Глава 1

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ АДАПТИВНЫХ ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ B-CDMA-3G-4G С КОМПЕНСАЦИЕЙ МЕШАЮЩИХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ*

Введение в проблему

В данном разделе с самых общих позиций теории вероятностей, математической статистики и теории статистических решений формулируется решение проблемы синтеза оптимальных алгоритмов систем радиосвязи поколений 3G-4G. Тщательный анализ литературы [18-73] показал, что по сути единственными источниками, которые быстро приводят к цели, являются монографии [33-35]. Многочисленные и актуальные проблемы теории и техники связи были решены как зарубежными авторами [50-57], так и отечественными учеными [18-31, 36-43, 49, 60-73] при существенном предположении гауссовости распределений вероятностей помех, причем чаще всего на фоне нормального белого шума, когда корреляционная обработка является оптимальной и эквивалентной согласованной фильтрации сигналов. При этом, как оказалось, было упущено очень сильное и полезное качество оптимальных систем обработки сигналов, в том числе и в узкополосных гауссовых помехах - возможность использования компенсации помех и мешающих сигналов наряду с последующей корреляционной обработкой полезных сигналов, причем «обнаружить» и использовать это качество удалось только после углубления и расширения рамок классической теории решений, что и было сделано впервые в [33-35], поскольку оптимальные алгоритмы компенсации принципиально отличаются, например, от хорошо известных [59] квадратурных автокомпенсаторов с обратными связями с выхода на вход, что является причиной неустойчивости и неэффективности автокомпенсаторов из-за нежелательного и сильного подавления полезного сигнала наряду с помехой.

В монографии реализуется классическая триада [33-35] исследований. В этой главе решаются две задачи: анализ многомерных распределений вероятностей (разд. 1.2) и синтез оптимальных алгоритмов обработки (разд. 1.3 и 1.4). Последний (третий) этап триады - анализ эффективности алгоритмов - будет осуществлен в гл. 3.

UHM I tu UI I I ИМАЛЫ1ЫА АД A11 I ИЬПЫА UHU I EM rM^rivjuDnjn q-^miwim

В разд. 1.2 широко используется модель амплитудно-фазомодулированных (или манипулированных) процессов (АФМП) с произвольными случайными характери- I стиками, появление которых легко пояснить простым примером суммирования двух ПСП с амплитудами Л, Аг и законами фазовой манипуляции ф](0 и ф2(0: х<0 = х, ^ + х2 (О = 4 cos [coZ + ф, (Z)] + A, cos [coz + ф2 (Z)] = = (4созф, +42со8ф2)со5®/-(48Шф] + А2 sin ф2 )sincoZ = = у, (^) cos со/ - j/2 (Z) sin coz = A(t)cos(tot + ф(0), ^ (/) = 4 COS Ф! (z) + 4г cos Фг (0 - ^ cos Ф’ У AO- A sin Ф, (/) + 4г sin ф2 (/) = A sin ф, a1 (0 = К (0+x2 (0 = 42 + 4 + 2 А А созСф, (0 - ф2 (0), (p(Z) = arctg[y2(/)/y](/)].

Процессы yi и у2 являются квадратурами, именно они чаще всего реализуются в современных системах связи, а после умножения соответственно на косинус и синус и суммирования образуют узкополосный сигнал на радиочастоте со в диапазоне СВЧ или ПЧ. Обратим внимание на то, что, во-первых, результирующий сигнал приобретает амплитудную модуляцию A(t), отсутствующую в исходных сигналах ой(на самом деле неявно присутствующую при манипуляции фазы на л рад.), а во-вто-

*ырых меняется и резко усложняется результирующая фазовая модуляция ф(/). Если

1ь-же сигнал дД/) сохраняется прежним, а х2(/) является помехой типа АФМП с произ-

Щ,вольной модуляцией, то тем более сумма x(f) будет процессом типа АФМП с дру-

ыегими, разумеется, статистическими характеристиками огибающей A(f) и фазой ф(Z),

1в-да еще усложненных статистической и функциональной связью между ними. До-

(е-бавляя к сумме (*) сигналы и помехи с выделением квадратур по описанной метаемдике, приходим опять-таки к сложно-модулированному результирующему АФМП.

в-Но исследовать многомерные статистические характеристики АФМП через квадра-

эитуры крайне сложно из-за функциональной связи, приводящей к скрытому присут-

ь-ствию дельта-функций. Поэтому в разд. 1.2 предлагаются иные, более «элегант-

-ные» методы анализа многомерных дифференциальных (ДЗР) и интегральных

с(ИЗР) законов распределения вероятностей, позволяющие провести полный анализ

у-при произвольных случайных модулирующих функциях, а также рассмотреть лю-

1ябые совокупности и суммы АФМП, представленных в векторной форме. Это дает

возможность описать большинство возможных сценариев и ситуации в системах

радиосвязи поколений 3G-4G.

а-Из формул (*) ясно, по какой причине ДЗР и ИЗР являются нестационарными и

и негауссовыми. Именно эти свойства потребовали существенного углубления клас- ta сической теории статистических решений наряду с поиском таких алгоритмов, которые естественным образом приводили бы к процедурам обработки с компенсаций ей помех. Эта проблема для гауссовых, коррелированных произвольным образом йпомех решена в разд. 1.3, а для негауссовых помех - в разд. 1.4. Полученные алго-

I-ритмы в современных системах радиосвязи 3G, как следует из [26-31, 49-61], веро-

ятнее всего не используются, однако в системах связи 4G-5G будут применяться из-за очень высокого потенциала эффективности, связанного с компенсацией ме-

шающих сигналов и помех, и уж точно будут использованы в модификациях российской версии B-CDMA-3G Исток 3/5.0 в ближайшем будущем. Нацеленность исследований на цифровые системы фиксированной радиосвязи (в [33-35] подобная конкретизация отсутствует) позволила не учитывать в явной форме частоты Доплера, пространственную обработку из-за отсутствия хэндовера и роуминга и т.д., хотя полученные результаты дают возможность путем несложных модификаций синтезировать оптимальные алгоритмы обработки в мобильных системах, анализировать проблему электромагнитной совместимости (ЭМС) и др.

Многомерные законы распределения вероятностей сигналов связи

Многомерные плотности вероятностей сигналов и помех

Из сказанного выше ясно, что проблема анализа многомерных статистик сигналов связи, в том числе CDMA, является открытой и далека от завершения. В этом разделе предпринята попытка ответить на наиболее важные вопросы, без которых синтез оптимальных систем радиосвязи B-CDMA-3G-4G попросту невозможен. Полученные ниже результаты описывают статистические характеристики не только сигналов и помех, но и в полной мере справедливы при рассмотрении вероятностных моделей произвольных каналов связи, при многолучевом распространении сигналов, а также при анализе межканальных связей и межсимвольных искажений сигналов в точке приема.

Рассмотрим сначала многомерные дифференциальные и интегральные законы распределения вероятностей для обобщенной модели из аддитивной совокупности произвольно модулированных (манипулированных) по огибающей (амплитуде) и по фазе (или частоте) высокочастотных (в диапазоне ПЧ или СВЧ) колебаний и процессов, далее кратко именуемых как АФМП или АЧМП, которые описывают очень широкий класс реально используемых сигналов и помех радиосвязи.

Ниже рассматриваются только действительные сигналы и помехи, хотя методы классической радиотехники рекомендуют использовать комплексные обобщения. Однако в рассматриваемых задачах комплексное усложнение модели эффективно только при линейных преобразованиях и совершенно неоправданно при отыскании многомерных статистических характеристик, а также при нелинейных преобразованиях. Поэтому далее будем пользоваться действительной формой модулированного колебания:

Х^ = ^(Z)cos[cor + !](/) + v(z) + ф] = Л(/)сО5Ф(Г). (1.1) Здесь Л^ЛО + ^О + ЧЧО» И(О = 52п,(^Х v(0 = £v/r,0, 4 = ^,,

где Aq - амплитуда исходного гармонического колебания; ^(/), г|(Г) - случайные стационарные нормальные шумы; ф(/), v(z) - детерминированные функции; ф - начальная фаза, часто распределенная равновероятно.

Любая из упомянутых функций может быть суммой произвольного числа компонент, связанных функционально или статически. Число практически важных случаев (сигналы радиосвязи, оптические и т.п.) велико, и они настолько разнородны, что целесообразна постановка задачи в общей форме.

Процесс (1.1) описывает широкий класс реально используемых сигналов и помех, поскольку может быть стационарным и нестационарным, гауссовым и негауссовым, непрерывным и импульсным (если под Ло понимать функцию, равную нулю на некоторых случайных или детерминированных интервалах времени). Сначала целесообразно изучить наиболее общие статистические характеристики скалярного процесса (1.1). Векторные обобщения формально позволяют включить и случай пространственных флюктуаций, однако из методических соображений удобнее начать с процесса (1.1), который будем называть амплитудно-фазомодулированным (АФМП), или с рассмотрения аддитивной совокупности произвольно модулированных АФМП на фоне собственного шума g(z):

ДО-^ХЮсозФДО + кСО, glO^g^O.(1-2)

р=\к

где все Р процессов могут быть произвольно связаны между собой, но статистиче-

N

ски не зависимы от шума g(0- Найдем совместное Q = ^Mn -мерное распределе- Л=1

ние вероятностей (ДРВ) векторной совокупности Z = (Z„) = (Z,,..., ZN) с векторными элементами Zn = (Z,), которые состоят из случайных величин

Z/ = Z„ 0т„ )=XAP„ ^т„ )COS Фр„ Um„ ) + g„ Um„ ) = £ A COS Ф5 + g„( 1.3)

s = (P„^n\ P„=VP„, mn=l,M„, l = ^i,тп\ n = \,N.

Полученные величины удобно интерпретировать так: 1) N есть число пунктов наблюдения (баз или взаимодействующих объектов связи), на которые поступают величины Z/, равные сумме отсчетов разных по количеству Рп процессов; 2) индекс тп учитывает, что время наблюдения процессов (взятия отсчетов) может быть различным, как и размерность Мп векторов Zn в каждом пункте; 3) составной индекс S состоит из пары чисел рп и тп; 4) вектор отсчетов времени обозначим Тф^ = ф,..., TN),

Найдем сначала g-мерную характеристическую функцию:

0(ш) =< exp[/ZcoJ >,(1.4)

где косыми скобками обозначено усреднение по множеству всех случайных величин, от которых зависит Z„. Подставляя в (1.4) формулу (1.3) и используя известное разложение exp(/Zcos<P) в ряд по функциям Бесселя /Дх) первого рода, после преобразования получим:

(1.5)(1.5)9(©) = 9/©)П Е z'дП^^^^ехрОЕ^^)/’ Ks=-=\(

(1.5)

(1.5)

П=ППП. Z=ZZZ> e=l№ ч-Цк„

S n=l mn=lpn=l S n=4 mn=l p„=ln=lS

где 9g (co) есть g-мерная характеристическая функция шума g(f); nz означает

S Ks

^-кратное суммирование. Искомое g-мерное ДРВ получается применением к (1.5) обратных трансформант Фурье, причем сначала удобнее записать 7Дх) на интервале (-л, л) в интегральной форме. Тогда после преобразования имеем:

лад-р^п Z i* УТ(ПП5<1*sinxs + g, + Z,)exp(z£A^s)\x

5 Ks=-»-^\ n m„ pnSJ

1 ”

X exp(-zE Ks Xs) P[ dxs, 8(x) =— j exp(±zox)c&.(1.6)

s s2л

Отсюда следует, что плотность является существенно негауссовой и нестационарной (зависит от времени). Более простая формула для ДРВ получается заменой ys = As sin xs и использованием фильтрующего свойства дельта-функции, что сокращает количество интегралов до q - g;

/ ^ \^2оо №<)- - ПЕГИ,\к/ S К$-0 S/ ^ \^2оо №<)- - ПЕГИ,\к/ S К$-0 SПсоз^ф/}...^ A-s4Z,-g,-P^ys)

/ ^ \^2оо

№<)- - ПЕГИ,

\к/ S К$-0 S

/ ^ \^2оо

№<)- - ПЕГИ,

\к/ S К$-0 S

8-1р„=1.

(1.7)(1.7)^s=o;

(1.7)

(1.7)

ks*o.

где Тк(х) - полиномы Чебышева первого рода. Предполагая статистическую независимость процессов, модулирующих фазы АФМП в (1.3), от процессов, модулирующих амплитуды АФМП и аддитивных шумов, после усреднения и использования формулы Эйлера cos а = (е'а + е"'а) ■ 2Ч, получаем:

(1.8)(1.8)Псоз^Ф, \ = г^ехрОТ,)) = 2"^(ехр(^ ^Х^Л 1 = 2"’

(1.8)

(1.8)

, S/7=17=1

где lj - элементы одностолбцовой матрицы L с q строками, равной произведению матриц К и Ф. Матрица К имеет q столбцов и I строк, причем строки содержат одни и те же элементы/Г^, которые различаются только знаками. Например, в первой строке матрицы К все элементы положительные, а в последней /-Й строке все элементы отрицательные. В группе из q строк (после первой) содержится только по одному знаку минус, во второй группе из 29 строк содержится по два знака минус и т.д. Матрица Ф является одностолбцовой с q строками, элементы которой равны:

ф.. = ®Д +У,^) + Фу +Т],(^) = ^ +П,(^)’ Уи = ЮД-^ЛО + Фр

(1.?(1.?т.е. матрица К= (К^) также одностолбцовая с q строками. Через Хч в (1.8) обозначена совместная характеристическая функция шумовых фазовых модуляций т]у, аргу

(1.?

(1.?

менты которой есть строки матрицы H=KW Одностолбцовая матрица ц имеет q строк, и X/ есть элементы матрицы Л = КУ, L = КФ, Ф = т] + V, Н = Кх\, L = Н-v К;

означае

1ем к (1.$

а интервг

L =

'1?

, к =

■ ^pNMs

, Ф^

' Фп '

, П =

, V =

' v„ >

■ (19)

<4 >

Pnmn

‘ ~^PpMN у

ф

k PnMn >

v

к PnMn >

Из полученных формул следует, что даже при отсутствии статистической связи ^'^ между амплитудной и фазовой модуляциями АФМП мультипликативный характер взаимодействия АДО и созФД/) приводит к взаимозависимости всех процессов в нестацио Q_MepHbix ДРВ и характеристических функциях. Действительно, обозначая :я замене!.

и, что со /гр (ю As)\iехр(/УK&)\ = TSSUSS ,(1.10)

где 51 и 52 - подмножества множества индексов 5 из (1.5), имеем одно из достаточных условий

УУт,8и$, =yrssyuss,

S2s, s2

(1.7

v при котором многомерная плотность распадается на произведение многомерных плотностей огибающих Д и фазовых модуляций фу. Естественно, для справедливо- кую неза сти (1-19) требуется выполнение более жестких условий. До сих пор на начальные । модули Фазь1 Ф/’ от которых зависят элементы Уц матрицы У, не налагалось никаких усло- .’в™. Часто эти фазы неизвестны, и их полагают статистически независимыми рав

новероятностными в интервале (-л; л) либо нормальными с большой дисперсией. После усреднения по фу во всех формулах остаются лишь те значения Кр^ , кото-

0 8 рые в совокупности удовлетворяют уравнениям

N Р„ М„

У У У^к„м )=о,(1.И)

[зведеникр"”

□жат одш " "

в первой ЧТО ПРИВ°ДИТ к упрощениям при вычислениях. Однако многомерное ДРВ остается ’негауссовым и нестационарным (зависящим от времени). Стационарность в узком

е все эле" смысле наблюдается только тогда, когда отсутствуют детерминированные модуля- голько пс цИИ, а все ШуМОВЬ1е являются тоже стационарными в узком смысле. Если же фу не а МИНУС v случайные, то для обеспечения стационарности в узком смысле необходимо, чтобы равны:

удовлетворялось дополнительное ограничение - нормальные шумовые девиации фаз должны быть бесконечно большими.

Отметим, что для импульсных процессов формулы (1.6)-(1.8) характеризуют свойства лишь непрерывных частей плотностей, из-за чего условие нормировки уже не выполняется.

Так как (1.8) есть, по существу, смешанный момент g-го порядка векторноаддитивного ФМП (без амплитудных модуляций), получаем из (1.8):

М$ =\ПСО8^Ф5 )=

= 2-’£Л>1= 2-’£Л>1Е’МпПП^и\ п Рп тп уЕ’МпПП^и\ п Рп тп у\ S/i

= 2-’£Л

>1

= 2-’£Л

>1

Е’МпПП^и\ п Рп тп у

Е’МпПП^и\ п Рп тп у

Yg Yg

nnn^/^G^ ^o^f

и pR mn

(1.12)(1.12)G = (p„m„\ G' = (mnpn\^Цти,...,трыМкУ

(1.12)

(1.12)

Если характеристическая функция нормального нестационарного шума неизвестна, то последняя формула может оказаться полезной. Будем называть выражение (1.12) каноническим. К сожалению, все известные способы вычисления интегралов (методом стационарной фазы, дифференцированием по параметру, интегрированием по частям с использованием определения полиномов Эрмита и т.д.) не приводят к успеху, если усредняются функции Бесселя типа 1К (а + Д), особенно при условии умеренной глубины амплитудной модуляции (а > бст^). Лишь при сильной амплитудной перемодуляции ^а<Ьс^ пределы интегрирования можно положить бесконечными и воспользоваться интегральным полиномом Эрмита и известными формулами:

и + ^ + 12и + ^ + 12I 24)I 24)

и + ^ + 1

2

и + ^ + 1

2

I 24)

I 24)

, /^-.z^fn + ^ + l) Дп + К + 1, 62)

+V2ni Г .F ,7^ + 1, +...-

V 2/ \24 )

(1.13)(1.13)+ i2p^((2p+;y.\)r([ ^-,к +1,-—

(1.13)

(1.13)

V 2 Ч 24

где Дх) - гамма-функция; ^ - вырожденная гипергеометрическая функция. Последняя формула позволяет в принципе написать каноническое выражение для

(Р1Д$ (со5Лх)) в (1.5). Однако подчеркнем, что даже в случае статистически независимых и белых шумов £,р и г)р, модулирующих соответственно амплитуды и фазы АФМП в (1.3), несмотря на «размыкание» и произведение средних значений

гациизуютЮБКИ>рно-гациизуютЮБКИ>рно-1.12)еиз- гже- нте- гри- ) не нно прн «НО ~1 из- ^1.12)еиз- гже- нте- гри- ) не нно прн «НО ~1 из- ^T^\Ws / = П (7? ) ’ U = ( еХР^К5Ф8 ) = П(еХР^Ф5 \

гации

зуют

ЮБКИ

>рно-

гации

зуют

ЮБКИ

>рно-

1.12)

еиз- гже- нте- гри- ) не нно прн «НО ~1 из- ^

1.12)

еиз- гже- нте- гри- ) не нно прн «НО ~1 из- ^

\ S / S\5IS

характеристическая функция (1.5) все равно не распадается на произведение характеристических функций модулирующих процессов, ибо имеется внутренняя функциональная связь через общие аргументы и индексы суммирования. Но уже дополнительное усреднение по равновероятным фазам приводит к статистической независимости АФМП в (1.3), ибо в силу бесконечности дисперсий модулирующих шумов во всех суммах останутся только индексы: Ks = 0, так как exp(-A"so$)« О при Ks * 0 и oj -> со.

Для конкретизации и некоторого упрощения выражений рассмотрим многомерное ДРВ, равное, по определению, следующему:

жгнгр^-ж,(1-14)

\ S/

где Zs - множество генеральной совокупности случайных величин; zs - аргумент ДРВ; 5(z) - дельта-функция. Упростим дальнейшую запись формул, предположив объемы выборок из /(„-процессов одинаковыми, что позволит опустить индекс п у переменных р и т. Это никоим образом не снизит общности результатов, а может лишь увеличить общий объем выборки, поскольку потребуется дополнение меньших объемов до наибольшего. Если воспользоваться интегральным представлением дельта-функции, то из (1.14) получим

Ж7) = (2л)"х]^ J(exp(rasZj)]^exp((za^^(1.15)

SS

и, следовательно, процедурная часть остается прежней, так как формулы типа (1.6) и (1.7), ибо в косых скобках, по существу, заключена характеристическая функция

соответствующих процессов.

13)То-ЩЯ зазы13)То-ЩЯ зазы2'*, ^=0,1,^*0;2'*, ^=0,1,^*0;- ^ fl ( fl ^VK-p ^riC^ Кга, d, £ц=0 KPN=0p,n=\ \р,п=\/- ^ fl ( fl ^VK-p ^riC^ Кга, d, £ц=0 KPN=0p,n=\ \р,п=\/р-1р=1р-1р=1р-\^gn + Hxpn-zn)dxpnр='р-\^gn + Hxpn-zn)dxpnр='(1.16)(1.16)e = N + P, N>^ Р>1.e = N + P, N>^ Р>1.БИБЛ ИБИБЛ Имского госуниверситуправлмского госуниверситуправл' "КА " твенного чстем' "КА " твенного чстемРассмотрим подробнее непрерывные АФМП (1.2), обозначая через N= 0, 1,... размерность ДРВ. После (Р + А)-кратного использования формулы разложения ехр(/аЛ cos Ф) в ряд по функциям Бесселя первого родаДДх), интегральных представлений 1к(х) на интервале (-л, л) и замены переменных имеем:

13)

То-

ЩЯ за

зы

13)

То-

ЩЯ за

зы

2'*, ^=0,

1,^*0;

2'*, ^=0,

1,^*0;

- ^ fl ( fl ^VK-p ^riC^ Кга, d, £ц=0 KPN=0p,n=\ \р,п=\/

- ^ fl ( fl ^VK-p ^riC^ Кга, d, £ц=0 KPN=0p,n=\ \р,п=\/

р-1

р=1

р-1

р=1

р-\

^gn + Hxpn-zn)dxpn

р='

р-\

^gn + Hxpn-zn)dxpn

р='

(1.16)

(1.16)

e = N + P, N>^ Р>1.

e = N + P, N>^ Р>1.

БИБЛ И

БИБЛ И

мского госуниверситуправл

мского госуниверситуправл

' "КА " твенного чстем

' "КА " твенного чстем

Неудобство полученного выражения, впрочем как (1.6) и (1.7), состоит в том, что функции АДГ) и g(T) входят сложным образом, но аддитивность шума g(f) в (1.2) позволяет этого избежать, если снова воспользоваться Р раз интегральным преобразованием дельта-функции и формулой разложения в ряд функции exp(zoo4cos<P). Учитывая, что

Г, К+ п-О,О, К + и Ф О,Г, К+ п-О,О, К + и Ф О,ехр[-А(^ + «)]<& = *ехр[-А(^ + «)]<& = *1-к (*) = (-1/ 1К (х), ^ j expf^

Г, К+ п-О,О, К + и Ф О,

Г, К+ п-О,О, К + и Ф О,

ехр[-А(^ + «)]<& = *

ехр[-А(^ + «)]<& = *

после преобразований из (1.16) получим формулу для многомерного ДРВ в виде:

®® P.N Q

жо= Е-Е»=крп, q-t,

(1.17)(1.17)Кц=0 KPN =0 р,п=\<7=1

(1.17)

(1.17)

”/ ЛЛГ\/ NЛ N

ск„ = (2луЕ f-fxg(co1,...,^)mza(con^„)\exp -zEX2" ТР®^

-су\р,л=1/\ П=1/ П=1

Н = <Н_) = КЛ, к=<кдку, Е^а^л^Л)^)’ п = (%х

PNPNПп

PN

PN

, Л =, Л =PN 7PN 7, v =, v =V^/WyV^/Wy= ,Ф = (Фрп) = ^рп+Чрп) = \УрМу= ,Ф = (Фрп) = ^рп+Чрп) = \УрМу^PNy^PNy.(1.18).(1.18)

, Л =

, Л =

PN 7

PN 7

, v =

, v =

V^/Wy

V^/Wy

= ,Ф = (Фрп) = ^рп+Чрп) = \УрМу

= ,Ф = (Фрп) = ^рп+Чрп) = \УрМу

^PNy

^PNy

.(1.18)

.(1.18)

Для упрощения вычисления влияния амплитудных модуляций АДГ) можно при АМ белыми шумами, рассматривая для простоты один АФМП (Р = 1), из (1.17) с учетом (1.13) для коэффициентов СД к получить выражение

N гг<,-->■-.N гг<,-->■-.NN^„■хД^Д)£ ^ ПМ D*) > (119)^„■хД^Д)£ ^ ПМ D*) > (119)™2=0™N(N-1)=°™2=0™N(N-1)=°\Ч,Р=1\Ч,Р=1

N гг<,-->■-.

N гг<,-->■-.

N

N

^„■хД^Д)£ ^ ПМ D*) > (119)

^„■хД^Д)£ ^ ПМ D*) > (119)

™2=0™N(N-1)=°

™2=0™N(N-1)=°

\Ч,Р=1

\Ч,Р=1

(1.20)(1.20)

(1.20)

(1.20)

ч=1ч=1 p=iq,p=i

где в силу белости модулирующих шумов

f i> р = q, рч [0, p*q.

Если же белыми являются и аддитивные шумы ^Г), то характеристическая функция АД®],..., о)Д = 1 и последняя формула упрощается еще больше.

Далее будут рассмотрены случаи АМ при отсутствии шума ^(Z). В этом случае удобнее пользоваться формулой (1.17), которая при Р = 1 дает

_ оо оо N2^

№./)=£ .£ №.. ^ТДрО^ДА^к,(121)

А] =0 /С^=0 и=17=1

зобра- k' Kn

05ф)-Г/ к

. где матрицы А и Н определены в (1.17). Известно, что специальные функции

*е (Бесселя, Чебышева, Эрмита и др.), равно как характеристические, гипергеометрические и прочие, допускают полиномиальные представления типа^а^х^ . В мно- к

1.17) гомерных случаях для ДРВ получаем произведения типа

■=У-Уск к(1.23)

Iкп лА] А^ 1 NА, ..Л^ 1 /VX /

п=1 К„К^ KNК\ К^

tИменно такой вид имеют плотности вероятностей процессов с учетом различ-

? ных ограничений на нормировку, моменты произвольного порядка и т.д. Следовательно, какой бы случай ни рассматривать - импульсный или непрерывный, гаус- 1.18) совский или негауссовский, стационарный или нестационарный, векторный или скалярный - проясняется четкий физический смысл полученных формул ДРВ, являющихся, по существу, линейной формой или взвешенной линейной комбинацией при моментов произвольного порядка после усреднения произведений типа ^...х^ 7) с по всем случайным параметрам.

.19).20)каячае21).19).20)каячае21)Примеры распределения вероятностей сигналов и помех

.19)

.20)

кая

чае

21)

.19)

.20)

кая

чае

21)

Перейдем к рассмотрению примеров смеси ФМП и шума:

х^ = Л [1 + ^W + ф(0] cos(®/ + п(0 + v(0 + ф) + g^.(1.24)

Многомерная плотность вероятностей этого процесса описывается формулой (1.23). На рис. 1.1, а приведены сечения трехмерных и двумерных плотностей при условии, что Og =0,01, £, = ф = у = 0, процесс т|(/) является нормальным, с нулевым средним, дисперсией о^ = 1 и экспоненциально коррелированный: рп(т) =

-ехр(-а|т|), а = 3,1О5, ю=10'. Коэффициенты корреляций выбирались Pni2 ~ 0,74; рл13 = 0,55. Поведение плотностей сильно зависит от параметра ^^О^^-рДт)].

такими:такими:(1.25)(1.25)Формула трехмерного ДРВ содержит восемь слагаемых, и поэтому не выписывается явно (но является нестационарной и зависит от со/). Сечения плотностей вероятностей являются асимметричными, но они одинаковые и мало зависят от переменной, т.е. функции /(х1,0,х3),/(х1,х2,0),/(0,х2,х3) практически одинаковые.

такими:

такими:

(1.25)

(1.25)

Если же параметр В растет, то при В >8-10 асимметрия преобладает, разброс плотностей убывает, и они стягиваются к распределению синусоиды с равновероятной в интервале (-л, л) начальной фазой ф (см. пунктирные кривые на первом рис. 1.1,а при5 = 10). Для двумерного ДРВ из (1.21) получим выражение

(х, ^'/д):

(1.27)(1.27)

(1.27)

(1.27)

х^Дт^/Осоз!®.^ + (onZ2 + (.£, + n])(p]+A"T|(n,-A3cos[co(H/1 -Х/2) + (л-А’)ф]|,

где косыми скобками обозначено усреднение по нормальному inyMyg(Z), при ус

ловии белости которого имеем размыкание средних

малой величине дисперсии а^®0,01 влияние шума практически очень мало. Асимметрия двумерной плотности относительно оси ординат уменьшается как при В »1, так и при рп -> 0, но во втором случае сохраняется зависимость плотности вероятности от времени. Изменение переменной (в силу симметрии) плотности не сказывается, т.е. /(х2/хД совпадает с/(х,/х2), и вообще плотность мало зависит от коэффициента корреляции шума, модулирующего фазу, если 0 < рл < 0,6 . Но если рп ->1, то плотности меняются очень резко, особенно условные (рис. 1.1, б), равные /(х2/х,) = /"Чх\)/(ххх2), где одномерная плотность получается из (2.26) интегрированием по х2 в бесконечных пределах:

е вк cosA^co/j + ф)].

В отличие от двумерных, условные плотности имеют малый разброс относительно оси ординат. Существенным является то, что при pn -> 1 они стягиваются к дельта-функции. Отметим, что изменение знака коэффициента корреляции практически влияет слабо. Все плотности зависят от момента времени. Если интервал между отсчетами не кратен 2 л, точнее coAZ 2л, то кривые сглаживаются (как и при увеличении В). Еще сильнее эффект сглаживания нестационарностей наблюдается при равновероятности фазы помехи в интервале (-л, л), ибо после усреднения по Ф из (1.26) и (1.27) имеем:

f(xx,x2) = ^^d2Kl\ X.(и, -m)cos[«(®t + V, -v2)],(1.28)

л k=o ^-(X'-g^ ^-(x2-g2) /

/(x,) = (,1 -— ) , ^ («i - «) = exp(-Sn2) = exp [-o2 (1 - pn )n2 ],

Xn^-^-g^ /

dxdx1,1,K = 0;K^O.K = 0;K^O.a)a)Рис. 1.1. Плотности вероятностей ФМП: сечения трехмерной плотности (а), двумерные условные плотности (б)Рис. 1.1. Плотности вероятностей ФМП: сечения трехмерной плотности (а), двумерные условные плотности (б)

dx

dx

1,

1,

K = 0;

K^O.

K = 0;

K^O.

a)

a)

Рис. 1.1. Плотности вероятностей ФМП: сечения трехмерной плотности (а), двумерные условные плотности (б)

Рис. 1.1. Плотности вероятностей ФМП: сечения трехмерной плотности (а), двумерные условные плотности (б)

Рис. 1.2. Плотности вероятностей ФМП (а), АФМП (б), огибающей суммы АФМП и сигнала (в)

Процесс (1.24) оказывается стационарным даже в узком смысле, асимметрия и / разброс двумерных плотностей пропадают, условные плотности f^xjx^ будут /одинаковые при любом х2. Но и в этом случае достаточно ввести детерминирован/ную фазовую модуляцию v(Z), как все нарушится, ибо к аргументу (и®/) косинуса

/ добавится член n(vt -v2). К аналогичному эффекту может привести амплитудная 'модуляция.

С использованием формулы (1.27) на рис. 1.2, а построены одномерные плотно- 1 сти вероятностей ФМП при отсутствии АМ и малой (о2 = 0,2) либо умеренной х^ (о^=2) дисперсии ФМ. В момент времени о/= 0,6 косинус равен sin(T]) ~т]И), о,8 поэтому плотность близка к гауссовой при ст2 =0,2. Увеличение дисперсии (ст2 = 2) уменьшает разброс плотностей и приближает их к распределению синусоиды с равновероятной на (-л, л) начальной фазой (см. пунктирные кривые).

На рис. 1.2, б изображены одномерные плотности вероятности АФМП при 3ц/ = 0 и дополнительной АМ нормальным шумом ^(/) с дисперсией о^ =0,1, что

однако, мало влияет на нестационарность. Лишь при ст^ = 10 имеем «остациона- ренное», т.е. не зависящее от времени, распределение. Аналогичный эффект дает усреднение по равновероятной фазе, причем плотности не зависят от времени, являются бимодальными и при увеличении дисперсии АМ до о^=0,15 (т.е. при 100%-ной АМ) имеют приблизительно гауссовую форму (при ст^=0,05 глубина АМ равна ~ 50%).

^1.2.3. Статистические характеристики квадратур

Полученные выше формулы, например (1.21), определяют не только 2А-мерную плотность АФМП с шумом, но и совместную A-мерную плотность «квадратур» АФМП: {%(?) = Лсозср, у(/) = ^5шФ = ^соз(-л/2 + Ф)|.

Следовательно, если матрицу Ф в (1.21) дополнить одностолбцовой с N строками матрицей 77' = (0, - л/2, 0, - л/2,...), где штрих обозначает транспонирование, и положить все несущие частоты равными нулю (со = 0), то получим совместные N- мерные плотности квадратур в виде (1.21) при весьма произвольных случайных и (или) детерминированных АФ и ФМ. Обоснование этого факта содержится в определении (1.14). Поэтому все полученные результаты, в том числе графические, в равной мере справедливы для обеих квадратур.

^>Перейдем к рассмотрению многомерных статистических характеристик квадра

тур 7)„2=хл2+ у2. Стандартный прием заключается в использовании замены Пере

до

Менных хп = rn cos фп, уп =rn sin ф„ с якобианом |^| = PJrn в предположении стати- п=\

стической независимости квадратур. Для АФМП подобное предположение не вы-

полняется (см. (1.21)), любая пара переменных (хл,у„) является статистически или функционально связанной, и переход к независимым координатам (гл,фл) недопустимым. Поэтому рассмотрим другое решение (и = 1, N, Zn = Dn) :

Хп >1^п Уп , |я| _

8хх

8zx

ЗХ]

a, bx

0

0

Л

0...

0...

b2 ...

0

0

1 0

Уп = Чп

^Узк

^IN

0

0

0

1 ...

«=1”=1 V1^ -Z2«

8zx

^4n

Освобождаясь от свободных переменных z2n путем TV-кратного интегрирования, получим искомое TV-мерное ДРВ огибающей:

ДВх.^1а = 2^.^Гу\>[в^(1-29)

-00LJ П = 1'

где удвоение появилось из-за предположения четности 2А-мерной плотности /-- типа (1.21) относительно знака якобиана. Замена переменной ал=£>„со8фл позволяет упростить формулу (1.29):

N

/(£>,,...£)„)=2 J.. ]/-(Д sinфрДсозср,,...,£)„ sin фN,DN cosф^)П^лsigп(sinфn)^7фn. О”=1

Для конкретности рассмотрим сумму детерминированного сигнала s(/) = = Л5со8(®Г + ф^) = асо8®г-Т>8т®1, а = ^созф5, 6 = ^зтф5 и смеси АФМП и шума (1.24). Квадратуры сигнала («„,&„) складываются с квадратурами сме- си:°л=7(^+ ал )2 + (у„ + Ьп )2 . Следовательно, полученные формулы сохраняют

силу при замене (хл,ул) на (хл + ап,уп + Ьп). Например, одномерное ДРВ огибающей имеет вид:

(1.30)(1.30)fW = vl^o[С1 + £)a]) /o^sa^o^a^expf-^o^a2)^, 4 о5V 2)

(1.30)

(1.30)

откуда, в частности, выводятся известные выражения. Отметим, что формулу (1.30) можно получить иначе, если воспользоваться статистической независимостью АФМП, шума и сигнала, записать совместную характеристическую функцию, применить преобразование Фурье и перейти к полярным координатам. Рассчитанные на ЭВМ плотности (1.30) при отсутствии детерминированной модуляции (ф = у = 0) приведены на рис. 1.2, в. Параметрами кривых являются отношение сигнал/помеха q = As/ ^ и глубина АМ шумом £,(/). Сплошные кривые соответст-

и ИЛИ вуют 0%-ной АМ, а пунктирные - 100%-ной АМ. Увеличение сигнала приводит к [опус- димодальности плотностей, которая с ростом Л5 и глубины АМ сглаживается.

К аналогичному эффекту приводит увеличение аддитивного шума (og/^ =0,5) даже при уменьшении вдвое глубины АМ (пунктирная кривая соответствует 50%-ной АМ). При этом ДРВ становятся одновершинными и стремятся к известным кривым ,рэлея-Райса, а с увеличением сигнала плотности вероятностей огибающих квадра-

==,тур нормализуются.

' z2”Моделирование на ЭВМ подтвердило полученные результаты. Если разложить

функцию Бесселя /0(/)а) в ряд и воспользоваться известными формулами интегрирования, то получим формулу для начальных моментов Q-ro порядка: MQ = (d9), G = ^F<-n, -К, 1, -(1 + ^У / 4 )\ >

ШИЯ,ШИЯ,(-1)(-1)22Г(« + ^ + 1)Г(« + ^ + 1)D ^2K+2D ^2K+2K=0n=0K=0n=0K\n\ Q+2K+2 Г(К + 1)Г(и + 1)(4K\n\ Q+2K+2 Г(К + 1)Г(и + 1)(4q^ p Uq^ p UG, (1.31)G, (1.31)1.29) где Дх) - гамма-функция; Д...) - гипергеометрическая функция.1.29) где Дх) - гамма-функция; Д...) - гипергеометрическая функция.ости )S(PnN„-(0 =I и:ме-яютаю-30)30) ьюри- [ые(ИИ ше ст-ости )S(PnN„-(0 =I и:ме-яютаю-30)30) ьюри- [ые(ИИ ше ст-1.2.4. Смешанные моменты1.2.4. Смешанные моментыОтносительно моментов Мф фазовой модуляции пояснения даны при выводе формулы (1.8). Поэтому рассмотрим подробнее моменты амплитудной модуляции:Относительно моментов Мф фазовой модуляции пояснения даны при выводе формулы (1.8). Поэтому рассмотрим подробнее моменты амплитудной модуляции:\ 9=1//=1\ 9=1//=1(1.32)(1.32)Здесь Fj равно произведению элементов z-й строки матрицы F, число блоков которой равно (2 + 1), где Q - порядок смешанного момента. Число столбцов в матрице F, как и в любом блоке, одинаковое (равно Q), а число строк в каждом блоке разное и равно Cq "', где К = 1,2 есть номера блока. Элементы любой строки равны хр, и ^, причем число элементов ^, в любой строке К-го блока равно {К -1), а остальные (Q - К +1) элементы есть ц/,. Строки ZZ-ro блока различаются перестановками элементов цг и ^,, число которых равно С Д, поэтому суммарное число строк во всей матрице F равно/= 2. Усреднение в (1.32) производится по всей совокупности {^J случайных элементов, входящих в /-ую строку. Например, при 2 = 3 матрица F имеет четыре блока, по три столбца в каждом, поэтому момент равенЗдесь Fj равно произведению элементов z-й строки матрицы F, число блоков которой равно (2 + 1), где Q - порядок смешанного момента. Число столбцов в матрице F, как и в любом блоке, одинаковое (равно Q), а число строк в каждом блоке разное и равно Cq "', где К = 1,2 есть номера блока. Элементы любой строки равны хр, и ^, причем число элементов ^, в любой строке К-го блока равно {К -1), а остальные (Q - К +1) элементы есть ц/,. Строки ZZ-ro блока различаются перестановками элементов цг и ^,, число которых равно С Д, поэтому суммарное число строк во всей матрице F равно/= 2. Усреднение в (1.32) производится по всей совокупности {^J случайных элементов, входящих в /-ую строку. Например, при 2 = 3 матрица F имеет четыре блока, по три столбца в каждом, поэтому момент равенЧV2Уз"Ч52(Ч/ЧЧ^зХЧЛ52Уз51Ч>25з> (51525з X мк (/,, ?2, ?3) = 4 (7,у2у3 + у,у2 (^з) +<51ЧЧУз,52Ч^з,ЧV2Уз"Ч52(Ч/ЧЧ^зХЧЛ52Уз51Ч>25з> (51525з X мк (/,, ?2, ?3) = 4 (7,у2у3 + у,у2 (^з) +<51ЧЧУз,52Ч^з,+У1Уз (^2 ) + У2У 3 (51 ) + У. (525з ) + У2 (515з ) + Уз (5152 ) + (5525з ))+У1Уз (^2 ) + У2У 3 (51 ) + У. (525з ) + У2 (515з ) + Уз (5152 ) + (5525з ))

ШИЯ,

ШИЯ,

(-1)

(-1)

2

2

Г(« + ^ + 1)

Г(« + ^ + 1)

D ^2K+2

D ^2K+2

K=0n=0

K=0n=0

K\n\ Q+2K+2 Г(К + 1)Г(и + 1)(4

K\n\ Q+2K+2 Г(К + 1)Г(и + 1)(4

q^ p U

q^ p U

G, (1.31)

G, (1.31)

1.29) где Дх) - гамма-функция; Д...) - гипергеометрическая функция.

1.29) где Дх) - гамма-функция; Д...) - гипергеометрическая функция.

ости )S(Pn

N„-

(0 =

I и

:ме-

яют

аю-

30)

30) ью

ри- [ые

(ИИ ше ст-

ости )S(Pn

N„-

(0 =

I и

:ме-

яют

аю-

30)

30) ью

ри- [ые

(ИИ ше ст-

1.2.4. Смешанные моменты

1.2.4. Смешанные моменты

Относительно моментов Мф фазовой модуляции пояснения даны при выводе формулы (1.8). Поэтому рассмотрим подробнее моменты амплитудной модуляции:

Относительно моментов Мф фазовой модуляции пояснения даны при выводе формулы (1.8). Поэтому рассмотрим подробнее моменты амплитудной модуляции:

\ 9=1//=1

\ 9=1//=1

(1.32)

(1.32)

Здесь Fj равно произведению элементов z-й строки матрицы F, число блоков которой равно (2 + 1), где Q - порядок смешанного момента. Число столбцов в матрице F, как и в любом блоке, одинаковое (равно Q), а число строк в каждом блоке разное и равно Cq "', где К = 1,2 есть номера блока. Элементы любой строки равны хр, и ^, причем число элементов ^, в любой строке К-го блока равно {К -1), а остальные (Q - К +1) элементы есть ц/,. Строки ZZ-ro блока различаются перестановками элементов цг и ^,, число которых равно С Д, поэтому суммарное число строк во всей матрице F равно/= 2. Усреднение в (1.32) производится по всей совокупности {^J случайных элементов, входящих в /-ую строку. Например, при 2 = 3 матрица F имеет четыре блока, по три столбца в каждом, поэтому момент равен

Здесь Fj равно произведению элементов z-й строки матрицы F, число блоков которой равно (2 + 1), где Q - порядок смешанного момента. Число столбцов в матрице F, как и в любом блоке, одинаковое (равно Q), а число строк в каждом блоке разное и равно Cq "', где К = 1,2 есть номера блока. Элементы любой строки равны хр, и ^, причем число элементов ^, в любой строке К-го блока равно {К -1), а остальные (Q - К +1) элементы есть ц/,. Строки ZZ-ro блока различаются перестановками элементов цг и ^,, число которых равно С Д, поэтому суммарное число строк во всей матрице F равно/= 2. Усреднение в (1.32) производится по всей совокупности {^J случайных элементов, входящих в /-ую строку. Например, при 2 = 3 матрица F имеет четыре блока, по три столбца в каждом, поэтому момент равен

Ч

V2

Уз"

Ч

52

(Ч/ЧЧ^зХ

ЧЛ

52

Уз

51

Ч>2

5з

> (51525з X мк (/,, ?2, ?3) = 4 (7,у2у3 + у,у2 (^з) +

<51

ЧЧ

Уз,

52

Ч^з,

Ч

V2

Уз"

Ч

52

(Ч/ЧЧ^зХ

ЧЛ

52

Уз

51

Ч>2

5з

> (51525з X мк (/,, ?2, ?3) = 4 (7,у2у3 + у,у2 (^з) +

<51

ЧЧ

Уз,

52

Ч^з,

+У1Уз (^2 ) + У2У 3 (51 ) + У. (525з ) + У2 (515з ) + Уз (5152 ) + (5525з ))

+У1Уз (^2 ) + У2У 3 (51 ) + У. (525з ) + У2 (515з ) + Уз (5152 ) + (5525з ))

и зависит от всех моментов до третьего порядка включительно. Если нечетные м (2р+1\

£,) = 0 , то в матрице F остаются лишь блочные элементы с нечетны», 1=1/

номерами 2К + 1, К = О, (N -1), число столбцов прежнее - Q, но число строк блоке с номером q = 2К + 1 равно CqK , а полное число строк равно 2ЛМ. Как пок; зывает анализ момента ФМП (1.24), при усреднении по ср и отсутствии АМ (ст^ = 1 g = О, В = 1, рп = е*^) периодичность по т определяется частотой созОфТ = v(/). Пс риодичность по t более сложная, но при т = 0 всегда Л/2Ф =0,5. Поскольку момен четвертого порядка нормального шума можно представить в виде суммы трех пс парных произведений коэффициентов корреляции, то остается зависимость о (г,т,2т,3т). Момент четвертого порядка ФМП также нестационарен, но всегд М4Ф < 3/8, а в точках ОФГ = 2ли стационарен (не зависит от текущего времени Г).

Оптимальный синтез систем связи B-CDMA-3G-4G

в гауссовых коррелированных помехах

Необходимость в более общей теории и желание получить более глубокие результаты делают целесообразной следующую терминологию, описывающую целый ря; модельных ситуаций, кластеров и профилей каналов связи (КС). Взаимодействие АС с ЕС назовем активным, когда оно имеет место либо по линии визирования, либо по главным лепесткам диаграммы направленности антенн АС и ЕС. При этих условиях приходящий луч имеет максимальную интенсивность, но обратное неверно - наиболее интенсивный луч в силу многолучевого растяжения (МЛР) и возможность появления множества коррелированных лучей после переотражений от препятствий с различными отражающими электромагнитными свойствами (линии передачи электроэнергии, подстилающая поверхность типа железной крыши здания, рельсовые пути электропоездов, железобетонные отражающие строения, поверхность реки или озера при некоторых условиях и т.д.) - все это может способствовать формированию луча с максимальной интенсивностью в любом месте интервала МЛР. Такие лучи (сильные или слабые - не имеет значения) отнесем к группе пассивных лучей, которые часто принимаются боковыми лепестками антенн.

Проще всего классификацию приемных антенных систем на активные и пассивные охарактеризовать словами: все, что способствует налаживанию устойчивой радиосвязи, относится к активным системам, а любые приемные средства, способствующие формированию процедуры компенсации мешающих воздействий, - к пассивным устройствам приема. Так, например, использование в технологии ODMA ближайших абонентов к АС для передачи информации позволяет отнести этих абонентов к активным. Все это конкретизировано чуть ниже, после введения матричных массивов авто- и взаимно-корреляционных функций путем разбиения на подблоки (ячейки, подматрицы и т.п.) полезных сигналов и мешающих воздействий, что в аппаратуре относительно несложно автоматизировать.

Отметим, что в случае CDMA возникает неоднозначность: при восходящей связи от АС к БС сигналы от всех АС по необходимости являются полезными (активными). При нисходящей от БС к АС каждому из абонентов наряду с полезным сигналом поступает пачка мешающих, поэтому здесь возможны более сложные методы приема с формированием опорных компенсационных процессов в «недрах» системы обработки, хотя на самом деле канал в данном случае выполняет роль пассивного канала приема (физически ясно, поскольку полезная для взаимосвязи информации не передается).

Обратим еще внимание на одну особенность, играющую большую роль в последующем изложении: если на этапе формирования (за счет нестабильностей) или при распространении (за счет МЛР) к манипулирующей фазе добавится равновероятная на интервале (-л, л) начальная фаза ф, то результирующая фаза Ф как любого из сигналов, так и всей пачки CDMA в целом будет равновероятной (многократная свертка результата не меняет):

ОО] Л1 К-Ф1

/(Ф)= //(Ф)/(Ф-Ф)^Ф = —{/(Ф-Ф)^Ф = — J №<& = —,

-«—К-К-Ф

Наглядные физические обоснования

Перейдем к систематическому изложению теории оптимальных адаптивных алгоритмов выделения полезных сигналов B-CDMA-3G-4G на фоне остальных мешающих с учетом воздействия негауссовых и нормальных помех и пространственно-временных параметров. Рассмотрим сначала общий случай выделения массива полезных сигналов из множества помех разнообразной структуры, обозначая для конкретности через АП активные пункты приема (типа БС), через ПП - пассивные; АПС - совместную активно-пассивную систему связи и обработки, характерную, как отмечалось выше, именно для B-CDMA-3G-4G.

На рис. 1.3, а изображена совокупность полезных сигналов, смесей помех и мешающих сигналов, попадающих как в активные, так и пассивные пункты, в которых никакой обработки заранее не предусмотрено. Подобная модель справедлива как для АС, БС и в целом для БС и совокупности АС. Учтена возможность попадания (просачивания) сигнала в опорные пассивные каналы (пункты). Справа приведен граф взаимосвязи (корреляции) помех основных у и опорных х каналов, что приводит к появлению блочной матрицы корреляции К с блоками из автокорреляционных (Х^ и К^ и взаимно-корреляционных ^Кху и Кух) матричных функций различной размерности, зависящей от размерности векторов у и х, многоканальное™ каждого пункта приема, числа модулей при использовании активных или пассивных фазированных антенных решеток (ФАР) и т.д.:

СИН

Рис. 1.3. Оптимальные адаптивные алгоритмы выделения полезных сигналов: АПС (слева) с графом (справа) корреляционного массива (а); матричные алгоритмы обработки (б, в); векторная диаграмма помех и остатка У - ВХ компенсации (г)

не; те1 го.

ст<

но ол ри

Здесь у3 есть вектор-строка / -й помехи в АП; х, есть вектор-строка 7 -й помехи в ПП; индекс Т означает транспортирование. Матрица Ау соответствующей раз- ^») мерности учитывает влияние диаграммы направленности антенн АП, а матрица Ах - | диаграмм направленности антенн ПП. При использовании объемных (как и плоских) ФАР их можно «развернуть» различным образом (в строку или столбец), что учитывается при конкретизации матриц Ау иАх. При необходимости учета влияния поляризации целесообразно воспользоваться трехкоординатными проекциями (или углами Эйлера), что утроит размерность матриц Ау и Ах.

Будем далее считать, что все необходимые параметры учтены, и хотя размерно' сти всех рассмотренных матриц (в частности, строчных или столбцовых) могут быть различными, при перемножении матриц выполняется известное условие равенства строк и столбцов двух перемножаемых матриц. С учетом сказанного корреляционные блоки матрицы К имеют вид:

Кхх = {AyY{AyY^ = AyKyyA}, Кх2 = АХК^, К2Х=А2КхуА^, К22=А2КХХА^, (1.34)

т.е. корреляционные матрицы на выходе антенных систем меняются.

Естественно, что совместное рассмотрение АП и ПП приводит к использованию взаимной f(Y,X) или условной f(Y!X} многомерных плотностей вероятностей.

Теперь важное замечание: результаты, полученные в разд. 1.1, показывают, что условная плотность по сравнению с безусловной сужается. А это увеличивает надежность любых апостериорных измерений, поскольку сужается область неопределенности. И если Y -^ X (хотя бы в смысле среднеквадратичной сходимости, что влечет сходимость по вероятности), то условная плотность вероятности сходится к многомерной дельта-функции. Поясним сказанное в скалярном (и = 1) гауссовом варианте при коэффициенте корреляции г —> 1 (случай жесткокоррелированных величин, когда о2 = ст2 (1 - г2) —> 0 при г —> 1). Тогда в пределе получаем:

Отсюда следует, что входные величины х и у необходимо нормировать среднеквадратическими отклонениями ах и оу, что всегда делается практически (системы с шумовыми автоматическими регулировками усиления - ШАРУ). Кроме того, в скалярном варианте именно использование условных плотностей вероятностей математически приводит к компенсации помех как операции взвешенной разности помех со стремящейся к нулю результирующей мощностью о2 при г —> 1 и сх —> ау. Выражение для многомерной условной плотности векторов (Y,X) с матрицей (1.33) имеет вид:

f{Y 1X^(2^ ^^expLl(y-Z)T(Aw-A^'^

V det aJ

Z = my + B(X-mx\ B^K^, Nx^n„ N^n,,(1.36)

/=1/=1

D'^K^-K^K^

где my и mx - сигнальные векторы средних значений (у) и ^х).

Размерность составного вектора у равна Nx. Количество активных пунктов равно N, в каждом из которых векторы у, имеют размерности и,. Аналогично и, есть размерности векторов х, при числе пассивных пунктов L. Далее средние значения помех полагаем нулевыми ^тх = ту = 0), но формальная замена их на сигналы позволяет не только проанализировать обработку полезного сигнала (jny = 5), но и учесть просачивание паразитного сигнала через опорные пункты (тх = S).

Обратная матрица D”1 свидетельствует о сохранении нормировки, а разность у - Вх с матричным весом В указывает на наличие компенсации при отсутствии каких бы то ни было «обратных» связей, т.е. связей между остатком и опорными колебаниями, ибо отсутствует всякая корреляция между у - Вх их:

(х(у - Вх^ ^ЦЬ- Вх^ ^К^- К^К,, ^-K^Q.

Иными словами, остаток компенсации у-Вх ортогонален какх, так и Вх, т.е. процессы х и у-Вх являются взаимно обеленными. В случае жесткой корреляции (у—>х) происходит идеальная компенсация с нулевой остаточной дисперсией, матрица К состоит из единичных блоков, условная плотность стремится к многомерной дельта-функции, которая в прямоугольной системе координат (после ортогонализации) равна произведению дельта-функций (A, -N2-N,K-L);

NK

/(У/А)^8(У-А) = П5(У-^).(1-37)

1=1

Это сразу приводит к сигулярности обработки и к отсутствию ошибок измерения. Наличие пассивных пунктов позволяет получить дополнительную информацию о помехах активных пунктов. Следовательно, использование многомерной условной плотности f(Y/X) в принципе позволяет описать совместную оптимальную обработку информации обобщенной АПС, которая существенно зависит от свойств квадратной матрицы К размера (А, + А2 )2, способа разбиения матрицы К на блоки в зависимости от числа и свойств активных и пассивных пунктов и т.д. Особенно важно однозначно определять весовую обратную матрицу, что не является тривиальной задачей. Самое простое решение получается в том случае, если воспользоваться основным свойством обратной матрицы, матричные блочные элементы которой обозначим через D^ . Тогда имеем при произвольном разбиении исходной матрицы К на блоки К,. систему матричных уравнений:

(1.38)

где Е и I - единичные матрицы (по главной диагонали единицы, все остальные элементы нули), а 0 - нулевые матрицы. Последовательное исключение переменных приводит к отысканию неизвестных D^ . Например, при и = т = 2 имеем:

(1.39)

41=(V«V.

т.е. получаем сразу искомое D"x =Dn. При четном разбиении (и = т = 2N,N = 1,2,...) целесообразно производить укрупненное разбиение. Например, матрицу К размера (4x4) разбить сначала на четыре укрупненные подматрицы (2x2) с «новыми» элементами K'tj(i,j) = 1,2, и использовать затем разбиение с п = т = 2 .

Адаптивные оптимальные алгоритмы выделения сигналов B-CDMA-4G

Рассмотрим теперь центральную проблему оптимального пространственно-временного обнаружения составного вектора сигнала S, принимаемого активными пунктами на фоне узкополосных гауссовых помех У с учетом вектора помех X от пассивных пунктов, т.е. проблему синтеза оптимальной объединенной АПС обнаружения. Учитывая формулу (1.36), для обобщенного отношения правдоподобия получаем выражения

A = Zti^=Z(L^Z£L(2^ ехр^Д’1^-BxXxVq»A (L4°) /(У, A) /{Y/X}’iv /

где51=45, D^A^K^-KX^X А\ Q^A^K^A., УХ=Д¥, В^ДК^, Хх=Х, двькХ=^О;хД^\_А^П;'д"\8.

При такой записи пространственно-временной (корреляционной) матрицы Q-x, зависящей только от свойств пассивных пунктов, надо писать X, = X (хотя конечно Хх = А2Х , что учтено в Q'). Отношение сигнал/помеха на выходе двыхХ, как и оптимальный алгоритм обработки

^'nE + q_x+^4^ = S?D;4¥x-BxX^(1.41)

зависит не только от пространственно-временных параметров пассивных пунктов, но и от свойств антенных систем и матриц корреляций активных пунктов. Удвоение в (1.40) и (1.41) правой части происходит в силу того, что транспонирование не меняет скаляров, поэтому

З^О^-В^^-В^О;^.

Кроме того, оператор -Т указывает на обращение и дополнительное транспонирование обратной матрицы.

Полученные алгоритмы оптимальной АПС пространственно-временной обработки можно реализовать по-разному. Так на рис. 1.3, б, в блоке К производится либо запись в память блочной матрицы предварительно вычисленных функций корреляций (при априорной определенности относительно всех параметров), либо осуществляется текущая оценка всех необходимых функций авто- и взаимных корреляций активных и пассивных пунктов в адаптивном варианте системы. В блоке В осуществляется весовая обработка (ВХ) помех от пассивных пунктов, после чего помехи активных пунктов Y; компенсируются на выходе вычитатора. В блоке D~v происходит дополнительная обработка помех, после чего осуществляется согласованная фильтрация.

В общем случае операция компенсации помех и процедура пространственной (антенной) и временной (корреляционно-фильтровой) обработки являются едиными и неделимыми. Если является невырожденной квадратной матрицей, то существует обратная матрица и Л2Л2'1 = Е . Поэтому вспомогательный вес QTX = К"^ не будет зависеть от ^, и, следовательно, пространственно-временная обработка в оптимальной АПС не зависит от свойств антенных систем опорных пассивных пунктов (но зависит от спектрально-корреляционных характеристик опорных помех). Если же и Л, является невырожденной квадратной матрицей, то алгоритм оптимального обнаружения АПС не зависит от свойств антенной системы основных (активных) пунктов.

Итак, широко используемая в системах связи раздельная обработка пространственных и временных параметров возможна только при условии квадратичности и невырожденности матриц Л, и Л2 антенных систем объединенной оптимальной АПС обнаружения. Это является достаточным условием для того, чтобы единая обработка распалась на раздельные пространственную (в ФАР), весовую компенсационную ^Y -ВХ^ и временную (корреляционную с весом D'XS или фильтровую с весом S) обработки. На рис. 1.3, в пунктиром помечено усложнение системы обработки в адаптивном варианте.

Проанализируем свойства «остатка» компенсации. Имеем: ^Y-BXXY-BXy^K^-K^X^D^E, I^X^l^^^ ^(Y-BXXBX)^ = (^-КХ = О, ^BXQT-BX^ -В^К^ -^) = 0, ^(У-ВХХУ1 -XTBr)D-T)^D^DD-T = D~T = DX,

HKTOB, Сдвоение неHKTOB, Сдвоение нениро-обра- дится 1КЦИЙ либоL КОр- оке Вчего ; d;x ласо-ннойниро-обра- дится 1КЦИЙ либоL КОр- оке Вчего ; d;x ласо-ннойПричем последнее равенство выполняется тогда, когда К^ = К^, т.е. когда lx у^ ^ = 1^у^хп1 ^, что наблюдается для стационарных и стационарно связанных случайных векторов х„=(хш) и ук = (у^). Некоррелированность векторов Y-BX и ВХ означает их ортогональность (рис. 1.3, г). Иначе говоря, ВХ есть проекция Y па вектор X, т.е. является условной оценкой Y на X с минимальной среднеквадратической ошибкой; тогда (Y-ВХ) есть ортогональный ВХ остаток компенсации. Характерно, что вектор ВХ не является белым, причем корреляция с вектором X совпадает со взаимной корреляцией Y и X:

HKTOB, Сдвоение не

HKTOB, Сдвоение не

ниро-

обра- дится 1КЦИЙ либо

L КОр- оке В

чего ; d;x ласо-

нной

ниро-

обра- дится 1КЦИЙ либо

L КОр- оке В

чего ; d;x ласо-

нной

^ВХ(ВХ^ = к^к^ * о, {вхх^ -К^ = ^BXY\

и последнее равенство выполняется для симметрической матрицы К^ = К^, когда

ины-ины-Отметим, что ортогонализация не эквивалента обелению (диагонализации матрицы корреляций К), поскольку для диагонализации необходима и достаточна нормальность матриц: XXх = XхК. Это является более жестким условием, чем симметрия, и требует выполнения равенств (xnjxmj ^ = (xm/xny ^ для любых значений индексов.

ины-

ины-

о су-гка в шых : по-1 оп- шыхнст- ги и >нойобщи- ю с5ра-о су-гка в шых : по-1 оп- шыхнст- ги и >нойобщи- ю с5ра-Е,Е,

о су-

гка в шых : по-

1 оп- шых

нст- ги и >ной

об

щи- ю с

5ра-

о су-

гка в шых : по-

1 оп- шых

нст- ги и >ной

об

щи- ю с

5ра-

Е,

Е,

Эффективность систем выделения сигналов B-CDMA-4G

Теперь перейдем к отысканию характеристик эффективности обнаружения алгоритмом (1.41). Поскольку(у) = ^^ = 0, то для среднего значения и дисперсии случайной величины на выходе при отсутствии и наличии сигнала получаем соответственно:

(Хо) = 0, о2 = (Х^ ) - STD~TS = (X,) = STD"VS = о2 = 2?вых,(1.42)

где предположена симметрия матрицы D~x и согласованность антенных матриц 44' = Е (в противном случае выражения весьма громоздкие).

