ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Книга посвящена одному из активно развивающихся направлений современной математической физики — теории обобщенных когерентных состояний и их применениям. Впервые приводится полное и систематическое изложение теории обобщенных когерентных состояний. Когерентные состояния, впервые введенные в работах Шредингера и фон Неймана, были с успехом использованы Глаубером для квантового описания лазерного пучка света и затем обобщены автором этой книги на случай произвольной группы Ли. Теория иллюстрируется большим числом примеров из различных областей теоретической и математической физики.

Для физиков-теоретиков и специалистов-математиков, а также для студентов математических и физических вузов, факультетов университетов.

Содержание

Предисловие6

Введение7

ЧАСТЬ I. ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ЛИ

Глава 1. Обычная система когерентных состояний и ее связь с11

группой Гейзенберга — Вейля. Случай одной степени свободы

. Группа Гейзенберга — Вейля и ее представления11

Группа Гейзенберга — Вейля (12). 1.1.2. Представления группы Гейзенберга — Вейля (15). 1.1.3. Конкретная реализация представления T^(g) (16).

. Когерентные состояния (КС)18

. Представление Фока — Бартмана24

1.4. Полнота подсистемы когерентных состоянии28

1.5. Когерентные состояния и тета-функции32

. Операторы и их символы36

1.7. Характеристические функции45

Глава 2. Когерентные состояния для произвольной группы Ли49

Определение обобщенного когерентного состояния49

Общие свойства системы обобщенных когерентных состояний51

Полнота системы КС и разложение по состояниям этой системы 53 §2.4. Выделение систем обобщенных КС, наиболее близких к55

классическим состояниям

Глава 3. Обычная система когерентных состояний. Случай59

нескольких степеней свободы

. Общие свойства59

. Когерентные состояния и тета-функции для нескольких степеней 62 свободы

Глава 4. Когерентные состояния для группы вращений трехмерного 66 пространства

Структура групп SO(3) и SU(T)66

Представления группы SU(2)70

Когерентные состояния72

Глава 5. Простейшая некомпактная неабелева простая группа: 517(1,1)80

Группа SU( 1,1) и ее представления81

Основные свойства группы 577(1,1) (81). 5.1.2. Дискретные серии (84). 5.1.3. Основная (непрерывная) серия (85).

Когерентные состояния87

Дискретные серии (87). 5.2.2. Основная (непрерывная) серия (91).

Глава 6. Группа Лоренца: 50(3,1)99

. Представления группы Лоренца99

6.2. Когерентные состояния102

Глава 7. Когерентные состояния для группы 50(и,1):представления 108 основной серии класса I

. Представления класса I группы SO(n, 1)108

7.2. Когерентные состояния109

Глава 8. Когерентные состояния для бозонной системы с конечным 117 числом степеней свободы

. Канонические преобразования117

. Когерентные состояния121

. Описание операторов в пространстве 30в123

Глава 9. Когерентные состояния для фермионной системы с конечным 126 числом степеней свободы

Канонические преобразования127

Когерентные состояния129

Описание операторов в пространстве 30F130

Глава 10. Когерентные состояния и квантование по Березину132

Классическая механика134

Квантование137

Квантование на плоскости Лобачевского139

Описание операторов (139). 10.3.2. Принцип соответствия

. 10.3.3. Выражение оператора Th в терминах оператора Лапласа

— Бельтрами (142). 10.3.4. Представление группы движений

плоскости Лобачевского в пространстве 5^ (142). 10.3.5. Квантование

с помощью отражений (аналог квантования Вейля) (143).

Квантование на сфере145

Квантование на однородных кэлеровых многообразиях146

ЧАСТЬ II. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ153

Глава 11. Предварительные сведения153

Глава 12. Квантовый осциллятор158

Квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы158

Параметрическое возбуждение квантового осциллятора161

Квантовый сингулярный осциллятор164

Стационарный случай (164). 12.3.2. Нестационарный случай (168). 12.3.3. Случай Nвзаимодействующих частиц (169).

Осциллятор с переменной частотой под действием переменной 175 внешней силы

Глава 13. Частицы во внешнем электромагнитном поле179

Движение спина в переменном однородном магнитном поле179

Рождение пар бозонов в переменном однородном182

Динамическая симметрия для скалярных частиц (182).

Многомерный случай: когерентные состояния (186). 13.2.3. Многомерный случай: нестационарная задача (190).

Рождение пар фермионов в переменном однородном внешнем поле 192 13.3.1. Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2 (192).

Гейзенберговское представление (196). 13.3.3.

Многомерный случай: когерентные состояния (198). 13.3.4.

Многомерный случай: нестационарная задача (203).

Глава 14. Производящая функция для коэффициентов Клебша —204

Гордана группы 51/(2)

Глава 15. Когерентные состояния и квазиклассический предел207

Глава 16.1/Л-разложение для моделей типа Гросса — Неве211

Описание модели212

Квазиклассический предел215

Глава 17. Релаксация к термодинамическому равновесию220

Релаксация квантового осциллятора к термодинамическому220

равновесию

Кинетическое уравнение (220). 17.1.2.

Характеристические функции и распределения квазивероятностей (221). 17.1.3. Использование символов операторов (224).

Релаксация частицы со спином, находящейся в магнитном 229 поле, к состоянию термодинамического равновесия

Глава 18. Диамагнетизм Ландау232

Глава 19. Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера236

Глава 20. Синхротронное излучение239

Глава 21. Классическая и квантовая энтропия242

Глава 22. Сверхтекучесть слабонеидеального бозе-газа247

Приложение 1. Доказательство полноты некоторых подсистем КС252

Приложение 2. Матричные элементы оператора D(y)255

Список литературы260

Пцедметный указатель268

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга посвящена быстро развивающемуся разделу современной математической физики — теории обобщенных когерентных состояний и их приложениям к различным физическим проблемам.

Когерентные состояния, введенные первоначально Шредингером и фон Нейманом, использовались позднее Глаубером для квантовомеханического описания лазерных пучков. Понятие когерентного состояния было обобщено автором на произвольную группу Ли. В последние годы этот подход широко использовался в различных областях теоретической физики и математики.

Область применений обобщенных когерентных состояний довольно обширна, и последовательное изложение полученных здесь результатов, по-видпмому, будет полезно. Настоящая монография является первой попыткой такого рода. Автор поставил своей целью собрать и изложить систематически обширный материал, содержащийся пока лишь в журнальных статьях. Книга частично основана па специальных курсах, прочитанных автором для студентов и аспирантов Московского физико-технического института. Опа рассчитана, в основном, на физиков-теоретиков и математиков, может быть использована также студентами физических и математических факультетов.

В части I даны разработка основного метода и его приложения к простейшим группам. Ряд примеров из различных областей теоретической и математической физики обсуждается в части II; эти примеры демонстрируют достоинства метода.

Материал по когерентным состояниям для произвольных групп Ли и симметрических пространств читатель может найти в части II книги [211].

Пользуюсь случаем поблагодарить Ю. А. Данилова, просмотревшего рукопись книги, за ряд полезных замечаний.'

ВВЕДЕНИЕ

Метод, излагаемый в настоящей книге, возник вскоре после создания квантовой теории. В 1926 г. Шредингер [221] впервые ввел систему не ортогональных друг другу волновых функций, описывающих нерасплывающиеся волновые пакеты для квантовых осцилляторов. Через несколько лет была опубликована знаменитая книга фон Неймана [54], в которой рассматривалось одно важное подмножество системы этих волновых функций, связанное с разделением фазовой плоскости для одномерной динамической системы на регулярные ячейки. Фон Пейман использовал это подмножество для анализа процессов измерения координаты и импульса в квантовой теории. В течение довольно длительного времени эти идеи знаменитых ученых не привлекали должного внимания. Лишь в начале 60-х годов подход, о котором идет речь, стал предметом тщательного и строгого анализа [167, 91, 7, 74]. Глаубер [142, 143] назвал введенные Шредингером состояния когерентными и показал, что с их помощью удобно описывать когерентные лазерные пучки в рамках квантовой теории.

Необычность системы когерентных состояний состоит в том, что она является переполненной, но именно это обстоятельство открывает целый ряд новых возможностей. Система векторов называется переполненной, если она остается полной после удаления хотя бы одного из составляющих ее векторов, т. е. содержит больше векторов, чем это необходимо для того, чтобы разложить произвольное состояние. Полные ортонормированные системы базисных векторов в гильбертовом пространстве — одно из основных понятий математической физики и функционального анализа. Однако оказалось, что переполненные и неортогональные системы векторов в пространстве состояний весьма полезны при решении некоторых задач в квантовой теории. При использовании базиса типа когерентных состояний привычные методы не годят-

ся, однако этот формализм очень полезен, если он используется надлежащим образом.

Система когерентных состояний обладает рядом достоинств по сравнению с обычными ортонормированными системами состояний. В течение последних полутора десятилетий этот подход с успехом применялся не только в квантовой оптике и радиофизике, но и в других областях физики, например в теории слабо неидеального бозе-газа. Системы когерентных состояний использовались также для описания спиновых волн в модели ферромагнетизма Гейзенберга, в квантовой электродинамике — для описания облаков виртуальных фотонов вокруг заряженных частиц, а также для приближенной квантовой теории локализованных полевых конфигураций в нелинейных теориях поля (солитонов). Свойства систем когерентных состояний довольно подробно рассматривались в ряде книг и обзоров [39, 40, 46, 66, 68]. Там можно найти ссылки на многочисленные оригинальные статьи.

Обычные когерентные состояния тесно связаны с группой, обычно называемой группой Гейзенберга — Вейля (се свойства были впервые рассмотрены Вейлем [250]). Метод когерентных состояний особенно эффективен в тех случаях, когда группа Гейзенберга — Вейля является группой динамической симметрии для рассматриваемой физической задачи. Простейший пример такого рода — квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы. В этом случае квантовые уравнения движения Гейзенберга совпадают с соответствующими уравнениями для классических переменных, при своем развитии во времени любое когерентное состояние остается когерентным, а движение в фазовом пространстве точки, соответствующей данному когерентному состоянию, подчиняется классическим уравнениям движения. Благодаря этому квантовая задача существенно упрощается, и по существу ее можно свести к классической задаче.

Группа Гейзенберга — Вейля — простейший пример группы динамической симметрии; во многих случаях возникают более сложные группы. Например, в задаче о прецессии спина в переменном магнитном поле группой симметрии является 5(7(2), а в задаче о квантовом осцилляторе с переменной частотой—группа SU (1, 1). Возникает вопрос, существуют ли для других групп Ли системы состояний, аналогичные обыкновенным когерентным состояниям для группы Гейзенберга — Вейля. Как было показано автором [207] в 1972 г., ответ на этот

вопрос положителен. Были построены и исследованы общие системы когерентных состояний, связанные с представлениями произвольной группы Ли. При этом удается использовать хорошо разработанные методы теории групп.

Другое обобщение когерентного состояния было предложено Барутом и Джирарделло [97]. Однако их подход применим не ко всем группам Ли, в частности он не годится для компактных групп. Кроме того, предложенное в этой работе множество когерентных состояний не инвариантно относительно действия групповых преобразований, в отличие от обобщенных когерентных состояний, предложенных автором в указанной работе [207]. Частный случай группы трехмерных вращений был рассмотрен также Радклиффом [214]. Предложенная в этой работе система когерентных состояний является примером обобщенных когерентных состояний, описанных в работе [207].

Обобщенные когерентные состояния, введенные автором [207], определены для произвольной группы Ли; они задаются точками в однородных пространствах, в которых действует данная группа. В некоторых случаях эти пространства могут рассматриваться как обобщенные фазовые пространства некоторых динамических систем. Примерами такого обобщения обычной фазовой плоскости являются двумерная сфера и плоскость Лобачевского. В таких случаях когерентные . состояния соответствуют точкам в фазовом пространстве, изображающим состояния классической динамической системы. Иногда когерентные состояния являются квантовыми состояниями, наиболее близкими к соответствующим классическим состояниям, так как они обладают минимальными неопределенностями. Поэтому когерентные состояния позволяют наиболее естественным образом сопоставить классическую систему ее квантовому аналогу. Обобщенные когерентные состояния такого рода естественно возникают в ряде физических задач, обладающих динамическими симметриями (см., например, работу [68] и часть II настоящей книги). Отметим в этой связи некоторые нестационарные задачи: прецессию спина в переменном магнитном поле, квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы, параметрическое возбуждение квантового осциллятора, рождение пар частиц в переменных внешних полях (электрическом или гравитационном), релаксацию квантового осциллятора к состоянию термодинамического равновесия, ■

. Обобщенные когерентные состояния оказались полезными и в ряде чисто математических задач, в особенности в теории представлений групп Ли, а также для исследования специальных функций, автоморфных функций, теории воспроизводящих ядер и в некоторых других разделах функционального анализа.

Метод когерентных состояний связан также с так называемым геометрическим квантованием. (Среди многих работ, в которых рассматривался этот метод, следует прежде всего упомянуть важные работы Кириллова [38] и Костанта [41, 173].) Геометрическое квантование связано с анализом в пространстве представлений группы, причем пространство рассматривается как гильбертово пространство состояний некоторой квантовой динамической системы. Наряду с квантовой системой рассматривается и соответствующая ей классическая система, которая обладает той же группой динамической симметрии. В основе метода геометрического квантования [38, 41, 173] лежит соответствие между вещественной функцией в фазовом пространстве классической динамической системы и некоторым самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве квантовых состояний. Естественно, что подход, использующий когерентные состояния, является здесь наиболее адекватным.

Следует упомянуть также другой метод квантования, развитый Березиным [10]. Этот метод применим к более узкому классу пространств, но он ближе к принятому в физике определению квантования и позволяет получить более полные результаты.

Так как материал по когерентным состояниям весьма обширен, а объем книги ограничен, некоторые интересные результаты здесь изложить не удалось. В частности, не рассматриваются некоторые свойства обычных когерентных состояний, так как эти сведения можно найти во многих обзорах и книгах. Для краткости опущены некоторые доказательства: автор надеется, что заинтересовавшийся ими читатель сможет без особого труда восстановить недостающие рассуждения.

Часть I

ОБОБЩЕННЫЕКОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ЛИ

Глава 1

ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ И ЕЕ СВЯЗЬ С ГРУНПОЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА — ВЕЙЛЯ.

СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

В этой главе рассмотрены свойства определенной сверхполной и неортогональной системы векторов (состояний) в гильбертовом пространстве — системы так называемых обычных когерентных состояний (КС).

В квантовой механике обычные КС в координатном представлении описывают нерасплывающиеся волновые пакеты для гармонического осциллятора, и с этой точки зрения они рассматривались Шредингером еще в 1926 г. [221]. Несколько позже в известной книге фон Неймана [54] была рассмотрена важная подсистема КС, связанная с разбиением фазовой плоскости для системы с одной степенью свободы на правильные ячейки; эта система была использована фон Нейманом для анализа процесса измерения в квантовой механике. Затем, после тридцатн- летнего перерыва, свойства системы КС вновь начали изучаться (см. [167, 91, 7, 74]). Среди первых работ в этой области следует отметить важные статьи Глаубера [142, 143]. В них было введено само понятие когерентного состояния и было показано, что КС дают адекватный метод квантового описания когерентного лазерного пучка света.

Детальное рассмотрение свойств обычной системы КС для конечного числа степеней свободы, а также ссылки па многочисленные работы по этому вопросу можно найти в ряде обзоров и книг [39, 40, 46, 66, 68, 172].

Случай бесконечного числа степеней свободы рассмотрен в книгах [7, 74] и многочисленных статьях в журнале «Communications in Mathematical Physics». ,

В настоящую главу включен материал, большей частью хорошо известный, однако способ его рассмотрения отличается от обычного: после установления связи системы КС с группой Гейзенберга — Вейля, впервые рассмотренной Г. Вейлем [250], важнейшие свойства этой системы получаются при помощи методов теории групп. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая одной степени свободы. Случай числа степеней свободы, большего единицы, но конечного, разбирается в главе 3.

. Группа Гейзенберга — Вейля и ее представления

Группа Гейзенберга — Вейля. Простейшие операторы, с которыми мы встречаемся при изучении кван- товомеханпческой системы с одной степенью свободы,— это операторы координаты q п импульса р. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям Гейзенберга:

(1.1)(1.1)[g, р] = гй£ [7, f] = [р, f] = 0.

(1.1)

(1.1)

Здесь I — единичный оператор, 1г — постоянная Планка, [ , ] означает коммутатор: [Л, В^ = АВ — ВА.

Теоретико-групповая структура соотношений (1.1) описывается определенной группой — так называемой группой Гейзенберга — Вейля [250]. Рассмотрению простейших свойств этой группы и посвящен настоящий параграф ).

Перейдем прежде всего от операторов р и q к более удобным для нас оператору уничтожения а и сопряженному ему оператору рождения а+;

а =а =(1.2)(1.2)4 -V гр + = д— гр1/26 ’Д/2Й. "

а =

а =

(1.2)

(1.2)

Перестановочные соотношения для них сразу же следуют из (1.1) и (1.2):

(1.3)(1.3)[а, а+] = I, [а, I] = [«+, I] = 0.

(1.3)

(1.3)

Соотношения (1.1) и (1.3) означают, что операторы р, q, I (или операторы а, а*, I) порождают алгебру Ли, которую мы обозначим через Жь Эта алгебра Ли и есть алгебра Гейзенберга — Вейля.

Переходя к новым величинам

ех = 1^~игр, e2 = i^-wq, e3 = il (1.4)

и рассматривая их не как операторы, а как элементы абстрактной алгебры Ли, приходим к определению: алгебра Гейзенберга — Вейля 'Ж, — это вещественная трехпараметрическая алгебра Ли, задаваемая перестановочными соотношениями

[е„ е2] = е3, [еь е3]= [е,, е3] = 0.(1.5)

Общий элемент алгебры ТУt имеет вид

a:=(s; xY, х2) = х,е, + х2е2 + se3(1.6)

или

х = is! + y^Pq — Qp) = isl + (аа+ — оса), (1.7)

где s, Xi и х2 — вещественные числа, хл = —(й)~/2(?, x2=^iV'"P, oc^any^lQ + iP'i-^X-^ + ixt'), а = = (2h')-1/2(Q — iPy Коммутатор элементов х=(з; х,, ^2) и У = (<; Pi, р2) дается формулой

[^, уА = В(х, р)е3, В(х, у^= х,у2-х2у,.(1.8)'

Переход от алгебры Ли к группе Ли осуществляется, как обычно, путем рассмотрения выражений

ехр(ж)= exp(zsl)77(a), 77(a) = exp(аа+— ая). (1.9)

Для нахождения закона умножения операторов 77(a) воспользуемся операторным тождеством*)

ехр А -ехр В = ехр ^ [Л, В]} охр (Л + В),(1.10)

справедливым при выполнении условий

[Л [Л, 5]] = 0, [5[Л, 5]] = 0.(1.11)

Приведем простое доказательство тождества (1.10), данное в работе [141]. Образуем операторную функцию

7^(Z) = охр (tA) охр (Z5)ехр (—t (Л + В)).(1.12)

Она удовлетворяет уравнению

^ = ехр (tA) [А, ехр (tT?)J ехр (— t (Л + 7?)) =

= t\A,B\F (t).(1.13)

Интегрируя (1.13) и полагая t = 1, получаем (1.10).

Наконец, подставляя в (1.10) А = аа+— аа, В = = Ра+ — Ра, находим закон умножения операторов:

D^ • D ^) = exp [i Im(ap)] Л(а + 0).(1.14)

Приведем еще формулу для произведения нескольких операторов:

D(an).D («„-,).. .D(at) = exp(i6)5(an + an_] + ...+«,),

(1.15) где

6 = Im(SajaA(1.16)

\j>h )

Фазовый угол Im (оф) в формуле (1.14) имеет простой геометрический смысл. Именно

Im(a0)=2A(O, 0, а+0),(1.17)

где Л (а, £3, у)—площадь треугольника с вершинами в точках а., [3 и у, причем величина А считается положительной, если обход а 0, 0 у, у а совершается против часовой стрелки, и А < 0 в противном случае. Аналогично можно интерпретировать и фазу в формуле (1.15). Вспоминая, что a = (27i)""1/2(^+iP), перепишем формулу для 6 в виде

8 = l^PdQ,(1.18)

г

где интегрирование проводится по контуру многоугольника с вершинами в точках 0, cti, a, + a3, ..., af + a2 + ... .. , + an). Далее из формулы (1.14) следует

5(a) ■ 5(0) = exp [2i Im (оф)] 5(0) -5(a). (1.19)

Соотношение (1.19) представляет по существу интегральную форму записи перестановочных соотношений Гейзенберга). Преимущество этой формы записи по сравне-

нию с (1.3) заключается в том, что в отличие от операторов а и а+, неограниченных в гильбертовом пространстве 36 операторы D (а) являются ограниченными, и следовательно, пх область определения совпадает со всем пространством 36. ■ .

Далее, из (1.14) видно, что операторы exp(ii)D(a) образуют представление группы, элемент которой задается тремя вещественными числами (g = (£; ад, ^г)) или вещественным числом t и комплексным числом a (g = = (t; а)). Эту группу мы обозначим через Wt и назовем группой Гейзенберга — Вейля. Нетрудно видеть, что закон умножения в группе Wt имеет вид

(s; ^-(t; yh y.^^s + t + В(х, у); ^ + у,, л-2 + у2).

(1.20)

Отметим еще, что группа Wt принадлежит к классу так называемых нильпотентных групп Ли, которые можно реализовать в виде группы верхних (нижних) треугольных матриц с единицами на главной диагонали. В нашем случае W\ = (g), гдо

/1ас\

(1.21)(1.21)о1

(1.21)

(1.21)

\.0О1/

Такие матрицы образуют простейшее конечномерное пе- унитарное представление группы W\. При этом элементам ех, е2, щ алгебры отвечают матрицы

/ 010 \/ 000 \/ 001 \

0 0 0 ,0 0 1 и 0 0 0(1.22)

\ 000 /\ 000 /\ 000 /

соответственно.

Представления группы Гейзенберга — Вейля. Возникает вопрос о нахождении всех унитарных неприводимых представлений группы Wt. Заметим прежде всего, что элементы вида (s; 0) образуют центр группы ИГ, т. е. множество всех элементов, коммутирующих со всеми элементами группы W,. Поэтому для любого унитарного неприводимого представления Т (g) группы W, операторы Т (($; 0)) образуют неприводимое унитарное представление подгруппы {(s; 0)}, которое характеризуется одним вещественным числом X:

ГЦз; 0)) = exp(iXs)!(1.23)

(в рассматриваемом нами случае X = 1).

Ответ на интересующий нас вопрос дает теорема Стоуна — фон Неймана [234, 196].

Теорема. При заданном X (X ^ 0) любые два унитарные неприводимые представления группы Wt унитарно эквивалентны.

Это значит, что для любых двух систем операторов (5(a)) и {5 (а)}, удовлетворяющих соотношениям (1.19), существует унитарный оператор U такой, что

5 (а) = 5+5 (а) 5.(1.24)

Аналогичное утверждение справедливо и для пар операторов а+, а и а+, а, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (1.3):

а+ = U+a+U, а = U*aU.(1.24')

Однако эти соотношения справедливы лишь при выполнении некоторых условий, относящихся к области определения операторов а+, а и а+, а (см. [112]).

Таким образом, унитарное неприводимое представление группы Wi задается одним вещественным числом А; Т (g) = Тх (g), X + 0. Кроме того, есть представления, отвечающие X = 0. Все они одномерны и характеризуются двумя вещественными числами ц и v:

Т (g) = Т»' (g) = exp [i (щс, + sx^ ] Т.

Перейдем it описанию представления Тх^).

Конкретная реализация ■ представления Tx(g). Операторы q, р и а+, а действуют в стандартном гильбертовом пространстве Зб. Здесь и в дальнейшем, следуя Дираку, будем обозначать: вектор этого пространства символом |ф>, скалярное произведение векторов 1ф> и |ф>, линейное по 1тф> и антилинейное по |<р>, символом <дз|лф>, проекционный оператор на |лф> через |ф> <i|:l. Под состоянием 4> мы будем понимать множество векторов, отличающихся от |ф> лишь числовым множителем.

Известно, что в 36 существует так называемый вакуумный вектор |0>, т. е. нормированный вектор, аннулируемый оператором а1.

а|0> = 0, <0|0> = 1.(1.25)

Действуя на него оператором а+, получаем множество нормированных векторов:

|n> =(n!)-‘/2(a+)’40>, n = 0, 1, 2, ...(1.26)

Множество векторов {I и>) и образует базис пространства 36.

16

Действие же операторов а и а* в пространстве 5^ определяется формулами

а\п) = Уп|« — 1\ а+|и> = Уи + Ни + 1>,

а+а|и> = п\п>.(1-27)

Часто бывает удобно использовать конкретные функциональные реализации гильбертова пространства 3€, или, как говорят физики, определенные представления. Наиболее часто встречается так называемое координатное представление. В этом случае вектор |тр> изображается функцией координат <г/|тр> = ф(?), являющейся квадратично интегрируемой:

f Н(?) |2^< °0-f Н(?) |2^< °0-(1.28)(1.28)

f Н(?) |2^< °0-

f Н(?) |2^< °0-

(1.28)

(1.28)

Действие оператора q в координатном представлении сводится к умножению па q, а действие оператора р — к дифференцированию по q; р = —ihd/dq. Базисному вектору |п> соответствует функция <q\n) = ф„(?) =

(1.29)

где Hn(q)—полином Эрмита степени п. Соотношения (1.27) в координатном представлении дают рекуррентные соотношения для полиномов Эрмита:

^77п(?) = 2п77п_1(?),(1.30)

(2?-/д)яп(?) = Яп+1(?).(1.31)

Отсюда сразу же следуют полезные соотношения

Hn(q) = ^q-A^ 770(g), 77о(9) = 1,

Нп (q) = (- l)n exp (q2) ^ exp (- q^ (1.32)

и дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита

77; ^ - 2qH'n (q) + 2пНп (q) = 0.(1.33)

Действие оператора 7)(а), а =(2^)-1/2(<2 + г‘Р) в координатном представлении дается формулой

D (а) ф (?) = ехр (— г ^) ехр (г ^ ] Ф (? — Q^ (1.34)

17172 А, М, Переломов

17

17

1.2. Когерентные состояния (КС)

В этом параграфе изучаются определенные сверхнол- пые системы состояний, связанные с группой Гейзенберга — Вейля W1 — системы обобщенных когерентных состояний. Частный, но в то же время важный случай такой системы представляет обычная система когерентных состояний.

Понятие обобщенного когерентного состояния можно вводить разными способами. Здесь мы следуем работе [207].

Пусть T(g)—унитарное неприводимое представление группы Wi, описанное в § 1.1, a 1ф0>— какой-либо фиксированный вектор в пространстве представления 3€. Нетрудно видеть, что состояние), отвечающее вектору |ф0\ остается неизменным лишь при действии на него операторов вида Г((з, 0)). Иными словами, стационарная подгруппа Н произвольного состояния ItTo^ состоит из элементов вида (з; 0).

Подействуем теперь оператором представления Т (g) = = 1^1; а)) группы Wi на вектор |фоХ Мы получим множество состояний (|а>):

|а> = 7)(а)|ф„>, (1.35)

где а — комплексное число. При этом, поскольку стационарной подгруппой состояния 1х|'0> является II = {А), h=(t, 0), различным а соответствуют различные состояния.

Система (1а>) и является системой обобщенных когерентных состояний типа VT(g), Ц’оИ. Важный частный случай отвечает выбору в качестве 1ф0> вакуумного вектора |ф0Х При этом мы получаем обычную систему КС.

Система обобщенных КС обладает рядом замечательных свойств, к рассмотрению которых мы переходим.

Заметим прежде всего, что из неприводимости представления Т (g) следует, что эта система полна. Однако состояния системы, вообще говоря, не ортогональны друг Другу. В самом деле,

<pla> = <ф0|П+(3)П(а) 1ф0>_=

= exp(i Im(a[i)) <ф0|Г)(а — Р) |ф0>, (1.36) |<р|а>|2 = |<ф0|Л(а — Р) |фо>|2 = р(а — Р), (1.37)

а функция p(a) в силу неприводимости представления не моя;ет тождественно обращаться в нуль.

Оператор 77(a) переводит одно когерентное состояние в другое: '

77(a) |р = exp [i 1т(оф)] |а + 0>.(1.38)

Равенство (1.38) определяет действие группы W\ на а-плоскости:

(s; р)-а = а+р.(1.39)

Это действие неэффективно, поскольку подгруппа

Я = {(<;0))(1.40)

действует на a-плоскости как тождественное преобразование. Факторгруппа WJH является, как видно из (1.40), группой трансляций а-плоскости.

Отсюда следует, что инвариантная метрика на а-плоско- стп имеет обычный вид

ds2=Ma|2.(1.41)

Соответственно инвариантная мера на a-плоскости дается выражением

t7p(a) = с t72a = с t7ai <7a2, a = ai + ia2, (1-42)

где с — некоторая постоянная.

Перейдем к выводу так называемого «разложения единицы». Обозначим через |а> <а| оператор проектирования па состояние |а> и рассмотрим оператор

Л = У I РХР№(Р).(1.43)

Нетрудно видеть, что оператор Л коммутирует со всеми операторами 77(a). Следовательно, в силу леммы Шура такой оператор кратен единичному:

2 = d-‘-L(1.44)

Для нахождения константы d вычислим среднее значение оператора Л в когерентном состоянии la>:

<а| Я | а> = J | <а j Р> Р dp (Р) = J р (₽)с7р (₽).

(1.44')

В силу ограниченности оператора Л константа d 4= 0; мы можем, следовательно, выбрать в (1.42) постоянную 2*

так, что j р (a) </ц(а) = 1. «Разложение единицы» принимает теперь вид )

J|o:><a|^(a) = f,(1.45)

где dp (а) дается формулой (1.42), а постоянная с определяется из условия J р (a) dp (а) = 1.

Заметим, что из разложения единицы (1.45) сразу же следует, что когерентные состояния линейно зависимы —

J |а> <а | Р> tfy (а) = | 0>,(1.46)

а ядро К (а, р)=<а|р> является воспроизводящим ядром ):

Jtf(a,P)£(M)<W) = К^,^.(1.47)

При этом с помощью условия полноты (1,45) нетрудно разложить произвольное состояние |гр> по когерентным состояниям:

11р> = J Ч7 (“) I “> ^ (“)-(1-48)

Коэффициент 4‘(а) в (1.48) находится по формуле

чр (ос) = <сс1-ф>,(1.49)

причем

<ip|ip> == ]|ф(а)|2<7ц(а).(1.50)

До СИХ пор вектор |фо\ который был исходным при построении системы обобщенных КС, был произвольным вектором гильбертова пространства 36. Возникает вопрос: нельзя ли использовать этот произвол в выборе вектора так, чтобы полученная система КС обладала заданными свойствами, например, чтобы КС были наиболее близки к классическим.

В данном случае для получения критерия близости квантового состояния к классическому естественно ис-

пользовать соотношение неопределенностей Гейзенберга Д = Дд-Др>Й/2,(1.51)

где

M2 = ((q — ф)2\ ^рУ=<(р-Ср>У>, (1-52) а символ <д> означает среднее значение оператора q в рассматриваемом состоянии lip; <g> = <тр| glip.

Покажем сначала, что для всех состояний системы не только величина неопределенности Д, но и величины \q и Др одинаковы, т. с. не зависят от а. Для этого воспользуемся тождеством

D+ (а) aD (а) = а + а, а = а1 + ia2, (1.53) которое нетрудно доказать, например, разлагая 5(a) в ряд по степеням оператора (aa+ — aa) и используя перестановочные соотношения (1.3). Из равенства (1.53) сразу же следует, что <algla> = (ipolдГ’фо> + (2Л)1/2 • а17

<alpla> = <iplplip> + (2А)1/2 • а2. (1.54)

Отсюда получаем

<М^ = (Д^, (Др) = = (Д<(1.55)

что и требовалось доказать.

Таким образом, мы видим, что среди КС всегда существует состояние, для которого <р = <р> = 0. Нетрудно видеть, что таким является состояние

I—a0> = D(—cto) lip0>,(1.56)

где а0 = <1ро1а1фо>. Поэтому без ограничения общности мы можем считать, что <il?olglipo> = <1ро1р1^'о^ = 0. Найдем теперь все состояния с <q> = <р> = 0, минимизирующие соотношение неопределенностей Гейзенберга

Дд • Др = V2.(1-57)

Рассмотрим очевидное неравенство

М+Л>>0, ^ = ^=1. ^>0,(1.58)

или

^2(Дд)2-^ + (Др)2^0.(1.59)

Нетрудно видеть, что выполнение этого неравенства при всех значениях X эквивалентно выполнению соотношения неопределенностей Гейзенберга и что равенство (1.57)

21

может выполняться лишь в том случае, когда при некотором X > 0.

^♦.H^fe')l(1-60)

В частности, таким состоянием является вакуумное состояние |0> (приХ=1). .

Отметим, что операторы Л и Л+ удовлетворяют перестановочному соотношению

Ц, М+] = 1,(1.61)'

и поэтому их можно считать новыми операторами «уничтожения» и «рождения». Они получаются из старых операторов а и а+ с помощью линейного канонического преобразования

Л = ма+па+, Л+ = йаЛ + va, |п|2— ld2 = l. (1.62)

Посмотрим теперь, чем выделены векторы |^0>, удовлетворяющие (1.60), с алгебраической точки зрения. Для этого, следуя [66], рассмотрим комплексификацию Ж^ алгебры Ж,, т. е. множество линейных комбинаций операторов q, р и I с комплексными коэффициентами. Обозначим через ^ = {Ь} стационарную подалгебру состояния 1"ф0>, т. е. множество элементов Ъ е Ж^ таких, что Ыф0> = МфоХ Пусть ^ = О) — подалгебра Ж^, сопряженная к $. Подалгебру ЕЙ назовем максимальной, если ^ ® ^ = Ж^. Состояния, для которых стационарные подалгебры максимальны, обладают наибольшей симметрией п являются выделенными. Можно показать, что в этом случае когерентное состояние определяется точкой фак- торпрострапства PTi/В = B/D, D = exp Ф, где 5) = ^ Л Л ^. КС такого типа можно естественно реализовать в определенном пространстве аналитических функций (см. § 1.3). К состояниям, обладающим максимальной стационарной подалгеброй, относится, в частности, вакуумный вектор |0> (а|0>=0), для которого ® = {а, I), Ж = (а+, 1), ЕЙ ® Ж = Ж^, а также векторы, удовлетворяющие условию (па + ка+) lip = у|ф>, ]и|2—|к|2 = 1. Подчеркнем, что только часть таких состояний минимизирует соотношение неопределенности Гейзенберга. Более подробно такой подход рассмотрен в главе 2.

Состояния {|а>1, |а>=2)(а)|0> образуют обычную систему когерентных состояний. Очевидно, что все фор- 22

мулы этого параграфа справедливы и для такой системы. Здесь можно, однако, получить ряд полезных формул, не имеющих места в общем случае.

Так, например, нетрудно видеть, что состояние |«> аннулируется оператором

Z)(«)aZ)*(«).*(1.63)

Как следует из (1.53), это равенство эквивалентно следующему;

a|a> = «!«>.(1.64)

Таким образом, обычное когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения, причем собственное значение « может быть произвольным комплексным числом. В то же время нетрудно показать, что оператор а* не имеет в 36 ни одного собственного вектора.

Заметим, что в силу соотношений (1.2) «-плоскость является аналогом классической фазовой плоскости, точка которой определяется координатами ((), Р). Соответственно когерентные состояния осуществляют отображение фазовой плоскости в гильбертово пространство 36.

Дадим еще несколько полезных соотношений для состояний |«>.

Прежде всего, из тождества (1.10) нетрудно получить следующие выражения для оператора Z)(a);

£>(«)= ехр(—|a|2/2)exp(aa+)cxp(—aa),(1.65)

£>(«)= exp(lal2/2)exp(—aa)exp(aa+).(1.66)

Формула (1.65) даст так называемую нормальную или виковскую форму заппсп оператора 79(a). Это значит, что при разложении в ряд все операторы а* стоят слева от операторов а. Соответственно формула (1.66) дает антпнормальную или аптивиковскую форму записи оператора 79(a).

Из (1.65) и (1.66) следуют полезные соотношенияa+79(a) = {д/да. + a/2)79(«),79(a)a+ = (d/da — a/2)79(«),

_(1.67)

a79(a) = —(<9/<9 a — a/2)79(a),

Z)(a)a = — (d/da + a/2)D(a).(1.68)

Из (1.65) следует также, что

la> = ехр(—|a|2/2)exp(«a+) |0>.(1.69)

23

Это выражение удобно переписать в виде

1“> = ехР(—1“|2/2)У-^=|п>.(1.70)

Приведем еще явные выражения для когерентных состояний в координатном и импульсном представлениях: <Да> = (л%)-1/4 ехр (£(2/й)1/2 • сс2^)Х

X ехр[- (2Й)“‘ (Д - (2%)1/2 • се.)Ч (1-71) <р|а> =(л%)-1/4 ехр( — i(2/%)1/2 • a.ip'jX

X ехр [- (2%) -1 (р - (2%)1/2 ■ а2)2].(1.72)

Далее, из формулы (1.70) сразу же следует, что

<сс|р> = ехр [—V2 Ы2 — */2 ф|2 + оф], (1.73) р(а)= |<а|0>|2 = ехр( — Ы2),

I <аф>|2 = ехр(—lot — pl2).(1.74)

Заметим, что в рассматриваемом случае функция р(а) нигде не обращается в нуль, так что любые два когерентных состояния не ортогональны друг другу. Это свойство имеет место и для общих систем когерентных состояний с максимальной стационарной подалгеброй.

Теперь нетрудно найти выражение для постоянной с в формуле (1.42). Она оказывается равной л-1, так что выражение для меры cZp. (се) принимает вид

dp (а) = л^’^а, dot2, а = а. + гсс2. (1.75)

Отметим, что такая система когерентных состояний минимизирует соотношения неопределенностей Гейзенберга: для нее Д^•Др = V2.

Представление Фока — Баргмана

В обычно используемом координатном или импульсном представлении на функции ф(^) и ф(р), изображающие вектор гильбертова пространства 36, не налагается никаких условий аналитичности. Существует, однако, такая реализация пространства 36, при которой вектор гильбертова пространства изображается целой аналитической функцией. Такая реализация рассматривалась в работах [129, 91] и называется представлением Фока — Баргмана. Это представление дает возможность во многих случаях упростить решение задач, используя для этого теорию целых аналитических функций.

Такое представление можно связать с каждой системой когерентных состояний, обладающей максимальной стационарной подгруппой. Мы рассмотрим здесь лишь случай обычной системы когерентных состояний:

1а>=П(а)|0>, |0>— вакуумный вектор, а|0> = 0.

Пусть |ф> — произвольный нормированный вектор пространства 36. Тогда, как было показано в § 1.2, состояние |ф> полностью определяется функцией (alip. Пусть

I ф> = 2 Сп| П>, <ф| ф> = s |с„|2 = 1.(1.76)

п—Оп=0

Тогда, как следует из равенства (1.70),

<a|ip = ехр(—*/2 |а|2)ф(а),(1.77)

где

^02П

ф(з) = Л cnun^, ип^ = —==.■(1.78)

п=оУп-

Ряд (1.78) сходится при всех значениях z (в силу усло

вия S|cn|2 = l)i и следовательно, функция ф(г) явля- п—0

ется целой аналитической функцией комплексной переменной z. При этом

ИИ2 = <Ф1Ф> = Jexp(—|z|2)| i|)(z))2</p(z)< оо. (1.79)

Для целых функций фДг) и 4*2 (z), удовлетворяющих условию (1.79), определим величину (ф, 1i|:2> согласно формуле

<Ф11 ф2> = J ехР ( — I z I2) Ф1 (z) Ф2 (z) d^ (z)-(I-80)

Можно показать [91], что эта величина удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, и следовательно, такое пространство действительно является гильбертовым пространством. Мы приходим, таким образом, к конкретной реализации гильбертова пространства в виде пространства целых аналитических функций ф(г), удовлетворяющих условию (1.79).

Впервые это представление в несколько ином, хотя и эквивалентном виде было введено Фоком в 1928 г. [129]. Фок предложил операторное решение перестановочных соотношений Гейзенберга (1.3)

а -* d/dz, а*а -* d/dz, а*-* z-* z(1.81)

а -* d/dz, а*

а -* d/dz, а*

-* z

-* z

25

по аналогии со шредингеровским решением, р = = —ih^d/dq), q = q, и использовал это представление в исследованиях по квантовой теории поля. Это представление было подробно изучено в работе [91] Баргманом, а также в ряде последующих работ [92—94, 160] для конечного числа операторов а,- иа^ ). Мы назовем его представлением Фока — Баргмана, а пространство представления обозначим через £7*. Скалярное произведение двух векторов в этом представлении имеет вид (1.80). При этом из неравенства Шварца |<а!ф>! ^ Ht[H сразу же следует, что если 4(z)e ^"> т0

li[(z)l ^Cexp(|z|72).(1.82)

Как мы уже отмечали (см. (1.81)), в представлении Фока — Баргмана оператор а+ является оператором умножения на z, а оператор а — оператором дифференцирования по z, причем, как нетрудно проверить, при выборе скалярного произведения в виде (1.80) операторы а п аЛ становятся сопряженными друг другу. Заметим, что это выражение для скалярного произведения можно было бы получить из условия сопряженности операторов а п а+.

Отметим ряд свойств представления Фока — Баргмана. Ортонормированный базис в ЗГ имеет значительно более простой вид, чем в координатном представлении:

|га><z|zz> = un (z) = zVynl.(1.83)

Соответственно когерентное состояние 1а> дастся в этом представлении формулой

<z|a> = схр(—Ial72 + az).(1-84)

При этом роль б-функцпи в пространстве ЗГ играет следующая функция:

6 (z,z') = 5 Мп (z) нп (z') = exp (zz ).(1.85)

П=0

Действительно, легко проверить, что для любой аналитической функции в ^*

/ (z) = J 6 (z, z') exp (— | z' |2) / (z') dp (z').(1.86)

Рассмотрим теперь пространство Ьг — пространство всех функций (в том числе и неаналитических), удовлетворяющих условию

II /II2 = J \ / (^ z)|2 exp (- I z P) dp (z) < oo. (1.87) Нетрудно видеть, что формула

7 (z) = J exp (zz' — 1 z' p) / (z\ 7) dp (z')(1.88)

осуществляет проектирование пространства Z2 на пространство ^": Z2 ST. Заметим еще, что если состояния 1ф> и 1а> ортогональны друг другу, то ^(сс) = 0.

Наконец, связь между обычным координатным представлением и представлением Фока — Баргмана осуществляется ядром <zlg>, удовлетворяющим уравнению

a<z|g> = z<z|g>,,(1.89)

пли, в более подробной форме записи,

(7t(d/dg)+g-(2a)1/2z)<z|9> =0,(1.90)

откуда находим

<z\q> = c(z)exp( —^Тг)"^2 +(2/a)1/2z^).(1.91)

При таком преобразовании функция (р,|(9)^(л^7'/‘X Хехр(—92/2^) должна переходить в /0(z)=l. Отсюда следует, что

[с (z)]-1 = (л%)~1/4 J ехр (— 92/Й + (2/Й)1/2 zq) dq =

= (nTi)1/4 exp (z2/2). (1.92) Таким образом,

K(z, q) = <z\q> =(nti)~1/4 exp(-z72 YW^q - су2/2Л),

(1.93) а интересующее нас преобразование дается формулами [85]:

/(z)= J A(z, 9)(p(g)d9,(1.94)

(p(g) = lim J A (z, 9) / (z) exp (—| z |2) dp (z), (1.95) p|<r ,

к (z. 9) = (лй)"1'4 2 ^ 2"П/2ЯП ((6)-1/2 9) exp I - ^ ). n=o

(1.96)

Сравнивая это выражение с (1.93), получаем производящую функцию для полиномов Эрмита:

exp [- z2 + 2zg] = 2 ^H^qY (1.97) n—О

Приведем еще формулы для действия операторов Z)(a) в координатном представлении:

D (a) = exp ^ (Pq — Qp) =

= ехр(—p^expfi^expf— (1.98)

О (“) Ф (у) = exp ( — ^PQ^ exp (г ^) ф(? — QY (1-99) а также в представлении Фока — Бартмана:

I I2—

D (a) f (z) = expу- exp (az) / (z — а). (1.100)

В частности, из (1.95) получаем интегральное представление для полиномов Эрмита:

Яп (q) .= (2п/7л) J exp [- z2/2 + /2 zq - |z №d4.

(1.101)

Представление Фока — Баргмана будет существенно использоваться при решении задач, рассматриваемых в следующих параграфах.

§ 1Л. Полнота подсистем когерентных состояний

В § 1.2 уже отмечалось, что система когерентных состояний {|а>} является сверхполной. Это значит, что существуют подсистемы когерентных состояний, являющиеся полными. В этом параграфе будут указаны критерии полноты подсистемы {|аЛ>), соответствующей подмножеству точек {ак) на а-плоскости.

Предположим сначала, что система {lak>} неполна. Тогда существует вектор 1ф> ^ 0, принадлежащий гильбертову пространству 56, который ортогонален всем состояниям |ал>; <ф1ал> = 0. Отсюда следует, что функция ф(а) = ехр(|а!2/2) <ф|а>(1.102)

обращается в нуль во всех точках множества (aj. В то же время, как было показано в предыдущем параграфе, 28

функция i|>(a) является целой аналитической функцией комплексной переменной а и притом удовлетворяет условию

I = J | ф (а) |2 ехр (— | а |2) dp, (а) < оо. (1.103)

Иными словами, функция 1|>(а) принадлежит пространству ST. Если же система {1аА>} полна, то такой функции не существует.

