с целью проверки. Получив пленку, надо раздвигать кольца медленно и осторожно, так как пленка может разрушиться не самопроизвольно, а под влиянием больших внешних возмущений. Если, выполняя опыт, Вы не только убедитесь в правильности теории, но еще |~3 и ответите на вопрос: при каком соотношении между R и h равновесие пленки становится неустойчивым — это будет прекрасно.
А теперь снова к теории. Попробуем получить ответ на поставленный выше вопрос теоретически. Существует несколько способов найти количе-
ственный предел устойчивости равновесия мыльного катеноида. Изложим сначала способ, предложенный автором.
Если Ни R измерять в единицах го, то уравнение (1.27) можно записать в виде:
R = ch ^ или ^ = Arch R.
Поделим обе части последнего равенства на R. Тогда получим:
f h \ Arch RТ-) R
(L29)
В левой части первого равенства (1.29) стоит уже отношение размерных h и R, так как го сократилось. Построив график зависимости правой части первого равенства (1.29) от R (рис. 1.18 5) видим, что он имеет максимум, который и соответствует пределу устойчивости мыльного катеноида. Действительно, на опыте можно убедиться, что с увеличением расстояния между кольцами К всегда происходит уменьшение го, а следовательно увеличение отношения R/r^. Таким образом, для того, чтобы равновесие мыльного катеноида было устойчивым, необходимо выполнение условия
А < 0,66 или А < 1,5.
Другой способ определения предела устойчивости связан с исследованием графиков на рис. 1.18 а. Критическому состоянию равновесия пленки соответствует случай, когда прямая Д касается кривой /2, тем самым углы наклона касательной к /1 (она сама) и к /2 в точке %* совпадают. Так как тангенс угла наклона касательной к оси % есть производная, то в точке %*
лл 122 h 2
Пользуясь определением гиперболического синуса sh, нетрудно из этого вы- 4] ражения найти %* (сделайте это сами). Получается следующее выражение:
Хл=21пА2Я W Лh \ h \l h2 J
У] Далее попробуйте самостоятельно найти условие неустойчивости.
Как правило, и мы с этим не раз еще встретимся, неустойчивое состояние равновесия сменяется новым, более устойчивым. Потенциальная
б] энергия системы в новом состоянии должна быть меньше, чем в предыдущем. Внимательно и аккуратно проделав опыты, установите, в какое новое состояние переходит мыльная пленка после ее разрушения в результате неустойчивости. Попробуйте доказать, что поверхность пленки, а следовательно и потенциальная энергия, в этом новом состоянии меньше, чем в нейтральном состоянии, соответствующем пределу устойчивости, то есть г*.
Равновесие жидкого цилиндра и его устойчивость
Упрощенный анализ устойчивости
В книге [4] описан прекрасный опыт наблюдения неустойчивости равновесия жидкого цилиндра. Достаточно растянуть капельку слюны между большим и указательным пальцами, и Вы увидите, как постепенно цилиндрический столбик слюны распадается на капли (это же явление Вы можете наблюдать, если пустите из водопроводного крана слабую струйку воды). Опыты со слюной смогут убедить Вас в том, что равновесие достаточно короткого столбика устойчиво, а длинного неустойчиво — он распадается на капли. Это очень похоже на то, как ведет себя мыльная пленка между двумя окружностями.
В данном и некоторых следующих параграфах анализ устойчивости равновесия проводится на основе принципа минимума энергии. То есть рассматриваются два состояния системы (жидкости) и для каждого из них рассчитывается потенциальная энергия. Если, скажем, потенциальная энергия второго состояния меньше, чем первого — W^ < Wi, то равновесие неустойчиво и система самопроизвольно перейдет из первого состояния во второе. В общем случае это утверждение неверно. Действительно, на рис. 1.2 имеем W(xi) > VE(^o), однако самопроизвольный переход невозможен. Тем не менее мы будем пользоваться условием W2 < Wi для оценки порога устойчивости, так как задачи, решаемые в этой книге, достаточно хорошо проверены на опыте, который и подсказывает нам: да, это состояние равновесия неустойчиво, но найдите количественный критерий устойчивости. В разделе 1.4.2 к исследованию устойчивости равновесия применяется динамический подход, основанный на анализе динамики возмущений. Этот подход также является распространенным.
Итак, необходимое условие неустойчивости равновесия цилиндра с последующим распадом на капли можно записать так:
Иц > И^.(1.30)
Здесь ТУЦ?К — потенциальные энергии цилиндра и получившихся из него капель. Если длина цилиндра 4 радиус го, то его потенциальная поверх-
постная энергияпостная энергияW^ = о2тгго^.W^ = о2тгго^.(1.31)(1.31)Пусть цилиндр распался на п одинаковых капель. Тогда их потенциальнаяПусть цилиндр распался на п одинаковых капель. Тогда их потенциальнаяэнергияэнергияРис. 1.19. Достаточно длинный жидкий цилиндр в результате неустойчивости разбивается на капли.Рис. 1.19. Достаточно длинный жидкий цилиндр в результате неустойчивости разбивается на капли.WK = ап4тгтк. (1.32)Если Вы будете внимательно наблюдать за разбиением цилиндра на капли, то заметите, что начальной стадией процесса является появление перетяжек и выпуклостей. Из выпуклостей затем формируются капли (рис. 1.19). Малые деформации поверхности естественно считать возмущениями. Если равновесие устойчиво, то возмущения затухают со временем и не приводят к разрушению системы. Однако если равновесие неустойчиво, то всегда найдутся такие возмущения, которые будут нарастать со временем, и возникнет новое состояние. Если пространственный период (длина волны) возмущений А, то можно считать, что число капель равноWK = ап4тгтк. (1.32)Если Вы будете внимательно наблюдать за разбиением цилиндра на капли, то заметите, что начальной стадией процесса является появление перетяжек и выпуклостей. Из выпуклостей затем формируются капли (рис. 1.19). Малые деформации поверхности естественно считать возмущениями. Если равновесие устойчиво, то возмущения затухают со временем и не приводят к разрушению системы. Однако если равновесие неустойчиво, то всегда найдутся такие возмущения, которые будут нарастать со временем, и возникнет новое состояние. Если пространственный период (длина волны) возмущений А, то можно считать, что число капель равно(1.33)(1.33)Так как суммарный объем капель и цилиндра одинаков (закон сохранения массы), тоТак как суммарный объем капель и цилиндра одинаков (закон сохранения массы), то2 о 4 з 4 з I 7ГГ0^= -7ГГКП = 7^-.2 о 4 з 4 з I 7ГГ0^= -7ГГКП = 7^-.Отсюда радиус каплиОтсюда радиус капли
постная энергия
постная энергия
W^ = о2тгго^.
W^ = о2тгго^.
(1.31)
(1.31)
Пусть цилиндр распался на п одинаковых капель. Тогда их потенциальная
Пусть цилиндр распался на п одинаковых капель. Тогда их потенциальная
энергия
энергия
Рис. 1.19. Достаточно длинный жидкий цилиндр в результате неустойчивости разбивается на капли.
Рис. 1.19. Достаточно длинный жидкий цилиндр в результате неустойчивости разбивается на капли.
WK = ап4тгтк. (1.32)
Если Вы будете внимательно наблюдать за разбиением цилиндра на капли, то заметите, что начальной стадией процесса является появление перетяжек и выпуклостей. Из выпуклостей затем формируются капли (рис. 1.19). Малые деформации поверхности естественно считать возмущениями. Если равновесие устойчиво, то возмущения затухают со временем и не приводят к разрушению системы. Однако если равновесие неустойчиво, то всегда найдутся такие возмущения, которые будут нарастать со временем, и возникнет новое состояние. Если пространственный период (длина волны) возмущений А, то можно считать, что число капель равно
WK = ап4тгтк. (1.32)
Если Вы будете внимательно наблюдать за разбиением цилиндра на капли, то заметите, что начальной стадией процесса является появление перетяжек и выпуклостей. Из выпуклостей затем формируются капли (рис. 1.19). Малые деформации поверхности естественно считать возмущениями. Если равновесие устойчиво, то возмущения затухают со временем и не приводят к разрушению системы. Однако если равновесие неустойчиво, то всегда найдутся такие возмущения, которые будут нарастать со временем, и возникнет новое состояние. Если пространственный период (длина волны) возмущений А, то можно считать, что число капель равно
(1.33)
(1.33)
Так как суммарный объем капель и цилиндра одинаков (закон сохранения массы), то
Так как суммарный объем капель и цилиндра одинаков (закон сохранения массы), то
2 о 4 з 4 з I 7ГГ0^= -7ГГКП = 7^-.
2 о 4 з 4 з I 7ГГ0^= -7ГГКП = 7^-.
Отсюда радиус капли
Отсюда радиус капли
Подставляя это выражение в (1.32) и используя (1.31), (1.33) вместо (1.30), получим
А > 4,5г0.(1.34)
Это и есть условие неустойчивости равновесия жидкого цилиндра. Существует и более строгая теория. В частности, вместо (1.34) эта теория даст
(1.35)(1.35)А > 2тгго.
(1.35)
(1.35)
Это условие неустойчивости, по сути, означает, что жидкие цилиндры, у которых длина меньше периметра сечения, могут существовать. Другими словами, условие устойчивости равновесия жидкого цилиндра можно записать в виде
4 < а-36)
Попробуйте пронаблюдать устойчивые цилиндры. Думаю, дело это не простое, если вдобавок при этом попытаться количественно подтвердить критерий (1.36). Цилиндры, длина которых позволяет «разместить на себе» возмущения с длиной волны 2тгго и более, будут самопроизвольно делиться на капли.
Ответ на вопрос, какое возмущение (с какой длиной волны) из всех, удовлетворяющих (1.35), приведет к разбиению цилиндра на капли, отнюдь не прост и требует специального исследования. Вообще, задача отбора наиболее опасных, с точки зрения неустойчивости, возмущений часто оказывается достаточно сложной и интересной. В какой-то мере (для данного вопроса) она будет решена в следующем разделе. Важность решения этой задачи связана с тем, что именно наиболее опасные возмущения определяют дальнейшее состояние системы.
Разбиение цилиндра на капли
Попробуем теперь разобраться с вопросом о размерах образующихся капель. Пока у нас есть только нижний предел радиуса капель, определяемый соотношениями
\V3
Гк = Цг0Л ) >> 2тгго.
Для этого рассмотрим динамику роста возмущений.
Пусть форма возмущенной поверхности (рис. 1.19) задана уравнением
г(М) = го + y(x,t\
Причем тах|?/| <С го, т. е. возмущения малы. Выберем малый элемент жидкости единичного объема и запишем для него второй закон Ньютона в проекции на ось у;
Р Qt2 " УР Qt2 " У— ускорение, р — плотность жидкости).
Р Qt2 " У
Р Qt2 " У
Так как силой тяжести в этой задаче мы пренебрегаем, то сила Fy связана с перепадом давлений в направлении у:
Ар Эр
Знак минус взят потому, что сила направлена в сторону уменьшения давления. Кроме того, напомним, что эта сила, приходящаяся на единицу объема, то есть размерности обеих частей равенства Н/м3.
Будем рассматривать периодические возмущения вдоль оси ж, экспоненциально нарастающие со временем (такие возмущения в гидродинамике принято называть нормальными):
у(х, t) = Ae7t cos кх^
где к — волновое число, связанное с длиной волны известным соотношени
ем к = ^.
В физике процесс, идущий по экспоненте, т. е. по закону e7t, считается законченным, если изменяющаяся величина увеличилась (уменьшилась) в е раз. При этом, если 7 > 0, то 7 называется инкрементом роста, а при 7 < 0 7 называется декрементом затухания.
Итак, возмущение вырастает за такое время t*, что y(t*) = у^е1. Отсюда t* = ^. Время t* называется еще временем релаксации (установления) процесса.
Теперь ускорение легко вычислить: ау = ^у.
ние), по сути, поверхностная. А для подобных волн справедлив так называемый скин-эффект (skin — по-английски кожа), заключающийся в том, что волна затухает на глубине порядка длины волны. В этом случае по порядку величины
Эр Ар
9у X *
Ар = р — р0 — максимальный перепад давлений, вызванный наличием возмущения. Для давления в жидкости у поверхности до возмущения и после можем записать
РО — Ра + ^ i
Р = PaF аК. К =
^ь^2 — радиусы кривизны поверхности во взаимно перпендикулярных сечениях. Имеем
1 = 1 = 1 1
Д1 ^о + ^/ r0 (1 + у/Го)Г° V го /
Здесь мы использовали разложение функции в ряд Тейлора с удержанием только малых первого порядка (y/r^ С 1). По определению кривизны кривой, которое будет дано в следующем параграфе,
(опять-таки пренебрегая малыми порядка выше первого, например, ^y'^Y Теперь второй закон Ньютона дает
2СЕ /. 1 У1 I 7 2 А
У — — д уРа + Го ——~ Го + & УJ •
После простых преобразований получим
Данная формула является приближенной, но качественно правильно отражающей дальнейшие выводы.
Из полученного выражения видно, что экспоненциально нарастают только такие возмущения, у которых
У > или А > 2тгг0 r0 Л
(в согласии с результатами предыдущего раздела 1.4.1).
Однако зависимость у(Х) имеет максимум. Нетрудно установить (сделайте это сами), что максимуму в нашем случае соответствует длина волны Хт = л/З • 2тгго. Более точное значение Хт, даваемое строгой математической теорией, равно 9,02tq.
Итак, возмущения с длиной волны Хт растут наиболее быстро, и можно считать, что именно они приведут к разбиению цилиндра на капли. Тогда радиус получающихся капель можно оценить так:
v\ Уз
Аз 2 Л V3 / 3V37T \п П1
1*к — ( ^7*gAm ) — т*о I 2 I2,Giro-
Если известна длина цилиндра ^, то можно найти и число образующихся капель:
1 V32tt1 V32tt9,19-10"29,19-10"2( £\
1 V32tt
1 V32tt
9,19-10"2
9,19-10"2
V0 / '
Разумеется, результат вычисления правой части следует округлить до целого числа.
Замечательным и неожиданным является то, что радиус образующихся капель и их число не зависят от сорта жидкости и определяются только размерами жидкого цилиндра. Разбиение жидкого цилиндра на капли можно У] пронаблюдать и даже продемонстрировать большой аудитории следующим образом. В чашку Петри (или какой-либо другой широкий сосуд) налейте немного (до половины чашки) машинного масла или другой жидкости с достаточно большой вязкостью. Возьмите кусок проволоки диаметром 0,2-0,7 мм и длиной 15-2 см, согните его в виде треугольника так, чтобы из центральной части проволоки выделилась сторона длиной примерно 5 см. Окуните эту сторону в масло и медленно поднимайте. Вы увидите, как цилиндрик масла, захваченный проволочкой, делится на капли. Уверяю Вас, это прекрасное зрелище! Чтобы показать этот процесс большой аудитории, достаточно после того, как Вы достали проволочку с маслом, держать ее над предметным окном графопроектора.
Проделайте эти опыты с проволочками различного диаметра. Подсчитайте количество капель. Сделайте выводы. Попробуйте ответить также на вопрос: почему Вам предлагают в этих опытах использовать вязкие жидкости, а, например, не воду?
В предыдущем параграфе Вы работали с катеноидом, который получался из мыльной пленки на двух проволочных рамках. Однако если постараться, то на этих же рамках можно получить и цилиндр. При этом круги проволочных рамок обязательно окажутся также затянутыми мыльной пленкой. Заметим, что такие цилиндры из мыльной пленки можно получить, если вместо проволочных колец использовать диски. Замечательные опыты с цилиндрами из мыльных пленок описаны в книге Ч. Бойса [5]. Мы не будем о них здесь говорить и отсылаем Вас к этой старой, но не устаревшей книге. Нам важно лишь отметить, что равновесие мыльнопленочных цилиндров точно так же неустойчиво, как и равновесие цилиндрического столбика жидкости, рассмотренное выше. Более того, по утверждению Ч. Бойса, «цилиндр становится неустойчивым как раз в тот момент, когда длина его становится равной окружности». То есть для мыльнопленочного цилиндра условия неустойчивости совпадают с (1.36).
Мениск у плоской пластины. Капиллярное поднятие. Капилляры
Высота мениска
Как было сказано выше, в случае, если жидкость смачивает поверхность твердого тела, она как бы «наползает» на твердое тело. Поверхность жидкости при этом искривляется, образуя так называемый мениск. Мениск Вы можете пронаблюдать, опустив стеклянную пластинку в воду На рис. 1.20ti изображен такой мениск. Горизонтальному участку свободной поверхности жидкости соответствует координата у = 0. Пусть угол смачивания 0, ширину пластинки и мениска примем равной I = 1. Найдём высоту наибольшего поднятия жидкости h. Для этого рассмотрим равновесие свободной поверхности ^. Заметим, что давление в жидкости вблизи
Рис. 1.20. К выводу формулы, описывающей линию мениска.Рис. 1.20. К выводу формулы, описывающей линию мениска.
Рис. 1.20. К выводу формулы, описывающей линию мениска.
Рис. 1.20. К выводу формулы, описывающей линию мениска.
поверхности в точке А, согласно формуле Лапласа (1.17), равно
Рж = Ра + аК,Рж = Ра + аК,Я1 я2Я1 я2(1.37)(1.37)
Рж = Ра + аК,
Рж = Ра + аК,
Я1 я2
Я1 я2
(1.37)
(1.37)
где К — кривизна поверхности. С другой стороны, давление в жидкости на высоте у над плоской свободной поверхностью (на ней, т. е. при у = 0, Рж = Ра) равно
Рж = Ра - РЭУ =Ра- Р2-Рж = Ра - РЭУ =Ра- Р2-(1.38)(1.38)
Рж = Ра - РЭУ =Ра- Р2-
Рж = Ра - РЭУ =Ра- Р2-
(1.38)
(1.38)
Р2 = Р9У — гидростатическое давление, взятое со знаком минус потому, что мы продвинулись не вглубь жидкости от плоской поверхности, а вверх.
Приравнивая (1.37) и (1.38), получаем равенство, справедливое для каждой точки поверхности ^:
—рду = аК.(1.39)
Отсюда следует важный вывод: равновесие всей поверхности ^3 определяется равенством сил капиллярного и гидростатического давлений. Составляя уравнение равновесия сил отметим, что силы капиллярного давления сводятся к силам поверхностного натяжения ai и «2- Силу же гидростатического давления, действующую на площадку dS, можно разбить на две составляющие dFi и dF2. Причем
dFix = —p^dyt = —pgydy,(1.40)
так как 1 = 1. Полная сила гидростатического давления в проекции на ось х будет равна сумме всех малых сил dFx, или, заменяя сумму малых величин интегралом, получим
Теперь условие равновесия поверхности ^ в проекции на ось х будет выглядеть так:
—Р9~2—sin# + <^2=0.(1-41)
По определению коэффициента поверхностного натяжения,
О1 = «2 = О^ = О (I = 1).
С учетом этого, из (1.41) легко находим
/i=^(l-sin0).(1.42)
Нетрудно проверить, что совокупность параметров = а имеет размерность длины. Она называется капиллярной постоянной. Для воды в поле тяжести Земли а « 0,4 см. Если жидкость полностью смачивает пластину (например, вода и стекло), то^ = 0иД = п.
Линия сечения мениска
Как видно из рисунков, форма сечения мениска напоминает гиперболу. А какова эта форма на самом деле? И как рассчитать эту кривую? Уравнение кривой мениска математически можно найти как функцию у^х\ или
наоборот, х^у\ Делается это, например, так. Согласно изложенному выше в каждой точке свободной поверхности, т. е. для всех х и у, справедливо равенство
-pgy = a(^ + X_Y (1.43)
В нашем случае Ri = сю, a = К — кривизна кривой сечения мениска. Вообще, под кривизной некоторой кривой понимают скорость изменения направления касательной к кривой. В частности, если посмотреть на рис. 1.205, то количественно такую скорость можно охарактеризовать отношением
^2-^1м^2-^1м^=к, [0] = рад.^=к, [0] = рад.
^2-^1м
^2-^1м
^=к, [0] = рад.
^=к, [0] = рад.
Это отношение называется средней кривизной кривой у(х) на участке 1-2 (аналогично средней скорости движения). Просто кривизной К, точнее кривизной кривой в некоторой ее точке, называют предел отношения (аналог мгновенной скорости движения):
К = lim ^ =Д£^0 МК = lim ^ =Д£^0 Мd0ard0ar
К = lim ^ =
Д£^0 М
К = lim ^ =
Д£^0 М
d0
ar
d0
ar
Как было уже сказано в § 1.3, тангенс угла наклона касательной к кривой равен первой производной у\х\ тогда
tg# = у\ 0 = —arctg?/.
Возьмем производную по £ от последнего равенства:
d9 = d£
d£ 1 + (у'У
В § 1.3 было также найдено, что длина дуги кривой равна
d£ = dx^l + (у'У-
Подставив это выражение для dl в правую часть предыдущего равенства,
получимполучимК = - (^) / (1 +К = - (^) / (1 +-у"(1 + (у,)2)%‘-у"(1 + (у,)2)%‘
получим
получим
К = - (^) / (1 +
К = - (^) / (1 +
-у"
(1 + (у,)2)%‘
-у"
(1 + (у,)2)%‘
Теперь вместо (1.43) имеем следующее дифференциальное уравнение:
Умножим обе части этого уравнения на дифференциал dy и возьмем неопределенный интеграл от обеих частей:
dy 7
• dz dx
z dz(1 + 22)3/2z dz(1 + 22)3/2J (1 + г2)3/2^ JJ (1 + г2)3/2^ J(U = 1 + ^2).(U = 1 + ^2)..2^3/2
z dz
(1 + 22)3/2
z dz
(1 + 22)3/2
J (1 + г2)3/2^ J
J (1 + г2)3/2^ J
(U = 1 + ^2).
(U = 1 + ^2).
После вычисления интегралов в левой и правой части получим
Постоянная интегрирования определяется из граничных условий. Например, при х ^ сю на плоской поверхности должно быть у = 0, у' = 0. Поэтому const = 2.
Теперь уравнение искомой кривой можно привести к виду
у21
а2 V1 + (У')2'
а, как и прежде, — капиллярная постоянная. Отсюда можно выразить производную у'*.
dx J Н 2 / 2\2у (1 - у2/а2)
В этом дифференциальном уравнении можно разделить переменные и от обеих частей взять неопределенный интеграл
Если теперь вычислить интеграл в левой части, то получим искомое уравнение кривой в виде х^у\ Однако сделать это непросто (попытайтесь!), поэтому приведем окончательный результат:
(1.44)(1.44)
(1.44)
(1.44)
хо — постоянная, которую легко найти из граничных условий при х = 0.
1.5.3. Численное построение кривой сечения мениска
Современная вычислительная техника позволяет преодолеть трудности аналитического вычисления предыдущего интеграла. Наиболее просто это можно сделать одним из численных методов решения дифференциальных уравнений — методом Эйлера. Заключается он в следующем. Заменим в уравнении дифференциалы конечными разностями:
~ Уо = flu)
Ах ~ Дж жх — ж0
где /(у) — известная функция, у(ж) — искомая функция, у1 — значение функции в точке жх, а уо — ее значение в точке жо. Предположим, что Уо(хо) нам известно, тогда приближенно можем записать
У1 ~ Уо + /(уо)Аж, Ж1 = ж0 + Дж.
На следующем шаге можно определить
Уз ~ У1 + Кут)^ х2 = Х1 + Аж.
Повторяя эту процедуру, можем найти множество значений у(х) во всей области определения. Функция / может зависеть и от х. Идея вычислений от этого не меняется. Тогда алгоритм вычислений можно записать так:
Задаем жо, уо, ^х, к = 0, 0, е (см. ниже).
Вычисляем ^+i = ук + f(xk,yk)Axc, xkyi = хк + Аж.
Печатаем ж/^+ь ykyi .
Если не дошли до границы области определения у, то увеличиваем к на единицу и выполняем 2.
Конец.
В нашем случае можно принять
жо = 0, уо = h = ал/(1 — sin#).
Однако граница области определения у(х) находится на бесконечности. Как быть в этом случае? Вариантов много, и Вы можете предложить свой. Мы же поступим следующим образом. Так как при х ^ сю, у' = 0, то расчеты можно закончить по условию
\Ук+1 ~ Ук\
7 < £.
Аж
е характеризует точность приближения к плоской поверхности, которую Вы, конечно, должны задать перед началом расчетов.
Еще одна тонкость данной задачи — это выбор шага Аж. Из опыта видно, что горизонтальная длина мениска примерно равна высоте поднятия h, которая, в свою очередь, имеет числовое значение порядка а. Поэтому можно взять, например, Аж = a/N, N = 10,100,1000 и т. д., в зависимости от желаемой точности.
А сейчас самая пора писать программу и садиться за компьютер. 8] Постройте кривую сечения мениска по (1.44) и по результатам численного счета, пользуясь предложенным алгоритмом. Сравните результаты своих расчетов с экспериментом. Сделайте выводы.
Что такое капилляр?
Будем теперь проводить опыт с двумя стеклянными пластинами, расположив их параллельно друг другу и погрузив в воду. Если пластины 9] достаточно удалены друг от друга, наблюдается картина, изображенная на рис. 1.21 а, если же они расположены близко друг к другу, будем наблюдать картину, соответствующую рис. 1.21 б.
Рис. 1.21. а) Сила поверхностного натяжения недостаточна для поднятия жидкости. б) Сила поверхностного натяжения приводит к поднятию жидкости между пластинами.
Проделывая опыты с различными расстояниями между пластинами d, можно заметить, что поднятие жидкости между пластинами начинается с
расстояния d, примерно равного капиллярной постоянной а. Найдем высоту поднятия жидкости в капилляре (h). Для этого рассмотрим равновесие столбика жидкости между пластинами шириной £ = 1. На него действуют сила тяжести и сила поверхностного натяжения (рис. 1.215). В проекции на вертикальное направление имеем следующее условие равновесия:
2Fa cos 6 — mg = 0.(1-45)
По определению, Fa = а£ = а. Масса столбика жидкости между пластинами
т to phd^ = phd^.(1-46)
Из этих формул получаем
7 2о cos6 а? ам
Разумеется, это приближенная формула, так как мы не учитывали массу жидкости около пластин под мениском (мениск между пластинами). Это возможно, если h ^ do.
Аналогичные результаты будут получаться в опытах со стеклянными трубками. Поднятие воды в трубках будет наблюдаться, если их диаметр станет меньше капиллярной постоянной. Поднятие жидкости в узких каналах называется капиллярным, а сами трубки капиллярами. Так как у многих жидкостей поверхностное натяжение сравнимо с водой, то капилляром в земных условиях можно считать трубки диаметром менее 4 мм.