Поскольку все матричные операции пространственной и компенсационнофильтровой обработки в (1.40) линейные, то нормальность входных векторов помех сохраняется и на выходе. Поэтому случайная величина X распределена нормально как при отсутствии сигнала с параметрами ^Хо^,Со), так и при наличии сигнала с параметрами ^Xj,a2). Используя критерий Котельникова-Зигерта, для вероятности ложной тревоги (Р„ = P0,i = 0) и вероятности правильного обнаружения ^о 5 ^) получаем выражения

№raVexp< (k-^ Ъх = 1-фГХп~^Д z = 0,1,(1.43)

гДе Ф(х) - табулированный интеграл вероятностей. Эффективность обнаружения объединенной активно-пассивной системы тем выше, чем больше выходное отно-

, 2 Архипкин В.Я., Голяницкий И.А.

шение сигнал/помеха ^вых и чем больше суммарное отношение сигнал/помеха на входе ^вх = ХСТ^Х^ = М/<з\ 1 = 0,1, где М - суммарная мощность сигналов, а

<з2к = о2 (так как мощности помех выровнены нормировкой). Даже при относительно небольших коэффициентах корреляции отношение q = ^вых /^вх < Nn, т.е. растет как с увеличением объема выборок и, так и N - числа пунктов приема, но все мед. леннее. С формальной точки зрения прямоугольные матрицы в (1.40) можно дополнить до квадратных введением фиктивных переменных, которые затем полагаются равными нулю. Можно сразу положить большинство фиктивных переменных нулевыми, но так, чтобы определители не равнялись нулю. Полезно заметить, что при реализации на ЭВМ нуль есть число, которое надо запомнить, обработать, переадресовать, на что также уходит машинное время. Поэтому не всегда оправданной является раздельная обработка - пространственная, а затем компенсационнофильтровая, хотя подобная декомпозиция часто приводит к упрощению реализации оптимальных алгоритмов.

Оптимальные системы обработки сигналов B-CDMA-4G при негауссовых помехах

Теперь рассмотрим подробно случай негауссовых помех. В этом варианте аналитические трудности резко возрастают. Однако анализ достаточно общего выражения (1.7) многомерной плотности вероятности АФМП показывает, что многомерную плотность вероятностей можно записать в матрично-векторном виде:

оо ооN2n

яу,о= L-Sx, (с^, Хк -ndK„rNHWiXAx^(i-44)

К х=0 Кц=0п=1;=1

где мультииндекс К = (KV..KN), функция Хк определяется фазовой модуляцией АФМП, Ск определены в (1.19), а усреднение ведется по параметрам амплитудной модуляции. Следовательно, суммы по К можно, что очень важно, обрезать и перейти к матричной записи/(У,/) = ^СТ^Х, где X есть вектор-столбец. Поскольку рассматривать отношение матриц неудобно, то запишем коэффициент правдоподобия в виде

Х = /(У-б',^)-Лп/(У,^) = 2тх^0, ZT = <С(У-5,^)-С(У,^))т = ZX-Z2T. (1.45)

теристт активн и филь го сигиX = ST;где не! ние мс дискре совски АФМГ вариагЖСприче! мости МуЛЬТ! наружX = Xjx=s3Ра одног упроиХ = 1пННЫХ f налы гласо отсут нару? корр< МИТС! нелш2«;теристт активн и филь го сигиX = ST;где не! ние мс дискре совски АФМГ вариагЖСприче! мости МуЛЬТ! наружX = Xjx=s3Ра одног упроиХ = 1пННЫХ f налы гласо отсут нару? корр< МИТС! нелш2«;Оптимальная система обнаружения сигнала S на фоне негауссовых помех состоит из нелинейно-инерционного блока ZT компенсационного типа с матричным накопителем X, результат которого сравнивается в компараторе с нулевым порогом. В адаптивном варианте системы (рис. 1.4, а) необходимо оценивать многомерные совместные плотности вероятности /(У,Х). Необходимо также оценивать харак-

теристт активн и филь го сиги

X = ST;

где не! ние мс дискре совски АФМГ вариаг

ЖС

приче! мости МуЛЬТ! наруж

X = Xj

x=s3

Ра одног упрои

Х = 1п

Н

НЫХ f налы гласо отсут нару? корр< МИТС! нелш

2«;

теристт активн и филь го сиги

X = ST;

где не! ние мс дискре совски АФМГ вариаг

ЖС

приче! мости МуЛЬТ! наруж

X = Xj

x=s3

Ра одног упрои

Х = 1п

Н

НЫХ f налы гласо отсут нару? корр< МИТС! нелш

2«;

еха на шов, аитель. растет е мед. «о до. олага- енных ъ, что гь, пе- 1вдан- юнно- зацииеха на шов, аитель. растет е мед. «о до. олага- енных ъ, что гь, пе- 1вдан- юнно- зациимеристические функции (используя оценку плотностей) фазовой модуляции помех активных и пассивных пунктов, входящие в блок %, осуществляющий сглаживание и фильтрацию скомпенсированного процесса Z,T - Zj. В интересном случае слабо- г0 сигнала из (1.45) получаем:

еха на шов, а

итель. растет е мед. «о до. олага- енных ъ, что гь, пе- 1вдан- юнно- зации

еха на шов, а

итель. растет е мед. «о до. олага- енных ъ, что гь, пе- 1вдан- юнно- зации

X = ST%Z о, Z = grad/(r,^),

(1.46)(1.46)где нелинейный компенсационный блок превратился в градиентный, ибо приращение можно заменить производной, и появился согласованный с сигналом фильтр с дискретной импульсной характеристикой 5Т, на вход которого поступает негауссовский вектор %Z. Если же на АПС воздействует аддитивная совокупность дфМП в смеси с сигналами, то совместную многомерную плотность в матричном варианте можно записать в виде

(1.46)

(1.46)

(1.47)

лити- кения рную1.44)цией дной и пе-1льку юдо-1.45))СТО- f нагом.>ные рак-лити- кения рную1.44)цией дной и пе-1льку юдо-1.45))СТО- f нагом.>ные рак-х=%,%;,х=%,%;,■Щ ,/>(^^5)-^„■Щ ,/>(^^5)-^„(1.48)(1.48)X = 5Т[Х^,...,XP]z, Z = gradx/(T,X).Рассмотрим практически полезный пример. При наличии одного активного и одного пассивного каналов (N = L = 1) алгоритм (1.48) обнаружения слабого сигнала упрощается и может быть строго получен прямо из отношения правдоподобия:X = 5Т[Х^,...,XP]z, Z = gradx/(T,X).Рассмотрим практически полезный пример. При наличии одного активного и одного пассивного каналов (N = L = 1) алгоритм (1.48) обнаружения слабого сигнала упрощается и может быть строго получен прямо из отношения правдоподобия:/У ~Sl')f(xily,°-\1— "— 7L №) + °W - Yt ]/У ~Sl')f(xily,°-\1— "— 7L №) + °W - Yt ]КуУК^У?)КуУК^У?)Xn=lnAn+^g Z(y) = --^-ln/O), a(r) =2dyXn=lnAn+^g Z(y) = --^-ln/O), a(r) =2dy,2— = У№,2— = У№(1.49)(1.49)На рис. 1.4, б изображен алгоритм обнаружения, состоящий из двух параллельных нелинейного Z и линейного компенсационного (с весами а и у) блоков, сигналы на выходе которых суммируются и результирующий сигнал поступает на согласованный с ним фильтр и пороговое устройство (ПУ) с порогом Хп = Хпор. При отсутствии компенсации (а = у = 0) получаем известную схему оптимального обнаружителя из нелинейности и согласованного фильтра (СФ). Если коэффициент корреляции г помех основного (активного) и опорного (пассивного) каналов стремится к единице, то а > у -> оо, вес линейного канала значительно превышает вес нелинейного. Наоборот, при г -> 0 практически «работает» только линейный канал.На рис. 1.4, б изображен алгоритм обнаружения, состоящий из двух параллельных нелинейного Z и линейного компенсационного (с весами а и у) блоков, сигналы на выходе которых суммируются и результирующий сигнал поступает на согласованный с ним фильтр и пороговое устройство (ПУ) с порогом Хп = Хпор. При отсутствии компенсации (а = у = 0) получаем известную схему оптимального обнаружителя из нелинейности и согласованного фильтра (СФ). Если коэффициент корреляции г помех основного (активного) и опорного (пассивного) каналов стремится к единице, то а > у -> оо, вес линейного канала значительно превышает вес нелинейного. Наоборот, при г -> 0 практически «работает» только линейный канал.причем последнее выражение справедливо при условии статистической независимости всех Р компонентов совокупности АФМП, а каждый индекс есть сложный мультииндекс (тип Кр = (КР ,..., Кр ) в скалярном варианте). Тогда алгоритмы обнаружения в случае произвольного и слабого сигналов равны соответственно:

лити- кения рную

1.44)

цией дной и пе-

1льку юдо-

1.45)

)СТО- f нагом.

>ные рак-

лити- кения рную

1.44)

цией дной и пе-

1льку юдо-

1.45)

)СТО- f нагом.

>ные рак-

х=%,%;,

х=%,%;,

■Щ ,/>(^^5)-^„

■Щ ,/>(^^5)-^„

(1.48)

(1.48)

X = 5Т[Х^,...,XP]z, Z = gradx/(T,X).

Рассмотрим практически полезный пример. При наличии одного активного и одного пассивного каналов (N = L = 1) алгоритм (1.48) обнаружения слабого сигнала упрощается и может быть строго получен прямо из отношения правдоподобия:

X = 5Т[Х^,...,XP]z, Z = gradx/(T,X).

Рассмотрим практически полезный пример. При наличии одного активного и одного пассивного каналов (N = L = 1) алгоритм (1.48) обнаружения слабого сигнала упрощается и может быть строго получен прямо из отношения правдоподобия:

/У ~Sl')f(xily,°-\1

— "— 7L №) + °W - Yt ]

/У ~Sl')f(xily,°-\1

— "— 7L №) + °W - Yt ]

КуУК^У?)

КуУК^У?)

Xn=lnAn+^g Z(y) = --^-ln/O), a(r) =2dy

Xn=lnAn+^g Z(y) = --^-ln/O), a(r) =2dy

,2

— = У№

,2

— = У№

(1.49)

(1.49)

На рис. 1.4, б изображен алгоритм обнаружения, состоящий из двух параллельных нелинейного Z и линейного компенсационного (с весами а и у) блоков, сигналы на выходе которых суммируются и результирующий сигнал поступает на согласованный с ним фильтр и пороговое устройство (ПУ) с порогом Хп = Хпор. При отсутствии компенсации (а = у = 0) получаем известную схему оптимального обнаружителя из нелинейности и согласованного фильтра (СФ). Если коэффициент корреляции г помех основного (активного) и опорного (пассивного) каналов стремится к единице, то а > у -> оо, вес линейного канала значительно превышает вес нелинейного. Наоборот, при г -> 0 практически «работает» только линейный канал.

На рис. 1.4, б изображен алгоритм обнаружения, состоящий из двух параллельных нелинейного Z и линейного компенсационного (с весами а и у) блоков, сигналы на выходе которых суммируются и результирующий сигнал поступает на согласованный с ним фильтр и пороговое устройство (ПУ) с порогом Хп = Хпор. При отсутствии компенсации (а = у = 0) получаем известную схему оптимального обнаружителя из нелинейности и согласованного фильтра (СФ). Если коэффициент корреляции г помех основного (активного) и опорного (пассивного) каналов стремится к единице, то а > у -> оо, вес линейного канала значительно превышает вес нелинейного. Наоборот, при г -> 0 практически «работает» только линейный канал.

Рис. 1.4. Оптимальные алгоритмы обработки: неадаптивный (слева) и адаптивный (справа) в негауссовой АФМП (а) и адаптивная АПС при широкополосных АФМП (6)Рис. 1.4. Оптимальные алгоритмы обработки: неадаптивный (слева) и адаптивный (справа) в негауссовой АФМП (а) и адаптивная АПС при широкополосных АФМП (6)

Рис. 1.4. Оптимальные алгоритмы обработки: неадаптивный (слева) и адаптивный (справа) в негауссовой АФМП (а) и адаптивная АПС при широкополосных АФМП (6)

Рис. 1.4. Оптимальные алгоритмы обработки: неадаптивный (слева) и адаптивный (справа) в негауссовой АФМП (а) и адаптивная АПС при широкополосных АФМП (6)

Если же помеха нормальная, то Z(y) + ау = у(1-г2) и обнаружитель сводится к линейному, изображенному на рис. 1.5, а. Вероятность правильного обнаружения тем выше, чем больше q (см. (1.43)):

Л М «z') + a)2

<7., Ч„ °?а2+2а(Д7)-2г(^2)+а’

(1.50)(1.50), dZ(y) 2 _/7i\ /7\2

(1.50)

(1.50)

z.—-MzWb

Опуская громоздкий анализ первых и вторых производных q(/), укажем только, что при негауссовой помехе существует не более трех экстремумов, величины и расположение которых зависят от вида нелинейности, коэффициента корреляции г и параметров схемы. При гауссовой помехе экстремумов нет, Рю тем выше (и круче растет с увеличением qBX\ чем ближе коэффициент корреляции г к единице (рис. 1.5, б).

Рис. 1.5. Оптимальный адаптивный компенсатор-обнаружитель в нормальной белой помехе (а) и характеристики обнаружения (6)

Выводы

Итак, в главе 1 сделано следующее:

Получены многомерные совместные плотности вероятностей векторных совокупностей сигналов радиосвязи B-CDMA-3G-4G.

Рассмотрено много примеров реальных сигналов и помех, подтверждающих су- рава) щественную негауссовость и нестационарность сигналов связи и помех.

Изучены статистические характеристики квадратур, показывающие негауссовость распределений квадратур и их нормализацию при увеличении мощности сигналов.

тся к

:ения 4. Изучены смешанные моменты АФМП и доказана нестационарность моментов любого порядка.

Решена проблема синтеза оптимальных адаптивных систем связи B-CDMA-3G-4G в гауссовых коррелированных помехах и доказано существование и высокоэффективных процедур компенсации мешающих сигналов и помех.

1.50). п

о. Решена теоретическая проблема оптимального выделения сигналов связи B-CDMA-3G^1G на фоне негауссовых помех с эффективными процедурами ком- голь- пенсации.

ны и

1и г Полученные результаты исследований являются базой для синтезирования оп- руче тимальных адаптивных алгоритмов выделения сигналов на фоне коррелированных нице гауссовых и негауссовых помех сигналов B-CDMA-3G, заложенных в структуру систем фиксированной связи «СТС-Исток» и будущих модификаций.

Глава 2

СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ \ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ B-CDMA-3G

ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»

Введение в проблему

В этой главе продолжается теоретический синтез оптимальных алгоритмов систем радиосвязи В-CDMA; исследования сконцентрированы на цифровых системах третьего поколения с максимальной степенью детализации оптимальных алгоритмов обработки сигналов и их модификаций с компенсацией мешающих сигналов в пачке B-CDMA-3G.

Особенности аппарата синтеза оптимальных адаптивных систем радиосвязи B-CDMA-3G, на который сильнейшим образом влияет цифровая система сигналов, заставляют развивать, по сути, новый аппарат исследования случайных дискретноцифровых сигналов связи.

Из методологических соображений сначала излагается наиболее простой подход, основанный на полученной в гл. 1 формуле (1.40); затем развивается метод анализа статистических характеристик цифровых сигналов и на базе полученных результатов синтезируются оптимальные цифровые алгоритмы обработки сигналов B-CDMA-3G. После этого рассматривается более общий и трудный случай синтеза алгоритмов с использованием гауссова функционала вероятностей (цифровые сигналы на фоне коррелированных или собственных шумов) и наиболее общий подход с применением всей статистики массивов сигналов В-CDMA, приводящий к наиболее эффективным алгоритмам обработки. В завершение приводятся оценки и результаты сравнения оптимальных и известных (классических) компенсаторов помех, показывающих необычайно высокую эффективность оптимальных процедур компенсации (при некоторых условиях).

Оптимальные алгоритмы выделения полезных сигналов B-CDMA-3G с компенсацией помех и мешающих сигналов на фоне гауссовых помех

СИН .—вес' тая огр: ста) доп пах для текг пом раш лез!мат]7 =Х =D =К^Р.-КРм-(V,Ф(гпом< жет обоз ОДИ! усре НИИ,СИН .—вес' тая огр: ста) доп пах для текг пом раш лез!мат]7 =Х =D =К^Р.-КРм-(V,Ф(гпом< жет обоз ОДИ! усре НИИ,Теория статистических решений (TCP) позволяет [33-35] оптимизировать прием. Поскольку приемная аппаратура системы связи CDMA считается заданной и из-

СИН .—

вес' тая огр: ста) доп пах для текг пом раш лез!

мат]

7 =

Х =

D =

К^

Р.-

К

Рм-

(V,

Ф(г

пом< жет обоз ОДИ! усре НИИ,

СИН .—

вес' тая огр: ста) доп пах для текг пом раш лез!

мат]

7 =

Х =

D =

К^

Р.-

К

Рм-

(V,

Ф(г

пом< жет обоз ОДИ! усре НИИ,

рестной, опустим рассмотрение трактов СВЧ, гетеродинов, преобразователей, считая их линейными, что справедливо при умеренной мощности сигналов CDMA, и ограничимся диапазоном ПЧ или видеочастот. Поскольку основной интерес представляет пик сжатого сигнала и несколько ближайших чипов, то достаточно правдоподобной будет гипотеза нормализации помеховых сигналов CDMA в этих чи- дах, за исключением одного из них, являющегося полезным (информационным) для данного коррелятора или согласованного с ними фильтра. В целом отсюда вытекает возможность синтеза оптимальной системы выделения сигналов S на фоне помех X и мешающих сигналов в предположении гауссовости их многомерных распределений вероятностей. Используем сразу алгоритм (1.40) обнаружения X полезного сигнала В-CDMA, который после естественного однократного разбиения матричного корреляционного массива К имеет следующий вид:

Z = (Z = (ютем ■емах эрит- тов в:вязи 1Л0В, :тно-под- етод 1НЫХ адов деза сиг-1ХОД ибо-репо-=ДУРютем ■емах эрит- тов в:вязи 1Л0В, :тно-под- етод 1НЫХ адов деза сиг-1ХОД ибо-репо-=ДУРx=sTD-\y-BX) xnop,x=sTD-\y-BX) xnop,l^21l^21^12^22 >^12^22 >Qf,x? \Qf,x? \D = KU-BK1X, В = кхгк-^ xxx=^\ Ки=^\Кгх = (АУТ ), K^ = (ЛТт ), det Кгг =| К.^ |# 0, | D |# 0,D = KU-BK1X, В = кхгк-^ xxx=^\ Ки=^\Кгх = (АУТ ), K^ = (ЛТт ), det Кгг =| К.^ |# 0, | D |# 0,1==—ехр — 2ла1==—ехр — 2ла2a22a2dX = \-q>dX = \-q>/1 ^nop. О/1 ^nop. О(2-1)(2-1)(Xo) = (X(S = O)) = O, o2(Xo) = (X(S = O)) = O, o21 =—ехр — 2ла1 =—ехр — 2ла2a22a2dX =1 - фdX =1 - фMMMMaa(М = (Х^ * 0)) = S^S = 29вых, qBX - STS/o2, i ( х2 АФ(г) = — [ехрdx, Р = Рт + Р» Рт.2л 2 ( 2 )° пр " пр(М = (Х^ * 0)) = S^S = 29вых, qBX - STS/o2, i ( х2 АФ(г) = — [ехрdx, Р = Рт + Р» Рт.2л 2 ( 2 )° пр " прy^x*S, S^Q, S^ =^SX,...,SE\ Ут=(^

Z = (

Z = (

ютем ■емах эрит- тов в

:вязи 1Л0В, :тно-

под- етод 1НЫХ адов деза сиг-

1ХОД ибо-

репо-

=ДУР

ютем ■емах эрит- тов в

:вязи 1Л0В, :тно-

под- етод 1НЫХ адов деза сиг-

1ХОД ибо-

репо-

=ДУР

x=sTD-\y-BX) xnop,

x=sTD-\y-BX) xnop,

l^21

l^21

^12

^22 >

^12

^22 >

Qf,x? \

Qf,x? \

D = KU-BK1X, В = кхгк-^ xxx=^\ Ки=^\Кгх = (АУТ ), K^ = (ЛТт ), det Кгг =| К.^ |# 0, | D |# 0,

D = KU-BK1X, В = кхгк-^ xxx=^\ Ки=^\Кгх = (АУТ ), K^ = (ЛТт ), det Кгг =| К.^ |# 0, | D |# 0,

1

==—ехр — 2ла

1

==—ехр — 2ла

2a2

2a2

dX = \-q>

dX = \-q>

/1 ^nop

. О

/1 ^nop

. О

(2-1)

(2-1)

(Xo) = (X(S = O)) = O, o2

(Xo) = (X(S = O)) = O, o2

1 =—ехр — 2ла

1 =—ехр — 2ла

2a2

2a2

dX =1 - ф

dX =1 - ф

MM

MM

a

a

(М = (Х^ * 0)) = S^S = 29вых, qBX - STS/o2, i ( х2 А

Ф(г) = — [ехрdx, Р = Рт + Р» Рт.

2л 2 ( 2 )° пр " пр

(М = (Х^ * 0)) = S^S = 29вых, qBX - STS/o2, i ( х2 А

Ф(г) = — [ехрdx, Р = Рт + Р» Рт.

2л 2 ( 2 )° пр " пр

[ем.из-[ем.из-Здесь Z- входная смесь при отсутствии и наличии сигнала на входе (S # 0), Y - помеха по основному каналу приема, X - помеха по опорному каналу, которая может состоять из суммы п процессов, произвольно коррелированных с Y. Буква Т обозначает транспонирование исходных векторов-столбцов, размерности которых одинаковы и совпадают с базой Б сигнала. Косыми скобками условно обозначено Усреднение по множеству реализаций (по ансамблю) всех векторов в предположении, что все средние значения равны нулю: (У) = ^Х') = 0. Тогда матричный корре-

[ем.

из-

[ем.

из-

ляционный массив К равен среднему по ансамблю произведению составного вектора помех на транспонированный (У,Х)Т = (YJ ,XJ), что немедленно приводит к разбиению (расщеплению) массива К на четыре блока (подматрицы) KtJ,(j,j) = 1, Блоки Кх, и К22 помех У и X, соответственно, квадратные, но разной размерности: Б1 и (пБ)2. Диагональные блоки А"12 и К2Х совсем необязательно квадратные, но непременно согласованные с другими по числу строк и столбцов, что в данном случае всегда имеет место.

Рис. 2.1. Оптимальный компенсатор-обнаружитель на фоне гауссовых помехРис. 2.1. Оптимальный компенсатор-обнаружитель на фоне гауссовых помех2-П] кгXXСос ж в?м и н в:к Т п Г н лб2-П] кгXXСос ж в?м и н в:к Т п Г н лбОтметим, что матричная дихотомия (деление на два) может быть продолжена и дальше, но уже с целью упрощения реализации алгоритма на ЭВМ. Однако целесообразнее использовать более эффективные триангуляционные методы разбиения на блоки. Матричный алгоритм X «прочитывается» справа налево и изображен на рис. 2.1. Матрица В есть вес опорных помех X, вычитаемых из помех У основного канала, чем, собственно, и осуществляется компенсация помех. Далее осуществляется весовая матричная обработка D~v, т.е. матрицей, обратной D, именно поэтому требуется, чтобы определитель (детерминант) |D| был отличен от нуля, как и l^ | * 0 обращаемой подматрицы К22 . Затем следуют СФ, согласованный с сигналом 5Т, и пороговое устройство с порогом Хпор для вынесения решения. При отсутствии сигнала на входе возможна ошибка 1 -го рода типа ложной тревоги (ложного обнаружения) с вероятностью Рт, вычисленной в предположении нормализации случайной величины Хо, поэтому для расчета достаточно двух параметров - среднего значения (Хо) = 0 и дисперсии а2. При наличии сигнала на входе (Б * 0) возможна ошибка 2-го рода типа пропуска сигнала с вероятностью Р - 1 - Рп0, где Рп0 - вероятность правильного обнаружения сигнала, Ф(х) - табулированный интеграл вероятностей. Обычно Рпт < Р, поэтому стандартная в теории связи вероятность ошибки Pn« Р", q2- есть отношение сигнал/помеха по мощности на выходе алгоритма, qx = qBX - на входе, причем вычисление qx обычно осуществляется на фоне собственного шума с дисперсией Су.

Рис. 2.1. Оптимальный компенсатор-обнаружитель на фоне гауссовых помех

Рис. 2.1. Оптимальный компенсатор-обнаружитель на фоне гауссовых помех

2-

П] кг

X

X

С

о

с ж в?

м и н в:

к Т п Г н л

б

2-

П] кг

X

X

С

о

с ж в?

м и н в:

к Т п Г н л

б

ПАВА 2 о век- >дит к /) = 1. герно- ггные, ином:ена и лесо- ия на зн на эвно- ;еств- о по- как и агна- гсут- мого ации:ред- воз- Рпо- грал ость коде я наПАВА 2 о век- >дит к /) = 1. герно- ггные, ином:ена и лесо- ия на зн на эвно- ;еств- о по- как и агна- гсут- мого ации:ред- воз- Рпо- грал ость коде я наРазличные примеры обнаружителей

ПАВА 2

о век- >дит к /) = 1. герно- ггные, ином

:ена и лесо- ия на зн на эвно- ;еств- о по- как и агна- гсут- мого ации

:ред- воз- Рпо- грал ость коде я на

ПАВА 2

о век- >дит к /) = 1. герно- ггные, ином

:ена и лесо- ия на зн на эвно- ;еств- о по- как и агна- гсут- мого ации

:ред- воз- Рпо- грал ость коде я на

При отсутствии опорной помехи X и компенсации из (2.1) автоматически получаем классический алгоритм:

Х = 0: КХ2= К2х=0, В = 0, D = Kn^0, det^„ *0,

х^Х/к^, q2 = ^vх^Х/к^, q2 = ^v(2-2)(2-2)С=^№т) = ^ Ки-К;? = ЕК^=к^, ки = ^\

х^Х/к^, q2 = ^v

х^Х/к^, q2 = ^v

(2-2)

(2-2)

аггаггОтсюда следуют три полезных для дальнейшего вывода:

а

гг

а

гг

Во-первых, если входной шум небелый, то, как показывает матрица С Ф диаг.(Оо), никакого обеления шума на выходе любого СФ не происходит; если же входной шум белый и стационарный с диагональной матрицей а^ (где Е - единичная матрица с единицами по главной диагонали и нулями во всех остальных местах), то С-1 = диаг. о"2; если же шум белый и нестационарный с разными дисперсиями а2 по главной диагонали, то С”1 = Кхх = диаг. а”2. Это физически поясняется тем, что обеляющий фильтр неизбежно искажает входной сигнал, «размазывая» его мощность в широкой полосе частот, и никакого выигрыша нет.

Во-вторых, гораздо эффективнее использовать и излучать сигналы типа KXXS, коль скоро матрица узкополосного шума Ки все равно предполагается известной. Тогда отношение сигнал/шум будет максимальным и равным STS/Gg, так как дисперсия собственного шума аппаратуры учитывается лишь в полосе частот сигнала. Практически так не делают по той простой причине, что незначительные изменения входного шума могут сильно изменить матрицу Кхх, что потребует менять излучаемый сигнал; это оправдано только в адаптивных системах.

В третьих, закон сохранения энергии показывает, что и при сжатии сигналов с базой Б и амплитудой А

Эт=ТхАгТ~Т\АгТ& = Г\Э^ Т = ТБ, (2.3) где I - длительность всего шумоподобного сигнала (ШПС) или ПСП; Тч - длительность чипа; Эч - его энергия. Множитель 2-1 появился из-за высокочастотного заполнения сигнала, и без всякого ущерба может быть опущен. Следовательно, если оценивать дисперсию шума в полосе частот сигнала на входе и выходе, то ?2 = 91 в полном соответствии с законом сохранения. Подчеркнем, что попытки вычисления энергии шума ничего не дают, а только приводят к трудно разрешимой проблеме сосуществования и очередности временного (с помощью интегратора) осреднения и строгого усреднения по множеству реализаций.

Теперь рассмотрим другой крайний случай - идеальной компенсации, когда вес В = Е, ¥ = Х, помеха полностью компенсируется, матрица D = 0, по порядку ве-

личин 8Т8 -> оо, Ро=0, Рпо = 1. Во избежание сингулярных (вырожденных и, еле. довательно, нереальных ответов) учтем шум, возникающий при измерении блоков матрицы корреляций К, как это показано пунктиром на рис. 2.1 в адаптивном вари, анте при априорной неизвестности корреляционного массива. Полагая шумы ддя простоты записи стационарными с дисперсиями а2 и добавляя их попросту к диагональным элементам всех подматриц, получаем (строгий вывод потребовал бы значительно больших усилий, ничего не меняя по существу):

^И=диаг. af, ^12=диаг. a2, ^21 =диаг.а2, ^22=диаг. а4,

В = Е, D = диаг. af -

СТ4

, X^D^X,

/2

(a,a4 -a2a3

00,

STS^=q„,

диаг. (о,2), диаг.(оо),

О^ ^2^3 ’

.2

(2.4)

^1^4^2^3’

На рис. 2.2 изображены кривые зависимости вероятности ошибок Ро при наличии и отсутствии (В = 0) компенсации от отношения сигнал/помеха (С/П) qm.

Рис. 2.2. Показатели качества оптимальной и неоптимальной (В = 0) обработок в виде зависимости вероятности ошибки первого рода от отношения С/П = qBX '

«ус' диа чес' обы нал.

рЯ31 быт ком диа про «в ни» М™ хот

Ст[ риг прг что прг рас еле

роз Toi

К.

в-

D"

Последняя из формул (2.4) поясняет появление и устойчивость очень высоких показателей качества обработки, ведь а2 обычно значительно превосходит осталь-Ус

ные дисперсии из-за большой вычислительной работы при обращении матрицысо

К22 и накопления ошибок. Но любая из дисперсий а2 на порядок меньше мощностей входных помех Y и X; кроме того, строгий громоздкий вывод (опускается) приводит к неожиданной на первый взгляд корреляции остатков шумов, что делает

и, еле. )ЛОКоВ 1 вари. :ы Для к Диа. ал быи, еле. )ЛОКоВ 1 вари. :ы Для к Диа. ал бы(2.4)(2.4)«устойчивость» равенства а,а4 = а2а3 проблематичной во всем широкополосном диапазоне условий работы алгоритма (2.1). Однако в любом случае показатели ка- цества обработки сигналов по алгоритму (2.1) несоизмеримо выше показателей обычных систем без компенсации помех, эквивалентное снижение отношения сиг- нал/помеха не менее 40 дБ, но только при одном существенном ограничении - развязка между каналами компенсатора должна быть не менее 45 дБ, чтобы можно было пренебречь паразитным просачиванием полезного сигнала в опорный канал кОмпенсатора. Поэтому компенсацию помех целесообразно осуществлять в СВЧ диапазоне, поскольку в современных циркуляторах развязка в 100 дБ не является проблемой. Другой путь решения проблемы - формирование опорной помехи «в недрах» системы, и именно этот вариант решения будет подробно рассмотрен ниже. Отметим также, что (2.4) указывает на существование предела при дихотомии или триангуляции матричного корреляционного массива К из-за нарастания, хотя и медленного, ошибок вычислений.

и, еле. )ЛОКоВ 1 вари. :ы Для к Диа. ал бы

и, еле. )ЛОКоВ 1 вари. :ы Для к Диа. ал бы

(2.4)

(2.4)

нали-нали-Еще один, вытекающий из (2.1) результат, будет полезен для дальнейшего. Структура алгоритма (2.1) сложна, особенно из-за необходимости обращения матриц, чего, впрочем, не избежать и при реализации классического алгоритма (2.2) при отсутствии компенсации помех. Из теории синтеза сигналов известно [18-20], что при расширении ансамбля сигналов спектры реализаций последних по разным причинам смещены и/или расширяются и для больших ансамблей имеет место расширение спектров примерно в (2,5-3) раза. Этот факт делает целесообразной следующую постановку задачи.

нали-

нали-

Пусть помехи основного У и опорного X каналов с дисперсиями а2 и а2 порознь белые, но взаимно-коррелированные с коэффициентом корреляции |r| < 1. Тогда из (2.1) сразу получаем:

Ки = диаг. а2, КХ2 -К2Х = диаг. o,<j2r, К22 = диаг. а2,

В = КХ2К22 = диаг. (га, / о2), D-Kxx- ВК2Х диаг. (а2 -о2г2),

(2.5)(2.5)жих аль- ицы що- тся) таетжих аль- ицы що- тся) тает= диаг. of2 (1 - г2)"‘,оо, г 1,

(2.5)

(2.5)

жих аль- ицы що- тся) тает

жих аль- ицы що- тся) тает

На рис. 2.3 изображена схема алгоритма X, состоящая из усилителей (Ус. 1 и Ус. 2) и шумовых АРУ (ШАРУ) для нормировки по мощности входных процессов, простейшего компенсатора с измерением коэффициента корреляции г (если г заранее не известен) и согласованного с сигналом фильтра СФ. На рис. 2.4 приведены кривые зависимости вероятности ошибки Рт от отношения сигнал/шум на входе, которая при г -> 1 начинает спадать все быстрее и на порядки меньше, чем

при г = О (см. пунктирную кривую). Алгоритм (2.5) легко обобщить на случай нестационарных белых нормальных помех с параметрами, которые попросту будут

зависеть от индекса суммирования и:

Рис. 2.4. Качество оптимальной и неоптимальной (г = 0) обработок в виде зависимости вероятности ошибки первого рода от отношения С/П = qBX

Второе обобщение подводит теоретическую базу под новые (с компенсацией, рис. 2.5 и практически без компенсации, рис. 2.6) системы CDMA при передаче одновременно в одной полосе частот N +1 сигналов, каждый из которых (последовательно) является полезным для одного из N +1 каналов СФ (приемных корреляторов), тогда как суммы из N остальных сигналов являются мешающими (помеховыми). Плотности вероятности (по чипам) полагаем нормальными, нестационарными и белыми по спектру.

Ча

[ет

лучай будут

(2.6)

Рис. 2.5. Обобщенная схема оптимальной обработки

Рис. 2.6. Классическая система приема сигналов CDMA

Оптимальная система В-CDMA в белых дискретных шумах

Пусть все N +1 сигналов имеют базу Б . В каждом канале сигнал равен S„, поме-

ховый сигнал в первом (условно) канале Уп = ^ 8к, к^п; синтезированный в „к=1

од- приемнике помеховый сигнал в опорном подканале Хп = £ S^,, к ^ и; штрих ука- ва-fc=i

то-Зывает лишь на то, что опорные сигналы могут отличаться от поступающих на вход

ко-По задержкам, фазам и т.д. (в идеале S^ = S^,). Тогда блок-схема (рис. 2.5) является

ар-(N + 1)-канальной (3],...,3№1 - устройства задержки сигналов), и в каждом канале

Реализуется алгоритм:

Si= <SXn...SBn\ УЦ = (Yln...YBA Xi = (ХХп...ХБД

<=№),<п=(х1хп^ (^„) = o,

(2.7)

rkn =^lna2ny'(YnXiy rn = min^,к = \,Б), n = \,N+L

Отсюда ясно, что каждый канал содержит простейший компенсатор, изображенный на рис. 2.3, и даже если в расчет принимается наименьший коэффициент взаимной корреляции гп Ф 0, то показатели качества обработки в (1 - г2)'1 раз больше в отношении сигнал/помеха, чем в используемых системах CDMA без компенсации помех, которые сразу получаются из (2.7) при гпк - 0 и Х^ = 0, (см. рис. 2.6):

15>>

XK=STnK-lSn х ,

п 2ппор * л л л лпор ”

^1 *=1<<

К'1 =диаг.(а12...а2)= °’° ° ) ,qBblx='2.qBX=2SlSjax.

0 а, )БхБ

Конечно, алгоритм (2.7) сложнее известного (2.8) - он содержит устройство задержки (3) и формирователь опорного помехового сигнала (ФОС), структура которого исследуется ниже, а также N +1 компенсатор, которые хотя и легко реализуются, но предварительно требуют измерения или вычисления коэффициентов взаимной корреляции помеховых сигналов г^ . Последние, как будет показано, близки к единице при относительно невысоких требованиях к точности синхронизации системы (порядка 0,15-1). Но зато эквивалентная емкость системы при г->1 возрастает примерно в (1-г2)-1 »1 раз по сравнению с используемыми системами CDMA, и новая система с компенсацией мешающих сигналов заслуживает тща

тельного исследования.

Схема на рис. 2.5 «шире» исходного алгоритма (2.7), поскольку изображена в адаптивном варианте, и отражает основную идею, напрямую связанную с компенсацией мешающих сигналов. Ясно, что если мешающие сигналы и их свойства известны заранее, то компенсацию можно проводить в текущем масштабе времени с гарантией получения очень высоких (при г->1) показателей качества обработки, на порядки превышающих эффективность используемых систем CDMA, изображенных на рис. 2.6.

Но на самом деле ни число абонентов связи (сигналов N), ни последовательность их появления, ни параметры (точные) заранее не известны и сначала подлежат отысканию (оценке) с целью последующего формирования в ФОС опорных помеховых сигналов и компенсацией ими присутствующих на входе приемника

(2.7)

к-

t*

эбра- щент ।

раз l без

= 0,

•8)

з за- ото- изу- вза-

13КИ ции возами ща-

ia в ген- из-

[И с

, на ен-

ль- ■ ле- ых пса

решающих сигналов. Это поясняет появление блоков запоминания и задержки 3N на длительность ПСП: Т = БТЧ, где Г - длительность чипа. Задержка на время Т и более неизбежна для выявления числа и вида воздействующих сигналов N. Отклику СФ, превысившие пороги, указывают на номера каналов или воздействующих сИгналов, что позволяет в ФОС сгенерировать эти сигналы. Их сумма как раз и яв- дяется опорной помехой - для каждого канала своя, поскольку, например, в к-м канале полезный сигнал Sk не включается в сумму опорных сигналов, а в канале п к из опорной суммы исключен сигнал Sn.

При параллельном генерировании требуемых сигналов в ФОС появляется еще одна задержка на время Т плюс еще Т для сжатия в СФ уже «очищенных» от помехи сигналов. Следовательно, общая задержка не менее ЗТ неизбежна, но это не приводит к уменьшению втрое пропускной способности системы, поскольку в единицу времени, например 1 с, даже при насыщенном трафике мала вероятность (и это будет доказано) резкого изменения ситуационной картины связи, т.е. числа абонентов и типов сигналов связи. Кроме того, в реальных условиях связи требуется много дополнительных или вспомогательных операций на идентификацию абонентов, их переадресацию в системе и т.д. Но главное - темп даже быстрой речи едва ли заметно изменяется в пределах 40 мс, поэтому при 5 = 128, Тч = 0,1 мкс имеем ЗТ = ЗБТЧ а 40 мкс и 40 мкс/40 мс = 10"3, чем можно пренебречь.

Более серьезным является следующее возражение: в классической TCP после сжатия сигнала происходит извлечение всей информации и любые последующие манипуляции неприемлемы. Это верно, если сжимается лишь один сигнал на фоне только белого шума и непременно при полной известности всех остальных параметров сигнала. Нарушение любого из перечисленных условий делает возражение неверным: например, неизвестность параметров оставляет задачу неопределенной, поскольку ответ на первый, хотя и важнейший вопрос о том, есть сигнал на входе или его нет (обнаружение), еще не дает ответа на вопросы о величине параметров без осуществления отдельной и довольно специфической процедуры их оценки.

Конечно, этих процедур с чисто теоретических позиций можно избежать, если реализовывать сколь угодно большую многоканальную систему по всем интересующим параметрам с осуществлением только обнаружения в каждом канале.

Это верно, если забыть о том, что по каждому параметру всякий раз возникают отклики сразу в нескольких каналах, близкие по величине, и немедленно встает проблема выбора между ними, а это уже - оценка и сравнение, проще всего решаемые некоей средневзвешенной процедурой, т.е. типично оценочной операцией. В CDMA характерно использование группового, точнее, пачечного сигнала из N компонент (то, что сигналы суммируются, в данный момент не имеет значения), ^пачечный сигнал требует уже совместного рассмотрения N каналов, чего в (2.9) удалось избежать только из-за предположения белости помех и продуктов их «взаимодействия» (см. подматрицы Ки и ^2i в формуле (2.5)), хотя на самом деле, строго говоря, и в этом случае функциональное взаимовлияние каналов сохраняется, что

будет строго доказано в дальнейшем, а пока для «подтверждения» сошлемся на CDMA формулу (2.4).свойств

Гораздо более серьезное возражение против схемы, изображенной на рис. 2.5,Пос:

и вообще любых адаптивных схем и процедур следующее: исходная задача явля- мерное! ется статистической, тогда как для адаптации используется детерминированный «детерм (полностью известный) генератор ПСП, содержащийся в «недрах» ФОС. Это воз- ной свя: ражение содержит как негативное (неверное), так и позитивное (верное) утвер-Из bi

ждения, тесно, впрочем, связанные друг с другом. Негативное соображение легко нечная снимается, если вспомнить, что хотя случайные процессы и описываются сово-чем, на

купностью (множеством, ансамблем) заранее неизвестных реализаций, но послетемы (i

наблюдения конкретных реализаций они становятся полностью известными, не ценою случайными.серьезн

Именно так происходит в любых статистических задачах, в том числе и в схеме на рис. 2.5: на входе ситуация полностью стохастичная и неизвестная, но по проше- 2 2 3 ствии времени Т, равного длительности сигнала ПСП или ШПС, случайность про- ' " ' падает по определению, причем неважно, сжимался ли сигнал или нет, наблюдение ^з ана над входными процессами считается совершенным.ТрИ ВЬ)

Строго говоря, подобное рассмотрение является точным только для CDMA присамбля

отсутствии на входе любых других помех и шумов, так как при t > Т и t < 0 вход-ские Х£

ная неопределенность сохраняется и на выходе из-за наличия иных помех, и с этим сигнал ничего нельзя поделать, кроме как измерять реализации от / = -оо до t = +оо, что ных си нереально. Причем если сходимость методов доказать относительно легко, то ско-Рас

рость сходимости - очень сложно, хотя именно скорость является важнейшим па- ПСП и раметром наряду с точностью (требования противоречивы) при реальных расчетах в виде на ЭВМ, а сходимость по векторному аргументу (параметрам и переменным плот-скольк

ностей вероятностей) - практически невозможно, что как раз и необходимо знатьпов и 1

при оценках в адаптивных задачах.ведет i

Несмотря на сложность проблемы ниже предпринята попытка синтеза ансамбля нию н сигналов. Надежда на успех связана с простейшей бинарностью чипов, принципи- дела. I альной перечислимостью возможных ситуаций (событий) из-за конечности базы Б,довате

что в итоге позволяет избежать утомительного перебора вслепую при поиске сиг-больш

налов с требуемыми АКФ, ВКФ, и заданным уровнем боковых лепестков. Извест- (точне ность свойств синтезированного ансамбля позволит организовать целенаправлен- висим ный перебор вариантов на ЭВМ с заранее известными вероятностями и ошибками, р-р сэкономив при этом время и средства.1

Позитивная часть возражения по поводу схемы на рис. 2.5 и вообще адаптивных

процедур являлась предметом ожесточенных дискуссий в 60-70-х годах [33-35]. Р + Р. Подробное обсуждение вопроса увело бы далеко от темы исследований, поэтому ограничимся лишь указанием на то, что адаптивность внутренне присуща не только Даже живым системам, но для достижения желаемого результата техническая систематов. Г

должна обладать необходимыми степенями свободы, анализ которых - предметзами,

специальных исследований в каждом конкретном случае (например, в У-пачечной жить

ся на2.5, явля- нныд > воз. твер. тегко DOBO- юсле и, нехеме оше- про- ение. при (ХОД- этимчто ско- I па- етах лот- нать*бля апи-ы Б, сиг- ест- иен-1МИ, ных 35]. ому ъко ема мет нойся на2.5, явля- нныд > воз. твер. тегко DOBO- юсле и, нехеме оше- про- ение. при (ХОД- этимчто ско- I па- етах лот- нать*бля апи-ы Б, сиг- ест- иен-1МИ, ных 35]. ому ъко ема мет ной(2-9)(2.Ю)(2-9)(2.Ю)

ся на

2.5, явля- нныд > воз. твер. тегко DOBO- юсле и, не

хеме оше- про- ение

. при (ХОД- этим

что ско- I па- етах лот- нать

*бля апи-

ы Б, сиг- ест- иен-

1МИ, ных 35]. ому ъко ема мет ной

ся на

2.5, явля- нныд > воз. твер. тегко DOBO- юсле и, не

хеме оше- про- ение

. при (ХОД- этим

что ско- I па- етах лот- нать

*бля апи-

ы Б, сиг- ест- иен-

1МИ, ных 35]. ому ъко ема мет ной

(2-9)

(2.Ю)

(2-9)

(2.Ю)

О'"'—

СрМА использование числа каналов или СФ менее N лишает систему приема свойства адаптивности).

Поскольку фильтрация есть проектирование на подпространство меньшей размерности, то если размерности подпространства хватает для «размещения» в нем «детерминизма» системы, размытого флуктуациями, фильтровая система с обратной связью является адаптивной (пример - оптимальная CDMA на рис. 2.5).

Известно, что нет ничего практичнее хорошей глубокой теории, но все-таки конечная цель заключается в добывании конкретной численной информации. Впрочем, на практике так и поступают, предпочитая (пока!) реализовывать простые системы (пример изображен на рис. 2.6) вместо более сложных оптимальных систем ценою потерь в показателях качества, оценить которые можно только при наличии серьезной теории.

Анализ опорных сигналов систем B-CDMA-3G

Из анализа схемы квазиоптимальной CDMA, изображенной на рис. 2.5, следуют три вывода: во-первых, необходимо изучить статистические характеристики ансамбля ПСП и тем самым дать описание ансамбля; во-вторых, изучить статистические характеристики откликов согласованных фильтров на воздействие мешающих сигналов CDMA; в третьих, рассмотреть подробно структуру формирователя опорных сигналов, что невозможно сделать без решения первых двух задач.

Рассмотрим здесь первую задачу, а именно статистические характеристики ПСП и ансамблей таких сигналов. Элементарный чип сначала целесообразно задать в виде прямоугольного импульса единичной амплитуды со значениями ±1, поскольку в дальнейшем придется рассматривать различные суммы комбинаций чипов и ПСП, появление нулей неизбежно и задание значения чипа в виде (0,1) приведет к сильному «перекосу» характеристик ансамблей в сторону нулей и появлению ненужной ассиметрии распределений вероятностей, не вызванной существом дела. Если база составленного из чипов ПСП равна Б, то согласно теории М-после- довательностей, в которых количество -1 равно X, количество +1 на единицу больше, а полная сумма равна 2Х + 1 = 5, получаем формулы для вероятностей (точнее, частостей) появления чипов при предположении их статистической независимости:

;;=P(+1)=£ll=l^+1Uli+J-b2 = p(-i)=^=li-J-

Б Бк 2) 2< 2BJБ 2Б

Д+Р2=1, РХ-Р2=В-1, РХР2 = ^[1-(25)’2], РХ>Р2-^Д при 5^.оо.

Даже незначительное превышение Рх над Р2 приводит к ряду интересных эффектов. При 5 -> оо чипы равновероятны, что характерно для сигналов с четными базами, и этот случай легко рассмотреть (достаточно в полученных формулах положить 5 = оо). Заметим, что формула (2.9) далеко не единственная, зависимости ве-

роятностей от базы можно задать весьма экзотически, что порождает ансамбли ШПС с необычными свойствами. Например, если задаться превышением чипов (+1) на к единиц, то при Б>к получим:

+ Р^+р2=1, Б>к, к = 0,1,2...(2.11)

2< 2Б J 2<2Б)

Для систем с переменными базами вообще вероятности Р, = (0,1) и Рг = (1,0) можно менять скачками по некоторому детерминированному или случайному закону. Система при этом будет обладать очень высокой скрытностью, но это уже из области криптографии. Теперь выведем несколько формул, которые все время будем использовать в дальнейшем. Для этого сначала запишем (2.9) в аналитическом виде:

Р(Х) = РДХ -1) + Р28(Х +1), X = ±1, 8(Х) =

оо,

0,

^ = 0,

х*о;

(2-12)

8(-Х) = 8(Х), Д + Р2=1, ]/(х)8(х-у)^ = /(у), ]б(х-у)Д = 1.(2.13)

Предпоследняя формула написана на основании фильтрующего свойства дельта-функции 8(х). Легко проверить, что плотность вероятностей Р(х) нормирована к единице и неотрицательная. Далее понадобится плотность вероятности квадрата случайной величины у = х2. Известно утверждение о том, что функциональные преобразования дискретных случайных величин не меняют распределений и плотностей вероятностей. Но так будет только тогда, когда величины различны между собой, при совпадении величин (хотя бы некоторых) распределения вероятностей обязаны измениться во избежание нарушения условия нормировки. Поэтому при формальном способе записи имеем:

(х = 1)2, Рх(х = -1)2, Рг(х = 1)2, Рх(х = -1)2, Рг12=1, рх\(-1)2=1, р212=1, рх\(-1)2=1, р2Д+Р2-1;Д+Р2-1;P(y^S(y-l);P(y^S(y-l);x2i=l, Р = 1, Р<уЖу-\\к = \,2..„x2i=l, Р = 1, Р<уЖу-\\к = \,2..„/Ду) = Д (у-1) + Р23(у+ !),£ = 1,2,..../Ду) = Д (у-1) + Р23(у+ !),£ = 1,2,....(2-14)(2.15)(2-14)(2.15)

(х = 1)2, Рх

(х = -1)2, Рг

(х = 1)2, Рх

(х = -1)2, Рг

12=1, рх

\(-1)2=1, р2

12=1, рх

\(-1)2=1, р2

Д+Р2-1;

Д+Р2-1;

P(y^S(y-l);

P(y^S(y-l);

x2i=l, Р = 1, Р<уЖу-\\к = \,2..„

x2i=l, Р = 1, Р<уЖу-\\к = \,2..„

/Ду) = Д (у-1) + Р23(у+ !),£ = 1,2,....

/Ду) = Д (у-1) + Р23(у+ !),£ = 1,2,....

(2-14)

(2.15)

(2-14)

(2.15)

Формулы (2.15) обобщают (2.14) и имеют большое практическое значение, особенно при рассмотрении фильтров сжатия, поскольку появление квадратов (+1)2 = 1 с вероятностью Р = 1 и накопление квадратов (также с Р = 1, см. чуть ниже) обеспечивают появление пика сжатого сигнала, согласованного с СФ, также с вероятностью Р = 1. Если бы этот факт не был выявлен, то вся теория неимоверно бы усложнилась. Из-за практической важности этого результата докажем его прямым образом, используя якобиан:

Р^ \dy!dx\

...к.» I-2V7I 12^1 21

+Р^ - D + ^ + D ] = ^ + ^ЖТ^ -!) + № + ^2)5(7^ + о] =

= (Р + рД(М -1) = §(у -1), Р + р. = 1 -(2.16)

В предпоследнем выражении была использована формула, хорошо известная из

функционального анализа обобщенных функций типа 8(х). А вот распределение

вероятностей произведения двух случайных величин, несмотря на возможность

+ ^8+ ^8совпадения некоторых из них, определяется совсем другим выражением (|х±1| = 1):

+ ^8

+ ^8

Рру^РрУ^х^ J[^8(x, -1) + Р28(х, +1)] 7]8 —-1

= (^ + /’22)8(у-1) + 2да(у + 1), ^2+/)22+2^2-(^+/)2)2=12=1,(2.17)

где при выводе многократно использовано фильтрующее свойство дельта-функции. Для удобства часто далее плотность вероятностей (2.17) будет использоваться в символической дискретной форме записи:

У = ^1^2У = ^1^2[-1^2[-1^2-^^J ["I,-^^J ["I,2^2-2^2-№+7>)2=1;№+7>)2=1;(2.18)(2.18)

У = ^1^2

У = ^1^2

[-1^2

[-1^2

-^^J ["I,

-^^J ["I,

2^2-

2^2-

№+7>)2=1;

№+7>)2=1;

(2.18)

(2.18)

при этом немедленно выявляется смысловая прозрачность двух последних выражений. Осталось найти плотность вероятности суммы статистически независимых величин, которая определяется многократным интегралом свертки:

р(У) = Р(ух = х, + х2) = jР(х, )Р(у - х, )dxx = J[^8(Xj -1) + 7’28(х1 +1)] х

х[ W - х -1) + Р^у — х + -1)]^ = 7]28(у - 2) + 2рР28(у) + Р^У + 2), ^ + Р2? = 1, Р(у) = Р(у2 = (X, + х2) + х3) = Р?8(у-3) + ЗТ^Т^у-1) +

3^ Р228(у +1) + 7>238(у + 3), (Р + Р2)3 = 7]3 + Зр2Р2 + ЗТ]^2 + Р^ = I3 = 1, ,(2 19)

Р^ = IX ) = С,№<У - N) + С^-'Р^у - (А -1)) +...

■vC^ppN-Xy + (А -1)) + C^P2N5(y + N),

с°=с^ 1, (.р + p2f = ^cnNpN"np; = Г = 1.

л=0_

Последняя формула для yN, доказанная по индукции, легко подтверждает справедливость условия нормировки, убедиться в котором иначе, особенно в более слож-

Ух=Хх*Х2=-1,-1,ч1,-1,Рх =2, 0-2,Рх\2РЛ, Р2N-\АГ-1Д^"17*=0,С^Р^Р”'2,J=1до--1),pN-\ г2[-1,Р" [-2V, P.VУх=Хх*Х2=-1,-1,ч1,-1,Рх =2, 0-2,Рх\2РЛ, Р2N-\АГ-1Д^"17*=0,С^Р^Р”'2,J=1до--1),pN-\ г2[-1,Р" [-2V, P.Vследовательности дискретных сумм:следовательности дискретных сумм:(2.20)(2.20)(2.21)(2.21)N101001281000pN!2259,18-Ю282,5-10372,6-10398po=o,%i4n0,2530,080,0710,0259N101001281000pN!2259,18-Ю282,5-10372,6-10398po=o,%i4n0,2530,080,0710,0259Габлица 2.1. Число сочетаний и вероятности Ро в зависимости от /VГаблица 2.1. Число сочетаний и вероятности Ро в зависимости от /V

Ух=Хх*Х2=-

1,

-1,

ч

1,

-1,

Рх =

2, 0

-2,

Рх\

2РЛ, Р2

N-\

АГ-1

Д^"1

7*=0,С^Р^Р”'2,

J=1

до-

-1),

pN-\ г2

[-1,

Р" [-2V, P.V

Ух=Хх*Х2=-

1,

-1,

ч

1,

-1,

Рх =

2, 0

-2,

Рх\

2РЛ, Р2

N-\

АГ-1

Д^"1

7*=0,С^Р^Р”'2,

J=1

до-

-1),

pN-\ г2

[-1,

Р" [-2V, P.V

следовательности дискретных сумм:

следовательности дискретных сумм:

(2.20)

(2.20)

(2.21)

(2.21)

N

10

100

128

1000

pN!2

259,1

8-Ю28

2,5-1037

2,6-10398

po=o,%i4n

0,253

0,08

0,071

0,0259

N

10

100

128

1000

pN!2

259,1

8-Ю28

2,5-1037

2,6-10398

po=o,%i4n

0,253

0,08

0,071

0,0259

Габлица 2.1. Число сочетаний и вероятности Ро в зависимости от /V

Габлица 2.1. Число сочетаний и вероятности Ро в зависимости от /V

ных случаях, практически невозможно. Доказательство из-за громоздкости опуска

ется, но смысловая прозрачность результата легко выявляется из рассмотрения по

Полученные формулы позволяют получить ответы на многие практически важные вопросы. Например, при четном числе слагаемых вероятность нулевого значения суммы наибольшая и с учетом формулы Стирлинга равна:

_ pN!2 pNpN!2 _pW/2nW/2~(^/*0„/2

С2 Г2 ~

[№)!]^^е^^А,

Ро=Р(О; Д =l/2) = 0,8/V^V, ТО/72 =2'^.(2.22)

Последняя формула написана для случая равновероятных слагаемых х = ±1, а в габл. 2.1 приведены дополнительные полезные результаты.

При нечетном числе слагаемых наиболее вероятны наименьшие значения +1 и -1 нуля никогда не будет) с одинаковыми вероятностями при Д = Р2 = 1/2:

у-1 N+y N+\ N+l N-l'

(2.23)(2.23)Р(+1) = С/ Д 2 >С/ Д 2 Р2 2 =/>(-1),

(2.23)

(2.23)

Р(+1)« Р(-1) < CJ . 2-^ = 2-’ ЛО), N_ = N^ +1,

.е. вероятность при нечетном числе слагаемых 7VHC4er лишь вполовину меньше

базах ci Элемен- в СФ, ( />=о. : нала Б.Разв но-сост; ЛОВИЯ Н' 1 = 1£ =Ч1+£2 = если вс сравнен возраст ся уело: ПСПс(1 = № +базах ci Элемен- в СФ, ( />=о. : нала Б.Разв но-сост; ЛОВИЯ Н' 1 = 1£ =Ч1+£2 = если вс сравнен возраст ся уело: ПСПс(1 = № +ПриПриРас1 рее пра базой L ка деся ские, н( предпо. дение г Поиск 1 дилея. 11 = I52 •:Рх^"Рас1 рее пра базой L ка деся ские, н( предпо. дение г Поиск 1 дилея. 11 = I52 •:Рх^"Р(0) ближайшего четного (N4CI, большего на единицу), что позволит при больших

базах ci Элемен- в СФ, ( />=о. : нала Б.

Разв но-сост; ЛОВИЯ Н' 1 = 1£ =

Ч1+£2 = если вс сравнен возраст ся уело: ПСПс(

1 = № +

базах ci Элемен- в СФ, ( />=о. : нала Б.

Разв но-сост; ЛОВИЯ Н' 1 = 1£ =

Ч1+£2 = если вс сравнен возраст ся уело: ПСПс(

1 = № +

При

При

Рас1 рее пра базой L ка деся ские, н( предпо. дение г Поиск 1 дилея. 1

1 = I52 •:

Рх^"

Рас1 рее пра базой L ка деся ские, н( предпо. дение г Поиск 1 дилея. 1

1 = I52 •:

Рх^"

а'базах сигналов впоследствии ограничиться оценками табл.2.1 и формулой (2.21).

П°Элементарно подсчитывается вероятность накопления сигнала при сжатии сигнала

в СФ, с которым он согласован, так как с использованием (2.16) имеем ^ =1, ^ р = 0. Поэтому из (2.20) с вероятностью 1У =1 находим сумму, равную базе сигнала Б.

^'Развитый здесь подход позволяет легко проанализировать параметры «аддитив-

■ но-составных» сигналов с базами Б = Бх+Б2 в силу элементарности проверки ус-ловия нормировки, обычно (и чаще всего) трудно проверяемого, поскольку

кб2

?1 Is = (Рх + Р^ (Рх + Р^ = ^С^-рДс^Р^Р^,(2.24)

8п=04=0

*CLs = СкБ + С* + СБ'*СБ +0^0^ + ... + Ck,2Cki2 +Ск,2Ск'2,(2.25)

'-Dj+b; b\ b2 S| D2 Ь\ 02О] 02026|’v /

аж-1че-21)22)1 важ-1че-21)22)1 вдетхдетхесли воспользоваться равенством (2.25), которое при к = 1-4 доказано прямым сравнением левой и правой частей, а затем - по индукции. Если не учитывать резко возрастающих вычислительных трудностей, то столь же автоматически проверяет

аж-

1че-

21)

22)

1 в

аж-

1че-

21)

22)

1 в

де

тх

де

тх

ся условие нормировки для «мультипликативно-составных», т.е. модулированных, ПСП с базами Б = БХБ2 или Б = Б2БХ при любом их соотношении:-

В2 Б2 г |

(2.26)(2.26)„^оПх'.п2'....пБ1'.

(2.26)

(2.26)

При РХ=Р2 =1/2

(2.27)

Расчеты показывают, что левая часть неравенства Q растет стремительно быстрее правой (на несколько порядков) при Б2 > Бх. Например, при модуляции ПСП] с базой Бх = 10 «высокочастотным» ПСП2 с Б2 = 100 левая часть (2.27) будет порядка десять в степени 1500, тогда как правая - в степени 350 (цифры астрономические, но вовсе не самые большие). Расчеты следует считать прикид очными, так как предполагалось, что все пх =0,1,2, т.е. близки друг другу. В этом случае произведение их факториалов минимально, а сумма всегда должна быть равна Бх (2.27). Поиск наихудших или наилучших в том или ином смысле вариантов не производился. Аналитически просто разобрать случай и с разными вероятностями:

Б,

1 = 1^ -1£' =(^ + Р2)£Х91 +92)£|>

РХ*Р2=\, qx*q2=\.(2.28)

(2.29)(2.29)

(2.29)

(2.29)

Развитый здесь аппарат позволяет формально легко рассчитать также вероятности различных комбинаций многофазных или ^-уровневых сигналов, так как

и рассмотреть обобщения на многофазные аддитивно- и мультипликативносоставные сигналы. Но делать этого мы не будем, поскольку такие сигналы сегодня практически не используются.