Таким образом, мы доказали

Предложение. Подсистема состояний {|ад>} полна тогда и только тогда, когда не существует функции ф(а)е s ST, ф ^ 0, обращающейся в нуль во всех точках множества (аД. Ряд примеров полных подсистем {[аД} системы когерентных состояний {|ак>} был указан в работе Баргмана [91]. Это:

Любое множество {аД, имеющее предельную точку в конечной части a-плоскости. Такая подсистема остается полной и после выбрасывания из нее конечного числа состояний.

Б. Любое бесконечное множество (аД, не содержащее точку а = 0 п такое, что

(1.104) .h

при некотором е > 0.

Условие Б. является следствием общих теорем относительно связи порядка роста целой функции при |а| с распределением ее пулей (см. Приложение А).

Особенно интересным является случай, когда точки образуют правильную решетку па а-плоскости: «д ^ ап,„ = шт, + п®г, где периоды решетки со, и <о2 линейно независимы — ТпДоьмДА 0, a m и п пробегают все целые числа. Простейшая из таких подсистем когерентных состояний — система, соответствующая квадратной решетке с площадью элементарной ячейки S'= л,— была много лет назад рассмотрена фон Нейманом [54] в связи с изучением вопроса об одновременном наиболее точном измерении координаты и импульса). При этом для справедливости полученных им результатов необходимо, чтобы система {|атпЯ была полной. Доказательство полноты такой системы, однако, не было опубликовано.

Полное решение вопроса о полноте подсистем {|amn>}, связанных с решеткой, дает теорема, доказанная в работе [62] и частично в работе [95] ).

Теорема. Пусть {|amn>} — подсистема когерентных состояний, связанная с решеткой, площадь элементарной ячейки которой равна S. Тогда:

При S < л эта система является сверхполной и остается таковой при выбрасывании конечного числа состояний.

При S > л подсистема (iamn>} не полна.

При 5 = л эта подсистема полна. Она остается полной при выбрасывании одного состояния, но становится неполной при выбрасывании двух любых состояний.

Отметим, что a-плоскость является аналогом фазовой плоскости для классического осциллятора, причем ячейке фазовой плоскости площади 2лЙ соответствует ячейка a-плоскости площади л. Отсюда следует физическая интерпретация полученного результата: система когерентных состояний, отвечающих решетке на фазовой плоскости с плотностью большей пли равной одному состоянию в планковской ячейке, является полной; при плотности меньшей единицы такая система неполна. Эти результаты подтверждают фундаментальную важность разбиения фазовой плоскости на вланковскпе ячейки.

Доказательство сформулированной выше теоремы дано в приложении А.

Таким образом, при S = л, т. е. при выборе одного когерентного состояния в планковской ячейке, в качестве полной п минимальной системы мы можем взять, например, систему (!«№«>} — систему всех состояний {(«,„„>}, за исключением вакуумного состояния |0>. Разлагая состояние |0> ио состояниям системы [|amn>], получаем линейное соотношение между всеми состояниями системы (lamn>}. Вычисления дают соотношение [62] (см. приложение А): .

2 (_l)W+”|a,nn>^0. (1.105) т,п

Посмотрим теперь, как выглядит это соотношение в представлении Фока — Баргмапа. В этом представле-

нии la>-> ipa(z) = ехр(—lalV2)oxp(az), и соотношение (1.105) принимает вид .

f^ = Ii (- l)mn+m+” exp (- | amn |2/2) exp (amnz) = 0.

(1.106)

Заметим, что ряд в (1.106) сходится равномерно на любом компактном подмножестве a-плоскости, и следовательно, /(z)—целая функция z. Тот факт, что /(z)=0, можно показать п непосредственно [62].

В частности, полагая в (1.106) z = 0, получаем

ехр Г— у (ат1 + 2Ътп + с«2) = 0,

(1.107)

где лй = |(1)112, лЪ = Re(to1<B2), лс=!й)2Р, ас—Ъг = 1, а > 0, с > 0.

В случае прямоугольной решетки Ъ = 0, п это тождество становится эквивалентным билинейному соотношению для тета-фупкцпй:

0з(т1)03(т2)— 0з(т()04(т2) —

-04(т,)0з(т2)~ О4(т,)04(т2) = О. (1.108)

Здесь Xi = ic/2, тг = 1с'Ч21 а тета-функции 03(т) п 04(т) определены формулами [100]

03(т) = 2 ехр(ёлтиг2),

04 (т) = 2 (—1)техр (ыггт2). (1.109)

Щ=— ОО

В заключение заметим, что из полноты подсистемы |am„> следует полнота подсистемы li|)mn> = U |amn>, где U — произвольный унитарный оператор.

Выберем теперь U таким, чтобы выполнялось равенство )

UaU* = иа + va+, Id2 — Id2 = 1.(1.110)

Тогда__

С7П(а)С7+= П(р), p = tta-t;a, (1.111)

т. е. при линейном преобразовании а -»- р площадь со

(l^mn^i !фтп^ состояний типа U удовлетворяет(l^mn^i !фтп^ состояний типа U удовлетворяетхраняется.

(l^mn^i !фтп^ состояний типа U удовлетворяет

(l^mn^i !фтп^ состояний типа U удовлетворяет

Отсюда следует, что подсистема = 0(Pmn)l^o> системы когерентных (Г, 1фо>), l^o> = Z7iO>, где оператор

уравнению (1.110), также является полной.

Когерентные состояния и тета-функции

Как мы видели в предыдущем: параграфе, тета-функции естественно возникают при рассмотрении вопроса о полноте подсистемы когерентных состояний, связанной с правильной решеткой па «-плоскости ). Теперь мы рассмотрим вопрос о связи когерентных сос*яний с тета- функциямп более подробно.

Рассмотрим правильную решетку L на «-плоскости, т. е. совокупность векторов вида «п = 2ге?м?ч где п^ пг — целые числа, а два вектора coj и ы2 (периоды решетки) вещественно линейно независимы. Рассмотрим также множество операторов {/)(«„)} и попытаемся найти их собственный вектор |0>. Для того чтобы такой вектор) существовал, необходимо, чтобы операторы D(an) коммутировали между собой; при этом достаточно, чтобы коммутировали операторы £)(ы,). Но согласно (1.19) это эквивалентно условию целочисленности:

-^ Im (®x®2) = ^ & — целое. (1.112)

Иными словами, площадь параллелограмма, построенного на векторах оц и ы2, должна быть кратна л.

Решетку L, удовлетворяющую условию (1.112), назовем допустимой. В этом случае собственный вектор должен удовлетворять системе уравнений

D(ы,) |0е> = ехр(йте,) |0е>, / = 1, 2,(1.113)

а состояние, отвечающее вектору |6е>, определяется двумя вещественными числами е, и е2, удовлетворяющими условию 0 =5 6j < 2, т. е. точкой двумерного тора.

Нетрудно видеть, однако, что вектор |08> не может принадлежать гильбертову пространству 36, в котором

действуют операторы Ща). Опишем кратко расширенное пространство 36-». (Более детальное обсуждение этой конструкции можно найти в [112]-)

Обозначим через 36» подпространство 36, содержащее лишь такие векторы |ф>, для которых функция

(ф!^#) ["Ф^ = ехр(») <<р|О(а) |-ф>

является бесконечно дифференцируемой для любого фиксированного ф е 36. Элементы этого пространства назовем С“-векторами. Отметим, что в число С^-векторов входят векторы вида

I Ф/> = У / («) ^ (“) ] Ф> ^ (“)<

где |ф> —произвольный вектор пространства 36, а /(а)— бесконечнодифференцируемая функция с компактным носителем. Как было показано в работе [132], такие векторы образуют плотное множество в пространстве 36. Определим теперь пространство 36-» как множество всех непрерывных антилинейных форм на 36» и идентифицируем 36 с подпространством пространства 36-», поставив в соответствие вектору |ф> е 36 антилинейную форму <ф|ф> на 36». При этом представление T(g), первоначально определенное в пространстве 36, можно естественно расширить до представления в пространстве 36-».

Выберем теперь какое-либо из состояний |0Е>, например |90>, и подействуем на него всеми операторами Z)(a). В результате получим систему обобщенных когерентных состояний

|0а> =/)(«) |0О>. (1.114)

Нетрудно видеть, что полученная система состояний совпадает с системой {|0е>}, определенной согласно (1.113). Это естественно, поскольку стационарная подгруппа Н состояния |0Е> состоит из элементов вида (i; ct„), так что факторпространство G/H является двумерным тором.

Заметим, что сама возможность параметризации состояния комплексным числом а (см. (1.114)) связана с тем фактом, что любой двумерный тор является комплексным многообразием (см. Г801).

Таким образом, система {|0е>} —это система КС, связанная с допустимой решеткой L. Для того чтобы установить связь этой системы с тета-функциями, рассмотрим состояние |0Е> в представлении Фока — Баргмана:

3 А. М. Переломов 33

10B>-*0B(z) (для простоты ограничимся рассмотрением главной решетки, соответствующей А=1). В этом случае из (1.113) следует

О(ат) Iве> = exp UnFt^m^ |0в>,(1.115)

где am = тм + т2и2 — произвольный вектор решетки, а FB(m) = тлтг + etmi + e2m2.(1.116)

Используя соотношение (1.100), можно переписать уравнение (1.115) в виде

0B(z + р,„) = exp [in^ (—m)] X

X ехр( | |pml2)exp(pniz)0B(z), (1.117) где pm = am — вектор сопряженной решетки. Но уравнение (1.117)—это обычное функциональное уравнение для тета-функций (см. [35, 100]).

Помимо функции 0B(z), полезно также рассмотреть . функцию

0B(z, z)=exp(-|z|72)0B(z).(1.118)

Для этой функции из (1.117) получается следующее функциональное уравнение:

0B(z + pm, z + pm)=__

= exp [in77 (—m) J exp [i Im (zpm) J 0E (z, z).(1.119)

Таким образом, 10E(z, z)|2 = p(z, z), где p(z, z)—неотрицательная функция, периодическая относительно решетки L, сопряженной решетке L. Поэтому обычная норма функции 0e(z) бесконечна.

Относительно же решений уравнений (1.117) нетрудно доказать, что функция

^е (z) = 2 ехР [— in.Fe (тг)] О(ап) К (z)(1.120)

п

является решением для произвольной целой функции h (z), такой, что ряд (1.120) сходится. В более явной форме

К (2) =

= Sexp [ — tjr^e (тг)] exp (— _^ ]PnP) exp (— pnz) /г (z + 0П).

"(1.121)

В частности, полагая Zi(z) = 1, получаем решение

/Е (z) = свеЕ (z) =

22exp(anz), (1.122)exp(anz), (1.122)= 2 exp [— inF^n^ exp

2

2

exp(anz), (1.122)

exp(anz), (1.122)

имеющее вид суперпозиции когерентных состояний. Следует, однако, иметь в виду, что для определенных значений е, например для е = (1, 1), функция /Е(з) равна нулю тождественно.

В заключение рассмотрим вопрос о связи рассматриваемого подхода с подходом Картье [112]. В его работе было показано, что тета-функции возникают при рассмот- ренпп представления группы Гейзенберга — Вейля Wi, индуцированного некоторым представлением ее дискретной подгруппы Г, связанной с решеткой L ).

Рассмотрим совокупность операторов Dmn = D(mtot + + пго2), где атп = mat + пю2 — точка допустимой решетки L с площадью элементарной ячейки S = л. Эти операторы образуют дискретную коммутативную группу с законом умножения

П Г) / —1 \ п1.к. ': т. ”> D

Uk, I пZd”)

В (к, I; т, и) = кп — 1т. (1.123)

Пусть Г — дискретная подгруппа группы JVi, состоящая из элементов вида §=(Ал; атп). Операторы {±Dmn} образуют представление этой подгруппы, а совокупность состояний {|tzmn>} образует базис некоторого представления группы Г. Постараемся теперь избавиться от знакового множителя в (1.123), пли, иными словами, перейти к представлению факторгруппы Г/Го, где Го = {(Ал; 0)}. Перейдем для этого к новым операторам

DM=(-V)F^DM(1.124)

и потребуем, чтобы выполнялось равенство

Dk-lDm,n = Dk+m>l+n.(1.125)

Отсюда получаем уравнения для величины F (к, Z)

F(k + m, l + n) = F(k, l) + F(m, п) + В (к, I; т, п) (mod 2)

(1.126)

(величина В определена в (1.123)). Это уравнение совпадает с уравнением (71) в [112] при т = 1, п = 1, и, как нетрудно проверить, имеет решение

F(k, l)=kl + k + l.(1.127)

Перейдем к новой системе состояний

1аы> =5ы10> =(-1)ы+4+Чаы>,(1.128)

в которой действие оператора Dm имеет вид

Dm lam„> = |a+m,i+„>.(1.129)

Отсюда сразу же можно получить соотношение между состояниями системы 1аы>. Это соотношение типа 2caJ “az) ~ 0> как мы знаем, единственно. Следовательно, оно не должно меняться при действии на него оператора DH. Нетрудно видеть, что единственное соотношение, удовлетворяющее этому требованию, имеет вид

2 | am,»> = 2 (- l)mn+m+n I am,n> - 0(1.130)

TH, n

и совпадает с (1.105).

Отметим еще, что единственность решения функционального уравнения (1.117) следует из неприводимости представления группы Wt, индуцированного дискретной подгруппой Г ([18], [112]). В частности, при ё! = ё2 = 1 состоянию |6Н> соответствует

/11(2) = co(z)exp(—vz2),(1.131)

где v =(4п)-1г(т]1(02 — т12<01), тй = £(<щ/2), ст и £ —известные функции Вейерштрасса (относительно деталей см. [62]). В заключение отметим интересную работу [26], где такие состояния были использованы для описания движения электрона в периодическом магнитном поле.

Операторы и их символы

Как было показано в § 1.2, вектор lip гильбертова пространства ^ полностью определяется функцией <а|ф>, которую можно назвать символом вектора*). Тем самым мы получаем функциональную реализацию гильбертова пространства. Аналогично, оператору из определенного класса в гильбертовом пространстве с помощью системы когерентных состояний можно поставить в соответствие функцию, которая полностью определяет этот оператор. Эту функцию мы и будем называть символом оператора.

■ Такое соответствие между функциями и операторами оказывается весьма полезным. Оно позволяет, например, свести ряд вопросов относительно операторов к более простым вопросам, относящимся к функциям. Полезным оказывается и обратное соответствие. Именно, символ оператора в ряде случаев можно рассматривать как функцию па фазовом пространство классической динамической системы. Сопоставление ему оператора дает квантование этой системы. Тем самым устанавливается связь с работами Кириллова [38] и Костанта [41, 173] по квантованию, в которых развита общая процедура построения унитарных неприводимых представлений групп Ли. Когерентные состояния осуществляют этот переход наиболее естественным образом: во многих случаях они являются квантовыми состояппямп, свойства которых папбо- лее близки к классическим. Поэтому построение системы когерентных состояний можно рассматривать как завершение процедуры квантования, и этот этап можно назвать постквантованием.

Итак, пусть {|а>} ■— обычная система КС, и пусть А — некоторый оператор. Поставим ему в соответствие функции Л (а, Р) и А (а, Р), определенные формулами

Л(а,р) = <а(л|р>, (1.132) А (а, Р) = exp (I а I2 + । Р । J Л (а, р). (1.133)

Нетрудно видеть, что функция А (а, Р) полностью определяет оператор А, причем опа является аналитической функцией комплексных переменных а п р. Покажем, что эта функция полностью определяется своими значениями на диагонали, т. е. функцией Л (а, а). Перейдем к новым переменным п = (а + Р)/2, n = i(a — Р)/2, так что р = и + iv, а = и — iv. Тогда F (zz, и)= А (а, Р)— целая функция переменных и и и. На диагонали а = Р переменные и и и вещественны. Поэтому наше утверждение является следствием того хорошо известного факта, что целая функция переменных и и и полностью определяется своими значениями при вещественных и и и.

Таким образом, функция Л (а, Р) также полностью определяется своими значениями на диагонали, т. е. функцией

(?л(а)= <а|Л|а> = Л(а, а) = ехр ( —|а|2) Л (а, а). (1.134)

С другой стороны, в ряде случаев оператор А можно представить в виде

А = J РА (а) |а> (а (dp (а).(1.135)

Такое представление оператора рассматривалось еще в работе Глаубера [142, 143] и Сударшана [235].

Возникает естественный вопрос: какими свойствами должна обладать функция переменных а и а для того, чтобы она могла рассматриваться как Р- (или ()-) символ оператора; для каких операторов такие символы существуют?■

Известно, что если оператор А ограничен, то существует символ Qa^ol^, который является значением целой функции Л (а, Р) при р = а. При этом функция Л (а, Р) удовлетворяет неравенству

| А (а, Р) I ^ || А Цехр 0 — -i-^-).(1.136)

Здесь символ ИЛИ означает верхнюю грань величины <фМ1ф> по всем нормированным состояниям |ф>, <ф|'ф> = 1. (2-символы существуют также и для некоторых неограниченных операторов, например для операторов, являющихся полиномами по операторам рождения и уничтожения, а+ и а.

Для P-символов известен следующий результат: если Р(а, а) — функция такая, что

J IР (а, а) |г ехр (— \ а |2) du (а) < оо при г > 2, (1.137)

то эта функция является P-символом оператора с плотной областью определения. Свойства Q- и Р-символов операторов были исследованы Березиным [9], назвавшим их ковариантными (виковскими) и контравариантными (антивиковскими) символами соответственно. Они обладают рядом свойств, в некотором смысле дуальных друг ДРУГУ- Мы приведем здесь некоторые из этих свойств без доказательства.

Пусть для оператора А его средние значения <ф|Л|'ф> по состояниям 1ф>, принадлежащим плотной области гильбертова пространства, образуют множество 2) (А) на комплексной плоскости, величины Qa^o., а) образуют множество S^Q'), а выпуклая оболочка множества

величии Ра^о., а) образует множество 3)(,Р'). Тогда

2)^^ 0(А)<=0(Р).(1.138)

В частности, для того чтобы оператор А был ограничен, необходимо, чтобы его (7-символ был ограничен, и достаточно, чтобы P-символ был ограничен. .Кроме того, справедливы следующие неравенства:

sup |(7л(а, a) I s£ ПАП < sup \РА^а., а) I; (1.139)

здесь НАН — норма оператора А.

Если оператор А определен на финитных векторах), его замыкание является самосопряженным оператором, обладающим символом Р(а, а) таким, что

J" | Р ]ft ехр (—) а |2) dp (а) < оо при /с>1;

тогда этот оператор обладает также (7-символом (7(a) и

®(0со(Л)с^(Р),(1.140)

где о (А)— выпуклая оболочка спектра А.

Для того чтобы оператор А был ядерным), необходимо, чтобы его символ Q^a., а) был интегрируемым^ и достаточно, чтобы интегрируемым был символ Р(а, а). При этом справедливо следующее соотношение:

tr (А) = С (7 (а, а) dp (а) = J Р (а, а) dp (а). (1.141)

, 4. Для того чтобы оператор А был вполне непрерывным, необходимо, чтобы его символ Q (а, а) стремился к нулю при |а| -► оо, и достаточно, чтобы стремился к нулю символ Р(а, а) при 1а|°°.

Если Н — самосопряженный оператор, обладающий как (>-, так и P-символами, то

exp (— tQ (а, а)) dp (а)

^ tr exp (— tH) ^ J exp (— tP (а, a)) dp (а). (1.142)

Оператор exp (—<Я) — ядерный, если существует интегралJ ехр (— tP (а, а)) dp (а).

Отметим, что левая часть неравенства в (1.142) следует из (1.141) и из неравенства для (?-спмвола Е7(а, а|<) оператора ехр( — Ш):

U(а, а|()5г ехр( — (//(а, а)).(1.143)

Правая часть неравенства в (1.142) аналогична обычному неравенству Фейнмана

1г [ехр (— Ш^ < ^ Jехр (— til <р, ?)) dp dq,

Н = р2/2+У^.(1.144)

Заметим, что доказательство неравенства (1.144) основано па представлении оператора ехр (—<//) в виде интеграла по мере Винера и не может быть распространено на операторы более сложного вида.

С помощью неравенства (1.142) при довольно общих предположениях можно получить асимптотику (при Е -* °о) величины N (Е) — числа собственных значений оператора Н, меньших Е:

7V(E)^(l+o(l)) J dp (а) = (1 + о (1)) f dp (а). Р(а)<КQ(a)<E

(1.145)

Доказательство соотношения (1.145) дано в работе [28] при условии, что Р- и ^-символы оператора II регулярны и удовлетворяют условию

f dp (а) = АЕ1 (1 + о(1)), 7>0.(1.146)

Р(а')<Е

В этой же работе отмечено, что экспоненту в формуле (1.142) можно заменить произвольной вогнутой функцией: охр (^) ~* ф (^).

Отметим еще, что систему КС можно использовать для обобщения так называемого неравенства Голдена — Томпсона [145, 240]:

tr ехр {—ЦА + В)} + tr {ехр(—<+)ехр(—tB)L(1.147)

А именно, можно доказать [179] следующее неравенство: tr exp {— t (А + У)} ^

^ J (х [ exp (— tA) | ж) exp (— tPB (я)) d^ (ж), (1.148) где

В = J Рв (х) | х> <х | dp. (я).(1.149)

Наконец, отметим, что Q- и P-символы связаны простым соотношением

<2а («) = J К« \ Р>|2 Ра (₽) ^ (Р) =

= л-1 J ехр (— |а —р |2) РА (Р) d2P- (1.150)

Ядро, входящее в это соотношение, является сглаживающим. Поэтому Q (а) определяется по любой заданной функции Р(а). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, а именно существуют операторы, обладающие (^-символами, но не имеющие Р-представления.

Q- и P-символы оператора тесно связаны с так называемыми нормальной и аптинормальной формами записи оператора. Напомним, что нормальной, или виков- ской, формой записи оператора называется представление его в виде

2 = 2 4п(аТ«П, (1.151)

в котором операторы а* стоят слева от операторов а. Заметим, что в такой форме может быть записан любой ограниченный оператор. При этом, как нетрудно видеть, ^аХ”»”) = <а |2|а> = 2^mn“man. (1.152)

Следовательно, разложение функции @А(ос, ос) по степеням ос и ос дает коэффициенты Amn в нормальной форме записи оператора А.

Пусть теперь оператор А записан в аптинормальной (антивиковской) форме

2=2л;пат(а+)п.(1.153)

.m,n

Перепишем это выражение в виде

2=2 A^mI (а+)п,(1.154)

m,n

где I — единичный оператор.- .

Подставляя вместо I разложение единицы (1.45), получаем следующее выражение для функции РА\

Рд (а, а) = 5 Аппатан.(1.155)

т,п

Таким образом, P-представление тесно связано с ан- тппормальной формулой записи оператора.

Приведем выражение для символа произведения двух

операторов. Пусть С = АВ. Тогда

С (а, у) = J А (а, р) В (0, у) dp. (Р),(1.156)

С (а, у) = J А (а, р) В (р, у) exp (- \ р Н dp (Р). (1.157) Действие оператора па состояние

|ф>=2|ф>(1.158)

также нетрудно переписать через символы

ф(а)=<а|ф>, ф(а)= <а|ф>.(1.159)

^ (Р) = J<Р I «> ^ (“) 9Р (“) ^Н (“)»(1-1G0)

ф (Р) = JА (0,а) ф (се) dp (а).(1.161)

Проиллюстрируем удобство использования символов операторов на некоторых примерах.

А. Лемма Шура (см., например, [94]).

Лемма. Любой ограниченный линейный оператор В, коммутирующий со всеми операторами 77(a), кратен единичному оператору, умноженному на число.

Доказательство. Оператору В соответствует символ В^ z) = exp(|z|2) <0|Z)+(z)PZ) (z) |0>.

При этом из условия коммутации сразу же получаем 5(z, z) = exp(zz)Z?oO. Следовательно, В(z, и;) = exp (zw)Ba0, а этому символу отвечает оператор В^ • I.

Б. Вычисление величины 1гД(у). В качество другого примера рассмотрим вычисление следа оператора D (у), или, иными словами, характера представления Т^. Нетрудно видеть, что оператору Z)(y) отвечают символы

Р^а) = ехр(|у|2/2)ехр(уа — уа), _(1.162)

Q(a) = ехр(—|у|2/2)ехр(уа — уа).

Отсюда получаем

trZ)(y) = ехр(— |у \2/2) J exp [2i Im (ya)] dp, (a) =

= л62(у), 62(y) = 6(y1)6(y2), 7 = 7! + ^. (1.163)

Из (1.163), в частности, следуют важные соотношения: л-Чг[£>(а)£Н(Р)] = 62(а-р),(1.164)’

А = J 1г [О (п) ^] "Z)1 (л) d2T).(1.165)

С помощью символов нетрудно получить также явное выражение для матричных элементов оператора D^. Именно, из (1.162) находим выражение для функ-

G(a, р; у) = exp [у (lai2 + Ipl2)] <аШ(у) |р> =

= ехр(— !у|2/2)схр(аР + ау — Ру). (1.166)

С другой стороны, это выражение равно

G (а, [5; у) = 2 ит (a) Dmn (у) и» (Р); ит (а) = ат/ Р^т!, т.п

(1.167)

так что функция G(a, Р; у) и является производящей функцией для матричных элементов. Остается разложить выражение (1.166) в ряд по степеням аир. При этом получаем формулу Швингера [222]:

От,п (у) =

V (т!)-1 ехрym~nL^~n (| у I2) при m > и,

Vго! (и!)-1 exp ^— Ц1) ^—^у-™^™ (| у |2) при т^п,

(1.168)

где L„ (ж) — полином Лагерра. Вывод этой формулы, а также ряда свойств полиномов Лагерра, следующих отсюда, дан в приложении Б.

Отметим, что ранее, но в несколько ином виде, формула (1.168) была получена в работе Фейнмана [127]. Отметим также, что при т = п из (1.168) следует

<relexp(aa+)exp(—aa) \п> = Л„(1а|2).(1.169)

43

Наряду с символами Ра (а) и Qa^, которые связаны с виковской и антивиковской формами записи оператора А, удобно ввести еще одну функцию — WA(a), которая также полностью характеризует этот оператор.

Рассмотрим так называемую симметризованную форму записи оператора

Я=24»|(-гТ«П!>(1-170)

т.п

где симметризованпое произведение {(a+)man) определяется формулой

{(а+)™а")=1—Р[(а+)тап],(1.171)

а оператор Р (симметризатор) означает сумму (т + п)! перестановок сомножителей.

Оператору А, записанному в виде (1.170), поставим в соответствие функцию

ИМ=0 = S 4n,naV.(1.172)

т.п

Для того чтобы выяснить соотношение между А и WA, представим функцию ЖА(а) в виде интеграла Фурье:

WA (а) = j exp (ат] — ац) ха(п) ^(ц).(1.173)

Тогда, как нетрудно проверить, оператор А, отвечающий WA, дается формулой)

А= j/)(T]) %а('])^(п) =

= Jexp(a+r] — пц) %А (л) ^Н (л)- (1-174)

Таким образом, переход от функции WA к оператору А сводится к замене в интеграле Фурье (1.173) _величины а на оператор а и соответственно величины а на оператор аЛ. Такое соответствие между функциями и операторами было установлено Г. Вейлем (см. его книгу [250] и работу [249]). Функцию Wa (а) мы будем называть поэтому вейлевским символом оператора А.

Теперь нетрудно выразить оператор А через функцию И\(а). Для этого из (1.173) находим функцию Хл(т]) и подставляем ее затем в (1.174). Получаем формулу

2 = JwA(a)T(a)^(a),(1.175)

где''

Т (а) = J ехр (ац — at]) D (ц) dp (ц),(1.176)

Т (а) = 20 (а) J О-1 (а) — 20 (2а) J = 2JO (- 2а). (1.177) Здесь J — оператор инверсии на а-плоскости:

JO(a)J = O(-a), Г=Т, Jmn = (-l)"6m„. (1.178) Операторы Т(а), так же как и операторы О (а), образуют полную ортогональную систему:

л-Чг^Са), Т(р)] = 62(а-р),(1.179)

^Тн (a) Tmn (a) dy (а) = 6im6hn.(1.180)

Мы можем, следовательно, разложить произвольный оператор по операторам Т(а):

2 = л-1 J[tr(T(a)2)]T(a)cln(a).(1.181)

Нетрудно установить также связь между функциями Q, Р и W. Именно, из (1.173) и (1.174) следуют соотношения

WA (a) = J РА (Р) ехр (- 2 | a - р ]2) ^ (р), (1.182) Qa (a) = J WA (P) exp (- 2 I a - p |2) ^ (P) =

= j" Pa (P) exp (- | a - p |2) dy (p). (1.183)

Таким образом, функции WA(a) и (Л (a) являются сглаженными версиями функции РА(а). В классическом пределе все эти функции существенно меняются на расстояниях Да>1; при этом все три функции совпадают.

Характеристические функции

В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства характеристических функций (см. работы [31, 75, 156, 183, 188])...-

-45

Пусть W(q, p) —некоторое вероятностное распределение в фазовом пространстве классической динамической системы. В классической статистике характеристическая функция х(^ л) определяется как математическое ожидание величины exp i(—nq + £р), т. е. как преобразование Фурье функции W(q, р). Перейдем к новым переменным■

а = АН? + ip), ^ = ^(1 + ^)-(1.184)

V 2у и

Тогда

% (Л) = J ш(а)ехр(— ца + т]а)йц(а),(1.185)

w (а) = J х (ц) ехр (ца — ца) ^(ц).(1.186)

Рассмотрим подробнее важный частный случай, когда w^q, р1) —символ матрицы плотности: ш(а, а)"— = <а!р|а> = (?(а), т. е. ш(а, а) —нормированная вещественная и неотрицательная функция. Отсюда следует, что характеристическая функция х(ц) должна удовлетворять условиям

%(0) = 1,(1.187)

_%О1)=Х(-Л),(1.188)

2• z^x (ц4 — ц,) > О,(1.189)

где неравенство (1.189) должно выполняться для любых наборов комплексных чисел z,, . . ., z„ и ц,, . .., ц„. Это неравенство есть известное условие положительной определенности — условие Бохнера — Хипчипа (см., па- пример, [76]).■

Характеристическая функция х(л) Удобна для вычисления моментов случайных величин:

Мтп = <ama"> = [ w (а) атап dp, (а) =

"ГSi) Ы Z<T|)I”- <U0O)

Пользу от введения характеристической функции мы получаем, в первую очередь, благодаря мультипликативному свойству ехр (ж + у) = ехр х • ехр у. Поэтому, если величина а есть сумма нескольких независимых случайных величин (« = «, + ... + ап), характеристическая функция х(л) величины а дается произведением 46

характеристических функций х/л), а распределение вероятностей w(а) — формулой свертки:

ХО1) = ПХ;(П)$(1.191)

>=i

w (а) = j ... j 62 (а — ах — ... —а„) JJ Wj (а,) d?»,. (1.192)

Из (1.192), в частности, видно, что распределение и? (а) заведомо неотрицательно при неотрицательных 1е,(сс). На свойстве (1.191) основаны многочисленные применения характеристических функций в теории вероятностей, в проблемах случайных блужданий и броуновского движения (см., например, [75] и [76]). При переходе к квантовой теории появляются два новых пункта.

Во-первых, состояние системы задается матрицей плотности р, т. е. эрмитовым положительно определенным оператором со следом, равным единице. При этом среднее значение любого оператора определяется по формуле

<Ю =tr(p/O.(1.193)

Во-вторых, q и р, а также а и а+ теперь не коммутируют, и следовательно, существенен порядок сомножителей cxp(i]a+) и ехр( — ца). Обычно работают с одной из трех характеристических функций:

Х№(—ц) = 1г(р ехр(ца+)ехр(—ца)),(1.194)

Xo(-n)=tr(pexp(iia+- ца)),(1.195)

Х,.^1^ tr(P ехр(-ца)ехр(ца+)).(1.196)

Индексы N, О, А соответствуют нормальному, обычному (симметризовапному) и антипормальпому расположению а и а+; индекс О обычно опускается.

В силу (1.65), (1.66) все три характеристические функции просто связаны друг с другом,

XA(n) = ехр(-щ|ц|2)хл(11),(1.197)

го

при к = N\

Ок =

1/2

при к = О,

(1.198)

.1

при к = А,

и поэтому достаточно знать

любую из них.

Приведем полезную формулу для матрицы плотности, диагональной в представлении чисел заполнения (Pmn t^m6mn) •

Хд (п) = ехр [— аА | ц |2] 2 wnLn (] ц |2).(1.199)

п

Воспользовавшись формулами (1.65), (1.197), нетрудно получить, что

Р = JxoW^Cn)^^),(1.200)

Р = J XN (п) ехр (— ца) ехр (ца+) dy (ц), (1.201)

Р = J Ха (Л) ехр (ца+) ехр (— ца) dy (ц)(1.202)

(следует обратить внимание на порядок операторов а и а+). Таким образом, любая из характеристических функций ХаСп) однозначно задает матрицу плотности р. Из эрмитовости и нормировки р для характеристической функции, как и в классической теории, для всех к следует_

X/t(0)=l, Ха(п) = Ха(-П).(1.203)

Условие неотрицательности матрицы плотности

<'ф1р1'ф> > 0(1.204)

для любого вектора |ip> для функций ХаСп) записывается в виде (см. [83])

2 z~Zj ехр (трч,- + oh I гр — цу I2) Ха (тр — цу) > 0 (1.205) при любых наборах комплексных чисел 2^ ..., zn; Пи • ■ ■, И

В квантовом случае, так же как и в классическом, характеристические функции удобны для вычисления моментов:

М^ = (- Af Ц)" ^ ^ Ь=о- (L206)

Величины Мтп суть средние значения нормальных, ап- тинормальных и симметризованных произведений

М^ = (№>>

M^ = <a"(a"T>i(1.207)

Глава 2

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГРУППЫ ли

Результаты предыдущей главы можно обобщить па случай произвольной группы Ли. Это и является предметом дайной главы, где, следуя работе [207], введены системы когерентных состояний для произвольной группы Ли и исследован ряд свойств этих систем. Читатель, интересующийся главным образом когерентными состояниями для простейших групп Ли, может данную главу опустить.

Заметим, что хотя обобщенные когерентные состояния можно определить для липейиых представлений произвольной группы (например, для конечной группы), мы ограничимся рассмотрением унитарных неприводимых представлений групп Ли. Именно в этом случае мы получаем содержательную теорию.

. Определение обобщенного когерентного состояния

Пусть G — произвольная группа Ли, a T(,g) — ее унитарное неприводимое представление, действующее в гильбертовом пространстве 36.

Возьмем некоторый фиксированный вектор |тр0> пространства 36 и рассмотрим множество векторов 1трг>, где 1трг> = T(g) lip0\ a g пробегает всю группу G. Нетрудно видеть, что векторы | ф^> и | ф^2> отличаются друг от друга на фазовый множитель: | ^j) = exp (ia) | ф^2>, |exp(ia)l = l, или, иными словами, определяют одно и то же состояние лишь в том случае, когда ^(g-^1^!)! Ч’о^ = exp (ia) | ф0). Пусть Я = {Ы— множество элементов группы G таких, что

(2.1)(2.1)7^(7») ]-ф0> = exp(ia(/t))|ip0>.

(2.1)

(2.1)

Очевидно, что Н — подгруппа группы G. В том случае, когда подгруппа Н максимальна, мы назовем ее стационарной подгруппой состояния |if>0>.

Из этого построения видно, что векторы |if>g> для всех g, входящих в один левый класс смежности G по Н, отличаются друг от друга лишь фазовым множите-

4 А, М. Переломов 49

лом и потому определяют одно состояние. Выбирая в каждом классе х но одному представителю у(.т) группы G,) получаем множество состояний {}т^гСз:)>}, где х е X = = G/H, или в сокращенной форме записи: {|х>}, х е X.

Теперь мы можем определить понятие обобщенного когерентного состояния.

Определение. Системой когерентных состояний типа <T(g), 1^о^ кТ к®)—представление группы G, действующее в некотором пространстве 36, а |фо> — фиксированный вектор этого пространства) назовем множество состояний {|i|V}, lipg> = T(g) lipo>, где g пробегает всю группу G.

Пусть II — стационарная подгруппа состояния |фо>. Тогда когерентное состояние |фу> определяется точкой х = x{g) факторпрострапства GUI, соответствующей элементу g; |фе> = exp(ta) |ж(^)>, |т(:0> = |0>.

Замечание 1. Состояние, соответствующее вектору |ж>, можно рассматривать также как одномерный проектор Рх=\хХх\ в 36, dimPx=l. Таким образом, система обобщенных КС определяет множество одномерных подпространств в 36, параметризуемых точками однородного пространства X = GUI.

Можно рассмотреть и более общие системы, когда точке х однородного пространства X ставится в соответствие подпространство Рх в 36, которое уясе необязательно одномерно, причем TkgV’Ukg"1) = Рцх. Такие системы были исследованы в работе [24].

Замечание 2. В ряде случаев полезло рассматривать не гильбертово пространство 36, а более широкое пространство 36^ 36 - так называемое оснащенное гильбертово пространство. Тогда действие представления Т kg) распространяется па пространство Зб. Если в качестве начального элемента Н|эо> взять элемент пространства Зб, то получится более общая система КС. Такие системы КС возникают при рассмотрении представлений основных серий полупростых групп Ли, а также когда стационарная подгруппа // является дискретной подгруппой в G (см. § 1.5 по тета-фупкциям и § 3.2).

Важный класс систем КС образуют такие системы, для которых пространство X = G/II является однородным симплектическим многообразием. В этом случае

X можно рассматривать как фазовое пространство классической динамической системы ), а отображение х

Р« — как «квантование» этой системы.

Способ построения унитарных неприводимых представлений группы G по классической динамической системе с фазовым пространством X был развит Кирилловым [38] и Костантом [41, 173], однако в этом подходе пе рассматривается принцип1 соответствия и аналог постоянной Планка. При дополнительном предположении об аналитичности, т. е. для случая, когда пространство X является не только спмплектическим, по также п комплексным многообразием, т. е. однородным кэлеровым многообразием, иной подход к квантованию был развит Березиным [10]. Этот подход дает возможность получить больше результатов, но для более узкого класса групп. В рассматриваемом случае квантование осуществляется при помощи когерентных состояний, причем, в отличие от общего случая, здесь можно доказать также и принцип соответствия: классическая динамика является пределом квантовой динамики, когда параметр, играющий роль постоянной Планка, стремится к пулю.

В дальнейшем мы будем называть для краткости обобщенные КС просто когерентными состояниями.

Общие свойства системыобобщенных когерентных состояний

Заметим прежде всего, что из (2.1) сразу же следует, что exp [Zcc(7j27h)] = ехр^а^з^ехр^а^,)), т. е. exp (Zee (Я))—одномерное унитарное представление (характер) группы Н.

4*4*Если это представление не является тождественным, т. е. сс(Я)^О, то факторгруппа А группы Н по ее коммутанту Н' ) не является тривиальной, т. е. содержит элементы, отличные от единицы; при этом характер группы А полностью определяет представление группы Н.

4*

4*

Если же a(7i)=0, то Н—стационарная подгруппа вектора 1'ф0> в обычном смысле слова. В том и в другом случае представление Т группы G при сужении его на подгруппу Н должно содержать одномерное (единичное) представление группы Я).

Заметим, что если подгруппа Н связна, то вектор |ф0> является собственным вектором инфинитезимальных операторов представления группы Н.

Пусть Но — подгруппа группы Н, состоящая из элементов h0 таких, что Т (Яо) = I. Нетрудно видеть, что Но — инвариантная подгруппа группы Н. Рассмотрим факторгруппу Н/Но. Если она компактна, то вектор |1р0\ являющийся собственным вектором операторов Г (Я), принадлежит гильбертову пространству 36. В том случае, когда Н/Но некомпактна, вектор 1фо> не содержится в пространстве 36, а входит в пространство обобщенных функций 36-со ).

Рассмотрим действие оператора Т(g) на состояние ) 1фо> = Ю>:

r(g)lO> = exp(ia(g))k(g)>.(2.2)

Здесь функция a(g) определена на всей группе G и при g е Н совпадает с ранее рассмотренной функцией а(Я). Заменяя в равенстве (2.2) g на gh, получаем

a(g&) = a(g) + a(h).(2.3)

Подействуем теперь оператором T^gi^ на произвольное когерентное состояние |;г>:

Т^g^ |х> = exp [-ia(g)]r(gi)r(g) Ю> =

= exp [ip(gi, g)]lgi • ж>, P(gt, g) = a(gtg)-a(g).(2.4)

Здесь x = x^g), gl-x = xl^X и определяется действием группы G на однородном пространстве X=G/H. Заметим, что в силу (2.3) равенство (2.4) является кор-

рентным, т. е. правая часть равенства зависит не от g, а лишь от класса смежности x(g); p(gi, g)=^(gi, ж).

Нетрудно видеть, что скалярное произведение двух когерентных состояний U^ = ^(g,)> и |ж2> = |a:(g2) > имеет вид

<жх | ж2> = exp {i [a (gj — а (g3)]} <01 Т (gf1g2) \ 0> (2.5) и в силу (2.3) не зависит от выбора представителей gt и g2. В силу же унитарности представления при xt ^ хг имеем KzJ^M < 1, и

<2:j2:2> = (а^яД(2.6)

<g • xjg • z2> = exp {i [p (g, г,) — p (g, z2) ]}<z1k2>. (2.7)

Полнота системы КС и разложениепо состояниям этой системы

Переходя к вопросу о полноте, заметим прежде всего, что полнота системы сразу же следует из неприводимости представления 7(g). Пусть теперь группа G допускает двусторонне инвариантную меру d|i(g). Она индуцирует инвариантную меру dx на однородном пространстве X = G/H. Предполагая, что условия сходимости выполнены, рассмотрим оператор

В = J \ х') <х\ dx,(2.8)

где IzXzl —проекционный оператор па состояние |ж>.

Из определения В, инвариантности меры dx и формулы (2.4) сразу же следует, что.

7(g)B(7(g))-‘=B.(2.9)

Таким образом, оператор В коммутирует со всеми операторами 7(g), и потому, в силу неприводимости представления 7(g), он кратен единичному:

B = d-I.(2.10)

Для нахождения постоянной d вычислим среднее значение оператора В в состоянии |z/> (<z/|y> = l):

<у|5|г/>= J | <у | х> |2 dx = J | <0( ж> |2с?а; = cZ. (2.11)

Отсюда видно, в частности, что необходимым условием существования оператора В является сходимость

53

интеграла в (2.11). В этом случае мы будем называть систему КС квадратично интегрируемой системой когерентных состояний*). Определив меру на X, dy(z) = = d-1 • dx, получаем важное тождество

J | х) <х | dyt (х) = f. (2.12)

С его помощью можно разложить произвольное состояние lip по когерентным состояниям:

| хр) = У с (я) | я) dp (я),(2.13)

где с(я) = <a:|ip>. При этом

<^^> = J | с (z) |2 dp (я),(2.14)

а функция с (х) не является произвольной, а должна удовлетворять уравнению

с(^ = У <;t|y>c(y)dp(y).(2.15)

Таким образом, ядро К(х, у)=<ж|у> является воспроизводящим ядром:

К (х, z) = У К (х, у) К (у, z) dyv (у),(2.16)

а функция с (х) = J К (х, у) f (у) dp (у) удовлетворяет уравнению (2.15) при произвольно выбранной функции /(у).

Нетрудно видеть также, что между когерентными состояниями существуют «линейные зависимости». В самом деле, из (2.12) следует, что

|^> = У <yh>ly>dp(y).(2.17)

Это значит, что система когерентных состояний является сверхполной, т. е. в ней существуют подмножества когерентных состояний, являющиеся полными системами.

Важный класс таких подмножеств можно построить с помощью дискретных подгрупп группы G. Пусть Г — дискретная подгруппа группы G такая, . что объем Vr

' *) К этим случаям относятся все представления компактных полупростых групп, представления дискретных серий вещественных полупростых групп и ряд представлений разрешимых групп Ли. ■

факторпространства Г\Х = T\G/H конечен. Рассмотрим подмножество когерентных состояний

{|^>} = {Щ'йРЬ V Е Г- (2.18)

Возникает вопрос о полноте таких подмножеств. Для простейшей нильпотентной группы — группы Гейзенберга — Вейля — решение этого вопроса было дапо в § 1.4. Для ряда некомпактных полупростых групп Ли, обладающих дискретными сериями представлений, этот вопрос рассмотрен в [211].

Выделение систем обобщенных КС,наиболее близких к классическим состояниям

Важное свойство приведенной выше конструкции состоит в том, что система КС существенно зависит от выбора начального состояния |гр0>. Возникает вопрос, как выбрать вектор |ф0> так, чтобы состояния полученной системы были наиболее близки к классическим. Такой способ выделения, предложенный в работе [66] и далее развитый в [69], и будет изложен ниже.

Идея способа состоит в расширении алгебры Ли 3 группы G до комплексной алгебры 3е и рассмотрении стационарной подалгебры 95 в 3е состояния |i[0>. Те векторы, для которых эта алгебра максимальна, и являются выделенными и, как будет видно из дальнейшего, наиболее близки к классическим.

Действительно, как будет показано ниже, для случая компактной простой группы Ли эти состояния обладают минимальной неопределенностью в смысле инвариантного определения, предложенного в работах [190, 121]. Однако предлагаемый здесь способ является более общим и годится также для других групп, например для группы Гейзенберга — Вейля, осцилляторной группы и других нильпотентных и разрешимых групп, а также для некомпактных полупростых групп Ли, обладающих дискретными сериями представлений.

Перейдем к изложению способа.