Учитывая, что сила тяжести на Луне примерно в 6 раз меньше земной, 110 подсчитайте диаметр лунных капилляров.
Проявление капиллярных эффектов в природе, использование их в технике настолько многообразно, что для описания этого потребовалась бы отдельная книга. Наблюдайте и Вы увидите!
А в заключение два вопроса:
Откуда берется энергия для поднятия жидкости в капилляре на высоту Д?
Каково время этого поднятия?
§ 1.6. Опыты с трубками и водой
Возьмем стеклянную трубку длиной < 20 см и диаметром < 5 мм. Один конец опустим в стакан с водой (воды в стакане больше половины). 111 Большим пальцем руки закроем верхнее отверстие трубки и вынем ее из
Рис. 1.22. а) Из закрытой пальцем капиллярной трубки жидкость не вытекает (1); при открытом конце трубки жидкость вытекает (2), оставляя капиллярный столбик (3). б) Из трубки большого диаметра жидкость вытекает даже при закрытом отверстии, и механизм вытекания ее другой.
Рис. 1.23. Механизм вытекания жидкости из трубки большого диаметра.Рис. 1.23. Механизм вытекания жидкости из трубки большого диаметра.стакана. В трубке останется столбик воды, равный по высоте глубине погружения трубки в стакан. Расположив нижнее отверстие над чашкой (раковиной), откроем верхнее отверстие трубки. Вода начнет выливаться, верхний уровень ее будет все время снижаться (рис. 1.22 а), до тех пор пока в трубке не останется столбик воды высотой К, которую легко можно рассчитать (сделайте это сами). Возьмем теперь трубку диаметром > 1 см и проделаем с ней аналогичный опыт. Если мы вынем трубку из стакана с водой и тут же, убрав палец, откроем верхнее отверстие, произойдет то же, что и в первом опыте. Но если, вынув трубку и держа верхнее отверстие закрытым, мы слегка встряхнем ее, то с удивлением обнаружим, что во-
Рис. 1.23. Механизм вытекания жидкости из трубки большого диаметра.
Рис. 1.23. Механизм вытекания жидкости из трубки большого диаметра.
да из трубки вытекает и при закрытом верхнем отверстии, но теперь уже несколько по-другому: верхняя граница жидкости неподвижна, а нижняя устремляется вверх. При этом вода вытекает тоненькой струйкой вблизи стенки трубки (рис. 1.22 5) (если жидкость не будет вытекать — слегка встряхните трубку). Если снять при помощи замедленной киносъемки весь процесс вытекания жидкости из широкой трубки, то начальная стадия будет выглядеть, как показано на рис. 1.23. Жидкость в виде языка как бы проваливается в воздух. Автор видел кадры такой киносъемки — очень красиво. Явление «проваливания» верхней тяжелой жидкости в нижнюю, более легкую (в смысле меньшей плотности) называется неустойчивостью Релея- Тейлора.
§1.7. Неустойчивость Релея-Тейлора
Энергетический подход
Построим простейшую теорию неустойчивости Релея-Тейлора. Для этого рассмотрим длинный канал шириной h, внизу которого находится более легкая жидкость, а вверху — более тяжелая (рис. 1.24) — р^ > ру. В равновесии поверхность раздела плоская (для достаточно широкого канала мениском можно пренебречь), давление в верхней и нижней жидкости вблизи их границы одинаково и равно
Р = Ра^ Р^дН. (1.48)
Рассмотрим теперь, что произойдет,
Рис. 1.24. Две жидкости одна над другой могут находить в равновесии. Это равновесие в поле тяжести устойчиво, если р2 < pi- А если Р2 > Щ?Рис. 1.24. Две жидкости одна над другой могут находить в равновесии. Это равновесие в поле тяжести устойчиво, если р2 < pi- А если Р2 > Щ?если возникнет искривление поверхности. Очевидно, самое простое искривление поверхности соответствует проваливанию верхней жидкости в нижнюю, как показано цифрой 1 на рис. 1.24. Однако
Рис. 1.24. Две жидкости одна над другой могут находить в равновесии. Это равновесие в поле тяжести устойчиво, если р2 < pi- А если Р2 > Щ?
Рис. 1.24. Две жидкости одна над другой могут находить в равновесии. Это равновесие в поле тяжести устойчиво, если р2 < pi- А если Р2 > Щ?
такое возмущение поверхности раздела
приводит к изменению объема жидкостей (по крайней мере нижней). Поэтому его нужно отбросить, если жидкости несжимаемые. Для несжимаемых жидкостей (которые мы и будем рассматривать) простейшая форма искривления поверхности показана на рис. 1.24 (линия 2). Итак, допустим,
что граница слегка искривилась во всем сечении канала, как показано на рис. 1.24 сплошной линией 2. Мы уже знаем, что на научном языке это называется задать малое возмущение границы. Форма возмущения, вообще говоря, может быть любой, но чаще всего задают возмущения в виде синусоиды (косинусоиды). Подсчитаем, насколько при этом изменилась потенциальная энергия системы. Если изменение потенциальной энергии AW положительно, то равновесие устойчиво и система вернется в исходное состояние. Если же изменение потенциальной энергии AW < 0, то равновесие неустойчиво — возмущение будет нарастать. Сразу оговоримся, что при этом мы определим устойчивость или неустойчивость только по отношению к заданной форме возмущений. В этом плане доказательство
Рис. 1.25. К определению неустойчивости равновесия тяжелой жидкости над легкой.
неустойчивости гораздо проще доказательства устойчивости. У природы бесконечно большой набор возмущений, и если мы, выбрав любое, докажем, что равновесие неустойчиво, то это окончательный приговор системе. Ее состояние разрушится. Однако если для заданной формы возмущений равновесие устойчиво, то у нас нет никакой уверенности, что это справедливо и для другой формы возмущений. В свете сказанного и по той причине, что с синусоидой нам работать будет сложно, аппроксимируем синусоиду «треугольным» возмущением, как показано на рис. 1.25. Кроме того, будем считать pi <С р2 (например, воздух внизу, вода вверху). Сильное неравенство позволяет считать pi ^ 0. Изменение потенциальной энергии состоит из двух частей: изменения энергии в поле тяжести и поверхностной
АТУ = ^Wg^^Wa.(1.49)
Подсчитаем АТУ^. Для этого заметим, что задание такого возмущения эквивалентно сдвигу левой части жидкости вправо с опусканием центра тяжести на 2/3 высоты треугольника, так как центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан, а последние делят друг друга в точке пересечения в пропорции 1:2. Высоту треугольника обозначим £, причем для малых возмущений ^ < А, а для периодических возмущений h = А — длина волны. Все вычисления будем производить для элемента жидкости длиной £ вдоль канала (рис. 1.25). Тогда
AWg = -^тдС(1.50)
Знак минус взят потому, что энергия Wg, очевидно, уменьшилась. Найдем массу треугольной пирамиды высотой £:
т = Р^ф = ^хс
Тем самымТем самым^wg = -|№^2ал^wg = -|№^2ал(1.51)(1.51)
Тем самым
Тем самым
^wg = -|№^2ал
^wg = -|№^2ал
(1.51)
(1.51)
Для определения А ПА найдем площадь боковой поверхности двух пирамид:
(1.52)(1.52)5 = 4^аД2 + — = 4£-\1 +«1А (1+ —
(1.52)
(1.52)
° у s т 164 V т д2 I Т д2
Здесь использовалось приближенное равенство
(1 + eY to 1 + еп, е<1, тг=|.
Из (1.52) видим, что изменение площади в результате возмущения поверхности
Тогда изменение поверхностной энергии равно
MVa=aM=-^.(1.53)
Для неустойчивости необходимо, чтобы АРИ < 0 или, по (1.49),
^Wa < -^Wg.(1.54)
Подставляя в (1.54) формулы (1.51) и (1.53), получим условие неустойчивости в виде
>2 . 48о
Л
или
()) >•0-55)
Перейдем к обсуждению полученных результатов. Первое, и самое главное, это то, что длина волны возмущения, которое может нарушить устойчивость равновесия тяжелой жидкости над легкой, должна быть в несколько раз больше капиллярной постоянной. В нашем случае А = Д, и, в силу несжимаемости жидкости, h есть наибольшая возможная длина волны поперек канала. Это означает, что если взять размер сосуда такой, что
/г < V24a « 4,9а(1.56)
(по нашим приближенным расчетам), то равновесие тяжелой жидкости над легкой будет устойчивым. Разумеется, этого нельзя добиться в длинном сосуде, изображенном на рис. 1.24, так как если возмущение не помещается
поперек, то вполне может разместиться вдоль. Если же уменьшать и этот размер, то есть перейти к трубке, диаметр которой d удовлетворяет условию
d < 4,9п,
то равновесие может быть устойчивым. Для трубок большего диаметра
равновесие неустойчиво.равновесие неустойчиво.Рис. 1.26. Другой механизм проявления неустойчивости Релея-Тейлора.Рис. 1.26. Другой механизм проявления неустойчивости Релея-Тейлора.Обратимся к опытам, описанным в предыдущем параграфе. В опытах с трубкой малого диаметра столбик жидкости находился в равновесии. То есть для трубок, у которых диаметр достаточно мал, неустойчивость Релея-Тейлора не проявляется. Тогда как в широкой трубке наблюдается «проваливание» воды в воздух, т. е. проявляется неустойчивость Релея - Тейлора.
равновесие неустойчиво.
равновесие неустойчиво.
Рис. 1.26. Другой механизм проявления неустойчивости Релея-Тейлора.
Рис. 1.26. Другой механизм проявления неустойчивости Релея-Тейлора.
Но не все так просто, как кажется. В книге [7] имеется рисунок (см. рис. 1.26), показывающий, как тонкий слой ртути (1) проваливается в воду (2). В нашем опыте с вытеканием воды был всего один язык, а здесь целая серия! Почему? Очевидно, что-то изменяется,
если сосуд очень широкий. Подумайте над этим. Или потерпите до тех пор,
пока мы не рассмотрим этот вопрос далее.
Гравитационно-капиллярные волны и неустойчивость
Если ситуацию, изображенную на рис. 1.24 и рис. 1.25, мысленно сделать обычной для нас, то есть жидкость поместить внизу, а воздух вверху, то, как всем нам хорошо известно, равновесие будет устойчивым, а на поверхности можно наблюдать возмущения в виде гравитационно-капиллярных волн. Запишем возмущение поверхности в этом случае в виде стоячей волны:
£ = ^о cos cat cos кх, к=—.
Поскольку речь идет не о вынужденных, а о собственных колебаниях, то и, как и инкремент у в задаче о цилиндре, неизвестна. Она должна быть найдена из уравнений движения жидкости. Запишем уже известное нам уравнение движения единицы объема жидкости вблизи ее свободной поверхности в проекции на ось
(1.57)(1.57)92£ АррдС =”Т
(1.57)
(1.57)
Сейчас, однако, изменение давления Ар в жидкости за счет возмущения содержит не только лапласовское давление, но еще и гидростатическую добавку рд^. Очевидно, что на эту добавку давление в жидкости больше там, где она вспучилась — £ > 0, и меньше в том месте, где провал — £ < 0. Получаем тем самым
Ар = аК + рд^.
Для малых возмущений по-прежнему имеем
1R1R
1
R
1
R
Выполняя дифференцирование £ по времени, получим уравнение движения (1.57) в виде
= А + Р9^ '
Отсюда
/ 1 Z 91/^3 xl/2
ш = \^ак + Р9И =^=\^”+9к) •
Выражение для ио, даваемое строгой математической теорией, слегка отличается от найденного нами и равно
Так как фазовая скорость волн определяется соотношением
со
то видим, что она зависит от к, то есть и от длины волны, следовательно имеет место дисперсия. Зависимость си (к) называется дисперсионным соотношением.
Снова мысленно перевернем систему так, чтобы жидкость оказалась вверху, а воздух — внизу. Очевидно, что смена понятий «верх», «низ» определяется сменой знака у д. Дисперсионное соотношение (1.58) теперь становится таким:
Видно, что при условии
А:2 < ^ или А > х/2тш(1-59)
частота становится мнимой. Что это означает? Обратимся к математике. Замечательная формула Эйлера
ег^ = cos г + г sin г, V—1 =
позволяет доказать (докажите это сами!), что
cos г М t = ch М t.
Тогда решение для стоячих волн превратится в следующее:
£ = у (е^^ + cos кх.
Второе слагаемое в скобках со временем быстро затухает, и окончательное решение можно записать в виде
£ = coskx,
2,(1-60)
7 = |cj| = (^дк — ^^^, А >
Итак, мы получили монотонно нарастающее решение для возмущений, а это означает неустойчивость. Равновесие тяжелой жидкости над легкой (вода-воздух) неустойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям, длина волны которых удовлетворяет условию
А > ^а = А*.
Более простая теория, основанная на энергетическом подходе, дала нам коэффициент V24 вместо V^tt, однако они близки. Более того, здесь была рассмотрена теория для прямоугольного сосуда, а для круглого, как мы увидим далее, коэффициент перед а несколько другой. Но не это важно.
Важно то, что ситуация с неустойчивостью Релея - Тейлора напоминает ситуацию с неустойчивостью равновесия жидкого цилиндра. Инкремент роста возмущений у зависит от волнового числа к (или от длины волны) не монотонным образом. Он имеет максимум. Чтобы найти волновое число, соответствующее максимуму у, достаточно продифференцировать у2 и приравнять производную нулю (выполните самостоятельно). Тогда для длины волны наиболее быстро растущих возмущений получим Am = V^ira.
Рис. 1.27. Качественный график зависимости инкремента роста возмущений от длины их волны.Рис. 1.27. Качественный график зависимости инкремента роста возмущений от длины их волны.На рис. 1.27 изображен качественный график зависимости 7(A). Теперь образование множества «языков» при наступлении неустойчивости Релея - Тейлора в широком сосуде (рис. 1.26) можно объяснить, например, так. Если размер сосуда di удовлетворяет условию А* < di < Аш, то длина волны наиболее быстро растущих возмущений, которые, как предполагается, и приводят к развитию неустойчивости, равна размеру сосуда А^ = di (рис. 1.27). В этом случае жидкость втекает в воздух в виде одного языка, как и было в опытах с трубками. Тогда как если размеры со су-
Рис. 1.27. Качественный график зависимости инкремента роста возмущений от длины их волны.
Рис. 1.27. Качественный график зависимости инкремента роста возмущений от длины их волны.
да велики в смысле d^ > Am, то наиболее быстро растущим возмущениям соответствует Аш, а на ширине сосуда разместится (^2/Аш) возмущений,
переходящих затем в «языки».
U-образная трубка
Равновесие и колебания
В §1.1 было показано, что в равновесии жидкость в И-образной трубке одинаково заполняет оба колена, так что свободные поверхности находятся на одном и том же уровне, которому соответствует некоторая потенциальная энергия Wq. При отклонении жидкости от положения равновесия уровень в одном колене повысится на величину ж, а в другом понизится на столько же (это справедливо для однородной несжимаемой жидкости, рис. 1.28). Как показано в §1.1, потенциальная энергия при этом возрастет и станет равной
(1.61)(1.61)Ж = Wq + migx,mi = pSx,
(1.61)
(1.61)
где p — плотность жидкости, S — площадь сечения трубки, mi — масса жидкости, перетекшей из левого колена в правое. В дальнейшем предоставленная самой себе, жидкость будет стремиться занять положение равновесия, т. е. начнется перетекание ее из правого колена в левое. По инерции положение равновесия будет пройдено, и процесс начнется в обратном порядке, т. е. начнутся колебания жидкости около положения равновесия. Найдем
частоту этих колебаний, используя формулу (1.9):
/1 d^W J^pSgЭх2 V т/1 d^W J^pSgЭх2 V т(1.62)(1.62)
/1 d^W J^pSgЭх2 V т
/1 d^W J^pSgЭх2 V т
(1.62)
(1.62)
В этой формуле т — масса колеблющейся системы. Если всю длину столба жидкости в трубке обозначить 2L, то, очевидно,
т = 2LpS.
ТогдаТогдаkpSg у 2pSLkpSg у 2pSL(1.63)(1.63)
Тогда
Тогда
kpSg у 2pSL
kpSg у 2pSL
(1.63)
(1.63)
Рис. 1.28. Колебания математического маятника и поршневые колебания жидкости в U-образной трубке похожи.Рис. 1.28. Колебания математического маятника и поршневые колебания жидкости в U-образной трубке похожи.
Рис. 1.28. Колебания математического маятника и поршневые колебания жидкости в U-образной трубке похожи.
Рис. 1.28. Колебания математического маятника и поршневые колебания жидкости в U-образной трубке похожи.
Результат удивительный! Формула частоты колебаний жидкости в трубке совпадает с формулой частоты колебаний математического маятника. Можно было ожидать, что частота будет зависеть от сорта жидкости (т. е. от р) и от величины сечения трубки, но ничего этого не произошло. Природа выбрала простейший вариант, демонстрируя единство своих закономерностей.
Мы, однако же, негласно пренебрегли мениском, считая свободную поверхность абсолютно плоской. Поверхность жидкости
при этом совершает движения, напоминающие движения поршня. Поэтому и колебания такого типа называются поршневыми. Нам уже ясно, что поршневые колебания возможны, если диаметр трубки гораздо больше капиллярной постоянной
для жидкости. Если же диаметр трубки сравним с капиллярной постоянной, то мениск проявит себя так, что будут возможны менисковые колебания, выражающиеся в периодическом изменении формы мениска в коленах, например, как показано на рис. 1.29. При этом, предполагая, что поверхности менисков в коленах — это две полусферы, потенциальная энергия становится равной (считаем здесь д = 0)
(1.64)(1.64)W2 = Ж» + 2тгг2о.
(1.64)
(1.64)
После вычисления получимПосле вычисления получимПеременной координатой сейчас является радиус кривизны мениска г, поэтому формула для частоты менисковых колебаний будет иметь вид
После вычисления получим
После вычисления получим
92И2Ут292И2Ут2
92И2
Ут2
92И2
Ут2
С^2 =С^2 =
С^2 =
С^2 =
(1.65)(1.65)Рис. 1.29. Другая форма колебаний жидкости в U-образной трубке.Рис. 1.29. Другая форма колебаний жидкости в U-образной трубке.И все-таки интуиция нас не подвела. Частота менисковых колебаний зависит и от сорта жидкости, и от сечения трубки. В случае д ^ 0 потенциальная энергия равна W = Ио + Ж+И^- А частота менисковых колебаний (рис. 1.29)
(1.65)
(1.65)
Рис. 1.29. Другая форма колебаний жидкости в U-образной трубке.
Рис. 1.29. Другая форма колебаний жидкости в U-образной трубке.
X 52 ^1 + 5^2 т \ 9ж29г2
ИЛИ
(1.66)(1.66)£ , 4тго
(1.66)
(1.66)
L pLS*
Используя полученную формулу, мы можем более строго сформулировать условие, при котором колебания жидкости можно считать поршневыми и не учитывать капиллярных эффектов. Это условие гласит:
4тго _ 9 тттттт Q _ 4тго _ 9 2
_ <^С Т или о,
pLS LРУ
где а — по-прежнему капиллярная постоянная. При выполнении этого условия
Ш ~ Ш оШ ~ Ш о
Ш ~ Ш о
Ш ~ Ш о
Устойчивость
А сейчас мысленно (те, кто делает наши опыты в лаборатории, сделают это в натуре) перевернем трубку с жидкостью (рис. 1.30). Мы
Рис. 1.30. Проявится или не проявится релей - тейлоровская неустойчивость равновесия жидкости — зависит от диаметра трубки.Рис. 1.30. Проявится или не проявится релей - тейлоровская неустойчивость равновесия жидкости — зависит от диаметра трубки.с Вами уже знаем, что такое переворачивание теоретически эквивалентно смене знака у д. Поэтому для частоты колебаний возмущений поршневого типа получим
Рис. 1.30. Проявится или не проявится релей - тейлоровская неустойчивость равновесия жидкости — зависит от диаметра трубки.
Рис. 1.30. Проявится или не проявится релей - тейлоровская неустойчивость равновесия жидкости — зависит от диаметра трубки.
Частота менисковых колебаний (рис. 1.29) в перевернутой трубке будетЧастота менисковых колебаний (рис. 1.29) в перевернутой трубке будетравнаравна^2 —^2 —_9_ । 4тгоу L pLS*_9_ । 4тгоу L pLS*В предыдущем параграфе было показано, что мнимые частоты соответствуют апериодическому (монотонному) нарастанию возмущений по экспоненте, т. е. неустойчивости. Тем самым равновесие жидкости в перевернутой U-образной трубке абсолютно неустойчиво по отношению к возмущениям поршневого типа. Ситуация здесь полностью аналогична ситуации с перевернутым маятником (шарик на жестком стержне) или ситуации, когда шарик находится в положении в на рис. 1.1.
Частота менисковых колебаний (рис. 1.29) в перевернутой трубке будет
Частота менисковых колебаний (рис. 1.29) в перевернутой трубке будет
равна
равна
^2 —
^2 —
_9_ । 4тго
у L pLS*
_9_ । 4тго
у L pLS*
Равновесие жидкости в перевернутой U-образной трубке по отношению к такого типа возмущениям устойчиво, если выражение под корнем сохраняется положительным. Это условие выполняется при
4тгоpS4тгоpS> д> дИЛИИЛИ2,2,(1.67)(1.67)
4тгоpS
4тгоpS
> д
> д
ИЛИ
ИЛИ
2,
2,
(1.67)
(1.67)
то есть для трубок относительно малого диаметра. Если каким-то образом сделать невозможными колебания поршневого типа (это можно сделать, например, закрыв оба конца трубки), то устойчивое равновесие жидкости в перевернутой U-образной трубке можно пронаблюдать. Ну а в относительно широких трубках, для которых
(1.68)(1.68)г > V^a.
(1.68)
(1.68)
равновесие жидкости даже при закрытых концах невозможно. Итак, 113 | приготовьте трубки разных диаметров и приступайте к опытам.
Если Вы уже пронаблюдали на опыте и устойчивое равновесие, и неустойчивое, то наверняка заметили, что в случае неустойчивого равновесия вытекание жидкости происходит одновременно из каждого колена, а не из колена в колено, т. е. так, как показано на рис. 1.29. Все дело в том, что наравне с неустойчивостью по отношению к возмущениям типа менисковых равновесие в перевернутой трубке неустойчиво и по отношению к возмущениям типа проваливания (рис. 1.30), которые нарастают быстрее возмущений типа перетекания и в конце концов приводят к развитию релей-тейлоровской неустойчивости. Той самой, которую Вы наблюдали в одиночной трубке в §1.7.
Сделаем еще одно важное замечание. Капиллярная постоянная для чистой воды ~ 3,9 мм, поэтому условие проявления неустойчивости (1.68) дает для диаметра трубки оценку
d > 17мм.
Однако на опыте неустойчивость можно пронаблюдать уже в трубках диаметром d ^ 10 мм. Причин такого несоответствия несколько. Одна из них состоит в том, что условие (1.68) получено для неустойчивости равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, тогда как на опыте они всегда конечны. Другая заключается в том, что если вода взята из водопровода, а трубки недостаточно чистые, то капиллярная постоянная может уменьшиться до ~ 3,3 мм. Проверьте на опыте, измерив о, а также подумайте, почему это происходит.
Явление Лейденфроста
Ручаюсь, что многие из Вас, дорогие читатели, прочитав название этого параграфа, подумали: «Не знаю ни такого явления, ни такого ученого». По свидетельству автора журнальной статьи [8], явление Лейденфроста было впервые описано в научной литературе ученым Берхеви (Boerhaave) в 1732 году, и лишь 24 года спустя, в 1756 году, более подробное описание явления было дано Лейденфростом (Leidenfrost). С тех пор и по сей день теория этого простого явления обсуждается в научной литературе. Явление же, уверен, знают все. Перед тем как гладить белье, Вы слегка брызгаете водой на поверхность утюга и, если он достаточно нагрет, видите, как капли воды уже не прилипают к поверхности, а скользят по ней. Так же ведут себя брызги воды (супа, чая), попавшие на поверхность горячей плиты или сковородки. А если Вы проделаете специальные опыты, например, такие, которые описаны в журнале «Квант» (1977, №12; 1978, №7), Вы сможете пронаблюдать и зависание капли над горячей поверхностью. На научном
языке это называется пленочным кипением капли над горячей поверхностью или явлением Лейденфроста. Проявляется оно весьма разнообразно. Вот пример.
Один мой товарищ рассказал мне, как однажды летом они вдвоем с сослуживцем ехали на легковом автомобиле «Нива» по асфальтированному шоссе в дальний рейс. Его попутчик, будучи не очень опытным водителем, попросился за руль. Все шло хорошо, пока асфальт был сухой. Но как только они въехали на мокрый асфальт (впереди прошел дождь), машину занесло, и она перевернулась. Они чудом остались целы и невредимы. В данном случае
водителя подвело не только отсутствие опыта вождения, но еще и незнание физики. От длительной езды шины нагрелись, и при въезде на мокрый асфальт между шинами и асфальтом образовалась паровая прослойка, так что в результате трение практически исчезло.
Прочитав статью Дж. Уокера в журнале «Квант» (1991, №6), Вы узнаете о других, совершенно удивительных проявлениях эффекта Лейденфроста.
Интерес к этому явлению в настоящее время диктуется тем, что во многих технологических процессах приходится охлаждать горячие поверхности жидкостями. При этом, очевидно, может возникать явление Лейденфроста
и оказывать решающее влияние на течение всего технологического процесса. Анализируя публикации последних лет, посвященные теории явления Лейденфроста, автор пришел к выводу, что на сегодняшний день нет общепринятой строгой теории этого явления. Однако существуют отдельные аспекты теории, которые являются общепринятыми и достаточно простыми. Основываясь на них, мы сейчас проведем некоторые количественные
расчеты.расчеты.Рис. 1.31. Равновесие капли надРис. 1.31. Равновесие капли надпаровым слоем.паровым слоем.Основная идея теории такая: с нижней поверхности капли происходит интенсивное испарение, и капля висит на паровой подушке, не касаясь горячей поверхности, аналогично тому, как зависает автомобиль на воздушной подушке. Прежде чем переходить к дальнейшему чтению, рекомендую внимательно пронаблюдать явление еще раз.
расчеты.
расчеты.
Рис. 1.31. Равновесие капли над
Рис. 1.31. Равновесие капли над
паровым слоем.