Несмотря на аналитическую простоту и наглядность, вычислительная сторона дела оставляет желать лучшего в силу как раз «неаналитичности» факториала или гамма-функций из-за очень быстрого роста и разрывности, а также из-за немульти- пликативности, так как [«-£]’»«!-£!, п>1, ^>1; [«/£]’ ^ «’/£’. В силу новизны рассматриваемых проблем единственно надежный, хотя и медленный, путь доказательств - в последовательном анализе «в лоб» размерностей задач с к = 1-4 и последующим доказательством по индукции для любого к > 4. При этом весьма полезно совокупность неполных полиномов со старшей суммарной степенью к не упрощать немедленно, как это рекомендуется в стандартных руководствах, а, напротив,

домножить на ничего не меняющую единицу 1 = 1* = ^ Рт , после чего сразу

становится ясно, по какой причине и что сокращается. Этот простой прием все время используется в дальнейшем без особых комментариев.

Поучительно выяснить, почему на первый взгляд относительно простая комбинаторная задача оказывается на деле сложной теоретической проблемой. Если коротко - то в неизометричности цифровых ансамблей, которая уже проявилась, но не была ранее осознана в дискретно-аналоговых ансамблях и пропадает только в точно аналоговых ансамблях, непрерывных и существующих на всем интервале времени / = (-оо, +оо) и содержащих бесконечное число реализаций с метрической емкостью континиума и более того. Иначе говоря, цифровой ансамбль оказывается не просто нестационарным во времени или по чипам, но неизотропным по реализациям ансамбля. На самом деле ситуация еще серьезнее, так как добавление чипа в ПСП или сигнала в пачку CDMA, добавление помехи или любого схемного ухищрения (слово добавление можно поменять на уменьшение), вообще любое изменение внешних условий или параметров системы обработки приводит к изменению, и сильному, структуры ансамбля. Ансамбль непрерывно «дышит», меняя вероятностный массив как при вхождении сигнала, тем более пачки CDMA, в коррелятор или СФ, так и сжатии в случае полного заполнения СФ, а также на выходе коррелятора, что условно показано на рис. 2.7. Следовательно, как от к-го чипа (эквивалент текущего времени), так и от N -го сигнала (эквивалент некоей системной координаты) ансамбли полностью меняются.

но-29) но- Щя)на ИИ ги-но-29) но- Щя)на ИИ ги-Рис. 2.7. Типовые реализации пачки сигналов CDMA в зависимости от дискретного времени (шагов К = 1,2,... - безразмерных)Рис. 2.7. Типовые реализации пачки сигналов CDMA в зависимости от дискретного времени (шагов К = 1,2,... - безразмерных)ныза-ныза-тою- /п- IB,13у юе>и- :о- но > в ле эй ся ia- . в це-и о-тою- /п- IB,13у юе>и- :о- но > в ле эй ся ia- . в це-и о-Очень скоро нам понадобятся матрицы авто- и взаимно-корреляционных функций, с помощью которых можно пояснить высказанные положения. Пусть база сигналов равна Б , а ансамбль содержит N > Б реализаций. Среднее значение чипов отлично от нуля, поэтому центрируем чипы на величину среднего, тогда (х^ = 0. Без ограничения общности сначала рассчитаем АКФ для всех реализаций х = (х,,х2,..., xN), число которых равно N и которые расположены по главной диагонали в общем матрично-корреляционном массиве К. Последний состоит из N2 подматриц, из которых N2 -N являются ВКФ и конструируются обычным образом из пар (х6,у^ при обязательном условии i* j, так как у = (1У1,у2,—Ук) есть те же самые реализации того же самого ансамбля. При этом, как обычно, размерности любой из N2 подматриц АКФ или ВКФ одинаковы и равны Б2. Вводя в рассмотрение двумерные плотности вероятностей P^x^Xj) при вычислении АКФ по одной реализации х, и сдвинутой ее копии Xj (в корреляционном массиве i = j = l, 2,..., N) и двумерные совместные плотности Р(х,,у^ (i* j, что дает в массиве все ВКФ), имеем:

но-

29) но- Щя

)на ИИ ги-

но-

29) но- Щя

)на ИИ ги-

Рис. 2.7. Типовые реализации пачки сигналов CDMA в зависимости от дискретного времени (шагов К = 1,2,... - безразмерных)

Рис. 2.7. Типовые реализации пачки сигналов CDMA в зависимости от дискретного времени (шагов К = 1,2,... - безразмерных)

ны

за-

ны

за-

тою- /п- IB,

13у юе

>и- :о- но > в ле эй ся ia- . в це-

и о-

тою- /п- IB,

13у юе

>и- :о- но > в ле эй ся ia- . в це-

и о-

Р(х,,х^> 0, Р^х,) = JР<х,,ху ydxj, J JP^x,,Xj^dXjdXj = 1,

,-(2.30)

P(x, !х^ = P(x,P(Xj ), j P(x, / Xj= ^^y = 1;

’PЯ-ГГH-’PЯ-ГГH-(231)(231)p<x,,^) > 0, P^) = JP(x,,yj)dyj, J JP^,yj)dxidyj = 1,

’P

Я-

ГГ

H-

’P

Я-

ГГ

H-

(231)

(231)

PU. iy,^р(х„у,)/Р(уД JP^^dx, -^2 = 1.

Предположение о центрировании случайных величин сделано лишь для упрощения записи формул (поскольку тогда средние равны нулю), и для дисперсий, АКФ и ВКФ получаем, переходя от непрерывных плотностей вероятностей к дискретным, выражения:

АКФ(/,/) = J ^x^jP^x^x^dx^j = jx,/’^)^ jxyP(x7 /x^dxj, о2 = АКФ(/ = /) = Jx^^x,)^ Jxj8(x? -x^dxj = |х^Р(х,)<яЕг#;(2.32)

АКФЦ = S Цх^Р(х(,хД o^ ^х.Р^), 1= 7=1/=1

Р(х,) = -^ = Б-Х, P^xJxA=-^ = —, P(x„xA = -^- = (.NEy1 УР(цП = А. ' Б2' J NE2 N J NE2

В формулах (2.33) дискретные вероятности написаны в предположении равновероятности соответствующих массивов случайных величин, равных числу точек в квадратах со стороной Б, «нанизанных» на биссектрису в плоскости с координатами EN (на рис. 2.8 заштрихованы). Аналогично поступаем и для ВКФ: ;

ВКФ(/у) = J jх^Р^у, УМу, = jх,Р(х, ^dx, j у^у, /х, )dyj, Н ■ (2.з4) ^ =ВКФ(/ = /)^, (у^ ЗуЛуМ=0’ ;

Б Бг

ВКФ(у) = ^x^P^D, Р<у^ = Р^ = -^ = Б-\ j=l j=lЬ

р<л /уЛ=-, PQj)=\en(n - i)l ' 1 E\N(N-V)MN-Y)1 J

Полученные формулы (2.33) и (2.35) зависят от Б и N, что естественно для дискретного пространства, но эта естественность полностью отсутствует в непрерывных пространствах и формулах (2.32) и (2.34), хотя в целом исходные пространства подразумевались равновероятными. И это, как указывалось выше, связано именно с бесконечностью ансамбля непрерывного пространства и по номерам реализаций, и во времени, что подчеркивается тщательным выписыванием бесконечных пределов интегрирования в выражениях (2.32) и (2.34) и сразу приводит к двум практически важным выводам: либо случайные процессы с ограниченным спектром имеют бесконечно длинные реализации, либо, если интерес представляет конечный интервал времени, процесс обязан быть «белообразным» по спектру.

ipo- )ИЙ, 1ИС-

32)

Рис. 2.8. Области интегрирования (заштрихованы) корреляционных массивов сигналов CDMA

33)

ро- к в на-

34)

Г г

35)

(ЛЯ ре- 30- за- ам со- г к ЯМ [ет

Рис. 2.9. Трехмерная «этажерочная» структура сигналов CDMA в зависимости от дискретного времени (шагов Кх, К2 по горизонтали и К3 по вертикали)

Заметим, что как BN, так и NB в силу (2.29) порождают различные вероятностные пространства, которым можно придать смысловую прозрачность. Однако во из- я6р, бежание неоднозначности в толковании результатов необходимо привлечь дополнительные соображения, например мультиполиномиальное [33] разложение 5-мерной ^ат произвольной плотности вероятности по смешанным моментам ^' ■ х^ • .„■ х^ дел порядка кх + к2 + ... + kN <N. Этим задается точность (погрешность) вычислений плотности, делает оправданным использование формулы (2.29) в дискретном слу- н011 чае и понятным, что полная сумма всевозможных произведений биномиальных ко- ЯОц эффициентов равна BN, а соответствующее вероятностное пространство приобрета- адп ет «этажерочную» структуру на квадрате со стороной Б, как показано на рис. 2.9.

Изображенные на рис. 2.8 «ленточные» квадраты есть проекция и разверткагор

первых двух «этажерок» CXN и С^ на плоскость при условии фиксации всех ос-в к-

тальных, так как от них АКФ и ВКФ не зависят, что поясняет сделанное выше утверждение об условности формул (2.33)-(2.35).

2.3

2.3. Оптимальная цифровая система B-CDMA

с компенсацией мешающих сигналов1№

пол

Уточним задачу. Прием полезного сигнала ведется на фоне пачки CDMA из N сигналов, статистически схожих между собой, за исключением параметров, а именно ^К средних значений < ук > и дисперсий Дк на каждой 5-й позиции полезного ПСП, К = 1, Б, а следовательно, и всей пачки CDMA, т.е. прием осуществляется в пред- ^к положении идеальной синхронизации. Все ВКФ = 0 и все АКФ = 0, за исключением диагональных элементов матриц (и подматриц) соответствующего корреляционно- Sk го массива. Не будем пока учитывать форму чипа и его спектр (такова своеобразная «непараметричность» из-за статистической независимости чипов). Поэтому мгновенная выборка либо равна Эч8(?х -КТД, где Эч - энергия чипа, Тч - длительность чипа, и тогда максимум отклика в t = ТЧБ равен всей энергии сигнала ПСП (^ Э = ЭЧБ, где Б - база ПСП, либо с учетом размерностей текущих значений входных выборок ^]э^8^к -КТД и тогда максимум отклика равенна ВЧ

или ПЧ, но множитель 2-1 легко учесть.

Аномально большие выбросы величиной ±N и тем более +NE (в моментlg j

окончания обработки) пока не учитываются в силу малости их вероятности появления. Алгоритм обработки является существенно нестационарным, зависящим от К, но такова структура сигналов CDMA.= 1

Другие особенности задачи:

1. При N > 5 сумма ук сигналов из N сигналов CDMA нормализуется в большой окрестности 0,35 < ук < 1,75 с вероятностью порядка 0,90.- <

)ст- 2. Легко учесть собственные шумы в полосе частот приема добавлением дис- Из» дерсии шумов к диагональным элементам матриц АКФ.

ни» 3. В силу статистической независимости сигналов CDMA нет нужды вводить ЮЙ матрицы корреляций в явном виде, что упрощает вывод оптимального алгоритма и делает его более прозрачным.

•ИЙ4. Из-за статистической независимости чипов и всех сигналов многомерное от-

лу-ношение правдоподобия А распадается на произведение одномерных условных от-

ко- ношений, что после логарифмирования приводит к сумме откликов оптимального та~ алгоритма.

5. Использование условных плотностей вероятностей приводит к наличию ал- гка горитма компенсации мешающих N сигналов CDMA при выделении полезного SK эс- в к-м канале.

УТ-

Квазиоптимальный обнаружитель сигналов B-CDMA-3G

Итак, предполагая на входе выборку ZK и существенно используя весь материал, полученный в разд. 1.3, находим:

[Г- но П, д- :м о-[Г- но П, д- :м о-Ук+8К,Ук+8К,= 0 у к, Ы=Ш у—,к=\,б,= 0 у к, Ы=Ш у—,к=\,б,Дк-^УкУкУк^^Х-Б-ЧДк-^УкУкУк^^Х-Б-Ч(236)(236)ая о-ь-ПI-Чая о-ь-ПI-ЧSk=aK, {SK} = kak) = E~x К^,^^2^^(2.37)Sk=aK, {SK} = kak) = E~x К^,^^2^^(2.37)А + 1Б ’^’ J (А + 1)(1-7Г2), SK*0,А + 1Б ’^’ J (А + 1)(1-7Г2), SK*0,(2.38)(2.38)

[Г- но П, д- :м о-

[Г- но П, д- :м о-

Ук+8К,

Ук+8К,

= 0 у к, Ы=Ш у—,к=\,б,

= 0 у к, Ы=Ш у—,к=\,б,

Дк-^УкУкУк^^Х-Б-Ч

Дк-^УкУкУк^^Х-Б-Ч

(236)

(236)

ая о-

ь-

П

I-

Ч

ая о-

ь-

П

I-

Ч

Sk=aK, {SK} = kak) = E~x К^,^^2^^(2.37)

Sk=aK, {SK} = kak) = E~x К^,^^2^^(2.37)

А + 1

Б ’^’ J (А + 1)(1-7Г2), SK*0,

А + 1

Б ’^’ J (А + 1)(1-7Г2), SK*0,

(2.38)

(2.38)

igA=igZ^rz2fcz^2=

Ж—,№/о,-,о)

гг/о^а U /(ук/0)гг/о^а U /(ук/0)-(ZK-<ZK >-SK)2-(ZK-<ZK >-SK)2। (ZK-<ZKo >)2। (ZK-<ZKo >)2

гг/о^а U /(ук/0)

гг/о^а U /(ук/0)

-(ZK-<ZK >-SK)2

-(ZK-<ZK >-SK)2

। (ZK-<ZKo >)2

। (ZK-<ZKo >)2

(2.39)(2.39)

(2.39)

(2.39)

~C1 + C2 + X-C3^lgAnop;

-5 lg(—) = -~lg-^- = — lg(l + —/

0,35Л,

1,

2 gC =

N = 5,

C2=&"A <^^уАпМ>Б^>T, (2.40)

4^=iДк Дк„ 2к=\

БДКо _ Б _\Б!П, N = 5,2N(N+ !)(!-Б~2) 2(N+ 1) [0,5,N^E»\;

БYsK4—1 К 1C3=g,+ —+;’3 БДК 2Б2ДК2ДКЬ к 2ДК 2(N+ \)(1-Б~2)<С3 > = у. +—1— [1 + — 1, <С2> = у.;БДД 2Б )2 хБYsK4—1 К 1C3=g,+ —+;’3 БДК 2Б2ДК2ДКЬ к 2ДК 2(N+ \)(1-Б~2)<С3 > = у. +—1— [1 + — 1, <С2> = у.;БДД 2Б )2 хБ/П, N = 5,0,5, N^lБ/П, N = 5,0,5, N^l(2-42)(2-42)(2.43)(2.43)

Б

YsK

4—1 К 1

C3=g,+ —+;’

3 БДК 2Б2ДК

2ДКЬ к 2ДК 2(N+ \)(1-Б~2)

<С3 > = у. +—1— [1 + — 1, <С2> = у.;

БДД 2Б )2 х

Б

YsK

4—1 К 1

C3=g,+ —+;’

3 БДК 2Б2ДК

2ДКЬ к 2ДК 2(N+ \)(1-Б~2)

<С3 > = у. +—1— [1 + — 1, <С2> = у.;

БДД 2Б )2 х

Б/П, N = 5,

0,5, N^l

Б/П, N = 5,

0,5, N^l

(2-42)

(2-42)

(2.43)

(2.43)

(1 )110

<Сг-С3>=<Сг>-д.-уБДкУ\БДкух\\*— «,.

232 ч v25J5(ЛГ + 1)1

In А = С, + X +>1п Апо„,(2.44)

1E(N + \)<пор^

Дк К=1<

= In Л - С, - Б~х (N +1)'*,

порпор 1\/ 5/2 ДС\

<ZK >^N/E^\ при N^E.‘

Выражения (2.36)-(2.38) задают исходные соотношения. Из формул (2.37) и (2.38) следует, что наличие сигнала приводит к увеличению среднего значении на малую величину Б~х по сравнению с N/Б, а дисперсия Дк при N>5 практически не меняется, ибо прирост 1 - Б"2 «1. Выражение (2.39) есть отношение правдоподобия, причем в момент Г = БТЧ принятия решения величины С, и их средние значения таковы (см. (2.40)-(2.44)), что искомый оптимальный алгоритм обнаружения полезного сигнала (2.45) фактически зависит только от Б и числа сигналов CDMA N, которое либо надо знать заранее, либо определять адаптивным образом по текущей реализации ZK при всех К = 1,Б. Формула (2.42) для qx есть входное отношение С/П, с увеличением N асимптотически снижающееся до величины 0,5 для любой базы E>N.

Алгоритм (2.45) изображен на рис. 2.10, а и состоит из регистра сдвига РСЬ эк- ривалентного дискретно-цифровой линии задержки, на вход которого поступает рыборка ZK, и опорного РС2 с сигнальными весами SK = ак. В каждом отводе с pCi имеется компенсатор на величину I^Z^ ^ = N/ Б, одинаковую для всех отводов - следствие предположенной статистической однородности всего массива чипов. В каждый из отводов РС2 подается величина К\ нивелирующая смещение оценки сигнала. Затем попарно выходные дискретные процессы с отводов перемножаются и поступают на общий сумматор 2, выходная реакция которого сравнивается с Хпор в пороговом устройстве (ПУ) для вынесения решения о наличии или отсутствии полезного сигнала во входной смеси с пачкой из N сигналов CDMA.

Алгоритм (2.45) является компенсационно-корреляционным. При Б »1 случайная величина X нормализуется и поэтому характеризуется только средним значением и дисперсией (< X, > и о^) при отсутствии сигнала на входе текущей реализации (SK = 0) или при его наличии (SK ф 0), чем и определяются в итоге вероятности ложной тревоги (ошибочного обнаружения) Рт и правильного обнаружения Рто. Отметим, что вероятность пропуска, т.е. ошибочного необнаружения сигнала, когда он есть, Р^ = 1 - Р2 » Рт (рис. 2.10, б).

Рис. 2.10. Алгоритм (а) и показатели качества (б) обнаружения детерминированной пачки CDMA: 1-5=100,2-5=10

Характеристики обнаружения сигнала в пачке B-CDMA

Под характеристиками обнаружения понимаются зависимости Ро = Рт = Р^ (N, qx) и Рх = Рпо = P}(N,q}) = F(P0) либо (при Ро = const) максимизация величины Рх по всем параметрам (критерий Неймана-Пирсона, пригодный при априорной неопределенности относительно полезного сигнала или его параметров). Далее имеем:

1) SK = 0,К = №

Б

<Х>=Д"^<2К >-<ZK >\<SK >+£-’) = О, <ZK-<ZK »=0;(2.46)

Й№.Й№.О^ =<x2>-<x>2=fl^y<(zK-<zK>xz,-<z,>xsK + E-'xs^

Й№.

Й№.

К=1 /=1

-д;-д;^<(ZK-<ZK >У <(SX+Б"’)! > +

-д;

-д;

К=1

Б Б^<zK-<zKК* /=1■ Б =Д5 Z«k<s1 _к=оБ Б^<zK-<zKК* /=1■ Б =Д5 Z«k<s1 _к=о»< Z, - < Z, »< (SK + Б"' Х8( + Б"') >»< Z, - < Z, »< (SK + Б"' Х8( + Б"') >^- + Б~2Б^- + Б~2Бк Б2)к Б2)(2-47)(2-47)(2-48)(2-48)

Б Б^<zK-<zKК* /=1

■ Б =Д5 Z«k<s1 _к=о

Б Б^<zK-<zKК* /=1

■ Б =Д5 Z«k<s1 _к=о

»< Z, - < Z, »< (SK + Б"' Х8( + Б"') >

»< Z, - < Z, »< (SK + Б"' Х8( + Б"') >

^- + Б~2

Б

^- + Б~2

Б

к Б2)

к Б2)

(2-47)

(2-47)

(2-48)

(2-48)

Б f NдтЛ2У&.-7 *BN(.\-B-2>К=\ \ л=1Ь )Б f NдтЛ2У&.-7 *BN(.\-B-2>К=\ \ л=1Ь )^0=1-01^0=1-01мБ )мБ )= 1-®][^U1-0I|— 1;к Б ) I N)= 1-®][^U1-0I|— 1;к Б ) I N)(2.51)(2.51)

Б f NдтЛ2

У&.-7 *BN(.\-B-2>

К=\ \ л=1Ь )

Б f NдтЛ2

У&.-7 *BN(.\-B-2>

К=\ \ л=1Ь )

^0=1-01

^0=1-01

м

Б )

м

Б )

= 1-®][^U1-0I|— 1;

к Б ) I N)

= 1-®][^U1-0I|— 1;

к Б ) I N)

(2.51)

(2.51)

= -Г1пАпор-Сх -С2 +С31 =—

о0-о»-2 3J гБДкД1

1пАпор=0;(2.49)

У Уг /\ ■

2ДК 2ДК~ 2ДкДКо " 2flKflKo\fa^fa> Б)/

I И ем :н-I И ем :н-SK *0,К = А,Б:-Б£Хс = Дк^^к *^K-<ZK >XSK + Б ) = Хо V^SK = Хо + 2?б K=iДкSK *0,К = А,Б:-Б£Хс = Дк^^к *^K-<ZK >XSK + Б ) = Хо V^SK = Хо + 2?б K=iДк(2-52)(2-52)6)6)<XS > = <Х0+291 > = 291 = о£,<XS > = <Х0+291 > = 291 = о£,c^=<Xs> < Xs > — < (Хо + 2^) > (2^) — 00—2^,c^=<Xs> < Xs > — < (Хо + 2^) > (2^) — 00—2^,(2.53)(2.53)^ехр^ехр(Х-<Х^'2^ J(Х-<Х^'2^ JdX =dX =

I И ем :н-

I И ем :н-

SK *0,К = А,Б:

-Б£

Хс = Дк^^к *^K-<ZK >XSK + Б ) = Хо V^SK = Хо + 2?б K=iДк

SK *0,К = А,Б:

-Б£

Хс = Дк^^к *^K-<ZK >XSK + Б ) = Хо V^SK = Хо + 2?б K=iДк

(2-52)

(2-52)

6)

6)

<XS > = <Х0+291 > = 291 = о£,

<XS > = <Х0+291 > = 291 = о£,

c^=<Xs> < Xs > — < (Хо + 2^) > (2^) — 00—2^,

c^=<Xs> < Xs > — < (Хо + 2^) > (2^) — 00—2^,

(2.53)

(2.53)

^ехр

^ехр

(Х-<Х^'

2^ J

(Х-<Х^'

2^ J

dX =

dX =

(2.54)(2.54)(X -<ХсГ 112

(2.54)

(2.54)

= 1_ф _^ = 1-Ф1 -(InA -4g,) »Ф, — при IgA =0.

7)7)i)i)Б =100N0125N» 1ЛПОР=1_ ЬЛгор=0Ро00,160,310,420,50^ПОр ”InA^ =1Ро00,020,080,120,50Б =100N0125N» 1ЛПОР=1_ ЬЛгор=0Ро00,160,310,420,50^ПОр ”InA^ =1Ро00,020,080,120,50Таблица 2.2. Вероятности Рпт = Ро в зависимости от N при Б = 100Таблица 2.2. Вероятности Рпт = Ро в зависимости от N при Б = 100Среднее значение (2.48) и дисперсия (2.47) определяют вероятность Ро (2.48) при отсутствии сигнала, которая существенно зависит от величины порога (2.49) и отношения С/П (2.50), равного в среднем энергетическому (квадратичному) члену С2 в алгоритмах (2.39) и (2.45) (рис. 2.11, а). Обычно в теории связи выбирается Апор =1 (рис. 2.11, б, для этого случая вероятность Ро показана косой штриховкой), но тогда, как следует из табл. 2.1, вероятности Ро очень быстро растут с увеличением N. Увеличением порога Лпор =е вероятность Ро можно снизить на порядок, но тогда быстро падает вероятность Pt, отмеченная на рис. 2.11, б прямой штриховкой с расчетом для этого случая величины Рх (см. формулы (2.54)-(2.56) при наличии сигнала на входе и результаты расчетов, представленные в табл. 2.2 и 2.3).

7)

7)

i)

i)

Б =100

N

0

1

2

5

N» 1

ЛПОР=1

_ ЬЛгор=0

Ро

0

0,16

0,31

0,42

0,50

^ПОр ”

InA^ =1

Ро

0

0,02

0,08

0,12

0,50

Б =100

N

0

1

2

5

N» 1

ЛПОР=1

_ ЬЛгор=0

Ро

0

0,16

0,31

0,42

0,50

^ПОр ”

InA^ =1

Ро

0

0,02

0,08

0,12

0,50

Таблица 2.2. Вероятности Рпт = Ро в зависимости от N при Б = 100

Таблица 2.2. Вероятности Рпт = Ро в зависимости от N при Б = 100

Таблица 2.3. Вероятности Рго = Рл в зависимости от /V при Б = 100

_Б=100

N

0

1

2

5

N» 1

Л1ЮР=1

_ 1пЛюр=0

Pi

1,0

0,99

0,85

0,66

0,50

^■ПОР ~ 6 11^^ = ^

Pi

1,0

0,84

0,69

0,58

0,50

PC,PC,/(M)/k/(M)/kРис. 2.11. Простая схема компенсатора (а) мешающих сигналов в пачке CDMA и плотности вероятностей (б) при Б= 100Рис. 2.11. Простая схема компенсатора (а) мешающих сигналов в пачке CDMA и плотности вероятностей (б) при Б= 100Обсуждение результатов

PC,

PC,

/(M)/k

/(M)/k

Рис. 2.11. Простая схема компенсатора (а) мешающих сигналов в пачке CDMA и плотности вероятностей (б) при Б= 100

Рис. 2.11. Простая схема компенсатора (а) мешающих сигналов в пачке CDMA и плотности вероятностей (б) при Б= 100

СИ1 пр2.-Ка ры ча< по: ши таз ма моBOJ на: не: ма шу опСИ1 ка;СТ( ми зазCTI жп ро це! по.CTI на:2.zPaiСИ1 пр2.-Ка ры ча< по: ши таз ма моBOJ на: не: ма шу опСИ1 ка;СТ( ми зазCTI жп ро це! по.CTI на:2.zPaiZK3. АZK3. ААлгоритм обнаружения (2.45) максимально прост в реализации, но показатели качества обнаружения уже при N > 2 явно неудовлетворительные (см. табл. 2.2 и 2.3, а также рис. 2.10, б). Результат почти очевиден, поскольку средние значения и дисперсии (2.38) при наличии и отсутствии сигнала на входе слишком близки, особенно средние значения, отношение которых равно < Zs > / < ZQ >= (N +1)/^ —> 1 при N »1 (отношение дисперсий точно такое же). А абсолютные значения средних вообще малы и при E»N близки к нулю; надежды на различия дисперсий также себя не оправдывают (хотя в энергетических алгоритмах именно различие дисперсий есть единственный источник достаточно высоких показателей качества обработки сигналов). Поэтому переходим к более общему подходу отыскания оптимальных алгоритмов обнаружения полезных сигналов на фоне мешающей пачки

СИ1 пр

2.-

Ка ры ча< по: ши таз ма мо

BOJ на: не: ма шу оп

СИ1 ка;

СТ( ми заз

CTI жп ро це! по.

CTI на:

2.z

Pai

СИ1 пр

2.-

Ка ры ча< по: ши таз ма мо

BOJ на: не: ма шу оп

СИ1 ка;

СТ( ми заз

CTI жп ро це! по.

CTI на:

2.z

Pai

ZK

3. А

ZK

3. А

6565* 2СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ В-CDMA ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»

65

65

■ сигналов CDMA, отметив только, что учет собственного шума с дисперсией о, приведет вместо (247) к Од = Б2 (1 + о,).

2.4. Оптимальная дискретно-непрерывная система " B-CDMA-3G

Как и ранее, рассматривается дискретно-цифровая система CDMA , а слово «непрерывная» указывает лишь на, что на интервале (О, Тч) собственный шум в данном случае предполагается непрерывным (цифровой сигнал на фоне собственного шума), что позволяет воспользоваться функционалом вероятностей белого шума со спектральной плотностью мощности W, Вт/Гц. Это обстоятельство позволяет исключить ряд недостатков, а именно: учесть форму чипа и его спектральные характеристики; учесть аномально большие (и вообще любые) выбросы пачки CDMA; отказаться от гауссовой модели пачки сигналов CDMA (плотность вероятностей пачки может быть произвольной). Рассматриваемый ниже подход сохраняет силу и для всей реализации сигнала длительности БТЧ = Т, однако во избежание практически не оправданных осложнений будем полагать, что на каждом интервале (КТЧ, (К+ 1)ТЧ), К = 1, Б, отрезки шума Хк (Г) статистически независимы (что совершенно естественно для модели белого шума). Пачка сигналов CDMA, мешающих полезному, допускает различные модели описания, что порождает различные алгоритмы оптимального выделения полезного сигнала £(/) на фоне смеси Xк + ¥к собственного шума и пачки соответственно (на каждой К-й позиции ПСП).

Любая стохастичность неизбежно «размывает» любые распределения вероятностей и тем самым лишает систему обработки потенциальных возможностей детерминированного вмешательства и управления с целью достижения наилучших показателей качества обработки - здесь полная аналогия с априорной неопределенностью, если последняя заменяется некоторым распределением вероятностей в надежде на то, что удастся случайно охватить неизвестный диапазон значений параметров и тем самым вынести более-менее достоверные суждения об изучаемом процессе или явлении. Подход к компенсации мешающих воздействий прямо противоположен описанному только что способу преодоления априорной неопределенно’ СТИ. Рассмотрим последовательно имеющиеся в данном случае возможности, начи- " ная с модели детерминированной пачки CDMA, а затем усложняя ее.

2.4.1. Детерминированная модель пачки CDMA

:Расширяя описанную постановку задачи, получим:

xK*yK*SK, SK^^ <хк>=0,<x2K>=o2 =W^f = W/T4,

Z„ = Jnn

Хк+Ук» ^=0, Ук = ^ЬПк, <ЬПк>=Б-\<о2>^1-Б"2;‘

I ^ Архипкин В.Я., Голяницкии И.А.

рг Ф^к IVk^S^ к-х Ф(2к/ук)рг Ф^к IVk^S^ к-х Ф(2к/ук)рг Ф^к ~Ук!$к}И Ф^к-ук^рг Ф^к ~Ук!$к}И Ф^к-ук^ББСехр — — t(ZK — ук —SK)Сехр — — t(ZK — ук —SK)ОО/ т1 гСехр/ т1 гСехр^dt^dtБ^J4= ПехР ш kZK-yK)SKdt-qx к=х 'Б^J4= ПехР ш kZK-yK)SKdt-qx к=х '9,=^, Э.= р2т(2.56)9,=^, Э.= р2т(2.56)

рг Ф^к IVk^S^ к-х Ф(2к/ук)

рг Ф^к IVk^S^ к-х Ф(2к/ук)

рг Ф^к ~Ук!$к}И Ф^к-ук^

рг Ф^к ~Ук!$к}И Ф^к-ук^

Б

Б

Сехр — — t(ZK — ук —SK)

Сехр — — t(ZK — ук —SK)

О

О

/ т

1 г

Сехр

/ т

1 г

Сехр

^dt

^dt

Б^J4

= ПехР ш kZK-yK)SKdt-qx к=х '

Б^J4

= ПехР ш kZK-yK)SKdt-qx к=х '

9,=^, Э.= р2т(2.56)

9,=^, Э.= р2т(2.56)

Х = 1пА + 5^= £— UZK-yK)SK(t)dt Хпор =1пЛпор+^;(2.57)

К=1" О<

) 5 = 0:

< X >= 0; <ZK —ук >=< хк >,

О^ =<V >-<х>2= ££-г J j(zK -y.xz.-y^AWt.Wt, \к=\ /=1 " 0 0

5 л ^чБ Б д *^ч ^ч

= 2j7ZT ]<^к-Ук) >df + ^,^l'^Y j ^(Zk ~ УкХ^!-yi)> SKSldt1dt2 = к=х" оК* м о о

= ^УЭч=4БЧх,(2.58)

<(ZK -УкХ2/-У/)>=<ВД >=wb(tt-t2X

7^22 f W,-t2)SK(tx)S,(t2Wt2=^ \s2Mdt}7^22 f W,-t2)SK(tx)S,(t2Wt2=^ \s2Mdt}ZZ11Ф,(2) =Ф,(2) =2л2лjexp -^- dx;jexp -^- dx;(2-59)(2.60}(2.61)(2-59)(2.60}(2.61)

7^22 f W,-t2)SK(tx)S,(t2Wt2=^ \s2Mdt}

7^22 f W,-t2)SK(tx)S,(t2Wt2=^ \s2Mdt}

Z

Z

1

1

Ф,(2) =

Ф,(2) =

2л

2л

jexp -^- dx;

jexp -^- dx;

(2-59)

(2.60}

(2.61)

(2-59)

(2.60}

(2.61)

2)5*0:

(2.62)(2.62)<XS >=~У^ j^^ -Ук*^к > SKdt =<Х0 >+~^ jSKdt = 2Bqx, ” k=i о” w о

(2.62)

(2.62)

02 =<X2S > - <XS > - Бо = 4Bqx;

<х^Х 2°0<х^Х 2°0<ГО<ГО1-Ф,1-Ф,Хор-25^< а0 уХор-25^< а0 у(2.63)(2.63)

<х^Х 2°0

<х^Х 2°0

<ГО

<ГО

1-Ф,

1-Ф,

Хор-25^

< а0 у

Хор-25^

< а0 у

(2.63)

(2.63)

3)1пАпор=0 (Апор=1):

Ро=1-ф1Ро=1-ф1= 1-^0-= 1-^0-(2.64)(2.64)

Ро=1-ф1

Ро=1-ф1

= 1-^0-

= 1-^0-

(2.64)

(2.64)

Формула (2.55) задает входные воздействия, выражение (2.56) поясняет вывод с использованием дважды условных по Ук и SK функционалов вероятностей Ф. Формула (2.57) есть оптимальный алгоритм, который является компенсационно-корреляционным, причем сначала осуществляется компенсация (вычитание) из входной смеси пачки CDMA Ук в каждой из К позиций ПСП, затем на длительности чипа Тч отыскивается корреляционный интеграл с копией сигнала SK в К-й позиции, после чего результаты суммируются по всем позициям (рис. 2.11, а).

Схема оптимального алгоритма сложнее (2.45), но не за счет наличия интеграторов, а за счет необходимости априорного знания мгновенных компенсируемых в каждой позиции значений пачки CDMA, равных последовательно: У-Ъм---Ук = ^ЬПк,...уБ^ЬпЕ.(2.65)

и,=1л^=1п£=1

Формирование такой последовательности является самой трудной и по сути единственной операцией, приводящей к высоким показателям качества обнаружения сигнала при его сжатии в момент времени Т = ТчБ. При отсутствии сигнала на входе среднее значение и дисперсия случайной величины Хо определяются формулой (2.58), выражение (2.59) приведено для пояснения вывода плотности вероятности f^/^ при отсутствии сигнала. Вероятность Ро ошибки 1-го рода задается формулой (2.60); (2.61) есть табулированный интеграл вероятностей. При наличии сигнала на входе среднее значение и дисперсия случайной величины Xs задаются формулами (2.62), плотность вероятности - гауссова f(X/s ^0), вероятность правильного обнаружения Рх определена выражением (2.63). При Апор = 1 формула (2.64) определяет вероятности Ро и Рх. Расчеты приведены в табл. 2.4 при базе з«

5=100 (см. рис. 2.11,5). Результаты расчетов табл. 2.4 несравненно выше, чем табл. 2.2 и 2.3, по вполне понятной причине: из-за идеальной компенсации в алгоритме (2.57) мгновенных текущих значений мешающих N сигналов CDMA. Если неидеальность компенсации приводит к дополнительному цифровому шуму (скажем, округления, отбрасывания младших разрядов и т.п.) с дисперсией о7 в полосе частот \f, то добавляя спектральную плотность И^ = о7 / А/ к исходной W, получим отношение С/П = q2 = Эч/(W + ^) < q}, что снизит показатели качества обнаружения (2.64), причем тем заметнее, чем больше ^ (надо везде заменить qx на q2 ).

Таблица 2.4. Вероятности Ро и Р, в зависимости от отношения С/П = q.

5= 100

41 = 0

0,1

0,5

1,0

41» 1

р - р

Г0 ' лт

0,5

0,06

0,0002

10’7

0

Р = Р г}г по

0,5

0,94

0,9998

1 - 10’7

1

Но ошибка может быть гораздо серьезнее, если «сбита» система синхронизации и вычитание, скажем, YK производится не в К-й позиции ПСП, а любой другой либо неправильно определено число N сигналов в пачке CDMA, которое может быть как меньше N (пропуск некоторых сигналов в TV-канальной системе, каждый канал которой реализует алгоритм (2.57) для своего, разумеется, сигнала), так и больше N (ложное обнаружение в некоторых каналах). Возможны и другие ошибки, но ясно одно: число N мешающих сигналов и их вид должны определяться с высокой надежностью и точностью. Проблема обнаружения при этом остается, ибо даже при точно известном N совершенно неясно, передается и принимается бит информации со знаком +1 или -1 (так что, строго говоря, общее число сигналов вдвое больше и равно 27V, но поскольку всюду N произвольно, то никакой потери общности нет).

Заранее ясно, что система выделения и разрешения N сигналов сложнее рассмотренных ранее обнаружителей, которые являются непременным атрибутом систем распознавания, но не решают проблемы полностью. Возможны и «промежуточные» компромиссные решения, во всяком случае отбрасывать их неразумно без исследования потенциальных возможностей, априори неясных. Одним из таких компромиссных подходов является синтез обнаружителей в моделях частичной детерминированности при полной случайности пачки мешающих сигналов CDMA, задаваемой своей многомерной плотностью вероятностей.

Случайная пачка CDMA и проблемы оптимального синтеза

Здесь уже появляются три принципиально новых момента, не имеющих однозначного ответа главным образом из-за несопрягаемости непрерывных распределений вероятностей и их предельных аналогов (функционалов вероятностей) некоторой

1ем го. 'ли ка- )се Им 1Ия

мгновенной текущей реализации случайного процесса на интервале времени (0,7) и язрывных (дискретно-цифровых) распределений вероятностей процессов типа дачки сигналов CDMA. Единственный разумный способ действий состоит в том, чтобы «пожертвовать» либо непрерывностью в пользу дискретности (что целесообразнее для систем CDMA), либо, наоборот, поступиться дискретностью в пользу непрерывности (идея вполне работоспособная в некоторых дискретно-цифровых системах с увеличением частоты дискретизации до «бесконечности»).

Несколько слов о каждой из трех принципиальных трудностей. Первая связана

с усреднением функционала вероятностей типа Ф(Х) в выражении (2.56) для отношения правдоподобия А . Разлагая экспоненту функционала Ф(А) в ряд и усредняя с g-мерной плотностью вероятностей / пачки CDMA, получаем:

^Z^y^ = J... J/(y,,...,ye^(Z(C/y1,...,ye^(2.66)

Q

Q N

/(у) = /^о-^е)-2^8(^-^Х К = 1,Б, g = £C^2";(2.67)

«,=1q=0

4И и- ть

(РХ+Р2У =PXN+С^Р2+... + С^РхР2^+Р2к = f^7>/C»;(2.68)

q=0

UI le

ю

>й се э- >е I-

y4yv=N,y2=N-2,...yQ_x=4N-2\ yQ=-N; [..\f(y)dy = (Px+P2)N=lN = V, (2.69)

Q

-W,-y?)dtxdt2=

^О 0 0^„0 ОООL

з

X

=с '-fw"^>А^]]«У(У>АА- _ rr0 о"о о о

'^ihz3 fJf^") ^"^ ^ ^ >у dtxdt2dt3*... +

• "о 0 0 0

Г—1W+1

+<ё^?г I -1 < <-)2-< ->2■

(2.70)

Приведенные формулы есть: (2.66) - строгое по определению правило усреднения; (2.67) - многомерная плотность пачки CDMA для одной произвольной ТСй позиции ПСП (при усреднении по всей длительности ПСП размерность / должна . быть равна QE); (2.68) - представление метода «расщепления единицы», позво- i Ляющее мгновенно убедиться в первом и важнейшем свойстве любого распределе- i Ния вероятностей - в нормировке (2.69), причем легко указать соответствующее

каждой вероятности С^Р^^Р^ значение случайной величины У. Из усредненного

значения функционала (2.70) сразу ясно, что член ряда с номером (0 +1) потребует ^ = точно такой же размерности f, следовательно, усреднение всех членов ряда возможно только при использовании бесконечно-мерной плотности^ т.е. фактически

некоторым дискретным функционалом, который еще надо ввести, доопределить иIй Л

исследовать. И именно в этом состоит принципиальная сложность сопряжения непрерывных по определению функционалов вероятностей Ф с разрывными дискрет

ными распределениями вероятностей / (здесь все упирается в тонкие и неоднознач-^-2 ~

ные вопросы теории меры, главным образом в свойства меры множества нуль-коти- нуальной и более того размерностей).<

Разумеется, можно ограничиться 0-м членом ряда (точнее QE-м членом дляотш

всей ПСП), причем в силу знакопеременности ряда легко указать погрешность усе-свер

чения (не превосходит в сумме первого отброшенного члена). Но, во-первых, это(2.7-

уже не экспонента, что резко усложняет эквивалентную интерпретацию в техниче-элел

ских терминах с необходимостью оценки моментов QE-ro порядка, зависящих отшy^

всей совокупности моментов времени (Z,,...,^,...,^) ,что само по себе - серьезнаянор1

проблема, и, во-вторых, необходимо предварительно исследовать сечения «вспле-нар!

сков» слагаемых.АК<

Вторая принципиальная сложность характерна вообще для теории статистиче-нык

ских решений и связана с необходимостью усреднения отношения правдоподобия

< А >у =< Ф, (Z / Y, S * 0) / Ф2 (Z / У, S = 0) >у . Ведь через У числитель Фх и знамена-ХОД1

тель Ф2 оказываются функционально связанными, что независимо от вида плот-ног<

ности Jv) приводит к появлению дополнительно условных многомерных дельта-функций [33-35], отражающих соответствующие детерминированные функ-орн

циональные связи; задача синтеза сильно усложняется и становится неоднознач-цио

ной. Естественное и сильное упрощение наступает при использовании экспонен-вын

циальных функционалов, характерных для гауссовых распределений (2.56), но, кИм(

сожалению, не для негауссовых функционалов - в негауссовом случае появляются всевозможные перекрестные связи, что заставляет учитывать смешанные моменты произвольного порядка. Эти эффекты объясняются удивительной гармонией и внутренней согласованностью всех операций теории статистических решений, и без ущерба из нее ничего нельзя изъять или привнести извне, как, например, логарифмирование А (преобразование хотя и монотонное, но существенно нелинейное). Это легко поясняется разложением логарифма в ряд и появлением степеней полиномов у (А) (в итоге и порождающими многомерные условные дельта-функции):

(2.71)-^(2.71)-^lnA = 2y(2H + l)-V"+,(A),^7^) = ^-^, А>0;

(2.71)-^

(2.71)-^

А + 1

^hA^^ + iy'^W,;0<(Л)у<оо;(2.72)

л=0

ЩЛ^^МГ1^-^, 0<Л<2;(2.73)

Х2 =< In Л >у = £(-1Г1. и- < (Л -1)" >,,0 < ^у ^ 2.(2.74)

Л=1

формула (2.71) поясняет возникающие трудности для не ограниченных сверху отношений правдоподобия Л, приводящих к алгоритмам (2.72); для ограниченных сверху значений Л,что типично для негауссовых распределений, в алгоритмах (2.74) возникают упрощения. Неопределенность в данном случае раскрывается элементарно: 0/0 = С,/С2 = 1 в силу равномерности спектра белого гауссовского шума или оо/оо = С,/С2=1 для узкополосного экспоненциально-коррелированного нормального процесса. Но это скорее исключения, чем правило - любая нестацио- нарность во времени или неоднородность в пространстве, например мощности или АКФ, ВКФ и т.д., делает С, С2, и, что важнее, скорости стремления их к предельным аналогам будут неодинаковыми.

Теперь о третьей принципиальной трудности, связанной с формированием исходного отношения правдоподобия Л, однозначно вытекающего из способа (удачного или нет) представления и записи исходного вероятностного массива данных непрерывных или дискретных процессов в виде условных распределений вероятностей, избавляющих в алгоритмах (но не в порогах) от обязательного знания априорных вероятностей. Для простоты ограничимся рассмотрением гауссовских функционалов белого шума, в которых допустимы операции логарифмирования Л (и вынесения в порог всякого рода констант, что в данный момент не существенно). Имеем:

A1=<lnA>s=^ln™^^ = (1пФ,(2-5))5-ЬФ2(2) =

= ^Z<S>s dt-^< S2(f) > df,(2.75)

./ Ф, [г-(у + 5)]\г,

Х2 =< 1П Л >yS = / In - L\ =< b Ф, ^ __ b Ф^ =

' A jyS

= ^Z<y + S >yS dt-^ J< S2 (t) >s df,(2.76)

00

Х3 —< In A > ^ — / In————— [<(Z-у)>у<S(t)>s dt-. ■

3\Ф2(2-у) ]ySy s

-l-Ys4tVsdt.(2.77)

” о

Выражение (2.75) есть классическая форма записи X, при случайных параметрах сигнала S, а (2.76) обобщает (2.75) на случай воздействия сигнала с пачкой Y из N сигналов CDMA, которая значительно (при N »1) снижает качество обнаружения, так как отношение С/П ^qj N (см. ниже). Но сейчас важно другое - ни в (2.75), ни в (2.76) нет и намека на компенсацию в виде хотя бы разности входного воздействия Z и У, тогда как в (2.77) четко присутствует компенсация Z - У, хотя числители Фх в (2.76) и (2.77) одинаковы и усреднение производится по всем соответствующим случайным параметрам в S и У. Всего лишь незначительное отличие знаменателей Ф2 в (2.77) и (2.76), а в итоге приходим к фундаментальным различиям в алгоритмах обработки сигналов на фоне непрерывного белого шума, поскольку теперь перед коррелятором (или согласованным фильтром) появился компенсатор пачки У мешающих сигналов CDMA. В более общей теории многопозиционной пространственно-временной обработки сигналов на фоне произвольных помех, развитой в разд. 2.2, это обстоятельство было подмечено и методично использовано для синтеза оптимальных алгоритмов выделения полезных сигналов. Именно поэтому ниже будет использовано только выражение (2.77), точнее его дискретный аналог из-за необходимости «пожертвовать», как было сказано выше, непрерывностью функционала в пользу дискретно-цифровых сигналов CDMA.

Оптимальный алгоритм при случайной пачке CDMA

Итак, вместо непрерывного функционала (2.56) для белого гауссовского шума воспользуемся дискретным функционалом (2.39), но только в отличие от алгоритма в (2.39) не будем «насильственно» полагать распределение вероятностей пачки у к CDMA нормальным с неизбежной «отсечкой», т.е. отбрасыванием аномально больших выбросов у к . Этот момент обсуждался в [31], где показано, что гауссова аппроксимация ошибочна в центре и особенно на «хвостах» распределений вероятности. Ниже будет доказано, что последнее обстоятельство весьма существенно может снижать характеристики обработки сигналов CDMA как раз по причине сильного влияния «аномально» больших выбросов. Поэтому воспользуемся точным распределением вероятностей пачки (2.67). Но и здесь возможны два различных варианта. По первому варианту необходимо найти свертку у к в каждой Л’-й позиции распределения вероятностей (2.67) и собственного шума Хк с дисперсией

До (с гауссовой плотностью вероятностей «отрезка» шума на длительности чипа ПСП Тч, чем определяется Д0=W\f = W /ТД, азатем синтезировать оптимальный алгоритм обработки. Используя статистическую независимость чипов в каждой позиции К = 1, Б, имеем:

•dyK =•dyK =2Д02Д0Д2Д = Дхк + уД = J^ РЧкДук -у^X^f^ДД 1 ехр■ _^А_А2

•dyK =

•dyK =

2Д0

2Д0

Чк='

= £ PqK (Т2л^о) 1 exp- -

ЧК=Х.

(ZK-yqKf

Ж

QK=2N, К = \,Б-\;

(2.78)

№)”Т^Гхр

^Дк)

,ДК ^к >=(7Д(ЛГ + 1))2 = Д^*\\<2К > = 0,

(2.79)(2.79)KZB,K-E>\KZB,K-E>\1,ехр Тад1.ехр [Тад1,ехр Тад1.ехр [ТадZ;S-- ЗД)(2б±Б)2ДZ;S-- ЗД)(2б±Б)2Д(2.80)(2.80)■,Б-±Б,ДДН^БДа,<2ДБ = ^>^Б.■,Б-±Б,ДДН^БДа,<2ДБ = ^>^Б.Рассмотрим выражения для разных К;Рассмотрим выражения для разных К;Г)К = 1,Б-1:Г)К = 1,Б-1:1пА1 = 1пр[Т^^—5^2 * 1пр[(1) = 0, так как < SK >® 0; к=1 /(ZK)К=11пА1 = 1пр[Т^^—5^2 * 1пр[(1) = 0, так как < SK >® 0; к=1 /(ZK)К=1(2.81)(2.81)2)К = Б*.х=1 JV^k) A К=\2-Д к=\ <2)К = Б*.х=1 JV^k) A К=\2-Д к=\ <(2.82)(2.82)J-ys’ -J-Ул/, ,-5^- ,1. э- ЛА ^f ._ 2Д,м 2Д«ь. ДД + 1)БД„ 2(М + 1)Т,Д„ 2№(1 + ^)Д,_ До _91.2 (1 + А)Д0"2(А + 1)’J-ys’ -J-Ул/, ,-5^- ,1. э- ЛА ^f ._ 2Д,м 2Д«ь. ДД + 1)БД„ 2(М + 1)Т,Д„ 2№(1 + ^)Д,_ До _91.2 (1 + А)Д0"2(А + 1)’flQ=W\f = W)T4, q.=3jW, ЭЧ=МЧТЧ, МЧБ = М;flQ=W\f = W)T4, q.=3jW, ЭЧ=МЧТЧ, МЧБ = М;(2.84)(2.84)

(2.79)

(2.79)

KZB,K-E>\

KZB,K-E>\

1

,ехр Тад

1

.ехр [Тад

1

,ехр Тад

1

.ехр [Тад

Z

;S-- ЗД)

(2б±Б)

2Д

Z

;S-- ЗД)

(2б±Б)

2Д

(2.80)

(2.80)

■,Б-±Б,ДДН^БДа,<2ДБ = ^>^Б.

■,Б-±Б,ДДН^БДа,<2ДБ = ^>^Б.

Рассмотрим выражения для разных К;

Рассмотрим выражения для разных К;

Г)К = 1,Б-1:

Г)К = 1,Б-1:

1пА1 = 1пр[Т^^—5^2 * 1пр[(1) = 0, так как < SK >® 0; к=1 /(ZK)К=1

1пА1 = 1пр[Т^^—5^2 * 1пр[(1) = 0, так как < SK >® 0; к=1 /(ZK)К=1

(2.81)

(2.81)

2)К = Б*.

х=1 JV^k) A К=\2-Д к=\ <

2)К = Б*.

х=1 JV^k) A К=\2-Д к=\ <

(2.82)

(2.82)

J-ys’ -J-Ул/, ,-5^- ,1. э- ЛА ^f ._ 2Д,м 2Д«ь. ДД + 1)БД„ 2(М + 1)Т,Д„ 2№(1 + ^)Д,

_ До _91.

2 (1 + А)Д0"2(А + 1)’

J-ys’ -J-Ул/, ,-5^- ,1. э- ЛА ^f ._ 2Д,м 2Д«ь. ДД + 1)БД„ 2(М + 1)Т,Д„ 2№(1 + ^)Д,

_ До _91.

2 (1 + А)Д0"2(А + 1)’

flQ=W\f = W)T4, q.=3jW, ЭЧ=МЧТЧ, МЧБ = М;

flQ=W\f = W)T4, q.=3jW, ЭЧ=МЧТЧ, МЧБ = М;

(2.84)

(2.84)

К = 1,Б-1, К* Б, Дк«Д0(А + 1);

л2пор =1:

(2-85)(2-85)х = "^1LZkSk >Кор = 1пЛ2пор + ^ = ^2;

(2-85)

(2-85)

Д к-\<

5 = 0:

< ^-о > =^*к =^» < 7, > = 0;(2.86)

Д к=\

Б0 =^И< Z^ > SA =< 7.Х > S2K + -Lf £< ZK x Z, >5,8, =

Д k=\ i=\Д к=\Д k»i /=i

c2' _ МчБДк _ M4E(N + 1)Д0 _ДМЧ _M4 _2 ME _

(2.$7)(2.$7)дг^Дк а д2 д2 дг д Б2Д

(2.$7)

(2.$7)

Б Б^М *\У

Ри-Р0= J"7=exp -— <А = 1- fl-Ф, -^ ,ф1(2) = -2= fe’^x; (2.88) ^2яо02о0)( а0 J V2n

5)5^0, 5>0:

<^>=-^Е<^+^>^=<^>+-^£^=272=?2/^ + 1);(2.89)

ООпV2nOo( (X-<XV>)2^ хр и\2^0)(/Х = 1-Ф, -^^-1^0(при д = 1) = й.= = J^l = 1Б — = ст0пор/2д2/Б У 2 У 2У 2(^ + 1)^■пор— < ^пор > ( А92—2^2^2/V^v+i7 \ЖСто рпт=р0=1-ф, рт-р,-\-фх*.ПОр( ЕЕ"^V^v+i;v 2V7V + 1= 1-Ф,\/-фх 77V°оа0 'fN-H,Viv+J Р>W+iJ W^v+U2ООпV2nOo( (X-<XV>)2^ хр и\2^0)(/Х = 1-Ф, -^^-1^0(при д = 1) = й.= = J^l = 1Б — = ст0пор/2д2/Б У 2 У 2У 2(^ + 1)^■пор— < ^пор > ( А92—2^2^2/V^v+i7 \ЖСто рпт=р0=1-ф, рт-р,-\-фх*.ПОр( ЕЕ"^V^v+i;v 2V7V + 1= 1-Ф,\/-фх 77V°оа0 'fN-H,Viv+J Р>W+iJ W^v+U2(2.90)(2.91)2-(2.9i)с(2.939(2.90)(2.91)2-(2.9i)с(2.939

ООп

V2nOo

( (X-<XV>)2^ хр и

\2^0)

(/Х = 1-Ф, -^^-

1^0

(при д = 1) = й.= = J^l = 1Б — = ст0пор/2д2/Б У 2 У 2У 2(^ + 1)

^■пор— < ^пор > ( А92—2^2^2/

V^v+i

7 \Ж

Сто рпт=р0=1-ф, рт-р,-\-фх

*.ПОр

( ЕЕ"

^V^v+i;

v 2V7V + 1

= 1-Ф,

\/

-фх 7

7V

°оа0 'fN-H

,Viv+J Р>

W+iJ W^v+U

2

ООп

V2nOo

( (X-<XV>)2^ хр и

\2^0)

(/Х = 1-Ф, -^^-

1^0

(при д = 1) = й.= = J^l = 1Б — = ст0пор/2д2/Б У 2 У 2У 2(^ + 1)

^■пор— < ^пор > ( А92—2^2^2/

V^v+i

7 \Ж

Сто рпт=р0=1-ф, рт-р,-\-фх

*.ПОр

( ЕЕ"

^V^v+i;

v 2V7V + 1

= 1-Ф,

\/

-фх 7

7V

°оа0 'fN-H

,Viv+J Р>

W+iJ W^v+U

2

(2.90)

(2.91)

2-

(2.9i)

с

(2.939

(2.90)

(2.91)

2-

(2.9i)

с

(2.939

Формула (2.78) есть свертка гауссового белого шума Хк и мешающих сигналов ук CDMA в количестве N, изображенная на рис. 2.12, а жирной линией (тонкими линиями показаны нормальные кривые в каждой из К позиций, взвешенные с вероятностями Pqn), поэтому /(ZK) можно назвать аппроксимирующей плотностью, хотя формула (2.78), как и все нижеприведенные, является точной.

Следует различать два случая: когда К - любое, только не равное Б (см. (2.79)), и когда К=Б (см. (2.80)). Тогда с учетом полезного сигнала общее количество сигналов равно N +1 и среднее значение меняется с нулевого до +Б или -Б в зависимости от знака информационного чипа (строго говоря, в (2.79) надо брать не N +1, a N, но при N »1 различия пропадают и немного упрощается запись соответствующих выражений).

На рис 2.12, б в сжатом масштабе, по сравнению с рис. 2.12, а, показаны плотности вероятностей f(ZK,K = 1,5-1) и /(Zs,5 = 5) при 5 = 0 и 5*0. Обратим внимание, что размах кривых f^Z^ равен 2А, тогда как плотностей /(Z£) - значительно больше и равен 25А.

На рис. 2.12, в сделана попытка изобразить соответствующие плотности вероятностей в трехмерном пространстве, где видно, как «проседают» кривые f(ZE) из-за условия нормировки и смещаются на ±5 при 5*0 (от нулевого среднего значения при 5 = 0). Все особенности плотностей вероятностей (2.78)-(2.80) немедленно сказываются на алгоритмах обнаружения, причем в среднем на всех позициях 5*0 отношение правдоподобия InA^O (2.81), и эта форма алгоритма далее не анализируется.

Основное внимание уделено алгоритму обнаружения (2.82) при К = Б в момент сжатия сигнала на выходе СФ с параметрами (2.83) и (2.84), естественным образом увязывающихся с параметрами (2.56) оптимального обнаружителя (2.57) с идеальной компенсацией всех мешающих сигналов CDMA, причем при N = 0 (мешающих сигналов нет) из (2.83) автоматически получаем (2.56). И поскольку q2 есть отношение С/П на входе алгоритма (2.85), то четко видно, что наличие мешающих сигналов и отсутствие компенсации в (2.85) приводят к снижению отношения С/П в (N +1) раз по сравнению с (2.56). При отсутствии сигнала на входе среднее и дисперсия определяются формулами (2.86), (2.87), вероятность ложной тревоги Р^ - выражением (2.88). При наличии сигнала на входе среднее значение и дисперсия определяются выражениями (2.89) и (2.90), вероятность правильного обнаружения Рпо - формулой (2.91). Зависимости (2.92) пороговых функций от параметра / полностью определяют значения Ро и Р\ оптимального алгоритма с идеальной компенсацией (2.57). Вероятности Ро и Ру наиболее просто можно найти по формулам (2.93). Расчетные значения приведены в табл. 2.5 и 2.6 для 5 = 100 и N = 3; 5; 24; 99 . Сравнение данных табл. 2.3, 2.5 и 2.6 показывает:

При Ро = 10“3 и Pi >0,99 алгоритм (2.85) требует увеличения отношения С/П = q2 в 2(N +1) раз в каждом чипе на всех К = 1,5 позициях по сравнению с qx (2.56) для оптимального алгоритма с идеальной компенсацией всех мешающих сигналов пачки CDMA.

Алгоритм (2.85) в принципе работоспособен только при идеальной синхронизации (впрочем, как и (2.57)), так как ошибка на длительность только одного чипа приведет к полной потере обнаруживаемое™ (см. (2.81)), хотя при этом весьма вероятны ложные срабатывания обнаружителя от аномально больших выбросов пачки мешающих сигналов CDMA (вероятность ложных срабатываний порядка 0,02).

Алгоритм (2.85) весьма прост в реализации стандартными средствами вычислительной техники и начинает проявлять «непараметрические» свойства при N »1, т.е. независимость от значения N. Но плата за это слишком велика - при Ро = 10’3 и Р\» 0,99 требуемое отношение С/П на входе в каждом чипе возрастает на 101g(50/0,5) = 20 дБ, а энергия всего ПСП с базой Б на 20 +101g5 = 40 дБ при N = 99 и на 101g(50/0,5) + 101g£' = 30 дБ при ^= 10.

Алгоритм (2.85) эффективнее обнаружителя (2.44), синтезированного в предположении «искусственной» нормальности пачки сигналов CDMA с отбрасыванием аномально больших выбросов пачки при 1 < А < 10; если же N »1, то эффективности алгоритмов (2.44) и (2.85) сравнимы.