Пусть 3 — алгебра Ли группы G, а 3е — ее комплек- сификация, т, е. множество линейных комбинаций элементов 3 с комплексными коэффициентами. Пусть Т (g) — рассматриваемое унитарное неприводимое представление группы G, a Tg — соответствующее представление алгебры 3, |1[0>—фиксированный вектор в пространстве представления. Обозначим через 95 = (Ь) ста-

циопарную подалгебру состояния |ф0>, т. е. множество элементов Эс таких,что

У1>|тро> = Хь1тро>.(2.19)

Пусть ^ — подалгебра S”, сопряженная ^. Подалгебру ^ назовем максимальной, если ^ ® ^ = S”. Состояния, для которых стационарные подалгебры максимальны, обладают наибольшей симметрией и являются выделенными. Как мы увидим ниже, они наиболее близки к классическим состояниям.

Можно показать, что в случае, когда подалгебра ^ максимальна, когерентное состояние определяется точкой факторпространства G3B = B/D, где В = exp X D = = exp 2\ 3) = ^ П ^. Отметим, что понятие максимальной стационарной подалгебры, по существу, совпадает с понятием полностью комплексной поляризации, введенным Костантом [173].

Отметим прежде всего несколько свойств рассматриваемой конструкции. Так, % П S = 36 — стационарная подалгебра состояния |ф0> в алгебре S. Нетрудно видеть также, что ^ П ^ — комплексная подалгебра в S”, равная 36е = 36 ® 136.

Далее из (2.19) следует, что (^ъ^ь^ Ть^ь^ [ ij)0) = = 0, т. е. [X X] с А, где X — подалгебра X аннулирующая |ф0Х Заметим, что присоединенное представление Ad (А) подгруппы Н, действующее на S’, можно продолжить на S”, используя линейность действия. Нетрудно видеть, что при этом Ad (А) сохраняет подалгебру X:

Ad (Д) Т’ь! 1]з0> = ХД’фоХ

В этом случае факторпространство X = G/H можно снабдить естественной комплексной однородной структурой (см., например, [38], с. 223—234), которая возникает при отождествлении X с G3B = В/D (В = ехр(Х) — подгруппа G”, соответствующая алгебре X). Группа G при этом действует на X как группа голоморфных преобразований.,

Рассмотрим ряд таких систем.

Пусть G = Wn — группа Гейзенберга — Вейля. Ее алгебра Ли S состоит из (2п+1) элементов р„ ...,, р„, 9и ..., g„, I, которые удовлетворяют стандартным пере-

становочным соотношениям Гейзенберга:

(2.20)(2.20)[9ь 2^] = i6jJ, ко ^] = кл, 1] = О,к, 9»] = 1>ь Рл] = О.

(2.20)

(2.20)

В комплексифицированной алгебре ^' мы можем рассмотреть элементы (операторы рождения и уничтожения)

а,-а,-/2<о.‘/2<ой3V '/2<о.‘/2<ой3V '

а,-

а,-

/2<о.‘/2<ой3V '

/2<о.‘/2<ой3V '

В этом случае «вакуумный» вектор |ф0> (аь1тр0> = = 0) обладает максимальной стационарной подалгеброй: для него

^ = [а,-, 1}, ^ = {nJ1", 1}, ^ ф ^ = 3е.

С другой стороны, как хорошо известно, построенные с помощью |ф0> когерентные состояния обладают наименьшей неопределенностью (для них ^pj^qj^Ti/2) и потому наиболее близки к классическим.

Приведем пример разрешимой группы. Пусть G — так называемая осцилляторная группа. Ее алгебра 3 состоит из элементов q^ ph, I, A (j, к = 1, ..., п), удовлетворяющих перестановочным соотношениям):

к, А] = гбД [ft, f] = [9л, f] = [g,, 9л] = ' = к, Рл] = И, I] = 0, к, А] = iph к, Л] = -lqk. (2.22)

Снова перейдем от элементов q;, ph к элементам щ, ак согласно (2.21). В этом случае «вакуумный» вектор |гр0> по-прежнему обладает максимальной стационарной подалгеброй: для него ^ = {щ, I, Л),^ = kj", 1,Л), ^ Ф ^ = = 3е, а построенные с его помощью когерентные состояния наиболее близки к классическим.

Пусть G — компактная простая группа Ли, Н — се картановская подгруппа, 5^ — соответствующая ей алгебра Ли, Тл (g) — представление G со старшим весом А, km> — вектор представления с определенным весом т. Возьмем в качестве |гро> вектор |грт>. Очевидно,

что для того чтобы S3 ® S3 = 3е, необходимо, чтобы dim^ 5$ (и + г)/2, где п— размерность группы, г—ее ранг. Нетрудно видеть, что этим свойством может обладать лишь вектор lipm), отвечающий доминантному весу, т. е. старшему весу Л, или же весу, эквивалентному ему относительно преобразований группы Вейля. Отметим также, что для представлений общего положения может осуществляться лишь знак равенства dim $ = = (n + r)/2, а знак неравенства может осуществляться лишь для вырожденных представлений. Нетрудно видеть, что это утверждение относится также и к случаю вектора 1зр0> общего положения! ipo) = 2 On I ip"G Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что Ц’о^ = = I^aX Но такое состояние, а также все когерентные состояния, построенные с помощью lip0>, обладают, как показано в работе [121], наименьшей неопределенностью, если определить это понятие инвариантным образом.

Именно такие состояния минимизируют величину AG,.

G = g^XjX^, \Сг = l^olGl^O^ — g’^olA^llpoX^olAJlpg),

(2.23)

где Сг — квадратичный оператор Казимира, X, — генераторы представления алгебры 3, gA — тензор Киллинга — Картана.

Таким образом, и в этом случае построенная система КС наиболее близка к классической системе.

■ 4. Рассмотрим простейшую вещественную полупро- стую группу Ли 0 = 577(1, 1), обладающую дискретной серией представлений T^g). Представление этой серии характеризуется неотрицательным числом к, весовые векторы |ipm> отвечают весам тп = к + п, п = 0, 1, 2, ... и являются собственными векторами оператора Ко; Gl^m> = mhX>. Оператор Казимира Сг в этом случае имеет вид С2 = КХ + КХ — К^ и для заданного представления Т1* кратен единичному: Gl^^=Xli|)>, Х = & —7Л Величина

ас2 = <кХ + КХ- к20> - <куу - <к^ + <к.у =

= X + тп2 = к — к2 + (к + пУ = к + 2кп + п2

принимает наименьшее значение AG = к для тп = к, т. е. для вектора наименьшего веса Ь|'Х = l^. Таким образом, и в этом случае, когда ^ = VK0, К_ = К, + iKj, 1^={ЙГО1 Kt — 1Кгу система КС, построенная с помощью 58

вектора |ф0\ оказывается наиболее близкой к классической системе.

Отметим, что сюда относятся также вещественные простые группы Ли, обладающие дискретными сериями представлений ) и, кроме того, тем свойством, что их максимальная компактная подгруппа содержит одномерный центр. При этом рассматриваемые представления являются представлениями, индуцированными представлениями максимальной компактной подгруппы, нетривиальными лишь на ее центре.

Известно также, что пространство X = G/H может быть представлено в виде комплексной однородной ограниченной области. Системы КС, возникающие в этом случае, изучены в работах [51, 189]. Заметим, что сформулированное выше утверждение справедливо также и для определенного класса разрешимых групп Ли, изученного в работе [219].

Таким образом, рецепт выделения систем обобщенных когерентных состояний, близких к классическим, предложенный в работе [66] и подробно рассмотренный в работе [69], оказывается применимым к широкому классу групп Ли.

Глава 3

ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИИ.

СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Случай нескольких степеней свободы по существу аналогичен случаю одной степени свободы, рассмотренному в главе 1. Многие формулы главы 1 тривиально обобщаются на случай нескольких степеней свободы и потому не будут здесь приведены.

Читатель, который интересуется главным образом приложениями метода КС в теоретической физике, может опустить эту главу.

3.1. Общие свойства

Напомним, что основные операторы, используемые для описания квантовой системы с конечным^ числом степеней свободы — это операторы координат q} и им

пульсов рк У, к = 1, .. ., Ny Они удовлетворяют перестановочным соотношениям Гейзенберга

[9» Ра] = MaI, [gb gft] =

= [^ЛЦ = о, [рЛ Ра] = [Рь 1] = 0. (3.1)

Здесь I — единичный оператор, а Л — постоянная Планка.

Теоретико-групповая структура перестановочных соотношений описывается соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга — Вейля WN. Как и в главе 1, здесь более удобно использовать другой базис:

(3-2)(3-2)_^+^-+ qh-ipk

(3-2)

(3-2)

1/2$ ’ к "|/2й *

Перестановочные соотношения для операторов aj, а^ имеют вид

(^j, ®h ] ^jk^ i l^ji ^а] — [®j i I ]0,

[«A4] = [a+ l] = 0. (3.3)

Операторы qs, рц, так же как и аь п^, действуют в стандартном гильбертовом пространстве 36. Как хорошо известно, в этом пространство 36 существует так называемый вакуумный вектор |0>, который является нормированным вектором, аннигилируемым операторами а^.

aj|0> = 0, <0|0> = 1.(3.4)

Действуя на этот вектор операторами «й , получаем набор нормированных векторов:

(3.5)

Полезно, следуя [92], ввести сокращенные обозначения„

[и] = (п,, ..., п„), [га]! = п^.п^ ... п„!,

(а+^М^-.Л^(3-6)

после чего формулу (3.5) можно переписать в виде

l'»l>-(V=/|0>-(3-7)

Множество векторов {|[п]>} образует базис в гильбертовом пространстве 36. Действие же операторов aj 60

и aj в пространстве 36 дается формулами

a, I [n]> = Vn, | [n']), at | [n]> = V пк + 11 [п"]>, (З.Ь) где [n'l = (nb ..., п5-1л п, —1, п,+1, ..., п^, [п"] = = (щ, ..., щ+1, ..., Пм'). Отметим, что координатное представление базисных векторов имеет вид

N

<д I [М> = фи (?) = П Фщ (дй,

/2\

-^)ехр(3.9)

где Яп — полином Эрмита степени п.

Вернемся теперь к соотношениям (3.3). Они означают, что операторы ah at и I образуют базис алгебры Ли Wн — алгебры Гейзенберга — Вейля. Произвольный элемент этой алгебры можно записать в виде

ж = si + у ^д — Qp^ = si — i (аа+ — аа), (3.10)

где s — вещественное число, а = (б? + ZS9) V2%, а = = (С? — i59)/V2^. Здесь и в дальнейшем мы используем обозначения: ^ = (^, ..., S1^ и Q = №, ..., Qn^ — TV-мерные векторы, а=(аь ..., а№), «=(«1, ..., Дл), N

аа+ = 2 а-/^.

Оператор ж является самосопряженным, а соответствующий оператор ехр(и) — унитарным:

ехр(гж) = ехр(tsi)Z)(a), D(a) = ехр(аа+ — аа). (3.11)

Он представляет конечный элемент группы WN соответствующей алгебры Ли Жм.

Теперь нетрудно видеть, что большая часть формул главы 1 остается без изменения или же испытывает тривиальные модификации.■

Так, например, выражение для когерентного состояния, аналогичное выражению (1.70), имеет вид

|«>-exp(-ti)2^|[nl>,(3.12)

[п] Г

а выражение для инвариантной меры —

N N

dp. (а) =^ПП (dReaj^dlmak). (3.13) j=l к=1

§ 3.2. Когерентные состояния и тета-функциидля нескольких степеней свободы

Соотношение между когерентными состояниями и тета-функциями по сравнению с одномерным случаем здесь усложняется (относительно деталей см., например, работы [112] и [63]).

Прежде всего, аналогично тому, как это было сделано в § 1.5, необходимо распространить представление T(g^ группы Гейзенберга — Вейля, действующее первоначально в пространстве 36, на пространство 36-,». Рассмотрим правильную решетку L в Л^-мерном комплексном пространстве L , т. е. множество векторов вида

27V

«п = 2 113^311

где п5 — целые числа, а 2^ векторов ю4 в CN (периоды решетки) вещественно линейно независимы. Рассмотрим также множество операторов {£>(«„)} и попытаемся найти в пространстве 36-^ их собственный вектор |0Х Для того чтобы такой вектор существовал, необходимо, чтобы операторы £>(«„) коммутировали друг с другом; при этом достаточно, чтобы коммутировали операторы /)(и3). Однако, согласно (1.14) это эквивалентно условию целочисленности матрицы) В = [Sy]:

Вч = л-1 Im (и4и,) = 0 (modi). (3.14)

Решетку L, удовлетворяющую условию (3.14), назовем допустимой. В этом случае собственный вектор |6> должен удовлетворять системе уравнений

D(со,) |6£> = ехр(сле,) |6Е>, / = 1, 2, . .., 2^, (3.15) а состояние, отвечающее вектору |0£>, определяется вещественными числами е,, .. ., e2w, удовлетворяющими условию 0 ^ 8, < 2, т. е. точкой 2./У-мерного тора. При этом стационарная подгруппа Н вектора |0Е> состоит из элементов вида (Z; а„).

Действуя оператором D(а), например, на |0О>, получаем систему обобщенных когерентных состояний,

связанную с решеткой L-.

|0„> = D^ 1е0>.(3.16)

Здесь «=(«„ ..., ам') —TV-мерный комплексный вектор; а пробегает факторпространство G/H, которое является комплексным тором и, в данном случае (случае допустимой решетки), даже абелевым многообразием.

Итак, мы построили систему когерентных состояний, связанную с допустимой решеткой L. С решеткой L можно связать также и тета-функции. Именно тета- фупкцип можно определить [35] как автоморфные формы относительно решетки L, т. с. как целые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению

/(z+ а„) = exp [v(z, a„)]/(z),

где n(z, а„) — многочлен первой степени относительно z ).

Как будет показано ниже (детали см. в работе [63]), состояния |0е>, записанные в представлении Фока— Баргмана (0е0B(z)), совпадают с тета-функциями.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением главной решетки, т. е. решетки, для которой detB = l. Тогда можно перейти от оц к новому базису со,-:, сок, /, к = = 1, ..., N, который удовлетворяет условиям

Im (co/ok) = 0, Im (ю;ык) = 0, ^- Im (w/ok) = 6д{. (3.17)

Иными словами, матрицу В в этом случае можно ( О Г\ л т

привести к виду ( q I, где О и J — нулевая и единичная N X TV-матрицы. Предполагая этот переход выполненным, приведем еще одну форму уравнений (3.15), записанных в z-представлении:

B(am)0e(z)= exp(inBe(m))0E(z), • (3.18) где а,т = 2(m,to, + nijto^ —-произвольный вектор решетки, а

N .„ „

BE(m) = 2 ^m-jm-j + e,m, + e,m,).(3.19)

5=1

С помощью соотношения (1.100) равенство (3.18)' можно переписать в виде

0Е (z + pm) = exp (inf е (—m) )exp (I p J72) exp (pmz) 0e (z),

(3.20)

где ^m = am — вектор сопряженной решетки.

Покажем теперь, что норма функции 06(z) равна бесконечности. В самом деле, норма 0„(z) дается выражением

j j 0Е (z) |2 dp (z), где 6e (zj z ) = exp (— | z |3/2) 0E (z). (3.21)

Из (3.20) нетрудно получить функциональное уравнение для 06(z, z):-

6s(z + pm, z + pm) =

= exp(inf6(—m))exp(i Im(zpm))06(z, z).(3.22)

Таким образом, |06(z, z)|2 = p(z, z), где p(z, z)—неотрицательная функция, периодическая относительно решетки L, сопряженной к L. Следовательно, норма функции 06(z) равна бесконечности.

Займемся теперь решением уравнения (3.18). Будем искать его в виде

/iE(z) = ScenZ)(an)/i(z),(3.23)

п

где п = (п', и"), п' и п"—целочисленные TV-мерные векторы, a /i(z) —пока неизвестная функция, не слишком быстро растущая при |z| -► со, так что ряд (3.23) сходится. Нетрудно проверить, что при с„ = = ехр(—infe(n)) и произвольной функции /i(z) такой, что ряд (3.23) сходится, функция fs(z) является решением уравнения (3.18). Это решение удобно записать в виде

Mz)=Wz),(3.24)

где оператор Тг дается формулой

. Тв = 2 ехр(—infg (—«))/)(«„).(3.25)

п

В более подробной форме записи

^^ = SexP(— infe(— R)) ехР (—| Рп |2/2)Х

Хехр (— pnz) /i (z + pn). (3.26)

Известно, однако, что в рассматриваемом нами случае главной решетки решение функционального уравнения (3.20) единственно [35], и потому функция /iE(z) лишь константой отличается от стандартной тэта- функции:

Mz) = TEMz) = ^9e(z).(3.27)

Для нахождения константы сь достаточно вычислить значение /iE(z) в одной точке, где 0E(z)=/=O. Выбирая в качестве исходной функции Л(г)^ 1, получаем решение

/е (z) = 5 ехР (—^^е («)) exp (— I an Р/2) exp (anz) (3.28) п

в виде суперпозиции когерентных состояний.

Далее из функционального уравнения (3.20) следует, что 0Е(—z) = c6-E(z), т. е. в силу целочисленной характеристики, когда ^-мерный вектор е состоит из нулей и единиц, функция 0E(z) обладает определенной четностью:

0E(-z)=PE0E(z)\(3.29)

Нетрудно показать (см., например, [63]), что четность тета-функции дается формулой

РЕ = (- l)2e;ej = (- 1)F°(E).(3.30)

Таким образом, из полного числа 22N тета-функций с целочисленными характеристиками 2W-I(2W—1) функций нечетны, а 2^""* (2^+ 1) функций четны.

Заметим, что из (3.25), (3.26) следует, что оператор Тв в случае целочисленной характеристики s не меняет четности функции Н^, т. е. четность функции ЛЕ(г) равна четности функции Л (г). В силу же единственности решения функционального уравнения (3.20) имеем Нг (z) = сд0Е (z), и потому четность функции /iE(z) должна совпадать с четностью Ре. Таким образом, справедлива

■ Теорема ([63]). Если четности характеристики е и функции Л(г) различны, т. е. РеР = — 1, то функция /ie(z) тождественно равна нулю:

/ie(z) = 0.(3.31)

Если же четности Рв и Р одинаковы, т. е. РВР = +1, то функция ЛЕ(г) пропорциональна тета-функции характеристики е:

Mz) = $e(z).'(3.32)

А. М. Переломов65

Тождества (3.31), (3.32) являются обобщением тождеств, полученных ранее в [62] для одномерного случая.

Из (3.31) следует, например, что если характеристика е=(е', е") нечетна, т. е. (е'-е")=1 (mod 2), то при h(z) = 1 мы получаем 2Х~’(2Х—1) тождеств

й ^ = 2 (- l)^ ехр (- | рп р/2) ехр (0„z) = 0. (3.33) п

Равенство (3.33) обобщает (1.106) на многомерный случай и есть не что иное, как условие линейной зависимости системы когерентных состояний, связанной с решеткой L.

Глава 4

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Система КС для группы вращений трехмерного пространства— группы 50(3)— была впервые рассмотрена в работе [214], где такие состояния были названы спиновыми КС. Свойства системы таких состояний изучались в работах [214, 207, 86]. Здесь мы будем следовать общей схеме работы [207]. Некоторые применения спиновых КС будут рассмотрены во второй части книги.

Структура групп SO (3) и SU (2)

Группа вращений трехмерного пространства — группа 50(3)—является наиболее изученной из всех компактных неабелевых групп Ли). Она локально изоморфна группе SU(2) — группе унитарных матриц второго порядка с определителем, равным единице. Точнее, группа 50(3) есть факторгруппа группы SU ^ по ее центру) Z2 = {К — 1} (I — единичная матрица): 50(3) = = 517(2)/ Z2. Это отличие для нас не очень существенно, и в дальнейшем вместо 50(3) мы будем рассматривать группу О = 517(2).

Итак, группа G = Vg\ где

а = аг + ia2,(4.1)а = аг + ia2,(4.1)1)’ 1«12 + 1№ = 1..

а = аг + ia2,

(4.1)

а = аг + ia2,

(4.1)

Р — Р1 + Фг>

а, и 0; — действительные числа. Отсюда видно, в частности, что группа G гомеоморфна (топологически эквивалентна) трехмерной сфере S3 = (ап а2, Рп Р2: а? + а2 + + Pi + Рз — 1)и потому является односвязной ).

Группа G не является комплексной, однако имеется ее естественное вложение в комплексную группу G = = SL (2, С) = {g} — группу матриц вида

g=(“ Р), аб-Ру = 1.(4.2)

В группе Gc имеется ряд подгрупп. Для наших целей понадобятся следующие из них.

Подгруппы S± = {6±} верхних (соответственно нижних) треугольных матриц:

Ъ — I И ^12 ] L _ (^ii 0 \f (Л ч\

Эти подгруппы являются максимальными разрешимыми подгруппами в Gc.

Б. Подгруппы Z* = {z±} верхних (соответственно нижних) треугольных матриц с единицами на диагонали:

Это — максимальные нильпотентные подгруппы в Gc.

Подгруппа Яс = {Л} комплексных диагональных матриц

^ = ^(е)= (80^ = ^(е)= (80О 6О 6(4.5)(4.5)

^ = ^(е)= (80

^ = ^(е)= (80

О 6

О 6

(4.5)

(4.5)

В группе Gc (но не в группе G!) справедливо важное разложение — разложение Гаусса (см. [28]):

g = ( “ 6 ) = z+^z_ = b+z_ = z+b_,

b+ = z+h, b_ = hz-, (4.6)

где

z+ = z+(g)=(o ^ff)), z_ = z_ (g) = (z ^ J), (4.7)

Из (4.6) нетрудно получить

-S(g) = ₽6-*, z^)^-1, e(g) = 6.(4.8)

Таким образом, разложение Гаусса однозначно и почти любой элемент группы Gc (и соответственно G), за

( а Р \

исключением элементов вида g =^-i 0 у, допускает

это разложение..

■ Заметим, что в случае группы G параметры £, z и е связаны простым соотношением

le(g) I2 = (1 + k(g)p)-1 = (1 + |£(g) I2)-1.(4.9)

Факторизуя группу Gc по подгруппам В±, приходим к важным однородным пространствам (относительно действия не только Gc, но и G), топологически эквивалентным комплексной плоскости С "•

X+ = GC/B_^Z+ и X_ = B+\GC-Z„.(4.10)

Действие группы Gc на этих пространствах легко находится с помощью разложения Гаусса. Например, для пространства Х+ имеем

(

ОС В \Су f */ f А А \

V 6 До(4Л1)

Иg:^^ = (^ + p)/(^ + 6).(4.12)

Соответственно для пространства X-

z-g = \z 1Д? 6) = ^^-(4.13)

g : z ->- z" = (az + 7)/(0z + б).(4.14)

Вернемся теперь к группе G==5t7(2). В ней есть подгруппа диагональных матриц

a 0 \)

Н = { „ - г, a = exp (tih/2).

L\ 0 a В

Нетрудно видеть, что факторпространство X= G/H можно отождествить с множеством элементов группы G

вида

{(_^ «)}. «2 + |Р12 = 1, а > 0.

Полагая

а = cos(0/2)., р = —sin (6/2) exp (—£ф),0 =5 6 С л, 0 ^ <р < 2л,

(4.15)(4.16)(4.15)(4.16)мы видим, что пространство X изоморфно двумерной единичной сфере S\ т. е. множеству единичных векторов п вида

(4.15)

(4.16)

(4.15)

(4.16)

n = (sin 6 cos ф, sin 6 sin ф, cos 6).

gn = expgn = exp. 0 ,, Xг -^ уп^ + тт?2ог2). 0 ,, Xг -^ уп^ + тт?2ог2)(4-17)(4-17)Элемент gn пространства X можно также записать в виде

gn = exp

gn = exp

. 0 ,, X

г -^ уп^ + тт?2ог2)

. 0 ,, X

г -^ уп^ + тт?2ог2)

(4-17)

(4-17)

где

mi sin ф, т2 = —cos ф,I 0 1 \/ 0 - Л„

СТ1 = И 0 ’0 / матрицы Паули.

Таким образом, матрица gn описывает поворот вокруг вектора т, находящегося на экваторе сферы S'\ на угол 6. Разложение Гаусса для элемента ga приводит к установлению изоморфизма между пространствами X и Х+, а именно

/ 1 £ \

£=—tg (0/2) ехр(—г‘ф), g£=(l + |^T1/2(_^ д). (4.18)

Нетрудно видеть, что этот изоморфизм осуществляется с помощью хорошо известной стереографической проекции сферы из ее южного полюса на плоскость комплексного переменного £. Точнее, для установления этого изоморфизма необходимо компактифицировать плоскость £, добавив к ней бесконечно удаленную точку {«А, соответствующую южному полюсу сферы:

S2 = CU{oo}.(4.19)

Аналогично устанавливается и изоморфизм пространств X и Х_.

По существу, рассмотренная конструкция вводит комплексную координату £ на сфере 52, точнее, на сфере с удаленным из нее южным полюсом. Подчеркнем, что введение такой системы координат на всей сфере невоз-

69

можно, поскольку она топологически не эквивалентна плоскости. Тем не менее, сфера S2, как и любая орбита присоединенного представления компактной группы Ли G, является компактным комплексным многообразием, и потому ее можно описать, вводя уже не одну, а несколько таких систем координат (в данном случае — еще одну такую систему, получающуюся при рассмотрении стереографической проекции из северного полюса сферы).

Приведем еще выражение для G-инвариантной метрики на S2 = (п : п2 = 1):

ds1 = dn • dn =(4.20)

(1 + К|)2

и выражения для замкнутой 2-формы

to=2i7^^=<n,VdX,dYl>,(4.21)

d+iu2)2

которая, как нетрудно проверить, G-инвариантна и в данном случае совпадает с элементом площади сферы. Здесь знак Д означает внешнее произведение:

^ д dl = - d? д &,

dX, dY — векторы, касательные к S2 в точке п. Отметим, наконец, что формулы (4.20) и (4.21) можно переписать в виде

^2 = 4Д^.^,(4.22)

.=(4.23)

где

/ = 1н(1 + |;|2).(4.24)

Этосвязано стем обстоятельством,чтопространство

GC1Bявляется не только комплексным,ноитак называемымкэлеровыммногообразием; функция/= 1п(1 + |£|2)

является здесь потенциалом кэлеровой метрики (подробнее об этом см. § 11.2 в [211]).

§ 42. Представления группы SU (2)

Как хорошо известно, унитарное неприводимое представление 7(g) группы 5П(2) задается неотрицательным целым или полуцелым числом у; 7(g) = 73(g), dim Т1 = = 2/ + 1, причем в пространстве представления Зё1 суще-

ствует канонический базис I/, ц>, где у. пробегает все значения от — / до +/ через единицу (—/^ц^/)- Инфинитезимальные операторы J± = Jt± Уг, Jo = J3 представления T’(g) удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям

[Л, JJ = ±J±, [J_, J+] = -2Л.(4.25)

Оператор Jh (/с = 1, 2, 3) описывает бесконечно малое вращение вокруг /с-ой оси; векторы I/, ц> в пространстве представления 3$ являются собственными векторами операторов Jo и J2 = J2 + J2 + ^з :

Л17, Р> = Н/, Р>, J2!/, Р> =/(/+1) I/, Ц>- (4.26)

Соответственно оператор ехр[го(mJ)], nr = 1 описывает поворот на угол о вокруг оси, задаваемой вектором т.

Опишем стандартную и удобную для нас реализацию представления T’t.g').

Из (4.14) следует, что в пространстве ^J полиномов степени <(2/+1) на группе Z_ действует представление группы SU^). Эта реализация распространяется в силу линейности действия до представления группы Gc = =SL(2, С) и дается формулой

^teWW₽z W’/(]^)-(4.27)

При этом G-инвариантное скалярное произведение дается формулой

^11 ^2> л J (1+ | ^ ]2)2 + 2J ’

ИЬ *</ol/o> = l-(4-28)

Операторы J± и Jo в этой реализации являются дифференциальными операторами:

J+ = -z2^- + 2jz, =(4.29)

тdzdz иdz J x '

Операторы J+ и J- сопряжены в смысле (4.28), а Л — самосопряженный оператор; базисные векторы ]/, ц> в этом представлении имеют вид /и = с^т,1^ си = = [(2j)!/(/-h)!(j + ц)!?/2.

Представление Т1 (g) в данном случае имеет простой «квазиклассический» смысл и может быть переписано в виде (см. [202], где рассмотрен общий случай компактной

простой группы Ли)-

T’(g)f(z) = exp(iS(g, z))/(zg).'(4.30)

Здесь

SU,z) = J (O-g-O) + SU.0),

О = 9F ^ ^- dz является l-формой, F = / In (1 + | z |2).

Когерентные состояния

Действуя на фиксированный вектор |ф0> операторами Т5^ в соответствии с общей схемой, описанной в главе 2, получаем систему КС.

Как следует из (4.17), оператор T^g) можно представить в виде

Т’^-Т^ТЦЬ).(4.31)

Отсюда следует, что при выборе в качестве |ф0> вектора I/, р> когерентное состояние задается единичным вектором:

n = (sin 0 coscp, sin 0 sin ср, cosO),

[ n> = exp (zcz (n)) 71 (gn) | ф0>.(4.32)

Таким образом, в соответствии с общим утверждением КС задается точкой двумерной сферы

^ = 5О(3)/5О(2) = 5К(2)/К(1), которая является орбитой коприсоединеиного представления и, следовательно, может рассматриваться как фазовое пространство классической динамической системы — «классического спина».■

Что касается фазового множителя exp(ia(n)), то его удобно выбрать равным единице, так что

1п>=7)(п)|ф0>,(4.33)

где'

D(n) = Tj (gB) = exp(iO(mJ)), 0^0<л, (4.34) m — единичный вектор, перпендикулярный векторам п и по = (О, 0, 1); m=(sincp, —coscp, 0). Заметим, что это можно сделать для всех п, за исключением случая п = = (0, 0, -1).

Приведем еще одну форму записи оператора S(n), аналогичную (1.9): _

D(n) = D(|) = exp(V+-V_), ^ = 70/2(7п,-77п2). (4.35)

Заметим, что хотя операторы типа S(n) не образуют группы, но их закон перемножения можно представить в виде

Z)(nJ)Z)(n2) = Z)(n3)exp(t0(n„ n2)/0). (4.36)

Можно показать прямыми вычислениями, что величина 0(п„ п2) равна площади Л(п0, п„ п2) геодезического треугольника на сфере с вершинами в точках п0, щ, п2:

0(щ, п2) = Л(п0, щ, п2). (4.37)

Так же, как в § 1.1, этот факт указывает на квазиклассичность построенной системы КС.

Для рассматриваемых систем в качестве |ip0> можно выбрать |/, ц> с произвольным ц. На первый взгляд, все такие системы КС являются эквивалентными. Однако, как уже отмечалось в § 2.4, состояния I у, ±р минимизируют величину дисперсии квадратичного оператора Казимира J2 = J\ + JX + </з — оператора момента количества движения. Для них

ДГ = (Д/2)т1п = 7(/+ 1)-72 = 7, (4.38) и потому состояния I/, ±;> определяют систему КС, наиболее близких к классическим. Мы можем выбрать в качестве |г|)0> любое из них, поскольку оба состояния приводят к одной и той же системе КС. Для нас более удобно выбрать в качестве |г|)0/ состояние) I/, —/>.

Построенная таким образом система КС обладает большей симметрией, чем система, построенная с помощью вектора

1^о> = I/, Ц>, Ц^±7-

Чтобы увидеть это, рассмотрим комплексификацию ^с алгебры 3, т. е. множество линейных комбинаций величин /1, /2 и /3 с комплексными коэффициентами. Этой алгебре соответствует группа Gc = SL (2, С)— группа комплексных матриц второго порядка с определителем, равным единице.

Нетрудно видеть, что стационарная подалгебра ^ в ^с состояния l4o^=l/, —Р порождается элементами {/0, /-} и ей соответствует группа В- нижних треугольных матриц:

5_ = {Ь), Ъ=^ °).(4.39)

Поэтому такое КС можно параметризовать комплексным числом £. Действительно, из разложения Гаусса (4.6) имеем

Т^ W=T (z+) Т (А) Т ^ | ф0> = exp ^NT (z+) 1^0>,Z+=(o 1)’ 1^о> = 1/,-/>.

Отсюда получаем

^-2 = <'фо1Г((г+)Р?’(г+)|1|)о>, ^ = (1+|£|2)Ч (4.40) При этом для операторов Т^, имеющих вид О(п) (4.34), фазовый множитель exp(i0) равен единице, и мы имеем

|п>^ !£> = (! + Isrp^zjl/, -р, |р=(1+1:12)-ехРСР)1/, -р, (4.41) £ = —tg(0/2)exp(—пр), n = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ф, cos0).

Таким образом, как уже отмечалось ранее, переход от п к £ осуществляется с помощью стереографической проекции.

Приведем еще одну форму записи оператора D (п): D(g)=exp(V+-V-),

| = t(0/2) (тщ — im2) = —1^1 exp(—£ф).(4.42)

Используя разложение Гаусса (4.6), можно записать оператор D^) в «нормальном виде» —

В^ = exp(£/+)exp(r]/o)exp(zV-), (4.43) где £ = — tg(0/2)exp(—1ф), ц = — 2 In cos 1^1 =_

= ln(l+IU2), / = -£• (4.44) Приведем еще «антинормальный» вид этого оператора: D (В) = exp(z'/_)exp (-цЛрхр (^/+),(4.45)

где величины £, ц и z' определены в (4.44). 74

Заметим, что поскольку величины £, т], г , входящие в формулы (4.43) и (4.45), от у не зависят, то эти формулы достаточно проверить для случая у = 1/2, когда J = о/2, где щ, о2, Оз — матрицы Паули:

Разлагая экспоненту в (4.41) и используя соотношение

11- “> - итю. (о + ДУо-н)^3 <^>i+“1 '■ ~ '>’ <4'46)

получаем разложение когерентного состояния по ортонор- мированному базису (сравните с формулой (1.70))

10= 2 “в (017, Н>>

■*(0 - « + К B^ + Z-X ^ <4'47)

или

(4.48)(4.48)10= 2 «ц (9* Ч>) 17, и>» в=-У

(4.48)

(4.48)

Хехр[—i(y + ц)<р].

Приведем еще выражение для КС в z-представлении:

<zlp = ^ (z) = (1 + I zp)-(l + £z)2i.(4.49)

Отметим, что спиновое когерентное состояние является собственным состоянием оператора (nJ):

(nJ) |n> = -yln>,(4.50)

и, кроме того, (7_ + 2^0-£27+)1О = 0.(4.51)

Уравнение (4.50) сразу же следует из уравнения

/01п0> = — /1п0>, По = (О, 0, 1)

и соотношения

(4.52)(4.52)Z)(n)/0D-1(n) = (nJ).

(4.52)

(4.52)

Аналогично доказывается и уравнение (4.51). Уравнения

и (4.51) определяют спиновое КС с точностью до фазового множителя exp(ia).

Система спиновых КС обладает всеми свойствами обычной системы КС (см. § 1.2). Мы приведем их без доказательства.

Операторы T^g) переводят одно когерентное состояние в другое:

F (g) |n> = exp{i0(n, g)}|ng>,(4.53)

где

,0(n, g) = M(n0, n, nJ.(4.54)

Заметим, что при бесконечно малом преобразовании мы имеем

r(l + 6g)lp = exP(i60)IS + 6p.(4.55)

При этом

/^lnd + 1^2), (4.56)

е. 0 = 60 — форма связности одномерного расслоения над S2 со слоем окружность. Заметим, что 0 = J ю, где

ю = d0 — 2-форма площади.(4.57)

Отсюда и следует формула (4.54).

Система спиновых КС полна.

Когерентные состояния не ортогональны друг другу:

(4.58)(4.58)<n21 n2> = exp (0 (nv nJ) 2^

(4.58)

(4.58)

/1 + П П

1<п1|п2>|2 = (’

<^IГ]> = [(1 + 1Ш (1 + IТ]13)]-j(1 + ^Г',(4.59)

где*)где*)1<^1п>12 =1<^1п>12 =(1 + ^)(1 +^1)

где*)

где*)

1<^1п>12 =

1<^1п>12 =

L(i+l^2)(i+hl2)

0(пы nJ=M(n0,nu nJ,

1'1+£п/

Спиновые КС минимизируют соотношение неопределенностей Гейзенберга: для состояния |п0> в

соотношениисоотношении</i></2>>4</3>2</i></2>>4</3>2(4.60)(4.60)

соотношении

соотношении

</i></2>>4</3>2

</i></2>>4</3>2

(4.60)

(4.60)

достигается знак равенства.

Соответственно для состояния |н> минимизируется соотношение неопределенностей

<^1><Л2>>4<Л>2,(4.61)

где

Jh = D(nVkD-4nV(4.62)

Имеет место «разложение единицы»

(2/ + 1) У йц (п) | и) <п [ = I, dp (п) ='(4л)-1 sin 0 dO d<p.

'’- - (4.63)

В случае же параметризации КС точкой ^-плоскости мы имеем.

Ji £><№, = г,(4.64)

где'

^)(4.65)

С помощью этих формул можно разложить произвольное состояние по когерентным состояниям:

1^> = 2^1ЛН>, 1Ф> = J^(^)ID^©, (4.66) где

ф(£) = Ш> = (1 + |£|2ГЖ

М- У JM_Y/2/(№ (4,67)

А V7+Wf(7-WU•

Здесь i|)(£) — полином по £ степени т «5 2/.

Из этих формул следует, в частности, что для любой функции /(£), имеющей вид

p^/d + idT,

где Рт^) — произвольный полипом степени т <5 2/, справедлива формула

до = <ш>, JW^nWFnw^)- (4.68)

Заметим, что именно такие функции /(|) и образуют гильбертово пространство ^ состояний частицы со спи-

77

ном /. С помощью формул (4.66) и (4.67) нетрудно также доказать, что подсистема КС |^4>, ..., |£2)+1> ПРИ лю" бом выборе точек £,, ..., £y+i, £j ^ ^, является полной.

Приведем выражения для инфинитезимальных операторов в представлении когерентных состояний:

СIIО - — 7 j^. СIГ +1» - 2/ J^L. (4.69) или

<п| Лп> = — /п.(4.70)

Заметим, что в пределе больших значений / спиновые КС переходят в обычные КС. Для того чтобы увидеть это, нужно сделать подстановку

J+-+V2M+, £ + (2/)~1/2а, J_ = V2/a (4.71) и устремить / к бесконечности.

Например:

|£>->lim(l + Ц^-j 3 exp (cta+) | т])0 > = |a>. (4.72)

Представление когерентных состояний удобно использовать для описания операторов, например матрицы плотности частицы со спином /. Именно, матрица плотности полностью определяется или функцией Т’(п), или функцией @(п) согласно формулам

Р = J Р (п) I п> <п I ^h ^(п) = ^~^п, (4.73)

<2(n)= <п|р|п>,(4.74)

причем эти функции при разложении в ряд по сферическим функциям У)™ содержат лишь I ^ 2/. Например:

27

= 2 clmYlm^Y(4.75)

Z=o,m

Отсюда получаем разложение матрицы плотности

Р = 2 ClmP 1ms где.

' Лт = ,[у1т(п)|п><п|^(п).(4.76)

Вычисляя входящий сюда интеграл, получаем

<A V\Plm\b v>= ]/^^ </, V; I, m\f, V><J,—h I, 01/,—/>, (4.77)

где <j, v'; Z, ml/, v> — коэффициенты Клебща — Гордана, 78

10. Приведем таблицу простейших примеров, взятую из работы [181].

Таблица

Оператор

Q (п)

А . /1 /2 А

Г2 J 2

cos 6

sin 6 cos ф

sin 6 sin ф

/ U — 1/2) cos2 9 + 7/2

jU — 1/2) (sin 6 cos ф)2 + //2 7(7 — 1/2) (sin 6 sin ф)2 + //2

Оператор

P(n)

Л /1 /2

А А А

(7 + 1) cos 6

(7 + 1) sin 6 cos ф

(7 + 1) "sin 6 sin ф

(7 + 1) (/ + 3/2) cos2 9 - 0‘ + l)/2

(7 + l)(/+3/2)(sin0cos?)2-G + l)/2J

0+1) U + 3/2) (sin 9 sin ф)2 - (/ + l)/2

Для оператора ТДх, v) = exp(ix(vJ)) функция ^(п) имеет вид

^(n) = (cos(x/2)+ i sin (х/2) cos 9)2J, cos9 = v-n. (4.78)

Отсюда получаем интегральное представление для характера представления Т3 (g):

^ = X/t) = ^^ J (cos (х/2) + i sin (х/2) cos 9)2J dn.

(4.79)

Аналогичное выражение имеет место и для оператора exp [—Р (vJ)]:

Q (n) = (ch (0/2) + sh (0/2) cos 9)у. (4.80)

В том случае, когда j — целое число (j = Z), можно использовать иную реализацию пространства представления 3€\ а именно пространство собственных функций

оператора Лапласа на сфере S2 = (v : v2 = 1):

—AeT/(v) = Z(Z + l)/(v), у = (8Ш0созф, sin 0 sin ф, cos 6).

(4.81)

KG в такой реализации имеют вид

<v|n> =(et — Ze2, v)'.(4.82)

Здесь в! и е2 — два единичных вектора, ортогональные вектору п и друг другу. Отсюда нетрудно получить явное выражение для производящей функции сферических функций Yim(М):

К (z; 9, ф) = 2 uim ^Ytm (9, ф),g3)

Ulm = [ (2Z) V (Z - tti) ! (Z + ттг) !]1/2z!+m,

K^z\ 0, ф) =

= ct (sin 0 exp (—1ф) + 2z cos 0 + z2 sin 0 exp (1ф))'. (4.84)

Наконец, с помощью КС нетрудно найти производящую функцию для матричных элементов Ттп = = <т\Т(g) |п>:

<£ I Т (g)J Ц> = [(1 + U |2) (1 + |ц |2)Г к (^ л),

U, П) = 2 ujm (g) ujn (ц) Tmn (g).(4.85)

Отсюда

К^ n) = (a + ₽S-₽n + a^i])2J.(4.86)

Г л а в а 5

ПРОСТЕЙШАЯ НЕКОМПАКТНАЯ НЕАБЕЛЕВАПРОСТАЯ ГРУППА: SU (1,1)

В этой главе, следуя работе [207], вводятся и изучаются системы КС для простейшей неабелевой некомпактной простой группы Ли — группы SU(1, 1)^<5О(2, 1). В отличие от рассмотренного в предыдущей главе случая простейшей компактной неабелевой группы Ли — группы SU^, здесь имеется несколько типов систем КС в соответствии с тем, что для группы SU(1, 1) существует несколько серий унитарных неприводимых представлений. Некоторые применения таких систем КС рассмотрены в части II..

Группа SU (1,1) и ее представления

Основные свойства группы SU(i, 1). Группа SU^l, 1) — это'группа матриц второго порядка с определителем, равным единице, оставляющих инвариантной форму kJ2—|z2l2. Отсюда сразу же следует, что G = {g), где ■

;)• 1«1=-1Р|=-1.(5.1)

Она локально изоморфна группе 50(2, 1) — группе «вращений» трехмерного псевдоевклидова пространства (трехмерной группе Лоренца); точнее, 50(2,1) = = SU (1,1)/Z2, где Z2 = {I, — I}, I — единичная матрица. Она локально изоморфна также вещественной симп- лектической группе Sp(2, R) и группе SL(2, 0?) — группе вещественных матриц второго порядка с определителем, равным единице.

Детальное рассмотрение свойств этой группы и ее представлений дано в работе [90] и книге [17]. Здесь мы приведем лишь необходимые для нас сведения.

Отметим следующие существенные различия между группами SU(1, 1) и SU(2).

Во-первых, группа SU (1, 1) некомпактна, тогда как группа 517(2) компактна. Во-вторых, группа 517(2) односвязна, тогда как группа SU (1, 1) не является таковой.

Односвязность группы означает, что каждый замкнутый путь в ней может быть деформирован в точку. В то же время можно показать, что в группе 517(1, 1) путь, соответствующий повороту па угол 2 л и ^п — целое, 0<t^2nn), g(^ = diag[exp(i(/2), ехр(—if/2)], непрерывно деформировать в точку невозможно.

Известно, что объединяя достаточное число экземпляров (или, как говорят, листов) неодносвязной группы G и соответствующим образом склеивая их, можно получить уже односвязную группу G — так называемую универсальную накрывающую группы G. В нашем случае группа G содержит бесконечное число листов.

Далее будем действовать так же, как и в случае группы 517(2), а именно группу G — 517(1, 1) можно вложить в GC — SL^2, С) и воспользоваться разложением Гаусса (4.6):

6 A. M. Переломов6 A. M. Переломовg = z+hz_, z+eZ+, z-eZ-, hell'-. (5.2)

6 A. M. Переломов

6 A. M. Переломов

81

Так же, как и раньше, группа G действует на Zv и Z_.

Например, ее действие на Z_ дается формулой

'Р \az + р/г ох

^= R £ :z"*Zs = ^T^(5-3)

\ р ОС /pZ -j- ОС

Однако, в отличие от предыдущего случая, группа G действует па плоскости не транзитивно, а плоскость z относительно ее действия расслаивается на три орбиты:

Л+ = (г: Izl <1);

X_ = {z: Izl >1};

X0 = U: Izl = 1},

т. e. па внутренность единичного круга, внешность единичного круга и окружность.

Это нетрудно доказать, заметив, что из (5.3) следует, что при действии g

(1- Izl2) -^ (1 — lzj2) = lpz + a|-2(l- Izl2).

