Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
I. Фундаментальные физические константы
390
II. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований
390
III. Единицы и размерности физических величин в СИ
391
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник предназначен в помощь поступающим в высшие учебные заведения при подготовке к экзаменам по физике, а также слушателям подготовительных отделений и курсов. Он содержит задачи по всем вопросам программы вступительных экзаменов, кроме задач на волновые свойства света и задач по атомной физике, практически не встречающихся в экзаменационных билетах. В книгу вошли преимущественно задачи, предлагавшиеся в течение ряда лет на вступительных экзаменах по физике на физическом, механико-математическом, химическом, геологическом, биолого-почвенном и географическом факультетах Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики и факультете почвоведения.
В сборнике представлены задачи разной трудности, что, с одной стороны, преследует методические цели, а с другой стороны, отражает различную степень сложности задач. В книгу включены также задачи, несколько выходящие за рамки действующей в настоящее время программы по физике для поступающих в вузы. Таковыми являются некоторые задачи §11 “Колебания и волны”, задачи на расчет электрических полей в диэлектриках, ряд задач § 23 “Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция”, все задачи § 24 “Переменный электрический ток” и некоторые задачи раздела “Оптика”. В большинстве случаев эти задачи относятся к вопросам, которые так или иначе рассматриваются в школьных учебниках по физике. Авторы считают, что разбор указанных задач поможет читателю более свободно ориентироваться в основном материале программы вступительных экзаменов по физике.
В целях развития навыков и культуры решения физических задач многие из них снабжены подробными решениями. Все решения построены по единому, наиболее целесообразному плану: составление необходимых уравнений, решение их в общем виде, подстановка числовых данных; при этом математика используется в полном объеме программы средней школы.
К каждой теме задачника даны краткие указания, касающиеся общей методики решения задач, и перечень основных формул, используемых при решении. В ряде мест приведены методы решения задач, которые, хотя и не выходят за рамки программы средней школы и могут быть легко освоены поступающими в вузы, в средней школе рассматриваются далеко не всегда. Усвоение подобных методов значительно облегчает подготовку к вступительным экзаменам и помогает поступившим в вуз сравнительно легко перейти от школьных методов обучения к вузовским.
Сборник неоднократно перерабатывался, расширялся и пополнялся новыми задачами из числа предлагавшихся на разных факультетах Московского университета при подготовке третьего издания (1976 г.). Тогда же в соответствии с пожеланиями подготовительных отделений и курсов, которые широко пользуются задачником, и в целях стимулирования самостоятельной работы учащихся для части задач были опущены решения и даны лишь ответы. Подробные решения приведены, как правило, для основных задач, на которые и должны ориентироваться читатели.
В настоящем издании общий план книги, содержание и нумерация задач остались прежними. Однако формулировки и решения задач существенно переработаны с учетом требований ныне действующих программ по физике для поступающих в вузы. В конце книги приведен ряд таблиц, полезных при решении задач.
Раздел сборника “Механика”, кроме задач по кинематике, написан Г.Я. Мякишевым, раздел “Теплота и молекулярная физика” и задачи по кинематике - В.В. Керженцевым, раздел “Электричество и магнетизм” - Г.А. Бендриковым, раздел “Оптика” - Б.Б. Буховцевым. Общее редактирование сборника выполнено Б.Б. Буховцевым.
Авторы выражают глубокую благодарность ВТ. Зубову и ТЕ. Пустовалову, немало способствовавшим улучшению сборника.
ЗАДАЧИ
Глава I
МЕХАНИКА
Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение
Изучение механики обычно начинают с кинематики. Кинематика описывает механическое движение тел с геометрической точки зрения, без рассмотрения действующих на них сил.
Задачей кинематики является определение кинематических характеристик движения тел - их положения (координат), скоростей, ускорений, времени движения и т.д. - и получение уравнений, связывающих эти характеристики между собой. Эти уравнения позволяют по одним известным характеристикам находить другие и тем самым дают возможность при минимальном числе исходных данных полностью описывать движение тел.
При решении задач механики, в частности кинематики, нужно в первую очередь выбрать систему координат (систему отсчета), задать ее начало и положительные направления координатных осей и выбрать начало отсчета времени. Без выбора системы координат описать движение невозможно. В соответствии с характером задач, рассматриваемых в дальнейшем, мы будем пользоваться в случае прямолинейного движения системой координат, состоящей из одной координатной оси OS, вдоль которой происходит движение, с началом отсчета в точке О. В более сложных случаях будет применяться декартова прямоугольная система координат с взаимно перпендикулярными осями ОХ и ОУ, пересекающимися в точке О, которая является началом отсчета.
Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение описывается кинематическими уравнениями (так называемыми законами движения), дающими зависимость координаты s и скорости и от времени:
х = s0 + ц/+ at2/2, u=u0 + at, (1)
где а - ускорение, t - время, протекшее с начала отсчета, т.е. с момента, когда тело имело начальную координату s0 и начальную скорость ц,. При а = const уравнения (1) описывают равнопеременное движение, при а = 0 - равномерное. Все остальные формулы равнопеременного движения, например связь между начальной скоростью и координатой тела в момент полной остановки: s0 = Ug/2а, можно легко получить из этих уравнений.
Число уравнений типа (1) зависит как от характера движения, так и от выбора системы координат. Например, при выборе в качестве системы координат оси OS (рис. 1) для тела, движущегося из точки А в точку В по прямой с начальной скоростью Vq и ускорением а, направленным против положительного направления координатной оси, уравнения (1) будут иметь вид .v = So + uot - Ш2 /2, и = Ц) - at.
Рис. 1Рис. 1Для описания движения этого же тела можно взять также прямоугольную систему координат с осями ОХ и OY, расположенными, как показано на рис. 1. Координата s^o тела в этом случае будет определяться проекциями х() и у0 на оси ОХ и OY. При движении тела эти проекции на оси координат изменяются. Скорость и тела можно представить в виде суммы двух составляющих цги иу, направленных вдоль координатных осей. Модули этих составляющих равны модулям проекций их и иу скорости на соответствующие оси. Анало
Рис. 1
Рис. 1
гично, модули составляющих ускорения равны модулям проекций ах и ау. Для каждой проекции координаты и скорости на соответствующую ось может быть написана своя пара кинематических уравнений:
х = I х0 I + lwOv 1t- I ах I t2H,и v = lwOx I - I ax 11;
У ~ * >o * ~ ^Ov * + ' a\ * ^^nv = - lnOv I +1 av I ?.
Здесь x(), уо и uOx, vOy - проекции начальной координаты и начальной скорости тела на координатные оси. (О выборе знаков перед иОх, иОу, ах и ау см. ниже.)
Описания движения в различных системах координат эквивалентны между собой в том смысле, что при известном расположении двух систем координат относительно друг друга по величинам, найденным в одной системе, можно определить соответствующие величины в другой. Например, легко убедиться, что расстояние АВ (рис. 1), пройденное телом и равное .V - Хц, выражается через расстояния х -х(> и у», на которые переместились за это время проекции координаты тела:
s~s0 =4lx-xo)1+yo.
Начальная скорость w0 и ускорение а тела могут быть найдены, если известны их проекции на оси координат:
/72/22
ио=л]иОх+иОу, а = ^ах+ау.
При решении задач следует выбирать такую систему координат, в которой уравнения, описывающие движение, получаются простыми. Ясно,
что при прямолинейном движении система уравнений, описывающая это движение, выглядит проще, если берется одна ось координат, направленная вдоль движения. При криволинейном движении приходится брать прямоугольную систему координат с двумя осями и представлять движение в виде суммы двух движений, происходящих вдоль координатных осей. Уравнения имеют более простой вид, когда направления осей выбираются так, что некоторые из проекций в течение всего времени движения равны нулю.
При составлении уравнений очень важен вопрос о знаках перед модулями проекций 5, и и а. Если координата отсчитывается в положительную сторону от начала отсчета (положительное направление оси координат указывается стрелкой на конце оси), то ей приписывается знак плюс. Проекции ускорений и скоростей считаются положительными, если направление соответствующей составляющей совпадает с положительным направлением оси, в противном случае в уравнениях они пишутся со знаком минус. Например, на рис. 1 проекция ускорения на ось OY положительна, а проекция скорости на ту же ось отрицательна. Неизвестные величины лучше писать со знаком плюс. При нахождении этих величин в процессе решения задачи их знак определится сам собой. Например, для тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью Ц), если ось OS направлена вертикально вверх и начало отсчета совпадает с поверхностью земли, .v = vot - <v/2 (ускорение свободного падения g направлено вниз). В этом случае знак координаты 5 зависит от г: для / > 2ц^ координата л отрицательна.
Иногда пройденный телом путь отождествляют с координатой л, а уравнение (1) называют уравнением пути. В общем случае это неправильно. Путь - это сумма всех расстояний, пройденных телом вдоль траектории. В частности, в приведенном выше примере координата л- в момент времени г = 2vv^g будет равна нулю (тело упадет на землю), в то время как пройденный телом к этому времени путь / будет равен сумме расстояний от земли до наивысшей точки, достигнутой телом, и от этой точки до земли (/ =UQ/g).
При решении задач на движение нескольких тел рекомендуется пользоваться одной системой координат. В некоторых случаях бывает удобно систему координат связать с одним из движущихся тел и рассматривать движение остальных тел относительно избранного.
Эти указания относятся прежде всего к § 1-3, однако они могут понадобиться и при решении других задач во всем разделе “Механика”.
Из городов А и В, расстояние между которыми L = 120 км,
одновременно выехали навстречу друг другу две автомашины со
скоростями и, = 20 км/ч и и2 = 60 км/ч. Каждая автомашина, пройдя
120 км, остановилась. Через какое время t и на каком расстоянии s
от города С, находящегося на полпути между А и В, встретятся
Рис. 2Рис. 2автомашины? Задачу решить аналитически и графически. Построить график зависимости расстояния I между автомашинами от времени t.
Рис. 2
Рис. 2
Стержень АВ длины / опирается концами о пол и стену. Найти зависимость координаты у конца стержня В от времени t при движении конца стержня А с постоянной скоростью и в направлении, указанном на рис. 2, если первоначально конец А имел координату х0.
Товарный поезд длины Z, = 630 м и экспресс длины Z2 = 120 м идут по двум параллельным
путям в одном направлении со скоростями
Ui = 48,6 км/ч и и2 = 102,6 км/ч соответственно. В течение какого
времени экспресс будет обгонять товарный поезд?
Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями их = = 36 км/ч и и2 = 54 км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что
второй поезд проходит мимо него в течение времени t = 6 с. Какова длина второго поезда?
Теплоход, имеющий длину Z = 300 м, движется по прямому курсу в неподвижной воде со скоростью Vj. Катер, имеющий скорость и2 = 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за время тл VZt = 37,5 с. Найти скорость и, теплохода.
А S7. На наклонную плоскость, составляющую с
горизонтом угол а, опирается стержень, который может перемещаться только по верти-*——кали благодаря направляющему устройству АВ
(рис. 3). С какой скоростью и поднимается Рис. 3 стержень, если наклонная плоскость движется влево со скоростью м?
Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом а = 30° к вертикали. При движении трамвая со скоростью и = 18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Найти скорость капель дождя и в безветренную погоду и скорость
ветраw.
Пловец переплывает реку, имеющую ширину к. Под каким углом а к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Где он в этом случае окажется и какой путь s проплывет, если скрость течения реки равна и, а скорость пловца относительно воды равна и?
Рис. 4 Рис. 5
Лодочник, переправляясь через реку ширины к из пункта А в пункт В, все время направляет лодку под углом а к берегу (рис. 4). Найти скорость лодки и относительно воды, если скорость течения реки равна и, а лодку снесло ниже пункта В на расстояние I.
Корабль идет на запад со скоростью и. Известно, что ветер дует с юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна и0. Найти скорость ветра и относительно земли.
Тело 1 начинает двигаться из точки А по направлению к точке В со скоростью и,; одновременно тело 2 начинает двигаться из точки В по направлению к точке С со скоростью и2 (рис. 5). Расстояние АВ = L. Острый угол АВС = а. В какой момент времени t расстояние / между телами 1 и 2 будет минимальным и каково это расстояние?
Один поезд шел половину пути s со скоростью и, = 80 км/ч, а половину пути - со скоростью и'А = 40 км/ч. Другой поезд шел половину времени t со скоростью и2 = 80 км/ч, а половину времени - со скоростью и'2 = 40 км/ч. Какова средняя скорость каждого поезда?
Тело, имея начальную скорость и0 = 2 м/с, двигалось в течение времени г, = 3 с равномерно, z2 = 2 с с ускорением а2 = 2 м/с2, t3 = 5 с с ускорением а3 = 1 м/с2, f4 = 2 с с ускорением а4 = - 3 м/с2, z5 = 2 с равномерно со скоростью, полученной в конце промежутка времени t4. Найти конечную скорость и, пройденный путь s и среднюю скорость иср на этом пути. Задачу решить аналитически и графически.
Самолет, летящий горизонтально со скоростью и, попадает в полосу дождя, капли которого падают вертикально со скоро-
стью w. Кабина пилота имеет два стекла: верхнее - горизонтальное и переднее - наклоненное к горизонту под углом а (рис. 6). Каждое из стекол имеет площадь 5. Найти отношение числа капель воды,
падающих в единицу времени на переднее стекло, к числу капель,
падающих в единицу времени на верхнее стекло.падающих в единицу времени на верхнее стекло.
падающих в единицу времени на верхнее стекло.
падающих в единицу времени на верхнее стекло.
Тело, имея начальную скорость и0 = 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость ик = 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?
Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равноускоренно из некоторого положения. Известны координаты тела
х\,хг,хг, отсчитанные вдоль направления движения от произвольного начала отсчета в моменты времени / j, /2, /3. Найти ускорение тела.
Парашютист спускается с постоянной скоростью и = 5 м/с. На расстоянии h = 10 м от земли у него выпал предмет. На сколько позже приземлится парашютист, чем этот предмет? Сопротивлением воздуха для падающего предмета пренебречь. Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равноускоренно. За время t тело прошло путь s, причем его скорость увеличилась в п раз. Найти ускорение тела.
По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно - равномерно со скоростью и = 980 см/с, а другое - равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 9,8 см/с2. Через какое время второе тело догонит первое?
Два поезда прошли одинаковый путь s за одно и то же время t, однако один поезд, имея начальную скорость, равную нулю, прошел весь путь с ускорением а = 3 см/с2, а другой поезд половину пути шел со скоростью их = 18 км/ч, а половину пути - со скоростью и2 = 54 км/ч. Найти путь s, пройденный поездами.
Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением ах. Достигнув скорости и, он некоторое время едет равномерно, а затем тормозит с ускорением аг до остановки. Найти время / движения автомобиля, если он прошел путь s.
Поезд прошел путь s = 60 км за время / = 52 мин. Сначала он шел с ускорением +а, в конце с ускорением -а, остальное время с максимальной скоростью и = 72 км/ч. Найти модуль ускорения, если начальная и конечная скорости равны нулю.
Какая предельная скорость приземления и парашютиста допустима, если человек, не имея парашюта, может безопасно прыгать с высоты А < 2 м?
Камень брошен с высоты h = 28 м вертикально вверх с начальной скоростью и0 = 8 м/с. Найти скорость и падения камня на землю.
Тело падает без начальной скорости с высоты h = 45 м. Найти среднюю скорость иср падения на второй половине пути.
За какое время t свободно падающее без начальной скорости тело пройдет сотый сантиметр своего пути?
Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найти путь 5, пройденный телом.
Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх с начальной скоростью и0 = 30 м/с. Найти координату h и скорость и тела через время t = 10 с, а также пройденный за это время путь л. Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Свободно падающее без начальной скорости тело спустя некоторое время после начала падения находилось на высоте hx = 1100 м, а еще через время Дг = 10 с - на высоте й2 = 120 м над поверхностью земли. С какой высоты h падало тело?
Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку на высоте h. Промежуток времени между этими прохождениями равен Д/. Найти начальную скорость тела ц, и время Дг0 от начала движения тела до возврата в начальное положение.
Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью и0, другое падает с высоты h без начальной скорости. Движения начались одновременно и происходят по одной прямой. Найти зависимость расстояния j между телами от времени t.
С башни, имеющей высоту h, бросают одновременно два шарика: один - вертикально вверх со скоростью ин другой - вертикально вниз со скоростью иг. Найти промежуток времени Дг, отделяющий моменты их падения на землю.
С крыши падают одна за другой две капли. Через время г2 = = 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями стало равным s = 25 м. На сколько раньше первая капля оторвалась от крыши?
С высоты й] = 10 м без начальной скорости падает камень. Одновременно с высоты й2 = 5 м вертикально вверх бросают дру-
гой камень. С какой начальной скоростью и,, брошен второй камень, если камни встретились на высоте h = 1 над землей?
Два тела брошены вертикально вверх с одинаковыми началь
ными скоростями с интервалом времени Ar. С какой скоростью бу
дет двигаться второе тело относительно первого?
Рис. 7Рис. 7Лодка подтягивается к высокому берегу озера при помощи веревки, которую наматывают с постоянной скоростью и = 1 м/с на цилиндрический барабан, находящийся на высоте h = 6 м над уровнем воды (рис. 7). Найти зависимость скорости лодки ил от длины веревки /. Найти также скорость лодки в момент времени,
Рис. 7
Рис. 7
когда / = 10 м, и перемещение лодки из этого положения за
время f = 1 с.
По наклонной плоскости одновременно начали двигаться два тела: одно - вверх с начальной скоростью ц, = 0,5 м/с, другое - вниз без начальной скорости. Через какое время t тела встретятся и какой будет их относительная скорость в месте встречи, если первоначальное расстояние между телами / = 2,5 м?
Тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости. Найти угол а наклона плоскости к горизонту, если средняя скорость тела за первые 0.5 с на 2,45 м/с меньше, чем средняя скорость тела за первые 1,5 с.
Стальной шарик, упавший с высоты h = 1,5 м на стальную доску, отскакивает от нее с потерей 25% скорости. Найти время t.
которое проходит от начала движения шарика до его второго падения на доску.
Мяч свободно падает с высоты h = 120 м на горизонтальную плоскость. При каждом отскоке скорость его уменьшается в п = 2 раза. Построить график скорости и найти пройденный мячом путь от начала движения до остановки.
На движущуюся вертикально вверх со скоростью и горизонтальную гладкую плиту свободно падает шарик. Расстояние от точки начала падения шарика до его места встречи с плитой равна h0. На какую высоту h от этого места подскочит шарик после соударения с плитой? Плита, обладая очень большой массой, не изменяет своей скорости в результате соударения с шариком. Считать соударение абсолютно упругим.
Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью и. Летящий в горизонтальной плоскости со скоростью Ц) шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика составляет угол а с перпендикуляром к плите (рис. 8). Найти скорость и шарика после соударения с плитой. Плита, обладая очень большой массой, не изменяет своей скорости в результате соударения с шариком.
Считать соударение абсолютно упругим. Силой тяжести пренебречь.
§ 2. Криволинейное движение
При прямолинейном движении направление скорости тела остается неизменным. Если же тело движется по криволинейной траектории, его скорость в любой точке направлена по касательной к траектории в этой точке. Криволинейное движение является всегда ускоренным, так как изменяется направление скорости, даже если не изменяется ее модуль.
Для расчета движения по криволинейной траектории удобно использовать прямоугольную систему координат с двумя осями. Одну из осей направляют обычно параллельно ускорению, другую - перпендикулярно к нему.
Тело брошено с высоты h горизонтально с начальной скоростью v0. Как зависят от времени координаты тела и его полная скорость? Вывести уравнение траектории.
С башни, имеющей высоту h = 25 м, горизонтально брошен камень с начальной скоростью ц> = 10 м/с. На каком расстоянии 5 от основания башни он упадет на землю?
Камень, брошенный с башни горизонтально с начальной скоростью м0 = 10 м/с, упал на расстоянии s = 10 м от башни. С какой высоты h был брошен камень?
Тело брошено со стола горизонтально. При падении на пол его скорость и = 7,8 м/с. Высота стола h = 1,5 м. Найти начальную скорость тела ий.
Камень брошен с горы горизонтально с начальной скоростью и0 = 15 м/с. Через какое время t его скорость будет направлена под углом а = 45° к горизонту?
Камень, брошенный с крыши дома горизонтально с начальной скоростью Ц) = 15 м/с, упал на землю под углом а = 60° к горизонту. Какова высота h дома?
Тело брошено с высоты й = 2 м горизонтально так, что к поверхности земли оно подлетает под углом а = 45° к горизонту. Какое расстояние по горизонтали пролетает тело?
Тело брошено горизонтально. Через время t = 5 с после броска направления полной скорости и и полного ускорения а составили угол Р = 45°. Найти полную скорость и тела в этот момент. Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Камень брошен с высоты h вверх под углом а к горизонту с начальной скоростью ц,. Под каким углом Р к горизонту и с какой скоростью v камень упадет на землю?
Тело брошено горизонтально с начальной скоростью и0 = 15 м/с. Найти нормальное а„ и касательное ат ускорения через время t = 1 с после начала движения тела.
Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью и0. Как зависят от времени скорость и тела и угол Р ее наклона к горизонту?
Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью Ц). Найти законы движения для координат тела и получить уравнение траектории.
Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью Ц). На какую высоту h поднимется тело? В течение какого времени t будет продолжаться подъем тела?
Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью и0. Какое время t тело будет находиться в полете? Какое расстояние » по горизонтали от места бросания пролетит тело?
Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью Ц). Построить графики зависимости вертикальной проекции скорости иу от времени t; координаты у (высоты); координаты х (расстояния по горизонтали от места бросания).
Камень брошен под углом а = 30° к горизонту с начальной скоростью Ц) = 10 м/с. Через какое время t камень будет на высоте h = 1 м?
Камень, брошенный под углом а = 30° к горизонту, дважды был на одной высоте h: спустя время ^ = 3 с и время ?2 = 5 с после начала движения. Найти начальную скорость и0 и высоту h.
Тело, брошенное под углом а = 60° к горизонут, через время t = 4 с после начала движения имело вертикальную проекцию скорости иу = 9,8 м/с. Найти расстояние 5 между местом бросания и местом падения.
Камень брошен с башни, имеющей высоту h, с начальной скоростью Ц), направленной под углом а к горизонту. На каком расстоянии s от основания башни упадет камень?
Два тела брошены под углами а, иа2 к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей, если они упали на землю в одном и том же месте?
Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Найти скорость и тела в момент, когда оно оказалось на высоте h = 3 м.
Камень брошен с высоты h под углом к горизонту с начальной скоростью Ц). С какой скоростью и камень упадет на землю?
Тело брошено под углом а к горизонту с начальной ско
ростью v0. Через какие промежутки времени после бросания
Рис. 9Рис. 9скорость тела будет составлять с горизонтом углы pi = 45° и р2 = 315° ?
Рис. 9
Рис. 9
Какую начальную скорость и0 имел снаряд, вылетевший из пушки под углом а = 30° к горизонту, если он пролетел расстояние 5=17 300 м? Известно, что сопротивление воздуха уменьшило дальность полета в четыре раза.
Мотоциклист въезжает на вы-
сокий берег рва, параметры которого указаны на рис. 9. Какую
минимальную скорость и должен иметь мотоциклист в момент
отрыва от берега, чтобы перескочить через ров?
Камень брошен с башни под углом а = 30° к горизонту с начальной скоростью 1/0 = 10 м/с. Каково кратчайшее расстояние I между местом бросания и местом нахождения камня спустя время Г = 4 с после бросания?
Сверхзвуковой самолет летит горизонтально со скоростью и = 1440 км/ч на высоте h = 20 км. Когда самолет пролетает над зенитной установкой, из
орудия производится выстрел (рис. 10). Какова должна быть мини
мальная начальная скорость ц0 снаряда и угол а ее с горизонтом, чтобы снаряд попал в самолет?
Два тела брошены одновременно из одной точки - одно вверх, другое вниз, оба с начальной скоростью и0 = 30 м/с под углом а = 60° к вертикали. Найти разность уровней, на которых будут находиться тела спустя время t = 2 с.
С самолета, летящего горизонтально со скоростью и0, на высоте h0 сброшен груз. На какой высоте h скорость груза будет направлена под углом а к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Самолет, оторвавшись от взлетной дорожки, летит по прямой линии, составляющей с горизонтом угол а = 30°, с начальной скоростью ц> = 50 м/с и ускорением а = 3 м/с2. Из самолета спустя время Го = 5 с после отрыва его от земли выброшен по вертикали вниз ключ с начальной скоростью м0 = 3 м/с относительно самолета. На каком расстоянии от места взлета упадет ключ?
С высоты h = 2 м вниз под углом а = 60° к горизонту брошен мяч с начальной скоростью ц, = 8,7 м/с. Найти расстояние s между двумя последовательными ударами мяча о землю. Удары считать абсолютно упругими.
Шарик свободно падает по вертикали на наклонную плоскость. Пролетев расстояние Л = 1 м, он упруго отражается и второй раз падает на ту же плоскость. Найти расстояние .у между первым и вторым ударами шарика о плоскость, если последняя составляет с горизонтом угол а = 30°.
§ 3. Вращательное движение
Изменение положения тела при движении по окружности характеризуют углом поворота радиуса, проведенного к телу. Угол поворота чаще всего выражают в радианах:
2л рад = 360°, 1 рад = 180°/л, 1° = л/180 рад.
Угловая скорость со равномерно движущегося по окружности тела — отношение угла поворота радиуса, проведенного к телу, к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот. Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость и тела - отношение длины пройденного пути к промежутку времени, в течение которого пройден этот путь. Она определяется угловой скоростью со тела и его расстоянием R от оси вращения: и = toR.
Быстроту движения тела по окружности характеризуют также частотой вращения п - числом оборотов, совершаемых телом в единицу времени, и выражают в оборотах в секунду (об/с). Частота вращения п связана с угловой скоростью со соотношением со = 2лл.
Период вращения Т - время, в течение которого тело делает полный оборот: Т = 1/л = 2 л/о).
При равномерном движении тела по окружности ускорение тела в любой точке направлено перпендикулярно к скорости движения, т.е. по радиусу окружности к ее центру. Это ускорение называется центростремительным. Его модуль ап -v^lR = «?R.
При равноускоренном движении тела по окружности центростремительное (нормальное) ускорение ап вместе с касательным (тангенциальным) ускорением ат (изменяющим модуль скорости и) определяют полное ускорение а тела.
Найти радиус R маховика, если при вращении линейная скорость точек на его ободе ц, = б м/с, а точек, находящихся на расстоянии г = 15 см ближе к оси вращения, и2 = 5,5 м/с.
Линейная скорость точек Обода вращающегося диска и, = 3 м/с, а точек, находящихся на расстоянии г = 10 см ближе к оси вращения, и2 = 2 м/с. Найти частоту вращения диска.
ввРис. 11Рис. 11Велосипедист едет с постоянной скоростью и по прямолинейному участку дороги. Найти мгновенные линейные скорости точек А, В, С, D, Е, лежащих на ободе колеса (рис. 11), относительно земли.
в
в
Рис. 11
Рис. 11
Материальная точка движется по окружности радиуса R = 20 см равноускоренно с касательным ускорением ат = 5 см/с2. Через какое время t после начала движения центростремительное ускорение ап будет больше ат в и = 2 раза?
Материальная точка, двигаясь равноускоренно по окружности радиуса R = 1 м,
прошла за время tx = 10 с путь .v = 50 м. С каким центростремительным ускорением ап двигалась точка спустя время Г] = 5 с после начала движения?
Ось вращающегося диска движется поступательно в горизонтальном направлении со скоростью и. Ось горизонтальна, направление ее движения перпендикулярно к ней самой. Найти мгновенную скорость их верхней точки диска, если мгновенная скорость нижней точки диска равна и2.
При равноускоренном движении тела по окружности полное ускорение а и линейная скорость и тела образуют угол а = 30°. Найти отношение центростремительного и касательного ускорений.
Найти линейную скорость и и центростремительное ускорение ап точек на экваторе и на широте <р = 60°. Считать радиус Земли R = 6400 км.
Маховое колесо, вращающееся с частотой п = 240 об/мин, останавливается в течение промежутка времени t = 0,5 мин. Найти число оборотов N, сделанных колесом до полной остановки.
Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью и0 = 54 км/ч и проходит равноускоренно расстояние 5 = 600 м за время t = 30 с. Радиус закругления R = 1 км. Найти скорость v и полное ускорение а поезда в конце этого участка пути.
Рис. 12Рис. 13
С колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью и, слетают комки грязи. Радиус колеса равен R. На какую высоту h над дорогой будет отбрасываться грязь, оторвавшаяся от точки А колеса, указанной на рис. 12? Изменится ли высота h, если колесо будет катиться с пробуксовкой?
В винтовой желоб (рис. 13) положен тяжелый шарик. С каким ускорением а нужно тянуть нить, намотанную на цилиндр с желобом, чтобы шарик падал свободно, если диаметр цилиндра равен D, а шаг винтового желоба равен №
§ 4. Динамика прямолинейного движения
При решении динамических задач нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на тело, движением которого мы интересуемся. Необходимо изобразить эти силы на чертеже. При этом нужно отчетливо представлять себе, со стороны каких тел действуют рассматриваемые силы. Следует помнить, что силы “действия” и “противодействия”, фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам. Поэтому на данное тело может действовать лишь одна из этих двух сил.
В задачах обычно встречаются следующие типы сил.
Силы тяжести mg (рис. 14) - сила, действующая на тело со стороны Земли. Эта сила приложена к центру масс тела. Если других сил нет, то сила тяжести сообщает телу массы т ускорение свободного падения g = 9,80665 м/с2 ~ 9,81 м/с2. Если пренебречь вращением Земли, а также
'' mg'' mgРис. 14Рис. 14NNРис. 15Рис. 15
'' mg
'' mg
Рис. 14
Рис. 14
N
N
Рис. 15
Рис. 15
отклонениями от сферической симметрии распределения составляющих ее масс, то силу тяжести можно считать направленной к центру Земли.
Сила реакции опоры N (рис. 15а) - сила, с которой опора действует на тело. Эта сила перпендикулярна к поверхности соприкосновения тел. Зависимость силы реакции опоры от деформации в задачах обычно не рассматривается.
Сила нормального давления Енд (рис. 156) - сила, с которой тело давит на опору. Эта сила перпендикулярна к поверхности соприкосновения тел, равна по модулю (согласно третьему закону Ньютона) силе реакции опоры и противоположна ей по направлению, так что для модулей этих сил справедливо равенство FH д = N.
ЖЖЖ^ЖЖРис. 16ЖЖЖ^ЖЖРис. 16 и/—Ж^ЖЖЖЖРис. 17 и/—Ж^ЖЖЖЖРис. 17
ЖЖЖ^ЖЖ
Рис. 16
ЖЖЖ^ЖЖ
Рис. 16
и
/—
Ж^ЖЖЖЖ
Рис. 17
и
/—
Ж^ЖЖЖЖ
Рис. 17
Сила натяжения подвеса Т — сила, с которой подвес действует на тело. Эта сила направлена вдоль оси подвеса. Если тела связаны невесомой нитью (веревкой, тросом и т.п.), то натянутая нить действует с одинаковыми силами как на одно, так и на другое тело (рис. 16). При этом нить может быть перекинута через систему невесомых блоков. Обычно нить считается нерастяжимой и зависимость силы натяжения нити от деформации не рассматривается.
Сила натяжения подвеса (сила реакции подвеса), так же как и сила реакции опоры, относится к силам упругости, особенность которых состоит в том, что они направлены перпендикулярно к поверхности соприкосновения взаимодействующих тел или вдоль их осей.
Сила трения / (рис. 17) - сила сопротивления, возникающая при относительном перемещении прижатых друг к другу тел. Эта сила направлена по касательной к поверхности соприкосновения тел и противоположно направлению перемещения данного тела. Важно обратить
внимание на неоднозначность силы трения покоя. При покое сила трения
в зависимости от других сил, приложенных к телу, может меняться от нуля до некоторого максимального значения, определяемого силой нормального давления FH д:/тах = kFH «> гДе к ~ коэффициент трения. При
Рис. 18Рис. 18скольжении обычно принимается, что / = /тах (рис. 18). Учитывая, что модули сил нормального давления и реакции опоры равны, можно выразить максимальную силу трения /тах через силу реакции опоры /V: /тах = kN (для модулей сил). Это соотношение будет часто использоваться при решении задач.
Рис. 18
Рис. 18
Для того чтобы определить направление силы трения, можно применить следующий прием: предположить, что сила трения мгновенно исчезла, и найти
направления относительных скоростей трущихся тел. Направления сил трения будут противоположны направлениям относительных скоростей.
После того как найдены действующие на тело силы, следует записать уравнение движения (второй закон Ньютона). При движении по прямой второй закон Ньютона имеет вид та = Fx + F^ + ... + Fn, где
Fi, F^,..., F„ - проекции сил на прямую, по которой происходит движение. Положительное направление отсчета удобно выбирать совпадающим с направлением\ускорения. Если направление составляющей силы совпадает с направлением ускорения, то соответствующая проекция силы берется со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. До того как задача решена, направление ускорения, вообще говоря, неизвестно и может быть выбрано произвольно. Если полученное в процессе решения задачи ускорение положительно, то его направление выбрано правильно,
если отрицательно - то неправильно.
В направлении, перпендикулярном к прямолинейному движению, сумма проекций сил равна нулю, так как ускорение в этом направлении отсутствует. Этими равенствами можно воспользоваться в случае, когда надо найти силу реакции опоры, определяющую силу трения.
Если рассматривается движение системы тел, то уравнение движения нужно записать для каждого тела системы. Задача может быть решена лишь тогда, когда число независимых уравнений равно числу неизвестных. В число неизвестных часто кроме величин, которые требуется найти по условию задачи, входят еще силы реакции опоры, трения и натяжения подвеса, возникающие при взаимодействии тел системы.
Для решения задачи о движении системы связанных друг с другом тел одних уравнений движения, вообще говоря, недостаточно. Нужно записать еще так называемые кинетические условия, выражающие собой соотношения между ускорениями тел системы, обусловленные связями внутри нее. Например: 1) тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют
одинаковые по модулю ускорения: | aj| = | а2| (обычно это соотношение
подразумевается непосредственно при записи уравнений движения); 2) при
Рис. 19Рис. 19наличии подвижного блока ускорение тела А по модулю в два раза меньше ускорения тела В (рис. 19): |<z5| = = 2|«л|.
Рис. 19
Рис. 19
Решение следует первоначально получить в общем виде и лишь затем подставлять числовые значения в избранной системе единиц. Полезно проследить, как будут изменяться найденные величины в зависимости от величин, заданных в условии задачи.
Если в задаче требуется найти не только силы и ускорения, но также координаты (или пройденные пути) тел и их скорости, то кроме уравнений движения
нужно использовать кинетические уравнения для координат и скоростей.
Поезд массы тп = 500 т после прекращения тяги паровоза останавливается под действием силы трения/= 0,1 МН через время t = 1 мин. С какой скоростью и шел поезд до момента прекращения тяги паровоза?
Паровоз на горизонтальном участке пути, имеющем длину .V = 600 м, развивает силу тяги F = 147 кН. Скорость поезда массы тп = 1000 т возрастает при этом от и 0 = 36 км/ч до и = 54 км/ч. Найти силу сопротивления/движению поезда, считая ее постоянной.
Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью. Какой массы тп балласт нужно выбросить, чтобы шар поднимался с той же скоростью? Подъемная сила воздушного шара Q известна.
С какой силой F нужно действовать на тело массы тп = 5 кг, чтобы оно падало вертикально вниз с ускорением а = 15 м/с2?
Автомобиль движется с ускорением а = м/с2. С какой силой F человек массы тп = 70 кг давит на спинку сиденья?
Проволока выдерживает груз массы /итах = 450 кг. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массы тп = 400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не оборвалась?
Веревка выдерживает груз массы пц = ПО кг при подъеме его с некоторым ускорением, направленным по вертикали, и груз массы тп^ = 690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса тп груза, который можно поднять на этой веревке, двигая его с постоянной скоростью?
Найти силу натяжения Т каната, к которому подвешена клеть подъемной машины, если клеть массы тп = 300 кг движется: с
ускорением at = 1,6 м/с2, направленным вверх; с ускорением а2 = = 0,8 м/с2, направленным вниз.
Масса лифта с пассажирами М = 800 кг. Найти ускорение лифта и его направление, если сила натяжения троса, на котором подвешена кабина лифта, такая же, как у неподвижного лифта массы т = 600 кг.
К потолку движущегося лифта на нити подвешена гиря массы Ш\ = 1 кг. К этой гире привязана другая нить, на которой подвешена гиря массы т2 = 2 кг. Найти силу натяжения Т верхней нити, если сила натяжения нити между гирями То = 9,8 Н.
С какой силой F„ я будет давить на дно шахтной клети груз массы т - 100 кг, если клеть поднимается с ускорением а = = 24,5 м/с2?
Груз массы m = 140 кг, лежащий на полу кабины опускающегося лифта, давит на пол с силой Гнд = 1440 Н. Найти ускорение лифта и его направление.
В лифте установлен динамометр, на котором подвешено тело массы т = 1 кг. Что будет показывать динамометр, если: 1) лифт движется вверх с ускорением сц = 4,9 м/с2; 2) лифт движется вверх замедленно с ускорением л2 = 4,9 м/с2; 3) лифт движется вниз с ускорением п3 = 2,45 м/с2; 4) лифт движется вниз замедленно с ускорением а4 = 2,45 м/с2?
Какая горизонтальная сила F требуется, чтобы тело массы т = 2 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, начало скользить по ней с ускорением а = 0,2 м/с2? Коэффициент трения между телом и поверхностью к = 0,02.
При быстром торможении трамвай, имевший скорость и = = 25 км/ч, начал двигаться “юзом” (заторможенные колеса, не вращаясь, начали скользить по рельсам). Какой участок пути .у пройдет трамвай с момента начала торможения до полной остановки? Коэффициент трения между колесами и рельсами к = 0,2.
Камень, скользящий по горизонтальной поверхности, остановился, пройдя расстояние .у = 20,4 м. Найти начальную скорость камня и. Сила трения/между камнем и поверхностью составляет 6% силы тяжести, действующей на камень.
На горизонтальной доске лежит груз. Какое ускорение а в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз соскользнул с нее? Коэффициент трения между грузом и доской к = 0,2.
На горизонтальной поверхности лежит доска массы М = = 10 кг, а на доске - брусок массы т = 1 кг. Какую минимальную силу F в горизонтальном направлении надо приложить к доске, чтобы брусок соскользнул с нее? Коэффициент трения между бруском и доской к = 0,1.
Тело массы т движется по горизонтальной поверхности под действием силы F, направленной под углом а к горизонту (рис. 20). Найти ускорение а тела. При какой силе Fo движение будет равномерным? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен к.
Рис. 20Рис. 21
Тело массы т движется вверх по вертикальной стене под действием силы F, направленной под углом а к вертикали (рис. 21). Найти ускорение а тела. Коэффициент трения между телом и стеной равен к.
Какой путь s за время t пройдет “юзом” воз массы т, если щука и рак тянут его в противоположные стороны по горизонтали с силами Fx и F^ лебедь тянет с силой F^ в ту же сторону, что и рак, но под углом а к горизонту? Коэффициент трения между колесами и поверхностью земли равен к. Начальная скорость воза ц> = 0.
Тело массы т = 40 г, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью ц, = 30 м/с, достигло высшей точки подъема спустя время t = 2,5 с. Найти среднюю силу сопротивления / воздуха, действовавшую на тело во время полета.
Акробат массы т = 70 кг прыгнул с трапеции на натянутую сетку, которая при этом прогнулась на расстояние A/i = 1 м. Высота трапеции над сеткой h = 6 м. С каким ускорением а двигался акробат, прогибая сетку, и с какой силой реакции N сетка действовала на тело акробата?
Какая минимальная сила сопротивления/воздуха действует на парашютиста и парашют общей массы т = 75 кг при полностью раскрытом парашюте?
Сила сопротивления/, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональности к = 20 Н • с2/м2). Масса парашютиста т = 72 кг. С какой высоты h должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгнувшего с большой высоты?Два тела с массами тх = 50 г и тг = 100 г связаны нитью* и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 22). С какой силой F можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Ттах = 5 Н, не оборвалась? Изменится ли результат, если силу приложить ко второму телу?Сила сопротивления/, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональности к = 20 Н • с2/м2). Масса парашютиста т = 72 кг. С какой высоты h должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгнувшего с большой высоты?Два тела с массами тх = 50 г и тг = 100 г связаны нитью* и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 22). С какой силой F можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Ттах = 5 Н, не оборвалась? Изменится ли результат, если силу приложить ко второму телу?FFтхтхт2т2Рис. 22Рис. 22
Сила сопротивления/, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональности к = 20 Н • с2/м2). Масса парашютиста т = 72 кг. С какой высоты h должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгнувшего с большой высоты?
Два тела с массами тх = 50 г и тг = 100 г связаны нитью* и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 22). С какой силой F можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Ттах = 5 Н, не оборвалась? Изменится ли результат, если силу приложить ко второму телу?
Сила сопротивления/, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональности к = 20 Н • с2/м2). Масса парашютиста т = 72 кг. С какой высоты h должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгнувшего с большой высоты?
Два тела с массами тх = 50 г и тг = 100 г связаны нитью* и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 22). С какой силой F можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяжения Ттах = 5 Н, не оборвалась? Изменится ли результат, если силу приложить ко второму телу?
F
F
тх
тх
т2
т2
Рис. 22
Рис. 22
Два тела связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К телу массы тх приложена сила F х, направленная вдоль поверхности, а к телу массы /и2 - сила F2 < Fx, направленная в противоположную сторону. Найти силу натяжения Т нити при движении тел.
Три тела связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К телу массы тх приложена сила F х, направленная вдоль поверхности, а к телу массы /и3 - сила F2 > Fx, направленная в противоположную сторону (рис. 23). Найти силу натяжения Т нити
На брусок массы тх = 0,18 кг поставлена гиря массы т2 = = 2 кг (рис. 24). С помощью нити, перекинутой через блок, брусок с гирей скользит с постоянной скоростью на доске, когда на чашку массы /и3 = 0,18 кг положена гиря массы /и4 = 0,5 кг. Найти коэффициент трения к между бруском и доской.
К одному концу веревки, перекинутой через блок, подвешен груз массы т = 10 кг (рис. 25). С какой силой F нужно тянуть вниз за другой конец веревки, чтобы груз поднимался с у///////////, ускорением а = 1 м/с2?
Через блок, подвешенный к динамометру, не- /Д\ рекинут шнур, на концах которого укреплены грузы с массами т} = 2 кг и т2 = 8 кг. Что показывает динамометр при движении грузов?
На одном конце нити, перекинутой через блок, Q подвешен груз массы т = 500 г. Известно, что нить не обрывается, если на другом ее конце закрепить груз массы М = 1 т и осторожно отпустить его. Какую силу Рис- 25
натяжения Т выдерживает в этом случае нить?
На одном конце нити, перекинутой через блок, подвешено тело массы тА = 30 г. Другой конец нити соединен с легкой пружиной, к концу которой прикреплено тело массы т2 = 50 г. Длина пружины в нерастянутом состоянии /() = 10 см. Под действием силы F = 0,1 Н пружина удлиняется; ее деформация А/ = = 2 см. Найти длину / пружины во время движения грузов, считая, что колебания в системе отсутствуют.
Две гири с массами т, = 3 кг и т2 = 6,8 кг висят на концах нити, перекинутой через блок. Первая гиря находится на 2 м ниже второй. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через какое время t они окажутся на одной высоте?
Два тела массы т = 240 г каждое подвешены на концах
нити, перекинутой через блок. Какую массу т0 должен иметь груз, положенный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за время t = 4 с путь h = 160 см?
Два тела массы т = 100 г каждое подвешены на концах нити, перекинутой через блок. На одно из тел положен груз массы т0 = 50 г. С какой силой FH д будет давить груз на тело, на котором он лежит, когда вся система придет в движение?
С каким ускорением айв каком направлении будет перемещаться центр масс двух грузов с массами тА и т2 (т} < т2), если эти грузы связаны
нитью, перекинутой через блок?Рис. 26
Найти силу натяжения Т нити в устройстве, изображенном на рис. 26, если массы тел тА = 100 г и т2 = 300 г.
Найти ускорение а тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а = 30°. Коэффициент трения между телом и плоскостью к = 0,3.
С вершины наклонной плоскости, имеющей длину / = 10 м и высоту h = 5 м, начинает двигаться без начальной скорости тело. Какое время / будет продолжаться движение тела до основания наклонной плоскости и какую скорость и оно будет иметь при этом? Коэффициент трения между телом и плоскостью к = 0,2.
Тело начинает движение с начальной скоростью и0 вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а. Через какой промежуток времени г тело вернется в точку, из которой оно начало двигаться вверх? Коэффициент трения между телом и плоскостью к < tg а.
По склону горы, имеющей длину / = 50 м и высоту h = 10 м, на веревке спускают без начальной скорости санки массы т = 60 кг. Найти силу натяжения Т веревки, если санки у основания горы имеют скорость и = 5 м/с, а сила трения/между санками и поверхностью горы составляет 10 % силы тяжести, действующей на санки.
На гладкой наклонной плоскости, образующей угол а = 30° с горизонтом, находится тело массы т = 50 кг, на которое действу-
р ет горизонтально направленная сила F = 294 Н > (Рис- 27). Найти ускорение а тела и силу FH „, с которой тело давит на плоскость.
а. 7>^131. Два тела с массами тх = 10 г и т2 = 15 г Рис. 27 связаны нитью, перекинутой через блок, установленный на наклонной плоскости (рис. 28).
Плоскость образует с горизонтом угол а = 30°. Найти ускорение, с которым будут двигаться эти тела.
Три груза с массами ть т2 и т3 связаны нитью, перекинутой через блок, установленный на наклонной плоскости (рис. 29). Плоскость образует с горизонтом угол а. Начальные скорости грузов равны нулю. Найти силу натяжения Т нити, связывающей
грузы, находящиеся на наклонной плоскости. Коэффициент трения между грузами и плоскостью равен к.
Шар массы т лежит в ящике, соскальзывающем без трения с наклонной плоскости. Плоскость образует с горизонтом угол а. Найти силы, с которыми шар давит на переднюю стенку и на дно ящика.
На наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом, стоит кубик массы т. Плоскость находится в лифте, движущемся с ускорением а, направленным вверх. Найти силу нормального давления FH. д кубика на плоскость. При каком коэффициенте трения к между кубиком и плоскостью кубик не будет соскальзывать вниз?
Доска массы М может двигаться без трения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а. С каким ускорением «ив каком направлении должен бежать по доске человек массы т, чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?
На тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, установлен стержень с подвешенным на нити шариком массы m = 2 г. Найти силу натяжения Т нити, если плоскость образует с горизонтом угол а = 60°.
На наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, находится бак с водой, имеющий массу т. С какой силой F, параллельной наклонной плоскости, нужно двигать бак, для того чтобы поверхность воды в баке была параллельна наклонной плоскости? Коэффициент трения между баком и наклонной плоскостью равен к.
По тросу, образующему с гори- \
зонтом угол ос, катится без трениязонтом угол ос, катится без тренияХУ XXX ХУ 1»Х J х ХУ V х x/v ^ хх х хх х xyzx ХУ Хг х хг х х хх /1 блок, к которому подвешено ведро с
зонтом угол ос, катится без трения
зонтом угол ос, катится без трения
водой. Высота воды в ведре равна h.
г гРис 30
Каково давление воды на дно ведра во'
время движения?
С каким ускорением а должен ехать грузовик, чтобы бревно длины / и канат длины Ь, которым оно привязано к грузовику, составляли прямую линию (рис. 30)? Канат привязан к грузовику на высоте h от поверхности земли.
§ 5. Закон сохранения импульса
Из второго и третьего законов Ньютона следует закон сохранения импульса: изменение полного импульса системы тел равно сумме импульсов внешних сил, действующих на тела системы. Так
как импульс тела и импульс силы - величины векторные, то такое равенство выполняется для проекций этих величин на любую прямую. Таким образом
(тхи [A-m^v^... + тпи 'J-(т^ ] + т2и 2 +... + т„и„) =
. = Fx Д t + F^ \t +... + F„ ^t*
где mu m2,.... m„ - массы тел системы, и,, и2, ..., и„ и и [, и2, .... и'-проекции начальных и конечных скоростей этих тел на некоторое направление, a F^t, F2\t, ..., F At - проекции импульсов внешних сил на это же направление.
Если система замкнута, т.е. на тела, которые мы относим к этой системе, не действуют внешние силы, то сумма проекций импульсов внешних сил на любое направление равна нулю:
Fx\t + F-At + ... + F„\t = О,
и, следовательно,
mxv I + тги 2 +...+ mnv ' = тхи х + т2и 2 +... + т„и „,
т.е. проекция импульса системы тел на любое направление сохраняется неизменной. Однако и для незамкнутой системы может оказаться, что сумма проекций импульсов всех внешних сил на некоторое избранное направление равна нулю. Тогда остается неизменной проекция импульса системы тел лишь на это направление. Проекции же импульса системы тел на другие направления при этом не сохраняются.
Нужно иметь в виду, что если конечное состояние системы отдалено от начального малым интервалом времени (например, время выстрела или соударения тел), то импульсом FAt таких внешних сил, как тяготение и вязкое трение, можно пренебречь и рассматривать систему как замкнутую.
При записи закона сохранения импульса нужно следить за правильностью расстановки знаков. Некоторое направление произвольно выбирается за положительное. Проекция импульса тела записывается со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с избранным направлением, и со знаком минус - в противном случае. Для тел, направления движения которых не заданы в условии задачи, знаки могут быть расставлены произвольно. Если в результате решения задачи окажется, что проекция импульса положительна, то направление движения тела выбрано правильно, если отрицательно, то - неправильно.
Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули т = 10 г, а скорость пули при вылете из ствола и = 300 м/с? Число выстрелов из автомата в единицу времени п = 300 мин-1. .
Мяч массы т = 150 г ударяется о гладкую стенку под углом а = 30° к ней и отскакивает без потери скорости. Найти среднюю
силу F, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча и — 10 м/с, а продолжительность удара А/ = 0,1 с.
Падающий вертикально шарик массы т = 200 г ударился об пол со скоростью v = 5 м/с и подпрыгнул на высоту h = 46 см. Найти изменение Ар импульса шарика при ударе.
Из орудия массы М = 3 т, не имеющего противооткатного устройства (ствол жестко скреплен с лафетом), вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы т = 15 кг со скоростью и = = 650 м/с. Какую скорость и получает орудие при отдаче?
Снаряд массы т = 20 кг, летевший горизонтально со скоростью v = 50 м/с, попадает в платформу с песком и застревает в песке. С какой скоростью и начнет двигаться платформа, если ее масса М = 10 т?
Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной площадке, стреляет под углом а = 30° к горизонту. Масса снаряда т = 20 кг, его начальная скорость и = 200 м/с. Какую скорость и приобретает пушка при выстреле, если ее масса М = 500 кг?
Орудие, имеющее массу ствола М = 500 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда т = 5 кг, его начальная скорость и = 460 м/с. При выстреле ствол откатывается на расстояние .v = 40 см. Найти среднюю силу торможения /, возникающую в механизме, тормозящем ствол.
Снаряд массы т = 50 кг, летящий со скоростью и = 800 м/с под углом а = 30° к вертикали, попадает в платформу с песком и застревает в нем. Найти скорость платформы и после попадания снаряда, если ее масса М = 16 т.
Человек, стоящий на коньках на гладком льду реки, бросает камень массы т = 0,5 кг. Спустя время t = 2 с камень достигает берега, пройдя расстояние .v = 20 м. С какой скоростью и начинает скользить конькобежец, если его масса М = 60 кг? Трением пренебречь.
Два человека с массами тх = 70 кг и т2 = 80 кг стоят на роликовых коньках друг против друга. Первый бросает второму груз массы т = 10 кг со скоростью, горизонтальная составляющая которой v = 5 м/с относительно земли. Найти скорость г, первого человека после бросания груза и скорость и2 второго после того, как он поймает груз. Трением пренебречь.
Тело массы М = 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массы т = 10 г и застревает в нем. Скорость пули и = 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь
s пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью к = 0,05.
Навстречу платформе с песком, движущейся со скоростью и, по гладкому наклонному желобу соскальзывает без начальной скорости тело массы m и застревает в песке. Желоб длины / образует с горизонтом угол а. Найти скорость и платформы после попадания в нее тела, если масса платформы равна М.
Ракета, имеющая вместе с зарядом массу М = 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты h = 150 м. Масса заряда т = 50 г. Найти скорость и истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно.
С платформы массы М = 20 т, движущейся со скоростью и = = 9 км/ч, производится выстрел из пушки. Снаряд массы т = 25 кг вылетает из орудия со скоростью и - 700 м/с. Найти скорости платформы непосредственно после выстрела: если направления движения платформы и выстрела совпадают; если эти направления противоположны.
По горизонтальным рельсам со скоростью и = 20 км/ч движется платформа массы М = 200 кг. На нее вертикально падает камень массы m = 50 кг и движется в дальнейшем вместе с платформой. Через некоторое время в платформе открывается люк, и камень проваливается вниз. С какой скоростью и движется после этого платформа? Трением пренебречь.
Ядро, летевшее горизонтально со скоростью v = 20 м/с, разорвалось на два осколка с массами mt = 10 кг и т2 = 5 кг. Скорость меньшего осколка v2 = 90 м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Найти скорость их и направление движения большого осколка.
Две лодки движутся по инерции параллельными курсами навстречу друг другу. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую осторожно переложили груз массы m = 25 кг. После этого лодка с грузом остановилась, а лодка без груза продолжала двигаться со скоростью v = 8 м/с. С какими скоростями иА и v2 двигались лодки до встречи, если масса лодки, в которую переложили груз, М = 1 т?
Три лодки массы М каждая движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями и. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массы т каждый со скоростью и относительно лодок. Какие скорости vb v2 и щ будут иметь лодки после перебрасывания грузов?
Человек массы т = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние s переместится лодка длины / = 3 м, если ее масса М = 120 кг?
Поезд массы М = 500 т шел равномерно по горизонтальному пути. От поезда отцепился последний вагон массы т = 20 т. В момент, когда вагон остановился, расстояние между ним и поездом было s = 500 м. Какой путь / прошел вагон до остановки, если известно, что сила сопротивления движению пропорциональна силе тяжести и не зависит от скорости движения?
Снаряд вылетает из орудия со скоростью и0 под углом а к горизонту. В верхней точке траектории снаряд разрывается на два разных осколка, причем скорости осколков непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Первый осколок упал на расстоянии s от орудия в направлении выстрела. Найти место падения второго осколка, если известно, что он упал дальше первого.
Снаряд летит по параболе и разрывается в верхней точке траектории на два разных осколка. Первый осколок упал вертикально вниз, второй - на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Найти скорость снаряд перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на высоте h и время падения первого осколка равно Zo. ■
Статика
При решении задач на статику, так же как и при решении динамических задач, нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на рассматриваемые тела. Эти силы необходимо изобразить на чертеже.
В статике используются два типа уравнений, выражающих условия равновесия тела:
ИЛ=°
(сумма проекций действующих на тело сил на любое направление равна нулю) и
X 4 = 0
(сумма моментов этих сил относительно любой неподвижной оси равна нулю). -
При решении задач на плоскости (именно такие задачи преимущественно встречаются) для проекций сил можно записать два независимых уравнения для взаимно перпендикулярных направлений, например для горизонтального и вертикального. Целесообразно выбирать направления таким образом, чтобы проекции сил выражались наиболее
просто, т.е. чтобы соответствующие косинусы углов между силами и выбранным направлением составляли 0 или 1 или были бы заранее известны. Нужно следить за тем, чтобы проекции сил, имеющих одинаковые направления, входили в уравнение с одними и теми же знаками.
Если рассматриваемые в задаче силы лежат в одной плоскости, то можно записать только одно независимое уравнение для моментов сил относительно оси, перпендикулярной к этой плоскости. Решение задачи упрощается, если ось выбрать так, чтобы в уравнение ИМ, = О, по возможности, не входили моменты сил, знание которых не требуется по условию задачи. Для этого нужно, чтобы плечи этих сил были равны нулю.
Моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, входят в уравнение с одним знаком, а моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки, должны иметь противоположный знак. Если направление составляющих отдельных сил или направление вращения для моментов этих сил не известны заранее, то, как и в задачах на динамику, знак может быть выбран произвольно, а о действительном направлении можно будет судить по результатам решения задачи.
При нахождении центра масс системы тел проще всего, как правило, рассмотреть моменты сил относительно оси, проходящей через центр масс. Равенство нулю суммы моментов сил тяжести относительно этой оси представляет собой уравнение для координат, определяющих положение центра масс.
В одном случае два человека тянут в противоположные стороны за концы канат с равными по модулю силами F. В другом случае один конец каната привязан к неподвижной опоре, а за другой его конец тянут два человека с теми же по модулю силами F. Какую силу натяжения испытывает канат в обоих случаях?
Цилиндр двигателя внутреннего сгорания имеет внутренний диаметр D =0,16 м. Число болтов, крепящих крышку цилиндра, п = 8. При сгорании горючей смеси развивается давление Р = 6 МПа. Найти диаметр d болтов, обеспечивающих десятикратный запас прочности. Допустимое напряжение в стали Ро = 150 МПа.
С какой минимальной силой F, направленной горизонтально, нужно прижать плоский брусок массы т = 5 кг к стене, чтобы он не соскользнул вниз? Коэффициент трения между бруском и стеной к = 0,1.
Однородная линейка массы т на 1/3 длины выступает за край стола. Какую силу F нужно приложить, чтобы сдвинуть линейку вдоль ее длинной стороны? Коэффициент трения между линейкой и столом равен к.
Деревянный брусок массы т = 2 кг лежит на наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а = 60°. С какой силой 34
F, направленной перпендикулярно к плоскости, необходимо прижать брусок, чтобы он не соскользнул? Коэффициент трения между бруском и плоскостью к = 0,4.
Тонкая доска с двумя низкими опорными выступами на концах лежит на наклонной плоскости (рис. 31). При каком мини-
Рис. 31Рис. 31Рис. 32Рис. 32
Рис. 31
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 32
мальном значении угла наклона а плоскости к горизонту доска начнет скользить по наклонной плоскости? Коэффициенты трения между нижней и верхней опорами и наклонной плоскостью равны кх и к2.
Фонарь массы т = 20 кг подвешен на двух одинаковых тросах, образующих угол а = 120°. Найти силу натяжения Т тросов.
К тросу длины / = 3 м, концы которого закреплены на одной высоте, на расстояниях а = 1 м от точек закрепления подвешены два груза массы т = 1 кг каждый. Провисание троса в средней части составило А/ = 10 см. Найти силы натяжения Тх, Т2 и Т? троса на каждом из трех участков.
На кронштейне, изображенном на рис. 32, висит груз массы m = 100 кг. Найти силы натяжения стержней АВ и ВС, если они образуют угол а = 60°, а в точках А, В и С - шарниры.
При взвешивании на неравноплечих рычажных весах масса тела (по сумме масс уравновешивающих гирь) на одной чаше весов оказалась равной тх=2,2 кг, а на другой - т2 = 3,8 кг. Найти истинную массу тела т.
Однородный стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массы т = 1,2 кг находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза. Найти массу стержня М.
Однородная балка лежит на платформе так, что один ее конец на 1/4 длины свешивается с. платформы. К свешивающемуся концу прилагают силу, направленную вертикально вниз. Когда эта
сила становится равной F = 2000 Н, противоположный конец балки начинает подниматься. Найти массу балки.
Два человека несут трубу массы т = 80 кг и длины / = 5 м. Первый человек поддерживает трубу на расстояний а = 1 м от ее конца, а второй держит противоположный конец трубы. Найти силу давления трубы, испытываемую каждым человеком.
,175. К стене прислонена лестница массы т
/Т\под углом а к вертикали. Центр масс лестницы
/фднаходится на расстоянии 1/3 длины от ее верх-
//ai m\него конца. Какую горизонтальную силу F нуж-
i \\но приложить к середине лестницы, стобы верх
! \\ ний конец ее не оказывал давления на стену?
[]| Д 176. Под каким минимальным углом а к гори-
iowvj может стоять лестница, прислоненная к Рис. 33 гладкой вертикальной стене, если центр масс ее находится в середине? Коэффициент трения между лестницей и полом равен к.
Две одинаковые тонкие дощечки с гладкими закругленными краями поставлены на стол и опираются друг на друга. Каждая дощечка образует с вертикалью угол а (рис. 33). Каким должен быть коэффициент трения к между дощечкой и столом, чтобы дощечки не падали?
Стержень массы т = 1,5 кг и длины / = 1 м одним концом шарнирно прикреплен к потолку. Стержень удерживается в отклоненном положении вертикальным шнуром, привязанным к сво
бодному концу стержня. Найти силу натяжения Т шнура, если центр масс стержня находится на расстоянии а = 0,4 м от шарнира.
Тяжелый цилиндрический каток массы «г необходимо поднять на ступеньку высоты h (рис. 34). Найти минимальную силу F, которую необходимо для этого приложить к центру масс катка в
горизонтальном направлении, если радиус катка г больше высоты ступеньки h.
Дифференциальный ворот состоит из двух цилиндров с радиусами Г] = 0,2 м и г2 = 0,1 м, закрепленных на общей оси (рис. 35). На цилиндрах укреплен канат, который при вращении ворота наматывается на цилиндр большего диаметра и сматывается с цилиндра меньшего диаметра. На образуемой канатом петле подвешен блок. Какую силу F нужно z приложить к рукоятке ворота длины / = 1 м, что- ч бы удерживать или равномерно поднимать груз массы т = 10 кг?
Конец однородного стержня А С, имеюще- Ы го массу mv шарнирно закреплен на доске в точке 1 А (рис. 36). К другому концу стержня привязана «^ переброшенная через блок нить, на конце которой
находится груз. Какова должна быть масса груза Рис. 36 т2, для того чтобы отрезок нити ВС был горизонтальным, а стержень образовывал с доской угол а? Будет ли равновесие устойчивым?
К гладкой вертикальной стене на веревке длины / = 4 см подвешен шар массы т = 300 г и радиуса г = 2,5 см. Найти силу давления шара на стену.
На плоском дне ящика находится шар. Дно ящика образует некоторый угол с горизонтом. Шар удерживается в равновесии нитью, параллельной дну (рис. 37). На какой максимальный угол а можно наклонить дно ящика, чтобы шар оставался в равновесии? Коэффициент трения между шаром и ящиком равен к.
Две тонкие палочки с массами М и т соединены в систему, изображенную на рис. 38. Палочки могут вращаться без трения вокруг осей АиВ, проходящих через нижние концы палочек. Верхние концы палочек сходятся под прямым углом так, что конец одной палочки лежит на торце другой (последний закруглен).
Верхняя палочка массы М образует с горизонтом угол а. При каком минимальном коэффициенте трения к между палочками нижняя не упадет?.
Две параллельные и противоположно направленные силы Fx = 10 Н и F2 = 25 Н приложены в точках А и В стержня, расположенных на расстоянии d = 1,5 м друг от друга. Найти силу F, уравновешивающую силы Fx и F2, и точку ее приложения.
Два однородных кубика с массами тх = 0,3 кг и т2 = 1,2 кг и длинами ребер 1Х =0,08 м и /2 = 0,12 м соединены при помощи однородного стержня, имеющего массу т = 0,6 кг и длину d = 0,1 м. Концы стержня прикреплены к серединам граней кубиков, а центры кубиков лежат на продолжении оси стержня. Найти положение центра масс системы.
Четыре однородных шара с массами тА = 1 кг, т2 = 5 кг, т3 = 7 кг, т4 = 3 кг укреплены на невесомом стержне так, что их центры находятся на равных расстояниях d = 0,2 м друг от друга. На каком расстоянии х от центра третьего шара находится центр масс системы?
Две стороны проволочной рамки в форме равностороннего треугольника сделаны из алюминиевой проволоки, а третья - из медной. Проволоки имеют одинаковые сечения, а сторона треугольника / = 1 м. Плотности алюминия и меди р! = 2,7-103 кг/м3, р2 = 8,9-103 кг/м3. Найти положение центра масс системы.
Однородный цилиндр поставлен на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол а. При каком максимальном значении угла атах цилиндр еще не опрокинется, если высота цилиндра вдвое больше его радиуса?
.,190. На каком расстоянии от дна находится z' !центр масс тонкостенного цилиндрического
' С^1 стакана, имеющего высоту h = 12 см и диаметр ф/ д _ 8 см, если толщина дна в два раза больше h С^толщины стенок?
191. Однородная пластина имеет форму полукруга радиуса г, соединенного с прямоуголь- Рне. 39 ником, имеющим основание, равное диаметру полукруга, и высоту h (рис. 39). Найти отношение Ыг, если центр масс всей пластины совпадает с геометрическим центром полукруга (точкой С). Расстояние от центра масс полукруга С] до его геометрического центра С равно 4г/3л.
Однородный полушар массы тх, имеющий радиус г, выпуклой стороной лежит на горизонтальной плоскости. На край полушара положен небольшой груз массы тг. Под каким углом к горизонту наклонен ограничивающий полушар круг? Расстояние от центра масс полушара до геометрического центра равно Зг/8.
Найти положение центра масс однород- ного диска радиуса R, из которого вырезано от-^Х.
верстие радиуса г < R/2 (рис. 40). Центр выреза /X r находится на расстоянии R/2 от центра диска. [ X. ( LA \
Три человека несут однородную метал- \Х.^/
лическую плиту, имеющую форму равнобед- \|*—*Г /
ренного треугольника с основанием а = 0,6 м и Х^ высотой h = 1,25 м. Толщина плиты d = 4 см, плотность материала плиты р = 3,6-103 кг/м3. Рис. 40 Какую силу давления испытывает каждый человек, если все несущие держат плиту за вершины треугольника?
Рис. 41Рис. 41Три человека несут однородную плиту массы тх = 70 кг, имеющую форму равностороннего треугольника со стороной а = 2 м. Двое держат плиту за одну из вершин, а третий - за противоположное основание. На каком расстоянии / от этой вершины закреплен на плите сосредоточенный груз массы т2 = Ю0 кг, если сила давления распределена поровну между всеми несущими?
Рис. 41
Рис. 41
Рис. 42
На двух вертикально расположенных пружинах одинаковой длины горизонтально подвешен стержень. Жесткости пружин кх = 0,02 Н/м и к2 = 0,03 Н/м, расстояние между ними d = 1 м.
В каком месте стержня нужно подвесить груз, чтобы стержень остался в горизонтальном положении? Массой стержня пренебречь.
Верхний конец стального стержня длины / = 1 м и радиуса г = 0,5 см закреплен (рис. 41). Модуль Юнга стали Е = 196 ГПа. Найти удлинение Д/ стержня, если к его середине и нижнему концу с помощью специального подвеса прикрепить грузы массы т = = 400 кг каждый. Массой стержня пренебречь.
Кронштейн, укрепленный на вертикальной стене, имеет конструкцию, изображенную на рис. 42. Треугольник Л CS - равнобедренный, с основанием АВ, расположенным горизонтально, и высотой h. Стержни AD иВО длины I каждый шарнирно прикреплены к стене. Канат CD также имеет длину I. Найти силу натяжения Т каната CD и силы N, сжимающие стержни AD и BD, если в точке D подвешен груз массы т. Массами стержней и каната пренебречь.
§ 7. Закон сохранения энергии
При решении задач данного параграфа используется закон сохранения энергии. Разность между конечным (Е2) и начальным (Е0 значениями энергии системы равна работе внешних сил:
Ег-Ех = А.
Для двух тел полная энергия равна сумме кинетических энергий тел и потенциальной энергии их взаимодействия:
22
Е = —^-Е++ U.
22
В задачах обычно встречается только одна частная форма потенциальной энергии - энергии взаимодействия с Землей тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h; U = mgh. Изменение потенциальной энергии не зависит от формы пути, по которому движется тело, и определяется разностью высот.
■ Так как при падении тела изменением кинетической энергии Земли можно пренебречь, то закон сохранения энергии можно написать в виде
тих2тих2+ mghx+ mghxmv22mv22+ mgh2 = const.+ mgh2 = const.
тих
2
тих
2
+ mghx
+ mghx
mv2
2
mv2
2
+ mgh2 = const.
+ mgh2 = const.
Работа силы F при поступательном перемещении тела, к которому она приложена, на прямолинейном отрезке длины s выражается формулой А = Fs cos а, где а — угол между направлениями силы F и отрезка s. При а < л/2 работа положительна, при а > л/2 работа отрицательна.
Следует иметь в виду, что механическая энергия в замкнутой системе не сохраняется, если внутри системы действуют силы сопротивления (или
трения), зависящие от скорости. Работа сил сопротивления должна поэтому всегда рассматриваться как работа внешних сил. При наличии сопротивления для незамкнутой системы
£2 — £] = А + ^сопр>
где А - работа внешних сил, Лсопр - работа сил сопротивления, действующих внутри системы. Механическая энергия не сохраняется также при неупругом соударении. Здесь для нахождения скоростей после соударения следует пользоваться законом сохранения импульса.
Если работа совершается за время t, то средняя мощность
Fscos а
W =,
г
где s/Z — средняя скорость. Мгновенная мощность
W = Fv cos а,
где и - мгновенная скорость.
Летящая с некоторой скоростью пуля попадает в мешок с песком и входит в него на глубину 1Х = 15 см. На какую глубину /2 войдет в песок пуля той же массы, если скорость ее движения будет вдвое больше? Считать силу сопротивления движению пули в песке постоянной.
Пуля массы т = 10 г подлетает к доске толщины d = 4 см со скоростью ц> = 600 м/с и, пробив доску, вылетает из нее со скоростью и = 400 м/с. Найти среднюю силу F сопротивления доски.
Пуля массы т летит со скоростью и0 и пробивает тяжелую доску толщины d, движущуюся навстречу пуле со скоростью и. С какой скоростью и вылетит пуля из доски? Считать силу сопротивления F движению пули в доске постоянной. Скорость доски заметно не изменяется.
В тело массы тх = 990 г, лежащее на горизонтальной поверхности, попадает пуля массы т2 = 10 г и застревает в нем. Скорость пули и = 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь s пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью к = 0,05.
Сила F = 0,5 Н действует на тело массы т = 10 кг в течение времени t = 2 с. Найти конечную кинетическую энергию тела К, если начальная кинетическая энергия равна нулю.
Поезд массы т = 1500 т движется со скоростью и = 57,6 км/ч и при торможении останавливается, пройдя путь 5 = 200 м. Какова сила торможения F? Как должна измениться сила торможения, чтобы поезд остановился, пройдя в два раза меньший путь?
Какую работу совершил мальчик, стоящий на гладком льду, сообщив санкам скорость v = 4 м/с относительно льда, если масса санок т = 4 кг, а масса мальчика М = 20 кг?
Найти мощность W, развиваемую пороховыми газами при выстреле из винтовки, если длина ствола / = 1 м, масса пули т = 10 г, а скорость пули при вылете и = 400 м/с. Массой газов, сопротивлением движению пули и отдачей винтовки пренебречь. Считать силу давления газов постоянной в течение всего времени движения пули в стволе.
Два автомобиля с одинаковыми массами одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Во сколько раз мощность первого автомобиля больше мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль достигает вдвое большей скорости, чем второй?
Автомобиль массы т = 1 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь s = 20 м за время t = 2 с. Какую мощность W должен развить мотор этого автомобиля?
Моторы электровоза при движении со скоростью и = = 72 км/ч потребляют мощность W = 800 кВт. КПД силовой установки электровоза Т| = 0,8. Найти силу тяги F моторов.
Какой максимальный подъем может преодолеть тепловоз, развивающий мощность W = 370 кВт, перемещая состав массы т = 2000 т со скоростью и = 7,2 км/ч? Считать угол наклона а полотна железной дороги к горизонту малым, а силу сопротивления движению равной kmg, где к = 0,002.
Мощность гидростанции W = 73,5 МВт. Найти объемный расход воды V,, если КПД станции Т| = 0,75 и плотина поднимает уровень воды на высоту h = 10 м.
Подъемный кран за время t = 7 ч поднимает массу строительных материалов т = 3000 т на высоту h =10 м. Какова мощность W двигателя крана, если КПД крана Т| = 0,6.
Трактор массы т = 10 т, развивающий мощность W = = 150 кВт, поднимается в гору со скоростью v = 5 м/с. Найти угол наклона а горы к горизонту.
Транспортер поднимает массу песка т = 200 кг на автомашину за время t = 1 с. Длина ленты транспортера / = 3 м, угол
наклона ее к горизонту а = 30°. КПД транспортера Т| = 0,85. Найти мощность W, развиваемую его электродвигателем.
Шарик прикреплен к концу невесомой жесткой спицы, имеющей длину I = 10 см. Второй конец спицы закреплен так, что спица с шариком может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Какую минимальную скорость и в горизонтальном направлении нужно сообщить шарику, чтобы спица сделала полный оборот? В начальный момент спица вертикальна и шарик расположен внизу.
Тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити, имеющей длину /, отклоняют от вертикали на угол а и затем отпускают. Какую максимальную скорость и приобретет шарик?
Тело брошено под углом к горизонту со скоростью и0. Используя закон сохранения энергии, найти скорость тела и на высоте h над горизонтом.
Камень массы т = 300 г брошен с башни горизонтально с некоторой скоростью. Спустя время t = 1 с скорость камня составила с горизонтом угол а = 30°. Найти кинетическую энергию К камня в этот момент.
Камень массы т = 5 кг упал с некоторой высоты. Найти кинетическую энергию К камня в средней точке его пути, если он падал в течение времени t = 2 с.
Какой кинетической энергией К обладает тело массы т = 1 кг, падающее без начальной скорости, спустя время t = 5 с после начала падения?
Пуля, вылетевшая из винтовки вертикально вверх со скоростью ии = 1000 м/с, упала на землю со скоростью и = 50 м/с. Какая работа А была совершена силой сопротивления воздуха, если масса пули т = 10 г?
Пуля массы т = 0,3 г, выпущенная из пневматической винтовки вертикально вверх, упала на землю спустя время t = 11 с. Каково среднее давление воздуха на пулю внутри ствола, если его длина / = 45 см, а диаметр d = 4,5 мм?
Тело брошено вертикально вверх со скоростью и = 49 м/с. На какой высоте h его кинетическая энергия К будет равна потенциальной энергии 17?
К телу массы т = 4 кг приложена направленная вертикально вверх сила F = 49 Н. Найти кинетическую энергию К тела в момент, когда оно окажется на высоте h = 10 м над землей. В начальный момент тело покоилось на поверхности земли.
Тело, брошенное с высоты Н = 250 м вертикально вниз со скоростью v = 20 м/с, погрузилось в грунт на глубину h = 20 см. Найти силу сопротивления F грунта, если масса тела т = 2 кг.
Для забивки сваи груз массы т = 200 кг поднимают со скоростью и = 5 м/с, а затем отпускают на высоте Н = 10 м, после чего он движется свободно до удара о сваю. Масса сваи М = 300 кг. Сила сопротивления грунта движению сваи F = 20 кН. Какова энергия груза Е в момент его удара о сваю? На какую глубину h опускается свая после каждого удара? С какой максимальной частотой п можно производить удары? Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Самолет массы т = 5 т двигался горизонтально со скоростью Vj = 360 км/ч. Затем он поднялся на высоту h = 2 км. При этом его скорость стала у2 = 200 км/ч. Найти работу Д, затра
ченную мотором на подъем самолета.
Пуля массы т = 20 г, выпущенная под углом а к горизонту, в верхней точке траектории имеет кинетическую энергию К = = 88,2 Дж. Найти угол а, если начальная скорость пули и = 600 м/с.
Человек массы М прыгает под углом а к горизонту со скоростью Ц). В верхней точке траектории он бросает со скоростью и вертикально вниз груз массы т. На какую общую высоту h подпрыгнул человек?
Брошенное вертикально вверх тело массы т. = 200 г упало на землю спустя время t= 1,44 с. Найти кинетическую энергию тела К в момент падения на землю и потенциальную энергию U в верхней точке траектории.
Мяч падает с высоты h = 7,5 м на гладкий пол. Какую ско
рость и нужно сообщить мячу, чтобы после двух ударов о пол он
поднялся до первоначальной высоты, если при каждом ударе мяч теряет 40 % энергии?
Конькобежец, разогнавшись до скорости и, въезжает на
ледяную горку. На какую высоту h от начального уровня он поднимается, если горка составляет угол а с горизонтом? Коэффициент тре-
рис 43 ния между коньками и льдом равен к. •
Санки съезжают с горы, имеющей высоту h и угол наклона к горизонту а, и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 43). Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен к.
Найти расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку, до полной остановки.
Кирпич с размерами / х 2/ X 4/ кладут на горизонтальную плоскость поочередно в трех различных положениях. Как меняется потенциальная энергия кирпича при изменении его положения?
Какую работу А нужно совершить, чтобы поднять грунт на поверхность земли при рытье колодца, имеющего глубину h = Юми поперечное сечение S = 2 м2? Средняя плотность грунта р = 2 • 103 кг/м3. Считать, что вынимаемый грунт рассыпается тонким слоем по поверхности земли.
Однородная цепочка длины / лежит на гладком столе. Небольшая часть цепочки свешивается со стола. В начальный момент времени лежащий на столе конец цепочки придерживают, а затем отпускают, и цепочка начинает под действием силы тяжести соскальзывать со стола. Найти скорость движения цепочки в тот момент, когда длина свешивающейся части х < //2.
Колодец, имеющий глубину h и площадь дна S, наполовину заполнен водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через цилиндрическую трубу радиуса R. Какую работу А совершит насос, если он выкачает всю воду из колодца за время fl
Свинцовый шар массы т = 500 г, движущийся со скоростью у = 10 м/с, соударяется с неподвижным шаром из воска, имеющим массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найти кинетическую энергию К шаров после соударения.
Пластмассовый шар массы М лежит на подставке с отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массы т и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту Н. На какую высоту h над подставкой поднимется пробившая шар пуля, если перед попаданием в шар она имела СКОрОСТЬ Ц)?
Четыре одинаковых тела массы т = 20 г каждое расположены на одной прямой на некотором расстоянии друг от друга. С крайним телом соударяется такое же тело, имеющее скорость и = 10 м/с и движущееся вдоль прямой, на которой расположены тела. Найти кинетическую энергию К системы после соударений, считая соударения тел абсолютно неупругими.
На горизонтальной плоскости стоят два связанных нитью одинаковых бруска, между которыми расположена сжатая пружина, не скрепленная с брусками. Нить пережигают, и бруски расталкиваются в разные стороны так, что расстояние между ними
возрастает на величину А/. Найти потенциальную энергию U сжатой пружины, если масса каждого бруска равна т. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен к.
Происходит центральное соударение двух абсолютно упругих шаров, имеющих массы т} и т2 и скорости щ и и2. Найти скорости шаров после соударения.
Брусок лежит на дне ящика у стенки А (рис. 44). Ящик в результате кратковременного внешнего воздействия на противоположную стенку В начал двигаться горизонтально со скоростью и. Расстояние между стенками А и В равно /. Длина бруска мала по сравнению с /. Массы ящика и бруска одинаковы. Через какое время t брусок вновь коснется стенки А? Считать соударение бруска со стенкой В абсолютно упругим.
Клин массы М находится на идеально гладкой горизонтальной плоскости. На клине лежит брусок массы т, который под действием силы тяжести может скользить по клину без трения. Наклонная плоскость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости (рис. 45). В начальный момент система покоилась. Найти скорость и клина в тот момент, когда брусок с высоты /г соскользнет на плоскость.
Пять одинаковых шаров, центры которых лежат на одной прямой, находятся на небольшом расстоянии друг от друга. С край-
бним шаром соударяется такой же шар,
() имеющий скорость и = 10 м/с и дви-
( о—а— >жущийся вдоль прямой, соединяющей х—/Г А центры шаров. Найти скорость послед-
СХ_/него шара, считая соударения шаров абсо-
Рис. 46лютно упругими. .
Идеально гладкий шар А, движущийся со скоростью и0, одновременно соударяется с двумя такими же, соприкасающимися между собой шарами В и С (рис. 46). Найти
скорости шаров после соударения, считая соударения шаров абсо
лютно упругими.
Два идеально гладких шара радиуса г лежат, соприкасаясь друг с другом, на идеально гладкой горизонтальной плоскости. Третий такой же шар радиуса 2г, движущийся со скоростью и0
по той же плоскости, соударяется одновременно с двумя шарами
(рис. 47). Найти скорость большого шара после соударения, считая соударения шаров абсолютно упругими.
Под каким углом а разлетаются после абсолютно упругого соударения
два одинаковых идеально гладких шара, если до соударения один из них покоился, а другой летел со скоростью и0, направленной под углом а * 0 к прямой, соединяющей их центры в момент соударения?
Два абсолютно упругих шара летят навстречу друг другу. Кинетическая энергия первого шара в к1 раз больше, чем второго (.к = 4/3). При каком отношении vjvx скоростей до удара шары после удара будут двигаться в ту же сторону, что и первый шар до удара, если масса первого шара тх больше массы второго шара т2?
Два абсолютно упругих шарика с массами тх = 100 г и т2 = 300 г подвешены на одинаковых нитях длины / = 50 см каждая
(рис. 48). Первый шарик отклоняют от положения у////////////, равновесия на угол а = 90° и отпускают. На какую высоту поднимется второй шарик после соударения?
Шарик бросают из точки А вертикально вверх
с начальной скоростью и0. Когда он достигает пре-/
дельной высоты подъема, из точки А по тому же направлению с той же начальной скоростью v0 бросают другой такой же шарик. Через некоторое время miO(_J)m2 шарики встречаются и происходит абсолютно упру-
тт“Рис. 48
гое соударение. На какой высоте соударяются ша
рики? На какую высоту после соударения поднимется первый шарик?
Снаряд при вертикальном выстреле достиг высшей точки полета h = 3000 м и разорвался на два осколка с массами тх = 3 кг и т2 = 2 кг. Осколки продолжают лететь по вертикали - первый вниз, второй вверх. Найти скорости осколков их и и2 через время г = 2 с после взрыва, если их полная энергия в момент взрыва Е = 247 кДж.
§ 8. Динамика вращательного движения
При решении задач на динамику вращательного движения следует поступать таким же образом, как и при решении задач на динамику прямолинейного движения. Прежде всего нужно выяснить, какие силы действуют на движущиеся тела, и изобразить эти силы на чертеже. Затем следует записать уравнения движения.
При равноускоренном вращении тела по окружности центростремительное ускорение ап = iF/R = со2/? в сумме с касательным ускорением а, дает полное ускорение тела. При равномерном вращении ускорение av характеризующее изменение скорости по модулю, равно нулю и полное ускорение определяется только центростремительным ускорением: а = = о2//? = СО2/?.
Согласно второму закону Ньютона
nw2/R = LFj,
где T.F,- сумма проекций сил на направление радиуса. Если проекция силы направлена к центру, ее нужно считать положительной, если от центра - отрицательной. Эту сумму проекций сил часто называют центростремительной силой. Однако следует иметь в виду, что нет особых центростремительных сил специфической природы, а есть сумма проекций тех сил, которые вообще рассматриваются в механике и о которых кратко говорилось во введении к § 4.
Шарик массы М подвешен на нити, имеющей длину I. Шарик отклоняют от положения равновесия на угол Оо = 90° и отпускают без толчка. В тот момент, когда шарик проходит положение равновесия, на него садится муха массы т, летевшая горизонтально навстречу шарику со скоростью и. На какой угол а отклонится после этого шарик?
На горизонтально вращающейся платформе на расстоянии R = 50 см от оси вращения лежит груз. При какой частоте п вращения платформы груз начнет скользить? Коэффициент трения между грузом и платформой к = 0,05.
На краю горизонтально вращающейся платформы радиуса /? = 1 м лежит груз. В какой момент времени / после начала вращения платформы груз соскользнет с нее, если ее вращение равноускоренное и в момент времени /0 = 2 мин она имеет угловую скорость со = 1,4 рад/с? Коэффициент трения между грузом и платформой к = 0,05.
Каков должен быть минимальный коэффициент трения к между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти без проскальзывания закругление радиуса R = 100 м при скорости и = 50 км/ч?
Тело массы т = 200 г равномерно вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 0,5 м с частотой «! = 3 об/с. Какую работу А нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения до «2 = 5 об/с?
Барабан сушильной машины, имеющий диаметр D = = 1,96 м, вращается с угловой скоростью со = 20 рад/с. Во сколько раз сила F, прижимающая ткань к стенке, больше силы тяжести mg, действующей на ткань?
Самолет делает петлю Нестерова (“мертвую петлю”), имеющую радиус R = 255 м. Какую минимальную скорость и должен иметь самолет в верхней точке петли, чтобы летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут к пилотскому креслу?
С каким максимальным периодом т можно равномерно вращать в вертикальной плоскости шарик, привязанный к нити, имеющей длину I = 2,45 м?
Невесомый стержень равномерно вращается в горизонтальной плоскости с частотой п. На расстояниях /| и /2 от оси вращения закреплены грузы с массами тА и т^. Какая горизонтальная сила F действует на ось вращения, если ось находится между грузами?
Автомобиль массы пг = 1000 кг движется со скоростью v = 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R = 50 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в его середине? С какой минимальной скоростью ит|П должен двигаться автомобиль для того, чтобы в верхней точке он перестал оказывать давление на мост?
Автомобиль массы т = 2000 кг движется со скоростью v = 36 км/ч по вогнутому мосту, имеющему радиус кривизны R = 100 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в его
середине?
Автомобиль массы т движется со скоростью и по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны R. С какой силой F давит автомобиль на мост в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на его середину угол а (рис. 49)? .
Через реку ширины d = 100 м пере
брошен выпуклый мост в форме дуги окружности. Верхняя точка моста поднимается над берегом на высоту h = 10 м. Мост может
выдержать максимальную силу давления F = 44,1 кН. При какой скорости грузовик массы т = 5000 кг может переехать через мост?
Невесомый стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через точку О (рис. 50). На стержне с одной стороны от оси
укреплены одинаковые по массе грузы на расстояниях / и //2 от точки О. С другой стороны на стержне укреплен груз удвоенной массы на расстоянии //2 от оси. В
начальный момент стержень был расположен горизонтально, а затем отпущен без толчка. Найти
скорость и среднего груза в момент прохождения стержнем поло
жения равновесия.
Человек массы т = 70 кг сидит на середине трапеции. Палка трапеции подвешена на веревках длины / = 8 м. При качании человек проходит положение равновесия со скоростью и = 6 м/с. Какова сила натяжения Т каждой веревки в этот момент?
Шарик массы т, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия на угол а = 90° и отпускают. Какова максимальная сила натяжения Т нити?
Грузик массы т = 20 г, прикрепленный к концу невесомого стержня, имеющего длину / = 40 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг другого конца с частотой п = = 10 об/с. Найти силы натяжения 7^ и Т2 стержня в моменты прохождения грузиком верхней и нижней точек траектории.
Небольшое тело массы т вращается в вертикальной плоскости на невесомой штанге. Найти разность сил натяжения штанги в случае, если: а) скорость вращения постоянна; б) изменение
скорости вращения вызывается силой тяжести.скорости вращения вызывается силой тяжести.
скорости вращения вызывается силой тяжести.
скорости вращения вызывается силой тяжести.
Шарик массы т подвешен на нити, выдерживающей силу натяжения Т = T-mg. На какой угол а от вертикали нужно отклонить шарик, чтобы он оборвал нить, проходя через положение равновесия.
Шарик массы т подвешен на нити, имеющей длину /. В точке А, отстоящей от подвеса на расстоянии а по вертикали, вбит гвоздь (рис. 51). Известно, что нить обрывается при силе натяжения Т > mg. На какой минимальный угол а от
вертикали нужно отклонить груз, чтобы при дальнейшем свободном движении к положению равновесия нить оборвалась, зацепившись за гвоздь? -
При каком отношении масс mjm2 два тела, связанные
нитью, могут вращаться с одинаковыми угловыми скоростями на
гладкой горизонтальной поверхности, если ось вращения делит нить в отношении 1 : 3?
По вертикально расположенному обручу радиуса R может без трения скользить колечко. Обруч вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Колечко находится в равновесии на высоте h от нижней точки обруча (рис. 52). Найти угловую скорость со вращения обруча.
На вертикальной оси укреплена горизонтальная штанга, по которой могут без трения перемещаться два груза с массами тх и тг, связанные нитью длины I. Система вра
щается с угловой скоростью со. На каких расстояниях от оси находятся грузы, будучи в положении равновесия? Какова при этом сила натяжения Т нити?
Мальчик массы т = 45 кг вращается на “гигантских шагах” с частотой и = 12 об/мин. Длина каната / = 5 м. Какова сила натяжения Тканата?
Камень, подвешенный к потолку на веревке, движется в горизонтальной плоскости по окружности, отстоящей от потолка на расстоянии h = 1,25 м. Найти период т обращения камня.
Шарик массы т, подвешенный на нити, имеющей длину /, вращается в горизонтальной плоскости. Какова должна быть сила натяжения Т нити, чтобы радиус R окружности, по которой движется шарик, мог достигнуть величины 2//V??
Шарик, подвешенный на нити, имеющей длину I, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Нить составляет с вертикалью угол а. Найти период т обращения шарика, если маятник находится в лифте, движущемся с постоянным ускорением а < g, направленным вниз.
Гирька массы т, привязанная к резиновому шнуру, вращается в горизонтальной плоскости с частотой п. Шнур составляет с вертикалью угол а. Найти длину нерастянутого шнура /0, если известно, что для растяжения его до длины I требуется сила F.
Какую скорость и должен иметь вагон, движущийся по закруглению радиуса R = 98 м, чтобы шар массы т = 10 кг, подвешенный на нити к потолку вагона, отклонился от вертикали на угол а = 45°? Какова при этом сила натяжения Т нити?
Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины полусферы радиуса R. На какой высоте h тело оторвется от поверхности полусферы?
Маленькое колечко массы т надето на большое проволочное кольцо радиуса R, расположенное в вертикальной плоскости. Колечко без начальной скорости начинает скользить вниз из верхней точки большого кольца. По какому закону изменяется сила давления F колечка на большое кольцо в зависимости от
высоты h, на которую опустится колечко? Трением пренебречь.
Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности,
переходящей в “мертвую петлю”, с высоты Но = 2/?, где R - радиус петли (рис. 53). На какой высоте h тело оторвется от поверхности петли? С какой высоты Н должно скатываться тело, для того чтобы отрыва не произошло?
Велосипедист при повороте по закруглению радиусаR наклоняется к центру
закругления так, что угол между плоскостью велосипеда и поверхностью земли равен а. Найти скорость и велосипедиста.
Полотно дороги на повороте радиуса R наклонено в сторону центра закругления и составляет угол а с горизонтом. По дороге едет велосипедист, скорость которого такова, что на повороте велосипед перпендикулярен к полотну дороги. С какой силой F велосипед давит на дорогу, если масса велосипедиста с велосипедом равна иг! Какова при этом скорость и велосипеда?
Конькобежец движется со скоростью и по окружности радиуса R. Под каким углом а к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?
§ 9. Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения в виде
где у = 6,6720 • 10-11 Н • м2/кг2 = 6,67 • 10-11 Н • м2/кг2 - гравитационная постоянная, непосредственно справедлив только для материальных точек,
т.е. для тел, геометрические размеры которых во много раз меньше расстояния ;• между ними. Если одно из тел имеет форму шара, радиус которого много больше размера другого тела, то этот закон также справедлив. Для двух тел сферической формы он справедлив при любых их размерах.
Гравитационная сила (сила тяжести) сообщает всем телам, свободно падающим у поверхности Земли, независимо от их массы одно и то же ускорение g = 9,80665 м/с2 = 9,81 м/с2. Это происходит вследствие того, что инертная масса тела, входящая в уравнение движения, и гравитационная масса в законе всемирного тяготения равны друг другу.
Не следует смешивать силу тяжести и вес тела. Под весом понимается сила, с которой тело давит на опору, или же сила, с которой оно растягивает подвес. Сила тяжести на Земле всюду, за исключением полюсов, не равна весу, так как тела участвуют во вращении Земли и, следовательно, движутся с ускорением. Поэтому, строго говоря, сила тяжести не уравновешивается силой реакции опоры, равной по модулю весу. Правда, разница между силой тяжести и весом очень мала из-за малой угловой скорости вращения Земли.
Найти силу притяжения F между Землей и Луной. Масса Земли т3 = 6 ■ 1024 кг, масса Луны тл = 7,3 • 1022 кг, среднее расстояние между их центрами г = 3,8 ■ 108 м.
Ускорение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли. Во сколько раз выше и дальше может прыгнуть человек на Луне, чем на Земле?
Вычислить первую космическую скорость и у поверхности Луны, если радиус Луны Кл = 1760 км, а ускорение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли. -
Ракета поднялась на высоту h = 990 км. На сколько уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету, на высоте h по сравнению с силой тяжести mg, действующей на нее, у поверхности Земли?
Радиус Луны Кл примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли R3, а масса Луны тл в 81 раз меньше массы Земли т3. Найти ускорение свободного падения ул у поверхности Луны.
Радиус Солнца Rc примерно в 110 раз больше радиуса Земли R3, а средняя плотность Солнца рс относится к средней плотности Земли р3, как 1 : 4. Найти ускорение свободного падения gc у поверхности Солнца.
Какую работу А нужно совершить, чтобы вывести спутник массы т = 500 кг на круговую орбиту, проходящую вблизи поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся на расстоянии г = 5 ■ 10й м друг от друга. Найти период Т обращения звезд вокруг общего центра масс, если масса каждой звезды т = 1,5 ■ 1034 кг.
Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса гс = 4,7 ■ 109 м со скоростью и = 104 м/с. Какова средняя плотность р планеты, если ее радиус R = 1,5 ■ 10х м?
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на расстоянии И от ее поверхности. Найти период Т обращения спутника, если радиус Земли R3 ^ h.
Какой период Т обращения имел бы искусственный спутник Земли, удаленный от ее поверхности на расстояние, равное радиусу Земли /?з?
Найти радиус гс круговой орбиты искусственного спутника Земли, имеющего период обращения Т = 1 сут.
Найти период Т обращения Луны вокруг Земли, если Луна движется по круговой орбите радиуса гп = 3,8 10х м.
Найти среднюю плотность р планеты, если на ее экваторе показание динамометра, к которому подвешено тело, на 10 % меньше, чем на полюсе. Продолжительность суток на планете т = б ч.
§ 10. Гидро- и аэромеханика
В задачах на гидро- и аэростатику встречается новый тип силы - выталкивающая сила Архимеда. В остальном эти задачи не отличаются от обычных статических задач. Следует иметь в виду, что сила Архимеда приложена к центру масс объема жидкости, вытесненной телом.
Особенностью жидкостей и газов как механических сред является подчинение их закону Паскаля. Давление на жидкость или газ передается одинаково во всех направлениях. Поэтому давление внутри жидкости на данной глубине будет постоянным.
При решении задач по гидро- и аэродинамике используются в основном законы сохранения импульса и энергии.
В наполненное до краев ведро опускают кусок льда. Часть воды, равная объему погруженной части льда, при этом выливается. Изменится ли давление на дно, когда лед растает?
В цилиндрическое ведро диаметра О = 25 см налита вода, занимающая объем V = 12 л. Каково давление р воды на стенку ведра на высоте h = 10 см от дна?
До какой высоты h нужно налить жидкость в цилиндрический сосуд радиуса R, чтобы сила F, с которой жидкость давит на боковую поверхность сосуда, была равна силе давления на дно?
Пробирку длины / = 10 см доверху заполняют водой и опускают открытым концом в стакан с водой. При этом почти вся пробирка находится над водой. Найти давление р воды на дно пробирки. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
Цилиндрический сосуд высоты h = 1 м заполняют маслом с плотностью р = 0,9 ■ 103 кг/м3 и погружают открытым концом в бассейн с водой (рис. 54). Найти давление масла в сосуде непосредственно у его дна в точке А, если известно, что нижний конец сосуда находится на
глубине Н = 3 м от поверхности воды в бассейне. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
В U-образную трубку наливают ртуть. Затем в одно из колен трубки наливают масло, а в другое воду. Границы раздела ртути с маслом и водой в обоих коленах находятся на одном уровне. Найти высоту столба воды /г0, если высота столба масла h = = 20 см, а его плотность р = 0,9 ■ 103 кг/м3.
В два цилиндрических сообщающихся сосуда наливают ртуть. Сечение одного из сосудов вдвое больше другого. Широкий сосуд доливают водой до края. На какую высоту h поднимется при этом уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути был на расстоянии / от верхнего края широкого сосуда. Плотности ртути и воды р и р0 известны.
В U-образную трубку с сечением S налита ртуть, занимающая объем V. Затем в одно из колен трубки налили воду и опустили железный шарик массы т. На какую высоту h поднялся уровень ртути в другом колене? Плотности ртути и воды р и р0 известны.
Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на высоту h = 0,2 м, а большой поршень поднимается на
высоту Н = 0,01 м. С какой силой F действует пресс на зажатое в нем тело, если на малый поршень действует сила/= 500 Н?
При подъеме груза, имеющего массу m = 2 т, с помощью гидравлического пресса была затрачена работа А = 40 Дж. При этом малый поршень сделал п = 10 ходов, перемещаясь за один ход на высоту h = 10 см. Во сколько раз площадь S большого поршня больше площади s малого?
В цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества воды и ртути. Общая высота столба жидкостей в сосуде Н = 143 см. Найти давление р на дно сосуда. Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
Льдина равномерной толщины плавает, выступая над уровнем воды на высоту h = 2 см. Найти массу льдины, если площадь ее основания S = 200 см2. Плотность льда р = 0,9 • 103 кг/м3.
Каким может быть наибольший объем V, льдины, плавающей в воде, если алюминиевый брусок объема V2 = 0,1 м3, примерзший к льдине, заставляет ее утонуть? Плотности льда и алюминия р, = 0,9 • 103 кг/м3 и р2 = 2,7 • 103 кг/м3.
Кусок льда массы т = 1,9 кг плавает в цилиндрическом сосуде, наполненном жидкостью с плотностью р = 0,95 • 103 кг/м3. Площадь дна сосуда S = 40 см2. На сколько изменится уровень жидкости, когда лед растает?
Полый шар, сделанный из материала с плотностью рн плавает на поверхности жидкости, имеющей плотность р2. Радиусы шара и полости равны R и г. Какова должна быть плотность вещества р, которым следует заполнить полость шара, чтобы он плавал внутри жидкости?
Бревно, имеющее длину I = 3,5 м и диаметр О = 30 см, плавает в воде. Какова масса т человека, который может стоять на бревне, не замочив ноги? Плотность дерева р = 0,7 • 103 кг/м3.
Кипа хлопка, находясь в воздухе, растягивает пружину динамометра с силой Ре = 1470 Н. С какой силой Р будет растягивать пружину та же кипа, находясь в вакууме? Плотности хлопка в кипе и воздуха р = 0,8 • 103 кг/м3 и р„ =1,2 кг/м3.
Найти плотность р однородного тела, действующего на неподвижную опору в воздухе с силой Р„ = 2,8 Н, а в воде - с силой Ро = 1,69 Н. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Для определения плотности неизвестной жидкости однородное тело подвесили на динамометре в этой жидкости, а затем в вакууме и в воде. Оказалось, что тело, находясь в жидкости, растя-
гивает пружину динамометра с силой Рж = 1,66 Н, в вакууме - с силой Р = 1,8 Н, в воде - с силой Ро = 1,6 Н. Найти плотности жидкости и тела рж и р. .
Из водоема медленно с постоянной скоростью вытаскивают алюминиевый цилиндр, имеющий длину I = 2,3 м и площадь поперечного сечения S = 100 см2. Когда над поверхностью оказалась 1/4 часть длины цилиндра, веревка оборвалась. Найти максимальную силу натяжения Т, которую выдерживает веревка. Плотность алюминия р = 2,7 • 103 кг/м3.