Таблица 2.5. Зависимость вероятности Ро = Рт от Xnopia0

Ро- Рдт

10’1

10’2

10’3

10^

10’5

10"6

10’7

^"пор /^0

1,3

2,3

3,1

3,72

4,27

4,76

5,12

Таблица 2.6. Значения вероятностей Рои Р1 в зависимости от q1 и N

Б = 100; N— 3; Р, = Ф^^), Ро = 1 -Pv = 1 -Рпа

41

0

0,1

0,5

1,0

5,0

10

Ро

0,5

0,21

0,04

610’3

Ю’7

0

Pi

0,5

0,79

0,96

0,994

1 - Ю’7

1

Б = 100; N = 15; Рх = Ф^.25 ^), Ро = 1 - Ф1(1,25 ^ )

91

0

0,1

0,5

1,0

5,0

10

50

Ро

0,5

0,35

0,19

0,11

ЗЮ’3

4-10’5

0

Pi

0,5

0,65

0,81

0,89

0,997

1 -4Ю’5

1

S = 100; А = 24;Р1=Ф1(Т^),/’о=1-Ф1(^) = 1-^1

91

0

0,1

0,5

1,0

5,0

10

50

100

Ро

0,5

0,38

0,24

0,16

0,01

2-10’5

Ю’7

0

Pi

0,5

0,62

0,76

0,84

0,99

0,998

1 -Ю’7

1

Б = 100; N = 99; Рх = Ф,(0,5^),Ро= 1 - Pi

91

0

0,1

0,5

1,0

5,0

10

50

100

500

Ро

0,5

0,44

0,36

0,31

0,13

0,06

2-10’3

6-10’7

0

Pi

0,5

0,56

0,54

0,69

0,87

0,94

1 - 2-Ю’3

1 -610 7

1

В начале данного раздела кроме строгого способа синтеза со сверткой (2.78) было упомянуто о существовании еще одного варианта синтеза, который обсудим сейчас очень коротко. Суть дела поясняется алгоритмом (2.77) с усреднением не по сигналу, а только по К, причем сначала пачка CDMA Y полагается детерминированной с неизвестными, но фиксированными параметрами, а затем уже упрощенный алгоритм (можно и исходное отношение правдоподобия, только такой путь много сложнее) усредняется по флуктуирующим параметрам, от которых зависит Y.

Подчеркнем, что точная свертка в этом случае не осуществляется - в этом упрощение задачи, -ив итоге (в дискретно-цифровом варианте типа алгоритма (2.39)) приходим к (2.45). Но если и среднее, и дисперсия неизвестны и требуется усреднение по множеству этих параметров, задача очень сильно усложняется из-за функциональной связи плотностей в отношении правдоподобия через операцию деления, приводящей к условным дельта-функциям и трудно пересчитываемым якобианам преобразований [33-35]. При этом теория нелинейного математического программирования рекомендует сразу заменить случайные среднее значение и дисперсию их усредненными значениями, что немедленно приведет к (2.45).

Ясны и большие трудности, возникающие при таком способе синтеза: ведь Y - это, хотя и дискретный, но процесс, и строго законной является только операция свертки (2.78), а не весовое усреднение по параметрам. Поэтому далее этот способ обсуждаться не будет. Гораздо целесообразнее конкретизировать полученные выше многочисленные результаты синтеза оптимальных алгоритмов выделения сигналов, к чему и перейдем.

Обсуждение результатов оптимального синтеза

Обсудим результаты синтеза оптимальных обнаружителей полезных сигналов на фоне мешающих сигналов пачки CDMA, выполненного в разд. 2.3-2.4 при двух общих предположениях:

статистической независимости всех чипов во всей пачке CDMA;

аппроксимации шумового фона и распределения вероятностей пачки вероятностей гауссовыми распределениями вероятностей (см. кривые плотностей вероятностей на рис. 2.12).

Для наглядности полученные выводы иллюстрируются рис. 2.13, где оптимальный алгоритм СФ] предваряется схемой идеальной компенсации (ИК) мешающих сигналов опорными сигналами Y (рис. 2.13, а). Всей схеме условно присвоен № 1 (СФ на всех рис. 2.13, а-г одинаковые). На рис. 2.13, б изображена схема № 2 матричного компенсатора (МК) перед матричным или многоканальным СФ2. На рис. 2.13, в приведена схема № 3 параметрического компенсатора (ПК) с компенсацией параметров и СФ3 (см.алгоритм (2.45)). Схема № 4 на рис. 2.13, г отображает алгоритм (2.85), в котором компенсатор отсутствует, но синтез производился с учетом статистики пачки CDMA, что условно отражено зависимостью Z(Y).

a)

III;;jIIIII1(I;;jIIIII1(

I

I

I

;

;

j

I

I

I

I

I

1

(

I

;

;

j

I

I

I

I

I

1

(

5

Рис. 2.12. Распределения вероятностей при оптимальном приеме случайной пачки 1 сигналов CDMA: плотности вероятностей при отсутствии полезного сигнала (а);

плотности вероятностей при наличии сигнала (5 * 0) (б), сечения трехмерных плотностей ’' случайных пачек CDMA в зависимости от безразмерного дискретного времени (Кд, К^ (в) !

№ 1№ 1№3№3Опорный уОпорный упОпорный уОпорный упа)в)а)в)

№ 1

№ 1

№3

№3

Опорный уОпорный уп

Опорный уОпорный уп

а)в)

а)в)

№2№4

б)

Рис. 2.13. Цифровые обнаружители с компенсаторами различного типа:а — идеальный оптимальный алгоритм обработки; б - оптимальный матричныйалгоритм обработки; в - квазиоптимальные алгоритмы с компенсацией;г - то же, без компенсации (в нормальном шуме)

На рис. 2.14 для Ро = 10’3 приведены характеристики вероятности обнаружения Pi в зависимости от отношения С/П на входе в логарифмическом масштабе по оси абсцисс (Ig^i). Номера 1-4 прямо соответствуют номерам схем на рис. 2.13, в скобках указано число сигналов в пачке CDMA: А=3; 24; 99 (в силу неоднозначного сопряжения и соотношения параметров схемы № 3 со схемами № 2 и 4, кривые Pi носят качественный характер, однако четко отражают основные закономерности, установленные здесь теоретически).

Из графиков рис. 2.14 наглядно видно, что схема № 3 значительно уступает в эффективности всем остальным, особенно сильно оптимальным схемам № 1 с идеальной компенсацией и № 2 с матричным компенсатором-обнаружителем по с достаточно реальными алгоритмами. Отсюда и появился заштрихованный «коридор» возможных разбросов Р^ Более сложно реализуемая схема № 2 из-за накопления ошибок уступает по эффективности «наилучшей» схеме № 1. Любые отклонения от идеальной компенсации помех, всегда имеющие место, «переместят» кривую 1 (см. рис. 2.14) в коридор 2 и далее - все зависит от числа неучтенных или пропущенных сигналов CDMA (это общее свойство оптимальных схем, крайне неробастных, т.е. чувствительных к любым изменениям внешних условий и воздействий, при наличии которых осуществлялся синтез оптимальных алгоритмов обработки сигналов). Но во всяком случае однозначно ясно: обнаружение сигналов цифровыми схемами № 1-4 тем эффективнее, чем надежнее и лучше осуществляется компенсация мешающих сигналов пачки CDMA в каждом из ка

налов сжатия полезных сигналов.

Рис. 2.14. Вероятности правильных решений Рх в зависимости от отношения С/П = qx для схем, приведенных на рис. 2.13, при вероятности ошибки Рй = КГ3

Негауссовость пачки CDMA и следствия

Из рис. 2.12, а очевидно, что свертка (2.78) плотностей вероятностей нормального собственного шума и негауссовой пачки CDMA (2.67) будет явно негауссовой, нестационарной и многопиковой с 2N модами для пачки и с 2BN пиками для входной смеси на выходе коррелятора (СФ) в момент сжатия сигнала (для наглядности многомодовое «заполнение» плотностей на рис. 2.12, бив отсутствует, хотя на самом деле оно есть). И несмотря на то, что аппроксимация плотностями в среднем мало отличается, особенно визуально (см. кривые /(Z^) и /(Zs) на рис. 2.12), от многопиковых негауссовых распределений вероятностей, именно негауссовость и нестационарность являются первопричиной высокой чувствительности полученных алгоритмов к вариации параметров пачки CDMA. Казалось бы, при А = 100 ошибка ±3%, т.е. L = [±3| = 3 сигнала, не должна сказаться сильно. И это было бы действительно так, если бы сигналы со всех позиций К = 1, Б не суммировались в момент сжатия полезного сигнала на выходе СФ, так как тогда выбросы равны + LB = ЗБ. Помеховые выбросы величиной ±Б в окрестностях пика сжатого сигнала наблюдаются с вероятностью примерно 0,683 ® 0,7 (при оценках подобного рода вполне приемлема гауссовая аппроксимация безотносительно к алгоритму обработки, поскольку речь идет о вероятностях выбросов, что следует из приведенных ниже формулы (2.94) и табл. 2.7:

Vri* । • u.v nwnuriUI | | niwiw • **’

Bep. (-a < x < a) = jBep. (-a < x < a) = j11(2.94)(2.94)

Bep. (-a < x < a) = j

Bep. (-a < x < a) = j

1

1

(2.94)

(2.94)

где Ф1 (a)-табулированный интеграл вероятностей.

Таблица 2.7. Вероятности наблюдения случайных величин в интервалах ^-ZlEL\ +Z/BL)

Интервал (-<з;<з)

-0,1.„0,1

-0,3...0,3

-О,5...О,5

-1,0...1,0

-1,5...1,5

-2,0...2,0

-2,5...2,5

-3,0...3,0

Вер. (-а...+ а)

0,08

0,236

0,393

0,683

0,866

0,955

0,995

0,998

Следовательно, только при Б = 1000 и всего при одном ошибочном помеховом сигнале L = 1 достижима стандартная вероятность ложного обнаружения (ложной тревоги) Ро = 10"3, а при L = 10 требуется база не менее 104 - такова цена ошибки в оценке числа мешающих сигналов CDMA всего в 0,1%. На самом же деле ситуация еще хуже, и связано это с тем, что в среднем значение суммы ук из N сигналов в пачке CDMA либо близко к нулю (при N четном), либо равно ±1 ( при N нечетном, хотя на результаты анализа этот факт никак не влияет). Для конкретности пусть ук = 0 в некоторых позициях, тогда ясно, что для N/2 сигналов чипы равны +1, для других N/2 сигналов они равны -1. Но для оценки числа и точного указания принадлежности каждого ПСП необходимо выявить совершенно определенно, какому именно ПСП принадлежит конкретный чип, причем на всей длительности К = 1, Б. Эта задача сводится к суммированию взвешенных с вероятностями выбросов некоторых групп слагаемых из соответствующих чисел сочетаний, что потребовало бы с учетом знака бита информации огромного числа 2(2SN) = 10600 вычислительных операций при 5 = 100 и N = 10. Отсюда с неизбежностью следуют такие выводы:

Фильтр или коррелятор без компенсации не являются оптимальными и даже эффективными средствами выделения полезных сигналов на фоне пачки CDMA при N>3.

Кодового разделения ПСП на длительности (1,5) может оказаться недостаточно для «позиционной» различимости на всех К позициях в отдельности.

Для эффективной работы системы более важна различимость N сигналов на всех К = 1, Б позициях ПСП, которую обеспечить с помощью квадратур затруднительно (см. гл. 3).

Различимость чипов «по вертикали» во всех позициях К = \,Б можно обеспечить дополнительной специальной окраской чипов данного ПСП, например использованием поднесущих (манипуляция частотой) или манипуляцией фазы (эффективна только при скачках фазы, превышающих величину ее нестабильности), или манипуляцией поляризации в СВЧ диапазоне, или более общими способами пространственного разнесения сигналов. Возможны также различные комбинации указанных и других методов.

Анализ СФ и корреляторов с неизбежностью привел к появлению новой научнотехнической проблемы, порождаемой негауссовостью и нестационарностью пачки CDMA. При этом «незаметно» центр тяжести проблемы сместился с анализа линейных систем фильтрации на описание и анализ типично нелинейно-логических операций взаимодействия N сигналов в каждой из К позиций ПСП. А это уже характерно для систем кодирования и декодирования (например, группы систематических кодов в пространстве Хэмминга), но сконструированное здесь вероятностное пространство несравненно сложнее хэммингова хотя бы из-за существования аномально больших выбросов в силу суммирования чипов в пачке на каждой К-й позиции.

Результаты сравнения классических и оптимальных компенсаторов

Проблема компенсации мешающих воздействий и помех слишком обширна и важна. Ограничимся сейчас критерием минимума среднеквадратической ошибки (МСКО) компенсации мешающих сигналов CDMA, хотя выше использовались гораздо более общая теория и глубокая процедура с применением матричных массивов АКФ и ВКФ (по причине отсутствия другого метода учета скрытых статистических взаимосвязей процессов и сигналов). Очень часто МСКО используется на практике для описания систем компенсации с обратными связями, когда ошибка компенсации выхода поступает обратно в адаптивный блок весов с целью формирования опорного помехового колебания у! из поступающего х, т.е. такого уь чтобы отличие его поступающего на вход у было минимальным по критерию МСКО (рис. 2.15), откуда немедленно следуют три основных крупнейших недостатка [35] классических способов компенсации с обратными связями (ОС):

Рис. 2.15. Компенсаторы с адаптивной обратной связью

В 1876 г. И.А. Вышнеградский доказал знаменитую теорему для систем с обратными связями, которая, если коротко, гласит: при отсутствии ошибки нет регулирования и нет устойчивости. Следовательно, в классических компенсаторах (КК) ошибка неизбежна. Причем чем меньше ошибка, тем система менее устойчива, поскольку после каждого второго пробега по цепи отрицательной обратной связи флуктуации будут суммироваться в фазе, что и является причиной нежелательной и практически часто наблюдаемой генерации. Говорить о какой-либо компенсации не

приходится, поскольку генерируется сложно-модулированное по огибающей и фазе случайными флуктуациями колебание, ширина спектра которого зависит от полосы пропускания цепи обратной связи и всей петли в целом.

Полоса пропускания цепи ОС должна быть не менее ширины спектра помехи х, и поскольку нестабильности и флуктуации цепи ОС не устраняются самой этой цепью, то ошибка компенсации в КК неизбежно увеличивается. Многопетлевые цепи ОС только усугубляют ситуацию, так как через одну петлю и на каждом втором пробеге нежелательные флуктуации суммируются в фазе, ошибка неизбежно нарастает, система КК на глазах «разваливается», что проверено моделированием на ЭВМ [35].

Самые большие осложнения наблюдаются при наличии на входе помехи у в смеси с сигналом S, который в силу логики системы КК с ОС также компенсируется; на выходе, скажем, СФ сигнал практически не сжимается или вообще отсутствует. Но с теоретических позиций «провалов» гораздо больше. Ведь в идеале апериодическая 100%-ная ОС приводит к бесконечной полосе пропускания системы, а следовательно, к бесконечной мощности собственных шумов; полностью сохраняется негауссовая статистика сигнала даже при гауссовой помехе. Любые методы «квазилинеаризации», «квадратично-гауссового приближения», калмановской фильтрации не годятся, так как даже в малой окрестности пика апостериорного распределения вероятностей, оказаться в которой можно только при большом отношении С/П, в разложении пика в ряд Тейлора необходимо сохранять не менее четырех-пяти членов из-за негауссовости сигнала, а не два, как при гауссовом приближении [35].

Оптимальные схемы, полученные в разд. 2.1-2.4, лишены всех описанных недостатков; цена этого - полная априорная стохастическая осведомленность, естественная при использовании теории статистических решений и ее обобщений, а при отсутствии подобной осведомленности - адаптация путем оценки многомерных пространственно-временных законов распределения вероятностей (но только на входе системы). Процедура оптимальной компенсации (ОК) осуществляется на втором этапе, после настройки системы и адаптации весов с последующим формированием опорной помехи yi из х, статистически гораздо более «близкой» к у в силу учета всех стохастических взаимосвязей (всех процессов любого порядка), а не только спектрально-корреляционных связей (да и то не полностью, как в критерии МСКО).

В целом техническая реализация схемы, представленной на рис. 2.5, сложнее, но в силу отсутствия каких бы то ни было обратных связей сигнал никогда не подавляется (даже в режиме текущей адаптации из-за статической независимости сигнала и помехи), а глубина подавления помехи ограничивается только уровнем собственного шума и, по крайней мере, на 40 дБ больше, чем в КК при прочих равных условиях.

Единственное техническое ограничение - уровень паразитного просачивания сигнала из основного канала в опорный должен быть не более —45 дБ. Но систему ОК можно перепроектировать заново с учетом новых погрешностей порядка 10 дБ (из них 5 дБ на просачивающийся сигнал, т.е. около 30%), тогда можно гарантиро-

вать подавление помехи при ОК не менее чем на 30 дБ (классические КК в этих условиях абсолютно неработоспособны).

Компенсаторы мешающих сигналов CDMA

Теперь перейдем к компенсаторам CDMA, схематично для сравнения с КК изображенных на рис. 2.16 пунктирными линиями: 1 - при компенсации мешающих сигналов (МС) пачки CDMA, 2 - если вместо СФ используется коррелятор (что в данный момент неважно). Обращает на себя внимание неожиданное на первый взгляд появление обратной связи с выхода ПУ (но не на вход всей системы, как в КК, а в некую «среднюю» точку ОК) по следующим причинам:

неполной оптимальности схемы компенсации, оторванной от более общей схемы в целом оптимального обнаружителя (см. рис. 2.5);

априорной неопределенности относительно числа сигналов в силу случайности трафика, которую предлагается преодолеть путем предварительного сжатия (этап 1) сигналов пачки CDMA в «своих» СФ, после чего на основании этой информации (или дезинформации - в этом корень неоптимальности) с помощью цепи логической обратной связи (ЛОС) синтезировать требуемый пачечный опорный сигнал, полностью сформированный в ФОС в каждой из позиций К = \,Б при одинаковых базах Б сигналов. Затем (этап 2) осуществляется компенсация МС предварительно запомненной в запоминающем устройстве (ЗУ) пачки CDMA. И наконец (этап 3) процедура выделения сигналов из пачки, каждый из которых по отдельности является для своего канала полезным на фоне остатков от недокомпенсированных по разным причинам МС, в общем разных для различных полезных сигналов.

Каждый из трех этапов имеет свою особенность, и велик соблазн синтезировать оптимальные по отдельности для каждого из этапов алгоритмы обработки в духе рекомендаций классической теории статистических решений: сначала оценка неизвестных параметров (числа сигналов в пачке), затем подстановка оценок в законы распределения (формирование полного статистического описания) и наконец синтез оптимальной системы обработки сигналов (в описанной схеме отсутствует компенсация по причине несовершенства классической теории решений [34]). Но так делать нельзя; произвольная, хотя и вполне «обоснованная» декомпозиция на три этапа, как и в громадном числе случаев в теории больших систем [34], в данном случае не годится из-за неявной статистической зависимости сигналов CDMA в силу наличия хвостов распределения вероятностей. При декомпозиции это будет упущено, и система связи может оказаться неработоспособной. С учетом сказанного система с компенсацией МС будет достаточно эффективной только тогда, когда предусмотрена компенсация МС хотя бы в последней К = Б позиции, чему способствует прерывистая логическая ОС на рис. 2.16, не позволяющая, с одной стороны, развиться нежелательным паразитным переходным процессам, а с другой стороны, использовать скрытые функциональные связи между сигналами.

Рис. 2.16. Оптимизированный по критерию МСКО компенсаторРис. 2.16. Оптимизированный по критерию МСКО компенсатор

Рис. 2.16. Оптимизированный по критерию МСКО компенсатор

Рис. 2.16. Оптимизированный по критерию МСКО компенсатор

Оценка величин подавления мешающих сигналов CDMA

Вернемся к схеме на рис. 2.16 и оценим потенциальные величины подавления МС, принципиально необходимые для эффективной работы новой системы связи CDMA.

Введем в рассмотрение комплексный вес компенсатора г = ]г|ехр(ф/) с фазой ср, которая появляется в силу неточного совпадения во времени чипов N сигналов CDMA, погрешностей синхронизации, аппаратурных ошибок и т.п., что позволяет положить: совпадающими мощности мешающих сигналов (.У2) ~ (.У2) S мощность собственного шума Од равной 0,1Мч (где Мч - мощности чипа). Обозначая звездоч- „„2

кои комплексное сопряжение, для средней мощности остатка компенсации е получаем выражение:

е2 ^.^-ryj^-ryj^ + CT^ =^2^1-2|г|со8ф + |г|2) + СТо, (/) = №,,(2.95)

р28^=1018—- = 101gMNр28^=1018—- = 101gMN(2.96)(2.96)(1-|г|)2 + 0,1АГ, Ф = 0,., л ст2М-0,1.

р28^=1018—- = 101gMN

р28^=1018—- = 101gMN

(2.96)

(2.96)

(1 + И) + 0’Ш ’ Ф=2’

Результаты расчетов по формуле (2.96) приведены в табл. 2.8 и на рис. 2.17. Кривые на рисунке характеризуют величину подавления помех 8 в зависимости от модуля веса ]г|, его фазы ф и числа N сигналов в пачке CDMA.

Таблица 2.8. Величина 5, дБ, в зависимости от | г|, ф, N

о2М=од

И =о

И =0,5

|г| =0,9

|г| = 0,95

И =0,999

ф = 0

ф = л/5

ф = 0

ф = л/5

ф = 0

ф = л/5

Ф = 0

ф = л/5

ф = 0

ф = л/5

N= 10

0,39

0,04

-5,7

-3,5

-17,0

-4,3

-19,0

-4,15

-20,0

-3,9

N= 100

0,0039

0,0004

-6,1

-3,51

-19,6

-4,4

-24,6

-4,2

-30,0

-4,2

Рис. 2.17. Величина подавления помех 5 в зависимости от модуля и фазы весового коэффициента г

При отсутствии рассогласования (ср = 0) между основными и опорными МС дисперсия ошибки при |г| >0,9 быстро падает с увеличением |г| до единицы. Практически при |г| = 0,95 она спадает до уровня остаточного шума -20 дБ при N = 10 и -25 дБ при ^ = 100. В (2.95) имеется неявный оптимум при ср = 0 в окрестности |г| = 0,95.

При значительном рассогласовании порядка ф = л/2, что составляет Tj^, или 25%, длительности чипа сигналы ортогональны, |г] = 0 (см. штрих-пунктирную кривую на рис. 2.17), ошибка в компенсации почти равна ОдБ, т.е. никакой компенсации нет, на выходе имеем почти в точности входную помеху. Но если предварительно компенсатор был настроен и |r| = 1, то при внезапном нарушении фаз (ф^л/2 по разным причинам) в случае ф = л/2 вместо ОдБ получим максимум +3 дБ, т.е. даже небольшое усиление помехи - такова плата за ошибочную настройку на ]г| = 1. Поэтому ортогональности входного и опорного сигналов надо всемерно избегать, тогда при ср * л/2 максимальный (см. сплошную и пунктирную кри-

вые на рис. 2.17 при [r| = 1 и 101g(M4ag/A/4) = -10 дБ) уровень компенсации равен -20 дБ для А = 10 и -30 дБ при ^ = 100. Конечно, при 101g(o2/A/q) = -20 дБ получим соответственно -30 и —40 дБ.

Но это в предположении полной сохранности прямоугольной формы чипа, без учета завала нижних частот спектра, приводящего к сколу его вершины, и при отсутствии среза на высоких частотах порядка Т'1, приводящего к завалу фронтов. Поскольку компенсация относится к числу презиционных операций, то без учета искажений импульсов, особенно завала фронтов, увеличивающегося с ростом числа N сигналов CDMA, невозможно оценить реально необходимые уровни компенсации.

Система CDMA поднимает ряд новых вопросов относительно способов одновременной коррекции форм всех чипов в пачке на любой из позиций, поскольку классические схемы коррекции типа жесткого ограничения или разнообразные диодные схемы с отсечками не годятся из-за многочисленных нелинейных эффектов. Эти и ряд сопутствующих задач необходимо решать путем, например, расширения полосы частот обрабатываемых сигналов внутри системы приема (но не в радиоканале передаче!), в противном случае системы с компенсацией МС могут оказаться малоэффективными.

Справедливости ради отметим, что классические схемы КК с обратными связями в этих условиях вообще бесполезны (и даже вредны) из-за полного искажения полезного сигнала и отсутствия какой бы то ни было компенсации МС.

Оптимизация весов компенсатора мешающих сигналов

Поскольку ошибка (2.59) определяется двумя независимыми параметрами |г[ и ф, то достаточно найти экстремумы раздельно по модулю и фазе весового множителя г. Имеем:

^ = -2со8Ф + 2|г| = 0,^ = -2со8Ф + 2|г| = 0,^НсОЗф (ф = СОП81),^НсОЗф (ф = СОП81),

^ = -2со8Ф + 2|г| = 0,

^ = -2со8Ф + 2|г| = 0,

^НсОЗф (ф = СОП81),

^НсОЗф (ф = СОП81),

5V)5|г|25V)5|г|2mine2 = 2sin2 ср/2 = ■ 0,19,mine2 = 2sin2 ср/2 = ■ 0,19,ф = 0, Ф = л/5, Ф = л/2;ф = 0, Ф = л/5, Ф = л/2;(2.97)(2.97)

5V)

5|г|2

5V)

5|г|2

mine2 = 2sin2 ср/2 = ■ 0,19,

mine2 = 2sin2 ср/2 = ■ 0,19,

ф = 0, Ф = л/5, Ф = л/2;

ф = 0, Ф = л/5, Ф = л/2;

(2.97)

(2.97)

>= +2]r|si„<p = 0,

' |q=const

d(e2)I[2|г|>0,

— /= +2гСО8ф = ^ 1 1

^ И const-2г<0,

' |/]»const1’

[2ли,и = 0,±1,±2,„.

^(2и + 1)л, и = 0,±1,±2,.„

(2.98)

ф = 2ли,и = 0,±1,±2,„.

ф = (2и + 1)л,

52(е2) Э2(е2)/0,ф = 2ли, <р = (2и + 1)л, и = 0,±1,±2,„.

—= 2 sin ф = <,(2.99)

д|г|дф бфд|г|[+2, ф = ±л/2±2ли.

Из формул (2.97) и (2.98) следует, что несмотря на исходно предполагаемую независимость модуля и фазы весового множителя оптимальные значения взаимозависимы. Однако попытка совместной оптимизации (2.99) оказалась неудачной потому, что оптимум по фазе (2.98) не зависит от модуля, тогда как обратное неверно, так как |гор| = созф (см. формулу (2.97)). Следовательно, на первое место по значимости выходит фаза, что, впрочем, четко отражается формулой (2.99), и прежде всего основное внимание нужно оказывать компенсации фазовых рассогласований, независимо от начальной величины |г| * 0, стремясь сделать ф = 0. Тогда автоматически достигается величина |^р/| = 1, а ошибка минимальна и равна нулю (см. (2.97)). Если же рассогласование по фазе по каким-то причинам не ликвидировано, то, например, при ф = л/5 получаем |гор/1 = соз(л/5) = 0,81, и лишь при этом значении наблюдается минимум ошибки (причем гладкий из-за медленного спадания косинуса от максимума, равного единице при ф = 0). Увеличение (и особенно уменьшение) модуля от величины 0,81 приводит только к увеличению ошибки компенсации. Таковы неожиданные на первый взгляд и тем не менее верные (из-за перераспределения модуля и фазы) итоги частичной оптимизации. И только общая теория статистических решений [34] позволяет избежать отмеченных нюансов, которые автоматически учитываются в «недрах» оптимальных алгоритмов, синтезированных в разд. 2.2.

2.6. Выводы

В гл. 2 развиты теория синтеза цифровых квазиоптимальных реально используемых цифровых систем радиосвязи B-CDMA-3G и теория оптимизации. Получены оптимальные алгоритмы выделения полезных сигналов B-CDMA-3G с компенсацией мешающих сигналов в пачке CDMA на фоне присутствующих узкополосных и широкополосных помех с гауссовой плотностью вероятностей. Доказано, что основной алгоритм (2.1) при белости помех по спектру приводит к известной процедуре корреляционной обработки (2.4) при отсутствии опорных каналов (или при невозможности использовать компенсацию). Но даже при совместной (и раздельной) белости по спектру помех основного и опорного входов при единичном коэффициенте их взаимной корреляции оптимальный адаптивный алгоритм (2.5) приводит к безошибочному приему с нулевыми вероятностями ошибок при незначительном усложнении схемы (адаптивность требует оценивать коэффициент взаимной кор-

реляции помех основного и опорного входов компенсатора). При воздействии пачки сигналов B-CDMA схема усложняется из-за необходимости формирования опорного сигнала в устройстве ФОС на рис. 2.5. Но даже если ограничиться минимально достижимым коэффициентом взаимной корреляции помех основного и опорного входов компенсатора показатели обнаружения оптимальной схемы выше простой корреляционной обработки без компенсации.

Развита теория дискретно-цифровых сигналов В-CDMA, необходимая для оптимизации их пачечной структуры и при формировании опорных сигналов в ФОС. Использование метода «расщепления единицы» позволило относительно легко установить статистические характеристики составных сложных ПСП.

Подробно изучена оптимальная схема (2.39) с компенсацией цифровых мешающих сигналов, показатели качества которой при некоторых условиях (главным образом при по-чиповом сцеплении, т.е. при надежной синхронизации мешающих и опорных по отношению к пачке сигналов В-CDMA) чрезвычайно высоки, чему дано подробное пояснение.

Раздел 2.4 можно назвать «квинтэссенцией» теоретической части в плане синтеза оптимальных адаптивных алгоритмов обработки полезных цифровых сигналов B-CDMA-3G. Изучены разнообразные модели пачки сигналов B-CDMA-3G: детерминированная (полностью известная заранее) и случайная пачки с различными способами обработки и методами усреднения отношений правдоподобия. Получен оптимальный алгоритм обнаружения при точном учете распределений вероятностей пачки сигналов с учетом хвостов распределений, сильно влияющих на вероятность ошибок (в известной литературе хвосты обычно отбрасываются, что делать нельзя, так как аномально большие выбросы описываются именно хвостами распределений), в том числе и в классических схемах (без компенсации помех).

Результаты оптимального синтеза при наличии и отсутствии компенсации более подробно обсуждены (неполный учет негауссовости приводит к заметному снижению показателей качества обработки полезных сигналов). Однако при некоторых условиях «вес» линейно-компенсационно-фильтровой системы обработки может превышать потенциальные выигрыши от нелинейно-фильтровой обработки при отсутствии компенсации. Но модель гауссовости распределения вероятностей пачки близка к правдоподобной, поэтому было проведено сравнение эффективностей различных квазиоптимальных схем с оптимальной (все три случая с компенсацией) и неоптимальной схемой без компенсации, но широко используемой в современных стандартах и системах связи.

Характеристики качества обработки изображены на рис. 2.14 с теми же номерами систем обработки (в скобках указано количество сигналов в пачке B-CDMA); кривая 1 и целый заштрихованный «коридор» кривых 2 соответствуют оптимальным схемам и при вероятностях правильного обнаружения Рх >0,99 при любых

обстоятельствах позволяют понизить требуемые отношения С/П как минимум на 10 — (—10) — 20 дБ за счет, разумеется, усложнения схемы компенсатора, особенно в матричном компенсаторе (МК), хотя на самом деле все будет определяться программно-аппаратной «начинкой». Поскольку схемы обнаружителей с компенсацией мешающих сигналов приводят к значительно более высоким показателям качества обработки, то совершенно закономерно сравнение классических квадратурных компенсаторов с обратными связями с выхода на вход схемы (КК) с оптимальными (ОК). «Оторванность» компенсатора от оптимальных в целом алгоритмов обнаружения приводит иногда к некоторой потере «степени оптимальности», что позволяет провести дополнительную оптимизацию ОК по модулю и фазе комплексного (при узкополосных помехах) коэффициента взаимной корреляции. Как и ранее, чем ближе модуль к единице (а рассогласование по фазам помех основного и опорного каналов компенсатора - к нулю), тем стремительнее нарастает выигрыш от использования ОК по сравнению с КК, достигая 30 дБ при 5%-ной ошибке по модулю и фазе комплексного коэффициента взаимной корреляции.

Глава 3

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСПЕКТИВНЫХ И реально используемых систем радиосвязи B-CDMA-3G ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»

Введение в проблему

Как показано в гл. 2, эффективность оптимальных систем обработки полезных сигналов B-CDMA-3G с компенсацией мешающих сигналов резко возрастает. В реальных условиях работы часто возможны сценарии (из-за воздействия иных помех, нежели учтенных при синтезе) из-за появления МЛР сигналов, интерференционных помех и т.д., которые уводят системы из «области оптимальности», заставляя заниматься либо переоптимизацией, либо, что предпочтительней, анализом эффективности синтезированных систем и оценивать степень их робастности (устойчивости характеристик при меняющихся условиях связи), поскольку учесть все разнообразие возможных сценариев попросту нереально. При этом цифровизация сигналов и систем часто приводит к неожиданным свойствам дискретно-цифрового вероятностного пространства (ДЦВП), которое к тому же непрерывно меняет свои свойства при любых преобразованиях (манипуляции, перемежении, кодировании и т.д., равно как и при обратных к указанным операциях). Поскольку ДЦВП оказывается в высшей степени «неизометрическим» [33-35], то приходится пользоваться более простыми и наглядными методами анализа, что и сделано ниже в данном разделе ценою одного, обычно используемого, но важного исходного предположения, а именно - статистической независимости чипов всех ПСП и всех сигналов в пачке В-CDMA на любой из временных позиций и при любом числе сигналов в пачке. Но и при этих предположениях проблема анализа отнюдь не тревиальна, требует значительных усилий; даже малозначительные на первый взгляд усложнения исходной модели с трудом поддаются последующему анализу, что, впрочем, уже в полной Мере проявилось при синтезе оптимальных алгоритмов обработки с компенсацией мешающих сигналов в гл. 1 и 2.

Ниже проведен анализ статистических характеристик - средних значений, дисперсий автокорреляционных и взаимно-корреляционных функций как ПСП, так и Цифровых сигналов в пачке В-CDMA, как без учета, так и с учетом моделей трафика связи (равновероятного и гауссовского). Кроме начальных моментов цифровых

сигналов пачки В-CDMA изучены и смешанные моменты произвольного порядка. Практически очень важными являются выражения для начальных и смешанных моментов на выходе корреляторов после сжатия сигналов, а также статистика их выбросов и хвостов распределений вероятностей как при воздействии полезного сигнала, так и при его отсутствии в пачке сигналов B-CDMA-3G. Показано также, что априорная осведомленность о сигналах и/или корреляторах существенно может изменить показатели эффективности.

Были предприняты усилия для анализа влияния физических ограничений на эффективность систем: рециркуляторов сжатия, систем синхронизации, параметров квадратур сигналов, величин динамического диапазона на эффективность приемников сигналов. В завершение рассмотрены некоторые методы управления и расчета эффективности квадратурных компенсаторов помех.

Анализ статистических характеристик сигналов B-CDMA

Под статистическими характеристиками здесь понимается среднее значение (С), вычисленное по множеству ансамбля сигналов (обозначаемое всюду косыми скобками), дисперсия Д, АКФ и ВКФ (впоследствии двумерные законы распределения вероятностей Р(х,,х7) = Р(х;)Р(ху) и P(x/,yv) = P(x,)P(yv), последний - при анализе совокупности из двух разных сигналов). Мультипликативное представление двумерных распределений есть следствие статистической независимости чипов в каждом ПСП и всех сигналов в пачке CDMA, но приведенные формулы позволяют легко контролировать правильность довольно громоздких и далеко не однозначно получаемых формул. При анализе пачки из N сигналов CDMA в каждом £-м чипе среднее значение и дисперсия равны соответственно:

to=\i1sna=i,(snk')=N^p1-p2)=^, к=о,к, \ П = 1/И=1"

(3.1)(3.1)^ "^ РД 12 2( Б) 2( Б) Б’

(3.1)

(3.1)

\л=1т=\/л=1

С nAn

+ Е X(SnkSmk) = N- — + Q^N 1-—

п*тЬ\ D JЬ

(№) =(№) == 12Д+(-1)2Д =Д+Р2= 12Д+(-1)2Д =Д+Р2=1,=1,(3-2)(3-2)L Рх"Ь РгL Рх"Ь РгL ДL Д1 р2 , р2 \1-1, \p^VP^^-W^Px-^^1 р2 , р2 \1-1, \p^VP^^-W^Px-^^

(№) =

(№) =

= 12Д+(-1)2Д =Д+Р2

= 12Д+(-1)2Д =Д+Р2

=1,

=1,

(3-2)

(3-2)

L Рх"Ь Рг

L Рх"Ь Рг

L Д

L Д

1 р2 , р2 \1

-1, \p^VP^^-W^Px-^^

1 р2 , р2 \1

-1, \p^VP^^-W^Px-^^

(3.3)(3.3)где все вычислительные операции подробно обоснованы и пояснены в разд. 2.2.3.

(3.3)

(3.3)

Отметим, что для сигналов с четной базой имеем Р = Рг = 1 / 2, поэтому все средние (Ct) = 0, Д'к=М, приращение дисперсии Д'к- Дк = N / Б2 >Б~' при N = Б (т.е. в случае сигналов с четной базой больше, чем с нечетной, но незначительно, на величину Б'1). При вычислениях необходимо тщательно следить за взаимодействием сигнала со своей же копией, только тогда появляются квадраты чипов (±1) = 1 с вероятностью, равной единице, причем всюду принята нормировка по энергии, поэтому энергия чипа Эч = 1, энергия пика сжатого полезного сигнала 3S - Б. Остальные чипы, несмотря на частое совпадение их значений, в среднем дают следующий вклад в энергетику:

е-( £ 2M=-U= 5-i_.(34)

где, естественно, 2 = 0 при одном сигнале в пачке CDMA (А = 1), к тому же полезном (иначе не было бы вообще передачи информации). При N = E остатки весьма значительны, в Б раз больше, чем одного чипа в среднем (5-1), и нивелируются только из-за вычитания квадрата среднего значения, равного (N/ 5) =1. Данное обстоятельство важно при расчете АКФ, здесь необходимость вычитания (смещения, трансляции) величины (А/ Б)2 следует из определения дисперсии, равной АКФ(О), где нуль указывает на отсутствие сдвига сигнала относительно самого себя (полное зацепление реализаций). А вот центрирование ВКФ проблематично, поскольку тогда влияние остатков ВКФ равно нулю, а максимум ВКФ в среднем порядка Б~2, что не соответствует реальному положению дел при сжатии сигнала - обычно остатки значительно больше. И хотя, как показано в гл. 2, при матричном анализе оптимальной системы обработки с компенсацией мешающих сигналов нулевые подматрицы ВКФ сильно облегчают вычисления, пока целесообразно не вычитать произведение средних значений из сумм Q типа (3.4), что позволит объективно оценить величину остатков. И еще одно обстоятельство - при сжатии конкретного сигнала процедура осуществляется в дискретном времени по чипам (число которых равно А), и, следовательно, практически гораздо важнее поведение текущей реализации пачки CDMA, непосредственно влияющей на принимаемые решения, что заставляет снова вернуться к задаче вычисления средних значений, дисперсий, АКФ и ВКФ с тщательным анализом свойств текущих реализаций.

Средние и дисперсии пачки сигналов B-CDMA

Будем сначала вычислять характеристики напрямую при N = 1 - 4. Затем, выявив тенденцию, положим справедливость формул для N -1 и потом докажем справедливость выводов для произвольного N, т.е. воспользуемся методом математической индукции (из-за громоздкости выражений последний шаг индукции либо описывается конспективно, либо опускается вообще, если процедура вычислений достаточно прозрачна). Итак, используя символическую форму записи, последовательно имеем в к-м чипе:

Njzl- (^H-S^^Njzl- (^H-S^^Р\) = 1Р -I P, = А-Р, = Б р /122Г21Р\) = 1Р -I P, = А-Р, = Б р /122Г21

Njzl- (^H-S^^

Njzl- (^H-S^^

Р\

) = 1Р -I P, = А-Р, = Б р /122

Г21

Р\

) = 1Р -I P, = А-Р, = Б р /122

Г21

Рх 1рр2РгРх 1рр2РгДк = (с2) - (с„ )2 = I2 Рх + (-1)2. Р2 - (c,t )2 = 1 - Б"2;

Рх 1рр2

Рг

Рх 1рр2

Рг

, VV К 1, Р Г 1, Р

«^2: (C21) = (SI1+S21}= _'+ ,'

\ I Ь Г2 I *2

- 2Р2 - 2Р22 - 2tf + Р2\РХ-Р2) = 2{Ск) = 2/Б^2(Рх-Р2),

Д2к =(C2kV(C2k) = 4Р2 + 4Р2-4(РХ -Р2У=4Рх -Р2=4 - + =

Zb )\Z Zb)

= 4|- LL2(l-£-2) = 2^;

14 4Б2)

^3:(C3t) = (5u+52t+Su) = 3(St) = 3(/’-P2) = 3(Cu) = 3 <^3:(C3t) = (5u+52t+Su) = 3(St) = 3(/’-P2) = 3(Cu) = 3 <3,1,-1,-3,3,1,-1,-3,fi3 з^2б2 з^б22fi3 з^2б2 з^б22

^3:(C3t) = (5u+52t+Su) = 3(St) = 3(/’-P2) = 3(Cu) = 3 <

^3:(C3t) = (5u+52t+Su) = 3(St) = 3(/’-P2) = 3(Cu) = 3 <

3,

1,

-1,

-3,

3,

1,

-1,

-3,

fi3 з^2б2 з^б22

fi3 з^2б2 з^б22

Дзк = (c32,) - (C„ )2 = 9j;3 +12. 3P2P2 + (-1)2. зрр2 + (-3)2 P23 - (cn )2 =

= 9/;3 + 3p2P2 + зрр2 + 9P23-9(Px -P2)2XPx+P2) = ^2P2P2 + \2PXP2 =

= \2PxP2=\2\-У = 3(1-Б-2) = ЗД..;

^4 4£2 JXk

,4,44^2 \

,4

,4

6^2Р22 \ = 4РХ а-2-4РХ Р2-2-4РхР2-4Р4 =

Ж /

Р4 /

г2 /

=4(^ +2^Р2-2РхР2 ~Р2)-а[(Р2-Р2\Р2 + Р2) + 2РхР2(Р2-Р2)]^

= 4(/^2 - № + 2РД + РЪ = Ж - РЖ Ж? = Ж - Р2) = 4(С„), д^ =(cy-(c4J2 =16/Г +4/^^-Р2Ж + Р2)2 =

= 16^P2=4(l-5"2) = 4^;

N-V. (C^.^CW-^-PJ^-W,

Д^ =^2_xt')-^CN_xy =(N-\)PxP2=(<N-\)(^-Б"2) = (N-\)Дxlc,

(С,24) = ^+Р2=1,2(С^и(С,24) = ^+Р2=1,2(С^и+ Схк)^ (СпЛСхк) =+ Схк)^ (СпЛСхк) == 2(N-\)= 2(N-\)Дм,к ~^Cn-U + Cw') ) ^N-X.k') ~ Ди-\,к "'"^•^CN_X kCXk^ + \Cxk ) N \Схк

(С,24) = ^+Р2=1,2(С^и

(С,24) = ^+Р2=1,2(С^и

+ Схк)^ (СпЛСхк) =

+ Схк)^ (СпЛСхк) =

= 2(N-\)

= 2(N-\)

N_ N_ N_NPxn +... + 0-C^Px2P22N_ N_ N_NPxn +... + 0-C^Px2P22-np2-np2

N_ N_ N_

NPxn +... + 0-C^Px2P22

N_ N_ N_

NPxn +... + 0-C^Px2P22

-np2

-np2

= 2(2V-1)/\ = 2(N-Y)

P2nI

N N_ N,

•C2Px2P2v.-P2N

= -1 + ^2,

flN,k = (^- 1)/>P2 + N2(/^ - P2)2 + PXP2 -1 +1 - N2 (CxkУ = NPxP2 = ^xk,

гДе операция транспонирования «Т» преобразует вектор-строку в вектор-столбец и Дальнейшие утомительные преобразования, не выписанные явно, приводят в итоге

к ответу: средние значения растут как NIB, дисперсии как Аг(1-5'2), что и требовалось доказать. В процессе доказательства широко применялся метод «расщепления единицы» [33-35]:

1 = 1" =(/]+ P^N = р” + ... + С"/2 + Р^2 + Р^2 +... + Р”, (3.6) с помощью которого легко и однозначно задаются вероятности мгновенных текущих значений сумм Cw, координаты (значения) которых выписаны явно в (3.6). Например, значение См = +N появляется с вероятностями P,N и Р^ соответственно, вероятность значения С№ = 0 наибольшая из-за появления числа сочетаний из N по N/2 - для четных N, для нечетных N минимальные значения равны ±1 с близкими вероятностями с^"^2?^"^?^"^2 и С^+|)/2Р^"')/2p^N^l2, которые одинаковы для сигналов с четными базами. В табл. 3.1 приведены крайние (экстремальные выбросы суммы из N сигналов CDMA) и нулевые значения с соответствующими вероятностями для N= 10 и N= 100.

Таблица 3.1. Вероятности экстремумов пачек сигналов CDMA при N = 10 и N = 100

Мгновенное значение пачки сигналовN

+10

0

-10

Мгновенное значение пачки сигналовN

+100

0

-100

Вероятность экстремума

0,001

0,252

0,001

Вероятность экстремума

10"30

0,08

Ю-з°

Итак, в результате анализа получаем (рис. 3.1):

Если увеличение числа сигналов в десять раз уменьшает вероятность нуля втрое, то вероятность крайних выбросов убывает на 27 порядков.

В любых системах связи с ППС всегда существуют выбросы с размахом 2N, но очень малой вероятностью.

Чем меньше амплитуда выбросов, тем больше (и быстрее нарастает) их вероятность; при N> 10 вероятность нулевого значения максимальна (порядка 0,1) и медленно убывает с ростом N. Отсюда ясно, что из-за стремительного убывания вероятностей хвостов наблюдать большие крайние значения сумм весьма маловероятно, поэтому подавляющее число результатов моделирования обычно ограничивается величинами боковых лепестков на уровне 40-60%; вероятности выбросов более 0,6А малы, что требует для их вычисления значительного увеличения машинного времени. Очень характерно, и это надо подчеркнуть, что большие, вплоть до N, выбросы имеют место от первого чипа (к = 1) до последнего (£ = Б). Поэтому много внимания в гл. 2 было уделено компенсации именно мгновенных значений выбросов мешающих сигналов CDMA (средние оценки могут давать искаженное представление об истинной картине явлений). Дополнительная информация о вы- * бросах и их вероятностях при N= 10 и N= 100 приведена в табл. 3.2 и 3.3.

Таблица 3.2. Вероятности выбросов сигналов CDMA (А/ = 10)

Мгновенное значение выбросов Ск

0

±2

±4

±6

±8

±10

Вероятности выбросов

9-Ю xi5 z Цо

= 0,252

9-Ю xi4

Z С10

= 0,21

9—10 xi3 z Цо ~

= 0,12

9~10хт2 Z с10 —

= 0,045

9—10 xil z с10 —

= 0,01

9-Ю хтО

Z с10 - = 0,001

0,252

0,206

0,114

0,04

0,0102

1,7-103

Таблица 3.3. Вероятности выбросов сигналов CDMA (А/ = 100)

Мгновенное значение выбросов Ск

0

±20

±40

±60

±80

±100

Вероятности выбросов

9-ЮО /^5 z ^юо —

= 0,1

9-ЮО z^4 z Цоо —

= 1,4-10’

9-100 ^з _ Z ЦоО —

= 2,9-10"5

9-100x^2_

z Цоо —

= 10’9

9~i00/~fi

z Цоо —

= 1,810"17

9-IOO xiO Z ^100 -

= 10-30

Рис. 3.1. Гистограмма распределений вероятностей пачек сигналов CDMA

В табл. 3.2 в третьей строке записаны вычисленные вероятности Рг в предположении гауссовости плотности вероятностей fr выбросов, а двойка учитывает Удвоение длины интервала, на котором вычислены вероятности, причем дисперсия _2

определялась из выражения

увеличит вероятность выброса при нуле сразу до единицы (см. табл. 3.3), так как 0,1(1/10) = 1, что недопустимо.

Отметим еще один интересный момент при нечетных базах сигналов. Для каждой базы существуют два ближайших чипа, такие (с номерами к и £+1), что вероятности выбросов Ск и Ск+Х сравниваются (хотя Р > Рг) из-за того, что С^+'№ >C(^3)f2. При использовании сигналов с четными базами Рх = Р2 = 1/2 эффект перераспределения вероятностей пропадает и потому подробно не рассматривается.

сс(3.8)(3.8)Примеры АКФ и ВКФ пачки сигналов CDMA

с

с

(3.8)

(3.8)

В каждом к-м чипе суммируется N сигналов пачки, поэтому

\ п=1 m=l I \ л=1 I \т=1/

Дк =N(\-E"2), п = т г п сг

Дк = Б, n-т, N = Б,

—-n^m <1, n^m,N = E,

I Б2

т.е. дисперсия (АКФ в нуле) Дк больше остатка («боковиков»), только если Б > 'Jn , и значительно - в Б3'2 »1 раз. Если же N = Б, то Дк больше остатка в Б раз. Для ВКФ имеем (без вычитания произведения средних, иначе в силу статистической независимости сигналов в пачке CDMA получим ВКФ=0), полагая номер чипа 1*к\

ВКФ|>*/] =ВКФ|>*/] =ЕР-ДБ""2, У = 1,Б2 [ 1, N = E,ЕР-ДБ""2, У = 1,Б2 [ 1, N = E,(3.9)(3.9)

ВКФ|>*/] =

ВКФ|>*/] =

ЕР-ДБ""2, У = 1,

Б2 [ 1, N = E,

ЕР-ДБ""2, У = 1,

Б2 [ 1, N = E,

(3.9)

(3.9)

т.е. при малом числе N сигналов в пачке CDMA в среднем «боковые» лепестки малы, порядка Б-2; при N = Б незначительно превышают остатки АКФ, оставаясь меньше пика АКФ в Б раз. Но это только в среднем, по большому числу реализаций, а их число конечно, и, что сейчас важнее, из-за конечности неизбежны флуктуации АКФ и ВКФ. Следовательно, всякого рода выбросы играют решающую роль, тем более в задачах текущей компенсации тех или иных процессов.

Рассмотрим эту проблему подробнее. Из выражения (3.8) для АКФ следует, что доля флуктуаций относительно невелика, определяется суммами с п * т и энергетически не превышает величины ^N -\Д Б2, т.е. 1% при N = Б = 100. Отметим, что тогда (см. гл. 2) требуется величина весового множителя компенсации порядка (1-0,01)1/2 =0,995, чего добиться не просто. Но в АКФ квадраты величин, как и их суммы, наблюдаются с вероятностью единица, поэтому остатки типа (3.4) требует-

ся рассматривать отдельно в специально сформированном вероятностном пространстве (ВП), из которого «высекаются» квадраты в количестве N, поэтому размерность ВП равна N2 - N = N(N -1). С этих позиций целесообразнее и проще изучить ВКФ в ВП размерности N2, продемонстрировав эффективность метода «расщепления единицы» еще раз и к тому же для более общего случая неравных вероятностей чипов /^ * Р2 и нечетного числа N сигналов CDMA, что позволит избежать ненужных осложнений с нулевыми якобианами преобразований ВП при четном N и четных базах сигналов (частный случай при JJ = Д = 1 / 2 ). Обратимся к формулам (3.5), точнее к предпоследней из них для (с,^, записанной в виде произведения вектор-строки на столбец вероятностей, причем неявно (только для упрощения записи выражений) с четными значениями С1к в строке и числом элементов N + 1. Для пояснения сначала рассмотрим простой пример с N= 3, что дает Ск = (+3,+1,—1,—3). Расчет ВКФ сводится к суммированию произведений векторов Ск с вероятностными весами, что наглядно можно отобразить с помощью таблиц (матриц):

(Ж2)3

^0 р3

С3Р3

Г1

А

( 1

7-1-1 П

С„= 1

С, = 1-1 1

С2 = -1 1-1

С3= -1

Со=(1 1 1)

1-1 1 1J

1 1-1

Сосот=з

СОС,Т=(1 1 1)

Ж =(-1-1-1)

с0с3т = -з

с\р2рг;

ГП

( 3-1-D

(-3 1 П

( 1 1-D

С,СОТ= 1 =

С^ = -1

С, = 1-11

Ж = -1 з-1

-1-1 3

ж = 1-3 1

1 1-3

(-1J

1-1 1 и

= (СОС,Т)Т

X7

X7

=(СОС2Т)Т

сЖ;

Г-Н

(-3 1 П

(-1-1 И

^ = -1 =

0^ = 1-3 1 =

Ж = -1 3-1 =

Ж = 1 =

С2 = -1 1-1

( 1 1-з)

1-1-1 з)

W

= (СОС2Т)Т

= (С,С2Т)Т

= (С,С,Т)Т =с,с1т

ж=Ж)Т

Ж;

Сзсот = -3 =

ж =(-1-1-0=

С3С2Т =(111) =

С3С3Т =3 =

С3 =(-1-1-1)

= СОС3Т

= С^=(С2фт =

=сот=Ж)т =

=сосот

= С,С3Т

= (С2С3Т)Т

Матрица М\ дает полное описание состояний того ВП, в котором вычисляется ВКф и имеет размерность 26 = 23+3 = 64, что следует подчеркнуть. Многие вектор- йые и матричные элементы в М\ одинаковы, но появляются с разными вероятностями, поэтому Mi нельзя режектировать, упрощая при этом ВП и его размер- 4*

ность (при /} = Р2 = 1 / 2 также нельзя, так как произведения чисел сочетаний C3C/,(z,y) = 0,l,2,3, различны для векторов или матриц С, и Ср которые есть «мгновенные» значения сумм ^jCnjt^Cmjt^ в формуле (3.9) и которые формируют выбросы ВКФ, представляющие предмет изучения), индекс к есть номер опорного чипа.

Теперь, «переложив» на вероятности учет частот появления чисел ±3 и ±1, что делается автоматически произведением чисел сочетаний, перейдем от матрицы М\ к матрице М2, характеризующей частоты появления произведения чисел (±3)(±3), (±3)(±1) и (±1)(±1). Для этого сначала найдем плотность Р(у) вероятности у = CjCj произведения сумм с якобианом Я = 11 / CJ , который конечен как раз потому, что | С, | = 1 или 3, но не равен нулю. Итак, имеем:

PW = P(^C,CV)= J [^(С, -3) + ?25(С, -1) + 9зб(С, +1) + 94б(С, + 3)]х

' (\\\9,8 —-3 +?2б —-1 +9зб —+ 1' (\\\9,8 —-3 +?2б —-1 +9зб —+ 1dC, |С,|dC, |С,|ххyU l + ^sf j + 1 l + ^sf j + 3yU l + ^sf j + 1 l + ^sf j + 3++

' (\\\

9,8 —-3 +?2б —-1 +9зб —+ 1

' (\\\

9,8 —-3 +?2б —-1 +9зб —+ 1

dC, |С,|

dC, |С,|

х

х

yU l + ^sf j + 1 l + ^sf j + 3

yU l + ^sf j + 1 l + ^sf j + 3

+

+

+ ^25f-y-lj + ^sf-^H-lJ + ^sf-^ + 3+ ^25f-y-lj + ^sf-^H-lJ + ^sf-^ + 3(3.11)(3.11)

+ ^25f-y-lj + ^sf-^H-lJ + ^sf-^ + 3

+ ^25f-y-lj + ^sf-^H-lJ + ^sf-^ + 3

(3.11)

(3.11)

+++ <728 —-1 + ?35 —+ 1 +^48 ~+ 3

+

+

и J u J u

+yyjlUi8(-T -3)+^(-т -1)+?з8(-т+ 0+qM-y+3)J+

= ?i[?i8(y-9) + ?25(yU) + ?38(y + 3) + ?48(y + 9)] + U2 [?i5(y -3) + ?25(y -1) + q-36(y +1) + q^y + 3)] + +?з[?18(т + 3) + ?28(у + 1) + д'35(у-1) + д'45(у-3)] + +^4 [^(т+9)+q2^y+3)+qAy ~3)+q-^ky - 9)];

(3.12)(3.12)qi=C°3P^,q2=C'3PA2P2,q3=C23PxP2\qA-C33P^,

(3.12)

(3.12)

8| — ±b I =5|—I =| a 18(y ± ab), §(-y)=8(y);

3(91)1(92)-1(9з)-3(94)(91)39(91)3(9192)—3(919з)-9(9194)_(92)13(9291)1(9г)-1(929з)-3(9294)Ml -z X .(9з) -1-3(9з91)-1(9з9г)+1(9з)+3(9з94)(94)-3-9(9491)-3(9492)+3(949з)+9(9д)•3(91)1(92)-1(9з)-3(94)(91)39(91)3(9192)—3(919з)-9(9194)_(92)13(9291)1(9г)-1(929з)-3(9294)Ml -z X .(9з) -1-3(9з91)-1(9з9г)+1(9з)+3(9з94)(94)-3-9(9491)-3(9492)+3(949з)+9(9д)•(3.13)(3.13)

3(91)

1(92)

-1(9з)

-3(94)

(91)3

9(91)

3(9192)

—3(919з)

-9(9194)

_(92)1

3(9291)

1(9г)

-1(929з)

-3(9294)

Ml -z X .

(9з) -1

-3(9з91)

-1(9з9г)

+1(9з)

+3(9з94)

(94)-3

-9(9491)

-3(9492)

+3(949з)

+9(9д)•

3(91)

1(92)

-1(9з)

-3(94)

(91)3

9(91)

3(9192)

—3(919з)

-9(9194)

_(92)1

3(9291)

1(9г)

-1(929з)

-3(9294)

Ml -z X .

(9з) -1

-3(9з91)

-1(9з9г)

+1(9з)

+3(9з94)

(94)-3

-9(9491)

-3(9492)

+3(949з)

+9(9д)•

(3.13)

(3.13)

В формуле (3.11) многократно используется фильтрующее свойство дельта-функции, формула (3.12) с якобианом |а| доказывается элементарно. Матрица М2 наглядно показывает структуру ВП, формирующего выбросы мгновенных значений ВКФ (вообще-то под ВКФ понимается всегда сумма всех элементов в (3.13) с вероятностными весами, но из формы представления М2 однозначно ясно, о чем идет речь). Из матрицы М2 элементарно следует справедливость метода «расщепления единицы», как и обратного способа - «сведения к единице», или «синтеза единицы», который встретился сейчас явно впервые (неявно этот способ использовался и раньше) и освобождает от необходимости проверки условия нормировки, в справедливости которого при N > 10 убедиться сложно из-за необходимости суммирования произведений разнообразных чисел сочетаний.

Таблица 3.4 получена из матрицы М2 очевидной перезаписью, причем в первой строке записаны величины выбросов, во второй - их частости (гораздо чаще используемое слово «частоты» слишком перегружено в разнообразных применениях и, строго говоря, неверно в конечно-мерных ВП и вообще в любых задачах с конечным числом исходов, поскольку появляющиеся в Фурье-преобразованиях частоты требуют, и это важно, бесконечной длительности сигнала на всей оси времени, точнее, подробного задания и доопределения сигнала, например одиночного импульса амплитуды А и длительности Т, у которого А=0 при Т С (-°о < t < +оо)); в третьей строке таблицы представлены вероятности /*(/) величин i, в четвертой - значения вероятностей P(f) для частного случая Рх = Рг = 1/2.