При этом пространства Х+, Х_ и Хо можно соответственно рассматривать как стереографические проекции верхней полости двухполостного гиперболоида, однополостного гиперболоида и верхней полости конуса в трехмерном пространстве с псевдоевклидовой метрикой:

о 222

S2 = ^0 — Хг — Ж2,

Рассмотрим, например, случай пространства Х+. Нетрудно видеть, что так же, как и в § 4.1, пространство Х+ можно отождествить с множеством элементов группы G вида

^(^ a)’ a2~lPl2=1i a = a>0.(5.4)

Полагая а = сЬ(т/2), 0 = sh(r/2)exp(—г<р), т>0, видим, что пространство Х+ изоморфно верхней полости двухполостного гиперболоида

l(a, рг, р2) :<х= — р? — р= = 1, а>0}1

т. е. множеству единичных (в псевдоевклидовой метрике) векторов

п = (ch Tt sh т cos фх sh т sin ф)л n2 = rig — nl — n^ = 1.

Элемент gn пространства Х^ можно записать в виде

gn =gn =ch (т/2)sh (т/2) exp (гф)ch (т/2)sh (т/2) exp (гф)sh (т/2) exp (— гф)\ _ch (т/2)/ —

gn =

gn =

ch (т/2)

sh (т/2) exp (гф)

ch (т/2)

sh (т/2) exp (гф)

О — ii 0 .О — ii 0 .= ехрЦ-(т

О — i

i 0 .

О — i

i 0 .

где т = (0, sin ф, —cos ф), <Н = 0 у, ^2 = матрицы Паули.

Таким образом, матрица gn описывает гиперболический поворот вокруг вектора иг = (0, sin ф, —совф) на угол т. '

Так же, как и в случае группы S,U(2) (см. § 4.1), разложение Гаусса приводит к установлению изоморфизма между этими пространствами. Например, изоморфизм между единичным кругом Х+ = {£:|£|<1} и верхней полостью двухполостного гиперболоида h2 = [n : n2 =ng— — пХ— «2= 1, и0>0} устанавливается с помощью формулы

£ = th (т/2) exp (—пр),£ = th (т/2) exp (—пр),п = (сЬт, зЬтсовф, вЪтзтф).

£ = th (т/2) exp (—пр),

£ = th (т/2) exp (—пр),

(5.6)

Так же, как и в § 4.1, рассмотренная конструкция вводит комплексную структуру на верхней полости гиперболоида И2. Таким образом, мы можем рассматривать верхнюю полость гиперболоида как некомпактное комплексное многообразие.

Приведем выражение для G-инвариаптной метрики на Л2

ds2 = dn dn = т—(5-7)

<1 —К|2)2X *

и выражение для замкнутой G-инвариантной 2-формы

01=2/7^4^.(5.8)

(1-Ш2)2v *

Отметим, что так же, как и в случае сферы №, многообразие Ч2 является кэлеровым. Поэтому формулы (4.22) и (4.23) можно переписать в виде

ds2 = 4^X^4,(5.9)

.•(0 = 2^^^,(5.10)

6*S3

где'

Г = -1п(1-|^|2).(5.11)

Группа 817(1, 1) некомпактна, и потому все ее унитарные неприводимые представления, в отличие от группы 5(7(2), бесконечномерны.

Эта группа имеет несколько серий унитарных неприводимых представлений: основную, дискретные и дополнительную. Здесь мы рассмотрим лишь представления дискретных и основной серий.

Дискретные серии. Существуют две дискретные серии представлений Т* и Т~. Из них достаточно рассмотреть лишь одну, например Т\ поскольку все полученные результаты автоматически переносятся на другую.

Представления дискретной серии бесконечномерны, однако они во многом аналогичны конечномерным представлениям группы 5(7(2). Например, базисный вектор |т> в пространстве такого представления можно задавать целым числом т, меняющимся от нуля до бесконечности.

Алгебра Ли группы 5(7(1, 1) порождается тремя генераторами: К^ К2 и Ко. Перестановочные соотношения для них имеют вид

№, КД = -1Ке, №, КД = 1Ки [^0, Я.] = гК2. (5.12)

Как и в случае группы 5(7(2), здесь удобно перейти к новым, генераторам

^ = ±((^±1^),(5.13)

после чего перестановочные соотношения принимают вид №, ^±] = ±Я±, VK-, ^+] = 2К0.(5.14)

Нетрудно проверить, что оператор

С2 = ^ - К1 - КХ = КХ - у (К+К_ + К_К+)(5.15)

является инвариантным оператором (оператором Казимира) , т. е. коммутирует ср всеми операторами Kj. В силу леммы Шура такой оператор для неприводимого представления кратен единичному оператору:

.C2 = /c(fc-l)L(5.16)

Таким образом, представление группы SU (1, 1) характеризуется одним числом к: для дискретной серии это число принимает значения k=l, 3/^ 2, 5/2, ... .

Заметим, что представления универсальной накрывающей группы — группы SU(1, 1) — также определяются одним числом к, однако теперь к меняется непрерывно от нуля до бесконечности: 0 < к < °°.

. Возвращаясь к рассмотрению представлений дискретной серии, заметим, что базисные векторы |/с, р> пространства, в котором действует представление Tk(g^ задаются числом р — собственным значением оператора Ко:

К01/с, р> = pl/с, р>, ц = /с + 7п,(5.17)

тп — целое число, m > 0.

Аналогично § 4.2 нам будет удобно использовать реализацию представления Тк^ в пространстве функций STk = (f(z)\ аналитических в единичном круге и удовлетворяющих условию

H/lk<oo, 'У^ = ^1 J mz^M^^”^. (5.18) Ц|<1

Операторы T^g) действуют в пространстве 9"к согласно формуле

T4sY^ = ^^Y*tk.4Y(5.19)

pZ -р СС

Операторы К* и Ко в этой реализации являются дифференциальными операторами:

R+ = z2d/dz + 2kz,(5.20)

R- = di dzs(5.21)

R» = zd/dz + k.(5.22)

Как и в случае группы SU(2), представление T^g) можно'записать в квазиклассическом виде

Тк(§Ш^ = ехР<Ж8, z))f(zg),(5.23)

где функция 5 (g, z) дается формулой (4.30), в которой F надо заменить на

^ = -*10(1-|z|2).

Основная (непрерывная^ серия. Помимо дискретных серий существуют две так называемые основные (или непрерывные) серии представлений группы SU (1,1) и дополнительная серия,

' Нас будут интересовать представления класса I, т. е. представления, в пространстве которых существует век-

тор 1ф0>, инвариантный относительно действия максимальной компактной подгруппы К группы G. В нашем случае К= 17(1), а именно

К = {к : к = diag[exp(tq)/2), ехр(—йр/2)]}.

К таким представлениям относятся представления одной из основных серий и представления дополнительной серин.

Представления основной серии реализуются в пространстве функций на орбите типа Хо, т. е. в пространстве функций на единичной окружности. Представление класса I характеризуется одним неотрицательным числом X и задается формулой

TXgWW^-^-^M'h (5-24)

zg = (az +^)/(^z+tz), z = exp(iO).

Нетрудно проверить, что операторы ^(g) действительно образуют представление группы G и что при выборе скалярного произведения в виде

2Л

</il/2> = ^j7i(0)/2(9)^9, /(z) = /(0), (5.25)

О

это представление унитарно.

Отметим, что оператор Казимира С2 = К» — К.Х — К^ кратен единичному оператору: Сг = — (Х2 + 1/4)1.

Для представлений дополнительной серии действие операторов ^(g) по-прежнему дается формулой (5.24), где X, однако, должно быть чисто мнимым числом: X = 7т, —1/2 < т < 1/2. В этом случае скалярное произведение дается более сложным выражением (см., например, [15]):

2Л 2Л

П

!/0 — 0 \ I —2—2<Т _

/1(91)/2(02)d01d02, о о

(5.26) — 1<о<0.

Пространство представления jTx(g) бесконечномерно, и в нем можно выбрать базис (IX, ц>} из собственных векторов оператора Ко — инфинитезимального оператора подгруппы Кл

Х01Х, р> = ц!Х, р>, р = 0, ±1, ±2, ... .(5.27)

Операторы К± = ±i(Kt ± iK^ действуют в этом базисе 86

согласно формуламi

К+|Х, ц> = (1/2 — IX + ц) |Х, ц + 1>,

(5.28) К_|Х, ц>=(-1/2 + й + ц)1Х, р-1>.

В этих формулах Kt 2 — инфинитезимальные операторы представления Т (g), соответствующие элементам алгебры Ли ^. Для рассматриваемой реализации представления ^(g) операторы К±, Кй являются дифференциальными операторами первого порядка:

Кй = — id/dQ, _(5-29)

К± = — i exp(±iO)cMO + (—1/2 + iX)exp(±i6).

§ 5.2. Когерентные состояния

Дискретные серии. Действуя на фиксированный вектор |фо> операторами ^(g), получаем интересующую нас систему КС.

В качестве фиксированного вектора |фо> нам будет удобно выбрать вектор I /с, к1), для которого стационарная подалгебра ^ алгебры ^с максимальна, и потому такие КС наиболее близки к классическим.

Дальнейшие построения аналогичны построениям § 4.3. Как хорошо известно, оператор Tk\g) можно представить в виде

Тй^ = Тк^Тк^г КеН.

Отсюда следует, что когерентное состояние задается единичным псевдоевклидовым вектором*)

п = (ch тх sh т cos ф, sh т sin ф),

| n> = exp [ia (n)] 716 (g„) | т[)0>.(5.30)

Что касается фазового множителя exp[ia(n)], то его удобно выбрать равным единице, так что

|n> = D(n) |ф0>, где

D(n) = Tk(gn) = exp (ir(m.K")), т>0,(5.31)

*) Такая параметризация системы КС находится в соответствии с общим1 утверждением о том, что КС определяется точкой фактор-пространства G/Я, которое в данном случае является верхней полостью двухмерного двухполостного гиперболоида:

И2={п.п2 = и2_„2_„2 = 11 %>о).

т — единичный вектор, перпендикулярный векторам и и п0 = (1, 0, 0), ш=(0, sin ф, — cosф).

Приведем еще одну форму записи оператора Д(и), аналогичную (4.33), (4.35):

D^ = D^ = ex^K^-U-Y ^ = 1^^-^.

.(5.32)

Заметим, что операторы типа D^n) не образуют группы, но их закон перемножения можно представить в виде

Z)(n1)Z)(n2) = Z)(n3)exp(i0(n1, п2)К0).(5.33)

Можно показать прямыми вычислениями, что величина 0 (nb п2) равна площади А (п0, «1, п2) геодезического треугольника на гиперболоиде с вершинами в точках п0, п1, п2:

^("1, "2) = ^("о« "1-"г) -.(5.34)

Так же, как и в § 4.3, этот факт указывает на квазиклассичность построенной системы КС.

Оператор В^п) можно записать в «нормальном виде»:

D^= ехр(^+)ехр(рК0)ехр(,уК-), (5.35) где_

е = thl^l ехр(1ф), р = 21nch |§| = —ln(l — lei2), 4 = -V

.(5.36)

Приведем еще «антинормальный» вид этого оператора:

D^= ехр(^-)ехр(-рК0)ехр(^7<+),(5.37)

где величины £, р и 7 определены в (5.36).

Заметим, что поскольку величины S, ? и К, входящие в формулы (5.35), (5.37), от к не зависят, то достаточно проверить эти формулы для случая, когда

Ко = о3/2, Kt = iOi/2, Кг = го2/2,

где 01, о2 и о3 — матрицы Паули.

Теперь, действуя на |ф0> оператором В^, записанным в виде (5.35), приходим к иному представлению (иной параметризации) когерентных состояний:

|р=(1-|£|2)*ехр№)|0>.(5.38)

Отметим простой геометрический смысл перехода от переменной п к переменной £: это стереографическая 88

проекция из южного полюса гиперболоида л0 = (—1, 0, 0) на плоскость £.

Разлагая экспоненту и используя соотношение

IМ + ™> - [^ТЗ)]"’ ^" । ^ *>■ <5-М>

получаем разложение когерентного состояния по ортонор- мированному базису:

ID = (1 - I е l2)h 2\М + ™У (5.40)

771=0 L V

Приведем еще выражение для КС в z-представлении:

<z|^> = ^(z) = (l-|^2)ft(l-^)-2\(5.41)

Отметим, что рассматриваемое когерентное состояние является собственным состоянием оператора

(пК) = ПоК» — n^Kt — п2К2,(5.42)

и кроме того,

(Я_-2№ + ^+)|р = 0.(5.43)

Уравнение (5.42) сразу же следует из уравнения Ао| n0> = к\ пд) (n0 = (1, 0, 0)) и соотношения

D^ KaD-l(n) = (пК).(5.44)

Аналогично доказывается и уравнение (5.43).

Уравнения (5.42) и (5.43) определяют КС с точностью до фазового множителя exp(ia). Полученная система КС обладает всеми свойствами системы спиновых КС (см. § 4.3). Мы приведем лишь некоторые из них.

3'. Когерентные состояния неортогональны друг другу:

5'. При к > 1/2 имеет место разложение единицы jl£HU^ = X(5.46)

где

10'. Производящая функция G^, ц; g) для матричных элементов оператора T^g) имеет вид

G (|, Щ g) = 2 Тh+m,A+n (&) ит (^ ) Wn (ц) =

= (^9 + ^ +^«Г2'1, (5.48)

где и™(Ю = [Г(т + 2Л)/ш!Г(2Л)]1/2Г.

В заключение рассмотрим важную для ряда приложений реализацию представлений группы SU (1, 1) с помощью операторов, квадратичных по бозонным операторам рождения и уничтожения а* и а, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям [а, а+] = 1.

Рассмотрим три оператора

#+ = (а+)72, К_ = аг/2, К^^аа* + a+aV4. (5.49)

Вычисление показывает, что эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (5.14). Вычисляя с помощью (5.49) оператор Казимира (5,15), получаем

G = I = A(A-1) I.(5.50)

Отсюда получаем два решения:

А = 1/4 и к = 3/4.(5,51)

Нетрудно видеть, что состояния |п> =(п!)~1/2(сР)п|О> с четным п образуют базис в пространстве унитарного неприводимого представления Тк с к = 1/4, и соответственно состояния |н> с нечетным п образуют базис в пространстве представления Тк с к = 3/4.

Матричные элементы представлений группы SU^V, 1) выражаются через гипергеометрическую функцию [90]. Для рассматриваемых здесь представлений Тк (к = 1/4 и д =3/4) в работе [59] было получено более простое выражение

где Р™ (ж) — присоединенная функция Лежандра, п< = = min (тп, п), п> = шах(т, п).

Рассмотрим теперь представления дискретной серии группы SU^l, 1), которые можно реализовать с помощью пары бозонных операторов а^ и а_. Рассмотрим три квадратичных оператора

Я'+ = а+а±, K_ = a va._, Ко = у («+«+ + ata- + 1).

(5.53)

Вычисление показывает, что эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (5.14). Вычисляя с помощью (5.53) оператор Казимира (5.15), получаем

С2 = - 74 + V4 («+«+ - «М-(5.54)

Таким образом, для состояний

| т, и> = (ml и!)-1/’2 (a+)m (al)” |О» 0>

с т — п = Ио = const имеем

Сг = к(к-\)\, =(1 +|и01)/2,

и потому состояния {|и + и0, и>} образуют базис унитарного неприводимого представления Th дискретной серии группы 57(1, 1), где

fc = 72(l+W).(5.55)

Матричные элементы этих представлений известны, и в простейшем случае, когда начальное состояние является вакуумным, мы имеем

| <щ и I Тш (g) 10, 0> I2 = (1 - р) pn, р = ^. (5.56)

Мы рассмотрели здесь системы КС, связанные с представлениями дискретной серии группы 57(1, 1). Относительно КС для представлений дискретных серий других групп Ли см. часть II книги [211].

Основная (непрерывная) серия. Рассмотрим унитарное неприводимое представление Tk(g) класса I группы SU(1, 1), и пусть |t|)0> —вектор в пространстве представления, инвариантный относительно действия К = = U (1) — максимальной компактной подгруппы. Действуя на него операторами ^(g), получаем систему когерентных состояний, параметризуемых точками факторпрост- ранства*) X = G/K = SU(1, 1)/U(1), которое является в данном случае плоскостью Лобачевского и может быть реализовано, например, в виде внутренности единичного круга

X = Z) = {£:|£|<1}.(5.57)

А именно, выбирая в классе смежности, соответствующем

элементу t,^ X = G/К, какой-либо элемент gt е G. получаем систему когерентных состояний

IP = Л^)Ю>, 10> = |ф0>.(5.58)

В качестве такого представителя можно взять, например,

г£=ЩТкр(-г "?> '»-тда№. <8-59)

Приведем также другое, однако, эквивалентное определение КС:-

1^>=ехр(^+-^_)|0>,

6 = 1^1 exp(tq)), ^ = th |^| ехр(/ф). (5.60)

В соответствии с общей теорией система КС является сверхполной и неортогональной и обладает рядом замечательных свойств, некоторые из которых мы перечислим:

Состояния |£> нормированы: <£,£> = 1.

Группа G действует на множестве КС транзитивно, и это действие определяется формулой

T4g) IP = ?№) Ю> = TUg^ Ю> = 1р>, (5.61) где

^g = («£—Р)/(—К + a), gg^^g^k, V = t,g1 кеК,

(5.62)

Состояния |£1> и |£2>, вообще говорящие ортогональны друг другу. Их скалярное произведение определяется функцией Фх(т) — так называемой зональной сферической функцией:

<^ | £2> = <01 Zx (^^J 10> = Фх (т).(5.63)

Здесь т — расстояние между точками ^ и £2 в стандартной метрике Лобачевского. Оно определяется формулой '

Функция ФДт), в свою очередь, дается формулой

ФДт)=<0|Г(а(т))Ю>,(5.65)

а(т)=(“ Р), a-ch^, ₽ = sh|,_ т>0. (5.66)

Пусть {|ц>^|Л, ц>)— ортонормированный базис в пространстве представления 3€\ являющийся собственным для оператора Ко;

(5.67)(5.67)^01ц> = ц1ц>.

(5.67)

(5.67)

Разлагая КС по этому базису, получаем .

l^-J^n^)]^,(5.68)

где

ип ® = <п\^ = <п\ Т\^10> = 4 (т, ф), (5 -69)

£= — th^ ехр(гф).

Состояние |£> является нормированным, поэтому

Jj^)!2-!.(5-7°)

Отметим также, что

М» (0z ф) = 6„0,(5.71)

их (т, ф) = ехр (—1Пф)2?п(т).(5.72)

Функции и„(т, ф), будучи матричными элементами оператора Iх (g), являются собственными функциями оператора Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского:

—Аип(т, ф) = Аип(т, ф),(5.73)

где

При этом для представлений основной серии

Л = (1/4 + Х2),(5.75)

а для представлений дополнительной серии

Л = (1/4-а2), —1/2<о<1/2.(5.76)

Зональная сферическая функция Нд(т, ф), как мы видели, не зависит от ф; Uq (т, ф) = Ф%(т) является собственной функцией радиальной части оператора Лапласа — Бельтрами:

_^+с1Ьт^ФЛ(т)= (у + Уш (5.77)

Она удовлетворяет условию нормировки

Фх(0)=1.(5.78)

Функции и\ (х, ф) являются собственными функциями коммутирующих самосопряженных операторов А и Рф = — I д^ и образуют ортогональную систему функций на плоскости Лобачевского. Для случая основной серии класса I имеем

ОО 2Л

J J П« (т, ф) и^г (х, ф) sh X ^ф =

00= ^(Х)6ПП,6(Х-Х'). (5.79)

Коэффициент N^^ определяется асимптотикой функции 7?п(т) при х-* 00:

7?п (т) ~ (сп (X) exp (iXx) + сп (— X) exp (—iXx)) exp (— х/2),

(5.80)

и, как нетрудно видеть, lVn(X) = ^(-X) = nkn(X)l2.(5.81)

Известно также, что коэффициент А^0(Х) определяет меру Планшереля ^ц(Х) для представлений основной серии (см., например, [15]). Именно, произвольную функцию /(х) мы можем разложить .по функциям Фх(х):

/(т) = J/(X^(x)dp(X),(5.82)

О

где

du (X) -=Х th лХ dk,(5.83)

”(W

а /(X) находится по формуле

/ (X) = J Фх (х) / (х) sh х dx.(5.84)

О

С помощью формулы (5.63) нетрудно получить выражение для производящей функции для матричных элементов Ттп (g) = {m\TK (g) | п>. Для этого рассмотрим 94

выражение <§|7”'(g) |т]>. Нетрудно видеть, что

^Ir^g) lip = ФДт),(5.85)

где т — расстояние между точками £g и tj:

ch у= z,=..| а + р| — Рт] — аГп |. (5.86)

2 И 1 - I g |2 И 1 - и I2■

Теперь перейдем к рассмотрению конкретной реализации представления ^(g). Оно действует в пространстве квадратично интегрируемых функций на единичной окружности (z : z = exp ((0)}:

^(g)/(z) = |Pz+a|-1+2a/(zg), zg=^±A- (5.87) pz + a

Нетрудно видеть, что вектор гильбертова пространства /o(z)=l инвариантен относительно максимальной компактной подгруппы. Действуя на него оператором ^(g), получаем систему КС для основной серии):

r(g)/0 = /c(z)=lpz + a|-1+^ =

= (1- [^р)*/2-^!-^)-*^. (5.88)

Для представлений дополнительной серии имеем

/c(z) = (l-|£l2)-’|l-fz|2’, —1<о<0.(5.89)

Здесь

? = —p/a, 1^1 < 1, z = exp(i0), |z|=l. (5.90)

Таким образом, в соответствии с общей теорией КС определяется точкой £ факторпространства X = G/К, которое в данном случае является плоскостью Лобачевского {?: 1?1<П..

Отметим ряд свойств функций Д(г).

При фиксированном z = exp(j0) функция Фе(£) = = Д(0) постоянна на орициклах плоскости Лобачевского, которые в данном случае являются окружностями, касающимися окружности {£ : 1^1=1} в точке £ = z = exp(j0)

[78]. Уравнение орицикла имеет вид■

iJ_Ll ~ 2 I U cos (е — Ф) = (cfo т _ gfo т cos (ф — 0)) _ Const.

— | SI

(5.91)

Поэтому ядро ^(^ z) — f^(z) можно назвать орисфери- ческим ядром, и следовательно, при используемой нами реализации представления T^^g) система КС задается орисферическими ядрами. Отметим, что это утверждение остается справедливым и для случая представления основной серии произвольной группы Ли (см. часть II книги [211]).-

Заметим, что

IP (z) |2="— = р (£. 2), (5.92)

1 + | £ |2 — 2 | £ I cos (0—<р)v ’

где Р(£, z) — ядро Пуассона для круга {^ : 1^1 < 1). Таким образом,

•/£(z) = exp(ta)[P(^, г)]1^.(5.93)

При фиксированном z функция Ф2Х(£) —/£(г) является собственной функцией оператора Лапласа — Бельтрами А = (1 — 1Е; 12) 2А (А — обычный оператор Лапласа) для плоскости Лобачевского:

-АФг(£) = (Г + 1/4)Фкг(£).(5.94)

Поскольку такие функции к тому же постоянны на орициклах, являющихся аналогами прямых на евклидовой плоскости, то КС Ф2(£) = Фо (£) являются естественным обобщением плоских волн Фк (г) = ехр (гкг) для случая евклидовой плоскости.

Ортонормированный базис, являющийся собственным для операторов Т(к), к^К, К=и(Д)— максимальная компактная подгруппа группы SU(1, 1), имеет вид

|и>/n(z) = zn = охр (ги9).(5.95)

Разлагая КС по этому базису, получаем интегральное представление для функции и„ (£):

2Л’

“п(?) = У ехр (—г«9) Ф0 (^) d9 = О

2Л

= ^ J exp(-fra9)(l-|£|2)1/2-^(5.96)

О

Переходя с помощью стереографической проекции (? = 1Ь(т/2).ехр(1ф)) от круга {?:!?! <11 к верхней полости гиперболоида [я: я2 = ^ — ^i — А = 1> ^о > 01г полагая х0 = ch т, xt = sh т cos ф, хг = sh т sin ф, получаем и» (т, ф) =’'

2Л''

= ^j (ch т — sh т cos(9 — ф))~1/2+1Х exp (—tnO) d9. (5.97) о

Таким образом, мы получили хорошо известное интегральное представление для матричных элементов Т^д (g) (см., например, [15]).

Функции и„ (т, ф) при всех значениях X и п образуют полную систему функций на верхней полости гиперболоида

.^=i|:|2 = 5o-^-^ = l. So>OL

Для зональной сферической функции (и = 0) это представление несколько упрощается:

Фх (т) = j (ch т — sh т cos ф)~1/2+1Х dф. (5.98) о

Рассматриваемая нами система КС удовлетворяет соотношениям ортогональности

J Ф^ (?) Ф^ (?) dp (?) = No (X) б (9 - 9')б (X - X'), (5.99) dp(?) = (l-|?IT2d2?.

J Ф& (?) Ф& (?') dp (X) d9 = (sh тГ1 б (т - т')б (ф - ф'), -(5.100)

dp (X) = TV^1 W dX=X th лХ dX.

С помощью этих соотношений мы можем разложить произвольную функцию на плоскости Лобачевского по функциям Фо (?):

/(?) = j*7(X,9^(?)dp(X)d9,(5.101)

где-

7(М) = J^ (?)/(?) dp (?).' (5.102)

97977 А. М. Переломов

97

97

. 1^ Функций $et?) тесно связаны с задачки рассеяния. Чтобы увидеть это, перкпйп1ем ЬпсрЙтЬр Jl&njl&ca — Кельтрами в виде

Отсюда следует, что функция фп (т) = P^sh т и„(т) удовлетворяет уравнению

(-4 + ^2^^) = ^(т),(5.104)

\ ат sh т /

которое имеет вид уравнения Шредингера для задачи рассеяния в потенциале 7(т) = (п2 — 1/4) sh-2 т. Отсюда получаем выражение для асимптотики фуикцйн фп(т) при х ->- -оо;

4^ (т) ~ С» (X) ехр (/Хт) + Си (— X) ехр (— гХт) (5.105)

и для S-матрицы дайной задачи:

S»(X) = -S»(X) = -Сп^Сп<- ^Сп^Сп<- ^(5.106)(5.106)

S»(X) = -

S»(X) = -

Сп^

Сп<- ^

Сп^

Сп<- ^

(5.106)

(5.106)

Простой способ нахождения величин СП(Х) и S„(X) заключается в переходе к пределу под знаком интеграла. Например,

Uq (т) = Фх (т) = -^ J (ch т — sh т cos ф)-1/з+а dtp ~

о

~(С (X) ехр (/Хт) + С (—X) ехр (—/Хт)) ехр(—т/2) при т->- оо,

w-M(5Л07> о

Таким образом, S-матрица для соответствующей задачи рассеяния имеет вид

с м \ _ _ Г (г'Х) Г (1/2 — iX),г . gnx

S»W- г (- /X) Г (1/2 + гХ) (b.iu«)

и обладает полосами в точках X — in, п ^ 1, 2, 3, ... и X = — i(n — 1/2), п = 1, 2, ... .

58-

Запретим, наконец, что из интегрального представление (5д8) ретрудно цодучцть явное выражение для Фх(т):

фх (т) = ^ ^' ^’ с’ — sh2 т)>

а =ъ = 1/2 ""Д с=1.(5.Ю9)

Воспользовавшись формулой для преобразования гипергеометрической функции, получаем формулу, удобную для получения асимптотики при т -* °°: .

у; ch 4т 1 ++ к.с.)(5.110)у; ch 4т 1 ++ к.с.)(5.110)Фх (Т) = (2 ch т)“1/? |(2 ch T)u X

у; ch 4т 1 +

+ к.с.)(5.110)

у; ch 4т 1 +

+ к.с.)(5.110)

Х УлГ(1/2 + й) (2’2 ’° +

о = — 1/2 -|- ik.

Отркщд также нетрудно получить выражение длд S-матрицы и меры Планшеррля.

Глава 6

ГРУППА ЛОРЕНЦА: SO (3, 1)

В этой главе изучается система КС ддя группы SO(3, 1)-группы Лоренца. Такая система состояний параметризуется точками верхней полости двухполостного гиперболоида, и с другой точки зрения была рассмотрена в работе ШИ- Она оказалась весьма удобной для рассмотрения ряда задач теории представлений группы Лоренца н релятцвцстсцой физики.

§94- Цредставлщщя грутцл Доррпца

Д^^ьдрр опцрапир груррц Лоренца ц ее представ- дрнр^ мржнр найти В КВ9ГВ^ 13»' И, 52]. Здесь мы приведе^ литрь цррбходр^е длд цар сведения.

Группа Лоренца — это группа линейных преобразований четырехмерного пространства, оставляющих инвариантной цсевдррщщцдрву форму

X2 = Х^ — ^ — ^2 — ^3-

Ода докалено изоморфна группе G = SL(2, С) = {g}» т. е. группе комплексных матриц второго порядка с оп- 7*99

ределителем, равным единице. Для того чтобы увидеть это, сопоставим вектору х = ^х0, xt, х2, х3) матрицу

х = x°I + x*at + хгс2 + х3с3,(6.1)

где I — единичная матрица, о,- — матрицы Паули:

[0 11стг " [ 1 0]’ °2[0 11стг " [ 1 0]’ °20 — ii 00 — ii 0ОзОз100 — 1100 — 1(6-2)(6-2)

[0 11

стг " [ 1 0]’ °2

[0 11

стг " [ 1 0]’ °2

0 — i

i 0

0 — i

i 0

Оз

Оз

10

0 — 1

10

0 — 1

(6-2)

(6-2)

Тогда преобразование х-* х' = gxg+ определяет преобразование в пространстве векторов, сохраняющее величину х2. При этом двум матрицам g и — g отвечает одно и то же преобразование из SO^B, 1). Поэтому

SO (3,1) = SL (2, C)/Z2,(6.3)

где Z2 = {I, — 1} — центр группы SL(2; С). В силу этого изоморфизма вместо группы Лоренца мы можем рассматривать группу SL(2, С).

Известно [15, 52], что существуют две серии унитарных неприводимых представлений группы Лоренца — основная и дополнительная.

Представление основной серии задается неотрицательным полуцелым числом ;0 и вещественным числом X; Т (g) = Т °’ ^gY При этом для /о = 0 представления 'Р-х и 7’0, ~х эквивалентны. При ограничении представления Т °’ (g) па максимальную компактную подгруппу K = SU^ оно становится приводимым и содержит представления j^o^ т’о+ , т’° ... группы SU(2Y При 7о = 0 в пространстве представления существует вектор |1р0\ инвариантный относительно подгруппы К, т. е. такое представление является представлением класса I. Мы будем обозначать его просто T^gY

Представления дополнительной серии соответствуют чисто мнимым значениям параметра X; X = io, —1 < о < 0. Все они являются представлениями класса I. Хорошо известны две стандартные реализации унитарных неприводимых представлений [85, 87].

Во-первых, их можно реализовать в пространстве STt, Х = (щ, HzY гДе И1 и n2 — комплексные числа такие, что (щ — и2) — целое число. Пространство 9~г— это пространство функций /(z, zY удовлетворяющих двум условиям.'■

100

Функция /(z, z)sC”, т. e. является бесконечнодифференцируемой при всех значениях z:

Км)еС".(6.4)

/ (z, z) = ?i~V2“7(- 1/z, - 1/7) e C”. (6.5)

Представление T^g) определяется формулой

TX (g) / (z) = (Pz + б)"1’1 (Pl + dp"1 / (zg),

Zg = (az + y) (Pz + 6)"1.(6.6)

Для представлений основной серии

«1=(/о + &), «2 = (—Jo + i^),(6.7)

а скалярное произведение имеет вид

</11/2> = ^ J/iM^^-(G-8)

Для представлений дополнительной серии

п^ = пг = б, — 1 < о < 0,(6.9)

а скалярное произведение имеет более сложный вид:

<Л1 Л> =

= л"2 J J | Zx - Z2 Г2(а + 1) 71 (21) /2 (22) ^d^. (6.10)

Таким образом, для представлений класса I имеем щ = пг = п = IX и

7’(?)/(2)=]pz + 612('-,)/(2g).(6.11)

Нетрудно проверить также, что вектор, инвариантный относительно максимальной компактной подгруппы и нормированный, имеет вид

/„(z) = (l +]z|2)-1+\(6.12)

Для того чтобы получить вторую реализацию представления, отобразим z-плоскость на сферу 52 = {п;п2=1) с помощью преобразования, обратного стереографической проекции:

|z|=tg|, 008 0=™^^, sin 0 exp (г-ф)=—^ |2-. (6.13)

Мы приходим к реализации представлений в пространстве функций /(п) па единичной сфере S2 = {n; n2 = 1). При этом.

Ш2 = ^ Jl/(n)Nn,(6.14)

101

где функция /(п) связана с функцией /(z) формулой

/(z) = /0(z)/(p) = (l + |z|2)-*^^(6.15)

Отсюда получаем закон цреобразования функций /(п):

T4gWW^-^rt+i4M,(6.16)

где четырехмерный вектор (£0, %), &о — V = 11 &0 > 9 определяется формулами

^ = (1/2)(1_а12+1012 + |Т|2 + |6|2),

^ = (1/2) (ау + ау + 06 + 06),

ёг = (—1/2) (ау - ау + 06 - 06),

£3 = (1/2) (|а|2 + |0|2- lyl2- i6l2).(6.17)

§ 6.2. Когерентные состояния

При второй реализации представления вектор, инвариантный относительно максимальной компактной подгруппы, есть /,(п)М, и действуя на него операторами Тх(^, получаем систему КС:

^/Ым^-^г1^ ^-F = lx 1>>0. (6.18)

Таким образом, когерентные состояния нумеруются точками верхней полости двухполостного гиперболоида. Эта система функций была рассмотрена впервые (из других соображений) в работе [81] и оказалась весьма удобной при изучении ряда вопросов теориц представлений группы Лоренца и теоретической физики.

Гельфандом и Граевым (см. [17]) была установлена связь такого подхода с орисферическими преобразованиями, был сформулирован так называемый метод орисфер для общего случая и был детально рассмотрен случаи комплексных полупростых групп Ли.

Перейдем к рассмотрению свойств системы КС. Такая система с небольшими модификациями обладает всеми свойствами, перечисленными в § 5.2. Отметим некоторые из них (см. соответствующие пункты в (5.2.2)).

2'. Группа G действует на множестве КС транзитивно, и это действие дается формулой

Лг)1Р = ИД ^6 = g^ (6.19) где g — вещественная матрица четвертого порядка, удовлетворяющая условию'

g'sg = s, s = di^g[l, -1, -1, -1].(6.20)

S'. Скалярное произведение двух КС дается формулой ai4>-®»w-^.(6.21)

где

ch т = (^4)i= бо.Чо ~ ^Ч-(6.22)

^'. В пространстве представления ^ существует базис (|Z, m>} из собственных векторов операторов

J2 = 72 4" /2 4" /3 И J3>

J21I, m) = 1(1 + 1) 1I, т), J3\l,m> = тД1, т),

1 = 0, 1, 2, ...,(6.23)

Здесь /А—оператор инфинитезимального вращения вокруг оси хк, к = 1, 2, 3.

Разлагая КС по этому базису, получаем

ll> = 2^m(|)|Z,m>,(6.24)

где* *• •

ик(^ = <1,т\ХЛ>.(6.25)

Состояние 1|> является нормированным, поэтому

21^(1)? = !.(6.26)

Отметим также, что

uUl) = ^)y<m(v).(6.27)

Здесь мы обозначили через v единичный вектор, § = = shT-v, У/т(у)—стандартные нормированные сферические функции: (4л) 1 j У1т (v) Уw (v) dv = Ъц’Ьтт>-

5'. Функции ^(т, v), будучи матричными элементами оператора ^(g'), являются собственными функциями оператора Лапласа — Бельтрами для пространства Лобачевского

'-&&M = (A84 l)^m(T,v),(6.28)

где

А = —g + 2 cth т -5- 4—2— ^v’дт28х sh2т

Ду —9 *4" ctg 6 -Хд 4“ —9е(6,29)

ее2 6 so sin2e5(p2

■ При этом для представлений дополнительной серии получаем X = to, — 1 < а < 1.

6'. Зональная сферическая функция Фх(т) является собственной функцией радиальной части оператора Лапласа — Бельтрами:

(

.?27 \

+ 2cthт£ Ф,(т) = (X2 + 1) Фх(т). (G.30)

7'. Функции ^(т, v) являются собственными функциями коммутирующих самосопряженных операторов А, J2 и /3 и образуют ортогональную систему функций в пространстве Лобачевского. Для случая представлений основной серии класса I имеем.

j j «т (Т, v) и;т' (т, v) sli2 тcZtdp, (v) = Ari (X)6u,6mm.6(X—X'), Ф (v) = ^ dv, Jdp (v) = 1.(6.31)

8 . Коэффициент М(Х) определяется асимптотикой функции К; (т) при т°C

^z (т) ~ (Ci (X) exp (<Хт) + Ct (— X) exp (— <Хт)) exp (— т).

(6.32)

Именно, нетрудно доказать, что

АЧХ) = М(-Х)=^|С;(Х)|2.(6.33)

9'. Коэффициент No определяет меру Планшереля для представлений основной серии. Именно,

/(т) = |/^у/(Х)Фх(т)^(Х), dnW = WX, (6.34) где /(X) находится по формуле

/ (X) = V3 Г Фх (т) / (т) sh2r dx. (6.35)

V л

10'. С помощью формулы (6.21) нетрудно получить выражение для производящей функции матричных элементов <Z, m\Tx^\V^ т'). Рассмотрим выражение ^I^Pg) lip. Нетрудно видеть, что

<£|Г(£)1гР = ФДт),(6.36)

где .

сЬт = (^цД = (^, gr]),(6.37)

г — расстояние между точками ^ и ц4.

104

Теперь перейдем к рассмотрению конкретной реализации представления Xх (g). Оно действует в пространстве квадратично интегрируемых функций па единичной сфере S2 = {н; п2 = 1):

r(g)/(n) = (^-^n)-^/(ng). (6.38)

При такой реализации представления вектор, инвариантный относительно максимальной компактной подгруппы К = SO(3), есть /о(п)—1, и действуя на него операторами Xх (g), получаем систему КС

)Х (н) = (£0 - |п)-1+Л = Ф„ (У =Ф^(т, V).(6.39)

Отметим ряд СВОЙСТВ функций Фп(£) = Фп(|),1 =

-(l-j^-v^

11'. При фиксированном п функция Фц(£) посто- яипа па орисферах пространства Лобачевского {£: 1^1 < < 1), которые в данном случае являются сферами, касающимися сферы {£: 1^1 — 1) в точке £ = п [17].

Уравнение орисферы имеет вид

(= ch т — sh т (nv)) = const. (6.40)

Поэтому ядро К ® п) = Фп (?) можно назвать орисфе- рическим ядром, и следовательно, при используемой нами реализации представления Xх (g) система КС задается орисферическими ядрами.

12'. Заметим, что

|ф£®|2=[——I =P(S, П),(6.41)

।+1 g|а — 2gn/, v 7 v 7

где Р® п)—ядро Пуассона для шара {£: 1^1 <1):

А;Р®п) = 0.

Таким образом,.

/; (п) =Р ® п)М)/2.(6.42)

13'. При фиксированном п функция Фп® является собственной функцией оператора Лапласа — Бельтрами А = (1 — 1£12)2А (А — обычный оператор Лапласа для трехмерного пространства)

-АФ„® = (Х2 + 1)Фп®. (6.43)

Эти функции являются естествепым обобщением плоских волн для случая трехмерного пространства.

>4'. Ортонормированный базис, являющийся собственным для операторов J2 и Л, где Л, А и А — инфииитези- мальнце операторы максимальной компактной подгруппы группы G = 50(3) имеет вид '

<У/,т(д)}.(6.44)

15'. Разлагая КС по этому базису:||> =2ыгт(|)|Л т> и замечая, что щт(|)=<Z, m|§>, приходим к интегральному представлению для функции u?"m(|):

uL (I) = J Ylm (n) (^0 - |n)-1+adp Co). (6.45)

16'. Для зональной сферической функции (Z = 0, т = = 0) это представление упрощается;

2Л

Ф?, (т) = ^ -j" (ch т —sh T.cosOp^’SinO dO. (6.46) о ■

17'. Система функций, описывающих КС, удовлетворяет соотношениям ортогональности

Jo?;(?W?(?W(?) = ^0(X)«(x-x^. (6.47)

J Wn (?) Фп (?') dyL (X) dpi (n) = 6 (t - t').6 (v, v'),

? = thr-v.(6.48)

18'. С помощью этих соотношений мы можем разло- житр произвольную функцию в пространстве Лобачевского по функциям Фп(?)

/ (?) = (2n)"3/2J / (X, п) Ф^ (?) dn d^ (X), dp(X)=X2dX, (6.49) где

М и) = (2л)-3/2 J Ф^(?) / (?) dp (?).(6.50)

19'. Функции Фп(?) тесно связаны с задачей рассеяния. Для того чтобы увидеть это, перепишем оператор Лапласа — Бельтрами в виде

Д = —2 + 2 cth т + (sh т)-2Д6(|) =

= ДГ^811Т-1 + (sh^-2AeT- (651)

Отсюда следует, что функции

^^(t) = вкт-Д^т)

' удовлетворяют уравнению

\ <Zt2 sh2T /\ <Zt2 sh2T /^Z (t) = ^2 ^z" СО,^Z (t) = ^2 ^z" СО,(6.52)(6.52)

\ <Zt2 sh2T /

\ <Zt2 sh2T /

^Z (t) = ^2 ^z" СО,

^Z (t) = ^2 ^z" СО,

(6.52)

(6.52)

которое имеет вид уравнения Шредингера в потенциале 7г(г)= Z(Z+l)sh-2 т. Отсюда также видно, что асимптотика функции ф! (т) при т -* °° имеет вид

г|ф (т) ~ Ci (к) exp (гХт) + Ct (— X) exp (— гХт), (6.53)

а 5-матрица для данной задачи имеет вид

5(X) = -C,(X)7G(-X). (6.54) Заметим, что рассматриваемая задача тесно связана с задачей рассеяния заряженной частицы в кулоновом поле [57, 58].

20'. Для нахождения коэффициентов Сг(Х) удобно перейти в (6.45) к пределу г ~*00 под знаком интеграла. Так, например,

У(т) 1+'Xyzz(n)zZn = Cz(X)yzz(v), (6.55)

и, вычисляя этот интеграл, получаем

(6.56)(6.56)22ir(Z + 3/2)Г(1 + iX)

(6.56)

(6.56)

г (з/2) ZKr^ + l + iX)1

21'. Таким образом, 5-матрица для рассматриваемой здесь задачи рассеяния имеет вид

(6.57)(6.57)с т _ г (1 + zx) г (z +1 — zx)

(6.57)

(6.57)

Г(1— ZX) Г U-f-1 + ZX)

и обладает полюсами в точках X = zm, — i(l + k), т, к = = 1, 2, ...

22'. Заметим, наконец, что из интегрального представления (6.45) нетрудно получить явное выражение для функций 2?z (т)

Rtto = Bi (sh т)^ (a, b, с; — sh2T),

. (6.58)

а = 72(Z+l + iX), 6 = 72(Z+1-zX), c = Z+72.

Глава 7

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ 5О(«, 1): ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ СЕРИИ КЛАССА I

В настоящей главе результаты глав 5 и 6 переносятся на случай группы SO^n, 1) для произвольного п.

§ 7.1. Представления класса I группы SO^n, 1)

Группа G = SO(n, 1) — это группа линейных преобразований (n + 1)-мерного пространства, которые оставляют инвариантной квадратичную форму

ж3 = д'о —х3, а; = (z0, х), х = (zt, z2, ..., zn). (7.1) Условие инвариантности этой формы ■ удобно записать в виде

■g'sg = s, или g-1 = sg's.(7.2)

Здесь g и s — вещественные матрицы порядка (п+1), g' — матрица, транспонированная матрице g,

s = diag[l, —1, —1, ..., — 1].

Группа SO^n, 1) некомпактна. Максимальной компактной подгруппой К группы G является группа 50 (п). Факторпространство X = GIK — это хорошо известное n-мерное пространство Лобачевского. Его можно реализовать разными способами. Мы используем реализацию в виде внутренности единичного шара

'(С: 151 <0

и в виде верхней полости двухполостного гиперболоида: {^ = (^^ ^ —^2 = 1, ^о>О].

Нам понадобится также вложение пространства X в группу G. Удобный для нас способ таков:

/|I \

^ = Qo, 1)-*^ = (|' Тф^^!)-1!'®^'^'^

Нетрудно проверить, что соотношение (7.2) выполняется, т. е. gx s G.

Что касается унитарных неприводимых представлений класса I, то для группы G все они содержатся среди представлений основной и дополнительной серий.

Рассмотрим реализацию пространства X в виде единичного шара D = {£: |£| <11. Границей этого шара является (га—1)-мерная сфера S"-1 = {п: п2 = 1), и, как нетрудно видеть, это пространство является однородным относительно действия группы G. Представления основной и дополнительной серий можно реализовать в пространстве квадратично интегрируемых функций (/(п)} на S"-1. Такое представление характеризуется одним вещественным числом X и задается формулой

^и)/(п) = (^-|гп)а/(пД(7.4)

где

о- — р + а, p=^?^f ^o^^oo. y = gjo- (7.5)

Для представления основной серии X ^= 0, а скалярное произведение дается формулой

</il/2>= J /1 (п)/а(п)ф(п)йр(га) = 1.(7.6)

sn-l

Для представлений дополнительной серии X — чисто мнимое: X = iv, —р < v < р; следовательно, о — вещественное число:

—2р<о<0, — (га—1)<о<0.(7.7)

Скалярное произведение здесь дается более сложной формулой [15]

</1'|/2> = С„ f J [1-(п.п')]а+1-"Х

sn-lsn-l

X /^^^(^^(^^(п'),(7.8)

Когерентные состояния

Систему КС для представлений класса I определим формулой

где [тро^ — вектор 96х, инвариантный относительно ^(й), кеК, g^, дается формулой (7.3).■

Не+рудио видетЬ, что’ в й-прёдётайлёййй роль вёйЛора 1^ф0> nrtiaef функция /«(ii)Bl. Действуй йа йёё опёфйто- ifoute T^g), получаей систейу КС:

16> -* /в (n) = & - £пГ₽ш = Ф^ (I).(7.10)

Свойства э1о'й сислейй КС айалбёйчЙЙ ЙёйётЙай ёй- стемы КС дЛя груййы Лорейна (ей. $ 6.2). Здесь йь( Перечислим лишь некоторыё из эййх саййётй.