Полый шарик из алюминия, находясь в воде, растягивает пружину динамометра с силой Ро = 0,24 Н, а в бензине - с силой Рб = 0,33 Н. Найти объем V полости. Плотности алюминия и бензина р = 2,7 • 103 кг/м3 и рб = 0,7 • 103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь. ■
При взвешивании в воздухе тело объема V = 1000 см3 было уравновешено медными гирями массы тм = 880 г. Какова масса уравновешивающих гирь при взвешивании этого тела в вакууме? Плотности меди и воздуха рм = 8,8 • 103 кг/м3 и р = 1,2 кг/м3.
Слиток сплава золота и серебра в воздухе растягивает пружину динамометра с силой Р = 14,7 Н, а в воде - с силой на ^P = 1,274 Н меньше. Найти массы золота тх и серебра тг в слитке, считая, что при сплавлении их первоначальный объем не изменился. Плотности золота и серебра р1 = 19,3 • 103 кг/м3 и р2 = 10,5 • 103 кг/м3.
Два однородных тела из одного и того же материала подвешены к противоположным концам рычага и уравновешивают друг друга в вакууме. Сохранится ли это равновесие в воздухе?
Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена за верхний конец. Нижний конец палочки погружен в воду. При равновесии под водой находится к = 1/5 часть длины палочки. Найти плотность вещества палочки.
К концу однородной палочки, имеющей массу т = 4 г, подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса г = 0,5 см. Палочку кладут на край стакана с водой, добиваясь равновесия при погружении в воду половины шарика. В каком отношении делится палочка точкой опоры? Плотность алюминия р = 2,7 • 103 кг/м3.
Однородный куб плавает в воде, причем 3/4 его объема погружены в воду. Если с помощью тонкой нити прикрепить центр верхней грани куба к плечу рычага длины /т = 8 см и уравновесить
его гирей массы т = 30 г, прикрепленной к другому плечу рычага длины /2 = 4 см, то куб будет погружен в воду только на 2/3 своего объема. Найти длину I ребра куба.
В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на высоту I = 2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробочка утонет? Плотность железа р = 7,8 - 103 кг/м3.
Однородный куб плавает в ртути, причем 1/5 часть его объема погружена в ртуть. Если на этот куб положить второй куб такого же размера, то первый куб погрузится в ртуть на 1/2 часть своего объема. Какова плотность материала второго куба рк? Будет ли система плавающих кубов в устойчивом равновесии? Плотность ртути р = 13,6 ■ 103 кг/м3.
В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с различными плотностями. На границе раздела жидкостей плавает однородный куб, погруженный целиком в жидкость. Плотность материала куба р больше плотности р! верхней жидкости, но меньше плотности р2 нижней жидкости: р! < р < р2. Какая часть объема куба находится в верхней жидкости?
Плавающий куб погружен в ртуть на 1/4 своего объема. Какая часть объема куба будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой воды, полностью закрывающий куб? Плотность ртути р = 13,6 ■ 103 кг/м3. ■
Пузырек газа поднимается со дна озера с постоянной скоростью. Найти силу сопротивления воды /, если объем пузырька V = 1 см3. .
Груз, прикрепленный к двум одинаковым воздушным шарам, поднимается с постоянной скоростью. Плотности воздуха и газа в шарах равны р и рг. Каким будет ускорение груза а, если один из шаров лопнет? Массой оболочек шаров и сопротивлением воздуха пренебречь.
Два аэростата поднимают вверх одинаковые грузы. Первый движется с ускорением а = g/2, а второй - с постоянной скоростью. Плотности газа рг в аэростатах одинаковы и равны половине плотности воздуха р. Объем первого аэростата равен Vp Найти объем V2 второго аэростата. Считать массы оболочек одинаковыми. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Какую работу А нужно совершить при медленном подъеме камня, имеющего объем V = 0,5 м3, из воды с глубины А = 1 м? Плотность камня р = 2,5 • 103 кг/м3. .
Стеклянный шарик массы т = 100 г, находящийся у поверхности глицерина, погружают на глубину h = 1 м. Найти изменение \U потенциальной энергии шарика. Плотности глицерина и стекла Р] = 1,2 • 103 кг/м3 и р2 = 2,4 • 103 кг/м3.
Мяч массы т = 0,5 кг и диаметра d = 24 см погружают в воду на глубину /2 = 4 м. Найти изменение ЛИ потенциальной энергии мяча. Деформацией мяча пренебречь.
С какой высоты h должно падать тело, имеющее плотность р = 0,4 • 103 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду на глубину Н = 6 см? Сопротивлением воды и воздуха пренебречь.
Сосуд с водой движется поступательно вдоль горизонтальной прямой с ускорением а. Под каким углом а к горизонту будет располагаться поверхность воды?
В бак равномерной струей в единицу времени поступает объем воды V, = 2 дм3/с. На каком уровне h будет держаться вода в баке?
Направленная горизонтально струя воды бьет в вертикальную стенку. С какой силой струя давит на стенку, если скорость истечения воды v = 10 м/с и вода поступает через трубку, имеющую сечение 5 = 4 см2? Считать, что после удара вода стекает вдоль стенки.
С катера, идущего со скоростью v = 18 км/ч, опускают в воду изогнутую под прямым углом трубку так, что опущенный конец трубки горизонтален и обращен отверстием в сторону движения. Другой конец трубки, находящийся в воздухе, вертикален. На какую высоту h по отношению к уровню воды в озере поднимется вода в трубке? Трением пренебречь.
Какова примерно скорость катера и, если вода поднимается при движении вдоль его носовой вертикальной части на высоту h = 1 м?
На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отверстие площади S. Какую силу нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна /г?
На поршень шприца площади 5 действует сила F. С какой скоростью и должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия площади s? Плотность жидкости равна р.
§11. Колебания и волны
Период колебаний математического маятника, т.е. тела, геометрические размеры которого намного меньше длины нити, на которой оно подвешено, а масса намного больше массы нити подвеса, вычисляется по формуле
Т = ТлЦщ.
Особое внимание следует обратить на задачи 355-357 и 371. Они сложны для понимания, и в школе обычно не рассматриваются.
В условиях задач могут быть даны различные значения скорости звука в воздухе, так как эта скорость зависит от температуры.
Один из маятников за некоторое время совершил гц = 10 колебаний. Другой за то же время совершил п2 = 6 колебаний. Разность длин маятников А/ = 16 см. Найти длины маятни
ков /] и /2.
Маятник представляет собой упругий шарик, прикрепленный к концу нити, имеющей длину /. При колебаниях шарик сталкивается с упругой массивной стенкой в моменты, когда нить зани
мает вертикальное положение. Найти период Т колебаний маят
ника. Длительностью столкновения пренебречь.
Математический маятник длины / совершает колебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса маятника, на расстоянии а = //2 от нее, в стенку вбит гвоздь (рис. 55). Найти период Г колебаний маятника.
Два одинаковых упругих шарика подвешены на нитях, имеющих длины /] = 1 м и /2 = 0,25 м, так, что центры масс шариков находятся на одном уровне и шарики соприкасаются друг с другом. Нить второго шарика отклоняют на небольшой угол и отпускают.
Сколько раз столкнутся шарики за время Az = 4 с, прошедшее с начала движения второго шарика?
При температуре 6] = 20 °C период колебаний маятника Г] = 2 с. Как изменится период колебаний, если температура возрастет до 02 = 30 °C? Коэффициент линейного расширения материала маятника а = 1,85 • 10~5 К-1. -
Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Луну?
Часы с секундным маятником, имеющие период колебаний То = 1 с, на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту h = 200 м над поверхностью Земли?
Найти потенциальную энергию U математического маятника массы т = 200 г в положении, соответствующем углу отклонения нити от вертикали а = 10°, если частота колебаний маятника v = 0,5 с-1. Считать потенциальную энергию маятника в положении равновесия равной нулю.
С каким ускорением а и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный маятник за время t = 2 мин 30 с совершил п = 100 колебаний? '
Математический маятник длины I подвешен в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением а. Найти период колебаний этого маятника.
Кубик совершает малые колебания в вертикальной плоскости, двигаясь без трения по внутренней поверхности сферической чаши. Найти период колебаний кубика, если чаша опускается вниз с ускорением а = ^/3. Считать, что внутренний радиус чаши R много больше ребра кубика.
Эхо, вызванное ружейным выстрелом, дошло до стрелка через время t = 4 с после выстрела. На каком расстоянии s от стрелка находится преграда, от которой произошло отражение звука? Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
На расстоянии s = 1068 м от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на время Аг = 3 с раньше, чем он дошел до него по воздуху. Найти скорость звука и в стали. Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты h = 680 м. Выстрел произведен вертикально вверх. Какова начальная скорость пули? Скорость звука в воздухе и = 340 м/с. Сопротивлением движению пули пренебречь.
Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты v = 50 Гц, распространяющийся со скоростью и = 340 м/с. При этом на расстоянии от А до В укладывалось целое число волн. Опыт повторили, когда температура была на АО = 20 К выше, чем в
первом случае. При этом число волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось на два. Найти расстояние / между пунктами А и В, если при повышении температуры на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с.
Найти скорость звука и в воде, если колебания с периодом Т = 0,005 с вызывают звуковую волну длины X = 7,175 м.
Найти частоту v звуковых колебаний в стали, если расстояние между ближайшими точками звуковой волны, отличающимися по фазе на (р = 90°, составляет / = 1,54 м. Скорость звука в стали и = 5000 м/с.
Найти разность фаз <р между двумя точками звуковой волны, отстоящими друг от друга на расстоянии / = 25 см, если частота колебаний v = 680 Гц. Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
Узлы стоячей волны, создаваемой камертоном в воздухе, отстоят друг от друга на расстоянии / = 40 см. Найти частоту v колебаний камертона. Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
Звуковые колебания частоты v имеют в первой среде длину волны Хь а во второй - длину волны Х2. Как изменяется скорость распространения этих колебаний при переходе из первой среды во вторую, если X] = 2Х2?
Звуковые колебания распространяются в воде со скоростью их = 1480 м/с, а в воздухе - со скоростью и2 = 340 м/с. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду?
Камертон один раз зажат в тисках, а другой раз стоит на резонаторном ящике. В обоих случаях камертон возбуждается одинаковыми по силе ударами. В каком случае камертон будет звучать дольше?
К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который постепенно наливают воду, поднесен звучащий камертон. Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояния от поверхности жидкости до верхнего конца сосуда достигают значений hx = 25 см и /z2 = 75 см. Найти частоту колебаний v камертона. Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
Труба длины / = 1 м заполнена воздухом при нормальном атмосферном давлении. Один раз труба открыта с одного конца, другой раз - с обоих концов и в третий раз закрыта с обоих концов. При каких минимальных частотах в трубе будут возникать стоячие звуковые волны в указанных случаях? Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
Движущийся по реке теплоход дает звуковой сигнал частоты v = 400 Гц. Стоящий на берегу наблюдатель воспринимает звук свистка как колебания с частотой V = 395 Гц. С какой скоростью и движется теплоход? Приближается или удаляется он от наблюдателя? Скорость звука в воздухе и = 340 м/с.
Глава II
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
Уравнения, выражающие зависимость объема и линейного размера тел от температуры:
v, = у0(1+ш), I, = /oa+₽o,(1)
являются приближенными, поскольку в них не принимается во внимание зависимость самих температурных коэффициентов объемного и линейного расширения а и Р от температуры. При расчетах по формулам (1) следует иметь в виду, что получаемые результаты могут быть достаточно точными только в интервалах температур, в которых изменения коэффициентов малы по сравнению с этими коэффициентами. В таблицах обычно приводятся средние значения а и Р с указанием интервалов температур, для которых эти значения определены (см. задачу 376).
Значения Г() и /() в формулах (1) относятся к температуре t = 0 °C. В тех случаях, когда в задачах даны начальные объемы или длины при температурах, не равных нулю, часто начинают решение задач с определения Г» и /() и в итоге получают, например, для длины выражение
Такой метод расчета нецелесообразен. Действительно, умножив числитель и знаменатель этой формулы на 1 - Р^, получим
' 1 l~p2r2 "
Ввиду малости коэффициента Р по сравнению с единицей, члены, содержащие Р2, малы по сравнению с членом, в который Р входит в первой степени. Их можно отбросить. В результате формула для вычисления
длины 1$ оказывается более простой и достаточно точной для практически важных случаев:
/, = Z, [1 + р(г2 - г,)].
Точно так же имеем
V, = Т,[1 + а(г2-г|)].
Как должны относиться длины /, и /2 двух стержней из материалов с различными коэффициентами линейного расширения Р, и р2, чтобы при любой температуре разность длин стержней оставалась постоянной?
Два одинаковых стальных моста должны быть построены один на севере, другой на юге. Каковы должны быть при О °C зазоры, компенсирующие удлинение моста при изменении температуры, если на юге возможны колебания от -10 до +50 °C, а на севере от -50 до +20 °C? При 0 °C длина моста L^ = 100 м, коэффициент линейного расширения стали Р = 10-5 К"1.
Латунный сосуд при нагревании увеличился в объеме на п = 0,6 %. Найти увеличение температуры Az сосуда, если коэффициент линейного расширения латуни Р = 2 • 10-5 К-1.
При температуре /0 = 0 °C длины алюминиевого и железного стержней /Оа = 50 см и /Ож = 50,05 см. Сечения стержней одинаковы. При какой температуре Z, длины стержней и при какой температуре Z2 их объемы будут одинаковы? Коэффициенты линейного расширения алюминия и железа Ра = 2,4 • 10~7 К"1 и рж= 1,2-10-7 К-'.‘
Коэффициенты объемного расширения воды для трех интервалов температур:
а, = -3,3 • КУ5 К-1 а2 = 4,8 ■ IO-5 К'1 а3= 1,5 • 1СНК1а, = -3,3 • КУ5 К-1 а2 = 4,8 ■ IO-5 К'1 а3= 1,5 • 1СНК1(04 °C),(4 z2 10 °C), (10 Z3 20 °C).(04 °C),(4 z2 10 °C), (10 Z3 20 °C).
а, = -3,3 • КУ5 К-1 а2 = 4,8 ■ IO-5 К'1 а3= 1,5 • 1СНК1
а, = -3,3 • КУ5 К-1 а2 = 4,8 ■ IO-5 К'1 а3= 1,5 • 1СНК1
(04 °C),
(4 z2 10 °C), (10 Z3 20 °C).
(04 °C),
(4 z2 10 °C), (10 Z3 20 °C).
Найти объем воды V при температуре z = 15 °C, если при температуре z'= 1 °C объем V' = 103 см3.
Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью, имеющей температуру z,. При нагревании жидкости в одном из сосудов до температуры z2 уровень жидкости в этом сосуде установился на высоте Н, а в другом - на высоте h. Найти коэффициент объемного расширения жидкости.
Найти объем шарика ртутного термометра, если известно, что при температуре ^ = О °C ртуть заполняет только шарик, а между делениями 0 и 100 °C объем канала V = 3 мм3. Коэффициент объемного расширения ртути а = 1,8 ■ 10-4 К-1, коэффициент линейного расширения стекла Р = 8 • Ю^К-1.
В кварцевый литровый сосуд диаметра d = б см до половины налили воду, а затем положили шар из эбонита, имеющий объем V = 100 см3. На какую высоту Д/г поднимется уровень воды при изменении температуры от г, = 10 °C до Г2 = 70 °C? Коэффициент объемного расширения воды а = 3 ■ 10-4 К-1, коэффициент линейного расширения эбонита Р = 8 - 10-5 К-1. Тепловым расширением кварца пренебречь.
В кварцевый сосуд объема Vt = 2,5 л помещен латунный цилиндр массы т^ = 8,5 кг. Остальная часть сосуда заполнена водой. При нагревании сосуда вместе с содержимым на Дг = 3 °C уровень воды в сосуде не изменился. Найти коэффициент объемного расширения воды а. Коэффициенты линейного расширения кварца и латуни Р! = = 0,42 ■ 10-6 К-! и р2 = 0,2 ■ 10-4 К-1. Плотность латуни V d р2 = 8,5 • 103 кг/м3.
В колбу, плотно закрытую пробкой со вставлен- гной в нее трубкой, до самой пробки налит керосин v -У (рис. 56). Как изменится давление на дно колбы при рис 55 нагревании керосина на Д/ = 30 °C, если объем колбы
V = 2 л, высота ее h = 20 см, сечение трубки 5 = 2 см2? Коэффициент объемного расширения керосина а = 10-3 К-1, его плотность до нагревания р = 0,8 • 103 кг/м3. Тепловым расширением колбы пренебречь.
§ 13. Количество теплоты.
Коэффициент полезного действия
Количеством теплоты называют энергию, переданную от одного тела к другому без совершения работы.
При изменении температуры тела количество переданной теплоты вычисляется по формуле
2 = ст^г - 6) = cm^t = стДТ,(2)
где с - удельная теплоемкость вещества, Г; и г2 — начальная и конечная температуры тела.
Превращение жидкости в пар происходит при постоянной температуре. Количество теплоты, переданной при этом жидкости, вычисляется по формуле
С„ = Хт,
где X - удельная теплота парообразования. При конденсации пара такое же количество теплоты выделяется:
Qk = —Хт.
Плавление кристаллического тела также совершается при постоянной температуре и требует передачи телу количества теплоты
Qus = ''т.
где г - удельная теплота плавления. При кристаллизации то же количество теплоты выделяется:
Скр = -гт.
Если внутри системы, изолированной от окружающих тел, не совершается механической работы, то для нее справедливо уравнение теплового баланса:
Q1 + Q1 + ■■• + Qn = 0,(3)
где Q;, Q2, .... Qn - количества теплоты, полученные (положительные) или отданные (отрицательные) телами системы. Эти количества теплоты выражаются вышеприведенными формулами.
Латунный сосуд массы т = 0,2 кг содержит тх = 0,4 кг анилина при температуре tx = 10 °C. В сосуд долили т2 = 0,4 кг анилина, нагретого до температуры t2 = 31 °C. Найти удельную теплоемкость са анилина, если в сосуде установилась температура 0 = 20 °C. Удельная теплоемкость латуни с = 0,4 кДж/(кг • К).
В сосуд объема V с теплонепроницаемыми стенками, заполненный газом с молярной массой ц при температуре Т и давлении р, внесен медный шарик массы т„, имеющий температуру Тм. Какая температура 0 установится в сосуде? Удельные теплоемкости газа и меди равны с и см. Газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
В сосуде смешиваются три химически не взаимодействующие жидкости, имеющие массы тх = 1 кг, т2 = 10 кг, т3 = 5 кг, температуры 0 = 6 °C, Z2 = -40 °C, Z3 = 60 °C и удельные теплоемкости сх = 2 кДж/(кг • К), с2 = 4 кДж/(кг • К), с3 = 2 кДж/(кг • К). Найти температуру 0 смеси и количество теплоты, необходимое для последующего нагревания смеси до Z = 6 °C.
В два одинаковых сосуда, содержащих воду (в одном масса воды тх = 0,1 кг при температуре 0 = 45 °C, в другом масса воды т^ = 0,5 кг при температуре Г2 = 24 °C), налили поровну ртуть. После установления теплового равновесия в обоих сосудах оказалось, что температура воды в них одна и та же и равна 9 = 17 °C. Найти теплоемкость Сс сосудов. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
Для измерения температуры воды, имеющей массу т = 66 г, в нее нагрузили термометр, который показал температуру tx = 32,4 °C. Какова действительная температура 9 воды, если теплоемкость термометра С, = 1,9 Дж/К и перед погружением в воду он показывал температуру помещения г2 = 17,8 °C? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
В стеклянный сосуд, имеющий массу тс = 129 г и температуру tc = 29 °C, налили горячую воду, масса которой т = 290 г и температура t = 100 °C. Спустя время т = 5 мин температура сосуда с водой стала равной 9 = 40 °C. Теряемое в единицу времени количество теплоты постоянно. Какое количество теплоты терялось в единицу времени? Удельные теплоемкости сосуда и воды сс = 840 Дж/(кг ■ К) и с = 4,2 кДж/(кг • К).
В сосуд, содержащий массу воды m = 2 кг при температуре t = 5 °C, положен кусок льда массы тл = 5 кг, имеющий температуру С = ~40 °C. Найти температуру 9 и объем V смеси после установления теплового равновесия. Удельные теплоемкости воды и льда с = 4,2 кДж/(кг • К) и са = 2,1 кДж/(кг • К), их плотности при tvx = 0 °C равны р = 103 кг/м3 и рп = 0,92 • 103 кг/м3. Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг. Теплоемкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.
Ванну объема V = 100 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру 9 = 30 °C, используя воду с температурой г = 80 °C и лед с температурой 1Л = -20 °C. Найти массу тл льда, который придется положить в ванну. Удельные теплоемкости воды и льда с = 4,2 кДж/(кг • К) и сл = 2,1 кДж/(кг • К), плотность воды р = 103 кг/м3. Удельная теплота плавления льда /• = 0,33 МДж/кг. Теплоемкостью ванны и потерями тепла пренебречь.
В сосуд, содержащий массу воды т = 10 кг при температуре t = 10 °C, положили лед, имеющий температуру tn = -50 °C, после чего температура образовавшейся смеси оказалась равной 9 = -4 °C. Какая масса тл льда была положена в сосуд? Удель-
ная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К) и удельная теплоемкость льда сл = 2,1 кДж/(кг ■ К). Удельная теплота плавления льда /■ = 0.33 МДж/кг.
Кусок свинца, имеющий массу т = 1 кг, расплавился наполовину при сообщении ему количества теплоты Q = 54,5 кДж. Какова была начальная температура Т свинца? Удельная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг ■ К). Удельная теплота плавления свинца г = 24 кДж/кг, его температура плавления Тт = 600 к.
Тигель, содержащий некоторую массу олова, нагревается электрическим током. Выделяемое в единицу времени количество теплоты постоянно. За время т0 = 10 мин температура олова повышается от t; = 20 °C до t2 = 70 °C. Спустя еще время т = S3 мин олово полностью расплавилось. Найти удельную теплоемкость с олова. Удельная теплота плавления олова г = 58,5 кДж/кг, его температура плавления гмл = 232 °C. Теплоемкостью тигля и потерями тепла пренебречь.
В сосуд положили кусок льда массы тд = 10 кг, имеющий температуру С = -10°С. Найти массу т воды в сосуде после того, как его содержимому сообщили количество теплоты Q = 20 МДж. Удельные теплоемкости воды и льда с = 4,2 кДж/(кг ■ К) и сл = 2,1 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды л = 2,3 МДж/кг.
В прямоугольную кювету длины а = 24 см и ширины b = = 20 см, содержащую воду при температуре t = 25 °C, налили жидкий азот, взятый при температуре его кипения ta = -196 °C. После испарения азота вода охладилась до температуры ?0 = 0 °C и покрылась корочкой льда при той же температуре. Найти толщину h ледяной корочки, считая, что пар азота уходит от поверхности льда, нагревшись до его температуры, а половина всего полученного паром количества теплоты отдано водой. Объем воды в кювете был V = 1 л, масса азота та = 0,8 кг. Плотности воды и льда р = 103 кг/м3 и рл = 0,92 ■ 103 кг/м3. Удельные теплоемкости газообразного азота и воды са = 1,05 кДж/(кг ■ К) и с = 4,2 кДж/(кг ■ К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования азота X = 0,2 МДж/кг.
В сосуде содержится смесь воды массы т = 500 г и льда массы тл = 54,4 г при температуре г0 = 0 °C. В сосуд вводится сухой насыщенный пар массы т„ = 6,6 г при температуре t = 100 °C.
Какой будет температура 6 после установления теплового равновесия? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
Под колоколом воздушного насоса находится вода массы m = 40 г при температуре 10 = 0 °C. Воздух из-под колокола быстро откачивают. Благодаря интенсивному испарению воды оставшаяся часть ее замерзает. Найти массу тл образовавшегося льда, если его температура также 1() = 0 °C. Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
В сосуде, из которого откачивают воздух, находится небольшая масса воды при температуре t0 = 0 °C. Благодаря интенсивному испарению воды оставшаяся часть ее замерзает. Испарившаяся вода имеет массу т = 2,71 г. Найти первоначальную массу воды М. Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
Найти массу т воды, которая может быть превращена в лед испарением эфира, имеющего массу т, = 0,1 кг и температуру t = 20 °C. Начальная температура воды также t = 20 °C. Удельные теплоемкости воды и эфира с = 4,2 кДж/(кг • К) и сэ = 2,1 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования эфира X = 0,38 МДж/кг.
Вода может быть переохлаждена до температуры t = -10 °C. Такое состояние воды неустойчиво, и при любом возмущении вода превращается в лед с температурой t0 = 0 °C. Какова масса тл льда, образовавшегося из переохлажденной воды, если масса ее т = 1 кг? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
Колба заполнена смесью воды и ртути, массы которых Ш] = 0,5 кг и т2 = 1 кг. При сообщении содержимому колбы количества теплоты Q = 90 кДж из колбы выливается часть воды массы т = 3,5 г. Найти коэффициент объемного расширения ртути а2. Удельные теплоемкости воды и ртути С] = 4,2 кДж/(кг • К) и с2 = 140 Дж/(кг • К), их плотности P] = 103 кг/м3 и р2 = 13,6 • 103 кг/м3. Коэффициент объемного расширения воды at = 1,5 • IO*4 К-1.
В сосуд с тающим льдом положили кусок латуни массы т = 430 г. При этом часть льда массы тл = 200 г превратилась в
воду. Найти объем латуни V в момент погружения ее в сосуд. Удельная теплоемкость латуни с = 0,4 кДж/(кг • К), ее плотность при /(| = 0 °C равна р0 = 8,6 • 103 кг/м3. Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг. Коэффициент линейного расширения латуни Р = 2 ■ 10-5 К-1.
В цилиндре двигателя внутреннего сгорания при работе образуются газы, температура которых tx = 727 °C. Температура отработанного газа б = Ю0 °C. Двигатель расходует в единицу времени массу тх = 36 кг/ч топлива. Какую максимальную полезную мощность может развивать этот двигатель? Удельная теплота сгорания топлива <7 = 43 МДж/кг.
Во сколько раз максимально возможный КПД двигателя внутреннего сгорания больше максимально возможного КПД паровой машины, работающей на перегретом паре при температуре б = 300 °C, если температура газов в цилиндре двигателя достигает 1г = 1000 °C? Отработанные газ и пар имеют одинаковые температуры t = 100 °C.
Судно на подводных крыльях “Метеор” развивает мощность N = 1500 кВт при КПД двигателя р = 30 %. Найти расход топлива на единицу длины пути при скорости судна и = 72 км/ч. Удельная теплота сгорания топлива q = 50 МДж/кг.
Реактивный самолет пролетает со скоростью и = 900 км/ч путь л1 = 1800 км, затрачивая массу топлива т = 4 т. Мощность двигателя самолета N = 5900 кВт, его КПД р = 23 %. Какова удельная теплота сгорания q топлива, применяемого самолетом?
Какую массу керосина т потребовалось бы сжечь, чтобы вывести спутник массы М = 103 кг на круговую орбиту вблизи поверхности Земли, если бы все количество теплоты превращалось в работу? Радиус Земли R = 6400 км. Удельная теплота сгорания керосина q = 46 МДж/кг.
Каков КПД Г| двигателя автомашины мощности N = = 20 кВт, если при скорости и = 72 км/ч двигатель потребляет объем V = 10 л бензина на пути s = 100 км? Удельная теплота сгорания бензина q = 44 МДж/кг, его плотность р = 0,7 ■ 103 кг/м3.
В электрическом чайнике мощности N = 800 Вт можно вскипятить объем V = 1,5 л воды, имеющей температуру Ц = = 20 °C, за время т = 20 мин. Найти КПД чайника. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
За время т = 1 ч в холодильнике превращается в лед при температуре /0 = 0 °C масса воды т = 3,6 кг, имевшая начальную
температуру t = 20 °C. Какая мощность N потребляется холодильником от электросети, если он отдает в окружающее пространство в единицу времени энергию Qx = 840 Дж/с? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг ■ К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
Поезд массы т = 2000 т при торможении с ускорением а = = 0,3 м/с2 остановился спустя время т = 50 с после начала торможения. Какое количество теплоты Q выделилось при торможении?
С какой скоростью и должна вылететь из ружья свинцовая дробинка при выстреле, сделанном вертикально вниз с высоты Л = 100 м, чтобы при ударе о неупругое тело дробинка расплавилась? Начальная температура дробинки Т = 500 К, температура плавления свинца Ти1 = 600 К. Удельная теплоемкость свинца с = 0,13 кДж/(кг • К), его удельная теплота плавления г = 25 кДж/кг. Считать, что выделившееся количество теплоты распределилось между дробинкой и телом поровну.
Брусок массы m равномерно поднимают за привязанную к нему веревку на высоту h по доске, которая образует с горизонтом угол а. Веревка параллельна доске. Коэффициент трения бруска о доску равен к. Найти энергию W, которая идет на нагревание доски и бруска.
Тело массы m = 1 кг соскальзывает с наклонной плоскости длины / = 22 м, которая образует с горизонтом угол а = 30°. Скорость тела у основания наклонной плоскости v = 4 м/с. Какое количество теплоты Q выделилось при трении тела о плоскость, если начальная скорость тела и0 = 0?
Найти частоту вращения п вала паровой машины, если среднее давление пара р = 1 МПа и мощность машины N = 200 кВт. За один оборот вала поршень делает один рабочий ход / = 0,5 м. Площадь поршня 5 = 0,2 м2.
Пуля массы ш, летящая со скоростью иь попадает в деревянный куб массы М, лежащий на гладком столе, и пробивает его. Найти энергию W, превратившуюся в тепло, если пуля прошла через центр куба и скорость ее после вылета стала равной и2.
Найти количество теплоты Q, которое выделилось при абсолютно неупругом соударении двух шаров, двигавшихся навстречу друг другу. Массы первого и второго шаров тх = 0,4 кг и тг = 0,2 кг, их скорости ^ = 3 м/с и и2 =12 м/с.
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
Состояние газа определяется его объемом V, давлением р и температурой t. Законы для идеальных газов выражаются более простыми формулами, если температура выражена в кельвинах: 77К = t/°C + 273,15. Если масса газа постоянна, то состояние газа описывается следующими законами.
Закон Бойля-Мариотта. При постоянной температуре (изотермический процесс, t = const)
Pt^t = Рг^ = -•• = Ро^о*
пли
pV = const.(4)
Закон Гей-Люссака. При постоянном давлении (изобарный процесс, р = const) объем газа при температуре t
V, = V0(l + at),
где Vo - объем газа при t0 = О °C и a = (1/273) К-1 - температурный коэффициент объемного расширения, или
У/Г = const.(5)
Закон Шарля. При постоянном объеме (изохорный процесс, У = const) давление газа при температуре /
Pz = Ml + РО,
где pV4 - давление газа при t0 = О °C и Р = a = (1/273) К-1 - температурный коэффициент давления, или
р/Т = const.(6)
Объединенный газовый закон. При небольших плотностях газы подчиняются уравнению
P\V\/T\ = p.V./T. = ... = Р\Уо1Тй,
или
pV/Т = const.(7)
Величины ро, То и Уо соответствуют “нормальному состоянию” газа, т.е. состоянию при р0 = 101,325 кПа (760 мм рт. ст.) и Тй = 273 К. Занимаемый газом объем пропорционален количеству газа V. Если количество газа v = 1 моль, то при нормальных условиях (давлении р0 и температуре Т^ согласно закону Авогадро любой газ занимает объем У()ц = 22,41 ■ КУ3 м3/моль. Следовательно,
Ро^ОцДо = R-
Величина R одна и та же для всех газов: R = 8,31 Дж/(моль • К) - и носит название газовой постоянной.
Таким образом, объединенный газовый закон для v = 1 моль можно представить в виде
pV^ = RT. (8)
Это соотношение называется уравнением Клапейрона-Менделеева.
Уравнение состояния идеального газа. Для произвольного количеста газа V объем при тех же условиях увеличивается в V раз. Следовательно, во столько же раз увеличивается и правая часть уравнения (8), т.е.
pV = vRT = — RT, (9)
где V = m/ц, т - масса газа и Ц - его молярная масса. Выражение (9) носит название уравнения состояния идеального газа. Оно определяет связь между параметрами, характеризующими состояние газа. Для неизменного количества газа V постоянство одного из параметров приводит к зависимости между двумя оставшимися, т.е. к уравнению соответствующего газового закона. Так, при Т = const получается закон Бойля-Мариотта (4), при р = const - закон Гей-Люссака (5) и при V = const - закон Шарля (6).
Закон Дальтона (закон парциальных давлений). Давление, которое оказывал бы газ, входящий в состав смеси, если бы он был один в этом сосуде, называется парциальным. Согласно закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений. С точки зрения молекулярной физики, согласно которой давление объясняется ударами молекул о стенки сосуда, закон Дальтона означает, что действия на стенки сосуда молекул каждого из газов складываются. В частности, закон Дальтона применим и при добавлении в сосуд, в котором уже находится газ под давлением р, некоторого количества этого же газа. В этом случае парциальное давление добавленного газа можно рассчитывать так, как если бы сосуд был пустой. Окончательное же давление будет складываться из этого парциального давления и давления газа р в сосуде.
Уравнения (4)-(9) описывают только такие состояния, для которых во всех точках объема, занимаемого газом, температуры и давления одинаковы, т.е. состояния, когда газ находится в тепловом равновесии. При непрерывном изменении р, V и Т уравнения (4)-(9) применимы ко всей последовательности состояний только при бесконечно медленных процессах, когда неравномерности в распределении температуры и давления бесконечно малы. Если процессы идут не бесконечно медленно, рассмотренные уравнения как уравнения процессов не имеют смысла, но остаются справедливыми как уравнения состояния для моментов времени, когда газ оказывается в состоянии теплового равновесия.
Представить на графиках, в координатах р, V; р, Т и V, Т изотермический процесс для одного моля газа при температурах T = TxnT = 3Tv
При нормальных условиях газ занимает объем Vo = 1 м3. Какой объем V будет занимать этот газ при изотермическом сжатии до давления р = 4,9 МПа? Нормальное атмосферное давле
ние рй = 0,1 МПа.
Газ сжат изотермически от объема V] = 8 л до объема V2 = 6 л. Давление при этом возросло на Ар = 4 кПа. Каким было первоначальное давление р^.
Рис. 57Рис. 57Каково давление газа в цилиндре под поршнем, если поршень удерживается в равновесии при помощи стержня, вдоль которого действует сила F = 9,8 Н (рис. 57)? Площадь поршня 5 = 7 см2, стержень составляет с нормалью к поршню угол а = 30°.
Рис. 57
Рис. 57
Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа. Трением пренебречь.
В баллоне объема V = 10 л находится кислород, масса ко
торого т = 12,8 г. Давление в баллоне измеряется U-образным манометром, заполненным водой. Какова разность уровней АН воды в трубках манометра при температуре газа t = 27 °C? Атмосферное давление рй = 0,1 МПа. Плотность воды р = 103 кг/м3, молярная масса кислорода ц = 0,032 кг/моль.
Рис. 58Рис. 58В цилиндре под поршнем массы т = 6 кг находится воздух. Поршень имеет форму, показанную на рис. 58. Площадь сечения цилиндра Sy = 20 см2. Атмосферное давление ру = 0,1 МПа. Найти массу груза М, который надо положить на поршень, чтобы объем воздуха в цилиндре изотермически сжать в два раза. Трением пренебречь.
Рис. 58
Рис. 58
Один конец цилиндрической трубки длины / = = 25 см и радиуса г = 1 см закрыт пробкой, а в другой
вставлен поршень, который медленно вдвигают в трубку. Когда поршень подвинется на расстояние А/ = 8 см, пробка вылетает. Считая температуру неизменной, найти силу трения F пробки о стенки трубки в момент вылета пробки. Атмосферное давление Ру = 0,1 МПа.
Узкая цилиндрическая трубка длины L, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного столбиком ртути длины Н. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова была длина / столбика воздуха в трубке, если при перевертывании трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина ртути? Плотность ртути равна р. Атмосферное давление равно р0.
Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтально расположенной трубки длины L = 1 м находится столбик ртути длины h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на расстояние / = 10 см. До какого давления р была откачана трубка? Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
Запаянную с одного конца трубку длины L = 76 см погружают в вертикальном положении открытым концом в сосуд с ртутью. На каком расстоянии / от поверхности должен находиться запаянный конец трубки, чтобы уровень ртути в ней был ниже уровня ртути в сосуде на величину h = 76 см? Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
Открытую с обоих концов трубку длины L = 2 м погружают
в вертикальном положении на половину ее длины в сосуд с ртутью. В трубку вдвигают поршень. На каком расстоянии / от поверхности ртути в сосуде должен находиться поршень, чтобы уровень ртути в трубке опустился на величину h = 1 м? Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р0 =0,1 МПа.
К дну цилиндра длины 1Х с площадью поперечного сечения S', приделана трубка длины /2 с площадью поперечного сече
Рис. 59Рис. 59ния S2. Трубка целиком погружена в ртуть (рис. 59). На какую величину h опустится ртуть в трубке, если выдвинуть поршень до самого дна цилиндра? При какой минимальной площади поперечного сечения цилиндра 5, из трубки будет вытеснена вся ртуть? Плотность ртути равна р. Атмосферное давление равно рй.
Рис. 59
Рис. 59
В сосуд с ртутью погружена в вертикальном положении трубка с поршнем, открытая с нижнего конца. Если поршень находится на расстоянии /о = 1 см от поверхности ртути в сосуде, то уровни
ртути в сосуде и трубке одинаковы. Найти давление воздуха р в трубке после подъема поршня над уровнем ртути в сосуде до высоты / = 75 см. Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
Для измерения глубины погружения в море различных приборов применяется запаянная с одного конца стеклянная трубка длины /(, = 1 м, которая погружается в воду вместе с приборами в вертикальном положении открытым концом вниз. Максимальная глубина погружения Н вычисляется по минимальной высоте / сжатого воздуха в трубке. Для определения высоты / внутренние
стенки трубки покрываются легкорастворимой в воде краской. Та часть трубки, куда не проникла вода, остается окрашенной. На какую глубину Н была опущена трубка, если оказалось, что / = 0,2 м? Плотность воды р = 103 кг/м3. Атмосферное давление Ру = 0,1 МПа. Температуру воздуха в трубке считать постоянной.
Пузырек воздуха поднимается со дна водоема, имеющего глубину Н. Найти зависимость радиуса пузырька г от глубины h его местонахождения в данный момент времени, если его объем на дне водоема равен V. Силы поверхностного натяжения не учи
тывать.
Тонкий резиновый шар радиуса /у = 2 см заполнен воздухом при температуре /( = 20 °C и давлении р0 = 0,1 МПа. Каков будет радиус шара гъ если его опустить в воду с температурой г2 = 4 °C на глубину /? = 20 м?
Из затонувших подводных лодок иногда спасались, открывая сначала нижние клапаны (кингстоны), а затем верхний люк, и с пузырем воздуха выскакивали на поверхность. Какая доля к объема лодки не заливалась водой после открытия кингстонов, если лодка находилась на глубине h = 42 м? Плотность морской воды р = 1,03 • 103 кг/м3. Начальное давление воздуха в лодке Ру = 0,1 МПа.
Оболочку аэростата, объем которой Vt = 600 м3, заполняют при атмосферном давлении р0 = 0,1 МПа гелием, имеющим объем Р2 = 500 м3. На какой высоте над уровнем Земли газ целиком заполнит оболочку аэростата? Атмосферное давление убывает вблизи Земли на Ари =133 Па при подъеме на каждые АН = И м высоты. Температуру считать постоянной.
Два одинаковых сообщающихся сосуда с поршнями частич-
Рис. 60Рис. 60но заполнены жидкостью с плотностью р. Расстояния поршней от поверхностей жидкости одинаковы и равны Н (рис. 60). Один из поршней закреплен, а второй поднимают на высоту Н. При какой высоте h разность уровней жидкости в сосудах будет равна //? Начальное давление воздуха в каждом из сосудов равно р.
Рис. 60
Рис. 60
Ртуть, налитая в U-образную трубку, не доходит до ее концов на расстояние h = 20 см.
Одно колено трубки запаяно (рис. 61). Найти понижение h2 уровня
ртути в открытом колене, если при выпускании части ртути через кран ее уровень в запаянном колене понизился на ht = 18 см.
Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р0 = = 0,1 МПа.
Рис. 61Рис. 61Найти объем и засасывающей камеры поршневого насоса, если при откачивании этим насосом воздуха из баллона объема V = 4 л давление уменьшается при каждом цикле в п = 1,2 раза.
Рис. 61
Рис. 61
Насос имеет объем засасывающей камеры и. За сколько циклов работы насоса можно откачать баллон объема V, снизив давление в нем со значения р до р„? Температуру считать постоянной.
Компрессор, обеспечивающий работу отбойных молотков, засасывает из атмосферы в единицу времени объем воздуха VT = 100 л/с. Сколько отбой-
ных молотков может работать от этого компрессора, если каждый молоток расходует в единицу времени объем воздуха щ = = 100 см3/с при давлении р = 5 МПа? Атмосферное давление р0 = = 0,1 МПа.
До какого давления накачан футбольный мяч объема V = = 3 л за п = 40 качаний поршневого насоса? При каждом качании насос захватывает из атмосферы объем воздуха и = 150 см3. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
Камеры автомобильных шин накачиваются при помощи насоса, работающего от двигателя. Сколько времени требуется для того, чтобы камеру объема V = б л накачать до давления р = = 0,5 МПа, если при каждом цикле насос захватывает из атмосферы цилиндрический столб воздуха высоты А = 10 см и диаметра d = 10 см и если время одного качания т = 1,5 с? Начальное давление в камере р^ = 0,1 МПа.
Два сосуда, наполненных воздухом при давлениях рА = 0,8 МПа и р2 = 0,6 МПа, имеют объемы V| = 3 л и V2 = 5 л. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Найти установившееся давление р в сосудах. Температуру считать постоянной.
Два сосуда с объемами V, = 40 л и V2 = 20 л содержат газ при одинаковых температурах, но разных давлениях. После соединения сосудов в них установилось давление р = 1 МПа. Каково было начальное давление р^ в большем сосуде, если начальное давление в меньшем сосуде р2 = 0,6 МПа? Температуру считать постоянной.
Три сосуда с одинаковыми объемами сообщаются между собой кранами. Первый сосуд содержит газ массы mb третий - тот
же газ массы т2, во втором сосуде - вакуум. Сначала соединили второй и третий сосуды, а когда давление выровнялось, второй сосуд отсоединили от третьего и соединили с первым. Давление в первом и втором сосудах установилось равным р. Найти начальное давление рх в первом сосуде. Температуру считать постоянной.
Представить на графиках в координатах p,V\p, Ти V, Т изобарный процесс для одного моля газа при давлениях р = рх ир = 3рх.
При нагревании газа на АТ = 1 К при постоянном давлении объем его увеличился в два раза. В каком интервале температур происходило нагревание?
Газ нагревают от температуры tx = 27 °C до температуры t2 = 39 °C при постоянном давлении. На сколько процентов увеличился его объем?
Два сосуда с одинаковыми объемами V соединены тонкой капиллярной трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. В середине капилляра находится капля ртути. Найти зависимость между относительным изменением температуры АТ/Т и смещением капли А/, если начальная температура газа в обоих сосудах была равна Т и нагревается только один сосуд. Площадь капилляра равна S.
Полый шарик объема V = 100 см3 снабжен длинной трубкой с делениями. Объем трубки между соседними делениями AV = = 0,2 см3. В шарике и части трубки находится воздух, который отделен от наружного воздуха каплей ртути. При температуре z = 5 °C капля ртути стоит у деления п = 20. В каких пределах можно измерять температуру таким термометром, если трубка имеет N = 100 делений? Тепловым расширением шарика и трубки пренебречь.
Закрытый цилиндр, расположенный горизонтально, разделен на две части подвижным поршнем. Одна часть цилиндра заполнена некоторым количеством газа при температуре zi =-73 °C, другая - таким же количеством газа при температуре t2 = 27 °C. Поршень находится в равновесии. Найти объемы V] и V2, занимаемые газом в двух частях цилиндра, если общий объем газа V = 500 см3.
Цилиндрический сосуд, расположенный горизонтально, заполнен газом при температуре z = 27 °C и давлении р = 0,1 МПа и разделен на две равные части подвижной перегородкой. Каково будет давление р’, если в одной части газ нагреть до температуры z' = 57 °C, а в другой - температуру газа оставить без изменения?
Цилиндр разделен на две части подвижным поршнем, имеющим массу т и площадь сечения S. При горизонтальном положении цилиндра давление газа в сосуде по обе стороны поршня одинаково и равно р. Найти давление р'газа над поршнем, когда цилиндр расположен вертикально. Температуру считать постоянной.
В трубке длины L = 1,73 м, заполненной газом, находится столбик ртути длины h = 30 мм. Когда трубка расположена вертикально, ртуть делит трубку на две равные части. Давление газа над ртутью р = 8 кПа. На какое расстояние / сдвинется ртуть, если трубку положить горизонтально? Плотность ртути равна р.
В объеме V = 4 л находится масса т = 0,012 кг газа при температуре Т = 450 К. При какой температуре Т плотность этого газа р' = 6 кг/м3? Давление считать постоянным.
Открытую стеклянную колбу, имеющую форму шара радиуса г - 2 см, с горлышком длины / = 10 см и диаметра d = 1 см нагрели до некоторой температуры ц, а затем погрузили целиком в воду горлышком вниз. При охлаждении колбы вода вошла в горлышко. Когда колба приняла температуру воды /2 = 13 °C, ее приподняли из воды, не переворачивая, так что шарообразная часть оказалась над водой, а горлышко - частично погруженным в воду. Когда уровни воды в горлышке и снаружи выровнялись, под водой осталась половина горлышка. Какова температура tx, до которой была нагрета колба? Тепловым расширением колбы пренебречь.
Воздух в открытом сосуде нагревают от температуры г, = 10 °C до температуры /2 = 600 °C. Затем, герметически закрыв сосуд, охлаждают воздух в нем до первоначальной температуры 0- Найти плотность воздуха в сосуде при температуре ^ и после охлаждения. Плотность воздуха при нормальных условиях р0 = = 1,3 кг/м3. Тепловым расширением сосуда пренебречь.
Цилиндр с тяжелым поршнем, расположенный вертикально, заполнен кислородом, масса которого m = 10 г. После увеличения температуры на ДТ = 50 К поршень поднялся на высоту й = 7 см. Найти массу поршня М, если давление газа над поршнем ри = 0,1 МПа. Площадь поршня 5 = 100 см2. Молярная масса кислорода ц = 0,032 кг/моль.
В запаянной цилиндрической трубке, расположенной горизонтально, находится воздух при нормальных условиях. Трубка разделена подвижным поршнем на две части, отношение объемов
которых У\!Уг= 1/2. До какой температуры ^ следует нагреть меньшую часть трубки и до какой температуры ?2 охладить большую часть трубки, чтобы поршень делил трубку на две равные части? Нагревание и охлаждение обеих частей производится при УГГ = const.
Посередине закрытой с обоих концов трубки длины L = 1 м, расположенной горизонтально, находится в равновесии подвижная перегородка. Слева от нее температура газа ^ = 100 °C, справа - 6 = 0°С. На каком расстоянии / от левого конца трубки установится перегородка, если температура всего газа станет равной /2 = 0 °C?
Открытую пробирку с воздухом при давлении р, медленно нагрели до температуры ?н затем герметически закрыли и охладили до температуры ?2 = 10 °C. Давление при этом упало до р2 = 0,7 рь До какой температуры г, была нагрета пробирка? Тепловым расширением пробирки пренебречь.
В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении Рх = 0,2 МПа и температуре г, = 27 °C. Какой массы груз m нужно
положить на поршень после нагревания воздуха до температуры ?2 = 50 °C, чтобы объем воздуха в цилиндре был равен первоначальному? Площадь поршня 5 = 30 см2.
Манометр на баллоне с газом в помещении с температурой г, = 17 °C показывает давление р = 240 кПа. На улице показание манометра уменьшилось на Ар = 40 кПа. Найти температуру воздуха на улице, если атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
При изготовлении электроламп их на- 2 прлняют инертным газом при температуре / t\ = 150 °C. Под каким давлением должны на- V ” полниться лампы, чтобы при температуре ! /1г = 300 °C, которая устанавливается в лампе при
/* 43 горении, давление не превышало р0 = 0,1 МПа.
^464. Доказать, пользуясь законами идеаль-
ОТ ных газов, равенство температурных коэф-
Рис 62 фициентов объемного расширения а и дав- лениия р.
На рис. 62 дан график изменения состояния идеального газа в координатах V, Т. Представить этот процесс на графиках в коор
динатах р, У и р, Т.
Газ последовательно переводится из состояния 1 с температурой Тд в состояние 2 с температурой Т2, а затем в состояние 3 с температурой Т3 и возвращается в состояние 1. Найти температуру
Тз, если процессы изменения состояния происходили так, как это
показано на рис. 63, а температуры Тх и Тг известны.
Рис. 63Рис. 63Газ, занимающий при температуре Тх = = 400 К и давлении рх =0,1 МПа объем Vx = 2 л, изотермически сжимают до объема Г2 и давления р2, затем изобарно охлаждают до температуры Гз = 200 К, после чего изотермически изменяют объем до Г4 = 1 л. Найти конечное давление р4.
Рис. 63
Рис. 63
Решить предыдущую задачу графически, построив графики в координатах р, V; р,Т и V, Т.
Вычислить газовую постоянную R, кото-
рая входит в уравнение pV4 = RT, описывающее
состояние одного моля газа.
Найти массу m водорода, находящегося в баллоне объема V = 20 л под давлением р = 830 кПа при температуре t = 17 °C. Молярная масса водорода р. = 0,002 кг/моль.
Некоторый газ массы тх = 7 г при температуре tx = 27 °C создает в баллоне давление рх = 50 кПа. Водород массы тг = 4 г при температуре г2 = 60 °C создает в том же баллоне давление р^ = = 444 кПа. Какова молярная масса р, неизвестного газа? Молярная масса водорода р2 = 0,002 кг/моль.
Открытый сосуд содержит воздух при температуре Г, = 27 °C. Какая часть массы воздуха останется в нем при нагревании до температуры г2 = 450 °C? Тепловым расширением сосуда пренебречь.
Из баллона со сжатым кислородом израсходовали столько кислорода, что его давление упало со значения рх =9,8 МПа до р2 = 7,84 МПа. Какая часть массы кислорода израсходована?
В баллоне объема V = 0,2 м3 находится гелий при давлении рх =0,1 МПа и температуре tx = 17 °C. Массу гелия в баллоне увеличили, при этом его давление повысилось до р2 = 0,3 МПа, а температура - до Г2 = 47 °C. На сколько увеличилась масса гелия? Молярная масса гелия р = 0,004 кг/моль.
Газ массы т = 16 г при давлении р = 1 МПа и температуре t= 112 °C занимает объем V = 1600 см3. Определить, какой это газ.
Найти плотность азота при температуре Г = 27 °C и давлении р = 0,1 МПа. Молярная масса азота р = 0,028 кг/моль.
Высота пика Ленина на Памире Н = 7134 м. Атмосферное давление на этой высоте р = 38 кПа. Найти плотность воздуха на вершине пика при Го = 0 °C. Молярная масса воздуха р = 0,029 кг/моль.
При каком давлении р плотность газообразного азота при температуре t = -73 °C составляет 0,4 плотности воды при комнатной температуре р0 = 103 кг/м3?
Под каким давлением рх нужно наполнить воздухом баллон объема Vx = 10 л, чтобы при соединении его с баллоном объема У2 = 30 л, содержащим воздух при давлении рг = 0,1 МПа, установилось общее давление р = 0,2 МПа?
Два сосуда одинакового объема содержат воздух; один - при температуре Тх и давлении pv другой - при температуре Г2 и давлении рг. Сосуды соединены, и после выравнивания давлений и температур воздух нагрет до температуры Т. Какое давление установится после нагревания? ■
Закрытый с обоих концов цилиндр, расположенный горизонтально, наполнен газом при давлении р = 100 кПа и температуре t = 30 °C и разделен подвижным поршнем на две равные части длины L = 50 см. На какую величину ДГ нужно повысить температуру газа в одной части цилиндра, чтобы поршень сместился на расстояние I = 20 см? Во второй части цилиндра температура не изменяется. Найти давление газа р' после смещения поршня.
Длинная пробирка открытым концом погружена в сосуд с ртутью. При температуре tx = 47 °C уровни ртути в пробирке и в сосуде совпадают. Над уровнем ртути остается часть пробирки длины L = 76 см. На какую высоту / поднимется ртуть в пробирке, если ее охладить до температуры г2 = -33 °C? Атмосферное давление />о = ОД МПа.
Сосуд объема V = 100 л разделен на две равные части полупроницаемой перегородкой. В одной части сосуда находится тх = 2 г водорода, во второй - v2 = 1 моль азота. Найти давление, установившееся по обе стороны перегородки, если она может пропускать только водород. Температура в обеих половинах сосуда одна и та же: t = 127 °C и постоянна. Молярная масса водорода Ц! = 0,002 кг/моль.
Внутри закрытого цилиндра, расположенного горизонтально, имеется тонкий теплонепроницаемый поршень. В одной части цилиндра находится кислород при температуре tx = 127 °C, в другой - водород при температуре f2 = 27 °C. Массы обоих газов одинаковы. На каком расстоянии / от торца цилиндра в части, в которой находится водород, расположен поршень? Длина цилиндра L = 65 см. Молярные массы кислорода и водорода щ = 0,032 кг/моль и ц2 = 0,002 кг/моль.
Сосуд с газом разделен подвижной перегородкой на две части, отношение объемов которых V] /V2 = 2/3. Температуры газа в меньшем и большем объемах ?! = 177 °C и ?2 = 267 °C, давления в них одинаковы и равны р. Каково будет отношение объемов, если температуры сравняются? Теплообмен возможен только через перегородку.
Цилиндр длины L = 85 см разделен на две части подвижным поршнем. Одна часть цилиндра заполнена кислородом, а другая - водородом. При каком положении поршня давления в обеих частях цилиндра будут одинаковы? Температуры и массы газов в обеих частях цилиндра одинаковы. Молярные массы кислорода и водорода ц, = 0,032 кг/моль и р2 = 0,002 кг/моль.
В условиях предыдущей задачи найти, при каких температурах кислорода Т] и водорода 72 поршень будет делить цилиндр на равные части.
Найти температуру Т азота массы m = 2 г, занимающего объем V = 830 см3 при давлении р = 0,2 МПа.
Шар заполнен газом при давлении р} = 0,105 МПа и температуре ?i = 27 °C. После подъема шара на высоту, где давление газа Ро = 0,08 МПа, объем шара увеличился на п = 5% и давление в нем стало отличаться от атмосферного на Др = 5 кПа. Найти температуру ?2 воздуха на этой высоте, предполагая, что газ в шаре принял эту температуру.
Сколько баллонов водорода, имеющих объем и = 50 л каждый, при температуре t = 27 °C и давлении р = 4 МПа потребуется для заполнения аэростата объема V = 1000 м3, если при температуре f = 7 °C давление в нем должно быть р' = 0,1 МПа?
В каждую из четырех шин автомобиля накачан объем V, = 200 л воздуха при температуре tx = 17 °C. Объем шины V2 = 54,6 л, площадь сцепления шины с грунтом при температуре ?2 = 0 °C S = 290 см2. Найти массу m автомобиля. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
Баллон объема V, =40 л содержит сжатый воздух при давлении р} = 15 МПа и температуре б = 27 °C. Какой объем V воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если лодка находится на глубине h = 20 м, где температура ?2 = 7 °C? Плотность воды р = 103 кг/м3. Атмосферное давление Ро = О,1 МПа.
Два невесомых поршня, соединенных нитью, вставлены в открытую с двух сторон трубку, имеющую площадь сечения
5 = 10 см2, и могут перемещаться без трения. Давления и температуры между поршнями и снаружи одинаковы и равны Ро = 0,1 МПа и t = 27 °C. До какой температуры t' нужно нагреть воздух между поршнями, чтобы нить, соединяющая поршни, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения F = 30 Н.
Рис. 64 Рис. 65
В двух горизонтально расположенных цилиндрах с закрепленными поршнями находится воздух при давлении р0 и температуре То (рис. 64). Объемы воздуха в цилиндрах равны V; и С2, площади сечений поршней равны 5, и 52. Наружное давление равно нулю. Между поршнями вставляют стержень и освобождают поршни от закрепления, а затем воздух в первом цилиндре нагревают до температуры Т. Найти силу F, сжимающую стержень в установившемся состоянии.
Шар с нерастяжимой оболочкой массы М = 11,6 г наполнен водородом, занимающим объем V = 10 л. Температура водорода и окружающего шар воздуха С - 0 °C. Найти давление р водорода в шаре, если результирующая подъемная сила шара равна нулю, т.е. шар парит в воздухе. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа. Молярные массы водорода и воздуха Ц] = 0,002 кг/моль и ц2 = 0,029 кг/моль.
Воздух в стакане высоты Н = 10 см с площадью дна S = = 25 см2 нагрет до температуры tx = 87 °C. Стакан погружен вверх дном в воду так, что его дно находится на уровне поверхности воды. Какой объем воды войдет в стакан, когда воздух в стакане примет температуру водыг, = 17 °C? Атмосферное давление р0 = = 0,1 МПа. Плотность воды р = 103 кг/м3.
Стакан высоты h = 9 см, наполненный на 2/3 водой, плавает в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности (рис. 65а). Этот же стакан с воздухом, нагретым до температуры Г] = 87 °C, погружают в воду вверх дном (рис. 656). На какую
глубину Н нужно погрузить стакан, чтобы он, приняв температуру воды г2 = 27 °C, не всплывал и не тонул? Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа. Плотность воды р = 103 кг/м3.
§ 15. Элементы молекулярной физики
Все тела состоят из отдельных мельчайших частиц: молекул, атомов, элементарных частиц. Частицы хаотически движутся и взаимодействуют друг с другом. Молекулы или другие структурные элементы (атомы, ионы, электроны) настолько малы, что в любом макроскопическом теле их число огромно. Их число, отнесенное к одному молю, называется постоянной Авогадро:
Na = 6,02 ■ 1023 молы1.
Молярной массой называют массу вещества, взятого в количестве одного моля:
Ц = т^А,
где т^ = m!N = mlNAv - масса одной молекулы.
Хаотическое тепловое движение молекул газа приводит к их упругим соударениям со стенками сосуда, в котором газ находится. Громадное число таких соударений создает давление газа, которое, таким образом, пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения его молекул.
Найти массы молекул водорода и кислорода.
Число молекул в единице объема неизвестного газа при нормальных условиях п0- 2,7 • 1025 м 3. Этот же газ при температуре г = 91 °C и давлении р = 800 кПа имеет плотность р = 5,4 кг/м3. Найти массу т молекулы этого газа.
Найти число молекул п0 в единице объема газа при нормальных условиях. Постоянная Авогадро NA = 6,02 • 1О23 молы1.
В цилиндре под поршнем находится газ при нормальных условиях. Сначала объем газа увеличили в к = 10 раз, затем газ нагрели при постоянном давлении до температуры г = 127 °C. Найти число молекул и в единице объема газа в конечном состоянии.■
Ампула объема V = 1 см3, содержащая воздух при нормальных условиях, оставлена в космосе, где давление можно считать равным нулю. В ампуле пробито отверстие. Через какое время т давление в ампуле станет равным нулю, если считать, что через отверстие в единицу времени вылетает ит= 108 с-1 молекул воздуха?
Шар радиуса г, содержащий газ при температуре Т, находится в вакууме. Через отверстие в стенке шара часть газа вытекает. Каким окажется давление р2 газа в шаре, после того как вылетит п молекул газа, если начальное давление газа внутри шара было /7|? При нормальных условиях в единице объема газа содержится число молекул п0.
Диаметр молекулы азота d = 0,3 нм. Считая, что молекулы имеют сферическую форму, найти, какая часть объема, занимаемого газом, приходится на объем самих молекул при нормальных условиях (То = 273 К, р0 = 0,1 МПа), а также при давлении р = 500 р,,. Считать, что при этих давлениях газ не отличается от идеального.
На стенку площади S налетает поток молекул, имеющих среднюю скорость и. Число молекул, движущихся по направлению к стенке, в единице объема равно п0. Масса каждой молекулы равна т. Найти действующие на стенку силу и давление, если молекулы движутся перпендикулярно к стенке и удары молекул о стенку абсолютно упругие.
Сосуд в форме кубика содержит v = 10-3 моль идеального газа. К каждой из шести граней кубика перпендикулярно к граням в любой момент времени движется одинаковое число молекул. Масса каждой молекулы m = 3 • 10~26 кг, средняя скорость теплового движения молекул и = 500 м/с. Найти давление р газа. Считать удары молекул о стенку сосуда абсолютно упругими.
В сосуде находится газ при давлении р = 0,15 МПа и температуре t = 273 °C. Какое число п молекул находится при этих условиях в единице объема сосуда?
Какова температура Т газа, находящегося под давлением р = 0,5 МПа, если в сосуде объема V = 15 л содержится п = 1,8 • 1024 молекул?
В сосуде объема V = 1 л при температуре f = 183 °C находится п = 1,62 • 1022 молекул газа. Каково будет давление р газа, если объем сосуда изотермически увеличить в к = 5 раз? Число молекул газа в единице объема сосуда при нормальных условиях л0 = 2,7 • 1025 м-з.
Современные вакуумные насосы позволяют понижать давление до р = 10"10 Па. Какое число молекул газа п содержится в единице объема при этом давлении и температуре t = 48 °C?
Некоторая масса водорода находится при температуре 1\ = 200 К и давлении р\ = 0,4 кПа. Газ нагревают до температуры
T2 = 10 000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Найти давление р2 газа, если его объем и масса остались без изменения.
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.
Теплоемкость
Энергия <2, сообщаемая телу в виде теплоты, идет на изменение At/ внутренней энергии этого тела и на совершение этим телом работы А над окружающими его телами. Согласно закону сохранения энергии.
<2 = ДС + А.(10)
Внутренняя энергия тела складывается из кинетической энергии его молекул, зависящей от средней скорости их теплового хаотического движения, и потенциальной энергии взаимодействия молекул между собой, зависящей от взаимного расположения молекул. Потенциальная энергия взаимодействия молекул идеального газа равна нулю. Полная же кинетическая энергия молекул газа пропорциональна (при постоянном объеме) давлению газа на стенку сосуда (см. задачи 505 и 506). С другой стороны, в этом случае по закону Шарля давление пропорционально температуре. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его температуре.
Работа, совершаемая газом при расширении от объема V; до V2, если давление р остается постоянным, определяется выражением
A=p^-VXY(11)
Согласно закону сохранения энергии (10) для увеличения внутренней энергии газа на одну и ту же величину, а следовательно, и для повышения на одну и ту же величину температуры газа требуется сообщить ему различное количество теплоты в зависимости от работы, совершаемой при этом газом. Поэтому, в частности, теплоемкость газа при постоянном объеме Су, когда процесс нагревания не сопровождается совершением работы, оказывается меньше, чем теплоемкость его при постоянном давлении Ср, когда газ, согласно формуле (1), совершает работу.
В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массы т = 2 кг. Для повышения температуры кислорода на АТ = 5 К ему было сообщено количество теплоты Q = 9160 Дж. Найти удельную теплоемкость кислорода ср, работу А, совершаемую им при расширении, и увеличение его внутренней энергии А(/. Молярная масса кислорода ц = 0,032 кг/моль.
Шар, наполненный сухим воздухом при температуре t0 = 0 °C и давлении рх = 99,4 кПа, уравновешен на весах. Когда шар был
откачан до давления воздуха в нем р2 = 1 кПа, для равновесия потребовалось положить на одну из чашек весов груз массы т = 37 г. Найти объем V шара. Плотность воздуха при нормальных условиях р() =1,3 кг/м3.
Некоторая масса газа находится в баллоне объема V = 1 л. После выпускания части газа из баллона давление в нем уменьшилось на Ар = 56 кПа, а масса баллона с газом - на ^т = 2 г. Температура газа при этом не изменилась. Найти плотность р0 газа при нормальном давлении р0 = 0,1 МПа и температуре опыта.
В баллоне объема V = 2,5 л находится газ при температуре /0 = 0 °C. Масса баллона с газом тх = 200 г. В баллон добавили порцию того же газа, после чего масса баллона с газом увеличилась до тг = 201 г. На какую величину Ар возросло давление в баллоне, если добавленный газ при нормальных условиях имел плотность р0 = 1,2 кг/м3? Температуру считать постоянной.
В цилиндре под поршнем находится кислород массы т = 2 кг. Поршень закреплен. Какое количество теплоты Q нужно сообщить кислороду, чтобы его температура повысилась на АТ = =5 К? Найти увеличение внутренней энергии Д(/ и удельную теплоемкость кислорода cv в этом случае (см. задачу 512).
Два металлических шара радиуса г = 10 см с одинаковыми массами, один из которых откачан, а другой заполнен кислородом при давлении г = 2 МПа, вносят в камеру, через которую идет поток насыщенного водяного пара, имеющего температуру t„ = 100 °C. После того как температуры пара и шаров выровнялись, оказалось, что на откачанном шаре сконденсировалась масса воды тх = 10 г, а на заполненном шаре -т2= 12,33 г воды. Начальные температуры шаров г = 27 °C. Найти удельную теплоемкость с кислорода. Удельная теплота парообразования воды X = = 2,3 МДж/кг. Молярная масса кислорода ц = 0,032 кг/моль. Тепловым расширением шаров пренебречь.
В теплоизолированном сосуде объема V = 5,6 л находится кислород при температуре tx = 66 °C и давлении рх = 0,25 МПа. Для нагрева газа до температуры t2 = 68 °C ему требуется сообщить количество теплоты <2 = 21 Дж. Какова удельная теплоемкость с кислорода при этих условиях? Молярная масса кислорода д = = 0,032 кг/моль. Тепловым расширением сосуда пренебречь.
Температура газа, имеющего массу т и молярную массу д, повышают на величину АТ один раз при постоянном давлении р, а другой раз при постоянном объеме V. Насколько отличаются
сообщенные газу количества теплоты Qp, Qv и удельные теплоемкости ср> cv при постоянном давлении и постоянном объеме?
При изотермическом расширении идеальный газ совершает работу А = 20 Дж. Какое количество теплоты Q сообщено газу?
В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот массы т = 0,2 кг при температуре tx = 20 °C. Азот, расширяясь, совершает работу А = 4,47 кДж. Найти изменение внутренней энергии азота AU и его температуру г2 после расширения. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме cv = 745 Дж/(кг ■ К).
Для повышения температуры газа, имеющего массу т = = 20 кг и молярную массу ц = 0,028 кг/моль, на АТ = 50 К при постоянном давлении необходимо затратить количество теплоты Qp = = 0,5 МДж. Какое количество теплоты Qv следует отнять от этого газа при постоянном объеме, чтобы его температура понизилась на АТ = 50 К?
Температура воды массы m = 1 кг повышается на АТ = 1 К. Найти увеличение внутренней энергии AUприходящееся на одну молекулу. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг К), ее молярная масса ц = 0,018 кг/моль. Коэффициент объемного расширения воды а = 2 ■ ИТ4 К1. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
Один моль кислорода нагревается при постоянном объеме от температуры гй = 0 °C. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить кислороду, чтобы его давление увеличилось в три раза? Удельная теплоемкость кислорода при постоянном объеме cv = = 657 Дж/(кг • К), его молярная масса ц = 0,032 кг/моль.
Воздух массы т = 5 г нагревается при постоянном давлении от температуры Т() = 290 К. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить воздуху, чтобы его объем увеличился в два раза? Считать, что удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна ср = 1,018 кДж/(кг ■ К).
Давление азота в сосуде объема V = 3 л после нагревания возросло на Ар = 2,2 МПа. Найти количество теплоты Q, сообщенное газу. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме cv = 745 Дж/(кг -К), его молярная масса ц = 0,028 кг/моль.
В цилиндре под невесомым поршнем находится воздух массы m = 3 кг. Температура воздуха увеличивается на АТ = 100 К при постоянном давлении. Найти работу А, совершаемую газом при расширении. Плотность воздуха при нормальных условиях Ро = 1,3 кг/м3.
В цилиндре объема V] = 190 см3 под поршнем находится газ при температуре 7\ = 323 К. Найти работу расширения газа при нагревании его на ДГ = 100 К. Масса поршня /и = 120 кг, его площадь 5 = 50 см2. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого изменяется следующим образом: в процессе 1-2 увеличивается давление при постоянном объеме V; в процессе 2-3 увеличивается объем при постоянном давлении pf, в процессе 3-4 увеличивается объем при постоянной температуре Г3; в процессе 4-1 газ возвращается в первоначальное состояние при постоянном давлении р2. Представить на графиках изменение состояния газа в координатах р, V; р, Т и V, Т. Показать, при каких процессах газ получает (отдает) теплоту. Как при этом изменяется температура и какая совершается работа?
м'2'321?3р\।оv, = v2V3VРис. 66м'2'321?3р\।оv, = v2V3VРис. 66Некоторая масса газа, занимающего объем V] = 0,01 м3, находится при давлении р, =0,1 МПа и температуре Г] = 300 К. Газ нагревается вначале при постоянном объеме до температуры Г2 = 320 К, а затем при постоянном давлении до температуры Г3 = 350 К (рис. 66). Найти работу А, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3.
м'2'3
21?3
р\।
оv, = v2V3V
Рис. 66
м'2'3
21?3
р\।
оv, = v2V3V
Рис. 66
В цилиндре под поршнем в объеме V = 1674 см3 находится насыщенный водяной пар, имеющий массу m = 1 г и температуру t = 100 °C. Какую работу А нужно затратить, чтобы сжать весь пар до полного превращения его в жидкость при той же температуре? Плотность воды при t = 100 °C под давлением ее насыщенного пара р = 0,96 • 103 кг/м3.
В двух теплоизолированных цилиндрах с объемами V, = 3 л и V2 = 5 л находятся одинаковые газы при давлениях р^ = 0,4 МПа и р2 = 0,6 МПа и температурах t^ = 27 °C и г2 = 127 °C. Цилиндры соединяют трубкой. Какая температура Т и какое давление р установятся в цилиндрах после смешивания газов?
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары
Паром называют обычно газ при температуре ниже критической, когда он может быть превращен в жидкость повышением давления без понижения температуры. Насыщенный пар — это пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью. Если насыщенный пар содержит 90
взвешенные капельки жидкости, то он называется влажным, в противном случае - сухим. Ненасыщенный пар называют также перегретым паром.
(12)(12)Ненасыщенный пар по своей природе ничем не отличается от обычного газа. Поэтому для него справедливо уравнение состояния
(12)
(12)
pV = —RT.Ц
Однако по мере приближения температуры к критической в состояниях, близких к насыщению, наблюдаются заметные отклонения от уравнения (12), возникающие из-за взаимодействия молекул между собой. С той же оговоркой это уравнение может быть применено и в качестве уравнения состояния для сухого насыщенного пара. В этом случае объем V в уравнении (12) будет уже не объемом всего сосуда, а лишь объемом, который занимает пар (в сосуде кроме насыщенного пара обычно содержится и некоторое количество жидкости).
При рассмотрении процессов, происходящих с насыщенным паром, нужно учитывать, что при изменении температуры, давления или объема изменяется также и масса пара. В частности, при изотермическом изменении объема масса пара изменяется пропорционально объему. Следовательно, плотность пара р = m/V и его давление р не изменяются. Поэтому для насыщенного пара уравнение состояния часто удобно применять в виде
р = \iplRT.
В цилиндре с поршнем находится жидкость под большим давлением. Поршень медленно поднимают. Представить графически зависимость давления р в цилиндре от увеличения объема V для двух постоянных температур Тх иТ2 (изотермы Тх = const и Т2 = const; Тх < Т2\
На рис. 67 представлена зависимость давления насыщенного пара от температуры (кривая abck\ Почему эта зависимость, в отличие от закона Шарля для газов, не является линейной? В каких случаях зависимость давления пара от температуры будет изображаться линиями abd и abcel
Ненасыщенный пар в цилиндре под поршнем сначала нагревают при постоянном объеме, затем медленно
сжимают при постоянной температуре до полного сжижения.
Представить графически зависимость давления р от объема V.
Сколько молекул содержит единица массы насыщенных и ненасыщенных паров ртути и воды? Молярные массы ртути и воды р, = 0,2 кг/моль и ц2 = 0,018 кг/моль.
При температуре г = 4°С давление сухого насыщенного пара р = 0,8 кПа. Во сколько раз плотность воды р„ при температуре t = 4 °C больше плотности пара р? Какие объемы приходятся на одну молекулу воды и пара? Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
Во сколько раз при температуре t = 400 °C плотность р, пара ртути при атмосферном давлении отличается от плотности р2 насыщенного пара ртути? Атмосферное давление рх =0,1 МПа, давление насыщенного пара ртути при температуре t = 400 °C рг = 0,22 МПа.
В котел объема V = 5 м3 накачали массу воды тп = 20 кг. Содержимое котла нагрели до температуры Т = 453 К. Найти массу т и давление р пара в котле. Плотность насыщенного пара при температуре Т = 453 К р() = 5,05 кг/м3. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
В замкнутом сосуде объема V = 1 м3 находится вода массы тв = 12 г и некоторая масса насыщенного пара, плотность и давление которого при данной температуре р() = 0,008 кг/м3 и р() = 1,1 кПа. Какое давление р установится при увеличении объема в к = 5 раз? Температура при увеличении объема не изменяется.
Под колоколом воздушного насоса находится влажная губка. При откачивании газа под колоколом установилось давление р = 1 кПа и температура t = 7 °C. Спустя время т = 1 ч после начала откачки давление резко упало. Найти массу т воды, которая содержалась в губке. Насос откачивает в единицу времени объем воды VT = 10 л/с. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
Закрытый сосуд объема V = 0,5 м3, содержащий воду массы т = 0,5 кг, нагрели до температуры Т = 420 К. На какую величину AV следует изменить объем сосуда, чтобы в нем содержался только насыщенный пар? Давление насыщенного пара при температуре Т = 420 К ро = 0,47 МПа. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
В пароперегреватель, содержащий сухой пар массы m = 120 кг при температуре t = 177 °C, подано некоторое количество теплоты, из которого на долю пара пришлось количество теплоты <2= 18 МДж. В результате давление пара достигло предельного значения и поднялся предохранительный клапан, имеющий диаметр d = 4 см. Каково было начальное давление пара р,
если сила, открывающая клапан, F = 1,57 кН? Удельная теплоемкость пара с = 1,5 кДж/(кг • К).
Рис. 68Рис. 68В трубке, открытым концом опущенной в воду, в объеме V = 30 см3 при температуре г = 17 °C находится смесь насыщенного пара и гелия (рис. 68). Высота столба воды в трубке h = 10 см. Найти массы пара и гелия тх и т2. Давление насыщенного пара при температуре t = 17 °C рх = 1,94 кПа. Молярные массы воды и гелия ц, = 0,018 кг/моль и ц2 = 0,004 кг/моль, атмосферное давление ри = 0,1 МПа.
Рис. 68
Рис. 68
В цилиндре под поршнем над водой в объеме V = 1 м3 при температуре t = 30 °C находится смесь насыщенного пара и азота. Масса смеси т = 286 г. Какая масса пара Ат сконденсируется, если объем уменьшить в к = 3 раза при постоянной температуре? Какое давление р было у смеси до сжатия? Давление насыщен
ного пара при температуре t = 30 °C р} = 4,2 кПа. Молярные массы воды и азота ц, = 0,018 кг/моль и ц2 = 0,028 кг/моль.
Влажный пар, содержащий п = 15 % (по массе) воды в виде капелек и имеющий давление р = 15 кПа и температуру г„ = 100 °C, конденсируют, смешивая с водой, температура которой t = 20 °C. Какое отношение воды и пара требуется (по массе) для получения смеси с температурой 6 = 40 °C? Температура кипения воды при давлении р = 15 кПа ГКИ[| = 54 °C. Удельные теплоемкости воды и пара с = 4,2 кДж/(кг • К) и с„ =1,9 кДж/(кг ■ К). Удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
Когда в воде нет растворенных газов, она может быть нагрета при атмосферном давлении до температуры более высокой, чем температура кипения. При введении в воду каким-либо способом воздуха перегретая вода бурно, взрывообразно закипает, и температура ее быстро падает до температуры кипения при атмосферном давлении. Какая масса т„ пара получится из воды, нагретой до температуры t = 120 °C, если масса воды т = 10 кг? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг ■ К). Удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
В закрытом сосуде объема V = 0,4 м3 находятся в тепловом равновесии при температуре г, = -23 °C лед и насыщенный пар, масса которых т = 2 г. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить содержимому сосуда для повышения его температуры до ?2 = -1 °C? Давление насыщенного пара рх = 77 Па при температуре 0 и р2 = 560 Па при температуре t2. Удельные теплоемкости
при температуре ниже t0 = О °C льда и пара сл = 2,1 кДж/(кг • К) и с = 1,3 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда /• = 0,33 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
В объеме V, =20 л содержится насыщенный пар при температуре t = 100 °C. Какую работу надо совершить, чтобы путем изотермического сжатия уменьшить объем пара до V2 = Ю л? Объемом воды, образовавшейся при конденсации, пренебречь.
Найти работу пара по перемещению поршня на расстояние I = 40 см, если давление пара равномерно убывает при перемещении поршня от рх = 2,2 МПа до р2 = 0,2 кПа. Площадь поршня .5' = 300 см2. Представить работу на графике зависимости давления от объема.
Опыт Торричелли производят со спиртом вместо ртути. Найти высоту к, до которой поднимется спирт. Атмосферное давление в момент опыта рх = 93,6 кПа. Плотность спирта р = 0,76-103 кг/м3, давление пара спирта при температуре опыта р2 = 0,6 кПа.
Найти абсолютную влажность воздуха, если парциальное давление насыщенного пара р = 14 кПа, а температура t = 60 °C. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
Абсолютная влажность воздуха при температуре ц = 60 °C р, =0,005 кг/м3. Найти абсолютную влажность воздуха р2 после понижения температуры до t2 = 20 °C. Давление насыщенного пара при этой температуре р2 = 2,335 кПа. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
Абсолютная влажность воздуха при температуре tx = 60 °C Pi = 0,05 кг/м3. Найти абсолютную влажность воздуха р2 после понижения температуры до Z2 = 10 °C. Давление насыщенного пара при этой температуре р2 = 1,226 кПа. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
В сосуде находится воздух, относительная влажность которого при температуре tx = 10 °C / = 60 %. Какова будет относительная влажность /2 после уменьшения объема в к = 3 раза и нагревания воздуха до температуры t2 = 100 °C? Плотность насыщенного пара при температуре tx = 10 °C р, = 9,4-10~3 кг/м3. Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль.
Плотность влажного воздуха при температуре t = 27 °C и давлении р = 0,1 МПа р = 1,19 кг/м3. Найти абсолютную р' и относительную/' влажности воздуха, если при температуре t = 27 °C
[зиготность насыщенного пара р0 = 0,027 кг/м3. Молярные массы воздуха и воды щ = 0,029 кг/моль и ц2 = 0,018 кг/моль.
В комнате объема V = 40 м3 при температуре t = 20 °C относительная влажность воздуха/) = 20 %. Какую массу воды нужно испарить для увеличения относительной влажности воздуха до / = 50 %? Плотность насыщенного пара при температуре t = 20 °C р = 17,3-10-3 кг/м3.
В комнате объема V = 50 м3 относительная влажность воздуха/ = 40 %. Если испарить дополнительно массу воды т = 60 г, то относительная влажность воздуха увеличится до/ = 50 %. Какова при этом будет абсолютная влажность воздуха р?
Найти отношение плотностей влажного (относительная влажность / = 90 %) и сухого воздуха при давлении р0 = 0,1 кПа и температуре t = Tl °C. Плотность насыщенного пара при t = 27 °C р0 = 0,027 кг/м3. Молярные массы воздуха и воды Ц) = 0,029 кг/моль и ц2 = 0,018 кг/моль.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
По закону Кулона сила взаимодействия F двух точечных зарядов ^| и г/2, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = k^^.(1)
г
Если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью Е (е > 1), то сила взаимодействия между ними
F^k^-.(2)
ЕГ
Диэлектрическая проницаемость Е показывает, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в среде меньше, чем в вакууме; для вакуума Е = 1, т.е. формула (2) в этом случае совпадает с формулой (1).
В системе единиц СИ основной электрической единицей является единица силы тока ампер (А) - сила тока, при котором отрезки тонких
бесконечно длинных параллельных проводников длины 1 м каждый взаимодействуют в вакууме с силой 2-10-7 Н. Единица заряда в этой системе единиц кулон (Кл) является производной и определяется как заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при электрическом токе 1 А в течение 1 с: 1 Кл = 1 А ■ с.
Чтобы получить при помощи формулы (1) силу в системе единиц СИ - в ньютонах, - заряды выражают в кулонах, расстояния - в метрах, коэффициент пропорциональности к при этом записывают в виде
4ле0 ’
где Ео = 8,85-Ю-'2 Ф/м - электрическая постоянная, выражаемая в фарадах на метр, а множитель 4л введен для того, чтобы ряд других формул имел более простой (рациональный) вид. Таким образом, в СИ коэффициент пропорциональности
к = 1/4Л8о = 9109 Н ■ м2/Кл2
- размерная величина.
В соответствии с этим сила взаимодействия двух зарядов, находящихся в среде, выражается формулой
А = - - - -.(з)
4ле0 ег
где е - относительная (безразмерная) диэлектрическая проницаемость вещества (относительно диэлектрической проницаемости вакуума), значения которой приводятся в таблицах.
Если имеется несколько (более двух) электрических зарядов, то силы взаимодействия между каждой парой этих зарядов не зависят от наличия остальных. Поэтому результирующая сила, действующая на каждый заряд, складывается по правилу сложения векторов из сил, действующих на него со стороных всех других зарядов (принцип суперпозиции).
Поверхностной плотностью о электрического заряда называется заряд, приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела. При равномерном распределении заряда q по поверхности тела поверхностная плотность заряда
О = q/S,
где 5 - площадь тела. Поверхностная плотность заряда выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
Два одинаковых точечных заряда q взаимодействуют в вакууме с силой F = 0,1 Н. Расстояние между зарядами г = б м. Найти эти заряды.
Какое число N электронов содержит заряд в одну единицу заряда в системе единиц СИ (1 Кл)? Элементарный заряд е= 1,60- 10-19Кл.
. 562. Два точечных заряда qx и q2 находятся на расстоянии г друг от друга. Если расстояние между ними уменьшается на величину Дг = 50 см, то сила взаимодействия F увеличивается в два раза. Найти расстояние г.
Тонкая шелковая нить выдерживает максимальную силу натяжения Г = 10 мН. На этой нити подвешен шарик массы т = 0,6 г, имеющий положительный заряд qx = 11 нКл. Снизу в направлении линии подвеса к нему подносят шарик, имеющий отрицательный заряд q2 = -13 нКл. При каком расстоянии г между шариками нить разорвется?
Отрицательный точечный заряд Q расположен на прямой, соединяющей два одинаковых положительных точечных заряда q. Расстояния между отрицательным зарядом и каждым из положительных относятся между собой, как 1 : 3. Во сколько раз изменится сила, действующая на отрицательный заряд, если его поменять местами с ближайшим положительным?
Два отрицательных точечных заряда qx=-9 нКл и q2 = -36 нКл расположены на расстоянии г = 3 м друг от друга. Когда в некоторой точке поместили заряд q0, то все три заряда оказались в равновесии. Найти заряд q0 и расстояние между зарядами qx и qQ.
Три одинаковых точечных заряда q = 20 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. На каждый заряд действует сила F = 10 мН. Найти длину а стороны треугольника.
Три одинаковых точечных заряда qx = ^2 = q3 = 9 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой точечный заряд qxx нужно поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?
Четыре одинаковых точечных заряда q = 10 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найти силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.
Четыре одинаковых по модулю точечных
q©-
q
-©
е-q
Чо
©
а
-е q
Рис. 69
заряда |^| = 20 нКл, два из которых положительны, а два отрицательны, расположены в вершинах квадрата со стороной а = 20 см так, как показано на рис. 69. Найти силу, действующую на по-
мещенный в центре квадрата положительный точечный заряд q0 = 20 нКл.
На изолированной подставке расположен вертикально тонкий фарфоровый стержень, на который надет металлический полый шарик А радиуса г (рис. 70). После сообщения шарику заряда g = 60 нКл по стер- -—жню опущен такой же незаряженный металлический шарик В массы т =0,1 г, который соприкасается с шариком А. На каком расстоянии h от шарика А будет находиться в равновесии шарик В после соприкосновения, если
" (\4 mg < k(0,5q)2/ (4г)2? Трением шариков о стержень ।। пренебречь.
Вокруг отрицательного точечного заря- Рнс. 70 да ^0 = _5 нКл равномерно движется по окружности под действием силы притяжения маленький заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если угловая скорость вращения шарика со = 5 рад/с, а радиус окружности R = 3 см?
Два одинаковых шарика массы m = 9 г находятся друг от
друга на расстоянии г, значительно превышающем их размеры. Какие равные заряды необходимо поместить на шариках, чтобы сила их кулоновского взаимодействия уравновешивала силу гравитационного притяжения?
Найти силы взаимодействия двух точечных зарядов qx = = 4 нКл и ^2 = 16 нКл в вакууме и в керосине (диэлектрическая проницаемость £ = 2) на расстоянии г = 20 см.
Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии Г] = 5 см, взаимодействуют друг с другом с силой Fx = 120 мкН, а находясь в некоторой непроводящей жидкости на расстоянии г2 = 10 см, - с силой F2 = 15 мкН. Какова диэлектрическая проницаемость жидкости?
Найти расстояние гх между двумя одинаковыми точечными зарядами, находящимися в масле (диэлектрическая проницаемость Е = 3), если сила взаимодействия между ними такая же, как в вакууме на расстоянии г2 = 30 см.
Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях равной длины в одной точке, разошлись в воздухе на некоторый угол 2а. Какова должна быть плотность р материала шариков, чтобы при погружении их в керосин (диэлектрическая
проницаемость £ = 2) угол между нитями не изменился? Плотность керосина рк = 0,8 • 103 кг/м3.
Два одинаковых заряженных шарика подвешены на нитях равной длины в одной токе и погружены в жидкость. Плотности материала шариков и жидкости равны р и рж. При какой диэлектрической проницаемости жидкости угол расхождения нитей в жидкости и в воздухе будет один и тот же?
Одноименные точечные заряды qx и q2 расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной г в однородной среде с диэлектрической проницаемостью £. Найти суммарную силу F, действующую на точечный заряд q3, расположенный в третьей вершине треугольника.
Три точечных заряда, расположенных друг от друга на расстояниях г12, г]3 и г2з> взаимодействуют в вакууме с силами Г12, Fx3 и Fu соответственно. Найти через известные величины выражение для третьего заряда.
С какой силой взаимодействовали бы в вакууме два одинаковых точечных заряда q = 1 Кл, находясь на расстоянии г = 0,5 км друг от друга?
Два одинаковых шарика подвешены в воздухе на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После того как каждому шарику был сообщен заряд а = 0,4 мкКл, шарики разошлись на угол 2а = 60°. Найти массу шариков, если расстояние от центров шариков до точки подвеса / = 0,2 м.
Составлен прибор из двух одинаковых проводящих шариков массы т = 15 г, один из которых закреплен, а другой подвешен на нити длины / = 20 см. Шарики, находясь в соприкосновении, получают одинаковые заряды, вследствие чего подвижный шарик отклоняет нить на угол 2а = 60° от вертикали. Найти заряд каждого шарика.
Шарик, несущий заряд q = 50 нКл, коснулся внутренней поверхности незаряженной проводящей сферы радиуса R = 20 см. Найти поверхностную плотность заряда на внешней поверхности сферы.
Найти поверхностную плотность заряда на внешней поверхности проводящей сферы радиуса R = 20 см, если в центре сферы на изолирующей палочке находится шарик, несущий заряд q = 50 нКл. Будет ли изменяться поверхностная плотность при изменении положения шарика внутри сферы?
Электрическое поле
Напряженность электрического поля
Электрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое поле. На электрический заряд, помещенный в точку пространства, где есть электрическое поле, действует сила.
Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется напряженностью. Напряженностью электрического поля Е в данной точке называется отношение силы F, действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q№ к этому заряду:
E=F!q0. (4)
Напряженность электрического поля - векторная величина, направление которой совпадает с направлением силы F при q0 > 0. Если известна напряженность электрического поля в данной точке, то согласно формуле (4) на помещенный в эту точку заряд qu действует сила
F = ЧоЕ. (5)
Точечный заряд q создает вокруг себя электрическое поле, напряженность которого в точке, удаленной от этого заряда на расстояние г, согласно формуле (4) и закону Кулона (2) в системе единиц СИ выражается соотношением
где £ - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство вокруг заряда, а коэффициент пропорциональности к = 1/4л£о = = 9 • 109 Н • м2/Кл2. В системе единиц СИ за единицу напряженности принимается вольт на метр (В/м) - такая напряженность, при которой на заряд 1 Кл действует сила 1 Н (см. далее формулу (И)).
Напряженность электрического поля Е, создаваемого в данной точке несколькими точечными зарядами, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции):
Е = Е] + Е^ + ... + Еп.
Следует иметь в виду, что электрическое поле равномерно заряженного шара радиуса R, полный заряд которого равен q, совпадает вне шара с электрическим полем точечного заряда, равного заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому напряженность в точках, удаленных от центра шара на расстояние г R, можно вычислять по формуле (6).
На каком расстоянии г от точечного заряда q = 0,1 нКл, находящегося в дистиллированной воде (диэлектрическая проницаемость Е = 81), напряженность электрического поля Е = 0,25 В/м?
В центре проводящей сферы помещен точечный заряд q = 10 нКл. Внутренний и внешний радиусы сферы г = 10 см и R = 20 см. Найти напряженности электрического поля у внутренней (Е^ и внешней (Е2) поверхностей сферы.
Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды 1^1 = 18 нКл расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 2 м. Найти напряженность электрического поля Е в третьей вершине треугольника.
В вершинах при острых углах ромба, составленного из двух равносторонних треугольников со стороной а, помещены одинаковые положительные заряды qx = q3 = q. В вершине при одном из тупых углов ромба помещен положительный заряд Q. Найти напряженность электрического поля Е в четвертой вершине ромба.
Решить предыдущую задачу, если заряд Q отрицателен, в случаях, когда: a) IQI < q; б) IQI = q; в) IQI > q.
Диагонали ромба dx = 96 см и </2 = 32 см. На концах длинной диагонали расположены точечные заряды qx = 64 нКл и q2 = = 352 нКл, на концах короткой - точечные заряды q3 = 8 нКл и q4 = = 40 нКл. Найти модуль и направление (относительно короткой диагонали) напряженности электрического поля в центре ромба.
Какой угол а с вертикалью составит нить, на которой висит шарик массы т = 25 мг, если поместить шарик в горизонтальное однородное электрическое поле с напряженностью Е = 35 В/м, сообщив ему заряд q = 7 мкКл?
Шарик массы т = 0,1 г закреплен на нити, длина которой / велика по сравнению с размерами шарика. Шарику сообщают заряд q = 10 нКл и помещают в однородное электрическое поле с напряженностью Е, направленной вверх. С каким периодом будет колебаться шарик, если сила, действующая на него со стороны электрического поля, больше силы тяжести (F > mg)? Какой должна быть напряженность поля Е, чтобы шарик колебался с периодом То = 2Лз/// g?
Шарик массы т = 1 г подвешен на нити длины / = 36 см. Как изменится период колебаний шарика, если, сообщив ему положительный или отрицательный заряд 1^1 = 20 нКл, поместить шарик в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 100 кВ/м, направленной вниз?
В однородном электрическом поле с напряженностью Е = 1 МВ/м, направленной под углом а = 30° к вертикали, висит на
нити шарик массы m = 2 г, несущий заряд q = 10 нКл. Найти силу натяжения нити Т.
Электрон дЪижется в направлении однородного электрического поля с напряженностью Е = 120 В/м. Какое расстояние пролетит электрон до полной потери скорости, если его начальная скорость и = 1000 км/с? За какое время будет пройдено это расстояние?
Пучок катодных лучей, направленный параллельно обкладкам плоского конденсатора, на пути / = 4 см отклоняется на расстояние h = 2 мм от первоначального направления. Какую скорость и и кинетическую энергию К имеют электроны катодного луча в момент влета в конденсатор? Напряженность электрического поля внутри конденсатора Е = 22,5 кВ/м.
Потенциал. Работа электрических сил
Разностью потенциалов (или напряжением) V между точками а и h электрического поля называется отношение работы А, которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки а в точку Ь, к этому заряду.
V = A/q. (7)
Эта величина не зависит ни от формы пути, по которому происходит перемещение, ни от самого заряда q, а зависит только от свойств электрического поля и от выбора точек а и Ь. Поэтому, если в качестве конечной точки перемещения заряда q выбрать некоторую постоянную точку с (например, бесконечно удаленную точку), то отношение A,q может служить характеристикой электрического поля в произвольной точке а. В этом случае его называют потенциалом фй поля в точке а (относительно точки с). Потенциал поля в точке с можно считать равным произвольной постоянной величине, которую удобно положить равной нулю.
Если фа и <рй - потенциалы точек а и Ь, то
^=фа-фй. (8)
Согласно формулам (7) и (8) работа А, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда q из точки а в точку Ь, если известна разность потенциалов V между этими точками или известны потенциалы фа и ф/, поля в этих точках, определяется выражением
A=qV = q(q>a - фй). (9)
Единицей разности потенциалов в системе единиц СИ является вольт (В) — такая разность потенциалов, при которой электрические силы совершают работу 1 Дж при перемещении заряда 1 Кл: 1 В = = 1 Дж/1 Кл.
Если электрическое поле создается точечным электрическим зарядом q, помещенным в среде с диэлектрической проницаемостью е, то потенциал в точке, удаленной на расстояние г от этого заряда,
= =(10)
ег 4яе0 ег
Здесь потенциал отсчитывается относительно бесконечно удаленной точки, в которой он равен нулю. Знак потенциала определяется знаком заряда q.
Потенциал электрического поля, создаваемого в данной точке несколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности:
ф = ф, + ф2 + ... + ф„.
При неподвижных зарядах потенциалы всех точек на поверхности и внутри проводника одинаковы.
Электрическое поле равномерно заряженного шара радиуса R, полный заряд которого равен q, совпадает вне шара с электрическим полем точечного заряда, равного заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал точек поля, создаваемого шаром на расстояниях г^ R от его центра, можно вычислять по формуле (10). В частности, потенциал точек на поверхности и внутри проводящего шара радиуса R определяется выражением
, q 1 q^ = к~ =—.
eR 4ле0 eR
Между двумя характеристиками электрического поля — напряженностью и потенциалом - существует связь. Если фа и фА — потенциалы точек а и Ь, лежащих на одной линии напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии г друг от друга, то напряженность электрического поля
Е = ^а-^!г.(11)
Если поле неоднородно, то эта формула дает лишь среднее значение напряженности на линии напряженности между двумя этими точками.
Из формулы (11) следует, что напряженность электрического поля можно измерять разностью потенциалов, приходящейся на единицу длины. В системе единиц СИ за единицу напряженности принимается вольт на метр (В/м) - такая напряженность электрического поля, при которой разность потенциалов между точками, удаленными друг от друга на расстояние 1 м по линии напряженности, равна 1 В.
Найти потенциал шара радиуса R = 0,1 м, если на расстоянии г = 10 м от его поверхности потенциал электрического поля Ф,. = 20 В.
N одинаковых шарообразных капелек ртути одноимейно заряжены до одного и того же потенциала ф. Каков будет потенциал Ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?
В центре металлической сферы радиуса R = 1 м, несущей положительный заряд 0=10 нКл, находится маленький шарик с положительным или отрицательным зарядом 1<у1 = 20 нКл. Найти потенциал ф электрического поля в точке, находящейся на расстоянии г = 10/? от центра сферы.
До какого потенциала можно зарядить находящийся в воз-
+ 12 духе (диэлектрическая проницаемость
оо е = 1) металлический шар радиуса R =
= 3 см, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в авоздухе, Е = 3 МВ/м?
°601. Два одинаково заряженных шарика,
расположенных друг от друга на расстоянии г = 25 см, взаимодействуют с силой -4+з F = 1 мкН. До какого потенциала заряжены
°°1 о
шарики, если их диаметры D = 1 см?
Рис"71602. В вершинах квадрата, расположены
точечные заряды (в нКл): qx = + 1, q2 = - 2, q3 = + 3, <74 = - 4 (рис. 71). Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре квадрата (в точке А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.
Найти потенциалы и напряженности электрического поля в точках а и Ь, находящихся от точечного заряда <7 = 167 нКл на расстояниях га = 5 см и гь = 20 см, а также работу электрических сил при перемещении точечного заряда q0 = 1 нКл ,9 4из точки а в точку Ь.
гу' <-604. Точечный положительный заряд q создает
/^ в точках а и b (рис. 72) поля с напряженностями Еа аи Еь. Найти работу электрических сил при пе
Рис. 72 ремещении точечного заряда q0 из точки а в точку Ь.
В атомной физике энергию быстрых заряженных частиц выражают в электронвольтах. Электронвольт (эВ) - это такая энергия, которую приобретает электрон, пролетев в электриче
ском поле путь между точками, разность потенциалов между которыми равна 1 В. Выразить электронвольт в джоулях. Какую скорость имеет электрон, обладающий энергией 1 эВ?
Электрон летит от точки а к точке Ь, разность потенциалов между которыми V = 100 В. Какую скорость приобретает электрон В точке Ь, если в точке а его скорость была равна нулю?
Какую работу необходимо совершить при переносе точечного заряда ^о = 30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии г = 10 см от поверхности заряженного металлического шара? Потенциал на поверхности шара ф =' 200 В, радиус шара R = 2 см.
। aс!:^о?!г *: ьd*.О69ь\IРис. 73। aс!:^о?!г *: ьd*.О69ь\IРис. 73При переносе точечного заряда q0 = 10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии г = 20 см от поверхности заряженного металлического шара, необходимо совершить работу А = 0,5 мкДж. Радиус шара R = = 4 см. Найти потенциал ф на поверхности шара.
। aс!
:^о?
!г *
: ьd*.
О6
9ь\I
Рис. 73
। aс!
:^о?
!г *
: ьd*.
О6
9ь\I
Рис. 73
Два одинаковых заряда q^ = q = 50 мкКл находятся на расстоянии ra = 1 м друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния гь = 0,5 м?
Два заряда qa = 2 мкКл и qb = 5 мкКл расположены на расстоянии г = 40 см друг от друга в точках а и b (рис. 73). Вдоль прямой cd, проходящей параллельно прямой ab на расстоянии
d = 30 см от нее, перемещается заряд q0 = 100 мкКл. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q0 из точки с в точку d, если прямые ас и bd перпендикулярны к прямой cd.
Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q0 из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен заряд <?], а на втором - заряд q2.
На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд q. Какова наименьшая скорость и, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q0, чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?
На шарик радиуса R = 2 см помещен заряд q = 4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки?
Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если
в момент удара на него переходит заряд </? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между пластинами равно d.
Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу т, получает начальную скорость и, направленную вниз. На какое минимальное расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?
Найти максимальное расстояние h между шариками в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет отрицательный заряд q, а начальная скорость и верхнего шарика направлена вверх.
Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки а к точке Ь, увеличил свою скорость с иа = 1000 км/с до иь = = 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и b электрического поля.
В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью и = = 2 • 107 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d = 2 см, длина конденсатора / = 5 см, разность потенциалов между пластинами V = 200 В.
Положительно заряженная пылинка массы т = 10 к г находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. Между пластинами создана разность потенциалов V] = 6000 В. Расстояние между пластинами d = 5 см. На какую величину необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд уменьшился на q0 = 1000 г?
Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной отрицательно.
В электрическое поле плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, помещена капелька масла, имеющая заряд q = 1 е. Напряженность электрического поля подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V = 500 В, расстояние между пластинами d = 0,5 см. Плотность масла р = 0,9 • 103 кг/м3. Найти радиус капельки масла. .
Внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины
J = 1 см с металлическими шариками на концах, несущими заряды +q и -q (1^1 = 1 нКл). Палочка может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V = 3 В, расстояние между пластинами d = 10 см. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть па- ■*j*• лочку вокруг оси на 180° по отношению к _ j + тому положению, которое она занимает на °®" Г О о
рис. 74?I
Внутри плоского конденсатора помещен диэлектрический стержень длины74
/ = 3 см, на концах которого имеются два'
точечных заряда +q и -q (|^| = 8 нКл). Разность потенциалов между пластинами конденсатора V = 3 В, расстояние между пластинами <7=8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил, действующий на стержень с зарядами.
На концах диэлектрической палочки длины / = 0,5 см
прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды -q и +q (|</| = 10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора, расстояние между которыми d = 10 см (рис. 75). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу растяжения F = 0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.
Металлический шарик 1 радиуса R; = 1 см прикреплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса /?2 = 2 см. Расстояние между шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для
восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы т = 4 мг. До какого потенциала ф был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?
Электрическая емкость
Электрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника называется величина
С = *(12)
где q - его заряд, ф - потенциал (относительно бесконечности). Емкость уединенного шара радиуса R, помещенного в среду с диэлектрической проницаемостью £, вычисляется по формуле
С = 4ЛЕо£/?,
где £о = 8,85 • 10-12 Ф/м - электрическая постоянная.
Два изолированных друг от друга проводника, заряженных равными по модулю, но противоположными по знаку зарядами, образуют конденсатор. Эти проводники называют обкладками конденсатора. Емкостью конденсатора называется положительная величина
С = ^/(ф, - фг) = q!V,(13)
где q - заряд на одной из его обкладок, V = ф] - ф2 - разность потенциалов между ними. Емкость конденсатора с диэлектриком, заполняющим пространство между обкладками,
С £Со,
где Со - емкость этого же конденсатора без диэлектрика. Емкость плоского конденсатора, представляющего собой две параллельные пластины площади 5 каждая, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью £, вычисляется по формуле
С еСо E^SId,
где Сц = E^S/d - емкость плоского конденсатора без диэлектрика, а d - расстояние между пластинами. Если q - заряд на одной из пластин конденсатора, то напряженность поля между пластинами
Е = q/E^ES.
Разность потенциалов между пластинами
V = ф[ - ф2 = Ed = qdlE<£S.■
При параллельном соединении конденсаторов с емкостями Сх, С2,..., Сп их общая емкость
С = Сх + С2 + ... + Сп.
Общую емкость последовательно соединенных конденсаторов с емкостями С], С2,..., С„ можно найти из соотношения
Конденсатор с емкостью С, заряженный зарядом q до разности потенциалов V, обладает энергией
w=CV^_=q^=qV2 2С 2 ‘
За единицу емкости согласно формулам (12) и (13) в системе единиц СИ принимается фарад (Ф) - это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл:
Ф = 1 Кл/1 В.
Во сколько раз изменится емкость проводящего шара радиуса R, если он сначала помещен в керосин (диэлектрическая проницаемость £| = 2), а затем в глицерин (диэлектрическая проницаемость е2 = 56,2)?
Плоский конденсатор имеет емкость С = 5 пФ. Какой заряд находится на каждой из его пластин, если разность потенциалов между ними V = 1000 В?
Поверхностная плотность заряда на пластинах плоского вакуумного конденсатора с = 0,3 мкКл/м2. Площадь пластины S = 100 см2, емкость конденсатора С = 10 пФ. Какую скорость приобретает электрон, пройдя расстояние между пластинами конденсатора?
Плоский воздушный конденсатор состоит из трех пластин, соединенных, как показано на рис. 77. Площадь каждой пластины S = 100 см2, расстояние между ними d = 0,5 см. Найти емкость конденсатора.
Как изменится емкость конденсатора при погружении его в глицерин (диэлектрическая прони- Рис. 77 цаемость £ = 56,2)?
Конденсатор состоит из я латунных листов, проложенных стеклянными прокладками толщины d = 2 мм. Площади латунного листа и стеклянной прокладки равны 5 = 200 см2, диэлектрическая проницаемость стекла е = 7. Найти емкость конденсатора, если п = 21 и выводы конденсатора присоединены к крайним листам.
Маленький шарик, имеющий заряд q = 10 нКл, подвешен на нити в пространстве плоского воздушного конденсатора, круглые пластины которого расположены горизонтально. Радиус пластины
конденсатора R = 10 см. Когда пластинам конденсатора сообщили заряд Q = 1 мкКл, сила натяжения нити увеличилась вдвое. Найти
массу шарика.
Между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора подвешен на нити маленький шарик, несущий заряд <7 = 10 нКл. Масса шарика т = 6 г, площадь пластины конденсатора 5 = 0,1 м2. Какой заряд Q надо сообщить пластинам конденсатора, чтобы нить отклонилась от вертикали на угол а = 45°?
Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины плоского воздушного конденсатора и источник тока с напряжением V = 6,3 В, при погружении конденсатора в керосин (диэлектрическая проницаемость £ = 2)? Площадь пластины конденсатора 5 = 180 см2, расстояние между пластинами d = 2 мм.
Плоский воздушный конденсатор зарядили до разности потенциалов Vo = 200 В. Затем конденсатор отключили от источника тока. Какой станет разность потенциалов между пластинами, если расстояние между ними увеличить от dQ = 0,2 мм до d = 0,7 мм, а пространство между пластинами заполнить слюдой (диэлектрическая проницаемость £ = 7)?
Пластины плоского воздушного конденсатора присоединены к источнику тока с напряжением V = 600 В. Площадь квадратной пластины конденсатора 50 = Ю0 см2, расстояние между пластинами d = 0,1 см. Какой ток будет проходить по проводам при параллельном перемещении одной пластины вдоль другой со скоростью и = 6 см/с (рис. 78)?
Найти заряд, который нужно сообщить двум параллельно соединенным конденсаторам с емкостями С, = 2 мкФ и С2 = 1 мкФ, чтобы зарядить их до разности потенциалов V= 20 кВ.
Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов Vo = 6 В. Найти разность потенциалов V между пластинами конденсаторов, если после отключения конденсаторов от источника тока у одного конденсатора уменьшили расстояние между пластинами вдвое.
Два конденсатора с емкостями С] = 1 мкФ и С2 = 2 мкФ зарядили до разностей потенциалов V] = 20 В и V2 = 50 В. Найти
разность потенциалов V после соединения конденсаторов одноименными полосами.
Конденсатор емкости С) = 20 мкФ, заряженный до разности потенциалов Е] = 100 В, соединили параллельно с заряженным до разности потенциалов V, = 40 В конденсатором, емкость которого С2 неизвестна (соединили одноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти емкость С2 второго конденсатора, если разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения оказалась равной V = 80 В.
Конденсатор емкости С, = 4 мкФ, заряженный до разности потенциалов Vx = 10 В, соединен параллельно с заряженным до разности потенциалов Е2 = 20 В конденсатором емкости С2 = б мкФ (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Какой заряд окажется на пластинах первого конденсатора после соединения?
Конденсатор, заряженный до разности потенциалов Vx = 20 В, соединили параллельно с заряженным до разности потенциалов 1А = 4 В конденсатором емкости С2 = 33 мкФ (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти емкость С] первого конденсатора, если разность потенциалов между обкладками конденсаторов после их соединения V = 2 В.
Конденсатор емкости Сх = 1 мкФ, заряженный до разности потенциалов Vx = 100 В, соединили с конденсатором емкости С2 = = 2 мкФ, разность потенциалов У2 на обкладках которого неизвестна (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти разность потенциалов V2, если разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения оказалась равной У = 200 В.
Два проводящих шара с радиусами Rx и R2 расположены так, что расстояние между ними во много раз больше радиуса большего шара. На шар радиуса Rx помещен заряд q. Каковы будут заряды на шарах после соединения их проводником, если второй шар не был заряжен? Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.
Два проводящих шара с радиусами Rx = 8 см и R2 = 20 см, находящихся на большом расстоянии друг от друга, имели электрические заряды qx =40 нКл и <у2 = —20 нКл. Как перераспределятся заряды, если шары соединить проводником? Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.
Два проводящих шара с радиусами Rx = 10 см и /?2 = 5 см, заряженных до потенциалов ф! =20 В и ф2 = 10 В, соединяются
проводником. Найти поверхностные плотности зарядов на шарах о, и а2 после их соединения. Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами. Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.
Плоский воздушный конденсатор, заряженный до разности потенциалов Vo = 800 В, соединили параллельно с таким же по размерам незаряженным конденсатором, заполненным диэлектриком. Какова диэлектрическая проницаемость £ диэлектрика, если после соединения разность потенциалов между пластинами конденсаторов оказалась равной V = 100 В?
Найти емкость С трех плоских воздушных конденсаторов, соединенных параллельно. Размеры конденсаторов одинаковы: площадь пластины S = 314 см2, расстояние между пластинами d = 1 мм. Как изменится емкость трех конденсаторов, если пространство между пластинами одного конденсатора заполнить слюдой (диэлектрическая проницаемость £| = 7), а другого - парафином (диэлектрическая проницаемость £2 = 2)?
В заряженном плоском конденсаторе, отсоединенном от источника тока, напряженность электрического поля равна Ео. Половину пространства между пластинами конденсатора заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью £ (толщина диэлектрика равна расстоянию между пластинами). Найти напряженность электрического поля Е в пространстве между пластинами, свободном от диэлектрика.
Два последовательно соединенных конденсатора с емкостями С[ = 1 мкФ и С2 = 3 мкФ подключены к источнику тока с напряжением V = 220 В. Найти напряжение на каждом конденсаторе.
Два последовательно соединенных конденсатора с емкостями С] = 1 мкФ и С2 = 2 мкФ подключены к источнику тока с
. напряжением V = 900 В. Возможна ли работа ° IIЖ~° такой схемы, если напряжение пробоя конден-
С|с2саторов У„р = 500 В?
Рис. 79651. Два последовательно соединенных кон
денсатора подключены к источнику тока с напряжением V = 200 В (рис. 79). Один конденсатор имеет постоянную емкость С] = 0,5 мкФ, а другой - переменную емкость С2 (от Cmin = 0,05 мкФ до Стах = 0,5 мкФ). В каких пределах изменяется напряжение на переменном конденсаторе при изменении его емкости от минимальной до максимальной?
■ 652. При последовательном соединении трех различных конденсаторов емкость цепи Со = 1 мкФ, а при параллельном соединении емкость цепи С = 11 мкФ. Найти емкостью конденсаторов С2 и С3, если емкость конденсатора С] = 2 мкФ.
При последовательном соединении трех различных конденсаторов емкость цепи Со = 0,75 мкФ, а при параллельном соединении емкость цепи С = 7 мкФ. Найти емкости конденсаторов С2 и С3 и напряжения на них V2 и ^з (при последовательном соединении), если емкость конденсатора С] = 3 мкФ, а напряжение на нем V; = 20 В.
Три последовательно соединенных конденсатора с емкостями С, = 100 пФ, С2 = 200 пФ, С3 = 500 пФ подключены к источнику тока, который сообщил им заряд q = 10 нКл. Найти напряжения на конденсаторах Vh V2 и V3, напряжение источника тока V и емкость всех конденсаторов С(|.
Три последовательно соединенных конденсатора с емкостями С] =0,1 мкФ, С2 = 0,25 мкФ и С3 = 0,5 мкФ подключены к источнику тока с напряжением V = 32 В. Найти напряжения V], V2 и V3 на конденсаторах.
Два одинаковых воздушных конденсатора емкости С = =100 пФ соединены последовательно и подключены к источнику тока с напряжением V = 10 В. Как изменится заряд на конденсаторах, если один из них погрузить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е = 2?
Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми емкостями соединены последовательно и подключены к источнику тока. Пространство между пластинами одного из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 9. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля Е в этом конденсаторе?
Решить предыдущую задачу для случая, когда конденсаторы после зарядки отключаются от источника тока.
Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми емкостями С = 10 пФ соединены последовательно. Насколько изменится емкость конденсаторов, если пространство между пластинами одного из них заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2?
В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между ними d введена параллельно обкладкам проводящая пластинка, размеры которой равны размерам обкла-
док, а ее толщина намного меньше d. Найти емкость конденсатора с проводящей пластинкой, если пластинка расположена на расстоянии / от одной из обкладок конденсатора.
В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок 5 и расстоянием между ними d введена параллельно обкладкам проводящая пластинка, размеры которой равны размерам обкладок, а толщина du = dB < d. Найти емкость конденсатора с проводящей пластинкой.
Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов Ц) = 50 В и отключен от источника тока. После этого в конденсатор параллельно обкладкам вносится проводящая пластинка толщины du = 1 мм. Расстояние между обкладками d = 5 мм, площади обкладок и пластинки одинаковы. Найти разность потенциалов V между обкладками конденсатора с проводящей пластинкой.
В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок 5 и расстоянием между ними d вводится параллельно обкладкам диэлектрическая пластинка толщины d^ < d. Диэлектрическая проницаемость пластинки равна Е, площади обкладок и пластинки одинаковы и равны 5. Найти емкость конденсатора с диэлектрической пластинкой.
Рис. 80Рис. 80Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено тремя диэлектрическими пластинками равной толщины d = 2 мм из стекла (Е] = 7), слюды (е2 = 6) и парафина (е3 = 2). Площади обкладок и пластинок одинаковы и равны 5 = 200 см2. Найти емкость С .такого конденсатора.
Рис. 80
Рис. 80
Рис. 81
В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок 5 и расстоянием между ними d внесена параллельно обкладкам диэлектрическая пластинка с диэлектрической проницаемостью Е = 2, которая расположена так, как показано на рис. 80. Во сколь-
ко раз изменится емкость конденсатора при внесении в него пластинки?
Найти общую емкость конденсаторов, включенных по схеме, изображенной на рис. 81. Емкости конденсаторов С] = 3 мкФ, С2 = 5 мкФ, С3 = 6 мкФ и С4 = 5 мкФ.
о6Рис. 82о6Рис. 82Рис. 83Рис. 83
о6
Рис. 82
о6
Рис. 82
Рис. 83
Рис. 83
Найти общую емкость конденсаторов, включенных по схеме, изображенной на рис. 82. Емкость каждого конденсатора
равна Со.
Найти разность потенциалов между точками а и h в схеме, изображенной на рис. 83. Емкости конденсаторов С] = 0,5 мкФ и С2 = 1 мкФ, напряжения источников тока V] = 2 В и V2 = 3 В.
Бумажный конденсатор емкости С] = 5 мкФ и воздушный конденсатор емкости С2 = 30 пФ соединены последовательно и подключены к источнику тока с напряжением V = 200 В. Затем воздушный конденсатор заливается керосином (диэлектри
Рис. 84Рис. 84ческая проницаемость е = 2). Какой заряд q протечет при этом по цепи?
Рис. 84
Рис. 84
Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику тока. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в одном из них, если другой заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 4?
На точечный заряд, находящийся внутри
плоского конденсатора, имеющего заряд q, действует сила F. На какую величину ДЕ изменится эта сила, если конденсатор в
течение времени t заряжать током /?
Конденсаторы, соединенные по схеме, изображенной на рис. 84, подключают в точках а и b к источнику тока с напря-
жением V = 80 В, а затем отключают от него. Найти заряд, который протечет через точку а, если замкнуть ключ К. Емкости конденсаторов С] = С2 = С3 = Со и С4 = ЗС0, где Со = 100 мкФ.
Четыре конденсатора соединены по схеме, изображенной на рис. 85. Полюсы источника тока можно присоединить либо к
Рис. 86Рис. 86
Рис. 86
Рис. 86
точкам аи Ь, либо к точкам тип. Емкости конденсаторов С] = = 2 мкФ и С2 = 5 мкФ. Найти емкости конденсаторов Сх и Cv, при которых заряды на обкладках всех конденсаторов по модулю будут равны между собой независимо от того, каким способом будет присоединен источник тока.
Два одинаковых плоских воздушных конденсатора вставлены друг в друга так, что расстояние между любыми двумя соседними пластинами d = 5 мм. Каждый конденсатор соединен с источником тока, напряжение которого V = 100 В, одна из пластин каждого конденсатора заземлена (рис. 86). Какова напряженность электрического поля Е между пластинами аи№
Найти поверхностную плотность заряда на пластинах плоского конденсатора, если электрон, не имевший начальной скорости, пройдя путь от одной пластины к другой, приобретает скорость и = 107 м/с. Расстояние между пластинами d = 3 см.
Конденсатору емкости С = 2 мкФ сообщен заряд q = = 1 мКл. Обкладки конденсатора соединили проводником. Найти количество теплоты Q, выделившееся в проводнике при разрядке конденсатора, и разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки.
При разрядке батареи, состоящей из и = 20 параллельно включенных конденсаторов с одинаковыми емкостями С = = 4 мкФ, выделилось количество теплоты Q = 10 Дж. До какой разности потенциалов были заряжены конденсаторы? -
Какое количество теплоты Q выделится при заземлении заряженного до потенциала ф = 3000 В шара радиуса R = 5 см?
' 679. Какой заряд q сообщен шару, если он заряжен до потенциала ф = 100 В, а запасенная им электрическая энергия ^ = 2,02 Дж?
Рис. 87Рис. 87Найти количество теплоты Q, выделившееся при соединении верхних незаземленных обкладок конденсаторов с емкостями С) = 2 мкФ и С2 = 0,5 мкФ (рис. 87). Разности потенциалов между верхними обкладками конденсаторов и землей V] = 100 В и Р2 = "50 В.
Рис. 87
Рис. 87
Найти количество теплоты Q, выделив-
шееся при соединении одноименно заряженных обкладок конденсаторов с емкостями С] = 2 мкФ и С2 = 0,5 мкФ. Разности потенциалов между обкладками конденсаторов V] = 100 В и V2 = 50 В.
§ 20. Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
Сила электрического тока (или просто ток) определяется по формуле / = q/t,
где q - заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за время t.
В системе единиц СИ единица силы тока ампер (А) является основной и определяется как сила тока, при которой отрезки тонких бесконечно длинных параллельных проводников длины 1 м взаимодействуют в вакууме с силой 2 ■ 10~7 Н. В соответствии с этим 1 Кл = 1 А ■ с.
Плотностью тока (при равномерном распределении тока по поперечному сечению проводника) называется величина
j = I/S,
где S - площадь поперечного сечения проводника. Единицей плотности тока является ампер на квадратный метр (А/м2).
Для участка цепи, содержащего проводники первого и второго рода (металлы и растворы или расплавы электролитов), справедлив закон Ома:
/ = V/R, или / = kV, .■
где R — сопротивление проводника, k = 1//? - его проводимость, а V — напряжение на этом участке цепи (разность потенциалов между его концами).
В системе единиц СИ за единицу сопротивления принят ом (Ом) - сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет
ток 1 А: 1 Ом = 1 В/A. Единицей проводимости является сименс (См): 1 См = 1 Ом-1.
Сопротивление проводника с постоянным поперечным сечением, изготовленного из однородного материала, связано с длиной проводника / и площадью его поперечного сечения S соотношением
R = р//5,
где р - удельное сопротивление материала проводника. Единицей удельного сопротивления является ом-метр (Ом • м).
Зависимость сопротивления металлического проводника от температуры t определяется выражением
/?, = /?о(1 + аг),
где а - температурный коэффициент сопротивления, Ro - сопротивление проводника при температуре t0 = О °C.
Найти плотность тока, если за время t = 10 с через поперечное сечение проводника протекает заряд q = 100 Кл. Площадь поперечного сечения проводника 5 = 5 мм2.
Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до максимального значения V = 3 В. Сопротивление прибора R = 300 Ом. Число делений шкалы прибора N = 100. Какова будет цена деления шкалы прибора, если использовать его в качестве миллиамперметра?
Каким сопротивлением должен обладать прибор, чтобы его можно было использовать либо в качестве вольтметра с пределом измерения напряжений до значений V = 15 В, либо в качестве миллиамперметра с пределом измерения токов до значений / = 7,5 мА?
Отклонение стрелки вольтметра до конца шкалы соответствует напряжению Уо = 15 В. При этом через вольтметр течет ток /0 = 7,5 мА. Найти сопротивление вольтметра и ток, текущий через вольтметр, когда он показывает напряжение V = 5 В.
Найти ток в цепи источника тока, замкнутого на проводник с сопротивлением R = 1000 Ом, если при последовательном включении в эту цепь миллиамперметра с сопротивлением /?0 = 100 Ом он показал ток /0 = 25 мА.
Найти напряжение на проводнике с сопротивлением R = = 10 Ом, если за время t = 5 мин протекает заряд q = 120 Кл.
В электрическую сеть последовательно включены плитка, реостат и амперметр, имеющие сопротивления R} = 50 Ом, 118
R2 = 30 Ом и /?3 = 0,1 Ом. Найти напряжения на плитке, реостате и амперметре, если в цепи протекает ток / = 4 А.
Сопротивление единицы длины медной проволоки R] = R/1 = = 2,23 Ом/м. Найти удельное сопротивление р меди. Диаметр проволоки D = 0,1 мм.
Найти сопротивление R медной проволоки, масса которой т = 1 кг, а площадь поперечного сечения S = 0,1 мм2. Плотность меди у = 8,9 • 103 кг/м3, ее удельное сопротивление р = 0,017 мкОм • м.
Удельное сопротивление графитового стержня от карандаша р = 400 мкОм ■ м. Какой ток / пройдет по стержню, если на него подать напряжение V = 6 В? Длина стержня / = 20 см, его диаметр D = 2 мм.
При включении в электрическую цепь проводника, имеющего диаметр D = 0,5 мм и длину / = 47 мм, напряжение на нем V = 1,2 В при токе в цепи / = 1 А. Найти удельное сопротивление р материала проводника.
Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных кусков провода одинаковой длины, сделанных из одного материала, но имеющих разные сечения: 5, = 1 мм2, 52 = 2 мм2, 53 = 3 мм2. Напряжение на концах цепи V = 11 В. Найти напряжение на каждом проводнике. '
Для измерения температуры применили железную проволочку, имеющую при температуре 1, = 10 °C сопротивление Ri = 15 Ом. При некоторой температуре г2 она имела сопротивление R^ = 18,25 Ом. Найти эту температуру. Температурный коэффициент сопротивления железа а = 6 ■ КУ3 К-1.
Найти температуру 12 вольфрамовой нити лампочки, если при включении в сеть с напряжением V = 220 В по нити идет ток / = 0,68 А. При температуре Ц = 20 °C сопротивление нити R = = 36 Ом. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама а = 4,6 ■ 10-3К-'.
Последовательное и параллельное соединения проводников.Добавочные сопротивления и шунты
Общее сопротивление цепи при последовательном соединении проводников равно сумме сопротивлений этих проводников:
R = R\ + R^ +... + Rfv
Общее сопротивление параллельно соединенных проводников связано с сопротивлениями этих проводников соотношением
Соответственно общая проводимость последовательно включенных проводников удовлетворяет соотношению
1111
— = —+ — + ... + —,к к^ к2кп
а общая проводимость параллельно включенных проводников равна сумме их проводимостей:
к = к^ + к2 ~ь ... 4~ кп.
Какое надо взять сопротивление R, чтобы можно было включить в сеть с напряжением V = 220 В лампу, рассчитанную на напряжение Vo = 120 В и ток /0 = 4 А?
Две дуговые лампы и сопротивление R соединены последовательно и включены в сеть с напряжением V = 110 В. Найти сопротивление R, если каждая лампа рассчитана на напряжение Vo = 40 В, а ток в цепи / = 12 А.
Для измерения напряжения на участке цепи последовательно включены два вольтметра (рис. 88). Первый вольтметр дал
__показание V, = 20 В, второй - V2 = 80 В. Найти Оз/] сопротивление второго вольтметра /?2, если о 'I—I' о сопротивление первого вольтметра R} = 5 кОм.
Реостат из железной проволоки, мил- Рис. 88г
лиамперметр и источник тока включены последовательно. При температуре t0 = 0 °C сопротивление реостата Ro = 200 Ом. Сопротивление миллиамперметра R = 20 Ом, его показание /0 = 30 мА. Какой ток /, будет показывать миллиамперметр, если реостат нагреется до температуры t = 50 °C? Температурный коэффициент сопротивления железа а = = 6 • IO-3 К-1.
Проводник с сопротивлением R = 2000 Ом состоит из двух последовательно соединенных частей: угольного стержня и проволоки, имеющих температурные коэффициенты сопротивления а, = -10 • IO-3 К-1 и а2 = 2 • IO-3 К-1. Какими следует выбрать сопротивления этих частей, чтобы общее сопротивление проводника R не зависело от температуры?
Составить такую схему электропроводки для освещения одной лампочкой коридора, которая позволяет включать и выключать свет независимо в любом конце коридора.
В сеть с напряжением V = 120 В включены две электрические лампочки с одинаковыми сопротивлениями R = 200 Ом. Какой ток пойдет через каждую лампочку при их параллельном и последовательном соединениях?
Рис. 90Рис. 90
Рис. 90
Рис. 90
Реостат со скользящим контактом, соединенный по схеме, приведенной на рис. 89, является потенциометром (делителем напряжения). При перемещении движка потенциометра снимаемое с него напряжение V, изменяется от нуля до напряжения на клеммах источника тока V. Найти зависимость напряжения VT от положения движка. Построить график этой зависимости для случая, когда полное сопротивление потенциометра Ro во много раз меньше сопротивления вольтметра г.
Найти сопротивление R биметаллического (железо-медь) провода длины I = 100 м. Диаметр внутренней (железной) части провода d = 2 мм, общий диаметр провода D = 5 мм. Удельные сопротивления железа и меди Р] = 0,12 мкОм • м и р2 = = 0,017 мкОм • м. Для сравнения найти сопротивления железного и медного проводов R^ и RM диаметра D и длины I.
Найти общее сопротивление проводников, включенных в цепь по схеме, изображенной на рис. 90, если сопротивления Rt = R2 = R5 = R6 = 1 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 8 Ом.
Общее сопротивление двух последовательно соединенных проводников R = 5 Ом, а параллельно соединенных Ro = 1,2 Ом. Найти сопротивление каждого проводника.
К проволочному кольцу в двух точках присоединены подводящие ток провода. В каком отношении делят точки присоединения длину окружности кольца, если общее сопротивление получившейся цепи в п = 4,5 раза меньше сопротивления проволоки, из которой сделано кольцо? .
В цепи, изображенной на рис. 91, амперметр показывает ток / = 0,04 А, а вольтметр - напряжение V = 20 В. Найти сопротивление вольтметра /?2, если сопротивление проводника /?! = 1 кОм.
Найти сопротивление Rx лампочки по показаниям вольтметра (V = 50 В) и амперметра (/ = 0,5 А), включенных по схеме,
Рис. 91Рис. 91Рис. 92Рис. 92
Рис. 91
Рис. 91
Рис. 92
Рис. 92
изображенной на рис. 92, если сопротивление вольтметра /?2 = = 40 кОм.
Найти сопротивление проводника Rx по показаниям амперметра (/ = 5 А) и вольтметра (V = 100 В), включенных по схеме, изображенной на рис. 93, если сопротивление вольтметра /?2 = 2,5 кОм. Какова будет ошибка в определении Rb если, предположив, что R^^ Rx, при расчетах пренебречь током, текущим через вольтметр?
Рис. 93Рис. 93Рис. 94Рис. 94
Рис. 93
Рис. 93
Рис. 94
Рис. 94
К источнику тока с напряжением V присоединены последовательно два проводника с одинаковыми сопротивлениями R. Какова будет разница в показаниях вольтметров с сопротивлениями R и 10/?, если их поочередно подключать к концам одного из проводников?
К источнику тока с напряжением V = 12 В присоединены две лампочки (рис. 94). Сопротивления участков цепи гх = г2 = г3 = = г4 = г = 1,5 Ом. Сопротивления лампочек Rx = R3 = R = 36 Ом. Найти напряжение на каждой лампочке.
В схеме, изображенной на рис. 95, напряжение источника тока V = 200 В, а сопротивления проводников Rx = 60 Ом, RT = R3 = = 30 Ом. Найти напряжение на сопротивлении Rx.
$ 714. Электрическая цепь состоит из источника тока с напряжением V = 180 В и потенциометра с полным сопротивлением /? = 5 кОм. Найти показания вольтметров, присоединенных к -потенциометру по схеме, изображенной на рис. 96. Сопротивления вольтметров Rv = б кОм и /?2 = 4 кОм. Движок х стоит посередине потенциометра.
Три резистора включены по схеме, изображенной на рис. 97. Если резисторы включены в цепь в точках а и Ь, то сопротивление цепи будет R = 20 Ом, а если в точках а и с, то сопротивление цепи будет Ro = 15 Ом. Найти сопротивления резисторов Rx, R2, R3, если Rv = 2/?2.
На сколько равных частей нужно разрезать проводник, имеющий сопротивление R = 36 Ом, чтобы сопротивление его частей, соединенных параллельно, было Ro = 1 Ом?
Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99
Из проволоки сделан каркас в форме куба (рис. 98), каждое ребро которого имеет сопротивление г. Найти сопротивление R этого каркаса, если ток / в общей цепи идет от вершины А к вершине В.
Из проволоки, единица длины которой имеет сопротивление Rh сделан каркас в форме окружности радиуса г, пересеченной двумя взаимно перпендикулярными диаметрами (рис. 99). Найти сопротивление Rx каркаса, если источник тока подключен к точкам с и d.
Провод длины L = 1 м сплетен из трех жил, каждая из которых представляет собой кусок неизолированной проволоки с сопротивлением единицы длины R, = 0,02 Ом/м. На концах провода создано напряжение V = 0,01 В. На какую величину А/ изменится ток в этом проводе, если от одной жилы удалить кусок длины / = 20 см?
Источник тока первоначально присоединяют к двум соседним вершинам проволочной рамки в форме правильного выпуклого «-угольника. Затем источник тока присоединяют к вершинам, расположенным через одну. При этом ток уменьшается в 1,5 раза. Найти число сторон «-угольника.
Как надо соединить четыре проводника с сопротивлениями R} = 1 Ом, /?2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом и /?4 = 4 Ом, чтобы получить сопротивление R = 2,5 Ом?
Найти проводимость к цепи, состоящей из двух последовательных групп параллельно включенных проводников. Проводимости каждого проводника первой и второй групп равны кх = 0,5 См и ^2 = 0,25 См. Первая группа состоит из четырех проводников, вторая - из двух.
Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до максимального значения Vo = 30 В. При этом через вольтметр идет ток / = 10 мА. Какое добавочное сопротивление R)V нужно присоединить к вольтметру, чтобы им можно было измерять напряжения до V = 150 В?
Стрелка миллиамперметра отклоняется до конца шкалы, если через миллиамперметр идет ток / = 0,01 А. Сопротивление прибора R = 5 Ом. Какое добавочное сопротивление R)V нужно присоединить к прибору, чтобы его можно было использовать в качестве вольтметра с пределом измерения напряжений V = 300 В?
Вольтметр, соединенный последовательно с сопротивлением R, = 10 кОм, при включении в сеть с напряжением V = 220 В показывает напряжение VA = 70 В, а соединенный последовательно с сопротивлением R2, показывает напряжение V2 = 20 В. Найти сопротивление R2.
Вольтметр с сопротивлением R = 3 кОм, включенный в городскую осветительную сеть, показал напряжение V = 125 В. При включении вольтметра в сеть через сопротивление Ro его показание уменьшилось до Vo = 115 В. Найти это сопротивление.
Вольтметр с сопротивлением R = 50 кОм, подключенный к источнику тока вместе с добавочным сопротивлением Rn =
я 120 кОм, показывает напряжение Vo = 100 В. Найти напряжение У источника тока.
I r2I r2Рис. 100Рис. 100Найти показание вольтметра V с сопротивлением R в цепи, изображенной на рис. 100. Ток до разветвления равен /, сопротивления проводников Rx и /?2 известны.
I r2
I r2
Рис. 100
Рис. 100
Имеется прибор с ценой деления 4 = = 1 мкА/дел и числом делений шкалы N = 100. Сопротивление прибора R = 50 Ом. Как этот прибор приспособить для измерения токов до значения / = 10 мА или напряжений до значения V = 1 В?
Миллиамперметр с пределом измерения токов 4 = 25 мА необходимо использовать как
амперметр с пределом измерения токов / = 5 А. Какое сопротивление Rm должен иметь шунт? Во сколько раз уменьшается чувствительность прибора? Сопротивление прибора R = 10 Ом.
Амперметр с сопротивлением R = 0,2 Ом, накоротко присоединенный к источнику тока с напряжением V = 1,5 В, показывает ток / = 5 А. Какой ток 4 покажет амперметр, если его зашунтировать сопротивлением Rm = 0,1 Ом?
При шунтировании гальванометра сопротивлениями Rx, R2 и R3 в них ответвляется 90, 99 и 99,9 % тока / общей цепи. Найти эти сопротивления, если сопротивление гальванометра R = 27 Ом.
Миллиамперметр с числом делений шкалы N = 50 имеет цену деления 4 = 0,5 мА/дел и сопротивление R = 200 Ом. Как этот прибор приспособить для измерения токов до значения / = 1 А?
К амперметру с сопротивлением R = 0,1 Ом подключен шунт с сопротивлением Rm =11,1 мОм. Найти ток, текущий через амперметр, если ток в общей цепи / = 27 А.
Параллельно амперметру с сопротивлением R = 0,03 Ом включен медный проводник длины / = 10 см и диаметра D = = 1,5 мм. Найти ток в цепи /, если амперметр показывает ток 4 = 0,4 А. Удельное сопротивление меди р = 0,017 мкОм • м.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи
Электрический ток в полной (замкнутой) цепи, состоящей из внешнего сопротивления R и источника тока с ЭДС % и внутренним сопротивлением г,■
/ = «/^H = W + r).
Напряжение на участке цепи, если этот участок содержит источник тока с ЭДС % и имеет сопротивление R (включая и внутреннее сопротивление источника тока),
V = ф, - ф2 = % - IR,
Ф1-оФ1-огде ф] и ф2 - потенциалы начала и конца этого участка (рис. 101а). Здесь предполагается, что начало участка - у положительного полюса источни-
Ф1
-о
Ф1
-о
Фг‘Ч + Ф1
о||о
V
Рис. 101
ка тока, конец участка - у отрицательного полюса и что ток / внутри источника течет от отрицательного полюса к положительному. Если другие участки цепи также содержат источники тока, то на данном участке возможно противоположное направление тока внутри источника (рис. 1016). В этом случае
М = % + IR.
В цепи источника тока с ЭДС ^ = 30 В идет ток / = 3 А. Напряжение на зажимах источника V = 18 В. Найти внешнее сопротивление цепи R и внутреннее сопротивление источника г.
В цепи, состоящей из реостата и источника тока с ЭДС % = б В и внутренним сопротивлением г = 2 Ом, идет ток 1Х = = 0,5 А. Какой ток /2 пойдет при уменьшении сопротивления реостата в три раза?
Источник тока с ЭДС % и внутренним сопротивлением г замкнут на сопротивление R. Как меняется ток в цепи и напряжение на зажимах источника в зависимости от /?? Построить графики этих зависимостей при % = 15 В и г = 2,5 Ом.
Нить накала радиолампы включена последовательно с реостатом в цепь источника тока с ЭДС % = 2,5 В и внутренним сопротивлением г = 0,1 Ом (рис. 102). Необходимый ток накала достигается, когда сопротивление реостата Rx = 8,4 Ом. Найти
ток в цепи накала /, если сопротивление нити накала /?2 = 30 Ом.
Для питания нити накала радиолампы необходимы напряжение V = 4 В и ток / = 1 А. Найти дополнительное сопротивление Rv при котором в цепи накала достигается необходимый ток
(см. рис. 102). ЭДС источника тока ‘ё = 12 В, его внутреннее сопротивление г = 0,6 Ом.
Лампа подключена медными проводами к источнику тока с ЭДС % = 2 В и внутренним сопротивлением г = 0,04 Ом. Длина проводов / = 4 м, их диаметр D = 0,8 мм, удельное сопротивление меди р = 0,017 мкОм • м. Напряжение на зажимах источника V = 1,98 В. Найти сопротивление лампы R.
Вольтметр, подключенный к источнику тока с ЭДС % = 120 В и внутренним сопротивлением г = 50 Ом, показывает напряжение V = 118 В. Найти сопротивление вольтметра R.
При подключении внешней цепи напряжение на зажимах источника тока с ЭДС % = 30 В оказывается равным V = 18 В. Внешнее сопротивление цепи R = 6 Ом. Найти внутреннее сопротивление источника /.
Источник тока с ЭДС % = 1,25 В и внутренним сопротивлением г = 0,4 Ом питает лампу, рассчитанную на напряжение V! = 1 В. Сопротивление лампы Rx = 10 Ом. Найти сопротивление подводящих проводов /?2 и напряжение на них V2.
Источник тока питает п = 100 ламп, рассчитанных на напряжение V, = 220 В и соединенных параллельно. Сопротивление каждой лампы Rx = 1,2 кОм, сопротивление подводящих проводов R2 = 4 Ом, внутреннее сопро-• ।
тивление источника г = 0,8 Ом. Найти напря-С
жение на зажимах источника и его ЭДС., р^Ц,,
Какова должна быть ЭДС % источника
тока в схеме, изображенной на рис. 103, чтобыг
напряженность электрического поля в плоском i| конденсаторе была Е = 2,25 кВ/м? Внутреннее сопротивление источника г = 0,5 Ом, сопротив- Рис‘ 103 ление резистора R = 4,5 Ом, расстояние между пластинами конденсатора d = 0,2 см.
Источник тока с ЭДС % = 15 В и внутренним сопротивлением /• = 5 Ом замкнут на резистор с сопротивлением R = 10 Ом. К зажимам источника подключен конденсатор емкости С = 1 мкФ. Найти заряд на конденсаторе.
Электрическая цепь состоит из источника тока* и двух последовательно соединенных резисторов с одинаковыми сопротивлениями R. К концам одного из резисторов присоединяют по
очереди два вольтметра: один имеет сопротивление R, а другой - сопротивление 10/?. Во сколько раз будут отличаться показания вольтметров?
К источнику тока с ЭДС % = 8,8 В присоединены последовательно резистор с неизвестным сопротивлением Rx и рези
стор с сопротивлением R2 = 1 кОм. Вольтметр с сопротивлением R = 5 кОм, подключенный к концам резистора Rx, показывает напряжение V = 4 В. Какое падение напряжения V будет на резисторе Rx, если отключить вольтметр?
Какой ток / покажет амперметр в схеме, изображенной на рис. 104? Сопро
тивления резисторов Rx = 1,25 Ом, R^ = 1 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 7 Ом, ЭДС источника % = 2,8 В.
Найти ток /, идущий через источник тока в схеме, изображенной на рис. 105. Сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R = 34 Ом, ЭДС источника % = 7,3 В.
Найти ток /, идущий через резистор с сопротивлением R^ в схеме, параметры которой даны на рис. 106.
Один полюс источника тока с ЭДС % = 1400 В и внутренним сопротивлением г = 2,2 Ом подключен к центральной алюми
ниевой жиле кабеля (диаметр жилы Dx =8 мм), другой - к его свинцовой оболочке (наружный диаметр Вг = 18 мм, внутренний- t/2 = 16 мм). На каком расстоянии / от источника кабель порвался и произошло замыкание жилы с оболочкой, если начальный ток
^короткого замыкания / = 120 А? Удельные сопротивления алюминия и свинца р, = 0,03 мкОм ■ м и р2 = 0,2 мкОм • м.
Найти ток /, текущий через резистор с сопротивлением Rx в схеме, параметры которой даны на рис. 107, в первый момент после замыкания ключа, если до этого напряжение на конденсаторе было постоянным.
Рис. 107Рис. 107
Рис. 107
Рис. 107
Найти напряжения Ц и V2 на конденсаторах с емкостями С] и С2 в схеме, параметры которой даны на рис. 108.
Найти заряды дьд2ид3 на каждом из конденсаторов в схеме, параметры которой даны на рис. 109.
В цепь, питаемую источником тока с внутренним сопротивлением г = 3 Ом, входят два резистора с одинаковыми сопро-
Рис. 111Рис. 111
Рис. 111
Рис. 111
тивлениями R}= R2 = 28 Ом, включенные параллельно, и резистор с сопротивлением R3 = 40 Ом (рис. 110). Параллельно резистору R3 подключен конденсатор емкости С = 5 мкФ, заряд которого д = = 4,2 Кл. Найти ЭДС % источника.
Два резистора с одинаковыми сопротивлениями Rx = = 25 Ом и резистор с сопротивлением R2 = 50 Ом подключены к источнику тока по схеме, изображенной на рис. 111. К участку ab
подключен конденсатор емкости С = 5 мкФ. Найти ЭДС % источника тока, если заряд на конденсаторе q = 0,11 мКл.
Найти заряд на конденсаторе емкости С в схеме, параметры которой даны на рис. 112.
Найти напряжение на конденсаторе емкости в схеме, параметры которой даны на рис. 113.
Рис. 112Рис. 112
Рис. 112
Рис. 112
Источник тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом замкнут на резистор с сопротивлением R. Вольтметр, подключенный к зажимам источника, показывает напряжение Vt = 20 В. Когда параллельно резистору с сопротивлением R присоединен резистор с таким же сопротивлением R, показание вольтметра уменьшается до У2 = 15 В. Найти сопротивление резистора R, если сопротивление вольтметра велико по сравнению с R.
К источнику тока с ЭДС % = 200 В и внутренним сопротивлением г = 0,5 Ом подключены последовательно два резистора с сопротивлениями Rx = 100 Ом и R2 = 500 Ом. К концам резистора R2 подключен вольтметр. Найти сопротивление R вольтметра, если он показывает напряжение V = 160 В.
Проволока из нихрома изогнута в виде кольца радиуса а = 1 м (рис. 114). В центре кольца помещен гальванический элемент с ЭДС ^ = 2 В и внутренним сопротивлением г = 1,5 Ом. Элемент соединен с точками с и d кольца по диаметру с помощью такой же нихромовой проволоки. Найти разность потенциалов между точками с и d. Удельное сопротивление нихрома р = 1,1 мкОм • м, площадь
сечения проволоки 5 = 1 мм2.
К источнику тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом, подключены два параллельно соединенных резистора с сопротив-
бдениями Rx = 10 Ом и /?2 = 2 Ом. Найти отношение токов, протекающих через резистор Rx до и после обрыва в цепи резистора R2. .
Два резистора с сопротивлениями Rx = R2 = 1 Ом и реостат, имеющий полное сопротивление R3 = 2 Ом, присоединены к источ-
Рис. 115 Рис. 116
нику тока с внутренним сопротивлением /' = 0,5 Ом (рис. 115). К разветвленному участку цепи подключен вольтметр. Когда движок реостата находится на его середине (точка а), вольтметр показывает напряжение Уй=13 В. Каково будет показание вольтметра, если движок передвинуть в крайнее правое положение на реостате? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с/?] и R2.
Шесть проводников с одинаковыми сопротивлениями /?„ = 2 Ом соединены попарно параллельно. Все три пары соединены последовательно и подключены к источнику тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом. При этом по каждому проводнику течет ток /0 = 2,5 А. Какой ток будет течь по каждому проводнику, если один из них удалить?
Источник тока с ЭДС % = 100 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом и три резистора с сопротивлениями Rx = 3 Ом, R2 = 2 Ом и /?3 = 18,8 Ом включены по схеме, изображенной на рис. 116. Найти токи, текущие через резисторы Rx и R2.
К источнику тока с ЭДС % = 120 В и внутренним сопротивлением г = 10 Ом подключены два параллельных провода с сопротивлениями /?[ = 20 Ом. Свободные концы проводов и их середины соединены друг с другом через две лампы с сопротивлениями R2 = 200 Ом. Найти ток, текущий через источник тока.
При замыкании источника тока на резистор с сопротивлением Rx = 5 Ом в цепи идет ток /1=5 А, а при замыкании на
резистор с сопротивлением /?2 = 2 Ом идет ток /2 = 8 А. Найти внутреннее сопротивление г и ЭДС источника тока %.
При замыкании источника тока на резистор с сопротивлением R\ = 14 Ом напряжение на зажимах источника Vx = 28 В, а при замыкании на резистор с сопротивлением /?2 = 29 Ом напряжение на зажимах У2 = 29 В. Найти внутреннее сопротивление г источника.
Амперметр с сопротивлением Rx =2 Ом, подключенный к источнику тока, показывает ток /, =5 А. Вольтметр с сопротивлением /?2 = 150 Ом, подключенный к такому же источнику тока, показывает напряжение V = 12 В. Найти ток короткого замыкания /к источника.
Два параллельно соединенных резистора с сопротивлениями Rx =40 Ом и /?2 = 10 Ом подключены к источнику тока с ЭДС % = 10 В. Ток в цепи / = 1 А. Найти внутреннее сопротивление источника и ток короткого замыкания.
Аккумулятор с ЭДС % = 25 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом заряжается от сети с напряжением V = 40 В через сопротивление R = 5 Ом. Найти напряжение Уа на зажимах аккумулятора.
Последовательное и параллельное соединения источников тока.
Правила Кирхгофа
Электрический ток в общей цепи при последовательном соединении п одинаковых источников тока в батарею
R + nr’
где R - внешнее сопротивление цепи, а ^ и г - ЭДС и внутреннее сопротивление каждого источника тока (аккумулятор, генератор, гальванический элемент и т.д.).
При параллельном соединении п одинаковых источников тока ток в общей цепи
R + rl п
При решении задач на разветвленные электрические цепи, особенно если в этих цепях имеется несколько источников тока, удобно пользоваться правилами Кирхгофа, которые заключаются в следующем. • .
ц Алгебраическая сумма всех токов, приходящих в точку разветвления (узел) и выходящих из нее, равна нулю:
(14)(14)/]+ /2 +...+/„- 0.
(14)
(14)
Токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из узла - отрицательными. Например, для узла а на рис. 117 уравнение для токов будет /5 - /] - /4 = 0.
Направление тока на каждом участке цепи между двумя узлами можно выбирать произвольно, сохраняя, однако, это направление на всех этапах решения задачи. Если в результате решения для каких-либо токов получаются отрицательные числовые значения, то это означает, что первоначальные направления токов были выбраны неправильно.
При обходе любого замкнутого кон
тура в сложной электрической цепи"
алгебраическая сумма падений напряжения на элементах цепи (включая и внутренние сопротивления источников тока) равна алгебраической сумме ЭДС источников тока, имеющихся в этом контуре:
/]/?]+ /2/?2 + •■■ + bRn - ^1 + '®2 + ... + ^п-(15)
Направление обхода каждого контура (по часовой стрелке или против нее) произвольно. Падение напряжения считается положительным, если выбранное заранее направление тока на этом участке между двумя узлами совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным, если направление тока противоположно направлению обхода. ЭДС считается положительной, если при обходе по контуру источник тока проходит от отрицательного полюса к положительному, и отрицательной - в противном случае. Например, для контура abed на рис. 117 при обходе по часовой стрелке уравнение (15) запишется в виде
/](/?] + 7’1) + /2(^2 + '"г)_ Л№ + 'з) ~ I4R4 = ^i - ^2 ~^з-
Если полная схема содержит т узлов, то уравнения (14) составляются для т - 1 узлов. При составлении уравнений (15) для контуров нужно следить за тем, чтобы каждый вновь взятый контур не мог быть получен сложением или вычитанием уже рассмотренных контуров. Полное число уравненйй, составленных по правилам Кирхгофа, должно совпадать с числом участков между узлами, т.е. с числом различных токов в данной схеме.
Найти разность потенциалов между точками а и b в схеме, изображенной на рис. 118. ЭДС источников тока ^^ = 1 В и ^2 = 13 В, сопротивления резисторов Rt = 10 Ом и R^ = 5 Ом.
Два элемента с ЭДС ^, = 1,5 В и^2-2 В и внутренними сопротивлениями г, = 0,6 Ом и г2 = 0,4 Ом соединены по схеме, изображенной на рис. 119. Какую разность потенциалов между точками а и b покажет вольтметр, если сопротивление вольтметра велико по сравнению с внутренними сопротивлениями элементов?
Рис. 118Рис. 118ЬЬ/ а/ аРис. 119Рис. 119
Рис. 118
Рис. 118
Ь
Ь
/ а
/ а
Рис. 119
Рис. 119
Два элемента с ЭДС ^, = 1,4 В и^2 = 1J В и внутренними сопротивлениями гх = 0,3 Ом и г2 = 0,2 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис. 120). Найти напряжение на зажимах элементов. При каких условиях разность потенциалов между точками а и b равна нулю?
Два источника тока с одинаковыми ЭДС ^ = 2 В и внутренними сопротивлениями гх = 0,4 Ом и г2 = 0,2 Ом соединены последовательно. При каком внешнем сопротивлении цепи R напряжение на зажимах одного из источников будет равным нулю?
ааbbРис. 120Рис. 120Рис. 121Рис. 121
а
а
b
b
Рис. 120
Рис. 120
Рис. 121
Рис. 121
Найти внутреннее сопротивление гх первого элемента в схеме, изображенной на рис. 121, если напряжение на его зажимах равно нулю. Сопротивления резисторов Rx = 3 Ом, /?2 = 6 Ом, внутреннее сопротивление второго элемента г2 = 0,4 Ом, ЭДС элементов одинаковы. .
При каком соотношении между сопротивлениями резисторов К\,КЪ R3 и внутренними сопротивлениями элементов гь г2 (рис. 122) напряжение на зажимах одного из элементов будет равно нулю? ЭДС элементов одинаковы.
Рис. 122Рис. 122
Рис. 122
Рис. 122
Два генератора с одинаковыми ЭДС ^ = б В и внутренними сопротивлениями Г] = 0,5 Ом и г2 = 0,38 Ом включены по схеме, изображенной на рис. 123. Сопротивления резисторов Rx =2 Ом, /?2 = 4 Ом, R3 = l Ом. Найти напряжения Ух и V2 на зажимах генераторов.
Три элемента с ЭДС % ] = 2,2 В, %3 = 1,1 В и %3 = 0,9 В и внутренними сопротивлениями Г] = 0,2 Ом, г2 = 0,4 Ом и г3 = = 0,5 Ом включены в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи R = 1 Ом. Найти напряжение на зажимах каждого элемента.
Батарея из четырех последовательно включенных в цепь элементов с ЭДС % = 1,25 В и внутренним сопротивлением / =0,1 Ом питает два параллельно соединенных проводника с сопротивлениями R} = 50 Ом и /?2 = 200 Ом. Найти напряжение на зажимах батареи.
Сколько одинаковых аккумуляторов с ЭДС % = 1,25 В и внутренним сопротивлением г = 0,004 Ом нужно взять, чтобы составить батарею, которая давала бы на зажимах напряжение V = 115 В при токе / = 25 А?
Батарея из п = 40 последовательно включенных в цепь аккумуляторов с ЭДС % = 2,5 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом заряжается от сети с напряжением V = 127 В. Найти зарядный ток, если последовательно в цепь введен проводник с сопротивлением R = 2 Ом.
Два элемента с ЭДС %х = 1,25 В и$2= 1,5 В и одинаковыми внутренними сопротивлениями г = 0,4 Ом соединены параллельно (рис. 124). Сопротивление резистора R = 10 Ом. Найти токи, текущие через резистор и каждый элемент.
Два элемента с ЭДС ^|=6Ви^2 = 5 В и внутренними сопротивлениями Г] = 1 Ом и г2 = 2 Ом соединены по схеме, изображенной на рис. 125. Найти ток, текущий через резистор с сопротивлением R = 10 Ом. .
Три одинаковых элемента с ЭДС % = 1,6 В и внутренним сопротивлением г = 0,8 Ом включены в цепь по схеме, изобра-
Рис. 125Рис. 125
Рис. 125
Рис. 125
женной на рис. 126. Миллиамперметр показывает ток / = 100 мА. Сопротивления резисторов Rx = 10 Ом и /?2 = 15 Ом, сопротивление резистора R неизвестно. Какое напряжение V показывает вольтметр? Сопротивление вольтметра очень велико, сопротивление миллиамперметра пренебрежимо мало.
Сопротивления резисторов Rx и Rx и ЭДС *8] и "82 источников тока в схеме, изображенной на рис. 127, известны. При какой ЭДС 'ёз третьего источника ток через резистор R3 не течет?
Цепь из трех одинаковых последовательно соединенных элементов с ЭДС *8 и внутренним сопротивлением г замкнута накоротко (рис. 128). Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к зажимам одного из элементов?
. 790. Источник тока с ЭДС ^о включен в схему, параметры которой даны на рис. 129. Найти ЭДС % источника тока и направление его подключения к выводам а и Ь, при которых ток через резистор с сопротивлением /?2 не идет.
' 791. Два элемента с одинаковыми ЭДС % включены в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи R = 5 Ом. Отношение напряжения на зажимах первого элемента к напряжению на зажимах второго элемента равно 2/3. Найти внутрейние сопротивления элементов г, и г2, если /у = 2г2.
Рис. 129Рис. 129Рис. 130Рис. 130
Рис. 129
Рис. 129
Рис. 130
Рис. 130
Два одинаковых элемента с ЭДС $ = 1,5 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом замкнуты на резистор, сопротивление которого составляет в одном случае R; = 0,2 Ом, в другом - /?2 = = 20 Ом. Как нужно соединить элементы (последовательно или параллельно) в первом и во втором случаях, чтобы получить наибольший ток в цепи?
Два элемента с ЭДС ?,=4Ви^2 = 2Ви внутренними сопротивлениями /у = 0,25 Ом и г2 = 0,75 Ом включены в схему, изображенную на рис. 130. Сопротивления резисторов R{ = 1 Ом и R^ = 3 Ом, емкость конденсатора С = 2 мкФ. Найти заряд на конденсаторе.
К батарее из двух параллельно включенных элементов с ЭДС ^| и^ и внутренними сопротивлениями /у и г2 подключен резистор с сопротивлением R. Найти ток /, текущий через резистор R, и токи /, и /2 в первом и втором элементах. При каких условиях токи в отдельных цепях могут быть равными нулю или изменять свое направление на обратное?
Батарея из п одинаковых аккумуляторов, соединенных в одном случае последовательно, в другом - параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R. При каких условиях ток, текущий через резистор, в обоих случаях будет один и тот же?
Батарея из п = 4 одинаковых элементов с внутренним сопротивлением г = 2 Ом, соединенных в одном случае последовательно, в другом - параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R = 10 Ом. Во сколько раз показание вольтметра в одном случае отличается от показания вольтметра в другом случае? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с R и г.
Как изменится ток, текущий через резистор с сопротивлением R = 2 Ом, если и = 10 одинаковых элементов, соединенных последовательно с этим резистором, включить параллельно ему? ЭД С элемента ^ = 2 В, его внутреннее сопротивление г = 0,2 Ом.
Батарея составлена из /V = 600 одинаковых элементов так, что и групп соединены последовательно и в каждой из них содержится т элементов, соединенных параллельно. ЭД С каждого элемента % = 2 В, его внутреннее сопротивление г = 0,4 Ом. При каких значениях пит батарея, будучи замкнута на внешнее сопротивление R = 0,6 Ом, отдаст во внешнюю цепь максимальную мощность? Найти при этом ток, текущий через сопротивление R.
Емкость аккумулятора 2о = 80 А • ч. Найти емкость батареи из и = 3 таких аккумуляторов, включенных последовательно и параллельно.
I I I I I800. Найти емкость батареи аккумуля-
*1 *1 *1 *1торов, включенных по схеме, изображен
|| J J J о ной на рис. 131. Емкость каждого акку-
Емкостью аккумулятора называется заряд Q, который проходит по цепи при разрядке через нее заряженного аккумулятора. При разрядном токе / и времени разрядки т емкость аккумулятора Q = /т и выражается в ампер-часах (А • ч).
§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
При перемещении заряда q в электрическом поле из точки с потенциалом ф1 в точку с потенциалом ф2 электрические силы совершают работу
Д = q^^ - Ф2) = qV.
Если по проводнику течет ток /, то через поперечное сечение проводника в течение времени т проходит заряд q = /т. Поэтому при прохождении тока / по проводнику, разность потенциалов между концами которого равна V, за время т совершается работа
А = /Ут.
По закону сохранения энергии результатом этой работы является то, что проводник приобретает сам и передает окружающим телам эквивалентное количество энергии W в различных видах (в виде теплоты, механической, химической энергии и т.д.). В частности, если происходит выделение энергии только в виде теплоты Q, то
Q = W = /Ут.
Заменяя в соответствии с законом Ома V на IR, получаем закон Джоул я-Л енца:
Q = PRt = V4/R,
где R - сопротивление проводника.
В системе единиц СИ единицей работы, энергии и теплоты является джоуль (Дж). Поэтому, если электрические величины выражать в единицах системы СИ (заряд в кулонах, ток в амперах, сопротивление в омах и разность потенциалов в вольтах), то количество теплоты, вычисляемое по приведенным формулам, получается в джоулях.
Мощность постоянного тока / при прохождении по проводнику с сопротивлением R определяется соотношениями
/V = 1У/т =/У =/2/? = V^/R.
Единицей мощности в системе единиц СИ является ватт (Вт): 1 Вт = 1 Дж/ 1 с = 1 А • В.
Электрическая энергия может выражаться также в единицах, являющихся произведением единиц мощности и единиц времени. В частности, так как 1 Дж = 1 Вт • с, то 1 кВт • ч = 10 гВт • ч = 3,6 • 106 Вт • с = = 3,6 ■ 106 Дж.
Коэффициентом полезного действия (КПД) системы называется величина
у/IV IV
= пол . ] 00% = _2^1РЛ22Т. ] 00%,^arp%.,;>
где WIIO1 - полезная работа (энергия), W3arp - полная затраченная энергия и Wmnyp - потерянная энергия.
Какая энергия (в гектоватт-часах и джоулях) запасена в аккумуляторе с ЭДС с6 = 2 В, имеющем емкость Q = 240 А • ч?
Какой заряд пройдет по проводнику с сопротивлением R = = 10 Ом за время т = 20 с, если к его концам приложено напряжение V = 12 В? Какая при этом будет произведена работа?
Насколько изменится температура воды в сосуде, содержащем массу воды т = 0,2 кг, если через проводник, помещенный в него, прошел заряд q = 100 Кл, а к концам проводника приложено напряжение V = 20 В? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
Можно ли вместо двух параллельно включенных электроплиток мощности N = 500 Вт каждая включить в сеть электрокамин, который потребляет ток / = 12,5 А при напряжении V = = 120 В, если предохранитель рассчитан на ток, потребляемый плитками?
Найти площадь сечения проводов, отводящих ток от генератора мощности N = 1 ГВт, если ток передается на трансформатор под напряжением V = 15 кВ. Плотность тока в проводе не должна превышать j = 10 А/мм2.
Дуговая печь потребляет ток / = 200 А от сети с напряжением V = 120 В через ограничивающее сопротивление R = 0,2 Ом. Найти мощность, потребляемую печью.
Нагревательная спираль электроаппарата для испарения воды имеет при температуре t = 100 °C сопротивление R = 10 Ом. Какой ток / надо пропускать через эту спираль, чтобы аппарат испарял массу воды т = 100 г за время т = 1 мин? Удельная теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
Электропечь должна давать количество теплоты Q = = 0,1 МДж за время т = 10 мин. Какова должна быть длина нихромовой проволоки сечения S = 0,5 мм2, если печь предназначается для сети с напряжением V = 36 В? Удельное сопротивление нихрома р = 1,2 мкОм • м.
Комната теряет в сутки количество теплоты Q = 87 МДж. Какой длины / надо взять нихромовую проволоку диаметра D = 1 мм для намотки электропечи, поддерживающей температуру комнаты неизменной? Печь включается в сеть с напряжением V = 120 В, удельное сопротивление нихрома р = 1,2 мкОм • м.
В сосуд, содержащий массу воды m = 480 г, помещен электронагреватель мощности N = 40 Вт. Насколько изменилась температура воды в сосуде, если ток через нагреватель проходил в течение времени т = 21 мин? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг ■ К), теплоемкость сосуда вместе с нагревателем Сс = 100 Дж/К.
Найти мощность N электронагревателя кастрюли, если в ней за время т = 20 мин можно вскипятить объем воды V = 2 л. КПД электронагревателя Т] = 70%. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг ■ К), начальная температура воды ?, = 20 °C.
Сколько времени надо нагревать на электроплитке мощности N = 600 Вт при КПД р = 75% массу льда тл = 2 кг, взятого при температуре 0 = -16 °C, чтобы обратить его в воду, а воду нагреть до температуры 1г = 100 °C? Удельная теплоемкость льда сл = 2,1 кДж/(кг ■ К), удельная теплота плавления льда г = = 0,33 МДж/кг, удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
Какова должна быть длина нихромовой проволоки диаметра D = 0,3 мм, чтобы при включении последовательно с 40-ваттной лампочкой, рассчитанной на 127 В, проволока да-
„V к
вала нормальный накал при напряжении в сети о1 1[—о
V = 220 В? Удельное сопротивление нихромао
р = 1,2 мкОм ■ м.
гРис 134
Реостат с полным сопротивлением R под
ключен к сети с напряжением V (рис. 134). Во сколько раз изменится потребляемая от сети мощность, если движок реостата переместить на 1/4 длины от его конца?
Найти КПД насосной установки, которая подает в единицу времени объем воды VT = 75 л/с на высоту h = 4,7 м через трубу, имеющую сечение S = 0,01 м2, если мотор потребляет мощность N = 10 кВт.
Моторы электропоезда при движении со скоростью и = 54 км/ч потребляют мощность N = 900 кВт. КПД моторов и передающих механизмов Т] = 80%. Найти силу тяги F, развиваемую моторами.
Железная и медная проволоки одинаковых длин и сечений соединены последовательно и включены в сеть. Найти отношение количеств теплоты, выделившихся в каждой проволоке. Удельные сопротивления железа и меди равны р, =0,12 мкОм • м и р2 = 0,017 мкОм • м. Решить эту же задачу для случая параллельного соединения проволок.
Железная и медная проволоки одинаковых длин и сечений включены в сеть на равные промежутки времени сначала последовательно, затем параллельно. Найти отношение количеств теплоты, выделившихся в проволоках в обоих случаях, если по железной проволоке тек один и тот же ток. Удельные сопротивления железа и меди р, = 0,12 мкОм • м и р2 = 0,017 мкОм - м.
За время т, = 40 с в цепи из трех одинаковых проводников, соединенных параллельно и включенных в сеть, выделилось некоторое количество теплоты. За какое время т2 выделится такое же количество теплоты, если проводники соединить последовательно?
Два одинаковых электронагревателя, потребляющих каждый мощность N = 200 Вт при напряжении V = 120 В, длинными и тонкими проводами подключены к источнику тока. Найти сопротивление проводов R, если при последовательном и при параллельном соединениях нагревателей они выделяют в единицу времени одно и то же количество теплоты.
В электрочайнике с двумя нагревателями необходимо нагреть объем воды V = 2 л от комнатной температуры (t^ = 20 °C) до температуры кипения. Каждый нагреватель, включенный в сеть отдельно, выделяет мощность Д', = 250 Вт. Через какое время закипит вода, если ее подогревать одним нагревателем или двумя, включенными в ту же сеть последовательно или параллельно друг другу? КПД нагревателя р = 80 %. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
Электрочайник имеет в нагревателе две секции. При включении первой секции вода в чайнике закипает за время Ч = = 10 мин, а при включении второй секции - за время т2 = 40 мин. Через какое время закипит вода, если включить обе секции параллельно или последовательно?
Две лампы имеют одинаковые мощности. Одна из них рассчитана на напряжение V, = 120 В, другая - на напряжение V2 = 220 В. Во сколько раз отличаются сопротивления ламп?
: 826. Какое сопротивление имеют 40- и 75-ваттные лампы, рассчитанные на включение в сеть с напряжением V = 120 В? Какой ток течет через каждую лампу?
Какую мощность будет потреблять 25-ваттная лампочка, рассчитанная на напряжение V, = 120 В, если ее включить в сеть с напряжением V2 = 220 В?
100-ваттная лампа включена в сеть с напряжением V = = 120 В. Сопротивление лампы в накаленном состоянии больше, чем в холодном (при температуре /() = 0°С), в 10 раз. Найти температурный коэффициент сопротивления материала нити и сопротивление лампы в холодном состоянии, если во время горения лампы температура нити t = 2000 °C.
Найти сопротивление 100-ваттной лампы при комнатной температуре /0 = 20 °C, если при напряжении сети V = 220 В температура нити t = 2800 °C. Температурный коэффициент сопротивления материала нити а = 4 • 10~3 К-1.
К источнику тока с ЭДС % = 140 В на расстоянии I = 400 м от него подключена лампа, рассчитанная на напряжение V = 120 В и мощность N = 100 Вт. Как изменится падение напряжения на лампе, если параллельно ей подключить вторую такую же лампу? Удельное сопротивление провода р = 0,028 мкОм • м, его сечение 5=1 мм2.
На какое расстояние / можно передавать электроэнергию от источника тока с ЭДС ^ = 5 кВ так, чтобы на нагрузке с сопротивлением R = 1,6 кОм выделялась мощность N = 10 кВт? Удельное сопротивление провода р = 0,017 мкОм • м, его сечение 5=1 мм2.
Под каким напряжением V нужно передавать электроэнергию на расстояние / = 10 км, чтобы при плотности тока j = 0,5 А/мм2 в стальных проводах двухпроводной линии электропередачи потери в линии составляли 1% передаваемой мощности? Удельное сопротивление стали р = 0,12 мкОм • м.
Цепь состоит из двух параллельно включенных ламп мощности А = 30 Вт каждая. Потери мощности в подводящих проводах составляют 10 % полезной мощности. Найти напряжение на зажимах источника тока, если он обеспечивает в цепи ток / = 2 А.
От источника тока с напряжением V = 750 В необходимо передать мощность N = 5 кВт на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление R может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10 % передаваемой мощности?
Какой наибольшей мощности электропечь можно установить в конце двухпроводной линии, имеющей сопротивление R = 10 Ом, если источник тока развивает мощность N = б кВт при напряжении V = 1 кВ?
Два параллельно соединенных резистора с сопротивлениями /?, = б Ом и /?2 = 12 Ом подключены последовательно с резистором, имеющим сопротивление R = 15 Ом, к зажимам генератора с ЭД С ^ = 200 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом. Найти мощность, выделяющуюся на резисторе R ।.
Элемент с ЭДС ? = 12 В и внутренним сопротивлением г = 4 Ом замкнут на сопротивление R = 8 Ом. Какое количество теплоты будет выделяться во внешней цепи в единицу времени?
Найти полную мощность элемента при сопротивлении внешней цепи R = 4 Ом, если внутреннее сопротивление элемента г = 2 Ом, а напряжение на его зажимах V = б В.
Батарея элементов, замкнутая на сопротивление R^ = 2 Ом, дает ток /] = 1,6 А. Та же батарея, замкнутая на сопротивление R2 = 1 Ом, дает ток /2 = 2 А. Найти мощность, теряемую внутри
батареи во втором случае.
Найти ЭДС ^ и внутреннее сопротивление г аккумулятора, если при токе /, = 15 А он отдает во внешнюю цепь мощность ^l = 135 Вт, а при токе /2 = б А - мощность N2 = 64,8 Вт.
|—,841. К источнику тока с ЭДС % = 8 В подключена
R, нагрузка. Напряжение на зажимах источника 1—। У = 6,4 В. Найти КПД схемы.
^842. Найти КПД схемы, изображенной на рис. 135.
i|2 Сопротивления резисторов R, = 2 Ом и /?2 = 5 Ом, внутреннее сопротивление источника тока г = 0,5 Ом.
Рис. 135§43 Найти КПД схемы, в которую включен эле
мент с ЭДС 'б и внутренним сопротивлением г, если ток в цепи равен /. Выразить КПД: через ?,ги I; через сопротивление внешней цепи R и внутреннее сопротивление элемента г; через ЭДС элемента % и напряжение на его зажимах V.
Найти ток / в цепи аккумулятора с ЭДС % = 2,2 В, если сопротивление внешней цепи R = 0,5 Ом и КПД схемы Т| = 65 %.
Найти внутреннее сопротивление аккумулятора г, если при замене внешнего сопротивления R} = 3 Ом на R2 = 10,5 Ом КПД
схемы увеличился вдвое.
Батарея из п = 6 последовательно включенных элементов с одинаковыми ЭДС ^ = 1,5 В питает током / = 0,28 В две последова-
тельно включенные лампы с сопротивлением R = 12,5 Ом каждая. Найти КПД батареи и внутреннее сопротивление элемента.
При включении электромотора в сеть с напряжением ■ V = 120 В он потребляет ток / = 15 А. Найти мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление обмотки мотора R = 1 Ом.
Найти зависимость мощности Nb выделяемой во внешней цепи, мощности /V2, выделяемой внутри источника тока, а также полной мощности N = Nt +/V2, развиваемой источником, от сопротивления внешней цепи R. Построить графики этих зависимостей. ЭДС источника % = 15 В, его внутреннее сопротивление /• = 2,5 Ом.
Найти сопротивление R внешней цепи элемента, при котором мощность /V, потребляемая во внешней цепи, такая же, как и при сопротивлении Ri = 10 Ом. Внутреннее сопротивление элемента /" = 2,5 Ом.
К аккумулятору с внутренним сопротивлением г = 1 Ом подключен нагревать с сопротивлением R = 8 Ом. Затем параллельно с первым подключили второй такой же нагреватель. Найти отношение количеств теплоты, выделяющихся в единицу времени во внешней цепи.
К источнику тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом подключаются два резистора с сопротивлением R = 0,5 Ом каждый. Один раз резисторы подключаются последовательно, другой раз - параллельно. Найти отношение мощностей, выделяющихся во внешней цепи в обоих случаях.
Батарея состоит из параллельно соединенных элементов с ЭДС % = 5,5 В и внутренним сопротивлением г -5 Ом. При токе во внешней цепи / = 2 А полезная мощность N = 7 Вт. Сколько элементов имеет батарея?
Нагреватель, имеющий сопротивление R = 25 Ом, питается от двух одинаковых аккумуляторов с внутренним сопротивлением /• = 10 Ом. Параллельно или последовательно следует соединить аккумуляторы, чтобы получить в нагревателе большую мощность?
Электровоз массы т = 300 т движется вниз по горе со скоростью и = 36 км/ч. Уклон горы а = 0,01, сила сопротивления движению электровоза составляет 3% от действующей на него силы тяжести. Какой ток протекает через мотор электровоза, если напряжение в сети V = 3 кВ и КПД электровоза Т| = 80 %?
Из одного пункта в другой передается электроэнергия, питающая установку мощности /V = 62 кВт. Сопротивление проводов линии R = 5 Ом. Найти падение напряжения в линии, потери мощностей в ней и КПД передачи, если передача осуществляется при напряжениях V, = 6200 В и С = 620 В.
Какое сопротивление R должен иметь резистор из нихромовой проволоки, включенный последовательно с лампой, чтобы лампа горела нормальным накалом при напряжении V = 220 В, если лампа рассчитана на напряжение V() = 120 В при мощности /V = 60 Вт? Найти длину / проволоки, если ее удельное сопротивление р = 1,0 мкОм • м, а ее сечение S = 0,5 мм.
Рис. 137Рис. 137
Рис. 137
Рис. 137
Найти мощность N, выделяющуюся во внешней цепи, состоящей из двух резисторов с сопротивлением R каждый, если на резисторах выделяется одна и та же мощность как при последовательном, так и при параллельном соединении. ЭДС источника тока % = 12 В, его внутреннее сопротивление г = 2 Ом.
Какую мощность N потребляет схема, изображенная на рис. 136? ЭДС элемента % = 12 В, его внутреннее сопротивление г = 0,4 Ом. Сопротивления резисторов Ri = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R, = 3 Ом, /?4 = 6 Ом и R5 = 10 Ом.
Три одинаковых элемента с ЭДС % и резисторы с сопротивлением R каждый включены в цепь, изображенную на рис. 137. Найти мощность, выделяющуюся на всех сопротивлениях схемы.
Для составления елочной гирлянды имеется щ = 10 лампочек мощности N = 2 Вт при номинальном напряжении V, = 4 В и некоторое число лампочек, имеющих ту же мощность при номинальном напряжении V| = 8 В. Какое минимальное число п2 8-воль- товых лампочек нужно взять, чтобы, добавив их к десяти 4-вольто- вым, составить гирлянду для включения в сеть с напряжением V()= 120 В?
. 861. Источник тока замыкают первый раз на сопротивление /?! = 9 Ом, второй раз - на сопротивление /?2 = 4 Ом. Оба раза за одно и то же время на сопротивлениях выделяется одно и то же количество теплоты. Найти внутреннее сопротивление г источника.
При одном и том же напряжении одна лампа потребляет мощность, в два раза большую, чем другая. Найти мощности ^l и /V2, потребляемые каждой лампой при их последовательном включении в цепь, если вместе они в этом случае потребляют мощность N.
От источника тока необходимо передать потребителю мощность Nu = 4 кВт. Сопротивление подводящих проводов R = = 0,4 Ом. Какое напряжение должно быть на зажимах источника, чтобы потери мощности в проводах составляли 4 % потребляемой мощности?
Конденсатор емкости С,, имеющий заряд qx, соединяют через резистор с конденсатором емкости С2, имеющим заряд q^. Какое количество теплоты Q выделяется на резисторе? Соединяются противоположно заряженные обкладки.
Найти энергию W батареи конденсаторов, изображенной на рис. 138, при разомкнутом и замкнутом ключе К. Емкости конденсаторов С, = С, С2 = 2С, С3 = С/2, С4 = С. ЭДС источника тока равна %.
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
Электролизом называется выделение вещества на электродах, погруженных в раствор или расплав электролита, при прохождении тока. Масса т выделившегося при электролизе вещества согласно первому закону Фарадея пропорциональна заряду q, прошедшему через раствор или расплав электролита:
пг = kq = к1т, где / — ток в цепи, т - время его прохождения, а коэффициент пропорциональности к, различный для разных веществ, носит название электрохимического эквивалента и выражается в килограммах на кулон (кг/Кл). . Согласно второму закону Фарадея электрохимический эквивалент вещества прямо пропорционален молярной массе ц этого вещества и обратно пропорционален его валентностям z:
где химический эквивалент вещества А = ц/z выражается в килограммах на моль (кг/моль). Постоянная Фарадея F (в кулонах на моль) имеет для всех веществ одно и то же значение и равна произведению постоянной Авогадро МА на элементарный электрический заряд е:
F = NAe = 96 484,56 Кл/моль = 9,65 • 104 Кл/моль.
Эта постоянная показывает, какой заряд должен пройти через раствор электролита, для того чтобы на электроде выделилась масса вещества, численно равная его химическому эквиваленту.
Подставив в формулу первого закона Фарадея выражение для к, получим объединенный закон Фарадея:
Найти электрохимический эквивалент натрия. Молярная масса натрия ц = 0,023 кг/моль, его валентность z = 1. Постоянная Фарадея F = 9,65 • 104 Кл/моль.
Цинковый анод массы т = 5 г поставлен в электролитическую ванну, через которую проходит ток / = 2 А. Через какое время т анод полностью израсходуется на покрытие металлических изделий? Электрохимический эквивалент цинка к = 3,4 • I07 кг/Кл.
Найти постоянную Фарадея, если при прохождении через электролитическую ванну заряда q = 7348 Кл на катоде выделилась масса золота т = 5 г. Химический эквивалент золота А = 0,066 кг/моль.
Найти элементарный электрический заряд е, если масса вещества, численно равная химическому эквиваленту, содержит /Vo = /VA/z атомов или молекул.
Молярная масса серебра щ = 0,108 кг/моль, его валентность 2] = 1 и электрохимический эквивалент кх = 11,18 • 107 кг/Кл. Найти электрохимический эквивалент золота кг, если молярная масса золота ц2 = 0,197 кг/моль, его валентность z2 = 3.
Найти массы веществ, выделившихся за время т = 10 ч на катодах трех электролитических ванн, включенных последовательно в сеть постоянного тока. Аноды в ванных - медный, никелевый и серебряный - опущены соответственно в растворы CuSO4, NiSO4 и AgNO3. Плотность тока при электролизе j = 40 А/м2, площадь катода в каждой ванне 5' = 500 см2. Электрохимические эквиваленты меди, никеля и серебра кА = 3,3 • 10~7 кг/Кл, кг = = 3 • 10-7 кг/Кл и /3 = 11,18 • 10-7 кг/Кл.
При никелировании изделий в течение времени т = 2 ч отложился слой никеля толщины / = 0,03 мм. Найти плотность тока при электролизе. Электрохимический эквивалент никеля к = 3 ■ И?7 кг/Кл, его плотность у = 8,9 ■ 103 кг/м3.
Амперметр, включенный последовательно с электролитической ванной, показывает ток /0 = 1,5 А. Какую поправку надо внести в показание амперметра, если за время т = 10 мин на катоде отложилась масса меди пг = 0,316 г? Электрохимический эквивалент меди к = 3,3 ■ HF7 кг/Кл.
Желая проверить правильность показаний вольтметра, его подключили параллельно резистору с известным сопротивлением R = 30 Ом. Последовательно в общую цепь включили электролитическую ванну, в которой ведется электролиз серебра. За время т = 5 мин в этой ванне выделилась масса серебра т = 55,6 мг. Вольтметр показывал напряжение Vo = 6 В. Найти разность между показанием вольтметра и точным значением падения напряжения на резисторе. Электрохимический эквивалент серебра к = 11,18 ■ 10-7 кг/Кл.
Для серебрения ложек через раствор соли серебра в течение времени т = 5 ч пропускается ток / = 1,8 А. Катодом служат п = 12 ложек, каждая из которых имеет площадь поверхности 5 = 50 см2. Какой толщины слой серебра отложится на ложках? Молярная масса серебра ц = 0,108 кг/моль, его валентность с = 1 и плотность у = 10,5 ■ 103 кг/м3.
Две электролитические ванны включены последовательно. В первой ванне находится раствор хлористого железа (FeCl2), во второй - раствор хлорного железа (FeCl3). Найти массы выделившегося железа на катодах и хлора на анодах в каждой ванне при прохождении через ванну заряда q = 9,65 ■ 107 Кл. Молярные массы железа и хлора цж = 55,85 ■ 10"3 кг/моль и цх = = 35,357 ■ 10~3 кг/моль.
При электролизе раствора серной кислоты (CuSO4) расходуется мощность N = 37 Вт. Найти сопротивление электролита, если за время т . = 50 мнн выделяется масса водорода т = 0,3 г. Молярная масса водорода и = 0,001 кг/моль, его валентность Z = 1. . , : : ,
При электролитическом способе.получения никеля на единицу массы расходуется И ,„= 10 кВт • ч/'кг электроэнергии. Электрохимический эквицалпнтнцкедя, ^ = 1,08/ 10т3 кг/(А • ч). При каком напряжении производится:эдектролиз? . . ;;
Найти массу выделившейся меди, если для ее получения электролитическим способом затрачено W = 5 кВт • ч электроэнергии. Электролиз проводится при напряжении V = 10 В, КПД установки Т| = 75%. Электрохимический эквивалент меди к = 3,3 ■ КУ7 кг/Кл.
Какой заряд проходит через раствор серной кислоты (CuSO4) за время т = 10 с, если ток за это время равномерно возрастает от Д = 0 до /2 = 4А? Какая масса меди выделяется при этом на катоде? Электрохимический эквивалент меди к = 3,3 • 10-7 кг/Кл.
При рафинировании меди с помощью электролиза к последовательно включенным электролитическим ваннам, имеющим общее сопротивление R = 0,5 Ом, подведено напряжение V = 10 В. Найти массу чистой меди, выделившейся на катодах ванны за время t = 10 ч. ЭДС поляризации % = б В. Электрохимический эквивалент меди к = 3,3 • ПУ7 кг/Кл.
При электролизе воды через электролитическую ванну в течение времени т = 25 мин шел ток / = 20 А. Какова температура t выделившегося кислорода, если он находится в объеме V = 1 л под давлением р = 0,2 МПа? Молярная масса воды ц = 0,018 кг/моль. Электрохимический эквивалент кислорода к = 8,29 • ИУХ кг/Кл.
При электролитическом способе получения алюминия на единицу массы расходуется Wbn = 50 кВт - ч/кг электроэнергии. Электролиз проводится при напряжении Vt = 16,2 В. Каким будет расход электроэнергии 1У2ш на единицу массы при напряжении У2 = 8,1В? .
§ 23. Магнитное поле тока.Электромагнитная индукция
Вокруг проводников с током и постоянных магнитов образуется магнитное поле. При помещении в магнитное поле проводника с током на отрезок проводника действует сила, зависящая от ориентации отрезка в пространстве, пропорциональная длине этого Отрезка и току в нем.
Магнитное поле характеризуется магнитной индукцией В. Магнитная индукция В направлена вдоль отрезка проводника с током, если этот отрезок ориентирован так, что на него со стороны магнитного поля не действует сила. Если магнитная индукция В перпендикулярна к направлению отрезка, то модуль магнитной индукции
5 = Fmax№
где / — длина отрезка проводника, / - ток, текущий в нем, FmM — максимальная сила, действующая на отрезок проводника в магнитном поле.
. В системе единиц СИ, когда сила выражается в ньютонах, ток - в амперах, а длина - в метрах, единицей магнитной индукции является тесла (Тл).
Если в некоторой области пространства известна магнитная индукция, то на помещенный в этой области отрезок проводника длины /, по которому течет ток /, действует со стороны магнитного поля сила
В =/В/sin а, (16)
где а - угол между направлением магнитной индукции и отрезком проводника. Направление этой силы определяется правилом левой руки. Заметим также, что это правило может служить и для определения направления магнитной индукции, если известны направление силы, действующей на отрезок проводника с током, и направление тока.
Вспомогательной величиной, характеризующей магнитное поле, является напряженность магнитного поля Н. Модуль и направление напряженности магнитного поля в данной точке пространства могут быть найдены, если известны форма, размеры и расположение контура, по которому течет ток, создающий магнитное поле, и сам этот ток. В частности, модуль напряженности магнитного поля, создаваемого очень длинным прямолинейным проводником, по которому течет ток /, в точках, лежащих на расстояниях г от проводника, выражается в виде
Н = Ц1иг. (17)
В этом случае линии индукции магнитного поля (линии, направление касательной к которым в любой точке совпадает с направлением магнитной индукции В в этой точке) представляют собой окружности с центрами на проводнике, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к проводнику.
В системе единиц СИ единицей напряженности магнитного поля является ампер на метр (А/м).
Если известна напряженность магнитного поля Н, то магнитную индукцию В можно найти по формуле
В = №/7. (18)
Здесь Цо = 4л • 10~7 Гн/м = 12,56 ■ 1Ф7 Гн/м - магнитная постоянная, а р - относительная (безразмерная) магнитная проницаемость вещества (относительно магнитной проницаемости вакуума), значения которой приводятся в таблицах. Для вакуума р = 1; для всех веществ, кроме ферромагнетиков (железа, никеля, кобальта и некоторых сплавов), р очень мало отличается от единицы. Для ферромагнетиков р сильно зависит от напряженности магнитного поля Н и может достигать десятков тысяч.
Из формулы (18) следует, что в системе единиц СИ величины Н и В имеют разные размерности и их числовые значения различны.
Магнитным потоком (потоком магнитной индукции) через некоторую поверхность площади 5 называется величина
Ф = BS cos а,
где а - угол между направлением магнитной индукции В и нормалью (перпендикуляром) к поверхности. При этом подразумевается, что величина В cos а во всех точках поверхности одна и та же. При поверхностях сложной формы, как, например, поверхность, ограниченная витками катушки, следует найти потоки через отдельные участки поверхности (через поверхности, ограниченные отдельными витками), а затем сложить эти потоки. В системе единиц СИ единицей магнитного потока является вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл • м2.
Если магнитное поле вызвано током /, протекающим по какому-либо контуру, то магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, пропорционален току:
Ф = Ц, (19)
где L - индуктивность контура, которая зависит от геометрических свойств (формы и размеров) контура и магнитных свойств (магнитной проницаемости) окружающей среды. В системе единиц СИ индуктивность выражается в генри (Гн).
При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную некоторым контуром, в этом контуре индуцируется ЭДС % (ЭДС индукции), равная скорости изменения магнитного потока:
(20)(20)% = -ДФ/ДГ,
(20)
(20)
где ДФ - изменение магнитного потока, А/ - промежуток времени, в
течение которого произошло это изменение, а знак минус отражает пра
Рис. 139Рис. 139вило Ленца, согласно которому индуцируемая в контуре ЭДС вызывает ток такого направления, что магнитное поле этого тока препятствует изменению магнитного потока. В большинстве случаев при числовых расчетах этот знак может быть опущен.
Рис. 139
Рис. 139
При движении в магнитном поле незамкнутого проводника в этом проводнике индуцируется ЭДС,
которая может быть найдена по формуле (20), если считать, что ДФ - поток через площадь, “заметаемую"
проводником за время Д/ (на рис. 139 площадь S, “заметаемая” провод
ником ab при его перемещении из положения 1 в положение 2, заштрихована). В этом случае ток в проводнике не возникает, но между концами проводника появляется разность потенциалов, равная ЭДС индукции %.
Если магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром,
изменяется вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру, то в контуре индуцируется ЭДС, которую называют ЭДС самоиндукции.
Цри постоянной.индуктивности L (т.е. при неизменных.магнитной проницаемости среды, размерах и форме контура) ЭД С самоиндукции
'^ = -№1^ = -Ш1М,
где Д / - изменение тока за время Д/..
Индукция однородного магнитного поля 5 = 2 Тл. Найти напряженность магнитного поля. ■
Напряженность однородного магнитного поля длинного соленоида Н = 1пИ. Найти магнитную индукцию в железном сердечнике соленоида, если длина соленоида / = 50 см, число витков п = 500, ток / = 10 А. Магнитная проницаемость железа ц = 5000.
Найти магнитную проницаемость железа, если напряженность магнитного поля в железе Н = 800 А/м, а магнитная индукция 5 = 5 Тл.
Прямой проводник длины / = 1 см расположен перпендикулярно к линиям индукции в однородном поле. Какая сила действует на проводник, если по нему идет ток / = 1 А, а магнитная индукция 5 = 10 мТл?
Прямой проводник ab длины / = 0,2 м и массы т = 5 г под
Рис. 140Рис. 140вешен горизонтально на двух невесомых нитях оа и ob в однородном магнитном поле. Магнитная индукция 5 = 49 мТл и перпендикулярна к проводнику (рис. 140). Какой ток надо пропустить через проводник, чтобы одна из нитей разорвалась, если нить разрывается при нагрузке, равной или превышающей Mg = 39,2 мН?
Рис. 140
Рис. 140
На прямой проводник длины I = 0,5 м, расположенный перпендикулярно к линиям
индукции магнитного поля, действует сила F = 0,15 Ц. Найти ток /, протекающий в проводнике, если магнитная индукция 5 = 20 мТл.
Между полюсами магнита подвешен горизонтально на двух невесомых нитях прямой проводник длины / = 0,2 м и массы т = = 10 г. Индукция однородного магнитно го поля 5 = 49 мТл и перпендикулярна к проводнику. На какой угол а от вертикали откло-
нятся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток / = 2 А?
Найти напряженность Н и индукцию В магнитного поля прямого тока в точке, находящейся на расстоянии г = 4 м от проводника, если ток / = 100 А.
ГОСТ 8.417-81 дает такое определение единицы силы тока - ампера: “Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длины 1 м силу взаимодействия, равную 2 • 10~7 Н”. Исходя из этого определения, вычислить магнитную постоянную ц 0.
Найти силу взаимодействия, приходящуюся на единицу длины проводов воздушной линии электропередачи, если ток в линии / = 500 А, а расстояние между проводами г = 50 см.
Индукция однородного магнитного поля В = 0,5 Тл. Найти магнитный поток через площадку 5 = 25 см2, расположенную перпендикулярно к линиям индукции. Чему будет равен магнитный
поток, если площадку повернуть на угол ф = 60° от первоначального положения?
Найти магнитную индукцию и магнитный поток через поперечное сече-
Рис )4)ние никелевого сердечника соленоида
(рис. 141), если напряженность однородного магнитного поля внутри соленоида Н = 25 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника 5 = 20 см2, магнитная проницаемость никеля ц = 200.
Магнитный поток через поперечное сечение катушки, имеющей п = 1000 витков, изменился на величину АФ = 2 мВб в результате изменения тока в катушке от /, = 4 А до /2 = 20 А. Найти индуктивность L катушки.
Виток площади 5 = 2 см2 расположен перпендикулярно к линиям индукции однородного магнитного поля. Найти индуцируемую в витке ЭДС, если за время At = 0,05 с магнитная индукция равномерно убывает от Вх = 0,5 Тл до S2 = 0,1 Тл.
Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, имеющей п = 1000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля в течение времени At = 0,1 с в катушке индуцируется ЭДС % = 10 В?
■ 899. Рамка в форме равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с напряженностью Н = 64 кА/м. Нормаль к плоскости рамки составляет с линиями индукции магнитного поля угол а = 30°. Найти длину стороны рамки д, если в рамке при выключении поля в течение времени А? = 0,03 с индуцируется ЭДС‘ё= 10 мВ.
Квадратная рамка со стороной д = 10 см помещена в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с линиями индукции магнитного поля угол а = 60°. Найти магнитную индукцию В этого поля, если в рамке при выключении поля в течение времени А? = 0,01 с индуцируется ЭД С % = 50 мВ.
Плоский виток площади 5=10 см2 помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно к линиям индукции. Сопротивление витка R = 1 Ом. Какой ток / протечет по витку, если магнитная индукция поля будет убывать со скоростью AS/A1 = 0,01 Тл/с?
Плоский виток площади S = 10 см2 помещен в однородное магнитное поле с напряженностью Н = 80 кА/м, перпендикулярное к линиям индукции. Сопротивление витка R = 1 Ом. Какой заряд протечет по витку, если поле будет исчезать с постоянной скоростью?
Какова индуктивность катушки с железным сердечником, если за время А? = 0,5 с ток в цепи изменился от /, = 10 А до /2 = 5 А, а возникшая при этом ЭД С самоиндукции % = 25 В?
Проводник длины / = 2 м движется в однородном магнитном поле со скоростью и = 5 м/с, перпендикулярной к проводнику и линиям индукции поля. Какая ЭДС индуцируется в проводнике, если магнитная индукция 5 = 0,1 Тл?
Самолет летит горизонтально со скоростью и = 900 км/ч. Найти разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолета, если вертикальная составляющая индукции земного магнитного поля В^ = 0,5 мкТл и размах крыльев самолета 1= 12 м.
С какой скоростью должен двигаться проводник длины / = = 10 см перпендикулярно к линиям индукции однородного магнитного поля, чтобы между концами проводника возникла разность потенциалов V = 0,01 В? Скорость проводника составляет с направлением самого проводника угол а = 30°. Линии индукции перпендикулярны к проводнику, индукция В = 0,2 Тл.
Какой ток идет через гальванометр, присоединенный к железнодорожным рельсам, при приближении к нему поезда со скоростью г = 60 км/ч? Вертикальная составляющая индукции земного
магнитного поля 50 = 50 мкТл. Сопротивление гальванометра R = 100Ом. Расстояние между рельсами / = 1,2 м; рельсы считать изолированными друг от друга и от земли.
Квадратная рамка со стороной / = 2 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 100 Тл. Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции поля. Сопротивление рамки R = 1 Ом. Какой ток протечет по рамке, если ее выдвигать из магнитного поля со скоростью и = 1 см/с, перпендикулярной к линиям индукции? Поле имеет резко очерченные границы, и стороны рамки параллельны этим границам.
Проволочный виток площади 8 = 1 см2, имеющий сопротивление R = 1 мОм, пронизывается однородным магнитным полем, линии индукции которого перпендикулярны к плоскости витка. Магнитная индукция изменяется со скоростью АВ/At = = 0,01 Тл/с. Какое количество теплоты выделяется в витке за единицу времени?
Прямоугольная рамка, подвижная сторона которой имеет длину /, помещена в однородное магнитное поле с индукцией В. Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции магнитного поля. Подвижную сторону, которая вначале совпадает с противоположной ей неподвижной, начинают двигать равномерно со скоростью и. Найти зависимость тока / в рамке от времени t. Сопротивление единицы длины проводника равно R(.
Два параллельных, замкнутых на одном конце провода, расстояние между которыми / = 50 см, находятся в однородном магнитном поле <; индукцией В = 5 мТл. Плоскость, в которой расположены провода, перпендикулярна к линиям индукции поля. На провода положен металлический мостик, который может скользить по проводам без трения. Мостик под действием силы F = 0,1 мН движется со скоростью и = 10 м/с. Найти сопротивление R мостика. Сопротивлением проводов пренебречь.
Рамка из п = 1000 витков, имеющих площадь 8 = 5 см2, замкнута на гальванометр с сопротивлением R = 10 кОм и помещена в однородное Магнитное поле с индукцией В = 10 мТл, причем линии индукции поля перпендикулярны к ее плоскости. Какой заряд q протечет пощепи гальванометра, если направление индукции магнитного поля.плавно.изменить на обратное?
Замкнутая катушка диаметра /) с числом витков п помещена в однородное; магнитное поле с индукцией В. Плоскость катушки перпендикулярна к линиям индукции поля. Какой заряд q 156
{протечет по цепи катушки, если ее повернуть на 180°? Проволока, цз которой намотана катушка, имеет площадь сечения S и удельное сопротивление р.
В цепь включены последовательно источник тока с ЭДС % = 1,2 В, реостат с сопротивлением R = 1 Ом и катушка с индуктивностью L = 1 Гн. В цепи протекал постоянный ток /0. С некоторого момента сопротивление реостата начинают менять так, чтобы ток уменьшался с постоянной скоростью AI/At = = 0,2 А/с. Каково сопротивление R, цепи спустя время г = 2 с после начала изменения тока?
Рис. 143Рис. 143
Рис. 143
Рис. 143
Какой ток / покажет амперметр в схеме, изображенной на рис. 142, если индукция перпендикулярного к плоскости рисунка однородного магнитного поля меняется с течением времени по закону В = к tl Точки с и d лежат на концах диаметра проволочного кольца. Сопротивление единицы длины проволоки равно /?,; диаметр кольца равен D. .
Квадратная рамка со стороной а = 1 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 10 мТл так, что две стороны рамки перпендикулярны к линиям индукции поля, а нормаль к плоскости рамки образует с ними угол а = 30°. Найти момент сил М, действующий на рамку, если по ней протекает ток / = 0,1 А.
Пятиугольная рамка abcde, изображенная на рис. 143, движется в однородном вертикальном магнитном поле со скоростью и, перпендикулярной к линиям индукции поля и стороне рамки ab. Магнитная индукция поля равна В. Найти ЭДС, индуцируемую в рамке, и ток в ней.
С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник длины г = 20 см вокруг одного из его концов в плоскости, перпендикулярной к линиям индукции однородного магнитного поля, чтобы в проводнике индуцировалась ЭДС % = 0,3 В? Магнитная индукция поля В = 0,2 Тл. ■
§ 24. Переменный электрический ток
Частота колебаний/, период Т и круговая частота (0 переменного тока связаны соотношениями
/ = 1/7, со=2л/7 = 2л/
В случае так называемых синусоидальных переменных токов при мгновенных значениях ЭДС в контуре
% = ^о sin(co? + ф)
или при напряжении (на концах участка цепи)
V = Ц) sin(coz + ф)(21)
мгновенные значения тока в этом контуре (на этом участке цепи)
/ = /() sin (й(.(22)
Здесь /0, Vo и /() - амплитудные (наибольшие) значения ЭДС, напряжения и тока, ф - начальная фаза ЭДС (или на- R Lпряжения). Начальная фаза тока принята
о равной нулю.
■gПри последовательном включении в цепь
переменного тока проводника с активным сопротивлением R, катушки с индуктивным рис 144сопротивлением X L = coL и конденсатора с
емкостным сопротивлением X с = 1/соС (рис. 144) полное сопротивление цепи
Z = 7^2 +М-1/(0С)2.Z = 7^2 +М-1/(0С)2.(23)(23)
Z = 7^2 +М-1/(0С)2.
Z = 7^2 +М-1/(0С)2.
(23)
(23)
Между амплитудными значениями тока в этой цепи и напряжением на ее концах существует связь, аналогичная закону Ома;
Zo= Vo/Z.
В этом случае сдвиг фаз между напряжением и током (он равен начальной фазе напряжения, если мгновенные значения напряжения и тока определяются формулами (21) и (22)), можно найти из выражения
(24)(24)toL -1 / соСtg<P =
(24)
(24)
Если в цепи отсутствует сопротивление R или индуктивность L, то в формулах (23) и (24) их следует положить равными нулю. При отсутствии же конденсатора емкость С цепи следует считать бесконечно большой.
Эффективные значения тока, напряжения и ЭДС связаны с их амплитудными значениями соотношениями■
/э = /0 /72, Уэ = Уо /72,= ^ /72.
Если мгновенные значения напряжения и тока на участке цепи определяются формулами (21) и (22), то средняя мощность, выделяемая на этом участке,
N = *^ cos<p = /ЭУЭ cos<p,где cos <р - коэффициент мощности.
При прохождении по проводнику с сопротивлением R переменного тока в течение времени т выделяется количество теплоты
2е = /э rt.
На индуктивном и емкостном сопротивлениях тепло не выделяется.
При преобразовании переменного тока с помощью трансформатора, в котором можно пренебречь рассеянием магнитного потока и током в первичной обмотке при разомкнутой вторичной (током холостого хода), токи /1 и /2 в обмотках обратно пропорциональны числам wj и ич витков обмоток:
/] П2 = W] tw2 = к.
Величина к носит название коэффициента трансформации.
ЭДС ^| и с^2, индуцируемые в обмотках изменяющимся магнитным потоком, прямо пропорциональны числам витков:
1 /^2 = И^/и-^.
Трансформатор, сопротивление обмоток которого мало по сравнению с индуктивным сопротивлением, имеет КПД, близкий к единице. Для такого трансформатора /|С€i = /2^2, т-е- мощность тока во вторичной цепи равна мощности тока в первичной цепи.
частотой п =частотой п =Рис. 145Рис. 145Прямоугольная рамка площади 5 = 100 см2 вращается в горизонтальном однородном магнитном поле с = 50 об/с (рис. 145). Магнитная индукция поля В = 0,2 Тл. Найти закон изменения магнитного потока через рамку в зависимости от времени t, если в начальный момент времени плоскость рамки: а) расположена горизонтально; б) составляет с горизонтальной плоскостью угол (р = 30°.
частотой п =
частотой п =
Рис. 145
Рис. 145
В условиях задачи 919 найти амплитуду ЭДС, индуцируемой в рамке. Как изменится амплитуда ЭДС, если частоту вращения рамки увеличить в три раза?
Найти максимальный магнитный поток через прямоугольную рамку, вращающуюся в однородном магнитном поле с частотой п = 10 об/с, если амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС.
= 3 В (см. рис. 145).
Найти частоту вращения прямоугольной рамки в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл, если амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС ^о = 10 В (см. рис. 145). Площадь рамки S = 200 см2, число витков рамки w = 20.
Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону V = Vo sin(tof + я/б), где (р = я/б - начальная фаза напряжения. В момент времени t = Т/12 мгновенное значение напряжения V = 10 В. Найти амплитуду напряжения Vo, круговую частоту со и частоту / тока, если период колебаний Т = 0,01 с. Представить графически зависимость напряжения от времени г.
Найти индуктивность катушки, если амплитуда напряжения на ее концах Го = 160 В, амплитуда тока в ней /() = 10 А и частота тока / = 50 Гц.
Индуктивное сопротивление катушки Хк = 500 Ом, эффективное напряжение сети, в которую включена катушка, Гэ = 100 В, частота тока/ = 1 кГц. Найти амплитуду тока в цепи и индуктивность катушки.
Найти сдвиг фаз ср между напряжением V = Vo sin((or + ср) и током / = /0 sin tot для цепи, состоящей из последовательно включенных резистора с сопротивлением R = 1 кОм, катушки с индуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатора с емкостью С = 1 мкФ. Найти мощность, выделяемую в цепи, если амплитуда напряжения Го = 100 В, а частота токаУ= 50 Гц.
В цепь последовательно включены резистор с сопротивлением R = 1 кОм, катушка с индуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатор с емкостью С = 1 мкФ. Найти индуктивное сопротивление Хк, емкостное сопротивление Хс и полное сопротивление Z цепи при частотах тока У = 50 Гц и/2 = Ю кГц.