паровым слоем.
N + mg = 0 или N = тд.N + mg = 0 или N = тд.(1.69)(1.69)Итак, пусть над горячей поверхностью повисла, т. е. находится в состоянии равновесия, капля массой т (рис. 1.31). Равновесие капли как целого означает
N + mg = 0 или N = тд.
N + mg = 0 или N = тд.
(1.69)
(1.69)
где N — сила реакции пара под каплей. Будем наблюдать за равновесием в
течение времени, которое гораздо меньше времени испарения всей капли. Тогда приближенно можно считать все величины постоянными. О форме капли поговорим позже. Теперь же заметим, что нижняя поверхность капли почти плоская, как и твердая горячая поверхность (это можно пронаблюдать на опыте). Ввиду этого, объем пара под каплей будем считать цилиндрическим, с радиусом г и высотой h. Наша задача состоит в том, чтобы ответить, например, на вопрос: начиная с какой температуры поверхности возможно такое равновесие и от чего зависит эта температура?
Пусть избыточное давление пара под каплей равно Ар = рп — ра (Ра — атмосферное давление). Это давление Ар создает в вертикальном направлении силу, уравновешивающую силу тяжести капли, а в горизонтальном направлении — силу, приводящую к вытеканию пара из-под капли со скоростью v. Вытеканию препятствует сила трения пара, обусловленная его вязкостью. Тем самым можем записать вместо (1.69)
N = Артгг2 = mg.(1-70)
А теперь будем разбираться с горизонтальными силами. В толще пара мысленно выделим цилиндр с горизонтальной осью длиной г и площадью основания AS = ^7гД2. Давления на концах цилиндра — рп и ра. Тогда результирующая сила, действующая на цилиндр, будет равна
Fn = ^pn-pa>S = ^S = Ap^h2.(1.71)
А по определению силы внутреннего трения в жидкости или газе, она равна
Fc = p^S60K,(1.72)
где g — вязкость газа (пара). Производная dv/dz называется градиентом скорости в перпендикулярном потоку направлении, А5бок —боковая поверхность горизонтального цилиндра, так как трение осуществляется на ней. Приближенно можно считать
du _ иdz h'
Кроме того, А5бок = ^h (h — диаметр цилиндра, г — его длина). Учитывая эти формулы и приравнивая (1.71) и силу сопротивления (1.72), получим
(1.73)(1.73)Ар = 4^.п2
(1.73)
(1.73)
Исключив перепад давления Ар из (1.70) и (1.73), получим следующее выражение для скорости пара:
(1.74)(1.74)mgh?
(1.74)
(1.74)
С другой стороны, количество вытекающего пара (а следовательно и его скорость) определяется скоростью испарения жидкости. Допустим, что в единицу времени к единице площади нижней поверхности капли от горячей поверхности подводится q тепла (определенная таким образом величина q называется удельным тепловым потоком). Для простоты будем считать, что все это тепло идет на парообразование. Если удельную теплоту парообразования обозначить К, то в единицу времени будет испаряться количество жидкости
= ^.(1.75)
Если пренебречь обратным процессом конденсации пара, то, по закону сохранения массы, столько же пара выйдет через боковую поверхность цилиндрического парового слоя. Очевидно, через единичную площадку, перпендикулярно ей, в единицу времени проходит количество пара, равное рпг) (рп — плотность пара). Тогда через всю боковую поверхность парового слоя S = 2тггН за секунду пройдет количество пара
Amt = рп^ • 2тггН.(1-76)
Приравнивая (1.75) и (1.76), найдем связь удельного теплового потока и скорости истечения пара:
Из (1.74) и (1.77) находим величину удельного теплового потока, который необходимо подвести к капле, чтобы она висела на паровой подушке:
(1.78)(1.78)mg^pnh?2тгт4р
(1.78)
(1.78)
Зная тепловой поток, нетрудно найти температуру поверхности, при которой возможно явление Лейденфроста. Как известно, удельный тепловой поток связан с перепадом температур соотношением
qqАТ Az 'АТ Az '(1.79)(1.79)
q
q
АТ Az '
АТ Az '
(1.79)
(1.79)
А точнее,
_ ХЭТ
где Тк — коэффициент теплопроводности среды (пара), а знак «—» говорит о том, что тепло распространяется в сторону уменьшения температуры. В нашем случае (1.79) можно приближенно записать в виде
(Тст - Тк)
q^X'h } .(1.80)
Из (1.80) и (1.78) найдем
Тст"Тк + ^Тх\.¥) ’( }
где Тк — температура нижней поверхности капли, которую можно принять равной - 100°С (Тк = 437 К).
Итак, т, г легко если и не измерить, то оценить из опыта, а К, рп, А, т] можно найти в таблицах. Радость теоретика омрачает неизвестная толщина прослойки пара К. Интуитивно ясно, что величина К тоже должна как-то рассчитываться, так как она определяется динамикой всего процесса. Тем не менее, даже более строгая теория такого корифея теплофизики, как академика С. С. Кутателадзе [9], не лишена этого недостатка. Однако нехорошо, если мы остановимся на этом и лишимся удовольствия рассчитать Тст по (1.81). Рассудим, например, так. Очевидно, что h не может быть меньше, чем средняя длина свободного пробега молекул пара А Так, может быть, взять h = Iе? А I можно рассчитать или взять из справочника. Хотя это будет тоже не совсем верно, так как когда мы говорим о вязкости ту, теплопроводности газа А, то имеется в виду, что молекулы газа хорошо перемешиваются, т. е. испытывают много соударений — около 100 и более. Таким образом, если взять h = 100€, то это кажется уже разумным. Здесь, дорогой читатель, Вам следует размяться после утомительного чтения и самому рассчитать или оценить L Автор, сделав такие оценки, нашел £ to 10“7м. Из опытов автора,
m = р^тгт3 = 103^ (З-КГ3)3 « 1,13- 10"4кг,
г to Змм to 3 • 10-3лт.
По справочным таблицам,
N = 2,3-106^, ту = 1,7 • 10-577й • с, Рп = 0,6-^|,
А = 2,4 • 10“25 = 9,8^.
м-Кс2
Подставив все числа в (1.81), получим
Тст - Тк « 2 • 10“2К
Это нас не может удовлетворить, так как противоречит опыту
Подойдем к делу с другой стороны. На опыте проще измерить Тст, при которой становится возможным явление Лейденфроста. Например, с помощью термопары. Автор в результате таких измерений нашел для воды Тст > 200°С. Тогда по (1.81) можно рассчитать К Сделаем это.
/ \4
(£) « 2- КГ9 = 20- КГ8, /г ~ 8 • 10-5 ~ 0,08лш.
Длина свободного пробега порядка 10-7 м, поэтому в прослойке пара укладывается примерно 800 длин свободного пробега. Полученные таким путем оценки вполне разумны. Представляет интерес рассчитать также и критический тепловой поток. Сделайте это сами. И, конечно же, не лишайте себя удовольствия еще раз пронаблюдать эффект на опыте, а еще лучше провести измерения, соответствующие расчетам.
О формах капли
Проделывая опыты предыдущего параграфа, Вы, возможно, наблюдали различные формы капли. Например, автор, выполняя опыты, видел формы капли, похожие показанным на рис. 1.32 (вид сбоку). Причем форму 1 имели маленькие капли, форму 2 — побольше, 3 — еще больше и т. д. (Отметим, что формы капель, показанные на рис. 1.32, получены с помощью компьютерного моделирования сечения равновесной формы капли, лежащей на несмачиваемой подложке. Подробно идея такого моделирования изложена ниже, в пункте 1.13.2.)
Рис. 1.32. Капли маленького диаметра имеют почти сферическую форму, большие — сплющиваются.
В связи с этим возникают вопросы:
Начиная с какого размера капли ее форму можно считать почти сферической? Например, как 1 на рис. 1.32.
Существует ли максимальный диаметр сплющенной капли 4 (рис. 1.32)? Если да, то почему и каков он?
Попробуем ответить на первый вопрос. Форма капли определяется, очевидно, конкуренцией силы поверхностного натяжения и силы тяжести. По крайней мере ясно, что если сила поверхностного натяжения намного превосходит силу тяжести, то форма будет близка к сферической. Определим силу поверхностного натяжения капли по формуле (1.4), с той разницей, что в данном случае переменной величиной является радиус кривизны капли:
|rQ| = ^, W = 47rR2a.
W — поверхностная энергия. Тогда получим
\Fa\ = BttRo.
А условие квазисферичности можем записать так:
4о
BttRo mg = -TtpR д
или
Во=р^<3(182)
Безразмерный параметр капли Во называется числом Бонда. Кстати, число Во можно выразить через капиллярную постоянную жидкости:
Фактически с числом Бонда мы уже встречались. Действительно, условия релей-тейлоровской неустойчивости (или устойчивости) (1.55), (1.56) могут быть записаны в виде
Во = ^Го24-
А условие неустойчивости равновесия жидкости в перевернутой U-образной трубке (1.68) как Во > 2. Число Бонда может быть выделено во всех задачах, в которых силы поверхностного натяжения и силы тяжести действуют совместно.
Вернемся к нашей задаче и вычислим радиус водяной капли, которая будет висеть на паровой подушке, являясь почти сферой. Много меньше в (1.82) — это, например, раз в 100. Тогда из (1.82) для радиуса капли получим оценку
R = (0,06а/рд)1/2 = (0,03а2)1/2 = 0,173 • 4 « 0,7лш.
Итак, капельки воды, радиус которых меньше 1 мм, будут иметь почти сферическую форму. Проверьте на опыте.
D—'XD—'XРис. 1.33. К определению наибольшего диаметра капли.Рис. 1.33. К определению наибольшего диаметра капли.Теперь попробуем ответить на второй вопрос. Если капля висит над прослойкой пара, то ситуация вполне пригодная для проявления релей-тейлоровской неустойчивости. Согласно теории последней она наступает, если выполняется условие (1.55), или более точное (1.59):
D—'X
D—'X
Рис. 1.33. К определению наибольшего диаметра капли.
Рис. 1.33. К определению наибольшего диаметра капли.
В нашем случае (рис. 1.33) А to D, и мы получаем для наибольшего диаметра оценку
D* to п^.
Для воды это составит D* to 18 мм. Единственное, пожалуй, что должно смущать Вас, дорогой читатель, и что несомненно смущает автора, так
это факт, что h здесь мало, тогда как теория неустойчивости Релея-Тейлора (§ 1.7) построена для глубоких слоев жидкости и газа. Ну, что ж, судья нам — опыт. Действительно, например, в упоминавшейся уже статье А. Лужкова и Ю. Лужкова (Квант. — 1978. — №7) говорится о наблюдении капель на горячей плите, диаметр которых составлял 25-30 мм. По порядку величины это совпадает с нашей оценкой. В горизонтальной плоскости (т. е. вид сверху) у больших капель наблюдались колебания формы по типу звезды. Вот о таких колебаниях мы и поговорим сейчас подробнее.
Как и всякая система в равновесии, капля может совершать колебания около положения равновесия. Для сферического равновесия может быть решена задача об определении форм собственных колебаний капли. На рис. 1.34 показано несколько форм колебаний капли (физики их называют модами). Моды нумеруются. Первой модой (п = 1) колебаний сферы являются чисто радиальные колебания, соответствующие одинаковому во всех точках сферы увеличению (уменьшению) радиуса. Очевидно, для несжимаемой капли такая мода невозможна. Возможных мод колебаний бесконечно много. Реальное колебание представляет собой совокупность (суперпозицию, как говорят физики) различных мод, но наблюдатель обычно видит одну доминирующую моду, которой соответствует наибольшая амплитуда. Например, наиболее часто можно увидеть вторую моду п = 2, но если Вы сильно постараетесь в своих опытах, то можете пронаблюдать 5-6 пер- вых мод. Оцените также частоту колебаний основной моды теоретически и 16 экспериментально. В заключение хочется отметить, что аналогичные колебания совершает пузырек в жидкости [15].
Как видно из рис. 1.32, чем больше объем капли, тем более она сплюснута. Спрашивается: какова минимальная толщина жидкого «блина» (рис. 1.32, 4)? Если при решении этой задачи у Вас возникнут трудности, советую обратиться к решению задачи Ф 1224, опубликованной в журнале «Квант» (1990, № 8).
В заключение хочется отметить, что аналогичные колебания совершает пузырек в жидкости [15].
Рис. 1.34. Возможные формы жидкой капли, колеблющейся около положения сферического равновесия.
. Испарение. Пузырьковое кипение
Как показано в §1.2, на молекулы в поверхностном слое жидкости
действуют когезионные силы, препятствующие выходу ее из жидкости.
Рассмотрим кастрюлю с водой (рис. 1.35). Пусть молекула М находится
в жидкости вблизи ее поверхности (рис. 1.35 а, положение 1). Тогда на нее
действует сила F. Причем Fyдействует сила F. Причем Fy< 0. Так как F^. = — W — потенциальная
действует сила F. Причем Fy
действует сила F. Причем Fy
энергия молекулы, то > 0. Следовательно, потенциальная энергия молекулы вблизи поверхности жидкости есть возрастающая функция у. Моле
кула, удаленная от поверхности воды на расстояние, на котором межмолекулярные силы практически не действуют (например, на расстояние порядка 100 и более диаметров молекул), может считаться свободной, а ее потенциальная энергия — равной нулю (рис. 1.35 5). Таким образом, для перехода молекулы из состояния 1 в состояние 2 необходимо преодолеть потенциальный барьер Д Пд. Молекулы, кинетическая энергия которых больше ДИД, смогут перейти в состояние 2. Тем самым вода в кастрюле находится в двух состояниях: в жидком и газообразном. Эти состояния называются фазами. Переход молекул из жидкой фазы в газообразную называется испарением. При заданной температуре скорости молекул распределены по закону Максвелла. Поэтому всегда найдутся молекулы, у которых скорость такова, что
К = ^^ > ДИТ
Рис. 1.35. Испарение, то есть переход молекул из жидкой фазы в газообразную, происходит с затратой энергии, тогда как обратный переход — конденсация с выделением энергии.Рис. 1.35. Испарение, то есть переход молекул из жидкой фазы в газообразную, происходит с затратой энергии, тогда как обратный переход — конденсация с выделением энергии.
Рис. 1.35. Испарение, то есть переход молекул из жидкой фазы в газообразную, происходит с затратой энергии, тогда как обратный переход — конденсация с выделением энергии.
Рис. 1.35. Испарение, то есть переход молекул из жидкой фазы в газообразную, происходит с затратой энергии, тогда как обратный переход — конденсация с выделением энергии.
Эти молекулы могут преодолеть потенциальный барьер, т. е. испаряться. Значит, испарение молекул жидкости (или просто испарение) идет при любой температуре. Хаотически двигаясь, молекула может вернуться из состояния 2 в жидкость. Этот обратный испарению процесс носит название конденсации.
Теряя «горячие» молекулы, жидкость охлаждается, и испарение уменьшается. Чтобы поддерживать постоянным температуру и интенсивность испарения, необходимо подводить к жидкости определенное количество тепловой энергии. Эта теплота называется теплотой испарения или парообразования. Характеристикой жидкости является удельная теплота парообразования К — количество теплоты, необходимое для испарения 1 кг жидкости (например, для воды К = 2,4 • 106 ^г).
Если сосуд частично заполнить жидкостью, закрыть его (рис. 1.35 а) и оставить на некоторое время, то внутри сосуда установится динамическое равновесие: количество молекул, испарившихся за единицу времени, будет равно количеству сконденсировавшихся (при условии тепловой изоляции сосуда).
Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным. Давление насыщенного пара растет с температурой. Например, у воды при Ц = 20°С давление насыщенного парами1) = = 2, 33 кПа, а при £2 = Ю0°С — р^ = 101 кПа, т. е. равно атмосферному При 100°С вода начинает кипеть. Вообще же кипением называют процесс парообразования (испарения) в объеме жидкости.
Рассмотрим процесс кипения подробней. Но прежде, читатель, советую Вам еще раз внимательно посмотреть, как вскипает вода.
Итак, Вы уже посмотрели и заметили, что пузырьки пара образуются преимущественно на дне сосуда и в определенных местах. Эти места называются центрами парообразования.
Z<p2L=-7Z<p2L=-72г2гРис. 1.36. Центром парообразования может быть углубление на дне сосуда.Рис. 1.36. Центром парообразования может быть углубление на дне сосуда.Центрами парообразования могут быть, например, мелкие углубления на дне сосуда. На рис. 1.36 показан в увеличенном масштабе и в упрощенном варианте один из таких центров парообразования. Обычно 2г < а (а — капиллярная постоянная), поэтому равновесие тяжелой жидкости над легким газом устойчиво и давление газа р2 уравновешивает давление р^. Давление ро складывается из атмосферного, гидростатического и лапласовского: Р2 = Ро = Ра + pgh + рл. В ситуации, показанной на рис. 1.36, жидкость полностью смачивает поверхность сосуда. Для
Z<p2L=-7
Z<p2L=-7
2г
2г
Рис. 1.36. Центром парообразования может быть углубление на дне сосуда.
Рис. 1.36. Центром парообразования может быть углубление на дне сосуда.
простоты пренебрежем гидростатическим и лапласовским давлением по сравнению с атмосферным. Не лишайте себя удовольствия и подсчитай
те самостоятельно, при какой толщине воды и при каком диаметре центра
парообразования это можнопарообразования это можноРис. 1.37. К расчету отрывного диаметра пузыря.Рис. 1.37. К расчету отрывного диаметра пузыря.сделать.
парообразования это можно
парообразования это можно
Рис. 1.37. К расчету отрывного диаметра пузыря.
Рис. 1.37. К расчету отрывного диаметра пузыря.
При нагревании жидкости происходит ее испарение в полость. Так что граница ее будет постепенно смещаться вверх. Однако это смещение незначительно до t = 100° С. При t = 100° С давление насыщенного пара становится равным атмосферному рн = ра, поэтому рост пузыря при непрерывном подводе тепла будет неограниченным. При некотором диаметре пузыря Do архимедова сила будет способна оторвать пузырь от дна сосуда, и он всплывет. Диаметр Do называется отрывным диаметром пузыря. Теплофизикам очень важно знать величину отрывного диаметра. Вычислим ее и мы, пренебрегая силой сопротив
ления жидкости. Это можно сделать, если скорость роста пузыря мала.
В момент отрыва пузыря от дна сосуда векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На пузырь действуют сила тяжести mg, сила Архимеда Ед и сила поверхностного натяжения Е^ (рис. 1.37):
mg + Fa + Fa = 0.
-mg + Fa- Fay = 0.-mg + Fa- Fay = 0.(1.83)(1.83)Спроецируем это равенство на ось д;
-mg + Fa- Fay = 0.
-mg + Fa- Fay = 0.
(1.83)
(1.83)
Будем считать, что пузырь имеет сферическую форму и его объем приблизительно равен
/ _ \ з
V ~I
32 J ’
Это приближенное равенство справедливо только при малых углах смачивания 0. Поэтому будем считать, что жидкость хорошо смачивает дно. Тогда разность между силой Архимеда и силой тяжести равна
(1.84)(1.84)Fa - mg = ^D^ (рж - рп) д.
(1.84)
(1.84)
Для определения Fay заметим, что на элемент длины d£ линии контакта пар-жидкость-твердая стенка действует сила dFa, направленная по
касательной к поверхности пузыря (рис. 1.37). В проекции на ось у она равна
dFay = a sin 6d£.
Полная сила будет равна
Fay — j ot sin 0d£ = a sin 6 j d£ = 2TrRasm6.
Учитывая, что R = ^ sin 9, получим
Fay = ivD^a sin2 6.(1.85)
Подставляя (1.84) и (1.85) в равенство (1.83), найдем
(Рж — Рп)д
Пренебрегая плотностью пара и учитывая, что все сказанное справедливо лишь для малых углов 0 (т. е. sin 0), получим известную формулу Фритца:
где а по-прежнему капиллярная постоянная жидкости, а угол 0 измеряется в радианах.
На опыте краевой угол 0 не всегда мал, а следовательно и формула Фритца для отрывного диаметра пригодна не всегда. Поэтому рассмотрим другой предельный случай — когда жидкость плохо смачивает дно и 9 < тг. Механизм отрыва пузыря для этого случая показан на рис. 1.38. (пример из [15]).
Всмотритесь внимательно в рисунок. Он ничего Вам не напоминает? Если нет, то переверните его на 180° (вниз головой). Ну конечно же! Так растет и отрывается капля с горизонтальной поверхности. В этой аналогии есть глубокий смысл. В гидродинамике строго доказывается, что каждому равновесному состоянию жидкости в любом сосуде отвечает подобное состояние, получающееся зеркальным отражением всей системы относительно горизонтальной плоскости с одновременной заменой жидкости на газ (или наоборот) и угла смачивания на дополнительный к 180°. (Назовем эту теорему теоремой подобия.) Таким образом, этот механизм парообразования может быть исследован в рамках более доступного явления роста
Рис. 1.38. К определению отрывного диаметра пузыря в случае, когда жидкость плохо смачивает дно.
и отрыва капли со смачиваемой горизонтальной поверхности. Подробно об этом чуть позже.
А сейчас возьмите пластинку оргстекла размерами не менее 50 х 50 мм 1^ и толщиной 1-2 мм. Накалите докрасна стальную иглу и проделайте в центре пластинки отверстие диаметром около 1 мм. Закрепите пластинку горизонтально. Сверху в отверстие вставьте иглу медицинского шприца. Сам шприц тоже закрепите. Выньте поршень и залейте воду в шприц. Вставьте поршень. У Вас все готово для наблюдения равновесных форм растущей капли и механизма ее отрыва. Более того, Вы можете сейчас экспериментально найти отрывной диаметр капли. А это и будет отрывным диаметром пузыря в случае несмачиваемой теплоотдающей поверхности. Успехов!
. Пленочное кипение, неустойчивость Релея- Тейлора и явление Лейденфроста
Когда начинался разговор о явлении Лейденфроста, оно было названо пленочным кипением капли. Возможно, научный термин «пленочное кипение» многим читателям интуитивно показался ясным. И совершенно напрасно! Это довольно широкое понятие, содержащее в себе немало интересного и поучительного. Известно, например, пленочное кипение на проволоке, на плоской поверхности в большом объеме и т. д. Начнем, как обычно, с определения понятий.
Повторим еще раз, что кипение — это процесс парообразования в толще жидкости. Вообще, принято выделять два основных режима кипения: пузырьковый и пленочный. Пузырьковый режим кипения Вам хорошо известен. Кипятя воду в кастрюле, колбе (например, в опытах по физике и химии в школе), Вы видели, как на дне образуются, растут и всплывают отдельные пузыри. При пленочном кипении образуется сплошная пленка пара. Однако если Вы попытаетесь пронаблюдать пленочное кипение, то,
скорее всего, потерпите неудачу. Дело в том, что возникает оно только при достаточно больших удельных тепловых потоках. В частности, при кипении в большом объеме воды («большой объем» означает, что его характерные размеры много больше характерного размера пузырьков) критическое значение удельного теплового потока составляет д* 106^. Подсчитайте сами, м2
1919какова должна быть мощность бытовой электроплитки, чтобы с ее помощью можно было бы пронаблюдать пленочное кипение. Следует отметить сразу, что переход от одного режима к другому носит черты кризисного, порогового явления. Черты кризиса заключаются, например, в том, что при возникновении пленочного кипения резко (в 10 и более раз) ухудшается передача тепла от нагревающей поверхности к жидкости. Пороговость явления состоит в том, что кризис пузырькового кипения наступает, например, при =8,8-105^.
19
19
м2
Впрочем, Вы видели, что все неустойчивости, о которых говорилось выше, имеют характер кризиса и почти все — пороговый характер. Так, жидкий цилиндр рвется, если длина его в 2тг раз превышает радиус и т. д. Закономерности кризисных явлений в последние годы обобщены в так называемой теории катастроф [10]. В кипении имеют место два кризиса. Первый кризис — это переход от пузырькового режима кипения к пленочному, а второй наоборот — от пленочного к пузырьковому Причем они происходят при различных значениях удельного теплопотока. Если первый при Qi 8, 8 • 105^ , то второй (при этих же условиях) при д2 = 2, 0 • ю5^. мм
Введем такое важное для теплофизики понятие, как коэффициент теплоотдачи. Под коэффициентом теплоотдачи понимают количество теплоты, передаваемой (отдаваемой) в единицу времени с единицы поверхности при разности температур в 1 К. К сожалению, общепринятое обозначение коэффициента теплоотдачи о, а у нас а — коэффициент поверхностного натяжения. Но мы можем договориться и обозначать его 0. В СИ
M = S- В=Ь- (L87)
Характерная зависимость коэффициента теплоотдачи от удельного теплового потока при кипении в большом объеме воды показана на рис. 1.39 а (рисунок из [9]). Точками отмечены экспериментальные результаты. Видно, что в режиме пленочного кипения теплоотдача падает раз в десять. Это приводит к перегреву теплоотдающей поверхности и порче прибора. Таким образом, пленочное кипение — явление зачастую нежелательное. Как отмечалось, переход от пузырькового кипения к пленочному и обратно совершается при разных д (эти переходы показаны на рис. 1.39 а стрелками). Такое
Рис. 1.39. Гистерезис при переходе от пузырькового режима кипения к пленочному и обратно (а), при намагничивании и размагничивании магнитных материалов (б).
явление, возможно, Вам известно, оно называется гистерезисом. Наиболее известен гистерезис в ферромагнитных материалах. Соответствующие кривые зависимости магнитной индукции В в материале от напряженности внешнего магнитного поля Н показаны на рис. 1.395. Кривая 1 соответствует намагничиванию, кривая 2 — размагничиванию материала.
В случае пленочного кипения мы имеем классическую ситуацию для проявления неустойчивости Релея - Тейлора: тяжелая жидкость вверху, легкая (пар) внизу. Это обстоятельство подтолкнуло некоторых теплофизиков, например, Н. Зубера (N. Zuber), использовать результаты теории релей-тейлоровской неустойчивости для построения теории второго кризиса кипения. Эта теория достаточно проста, и мы ее воспроизводим.
Рис. 1.40. Механизм разрушения пленки пара и образование пузырей при пленочном кипении.
Базируется теория на следующих предположениях:
Пленка пара разрушается в результате релей-тейлоровской неустойчивости, причем разрушают ее наиболее быстро растущие возмущения.
Пузыри формируются в результате развития наиболее быстро растущих возмущений так, как показано на рис. 1.40. При этом их отрывной диаметр равен примерно половине длины волны Am/2 = Bq.