Скалярное прбйзйёдёпйе двух КС даётей формулой

<Ип> = <^ol^(«t) lipo> = Фл(г), (7.11) где г — расстояние между точками £ и ц,

сЬт = (^-ц) = §оПо-^-Ч, /ch (т/2) sh (т/2)\,- , „.

ат = ^sh (т/2) ch (т/2)/-

При ограничении представления Тх на максимальную компактную подгруппу К = 8О^п^ представление разлагается на неприводимые компоненты, причем в это разложение входят лишь представления группы К, характеризующиеся одним целым числом к

96х = ф 96х.(7.13)

1=0

Поэтому в пространстве представления можно выбрать базис (17, ц>}, где р — числа, характерйзующйе базйёйый вектор в 96х. Эти векторы являются собственными векторами оператора <Р для группы К iJ2 = 2 Jkt\-

J2|Z, p> = Z(Z + n-2)|Z, р>.(7.14)

Число векторов в 36х равно размерности представления Т1 группы 80^ и дается формулой

,(21+ п—2)(Z + re —3)!.- .-.

=W-2^\1(715)

Разлагая КС по базису IZ, р>, получаем 1£> = 2<№, й>,(7.16)

ГД6u^(|) = <X,Z, № = <l, p|r\gg)|0>.(7.17)

СостояниеЦ> является нормировавшим,поэтому

214(1)12 = 1.(7.18)

Отметим также, что

^(^) = ^(T)yZll(v), £0 = chr, ^shr-v. (7.19)

Здесь v — единичный вектор: v2 = l; УД(у)— стандартные нормированные сферические функции:

J YivAVhYiv M^i.tv) = 6U'Wi pp(v)=l.

функции «^(т, v), будучи матричными элементами оператора T^g), являются собственными функциями оператора Лапласа — Бельтрами для пространства Лобачевского

- ^ (т, у) = (л2 + р2) и^ (т, V),(7.20)

где

А = -А = -(7.2J)(7.2J)а 1

А = -

А = -

(7.2J)

(7.2J)

2р ctli т— Н— А.

rfTsh2т

Av —оператор Лапласа ^ Бельтрами па (п— 1)-мерной

сфере;

S""* = {v. V2 = 1}

Отсюда следует, что функция HZ'(T) удовлетворяет уравнению

- —2 + R-t c^hт— +L Rt^ =

/ sh т

= [v + ('^У]^(т). (7.22)

Функции 7?; (т) связаны с задачей рассеяния частицы в потенциале 7(т) = g1 sh-2 т. Для того чтобы увидеть это, перейдем к новой функции

п—1^(T) = (shT) 2 Н\кт\п—1^(T) = (shT) 2 Н\кт\

п—1

^(T) = (shT) 2 Н\кт\

п—1

^(T) = (shT) 2 Н\кт\

Нетрудно видеть, что она удовлетворяет уравнению Шредингера

-y-2+rz(T)'j^(T) = X2-F?-(r),(7.24)

где

(7.25)И1(7.25)И1.F;(t)=[(h/2-1 + Z)2-1/4]s]i-2t.

(7.25)

И1

(7.25)

И1

Отсюда видно, что Tj' (n, т) ~ Tq (п + 21, т) и, соответственно,

R^t (п, т) = Bnt (sh т)г7?о (и + 21, т) =

= Bni (sh т)гФх (п + 21, т). (7.26)

Решая уравнение (7.22), получаем явное выражение для функции R^ (т):

В^ (т) = Bnl (sh т^Е (а, Ъ, с, th2 т) (ch т)“р+а;

а = (р + I — гХ)/2, Ъ = (р +1 + 1 — 1X^/2,

c = p + Z+l/2, (7.27)'

где F (а, Ъ, с; ж) — гипергеометрическая функция.

Асимптотическое поведение функции Ri (т) имеет вид

R^ (т) ~ (С/ (X) ехР (i^ + Ct (— X) exp (— z’Xt)) exp (— рт).

(7.28

Из выражения (7.26) находим следующее выражение для коэффициента Ci(Xy.

р R 22,Г (р + I ф 1/2) Г (р 4' ^Х) р z^\ m пл\ W = Вт г(р + 1/2) Г(Р+/+Щ '•(7-29)

Функции ^^(т, v) образуют ортогональную систему функций в пространстве Лобачевского

J J и\т (т, v) и.ут, (т, v) (sh т)"-1 dr dp (v) =

= ^(^)б/Лт'6(Х-Х'). (7.30) Здесь

dp(v) = Adv, Jdp(v) = l.(7.31)

Коэффициент WZ(X) определяется асимптотикой функции B'i (т) при т со;

^(Х) = л|С,(Х)12.(7.32)

Функция Фх(т) — зональная сферическая функция — является собственной функцией радиальной части оператора Лапласа — Бельтрами

^ + (й - 1) Cth т^ Фх (T)=(V + р2) Фх (т), р=^.

dTI

.(7.33)

(7.34)(7.34)(7.35)(7.35)(7.36)(7.37)(7.36)(7.37)Она нормирована условием Фл(0)=1.

(7.34)

(7.34)

(7.35)

(7.35)

(7.36)

(7.37)

(7.36)

(7.37)

Из явного выражения

Фл(т) = 7г(а, b, с; — sh2

a = (p + zX)/2, Ь = (р —zX)/2, с = р + 1/2, получаем выражения

г и \ - V2 / Г (гХ)

°?'Ул гр-Х + р)’

No (X) = л | Со (X) р.

Коэффициент Л^0(Х) определяет меру Планшереля для представлений основной серии. Именно,

WH^WM’(7-38)

W) =ап=2-("-2)Мг(-1)]“1, (7.39)

7(Х)=а^Фь(т)/(т)(8Нт)"Л/т,(7.40)

J | / (т) I2 (sh т)""1^ = J | / (X) |2dp (X).(7.41)

Рассмотрим теперь свойства системы КС в п-представ- лении:

Фпф = &.-£п)-рН\ р = ^-.(7.42)

Система функций Фп (I) является полной и ортогональной:

(2л)-" У Ф^ (I) Ф?; (I') dp (n) dp (X) = 6 (I, I'),(7.43)

(2л)-п J ф£ (I) Ф^; (I) dp (I) = N (X) 6 (к - X') 6 (п, п'),

dp(|) = g-1dX(7.44)

С помощью этих соотношений любую функцию /(5) на гиперболоиде можно разложить по функциям Фп(|):

./(l) = (2T)-’’/2j7(>in)®(;Q)dp(X)dp(n)1(7.45)

8 А. М. ПереломовИЗ

где ,

7(Х, n) = ^r^S^HDd^^.(7.46)

При этом

J | /(X, n) |2 dy (X) dp (n) = J | / (I) |2 dp (£).(7.47)

Усредняя когерентное состояние по сфере {п; п2 = получаем выражение для зональной сферической функции:' ".

Фх (т) = f (ch т — sh т cos 0)ст dp (0),

dp (0) = —-1^)(Sin 0)n~2d0,

, О = — р + г'Х, р = ” ~Ч(7.48)

Отсюда нетрудно получить выражение через гипергеометрическую функцию:

ФДт) = (сйт)-₽+,^(а, 6, с; th2 т),

а = (р —iX)/2, 6 = (р — iX + 1)/2, с = р + 1/2. (7.49)

Нетрудно проверить, что это выражение эквивалентно выражению (7.35).

Для получения асимптотики при т -*■ °° это выражение удобно преобразовать к виду

2р—ir f—\

Фх (т) = (ch т)-” —-AiL (- х - у л I 1 v™ i Р)

X ^chr)^/^—j, —- у + Y’ 1 — iX; с11-2т) + к. с.}.

(7.50)

Отсюда сразу же следует асимптотическое выражение для Фх(т) при т «>:

Фх(т)~

г(а + р)У VеC.J,

(7.51)

где величина 60(Х) дается формулой

60(Х) = arg T(iX)— argr(p + iX). (7.52) 114

Вёййчййа б0(М является фазой расёеянйй в пЬТен- ЦйЯЛё

И0(т) =И0(т) =114 sh2 т‘114 sh2 т‘

И0(т) =

И0(т) =

11

4 sh2 т‘

11

4 sh2 т‘

Выражение для асимптотики Фх(т) можно получить более простым способом, а именно переводя к пределу т -► оо под знаком интеграла в (7.48). ЙМеёй

2"-2Г (у) Г(гЛ) (/Л Г (р ; ■ lA)2"-2Г (у) Г(гЛ) (/Л Г (р ; ■ lA)

2"-2Г (у) Г(гЛ) (/Л Г (р ; ■ lA)

2"-2Г (у) Г(гЛ) (/Л Г (р ; ■ lA)

Из (7.16) и (7.19) теперь следует разложение зональной функции

Ф,^ (I) = (ch т - sh т (v-n))-p+iX =2 «i^ Yiu (v) Yiu (n).

(7.54)

Нетрудно видеть, что■

^„(WH ^(vn), а = ^, (7.55)

где С? (ж) — полином Гегепбауэра степени I. Полагая v = п и интегрируя обе части (7.55) по dp(ti), получаем

2WHn)“tfM, (7.56)

где Коо=1, Jdp(n)=l,a dt дается формулой (7.15).

Окончательно получаем разложение орисферической волны

(cht— sli t (v.n))-p+,x =

^ (p + ^i^) Г (p 4/2)in

“'^(p-zX) ГФ^Й2+7) (cos °)M’ (7-57)

8*8*R^ to ~ xl при т -> о.R^ to ~ xl при т -> о.115115

8*

8*

R^ to ~ xl при т -> о.

R^ to ~ xl при т -> о.

115

115

Учтем теперь тот факт, что полиномы Гегенбауэра образуют ортогональную систему {G (cos 6)] на интервале (0, л) свесом (sin9)2a '

^ °> “ 2^ [лП^Т 6? <см °>' <’-58>

Из (7.57) получаем интегральное представление для зональной сферической функции

RK (т\ - 2'П Г (р - ='М Г (2р - 1) Г (Z + р + 1/2)

’ VS Г (р 4- z - а) г (р) г (2р -14- Z) х

Л

X j (ch т - sh т cos 0)“P+UC7 (cos 9) (sin 9)2“ de. (7.59) 0

Теперь нетрудно написать выражение для асимптотики присоединенной сферической функции при т -* °°

22р-1+,Г (Z + р + 1/2)|F(ZX)|Т/лI I' (р + Z + ZX) |22р-1+,Г (Z + р + 1/2)|F(ZX)|Т/лI I' (р + Z + ZX) |R^~

22р-1+,Г (Z + р + 1/2)|F(ZX)|

Т/лI I' (р + Z + ZX) |

22р-1+,Г (Z + р + 1/2)|F(ZX)|

Т/лI I' (р + Z + ZX) |

~ ехр (— рт)

X (exp [i (Хт + 6/)] + к. с.) I, (7.60) где

bi = arg P(iX) — arg Г(р + 1 + iX).(7.61)

Разложение когерентного состояния при т -* °° принимает теперь вид х

_ Г(р+ Ш)2^1_ Г(р+ Ш)2^1(ch т — sh т cos 0)~р+а =

_ Г(р+ Ш)2^1

_ Г(р+ Ш)2^1

exoZ + P-1/2) r(p + z- ^)

ллР РX р—1/2 У r(p-iX)

л

л

х(гфТгЬ»схР<ат) + к.4 (7.02)

Заметим, что при Х-* °°, т 0, Хт = const происходит переход к случаю плоского пространства, и наши формулы переходят в формулы для разложения обычных плоских волн. В частности,

exp [i6;(Z)] ~ (—l)!exp(i60(Z)).

Глава 8

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ БОЗОННОЙ СИСТЕМЫС КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

В этой главе изучается система КС для бозонной системы с конечным числом степеней свободы. Состояние системы задается комплексной симметричной матрицей, удовлетворяющей некоторому дополнительному условию. В изложении мы близко следуем работам [160, 102].

§ 8.1. Канонические преобразования

Напомним, что основные операторы, используемые при описании бозонной системы) с N степенями свободы,— это операторы рождения at и уничтожения аА (/, к = = 1, ..., Му Эти операторы действуют в стандартном гильбертовом пространстве 36в — так называемом пространстве Фока и удовлетворяют перестановочным соотношениям:

[йд at] = 6М, [а;, акА = [at, at] = 0.(8.1)

Нас будут интересовать преобразования, не меняющие перестановочных соотношений (8.1). Такие-преобразования называются каноническими. Простейшие канонические преобразования — преобразования смещения а^ а, + а,-, где а,- — произвольное комплексное число, изучались в главе 1.

Рассмотрим теперь наиболее общее линейное однородное преобразование операторов а,- и at:

aj—>а^ = ityaj 4- а^как , а^ —^ at— a^aj 4- Hytak .(8.2)

Это преобразование является каноническим при выполнении условий)

UU* -VV* = V UV' = VU', С7 = [««], Г = Ы (8.3)

которые, в свою очереди э'йвйй^лентны следующему условию для 2N X 2N матрицы:■

М = (р Я> ^^+ = ^. # = (d -l)-(8.4)

Отсюда нетрудно найти выражение для обратной матрицы.

= ЕМЕ = F+ t/J (8.5)'

и с ее помощью переписать условия (8.3) и (8.4) в виде М+ЕМ = Е, U+U-V'V = V U+V = V'U. (8.6)

Из соотношений (8.3) и (8.6) следует, в частности, что всегда существует матрица, обратная матрице U, и поэтому

ГМУ = V'^U-1y, ГС/-1-^-1)'^,(8.7)

что эквивалентно условию симметричности матриц

^ = U~lV и W-VU'1.(8.8)

Из (8.3) и (8.6) полуйаем

Y-ZZ* = ф*иу1, I-W+W = (UU+Y‘-(8.9)

ОтС1бдй следует, что матрицы I — ZZ* й I — W+W положительно определены.

Матрицы М, удовлетворяющие условиям (8.3), (8.6), образую! группу отйоситеяьно обычного произведения матриц. Эта группа называется вещественной симплекти- чёсйой группой и обозначается Sp (27V, (R).

.Отметим несколько свойств этой группы*).

Группа G некомпактна (ее инвариантный объем бесконечен), и слёдоватёльно, все ёё унитарные неприводимые представления бесконечномерны.

Группа G неодносвязна. Это значит, что в групповом пространстве существуют замкнутые пути, которые нельзя непрерывно деформировать в точку: наприМер, путь, отвечающий преобразованию а5 -* exp(2nint) ah 0< =5 t < 1, при любом целом п * 0 является замкнутым, но в точку деформирован быть не может.

Склеивая соответствующим образом бесконечное число экземпляров G, мы получаем уя<о одпосПязпую группу

G — так называемую универсальную накрывающую группы 6)..

Как мы увидим в дальнейшем, важную роль играет также группа С, которая дважды накрывает группу G — так называемая метапдеКтическая группа.■

■ 3. Максимальная компактная подгруппа группы Sp (2га, 0?) есть группа матриц вида ^ = (о t/)’^G

eU(N'), и следовательно, она изоморфна группе U^N1).

Матрицы Z(W) в формуле (8.8), как нетрудно проверить, являются представителями левых (правых) классов смежности группы G по подгруппе К. факторпрост- ранство G/К является симметрическим пространством некомпактного типа и, как следует из (8.9), может быть реализовано в виде комплексной однородной ограниченной области (так называемый единичный круг Зигеля [79J54])

I-ZZ+>0,(8.10)

где Z — комплексная симметричная га X га матрица. При э;гом группа G = Sp (27V, R) действует на множестве таких матриц, как группа дробнолицёйных преобразований

g: Z^Z = {UZ + У)/(7г + Г)-'.(8.11)

Возвращаясь к каноническому преобразованию (8.2), отметим, что согласно теореме Стоуна — фон Неймана [234, 196] операторы а, и а; унитарно эквивалентны. Уто значит, что существует унитарный оператор Т = Т (g) такой, что

а, = Та;Т*.(8.12)

При этом, как нетрудно видеть, операторы 7(g) образуют представление группы G = Sp (27V, R).

Нетрудно опцсауь также ипфцпитезцмальпые операторы (т. е. представление сротв.етствующей алгебры Ли). Пусть Т « I + ieH, где Н — эрмитов инфинитезимальный оператор представления. Тргда коммутатор [Я, а,] должен быть линеен по операторам as и at. Это действительно будет так, если оператор И квадратичен по операторам а5 и at.'

Мы приходим, таким образом, к рассмотрению алгебры операторов .

Х^ = а^г,-, Xj = ata}, ^ti = "^(a^at + а^а^). (8.13)

Перестановочные соотношения для них имеют вид

[Ху, XftI] = Щ, Xh+J = О,

1^Уг ^ы] = Wi + 6;iYjh + &u>Yц + 65lYiIn l-^y'i У„;] = ^uXjk + 6дХУпg

[^, Ки] = -М-Ш l^i П/1 = &ц¥м - 6h}Yit.

Рассмотрим теперь инфинитезимальные спмплектпче- ские преобразования. Для них М ~ I + вЖ.

Следовательно, матрица инфинитезимального симплек- тического преобразования удовлетворяет условию

Ж*ЕА-ЕЖ = 0,(8.15)

или

Ж* = -ЕЖЕ.(8.16)

Отсюда следует.

Ж=^^У ^' = ^, 9^=-Эк(8.17)

Рассмотренное нами представление Т (g) является унитарным и действует в стандартном гильбертовом пространстве 36 в — так называемом пространстве Фока (см. главу 1) с базисом

|И> — | пп ..., nN> = [nJ ... п^Г172^)^ . .(a^f^O),

|0> — так называемый вакуумный вектор:

Ю> = |0, ..., 0>, аДОП = 0.

Нетрудно видеть, что пространство 36 й приводимо относительно действия операторов (8.13). Именно, состоя- N

ния с четным (нечетным) |n|^2wj образуют прост- 1

ранство 36 в уже неприводимого представления Т* (соответственно 36 в для У-).

Следует, однако, иметь в виду, что эти представления являются двузначными представлениями группы Sp(27V, R), или, выражаясь точнее, представлениями метаплектической группы

Мр(2А\ К) = йр(2Л, 5).

Когерентные состояния

Перейдем теперь к построению систем КС для представлений Т* и Т~. Заметим прежде всего, что для произвольного g е Sp (2^, R) имеет место разложение

Т (g) = ^ ехр (^гДЙехр («уУу) ехр СА^у^у)- (8-18) где Л" — нормировочный множитель. При этом как в пространстве 5^+, так и в Зё- существует вектор 1ф0>, аннулируемый операторами Xti:

Хц\^=0;(8.19)

а именно

1ф0> = Ю> = 10, о, ..., 0> для Г+(8.20)

1фо> = 11, 0, ..., 0> для Т~(8.21)

(заметим, что в случае Т такой вектор не единствен).

Построение системы КС в обоих случаях одинаково, и мы рассмотрим здесь лишь случай представления Т*. Стационарная подгруппа Н состояния 1фо> в этом случае есть группа U (Л^):

Я^{g:g = (o^ UeUW. (8.22)

Действуя па 1ф0> оператором T(g), получаем, как обычно, систему КС типа VT, 1ф0>), связанную с бозонными операторами.

Из (8.18) следует, что КС |£> задается формулой

^> = Л’ехр(17^уХ$)|0>,(8.23)

где £— комплексная симметрическая матрица, а Л"— нормировочный множитель.

Далее, из формулы (8.18) следует, что КС |£> удовлетворяет уравнениям

ИЛИ

a^> = 7’(g)aj71-‘(g)l^>=0,(8.24)

(17а+Уа+)|£>=0.(8.25)

Отсюда получаем

(a+17-*Fa+)U> =0(8.26)

И

§ = -р-*У.(8.27)

121

Теперь из услббйя (8.3)

UU+ — W+ = I

вйДйо, что эрмитова матрица I —|£+ должна быть поло- жительйб опредёЙеййой. Это й есть условий, йеобХодймоё для .нормировки состояния |£\ задаваемого формулой (8.23). Мы оббзнйчйм множество кбмйЯёксййх симметрических матриц, удовлетворяющих этому условию, через SN. ,.

Итак, КС в нашем случае задается точкой пространства Sn- Что касается нормировочного мйожителя Л9, то вычисление дает-

Л9 = [бе1(1-^+)Г/4.(8.28)

Приведем тейерь некоторые свойства системы КС. Состояния системы неортогональны друг другу:

<^p> = <0|7’(g)|0> =

= [det(I - ^+)det(I - ПП+)]1/4 [det(I - Гп)] “,/2. (8.29)

Разлагая КС по стандартному базису, получаем l^i^^lin]),(8.30)

[П]

где суммирование производится по всем [п] = (П1, ..., п^ таким, что |и | = 2 ”j есть четное число. Отсюда находим

2 “[п] (5) “[n] (ц) = [det (I — ^ц)]-172! I ИI — четное. [П]

(8.31)

Заметим, что из (8.30) для u[m](§) следует интегральное представление

«[т] (£) = ( {[тЙ}-1/2 zm exp ^к^ с/ц (z), (8.32)

{

к1 .

— 2 I zj I2} П ^с?Уа, Zj = xj + igj, iJ k'

|m] = 2mj— четное число.

Функция u[m](t) является однородным многочленом степени 1тга|/2 от элементов матрицы ^ и, как было ио- казайб в [160], удовлетворяет системе уравнений

^KijKi-nx— KjmK^) U[m] (^)= 0,(8.33)

где '

К» = ^г Ki^^ (8>34)

Интересующий нас класс функций ^"jv = {/(^)}, где / (^) = 2 c[m]U[m] (£), I m | — четное, это — функции, ' аналитичные в обобщенном единичном круге Зигеля Sn, удовлетворяющие системе уравнений (8.33), а также условию

II/II2 = 2|с[т]|2< 00 (I m | — четное). (8,35)

При атрм из ($.35) рледурт

(8.36)(8.36)!/(§)! ^П/И [det(I-§4)]-1/4.

(8.36)

(8.36)

Отметим также следующую полезную лемму [160].

Необходимое и достаточное условие того, чтобы целая функция exp {/2 (z^z)} была нормированной относительно меры dpw(z) есть условие положительной определенности матрицы

1-^ = 1-П(8.37)

Приведем формулу для действия представления T+(g) ц пространстве S^n-

T4g)f№)=lWA-№^x

XH^ + W4V-VW)). (8.38)

Описание операторов в пространстве 38>Х

Пусть А — произвольный оператор в З^в- Сдедуя общей теории, поставим ejty в соответствие крваррантный символ

^(1 §)=<§|2|р, <ВН> = 1.(8.39)

Рассмотрим операторы

Xjk = щд^, 5 ^ === ^з ^ь*(8.40)

Простые вычисления показывают [102], что ковариантные символы этих операторов суть элементы матриц*)

А = пШ -VXV=^-xvr4

в=ад-14)-V = HV (I - £Г) "4.(8.41)

*) Здесь мы вводим параметр И (постоянную Планка) в определение ког'ерентйых состояний (8.23) И перееТанобвочные соотношения (8.1).

Заметим, что матрицы А и В удовлетворяют соотношениям'

(8.42)(8.42)(в + |l)“ -АА = ^\

(8.42)

(8.42)

ВА = АВ, А'= А, ' В+=В, В>0.

Справедливо также и обратное утверждение [102].

Если матрицы А, В удовлетворяют соотношениям (8.42) и матрица А-1 существует, то существует такая матрица §, что А и В даются выражениями (8.41). Нетрудно видеть далее, что произвольный элемент алгебры Ли группы Sp (22V; R) имеет вид (8.17)

Ь=(8.43)

где матрица ^ — комплексная, а ^ — аптиэрмитова и si' =$i. Подставляя сюда ^ = i ^В + ^ l) и si = tA и выражая с помощью (8.41) Л и В в терминах £ и £, мы получаем вложение многообразия Sx = {%} в алгебру Ли ^. При этом образ Sv в ^ зависит от Й, и мы обозначим его через 8М^. Пусть toeS^, Тогда нетрудно показать, что

^(6, 1)^-1 = ^(^, й),(8.44)

где geG.'

Следовательно, многообразия SN(ji) являются орбитами присоединенного представления группы G=Sp(2N, К)

Соотношения (8.42) теперь можно переписать в виде

/ ♦ \2 мш)2=(у г,/ ♦ \2 мш)2=(у г,(8.45)(8.45)

/ ♦ \2 мш)2=(у г,

/ ♦ \2 мш)2=(у г,

(8.45)

(8.45)

где I — единичная матрица..

Заметим, что при 7г -*- О мы приходим к пространству комплексных унитарных симметрических матриц

(8.46)(8.46)Z+Z = I.

(8.46)

(8.46)

Таким образом, многообразие SN(0) лежит па границе круга Зигеля {Z:I — ZZ>OV Многообразие SN Является кэлеровым многообразием. Это значит, что оно является комплексным многообразием и на нем существует риманова метрика, которую можно записать в локальных

координатах в следующем виде:

^=2^=2dz™d z₽dz™d z₽(8.47)(8.47)

^=2

^=2

dz™d z₽

dz™d z₽

(8.47)

(8.47)

где функция F^z, z) называется кэлеровым потенциалом. Метрика (8.47) инвариантна относительно преобразований группы G, если потенциал F удовлетворяет условию F^gz,, gz) = F(z, z) + a(g, z) + a(g, z),(8.48)

где a(g, z) является аналитической функцией z“ (т. e. не зависит от z“).

Пусть z е SN. Рассмотрим функцию

/(z, z) = det(I — ZZy(8.49)

Из (8.49) следует, что

Kgz, gz^j^z, z)a(g, z)a(g, z),(8.50)

где■_ _

a(g, z) = det(U + VZ^-\(8.51)

Следовательно,;

F(Z, Z) = —V2 In/(Z, Z)(8.52)

— потенциал инвариантной кэлеровой метрики. Отсюда получаем

ds2 = V2 tr (dZ (I - ZZ) -'dZ (I - ZZ) -*).(8.53)

Введем скалярное произведение (x, у) = 1г(з:г/+) в пространстве матриц порядка п. Тогда метрику ds2 можно переписать в виде

ds2-^, AdZ), AdZ = '/2CdZC, C = ^-ZZ^1. (8.54)

Приведем еще выражение для оператора Лапласа — Бельтрамп на пространстве S„;

A=2tr[^(l-ZZ)^(l-ZZ)l,A=2tr[^(l-ZZ)^(l-ZZ)l,(8.55)(8.55)

A=2tr[^(l-ZZ)^(l-ZZ)l,

A=2tr[^(l-ZZ)^(l-ZZ)l,

(8.55)

(8.55)

где

а _az ~а _az ~аdzn1 а, 2аdzn1 а, 212 dzm аdznn12 dzm аdznn4 = м az \8Z)4 = м az \8Z)(8.56)(8.56)

а _az ~

а _az ~

аdzn

1 а, 2

аdzn

1 а, 2

1

2 dzm а

dznn

1

2 dzm а

dznn

4 = м az \8Z)

4 = м az \8Z)

(8.56)

(8.56)

Обозначим через 9"k^Sn^ гильбертово пространство аналитических функций на пространстве SN со скалярным

произведением.

(Л, Л) = CN (fc) j h ^.fa (Z) [det(l - ZZ)]ft/a d^N (Z, Z),

.(8.57)

где .-

dИ^ (Z, Z) = [det (I - ZZ)]-W П (8.58) Uj zn

— инвариантная мера на Sn, а нормировочная постоянная СДк1) определяется из условия (/0, /0)=], где f0(Z) = = 1. Используя результаты из [79], находим выражение для нормировочной постоянной:

^ ^ ^ И Г (^ 2) ... Г (А Л),п г

LNK )2 г (А — 2) Г (Л — 4) ... Г(£-2ЛГ)‘(8#59)

При этом интеграл в (8.57) сходится при к >2(^+1), а при А: <2(^+1) получается путем аналитического продолжения.

Выражение, полученное таким способом, определяет неотрицательное скалярное произведение на полупрямой к^ 2(^'+l), а также в точках слева от нее:

к = 0, 1, 2, .... (M-l).(8.60)

Мы будем поэтому рассматривать лишь такие значения к. Что касается векторов

Фу (Z) = Л(У) [det (I - ZV^V№

в пространстве ^"k^Sk^, то для допустимых значений к они образуют систему обобщенных КС.

Глава 9КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ФЕРМИОННОЙ СИСТЕМЫС КОНЕЧНЫМ ЧЦСЛрМ СТЕПЕНЕЙ СВрБОДЫ

,§ 9.i. канбпййсскйё преобразований

■ В этом ййрйграфё 36 = 96е — йрострайство Фбйа состояний фёрмйбЙнбй системы с N степенями свободы; af и ак — фермионные операторы рЬждёйия й уййчтоДё- пйя, нормированные так, что

{йу, а,к ] =7 djdk -J- Пд <Zj — 5jkl (^м ^а} ■ 1^9 i ^а 1 ■ 9. (9.1)

Рассмотрим линейные однородные канонические преобразования, т. е. линейные однородные преобразования операторов а„ ак, не меняющие перестановочных соотношений (9.1):■

О-э ^ 0-3 = ^Зк^к 4“ ^31^1 ,

a^-^d/- = vjhah 4- Ujiat.(9.2)

Эти условия эквивалентны условию уйитарности для матрицы М:

fU V \,

Л1 = Ь МММ.(9.3)

Отсюда получаем выражение для обратной матрицы

АГ1 = М+ = fН.(9.4)

\у+ ич

Предположим теперь дополнительно, что существует матрица, обратная матрице U. Тогда

u-w =-vyu^y, vu-l = -(u-iyv+,(9*.5)

что эквивалентно условию кососимметричности матриц

Z = U~W п W = VU-1.(9.6)

Из (9,2) мы получаем, что матрицы (I + ZZ+) п (I 4- W+W) —положительно определенные.

Нетрудйо. видеть, что матрицы Jf, удовлетворяющие условию (9.3), образуют группу относительно обычного произведения матриц и что эта группа изоморфна группе SO^N,®') —группе вещественных ортогональных матриц порядка 2N.

Отметим несколько свойств этой группы.

Группа SO(^,N; R) компактна (ее инвариантный объем конечен), и поэтому все ее унитарные неприводимые представлений конечномерны, ,.

Группа SO(2N; R) двусвяёцй: замкнутый путь, отвечающий повороту на угбл 2л, нельзя непрерывно де-

127

формировать в точку, а путь, отвечающий повороту на 4л, деформировать уже можно. Поэтому, взяв два экземпляра группы G и склеивая их соответствующим образом, мы получаем уже односвязную, так называемую спинорную группу Spin(2^).

В группе G имеется важная подгруппа К — подгруппа матриц вида ^ = (^ у), UeU^N). Эта подгруппа изоморфна группе U (Л").

Матрицы Z(W) в формуле (9.6), как нетрудно видеть, являются представителями левых (соответственно правых) классов смежности группы G по подгруппе К. Факторпространство G/К является симметрическим пространством компактного типа. Оно является комплексным многообразием, и матрицы Z(W), Z' = — Z задают локальную систему координат на этом многообразии.

Группа G действует на множестве этих матриц как группа дробно-линейных преобразований:

g: Z->Z = ([7Z+ F) (TZ + tZ)^.(9.7)

Заметим далее, что операторы а, и а, унитарно эквивалентны

«, = T(g)a}T(g)+, g = ^ V^EG, (9.8)

и операторы Т (g) образуют представление группы SO (2N, R).

Так же, как и в гл. 8, инфинитезимальные операторы представления квадратичны по операторам а, и at. Именно, операторы1

Х^ = а^, Х^ = а^а^, Уц = V2(а^+ — а^') (9.9) образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли группы SO (2N, R).

Перестановочные соотношения для них имеют вид

[Ay,Aft;] = [^, a+J = o,

[Ay, At] = 8дУ\h — bjkYи — ^uYjh + 6lkYjh (9.10)

[Ay, Ум] = 6uXjh — 6)iXitl1 [At, Уы]-6,^-6^, [Уу,Уы] = 6«Уи-биЪг

Рассмотрим теперь инфинитезимальные ортогональные преобразования. Для них

М « I + [еЖ,следовательно, матрица ^ инфинитезимального преобра-зования является эрмитовой: ^+ = Ж. Отсюда следует

== -^, ^+ = ^. (9.11)

Рассмотренное нами представление Т (g) является унитарным и действует в стандартном конечномерном (размерности 2№) пространстве — так называемом пространстве Фока с базисом |щ, ..., п^, где числа п, принимают лишь два значения — 0 и 1:

|[n]> = |n1, ...,nN>;=(atyi ... (a^v)nJV 10, .. .,0>,

|0> = 10, ..., 0> — так называемый вакуумный вектор, удовлетворяющий условиям а3Ю> =0.■

Нетрудно видеть, что пространство 36 приводимо относительно действия операторов T’(g) (9.9), а именно состояния с четным (нечетным) числом | п | = 5 ^; образуют пространство 36* уже неприводимого представления Т* (соответственно 36"" для Г").

Это так называемые спинорные представления группы SO{2N, R). Точнее, эти представления являются двузначными представлениями группы SO (2N, К) и уже однозначными представлениями группы Spin(27V).

Когерентные состояния

Построение систем КС для представлений Т*^ и Т~ (g) аналогично описанному в § 8.2. Мы приведем здесь поэтому лишь некоторые формулы для системы КС, связанной с представлением типа Т* (g)..

КС в интересующем нас случае дается формулой

|B>=^exp(l/2B^)|0>,(9.12)

где £ — комплексная кососимметричная матрица, а Л® — нормировочный множитель.

Состояние |£> удовлетворяет уравнениям

(^-W)lB> = 0.(9.13)

Нормировочный множитель Л® имеет вид

Л® = [det(I+Ц+)1-1/‘.(9.14)

9 А. М. Переломов9 А. М. Переломов129

9 А. М. Переломов

9 А. М. Переломов

КС не ортогональны друг другу:

<^ln> = <O|7'(g)|O> =

= [det(l + n+)det(l + nn+)]-i/W(I + VnH^^^ (9.15)

Разлагая КС по стандартному базису 1[н]>, получаем .!?> = А3 2 “и (?)![»]>,(19.16)

где [«] = («,, ..., п„), Hj = О, 1, а суммирование производится по всем [и] таким, что | п | = У, п, есть четное число.

Отсюда находим

2u[n](£)nw(n) = [det(Z-UM+V2- (9.17)

[”]Jn|—четное

Аналогично § 8.2 мы приходим к рассмотрению пространства 9"n — пространства полиномов от элементов матрицы £, которые могут быть представлены в виде

“ (?) = 5 Qm]^[m] (?), I rn I — четное.

В заключение приведем формулу для действия представления T+(g') в пространстве 9"n"

ГЧг)/(?)^е1(П + £У)]1/2/((П+£У)-1(Г+£Й))^ (9.18)

Описание операторов в пространстве 96 $

Аналогично § 8.3 произвольному оператору А в 96$ поставим в соответствие ковариантный символ)

А(1 £)=<£|А|£>, <^1р = 1.(9.19)

Пусть

А^ = ajah, Vjh = &к Gp(9.20)

Нетрудно показать [102], что ковариантные символы этих операторов суть элементы матриц

А=^(1 + ^)-, В = ^(1 + ^)-^,(9.21)

причем матрицы А и В удовлетворяют соотношениям

(В + Ai) — АА = [А) I,

В А = АВ, А' = — А, В+ = В. (9.22)

Обратное утверждение также справедливо. Если матрицы А и В удовлетворяют соотношениям (9.22), то существует такая матрица £, что А и В даются выражениями (9.21).

Далее, произвольный элемент х алгебры Ли группы SO {2N, R) имеет вид

<9-23)

где А — комплексная кососимметричная матрица, а матрица ^ эрмитова. Так же, как и в § 8.3, подставляя ^ = = В + у!и выражая А и В через £ и £, мы получаем вложение многообразия 9"м в 3. Это вложение зависит от ft, и образ 9" н в 3, как нетрудно видеть, является орбитой присоединенного представления группы 80 (2^ О?.) При этом, когда ft -> О, многообразие 9"N (ft) вырождается в точку. Это является отражением того обстоятельства, что для фермиевского случая предельный переход от квантового случая к классическому в обычном смысле слова не существует.

Отметим, что так же, как и в бозонном случае, многообразие 9"к является кэлеровым многообразием и кэле- рова метрика в локальных координатах имеет вид

ds2 = ^^L-dz^, F = In det(l + ZZ^. (9.24)

При этом метрика ds1 инвариантна относительно действия группы G = SO(2N, R).

Из (9.24) получаем выражение для метрики

ds2 = 72 tr(dZ(I + Z^Z^dZ*^ + ZZ*VY (9-25)

Вводя скалярное произведение (z, у) = tr(a:i/+) в пространстве п X п матриц, перепишем (9.25) в виде

ds2 = (dZ, AdZ), Adz-V^CdZC, С = (I + ZZ+)

(9.26)

Отсюда нетрудно получить выражение Для оператора Лапласа — Бельтрами на пространстве JU» — пространстве кососимметрических матриц порядка га

A=-2tr[^(l + Z+Z)^(i + zZ+)],(9.27)

(9.28)

Обозначим через 9\^Ж$?) гильбертово пространство аналитических функций на Жм со скалярным произведе

нием

(/it /2) = CN^ J /1 (Z) /, (Z) [det (I + Z+Z)]"ft/2 d^, (9.29)

где

^(Z, Z) = [det(l + ZZ+)j П "^ (9.30)

— G-инвариантная мера на Ли, а нормировочная постоянная CN^ определяется из условия (/0, /0) = 1, где /0(z)s- ^1.

Используя результаты из [79], получаем

С ил - Г^ + УУ+ОГ^ + ^+г) ... Г^ + 2ЛГ) ,Q „,. bN+ikK) Г (& + 1) Г (& + 3) ... Г(4-2У— 1) * Отметим, что для теории квантования (см. раздел 4 в [102]) представляют интерес пространства 2Г^ЖК^ при к = 0,1,2,...1

Глава 10

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯИ КВАНТОВАНИЕ ПО БЕРЕЗИНУ*)

Под квантованием обычно понимают построение квантовой системы, исходя из классической механической системы, ей соответствующей. При этом требуется, чтобы в пределе Й -»- 0, где Й — постоянная Планка, квантовая система переходила в классическую. Это требование назы

вается принципом соответствия. Очевидно, что может существовать много квантований, удовлетворяющих этому принципу.

Чисто математическое значение квантования состоит в том, что оно служит источником важных конструкций. Так, например, в развитом в работах Кириллова и Ко- станта методе так называемого геометрического квантования идеи квантования используются в теории представлений групп Ли (см. работы [38, 41, 173] и цитированную там литературу).

Для классической системы с п степенями свободы со стандартным фазовым пространством — линейным вещественным пространством iR2"= ^р, q \ р = (.Ри ..., Рп), q = = (^i, .... gn)} размерности 2п— хорошо известен следующий метод квантования. Гильбертово пространство состояний квантовой системы есть пространство квадратично интегрируемых функций {^(л:)} вещественных переменных x = ^xt, ..., хп). Операторы р, и q^ соответствующие импульсам Pi и координатам qh, задаются формулами

^(^ = ^(я), /W^) = — ^ ^М

Классической наблюдаемой величине /(р, q) ставится в соответствие «квантовая наблюдаемая» — оператор Цр, q), получающийся заменой переменных р, п qh на операторы р5 и qh.

Однако из-за некоммутативности операторов р, и q^, вообще говоря, необходимо указать также правило порядка расстановки этих операторов в функции /(р, q). Один из таких способов, обладающий рядом замечательных особенностей, был указан Г. Вейлем [250].

Однако, такое квантование применимо лишь к классическим системам с плоским фазовым пространством, так как оно основано па использовании канонических координат Pi, qk. Пример системы с искривленным фазовым пространством — это твердое тело с неподвижной точкой. К этой системе , обычное квантование неприменимо.

Оказывается, что в случае, когда фазовое пространство является кэлеровым однородным многообразием, также возможна определенная процедура квантования, предложенная и изученная Березиным [10, 11, 101]. Эту процедуру квантования осуществляют КС, связанные с данным пространством.

§ 10.1. Классическая механика

Под классической механикой мы будем понимать пару (^, со), где Л— некое дифференцируемое многообразие, а со — кососимметрическое тензорное поле второго ранга, компоненты которого со^ж) в локальных координатах удовлетворяют условию)

(10.1)(10.1)A dtoim № dto^ mh а«?Х n(0 гh (0 ;h (0Г = V.

(10.1)

(10.1)

axk axH axH

Обозначим через si- кД^ множество дифференцируемых функций на Л. Тогда (^) — коммутативная и ассоциативная алгебра по отношению к обычному сложению и умножению; она является алгеброй Ли по отношению к скобке Пуассона:

{/, gy^d^g, =(10.2)

То, что скобка Пуассона (10.2) определяет алгебру Ли, т. е. то, что выполнено тождество Якоби

M^g, М) + kgkh, /П + Wf, g» = 0,(10.3)

эквивалентно условию (10.1). Это нетрудно проверить прямым вычислением. Отсюда следует также, что условие (10.1) не зависит от выбора системы координат на ^. Если тензорное поле со (ж) не вырождено, т. е. det Ito"1 (ж) I 4= 0 при всех ж, то можно рассмотреть обратную матрицу со,,, (ж) и с ее помощью — внешнюю форму от = о);А (ж) da? Д da?.(10.4)

Условие (10.1) оказывается эквивалентным замкнутости формы (о. Таким образом, в этом случае многообразие Л оказывается симплектическим. Существуют, однако, важные механические системы, для которых требование невырожденности ®’* оказывается противоестественным.

Приведем несколько примеров.

^=Й2—плоскость с координатами р, д; со12 = = ~®21 = 1;

Ж = S1 X О?1 —двумерный цилиндр с координатами q е S\ ре®1. Иными словами, 0^д<2л, — оо<р<оо. Дифференцируемые функции на Ж периодичны по q с периодом 2л. Тензор ю и скобка Пуассона те же, что и в примере 1.

Ж = S1 X S1 — двумерный тор с координатами 0 ^ q < 2л, 0 ^ р < 2л. Дифференцируемые функции на Ж периодичны по обеим переменным с периодом 2л. Скобка Пуассона имеет вид (10.5).

Ж = 5г — двумерная сфера. Мера на №, инвариантная относительно вращений, имеет вид dp = г2 sin 0d0 Д A dtp, где т — радиус сферы. Это же выражение можно взять в данном случае и для 2-формы ы. Отсюда получаем выражение для скобки Пуассона в сферической системе координат:

Н = 1 ,(^9J._919J_\(Юб)

r2sine^Tde дедф р

Однако вместо координат 0 и ср более удобно использовать комплексные координаты, которые вводятся с помощью стереографической проекции:

z = х + iy = 2r ctg(0/2)exp(iy).(Ю.7)

Внешняя форма со в этих координатах принимает вид

1 / I z I2 Т2 —

w = Т 1 + TV dz^dz,(10.8)

\ 4г /

а скобка Пуассона имеет вид

{/, g} = 2jfl+^Y(10.9)

V J \4r2/ \®z 9z 9z 8z)''

Ж = Зг — плоскость Лобачевского. Мы используем модель плоскости Лобачевского в виде круга радиуса т с центром в начале координат на комплексной плоскости z. На плоскости Лобачевского существует замкнутая 2-форма, инвариантная относительно движений плоскости Лобачевского. Эта форма совпадает с инвариантной мерой на плоскости $г\

д / I z l2^—2—

« = А H-tv ^А^.(ю.ю)

Соответствующая скобка Пуассона имеет вид

<tfdg_9/ 9g. dz fa d79z)‘<tfdg_9/ 9g. dz fa d79z)‘/2\2

<tfdg_9/ 9g. dz fa d79z)‘

<tfdg_9/ 9g. dz fa d79z)‘

(10.11)(10.11){/, g} = 2i 1-Ш Г

(10.11)

(10.11)

\ 4г / \

Пусть 8 — произвольная алгебра Ли, С^ — ее структурные постоянные [е1, е?] = Сьек, {е^} — базис в 3. В качестве ^ рассмотрим пространство, дуальное к 3 ^ = 8*), т. е. пространство линейных функционалов на 8. Положим

ыу = С^.(10.12)

Тогда условие (10.1) следует из тождества Якоби для алгебры 8 (см. [8]). Этот пример тесно связан с примерами 1, 4, 5.

6а. Возьмем в качестве 8 алгебру Гейзенберга — Вейля. Пусть е1, е2, е° — базис в 8 такой, что

[е*, е2] = е°, [е*, е°] = [е2, е°] = 0.

Координаты в [R3, соответствующие е°, е1 и е2, обозначим через е, р и q. В этом случае ®12 = — ®21 = 8, и скобка Пуассона имеет классический вид

Пусть 8 — алгебра Ли группы 5(9(3). Если выбрать стандартный базис 8 с перестановочными соотношениями [е„ ej = 8дае;, /, к, I = 1, 2, 3, где г5ы — стандартный полностью кососимметрический тензор, то скобка Пуассона принимает вид

{/, g\ = ^tjk^dpf dhg, d}f = Д. (10.14) OXJ

Переходя к сферическим координатам

я1 = г sin 0 cos <р, а? = г sin 0. sin ф, ^3 = rcos6, из (10.14) получаем

и а\_(10 15)

V’ ь> гвтв^Уф дфдО/

Таким образом, для функций / и g при фиксированном г скобка Пуассона (10.14) с точностью до множителя совпадает со скобкой (10.6).