К зажимам генератора присоединен конденсатор с емкостью С = 0,1 мкФ. Найти амплитуду напряжения на зажимах, если амплитуда тока /() = 2,2 А, а период тока Т = 0,2 мс.
В сеть переменного тока с эффективным напряжением V.3 = 127 В последовательно включены резистор с сопротивлением R = 100 Ом и конденсатор с емкостью С = 40 мкФ. Найти амплитуду тока в цепи.
В сеть переменного тока с эффективным напряжением V3 = 120 В последовательно включены проводник с сопротивлением R = 15 Ом и катушка с индуктивностью L = 50 мГн. Найти частоту тока У, если амплитуда тока в цепи /0 = 7 А.
т 931. Найти полное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора с емкостью С = 0,1 мкФ и катушки с индуктивностью L = 0,5 Гн, при частоте тока/= 1 кГц. При какой частоте/;, полное сопротивление цепи равно нулю?
В колебательный контур (рис. 146) включен источник переменного тока с ЭДС % = 'ёо sin cor, где амплитуда ЭДС Т() = 2 В. При резонансе амплитуда напряжения на отдельных элементах контура, например на конденсаторе, значительно увеличивается. Найти резонансную ?j
амплитуду напряжения на конденсаторе, если из- С' ^ ^ ~~ вестно, что она во столько раз больше амплитуды IГ~~1—о
ЭДС, во сколько раз индуктивное сопротивле- р |46 ние XL (или емкостное сопротивление Хс) при резо
нансе больше сопротивления R. Резонансная частота контура /о = 0,1 МГц, индуктивность катушки L = 1 мГн, сопротивление контура R = 3 Ом.
Соленоид с железным сердечником (дроссель), имеющий индуктивность L = 2 Гн и сопротивление обмотки R = 10 Ом, включен сначала в сеть постоянного тока с напряжением V = 20 В, а затем в сеть переменного тока с эффективным напряжением Рэ = 20 В и частотой тока /= 0,4 кГц. Найти ток, текущий через соленоид, в первом случае и амплитуду тока во втором случае.
Найти коэффициент мощности cos <р электрической цепи, если генератор отдает в цепь мощность N = 8 кВт, амплитуда тока в цепи /(, = 100 А и амплитуда напряжения на зажимах генератора Ц, = 200 В.
От генератора переменного тока питается электропечь с сопротивлением R = 22 Ом. Найти количество теплоты Q, выделяемое печью за время т = 1 ч, если амплитуда тока /0 = 10 А.
Кипятильник работает от сети переменного тока с эффективным напряжением Va = 100 В. При температуре Г() = 20 °C сопротивление фехралевой спирали R = 25 Ом. Какая масса кипящей воды превращается кипятильником в пар за время т - 1 мин? Удельная теплота парообразования воды г = 2,3 МДж/кг. Температурный коэффициент сопротивления фехраля а = = 2 ■ IO 2 К*1.
Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с эффективным напряжением Уэ = 71 В и периодом Т = (1/50) с. Найти промежуток времени Аг, в течение которого длится вспыш-
ка лампы, и частоту вспышек лампы п. Напряжение зажигания лампы К, = 86,7 В считать равным напряжению гашения Гг.
Найти частоту вспышек неоновой лампы, включенной в сеть переменного тока по схеме, изображенной на рис. 147. ЭДС батареи элементов % = 60 В, эффективное напряжение, снимаемое
с автотрансформатора, Уэ = 28,3 В, напряжение
Iзажигания лампы У3 = 86,7 В. Частота перемен-
£кого тока/= 200 Гц.
I 939. Ток в первичной обмотке трансформатора °ч'"1! Л = 0,5 А, напряжение на ее концах V, = 220 В.
Ток во вторичной обмотке трансформатора
Рис. 147,, 1 Лс п
/2 = И А, напряжение на ее концах Г2 = 9,5 В. Найти КПД трансформатора.
Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации к = 8 включена в сеть переменного тока с напряжением V, = 220 В. Сопротивление вторичной обмотки г = 2 Ом, ток в ней / = 3 А. Найти напряжение Г2 на зажимах вторичной обмотки.
Первичная обмотка трансформатора для питания накала радиоприемника имеет w, = 12 000 витков и включена в сеть переменного тока с напряжением V, = 120 В. Какое число витков w2 должна иметь вторичная обмотка, если ее сопротивление /■ = 0,5 Ом? Напряжение накала радиоприемника Г2 = 3,5 В при токе / = 1 А.
Первичная обмотка понижающего трансформатора включена в сеть переменного тока с напряжением V, = 220 В. Напряжение на зажимах вторичной обмотки Г2 = 20 В, ее сопротивление /• = 1 Ом, ток в ней / = 2 А. Найти коэффициент трансформации к и КПД Г] трансформатора.
Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации к = 10 включена в сеть переменного тока с напряжением V, = 120 В. Сопротивление вторичной обмотки г = 1,2 Ом, ток в ней / = 5 А. Найти сопротивление R нагрузки трансформатора и напряжение Г2 на зажимах вторичной обмотки.
Найти амплитуду и фазу напряжения в сети, питаемой двумя последовательно включенными генераторами переменного тока, напряжения на зажимах которых V, = Vlo sin tot и V2 = V20 sin (tot - (p0). Амплитуда напряжения генераторов V10 = 60 В и V20 = 100 В; частота тока/ = 50 Гц; начальная фаза напряжения второго генератора ф0 = 30°.
§ 25. Электромагнитные колебания и волны
Период Т собственных электромагнитных колебаний контура, состоящего из катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С, если активным сопротивлением R контура можно пренебречь по сравнению с индуктивным (при резонансной частоте), определяется формулой Томсона:
Т = 2л VLC.
Частота электромагнитных колебаний контура
/ = 1/Т= \I2k4lC.
Длина электромагнитной волны в вакууме
X = сТ = с//
где с = 2,99792458 • 10х м/с = 3 ■ 10х м/с - скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (скорость света в вакууме).
После того как конденсатору колебательного контура был сообщен заряд q = 1 мкКл, в контуре происходят затухающие электромагнитные колебания. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания полностью затухнут? Емкость конденсатора С = 0,01 мкФ.
Эффективное напряжение на конденсаторе колебательного контура Еэ = 100 В. Емкость конденсатора С = 10 пФ. Найти максимальные значения электрической и магнитной энергий в контуре.
Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L — 3 мГн и плоского конденсатора в виде двух дисков радиуса г = 1,2 см, расположенных на расстоянии d = 0,3 мм друг от друга. Найти период Т электромагнитных колебаний контура. Каков будет период Т' колебаниий, если конденсатор заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью £ = 4?
Для предотвращения короткого замыкания в колебательном контуре генератора (вследствие случайного соприкосновения обкладок переменного конденсатора друг с другом) последовательно с переменным конденсатором включается постоянный конденсатор, емкость которого Со намного больше максимальной емкости переменного конденсатора С. Максимальной емкости переменного конденсатора С до включения постоянного конденсатора соответствовала частота колебаний/. Во сколько раз изме-
нится частота колебаний контура после включения постоянного конденсатора, если емкость этого конденсатора С(| = пС, где п = 50?
Резонанс в колебательном контуре, содержащем конденсатор емкости Со = 1 мкФ, наступает при частоте колебаний /] = 400 Гц. Когда параллельно конденсатору емкости Со подключается конденсатор емкости С, резонансная частота становится равной /2 = 100 Гц. Найти емкость конденсатора С.
В каких пределах должна изменяться индуктивность катушки колебательного контура, чтобы в контуре происходили колебания с частотой от Д = 400 Гц до /2 = 500 Гц? Емкость конденсатора С = 10 мкФ.
Радиоприемник можно настраивать на прием радиоволн различной длины: от А., = 25 м до Л2 = 200 м. В какую сторону и во сколько раз нужно изменить расстояние d между пластинами плоского конденсатора, включенного в колебательный контур радиоприемника, при переходе к приему более длинных волн?
Каков диапазон частот радиоволн миллиметрового диапазона (от Х| = 1 мм до Х? = 10 мм)?
Найти длину волны рентгеновских лучей, если их частота ,/ = 3 - 109 ГГц. '
Найти диапазон длин волн генератора, возбуждающего электромагнитные колебания заданной амплитуды и частоты, если он рассчитан на диапазон частот от j\ = 0,1 МГц до /2 = 26 МГц.
Какой интервал частот и длин волн может перекрыть один из диапазонов радиоприемника, если индуктивность колебательного контура радиоприемника этого диапазона L = 1 мкГн, а его емкость изменяется от С, = 50 пФ до С2 = 100 пФ?
Какую длину волны электромагнитных колебаний будет принимать радиоприемник, колебательный контур которого имеет конденсатор с емкостью С = 750 пФ и катушку с индуктивностью L = 1,34 мГн? Найти частоту колебаний контура радиоприемника.
Частоту колебаний электромагнитного контура/> = 30 кГц. Какой будет его частота /, если расстояние между пластинами плоского конденсатора контура увеличить в и = 1,44 раза?
При изменении тока в катушке индуктивности на величину А/ = 1 А за время А? = 0,6 с в ней индуцируется ЭДС % = 0,2 мВ. Какую длину X будет иметь радиоволна, излучаемая генератором, колебательный контур которого состоит из этой катушки и конденсатора емкости С = 14,1 нФ?
Найти частоту f электромагнитных колебаний контура, изображенного на рис. 148, а также круговую частоту со, период Т И длину волны X, излучаемой контуром. Индуктивность катушки контура L = 10 мГн, емкость конденсатора С, = 880 пФ, емкость подстроечного конденсатора С2 = 20 пФ.
Колебательный контур, содержащий кон- Рис. 148 денсатор емкости С = 20 пФ, настроен на длину
волны X = 5 м. Найти индуктивность катушки L контура и частоту его колебаний/.
На какую длину волны настроен колебательный контур, состоящий из катушки с индуктивностью L = 2 мГн и плоского конденсатора? Пространство между пластинами конденсатора заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью Е = 11. Площадь пластин конденсатора 5 = 800 см2, расстояние между ними d = 1 см.
Найти емкость конденсатора колебательного контура, если при индуктивности L = 50 мкГн контур настроен на длину волны электромагнитных колебаний X = 300 м.
Емкость переменного конденсатора колебательного контура изменяется в пределах от С] до С2 = 9СЬ Найти диапазон длин волн, принимаемых контуром, если емкости конденсатора С\ соответствует длина волны X, = 3 м.
Колебательный контур радиоприемника настроен на радиостанцию, частота которой/, = 9 МГц. Во сколько раз нужно изменить емкость переменного конденсатора контура, чтобы он был настроен на длину волны X = 50 м?
Электромагнитные волны распространяются в некоторой однородной среде со скоростью сср = 2 ■ 10к м/с. Какую длину волны X имеют электромагнитные волны в этой среде, если их частота в вакууме/, = 1 МГц?
Глава IV
ОПТИКА
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
В вакууме и в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Скорость света в вакууме с = 2,99792458 • 108 м/с = 3 • 108 м/с, в веществе - с„ = с/п, где п - показатель преломления вещества.
Свет представляет собой поперечные электромагнитные волны. Длина волны X связана с частотой колебаний V, периодом Т и скоростью и соотношениями
X = иТ = и/v.
Квантовые свойства света проявляются во взаимодействии света с веществом. Энергия кванта (порции) света с частотой V определяется выражением
Е = hv.
Здесь h = 6,626176 • 10"34 Дж • с = 6,62 • 10~34 Дж • с (или Дж/Гц) - постоянная Планка.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
Е = ^вых + К
связывает энергию Е падающего на вещество кванта света, работу выхода АНЬ1Х электрона из вещества и кинетическую энергию К = mv2/2 вылетевшего электрона.
Человек, рост которого Л = 1,7 м, идет со скоростью и = 1 м/с по направлению к уличному фонарю. В некоторой момент времени длина тени человека была /, = 1,8 м, а спустя время / = 2 с длина тени стала /2 = 1,3 м. На какой высоте Н висит фонарь?
Схема опыта Майкельсона по определению скорости света изображена на рис. 149. Расстояние АВ = I = 35,5 км. С какой частотой v должна вращаться восьми- Т гранная зеркальная призма К, чтобы ,л L-777X источник света S был виден в трубу Г? ОРасстояние О В мало по сравнению с
*^Ф^^ расстоянием АВ.
*968. Алмазная пластина освещает-
Ц ся фиолетовым светом частоты v = рис= 0,75 • 1015 Гц. Найти длины волн X, и Х2
'фиолетового света в вакууме и в алмазе,
если показатель преломления алмаза для этих длин волн п = 2,465.
Найти показатель преломления п среды, в которой свет с энергией кванта е = 4,4 • 1019 Дж имеет длину волны X = 300 нм.
Найти энергию е кванта света, соответствующего длине волны X = 500 нм.
Найти длину волны X света, которым освещается поверхность металла, если фотоэлектроны имеют кинетическую энергию К = 4,5 • 10"20 Дж, а работа выхода электрона из металла А„ых = 7,5 • 10"19 Дж.
■ 972. Какова минимальная частота v света, при которой еще наблюдается фотоэффект, если работа выхода электрона из металла АШ>|Х = 3,3 • 10~19 Дж?
§ 27. Отражение и преломление светана плоской границе
На границе двух сред наблюдаются явления отражения и преломления света.
При отражении света падающий луч, перпендикуляр, восстановленный в точке падения луча к отражающей поверхности, и отраженный луч лежат в одной плоскости. Угол отражения равен углу падения.
В случае преломления падающий луч, перпендикуляр, восстановленный в точке падения луча к границе раздела двух сред, и преломленный луч лежат в одной плоскости. Угол падения а и угол преломления Р связаны равенством
sin a/sin Р = njnx,
где л, и пг - показатели преломления первой и второй сред, а п = гь!пх - относительный показатель преломления двух сред. Для воздуха п = 1.
Если л2 < rti (вторая среда оптически менее плотная), то a < р. Максимальному углу преломления Р = 90° соответствует угол падения а0, определяемый равенством sin a0 = п^/п^ При угле падения a > a0 существует только отраженный луч, преломленный луч отсутствует (явление полного отражения).
Круглый бассейн радиуса R = 5 м залит до краев водой. Над центром бассейна на высоте h = 3 м от поверхности воды висит лампа. На какое расстояние / от края бассейна может отойти человек, рост которого Н = 1,8 м, чтобы все еще видеть отражение лампы в воде?
Яркая лампа висит над центром комнаты на высоте h = 2,5 м от пола. Высота комнаты Н = 4 м. На полу*
лежит плоское зеркальце диаметра d =
= 5 см. Какого диаметра “зайчик” будет от него на потолке, если зеркальце расположено на расстояниях ^ =0,5 ми Z2= 1,5 м от ’ттттттттттттт^- центра комнаты?
Угол между двумя плоскими зерка-Рис. 150
лами можно изменять, вращая одно из
зеркал вокруг ребра угла (рис. 150) с постоянной угловой скоростью (о = 1,5 град/с. Точечный источник света S расположен на
перпендикуляре к неподвижному зеркалу, восстановленному в точке А ребра на расстоянии h = 10 см от него. Через какое время г расстояние между изображениями источника в зеркалах будет / = 10 см?
Два плоских зеркала расположены под углом друг к другу, и между ними помещен точечный источник света. Изображение источника в первом зеркале находится на расстоянии ах = б см, а во втором зеркале - на расстоянии а2 = 8 см от источника. Расстояние между изображениями источника / = 10 см. Найти угол ср между зеркалами.
Два малых плоских зеркала расположены на одинаковых расстояниях друг от друга и от точечного источника света. Каков должен быть угол ср между зеркалами, если луч после двух отражений: а) направляется прямо к источнику: б) возвращается обратно к источнику по пройденному пути (т.е. испытывает еще одно отражение)?
Плоское зеркало поворачивают на угол у = 27°. На какой угол $ повернется отраженный от зеркала луч?
Узкий луч света, проходя через маленькое отверстие в экране (перпендикулярно к поверхности экрана), попадает на вращающееся шестигранное зеркало, ось вращения которого параллельна поверхности экрана и находится напротив отверстия. Какой длины L будет прочерчивать полоску на экране отраженный от зеркала луч, если расстояние между зеркалом и экраном / = 1 м? Размерами граней зеркала по сравнению с расстоянием / пренебречь. .
Два зеркала образуют друг с другом угол ср < я. На одно из зеркал падает луч света, лежащий в плоскости, перпендикулярной к ребру угла. Доказать, что угол отклонения Л этого луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал не зависит от угла падения.
Два плоских зеркала образуют друг с другом угол ср < я. Луч света отражается последовательно от двух зеркал. На какой угол Л от своего первоначального направления отклонится отраженный луч, если система зеркал поворачивается на угол у вокруг оси, лежащей в плоскости обоих зеркал? Как падающий, так и отраженный лучи лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного треугольника. Одна из равных граней призмы посеребрена. Луч света падает на непосеребренную грань призмы перпендикулярно к
ее поверхности и после двух отражений выходит через основание призмы перпендикулярно к нему. Найти углы призмы.
Луч света входит в стеклянную призму под углом а = ти/б и выходит из призмы в воздух под углом у = ти/3, причем, пройдя призму, отклоняется от своего первоначального направления на угол Л = ти/4. Найти преломляющий угол ср призмы.
Найти показатель преломления п скипидара и скорость распространения света с„ в скипидаре, если при угле падения ос = 45° угол преломления Р = 30°.
Луч света падает перпендикулярно к боковой поверхности призмы, преломляющий угол которой (р = 30°. Найти угол отклонения Л луча от первоначального направления после выхода из призмы. Показатель преломления материала призмы п = 1,4.
Высота Солнца над горизонтом \|/ = 20°. Пользуясь зеркалом, пускают “зайчик" в воду озера. Под каким углом у к горизонту нужно расположить зеркало, чтобы луч света в воде шел под углом Р = 41° к вертикали? Показатель преломления воды /7 = 1,33.
При падении на плоскую границу двух сред с показателями преломления гц и п2 луч света частично отражается, частично преломляется. При каком угле падения ос отраженный луч перпендикулярен к преломленному лучу?
Преломленный луч света составляет с отраженным угол 90°. Найти относительный показатель преломления, если луч падает на плоскую границу сред под углом ос, для которого sin ос = 0,8.
На поверхности водоема, имеющего глубину Н = 5,3 м, плавает фанерный круг радиуса г = 1 м, над центром которого на некоторой высоте расположен точечный источник света. Какова должна быть эта высота /?, чтобы радиус R тени от круга на дне водоема был максимальным? Найти этот максимальный радиус. Показатель преломления воды п = 1,33.
На поверхности озера, имеющего глубину Я = 2 м, находится круглый плот радиуса R = 8 м. Найти радиус г полной тени от плота на дне озера при освещении воды рассеянным светом. Показатель преломления воды п = 1,33.
Луч света падает на стеклянную пластинку с показателем преломления п = 1,7 под углом а, для которого sin а = 0,8. Вышедший из пластинки луч оказался смещенным относительно падающего луча на расстояние Ъ = 2 см. Какова толщина h пластинки?
На какое расстояние / сместится луч света, распространяющийся в стекле с показателем преломления п, если на его пути
имеется плоскопараллельная щель ширины d, заполненная воздухом? Угол падения луча на щель равен а. Полного отражения не происходит.
Луч света выходит из призмы под тем же углом, под каким входит в призму, причем отклоняется от первоначального направления на угол Л = 15°. Преломляющий угол призмы ф = 45°. Найти показатель преломления п материала призмы.
У призмы с показателем преломления п = 1,41 и преломляющим углом ф = 30° одна грань посеребрена. Луч света падает на непосеребренную грань под углом а = 45° и после отражения выходит из призмы через эту же грань. Найти угол Л между падающим и выходящим лучами.
Найти угол Л отклонения луча стеклянной призмой с преломляющим углом ф = 5°, если луч падает на грань призмы под малым углом. Показатель преломления стекла п = 1,8.
Луч света падает под углом а = 58° на поверхность воды, налитой слоем толщины h = 10 мм в стеклянное блюдце с плоскопараллельным дном. Показатель преломления воды п-^ = 1,33. Найти показатель преломления и2 стекла блюдца, если вышедший под блюдцем луч смещен относительно падающего на расстояние / = 6,2 мм, а в стекле луч проходит путь L = 5 мм.
На горизонтальном дне водоема, имеющего глубину h = 1,2 м, лежит плоское зеркало. Луч света падает на поверхность воды под углом а = 30°. На каком расстоянии I от места падения этот луч снова выйдет на поверхность воды после отражения от зеркала? Показатель преломления воды п = 1,33.
На горизонтальном дне бассейна, имеющего глубину /г = 2м, лежит плоское зеркало. Луч света, преломившись на поверхности воды, отражается от зеркала и выходит в воздух. Расстояние от места вхождения луча в воду до места выхода отраженного луча из воды / = 1,5 м. Найти угол падения луча а. Показатель преломления воды п = 1,33.
У плоскопараллельной пластинки, имеющей толщину d = 5 см, нижняя поверхность посеребрена. Луч света, падающий на пластинку под углом а = 30°, частично отражается от верхней поверхности, частично проходит в пластинку, отражается от нижней поверхности пластинки, и, преломляясь вторично, выходит в воздух параллельно первому отраженному лучу. Найти показатель преломления п материала пластинки, если расстояние между падающим и выходящим лучами I = 2,5 см. 1
. 1000. На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщины d падает луч света под углом а. Луч частично отражается от верхней поверхности, частично проходит в пластинку и, отразившись от нижней поверхности, выходит через верхнюю. Найти угол ф выхода луча и длину L пути, пройденного преломленным лучом в пластинке. Показатель преломления стекла равен п.
Какова толщина d стеклянной плоскопараллельной пластинки, если точку на задней поверхности пластинки наблюдатель видит на расстоянии / = 5 см от передней поверхности? Показатель преломления стекла п = 1,6. Луч зрения перпендикулярен к поверхности пластинки. Для малых углов tg а ~ sin а ~ а.
У плоскопараллельной пластинки, имеющей толщину d = 1,2 см, задняя поверхность посеребрена. Точечный источник света расположен на расстоянии /= 1,5 см от передней поверхности пластинки. На каком расстоянии L от источника находится его изображение, получающееся в результате отражения лучей от задней поверхности пластинки? Показатель преломления материала пластинки п = 1,6. Луч зрения перпендикулярен к поверхности
пластинки.
Стержень опущен концом в прозрачную жидкость, показатель преломления которой равен п, и образует с поверхностью жидкости угол а. Наблюдателю, который смотрит сверху, конец стержня, погруженный в жидкость, кажется смещенным на угол р (рис. 151).>z
При каком угле наклона стержня а уголух
смещения Р будет максимальным?
Сечение стеклянной призмы ^' '
имеет форму равностороннего треуголь
ника. Луч падает на одну из граней пер- ''z^y/ пендикулярно к ней. Найти угол О между направлениями падающего луча и луча, вышедшего из призмы. Показатель пре-Рис. 151
ломления стекла п = 1,5.
В цистерне с сероуглеродом на глубине h = 26 см под поверхностью расположен точечный источник света. Найти пло
щадь круга на поверхности жидкости, в пределах которого возможен выход лучей в воздух. Показатель преломления сероуглерода п = 1,64.
Водолаз стоит на горизонтальном дне водоема, имеющего глубину Н = 15 м. На каком расстоянии / от водолаза, рост кото-
рого /? = 1,7 м, находятся те части дна, которые он может увидеть отраженными от поверхности воды? Показатель преломления воды п = 1,33.
На дне водоема, имеющего глубину Н = 3 м, находится точечный источник света. Какой минимальный радиус R должен иметь круглый непрозрачный диск, плавающий на поверхности воды над источником, чтобы с вертолета нельзя было обнаружить этот источник света? Показатель преломления воды п = 1,33.
В жидкости с показателем преломления п = 1,8 помещен точечный источник света. На каком максимальном расстоянии h над источником надо поместить диск диаметра 0 = 2 см, чтобы свет не вышел из жидкости в воздух?
В толще стекла с показателем преломления п = 1,5 на расстоянии h = 10 см от плоской поверхности стекла находится точечный источник света. Непрозрачный диск расположен на этой поверхности так, что его центр находится в ближайшей к источнику точке. Диск и стекло покрыты снаружи плоским слоем гладкого льда без воздушной прослойки. Какой минимальный радиус R должен иметь диск, чтобы свет не вышел через поверхность льда?
Пучок света скользит вдоль боковой грани призмы, сечение которой имеет форму равнобедренного треугольника. При каком предельном преломляющем угле <р призмы преломленные лучи претерпят полное отражение на второй боковой грани призмы? Показатель преломления материала призмы п = 1,6.
Призма с преломляющим углом <р = 60° сделана из стекла с показателем преломления п = 1,75. При каком угле падения а луча света на одну из граней выход луча из второй грани становится невозможным?
Луч света падает перпендикулярно к короткой грани трехгранной поворотной призмы с углами 90° и 45°, изготовленной из стекла с показателем преломления п = 1,75. На какой максимальный угол Л может отклониться луч в направлении к 90°-ному ребру в плоскости, перпендикулярной к этому ребру, чтобы свет не выходил частично через длинную грань призмы?
§ 28. Фотометрия
В фотометрии вводят световые величины. Так, энергию, переносимую светом через какую-нибудь площадку за единицу времени и оцениваемую по зрительному восприятию, называют световым потоком Ф
через эту площадку. Освещенность поверхности Е = Ф/S, где S - площадь
поверхности.
Силой света источника но данному направлению называется величина / = Ф/ед, где ед - телесный угол, в котором распространяется световой
поток Ф. Телесный угол определяется отношением площади 5() поверх
Рис. 152Рис. 152ности, вырезаемой телесным углом из сферы (центр которой находится в вершине телесного угла), к квадрату радиуса г этой сферы, т.е. О) = S^r2 (рис. 152). В случае малого телесного угла, если вместо поверхности сферы So берется ограниченная тем же телесным углом площадка S, расстояние до которой от вершины телесного угла равно г и перпендикуляр и к которой составляет угол а с радиусом, то 5() = S cos а. При этом
Рис. 152
Рис. 152
Е = (/ cos ct)/r2. где г - расстояние от источника до освещаемой площадки.
о - угол падения лучей на нее.
Единицей светового потока является люмен (лм). освещенности -
люкс (лк), силы света - кандела (кд), телесного угла - стерадиан (ср). Расстояние /■ выражают в метрах (м).
Лампа с силой света / = 200 кд укреплена на потолке комнаты. Найти полный световой поток Ф, падающий на стены и пол комнаты.
Фотографический снимок печатали “контактным способом”. При этом лампа располагалась на расстоянии г, = 60 см от снимка, а экспозиция длилась tx = 16 с. Каково должно быть время экспозиции ф если заменить лампу на другую с силой света, втрое меньшей, и поместить ее на расстоянии г2 = 45 см от снимка?
Две лампы, силы света которых Ц = 75 кд и /2 = 48 кд, находятся друг от друга на расстоянии г = 1,8 м. Где надо поместить между ними экран, чтобы его освещенность была одинакова с той и другой стороны?
Две лампы, силы света которых /, = 25 кд и /2 = 8 кд, находятся друг от друга на расстоянии г = 1,8 м. На каком расстоянии г, от первой лампы (на линии, соединяющей лампы) надо поместить лист бумаги, чтобы освещенность его со стороны первой лампы была вдвое больше, чем со стороны второй?
При осмотре внутренней поверхности сферического резервуара, имеющего диаметр d = 20 м, в его верхней точке был укреплен источник с силой света / = 1000 кд. Найти освещенность в той
точке поверхности резервуара, в которой лучи падают под углом а = 34°. Свет, отраженный от стенок резервуара, не учитывать.
Над центром квадратного стола со стороной а = 1,5 м на высоте h = 1 м от поверхности стола висит лампа. Во сколько раз изменится освещенность в центре стола, если эту же лампу повесить на той же высоте над одним из углов стола?
На столе лежит раскрытая книга, корешок которой длины / = 52 см направлен к настольной лампе. Линия, соединяющая верх страницы с нитью лампы, имеет такую же длину / и наклонена под углом (р = 60° к поверхности стола. Найти разницу освещенностей верха и низа страницы, если сила света лампы / = 60 кд.
Найти полный световой поток Ф, создаваемый источником, помещенным на мачте высоты h = 12 м, если на расстоянии / = 16 м от основания мачты он создает освещенность Е = 3 лк.
На высоте А = 8 м над землей висит лампа с силой света / = 1000 кд. Найти площадь S участка, в пределах которого освещенность не меньше чем Е = 1 лк.
На высоте h = 5 м над землей висит лампа с силой света / = 400 кд. Найти площадь S участка, внутри которого освещенность меняется в пределах от Е, = 0,25 лк до Е2 = 2 лк.
Над площадью висит фонарь, создающий освещенность Е, = 10 лк в тех точках, в которых лучи падают на землю под углом a, (cos а, = 0,3). Какова освещенность Е2 в точках, в которых лучи падают на землю под углом а2 (cos а2 = 0,6)?
Круглый зал диаметра d = 30 м освещается лампой, укрепленной в центре потолка. Найти высоту h зала, если наименьшая освещенность стены зала в и = 2 раза больше наименьшей освещенности пола.
На высоте /1|=2 м над серединой круглого стола, имеющего диаметр d = 3 м, висит лампа с силой света /, = 100 кд. Ее заменили лампой с силой света /2 = 25 кд, изменив расстояние от лампы до стола так, что освещенность середины стола не изменилась. Как изменилась освещенность края стола?
Площадка освещается двумя различными лампами, висящими на столбе одна над другой на высоте ht = 8 м и /г2 = 27 м. На каком расстоянии / от основания столба находятся точки площадки, освещенность которых не изменится, если поменять лампы местами?
Три одинаковых точечных, источника с силой света 1~ 10 кд каждый расположены в вершинах равностороннего
треугольника со стороной а = 1 м. В центре треугольника перпендикулярно к его плоскости и параллельно одной из его сторон расположена маленькая пластинка. Найти освещенность каждой из сторон пластинки.'
Три лампы и небольшой экран расположены в вершинах ромба, одна из диагоналей которого равна его стороне. Экран перпендикулярен к другой диагонали (рис. 153). Какую силу света / имеет средняя лампа, если при ее выключении освещенность экрана уменьшается в п = 2 раза и две другие лампы меют силу света /0 = 10 кд?*
Две лампы с силон света/ = 200 кд х' !
каждая висят на столбе одна над другой на1х'!.
высоте hx = 3 м и /?2 = 4 м. Найти освещен- *'"J;
ность поверхности земли на расстоя
нии / = 2 м от основания столба.'*'
Две одинаковые лампы прикреп-/()
лены к потолку комнаты на расстоя-Рис 153
нии / = 4 м друг от друга, на высоте h = 2 м
от поверхности стола. Найти отношение освещенностей центра стола в случаях, когда стол расположен: под одной из ламп; посередине между лампами.
Экран освещается двумя лампами с силой света /(| = 200 кд, расположенными симметрично относительно центра экрана. Расстояние от каждой лампы до экрана (по перпендикуляру) h0 = 4 м, расстояние между лампами / = 2 м. Какую силу света / должна иметь лампа, помещенная на расстоянии h = б м от центра экрана, чтобы она дала в центре экрана такую же освещенность, как две упомянутые лампы?
Точечный источник света S освещает поверхность АВ (рис. 154). Во сколько раз увеличится освещенность в точке С, если сбоку от s *°
источника света на расстоянии SD = SC !/
поместить плоское зеркало, отражающее ,'/
свет в точку С? Коэффициент отражения ; у•
зеркала считать равным единице.д ^~
Лампа, подвешенная к потолку.
Рис 154
имеет в горизонтальном направлении силу
света / = 96 кд. Какой световой поток Ф
падает на картину площади S = 0,5 м2, если картина висит вертикально на стене напротив лампы на расстоянии а = 4 м от нее, а на
противоположной стене на расстоянии h = 2 м от лампы находится большое плоское зеркало?.
т—*к; 1034. Какова освещенность маленькой гори]зонтальной площадки (рис. 155), если над ней на
;расстоянии / = 2 м находится точечный источник
I^^с силой света / = 60 кд, а на расстоянии d = 1 м от
/ (**)источника и площадки вертикально располо-
!жено плоское зеркало?
Плоский экран и идеально отражающее 1плоское зеркало образуют двугранный угол р|55(р = 45°. Между экраном и зеркалом, на оди
наковом расстоянии а от них, помещен точечный источник света S. Какова освещенность в точке А экрана, ближайшей к источнику?
§ 29. Сферические зеркала
Сферическое зеркало представляет собой отполированную поверхность шарового сегмента. Прямая, проведенная через центр сферы (оптический центр зеркала) и вершину шарового сегмента (полюс зеркала), называется главной оптической осью зеркала. Всякая другая прямая, проходящая через оптический центр, называется побочной оптической осью.
Луч, параллельный главной оптической оси, после отражения пересекает ее в фокусе зеркала, лежащем на расстоянии F = /?/2 от зеркала. где R - радиус кривизны зеркала (радиус сферы). В случае выпуклого зеркала главную оптическую ось пересекает не сам отраженный луч, а его мнимое продолжение. В этом случае фокус можно назвать мнимым.
Плоскость, проведенная через фокус перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Лучи, параллельные побочной оптической оси, после отражения сходятся в точке, лежащей на фокальной плоскости зеркала (в случае выпуклого зеркала - продолжения лучей).
Лучи, исходящие от небольшого предмета, после отражения от зеркала образуют изображение. Каждой точке предмета соответствует одна точка изображения. Изображение может быть действительным, когда оно образовано самими лучами, отраженными от зеркала (рис. 156), или мнимым, когда оно образовано продолжениями отраженных лучей (рис. 157). i : : .
Пусть предмет (или источник) располагается в вершине пучка пересекающихся лучей. Если эта вершина действительно существует даже при наличии зеркала, то источник считается действительным (рис. 158). Если же в присутствии зеркала вершина обрадована лишь продолжениями лучей, тр мы имеем дело с мшщщм источником (рис, 159). .
i Расстояние d от предмета до зеркала, расстояние /от зеркала до изображения и фокусное расстояние F связаны соотношением
называемым формулой зеркала. При таком написании формулы величины d,fn F считаются положительными (в условиях задач значения d,f^ F заданы по модулю). Знаки же перед членами формулы зеркала выби
раются по правилу: если предмет (источник), изображение, фокус являются действительными, то перед соответствующими членами формулы ставится плюс; если мнимыми, то ставится минус.
Если перед всеми членами формулы зеркала знаки поставлены в соответствии с указанным правилом, то полученный ответ будет всегда положительным, так как он характеризует только модуль искомой величины. Часто, однако, действительность или мнимость источника, изображения или фокуса неизвестна. В этом случае перед соответствующим членом в формуле зеркала можно поставить любой знак (удобнее обычно плюс), т.е. предполагать предмет (изображение, фокус) действительным или мнимым. Положительность ответа указывает тогда на правильность этого предположения, отрицательность — на его ошибочность.
Формула зеркала и все вышеуказанные свойства зеркала справедливы только для лучей, идущих вблизи главной оптической оси и составляющих с ней малые углы. Во всех задачах подразумевается, что мы имеем дело именно с этим случаем.
Посеребренная сфера рассечена на две части плоскостью. На каком расстоянии b от центра сферы проходит эта
плоскость, если меньшая часть представляет собой сферическое зеркало диаметра а = 0,64 м с фокусным расстоянием F = 0,65 м?
На каком расстоянии d от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием F = 1 м необходимо поместить источник света, чтобы его изображение совпало с самим источником?
Расстояние от предмета до вогнутого зеркала б/ = 0,5 м. расстояние от зеркала до изображения/= 2 м. Найти радиус кривизны R зеркала.
Предмет высоты h = 0,06 м находится на расстоянии d = 0,14 м от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием F = 0,11 м. Найти высоту Н изображения предмета.
Предмет находится на расстоянии d = 0,48 м от вогнутого зеркала. Зеркало дает действительное изображение предмета с уменьшением к = 4. Найти радиус кривизны R зеркала.
Вогнутое зеркало дает действительное изображение предмета с увеличением к = 4. Найти фокусное расстояние F зеркала, если расстояние между предметом и его изображением а = 1,5 м.
Малый участок поверхности сферы посеребрен. На диаметрально противоположной стороне сферы получилось изображение некоторого предмета, помещенного внутри нее. С каким увеличением к изображается предмет?
Расстояние от точечного источника света до вогнутого зеркала d = 2R, где R - радиус кривизны зеркала. Источник находится на главной оптической оси зеркала. Где расположено его изображение? Построить ход лучей.
На вогнутое зеркало падает луч АОВ, пересекающий главную оптическую ось зеркала в точке О. Отраженный от зеркала луч BO'D пере
секает ту же ось в точке О' (рис. 160). Найти построением положение фокуса зеркала.
Вогнутое зеркало дает действительное изображение предмета с увеличением к; = 5. Если переместить предмет на некоторое расстояние вдоль главной оптической оси, изображение переместится вдоль оси на такое же расстояние. Найти увеличение 12 при новом расположении предмета.;
Вогнутое зеркало дает действительное изображение предмета с увеличением кх = 5. Если зеркало переместить на расстояние
a - 2 см ближе к предмету, то увеличение предмета станет к2 = 7. Найти фокусное расстояние F зеркала.
Вогнутое зеркало дает действительное изображение предмета с уменьшением кх = 1/4. Если предмет переместить на расстояние а = 5 см ближе к зеркалу, то уменьшение изображения станет к2 = 1/2. Найти фокусное расстояние F зеркала.
Фокус вогнутого зеркала расположен на расстоянии а = 0,24 м от предмета и на расстоянии b = 0,54 м от его изображения. Найти увеличение к предмета, даваемое зеркалом.
Светящаяся точка расположена на расстоянии d = 0,75 м от вогнутого зеркала и на расстоянии / = 0,05 м от главной оптической оси зеркала. Изображение точки находится на расстоянии L = 0,2 м от оси. Найти радиус кривизны R зеркала в случаях, когда изображение действительное и мнимое.
Пучок лучей от бесконечно удаленного источника света падает на экран, имеющий отверстие диаметра d = l см. Плоскость экрана перпендикулярна к лучам. На расстоянии а = 68 см за экраном расположено вогнутое зеркало с фокусным расстоянием F = 0,28 м, главная оптическая ось которого совпадает с осью пучка. Найти диаметр D светлого круга на экране.
Точечный источник света помещен в фокусе зеркала с фокусным расстоянием F = 20 см. Во сколько раз освещенность экрана, находящегося на расстоянии г = 0,2 км от источника при наличии зеркала больше, чем в той же точке экрана без зеркала?
Прожектор установлен на высоте h = 30 м от поверхности земли. Найти освещенность Е в центре светлого пятна на поверхности земли на расстоянии / = 40 м от основания вышки. Прожектор имеет точечный источник с силой света / = 500 кд и рефлектор с фокусным расстоянием F = 20 см. Считать, что прожектор дает параллельный пучок лучей.
Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 1 м дает мнимое изображение предмета, расположенное на расстоянии /= 3 м от зеркала. На каком расстоянии d от зеркала находится предмет?
Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 120 см дает прямое изображение предмета с увеличением к = 4. На каком расстоянии d от зеркала находится предмет?
Вогнутое зеркало дает изображение предмета с увеличением к = 6. Найти радиус кривизны R зеркала, если предмет расположен на расстоянии d = 21 см от зеркала.
Вогнутое зеркало дает изображение предмета с увеличением к = 2. Найти радиус кривизны R зеркала, если расстояние между предметом и изображением <2=18 см.
Светящаяся точка находится на главной оптической оси вогнутого зеркала на одинаковых расстояниях от зеркала и его фокуса. Перпендикулярно к оси зеркала расположен экран, центр которого совпадает с оптическим центром зеркала. Во сколько раз диаметр светлого круга на экране превышает диаметр зеркала?
Зеркало дает мнимое изображение с увеличением к = 2. Найти радиус кривизны R зеркала, если расстояние между предметом и изображением а = 1,5 м.
Светящаяся точка расположена на расстоянии / = 0,2 м от главной оптической оси вогнутого зеркала, ее мнимое изображение - на расстоянии L = 0,5 м от той же оси. Во сколько раз фокусное расстояние зеркала превышает расстояние от светящейся точки до фокальной плоскости?
Отрезок, соединяющий фокус вогнутого зеркала с его полюсом, разделен на три равные части, и в точках деления помещены точечные источники света. Каково расстояние / между изображениями этих источников, если радиус кривизны зеркала равен R!
Упавший на мягкую глину шар оставил в ней углубление, радиус которого равен 0,8 радиуса шара. После затвердевания глины выемку посеребрили и получившееся сферическое зеркало накрыли плоским стеклом. С каким увеличением дает это зеркало
' изображение рисунка, нанесенного в центре
£стекла?
;1062. На рис. 161 SO - предмет, S'O' - его
1д мнимое изображение в зеркале, ОО'-главная
—^— оптическая ось зеркала. Найти построением
положения полюса зеркала, его оптического
Рис- 161центра и фокуса.
Человек видйт свое изображение в сферическом зеркале, находящемся от него на расстоянии d = 0,2 м, увеличенным в к = 1,5 раза по сравнению с изображением в плоском зеркале, находящемся на таком же расстоянии. Найти радиус кривизны R сферического зеркала.
Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием F = 0,5 м и после отражения собираются в точке, отстоящей на расстоянии / = 0,2 м от зеркала и на расстоянии
L = 0,15 м от его главной оптической оси. На каком расстоянии / от оси соберутся лучи, если убрать зеркало? Построить ход лучей.
Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием F = 10 см так, что их продолжения пересекаются на главной оптической оси зеркала на расстоянии d = 0,3 м за зеркалом. На каком расстоянии от зеркала сойдутся лучи после отражения?
Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало так, что их продолжения пересекаются на главной оптической оси зеркала на расстоянии d = 0,2 м за зеркалом. После отражения лучи сошлись в точку, расположенную на расстоянии, равном 1/5 фокусного расстояния зеркала. Найти радиус кривизны R зеркала.
Расстояние от светящейся точки до зеркала d = 4,8 см, расстояние от изображения этой точки до фокуса зеркала а = 20 см. Точка находится на главной оптической оси зеркала. Найти фокусное расстояние F зеркала.
На главной оптической оси вогнутого зеркала с радиусом кривизны R находится маленькая лампочка накаливания. Расстояние от лампочки до зеркала d = /?/4. Найти освещенность Ег в центре экрана, расположенного перпендикулярно к главной оптической оси на расстоянии 2/? от зеркала. Освещенность в центре экрана, находящегося на расстоянии R, равна Ev Потерями света при отражении пренебречь.
Построить изображение S' светящейся точки S, находящейся на главной оптической оси выпуклого зеркала, если положения оптического центра зеркала С, его полюса Р и фокуса F известны.
Предмет находится на расстоянии d = 5 от выпуклого зеркала с радиусом кривизны R = 1,5 м. На каком расстоянии /от зеркала находится изображение предмета?
Изображение источника света получено с помощью выпуклого зеркала на расстоянии/= 60 см от зеркала. На каком расстоянии d от зеркала расположен источник, если фокусное расстояние зеркала F = 90 см?
Мнимое изображение предмета получено с помощью выпуклого зеркала на расстоянии/= 12 см от зеркала. На каком расстоянии d от зеркала расположен предмет, если радиус кривизны зеркала R = 40 см?
Пламя свечи находится на расстоянии d = 1,5 м от выпуклого зеркала с фокусным расстоянием F = 0,5 м. Найти уменьшение к изображения пламени свечи.
Предмет высоты h= 4 мм находится на расстоянии d = 10 см от выпуклого зеркала с радиусом кривизны R = 60 см. Найти высоту Н изображения предмета.
Выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F = 0,2 м дает мнимое изображение предмета с уменьшением к = 1/2. На каком расстоянии d от зеркала расположен предмет? Построить ход лучей.
Радиус кривизны выпуклого зеркала R = 1,6 м. На каком расстоянии d перед зеркалом должен находиться предмет, чтобы его изображение получилось в п = 1,5 раза ближе к зеркалу, чем сам предмет?
Светящаяся точка расположена на расстоянии d = 1 м от выпуклого зеркала, а ее изображение делит точно пополам отрезок главной оптической оси между полюсом зеркала и его фокусом. Найти радиус кривизны R зеркала.
Человек смотрит в посеребренный стеклянный шар диаметра / = 0,6 м, находясь от него на расстоянии d = 0,25 м. На каком расстоянии а от человека расположено его уменьшенное мнимое прямое изображение?
Тонкий карандаш длины / = 6 см расположен вдоль главной оптической оси выпуклого зеркала. Изображение его ближайшего к зеркалу конца находится на расстоянии /, = 20 см от зеркала, дальнего - на расстоянии/2 = 24 см от зеркала. Найти фокусное расстояниеF зеркала.
Луч пересекает главную оптическую ось выпуклого зеркала в некоторой точке А. На каком расстоянии от точки А необходимо расположить зеркало, чтобы луч, отразившись от него, пересек главную оптическую ось в точке В, отстоящей от точки А на расстоянии / = 1,5л?
Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются на главной оптической оси зеркала на расстоянии d = 24 см за зеркалом. После отражения от зеркала лучи сходятся на оси зеркала в точке, находящейся перед ним на расстоянии/= 40 см. Найти радиус кривизны R зеркала.
Выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F = 1,45 м закрывает собой отверстие в непрозрачном экране. Сходящиеся лучи падают на зеркало так, что после отражения они сходятся на
J главной оптической оси зеркала на расстоянии/ = 55 см перед ; экраном. На каком расстоянии d за экраном сойдутся лучи, если вынуть зеркало из отверстия?
• 1083. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало с радиусом кривизны R = 0,4 м так, что их продолжения пересекаются на главной оптической оси зеркала на расстоянии d = 0,7 м за зеркалом. На каком расстоянии/от зеркала сойдутся лучи после отражения?
Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются в точке, находящейся на расстоянии d = 0,4 м за зеркалом. После отражения от зеркала лучи расходятся таким образом, что их продолжения пересекаются в точке, отстоящей от зеркала на расстоянии/ = 1,6 м. Обе точки пересечения лежат на главной оптической оси зеркала. Найти фокусное расстояние F зеркала.
Через круглое отверстие в экране, имеющее диаметр d = 4 см, на выпуклое зеркало, находящееся на расстоянии а = 16 см от экрана, падает параллельный пучок света (вдоль главной оптической оси зеркала перпендикулярно к экрану). Отразившись от зеркала, пучок света, попадая на тот же экран, образует вокруг отверстия светлое пятно диаметра D = 6 см. Найти радиус кривизны R зеркала.
Пучок параллельных лучей, пройдя через круглое отверстие в листе бумаги, образует на экране, параллельном листу и расположенном от него на расстоянии а = 45 см, светлый круг диаметра d = 6 см. Когда экран заменили выпуклым зеркалом, то на листе бумаги появился светлый круг диаметра D = 33 см. Найти радиус кривизны R зеркала.
§ 30. Тонкие линзы
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими или сферической и плоской поверхностями. Толщину линзы будем считать малой по сравнению с радиусами кривизны R\nR^ ее поверхностей. Поэтому вершины сферических поверхностей можно считать практически сливающимися в одной точке, называемой оптическим центром линзы. Луч, проходящий через оптический центр линзы, т.е. идущий вдоль оптической оси линзы, не изменяет своего направления. Оптическая ось, проведенная через вершины сферических поверхностей, называется главной оптической осью, прочие — побочными.
Линза, у которой середина толще, чем края, называется собирающей. Если края линзы толще середины, то линза — рассеивающая. Условное
обозначение собирающей линзы показано на рис. 162, рассеивающей - на рис. 163.
Лучи, параллельные главной оптической оси, после преломления в линзе сходятся в фокусе. Фокус линзы действительный для собирающей линзы, мнимый - для рассеивающей. Плоскость, проведенная через фокус
Рис. 162Рис. 162Рис. 164Рис. 164Рис. 163Рис. 163
Рис. 162
Рис. 162
Рис. 164
Рис. 164
Рис. 163
Рис. 163
перпендикулярно к оптической оси, называется фокальной плоскостью. Каждый из лучей, параллельных побочной оптической оси, после преломления проходит через одну и ту же точку, лежащую на фокальной плоскости линзы. В случае рассеивающей линзы в этой точке пересекаются не сами лучи, а их продолжения.
Тонкая линза для лучей, составляющих малый угол с главной оптической осью, обладает свойством давать изображение точки предмета в виде точки. Изображение предмета может быть действительным или мнимым. В первом случае оно образовано лучами, действительно пересекающимися после преломления в линзе (рис. 164), во втором случае изображение образовано продолжениями преломленных в линзе лучей (рис. 165).
Уберем линзу и найдем вершину пучка пересекающихся лучей. Эта вершина - одна из точек предмета или источника. Так как в присутствии
Рис. 165Рис. 165Рис. 166Рис. 166
Рис. 165
Рис. 165
Рис. 166
Рис. 166
линзы лучи могут и не пересекаться в действительности в этой точке, то предмет или источник может быть как действительным (рис. 166), так и мнимым (рис. 167). В последнем случае источником будет вершина пучка продолжений лучей, падающих на линзу.
Формула линзы и правило, по которому ставятся знаки перед членами этой формулы, полностью совпадают с аналогичными для сферического зеркала, т.е. '
1 + 1 = +1,
d f F
^■де расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изобра- жения/и фокусное расстояние F являются величинами положительными. Плюс перед членами формулы ставится, если соответствующий предмет (изображение) действительный, минус — если мнимый. Знак ответа
указывает лишь на правильность определения характера (но не модуля) неизвестной величины. Положительный ответ свидетельствует о справедливости предположения о мнимости или действительности изображения (предмета), отрицательный - об ошибочности.
Фокусное расстояние F, радиусыРис. 167
кривизны R; и R2 сферических поверх
ностей линзы и показатели преломления Л| и гь вещества линзы и окружающей среды связаны соотношением
Как обычно, формула дает только модуль F; знак же перед левой частью выбирается по обычному правилу: плюс - действительный фокус, минус - мнимый. Знаки перед членами, содержащими R, и R2, берутся положительными для выпуклых поверхностей, отрицательными - для вогнутых. Величина D = 1/F, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы. Оптическая сила D линзы выражается в диоптриях: 1 дптр = 1 м-1.
При съемке автомобиля длины / = 4 м пленка располагалась от объектива на расстоянии/ = 60 см. С какого расстояния d снимали автомобиль, если длина его негативного изображения L = 32 мм?
Проверяя свои очки, человек получил на полу комнаты действительное изображение лампы, висящей на высоте Н = 3 м, держа очковое стекло под лампой на расстоянии h = 1 м от пола. Какова оптическая сила D стекла?
Точечный источник света находится на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 6 см на расстоянии d = 4 см от нее. На каком расстоянии а от линзы по ту же сторону, что и источник, необходимо поставить плоское зеркало, чтобы по другую сторону линзы существовало действительное изображение источника на расстоянии /= 12 см от линзы?
На рис. 168 5 - точечный источник света, S' - его изображение. Найти построением положение оптического центра линзы и каждого из ее фокусов в случаях, когда главной оптической осью линзы являются прямые 1-4.
Рис. 169Рис. 169Найти построением положение фокусов линзы для луча, изображенного на рис. 169.
Рис. 169
Рис. 169
Рис. 168
Фотограф, находящийся на борту судна, снимает катер, идущий встречным курсом. В момент съемки катер находится под углом а = 45° по ходу судна на расстоянии d = Н = 150 м от него (рис. 170). Скорости движения / судна их = 18 км/ч, а катера п2 = 36 км/ч. Какое а/ максимальное время экспозиции А? может дать U( / и2т фотограф, чтобы размытие изображения на ко/пленке не превышало А/ = 0,03 мм? Фокусное рас/стояние объектива фотоаппарата F = 5 см.
Q1093. Как нужно изменить расстояние между
объективом фотоаппарата и пластинкой при Рис. 170 переходе от съемки очень удаленных предметов к съемке объекта, расположенного на расстоянии
d = 2 м от объектива с фокусным расстоянием F = 13,5 см?
Изображение предмета получается на матовом стекле фотоаппарата. На какое расстояние а надо передвинуть объектив фотоаппарата, если между объективом и матовым стеклом поместить стеклянную пластинку толщины h = 4 мм с показателем преломления п = 1,6? Считать углы падения настолько малыми, что sin ct = tg ct.
Собирающая линза вставлена в круглое отверстие в непрозрачной ширме. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = 10 см от нее. По другую сторону линзы на таком же расстоянии d от нее поставлен перпендикулярно к оси экран. На экране виден светлый круг, диаметр которого в п = 2 раза меньше диаметра линзы. Найти фокусное расстояние F линзы.
F
1096. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = 25 см от нее. Фокусное рас- j стояние линзы F = 10 см, ее радиус г = 5 см. По другую сторону „линзы ставят экран так, что на нем получается четкое изображение источника. Затем экран перемещают вдоль оси на расстояние а = 5 см. Найти радиус R светлого круга на экране.
Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 0,06 м вставлена в отверстие радиуса г = 0,03 м в непрозрачной ширме. На экране, находящемся на расстоянии а = 0,16 м от ширмы, получено четкое изображение точечного источника света. Каков будет радиус R светлого круга на экране, если вынуть линзу из отверстия?
Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 5 см вставлена в круглое отверстие радиуса г = 3 см в доске. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на
расстоянии d = 15 см от нее. По другую сторону доски помещен лист бумаги, на котором получается четкое изображение источника. Каков будет радиус R светлого круга на листе бумаги, если линзу вынуть из отверстия?
Изображение миллиметрового деления шкалы, расположенной перед линзой на расстоянии d = 12,5 см, имеет на экране длину L = 8 см. На каком расстоянии/от линзы находится экран?
Освещенная щель высоты /1 = 5 см проектируется с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см на экран, отстоящий от линзы на расстоянии/= 12 см. Найти высоту
Н изображения щели на экране.
Предмет длины / = 8 см проектируется на экран. Какое
фокусное расстояние F должен иметь объектив, находящийся на
расстоянии / = 4 м от экрана, чтобы изображение предмета на экране имело длину L = 2 м?
В центре плоского зеркала, поставленного под углом а = 45° к горизонту, находится верхний фокус горизонтально расположенной линзы объектива эпидиаскопа с оптической силой
0=10 дптр. На расстоянии I = 2 мм отРис. 171
нижнего фокуса помещают ярко осве
щенную фотографию, имеющую размеры а X Ъ = 4 X 6 см2
(рис. 171). Найти расстояние L от экрана до главной оптической
оси линзы и размеры А X В четкого изображения фотографии на экране.
Собирающая линза с оптической силой D = 8 дптр дает изображение предмета, равное размеру предмета. Как нужно изменить расстояние между линзой и предметом, чтобы его изображение уменьшилось в три раза?
Собирающая линза дает на экране изображение предмета с увеличением к = 2. Расстояние от предмета до линзы превышает ее фокусное расстояние на величину а = 6 см. Найти расстояние/от линзы до экрана.
Точечный источник света находится на расстоянии d от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 0,6 м. Колебания линзы поперек главной оптической оси приводят к колебаниям изображения точки с амплитудой Д, = 1,6 см, а поперечные колебания источника с той же амплитудой вызывают колебания изображения с амплитудой Д2 = 1,5 см. Найти расстояние d от источника до линзы.
Расстояние от предмета до собирающей линзы в п = 5 раз больше фокусного расстояния линзы. Найти увеличение к линзы.
На каком расстоянии / от объектива проекционного аппарата с фокусным расстоянием F = 0,l м нужно поместить экран, чтобы изображение на экране было в к = 50 раз больше предмета на диапозитиве?
При топографической съемке с самолета, летящего на высоте Н = 2000 м, необходимо получить снимки местности в масштабе 1 : 4000. Каково должно быть фокусное расстояние F объектива?
Рис. 172Рис. 172В АВ АОбъектив телевизионного передатчика отбрасывает изображение свободно падающего предмета, находящегося перед ним на расстоянии d = 5 м, на светочувствительный слой передающей трубки. Найти фокусное расстояние F объектива передатчика, если изображение движется с ускорением а = 0,2 м/с2.
Рис. 172
Рис. 172
В А
В А
Построить изображение отрезка АВ,
параллельного главной оптической оси собирающей линзы (рис. 172).■■
Точечный предмет движется по окружности со скоростью и = 3 см/с вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, перпендикулярной к оси и отстоящей от линзы на
расстоянии d = 1,5 F, где F - фокусное расстояние линзы. В каком направлении и с какой скоростью V движется изображение предмета?
Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 4 см дает изображение точки, расположенной на расстоянии d = 12 см от линзы несколько выше ее оптической оси. На какое расстояние L сместится изображение точки на экране при перемещении линзы на расстояние / = 3 см вниз от ее первоначального положения?
Светящаяся точка описывает окружность радиуса г в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой D, а ее изображение описывает на экране окружность радиуса R. На каком расстоянии / от линзы находится экран?
Какое увеличение к диапозитива дает объектив проекционного фонаря с фокусным расстоянием F = 0,25 м, если экран удален от объектива на расстояние /'= 4 м? ,
Расстояние от предмета до собирающей линзы и от линзы до изображения одинаковы и равны d = 0,5 м. Во сколько раз увеличится изображение, если сместить предмет на расстоянйе и = 20 см по направлению к линзе?
С помощью фотографического аппарата, имеющего размеры кадра 24 X 36 мм2 и фокусное расстояние объектива F = 50 мм, производится фотографирование стоящего человека, рост которого h = 1,8 м. На каком расстоянии d от человека нужно установить аппарат, чтобы сфотографировать человека во весь рост?
Действительное изображение светящейся точки получается на расстояини / = 8 см от линзы и на расстоянии L = 2 см ниже ее главной оптической оси. Фокусное расстояние линзы F = = 5 см, ее радиус г = 5 см. На каком расстоянии а перед линзой нужно поставить экран, имеющий форму верхней половины линзы, чтобы изображение точки исчезло?
Кинооператору требуется снять автомобиль, движущийся со скоростью v = 72 км/ч на расстоянии d = 26 м от оператора. Фокусное расстояние объектива кинокамеры F = 13 мм. Какова должна быть экспозиция ,\/, чтобы размытость AL контуров изображения не превышала величины a = 0,05 мм?
Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы F = 5 см. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = б CMiQT уее. Линзу разрезали по диаметру
на две равные части, которые раздвинули на расстояние 2/ = 1 см симметрично относительно оси. Найти расстояние S между двумя изображениями точки.
Вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см расположен предмет, один конец которого находится на расстоянии d, = 17,9 см от линзы, а другой - на расстоянии d2 = 18,1 см. Найти увеличение к изображения.
С каким увеличением к изображается тонкий прямой предмет, совпадающий на некотором участке с главной оптической осью собирающей линзы, если объект, установленный у одного конца предмета, изображается с увеличением къ а у другого - с увеличением k^ Оба конца предмета находятся от линзы на расстояниях больше фокусного.
Шарик поочередно помещают в точки А и В, находящиеся на главной оптической оси собирающей линзы по одну сторону от нее. Расстояние АВ = /. Линза дает поочередно два изображения шарика с увеличениями кл и кв. Найти расстояние L между изображениями шариков.
Каково минимально возможное расстояние amin между предметом и его изображением, полученным с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F?
Расстояние между предметом и его действительным изображением а = 6,25 F, где F - фокусное расстояние собирающей линзы. Найти расстояния d и/от предмета до линзы и от линзы до изображения.
Свеча находится на расстоянии а = 3,75 м от экрана. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение свечи при двух положениях линзы. Найти фокусное расстояние F линзы, если расстояние между положениями линзы b = 0,75 м.
Свеча находится на расстоянии а от экрана. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение свечи при двух положениях линзы. Найти расстояние b между положениями линзы, если фокусное расстояние линзы равно F.
Собирающая линза дает четкое изображение предмета на экране, имеющее высоту Нх. Оставляя неподвижными экран и предмет, перемещают линзу к экрану и находят, что при другом четком изображении предмета высота изображения равна Н2. Найти высоту предмета /г. w
Предмет находится на расстоянии а = 0,6 м от экрана. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение предмета при двух положениях линзы. Найти отношение п размеров изображений, если расстояния между положениями линзы b = 0,4 м. .
Предмет находится на расстоянии а = 0,9 м от экрана. Между ними помещают собирающую линзу, которая при одном положении дает на экране увеличенное изображение предмета, а при другом — уменьшенное. Найти фокусное расстояние F линзы, если отношение размеров изображений п = 4.
ИЗО. Предмет находится на расстоянии а = 0,8 м от экрана. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение предмета при двух положениях линзы. Найти расстояние b между положениями линзы, если отношение размеров изображений п = 9.
Предмет находится на расстоянии а = 0,1 м от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое изображение предмета, - на расстоянии b = 0,4 м от заднего фокуса линзы. Найти фокусное расстояние F и увеличение к линзы.
Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата при съемке с расстояния dv = 8,5 м имеет высоту Hv = 13,5 мм, а с расстояния <У2 = 2 м - высоту Н2 = 60 мм. Найти фокусное расстояние F объектива.
С помощью линзы на экране получили четкое изображение пламени свечи, имеющее высоту И, = 15 см. Отодвинув свечу от линзы на расстояние Ъ = 1,5 см и передвинув экран, получили четкое изображение пламени свечи, имеющее высоту Н2 = 10 см. Найти фокусное расстояние F линзы, если высота предмета h = 5 см.
Источник света находится на расстоянии а = 5 м от экрана, на котором с помощью собирающей линзы получают увеличенное в к = 4 раза изображение источника. Экран отодвигают на расстояние Ъ = 4 м; при этом восстановить четкость увеличенного изображения можно, передвинув линзу или источник. Найти увеличения kv и к2 в обоих случаях.
Какое увеличение к может дать лупа с оптической силой D = 8 дптр? Расстояние наилучшего зрения dn = 25 см.
Лупа дает увеличенное в ^ = 5 раз изображение предмета, лежащего в ее фокальной плоскости. Эту лупу хотят использовать в качестве объектива проекционного фонаря. На каком рас.стоя-
нии d от объектива должен располагаться диапозитив, чтобы на экране получилось его изображение, увеличенное в к2 = 10 раз? Расстояние наилучшего зрения du = 25 см.
Лупа находится на расстоянии b = 5 см от глаза, изображение - на расстоянии наилучшего зрения du = 25 см. На каком расстоянии а от глаза должен располагаться предмет при рассмотрении его через лупу с фокусным расстоянием F = 2 см? Какое при этом получится увеличение 1'?
Линза с оптической силой D = 4 дптр дает увеличенное в к = 5 раз изображение предмета. На каком расстоянии d перед линзой находится предмет?
Собирающая линза дает расходящийся пучок света, причем угол между крайними лучами пучка 2а = 60°. Найти фокусное расстояние F линзы, если ее радиус г = 5 см, а точечный источник света находится на расстоянии d = 4 см от линзы.
Собирающая линза с фокусным расстоянием F = б см дает расходящийся пучок света, причем угол между крайними лучами пучка 2а = 90°. Найти расстояние d от точечного источника света до линзы, если ее радиус г = 3 см.
Точечный источник света помещен в фокусе собирающей линзы с фокусным расстоянием F = б см. За линзой на расстоянии Ь = 12 см от нее расположен плоский экран, на котором видно светлое пятно. В какую сторону и на какое расстояние а от фокуса линзы надо переместить вдоль главной оптической оси источник, чтобы радиус г светлого пятна на экране увеличился в п = 2 раза?
Построить изображение светящейся точки, лежащей на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии, меньшем фокусного. Положение фокусов линзы задано.
Найти построением положение светящейся точки, если известен ход двух лучей после их преломления в линзе (рис. 173). Один из этих лучей пересекается с главной оптической осью линзы в ее фокусе.
Рис. 1731144. Мнимое изображение предмета находится
на расстоянии / = 1 м от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 0,25 м. На каком расстоянии d от линзы расположен предмет?
Мнимое изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 0,4 м от собирающей линзы, находится на расстоянии /= 1,2 м от линзы. Каково фокусное расстояние F линзы?
. 1146. Мнимое изображение предмета находится в фокальной плоскости собирающей линзы. На каком расстоянии от линзы расположен предмет?
Собирающая линза дает прямое изображение предмета с увеличением к = 2. Расстояние между предметом и изображением а = 20 см. Найти фокусное расстояние F линзы.
Собирающую линзу с оптической силой D = 0,5 дптр помещают между двумя точечными источниками света так, что отношение расстояний dx и d^ от источников до линзы п = djd^ = 4. Расстояние между изображениями h = 2 м, причем изображения находятся по одну стороны линзы. Найти расстояние а между источниками.
Два точечных источника света находятся на расстоянии b = 24 см друг от друга. Между ними на расстоянии d = 6 см от одного из них помещена собирающая линза. При этом изображения обоих источников получились в одной и той же точке. Найти фокусное расстояние F линзы.
Расстояние от предмета до линзы d - 10 м, расстояние от линзы до изображения / = 2,5 м. Найти оптическую силу D линзы в случаях мнимого и действительного изображений.
Фокусное расстояние собирающей линзы F = 18 см. Где расположена светящаяся точка, если ее изображение получается на расстояниях/= 12 см от линзы и L = 5 см от главной оптической оси?
Собирающая линза дает изображение предмета, расположенного от нее на расстоянии d = 9,9 см, с увеличением к = 10. Найти фокусное расстояние F линзы в случаях действительного и мнимого изображений.
Фокусное расстояние собирающей линзы F = 10 см, расстояние от предмета до фокуса b = 5 см, высота предмета h = 2 см. Найти высоту Н действительного и мнимого изображений.
Главная оптическая ось собирающей линзы совпадает с осью светового конуса, образованного сходящимся пучком лучей, а фокус линзы совпадает с вершиной конуса. На каком расстоянии / от линзы пересекаются лучи после преломления, если оптическая сила линзы D = 5 дптр?
На пути сходящегося пучка лучей поставили собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 7 см. В результате лучи сошлись в точке А на расстоянии/= 5 см от линзы. На каком расстоянии h от точки А сойдутся лучи, если линзу убрать?
Цилиндрический пучок лучей, имеющий радиус rt = 5 см, направляется на рассеивающую линзу параллельно ее главной оптической оси. Пройдя линзу, пучок дает на экране пятно радиуса г2 = 7 см. Каков будет радиус г3 пятна на экране, если рассеивающую линзу заменить собирающей с тем же фокусным расстоянием?
Цилиндрический пучок света радиуса /■] = 4 см направляется на собирающую линзу параллельно ее главной оптической оси. Пройдя линзу, пучок дает на экране пятно радиуса г2 = 2 см. Каков будет радиус г3 пятна на экране, если собирающую линзу заменить рассеивающей с тем же фокусным расстоянием?
Мнимое изображение светящейся точки в рассеивающей линзе с оптической силой D = -5 дптр находится в два раза ближе к линзе, чем сама точка. Найти положение светящейся точки, если она лежит на главной оптической оси линзы.
Висящий на стене здания термометр рассматривают через рассеивающую линзу с оптической силой D = -5 дптр. Линза расположена параллельно стене ниже термометра так, что шарик термометра виден в направлении побочной оптической оси линзы, отклоняющейся от главной оптической оси вверх на угол а = 30°. Под каким углом [3 к главной оси расположена побочная ось, на которой лежит изображение верхней точки термометра, если длина изображения термометра // = 6,4 см, а расстояние между линзой и стеной d = 60 см?
Рис. 174Рис. 174Рис. 175Рис. 175
Рис. 174
Рис. 174
Рис. 175
Рис. 175
Светящаяся точка 5 расположена перед рассеивающей линзой. Построить ход произвольного луча SK, падающего на рассеивающую линзу. Положение оптического центра О линзы и ход луча SBC заданы (рис. 174). ■ ■
Построить ход произвольного луча АВ, падающего на рассеивающую линзу. Положения главной оптической оси линзы и ее фокусов заданы (рис. 175).
Предмет высоты й = 0,03 м расположен на расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F - 0,3 м. На каком расстоянии/от линзы находится изображение? Какова будет высота Н изображения?
Точечный источник света, расположенный на расстоянии di = 1,2 м от рассеивающей линзы, приближают к ней вдоль главной оптической оси до расстояния d2 = 0,6 м. При этом мнимое изображение источника проходит вдоль оси расстояние / = 10 см. Найти фокусное расстояние F линзы.
Световой луч, падающий на рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F = 13,5 см, после преломления в ней пересекает главную оптическую ось линзы в точке, отстоящей от линзы на расстоянии /= 9 см. В какой точке пересечет луч ось, если линзу убрать?
Сходящийся пучок лучей, проходящий через отверстие радиуса г = 5 см в непрозрачной ширме, дает на экране, расположенном за ширмой на расстоянии h = 20 см, светлое пятно радиуса R = 4 см. После того как в отверстие вставили линзу, пятно превратилось в точку. Найти фокусное расстояние F линзы.
Сходящийся пучок лучей имеет вид конуса с вершиной в точке А. Когда на пути лучей поставили рассеивающую линзу, сходящийся пучок превратился в расходящийся с вершиной в точке В. Точки А и В лежат на главной оптической оси линзы на расстоянии / = 0,45 м друг от друга, и оптический центр линзы делит отрезок ВА в отношении п : т = 1 : 2. Найти фокусное расстояние F линзы.
Рассеивающая линза с фокусным расстоянием F = 12 см помещена между двумя точечными источниками в два раза ближе к одному из них, чем к другому. Расстояние между изображениями источников L = 7,8 см. Найти расстояние / между источниками.
Экран расположен на расстоянии / = 21 см от отверстия, в которое вставлена линза радиуса г = 5 см. На линзу падает сходящийся пучок лучей, в результате чего на экране образуется светлое пятно радиуса R = 3 см. Оказалось, что если линзу убрать, то радиус пятна не изменяется. Найти фокусное расстояние F линзы.
Стеклянная линза имеет в воздухе (п = 1) оптическую силу D = 5 дптр. Найти фокусное расстояние F той же линзы, погруженной в воду. Показатель преломления стекла пст =1,5, воды п„ = 1,33.
Стеклянный стержень с показателем преломления лст = = 1,5 имеет воздушную полость (л ~ 1), одна сторона которой плоская и перпендикулярна к оси стержня, а другая - выпуклая, с радиусом кривизны R = 10 см. Вдоль стержня распространяется пучок параллельных лучей. Найти фокусное расстояние F воздушной линзы.
Кусок стекла с показателем преломления лС1 = 1,5 имеет воздушную полость (и ~ 1) в виде двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны R = 10 см. На главной оптической оси линзы внутри стекла на расстоянии d = 20 см от линзы находится песчинка. Найти расстояние f от линзы до изображения песчинки.
Крайние лучи видимого спектра для оптического стекла “флинт” имеют показатели преломления пх = 1,745 и л2 = 1,809. Из этого стекла сделана двояковыпуклая линза с радиусами кривизны R = R2 = 0,2 м. Найти расстояние а между фокусами линзы для крайних лучей спектра.
Собирающая линза с радиусами кривизны Rx = 12,5 см и /?2 = 2б см дает в воздухе (л ~ 1) действительное изображение предмета, расположенное на расстоянии/= 24 см от линзы, когда предмет находится на расстоянии d = 50 см от линзы. Та же линза, погруженная в жидкость, действует как рассеивающая с фокусным расстоянием F = 1 м. Найти показатель преломления пж жидкости.
Две собирающие линзы одинаковой формы сделаны из разных сортов стекла с показателями преломления пх = 1,5 и п2 = 1,7. Найти отношение фокусных расстояний линз в воздухе (л = 1) и в воде (л„ = 1,33).
Плосковыпуклая линза с фокусным расстоянием Fx = = 10 см погружена плоской поверхностью в воду так, что сферическая поверхность линзы находится в воздухе. Перпендикулярно к поверхности воды падают параллельные лучи света. На каком расстоянии F2 от плоской поверхности линзы фокусируются световые лучи? Показатель преломления воды л„ = 1,33. Диаметр линзы много меньше ее фокусного расстояния,
Фотограф с лодки снимает морскую звезду, лежащую на дне прямо под ним на глубине Н = 2 м. Во сколько раз изображение на пленке будет меньше предмета, если фокусное расстояние объектива Fx = 10 см, расстояние от объектйва до поверхности воды I = 50 см? Показатель преломления воды пв = 1,33.
В музее сфотографирована большая гравюра, а затем и ее отдельные фрагменты в натуральную величину. Во сколько раз было увеличено время экспозиции при фотографировании деталей гравюры, чтобы интенсивность почернения фотопластинки осталась прежней?
§ 31. Оптические системы
Расчет изображений в сложной оптической системе, компоненты которой (линзы, зеркала) расположены вдоль общей главной оптической оси, удобно производить, разбив его на последовательные этапы. Не обращая первоначально внимания на все компоненты системы, кроме первого, нужно вычислить положение изображения, даваемого первой линзой (или зеркалом). Это изображение в свою очередь служит источником для второй линзы (или зеркала), которая также рассматривается отдельно от всех остальных частей системы.
При этом, если первый компонент системы дает мнимое изображение, то на второй компонент падают расходящиеся лучи, и, следовательно, источник для него будет действительным. Если же первый компонент системы дает действительное изображение, то на второй компонент могут, в зависимости от его положения, падать сходящиеся или расходящиеся лучи. В первом случае источник для второй линзы (или зеркала) должен, как обычно, считаться мнимым, во втором случае - действительным. Так как лучи падают далее на следующую линзу (или зеркало), то процесс расчета продолжается и далее до выхода лучей из системы.
Размер полученного изображения и увеличение рассчитываются аналогично. Особый интерес представляет вычисление углового увеличения, за меру которого можно принять отношение тангенсов углов между пучками лучей, входящими в систему и выходящими из нее. Если рассматривать только приосевые пучки (малые углы), то отношение тангенсов можно заменить отношением синусов или отношением самих углов.
Микроскоп можно рассчитывать как двухлинзовую систему, в которой действительное изображение, даваемое объективом, рассматривается в окуляр как в лупу. Увеличение микроскопа вычисляется как произведение увеличений объектива и окуляра. При длительной работе глаз наблюдателя должен быть не напряжен (аккомодирован на бесконечность). Это означает, что объектив создает изображение в фокальной плоскости окуляра, и увеличение окуляра кг = <1^1РЪ где d0- расстояние наилучшего зрения нормального глаза, Т2 - фокусное расстояние окуляра (см. задачу 1135). Увеличение объектива ку = 5>JFy, где Fy - фокусное расстояние объектива, 8 - длина тубуса микроскопа (расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра). Таким образом, увеличение микроскопа
k = kxk2-5d0/FyF2.
Под расстоянием наилучшего зрения d^ во всех задачах понимается наименьшее расстояние, на котором человек может четко видеть детали предметов без чрезмерного напряжения глаза. Так как чрезмерное напряжение глаза нигде не предполагается, под расстоянием наилучшего зрения d0 можно подразумевать ближний предел аккомодации нормального глаза. Во всех задачах считается, что do = 25 см.
Очки, рассматриваемые в ряде задач, представляют собой тонкие линзы, вплотную прилегающие к глазу.
Две линзы с фокусными расстояниями Fv и Ръ приставленные вплотную друг к другу, дают изображение источника, расположенного на некотором расстоянии перед линзами. Обе линзы заменяют одной, помещенной на том же месте. Какова должна быть оптическая сила D этой линзы, чтобы положение изображения источника не изменилось?
Точечный источник света помещен в фокусе рассеивающей линзы. Собирающая линза, приставленная вплотную к рассеивающей, превращает падающий на нее из рассеивающей линзы расходящийся пучок лучей в параллельный. Найти отношение фокусных расстояний линз.
Фотоаппаратом, имеющим объектив с фокусным расстоянием Fv = 13,5 см, фотографируют предмет, находящийся на расстоянии d = 18 см от объектива. Расстояние от объектива до фотопластинки/= 27 см. Найти фокусное расстояние Т2 линзы, которую надо приставить вплотную к объективу, чтобы изображение на пластинке было резким.
Плосковыпуклая линза изготовлена из вещества с показателем преломления п. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен R, плоская поверхность линзы посеребрена. Найти оптическую силу D такой системы.
Предмет расположен на расстоянии d = 18 см от плосковыпуклой линзы с фокусным расстоянием F = 12 см. Выпуклая поверхность линзы обращена к предмету, плоская поверхность линзы посеребрена. На каком расстоянии / от линзы находится изображение предмета?
Сходящийся пучок лучей, падающих на двояковогнутую линзу с радиусом кривизны R = 3 м, имеет вид конуса, вершина которого находится на расстоянии d = 4 м за линзой. Задняя поверхность линзы посеребрена. Преломившись на передней поверхности линзы, отразившись от задней и снова преломившись на передней, лучи сходятся в точку, расположенную на расстоя-
нии /] = 12 м перед линзой. На каком расстоянии /2 за линзой сошлись бы лучи, если бы задняя поверхность линзы не была посеребрена?
Светящаяся точка находится на расстоянии d = 15 см от плоского зеркала на главной оптической оси. Плоское зеркало расположено в оптическом центре вогнутого зеркала с радиусом кривизны R = 60 см. Найти положение изображения светящейся точки, даваемого лучами, отраженными от вогнутого, а затем от плоского зеркала.
Точечный источник света находится на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы на главной оптической оси. Плоское зеркало расположено на таком расстоянии за линзой, что лучи, отразившись от зеркала и вторично пройдя через линзу, идут параллельным пучком. Найти диаметр / пучка, если диаметр линзы равенL.
Свеча находится на расстоянии d = 15 см перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 30 см. Плоское зеркало расположено на расстоянии b = 15 см за линзой. На каком расстоянии а от линзы получится изображение свечи, даваемое системой?
Точечный источник света находится на расстоянии d = 15 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см на главной оптической оси. По другую сторону линзы на расстоянии h = 5 см от нее расположено плоское зеркало. Найти расстояние а между источником и его мнимым изображением в зеркале.
Параллельный пучок света падает на собирающую линзу, а затем на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием Т2 = 24 см. Расстояние между линзой и зеркалом b = 32 см. Каким должно быть фокусное расстояние F^ линзы, чтобы свет, отразившись от зеркала, собрался в точке, удаленной от зеркала на расстояние/= 6 см?
Собирающая линза с фокусным расстоянием F находится на расстоянии b перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны R. На каком расстоянии d перед линзой нужно поместить точечный источник света, чтобы лучи, пройдя линзу, отразившись от зеркала и снова пройдя линзу, собрались в той же точке, где расположен
источник? При каких расстояниях b от линзы до зеркала решение возможно?
Точечный источник света находится на расстоянии d = 10 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см на главной оптической оси. Лучи, преломившись в линзе, падают
на выпуклое зеркало, расположенное на расстоянии b = 3 см за
Рис. 176Рис. 176линзой. Отраженные от зеркала лучи, вновь пройдя через линзу, идут пучком, параллельным оптической оси (рис. 176). Найти радиус кривизны R зеркала.
Рис. 176
Рис. 176
Точечный источник света находится на расстоянии d = 15 см от линзы с фокусным расстоянием F = 10 см на главной оптической оси.
За линзой расположено выпуклое зеркало с радиусом кривизны R = 24 см. Линза формирует изображение источника с помощью лучей, прошедших через линзу, отраженных от зеркала и вновь прошедших через линзу. На каком минимальном расстоянии а от линзы должно находиться зеркало, чтобы изображение источника света совпало с самим источником?
Рассеивающая линза и вогнутое зеркало расположены так, что пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя линзу, отразившись от зеркала и еще раз пройдя линзу, остается параллельным той же оси. Фокусные расстояния линзы и зеркала F\ = 12 см и F2 = 36 см. Где и какое получится изображение, если поместить точечный источник света в оптическом центре зеркала?
Малые противоположные участки поверхности сферы радиуса R посеребрены. Светящаяся точка находится на диаметре, соединяющем центры участков. На каком расстоянии а от центра сферы должна находиться светящаяся точка, чтобы после отраже
ния от одного, а затем от другого участка лучи сошлись на расстоянии b = 3F/4 от центра сферы?
Две собирающие линзы с оптическими силами D\ = 5 дптр и D2 = 3 дптр расположены на расстоянии b = 10 см друг от друга. На каком расстоянии от задней линзы получается изображение бесконечно удаленного источника, даваемое системой, если свет источника попадает сначала на линзу: 1) с оптической силой Dx, 2) с оптической силой D£
Две собирающие линзы с фокусными расстояниями F] = 10 см и F2 = 15 см расположены на расстоянии b = 30 см друг от друга. Где следует поместить точечный источник света, чтобы
идущие от него лучи по прохождении обеих линз образовали пучок лучей, параллельных главной оптической оси?
Две собирающие линзы с фокусными расстояниями Ft = 20 см и F2 = 40 см расположены на расстоянии b = 1,5 м друг от друга. Предмет высоты / = 2 см находится на расстоянии dt = 25 см от первой линзы. На каком расстоянии/2 от второй линзы получится изображение предмета после прохождения лучей через обе линзы? Какова высота £2 полученного изображения?
Две одинаковые собирающие линзы с фокусным расстоянием F = 0,1 м каждая расположены на расстоянии b = 0,25 м друг от друга. Предмет находится на расстоянии d = 0,2 м от первой линзы. На каком расстоянии а от предмета находится его изображение, даваемое системой линз?
Две собирающие линзы с фокусными расстояниями Ft = 2 см и F2 = 20 см расположены на расстоянии b = 24 см друг от друга. Построить изображение предмета, находящегося на расстоянии d = 3 см от первой линзы. Найти увеличение к.
Две собирающие линзы с фокусными расстояниями Ft = 10 см и F2 = 15 см дают изображение предмета высоты / = 2 см, расположенного на расстоянии d = 10 см от первой линзы. Найти высоту L изображения предмета, даваемого системой линз. Построить изображение предмета.
В трубу вставлены две одинаковые собирающие линзы с фокусным расстоянием F = 12 см каждая. Предмет расположен на расстоянии d = 3 м от первой линзы. На каком расстоянии/от второй линзы получится изображение, если расстояние между линзами b = 25 см?
На каком расстоянии b друг от друга нужно расположить две собирающие линзы с фокусными расстояниями Fх = 5 см и F2 = 3 см, чтобы параллельный пучок лучей, пройдя сквозь них, остался параллельным?
На каком расстоянии b друг от друга нужно расположить собирающую и рассеивающую линзы с фокусными расстояниями £| = 10сми£2 = 6 см, чтобы параллельный пучок лучей, пройдя сквозь них, остался параллельным?
На систему из трех линз падает параллельный пучок лучей. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными расстояниями F t = 10 см и F2 = 20 см находятся на расстоянии b = 15 см друг от друга. На каком расстоянии а от рассеивающей линзы нужно расположить вторую собирающую линзу с фокусным расстоя-
нием F3 = 10 см, чтобы выходящий из системы пучок лучей остался параллельным?
Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными расстояниями F, = 30 см и F2 = 10 см расположены на расстоянии b = 20 см друг от друга. На собирающую линзу падает параллельный пучок лучей диаметра Dx = 12 мм. Каков диаметр D2 пучка на расстоянии а = 20 см за рассеивающей линзой?
Собирающая и рассеивающая линзы с фокусным расстоянием F = 20 см каждая находятся на расстоянии Ъ = 25 см друг от друга. На каком расстоянии d от собирающей линзы нужно расположить на главной оптической оси точечный источник света, чтобы система дала параллельный пучок лучей? Построить ход лучей в случае, когда источник не находится на главной оптической оси линз.
Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными расстояниями Fi = 8 см и F2 = 10 см находятся на расстоянии Ъ = б см друг от друга. На каком расстоянии d от рассеивающей линзы нужно расположить на главной оптической оси светящуюся точку, чтобы система давала параллельный пучок лучей?
Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными расстояниями F, = 10 см и F2 = 15 см расположены на расстоянии h = 30 см друг от друга. На расстоянии d = 12 см от рассеивающей линзы на главной оптической оси находится точечный источник света. Найти расстояние а между источником и его действительным изображением.
На каком минимальном расстоянии I должны быть помещены на Луне два ярких источника света для того, чтобы их можно было видеть с Земли в телескоп раздельно? Фокусные расстояния объектива и окуляра телескопа F,=8mhF2=1 см. Человеческий глаз может видеть раздельно два предмета, наблюдаемые под углом не менее ф() = 0,001 рад. Расстояние от Земли до Луны г = 3,8- 10s м.
Фокусные расстояния объектива и окуляра трубы Галилея F। = 45 см и F2 = 5 см. При замене линз в трубе на две собирающие получилась труба Кеплера с тем же увеличением, что и труба Галилея. Найти фокусные расстояния F3 и F4 двух собирающих линз.
Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива F = 24 см установлена на бесконечность. После того как окуляр трубы был передвинут на некоторое расстояние, стали ясно видны
предметы, удаленные от объектива на расстояние d = б м. На какое расстояние а передвинули окуляр?
Для определения увеличения зрительной трубы, окуляром которой является собирающая линза, объектив заменяют квадратной диафрагмой со сторой /. Найти увеличение к трубы, если окуляр дает действительное изображение диафрагмы со сторой L.
Какова длина / зрительной трубы, объектив и окуляр которой имеют фокусные расстояния F, = 25 см и F2 = 8 см, если рассматриваемый предмет удален в бесконечность, а его изображение, даваемое окуляром, находится от окуляра на расстоянии наилучшего зрения б/0 = 25 см?
Для наблюдения некоторого объекта используют длиннофокусный микроскоп, объектив которого не должен приближаться к объекту ближе чем на расстояние d = 5 см. С каким фокусным расстоянием F надо взять объектив, если увеличение микроскопа должно быть кх = 180, а увеличение окуляра к2 = 20?
Фокусное расстояние объектива микроскопа Ft = 0,5 см, расстояние между объективом и окуляром / = 16 см. Увеличение микроскопа к = 200. Найти увеличение к2 окуляра, если расстояние наилучшего зрения do = 25 см.
Фокусное расстояние окуляра микроскопа F2 = 4 см, расстояние между объективом и окуляром / = 16 см. Увеличение микроскопа к= 300. Найти фокусное расстояние Ft объектива микроскопа, если расстояние наилучшего зрения do = 25 см.
Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа Fv = 8 мм и ^ = 5 см, расстояние между объективом и окуляром / = 21 см. Найти увеличение к микроскопа, если расстояние наилучшего зрения du = 25 см.
Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа Ft = 3 мм и F2 = 5 см. Предмет находится от объектива на расстоянии d = 3,1 мм. Найти увеличение к микроскопа и расстояние / между объективом и окуляром, если расстояние наилучшего зрения du = 25 см.
Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа F{ = 4 мм и F2 = 2,5 мм. Предмет находится на расстоянии а = 0,2 мм от фокуса объектива. Найти увеличение к и длину б тубуса микроскопа, если расстояние наилучшего зрения Д) = 25см.
. 1219. Предмет находится на расстоянии d = 6,1 мм'от объектива микроскопа. Фокусное расстояние окуляра F2 = 1,25 см, увеличение
микроскопа к = 1200. Найти фокусное расстояние объектива Fb если расстояние наилучшего зрения du = 25 см.
Фокусное расстояние объектива микроскопа F^ = 0,3 см, длина тубуса микроскопа 5 = 15 см, увеличение микроскопа к = 2500. Найти фокусное расстояние Рг окуляра, если расстояние наилучшего зрения du = 25 см.
Ближний и дальний пределы аккомодации глаза близорукого человека dx = 10 см и d^ = 12,5 см. Каковы будут пределы d( и d^ если человек наденет очки с оптической силой ^очк = -7 дптр?
Ученик привык читать книгу, держа ее на расстоянии d = 20 см от глаза. Какова должна быть оптическая сила DO4K очков, которые должен носить ученик, чтобы читать книгу, держа ее на расстоянии наилучшего зрения du = 25 см?
Близорукий человек может четко видеть предмет, если он находится на расстоянии не дальше d = 20 см от глаза. Какова должна быть оптическая сила Оочк очков, которые должен носить этот человек, чтобы четко видеть удаленные предметы?
Какие очки необходимо прописать близорукому человеку, о котором шла речь в задаче 1221, чтобы исправить недостатки его зрения?
Дальнозоркий человек может читать книгу, держа ее на расстоянии не менее <7 = 80 см от глаза. Какова должна быть оптическая сила DO4K очков, которые должен носить человек, чтобы читать книгу, держа ее на расстоянии наилучшего зрения dy = 25 см? ■
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
МЕХАНИКА
§ 1. Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение
Направим координатную ось OS с началом в точке отправления поездов вдоль направления движения (рис. 177). Координата товарного
Рис. 178Рис. 178
Рис. 178
Рис. 178
поезда в момент времени t, когда его догнал экспресс, sj = uvt. Координата экспресса, который шел на время Т меньше, в этот же момент времени s2 = v2(r - т). Обе эти координаты должны быть равны координате места, где экспресс догнал товарный поезд: ^i = .s2 = v. Приравняв \[ и .v2, находим
t = №Т/'(№- Uj) = 1 Ч, 5 = U, №Т/'( № - 40 = 36 км.
>f—**
(L/2 г
Р L/2,
S
А и, С и2 8А и, С и2 8Рис. 179Рис. 179Графическое решение представлено на рис. 178, где линии 1 и 2- графики движения товарного поезда и экспресса. Точка их пересечения определяет координату хместа, где экспресс догонит товарный поезд, и время Г, когда это произойдет.
А и, С и2 8
А и, С и2 8
Рис. 179
Рис. 179
Направим координатную ось с
началом в точке С от С к В (рис. 179). Законы движения первой и второй
автомашин имеют вид
Х1 = -Г/2 + V\t, х2 = Г/2 - гы.
При встрече координаты должны быть одинаковы: 51 = л2 = 5. Приравняв .V| и 52, находим
t = L)(v[ + и2) =1,5 ч, ,v = L/2 - V'2t = -L/2 + v{t = - 30 км.
Графическое решение представлено на рис. 180, где линии 1 и 2 - графики движения первой и второй автомашин. Точка их пересечения определяет время г и координату .v места встречи.
График зависимости расстояния / между автомашинами от времени t показан на рис. 181.
Закон движения конца стержня А-, хА = х^ + ut, уА = 0; следовательно,
У в =.
В неподвижной системе координат (рис. 182) обгон начинается, когда координаты начала экспресса и конца товарного поезда одинаковы и
равны, например, s0. Заканчивается обгон в момент времени, когда одинаковы координата »i начала товарного поезда и координата s^ конца экспресса. Если за начальный момент времени принять начало обгона, то законы движения начала товарного поезда и конца экспресса будут
= 5g + /| + H|Z, 52 = 5g — /2 + V^t.
Приравняв ^ И 52, ПОЛуЧИМ f= (/)+/2)/( 1^-1^) = 50 С.
Рис. 183Рис. 183.. Эту задачу можно решить в движущейся вместе с товарным поездом системе координат, начало которой совпадает с началом этого поезда, а направление - с направлением его движения (рис. 183). В этой системе координат скорость экспресса и/ = = иг - V]. Закон движения конца экспресса,
Рис. 183
Рис. 183
если за начальный момент времени принять начало обгона, будет иметь вид s = -(/]+/2) + н2'л В момент завершения обгона конец экспресса
окажется в начале нашей системы координат. Поэтому его координата 5 = 0; следовательно, для этого момента времени
/] + /2 — ц, t, t — (/[ + /2)/(и2 — ц) — 50 с.
/ = (ц + uvjt = 150 м.
иА = д/ v2 - Uv-Jt = 15 м/с.
В системе координат, изображенной на рис. 184, законы движения наклонной плоскости и стержня имеют вид
Л] = 5 = ut, j| = 0; л2 = 0, у2 = h = U.
Для любого момента времени у2 = h = s tg а, следовательно, v = и tg а.
Вертикальная составляющая скорости капель vy = v cos ос от скорости движения трамвая и и скорости ветра w не зависит. Горизон
тальная проекция скорости капель при неподвижном трамвае определяется скоростью ветра: vx = v sin а = w. При движении трамвая согласно условию
и' = и sin а- и = 0, или w = « = 5 м/с.
Из рис. 185 находим, что скорость капель в безветренную погоду vx = их ctg а = и ctg а = 8,66 м/с.
Направим ось ОХ системы координат с началом в месте, где пловец входит в воду, вдоль берега по течению, а ось ОУ - перпендикулярно к
берегу. Предположим, что скорость пловца и составляет с осью ОХ угол а (рис. 186). Тогда закон движения пловца в проекциях на оси координат будет иметь вид
х = (и + и cos d)t, у = (и sin а)?.
Пловец попадает на другой берег, когда у = h. Необходимое для этого время t = hlv sin а. Оно будет минимальным, когда sin а максимален, т.е. а = л/2 (рис. 187): rmin = hiv.
Рис. 186Рис. 186
Рис. 186
Рис. 186
При а = к/2 имеем х = ut. Поэтому, когда пловец окажется на другом берегу, / =xmin = utmm = uh/v. Длина пройденного пути
s = л/72 + к? -• h4и1 + и2 /и.
В системе координат XOY с началом в пункте А (рис. 188) координаты лодки:
х = (и - и cos a)f, у = (и sin a)L
Подставляя х = I, у = h, получим и =hul(l sin a + h cos a).
Направим ось OX системы координат (рис. 189) против движения корабля (на восток), а ось OY - перпендикулярно к движению (на север). Проекция и^х = и0 cos 0 скорости ветра и^ относительно корабля больше
проекции их = и cos ос скорости ветра и относительно земли на величину и (здесь 0 и a - углы между курсом корабля и направлениями скоростей и0 и и, и- скорость корабля): 1
(1)(1)и0 cos 0 = и cos a + и.
(1)
(1)
Проекции скоростей и^, = и0 sin Р и иу = и sin а в направлении, перпендикулярном к движению корабля, равны между собой:
(2)(2)«о sin Р = и sin а.
(2)
(2)
Чтобы исключить неизвестный угол Р, возведем (1) и (2) в квадрат и сложим почленно: Uq = и2 + и2 + 2nu cos а; отсюда
и = - v cos а ± yn2(cos2 а -1) + Uq .
Учитывая, что а = 45°, имеем
и = - и (^ + ^Uq - и2 / 2.
Здесь мы отбросили отрицательный корень, так как согласно условию и > 0 (этот корень появился при возведении в квадрат уравнений (1) и (2)).
Рассмотрим движение тела 2 относительно тела 1. В системе координат XOY, связанной с телом 1 (рис. 190), проекции относительной скорости и тела 2 будут
uv = - (и, + п2 cos а), пу = п2 sin а.
направлена по диаго-направлена по диаго-vvСама относительная скорость
направлена по диаго-
направлена по диаго-
v
v
нали прямоугольника, построенного на vv и пг Кратчайшим расстоянием между телами 1 и 2 за все время их движения будет длина перпендикуляра AD = / к линии, по которой направлена относительная скорость. Если
обозначить угол между осью ОХ и относительной скоростью и через Р, то 1 = L sin р, причем sin Р = иу/и. Таким образом,
I = Lnv /Jn2 + и2I = Lnv /Jn2 + и2= Ln2 sin a Jи2 + п2 + 2п]п2 cos а.
I = Lnv /Jn2 + и2
I = Lnv /Jn2 + и2
Время, в течение которого тело 2 в относительном движении пройдет расстояние BD = L cos р, будет t = BD/u = (L cos Р)/п. Подставляя значения cos Р = 1Ну/п I и и, получим
t = L(ut + п2 cos а) /(и2 + п2 + 2п, п2 cos а).
Время движения первого поезда f] = $12щ + s/2 п/, его средняя скорость пср । = 2п1п17(п1 + и/) = 53,3 км/ч. Путь, пройденный вторым поездом, 52 = (п2 + п2')?/2, его средняя скорость пср 2 = (п2 + п2')/2 = = 60 км/ч.
численно равен суммечисленно равен суммеРис. 191 площадью основания SРис. 191 площадью основания Sh = u sin у, где у = а + Р (рис. 193). Объем этой призмыh = u sin у, где у = а + Р (рис. 193). Объем этой призмыРис. 192Рис. 192
численно равен сумме
численно равен сумме
Рис. 191 площадью основания S
Рис. 191 площадью основания S
h = u sin у, где у = а + Р (рис. 193). Объем этой призмы
h = u sin у, где у = а + Р (рис. 193). Объем этой призмы
Рис. 192
Рис. 192
и = ц> + а2Г2 + а3Г3 + a4t4 = 5 м/с;
5 = uot] + (п0Г2 + а2Г2 / 2) + [(у0 + а2Г2)Г3 + а3Г3 / 2] +
+[(п0 +а2Г2 + а3Г3)Г4 + a4t4 /2+ пкГ5] = 82,5 м;
Ц.р = 5/(Г, + 1г +t3 +t4 + Г5) = 5,9 м/с.
На графике и = /(г) (рис. 191) конечная скорость пк = 5 м/с. Путь s
площадей s„ обозначенных на рисунке: х=Х^ =
= 6 + 8 + 42,5 + 16 + 10 = 82,5 м. Средняя скорость пср численно равна высоте прямоугольника, площадь которого равна сумме площадей s;.
Скорость капель дождя относительно самолета и = ^w + и0 , где ц, = - и, составляет угол Р с горизонтом, причем sin Р = w/u и cos Р = Ц)/и (рис. 192). На переднее стекло в единицу времени падают капли дождя, находящиеся в косой призме с образующей и, (основанием является это стекло) и высотой
V = Su sin (а + Р) = Sw(sin а cos Р + cos а sin Р).
Если в единице объема находится одновременно п капель, то число капель в призме, или, что то же, число капель, падающих на переднее
стекло в единицу времени, N, = nV. Учитывая значения V, sin Р и cos Р, найдем /V) = Sn(u sin а + w cos а). Положив в этой формуле а = 0, получим число капель, падающих в единицу времени на верхнее стекло: /V2 = Snw. Таким образом,■
Nx/N2 = (и sin а + w cos a)/w.
Так как u^-Vq = 2al и и2-Uq = 2а//2, то u=^(uq + и^)/2 = 5 м/с.
2)0
Составляем уравнения движения:
т2 -Т] = vA(t3 - Г]) + а(г2 - И )2/2,
л-3 - х, = иА (Г3 - Г,) + a(t3 - Г,) 2/2,
где иА - скорость в точке хА. Исключая иА из этих уравнений, найдем
_ (х3 - х2 )Г, + (х, - х3 ^ + (х2 - хА )t3
О2 -fiXf3 —— гз)
т = h/v +^п - ^iv2 + 2ghJIg = 1 c.
a = 2(n - l)$/(n + l)r2.
Когда второе тело догонит первое, их координаты будут равны, а время т = 2и/а = 200 с.
5 = %vAv3 / а(иА + п2)2 - 3750 м.
Обозначив времена равноускоренного, равномерного и равнозамедленного этапов движения через Г], г2 и t3, составим уравнения для каждого этапа:
5]= aAtA (2, v = aAtA, s3 = vt3,s3 = vt3 - a213/2, uK = v — a3t3 0.
Вместе с соотношениями t = tA + r2 + t3 и $ = 5] + s2 + 53 они составят систему из семи уравнений с семью неизвестными. Решая эту систему, найдем
t = s/u + (и/2аА + п/2а2).
Значительно проще можно получить решение при помощи графика и =/(f) (рис. 194). Путь численно равен площади фигуры, ограниченной
ломаной линией, выражающей эту зависимость, и осью времени. Эта площадь равна площади прямоугольника $о = vt без площадей треугольников .V[ и s3:
$ = $о - ,V| - s3 — vt — iP-/2aA - tX/2a2,
откуда для времени t получим значение, приведенное выше.
Характер движения поезда такой же, как и движения автомобиля в задаче
22. Поэтому для нахождения решения достаточно в ответе задачи 22 учесть, что аА = а2 = а. В результате получим t = s/v + via. Решая это уравнение относительно а, найдем а = ^/{vt — $1 = 0,17 м/с2.
и = ^gh = 6,3 м/с.
u = 3j2gh+ ид = 24,8 м/с.
ННРис. 195Рис. 195^=7^(72+1)/2~ 25,4 м/с.'
Н
Н
Рис. 195
Рис. 195
Z = 7277(7^-7^7) «0,02 с.
За время движения t тело пройдет путь s = &Z2/2, а за время движения t^ < t — путь 50 = gtjj2. По условию задачи .v - s0 = = (2/3)s и / — /() = Т = 1 с. Из системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными можно получить для s квадратное уравнение: s2 - 3gt2s + 9g2t4/16 = 0. Из двух корней этого уравнения
5 = (3/4)(2±73)^2
лишь первый удовлетворяет условию задачи. Таким образом, .v = (3 / 4)^2 ± Vs^gZ2 = 27,4 м.