Период образования пузырей в одном и том же месте равен характерному времени роста возмущения.
В момент перехода от пленочного режима к пузырьковому всюду на поверхности нагрева еще есть пузыри.
Согласно §1.7 возмущения, приводящие к развитию релей-тейлоровской неустойчивости, растут по закону (1.60):
^(дк-^^, к = Ч' (L88)
Всевозможные малые возмущения различаются длиной волны А (или волновым числом к). Очевидно, что наиболее быстро растущими возмущениями будут те, у которых инкремент максимален. И именно они будут приводить к образованию пузырей. Ваша задача, читатель, снова проверить себя (или | 20 | поверить в себя) и самостоятельно найти уш и А.
Автор, проделав соответствующие вычисления, нашел
(1.89)
А теперь, используя все наши предположения, можем записать условие теплового баланса:
Количество тепла, отводимое в единицу времени с единицы поверхностиКоличество тепла, отводимое в единицу времени с единицы поверхностиКоличество тепла для выпаривания одного пузыряКоличество тепла для выпаривания одного пузыря
Количество тепла, отводимое в единицу времени с единицы поверхности
Количество тепла, отводимое в единицу времени с единицы поверхности
Количество тепла для выпаривания одного пузыря
Количество тепла для выпаривания одного пузыря
Количество пузырей, образующихся в единицу времениКоличество пузырей, образующихся в единицу времениЧисло пузырей на единичной площадиЧисло пузырей на единичной площади
Количество пузырей, образующихся в единицу времени
Количество пузырей, образующихся в единицу времени
Число пузырей на единичной площади
Число пузырей на единичной площади
Если скобки превратить в символы, то получим
(1.90)(1.90)q* = «/^М.
(1.90)
(1.90)
q* — искомый критический тепловой поток, q^ и mi К, mi — масса пара в одном пузыре, 7 — частота образования пузырей, которую примем равной 7m, М = 1/Si, Si — площадь диаметрального сечения одного пузыря:
(1.91)(1.91)С га 2 7Г \2
(1.91)
(1.91)
4^0Ю'77'
Найдем mi: 4 Dтг \ з/1
mi Рп ^ g4g^тРп'(1*92)
Объединяя формулы (1.89), (1.90), (1.91), (1.92), получим следующее выражение для критического теплового потока:
ir^pnVag.ir^pnVag.1/41/4(1.93)(1.93)
ir^pnVag.
ir^pnVag.
1/4
1/4
(1.93)
(1.93)
где а — капиллярная постоянная жидкости.
Рис. 1.41. Рисунок с фотографии пленочного кипения на проволоке (1) [11].Рис. 1.41. Рисунок с фотографии пленочного кипения на проволоке (1) [11].
Рис. 1.41. Рисунок с фотографии пленочного кипения на проволоке (1) [11].
Рис. 1.41. Рисунок с фотографии пленочного кипения на проволоке (1) [11].
У нас все готово для численного расчета. Подставив все величины, автор нашел для воды
q* и 8,1 • 105^.лг
Если Вы сравните это с экспериментальными данными на рис. 1.39 а, то убедитесь в хорошем согласии предложенной теории и опыта. Великолепные фотографии пленочного кипения на проволоке (механизм разрушения пленки пара тот же) из журнальной статьи [И] (см. рис. 1.41) также убеждают нас в благополучии изложенной теории. Кроме того, если вспомнить
теорию пленочного кипения в явлении Лейденфроста, то формула (1.93) лишена недостатка формулы (1.78), а именно: она не содержит толщины пленки пара.
О равновесии капель и пузырей
Периодическая структура свисающих капель
Трудности экспериментального наблюдения и исследования некоторых процессов роста и отрыва пузырей при кипении жидкостей не должны нас смущать. В §§1.10, 1.11 уже отмечалось подобие состояний и процессов, происходящих с пузырями и каплями. Поэтому в настоящем разделе мы рассмотрим некоторые случаи равновесия и неустойчивости на примере капель, так как, согласно теореме подобия (см. § 1.11), наши результаты в равной мере можно будет переложить и на соответствующие состояния и процессы с пузырями в жидкости.
В Вашей лаборатории наверняка есть масло (касторовое, машинное, трансформаторное), которое Вы использовали в опытах с проволочками, наблюдая, как жидкий цилиндр распадается на капли. Сейчас используем его несколько по-другому. Возьмите пластиковую бутылку и нагретой иголкой или шилом проделайте в ней отверстия диаметром примерно 1 мм, расстояние между отверстиями тоже должно быть порядка 1 мм. Расстояние, занятое отверстиями, рекомендуем сделать порядка 15 см. В бутылку залейте немного масла. Расположив бутылку горизонтально отверстиями вниз, слегка надавите, и Вы увидите картину, очень напоминающую рис. 1.41, но только вниз головой (рис. 1.42). Такая периодическая картина капель является закономерностью и возникает каждый раз при проведении опыта. Подождав до тех пор, когда капли начнут расти и медленно отрываться, подсчитайте их число. Затем линейкой измерьте расстояние между максимумами крайних капель. Очевидно, что длину волны, то есть пространственный период, теперь можно рассчитать по формуле
где £ — измеренное расстояние, п — число капель (рис. 1.42). Автор в своих опытах использовал трансформаторное масло. В опытах получилось £ = = 6 см, п = 4 капли, длина волны А = 2 см. У масел типа трансформаторного и машинного коэффициент поверхностного натяжения равен примерно 32-33 мН/м. Тогда капиллярная постоянная а равна около 2,6 мм.
Интуитивно ясно, что наблюдаемое явление не есть разбиение жидкого цилиндра на капли в результате капиллярной неустойчивости, но это
Рис. 1.42. Периодически распределенные капли стекающего масла.
есть проявление неустойчивости Релея - Тейлора. Действительно, согласно нашим выводам, сделанным ранее, А должно совпадать с Ат. Так как для релей - тейлоровской неустойчивости
Ат = VGtto,
то, подставив а ~ 2,6 мм, получим Аш « 2,0 см. Результат более чем убедительный! Но все-таки подсчитаем Аш для случая деления жидкого цилиндра на капли, приняв его диаметр равным диаметру трубки (^15 мм):
Аш = V37rd ~ 8,1 см.
Результат сильно отличается от полученного в опыте.
Сделаем выводы. На тонких проволочках жидкость разбивается на капли независимо от действия сил тяжести в результате чисто капиллярной неустойчивости. В опытах с пластиковой бутылкой разбиение на капли происходит в результате действия сил тяжести, а точнее в результате проявления релей - тейлоровской неустойчивости.
Начиная с какого диаметра жидких цилиндров происходит смена механизма формирования капель? Для ответа на этот вопрос найдем максималь-
ный инкремент роста возмущений в случае капиллярной неустойчивости цилиндра. Вычисления 72(Ат) дают
Аналогично для случая релей-тейлоровской неустойчивости имеем
/ а / о \ з/2\ I/272т=(4з) ) *
Релей-тейлоровские возмущения растут быстрее в случае, если
X1/2 / 1 \
72m > 71m или г0 > ас, с = - to 0,39.
V27 ^бтгх/З^
Итак, в случае масел, например (a to 2,6 мм), смена механизмов неустойчивости происходит при диаметре жидкого цилиндра 2го > 2 мм. Таким образом, работая с проволочкой диаметром 0,2 мм, мы фактически можем пренебречь действием сил тяжести, т. е. моделировать условия невесомости! Это очень важный вывод. Отметим также, что примерно так, как показано на рис. 1.42, происходит конденсация пара на трубках в теплообменнике.
Одиноко висящая капля...
... что может быть прозаичнее этого? Если Вы так подумали, то глубоко заблуждаетесь. Попробуем разобраться, что же нас может заинтересовать в висящей капле? Прежде всего, ее форма. Мы уже нашли форму кривой мениска, мыльной пленки, натянутой на два кольца, и это не оказалось неразрешимой задачей. Так вот оказывается, что для висящей капли, в отличие от предыдущих примеров, нельзя написать формулу, которая описывала бы форму сечения капли. Связано это с трудностью аналитического решения соответствующего дифференциального уравнения. Но мы уже знаем, как можно преодолеть эту трудность. Конечно, нужно обратиться за помощью к компьютеру. На обложке данной книги вы видите несколько форм капли, свисающей с горизонтальной поверхности, которые построены компьютером. Пройдем этот путь до построения вместе.
Гидростатическое давление в жидкости в равновесии равно
Рж = с + рду,
где С — константа, определяемая из граничных условий, у — вертикальная координата (рис. 1.43). С другой стороны, по формуле Лапласа (1.17), вблизи поверхности жидкости
Рж = Ра + «К,
Ri Н2
Полученные равенства позволяют записать условия равновесия висящей капли в виде
Ра + аК - рду = С.Ра + аК - рду = С.(1.94)(1.94)
Ра + аК - рду = С.
Ра + аК - рду = С.
(1.94)
(1.94)
В основании капли у = О, С = ра + аК^. Как Вы можете видеть из рисунка на обложке книги, радиус кривизны капли Ко в основании определяется объемом жидкости. Таким образом, и постоянная С также определяется объемом жидкости в капле.
Рис. 1.43. К определению формы висящей капли.Рис. 1.43. К определению формы висящей капли.
Рис. 1.43. К определению формы висящей капли.
Рис. 1.43. К определению формы висящей капли.
Начнем с вывода формулы для кривизны поверхности. Как известно, кривизна поверхности равна сумме двух кривизн, которые называются главными:
К = Ку + К2.
Кривизны Ку и К^ лежат во взаимно перпендикулярных сечениях. Если одно из сечений капли лежит в плоскости (ж, у) (рис. 1.43), то
-у"
(1 + wrf2
— уже известная нам кривизна линии сечения капли у^х\ Другая кривая с кривизной AS должна быть расположена в перпендикулярном сечении так, чтобы радиус кривизны был перпендикулярен поверхности. Из этих соображений и рисунка 1.43 видим, что второй радиус кривизны равен
г> _ х _ х
2 sin (тг — Д) sin/3
sin/З выразим через tg/3, a tg /3 есть первая производная у'{х). В итоге получаем
Й2 + (у')2
Условие равновесия (1.94) преобразуем к виду
аК = рд^у - — у Ар = С-ра.(1.95)
Вместо у введем новую координату [7, такую, что
гг _ и у рд ‘
Очевидно, это эквивалентно сдвигу начала координат на ^. Сейчас начало координат U совпадает с тем сечением, где у капли нулевая кривизна. Так как Др — величина постоянная, то Ur = у\х\ следовательно, левая часть равенства (1.95) при этом не преобразуется. Преобразуем еще раз уравнение равновесия (1.95):
к = ^и.
а2
где а — по-прежнему капиллярная постоянная.
В качестве единицы длины выберем \£\ = -^, тогда последнее уравнение внешне будет выглядеть совсем просто:
к = и, к = к^-, й = ^^.
V2
Естественно, что вместе с кривизной к новым единицам длины приводится и х:
(1.96)(1.96)Первая же производная не преобразуется: (Г = IT. Сейчас все величины с тильдой (~) не имеют физической размерности, то есть, как говорят физики, они безразмерные. В окончательном виде уравнение равновесия висящей капли будет следующим (знак тильды для удобства опущен, но все величины обезразмеренные):
(1.96)
(1.96)
(1 + (С7')2)3/2 + ж(1 + (1П2)1/2
Мы получили уникальное уравнение! Оно не содержит ни одного параметра, оно универсально, то есть справедливо для всех жидкостей и для любого поля тяжести (р ^ 0). Уравнение это дифференциальное, второго порядка, и, как Вы уже знаете, для его однозначного решения требуется задание граничных условий. Такими условиями являются краевой угол на границе твердая поверхность-жидкость и объем капли. Более того, как Вы можете убедиться в дальнейшем, вместо объема можно задать Um (в реальных координатах это соответствует заданию ут на рис. 1.43), а вместо краевого угла можно задать его тангенс, то есть первую производную (—U') на твердой границе. Такие задачи и уравнения, не содержащие никаких параметров, кроме как геометрических переменных, называются автомодельными и имеют большое значение для физики и математики.
Для построения равновесной поверхности капли уравнение (1.96) будем интегрировать численно уже известным нам методом Эйлера, воспользовавшись им дважды. Для этого обозначим z = Ur. Тогда уравнение (1.96) можно привести к виду
ё=жж,ё=жж,dxdx
ё=жж,
ё=жж,
dx
dx
Теперь самостоятельно перейдите от производных к конечным разно стям, составьте алгоритм, программу и постройте кривую сечения капли 22 | подобно тому, как это было сделано в задаче с мениском. Рассмотрите самый простой вариант, когда жидкость полностью смачивает стенку, то есть на стенке 0 = 0 = U' = z. Строить кривую начните с точки х = = 0, U = Um и заканчивайте цикл построения условием ^ > 0. При этом координата UT твердой поверхности будет определяться в процессе счета, причем UT < 0, так как U = 0 соответствует сечению с нулевой кривизной (см. рис. 1.43). При достаточно больших значениях Um, что соответствует большому объему капли, Ваш компьютер будет выдавать переполнение при некоторых значениях ж, связанное с обращением U' = z практически в
бесконечность. Такие капли реально не существуют, так как их равновесие становится неустойчивым еще до того, как на капле сформируется участок вертикальности. В результате неустойчивости от капли отрывается меньшая капелька, как Вы и наблюдали на опыте. В заключение отметим, да Вы, наверное, уже и сами поняли, что мы затронули лишь надводную часть огромного научного айсберга под названием«одиноко висящая капля».
Зная теперь выражение для кривизны поверхности, попробуйте самостоятельно убедиться в том, что мыльная пленка-катеноид — действи- 23 тельно поверхность нулевой кривизны.
Неустойчивость Бенара
Пусть дно сосуда с жидкостью находится при температуре Т^, а крышка — при температуре Ti, причем То > Ту. Тогда в жидкости установится некое распределение температуры по вертикали, так что температура жидкости Т будет функцией вертикальной координаты Ту ^ Т^ < То (рис. 1.44).
Рис. 1.44. К определению критерия неустойчивости Бенара.Рис. 1.44. К определению критерия неустойчивости Бенара.
Рис. 1.44. К определению критерия неустойчивости Бенара.
Рис. 1.44. К определению критерия неустойчивости Бенара.
Плотность жидкости зависит от температуры по закону
р = ро (1-/3 (Т -То)),р = ро (1-/3 (Т -То)),(1.97)(1.97)
р = ро (1-/3 (Т -То)),
р = ро (1-/3 (Т -То)),
(1.97)
(1.97)
где ро — плотность жидкости при температуре То, 0 — коэффициент объемного расширения. Как видно, плотность уменьшается с ростом температу-
ры6. Поэтому вверху будут более тяжелые слои жидкости, а внизу — более легкие. Ситуация напоминает ту, которая характерна для релей-тейлоровской неустойчивости: тяжелая жидкость вверху, легкая внизу Если сосуд прямоугольной формы ориентирован так, что его дно и крышка строго горизонтальны, то на любом горизонтальном уровне z = const постоянна температура, плотность, а следовательно, и гидростатическое давление, равное pgz. Тем самым возможно гидростатическое равновесие. Это равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Действительно, пусть элемент жидкости 1 случайно сместился вверх (возмущение!), заняв положение 2 (рис. 1.44). При этом он попадает в более холодные слои жидкости. Если при своем движении он успевает остыть и в новом положении имеет ту же температуру, что и окружающие слои, то движение прекратится. Эта ситуация отвечает устойчивому равновесию. Но представьте, что он не успел остыть. Тогда его плотность меньше плотности окружающих слоев жидкости, и под действием архимедовой силы он будет продолжать всплывать. Эта ситуация соответствует неустойчивому равновесию жидкости. Итак, устойчивость (или неустойчивость) определяется конкуренцией скоростей всплывания и остывания элемента жидкости. Более конкретное условие, например, условие неустойчивости, можно сформулировать так: время перехода элемента в новое положение должно быть меньше времени его остывания. Если элемент жидкости выбрать в виде кубика с ребром h, то время его перемещения в новое положение 2 можно оценить так:
(1.98)
где а — средняя скорость всплывания элемента.
Найдем среднюю скорость всплывания жидкого элемента. Можно считать, что эта скорость формируется равенством подъемной силы и силы внутреннего трения. Под подъемной силой Fp будем понимать разность силы Архимеда и силы тяжести:
FP = pVKg - p'VKg = (р - p')VKg.(1.99)
Здесь VK — объем элемента, р — плотность жидкости, окружающей элемент, рг — плотность жидкости в элементе. Если температура элемента в момент всплывания на АТ выше температуры окружающей жидкости, то, в согласии с (1.97) (АТ — возмущение температуры!),
р’ = р(1 — /З^Т) или р — р = (З^Тр.
Таким образом, подъемная сила равна
Fp = p^TVKg = ^Th3gp.(1.100)
6Исключение составляет вода вблизи +4° С.
Сила внутреннего трения определяется вязкостью жидкости и равна
FT = rj^-AS « ^yAS.(1.101)
dx h
Такой закон внутреннего трения называется законом Ньютона, р — называется коэффициентом динамической вязкости жидкости. AS — площадь трущихся граней элемента:
Д5 = 4Л2.
Из равенства сил (1.100) и (1.101) находим оценку для средней скорости всплывания:
Vto^<(1.102)
Теперь наша задача свелась к определению времени остывания элемента. Все тела проводят тепло. Французским ученым Ж. Фурье был открыт универсальный закон теплопроводности: за время Kt через площадку AS проходит количество тепла AQi, равное по величине
AQT = X^AS-At.
dx
(Обратите внимание на схожесть законов Ньютона и Фурье. Эта схожесть имеет глубокий смысл.) А называется коэффициентом теплопроводности жидкости. Фактически этот закон уже был нами использован в §1.9. В нашем случае можно приближенно записать для потерь тепла элементом
AQi to x^^At = 6XAThAt.
Избыточные запасы тепла в элементе (то есть те, которые он может отдать в окружающую среду), очевидно, равны изменению внутренней энергии элемента за счет нагрева на АТ:
AQ2 = стКТ = (-ph3 КТ.
где с — удельная теплоемкость жидкости.
Приравнивая AQi и AQ2, для времени остывания получим следующую оценку:
Сочетание постоянных жидкости А, р, с, равное
рс
носит название коэффициента температуропроводности жидкости. С учетом этого
Теперь мы можем записать условие неустойчивости равновесия жидкости в виде
т < Д^ или ^ > 6.
Подставив сюда выражение для скорости (1.102), окончательно получим условие неустойчивости:
я =^^> 24.(1.103)
Безразмерный комплекс R, стоящий в левой части неравенства, называется числом Релея. Более строгая теория утверждает, что АТ, входящая в число Релея, это разность температур между дном и крышкой, a h — толщина слоя жидкости. Наименьшее критическое число Релея, при котором неустойчивость становится возможной для случая отсутствия трения на стенках, по более строгой теории [12], равно
R* « 660.(1.104)
Обратите внимание на то, что критерий неустойчивости опять-таки универсален для всех жидкостей, подчиняющихся законам Ньютона и Фурье, а также (1.97). Если жидкость задана и известна толщина ее слоя, то из (1.103) и (1.104) можно определить критическую разность температур.
Отметим, что аналогичная простая теория неустойчивости Бенара предложена в [13], где для получения критерия неустойчивости (1.103) применен энергетический метод, аналогичный тому, что применялся нами в предыдущих разделах. Было бы неплохо, если Вы, прочитав статью [13], сравнили бы ее выводы с выводами настоящего параграфа.
Неустойчивость Марангони
Рассмотрим теперь слой жидкости со свободной поверхностью ^. Пусть дно сосуда поддерживается при температуре Т^, а свободная поверхность — при температуре Ti, причем Т2 > Ть Такое распределение температур может возникнуть не только при подогреве снизу, но и, например, при интенсивном испарении жидкости с поверхности. Предположим
Рис. 1.45. К определению критерия неустойчивости Марангони.
также, что жидкость находится в невесомости, и по этой причине равновесие устойчиво в смысле неустойчивости Бенара.
Вблизи свободной поверхности выберем кубик с ребром h (рис. 1.45). На него со стороны соседних слоев действуют силы поверхностного натяжения. Например, на ребра А и В действуют силы Fi, F^. При этом
Fi = a^h^ F^ = a^h.
Если температура на поверхности всюду одинакова, то од = о 2 и Fi = = F2, так что кубик находится в равновесии. Следовательно, в равновесии находится и весь слой жидкости.
Пусть теперь произошло такое возмущение температуры, что на ребре А она стала больше, чем на ребре В. Так как поверхностное натяжение жидкостей уменьшается с ростом температуры, то теперь «2 > од, и кубик 1 придет в движение. На движущийся, например, в положение 2 кубик 1 будет действовать сила трения, обусловленная вязкостью жидкости. Сила трения и результирующая сила поверхностного натяжения уравновесят друг друга, и кубик будет двигаться с некоторой скоростью у. Одновременно за счет теплопроводности жидкости температура будет выравниваться. Если время выравнивания температуры меньше, чем время передвижения кубика в положение 2, то можно считать, что никакого движения не произошло и равновесие сохранилось, т. е. оно устойчиво. Если же температура не успела выровняться, кубик уже перешел в новое положение 2, а его место занял кубик 4, то равновесие нарушилось, то есть оно неустойчиво. Итак, условием неустойчивости по-прежнему будем считать неравенство
At >
где М — время выравнивания температуры, а — средняя скорость движения кубика. В теории неустойчивости Бенара мы видели, что М ~ ^2/%. Тогда неравенство запишется так:
^ > 1. (1.105)
Скорость найдем из условия равенства сил трения и поверхностного натяжения:
ax^h.(1.106)
Приближенно будем считать ~ Т Далее:
а2-ах=^а=^.М? = ра^Т, 0а = ^.
Коэффициент ра является характеристикой жидкости: он показывает, насколько быстро меняется с температурой поверхностное натяжение жидкости. AS — это площадь трущихся поверхностей при движении кубика. Для нашего кубика
AS « 3/г2.
Учитывая все сказанное, можем найти скорость из (1.106):
РоДТЗт]
Тогда условие неустойчивости будет следующим:
Мп =Мп =p^ThЧХp^ThЧХ(1.107)(1.107)
Мп =
Мп =
p^Th
ЧХ
p^Th
ЧХ
(1.107)
(1.107)
Ясно, что АТ пропорционально (будем считать равно) (Т2 — Ti), a h можно считать толщиной слоя жидкости. Безразмерный комплекс, стоящий в левой части неравенства, называется числом Марангони. Чтобы равновесие жидкости было неустойчивым, число Марангони должно быть достаточно большим. Строгая математическая теория (изложенная, например, в [12]) дает наименьшее критическое число Марангони, равное примерно 50.
При действии силы тяжести равновесие подогреваемого слоя жидкости со свободной поверхностью может быть неустойчивым как по Бенару, так и по Марангони. Анализ показывает, что в относительно толстых слоях (Д > 1 мм) доминирует неустойчивость Бенара, а в тонких — неустойчивость Марангони [12]. Но в условиях невесомости (например, на орбитальной станции) неустойчивость Марангони будет вне конкуренции.
Неустойчивость Марангони приводит к возникновению конвекции типа конвекции Бенара, о которой стоит поговорить подробнее.
Рис. 1.46. Движение жидкости при роликовой конвекции в плоском горизонтальном слое.Рис. 1.46. Движение жидкости при роликовой конвекции в плоском горизонтальном слое.О конвекции
Рис. 1.46. Движение жидкости при роликовой конвекции в плоском горизонтальном слое.
Рис. 1.46. Движение жидкости при роликовой конвекции в плоском горизонтальном слое.
После того, как равновесие неоднородно нагретой жидкости становится неустойчивым по Бенару или Марангони, в жидкости возникает движение, именуемое конвекцией. Вообще, под конвекцией понимают движение жидкости или газа, когда относительно теплые объемы поднимаются,
а холодные опускаются. Конвективные потоки непрерывно осуществляют
перенос тепла в атмосфере; под влиянием нагретой батареи конвекция существует в вашей комнате и т. д. Наиболее изучена, пожалуй, конвекция Бенара, т. е. конвекция, возникающая в жидкости при ее нагреве снизу Конвективное движение при этом имеет четкую структуру Например, если горизонтальные размеры сосуда много больше вертикального, то движение имеет периодический характер вдоль горизонтального направления. Это могут быть конвективные валы, как изображено на рис. 1.46. В других случаях могут возникать гексагональные ячейки Бенара (рис. 1.47). В центре этих ячеек жидкость поднимается, а по краям опускается. Пронаблюдать такие характерные движения не просто. Но постарайтесь! Например, о наблюдении конвекции Бенара в домашних условиях Вы можете прочесть в статье [14].
Рис. 1.47. Ячейки Бенара при конвекции в слое жидкости. Стрелками показано направление движения жидкости.Рис. 1.47. Ячейки Бенара при конвекции в слое жидкости. Стрелками показано направление движения жидкости.Возникновение конвекции Бенара из равновесия носит кризисный характер. Происходит смена механизмов теплопередачи. До возникновения конвекции тепло передается за счет молекулярной теплопроводности жидкости. По закону Фурье, удельный тепловой поток в этом
Рис. 1.47. Ячейки Бенара при конвекции в слое жидкости. Стрелками показано направление движения жидкости.
Рис. 1.47. Ячейки Бенара при конвекции в слое жидкости. Стрелками показано направление движения жидкости.
случае равен
п
Рис. 1.48. Зависимость удельного теплового потока через слой жидкости от числа Релея. R* соответствует началу конвекции.Рис. 1.48. Зависимость удельного теплового потока через слой жидкости от числа Релея. R* соответствует началу конвекции.Ось z направлена вертикально вверх.
Рис. 1.48. Зависимость удельного теплового потока через слой жидкости от числа Релея. R* соответствует началу конвекции.
Рис. 1.48. Зависимость удельного теплового потока через слой жидкости от числа Релея. R* соответствует началу конвекции.
Величина как Вы уже знаете, на-
OZ
зывается градиентом температуры. Она показывает, на сколько градусов изменяется температура в расчете на единицу расстояния. В теории конвекции доказывается, что равновесие жидкости возможно, если
ЭТ , —— = const.
OZ
Тем самым и тепловой поток в режиме молекулярной теплопроводности
тоже const, которую примем равной 1 (это можно сделать определенным выбором единиц измерения). Равновесие слоя подогреваемой жидкости становится неустойчивым при достижении критического числа Релея (например, за счет увеличения разности температур). С возникновением движения тепловой поток через слой жидкости увеличивается. Если число Релея R не слишком сильно превышает критическое R,, то тепловой поток растет с ростом R по закону q ~ y/R — R*. Качественная зависимость теплового потока q от числа Релея показана на рис. 1.48.