Аналогичное соотношение имеет место и для скобок Пуассона для алгебры Ли трехмерной группы Лоренца и скобок Пуассона для плоскости Лобачевского. .

136

Квантование

Следующее общее определение квантования было дано Березиным в [10]. Квантованием 31 классической механики (^, <в) будем называть ассоциативную алгебру с инволюцией, обладающую следующими свойствами.

Существует семейство ^л ассоциативных алгебр с инволюцией таких, что

) индекс h пробегает множество Е на положительной части вещественной оси, имеющее 0 предельной точкой (0 не входит в 5);

алгебра 31 состоит из функций /(/г), принимающих значения в ^h, heE. Инволюция и умножение в 31 связаны с инволюцией и умножением в Жь обычным способом: (f) (/г) = (/ (/г))а , где а и а — инволюции в 31 и ^h соответственно, (/х * /2) W = /1 W * /г(^), гДе *, * — умножение в 31 и соответственно. Параметр К играет роль постоянной Планка. В дальнейшем умножение и инволюция в ^h и 31 обозначаются одинаково.

Существует гомоморфизм <р алгебры 31 в алгебру

(^) дифференцируемых функций на Ж со стандартными операциями сложения и умножения. Гомоморфизм должен обладать следующими свойствами:

для любых двух точек х^ хге.Ж найдется такая функция /(ж) е <р(31), что /(^i)^/(ж2);

<р(1//г(/* g — g * f) ) = H^U), <p(g)J, где * означает умножение в St, а {,} — скобку Пуассона в Ж (Ж);

ф(Л) = (Р(/), гДе / -*" /° означает инволюцию в 31, а черта — комплексное сопряжение.

Перейдем к важному частному случаю квантования.

Специальное квантование. Так будем называть квантование, обладающее дополнительными свойствами.

Алгебра Жк состоит из функций /(ж), х^-Ж.

Алгебра 31 состоит из функций /(7г, ж), /(7г, ж)е е Жь при фиксированном 7г.

Гомоморфизм <р: 31 -»- Ж {Ж} задается формулой

<р (/ (7г, я)) = lim/ (7г, ж).

л-»о

В настоящее время теория разработана лишь для специального квантования. Отметим также, что все исследовавшиеся до сих пор специальные квантования обладают следующими дополнительными свойствами.

Алгебра Ж-к обладает единицей, причем единицей служит функция /(А, ж)= 1.

Алгебра г^Л является алгеброй со следом, причем tr / = с § / (ж) dp (ж),

где dp (ж) —некоторая мера на Ж, а с — некоторое число.

Заметим, что если тензорное поле coiJ(x) невырожденно, т. е. если на Ж существует внешняя замкнутая 2-форма со, то на Ж существует также естественная мера

dp (ж) = ссоп/2, n = dim Ж.

Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что процедура квантования состоит в сопоставлении функции /(z), заданной на фазовом пространстве Ж классической системы, оператора F, причем это сопоставление должно удовлетворять принципу соответствия.

Укажем возможный путь решения этой задачи.

Пусть мы имеем систему состояний {|ж>}, параметризуемых точками пространства Ж и удовлетворяющих условию

J | ж) <ж | dp (ж) = I,

где |ж><ж|—проекционный оператор на состояние |х>, dp (ж)—некая мера на пространстве Ж. Поставим в соответствие функции /(ж) оператор F = J |ж) <ж|х X /(ж) dp (ж). Задача состоит в том, чтобы ввести в это соответствие постоянную К так, чтобы выполнялся принцип соответствия. . .

В настоящее время эта задача решена для случая, когда фазовое пространство Ж является однородным кэ- леровым многообразием.

Пусть G — группа движений пространства Ж. В рассматриваемом случае существует представление дискретной серии Т**^ группы G, задаваемое числом к, а система КС {|х>} связана с этим представлением. Пусть dp (ж)—G-инвариантная мера на пространстве Ж и h= ^= к-1. Оказывается, что описанное выше построение при h -* 0 удовлетворяет принципу соответствия и, следовательно, решает задачу квантования. Рассмотрим подробнее это построение на нескольких простейших примерах.

Квантование на плоскости Лобачевского

Нам будет удобно использовать модель плоскости Лобачевского в виде единичного круга D = kz; |zl<l} на плоскости комплексного переменного z. Рассмотрим пространство функций, аналитических в D, со скалярным произведением

(A g) = (l/A-l).f Шё (z) (1 — fzH^^Cz, z), (10.16) ь

где;

^(z, 7)= ^ ^А&(1017)

I Z | )

— инвариантная мера на плоскости Лобачевского. Пусть Sh — пространство функций, аналитических в D, для которых llfH2 = (f, /)<°°. (Отметим, что множитель (1/й —1) в (10.16) связан с условием нормировки (f0, А)=1, A(z)sl.) Ортонормированный базис в S\ состоит из функций

fz(z) = (Z!)-1/2(l//i... (l/A-l + Z))1^.(10.18)

Рассмотрим функцию

Kh (£ z) = 2 ^) tm (z).(10.19)

m

Простые вычисления дают

^(C z) = (l-^)-*/\_ (10.20)

и, как нетрудно видеть, при фиксированном ^е О эта функция принадлежит пространству S\. Обозначим состояние в гильбертовом пространстве, соответствующее этой функции, через 1^. Таким образом, мы построили систему состояний {|£>}. При этом для любого состояния lf>, задаваемого функцией f(z)eSh, мы имеем

w=f^.(10.21)

Сравнение с формулами § 5.2 показывает, что полученная система совпадает с системой КС для дискретной серии представлений ^(g) при й = (2/с)-1.

Описание операторов. Пусть А — ограниченный линейный оператор в S\. Поставим ему в соответствие символ'

^Л) = ^^.(10.22)

Заметим, что функция

^№, П) =^№, П) =<§ 1 ^t I п><1Н><§ 1 ^t I п><1Н>(10.23)(10.23)

^№, П) =

^№, П) =

<§ 1 ^t I п>

<1Н>

<§ 1 ^t I п>

<1Н>

(10.23)

(10.23)

аналитически зависит от £ и ц и совпадает с Л (£, £) при т] = £. Следовательно, функция Л(£, ц) является аналитическим продолжением функции Л (£, £) и определяется по ней однозначно. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между символами и операторами. В частности, символу Л(г, z) = a = const соответствует оператор Л = al, где I — единичный оператор в ^,.

В рассматриваемом случае справедливы следующие полезные формулы:

W)(z) = (|-1) p(z, 1ШЦW)(z) = (|-1) p(z, 1ШЦ1-ш2\1/А1-р1-ш2\1/А1-р

W)(z) = (|-1) p(z, 1ШЦ

W)(z) = (|-1) p(z, 1ШЦ

1-ш2\1/А

1-р

1-ш2\1/А

1-р

.(10.24)

Если оператор Л можно представить в виде i=p(U)MIW),(10.25)

то

Л(z, z) =

Если Л = Ai • Л2, то

Л (z, z) =

- (4-1) J А (s. о ^ -») [^^(^5дeУг ]v‘*«"Я-

(10.27)

Принцип соответствия. Формулы (10.26) и

Uh _Uh _(10.27) приводят к рассмотрению оператора Т\

Uh _

Uh _

(Thn (z, 2) = (4 -1) f Ж Й Г-77-^77—^)

(10.28) и к изучению асимптотики функции (pft(z, z) = (TKf) (z, z) при h-* 0. Функция /(z, z) предполагается непрерывного

дифференцируемой. Рассмотрим сначала случай z = 0: (М (0, 0) = (1А -1) J / ^ I) (1 - ^)1/Adp (5, I). (10.29)

Заметим, что

(1/А -1) J (I - Й)1/Лйр ^ I) = (1А -1) J(1 - xf,h-^ax=\. о

Используя это равенство и тот факт, что функция (1 —^)1/h при h 0 локализована при ^ = 0, приходим к окончательной формуле

+ о(Л). (10.30) z=o+ о(Л). (10.30) z=o^Н0,0) = Ц0, 0) + ь-^02 02

+ о(Л). (10.30) z=o

+ о(Л). (10.30) z=o

Для вычисления асимптотики функции T,j{z, z) в произвольной точке области D произведем замену переменных

£ = ДДД. ■(10.31)

1 —- ЗЦ

Преобразование £ -* ц есть движение плоскости Лобачевского и не меняет меру dp(^, ?)• Поэтому

(ТпП Д Ю = (1/Л -1) J А (Л, П) (1 - Лп)1^ (Л- Л), (10.32)

где

\1 —z£ 1 — z£ / Заметим, что

Но оператор Д = (1 — zz)2—есть не что иное, как опе- ' az Эг’

ратор Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского.

Таким образом, с помощью (10.30) получаем асимпто

тическое выражение для Thf:.

(ДПД ^ = Цг, z)+ hM(z, z)+o(k).(10.33)

Принцип соответствия следует из (10.33); полагая

ЛДг.^ЛДе, z) = /(S, ё)’,

получаем

A (z, z) = / (z, z) + ЛА/ (z, z) + о (Л) =

’.--- 8An 8A„

= Аг (z, z) A2 (z, z) + Л (1 — zz)2 -4-+ о (Л).

8z "z

Отсюда следует как первое требование принципа соответствия

lim А^ * А2 = А^ (z, z) Aa (z, z),(10.34)

h->0

так и второе требование

1 ...- „8А„ дА 8А \

limy- (Л. * А2 — Аг * Лх) = (1 — zz)2 (—4-д^'^' I

Л^о fe\ 8z 8г 8z 9z )

.= i {Ли А2}. (10.35)

Выражение оператора Th в терминах оператора Лапласа — Белътрами. Оператор Th перестановочен с преобразованиями /(z, z)->/(gz, gz), где g— движение плоскости Лобачевского. Отсюда следует, что он должен выражаться через оператор Лапласа — Бельтрами. Вычисления, которые можно найти в [101] и которые мы здесь опускаем, приводят к следующему выражению оператора Ть. через А:

^-Д^-^а+^и+о-о»]'1- (10■36,

Представление группы движений плоскости Лобачевского в пространстве 9ГК. Обозначим эту группу через G = {g} и рассмотрим преобразование в алгебре sth-.

(t^)(z, z) = ^(gz, gl), g^G. (10.37)

Это преобразование есть автоморфизм алгебры зФк. Известно, что все автоморфизмы алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве являются внутренними. Следовательно, существует ограниченный оператор Ug, который генерирует этот автоморфизм:

<гкй1 Z> = . <№. = A (gz, ?z\ (10.38) | z>(.gz | gz>

Нетрудно видеть, что оператор Ug лишь численным множителем отличается от унитарного.

142

Покажем, что соответствие g -*Ug определяет неприводимое представление группы G. Пусть А — ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами Ug. Из (10.38) следует, что символ A(gz, gz) не зависит от g и, поскольку группа G действует транзитивно на плоскости z, A(z, z) = a = const, Мы знаем, что соответствие между операторами и символами взаимно однозначно, откуда следует, что А = al, где I — единичный оператор. Мы доказали таким образом, что представление g-* Ug неприводимо.

С помощью формулы (10.24) можно получить также явное выражение для действия операторов

kUgf) кЛ =^z + a)"1Z\ I е I = 1. (10,39)

\oz + a /'

Унитарность преобразования (10.39) доказывается прямыми вычислениями.

В заключение укажем выражение для символа Ug^z, z) оператора Ug. Комбинируя (10.16) и (10.24), получаем.

<z I UgVz) = е (a — azz — bz + bz) -1/a.(10.40)

Следовательно,

(10.41)

Квантование при помощи отражений (аналог квантования Вейля). Обозначим через g(t>, £) отражение в точке £:

?(^Д) = -1-.(_(1+_^ . 2L.Y (10.42) V-2£(1 + &V

Оператор Ug для g = g(t, %) обозначим через К^. Согласно общей формуле (10.41) символ оператора tT^ с точностью до фазового множителя е (1^1 = 1) имеет вид

V J [ (l-^)d-zO[

(10.43)

143

Мы фиксируем фазовый множитель у оператора U^ так, что его символ имеет в точности вид (10.43).

Функцию

■ a (z, z) = tr^AU^(10.44)

будем называть символом Вейля оператора А.

Если оператор А можно представить в виде

А = (l//i— 1) J d(z, z) Uz -dp,(z, z),(10.45)

то функцию a(z, z) будем называть ковариантным символом оператора А.

Связь между символами А и а, а также между символами а и А задается формулами

a(z, z) = (Sj)(z, z),(10.46)

A(z, z) = (Sha)(z, z),(10.47)

где

(Shn (z, 9 = (1/^ - 1) J / ^ 9 Uh a, £ | zz) tip (9 9. (10.48)

Формула (10.46) следует из формулы

tr (АВ) = J А (ж) В (ж) dp (ж)

и из соотношения симметрии

Uh^, ^z, z)=Uh(z, zl9 f).o

Для того чтобы связать друг с другом символы а и а, нам надо знать оператор Sh как функцию оператора Лапласа— Бельтрами Д. (Тот факт, что 8к есть функция Д, следует из перестановочности Sh с операторами группового сдвига.)

Производя необходимые вычисления [101], получаем

Sh = Д f1 ~ ^ (! + 2Н) (1 + (2/с — 1) Н^ ] • (1о-49)

Сравнивая (10.36) и (10.49), получаем.

Tn = Sn-S'n,;(10.50)

где

Sh = Д / “ ^ (1 +(2^+1) Л) (l + 2to)] ' (10151)

Из (10.50) и (10.26) следует

(10.52)(10.52)й = 8ьД = ShSh 1д,

(10.52)

(10.52)

Квантование на сфере

Если I = Рг' — целое число, то теория для сферы полностью аналогична теории для плоскости Лобачевского. Прежде всего, спроектируем стереографически сферу на плоскость комплексного переменного (z). При этом инвариантная мера на сфере перейдет в

^ <Z, z) = (1 + Z^1(10.53)

Пространство 9" к в рассматриваемом случае состоит из голоморфных функций /(z) со скалярным произведением (/, g) = kMK + 1) J 7 (2) g (z) (1 + zz)~1//l d\z (zt z).(10.54)

Заметим, что если /(z)e^”h, то функция /(z) должна быть полиномом степени ^/i-1; в противном случае интеграл, определяющий (/; /), расходится.

Таким образом, размерность пространства 9" h равна (1 + i/h). Функциям.

g^z)-^^)^(10.55)

принадлежащим 9\, отвечают векторы |£> в гильбертовом пространстве с нормой <^|^> =(1 + 1^|2)1/л. Мы пришли, таким образом, к системе КС для группы вращений трехмерного пространства, изученной в главе 4.

Отметим, что если h-1 не является целым числом, то функция Ф^(2) многозначна и, следовательно, не принадлежит пространству 94..

Приведем еще несколько формул для символов операторов в пространстве 9"к-

Ковариантный символ оператора А является значением функции A(z, £) при £ = z:

A(z,(10.56)

\Z I t,/

Функция (10.56) является аналитическим продолжением символа A(z, z), и следовательно, имеется взаимно-однозначное соответствие между ковариантными символами и операторами.

14514510 А. М. Переломов

145

145

Оператор действует на вектор по формуле

(Л/) (Z) = (4 + 1)р (z, О/ (^(^У7 ^И (С, О- (10.57)

Для произведения операторов Л =Л1 • Л2 имеем

Л (z, z) =

-(1 +1) р, ^ х) л, (Е, F)[ £±4|£А§]‘% (Е, S). v А / JLU + zzHi +

(10.58)

Связь между различными символами имеет вид

Л (z, z ) = Т^А (z, z ) =

=(4+^(10-59)

\(l+zz)(l + ^)J.

Выражение для оператора Тн через оператор Лапласа — Бельтрами:

^-П^ + ^ + йнЛ^+ !)»>)■ <10-м> Асимптотическая формула типа (10.33) справедлива и в рассматриваемом случае. Отсюда, так же, как и в случае плоскости Лобачевского, следует выполнение принципа соответствия.

Связь с теорией представлений групп 50(3) и 50(2) устанавливается так же, как и в предыдущем параграфе. Приведем формулу для действия оператора Ug:

(jJgf) I2) = f (—bz + ^)^ h,-1 — целое.

\— bz + a)

(10.61)

Из теории представлений известно, что эти представления исчерпывают все унитарные неприводимые представления группы 50(2).

Квантование на однородных кэлеровыхмногообразиях

Здесь мы покажем, что конструкция квантования, рассмотренная в параграфах 10.3 и 10.4 для простейших многообразий, переносится на более широкий класс много-

образий, а именно, на кэлеровы однородные многообразия. Более детальное рассмотрение этой конструкции можно найти в работах [10, 101].

Дадим сначала основные определения. Пусть JK — комплексное многообразие, z“ — локальные координаты точки этого многообразия. Предположим, что на Л существует метрика

ds1 = g^d^(10.62)

такая, что det (^ар) #= 0 и что соответствующая этой метрике 2-форма

° = ^z“ А ^(Ю.63)

является замкнутой:

dm = 0.(10.64)

Многообразие, обладающее этим свойством, называется кэлеровым, а метрика (10.62) называется кэлеровой метрикой. Очевидно, что кэлерово многообразие является симплектическим. Следовательно, на ^ существует классическая механика. При этом в локальных координатах скобка Пуассона имеет вид

U,gA = iga^(10.65)

Напомним, что из условия замкнутости 2-формы <в следует, что существует функция F(z, z) (потенциал этой метрики) такая, что

^ = ^-(Ю.66)

Рассмотрим гильбертово пространство S\ — пространство аналитических на ^ функций со скалярным произведением

(/. g) = с (ft) J / (z) g (z) exp ( — 1 F (z, z)] du (z), (10.67) где

dp (z) = ton = det (g^) П dza К dz». (10.68)

Константа h в формулах (10.67), (10.68) и далее формально играет роль постоянной Планка, функция с(й) будет определена ниже.

10*147

Пусть {/*(z)} — ортонормированный базис в пространстве 9"к. Справедлива следующая

Теорема 1 [101.

В каждой координатной окрестности ряд

^M-S/aGOM^) (Ю.69)

А

сходится абсолютно и равномерно.

Функция АЛ(г, z) не зависит от выбора ортонорми- рованного базиса l/A(z)}.

Заметим, что из неравенства Коши следует

|АЛ(г, f)l2^^(z,^)^(?, D- (10.70)

Введем обозначение

Ф-Е(г) = Ш).(10.71)

Тогда

c(7i)J|O^(z) \2 exp (— A-F (z, z)^ dp, (z) =

-^Ш^Ш^ЛиУ (Ю.72)

к

Следовательно, Ф^ (z) е ^д.

Далее, из (10.71) и (10.69) следует, что для любой функции /(z)e ^h

U^^f^-(Ю.73)

Таким образом, множество {ф^-} образует сверхполную систему векторов в пространстве ^"h.

С помощью этой системы определим ковариантный символ A(z, z) оператора А как значение функции

A (z, £) = <Щ!1>, |Ь->Фи^)(10.74)

на диагонали

Аналогично § 10.3 и 10.4 нетрудно доказать справедливость следующих формул:

Xexpj-l^U,?)]^®, (10.75)

148;

4 (5, Q Lh q ^ Lhq, zHh^ tf^'4 (5, Q Lh q ^ Lhq, zHh^ tf^'tr A = c (/i) j A (z, z) Lh (z, z)tr A = c (/i) j A (z, z) Lh (z, z)exp — ±F(z, z) dpT(z).exp — ±F(z, z) dpT(z).

4 (5, Q Lh q ^ Lhq, zHh^ tf^'

4 (5, Q Lh q ^ Lhq, zHh^ tf^'

tr A = c (/i) j A (z, z) Lh (z, z)

tr A = c (/i) j A (z, z) Lh (z, z)

exp — ±F(z, z) dpT(z).

exp — ±F(z, z) dpT(z).

(Л1*Л2) (z, z)=c(/i) J At (z, c) Aa (c, z)

(10.76)

(10.77)

Заметим, что согласно (10.75) оператор А полностью определяется функцией A(z, £), которая является аналитическим продолжением функции A(z, z). Это значит, что в рассматриваемом случае оператор однозначно восстанавливается по ковариантному символу A(z, z). Следовательно, мы имеем взаимнооднозначное соответствие между операторами и символами.

Теперь можно определить алгебру ^,, как алгебру ковариантных символов ограниченных операторов. Однако доказательство принципа соответствия удается провести лишь при дополнительном предположении об однородности многообразия Предположим поэтому, что Ж является однородным кэлеровым многообразием, и пусть G — группа движений Ж, F^z, z) —потенциал кэлеровой метрики на Ж, инвариантной относительно действия группы G. Предположим также, что потенциал F существует глобально на множестве Ж, которое получается из Ж путем удаления подмногообразия меньшей размерности в Ж. В соответствии с этим функции f(z)^9~k также определены на Ж.

Из инвариантности метрики, генерируемой потенциалом F, следует, что

F4gz, g^ = Fq, г) + ф(£, г) + ф(£, z),(10.78)

где при фиксированном g, ip(g, z) — аналитическая функция переменной z, определенная на множестве Ж П gЖ. Соотношение (10.78) определяет функцию ф(^, z) с точностью до чисто мнимого слагаемого. Детали, связанные с определением функции x|>(g', z), можно найти в работе [10].

Заметим, что как было показано в [101], функция ^(gt z) Дает возможность построить определенное унитарное проективное представление группы G.

Именно, операторы в 9"h, определенные формулой ^Т,Л (2) = ехр (—уф (g~\ z)] / (Г^),(10.79)

являются унитарными и образуют проективное представление локальной группы Ли UG (т. е. представление в некоторой окрестности единичного элемента группы G). Это представление можно продолжить затем до унитарного проективного представления всей группы G. Такое представление существенно используется при доказательстве существования квантования, удовлетворяющего условиям, сформулированным в § 10.2.

Рассмотрим важный случай, когда Ж = D — комплексная однородная ограниченная область в пространстве С". В этом случае D является кэлеровым многообразием, а стандартная кэлерова метрика задается потенциалом F^Z, z) = ln ^(z, z),

где K(z, z)—ядро Бергмана рассматриваемой области (154]. При этом пространство 9* h является пространством функций, аналитических в D, со скалярным произведением

(/, /) = с № J I / (z) I2 [tf (z, z)]-1/л dp (z, z).(10.80)

Здесь

dp (z, z) = det(10.81)

' \dzadz^ / л"

dp,b(z, z) — мера Лебега области D.

Функция Lh^z, £) определена формулой (10.69). Алгебра Жь — это алгебра ковариантных символов ограниченных операторов, действующих в 9\. Алгебра 91 состоит из функций f^h\z, z), 0<А^1, являющихся (при фиксированном А) элементами Жн, которые непрерывны по совокупности всех переменных h, z, z.

Теорема 2 [1011. Алгебра 91 задает квантование, удовлетворяющее принципу соответствия.

Мы опустим здесь доказательство этой теоремы. Отметим только, что в процессе доказательства существенно используются следующие свойства комплексных однородных ограниченных областей:

detl^^l = ^(z,z),(10.82)

L^z, z) = n[K(z, z)]1"*,(10.83)

где Х = Х(1У), p, = p,(D) —константы, зависящие лишь от области D.

150

В заключение приведем в рассматриваемом случае явные формулы для оператора Th, который связывает ковариантный и контравариантный символы операторов. Этот оператор действует в пространстве ^Д согласно формулам, аналогичным формулам (10.28), (10.29) (относительно явного вида оператора Th см. [И]).

В работе [11] были доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. Для комплексной орднородной ограниченной симметрической области существуют операторы Лапласа — Бельтрами Д2Ь порядка 2к, к = 1, 2, ..., Z, собственные значения которых, соответствующие унитарному неприводимому представлению класса I, имеют вид

s2h = 2(10.84)

3=1

где I — ранг области, х, — параметры, характеризующие представление 7(g) (если рассматриваемое пространство компактно, то представление T^g) конечномерно и величины х5 — это компоненты вектора (Х + р), где р — вектор полусуммы положительных корней, к — старший вес представления). В случае некомпактного симметрического пространства Т (g) = Тх (g)—унитарное представление основной серии, а величины х5 — произвольные вещественные числа.

Теорема 4. Собственное значение оператора Th, соответствующего неприводимому представлению класса I в случае пространства некомпактного типа, имеет вид t (X; xv ..., х^ =

—-• (Ю-85)

где к = м/к, Г(г) —гамма-функция Эйлера, величины pj— компоненты вектора р — полусуммы положительных корней; они даются формулами:

ДЛЯ Dp,q

Рз =

р + q + 1 2

1:

^7<

;pi р^

-

для Dp

Рз =

Р 7 — 1

22 ’

1:

С/<

;pi

(10.86)

для D™

Рз =

1:

<7^

- Г р 1

Ч 2 1’

для D?

Р1 =

' 2 ’

р2

_ 1

— 2"

Числа v имеют вид

для Др,g v = p+q,

для Др1 v = р + 1,(1() g7)

для Др1 v = 2(р — 1),

для Др v = р. 1

Теорема 5. Собственные значения оператора Th для пространства ^ компактного типа имеют вид

f = f(—X; ixi, ..., i#/),(10.88)

где f(X; ж,, ..., х^—функция типа (10.85), которая соответствует дуальному (по Э. Картану) пространству некомпактного типа, хк = тк + pft, тк — компоненты старшего веса рассматриваемого представления.

С помощью теорем 4 и 5 мы можем выразить оператор Th. через операторы Лапласа — Бельтрами Д2д.

Часть II

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава 11

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Эта глава является введением в физические приложения метода когерентных состояний (КС).

Как уже отмечалось во введении к книге, метод КС теперь широко используется в различных областях физики и помогает решить много задач. Ввиду ограниченного объема книги мы не имели возможности разобрать все такие задачи и ограничились рассмотрением отдельных задач, иллюстрирующих метод КС. Некоторые из этих задач можно было бы решить с помощью других методов, однако, как будет видно из дальнейшего, использование метода КС значительно упрощает решение. Другая привлекательная черта метода КС заключается в том, что этот метод унифицирует решение задач, на первый взгляд совершенно различных. Заметим, что ряд задач, использующих обычные когерентные состояния, рассмотрен в [39, 40, 46]. В недавней книге [172] перепечатано большое число статей по приложениям метода КС.

Отметим сразу же некоторые задачи, решенные методом КС, но не вошедшие в монографию.

Описание облака мягких фотонов вокруг заряженных частиц и устранение инфракрасных расходимостей в квантовой теории поля [114, 148, 164—166]. Аналогичная проблема в квантовой гравитации была рассмотрена в [146].

Применение КС в теории магнетизма [22, 144, 163, 187, 226, 244].

Приближенное квантовое описание локализованных состояний поля (солитонов) [82, 108, 243].

Описание SU (А) -калибровочных решеточных теорий поля [220].

В работах [14, ИЗ, 157, 191, 241] КС использованы для анализа процесса измерения; в частности, в них рассмотрена проблема ограничения предела чувствительности детектора гравитационного излучения за счет квантовых эффектов.

Относительно применения КС в термодинамике, в частности для вычисления статистических сумм, см. работы [140] и [217].

Относительно применений КС в ядерной физике см. работы [77, 85, 130, 138, 139].

Связь КС и интегралов по путям рассмотрена в работах [12, 172, 150].

Применению КС в квантовой теории поля и физике элементарных частиц посвящено большое число работ [107, 110, 111, 116, 124, 125, 158, 198, 218, 231].

КС использовались в химической физике для построения многомерных волновых функций по классическим траекториям [119] и для описания столкновений [228].

КС были также использованы в биологии для того, чтобы описать дальнодействующие силы между кровяными клетками [204] и для описания фазовой когерентности на больших расстояниях в бактериородоспиновых макромолекулах [123].

Использование КС в модели Дике [122] резонансного взаимодействия поля излучения с двухуровневыми атомами позволило значительно упростить расчет фазового перехода в сверхизлучательное состояние этой модели (см. работы [122, 155, 193—195 , 245]). Относительно обобщения на случай к-уровневых молекул см. работы [84, 49]. -

В работе [37] КС были использованы для получения производящих функций инвариантов группы SU(N').

Подсистема КС, связанная с решеткой фон Неймана (см. § 1.5), была использована в [242] для вывода уравнения Шредингера заряженной частицы в с-числовом поле излучения в случае взаимодействия этой частицы с сильным квантовым полем излучения. Состояния, близкие к когерентным состояниям, связанным с решеткой, использовались в работе [26] для описания основных состояний двухмерного электрона в периодическом магнитном поле.

В работах [128, 25] с помощью КС описаны далекие столкновения классической заряженной частицы с атомом водорода.

В работе (117] дана алгебраическая классификация динамических систем, для которых КС остается когерентным в процессе эволюции системы.

В работе [118] показано, что важнейшее понятие в теории солитонов — понятие т-функции — связано с КС для бесконечномерной алгебры Ли GL(oo), которую можно реализовать в терминах билинейных произведений фермионных операторов.

Применению КС к проблеме сверхтекучести слабо неидеального бозе-газа посвящены работы [115, 176]. Эта задача, решенная впервые в работе Н. Н. Боголюбова [13], может быть легко решена методом КС (см. работы [99, 233], а также обзор [68]). Аналогично решается задача о сверхпроводимости слабо неидеального ферми-газа (см. [88]).

Относительно применения КС к теории жидкого 4Не см. работу [215].

Круг применений обобщенных КС очень широк, и мы отметим здесь еще несколько применений. В работе Клаудера [168] КС применялись в теории радара, а в работе [171] — для описания квантованного эффекта Холла.

Относительно применения фермионных КС к задачам ядерной физики (теория Хартри — Фока с зависимостью от времени) см. работу [236]. Относительно применения КС в неравновесной статистической физике (описание процесса релаксации спина) см. [237], а в физике плазмы (к уравнению Власова) см. [133].

Ряд авторов рассматривал также сверхполные системы состояний, отличные от систем, рассмотренных в данной монографии. Здесь прежде всего следует отметить работы Клаудера [167, 169, 170] и работу Березина [9], в которых изучалось так называемое «непрерывное представление» состояний, в Основу которого положены свойства непрерывности и разложение единицы. Такие системы, вообще говоря, не связаны с теорией групп и для них можно получить значительно меньшее количество результатов. Частный случай такой системы — это система Барута и Жирарделло [97], на которой нет естественного действия группы Ли G. Еще одна система такого типа рассмотрена в недавней работе [232]. Отметим еще серию работ Ньето (ссылки на эти работы можно найти в [199, 200]). В работах [186, 192, 201] изучены сверхполные системы, связанные с ферми-операторами и грассмановыми переменными. Эти системы отличны от

систем, рассмотренных в главе 9. В работе [96] рассмотрены КС для некоторых супералгебр Ли.

В оставшейся части этой главы мы вкратце опишем применение метода КС для тех случаев, когда гамильтониан рассматриваемой системы обладает группой динамической симметрии G.

Простейшим и в то же время довольно важным с точки зрения применений является случай, когда гамильтониан Н линеен по генераторам Хк унитарного неприводимого представления соответствующей алгебры Ли 8:

H = ^hk^Xh.(11.1)

к

Здесь операторы Хк удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям

№,Xft] = cjkXz,(11.2)

где С^з— структурные постоянные алгебры 3, соответствующей группе G, коэффициенты hh в (11.1), вообще говоря, зависят от времени.

Такая ситуация осуществляется в ряде интересных физических систем, некоторые из которых мы рассмотрим в главах 12—22. Здесь мы дадим лишь общее описание таких систем.

Отметим прежде всего, что в гильбертовом пространстве 5^ состояний системы действует унитарное неприводимое представление Т (g) группы G, соответствующее используемому представлению алгебры Ли 3, причем под действием операторов Т (g) генераторы Хк преобразуются по присоединенному представлению группы G;

T(g)XkT-l(g) = Alk(g)Xh(11.3)

Такое преобразование не меняет формы оператора Н, при этом Н переходит в

Й-Т^НТ"^-!^(11.4)

где Нк = Akh,'.

Нас будет интересовать решение нестационарного уравнения Шредингера

1Н^ШГ)> = НШШ>. (11.5)

Из (11.1) следует важное свойство такой системы

1ф(^) > = ^(^(0) I'KO) >.(11.6)

СооТветсТвенйо из (11.6) следует, что если в какой-либо момент времени t0 состояние системы |ip(i0)> являлось КС, связанным с представлением T(gY то оно останется КС во все моменты времени.

Это обстоятельство дает возможность решить ряд задач, связанных с уравнением (11.5). Мы рассмотрим три типа таких задач.

Гамильтониан (11.1) от времени не зависит. Требуется найти его спектр и собственные функции.

Здесь можно воспользоваться унитарным преобразованием (11.4) и подобрать элемент g так, чтобы оператор Й принял наиболее простой вид, например чтобы Й выражался только через генераторы картановской подалгебры. В случае компактной группы Ли это всегда возможно. После этого спектр VE^ и собственные функции (|фпЛ легко находятся. Именно, спектр {Sn} совпадает со спектром (EJ, а собственные функции {|ip„>} получаются из {|фпЯ с помощью унитарного преобразования

^^-‘(g)!^).(11.7)

Отсюда видно, что если при построении системы КС в качестве исходного вектора в гильбертовом пространстве выбрать |фо^ — основное состояние гамильтониана й, то основное состояние гамильтониана Н (11.1) является обобщенным КС.

Гамильтониан (11.1) зависит от времени, однако при t ±оо он достаточно быстро стремится к соответствующим пределам, так что существуют асимптотические состояния |ф±>.

Оператор эволюции U(#, f0) имеет вид

W, М = Т№ #„)),(11.8)

причем существует 5-матрица

-«>y=T(g0V(11.9)

В этом случае вероятность перехода из состояния |т> при t-*—oo в состояние |и> при f->+°° задается квадратом матричного элемента Т„т:

wnm= |7’„m(g0)l2= Kre|7’(g0)|m>|2.(11.10)

Гамильтониан (11.1) периодически зависит от времени:

H^t + T^H^.(11.11)

157

В этом случае существуют состояния, для которых

/Р7*\

|Te(Z + 7)> = exp(-i^|¥eU)>(11.12)

— так называемые состояния с определенной квазиэнергией*). При этом оператор эволюции системы U(t, ta) обладает свойством

Я(^ + Г, ^HT^Hexpt-iZWA), (11.13) где оператор,^ имеет вид (11.1). Таким образом, спектр оператора Э^ дает спектр квазиэнергии рассматриваемой задачи.

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных примеров.

Глава 12

КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Эта глава иллюстрирует, как легко решаются некоторые нестационарные задачи для квантового осциллятора с помощью метода когерентных состояний. А именно, в рассматриваемых случаях квантовая задача с помощью когерентных состояний точно сводится к соответствующей классической задаче.

Квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы)

Развитие рассматриваемой системы во времени определяется уравнением Шредингера

^№(Ф=(Я0 + Я1)|т|,(ф,(12.1)

где

Я^УЯ/Ч-шУ)^ (a+a + V2)(12.2)

— оператор Гамильтона свободного квантового осциллятора, а

Я, = -/(/) q = —/ (<) V 1/2<d (а + а+)(12.3)

♦) Свойства таких систем состояний рассмотрены в обзоре [30].

описывает действие внешней силы /(<). Здесь р и q— операторы импульса и координаты, а и а+ — бозонные операторы уничтожения и рожденця. Всюду далее Я = = m = 1.

Прежде всего с помощью унитарного преобразования I ip (£) > = exp {—lHotH^ >

избавимся от слагаемого Но в уравнении Шредингера (12.1). Для вектора |^(i)> получаем уравнение

^|$№> = Я1№|$№>,(12.4)

где

Я, (/) = exp UHotiHt exp {—iHot} =

= —f(t) V 1/2(0 (a exp (—icoi) + a+ exp (imt')).(12.5)

Уравнение (12.4) удобно переписать в виде

^ I $ W> = (Р W г - р № a) I $ Ж(12.6)

где

Р(#) = -^=/№ехрИ.(12.7)

у 2(0

Поскольку гамильтониан H^t^ выражается линейно через операторы алгебры Ли Ж\ — алгебры Гейзенберга — Вейля, то оператор эволюции ^(^) (Гф(^)> = = S(t) 1-ф(0) >) является оператором представления T(g^ группы Wlt т. е.

S (t) = ТЦЖ) = ехрН^* (t))D(a(t)).(12.8)

Отсюда, в частности, следует, что если начальное состояние являлось когерентным состоянием группы Wt, то оно останется когерентным в любой момент времени. Таким образом, существует решение |^(i)> вида

l4>(£) > = ехр(—i0(i)) la(/) >.(12.9)

В частности, среднее значение оператора а в этом состоянии равно

<iplal4>> = a(i).(12.10)

Дифференцируя это соотношение по t и используя уравнение (12.6), находим

a = Pt a (t) = a0 + j P (f) dt',(12.11)

0

Далее при Ai-* О из уравнения (12.6) получаем

|ф(? + Ai) > -D^^ • Ai) lt(i) >.(12.12)

Подставляя в это уравнение ltp(i)> из (12.9) и используя соотношение T(t, а) |р> = exp(iq)) Ip + а>, получаем уравнение

Ф = Im (Ра) = Im (сих).(12.13)

Заметим, что уравнение (12.11) —это классическое уравнение движения для осциллятора под действием внешней силы, а из уравнения (12.13) следует, что величина Ф^ равна удвоенной площади, заметаемой радиус-вектором при движении точки по фазовой плоскости, т. е.

st

Ф (t) = у J р dq,

и, таким образом, она имеет простой квазиклассический смысл.

Особенно просто обстоит дело в том случае, когда сила /(i) достаточно быстро стремится к нулю при t -* ±°о. Тогда существуют соответствующие пределы а± и Ф± и имеет смысл говорить о вероятности перехода из состояния |т> при i-* —оо в состояние |и> при t-*+«>. Эти вероятности даются формулой

H>mn- |<m|S|re>|2= 1Ы£>Ь)|и>|2,(12.14)

где 1у12 = р, \т — п\ = к, и из формулы (12.14) следует, что

мтп = ^ I Y I2|m-n| exp (- I v I2) I 4m<nl (| V I2) I2, (12.15) где у находится по формуле

СЮОО

у = Г P(t')dt' = —Г / (i) exp (tat) dt, (12.16) Jy2(D J

t. e. с точностью до нормировочного множителя совпадает с фурье-компопентой ю силы f(t).

В частности, если ltp(i) > -* Ю> при i -* — °° (т. е. вначале осциллятор находится в основном состоянии), то под действием силы /(t) он переходит в когерентное состояние, и вероятность возбуждения и-го уровня дается

формулой Пуассонаформулой Пуассона

формулой Пуассона

формулой Пуассона

wn = ехр(— p)L, p = |v|2.(12.17)

Перейдем к рассмотрению второго примера.

Параметрическое возбуждение квантовогоосциллятора

Параметрическое возбуждение квантового осциллятора — это возбуждение осциллятора при изменении его параметров: массы т = т^ и частоты <i) = co(0- Общий случай переменных во времени т^ и a(i) легко сводится к случаю иг = const с помощью замены V = ■^dtlm^t) и о/= ггасо, т. е. к случаю квантового осциллятора с переменной частотой.

Эта задача была подробно рассмотрена в книге [2] и в работах [59—61]. Здесь мы решим эту задачу, используя систему КС для дискретной серии представлений группы SU ^Д, 1) (см. главу 5). Такое решение обладает большей наглядностью и быстрее приводит к цели.

Уравнение Шредингера для квантового осциллятора с переменной частотой имеет вид

i ^ | гр№>-//(;) hi)(^)>,(12.18)

где

Я(0 = а72+ы2(1)72/2, p = -id/dq, (12.19) и мы положили 1г = т = 1.

Перепишем исходное уравнение (12.1) в виде ^Ж0>-(ЙЯ)Ж0>-(12.20)

где

ОЯ = ЙХ-Й1Я1-Й2Я2 = г(^Я+ -РЯ_-^ЯО), (12.21)

Яо, 1 = ‘/ЖУсоо ± toQq^, Кг = M^pq + др),

(12.22)

^ 1 = to0{(toh)/to0)2dzl}, Й2 = 0; К± = К1±1Кг.

Операторы Ко, Ki и Кг, как нетрудно проверить, удовлетворяют перестановочным соотношениям

Ж Я2] = -iK„ [Кг, Яо] = iKv [Я„, К,] = 1Кг (12.23) (при произвольном значении частоты соо, входящей в определение операторов КД и согласно главе 5 являются И А. М. Переломов161

генераторами представлений дискретной серии группы 5(7(1, 1) с к = 1/4 и к = 3/4.

Таким образом, наш гамильтониан линеен по генераторам алгебры Ли группы 5(7(1, 1). Поэтому существует решение уравнения Шредингера вида

lip(<)> = exp(-^(i))^(O>, 1^1 <1, (12-24) где |£(/)>—когерентное состояние для представления дискретной серии группы SU(1, 1) с к = 1/4 или к = 3/4. Подставляя (12.24) в уравнение Шредингера (12.6), аналогично тому, как это было сделано выше, получим уравнения для величии и

=(12.25)

i^ = fc(^-^^ + ^).(12.26)

Заметим, что круг {£: 1^1 < 1} является в данном случае плоскостью Лобачевского и представляет собой фазовую плоскость для рассматриваемой задачи. Уравнение (12.25) описывает движение классической системы (осциллятора) па фазовой плоскости. Квантовое состояние |£(1)> при этом в точности следует классическому движению. Что касается фазового множителя 0(1), то он в точности равняется площади (в метрике Лобачевского), заметаемой радиус-вектором ^(1) при его движении. Оба эти обстоятельства связаны с тем, что в данном случае «ква- зиклассическое приближение» приводит к точному ответу.

Хотя этот результат справедлив для произвольного изменения величины №(1^ со временем, физически интересными представляются два случая.

А. Величина <о(1) достаточно быстро стремится к определенным пределам при t -- ±°°. В этом случае существуют асимптотические состояния |п>± при 1-^+=с и имеет смысл говорить о вероятности перехода wmn из состояния \т, со-> в состояние In, со+>. Предположим для простоты, что предельные гамильтонианы (Н+ и Н-) при 1 ±оо совпадают, т. е. о_ = to+. Тогда

™тп = I <ТП I Т (g^ | П> |2, go=(^ |), Ы2 — I Р I3 = 1-

Используя выражение для <m|7’|n> из работы [59], 162

^тп^тпполучаем окончательный ответ

^тп

^тп

(12.27)

где Р* (ж) — присоединенная функция Лежандра, р = = |0|7Ы2. „

Б. Рассмотрим теперь случай периодической зависп- мости ю(^) от времени: со (t + Т) = ы (t). В этом случае существуют решения уравнения Шредингера с определенной квазиэнергией, т. е. состояния, обладающие свойством

С

рТ\

(12-28)

Нас будет интересовать спектр квазпэпергий. Для того чтобы найти его, рассмотрим оператор эволюции системы

и U, М 1ф(^о) > = МО >.

С его помощью образуем унитарный оператор

S=U(t0 + T, toy(12.29)

Поскольку этот оператор унитарен, его можно представить в виде

S = ехр(-^- Тн\(12.30)

где Н — эрмитов оператор. Спектр этого оператора и есть спектр квазиэнергий.

В рассматриваемом нами случае оператор 5 есть оператор конечного преобразования группы SU (1, 1), а оператор Н принадлежит представлению алгебры Ли этой группы и потому имеет вид

Н^^К^^К.-й^.(12.31)

С помощью унитарного преобразования Н = 1]Й'и* оператор Й можно преобразовать к стандартному виду.

В зависимости от вида вектора 12 = (Qo, Q,, Q2) могут осуществляться различные случаи. Каждый такой случай отвечает определенной орбите присоединенного представления группы SU(1, 1).

la. Пусть

122 = £2q — ^i — ^2 > 0, Й0>0.(12.32)

11*163

Здесь с помощью унитарного преобразования й - Й' = = ийи+ оператор Й можно преобразовать к виду

Й' = ШКа.(12.33)

Спектр квазиэнергий в этом случае дискретен, ограничен снизу и имеет вид

е„ = ЛЙ(А: + п).(12.34)

Основное состояние такого гамильтониана является когерентным состоянием, связанным с представлением Тк дискретной серии группы SU (1, 1).

16. Пусть

й2 > О, Йо < 0.(12.35)

В этом случае имеем Й' = -М>КГ,. Спектр квазпэпергий здесь дискретен и ограничен сверху:

е„ = — Ю(к + п).

Пусть

По - ^1 -- V < 0.

Тогда оператор Й можно привести к виду

Й^-М^(12.36)

Спектр квазиэпергий в этом случае непрерывен и заполняет всю ось —°о < е < +°о. в классическом случае это соответствует неустойчивому движению.

Если же ’Й2 = 0, Йо > 0, то И = АЙ0 (Ко — К{), спектр непрерывен и заполняет полуось 0 < е < °°.

3'. Наконец, в случае Й2 = 0, Йо < 0,

й' =-кЙ^К» - Kt).(12.37)

Здесь спектр также непрерывен и заполняет полуось — оо < е < 0. Для классического осциллятора случаи 3 и 3' отвечают границам зоны неустойчивости.

Квантовый сингулярный осциллятор

Стационарный случай. Под сингулярным осциллятором мы будем понимать систему, описываемую гамильтонианом *)

Н = На + У,

^° = - 4 ^ + ^ = «+« + 4- V = ^~2, (12.38)

гдо

1 /d \+1 7 d \

а- = —я + у , а = нгу 3/2 \di)3/2 di )

— обычные операторы уничтожения и рождения.

Покажем прежде всего, что оператор Я является генератором алгебры 5Я(1, 1). Именно, нетрудно проверить, что операторы

^ = (а+)2-№, 7?2 = а2-№(12.39)

удовлетворяют соотношениям

[Я, 52+] = 2В+, [Я, Я2] = - 2Я2,(12.40)

[Я2, Я+] = 4Я.(12.41)

Таким образом, операторы Я, В* и В2 являются генераторами алгебры Ли группы SU(1, 1).