Направим координатную ось ОН с началом отсчета в месте бросания тела вверх (рис. 195). Тогда уравнения движения будут иметь вид
h= uttt-gt2/2, и = u„-gt.(1)
При достижении максимальной высоты подъема йтах скорость тела и = 0. Из второго уравнения (1) найдем,
что тело достигает высоты йтах спустя время t = v^g после бросания. При Z ^ Ц) /g координата h и путь .v равны; в частности, при Z = и01g путь 5 = Лтах = VQ/zg. При t > v^g координата h убывает, в то время как путь \ (сумма всех расстояний, пройденных телом, независимо от направления движения) продолжает увеличиваться; в частности, при t = 2u0/g координата h = 0, т.е. тело вернулось в место бросания, а путь 5 = 2Лтах = = Uq / g. При t > 2vjg координата становится отрицательной, т.е. тело спускается ниже места бросания (если, конечно, для этого есть возможность). Из рис. 195 видно, что при t > u^/g пройденный телом путь
t = 2Лтах - A =Vo/g - W - gt^m,(2)
где t- время, протекшее с начала движения. Это выражение будет верно и
при t > 2vjg. В тех же случаях, когда t < v^g, путь вычисляется, как и
координата, по первой формуле (1).
По условию t = 10. с > v^ Jg = 3 с. Поэтому вычисление пути надо делать по формуле (2); при этом получается s = 290 м. Координата и скорость для этого момента времени, найденные по формулам (1), будут h = - 200 м
30. h^ ^Az^l-^.1 230. h^ ^Az^l-^.1 2g^ 2g^ 22'= 1225 м.2'= 1225 м.и v = - 70 м/с.
30. h^ ^Az^l-^.
1 2
30. h^ ^Az^l-^.
1 2
g^ 2
g^ 2
2'
= 1225 м.
2'
= 1225 м.
Если за начало отсчета взять место бросания тела, то координата h тела, брошенного вверх, определяется уравнением
А=ц,? —g?2/2.(1)
Это уравнение при заданных ц, и h удовлетворяет двум значениям Г. Г / 2 А ^1,2 =^о—v^o -^gh у g-
Разность этих значений есть промежуток времени между прохождениями телом одной и той же высоты h, т.е.
Д? = ?2 - ?, = 2-^ Vg - 2g/г / g;(2)
отсюда Ц) = J^gh + g2(At)714. Если в выражении (2) положить 1г = 0, то мы получим промежуток времени от начала движения до возврата в начальное положение: Д?(| = 2v0/g. Подставляя значение ии, найдем Д?о = 2^2/1/^ +(ДГ)2/4 .
s = h- v^t.
Направим координатную ось ОН с началом в месте бросания шариков вверх. Тогда уравнения движения шариков будут иметь вид
/?! =/г + у,?]-g?2/2, /г2 =/г-v2?2-g??/2,
где ?| и О - времена падения на землю первого и второго шариков. Падению на землю соответствуют координаты h^ = /г2 = 0. Определив ?] и ?2 из полученных квадратных уравнений, найдем
Д? = ?! - ?2 = ^| + v2 + V^i2 + 2^ -^ + 2gh^Ig.
Д? = ^2s/ g + t^ -?2 = 1 c.
v0 = (/i, - /12 yjg / j2(/i| -A) = 3,69 м/с.
тел в момент времени ? будут ut =тел в момент времени ? будут ut =Рис. 196Рис. 196Скорости первого и второго = Ц) - gt И V2 = Ц) - g(t - Д?). Скорость второго тела относительно первого v = v2 - V| = gA? постоянна, т.е. тела движутся относительно друг друга равномерно.
тел в момент времени ? будут ut =
тел в момент времени ? будут ut =
Рис. 196
Рис. 196
Пусть за некоторый весьма малый промежуток времени ? лодка переместилась из точки А в точку В на расстояние s - .Vo = vj (рис. 196). За это время веревка, имевшая положение AD, заняла положение BD, причем длина ее уменьшилась
на величину / - /0 = ut. При малом времени t будет мал также и угол а. Поэтому угол Р в равнобедренном треугольнике BCD будет очень мало отличаться от 90°, т.е. треугольник АВС можно считать прямоугольным и
/ — /лUtU
= = = cos у.
^-^0и^ип
отсюда ид = u/cos у. При приближении лодки к берегу угол у увеличивается и скорость ил возрастает. Как видно из рис. 196, cos у = $/1 = = V/2 - А2 //; поэтому при / = 10 м скорость лодки
и„ = ul!V/2 -А2 =1,25 м/с.
Для нахождения перемещения лодки формулу пути равномерного движения л- - .v() = unt можно применять лишь в том случае, когда промежуток времени t достаточно мал и скорость лодки в течение него не успевает заметно измениться:
У-УО =^l^-h2-A2 = ^f-h2 -^(/-Щ)2 -А2 = 1,25 м.
Направим координатную ось OS с началом в месте расположения
Рис. 197 'Рис. 197 'первого тела вдоль наклонной плоскости (рис. 197) и запишем законы движения для первого и второго тел:
Рис. 197 '
Рис. 197 '
и\ = Ц) - С? sin °06
5| = uot-(g sin a)r2/2;
^2 = - (л sin a)t,
$2 = 1- (g sin a)r2/2.
В момент встречи У| = $г, / = uot, т.е. t = Ци0 = 5 с. Скорость второго тела относительно первого и = иг - иу = -Ц) = - 0,5 м/с.
г/ср । = $x/tx = у0 + (g sin a)t)/2, иср 2 = $2/?2 = уо + С? sin <x)t2/2; отсюда sin a = 2(ц.р 2 - ycp ^/g^ - 6) = 1/2, т.е. a = 30°.
Скорость движения шарика у доски при первом падении на нее иА = ^gh, время падения Г| = ^]2h/ g . Скорость в момент отскакива
ния иг = 0,75щ = 0,75 y[2gh . Из условия и = иг- gt2 = 0 находим время
движения шарика вверх после отскакивания: t2 = иг/§ = O.TS^h/g . Так
как время подъема и время падения одинаковы, то искомое время t = г, + 2^2= 2,5 ^2А / g = 1,38 с.
Если координатную ось ОН направить вверх, то при падении мяча проекция скорости отрицательна и пропорциональна времени: u = -gt.
На графике такому движению соответствует линия О Л, причем tg а соответствует ускорению -g (рис. 198). При ударе проекция скорости мгновенно меняет знак на противоположный, и модуль ее уменьшается согласно условию задачи в и = 2 раза, т.е. после удара модуль скорости соответствует точке В. При подъеме скорость падает до нуля (точка С),
причем наклон линии остается прежним, так как ускорение все время равно —g. Далее снова происходит падение. При падении достига
ется та же по модулю скорость, которая была в первый момент после удара (точка D), и т.д.
Согласно формуле и2 = 2gh высота подъема пропорциональна квадрату скорости. Поэтому после к-го удара, когда скорость будет в пк раз меньше, чем перед первым ударом, высота hk будет в л2*' раз меньше к, т.е. кк = kln2k. После каждого удара мяч будет проходить вверх и вниз путь, равный удвоенной высоте: после первого удара .У] = 2Й] = 2к1п2, после второго удара ,у2 = 2/г2 = 2к!пА, после третьего удара
л'з = 2/?3 = 2к!пь и т.д. Чтобы получить полный путь, надо к сумме
.у, + ,у2 + .у3 + ... прибавить еще путь .у0 = к, пройденный до первого удара. Таким образом
2к 2к
2 + 4П П
Здесь в скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем с/ = 1/п2. Сумма членов такой прогрессии равна 1/(1 - - q) = п2Кп2 - 1). Подставив это значение в выражение для пути, получим .у = к^п2 + 1)/(п2 - 1) = (5/3 )/г = 200 м.
Шарик к моменту встречи с плитой приобрел в неподвижной системе отсчета скорость ц, = -"V 2gkV). Скорость шарика относительно плиты, движущейся ему навстречу, в этот же момент равна w(l = -(л/ 2gk0 + и). После абсолютно упругого соударения скорость шарика относительно плиты w = -w0. Скорость и шарика в неподвижной системе отсчета после соударения больше скорости шарика относительно плиты на величину и (плита догоняет отскочивший шарик со скоростью и): и = w + и = 2gk0 + 2и. Искомая высота
к= и2 /2g = (y^ + 2u)2/2g = (^ + u^)2. -
Разложим скорость шарика i/q на тангенциальную (вдоль плиты) и нормальную (перпендикулярно к плите) составляющие:
v = у0 sin а и fOn = u0 cos a. Тангенциальная составляющая, благодаря гладкости стенки, после соударения шарика с плитой не изменится. Нормальная составляющая относительно движущейся плиты ^Ол = у0л +и = и0 cos a + и после соударения изменит знак, сохранив свой модуль: и,п=-и'Оп. Относительно неподвижной системы отсчета нормальная составляющая ип изменится на величину и (плита догоняет отскочивший шарик со скоростью и):
ип = -(wn + и) = Ч^о cos a + 2и).
Полная скорость шарика относительно неподвижной системы отсчета после соударения с плитой будет
и = и^ + Uqt = ^(у0 cosa + 2«)2 + Oq sin2 a.
§ 2. Криволинейное движение
Направим ось ОХ системы координат XOY (рис. 199) с началом на поверхности земли вдоль начальной скорости ц0, а ось OY - вертикально вверх в точку, из которой брошено тело. Движение тела можно
Рис. 199Рис. 199представить как сумму равномерного движения со скоростью и0 в горизонтальном направлении и равноускоренного движения без начальной скорости в вертикальном направлении с ускорением ау = -g, направленным вниз. Проекции скорости на оси координат и полная скорость в этом случае будут
Рис. 199
Рис. 199
а) их = ць б) иу = -gt,(1)
и = у2 + иу = JuJTg^. (2)
Законы движения для координат имеют вид
(3)(3)(4)(4)a)x=uot, б) у = h - gt2/!.
(3)
(3)
(4)
(4)
Исключив время t из уравнений (3), получим уравнение траектории:
У = h-gx2l2v% .
Это - уравнение параболы.
Исключив время t из уравнений (3) задачи 44, при у = 0 найдем .V = х = и0Ц 2h/g = 22,6 м.
Исключив время t из уравнения (3) задачи 44, при х = 5 и у = О найдем h = gs1 Hv^ =4,9 м.
- 47. Исключив время t из уравнений (2) и (36) задачи 44, при у = О найдем Ц) = ^и2- 2g h = 5,6 м/с.
Когда скорость тела, брошенного горизонтально, составляет с горизонтом угол а = 45° (см. рис. 199), имеем tg а = vylvx = -1; отсюда согласно уравнениям (1) задачи 44 получаем t = vQ/g~ 1,5 с.
h = (Ц) tg ос)2 / 2# = 34,4 м.
.I = 2h / tg а = 4 м.
Полным ускорением является ускорение свободного падения g; следовательно, 0 - угол между полной скоростью и вертикалью (см. рис. 199). Поэтому tg 0 = их/иу = 1 и их = иу = gt (по модулю). В этом случае из уравнения (2) задачи 44 следует и = ^v^ = gt42. ~ 70,5 м/с.
Время падения камня (момент, когда у = -Л)
t = |w0 since + (v0 sina)2 + 2ghA /g. .
Угол р определяется выражением
0_ ио sin a ~ ^ - V ^о sin a)2 + 2gh
uxи0 cos av0 cos a
Скорость камня в момент падения и = Зи1,. +иу = ^Uq + 2gh.
Как видно из рис. 200, проекции ускорения свободного падения на нормаль Он и касательную От таковы:
ап = g cos a, сц = g sin a,cos a = ux /и, sin a = vy / v.
Зависимости vx, uy и у от времени определяются уравнениями (1) и (2) задачи 44; следовательно,
ап = gux / и = ^170 /^ +8Чг = 8,2 м/с2,
«т = ^у lu = g^11Jv^^t1 = 5,4 м/с2.
Направим ось ОХ системы координат XOY с началом в месте бросания тела горизонтально в ту сторону, куда тело брошено, а ось OY - вертикально вверх (рис. 201). Движение тела можно представить в виде суммы равномерного движения в горизонтальном направлении со скоростью уОг = и0 cos а и равноускоренного движения в вертикальном направлении с начальной скоростью uQy = ц, sin а и ускорением ау = -g. Проекции скорости на оси координат и модуль скорости в этом случае будут
а) их = иОх = и0 cos a, б) иу = иОу - gt = и0 sin a - gt,(1)
и = ^v1 + tv2 = ^02 + #2г2 - 2(у0 sina)^t.(2)
Зависимость угла Р от времени определяется выражением
tg Р = и,, / ил. = (Ц) sin а - gt) /vn cos а.
Ha восходящей части траектории (при иОу > gf) имеем tg Р > 0 и вертикальная составляющая скорости направлена вверх, проекция иу 2s 0; на нисходящей части траектории (при иОу < gf) tg Р < 0 и вертикальная составляющая скорости направлена вниз, проекция иу < 0.
Используя ту же систему координат, что и в задаче 54 (см. рис. 201), запишем законы движения для координат тела:
а) х = (и0 cos a) t, б) у = (и() sin а) t- gt2H.(1)
Уравнение траектории тела получим, исключив время t из этих уравнений:
у = х tg а - gx2 /2(и0 cos а)2.(2)
Это - уравнение параболы.
При у = h проекция скорости иу = 0. Время подъема t и высоту h найдем из уравнении (1) задач 54 и 55:
t = (Ц) sin a) /g, h = (и0 sin а)2 /2g.
Так как в месте падения у = 0, то из уравнения (16) задачи 55 найдем время полета: t = 2(и0 sin a) /g. Дальность полета $ = х, т.е. координату места падения, найдем из уравнения (1а) задачи 55, подставив в него найденное значение времени полета: 5 = (и2 sin 2a)/g.
График зависимости иу =f(t) строится по формуле (16) задачи 54 (рис. 202). При t = 0 имеем vy = иОу = и0 sin а; при t = f = (и0 sin a)/g проекция vy = 0. График зависимости vy = Ду) получим, исключив время t из уравнений (16) задач 54 и 55 (рис. 203):
Vy = + ^(v0 sin a)2 -2gy.
График зависимости иу = Дх) получим, исключив время t из уравнения (16) задачи 54 и уравнения (1а) задачи 55 (рис. 204):
иу = и0 sin а - gx 1( ц> cos а).
Из формулы (16) задачи 55 при у = h получим для t уравнение
2 2nn sin а 2/1„
(1)(1)tу1 + — = 0,g g■
(1)
(1)
два корня которого Zj = 0,28 с и z2 = 0,75 с показывают, что на высоте h камень был дважды.
Используя уравнение (1) задачи 59 и свойства корней квадратного уравнения, согласно которым Z] + z2 = 2(ц> sin a)/g и 1р2 = 2h/g, получим
Ч) = #(4 + h) /2 sin a = 78,4 м/с, h = gt\t^l2 = 73,5 m.
Исключая начальную скорость ну из уравнения (16) задачи 54 и используя решение задачи 57, получим
5 = 2 (иу +gt)2 ctg a / g = 284 м.
В системе координат с началом в месте бросания (рис. 205) законы движения будут те же, что и в задаче 55. Искомое расстояние s = х при у = -/г. Подставляя у = -А.в уравнение (2) задачи 55, получим для х квадратное уравнение, решая которое, найдем
5 = (и0 / g) cos a (и0 sin a + J (n0 sin a)2 + 2gh).
В выбранной системе координат х > 0, поэтому второй корень уравнения отброшен.
Обозначим начальные скорости тел буквами и0| и и02 . Для тел, упавших на землю, в формуле (2) задачи 55 надо положить у = 0. Заменяя в этой формуле и0 и а на Ци и «] для первого тела и на ц)2 и а2 для второго, найдем из двух получившихся уравнений Цц /ц)2 = Vsin 2а2/ sin 2ap Если a2 = 90° - «1, то и0] /ит = 1 и и01 = и02.
li = ^ Vq - 2gh = 6,4 м/с.. .
и = ^ Uq + 2gh.,
Согласно рис. 201 tg Р = иу /их . По условию tg Р[ = 1, tg Р2 - -1. Используя для их и иу формулы (1) задачи 54, найдем
г, = (n0/g)(sina-cosa), r2 = (n0/g)(sina + cosa).
Дальность полета снаряда без учета сопротивления воздуха при заданной начальной скорости можно найти по формуле х = (уо sin2a)/g (см. задачу 57). Согласно условию х = 4х; отсюда ц, = 2^ gs / sin 2a = 886 м/с.
В системе координат с началом в точке А (см. рис. 9) траектория мотоциклиста будет описываться уравнением (2) задачи 55. Подставляя в это уравнение координаты точки приземления х = х и у = -h, найдем минимальную скорость:
и = s4§ /cos a ^(h + stga).
Используя ту же систему координат, что и в задаче 62 (см. рис. 205), имеем / = ух2 + у2, где х и у - координаты камня в данный момент времени. Зависимость координат камня от времени дается формулами (1) и (2) задачи 55. Поэтому
1 = Ци£ - (п0 sina0)gl + gV /4 = 67,9 м.
Чтобы снаряд достиг самолета, горизонтальная проекция его начальной скорости ц)л. должна быть не меньше скорости самолета и, а вертикальная проекция начальной скорости uOv должна быть по крайней мере равна ^2gh; отсюда минимальная начальная скорость снаряда п0 = ^ и2 + 2gh = 743 м/с. Из условия tg a = v^v^ = J2gh Iи = 1,56 находим a = 57°.
у! - у2 = 2Ц) t cos a = 60 м.
Используя ту же систему координат, что и в задаче 44 (см. рис. 199). Проекции скорости груза при его падении их = п0 и иу = -gt. Угол наклона скорости к горизонту определяется выражением tg a = vy/vx. Скорость имеет угол наклона а в момент времени t = -(j^/g) tg a (a < 0). Подставляя это значение t в закон движения груза по вертикальному направлению у = /20 - gt212, найдем /г = у = /г0 - (ц, tg a)2 /2g.
В системе координат, изображенной на рис. 206, координаты ключа в момент выброса его из самолета:
хо = (^о^о +ato /2)cosa, у0 = (voto + atg /2)sina.
Проекции скорости ключа в этот момент:
иОх = (^о +ar0)cosa, иОу = (и0 + at0)sina-u0.
Координаты ключа после выброса из самолета:<
х = х0 + Voxt= (и010 + atQ / 2) cos a + [ (u0 + ar0)cosa]r,(1)
У = Уо + vOyt-gt2l2 = (voro+аГд/2)sina +
+ [(u0 + ar0)sina-«0]r-gr2/2.(2)
В момент падения ключа у = 0. Исключая время из (1) и (2), найдем расстояние ,v = л. Ввиду сложности коэффициентов в уравнении (2)
Рис. 206Рис. 206
Рис. 206
Рис. 206
Рис. 208Рис. 208
Рис. 208
Рис. 208
рекомендуется предварительно вычислить эти коэффициенты. Имеем Уо = 144 м, uOv = 29,5 м/с, ^/2 = 4,9 м/с2. Искомое расстояние .v = 766 м.
Вертикальная проекция скорости в момент удара иу = (ц} sin a)2 4- 2gh; время подъема на максимальную высоту hmax (рис. 207) t =v /g. Горизонтальная проек-
ция скорости vx = и0 cos а. Искомое расстояние равно координате точки второго удара:
s = х = 2tux = 2и0 cosaj (и0 sin a)2 + 2gh! g =9,1 м.
В системе координат XOY с началом в точке первого удара шарика о плоскость (рис. 208) скорость шарика согласно законам упругого удара в момент удара и первый момент после удара равна "V 2gh и направлена после удара под углом 90° — а к оси ОХ. Проекции скорости после удара:
их =^2.gh cos (90° -a) + gsinar = ^2^/г sina + grsjn a,,(A)
(2)(2)v у = -J2gh sin (90° - a) - g cos ar = Jlghcos a - gt cos a.
(2)
(2)
Из уравнения (2) находим, что время достижения высшей точки траектории Zj = "V2hJg. Время между первым и вторым ударами t = 2tx. Искомое расстояние равно координате точки второго удара:
s = x = ^2g/Tzsina + (gZ2/2)sina = 8/tsina = 4 м.
§ 3. Вращательное движение
R = их гК, ux-i^)= 1,8 м.
п = 60(щ - п2) /2лг = 97 об/мин.
При качении колеса по земле все его точки участвуют одно
временно в двух движениях: вдоль поверхности земли с постоянной горизонтальной скоростью и и вокруг оси вращения с касательной
Рис. 209Рис. 209Рис. 210Рис. 210скоростью пт, модуль которой постоянен, а направление меняется. При качении без пробуксировки или проскальзывания скорости и и пт, по модулю равны.
Рис. 209
Рис. 209
Рис. 210
Рис. 210
Мгновенные скорости указанных точек колеса находим, складывая пип, по правилам векторного сложения (рис. 209):
иА = их - и = 0, ив = щ + и = 2и,
ис = и2 + и2 = -^2и ,
ud = у + у2 + Зщу cos a = 2и cos (a/2),
и Е =^и2 + и2 - 2птп cos a = 2v sin (a/2).
an = v2 /R, и = axt. По условию задачи an = nax; следовательно, t = л/ nR!ax = 2,78 c.
an = 4s2Z2 / Rtx = 25 м/с2.
щ = 2tv-и2(см. задачу 78).
a„/aT = tg a = 0,58 (рис. 210).. '
83. На экваторе83. На экватореи0 = 2кК!Т = 465 м/с,и0 = 2кК!Т = 465 м/с,а„0 = VqIR = 0,034 м/с2;а„0 = VqIR = 0,034 м/с2;на широте ср = 60°на широте ср = 60°
83. На экваторе
83. На экваторе
и0 = 2кК!Т = 465 м/с,
и0 = 2кК!Т = 465 м/с,
а„0 = VqIR = 0,034 м/с2;
а„0 = VqIR = 0,034 м/с2;
на широте ср = 60°
на широте ср = 60°
и^ = 2л(7?со5ф)/Т = 233 м/с,
% = t22/(7?coscp) = 0,017 м/с2.
N = ntf2 = 60.
От начала закругленного участка пути поезд проходит расстояние
(1)(1)5 = ц, t + a^ll,
(1)
(1)
где ат - касательное ускорение. При этом его скорость
v = Ц; + aT t.(2)
Из (1) и (2) находим
ат = 2(.v - Ц; Г)/Г2 = 0,33 м/с2, и = (2s - ц, f)/t = 25 м/с.
Полное ускорение
I 22а~ Уаи + атI 22а~ Уаи + атy^^S ^2° ^ + 4(5"^о О2 = 0,708 м/с2.
I 22
а~ Уаи + ат
I 22
а~ Уаи + ат
86. В системе координат XOY, изображенной на рис. 211, скорость
комка грязи в момент отрыва от колеса направлена по касательной к ободу в точке А (см. рис. 12). Если колесо катится без пробуксовки или
проскальзывания, то vT = и. Так как начальная вертикальная координата комка у0 = /?(!- cos сх), то закон движения вдоль оси OY имеет вид
у = R(1 - cos сх) + (и sin сх)с - gt2/2.
Далее, используя уравнение (16) задачи 54 и время движения до максимальной высоты (см. задачу 56), получим
h = у = R(1 - cos сх) + (и sin a.y/2g.
Если движение автомобиля с той же скоростью сопровождается пробуксовкой колеса, то их > и и высота подъема комков грязи будет
больше. Если же колесо проскальзывает относительно поверхности земли при торможении (движение юзом), то их < и и комки будут взлетать
на меньшую высоту.■•
Пусть N - число оборотов, сделанных цилиндром за время t. В этом случае шарик не будет задерживаться желобом, если длина N шагов
винтового желоба будет равна расстоянию, на которое шарик упадет за это время при свободном падении, т.е. Nh = gF/2. Если нить тянули при этом с ускорением а, то расстояние, на которое ее вытянули, / = аР/2, что равно в то же время длине смотанных с цилиндра N витков нити: / = T.DN. Из этих выражений легко получить а = ngD/h.
§ 4. Динамика прямолинейного движения
v= film = 43 км/ч.
/ = F-ma = F - m(v2 -и^) / 2s =4,3 кН.
Рис. 212 Рис. 213Рис. 212 Рис. 213При спуске с постоянной скоростью сумма сил, действующих на шар, равна нулю: Mg - Q -f= 0, где/- сила сопротивления движению шара. При подъеме шара сила сопротивления по- прежнему равна/, так как согласно условию задачи скорость постоянна, но теперь эта сила направлена вниз. Сумма всех сил с учетом уменьшения массы за счет выброшенного балласта по-прежнему равна нулю: (Л/ - m^g - Q + f= 0. Исключая из этих уравнений/, найдем т = 2(М - Q/g).
Рис. 212 Рис. 213
Рис. 212 Рис. 213
Действующие на тело силы изображены на рис. 212: F - искомая сила, mg - сила тяжести. На основании второго закона Ньютона
ma = F + nig; отсюда F = т(а - g) = 26 Н.
F = та = 70 Н.
Действующие на груз силы изображены на рис. 213; Т-сила натяжения проволоки, mg - сила тяжести. На основании второго закона Ньютона та = Т - mg. Согласно условию задачи Т ^ Ттах = я?таХ1?. Следовательно, а g^mmaJm - 1) = 1,2 м/с2.
m = 2т1т2/(т1 + т2) = 190 кг.
Сила натяжения каната не зависит от направления движения самой клети (направления ее скорости) и определяется только ее ускорением. В первом случае направление ускорения совпадает с направлением силы натяжения каната. Поэтому знаки щ и Т\ одинаковы: max = Т\- mg, т.е.
■Тх = m(ax + g) = 3420 Н.
Во втором случае та2 = mg - Т2, т.е.
Т2 = m(g - а2) = 2705 Н.
Используя решение задачи 95, получим а = g(l - m/M) = 2,45 м/с2; ускорение направлено вниз.
Действующие на гири силы изображены на рис. 214. Уравнения движения имеют вид
mxa = T-TVx-m\g, m2a = Txx-m2g,
тде а - ускорение груза, равное ускорению лифта, mxg и m2g - силы тя
жести, действующие на гири т, и т2. Решая уравнения относительно Т,
получим Т = (те, + те2)Т0/т2 = 14,7 Н.
Сила реакции дна клети N направлена вдоль ускорения лифта а (рис. 215). Следовательно,
та = N - mg; отсюда
N = mg + та = 1004,5 Н. По третьему закону Ньютона с такой же (по модулю) силой груз будет давить на дно клети:
FH R = N = 1004,5 Н.
а = N/m - g = 0,49 м/с2, где N - сила реакции пола кабины, равная (по модулю) силе давления на пол кабины FH д; ускорение направлено вверх.
Действующие на тело силы изображены на рис. 216: Т- сила, с которой действует на
тело растянутая пружина (пока
зание динамометра), mg -сила тяжести. В случае 1) уравнение движения
Рис. 217Рис. 217Рис. 218Рис. 218тела имеет вид тах = ТХ- mg; отсюда Тх = m(g + ах) = 14,7 Н. В случае 2) имеем ma2 = mg + Т2, так как направления ускорения а2 и силы тяжести совпадают, следовательно, Т2 = m(g - н2) = 4,9 Н. В случае 3) выражение для силы Т имеет тот же вид, что и в случае 2), ибо направление ускорения то же самое: Т3 = m(g - а3) = 7,35 Н. В случае 4) сила Г4 = m^g + а4) = 12,25 Н. "
Рис. 217
Рис. 217
Рис. 218
Рис. 218
На основании второго закона Ньютона ma = F -/, где / = kN, a N - сила реакции опоры (рис. 217). Так как движение вдоль вертикали отсутствует, то N = mg; следовательно, F = т(а + kg") = 0,79 Н.
.V = v2/2a = v2/2kg = 12,3 м.
и = -^2 • 0,06gs = 4,9 м/с.
В горизонтальном направлении на груз действует только сила трения/(рис. 218). Сообщаемое грузу ускорение a =f/m. В вертикальном
направлении груз не движется: N — mg = 0, где Лисила реакции опоры. Максимальная сила трения покоя/так = kN = kmg. Следовательно, возмож
ные значения ускорения груза удовлетворяют неравен- F ству а < fmaJm = kg. Доске нужно сообщить ускорение а > kg = 1,96 м/с2. В этом случае сила трения не сможет сообщить грузу ускорение, достаточное для его движения без проскальзывания.
Используя решение задачи 104, найдем, что F 5 kg(M + т) = 10,8 Н.
Сообщаемое грузу ускорение (рис. 219)
а = F(cos а + к sin a)/m - kg,Fo = kmgKcos a + к sin a).
а = F(cos а - к sin a)/m - g.
Действующие на воз силы изображены на рис. 220. Если mg < < F3 sin а, то воз может оказаться в “облаках” (решение выходит за рам-
Рис. 220Рис. 220
Рис. 220
Рис. 220
ки условия задачи, так как рак и щука уже не будут тянуть в противоположные стороны).
Если mg > F3 sin а и f= kN = k(mg - F3 sin a) > |F2 - F] + F3 cos a|, где N - сила реакции поверхности земли, то “воз и ныне там”, т.е. х = 0.
Если mg > F3 sin а и k^mg - F3 sin a) < |F2 - F] + F3 cos a|, to
.v = [±(F, - F2 - F3 cos a) - k^mg - F3 sin a)]F/2m,
где знак плюс относится к случаю F] > F3 cos a + F2 и знак минус - к случаю Fj < F3 cos a + F2.
/= m^h-g')» 0,088 H.■:
а = gh/^h = 58,8 м/с2; N = mg + ma = mg(l + h/NF) ~ 4802 H.
/= mg = 735 H.- -
h = тДк = 1,8 m.-
Натянутая нить действует с одинаковыми силами Г на оба тела (рис. 221). На первое тело вдоль горизонтали действует также сила F. Действующие по вертикали силы взаимно уравновешены и не влияют на движение тел в направлении силы F. Уравнения движения первого и второго тел имеют вид ица = F — Т, m2a = Т. Здесь учтено, что оба тела
FFТ Т
F
F
« ' т, —>—*—т2
zzzzzzzztzz/tzzzzz^^
Рис. 221
имеют одинаковые ускорения. Согласно условию задачи Т =s Ттах; следовательно, а < Tmax/m2 и
F < Tmax + mxa = (т, + т2)Ттах/ш2 = 7,5 Н.
Если сила приложена ко второму телу, то приведенные рассуждения остаются в силе, только массы т6 и т2 меняются местами. Теперь F < (m2 + mx)Tmax/mx = 15 Н.
Т = (mxF2 + m2F\^Kjn\ + m2).
Т = [mxF2 + (m2 + m3)F1]/(m1 + m2 + m3\
Силы, действующие на брусок с гирей и на чашку с гирей, изображены на рис. 222; N - сила реакции доски, Т - сила натяжения нити, /— сила трения. Так как движение по вертикали отсутствует, то N - (ntx + m2)g = O. При равномерном движении имеем Т-/=0 и (т3 + m4)g - Г = 0. Сила трения f= kN = к(тх + m^g. Исключая из этих уравнений Т, найдем к = (т3 + /п4)/(ш1 + т2) = 0,3.
Рис. 223Рис. 223
Рис. 223
Рис. 223
На груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т веревки, равная силе F, приложенной к ее другому концу (рис. 223). Искомая сила определяется с помощью второго закона Ньютона: ma = F - mg; отсюда F= ш(п + #) = 108 Н.
Так как блок неподвижен, то действующая на него со стороны динамометра сила F=2T (рис. 224). Уравнения движения грузов:
m2a = m2g-T, mxa = T-mxg.
Здесь учтено, что ускорения грузов одинаковы, но ускорение второго груза направлено вниз, а первого - вверх. Исключая из этих уравнений а, найдем Т = 2mxm2g/(mx + m2Y Искомое показание динамометра на основании третьего закона Ньютона будет
F = 2Т = 4m\m2gKmx + m2) » 62,7 Н.
Так как масса груза m во много раз меньше массы груза М, то можно считать, что грузы движутся с ускорением g. Сила натяжения нити определяется уравнением mg ~ Т - mg; отсюда Т ~ 2mg - 9,8 Н.
Согласно решению задачи 118 сила, растягивающая пружину, Т = 2mxm2gKni\ + m2\ По закону Гука Т = к(1 - /ц), где к = FJM - жесткость пружины; отсюда
/ = /0 + 2mxm2gMKmx + m^F = 17,35 см.
t = л]2Н(пц+т^)Шт^^= 0,7 с, где h = 1 м - путь, пройденный
каждой из гирь.
ти = ^liml^gF - 2Л) = 10 г.
Действующие на тело и груз силы изображены на рис. 225. По третьему закону Ньютона сила нормального давления груза FH д равна по модулю силе реакции N тела, на котором он лежит. Уравнения движения для двух тел и груза запишутся в виде
та = Т - mg, та = mg -Т + N, т^а = myg - N.
Исключая отсюда аиТ, найдем
FH д = N = 2mmyg/(2m + ту) = 0,39 Н.
: 124. Центр масс грузов, очевидно, будет опускаться. Пусть вначале центр масс находится в точке Со (рис. 226) на расстоянии А, по вертикали от первого груза и на расстоянии Ъг от второго. Величины Ьх и Ьг удовлетворяют условию
mxbx=ni2b2. (1)
За время t второй груз опустится на расстояние
(2)(2)Н = п0?2/2,
(2)
(2)
а первый поднимется на то же расстояние. Центр масс системы опустится за это же время на расстояние h, определяемое уравнением
т^Н + й2 - /1) = тх(Н + Ьх + 1г).
Рис. 226Рис. 22622^22<^22222^22^22<^22222^Рис. 227Рис. 227
Рис. 226
Рис. 226
22^22<^22222^
22^22<^22222^
Рис. 227
Рис. 227
Отсюда, учитывая уравнения (1) и (2), найдем, что в данный момент времени
h __ тг-тх {[ тг - тх а0?
т2 + тх т2 + тх 2
Ускорение ахх определяется системой уравнений, приведенной в задаче 118: ахх = (m2 - mx)g/(mx + т2). Поэтому
/\222
_ m2 - тх gt _at
тх + m2 J 22
Таким образом, центр масс системы движется равноускоренно с ускорением
а = (m2 - mx)2gKmx + m2)2.
Считая, что тело массы тх поднимается, а неподвижный блок с телом массы /и2 опускается, уравнения движения можно записать в виде (рис. 227)
тхах = Т- mxg, т2а2 m^g - ТГ.
Связь между ускорениями а, и а2 найдем из следующих соображений. Если первое тело поднимется на высоту к\, то второе тело опустится за это время на высоту h2 = кх/2. Так как пройденные пути прямо пропорциональны ускорениям, то отсюда вытекает, что по модулю а2 = aJ2. Решая данную систему уравнений, найдем
Т = 3mtm2gK4mt + m2) = 1,26 Н,at = 2(m2 - 2m1)^/(4m1 + m2) = 5,6 м/с2,а2 = (m2 _ 2m1)^/(4m1 + m2) = 2,8 м/с2.
Ускорение вдоль наклонной плоскости определяется суммой проекций сил на данное направление (рис. 228): ma = mg sin а -/ Сумма
проекций сил на направление, перпендикулярное к наклонной плоскости, равна нулю: N - mg cos а = 0. Следовательно, сила трения / = kN = = kmg cos а. Ускорение
а = g sin a -f/m = ^(sin а - к cos а) = 2,45 м/с2.
Как видно из решения задачи 126, ускорение тела а = = j?(sin а - к cos а). Согласно условию задачи sin а = кН = 1/2, cos а = V/2 - А2 / / = = V3/2. Время и конечная скорость определяются кинематически:
t = -^2/ / а = 2,5 с, и = V2a/= 8 м/с.
_ и о Vsina-£cos a + Vsina + £cosa g (sin a + к cos a) Vsina-Tcosa
Второй закон Ньютона для движения вдоль наклонной плоскости запишется в виде (рис. 229) та = mg sin a -/- Т, где sin a = кЦ, af= 0,lmg. Кинематическое соотношение, определяющее ускорение, имеет вид а = у2/2/; следовательно,
Т = mgh/l - 0,1m# - mu2/2l = 44,1 Н.
Для движения тела вдоль наклонной плоскости уравнение Ньютона имеет вид (рис. 230)
та = mg sin а + F cos а, или а = g sin а + (F cos a)/m =• 10 м/с2.
Силу давления на плоскость FH д, равную по третьему закону Ньютона силе реакции плоскости /V, можно найти из равенства нулю проекций сил на направление, перпендикулярное к наклонной плоскости:
mg cos а - F sin а - N = О,
или
FH n = N = mg cos а - F sin а = 277,3 Н.
Если предположить, что перетягивает груз массы тг, то уравнения движения грузов запишутся в виде (рис. 231) m2a = m2g sin а - Г,
пца = Т -mxg. Исключая силу натяжения Т, найдем проекцию ускорения на направление движения:
<z = (m2g sin а - mxg)/(m2 + mx) = -0,98 м/с2.
Знак минус означает, что движение в действительности происходит в направлении, обратном тому, которое мы предположили.
Уравнения движения грузов для проекций на направления движения имеют вид
mxa = mxg- Ту, т2а = Т0-Т- m2g(sin а + к cos а),
m3a = Т- m3£(sin а ± к cos а).
Здесь То-сила натяжения нити между грузами с массами тх ит2; знак плюс относится к случаю, когда грузы движутся вверх по наклонной плоскости, знак минус-к случаю, когда они движутся вниз. Из этих уравнений находим
_ тх-(т2 + m3)(sina±lcosa)
тх + т2 + т3
„1 + sin а ± к cos a
Т = m2m3g.
тх + т2 + т3
Движение вверх по наклонной плоскости (а > 0) возможно при тх > (т2 + m3)(sin а + к cos а), а движение вниз (а < 0) - при тх < (m2 + m3)(sin а - к cos a), tg й > 1 Если эти условия не выполняются, то грузы неподвижны, а сила натяжения Т может принимать различные значения:
_l + sina±lcosa
от 0 до m2m3gтх + т2 + т3
-в зависимости от соотношений между тх, т2, т3, к и а и от силы натяжения нити в начальный момент. Например, при tg a < к и тх < m2(sin a + к cos а) грузы на наклонной плоскости можно установить так, что нить между ними не будет натянута, т.е. Т = 0.
По третьему закону Ньютона сила нормального давления на опору FH д равна по модулю силе реакции опоры N. Со стороны ящика на шар могут действовать силы реакции Nx hN2, перпендикулярные к дну и передней стенке ящика (рис. 232). Уравнение движения шара имеет вид та = mg sin a-/V2. Учитывая, что ускорения шара и ящика одинаковы, уравнение движения ящика можно записать в виде Ma = Mg sin a + N2, где
M - масса ящика. Эти уравнения совместны лишь при N2 = 0. Сила давления на переднюю стенку ящика F„ av2 = /V2 = 0, так как составляющие сил тяжести, действующих на шар и ящик, сообщают шару и ящику одинаковые ускорения g sin a.
Сила давления на дно ящика такая же, как и при обычном соскальзывании тела: FH д, = Nx = mg cos a.
Силы, действующие на кубик, изображены на рис. 233: /- сила трения, 2У-сила реакции плоскости, равная по модулю искомой силе нормального давления FH д на плоскость. Согласно условию задачи кубик движется вместе с лифтом с ускорением а, направленным вверх. Уравнение движения для вертикального направления имеет вид
та = N cos a - mg +/sin a.(1)
В горизонтальном направлении ускорение отсутствует. Поэтому сумма проекций сил на горизонтальное направление равна нулю:
/cos a - N sin a = 0.(2)
Из уравнений(1) и (2)находим
FH.„ = ^ ~ т^8 + ti) cos «> /= m(g + а) sin «•
Таким образом, наличие у лифта ускорения, направленного вверх, эквивалентно увеличению ускорения свободного падения на величину а. Коэффициент трения должен, как и в случае неподвижной наклонной плоскости, удовлетворять условию к > tg a.
Проекция силы тяжести, действующей на доску вдоль наклонной плоскости, равна Mg sin а. Следовательно, при равновесии доски такая же сила должна действовать на доску в противоположном направлении со стороны человека. По третьему закону Ньютона на человека со стороны доски также будет действовать сила реакции, равная Mg sin а и направленная параллельно плоскости вниз (рис. 234; изображены лишь те
тележки, шарик и нитьтележки, шарик и нитьРис. 236Рис. 236Amg (рис. 236). Для того чтобы поверхность воды в баке была парал-Amg (рис. 236). Для того чтобы поверхность воды в баке была парал-
тележки, шарик и нить
тележки, шарик и нить
Рис. 236
Рис. 236
Amg (рис. 236). Для того чтобы поверхность воды в баке была парал-
Amg (рис. 236). Для того чтобы поверхность воды в баке была парал-
составляющие сил, действующих на доску и человека, которые направлены вдоль наклонной плоскости).
По втором закону Ньютона ускорение человека вдоль наклонной плоскости определяется суммой проекций сил по этому направлению: та = mg sin а + Mg sin а. Из этого уравнения найдем, что человек должен бежать с ускорением а = g sin а(1 + Mini), направленным вниз. Направление движения самого человека при этом безразлично.
Предположим, что при установившемся движении шарик отклонен от перпендикуляра к наклонной плоскости на угол Р (рис. 235). Тогда второй закон Ньютона для движения шарика вдоль плоскости запишется в виде
та = mg sin а + Т sin р. (1)
Сумма сил, действующих на шарик в перпендикулярном к плоскости направлении, равна нулю:
(2)(2)mg cos а — Т cos Р = 0.
(2)
(2)
НоНопри установившемся движении все точки
Но
Но
движутся с одним и тем же ускорением а = g sin а. Подставляя его в уравнение (1), получим Т sin Р = 0. Из уравнения (2) видно, что Т * 0; следовательно, Р = 0 и нить перпендикулярна к наклонной плоскости. Искомая сила натяжения
Т = mg cos а = 9,8 мН.
На малый элемент воды Аш, находящийся у поверхности, действует сила реакции A/V со стороны дна бака, перпендикулярная к поверхности, и сила тяжести
лельна наклонной плоскости, уравнение движения элемента воды должно иметь вид Ата = Amg sin а; следовательно, ускорение этого элемента а = = g sin а. Это ускорение должен иметь весь бак с водой. Уравнение движения для него запишется в виде
та = mg sin а = mg sin а - kmg cos а + F.
Отсюда находим, что действующая на бак сила F равна по модулю силе трения: F =f= kmg cos а.
При установившемся движении все элементы ведра с водой движутся по прямым линиям, образующим с горизонтом угол а, как и при движении тела по наклонной плоскости. Следовательно, все элементы воды движутся с ускорением а = g sin а, которое сообщается составляющей силы тяжести вдоль троса. Значит, сила реакции со стороны дна ведра на воду перпендикулярна к направлению движения и уравновешивает составляющую силы тяжести вдоль этого направления: N = mg cos а (рис. 237).
По условию задачи т = pSh, где S - площадь дна ведра, ар- плотность воды.
Согласно третьему закону Ньютона сила давления воды на дно ведра FH д равна силе реакции N со стороны дна. Поэтому давление воды на дно ведра
р = N/S = pgh cos а.
Бревно будет составлять с канатом одну линию в том случае, если оно не будет касаться земли. В противном случае окажется, что, когда бревно и канат составляют одну линию, сумма моментов сил относительно центра масс бревна отлична от нуля.
Уравнение движения бревна при выполнении условия задачи будет иметь вид та = Т cos а, где т - масса бревна, Т - сила натяжения каната, а - угол между бревном и поверхностью земли. По вертикали перемещения бревна не происходит, поэтому mg = Т sin а; отсюда
а = g ctgа 5® + / h.
§ 5. Закон сохранения импульса
F = Ар/At = тип = 15 Н.
Так как стенка гладкая, то при столкновении составляющая импульса мяча вдоль стенки не изменяется (рис. 238; изображены импульсы мяча перед ударом рх и после удара ргу Составляющая же, перпендикулярная к стенке, меняет направление. В результате мяч отскакивает 234
под углом а к стенке. Изменение проекции импульса мяча на направление, перпендикулярное к стенке, имеет вид
Др = mv sin а - (-mv sin а) = 2mv sin а.
Искомая сила
F kpfkt 2(mvsina)M? = 15 Н.
Др = m(v + ^gh) = 1,6 кг • м/с.
и = —mv/M = -3,25 м/с. Знак минус показывает, что скорости орудия и снаряда направлены в противоположные стороны.
и = mvKM + т) — 1 м/с.
Импульс системы пушка-снаряд вдоль горизонтального направления, равный нулю до выстрела, за время выстрела не изменяется, так как в этом направлении внешние силы не действуют. В данном случае
Рис. 238Рис. 238Рис. 239Рис. 239Рис. 240Рис. 240
Рис. 238
Рис. 238
Рис. 239
Рис. 239
Рис. 240
Рис. 240
выстрел произведен под углом а к горизонту, и проекция импульса снаряда на горизонтальное направление равна mvcos а (рис. 239). По закону сохранения импульса Ми + mv cos a = 0; отсюда
и = -(mv cos aj/M = -7 м/с.
/= Ma = mV /2sM = 13,2 кН.
Проекция импульса снаряда на горизонтальное направление равна mv sin а (рис. 240). Закон сохранения импульса для направления вдоль горизонтали имеет вид
mv sin a = (m + M)u; отсюда и = mv sin a/(m + M) ~ 1,25 м/с.
Вертикальная же составляющая импульса снаряда будет передана Земле в целом. ■
и = ms/Mt = 0,083 м/с.
V] = mv/m\ = 5/7 м/с; и2 = mvKm^ + т) = 5/9 м/с.
. 150. s = m?Vl2kg(M + т)2 = 50м.
15L и =4Mv - m^2glsina cosa)/(Af + т).
v = (М-т)-j2gh Im = 217 м/с.
В первом случае И| = (Ми - mv)l(M -иг) = 6 км/ч, во втором- и2 = (Ми + ти)/(М — т) ~ 12 км/ч.
Скорость платформы после падения на нее камня определяется с помощью закона сохранения импульса: и = Mv/(M + m) = 16 км/ч. Эта скорость не изменится при выпадении камня через люк, так как при этом не возникают силы, действующие на платформу в горизонтальном направлении.
и, = [(и?] + т2)и - т2и2]/т1 =-15 м/с; скорость первого осколка направлена против скорости движения ядра до разрыва.
и = ти2!М ~ 0,2 м/с; и2 = и = 8 м/с.
Скорости лодок после перебрасывания грузов определяются с помощью закона сохранения импульса. Груз, брошенный в первую лодку, будет иметь относительно воды скорость и + и, а груз, брошенный в третью лодку, приобретает скорость и — и. Импульс системы первая лодка-груз до попадания груза в лодку равен Ми + т(и + и\ Приравнивая его импульсу системы после попадания груза в лодку, получим скорость первой лодки;
Ми + т(и + и) = (М + т)и ।, и । = [Ми + т(и + и)]/(М + т).
Для третьей лодки закон сохранения импульса имеет вид
Ми + т(и - и) = (М + m)v 3, и 3 = [Ми + т(и -и)]/(М + т\
Скорость второй лодки не изменится. Действительно, до перебрасывания грузов импульс лодки с грузом равен (М + Тт^и. Согласно условию он не изменится после выбрасывания грузов:
(М + 2m)u = Mv2 + т(и + zz) + m(u- и); отсюда u2 = и.
Если и-скорость человека относительно лодки, а и - скорость лодки относительно воды, то скорость человека относительно воды будет равна и + и. По закону сохранения импульса
т(и + и) + Ми = 0; отсюда ulv-—ml(M + m).
Отношение скоростей во время движения остается постояйным. Поэтому отношение пройденных перемещений будет равно отношению скоростей:
sil = -т!(М + т), т.е. х = —1т/(М + m) = -1 м.
Знак минус показывает, что перемещения человека и лодки противоположны по направлению.
' 159. Полная сила, с которой поезд действует на Землю в горизонтальном направлении, равна нулю, так как сила тяги постоянна и равна силе трения. Разрыв состава не изменяет этого факта, ибо сила сопротивления движению не зависит по условию от скорости. Следовательно, сила, действующая в горизонтальном направлении со стороны Земли на систему поезд-отцепившийся вагон, также равна нулю. Поэтому к системе можно применить закон сохранения импульса. Удобнее всего это сделать в системе отсчета, движущейся со скоростью, равной скорости
поезда до его разрыва: mu + (М - т^и = 0, где и и и - скорости вагона и поезда относительно выбранной системы отсчета в произвольный момент времени; отсюда и/и = -(М - т)/т. Знак минус соответствует тому, что в нашей системе вагон и поезд движутся в разные стороны. Так как отношение скоростей постоянно и начальные скорости вагона и поезда одинаковы, то отношение путей /' и L', пройденных в движущейся системе координат вагоном и поездом, будет равно отношению скоростей:
Г/L' = (М - ш)/ш.(1)
В момент, когда скорость вагона в движущейся системе координат станет равной скорости Ц) поезда до его разрыва, будет выполняться равенство
s = l' + U.(2)
АО Ха /?1\ ВАО Ха /?1\ ВПройденное вагоном расстояние Г равно / - расстоянию, которое вагон проходит до остановки в покоящейся системе координат, так как ускорение вагона по модулю и время движения вагона одни и те же в обеих системах (в одной из них скорость изменяется от нуля до Ц), а в другой - от Иц до нуля). Решая систему уравнений (1) и (2). найдем I = (М - m)s/M = 480 м.
А
О Ха /?1\ В
А
О Ха /?1\ В
На рис. 241 изображены траектории снаряда и осколков. Разрыв происходит в точке А, лежащей на высоте h = (ц, sin a)2/2g и находящейся на расстоянии 1 = (Hq sin 2а) /2g от места выстрела (см. задачи 56, 57). Скорость снаряда в этой точке п = ц, cos а. Начальные скорости осколков снаряда щ и п2 связаны со скоростью снаряда в этой точке законом сохранения импульса: Ми = MuJ2. + Ми2 /2, где М - масса снаряда.
Начальную скорость первого осколка ц можно найти по заданному расстоянию s. Имеем s - / = U\t, где / = J2h/g = (и0 sin2а)/ g - время полета осколка; отсюда
и, = sg/u^ sin а - Ц) cos а.
Начальная скорость второго осколка
и2 = 2п - и, = Зц; cos а - sg/u^ sin а.
Искомое расстояние
L = 1 + v2t = 2(Hq sin 2а) / g- s.
Данную задачу можно решить и другим способом. Центр масс осколков движется так, как двигался бы неразорвавшийся снаряд. Осколки падают на землю одновременно, и центр масс системы в момент падения будет
находиться на расстоянии 2/ от места выстрела. Для этого необходимо, чтобы выполнялось соотношение
Л/(2/ - ,v)/2 = M(L - 2/)/2; отсюда L = 4/ - ,v = 2( v^ sin 2а )/g - s.
Примем за положительные направления осей координат вертикальное вниз и горизонтальное в сторону полета снаряда (рис. 242). После разрыва снаряда первый осколок согласно условию имеет только вертикальную составляющую скорости. Поэтому закон сохранения импульса в
557^77Ж777^77777777Ж^7,7^77Ж777^77777777Ж^7,Рис. 242Рис. 242U, °2U, °2проекциях на горизонтальное направление имеет вид Mv = Mv2yl2, где М - масса снаряда, а u2v - модуль составляющей скорости второго осколка. Так как импульс снаряда по вертикали перед взрывом равен нулю: Мщу/2 + Ми2у[2 = 0, то вертикальные составляющие скоростей осколков равны по модулю и направлены в противоположные стороны: и2у = -и1у.
5
5
7^77Ж777^77777777Ж^7,
7^77Ж777^77777777Ж^7,
Рис. 242
Рис. 242
U, °2
U, °2
Запишем также кинематические уравнения движения осколков. Для первого и второго осколков имеем
h=ulyt0+g^ /2, h = v2).t + gt112, s = v2xt,
где t - время падения второго осколка. Исключив из этих уравнений и, у, и2г, и2у и Л получим для скорости снаряда перед разрывом квадратное уравнение:
2/i ( 2t0)8/г
Из двух его корней
L. 5 I ^0^ L ^0 , ^
4/1^210 J 4/1^2 t0
решением задачи будет корень, содержащий знак плюс, так как при нашем выборе положительного направления и > 0. Таким образом, окончательно имеем и = sgtG(4h.
6. Статика
Г; = F,T2 = 2F.
d = ВфОР / nP0 = 36 мм.
Действующие на брусок силы изображены на рис. 243: TV-сила реакции стены,/< kN —сипа трения, mg-сила тяжести. При равновесии N = F и/= mg. Следовательно, kF 9= mg. Минимальная сила F = mglk = 490 Н.
F > kmg. •
Действующие на брусок силы изображены на рис. 244: N — сила реакции плоскости,/< kN - сила трения, mg - сила тяжести. При равновесии суммы проекций сил вдоль наклонной плоскости и в перпендикулярном направлении равны нулю:
/- mg sin а = О, F + mg cos а - N = 0;
отсюда F mg(sin а-к cos а)/к = 32 Н.
Действующие на доску силы изображены на рис. 245: ^| и N^ - силы реакции наклонной плоскости,/, и/2 - силы трения, mg — сила
тяжести. Равенство нулю суммы моментов сил относительно осей, проходящих через нижнюю и верхнюю опоры, дает /V, = /V2 = (mg cos ct)/2. Равенство нулю суммы проекций сил вдоль наклонной плоскости приводит к уравнению mg sin а =/] +/2. Скольжение будет отсутствовать при /j < kxNx nf2 < k2N2- Минимальный угол определяется уравнением
mg sin а = (кх + к^ (mg cos а)/2; отсюда tg а = (кх + С)/2.
Равенство проекций сил на горизонтальное направление требует равенства сил натяжения тросов (рис. 246). Для равновесия необходимо,
чтобы сумма проекций сил на вертикальное направление была равна нулю:
2Tcos(a/2) - mg = 0; отсюда Т = mg/2cos(a/2) = 196 Н.
7) = Т3 ” 98 Н; Т2 = 97,5 Н.
Действующие на точку В кронштейна силы изображены на рис. 247. Стержень АВ растянут с силой Ть а стержень ВС сжат с силой Тг. Суммы проекций этих сил вдоль горизонтали и вдоль вертикали равны нулю, так как точка В находится в равновесии:
- Т2 cos а = 0,
mg — Т, sin а = 0; отсюда
Тх = mg ctg а = 568 Н,
= mg/sin а » 1126 Н.
m = ylmim7 =2,9 кг.
Равенство моментов сил тяжести относительно оси, проходящей через точку опоры (рис. 248), приводит к уравнению mgl/S = Mg(l!2 - U5\ где I - длина стержня; отсюда М = 2т/3 = 0,8 кг.
Рис. 248Рис. 248Рис. 249Рис. 249
Рис. 248
Рис. 248
Рис. 249
Рис. 249
Рис. 251Рис. 251Рис. 250Рис. 250
Рис. 251
Рис. 251
Рис. 250
Рис. 250
Относительно оси, проходящей через край платформы, сумма
моментов сил mg и F равна нулю. Так как плечи этих сил в соответствии с
условием задачи одинаковы (рис. 249), то mg = F = 2000 Н и m = 200 кг.
Согласно третьему закону Ньютона силы реакции трубы Nv и N^
равны по модулю искомым силам давления (рис. 250). Так как сумма сил
должна быть при равновесии равна нулю, то /V^ + N^-mg = 0. Равенство моментов сил относительно оси, проходящей через точку О (можно было бы выбрать и
любую другую ось), имеет вид Nt(l - а) = mgU2. Решая полученную систему уравнений, найдем-
/V] = mgU^l — а) = 490 Н, N2 = mg(J - 2а)/2(/ -а) = 294 Н.
Если верхний конец лестницы немного отошел от стены, то относительно оси, проходящей через точку О (рис. 251), момент создают
только силы F и mg. Равенство моментов этих сил позволяет записать уравнение
Falcos ot)/2 - m#(2/sin а)/3 = О,
где / - длина лестницы; отсюда F = (mg tg а)/3.
а = arctg(l/2£).
Из равенства суммы сил вдоль вертикали следует (рис. 252), что /V = mg. Уравнение моментов сил относительно оси, проходящей через точку соприкосновения дощечек, имеет вид
mg(l sin а)/2 +/Z cos а = Nl sin а,
где / - длина дощечки; отсюда
/=(W-w^/2)tga=(Wtga)/2.
Для равновесия необходимо выполнение условия kN; следовательно, к (tg а)/2.
Равенство нулю суммы моментов сил mg и Т (рис. 253) относительно оси шарнира (точка О) приводит к уравнению
T^ll2 - b2 -mga(^ll2 — b2 Н( = 0,
где / - длина шнура; отсюда сила натяжения Т = mgall- б Н.
F = mgjh^r^h) /(г - А).
F = mg(r ] - г 2) /2/ = 5 Н.
m^ = (тх tg а)/2; равновесие устойчиво.
Рис. 252Рис. 253Рис. 254
Так как стена гладкая, то со стороны стены на шар действует только сила реакции опоры N. перпендикулярная к стене (рис. 254). Эта сила по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе давления шара на стену. Моменты сил N и mg относительно точки О равны нулю. Следовательно, сила натяжения Т нити также не создает момента относительно этой точки. Продолжение нити пройдет через
центр масс шара. Условия равновесия для составляющих сил Вдоль горизонтали и вертикали имеют вид
N - Т sin а = 0, mg - Т cos а = 0; отсюда N = mg tg а.
Из треугольника АОВ находим
tg а = г / -^(/ + г)2 - г2 , т.е. N = mgr / V/2 + 2г/ = 1,23 Н.
Сумма проекций сил на направление, перпендикулярное к дну ящика, должна быть равна нулю (рис. 255). Проекции на это направление
имеют только сила тяжести mg и сила реакции дна ящика N. Таким образом, N = mg cos а. Следовательно, сила трения
faking cos а. (1)
Равновесие шара зависит от выполнения этого неравенства. Поэтому выберем ось, относительно которой будем определять моменты сил так, чтобы момент силы трения был отличен от нуля, момент же силы натяжения Т нити обращался бы в нуль (чтобы можно было не вычислять эту силу). Этому условию удовлетворяет ось, проходящая через точку А закрепления нити перпендикулярно к плоскости рисунка. Относительно этой оси плечо силы- трения равно 2/', плечо силы тяжести I = г sin а, а плечи сил ThN равны нулю (г - радиус шара). Сумма моментов сил при равновесии равна нулю:
2//- mgr sin а = 0; отсюда/= (mg sin а)/2.
Учитывая неравенство (1), найдем, что при равновесии kmg cos а ^ ^ (mg sin а)/2; следовательно, максимальный угол а определяется из условия tg а = 2k.
Действующие на верхние концы палочек силы изображены на рис. 256: /- силы трения, N - силы реакции палочек друг на друга. Если L и / - длины большой и маленькой палочек, то уравнения моментов относительно осей А и В, проходящих через концы палочек, имеют вид
Mg(L cos а)/2 = NL, mg(l sin а)/2 = fl1,
отсюда N = (Mg cos a.)/2,f= (mg sin а)/2. Так как/ =£ kN, то минимальный коэффициент трения, при котором система будет находиться в равновесии, к = f/N = mtg aJM.
Для равновесия необходимо, чтобы равнялись нулю суммы сил, действующих на стержень, и моментов сил относительно оси, проходящей через любую неподвижную точку. Из уравнения Fx + F - F2 = 0 вытекает, что сила F параллельна силам Ft и Е2, направлена вдоль F( и равна F2-F\ = 15 Н (рис. 257).
Точку приложения силы F проще всего найти, если рассмотреть сумму моментов сил относительно оси, проходящей через эту точку. В этом случае момент силы F будет равен нулю, а моменты сил Ft и F2 должны
уравновешивать друг друга. Пусть эта точка С расположена на расстоянии л- от точки А и все силы составляют со стержнем угол а. Тогда уравнение моментов сил будет иметь вид
F\x sin а + F2(d-x) sin а = 0, или х = F2dKF2 - F\) = 2,5 м.
Результат не зависит от угла а, за исключением случая а = 0, когда сила F может быть приложена в любой точке стержня.
Сумма моментов сил тяжести относительно оси, проходящей через центр масс, должна равняться нулю. Если х - расстояние от центра масс системы С до центра масс стержня (рис. 258), то
m1^(/1/2 + <7/2 + х) + mgx - m2g(l2fl + <7/2 - х) = 0;
отсюда х = [т2(/] + d) - mx(ix + J)]/2(zn1 + т2 + т) = 0,05 м, т.е. центр масс системы лежит в точке прикрепления большего кубика.
Положение центра масс системы заранее не известно. Поэтому можно предположить, что он находится в произвольной точке С стержня, не совпадающей с центром ни одного из шаров (рис. 259). Сумма моментов сил относительно оси, проходящей через центр масс С системы, должна быть равна нулю:
mxg(2d + х) + m2g(d + х) + m3gx - m4g(d - х) = 0;
отсюда х = (т4 — т2- 2m\)dl(m\ + т2 + т3+ т4) = -5 см. Знак минус означает, что центр масс системы лежит не справа от центра третьего шара, как мы предположили, а слева на расстоянии 5 см.
Расстояние от центра масс системы до середины медной проволоки х = V3pl//2(2p1 + р2) = 16,3 м.
Для того чтобы цилиндр не опрокинулся, необходимо, чтобы момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку А (рис. 260), поворачивал цилиндр против часовой стрелки. Следовательно, вертикальная прямая, проведенная через центр масс цилиндра, должна проходить через основание цилиндра. По условию задачи сечение
Рис. 259Рис. 259Рис. 260Рис. 260
Рис. 259
Рис. 259
Рис. 260
Рис. 260
цилиндра представляет собой квадрат, поэтому искомое максимальное значение угла 0™, = 45°.
х = h^d + 2Л) = 4,5 см.
h!r = V2?3.
На рис. 261 изображены силы, создающие отличный от нуля момент относительно оси, проходящей через точку А. Плечи сил т^ и т^ равны ВС = 3(r sin а)/8 и ED = г cos а. Сумма моментов этих сил равна нулю:
З/и^г sin а)/8 - m2r cos а = 0; отсюда tg а = %nvJ3mx.
При определении положения центра масс диск с вырезом формально можно рассматривать как сплошной диск массы тх, на который наложен диск радиуса г, имеющий отрицательную массу -тъ равную по
Рис. 262Рис. 262
Рис. 262
Рис. 262
модулю массе вырезанной части. Из соображений симметрии очевидно, что центр масс диска (точка С на рис. 262) лежит на продолжении прямой О А, соединяющей центры диска и выреза. Равенство моментов сил
тяжести, действующих на положительную и отрицательную массы, относительно оси, проходящей через точку С, дает (х = ОС)
mxgx = m2g(x + RIT).
Учитывая, что тх = тс/?2о и т2 = тсг2о, где о - масса единицы площади диска, находим искомое расстояние: х = г2/?/2(/?2- г2).
Рис. 263Рис. 263Из соображений симметрии очевидно, что в вершинах, соответствующих равным углам, на плиту со стороны несущих ее людей
Рис. 263
Рис. 263
У////////////////////////^
ddООааmgmgР2
d
d
О
О
а
а
mg
mg
Рис. 264
действуют одинаковые силы, т.е. N2 = N3. Центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан (точка С на рис. 263). Равенство нулю суммы моментов сил относительно оси ОО’, проходящей через центр масс плиты параллельно основанию BD, дает
N2h/3 + N3h/3 - 2^1Л/3 = 0.
Здесь учтено, что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, совпадает с медианой, а точка пересечения медиан отстоит от основания треугольника на 1/3 длины медианы.
Из этого уравнения следует, что У, = N2 = ^3. Так как при равновесии сумма сил, действующих на плиту, равна нулю, то У, + + /V2 + N3 - mg = 0, т.е.
/V, = N2 = N3 = mg/3 = ahd^g/6 = 176,4 H.
Согласно третьему закону Ньютона силы Nx, N2 и N3 равны по модулю искомым силам.
., а т2 - т, „
I = ——1« 17,3 см.
2-V3 т2
Стержень остается в горизонтальном положении, если удлинения пружин одинаковы. В этом случае на стержень со стороны пружин будут действовать силы Fx = кхх иР2 = к2х, где х - удлинение пружины (рис. 264). Точка О прикрепления груза определяется равенством моментов сил Fx и F2 относительно оси, проходящей через эту точку: Fxa = F2(d - а), где а - расстояние от точки О до пружины с жесткостью кх; отсюда искомое расстояние а = dk2/(kx + £2) = 0,6 м.
А/ = Зт^//2л/2£ = 0,38 мм.
Действующие на точку D силы изображены на рис. 265: mg — сила тяжести, действующая на груз, N - силы реакции стержней друг на друга, сжимающие стержни. Из соображений симметрии очевидно, что стержни AD и BD сжаты одинаково. Спроецировав силы на направление высоты DE пирамиды ABCD и приравняв нулю сумму проекций сил, получим уравнение Т cos а - 2/V cos а = 0, где а - угол между любым из ребер
Рис. 265Рис. 266Рис. 265Рис. 266
Рис. 265Рис. 266
Рис. 265Рис. 266
пирамиды и ее высотой DE (равенство углов между ребрами пирамиды и высотой DE вытекает из равенства прямоугольных треугольников CDE, ADE и BDE\
Теперь найдем проекции всех сил на вертикальную плоскость, перпендикулярную к высоте DE (рис. 266). Имеем Т„ = Т sin а, /V,, = = N sin а, где sin а = СЕН. Угол 0, равный углу AEF, определяется соотношением cos 0 = (h - CE^jAE = (/г - СЕУСЕ. Сумма проекций всех сил на вертикаль СЕ равна нулю.
mg - Т sin а - 2^ sin а cos 0 = 0.
Учитывая, что Т = 2/V, и подставляя выражения для углов а и 0, получим Т = Img/h, N = lmg/2h.
§ 7. Закон сохранения энергии
/2 = 4/] = 60 см.
F = m{v2 - Ц)) / 2d = -25 кН; знак минус указывает на то, что сила F направлена против скорости пули.
и = ^^о + и)2 -2Fdl m - и.
з = т^и2/2(т\ + т^)2 kg = 50 м.
Работа силы F равна приращению кинетической энергии: Fx = К, где х - расстояние, пройденное телом за время t. Так как ускорение тела а = F!m постоянно, то х = Ft2! 2т. Следовательно, А-= №)2/w = 0,05 Дж.
F = mu2 / 2s = 960 кН; сила торможения должна увеличиться в два раза.
А = (т + М)ти2/2М=3%,4 Дж.
W = гт/Ч 41 = 160 кВт.
В 4 раза.
W = 4s2m/t3 = 200 кВт.
F = цИ7/^ 32 кН.
а = Wlmgv -к~ 0,007 рад.
V, = W/p^/zp = 103 м3/с.
W = mghlr{t = 20 кВт.
а = arcsin (W/mgu) = 17°.
W = (mgl sina) /т\1 = 3,46 кВт.
и V4?/ = 1,98 м/с.
Рис. 267Рис. 267Потенциальная энергия шарика, отклоненного на угол а, U = mgh, где h = DC (рис. 267). Очевидно, что DC = BD - ВС = = /(1 - cosa) = I ■ 2sin2 (а/2). Следовательно, U = 2mgl sin2 (а/2). Максимальную скорость маятник будет иметь в положении D, когда вся потенциальная энергия его превратится в кинетическую: 2mgl sin2 (a/2) = = mu2 (2', отсюда скорость v= 2'TgTsin (a/2).
Рис. 267
Рис. 267
u = y[^2gh.
К = mg2t42s(n2 a = 58 Дж.
К = mg2t2/4 = 480 Дж.
К = mg2t2 /2 =1,2 кДж.
A = muy/2 - mu2/2 = 4987,5 Дж.
p = mg2t2 Ч^сЧ» 61 кПа.
h = iz2/4^ = 61,25 m.
К = HF - mg) = 98 Дж.
F = m[u2 + 2g(H + /г)] / 2h = 26,9 кН.
Если принять за нулевой уровень потенциаль
ную энергию груза на уровне головки сваи, то его энергия в момент удара будет равна полной энергии груза в тот момент, когда груз был отпущен:
(1)(1)Е = ти^/2 = mgH + ти2/2 = 22,5 кДж,
(1)
(1)
где и! - скорость груза непосредственно перед ударом.
Ввиду кратковременности удара сила сопротивления грунта не может за время удара заметно изменить импульс системы. Так как удар неупругий,то
(2)(2)ти у = (т + М)и2,
(2)
(2)
где и2 - скорость груза и сваи после удара. Разность конечной энергии груза и сваи (потенциальной энергии на глубине h) и их начальной
энергии (кинетической энергии сразу после удара) равна работе силы сопротивления грунта:
(m + M)gh - (т + М)щ/2 = Fh.(3)
Из соотношений (1)-(3) найдем
h = m2(2^// + u2)/2^(m + M)(mg + Mg - F) = -0,6 m.
Здесь F > mg + Mg. В противном случае (F < mg + Mg-) свая безостановочно погружалась бы в грунт, даже если бы груз был помещен на нее без всякого удара, а при F > Mg погружение сваи происходило бы и в отсутствие груза.
Время между двумя последовательными ударами будет не меньше
t = H!v + v/g + л/ 2gH + и2 /g.
Частота ударов не должна превышать
п = 60vg/(Hg + и 2 + и 2gH + и2 ) = 13 мин1.
А = mgh + mv\l2 - тщ!2 ~ 81 МДж.
а « 60°.
h = (ио sin а)212g + т 2и2 (2М2- g.
К = U = mg2 Г2 /8 = 5 Дж.
и = 4V2W3 = 16,2 м/с.‘
h = и2/2#(1 + k ctg а).
j = h(l - к ctg а)/к. При к > tg а санки останутся на месте.
и3-иг = mgl; U3-Ux = mgl/2; U3-Ux= 3mgU2.
А-S pgh2 / 2 = 1,96 МДж.
Пусть потенциальная энергия цепочки, лежащей на столе, равна нулю. Тогда в момент, когда будет свешиваться часть цепочки, имеющая длину х, ее потенциальная энергия будет равна произведению силы тяжести mgxH, действующей на свешивающуюся часть, и расстояния - хГ2 (цепочка однородна, и центр масс свешивающейся части находится на расстоянии х!2 ниже края стола). Здесь т - масса цепочки. На основании закона сохранения энергии имеем (пренебрегая потенциальной энергией части цепочки, свешивающейся в начальный момент)
mu2/2 - mgx2 /21 = 0; отсюда v = xx] g/l.
Центр масс воды в колодце находится на расстоянии Зк/4 от поверхности земли. Поэтому на подъем воды из колодца затрачивается работа
л 3h ph3h 3pgSh2-
А, = mg — = pgS= —,
15 4 P 2 48
где p - плотность воды. Кроме того, насос сообщает воде некоторую кинетическую энергию, так как из трубы вода вытекает с определенной
скоростью и, которую можно найти из соотношения Sh/2 = л/?2 ut. Дополнительная работа
А2 = mu2/2 = pS3h3/16u3R4t3.
Полная работа
•А = 3 pgSh3 / 8 + pS3h3 / 16л2/?4?2.
К = m3v3 / 2(т + MV 1,8 мДж.
Согласно закону сохранения импульса mv0 = mv + Ми, где и и и - скорости пули и шара в первый момент после пробивания шара пулей. Закон сохранения энергии дает два уравнения:
mgh = mv3 ] 2, MgH = Ми3/ 2.
Исключая из этих уравнений и и и, найдем
h = (лш0 - М у/ 2gHy / 2m3g.
К = mv 2 /10 = 0,2 Дж.
U = kmgM.
На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
mxvx + m2v2 = mxvx + т2 v2 ,
mxvx / 2 + m2v^ / 2 = mxv'^ / 2 + m2v'2/ 2,
где v\ и ^2 — скорости шаров после соударения. Для решения этой системы уравнений удобно в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить величины, относящиеся к первому шару, а по другую - ко второму, после чего разделить второе уравнение на первое. В результате получится уравнение первой степени: и,+ vx = v2 + v2. Решая это уравнение совместно с первым, получим
(тх — m2)vx+2m2v2(т2 - mx)v 2+2mxv х
и'х =, и2 =.
тх + т2тх + т2
t = 21/и.
На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
mu = Mv, mgh = ти3 /2 + Ми3/2,
где и и и- скорости бруска и клина после того, как брусок соскользнет на горизонтальную плоскость. Решение этих уравнений дает
и = nt\i 2gh/{m + М)М.
При абсолютно упругом соударении двух одинаковых шаров происходит обмен скоростями. Движущийся шар останавливается, а покоящийся приобретает его скорость. Это непосредственно вытекает из
выражений для скоростей шаров задаче 242:выражений для скоростей шаров задаче 242:после соударения, полученных впосле соударения, полученных в
выражений для скоростей шаров задаче 242:
выражений для скоростей шаров задаче 242:
после соударения, полученных в
после соударения, полученных в
(тх - т2) и । + 2т2и2(т2 - т])и2 + 2тх и ]
И, =-, 1^2 =~
тх + т2тх + т2
При тх = т2 и и2 = 0 будем иметь их = 0,аи2 =их. Поэтому после ряда последовательных соударений все шары будут покоиться, кроме последнего шара, который приобретет скорость и = 10 м/с.
Шар А получит скорость и = -и 0/5, а шары В и С - скорости и = 2V3no/5.
В момент соударения на маленькие шары действуют силы, направленные вдоль прямых, соединяющих их центры с /^L^- центром большого шара. Поэтому после соударения (ui их движение происходит по этим прямым. Ввиду
( ^симметрии их скорости одинаковы по модулю и
Х^^/Ч—Т^У1 составляют с направлением движения большого шара
С одинаковые углы а (рис. 268). Большой же шар Рис 268 сохраняет свое направление движения.
Запишем закон сохранения импульса для проекций на направление движения большого шара и закон сохранения энергии:
' Мии = Mv + 2ти cos а,(1)
Muq _ Ми2 2ти22 ” 2 + 2 ’
где М и т - массы большого и маленького шаров, а и и и - их скорости после соударения. Преобразуем выражения (1) к виду
М(ии - и) = 2ти cos а, М(цх -и2) = 2ти2.(2)
Возведем первое из уравнений (2) в квадрат и поделим на второе:
М(и0 - и) / (п0 + и) = 2т cos2 а.(3)
При делении отброшен случай и = 1/0, когда скорость большого шара не изменяется, т.е. соударения не происходит. Из уравнения (3) имеем
и = и0^М - 2т cos2 а) / (Л/ + 2т cos2 а).
Рассматривая треугольник ВАС, получим cos2 а = 8/9. Учитывая также, что М = 8т, находим окончательно и = 7vq/1 1.
После соударения второй шар со скоростью и будет двигаться по прямой, соединяющей центры шаров в момент соударения (см. задачу 247), а первый - со скоростью и под углом а к ней (рис. 269). Запишем закон сохранения импульса для проекций на направления, параллельное
этой прямой и перпендикулярноеэтой прямой и перпендикулярноек ней, а также закон сохраненияк ней, а также закон сохраненияэнергии:
этой прямой и перпендикулярное
этой прямой и перпендикулярное
к ней, а также закон сохранения
к ней, а также закон сохранения
тио cos OQ) = mu cos a + mu, mu0 sin Oq = mu sin a,(1)
mu^/2 = mu2-/2 + mu2 / 2,(2)
где m - масса каждого шара. Сократим уравнения (1) на т, возведем каждое из них в квадрат и сложим:
uq = и2 + 2ии cos a + и2. (3)
Рис. 269Рис. 269Сократив (2) на т/2 и вычтя полученное
Рис. 269
Рис. 269
выражение из (3), получим 2ии cos a = 0;
отсюда имеем cos a = 0, т.е. a = л/2.
Пусть скорость второго шара до удара и t > 0. Тогда скорость второго шара до удара и2 < 0. Учитывая знаки и х и и2, найдем из формул, полученных в задаче 242, скорости первого и второго шаров после удара:
(т)-m2)U] +2т2и2(т2 - тх)и 2 + 2тхи ।
и; = , и2 =
тх + т2тх + т2
Так как тх > т2, то и2 > 0 в любом случае. Для выполнения требования Ui >0 необходимо,чтобы
(тх - т2)и । > 2т2иг, или тх) тг - Y> 2и2/их.
(1)(1)С другой стороны, согласно условию задачи
(1)
(1)
Следовательно,
т2т22ку т2 ’2ку т2 ’[тГ 1 ± V^2 +1отсюда —- >.
т2
т2
2
ку т2 ’
2
ку т2 ’
У т2 к
Так как после учета знаков скоростей везде подразумеваются их модули, то из (1) следует, что 'sj тх/т2 > 0. Поэтому решение неравенства со знаком минус следует отбросить. Таким образом,
(2)(2)(3)(3)И 2/^1 > (1 + V^2 + 1 )/&2.
(2)
(2)
(3)
(3)
Учитывая, что тх > т2, из формулы (1) имеем u2Jux > Y/k.
Из неравенств (2) и (3) следует взять неравенство (2), как более сильное (числитель в правой его части больше к, и, следовательно, правая часть больше Y/k\ При к = 4/3 получим и2/их > 3/2.
h = 4/m, / (пц + m2)2 = 12,5 cm.
2
Шарики соударяются на высоте h = 3v()/8#; первый шарик подни-
2
мается на высоту Н = Ц)/2#.
Полная энергия в первый момент после взрыва
22
Е = (пц + m2)gh + т^щ^ + m2v20/2,
где Що и и20 - скорости осколков в этот момент. Так как взрыв протекал очень быстро, то импульсом силы тяжести за время взрыва можно пренебречь и для нахождения соотношения между скоростями осколков в первый момент после взрыва можно применить закон сохранения импульса: Ш] и)() + яг2ы20 = 0. Решая систему этих двух уравнений, найдем
уут2 Е - (тх + m2 )gh тх тх + ы2т2 Е - (тх + m2 )gh тх тх + ы2тх Е-{тх+тг^к т2 тх + пг2тх Е-{тх+тг^к т2 тх + пг2
у
у
т2 Е - (тх + m2 )gh тх тх + ы2
т2 Е - (тх + m2 )gh тх тх + ы2
тх Е-{тх+тг^к т2 тх + пг2
тх Е-{тх+тг^к т2 тх + пг2
Искомые скорости осколков будут
v । = и ц) - gt = -164 м/с, v2 = и io - gt» 245 м/с.
§ 8. Динамика вращательного движения
~ о M^Zgl-mv
а = 2 arccos —*.
2(М + т)^
п>— Р «0,16 об/с.
2л Ч R
t = —= 1 мин.
аН R '
к - и2/Rg~ 0,2.
А = 2л2/?2т(п2 - щ) = 15,8 Дж.
F/mg = ®2D/2g = 40.
В вершине петли на пилота действуют сила тяжести mg и сила реакции N со стороны кресла, направленная вниз (рис. 270а), или со стороны ремней, направленная вверх (рис. 2706'). Эти силы сообщают необходимое для вращения центростремительное ускорение. Следовательно, в общем случае
ти2/R = mg + N.
При достаточно большой скорости самолета ти2/R > mg и N > 0, т.е. N направлена в ту же сторону, что и сила тяжести, и, следовательно, пилот будет прижат к креслу (рис. 270а). При mu2 /R = mg пилот перестает давить на кресло. Наконец, при настолько малой скорости, что mu2 [R < mg, сила N < 0. В этом случае пилот повисает на ремнях и сила N
будет направлена вверх (рис. 2706). Таким образом, минимальная скорость определяется неравенством v2 / R s g; отсюда и ^ -xTgR » 180 км/ч.
т < 2K\H/g = 3,14 с.
F = (2кпУ (ЦтА - /2w2).
Силы, действующие на автомобиль вдоль радиуса моста, изображены на рис. 271: mg - сила тяжести, N - сила реакции моста. По третьему закону Ньютона искомая сила давления F равна по модулю силе реакции
Рис. 270Рис. 270
Рис. 270
Рис. 270
моста N. Согласно второму закону Ньютона центростремительное ускорение автомобиля определяется суммой сил, действующих на него вдоль радиуса окружности, по которой он движется:
mv2 (R = mg -N;
отсюда F = N = mg - mu2/R = 7,8 кН.
2
Сила давления на мост станет равной нулю при mvm„IR = mg. Следовательно, vmin = ^TgR ~ 80 км/ч. При скорости, превышающей vmin, автомобиль не будет оказывать давление на мост.
Рис. 271Рис. 271
Рис. 271
Рис. 271
В отличие от задачи 262, здесь к центру окружности, по которой происходит движение автомобиля, направлена сила реакции моста N, а не сила тяжести mg (рис. 272). Согласно второму закону Ньютона mu2 /R = N - mg. Искомая сила
F = N = mg + mv2/R = 21,6 кН. .
Вдоль радиуса моста на автомобиль действуют сила реакции моста N и проекция силы тяжести mg cos а (рис. 273). Согласно второму закону Ньютона искомая сила
F = N = mg cosa-mu2/R.
Она достигнет максимума при а = 0.
Максимальная сила давления на мост будет в верхней точке моста (см. задачу 264). Минимально допустимую скорость и можно найти из
Рис. 275Рис. 275
Рис. 275
Рис. 275
выражения mg -F = mu2!R, где т - масса грузовика. Следовательно, должно выполняться неравенство и 5= ^ R^mg - F)lm. Радиус кривизны моста определяется из треугольника АСО (рис. 274). По теореме Пифагора R2 = £?/4 + (7? - /i)2; отсюда радиус кривизны R = (4/i2 + cP^I%h. С учетом этого получим, что и > 40,6 км/ч.
Искомую скорость можно найти с помощью закона сохранения энергии. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять горизонтальную плоскость, проходящую через точку О, то начальная энергия грузов будет равна нулю. Поэтому будет равна нулю и полная конечная энергия грузов в тот момент, когда стержень займет вертикальное положение. Обозначив через т массу каждого из малых грузов, будем иметь
mi? т(2и? 2ти2 I , . I _
-у ++ —mg--mgU2mg- = 0
(здесь учтено, что скорость малого груза на конце стержня вдвое больше скорости среднего груза); отсюда и = Jgl /7.
Действующие на систему человек—трапеция силы изображены на рис. 275. Так как в нижней точке траектории человек имеет ускорение и2Ц, направленное вверх, то согласно второму закону Ньютона
22
^=TT-mg; отсюда Т = ^ + ^ ~ 500Н.
I2/2
Максимальную силу натяжения нить имеет в момент, когда шарик проходит через положение равновесия. Именно в этой точке скорость шарика максимальна, а сила натяжения направлена против силы тяжести (рис. 276). По второму закону Ньютона mv2U = Т- mg, где I — длина нити, а Т-ее сила натяжения. Скорость и шарика найдем из закона сохранения энергии: my2/2 = mgl. Исключая из этих двух уравнений и, имеем Т = 3mg.
Рис. 277Рис. 277
Рис. 277
Рис. 277
’ mgРис. 278силы натяже-’ mgРис. 278силы натяже-
’ mg
Рис. 278
силы натяже-
’ mg
Рис. 278
силы натяже-
Уравнения движения для грузика в верхней и нижней точках траектории запишутся в виде (рис. 277)
mto2l = mg + Тх, mto2l = Т2- mg,
где со = 2лп - угловая скорость вращения; отсюда Тх = mto2! - mg = 31,35 Н, Т2 = mto2l + mg = 31,75 Н.
а) Т2 - Тх = 3m g', б)Т2-Тх = 6mg; здесь Тх и Т2 - силы натяжения штанги при положении тела вверху и внизу.
Второй закон Ньютона в момент, когда шарик проходит положение равновесия, можно записать в виде mv2H = T -mg (рис. 278). Скорость шарика в нижней точке траектории можно найти из закона сохранения энергии: mu2J3 = mgl(l - cos а). Нить оборвется, если Т > 3mg. Следовательно, cos а < 1/2, т.е. а > 60°.
cos а = 1 - (/ - а)(Т - mg^lmgl.
mxJm2 = 3, так как ось должна проходить через центр масс системы.
со = ^g/(R-h).
Груз массы тх должен находиться на расстоянии х2 = т21/(тх + т2") от оси вращения; Т = тхт2кй2/(тх + т2\
Мальчик движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = I sin а, где а - угол между канатом и вертикалью (рис. 279). Центростремительной силой, действующей на мальчика, является проекция F = Т sin а
ния Т каната на направление радиуса (проекция силы тяжести, действую-
щей на мальчика, на это направление равна нулю). Учитывая, это угловая скорость мальчика со = 2л«, запишем второй закон Ньютона для движения по окружности:
mti?R = F, или 4я2и2т/ sin а = Т sin а;
отсюда Т = 4к2п2т1 = 355 Н.
ТП. Центростремительной силой, действующей на камень, является проекция F = Т sin а силы натяжения веревки Т на направление радиуса
(рис. 279), где а-угол, который веревка составляет с вертикалью. Второй закон Ньютона для движения камня по окружности радиуса R будет иметь вид
(1)(1)mro^R = Т sin а,
(1)
(1)
где со = 2л/т - угловая скорость камня, а oz-cro масса. Так как в вертикальном направлении ускорения у камня нет, то проекции на вертикаль сил, действующих на него, равны по модулю и противоположны по знаку, т.е.
(2)(2)Тcos а = mg.
(2)
(2)
Разделив (1) и (2), получим tg а = ct?R/g. Учитывая, что R = h tg а и, следовательно, a^h/g = 1, получим со = ^[g7h и т = 2nx[hTg = 2,25 с.
Т = mg-js (см. задачи 276 и 277).
На шарик действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т нити (рис. 280). Движение его относительно Земли складывается из движения по вертикали вместе с лифтом и обращения вокруг оси АО. Запишем второй закон Ньютона для проекций на вертикальное направление и на направление радиуса ОВ окружности, описываемой шариком:
ma = mg-T cos a, mm2l sin а = Т sin а,
Рис. 281Рис. 281где со — угловая скорость шарика, т — его масса. Исключая из этих уравнений Т, получим со2/ = (g - a)/cos а; отсюда
Рис. 281
Рис. 281
т = 2л / 0) = 2n7/cosa/(^-a).
/ (2nnfml-F
/п ==g.
(2uny(mg - Feos а)
Силы, действующие на шар, изображены на рис. 281: Т - сила натяжения нити, mg - сила тяжести (центр окружности, по которой движется вагон, справа от вагона). Центростремительной силой для шара является проекция силы натяжения Т на направление радиуса (проекция силы тяжести на это направление равна нулю). Второй закон Ньютона
для движения по окружности в этом случае
можно записать в виде mv^/R = Т sin а. В вертикальном направлении ускорения у шара нет; поэтому проекции на вертикаль сил, действующих
на шар, равны по модулю и противоположны по направлению, т.с. mg = Т cos а. Разделив первое уравнение на второе, получим
и" / Rg = tgа, откуда и = ^Rgtga ==112 км/ч.
Сила натяжения нити Т = mg/cos а ~ 137 Н.
Пока тело не покинуло поверхность полусферы, на него, кроме силы тяжести mg, действует еще сила реакции опоры N (рис. 282). Второй закон Ньютона для движения по полусфере имеет вид
mu^jR = mg cos a-N,
т.е. произведение массы тела на центростремительное ускорение равно сумме проекций на радиус полусферы сил, действующих на тело (угол а
определяет положение тела на полусфере).
Рис. 282Рис. 282В момент, когда сила реакции опоры N делается равной нулю, тело отрывается от полусферы. Соответствующий угол а находим из уравнения m и ^/R = mg cos а. Используя закон сохранения энергии, можно записать mgR = тиг!2 + mgR cos а.
Рис. 282
Рис. 282
Следовательно, 2(1 - cos а) = cos а; отсюда cos а = 2/3. Искомая высота h = R cos а = 2/?/3.
Согласно третьему закону Ньютона сила давления F колечка на большое кольцо равна по модулю силе реакции N со стороны большого кольца: F = N = mg(\ - ЗА//?). При 1г < /?/3 сила давления колечка направлена к центру большого кольца, а при h > /?/3 - от центра.
Рис. 283Рис. 283Тело отрывается от поверхности петли в точке В (рис. 283), когда сила реакции со стороны поверхности петли становится равной нулю и центростремительной силой является проекция mg cos а силы тяжести mg на радиус. Следовательно, как и в задаче 282, здесь должны выполняться второй закон Ньютона и закон сохранения энергии:
Рис. 283
Рис. 283
ти 2/R = mg cos ос, mgH(} = mu 2/2 + mgh.
Учитывая, что h = /?(1 + cos ос), из этих уравнений находим, что cos а = 2/3, т.е. h = 5RI3.
Чтобы тело не оторвалось от петли в ее верхней точке, когда а = 0 и h = 2/?. исходные уравнения должны иметь вид
ти 2/R = mg, mgH = mu 2/2 + 2mgR.
Из этих уравнений получим Н = 5/?/2.
Рис. 284Рис. 284На велосипедиста и велосипед действуют: сила тяжести mg, сила реакции поверхности земли N и сила трения /(рис. 284) Так как центр масс не перемещается по вертикали, то N - mg = 0. Необходимое для
Рис. 284
Рис. 284
Рис. 285
движения по окружности центростремительное ускорение сообщается силой трения: mu2/R =/. Массу системы велосипедист-велосипед будем считать сосредоточенной в центре масс. Тогда направление результирующей силы N +f совпадает с направлением вдоль велосипеда к центру масс системы велосипедист-велосипед. Поэтому /= N ctg а = mg ctg а. Подставляя это значение/в уравнение движения, найдем и = ^gRctga.
Силы, действующие на велосипед с велосипедистом, изображены на рис. 285. Так как можно считать, что момент сил относительно центра масс велосипеда с велосипедистом равен нулю, то сила трения отсутствует. Равенство нулю суммы проекций сил на вертикальное направление дает уравнение N cos а = mg, откуда N = mg/cos а. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой велосипед будет давить на дорогу. .
Центростремительное ускорение сообщается проекцией силы реакции полотна дороги /V на горизонтальное направление:
mu2 / R = ^sina = mgtga; отсюда и = Rg tga.
a = arctg (jRg!u2Y
§ 9. Закон всемирного тяготения
F = 2 • 1020 Н.
Человек прыгает на Луне в 6 раз выше и дальше, чем на Земле.
и = ^R^g/б = 1,7 км/с.
На mg/4.
/ А2
292-5л=5—= 1,65 м/с2.
тз у^л )
gc = gR^ Рс/^зРз = 270 м/с2.
Л = mu 2/2 = mgR/2 = 16 ГДж.
Т = л/2л2г3/ут = 1,57 • 106 с.
р = Зп^у/Ллу/?3 = 0,5 • 103 кг/м3.
( h У?
Г = 2л —™+ 1 ^• Учитывая, что g ~ ym3/R3, и пре-
У У^з V R3)
небрегая квадратом и кубом отношения h/R3, найдем Т ~ ” 2^R3/g + 3h/g.
Т = 4ti^2R3 / g”=3 ч 58 мин.
rc = ^igR3T2 /4к2«« 42 400 км.
Т = 2лУ^ I gR3 = 27 сут.
'mg
77///////W277777/
Рис. 286Рис. 286На тело, подвешенное к динамометру, действуют сила тяжести mg и сила натяжения Г пружины динамометра (рис. 286). Обе силы направлены вдоль радиуса планеты. На экваторе тело движется по окружности со скоростью и = 2л/?/т, где R - радиус планеты. Разность сил mg — Т сообщает телу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона
Рис. 286
Рис. 286
mu 2/R = 4л2т/?/т2 = mg - Т.
По условию задачи Т = 0,9mg. Сила тяжести у поверхности планеты mg = m^M/R2, где М - ее масса.
Искомую плотность р =Искомую плотность р =м4л/?3 /3м4л/?3 /3можно найти, подставив в уравнениеможно найти, подставив в уравнение
Искомую плотность р =
Искомую плотность р =
м
4л/?3 /3
м
4л/?3 /3
можно найти, подставив в уравнение
можно найти, подставив в уравнение
движения выражения для сил mg и Г: р = Зл/О,1ут2 = 3,03 • 103 кг/м3.
§ 10. Гидро- и аэромеханика
Не изменится.
р = ро£(4У/л£>2 - А) = 1,2 кПа.
h=R.
Давление (в мм рт. ст.) вычисляют по формуле р= р^- Ро//р, где р = 13,6 • 103 кг/м3 - плотность ртути, а / выражено в миллиметрах. Искомое давление р = 752,6 мм рт. ст.
Давление в любой точке сосуда с жидкостью согласно закону Паскаля зависит только от высоты. На границе раздела масла с водой у открытого конца сосуда давление воды будет ргр = pti + Ро^//. С другой стороны разность давлений масла внутри сосуда между точкой А и границей раздела масла с водой определяется высотой столба масла: Ргр - р = pgh; отсюда р = р0 + #(Р(// - р/г) = 120,6 кПа.
/г0 = рй/ро = 18 см.
/г = 2ро//(3р - ро).
h = (т + po^^pS.
F=fh/H = 10 кН.
Sis = mghn/A = 490.
Искомое давление р = ро^/г) + pgh2, где 1ц и /г2 - высоты столбов
воды и ртути (рис. 287). Согласно условию задачи Н = h\ + h2 и Po/ijS = ph2S, где 5 - площадь поперечного сечения сосуда. Решив полученную систему уравнений, найдем р = 2р0р^///(р0 + р) = 26,1 кПа.
т = рорМДро - р) = 3,6 кг.
V] (р2- PoWCPo- pi) = 1,7 м3.
h = —-—— = -2,5 см (уровень понизится).
5 РРо
p = (p2-pi)(/?/r)3 + p1.
т = (pg - р) • л£>2//4 = 74 кг.
Р = Р„(1 + р„/р) = 1472,205 Н.
р = риРв КРВ - Ро) - 2,5 • 103 кг/м3.
рж =5*2Ро. = 0 7.10з кг/мз = fPo = 9.10з кг/мз
Р-РоР-Ро
Т = #5[р/ - р0(/ - //4)] = 440 Н.
. 322. V = [Рб(р - ро) - Р0(Р " Рб)]/8Р(Ро - Ро) = Ю см3.
т = mM(l - р/рм) + Vp ~ 881,08 г.
тх = 296 г; т2 = 1204 г.
Сохранится.
р = 2р(Д 1 - к/Т) = 0,36 • 103 кг/м3.
= 1 + ^—(2р-р0) = 1,58.
Ц Зт
Равенство моментов сил, изображенных на рис. 288, относительно оси рычага (точки О) позволяет записать уравнение Mglx - Flx = mgl2, где
Мg = pgi3 и F = р0#2/3/3 - сила тяжести и выталкивающая сила, действующие на куб, mg - сила тяжести, действующая на гирю, р - плотность вещества куба. Так как свободно плавающий куб погружен в воду на 3/4 своего объема, то р = Зро/4. Подставив выражения для сил mg и F и плотности р в исходное уравнение, получим / = ^4/л/2 / рд^ = 4 см.
После того как коробочку опустили в сосуд, объем содержимого сосуда, находящегося ниже уровня воды, включая теперь и подводную часть коробочки, увеличился на величину SI, где S - площадь поперечного сечения сосуда. Но так как объем воды в сосуде не изменился, то увеличение объема, как раз равно объему подводной части коробочки, т.е. объему вытесненной ею воды.
Объем коробочки V можно найти из равенства силы тяжести и выталкивающей силы, действующих на коробочку: Vp# = Slp^g. Если бы коробочка сразу утонула, то уровень воды в сосуде поднялся бы на величину х, которую можно найти из равенства Sx = V = p0S//p. При потоплении коробочки уровень воды опустится на величину I — х = = /(1 - ро/р) = 1,74 см.
После того как на первый куб положен второй, первый куб погружается в ртуть еще на 0,3 части своего объема. Следовательно, плотность материала второго куба рк = О,3р = 4,08 • 103 кг/м3. Равновесие будет неустойчивым, так как при отклонении кубов от положения равновесия возникает момент сил, еще больше наклоняющий систему (рис. 289, где Mg - сила тяжести, действующая на систему кубов,
F - выталкивающая сила, точка приложения которой при нарушении равновесия смещена относительно оси ОО).
На куб вдоль вертикали действуют три силы (рис. 290): сила тяжести Mg = pgl3, сила давления на верхнюю грань F\ = pi g(h -x)l2 и сила давления на нижнюю грань Рг = [р^й + рг^(/ ~^)]/2- При равновесии F} + pgl3 - F2 = 0; отсюда р/-pjx = р2/- р2х. В верхней жидкости находится часть куба, имеющая объем V,. = / 2х. Следовательно, в верхней жидкости находится часть объема, равная V (I3 = х[1. Как вытекает из полученого уравнения, x/l = (р2 - р)/(р2 - рД.
Погруженная в ртуть часть объема куба равна 1 - Зр/4(р - р0) = = 0,19.
/= p0V# = 9,8 мН.
а = g/2 = 4,9 М/с2.
Ч = P£zPl1£±11 Ч = 1V,.
‘ (p-pr)(a + g)3
А = g(p - po)AV == 73,5 кДж.
Д[/ = mgh(p1/p2 - 1) = -0,49 Дж (потенциальная энергия уменьшилась).'
Д1/ = (Лб/р0 - m)gh = 265 Дж (потенциальная энергия увеличилась).
И = (ро - р)Н/р = 9 см.
На малый элемент воды Дт у поверхности действуют сила реакции Д^ со стороны дна сосуда, перпендикулярная к поверхности, и сила тяжести Amg (рис. 291). Сумма этих сил должна быть горизонтальна, так как элемент вместе с сосудом движется, имея горизонтальное ускорение а. По второму закону Ньютона Ата - Amg tg а; отсюда tg а = a/g.
h=V3 /2gS2 = 5м.
Импульс FAt силы, действующей на стенку, равен по модулю изменению импульса струи воды за время At, так как по третьему закону Ньютона силы взаимодействия стенки и струи равны. За время At через сечение трубки протечет масса воды т = p0Su At. Согласно условию задачи конечная скорость воды в горизонтальном направлении равна нулю. Поэтому за время At импульс струи воды изменится на Ap = mu = p^Si/At. Следовательно, F = pgSn2 = 40 Н.
Удобнее решать задачу, считая катер неподвижным, а воду - движущейся относительно него со скоростью и. Тогда вода в трубке поднимется вверх, приобретая некоторый запас потенциальной энергии за счет кинетической энергии жидкости, поступающей в нижний конец трубки. Закон сохранения энергии для единицы объема жидкости будет иметь вид Р(>1//2 = Ро^Л; отсюда h = i//2# = 1,3 м.
и ~ s}2gh " 4,4 м/с (см. задачу 343).
F = 2pghS = 2pS, где р - давление у дна. Вода действует на стенку с отверстием с силой на 2pS меньшей, чем на противоположную стенку, а
u&tu&tРис. 292Рис. 292не на pS, как могло бы показаться на первый взгляд. Это связано с уменьшением давления на стенку с отверстием вследствие большей скорости течения воды у этой стенки.
u&t
u&t
Рис. 292
Рис. 292
Пусть за время Аг поршень перемещается на расстояние uAt (рис. 292), где и - скорость поршня. Тогда сила F
совершит за это время работу А = FuM. За время Аг вытекает масса жидкости т = pSuAf. Поэтому изменение кинетической энергии жидкости равно pS«Ar(v2/2 - и2/2). Это изменение произошло за счет работы внешней силы F. Следовательно,
pSuAt(u2/2 - и2/2) = FuAt.
Скорость истечения жидкости и связана со скоростью поршня и соотношением Su = su. Исключая из двух последних уравнений и, найдем
2F
U = 5=-.
^spa-V/sb
Если, как обычно, 5 S, то и «F2F / Sp.
§ 11. Колебания и волны
/, = ——у = 9 см; /2 = ——^ = 25 см. ^1 — ^2^1 — ^2
T^it^TTg.
T=^4T7g(\ + ^2/2\
5 раз.
Возрастает в 1,0000093 раза.
Увеличится примерно в 2,4 раза (см. задачу 292).
На поверхности Земли маятник длины / за время t совершит п = t/T0 колебаний, причем То = 2n^pJg0, где g^ - ускорение свободного
падения у поверхности Земли. На высоте h над Землей часы отстанут на время Д/ = п(Т- То), где Т = 2кф/g - период колебаний маятника на высоте h, a g - ускорение свободного падения на этой высоте. Используя формулу mg = mgoKX + h^lR^, связывающую силу тяжести mg на высоте h с силой тяжести mg0 у поверхности Земли, найдем g/g0 = R3 /(R3 + /г)2, где R3 - радиус Земли. Отношение периодов То/Т = ^gl gQ = R3 l(R3 + /г); отсюда Т = T0(R3 + h)/R3, Т -То = T^h/R. Таким образом, за время / часы отстанут на время Д/ = T^nh/R^ = th/R3. При / = 1 сут = 86 400 с отставание составит Д/ = 2,7 с.