Конвекцию типа бенаровской называют еще естественной. В последнее время мы все чаще сталкиваемся с другой конвекцией. Это конвекция жидких кристаллов в электрическом поле. Цифры, которые высвечиваются на табло микрокалькуляторов, на электронных часах, видны в результате такой электроконвекции. Электроконвекция, как и естественная, может возникать сразу после наложения электрического поля или в результате неустойчивости из состояния равновесия при достижении полем критической величины. Более подробно об электроконвекции жидких кристаллов Вы можете прочитать в книге [19].
Самопризвольное возникновение упорядоченных структур в неравновесных системах — явление интересное и характерно не только для конвекции. Оно наблюдается в системах различной природы: химических, биологических. Изучением общих свойств этих явлений занимается новая область науки — синергетика.
Стабилизация равновесия
В предыдущих параграфах рассматривались случаи нарушения устойчивости равновесия жидкостей. Нарушения устойчивости равновесия могут
иметь как положительный эффект, так и отрицательный. Например, наступление конвективной неустойчивости нагреваемой жидкости имеет положительный эффект в плане увеличения интенсивности теплоотдачи. Однако та же неустойчивость и наступление конвекции является нежелательным эффектом в плане разделения примесей. Разделение примесей происходит, например, при кристаллизации полупроводниковых расплавов. Хорошее качество примесных полупроводников, широко используемых в электронике, часто возможно только при однородном распределении примеси по объему кристалла. Поле тяжести и конвекция являются серьезными препятствиями для получения качественных полупроводников. Именно поэтому космонавты на орбитальных станциях в условиях невесомости занимаются выращиванием кристаллов полупроводников. Но этот разговор должен закончиться выводом: в некоторых случаях необходимо не допустить развития неустойчивости, т. е. стабилизировать равновесие. Задача стабилизации равновесия вписывается в более общую задачу, стоящую перед учеными, это задача управления различными процессами, в том числе и происходящими в жидкостях.
Одним из наиболее наглядных и поучительных эффектов стабилизации равновесия жидкостей является стабилизация неустойчивости Ре- лея-Тейлора. Сейчас трудно сказать, но, наверное, идея стабилизации релей-тейлоровской неустойчивости родилась под влиянием великолепной работы выдающегося советского физика, лауреата Нобелевской премии П. Л. Капицы о равновесии перевернутого маятника с вибрирующим подвесом [16].
Рис. 1.49. Маятник Капицы с вибрирующим подвесом.
Пусть маятник, представляющий собой шарик массой т, прикреплен к невесомому стержню тВ, который шарнирно соединен с рычагом ВС, совершающим колебания с амплитудой на конце, равной А, и частотой си (рис. 1.49). На рис. 1.50 изображена машина, с помощью которой можно самостоятельно пронаблюдать такой эффект. Заключается он в том, что при определенных значениях А и и равновесие маятника при а = 0 оказывается устойчивым! Математически строгое решение задачи по определению условия устойчивости равновесия маятника лежит за пределами школьного курса, поэтому ограничимся качественными рассуждениями. Когда подвес маятника (точка В) не совершает вибраций, то в равновесии в верхней точке шарик обладает только потенциальной энергией, равной WK = тд£ (£ — длина маятника). При наличии вибраций полная механическая энергия шарика будет складываться из потенциальной и кинетической. Так как потенциальная часть полной энергии при этом имеет максимальное значение, то минимум полной энергии, необходимый для устойчивого равновесия, может быть достигнут только за счет вклада кинетической энергии. Если вибрация происходит по закону у = A cos cut, то наибольшая кинетическая энергия шарика равна
mA2 со2
WK =
Вклад кинетической энергии будет больше, если
ИЬ^- > тд£ или Aw >(1.108)
Отрадно то, что строгая математическая теория дает точно такое же условие устойчивости равновесия перевернутого маятника. Пользуясь условием (1.108), попробуйте сами подобрать параметры установки, изображенной на рис. 1.50, чтобы пронаблюдать эффект равновесия.
В § 1.8 было показано, что жидкость в U-образной трубке подобна математическому маятнику. По крайней мере частоты их колебаний рассчитываются по одной и той же формуле, и в перевернутом положении их равновесие абсолютно неустойчиво. Отсюда следует, что с помощью вибраций можно стабилизировать и равновесие жидкости, налитой поверх газа! Строгие расчеты показывают: для того, чтобы равновесие жидкости в перевернутой, открытой с обоих концов трубке было устойчиво по отношению к возмущениям поршневого типа, необходимо выполнение условия Капицы (1.108), в котором £ — длина одного колена жидкости. Однако если диаметр трубки достаточно велик (см. § 1.6 и другие), то может проявиться неустойчивость Релея - Тейлора. Можно ли ее стабилизировать с помощью
Рис. 1.50. Машина для наблюдения стабилизации неустойчивого равновесия перевернутого маятника: 1 — корпус электродвигателя; 2 — эксцентрический вал; 3 — шатун; 4 — тяга; 5, б — маятник.Рис. 1.50. Машина для наблюдения стабилизации неустойчивого равновесия перевернутого маятника: 1 — корпус электродвигателя; 2 — эксцентрический вал; 3 — шатун; 4 — тяга; 5, б — маятник.
Рис. 1.50. Машина для наблюдения стабилизации неустойчивого равновесия перевернутого маятника: 1 — корпус электродвигателя; 2 — эксцентрический вал; 3 — шатун; 4 — тяга; 5, б — маятник.
Рис. 1.50. Машина для наблюдения стабилизации неустойчивого равновесия перевернутого маятника: 1 — корпус электродвигателя; 2 — эксцентрический вал; 3 — шатун; 4 — тяга; 5, б — маятник.
Аш >Аш >вибраций? Оказывается, можно. Строгая математическая теория дает следующее условие для предотвращения неустойчивости Релея - Тейлора [29]:
Аш >
Аш >
(1.109)
Здесь d — диаметр трубки. Условие (1.109) имеет смысл только тогда, когда
gd> или d> а .pd Nрд
Но именно для таких широких сосудов возможна релей-тейлоровская неустойчивость. Таким образом, если перевернутый стакан с водой трясти так, чтобы выполнялось условие (1.109), вода не будет выливаться из него!
Подсчитайте сами, какое Аш необходимо в этом случае? Однако есть еще одна маленькая неприятность. Оказывается, тряска способна раскачать волны на прежде плоской поверхности жидкости (читайте об этом в [17]), а большие волны все-таки вызовут вытекание жидкости. Этот эффект называется параметрической неустойчивостью или параметрическим резонансом. Возникает он при достаточно больших амплитудах, поэтому А не
Рис. 1.51. Различные положения устойчивого равновесия столбика жидкости в стакане на вибростенде.
должно быть большой. В опытах, например в [18], амплитуда была ^0,5 см. Когда стакан с водой располагается на специальном вибро стенде, то жидкость, по желанию экспериментатора, может находиться в равновесии в положениях, изображенных на рис. 1.51 а, б, в. Более того, экспериментатор может, изменяя А и ио, перекачать жидкость при помощи параметрического резонанса со дна сосуда на его крышку (из положения а в положение б и наоборот). Так как вибрации высокочастотные, а амплитуда мала, то они практически незаметны на глаз. Поэтому непосвященному наблюдателю все эти эффекты кажутся чудом.
Попробуйте, быть может, Вам удастся пронаблюдать эти чудеса в своей лаборатории.
Часть 2
Равновесие жидкостей и егоустойчивость в электрическоми магнитном полях
Равновесие жидкостей в электрическом и магнитном полях представляет особый интерес прежде всего потому, что этими полями, в отличие от поля тяжести, можно управлять, а следовательно, мы имеем возможность управлять и состоянием жидкости. Более того, например, магнитные жидкости (с ними Вы познакомитесь ниже) специально были созданы для того, чтобы ими можно было эффективно управлять с помощью магнитного поля.
Если магнитные жидкости в природе не встречаются, то жидкость в электрическом поле — это, например, капли, заряженные электричеством, каких много в любом грозовом облаке. Кроме того, электрические поля достаточно часто используются в технологических процессах с жидкостями.
. Равновесие и устойчивость электрически заряженной капли
Рассмотрим каплю, которая в условиях невесомости обладает электрическим зарядом д. Потенциальная энергия капли будет складываться из поверхностной и электростатической. Электростатическая энергия конденсатора
где С — емкость, U — разность потенциалов между обкладками конденсатора. Рассматривая каплю как сферический конденсатор, одна из обкладок которого удалена на бесконечность и имеет нулевой потенциал, можем записать известные соотношения:
Отсюда
Wq"-2C"2R’ 4тг£о-
Здесь ср - потенциал капли, R — ее радиус. Тем самым полная потенциальная энергия заряженной капли
W = 4тг/?2W = 4тг/?2kq22R‘kq22R‘(2.1)(2.1)
W = 4тг/?2
W = 4тг/?2
kq2
2R‘
kq2
2R‘
(2.1)
(2.1)
Рис. 2.1. Модель деления заряженной капли на две.Рис. 2.1. Модель деления заряженной капли на две.Силы поверхностного натяжения стремятся сохранить сферическое равновесие с минимальным R, электрические силы стремятся разорвать каплю. При малом заряде капли сферическое равновесие еще будет сохраняться, т. е. будет устойчивым. С увеличением заряда ситуация может измениться. Допустим, что заряженная до заряда q сферическая капля проводящей жидкости радиусом R (состояние 1) разделилась на две одинаковые капли радиусом г (состояние 3) (рис. 2.1). Сравним потенциСилы поверхностного натяжения стремятся сохранить сферическое равновесие с минимальным R, электрические силы стремятся разорвать каплю. При малом заряде капли сферическое равновесие еще будет сохраняться, т. е. будет устойчивым. С увеличением заряда ситуация может измениться. Допустим, что заряженная до заряда q сферическая капля проводящей жидкости радиусом R (состояние 1) разделилась на две одинаковые капли радиусом г (состояние 3) (рис. 2.1). Сравним потенциальные энергии капель в этих состояниях.В состоянии 1W1 =4тгй2а+альные энергии капель в этих состояниях.В состоянии 1W1 =4тгй2а+(2.2)(2.2)В состоянии 3В состоянии 3
Рис. 2.1. Модель деления заряженной капли на две.
Рис. 2.1. Модель деления заряженной капли на две.
Силы поверхностного натяжения стремятся сохранить сферическое равновесие с минимальным R, электрические силы стремятся разорвать каплю. При малом заряде капли сферическое равновесие еще будет сохраняться, т. е. будет устойчивым. С увеличением заряда ситуация может измениться. Допустим, что заряженная до заряда q сферическая капля проводящей жидкости радиусом R (состояние 1) разделилась на две одинаковые капли радиусом г (состояние 3) (рис. 2.1). Сравним потенци
Силы поверхностного натяжения стремятся сохранить сферическое равновесие с минимальным R, электрические силы стремятся разорвать каплю. При малом заряде капли сферическое равновесие еще будет сохраняться, т. е. будет устойчивым. С увеличением заряда ситуация может измениться. Допустим, что заряженная до заряда q сферическая капля проводящей жидкости радиусом R (состояние 1) разделилась на две одинаковые капли радиусом г (состояние 3) (рис. 2.1). Сравним потенци
альные энергии капель в этих состояниях.
В состоянии 1
W1 =4тгй2а+
альные энергии капель в этих состояниях.
В состоянии 1
W1 =4тгй2а+
(2.2)
(2.2)
В состоянии 3
В состоянии 3
Из = 2Из = 24тгг2о + —— 2г4тгг2о + —— 2г+ ^22)+ ^22)(2.3)(2.3)
Из = 2
Из = 2
4тгг2о + —— 2г
4тгг2о + —— 2г
+ ^22)
+ ^22)
(2.3)
(2.3)
Слагаемое в скобках есть, очевидно, потенциальная энергия отдельной капли. Тогда как W^ есть энергия взаимодействия капель. Если бы вместо капель были два точечных заряда на расстоянии 2г, то потенциальную энергию их взаимодействия легко было бы подсчитать по формуле
(2.4)(2.4)W^ = q3^ = k<^:,
(2.4)
(2.4)
где ^з — величина первого заряда, у? — потенциал второго заряда в точке, где находится первый заряд. Но так как проводящие капли имеют
Рис. 2.2. К задаче о делении заряженной капли.Рис. 2.2. К задаче о делении заряженной капли.конечные размеры, то в результате кулоновского отталкивания заряды на их поверхностях перераспределяются, как показано на рис. 2.2. Тем самым центр зарядов сместится от геометрических центров на некоторое расстояние 8. Очевидно, сила отталкивания этих капель будет меньше, чем сила отталкивания таких же по величине точечных зарядов, расположенных в геометрических центрах. Уменьшится также и потенциальная энергия капель по сравнению с (2.4). Вычислить ее теперь весьма не просто. Автор провел специаль-
Рис. 2.2. К задаче о делении заряженной капли.
Рис. 2.2. К задаче о делении заряженной капли.
(2.5)(2.5)ное исследование этого вопроса и установил, что в случае одинаковых и одинаково заряженных проводящих шаров энергия их взаимодействия примерно на 12% меньше вычисленной как для точечных зарядов в центре, а сила уменьшается аж на 40% по сравнению с вычисленной по закону Кулона [33]. Поэтому в первом приближении будем считать W22 ~ W^- Для того, чтобы равновесие капли 1 было бы неустойчиво по отношению к делению на две капли, необходимо выполнение условия
(2.5)
(2.5)
Ясно, что при малом электрическом заряде капли 1 равновесие устойчиво. С увеличением заряда наступает момент, когда начинает выполняться (2.5). Критическим зарядом назовем такой заряд д*, при котором выполняется равенство
= Ж
или
(2.6)(2.6). d2 , кУ2 , kq^X к^
(2.6)
(2.6)
4тгД а + —- = 2 4тгг а + —— + 2R \8г 8г
Из-за несжимаемости капли ее объем сохраняется, то есть
^тгД3 = 2^7гг3. Отсюда г =(2.7)
После несложных преобразований (2.6), с учетом (2.7), нетрудно получить
Ne =Ne =кд»8тгаЯ3кд»8тгаЯ3—~ 4,72.1 - 3/25/3’—~ 4,72.1 - 3/25/3’(2.8)(2.8)
Ne =
Ne =
кд»8тгаЯ3
кд»8тгаЯ3
—~ 4,72.
1 - 3/25/3’
—~ 4,72.
1 - 3/25/3’
(2.8)
(2.8)
Таким образом, для любых проводящих капель энергетически выгодно деление на две капли в том случае, если безразмерная комбинация Ne из д, as R данной капли равна или превышает 4,72 (Ne ^ 4,72). Промежуточным состоянием 1-3 является форма капли в виде эллипсоида (состояние 2), а это есть только одна из форм собственных колебаний капли. Другая форма собственных колебаний капли изображена на рис. 1.32 (п = 3). Очевидно, это промежуточная форма при делении капли на три одинаковых.
Подсчитаем, какой критический заряд необходим в этом случае. По аналогии с двумя каплями, критический заряд определяется равенством
4тгД2а + ^ = зГ4тгг2а + ^* ) + W33-(2.9)
\Z • у • Г /
При этом
W33 = W12 + W23 + W13.(2.10)
W12, И^з, W13 — энергии попарных взаимодействий трех капель. Очевидно, в приближении точечных зарядов
ИЪ = иг>з = И'13 «(2.11)
Подставим (2.10) и (2.11) в (2.9). После несложных преобразований для этого случая получим
8тгоД3 1 —2/32/3
Теперь можно сделать следующий, очень важный вывод. Если каплю заряжать, постепенно увеличивая заряд, то наступит момент, когда она «созреет» для деления пополам, тогда как для деления на три капли заряда еще будет недостаточно. Другими словами, при постепенном увеличении заря да наиболее предпочтительным является деление капли пополам. А сейчас 26 | попробуйте самостоятельно ответить на вопрос: устойчиво ли равновесие каждой из двух капель, получившихся в результате деления одной с зарядом, равным критическому?
У внимательного и вдумчивого читателя наверняка возникнет вопрос: а возможно ли равновесие капли в промежуточном, между сферой и делением пополам, состоянии? На рис. 2.1 оно обозначено цифрой 2 (такая яйцевидная поверхность называется эллипсоидом). Ответ на этот вопрос можно было найти уже в работах лорда Релея (1842-1919 гг.). Как Вы уже
наверняка заметили, ему принадлежит много пионерских работ в области гидродинамики. Он же впервые теоретически исследовал устойчивость равновесия заряженной капли по отношению к малым деформациям в эллипсоид. Релеем было установлено, что при Ne > 2 равновесие сферической заряженной капли неустойчиво по отношению к сколь угодно малым возмущениям — она самопроизвольно должна деформироваться в эллипсоид, и это состояние является равновесным. С увеличением заряда капли, т. е. и Ne, равновесная эллипсоидная форма будет все более вытянутой. Идеальная теоретическая картина предполагает, что в дальнейшем, при увеличении заряда примерно до такого значения, когда Ne ~ 4,72, должно произойти деление эллипсоида на две капли. Опыт, подтверждая неустойчивость сферического равновесия по отношению к вытягиванию в эллипсоид при Ne > 2, нарушает дальнейшую идеальную картину Оказывается, что после деформации проводящей заряженной капли в эллипсоид с его острых концов начинают выбрасываться мелкие капельки. Теоретическое объяснение этому явлению достаточно сложное и до сих пор обсуждается в научной литературе (например, в [30]).
Конечно, пронаблюдать на опыте неустойчивость равновесия заряженной капли было бы замечательно. Однако это сопряжено с определенными трудностями. Во-первых, для капли нужно создать условия, близкие к условиям невесомости (по крайней мере изолированно подвесить), что само по себе не просто. Во-вторых, ее надо зарядить. Но давайте хотя бы подсчитаем, какой заряд (потенциал) должен быть на капле воды радиусом R = 2 мм, чтобы ее равновесие было неустойчивым по отношению к делению пополам. Для этого воспользуемся формулой (2.8). Сделайте это сами. Автор нашел q* « 2,77 нКл. Оказывается, заряд в 3 • 10-9 нКл настолько | 27 | «большой», что делает равновесие капли неустойчивым.
Приложение теории электрического деления капель
Теория электрического деления капель жидкости нашла красивое применение в теории деления атомных ядер. Поучительно рассмотреть эту теорию. Прежде всего заметим, что для такого применения необходимо, чтобы ядро по совокупности физических признаков походило на каплю. И действительно, были установлены следующие факты.
Между нуклонами в ядре действуют силы притяжения и силы отталкивания, как и между молекулами в капле.
Ядра в состоянии равновесия имеют форму, близкую к сферической, т. е. у ядерной капли есть некоторое поверхностное натяжение.
Плотность ядерной жидкости примерно одна и та же для всех ядер и равна ря ~ 1014 г/см3 (плотность воды р ^ 1 г/см3), т. е. ядерное вещество, как и жидкость, не сжимаемо.
Эти и еще ряд других фактов позволили известным ученым Н. Бору и Я. И. Френкелю предложить капельную модель ядра. Эта модель, являясь, как и все модели, лишь некоторым приближением к истине, позволила тем не менее объяснить и предсказать многие экспериментальные факты ядерной физики. В ядре присутствует z протонов (г — порядковый номер элемента), т. е. заряд ядра q = ze (в ~ 1,6 • 10“19 Кл\ Разница между проводящей каплей, которую мы рассматривали выше, и ядерной каплей состоит в том, что заряд ядра считается равномерно распределенным по объекту, тогда как проводящая капля заряжена по поверхности. Если предположить, что диэлектрическая проницаемость ядра е ~ 1, то электрическая энергия шара (ядра), равномерно заряженного по объему, равна (это выражение получить не просто, но стоит попробовать)
w. = ^- <2-|2>
Как видно, в этой формуле вместо коэффициента У2 (проводящая капля) стоит коэффициент %. Поэтому условие неустойчивости ядра по отношению к делению пополам, вместо (2.8), будет другим:
(% - 17 • 2V3/20)’
Это условие фактически является условием неустойчивости равновесия равномерно заряженного по объему шара (ядра). Его нетрудно получить, если использовать (2.6) и (2.12). Для ядра можем записать
кгА q = ze, ря = —.
А — общее число протонов и нейтронов в ядре — так называемое массовое число, Ад — константа, универсальная для всех ядер. Масса ядра пропорциональна массовому числу. Последнее равенство можно записать так:
у = М = k^A, V = ^тгй3, к^ = const2.
Pa6
Из этих равенств получим
R3 = А:зД, кз = constg.
С учетом сделанных замечаний условие (2.13) перепишется так:
ке2Втгакзке2Втгакз> 2,01.> 2,01.
ке2
Втгакз
ке2
Втгакз
> 2,01.
> 2,01.
Множитель, стоящий слева в скобках, есть опять-таки универсальная для всех ядер const4. Следовательно, условие деления ядер определяется величиной (г2/Л), называемой параметром деления. Причем это отношение должно превышать некоторое число В:
ААВ.
А
А
Так как приближенно z ~ —, т. е. примерно половину всех нуклонов в ядре составляют протоны, то условие деления
А > 4В.
Это означает, что процесс деления энергетически выгоден лишь тяжелым ядрам с большими А и z. В справочнике [20] указывается, что тяжелые ядра способны к делению, если параметр деления (z2/А) ^ 49.
Отметим также, что тяжелые ядра делятся преимущественно именно на два ядра (ядра-осколки). Правда, чаще всего осколки неодинаковы, и с наибольшей вероятностью отношение масс ядер-осколков равно ~ 0,63. Если процесс деления энергетически выгоден, то при делении выделяется энергия. Например, при делении одного ядра урана U928 выделяется около 200 МэВ энергии. Это относительно большая энергия. Именно эта энергия используется в ядерных реакторах и АЭС. Но это уже тема другого разговора.
Еще одно проявление электрической неустойчивости капель — это эффект разбрызгивания жидкости под влиянием сильного электрического поля, используемый в технике, например, при окраске поверхностей пульверизатором. Дробление капель краски под влиянием электрического поля уменьшает затраты краски и улучшает качество покраски. Эффекты неустойчивости могут проявляться и в грозовых явлениях, ведь грозовые облака почти наполовину состоят из заряженных капель.
Можно привести и другие примеры эффектов деления и разбрызгивания капель, но автор надеется, что у читателя уже сформировалось понимание важности изучения этого интересного явления и он самостоятельно продолжит это изучение.
§ 2.3. Шаровая молния. Деление заряженного пузыряи высоковольтный пробой в жидкости
2929Многие физики, в том числе и выдающиеся (например, Н. Тесла, П. Л. Капица), так или иначе занимались проблемой шаровой молнии. Несмотря на некоторый прогресс в изучении, проблема эта остается и по сей день. Подробно о проблеме шаровой молнии Вы можете прочесть в [27].
29
29
Автор данной книги также посвятил некоторое время изучению этого удивительного явления природы и даже предложил свою модель шаровой молнии. Она достаточно проста. По мнению автора, шаровая молния представляет собой электрически заряженный пузырь с оболочкой из расплавленного или затвердевшего металла или силиката (например, стекла). Вокруг оболочки происходит химическая реакция — горение, это обеспечивает ее светимость. Мы не будем подробно обсуждать проблему шаровой молнии в рамках настоящей книги1. Остановимся лишь на некоторых вопросах равновесия и устойчивости. В частности, Вам, читатель, предлагается
Рис. 2.3. Поверхность заряженного пузыря в жидкости подвержена действию давлений: атмосферному (ра); лапласовскому (рл); давлению газа (рг); кулоновскому <J?qYРис. 2.3. Поверхность заряженного пузыря в жидкости подвержена действию давлений: атмосферному (ра); лапласовскому (рл); давлению газа (рг); кулоновскому <J?qYсамостоятельно, используя условие равновесия вакуумированного пузыря в атмосфере (условие нейтральной плавучести), рассчитать его массу и толщину оболочки. При этом считать результирующую электрических сил равной нулю, радиус пузыря R = 5 см, оболочку состоящей из расплавленного железа.
Рис. 2.3. Поверхность заряженного пузыря в жидкости подвержена действию давлений: атмосферному (ра); лапласовскому (рл); давлению газа (рг); кулоновскому <J?qY
Рис. 2.3. Поверхность заряженного пузыря в жидкости подвержена действию давлений: атмосферному (ра); лапласовскому (рл); давлению газа (рг); кулоновскому <J?qY
Рассмотрим теперь более подробно равновесие сферического заряженного пузыря в жидкости.
Итак, пусть в жидкости под давлением атмосферы ра с коэффициентом поверхностного натяжения а покоится пузырь радиусом R. Пузырь электрически заряжен по поверхности до заряда q. Равновесие сферического пузыря обеспечивается равенством давлений (рис. 2.3):
Ра + Рл = Pq + Р2- (2.14)
Здесь рл, Р2, Pq соответственно лапласовское давление, давление газа внутри пузыря и давление, обусловленное силами электростатического отталкивания. Для упрощения будем считать, что давление газа внутри пузыря
Желающие подробнее познакомиться с пузырьковой моделью шаровой молнии могут заказать рукопись: Саранин В. А. Модель шаровой молнии. Депонирована в ВИНИТИ 11.11.86, №7696 — В 86. По адресу: 140010, г. Люберцы, Октябрьский пр-т, 403, ПИК ВИНИТИ. О современном состоянии проблемы читайте в журнале УФН, 1990, вып. 4, том 160.