Из (12.40) следует, что если фЕ(ж) является собственной функцией гамильтониана

Я фЕ = ЯфЕ,

то функция В}фЕ (Я2фЕ) также является собственной функцией П с собственным значением Е + 2 (Е — 2) соответственно. Таким образом оператор В^ (В^ является повышающим (понижающим) оператором. Это дает возможность, так же как и в случае обычного осциллятора, найти спектр и собственные функции гамильтопиа- па чисто алгебраически, не решая уравнения Шредингера.

Действительно, волновая функция фв основного состояния, т. е. состояния с наименьшей энергией, удовлетворяет уравнению

52фо = 0,(12.42)

откуда получаем

ф0 = С^а ехр [—а//2], а = 1/2 + V1/4 + 2g2. (12.43)

Из уравнения

Яф0 = Я„ф„(12.44)

находим

Яо = а + 1/2.(12.45)

Волновая функция произвольного состояния ф„ получается теперь из ф0 путем n-кратпого применения повышающего оператора В^:

фп(я) = Я„(5+)пф0 (ж), Я„ = 2п + Яо. (12,46)

-165

Такой алгебраический способ нахождения волновых функций п спектра энергий важен потому, что оп оказывается применимым и для случая аналогичной системы N взаимодействующих частиц, когда найти все решения уравнения Шредингера обычным способом пе удается. '

Укажем, что связь операторов Я, В^ и В2 со стандартными геператорамп К6, Kv и К^ алгебры SU (1, 1) задается формулами

К0 = Н/2, К+=КХ-V- 1Ка=—В£/2, К_=К1—гКа=—Вг/2.

(12.47)

Оператор Казимира

G = КХ + КХ - 1$ = 1 ( ^+^2 _ я^, (12.48) т. е. оператор, коммутирующий со всеми генераторами алгебры SU(1, 1), после подстановки явных выражений для Вг, В* и Я сводится к числу

C2 = /t(l-k) = l-la(a-l).

Отсюда находим

к =(1/2 + а) /2.(12.49)

Это значит, что совокупность всех волновых функций {■ф„} преобразуется по неприводимому представлению дискретной серии группы SU(1, 1):

TUg) с к = (а + 1/2)/2.

Используя стандартный прием, а именно применяя левую и правую часть соотношения (12.41) к волновой функции ip„, приходим к формулам

В^п = — 2 Y\n + 1) (п + а + 1/2) ip„+1, (12.50) B^n = — 2Уп^п + а — 1/2) грп-х. (12.51)

Фазовый множитель ( — 1) связан с конкретным выбором фазового множителя у волновых функций ^„(ж).

Действуя п раз оператором В^ на волновую функцию основного состояния тро, получаем

^(12-52)

у п\ 1 (я + а + 1/2)

С^" = ехр [;r2/2] S2 (ж“ ехр [— ж2/2]) =С^" = ехр [;r2/2] S2 (ж“ ехр [— ж2/2]) =С2 = х “ ехр [x2/2j В^ (ж™ ехр [— ^2/2]) =С2 = х “ ехр [x2/2j В^ (ж™ ехр [— ^2/2]) =iFdxiFdxj_2j_2Волновые функции ^„(ж) содержат множитель ха ехр [—z2/2], выделяя который, приходим к новым операторам

С^" = ехр [;r2/2] S2 (ж“ ехр [— ж2/2]) =

С^" = ехр [;r2/2] S2 (ж“ ехр [— ж2/2]) =

С2 = х “ ехр [x2/2j В^ (ж™ ехр [— ^2/2]) =

С2 = х “ ехр [x2/2j В^ (ж™ ехр [— ^2/2]) =

iF

dx

iF

dx

j_

2

j_

2

+ 2-4 , (12.54) X dx ''

ехр [ж2/2] // (л“ ехр [— х2/21) =

j_2j_2a2 _ 9 (o_ _,dx2 “ 4+a2 _ 9 (o_ _,dx2 “ 4+2a + 1 . (12.55)2a + 1 . (12.55)

j_

2

j_

2

a2 _ 9 (o_ _,

dx2 “ 4+

a2 _ 9 (o_ _,

dx2 “ 4+

2a + 1 . (12.55)

2a + 1 . (12.55)

Очевидно, что операторы C2, С£ и H также образуют алгебру 5(7(1, 1), и перестановочные соотношения для них имеют вид (12.40), (12.41).

Уравнение П'фп=Еп'ф„ переходит при этом в обычное уравнение для полиномов Лагерра ) '

£2 + 24 ^ + 4га ЕГШ (У2) = 0. (12.56)

Из (12.50) и (12.51) при этом получаем рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра

6^+Г'/2(+2) = -2(гаЧ- 1)5“;Р(ж2),(12.57)

С25“-1/2= - 2 (га + а - 1/2) LV?(12.58)

Отсюда получаем выражение для нормированных собственных функций оператора //:

^ = Vr ^ali^) Ь""Ш ^ ^ ехР [-*W (12-59)

Отметим, что a -> 1 при g - 0 и волновые функции переходят в волновые функции осцилляторной задачи. Однако мы получаем при этом не все осцилляторпые функции, а лишь те из них, которые обращаются в пуль при г ->- 0. Соответственно при g ->- 0 имеем Еп -* 2п + 3/2, и спектр энергий отличается от спектра энергий осцил-

ляторной задачи на всей оси. Он совпадает со спектром энергий задачи с граничным условием тр(О) = О, т. е. ос- цилляторной задачи на полуоси. При g ¥= О спектр нашей задачи отличается от спектра осцилляторной задачи на полуоси лишь сдвигом Дй = а — 1.

Волновые функции ^„(ж) образуют базис {|п>} в гильбертовом пространстве 36 квадратично интегрируемых функций па полуоси 0 < ж < оо.

Система КС (1^1, 1^1 < 1, в этом пространстве согласно главе 5 имеет вид

।» - а -1? п" 21 "> ■ <12'60>

КС |£> при этом можно определить как состояние, аннулируемое оператором ■

R- = ехр ^К^К. ехр НМ = К_- 2^0 + №, (12.61) ^-1р = 0.(12.62)

Отсюда получаем

Ф | О s фЕ (ж) =

Г (27с)—621-^ Г+

-(12.63)

Сопоставляя эту формулу с формулой (12.60), получаем производящую функцию для полиномов Лагерра

(1 _ ^)-<“+i^xpИ С- (12.64)

Нестационарный случай. Рассмотрим теперь квантовый сингулярный осциллятор с переменной частотой. Такая система описывается уравнением Шредингера

i ^Ш = Нф\Ш (12.65)

где

И^Н^ЛР1"^ ^(t^H g^S со (0) = со» = 1. (12.66)

Уравнение (12.65), так же, как и в § 12.2, можно переписать в виде

i£ ЖФ = (ОК)|ф(ф,(12.67)

1б§

где

(QK) = Q0Zf0-Q1Zf1-Q2Zf2, QOi1 =

T +^2 = 0, (12.68)

а операторы Ko, Kt и К, даются формулами (12.47), (12.39).‘

Таким образом, все результаты, полученные в § 12.2, остаются справедливыми и в рассматриваемом случае. В частности, существуют решения уравнения Шредингера, имеющие вид

|ф(<)> = ехр(-<^(<))|:(<)>, 1:1 <1,(12.69)

где величины :(/) и Ф ^ удовлетворяют классическим уравнениям (12.25) и (12.26).

Если при <->±оо частота ю(<) достаточно быстро стремится к постоянным пределам ю+ и ю- соответственно, то вероятность перехода из состояния |п, и_> в состояние \т, (о+> дается формулой

iDmn=\<m, mJ-Sln, (0->|2,(12.70)

где

S-T‘to,th=(T/2)-p, (12.71)

а величина р совпадает с коэффициентом отражения от потенциального барьера [43]:

/с2(^) = 2(Е- <7(^)) = ю2(^).

Используя явную формулу (см. [90]) для матричных элементов представления Е"^), получаем окончательное выражение

ml Г (1/2—а—п)■■

Wmn " [(т _ „р.]^, Г (1/2 - а - т) Х

X (sh(T/2))2(m-”\ch(T/2))2(m+"^ X ■

X | Е (т + а + 1/2, т + 1, т + 1—Щ —sh2 (т/2)) |2. (12.72)

Здесь F(a, Ъ, с; ж) — гипергеометрическая функция.

В случае периодической зависимости ю(<) от времени спектр квазиэнергий имеет ту же структуру, что и в § 12.2.

Случай N взаимодействующих частиц [62]. Рассмотрим систему N взаимодействующих частиц,

описываемую гамильтонианом

N 2

Я=Яо + У,(12.73)

7=1 dx5 jeh

v = g2 2 to - ^Г2.

jch

Нас интересуют трансляционно-инвариантные решения уравнения Шредингера Нт1? = Е^, и потому удобно перейти к трансляционно-инвариантным переменным

N

Ъ=^-Х, X^-L^xj, 7 = 1,2,(12.74)

7=1

Переменные §,- не являются независимыми, а удовлетворяют условию

2 ^7 = 0.(12.75)

*7=1

■ Введем также трансляционно-инвариантные комбинации производных, которые будем называть формальными производпыми по сд

2L_X9_ 2=1У1 УЛ-о (12 76) эк ах. ах’ ах х ^ ах'

Из (12.74), (12.76) находим

^М- = ^-1Ж(12.77)

Нетрудно видеть, что имеет место тождество 'N

'^ = ^^-х^ = ^,(12.78)

jehj=i

с учетом которого гамильтониан (12.7.3) принимает вид

(12.79)

Заметим, что первый член в (12.79) при рассмотрении трансляционно-инвариантных состояний несуществен, и мы его опустим. Введем трансляционно-инвариантные операторы bj" и Ьк, пропорциональные операторам рождения

и уничтожения:и уничтожения:bi - (^+ 5^.)’bi - (^+ 5^.)’теперь можно записать через опе-теперь можно записать через опе-

и уничтожения:

и уничтожения:

bi - (^+ 5^.)’

bi - (^+ 5^.)’

теперь можно записать через опе-

теперь можно записать через опе-

NN

2^=2^=°-

5-1 (12.80)

При этом

[^М = [^МГ| = 0, [Mt]=2(6j/t-W). (12.81)

Гамильтониан (12.73) раторы bj и bk;

H = H0 + V,

V =

По аналогии со случаем одной частицы введем операторы 52 и В^:

NN

Bt=^bP-V, B2 = ^^-V. (12.83) з=13=1

Нетрудно проверить, что так же, как и в случае одной частицы, имеют место перестановочные соотношения

[Я, 5+] = 2В+, [Н,В2] = —2В2, VBa,BtA = 4H,

(12.84)

откуда следует, что операторы В2 и В2, являются понижающим и повышающим операторами соответственно.

Покажем теперь, что соотношения (12.84) имеют место и в том случае, когда потенциал V(ж) является произвольной однородной функцией степени —2. Третье из соотношений (12.84) следует при этом сразу же из (12.83). Для доказательства второго соотношения удобно перейти к новым операторам

_/ 2 \/ 2 \/ 2 \/ 2 \

Я = ехр 4 Я ехр4 и В2 = ехр 4- S2exp — 4

(при этом bi^d/d^i,ъ^-3-2^ — bld^Y

Для доказательства первого соотношения переходим к операторам

(при этом bj"-1d/d^;, bh ->■ 2^k + d/d§s).

Из (12.84) следует, что и в этом более общем случае мы имеем дело с алгеброй Ли группы 5t7(l, 1). Оператор С2, определяемый формулой (12.48), опять превращается в число

Сг = ку-ку к = ЕА (12.85) где Е6 — энергия основного состояния. Отсюда получаем серию нормированных волновых функций

(-1)" Уг№2" 1/п1Г (н + 20(-1)" Уг№2" 1/п1Г (н + 20(^)Ч.(^)Ч.(12.86)(12.86)

(-1)" Уг№

2" 1/п1Г (н + 20

(-1)" Уг№

2" 1/п1Г (н + 20

(^)Ч.

(^)Ч.

(12.86)

(12.86)

/ 2 \/2 \Ct = z-1 exp B^z exp ^j =/ 2 \/2 \Ct = z-1 exp B^z exp ^j =i v a2 _ у a i oz_i v a2 _ у a i oz_2 4^ dE?*4 9^i z 9У1^11 332 4^ dE?*4 9^i z 9У1^11 33(12.91)(12.92)(12.91)(12.92)

/ 2 \/2 \

Ct = z-1 exp B^z exp ^j =

/ 2 \/2 \

Ct = z-1 exp B^z exp ^j =

i v a2 _ у a i oz_

i v a2 _ у a i oz_

2 4^ dE?*4 9^i z 9У

1^11 33

2 4^ dE?*4 9^i z 9У

1^11 33

(12.91)

(12.92)

(12.91)

(12.92)

которые преобразуются по неприводимому представлению А группы SU (1, 1). Волновая функция основного состояния -фо = z ехр(—г/2) удовлетворяет уравнению Узфо = 0, откуда получаем уравнение для z

N 2'

4 2 Й<12 87>

7=1

Мы видим, что z — однородная функция величины ^,. Обозначая степень ее однородности через а', из уравнения //ф0 = ^офо находим.

Ео = —у— + а , к = -^ — —^— + "2"-(12.88)

Характерным свойством этой серии волновых функций является то, что все они имеют вид

^n(£) = <Pn(r)ipo(£) = zexp(-r72)<p„(r).(12.89)

Для того чтобы увидеть это, перейдем к новым операторам С2, и Й, которые действуют уже на функции фДг) (сравните с формулами (12.53) — (12.55)):

(12.90)

Заметим, что действие этих операторов на функции, зависящие лишь от г, эквивалентно действию соответствующих операторов, определяемых формулами (12.53) —(12.55), при условии, что в этих формулах сделана замена х г, а -> а + (N — 2)/2. Таким образом, нормированные волновые функции имеют вид

1/ п!Г[(У-1)/2 + а']

И Г[П+(У—1)/2 + аЛ] Х .

X ехР ("У ^'^^ (г2)- С12-93)

В случае, если V — произвольная однородная функция степени —2, функция z и степень ее однородности неизвестны. Для потенциала же (12.73) z = D", ас' = =2а и функции (12.93) переходят в серию

функций, полученных в работе [62]. Операторы С^ и С2, действуя на ср„(г2), дают рекуррентные соотношения (12.57) и (12.58) для полиномов Лагерра.

Мы получили простейшую серию волновых функций многочастичной задачи. Заметим, что произвольная волновая функция имеет вид .

фпДВ) = гехр(-г!/2)фпДг)РДВ), (12.94)

где Ри(Х) — однородная функция степени д.

Уравнения для функций ®„и(г) и Ри(Х) нетрудно получить из уравнения Шредингера

И *фпи 7?пц'фпц.

Имеем

1 ^Фпд [(У-2)/2 + а'+д ^„ц ,

+

+ (^ + ц) Ф^ц = Рпцф^ц, (12.95) откуда получаем■

фпц (г) =

П!Г [(Д'1)/2 —ос. + д] г(Лт-3)/2+а'+м / 9.\

Ew = 2п + и + Е,.(12.97)

Уравнение для Р(1(£) имеет вид •

Операторы Ct и С2, определенные формулами (12.90) и (12.91), действуя на функцию Ф„ц(г)Р(1(^), дают рекуррентные соотношения для функций ф„ц(г); рекуррентных соотношений для ^(^ при этом не возникает.

Итак, каждое новое решение уравнения (12.98) определяет новую серию решений

1[пц = z ехр (- г72) ф„и (г) ^ (^).

В случае потенциала (12.82) z = Da и уравнение (12.98) переходит в уравнение, полученное для этого случая в работе [109]:.

(12.99)

В этой работе показано, что уравнение (12.99) имеет полиномиальные решения (т. е. ц = т — целое число), причем функция Рт^ полностью симметрична относительно перестановки координат ^-. Как видно из (12.97), из полиномиальности решения следует эквидистантность спектра. Из симметричности же функции Рт(.^,) находим, что число решений g(m') уравнения (12.99) степени т равно числу полностью симметричных гармонических полиномов степени т, которое, в свою очередь, равно числу решений уравнения

т = Зи3 + ... + Nns

в неотрицательных целых числах.

Отсюда получаем следующее выражение производящей функции для g(my.

cW-leW"-(12,/(1^ (i2M^

Теперь нетрудно показать, что кратность вырождения /(s) уровня с энергией Es = Ео + s равна числу решений уравнения

. s = 2и2 + Зга3 + ... + NnN

в неотрицательных целых числах. Производящая функция F^t) для величины /(s) имеет вид

F w - 2 / и tm = ^)7^—^- (12Л01)

Явное выражение для функций /(s) и g(s) при небольших значениях N может быть получено из работы [62]. Вся трудность решения задачи свелась теперь к нахождению всех решений уравнения (12.99). Относительно решения этой задачи см. работы [109, 62].

В заключение заметим, что использование инвариантности системы N взаимодействующих частиц относительно группы 8Щ1, 1) дает возможность решить также и задачу с переменной частотой, когда гамильтониан По в (12.73) имеет вид

(12.102) 3=1 3 3<k

А именно, все результаты, полученные в § 12.3, как нетрудно проверить, переносятся и па этот случай.

Осциллятор с переменной частотойпод действием переменной внешней силы

i^^ ^ =i^^ ^ =1111Рассмотрим общий случай, когда на осциллятор с переменной частотой со(^) действует сила /(#). Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

i^^ ^ =

i^^ ^ =

11

11

Ф (^ 0(12.103)

Зависимость cd (Z) и f(t) вольной, предполагая лишь граничных условий:Зависимость cd (Z) и f(t) вольной, предполагая лишь граничных условий:от времени считаем произ-от времени считаем произ-выполнепие естественныхвыполнепие естественных

Зависимость cd (Z) и f(t) вольной, предполагая лишь граничных условий:

Зависимость cd (Z) и f(t) вольной, предполагая лишь граничных условий:

от времени считаем произ-

от времени считаем произ-

выполнепие естественных

выполнепие естественных

/(#)->-0 при/(#)->-0 приГ<0—Г<0—при припри приt —> -4- оо, t —>- ОО, t —>- -р ООt —> -4- оо, t —>- ОО, t —>- -р ОО(12.104)(12.105)(12.104)(12.105)

/(#)->-0 при

/(#)->-0 при

Г<0—

Г<0—

при при

при при

t —> -4- оо, t —>- ОО, t —>- -р ОО

t —> -4- оо, t —>- ОО, t —>- -р ОО

(12.104)

(12.105)

(12.104)

(12.105)

(пределы со± могут быть различными).

В этом случае гамильтониан 7/(7) в (12,103) выражается линейно через операторы Ао, К., К. (12.22) и операторы р, х и I, которые, как нетрудно проверить, образуют шестипараметрическую алгебру Ли — алгебру Ли, так называемой неоднородной симплектической группы ISp(2, R). Таким образом, так же, как и в предыдущем случае, существует решение уравнения (12.103),

имеющее вид КС для группы I,Sp(2, R):

1Ч>(^)> = ехр(—i^(/)) |^(t), а(0>,(12.106)

где КС IS, «> дается формулой

IS, а> =^exp[Sa+72 + aa+]|0>, IS> < 1, (12.107) N = (1 — ISl2)+1/2exp (—lal2/2) — нормировочный множитель.

Нас интересует вероятность перехода wmn из состояния \п, со_> при i-> —сю в состояние |т, и+> при t -> +оо;

wmH=\<m1 £0+117 ( 00, —оо)|и, go—>|2,(12.108)

где U (С, t^ — оператор эволюции.

С помощью КС нетрудно получить производящую функцию для величин wmH-

Я(21, 22) = 2-Д<т, о)+|5|щ ®_>(12.109)

Опуская детали вычислений, приведем окончательный результат ([60]):

Я(21, z3)= (1 —р)1/4ехр^—^-(1 — /pcos2q>) +

+ 4 [ ^0 (z2 — z]) + 2 /1 — р z^] ++ /v [ /1 — р exp (— icp) z4 —

— (exp (icp) — /p exp (— нр) z2)J (12.110)

Параметры p, v и ср, входящие в (12.110), определяются следующим образом.

Пусть SG)—решение классического уравнения движения для осциллятора

(12.111)(12.112)(12.111)(12.112)S + or(f)S = 0 с начальным условием

(12.111)

(12.112)

(12.111)

(12.112)

S (t) ~ exp (ia-t) при £->—оо.

Параметр р определяется асимптотикой величины SW при t+ оо.-

I С'

Р = Н - (О ~ Ст exp (ito+f)—

' — с2ехр(—ico+^), t—>- + оо, (12,113)

При этом 0 ^ р < 1, и значение р целиком определяется видом o)(z) и не зависит от внешней силы.

Величина v = |d|2 характеризует степень возбуждения осциллятора внешней силой и определяется формулой

аа(12 Л14)(12 Л14)

а

а

(12 Л14)

(12 Л14)

Фаза q> имеет следующий вид:

Ф =Ф =2 и2 и(12.115)(12.115)

Ф =

Ф =

2 и

2 и

(12.115)

(12.115)

где 61, 62 и р — фазы величин щ, с2 и а соответственно.

Вычисление вероятностей wmn сводится теперь к разложению функции H(zi, z2\ в ряд Тейлора; коэффициенты разложения ст„ можно выразить через полиномы Эрмита от двух переменных. Согласно [4] эти многочлены определяются так:

В пашем случаеВ пашем случае(Ун Уа)-(Ун Уа)-(12.116)(12.116)Му] =Му] =/ ур ~УГ^\^-УГ^Р -Ур г/ ур ~УГ^\^-УГ^Р -Ур г

В пашем случае

В пашем случае

(Ун Уа)-

(Ун Уа)-

(12.116)

(12.116)

Му] =

Му] =

/ ур ~УГ^\

^-УГ^Р -Ур г

/ ур ~УГ^\

^-УГ^Р -Ур г

(12.117)(12.117)Ух = /v(l — р)ехр (£ф),

(12.117)

(12.117)

У а = — /v (exp (— 1ф) — Ур exp (i ф)).

(заметим, что а2 = I, а-1 = а). Отсюда находим окончательное выражение для вероятностей перехода:

wmn = ^Щ РI//mn ^’ ^ I2 ехР I— V (1 — Ур COS 2ф)}.

" "(12.118)

Приведем в явном виде wmn для простейших значений тип: _

Woo = V1 — р ехр {—v (1 — Ур cos 2ф)},

Wio = v(l — р)ш00,

_(12.119)

Wot = v (1 — 2Ур cos 2ф + V2p) Wo»,

Ши = (1 — р)[ (1 — v)2 + 2"V (1 ~ v) Ур COS 2ф + V2p]tooo.

12 A. M. Переломов177

Если в (12.116) положить одну из переменных г,, z2 равной пулю, то это выражение упрощается и принимает вид производящей функции для обычных полиномов Эрмита. Отсюда следует, что если при t -* — 00 осциллятор не возбужден (и = 0), то величины wm, 0 выражаются через обычные полиномы Эрмита

У1 — Рт/2 н /"]/27(Т^р)ехр (—гф)\ 2

"mn “ лГр Нт ( у= I х

Хехр[ —v(l—Ур cos 2tp)}. (12.120)

Аналогичная формула имеет место для

У1 — Р «/2 ТТ /У^ (Ур ехр(—гф) - ехр(/ф))\ 2

°" “2%1 Р " ” Х

.XV Р/

X ехр [—v(l— ]/р cos 2ср)}.(12.121)

Из явного вида формул (12.120), (12.121) видно, что, вообще говоря, щ0„ У гщ,0. В то же время при v = 0, т. е. при отсутствии внешней силы, величины wmn симметричны по m и п.

Заметим, что из общих принципов квантовой механики следует лишь, что вероятности w^ симметричны по начальному п и конечному тп, состояниям, если со(—^) = = и(7). Как видно из (12.27), фактически равенство ivmu = wnm в этом случае выполняется при произвольной зависимости со от t. Причину этой дополнительной симметрии можно понять, если связать р с коэффициентом отражения от одномерного барьера. Для этого образуем из XW и £(0 линейную комбинацию £У) со следующими свойствами:

L(0 = Ш + Hl W = '

t —>• — ОО , .,(12.122)волновой функцией если заменить t наt —>• — ОО , .,(12.122)волновой функцией если заменить t наexp (ico_i) + R exp (— ico_i) при

t —>• — ОО , .,(12.122)

волновой функцией если заменить t на

t —>• — ОО , .,(12.122)

волновой функцией если заменить t на

Dexp(ico+i)при

Отсюда видно, что ^(7) совпадает с одномерного уравнения Шредингера,

ж, a и (7) —на к (ж). Коэффициенты R и D имеют смысл амплитуд отраженной и проходящей волн. Из сравнения (12.122) и (12.113) находим

С’ = у/Т^2’ ^У^?’ Р = 1^12. (12.123)

Таким образом, решение (12.122) соответствует волне, падающей па барьер слева.

Обращение времени t -* —t отвечает переходу к волне, падающей справа. Обозначая коэффициенты отражения для этих двух волн через р и р', имеем

штп(р) шпт(р ) .

Но, как известно (см., например, [43]), р' = р. Отсюда и вытекает дополнительная симметрия вероятностей wmn по индексам т п п. Из формулы (12.118) видно, что величины wmn симметричны по т и п также при р = 0.

Рассмотрим случай v^O и

f(-t) = f(l).(12.124)

При этом, как показано в [2], такая симметрия существует, если

cos2y = Vp.(12.125)

Здесь переменные р и ю уже не являются независимыми, а вероятности wmn определяются двумя величинами р и v.

Глава 13

ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

В этой главе с помощью метода когерентных состояний изучается поведение квантовой частицы во внешнем электромагнитном поле. Рассмотрены задачи о движении спина в переменном однородном магнитном поле и рождении пар бозонов и фермионов в переменном однородном электрическом поле. Все эти задачи с помощью когерентных состояний точно сводятся к соответствующим классическим задачам.

Движение спина в переменном однородноммагнитном поле

Рассмотрим нейтральную частицу со спином /, обладающую магнитным моментом ц и находящуюся в переменном магнитном поле Н(Ц. Изменение состояния такой системы во времени определяется уравнением Шре- дивдера

*^ I’НФ = — А (7) J | ф (7)> = i(aJ+ — aJ_ — ib/0)| Ф(0>>

(13.1)

где.'

H=^J, 3=(JVJ„J3),

А = Лн, a = -4-(A-iA), 6 =-Л3, (13.2)

Д — оператор бесконечно малого вращения вокруг оси ж,, <7+= Д ± (Д. Относительно вектора Н(0 мы предполагаем лишь, что он достаточно быстро стремится к определенным пределам при t ->- ±°°, так что при t ->- ±°о существуют асимптотические состояния 1тр±>.

Давно известно (см., например, работу [184] или книгу Ландау и Лифшица [43]), что задача о частице с произвольным спином может быть сведена к более простой задаче о движении частицы "со спином 1/2. Использование спиновых КС позволяет получить решение этой задачи особенно просто.

Решение уравнения (13.1) будем искать в виде li[(7)>=exp(-i0(7))lU/)>.(13.3)

Уравнение (13.1) принимает вид

iA№> = (H^-Mw>.(13.4)

С другой стороны, из явной формулы для КС следует

Ш£> = (/ + Д)1£>,(13.5)

7-IP=U/-W(13.6)

и

Чг-ГД^ + 'С1’)!1^» + (т) (Л,+ 1)1 ЕС».

(13.7)

Отсюда находим уравнения для величин ^(7) и 0(7)

t, = a + aV-ibt„(13.8)

4 0 - ~ 4 + ‘[44(1 +1:4 + т + "г <13'9>

Заметим, что из (13.8) следует равенство"

А(1+^|2) = (4 + аС)(1+|С|2),(13.10)

с помощью которого получаем i^j^a + ^a-iby(13.11)

Таким образом, задача нахождения волновой функции сведена к болеепростой задаче — решениюуравнений

и (13.11).'

Заметим, чтопри параметризацииввидевекторов

единичной сферы уравнение (13.8) принимает вид

п = —[а(/),п].(13.12)

Таким образом, плоскость £ (или единичная сфера №) играет роль фазовой плоскости для классической динамической системы. Однако, в отличие от обычно рассматриваемых классйческих динамических систем, инвариантная метрика на плоскости £ не является евклидовой.

В простейшем случае при i^+<», a(i)^0, b (t^

const, как видно из (13.8), II; (^) I2 ^ р = const. Отсюда сразу же следует выражение для вероятности перехода из начального состояния |0> = I/, —/> в конечное состояние \т'> = I/, —/ + т>

™ т\ уЦ-ту (1 + р)2/

Общая формула для вероятностей перехода имеет вид

Шт1г = | ^v (9) |2,(13.14)

где ц —/п — /, M = n—j, p = tg2(9/2), a. ^v (9) — известные матричные элементы представления T’^gy

В качестве примера рассмотрим случай внешнего магнитного поля

Н (£) = Но + Н, (i) = Н0е3 +

+ Hi (е, cos <ot + е2 sin со£), (13.15) являющегося суммой постоянного магнитного поля, направленного по оси z, и поля H^i), вращающегося в плоскости (ас, у) с угловой скоростью со.

(13.16)(13.17)181(13.16)(13.17)181Уравнение (13.8) нетрудно решить, и мы получаем ito± sin Qi exp (Цю ц — to) t) — 2Q cos Qi — i (<o — <o || )sjn Qt’ где

(13.16)

(13.17)

181

(13.16)

(13.17)

181

Й = 4'Р<(® —®ц)2 + ml, о)ц = (ц0/7)Н0,to л = (Po//) ^r

Отсюда для простейшего случая / = 1/2 получаем формулу для вероятности «переворота спина»

^1/2,—1/2 (0 —^1/2,—1/2 (0 —<о^ sin2Qi<о^ sin2Qi(СО - СО „ )2 + С02± ‘(СО - СО „ )2 + С02± ‘(13.18)(13.18)

^1/2,—1/2 (0 —

^1/2,—1/2 (0 —

<о^ sin2Qi

<о^ sin2Qi

(СО - СО „ )2 + С02± ‘

(СО - СО „ )2 + С02± ‘

(13.18)

(13.18)

Отметим, что вероятность переворота спина зависит от со резонансным способом и может принимать максимальное значение (w = 1) лишь при со = соц.

Рождение пар бозоновв переменном однородном внешнем поле

Одним из интересных квантовых эффектов в классическом внешнем поле является рождение пар частиц и античастиц из вакуума. Такое явление изучалось в большом числе теоретических работ, для ознакомления с которыми мы отсылаем заинтересованного читателя к монографии [23].

В этой главе мы рассмотрим теоретико-групповые аспекты задачи о рождении пар бозонов в переменном однородном внешнем поле ). ■

Динамическая симметрия для скалярных частиц. Рассмотрим сначала скалярную заряженную частицу массы тп, находящуюся в однородном электрическом поле Е(/). Она описывается функцией <р(г, /), удовлетворяющей уравнению )

Ф + (р — А (£)) Зф + т.3ф = 0, (13.19) где р = —iV — оператор импульса, А (/) = — f Е (/') dt' — векторный потенциал, а точка означает производную по времени. Из (13.19) сразу же следует, что существует решение вида <p(r, /) = ехр(1рг)фо(О, причем ф0(^) удовлетворяет уравнению для одномерного классического осциллятора с переменной частотой

фо + со2(^)фо = 0. (13.20)

Здесь <o2(Z) = m2 4-n2(Z), л (Z)--= р 4- j*E(Z')(Zz'— классический импульс частицы в момент времени t, р — импульс частицы при /-> —оо (предполагается, что E(Z) достаточно быстро убывает при Z -*■ ±°°, так что при Z -*■ ±оо существуют пределы л± и со± величин л(^) и co(Z) соответственно).

После вторичного квантования функция ср (г, Z) переходит в гейзенберговский оператор

уЙ5Гх

X («р (0 ехр (грг) 4- Stp (Z) exp (— Zpr)), (13,21) причем оператор ср (г, Z) удовлетворяет уравнению (13,19), а операторы «р (Z) и &tp(Z) соответственно уравнению (13.20). При этом операторы cP(Z) и Ур (Z) в произвольный момент времени получаются из операторов ар и btp, отвечающих свободному движению при t -*■ —°°, с помощью унитарного преобразования

МО = S+(t)2pS(t) = Mp(Z)ap 4- v'p^btp, ,13 22х M(Z) = -S'+(Z)?>M(Z)M;(Z)flp4Hp(Z)^^( ”

Функции же np(Z) и ир (Z) удовлетворяют уравнению (13,20) и граничным "условиям при t —°°, »p(Z)~exp(—Zco_Z), np(Z)->0,

Преобразование (13,22) определяется матрицей

Заметим, что из унитарности преобразования S(t') следует, что преобразование (13.22) является каноническим, т. е. сохраняет перестановочные соотношения. Отсюда следует, что |ЫР|2— |кр|2=1, и поэтому множество всех преобразований образует группу G = SU(1, 1). При этом, как видно из (13.22), каждому g^ соответствуют два оператора: S(f) и —S(0i поэтому операторы S(Z) образуют представление группы G, дважды накрывающей группу G,

Следует иметь в виду, что при со+ ^ со- системы состояний, стационарные при t 4-°° и Z -> —°°, не совпадают. Однако переход от состояний, соответствующих ча-

стоте со-, к состояниям, соответствующим частоте со+, дается оператором В того же типа, что и S. При этом интересующий нас матричный элемент перехода из начального состояния "ф- (t -► —0°, со = со-) в конечное ф+ (t-*-+<», о) = со+) совпадает с матричным элементом оператора Т = RS. Поэтому без ограничения общности мы будем в дальнейшем считать, что ы- = ы+. Таким образом, оператор Т определяет преобразование типа (13.22), в котором нужно лишь заменить и и и' па

и = exp [i(«i + а2)/2] сй(т/2) и

v = exp [i (at — а2)/2] sh(r/2),

причем вероятность перехода w зависит лишь от параметра т = lim т (t):

^->4-00

W = Кф-ДУД^о) ]ф_> |2, _/сЬ(т/2) sh (т/2) \ ^°"\sh(T/2) ch (т/2) У* ■

Формула (13.23) описывает также распределение пар заряженных скалярных частиц, родившихся в гравитационном поле однородной расширяющейся вселенной. Отсылая за деталями описания этого процесса к работам [205, 206, 34], приведем здесь лишь формулу для эффективной частоты осциллятора

O)2(#)=TO2 + £2(Z)_ 1+3/_£У(1324)

Здесь к2^—собственное значение оператора Лапласа Д = gapya5p ^эа = -^, а, 0 = 1, 2, 3), gaP — пространственная часть метрического тензора в синхронной системе координат (g00 = 1, gOa = 0), g = det IgaJ.

Для более детального изучения групповой структуры задачи рассмотрим инфинитезимальные операторы пред- ставлепия Т (g). Они имеют вид

K+ = a+b\ К- = аЬ, Ко = 72 (а+а + b+b + 1) (13.25)

и удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям для алгебры Ли группы 57(1, 1)

. [Яо, Я±] = ±Я±, [Я-, Я+] = 2Я0(13.25')

(для упрощения формул здесь и в дальнейшем мы опускаем индексы у а$ и Ь1Р\

184

Нетрудно проверить, что оператор „ К, К +к к. , с. = —~ + - К03(13.26)

является инвариантным оператором (оператором Казимира), т. е. коммутирует с операторами К+, К_ и Ко. Подставляя в (13.26) явные выражения для К+, К- и Ко, находим

G = V4- ЧЛаа- ЬЧУ-(13.27)

(a+)m(p+)n

Таким образом, для состояний Im, п> = — .—= -| 0, 0) pm!

с т — п = п0 = const, С2 = const = 7с (1 — к) и с учетом работы Баргмана [90] состояния {Ira + rao, и» образуют базис неприводимого представления Тк дискретной серии группы 577(1, 1).

Матричные элементы этих представлений известны [90], и в простейшем случае пй = 0, когда начальное состояние является вакуумным, мы получаем w. = Kra, ralT^lO, 0>Т =(1 — р)р”,

р = ПТ(т/2)= ld2/kl2. (13.28)

Параметр р имеет простой физический смысл, а именно он совпадает с коэффициентом отражения от потенциального барьера*), имеющего вид со2(ж).-

Рассмотрим состояния, возникающие в процессе эволюции нашей системы. Пусть в начальный момент времени состояние является вакуумным, т. е. а1ф(0)> = = b 1ф(0) > = 0. Тогда в произвольный момент времени 1ф(7)> = 5(7) |ф(0)>, и это состояние удовлетворяет уравнениям

(5(7)а5+(7)) 1ф (7) > = 0, (5 (Z) 65+ (7)) 1 ф(7) > = 0.

Таким образом, мы приходим к рассмотрению преобразования, обратного преобразованию (13.22), и нетрудно проверить, что оно имеет вид

а = SaS* = иа — vb*, b = SbS+=—va+— ub. (13.29)

Теперь из условий а!ф(7) > = 0, 51ф(7)>=0 сразу же следует, что

1ф(7)> = ехр(-70 (7)) IE;(7) >,(13.30)

где.

1£> = И - l^p ехр(^+6+) 10, 0>, ^ = и/й, Ip <1.

(13.31)

Нетрудно видеть, что состояния {|р} являются обобщенными когерентными состояниями для представления Т1'1 группы SU (1, 1).'

Многомерный случай; когерентные состояния. Переходя к задаче о рождении пар бозонов со спином s, заметим прежде всего, что рассуждения, аналогичные рассуждениям в 13.2.1, приводят к рассмотрению канонического преобразования для N = 2s + 1 степенен свободы )

at = Т^Т = Aya, + Byb^, bt = T^btT = Сиа3 + Dyb^. ьkkJ J 'kJ J IккkJ J 1kJ J

(13.32)

Нетрудно проверить, что для того, чтобы это преобразование было каноническим, т. е. сохраняло бы перестановочные соотношения, необходимо выполнение условий

АД* - ВВ* = I, DD* - СС* = I, ДС* = BD*. (13.33) Эти условия можно переписать в виде

,(А В\/ I ОХ

МЕМ^ = Е, где М = Iс A Е = (Q _J, (13.34)

а это значит, что преобразования (13.32) образуют группу G = SU(N, N). Из (13.34) следует, что матрица обратного преобразования имеет вид

ATV=EM+E,(13.35)

и что должны также выполняться условия

А*А — С*С = 1, D+D - 5+5 = 1, А*В = C*D. (13.36)

Что касается операторов T(g'), то они образуют представление группы G, которая дважды накрывает группу G. Инфинитезимальные операторы этого представления

(13.37)(13.37)удобно объединить в матрицу

(13.37)

(13.37)

М=( г 3\ьгаз

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что оператор

С.= tr (NENE)(13.38)

является ипвариаптпьтм оператором (оператором Казимира), т. е. коммутирует со всеми инфинитезимальными операторами. Выражение для оператора Сг можно упростить, используя перестановочные соотношения. Вычисления дают

С2 = («^ - Ь^У - («.^ - b+b^ - (/V3 - N). (13.39)

Таким образом, для состоянии {|/п, nA, \т, z?.> = |mt . . . . . . mN, nv . . . nN> таких, что | иг | — | п | = 2 тг — 2 пз = = const, оператор Сг является константой:

С,=(\т\ - Ы)2-(Ы - \n\)-(№-N).(13.40)

Можно показать, что операторы Казимира Ср высших порядков в этом случае также сводятся к константам. Отсюда следует .что множество состояний \т,п> с т—п = = const образует базис неприводимого представления группы SU(N, N).

Группа G = SU(N, N) обладает компактной картанов- ской подгруппой К = SU(N) ® SU(N) ® К(1) и потому согласно Хариш-Чандре [151] имеет дискретную серию представлений. К ним, в частности, относится и рассматриваемое здесь представление.

Изучим подробнее простейший случай, когда начальное состояние является вакуумным: |ф(0)> = 10, 0>, «.10, 0> = 0, й,Ю, 0> = 0. Состояние lip(f)> в произвольный момент времени имеет вид

\^(t)> =T(g(t))\^(O)> =T(g)\0, 0>(13.41)

и должно удовлетворять уравнениям

«,|-ф(7)> = 0, ^lip(Z)>=0,(13.42)

где

a, = TatT+, Bj = Tb,T+.(13.43)

Вычисляя операторы а,- и Ь,, получаем

^ = А^ - Ctjbt b, = - (Лт)^ + (D^.jbj, (13.44)

Где верхний индекс Т означает транспонирование.

Нетрудно проверить, что решение уравнений (13.42) имеет вид'

1фW> = ёхр (-i0 W ШП>, <^> = 1,(13.45)

где

| О = Д^хр^ущ^) |0, 0>, £ = Gl+pC+ = BD~\

(13.46)

2V = [clet(I-^)],/2.(13.47)

Из (13.46) для матричных элементов оператора T(g') получаем следующее выражение:

<т, п | Т 10, 0> = N 2 П ^ГГ^ ^”У’(13-48)

Суммирование здесь проводится по всем целым числам ??ц, удовлетворяющим условиям

2 Пу = т^ = const, 2 ПУ = пз = const. (13.49)

При этом, как и раньше, состояния |£> являются обобщенными когерентными состояниями. Такое состояние задается точкой факторпрострапства G/H, где Н —стационарная подгруппа вектора |ф0Х В пашем случае 1'фо> = 10, 0>, G = SU(N, N), H = SU(N)® SU(N)®U(i), а факторпрострапство G/H состоит из комплексных N X N матриц £ таких, что матрица I — £+£ — положительно определенная.

Система (!£>} обладает всеми свойствами систем когерентных состояний. Это — сверхполпая система), и ее состояния не ортогональны друг другу. Именно:

С1^> =

= [det(I - ^WWtl - e^e^l^'Edet(I - ^ПГ*.

(13.50)

Имеют место также следующие соотношения:

а^|О = :У^|С>,(13.51)

W|O = ^^tlO.(13-52)

a-kbi | О = ^.м I О + ?>ii^h3atbt | О •(13.53)

Действие оператора T(g) на когерентное состояние |£> при этом дается формулой

7(g)|?> = exp(i0)|^>,(13.54)

где

. ^=^-B)/(-^ + Z>),(13.55)

Ф = 2fc arg [det (£>-££)].(13.56)

Для матричного элемента <т||У|^> теперь имеем

<111 Т1В> = [det(I - nn+)]‘/2[det(I - U+)]*/2 X

X [det(D — Q + ^*B - ii+zl^)]-*.(13.57)

Отсюда следует что производящая функция для матричных элементов оператора Т(g) имеет вид

2<Х п | Г (g) | т'п'>П С^С^ОУ Чи =

= [det(Z)-C$ + i]+B-Ti+^)]-1. (13.58)

Здесь C„n — коэффициенты в разложении когерентного состояния |р по ортогональному базису

= 2 n&yim, »>,(ny) ij■

2 "у =2 "у = "j-(13.59)

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления вероятностей перехода

= 2 | <"?,"[ т । о, о> |2, 2 mi = 2 nj "• (13.60) {m,n}

Рассмотрим оператор

S = T*RT,(13.61)

где оператору Т соответствует каноническое преобразование (13.32), а оператор R определяет каноническое преобразование

R+OiR= exp (—i0) ab R^b^R = exp (iO) bt. (13.62)

Оператору S соответствует каноническое преобразование вида

8+аг8 = A^j + B^bj, S+b?S = Cya, + Dyb}. (13.63)

При этом вычисления дают

А = ехр(—10)Л+Л — ехр(г0)С+С,

Й = ехр(—10)Л+В — exp(i0)C+£),(13.64)

С* = — ехр(—i^R*A + exp(i0)B+C,

D = —exp (—iQ)B+R + exp (г0)£>+£>,

а Для матричного элемента <0, 0|5|0, 0> получаем

<0, 0|5|0, 0> = <0, OjT’+ffT’lO, 0>.(13.65)

В силу (13.62)

{т, п I ВI т', п") = П 66 ехр (—2г«0), (13.66)

1т^ п^<'

п мы имеем

<0 | 5 | 0) = 2 I (т, и | ^ | 0, 0) |2 ехр (— 2гп9) =

= 2^„ехр(—2г«0). (13.67) С другой стороны,

<015|0> = N = , L-,(13.68)

|detZ>pv '

а

| det О | = | det (D+D-exp (-2/0) B+B) | =

= | det D |21 det (l - exp (- 2i0) ^+0 |. (13.69)

Окончательное выражение производящей функции

для вероятностей перехода имеет вид

3 W = 5 »^tu3 W = 5 »^tudet(l-(,+O det (I - t^+y ‘det(l-(,+O det (I - t^+y ‘(13.70)(13.70)

3 W = 5 »^tu

3 W = 5 »^tu

det(l-(,+O det (I - t^+y ‘

det(l-(,+O det (I - t^+y ‘

(13.70)

(13.70)

Это выражение можно переписать в виде

3 (t) = m0 ехр3 (t) = m0 ехрsft = tr[(^)ft]. (13.71)sft = tr[(^)ft]. (13.71)

3 (t) = m0 ехр

3 (t) = m0 ехр

sft = tr[(^)ft]. (13.71)

sft = tr[(^)ft]. (13.71)

Заметим, что £+£ — эрмитова неотрицательно определенная матрица, и потому ее можно привести к диагональному виду. Обозначим через ре, 0 р{ < 1, i = 1, .. ., N собственные значения матрицы £+£. Мы видим, что вероятность щ„ рождения п пар определяется N числами р;, а производящая функция для вероятностей щ„ имеет вид произведения N производящих функций для одномерного случая.

Многомерный случай. Нестационарная задача. Пусть Н (I)—зависящий от времени гамильтониан, линейный по инфинитезимальным операторам представления T(gy.