U = т#2(1 - cos a)/4n2v2 ~ 2,9 мДж.
По отношению к стенкам лифта, движущегося с ускорением а, тела, неподвижные относительно Земли, будут иметь ускорение, направленное против ускорения лифта. Это эквивалентно изменению ускорения свободного падения. Оно, можно сказать, будет равно не g, а g + а в зависимости от направления ускорения лифта. Именно так можно истолковать результаты, полученные при решении задач 95, 96, 98-100. Таким образом, в лифте, движущемся с ускорением а, маятник длины / имеет период колебаний Т = 211^1 /(g±d), причем знак плюс под корнем соответствует ускорению, направленному вверх, а знак минус - ускорению, направленному вниз. Направление же движения лифта (направление его скорости) на период колебаний никакого влияния не оказывает.
Период колебаний маятника в лифте согласно условию задачи увеличился: он совершил п = 100 колебаний за время / = 2 мин 30 с = 150 с, а не за время / = 100 с. Следовательно, ускорение свободного падения тел в лифте относительно его стенок равно g - а, а сам лифт имеет ускорение, направленное вниз. Период колебаний маятника в движущемся лифте Т = 2K^]Kg - a) = t / п. В том же случае, когда лифт неподвижен относительно Земли, маятник имеет период То = 2кф/ g = 1 с. Отношение периодов
— = —— = I ; отсюда а = 1 -^-0- | = 5,4 м/с2.
То пТ0 \g-a(/2 )
Ускорение свободного падения относительно вагона складывается вектбрно из вертикально направленного ускорения свободного падения g относительно Земли и дополнительного ускорения а, направленного горизонтально, которое имеют относительно стенок вагона тела, неподвижные относительно Земли (см. задачу 355). Поэтому маятник в вагоне будет иметь период колебаний Т = 2кф/ Ja^Z^..: ;
Т = 2n^3R/2g (см. задачу 355).'
s = ut/2 = 660 м.
u = su/(s - vAt) = 5100 м/с.
Ц) = v + gh/2v = 349,8 м/с.
Длина волны в первом опыте X = I/п, где п - число длин волн, укладывающихся на расстоянии /. Во втором опыте Хде = 1/(п - 2). До повышения температуры скорость звука и = VX = vlln, а после повышения vM = уХйв = vll(n - 2). Так как п = yl/v, то v&0 = vlv/(yl - 2v). Скорость звука возрастает по линейному закону: и&в = f(l + аД0), где а = (0,5/330) К-1. Подставляя в данное выражение значение и&в, получим / = 2ы( 1 + aA0)/voA0 « 450 м.
v =ХГГ= 1435 м/с.
v = 1^/4/=812 Гц.
ф = 2л/2 = 180°.
v = и/Х = 425 Гц.
При распространении волн частота колебаний не изменяется при переходе из одной среды в другую. Так как и = v/X, то их = 2и2.
Так как при переходе из одной среды в другую частота колебаний не изменяется, то Х^/Х^ = их,иг = 4,35.
Камертон без резонаторного ящика звучит гораздо слабее, чем с ящиком, и, следовательно, теряет меньше энергии в единицу времени на излучение звуковых волн. Поэтому камертон, зажатый в тисках, будет звучать дольше.
Звучание камертона усиливается в тот момент, когда частота собственных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой колебаний камертона. Собственные колебания воздушного столба в сосуде соответствуют установлению в нем стоячей волны такой длины X, что у нижнего конца образуется узел смещения частиц воздуха, а у верхнего - пучность. Таким образом, в свободной части трубы h укладывается Х/4, ЗХ/4, 5Х/4 и т.д., т.е. в общем случае (2Х + 1)Х/4 = к, где к - целое число. Напомним, что в стоячей волне между двумя узлами укладывается половина длины волны.
Так как частота колебаний в звуковой волне v = у/Х, то соответствующая некоторому значению к частота камертона v = (2к + 1 )ы/4/г. По условию задачи частота имеет вполне определенное значение. Поэтому различным высотам воздушного столба hx и к2 должны соответствовать два значения к, отличающиеся на единицу: кх = п и к2 = п + 1, причем должно выполняться условие (2кх + + l)^/4/i] = (2Х2 + 1)ы/4/г2; отсюда, полагая п = 0, найдем кх = 0 и Х2 = 1- Следовательно, v = u/4hx = 3u/4h2 = 340 Гц.
. 370. V] = v/4l = 85 Гц; v2 = v3 = v/2l = = 170 Гц.
Частота звука зависит от скорости
движения источника (эффект Доплера). При неподвижном источнике (точка So на рис. 293) за время, равное периоду колебаний Г, колебание
распространится на расстояние, равное длине волны Хо = иТ. Если же источник (5 на рис. 293) движется со скоростью и, то за время Т он пройдет в направлении распространения волны путь иТ, и колебание распространится за это время на расстояние X = Хо - иТ = (и - и)Т. При удаляющемся источнике X = (и + и)Т. Таким образом, частота колебаний, воспринимаемых ухом неподвижного человека от движущегося источника звука, v = и/Х = uXqKu + и). Это выражение можно упростить, если и <1 v. Для этого умножим числитель и знаменатель на (и ± и) и пренебрежем членом и2 по сравнению с и2. Тогда V = V()(l ± u/vY Знаку плюс соответствует приближение источника, а знаку минус - удаление.
Согласно условию задачи v < v(), и, следовательно, теплоход удаляется от берега. Искомая скорость и = п(1 - v/v0) = 4,25 м/с.
Глава II
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
Стержни при нагревании на величину At будут иметь длины 1у = /] + /Д Аг и /2 = /2 + ^Рг^- По условию Г2 -1{ = /2 - /1 • Следовательно, /|//2 = Р2/Р1- Так как коэффициент линейного расширения зависит от температуры, то найденное условие удовлетворяет поставленному требованию для интервалов температур, в которых можно считать, что Р2/Р| = const.
Зазор при понижении температуры ниже О °C увеличивается. Следовательно, размер зазора должен определяться только максимальной температурой нагревания выше О °C. Для моста на юге L^ - L^ = = АоР?! = 50 мм, для моста на севере L2 - Lu = A()Pt2 = 20 мм.
Аг = фЗООР = 1ОО °C.
Г, == 83, 4 оС .=^ж - 'оа= 27, 8 ос
^ОаРа " /ожРж3(/ОаРа - /ОжРж )
V = У'(1 + o^At, + a2At2 + азАг3) = 1001 см3, где At; = 3 °C, At2 = 6 °C, At3 = 5 °C.' '
Для интервала температур t, ^ t ^ t2 коэффициент объемного расширения жидкости a = (Н - h)/(ht2 - Ht\).
Если Vo - объем шарика с ртутью при температуре ф, то при температуре t= 100 °C шарик и канал до деления 100 °C будут иметь объем (Уо + У)(1 + ЗРг). Этот объем равен объему ртути Уо( 1 + at) при той же температуре; отсюда
Уо = У(1 + 3Pr)/(a - 3P)t = У/(а - ЗР)г =191 мм3.
При указанных размерах сосуда и шара и при объеме налитой воды Уо = 500 см3 шар находится целиком под водой; поэтому
ДА = 4(аУ0 + 3pV)(f2 - t^/nd1 = 0,37 см.
При нагревании объем сосуда увеличился на AV, = У, • ЗР,Д?, объем латунного цилиндра У2 = /и2/р2 увеличился на ДУ2 = = (ш2/р2) • зр2Дг, объем воды V = У, - У2 изменился на ДУ = (V, - У2)аДл Так как уровень воды в сосуде не изменился, то ДУ, - ДУ2 = ДУ; отсюда
а = 3(Р1У|р2-р2ш2)/(У|р2 -ш2)=-3,79- Ю"5^1.
Значение а получилось отрицательным, т.е. нагревание происходило при температуре между 0 и 4 °C.
Др = р^аДАУ - hS)/S( 1 + аД?) = 2,24 кПа.
§ 13. Количество теплоты.
Коэффициент полезного действия
са = стф - гДДт^ - 0) - m](0 — rt)] = 2 кДж/(кг ■ К).
0 = (ЦрсУ + смтм/?Тм)Т/(црсУ + cMmMRT).
Температура смеси 0 = -19 °C; для нагревания смеси до t = 6 °C необходимо количество теплоты 2=1,3 МДж.
Сс = с[/и2(?2 - 0) - №,(/, - 0)]/(О - f2) = 140 Дж/К.
Термометр при погружении в воду получил количество теплоты 2 = СД?, - ?2). Это количество теплоты отдано ему водой; следовательно, 2 = тс(9 - 0); отсюда 0 = СД^ - t^/mc + 0 = 32,5 °C.
В единицу времени терялось количество теплоты 2т = = 161,3 Дж/с.
Можно представить себе следующие случаи: 1) весь лед растает, и температура смеси будет выше ?0 = 0 °C; 2) вся вода замерзнет, и температура смеси будет ниже ?0; 3) температура смеси будет равна /0, и часть льда растает.
При охлаждении до /» вода отдает количество теплоты 2i = = melt - t^ = 42 кДж, в то время как при нагревании до ?() лед поглощает количество теплоты 2з = ,илсл(А)_ С) = 420 кДж. Так как 2з > 2ь то могут осуществляться лишь случаи 2) или 3) Если вся вода замерзнет, то она отдаст еще количество теплоты 2з = тг - 660 кДж. Так как 2з + 21 > 2з> то возможен лишь случай 3); следовательно, температура смеси 0 = ?0 = 0 °C. Составив для этого случая уравнение теплового баланса:
mc^t - 0) + mxr = /илсл(0 - ?л),
найдем массу замерзшей воды тх:
тк = [v/^ _ С) _ mc(t - в)]/'" = 1,145 кг.
Таким образом, массы находящихся в сосуде при температуре 0 = О °C воды и льда будут равны т - тх и тл + тх, а их объемы V] = = (m - m^/p, V2 = (тл + тх)/рл. Общий объем смеси
V = V, + V2 = (m - mJ/р + (тл + тл)/рл = 7,54 дм3.
Количество теплоты, полученное льдом при нагревании от температуры 1Л до t0 = О °C, равно тлслгл. Количество теплоты, необходимое для плавления льда, равно тлг. Количество теплоты, полученное водой, образовавшейся из льда, при нагревании от f0 = О °C до температуры 6, равно тлс0. Количество теплоты, отданное теплой водой при остывании от температуры t до температуры 6, равно (pV - m^c^t - 6), где (pV - тл) - масса теплой воды. Составляем уравнение теплового баланса:
тлсл(л + тлг + тлс6 = (pV -- 0);
отсюда тл = pVc(f - 0)/(г + сл(л + ct) = 30 кг.
тл = —- = 40 кг, где М = 0 С.
Т = Тил - (2Q - mr)/2mc = 273 К.
с = г Т(У[(г2 - г,)т - (г„л - г2)т0] = 0,23 кДж/(кг ■ К).
Количества теплоты: для нагревания льда до t0 = 0 °C - Q, = = тлсл(Г0 - (л) = 0,21 МДж; для плавления льда - Q^ = тлг =3,3 МДж; для нагревания воды до t = 100 °C - Q3 = тлс(( - f0) = 4,2 МДж; для испарения воды -(24 = тяХ = 23 МДж. Сравнивая эти количества теплоты с количеством теплоты Q, видим, что
Ci + Сг+ Сз < С < Gi + Сг + Сз + Q^
т.е. весь лед превратится в воду с температурой t = 100 °C и лишь часть воды массы тл - т превратится в пар. На превращение в пар этой массы воды потребуется количество теплоты Q5 = (тл - т)Х. Таким образом, количество теплоты, сообщенное содержимому сосуда, Q = Gi + Qi + Оз + + Q5. Подставив сюда найденные выше выражения и решив полученное уравнение относительно т, найдем
т = -у-[Х + сл(Г0 -Гл)+г + с(Г-Г0)]-^ =4,6 кг.
h = [ma(X + cafa) - 'IpVct^P.Paabr = 0,4 см.
В сосуде происходит выделение количества теплоты Q, при конденсации пара и Q2 при охлаждении воды, образовавшейся из этого пара, от температуры t = 100 °C до температуры смеси 0. В то же время происходит поглощение количества теплоты Q3 при плавлении льда й Q^ при нагревании воды, бывшей ранее в сосуде и образовавшейся при плавлении льда, от температуры f0 = 0 °C до температуры смеси 0.
Максимальное количество выделенной теплоты (когда весь пар сконденсируется, а образовавшаяся при этом вода охладится до f0 = 0 °C)
Qx + Q2 = пгиХ + mnc(f- ф) == 18 кДж равно количеству теплоты бз = тлг = 18 кДж, поглощенному льдом, когда он весь расплавится. Таким образом, Q4 = 0, и в сосуде будет только вода при температуре е = f() = о °с.
Испарившаяся вода имеет массу т - тл. На ее испарение требуется количество теплоты Q = (т - тл)Х. При быстром откачивании теплота от окружающих тел не успевает передаваться воде. Поэтому все это количество теплоты получается при образовании льда, т.е. Q = тлг. Следовательно, (т - тл)Х = тлг ита = тХ/(г + X) = 35 г.
М = т/г + Х)/г = 22,7 г (см. задачу 396).
Количество теплоты, необходимое для испарения эфира, отдается водой и эфиром при их охлаждении до температуры t0 = О °C и водой при замерзании. Таким образом,
тэХ = m/'^t - t0) + mc/t - ф) + mr;
отсюда m = mjX — c^t - ф)]/[г + c/t - ф)] = 82 r.
Количество теплоты, необходимое для нагревания воды, отнимается у воды при превращении ее в лед, т.е.
mc(t0 ~t) = т/; отсюда тл = тс/to - t)h" = 124 г.
Предположим, что при нагревании температура содержимого колбы увеличилась на АТ. До нагревания вода имела объем Vx = тх/р\, а ртуть - V2 = m2/p2. Плотность воды после нагревания р = р;/(1 + + «jAT). Объем вытекшей воды
V = т/р = т(1 + оцАТУрр
При нагревании объем воды увеличился на AV, =a1VlAT, а объем ртути - на AV2 = a2V2AT. Так как колба была заполнена до краев, то AV1 + AV2 = AV. Повышение температуры АТ найдем из уравнения Q = /т\сх + т2С2)ДТ. В результате имеем
ах = ———[^(mjCj + т2с2) — axQ/mx -т)] ~ 1,7• 10 К-1.
р,т2е
Масса латуни т = V()pQ = Vp, где р = ро/(1 + ЗР?) - плотность латуни до погружения в сосуд, когда кусок латуни имел температуру t; отсюда V = (ли/ро)(1 + ЗР?). Для определения начальной температуры латуни t составим уравнение теплового баланса: теплота, затраченная на плавление льда, получена за счет охлаждения латуни, т.е. тлг = mc/t-1^, откуда t = тлг/тс. Следовательно,
V = (т/ро)(1 + 3$тлг/тс) = 51,2 см3.
Количество теплоты, выделяющееся при сгорании топлива в единицу времени, Qt = mxq. Из этого количества теплоты за то же время превращается в полезную работу лишь часть N = Qxr\, где
Ц = (Г, - Т^^Тх - наибольший КПД двигателя (77 = с,- + 273 К; i = 1, 2). Следовательно, полезная мощность, развиваемая этим двигателем, не может превышать
N = mxq(T\ - Т-^/Тх = 263 кВт.
' 403. Максимально возможные КПД двигателя и паровой машины П1 = (^2 - Т^Тг и ц2 = (Тх - ТУТ, (где Т, = t; + 273 К; / = 1, 2). Отношение КПД двигателя и паровой машины равно т]1/т|2 = (Т2 - Т)Т,/(Т, - Т)Т2 = 2.
Расход топлива на единицу длины пути ms = N/q тру = 5 кг/км.
q = Nshmrcy = 46 МДж/г.
Условие движения спутника по орбите Mv^/R = Mg может быть выполнено, если спутнику сообщена кинетическая энергия W = Mv2l1. Эта энергия получается путем превращения тепловой энергии Q = qm, выделяющейся при сгорании керосина, в механическую энергию, т.е. W = Q. Совместное решение этих уравнений дает m = MgRIIq = 670 кг.
Т] = (Ns/pVQv) • 100 % = 32 %.
ц = [Урс(/2 - tx)/Nx^ • 100 % = 52 %, где /2 = 100 °C - температура кипения воды.
В окружающее пространство за время т отдается количество теплоты Qxx = mc(t - у) + mr, отнятое у воды при ее охлаждении и превращении в лед, а также превращенная в теплоту в процессе работы холодильника энергия W, полученная от электросети. Всего за время т отдается количество теплоты Qtt = Qxx + W. Мощность, потребляемая холодильником.
N = WI т = QT - Qo I т = q - (т/ т)[с(? - /0) + г] = 416 Вт.
Q = та2-2/ 2 = 225 МДж.
и = у! 4с(Тпд -Т) + 4г- Igh = 388 м/с.
Так как движение равномерное, то сила натяжения веревки F равна сумме проекций на направление наклонной плоскости силы тяжести и силы трения: F = mg(sin а + к cos ос). При подъеме тела на высоту Л оно проходит вдоль наклонной плоскости расстояние / = Л/ sin ос. При этом совершается работа А = FI, которая идет на увеличение потенциальной энергии тела (кинетическая энергия не изменяется) и на нагревание бруска и доски, т.е. А = mgh + W; отсюда W = kmgh ctg ос.
Q = mgl sin ос - nw2 / 2 = 100 Дж.
п = N/pSI = 2 об/с.
Из закона сохранения импульса находим скорость куба после пролета сквозь него пули: и = (m/M)(vx - г2). Энергия, превратившаяся в тепло, равна разности кинетической энергии пули перед попаданием в куб тих !1 и кинетической энергии куба и пули Ми1 /2+тг2/2 после прохождения пули сквозь куб. Следовательно,■
2W = ^-22W = ^-2Ми2 ти^+L22Ми2 ти^+L22тчтч2т,2и2"77^1 — у2 )2т,2и2"77^1 — у2 )
2
W = ^-2
2
W = ^-2
Ми2 ти^
+L
22
Ми2 ти^
+L
22
тч
тч
2т,2
и2"77^1 — у2 )
2т,2
и2"77^1 — у2 )
Согласно закону сохранения импульса скорость совместного движения шаров после абсолютно неупругого удара и = (m^j - m2u2)/(nii + тг\ Далее из закона сохранения энергии следует
ш^!2 ! т^ (тх+т2У = тхт2(ух + у2)2]5 дж2222(т| + /п2)
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
См. рис. 294-296.
Согласно закону Бойля-Мариотта ро^о = pV; отсюда V = p0V0/р = 0,02 м3.
pSpS'1 PqSq "Mg'1 PqSq "MgРис. 297Рис. 297
pS
pS
'1 PqSq "Mg
'1 PqSq "Mg
Рис. 297
Рис. 297
р, = V^pKVx - V2) = 12 кПа.
р = (F cos a)/S + р0 = 110 кПа.
ДЛ = \mRT- pVpol /pVpg ~ 2,9 см.
Давление р внутри цилиндра без груза на поршне определяется из условия равновесия поршня (рис. 297): pS cos а = mg + p^So, где S = So/ cos а - площадь внутренней скошенной поверхности поршня; отсюда р = mg/S^ + р^. Давление р' внутри цилиндра, когда на поршне лежит груз, определяется аналогично: р’ = (mg + Mg)/S0 + ро- По закону Бойля- Мариотта pV = pV, где согласно условию задачи V = VJ2.
Из этих уравнений получим М = p^S^ / g + т = 26 кг.
F = р^гЩЦ - ДО = 46 Н.
Давление воздуха рх внутри трубки, обращенной открытым концом вверх, равно сумме атмосферного давления р^ и давления столбика ртути pgh: рх = рц + pgh. Объем воздуха в трубке Vx = SI, где S - площадь поперечного сечения трубки (рис. 298). Когда трубка повернута открытым концом вниз, то атмосферное давление р0
уравновешивается давлением воздуха внутри трубки р2 и давлением столбика оставшейся в ней ртути pgh/l'. р0 = р2 +Р#А/2, или р2 = pg - pgh/1. Объем воздуха в этом случае V2 = S(L - /г/2). Используя закон Бойля- Мариотта pjVj = РтУъ найдем
z _ (Ро -pgA/2)(L-A/2)Ро +Pgh
В обоих концах трубки воздух первоначально занимал объем V = S(L - Л)/2, где S - площадь поперечного сечения трубки, и имел давле-
Рис. 299Рис. 299Рис. 300Рис. 300
Рис. 299
Рис. 299
Рис. 300
Рис. 300
ние р. Когда трубку поставили вертикально (рис. 299), объем воздуха в верхней части трубки стал Vt = S[(L - Л)/2 + /], а давление сталорр, в нижней части трубки объем стал V2 = S[(L - Л)/2 - /], а давление стало равным р2. Согласно закону Бойля-Мариотта для верхней части трубки
pV = pxVv, откуда (L -/г)р = (L -/г + 2/^;(1)
для нижней части трубки
pV = p2V2, откуда (L-h)p = (L-h- 2I)p2.(2)
С другой стороны, столбик ртути находится в равновесии, когда давление воздуха в нижней части трубки равно сумме давлений воздуха в верхней части трубки и столбика ртути, т.е.
P^Pi+pgh.(3)
Исключив pi и р2 из уравнений (1)—(3), найдем
р = pgh[(L - НУ - 4PA/4KL - А) = 50 кПа.
Давление воздуха в трубке до ее погружения в ртуть рх = ри, а объем его V; = SL, где 5 — площадь поперечного сечения трубки. После погружения трубки в ртуть давление воздуха в ней стало р2 = р0 + pgh, а
объем его V2 = S(h + /) (рис. 300). По закону Бойля-Мариоттар^ = P2V2, или
р^ = (ро + pgK) (h + /); отсюда / = р^1(р^ + pg/г) - h = -38 см, т.е. запаянный конец трубки должен находиться на расстоянии / = 38 см от поверхности ртути в сосуде.
/ = LpJUpu + pg/г) - /г = -57 см (рис. 301).
До вдвигания поршня объем воздуха в цилиндре Vt =S\l\, а его давление р, = р0. При вдвинутом поршне объем воздуха в трубке V2 = S2A, а его давление рг = Ро + pgh (рис. 302). Согласно закону Бойля-Мариотта PiVj = P2V2, или
PtM = (p0+pgh)S2h;
7 v 77
Ро । 1I Ро I Ро п отсюда /г =±+ - и 11 .
2gp K2^PJ P^S2
Перед корнем следует взять знак плюс, так как величину /г мы считаем положительной (с увеличением /г давление Р2 увеличивается). Подставив в то же уравнение /г = /2 и решив его относительно 5], найдем минимальную площадь поперечного сечения цилиндра:
*^1 min ^Ро + РЯ^г^Ро^
До подъема поршня объем воздуха в трубке Vo = S/o, где S - площадь поперечного сечения трубки, а давление воздуха равно р^.
Рис. 301Рис. 301Рис. 302Рис. 302
Рис. 301
Рис. 301
Рис. 302
Рис. 302
После подъема поршня на высоту / ртуть в трубке поднимется на высоту h над уровнем ртути в сосуде (рис. 303). Объем воздуха в трубке станет V = 5(/ - /г), а его давлениер = Ро- pgh, т.е. h = (pQ-p)/pg. Согласно закону Бойля-Мариотта Ро^о = pV, или p^Slg = pS(J - /г). Учитывая выражение для /г, имеем popg/o =p(pgl-po + Р>; отсюда
-^±7^777.
Так как давление воздуха в трубке не может быть отрицательным, то перед корнем следует взять знак плюс. В результате получим р = 11,6 кПа.
Объем воздуха в трубке до ее погружения Vo = S/o (S - поперечное
сечение трубки), а давление воздуха в ней равно р^. Если нижний конец
трубки погружен на глубину Н (рис. 304), то объем воздуха в ней V = SI, а уровень воды внутри трубки находится на расстоянии Н - - (/п - /) от поверхности моря. При этом давление воздуха в трубке будет равно р = р^ + + pg(H - /() + /). По закону Бойля-Мариотта p0V0=pV, т.е.
Polo=VPo+Pg(H-lo + №;
отсюда Н = (р0 + pgl) (/0 - l)!pgl = 41,6 м.
Давление воздуха на дне водоема Р\ = Ро + PgH, на глубине h - р2 = Ри + pgh. Объем пузырька на глубине h равен и = 4лг3/3. Согласно закону Бойля-Мариотта
pxV = p2v, или (p0+pgH)V = (р0 + р^/г)4лг3 /3; отсюда г = ^З^^М^Й).
432. г2 = r^p0T2/(p0 + pogh)T] =1,37 см (см. задачу 431).
к = v/ V = РоКро + pgh) = 0,19, где V - объем лодки, и - объем
лодки, свободный от воды.
Н = р0(ух - V2)bHJVxbp0 = 1,38 км.
Начальный объем воздуха под поршнями V = SH, где 5" - площадь
поперечного сечения сосудов. Конечный объем воздуха под закреплен-
W2W2Рис. 305Рис. 305ным поршнем V] = S(H + HIT) = 3SHI2, а под подвижным поршнем V2 = S(H + + h- HIT) = S(h + H)]2) (рис. 305). Конечные давления под ними равны рх и р2. Разность этих давлений определяется разностью уровней жидкости в сосудах; р^ - р2 = pgH. Согласно закону Бойля-Мариотта для сосуда с закрепленным поршнем
W2
W2
Рис. 305
Рис. 305
pV = p\V\, или pH = Зр\Н!2\ отсюда рх = 2р/3.
Следовательно, р2 = рх- pgH = 2р/3 - pgH. Согласно закону Бойля-Мариотта для сосуда с подвижным поршнем,
pV = p2V2, или ph = p2(h + HIT) = (2p/3-pgH)(h + H/2);
отсюда h = (4p +3pgH)HI2(2p - 3pgH).
hhРис. 306Рис. 306Начальный объем воздуха в запаянном колене Vy = Sh (S - площадь поперечного сечения этого колена), а давление в нем равно р0. После выпускания части ртути объем воздуха в этом колене стал У = S(h + Л]), а давление в нем р = р0- pg(h2 - А^ (рис. 306). Согласно закону Бойля-Мариотта
h
h
Рис. 306
Рис. 306
Povo=Pv- или Poh = [Po-pg(>h -hiWi + h'Y,
отсюда h2 = h^Ypo + pg(h + h^/pg(h +h^ = 53 cm.
Перед засасыванием воздух занимает объем баллона У и имеет давление р,. В конце засасывания объем, занимаемый воздухом, состоит из объема баллона и объема засасывающей камеры: V + и, давление при этом становится равным р2. Согласно закону Бойля-Мариотта p^V = p2(V + и), илиp\lp2 = (У + u^V. По условию задачи р^р2 = и. Следовательно, и = = У(л-1) = 0,8 л.
Перед засасыванием воздух занимает объем баллона У, а давление его равно р. В конце первого засасывания объем воздуха складывается из объема баллона и объема засасывающей камеры: V + и, а давление его становится равным pv Согласно закону Бойля-Мариотта pV = р,(У + и), откуда
Pl = рУ/(У + и).
При втором цикле роль начального давления будет играть р,; поэтому
р2 = р,У/(У + и ) = р[У/(У + и )]2.
При третьем цикле начальное давление будет р2; следовательно,
p3=p2VI(V+ и ) = р[У/(У + и )]3,
и т.д. Ясно, что после и циклов давление будет
Pn=PWKv+ ^ XT, или рп! р = [У /(У + и)]".
Логарифмируя, найдем
lg(pn / Ро)= "^[^/(У + и )],
или n = \g(pj p0)/lg[y/(У + и )].
Объем воздуха при давлении р, необходимый в единицу времени для работы и молотков, равен nuv По закону Бойля—Мариотта р,Ут = рпих; отсюда и = puVJpvT = 20.
В конце каждого засасывания воздух при атмосферном давлении Ро занимает объем и засасывающей камеры насоса. В мяче этот воздух занимает объем У и имеет парциальное давление р, которое можно найти из закона Бойля-Мариотта; р = vp^/V. После п качаний давление р„ в мяче будет равно сумме парциальных давлений: рп = пр = пир$/ V = 0,2 МПа.
Парциальное давление одной порции воздуха можно найти при помощи закона Бойля-Мариотта (см. задачу 440): рх = ир0 /V, где и = Kd2h/4 - объем воздуха, засасываемый при одном цикле работы насоса. Сумма парциальных давлений всех порций воздуха, добавляемых в камеру за п циклов работы насоса, будет пр\ =TCcPhnp0/4V. Сложив эту величину с начальным давлением в камере р^, найдем конечное давление: р = KcPhnp(J4V + р0; отсюда число циклов работы насоса, необходимых для получения давления р в камере,
n = 4V(p-p0)7td2Ap0.
Время накачивания камеры
t = пт = 4V(p-po)T/Kd2hpo = 46 с.
После соединения сосудов воздух, находившийся в каждом из них, распределится по объему V, + V2 двух сосудов. Для воздуха, находившегося в первом сосуде, согласно закону Бойля-Мариотта p\Vx = pVV) + V2); для воздуха, находившегося во втором сосуде, p2V2 = p'^V] + V2), где р'] и р'2 - парциальные давления. Складывая эти равенства, получим PiVi + p2V2 = (р'] + p'2)(Vj + V2). По закону Дальтона установившееся давление р = р) + р 2. Таким образом,
P(Pi V, + р2 V2) /(V, + V2) = 675 кПа.
р! = [p(Vt + V2) -p2V2]/Vt = 1,2 МПа (см. задачу 442).
р] = 4pzn1/(2m1 + т2).
Рис. 307Рис. 307Рис. 308Рис. 308Рис. 309Рис. 309
Рис. 307
Рис. 307
Рис. 308
Рис. 308
Рис. 309
Рис. 309
См. рис. 307-309.
Начальная и конечная температуры газа (V2 = 2Vt):
AWV, = (V2 - V^/V, = [(T2 - T^/T^ • 100 % = 4 %.
Для ненагретого сосуда согласно закону Бойля-Мариотта pV = p'(V-SA/); для нагретого сосуда согласно объединенному газовому закону pV/Т = p'(V + SM)/(T + ДТ), где р ир' - давления в сосудах до и после нагревания. Исключив из этих уравнений р/р', найдем ЛТ/Т = 28ЫКУ - SM)» 2SAI/V.
. 449. От 7j = ——— = 267 К до Т2 =+= 321 К.
'V + nAV1 V + nAV
V] = VTX RJ\ + Т2) = 200 см3, V2 = VT2 /(^ + Т2) = 300 см3.
Изменение объема AV одинаково для обеих частей цилиндра. Согласно объединенному газовому закону для ненагретой части цилиндра pV = p'(V - AV), для нагретой pVIT = p\V + AV)/T', где V - первоначальный объем каждой части цилиндра. Исключая отсюда AV/V, найдем р* = р(Т + TW = 105 кПа.
Пусть при горизонтальном положении цилиндра объем каждой из частей равен V. При вертикальном положении цилиндра объем верхней части стал V + AV и давление в ней равно р’, объем нижней части стал V - AV и давление в ней равно р + mg!S. Согласно закону Бойля-Мариотта имеем
pV = p'(V + AV), pV = (p' + mg/S)(V-^V\
Исключив из этих уравнений AV/V, получим
mg Л , mgp = 0
S / 2S '
отсюда
(второй корень отброшен, так как он дает для р' отрицательные значения).
/ = pgh(L - h)/2(2p + pgh) =17 см.
Т' = рТ/р’ = mTIVp' = 225 К.
Так как давление в колбе перед погружением и в конечном ее состоянии одно и то же (равно атмосферному), то для этих состояний газа V,/V2 = 1\1ТЪ где V] = 4ла3/3 + л</2//4, V2 = 4ла3/3 + л</2//8 - начальный и конечный объемы воздуха в колбе. Следовательно, Г, = T2V,/V2 = 2Т2( 16а3 + 3/^)/(32а3 + ЗИ3) = 316 К.
р2 = РцТ^Тг = 0,41 кг/м3.
Уравнение состояния газа до и после нагревания;
р V = (m / p.)RT, р( V + Sh) = (т / ц)й(Т + АТ),
где p,VяТ- давление, объем и температура газа до нагревания. Вычитая второе уравнение из первого и учитывая, что р = р0 + Mg!S, найдем
М = mRkT/pgh - p0S/g = 85 кг.
' 458. Условие V/T = const означает, что процессы нагревания и охлажде- нйя происходят изобарно. При отношении начальных объемов Vj/V2 = 1/2 эти объемы составляют части V, = V/3 и V2 = 2V/3 от объема V всей трубки. Конечные объемы обеих частей одинаковы: V3 = V/2. Согласно
закону Гей-Люссака для меньшей части V,/V3 = Тхх/Тх, для большей части V2/V3 = ТХХП\, где Го = 273 К - температура, соответствующая начальным условиям; отсюда
Тх = Тхуз/УА = 3TV2. ~ 410 К, 72 = Т^^г = ЗГ0/4 ~ 205 К.
/ = ЬТгКТх + Т2) = 42 см.
Тх = р,Т2/р2 = 404 К.
m = Spx(T2-Tx)/gTx ~ 4,6 кг.
Манометры обычно градуируются так, что они показывают разность между давлением внутри баллона и атмосферным давлением. Поэтому давление в баллоне, когда он находится в помещении, рх = р + р0, а давление в баллоне, когда он вынесен на улицу, р2 = Р + Ро - Ар. Так как объем газа остается неизменным, то по закону Шарля рх/Тх = р2,Тъ где Т2 = t + 273 К - температура наружного воздуха; отсюда
Л = РгТх/рх = (р + р() - &р)Тх1(р + р0) = 256 К.
Давление газа, которым наполняются лампы, должно удовлетворять закону Шарля: р/Тх = Po/Ту, отсюда р = ТхрххЦ2 = 74 кПа.
Рис. 310Рис. 310
Рис. 310
Рис. 310
Пусть в цилиндре под поршнем находится некоторая масса газа, который при температуре Zo = 0 °C имеет давление р0 и объем V,,.
Нагреем газ до температуры tx при постоянном давлении р(). Тогда по закону Гей-Люссака газ займет объем Vx = V0(l + az,).
Сожмем газ при постоянной температуре Г, от объема V, до объема Ц). В результате газ будет иметь давление рх, причем по закону Бойля- Мариотта p0V, = Pi V(l.
Охладим газ до температуры Zo при постоянном объеме Ц,. При этом газ возвратится в первоначальное состояние и его давление уменьшится от рх до р„. Согласно закону Шарля рх и р() связаны соотношением p,=p0(l+Pz).
Подставив выражение для V, из закона Гей-Люссака и выражение для рх из закона Шарля в выражение закона Бойля-Мариотта, получим Pi)Vo(l + az,) = PoV^l + pz,); отсюда a = p.
См. рис. 310 и 311.
Для перехода между состояниями 3 и 1 должно выполняться соотношение p^V^T-j = p\V\JT\. С другой стороны, как видно из рис. 63, в этом случае V = кр, т.е. V^/p^ = V'/pv Процесс перехода между состояниями 1 и 2 изохорный; следовательно, р,/р2 = Т\(Тг. Наконец, процесс между состояниями 2 и 3 изобарный, т.е. р^ = р^,. Из приведенных соотношений найдем Тч = Т22 / 7^.
р4 = P\V\T3(V4TX = 0,1 МПа.
Для данной массы газа при любых процессах можно применять объединенный газовый закон в виде pV/T = В = const. Постоянную
Рис. 312Рис. 312р, МПар, МПа02004000200400Рис. 313Рис. 313
Рис. 312
Рис. 312
р, МПа
р, МПа
0200400
0200400
Рис. 313
Рис. 313
величину В можно найти, подставив в это уравнение известные для начального состояния значения pv,Vx,Tx; имеем для нашей задачи В = pxVx(Tv = 0,5 Дж/К. Построим графики процессов, предварительно выбрав масштаб для р, V и Т (рис. 312-314). В результате получим, что р4 = 0,1 МПа.
При нормальных условиях (давлении р() = pgh0 = 101,325 кПа, где р = 13,595 ■ 103 кг/м3 - плотность ртути, g = 9,81 м/с2 - ускорение свободного падения и Ло = 760 мм-высота ртутного столба, и температуре Тс = 273 К) моль любого газа согласно закону Авогадро занимает объем VOp = 22,41 ■ 103 м3/моль; отсюда
R = рУц/Т = рхУ^/Тс = 8,31 Дж/(моль • К).
Из уравнения состояния идеального газа найдем
m = \ipVJRT = 138 г.
ц, = тх\1-2]э-{Г\1т-2р\Т-2. = 0,028 кг/моль.
Уравнения состояния воздуха в сосуде при атмосферном давлении р до и после нагревания: pV = m\RT,/ц и pV = т3ВТг!\1, где пц и т2 - массы воздуха в сосуде до и после нагревания. Поделив второе уравнение на первое, найдем тг!тл = Т|/Т2 = 0,415.
(Ш] - т^1тх = (рх- Р^Ра = 0,2.
т2-тх = ^рУ^УртПЧ - Р\1Т^ = 57 г.
р = mRUpV = 0,032 кг/моль (кислород).
Из уравнения состояния имеем р = m!V = \xp!RT = 1,12 кг/м3.
ДТП. ро = 0,49 кг/м3 (см. задачу 476).
р = О,4/?Тро/ц = 24 МПа (см. задачу 476).
Задачу можно решить тремя способами.
Установившееся давление выражается формулой (см. задачу 442) Р = (Pl^l + P^V^RX^ + V2Y
отсюда
Р\ = M^i + ^2) - Pi^Wi = 0,5 МПа.
Уравнения состояния воздуха в первом и во втором баллонах: рх Vx = mxRTI\i, p2V2 = m2RT!\x.;
после соединения баллонов p(Vx + У2) = (mi + m2)RT/p., где mx и m2 - массы воздуха в первом и втором баллонах. Исключив из этих уравнений тх и /7?2, получим снова рх = [^(Vj + У2) -piV^fVv
Предположим, что в трубе, соединяющей баллоны, имеется поршень (рис. 315). Сместим поршень так, что- ||бы давления в баллонах стали одинаковыми
^i р - др " V2 р^ и равными р. Объем воздуха в первом балло- р—■——।не увеличится на величину ДУ и станет рав
ным У] + ДУ, а во втором баллоне умень- Рис. 315шится на ту же величину и станет рав
ным У2 - ДУ. Теперь поршень можно удалить, не нарушая равновесия газа. По закону Бойля-Мариотта /7^1 = р(У| + ДУ) и p2V2 = р(У2 - ДУ). Складывая эти уравнения, найдем Р1У1 + p2V2 = р(У] + У2), откуда получим для определения рх прежнюю формулу.
р = (Т/2Хрх/Тх +р2Т2).
Уравнение состояния газа до нагревания в каждой части цилиндра: pSL = — RT.(1)
где SL = У - объем каждой части цилиндра, S - площадь его поперечного сечения. Объемы нагретой и ненагретой частей: Vx = S(L + /) и У2 = = S(L - /). Уравнения состояния газа в них:
p'S(L + n = — R(T + M\(2)
p'S(L-P) = — RT,(3)
где р’- давление газа после смещения поршня (одно и то же в обеих частях цилиндра в силу равновесия поршня), Т + ДТ — температура в
нагретой части цилиндра. Поделив уравнения состояния друг на друга, получим
Т + АТ = T(L + Г)/(Ь - Г); отсюда ЛТ = 2Т//(Т -/) = 404 К.
Правые части уравнений состояния (1) и (3) равны между собой, поэтому p'S(L - /) = pSL (это уравнение представляет собой закон Бойля- Мариотта для той части цилиндра, температура которой не изменилась); отсюда находим р' = Lp^L - /) = 167 кПа.
I = А(1 - JTi / 7) ) = 10 см. (При решении задачи обратить внимание на то, что ру = p^L?)
Так как водород свободно проходит через перегородку, то он распространяется по объему V всего сосуда и для него уравнение состояния будет p\V = mxRT)\xx, откуда его давление рх = mxRTI\XxV. Для азота уравнение состояния будет p^VII = (т2/ц2)/?Т = y-JiT. Так как в той части сосуда, в которой раньше был один азот, теперь находятся и водород и азот, то полное давление р будет складываться из парциальных давлений рх и р2. Таким образом,
Р - РХ + lb - (wi/M-i + 2v^RT/V = 0,1 МПа.
/ = Ц]ТТ2/(|Д]Т2 + ц2Т[) = 60 см.
Уравнения состояния для газа в первой и второй частях сосуда до выравнивания температур:
pVx = mxRTi/ц, pV^ = т^Тг/ц.
Поделив их друг на друга, находим VxT-JV-{rx = тх!тг. Уравнения состояния для газа в первой и второй частях сосуда после выравнивания температур:
p'Vx= тхРТ/^, P'V{ = m^RT / ц,
где V{ и V/ - конечные объемы первой и второй частей, Т - общая температура и р' - давление, одно и то же в обеих частях в силу равновесия перегородки. Поделив эти два уравнения друг на друга, найдем V//V2 = mjm^. Таким образом, V,7 V2 = VXT^! V2TX =4/5.
Пусть длина той части цилиндра, которая заполнена кислородом, равна /, тогда водородом заполнена часть цилиндра длины L -1. Их объемы равны Vx = SI и V2 = S(L - /), где S - площадь поперечного сечения цилиндра. Уравнения состояния кислорода и водорода:
pSl = mRTI\lx, pS(L - Г) = mRTIu.^.
Поделив одно уравнение на другое, получим
//(Т - /) = Цг/Ць отсюда / = Тц2/(М.1 + р2) = 5 см.
Положив в уравнениях состояния (см. задачу 486) / = Т/2, Т =ТХ для кислорода и Т = Т2 для водорода, заметим, что левые части этих уравнений будут равны. Приравняв поэтому правые части, получим
ТХГГ2 = Ц1/Ц2 = 16. При любых температурах, для которых будет выполняться это условие, поршень будет делить цилиндр на равные части.
Т = ppVImR = 280 К.
После подъема шара его объем V2 = Vx + nVx, а давление газа в нем р2 = ptt + Др. Согласно объединенному газовому закону имеем p,Vl/7’| = p2V2/T2; отсюда
T2=P?V2Tx/pxVx = (р0 + Др)(1 + п)Тх/рх = 255 К.
Объем водорода, заключенного в п баллонах, V = пи. Из объединенного газового закона pV/T = p’V'IT' находим число баллонов: п = pVT/puT « 536.
Действующая на автомобиль сила тяжести mg, направленная вниз, уравновешивается четырьмя силами реакции опоры со стороны грунта на шины, направленными вверх. Будем считать, что все четыре силы реакции опоры одинаковы и равны F = mg/A. На соприкасающийся с грунтом плоский участок шины сверху (изнутри) действует сила давления pS воздуха, заключенного в шине: снизу же действует сила реакции опоры со стороны грунта F. Эти силы уравновешиваются. Таким образом, при температуре t2 давление воздуха внутри шины р = F/S = mg/AS. Согласно объединенному газовому закону
pV2IT2 = pttVxITx, или mgV2/AST2 = pxxVx/Tx;
отсюда m = 4SF2p0V'1/\/2F1# “ 4000 кг.
Чтобы вытеснить воду из цистерны, воздух должен иметь давление, по крайней мере равное давлению воды на глубине h: р2 = = ро + pgh. После расширения воздух займет объем V2 = V + У|. Согласно объединенному газовому закону
Р\У\П\ = р2У2ГГ2, или рхУхГГх = ф0 + pghXV + V^/T^
отсюда V = pxVxT2Fj)0 + pgh^Tx - V, = 1,85 m3.
Г > (F + pxxS)T/pxxS = 390 K.
Равновесие устанавливается, когда силы давления воздуха в цилиндрах на оба поршня будут равны, т.е. когда pxSx = p2S2. Применим для воздуха в первом цилиндре объединенный газовый закон: poV|/To = = pxV{U, а для воздуха во втором цилиндре - закон Бойля-Мариотта: рх^2 = р2У2 . После нагревания поршни сместятся на одинаковые расстояния и изменения объемов воздуха в цилиндрах будут пропорциональны площадям поршней: ( V{ - Vi)/(V2 - V{) = Sx/S2. Решив систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными рх,р2, Vx , У2 , найдем
p0Sx(TVx+T0V2JTO(S2VX+SXV2)p0Sx(TVx+T0V2JTO(S2VX+SXV2)отсюда F = p2S2 =отсюда F = p2S2 =^i^Po^^i + ^0^2)ToG^Vj +5,V2)^i^Po^^i + ^0^2)ToG^Vj +5,V2)
p0Sx(TVx+T0V2JTO(S2VX+SXV2)
p0Sx(TVx+T0V2JTO(S2VX+SXV2)
отсюда F = p2S2 =
отсюда F = p2S2 =
^i^Po^^i + ^0^2)ToG^Vj +5,V2)
^i^Po^^i + ^0^2)ToG^Vj +5,V2)
Из уравнений состояния находим массу zn, водорода, находящегося в шаре, и массу т^ воздуха, вытесненного шаром: тх = pVpxl Ро^Оц и т^ = Vp2/Vop, где Vq^ = 22,41 ■ 10-3 м3/моль - объем моля идеального газа при нормальных условиях. Согласно закону Архимеда при парении шара в воздухе сила тяжести, действующая на шар с водородом, (М + m^g равна силе тяжести вытесненного воздуха m2g; отсюда
Р = Ф0/Ц1ХЦ2 - VttwMM~ 0,15 МПа.
Пусть уровень воды в стакане находится на расстоянии h от дна стакана (рис. 316). Давление воздуха в стакане будет рхх + pgh. Так как давление ри соответствует приблизительно давлению 10-метрового столба воды, a h < Н = 0,1 м, то pgh составляет менее 1% атмосферного давления и величиной pgh можно пренебречь по сравнению с р0, т.е. считать, что давление воздуха в стакане неизменно. Тогда согласно закону Гей-Люссака Vx/Tx = V2IT2, где Г] = HS и V2 = hS - начальный и конечный объемы воздуха в стакане, отсюда h = HT-JTV и объем вошедшей в стакан воды
V = (Н - h)S = HS(TX - ТД/Т, = 49 см3.
Если учесть изменение давления воды в стакане в зависимости от расстояния h и применить при этом объединенный газовый закон: pxxHS/Tx = (ро + pgh)hS/T2, то для h получится сложная формула:
h=<pQ! 2р.g)(^l + 4/7T2pg/p07; - 1).
Вычисление по этой формуле дает V = 50 см3. Заметим еще, что если корень в этом выражении разложить по формуле бинома Ньютона и ограничиться двумя членами: 1 + 2HT2pg/pxxTx, то мы получим для h выражение, найденное ранее при помощи закона Гей-Люссака.
Согласно закону Архимеда погруженный до краев стакан (см. рис. 65а) плавает при условии, что сила тяжести mg, действующая на него, вместе с силой тяжести pgV|, действующей на налитую в него воду, равны силе Архимеда pgV, где V = hS - объем стакана, Г| = = hS/З - объем налитой в него воды (S - площадь его поперечного сечения). Таким образом,
mg + 2pg/?S/3 = pghS; отсюда mg = pghS/3.
Погруженный вверх дном на глубину Н стакан (см. рис. 656) будет находиться в равновесии, если сила Архимеда pgV2, где Г2 - объем сжатого в стакане воздуха, равна силе тяжести mg, действующей на стакан. Учитывая выражение для mg, найдем Г2 = hS/З. Давление воздуха в стакане р = /?о + pg(H - 2/г/З). Используя объединенный газовый закон: pohS _ tp0 + pg(H-2h/3)^hS/3.
т; "Т2’
получим Н = ро(ЗТ2 - Tx)/pgTx + 2h/3 = 15,4 м.
§ 15. Элементы молекулярной физики
Массы молекул водорода и кислорода т> = 3,3 • 10-27 кг и т2 = = 5,3-10"26 кг.
т = рорТ/п(рТи = 3,33 • 10"26 кг, где Ти = 273 К, р0 = 0,1 МПа.
п0 = NA/VQvv = 2,7 • 1025 м-3 (постоянная Лошмидта).
п = NAT0/kV0tlT = 1,83 • 1024м-3, где То = 273 К, ТОи = 22,41 х х 10-3 м3/моль - объем, занимаемый одним молем идеального газа при нормальных условиях.
В объеме VOp = 22,41 • 10-3 м3/моль содержится при нормальных условиях число молекул NA = 6,02 • 1О23 моль-1. Так как при одних и тех же условиях число «у молекул в сосуде пропорционально его объему, то п0[и = Na!VQw отсюда пи = uNa/VUvi. Искомое время т = nJnT = = п^/Турлт = 8500 лет.
р2 = Fi - ЗпруТ/4лиуГ3Ту, где То = 273 К и р() = 0,1 МПа.
Возьмем один моль азота, который при нормальных условиях занимает объем VOp = 22,41 • 10-3 м3/моль, а при давлении р и той же температуре согласно закону Бойля-Мариотта занимает объем V = = VOypo/p. В одном моле азота содержится число молекул NA = = 6,02 • Ю23 моль-1. Объем каждой из них равен nd3/6, и их суммарный объем и = %d3NA!6. Таким образом, на объем самих молекул приходится при давлении р0 часть объема
п/% = ^3/VV6V„M) • 100 % = 0,038 %,
а при давлении р - часть объема
u/V^ = (rcd3NAp/6VOvpo) • 100 % = 19 %.
Каждая молекула до удара о стенку имеет импульс mu, направленный к стенке. После абсолютно упругого удара направление скорости молекулы меняется на обратное. Поэтому импульс молекулы после удара
Рис. 317Рис. 317становится равным -ти. При этом изменение импульса каждой молекулы mu- (-mu) = 2ти.
Рис. 317
Рис. 317
В течение промежутка времени т о стенку ударятся все те молекулы, которые, находясь в параллелепипеде с основанием S и длиной / = пт, двигались по направлению к стенке (рис. 317). Объем этого параллелепипеда V=Sht, и в нем
находится N = nSv г движущихся к стенке молекул. За промежуток времени т произойдет изменение импульса N молекул, равное 2munSuT. По второму закону Ньютона 2munSux = Ft, где F - сила, действующая на молекулы со стороны стенки. Согласно третьему закону Ньютона'такая же сила действует на стенку. Таким образом, F = 2птиг5 и давление р = F/S = 2пти2. ' ' . <
Давление на стенку р = 2пти2 (см. задачу 505), где п - число молекул в единице объема, движущихся по направлению к этой стенке. 284
По направлению к каждой грани кубика движется n = vNA/6 молекул; отсюда р = NNAmv2l3 =1,5 Па.
Число молекул, содержащихся в одном моле газа, равно постоянной Авогадро МА. Согласно уравнению состояния количество газа v = pVfRT; отсюда
п = nNa/V = pNJRT = 2 ■ 1025 м"3.
Т = pVNAinR = 301 К (см. задачу 507).
р = np^TIn^VT^ = 20 кПа, где р0 = 0,1 МПа, То = 273 К.
n=pNA/RT= 3-Y0№m-\
Масса газа m = пт^, его молярная масса ц = т^А, где ту- масса одной молекулы, п - число молекул в данном объеме и NA - число молекул в одном моле газа (постоянная Авогадро). Подставив т и ц в уравнение состояния pV = mRT/]x., находим р = nRT!NAV, т.е. при прочих равных условиях давление пропорционально числу частиц п. Если бы молекулы не распадались, то согласно закону Шарля при температуре Тг было бы давление р^ = р\Тг(Т\. Вследствие распада каждой молекулы водорода на два атома полное число частиц увеличивается вдвое. Поэтому при температуре Тг давление будет 2р2 = 2р]Т2/Т] = 40 КПа.
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.
Теплоемкость
На поршень действуют сила тяжести, сила атмосферного давления извне и сила давления кислорода изнутри. Первые две силы все время остаются постоянными. Так как поршень в любой момент находится в равновесии, то во время нагревания кислорода его давление р остается также постоянным. Таким образом может быть найдена удельная теплоемкость кислорода при постоянном давлении: ср = QJmAT =916 Дж/(кг • К).
Работа расширения при постоянном давлении А = р(У2- Т,), где Р, и lz2 - начальный и конечный объемы газа. Уравнения состояния газа до и после нагревания:
pVy=mRTA/^., pV2 = mRTUp.
Вычитая первое уравнение из второго, найдем
р(1/2-1/|) = /и/?(Т2-Т1)/щ
где Т2- Г] = АТ -разность конечной и начальной температур; отсюда А = mR(T2 - ТО/ц = 2,59 кДж.
Подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии AU и на совершение работы A\Q = AU + А; отсюда AU = Q - А = 6,57 кДж.
V = mpj(px - р2)ро = 29,2 л.
Уравнения состояния до и после выпускания газа из баллона:
Р\V = пцКТ1\и, РтУ = m2RTI\l,
где тх и т2 - массы газа в баллоне, а рх и р2- давления газа до и после выпускания. Вычитая одно уравнение из другого и учитывая, что Ал/ = = тх - т2 и Др = рх - р2, имеем VAp = AmRTI\i; отсюда p/RT = AmIVAp. С другой стороны, плотность газа р() при давлении р0 можно найти из уравнения состояния:
р» = pxxp/RT = pxxAm!VAp ~ 3,7 кг/м3.
Др = Ро(т2-тД/Ур() = 68 кПа.
Если газ нагревается при постоянном объеме, то газ не совершает работы. Поэтому все подводимое к газу количество теплоты Q идет на увеличение его внутренней энергии ДС (см. задачу 512): Q = = ДС = 6,57 кДж. Удельная теплоемкость кислорода при постоянном объеме Су = Q/mAT = AUlmAT = 657 Дж/(кг ■ К).
Из уравнения состояния находим массу кислорода: т = \ipVIRT = = 4кг3\1.р№Т, где V = АкУ/З - объем шара. Уравнения теплового баланса для откачанного и заполненного шаров:
Сх(Ти- 7) = Хпц, ктс2 + СД(7М - 7) = Хт2,
где С] - теплоемкость откачанного шара. Исключая из этих уравнений величину С| и учитывая выражение для т, получим удельную теплоемкость кислорода:
с = ЗХ(т2-тх^Т1Ат3р(Тп- 7)ц = 670 Дж/(кг • К).
с = е/?71/црЕ(72- 70 = 660 Дж/(кг • К).
Количество теплоты Q, сообщаемое газу, идет на увеличение его внутренней энергии ДС и на совершение газом работы: Q = ДС + А. При постоянном давлении р работа расширения газа А = рАУ- УД, где У2 и У] - конечный и начальный объем газа. Уравнения состояния газа до и после нагревания:
pVx=mRTxl\L, pV2 = mRT2!\X.
Вычитая первое уравнение из второго, найдем p(V2 — УД = mRAT/p. где Д7 = 72- 7] - разность конечной и начальной температур газа. В результате QP = kU + niRA'l’Ip.
При постоянном объеме работа расширения газа А = 0 и Qv = ДС. Следовательно. Qp- Qv = mRAT/p.
Удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме: ср = Qp/mAT, cv = QylmAT. Разделив разность Qp - Qv на niA7, получим ср - cv = /?/ц.
Таким образом, существует различие удельных теплоемкостей газов, находящихся при постоянном давлении и при постоянном объеме. Для твердых и жидких тел, ввиду значительно меньшего коэффициента их
объемного расширения, в большинстве случаев этой разницей можно пренебречь.
Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию его молекул, которая зависит только от температуры газа, но не зависит от расстояния между молекулами и, следовательно, от объема газа. При изотермическом процессе не изменяется температура, поэтому внутренняя энергия остается постоянной. Следовательно, количество теплоты, сообщаемое газу, должно быть равно работе, совершаемой газом: Q = А = 20 Дж.
Так как газ в цилиндре теплоизолирован, то он совершает работу только за счет уменьшения ДУ своей внутренней энергии. Поэтому ДУ = А = 4,47 кДж. С другой стороны, к состоянию газа с той же конечной температурой можно прийти (см. задачу 519), если уменьшить его внутреннюю энергию на ту же величину ДУ. отнимая у него количество теплоты Qv = mcv(T] - Т2) при постоянном объеме. Таким обраом, Д17 = тсу(Т 1 - Т2); отсюда Т2 - Т| - ДУ!тСу = 263 К.
При изменении температуры газа на одну и ту же величину ДТ при постоянном объеме и при постоянном давлении разность количеств теплоты Qp - Qy = mR ДТ/ц (см. задачу 519); отсюда Qv = = QP- тКДТ/ц. = 0,2 МДж.
Количество теплоты Q = стДТ при нагревании воды идет на увеличение ДУ ее внутренней энергии и на совершение при тепловом расширении воды работы А = роДУ = р^ссУДТ против сил атмосферного давления, где У = 10-3 м3 - первоначальный объем воды. Проведя вычисления, получим А == 0,2 мДж, в то время как Q = 4,2 кДж, т.е. при обычных услових Q^ А, Поэтому можно считать, что Q = ДУ.
Один моль газа содержит МА молекул (NA = 6,02 • 1023 моль-1). Вода массы m содержит п = mNA/\i молекул. Таким образом, на одну молекулу приходится увеличение внутренней энергии ДУ; = ДУ/п =1,26 • 10-22 Дж.
Q = гце^о = 11,5 МДж.
Q = пк-рДТ = тСрТ^ = 1,49 кДж.
Уравнения состояния газа до и после нагревания:
pxV = mRTx/[i, p^V = mRI^,
где pi и p2 - начальное и конечное давления, Тх иТ^ - начальная и конечная температуары. m - масса газа. Вычитая первое уравнение из второго, найдем
УДр = V(p2-pi) = mR(Tn - T/)/[i; отсюда T^-Tj = \iVAplmR.
Количество теплоты, сообщенное газу при постоянном объеме, Q = тсуСТз-Т^ = \1СуУДрУ = 16,5 кДж.
А = щр()ДТ/р0Т() = 84,5 кДж, где р0 = 0,1 МПа и То = 273 К - нормальные давление и температура.
Давление газа в цилиндре постоянно: р = Ро + mg/S. Работа расширения газа при постоянном давлении А = p(V2- V]), где У2 - конечный объем газа. По закону Гей-Люссака V2/Vj = Т2П\', отсюда
V2 = 472/7i. ^-Vi =Vx<T2-T^ITv=V\M!Tv
Таким образом, А = (р0 + mglS)V\ATITx = 20 Дж.
График изменения состояния газа в координатах р, V приведен на
рис. 318. Участок 1-2 - изохорный процесс: температура увеличивается,
Рис. 318Рис. 318происходит поглощение теплоты, работы газ не совершает. Участок 2-3 - изобарное расширение. Температура увеличивается (изотерма, на которой лежит точка 3, соответствует большей температуре, чем изотерма, на которой лежит точка 2), происходит поглощение теплоты, газ совершает работу. Участок 3-4 - изотермическое расширение: температура остается постоянной, происходит поглощение теплоты, газ совершает работу. Участок 4-1 - изобарное сжатие: температура уменьшается (изотерма, на которой лежит точка 4, соответствует большей температуре, чем изотерма, на которой лежит точка 1), происходит выделение теплоты, работа - отрицательная.
Рис. 318
Рис. 318
Графики изменения состояния газа в координатах р, Т иУ,Т приведены
на рис. 319 и 320.
При переходе между состояниями 1 и 2 газ работы не совершает, так как его объем не изменяется (поршень неподвижен). При переходе между состояниями 2 и 3 работа газа А = р2(Уз- У2). Величины р2, У2 и У3 определяются из уравнений процессов - изохорного (1-2): рх1р2 =
= Т!Т2 (V] = V2), и изобарного (2-3): V2/V3 = T2IT2 (р2 = const); отсюда Д =PiVl(T3-T2)/Tl = 100 Дж.
А = p0(V - V') = ^(V - m/p) = 167 Дж, где р0 = 0,1 МПа - давление насыщенного водяного пара при t = 100 °C, равное нормальному атмосферному давлению, а V'- объем сконденсировавшейся воды.
Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию его молекул. Она пропорциональна его температуре и числу молекул. Внутренние энергии газа в первом и втором цилиндрах U! = к\ХТх HU2 = kv2T2 и газа в цилиндрах после смешивания U = 7(V| + v2)T, где к - коэффициент пропорциональности, зависящий от природы газа, V, и v2 - количества газа (в молях) в первом и во втором цилиндрах. Согласно закону сохранения энергии Ux + U2 = U, и, следовательно, V|T| + v2T2 = (v, + v2)T. Из уравнений состояния для газов до смешивания найдем V| = pxVx]RTx и v2 = p2V2(RT2. Подставив эти выражения в предыдущее равенство, получим
pxVx / R + p2V2 / R = (/?] Ц / RTX + р2 V2 / RT2)Т.
Таким образом,
T = TlT2(plVl+p2V2)/(plVlT2+p2V2Tl) = 366 К.
Из уравнения состояния для смеси газов р(^х + V2) = (/?, + nk)RT, используя найденные ранее выражения для Vj, v2 и Т, получим (см. задачу 442)
р = (Рх V, + р2V2) /(у + V2) = 525 кПа.
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары
Рассмотрим ход изотермы Тх = const (рис. 321). При подъеме
поршня давление на жидкость убывает. Объем же жидкости от давления почти не зависит (жидкости практически несжимаемы). Поэтому пока под поршнем находится только жидкость, участок ab изотермы практически
совпадаетсовпадаетс изохорой. Когда давление в цилиндре становится равным
совпадает
совпадает
Рис. 321Рис. 321давлению насыщенного пара при температуре Т। (давлению рь\ в цилиндре кроме жидкости появляется насыщенный пар. Давление насыщенного пара не зависит от его объема. Поэтому при дальнейшем увеличении объема изотерма совпадает с изобарой (участок Ас) до тех пор, пока вся жидкость в цилиндре не превратится в пар (при объеме Vr). При дальнейшем увеличении объема пар становится ненасыщенным, и зависимость его давления от объема подчиняется закону Бойля-Мариотта.
Рис. 321
Рис. 321
Ход изотермы Т2 = const такой же, но, так как давление и плотность насыщенного пара при этой температуре больше, полное испарение жидкости произойдет при объеме Vc < Vc.
Давление, оказываемое паром на стенки сосуда, обусловлено ударами молекул о стенки и пропорционально кинетической энергии молекул и числу молекул в единице объема (см. задачу 506). Средняя кинетическая энергия молекул пара пропорциональна температуре (см. введение к § 16), в то время как число молекул насыщенного пара в единице объема возрастает при повышении температуры.
Линия abd на рис. 67 на участке ab совпадает с зависимостью давления насыщенного пара от температуры, на участке bd представляет собой
отрезок прямой, проходящей через начало координат. рТакой ход объясняется тем, что при температуре Ть вся
3жидкость, бывшая в сосуде вместе с насыщенным
паром, превратилась в пар. Далее же происходит, со-
^ гласно закону Шарля, изохорное увеличение давления.
1 Линия abce представляет собой такой же процесс, но А 1 при большей массе жидкости и пара в сосуде. Темпе*- ратура 7\ -критическая температура. Говорить о ^парах при температуре выше критической нет смысла.
Рис. 322 Поэтому все линии обрываются при этой температуре.
Участок 1-2 (рис. 322) — изохорное увеличение давления при нагревании. Участок 2-3 - изотермическое сжатие ненасыщенного пара (происходит согласно закону Бойля-Мариотта до насыщения пара - до начала его сжижения). Участок 3—4 - изотермическое сжатие насыщенного пара (происходит сжижение, а давление остается постоянным).
Число молекул вещества при заданной его массе не зависит от состояния вещества, если не происходит химических реакций. Количество вещества (в молях), имеющего массу m и молярную массу р, v = m/p.. Один моль вещества содержит число молекул NA. Следовательно, масса вещества nt содержит число молекул п = mNa = mNA/\i. Единица массы вещества содержит число молекул nm = NA!\V что для паров ртути и воды дает
нпА = Na/р, =3102Д кг '. пт2 = МА/ц2 = 3,31025 кг '.
При температуре t = 4 °C плотность воды ри = 103 кг/м3. Плотность пара р можно найти при помощи уравнения состояния:
р = \Xp!RT; отсюда ри/р = pHRT!\Xp = 1,6 • 105.
Один моль вещества содержит число молекул NA = 6,02 • 1023 моль-1. Единица объема вещества содержит число молей v = р/р и, следовательно, число молекул рМл/р. На каждую молекулу воды и пара приходятся объемы
V„ =ц/р,^л = 3-10"29м3, V = pJpNA =RTIpNА =4,8-10“24 м3.
Согласно уравнению состояния pV = mRTIp. плотности газов и паров при постоянной температуре пропорциональны их давлениям. Поэтому р]/р2 = P\!pi = 0,45.
Масса пара, необходимая для насыщения обт:>ема котла при температуре Т = 453 К, тхх = ро^ = 25,25 кг. Так как тм > ти, то вся вода превратилась в ненасыщенный пар. Следовательно, т = т„ = 20 кг. Из уравнения состояния находим давление: р = mRTIpV = 0,84 МПа.
В сосуде до увеличения его объема содержался пар массы ти = = ро^ = 8 г (объемом, занимаемым водой, можно пренебречь). Масса воды и пара была т, + т^ = 20 г. Для насыщения объема kV при той же температуре необходима масса пара т'о = рд^Е = 40 г. Так как
тв + т0 < т^, то после увеличения объема пар будет ненасыщенным. Его
плотность р = (тп + m^lkV. Давление при данной температуре пропорционально плотности. Поэтому р = Рор/ро = Рокт« + "'оУро^У = = 0,55 кПа.
Давление оставалось постоянным, пока под колоколом
был насыщенный пар, плотность которого р = p.p(RT. За время т был откачан объем V = 1/1т, в котором содержался пар массы т = pV = vpVTTjRT = 279 г.
Насыщенный пар массы т при давлении р согласно уравнению состояния должен занимать обз3ем V = mRT/p.p. Следовательно, АЕ = = V - V = mRTIyip - V = -0,29 м3 (знак минус показывает, что объем
должен быть уменьшен).должен быть уменьшен).543. р =543. р =4 FTKd2(T+Q/mc)4 FTKd2(T+Q/mc)МПа.МПа.
должен быть уменьшен).
должен быть уменьшен).
543. р =
543. р =
4 FTKd2(T+Q/mc)
4 FTKd2(T+Q/mc)
МПа.
МПа.
Давление смеси насыщенного пара и гелия в трубке р = р(>- pgh. По закону Дальтона это давление складывается из парциальных давлений пара и гелия р, и р2; отсюда р2 = р()-р, - pgh. Из уравнения состояния найдем массы пара и гелия тх и пъ;
тх = Е1£1Г = 4, з • 1 О7 к г,= MALZ£l^)K = 4,8 • 1 О*6 кг
Если бы в цилиндре был только насыщенный пар массы т и весь он сконденсировался, то объем образовавшейся воды (около 0,3 • НЕ3 м3) был бы мал по сравнению с объемом V = V/k = 0,33 м3, оставшимся под поршнем после сжатия. Поэтому можно считать, что весь объем цилиндра после сжатия занят смесью пара и азота, причем парциальное давление пара рх во время сжатия не изменилось. Из уравнения состояния находим массы насыщенного пара до и после сжатия: тх = pxVpx!RT, т'х = pxV'px / RT = pxVpx I kRT; отсюда масса сконденсировавшегося пара
km = тх-т'х = рхЦц^Л-1)/kRT = 20 г.
Масса азота m2 = т - тх = (mRT - pxVp.Q/RT. Из уравнения состояния находим парциальное давление азота до сжатия:
Рз = m2RT / ц2У = (mRT - рх Уц, )/ц2У.
Давление смеси до сжатия по закону Дальтона
Р - Р\ * Pi = [р^СДг ~ Д1)+ mRT]/ц2У = 27,2 кПа.
Влажный пар массы ти отдает количества теплоты: Qx = = cm„n(t„- tKVm) при охлаждении входящей в его состав воды до температуры конденсации: 02 = снл/н(1 - n)(t„- tKUп) при охлаждении сухого (за вычетом капель воды) пара до той же температуры; (?з = Xw/H(l - л) при конденсации пара; <24 = m^'Q^,], - 6) при охлаждении образовавшейся из пара воды (включая и бывшие в нем капельки) до температуры смеси. Холодная вода массы т получает количество теплоты (25 = ти(9 -1). Согласно уравнению теплового баланса Qx + Q2 + 2з + Qi = Qs* отсюда масса холодной воды, приходящаяся на единицу массы пара,
т = [си+ <?„(! -»)](/„ -К„„) + Х(1-н) + с(\и„ -6) = 24
т„c(Q-Q
ти = mc(t - 1КИ||)/Х = 0,37 кг, где 1КИ|| = 100 °C - температура кипения воды при атмосферном давлении.
Объемом, который занимает в сосуде лед, можно пренебречь. Из уравнения состояния найдем массы пара при температурах о и /2:
тх = VpxpJ RTX, т2 = Vp2pJ RT?.
Массы испарившегося и оставшегося льда
тч = т3 -тхтч = т3 -тхM^f PiR (т2M^f PiR (т2т{,т{,= т - т2= т - т2mRT, - pVp2RT,mRT, - pVp2RT,
тч = т3 -тх
тч = т3 -тх
M^f PiR (т2
M^f PiR (т2
т{,
т{,
= т - т2
= т - т2
mRT, - pVp2RT,
mRT, - pVp2RT,
Количество теплоты, необходимое: для испарения льда, <2Л = тл(г + X); для нагревания пара, Q = m2c(f2-rQ; для нагревания оставшегося льда, Q' = т^с,,^ -tx). Полное количество теплоты
бл +Q +Qi =
_ цУ(г + ХН р2R (Т2_ цУ(г + ХН р2R (Т2^УР1{с-с^ rt2^УР1{с-с^ rt2+ тсл+ тсл(/2 -1,) = 3,92 кДж.(/2 -1,) = 3,92 кДж.
_ цУ(г + ХН р2
R (Т2
_ цУ(г + ХН р2
R (Т2
^УР1{с-с^ rt2
^УР1{с-с^ rt2
+ тсл
+ тсл
(/2 -1,) = 3,92 кДж.
(/2 -1,) = 3,92 кДж.
Давление насыщенного пара при постоянной температуре не зависит от объема. При температуре t = 100 °C оно равно нормальному атмосферному давлению р0 = 0,1 МПа. При изобарическом сжатии работа A =Po{Vx-V2]-\ кДж.
При перемещении поршня объем цилиндра изменился на V2- Vx = SL При равномерном убывании давления можно взять в расчет
среднее давление р = (Pi + Р2У2 и искать работу, как при постоянном давлении:
A = p(V2-V|) = (p|+/72)y = 14,4 кДж.
График зависимости давления от объема (рис. 323) при равномерном убывании давления от р^ до рг изображается отрезком прямой ah. Пло
Рис. 323Рис. 323щадь трапеции с основаниями а V । = = р} и bV2 = р^ и высотой У2- Г, = SI численно равна работе А.
Рис. 323
Рис. 323
h = (/7i -p2)/PS ” 12,5 м.
р = p.p/RT = 0,091 кг/м3.
Плотность насыщенного пара при температуре ?2= 20 °C р2 = Цр2//?Т2= 17,3- 10-3 кг/м3. Таким образом, р2 > рь Поэтому при охлаждении до температуры t2 насыщение не будет
достигнуто, конденсация не начнется, и содержание пара в единице объема воздуха останется прежним, т.е. р2 = Pi = 0,005 кг/м3.
насыщенного пара р2 =насыщенного пара р2 =При температуре /2 = 10 °C плотность
насыщенного пара р2 =
насыщенного пара р2 =
= p.p2IRT2 = 9,4 • 10"3 кг/м3. Таким образом, р2 < Р). Поэтому
при охлаждении до температуры Г2 часть пара сконденсируется, и абсолютная влажность будет определяться плотностью насыщенного пара р2 = 9,4 • 10"3 кг/м3.
При температуре б абсолютная влажность воздуха до уменьшения его объема pi =/iP- Масса влаги в единице объема сосуда
после сжатия воздуха (не только в виде пара, но и в виде сконденсировавшейся жидкости, если возникли условия для конденсации) р2 = = kj\p = 16,9 • 10"3 кг/м3. При температуре Г2 = 100 °C давление насыщенного пара равно нормальному атмосферному давлению р^ = 0,1 МПа и его плотность р0 = Ц/7()//?Т2 = 0,58 кг/м3. Так как р() > р2, то в сосуде будет ненасыщенный пар с относительной влажностью /2 = р2/ро = = (4fiрЯТУцро) • 100 % = 2,9%.
р' = (Цц? - р/?Т)ц2//?Т(ц| - ц2) = 13,1 • 10~3 кг/м3;/' = (р7р») х х 100 % = 48,5 %.
m = (/2-/)pV = 208 г.
р = mf2Rf2 -/])У = 0,006 кг/м3.
Плотность сухого воздуха р, = Ц^о/^Т. При относительной влажности /плотность пара р' = /р0 = vvjbJRT, где р2 - парциальное давление пара; отсюда р2 = /ро/?Т/ц2. Так как давление влажного воздуха р0 складывается из парциальных давлений воздуха и пара р\ и ръ то рх = р0— р2 = = /?()- /р0/?77ц2. Плотность воздуха (без пара) при этом парциальном
давлении
р" = Ц1Р|/RT = ^p0/ЛТ-^/ро/Цг.
Плотность влажного воздуха
р2 = р'+ р" = Ц|Ро //?Т - (ц, /ц2 - 1 )/р0.
Отношение плотностей влажного и сухого воздуха
р2/р, = 1 -(ц, -ц2)/р0/?Т/ц,ц2р0 «0,987.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
По закону Кулона q — г ^гЕК = 0,2 мкКл. где к = 1/4ле() = = 9 • 109 Н • м2/Кл2.
N = q/e = 6,25 • 10|К электронов.
г = Дг (2+ ^ 2) « 1,71 м.
г < ^к I qxq2 I КТ - mg) =1,8 см.
Положительные заряды q могут быть расположены как по обе стороны от отрицательного заряда Q, так и по одну сторону от него. Отношение сил в первом и втором случаях:
ЕхЕЕх^к^Лк^АД.
1116 г2 9 г1
Е?.Е, =—= 0,675,
"'4 г" 9 г‘
где г - расстояние от заряда Q до ближайшего положительного заряда q.
Обозначим модуль силы буквой F с двумя индексами, первый из которых показывает, на какой заряд действует сила, а второй - со стороны какого заряда она действует (например, Ет - сила, действующая на заряд q^ со стороны заряда q^). Возьмем в качестве координатной оси ОХ прямую, проходящую через заряды qt nq2 (рис. 324). За начало отсчета О примем точку, где находится заряд qx, а за положительное направление - направление от заряда qx к заряду q2. Закон Кулона (в нашей записи) дает возможность определить лишь модуль вектора силы, а знак проекции вектора будет, как обычно, положительным, если сила направлена в положительном направлении оси ОХ, и отрицательным в противном случае..
На каждый из трех зарядов действуют со стороны двух других по две силы. Для равновесия необходимо, чтобы эти две силы были противоположными по направлению. Легко видеть, что это условие выполняется лишь в случае, когда заряд qxx находится на оси ОХ между зарядами qx и q2
qx -
f20 f2i Xf20 f2i X< Q—*<—©—►-
f20 f2i X
f20 f2i X
F12 О Fl0 FOI qQ F02
Рис. 324
и имеет противоположный по сравнению с qx и q2 знак. Пусть расстояние между зарядами qx и qxx равно х (0 < х < г). Тогда (рис. 324):
на qxx действуют силы
Fm = ^«qjx^ и Fm = \kqxxq2Kr -x)2k
на qx действуют силы
^10 = \kqxqxxjx2\ и F12 = \kqxqTlA,
на t/2 действуют силы
^20 = ^929(/(''--021 и F21 = Mcq^lrA.
При равновесии всех трех зарядов:
a) ~FXXX + F()2 = 0; б)-F12 + Fjo = 0; в) F21 - F2() = 0.
Условие а) приводит к квадратному уравнению относительно х:
V +гх’g»1 г2 = 0.
I 92 1 I I I 92 1 - 191 1
Для корней этого уравнения
- I 9i । ±V 9i ।' । 92 ।X. 7 =Г
' I q2 I - I qx I
выполняются условия: 0 < xj < г в любом случае; х2 < 0 при 1<721 > It/J; х2 > г при 1<721 < 1<711. Второй корень должен быть отброшен, как не удовлетворяющий условиям равновесия. Таким образом,
Условие б) дает lqoqxl/x2 = I9i92l/r2’ отсюда
. . I q2 I х2। 92 । (V1 9i 1'192 I-। 91 f
I on I =— =5— = 4 нКл.
°(I92I-I9J)2
Каждый заряд q взаимодействует с двумя другими зарядами q, расположенными на расстоянии а от рассматриваемого (рис. 325). Поэтому на любой заряд действуют две равные по модулю силы Fx = F2 = kq2/a2. Равнодействующая этих сил (проекция векторной суммы этих сил на диагональ параллелограмма)
На заряд qx действуют две равные по модулю силы со стороны зарядов q2 и qT,, а также сила со стороны заряда q0 (рис. 326). Ввиду
б/><а/2б/><а/2Рис. 325Рис. 325Рис. 326Рис. 326
б/><а/2
б/><а/2
Рис. 325
Рис. 325
Рис. 326
Рис. 326
равенства зарядов qx = q2 = q3 = <7 получаем qo=^l 3 q!3 = 5,2 нКл. На заряд q^ действуют три равные по модулю силы, равнодействующая которых равна нулю.
Каждый заряд q взаимодействует с тремя другими зарядами q, два из которых находятся на расстоянии а от рассматриваемого, а один - на расстоянии г = <?/cos а = -J2a (рис. 327). Поэтому на любой заряд действуют три силы: Fx = F3 = kq2la2 и F2 = kq2!^^.^2. Равнодействующая этих сил (проекции векторной суммы этих сил на диагональ квадрата)
F = 2FX cos а + F2 = Flkq1 I a2 + kqJ 12a?" = 172 мкН
и направлена по диагонали квадрата от его центра.
На заряд qQ действуют четыре силы, направленные попарно по двум диагоналям квадрата (рис. 328) и равные по модулю F,, = = kq^q/r2 (г = а^[2 - половина диагонали квадрата). Равнодействующая этих сил
F = 4FVl cos а = 8 kq0 q cos а/а2 = 509 мкН,
где а = 45° - угол между диагональю и направлением равнодействующей.
После соприкосновения шарика В с шариком А заряд q перераспределится между шариками поровну и шарик В будет подниматься 296
вверх. Равновесие силы тяжести и силы Кулона наступит при ^(0,5^)2/Л2 = = mg; отсюда Л = 9 см.
q/m = со2/?3Дк/()1 = 15 мкКл/кг.
q = тЦG/k = 0,774 пКл, где G = 6,67 ■ 10“" Н ■ м2/кг2 - гравитационная постоянная.
Силы взаимодействия зарядов в вакууме и в керосине F = kq^q^)2 = 1,44 мН и FK - kqxqjE)2 = F/e = 0,72 мН.
Следует отметить, что силы, приложенные к различным по модулю зарядам, равны по модулю и противоположны по направлению. На экзаменах нередко ошибаются, утверждая, что к большему заряду приложена большая сила. Это противоречит не только закону Кулона, но и третьему закону Ньютона.
Е = Fp^/F^-j = 2.
/'i = r2/Ve= 17,3 см.
До погружения в керосин на шарики действуют (рис. 329л): сила тяжести mg, сила натяжения нити Т, сила кулоновского отталкивания F=kq^h2, где т — масса шарика, q - его заряд и г-расстояние между
шариками. При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю (см. введение к § 6):
Тcos a-mg = 0, F-Tsina = 0.(1)
При погружении шариков в керосин сила Кулона FK = kq2!e.r2; сила Архимеда/= т#рк/р и направлена вверх (рис. 3295). Условие равновесия сил теперь примет вид
Тк cos а - (m# -/) = О, FK - ТК sin а = 0.(2)
Из (1) и (2) имеем
F/FK = mgKJ- mg); отсюда р = ерк/(е - 1) = 1,6 ■ 103 кг/м3.
£ = р/(р - рж) (см. задачу 576).
F = к^l[+q^q^q(^/г2 .
Обозначим заряды через qx. q^ и q^. Тогда по закону Кулона
РХг= kq^^r^^ FX) = kq^q^r^, F^- kq^q^lr^.
Исключая из этих уравнений qx и q^, найдем
„ _ ГПГ23 1^13^23г12 А
Сила взаимодействия F = kqxq^r1 = 36 кН. Эта сила довольно велика; она приблизительно равна силе, с которой притягивается к Земле тело массы m = 3600 кг.
Рис. 330Рис. 330Рис. 33 IРис. 33 I
Рис. 330
Рис. 330
Рис. 33 I
Рис. 33 I
На каждый шарик действуют: сила натяжения нити Т, сила тяжести mg и сила кулоновского отталкивания F = kq2lr2, где г = 2/sin а (рис. 330). При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю (см. задачу 576):
Т cos а - mg = 0, F - Т sin а = 0.
Исключив из этих уравнений Т и учитывая выражения для F и г, получим m = kq2 cos ajAl-g sin3 a = 6,3 r. .
На подвижный шарик действуют: сила тяжести mg, сила кулоновского отталкивания F и сила натяжения нити Т (рис. 331). При
равновесии шарика суммы проекций сил на горизонтальное и вертикальное направления равны нулю:
F cos а-Т sin 2а = О,
F sin а + Т cos 2а - nig = 0.
Исключая из этих уравнений Т, находим
cos а + tg 2а sin а
Используя известную формулу ctg а = sin 2а/(1 - cos 2а), получаем
„ 1 - cos 2аF =:mg.
sin а
Как видно из рис. 331, расстояние между шариками г = 2/ sin а. Следовательно,
F = kq1 / г2 = kq4 / 4/2 sin2 а:
отсюда
q = 2l^mgTk)(l -cos 2а) sin а = l^mg/ к = 0,8 мкКл.
внешнюю поверхностьвнешнюю поверхностьРис. 332Рис. 332Заряд шарика q полностью перейдет на сферы и распределится по ней равномерно. Поэтому поверхностная плотность заряда на сфере
внешнюю поверхность
внешнюю поверхность
Рис. 332
Рис. 332
а = q/S = t//4 л/?2 = 0,1 мкКл/м2.
При внесении шарика с зарядом q внутрь проводящей сферы на внешней поверхности сферы появляются индуцированные заряды того же знака, что и заряд q. а на внутренней - противоположного знака (рис. 332). Поверхностная плотность заряда на сфере
а = q/S = q/4 tx.R^ = 0,1 мкКл/м2.
При изменении положения шарика электрическое поле внутри сферы будет меняться, но это не скажется на распределении зарядов на внешней поверхности сферы и их плотность будет прежней.
§ 19. Электрическое поле
Напряженность электрического поля
Напряженность электрического поля, создаваемая точечным зарядом, Е = kq/гг2", отсюда г = Ц kq/eE = 2,1 м.
Заряд q, находящийся в центре сферы, индуцирует на внутренней поверхности сферы заряд -q, а на внешней поверхности - заряд +q
(см. задачу 584). Индуцированные заряды ввиду симметрии распределены равномерно. Электрическое поле у внешней поверхности сферы совпадает с полем точечного заряда, равного сумме всех зарядов (находящегося в центре и индуцированных), т.е. с полем точечного заряда q. Следовательно, £2 = kq!R2 = 2,25 кВ/м.
Заряды, распределенные равномерно по сфере, внутри этой сферы электрического поля не создают. Поэтому внутри сферы поле будет создаваться лишь зарядом, помещенным в центре. Следовательно, £| = kqlr2 = 9 кВ/м.
Напряженность электрического поля Е в третьей вершине треугольника (в точке А) является векторной суммой напряженностей £, и £2, создаваемых в этой точке положительным и отрицательным зарядами. Эти напряженности равны по модулю: £| = £2 = kq/a2, и направлены под углом 2а = 120° друг к другу. Результирующая этих напряженностей равна по модулю Е = 2к \q\ cos a/а2 = 40,5 В/м (рис. 333), параллельна линии, соединяющей заряды, и направлена в сторону отрицательного заряда.
Рис. 333Рис. 333
Рис. 333
Рис. 333
Напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба (в точке А) является векторной суммой напряженностей (рис. 334), создаваемых в этой точке зарядами qx, q2 и Q: Е = Ех + £2 + £3. По модулю напряженности £3 = kQ!a2, Ех = £2 = kqla2, причем направления напряженностей £| и£2 составляют с направлением напряженности £3 одинаковые углы a = 60°. Результирующая напряженность направлена вдоль короткой диагонали ромба от заряда Q и равна по модулю
Е = kQ!a2 + 2к(^а2) cos a = к (q + QVa2.
Напряженности электрического поля £|,£2и£3, создаваемые зарядами qx, q2 и Q в заданной точке, имеют модули, найденные в задаче 588, однако напряженность £3 направлена в противоположную сторону, т.е. к заряду Q. Таким образом, направления напряженностей £ь £2 и £3 составляют между собой углы 2a = 120°. а) При \Q \ < q искомая напряженность Е = k^q - I2l)/a2 и направлена вдоль короткой диагонали ромба от заряда Q; б) при IQI = q напряженность £ = 0; в) при \Q\ > q напряженность Е = к (101 - q^a 2 и направлена вдоль короткой диагонали ромба к заряду Q. '
! 590. Напряженности электрического поля в центре ромба, создаваемые соответственно зарядами qx, q^, q3 и q.,,
Е\ = Akqjd^, E2 = 4kq2(d\, E3 = 4kq3h£. EA = 4kqA/dL
Напряженность в центре ромба
£ = 7сЁГ^7 + СЁГ^7 =
= (4к / d2dj )A[(~q^q/)24il"^^^= 15,9 кВ/м.
Угол ос между направлением этой напряженности и короткой диагональю ромба определяется выражением
tga = (£2 - Е\ )КЕ4 -Е3) = (q2 - q^2 d2 KqA-q^d2 = I, т.е. ос = 45°.
На шарик действуют: сила тяжести mg, сила F = qE со стороны электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 335). При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю:
Т cos ос - mg = 0, -Т sin ос + qE = 0;
отсюда tg ос = qE/mg ~ 1, т.е. ос = 45°.
На шарик действуют: сила тяжести mg и сила F = qE со стороны электрического поля, направленная вверх. Так как по условию F > mg, то при равновесии шарик будет находиться у верхнего конца вертикально натянутой нити (рис. 336). Равно
действующая сила F и mg, если бы шарик был свободен, вызывала бы ускорение а = qE/m - g, которое, так же как и ускорение свободного падения g, не зависит от положения шарика. Поэтому поведение шарика будет описываться теми же формулами, что и поведение шарика под действием силы тяжести без электрического поля (при прочих равных условиях), если только в этих формулах g заменить на а. В частности, период колебаний шарика на нити
Т = 2КлД/а = 211^ ml/(qE - mg).
При Т = Ти должно выполняться условие а = g. Следовательно, Е = 2mg/q = 196 кВ/м.
При наличии однородного электрического поля с напряженностью Е, направленной вниз, период колебаний шарика (см. задачу 592) Т = 2дх/ mH (mg + 1</1£). В отсутствие электрического поля То = 2uATUg = = 1,20 с. Для положительного заряда q период Т} = 1,10 с, а для отрицательного Т2 = 1,35 с. Таким образом, изменения периода в первом и втором случаях будут Тх-Т0 = - 0,10 с и Т2 - То = 0,15 с.
На шарик действуют: сила тяжести mg, сила F = qE со стороны электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 337). Возможны два случая: а) напряженность поля направлена вниз; б) напряженность поля направлена вверх. При равновесии шарика
Т cos р = mg + qE cos a, Tsin р = qE sin а,
где знак плюс относится к случаю а), а знак минус - к случаю б); Р - угол между направлением нити и вертикалью. Исключая из этих уравнений р, найдем
Т = -dmgf E2qmgEcosa + (qE-)2 .
При этом: а) Т = 28,7 мН, б) Т = 12,0 мН.
Электрон в поле движется равнозамедленно. Пройденный путь 5 и время /, за которое он проходит этот путь, определяются соотношениями
5 =п2/2у£ = 2,37 см,
/ = и / уЕ = 47 нс.
где у = dm = 1,76 ■ 10й Кл/кг - удельный заряд электрона (отношение заряда электрона к его массе).
Рис. 337Рис. 338
На электрон при его движении между пластинами конденсатора действует сила F = еЕ со стороны электрического поля. Эта сила направлена перпендикулярно к пластинам в сторону, противоположную направлению напряженности, так как заряд электрона отрицателен (рис. 338). Силой тяжести mg, действующей на электрон, можно пренебречь по сравнению с силой F. Таким образом, в направлении, параллельном пластинам, электрон движется равномерно со скоростью и, имевшейся у него до того, как он влетел в конденсатор, и пролетает расстояние / за время f = Ни. В направлении же, перпендикулярном к пластинам, электрон движется под действием силы F и, следовательно, имеет ускорение а = F!m = eElm; за время t он смещается в этом направлении на расстояние h = aFlI = eEi 2l2mu 2; отсюда
и = l^eE/lmh = 3,98 • 107м/с,
fc = mn2/2 = еЕ/2/4й = 7,2 • 10""16 Дж.
Потенциал. Работа электрических сил
Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равного заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал в точке, находящейся на расстоянии R + г от центра шара. ф,. = kq/(R + гр отсюда q = (R + rppr/k. Потенциал на поверхности шара ф = kq/R = = (/?+г)ф,.//? = 2,02 кВ.
Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и г. Тогда ее потенциал ф = kq/r. Заряд большой капли Q = Nq, и если ее радиус равен R, то ее потенциал Ф = kQ/R = kNq/R = Ntpr/R. Объемы маленькой и большой капель и = 4лг 3/3 и V = 4л/? 3/3 связаны между собой соотношением V = Ми. Следовательно. r/R = 1//V 1/3 и потенциал Ф = М<р/М 1/3 = N w ф.
В результате электростатической индукции на внешней и внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но противоположные по знаку заряды (см. задачу 584 и рис. 332). Вне сферы потенциалы электрических полей, создаваемых этими зарядами, в любой точке равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому потенциал суммарного поля индуцированных зарядов равен нулю. Таким образом, остаются лишь поля, создаваемые вне сферы зарядом BQ на ее поверхности и зарядом шарика q. Потенциал первого поля в точке удаленной от центра сферы на расстояние г, ф] = kQ/r = Z:Q/10 R, а потенциал второго поля в той же точке ф2 = kq/r = kq/10 R. Полный потенциал ф = ф] + ф2 = k(Q + <7)/10 R. При q = +20 нКл ф = 27 В; при q = -20 нКл ф = -9 В.
Наибольшую напряженность электрическое поле имеет у поверхности шара: Е = kq/tR \ Потенциал шара ф = kq/tR', отсюда ф = ER = 90 В.
Из закона Кулона определяем заряды шариков: q = iM F/k. Заряд q. находящийся на шарике радиуса R = D/2, создает на поверхности этого шарика потенциал
q r^F/k 2r г—
ф, = k — = k —= — -qkk.1 R RD
В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика создает потенциал ф2 = kq/r = "V kF. Таким образом, потенциал каждого шарика
2NkF ( DA
ф = ф, + ф2 — 1 +— — 4,84 кВ.
5 V2г)
Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке:
Ф = ф] + ф2 + Фз + ф4 = {к/а)(^| + д2 + ^3 + q^) = —180 В.
Напряженность поля мой напряженностей,+ 1 оНапряженность поля мой напряженностей,+ 1 ов центре квадрата является векторной сум- создаваемых каждым зарядом в этой точке:
Напряженность поля мой напряженностей,
+ 1 о
Напряженность поля мой напряженностей,
+ 1 о
2 Е = Ех + Е^ + Е3 + Ед. Модули этих напря- о женностей
Е3Ех ~ kqx / а2, Е3 = kq^ / у2,
Е ] Ел1/2 г* 1/2
XE3=kq3/a , Е4 = kq. / а .
Е* аУдобно сначала сложить попарно векторы,
X ' Eiнаправленные по одной диагонали в проти-
ХЕз+Еавоположные стороны (рис. 339): Ех + Е3 и
АЕз + Е4. При данных зарядах сумма Ех + Е3 по
^ ^4^ модулю равна сумме Е3 + Е4. Поэтому ре-
рзультирующая напряженность Е направлена
'"по биссектрисе угла между диагоналями и
составляет с этими диагоналями углы а = 45°. Ее модуль Е = 2545 В/м.
Напряженности электрического поля в точках а и h
Ец = kq! Гц =600 кВ/м, Eb = kq / rb = 37,5 кВ/м.
Потенциалы в этих точках
(ря = kq! I;, = 30 кВ, Ц>ь = kq! rb = 7,5 кВ.
Работа электрических сил при перемещении заряда q» из точки а в точку b А = 9о(Ф« - Фа) = ^о^1 7ги ~1 7ПЛ = 22>5 мкДж.
Напряженности электрического поля в точках а и b равны Ец = kq/ Гц и Eb -kq! rb , где га и гь - расстояния точек а и b от заряда q. Потенциалы в точках а и b равны фл = kqlra = л/ kqEa и фл = kqlrh = л/ kqEb; отсюда работа, необходимая для перемещения заряда q^ из точки а в точку Ь,
При прохождении электроном разности потенциалов V = 1 В электрические силы совершают над электроном работу А = eV = = 1,60 ■ 10"' Дж. Эта работа равна кинетической энергии, приобретенной электроном, т.е. 1 эВ = 1,60 ■ 10"19 Дж. Поскольку eV = тигЕ, то и = = \/ 2eWm = 593 км/с.
Работа электрических сил равна изменению кинетической энергии электрона: eV = mv1!!; отсюда v = V 2eVlm = 5930 км/с.
Потенциал на поверхности шара ф = kq!R\ отсюда 'его заряд q = (pRIk. Потенциал на расстоянии R + г от центра шара ф,- = = kql(R + /') = ф/?/(/? + г). При переносе заряда q0 из точки с потенциалом ф,. в бесконечность работа электрических сил А = <70ф,. = q^RI(R + г) =
' = 1 мкДж. Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q^ из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии /• от поверхности шара.
<р = A(R + r)/q^ = 0,3 кВ.
А = <7о(фЛ - ф„) = kqyq<\lrb - Mra^ = 22,5 Дж.
А = kqti(qa - q^Md - 1/V г 2 + d 2) = -0,36 мДж.
Найдем потенциал, создаваемый зарядом q, находящимся на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии х от его центра (рис. 340а) и, следовательно, на расстояниях г = V/? 2 + х 2 от точек, лежащих на кольце. Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с расстоянием г. Тогда заряд Aq,, находящийся на каждом отрезке (/" - номер отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал <р, = kAqJr. Потенциал, создаваемый в точке А всеми отрезками кольца (отстоящими от этой точки на одно и то же расстояние /•), будет
Ф = ф| + ф2 + ф3 +... = (к/ г) (Д^ + Д^2 + Д^3 +...).
В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т.е. заряд всего кольца q; поэтому Ф = kq/r = kq/yR2 + х2.
Потенциал Ф| поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом qx, находящимся на первом кольце, для которого .г = 0, и потенциала, создаваемого зарядом q^, находящимся на
Рис. 340
втором кольце, для которого х = d (рис. 3406). Аналогично находится потенциал в центре второго кольца:
Ф, = k(qx ! R + qjM2 + d2\ Ф2=k(q2/R + qx/^R2+d2 ).
Окончательно для работы имеем
Д = ^0(Ф| -Ф2) = ^о(^ -q2)(X/R-V^R^Td2 ).
Если заряды q0 и q одного знака, то удалить шарик от кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю
в бесконечности: ти712 + qtp = 0, где ф = kq/R - потенциал в центре кольца (см. задачу 611); отсюда v = ^ 2k\q{)q\/mR.
и = ^ 2keq!mR = 800 км/с.
Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е = V/d, направленной вертикально. После удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила F = qE = qV!d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае - электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим
. qV ., mgHd
А = гп =—h = mg(h-Н), откуда h =.
dmgd - qV
Согласно закону сохранения энергии
mgh-^mu2 /2 + mgH^qV,
где qV - работа электрических сил, У = kq!H - kqlh - разность потенциалов точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для определения h получаем квадратноеуравнение:
и2 kq2 , kq1
— + —-— + // й + —— = 0.
2g mgH ) mg
Решая его, найдем
1 ( у2 kq2 ) Ilf и2 kq2 Y kq2- — + _+/y_—+ —*— +H \—
21 2g mgH J V 41 2g mgH ) mg
(знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте, достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость, направленную вверх).
616. h = -2616. h = -2у2у2^g^gкд2 mgHкд2 mgH4 [ 2g +4 [ 2g +mgH J mgmgH J mg
616. h = -
2
616. h = -
2
у2
у2
^g
^g
кд2 mgH
кд2 mgH
4 [ 2g +
4 [ 2g +
mgH J mg
mgH J mg
Работа, совершенная над электроном электрическим полем, идет на увеличение кинетической энергии электрона:
е(ф„ -Фй)= ту} /2- ту} /2,;
откуда
Фо-Ф/,= (^ " ^ )/2у = "2.2,7 В,
где у - удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.
За время пролета t = Ни (см. задачу 596) электрон смещается в направлении действия силы на расстояние
h = ar 12 = уИ2/ 2 v^d = 5,5 мм,
где у - удельный заряд электрона.
На пылинку действуют силы тяжести mg и сила F = qxEx со стороны электрического поля, где qx - начальный заряд пылинки и Ех = V| Id - напряженность электрического поля в конденсаторе. Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg = F, или mg = qxVx I d; отсюда qx=mgd/Vx.
Так как уменьшение заряда пылинки на ди = 1000 е равносильно увеличению положительного заряда на q^, то новый заряд пылинки Чг = Ч\ + Ч^- При равновесии mg = q^V^/d, где Уг - новая разность потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для <у2, Чг и Ч»* найдем
Ц = mgd! q-^ = mgVxd Kmgd + ЮООеЦ) = 5020 В.
Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на Уг — V; = = - 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд пылинки увеличился).
Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена положительно. Новый заряд пылинки q^ = qx - qxx, где qxx = 1000 е. Поэтому (см. задачу 619)
Р2 = mgdIQi= mgVxdKmgd - lOOOeVj) = 7460 В.
Напряжение между пластинами нужно увеличить на V2 - Vx = 1460 В.
При равновесии
(4тс/-'4 / 3)pg = eV / d, откуда г = ^3eV / 4Tigp<7 = 7,6 • 10-5 см.
Напряженность электрического поля в конденсаторе Е = Vkl. Разность потенциалов между точками, где расположены заряды, Vub = Ф« _ Фл = El = VUd, где ф„ - потенциал в точке расположения заряда +q, а фА - потенциал в точке расположения заряда -q; при этом ф„ > фА. При повороте палочки электрические силы совершают работу по переносу заряда -q из точки а в точку b и заряда +q из точки b в точку а, равную-
А = -Ч^а - Ф/,) + Ч^Ь - Фа ) = -2д(фа ~ Фб ) = "^V / ^ = -6 • 1 (Г™ Дж.
Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.
М = qVUd = 9 ■ IO"9 H ■ м. j। 2 \
V = - F + -^- =460 кВ.
9 I l" )
Если до замыкания шарик 2 имел заряд q, то сумма зарядов шариков 1 и 2 после замыкания q^ + q^ = q. Потенциалы же их после замыкания одинаковы: (р = kq^/Ry = kqi/R?- Следовательно, q^ = qyR^/Ry. После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой
. QxQi I 91 ^7 mg = к = к —н-^ h" irRy. QxQi I 91 ^7 mg = к = к —н-^ h" irRyf mg Ry откуда qt = hL.f mg Ry откуда qt = hL.
. QxQi I 91 ^7 mg = к = к —н-^ h" irRy
. QxQi I 91 ^7 mg = к = к —н-^ h" irRy
f mg Ry откуда qt = hL.
f mg Ry откуда qt = hL.