Таблица 3.4. Частости и вероятности выбросов сигналов CDMA и расчет при Р,= Р2 = 1/2

Выбросы

_ (0

9

3

1

-1

-3

-9

Частости

С3С3+С3СЭ3 =

= I2 + 12 = 2

с?^+с^с?+ 4^С? +^ = =4-3=12

с‘с‘ + С2С2 =

= 9+9 = 18

с32с;+с‘с32 =

= 9+9 = 18

С^+С^ +

-к^+с^=

=4-3=12

С3С?+С?С^ = = 12 + 12 =2

Вероятности PQ) U\ = VX,

—

PXV3+P3V2

31№2 + +ЗКХ2У2Р3 + +ЗУ3РХР2 + +3^, У2Р3

9^2Г2 Р2Р2 + +9УХ V2PX Р2

9^ V^P2P2 + +9Г,2Г2 Рх Р2

ЗУХ3РХ Р2 + Y3V2V2P3 + ■V3VXV2P3 + +ЗГ23Р12Р2

P3V3*P\V3

/’(О при Д^А_=1/2

HU

12/64

18/64

18/64

12/64

ни

Как и следовало ожидать, наибольшую вероятность, равную 18/64, имеют малые выбросы величиной ±1, но вероятность ±3 лишь в 18/12 = 1,5 раза меньше, а ведь три - это число N сигналов в пачке CDMA; при N = Б это обстоятельство при приеме может принести много неприятностей (см. гл. 2), преодолеть которые можно только путем компенсации мешающих сигналов, особенно для нивелирования крайних выбросов величиной N2. Суммирование всех величин в табл. 3.4 с их вероятностями приводит к точной ВКФ (которая при равновероятных чипах равна нулю):

ВКФ -9(/]3^3 + Д3И23) + 3(3J^3^2P2 + 3J^2K2^3 + ЗИ,3/] Р2 + зуу2ру +■

+1(9^2K2ZJ2P2 + 9УхУ2РхР2)-1(9Ух V2PXP2 + 9У2У2РхР2)-

-3(ЗУ3РхР2 +ЗУх2У2Р3 +ЗРу2Р3 + ЗУ2Р2Р2)-9(У3^3 + И,3/]3),

Pv+P2=l, К1 + К2 = 1;(3.14)

ВКФ(^ = Р2 = 1/2) = 2^(18 + 36 + 18 -18-36-18) = 0.(3.15)

В табл. 3.4 и в (3.14) были введены априорные вероятности для исходных чипов Ух и V2 = 1 - Ух (полностью совпадающие с вероятностями Рх =УХ и Р2 = У2) по следующим причинам. Если бы «сведение к единице» осуществлялось формально, то получили бы такой результат (четко демонстрирующий эффективность метода «расщепленная единица» [33]):

66

I6 = tf +Р2)3{РХ + Р2)3 = tf +Р2)6С"6РХ6-ПР2" =С°6РХ6 + £ с^ру-ру (3.16)

п=0л=1

Выделенный (для пояснения) первый член С°6РХ давал бы один выброс 9 = 3-3 с той же вероятностью Рх , но только один, тогда как в табл. 3.4 их два. Утеря многих величин - тонкий эффект и объясняется тем, что при формализме (3.16) не сделано никаких различий между совершенно статистически однородными массивами NN

Ск = с^ и G = ^ С1т, тогда как (при полной внешней идентичности) массивы

Ск и С, отличаются позициями к и I, к * I, что для комбинаторики чрезвычайно существенно (различимые и полностью неразличимые массивы имеют совершенно не совпадающие ВП зачастую с разительными отличиями). Так вот, использование априорных вероятностей Ух и У2 как раз и поясняется стремлением учесть комбинаторную различимость массивов Ск и С,, поэтому имеем:

\6 =(рх+р2)3(ух+у2У =^ £ с"сурупуутр2х =

”=° ^(3.17)

= (сУ2р3у3+(с3)2р3у3 + ^ £ ,

где два выделенных (для пояснения) слагаемых как раз и дают две девятки 9 = 3-3 = = (-3)(-3) с разными вероятностями Р3У3 >Р2У2 (и одинаковыми, равными 2"6

при Рх = Vx = Д = И2 = 2-1). И количество «сюрпризов», преподносимых конечными ВГТ, пропорционально их размерности и «объемам» массивов данных. Не меньшее число особенностей (комбинаторных) появляется при вычислении АКФ (пока также для случая ^=3) сигналов в пачке CDMA. Конечно, можно положить при вычислении АКФ, что диагональные элементы в матрице Mi являются квадратами, и попытаться формально «изъять» их из М^ заменив, скажем, нулями. Но это сразу приведет к новому ВП, и поскольку нуль есть число, придется как-то перерасчиты- вать массивы данных (после перемножения) и вероятностные характеристики ВП.

Описанный путь в общем приемлем, но приводит к таким осложнениям, что без колебаний отвергнут и конкретизироваться пока не будет. Остается другой путь, в целом схожий с вычислением ВКФ, но несколько более громоздкий из-за утери комбинаторной симметрии в силу изъятия квадратов (и вычитаемых из них произведений средних значений, которые поэтому далее не рассматриваются). Несим- метрия приводит к тому, что вместо целостного векторно-матричного аппарата ВКФ приходится оперировать со смешанным скалярно-векторным аппаратом, который применяется также потому, что необходимо различать (маркировать) чипы в пачке CDMA, рассматриваемые (все) на одной и той же позиции к - ведь ищем АКФ. Здесь уже не применимо понятие боковых лепестков АКФ, которые естественным образом появляются при оценке и развертке АКФ в дискретном времени, как, например, при сжатии сигнала; но вполне понятно название «флуктуационный фон», всегда имеющий место при любых оценках, в том числе и АКФ в некоторой к-й позиции. Поэтому рассматриваемую задачу целесообразно назвать оценкой выбросов и флуктуаций АКФ, коротко ФАКФ, в данном частном случае имеющий вид:

= (СН(С,2+СП) + С,2(СИ+СИ) + СИ(С,1+СП)) =(3.18)= (СН(С,2+СП) + С,2(СИ+СИ) + СИ(С,1+СП)) =(3.18)Inn

= (СН(С,2+СП) + С,2(СИ+СИ) + СИ(С,1+СП)) =

(3.18)

= (СН(С,2+СП) + С,2(СИ+СИ) + СИ(С,1+СП)) =

(3.18)

ФАКФ = ( У УСС \кп кт

= кСк\У\х + Ct2y12 + Ci3y13) = (у21 + у22 + у23) = (у, + у23) = (у),

рvxpx *у2р2- 0,2PxP^Vx^ = -1PxP2AVXP2 л-УгРхрvxpx *у2р2- 0,2PxP^Vx^ = -1PxP2AVXP2 л-УгРх= 2(^-7^-^)=-^, D= 2(^-7^-^)=-^, D

рvxpx *у2р2

- 0,2PxP^Vx^ = -1PxP2

AVXP2 л-УгРх

рvxpx *у2р2

- 0,2PxP^Vx^ = -1PxP2

AVXP2 л-УгРх

= 2(^-7^-^)=-^, D

= 2(^-7^-^)=-^, D

Р(А = Ск2 + Ct3) = J[7?8(Ct2 -1) + jP28(Q2 +l)][Wt-Ck2-V) + P28(Cl-Ck2 + l)pCi2

= P?S(Ck - 2) + -1РЖСк) + Р^Ск + 2);(3.19)

+^8+^82k2k+ 2+ 2|cn1'1 dCH = чАУу - 2) + <1M) + ^S(y21 + 2);|cn1'1 dCH = чАУу - 2) + <1M) + ^S(y21 + 2);(3.20)(3.20)

+^8

+^8

2k

2k

+ 2

+ 2

|cn1'1 dCH = чАУу - 2) + <1M) + ^S(y21 + 2);

|cn1'1 dCH = чАУу - 2) + <1M) + ^S(y21 + 2);

(3.20)

(3.20)

(К. + ^Х^-ь^)^!!^!» qx=^*^, q^2PxP2<Vx + V^

q3 = VXP^ + У2РХ\ qx+q2+q3 = (Рх + Р2)(УХ + У2) + 2РХР2(УХ + /2) = 1;(3.21)

р(Ух = У21 +y22) = q?5(yi-4) + 2q,q25(yx -2) + (q2 + 2^,%)8(у1) + 2^38(у1 + 2)+^28(у| +4),

(3.22)(3.22)I2 = (q. + q2 + q3f = q^ + q2 + ^2 + 2qxq2 + 2qxq3 + 2q2q3;

(3.22)

(3.22)

Р(У = Ух + ^23) = tf?5^ - 6) + 3 ^ ^2 8(y - 4) + (3qxq2 + 3qx2 q3 )8(y - 2) +

+(q2 +^^зЖу)+С^з +^&з)5(у+2)+^з5(у+4)^з5(у+6У>(323)

l =(q. +q2 + 9з)3 =k + (q2 + 93]' =i ^С^Г^з',(3.24)

л=0 m=0

ФАКФ = ££[бЧл + ™)]сЫ^(3.25)

л=0 w=0

где выражение (3.19) есть первое слагаемое в (3.18) с пояснениями для плотности вероятностей суммы (3.20) и произведения (3.21) и доказательством нормировки путем расщепления единицы. Формула (3.22) дает плотность вероятностей суммы двух слагаемых в (3.18) с использованием расщепления единицы для квадрата трехчлена; формула (3.23) - плотность вероятностей всей суммы у в (3.18) с расщеплением куба трехчлена и, наконец, (3.25) есть искомая ФАКФ, записанная в более компактной форме (нежели ВКФ (3.14)).

Перейдем к общему случаю. Для оценки влияния выбросов ФАКФ положим все вероятности одинаковыми. Каждая операция типа суммы двух величин (произведение сохраняет) расщепляет размерность исходного ВП с Рх = Р2 = 1 / 2 пропорционально степени этого числа:

Р2*Р2=\!2,

2РхРг = 1/2,

р^ = 1/4 = (1/2)2, 2РхР2 =1/2 = (1/2)', Р22=1/4 = (1/2)2,

2,

(^1 M^kl + ^кЗ ) — ' О,

-2,

1/4 = (1/2)2, 1/2 = (1/2)‘, 1/4 = (1/2)2.

Таблица 3.5. Суммы величин и их вероятности

У\ — А| + У 22

4

42 ;

2

С ГА

А2>

0

С2 а 2;

-2

с3 fl)

АЗУ

АГ)'

А2>

У^+Уг+Уз

6

< 1 у с° -

4

cfiY I2J

2

с2

A2j

0

С3 fl)

-2

<1V с4 11

Ч27

с5 1

СА2>

с6 11

N у = Т,у, 1=1

£=А(А-1) С°2"2

А(А-1)-2

Ct2"L

0

С^2-ь

-^-1)+2

C“2-L

-N(N-V)= -L Cl2"l

Из табл. 3.5 следует ряд выводов:

Выбросы ФАКФ, независимо от величины базы Б и числа N сигналов в пачке CDMA, образуют ряд 0, ±1, ±2,..., ±N(N- 1).

Вероятности выбросов, начиная с нулевого, сначала спадают медленно (и тем медленнее, чем больше N), затем в окрестности значений L /2 ± 2k, где L = N(N -1), резко с последующим сильным замедлением и образованием длинного хвоста (на рис. 3.1 эскизно отображена качественная картина явлений).

Для отыскания числа к рассмотрим ряд из последовательных отношений вероятностей, приведенных в табл. 3.5:

Р(0) = С^2 _ Z!£!_ (Z/2) + l _ 1 1-2

P(±2)~C<i/2)-2"[(i/2)!^L]2 ~ + L’ $

Р(±2) Ср/2)'2 (Z/2) + 2 , 3-2Р(±2£), 4^ + 2 , (2fc +1) • 2

IР^ - Р^ Р^ Р^к>>

к Р(±2к + 2) Р(±2) Р(±4)'"Р(±2£ + 2)~

е%<1%: к(к + \) = 0,011, k = 0,\N;

Р(0) = 2"l С\;г ® 2"l -L—- « 2^ f-) V2Z^ [Z!/2]

= / 2 -°’8- ^mV(A-l) ~ A ’

,AlAt-A^A.1+aA);(3.27)

(3.28)

— Ln— =

\2е)У Ln

(3.29)

= 5(0) 1 + 0,25,1--= 5(0) 1 + 0,25,1--ГГ

= 5(0) 1 + 0,25,1--

= 5(0) 1 + 0,25,1--

Г

Г

P(N = ±B)«P(O) \ + ^2®г—) _Б(Б-\)

0,820, 5 = 10,

= 5(0)^0,802,

0,8,

5 = 100,

5 —> оо;

(3.3Q)

5(±5) = 2"БСБ№Б<2 = 2"в • С*^ =

хх((BWsfl,yt((BWsfl,ytБ(Б-^Ч'6"'1 е )

х

х

((BWsfl,yt

((BWsfl,yt

е

2-5(5-!)2-5(5-!)(3.31)(3.31)

2-5(5-!)

2-5(5-!)

(3.31)

(3.31)

е

Формулы (3.26) есть последовательность отношений ближайших друг к другу вероятностей, что дает наиболее точные результаты. Отношение 1к - это оценка отношения вероятности 5(0) к 5(±2(А +1)), равная произведению отношений (3.26), которое в свою очередь равно единице, плюс сумма арифметической прогрессии из к чисел с разностью прогрессии два, причем погрешность не превышает 1% при к = 0,17/(см. (3.28)). Формула (3.29) есть оценка вероятности 5(0) прямым образом с помощью формулы Стирлинга. Выражение (3.30) - это оценка P(N = ±5) с использованием (3.27) и (3.29). Вычисление прямым образом по формуле (3.31) требует учета поправочных множителей в квадратных скобках, иначе неизбежна ошибка на многие порядки, что недопустимо. (Так, без учета поправочных множителей получаем 5(±5) = 7 • 106, и трудно найти ошибку; работа по расчету вероятностей крайне кропотливая и неблагодарная: например, при N = 100 даже числа, незначительно отличающиеся от единицы, при возведении в степень N(N -1) = 9900 обладают сильнейшим «резонансным» эффектом, являющимся основным источником ошибок, причем весьма значительных, на многие порядки.) Однако с учетом сказанного вероятность 5(±5 = 100) примерно только на порядок меньше, чем 5(0), что может привести к большим неприятностям при приеме сигнала.

Выбросы ФАКФ меньше, чем ВКФ точно в

(3.32)(3.32)^(^-l)_^-l_J0,9,^ = 10,

(3.32)

(3.32)

N2 ~ N (0,99, ^ = 100

статистический анализ систем b-cdma-зс типа «и i и-ии । ок з/&.и»

раз, но, как будет показано позже, столь незначительные отличия могут привести к катастрофическим последствиям все из-за тех же нежелательных и неожиданных на первый взгляд «паразитных резонансов», что делает задачу компенсации мешающих сигналов (см. гл. 2), не просто полезной, но и жизненно необходимой для систем связи с CDMA.

Общий случай вычисления АКФ и ВКФ

Подробно рассмотренные в предыдущем разделе примеры освобождают от необходимости комментирования каждого шага вычислений АКФ и ВКФ. Кроме того, с формальных позиций вычисление фона АКФ, т.е. ФАКФ, мало отличается от расчета ВКФ, за исключением числа членов в суммах ^(^-l) и N2 соответственно (см. формулы (3.8) и (3.9)). Единственное существенное отличие - наличие в АКФ в «нуле» суммы из N квадратов чипов, да еще с вероятностью единица. Возникает закономерный вопрос: если (с вероятностью единица) все ВП исчерпано, то где же необходимый статистический массив для расчета ФАКФ? Но все дело в том, что при расчете дисперсий из многослойного этажерочного (см. рис. 2.9) ВП «высекалось» подпространство ВПЬ формирующее квадраты чипов, т.е. ВП1 является условным подпространством. Обозначая это условие цифрой 1, для функционалов, т.е. условных вероятностей, имеем формулу Р(х /1); сумма таких вероятностей по всем х равна единице, если только условие 1 сохраняется неизменным.

Ортогональное дополнение слоя, не пересекающееся с ВПЬ обозначим через ВП2 с вероятностями Р^у !Т) и условиями 2, противоположными 1 (не использованные, точнее, не участвовавшие в формировании квадратов чипов); сумма Р^у / 2) по всем у при фиксировании условия 2 также равна единице, что использовалось при расчете ФАКФ. Возможны также случаи, когда Р(х /1) = Р(у /2) = 1. Сказанное проясняет ситуацию и снимает все вопросы по этому поводу. Векторно-матричный подход, оперирующий с суммами чипов в пачке из N сигналов CDMA, позволяет сразу вычислить ВКФ, так как достаточно лишь усреднить произведение сумм:

ВКФ = (у) = (С.с,) = ^tc^ Jf ст/

P(CJ = f;^8(G-(^-2H)), qn ='1'N С^Р^-" Р", п = 0Л, л=0

^=^(1 + 5"), P;=i(l-5") или ^=Р2=1

Л» = J/XCOpf^ Ьс41 С, Г'= ^мДу-У» - 2„)W- 2m)];(3.33)

Х^к )л=0 m=0

ВКФ = (^= J^)rfv = X f qnqm^N— 2n\N— 2т), n=0 m=0"

АКФ = (г)-(С^2 ЦС^-^2 ^сЛ-^)2 +ФАКФ = Л+ФАКФ,■

(Ck) = ^CkP(Ct)dCt =УдАК-2п\ л=0

ЛАл^-2nXN-2т),л=0 m»0ЛАл^-2nXN-2т),л=0 m»0(334)(334)Дк 41^"^ =t,qUN-2n)2

ЛАл^-2nXN-2т),

л=0 m»0

ЛАл^-2nXN-2т),

л=0 m»0

(334)

(334)

\п=0/п=0

ФАКФ = f ^ qnqm (N - 2nXN - 2m).

n*0 m=0

Эти выражения существенно использовались при формировании и анализе корреляционных матричных массивов из АКФ и ВКФ в задаче компенсации мешающих сигналов CDMA с целью выделения полезного сигнала с наивысшей эффективностью (см. гл. 2). А сейчас перейдем к рассмотрению влияния трафика на статистические характеристики пачки из N сигналов CDMA, поскольку именно трафик и его случайный характер сильно сказываются на результирующих свойствах пачки.

Статистические характеристики пачки CDMA с учетом трафика

Легко обосновать влияние трафика профиля (кластера) канала связи на статистические характеристики пачки из N сигналов CDMA, но трудно найти точные пространственно-временные стохастические закономерности, даже одномерные плотности вероятностей, не говоря уже о многомерных, в силу крайней изменчивости и многообразия моделей кластеров и неизвестности априори множества только существенных параметров. Здесь на первый план выступает и проблема многолучевого распространения сигнала. В широкополосных системах с шириной спектра порядка 5 МГц длительность чипа равна 0,2 мкс, длительность сжатого сигнала равна 0,4 мкс, что превышает среднее запаздывание лучей, поэтому достаточно вести прием по первому лучу (по линии визирования), обычно самому мощному, попросту отсекая остальные - один из способов «компенсации» мешающих лучей, но только нелинейный, а потому неоднозначный.

Самый опасный луч - отраженный от подстилающей поверхности, близкий по мощности к первому, запаздывающий на доли длительности чипа, с сильно флуктуирующей фазой, что приводит к полному «развалу» пика полезного сжатого сигнала (кстати, одна из причин, по которой простое отсечение лучей приведет только к ухудшению ситуации, поэтому здесь единственный эффективный способ борьбы - компенсация отраженного луча). Еще большая сложность возникает в случае, когда фаза отраженного луча почти (или точно) противоположна фазе основного луча с

G I a I У1^ I ичьикии АПМ11ГЮ vmw i cm w-wvm»-wv« .-...,.

линии визирования, что практически наблюдается часто и приводит почти к нулевому результирующему сигналу.

Вот в такой ситуации рассматриваемая везде сейчас (и ранее в гл. 2) временная компенсация (напомним, параметры и характеристики приемных антенн и решеток считаются фиксированными и известными заранее, поэтому нигде явно не выписывались) невозможна и единственный путь - пространственная компенсация путем синтеза адаптивной антенной решетки с наименьшим, по возможности, боковым лепестком в направлении отражающей подстилающей поверхности. Эта проблема пока остается открытой, но если в системе связи не заложена возможность пространственной адаптации, то такая система не может быть признана удовлетворительной, она окажется явно не эффективной в ситуациях, когда отраженный луч (двойник), да еще с противоположной основному лучу фазой (зеркальный двойник), наблюдается на входе приемника системы радиосвязи.

Приступим к рассмотрению трафика канала связи. В первом варианте 1 (см. кривую 1 на рис. 3.2) зададимся гауссовой плотностью вероятностей со средним значением No числа сигналов CDMA и дисперсией о2 = (А0/3)2, которая характерна для средненасыщенного трафика. Пунктирная кривая 2 с положительной асимметрией характерна для малого трафика; кривая 3 имеет место при насыщенном трафике (в период максимальной интенсивности связи). В этом случае наиболее вероятны значения N, близкие к максимальной пропускной способности 2NQ, поэтому кривая 3 обладает отрицательной асимметрией.

Анализ трафика по кривым 2 и 3 легко проводится при использовании рядов Эджворта или многочисленных модификаций ^/-распределений Накагами (только для кривой 2). Изложение результатов этого анализа опускается по той причине, что сейчас больший интерес представляет «интегральное», в наибольшей степени обобщенное исследование влияния трафика, что целесообразно осуществить посредством использования равновероятного распределения (кривая 4 на рис. 3.2), сильно «сглаживающего» естественные пульсации трафика по кривым 1-3 и тем не менее позволяющего оценить средние характеристики (отрицательный эксцесс кривой 4 по сравнению с кривой 1 приводит к большей «равновероизации» флуктуаций трафика, и в этом смысле случай 4 наиболее «тяжелый»).

Как для кривой 1, так и кривой 4 анализируются последовательно средние значения (3.1), дисперсии (3.3), АКФ (3.8) и ВКФ (3.9); для каждого случая вычислены средние значения 0 и дисперсииД а введенные отношения q, = 02/д характеризуют [33-35] «системные» параметры, эквивалентные отношениям сигнал/шум и являющиеся таковыми, по сути, в каждом конкретном случае. Основная идея состоит в том, что случайность характеристик трафика (замирания, затухания и т.д.) приводит к флуктуациям N сигналов в пачке CDMA. (Отметим, что и случайность Числа абонентов связи неизбежно приводит к случайности числа N.)

Гауссова плотность вероятностей трафика

Сначала приведем (доказываемые интегрированием по частям) формулы начальных моментов гауссовой случайной величины N, причем после центрирования на No все моменты нечетного порядка равны нулю: (^N-NQ)2n+'^ = 0, и = 0,1,..., а для моментов четного порядков получаем:

2У0 и 0

N2

1 ехр V2no

к

(^-А0)2^

2о2 J

dN^

No

J

-N»

(N-Na)2

1

j^- e

V2no

N2

2aldN = (N0/3)2,

2^о

= 1 0

N3

г

<

(А^-^0)2)

2о2 J

dN =

No f -No

(N-Nq?

1 - e V2no

^^ = 2a03,(3.35)

V2no 3

W4)

2^о и 0

N4

Z

\

(N-Nq)2^

2о2 J

dN =

No

"No

(W-Ap)4

1 л/2тго

-^-99

2^dN=—N4

9,

Поэтому с использованием (3.35) для среднего (3.1), дисперсии (3.3), АКФ (3.8) и ВКФ (3.9) последовательно получаем (после дополнительного усреднения по случайному А): . „

2N02N0\ Inк Un^^\ Inк Un^^1 2N°(ДХ=Б’2-— Г А2 ехр ->/2ло 0\^1 2N°(ДХ=Б’2-— Г А2 ехр ->/2ло 0\^J N ехр - о V (^-^0)2^ 2о2J N ехр - о V (^-^0)2^ 2о2(a^vj2о2(a^vj2о2dN = —,БdN = —,БdN-(C\2=-№\ /N5dN-(C\2=-№\ /N5229, =——Dx9, =——Dx= 9,= 9,

2N0

2N0

\ Inк Un^^

\ Inк Un^^

1 2N°(

ДХ=Б’2-— Г А2 ехр -

>/2ло 0\^

1 2N°(

ДХ=Б’2-— Г А2 ехр -

>/2ло 0\^

J N ехр - о V (^-^0)2^ 2о2

J N ехр - о V (^-^0)2^ 2о2

(a^vj

2о2

(a^vj

2о2

dN = —,Б

dN = —,Б

dN-(C\2=-№

\ /N5

dN-(C\2=-№

\ /N5

2

2

9, =——

Dx

9, =——

Dx

= 9,

= 9,

(^=a(№)-l,W2, а = 1-Л'2«1.

^•fl^WN-WN-V^Nt,

(3.37)(3.37)C^L=102

(3.37)

(3.37)

D.

(АКФ)„ = (N(a - b) + N2b) = (a - b)N0 + — N2 « No, b = Б"2 ~ 0.

3. Д =((АФК)^ -(АФ< JiL^a-b^^3. Д =((АФК)^ -(АФ< JiL^a-b^^+^fM81(5 ,+^fM81(5 ,N2 2V09 ’N2 2V09 ’

3. Д =((АФК)^ -(АФ< JiL^a-b^^

3. Д =((АФК)^ -(АФ< JiL^a-b^^

+^fM81(5 ,

+^fM81(5 ,

N2 2V0

9 ’

N2 2V0

9 ’

(3.38)(3.38)(3.39)(3.39)

(3.38)

(3.38)

(3.39)

(3.39)

(ВКФ>»=0)) ^w^-

д. -<(вкфУ)„ -(ВКФ)' Лщ/Я1,

^4 = V— ^ = 1,02 = ^.

Д4

Из формул (3.37) четко видно, что из-за сфазированного суммирования квадратов случайных величин наибольшие среднее значение и дисперсию имеет сумма чипов в пачке CDMA, причем примерно одинаковой величины, поэтому их отношение близко к единице: g2 а 1. В остальных случаях и средние значения и особенно дисперсии значительно меньше, поэтому, например, qx = q3 = 9.

Равновероятное распределение вероятностей трафика

На рис. 3.2 (кривая 4) приведена равновероятностная плотность, после центрирования которой на No немедленно получаем нулевыми все моменты нечетного порядка; остальные характеристики в той же последовательности, что и в предыдущем

разделе, равны:

2Лг А 1N

———dN = —0 Б 2N0Б

Д, 3

а = 1-Б"2»1.

(3.41)(3.41)2-Л-(Д‘)„-«-у«0!,

(3.41)

(3.41)

(АФК^ = ((a-b)N-N2b) = (a~b)N0 --N2, b = B"2«0.

Д, = ((АФК)2), -(АФК)2, ^a-b^Ni +^.(a-bX AX' =^-,

„ ..Wl’’" Д,„ ..Wl’’" Д,«9,«9,(3.42)(3.42)(ВКФ)„ =(ВКФ)„ =w2 з( Б Jw2 з( Б J4. Д=((ВКФ)2^-(ВКФ)>^4. Д=((ВКФ)2^-(ВКФ)>^(3-43)(3-43)

„ ..Wl

’’" Д,

„ ..Wl

’’" Д,

«9,

«9,

(3.42)

(3.42)

(ВКФ)„ =

(ВКФ)„ =

w2 з( Б J

w2 з( Б J

4. Д=((ВКФ)2^-(ВКФ)>^

4. Д=((ВКФ)2^-(ВКФ)>^

(3-43)

(3-43)

q8 =1,25.

Как и в предыдущем параграфе, наибольшие средние и дисперсии будут для случая (3.41), но в соответствии с интуитивными ожиданиями равновероизация приводит к увеличению разброса параметров втрое, так как отношение д7 /д5 = 27, тогда как q, / q2 =9 (см. формулы (3.36) и (3.37)). В целом видно, что случайность трафика приводит к замене случайных величин N их средними значениями No в полном соответствии с рекомендациями теории нелинейного математического программирования, базирующимися на неравенстве Йенсена: выпуклая функция / на выпуклом множестве х = (х,,х2,..., х„) удовлетворяет неравенствам /te^^Zv^,), ^^0, £а, =i;(З-44)

V /=1) /=1/=1

^.(Ж)^,(3.45)

\ V 1=1) [ х 1=11

где второе неравенство записано на основании линейности операции осреднения по случайным величинам х,. В принципе можно было бы в гл. 2 воспользоваться (3.45) с целью упрощения процедуры компенсации мешающих сигналов CDMA. Однако нельзя забывать про дисперсию оценок, которая максимальна, особенно для гауссова случая (прямо пропорциональна квадрату осредненного среднего значения), как раз при оценке дисперсии и суммировании квадратов случайных

и I м I KV* I n Ttv*r\rir« i-M If-w eriw \^yiV^ | cm q-wiw^* ^^

величин, когда выпуклость налицо (правда, неравенство Йенсена в классической форме (3.44) в данном случае фактически не причем, хотя вероитизация задач, особенно их равновероитизация, рассматривается и предлагается в нелинейном программировании как один из способов овыпукления задач). Единственный надежный путь - решение проблемы в «лоб» с максимальной доказательностью каждого шага процедуры оценки.

Статистика пачки цифровых сигналов B-CDMA

Статистическая независимость чипов позволяет достичь требуемых результатов, хотя при этом возникают особенности типа «паразитного резонанса» при неявном совпадении чипов по номерам п в каждой из к позиций ПСП, за чем уследить при многократном суммировании не так-то просто, что и порождает не только «точечные» резонансы, но и целые их цепочки, могущие существенно повлиять на конечные результаты (в строгой теории [33-35] эти особенности отслеживаются автоматически, если вести наблюдение за комбинаторной различимостью массивов чипов в каждой ^-й позиции методом расщепления единицы или обратного сведения к единице). Условимся (рис. 3.3), весовые множители СФ обозначать через ак, к-\,Б, а элементы пачки CDMA - через Ъпк = ЪПь, чем подчеркивается как исходная и различная природа происхождения ак и Ьпк, так и принадлежность чипов к разным позициям к в пачке (напомним еще раз - ведь численные значения чипов одинаковы и равны +1). Понятно, что многие ухищрения, использованные ранее, неявно применяются всюду ниже, однако подробно не комментируются.

Рис. 3.3. Почиповые суммы Ск пачки из N сигналов CDMA на входе и выходе ХО коррелятора

Моменты начального порядка

°2 = Ю~М =^-Б'\ (^) = 1 С вер. = 1 для Чп,к;°2 = Ю~М =^-Б'\ (^) = 1 С вер. = 1 для Чп,к;Речь идет о средних значениях и дисперсиях of (или Д) пачки цифровых сигналов В-CDMA, для которых последовательно получаем следующие выражения:

°2 = Ю~М =^-Б'\ (^) = 1 С вер. = 1 для Чп,к;

°2 = Ю~М =^-Б'\ (^) = 1 С вер. = 1 для Чп,к;

(3.46)

C. = Z\. (с.>=1(\) = %)=7.

m=l /=1m=lm*/=l\ " У

=w+&o_f4=w(1_^);

s2 w

(3.48)(3.48)(V/MM^/^5"2’ т^пк, l = nq.

(3.48)

(3.48)

Формула (3.46) вводит исходные соотношения; косыми скобками, как и всегда, обозначается усреднение по-множеству; в силу статистической независимости чипов ни средние значения чипов (6) и их сумм (Q), ни соответствующие дисперсии о2 и of не зависят от индексов п,к (или их упрощенных переобозначений т и I), что четко видно из формулы (3.48). Единственная тонкость в данном простом случае связана со средним значением квадрата (^) -1 с вероятностью единица независимо, разумеется, от индекса т (и вообще любого другого, поэтому далее индексы записываются произвольно за исключением случаев, могущих привести к ошибке). Но вот уже при моменте четвертого порядка М4 (понадобится при оценке дисперсии средней мощности и расчете кривых адаптивного обнаружения) тонкостей гораздо больше. Итак, имеем сначала:

С^С.^ЬпЛ^<3-49)

Л=1Л=1

сЦТЛ\ =Т>> ^ТМ^ а-ЖН-\у(3.50)

\ л=1 У л=1л*т=1

ЪХЬ2, ..., bxbNЪХЬ2, ..., bxbN

ЪХЬ2, ..., bxbN

ЪХЬ2, ..., bxbN

Теперь усредняя группы слагаемых табл. 3.6, получаем искомую формулу для момента четвертого порядка:

(б26^ = (свер.1Хсвер.1) = 1(свер.1), ^6^ = 1 с вер. 1,(3.55)(б26^ = (свер.1Хсвер.1) = 1(свер.1), ^6^ = 1 с вер. 1,(3.55)

(б26^ = (свер.1Хсвер.1) = 1(свер.1), ^6^ = 1 с вер. 1,(3.55)

(б26^ = (свер.1Хсвер.1) = 1(свер.1), ^6^ = 1 с вер. 1,(3.55)

(^МН^ММ2 =^2, QMь, )=(».)* =Б"*;

= N^ + N^N - 1)(й262) + 2N(N-)(b3bk) + 3N(N-f (b2bkb,) + r

+N(N -1)= (6Д 6,»,) = У + У(У -1)+[2У(У -1)+ЗУ(У -I)2 ]У2 +(3.56)

+N(N -1)3 Б^ = N2 + N(N - 1X3 A -1)5^2 + N(N -1)3 Б^.

(3.57)(3.57)Как и следовало ожидать, ведущим является первый член величиной N2, практически равный квадрату дисперсии (3.47). При N = Б»1 получаем M4=N2 -V3N, т.е. при оценке дисперсии флуктуационная ошибка будет порядка 7з7а и равна 17,3% при Б = 100 . Полезно (3.56) сравнить с моментом четвертого порядка гауссовых величин х(, смешанный момент (в косых скобках) которых равен ( а2 - их дисперсия):

(3.57)

(3.57)

М4Г = (^14) = 3(х,х2^2-За4 >М4 *а4, а2=а2,

откуда ясна негауссовость пачки сигналов CDMA (гауссовый процесс в среднем более хаотизирован, поэтому момент четвертого порядка М4 <М4Г\

ВКФ и смешанные моменты

Сначала рассмотрим ВКФ на двух отдельных позициях: к и I (рис. 3.4). Аналогич

но предыдущему получаем:

к*1.к*1.(3.58)(3.58)

к*1.

к*1.

(3.58)

(3.58)

Случай, изображенный на рис. 3.5, чуть сложнее из-за перекрытия пачек сигналов CDMA на М позициях ( М < L) и из-за одновременного рассмотрения пачек Ум и yL • Поэтому

ВКФ(ум,у£)ВКФ(ум,у£)Рис. 3.4. РасчетВКФ сигналов CDMA на позициях 1 = Ки1*КРис. 3.4. РасчетВКФ сигналов CDMA на позициях 1 = Ки1*К(3-59)(3-59)

ВКФ(ум,у£)

ВКФ(ум,у£)

Рис. 3.4. РасчетВКФ сигналов CDMA на позициях 1 = Ки1*К

Рис. 3.4. РасчетВКФ сигналов CDMA на позициях 1 = Ки1*К

(3-59)

(3-59)

поскольку несмотря на перекрытие пачек, наложение «столбцов» одних и тех же чипов отсутствует, что является опять-таки следствием исходной статистической независимости массива всех чипов. По этой же причине для смешанных моментов получаем (Д обозначает дисперсию моментов):

/ L \/ L N \ L ( N А / *г\Л

^=(П^)=(ПЕ^)=П Z(M =Ы >

\ 4=1/\ 4=1 л^М /4=1 \^=1/ X ^ /

\\ 4=1/ /\ 4=1/4=1 ^n*=l/»t=l/\\ 4=1/ /\ 4=1/4=1 ^n*=l/»t=l/£2-1 N£2-1 N(3.60)(3.60)= М2 + N(3N2 - 4N +1)£’2 + N(N -1)3 Б^.= М2 + N(3N2 - 4N +1)£’2 + N(N -1)3 Б^.(3-61)(3-61)

\\ 4=1/ /\ 4=1/4=1 ^n*=l/»t=l/

\\ 4=1/ /\ 4=1/4=1 ^n*=l/»t=l/

£2-1 N

£2-1 N

(3.60)

(3.60)

= М2 + N(3N2 - 4N +1)£’2 + N(N -1)3 Б^.

= М2 + N(3N2 - 4N +1)£’2 + N(N -1)3 Б^.

(3-61)

(3-61)

Формулы (3.60) и им подобные использованы (см. гл. 2) в задаче адаптивной компенсации мешающих сигналов CDMA; формулы (3.61) есть простое следствие выражения (3.56).

Рис. 3.5. Расчет ВКФ сигналов CDMAy^ иум при наличии перекрытия на М позиций (т.е. на Л/чипов)Рис. 3.5. Расчет ВКФ сигналов CDMAy^ иум при наличии перекрытия на М позиций (т.е. на Л/чипов)

Рис. 3.5. Расчет ВКФ сигналов CDMAy^ иум при наличии перекрытия на М позиций (т.е. на Л/чипов)

Рис. 3.5. Расчет ВКФ сигналов CDMAy^ иум при наличии перекрытия на М позиций (т.е. на Л/чипов)

Статистика сигналов В-CDMA на выходе коррелятора

Ниже согласованный фильтр и коррелятор понимаются (условно) как синонимы. Использование коррелятора сразу приводит к трем особенностям, усложняющим

анализ:

Наличие весов ак, к = 1,Б, меняющих (незначительно в силу статистической независимости) статистику сигналов ук на выходе.

Зеркальное (встречное по отношению к входным пачкам) расположение весов (см. рис. 3.3), также незначительно влияющее на распределение вероятностей

выходных дискретных процессов.

Непрерывное суммирование взвешенных «столбцов» чипов в любой текущий момент к, очень существенно изменяющих статистику выходных сигналов ук:

NNN

кУ к = ^^S-m+l /л=1кУ к = ^^S-m+l /л=1к = \,к = Б.к = \,к = Б.(3.62)(3.62)аБ^ЬпБ —аБ^ЬпБ ~^jaE^n’

к

У к = ^^S-m+l /л=1

к

У к = ^^S-m+l /л=1

к = \,

к = Б.

к = \,

к = Б.

(3.62)

(3.62)

Л=1Л=1Л=1

БNБ N

/»=1Л=1/»=1Лт=1

Последние две формулы отражают факт статистической неразличимости как весов, так и чипов (следствие статистической однородности), что чрезвычайно упрощает запись формул, позволяя не заботиться о номере веса и чипов в пачке, за исключением анализа случаев совпадения номеров (позиций) столбцов суммы чипов при их наложении. Иными словами, в некотором смысле влияние весов исследуется так же, как и чипов, за одним существенным исключением - если только в пачке CDMA на входе отсутствует полезный (для данного канала) входной сигнал, влияющий, как будет показано, и на статистику, и на способ вывода всех выражений. Поэтому начнем с более простой задачи анализа статистических характеристик выходных сигналов СФ при заведомо отсутствующем полезном сигнале на входе (5 = 0).

Начальные моменты на выходе коррелятора

Поступая формально, аналогично предыдущему, и используя символический способ записи при усреднении по множеству (косые скобки), имеем при 5=0:

к N(УкМ^ХУЛк N(УкМ^ХУЛк Nк NkN "в2kN "в2NIB2, к = \,NIB, к = Б,NIB2, к = \,NIB, к = Б,1, Рд*РД1=Р2*Р2~L P\Q1 + A^l = 2^7,21, Рд*РД1=Р2*Р2~L P\Q1 + A^l = 2^7,2(3.63)(3.63)

к N

(УкМ^ХУЛ

к N

(УкМ^ХУЛ

к N

к N

kN "в2

kN "в2

NIB2, к = \,NIB, к = Б,

NIB2, к = \,NIB, к = Б,

1, Рд*РД1=Р2*Р2

~L P\Q1 + A^l = 2^7,2

1, Рд*РД1=Р2*Р2

~L P\Q1 + A^l = 2^7,2

(3.63)

(3.63)

= Р^-гРДЧРх-Рг?=Б-\ ^.^ГиЛ ^=^=1(1-11

2 \ Ь JЬ )

(3.64)

д; =yyw-w+^y11 2)

Um,

Б2

Бм+Щ±=^_Б

(Б + Х^-З,

к = \,

к = Б, (3.65)

k = N = B;

ХЕ»А = £с. УЖУ1. £ЖУ ^/л=1л„=1у /\\^«=1 У / m=iт=1 q*m=l

* М, Л *-1к к-1 к-1 к-1

+2£ £ У-с.узу, 2 L Ж^ЖЖУ-с.с.с.у «-1 g#m=l/»=1 q*m=l l*m*q=lm=] q*l *m* л=1

Ст=ат^ьПт; Л =1

(3.66)

^‘.yy.'i ty.yt i у.ь>112: у.ь.узжжм',L n=lл=1 q*n=lл=1 д#л=1л=1 m*l *л=1

N-l

л=1 q*n=l

N N-X N-l N-l"

+XEE E ^bMbk) = N2 + N(N - 1ХЗУ -1)5-2 + N(N -1)35^;

n=l m* l*k *n=\_

(3.67)

^=1^г*^ =*

Б2

(3.68)

=£Ч-Т

Б2

..1,-UM;

I Б2 )

(3.69)

К N( УХ\ Z^ ”2\\”2=|К N( УХ\ Z^ ”2\\”2=|N N-\ A N N +LSM, EEM,4N N-\ A N N +LSM, EEM,4(3.70)(3.70)

К N

( УХ

\ Z^ ”2

\\”2=|

К N

( УХ

\ Z^ ”2

\\”2=|

N N-\ A N N +LSM, EEM,4

N N-\ A N N +LSM, EEM,4

(3.70)

(3.70)

(CmC^Ц^ЛУьАуьЛ УЬп\ = Б"2

\"1=1\"2=1/ "4=1/

= N N +——- , mФq;

(CC C,Ck) = Umafla,ak \УУУУVfi^^^N4,

П] = «2 = ”3 = n4 =1^

т q ФI Ф к.(3.71)

Подставляя формулы (3.67)-(3.71) в (3.66), получаем выражение для момента М^ на выходе СФ. Обратим внимание, что хотя эти формулы усредняются по образу и подобию (3.56) при существенном использовании (3.55), кардинальное различие заключается в верхнем пределе в суммах, равном N (а не N-1) при qфl в (3.69), шфq в (3.70), mфqфlфk в (3.71). Поправка невелика, если N<B, но может привести к большим ошибкам при оценке дисперсии флуктуационного шума измерения моментов более высокого порядка, особенно при N = Б. В целом же ясно, что наличие СФ резко увеличивает все моменты: даже дисперсия (3.65) растет быстрее, а не просто пропорционально росту к , как «подсказывает» интуиция; хотя среднее значение (3.64) уменьшается в к!Б раз за счет «сглаживания» скорости роста флуктуаций (выбросов), тем не менее дисперсия (тем более моменты более высоких порядков) нарастает с увеличением числа к учитываемых (суммируемых) позиций по вполне понятной причине. Ведь для сохранения как можно большей скорости роста фронтов импульсов - чипов полоса пропускания СФ должна быть (рис. 3.6) порядка (2,5 - 3) Т"1, где Гч - длительность чипа, иначе сохранить пря- моугольность чипов невозможно, что немедленно и резко снижает (см. гл. 2), эффективность компенсации мешающих сигналов. АЧХ фильтра есть функция типа у = х"‘ sinx (поэтому импульсная функция есть «прямоугольник» длительности Тч). Заменяя АЧХ эквивалентной прямоугольной функцией (на уровне 0,7 от максимума при сохранении площадей, или на уровне 0,5 при сохранении энергий, что

на рис. 3.6 показано пунктиром), неизбежно приходим к уменьшению среднего )значения на нулевой частоте / = 0 и к увеличению усиления остального флуктуа

ционного фона. По этой же причине увеличиваются остатки АКФ и ВКФ, к анализу которых и перейдем.

Рис. 3.6. Амплитудный х|/(/) и энергетический \р2(У) спектры одного чипа CDMA

АКФ и ВКФ на выходе коррелятора

При прежнем предположении отсутствия полезного сигнала (5 = 0) в пачке из N сигналов CDMA найдем АКФ и ВКФ процессов на выходе СФ. Здесь возможны три основных случая:

Классический способ учета только области пересечения от к = q +1 до к -М (рис. 3.7). Это верно при непрерывной текущей оценке АКФ и ВКФ.

Рис. 3.7. Расчет АКФ и ВКФ: перекрытие чипов на интервал М— (q + 1)

Учет (неклассический) существования одной пачки CDMA ум на интервале 1-Л/, относительно другой yL на интервале 1-Z, причем здесь резонно положить Ь = М+д.

Более общий случай оценки ВКФ (см. рис. 3.5), начиная с к = 1 до М или до L > М. С учетом всех результатов предыдущего раздела, получаем:

ЦумУ^м^1^ЦумУ^м^1^

ЦумУ^м^1^

ЦумУ^м^1^

1. АКФ(д) =

( М N

Z ^УЛ

\«-q+lп„=1

V W N

Е АУЛ.

)\k=q+l nt=l

(3.72)(3.72)

(3.72)

(3.72)

! w , (M-g^N

-\Ум)\Уь/- r2

АКФЦ(9) =АКФЦ(9) =лтУУ54лтУУ54/УмУг^УмХУг^О,/УмУг^УмХУг^О,q-Q,9^0.q-Q,9^0.(3.73)(3.73)2. АКФ(9) = (уму,) =2. АКФ(9) = (уму,) =Ч f NIX IXт=1\"„=iЧ f NIX IXт=1\"„=iЛ М ( N*Уак IXУ k=qv\ yt=l 7Л М ( N*Уак IXУ k=qv\ yt=l 7М ( NУ^ IXv=»+i y=iМ ( NУ^ IXv=»+i y=i> L>+ У а> У\у /=М+1\И/=1 у> L>+ У а> У\у /=М+1\И/=1 уq(M-q)N2.J + N(M-q) + ьq(M-q)N2.J + N(M-q) + ь, (M-qXM-q-l)N(N-l) , q(L-M)N2 , (M-qXL-M)N2+Б*+Ё"4+ Б4, (M-qXM-q-l)N(N-l) , q(L-M)N2 , (M-qXL-M)N2+Б*+Ё"4+ Б4-N^M-q")-N^M-q")qN {N-lXM-q-У) MN(L-M)Бл+ Б4 + Б4qN {N-lXM-q-У) MN(L-M)Бл+ Б4 + Б4\-№ (M-q)N^((M-q)N (L-M)N^ MN(L-q).М /\Уь/ | ^2^2^2^2 I ^4’\-№ (M-q)N^((M-q)N (L-M)N^ MN(L-q).М /\Уь/ | ^2^2^2^2 I ^4’МкФМ-кУтУьУЫЫ^^М-д^^Б^^М-д^хМкФМ-кУтУьУЫЫ^^М-д^^Б^^М-д^хnm^+e^n^m-ix^-N'^-m"^, 9=0,nm^+e^n^m-ix^-N'^-m"^, 9=0,д = М.д = М.(3.74)(3.74)(3.76)(3.76)х[(Л/-9-1)(1-А-')-(М-9)] =х[(Л/-9-1)(1-А-')-(М-9)] =MN2(L-M)Б4 ’MN2(L-M)Б4 ’М(М-1)) (_тБ2 J VМ(М-1)) (_тБ2 J Vб1 Jб1 J(3.77)(3.77)_ b

АКФЦ(9) =

АКФЦ(9) =

лтУУ

54

лтУУ

54

/УмУг^УмХУг^О,

/УмУг^УмХУг^О,

q-Q,

9^0.

q-Q,

9^0.

(3.73)

(3.73)

2. АКФ(9) = (уму,) =

2. АКФ(9) = (уму,) =

Ч f N

IX IX

т=1\"„=i

Ч f N

IX IX

т=1\"„=i

Л М ( N

*Уак IX

У k=qv\ yt=l 7

Л М ( N

*Уак IX

У k=qv\ yt=l 7

М ( N

У^ IX

v=»+i y=i

М ( N

У^ IX

v=»+i y=i

> L>

+ У а> У\

у /=М+1\И/=1 у

> L>

+ У а> У\

у /=М+1\И/=1 у

q(M-q)N2.

J + N(M-q) + ь

q(M-q)N2.

J + N(M-q) + ь

, (M-qXM-q-l)N(N-l) , q(L-M)N2 , (M-qXL-M)N2

+Б*+Ё"4+ Б4

, (M-qXM-q-l)N(N-l) , q(L-M)N2 , (M-qXL-M)N2

+Б*+Ё"4+ Б4

-N^M-q")

-N^M-q")

qN {N-lXM-q-У) MN(L-M)

Бл+ Б4 + Б4

qN {N-lXM-q-У) MN(L-M)

Бл+ Б4 + Б4

\-№ (M-q)N^((M-q)N (L-M)N^ MN(L-q).

М /\Уь/ | ^2^2^2^2 I ^4’

\-№ (M-q)N^((M-q)N (L-M)N^ MN(L-q).

М /\Уь/ | ^2^2^2^2 I ^4’

МкФМ-кУтУьУЫЫ^^М-д^^Б^^М-д^х

МкФМ-кУтУьУЫЫ^^М-д^^Б^^М-д^х

nm^+e^n^m-ix^-N'^-m"^, 9=0,

nm^+e^n^m-ix^-N'^-m"^, 9=0,

д = М.

д = М.

(3.74)

(3.74)

(3.76)

(3.76)

х[(Л/-9-1)(1-А-')-(М-9)] =

х[(Л/-9-1)(1-А-')-(М-9)] =

MN2(L-M)

Б4 ’

MN2(L-M)

Б4 ’

М(М-1)) (_т

Б2 J V

М(М-1)) (_т

Б2 J V

б1 J

б1 J

(3.77)

(3.77)

/ М N \ I м ( N A L ( NЫ2

MW- ZSA 2>. Z\ + Z^ Z\ =^<3-78>

\т=1^=1/ \*=1\”‘=1/ 1=пЧ \п,=Х°

ВКФ(9)>ВКФЦ(9) = ^к = М))> ^ = ^Ак-^))-^к = т^2 >0.(3.80)

В (3.72), как и во всех остальных формулах, ам и ак различаются не только по индексам суммирования М и к, но и по принадлежности к разным пачкам ум и ук, что все время имелось в виду. Формула (3.73) четко отражает следствия центрирования вторых смешанных моментов типа АКФ и ВКФ (помечены буквой «ц» в (3.73), (3.76), (3.79)). Формулы (3.74)-(3.76) для случая 2 являются новыми в статистике, однако именно ими необходимо пользоваться при оценках в адаптивных системах обработки (см. гл. 2) с предварительным запоминанием пачек ум и yL, причем соответствующие дисперсии меньше (3.65) в силу неполного перекрытия пачек, тогда как ВКФ за счет «дополнения» мощностью на интервале L - М > 0 больше и при к = М совпадает с квадратом мощности (сравните (3.64) и (3.77)), что в итоге и приводит к цепочке неравенств (3.80), которая легко проверяется на основании формул (3.72)-(3.79).

Главный вывод: при синтезе адаптивных систем с оценками АКФ и ВКФ необходимо тщательно исследовать диапазоны перекрытия пачек, что эквивалентно анализу влияния многолучевого распространения сигналов, а также выбор центрированных (или нет) корреляционных матричных массивов АКФ и ВКФ пачек CDMA, поскольку от этого существенно зависит эффективность компенсации мешающих сигналов и алгоритма выделения полезных сигналов в целом (см. гл. 2). Но поскольку решения принимаются в момент к = Б сжатия полезного сигнала, то при его отсутствии (всюду в этой главе полезный сигнал S = 0) на частость ложных решений и их вероятности напрямую влияет статистика выбросов на выходе СФ, к анализу которой и перейдем.

Статистика выбросов на выходе коррелятора

Метод доказательства прежний - сначала прямая проверка результатов при малых к = 1 - 4 и А = 1 - 4, а затем действуем по индукции. Учет СФ или коррелятора усложняет выводы и анализ статистики выбросов даже, как это предположено в данном разделе, при отсутствии входного сигнала (5 = 0). Тем не менее эти результаты проясняют многие последующие эффекты, особенно при компенсации мешаю-

щих сигналов в пачке В-CDMA. Используя векторную запись текущих величин и их вероятностей, последовательно получаем в символической форме записи:

1) А= 1, W= 1, Л = AW= 1 (рис. 3.8):

ГЬ ^Y 1,ГЬ ^Y 1,< 1’ 9г А ^ ^2 у< 1’ 9г А ^ ^2 у|Ч Р»1’^291 у|Ч Р»1’^291 уилиили'-1, 92А < 1»92^2 у'-1, 92А < 1»92^2 у

ГЬ ^Y 1,

ГЬ ^Y 1,

< 1’ 9г А ^ ^2 у

< 1’ 9г А ^ ^2 у

|Ч Р»

1’^291 у

|Ч Р»

1’^291 у

или

или

'-1, 92А < 1»92^2 у

'-1, 92А < 1»92^2 у

1> Р\Я\ + ^2^2 — ^11 > — 1, Р\Ч1 + "^91 — ^12’

(G ) = ^91 + ^92 - ^92 - ^91 = (^ - ^2 ХЧх -д1)=Б\

Рх = qx =^(1 +Б"1'), Р2 = q2—^(1 —Б~'), Рх + Р2 = qx + q2 =1,

(3.81)(3.81)E^ = (C)-{C,)2 = Pxqx +P2q2+Pxq2 + P2qx-^ = (Pt+P2Xqt + 92HCY = = 1-^, /’1+/’2=(/’+P2)(g1+g2) = l-l = l.

(3.81)

(3.81)

2)11=2, N= 1, Л = AW = 2 (рис. 3.8):

y2 — ^2^1 "*" ai^2 —y2 — ^2^1 "*" ai^2 —2,О,2,О,-2,-2,1,-1,1,-1,(^9i+^2)22(^191 +^292)(^192 "*"^291)(^92+^291 )2(^9i+^2)22(^191 +^292)(^192 "*"^291)(^92+^291 )2^9i+^2'P\4i + ^г91 у^9i+^2'P\4i + ^г91 у^9i +^92^^9г + ^9i у^9i +^92^^9г + ^9i у^(91+92)2(^+7>2)2 =^(91+92)2(^+7>2)2 =

y2 — ^2^1 "*" ai^2 —

y2 — ^2^1 "*" ai^2 —

2,

О,

2,

О,

-2,

-2,

1,-1,

1,-1,

(^9i+^2)22(^191 +^292)(^192 "*"^291)(^92+^291 )2

(^9i+^2)22(^191 +^292)(^192 "*"^291)(^92+^291 )2

^9i+^2'

P\4i + ^г91 у

^9i+^2'

P\4i + ^г91 у

^9i +^92^

^9г + ^9i у

^9i +^92^

^9г + ^9i у

^(91+92)2(^+7>2)2 =

^(91+92)2(^+7>2)2 =

(C2o912+C'9192+C22922)(C2o912+C'9192+C22922)kc°2p^c2pxp2*clPbkc°2p^c2pxp2*clPb(3.82)г-(3.82)г-ax -1 a2 = 1ax -1 a2 = 1a, =1a2 = -1или«1 =-la2 = 1a, =1a2 = -1или«1 =-la2 = 1ax=-\ a2 =-lax=-\ a2 =-l6,=1 b2 = 16,=1 b2 = 1'61-1b2 =-lили[6,—11б2 = 1'61-1b2 =-lили[6,—11б2 = 1bx =-l b2 =-lbx =-l b2 =-l(3.83)(3.83)

(C2o912+C'9192+C22922)

(C2o912+C'9192+C22922)

kc°2p^c2pxp2*clPb

kc°2p^c2pxp2*clPb

(3.82)

г-

(3.82)

г-

ax -1 a2 = 1

ax -1 a2 = 1

a, =1a2 = -1

или

«1 =-la2 = 1

a, =1a2 = -1

или

«1 =-la2 = 1

ax=-\ a2 =-l

ax=-\ a2 =-l

6,=1 b2 = 1

6,=1 b2 = 1

'61-1b2 =-l

или

[6,—1

1б2 = 1

'61-1b2 =-l

или

[6,—1

1б2 = 1

bx =-l b2 =-l

bx =-l b2 =-l

(3.83)

(3.83)

/(С = аД) = j7(«,)/f—/(С = аД) = j7(«,)/f—= Д918(Ц-0 + 928(ц+1)]х= Д918(Ц-0 + 928(ц+1)]хххС7>8 --1а,С7>8 --1а,+ /Д+ /Дda, Иda, Иqx [/>8(С -1) + РЖ +1)] + q, [/>8(С +1)+РЖ -1)] =qx [/>8(С -1) + РЖ +1)] + q, [/>8(С +1)+РЖ -1)] =

/(С = аД) = j7(«,)/f—

/(С = аД) = j7(«,)/f—

= Д918(Ц-0 + 928(ц+1)]х

= Д918(Ц-0 + 928(ц+1)]х

х

х

С

7>8 --1а,

С

7>8 --1а,

+ /Д

+ /Д

da, И

da, И

qx [/>8(С -1) + РЖ +1)] + q, [/>8(С +1)+РЖ -1)] =

qx [/>8(С -1) + РЖ +1)] + q, [/>8(С +1)+РЖ -1)] =

= № + ^2 № -1) + (Pxq2 + P2qx Ж +1) = />,8(С -1) + РХЖ +1), Ри + ^2 =№1 + ^2^2) + (Д<72 + ^2<71) = (Д + ^X^i + <7г) = !•1 = !;(3-84)

Ду=ух +у2 =^2+a1bi)^!f(yi)f(y~yi)^i =/[^1§(У1 -Ц+^я+ОЬ x[W-y -D + W-yi +1М = ^1И18(у-2) + /’28(у)] + /’2[/’18(у) + /’28(у + 2)] = = Д 8(у - 2) + (РХ2РХХ + РххРпЖ) + Д 8(у+2);

Р^2РХХРХ2+Р^(РХХ+РХ2У=\2 =! = [(/> *РЖХ*ЧД-Я\(3.85)

ЗП=К, N= 1, А = kN (рис. 3.8):

Л =1Х2Х 1 = ^ = № + Р^х +9z)T =№ +^2/ =f С;^-”/>7;(3.86)

jt=l nt =1т=0

Ы = ^-2т^Рх1"трх2=К^х "Ч1ХРх-pi^K<Pxx-РХ2^К^-(3.87)

/и=0

^-^A-MCmAPxtmPx2 =4KPXXPX2+K4qx-q2)4px-Р2УК"2;(3 88)

т=0

в;Цу2?Ну^=41^=4К

Li+^+Li-s-1)2

,44_

l(i+5-2)+l(i-5-2) =

,44J

= ^[1 + А’2][1 - А’2] = К(1 - Б"4

);

(3.89)

f(-l)C” =(1-1)^0^0; л=0

(3.90)

NCkn_x-NCkn-Jx=(N-2K)C^,

(3.91)

S (N - 2п^ C"nPxn-"P2" ^[l + ^ - 1Х^ - Р2 )2 ] • л=0

(3.92)

Все полученные формулы справедливы при одном мешающем сигнале B-CDMA (N = 1) (см. рис. 3.8). Формула (3.81) вводит исходные соотношения, в выражении (3.82) впервые учитывается эффект суммирования в СФ при съеме напряжения с двух позиций (к = 2). Формула (3.83) поясняет логическое существо

происходящих явлений. Формула (3.84) - это всюду используемая плотность вероятности произведения a^j, а (3.85) - интеграл свертки для плотности вероятности суммы двух процессов с весами а, и ак, где впервые появляется единичное ядро Я, не влияющее напрямую на конечные величины при расчетах, но играющее решающую роль в логическом описании структуры выбросов на выходе СФ, что прямо следует из общей формулы (3.86) и табл. 3.7.

Таблица 3.7. Вероятности суммируемых величин ук

Ук

А

А-2

А-4

-(А-4)

-(Л-2)

-А

Вер.

С°АРп

рАА р ^Аг\\ '12

р2 рА-2 р2

^АГ\1г\2

рА-2 р2 рА-2 ^А ' 11'12

рА-\ Р рА-1 ^А '11'12

рА рА ^АГ\2

Таблица 3.7 является искомой и полностью описывает вероятностную структуру пространства выбросов на выходе СФ, в котором (в отличие от предыдущих случаев при отсутствии СФ, когда ядром являлась форма /^ + Р2 = 1) новое единичное логическое ядро равно 1 = 1 • 1 = (^ + q2)(Px + Р2) ~ ^i + -^2 с четким физическим смыслом -ЯК = (qx -Vq2)K(Px + Р2)' = 1К -I1 = I*™указывает на использование К суммируемых позиций при воздействии на входе одного сигнала ^ = 1. При этом было бы ошибкой сразу полагать вероятности весов СФ q, равными вероятностям чипов Р,, z = 1,2 , поскольку в этом случае Я = (РХ+Р2 )w можно трактовать как наличие К + 1 сигналов на входе, тогда как сигнал один (или при Я = (qx A-q^^ как использование К +1 весов, тогда как весов всего К).

Кроме того, в (3.86) впервые появляется необходимость введения нового параметра А = KN = К, характеризующего общее количество (объем) чипов, участвующих в обработке. Формулы (3.87)-(3.89) формально при замене К на N совпадают с (3.46)-(3.48), но получены совершенно иначе - с использованием легко доказываемого выражения (3.90), гораздо более трудно проверяемого (по индукции) соотношения (3.91), которое поясняет появление в табл. 3.7 значений А -2т, т = 0Д,.„, К, и формулы (3.92), без которой невозможно получить новое выражение (3.88) для среднего квадрата и дисперсии (3.89).

В принципе можно было бы привести много новых и необходимых для приложений формул, отталкиваясь от (3.90)-(3.92), но ограничимся только констатацией этого факта (при независимости как чипов в ансамбле сигналов CDMA, так и весов СФ или корреляторов). Ниже эти предположения будут ослаблены, но построение теории коррелированных чипов и весов СФ потребует принципиально иных подходов, кардинально меняющих свойства и структуру вероятностных пространств.