настолько мало, что им можно пренебречь (р2 = 0). Прежде чем перейти к расшифровке (2.14), запишем потенциальную энергию пузыря:
W1 = 4тгД2а + ^ + hR3pa.(2.15)
Заметим, что соотношения (2.15) и (2.14) связаны между собой так:
_FrR dR' PR S'_FrR dR' PR S'(2.16)(2.16)
_Fr
R dR' PR S'
_Fr
R dR' PR S'
(2.16)
(2.16)
Здесь Fr — результирующая радиальная сила, действующая на пузырь, pr — результирующее давление. В равновесии Fr = pr = 0. В свою очередь, Pr = Pq — Рл — Ра- Последние два равенства и дают (2.14) (при р^ = 0). Используя (2.15) и (2.16), легко получить расшифровку (2.14):
РаРаRRкд28тгД4'кд28тгД4'(2.17)(2.17)
Ра
Ра
R
R
кд2
8тгД4'
кд2
8тгД4'
(2.17)
(2.17)
Удобно записать (2.17) в виде
(2.18)(2.18)1 + 2о = ^PaR8тг R4 Ра
(2.18)
(2.18)
Каждое слагаемое в выражении (2.18) не имеет размерности. Для того чтобы удобно было работать дальше, обозначим
а_ _ а кд2 _ 2
Ра ’ ^Ра 4
Тогда, вместо ( 2.18), получим
(2.19)
Предположим теперь, что этот пузырь разделился на два одинаковых пузырька так, что заряд каждого из них равен д^ = |, а радиус г. Радиус каждого малого пузырька г определяется условием его равновесия:
1+¥ = |г-<2-2°)
Запишем потенциальную энергию пузырька радиуса г:
W2= (Аг2+ ^7 + ^)4^.(2.21)
Учитывая (2.20), формулу ( 2.21) можно записать так:
=4тфо(зАг2 + |г3).(2.22)
Энергия обоих пузырьков в два раза больше ИД, плюс энергия взаимодействия пузырьков между собой. Энергию взаимодействия пузырьков снова рассмотрим как энергию взаимодействия двух точечных зарядов. Тогда полная энергия системы двух пузырьков равна
ИА = 8тгра (зАг2 + |г3) + ^ = 8тгра f4Ar2 + ^г3).(2.23)
хо / оГхи /
Для самопроизвольного деления пузырьков необходимо
Ж > ИД.(2.24)
Очевидно, что условие равновесия (2.19) при заданном заряде q определяет равновесный радиус R. Если найти этот радиус из (2.19) и подставить в выражение для потенциальной энергии (2.15), то получим
w^MQAY
В свою очередь, из (2.20) и (2.23) видно, что W^ = /2(6, А). Тем самым условие дробления пузыря можно записать так:
/i(Q,A)>/2(Q,A).
В общем случае решить это неравенство аналитически не представляется возможным, поэтому перейдем к оценкам. Прежде всего оценим роль поверхностного натяжения. Очевидно, эта роль становится заметной при таких параметрах, когда отношение a)paR (лапласовского давления к внешнему) выражается величиной порядка или больше единицы. Для воды
а to 7 • 10——.
АГ
ра возьмем равным атмосферному:
ра to 105 Па
Тогда из требованияТогда из требованияаPaRаPaR> 1> 1
Тогда из требования
Тогда из требования
а
PaR
а
PaR
> 1
> 1
находим
Ж ~ 0,7 • 10"6Л4.
Ра
Такие, невидимые простым глазом, микронные пузырьки нас интересовать не будут. Будем интересоваться пузырьками с R (или г) порядка миллиметра или десятых долей миллиметра. Для таких пузырьков влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь, т. е. считать, что
PaRPaR(225)
PaR
PaR
Тогда вместо (2.15) и (2.20) соответственно получим
= 4ттра Ж + |д3 ,
Q2 = Д4, R =
Исключив R ИЗ ИД, получим
Аналогичное упрощение для (2.23) дает
Из =
3 • 23/2
Для дробления нужно, чтобы Wi > ИД или 4 >« 3,89. Очевидно,
23/2
последнее неравенство справедливо всегда. Это означает, что существование заряженного вакуумного пузыря невозможно, он будет разрушаться. Причем полученный результат справедлив для любых пузырей, удовлетворяющих условию (2.25) и у которых внутри почти вакуум. Результат должен сильно измениться, если учесть влияние газа, находящегося внутри пузыря. Все видели пузырьки газа или пара в воде, и они довольно устойчиво существуют. Следовательно, наличие газа внутри пузыря будет играть стабилизирующую роль. Итак, равновесие незаряженного парогазового пузыря устойчиво. Если теперь мысленно его заряжать по поверхности, то радиус
его будет расти, давление парогазовой смеси уменьшаться, и наконец наступит такой момент, когда при некотором заряде пузыря влияние газа станет мало и, в согласии с развитой выше теорией, он будет делиться. Определение критического заряда, при котором деление становится выгодным, — почетная, трудная и интересная задача.
А на сколько все-таки пузырьков предпочтительнее разделится заряженный пузырь? Мы видели, что при постепенном заряжении капля предпочтительнее делится на две. Будет ли так обстоять дело с пузырем?
Рис. 2.4. Схема развития возмущений поверхности заряженного пузыря в результате неустойчивости.Рис. 2.4. Схема развития возмущений поверхности заряженного пузыря в результате неустойчивости.Рис. 2.5. Стримеры, приводящие к пробою жидкости.Рис. 2.5. Стримеры, приводящие к пробою жидкости.
Рис. 2.4. Схема развития возмущений поверхности заряженного пузыря в результате неустойчивости.
Рис. 2.4. Схема развития возмущений поверхности заряженного пузыря в результате неустойчивости.
Рис. 2.5. Стримеры, приводящие к пробою жидкости.
Рис. 2.5. Стримеры, приводящие к пробою жидкости.
Многие читатели уже, наверное, задались вопросом: а где встречаются и применяются заряженные пузыри? Так вот, в технике при обработке материалов (например, твердых поверхностей) довольно широко используется электрический разряд в жидкости. При разряде возникает мощный импульс давления, который и приводит к микроразрушению твердой поверхности. Разряд может происходить, например, так. К электродам 1, 2 в жидкости, один из которых может быть типа иглы (рис. 2.4), подается высокое напряжение. На кончике иглы в жидкости есть микропузырьки (зародыши). Стенки зародышей заряжаются, и в результате электростатического отталкивания около кончика иглы вырастает заряженный пузырь. Разумеется, для этого нужно такое напряжение, чтобы электрические силы на поверхности пузырька создавали давление, по крайней мере, больше атмосферного (сравните с кипением). В реальных опытах для этого достаточно напряжения порядка десятка киловольт. Однако на опыте наблюдается не пузырек, а система стримеров, похожих на пальцы руки (рис. 2.5).
Автор этой книги опубликовал в одном из научных журналов работу [21], в которой на основе строгих математических методов рассматри-
вал устойчивость заряженного пузыря. Оказалось, что, в согласии с результатами этого параграфа, заряженный пузырь неустойчив и его поверхность деформируется, образуя множество выступов (рис. 2.4), которые, по- видимому, и дают начало развитию стримеров. Таким образом, в отличие от капли, пузырек предпочитает делиться не пополам, а на множество более мелких. На сколько? Это зависит от условий формирования заряженного пузырька.
. Неустойчивость Тонкса-Френкеля
В книге [22] описаны интересные опыты по наблюдению электронов в жидком гелии. В частности, в [22] отмечается, что если поверхность гелия зарядить электронами, то в достаточно сильном электрическом поле равновесие этой поверхности становится неустойчивым. Впервые в 1935 году такую неустойчивость на поверхности жидкого проводника наблюдал английский физик Тонкс. В 1936 году теория неустойчивости была предложена российским физиком Я. И. Френкелем. Поэтому такого типа неустойчивость равновесия плоской заряженной поверхности жидкости и называют неустойчивостью Тонкса-Френкеля.
Рассмотрим проводящую жидкость, над которой расположен электрод с потенциалом U относительно земли (рис. 2.6). В результате электростатической индукции поверхность жидкости зарядится и слегка поднимется под электродом. Объяснение этого факта и расчет высоты поднятия жидкости даны в [22], и мы этот вопрос рассматривать не будем. Для наблюдения такого равновесия необходимо, чтобы поверхности электрода и жидкости были, во-первых, строго параллельны и, во-вторых, горизонтальны. Стабилизирующими силами, т. е. силами, стремящимися сохранить устойчивость равновесия, являются силы гравитации и поверхностного натяжения, а дестабилизирующими — электростатические силы.
Действительно, пусть на поверхности возникло малое возмущение £ (рис. 2.7). Поверхность проводника сохранится эквипотенциальной, и силовые линии напряженности электрического поля будут перпендикулярны поверхности жидкости (рис. 2.7). При этом произойдет сгущение силовых линий на выступах и разряжение во впадинах. Это означает, что часть электрического заряда со впадин перешла на горбы (как говорят, произошло перераспределение заряда). Следовательно, сила, действующая на горбы вверх также возросла, а значит, возмущение имеет тенденцию возрастать. Однако до тех пор, пока электрические силы малы по сравнению с гравитационными и капиллярными, равновесие поверхности еще может оставаться устойчивым. С возрастанием разности потенциалов, при некотором критическом значении [7, устойчивость равновесия будет нарушена.
^©-©"©-©-©
--- ©Z®-©-©-©----- ©Z®-©-©-©--р-1р-1
--- ©Z®-©-©-©--
--- ©Z®-©-©-©--
р-1
р-1
Рис. 2.6. Схема установки для наблюдения эффекта неустойчивости Тонкса - Френкеля: Э — электрод; Р-1 — высоковольтный разрядник.
Рис. 2.7. К качественному объяснению неустойчивости равновесия заряженной поверхности жидкости.Рис. 2.7. К качественному объяснению неустойчивости равновесия заряженной поверхности жидкости.
Рис. 2.7. К качественному объяснению неустойчивости равновесия заряженной поверхности жидкости.
Рис. 2.7. К качественному объяснению неустойчивости равновесия заряженной поверхности жидкости.
Попробуем построить простейшую теорию этого явления. Равновесие будет неустойчиво, если изменение потенциальной энергии при возмущении поверхности AW < 0. В данном случае
АТС = АЖ, + AWa + AWq.АТС = АЖ, + AWa + AWq.(2.26)(2.26)
АТС = АЖ, + AWa + AWq.
АТС = АЖ, + AWa + AWq.
(2.26)
(2.26)
Здесь AWg и AWa — уже знакомые нам по релей-тейлоровской неустойчивости изменение потенциальной энергии в поле тяжести и изменение поверхностной энергии. Третье слагаемое — это изменение электростатической энергии. Для простоты опять выберем возмущения, имеющие в се-
Рис. 2.8. К расчету критерия неустойчивости Тонкса - Френкеля.
чении треугольный профиль с длиной волны А и амплитудой £, причем по-прежнему § < А (рис. 2.8). Тогда АИУ и А ПА уже фактически подсчитаны в параграфе 1.7. Подсчитаем AWg.
В случае проводящей жидкости система верхний электрод и свободная поверхность жидкости представляет собой плоский конденсатор. Если заряд на электроде Q, то электрическую энергию конденсатора можно записать в виде (§2.1)
О2
=(227)
При деформациях поверхности емкость, очевидно, будет изменяться. Для определения емкости конденсатора с гофрированной пластиной (искривленной поверхности жидкости) рассмотрим конденсатор, у которого одна из пластин слегка наклонена (рис. 2.9). Пусть уравнение сечения нижней пластины
у = Ад я, Ад <С 1.(2.28)
Ад будет определено ниже. Выделим на пластинах узкую полоску шириной Аад. В силу малости Аад, верхнюю и нижнюю полоски можно считать параллельными, и для емкости этого малого плоского конденсатора записать
Ас» = ее0Аж^ = ее0Дж^ .(2.29)
Если теперь такими полосками покрыть всю нижнюю и верхнюю пластины, то мы получим множество параллельно соединенных конденсаторов с общей емкостью
с=У2Дс»-(2.30)
Рис. 2.9. К расчету емкости конденсатора с наклонными пластинами.Рис. 2.9. К расчету емкости конденсатора с наклонными пластинами.
Рис. 2.9. К расчету емкости конденсатора с наклонными пластинами.
Рис. 2.9. К расчету емкости конденсатора с наклонными пластинами.
Как видно из рис. 2.9, наравне с положительно наклоненными нижними пластинами имеются и отрицательно наклоненные к < 0. Очевидно, для
них
^.--^гтЕ ^'-Ед^ <2Дп г
В силу того, что форма поверхности периодическая, достаточно вычислить емкость областей 1 и 3 (рис. 2.8), так как емкость области 2 равна емкости области 1 и наоборот, емкость 3 равна емкости 4. Для дальнейшего нам понадобятся приемы приближенных вычислений. Мы уже знаем, что
(1 ± б)п to 1 2lh5 при 5 < 1.
В нашем случае 6 = к^х/а, тогда п = — 1. В результате, вместо (2.29) и (2.31) приближенно получим, соответственно
Ac^Ac^EEq/Xx^dEEq/Xx^d\ dJ\ dJ££oZX$i£d££oZX$i£dU-k^Y\ dJU-k^Y\ dJ(2.32)(2.33)(2.32)(2.33)
Ac^
Ac^
EEq/Xx^d
EEq/Xx^d
\ dJ
\ dJ
££oZX$i£d
££oZX$i£d
U-k^Y
\ dJ
U-k^Y
\ dJ
(2.32)
(2.33)
(2.32)
(2.33)
Теперь общая емкость областей 1 и 3 равна
С1з = с + с' = ^ к^сг + Ас') = У2 Аж».
В результате того, что слагаемые, содержащие kt, уничтожились, мы получили такой результат, как если бы граница не была искривлена. Но емкость должна измениться! Да, должна. Все дело в том, что наше приближение недостаточно точное, чтобы уловить это изменение. Более точное приближение имеет вид (см. приложение)
(1 ± 5)п « 1 ± п5 ++ ...
Для нашего случая
п = -1 и (1±5)-1 «l±J + 52.
Теперь
d \ d2 /
Емкость всей системы 1, 3 равна
2С0^ Л , ^12 Л А
С13 =М X •
Очевидно,
Сумму ^ж^Аж^ можно заменить интегралом
А/4А/4А/40А/40А3 192'А3 192'
А/4
А/4
А/4
0
А/4
0
А3 192'
А3 192'
Таким образом,
С13+24 = 2С1з =С13+24 = 2С1з =СОсА^ С0сА3^+ 48d3СОсА^ С0сА3^+ 48d3(2.34)(2.34)
С13+24 = 2С1з =
С13+24 = 2С1з =
СОсА^ С0сА3^
+ 48d3
СОсА^ С0сА3^
+ 48d3
(2.34)
(2.34)
Очевидно, первое слагаемое — это емкость системы, когда возмущения поверхности нет. Обозначив ее со, получим вместо (2.34)
Д2^2
5i < 1.5i < 1.(2.35)(2.35)С = О) ( 1 Нзр" ) = Cq(1 + 51),V d2 '
5i < 1.
5i < 1.
(2.35)
(2.35)
Ад легко найти из условия, что при х = А/4 в (2.28) у = А Отсюда
(2.36)(2.36),^ А 1б£2
(2.36)
(2.36)
к1 = Т'^ =
A d2
Теперь нетрудно подсчитать изменение электростатической потенциальной энергии. Для случая Q = const, согласно (2.27), имеем
(2.37)(2.37)и ^wq = -^e. cod2и ^wq = -^e. cod2Q2 ~ Q2со(1 + A) 2сд
(2.37)
(2.37)
и ^wq = -^e. cod2
и ^wq = -^e. cod2
Очевидно, что в данной ситуации гравитационная и капиллярная энергии возрастают с ростом возмущения, т. е.
Wg > 0 и ДИА > 0.
Используя значение AWg и ДИА, найденные при исследовании условия релей-тейлоровской неустойчивости, запишем условие неустойчивости AW < 0 в виде
^$2 > Хрдхге + ^^2.(2.38)
cod2 оА
Теперь следует проанализировать полученный результат. Прежде всего, (2.38) можно сократить на £2 (заметьте, что вблизи равновесия изменение всех видов потенциальной энергии ~ £2, следовательно, сила F = = — ^^ А т- е- смещению). Далее, очевидно, условие неустойчивости не должно зависеть от £, так как вдоль этого направления ничего не меняется. Кроме того, представим себе, что электроды находятся очень далеко друг от друга («очень далеко» соответствует случаю d ^> А), а заряженная поверхность неограниченна. В этой ситуации бессмысленно говорить о емкости, а потенциальная энергия должна быть выражена через характеристики электрического поля (например, напряженность). Кстати, именно такую задачу п2 решил Я. И. Френкель. Учитывая сказанное, заменим энергию Wq = -— энергией поля
и; = А = ^АА V = ХМ(2.39)
42с02х
V — объем, занятый полем.
Тогда (2.38) нетрудно преобразовать к виду
8еое^2^ >(2.40)
При больших значениях d условие неустойчивости вообще не должно содержать d, так как электроды можно раздвигать и далее — до бесконечности, заряженная поверхность жидкости будет к этому практически не чувствительна. Другими словами, большое d можно взять любым, выберем его равным, например, А. Тогда вместо (2.40) получим
8£o^2>^A + J(2.41)
У Я. И. Френкеля, в результате строгих математических расчетов, получилось для этого случая
8£о£Я2 > ^рд\ += /(А).(2.42)
Отметим, что напряженность поля, созданного неограниченной заряженной поверхностью определяется плотностью поверхностного заряда а соотношением
£ОеЕ = а/2.(2.43)
Е — напряженность поля, созданного поверхностью. Поэтому можно заменить Е на а и получить условие неустойчивости в другой форме:
+(244)
Вдумчивый читатель заметит при выводе (2.41) «натяжку» — подгонку под результат Я. И. Френкеля. Да, конечно. Но ведь мы решали задачу с конденсатором, а когда пластины удалены на бесконечность, то уже никакого конденсатора нет, а есть только заряженная поверхность жидкости, поэтому надо решать другую задачу, а это не просто. Читатель может попробовать. Однако при малых d (по крайней мере при d < А) результат (2.40) совсем неплох, почти такой же получается при строгих математических расчетах.
А сейчас перейдем к самому интересному — займемся анализом полученных результатов. Сначала рассмотрим случай d ^ А, т. е. условие (2.42). Правая часть (2.42) есть функция А — длины волны возмущения. Она имеет вид, показанный на рис. 2.10. Так что если поверхность постепенно подзаряжать (увеличивать напряженность), то неустойчивость впервые наступит по отношению к возмущениям с длиной волны Ат. Возмущения с Аш называются наиболее опасными. Очевидно, Аш должна быть такой, чтобы
Рис. 2.10. Кривая нейтральной устойчивости (нейтральная кривая). Область параметров ниже кривой соответствует устойчивому равновесию, выше — неустойчивому.Рис. 2.10. Кривая нейтральной устойчивости (нейтральная кривая). Область параметров ниже кривой соответствует устойчивому равновесию, выше — неустойчивому.
Рис. 2.10. Кривая нейтральной устойчивости (нейтральная кривая). Область параметров ниже кривой соответствует устойчивому равновесию, выше — неустойчивому.
Рис. 2.10. Кривая нейтральной устойчивости (нейтральная кривая). Область параметров ниже кривой соответствует устойчивому равновесию, выше — неустойчивому.
гравитационное и капиллярное слагаемое в (2.42) были бы одного порядка. Определим минимум /(А). Для этого вычислим производную /ДА) и приравняем ее к нулю:
_ Р9 2жа _
ОтсюдаОтсюда(2.45)(2.45)
Отсюда
Отсюда
(2.45)
(2.45)
Найдем критическую напряженность поля, т. е. такую напряженность поля в зазоре между электродом и поверхностью, начиная с которой равновесие поверхности будет неустойчивым. Для этого воспользуемся результатами строгой теории, подставим (2.45) в (2.42) и найдем
(2.46)(2.46)Е^ = ^ V^6^(для воздушного зазора s « 1).
(2.46)
(2.46)
Вычислим Ет, например, для поверхности воды:
а = 73—,
< « 6,04 • 1012 (ВД2,Ет«24,5^.
Это немало. Школьный разрядник «Разряд-1» создает высокое напряжение до 25 кВ. Если использовать его для опытов, то электрод для наблюдения неустойчивости надо размещать на расстоянии ~ 1 см от поверхности воды. Но не торопитесь включать разрядник для наблюдения неустойчивости.
Обратимся теперь к случаю тонкого зазора и выясним, какие зазоры следует считать тонкими. Из (2.40) имеем следующее условие неустойчивости, соответствующее случаю d <С А:
>Д^)^'(2.48)
В этом случае наиболее опасными возмущениями являются длинноволновые, так как наименьшее значение Е2 получается при А сю (на опыте такими возмущениями будут возмущения с длиной волны порядка размеров электрода). Для А ^> ^^р = пл/24 (это соответствует условию А сю), из (2.48) получаем квадрат критической напряженности
Em = dpg/ (48е0) •
Более строгая теория дает (например, в [23])
с = dpg/eo.(2.49)
Чтобы произвести расчеты по этой формуле, надо задать d, соответствующее случаю d <С А, и одновременно А ^> ал/24 Отсюда очевидно, что тонким следует считать зазор с d < а\/24. Для воды капиллярная постоянная а ~ 0,4 см. Поэтому для воды зазор будет тонким, если d < 2 см.
Таким образом, если попытаться пронаблюдать возникновение на поверхности воды периодических структур с периодом Ат, появляющихся в результате неустойчивости, то верхний электрод следует разместить на расстоянии d > 2 см от поверхности. Учитывая, что критическая напряженность поля при этом ^25 кВ/см, то напряжение на верхнем электроде должно быть > 50 кВ. К сожалению, с помощью школьного разрядника такое напряжение получить нельзя. Оценим, можно ли пронаблюдать неустойчивость равновесия поверхности при малом расстоянии между электродом и поверхностью. Для этого следует воспользоваться формулой (2.49). Чтобы сразу выяснить возможности школьного разрядника, положим
ит = 25кВ, Ет = ^
d
и оценим расстояние от электрода до поверхности:
~8,3^.
| 30 | Результат утешительный. Достаточно разместить электрод на расстоянии < 8 мм от поверхности воды и подать на него напряжение ~ 25 кВ. Схема установки приведена на рис. 2.6. Приступайте к опытам. Успехов!
В заключение, во-первых, хочется еще раз подчеркнуть единство законов природы. Вспомните неустойчивость Релея - Тейлора. В не очень широких трубках развивалось возмущение, имеющее только одну длину волны, в широком сосуде наблюдались периодические структуры с большим числом длин волн. В рассматриваемом случае, при малом расстоянии между электродом и поверхностью, развивается возмущение с одной максимальной длиной волны, при больших зазорах имеем периодическую структуру.
Во-вторых, здесь были рассмотрены теория и опыты с проводящей жидкостью, с водой, но аналогичные эффекты имеют место и в случае диэлектрических жидкостей. Разумеется, для них критическая напряженность поля и наиболее опасная длина волны возмущений будут несколько другими.
§ 2.5. Явление Лейденфроста в электрическом поле или взлетающая капля
Автор этой книги много лет занимался электрогидродинамикой — областью физики, в которой изучается поведение жидкостей в электрическом поле. И вот однажды его посетила Идея. Заключалась она в следующем.
Пусть капля воды, интенсивно испаряясь снизу, находится во внешнем электрическом поле (рис. 2.11). Тогда под влиянием поля ионы одного знака скопятся в верхней части капли, а другого знака — в нижней. Нижние ионы частично испарятся вместе с нейтральными молекулами, и капля окажется электрически заряженной. Со стороны внешнего поля на каплю начнет действовать сила Кулона
FK = qE, (2.50) где q — заряд капли.
Причем эта сила, в условиях данной задачи, всегда направлена вверх независимо от направления Е (проверьте!). Таким образом, если будет выполнено условие
Ек > тд, (2.51) где т — масса капли, то капля должна взлететь!
111111. Явление Лейденфроста в электрическом поле...
111
111
Рис. 2.11. Взвешенная и испаряющаяся капля во внешнем электрическом поле.Рис. 2.11. Взвешенная и испаряющаяся капля во внешнем электрическом поле.Рис. 2.12. Схема установки, позволяющей наблюдать взвешенную испаряющуюся каплю в электрическом поле.Рис. 2.12. Схема установки, позволяющей наблюдать взвешенную испаряющуюся каплю в электрическом поле.
Рис. 2.11. Взвешенная и испаряющаяся капля во внешнем электрическом поле.
Рис. 2.11. Взвешенная и испаряющаяся капля во внешнем электрическом поле.
Рис. 2.12. Схема установки, позволяющей наблюдать взвешенную испаряющуюся каплю в электрическом поле.
Рис. 2.12. Схема установки, позволяющей наблюдать взвешенную испаряющуюся каплю в электрическом поле.
После того как Идея созрела, автор перешел к экспериментам. Чтобы создать интенсивное испарение снизу, можно было воспользоваться явлением Лейденфроста. Для этого мы положили гладкий металлический лист на электроплитку и нагрели его до нужной температуры. Сверху расположили электрод, подключенный к одному из полюсов электрофорной машины (рис. 2.12). После того как капля воды зависла на паровой подушке над металлическим листом, начали крутить ручку электрофорной машины — и капля взлетела! Это были победа и потрясающее зрелище!
Затем установка была усовершенствована. Вместо электрофорной машины стали использовать школьную высоковольтную установку «Разряд-1», а вместо плитки был сделан специальный нагреватель. После этого, кроме взлета капли, нами были зафиксированы и другие интересные явления.
Чтобы не лишать Вас, читатель, удовольствия поэкспериментировать | 31 самому, не будем обсуждать здесь эти явления. Отметим лишь следующее.
В теории грозы, которая еще далеко не завершена и в которой еще достаточно много белых пятен, немалая роль отводится механизмам зарядки капель в грозовом или предгрозовом облаке. Описанное выше явление вполне может быть рассмотрено как один из допустимых механизмов зарядки капель в атмосфере (кстати, ранее никем не исследованный). Действительно, в атмосфере теплый воздух поднимается вверх. Обдувая капли, он обеспечивает их интенсивное испарение снизу. Если при этом в атмосфере имеется электрическое поле (а перед грозой оно достигает значений напряженности 1 кВ/см и выше), то налицо условие для зарядки капель, их левитации и взлета.
А теперь немного посчитаем. Используя равенства (2.50) и (2.51), самостоятельно вычислите, каков должен быть заряд q на капле радиусом г = 2 мм, чтобы она взлетела под действием электрических сил. Так как | 32
величина напряженности поля в атмосфере ограничена пробивным значением (~ 30 кВ/см), то расчеты проведите для Е « 10 кВ/см. Найденное значение заряда капли сравните с тем, которое необходимо для проявления неустойчивости равновесия капли (§2.1). Сделайте выводы.
В заключение рассмотрим еще одно интересное явление. Если в сухую погоду расчесаться пластмассовой расческой, а затем поднести ее к лежащим на столе кусочкам бумаги, то они взлетят вверх к расческе. Вы никогда не проделывали такого опыта? Тогда приступайте к его выполнению.