Начальный потенциал шарика 2
kq _ k(qx + q^ R1kq _ k(qx + q^ R1= kqy= kqy\ + R^! Ry ^2\ + R^! Ry ^2= /7= /7Ry Ry + Ri R^ Ry R^Ry Ry + Ri R^ Ry R^= 12,6= 12,6кВ.кВ.
kq _ k(qx + q^ R1
kq _ k(qx + q^ R1
= kqy
= kqy
\ + R^! Ry ^2
\ + R^! Ry ^2
= /7
= /7
Ry Ry + Ri R^ Ry R^
Ry Ry + Ri R^ Ry R^
= 12,6
= 12,6
кВ.
кВ.
Электрическая емкость
Емкости проводящего шара в керосине и в глицерине Су = 4ле()Е1/? и С2 = 4лЕоЕ2/?. Их отношение С2/ С]= е2/Е] = 28,1.
Заряд на пластине, заряженной положительно, q = CV = 5 иКл.
v = V2^C = 1,03 • 107 м/с, где у - удельный заряд электрона.
Конденсатор из трех пластин можно рассматривать как два плоских воздушных конденсатора с емкостью £y\Sld каждый, соединенных параллельно (см. рис. 77). Поэтому общая емкость (без диэлектрика) Со = 2е() Sid ~ 35,4 пФ. При погружении конденсатора в глицерин его емкость С = еС() = 2е0е Sid = 200 пФ.
С = Су /(/7 - 1) = Е() Е SRn - 1) d = 31 пФ.
т = qE/g = I q I Q / £yyR гg = 3,7 r.
Напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора связана с зарядом Q на его пластинах соотношением Е = Q/e()S. На шарик внутри конденсатора действуют сила тяжести mg, сила натяжения нити Т и сила F = qE со стороны электрического поля (см. рис. 335). При равновесии шарика в пространстве конденсатора (см. задачу 591) qF = mg tg (X, или
-^-= mg tg а; отсюда Q = E°^m^ tg а = 5,2 мкКл. EqSq
Если qx и </2 - заряды на пластинах до и после погружения конденсатора в керосин, то
Aq = Яг ~Я\ ~ Ео(Е~DCgV = е0(е- 1)5VId = 50 нКл.
Заряд на пластинах не изменяется, поэтому V = dV0 lEdu = = 100 В..
При перемещении пластины емкость конденсатора в данный момент времени определяется той частью площади пластин, по которой они перекрывают друг друга. В моменты времени tx и 72 площади 5, = = ^о - vltx, S2 = So - vh2, где / = 10 см - длина стороны пластины. В эти моменты времени конденсатор имеет емкости С, = е()5| Id, С2 = Ео So Id, а заряды на его пластинах
qx = C,V = EOSXVI d, q2 = C2V = e0S2V I d.
Заряд, протекший по проводам за время Аг = t2 - 0,
Aq=qx -q2 = Ео(5| - S2)V I d = Eoul(t2 -tx)V/d.
При этом ток / = Aq/At = е() vl Vid = 32 нА.
Общий заряд параллельно соединенных конденсаторов q = (С, + C2)V = 0,6 мкКл.
V = 2Т()/3 = 4 В.
638. V = (С, V, + С2У2ЖС\ + С2) = 40 В.
С2 = CX(V, - V)/(V - V2) = 10 мкФ.
Заряды конденсаторов до их соединения qx = CXVX и q2 = C2V2. После соединения разноименно заряженных обкладок конденсаторов общий заряд <? = 1<?2 - <7|1 = (С| + C2)V и заряд первого конденсатора q'x = C|V. где V - разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения; отсюда
q'x = С, I C2V2 - C,VX I l(C, + C2) = 32 мкКл.
После соединения разноименных обкладок общий заряд <7 = CV равен разности зарядов qx = CXVX nq2 = C2V2 отдельных конденсаторов, где С = С] + С2 - общая емкость после соединения. Таким образом,
(С, +C2)V = CXVX-C2V2, qx>q2;
!Cx*C2W = C2V2-CxVx, qx < q2.
Решая эти уравнения, получим в первом и во втором случаях
С, = (V2 + V)C2Kyx - V) = 11 мкФ, С] = (V2- VIC2I(VX + V) = 3 мкФ.
До соединения заряды первого и второго конденсаторов qx = IC|V|I и <72 = IC2V2I. После соединения разноименных обкладок общий заряд
q2- di = 1C2V2I - 1СХУХ1 = + 1(СХ +С2Ж
Двойной знак мы здесь поставили потому, что заранее не известно, какой из зарядов, <72 или qx, больше; отсюда
IV2I = [IC1V1I + I(CI + C2WC2.
Решение со знаком минус соответствует случаю, когда знаки зарядов на пластинах первого конденсатора после соединения пластин не меняются, а со знаком плюс - случаю, когда эти знаки становятся обратными. Так как в нашем случае IC] V,! < 1(С, + C2)VI, а величина IV2I должна быть всегда положительной, то существует лишь одно решение - со знаком плюс. В результате II^I = 350 В.
qv = Rlq/(Rl + /?2); q2 = R2q/(Rx + R2\
Соединение шаров проводником эквивалентно параллельному соединению конденсаторов. После соединения
91' = Ci(<7i + с/гЖ) + С2) = R\kq\ + qi)KR\ + ^2) ” L9 нКл,
92 = Ci^h + qi)KC\ + С2) = R2(.q\ + qi)KR\ + ^2) " 4,8 нКл.
Заряды на шарах до и после соединения qx = R\ty\, q2 = ^2^2 и Q\ = = Rttp, q'2 = АЗф- Общий потенциал шаров после соединения определим из условия сохранения заряда: <р = (/?,д>] + R-^-^KRx + ^2)- Заряды на первом и втором шарах после соединения
q\ = ^ । (^ 1Ф1 + ^2^2)/^ 1 + ^2),
q 2 = ^'2(^1 Ф1 + ^^VC^i + ^2)-
Поверхностные плотности зарядов на шарах
<j[ = Cog, Ir\ = Eo^iVi + R^^IRx^Rx + /?2) = 4,425 нКл/м2,
23
646. Е = (Vo-v)/V = 7.646. Е = (Vo-v)/V = 7.Рис. 341Рис. 341О2 = Е()<72 /^ 2 = ^о (^ 1 ф| "^ ^2ф2)/^2(^ 1 + ^2) = 8,85 нКл/м-.
646. Е = (Vo-v)/V = 7.
646. Е = (Vo-v)/V = 7.
Рис. 341
Рис. 341
Емкость трех конденсаторов без диэлектрика Сх = ЗС(| = Зе(|5/с/ ~ 832,5 пФ. При заполнении двух конденсаторов диэлектриками емкость трех конденсаторов
С2 = Ej Со + е2С() + Со =
= 8» (е, + е2 + V)S/d = 2775 пФ.
Если d - расстояние между пластинами и С() - емкость конденсатора без диэлектрика, то разность потенциалов между пластинами конденсатора (без диэлектрика)
V() = Exxd и заряд на пластинах q = C^V = CoE(/Z. Конденсатор, половина которого заполнена диэлектриком, можно рассматривать как два соединенных параллельно конденсатора (рис. 341), причем один не содержит диэлектрика и имеет емкость С] = Со/2, а в другом все пространство
между пластинами заполнено диэлектриком, и поэтому его емкость С2 = = £С0/2. Полная емкость конденсатора, половина которого заполнена диэлектриком, С = С, + С2 = (£ + 1)С0/2. При отключенном источнике тока заряд на пластинах сохраняется, поэтому разность потенциалов между пластинами V = q/O и напряженность электрического поля в пространстве между пластинами, свободном от диэлектрика, Е = V!d = = q/Cd = 2Е^(£ + 1).
Если V, и V2 - напряжения на первом и втором конденсаторах, то V = V] + V2, а заряды на них одинаковы и равны q = CJ V, = C2V2; отсюда
V, = C2V/(C, + С2) = 165 В, V2 = CXVKCX + С2) = 55 В.
При последовательном соединении конденсаторов на конденсаторе меньшей емкости напряжение больше, чем на конденсаторе большей емкости.
Напряжения на первом и втором конденсаторах V, = = C2V/(C! + С2) = 600 В и V2 = С,V/(C। + С2) = 300 В (см. задачу 649). Работать при указанном в условии задачи напряжении пробоя конденсаторов нельзя, ибо произойдет пробой первого, а затем и второго конденсаторов.
При изменении емкости переменного конденсатора С2 от Cmin до Стах напряжение на нем V изменяется в пределах (см. задачу 649)
Vmin = сж, + Стах) = 100 В, Vmax = OVK.O + Cmin) = 182 в.
С, з = —-С‘ ± l^--^— (С-С^СоС,мкф и с 3 мкф
2132^4 G-Q 23
При последовательном соединении конденсаторов имеем l/Co-1/C] = 1/С2 + 1/С3, при параллельном С - С, = С2 + С3. Из этих уравнений находим С2С3 = С()С,(С - С,)/(С| - Со). Согласно теореме Виета С2 и С3 должны быть корнями квадратного уравнения
л-2 + (С, - Qx + С0С,(С - С,)/(С, - Со) = 0.
Решая его, найдем х, 2 = С2 = С3 = 2 мкФ. Заряды на всех конденсаторах при последовательном соединении равны между собой:
q = C,V, = C2V2 = C3V3; отсюда V2 = О^\Ю = 30 В,V3 = CIVI/C3 = 3OB.
При последовательном соединении конденсаторов заряд каждого конденсатора равен q, поэтому
V, = q!Cx = 30 В, V2 = <//С2 = 15 В, V3 = <//C3 = 6B.
Напряжение источника тока равно полному напряжению на всех конденсаторах: V = Vx + V2 + V3 = 51 В. Так как при последовательном соединении I/Со = \,СХ + 1/С2 + 1/С3, то
С» = С[С2С3/(С]С2 + ОО + С2С3)55 59 пФ.
V, = C2C3V/(C,C2 + C,C3 + C2C3) = 20 В;
V2 = C1C3V/(C,C2 + C,C3 + C2C3) = 8 В;
V3 = C1C2V/(C1C2 + C,C3 + C2C3) = 4 B.
При последовательном соединении конденсаторов заряды на конденсаторах равны. До погружения одного из них в диэлектрик заряд на каждом конденсаторе </0 = CV0 = CV/2; после погружения одного из них в диэлектрик заряды конденсаторов будут q = CV| = еСУ2. Учитывая, что V] + V2 = V, имеем q = eCV/( 1 + е). Изменение заряда на конденсаторах
q - qu = С (2е - l)V/2 (1 + е) = 167 пКл.
Первоначальная напряженность электрического поля в каждом конденсаторе Ex = V/2d, где d - расстояние между пластинами конденсатора. После заполнения одного конденсатора диэлектриком напряженность электрического поля в нем Е2 = V/(е + 1)(/. Отношение напряженностей Ег,Ех = 2/(е + 1) = 0,2.
После отключения конденсатора от источника тока и заполнения его диэлектриком заряд на нем не изменяется: q = CV/2 = eCV2. Напряженность электрического поля в конденсаторе, заполненном диэлектриком, Е^ = V^d = У/2ес/. Отношение напряженностей Е^/Е] = 1/е = 1/9.
Изменение емкости соединенных конденсаторов АС = (Е—1) х х С/2(е + I) = 1,7 пФ.
После введения пластинки образовалось два последовательно включенных конденсатора с емкостями С, = EyS/i и С2 = ExxS/(d-l) (рис. 342). Их общую емкость определим из соотношения
1 _ / d-l _ d _\
Co C, C2 £0S EqS £oS
где С - первоначальная емкость конденсатора. Таким образом, после введения пластинки при любом ее положении Со = С.
Введение проводящей пластинки между обкладками конденсатора приводит к образованию двух последовательно включенных конденса-
торов с расстояниями между обкладками dx и </2 и емкостями С] = E^!dx и С2 = £(>S/t/2, где dx + d3 = d- du (рис. 343). Их общую емкость находим из соотношения
11 _ dx + d^ _ d - d„ч C2 e0S e0S11 _ dx + d^ _ d - d„ч C2 e0S e0Sотсюда Cn = —-— ° d-d,отсюда Cn = —-— ° d-d,
11 _ dx + d^ _ d - d„
ч C2 e0S e0S
11 _ dx + d^ _ d - d„
ч C2 e0S e0S
отсюда Cn = —-— ° d-d,
отсюда Cn = —-— ° d-d,
При du = d!3 имеем C() = ЗС/!, где C = ExxSld - первоначальная емкость
конденсатора.
Емкости конденсатора до и после внесения проводящей пластинки толщины du (см. задачу 661) Со = ExxS/d и С = E^SKd - d,,-). Заряд конденсатора, отключенного от источника тока, не изменяется: q = CqVo = CV;
Рис. 344Рис. 344отсюда разность потенциалов между обкладками конденсатора после внесения проводящей пластинки V = С^С = (с/ - d^v^d = 40 В.
Рис. 344
Рис. 344
Если в конденсатор ввести тонкую проводящую пластинку, параллельную его обкладкам, то на ее поверхности появятся равные заряды противоположного знака. При этом электрическое поле в конденсаторе не изменится и емкость конденсатора останется прежней (ср. с задачей 660). Емкость конденсатора с диэлектрической пластинкой можно найти, предположив, что на поверхностях этой пластинки нанесены тонкие проводящие слои. В этом случае образуются три последовательно
соединенных конденсатора с емкостями Сх = ExxES/dx, С3 = E^Sid^
и С2 = E0S/d3, где di и d3 - расстояния между поверхностями диэлектрической пластинки и обкладками, причем d3 + d3 = d - dx (рис. 344). Общая емкость конденсатора С определяется из формулы
1С1С111\ (dx , л
1
С
1
С
—1и -— —v d3 + d3
С] С2 С3 e0S у £'
отсюда
е0е5Ed + dx(\ -е)
С = £()£i£2e3S/(£i£2 + £]£з + E3E3)d = 90 пФ (см. задачу 663).
Представим конденсатор с диэлектрической пластинкой в виде двух параллельно включенных конденсаторов, первый из которых не содержит диэлектрика и имеет емкость Сх = С0/2, где Су = ExxS/d — первоначальная емкость конденсатора, а во втором площадь обкладки равна площади диэлектрической пластинки S/2 (рис. 345а). Затем второй конденсатор представим в виде двух последовательно соединенных конденсаторов, один из которых не содержит диэлектрика и-имеет емкость С2 = С(), а другой полностью заполнен диэлектриком и имеет емкость
С; = eC() (рис. 3456). Емкость этих двух конденсаторов С4 = = С2С3/(С2 + С3) = еС0/(1 + £). Емкость всех трех конденсаторов С = Ci + С4 = (1 + Зе)С0/2(1 + £). Отношение емкостей С/Со = = (1 + 3£)/2(1 + £) = 7/6.
Здесь мы считаем, что размеры обкладок намного больше расстояния между ними, и поэтому пренебрегаем краевыми эффектами, т.е. отличием электрического поля на краях обкладок и диэлектрической
Рис. 345Рис. 345Рис. 346Рис. 346
Рис. 345
Рис. 345
Рис. 346
Рис. 346
пластинки от однородного. В противном случае емкость первоначального конденсатора не равна емкости трех конденсаторов, изображенных на рис. 3456.
С = С|С3/(С, + С3) + C2CV(C2 + С4) = 4,5 мкФ.
Схема включения, представленная на рис. 82, эквивалентна схеме, изображенной на рис. 346а. Ввиду равенства емкостей всех конденсаторов разность потенциалов между точками а и b равна нулю, конденсатор С4 всегда не заряжен, и схема упрощается (рис. 3466). Общая емкость конденсаторов
С = С) + С7С^С7 + С3) + С5С^С5 + С6) — 2Cq.
Vuh = (С, V, - С2Р2)/(С, + С2) = -1,3 В.
q = СС?С2(£ - 1)/(С, + С2)(С, + еС2) = 30 пКл.
Вначале разность потенциалов между обкладками каждого конденсатора была V| = V/2, где V - напряжение источника тока. После заполнения одного из них диэлектриком V = qlC + qizC = <7(Е + 1)/еС, где q -заряд на каждой обкладке, a qiC = Ve/(e + 1) = V2 и ^/ЕС-разности потенциалов между обкладками до и после заполнения конденсатора диэлектриком. Так как напряженность электрического поля в конденсаторе пропорциональна разности потенциалов между его обкладками, то отношение напряженностей до и после заполнения E1/E2=V1/V2 = (£+1)/2e = 5/8.
ДЕ = Fltlq./
После подключения к источнику тока заряд каждого конденсатора в последовательной цепи amb равен q' = C'V, где С' = = С]С3/(С! + С3) - емкость цепи amb, а заряд каждого конденсатора в
последовательной цепи anb равен q" = C"V, где С" = C2CJ(C2 + С4) - емкость цепи anb, Разность потенциалов между точками ант равна V' = q'!C\ = C3V/(C! + С3); разность потенциалов между точками а и п равна V" = q”IC2 = С4Р/(С2 + С4). После отключения от источника тока схему можно рассматривать как две параллельные цепи из последовательно включенных конденсаторов (man из Сх и С2 и mbn из С3 и С4), заряженных до разности потенциалов
При замыкании ключа К разность потенциалов между точками пг и п становится равной нулю. Цепь тан разряжается, и через точку а протекает заряд q = CV, где С = СХС2!(СХ + С2) - емкость этой цепи. Таким образом,
Сх = С2 = 5 мкФ; Су = С] = 2 мкФ.
Относительно земли пластина а имеет потенциал <р„ = -V, а пластина b - потенциал <р,, = V. Разность потенциалов между ними <р/? — <р„ = 2V, и напряженность электрического поля Е = (<pft - tya)ld = = 2VM = 40 кВ/м.
а = п2/8уяг/ ~ 833 нКл/м2, где у = е/т = 1,76 ■ 10й Кл/кг - удельный заряд электрона.
По закону сохранения энергии количество теплоты, выделившееся при разрядке конденсатора, равно электрической энергии, запасенной в конденсаторе: Q = W = q2/2C = 0,25 Дж. Разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки V = q/C = 500 В.
Энергия, запасенная в п конденсаторах, W = лСР2/2 = Q; отсюда разность потенциалов V = х/ 2Q!nC = 500 В.
Емкость шара С = 4ле()/?. Вся электрическая энергия заряженного шара перейдет в теплоту: Q = С<р2/2 = 27tE(V?<p2 = 25 мкДж.
Электрическая энергия, запасенная шаром, W = q<$(2, откуда q = 2W/(p = 0,4 мКл.
До соединения конденсаторов их заряды qx = CXVX, q2 = C2V2, а их общая энергия VP0 = C^i/2 + C2V2/2. После соединения конденсаторов их полный заряд q = qx + q2 = (Сх + СДР, где Р - разность потенциалов между верхними обкладками и землей; отсюда Р = (С^ + C2V2d(Cx + СД. После соединения верхних обкладок конденсаторов их общая энергия IP = = (Сх + СДР2/2 = (С|Р( + С2У2У/2(СХ + СД. Выделившееся количество теплоты равно разности начальной и конечной энергий конденсаторов: б^1Р0-И/ = С1С2(Р1-Р2)2/2(С1+С2) = 4,5мДж.
При Vj = V2 нет перехода зарядов, поэтому теплота не выделяется. Если потенциалы V] и V2 имеют одинаковые знаки, то теплоты выделяется меньше, чем в случае разных знаков потенциалов.
Выделившееся количество теплоты равно разности энергий конденсаторов до и после соединения (см. задачу 680):
Q = ^0- W = CXC2(VX - V2)WX + С2) = 0,5 мДж.
§ 20. Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
Ток в проводнике / = qlt. Плотность тока j = CS; отсюда j = qkS = 2 кА/м2.
Цепи деления шкалы прибора как миллиамперметра i = UN = = V/RN = 0,1 мА/дел.
Сопротивление прибора R-VH -7 кОм.
Сопротивление вольтметра найдем из условия, что при отклонении стрелки на всю шкалу напряжение на зажимах прибора равно Vg, а ток, текущий через прибор, равен /0: R = Vg/Zg = 2 кОм. Когда же вольтметр показывает напряжение V, то через него течет ток / = V/R = = /0WVn = 2,5 мА.
/ = I„(R + Ro)/R = 27,5 мА.
V = qRk = 4 В.>
VX=IRX = 200 В; V2 = Ш2 = 120 В; V3 = IR3 = 0,4 В.
р = kRD2/^1 = 0,017 мкОм ■ м.
/? = pm/yS2 = 191 Ом.
/ = лТО2/4р/ = 0,236 А.
р = VSkl = ViOfillll = 5 мкОм • м.
VX=IRX = S2S3VKSXS2 + 5Д + 5253) = 6 В;
v2 = Ш2 = SXS3VKSXS2 ++ S2S3) = 3 В;
V3 = IR3 = SXS2V/(SXS2 + 5,53 + S2S3) = 2 B.
При температурах tx и r2 сопротивления проволочки Rx = = /?о(1 + a?i) и R2 = Rxx(1 + ar2), где Ro - ее сопротивление при t0 = 0 °C. Искомая температура
t2 = [Z?2(l + агД -RXA/&X = 48,3 °C.
t2 = [V(l + arO - IRA/№ = 1910 °C.
Последовательное и параллельное соединения проводников. Добавочные сопротивления и шунты
/? = (V - Vo)//o = 25 Ом.
Напряжение на сопротивлении VR = V - 2V0. По закону Ома IR = [R; отсюда R = (V - ТУ^Ц = 2,5 Ом.
Через вольтметры протекает один и тот же ток /. Так как вольтметр показывает напряжение на собственном сопротивлении, то / = V\,Ra и сопротивление второго вольтметра /?2 = V-jl = V^RJV; = = 2 кОм.
/, = I„(R0 + /?)/[/?(,(!+«/) + /?] = 23,6 мА.
При температуре / общее сопротивление последовательно включенных частей проводника с сопротивлениями Rt и Ri будет R = R\ + /?2 = /?((>(! + ССр) + /?2oU + diO = /?Ю + /?20 + («i^io + а2^2о)б гДе ^ю и /?20 ~ сопротивления угольного стержня и проволоки при /() = 0 °C. Общее сопротивление проводника не зависит от температуры, если а^ю + a2/?2() = 0. В этом случае при любой температуре R = /?И) + R^. Из последних двух уравнений найдем
7?io = a2/?/(a2- a,) = R/6 = 333 Ом,
/?2|) = -a|/?/(a2- a]) = 5R/6 = 1667 Ом.
Схемы электропроводки, позволяющие включать и выключать лампочку в любом конце коридора, показаны на рис. 347. У концов
аб
Рис. 347
коридора устанавливаются два переключателя 77 j и П^, каждый из которых имеет два положения. В зависимости от расположения выводов от сети может оказаться выгоднее с точки зрения экономии проводов вариант а или б.
/| = V/R = 0,6 А при параллельном соединении; /2 = V/2R = 0,3 А при последовательном соединении.
Пусть при данном положении движка сопротивление участка ах потенциометра равно гг (см. рис. 89). Тогда общее сопротивление этого участка и вольтметра (они соединены параллельно) Rx = rxr/(rx + г), а сопротивление остальной части потенциометра xb равно R0-rx. Таким образом, полное сопротивление между точками а и b будет
R = R„ - г, + R, = R„ - ,, +- ^(««-M+Sr
гЛ + ггх + г
Ток в цепи / = V/R. Напряжение на участке ах
Vг rV
У = IR=—R =5.
х R х rx(R0 — rx) + Ror
Так как по условию Ro < г и, кроме того, rx < Rn, то первым членом в знаменателе можно пренебречь по сравнению со вторым (первый член
представляет собой произведение двух малых величин гх и Ru- гх, в то время как второй - произведение малой величины Ro на большую величину г). Следовательно, Vx = rxV!R6, т.е. напряжение Vx пропорционально сопротивлению гх. В свою очередь сопротивление гх пропорционально длине участка ах.
Рис. 349Рис. 349
Рис. 349
Рис. 349
На рис. 348 сплошная прямая показывает зависимость V, от гх, штрихпунктирная линия - зависимость V, от гх, когда R() - г, т.е. когда в выражении для РЛ нельзя пренебречь первым членом в знаменателе. Эта зависимость не является линейной, однако и в этом случае Vv изменяется в пределах от нуля до напряжения на клеммах источника V.
Пло1цади сечения железной и медной частей провода S, = ксР-К и S2 = л(£>2 - г72)/4 (рис. 349). Их сопротивления Rs = PiUSt и R2 = p2//S2- Сопротивление R биметаллического провода находится по формуле параллельного соединения проводников:
R ==Д£р|р2 „ 0, ЮОМ.
R\+R2 kVPiD" +(p2-p1)d \
Сопротивления железного и медного проводов диаметра D и длины /
R^ = 4/ р^лО2 = 0,61 Ом, RM = 4/ р2/лО2 = 0,087 Ом.
R = У^бЖ^12к±^^^= 7ом.
R2 + /?3 + R^ + R5
При последовательном соединении двух проводников с сопротивлениями R; hR2 их общее сопротивление R = Rt + R2, а при параллельном соединении - R = /? 1/?2/(/? । + Я2); отсюда RUR = R;R2. Согласно известному свойству приведенного квадратного уравнения (теорема Виета) сумма корней этого уравнения равна второму его коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней - свободному члену, т.е. R; и R2 должны быть корнями квадратного уравнения г2 + pr + q= 0 с р = = -R и q = R^; отсюда Л) 2 — (/?± ^/?2 — 4/?0/?) /2. Подставив значения R» и R, найдем R, = 3 Ом и R2 = 2 Ом (или R, = 2 Ом и R2 = 3 Ом).
Точки присоединения подводящих проводов делят длину окружности кольца в отношении 1 : 2, т.е. отстоят друг от друга по дуге на 120°.
R2 = VRX/(IRX - У) = 1 кОм.
Ток в общей цепи 1 = 1х + 12, где 1Х и /2 - токи, текущие через лампочку и вольтметр. Так как V = IXRX = I2R2, то /2 = V/R2 и Rx = V[IX = = УЩ - /2) = VR2KIR2 -V) = 100 Ом. Пренебрегая током /2 = 1,25 мА по сравнению с / = 0,5 А получим по приближенной формуле Rx ~ У// то же значение сопротивления лампочки: Rx = 100 Ом.
Показание вольтметра V = IXRX = I2R2, где 1Х и /2 - токи, текущие через сопротивление и вольтметр. Общий ток 1 = 1х + /2; отсюда Rx = \'П х = = УЩ - /2) = VR2KIR2 - V) = 20,16 Ом.
Если пренебречь током /2 по сравнению с /, то искомое сопротивление R'X=V /1 = 20 Ом. Ошибка в определении Rx будет
А/?, = Rx -R^VKJ-I^-VH- /2У / /(/- /2) = /2У / /,/.
Учитывая, что УН = Rx и/2//| = RX/R2, найдем относительную ошибку: ARX/RX = Rx! R2 = 0.008, т.е. 0,8 %.
Вольтметры с сопротивлениями R и 10/? показывают напряжения У, = У/3 и У2 = 10У/21; поэтому разница в показаниях вольтметров У2 - у, = у/7.
Напряжения на первой и второй лампочках
У, =У, =У, =У, =У2 =У2 =VR(2r+R)4r + 6iR+R2VR(2r+R)4r + 6iR+R2RXR2VRXR2V= 10,34В,= 10,34В,R3 (R^ + R2) + R\R'R^IR^ + RWR3 (R^ + R2) + R\R'R^IR^ + RW= 80В.= 80В.4RxR2+(Rx +R2)RR2(2Rx + R)V4R^R^ + (/^ + R^)R4RxR2+(Rx +R2)RR2(2Rx + R)V4R^R^ + (/^ + R^)R= 96В;= 96В;= 84В.= 84В.У2 =У2 =У/?24r +6rR+R2У/?24r +6rR+R2= 9,54В.= 9,54В.
У, =
У, =
У, =
У, =
У2 =
У2 =
VR(2r+R)4r + 6iR+R2
VR(2r+R)4r + 6iR+R2
RXR2V
RXR2V
= 10,34В,
= 10,34В,
R3 (R^ + R2) + R\R'R^IR^ + RW
R3 (R^ + R2) + R\R'R^IR^ + RW
= 80В.
= 80В.
4RxR2+(Rx +R2)R
R2(2Rx + R)V4R^R^ + (/^ + R^)R
4RxR2+(Rx +R2)R
R2(2Rx + R)V4R^R^ + (/^ + R^)R
= 96В;
= 96В;
= 84В.
= 84В.
У2 =
У2 =
У/?24r +6rR+R2
У/?24r +6rR+R2
= 9,54В.
= 9,54В.
Эквивалентные схемы включения изображены на рис. 350. Сопротивления реостатов
R ^0"^ ЗООм R -(R~WR»'R)
222R0-R'
Rx = 2R2 = 40 Ом.
Весь проводник имеет сопротивление R = иг, где г - сопротивление каждой из п равных частей проводника. При параллельном соединении и
одинаковых проводников их общее сопротивление R^ = r/п. Исключая г, получим R/Rq = л2; и может быть лишь целым положительным числом, большим единицы. Поэтому решения возможны только в случаях, когда R/R^ = 4, 9, 16, 25, 36,... В нашем случае п = ^36 /1 = 6.
На участках Аа и ЬВ (рис. 351), ввиду равенства сопротивлений ребер куба и их одинакового включения, ток / равномерно разветвляется
по трем ветвям и поэтому в каждой из них равен //3. На участках аЬ ток равен //6, так как в каждой точке а ток вновь разветвляется по двум ребрам с равными сопротивлениями и все эти ребра включены одинаково.
Рис. 351Рис. 351Напряжение VАВ = IR между точками А и В складывается из напряжения УА(1 = /г/3 на участке Аа, напряжения УаВ = /г/6 на участке аЬ и напряжения Уьв = /г/3 на участке ЬВ: IR = /г/3 + /г/6 + /г/3 = 5/г/6; отсюда R = 5г/6.
Рис. 351
Рис. 351
Если источник тока подключен к точкам с и
d, то напряжения на участках da и аЬ равны, поскольку проволока однородна. Следовательно, разность потенциалов между точками а и Ь равна нулю. Ток на этом участке отсутствует. Поэтому наличие или отсутствие контакта в точке пересечения проводников аЬ и cd безразлично. Сопротивление Rx, таким образом, представляет собой сопротивление трех параллельно вклйэченных проводников: cd с сопротивлением 2rRh cad и cbd с одинаковыми сопротивлениями niRt. Из соотношения I/Rx = \12гВ( + УнгВ, + \huRt находим Rx = 2iuRiH.it. + 4).
А/= 3W//?/L(2L +/) = 0,136 А.
и = 5.
Сопротивление R = 2,5 Ом достигается, когда проводники включены по схеме смешанного соединения (рис. 352).
Рис. 352Рис. 352Рис. 353Рис. 353
Рис. 352
Рис. 352
Рис. 353
Рис. 353
к = 4&М2£1 + к^ = 0,4 См.
Для измерения вольтметром более высоких напряжений, чем те, на которые рассчитана шкала, необходимо включить последовательно с вольтметром добавочное сопротивление Rsx (рис. 353). Напряжение на этом сопротивлении Уд = У - Уо; поэтому сопротивление Rlx = = (V- У^/1 = 12 кОм.
НА. Для измерения прибором напряжений, не превышающих V, необходимо последовательно с ним включить такое добавочное сопротивление Rlv чтобы V = HR + Rr\ где /- максимальный ток через прибор; отсюда R1V =VH -R = 30 кОм.
R^ = RXVX(V - V2)/V2(V- V,) = 46,7 кОм.
Городская осветительная сеть представляет собой источник тока, обладающий внутренним сопротивлением, намного меньшим сопротивления вольтметра R. Поэтому напряжение V = 125 В, которое показывал вольтметр при непосредственном включении в сеть, равно напряжению источника тока. Это значит, что оно не изменяется и при включении вольтметра в сеть через сопротивление Ro. Поэтому V = = I(R + /?0), где / = Vo/R - ток, текущий через вольтметр; отсюда Ro^iv-V^R/Vo^ex Ом.
Ток, текущий через вольтметр и добавочное сопротивление, / = Vo/R. Напряжение источника тока V = !(R + Rn) = (R + R^V^/R = = 340 В.
V = IR^KR + 2RX + /?2).
Рис. 354Рис. 354Для измерения более высоких токов, чем те, на которые рассчитана шкала, параллельно прибору включается шунт с сопротивлением Rm = i0NR/(I - i0N) = 50,5 Ом; для измерения напряжений последовательно с прибором включается добавочное сопротивление RiX = (V - — z0/V7?)//(VV = 199 Ом, где i(XN = /0 - ток, текущий через прибор при максимальном отклонении стрелки, ixxNR = Уо - напряжение на его клеммах в этом случае (см.
Рис. 354
Рис. 354
задачи 723 и 730).
При включении параллельно прибору шунта (рис. 354) ток / должен делиться так, чтобы через миллиамперметр протекал ток 1(Х. Через шунт при этом течет ток /м,, т.е. / =
= /fi + /ш. Напряжения на шунте и на миллиамперметре равны: ItiR = IluRm; отсюда Rm = IXXR/U - /о) ~ 0,05 Ом. Чувствительность прибора уменьшается, а цена деления прибора увеличивается в п = ///0 = 200 раз.
/0 = V/?,„//[V(/?nl + R) - IR4 = 3 А.
Так как шунты присоединяются к гальванометру параллельно, то условие равенства напряжений на гальванометре и на шунтах дает
0,1//? = 0,9//?], 0,01//? = 0,99//?2, 0,001//? = 0,999//?3; отсюда
/?, = /?/9 = 3 Ом, /?2 = /?/99 = 27 3 мОм, /?3 =/?/999 = 27,1 мОм.
Наибольший ток, протекающий через прибор, /0 = i0N. Для измерения токов, значительно превышающих ток/0, необходимо параллельно прибору включить шунт, сопротивление которого Rm значительно меньше сопротивления миллиамперметра R (см. задачу 730):
Rm = IqR/U - А)) = W(I - W = 5,125 Ом.
Ток, текущий через шунт, /,„ = / - /(). Падения напряжения на шунте и амперметре равны: ImRw = /о/?; отсюда /0 = IRm/(R + Rm) = 2,7 А.
/ = /0(1 + лО/?/4р/) = 12,9 А.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи
Напряжение на внешнем сопротивлении цепи V = IR. Ток в цепи / = %!(R + г); отсюда R = V/I = 6 Ом, г = (8 - V)// = 4 Ом.
По закону Ома для цепи /] = %I(R + г) и /2 = "&KRI3 + г), где R - сопротивление реостата. Исключив из этих уравнений R, найдем /2 = 3/]W + 2/jr) = 1,125 А.
Ток в цепи / = ^RR + г). Напряжение на зажимах источника тока V = IR = "6RKR + г). При R = 0 через источник течет ток короткого замыкания /к = 6 А. С увеличением R ток стремится к нулю (по гиперболическому закону) (рис. 355а), а напряжение стремится к ЭДС 8 = 15 В (рис. 3556).
Ток цепи накала / = %!(R\ + R^ + г) = 65 мА.
Сопротивление нити накала R^ = VH. Ток накала при наличии дополнительного сопротивления R\ в цепи I = %!(R\ + R2 + г); отсюда R1=(%-V-Ir)/I = 1AOM.
R = VrR% - V) - 4р//лО2 = 3,82 Ом.
R = Уг/(8 - V) = 2,95 кОм.
Напряжение на зажимах источника тока равно падению напряжения на внешнем сопротивлении цепи: V = IR, где / = RiRR + г); отсюда r = RR&- V)/V = 4Om.
Ток в цепи / = RJ(R\ + R^ + г). Падение напряжения на лампе и подводящих проводах У, = IRt й У2 = IR2. Из этих уравнений находим
,^И(^ = 2>1Ом>
Через каждую лампу течет ток /] = V\/R\ (рис. 356). Ток в общей цепи 1 = nl\ = nVJRx. Напряжение в подводящих проводах V2 = 1R2 = = nVxRJRx. Напряжение на зажимах источника тока и его ЭДС.
v= V, + V2 = V,(l + п/?2/^1) = 293 В,
% = V + Ir = V,[l + n(R2 + r)//?,] = 303 B.
Рис. 356Рис. 356
Рис. 356
Рис. 356
^ = (R + f)Ed/R = 5 B.
q = C% RI(R + r) = 10 мкКл.
748.^ = <^™"^=7/1о.
1 2 (10/?/ll)(/?/2 + /?)
V = %Vr/^r - W?2) = 4,4 B.
Изобразим схему иначе (рис. 357). Заменим сопротивления резисторов Rx, R2 и R3 сопротивлением Ro = Rx + R2R3KR2 + R3\ Тогда
полное сопротивление цепи
_ RpR^ _ {R\R1 + ^1^3 + ^2^з)^4 _ 56 QMRg + R4 R2R3 +(/?] + /?4)(/?2 + /?3)36
и амперметр покажет ток / = 8//? = 1,8 А.
751./ = 348/73/? = 0,1 А.
Падения напряжения на резисторах R\ и R2, а также на резисторах 2/?i и 2/?2 пропорциональны их сопротивлениям. Поэтому падение напряжения на резисторе R равно нулю и ток через него не проходит. Через резистор R2 течет ток / = ^/(Rx + /?2).
Полное сопротивление цепи R = R} + R2 + г, где сопротивления жилы и оболочки до места замыкания
n I 4/
/?1 - Р1 — - Р1 ~
р - 1 -41
1 P2s2 Р27г(О22-</22)"
Ток в цепи / = 8//?; отсюда
= 2,18км.= 2,18км.л(8 - /г)4/[р1/О2+р2/(О2-</2)]
= 2,18км.
= 2,18км.
Напряжение на конденсаторе V = %. Это же напряжение будет в первый момент после замыкания ключа на резисторе /?р Поэтому текущий через него в этот момент ток / = ^IRX.
После включения источника тока с ЭДС ^ конденсаторы зарядятся, и, когда ток прекратится, все их обкладки, соединенные с резистором R, будут иметь одинаковый потенциал. Конденсаторы с емкостями С + С] и С + С2 включены последовательно с источником тока. Общее напряжение на них V] + V2 = ^, а заряд на них q = (С + C^V] = (С + C2)V2; отсюда
V] = (С + С2)^/(2С + С] + С2), V2 = (С + С]Ж2С + С, + С2).
Обкладки конденсатора С] замкнуты через резисторы /?] и/?2. Поэтому заряд на этом конденсаторе qx = 0 (после прекращения зарядки конденсаторов С2 и Сз). Так как после зарядки конденсаторов токи в схеме не протекают, то напряжения на конденсаторах С2 и Сз равны ^. Следовательно, q^ = С^б и 73 = Сз^.
Падение напряжения на резисторе /?з будет V = q/C = IR3; отсюда ток, текущий через этот резистор, / = q!CR3. Полное сопротивление цепи и ЭДС источника тока
R = R^R^/^R 1 + RY) + Ry + г,
+ R3 + r = 1,2B.+ R3 + r = 1,2B.% = IR = —\^52_
+ R3 + r = 1,2B.
+ R3 + r = 1,2B.
CR3 Rx + /?2
% = (7/C)(l + 2/?2//?]) = 110 B.
Сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико. Поэтому после зарядки конденсатора по резистору R3 ток протекать не будет. Не будет и падения напряжения на этом резисторе. Следовательно, точка а и верхняя обкладка конденсатора будут иметь одинаковый потенциал. Потенциал же точки b будет равен потенциалу нижней обкладки конденсатора. Таким образом, напряжение на конденсаторе будет равно падению напряжения на резисторе /?2. Ток в цепи / = ^/(Rx + /?2) и V = //?2 = ^/?2/(/?] + /?2); отсюда заряд на конденсаторе q = CV=C^R2KRx+R2).
V =^/?2/?з^4(см задаЧу 759).
RXR2R3 + RXR3R4 + RXR2R4 + /^2^3^
Напряжения на зажимах источника тока в первом и во втором случаях V] = IXR и V2 = I2R/2. Токи в общей цепи в этих случаях Ix = ^RR + г) и /2 = ^/(/?/2 + г); отсюда
R = r(2V2- V,)/(V2-V,) = 2Om..
Падение напряжения на резисторе /?2 (и на вольтметре) V = IRq (рис. 358), где Ro = /?2/?/(/?2 + R) - сопротивление параллельно включенных
вольтметра и резистора /?2. Ток в общей цепи равен I = %!ЩХ + /?о + г). Решая совместно эти уравнения, получим
R =R == 2,05 кОм.= 2,05 кОм.ЖКХ + r)/?2%R2 - V^ + /?2 + г)
R =
R =
= 2,05 кОм.
= 2,05 кОм.
Тот же результат можно получить, решая систему уравнений
/ = /0 + /2, V = /qR, V = /2R2, % = V + IRX+Ir.
Рис. 358Рис. 358R^R^Рис. 360Рис. 360
Рис. 358
Рис. 358
R^
R^
Рис. 360
Рис. 360
В эквивалентной схеме резисторы Rx соответствуют проволокам, соединяющим элемент с кольцом, а резисторы R2 - двум половинам, кольца (рис. 359). Полное внешнее сопротивление цепи R = 2/?] + R^, где Rx = pa/S и R2 = рла/S. Ток в общей цепи / = %KR + г). Разность потенциалов между точками с и d
=52= 0,64В.
24/?|+/?2+2г 4 + л + 2г5/ра
/,//|, = (/?|+г)/?2/[/?1/?2+г(/?|+/?2)] = 11/16.
V = v«VRiR3+^ + r№Rx+R3^ = 16в
Rx R3 + (R2 + r^Rx + R3)
Сопротивление каждой пары проводников равно /?о/2. Полное внешнее сопротивление цепи до удаления одного из проводников Rx = = 3/?о/2. По закону Ома для полной цепи IX = '2.IXX = % I (Rx + г); отсюда ЭДС источника тока % = 2/0 (/?, + г) = /0 (3/?0 + 2г). После удаления одного из проводников полное внешнее сопротивление цепи R2 = 2/?у / 2 + /?() = 2/?0. Ток в общей цепи /2 = ^ / (/?2 + г). Через проводник, оставшийся без пары, будет идти ток /2 = /() (3/?о + 2г) / (2/?0 + г) = 4 А, а через остальные проводники будут идти токи /2/2 = 2 А.
lx = ^R2/l(R3 + 'О <R\ + Ri) + R\ Ri\ = 1,98 A;
/2 = %RX / [(/?з + r) № + /?2) + Rx /?2] = 2,97 A;
Верхняя лампа и провода, идущие к ней, начиная от места ()присоединения нижней лампы (рис. 360), образуют последовательную хцепочку с сопротивлением R3 = Rx + R2. Эта цепочка соединена парал-
дельно с нижней лампой и вместе с ней образует сопротивление R4 = = R^R^ /(R3 + R^ = (RX+R2) Ri / (2R1 + /?2). Полное внешнее сопротивление цепи
П Dip _ R2(2Rx+R2) + (Rx+Rt^Rx
342RX + Я2
Через источник тока течет ток
/ »= 0,87 А.
г + Rq (г + /?2 )(2RX + R2) + (R\ + R^ )^i
Если ^ иг - ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, то /] = ^ /(Rx + г) и /2 = % I{R2 + г). Из этих уравнений имеем г = = UXRX - /2/?2) /(/2 - Л) = 3 Ом, % = /^ (Rx - R2) / (/2 - 1Х> 40 В.
77O.r = RxR2<.V2-VxWxR2-V2Rx) = 1 Ом.
При подключении к источнику тока амперметра через него течет ток ix = % /(Rx + г), где *8 - ЭДС батареи, а г - ее внутреннее сопротивление; при подключении к источнику тока вольтметра через него течет ток /2 = % / (Л2 + г), и вольтметр показывает напряжение V = I2R2 = = ^R2 / (R2 + Hi отсюда
r = R2(.V-i1R1)/(i1R2-V),
^ = lxV(R2-R,)/(hR2-V).
Ток короткого замыкания (при равном нулю внешнем сопротивлении)
/к = Ък = 1xV(R2-Rx)/R2(V -1\R\) = 29,6 А.
772,г = ^^№ = 2Ом; / = —= 5А.
/(/?,+/?2)к г
При зарядке аккумулятор включается навстречу источнику тока. Во время зарядки ток внутри аккумулятора течет от положительного полюса к отрицательному. Напряжение сети V = ^ +1 (R + г), где / - ток зарядки; отсюда 1 = (V - ^) / (/? + г). Напряжение на зажимах аккумулятора
Еа = к + % = (Vr + ^R)/(R + г) = 27,5 В.
Последовательное и параллельное соединения источников тока.Правила Кирхгофа
Поскольку ^2 > ^1, то ток / будет идти в направлении, указанном на рис. 118, при этом разность потенциалов между точками а и Ь.
v = «! + irx =%2- iRi= С<М1 +«1Л2) / (R\+ R2) = 1,2 В.
Поскольку %г > ^ь то ток ^ будет идти в направлении, указанном на рис. 119. Током через вольтметр пренебрегаем ввиду того, что его сопротивление велико по сравнению с внутренними сопротивлениями эле-
ментов. Падение напряжения на внутренних сопротивлениях элементов должно равняться разности ЭДС элементов, так как они включены навстречу друг другу: / (г, + г2) = ^2 - ^ь отсюда / = С82 ~^1)/(г1 + г2). Разность потенциалов между точками а и h (показание вольтметра)
V = ^i + 1г\ = (^] г2 + ^2 Г]) / (/'] + г2) = 1,8 В.
V =■ (^] г2 + ^2Г]) /(/*] + г2) = —0,1 В; Vab = 0 при ^^ г^ = ^2 Г].
Ток в цепи / = 26 / (/? + г, + г2) (рис. 361). Напряжения на зажимах источников тока V] = % - 1г} и Т2 = % - /г2. Решая первые два уравнения при условии Vy = 0, получим /? = /*!— г2 = 0,2 Ом. Условие Р2 = 0 неосуществимо, так как совместное решение первого и третьего уравнений приводит к значению R < 0.к
Ток в общей цепи I = 2^ / (R + Г] + г2), где внешнее]^
сопротивление цепи R - R^R^/ (Ry + R^). По условию задачи напряжение на зажимах первого элемента V = % - ку = 0;,
Рис. 361Рис. 361отсюдаРис 361
Рис. 361
Рис. 361
Гу = [/?। R^ + г2 (/?। + /?2)] / (/? 1 + /?2) = 2,4 Ом.
R = Г] - г2> где R = /?[/?2/?з (R2R3 + R\R3 + R\Ri) (см. задачу 778).
Ток в общей цепи I = 2^ /(R + Г] + г2), где внешнее сопротивление цепи R = /?]/?2/?з (/?]/?2 + /?]/?з + R2R3). Напряжения на зажимах первого и второго генераторов
v = % _ к = ШАКз + (^ - Гу)№ + RyR3 + /?2/?3)] = 3 в/?,/?2^3 + (^*2 ~*~ ^*1X^1 ^2 ~*~ ^1 ^ ~*~ ^2^3)
v - V 1Г - ^[^^2^3 + (rl - r2XR\R2 + ^1^3 +^2^3)] _ 3 D
Уз =— 1Г3 == э,/2d.
Ry R^ R3 + (Г] + г2) (Ry R^ + Ry R3 + R2 R3)
По закону Ома для полной цепи ток / = % /(R + г), где % =%А -V + ^2 + ^з и г = Г1 + г2 + гз- Напряжение на зажимах каждого элемента равно разности ЭДС и падения напряжения на внутреннем сопротивлении элемента:
I/ -<¥ тг - ^1(^+ г2+ Гт)-^>2 +<®з)г1 _, о п
R + г, + г2 + г3
= 0>з в
R + Г] + Г2 + г3
^3^+ П+ Гз)-^! +^2)г3 = —V, 1 в
R + г, + г2 + Г
1 Напряжение на зажимах батареи элементов равно падению напряжения на внешнем сопротивлении цепи: V = V^ + V2 + V3 = 2 В. Напря-
жение на зажимах третьего элемента оказалось отрицательным, так как ток определяется всеми сопротивлениями цепи и суммарной ЭДС, а падение напряжения на внутреннем сопротивлении г3 больше, чем %з.
V = IR = 4%RxR2/VRtR2 + 4r(Rx + /?2)] = 4,95 В.
Напряжение на зажимах батареи V = п% - 1пг. Следовательно, п = V/C$-/r)= 100.
784.1 = (V - n*$) / (R + nr) = 2,7 A.
Падение напряжения на резисторе, если токи текут в направлениях, указанных на рис. 124, V = IR = %х - Цг = %2~ /2г.Учитывая, что 7 = 7] + 72, находим
/ = (-$! +*$2)/(27? +г) = 0,1 А,
7, = [(/? + r^x- R^2] / г(27? + г) = -0,25 А,
/2=[(7? + г),$2-7?,$1]/г(27? + г) = 0,35 А.
Заметим, что 7] < 0. Это значит, что направление тока 1Х противоположно указанному на рис. 124.
Рис. 362Рис. 362Рис. 363Рис. 363
Рис. 362
Рис. 362
Рис. 363
Рис. 363
Выбрав направления токов, указанные на рис. 362, составим уравнения Кирхгофа. Для узла b имеем 1Х + 72 - 7 = 0; для контура abef (обход по часовой стрелке) Ixrx + IR =%х, и для контура bcde (обход против часовой стрелки) 72 r2 + IR = %2. Из этих уравнений найдем
/ = $>х г2 + %2 г,) / [^(г, + г2) + г, г2] = 0,53 А.
Внутреннее сопротивление элементов г0 = г + г/2 = Зг/2. Сопротивление параллельно включенных резисторов Rq = RxR2/(Rx + Т?2). Общая ЭДС элементов ^о = 2*8. Согласно закону Ома для полной цепи
V = ^о - KR0 + r0) = 2« - /[/?] R2 /(7?! + R2) + 3r/2] = 2,48 В.
Выберем направления токов 7], /2 и /3 через резисторы Rx, R2 и 7?3, указанные на рис. 363. Тогда /3 = 1Х + 72. Разность потенциалов между точками а и b будет равна %х - IXRX = %з - 737?3 = %2 + 12R2. Если 73 = 0, то 7, = -72, ^ + IXRX = %з и %з = %2 -IXR2- Исключая 1Х, находим %3 = C$i7?2 + + *$2^1)/№ + ^2)-
Рассмотрим ту же схему без вольтметра (рис. 364). Из закона Ома для полной цепи находим 7 = 3*8 /Зг = % / г. Из закона Ома для участка
цепи между точками а и h получим Vab = -1г + 8=0. Подключение вольметра к точкам, разность потенциалов между которыми равна нулю, ничего не может изменить в цепи. Поэтому вольтметр будет показывать напряжение, равное нулю.
Рис. 366Рис. 366
Рис. 366
Рис. 366
Подключим источник тока к выводам а и h и выберем направления токов, указанные на рис. 365. Для узла е имеем I = /0 + /2. При обходе контуров ае/Ь и ecdf по часовой стрелке получим
11R\ +/?з) + l^R^ —~^' А) ^0 — ^2^2 = ^0*
Используя условие /2 = 0, находим 8 = -80(/?] + R^lRo. Знак минус показывает, что полюсы источника тока на рис. 365 нужно поменять местами.
Г] = 2/?/5 = 2 Ом, r2 = R/5=l Ом.
При параллельном соединении двух элементов внутреннее сопротивление и ЭДС равны г/2 и 8; при последовательном соединении они равны 2г и 28. Через резистор R при этом текут токи
/, = 8/(R + г/2), /2 = 28/(R + 2г) = 8 /(/?/2 + г).
Отсюда видно, что /2 > /1; если R /2 + г < R + г/2, т.е. если г < R. По условию задачи в первом случае Rt = г; следовательно, токи при параллельном и последовательном соединениях одинаковы. Во втором случае /?2 > г. Поэтому ток больше при последовательном соединении.
,=(.ад^ад^=7 мкКл. ^1 ~*~ ^2 "^ П + ^*2
Выберем направления токов, указанные на рис. 366. Для узла b имеем 1 - /] - /2 = 0. При обходе контуров ahefn hcde по часовой стрелке получим
/2г2 + //? = 82, /,г,-/2г2 = 8,-82.
Из этих уравнений находим
^1Г2 + 82Г|^81 (/? + г2) — 8 2/?
R(rx +гг)+гхг2’ 1/?(r, + r2) + r,r2 ’
_ 82(/?+г1)-81/?
:2/г^ + г^+г,^ "
Ток / = О тогда, когда изменена полярность включения одного из элементов и, кроме того, выполнено условие %х г2 = ^2 П- Ток 1Х = 0 при %х = R%2! (R + г2), а ток /2 = О при ^2 = R%x / (R + Г]). Токи 1Х и /2 имеют направления, указанные на рис. 366, если /?^2/(/? + г2)<‘$] < < (/? + r^^/R. Они меняют свое направление при %х < R%2KR + г2) или %2 <R^xKR + rx\
При n(R - г) = R - г. Если R = г, то число элементов произвольно; если R * г, задача не имеет решения (и = 1).
Vx / V2 = (и/? + г)/(/? + и/-) = 2,33, где Vx - показание вольтметра при последовательном соединении элементов, V2 - при параллельном.
А/ = п<п - 1)(/? - /-)^ / (R + nr)(nR + г) = 4 А.
/ = пб/(R + nrlmY где r/m/ = пб/(R + nrlmY где r/mОбщее число элементов N = пт (рис. 367). Ток во внешней цепи - внутреннее сопротивление группы из т параллельно соединенных элементов, а nr/т - внутреннее сопротивление п групп, соединенных последовательно. Максимальная мощность (см. задачу 848) отдается во внешнюю цепь при равенстве сопротивления R внутреннему сопротивлению батареи элементов пг/т, т.е. R = nr/т = п2 г / N; отсюда п = = л/ RN / /• = 20, т = N / п = 30. При этом через сопротивление R течет ток / = 46 А.
/ = пб/(R + nrlmY где r/m
/ = пб/(R + nrlmY где r/m
При последовательном соединении через все аккумуляторы батареи течет один и
тот же ток, поэтому все они разрядятся в течение одного и того же времени. Следовательно, емкость батареи будет равна емкости каждого аккумулятора: Qx = 0() = 80 А • ч.
При параллельном соединении п аккумуляторов через каждый из них течет 1/п часть общего тока; поэтому при том же разрядном токе в общей цепи батарея будет разряжаться в п раз дольше, чем один аккумулятор, т.е. емкость батареи в п раз больше емкости отдельного аккумулятора: Qi = «Со = 240 А • ч.
Заметим, однако, что энергия W = % /т = %Q, отдаваемая батареей в цепь, и при последовательном и при параллельном соединении п аккумуляторов в п раз больше энергии, отдаваемой одним аккумулятором. Это происходит потому, что при последовательном соединении ЭДС батареи в п раз больше ЭДС одного аккумулятора, а при параллельном соединении ЭДС батареи остается той же, что и для каждого аккуму^ лятора, но Q увеличивается в п раз.
Каждая группа из пяти аккумуляторов, включенных последовательно, имеет емкость Qx = Qo = 64 А • ч (см. задачу 799). Три. параллельно включенные группы дают общую емкость батареи 02 = = 30о= 192 А ч.
V = IRX (R2 + R3)/R^ = 2B.
Составляем уравнения Кирхгофа в соответствии с направлениями токов, указанными на рис. 133:/ + /2 — /3 = 0 для узла Ь; /3 - /4 - /5 = 0 для узла к; /5 - 1Х - /6 = 0 для узла/; при этом 1хгх + /5 г5 = % ] - ^2 Для контура abf^ (обход по часовой стрелке), /2 (г2 + г3) + /4 г4 = - ^2 для контура bcdh (обход против часовой стрелки) и /4 г4 - /6 г6 - /5 г5 = 0 для контура kdef (обход по часовой стрелке). Решая эту систему уравнений с учетом, что все сопротивления одинаковы и равны R = 10 Ом, получим
1Х (8^ ] - 7^2) /13 R = 0,19 А, /2 = - (^ ] + 4^2) /13 R = - 0,17 А,
/3 = (7^1 -ll^2)/13R = 0,02A, /4 = (2^, -5^2)/13 7? =-0,05 А,
/5 = (5^-б'ёз)/13/? = 0,07 А, /6 = (^2-3^0 /13 R =-0,12 А.
Отрицательные значения токов /2, /4 и /6 показывают, что при данных ЭДС источников и сопротивлениях резисторов эти токи текут в стороны, противоположные указанным на рис. 133.
§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
Запасенная энергия W = % /т; емкость аккумулятора Q = /т; отсюда W = ^2 = 4,8 гВт ч= 1,73 МДж.
Заряд, прошедший по проводнику, q=lT-VT(R = 24 Кл. Произведенная при этом работа А = V^tI R = 288 Дж.
Считая, что энергия, выделяющаяся в проводнике при прохождении тока, полностью идет на нагревание воды, имеем qV = cm(t2 - б), где tx и t2 - начальная и конечная температуры воды; отсюда изменение температуры воды Аг = г2 - б = qVIcm = 2,4 К.
При двух параллельно включенных в сеть плитках ток в общей цепи / = 2NIV = 8,3 А. Ток / = 12,5 А, потребляемый камином, больше, чем 1Х; поэтому нельзя ручаться за то, что предохранитель, выдерживающий ток при включении плиток, не перегорит при включении камина.
Ток в проводах, идущих от генератора, / = NIV, а плотность тока j = US; отсюда площадь сечения проводов 5 = NljV = 6,7 • 103 мм2.
N = 1(V — IR) = 16 кВт.
Считая, что вся электрическая энергия затрачивается на испарение воды, получим Р R = Хт/т; отсюда / = yXm/TR = 19,4 А.
По закону Джоуля-Ленца Q = V^t/R, где R = pl/S - сопротивление проволоки, /-ее длина; отсюда / = V^ST/pQ = 3,24 м.
l = KD2V2T/4pQ= 10,2 м.
Полученное количество теплоты идет на нагревание воды и сосуда с! нагревателем, поэтому Nt = cm(t2 - б) + Cc(t2 - б)> где tx и t2 - начальная и конечная температура воды. Изменение температуры воды
At = t2 - б = Nt / (cm + Сс) = 24 К.
Электрическая энергия, идущая на нагревание воды, W = = t|/Vt = cm(t2 - t,), где т = pV = 2 кг - масса воды, t2 = 100 °C - конечная температура воды; отсюда /V = cm(t2 - 0) /г|Т = 800 Вт.
Время нагревания определяется из уравнения теплового баланса До = О°С):
т = [слтл20 - 0) + гтл + cmn(t2 - to)A/T\N = 348 с.
/ = (V- V0)V0nD2/4pW = 19,2 м, где Vo = 127 В.
Отношение выделяемых на реостате мощностей /Vo//V = 4/3.
Для подачи воды на высоту h необходима мощность
^ = (At/ + А7) / т = рV^h + рVT^ / 2.
КПД установки
oV ( V2
д =—- = —- ^йч—= 0,556, т.е. д = 55,6 %. ■
/V W 252J
Мощность, необходимая для движения поезда, равна No = FUt = = Fv pW; отсюда F = T\Mv = 48 кН.
Токи, идущие через обе проволоки, соединенные последовательно, одинаковы и равны /. При этом в проволоках за время т выделяются количества теплоты 21 = 1гК^т и Q2 = /27?2т, гДе Ri = Pi^, Ri = = p2l/S - сопротивления железной и медной проволок, / и 5 - их длина и площадь сечения. Отношение количеств теплоты при последовательном соединении QJQ2 = R\/R 2 = Р1/Р2 = 7,06.
При параллельном соединении токи в железной и медной проволоках /1 = V/Rx и12 = V/R2, где V - напряжение в сети. В этом случае за время т в проволоках выделяются количества теплоты Qx = Т2т/ Rx и Q2 = Т2т/ /?2. Их отношение Qx / Q2 = R21 Rx = p2 / p। = 0,14.
2, / Q2 = R21 Rx = p2 / p, = 0,14.
t2 = 9т, = 6 мин, так как 2 = З^т,/R = V4-J3R.
S22.R = V1/N=12 Ом.
Для нагревания воды до температуры кипения t = 100 °C необходимо количество теплоты 2 = cm(t- t0), где т = pV = 2 кг - масса воды в чайнике. При включении одного нагревателя его мощность /V] = IV, где / - ток, текущий через него, и V - напряжение сети. В этом случае на нагревание воды идет часть теплоты, выделяемой нагревателем, 2 = Л^Пь отсюда время нагревания воды одним нагревателем т, = Q!t\Nx = cm(t- to)/T\Nx = 56 мин.
При параллельном включении двух нагревателей, как и при включении одного из них, на каждом нагревателе будет напряжение сети V. Следовательно, в каждом из них будет выделяться та же мощность W, и общая мощность будет /V2 = 2NX; отсюда время нагревания воды двумя нагревателями т2 = Q(t\N2 = т2/2 ~ 28 мин.■
При последовательном включении нагревателей общий ток через них будет равен / /2. Поэтому общая мощность, выделяемая в них, N3 = /У/2 = /V, /2. Следовательно, время нагревания воды в этом случае т3= О/Ч^з = 2Т] = 1 ч 52 мин.
При последовательном соединении секций т3 = Т| + т2 = 50 мин; при параллельном соединении секций т4 = Т|Т2 / (Т| + т2) = 8 мин.
Используя закон Джоуля-Ленца N = V^ /Rx = V3 /R^, находим R-JRX = v\ /V] =3,4.
Мощность лампы N = IV = V2 /R, где / - ток, текущий через лампу, R - ее сопротивление; отсюда для первой и второй ламп имеем
/?, = V2//V, =360Ом, /, = А]/У = 0,33 А;
/?2 = У2/Л/2 = 192 Ом, /2 = А2/V = 0,63 А.
/V2 = v\nx / V] = 84 Вт.
Когда лампа включена, N = V2 / R, где R = /?0(1 + а?) - сопротивление нити горящей лампы и /?0 = /?/10 — сопротивление нити лампы при температуре г»; отсюда
a = (R-R0)/R0t = 4,5 • 10"3 К"1,/?() = V2/10/V = 14,4 Ом.
Яо = V2 (1 + Шо)/М(1 + а?) = 42,8 Ом.
Сопротивления лампы и проводов Rx = V2//V и /?2 = р • U/S. Ток, текущий по линии, и падение напряжения на лампе равны
I = WX+R2), V = RX%KRX +/?2).
При подключении второй лампы сопротивление двух ламп равно Rx/2.
Поэтому ток, текущий по линии, и падение напряжения на лампах равны r_w = ^х /2
/?1 / 2 + R2R^ / 2 + R^
Изменение напряжения на лампе
^=V'-V =^=
(/?, + R2)(RX + 2/?2)
_^plSN^ _ ]1В
(2р/А + SV^MpiN + SV1) '
Знак минус показывает, что при включении второй лампы падение напряжения на первой уменьшается.
1 = S^^Jr7n - R)/2р = 11,4 км.
3 832. V = 200ур/= 120 кв.
833. Напряжение на зажимах источника тока V = Vx + У2, где Vx и У2 - падения напряжения на нагрузке и на проводах линии. Мощность,
выделяемая на нагрузке, /V, = 2N = IV х. Потери мощности в линии /V2 = = 0,1 Л^ = ОДА = /Т2; отсюда Vt = 2М/, V2 = 0,2/V// и V = 2,2A// = 33 B.
834./? = 1/2/12,1A = 9,3 Ом.
Ток в линии / = N!V. Потери мощности в линии Nx = /2/? = N^-RIV2. Мощность электропечи N^ = N - Nx = N - N^-R/V2 = 5,64 кВт.
N = )g2 Rx R.I ![(Rx + /?2)(/? + r) + /?] /?2]2 = 267 Вт.
Ток в цепи / = ^KR + г). Количество теплоты, выделяемое во внешней цепи в единицу времени, QT = PR = ^RI^R + г)2 = 8 Дж/с.
Полная мощность элемента N = I4R + г), где / - ток в цепи. Так как / = V/R, то N = ^(R + г)//?2 =13,5 Вт.
Внутри батареи теряется мощность N = /2г, где г - внутреннее сопротивление батареи. Если % - ЭДС батареи, то по закону Ома для полной цепи в первом и втором случаях % = IX(RX + г) и ^ = /2(/?2 + г); отсюда
^^ = 12 В.MiUx - /2)^^ = 12 В.MiUx - /2)Г = (/2 /?2 -IXRX) /(/, - /2 ), /V = /22 (/2/?2 -/]/?;)/(/;- /2 )= 1 2 Вт.
^^ = 12 В.MiUx - /2)
^^ = 12 В.MiUx - /2)
г == 0,2 Ом,
/1/2(/!-/2)
841. КПД - это отношение841. КПД - это отношениеполезной работы (мощности) ко всей
841. КПД - это отношение
841. КПД - это отношение
затраченной работе (полной мощности). Полезной мощностью в данном случае является мощность, выделяемая на нагрузке, А| = IV, где / - ток в цепи. Так как ЭДС % по определению представляет собой полную работу,
совершаемую источником тока при перемещении по цепи единичного заряда, а в единицу времени через сечение проводника проходит заряд, численно равный 1, то полная мощность источника тока равна Мг = %1. Таким образом, КПД схемы ц = Nx/N2 = V№ = 0,8, т.е. ц = 80%.
т| = RXR2<VR\R2 + i'(R\ + /?г)1= 0,74, т.е. ц = 74 % (см. задачу 841).
КПД схемы р = VI% (см. задачу 841). Так как V = IR и % = = KR + г) = V + /г, то т| = R/(R + г) = (% - к)№ = Ж.
КПД схемы т| = V№ (см. задачу 841), где V = IR - напряжение на зажимах источника; отсюда / = t^/R = 2,86 А.
/• = RXR2KR2 - 2/?,) = 7 Ом.
т| = 2IR/% = 0,78, т.е. р = 78 %; г = Ж - '2.IR)hiI = 1,2 Ом.1
Полная мощность, потребляемая мотором, ^l = IV = 1,8 кВт. На нагревание обмоток теряется мощность N^ = I2R. Полезная мощность N = NX-N2 = I(V - IR). КПД мотора р = N/Nx = (V - IR)/V = 0,875, т.е. р =87,5%. Здесь не учтены потери мощности, возникающие вследствие нагревания сердечников якоря и статора вихревыми токами и вследствие трения в подшипниках.
Ток в цепи / = ^/(R + г). Мощность, выделяемая во внешней цепи, /V] = P-R = %2RR,R + г)2. Мощность, выделяемая внутри источника тока, А2 = "82г/(/? + г)2. Полная мощность
А = А] + А2 = fS = "g2/^ + г).
Из рис. 368 видно, что с увеличением R мощность ^l, выделяемая во внешней цепи, сначала возрастает, а затем уменьшается. Чтобы найти сопротивление R, при котором выделяется максимальная полезная мощность, рассмотрим зависимость Nv от тока /:
Nv = N - N2 = № - Pr.
Прибавив к этому выражению и отняв от него величину ^Мг, можно представить /V, в виде
/V, = ^2/4г - г(/- ^/2г)2;
отсюда следует, что максимальная полезная мощность No = ^l^r выде
ляется при токе / = ^/2г, т.е. при R = г. В этом случае КПД Г] = NJN = 0,5,
т.е. т] = 50 %. Мощности /V2 и /V с увеличением R монотонно уменьшаются. При этом быстрее уменьшается мощность А2, выделяемая внутри источника. Поэтому с ростом R КПД возрастает.
Из графика зависимости /V, от R видно также, что одна и та же полезная мощность может быть получена при двух значениях R, одно из которых больше, а другое меньше г.
Если % - ЭДС источника тока, то через сопротивление R^ течет ток /, = = %/(Rv + г) и во внешней цепи выделяется
мощность N = /|2/?, = ^R^Ry + г)2. Через сопротивление /?2 течет ток /2 =
Я.Я./?2/?2У?! + Г2У?! + Г2= 0.= 0.= ^/(/?2 + г) и вовнешнейцепи выделяется мощность N ^l^R^ = ^2/?2/(7?2 + + г)2; отсюда для определения Rx получаем квадратное уравнение:
Я.
Я.
/?2
/?2
У?! + Г2
У?! + Г2
= 0.
= 0.
Решив его, найдем Rt = 0,625 Ом или RV=R2 = 10 Ом (см. задачу 848).
. 850. Qt2/Qti = 2(/? + гШ + 2r)2 = 1,62.
NJN7 = (R + 2r)2/(2R + г)2 = 1,56.
и = А/С^/-/V) = 5.
/V[//V2 = (R + 2r)2/(2R + r)2 = 9/16; большая мощность - при параллельном соединении.
Проекция силы тяжести в направлении движения F = mg sin а = лт mg tg а = 0,01zng меньше силы сопротивления f=0,03mg. Поэтому мотор совершает работу против равнодействующей этих сил. За время т эта работа А = (f- F)ut = t|IVt, где / - ток, текущий через мотор; отсюда / = 0,02zngu/r|V = 245 А.
При напряжении на зажимах источника тока V и силе тока в линии / мощность источника /V = PR + /V; отсюда ток в линии
I = (1 /2 R)( V ± 4v^4NR ).
Два значения тока соответствуют двум возможным сопротивлениям нагрузки, при которых на нагрузке выделяется одна и та же мощность (см. задачу 848). Знак минус перед корнем соответствует меньшему току, а следовательно, и меньшим потерям мощности в линии.
Падение напряжения и потери мощности в линии
V' = IR = (1 / 2)(V ± 7v2-4/V/?),
N' = IV' = (1 /2/?)(V2 -2NR± V^V1 -4NR\
КПД передачи (отношение мощности, потребляемой установкой, к мощности, отдаваемой источником в линию)
N IV — N' V-V \ \ , 4v1-4Nr 'п = — =—== — 1± .
IV IV V 2V
При V = V] = 6200 В падение напряжения и потери мощности в линии V'= 50 В (или 6150 В) и ^' = 508 Вт (или 7,6 МВт); КПД передачи г] = 99,8 % (или 0,8 %). Цифры в скобках соответствуют большему значению тока. При V = V2 = 620 В под корнем получается отрицательное число. Это значит, что при сопротивлении линии R = 5 Ом в этом случае нельзя получить требуемую мощность ни при каком значении сопротивления нагрузки.
R = (V - VoWo/N = 200 Ом; / = RS/p = (V - V^V^p = 100 м.
857^ = 2^2/9г = 16 Вт.
858. Из условия R3/R3 = R2/R4 следует, что ток через резистор R5 не идет. Поэтому полное сопротивление R цепи складывается из сопротивлений двух параллельных цепочек R^, R2 и R3, R4 и внутреннего сопротивления элемента г:
/?=(МОМ^4) + г
/?1 + /?2 + К3 + Кд
Схема потребляет мощность
^ = С . %4ra + r2 + r3 + r4) = 36 Вт
R (R} + R2 )(7?3 + R4) + (R] + R2 + R3 + R4 У
859./v=в^/з/?.
Через лампочку должен течь ток / = N/V, где V - номинальное напряжение, т.е. 4-вольтовые лампочки рассчитаны на ток 0,5 А, а 8-вольтовые - на ток 0,25 А. Следовательно, необходимо смешанное включение: последовательно с десятью 4-вольтовыми лампочками нужно
включить параллельно друг другу две одинаковые группы 8-вольтовых лампочек. Падение напряжения на дополнительных группах 8-вольтовых лампочек будет У() - л^,, а число лампочек в обеих группах должно быть //2=2(Vo-n,V1)/V2 = 2O.
г = J/?^ = 6 Ом.■
/V, = 2/V/3; /V2 = /V/3.
Потери мощности в подводящих проводах /V = 0,04/V(). Ток в них / = ^N / R . Падение напряжения на нагрузке Vj = /Vo /1 = NQ^R/ N. Падение напряжения на подводящих проводах Т2 = /R = ^ RN. Напряжение на зажимах источника
у = V; + У2 = (/Vo + N^'R/N =208 В.
Общий заряд на соединенных обкладках q = qA- q2. Емкость образовавшегося конденсатора С = С] + С2. Энергия, запасенная в конденсаторах до и после соединения,
Wj =q12/2C1 + ql/2C2, W2 = (q, - q^2 / 2(C, + C2).
На резисторе выделилось количество теплоты
Q=Wa-W2= (qxC2 - q2C, )2 / 2C,C2 (C, + C2).
При разомкнутом ключе К конденсаторы С, и С2 имеют заряды q; напряжения на них Т, = q/C и V2 = q/2C, причем V] + V2 = %; отсюда q = 2С6(3, Т| = 2%(3 и V2 = Й/З. Аналогично находим заряды и напряжения на конденсаторах С3 и С4; q'= СЫЗ, V3 = 2^/3 и Т4 = ^/3. Так как V! = V3, потенциалы обкладок конденсаторов, присоединенных к ключу, одинаковы. При замыкании ключа ничего не изменяется. Полная энергия батареи конденсаторов равна сумме энергий, запасенных в каждом из них:
w_qV\ I дУг , 9% , 9% С^2
22222 '
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
к = p/Fz = 2,39 • 10"7 кг/Кл.
т = тМ = 2 ч.
Согласно объединенному закону Фарадея т = \xIt(Fz = Aq/F, где А = p/z, a q = /т; отсюда F = Aq/m = 9,65 • 104 Кл/моль.
Ионы в растворе электролита несут на себе число элементарных зарядов, равное валентности z. При выделении массы вещества, численно равной его химическому эквиваленту, через раствор проходит заряд, численно равный постоянной Фарадея, т.е. F = zN^ = NAe. Следовательно, элементарный заряд е = F!NA = 1,60 • 10ю Кл.
По второму закону Фарадея имеем кх ~[ix/Fzx и к2 = p2/Fz2; отсюда электрохимический эквивалент золота к2 = к121р.2/г2)Л1 = 6,8 ■ 10-7 кг/Кл.
Ток в ваннах / = jS. По первому закону Фарадея массы выделившихся при электролизе веществ Wj = kJSx = 23,8 г, m2 = kzjST = = 21,6 г, т5 = k^ST = 80,5 г.
7 = у№с = 124 А/м2.
По первому закону Фарадея т = к!т, где / - ток в цепи; отсюда / = т/кт = 1,6 А, т.е. в показание амперметра надо внести поправку Д/= /-/„ = 0,1 А.
По первому закону Фарадея т = к!т, где / - ток в цепи. Точное значение падения напряжения на сопротивлении V = IR = mR/kx = 4,97 В. Разность между показанием вольтметра ц точным значением падения напряжения ДР = V- Ро = -1,03 В.
Толщина слоя d = [ilt/FzynS = 58 мкм.
В первой ванне железо двухвалентно (zt = 2), во второй-трехвалентно (z2 = 3). Поэтому при прохождении через растворы одинаковых зарядов выделяются различные массы железа на катодах: в первой ванне /щ = p^q^F = 27,93 кг, во второй ванне т2 = pxqlz2F = 18,62 кг. Так как валентность атомов хлора z = 1, то на аноде каждой ванны выделяется масса хлора т = pxq(zF = 35,357 кг.
7? = -^^-= 0,4 Ом.
Fz2 пг
V = Wmm/q = kWm = 10,8 В.
КПД установки г] = IVt/W = Vq/W, где q - заряд, прошедший через ванну. Масса выделившейся меди т = kq; отсюда т = FqlV/P = 0,445 кг.
Средний ток / = (/[ + !z№- Заряд, протекший через раствор, q = /т = (/j + /2)т/2 = 20 Кл. Нахождение заряда графическим путем показано на рис. 369. На графике зависимости тока от времени заштрихованная площадь численно равна заряду. Масса меди, выделившейся на катоде, m = kq = к(!х + /2)т/2 = 6,56 мг.
881.m = k(V-%)T/R = 95r.
t = pVpfkRIx = 312 К, где R = 8,31 Дж/(моль ■ К) - газовая постоянная.
№3.W2m=V2WXnJVv
§ 23. Магнитное ноле тока.
Электромагнитная индукция
В = Ц^Л/; отсюда Н = В/ц^ = 1,59 МА/м.
В ЦорН = ЦоЦ/л// = 62,8 Тл.
ц = В/ЦуН = 5000.
На прямой проводник с током, расположенный перпендикулярно к линиям индукции в однородном магнитном поле, действует сила
B1VB1VFFРис. 370Рис. 370F = ВП = 0,1 мН. Направление силы определяется правилом левой руки (рис. 370)*.
B1V
B1V
F
F
Рис. 370
Рис. 370
На проводник действуют: две одинаковые силы натяжения нитей Т, сила тяжести mg и сила F = ВИ sin а со стороны магнитного поля, где а - угол между направлениями тока / и магнитной индукции В (в нашем случае а = 90° и sin а = 1). Подразумевается, что направления тока и
магнитной индукции таковы, что сила F направлена вниз (см. рис. 140). В противном случае силы натяжения нитей при пропускании тока не возрастают, а уменьшаются, и нити не оборвутся.
Если проводник находится в равновесии, то 2Т - mg - F = 0; отсюда Т = (mg + F)/2. Для разрыва одной из нитей необходимо выполнение условия
T = (mg + F)/2 > Mg,
или
13= (2M — m)g/Bl=3 А.
Если проводник расположен перпендикулярно к направлению магнитной индукции, то F = ВП, где / - ток в проводнике; отсюда l = F!Bl= 15 А.
На проводник действуют: силы натяжения двух нитей Т, сила тяжести mg и сила F = ВИ со стороны магнитного поля (рис. 371). При равновесии проводника суммы проек-//////,
ций сил (с учетом их знаков) на вертикальное[ А
и горизонтальное направления равны нулю:к-Ту^х
mg - Т cos а = 0, F - Т sin а = 0; отсюда tg а =!] 1
= Flmg = BlUmg = 1, т.е. а = 45°.F «^
Н = П2кг = 4 А/м, В = Ц0Н = Ц(//2л:г = ”— ^ -
В ^mgРис. 371В ^mgРис. 371= 5 мкТл.
В ^mg
Рис. 371
В ^mg
Рис. 371
Вокруг бесконечно длинного прямолинейного проводника, по которому течет ток 1\, образуется магнитное поле, напряженность которого на расстоянии г от проводника Н = 1\12кг, а индукция В = ЦоЦ^ = ЦоЦ/^лг. При этом векторы Н и В направлены одинаково и лежат в плоскости, перпендикулярной к проводнику. На отрезок второго проводника длины /, по которому течет ток /2, магнитное поле действует с силой F = BI2l sin а, где а - угол между направлениями отрезка проводника и магнитной индукции. Так как второй проводник параллелен первому, то а = 90° и sin а = 1. Таким образом, F = ЦоЦ/^/^лг; отсюда
‘Кружок с крестиком означает, что ток направлен от читателя перпендикулярно к плоскости рисунка, в которой лежат векторы В и F.
Цо = ТкРН^Щгк Подставив значения lt = /2 = 1 А, 1 = 1 м, F = 2 • 10~7 Н, Ц = 1 (для вакуума), найдем ц0 = 4л ■ 107 Гн/м.
F( = F/I = Цо/^лг = 0,1 Н (см. задачу 892).
На рис. 372 показано направление магнитной индукции и по
ложение площадки в обоих случаях. По определению магнитный поток
Ф = BS cos а, где а - угол между нормалью п к площадке и направлением магнитной индукции В. В первом случае а = 0, cos а = 1 и Ф = BS = = 1,25 мВб; во втором случае а = <р (углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и Ф = BS cos <р = 625 мкВб.
В = ц()ц7/ = 6,28 Тл; Ф = BS cos а = BS = = 12,56 мВб.
L = пАФ/(Ь - /,) = 125 мГн.
% = -ф2 -B^S/At = 1,6 мВ.
Ф = ,:&At/n = 1 мВ б.
Начальный магнитный поток через рамку Ф, = BS cos а, где
S = а^^З/4 - площадь рамки и В = ц0/7 - магнитная индукция. Конечный магнитный поток Ф2 = 0. Изменение магнитного потока ДФ = Ф2 — Ф, = = -BS cos а. ЭДС индукции
ДФ _ л/3цоа2 Н cos а
отсюдаотсюдаД/ 4Дг
отсюда
отсюда
/х1/2
= 10 см.= 10 см._ %Af )
= 10 см.
= 10 см.
а = 2 —j=
( V3p0Hcosa )
900. В = %At/a2cos а = 0,1 Тл.
901. /=-R901. /=-RДФ "RAIДФ "RAIS АВR AtS АВR At= 10 мкА.= 10 мкА.
901. /=-
R
901. /=-
R
ДФ "RAI
ДФ "RAI
S АВ
R At
S АВ
R At
= 10 мкА.
= 10 мкА.
Рис. 373Рис. 373
Рис. 373
Рис. 373
q = -%At!R = -АФф = -y^HS/R = 0,1 мКл.
ЭДС самоиндукции *8 = -LAl/At, где Д/ = /2 - If, отсюда L = -W/(/2-/,) = 2,5 Гн.
ЭДС индукции ^ = -ДФ/At, где ДФ = BAS = BlvAt — магнитный поток
через площадь Д5, “заметаемую” проводником за время At (рис. 373). Опуская знак минус, найдем % = Blv = 1 В.
Крылья самолета за время At “заметают” площадь AS = luAt. Магнитный поток через эту площадь равен ДФ = В cos aAS, где В cos a = So - вертикальная составляю
щая индукции земного магнитного поля (а - угол между вертикалью и направлением магнитной индукции). Разность потенциалов V между концами крыльев самолета равна ЭДС %,
индуцируемой в металлических крыльях и корпусе самолета при его движении в магнитном поле Земли:
У = ^ = Дф/Дг = В^и = 0,15 В.
Площадь, “заметаемая” за время Д? проводником, скорость которого и направлена под углом а к самому проводнику, представляет собой
иДгиДгв®- •в®- •Рис. 375Рис. 375
иДг
иДг
в®- •
в®- •
Рис. 375
Рис. 375
площадь параллелограмма (рис. 374): Д5 = lukt sin а. Магнитный поток через эту площадь ДФ = 5Д5. Разность потенциалов У между концами проводника равна ЭДС ^, индуцируемой в этом проводнике:
У = % = \Ф!\1 = Blu sin а; отсюда и = V/Bl sin а = 1 м/с.
1 = %IR = B^lu/R = 10 мкА.
Пока рамка находится в области, где имеется магнитное поле, магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой, при движении рамки не изменяется. Поэтому ЭДС индукции в рамке не возникает. После того как одна из сторон рамки вышла за границу поля (рис. 375), магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой, будет изменяться. За время Д? рамка перемещается на расстояние ukt и часть площади рамки, которую пересекает магнитное поле, уменьшается на величину Д5 = lu kt. Магнитный поток за это время изменяется на величину ДФ = -BkS = -Blu kt. Индуцируемая в рамке ЭДС ^ = = -kФ|kt = Blu, и по рамке протечет ток / = ^jR = Blu /R = 2 мкА. Когда рамка выйдет из области, где имеется магнитное поле, ЭДС индукции снова станет равной нулю.
С 2 / A п \ 2
=— =1 нДж/с.
' R V kt )
/ =vlBI2R,{l+vt).
R = B42u!F = 0,625 Ом.
При плавном изменении магнитной индукции в рамке индуцируется ЭДС % = ДФ/Дц где ДФ - изменение магнитного потока, kt - время, в тейение которого происходило это изменение. Ток в рамке / = ^JR = = kФ/Rkt. Заряд, протекший по цепи за время kt, q = I kt = kФ/R. Начальный поток магнитной индукции Ф] = BSn. При изменении направления магнитного поля на обратное магнитный поток изменяет знак.
Поэтому конечный магнитный поток Ф2 = —BSn. Изменение магнитного потока ДФ = Ф| - Ф2 = 2BSn. Таким образом, q = 2BSn!R = 1 мкКл.
q = BSDI2p (см. задачу 912).
Сумма ЭДС источника тока и ЭДС, индуцируемой в цепи при равномерном изменении тока, равна % + LM!\t. Ток изменяется по закону / = У,, - (ДНЬРр, где /<) = ^/R. Сопротивление цепи в любой момент времени
’ ~ %! R-(MI M)t'
В момент времени / = 2 с искомое сопротивление R, = 1,75 Ом.
Рассмотрим контуры cmd и end, площади которых 5 = лП2/8 _(рис. 376). Магнитные потоки через каждый контур
/лДЛх. ^ ^ в моменты времени ^ и г2 будут
(] R \Фх = BXS = ktxuD2/8, Ф2 = B2S = khuD2,8.
clL^JId"
\jЭДС индукции в каждом контуре (поскольку
\/магнитное поле меняется равномерно) % =
2 =(ф2_ф])/((2_Г|) = ^£)2/8.
Пусть ЭДС индукции вызывает в контурах
Рис. 376токи, направления которых показаны на рис. 376.
Взяв направление обхода контуров против часовой стрелки и применив правила Кирхгофа, получим
1XRX + /Т?2 = ^. /2/?2 - 1XRX = %, /2 + 7, = 7,
где 7?! = RiD - сопротивление проводника cd, R^ = R(nDI2 - сопротивления проводников cmd и end. Решая эти уравнения, найдем 7, = 0, 7 = = /2 = %/R2 = kD!4Rb
Направления сил, действующих на рамку с током со стороны магнитного поля, определяются правилом левой руки (рис. 377а). На
стороны рамки ск и dl действуют силы Fx и F^, направленные противоположно по одной прямой. Они не создают момента сил. На стороны рамки cd и kl действуют силы Рз=р4 = 1Ва. Они образуют щару,
создающую момент сил М, равный произведению одной из этих сил на расстояние между линиями, по которым они направлены. Как видно из рис. 3775, на котором показан вид рамки со стороны ск, это расстояние равно a sin а. Таким образом, М = F^a sin а = IBa2- sin а = 50 нН • м.
Общая ЭДС, индуцируемая в рамке при движении в однородном магнитном поле, равна нулю, так как равно нулю изменение магнитного потока через площадь, ограниченную рамкой. Поэтому равен нулю и ток в рамке.
(см. задачу 906).(см. задачу 906).Рис. 378Рис. 378Общую ЭДС, индуцируемую в рамке, можно рассматривать также как сумму ЭДС, индуцируемых в каждой из сторон рамки. Если скорость движения проводника составляет угол (р с самим проводником, а линии индукции поля перпендикулярны к направлениям проводника и его скорости, то индуцируемая в нем ЭДС % = Blv sin (р Поэтому ЭДС в сторонах рамки ае и Ьс не возникают. В стороне ab возникает ЭДС ^о = Bl^v. В сторонах ed и cd возникают ЭДС %х = ВЦи sin ср] и ^2 = В/2п sin (р2. Так как /, sin ср, + /2 sin (р2 = /0, то полная ЭДС в сторонах ed и cd будет *8] + с82 = Blov, т.е. равна по модулю ЭДС в стороне ab, но имеет с ней противоположное (при обходе по контуру) направление; поэтому тока в рамке не возникает.
(см. задачу 906).
(см. задачу 906).
Рис. 378
Рис. 378
За время Д? проводник, вращаясь с угловой скоростью со, повернется на угол <р = шД/ и “заметет” сектор, площадь которого ДД = = <р/-2/2 = сог2Д?/2 (рис. 378). Магнитный поток через эту площадь и ЭДС индукции
ДФ = BAS = Bw2\tH, % = ДФ/ДС = В®ггП;
отсюда со = 2^1Вгг = 75 рад/с.
§ 24. Переменный электрический ток
а) Ф = Фо sin со г = BS sin (2лнс); б) Ф = Фо sin (со г + (р) = = Фо sin(coc + 30°), где Фо = 2 мВб. Отсчет начальной фазы (р производится от горизонтальной плоскости в сторону вращения рамки.
Рамка, занимавшая в начальный момент времени горизонтальное положение, вращаясь с угловой скоростью со = 2л/с, в момент времени t будет составлять с горизонтальной плоскостью угол СО? = 2лнС (рис. 379). В течение последующего очень малого промежутка времени Дс она повернется еще на малый угол соДс. Пусть сторона рамки, параллельная оси ОО, равна а и сторона рамки, перпендикулярная к оси, равна Ь. За время Д? проводник рамки cd переместится в положение c'd' и “заметет” при этом площадь AS = а(5/2)соД? = StoM^, где S = ab - площадь рамки. Магнитный поток через площадь, “заметаемую” проводником cd, ДФ = ВД8 cos а, где а - удол между нормалью п к плоскости cc'd'd и направлением магнитной индуйции В.
Если промежуток времени AZ очень мал, то угол а практически равен углу tot, так как направление нормали п мало отличается от направления стороны рамки kd, а вектор В по условию направлен горизонтально. Таким образом, АФ = (l/2)BScoAz cos COZ. Следовательно, в момент времени z в проводнике cd индуцируется ЭД С 8] = АФ/Az = (l/2)BSco cos coz.
Рис. 379Рис. 380
Вектор В параллелен плоскостям, в которых при вращении рамки движутся проводники kd и 1с. Поэтому через “заметаемые” этими проводниками площади магнитный поток равен нулю и ЭДС не возникает. В проводнике ad, как легко видеть, индуцируется ЭДС 82, равная по модулю 8,, но направленная так, что при обходе по контуру рамки эти ЭДС складываются. В результате суммарная ЭДС, индуцируемая в рамке,
8 = 28 ( = BSto cos coz.
Наибольшее значение ЭДС принимает в те моменты времени, когда cos COZ максимален, т.е. равен единице. Поэтому амплитуда ЭДС
8() = BSto = lunBS = 0,614 В.
При увеличении частоты вращения рамки в три раза амплитуда ЭДС также увеличится в три раза, т.е. 8q ~ 1,884 В.
Фо = 8(/2лп = 48 мВб (см. задачу 920).
п = 8()/27twBS = 8 об/с (см. задачу 920).
Круговая частота тока со = 2л/Т = 628 с-1, частота тока f = = 1/Т = 100 Гц. В момент времени Z = Т/12 мгновенное значение напряжения
ГЛ ‘‘lк 2 ЛЛ ')Лл/ 3
V = Vn sin сот ч— = Vn sin —tA— = Vn sin — = — Vn;
Vb У< /byb2
отсюда Vo = 2V/V3 = 11,6 В. График зависимости напряжения от времени представлен на рис. 380.<
Индуктивное сопротивление катушки XL = toL, где со = 2л/- круговая частота тока. Амплитуда тока /у = Vy/XL; отсюда L = = Гу/2л/70 = 0,051 Гн.
L = XJ2nf= 0,080 Гн; /0 = Vo / XL = V2 И, / XL = 0,28 А.
Полное сопротивление Z = ^R2 + (со£ - 1 / соС)2. Мощность
-3,02,-3,02,„ „<рГ-1/®С
-3,02,
-3,02,
2(R2 + (®L-1 /®С)212(R2 + (®L-1 /®С)21= 0,5 Вт; tg ср = — Y R
2(R2 + (®L-1 /®С)21
2(R2 + (®L-1 /®С)21
т.е. <р = -72°40'.
Индуктивное сопротивление XL = toL, емкостное сопротивление Хс = 1/®С и полное сопротивление Z = ^R2 + (toL- 1 /®С)2 , где со = 2л/- круговая частота тока. При/ = 50 Гц (со = 3,14 ■ К)2 с-1)
XL = 157 Ом. Хс = 318 кОм, Z = 3,33 кОм;
при / = Ю кГц (® - 6,28 • 104 с-1)
XL = 31,4 кОм. Хс = 15,9 Ом, Z = 31,4 кОм.
V/ = /уХс = А)Г/2лС = 0,7 кВ.
/0 = —= ,= 1.4А.
/ = лДЙ^^7/ 2л/0Г = 61 Гц.
Полное сопротивление цепи
X = \®L - 1/®С1 = 12л/Т - 1/2л/С1.
Из условия, что при частоте /у полное сопротивление цепи равно нулю, имеем 2л/уТ = 1/2л/,С; отсюда/у = \/2n^LC =711 Гц.
Гу = /т^о = 420 В, где п = 2л////? = 1/2 л/,'/? С (см. задачу 931).
В цепи постоянного тока / = V/R = 2 А. Индуктивное сопротивление соленоида XL = toL = 2л/£ = 5 кОм. Амплитуда напряжения Го = /2 V/ Так как R < XL, то амплитуда переменного тока
1O = VOIXL= 42VJ2ufL = 5,6мА.
Мощность N = (/oVy/2) cos ср; отсюда cos ср = 2МП^Уу = 0,8.
Эффективный ток / = /0 / 42. Количество теплоты, выделяемое печью, Q = 12Rt = 1qRt!2 = 3,96МДж.
иг = И,2т(1 + аг0) / г/?(1 + ас) = 5 г , где t = 100 °C - температура кипеНИЯ воды.
В сети с эффективным напряжением V3 амплитуда напряжения У» = V2V3. Принимая начальную фазу напряжения равной нулю, запишем закон изменения напряжения с течением времени:
V = Vo sin cor = Vo sin — t.
Зажигания (гашения) лампы происходят в моменты времени tm(t'ln), когда мгновенное напряжение в сети равно напряжению зажигания (рис. 381):
2л
Наименьшее положительное значение, которое может иметь величина 2nt„JT, стоящая под знаком синуса, составляет 60° = л/3. В общем случае
2ium!T = тк ± л/3,
где т = 0, 1,2,... Следовательно,
tm = тТ/2 ± 776.
Знак плюс здесь соответствует моментам зажигания лампы (напряжение в эти моменты возрастает по модулю), а знак минус - моментам гашения
7/6 7/3 7/2
0 7/4 Т/2 ЗЛА Т I
Рис. 381Рис. 381Рис. 382
Рис. 381
Рис. 381
лампы (напряжение убывает по модулю). В частности, первая вспышка происходит при /() = 7/6 и первое гашение - при Ц = Т / 2 — Т / 6 = Т/ 3. Таким образом, длительность вспышки Af = ff - Го = 7/ 6 = 3, Змс.
Вспышки и гашения происходят в течение каждой половины периода; следовательно, частота вспышек п = 2/7 = 100.
Амплитуда переменного напряжения на выходе автотрансформатора Vo = V2V3. Это напряжение с течением времени изменяется по закону 1/ = Vq sin (2л/Г). Напряжение между электродами лампы ;Т2 = = ^ч-У] = ^ + V2V3 sin (2л/*) (график зависимости этого напряжения от времени приведен на рис. 382). ”
. При sin (2лД) = 1 напряжение У2 принимает наибольшее значение ^2тах=^ + М=100 В. Приsin (2лД) = -1 напряжение У2 принимает наименьшее значение V2min = % -л/2Уэ = 20 В, т.е. У2тах > У,и У2 min < У3. Таким образом, напряжение на электродах лампы становится больше напряжения зажигания лишь один раз в течение периода, поэтому частота вспышек неоновой лампы равна частоте тока /= 200 Гц.
Мощность, подводимая к первичной обмотке (затраченная мощность), /V3 = /|У|. Мощность, отдаваемая вторичной обмоткой нагрузке (полезная мощность), N2 = /2У2. КПД трансформатора
р = ^ / ^ = /2У2 / /, ц = 0,95, т.е.т] = 95 %.
Индуцируемая во вторичной обмотке ЭДС % = V^/k. Напряжение на ее зажимах У2 = % - lr = Vx/k~Ir = 21,5 В.
Индуцируемая во вторичной обмотке ЭДС должна быть равна напряжению накала У2 и падению напряжения на сопротивлении обмотки 1г. Поэтому отношение чисел витков в обмотках w^jwx = (У2 + h-^jV х, отсюда w2 = (У2 + lr^wx!Vx = 400.
Индуцируемая во вторичной обмотке ЭДС ^ = У2 + /2г. Коэффициент трансформации трансформатора
k = vx 1^ = УДУ, + /2г) = 10.
Ток в первичной обмотке находим из условия Vx/x = iS2/2. КПД трансформатора (отношение мощности на зажимах вторичной обмотки к мощности, потребляемой первичной обмоткой)
Т| = У2/2/У,/, = ^/^ = У2/(У2 +/2г) = 0,91, т.е.т] = 91%.
У2 = Vxlk -h=6B,R = У2// = VJkl - г = 1,2 Ом.
Амплитуда напряжения Уо = д/Цо +2У|0У20cosф0 + У2д = 155В; tg (р = У20 sin Фо/(У|О+ У2(|cos фо) = 0,34, т.е. ф = 19°.
§ 25. Электромагнитные колебания и волны
Пренебрегая излучением электромагнитной энергии в пространство, можно считать, что вся запасенная в конденсаторе энергия перейдет в теплоту, т.е. Q = W = q^RC = 5 мДж.
Электрическая энергия в контуре максимальна в те моменты времени, когда конденсатор полностью заряжен и ток в контуре равен нулю. Ее значение W = СУ02 /2 = CV} = 0,1 мкДж, где Уо = V2V^ - амплитуда напряжения на конденсаторе. Эта энергия равна полной энергии контура. В те же моменты времени, когда конденсатор полностью разрежен и по катушке идет наибольший ток, внутри катушки образуется наибольшее магнитное поле, т.е. контур обладает максимальной магнитной энергией. Если считать, что потери энергии в контуре за период
колебаний пренебрежимо малы, то по закону сохранения энергии максимальная магнитная энергия равна максимальной электрической.
Период колебаний Т = Зл^ЬС = 2Kr^KE0L/</ = 1,26мкс; Т = = In^LC' = 2пг^пе0еЬ/ d = 2,51 мкс.
/2 / / = ф + Un = 1,01.
/ = 1 /2к^Щ;, f2=\!2тЦЦС0 + Q; отсюда емкость С =
= С0(/2 -/22)//22 = 15мкФ.
Частоты колебаний контура / = 1 /2n^LxC.f2 = 1 /2л^£2С; отсю
да получаем, что индуктивность катушки должна меняться от Ц =
= 1/4л2С/2 = 16мГн до L, = 1/4л2С/22 =10мГн.
</|/с/2 = (^Д])2 = 64.
Граничные значения частот диапазона /| = с/Х, и/2 = с/Х2, где с = 3 • 10s м/с — скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. В результате получим/| = 300 ГГц,/2 = 30 ГГц.
X = c/f= 0,1 нм.
От /., = df\ = 3 км до Х2 = df2 = 11,6 м.
Частота электромагнитных колебаний/= 1/2л V^C, длина волны X = с//’= с • 2лл/ТС. Подставляя числовые данные, имеем
/,=22,2 МГц, Xj = 13,4 м; /2=16МГц, ^= 19,6 м.
Таким образом, диапазон радиоприемника перекрывает интервал частот Д/ = 22,2-16 МГц и интервал длин волн АХ = 13,4-19,6 м.
X = с! / = с • 2njLC = 1,88 км; /= с/Х = 0,159 МГц.
/ = /0Vn = 36 кГц.
X = 2яс^С6Д(/М = 2450 м.
/ = 1 / 21^ЦСХ + С2) = 53 кГц; со = 2л/ = 1 /^ЦС, +С2)= 3,33 х х I О5 сЛ Т = 2^L(CX + С2) =18,8 мкс; X = сТ = 2лс ^(С, +С2) =5650 м.
/ х V
960./ = — = 60 МГц; L = — =352нГн.
XС\2яс)
X = сТ = 2kc^e0eSL/ d = 2350 м.
Период колебаний контура Т = 2k^LC, где С - емкость конден-
1 / V
сатора. Длина волны X = сТ; отсюда С = — =507 пФ.
L 72л<?)
Диапазон длин волн ограничен Хх= сТх= 2tic^LCx и Х2 = сТ2 = = 2лс^£С2 = блс^ТС,, где с = 3 • 108 м/с - скорость распространения
электромагнитных волн, Тх иТ; - наименьший и наибольший периоды колебаний контура, L - индуктивность катушки контура; отсюда Х2 = = 3Xt = 9 м. Таким образом, диапазон длин волн контура ограничен X] = = 3 м и ^ = 9 м.
С2/С] = (Ч^сУ = 2,25.
Частота колебаний электромагнитной волны при переходе из одной среды в другую не изменяется, поэтому при скорости распространения сср длина волны X = сср//0 = 200 м.
Глава IV
ОПТИКА
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
Н = (ut + У, - l-^hlQx - /2) = 8,5 м (рис. 383).
Источник будет виден в трубу, если за время 1 = 2Цс прохождения светом пути ABOCD призма успеет повернуться на 1/8, 2/8, 3/8, ..., вообще, на к!% часть полного оборота. Поэтому
21\ к. с „
— =, откуда v = к—==528кГц,
с v816/
где к = 1, 2, 3, ...
В вакууме X, = dv = 400 нм, в алмазе Х2 = cnN = dnv = 162 нм.
‘ 969. /7 = chM =1,5.
е = hv = hcfX « 4 ■ 10"19 Дж.
X = hc/(Am-lx + К) = 250 нм.