Продолжим изучение выбросов при А>1 сигналов CDMA (полезный сигнал 5 = 0). Аналогично предыдущему (рис. 3.9) получаем:

Пк = 1, N=2, А = 2:

Ух = av (^1 А )> 91 9г — 1» А А = ^

№ to,--iHM+i)] А2§ 21-2 +2да 21 +Р228 —+2№ to,--iHM+i)] А2§ 21-2 +2да 21 +Р228 —+2^°1 _ 1^1^°1 _ 1^1= 91[А28(у. -2) + 2АА8(у1) + А25(у1 + 2)] + д2[А28(у +2) + 2/>Р28(у1) + Р228(у| -2)]= = (9.^ + Ч^ )§(* - 2) + (2^А9. + 2PtP2q2)8(у,) + (^ + q2P? )8(у + 2),Ях = (91 + 92 )(А + А )' = А, + ^22 + ^23 = 1 ;(3-93)= 91[А28(у. -2) + 2АА8(у1) + А25(у1 + 2)] + д2[А28(у +2) + 2/>Р28(у1) + Р228(у| -2)]= = (9.^ + Ч^ )§(* - 2) + (2^А9. + 2PtP2q2)8(у,) + (^ + q2P? )8(у + 2),Ях = (91 + 92 )(А + А )' = А, + ^22 + ^23 = 1 ;(3-93)2U=2, N=2, A = kN=4;У2 — ^1 (А 1 Аг ) "*" ^2 (А1 Аг ) ~ ^1 + ^2 ’А1 = 91 А' + 42^2 , А2 = W1 (91 + 92 ) - W2 > Аз = 91^ + 92^А. + Аз + Аз -(91 + 9з)(А + а)2 = 1 • I2 = 1 =(3.94)2U=2, N=2, A = kN=4;У2 — ^1 (А 1 Аг ) "*" ^2 (А1 Аг ) ~ ^1 + ^2 ’А1 = 91 А' + 42^2 , А2 = W1 (91 + 92 ) - W2 > Аз = 91^ + 92^А. + Аз + Аз -(91 + 9з)(А + а)2 = 1 • I2 = 1 =(3.94)Ж)= ДАзЗ^. -2) + Р228(С1) + Р238(С1 +2)][Р215(у2 -С, -2) + Р228(у2 -С,) +Ж)= ДАзЗ^. -2) + Р228(С1) + Р238(С1 +2)][Р215(у2 -С, -2) + Р228(у2 -С,) ++Аз§(У2 -С. +2)]^.(Р21 +Р22 +Р23)2 =[(91 +92)(А + А)2]2-Я2 =Я^,(3.95)+Аз§(У2 -С. +2)]^.(Р21 +Р22 +Р23)2 =[(91 +92)(А + А)2]2-Я2 =Я^,(3.95)Яг -(91 +92)2(А + А)22 =(9. +92/(А + А/ =[(9. +92)(А + A/J. (3-96)Яг -(91 +92)2(А + А)22 =(9. +92/(А + А/ =[(9. +92)(А + A/J. (3-96)ЗП=К, n = N, A = kN:Ук=^аи;m=l \"»=1/ЗП=К, n = N, A = kN:Ук=^аи;m=l \"»=1/(3.97)(3.97)Як =[(9. +92)(A + AfJ =(9, +92/(A + А/ =Як =[(9. +92)(A + AfJ =(9, +92/(A + А/ =( к 1 г^т -К-т т ЪСкЧ\ 92 <«=0/( к 1 г^т -К-т т ЪСкЧ\ 92 <«=0/^-гк ={рх +р2у~2К^-гк ={рх +р2у~2Кк К К1ZIУ У У—X_т1=о^о^отх'-т2'.тз'.к К К1ZIУ У У—X_т1=о^о^отх'-т2'.тз'.зХА?А?А?], ^п,=К;зХА?А?А?], ^п,=К;(3.98)(3.98)

№ to,--iHM+i)] А2§ 21-2 +2да 21 +Р228 —+2

№ to,--iHM+i)] А2§ 21-2 +2да 21 +Р228 —+2

^°1 _ 1^1

^°1 _ 1^1

= 91[А28(у. -2) + 2АА8(у1) + А25(у1 + 2)] + д2[А28(у +2) + 2/>Р28(у1) + Р228(у| -2)]= = (9.^ + Ч^ )§(* - 2) + (2^А9. + 2PtP2q2)8(у,) + (^ + q2P? )8(у + 2),

Ях = (91 + 92 )(А + А )' = А, + ^22 + ^23 = 1 ;(3-93)

= 91[А28(у. -2) + 2АА8(у1) + А25(у1 + 2)] + д2[А28(у +2) + 2/>Р28(у1) + Р228(у| -2)]= = (9.^ + Ч^ )§(* - 2) + (2^А9. + 2PtP2q2)8(у,) + (^ + q2P? )8(у + 2),

Ях = (91 + 92 )(А + А )' = А, + ^22 + ^23 = 1 ;(3-93)

2U=2, N=2, A = kN=4;

У2 — ^1 (А 1 Аг ) "*" ^2 (А1 Аг ) ~ ^1 + ^2 ’

А1 = 91 А' + 42^2 , А2 = W1 (91 + 92 ) - W2 > Аз = 91^ + 92^

А. + Аз + Аз -(91 + 9з)(А + а)2 = 1 • I2 = 1 =(3.94)

2U=2, N=2, A = kN=4;

У2 — ^1 (А 1 Аг ) "*" ^2 (А1 Аг ) ~ ^1 + ^2 ’

А1 = 91 А' + 42^2 , А2 = W1 (91 + 92 ) - W2 > Аз = 91^ + 92^

А. + Аз + Аз -(91 + 9з)(А + а)2 = 1 • I2 = 1 =(3.94)

Ж)= ДАзЗ^. -2) + Р228(С1) + Р238(С1 +2)][Р215(у2 -С, -2) + Р228(у2 -С,) +

Ж)= ДАзЗ^. -2) + Р228(С1) + Р238(С1 +2)][Р215(у2 -С, -2) + Р228(у2 -С,) +

+Аз§(У2 -С. +2)]^.(Р21 +Р22 +Р23)2 =[(91 +92)(А + А)2]2-Я2 =Я^,(3.95)

+Аз§(У2 -С. +2)]^.(Р21 +Р22 +Р23)2 =[(91 +92)(А + А)2]2-Я2 =Я^,(3.95)

Яг -(91 +92)2(А + А)22 =(9. +92/(А + А/ =[(9. +92)(А + A/J. (3-96)

Яг -(91 +92)2(А + А)22 =(9. +92/(А + А/ =[(9. +92)(А + A/J. (3-96)

ЗП=К, n = N, A = kN:

Ук=^аи;

m=l \"»=1/

ЗП=К, n = N, A = kN:

Ук=^аи;

m=l \"»=1/

(3.97)

(3.97)

Як =[(9. +92)(A + AfJ =(9, +92/(A + А/ =

Як =[(9. +92)(A + AfJ =(9, +92/(A + А/ =

( к 1 г^т -К-т т ЪСкЧ\ 92 <«=0/

( к 1 г^т -К-т т ЪСкЧ\ 92 <«=0/

^-гк ={рх +р2у~2К

^-гк ={рх +р2у~2К

к К К1ZI

У У У—X

_т1=о^о^отх'-т2'.тз'.

к К К1ZI

У У У—X

_т1=о^о^отх'-т2'.тз'.

з

ХА?А?А?], ^п,=К;

з

ХА?А?А?], ^п,=К;

(3.98)

(3.98)

(л) = £ ^-М^Х^С^уКЯ^^(3.99)

(^2) = f(>l-2m)[c°^+... + C;^^

(3.100)

Рис. 3.9. Расчет статистики выбросов (хвостов) сигналов CDMA: К = ^Б; N = 2

Полученные формулы есть доказательная иллюстрация выражений (3.90)-(3.92) и использования ядра Р21 + Р22 + Р23= Ях = 1 по методу расщепления единицы. Для пояснения: сначала был рассмотрен случай (3.93) при К = 1, затем (3.94) с К = 2, с чего, собственно, и начинается эффект суммирования откликов в СФ или корреляторе, причем плотность вероятности (3.95) для выходного сигнала доказывает появление квадрата исходного ядра Ях = Я2. Физический смысл результатов поясняется преобразованием ядер (3.96), когда (qx + q2y означает съём откликов со всех К позиций СФ, (Д + Р2 У характеризует участие всего массива чипов А = KN в формировании результирующего отклика на выходе СФ. Общий случай (3.97) характеризуется сложными преобразованиями (3.98) ядер Як = Ях (Д + Р2У~2к, четко, однако, указывающими на влияние всех К весов СФ и возможную величину выбросов на выходе СФ, равных А-2к; А;А-2;А-4;...;-(А-4);-(А-2у,-А, что отражено в табл. 3.8 с указанием вероятностей выбросов, понять структуру которых без (3.98) невозможно.

к

Таблица 3.8. Вероятности суммируемых величин

Ук

А

А-2

-(А-2)

-А

Вероятность

рО рА ^АГ2\

с1 ( РА~Х Р А- \ ^А V21 ^22 ^“J

рА рА ^А^З

Качественно картина явлений отображена на рис. 3.10, где кривая 1 есть плотность вероятностей (дискретная в точках, непрерывная кривая - лишь для упрощения иллюстрации) исходной пачки из N сигналов CDMA при отсутствии СФ. Кривая 2 показывает влияние весов СФ, которые, не меняя диапазона возможных значений, сильно уменьшают все вероятности, но их накопление в окрестности относительно небольших значений (-N /3,+А /3) приводит к резкому уплощению плотности - типичное следствие нелинейности (точнее, билинейности) умножения на веса и негаус- совости результирующего эффекта. Кривая 3 есть результат ^-кратной свертки кривых типа 2, плотность вероятности на выходе СФ стремится к нормальной в окрестности (-А / 3, +А / 3), но хвосты сильно затянуты. С увеличением А кривая 3 все более негауссовая, что, впрочем, хорошо понятно, поскольку с ростом величины А = KN число суммируемых откликов на хвостах все время убывает.

Отметим еще, что плотности вероятностей на рис. 3.10 могут быть негладкими и многовершинными (полимодальными, что есть следствие негауссовости распределений). Однако точное вычисление наталкивается, что ясно из (3.98), на такие трудности (например, сложность контроля ошибок), что эту задачу приходится решать численными методами. Заметим еще, что формулы (3.99)-(3.100) совпадают с (3.63)-(3.65), хотя получены другим способом с помощью (3.90)-(3.92), в которых Nзаменено на А = KN, и в конечных результатах положено P^q,, i = \,2. Формула для момента М4 четвертого порядка (3.66) остается в силе, однако вычисление средних произведений и степеней переменных (3.67)—(3.71) в силу трехчленно- сти ядра Ях в (3.93) приводит к весьма громоздким выражениям, которые поэтому не приводятся в явном виде.

Рис. 3.10. Гистограммы распределений вероятностей пачки сигналов CDMA при отсутствии СФ (1), весов СФ (2) и при наличиии СФ (3)

5 Архипкин В.Я., Голяниикий И.А.

Полезный и мешающий сигналы на выходе коррелятора

Средние значения и дисперсии на выходе коррелятора

Если в разд. 3.4 были рассмотрены статистические характеристики пачек сигналов В-CDMA без СФ, а в разд. 3.5 были изучены выходные эффекты от воздействия пачки на входе СФ при 5 = 0, то в этом разделе продолжается анализ СФ, но всюду полезный сигнал отличен от нуля, т.е. 5^0. Ясно, конечно, что каждый из N сигналов в пачке является полезным для какого-то своего СФ, и в принципе можно было бы положить N во всех ранее полученных формулах равным N + 1 и считать задачу решенной. Иногда это соображение используется для контроля правильности выводов, однако по двум причинам так поступать нельзя во всех случаях. Во- первых, самым существенным эффектом является сжатие полезного сигнала в «своем» СФ в дискретный момент К-Б, тогда численно выходной сигнал

Б

У0=Б = ^а2к, где а2к = 1, среднее значение выходного эффекта скачком возрастает 1=1

до значения Б (что является причиной аномальных и сильных переходных процессов в корреляторе), причем число мешающих сигналов остается равным N. Во- вторых, при раздельном рассмотрении полезного и мешающих сигналов удается точно установить причину и величину интерференционных процессов в СФ, что попросту необходимо знать (см. гл. 2) в задачах компенсации мешающих сигналов на «фоне полезного», поскольку взаимодействие особенно сильно при расчете АКФ и взаимных мощностей при анализе ВКФ. Строго говоря, анализ матриц АКФ и ВКФ без раздельного рассмотрения полезного и мешающих сигналов фактически мало полезен в задачах сжатия.

Чтобы не потерять эффекта сжатия полезного сигнала в своем корреляторе, необходимо следить за индикацией переменных весов ак фильтра и значений (номеров) чипов полезного сигнала (для упрощения записи обозначим их через С, = ±1), появляющихся с вероятностями qx + ^2 = 1, причем при К = / тождественно ск = ак. Теперь для выходного процесса СФ при воздействии на входе суммы полезного сигнала 5 и пачки у мешающих сигналов В-CDMA получаем:

t-

/>=^=1(1 + 5-*),^=^^1(1-5--);/>=^=1(1 + 5-*),^=^^1(1-5--);(3.102)(3.102)К К-\К К-\К Г-1К Г-1ККN N-]N N-]К Г-]К Г-]N N-]N N-]= Г(^ + 1) + ^(Г + ДГ) + ^ (Г-1)^-1) + 2(Г-1) + ^= Г(^ + 1) + ^(Г + ДГ) + ^ (Г-1)^-1) + 2(Г-1) + ^(3.103)(3.103)№<5) = (^)-(^2 = К(Л^ 'ЬЬ1N№<5) = (^)-(^2 = К(Л^ 'ЬЬ1NБ2 +EN + 2N + —(N + E-2) + ^(E-\XN-^;БББ2 +EN + 2N + —(N + E-2) + ^(E-\XN-^;ББN(N + E). Б ’N(N + E). Б ’У А2^- Б3 ^Б2’ ^ K(N + l) N2 Дк K{N + \) ’У А2^- Б3 ^Б2’ ^ K(N + l) N2 Дк K{N + \) ’(с/п), =т, =(с/п), =т, ='л'лJk(n+^Б2•Jein,Jk(n+^Б2•Jein,К = Б,К = Б,(3.104)(3.105)(3.106)(3.107)(3.108)(3.109)(3.110)(3.104)(3.105)(3.106)(3.107)(3.108)(3.109)(3.110)

/>=^=1(1 + 5-*),^=^^1(1-5--);

/>=^=1(1 + 5-*),^=^^1(1-5--);

(3.102)

(3.102)

К К-\

К К-\

К Г-1

К Г-1

К

К

N N-]

N N-]

К Г-]

К Г-]

N N-]

N N-]

= Г(^ + 1) + ^(Г + ДГ) + ^ (Г-1)^-1) + 2(Г-1) + ^

= Г(^ + 1) + ^(Г + ДГ) + ^ (Г-1)^-1) + 2(Г-1) + ^

(3.103)

(3.103)

№<5) = (^)-(^2 = К(Л^ 'ЬЬ1N

№<5) = (^)-(^2 = К(Л^ 'ЬЬ1N

Б2 +EN + 2N + —(N + E-2) + ^(E-\XN-^;ББ

Б2 +EN + 2N + —(N + E-2) + ^(E-\XN-^;ББ

N(N + E). Б ’

N(N + E). Б ’

У А2^- Б3 ^Б2’ ^ K(N + l) N

2 Дк K{N + \) ’

У А2^- Б3 ^Б2’ ^ K(N + l) N

2 Дк K{N + \) ’

(с/п), =т, =

(с/п), =т, =

'л

'л

Jk(n+^

Б2

•Jein,

Jk(n+^

Б2

•Jein,

К = Б,

К = Б,

(3.104)

(3.105)

(3.106)

(3.107)

(3.108)

(3.109)

(3.110)

(3.104)

(3.105)

(3.106)

(3.107)

(3.108)

(3.109)

(3.110)

ЕЮ^ + Е^Е^-КСд-д,)^^^ m=lm=l nm=l

БN

m=lиж=1

' К KN

Д-^ДД- = К^*\ДБ2, К<Б,

Б2 Б2

б + бшб2 =б\+А_\ к = б,

1 Б )

Как и следовало ожидать, при К<Б среднее значение (3.102) совпадает с (3.99) при подстановке вместо N величины N +1, так же как и дисперсия (3.100) с Дк (см. (3.104)). Но вот при К = Б все характеристики на выходе СФ скачком и

5*

сильно увеличиваются. Так, среднее значение, до этого возрастающее пропорционально К, скачком увеличивается в у, >(52/А)»1 раз (см. (3.107)); дисперсия (3.106), до этого растущая пропорционально К (см. (3.104)), также увеличивается в у2 раз (см. (3.108)), правда, значительно более плавно, чем среднее значение. Но наибольший скачок на выходе СФ наблюдается для отношения сигнал/помеха у3, определенного выражением (3.109), которое увеличивается в Бг^Б! К »1 раз (см. (3.110)). Однако так было бы только тогда, если бы удалось в «очищенном» виде получить сжатый отклик - в реальной аппаратуре подобное невозможно. А вот эффект непрерывного нарастания пропорционально K(N +1) помеховых средних и особенно дисперсий заставляет тщательно их учитывать (см. гл. 2) во всех основных алгоритмах и рекомендациях теории цифровой компенсации помеховых сигналов; непрерывное накопление помех требует введения компенсации с самого первого шага (К = 1). Это тем более важно, если учесть, что дисперсии (3.104) есть сильно усредненные величины; реально приходится работать с текущими реализациями помеховых сигналов, вероятность больших выбросов которых (порядка Б) при N »1 весьма велика, что прямо следует из характера плотности вероятности /(Л) (см. рис. 3.10). А тот же порядок величин дисперсий (3.100) при отсутствии полезного сигнала на входе СФ подчеркивает более важную опасность, а именно - появление с высокой вероятностью ложных выбросов и, следовательно, большую частость ошибочных решений, с чем можно бороться лишь путем оптимальной компенсации мешающих сигналов пачки В-CDMA, что было строго доказано в гл. 2.

Смешанные моменты процессов на выходе коррелятора >

Сначала найдем АКФ, затем ВКФ при перекрытии сигналов на М - q позиций, как показано на рис. 3.7. При этом, как и выше, будем различать случаи К< Б и К- Б. Имеем:

АКФц(9Л<5) = (гмгл)--(гмХгл):

АКФ =АКФ =ММ Г NУ clC + У а У bт ттптm=q*\m=q*\\”т=1ММ Г NУ clC + У а У bт ттптm=q*\m=q*\\”т=1ММ ( N )l=q+l/=?+1^=1 уММ ( N )l=q+l/=?+1^=1 у(З.Ш)(З.Ш)

АКФ =

АКФ =

ММ Г N

У clC + У а У bт ттпт

m=q*\m=q*\\”т=1

ММ Г N

У clC + У а У bт ттпт

m=q*\m=q*\\”т=1

ММ ( N )

l=q+l/=?+1^=1 у

ММ ( N )

l=q+l/=?+1^=1 у

(З.Ш)

(З.Ш)

АКФц(? = 0,К = 5) =АКФц(? = 0,К = 5) =

АКФц(? = 0,К = 5) =

АКФц(? = 0,К = 5) =

==^-^(1 + А)2=(;„>£), АКФц = 0; ь

/ Б ( N )\2

) = ОБ>0; (3.112)

))\и=1(л„=1)

(3.113)(3.113)ВКФ(9,К < Б) = АКФ(?,К < Б) - (- 7?) (I + А)2 > 0.

(3.113)

(3.113)

Б

13)3>13)3>Как видно, наличие сигнала никак не отражается на величине АКФ при К<Б (сравните (3.111) и (3.72)), причем и в том, и другом случаях центрированные дКФц = 0. Не равна нулю АКФЦ (3.112), поскольку существует в одной точке Б = Б (и совпадает с дисперсией (3.106)). ВКФ (3.113) ничем статистически не отличается от АКФ при К<Б. Но вот при К- Б значения ВКФ существенно зависят от направления сдвига: при отрицательном сдвиге (^ < 0) влево от точки К = Б наложение сигналов отсутствует и ВКФ=0; при положительном (q > 0) сдвиге

1

3

)

3

>

1

3

)

3

>

(Б-\,Б)(Б-\,Б)ББNNВКФ =ВКФ =Б^а„ ^Ь,7И™1 I ”т~1Б^а„ ^Ь,7И™1 I ”т~1*т*тУ аС +Y а У Ь,У аС +Y а У Ь,ББББББNNБ + ^Ыт УЬ, ”=1 <"»=•Б + ^Ыт УЬ, ”=1 <"»=•ББт-Б-1т-Б-1т=Б-1т=Б-1NNВКФц(?>0) = Б^ат ^Ь,ВКФц(?>0) = Б^ат ^Ь,ББNNУХУХУАУА2N + \ N2 н—Б Б32N + \ N2 н—Б Б3NУь"iNУь"i•2•22А + 1 N'1:Б Б;2А + 1 N'1:Б Б;.3.3ENБ2ENБ2(3.115)(3.115)Рис. 3.11. Влияние дискретного сдвига К и его знака q > 0 на ВКФРис. 3.11. Влияние дискретного сдвига К и его знака q > 0 на ВКФ(3.114)(3.114)вправо ВКФ отлична от нуля, но существует только на интервале (рис. 3.11), поэтому получаем:

(Б-\,Б)

(Б-\,Б)

Б

Б

N

N

ВКФ =

ВКФ =

Б^а„ ^Ь,7И™1 I ”т~1

Б^а„ ^Ь,7И™1 I ”т~1

*т

*т

У аС +Y а У Ь,

У аС +Y а У Ь,

Б

Б

Б

Б

Б

Б

N

N

Б + ^Ыт УЬ, ”=1 <"»=•

Б + ^Ыт УЬ, ”=1 <"»=•

Б

Б

т-Б-1

т-Б-1

т=Б-1

т=Б-1

N

N

ВКФц(?>0) = Б^ат ^Ь,

ВКФц(?>0) = Б^ат ^Ь,

Б

Б

N

N

УХ

УХ

УА

УА

2N + \ N2 н—

Б Б3

2N + \ N2 н—

Б Б3

N

Уь

"i

N

Уь

"i

•2

•2

2А + 1 N'

1:

Б Б;

2А + 1 N'

1:

Б Б;

.3

.3

EN

Б2

EN

Б2

(3.115)

(3.115)

Рис. 3.11. Влияние дискретного сдвига К и его знака q > 0 на ВКФ

Рис. 3.11. Влияние дискретного сдвига К и его знака q > 0 на ВКФ

(3.114)

(3.114)

Точно так же можно получить моменты более высокого порядка, но в теории компенсации в гауссовой модели они не понадобились. Относительно выбросов можно утверждать, что при центрировании на Б все результаты остаются в силе при замене А на А +1, равно как и выражения (3.66)-(3.71) для момента четвертого порядка, скорректированные с учетом трехчленности выражения (3.93).

Влияние априорной осведомленности о фильтрах и сигналах

В задачах адаптивной фильтрации априорная осведомленность относительно параметров согласованных фильтров и воздействующих сигналов (С) чрезвычайно важна, и хотя подобные утверждения давно стали «общим местом», сейчас будет доказана нетривиальность и существенность априорной информации в различных ситуациях:

Априори пара СФ-С неизвестна. Фактически именно при этом предположении получены все результаты разд. 3.4, когда сигналы В-CDMA заранее неизвестны, и разд. 3.5 и 3.6, когда и фильтр и сигнал неизвестны. Для получения содержательных выводов была использована методика теории вероятностей и математической статистики, однако следует подчеркнуть, что любые теории, в том числе и вероятностные, попросту преобразуют неизвестную исходную информацию в форму, удобную для анализа, и не более того. Никакой «новой» информации, не заложенной в паре СФ-С, извлечь нельзя; максимум, что можно сделать - не потерять основные и ценные сведения.

Из пары СФ-С фильтр известен, сигнал - нет. Именно такая ситуация складывается в большинстве задач приема и обработки информации, и ниже эта проблема рассматривается подробно.

Из пары СФ-С фильтр неизвестен, а сигнал, напротив, известен полностью. Эта проблема является типичной для задач двойного применения систем связи.

Пара СФ-С известна полностью. Ситуация идеализированная, но типичная при анализе различных воздействий на заранее заданные фильтры, например при моделировании на ЭВМ сигналов типа ПСП с целью изучения их воздействия на заранее заданные СФ или корреляторы. Ясно, что для этого требуется исчерпывающая исходная информация, но при этом вычислительные трудности таковы, что обойтись без ЭВМ невозможно. Поэтому займемся анализом второго случая, когда СФ известен полностью, тогда как пачка сигналов В-CDMA случайная.

7.1. Фильтр полностью известен, сигнал - нет

Известность СФ означает, что имеются сведения о точных значениях всех параметров фильтра, в том числе известны все весовые коэффициенты ак, К= 1,..., Б. Заранее ясно, что без задания численных значений ак результаты анализа не будут столь полными и законченными, как в разд. 3.4-3.6, зато станет понятно, что в среднем они должны полностью совпадать с ними. Этим поднимается ценность и результативность всех проделанных выше исследований. При отсутствии полезного сигнала на входе никаких дополнительных проблем не возникает. Однако в случае присутствия полезного сигнала появляется неоднозначность: с одной стороны, неизвестность сигнала попросту увеличивает их число до N +1 (это при К < Б ); с другой стороны, при К = Б фильтр «узнает» свой сигнал, сжимая его, т.е. неиз-

вестность сигнала для стороннего наблюдателя не эквивалентна неизвестности его для системы обработки. Выход единственный: при 5 Ф 0 для всех К< Б будем полагать, что в пачке В-CDMA присутствует N +1 сигнал, для К = Б - только N сигналов. Итак, имеем:

5 = 0:

Ук~^ак ^Ьпт >™=1<"»=!7Ук~^ак ^Ьпт >™=1<"»=!7" т=1" т=1о2к = X Т^кДта. -5А Vmz =m=l=\ /=1\ пт П/=1 Iо2к = X Т^кДта. -5А Vmz =m=l=\ /=1\ пт П/=1 IN(N-l)Б2N(N-l)Б2-2 К КК К-Ла 2£^=^1 + 5-2)(К+ ££а„А);т=1 1=1т*1=\-2 К КК К-Ла 2£^=^1 + 5-2)(К+ ££а„А);т=1 1=1т*1=\м ББК К-1M = -^T°K=°,о\-КБ(\-Б'2\ '^ак=^'^ата1=о.ь=1т=1т*1=\м ББК К-1M = -^T°K=°,о\-КБ(\-Б'2\ '^ак=^'^ата1=о.ь=1т=1т*1=\(3.116)(3.117)(3.118)(3.116)(3.117)(3.118)

Ук~^ак ^Ьпт >

™=1<"»=!7

Ук~^ак ^Ьпт >

™=1<"»=!7

" т=1

" т=1

о2к = X Т^кДта. -5А Vmz =m=l=\ /=1\ пт П/=1 I

о2к = X Т^кДта. -5А Vmz =m=l=\ /=1\ пт П/=1 I

N(N-l)Б2

N(N-l)Б2

-2 К КК К-Л

а 2£^=^1 + 5-2)(К+ ££а„А);

т=1 1=1т*1=\

-2 К КК К-Л

а 2£^=^1 + 5-2)(К+ ££а„А);

т=1 1=1т*1=\

м ББК К-1

M = -^T°K=°,о\-КБ(\-Б'2\ '^ак=^'^ата1=о.

ь=1т=1т*1=\

м ББК К-1

M = -^T°K=°,о\-КБ(\-Б'2\ '^ак=^'^ата1=о.

ь=1т=1т*1=\

(3.116)

(3.117)

(3.118)

(3.116)

(3.117)

(3.118)

Здесь в последней формуле учтен известный из теории детерминированных сигналов результат о нулевом значении суммы всех весов СФ (точно - при четной базе и близкое к нулю значение при нечетной базе суммарной ВКФ весов). Полученные выражения с погрешностью порядка Б'2 совпадают с (3.63)-(3.65), найденными совершенно иначе, что свидетельствует о правильности методик анализа и в данном случае.

2.8*0, см. (3.101Н3.110):

КК( N

2к=5к-ук=^атст+^ат ^Ьп_ ; т=\т=1(n„=l/

V1N

ОТ ОТ*

т=|Ь т=1

N

Б +— 0 = 5,Б

К<Б

К = Б

0,U

1« К < Б,К = Б;

тЧ

+к „Л*"-.1»

Б2

атст^а^/Б)

1=1.

«К^ф^фкЩ^-,ь

ккк К—1

сели ^атст = ^а„ = ^ ^ад = 0, 1« К < Б, а2т = (b2) = 1; от=1m=lm=l Z=1

(3.119)

(3.120)

(3.121)

(3.122)

136

ГЛАВА 3

С

’ Ж СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ B-CDMA-3G ТИП А «С 1 и-ис I ик з/».и* I

(3.131)(3.132)(3.133)(3.131)(3.132)(3.133)I^^z^VN/E^Y, j^ME^=(N + E)/E2>\-

(3.131)

(3.132)

(3.133)

(3.131)

(3.132)

(3.133)

= ъ = (0^ = Ы/М<1

Y9 у6 (С/П)2 ^Б>Б

Исходя из формул (3.101)—(3.110) получены выражения (3.119) и (3.124). Учитывая детерминизм параметров фильтра (весов ат и ст ) и случайность чипов при вычислении средних значений (3.120) и (3.125), аналогично находим средние мощности и дисперсии (3.121)—(3.124) и (3.126)-(3.127). Отношение выражений (3.125) и (3.120) есть функция у4(^) (см. (3.128)), показывающая, насколько при К= Б и 5^0 среднее значение больше, чем при Б>К. Аналогично из (3.127) и (3.123) формируется функция у5(^) для отношения дисперсий, затем отношение сиг- нал/помеха у6(К) (см. соответственно формулы (3.129) и (3.130)). Остальные формулы (3.131)—(3.133) - новые, так как только сейчас возникла возможность сравнения средних, дисперсий и отношений С/П, полученных в предположении детерминизма параметров фильтра. Как и следовало ожидать, дополнительная (к сигналу) стохастичность фильтра приводит к заметному увеличению дисперсии, а вот отношение С/П снижается, т.е. у6 >у3 (сравните формулы (3.130) и (3.109)), поскольку любой детерминизм, направленный на увеличение С/П, не может его уменьшить.

7.2. Сигнал полностью известен, фильтр - нет

Эта задача в некотором смысле обратна рассмотренной в разд. 3.7.1, и если бы анализировалась экстремальная вариационная проблема поиска такого сигнала, чтобы в максимальной степени снизить характеристики обработки сигнала фильтром, то была бы получена типичная задача оценки эффективности систем связи двойного использования. Тем не менее априорная неизвестность фильтра - типичная задача в ряде областей радиоэлектроники, например при сертификации аппаратуры, относительно которой известны только внешние выходные параметры, но не внутреннее устройство, скрываемое, скажем, по соображениям коммерческой тайны.

Все подобные задачи сводятся к модели «черного ящика» (МЧЯ), и проблема состоит в том, чтобы по известным входным сигналам и выходным характеристикам найти внутреннюю структуру устройства обработки сигналов. В том частном случае, когда подобные задачи решались заранее и составлены эталоны устройств, получаем типичную проблему идентификации (определения степени соответствия) данного алгоритма некоторому эталону, а при отсутствии последнего - опять модель с «черным ящиком».

По сути проблема МЧЯ сводится к анализу выходных характеристик фильтра с дальнейшим сопоставлении их с входными с целью отыскания структуры неизвестного СФ. В общем случае проблема чрезвычайно обширная с множеством осо-

бенностей. Рассматриваемая сейчас задача проще, так как известно, что фильтр линейный, дискретно-цифровой, к тому же согласованный с сигналом, поэтому для анализа можно применить результаты предыдущего раздела. Но гораздо эффективнее использовать [33-35] методы анализа в следующей последовательности:

Если имеется доступ к каждому отводу регистра сдвига СФ, то получаем треугольную систему уравнений при подаче на вход любого сигнала.

Если доступа к отводам нет, но в ансамбле сигналов имеется такой, под который фильтр согласован (ведь совсем необязательно, что по разным причинам такой сигнал имеется в наборе), тогда при N сигналах в ансамбле потребуется в среднем А2/2 испытаний для отысканий сжатого отклика, по которому немедленно восстанавливается искомая структура СФ.

Если же в ансамбле отсутствует требуемый сигнал или А2/2 слишком большое число, тогда целесообразно воспользоваться всеми результатами разд. 3.7.1 с очевидной перезаменой параметров: Б на N (и наоборот), а на b (и наоборот), индекса т на п и т.д. Ясно, что только средним значением и дисперсией не обойтись; при базе фильтра Б потребуется еще 5-2 моментов для отыскания Б неизвестных, поскольку оценка начальных моментов порядка (^Я 2) осуществляется с большой погрешностью порядка дисперсии в степени (Б - 2 ).

Если о СФ и требуемом сигнале ничего неизвестно, число (ENY /2 слишком велико, то ничего не остается, кроме моделирования на ЭВМ методом Монте-Карло проблемы МЧЯ. При этом материал разд. 3.4-3.6 является базовым для моделирования. Ошибки в оценках наибольшие в прямом соответствии с эвристически- экспериментальным правилом: чем больше стохастичность и меньше детерминизма, тем больше дисперсии ошибок (хотя средние значения ошибок могут быть вполне удовлетворительными, но не всегда).

Итак, доказано высказанное в начале этого раздела утверждение о сильном влиянии степени априорной осведомленности, но главное еще раз продемонстрированы возможности развитого нового аппарата дискретной математической статистики применительно к проблемам МЧЯ и идентификации.

7.3. Оптимальная согласованная фильтрация

Обозначим дисперсию флуктуаций от белого шума на выходе как Д при использовании АЧХ, и как Д2 при оптимизированной АЧХ. Для упрощения записи формул допустим, что фильтрация каждого чипа-импульса осуществляется интегратором с импульсной характеристикой А(/), по необходимости прямоугольной и отличной от нуля на длительности чипа Д (поскольку в целом оптимальная H(f) есть зеркальное отображение набора прямоугольных чипов). Обозначая выходной процесс полностью известной оптимальной схемы через X(t) и отталкиваясь от

формулы (3.119) (для простоты записи при отсутствии сигнала: SK = 0), для среднего значения (х\ и дисперсии Дх выходного процесса получаем выражения:

>*ктчк NХ<0 = J А(т-)у(т)<7т = Z а» Z z„„ (О,1+(^-1)Гч”=1"»=1>*ктчк NХ<0 = J А(т-)у(т)<7т = Z а» Z z„„ (О,1+(^-1)Гч”=1"»=1А('НА('Нт;\ o<t<T40, вне,т;\ o<t<T40, вне,1 t+KT4^.И = у 1 М^г,V4 г+(/М)Гч1 t+KT4^.И = у 1 М^г,V4 г+(/М)ГчК N . X М Кm=\ nm=\^ m=lК N . X М Кm=\ nm=\^ m=l(^) - 7 J(\^ ‘W=V- у? ^=';^Ч-°^ч т(^) - 7 J(\^ ‘W=V- у? ^=';^Ч-°^ч т(3.134)(3.135)(3.136)(3.134)(3.135)(3.136)

>*ктчк N

Х<0 = J А(т-)у(т)<7т = Z а» Z z„„ (О,1+(^-1)Гч”=1"»=1

>*ктчк N

Х<0 = J А(т-)у(т)<7т = Z а» Z z„„ (О,1+(^-1)Гч”=1"»=1

А('Н

А('Н

т;\ o<t<T4

0, вне,

т;\ o<t<T4

0, вне,

1 t+KT4

^.И = у 1 М^г,

V4 г+(/М)Гч

1 t+KT4

^.И = у 1 М^г,

V4 г+(/М)Гч

К N . X М К

m=\ nm=\^ m=l

К N . X М К

m=\ nm=\^ m=l

(^) - 7 J(\^ ‘W=V- у? ^=';^Ч-°^ч т

(^) - 7 J(\^ ‘W=V- у? ^=';^Ч-°^ч т

(3.134)

(3.135)

(3.136)

(3.134)

(3.135)

(3.136)

=EZama/EEJf^T>-о^-о- m=l Z=1ит=1 nz=l=EZama/EEJf^T>-о^-о- m=l Z=1ит=1 nz=l(3.138)(3.139)(3.140)(3.138)(3.139)(3.140)

=EZama/EEJf^T>-о^-о- m=l Z=1ит=1 nz=l

=EZama/EEJf^T>-о^-о- m=l Z=1ит=1 nz=l

(3.138)

(3.139)

(3.140)

(3.138)

(3.139)

(3.140)

х i к к n n(nV к к

ДхЦхЧ^ХД^ =^0^^Юг„,Ю)~ - ££ад+Д, (3.137)

w=l Z=1лт=1т^=1\ ^ / т=\ 1=1

^"„№пД(^ = f Р*(т1 -(W2 -f)(y(T,)y(T2))t/T,t/T2 =

/+(^+1)т;

<bnm(t)>m = l

<Ъпж^*Ь„ж^> m*l T' 2

2°mfzV +m=l \К К2°mfzV +m=l \К К^-^2 ^^Я^^ -(W2 -f)S(T, -Т,)с/т,(/т2, m = l ^4-^^ -^jj^T, -ОА^-ОП^^г^^г, m*i

2°mfzV +

m=l \К К

2°mfzV +

m=l \К К

K^N+^у^эд;1, эч = Учод, m = l,

B^= Z LamaAN+—e> m*1' b=n+—-^—;

. m*MV Ь jb

Q<^= f [/i(Tr0^2-0n(TiT2WT2 = SjP42>0;

г+(АГ-|)Гч

^=^(1-5-2) + Б,(0 + Д2,ЭчЕ;х=Л Эч! Д2>\;

Дг=^(1-5-2) + Д; Эч/Д,=1;

\вМ = ВЭ2 f gl^H^I = Э^5^(^-1) —^^Э^Б2 »1;

К-*БК-*Б*э>>*э>>(ад)=ви«кэ'5

К-*Б

К-*Б

*э>>

*э>>

\ 1Х z/ Г2г2 44 г2

Дх>Ду\ ^Вх~ > ЭЛ » — = 1.

х Y ээ 4 э

(3.141)(3.142)(3.143)(3.144)(3.141)(3.142)(3.143)(3.144)Из (3.134) следует, что среднее значение (3.135) стационарно, но для несмещенности оценки среднего площадь под h(f) (3.136) должна быть равна единице. Дисперсия Дх с учетом Дг задается формулой (3.137), зависящей от смещенного момента (3.138), причем по определению площадь под А2(/) равна энергии чипа Эч. Функция 0<Д^ зависит от PJ(t,t2), громоздко задаваемой функции-параллелепипеда, изображенной на рис. 3.12. Функции (3.140) и (3.141), т.е. Дх и Дх , есть дисперсии при т, = т2 = 0, в общем разные в различных случаях, но заведомо неотри-

(3.141)

(3.142)

(3.143)

(3.144)

(3.141)

(3.142)

(3.143)

(3.144)

вс1^Аш п:У с< в< в<В я ивс1^Аш п:У с< в< в<В я иРис. 3.12. Область изменения (ть т2) функции 5(ть т2) при расчете смешанных моментов на выходе СФРис. 3.12. Область изменения (ть т2) функции 5(ть т2) при расчете смешанных моментов на выходе СФцательные.

вс1^А

ш п:

У с< в< в<

В я и

вс1^А

ш п:

У с< в< в<

В я и

Рис. 3.12. Область изменения (ть т2) функции 5(ть т2) при расчете смешанных моментов на выходе СФ

Рис. 3.12. Область изменения (ть т2) функции 5(ть т2) при расчете смешанных моментов на выходе СФ

В полностью оптимальной схеме Дх определяется формулой (3.140), в неполностью (без СФ1) для одиночного чипа - выражением (3.141). Поэтому положим Дх = ЭЧ, что есть худший случай для неполностью оптимальной схемы.

Практически часто используется модальная оценка остаточной функции Б, (/), которая, однако, (см. (3.142)) приводит к слишком высокому превосходству подоптимальной схемы по сравнению с оптимальной (Ду « Дх) только потому, что при

воздействии пачки В-CDMA на оптимальную схему не учитывается функция |Д(/)|, рассчитать которую непросто. Однако легко доказывается неравенство Ду < Дх (см. (3.144)), что и требовалось показать.

В неравенстве (3.144) впервые появился новый параметр 34N, характеризующий суммарную энергию пачки в каждой позиции, а также полную энергию всей пачки КЭЧN, равную БЭЧN для всех сигналов в целом при К = Б (здесь весьма уместно напомнить о появлении полного массива чипов KN =А при анализе выбросов на выходе согласованных фильтров). Изложенная теория неожиданно соединяет воедино разнообразные понятия и параметры, которые поначалу в нее не вводились и вообще казались несущественными. В частности, при большой мощности сигналов В-CDMA (в отсутствии СФ1 для одиночных импульсов) она позволяет избежать появления мощных переходных процессов, неизбежных при К = Б в момент сжатия из-за скачка среднего значения выходного процесса СФ (сравните рис. 3.13, а и б).

Рис. 3.13. Сжатие в СФЬ согласованном с одиночным мощным чипом: а - при разных базах (52 > 5,), б - при малой мощности чипа

Квадратуры, динамический диапазон, синхронизация

Квадратуры

Квадратуры используются практически очень часто, причем предполагается, что начальная фаза ср распределена равномерно, или, что то же, равновероятно на интервале (-л, л). Строго квадратурная обработка появляется после усреднения отношения правдоподобия по ср в гауссовых шумах, что эквивалентно использованию после СФ детектора огибающей, устраняющего (физически) высокочастотное заполнение вместе с неизвестной начальной фазой. Но, оставляя равномерным распределение, фаза может меняться в меньших пределах, например в интервале (0, л). Тогда для гораздо более общего случая (с компенсацией помех) последующая (с ср)

квадратурная обработка или эквивалентный ей детектор огибающей (ДО) не требуются. Ведь физически ясно, что после сжатия сигнала выделяется вся информация, а ДО меняет лишь способ индикации отклика СФ; применение ДО никак не может увеличить полезную информацию, в том числе, подчеркнем, и при распределении ф в интервале (-л, л). Вот если требовать точности оценки момента сжатия сигнала с погрешностью порядка lO^-lO"4 от длительности чипа, сравнимой с периодом ВЧ заполнения, тогда использование ДО будет оправданным.

Но для систем связи В-CDMA ситуация кардинально меняется по двум причинам. Во-первых, распределение вероятностей исходных чипов - дискретно со значениями 0 или л с весами Р\ и Р2- 1 - Р\, во-вторых, квадратуры используются на входе приемника (или на выходе передатчика), что приводит к ВЧ чипам величиной ±1 с прежними вероятностями Р, и Р2 и эквивалентно-амплитудной манипуляцией разного знака. Квадратуры могут быть статистически независимыми, а путем использования якобианов преобразований можно [33] доказать, что при наличии сильных шумов распределение их может быть близко к равновероятному. Отсюда относительно просто доказать для сигналов пачки В-CDMA негауссовость и мно- гомодовость распределения вероятностей пачки чипов, на чем подробно останавливаться не будем, но проиллюстрируем примером суммы двух сигналов с амплитудами А, и начальными фазами ф„ 1= 1,2, дискретно-распределенными с вероятностями Р,".

S(f) = Sx (f) + S2 (f) = Д cos(d)f + Ф,) + ^2 cos(cof + ф2 ) =

= (4 созф1 + Z, cos ф2) costal-(4 зшф, + Л2 8тф2)8т(о/ = 5(/)cos[©/ + \|/(?)],

В1 = (^4, созф, + ^ созф2)2 + (^ sinФ1 + A si°Ф )2 = Д2 + Д2 + 2Д Д со5(ф, - ф2),

A. sin ф. + A, sin ф,

&ф = -7—-—7——;(ЗЛ45)

Д cos ф1 + А2 cos ф2

Ж) - ^,5(ф,) + ВДф, - л), / = 1,2; PXj + P2i = 1;(3.146)

У(ф = Ф1 - Ф2) = J/(ф2 )/(ф2 + ФЖ = ^ Л15(ф + Ф21 - Фи ) + ВДАФ + Ф21' Ф12) + +^1Д25(ф + Ф1, — Ф22) "*" ^2Д23(ф — Ф12 — Ф22)»(3.147)

Ж Фи =ф21 =0;ф12 =ф22 =л) = ^5(ф) + ^28(ф-л), qx = РпР2Х + РХ2Р22;

Ч2 ~

При Рхх = РХ2 = Рх, Р2Х— Р22— Рг

qx-P^Pt q2=1PxP2, qx+q2=(Px+P2')2=\2=\",(3.148)

при Рх = Р2 = 1/2

/(Ф) = |з(ф) + 15(ф-л);(3.149)

wniriu I ИЧЬЫХИИ HI i»-wwniriu I ИЧЬЫХИИ HI i»-w

wniriu I ИЧЬЫХИИ HI i»-w

wniriu I ИЧЬЫХИИ HI i»-w

<ф> = <ф,^ф2> = <ф,>-<ф2> = -<ф> = <ф,^ф2> = <ф,>-<ф2> = -(3.150)(3.150)+ 0, 7] + P2,

<ф> = <ф,^ф2> = <ф,>-<ф2> = -

<ф> = <ф,^ф2> = <ф,>-<ф2> = -

(3.150)

(3.150)

= 0, ^=А=1/2, <=л/2;

К = < (4 СО5ф, + 4 СО8ф2)(4 sinф, + 4 81пф2) >ф =

=< sin 2ф, >,Р2 +44 <СО5(ф, -ф2)>ф=44 <СО8(ф, -ф2)>ф=

+ 0 при произвольных Ptl, P2j; фи, ф21,/ = 1,2,

= ((3.151)

= 0 при Pv = Р2 = \И, фн =ф21 =0;ф12 = ф22 =к.

Формула (3.145) показывает, как сумма косинусных синфазных квадратур и ортогональных им синусных квадратур сворачивается в суммарный сигнал с огибающей В^ и общей фазой у; их сложное взаимодействие является одной из причин негауссовости квадратур и результирующего сигнала. Выражение (3.146) есть плотность вероятностей исходных начальных фаз, формулы (3.147)-(3.148) есть свертка двух предыдущих с существенными усложнениями, которые упрощаются только при Р, = 1/2 (см. (3.149)). Среднее значение (3.150) равно нулю. Весьма важная формула (3.151) показывает, что квадратуры в общем коррелированы и К ^0, ведь ортогональность квадратур была бы эквивалентна некоррелированности только при гауссовом распределении вероятностей (что немедленно повлекло бы за собой их статистическую независимость). Однако негауссовость квадратур приводит не только к коррелированности, но и к статистической зависимости последних, и лишь при равных вероятностях Pi = 1/2 и бинарном значении фаз, равном 0 или л, имеем К = 0 , чем широко пользуются практически в системах связи с ПСП.

Уместно задаться вопросом: по какой причине квадратуры стали некоррелированными? Ответ прост - коррелированность значений фаз и их разностей в окрестностях Ойл сохранилась, однако соответствующие значения теперь ни по абсциссе, ни по ординате не различимы физически в заданном масштабе. Поэтому из чисто практических соображений разности фаз целесообразно считать статистически независимыми в окрестностях сгущений Ойл (растяжением масштабов до разрешения разностей фаз можно снова вернуться к статистической зависимости, но чисто физические и технические аппаратурные ограничения делают эту задачу нереальной).

На рис. 3.14, а приведены исходные плотности вероятностей фаз (3.146), на рис. 3.14, б результат свертки (3.147), а на рис. 3.14, в - плотность вероятности разности фаз (3.150). Понятно, что если к сигналу 5 добавить сигнал -$з(4, ф3) и свернуть, затем S^A4, ф4) прибавить к уже свернутому и т.д., то при любом числе сигналов плотность (3.149) останется в силе с нулевым средним и дисперсией л2/2 (см. вторую формулу в (3.150)), но параметры результирующего сигнала (Дф) отыскивать все труднее, так как необходимо учитывать функциональную связь Дфь Фг, ■■•) и ф(фь фг, ...) через фазы ф], ф2, ..., сильно усложняющие поиск статистических характеристик. Сказанное поясняет общее положение, доказанное в [33]:

1

Гораздо легче и естественнее работать с суммой ВЧ сигналов ^^(Д^ф,), чем со свернутыми квадратурами.

Подавляющее число результатов в гл. 1 и 2 получено именно для сумм сигналов, помех и шумов, в частности многомерные пространственно-временные плотности вероятностей и интегральные законы при произвольной модуляции. Исключением являются бинарно-фазоманипулированные сигналы (0;л), поскольку бинарная манипуляция фазы эквивалентна амплитудной манипуляции на (±1). Тем самым исследование существенно нелинейного процесса фазовой (тем более частотной) модуляции заменяется рассмотрением гораздо более простой операцией - умножением (точная амплитудная модуляция осуществляется именно в умножителях), являющейся билинейной (и линейной, если хотя бы один из сомножителей мал).

Рис. 3.14. Плотности вероятностей фаз:двумерная (а), их свертки (б) и разности фаз (в)

Итак, квадратуры появляются естественным образом только при фазоманипули- рованных сигналах (ФМС). Во всех остальных случаях, особенно при частотной или смешанной манипуляции, квадратуры используются как средство упрощения технической реализации, но резко усложняют не только теоретический анализ, но и приводят к ряду неожиданных следствий, в частности: скачки частот и фаз являются причиной сильных переходных процессов, увеличивающих влияние нестабильностей различного рода, а попытки сгладить флуктуации путем применения, скажем, фильтра с гауссовой передаточной функцией (или для ограничения полосы занимаемых частот) приводят к увеличению дисперсии оценки задержки не менее чем в Б раз. г

Динамический диапазон ц

Только что перечисленные технические ограничения представляют небольшую их часть [33-35]. Здесь остановимся еще на одной проблеме, связанной с конечностью динамического диапазона (ДД) системы связи CDMA, ограничиваясь простыми рассуждениями. Допустим, что ДД равен 120 дБ по мощности, тогда ДД по напряжению U получаем прямо из определения:

ДД = 101gl012 =120 дБ, t/ = 106 «220. (3.152)

ul АШСТИЧЕСКИИ Anwinu ^vi^ib.ni w-wi*^-^

Следовательно, с учетом выбросов двадцать сигналов в пачке В-CDMA практически полностью «исчерпают» весь ДД. Сигнал только со знакопеременными чипами с нулевым средним значением (по всей длительности ПСП) и базой 5 = 40 с учетом выбросов требует ДД = 240 = 2-Ю11, а потому системой с ДД (3.152) обработан быть не может в силу ограничения по амплитуде. На самом деле ситуация сложнее, поскольку число сигналов в пачке N > 1 и к тому же существенно скажется конечность полосы частот системы, приводящая к завалу фронтов импульсов - чипов, как показано на рис. 3.13, а кривой 1 для базы Б\ и кривой 2 для базы Б^ > Б\. При учете снижения АКФ сжатого сигнала сигнал с базой Б2 наблюдаться практически не будет. Реально завалы фронтов начнутся сразу после вхождения сигнала в фильтр или в предварительный усилитель (с максимальным коэффициентом усиления 7<о), поскольку для переднего фронта справедливо выражение

S^ = KQ (1 - ехр(-а?)) «К0Ш, (3.153) где а - полоса пропускания усилителя, Гц (для многокаскадного усилителя, в частности с гауссовой АЧХ, наблюдаются особенности; все это несложно подсчитать точно [33-35], но качественные закономерности изменятся незначительно). Из (3.153) видно, что на скорость роста фронта прямым образом влияет и Ко. Следовательно, уменьшением амплитуд чипов можно и при базе Б2 получить приемлемое сжатие (см. рис. 3.13, б), но ценой снижения входного отношения сигнал/шум (С/Ш) настолько, чтобы обеспечить при Б\ вероятность ошибки Ро = 10~3 (несмотря на увеличение базы Б2 > Б;, ошибка может возрасти до 10"2 и более). Это поясняется положением зашумленных (малых) сфер радиуса г по Шеннону на сигнальной окружности радиуса г\ = (Э])1/2 = (5]Эо)1/2, где Эо - энергия чипа (рис. 3.15, а), и на сигнальной окружности радиуса т2 = (Э2)1/2 = (52Эо)1/2 в силу значительно более сильного пересечения сфер в случае с и. На рис. 3.15, б приведены (качественные) зависимости вероятности ошибки PQ от скорости передачи сигнала С (ввода информации в канал связи); П, есть пропускные способности в случаях, приведенных на рис. 3.13, а; расширением полосы частот фильтра можно избежать искажений.

Рис. 3.15. Плотная упаковка по Шеннону:а - сферическое пространство сигналов с радиусом гь г2 и шума с радиусом г, б - зависимость вероятности ошибки Ро от скорости С ввода информации в канал связиРис. 3.15. Плотная упаковка по Шеннону:а - сферическое пространство сигналов с радиусом гь г2 и шума с радиусом г, б - зависимость вероятности ошибки Ро от скорости С ввода информации в канал связи

Рис. 3.15. Плотная упаковка по Шеннону:

а - сферическое пространство сигналов с радиусом гь г2 и шума с радиусом г, б - зависимость вероятности ошибки Ро от скорости С ввода информации в канал связи

Рис. 3.15. Плотная упаковка по Шеннону:

а - сферическое пространство сигналов с радиусом гь г2 и шума с радиусом г, б - зависимость вероятности ошибки Ро от скорости С ввода информации в канал связи

Точность синхронизации систем B-CDMA

Проблема синхронизации в системах связи CDMA является одной из важнейших. Однако некоторые полезные выводы можно получить достаточно просто, чем и ограничимся. Условимся различать два случая:

жесткокоррелированной последовательности чипов (ЖКП), когда флуктуирует только задержка первого чипа, все остальные жестко привязаны к первому;

некоррелированная последовательность чипов (НКП), когда флуктуации задержек и фронтов от чипа к чипу статистически независимы [35].

Для наглядности представим мысленно, что имеется идеальный линейный преобразователь положений импульсов т, в амплитуду А, в момент времени t„ равный среднему значению положения каждого последовательно рассматриваемого чипа. Тогда получаем случайный по А,, но детерминированный по h дискретный процесс, который можно изучать методами, развитыми в гл. 1. Однако применение корреляторов или СФ накладывает ряд ограничений и приводит к некоторым особенностям. Так, в случае 1 флуктуация т > 0 приводит к сокращению отклика СФ; при т < 0 имеет место не только сокращение, но и пропадание отклика у в окрестностях момента сжатия Т = БТЧ, так как имеем

т > 0:

у(?) = Б(Тч - т)+ < Qj > ^Б -1) < а^ > = Б(Тч - т) + (Б -1)/Б2 = Э(1 - т/7ч) +1/5,

Э = БЭЧ=БТЧ, <aiaJ> = <ai><aJ>-^lE^, <а2> = 1;

(5-1)(Гч-т)<?<Т = Гч5;(3.154)

т < 0:

у(Г-|т|) =у(Г-|т|) =(3.155)(3.155)Э(1 -|т|/Гч + Б"\ (Б - 1)ГЧ < / < Б(ТЧ — |т|), 0,Б(Тч-\т^)<1 < БТ,

у(Г-|т|) =

у(Г-|т|) =

(3.155)

(3.155)

причем в (3.154), (3.155) энергия отклика сокращается на |т|/Гч. В случае 2 знако-причем в (3.154), (3.155) энергия отклика сокращается на |т|/Гч. В случае 2 знако-переменных задержек т < 0 пик снижается на 2|т|/Тч значения одного чипа с энергией Эч = 1, так как имеем:у, = Э(1 - 2|т|/Гч) + ст-1, ^<TJ3, ст2 = < т2 >, <т> = (Б Бпеременных задержек т < 0 пик снижается на 2|т|/Тч значения одного чипа с энергией Эч = 1, так как имеем:у, = Э(1 - 2|т|/Гч) + ст-1, ^<TJ3, ст2 = < т2 >, <т> = (Б Би может вообще упасть дои может вообще упасть до(3.156)(3.156)a, =a\xiYa, =a\xiY(3.157)(3.157)( Б V2/ X^o = ( Z T,( Б V2/ X^o = ( Z T,Б ББ Б5 < т2 > = Ба2, < tj7 > = 0, НКП, <(52а2)>, ЖКП;5 < т2 > = Ба2, < tj7 > = 0, НКП, <(52а2)>, ЖКП;q = 3/W0, qT= T2laMET4YlB2E2-T2J< qz=q\J=T2lq\ а2 =а2/Б2 =T2/q2.q = 3/W0, qT= T2laMET4YlB2E2-T2J< qz=q\J=T2lq\ а2 =а2/Б2 =T2/q2.(3.158)(3.159)(3.160)(3.161)(3.158)(3.159)(3.160)(3.161)

причем в (3.154), (3.155) энергия отклика сокращается на |т|/Гч. В случае 2 знако-

причем в (3.154), (3.155) энергия отклика сокращается на |т|/Гч. В случае 2 знако-

переменных задержек т < 0 пик снижается на 2|т|/Тч значения одного чипа с энергией Эч = 1, так как имеем:

у, = Э(1 - 2|т|/Гч) + ст-1, ^<TJ3, ст2 = < т2 >, <т> = (

Б Б

переменных задержек т < 0 пик снижается на 2|т|/Тч значения одного чипа с энергией Эч = 1, так как имеем:

у, = Э(1 - 2|т|/Гч) + ст-1, ^<TJ3, ст2 = < т2 >, <т> = (

Б Б

и может вообще упасть до

и может вообще упасть до

(3.156)

(3.156)

a, =a\xiY

a, =a\xiY

(3.157)

(3.157)

( Б V

2/ X^

o = ( Z T,

( Б V

2/ X^

o = ( Z T,

Б Б

Б Б

5 < т2 > = Ба2, < tj7 > = 0, НКП, <(52а2)>, ЖКП;

5 < т2 > = Ба2, < tj7 > = 0, НКП, <(52а2)>, ЖКП;

q = 3/W0, qT= T2laMET4YlB2E2-T2J< qz=q\J=T2lq\ а2 =а2/Б2 =T2/q2.

q = 3/W0, qT= T2laMET4YlB2E2-T2J< qz=q\J=T2lq\ а2 =а2/Б2 =T2/q2.

(3.158)

(3.159)

(3.160)

(3.161)

(3.158)

(3.159)

(3.160)

(3.161)

^i Ai ИСТИЧЕСКИИ АМАЛИИ uhuiem b-uuma-ou i hi ia «^ i^-ri^ i ui\ oio.u» •-*■

Формулы (3.158) и (3.159) есть дисперсии флуктуаций задержек на выходе СФ, поэтому в варианте ЖКП дисперсия может увеличиться в Б1 раз и как минимум в Б раз при НКП (последний случай означает несинхронную флуктуацию от чипа к чипу, причем статистически независимую, чего на практике стараются избежать). В (3.160) q есть стандартное отношение С/Ш, где Wo - спектральная плотность мощности шума, a qT - новое отношение С/Ш, в котором роль сигнала играет полная длительность ПСП Т = БТЧ, а роль мощности шума - суммарная дисперсия флуктуаций запаздываний а2. Так как энергия пропорциональна Т, то исходя из размерности имеем равенство qx=q2, откуда находим, что дисперсия измерения задержки обратно-пропорциональна квадрату энергетического отношения С/Ш - результат хорошо известный, но полученный здесь совсем иначе.

Методы управления и настройки цифровых квадратурных компенсаторов

Целесообразно сначала оценить потенциальные возможности неоптимальных квадратурных [35] двухканальных (и многоканальных) компенсаторов (КК). Одним из основных является вопрос о количестве опорных колебаний или о качестве опорного колебания, которое, по-существу, определяет эффективность минимизации помех. Так, если, например, синусоидальные колебания основного (ОС) и опорного (ОП) каналов отличаются по фазе и амплитуде, но совпадают по частоте, то двумя (комплексными) весами можно устранить рассогласование. Иными словами, адаптивное опорное устройство является линейным. Если же имеются отличия по частоте, то принципиально (даже при совпадении фаз и амплитуд) необходимо использовать нелинейное устройство, точнее, опорный канал будет нелинейным либо, как минимум, линейным с переменными параметрами (если это позволяет получить разнос частот О, = ®ос - ®оп, ®оп ± kd, к = 0,±1,.... Если же ни при каком к равенство ®оп ± кО. = ©^ не выполняется, то цепь будет нелинейной.

Отметим, что в общем случае «не выручает» ни периодичность передаточных функций цифровых цепей, вызванная дискретной периодичностью входных данных, ни спектральные свойства нелинейных аналого-цифровых преобразователей. Так, рассматривая для простоты бинарное квантование, получаем биполярные импульсы (либо наличие импульса и его отсутствие в двойной логике). Спектр импульса есть функция типа 5тсЦ,®) = [5ш®Ц-нЛЦ]/[®Ц-нЛ?)], в которой sinc^,®,) > sinc(f,®2) при ю, < ®2, хотя бы в главном лепестке. Поэтому получить требуемое соотношение ®оп > при амплитуде Лоп > Лос невозможно. Это в общем означает невозможность компенсации при ®оп ®ос как в линейном опорном канале, так и в его цифровом прототипе даже при большой разрядности квантования. И если в опорном канале реализуется все-таки линейная (аналоговая или циф-

ровая) обработка в виде некоторого фильтра с переменными параметрами, что на практике чаще всего и бывает, то, учитывая вышесказанное, в опорном канале всегда полезно иметь набор гармоник с достаточно густой сеткой частот, априори перекрывающей неопределенность в спектре колебаний основного канала (при компенсации многокомпонентных помех с разнообразными спектрами).

Если же Лос Ф Лоп, то веса или импульсная характеристика фильтра зависят от амплитуд и фильтр в принципе является нелинейным. Это позволяет уменьшить густоту априорной сетки частот ценой, естественно, усложнения фильтра и увеличения, как правило, времени установления процесса адаптации. Причем в зависимости от структуры фильтра и спектра помехи разряжение сетки может быть неравномерным, например логопериодическим. В целом подобная ситуация есть следствие неполной оптимальности критерия МСКО.