Объяснение опыта с кусочками бумаги состоит в том, что электрическое поле расчески поляризует кусочки бумаги, они становятся диполем и втягиваются в область более сильного поля, оставаясь при этом электрически нейтральным. Все это очень похоже на то, что происходит с каплей в электрическом поле. Так, может быть, и в наших опытах капля поляризуется, становится диполем (рис. 2.11) и притягивается к верхнему электроду, оставаясь незаряженной? Автор сделал соответствующие расчеты силы притяжения (к сожалению, эта задача выходит за рамки школьного материала и здесь не излагается, но Вы можете попробовать ее решить) и нашел, что она более чем в 100 раз меньше силы тяжести капли. Таким образом, ответственным за взлет капли следует считать взаимодействие именно возникающего избыточного заряда на капле с внешним электрическим полем.
Магнитные жидкости. Равновесие плоской поверхности магнитной жидкости в магнитном поле
Начнем, как обычно, с определения. Что же такое магнитная жидкость? Это такая среда, которая обладает поверхностным натяжением и текучестью, как обычная жидкость, но, кроме того, притягивается к магниту, как, например, гвоздь. То есть она ферромагнетик, поэтому иногда магнитные жидкости называют феррожидкостями. В природе таких жидкостей не существует. Впервые они были созданы учеными в 60-х годах нашего столетия. Сейчас магнитные жидкости производятся промышленно у нас в стране и за рубежом и находят широкое применение в науке и технике. Подробно о магнитных жидкостях можно прочитать в научно-популярной книге [24].
Кратко опишем, как получают феррожидкость. Один из способов таков: размельчают твердый ферромагнетик, например, магнетик РезО4, до О О
размеров частиц около 100 А. 1А (ангстрем) = 10“10 м и представляет собой приближенный размер атома. Таким образом, в частице содержится всего 100 атомов! Чтобы получить такие частицы, надо потрудиться.
Измельчение частиц производится в жидкости, например, в керосине, которая называется несущей. Кроме того, в керосин добавляют немного олеиновой кислоты. Кислота обволакивает твердые частицы магнетика и не
дает им слипаться. Так как частицы малы, то они участвуют в интенсивном (броуновском) движении и не могут выпасть в осадок под действием силы тяжести. Тем самым они равномерно распределяются по объему несущей жидкости и участвуют в ее течении. Концентрация частиц в жидкости достигает 1018 см3. Каждая частица магнетика — это маленький магнит, и при поднесении к жидкости большого магнита все частицы стремятся притянуться к нему В результате, они увлекают за собой и жидкость. На рис. 2.13 показано, как образуется менисковое поднятие феррожидкости под воздействием магнитного поля около проводника с током (1 — проводник с током, 2 — поверхность феррожидкости).
Рис. 2.14. Рельеф поверхности феррожидкости в магнитном поле, образующийся в результате неустойчивости равновесия плоской поверхности [24].Рис. 2.14. Рельеф поверхности феррожидкости в магнитном поле, образующийся в результате неустойчивости равновесия плоской поверхности [24].Рис. 2.13. Равновесная поверхность магнитной жидкости (2) около цилиндрического проводника с током (1).
Рис. 2.14. Рельеф поверхности феррожидкости в магнитном поле, образующийся в результате неустойчивости равновесия плоской поверхности [24].
Рис. 2.14. Рельеф поверхности феррожидкости в магнитном поле, образующийся в результате неустойчивости равновесия плоской поверхности [24].
А теперь перейдем к рассмотрению случаев неустойчивого равновесия феррожидкости. Если плоский слой феррожидкости (налитой, например, в чашку Петри) поместить в достаточно сильное, однородное, вертикальное, перпендикулярное поверхности жидкости магнитное поле, то он деформируется в ряд выступов, как показано на рис. 2.14. Эта картина напоминает ежа. Вот почему книга [24] называется «”Еж”в стакане». Но самое главное и интересное заключается в том, что возникающая в данном случае неустойчивость очень напоминает неустойчивость равновесия плоской поверхности жидкости в электрическом поле, т. е. неустойчивость Тонкса- Френкеля. Качественное объяснение неустойчивости плоской поверхности феррожидкости следующее.
Рис. 2.15. К качественному объяснению неустойчивости равновесия плоской поверхности феррожидкости во внешнем магнитном поле.
Как известно, магнитное поле в ферромагнетике увеличивается, по сравнению с немагнитной средой, во много раз. Усилению поля соответствует сгущение силовых линий. Допустим теперь, что на плоской поверхности возникло возмущение, как показано на рис. 2.15. Силовые линии будут гуще на горбах, чем во впадинах, следовательно, и магнитное поле на горбах будет больше, и именно туда будет втягиваться феррожидкость. Итак, возмущение имеет тенденцию нарастать. Стабилизирующими факторами являются силы тяжести и силы поверхностного натяжения. Очевидно, неустойчивость будет развиваться, когда дестабилизирующие магнитные силы превысят стабилизирующие.
Найдем количественный критерий неустойчивости равновесия плоской поверхности феррожидкости во внешнем магнитном поле. Для этого воспользуемся аналогией между рассматриваемой неустойчивостью и неустойчивостью Тонкса-Френкеля, а также соображениями размерности. Из выражения для силы Кулона
Fk = qE
(Е — напряженность электрического поля) и силы Лоренца
Ед = qv х В
(В — индукция магнитного поля) видно, что по размерности
[Е] = [уВ] = [сВ],
где с — скорость света.
Тогда, пользуясь упомянутой аналогией, можно в выражении (2.47) для критической напряженности электрического поля заменить Е^ на с^В^.
Учитывая, чтоУчитывая, что
Учитывая, что
Учитывая, что
г = 1 =sqs^ еор-ор,
(е в (2.47) взято равным 1), с точностью до безразмерной постоянной К, получим критическое значение магнитной индукции в виде
(2.52)(2.52)в* = Кщ^ррдо..
(2.52)
(2.52)
Строгая математическая теория [25] дает
5* = М5* = Мм(м +1)(^-1)2м(м +1)(^-1)2V?9^V?9^(2.53)(2.53)
5* = М
5* = М
м(м +1)(^-1)2
м(м +1)(^-1)2
V?9^
V?9^
(2.53)
(2.53)
Рис. 2.16. Экспериментальная кривая, демонстрирующая жесткий характер неустойчивости поверхности феррожидкости и гистерезис [25].Рис. 2.16. Экспериментальная кривая, демонстрирующая жесткий характер неустойчивости поверхности феррожидкости и гистерезис [25].
Рис. 2.16. Экспериментальная кривая, демонстрирующая жесткий характер неустойчивости поверхности феррожидкости и гистерезис [25].
Рис. 2.16. Экспериментальная кривая, демонстрирующая жесткий характер неустойчивости поверхности феррожидкости и гистерезис [25].
где pi — магнитная проницаемость феррожидкости.
Итак, если индукция магнитного поля в феррожидкости превысит критическую В*, то плоская поверхность жидкости теряет равновесие, и на ней появляются горбы и впадины. Механизм такой неустойчивости весьма интересен и поучителен.
Можно было бы представить, что если индукция В слегка превысит В*, то на поверхности возникнут невысокие горбы, и далее высота горбов будет расти с увеличением разности (В—В*). Такое плавное увеличение амплитуды горбов на поверхности с ростом надкритичности, по закону у/(В — В*), соответствует так называемому мягкому механизму возникновения неустойчивости. Именно так возникает конвек-
ция (рис. 1.46). Но поверхность маг
нитной жидкости в магнитном поле ведет себя по-другому Даже при превышении В порогового (критического) значения В* поверхность остается
плоской, но при определенной надкритичности на поверхности скачком появляются горбы конечной высоты. На рис. 2.16, который воспроизводит экспериментальные результаты, изложенные в [25], как раз видно, что при превышении критического значения поля примерно в 2,5 раза скачком возникают горбы высотой около 120 мкм. (Поскольку индукция В и напряженность Н связаны соотношением В = р^/лН, то вместо В здесь
используется Н.) Исчезают горбы при напряженности, близкой к критическому значению, т. е. налицо уже известный нам гистерезис. Такой механизм возникновения неустойчивости называется жестким.
В заключение еще раз подчеркнем мысль о единстве законов природы. Если посмотреть на горбы сверху, то можно увидеть уже знакомую нам по конвекции Бенара гексагональную структуру. Основание горба образует гексагональную ячейку, а сам горб находится посредине.
Равновесие цилиндрического столба магнитной жидкости и его устойчивость
Рассмотрим еще один интересный случай устойчивого и неустойчивого равновесия магнитной жидкости. Как было отмечено выше, феррожидкость притягивается к проводнику с током. Если исключить влияние сил тяжести, например, поместив феррожидкость в другую жидкость равной плотности (в опытах, описанных в [24], феррожидкость помещалась в водный раствор глицерина), то магнитная жидкость, притягиваясь к линейному проводнику с током, образует цилиндр (рис. 2.17, 1). Этот жидкий цилиндр, будучи достаточно длинным, сохраняет свою форму, т. е. находится в состоянии устойчивого равновесия, если ток, текущий по проводнику, достаточно велик. При уменьшении тока, начиная с некоторого значения I,, равновесие цилиндра становится неустойчивым, и он делится на капли. Вы помните, что равновесие обычного жидкого цилиндра при условии £ > 2тгг неустойчиво, и он распадается на капли.
Рис. 2.17. Равновесие столба магнитной жидкости в магнитном поле: 1 — устойчивое; 2, 3, 4 — неустойчивое. Вт — магнитное число Бонда.
Учитывая, что дестабилизирующими силами в данном случае являются капиллярные, а стабилизирующими — магнитные, найдем критерий неустойчивости, т. е., например, ток I*, начиная с которого равновесие ци-
линдра становится неустойчивым. Для этого сделаем одно важное замечание. Так как напряженность магнитного поля убывает с расстоянием от проводника с током по закону
II2тгг2тгг(2.54)(2.54)
I
I
2тгг
2тгг
(2.54)
(2.54)
(г — расстояние от оси проводника до поверхности цилиндра), то критерий неустойчивости должен содержать радиус цилиндра. Теперь обратимся к критерию неустойчивости равновесия плоской поверхности магнитной жидкости в магнитном поле (2.53). В него не входит единица длины, а точнее, вместо единицы длины входит капиллярная постоянная. Перепишем критерий (2.53), выделив капиллярную постоянную:
в2в22/z0^(/z + 1)а\/22/z0^(/z + 1)а\/2«(^ - I)2«(^ - I)2
в2
в2
2/z0^(/z + 1)а\/2
2/z0^(/z + 1)а\/2
«(^ - I)2
«(^ - I)2
Если теперь в этом выражении заменить капиллярную постоянную а на радиус цилиндра г, то мы получим критерий неустойчивости равновесия феррожидкого цилиндра в виде
в2 <в2 <VBAto^ + 1)аХ2ГVBAto^ + 1)аХ2ГX = Д - 1-X = Д - 1-(2.55)(2.55)
в2 <
в2 <
VBAto^ + 1)а
Х2Г
VBAto^ + 1)а
Х2Г
X = Д - 1-
X = Д - 1-
(2.55)
(2.55)
В — индукция магнитного поля на поверхности цилиндра, % называется коэффициентом магнитной восприимчивости жидкости. С учетом того, что В = рорН, соотношение (2.55) может быть преобразовано к виду
Вт =Вт =гг2(а А)гг2(а А)(2.56)(2.56)
Вт =
Вт =
гг2
(а А)
гг2
(а А)
(2.56)
(2.56)
Безразмерный комплекс в левой части неравенства Вт называется магнитным числом Бонда. Так как (а/г) представляет собой лапласовское (капиллярное) давление, то рмх2Н2 представляет собой давление магнитного поля на поверхность цилиндра. Если давление магнитного поля мало по сравнению с капиллярным, то капиллярные силы приводят к делению цилиндра на капли. Используя соотношение (2.54), по (2.56) можно рассчитать критическое значение тока, при превышении которого равновесие феррожидкого цилиндра устойчиво. На рис. 2.17, взятом из книги [24], показано изменение формы ферромагнитного цилиндра при различных значениях магнитного
числа Бонда. 1 — число Бонда больше критического. Равновесие цилиндра устойчиво. 2, 3 ,4 — число Бонда убывает, достигая нуля (позиция 4). Равновесие цилиндра неустойчиво, он делится на капли.
В заключение мы рекомендуем Вам, дорогой читатель, обязательно поэкспериментировать с магнитной жидкостью, если, конечно, Вам удастся ее раздобыть.
Заключение
Существует множество форм равновесия жидкости. Некоторые из них устойчивые, и их можно наблюдать, другие же — неустойчивые, либо не наблюдаемые, либо разрушающиеся в течение коротких промежутков времени. В природе существует бесконечное множество малых воздействий — возмущений. Если равновесие жидкости неустойчиво хотя бы по отношению к одному из малых возмущений, то равновесие обязательно нарушится. Условия, при которых неустойчивость становится возможной, зависят от соотношения стабилизирующих и дестабилизирующих сил (или других факторов) либо от характера состояния системы. Например, в случае релей-тейлоровской неустойчивости ее проявление определяется соотношением сил тяжести (дестабилизирующие) и сил поверхностного натяжения (стабилизирующие). Тогда как в случае равновесия мыльной пленки, натянутой на два кольца, равновесие становится неустойчивым в состоянии, когда минимум потенциальной энергии отсутствует. Последнее положение является весьма общим. То есть устойчивое равновесие возможно, если у потенциальной энергии системы есть минимум. Поэтому и в случае конкурирующих сил устойчивость или неустойчивость определяются также характером изменения потенциальной энергии при наличии возмущения.
Как уже отмечалось, часто переход от устойчивого равновесия к неустойчивому происходит при определенном отношении стабилизирующих и дестабилизирующих сил (или других параметров). Эти отношения формируют безразмерные величины, называемые критериями неустойчивости. Перечислим критерии неустойчивости, которые нам встретились:
a)Bo=rv5
число Бонда, являющееся отношением сил тяжести к силам поверхностного натяжения.
число Релея, являющееся отношением времени развития и затухания возмущений.
. {3a^Th
В) Мп = —
число Марангони, аналогичное числу Релея.
kq2^ivaR^kq2^ivaR^г) Ne =г) Ne =число, являющееся отношением кулоновских и капиллярных сил. Его можно назвать электрическим числом Бонда.
kq2^ivaR^
kq2^ivaR^
г) Ne =
г) Ne =
£о^2£о^2В случае неустойчивости Тонкса-Френкеля кризис равновесия наступает при определенном значении безразмерного числа
£о^2
£о^2
являющегося отношением сил электрического поля к гравитационно-капиллярным силам.
Равновесие цилиндра магнитной жидкости в магнитном поле тока нарушается при определенном значении магнитного числа Бонда
ЦоХ^Н^т
Вт =а
Рис. 2.18. При превышении критического значения числа Рейнольдса Re ламинарное течение жидкости становится неустойчивым и переходит в турбулентное.Рис. 2.18. При превышении критического значения числа Рейнольдса Re ламинарное течение жидкости становится неустойчивым и переходит в турбулентное.
Рис. 2.18. При превышении критического значения числа Рейнольдса Re ламинарное течение жидкости становится неустойчивым и переходит в турбулентное.
Рис. 2.18. При превышении критического значения числа Рейнольдса Re ламинарное течение жидкости становится неустойчивым и переходит в турбулентное.
На рис. 2.18 (воспроизведен с фотографии из [26]) изображен знаменитый опыт О. Рейнольдса, демонстрирующий переход от ламинарного течения жидкости к турбулентному (прямая струя темной жидкости соответствует ламинарному течению, а волнистая — турбулентному). Оказывается, что ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное при определенном числе Рейнольдса (равном ~ 1800), которое также является безразмерным:
Re=^
где у — скорость жидкости, d — диаметр трубы, v = 77/р — кинематическая вязкость жидкости.
Приведенные безразмерные критерии называются также критериями (или числами) подобия. Название это связано с тем, что состояния различных жидкостей при одних и тех же значениях чисел подобия также подобны. Например, какая бы жидкость по какой бы трубе не протекала, переход от ламинарного режима к турбулентному будет происходить при такой комбинации параметров у, d, и, когда
Re* to 1800.
Наступление неустойчивости почти всегда носит черты кризиса, т. е. скачкообразного изменения ряда параметров системы. В результате кризиса, старое состояние разрушается, но может возникнуть новое состояние, также упорядоченное, которое при увеличении критерия неустойчивости вновь разрушается. Так обстоят дела, например, с неустойчивостью Бенара и конвекцией. С математической точки зрения, возникновение неустойчивости — это исчезновение соответствующего равновесному состоянию решения и возникновение нового (вспомните равновесие мыльной пленки на двух кольцах). Такая ситуация называется ветвлением решений.
Рассмотренные в книге случаи устойчивых и неустойчивых состояний равновесия жидкостей далеко не исчерпывают все их многообразие в природе и технике. Поскольку основной контингент, на который рассчитана книга, это старшие школьники и молодые ученые, то проблемы, возникающие в рамках той или иной задачи, освещены не полностью и на доступном уровне. Тем не менее, автор надеется, что у читателя сложилось достаточно ясное и определенное представление о предмете книги.
Приложение
Некоторые математические понятия и формулы, использованные вкниге
Дифференциал — бесконечно малое приращение. Обозначается dx, dy. Дифференциалы функции и аргумента связаны соотношением dy = yfdx, где у' — производная. Отсюда производную можно рассматривать как отношение дифференциалов:
dydx *
Частная производная функции многих переменных, например, U(x,y,z). Обозначается ^. Вычисляется как обыкновенная производная при условии постоянства остальных переменных. Пусть, например,
U(х, y.z) = 2ху + 4г2.
Тогда
^ = 2У, ^=2Ж, ^ = 8,.охоуOZ
Неопределенный интеграл. Если имеет место равенство
F'(^ = /Ы,
то F(x) называется первообразной функции /(ж). Неопределенный интеграл — это операция нахождения первообразной:
j f(x)dx = F(x) + С.
Первообразная определяется с точностью до произвольной константы С.
Пример. Пусть /(ж) = ^, тогда J ^dx = In |ж| + С.
Разложение функции в ряд Тейлора. Пусть /(ж) — гладкая функция, имеющая первую, вторую и другие произвольные высших порядков.
Тогда в окрестности точки жд ее можно определить в виде ряда, который называется рядом Тейлора:
/(ж) = /(жд) + «1 Аж + п2Аж2 + «зАж3 + ... + ak^xk ...,
а^ =п, А; = 1, 2,3, Аж = ж — жд.
к\
f^k^x^ — производная к-го порядка, вычисленная в точке жд. В частном случае жд = О ряд Тейлора называется рядом Маклорена и имеет вид
Правая часть этого выражения тем ближе к /(ж), чем больше членов ряда сохранено и чем меньше ж.
Пример. Найти первые три челна ряда Маклорена для функции
/(ж) = (1+ж)п,ж<1.
Имеем:
/(0) = 1, /^пд + ж)"-1,
/'(0) = п, Г = п(п-1)(1 + <-2,Г(0) = п(п-1).
Получаем
/(ж) « 1 + ^ж +^Ж .
даже для калькулятора.даже для калькулятора.Рис. 1.П. К методу половинного деления отрезка.Рис. 1.П. К методу половинного деления отрезка.
даже для калькулятора.
даже для калькулятора.
Рис. 1.П. К методу половинного деления отрезка.
Рис. 1.П. К методу половинного деления отрезка.
11 | Проволочные кольца целесообразнее делать диаметром 4-6 см. Поверхность мыльной пленки, показанная на рис. 1.15, обязательно получится, если кольца в мыльном растворе поместить достаточно близко друг от друга, а затем осторожно достать. При этом посредине между кольцами часто образуется перемычка. Эту перемычку можно убрать, проткнув ее, например, концом шариковой ручки. Затем кольца медленно раздвигают до расстояния, равного примерно диаметру колец. При дальнейшем раздвижении наступает момент, когда равновесие мыльной пленки становится неустойчивым, и она разрушается.
| 2 | Как уже было сказано в основном тексте §1.3, корни xi и Х2 можно найти графически. Для этого необходимо на миллиметровой бумаге построить по двум точкам прямую Д%, а с помощью калькулятора или компьютера — кривую /2 = ch(^). Точки кривой можно вычислить в цикле по % с шагом 0,1 до тех пор, пока значения функции /2 (%) второй раз не превысят значение Д. Такое значение шага предлагается из следующих соображений. Смысл % состоит в том, что 1/% = го — наименьшему радиусу пленки. Выбрав R = 2 см, можно считать го ~ ~ 1 см. Тогда первый корень xi ~1- Следует ожидать, что второй корень Х2 С Ю, поэтому для определения обоих корней потребуется менее 100 точек, а это не так уже обременительно
Однако тем, кто желает более основатель-
но ознакомиться с методами численного решения уравнений на ЭВМ, предлагается использовать для нахождения корней, например, метод деления отрезка пополам. Делается это так. Уравнение (1.26) записывается в виде
ЛХ) = ЯХ-сьф=0.
Находят интервал [а, Ь] (рис. 1.П.), в котором /(х) меняет знак. Делят этот отрезок пополам (точка 61), затем еще раз (точка ai). Теперь корень находится в интервале [си, ЬД. Если этот
интервал достаточно мал, в смысле достаточной точности Ваших вычислений, то значение корня можно принять равным
bi + Hi
2(61 — (21)_- • 100% 61 +2(61 — (21)_- • 100% 61 +При этом относительная погрешность, с которой найден корень, равна
2(61 — (21)_
- • 100% 61 +
2(61 — (21)_
- • 100% 61 +
Таким образом, если Вы решили найти корень с точностью до 2%, то интервал (6i — <21) = 0,01(6i+<2i). Вам осталось написать программу и приступить к вычислениям.
Построение сечения катеноида по формуле (1.25), после определения возможных значений %, удобно проводить также на ЭВМ. Так как сечение симметрично относительно точки х = 0, то достаточно найти точки г (ж) при ^ ^ х ^ h)2. Вычисления удобно проводить в цикле по х с шагом, например, Ах = /z/20. В этом случае кривая будет построена по десяти точкам.
Приводим пример программы нахождения корней ri^ и построения сечения катеноидов.
10 г— Определение функции /
20 DEF FN F(K)=R*K-.5*(EXP(K*H/2)+EXP(-K*H/2))
30 '— Ввод параметров
40 INPUT"R="R;R
50 INPUT"h=";H
60 Е=. 0LPRINT
70 ’— Вычисление значений функции в точках 1/R,2/R, ...
80 FOR Х=1 ТО 5
90 PRINT "^-^-"У^
100 PRINT FN F(X/R):NEXT X":PRINT
110 ’— Нахождение корней уравнения
120 ’— методом половинного деления
130 INPUT" Введите [а,Ь]";А,В
140 F2=FN N(A)
150 F3=FN F(B)
160 IF SGN(F2)=SGN(F3) THEN PRINT"B интервале корня нет!";
GOTO 130
170 K=(A+B)/2
180Fl=FN F(K)
190 IF SGN(F1)=-SGN(F2) THEN B=K ELSE A=K
200 IF ABC((B-A)/K)>E THEN 140
210 PRINT USING"KopeHb найден: ##.##";K:PRINT
220'— Построение сечения катеноидов
230 INPUT" Число точек";N
240 FOR X=0 NO H/2 STEP H/(2*N)
250 PRINT USING"f(##.##";.5*(EXP(K*X)+EXP(-K*X))/K
280 NEXT X:PRINT
290 END
Q Введем обозначения:
2Д =h2Д =h
2Д =h
2Д =h
Тогда получим следующее уравнение относительно £:
27 == € - 7.
Приведем его к видуРешая, получимПриведем его к видуРешая, получиме2 - 27е -1 = о.€1,2 = 7 ± Vt2 + 1-е2 - 27е -1 = о.€1,2 = 7 ± Vt2 + 1-
Приведем его к виду
Решая, получим
Приведем его к виду
Решая, получим
е2 - 27е -1 = о.
€1,2 = 7 ± Vt2 + 1-
е2 - 27е -1 = о.
€1,2 = 7 ± Vt2 + 1-
Второй корень со знаком «—» перед квадратным корнем следует отбросить, так как € = ^ > 0. Теперь нетрудно получить
х. = 2 inх. = 2 in2Д h2Д h
х. = 2 in
х. = 2 in
2Д h
2Д h
71 В точке касания, кроме условия (1.28)
^ = sh^,(ПЛ)
должно по-прежнему выполняться равенство (1.26) для % = %*:
Х»Д = сЬ^.(П.2)
Поделив полученные равенства одно на другое, придем к следующему уравнению:
t = cth t, t = ^77--
Корень этого трансцендентого уравнения можно найти способами, указанными в и. 3 настоящего приложения. Пусть этот корень равен t*. Тогда, используя равенство
ch2 t* — sh2 ^ = 1
из (П.1) и (П.2), можно получить следующее выражение:
+ Z = ^R(п.з)
2t
Учитывая, что %* = -^, из (П.З) получим искомое критическое отношение
диаметра колец к расстоянию между ними:
£ = 1
Расчеты дают t* ~ 1, 20 и z* ~ 1, 51.
Рис. 2.П. К вычислению площади поверхности вращения.Рис. 2.П. К вычислению площади поверхности вращения.
Рис. 2.П. К вычислению площади поверхности вращения.
Рис. 2.П. К вычислению площади поверхности вращения.
|~6~| Итак, Вы установили, что новое состояние — это две мыльные пленки, натянутые на кольца радиусом R. Их общая поверхность (для простоты берем только одну сторону поверхности пленки) равна S2 = 2тгД2. Подсчитаем теперь поверхность катеноида на пределе устойчивости. Для этого на его поверхности выделим колечко шириной d£ (рис. 2.П). Площадь поверхности колечка приближенно равна
dSi = 2тгг(ж) d£ = 2тгг(ж)у/1 + (rfydx.
(Длину малого отрезка кривой мы вычислили по известной уже формуле d£ = dx^l + (гДж))2.)
Площадь поверхности всего катеноида будет равна сумме площадей всех таких колечек, или, заменяя сумму интегралом, получим
/г/2/г/2
Si = 2тг j г(х)^ 1 + sh2 хж(^х = ^ J* ch2 Xх dx.
о
Здесь использованы известные свойства гиперболический функций, а также то обстоятельство, что координата х = 0 делит поверхность на две равные части. Для вычисления интеграла воспользуемся следующим свойством гиперболических функций:
ch2 хх = |(1 + сН2%ж).