По закону Эйнштейна hv =ДВЬ,Х + mv2/! ^ Д„ыХ; следовательно, фотоэффект наблюдается при частоте V 5$ АJh = 5 • 1014 Гц.
§ 27. Отражение и преломление светана плоской границе
/ = RH!h = 3 м.
D = d(H/h + 1) = 13 см в обоих случаях.
Точка S и ее изображения S' и S" в зеркалах лежат на окружности радиуса h с центром в точке А (рис. 384). Очевидно, что угол S'AS" в два раза больше угла у = ом, на который повернулось зеркало. Поэтому / = 2/z sin у и
:arcsin(// 2/1) __
t == 20 с.
со
916.соъ^ = ф--а^-а^)Г2.ахаг = 0;«? = 'П.Г2.. '
а) Луч возвращается к источнику, описав правильный треугольник (рис. 385). Поэтому углы падения луча на зеркала а = 30°, углы скольжения у = 60° и треугольник АВС - правильный, т.е. угол между зеркалами ф = у = 60°.
Рис. 385Рис. 385
Рис. 385
Рис. 385
б) Чтобы возвратиться к источнику по пройденному пути, луч должен упасть на второе зеркало перпендикулярно к его поверхности (рис. 386). Поэтому треугольник АВС - прямоугольный и угол ф = 30°.
Если а - угол падения луча на зеркало до поворота зеркала, то угол отражения также равен а. Угол между падающим и отраженным лучами равен 2а. После поворота зеркала угол падения стал равен а + ф, угол отражения также стал равен а + ф, а угол между падающим и отраженным лучами стал равен 2(а + ф). Падающий луч остался неподвижным; следовательно, отраженный луч повернулся на угол 1? = 2(а + ф) - 2а = = 2ф = 54°.
L = 2/ tg 60° = 3,46 м.
Если а - угол падения луча на первое зеркало, 8 - на второе (рис. 387), то i) = 2а + 28 (как внешний угол треугольника АВС). Кроме того, из треугольника ОВС имеем
ф + (л/2 - 8) + (л/2 - а) = л;
отсюда 1? = 2(а + 8) = 2ф, т.е. угол А не зависит от угла падения луча.
После двух отражений от зеркал луч йДет
по направлению, составляющему угол 2ф с направлением падающего луча (см. задачу 980). Этот угол не зависит от положения зеркал и потому не
изменяется при их вращении. Отраженный луч, не поворачиваясь, перемещается параллельно самому себе. Искомый угол О = 0.
Ход лучей в призме показан на рис. 388. Угол падения луча на посеребренную грань ВС равен углу ф = Z. АВС призмы (эти углы имеют
взаимно перпендикулярные стороны). Очевидно, что угол падения на непосеребренную грань АВ внутри призмы Z_ DEF = Z_ SDE = 2cp (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых SD и ЕЕ и секущей DE). На рисунке изображен случай, когда этот угол больше предельного для данного сорта стекла. При этом Z_ ЕАС = Z_ FEP = 2ср (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Так как Z_ АВС + + Z_ ВАС + Z_ АСВ = л, то
Z. АВС = ф = 36°, Z. ЕАС = Z. АСВ = 2ф = 72°.
Рис. 389Рис. 389
Рис. 389
Рис. 389
Обозначим через 0 и 5 углы, которые составляет луч, идущий внутри призмы, с перпендикулярами к граням (рис. 389а). Сумма углов треугольника АКС равна л, а сумма углов четырехугольника АВСК
равна 2л, причем Z ВАК = Z_ ВСК = л/2. Следовательно, <р = р + 5. В то же время А - внешний угол треугольника ADC, поэтому i) = (а - р) + (у - 5) = = а + у - ср. Искомый угол q>=a+y-i) = л/4. Построение хода луча в призме, показанное на рис. 3896, приводит к решению ср = = у + А - а = 5л/12.
Эти решения получены лишь при помощи геометрических условий. Однако одновременно с этими условиями должны выполняться и законы преломления. В частности, во втором случае угол падения на вторую грань призмы 5 = ср + р > ср. Так как показатель преломления стекла п> 1 и sin 8/sin у = 1/л, то sin у > sin 5 и у> ср. Последнее неравенство противоречит значениям у = 4л/12 и ср = 5л/12; поэтому второе решение следует отбросить.
л = sin a/sin р = с/с„, т.е. п = 1,4; с„ = с/п = 2,14 ■ 10s м/с.
sin тЭ = sin ср ^л cos ср - д/1 - л2 sin2 ср^ = 0,25; 13 = 14°30', либо О = arcsin (л sin ср) - ср = 14°30/.
у = (1/2) [л/2 + у + arcsin (л sin Р)] = (1/2) (90° + 20° + 60°) = 85°.
По закону преломления sin а/ sin р = njnx. Кроме того, а + + л/2 + р = л (рис. 390); отсюда sin р = cos а, и, следовательно, tg а = = л2/л,, а= arctg (nJnxY
п = sin а/ sin(90°-a) = sina/yl - sin2 a = 1,33.
tg a = r/h, R = г + H tg p, sin a/ sin p = л (рис. 391); отсюда
R =R =/1 + HI ^n2h2 + г2(л2/1 + HI ^n2h2 + г2(л2-1)).-1)).
R =
R =
/1 + HI ^n2h2 + г2(л2
/1 + HI ^n2h2 + г2(л2
-1)).
-1)).
Максимальным радиус тени /?тах = г + Н/ у л2 - 1 = 7 м будет при h = 0.
r=R-H/^n2 -\ =5,73 м.
Вышедший из пластинки луч параллелен падающему, поэтому /г/cos р = Z?/sin (а - р) (рис. 392). Так как sin a/sin р = л, то
h = sin ah = sin a2 a2 a= 4,2 см.= 4,2 см.
h = sin a
h = sin a
2 a
2 a
= 4,2 см.
= 4,2 см.
-1 ds'ma.-1 ds'ma.
-1 ds'ma.
-1 ds'ma.
Ход лучей в призме показан на рис. 393. Так как ii - внешний угол равнобедренного треугольника ADC, TOi)=2(a-p). Сумма углов треугольника АВС равна ф + 2(л/2 - р) = л, т.е. ф = 2р. По закону преломления sin a/sin р = п; отсюда
sin[(i) + <p)/2] _ 1 - cos(i) + ф) _sin(<p/2) у 1-созф ’
Рис. 394Рис. 394
Рис. 394
Рис. 394
Ход лучей в призме показан на рис. 394. Так как угол между перпендикулярами к граням равен ф, то X АСВ = 2(р - ф). В треугольнике АВС сумма углов
(л/2 + 8) + 2(Р - ф) + (л/2 - р) = л;
отсюда
3 = 2ф-р.(1)
Искомый угол i) есть внешний угол треугольника ADB. Поэтому
’1? = (л/2 - а) + (л/2 + у) = л + у - а.(2)
Записав еще законы преломления:
(3)(3)sin a/sin Р = п, sin б/sin у = Цп,
(3)
(3)
получим систему уравнений (1) - (3), из которой следует
sin 13 = sina^fb-^inl’lpViT"-^^-
-cosa^sin2tp7»2 —sin2 a — cos2<psin a
Подставив <p = тг/б и a = тг/4, находим
sin 13 = (1 /4)(T2"V5-3/r + 73 V2n2 - 1 +1-737217^7
Если n = 72, то легко показать, что на посеребренную грань призмы в точке С луч падает перпендикулярно к грани; следовательно, отраженный луч пойдет по пути падающего. Из полученной формулы в этом случае следует sin тЗ = 0 и тЗ = тг. Если же п = 1,41 точно, то sin 1З = 0,0059, т.е. искомый угол отличается от 180° приблизительно на 20'.
Пусть луч падает на грань АВ под углом а (рис. 395), и преломляется под углом р. По закону преломления
sin a/sin Р = п.(1)
Соответственно
sin б/sin у = 1/л.(2)
Угол тЗ - внешний угол треугольника ADC. Потому
■тЗ = (а-Р) + (у-б).(3)
(4)(4)Далее, Z_ АКС = л - ф; следовательно, ф = Р + 5.
(4)
(4)
Решая систему уравнений (1)-(4) и учитывая, что при малых углах отношение синусов можно заменить отношением углов, получим О = = (л - 1)ф = 4°.
Ход луча показан на рис. 396. Очевидно, что
/ =-sin(a- Р) + Lsin(a- у). cosP
Кроме того, sin a/sin Р = л,, sin p/sin у = /?.2//?,; отсюда
или
^n;(l + tg a)-tg-a-l _ Л / ^l + tg^ 1
n2^l + tg2 a1"а-^(l + tg2 a)-tg2 a ,
Правую часть, где все величины известны, обозначим через А (А = = 0,497). Таким образом, приходим к квадратному уравнению
ф + tg2 а(1 - Д2)л2 - 2Ап2 - ^1 + tg2 a = 0,
решение которого
^±V(l-/l2)tg2a+l
Я2 =/ .
(l-42H/l + tg2a
определяет два значения и2. Так как показатель преломления положителен, то л2 = 1,55.
Из рис. 397 имеем / = 2/z tgP. По закону преломления
sina/sinP = n; отсюда / = 2/isinа/л/л2-sin2а = 97 см.
а = arcsin^n/ / ^4h2 + /2 J = 28°.
Ход лучей в пластинке показан на рис. 398. Угол АВС в прямоугольном треугольнике АСВ равен а, поэтому АВ =//cos а. С другой стороны, из треугольника ADB видно, что АВ = 2d tg р. Углы а и Р связаны законом преломления: sin a/sin Р = п. Решая эти уравнения, получим
1,8.1,8.( dV
1,8.
1,8.
л = sin а. 1 + 2 —cos аV V /у
<р = a; L = 2nd! -\ln2 - sin2 a.
Для определения кажущегося местоположения точки построим два луча, исходящих из точки и попадающих в глаз наблюдателя. Пусть один из лучей перпендикулярен к поверхности пластинки, второй падает на поверхность пластинки под углом а, преломляется под углом р и попадает в глаз наблюдателя, которому кажется, что точка находится на пересечении продолжений лучей на расстоянии / от поверхности пластинки. Из рис. 399 видно, что / tg р = d tg а; отсюда tg a/tg p = l/d. По закону преломления sin a/sin p = 1/л. Для малых углов аир левые части последних уравнений можно считать одинаковыми; следовательно, равны и правые части, т.е. d = rd =8 см.
Рис. 399Рис. 399
Рис. 399
Рис. 399
Наблюдатель видит изображение в точке S' пересечения двух близких лучей, вышедших из 5 и отразившихся от задней поверхности пластинки (рис. 400). Луч SBC, перпендикулярный к пластинке, после отражения проходит через S. Луч, падающий на пластинку под малым углом а, выходит из нее в точке А на расстоянии ДВ = / tg a + 2В tg р от оси. В то же время АВ = (L -1) tg а. Ввиду малости углов аир закон преломления можно записать в виде sin a/sin р = и = tg a/tg р. Решив систему уравнений, найдем L = 2(/ + dfn?) = 4,5 см.
Конец стержня находится на глубине Н = I sin а, где / - длина погруженной части стержня. Вследствие преломления лучей на поверх-
ности жидкости наблюдатель видит конец стержня на глубине h = = I cos a tg (а - Р) (рис. 401). Для наблюдателя, смотрящего в вертикальном направлении, углы падения 8 и преломления у малы, поэтому Н = nh (см. задачу 1001), или tg а = и tg (а - Р). Решая это уравнение относительно р, получим (п - 1 )/tg Р = tg а + л/tg а.
Угол Р будет максимальным при таком угле а, при котором сумма, стоящая в правой части, будет минимальной. Так как произведение этих слагаемых есть число постоянное, то очевидно, что минимальная сумма достигается при равенстве слагаемых. Следовательно,
tg а = л/tg а; а = arctg -Jn .
Преломившись на грани АВ призмы, луч не отклоняется от перпендикуляра (рис. 402); поэтому угол падения луча на грань АС (в призме) составляет а = 60°. Угол, под которым луч должен был бы выйти, преломившись на грани АС, можно найти по закону преломления sin a/sin Р = 1/л. При а = 60° и п = 1,5 угол Р не имеет действительных значений. Следовательно, на грани АС происходит полное отражение и луч выходит через грань ВС перпендикулярно к ней. Искомый угол ЕОР = = О = 60°.
S = ккг1<пг - 1) = 1256 см2.
1>(2Н-Н)/л[п^А =32,3м. Части дна, находящиеся на расстояниях ближе 32,3 м, плохо видны водолазу, так как лучи от этих частей попадают в его глаз после отражения от участка поверхности воды, через который достигает водолаза дневной свет.
Лучи источника, попадающие на поверхность под углом, превышающим угол полного отражения, не выходят в воздух. Поэтому R=H/Jn^ -3,6м.
a) h = 1,5 см, если глубина погружения источника больше 1,5 см; б) на поверхности, если глубина погружения источника меньше 1,5 см.
R = h^n^l = 8,9 см.
Угол P преломления лучей на первой грани (рис. 403) определяется из уравнения sin(n/2)/sin Р = л, откуда sin Р = 1/л, т.е. Р - предельный угол полного отражения. Для полного отражения на второй
Рис. 403Рис. 403
Рис. 403
Рис. 403
грани должно быть 8 3= р. Очевидно, что ср = Р + 8; следовательно, минимальный преломляющий угол призмы ср = 2Р, или
sin ср = sin2P = 2 sin Р cos Р = 2^п2 - 1! п2 = 0,976;
отсюда ср = 77°20'.
Выход луча из второй грани невозможен, если угол падения на эту грань 8 больше или равен предельному углу полного отражения. Следовательно, sin a S 1/л. Кроме того, как видно из рис. 404, ср = Р + 8 и sin a/sin Р = л; отсюда
sin ( = л sin <рл/1 - sin2 a - и cos ср sin a < sin cpyn2 - 1 - coscp = 0,7435;
следовательно, a < 48°.
1012. sin » = 0,3; »=17°30'.
§ 28. Фотометрия
Стены и пол комнаты видны из точки, находящейся на потолке, под телесным углом со = 2л ср; поэтому Ф = /со = 1256 лм.
Фотографическое действие света можно считать пропорциональным световой энергии, попавшей на фотобумагу за время экспозиции. Эта энергия в свою очередь пропорциональна произведению освещенности фотобумаги на время. Поэтому, для того чтобы получить одинаковые снимки, необходимо добиться выполнения равенства
7.7-17. { гС
—уГ] = ~ч-(2; отсюда t2 = —L — ^ = 27с.
П'2;2 VГ J
1015. Пусть щ и г2 - расстояния от экрана до ламп. По условию lxh"\ =/2 /г2 и /‘1 + '2 =отсюда
Второй корень каждого квадратного уравнения не соответствует условиям задачи, согласно которым экран должен быть расположен междуВторой корень каждого квадратного уравнения не соответствует условиям задачи, согласно которым экран должен быть расположен междулампами.лампами.1016. ?j =/(^ ± л/2/7). Знак минус соответствует случаю, когда1016. ?j =/(^ ± л/2/7). Знак минус соответствует случаю, когдаобе лампы освещают одну и ту же сторону листа: /"] = 9 м. Если же листобе лампы освещают одну и ту же сторону листа: /"] = 9 м. Если же листрасположен между лампами, то /^ = 1 м.1017. Е = 1 / d2^\ - sin2 а = 3 лк.1018. Ех !Ег =(1+а2/2Л2)3/2 =3,1.11019. Если принять нить лампы за точечный источник света (рис. 405), то освещенности верха и низа книги_ /cos а _ /sinф_ /cosР _ /sin(<p/2)расположен между лампами, то /^ = 1 м.1017. Е = 1 / d2^\ - sin2 а = 3 лк.1018. Ех !Ег =(1+а2/2Л2)3/2 =3,1.11019. Если принять нить лампы за точечный источник света (рис. 405), то освещенности верха и низа книги_ /cos а _ /sinф_ /cosР _ /sin(<p/2)Рис. 405Рис. 405Расстояние от источника до низа книгиРасстояние от источника до низа книгиг = 2/ со8(ф/2) (здесь использована теорема ог = 2/ со8(ф/2) (здесь использована теорема овнешнем угле треугольника и учтено, что этот треугольник равнобедренный); отсюдавнешнем угле треугольника и учтено, что этот треугольник равнобедренный); отсюда
Второй корень каждого квадратного уравнения не соответствует условиям задачи, согласно которым экран должен быть расположен между
Второй корень каждого квадратного уравнения не соответствует условиям задачи, согласно которым экран должен быть расположен между
лампами.
лампами.
1016. ?j =/(^ ± л/2/7). Знак минус соответствует случаю, когда
1016. ?j =/(^ ± л/2/7). Знак минус соответствует случаю, когда
обе лампы освещают одну и ту же сторону листа: /"] = 9 м. Если же лист
обе лампы освещают одну и ту же сторону листа: /"] = 9 м. Если же лист
расположен между лампами, то /^ = 1 м.
1017. Е = 1 / d2^\ - sin2 а = 3 лк.
1018. Ех !Ег =(1+а2/2Л2)3/2 =3,1.1
1019. Если принять нить лампы за точечный источник света (рис. 405), то освещенности верха и низа книги
_ /cos а _ /sinф_ /cosР _ /sin(<p/2)
расположен между лампами, то /^ = 1 м.
1017. Е = 1 / d2^\ - sin2 а = 3 лк.
1018. Ех !Ег =(1+а2/2Л2)3/2 =3,1.1
1019. Если принять нить лампы за точечный источник света (рис. 405), то освещенности верха и низа книги
_ /cos а _ /sinф_ /cosР _ /sin(<p/2)
Рис. 405
Рис. 405
Расстояние от источника до низа книги
Расстояние от источника до низа книги
г = 2/ со8(ф/2) (здесь использована теорема о
г = 2/ со8(ф/2) (здесь использована теорема о
внешнем угле треугольника и учтено, что этот треугольник равнобедренный); отсюда
внешнем угле треугольника и учтено, что этот треугольник равнобедренный); отсюда
^1^2 — ^2^1^2 — ^2sin ф -sin ф -з1п(ф/2)4 cos2 (ф/2)з1п(ф/2)4 cos2 (ф/2)= 155 лк.= 155 лк.
^1^2 — ^2
^1^2 — ^2
sin ф -
sin ф -
з1п(ф/2)
4 cos2 (ф/2)
з1п(ф/2)
4 cos2 (ф/2)
= 155 лк.
= 155 лк.
Если сила света источника одна и та же по всем направлениям, то полный световой поток Ф = 4лЕ(/2 + /)2)3/2/Л = 25 130 лк.
Участок представляет собой круг радиуса г, на границах которого Е = IhKh1 + г2)3/2. Площадь круга
S = лг2 = л[(//?/Е)2/3 - /12] = 1055 м2.
1022. S= л(/к)2/3(Е</3 - Е^213) = 942 м2.
^(/cosaj/r2 = (/cos3 а^/Л2, Е2 = (/cos3 а2)/й2, где h - высота фонаря над землей, / - сила света фонаря; отсюда Е^ = = Ех (cos a2 / cos a, )3 = 80 лк.
Наименьшая освещенность пола Ех
наблюдается в точках пола вблизи стены,d
наименьшая освещенность стены Е^ имеет месторис 4^
в точках вблизи пола (рис. 406):
/ cos РIh_ / cos aId! 2
1 " А2 +^2/4 " <h2*d2!4?i2 ’2 " А2 +^2/4 ""
По условию задачи EJEX = щ отсюда высота зала h = df2.n = 7,5 м.
1025. Освещенности середины стола от первой и второй ламп:
Е) = /, /к2 и Е2 = /2 / Л|. Освещенности края стола в двух случаях:
Рис. 407Рис. 407г' - __ЫЧ_^2^2
Рис. 407
Рис. 407
1 ~ (At2 +^2/4)3/2 * ^"^d2^3
По условию задачи Ех = Е2; отсюда
Е2 ” I^k2-+d2/А)3'2 ~{AI2k^ +I2d2 )
1026. Суммарная освещенность в искомых точках (рис. 407)
Е = 1^ /(/2 + А2)3/2 + I2k2 /(I2 + к^312,
где /т и/2 - силы света первой и второй ламп. Если поменять лампы местами, то суммарная освещенность в тех же точках
Е' = /2А] KJ2 + к2?12 + /^ /(/2 -V^3'2.
По условию задачи Е = Е'; следовательно, // 1/3/ 1/3Z/2/3 , ,2/3J/2 О1 л
1 = НХ /72 (/7)+ «2 )= 21,6 М.
1027. Освещенность каждой из сторон Е = 311а1 = 30 лк.
1028. / = З73(п -1)/0 = 52 кд.
1029. Е = lkxKJ2 + к^3'2 + 1к2/{12 +^3'2 = 14,26 лк (рис. 407).
1030. Освещенность центра стола есть сумма освещенностей, создаваемых каждой лампой в отдельности (рис. 408). Если стол расположен под одной из ламп, то
„11 cos аА
Ех=-^- + —ху, где cos а = ,■■
1и2 h2+i24^е
Если стол расположен посередине между лампами, то
2/cosp„ к
Е2=-^Х-, где cos р = —г =■^ =
А2+(//2)2Р ^к2+(1/^2
Отношение освещенностей
«820«820кд.кд.1031. / = 2 21°У
«820
«820
кд.
кд.
[/12+(/2/4)]3/2
Введение плоского зеркала равносильно появлению нового источника 5', являющегося изображением источника 5 в зеркале (рис. 409). Источник 5' имеет ту же силу света /, так как при отражении от
Рис. 409Рис. 409
Рис. 409
Рис. 409
плоского зеркала телесный угол, в котором распространяется световая энергия, не изменяется и потери энергии отсутствуют. Освещенности при наличии зеркала и без него:
Ev = Ila1 + (/ cos3a)/a2(l + cos а)2, Е2 = 11а1.
Отношение освещенностей Е\1 Е2- Зл/2 /2 ~ 1,12.
Освещенность Е = Ila1 + JRa + 2Z?)2 можно считать одной и той же во всех точках картины (см. задачу 1032). Световой поток Ф = = ES = 3,75 лм.
1034.1034.£~/2£~/21 + [l + (4t/2//2)]3/21 + [l + (4t/2//2)]3/2= 20,3 лк.= 20,3 лк.
1034.
1034.
£~/2
£~/2
1 + [l + (4t/2//2)]3/2
1 + [l + (4t/2//2)]3/2
= 20,3 лк.
= 20,3 лк.
Мнимое изображение S' источника в зеркале BD находится на расстоянии / от экрана ВС (рис. 410). Освещенность в точке А
Е = Ila1 + (/ cos а)//2.
Величины / и cos а находятся из геометрических соображений: /2 = (2а)2 + а2 -4а2 cos(n-(p) = a2(5 + 4cos(p),
sin a / 2a = sin(n - (p) / /, cos a = (1 + 2 cos (p) / ^5 + 4cos(p.
В результате получаем
£=7£=71 + 2 cos (p(5 + 4cos(p)3/21 + 2 cos (p(5 + 4cos(p)3/21l+^’+ (5 + 2V2)3/21l+^’+ (5 + 2V2)3/2//1,11^-a1,11^-a
£=7
£=7
1 + 2 cos (p(5 + 4cos(p)3/2
1 + 2 cos (p(5 + 4cos(p)3/2
1l+^’
+ (5 + 2V2)3/2
1l+^’
+ (5 + 2V2)3/2
/
/
1,11^-a
1,11^-a
§ 29. Сферические зеркала
Радиус кривизны сферического зеркала R = 2Е. По теореме Пифагора (a/2)2 + b1 = R1 (рис. 411); отсюда b = у/4Е2 - а2 /4 =1,26 м.
\]d + 1//= 1/Е. По условию/= d, т.е. d = 2 м.
38.1/d + l//= 1/F = 2/7?, т.е. 7? = IdfKd +/) = 0,8 m.
\jd + l//= 1/F; H/h =fld, или H = Fhl(d-F) = 0,22 m.
7? = 2dl(k + 1) = 19,2 cm.
к = f(d, Md + Mf= MFJ- d = a, т.е. F = kal(k2 - 1) = 0,4 m.
к = 3.
Рис. 411Рис. 411
Рис. 411
Рис. 411
/= FdKd -F) = 2RI3; изображение действительное.
Для построения можно использовать два луча, исходящие из точки S (рис. 412). Луч SP идет вдоль главной оптической оси зеркала и после отражения идет вдоль той же оси. Для построения хода после отражения произвольного луча .5'4 проведем побочную оптическую ось ВС II 54. Отраженный луч ADS' пройдет через точку D пересечения побочной оптической оси ВС с фокальной плоскостью FD. В точке S' на пересечении отраженных лучей PS' и AS’ получится действительное изображение источника S.
Если бы точка О была источником света, то точка О' являлась бы его изображением. Следовательно, любой луч, упавший на зеркало из точки О, после отражения пройдет через точку О'. Проведем побочную оптическую ось ОЕ II ВО’ и соединим точки Е и О’ (рис. 413). Используя свойство обратимости лучей, будем считать, что на зеркало падают параллельные лучи ОЕ и DB, которые после отражения от зеркала сходятся в точке М, лежащей на фо
кальной плоскости зеркала. Опустив из точки М перпендикуляр на главную оптическую ось, определим положение фокуса F.
Первоначальное увеличение кх = fid, причем Md + Mf= MF. Если предмет и его изображение переместились на расстояние х, то l/(d + х) + + M(f- х) = \(Е. Новое увеличение кг = (f- MIW + х); отсюда к^ = Мк, = 0,2 и х = f- d, т.е. предмет и изображение поменялись местами.
F = kf-^aKk^ - к0 = 35 см.
F = кхктаЦкг - к0 = 2,5 см.'"
Если предмет расположен дальше фокуса зеркала, то a = d- F, b=f-F'R формула зеркала имеет вид 1/d + Mf= MF. Если же предмет
расположен между зеркалом и его фокусом, то а = F - d, b =f + F тл формула зеркала записывается в виде Y/d - 1// = Y/F. Обе системы уравнений дают k=f/d = ^Jb f а = 1,5.
Если бы светящаяся точка принадлежала некоторому предмету,
расположенному перпендикулярно к главной оптической оси зеркала, он
изображался бы с увеличением к = L/1 = fid. В случае действительного изображения Y/d + Y/f= = Y/F = 2//? и R = 2Ld/(L + /) = 1,2 м. В случае мнимого изображения Y/d - Y/f = Y/F = 2/R и R = 2Ld/(L - /) = 2 м.
Крайний луч AB пучка, отразившись от зеркала и пройдя через фокус, попадает на экран в точку Е, лежащую на границе светлого круга
(рис. 414). Из подобия треугольников BFP и EFM
следует
М/2) : F = (D/2) : (а - F), откуда D = d(a - P)/F = 0,1 м.
Без зеркала источник с силой света / создает на экране, удаленном от него на расстояние г, освещенность Е = 1/г2. При наличии зеркала к световой энергии, идущей от источника, добавляется энергия лучей, приходящих к экрану после отражения от зеркала. Так как эти лучи можно считать параллельными, то световой поток Ф, падающий на площадку 5 экрана после отражения от зеркала, будет таким же, как и поток, падающий на такую же площадку 5 зеркала. Общая освещенность площадки 5 экрана при наличии зеркала
£=£ + — = £ + — = £ +£=£ + — = £ + — = £ +5555IS IF1SIS IF1SI_ II_ I
£=£ + — = £ + — = £ +
£=£ + — = £ + — = £ +
5
5
5
5
IS IF1
S
IS IF1
S
I_ I
I_ I
Отношение освещенностей EJE = 1 + (r/F)2 == 106.
На экране, поставленном перпендикулярно к лучу прожектора будет светлое пятно, освещенность которого Е^ равна освещенности рефлектора. Источник расположен в фокусе рефлектора, поэтому Е^ = I/F2. Свет падает на землю под углом а, для которого cosa = hl^l2 + h2; следовательно,
Е = Ео cosa = lh I F2^l2+h2 = 7500 лк.
Y/d - Y/f= 2/R; отсюда d = fR/(2f+R) = 0,43 m.
Прямое изображение в вогнутом зеркале является мнимым. Искомое расстояние определяется системой уравнений
Y/d - Y/f= 2/R, f/d = к; отсюда d = R/k - l)/2fc = 45 см.
Y/d ± Y/f = 2/R, к =f/d. Знак плюс соответствует действительному изображению, минус - мнимому. Отсюда R = 2kd//k ± 1), т.е. R = 36 см для действительного изображения и R = 50,4 см для мнимого.
Увеличенное изображение может быть действительным или мнимым. В этих случаях соответственно должны быть выполнены соотношения
Md + 1//= 2//?, fld = к, f- d=a,i/d-ilf=2/R, f/d = k, f+d=a.
Обе системы уравнений дают R = 2каКк2 - 1) = 24 см.
Светлый круг на экране получается из-за отражения лучей зеркалом (рис. 415). Так как светящаяся точка S расположена ближе
фокуса, лучи можно считать исходящими из мнимого источника - изображения S' точки S. По формуле сферического зеркала 1/d - 1// = = 1/F, где d = F/2. Диаметр зеркала I = = 2/tg а, диаметр светлого круга на экране L = 2(/’+ 2F) tg ос, отсюда Ц1 = 3.
Увеличенное мнимое изображение дает вогнутое зеркало. При этом должны выполняться соотношения
Ud-i/f=2IR, f!d=k, f+d = a;
отсюда R = 2каЦк2 - 1) = 2 м.
Если бы светящаяся точка принадлежала некоторому предмету, расположенному перпендикулярно к главной оптической оси зеркала, он изображался бы с увеличением k = LH = f/d. Так как \(d - \(f = = 1/F, то к =FKF-d) = L/l =2,5. ‘
Рис. 416Рис. 416Расстояние между мнимыми изображениями источников / = 0,75/?.
Рис. 416
Рис. 416
Если СА = R - радиус кривизны зеркала (радиус шара), а ВА = г - радиус выемки (рис. 416), то расстояние от рисунка (предмета) до зеркала BP = d определится из теоремы Пифагора (R - df + г2 = R2. Увеличение к = f/d, причем X/d - X/f= 2IR. Так как по условию r/R = 0,8, то к = [2^1-(г//?)2 - 1Г1 = 5.
Луч, идущий по радиусу зеркала, отражается по тому же радиусу. Поэтому положение оптического центра зеркала С найдем, соединив точки S и 5” и продолжив линию до пересечения с главной оптической осью (рис. 417). Луч, отраженный от зеркала в его полюсе Р, составляет с осью ОО' такой же угол, как и луч падающий. Отложив отрезок OQ, равный размеру предмета, по другую
сторону оси и соединив точки Q и S', найдем полюс Р зеркала. Положение фокуса F определим, проведя луч SM II 00’ и соединив точки S’ и М.
Мнимое изображение в сферическом зеркале находится на расстоянии /"! = (R - d) • 2d/(R - 2d) от человека и имеет размер Н । = = Rh/(R - 2d), где h - размер рассматриваемой детали (рис. 418). В плоском зеркале (R —> «>) имеем г2 = 2d и Н-^= И. Изображение в сферическом
Рис. 418Рис. 418
Рис. 418
Рис. 418
зеркале человек наблюдает под углом (ph причем tg <pi = Нфу, в плоском - под углом <р2, причем tg (р2 = Нт/г^- Угловое увеличение к = tg <pt / tg <р2; отсюда R = kd Кк- 1) = 0,6 м.
Для построения удобно использовать лучи, проходящие через фокус и через оптический центр зеркала, а также луч, параллельный
главной оптической оси (рис. 419). Точку 5 схождения лучей в отсутствие зеркала можно рассматривать как мнимый источник, а расстояние / этой точки от оси - как размер мнимого предмета, содержащего точку S. Тогда L - размер действительного изображения этого предмета, a S’ - изображение точки S. Из формул - 1/d + 1//= 1/F и //d = LU находим / = FU^F -f) = 0,25 м.
Точку пересечения лучей, продолженных за зеркало, можно рассматривать как мнимый источник. Так как - 1/d + 1//= UF, то f=Fd/(d + F) = 7,5 см.
R = 2F = 8d = 1,6 м (см. задачу 1065).
Фокусное расстояние определяется из систем уравнений
l/d + l// = l/F, \f-F\=a.
Если изображение точки расположено ближе к зеркалу, чем фокус, то f - F = -а; если же изображение точки расположено дальше фокуса, то
/- F = +а. Первая система уравнений дает
F, 2 = а/2±7а2 /4-ad, т.е. F,=12 см, F2 = 8 см.
Из второй системы уравнений имеем1
/д4 = -а / 2 + л)аг / 4 + ad, т.е. F3=4 см, F4 =-24 см.
В последнем случае зеркало оказывается выпуклым.
Лампочка 5 расположена ближе к зеркалу, чем фокус, ее изображение S’ находится на расстоянии / за зеркалом (рис. 420). Из формулы Md -Mf = 2/R получаем/ = RdKR-2d). Изображение лампочки
Рис. 420Рис. 420
Рис. 420
Рис. 420
можно рассматривать как добавочный источник, создающий на поверхности зеркала ту же освещенность, что и лампочка. Поэтому сила света / этого источника связана с силой света лампочки /0 соотношением ///2 = ЬМ^2"* отсюда / = lof1!^ = 4/о- Освещенность экрана, находящегося на расстоянии R от зеркала,
Е, =//(/?+ /)2+ /0/(/?-d)2 =32//9/?2, т.е. / = 9Е,/?2/32.
Искомая освещенность
Е2 = / /(2R+ f f + /0 /(2/? - df = ЗЗЗЕ, /1225 = 0.222Е, .
Для построения необходимо найти ход любых двух лучей, исходящих из точки S (рис. 421). Луч SP, отразившись, идет вдоль главной оптической оси. Чтобы определить направление произвольного луча SK после отражения от зеркала, проведем побочную оптическую ось CNWSK. Через точку А пересечения побочной оси с фокальной плоскостью должно пройти продолжение А К отраженного луча KR. Изображение точки 5 находиться в точке S' пересечения продолжений отраженных лучей PD и KR. Изображение будет мнимым, так как лучи расходятся.
Для выпуклого зеркала Md + 1//= -MF, где F = R/2. Искомое расстояние / = -Rd /(R + 2d") ~ - 0,65 м. Знак минус означает, что изображение предмета получается мнимым.
Учитывая, что выпуклое зеркало дает мнимое изображение источника, имеем
\/d-\/f = —U F-, отсюда d = fF/(F-/) = 1,8 м.
d = //?/(/? - 2/) = 30 см.х
WTi.k=fld = FI(d + F) = 1/4.'
Н = RhKR + 2d) = 3 мм.
Для построения пользуемся лучами, параллельными оптической оси, а также лучами, продолжения которых проходят через фокус зеркала или через его оптический центр (рис. 422). Так как i/d - 1// = -MF, к = LH = f/d = 1/2, то d = (1Д- 1)/= 0,2 м.
d = (п - 1)F = (и - l)F/2 = 0,4 м.
R = 2d = 2 м.
a = d+f= 2d(2d + Г)КМ + /) = 0,34 м.
Если ближайший к зеркалу конец карандаша находится от него на расстоянии dx, дальний - на расстоянии d^, то
Решив эту систему уравнений, получим
гМ - /)(4/1/2 - // +ifi)
2(/ + /-/2)'
Знаку минус соответствует значение F = 12 см, при котором предмет не может быть действительным, так как d < 0. При знаке плюс F = = 120 см.
Считая, что луч NA принадлежит пучку лучей, сходящихся к точке А, можно принять эту точку за мнимый источник (рис. 423). Точка В будет тогда действительным изображением источника. Расстояние АР = d, расстояние BP = f. Из формулы зеркала - Md + 1// = -MF и условия d +f = I находим
■d = F + -± Jf2 + - = 0.25F(7±5).
2 V 4
Годится только значение d = 0,5F, так как при d — 3F луч после отражения не пересекает главную оптическую ось.
Источник мнимый, изображение действительное, так что R = 2F = 2fdHf- d) = 1,2 м (см. задачу 1080).
Из формулы -Md + Mf = -MF имеем d = fFKf + F) = 0,4 m.
Так как d - расстояние от линзы до мнимого источника, то формула выпуклого зеркала имеет вид
-Md + Mf- -MF = -2/7?.
Перед членом Mf, содержащим неизвестное расстояние от зеркала до точки пересечения лучей, ставим знак плюс. Если после отражения от
зеркала пересекутся не сами лучи, а их мнимые продолжения, значение/получится отрицательным. Если же отраженные лучи сходятся, то значение / получится положительным. В нашем случае / = = Rd/(R - 2dY = -0,28 м, т.е. отраженные лучи расходятся так, что их продолжения пересекаются в точке, находящейся на
расстоянии/= 28 см за зеркалом.
В данном случае как источник, так и изображение являются
мнимыми, поэтому формула выпуклого зеркала имеет вид
-Md - 1//'- -MF", отсюда F = fd Kj + ch = 0,32 м.
Отраженные лучи идут пучком, расходящимся как бы из фокуса зеркала, расположенного от зеркала на расстоянии F = /?/2. Из подобия треугольника следует (рис. 424)
D _ a + R/2 d R/2D _ a + R/2 d R/22а + R———, откуда2а + R———, откуда_ ^cid , л R == 64 см .D-d_ ^cid , л R == 64 см .D-d
D _ a + R/2 d R/2
D _ a + R/2 d R/2
2а + R
———, откуда
2а + R
———, откуда
_ ^cid , л R == 64 см .
D-d
_ ^cid , л R == 64 см .
D-d
1086. R = 2ad/(D -d) = 2Q см.
§ 30. Тонкие линзы
1087. d -fUL = 7,5 м.
1088. D = Mh + 1/(7/ - If = 1,5 дптр.
1 fF 1 1089. а = - -2— + d =8 см.
2(/-Е J
1090. Оптический центр линзы О лежит на пересечении прямой SS' с
главной оптической осью. Проводя затем прямые SB и SB', параллельные
оси, соединим точку S с точкой В', а точку S' с точкой В и продолжим прямые SB' и SB до пересечения с осью. В точках пересечения лежат фокусы линзы (рис. 425-428).
Изложенный способ определения оптического центра линзы и ее фокусов основан на известном методе построения изображения точки с помощью трех
лучей: луча, параллельного главной оптической оси, луча, идущего через центр линзы, и луча, проходящего через фокус. В случаях 1)- 3) линза собирающая, в случае 4) - рассеивающая. В случаях 1) и 4) изображение мнимое, в случаях 2) и 3) - действительное.
Рис. 429Рис. 429Рис. 428
Рис. 429
Рис. 429
Положение фокусов можно найти, опустив на главную оптическую ось перпендикуляры из точек пересечения с данным лучом побочных оптических осей, параллельных падающему и преломленному лучам (рис. 429).
А/ = d^UF(v\ - v2) sin а = 8,5 мс.
a=f—F = F^Kd - F) = 98 см.
В результате прохождения через пластинку световой луч, составляющий с оптической осью угол а (рис. 430), смещается параллельно
самому себе на расстояние Ь, определяемое из уравнений sin а/sin Р = и, b = Asin(a — P)/cosP, .
(см. задачу 991). Точка пересечения лучей после прохождения пластинки сместится на расстояние
а = b / sin a = h(\ — tg p / tg a)« h(n — 1) / n.
Здесь учтено, что при выполнении условия sin ос ~ tg ос выполняется Также sin Р ~ tg р. На такое расстояние а надо передвинуть объектив фотоаппарата.
Возможны два случая, а) Если расстояние d от линзы до экрана больше расстояния /от линзы до изображения S' источника S, лучи падают на экран расходящимся пучком (рис. 431, а). Из подобия треуголь-
Рис. 431Рис. 431
Рис. 431
Рис. 431
ников ABS' и CDS’ находим fMd = п. Используя формулу линзы Md + 1/' = 1/F, получим F = nddln + 1) = 4 см.
б) Если расстояние d от линзы до экрана меньше расстояния / до изображения, лучи падают на экран сходящимся пучком (рис. 431, б). Из подобия треугольников ABS' и CDS' находим fKf- d) = п. Используя снова формулу линзы Md + 1/'= MF, получим F = nd!(2n - 1) = 6,7 см.
Первоначальное расстояние от линзы до экрана / = FdKd - F). После того как экран переместили на расстояние а, изображение
источника расплылось в круглое пятно GH или DE (рис. 432). Из подобия треугольников АВС, GHC и DEC следует 2H2R = f/a, откуда R = = ar(d - F)/Fd =1,5 см.
Из формулы линзы Md + 1/а = 1/F и подобия треугольников (рис. 433) имеем
2г/d = 2RI(d + a), откуда R = ar/F = 0,08 м.
1098./? = <//•/(</-F) = 4,5 см.
Увеличение £ = F//=/7/, откуда/’-Fc///= 10 м.:
Н = MfiF - 1) = 1 см...
■ 1101. F = ML + Г) = 15,4 см.
L = MID2 = 5 м. Увеличение к = 1//D = 50; A = ka = 2 м, В = = kb = 3 m.
Увеличение к = 1/3. Расстояние между линзой и предметом нужно увеличить на величину а = (1 - k)/kD = 0,25 м.
Согласно формуле линзы X/d + 1// = 1/F, где F- фокусное расстояние линзы и d = F + а (по условию). Увеличение к = fid; отсюда / = к(к + 1)а = 36 см.
Если А - амплитуда колебаний линзы или источника, то А] ,А = ff + dfd и А2/А = fid. Кроме того, \]d + 1// = 1/F; отсюда d = = AiFIA2 = 0,64 м.
к = 4.
Aid + 1// = 1/F, к = fid.откуда/ = (Е + 1)F = 5,1 м.
1/77 + 1// = 1/F, к=МН = 2,5 ■ 1СМ: отсюда F = НкКД + к) = 0,5 м.
В момент времени t свободно падающий предмет имеет скорость и = gt. За малый промежуток времени А? он пройдет расстояние А/ = и At. изображение предмета пройдет за то же время расстояние АЕ = VAt, где V = at. Очевидно,
ALIAl = fld, \ld + \lf = \!F;
отсюда
F = ad /{a + g) = 0,1 м.
Для построения изображения каждой из точек достаточно определить ход любых двух лучей, исходящих из точки, после преломления в линзе (рис. 434).
Из формулы линзы Aid + 1// = 1/F найдем расстояние / = =Fd/{d - F) = 3F, а затем увеличение к = fid = Fl^d - F) = 2. Предмет, изображение и оптический центр линзы всегда расположены на одной прямой, поэтому изображение движется по окружности вдвое большего радиуса с вдвое большей скоростью: V = к и = 6 см/с. Предмет и изображение находятся в диаметрально противоположных точках окружностей, так что скорости и и V направлены в противоположные стороны.
Расстояние/от линзы до экрана определяется по формуле линзы Md + 1// = 1/F. При смещении линзы вниз изображение также скользит вниз по экрану (рис. 435). Из подобия треугольника ASBи О\5Ог следует, что LH = (d + f)/d; поэтому L = ld!(d - F) = 4,5 см. ‘
Rlr = jld. Из формулы линзы Md + Mf =D имеем f=(R + r)/fD.
■ 1114. Из уравнений Md + Mf = MF ик = jld найдем к = jlF -1 = 15.
До смещения предмета d; = d,j\ = d и, следовательно, по формуле линзы F = d!2 = 0,25 м. Увеличение кх =fx /dx = 1. После смещения предмета d^ = d - а и кг = f^/d^. Применяя формулу линзы l/d2 + 1//2 = 1/F, получим
Л2 = Fl(d2 - F) = Fl(d-a- F) = dl(d- 2a) = 5.
d = F(1 +h/FI). По условию размер изображения Н ^ 36 мм; следовательно, d э= 255 см.
Изображение исчезнет, если ни один луч, исходящий из точки, не попадет на линзу (рис. 436). Тогда г!а = l/(d - а). Кроме того,
111rFf
I d’I d’—н — = —; отсюда a == 8 см
I d’
I d’
d f FLF + rf -
Расстояние А/ = lAz, на которое переместится автомобиль за время экспозиции, и расстояние AL, на которое переместится за то же время его изображение, связаны соотношением ^LIM = fid. Кроме того, V/d + \/f = MF. По условию AL =£ а. Решив данную систему уравнений и неравенств, получим At < а Id - F) I и F = 5 мс.
Формула линзы lid + 1// = 1/F позволяет найти расстояние /, на котором изображение находится от линзы. Каждая из раздвинутых частей линзы действует как целая линза, главная оптическая ось которой отстоит от источника на расстоянии /. Следовательно, каждое из изображений отстоит от этой оси на расстоянии L = If Id (рис. 437). Искомое расстояние А = 2L + 2/ = IdKd-F) = 6 см.
Увеличением изображения назовем, как обычно, отношение линейного размера изображения к размеру предмета: к = L/l = (j\ - - j\)Kd2 - dx). Применив дважды формулу линзы: Mdx + 1//) = 1/F и l/d2 + 1//2 = 1/F, получим к = F1l(4dx - FXd^-F) = 4.
Предмет, расположенный вдоль главной оптической оси, изображается с увеличением к = Ff(dx — F)(d2 - F) (см. задачу 1120). Объект, находящийся на расстоянии dx, изображается с увеличением кх = Fl(dx — F), на расстоянии d2- с увеличением £2 = FFd^ - F) (см. задачу 1115). Следовательно, к = кхк2. .
L = kAkBl.
Обозначим a = d + f. Так как F = fdKf + d) и ffd^ (f+ d)/2, to a = jd/F < (f + d)2/4F = a2l4F; отсюда a ^ 4F. Следовательно, amin = = 4F. При этом d =f= 2F.
\(d + 1//'= V/F, d + /= а; отсюда
a [a2 ” 25±15 a [a2 ” 25 + 15
d = —±JFa =F. f = — + JFa =F.
2)482)48
Таким образом, возможны два решения:
dx = 5F, /, = 1,25F и d2 = 1,25F, /2 = 5F.
Наличие этих двух решений следует из свойства обратимости световых лучей: источник можно заменить изображением, а изображение - источником, изменив направления лучей на противоположные.
Для первого и второго положений линзы имеем
111,т1 11,,
1 = —, dx + = а;1= —, d7+= а.
d\fxF171J2/2F272
По условию W2 - djl = b. Из первых четырех уравнений следует, что dx и /|, так же как и d2 и/2, должны являться корнями уравнения х2 — х + aF = 0, т.е.
=aF>aF
2 2 V 421 2 V 4
(второе положение линзы есть обращенное первое). Следовательно, b2 = 4(а2/4 - aF), или F = (а2 - Ь2У4а = 0,9 м.
b = fa2- 4aF (см. задачу 1125).
Увеличение в первом случае Hx!h = f\/dx, во втором H2lh = = f2ld2. Применяя дважны формулу линзы, получим fx = d2 и/2 = dx (см. задачу 1124). Перемножая полученные уравнения, найдем Л = f НХН2.
Используя дважды формулу линзы и данные о расстояниях а и b (см. задачи 1124, 1125), получим
dx =/2 = 0,5(а + b), d2 =ft = 0,5(а + b).
Размер изображения в первом случае lfxtdx, во втором случае lf2jd2, где I - размер предмета. Отношение размеров изображений
и =f\d2jdxf2 = (а + hf^/ka + ЬУ, т.е. кх = 0,04, к2 = 25.
Пусть положения линзы отстоят друг от друга на расстоянии Ь. Воспользовавшись решениями задач 1125 и 1128, получим
(а + bf /(а - bf = и, F = (а2 - Ь2) / 4а = a-fn /^ifh +1) =0,2м.
b = а^Гк -\^!^Гк +1) = 0,4 м (см. задачи 1125, 1128).
F = л/ofe = 0,2м, к = (л/аЬ + b^ l^fab + а) = ^Jb/а = 2.
F = (H2J2 - HxdMI(H2 — //,) = 11,3 см.
1133. F = НХН2ЬКНА - Н2У1 = 9 см.
1134. Для основного расположения
Md + Mf= MF, d +/= a, fid = k.
После перемещения экрана и линзы
Md\ + 1// = MF, d\ +/ = a + b, f\fd\ = k^.
После перемещения экрана и источника
1/^2 + I//2 = VE, d2 +/2 = а + b + с, f2 =j + b, f2Jd2 = k2.
Отсюда
k = 0 + kM^+b + ^(1 - kf + KI + k^ a 9 ] 4lY+k^a + b -^aY\-kf + b(\+kf ’ ’
ak
Если рассматривать предмет через лупу, то угол зрения ф, определяется из уравнения tg ф, = h/d = H/f, где h и Н - размеры предмета и изображения. Так как мнимое изображение должно лежать от линзы, приставленной вплотную к глазу, на расстоянии/^ d0, то из формулы линзы Md - Mf= D получаем, что dofl + Ddf ^ d ^ MD. Если рассматривать предмет без лупы, то угол зрения ф2 находится по формуле tg Ф2 = Mdo- Увеличение лупы к = tg ф/tg ф2 = d^d-, следовательно, Dd0 < к < Dd0 + 1, или 2 < к < 3.
Лупа дает увеличение к^ = dJF предмета, лежащего в ее фокальной плоскости (см. задачу 1135). Если использовать ее в роли объектива проекционного фонаря, то она дает увеличение k2=f/d. Изображение на экране - действительное, поэтому Md + 1//= MF. Следовательно, d = = (к2 + 1^Мк2к; =5,5 см.
По формуле линзы Md — 1//'= MF, где d = а — b — расстояние от предмета до лупы, / = d0 - b - расстояние от лупы до изображения. Предмет, находящийся на расстоянии d0, глаз видит под углом ф,, который определяется из равенства tg ф] = hld0, где h — размер предмета. Если предмет рассматривать через лупу, то угол зрения ф2 определяется по формуле tg ф2 = hfa - bf Увеличение к = tg ф/tg ф] = d^Ka - bf Следовательно,
а= Г№^+ь-68 см,dq—b + Fа= Г№^+ь-68 см,dq—b + Fк =к =do i^o^u d0-b F " 'do i^o^u d0-b F " '
а= Г№^+ь-68 см,dq—b + F
а= Г№^+ь-68 см,dq—b + F
к =
к =
do i^o^u d0-b F " '
do i^o^u d0-b F " '
Увеличенное изображение может быть действительным или мнимым:
Md ± Mf= D, fid = к-, отсюда d=(k ± M/kD.
Для получения действительного изображения предмет нужно поместить перед линзой на расстоянии d^ = 0,3 м, мнимого - на расстоянии di = 0,2 м.
Рис. 439Рис. 439
Рис. 439
Рис. 439
Как видно из рис. 438, г =/tg а. Расстояние/от линзы до изображения источника определяется по формуле линзы Md- Mf= MF, откуда
F = rd/Q- - d tg a) ~ 7,4 cm.
Из уравнений Md - Mf = 1/F и/ = r/tg a, где/ - расстояние между линзой и изображением источника, следует, что d = rFI(2F tg a + + /•) = 2 см.
Когда источник находится в фокусе линзы, на экран падают
параллельные лучи и пятно имеет радиус, равный радиусу г линзы. Если
источник удалять от линзы, то пятно будет сначала уменьшаться, а затем увеличиваться до прежних размеров. Следовательно, источник нужно приближать к линзе. Пусть требуемые размеры пятно имеет, когда источник S находится на расстоянии d от линзы. При этом лучи от изображения S' источника, проходящие через края линзы, идут к краям пятна по
Рис. 440Рис. 440прямым линиям (рис. 439). Тогда должны выполняться соотношения
Рис. 440
Рис. 440
а = F -d, Md- Mf= MF, (/+ bWn = f!2r;
отсюда a = F\n - l)/[d + F(n - 1)] = 2 cm.
Для нахождения хода произвольного луча SA после преломления в линзе необходимо найти точку В пересечения побочной оптической оси СВ II SA с фокальной плоскостью линзы (рис. 440). Глаз, расположенный за линзой, увидит мнимое изображение S' в точке пересечения продолжений лучей OF и АВ.
Продолжив данные лучи до их пересечения, получим изображение 5" светящейся точки (рис. 441). Соединим полученную точку S' с
оптическим центром линзы О. Луч BF после преломления идет через фокус; значит, до преломления он шел параллельно главной оптической оси. Проведем SB II OF. Искомая точка 5 лежит на пересечении OS' и BS.
Так как изображение мнимое, то Md - 1//= 1/F; отсюда d = fFKf+ F) = 0,2 м.
F = fdKf- ^ = 0,6 м.
Из формулы линзы 1/d - 1//’= 1/F, где
f=F, имеем d = F/2.
1147. F = ak/lk - I)2 = 40 cm.
По условию a = dx + d^w dx = nd2. Изображение первого источника - действительное, изображение второго - мнимое. Поэтому
l/dx + l/fx = 1/F = D, l/d2-l/J2=l/F = D,
где fx nf2 - расстояния от линзы до изображений. По условию №-/21 = ^.
В случае, если изображение первого источника находится дальше от линзы, чем изображение второго, т.е. fx -f2 = b, получаем для d2 квадратное уравнение
nD(2 - Db^ + {Db- 1)(и + 1И2 - b = 0.
Решая его, находим
,(1 - Db^n +1) + V(1 - Dbf(n -1)2 + 4n
a = (n + l)a9=(n + l)5= 5 м
2ТиПИ-ПЫ
(отрицательный корень не имеет смысла).
В случае, если /2 -fx = b, формулу для а получим, поменяв знак b на обратный. В результате будем иметь а = 7,17 м (значение а = 1,16 м не удовлетворяет условию задачи, так как при этом изображения источников находятся по разные стороны от линзы).
F = 2^(6 -d)lb = 9 см.
Для мнимого изображения l/d-l/f=Dx, откуда Dx = = (f-d)/fd = -0,3 дптр (линза рассеивающая). Знак плюс перед Dx в формуле линзы поставлен потому, что оптическая сила линзы - величина неизвестная. Для действительного изображения
1/d + l/f= D2, откуда О2 = (/’+ d)/fd = 0,5 дптр
(линза собирающая).
Отношение расстояний от изображения точки и от самой точки до главной оптической оси L/l=f/d. В случае действительного изображения 1/d + l/f = 1/F и d=fF/(f - F) = -36 см, I = LF/(f - F) = -15 см, т.е. на
линзу падают лучи, которые в отсутствие линзы сошлись бы в точке, отстоящей от линзы на 36 см и от оси на 15 см. Источник получается мнимым, что противоречит условию задачи. В случае мнимого изображения Md - 1//= 1/F и d =fFiy+ F) = 7,2 см, I = LF^+ F) = 3 см.
Увеличение k=f/d, где/- расстояние от линзы до изображения. В случае действительного изображения Md + 1//= 1/F и F = kd/{k + 1) = 9 см; в случае мнимого изобра
жения Md - 1/’= 1/F и F = kd/(k - 1) = 11 см.
Если d - расстояние от предмета до линзы, а/ - от линзы до изображения, то в случае действительного изображения
F»F»2'32'3Md + 1//= 1/F, H/h =f/d и d=F + b.
F»
F»
2'3
2'3
2r3'-=oF2r3'-=oFВ случае мнимого изображенияу-"' '
2r3'-=oF
2r3'-=oF
Md - Mf= MF, H/h=f/d и d=F -b.
лРис. 442
Обе системы уравнении дают Н = г п/b = 4 см.
1154. Вершина конуса служит мнимым источником, находящимся на расстоянии d = F от линзы. Согласно формуле линзы
- Md + 1//- 1/F = D,
откуда/= 1/20 = 0,1 м.
1155. b =f2l(F-J ) = 12,5 см.
1156. Из подобных треугольников имеем (рис. 442).
г^ = (fl + F)/F, r3/n = \(F-a)/F\,
где а - расстояние от линзы до экрана. Знак модуля поставлен для того, чтобы учесть возможный случай а> F. Решив систему уравнений, получим г3 = 12'з - г-^ = 3 см.
1157. г3 = 2/'] - г2 = 6 см, если расстояние
от линзы до экрана меньше фокусного/
расстояния; r3 = 2ri + гг = 10 см, если это/
расстояние больше фокусного./
1158. Для рассеивающей линзы Md - Mf =/
= -1/F = D. По условию задачи/= <7/2. Сле- , _ / _, / z' довательно, светящаяся точка расположена>z
от линзы на расстоянии d-F = -I/O = 0,2 м. 4 ' /zr
1159. По формуле линзы Md - 1// = -1/F =
= D. Из рис. 443 видно, что a =/tg а и И + а = -v а
= /tg Р; отсюда tg Р = tg а - Hid - HD = 1, А
т.е. Р = 45°.Рис ддз
Луч SO проходит через линзу, не
изменяя направления (рис. 444). Знание хода двух лучей, исходящих из точки 5, позволяет найти ее изображение 5'. Луч SK после преломления пойдет по направлению КР так, что продолжение этого луча пройдет через точку 5'.
Проведем побочную оптическую ось линзы MON ПАВ и фокальную плоскость линзы MF (рис. 445). Продолжение ВМ преломлен
ного луча ВС проходит через точку М пересечения фокальной плоскости с побочной оптической осью. Способ основан на том, что параллельный пучок лучей, один из которых можно считать совпадающим с побочной оптической осью, после преломления идет так, что продолжения лучей собираются в точке, лежащей на фокальной плоскости линзы.
/= FdKF + d) = 0,1 м; /7 = hF^F + d) = 0,02 м.
Для двух положений источника имеем
мх -1//, = -1/в, i/d2 -i//2 = -1/в,
где/| и/2 - расстояния от линзы до изображений в первом и втором случаях. По условию /| -/2 = I- Система уравнений приводит к квадратному уравнению
(dx — d2 — l^P - Kdx + d-^F - ldxd2 = 0,
решение которого дает
_ Bdx + d2) + ^(A-d2Mdx -d2) + 4dxd2]
F 1— —и, о M
2(d] — d2 — I)
(второй корень соответствует собирающей линзе).
Луч пересечет главную оптическую ось в точке, отстоящей на расстоянии d от плоскости, в которой находилась линза. Согласно формуле линзы
-Ud + 1//= -1/В, т.е. d =jFKf+ F) = 5,4 см.
Точка схождения лучей в отсутствие линзы (мнимый источник) лежит на расстоянии d от ширмы, причем
R/(d — b) = rid (при b < d) или R/(b -d) = rid (при d < b).
По формуле линзы —1/d + 1/b = 1/F (перед членом 1/F берем положительный знак, так как F является неизвестным). Решая полученную систе-
му, найдем F = ± rb/R = ± 25 см. Знак плюс соответствует случаю b < d и указывает на то, что в отверстие нужно вставить собирающую (положи
тельную) линзу, знак минус - рассеивающую (отрицательную).
Рис. 446Рис. 446Точка А играет роль мнимого источника, точка В - мнимого изображения (рис. 446), поэтому по формуле линзы -Md - Mf = - MF. Согласно условию задачи f + d = I nf/d = т/п, отсюда
Рис. 446
Рис. 446
F =-= 0,1 м.
т/ п + п/ т + 1
1167.1 = [-9F(F - L) ± 3fV8F2T^7E/]/4(2F -
-L\ Отрицательный корень не имеет смысла, поэтому / = 12 см.
1168. Линза может быть собирающей или рассеивающей. В случае собирающей линзы вершина S светового конуса в отсутствие линзы (мнимый источник) лежит за экраном на расстоянии dx = rl/M - R) от отверстия (рис. 447), а при наличии линзы точка S' схождения лучей (изображение) находится на расстоянии/! = г//(г + R). По формуле линзы
-\[dx + I// = 1/Ft; отсюда Fx = rlllR = 17,5 см.
В случае рассеивающей линзы (рис. 448).
d2 = rlKr + R), h = 1W-R\ -MdT + Mh = -1/F2.
Следовательно, F2 = rlllR = 17,5 cm.
1169. Оптическая сила линзы в воздухе и в воде соответственно1169. Оптическая сила линзы в воздухе и в воде соответственно
1169. Оптическая сила линзы в воздухе и в воде соответственно
1169. Оптическая сила линзы в воздухе и в воде соответственно
отсюда F = -^il^si—12. o s М- ДИст-^н)
Фокусное расстояние F воздушной линзы в стекле определяется по формуле
1 I 1, | 11-И^г„
— =1 — =—; отсюда F —-— = -30 см,
F \^пст )R nCTR1-пст
т.е.; линза рассеивающая..
1171. Фокусное расстояние F воздушной линзы в стекле определяется
По формуле линзыПо формуле линзы1 f1 и
По формуле линзы
По формуле линзы
выражением — =1 —I—
1 1-1.d + f~ F'1 1-1.d + f~ F'F (ист JV R R)
1 1-1.d + f~ F'
1 1-1.d + f~ F'
отсюда f -—= -8,57 см,
2J(l-nCT)-/?nCT
т.е. изображение мнимое.
1172. а = Fx - Рг =1172. а = Fx - Рг =7?|7?2(п2 -щ)<R\ +R2)(nx -1)(и2 -1)7?|7?2(п2 -щ)<R\ +R2)(nx -1)(и2 -1)= 1,062 см.= 1,062 см.
1172. а = Fx - Рг =
1172. а = Fx - Рг =
7?|7?2(п2 -щ)
<R\ +R2)(nx -1)(и2 -1)
7?|7?2(п2 -щ)
<R\ +R2)(nx -1)(и2 -1)
= 1,062 см.
= 1,062 см.
1173. Используя формулу линзы, имеем
- + - = (пст -!)— + — -в воздухе, “УV ''I^2 7
1 (пY *1)
= —— - 11 в жидкости,
F (ижД/?, R2)
пжпжV Rx+M Rj+Md + Vf , „!-- = 1,66.
пж
пж
1 / Rx +1 / R2 -1 / F
1174. В воздухе Fx (F2 = (и2 - 1)/(и, - 1) = 1,4. В воде F'x IF'2 = = («2 - п^пд - и„) = 2,2.
1175. Если бы из линзы луч входил в воздух, то он преломлялся бы под углом Р| и вышел бы из линзы на расстоянии / от ее оптической оси
жение будет меньшежение будет меньше(рис. 449). Для такого луча
жение будет меньше
жение будет меньше
sin а/sin Р, =1/ист,tgP1=///*j.
Если из линзы луч входит в воду, то sina/sinP2 = им/ист, tgP2=//E2.
С учетом этого находим
sinР, /sinР2 = ив и F2 = nKFx = 13,3 см.
1176. Морская звезда кажется фотографу находящейся на расстоянии h = Н/п„ от поверхности воды, т.е. на расстоянии d = / + h от объектива (см. задачу 1001). По формуле линзы \(d + 1//= MF. Изобра
предмета в к = d/f раз; следовательно, к =
= (/и„ + H)/Fn -1 = 19.
1177. Из каждой точки фотографируемого предмета объектив фотоаппарата виден под телесным углом Део = S!d3\ где d - расстояние от предмета до объектива, S — площадь линзы объектива. Световой поток от
предмета, проникающий внутрь фотоаппарата, пропорционален площади предмета 5, и телесному углу Асо::
Ф =hS\ А со,
где b - коэффициент пропорциональности. Этот световой поток распределяется по площади изображения S^. Поэтому освещенность изображения
£ = Ф/52 = bSxkaMS2 «bS^SIS^ = bS/ f,
где/- расстояние от объектива до изображения, а 5] /S2 = ^ 2//’2.
При съемке гравюры издалека /, « F, при съемке же деталей в натуральную величину /2 ” 2F. Поэтому отношение освещенностей
£2 MS! /2 F ’
т.е. освещенность уменьшилась в 4 раза. Во столько же раз следует увеличить время экспозиции, чтобы интенсивность почернения фотопластинки осталась прежней.
Оптические системы
Лучи, прошедшие первую линзу, дадут изображение (действительное или мнимое) на расстоянии а от линзы, определяемом формулой линзы Md ± 1/<7 = ± 1/£|. Это изображение служит источником (мнимым или действительным) для второй линзы, т.е. ± Ма + 1// = + 1/F2. Для заменяющей линзы Md + 1//= D. Сравнивая сумму первых двух уравнений с третьим, убеждаемся, что D = + 1/F] ± 1/F2, т.е. оптическая сила линзы, заменяющей систему приставленных вплотную линз, равна алгебраической сумме оптических сил этих линз.
Так как рассуждение можно продолжить, приставив к двухлинзовой системе третью линзу, то результат может быть распространен на любое число линз. Формула зеркала по структуре и смыслу совпадает с формулой линзы, поэтому сделанный вывод касается также оптических систем, содержащих зеркала (приставленные вплотную к линзе). Здесь, однако, необходимо иметь в виду, что отразившись от зеркала, луч еще раз может пройти через линзу, которую в этом случае придется учитывать дважды.
7расс/£с„бнр = 2.
Md + 1// = MFX + 1/£2, или £2 = dfFx KJFX + dFx - df) = 54 см (см. задачу 1178).
Система равносильна двум сложенным вместе линзам с Dn = 1/£ = = (n - V)/R каждая, поскольку оптическая сила плоского зеркала равна нулю. Оптическая сила системы D = 2ОЛ = 2(п - 1)/£.
/= £J/(2J-£) = 9 см.-■
Для непосеребренной линзы -Md + 1//2 = -1/F. Посеребренную линзу можнб рассматривать как систему, состоящую из трех сложенных
вместе компонентов: рассеивающей линзы с DA = —UF, выпуклого зеркала с О2 = -2//? и рассеивающей линзы с Dx=- \(F. Оптическая сила такой системы D = D} + D2 + О] = - 2(1//? + Y/F\ поэтому для посеребренной линзы
11 n, 2j\Rd „
+ — = О; отсюда Л =!= 2 м.
d /2 2/</+<//?+/?/
Расстояние от светящейся точки до вогнутого зеркала а - R - d. Расстояние /от изображения точки до вогнутого зеркала определяется по формуле зеркала \(а + 1// = 2//?. Расстояние от этого изображения до плоского зеркала b = R-f Второе изображение, даваемое плоским зерка
лом, находится по другую сторону плоского зеркала на таком же расстоянии b от него. Следовательно, расстояние от второго изображения до
вогнутого зеркала с = R + Ь; отсюда с = R(R - 3d)/(R - 2d) = 30 см. Второе изображение находится в фокусе вогнутого зеркала.
В отсутствие зеркала линза дала бы изображение источника в точке С на расстоянии /, определяемом из формулы линзы i/d + 1//’= Y/F (рис. 450). Чтобы лучи после вторичного преломления в линзе
шли параллельным пучком, они должны после отражения от зеркала сойтись в фокусе линзы. Треугольники АВС и DEF подобны. Следовательно, UL = Elf; отсюда / = (d - F)L Id. По условию задачи d = 2F, поэтому / = LI2.
Изображение свечи, даваемое линзой, отстоит от нее на расстоянии / а от зеркала - на расстоянии b + /. Изображение в плоском
зеркале расположено по другую сторону зеркала на том же расстоянии b + / и, следовательно, на расстоянии 2Ь + /от линзы. Лучи, как бы исходящие из этого изображения, снова проходят через линзу, образуя изображение на расстоянии а от нее. Из формул линзы для первого и второго изображений \(d - 1// = \]F и \К2Ь + /) + 1/п = Y/F имеем
а = F\2Kd -F)- Fd] /)2b(d -F)+F(F- 2d)] = 60 см.
Расстояние / от линзы до изображения источника, даваемого линзой, определяется формулой \jd - 1// = -HF. Это изображение расположено на расстоянии / + b перед зеркалом. Мнимое изображение в зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом. Общее расстояние
a = (d + b) + (f + b) = d + 2b + Fd/(F + d) = 31 см.
Так как/< F2, то на зеркало падает сходящийся пучок. Если бы зеркала не было, то вершина этого пучка находилась бы на расстоянии F\
от линзы и, следовательно, на расстоянии d = Fx - Ь от зеркала (рис. 451). По формуле зеркала —V/d + Uf = V/Fy, отсюда
Fv=b + fF2/<F2-n = 40 см.
Лучи собираются в точке, где расположен источник, если любой луч, идущий от источника, пройдя через линзу, падает на зеркало по его радиусу и отражается по тому же направлению. Линза при этом может
Рис. 452Рис. 452
Рис. 452
Рис. 452
быть расположена ближе (рис. 452) или дальше (рис. 453) оптического центра С зеркала:
= —, b+ f = R или —I— = —, b- f = F.
d f F Jd f F
Обе системы уравнений дают d = F(R - b)/{F + R - b). Так как по условию источник действительный, то решение возможно лишь в случаях h < R или F + R <Ь.
Лучи собираются в точке, где расположен источник, также в случае, если источник находится на таком расстоянии b от линзы, что линза дает
его изображение на самом зеркале (рис. 454), т.е. \/d + Mb = \]F, откуда d = Fb/(b - F). В этом случае необходимо, чтобы выполнялось условие b>F. .
Данную задачу, как обычно, можно представить как совокупность трех задач, рассматриваемых последовательно.
Источник расположен на расстоянии d от линзы с фокусным расстоянием F- Его изображение находится на расстоянии/] от линзы (рис, 455). - ; ,
Это изображение находится на расстоянии </2 от зеркала и служит для него действительным источником. Его изображение получается на расстоянии/2 от зеркала (рис. 456).
Рис. 455Рис. 455Рис. 456Рис. 456
Рис. 455
Рис. 455
Рис. 456
Рис. 456
3) Так как лучи по выходе из3) Так как лучи по выходе излинзы идут пучком, параллельным
3) Так как лучи по выходе из
3) Так как лучи по выходе из
главной оптической оси, то изображение, даваемое зеркалом, служит для
линзы действительным источником, расположенным от нее на расстоянии d3 = F (рис. 457). Следовательно,
Md-—Mj\ = MF, Ud2-Uf2=-ll R,
</2 = fl + b, d3 = f2 + b = F;
отсюда
R = 2(Fd + Fb- bd)(F- bMWFd + Fb-bd)- F2] = 21 cm .
Расстояние /, от линзы до первого изображения источника, даваемого линзой, удовлетворяет уравнению Md + Mf\ = MF. Второе изображение получается в зеркале на расстоянии/2 от него, причем М^а -/,) - - 1/2 = - 2//?. Наконец, для третьего изображения, даваемого линзой, должно выполняться условие 1/(<? + /2) + Md = MF. Из первого уравнения системы находим/, = FdKd - F\ Исключив/2 из двух других уравнений, получим квадратное уравнение
а2 - (2/, — R)a + /2 — Rf = 0; отсюда a — f{- RI1 + RI1.
Решение со знаком минус дает а = FdKd - F) - R = 6 см. В этом случае лучи, вышедшие из линзы, падают на поверхность зеркала перпендикулярно, а первое изображение, даваемое линзой, совпадает с оптическим центром зеркала. Решение со знаком плюс приводит к большему значению: а =/, = 30 см. При этом изображение совпадает с полюсом зеркала.
Из условия задачи следует, что передний фокус линзы совпадает с оптическим центром зеркала, т.е. линза расположена от зеркала на расстоянии Л-F,, где/? = 2F2-радиус кривизны зеркала (рис. 458, верхняя половина). Изображение источника, помещенного в фокусе рассеивающей линзы, получается на расстоянии /, = F, /2 от линзы (см. задачу 1146) и, следовательно, на расстоянии t/2 = /? - F, /2 от зеркала. Это изображение служит действительным источником для зеркала. Поэтому, если
бы лучи не проходили второй раз через линзу, то они собирались бы на расстоянии/2 от зеркала, причем
1 11^2 /г1 11^2 /г1FV1FVилиили_ F2d2Л d.-F._ F2d2Л d.-F.^-F,^-F,
1 11
^2 /г
1 11
^2 /г
1
FV
1
FV
или
или
_ F2d2
Л d.-F.
_ F2d2
Л d.-F.
^-F,
^-F,
Отразившийся от зеркала сходящийся пучок встречает линзу, расположенную на расстоянии d3 =й - (R - Fi) = (3F2 - FA)FA /(2F2 - Fj от точки схождения лучей; поэтому
1 1^з /з1 1^з /зQF2-FQFAFiQF2-FQFAFi1,FAd3
1 1
^з /з
1 1
^з /з
QF2-FQFAFi
QF2-FQFAFi
-—, или Л = —!—
Fa 2 FA-d3
По условию задачи FA < 2F2, поэтому f3 < 0. Это значит, что, выйдя из линзы, лучи расходятся, а точки пересечения их продолжений лежат между зеркалом и линзой на расстоянии/3 = -(3F2 - FX)FA jF2 = -32 см от линзы (рис. 458, нижняя половина).
Для первого участка имеем 1/(F - а) + 1/(2/? + с) = 2//?, для второго -1/с + 1/(F - А) = 2//? (рис. 459); отсюда а = RbKAb - R\ Если b = 3/?/4, то а = 3/?/8; если b = -3/?/4, то а = 3/?/16.
Если бы задней линзы не было, изображение удаленного источника получилось бы в фокальной плоскости передней линзы. Это изображение служит для задней линзы мнимым источником. Расчеты дают в первом и втором случаях
, \-bDA 1, l-bD? 7
f =!= — м, f == — м.
DA + D2 -bDxD2 13Dx + D2-bDxD2 65
На расстоянии d = (b - F^FX /(b - F2 - Fx) = 30 см перед первой линзой или на расстоянии d = (b - Fx)F2l{b - Fx - F^ = 60 см за второй линзой.
Изображение, создаваемое первой линзой, находится на расстоянии/! от нее и имеет высоту Lx = кх I = (fx ldx) l, где кх - увеличение первой линзы. От второй линзы оно находится на расстоянии d2 = l —Д и в свою очередь служит для нее предметом. Изображение, создаваемое второй линзой, находится на расстоянии /2 от нее и имеет высоту
L2 = k2Lx = (/2 /^2) ^i> гДе ^2 ~ увеличение второй линзы. По формуле линзы
1/^+1/fx=\[FvUd2+Uf2=UF2.''
Решая полученную систему уравнений, найдем
/2 = F2\b(dx - Fx)~ Fxdx] /[(b - F2 )(dx - Fx)- FxdxA = 2 m, L2 = kxk2l = FxF2UY(b - F2)(dx - F,)-dxFxA = 32 cm.
a = \b2 F - (d + b)(b - 2F)dA/VF(2d - F) - b(d - F)] = 0,35 м (см. задачу 1196).
См. задачу 1196 и построение на рис. 462. Мнимое изображение находится от второй линзы на расстоянии
/ = F2(bd - bFx - FxdA/Y(F2 - b)(d - Fx) + FxdA = 1,8 м.
Увеличение к = FXF2 /[(F2 - b)(d - Fx) + Fxd] = 20.
Предмет расположен в фокальной плоскости первой линзы;
следовательно, лучи, идущие от какой- либо точки предмета, по выходе из линзы идут параллельным пучком. Если вторая линза расположена на расстоянии b < (ах + a2")Fx /21 от первой линзы, где ах и а2 - диаметры линз, то каждый из таких параллельных пучков, пройдя вторую линзу, даст изображение соответствующей точки предмета в фокальной
плоскости второй линзы. Из подобия треугольников следует (рис. 460),
что
UFx=L/F2, откуда L = IF2/FX=3 см.
Построение хода лучей ясно из рис. 460. Изображение получается действительным. Его можно наблюдать, поместив глаз на соответствующем расстоянии за второй линзой.
/= F[b(d -F)- FdA/V(b - F)(d - F) - FdA = 3 м (см. задачу 1196).
Задняя фокальная плоскость первой линзы должна совпадать с передней фокальной плоскостью второй линзы, поэтому h = Fx + F2 = 8см. Задачу можно решить также, применяя общую формулу (см. задачу 1194), в которой нужно положить/—^ оо.
Если первой на пути пучка стоит собирающая линза, то для достижения желаемого результата должны совпадать задние фокальные плоскости линз. Если же первой стоит рассеивающая линза, то должны совпадать передние фокальные плоскости. Искомое расстояние b = = Fx - F2 = 4 см в обоих случаях. При Fx < F2 задача не имеет решения,
а = Е3--^—^1 = 6 см. ■
F2+b-Fx
За рассеивающей линзой пучок также параллельный. Его диаметр О2 = О] F2/Fj = 4 мм.
Источник следует поместить перед собирающей линзой на таком расстоянии d, чтобы сходящийся пучок лучей имел вершину в точке на задней фокальной плоскости рассеивающей линзы. По формуле линзы \[d + 1/(F + b) = 1/F, откуда d = F(F + b^b = 36 cm.
Построение хода лучей ясно из рис. 461. Точка S' является изображением источника S в собирающей линзе, и, следовательно, через нее
должны пройти продолжения всех лучей, вышедших из собирающей линзы. Среди этих лучей выбираем тот, кторый идет через оптический центр рассеивающей линзы. Все остальные лучи, прошедшие систему, будут параллельны выбранному.
Если светящаяся точка расположена со стороны рассеивающей линзы, то d = Fx (F2 - b)/(Fx - F2 + b) = 8 см (точка расположена в фокусе рассеивающей линзы).
Если светящаяся точка расположена со стороны собирающей линзы, то
d = Vb(Fx + b)+FxF2H(Fx-F, +6) = 41 см.
а = d + b + F2 (F, d + Fx b + b d)/[(b - FfXd + F,) + Fx d] = 68 cm.
В телескопе фокальная плоскость объектива совпадает с фокальной плоскостью окуляра. Параллельный пучок лучей, пройдя такую систему линз, остается параллельным, но составляет уже другой угол с осью трубы. Угловое увеличение телескопа к = Fx /F^. Отрезок длины / между двумя яркими источниками глаз видит под углом (р = Иг. По условию задачи ^(р > <р0; отсюда / > Vo/'F2 /^i ” 475 м.
Длина трубы Галилея I = Fx - F^, ее увеличение к = Fx /F^. По условию задачи труба Кеплера должна иметь ту же длину / = F3 + F4 и такое же увеличение k = F3 (F^. Следовательно,
Fx - F2F3 = —1- Fx = 36 см,f; +f2Fx - F2F3 = —1- Fx = 36 см,f; +f2^4 =^4 =f^-f,^1 + ^2f^-f,^1 + ^2F2 = 4 cm .F2 = 4 cm .
Fx - F2
F3 = —1- Fx = 36 см,
f; +f2
Fx - F2
F3 = —1- Fx = 36 см,
f; +f2
^4 =
^4 =
f^-f,
^1 + ^2
f^-f,
^1 + ^2
F2 = 4 cm .
F2 = 4 cm .
Окуляр передвинули на расстояние а = F^fd - F) = 1 см дальше от объектива.
Если труба предназначена для наблюдения удаленных предметов, то расстояние между ее объективом и окуляром d = Fx + F2, а увеличение трубы к = Fx IF^, где Fx wF2- фокусные расстояния объектива и окуляра. При наличии диафрагмы \(d + l/f = 1/F2, причем fid = LH; отсюда к = l/L.
l = d0F2Kd0 + Ff) + Fx = 31 см.
Увеличение микроскопа кх = £2 к3, объектива к3 = fid. По формуле линзы 1/d + 1// = 1/F; отсюда F = кх dlkx + к2. Так как d > 5 см, то F ^ 4,5 см.
i, причем ax и jx связаныi, причем ax и jx связаныРис. 462Рис. 462= 8<ZO/FIF2,8 = /-F1 -F2= 8<ZO/FIF2,8 = /-F1 -F2к =к =М1А)=180kd-Fx^М1А)=180kd-Fx^Fxdd-FxFxdd-Fxd0 + F2d0 + F2= 13,47= 13,47CM .CM .
i, причем ax и jx связаны
i, причем ax и jx связаны
Рис. 462
Рис. 462
= 8<ZO/FIF2,8 = /-F1 -F2
= 8<ZO/FIF2,8 = /-F1 -F2
к =
к =
М1А)=180
kd-Fx^
М1А)=180
kd-Fx^
Fxdd-Fx
Fxdd-Fx
d0 + F2
d0 + F2
= 13,47
= 13,47
CM .
CM .
Увеличение микроскопа к = кхкг; для объектива кх =fx Jdx (рис. соотношением l/dx + l/fx = 1/FX. Увеличение окуляра к^ = d0 Jd^, где d^ = I -fx. Решив систему пяти уравнений, найдем кг = (d0 + + kFxW"FxW.
На рис. 462 изображен случай, когда окончательное изображение находится на расстоянии dxx от линзы окуляра. Если же глаз наблюдателя не напряжен, то из окуляра должны выходить параллельные пучки лучей. В этом случае d^ = / -/, = F2, где F2 - фокусное расстояние окуляра. Система уравнений и решение остаются прежними.
1215. Увеличение микроскопа к = - длина тубуса микроскопа; отсюда Fx =
= (/ - F2) d^KkF^ + </0) = 2,45 мм.
Для ненапряженного глаза к = (/ - Fx - F2) d^JF ] Е2 = 95 (см. задачу 1215). Если же окончательное изображение рассматривается с расстояния наилучшего зрения, то
k = U-Fx-F2)d0! FxF2+{l-Fx)t Fx = 120.
Увеличение объектива кх = Fx Kd-Fx) (см. задачу 1115), окуляра &2 = dxx [F2 (см. задачу 1136). Увеличение микроскопа и расстояние между объективом и окуляром
к = кхк2 =—— = 150, l = -^-+F, =14,3 см.
12 kd-Fx^d - Fx 2
Если глаз рассматривает изображение с расстояния d0, то к2 = dxx /F^ + 1 (см. задачу 1135) и
Из формулы линзы l/(a + Fx) + l/fx = 1/FX получаем увеличение объектива kx =fx Fa + Fx^ = Fx (а; увеличение окуляра k2 = d0 )F2. Увеличение микроскопа к = кх к2 = Fх d0JaF2 = 200; длина тубуса микроскопа 8 = fx - Fx = Fx I a = 8 см.
Увеличение микроскопа k = Fx dxx /(d - FX)F2 (см. задачу 1217); отсюда Fx = kdF2 Fdxx + kF 2) = 6 мм.
F2 = 5dxx/kFx =0,5 cm.
Когда человек рассматривает без очков предмет, находящийся на расстоянии ближнего предела аккомодации, то мышцы, управляющие преломляющей системой его глаза, наиболее напряжены. Если заменить глаз эквивалентной линзой с экраном (сетчаткой), то можно восполь- 388 ■
зоваться обычной формулой X/d\ + I//) = DX, где/, - глубина глаза (расстояние от линзы, которой можно заменить преломляющую систему глаза, до экрана). Рассматривая тот же предмет в очках, человек по условию задачи напрягает мышцы глаза так же, как и без очков, поэтому X,d'x + I//, = Dx + Оочк. Отсюда ближний предел аккомодации глаза, вооруженного очками, d\ = d\ /(1 + DO4K dx) = 0,33 м.
Аналогично для дальнего предела аккомодации (наибольшее расслабление мышц глаза) имеем X/d^ + l/yj = Ог, где глубина глаза /2 и оптическая сила глаза Di, вообще говоря, другие. Если же человек наденет очки, то
Md^ + X/f^ =D^a-D№ откуда d'^ = di /(1 + D^diJ = 1 м.
Для глаза без очков и с очками имеем
X/d+X/f=D и 1/4, + 1//= D + D(„IK;
отсюда D04K = 1/4)- ХИ = -1 дптр. Пройдя такую линзу, лучи от предмета, находящегося на расстоянии d0 = 25 см, идут так, как если бы они исходили из точек, отстоящих на расстоянии d = 20 см от глаза.
По условию задачи d = 20 см есть дальний предел аккомодации глаза. Поэтому в очках должны быть использоаны такие линзы, пройдя которые параллельные лучи от бесконечно удаленных предметов казались бы исходящими из точек, отстоящих на расстоянии d = 20 см. Так как эти точки лежат в фокальной плоскости линзы, то оптическая сила очков /:,<>чк = -Md = -5 дптр.
Исправить недостатки зрения данного человека - значит прописать ему такие очки, чтобы, надев их, он мог четко видеть предметы. находящиеся на расстоянии не ближе du = 25 см, а также бесконечно удаленные предметы. Для достижения первой цели человеку нужны очки с оптической силой О1()чк = 1/4) ~ 1/4 = -6 дптр (см. задачу 1222). Тогда наиболее далекие предметы, которые сможет видеть этот человек, будут находиться от него на расстоянии d'^ = = d^/(X + DUviK d2) = 0,5 м (см. задачу 1221). Следовательно, для того чтобы видеть очень далекие предметы, человеку нужны другие очки с оптической силой О2очк = -ХИг = -8 дптр (см. задачу 1223). Надев их, он сможет видеть предметы, находящиеся не ближе d\ = dx /(1 + D2o4Kdx) =0,5 м.
Таким образом, данный человек должен иметь очки с оптической силой О|„1|к = -6 дптр (“для близи”) и очки с оптической силой О2очк = ~8 дптр (“для дали”) или очки, у которых нижняя часть каждого стекла изготовлена в виде линзы с оптической силой Ощчк, а верхняя - в виде линзы с оптической силой О2очк (так называемые “бифокальные” очки).
DO4K = 1/4) - ХИ = 2,75 дптр (см. задачу 1222).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Фундаментальные физические константы
Гравитационная постояннаяУскорение свободного падения (нормальное)Скорость света в вакууме Магнитная постоянная Электрическая постоянная Масса покоя электрона Масса покоя протона Элементарный зарядОтношение заряда электрона к его массеПостоянная ПланкаПостоянная Авогадро Постоянная Больцмана Молярная газовая постоянная Постоянная ФарадеяОбъем моля идеального газа при нормальных условиях (Ро = 101 325 Па, То = 273,15 К)Гравитационная постояннаяУскорение свободного падения (нормальное)Скорость света в вакууме Магнитная постоянная Электрическая постоянная Масса покоя электрона Масса покоя протона Элементарный зарядОтношение заряда электрона к его массеПостоянная ПланкаПостоянная Авогадро Постоянная Больцмана Молярная газовая постоянная Постоянная ФарадеяОбъем моля идеального газа при нормальных условиях (Ро = 101 325 Па, То = 273,15 К)G = 6,6720- IO”11 Н ■ м2/кг2 g = 9,80665 м/с2 с = 2,99792458 ■ 108 м/с
Гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения (нормальное)
Скорость света в вакууме Магнитная постоянная Электрическая постоянная Масса покоя электрона Масса покоя протона Элементарный заряд
Отношение заряда электрона к его массе
Постоянная Планка
Постоянная Авогадро Постоянная Больцмана Молярная газовая постоянная Постоянная Фарадея
Объем моля идеального газа при нормальных условиях (Ро = 101 325 Па, То = 273,15 К)
Гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения (нормальное)
Скорость света в вакууме Магнитная постоянная Электрическая постоянная Масса покоя электрона Масса покоя протона Элементарный заряд
Отношение заряда электрона к его массе
Постоянная Планка
Постоянная Авогадро Постоянная Больцмана Молярная газовая постоянная Постоянная Фарадея
Объем моля идеального газа при нормальных условиях (Ро = 101 325 Па, То = 273,15 К)
Цо = 4л ■ 10"7 Гн/м= 12,5663706144 ■ 10"7 Гн/м £0= 8,85418782- 10",2Ф/м те = 9,109534 ■ 10"31 кг тр = 1,6726485-10"27 кг
е = 1,6021892- 10"19 Кл
е!те = 1,7588047-10'1 Кл/кг
h = 6,626176- ПУ34Дж-с
Na = 6,022045 ■ 1023 моль-1 к = 1,380662 ■ 10"23Дж/К R = 8,31441 Дж/(моль ■ К) F = 96,48456- 103 Кл/моль Уо = 22,41383 ■ 10"3 м3/моль
Множители и приставки для образованиядесятичных кратных и дольных единиц и их наименований
Множитель
Приставка
Множитель
Приставка
наиме
нование
обозначение
наименование
обозначение
ю18
эксо
э
10"'
деци
Д
ю’5
пета
п
10-2
санти
С
ю12
тера
т
10"3
милли
м
ю9
гига
г
10^
микро
мк
106
мега
м
10"9
нано
н
103
кило
к
10-12
ПИКО
п
102
гекто
г
10"'5
фемто
ф
ю1
дека
да
10-18
атто
а
Единицы и размерности физических величин в СИ
Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены полужирным шрифтом) единиц СИ. Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком
Величина
Единица
Связь с основными единицами СИ
Длина
L
метр
°астрономическая единица длины
°световой год
°парсек
м
а.е.
св. год
ПК
Основная единица
Метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299 792 458 секунды
1 а. е. = 1,49598 • 10" м
1 св. год = 9,4605 • 1015 м
1 ПК = 3,0857- 1016 м
Площадь
L2
квадратный метр °гектар
м2 га
1 га = 104 м2
Объем
L3
кубический метр °литр
м3 л
1 л = 10-3 м3
Плоский угол
-
радиан
рад
Дополнительная единица
Телесный угол
-
стерадиан
ср
Дополнительная единица
Время
г
секунда
°минута °час
° сутки
С
мин ч сут
Основная единица
Секунда равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133
1 мин = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут = 86 400 с
Скорость
LT-'
метр в секунду
м/с
Ускорение
LT"2
метр на секунду в квадрате
м/с2
392392Продолжение
392
392
Величина
Единица
Связь с основными единицами СИ
Угловая скорость
Т"1
радиан в секунду
рад/с
1 рад/с = 1 с-1
Угловое ускорение
Т"2
радиан на секунду в квадрате
рад/с2
1 рад/с2 = 1 с'2
Частота
периодичес-
. кого процесса
т-1
герц
Гц
1 Гц = 1 с"1
Частота вращения
Т"х
секунда в минус первой степени
с-1
Масса
М
килограмм
°тонна
°атомная единица массы
КГ
т а. е. м.
Основная единица
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма
1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1,6605655 • КГ27 кг
Плотность
L~3M
килограмм на кубический метр
кг/м3
Удельный объем
L3M"X
кубический метр на килограмм
м-’/кг
Массовый расход
МГ"1
килограмм в секунду
кг/с
Объемный расход
L3T"X
кубический метр в секунду
м3/с
Сила
LMT"2
ньютон
н
1 Н = 1 кг ■ м • с"2
Давление
L~XMT-2
паскаль
Па
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м-1 • кг • с-2
Жесткость
MT"2
ньютон на метр
Н/м
1 Н/м = 1 кг • с-2
Напряжение
L-W-2
паскаль
Па
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м 1 ■ кг ■ с 2
Динамическая вязкость
L^MT-1
паскаль-секунда
Па ■ с
1 Па • с = 1 м-1 ■ кг ■ с-1
Кинематическая вязкость
квадратный метр на секунду
м2/с
Поверхностное натяжение
МТ"2
ньютон на метр
Н/м
1 Н/м = 1 кг ■ с-2
Импульс (количество движения)
LMT-1
килограмм-метр в секунду
кг ■ м/с
Момент силы
L2MT-2
ньютон-метр
Нм
1 Н ■ м = 1 м2 ■ кг ■ с~2
Момент импульса (момент количества движения)
LW"1
килограмм-метр в квадрате в секунду
кг • м2/с
Момент инерции
l2m
килограмм-метр в квадрате
кг ■ м2
Работа, энергия
L2MT~2
джоуль
Дж
1 Дж = 1 Н ■ м = 1 м2 • кг • с~2
Мощность, поток энергии
l2mt-3
ватт
Вт
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2 ■ кг • с-3
Температура (термодинамическая)
6
кельвин
°градус Цельсия
К
°C
Основная единица
Кельвин равен 1/273,16 части
термодинамической температуры тройной точки воды
Г/°С = Г/К-273,15
Температурный коэффициент
er1
кельвин в минус первой степени
К-1
Температурный градиент
L-'e
кельвин на метр
К/м
393393
393
393
Продолжение
Величина
Единица
Связь с основными единицами СИ
Количество вещества
N
МОЛЬ
моль
Основная единица
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг
Молярная масса
МЬГХ
килограмм на моль
кг/моль
Молярный объем
L^N"'
кубический метр на моль
м3/моль
Количество теплоты (теплота)
L^MT*2
джоуль
Дж
1 Дж = 1 Н • м = 1 м2 • кг • с-2
Удельная теплота
1?т~2
джоуль на килограмм
Дж/кг
1 Дж/кг = 1 м2 • с-2
Молярная теплота
L^MT^N"1
джоуль на моль
Дж/моль
1 Дж/моль = 1 м2 • кг • с-2 ■ моль-1
Теплоемкость, энтропия
джоуль на кельвин
Дж/К
1 Дж/К = 1 м2 • кг • с*2 • К"1
Удельная теплоемкость, удельная энтропия
L2r2©-X
джоуль на килограмм-кельвин
Дж/(кг • К)
1 Дж/(кг • К) = 1 м2 ■ с-2 • К*1
Молярная теплоемкость, молярная энтропия
[ЗИТ^ЬГ1
джоуль на моль- кельвин
Дж/(моль • К)
1 Дж/(моль • К) = 1 м2 • кг • с*2 ■ К"1 • моль*1
394394
394
394
395
Тепловой поток
[?МТ-3
ватт
Вт
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2•кг•с 3
Плотность теплового потока
МТ-3
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = кг • с~3
Теплопроводность
LMT-3Q"X
ватт на метр- кельвин
Вт/(м • К)
1 Вт/(м • К) = 1 м ■ кг • с-3 • К-1
Коэффициент теплопередачи
мт3егх
ватт на квадратный метр-кельвин
Вт/(м2 • К)
1 Вт/(м2 ■ К) = 1 кг • с-3 • К-1
Концентрация (плотность числа частиц)
L-3
метр в минус третьей степени
м”3
Молярная концентрация
L~3N
моль на кубический метр
моль/м3
Коэффициент диффузии
[?ГХ
квадратный метр в секунду
м2/с
Сила электрического тока
I
ампер
А
Основная единица
Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии
1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 ■ 10”7 Н
Плотность электрического тока
L~31
ампер на квадратный метр
А/м2
396
Величина
Единица
Связь с основными единицами СИ
Количество электричества (электрический заряд)
тг
кулон
Кл
1 Кл = 1 с■А
Поверхностная плотность электрического заряда
L"2TI
кулон на квадратный метр
Кл/м2
1 Кл/м2 = 1 м'2 ■ с • А
Пространственная плотность электрического заряда
L^Tl
кулон на кубический метр
Кл/м3
1 Кл/м3 = 1 м-3 ■ с • А
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
L^MT-3!^
вольт
В
1 В = 1 Вт/А = 1 м2 ■ кг ■ с-3 • А-1
Напряженность электричес- ; кого поля
LMT~3H
вольт на метр
В/м
1 В/м = 1 Вт/(А • м) = 1 м • кг • с-3 • А-1
Электрическое сопротивление
Ь3МТ-3Г3
ом
Ом
1 Ом = 1 В/А = 1 м2 ■ кг • с-3 ■ А-2
Продолжение
Удельное электрическое сопротивление
ь3мт~3г2
ом-метр
Ом • м
1 Ом • м = 1 м3 • кг • с 3 • А 2
Электрическая проводимость
ц^М^Т3!2
сименс
См
1 См = 1 Ом-1 = 1 м~2 • кг 1 • с3 • А2
Удельная электрическая проводимость
L^M"1?3!2
сименс на метр
См/м
1 См/м = 1 Ом-1 ■ м-1 = 1 м"3 • кг-1 • с3 • А2
Электрическая емкость
L"2M"4*I2
фарад
Ф
1 Ф = 1 Кл/В = 1 м2 • кг"1 ■ с4 • А2
Электрическая постоянная, абсолютная диэлектрическая проницаемость
l-3m-4ai2
фарад на метр
Ф/м
1 Ф/м = 1 м-3 • кг-1 • с4 • А2
Поток электрического смещения
TI
кулон
Кл
1 Кл= 1 с•А
Электрическое смещение
L~2TI
кулон на квадратный метр
Кл/м2
1 Кл/м2 = 1 м-2 • с • А
Магнитный поток (поток магнитной индукции)
i?mt-¥
вебер
Вб
1 Вб = 1 В • с = 1 Тл • м2 = 1 м2 ■ кг • с-2 • А-1
Магнитная индукция (плотность магнитного потока)
MT"2!"1
тесла
Тл
1 Тл = 1 В • с/м3 = 1 Вб/м2 = 1 кг • с-2 • А-1
Индуктивность
L2MT~2r2
генри
Гн
1 Гн = 1 м2 • кг • с-2 • А-2
Окончание
Величина
Единица
Связь с основными единицами СИ
Магнитная постоянная, абсолютная магнитная проницаемость
LMT"3!'3
генри на метр
Гн/м
1 Гн/м = 1 м • кг • с-2 • А"2
Напряженность магнитного поля
L-4
ампер на метр
А/м
Энергия излучения
lW"3
джоуль
Дж
1 Дж = 1 м2 • кг • с-2
Мощность излучения (поток излучения)
L3MT~3
ватт
Вт
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2 ■ кг • с-3
Интенсивность излучения (плотность потока излучения)
МТ"3
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = 1 кг ■ с-3
Поток частиц
T-t
секунда в минус первой степени
с-1
Плотность потока частиц
L~3T~l
секунда в минус первой сте- пени-метр в минус второй степени
с”1 • кг2
399
Сила света
J
кандела
КД
Основная единица
Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540 • 1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср
Световой поток
J
люмен
лм
1 лм = 1 кд • ср
Световая энергия
TJ
люмен-секунда
лм • с
1 лм • с = 1 с • кд • ср
Светимость
1AJ
люмен на квадратный метр
лм/м2
1 лм/м2 = 1 м-2 • кд • ср
Освещенность
L~2/
люкс
лк
1 лк = 1 лм/м2 = 1 м-2 ■ кд • ср
Яркость
L-Ь
кандела на квадратный метр
кд/м2
Оптическая сила
L-'
°диоптрия
дптр
1 дптр = 1 М”1
Энергетическая сила света (сила излучения)
1?МТ”3
ватт на стерадиан
Вт/ср
1 Вт/ср = 1 м2 • кг ■ с-3 • ср-1
Энергетическая светимость (излучатель- ность)
MT"3
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = 1 кг • с-3
Энергетическая освещенность (облученность)
MT"1
ватт на квадратный метр
Вт/м2
1 Вт/м2 = 1 кг • с”3
Энергетическая яркость (лучистость)
MT"3
ватт на стера- диан-квадрат- ный метр
Вт/(ср ■ м2)
1 Вт/(ср • м2) = 1 кг • с-3 • ср"1
* Напомним, что нить (веревка, трос и т.п.) считается невесомой и нерастяжимой.
Г.А.Бендриков, Б.Б.Буховцев, В.В.Керженцев, Г.Я.МякишевФИЗИКА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Содержит задачи в рамках вступительных экзаменов по физике из числа предлагавшихся в течение ряда лет на различных факультетах Московского государственного университета. К каждой теме даны краткие указания, касающиеся общей методики решения задач, и основные формулы, используемые при решении. Подробные решения приведены для методически наиболее важных задач. 8-е изд. — 1998 г.
Для учащихся школ, гимназий, лицеев с углубленным изучением физикоматематических дисциплин, для подготовки к конкурсным экзаменам в ВУЗы.
СОДЕРЖАНИЕ
Задачи
Ответы и
Предисловие
Глава I. Механика
5
решения
§ 1 Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение
7
205
§ 2. Криволинейное движение
15
216
§ 3. Вращательное движение
18
2^2
§ 4. Динамика прямолинейного движения
20
224
§ 5. Закон сохранения импульса
29
234
§ 6. Статика
33
238
§ 7. Закон сохранения энергии
40
246
§ 8. Динамика вращательного движения
48
252
§ 9. Закон всемирного тяготения
52
259
§ 10. Гидро- и аэромеханика
54
260
§ 11. Колебания и волны
Глава II. Теплота и молекулярная физика
60
263
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
63
266
§ 13. Количество теплоты. Коэффициент полезного действия
65
267
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
72
271
§ 15. Элементы молекулярной физики
85
284
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов. Теплоемкость
87
285
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары Глава III. Электричество и магнетизм
90
289
§ 18. Закон Кулона
95
294
§ 19. Электрическое поле
100
299
Напряженность электрического поля (100). Потенциал.
Работа электрических сил (102). Электрическая емкость (108).
§ 20. Постоянный электрический ток117316
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление
проводников (117). Последовательное и параллельное
соединения проводников. Добавочные сопротивления и шунты (119). Закон Ома для полной (замкнутой) цепи (125). Последовательное и параллельное соединения источников тока. Правила Кирхгофа (132).
§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
139
331
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
147
337
§ 23. Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция
150
338
§ 24. Переменный электрический ток
158
343
§ 25. Электромагнитные колебания и волны Глава IV. Оптика
163
347
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
165
349
§ 27. Отражение и преломление света на плоской границе
167
349
§ 28. Фотометрия
172
358
§ 29. Сферические зеркала
176
361
§ 30. Тонкие линзы
183
368
§ 31. Оптические системы Приложения
197
381