Для рассматриваемых задач важными являются два вывода. Во-первых, надо стремиться к тому, чтобы в опорный канал попадало суммарное помеховое колебание помех, имеющихся на основном входе. Поэтому необходима дополнительная антенна либо соответствующий опорный процесс в опорном канале. Во-вторых, необходим учет отражений от местных предметов или появление МЛР, которые могут быть различными для антенн опорного и основного каналов. Учет различных наводок, переотражений и т.д. приводит к необходимости увеличения числа «степеней свободы» адаптируемого канала, например числа регулируемых весов, уменьшения дискретности элемента задержки с одновременным увеличением числа этих элементов и т.д. Поэтому практически всегда полезна любая априорная информация, что приводит к необходимости предварительного изучения помеховой обстановки хотя бы с точностью до количества разрешаемых гармоник (это зависит от требуемой степени подавления); например, бесполезно стремление получить 40 дБ подавления, если не учитывать гармоники, которые слабее наибольшей на 30 дБ. С учетом неидеальности технических устройств может потребоваться учет гармоник, слабее наибольшей вплоть до 50 дБ). Так, если на основной вход воздействует и помех с полосами частот А/^,, то при разрешении по частоте А/ необходимое число весов 2У = 2 У 4/^. /А/, где двойка учитывает квадратурное расщепление /=1

весов. Наличие корреляции между различными помеховыми компонентами уменьшает число весов, что эквивалентно перекрытию или совпадению некоторых частот.

При отсутствии подобной информации полное время задержки не менее Г = 1/А/ (без учета переходных процессов и времени на адаптацию и оценку параметров), причем расстояние между отводами значительно меньше, чем это требуется по теореме Котельникова, ибо:

= (Уа/- Т' <1_ 1< 1и>2а

У yJ ~ иА/у max 2ДД max “ 2А/Л ’ И> ’1

что, как отмечалось, является платой за малое априорное знание. Если время Т окажется слишком большим, то целесообразно использовать рекурсивные фильтры (с обратными связями) либо п параллельных каналов, суммарная задержка в каждом из которых Т / п значительно меньше. Например, при глубокой периодической частотной модуляции процессом со спектром шириной А/мод/ и девиацией частоты Удев/ число отводов в z-м канале равно индексу модуляции /и, = /дев,/А/М0Д, ’ Рас" стояние между отводами Ат, = 1/(2/деВ|), общая задержка т, = Ат,т( =1/(2/мод/), причем т^Т/п, если А/мод, > А^. Выходы п каналов суммируются и подаются на вычитатор.

Описанная схема настраивается за время не более чем т(шах <T]R, а качество компенсации в значительной мере определяется способом настройки весов. Если для конкретности выбрать градиентный метод наискорейшего спуска в реальном масштабе времени без измерения и обращения матриц большей размерности, то п -мерный весовой вектор FE в дискретный момент времени (j +1) равен значению вектора в предыдущий момент j за минусом мгновенной оценки градиента, равной г3Хр Xj =xXj,...,xnp где координата ху есть вектор г-го процесса, е; - значение суммарной ошибки. Оценка градиента умножается на вектор ц, обычный в методе стохастической аппроксимации, координаты которого есть скаляры порядка ц, = 10"2 -10"3, определяющие устойчивость и сходимость процесса адаптации. Если ц, малы, то процесс адаптации наверняка устойчив, но оценка W за время адаптации может не сойтись к истинной и оптимальная передаточная функция будет недостижима. Наоборот, большие pz приводят к быстрому достижению оптимальных значений весов, которые, однако, «проскакиваются», в результате чего увеличивается колебательность и удлиняется по времени затухание процесса адаптации. Процесс оценки W является неустойчивым, ибо за время адаптации устойчивое состояние просто не будет определено. Найдем теперь дисперсию ошибки:

\ X/=1 7 / 1=1

Отсюда вытекает, что в случае статистической независимости всех процессов у,^ основного канала и всех х^ (/ = 1,и) опорного канала суммарная дисперсия ошибки (е)2 = 22(е,2) и минимальна. Если веса (после нормировки на ^тах) не превосходят едйницы, а все (или часть) процессов у, (t) и х, (?) положительно коррелированны, то члены типа 1^^^ не равны нулю и общая дисперсия ошибки увеличивается. Однако при больших ц, =10~‘ -10"2 веса могут значительно отличаться, так как нормирующая величина становится функцией времени и при превышении единицы некоторые из членов ^Е,^ ^ могут быть отрицательными. Это приводит к тому, что ошибка будет меньше, чем сумма квадратов: /е2) < V (еЛ .

Проиллюстрируем сказанное полезным примером компенсации двух действительных процессов ух^ и у2(0, например двух мешающих сигналов CDMA, опорным колебаниями Wxxx(t) и W2x2(f) с комплексными весами ^ и ^2. Имеем:

= ZZ^,-^,)^-^,)* == ZZ^,-^,)^-^,)* =

= ZZ^,-^,)^-^,)* =

= ZZ^,-^,)^-^,)* =

= g2 + ст2 + 2c2G2pvv -2Ке1Е(стстр +о стох)-

Ti У2 ^1 У1Г У\У1lx xir»xi У2 xi г У2Х1

-2Re^2(o с р + <\ <\ Рх v ) + М2°2 Рхх +|Rr2|2^Px, + 2Ке(1Ё11Ё2*)ст ст р .

2V У; Х2Г У\х2 х2 У2* Х2У2 ' I И х| r xlxl I 21 х2Гх2х24 1 2 / Хх ХгГ ххХ2

Рассматривая условия «хорошей» компенсации, когда дисперсии близки, а собственные коэффициенты корреляции равны единице, имеем

(Е2)/ст2 =2(l + Py]J-2Rel^+ р^) +|^|2 +|^2|2 +

+2Re(^^2’)pX]X2.

Если теперь все перекрестные коэффициенты корреляции равны нулю (сигналы ортогональны), то р = 0 при z ^ J , р = 1 при i = j. Поэтому [(e2)/ct2]o»(^-h) + (^-i)\(^2-i) + (^2-i)'->о при ^ «^2->l

Наоборот, при жесткой корреляции всех процессов имеет место (ошибочная) компенсация полезного сигнала. Тогда при любых i и j рху «1, поэтому (Е2)/ст2«[(^-1) + (1Ё2ч)][(^-1) + ^

что подтверждает сказанное выше, ибо если один из коэффициентов по модулю больше единицы, то ^£2^/ст2 <^Е2^у/ст2^. Ошибка компенсации тем меньше, чем ближе р^ к единице (рис. 3.16).

Перейдем к конкретизации процесса вычисления вектора весов ЙГ’ используя градиентный метод наискорейшего спуска с мгновенной оценкой градиента в виде Й^^-^х,.(3.162)

В квадратурном исполнении число весов удваивается, причем на половину весов колебания поступают со сдвигом по фазе на л/2, что аналогично наличию задержки на То /4, где Го - период высокочастотного заполнения (или, для широкополосных процессов, М = Т0]4 есть время дискретизации по Котельникову). Каждая последующая пара весов отличается от предыдущей наличием задержки т = Аг.

Схема адаптивного фильтра, приведенного на рис. 3.17, а, содержит п линий задержек (ЛЗ) и п фазовращателей (ФВ) и эквивалентна нерекурсивному фильтру с 2 и задержками на А/ каждая, точнее с (2и -1) линиями задержки, перемножителями ® (стрелками обозначены веса N^. Это означает, что переходный процесс системы продолжается не менее (2и -1)АГ = Тп; в формуле (3.162) индекс j - номер итерации, периодичность которой не менее Тп. Теперь запоминание предыдущего значения вектора й^ требуется на время Тп, что можно осуществить рекурсивным фильтром,

представленным на рис. 3.17, б, где не показан соответствующий синхронизатор (по А/ ~ т, по Тп и т.д.), а блок (е1 ^ обозначает формирование второго слагаемого в (3.162).

Рис. 3.16. Ошибка компенсации е2 в зависимости от дисперсии помехи ст2 при разных модулях коэффициента взаимной корреляции |рху[ для цифровых квадратурных компенсаторов помехРис. 3.16. Ошибка компенсации е2 в зависимости от дисперсии помехи ст2 при разных модулях коэффициента взаимной корреляции |рху[ для цифровых квадратурных компенсаторов помех

Рис. 3.16. Ошибка компенсации е2 в зависимости от дисперсии помехи ст2 при разных модулях коэффициента взаимной корреляции |рху[ для цифровых квадратурных компенсаторов помех

Рис. 3.16. Ошибка компенсации е2 в зависимости от дисперсии помехи ст2 при разных модулях коэффициента взаимной корреляции |рху[ для цифровых квадратурных компенсаторов помех

d,0,d,0,Лг = 22V-1, ^^2^-l.Лг = 22V-1, ^^2^-l.

d,

0,

d,

0,

Лг = 22V-1, ^^2^-l.

Лг = 22V-1, ^^2^-l.

Приведенные на рис. 3.17 схемы фильтров подстраиваются либо под один процесс у(/), из которого берутся п выборочных знаний, либо под сумму п процессов

У^-'^УЛ^» выборочные значения из которой некоррелированны (для этого т i=i

должно превышать наибольшее из времен корреляций). Если же на основной вход воздействует сумма у^, а выборки коррелированны, то необходимо дополнить схему на рис. 3.17, а требуемым числом схожих каналов (но с одним блоком (е2) )> а в схеме на рис. 3.17,6 положить, что число задержек трансверсального фильтра равно (2^-l)®2^, причем рекурсивная часть фильтра имеет задержку Тп = (IN - l)Af « 1NM. Далее это условие положим выполненным.

Несмотря на то, что адаптивный фильтр - принципиально нелинейное устрой

ство (веса зависят от амплитуд колебаний), в течение времени Тп выполнения ите

рации его можно считать линейным с постоянными параметрами и, следовательно, можно найти его передаточную функцию IF’(z) - для удобства анализа сразу в Z- плоскости (z = ePAz). С этого момента важно задаться конкретной схемой вычисле

ния ошибки. Полагая для простоты бинарное квантование с уровнем d, имеем

Рис. 3.17. Схемы адаптивного (а) и рекурсивного (б) фильтров

Импульсную характеристику цифрового интегратора (рекурсивного фильтра) зададим в виде

7>2ДГ-1,

О, j<2N-L

Процесс х,(г) на опорном входе представим в виде суммы гармоник

х, (г) = ^ Ат cos(o)„ / + Ф„ ) • На входе интегратора (в пренебрежении переходными т, =1

процессами) имеем е^, а свертка с импульсной характеристикой приводит к отклику интегратора в виде

^-lп Mi

Р[(/ - (2N - 1))Аг] = А [(7 - (2N - 1))Аг] £ 2d^k^U - N + Щг] х

к=0/=1 т,=1

х{cos^co^Q-N*k^t + <pm ((7-^ + £)А/] + sin[.„]|,

где аргумент под sin[.„] такой же, как под cos[...], и в силу учета ортогональных (квадратурных) компонент число слагаемых в первой сумме равно N. Суммарное колебание опорного канала после перемножения на входные, задержанные на 0,т,...,(2^-l)т колебания равно

W-1 и М,

Р[и-(2^- 1))А/]££ £ An, VU-N + Р)Аг]X

Р=0 /=1 т,=1

x{cos^com U-^ + Р)А/ + фт (U~N + P)A/| + sin[...]}.

Подставляя явное значение Р, используя формулы приведения типа cos a cos Р + + sin а sin Р = cos(a - Р), пренебрегая (в силу малости) после суммирования «высокочастотным» слагаемым (Лемма-Римана) sin[co„ (2 j - 2N + к + P^t + ф„ ((7 - N + к) + +Ф„ ((7 - N + Р)А/)], учитывая импульсный характер системы, получаем выражение для процесса на опорном входе вычитатора:

N4 N4 п М,

2^[(7-(2ДГ-1Н5>^ £ £^[(7-2V + ^)A/]4,[(7-^ + P)A/]x

*=0р=01=1т,=1

Xcos[сои (к- Р) Аг + фи ((7-^ + к)Аг)-фИ/((7-N + Р)Аг)].

Отметим, что полученное колебание существенно зависит от всех фазовых и амплитудных соотношений гармонических составляющих опорного входа. Будем считать, что последнее выражение есть отклик некоторого эквивалентного линейного фильтра в момент j = 2N -1 при условии, что на «вход» подается ошибка еу. Тогда искомая импульсная характеристика п Mi N-l N-l

2А[(7-(2N- 1))А/]££ ££рА, [О- W + к)^ [(7- N + Р)АГ]X

1=1т,=1Р=0к=0(3.163)

xcos|X, (^ - ^)^ + ф„, ((7 - ^ + к^\р) - ^ ((j -N + ^Аг)].

Дальнейшие преобразования существенно зависят от свойств процессов, модулирующих амплитуды и фазы. Предположим, что выполняется условие медленности, причем с увеличением числа гармоник на входе (т.е. с увеличением N ) условие медленности все более ужесточается. Это поясняется тем, что z-преобразование легко осуществить, если косинусоида обладает постоянной амплитудой, т.е. когда

4 [U - W + ^)А1]4 [и - У + Р)А/] = 4;

Jm. kU-N^к^-4 ((j - У + Р^ « 4 -4 = 0.(

Тогда z-спектр косинусоиды

К -a z(z-COSO)0A0,„

С^ = 2Lcos®0?AZ • z 4 =^--, q = к - Р, ®0 = СО;

?=0z -2zcos®0Al + l

Поскольку нас интересует отклик с запаздыванием на (2У - 1) А/, то суммирование ряда должно начинаться не с q = 0, а с q = 2N. Сумма первых (2W — 1) членов геометрической прогрессии

замz|z-cos®0A/-z (2 ’cos(®0A/2^ +z 2Л^cos(®0A^(2^-l))!'

\ cos aoqAt = —, я

z -2zcos®0Al + l

причем при N —> оо два последних слагаемых в фигурных скобках взаимно уничтожаются. Теперь искомое z-преобразование имеет вид

ClN^ — ^ cosco0^AZ-z 4q=2NClN^ — ^ cosco0^AZ-z 4q=2N[cos(co0Af 2У) - z4 cos(co0A/(2y -1))]^

ClN^ — ^ cosco0^AZ-z 4q=2N

ClN^ — ^ cosco0^AZ-z 4q=2N

q=oz2-2zcos®0Al + l’

причем с увеличением N этот z-спектр стремится к нулю. Аналогично находится z-спектр sin tooqAt:

S2n(z)= ^sinto^Az-z”''q=2NS2n(z)= ^sinto^Az-z”''q=2Nоо 2ЛГ-1=Z-E=q=0q=0оо 2ЛГ-1=Z-E=q=0q=0z"2^'0 [z sin(®0A/2y -1) - sin(®0A/(2y - 2))]z"2^'0 [z sin(®0A/2y -1) - sin(®0A/(2y - 2))]z2 -2zcos®0AZ + lz2 -2zcos®0AZ + l.(3.165).(3.165)

S2n(z)= ^sinto^Az-z”''q=2N

S2n(z)= ^sinto^Az-z”''q=2N

оо 2ЛГ-1

=Z-E=

q=0q=0

оо 2ЛГ-1

=Z-E=

q=0q=0

z"2^'0 [z sin(®0A/2y -1) - sin(®0A/(2y - 2))]

z"2^'0 [z sin(®0A/2y -1) - sin(®0A/(2y - 2))]

z2 -2zcos®0AZ + l

z2 -2zcos®0AZ + l

.(3.165)

.(3.165)

Если теперь в (3.163) вместо cos ®m(^-P)A/J = cos ®m к At cos om PAt + + sincom £A/sincom PAt подставить (3.164) и (3.165), в которых 2N заменено на q-k (или п), то после четырехкратного суммирования получим передаточную функцию W3 эквивалентного фильтра. Учитывая теперь то, что обратная связь не содержит никаких дополнительных цепей, после замыкания ОС получим искомую функцию передачи в целом: W = (1-W3y'.

Другой способ отыскания W3 вытекает из формулы (3.163). Поскольку импульсная характеристика эквивалентного фильтра равна произведению й[(У-(2у-1)аг] и ZZZZ[...] , то эквивалентная передаточная функция VP3 есть сверткаz-функций

H^ = z^N^Kz - 0 = \ZKZ - 0] - [o - ^"^l(1 - Z-1)] и функцииn MtГ N-\N-\N-\N-\"H^ = z^N^Kz - 0 = \ZKZ - 0] - [o - ^"^l(1 - Z-1)] и функцииn MtГ N-\N-\N-\N-\"№ = £1^ Цср<»Z^ck(z)-^p<z^V-A(z) - to0 = ®m, >(3•166)№ = £1^ Цср<»Z^ck(z)-^p<z^V-A(z) - to0 = ®m, >(3•166)/=1 ^=1 Lp=o/=1 ^=1 Lp=oк=0к=0Р=0к=0Р=0к=0

H^ = z^N^Kz - 0 = \ZKZ - 0] - [o - ^"^l(1 - Z-1)] и функцииn MtГ N-\N-\N-\N-\"

H^ = z^N^Kz - 0 = \ZKZ - 0] - [o - ^"^l(1 - Z-1)] и функцииn MtГ N-\N-\N-\N-\"

№ = £1^ Цср<»Z^ck(z)-^p<z^V-A(z) - to0 = ®m, >(3•166)

№ = £1^ Цср<»Z^ck(z)-^p<z^V-A(z) - to0 = ®m, >(3•166)

/=1 ^=1 Lp=o

/=1 ^=1 Lp=o

к=0

к=0

Р=0к=0

Р=0к=0

•_e. имеем W3=Q/R, а следовательно, W(z) = R(z)/VR(z)-Q(z)\, где R и Q eCTb [ОЛИНОМЫ от z.

(3.167)(3.167)Настройка фильтра означает компенсацию различных гармоник частот ®т , для [его одновременно должны выполняться условия R(z) = 0, 0(2) * 0 . В силу того, Ito H(z) имеет нуль при z = 0 и полюс при z = 1, нули R^ являются полюсами D(z), которые определяются уравнениями типа

(3.167)

(3.167)

z2 - 2z cos to At + 1 = 0, z„ = exp {+itom At **U~ И г I /и,

и произведениями подобных выражений (после приведения к общему знаменателю в (3.166)). Отсюда вытекает в самом общем случае следующее положение: если все частоты кратны некоторой частоте О, т.е. co^=m,Q, a Az = l/2max(w,Q), то W(z) = 0 во всех точках ®т .

cos(coMA/(A:-l))cos(com Atk)sin(to„Af(P-2))Z' cos(tomAt(P-l))‘cos(coMA/(A:-l))cos(com Atk)sin(to„Af(P-2))Z' cos(tomAt(P-l))‘(3.168)(3.168)Иными словами, в этих условиях возможна идеальная компенсация. Во всех остальных случаях никогда полной компенсации на всех частотах ®т не существует. Если одна или некоторая группа гармоник является полезным сигналом, то отсюда вытекает, что (имеющий место в таких КК вредный эффект) сигнал не будет полностью скомпенсирован (при некратности основных модулированных частот сигнала и помехи), но и никогда сигнал не выделяется в «чистом» виде (ибо всегда найдутся гармоники в спектре, равные или кратные частотам помех). Однако качество подавления определяется еще полюсами W(z), точнее, близостью нулей и полюсов, что задает крутизну спадов и подъемов АЧХ и, следовательно, добротности зон режекции помехи. В общем виде полюса W(z) определяются из условия W3 = 1 или Q(z) = R(z), которые содержат линейные комбинации интерферирующих членов типа:

cos(coMA/(A:-l))

cos(com Atk)

sin(to„Af(P-2))

Z' cos(tomAt(P-l))‘

cos(coMA/(A:-l))

cos(com Atk)

sin(to„Af(P-2))

Z' cos(tomAt(P-l))‘

(3.168)

(3.168)

z cos(com Atk) - cos(®Mi At^k -1)) = 0, z,=

z sin(co^ At (P -1)) - sin(®^ At (P - 2)) = 0,

В общем случае zt * zj. Следовательно, невозможна одновременно сколь угодно высокая добротность нулей (или полюсов) на всех частотах даже при кратности этих частот некоторой частоте Q. Чем больше слагаемых интерферирует, т.е. чем больше гармоник, весов, времен сглаживания и т.д., тем более сглаженной является

результирующая интерферометрическая картина, тем хуже компенсация, тем больше влияют зоны режекции одна на другую.

До этого момента предполагались выполненными условия медленности в слишком жестких границах. Их желательно ослабить. Это несложно сделать для фазовой (частотной) модуляции (манипуляции), если скорость изменения второй производной фазы много меньше скорости первой производной, что выполняется для линейной частотной модуляции, а в среднем и при модуляции частоты шумом с большей дисперсией. Но в (3.163) входит разность фаз, которая теперь имеет вид

Ф„, [О' - ^ + ^)АГ] - фИ1 [(; - N + Р)Аг] « ф; (0)(А - Р)Аг + 0(^, Р, N).

Все сказанное после формулы (3.163) теперь сохраняет силу и при учете угловой модуляции. Но требования на медленность огибающий остаются жесткими. Исключение составляют случаи простой АМ, например по гармоническим законам

L

или по сумме гармоник некоторых частот по закону ^Л;(?)со8(Ц/ + Ф;), где па- /=1

раметры Л^Ц,^) могут быть произвольными. Формально разработанный выше аппарат усложняется лишь количественно, но качественные выводы о возможностях подавления и степени подавления остаются прежними.

Иногда возможны упрощения полученных общих выражений. Например, интересуясь только моментом окончания настройки (Р = к), имеем из (3.163):

сй[(у-(2У-1))А/],

л М, N-\

с = £ £ £ ^4 [О' - N + к)^, сН^ = W^ = czKz -1);(3.169)

j=l т,=\ к=0

W(z) = 1/(1 - W3) = (z - l)/(z -1 - cz"21^^.(3.170)

Нуль будет при z = 1, ©А/ = 2та . Так как период выборки А/ «согласован» со спектром помех, то z^\ и И^г) не имеет провала в АЧХ до нуля. Это важно знать, например, при сжатии сигнала B-CDMA.

Следует признать, что в общем виде проблема реализации адаптируемых цифровых компенсатора и сжимающего фильтра В-CDMA сложна, особенно при увеличении памяти фильтра и усложнении помеховых колебаний [33-35]. Поэтому большое значение на этапе проектирования играют методы математического программирования, в частности общая теория итеративных и стохастических процессов, связанная с поиском экстремальных значений (нулей и полюсов) передаточной функции фильтра. Задача может быть переформулирована в более общем виде как задача поиска обобщенного градиента функционалов Лагранжа при наличии ограничений.

Указанные задачи (при некоторых условиях) сводятся к итеративным процессам антагонистического типа с нулевым суммарным выигрышем, для которых раз-

работаны эффективные методы решения. Имеются также стандартные программы вычисления корней неотрицательной линейно-квадратичной формы. Именно к такой форме сводится задача минимизации помех по критерию МСКО. Существуют алгоритмы быстрого (но грубого) счета (типа «Заяц»), слабо зависящие от размерности задачи. Затем решение в окрестности оптимума уточняется более медленными алгоритмами (типа «Белка»), основанными на процедуре замены координат, растягивающей окрестность оптимума и значительно увеличивающей точность решения. Не исключено, что специализированные вычислители, реализующие эти программы в модернизированной системе «СТС-Исток 3/5.0» (см. гл. 4), будут с успехом конкурировать с рассмотренными здесь подходами.

Анализ эффективности рециркуляторов

Классическая схема рециркулятора изображена на рис. 3.18, а и содержит усилитель и линию задержки (в данном случае на Т = ТЧБ, где Б - база ПСП, а Тч - длительность элементарного чипа ПСП) в цепи обратной связи. В цифровом исполнении имеем простейший рекурсивный фильтр. На рис. 3.18, б приведена входная последовательность сжатых ПСП треугольников на входе рециркулятора, на рис. 3.18, в - процесс на выходе рециркулятора при использовании ^-циркуляций. Максимальная величина амплитуды равна КЭ, где Э = ЭЧБ есть энергия сжатых ПСП (равная энергии входного ПСП с энергией каждого чипа Эч). Амплитудно-частотный спектр S (J") последовательности треугольников на выходе рециркулятора имеет дискретно-сплошную структуру (рис. 3.18, г). Эквивалентная схема рециркулятора (рис. 3.18, д) содержит К параллельных линий задержек и сумматор, что сразу поясняет результат обработки на рис. 3.18, в, и сильно упрощает анализ эффективности рециркулятора (схема на рис. 3.18, д предполагает обработку в диапазоне видеочастот).

Однако часто рециркуляторы используют на ПЧ или даже в диапазоне частот СВЧ. В таких случаях все треугольные импульсы «обретают» высокочастотное заполнение и простой когерентности треугольных импульсов не хватает - необходима когерентность по начальным фазам. В противном случае, как показано на рис. 3.19 для примера при К = 3, смещение ВЧ заполнения на небольшие величины tx - Z3 приводит к уплощению и флуктуациям вершины результата, к тому же максимум сдвигается от точки t = КТ. Наихудший случай имеет место при группировке случайных колебаний задержек слева (или справа от точки Z = КТ), так как в итоге приходим почти к прямоугольному импульсу длительности То /2, где То - период ВЧ заполнения, со средней ошибкой порядка К(Т0/ 4)/(ТчК) = Г0/(4Гч) = 0,025, т.е. фактически около 5%, на промежуточных частотах в 50 МГц и при полосе частот порядка 5 МГц, типичной для B-CDMA-3G.

в)

и^Г-КТ)^^-^

1=1

—►

z, с

8ЛЛ

Рис. 3.18. К анализу рециркулятора: схема (а), импульсный процесс на входе и выходе (треугольные импульсы) без накопителя (б) и с накопителем (в), амплитудно-частотный спектр сигнала на выходе после накопления (г), эквивалентная модель рециркулятора (б)

А УЮ

t.t.^к-\уг = -ТГ^к-\уг = -ТГРис. 3.19. Суммарный процесс на выходе рециркулятора в диапазоне ПЧ после трех циркуляций при отсутствии когерентности по начальным фазамРис. 3.19. Суммарный процесс на выходе рециркулятора в диапазоне ПЧ после трех циркуляций при отсутствии когерентности по начальным фазам/ 2э;/ 2э;3333

t.

t.

^к-\уг = -ТГ

^к-\уг = -ТГ

Рис. 3.19. Суммарный процесс на выходе рециркулятора в диапазоне ПЧ после трех циркуляций при отсутствии когерентности по начальным фазам

Рис. 3.19. Суммарный процесс на выходе рециркулятора в диапазоне ПЧ после трех циркуляций при отсутствии когерентности по начальным фазам

/ 2э;

/ 2э;

33

33

Отметим, что схема, приведенная на рис. 3.18,д, используется в RAKE-receiver при компенсации затуханий лучей и учете МЛР сигналов. Поэтому в этом почти идеальном случае (из-за непредсказуемости и случайности лучей) ошибка заведомо будет более 5%.

К схеме на рис. 3.18, д можно отнести и так называемую «пространственную» обработку [46], под которой подразумевается применение нескольких разнесенных в пространстве приемных антенн с единственной целью - получить дополнительные пути приема лучей с последующей компенсацией задержек и затуханий. При этом непременно требуется идентификация сигналов, так что едва ли ошибка будет менее 10%, впрочем такая обработка вовсе не является пространственной (см. гл. 1), так как отсутствует определение местоположения абонентов связи, нет координатной обработки и т.д. (вообще из материала [46] рекламно-технического порядка извлечь что-нибудь действительно полезное крайне трудно).

Перейдем к расчету эффективности рециркулятора по схемам рис. 3.18, д, вводя в рассмотрение комплексные амплитуды всех N сигналов в пачке B-CDMA-3G (и полезного сигнала с индексом нуль после обработки корреляторами или эквивалентными им СФ, поскольку прием ведется на фоне белого шума х0(2) с нулевым средним значением, спектральной плотностью мощности W Вт/Гц и дисперсией Од). Используя комплексное сопряжение и памятуя о том, что и в видеодиапазоне

смещение по задержкам приводит к комплексным сигналам, найдем дисперсию Д процесса y(t) на выходе рециркулятора; выделим затем «сигнальный» С и «помеховый» П члены, ограничиваясь изучением отношения С/П = q. Имеем:

(

/К NК\ (К NК\ \

№ + 22^+2^;(3.171)

\м=1 л=1т=1/ X,г=1 /=1г=1у /

Т

(3.172)(3.172)80 = Л^о (Г -/)|2 dt = Э = ЭЧБ, 8Д0 = SOm(t\ m 1^; о

(3.172)

(3.172)

S _ = f S0(mT -t)S„ _(mt - t)dt - ВКФП _ = VЭЭр0 _ = Эр0_. n,m j их/ n,m x/un,mгил,/я ruit,i

(m-l)T

Рвя,/»

0,

ост.

ВКФОл„

= 0,

ост.

ВКФОл„

малы,

ост.

ВКФОлм

большие;

• 1/Б, uVe,

(3.173)

^m= S S0m(mT-t)x0(t)dt, (xo=0), (x„=0),

(m-l)I

aiM f S^mT-t^x^dt, J S0m(mT-t2')x0(t2')dt2

\(т-1)Г(m—V)T

= f jsOm(rnT-tl)SOm(rnT-t2)W5(t2-tl')dtldt2 = (т-1)Г

= ^ j ^„(mT-t^dt^WS, АКФДт-тТу,

(3.174)

Д = С + П, д = С/П;

(3.175)

К2Э2, когер. накопление, КЭ2,некогер. накопление;

(3.176)

К ( N X К

Z5X, +Z<

Г=1 V /=1 У Г=1

К ( N X +у ух„ ^^ ^^ m>n I

'К / У > к

^о+Ё 2^/ +ЁХ

Г=1 V /=1 у г=1

’К f N \ К

г=1 V /=1 У Г=1

(3.177)

— ^^i + ^2 "^ ^3 "^ ^4 ^~ ^5 "^ ^6 "*~ ^7 "^ "^8 ) ’

№ = 1к80^8*н\ = тЭ2\р0га\ = ^,

\Г=1 /=1/

О,

|р„.|- 1/-S,

i/Vs,

m^KJ + n, см. рис.3.21,

К = ?и±1, см. рис.3.22,

К = т ± 1, ост. ВКФОта большие;

кПг>1к8^Х*\цП^Ду^8тХх*г

\г=1/\т=1 и=1г=1

4".)7EV$;£tf,)7£^.ffX) = 0, таккак{^.) = 0;

О, т * г.

т = г,

(К К ( N N

XX ХХ^.Л,/ )

m=l r=l X, л=1 /=1/ /

к/уз2|р„ .|2, к = ш±1, r=/±i, О, т ^ г, n^l;

_С__К2Э2

’гср "п" KW3 + 2K2N32|pomI + K2N32|p„^r>,|2

K3lW = Kq0B = qtx, qQ = 3JW, ВКФ = 0,

—;= q» = 3jw, ост. вкф=i / б,

l + (2Kq0EN)/E + (KNq0E)/E2t2 °4

—77=q» < q^< q^ ’ост-ВКФ=;

l + (2q0EKN^^ + ^kNq0E^/E

£_КЭ2

П ^3 + 2X7V32|p0m| + jBV32|pw,,|2

qHkX=K32 IKW3 = 3IW = q0E, q0 = 3jW, ост.ВКФ = 0,

КЗ2

KW3 + (2KN32 ^Б + (KN32 ^Б2

ост. ВКФ = 1/5,

КЗ2

KW3 + (2KN32 ^Ve + (KN32 ^Б

ост. ВКФ = 1/75;

q„3 <qk3 q«i q^ <qHX <q^ K^

(3.178)

(3.179)

(3.180)

(3.181)

(3.182)

(3.183)

(3.184)

6. Архипкин В.Я., Голяницкий И.А.

(3.185)(3.185)Д = ( J У(А Wx J У<4 )dt2) = (С + П) J J dtxdt2 = 4T2 (С + П), \-Гч-T4/-T -T4

(3.185)

(3.185)

4T2C C f9rorep J KOreP- сложение,

9 = —= — = 1

47; П П gH , некогер. сложение.

Выражение (3.171) поясняет способ вывода, где косыми скобками, как всегда, обозначается усреднение по множеству реализаций. Но при детерминированности сигналов ^(z) для конкретного канала (условно с номером нуль) и в пачке Sn(f) под косыми скобками (здесь и только здесь) следует понимать усреднение во времени в соответствующих пределах (см. (3.172)). Формула (3.173) есть вычисление ВКФОпм сигнала S0(f) с S„m, т = \,к, п = 1,N, причем здесь существенно использовались общие свойства ПСП, изложенные в [18]. Формула (3.174) поясняет подробности вывода дисперсии о2 узкополосных помех на выходе СФ, а также остальных формул (3.175)—(3.181); при выводе необходимо следить за «резонансными» дискретными (при т~1, рис. 3.20) и непрерывными (при к = т ± 1, рис. 3.21) свойствами подынтегральных выражений, как это для примера показано в центре рис. 3.20.

Рис. 3.20. Дискретные резонансы - пояснение к формуле (3.181)Рис. 3.20. Дискретные резонансы - пояснение к формуле (3.181)

Рис. 3.20. Дискретные резонансы - пояснение к формуле (3.181)

Рис. 3.20. Дискретные резонансы - пояснение к формуле (3.181)

На рис. 3.21 пояснены подробности непрерывных резонансов: линия т - 0, что эквивалентно tx е (0,7), должна лежать полностью внутри области интегрирования 1-1. Иначе интегралы при т = 0 будут равны нулю, как, например, в областях 2-2, 3-3 (заштрихованы), что приводит к нулевым вкладам в суммарную дисперсию (3.175). Так как общие формулы слишком громоздки и ненаглядны, то убедиться в справедливости выражений (3.171)—(3.181) можно иначе: сначала суммировать прямоугольные чипы в схеме рециркулятора на рис. 3.18, д (что немедленно потребует расширения его полосы прозрачности, не очень, правда, значительного, приблизительно в 4/(Зл) = 0,42 раза по напряжению, или в 0,18 раз по энергии), а затем интегрировать результат y(z) в интервале (-Т„,+Тч), снимая отсчетное значение в момент t = KT, где К - число циркуляций (рис. 3.22, см. формулу (3.185),

которая верна с точностью до множителя 4ТЧ2, который, впрочем, сокращается при отыскании отношения С/П и ни на что не влияет). Подробности опускаются, но невольно напрашивается сравнение чрезмерно громоздких формул (3.171)—(3.181) с элегантными и наглядными формулами в разд. 3.2-3.7. Теперь ясна плата за статистическую независимость чипов: дискретные резонансы учитывались и в разд. 3.23.7, а вот непрерывные резонансы в областях интегрирования, показанных на рис. 3.21, можно упустить, поскольку после СФ шумы и сигналы становятся узкополосными, коррелированными, что и приводит от прямоугольных областей интегрирования (показаны пунктиром на рис. 3.21 и 3.22) к треугольно-ромбовидным с изменением вида функций т = t2k - tXm .

Таким образом, способы выводов, изложенные выше, дополняют друг друга. Поскольку часто практически (в аппаратуре) отказываются от почипового интегрирования с самого начала, то целесообразнее использовать формулы разд. 3.2-3.7 и затем применять интегрирование по области (рис. 3.21), поскольку линейность схемы рециркулятора на рис. 3.18, д позволяет переносить операцию интегрирования в любое место (а то и вообще отказаться от интегрирования). Только теория статистических решений (см. [33-35] и гл. 1 и 2), этого делать не рекомендует в силу потери согласованности обработки с элементарными импульсами-чипами (или, иными словами, внутриимпульсного сжатия) либо придется мириться с громоздкостью всех выражений и использовать формулы (3.171)—(3.181), непременно отслеживая возможные точки, линии и области резонансов в пятимерном пространстве с четырехмерной областью изменения всех переменных.

Итоговый результат останется прежним, за исключением малых членов, которые после интегрирования сглаживаются (за счет наличия дельта-распределений дискретных чипов-сигналов типа (3.11) и др.). Но главные ведущие члены сохраняются, в чем легко убедиться в силу фильтрующего свойства дельта-функций (доказательства опускаются). Формулы (3.182)—(3.184) и дают искомое - отношения С/П при когерентной (по высокочастотному заполнению) и некогерентной (последетекторной) обработке и накоплению результата в рециркуляторе при идеальных ВКФ с нулевыми остатками и реальных ВКФ с остатками (5"’-5"1/2). Наилучший результат дает формула qK1 в (3.182) - стандартное отношение С/П = д0 увеличивается в К раз (число циркуляций). Если же остатки ВКФ * 0 , то ситуация резко меняется из-за зависимости знаменателей в (3.182) от величины К (когерентное накопление сигнала приводит к «подъему» помеховых мешающих воздействий, отсутствующему при некогерентном накоплении сигналов, на п. Неравенства (3.184) указывают на неожиданный эффект - значения некогерентных qHi и когерентных qki чередуются. Таким образом, если остатки ВКФ = 1/5 , то некогерентное накопление может быть эффективнее (только тогда, когда остатки ВКФ = 0, см. неравенства (3.184)). В практических приложениях следует, во-первых, максимально снижать остатки ВКФ (чего можно добиться для сигналов ПСП с четными базами хотя бы в окрестности пика сжатого сигнала) и, во-вторых, стремиться к максимально возможной когерентности суммируемых сжатых сигналов в рециркуляторах накопления (подчеркнем - это выполняется в «СТС-Исток 3/5.0» систем фиксированной связи B-CDMA-3G, см. гл. 4).

Рис. 3.21. Области интегрирования в формуле (3.174)

Рис. 3.22. Области интегрирования в формуле (3.185)

Выводы

Основные результаты, полученные при анализе эффективности систем B-CDMA-3G:

Проведен анализ статистических характеристик сигналов пачки B-CDMA-3G, а именно средних значений и дисперсий, а также моментов четвертого и более высокого порядка, наряду с подробным исследованием свойств и расчетом характеристик АКФ и ВКФ сигналов В-CDMA. Некоторая избыточность доказательств поясняется новизной применения аппарата анализа, что приводит к необходимости использования по-шагового доказательства: сначала для ^ = 1, затем N = 2 и т.д. до \N = 4. Это позволяет «уловить» изменение основных параметров и уж затем использовать метод математической индукции в его классическом варианте. Именно поэтому потребовалось отдельно изучать измерения средних значений, подробно описывать примеры АКФ и ВКФ пачки сигналов В-CDMA с анализом и использованием свойств многократных сверток распределений вероятностей типа (3.11) или (3.23), что позволило решить (до сих пор открытую) проблему анализа статистических характеристик выбросов и влияния хвостов распределений вероятностей сигналов В-CDMA при исходном предположении их статической независимости, выявить и учесть негауссовость распределений вероятностей, особенно сильную при малом числе сигналов в пачке (порядка ^ = 10). С увеличением N гауссовость распределения пачки проявляется все сильнее (за исключением окрестности нуля и хвостов). Использование этих сведений и польза от них сильно зависят от конкретной задачи: при анализе общих свойств АКФ и ВКФ эти свойства можно не учитывать, точнее, не подчеркивать, тогда как при анализе компенсации мешающих сигналов (см. гл. 2) учет описанных подробностей необходим, если стремиться к подавлению мешающего фона более чем на 35-40 дБ.

Проведен анализ статистических характеристик сигналов В-CDMA с учетом статистики трафика каналов передачи информации как при гауссовой статистике трафика, так и при равновероятном трафике с полным вычислением моментов до четвертого порядка включительно (а также средних значений, дисперсий, АКФ и ВКФ, которые, как доказано, в среднем увеличиваются втрое при равновероятном трафике). Случайность трафика приводит фактически к замене случайных величин на их средние значения. В целом «стохастизация» трафика приводит к дополнительному зашумлению полезных сигналов В-CDMA и в итоге к снижению скорости передачи.

Проведен более углубленный анализ статистических характеристик пачки сигналов В-CDMA с упором на их цифровое представление, что формально и по сути почти ничего не меняет, но позволяет упростить и «стандартизировать» вычисление начальных моментов, а также смешанных моментов, в частности ВКФ (см. разд. 3.4.2).

Выполнен практически очень важный анализ статистических характеристик сигналов В-CDMA на выходе СФ и корреляторов при отсутствии полезного сигнала, изучены начальные моменты произвольного порядка, в частности средние значения и дисперсии, и ВКФ на выходе коррелятора при произвольном смещении

(несовпадении) весов СФ и позиций чипов в пачке сигналов В-CDMA. Особых усилий потребовала проблема анализа статистики выбросов сигналов на выходе СФ: сначала при ^ = 1 и К = 1 (в данном случае К означает смещение чипов по дискретной оси времени на единицу) и т.д. до N = 2, К = 2; затем был использован метод математической индукции для любого N и К и различных величин А = KN, что позволило, в частности, доказать важные для дальнейшего выражения в комбинаторной математике. В отличие от случая отсутствия СФ плотности вероятностей выбросов из-за хвостов распределений становятся сильно негауссовыми. Нормализация, обычная в аналоговых фильтрах, здесь отсутствует - математически из-за неожиданного (на первый взгляд) влияния весов фильтра в пределах от -N/3 до N/3, приводящего к резкому «уплощению» плотностей вероятностей процесса на выходе СФ. Физически результат поясняется отсутствием наложения и суммирования хвостов «откликов» СФ на сигналы пачки В-CDMA из-за их статистической независимости и отсутствия «памяти» СФ.

Полученные результаты использовались при решении проблемы компенсации мешающих сигналов в пачке В-CDMA. Но негладкость, поливершинность плотностей вероятностей и вообще их негауссовость могут привести в практических ситуациях приема к неожиданным (казалось бы) снижениям характеристик качества обнаружения сигналов алгоритмами, построенными в предположении гауссовости распределений вероятностей процессов на выходе СФ или коррелятора; например, вероятность ошибки может быть на порядок большей расчетной величины.

Проведен анализ в предположении наличия на входе СФ наряду с пачкой мешающих и полезного сигнала. Показано, что если номер позиции ПСП К<Б (базы ПСП), то никаких осложнений не возникает, все формулы сохраняют силу при замене N на N +1, но в момент сжатия сигналов К-Б, что приводит к резкому скачку среднего значения на выходе СФ в Б2 / N »1 раз (дисперсия также растет, но не столь быстро), поэтому отношение С/П увеличивается в Б2хГб/К »1 раз, почти пропорционально росту среднего значения при сжатии полезного сигнала. Точно так же мало меняются АКФ и ВКФ при К <Б; при К = Б в момент сжатия сильно меняется ВКФ, особенно при положительном сдвиге по дискретной оси вправо (в случае сдвига влево ВКФ=0). При этом АКФ меняется мало в силу настройки СФ на полезный сигнал.

Изучена важная практически проблема влияния априорной осведомленности о СФ и сигналах В-CDMA, поскольку от этого зависит степень робастности изображенных для анализа СФ и пачек сигналов В-CDMA. Рассмотрен случай полностью известного СФ (величины весов, их количество и т.д.), тогда как полезный сигнал неизвестен (допустим, сигнал приходит от «чужой» станции В-CDMA). При отсутствии сигнала фактически ничего не меняется, но наличие сигнала сильно снижает отношение С/П за счет увеличения дисперсии процесса на выходе СФ - неизвестность сигнала приводит к некоей «стохастизации» или дополнительному «зашумлению» приема, что естественно, особенно с учетом межчиповой (внутри- импульсной) согласованной фильтрации. При наличии сигнала на входе дисперсия

случайной величины на выходе обнаружителя увеличивается, но зато это способствует увеличению вероятности правильного обнаружения.

Изучены практически важные вопросы: статистика квадратур полезных и мешающих сигналов и помех негауссовых и декоррелированных при равновероятности чипов ПСП; влияние величины динамического диапазона на реальный завал фронтов и внутриимпульсную обработку; точность синхронизации, жестко и нежестко (из-за флуктуаций) привязанной к чипам с внутриимпульсной обработкой. Несмотря на нестандартный способ оценки погрешностей, приходим в итоге к известному результату - дисперсия оценки задержки обратно пропорциональна (С/П)2, где С и П - энергии сигнала и помехи.

Рассмотрена важная для цифровых систем связи третьего поколения проблема управления и настройки цифровых квадратурных компенсаторов помех с конкретизацией процесса оценки комплексных весов компенсатора градиентным методом наискорейшего спуска. Анализ нулей и полюсов разомкнутой (трансверсальной) и замкнутой (рекурсивной) схем показал, что эффективная компенсация возможна лишь при условии наличия на опорном входе всех без исключения узкополосных гармоник помехи, иначе никакие ухищрения не приведут к приемлемому подавлению помех, даже при близости координат нулей и полюсов в z-круге единичного радиуса. Если же некоторые гармонические составляющие полезного сигнала совпадут с помеховыми, то полезный сигнал неизбежно будет подавлен (из-за наличия обратной связи с выхода схемы на вход). Последнее обстоятельство существенно отличает оптимальные компенсаторы, разработанные и проанализированные в разд. 2.5, от известных КК с обратными связями, которые, однако, до сих пор несмотря на их невысокую эффективность используются на практике.

Проведен анализ эффективности рециркуляторов, применяемых с целью повышения надежности синхронизации системы по пилот-сигналу (рециркулятор эквивалентен в идеале схеме из параллельного набора линий задержек и сумматора). Рассмотрены варианты синхронной и несинхронной циркуляций, найдены в самом общем случае выражения для дисперсий комплексных процессов на выходе рециркулятора с выделением «сигнальных» и «помеховых» членов с последующим расчетом отношений С/П при самых разнообразных вариантах приема и воздействии смесей полезных и мешающих (в пачке В-CDMA) сигналов на фоне гауссовского белого (на входе) шума.

Глава 4

РОССИЙСКАЯ СИСТЕМА ШИРОКОПОЛОСНОЙ * ФИКСИРОВАННОЙ РАДИОСВЯЗИ B-CDMA-3G

ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»

Общие сведения

За рубежом мобильные и стационарные системы радиосвязи как второго, так и третьего поколения развиваются одновременно и параллельно [24, 25, 28-31, 40—46, 50-57, 63-68, 73]. Что касается России, то мобильные системы второго поколения CDMA-2G сразу попали в немилость по целому ряду объективных и субъективных причин (см. директивные документы в [66]), а в [67] читаем: 14 апреля 1999 г. был подписан приказ Госкомсвязи РФ № 67 «О применении абонентского оборудования на сетях местной телефонной связи с абонентским радиодоступом на базе стандарта IS-95», в котором, в частности, не допускалось использование абонентского оборудования стандарта IS-95 в мобильном режиме. Далее в [67] (см. также [73]) излагаются перипетии борьбы, которые в итоге сводятся опять-таки к запрещению использования в мобильном варианте и широкополосных систем B-CDMA третьего поколения. По этой причине в данной монографии основное внимание было уделено системам фиксированной связи B-CDMA-3G, в частности российской системе «СТС-Исток 3/5.0». Положительной стороной запрета является выявление потенциальных возможностей систем B-CDMA-3G, поскольку в мобильном варианте все характеристики системы могут только ухудшиться из-за эффектов Доплера, необходимости поддержки роуминга и хэндовера, усложнения управления мощностью излучений, синхронизации, когерентности и т.д.

1)

Сравнение эффективностей систем B-CDMA-3G фиксированной радиосвязиг

Из литературы на сегодня известны четыре системы B-CDMA-3G, близкие по характеристикам к российской системе «СТС-Исток 3/5.0». Далее для краткости обозначим их: Cl - Proximity (Nortel) and MGW (Innowave Taridan Telecommunication Ltd.) [40]; C2 - Airspan (DSC) [42]; C3 - Beewip (Ericcon’s) [44]; C4 - AirLoop® (Lucent Technologies) [78]; C5 - отечественная система «СТС-Исток 3/5.0» (см. ниже и [1-17; 75-77]).

Система С1 фиксированной радиосвязи построена по технологии FH-CD со скачками несущей частоты через интервал 2 мс и временным дуплексом из восьми полнодоступных каналов, когда в первой половине фрейма осуществляется передача вверх, а во второй половине - вниз по стандарту TDD. Это позволяет, во-первых, избежать использования протоколов высокого уровня, а во-вторых, наращивать емкость системы С1 путем программирования перескока частот. Скорость передачи информации равна 32 кбит/с, в канале управления при избыточном циклическом кодировании 4,5 кбит/с.

Сильной стороной С1 является использование на базовой станции двух антенн, разнесенных на четверть длины волны, что позволяет избежать замираний, выбирая антенну с более высоким уровнем сигнала (если не считаться с удорожанием, то такое использование антенн не является пространственной обработкой - см. гл. 1, и уж совсем не процедурой компенсации помех - см. гл. 2 и 3). Короткие интервалы времени между приемом и передачей позволяют избежать замираний на абонентском терминале (это верно лишь в отношении медленных замираний, тогда как в системе С5 предусмотрены другие меры по снижению влияния медленных и быстрых замираний).

Вообще в [40] мало конкретных сведений и нет расчета спектральной эффективности (СЭ), но упоминание вскользь о номиналах частот в 1 МГц заставляет усомниться в истинной широкополосности С1 (в С5 полоса занимаемых частот 5 МГц). Вероятнее всего С1 является все-таки узкополосной системой стандарта IS-95, которая активно внедряется фирмой [46] как базовая в системах 3G, а если это близко к истине, то, как известно [29], ее СЭ не более 0,37-0,5 бит/(с-Гц).

Система С2 описана в [42] значительно подробнее, но полоса используемых частот в радиоканале менее 4 МГц и результирующая СЭ не более 0,68-0,7 бит/(с-Гц). Структурно система С5 схожа с С2, но С5 имеет и существенные отличия - в выборе ансамбля сигналов, в упрощении методов кодирования, квадратурной модуляции и др., что безусловно удешевляет С5 (не говоря уже о комплектующих отечественного производства - на 80%).

Система СЗ описана в [44] довольно скупо, фактически изложены данные только рекламного характера; максимальная битовая скорость 3 Мбит/с позволяет предположить, что ее СЭ не превышает 0,65-0,7 бит/(с-Гц), причем при дальности связи менее 2,5 км (тогда как С5 сохраняет СЭ, равной 0,8 бит/(с-Гц), при дальности связи 12-15 км). Интересно сравнить С5 с СЗ W-CDMA совместного проекта ETSI и ARIB (Япония), проходящей в настоящее время натурные испытания в Стокгольме (Швеция) и крайне сбивчиво описанной в [45] по соображениям, видимо, конкурентовыживаемости. Подчеркнем, что СЗ является мобильной системой B-CDMA-3G (а не фиксированной). Понять и выяснить ее основные параметры практически невозможно из-за непрерывного «перемежения» в [45] результатов расчета, моделирования, натурных и полевых испытаний. Но чиповая скорость 4,096 Мбит/с и фактор расширения 16-256 безусловно позволяют отнести СЗ к высокотехнологичным системам (мобильной) радиосвязи.

Архипкин В.Я., Голяницкий И.А.

Вот что пишут сами разработчики СЗ в конце статьи [45] в вольном переводе: «...необходимо еще скорректировать (неожиданно!) возникшие проблемы, прежде чем представить систему к коммерческому использованию». Признание более чем показательное, четко иллюстрирующее высказанное ранее утверждение: при равных условиях (базах, энергетике и др.) эффективность фиксированных систем B-CDMA-3G никак не может быть менее, чем мобильных, следовательно, достижимая в СЗ спектральная эффективность, почти наверное, не превзойдет 0,75 бит/(с-Гц).

Система С4 AirLoop® является фиксированной локальной радиорелейной сетью, основанной на системе беспроводной связи, работающей на принципах технологии DS-CDMA. CDMA представляет собой технологию цифрового беспроводного доступа третьего поколения, которая обеспечивает большую абонентскую емкость и отличное качество передачи речевых сообщений.

Качество, диапазон услуг и функции системы AirLoop ничем не уступают проводным системам. AirLoop предоставляет основные услуги телефонии (передача речевых сообщений, факсов и данных) со скоростью кодирования от 16 до 64 кбит/с, а также услуги ISDN с доступом на базовой скорости (BRA), обеспечивающей каналы передачи данных со скоростью 128 кбит/с.

Пропускная способность в полосе 5 МГц составляет 2048 кбит/с. Спектральная эффективность - примерно 0,4 бит/(сТц).

Российская система С5 - «СТС-Исток 3/5.0» подробно рассмотрена ниже. Следует подчеркнуть, что спектральная эффективность составляет 0,82 бит/(с-Гц) с РЕС и 1,6 бит/(сТц) без РЕС, что делает систему «СТС-Исток 3/5.0» конкурентоспособной существующим системам фиксированной связи на рынке телекоммуникаций, а заложенные в систему потенциальные возможности с компенсацией мешающих воздействий позволяют быстро нарастить эффективность и конкурентовы- живаемость последующих модификаций систем подобного класса.

Основные характеристики российской системы многостанционного доступа WLL CDMA

«СТС-Исток 3/5.0»

Система WLL CDMA «СТС-Исток 3/5.0» предназначена для построения сетей фиксированного радиодоступа по принципу «точка-точка» и «точка-много точек». Структура транспортной системы «СТС-Исток 3/5.0» потоков Е1 представлена на рис. 4.1. Ее основные характеристики следующие:

Число пространственных секторовдо 8 (45°-360°)

Диапазон частот, ГГц2,4-2,5 или 3,4-3,6

Число несущихдо8

Используемая полоса частот, МГц5

Расстояние ЦС-АС, км1-30

Скорость в радиоканале на одной несущей, кбит/с(1, 2-64) х 64

Максимальная мощность передатчика, дБм23

Чувствительность приемника при BER = 10”6, дБм- 93

Рис. 4.1. Структура транспортной системы «СТС-Исток 3/5.0»:

ЦС - центральная станция; АС - абонентская станция; УПАТС - учрежденческо- производственная АТС; ЛС - линия связи; ТфОП - телефонная сеть общего пользования

Основные параметры системы приведены в табл. 4.1.

В системе применяется свободный радиодоступ с использованием широкополосных шумоподобных сигналов на основе частотного и кодового разделения. На каждой из восьми частот осуществляется кодовое разделение абонентов всех станций, т.е. все станции работают на ортогональных псевдослучайных последовательностях. Для того чтобы ортогональность сохранялась и в эфире (orthogonal air multiplexing), на входе приемника ЦС осуществляется жесткая временная синхронизация всех АС от одной ЦС по немодулированному пилот-сигналу и вычислению всех временных задержек прохождения радиосигнала от ЦС к каждой АС с высокой точностью и последующей компенсацией этих задержек. Поэтому система радиодоступа является полностью ортогональной (в прямом и обратном радиоканалах) системой с кодовым разделением каналов (Orthogonal Code Division Multiple Access - OCDMA). Каждая AC регулирует свои временные и частотные опоры по пилот-сигналу так, чтобы время прихода сигналов от разных АС на ЦС было одним и тем же, чем и достигается ортогональность уплотнения в обратных радиолиниях.

Расстояние ЦС-АС, кмI—30

Скорость в радиоканале на одной несущей, кбит/с(1, 2-64) х 64

Максимальная мощность передатчика, дБм23

Чувствительность приемника при BER = 10-6, дБм- 93

Рис. 4.1. Структура транспортной системы «СТС-Исток 3/5.0»:

ЦС - центральная станция; АС - абонентская станция; УПАТС - учрежденческо- производственная АТС; Л С - линия связи; ТфОП - телефонная сеть общего пользования

Основные параметры системы приведены в табл. 4.1.

В системе применяется свободный радиодоступ с использованием широкополосных шумоподобных сигналов на основе частотного и кодового разделения. На каждой из восьми частот осуществляется кодовое разделение абонентов всех станций, т.е. все станции работают на ортогональных псевдослучайных последовательностях. Для того чтобы ортогональность сохранялась и в эфире (orthogonal air multiplexing), на входе приемника ЦС осуществляется жесткая временная синхронизация всех АС от одной ЦС по немодулированному пилот-сигналу и вычислению всех временных задержек прохождения радиосигнала от ЦС к каждой АС с высокой точностью и последующей компенсацией этих задержек. Поэтому система радиодоступа является полностью ортогональной (в прямом и обратном радиоканалах) системой с кодовым разделением каналов (Orthogonal Code Division Multiple Access - OCDMA). Каждая AC регулирует свои временные и частотные опоры по пилот-сигналу так, чтобы время прихода сигналов от разных АС на ЦС было одним и тем же, чем и достигается ортогональность уплотнения в обратных радиолиниях.

Таблица 4.1. Параметры DS-CDMA системы

Параметры

Обратный канал АС—>ЦС

Прямой канал ЦС—>АС

Радиодоступ

Полный дуплекс DS-FCDMA

Рабочий диапазон частот, ГГц

2,4-2,6; 3,4-3,6

Полоса частот, МГц

4

Минимальный разнос несущих частот, МГц

5

Распределение частот

Равномерное

Частотный план

8 несущих частот

Занимаемая полоса частот, МГц

40

Скорость в канале пользователя, кбит/с

64

Чиповая частота, МГц

4096

Длина PNS-последователь- ности расширения спектра

128

Вероятность ошибки на бит (ВЕК)

10-6- 10'9

Синхронизация

По пилот-сигналу от CTR

Когерентный прием

Модуляция в информационном канале

QPSK с разными PNS

Модуляция после суммирования информационных потоков

QAM

Помехозащитное кодирование

Блочное кодирование с R = 1/2 и перемежением символов

Количество обрабатываемых лучей RAKE-receiver

3

Емкость в полосе частот 5 МГц

64 канала со скоростью 64 кбит/с

Стандарт передачи

Е1 с интерфейсом G703

Двухпроводные абонентские линии

Применение пилот-сигнала позволяет:

упростить поиск и поддерживать синхронизм во времени между принимае- —мыми и опорными сигналами в приемнике;

облегчить выделение когерентного напряжения в блоке ФАПЧ для когерент- 'ного детектирования сигналов на синфазной и квадратурной составляющих;

задать цикловую синхронизацию всем АС.

Помимо кодового осуществляется и частотное разделение. Имеется восемь не— сущих частот с шириной полосы AF =5 МГц, которые распределяются между группами АС. На всех восьми частотах применяются одни и те же ансамбли ортогональных и псевдослучайных сигналов, так как частотное разделение является са- мо по себе ортогональным. Это значительно облегчает построение передающей и приемной аппаратуры ЦС и АС, поскольку оно получается однотипным со сменой рабочих частот. Комбинация частотного и кодового разделений обеспечивает значительное увеличение емкости сети.

В качестве метода манипуляции используется комбинированная квадратурная —фазовая манипуляция со сменой форм ПСП в зависимости от информационных

бит. Это дает возможность в условиях дефицита полосы частот использовать доста— точно большую базу широкополосных шумоподобных сигналов (D = 128) и полу- _чить высокую спектральную эффективность системы - 0,8192 бит/(с-Гц).

В прямой и обратных радиолиниях используется высокоэффективный квадра- _тично-вычетный код (48, 24, 12), позволяющий получить BER= 10 , корректи

рующий все ошибки вплоть до пяти и исправляющий групповые ошибки. Благо- _даря применению этого кода можно передавать не только речевые сигналы, но и

сигналы передачи данных, факсимильные сообщения и другую неречевую ин—формацию.

Для увеличения помехоустойчивости в условиях замираний сигналов и мно- _голучевого распространения используется схема RAKE-receiver, работающего по

трем лучам. Структурные схемы формирования сигналов и их обработки приведены на рис. 4.2 и 4.3 соответственно. Ниже подробно рассмотрено обоснование -принципов построения основных узлов, входящих в устройства формирования и

обработки.

"Такие основные характеристики системы, как пропускная способность, спек

тральная маска, применяемые методы кодирования, общая задержка в системе, час-* тотный разнос каналов и т.д., соответствуют рекомендации ETSI/[79] для ортого-

■ нальных DS-CDMA систем фиксированной связи.

- И Сравнение основных характеристик системы «СТС-Исток 3/5.0» с ETSI рекомен- ■ дациями для фиксированных радиосистем типа DS-CDMA приведено в табл. 4.2.

От абонентов: до 60 каналов трафика для ЦС; до 30 каналов трафика для АС

ПСП пилот-сигнала

Рис. 4.2. Структурна схема формирования группового сигнала

Рис. 4.3. Структурная схема обработки группового сигнала

Таблица 4.2. Сравнение основных характеристик системы «СТС-Исток 3/5.0» с ETSI рекомендациями

Параметр системы

«СТС-Исток 3/5.0»

3.5 ГГц

ETSI рекомендация для фиксированных радиосистем типа DS-CDMA 3-11 ГГц

Совместимость

Собственная разработка

Не требуется совместимость оборудования ЦС одного производителя с терминалом или ретранслятором другого производителя

Круговая задержка

5 мс

Для каналов 64 кбит/с не больше 20 мс. Большая задержка возможна на других скоростях передачи данных, т.е. меньше 60 кбит/с

Методы кодирования (прозрачность)

Ух64 кбит/с (N= 1,2...30)

Реализация хотя бы одного из списка обязательна: 64 кбит/с G.71 Г, 32 кбит/с G.726;

16 кбит/с G.728; 8 кбит/с G.729

Частотный разнос каналов

Минимально 5 МГц

5; 10; 15 МГц

RF спектральная маска

Удовлетворяет рекомендациям ETSI

Минимальное число одновременно излучаемых каналов при BER= 10-6

60x64 кбит/с каналов при частотном разбросе 5 МГц

40x64 кбит/с каналов при частотном разбросе 7 МГц

RAKE-receiver

3 или 4 луча

Рекомендован к применению

Класс сигнала

Ортогональный (класс А)

Ортогональный (класс А)

Выбор ортогональных кодовых последовательностей для расширения спектра в системе «СТС-Исток 3/5.0»

Известно [5], что системы ортогональных сигналов на основе циркулянтных матриц Адамара обладают плохими ВКФ. Это приводит к росту межканальных интерференционных помех, обусловленных действием многолучевости. Поэтому на практике с целью уменьшения уровня интерференционных помех более целесообразно использовать производные ортогональные системы сигналов, имеющие лучшие взаимно-корреляционные характеристики.