Теперь интеграл несложно вычислить. Получаем
Si = "X^xh + slixh).X2
Из и. 5 настоящего приложения следует, что критическое значение % равно
X* = 1(1 + ^)1/2-
Рис. З.П. Зависимость потенциальной энергии Wi мыльного катеноида от безразмерного расстояния между кольцами. W^ — энергия двух мыльных дисков.Рис. З.П. Зависимость потенциальной энергии Wi мыльного катеноида от безразмерного расстояния между кольцами. W^ — энергия двух мыльных дисков.Подставляя это выражение в выражение для Si, после несложных преобразований придем к неравенству
Рис. З.П. Зависимость потенциальной энергии Wi мыльного катеноида от безразмерного расстояния между кольцами. W^ — энергия двух мыльных дисков.
Рис. З.П. Зависимость потенциальной энергии Wi мыльного катеноида от безразмерного расстояния между кольцами. W^ — энергия двух мыльных дисков.
/ 1 \ V2 / / 1 \ V2 \ 92(13—) + sh(2(H—- ) )>(1+^*).
V V \ /
Вычисления левой и правой частей при критическом значении г* = 1,51 дают очевидное неравенство 7, 95 > 3, 28.
Итак, доказательство завершено. Рис. З.П иллюстрирует полученные результаты (W — потенциальная энергия мыльной пленки). А попробуйте самостоятельно найти h/R, соответствующее точке пересечения линий, отмеченной знаком вопроса на рис. З.П, а также
АЖ,2 = Ж - Ж-
В заключение отметим, что в книге [31] Вы можете найти простое и строгое доказательство того, что поверхность катеноида минимальна.
| 7 | Вязкие жидкости используются потому, что количество жидкости, обволакивающей проволоку, тем больше, чем больше вязкость жидкости (вода, например, стекает практически вся).
Подсчитав число капель, образовавшихся из цилиндра, и зная его длину, подсчитайте, каков был его радиус, сравните с радиусом проволоки.
| 8 | При численном построении кривой мениска при угле смачивания, равном нулю, возникает особенность — первая производная в точке х = О обращается в бесконечность. Для избежания переполнения угол О следует брать малым, например, 0,01 радиана (это дает хорошее приближение к случаю 0 = 0), но конечным. А шаг Дж при малых углах должен удовлетворять условию
Дж <С а.
Так как шаг Дж мал, то значений ж и у будет много, поэтому можно предусмотреть вывод на печать, например, каждой десятой точки. Приводим пример программы на Бейсике для численного построения кривой мениска. 10 INPUT A,T,E,N
20 X=0:K=0:S=SIN(T):Y=A*SQR(l-S):DX=A*SQR(l-S)*TAN(T)/N
30 F=-SQR(1/((1-(Y/A)"2)"2)-1)
40 Y1=Y:Y=Y+F*DX:X=X+DX:K=K+1
50 IF K=10 THEN LPRINT X,Y:K=0
60 IF ABC(Y 1 - Y)/DX>E GOTO 30
70 END
111 | Стеклянную трубку нужной длины из более длинной можно изготовить, например, так. Четырех- или трехгранным напильником сделайте на трубке в нужном месте кольцевую насечку. Затем, надев рукавицы, ломайте трубку по месту насечки. Если поверхность излома получилась неровной, отшлифуйте ее на наждачной бумаге, слегка смочив последнюю водой.
113 | Вероятно, у Вас возникли те же проблемы, что и у меня — в лаборатории не оказалось U-образных трубок. Я изготовил их следующим образом. Две одинаковые стеклянные трубки соединил резиновой трубкой чуть меньшего диаметра (рис. 4.П). После сгибания получим прекрасную U-образную трубку.
А чтобы было удобно проводить опыты с переворачиванием трубок, можно два оставшихся свободных конца трубок соединить такой же резиновой трубкой. Получится замкнутый контур. Но прежде не забудьте залить воду, да так, чтобы ее свободные поверхности были выше концов резиновой трубки. Для того чтобы предотвратить неустойчивость равновесия жидкости в перевернутой U-образной трубке по отношению к поршневым возмущениям, достаточно полностью пережать свободную от жидкости резиновую трубку.
114 | Сначала попробуйте ответить на вопрос, почему уменьшается капиллярная постоянная. Конечно же, она уменьшается в результате уменьшения коэффициента поверхностного натяжения. Последний же уменьшается в результате того, что в обыкновенной водопроводной воде содержится немалое количество поверхностно-активных веществ (ПАВ). Примером ПАВ
Рис. 4.П. Как самому изготовить U-образную трубку
Рис. 5.П. Отрыв капли от трубки малого диаметра.Рис. 5.П. Отрыв капли от трубки малого диаметра.(П.5)(П.5)
Рис. 5.П. Отрыв капли от трубки малого диаметра.
Рис. 5.П. Отрыв капли от трубки малого диаметра.
(П.5)
(П.5)
служит мыло, оно понижает коэффициент поверхностного натяжения воды почти в 2,5 раза.
Для измерения коэффициента поверхност
ного натяжения можно использовать хорошо известный из учебников метод отрыва капель. Заключается он в следующем. Капля жидкости, висящая на конце трубки малого диаметра, отрывается от нее, когда сила тяжести превысит силу поверхностного натяжения, действующую по диаметру трубки (рис. 5.П). Таким образом, в момент отрыва капли выполняется равенство
(П.4)(П.4)mg = Tvda.
(П.4)
(П.4)
Отсюда, измерив диаметр трубки d и массу капли т, легко найти
тд
Tvd '
Так как т мало, то лучше собрать в предварительно взвешенный стаканчик 50 или 100 капель, найти их массу, а затем массу одной капли. В большинстве учебников, в которых описан этот метод, предлагается использовать трубки диаметром в несколько миллиметров. В свете сказанного в разделе 1.8.2, для измерения коэффициента поверхностного натяжения этим методом можно использовать, казалось бы, любые трубки диаметром d < 10 мм. Однако это не так. И вот почему.
В Вашем распоряжении уже есть трубки диаметром —5 мм, найдите трубки, диаметр которых ~ 1-2 мм. Это может быть пипетка с узким горлышком или игла медицинского шприца диаметром ~ 1 мм, кончик которой следует подпилить под прямым углом. Попробуйте понаблюдать, как капает вода из всех этих трубок. И Вы увидите, что механизмов отрыва капель два. Один, характерный для трубок малого диаметра (~ 1-2 мм), показан на рис. 5.П. Его можно охарактеризовать как отрыв капли от трубки. Другой
d n►
а б в
Рис. 6.П. Отрыв капли от трубки большого диаметра происходит в результате неустойчивости равновесия.
Рис. 7.П. Экспериментальная зависимость массы оторвавшихся капель воды от диаметра трубок.Рис. 7.П. Экспериментальная зависимость массы оторвавшихся капель воды от диаметра трубок.
Рис. 7.П. Экспериментальная зависимость массы оторвавшихся капель воды от диаметра трубок.
Рис. 7.П. Экспериментальная зависимость массы оторвавшихся капель воды от диаметра трубок.
механизм, характерный для трубок диаметром ~ 4-6 мм, показан на рис. 6.П. Его можно охарактеризовать как разрыв жидкости по перешейку. Этот механизм образования капель похож на образование капель в результате неустойчивости длинного жидкого цилиндра. Однако в данном случае ответственными за неустойчивость являются, в основном, силы тяжести, а не капиллярные. Для нас, однако, важно то, что образование и отрыв капель от трубок большого диаметра происходит в результате неустойчивости равновесия жидкости, следовательно, масса капли уже не определяется равенством (П.4) и рассматриваемый метод становится непригодным. Ошибка в измерении коэффициента поверхностного натяжения становится тем больше, чем больше диаметр трубки. Стро-
гое доказательство того, что отрыв капли от трубки есть результат неустойчивости равновесия, можно найти в книге [32].
Автор проделал серию опытов с водой и трубками различных диаметров. В результате измерений массы капель и внешних диаметров трубок, был построен график зависимости m(d), который показан на рис. 7.П. Прямая линия 1 соответствует прямопропорциональной зависимости m(d) по формуле (П.4). Точки соответствуют экспериментальным результатам. Видно, что формула (П.4) не справедлива для трубок, внешний диаметр которых d* > 3 мм.
Оценить критический диаметр трубки, начиная с которого основным стано-
вится механизм разрыва, можно так. С трубок малого диаметра отрываются малые капли, для которых капиллярное давление гораздо больше гидростатического. Поэтому форма этих капель почти сферическая. С увеличением диаметра трубки форма капель становится все более вытянутой, так как увеличивается вклад сил тяжести, и наступает момент, когда перепад гидростатического давления между вершиной и основанием капли становится сравним с лапласовским давлением (рис. б.Па):
т 2о тэ d
pgh~—,
Принимая h to d, получаем оценку
d* to aV^.
Результаты опытов, представленные на рис. 7.П, дают
a to 52мН/м, a to 3, Змм,
Поэтому d* to 4, 6 мм.
Таким образом, для измерения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей стандартным методом отрыва капель от трубки следует использовать трубки с внешним диаметром, по крайней мере, раз в 5 меньше d*.
16 Оценку частоты колебаний капли можно произвести, используя теорию размерностей. Очевидно, что частота колебаний может зависеть только от плотности жидкости р, коэффициента поверхностного натяжения а, радиуса капли г. Тогда можно описать с точностью до постоянного множителя
ш « ртапгк.
Размерность правой части получается следующей:
кг^м^^с”271.
Размерность левой — с-1. Приравнивая размерности, получим:
'—2п=—1,п= 1/2,
п + т=0,т= —1/2,
к — Вт=0,к= —3/2.
Получаем
Точный результат для второй моды п = 2 таков [3]:
.3 '.3 'си
.3 '
.3 '
117 | Для наблюдений удобно использовать прозрачную химическую посуду: колбу или стакан.
118 | В сухой стаканчик известной массы накапайте ~ 50 капель. Определите их массу. Вычислите массу одной капли, а затем и ее диаметр.
19 Мощность тепловыделения, необходимую для наблюдения пленочного кипения на плитке, можно оценить так:
Р = q*S, S = -nR2.
R — радиус плиточной конфорки. Измерьте его, сделайте расчет и сравните Р с номинальной мощностью плитки.
120 | Для определения Хт выражение для инкремента роста возмущений у (1.84) преобразуем к виду
2 = 2тг _ (27^ к = ^
9 А•
Найдем шах функции 72(А). Для этого возьмем первую производную от у2 по А и приравняем к нулю:
f^y =+ (27Г)3 •За = о
7 А2 рХ4
Решая это уравнение относительно А, получим
12тг2орд
Подставив Хт в выражение для у, найдем ^т.
| 21 | Аналогично тому, как Вы измеряли отрывной диаметр одиночной капли (§ 1.11, опыт 18), измерьте отрывной диаметр капли в этих опытах. Опыты удобней проводить вдвоем. Один медленно выдавливает капли, второй
считает количество капель. Сравните найденный отрывной диаметр с отрывным диаметром одиночной капли, а также с половиной длины волны Аш/2 наиболее опасных возмущений в теории релей-тейлоровской неустойчивости. Сделайте выводы.
| 22 | Приведем пример программы расчета кривой сечения капли U(х) на Бейсике. Обратите внимание, что когда формула Эйлера применяется второй раз (70), то в качестве значения первой производной z^ берется ее среднее значение на А:-м и (к — 1)-м шаге:
10 INPUT UM
20 LPRINT UM
30 DX= .01:Z=0:U=UM:X=DX:K-0
40 F=-Z*( 1 +Z*Z)/X-U*SQR(( 1 +Z*Z)3)
50 V1=Z
60 Z=Z+F*DX
70 U=U+DX*(Vl+Z)/2
80 X=X+DX
90 K+K+1TF K=10 THEN LPRINT X,U,Z:K=0
100 IF Z<0 THEN 40
110 END
| 23 | В задаче о равновесии мыльной пленки, натянутой на два кольца, используется система координат х^т. Нетрудно убедиться из рис. 1.15 и рис. 1.43, что в задаче о равновесии висящей капли этим координатам соответствуют г ^ х, х ^ у, поэтому из условия равенства нулю полной кривизны
должно следовать равенство
эквивалентное
г = ch кх.к
видувидуДля доказательства введем обозначение у' = z и преобразуем (П.б) к
виду
виду
zdz _ dx
Теперь следует от обеих частей взять интеграл. Дальнейшие действия приводим без комментариев.
1= х _ 1
z2(z2 + l) г2 1 + г2’
d^z2 + 1)/‘ф(г2 + 1) J z2d^z2 + 1)/‘ф(г2 + 1) J z2zdz = ^d^Y d(z2) = d^z2 + 1),
d^z2 + 1)/‘ф
(г2 + 1) J z2
d^z2 + 1)/‘ф
(г2 + 1) J z2
1
2
In 4 /г— = In x + In к = In kx^ (k = const),
у z2
d$ ^^2 - 1'
= f dx =1[ d(kx)
У J у/(кхУ~^1 к J (kx)2 - 1 ’
ky = In ^kx + У(kx)2 — 1J = Arch kx, ж = у ch ky.
к
(Arch — функция, обратная ch.) Что и требовалось доказать.
| 24 | Для расчета параметров установки заметим, что она должна быть демонстрационной, т. е. размещаться на лабораторном столе. Это сразу накладывает ограничения на длину маятника — она должна быть порядка нескольких сантиметров или десятков сантиметров. Примем I « 10 см. Амплитуда вибраций должна быть много меньше £, и желательно, чтобы вибрации были не слишком заметны. Примем А « 1 мм. Тогда неизвестной является только частота вибраций. Найдем наименьшую для стабилизации частоту
со =со =9, 8-0,110“39, 8-0,110“3= 1,4- 103 = 1400(с”1).= 1,4- 103 = 1400(с”1).
со =
со =
9, 8-0,1
10“3
9, 8-0,1
10“3
= 1,4- 103 = 1400(с”1).
= 1,4- 103 = 1400(с”1).
Пересчитаем на обороты в минуту:
v == 223 об/с = 13400 об/мин.
Электромотор от швейной машины дает ~ 5000 об/мин. Чтобы им воспользоваться, надо увеличить амплитуду А примерно в 3 раза.
Это только пример, как можно рассчитать параметры установки. Если у Вас есть мотор с заданным числом оборотов в минуту, то Вам необходимо сделать расчеты в обратном порядке.
26 Для ответа на этот вопрос требуется подсчитать число Ne для каждой из двух одинаковых капель, получившихся в результате деления одной. Для большой капли на пределе устойчивости имеем
У каждой из получившихся двух капель
Поэтому для одной из них получаем
ВтгагВтгаг16тгоД316тгоД3
Втгаг
Втгаг
16тгоД3
16тгоД3
Таким образом, критерий неустойчивости у каждой из двух получившихся капель меньше критического в два раза, и их равновесие устойчиво по отношению к последующему делению пополам.
В связи с этим возникает обратная задача: две устойчивые заряженные капли сливаются в одну. Будет ли устойчивой сферическая форма образовавшейся капли?
Автором этой книги в работе [34] было показано, что существует область параметров капель, в которой сферическая форма вновь образовавшейся капли оказывается неустойчивой в смысле выполнения неравенства Ne > 2. Попробуйте сами найти эту область.
| 28 | Из школьного курса физики известно, что энергия заряженного плоского конденсатора может быть записана в виде энергии поля
2’
где V — объем, занятый полем.
Выражение So^ представляет собой плотность энергии электриче
ского поля. Если поле неоднородное, то приведенная формула для энергии поля не справедлива. Однако весь объем, занятый полем шара, можно разбить на шаровые слои толщиной d^ в пределах которых поле можно считать
однородным, а полная энергия найдется суммированием (интегрированием) по всем шаровым слоям. Для одного шарового слоя имеем
dW = ^s0eE2dV.
dV— объем шарового слоя. Если шаровой слой расположен на расстоянии г от центра шара, то его объем равен
dV = 4irr2dr.
Тогда энергия заряженного шара может быть найдена по формуле
W = [ ^^—4qvT2dr = 2тг£о£ / E2r2dr.
JoJo
Для вычисления этого интеграла требуется найти Е как функцию г внутри шара и вне его.
Чтобы найти S(r), воспользуемся известной теоремой электростатики — теоремой Остроградского-Гаусса (например, в [28]), согласно которой поток электрического поля Ф через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду Q внутри этой поверхности:
Ф=^, ф = / IEcosadS,
где а — угол между направлением поля и нормалью к площадке dS.
Поток электрического поля аналогичен магнитному потоку и пропорционален числу силовых линий, пересекающих поверхность. В нашем случае в качестве поверхности удобно выбрать поверхность сферы радиусом г > R (рис. 8.Пя). Так как Е П п, то а = 0 и cos а = 1. Кроме того, |Е| = Е(т) и не зависит от выбора площадки dS (в силу симметрии), поэтому
Ф = ES = 54тгг2.
Используя формулу связи Ф и Q, для напряженности поля получаем
Е Q
4тгбо^2
Мы получили замечательный результат! Оказывается, поле равномерно заряженного шара вне его точно такое же, как поле точечного заряда, расположенного в центре шара.
Воспользуемся теперь теоремой Остроградского-Гаусса для определения поля внутри шара. Для этого выберем поверхность для радиуса г' < R. Рассуждая аналогично, как для случая вне шара, получим (рис. 8.П5)
Ф' = Е^тт/2 = Q'jEo^-
Рис. 8.П. Определение напряженности электрического поля вне (а) и внутри (б) заряженного шара с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.Рис. 8.П. Определение напряженности электрического поля вне (а) и внутри (б) заряженного шара с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.Рис. 9.П. Зависимость напряженности поля заряженного шара от расстояния от центра шара. R — радиус шара.Рис. 9.П. Зависимость напряженности поля заряженного шара от расстояния от центра шара. R — радиус шара.Однако Qr теперь составляет лишь часть всего заряда шара и равенQ' = pV.где р — плотность заряда шара, V — объем шара радиусом г'. Очевидно,Однако Qr теперь составляет лишь часть всего заряда шара и равенQ' = pV.где р — плотность заряда шара, V — объем шара радиусом г'. Очевидно,Q = 3QV 4лЛ3 ’Q = 3QV 4лЛ3 ’V' = |тг/3.V' = |тг/3.В результате получаемВ результате получаемQ -—иЕ -Q -—иЕ -Qr'47r£o£f R3 1Qr'47r£o£f R3 1R.R.
Рис. 8.П. Определение напряженности электрического поля вне (а) и внутри (б) заряженного шара с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
Рис. 8.П. Определение напряженности электрического поля вне (а) и внутри (б) заряженного шара с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
Рис. 9.П. Зависимость напряженности поля заряженного шара от расстояния от центра шара. R — радиус шара.
Рис. 9.П. Зависимость напряженности поля заряженного шара от расстояния от центра шара. R — радиус шара.
Однако Qr теперь составляет лишь часть всего заряда шара и равен
Q' = pV.
где р — плотность заряда шара, V — объем шара радиусом г'. Очевидно,
Однако Qr теперь составляет лишь часть всего заряда шара и равен
Q' = pV.
где р — плотность заряда шара, V — объем шара радиусом г'. Очевидно,
Q = 3Q
V 4лЛ3 ’
Q = 3Q
V 4лЛ3 ’
V' = |тг/3.
V' = |тг/3.
В результате получаем
В результате получаем
Q -—иЕ -
Q -—иЕ -
Qr'
47r£o£f R3 1
Qr'
47r£o£f R3 1
R.
R.
График зависимости Е(г) показан на рис. 9.П (е = ег\ Теперь можно приступить к вычислению интеграла для полной энергии W. Положим Е to е' ~ 1 и разобьем интеграл на два (штрихи опущены):
W = 2тг£0W = 2тг£0E2r2dr +E2r2dr +I E2r2drR"I E2r2drR"Q227T£0Хбтг2^Q227T£0Хбтг2^
W = 2тг£0
W = 2тг£0
E2r2dr +
E2r2dr +
I E2r2drR"
I E2r2drR"
Q227T£0
Хбтг2^
Q227T£0
Хбтг2^
Q28тг£оQ28тг£о3Q2 = 3A:Q22Ott£oR 5 R *
Q28тг£о
Q28тг£о
Результат получен.
29 Пузырь будет находиться в атмосфере в равновесии, т. е. свободно плавать, если сила тяжести уравновешена силой Архимеда:
3 зmg = pbVg = ^тгД рьд,
где ръ — плотность воздуха. Отсюда
т = |тгД3рь to 0, 66(г).
Таким образом, для образования шаровой молнии, согласно рассматриваемой модели, требуется совсем немного металла. Толщину оболочки h можно найти так. Объем сферического слоя радиусом г и толщиной К, при условии h <С г, примерно равен
Vo ~ ^r^h.
Тогда его масса
т to ржТЬ-
Отсюда
4тгг2рж4тгг2рж0,664-3,14-25-7, 80,664-3,14-25-7, 82,7- 10“4см.2,7- 10“4см.
4тгг2рж
4тгг2рж
0,66
4-3,14-25-7, 8
0,66
4-3,14-25-7, 8
2,7- 10“4см.
2,7- 10“4см.
Отметим, что в книге [15] наименьшая толщина оболочки мыльного пузыря оценена в 10-6 см.
| 30 | Несколько советов для успешного проведения опытов. Электрод постарайтесь изготовить без острых краев, чтобы уменьшить утечку зарядов за счет коронирования. Закрепите электрод на конце стержня из оргстекла или другого диэлектрика длиной не менее 10 см. Другой конец можно закрепить в лапке лабораторного штатива. Для питания разрядника удобно использовать выпрямитель типа В-24м. При этом регулировка высоковольтного напряжения осуществляется увеличением или уменьшением напряжения питания на выходе выпрямителя, которое не должно превышать 12 В. При достаточной напряженности поля в зазоре между электродом и водой последняя должна вспучиться и коснуться электрода.
| 32 | Выражая массу капли через ее радиус и плотность, для заряда капли получим
4тгг3ро
9 = ЗЕ ■
При г = 2 • 10-3м, Е = 106 В/м это дает
q to 0, 329 нКл.
Для расчета заряда капли, при котором ее равновесие становится неустойчивым, воспользуемся условием Релея:
> 2.
Отсюда
>/167^%181нКл.
\ к у
Таким образом, заряд, достаточный для левитации капли, недостаточен для проявления неустойчивости равновесия капли по Релею, и, в полном согласии с экспериментом, такие капли могут взлетать под влиянием электрического поля. Следует, однако, заметить, что внешнее поле также делает равновесие капли неустойчивым. Поэтому, даже при выполнении условия q < q*, в некоторых случаях наблюдается разбрызгивание капли с потерей заряда и последующим падением ее на нижний электрод.
Литература
Уокер Дж. Физический фейерверк. — М.: Мир, 1989. — 297 с.
Опыты в домашней лаборатории// Библиотечка «Кванта». — М.: Наука, 1981. — Вып. 4. - 144 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 736 с.
Майер В.В. Простые опыты со струями и звуком. — М.: Наука, 1985. - 127 с.
Бойс Ч. Мыльные пузыри. — М.-Л.: Детиздат, 1937. — 127 с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике*. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973. — 379 с.
Curson F.L. The Leidenfrostphenomena American Journal of Phisics, 1978, t. 46, №8, p. 825-829.
Кутателадзе C.C. Основы теории теплообмена. — Новосибирск: Наука, 1970.-С. 423-429.
Арнольд В.И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. — 128 с.
[И] Линард Дж., Вонг П. Минимальный тепловой поток и длина доминирующей волны неустойчивости возмущений при пленочном кипении на горизонтальном цилиндре// Теплопередача: Труды американского общества инженеров-механиков. — 1964. — №2. — С. 107-115.
Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972. — 392 с.
Городецкий Е.Е., Есиков В.С. Конвекция и самоорганизующиеся струк- турыН Квант. — 1985. — №9. — С. 8-13.
Шефер В. Наблюдения над утренней чашкой кофе.М Квант. — 1977. — №4. - С. 24-26.
Гегузин Я.Е. Пузыри// Библиотечка «Кванта». — М.: Наука, 1985. — Вып. 46.-С. 134, 141.
Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом// Успехи физических наук. (УФН). - 1951. - Т. 44. - С. 7-20.
Левин Б. Моретрясение// Квант. — 1990. — №10. — С. 2-7.
Безденежных Н.А., Брисиман В.А., Пузанов Г.В., Черепанов А.А., Шайдуров Г.Ф. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей// Гидромеханика и теплообмен в невесомости. — М., 1982. — С. 34-39.
Пикин С.А., Блинов Л.М. Жидкие кристаллы// Библиотечка «Кванта». - М.: Наука, 1982. - Вып. 20. - 207 с.
Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1980. -С. 461.
Сарапин В.А. О кавитационном механизме формирования высоковольтного пробоя в жидких диэлектриках// Журнал прикладной механики и технической физики. — 1988. — №3. — С. 45-48.
Эдельман В.С. Вблизи абсолютного нуля. — М.: Наука, 1983. — 175 с.
Брискман В.А., Шайдуров Г.Ф. Механизмы неустойчивости поверхности жидкости в постоянном и переменном электрическом поле// Гидродинамика: Ученые записки НГУ — Пермь, 1970. — Вып. 2. — С. 229-240.
Брук Э.Т., Фертман В.Е. «Еж» в стакане. — Минск: Вышэйш. школа, 1983.-252 с.
Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. — Рига: Зинатие. 1989. — 386 с.
Ван-Дейк. Альбом течений жидкостей и газа. — М.: Мир, 1987.
Стаханов Н.П. О физической природе шаровой молнии. — М.: Энерго- атомиздат, 1985. — 208 с.
Филонович С.Р. Судьба классического закона// Библиотечка «Кванта». — М.: Наука, 1990. — Вып. 79.
Брискман В.А., Черепанов А.А. Параметрическая стабилизация неустойчивого равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах// Гидродинамика: Ученые записки. — Пермь: ПГУ, 1974. — Вып. 5.
Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор)// Изв. АН РАН. Механика жидкости и газа. — 1994. — №4. — С.3-22.
Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах// Библиотечка «Кванта». — М.: Наука, 1986. — Вып. 56. — 190 с.
Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. — М.: Мир, 1989. — 130 с.
Саранин В.А. О взаимодействии двух электрически заряженных проводящих шаров// Успехи физических наук. 1999. Т. 169. №4. С. 453-45 8.
Саранин В.А. Некоторые эффекты электростатического взаимодействия капель воды в атмосфере// Журнал технической физики. 1999. Т. 69. Вып. 12. С. 12-17.
Саранин Владимир Александрович
Равновесие жидкостей и его устойчивость
Дизайнер М. В. БотяТехнический редактор А. В. ШиробоковКорректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 29.05.02. Формат 60 х 84У16.
Усл. печ. л. 8,37. Уч. изд. л. 8,49.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1.
Печать офсетная. Заказ №
АНО «Институт компьютерных исследований»426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
В. А. Саранин