В этой связи были исследованы производные системы сигналов, полученные в результате наложения сверху на строки циркулянтной матрицы Адамара порядка

128 одной и той же производящей кодовой последовательности ml на основе т-последовательности 127. В качестве исходных последовательностей при построении матриц Адамара 128 использовались ПСП длины 127 с двухуровневыми ПАКФ из следующих семейств:

m-последовательностей т2-т!&;

последовательностей Лежандра /1-/2;

последовательностей Холла /zl-/z6;

последовательностей Л-типа А1-Л18;

последовательностей 5-типа 51-518;

последовательностей С-типа С1-С18.

Построенная таким способом производная система сигналов 128 будет состоять из 127 последовательностей вида г, = ml + Ти, где 0 < / < 126, ml - производящая последовательность, и - исходная последовательность, Т1 - оператор сдвига на / разрядов, и самой последовательности ml. Основными критериями при выборе систем сигналов были: минимальный уровень боковых лепестков АКФ; минимальный уровень выбросов ВКФ; максимальное число сбалансированных последовательностей.

Заметим, что для низкоскоростных систем абонентского доступа максимальное число индивидуальных абонентов определяется максимальным числом сбалансированных последовательностей в выбранном ансамбле. Это вызвано тем, что для последовательностей пилот-сигналов лучше всего использовать последовательности с равным количеством нулей и единиц. Поэтому при анализе ортогональных систем последовательностей учитывалось также и число имеющихся сбалансированных последовательностей.

При проведении математического моделирования вышеперечисленных производных систем сигналов были выполнены расчеты их корреляционных характеристик, представленные в табл. 4.3. Анализ корреляционных характеристик систем сигналов позволяет сделать следующие выводы.

С точки зрения первых двух критериев выбора производные системы m3, тб, т14 и ml6 являются наилучшими.

Системы сигналов на основе т-последовательностей, образующих с производящей последовательностью ml последовательности Голда, содержат ровно 64 сбалансированные последовательности. Всего имеется 10 таких систем.

Максимальным числом сбалансированных последовательностей, равным 84, обладают производные системы на основе последовательностей типа А и С (последовательности Л14, С5 и С14).

Системы, образованные на основе Голдовских пар m-последовательностей обладают наименьшими выбросами ВКФ при сдвигах на ±20 чипов относительно нулевого сдвига (точки ортогональности) по сравнению с другими системами.

При минимальных значениях обобщенных параметров 6а = 40 и 6С = 48 наилучшей с точки зрения выбора пилот-сигналов является система сигналов ml4. При этом максимум бокового выброса автокорреляции, взятый по всему множеству последовательностей пилот- сигналов, равен 36.-

Указанное в п. 5 значение может быть уменьшено до 32 в случае системы С14, имеющей 84 сбалансированных последовательностей, что в целом улучшает выбор множества пилот-сигнальных последовательностей. Заметим, что при дальнейшем уменьшении этого параметра до 28 число возможных пилот-сигналов в системах /и 14 и С14 составляет соответственно 52 и 61. Более того, система С14 содержит 11 сбалансированных последовательностей с 6а = 20 против 5 аналогичных последовательностей в т 14.

Все системы сигналов на основе последовательностей семейств h, I, А, В, С являются нелинейными, что существенным образом повышает их криптостойкость по сравнению с системами на основе т-последовательностей.

Таблица 4.3. Обобщенные корреляционные параметры производных ортогональных систем сигналов

Тип системы

^сбал

9,

9с

Тип системы

^ебал

9„

9С

m2

64

56

52

Л14

84

52

56

m3

64

40

48

52

84

44

56

т4

64

48

48

59

84

48

56

т5

64

48

48

514

84

44

52

тб

64

40

48

С5

84

44

52

т14

64

40

48

С7

84

48

56

т15

64

48

48

С8

84

44

52

т16

64

40

48

СЮ

84

40

56

т17

64

48

56

СП

84

40

52

т18

64

48

48

С12

84

48

56

А4

64

44

56

С14

84

48

48

А5

64

48

52

Ы

64

40

52

А7

64

44

56

/1

22

44

52

Примечание: Nc6a„ - число сбалансированных последовательностей; 9а -

- максимальный

уровень боковых лепестков АКФ;

9С - максимальный уровень выбросов ВКФ.

В аппаратуре использовались две системы сигналов m2 и ml4. Испытания на реальных трассах показали возможность обеспечения почти полной ортогонализации сигналов АС при выравнивании их задержек на входе приемника ЦС.

Оценка эффективности кода (48, 24,11), используемого в системе «СТС-Исток 3/5.0»

В системе CDMA можно выделить два источника шума: канальный и межканальной интерференции. Вероятность ошибки в передаваемой информации, вносимой источником канального шума, может быть снижена за счет увеличения мощности сигнала.

Ibi )M le- к1.0-C 3-Ibi )M le- к1.0-C 3-Отношение сигнал/шум (/?) при межканальной интерференции определяется числом К ПСП, одновременно излучаемых в эфир, характеристикой многолучевости и соотношением лучей, характеристикой фильтров ВЧ блока и диаграмм направленности антенн. Отношение И может быть аппроксимировано относительно выхода корреляционного приемника формулой

Ibi )M le- к1.

0-

C 3-

Ibi )M le- к1.

0-

C 3-

I 3N IE)

или, пренебрегая спектральной мощностью канального шума No, имеем: h»3NKK-\).(4.1)

Выражение (4.1) справедливо для асинхронных систем передачи и однолучевом распространении сигнала и может быть использовано для оценки характеристики системы в первом приближении. Задаваясь значениями параметров системы N = 128, К = 64 имеем h = 1,8 дБ.

Можно получить существенно заниженную оценку отношения сигнал/шум, если рассмотреть случай асинхронной системы с тремя равнозначными лучами распространения. Три равноценных луча можно эквивалентно свести к увеличению в 3 раза числа К. В этом случае отношение сигнал/шум h = 3 дБ.

Вероятность ошибки ре при заданном отношении h для гауссовского шума определяется из выражения

pe=Q^h^ = 0,5^-F^^,(4.2)

1*22 Х 2

где д( х) =(e""'2^2dr, F(x) =[е~'^2Л - табулированная функция надежности.

у2л ,у2л у

Значениере = Т10-6 достигается при И = 10,28 дБ.

В системе для обеспечения вероятности ошибки на бит рь = 1106 используется код (48, 24, 11).

В блоке кода (48, 24, 11) производится исправление ошибок в первых 47 битах. Последний 48-й бит используется для цикловой синхронизации и оценки качества канала, т.е. является служебным битом.

Вероятность ошибки на бит на выходе декодера (47, 24, 11) определяется выражением

Рь^рЛ1^’(4-3)

И

где d - кодовое расстояние (d = 11); п - длина кода (и = 47); рп (t > tk) = рп - вероятность возникновения ошибок кратности более tk = 5 в блоке длины и, или вероятность ошибки на блок рп на выходе декодера.

Для расчета рп используется оценка

C^p^q^ <Рп< ~^~С^p^q^,(4.4)

где Х = ^к* l)/n, qE=\-ре и Х>ре.•

Полагая, что ошибки вносятся только за счет межканальной интерференции, и используя выражения (4.1)-(4.4), получаем зависимость вероятности ошибки на выходе декодера от вероятности ошибки на входе (4 = 5), представленную в табл. 4.4 и на рис. 4.4. •

Таблица 4.4. Значение вероятности ошибки на выходе декодера в зависимости от вероятности ошибки на входе

h, дБ

2,65

4,31

4,48

4,6

5,29

Ре

2,75-10"2

1,0-10"2

9,0-10”3

8,0-10’3

5,0-10'3

Рь

4,1-10^

2,0-10"6

1,14-10^

5,8-10’7

3,9-10”8

Рис. 4.4. Зависимость рь = f(pe)

Таким образом, использование кода (48, 24) в системе «СТС-Исток 3/5.0» позволяет обеспечить вероятность ошибки на выходе рь = 1-Ю"6 при Л = 4,6 дБ, что существенно меньше 7,8 дБ. Таким образом, код обеспечивает запас по помехозащищенности порядка 3,2 дБ. Кроме того, небольшая длина кода обеспечивает задержку менее 6 мс.

, И ы- t и, И ы- t иОбоснование выбора QPSK модуляции в системе «СТС-Исток 3/5.0»

, И ы- t и

, И ы- t и

Рассмотрим сначала возможности применения восьмифазной модуляции (8-PSK). При этой модуляции имеются четыре неортогональные несущие, которые подвергаются бинарной фазовой модуляции (BPSK). Если на каждой несущей передавать сигналы одного из четырех абонентов, то из-за неортогональности несущих между сигналами разных абонентов на разных несущих будет наблюдаться заметное влияние. Это потребует разделения сигналов абонентов с помощью ортогональных кодов, т.е. на всех четырех несущих необходимо применять четыре разных ортогональных ПСП. А так как число ортогональных ПСП ограничено и конечно при данной базе широкополосных шумоподобных сигналов (SSS), т.е. ресурс системы CDMA в части числа ПСП ограничен, то допустимое число работающих (активных) абонентов будет также ограничено (мало).

Совсем другое положение будет при использовании четырехфазной модуляции (QPSK). При этой модуляции имеются две ортогональные несущие, каждая из которых подвергается бинарной фазовой модуляции (BPSK). Если на каждой несущей передавать сигналы двух разных абонентов, по одному на каждой несущей, то ввиду ортогональности несущих между ними не будет никакого влияния. Это позволит применять на каждой несущей одну и ту же ПСП и тем самым сберечь ресурс системы в части числа ПСП, что и сделано в настоящее время в действующей системе. Освободившееся число ортогональных ПСП при использовании модуляции QPSK можно применить для увеличения спектральной эффективности системы путем комбинированной манипуляции по форме ПСП и по ее знаку (+ или -). Кроме этого, QPSK модуляция намного проще 8-PSK модуляции в реализации, что заметно удешевляет систему.

Итак, можно сделать вывод, что в системах CDMA целесообразно использовать модуляцию BPSK или QPSK и нецелесообразно применять фазовые методы манипуляции более высокого порядка (8-PSK и т.д.).

Теперь рассмотрим возможность применения в системе CDMA квадратурной амплитудной модуляции QAM-16, 32, 64 и т.д.

Основная проблема в системах CDMA - уравнивание мощностей сигналов, принимаемых от различных абонентов, находящихся на разных расстояниях от базовой (центральной) станции. Выравнивание необходимо для того, чтобы сильные сигналы одних абонентов не подавляли слабые сигналы других абонентов. Но при QAM модуляции каждый абонент работает то сильными, то слабыми сигналами, поскольку особенность QAM заключается в использовании сигналов разного уровня (от слабых до сильных), причем в непредсказуемые моменты времени. Поэтому при QAM в принципе нельзя уравнять мгновенные мощности сигналов, принимаемых от разных абонентов. Уравнивание средних мощностей также не решит эту проблему, так как мгновенные мощности сигналов очень сильно отличаются от средней мощности.

Таким образом, слабые сигналы одних абонентов будут подавляться сильными сигналами других абонентов. Кроме того, при использовании QAM модуляции

абонентские передатчики должны иметь большой диапазон линейности, что сильно их удорожает. По этим причинам в системах CDMA методы модуляции типа QАМ- 16, 32, 64 и т.д. не применяются.

В итоге можно сделать окончательный вывод: поскольку в системах CDMA нецелесообразно применять многофазные (8-PSK и выше) и квадратурные (QAM-16, 32, 64 и выше) методы модуляции, то не имеет смысла применять и популярные сейчас треллис-коды, которые используются лишь при многофазных методах манипуляции. Таким образом, в системах CDMA возможно применение только BPSK или QPSK модуляции, что и сделано в системе «СТС-Исток 3/5.0».

Обоснование применения RAKE-receiver в системе и его реализация

Пропускная способность ортогональной синхронной системы CDMA максимальна в случае однолучевого распространения, когда основным ограничивающим ее фактором являются межканальные помехи за счет нарушения ортогональности сигналов при их прохождении по приемопередающему тракту. В случае многолучевого распространения основным ограничивающим фактором являются межканальные помехи от неодноименных лучей, канальные сигналы в которых из-за временного сдвига неортогональны. При этом по своему качеству ортогональная синхронная система приближается к асинхронной. Применение RAKE-receiver позволяет снизить уменьшение пропускной способности в условиях многолучевого распространения [11].

В этих условиях низкочастотный эквивалент импульсного отклика канала представляется в виде

(4.5) /=1

где 4 - амплитуда сигнала в z-м луче; ф, - его начальная фаза; т, - задержка; I - число лучей. Полное описание канала требует задания статистических характеристик этих величин, которые подробно рассмотрены в гл. 3. Некоторые возможные ситуации будут описаны далее.

Добавляемая в канале помеха, как правило, имеет характер белого гауссовского шума. При одноканальной передаче и идеальной АКФ используемого сигнала оптимальный прием реализуется с помощью RAKE-receiver, осуществляющего когерентное смешение лучей с весами, пропорциональными амплитудам 4- При этом энергетический выигрыш у в сравнении со случаем приема одного (главного) луча (z = 1) равен

y = i + f(4M)2- (4.6) 1=2

Энергетический выигрыш растет с увеличением числа лучей и их амплитуд. Одновременно усложняется приемник. На практике находят компромисс между сложностью и энергетическим выигрышем с учетом статистики амплитуд лучей.

Структура оптимального приемника при строгом подходе существенно усложняется в случае неидеальной АКФ и многоканальной передачи. Однако во многих ситуациях структура RAKE-receiver остается почти оптимальной. Действительно, будем считать при корреляционной обработке по отдельным ветвям вклад в корреляционный интеграл, обусловленный сигналом данного канала, сигнальной компонентой, а добавки от сигналов других лучей и каналов отнесем к помеховой компоненте, тогда, если помеховые компоненты в отдельных ветвях являются случайными величинами с законом распределения, близким к гауссовскому, и между собой не коррелированны, то когерентное сложение с весами, пропорциональными амплитудам лучей и обратно пропорциональными дисперсиям помех, будет почти оптимальным. Нормализация, как известно, наступает при суммировании большого числа случайных величин, равного произведению (I- 1 )(А7 — 1), где К- число работающих каналов (ПСП).

Таким образом, вывод о целесообразности использования RAKE-receiver и его эффективности можно сделать после анализа корреляционных свойств и уровней помех в ветвях разнесения, а также энергетического выигрыша в зависимости от числа ветвей и характеристик канала.

Алгоритм включения RAKE-receiver можно представить следующим образом. Блок поиска и синхронизации осуществляет анализ многолучевости, находит луч с максимальной амплитудой и два других луча с амплитудами больше половины амплитуды главного луча. На вход RAKE-receiver подаются: с высокочастотного блока отсчеты квадратурных компонент входного колебания, синхронизированные с главным лучом, с блока поиска и синхронизации - оцифрованные задержки второго и третьего лучей относительно главного, а с генератора PRSG - псевдослучайные последовательности, синхронизированные во времени с последовательностями в каждом луче.

В RAKE-receiver с использованием пилот-сигнала осуществляется точная оценка амплитуд и фаз всех трех лучей, когерентная демодуляция в двух дополнительных ветвях и их взвешивание с коэффициентами, равными соответственно отношениям А^А\ и Аг!А\. Подключение этих ветвей к основной ветви зависит от общего числа лучей и соотношения амплитуд. Для простоты полагаем A i > Ai > А3.

Если Л2/Л1 > 0,5 и Л3/Л] > 0,5, то идентифицируются три луча и к основной ветви подключаются две дополнительные ветви. Если Л3/Л1 < 0,5 и Ai!Ax > 0,6, то идентифицируются два луча и вторая ветвь подключается к основной. Если А^Ах < 0,5 и Ai!Ax < 0,6, то идентифицируется один луч и две дополнительные ветви не подсоединяются к главной.

Несмотря на то, что RAKE-receiver известен уже более 30 лет, его широкое практическое применение стало возможным лишь при современном состоянии развития микроэлектронной технологии и техники цифровой обработки сигналов. В системе «СТС-Исток 3/5.0» использована программно-аппаратная реализация цифрового RAKE-receiver. При этом приемник состоит из двух модулей: модуля оценки, в котором выполняется измерение характеристик канала, и модуля сложения, в котором осуществляется сложение разнесенных компонент в соответствии с выбранным методом и измеренными характеристиками канала. В системе рассматривалась реали-

зация двух методов когерентного сложения. Первый метод является оптимальным в условиях белого гауссова шума и реализует когерентное сложение с весами, пропорциональными амплитудам сигналов в лучах. С учетом взаимного влияния каналов суммарная помеха отличается от белого гауссова шума. При этом более эффективным оказывается второй метод, реализующий сложение, пропорциональное амплитудам сигналов и обратно пропорциональное дисперсиям помех в ветвях разнесения.

В целом сложность алгоритмов обработки требует применения в системе программируемых процессоров. Однако если осуществлять реализацию лишь на основе микропроцессоров, то к ним необходимо предъявить требование высокого быстродействия, соответствующего скорости поступления входных данных. Более дешевым и потому целесообразным представляется вариант аппаратно-программной реализации, когда обработка высокоскоростных входных информационных потоков, реализующая вычисление всех корреляционных интегралов, осуществляется аппаратными средствами. Получающиеся при этом на выходе корреляторов медленные потоки данных подаются далее на программируемые процессоры для реализации сложных алгоритмов обработки.

Стандарт Compact PCI - основа системы

«СТС-Исток 3/5.0»

В последнее время большое внимание уделяется разработке и внедрению систем беспроводной связи (WLL) для обслуживания стационарных абонентов. Пристальное внимание к WLL системам обусловлено такими их особенностями, как низкие затраты на установку и обслуживание, минимальные сроки ввода в эксплуатацию, быстрый доступ к современным услугам; простота регулирования сети и т.д.

На рынке в основном представлены WLL системы двух типов:

цифрового европейского стандарта беспроводной связи DECT;

технологии кодового уплотнения и разделения каналов (CDMA).

Для систем двойного назначения предпочтительны системы WLL CDMA, поскольку они отличаются большей пропускной способностью, устойчивостью к интерференции и замиранию сигналов, хорошим сосуществованием с узкополосными системами, высокой скрытностью работы, повышенной криптоустойчивостью, улучшенными возможностями по передаче данных, низким энергопотреблением, улучшенными экологическими показателями и т.д. Эти системы характеризуются большим разнообразием по типу радиоинтерфейса, представляемым услугам и конструктивным особенностям.

Система WLL «СТС-Исток 3/5.0», структура которой приведена на рис. 4.1, предназначена для построения сетей фиксированного радиодоступа по принципу «точка-точка» (point-to-point) и «точка-многоточка» (point-to-multipoint) [75].

Конструктивно ЦС и АС системы похожи и состоят из двух частей: вынесенного радиочастотного блока с антенной и цифрового модема, выполненного на основе открытой технологии стандарта Compact PCI. Цифровые модемы для обеих стан-

ций конструктивно идентичны и реализованы в стандартном 19-дюймовом еврокрейте с системой электропитания и интегрированным в него промышленным компьютером. В модем, внешний вид которого показан на рис. 4.5, входят:

плата DM-30, включающая в себя логический интерфейс, FEC-кодек, много- лучевый демодулятор, манипулятор, схему синхронизации и генератор ПСП;

плата DIF - цифровой блок промежуточной частоты;

плата частотообразования FB;

плата Е1, предназначенная для стыка с ТфОП или УПАТС по интерфейсу Е1. Программное обеспечение функционирует на платформе Windows NT.

Рис. 4.5. Внешний вид модема центральной станции

Схема взаимодействия плат и блоков в ЦС (АС) приведена на рис. 4.6.

Применение открытой технологии Compact PCI дает возможность гибко комбинировать аппаратные и программные средства, разработанные и выпущенные различными фирмами. Модульность платформы позволяет в одном конструктиве объединить различные интерфейсы доступа к сетям. Применяя платы различных производителей, можно получить любой набор интерфейсов: ATM, V.35, Х.21, Ethernet и т.д. На рынке устройств Compact PCI известны отечественные и зарубежные модификации многоканальных модулей для каналов Е1. Для систем сжатия существуют DSP-модули с коммутацией потоков через шину компьютерной телефонии НПО. Все это значительно расширяет возможности системы без увеличения времени и денежных вложений в разработку. Кроме того, возможности «горячей замены» коммуникационных плат (DM-30, DIF, FB, Е1) значительно облегчают обслуживание системы, особенно на ЦС.

Рис. 4.6. Схема взаимодействия плат и блоков в ЦС (АС)

Выводы

Отметим, что экспериментальные данные подтверждают теоретические результаты и являются базовыми при развитии теории оптимального синтезирования и статистического анализа B-CDMA-3G (см. гл.З).

Результаты имитационного моделирования, физического макетирования и натурных испытаний показывают, что система фиксированной радиосвязи «СТС-Исток 3/5.0» ни в чем не уступает, а по ряду параметров и превосходит известные [40, 42, 44, 46] зарубежные аналоги, при этом она значительно дешевле их, что очень важно в период формирования и становления рынка связи в России. Система B-CDMA-3G «СТС-Исток 3/5.0» имеет сертификат и рекомендована к широкому использованию.

Заключение

В монографии решены следующие проблемы:

Найдены многомерные статистические характеристики реально используемых цифровых сигналов радиосвязи и помех различного происхождения (плотности вероятностей, начальные и смешанные моменты произвольного порядка, в том числе АКФ и ВКФ).

Синтезированы оптимальные дискретные адаптивные алгоритмы выделения полезных сигналов на фоне мешающих в смеси с помехами и шумами, эффективность которых на порядок выше классического корреляционного приема за счет использования процедур оптимальной компенсации помех и мешающих сигналов, например в пачке сигналов B-CDMA-3G—4G.

Синтезированы цифровые системы адаптивного оптимального приема полезных сигналов в пачке B-CDMA-3G, используемых реально в системах радиосвязи третьего поколения, с учетом многолучевости и интерференционных помех, компенсация которых приводит к увеличению выходного отношения С/П не менее чем на 30-40 дБ в зависимости от параметров трафика и условий приема.

Разработаны методы статистического анализа многомерных характеристик цифровых сигналов и помех с учетом обработки их в корреляторах и рециркуляторах накопления в зависимости от степени априорной осведомленности, величины динамического диапазона, точности синхронного и асинхронного хронирования при единственном предположении: статистической независимости чипов ПСП и сигналов в пачке В-CDMA (обычно используемое предположение).

Проведено сравнение оптимальных способов компенсации с неоптимальными квадратурными автокомпенсаторами и показано, что последние проигрывают оптимальным компенсаторам не менее чем 30 дБ в отношении С/П на выходе.

Описана российская система «СТС-Исток 3/5.0». Как показали натурные испытания, спектральная эффективности системы выше известных аналогов и равна 0,82 бит/(с-Гц) с FEC и 1,64 бит/(сТц) без FEC.

Как показывают результаты имитационного моделирования, в модернизируемой системе «СТС-Исток 3/5.0» с использованием алгоритмов оптимальной компенсации помех и мешающих сигналов пропускная способность заметно увеличится.

Список основных сокращений

АКФ - автокорреляционная функция

АМ - амплитудная модуляция

АП - активный пункт

АПС - активно-пассивная система

АС - 1. абонентская станция

АФМП - амплитудно-фазомодули- рованный процесс

АЦП - аналого-цифровой преобразователь

АЧС - амплитудно-частотный спектр сигнала

АЧХ - амплитудно-частотная характеристика

БОС - блок оперного сигнала

БС - базовая станция

ВКФ - взаимно-корреляционная функция

ВП - вероятностное пространство

ВЧ - высокая частота

ГПСП - генератор псевдослучайной последовательности

ДВП - дискретное вероятностное пространство

ДД - динамический диапазон

ДЗР - дифференциальный закон распределения вероятностей

ДРВ - дифференциальное распределение вероятностей

ДЦВП - дискретно-цифровое вероятностное пространство

ЖКП - жесткокоррелированная по- ' следовательность

ЗУ - запоминающее устройство

ИЗР - интегральный закон распределения вероятностей

ИК - идеальный компенсатор

КК - квадратурный автокомпенсатор

КС - канал связи

ЛЗ - линия задержки

ЛОС - логическая обратная связь

Л С - 1. линейная система; 2. локальная сеть

МК - матричный компенсатор

МЛР - многолучевое распространение

МС - мешающий (полезному) сигнал ?

МСКО - минимум среднеквадратичной ошибки(

МЧЯ - модель «черного ящика»•

НКП - некоррелированная последовательность*

ОК - оптимальный компенсатор

ОС - обратная связь

П - помеха

ПК - параметрический компенсатор

ПП - пассивный пункт

ПСП - псевдослучайная последова

тельность

ПУ - пороговое устройство

ПЧ - промежуточная частота

РЧ - радиочастота

С - сигнал

с/п - соотношение сигнал/помеха

с/ш - отношение сигнал/шум

СТС - «Силикон-Телеком-Софт»

СФ - согласованный фильтр

СЭ - спектральная эффективность

ТфОП - телефонная сеть общего пользования

У АТС - учрежденческая АТС

УПАТС - учрежденческо-производственная АТС

Ус-усилитель

ФАКФ - флуктуации автокорреляционной функции

ФАПЧ - фазовая автоподстройка частоты

ФАР - фазированная антенная решетка

ФВКФ - флуктуации взаимнокорреляционной функции

ФМ - фазовая модуляция

ФМП - фазомодулированный или манипулированный процесс, помеха или сигнал

ФМС - фазоманипулированный сигнал

ФОС - формирователь опорного сигнала

ФЧМП - фазо-частотно-модулирован- ный сигнал

ФЧС - фазочастотный сигнал

ФЧХ - фазочастотная характеристика

ЦАП - цифроаналоговый преобразователь

ЦВП - цифровое вероятностное пространство

ЦС - центральная станция

ЧМП - частотно-модулированный процесс

ШАРУ - шумовая автоматическая регурировка усиления

ШПС - шумоподобный сигнал

ЭМС - электромагнитная

совместимость

FEC (Forward Error Correction) - код или процедура, исправляющие ошибки

ODMA - система CDMA с увеличенными функциональными возможностями

Литература

Архипкин В.Я. Стандарт Compact PCI - основа WLL системы «СТС-Исток CDMA 3/5.0» // Мир компьютерной автоматизации, 2000, № 4.

Архипкин В.Я., Соколов А.Г. Корпоративные сети на основе отечественной аппаратуры беспроводного доступа WLL CDMA И Труды международной конференции «Внедрение современных телекоммуникационных технологий в ведомственных и корпоративных сетях связи». - М., декабрь 2000.

Архипкин В.Я., Иванов П.В., Смольянинов В.М., Соколов А.Г. Влияние позиционности сигнально-кодовой конструкции на характеристики ортогональной CDMA системы при нелинейном приемно-передающем тракте // Труды III международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения». - М., декабрь 2000.

Arkhipkin V.Ja., Ivanov V.P., Smolianinov V.M., Sokolov A.G. The way signal-code construction position affect orthogonal CDMA system parametersin terms of nonlinear transmit-receiver tract // Abstract III International Conference and Exhibition on Digital signal Processing and its applications. Russia, November 2000.

Архипкин В.Я., Кренгель Е.И, Соколов А.Г. Псевдослучайные полседовательно- сти для систем связи с DS-CDMA // Труды VII международной научно-техн, конференции «Радиолокация, навигация, связь». Т.2. - Воронеж, 2001.

Архипкин В.Я., Иванов П.В., Смольянинов В.М., Соколов А.Г. Межканальные помехи в ортогональной CDMA системе с прямым расширением спектра. — СПб.: Электроника, 1999, №3.

Архипкин В.Я., Иванов П.В., Смольянинов В.М., Соколов А.Г. Модель помех для анализа режима обнаружения и захвата в прямой радиолинии стационарной ортогональной системы с прямым расширением спектра (OCDMA) // Труды VII международной научно-техн, конференции «Радиолокация, навигация, связь». Т.2. - Воронеж, 2000.

Архипкин В.Я, Серегин Ю.В., Серегин А.Ю. и др. Анализ эффективности использования полосы частот системы связи с DS-CDMA// Труды II международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Т.1. - М., 1999.

Архипкин В.Я, Иванов П.В., Миллер Ф., Смольянинов В.М., Соколов А.Г. Сравнительный анализ двух цифровых схем синхронного демодулятора И Там же.

Архипкин В.Я., Иванов П.В., Смольянинов В.М., Соколов А.Г. Способ рандомизации в ортогональных CDMA системах с прямым расширением спектра И Тру-

ды VII международной , научно-техн, конференции «Радиолокация, навигация, связь». Т.2. - Воронеж, 2001.

Архипкин В.Я., Смольянинов В.М., Соколов А.Г, Чухаленко М.С. Программноаппаратная реализация цифровой обработки сигналов в CDMA системах при многолучевом распространении И Труды III международной научно-техн, конференции «Микроэлектроника и автоматика». - М.-Зеленоград, 1997.

Архипкин В.Я., Миллер Ф., Мешковский К.А. и др. Псевдослучайные последовательности значности 127 для систем связи с CDMA И Там же.

Архипкин В.Я, Гуреев А.В., Миллер Ф. и др. Использование широкополосных систем фиксированной связи в дистанционном процессе обучения И Труды III международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения». - М., 2000.

Архипкин В.Я, Миллер Ф., Мешковский К.А. и др. Кодовое разделение каналов на основе псевдослучайных последовательностей значности 127 И Труды III международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения». - М., декабрь 2000.

Архипкин В.Я, Кренгель Е.И., Соколов А.Г. М-последовательности и последовательности GMW со сверхвысокими пиками взаимной корреляции и их применение в системах CDMA И Труды VII международной научно-техн, конференции «Радиолокация, навигация, связь». Т.2. - Воронеж, 2001.

Архипкин В.Я., Дмитриев О.Ф., Нистратов М.В., Соколов А.Г. Коррекция ошибок короткими блочными кодами в WLL системах // Труды VI международной научно-техн, конференции «Радиолокация, навигация, связь». Т.2. - Воронеж, 2000.

Arkhipkin VJa., Meshkovsky К.А., Miller F. at al. Optimal Frequency arrangements completely preventing the influence of the third order intermodulation products on useful components in multiple access and optimal unipolar sequences H IEEE ISSSTA, 1996.

Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов. - M.: Сов. радио, 1970.

Варакин Л.Е. Теория систем сигналов. - М.: Сов. радио, 1978.

Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Радио и связь, 1985.

Варакин Л.Е. Глобальное информационное общество: критерии развития и социально-экономические аспекты. - М.: Международная академия связи, 2001.

Варакин Л.Е. Введение в теорию инфокоммуникаций // Труды МАС, 2000, № 2, 3, 4.

Связь в России в XXI веке / Под ред. Л.Е. Варакина. - М.: МАС, 1999.

Спецвыпуск по стандарту CDMA / Под ред. Л.Е. Варакина И Мобильные системы, 2001, №3.

Варакин Л.Е., Анфилофъев С.А. Технология CDMA в СМС третьего поколения, Мобильные системы, 2001, № 3.

Тузов Г.И. Статистическая теория приема сложных сигналов. - М.: Сов. радио, 1977.'

Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Под ред. Г.И. Тузова. - М.: Радио и связь, 1985.

Невдяев Л.М. Мобильная связь 3-го поколения // Связь и Бизнес / Под ред. Ю.М. Горностаева. - М.: Мобильные коммуникации, 2000.

Громаков Ю.А. Стандарты и системы подвижной радиосвязи. - М.: Эко-Трендз, 1998.

Ратынский М.В. Основы сотовой связи / Под ред. Д.Е. Зимина. - М.: Радио и связь, 2000.

Гуркин В.Ф., Николаев ИВ. Развитие подвижной связи в России. - М/. Радио и связь, 2000.

Ершов В.А., Кузнецов НА. Теоретические основы построения цифровой сети с интеграцией служб (ISDN). - М.: Институт проблем передачи информации Российской Академии наук, 1995.

Голяницкий И.А. Пространственно-временные многомерные статистические характеристики модулированных полей и процессов. - М.: МАИ, 1991.

Голяницкий И.А. Оптимальная пространственно-временная обработка негауссовых полей и процессов. - М.: МАИ, 1994.

Голяницкий И.А. Анализ и оптимизация нелинейных информационных систем. - М.: МАИ, 1996.

Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982.

Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. радио, 1966.

Монзиго Р.А., Миллер ТУ. Адаптивные антенные решетки: Пер. с англ. / Под ред. В.А. Лексаченко. - М.: Радио и связь, 1986.

Турин Дж.Л. Введение в широкополосные методы борьбы с многолучевостью распространения радиосигналов и их применение в городских системах цифровой связи И ТИИЭР, 1980, т.68, № 3.

Литинский Г., Шалухин М. Фиксированный радиодоступ на основе технологии FH-CDMA И Вестник связи, 1999, № 4.

Смирнов Н.И., Горгадзе С.Ф. Синхронное кодовое разделение абонентских станций: перспективное поколение персональных систем связи И Технологии и средства связи, 1998, № 4.

Бабков В.Ю., Вознюк М.А., Никитин А.Н., Сиверс М.А. Системы связи с кодовым разделением каналов. - СПб.: СПбГУТ, 1999.

Лагутин В.С., Степанов СИ Телетрафик мультисервисных сетей связи. - М.: Радио и связь, 2000.

Magnus Grandin. Fixed wireless access for broadband services. Ericsson Review, #3, 2000.

Peter Aimers, Anders Bikedal, Seungtai Kim. Experiences of the live WCDMA network in Stockholm, Sweden. Ericsson Review, #4, 2000.

70 лет свершений и инноваций. Семинар ВЕН LAB Lucent Technology. М. - СПб, 2000.

Буассо М. и др. Введение в технологию ATM: Пер. с англ. / Под ред. В.О. Шварцмана. - М.: Радио и связь, 1997.

Назаров А.Н., Симонов Н.В. ATM: технология высокоскоростных сетей. - М.: Эко-Трендз, 1999.

Шляконов А. и др. EDGE - эволюция системы улучшенной передачи данных для GSM и IS-136 // Мобильные системы, 1999, № 5.

The CDMA Network Engineering Handbook. Vol. 1. Concepts CDMA, QU ALLCOMM. November, 23, 1992.

Viterbi A. Principles of Spread Spectrum Multiple Access Communications. QUALLCOMM, 1993.

Wireless Personal Communications, Research Developments / Ed. by Brian D. Werner, Thedore S. Rappaport, Joffrey H.Reed. London: Kluwer Academic Publishers, 1995.

Holmes J.K. Coherent Spread Spectrum Systems. Maluba, Florida: Krieger Publishing company, 1990.

lang S.C. CDMA RF System Engineering. - Boston-London: Artech-Home, 1998.

Glisic S., Vucetic В. Spread Spectrum CDMA Systems for Wireless Communications. - Boston-London: Artech House, 1997.

Simon M.K., Omura J.K., Scholtz R.A. et al. Spread Spectrum Communications Handbook. Jnc. New York, San Francisco-Tokyo, Toronto: McGruv-Hill, 1995.

Lee J.S., Miller L.E. CDMA Systems Engineering Handbook. - Boston-London: Artech-House, 1998.

Ширман ЯД. Разрешение и сжатие сигналов. - М.: Сов. радио, 1974.

Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. - М.: Радио и связь, 1981.

Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. - М.: Сов. радио, 1971.

Фалькович С.Е., Хомяков Э.Н Статистическая теория измерительных радиосистем. - М.: Радио и связь, 1981.

Концепция развития отрасли «Связь и Информатизация» Российской Федерации / Под ред. Л.Д. Реймана и Л.Е. Варакина. - М.: МАС, 2001.

Инфокоммуникации XXI века: Технологии, Услуги, Качество / Под ред. Л.Д. Реймана и Л.Е. Варакина. - М.: МАС, 2001.

Перспективные телекоммуникационные технологии, потенциальные возможности / Под ред. Л.Д. Реймана и Л.Е. Варакина. - М.: МАС, 2001.

Рейман Л.Д. Концепция развития рынка телекоммуникационных услуг И Электросвязь, 2001, № 1.

Перспективы внедрения систем мобильной связи третьего поколения в России. Национальная ассоциация операторов сетей связи третьего поколения 3G. - М.: ИТЦ «Мобильные коммуникации», 2001.

Смирнов И. Сотовый CDMA в России И Connect, 2001, №2.*«

Рекомендации Lucent Technology по переходу к 3G И Mobile, 2001, № 4.

Рейман Л.Д. Выработаны основы стратегии дальнейшего развития отрасли И Технологии и средства связи. Отраслевой каталог, 2001.

Зубарев Ю.Б., Плотников А.А., Лопато С.И. Системы MWS-генезис и перспективы И Технологии и средства связи, 2001, № 12.

Зубарев Ю.Б. Концепция развития в России сетей кабельного телевидения и систем широкополосного беспроводного доступа типа MMDS, LMDS и MWS(MVDS) // Технологии и средства связи, 2000, № 6.

Зубарев Ю.Б. Широкополосный доступ не за горами // Технология и средства связи, 2001, № 6.

Корсунский А. Стоит ли учить старую собаку новым трюкам? И Мобильные системы, 2001, № 3.

Коняев С.В., Рубцов А.Н. Решения и оборудование абонентского доступа ТТС П Отраслевой каталог, 2001.

Архипкин В.Я, Горшков И.М., Дмитриев О.Ф. WLL CDMA IS - интегральная система со статистическим уплотнением // Труды VIII международной научнотехн. конференции «Радиолокация, навигация, связь». Т.2. - Воронеж, 2002.

Архипкин В.Я, Перегонов С.А., Родионов АД. Принципы построения и практическая реализация радиотелефонной системы третьего поколения с многостанционным доступом И Труды юбилейной научно-технической конференции, посвященной 30-летию образования ЦНИИРЭС. Ч. 11,- М., 2001.

Архипкин В.Я, Иванов П.В., Соколов А.Г., Смольянинов В.М. Анализ межканальных помех в ортогональной системе CDMA П Электросвязь, 2001, №12.

Bi Q., Pulley D.R. The performance of DS-CDMA for Wireless Local Loop. IEEE ISSSTA, 1996.

Draft ETSI EN 301 124. VI.2.1 (2000-10). Fixed Radio Systems; Point-to-multipoint Equipment Direct Sequence Code Division Multiple Access (DS-CDMA) Point-to- multipoint Digital Radio System in Frequency Band in the Range 5 MHz to 11 MHz.

Архипкин Владимир Яковлевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник. Технический директор фирмы «Кедах Электроник Инжиниринг». Автор более 60 научных публикаций и 4-х патентов и изобретений. Область научных интересов - теория связи, системы и,

устройства передачи информацииг

по каналам связи, цифровая обработка сигналов.'

В последние годы внес существенный вклад в развитие широкополосных систем радиосвязи третьего поколения.

Голяницкий Игорь Алексеевич - доктор технических наук, профессор. Один из создателей научной школы по современным системам обработки информации. На протяжении сорока лет занимается научно-педагогической деятельностью в Московском авиационном институте. Автор многих учебных пособий и пяти монографий по теории и технике больших радиолокационных систем, систем связи и обработки информации.

Многолетнее увлечение - признанный бард, автор многих произведений различных жанров и обладатель оригинального стиля игры на гитаре.

-2,

Архипкин В.Я., Голяницкий И.А.

В-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи

БИЕ.>. УтЕКА ского государственного УНИВерСИ’ упрар. радио_

1В.№ ^У Ъ ЗЗХ

ЭКО-ТРЕНДЗ

Москва, 2002

УДК 621.3 96.018.424

ББК 32.884.1

Архипкин В.Я., Голяницкий И.А.

В-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи. - М.: Эко-Трендз, 2002.

ISBN 5-88405-038-0

Рассмотрены проблемы синтеза и анализа CDMA систем третьего и четвертого поколений, приведено описание российской системы фиксированной радиосвязи CDMA «СТС-Исток 3/5.0».

Для решения проблемы синтеза определены статистические характеристики цифровых сигналов В-CDMA и помех, в частности авто- и взаимно-корреляционные функции. Синтезированы высокоэффективные дискретные адаптивные оптимальные алгоритмы выделения полезных сигналов на фоне мешающих и сопутствующих помех. Оптимальные алгоритмы конкретизированы для цифровых систем B-CDMA-3G третьего поколения фиксированной радиосвязи. Разработан аппарат статистического анализа эффективности цифровых систем B-CDMA-3G.

Описана первая российская широкополосная система CDMA «СТС-Исток 3/5.0». Экспериментально получены и приведены показатели спектральной эффективности системы.

Книга адресована аспирантам, научным работникам и инженерам, а также может быть полезна студентам старших курсов технических университетов связи.

ББК 32.884.1

ISBN 5-88405-038-0ISBN 5-88405-038-0© Авторы, 2002.

ISBN 5-88405-038-0

ISBN 5-88405-038-0

Издание осуществлено при поддержкеРоссийского фонда фундаментальных исследованийпо проекту № 02-07-95006

СОДЕРЖАНИЕ

Введение5

Глава 1. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ АДАПТИВНЫХ ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ B-CDMA-3G-4G С КОМПЕНСАЦИЕЙ МЕШАЮЩИХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ10

Введение в проблему10

Многомерные законы распределения вероятностей сигналов связи12

Многомерные плотности вероятностей сигналов и помех12

Примеры распределения вероятностей сигналов и помех19

Статистические характеристики квадратур23

Смешанные моменты25

Оптимальный синтез систем связи B-CDMA-3G-4G в гауссовых коррелированных помехах26

Наглядные физические обоснования27

Адаптивные оптимальные алгоритмы выделения сигналов B-CDMA-4G31

Эффективность систем выделения сигналов B-CDMA-4G33

Оптимальные системы обработки сигналов B-CDMA-4G при негауссовых помехах34

Выводы37

Глава 2. СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ B-CDMA-3G ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»38

Введение в проблему38

Оптимальные алгоритмы выделения полезных сигналов B-CDMA-3G с компенсацией помех и мешающих сигналов на фоне гауссовых помех38

Различные примеры обнаружителей41

Оптимальная система В-CDMA в белых дискретных шумах45

Анализ опорных сигналов систем B-CDMA-3G49

Оптимальная цифровая система В-CDMA с компенсацией мешающих сигналов58

Квазиоптимальный обнаружитель сигналов B-CDMA-3G59

Характеристики обнаружения сигнала в пачке B-CDMA62

Обсуждение результатов64

Оптимальная дискретно-непрерывная система B-CDMA-3G65

Детерминированная модель пачки CDMA65

Случайная пачка CDMA и проблемы оптимального синтеза68

Оптимальный алгоритм при случайной пачке CDMA72

Обсуждение результатов оптимального синтеза77

Негауссовость пачки CDMA и следствия80

Результаты сравнения классических и оптимальных компенсаторов82

Компенсаторы мешающих сигналов CDMA84

Оценка величин подавления мешающих сигналов CDMA85

Оптимизация весов компенсатора мешающих сигналов87

Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСПЕКТИВНЫХ И РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИГлава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСПЕКТИВНЫХ И РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИВыводы88

Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСПЕКТИВНЫХ И РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ

Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСПЕКТИВНЫХ И РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ

B-CDMA-3G ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»91

Введение в проблему91

Анализ статистических характеристик сигналов B-CDMAS

Средние и дисперсии пачки сигналов B-CDMA9

Примеры АКФ и ВКФ пачки сигналов CDMA9

Общий случай вычисления АКФ и ВКФ10

Статистические характеристики пачки CDMA с учетом трафика10

Гауссова плотность вероятностей трафика11

Равновероятное распределение вероятностей трафика11

Статистика пачки цифровых сигналов B-CDMA11

Моменты начального порядка1L

ВКФ и смешанные моменты1Ь

Статистика сигналов B-CDMA на выходе коррелятора11;

Начальные моменты на выходе коррелятора11*

АКФ и ВКФ на выходе коррелятора12

Статистика выбросов на выходе коррелятора122

Полезный и мешающий сигналы на выходе коррелятора13(

Средние значения и дисперсии на выходе коррелятора1ЗС

Смешанные моменты процессов на выходе коррелятора132

Влияние априорной осведомленности о фильтрах и сигналах134

Фильтр полностью известен, сигнал - нет134

Сигнал полностью известен, фильтр - нет137

Оптимальная согласованная фильтрация138

Квадратуры, динамический диапазон, синхронизация141

Квадратуры141

Динамический диапазон144

Точность синхронизации систем B-CDMA146

Методы управления и настройки цифровых квадратурных компенсаторов147

Анализ эффективности рециркуляторов157

Выводы165

Глава 4. РОССИЙСКАЯ СИСТЕМА ШИРОКОПОЛОСНОЙ ФИКСИРОВАННОЙ

РАДИОСВЯЗИ B-CDMA-3G ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»168

Общие сведения...168

Сравнение эффективностей систем B-CDMA-3G фиксированной радиосвязи168

Основные характеристики российской системы многостанционного доступа WLL CDMA «СТС-Исток 3/5.0»170

Выбор ортогональных кодовых последовательностей для расширения спектра в системе «СТС-Исток 3/5.0»176

Оценка эффективности кода (48, 24, 11), используемого в системе «СТС-Исток 3/5.0»178

Обоснование выбора QPSK модуляции всистеме«СТС-Исток 3/5.0»181

Обоснование применения RAKE-receiverвсистеме и его реализация182

Стандарт Compact PCI - основа системы «СТС-Исток 3/5.0»184

Выводы186

Заключение187

Список основных сокращений188

Литература189

..92 ..94 ..98107 108 НО 111 113 114 116 118 119 121 123 130 130 132 134 134 137 138 141 141 [44 4647 5765..92 ..94 ..98107 108 НО 111 113 114 116 118 119 121 123 130 130 132 134 134 137 138 141 141 [44 4647 5765IВведениеIВведение686868707678 И$21416686868707678 И$2141617 18917 189Основные принципы, положенные в основу технологии CDMA (второго поколения), подробно изложены в учебном пособии [42] и монографиях [19, 20, 28], а также в спецвыпуске по стандарту CDMA [24]. Поэтому данная монография посвящена рассмотрению актуальной научно-технической проблемы синтеза и анализа оптимальных адаптивных перспективных систем радиосвязи 3G. В качестве примера описана российская версия стандарта COMPACT PCI широкополосной системы B-CDMA-3G «СТС-Исток 3/5.0», на 80% состоящая из комплектующих отечественного производства. Последнее имеет большое народно-хозяйственное значение с точки зрения реализации «Концепции развития связи и формирования в России и СНГ» рынка сотовых систем радиосвязи 3G с целью решения проблемы увеличения к 2005-2007 гг.телефонной плотности населения до 33 аппаратов на 100 жителей. Для этого было произведено сравнение спроектированной системы «СТС-Исток 3/5.0» с известными системами того же класса, описанными в литературе: Proximity (Nortel) and MGW (Innowave Taridan Telecommunication Lth., [40]); Airspan (DSC, [42]); Beewip (Ericcon’s, [44]). А в работах [1-17, 75-77] показано, почему российская версия COMPACT PCI «СТС-Исток 3/5.0» дешевле известных зарубежных аналогов, при этом спектральная эффективность ее не только не ниже, но чаще всего выше, чем в известных аналогах, главным образом из-за использования наиновейших достижений современной технологии радиосвязи и микроэлектроники наряду с собственным программным продуктом. Кратко опишем содержание разделов, отметив сразу, что гл. 1 и частично гл. 2 и 3 написаны на базе монографий [33-35].

..92 ..94 ..98

107 108 НО 111 113 114 116 118 119 121 123 130 130 132 134 134 137 138 141 141 [44 46

47 57

65

..92 ..94 ..98

107 108 НО 111 113 114 116 118 119 121 123 130 130 132 134 134 137 138 141 141 [44 46

47 57

65

IВведение

IВведение

68

68

68

70

76

78 И

$2

14

16

68

68

68

70

76

78 И

$2

14

16

17 18

9

17 18

9

В гл. 1 развит аппарат синтеза оптимальных адаптивных перспективных систем радиосвязи B-CDMA-3G—4G с процедурами компенсации мешающих (полезному в пачке CDMA) сигналов, интерференционных помех или помех (в диапазоне СВЧ и ПЧ) из-за многолучевого распространения паразитных (неучитываемых) лучей. Иными словами, показано, что оптимальная компенсация может осуществляться в любом месте приемно-передающего тракта, как в радиодиапазоне, так и в блоках цифровой обработки, как раздельно, так и совместно, если по некоторым соображениям технического характера не удается сразу достичь высокой эффективности минимизации помех и мешающих сигналов. С этой целью были использованы новейшие методы математической статистики и теории статистических решений, а также (мало известные широкому кругу специалистов) монографии [33-35]. Но в этих монографиях практически отсутствуют алгоритмы оптимальной обработки цифровых информационных потоков, а также анализ сигналов В-CDMA и синтез оптимальных цифровых систем. Этот пробел в теории радиосвязи восполнен в [75]

и изложен в гл. 1, откуда известные из [20, 28] результаты корреляционной обработки следуют как частные случаи.

В монографии реализуется классическая [33-35] триада исследований:

Анализ многомерных совместных законов распределения вероятностей полезных и мешающих сигналов и помех (см. разд. 1.1, 1.2), где доказана существенная негауссовость и нестационарность многомерных (и одномерных) распределений и моментов произвольного порядка (лишь при некоторых дополнительных условиях квадратуры нормализуются с увеличением мощности полезного сигнала).

Синтез оптимальных адаптивных алгоритмов обработки полезных сигналов на фоне мешающих сигналов и помех, как при негауссовости, так и, в частности, при гауссовости совместных распределений, с разработкой процедур оптимальной компенсации мешающих воздействий произвольной природы, как в радиодиапазоне, так и в тракте видеочастот цифровой обработки сигналов, что позволяет в принципе (а при широкополосных помехах - средствами стандартной корреляционной техники) увеличить отношение сигнал/помеха (С/П) на выходе как минимум на 35-40 дБ.

Анализ синтезированных алгоритмов на робастность (устойчивость) в статистическом смысле. В целом в гл. 1 развита база для последующего синтеза оптимальных CDMA-3G--4G обработки полезных цифровых сигналов на фоне помех и мешающих сигналов, реализуемых средствами современной микроэлектроники и программно-цифровыми алгоритмами.

В гл. 2 рассматривается синтез оптимальных устройств обработки с компенсацией мешающих помех, при этом упор делается именно на цифровые сигналы и помехи, что чрезвычайно актуально как раз для систем B-CDMA-3G, в том числе и для «СТС-Исток» и его модификаций [75]. Сначала в предположении нормальности мешающих воздействий, практически везде используемой в известной литературе, синтезированы оптимальные алгоритмы выделения цифровых сигналов. При отсутствии опорных каналов, т.е. при невозможности или нежелании использовать компенсацию, в условиях белости шума по спектру получен известный корреляционный приемник. Но если опорный канал имеется, то даже при белости по спектру помех основного и опорного входов эффективность алгоритма с компенсацией выше классического корреляционного без компенсации на lOlog е дБ, где е - отличие от единицы нормированного коэффициента корреляции |р| = 1 - е. Практически, например, при |р| = 0,99 имеем выигрыш 40 дБ в отношении С/П на выходе.

В более общих случаях необходимо использовать специальный формирователь опорного сигнала (ФОС), оптимальный алгоритм усложняется, но в отличие, скажем, от известных [35] квадратурных автокомпенсаторов оптимальный алгоритм всегда устойчив, паразитная компенсация полезного сигнала практически отсутствует, а показатели подавления помехи как минимум на 25-30 дБ выше за счет полного предварительного (априорного) описания многомерной статистики всей совокупности сигналов и помех, что часто является задачей вполне реальной.

На базе метода «расщепления единицы», позволяющего легко контролировать основные статистические выводы и важнейшее условие нормировки [33], развита

5ра-по- 1ен- :ле- ус-пов :ТИ, юй 30г в диумгиги-( и ( и:а- и: и ти >е, т- мн- эу >i- ie и,1Ь 1м г- I)-ь а5ра-по- 1ен- :ле- ус-пов :ТИ, юй 30г в диумгиги-( и ( и:а- и: и ти >е, т- мн- эу >i- ie и,1Ь 1м г- I)-ь атеория анализа цифровых ансамблей сигналов и помех в системах B-CDMA-3G с заданными свойствами, необходимая для дальнейшего углубления теории цифровой обработки сигналов B-CDMA-3G-4G. Была решена проблема синтеза оптимальных адаптивных систем обработки с компенсацией мешающих воздействий произвольной цифровой природы. В частности, подробно проанализирована схема с почиповой компенсацией мешающих сигналов, которая требует синхронизации поступающей на вход приемника пачки сигналов B-CDMA с опорной пачкой сигналов, что приводит к чрезвычайно высоким показателям качества обработки. Указанное свойство наглядно поясняется, в том числе на примере системы «СТС-Исток 3/5.0» и ее модификаций, при различных моделях пачки (от детерминированной до полностью случайной) и разнообразных способах усреднения отношений правдоподобия и методов обработки, с учетом хвостов распределений и экстремальных значений ; выбросов при гауссовом и негауссовом распределениях вероятностей пачек. Синтезированы оптимальные алгоритмы обработки и вычислены показатели качества (вероятности ошибок различного рода).

5ра-

по- 1ен- :ле- ус-

пов :ТИ, юй 30г в диум

гиги-

( и ( и

:а- и

: и ти >е, т- мн- эу >i- ie и,

1Ь 1

м г- I)-

ь а

5ра-

по- 1ен- :ле- ус-

пов :ТИ, юй 30г в диум

гиги-

( и ( и

:а- и

: и ти >е, т- мн- эу >i- ie и,

1Ь 1

м г- I)-

ь а

Схемы компенсации часто можно использовать в отрыве от оптимального в целом [34] алгоритма обработки (поэтому они названы квазиоптимальными). При этом правомерно сравнение последних с известными квадратурными автокомпенсаторами помех при обратных связях с выхода на вход. Квазиоптимальность позволяет осуществить дополнительную экстремизацию по модулю и фазе комплексного при узкополосных помехах коэффициента взаимной корреляции по основному и опорному входам компенсатора, что позволяет увеличить эффективность их подавления по сравнению с квадратурными автокомпенсаторами на 30 дБ (при 5%-ных ошибках по модулю и фазе).

В гл. 3, самой «объемной», развиты методы статистического анализа и изложены результаты исследований помехоустойчивости (робастности) цифровых синтезированных и реально используемых алгоритмов, схем и блоков систем B-CDMA (в том числе «СТС-Исток» и его модификаций), цифровизация которых часто приводит к неожиданным свойствам систем, чему дано подробное физическое истолкование. Выполнен полный статистический анализ на базе метода «расщепления единицы» начальных моментов (средних значений, дисперсий, моментов четвертого и более высокого порядков) и смешанных моментов любого порядка (в частности, авто- и взаимно-корреляционных функций - АКФ и ВКФ соответственно) пачки из произвольного числа сигналов B-CDMA.

Удалось решить открытую до сих пор проблему полного статистического описания экстремальных выбросов и дать оценку влиянию хвостов негауссовых распределений вероятностей (именно поведение хвостов определяет вероятности ошибочных решений) на характеристики качества обработки цифровых сигналов системами B-CDMA ценою только одного упрощающего предположения, используемого во всей известной литературе, - статистической независимости чипов в ансамбле и пачке сигналов B-CDMA (иначе - применять оператор многократной свертки нельзя).

Проведен учет влияния трафика - детерминированного и случайного (гауссовая и равновероятные модели) - на статистические свойства сигналов в пачке B-CDMA,

что эквивалентно дополнительной «стохастизации» полезных сигналов (это приводит к снижению скорости передачи).

Осуществлен практически важный анализ всех статистических характеристик пачки сигналов В-CDMA на выходе корреляторов (согласованных фильтров) с учетом степени априорной осведомленности о сигналах и фильтрах (от полной детерминированности до полной стохастичности). Доказано, что практически даже в момент сжатия сигнала нормализации нет (следствие негауссовости экстремальных значений и отсутствия наложения хвостов распределений), среднее значение скачком возрастает в Б1 IN раз при N сигналах с базой Б в пачке В-С DMA (дисперсия растет заметно медленнее), а отношение С/П растет пропорционально Б2. При этом увеличение степени априорной неопределенности о фильтрах (или сигналах) эквивалентно дополнительному «зашумлению» приема, приводящему к ухудшению показателей качества обработки и к снижению скорости передачи, наибольшему при полной взаимной неопределености.

Подробно рассмотрены практически важные для дальнейшего вопросы статистики квадратур полезных сигналов и помех, негауссовых и декоррелированных только при статистической независимости и равновероятности чипов псевдослучайной последовательности (ПСП), а также влияния ограниченности динамического диапазона на внутриимпульсную обработку чипов (в силу реального завала фронтов) и на точность синхронизации.

Рассмотрены также практически важные вопросы управления и настройки цифровых компенсаторов квадратурного типа с анализом нулей и полюсов разомкнутой (трансверсальной) и замкнутой (рекурсивной) петлей обратной связи, эффективность которых напрямую зависит от того, имеются ли в опорном сигнале все гармоники; в противном случае эффективность квадратурных компенсаторов резко снижается и, как показано в гл. 2, всегда уступает оптимальным компенсаторам.

Проведен подробный статистический анализ стохастических характеристик рециркуляторов, когерентных по высокой (ВЧ) или промежуточной (ПЧ) частоте и некогерентных, широко применяемых в системе «СТС-Исток 3/5.0», что делает.эту систему весьма эффективной. Рассмотрены варианты синхронной и асинхронной циркуляций, получены выражения для дисперсий комплексных процессов на выходе рециркулятора, отношения С/П при разнообразных случаях приема полезных сигналов на фоне пачки мешающих сигналов и белого шума, приводящих к использованию различных сечений пятимерного пространства анализа. В целом в гл. 3 разработаны методы оптимального синтеза и статистического анализа характеристик систем B-CDMA-3G (в частности, системы «СТС-Исток 3/5.0»).

В гл. 4 кратко описана российская версия COMPACT PCI «СТС-Исток 3/5.0» B-CDMA-3G с полосой частот в радиоканале 5 МГц, на несущей (их несколько) в окрестности 3 ГГц. Система фиксированной радиосвязи «СТС-Исток 3/5.0» создана в 2000 г. в центре компьютерных технологий (ЦКТ) «Силикон-Телеком-Софт» (СТС) при Московском государственном институте электронной техники (МГИЭТ). Используется квадратурная фазовая манипуляция со сменой псевдослучайной последовательности при изменении знака бита информации. База ПСП равна 128;

1В0-ТИК /че- гер- :е в <ых :ач- сия гом :ви- потрити- 1ЫХ лукоалагф- иу- ек- зсе (КОре: и>ту ойю- ых1Ь- .31И-0»I в на г» И- зй 8;1В0-ТИК /че- гер- :е в <ых :ач- сия гом :ви- потрити- 1ЫХ лукоалагф- иу- ек- зсе (КОре: и>ту ойю- ых1Ь- .31И-0»I в на г» И- зй 8;спектральная эффективность (оцененная экспериментально в натурных испытаниях) равна 0,82 бит/(с-Гц); используются пилот-сигналы для обеспечения синхронизма между принимаемыми и опорными сигналами в приемнике, в ФАПЧ, а также цикловая синхронизация по всем базовым станциям. Радиодоступ осуществляется путем использования частотно-кодового разделения абонентов связи (АС); для сохранения ортогональности сигналов в эфире применяется жесткая принудительная синхронизация всех базовых станций (БС) от одной центральной станции (ЦС) с вычислением взаимных задержек и их компенсаций, поэтому сигналы от всех БС приходят на ЦС одновременно.

1В0-

ТИК /че- гер- :е в <ых :ач- сия гом :ви- потри

ти- 1ЫХ лукоала

гф- иу- ек- зсе (КО

ре: и

>ту ой

ю- ых

1Ь- .3

1И-

0»

I в на г» И- зй 8;

1В0-

ТИК /че- гер- :е в <ых :ач- сия гом :ви- потри

ти- 1ЫХ лукоала

гф- иу- ек- зсе (КО

ре: и

>ту ой

ю- ых

1Ь- .3

1И-

0»

I в на г» И- зй 8;

Для частотного разделения применяются восемь несущих частот с шириной полосы 5 МГц с использованием одних и тех же ансамблей ПСП в разных БС.

Применение высокоэффективного квадратичного вычетного корректирующего кода с R = 0,5 позволяет исправить групповые и однократные ошибки вплоть до пяти с BER = 10^. Для увеличения помехоустойчивости используется Rake-прием с суммированием трех лучей.

«СТС-Исток РРК CDMA 3/5.0» прошла опытную эксплуатацию. Центральная станция по интерфейсу Е1 была соединена с телефонной сетью общего пользования (ТфОП), а БС - с АТС и У АТС, что позволило организовать междугородный доступ, конференцсвязь с шестью АС, связь с сетями ISDN без выхода в ТфОП (радиус зоны обслуживания до 30 км). Круговая задержка в аппаратуре не более 7 мс, динамический диапазон равен 64 дБ с шагом в 1 дБ. Применение открытой технологии COMPACT PCI и модульность платформы позволили в одной конструкции объединить различные интерфейсы доступа к сетям ATM, V.35, Х.21 и др. Все указанные свойства «СТС-Исток 3/5.0» делают систему фиксированной связи заметно более дешевой по сравнению с зарубежными аналогами, что позволяет рекомендовать широко использовать «СТС-Исток 3/5.0» на рынке связи в России.