Н = А^а^ 1ц -|- A^a^bj 4- С^рц а^ 4- ВцЬц b^

С+ = С, в"1" = D. (13.72)

Решение нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (13.72) будем искать в виде l4>(J)> = = exp (—i0 (t)) I ^ (t) >. Для вычисления производной по времени от |£> воспользуемся формулой

^ (det Л) = det Л-tr (ЛЛ-1).(13.73)

Отсюда следует полезное соотношение

= ltr[(i-^)^^(i-?4)]lD + tX^K>- (13-74)

Теперь с помощью (13.51) — (13.53) получаем уравнения для величин ^(t) и 0(t):

^=(Л + £Л+£ + С£ + ^т),(13.75)

0 = АкйН - | tr [(I - ^)-11 (I - СЧ)]. (13.76)

С помощью (13.75) находим

^(!-^) =

= (1-^)лЧ-?+Л(1-?Ч) + (l-^)£T(l-^),

(13.77)

после чего уравнение (13.76) упрощается и принимает вид

0 =11г(Л+^ + ^+Л).(13.78)

Уравнения (13.75), (13.78) полностью определяют эволюцию величин £ и 0.

В простейшем случае при t °°, Л и Л О, С и D -* const. Из уравнения (13.75) следует

?(t)= ехр(— iCt^ ехр( — Ючу (13.79)

Отсюда видно, что все собственные значения матрицы ?+? при этом переходят в постоянные величины Pi^Pi0^ которые согласно (13.70) определяют вероятность рождения пар.

Таким образом вероятность рождения пар определяется величинами plt .. ., p^, для нахождения которых необходимо решить уравнение (13.75). Зависимость же коэффициентов Л, С и D от времени определяется исходным уравнением для операторов поля, как это было в

одномерном случае.

Следует, однако, иметь в виду, что в некоторых случаях" уравнения (13.75) упрощаются. Так, если мы рассматриваем однородное электрическое поле, меняющееся по величине и не меняющееся по направлению (направленное, например, по оси z), то при этом сохраняется проекция спина частицы на ось z. Поэтому каноническое преобразование (13.32) связывает лишь а, с Ь. Таким образом, задача сводится к одномерной. Однако зависимость от времени коэффициентов канонического преобразования может быть более сложной, чем в одномерном случае.

Рождение пар фермионов в переменном однородном внешнем поле *) • '

В настоящем параграфе рассмотрены теоретико-групповые аспекты задачи о рождении пар фермионов в переменном однородном внешнем поле. Показано, что динамической группой симметрии задачи является группа SU (2А), где N = 2s + 1, s — спин частицы. При этом состояние системы в произвольный момент времени является обобщенным когерентным состоянием, связанным с определенным представлением группы SITIN'). Вероятность же рождения пары дается квадратом модуля матричного элемента этого представления. В случае частицы со спином 1/2 наличие динамической симметрии позволяет упростить задачу и в ряде случаев свести ее к более простой задаче о движении спина в переменном магнитном поле (см. [209, 70, 48]).

Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2. Рассмотрим заряженную частицу спина 1/2 с массой т, находящуюся в однородном электрическом поле Е(^. Она описывается биспинором ф(г, i), удовлетворяющим уравнения Дирака)

гф = Яф, Я = (р— А(^))а + тп^, (13.80) t

где А (i) = — j Е (Р) dt’— векторный потенциал, а, Р — известные матрицы Дирака, р = —z"V — оператор импульса, а точка означает производную по времени. Не

трудно видеть, что существует решение уравнения (13.80) вида.

л|)(г, £)= exp(ipr)i|)0(£).-

Для биспинора i|)o(O отсюда получаем уравнение

про = (л (t)a + т^)фс.(13.81)

t

Здесь л (£) = р — А (£) = р + j Е (£') dt' — классический импульс частицы в момент времени t, р — импульс частицы при t—о° (мы предполагаем, что Е(£) достаточно быстро убывает при t ±°°, так что при t ±°о существуют пределы л± величины л(£)).

В общем случае уравнение (13.81) упростить не удается. Однако в ряде частных случаев уравнение (13.81) можно свести к более простому.■

1а. Пусть л = Е(£) = .Е(£)п, где единичный вектор п пе меняется с течением времени. Тогда л = р± + (лп)п, р±п = 0, и уравнение (13.81) можно записать в виде

гфо= (^i^i + ^зЛ)фо,(13.82)

где '

йх = 2 V Р± + т2,й3 = 2лп,(13.83)

Jх = Qf1 (pj.a + mP), Ja = у па.(13.84)

Если ввести еще оператор /2 = i^?1 (𱫠+ ^0) (па) то нетрудно видеть, что операторы 1К удовлетворяют стандартным соотношениям для алгебры Ли группы SU (2) ([Л, Л] = 7еЫт7т). Следовательно, динамической группой симметрии в нашем случае является группа 5(7(2). При этом J2 = 3/4, т. е. мы имеем дело со спинорным представлением этой группы. Таким образом, уравнение (13.81), записанное в форме (13.82), совпадает с уравнением, описывающим движение спина 1/2 в переменном магнитном поле специального вида:

Н(0=Й(0 = (Й1(0, 0, &(£)).'

Отсюда, в частности, следует, что из точного решения уравнения Дирака, найденного в работе [53], можно получить новое точное решение задачи о движении спина в магнитном поле вида H(t) = (c, О, a+bthy#),.

Заметим, что помимо операторов Jhl из матриц Дирака Можно построить операторы Kt, также образующие алгеб-

13 А. М. Переломов193

ру Ли группы St7(2) и коммутирующие с операторами Jk. В нашем случае рх = const, и потому можно перейти к новой системе отсчета, в которой рх = 0, л(0 = = (0, 0, л(0), и нетрудно видеть, что операторы

KY = — |а2ад₽, ^2 = уа1а3Р, Ка = — уа^ (13.85)

удовлетворяют сформулированным выше условиям.

В частности, операторы Kt1 К2 и К3 коммутируют с гамильтонианом, т. е. являются сохраняющимися величинами. Поэтому существует, например, решение уравнения (13.81) с л(£) = (0, 0, л(0), являющееся собственной функцией оператора Ка =—уа1а2- Этот факт имеет простое физическое объяснение: сохранение величины К$ связано с инвариантностью гамильтониана Н относительно вращений вокруг оси Х3.

Пусть р± = 0, л(0 = (О, 0, л(£)) и частица обладает аномальным магнитным моментом щ Уравнение Дирака в этом случае имеет вид

i^o = [n(t)a3 + п?р + гцл (i) pa3]ip0, (13.86) и его можно переписать в виде

м[о=(^1Но,(13.87)

где

й = 2(пг, цл, л), J = */2(P, фа3, а3).(13.88)

Таким образом, в этом случае группой симметрии также является группа SU(2).

1в. Заметим, наконец, что" к такому же виду можно свести и уравнение Дирака в однородной расширяющейся вселенной (сравните с работой [206]).

• 2а. Пусть вектор Е(£) = л(£) находится в фиксированной плоскости, например, в плоскости (х2, а:2). Рассмотрим операторы Mb Nj*.

+ У-! = ^ (Рз«з + "гР) «а> Мг + Na =

■= - ^ (Рз«з + пгР)04, (13.89)

Ма + Na — у a^g, е = V Рз + тп\

‘ У1 = ^l^*v2 — 2 Va^2i

M»-N»=T6k№a^rn^. (13.90)

Нетрудно проверить, что [Af<, 2VJ = 0, а операторы Mt и Nj удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям для алгебры Ли SU^.

Уравнение Дирака (13.81) теперь можно переписать в виде

i^ = Q(M-N)to,(13.91)

где

Й = 2(л,(0, л2(0, е).(13.92)

Следовательно, динамической группой симметрии в данном случае является группа SU^X SU^. При этом i[0(f)= 5(£)ф0(£), 8^= Si^Si^t) и операторы 5i(i) и Sx^ удовлетворяют уравнениям

^-(ЙМ)^, iSx = -(QN)S2(13.93)

и начальным условиям Si(0)= I, S2(0)= I.

Таким образом, и в этом случае нахождение ф(£) сводится к решению задачи о движении спина в переменном магнитном поле H(i)=±S2(i). Пусть, например, вектор напряжённости электрического поля равномерно вращается в плоскости (^i, х2у. Л1(£)= л cos mt, n2(i) = = л sin tot, л3 = 0. Тогда вероятность рождения пар дается формулой для вероятности переориентации спина, полученной Раби [213].■

Заметим, что оператор Ка = — (i/2e)aia2(a3p3 + ^m) коммутирует с гамильтонианом. Это связано с тем обстоятельством, что задача обладает плоскостью симметрии (^1, хгу

Пусть частица обладает аномальным магнитным моментом ц, ра = 0, а вектор E(f) находится в плоскости (^i, ^2). Тогда уравнение Дирака можно записать в виде

г^о = (Й.М - Q2N)if0,(13.94)

где операторы М и N даются формулами (13.89), (13.90), в которых нужно положить ра = 0, а

12, = 2(Л1 + р.л2, л2 — Ц.Л1, т),

(13.95)

П2 = 2(Л1 — цл2, л2+р.Л1, т).

Заметим, что оператор К3 =— (i/2)aia2p по-прежнему сохраняется.'

2в. Пусть частица обладает аномальным магнитным моментом ц, а E(f) = E(f)n, где единичный вектор п от времени не зависит и направлен, например, по оси х3.

■ Тогда уравнение Дирака можно привести к виду

^0=(Й1М-й2К)фд,(13.96)

где■

М — N = */2 ((п^а), а3, Р),

М + N = V2 (—- йхзр, Ф (п±а), — i (пАа) а3), (13.97)

й, = 2 (р± + р.л3, л3, т), й2 = 2 (р± — цл3, л„ zn).

(13.98)

В этом случае сохраняется величина К3 = -^ (ап±)азр.

В общем случае произвольного изменения E(t) уже не существует дополнительного интеграла движения и группой динамической симметрии является группа SU^.

Гейзенберговское представление. До сих пор поле 4>(t) рассматривалось неквантованным. После вторичного квантования биспинор тр (г> i) становится гейзенберговским оператором

XI ара (t) ира exp (zpr) + bpatt) vpa (t)vpaexp(—ipr)}. (13.99)

Здесь бр = УД?2 + m2, upa и opa — биспиноры, являющиеся собственными функциями оператора 2£3; 22£3мра = отра, 2K3Vpa = avpa; ара, ар0 (bp0, Ьра) — операторы рождения и уничтожения частицы (античастицы) с импульсом р и собственным значением 2А"3 = а. Оператор тф (г, t) удовлетворяет уравнению тД = \Э6 (t), гр], эквивалентному уравнению (13.80), а оператор Гамильтона 36^ получается стандартным способом из неквантованного оператора 36^. При этом как гейзенберговский оператор гр(г, t), так и операторы <zp,a и 6р-а в произвольный момент времени t получаются с помощью унитарного преобразования

ар0 ^ = §+ WapaSW, b+a ^ = §+ W b+S (t), которое сохраняет перестановочные соотношения, т. е. является каноническим. В силу линейности уравнения для тр (г, t) преобразование линейно по операторамл₽а и Ь^с. Кроме того, в случаях 1 и 2 величина о сохраняется.

и индексы (ро) у аро и 6^, можно опустить:

а(7) = Л'(7)а + 5'(()Ь+, Ь+^ = —S'(t)a + A'(t)b+.

(13.100)

Заметим, что из каноничности преобразования (13.100) следует, что \А' |2 + \В' I2 = 1, т. е. преобразования типа (13.100) образуют группу 5(7(2), а операторы 5(7) — представление этой группы.

Следует также иметь в виду, что системы состояний, стационарные при t ->- ±°°, вообще говоря, не совпадают. Однако переход от одной системы к другой дается оператором R того же типа, что и 5. При этом интересующий пас матричный элемент перехода из начального состояния ф_(7->-—оо) в конечное состояние ф+ (7 ->- +°°) совпадает с матричным элементом оператора Т = RS. Оператор Т определяет преобразование типа (13.100), в котором нужно лишь заменить А' и В* на А = = exp [i(cpi + ср2)/2] cos(0/2) и В = exp [i(q)i — ф2)/2] X X sin(0/2). При этом вероятность перехода ш зависит только от параметра 0= Нт 0(7):

t->+oo

Формула (13.101) описывает также распределение пар заряженных спинорных частиц, родившихся в гравитационном поле однородной расширяющейся вселенной.

Рассмотрим инфинитезимальные операторы представления T’(g). Они имеют вид

J+ = a*b+, J_ = Ьа, 1й = 72(а+а + b^b - 1) (13.102) и удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям для алгебры Ли группы 5(7(2)

[Л, Л] = ±Л, [7-, Л] = -2Л.(13.103)

Оператор

G =- 2 ~+ Jo (13.104)

является инвариантным оператором (оператором Казимира). Подставляя в (13.104) явные выражения для /+, I- и /0, находим

. G = 74(l — (а+а — Ъ+ЬУ). (13.105) Таким образом, для состояний 10, 0> и 11, 1> = &+а+|0,0>

имеем ^ = 3/t, а для состояний |0, 1> и И, 0> имеем С2 = 0. Следовательно, состояния Ю, 0> и 11, 1> преобразуются по спинорному представлению группы SU^, и вероятность рождения пар определяется формулой

w = |<l,l|rte)|0,0>p = sin2(e/2),

^ = (-5 1)’ W^ sin2 (9/2).(13.106)

Иными словами, вероятность рождения пары равна вероятности переориентации спина при изменении магнитного поля.

Рассмотрим эволюцию состояний нашей системы. Пусть в начальный момент состояние является вакуумным, т. е. а|ф(0) > = &|ф(0) > = 0. В момент времени t имеем |ф(<) > = S(t) |ф(0) >, и это состояние удовлетворяет уравнениям

5(<)а5+(<)|ф(<)>=0, S^bS+tt^tp =0. (13.107)

Мы приходим к рассмотрению преобразования, обратного преобразованию (13.100), и нетрудно проверить, что оно имеет вид

следует, чтоследует, чтоа = SaS* = Аа — ВЬ\ Б = SbS* = Ba* + Ab. (13.108) Теперь из условий а|ф(£)> = 0, 2>|ф(£)> = 0 сразу же

следует, что

следует, что

(13.109)(13.109)lW)> = ехр(-/^(<)) l£(t)>,

(13.109)

(13.109)

где

IP = (1+|^|2)-,/2exp(^+&+)|0, 0>, ^=В/А. (13.110)

Состояния |£> являются обобщенными когерентными состояниями.

Многомерный случай: когерентные состояния. Переходя к задаче о рождении пар фермионов со спином s, заметим прежде всего, что рассуждения, аналогичные рассуждениям главы 2, приводят к рассмотрению канонического преобразования для ^ = 2s + 1 степеней свободы

(13.111)(13.111)а^ = Т^а^Т = A^aj + В pb^,bf = T+btT = Суй,- + Di5bt-

(13.111)

(13.111)

Нетрудно проверить, что для того чтобы это преобразование было каноническим, т. е. сохраняло бы нереста- 198

новочные соотношения, необходимо выполнение условий ЛЛ+ + 55+ = 1, DD+ +СС+ = 1, AC* = -BD+.

(13.112)

Перецисав эти условия в виде

ММ+ = 1, где М = ^ ^],(13.113)

видим, что преобразования (13.111) образуют группу G = SU(2N), а операторы T^g) образуют представление этой группы.

Кроме того, из (13.113) следует, что матрица обратного преобразования имеет вид

М-1 = М+,СЦ (13.114)

и что должны также выполняться условия

A+A+C+C=l, D+D + В+В = I, A*B = —C+D.

(13.115)

Рассмотрим инфинитезимальные операторы представления T^gy Их удобно объединить в матрицу

N = 1 3 г 3 .(13.116)

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что •оператор ,

Сг = tr(2V ■ N)(13.117)

является инвариантным оператором (оператором Казимира), т. е. коммутирует со всеми инфинитезимальными операторами. С помощью перестановочных соотношений выражение для Сг можно преобразовать к виду

С. = - (^ - b^Y + (ata, - b^bj) + N- - N. (13.118)

Таким образом, для состояний (Im, n>}, Im, n> = = Im,, . .., mN\ nh ..., nNX т( = 0, 1, тг, = О, 1, m — n = = 2 ^i — 2 ni = const оператор C2 кратен единичному:

Сг = [— (m — пУ + (m — тг) + № + ^.(13.119)

Можно показать, что операторы Казимира СР высших порядков (р = 3, ..., 2N) в этом случае также сводятся к константам. Отсюда следует, что множество со-

стояний {Im, nM с тп — п = const образует базис определенного неприводимого представления группы 5^7(2^), а именно представления, задаваемого схемой Юнга [lw]- Заметим, что в нашем случае стационарной подгруппой вектора |тро> является группа Go = SU (N)X SU^N^X X G(l). Следовательно, согласно [51], рассматриваемое нами представление можно реализовать в пространстве функций, аналитических на факторпространстве М = = G/G^.

Рассмотрим подробнее простейший случай, когда начальное состояние является вакуумным: |ф(0)>= 10, 0>, а<|0, 0> = 6,10, 0> = 0. Состояние в произвольный момент времени 1ф(£) > = T^g^) |0, 0> удовлетворяет уравнениям

а,1ф(0> = 0, Ш(0> = 0.(13.120)

Здесь

а^Та.ТУ Ъ) = ТЪ3Т*.(13.121)

Мы приходим, таким образом, к преобразованию, обратному преобразованию (13.111):

aj = A^aj + С^,~(13.122)

bi = B'^at + D'^b^(13.123)

Нетрудно проверить, что решение уравнений (13.120) имеет вид

|ip(0> = exp(-j0(O)IUO>, <U0IUO> = 1, (13.124) где

Ц> = ^ехр(^Х&/)[0,0>, ■(13.125)

: = -(Л+)-‘С+ = BD"\ 2V=[det(I + ^)]-1/2. (13.126)

Разлагая экспоненту в (13.125) в ряд Тейлора, получаем выражение для матричных элементов оператора Т^У-

<m,n|T(g)|0,0> =

n(n—1)

= w2(-l) 2 Ae e s, ,...s , ,, (13.127) pypjWi

|m,n> = [0, ...,1^,0, ...,lin, ...,0, ...,1^

Суммирование здесь проводится по всем перестановкам Pt, Р, индексов it, .. ., i„; )i, ...,

Р< (iii ..., tn) = (jp, ..., in),(12 128)

Pj (/1! • • • 1 /п) = (/11 • • ч 7n)-

Состояние |£> является обобщенным когерентным состоянием. Оно задается точкой £ факторпространства G/Go, где G = SG(2W), Go — стационарная подгруппа состояния |i|)0X В нашем случае

|-ф0> = 10, 0>, G = SU(2Ny GO = SU(N)XSU(N)XU(1), а факторпространство состоит из комплексных матриц. NXN.

Система (Ip), так же как и обычная система когерентных состояний, является сверхполной ) и ее состояния неортогональны друг другу. Именно,

<^1> =

= [det(I + Рр)]"1/2 [det(I + ^)]-1/2[ае1(1 + ML

(13.129)

Полезно иметь в виду, что инфинитезимальные операторы представления Z(g), действуя на |р, удовлетворяют следующим соотношениям:

4«:|D = ^«/X|a(13.130}

Ь?ьа^> = и^Ь+10,(13.131>

«л^г IО = — Zki | О + vu^hjai ^ I О* (13.132)

Действие же оператора Т (g) на когерентное состояние |р задается формулой

7(g)lp = exp(i0)lp>p,(13.133)

где

p = ^+S)(Ce + G)-\(13.134)

Ф = arg det (G£ A-Dy(13.135}

Для матричного элемента (^(^(g) |§> теперь нетрудно- получить явное выражение

<П IГ (g) ip = [det(I + ц+ц)]-172 [det (I + РРГ172 X

ХОеЦО + С^ + ц+В + ц+Лр. (13.136)

Отсюда следует, что производящая функция для матричных элементов оператора Т (g) имеет вид

2<т,п|Г^)|т',и } Gmn (n) Cm'n' ф =

= det (Д + С^ + ц+5 + ц+Л^). (13.137)

Здесь СШ1) (£) — коэффициенты в разложении когерентного состояния |£> по ортогональному базису

I g> = [det (I + £+£)]~1/2 s Cm,n ф | m, n>. (13.138) “ m,n

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления вероятностей перехода

У-’п = 2 I <m, П I Т (g) | 0, 0) |2, 2 тг = 2 пг = п- (13.139) {т,п}'

Пусть S = T+RT1 где оператору Т соответствует каноническое преобразование (13.111), а оператор R определяет каноническое преобразование

R+atR = exp (— i6) ab R+b^R = exp (i6) b^". (13.140)

Оператору S при этом соответствует каноническое преобразование вида

В+сц8 = Аца, + B^b}, S+bfS = Суа, + Е)^.(13.141)

Производя необходимые вычисления, получаем

А = ехр(—/0)Л+Л + exp(i6)C+C,

В = ехр (—i6) А+В + exp (i6) C+D, € = exp(-ze)B+H+exp(ie)B+C, (13.142) D = ехр(—i6)B+B + exp(i6)Z)+Z).

Рассмотрим матричный элемент

<0, 01510, 0> = <0, OIT+BTIO, 0>.

Из равенства (13.140) следует

<m, п | В | т', n'> = exp (— 2zn0) Ц 6т.т'6п.п', (13.143) и потому

<0|S[0> = 2l<m,n|T|0,0>|2exp(-2ine) =

= 2 ^пехР (— 2i«6). (13.144) С другой стороны,

<0|5|0>=^= IdetSI,(13.145)

а

,ldet£>| = |det(D+B + ехр(—2i6)B+B) I =

= |detZ)|2|det(I + exp(-2je)g+g)|. (13.146)

Отсюда получаем окончательное выражение производящей функции для вероятностей перехода:

^w-^".-'-^.^- <13Л47>

Заметим, что матрица £+£ — эрмитова и неотрицательно определенная, и потому с помощью унитарного преобразования ее можно привести к диагональному виду. Обозначим через р< (0 ^ р< < 1, i = 1, ..., N') собственные значения матрицы £+£. Мы видим, что вероятность wn рождения N пар определяется числами р„ ..., рк, а производящая функция для вероятностей ш„ имеет вид произведения N производящих функций для одномерного случая.

Многомерный случай: нестационарная задача. Пусть Я(()—зависящий от времени гамильтониан, линейный по инфинитезимальным операторам представления Т^’.

Н (t) = PV] (t) a^b^ + Pu ^Ь^а^ + Qyataj +Rybibj, (13.148)Q+ = Q, R+= R.

Решение нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (13.148) будем искать в виде |ф(^)> = = ехр(—1Ф (t)) |£(t) >. Для вычисления производной по времени состояния 1^(0 ^ воспользуемся формулой

^(detA) = det Л-tr (Л-Л"1). (13.149)

Отсюда получаем полезное соотношение

d = - v2 tr [(i + г s)-1 (i + г о] 1D +

+ LaWH>- (13.150)

■ Теперь с помощью соотношений (13.130) и (13.132) находим уравнения для величин £(t) и Ф^у.

it = P-V>4 + Q^ + ^R+.(13.151)

Ф = tr (Р+0 +, Vs tr [(I + ^О"1 ^ (I + ^)]. (13.152)

Из (13.151) следует, что

<^(1+^) =

= - (I + ^) рЧ + Ср (I + £+£) + (I + £+0 RT - -7?т(1 + ^), (13.153)

после чего уравнение (13.152) упрощается и принимает '203

вид

^trf/’W^)-(13.154)

Уравнения (13.151) и (13.154) полностью определяют эволюцию состояния нашей системы. •_

В простейшем случае, когда при t ->• +°°, Р и Р->-О, a Q п R ->- const, из уравнения Шредингера следует, что

£ (i) ~ exp (—iQt) £(0) exp (—iRTt) при £->-+оо.

..(13.155)

Отсюда видно, что при этом собственные значения матрицы £+£ переходят в постоянные. •

Согласно (13.147) вероятность рождения пар как раз и определяется величинами pi0), . . .,р$\ для нахождения которых необходимо решить уравнение (13.151). Зависимость же коэффициентов Р, Q и R от времени определяется исходным уравнением для операторов поля, как это было в одномерном случае.

Заметим, наконец, что, как мы уже видели, в некоторых случаях группа динамической симметрии может оказаться подгруппой группы SU (2У). Канонические преобразования при этом принимают более простой вид. Так, например, если мы рассматриваем случай однородного электрического цоля, меняющегося лишь по величине и направленного по оси ж3, то при этом сохраняется проекция спина на ось ж.. Поэтому каноническое преобразование (13.111) связывает лишь а3 с bf. Таким образом, задача здесь сводится к одномерной. Однако зависимость от времени коэффициентов канонического преобразования может существенно отличаться от соответствующей зависимости для спина 1/2.'

Глава 14

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ К ЛЕВША — ГОРДАНА ГРУППЫ SU^

Здесь будет показано, что использование когерентных состояний дает возможность легко получить производящую функцию для коэффициентов Клебша — Гордана группы SU^ (см. [99]). Этот метод может быть также- использован и в ряде других случаев.

Напомним (см. главу 4), что спиновое состояние частицы со спином ] можно описать полиномом /(z), при- 204

надлежащим пространству ^, т. е. полиномом, удовлетворяющим условию

II f^ = J I / (z) I2 ^5 (z) < оо, z = X + iy,

d^ = 2^^W\T^dxdy, (14,1)

или, иными словами, полиномом степени ^2/. При этом ■функции-

№ = С>А Cjtl = ![(27)!/(7-p)!(/ + p)!]1/\.

Н^И^Л (14.2)

■образуют стандартный базис в пространстве 9",. Соответ- ■ственно функции

/>11^172^2 (Zl’ Z2) = A'l^l (Zl) />2^2 (Z2)>

—/1 ^ Ц1 ^ /1, —/2 ^ Ц2 ^ /2,

образуют базис в пространстве

полиномов /(гъ z2) двух комплексных переменных, удовлетворяющих условию

II /|Ьр2 = J I / (zi’ z^ I2 ^Уг (Z1’ Z2) < °°, ■dp.3^ (zi’ za) = t2^-^1) ^—2 +1^ dxx dyx dx2 dy^ X

X (1 + I Z1 P)-(2+2jl) (1 + | z2 l2)~(2+24 (14.4)

Аналогично предыдущему, вектор пространства ^р^опи- сывает спиновое состояние системы двух частиц со спинами /, и /г. Далее, как хорошо известно, пространство ^iik разлагается в прямую сумму’

^"J1,•2=®^',.1/1 — /2|</</1 + /2,(14.5)

где пространство 9"j состоит из тех векторов пространства 9"зт^, которые преобразуются согласно представлению Т3 группы SU^. В пространстве 9"3 существует вектор младшего веса /,■ = Д -,, который удовлетворяет условиям

ГЛ = /(/ + 1)Д Kh = -ik .(14.6)

205

или, что эквивалентно, '-Н4+О°’

J31i = ^^ г»д --^- (14-7)

Здесь Jj = J^ + jy\ Z± = Л ± иг.

Функция, удовлетворяющая уравнениям (14.7), имеет ВИД

/Д2,, 2а) = ^(z,^а)6, & = Л + /а — /, 0 ^ /с ^ 2/т,п.

(14.8)

Действуя на нее операторами exp(£Z+), получаем систему когерентных состояний

/t (zn 2 2) — fjxj2i (zi’ z2’ 9 = CXP (^+) h (zi> za) =

= D (z, - z/^2^ (1 + ^i/1"^ (1 + ^a)'2^1 +", (14.9)

(2/ + 1)! (2/J! (2/2)j(2/ + 1)! (2/J! (2/2)jD =D =где

(2/ + 1)! (2/J! (2/2)j

(2/ + 1)! (2/J! (2/2)j

D =

D =

(7'1 + A - 7)! (A - к + /)! (72- к + 7)1(71 +Л+ 7 +1)!

(14.10)

Это выражение для f,^^ (zn z2, £) было получено в [99] и является производящей функцией для коэффициентов Клебша — Гордана группы SU(2): fkki (zi* z2, z) =

Y У . У11/2v

x 42 112 </1, Hi; /2, H21 /, h>- (14.11)

Здесь <j\pi; jaHalj, H> — коэффициент Клебша — Гордана. Приведем несколько примеров (см. [99]):

/-Л,>Л.о = ^ (z2 - zi), /v2.V2,i = (1 + zzi) (1 + zza),А/Л/Л = J^|- (z2 — zi) (1 + zzi), /i,1/2,’/i = (1 + zzi)2(1 + zz2)»

hl^'l^ = P^-^-(z2 - zi) C1 +zzi)2, .

/v2,*/2,2 = (l + 2Z1)3(l + ZZa),-

,f 2/У(14.12)

h.4, J+V, = (1 + zz J2j (1 + zz2),

/no = ^p=’(z2 — zi)2» /in = (z2 zi) (1 + zzi) (^ + zza)* */112 = (1 + ZZj2 (1 + ZZ2)2.

Г ла в a 15

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯИ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

В этой главе излагаются результаты работы [230], в которой были даны точная математическая формулировка и доказательство следующего результата: для представлений компактной группы Ли G, характеризующихся большими квантовыми числами, генераторы соответствующей алгебры Ли можно заменить с-числами.

Это утверждение является обобщением хорошо известного утверждения о том, что в случае большого момента количества движения (j ^ °°) операторы момента количества движения /х, /у и /z можно заменить с-числами согласно формуле

Jx / sin 6 cos ф, Jy j sin 6 sin ф, Jx -> / cos 6.

Рассмотрим сначала случай группы SU^. В этом случае при j ->- °° генераторы алгебры SU^ переходят в числа ■— превращаются в вектор «квазиклассического спина», который находится на двумерной сфере S2 — фазовом пространстве рассматриваемой системы. Отметим в этой связи работу [131], где была рассмотрена последовательность сферических гармонических представлений группы 80 (п) и было показано, что предельным пространством для генераторов группы в этом случае является многообразие Грассмана G(n, 2), т. е. многообразие двумерных ориентированных плоскостей в n-мерном пространстве Rn.

В работе Б. Саймона [230] указан метод нахождения таких пространств для общего случая. Этот метод использует ' обобщенные КС для рассматриваемой группы. В классическом пределе мы получаем орбиты коприсо- единенного представления группы Ли, причем для различных представлений получаются различные орбиты.

Так, например, для случая группы SO (4) и векторного представления получается пространство № X 8\ а для той же группы и спинорного представления — пространство № U №. ■ •

. Перейдем к формулировке и доказательству теоремы ■Саймона. Мы предполагаем здесь, что читатель знаком с основными понятиями теории компактных групп Ли (см., например, [28]).

Пусть G — компактная простая группа Ли и 1\ = = Тх — фиксированное фундаментальное представление G, характеризуемое старшим весом X. Обозначим через TN и 36N представление группы G и пространство этого представления, характеризуемые старшим весом NX. Для фиксированного N обозначим через 3^« копию пространства 36s, нумеруемую точкой а е А, где А — конечное подмножество решетки Zv, и пусть 36\Х = ® 36^.

, аел

Определим на пространстве 3€^ оператор №(Х) {as Л, X г ^t 9 — алгебра Ли группы G) как тензорное произведение генераторов X алгебры Ли 8, так что точке а отвечает генератор в представлении Tn = Tn\ а всем остальным точкам множества А — единичный оператор.

Пусть Xt, ..., Xm — фиксированный базис в алгебре 3, а Н — мультиаффинная функция, зависящая от векторов Sa, < = Sa (X,); as A, i = 1, ..., m (мультиаффинность означает, что функция является суммой мономов, причем степень переменной Sa, < в мономе равна нулю или единице). Отметим, что оператор Н (Sa (Х()) определен однозначно, поскольку каждый моном состоит из коммутирующих ■ операторов.

Теперь можно определить квантовую статистическую сумму оператора Н согласно формуле

Zq (Р) = ^|л| tr (exp [- Н (Р5а (Ха/Х)]),(15.1)

где Дм — размерность пространства 36N.■

Определим соответствующую классическую статсумму. Пусть О*' — орбита коприсоединенного представления группы G, проходящая через точку %s^*t и dp,— G-инвариантная мера на орбите такая, что ц(В с (7х) = мера на группе множества {ж s G| Ad* (ж) • X г В). Пусть Ga— копия (7х, соответствующая точке a s Л, а G^1 = X Оa.

....ОС

Тогда классическая статсумма определяется формулой . ^С1(Р)= J ехр[-Я(р/а(Х{))]П^М (15.2)

В работе [230] Б. Саймон доказал следующую теорему, являющуюся обобщением теоремы Либа [181].

• Теорема. Величины Zq(0) и Zci(P), определенные формулами (15.1) и (15.2), удовлетворяют неравенствам

Zci (Р) С Zg (Р) < ZC1 (р (1 + aN"1)),(15.3)

где а = 2(Х, р)/(Х, X), %—старший вес фундаментального представления группы G, р — полусумма положительных корней алгебры Ли S, (, ) означает произведение Киллинга — Картана.

Замечание. Ограничение снизу в (15.3) справедливо также в случае, когда % не является фундаментальным весом; возможно, что это верно и для ограничения сверху.

Доказательство. Пусть |<р>^<?^х — вектор в пространстве 36я, соответствующий максимальному весу АХ, а Р^ = I qpXq>l — оператор проектирования на вектор |<р>. Заметим, что <<р|Х|<р> = NX(X). Кроме того, поскольку NX — максимальный вес, то для любого единичного вектора |%> в 36я такого, что <xlXlx> = NX(X), X е 36 (36— картановская подалгебра алгебры Ли ^), 1%> должен иметь вид |%> = ехр(гу) |<р>, поскольку размерность весового пространства равна единице.

Далее,

<7’(g)q>IXl7’(g)<p>=A(Ad*(g)X)(X),(15.4)

и поэтому, если Ad*(g)X = X, то

Т(^Р(Х\Г(^ = Р(ХУ(15.5)

Пусть I е 0х и g — элемент группы G такой, что Ad*(g)X = Z. Определим оператор

P(l)=T (g)P(X)r(g)-‘.(15.6)

Нетрудно видеть, что Р(1) не зависит от выбора g при условии, что Ad* (g)X = l.

Заметим, что

tT(X„P(in = Nl(X'),tT(X„P(in = Nl(X'),(15.7)(15.7)

tT(X„P(in = Nl(X'),

tT(X„P(in = Nl(X'),

(15.7)

(15.7)

20920914 а. м. Переломов

209

209

поскольку-

И^ХнР^^к^ХнТн^Р^Тн^-1^

= tr ([Ad (g-1)^Р W) = NX (Ad (g-1) X) =

= A(Ad*(g)%)(X) = AZ(X). (15.8)

Кроме того, если dp(g)— мера Хаара на Си ц = dwp, то

P^dyL^l^f,(15.9)

поскольку

J P(l)dn(l) = dN f Т (g) Р (X) Т (ё)~г d\i (g) = с•! (15.10)

(это следует из леммы Шура). Теперь взяв след операторов в формуле (15.10), получаем (15.9).

Далее, пусть I = {ZJ е t?^, а Р ({Za}) = ® Р (1а).

Тогда, как следствие (15.9), имеем

J P(Z)®<Zp,(Za) = f,(15.11)

ylAl “'

так что {P(Z)} — это множество проекций на когерентные состояния. Наконец, согласно (15.7) символ оператора Н(^Sa(Xt))/N равен Я(^а(Х,)), так что нижняя граница в (15.3) является следствием неравенства (1.6.11). Можно доказать также (см. [230]), что контра- вариантный символ для того же оператора имеет вид Я( (1 + aA-1)Za(X,)). Поэтому верхняя граница в (15.3) является следствием неравенства (1.6.11).

Замечание. Отметим, что теорема Либа [1811 является частным случаем теоремы Б. Саймона для случая G = SO(3).

Пример 1. Рассмотрим сферические гармонические представления группы SO(2га). Заметим, что такие представления соответствуют орбитам, проходящим через точку

(

010... 0\

— 1 0 0 ... О \

0 0 0... 0 ,(15.12)

: :..о.. I

ООО ... о/

и что орбиты представляют многообразия Грассмана G^n, 2) двумерных плоскостей в (2га)-мерном пространстве. В этом случае

(X, р) = (га — 1) (X, X),

и мы приходим к результату работы [131] для случая группы SO (2га). Аналогично получается результат работы [131] для группы SO (2п + 1).

Пример 2. Рассмотрим спинорное представление для группы SO (2га). В этом случае Л = V2(qi + ... + ы»), где Qi, ..., ып — стандартный базис в пространстве дуальном алгебре Ли SO^n), и орбита проходит через точку

(

о 0 ... 0.

° Л А(15.13)

О О ... а/

/ 0 1X где о = 1 t 0J. Эта орбита имеет вид

О = VUM\M' = -М, М'М = ММ' = D, (15.14) т. е.

д = №КеО^

представляет множество антисимметричных ортогональных матриц. Путем непосредственных вычислений получаем

(Л, р)/(Х, ^=п- 1.

Таким образом, если статистическая сумма Zc[ определена по орбите О, имеем неравенство

ZC1 (|) < Z^ (Р) < ZC1 (| (1 + (га - 1) А"1)).(15.15)

Глава 16

UN -РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛЕЙТИПА ГРОССА — НЕВЕ)

Здесь будут рассмотрены модели квантовой теории поля типа Гросса — Неве, т. е. модели А-компонентного фермиевского поля с взаимодействием вида (44)2- Сле-

дуя Березину [102], мы покажем, что постоянная 1/N играет роль постоянной Планка, так что при N-*® мы приходим к классическим гамильтоновым системам, фазовое пространство которых, однако, нелинейно, а скобки Пуассона не являются каноническими. Группой симметрии таких моделей является группа S0(2fT). Отметим сразу же, что конструкции данной главы в основном являются алгебраическими и потому слабо зависят от деталей модели.

Описание модели

Итак, рассмотрим модель Гросса — Невё [149]. Эта модель описывается Лагранжианом

S' = ^дТ-Афь + у (iMJ2, a = 0, 1; к = 1, ..., N.

(16.1)

Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование; поле ^ является двухкомпонентным спинором. Нам будет удобно использовать майорановское представление для матриц Ха(То = о2, ^i = toi, где а, и а2 — обычные матрицы Паули), а также использовать эрмитовы поля ф^ и.

^ = =^« + <))(16-2)

и 2Я-компонентное поле

хц = WA ..•, W; <\ ...» Ф^), ц = 1, ..., 2Я,(16.3) где каждый элемент еще является спинором хц = Ха, а = = 1, 2.

Величины Ха являются операторами и подчиняются одновременным каноническим перестановочным соотношениям

{Xa «Th Хр(у, 01 = Йбцубарб (ж — у),(16.4)

а гамильтониан Н имеет вид

Н = гк J 6 (ж — у) [Я1,у (ж, у) + Я2,х (ж, у) —

— g^ (х, у)] dx dy, (16.5)

где плотности Hi, Я2 и Q имеют вид

Н1 — Ф11, Н2 = Ф22,

й(х, у) = Ф12(х; у) = -Ф21(у, х),

(16.6) Фа₽ (г, У) = ^ [х«(^h ХР (У)]-

Здесь [, ] — обычный коммутатор. Заметим, что Щ и Н2 — антисимметричные функции х и у:

Hi{x, у^-Н^у, я), Я2(х, у^-Н^у, х). (16.7)

Отметим еще, что в классическом пределе 7г ~> О алгебра Клиффорда (16.4) переходит в алгебру Грассмана, а соотношения (16.7). остаются без изменения.

Далее, в силу соотношений (16.5), (16.6) рассматриваемая модель инвариантна относительно глобальных преобразований из группы SO^N). С другой стороны, билокальные операторы ФаДх, у) в уравнении (16.6) образуют бесконечномерную ортогональную алгебру <5#. Отсюда следует, в частности, что гейзенберговские уравнения для операторов (16.6) образуют замкнутую систему

Н1Дх, у'у+Н^^х, y)+HliV(x, у) =

= (^72)[Й(ж, у)£Цу, у) + й(у, у)й(я, у)— Й(ж, х^й^у, х)— й(у, ж)й(х, я)],(16.8)

H2,t (х, у) — Я2.х ^ у) — Нг>у (ж, у) =

= у [Й (У, х) Й (у, у) + Й (у, у) й (у, х) —

— й(я, у)Й(я, я) —Й(я, ж) Q (ж, у)], (16.9)

Йг (ж, у) + Йх (ж, у) — Йу (х, у) =

= у [Й(х, х^Н^х, у) + я2(х, у)Й(а?, х) —

— й(у, у^н^х, y'i — H^x, у)й(у, у)]. (16.10)

В дальнейшем нам будет удобнее заменить непрерывные переменные х и у на дискретные п и т (п, т = = 1, ..., А); в окончательных формулах будет нетрудно вернуться обратно к непрерывным переменным.

Алгебра (16.4) теперь принимает вид

(х«(«)> Хр(т)1 = Йбиубарбтп,(16.11)

213

а алгебра, генерируемая билокальными полями ФаДяг, п^, становится изоморфной алгебре 50 (2А).

Далее удобно перейти к представлению Фока согласно формулам

ай = Т7=[Х1 (") — t'Xa (га)], (а„)+ =

= Ь1 (и) + tXa (я)],

(16.12)

{ай, От} = 0, {On, (<Zm)+} = Йб^бтт On|0) = 0.

Введем теперь вместо операторов ФаДяг, я) набор

SO(2N)— инвариантных операторов:

4« = ^4 [(«й.)+ай — ай(а^)+], Втп = ^аМ, (16.13)

В+п = 72 (о£)+ Ш+ или В^ = -В*т = Va (а£)+ (а£)+.

Заметим, что Втп = — Впт, В^-п = — В^т и что эти операторы образуют алгебру Ли 50 (2А):

[Лпт, Лд;] = (Й-/2) (Лп;6тд Ahm&nl)t

[Лпт» S^;] = (^/2) (Bhm8ni + Bmlbnh)v.

[Snm! Я^)} = (Й./2) (Л;т6пд Л;п6тд + Л^пбт! Лйт6п;)>

(16.14)

или в матричных обозначениях

Л = [Лтп], В = [5тп], В+ = [5тП] = [Snm],

А+ = А, В' = -В, (В+У = -В+.(16.15)

Аналогично

й = [й(яг, n)J, Ht = \Ht(m, п)], Я2 = [Я2(т?г, га)].

(16.16)

Эти два набора 50 (2А) инвариантных операторов связаны соотношениями

Л = 74[Q + Q' + 1(Я, + Я2)], В = 74[Q - Q' + ЦН1 - Я2)], Я+ = 74[Й' -Й + ^Я.-Я,)].(16.17)

Далее, пространство Фока ^", определенное в (16.12), можно разложить на подпространства, преобразующиеся по неприводимым представлениям алгебры ^ = 50 (2А). Например, подпространство ^"01 образованное произволь-

ными линейными суперпозициями состояний

5+пД+ ...|0>,(16.18)

которые инвариантны относительно глобальных преобразований SO (2N), образует неприводимое представление алгебры $, В действительности, пространство, состоящее из состояний, преобразующихся по определенному неприводимому представлению группы SO ^2N) образует также пространство неприводимого представления группы 80 (2Л).

Рассмотрим, например, квадратичный оператор Казимира алгебры 80(2Л) и покажем, что он выражается через операторы Казимира алгебры SO (2N). Действительно,

С2 = 4tr [А2 + МЛВВ* + S+B)],(16.19)

где мы использовали матричные обозначения, а символ tr означает обычный след матриц.

С другой стороны, квадратичный оператор Казимира для алгебры SO (2N)

Q1 =(16.20)

где

ZX(< (16.21) п,а

и прямые вычисления показывают, что

'С2 = Ж\(Л + ЛМ) + (Л (16.22)

Аналогичный результат справедлив и для высших операторов Казимира С4, С6, С8, ..., которые могут быть выражены через

Q^Q'^Q^Qwt .

При этом, например, все состояния вида (16.18) аннигилируются оператором Q2 (синглетные состояния), и значение Сг, характеризующее неприводимое подпространство 9"t>, таково:

C2(^"o)=^WA(A + A-1).(16.23)

Квазиклассический предел

Как показано в [102], в пределе N -*• оо в подпространстве ^0 происходит переход к классическому пределу. Для того чтобы увидеть это, заменим дискретный базис

215

в 9"» системой обобщенных когерентных состояний.

|z>|z>= exp= exp2 zmnB nml|o>,2 zmnB nml|o>,(16.24)(16.24)

|z>

|z>

= exp

= exp

2 zmnB nml|o>,

2 zmnB nml|o>,

(16.24)

(16.24)

где z„n = —znm — комплексные числа.

Перейдем от операторов к символам

Л(г, z)Л(г, z)= <z | Л | z><z|z> •= <z | Л | z><z|z> •(16.25)(16.25)

Л(г, z)

Л(г, z)

= <z | Л | z>

<z|z> •

= <z | Л | z>

<z|z> •

(16.25)

(16.25)

Тогда, как показано в [102], при /V -> оо квантовая динамика переходит в классическую, т. е. операторы можно заменить символами. Далее, согласно главе 9, матрицы А, В и В+ можно записать в виде

.Л = й[-^1 + ^],

В = Й [ДП - U+0T/2£, В+ = й^+ [да - (^+^П1/2.

(16.26)

При этом эффективный гамильтониан для синглетных состояний принимает вид

■н = 1Ш, V; ЭД.(16.27)

В пределе N -^ °° удобно перейти к новым переменным

£ = Ш, Г = Ш+,(16.28)

где ^ и £+ можно рассматривать как с-числа и, следуя [102], в этом пределе получаем

x = w-vj + m

B = WI-^+]’/2£, В+ = ^+[1-^+],/2. (16.29)

При этом гейзенберговские уравнения (16.8) становятся обычными уравнениями Гамильтона

^ = -^°- ^^^^ (16'30)

Мы пришли к с-числовой гамильтоновой системе, ассоциированной с синглетным сектором модели Гросса — Невё. Заметим, что постоянная Планка Й и параметр N входят в виде единой комбинации TiN.

Возвращаясь от дискретных переменных т, п к непрерывным переменным ж, у, нетрудно видеть, что 216.

уравнения движения принимают вид

Я1; ( + Я! !/ + Я1,х = 52[й(у, у)й(х, y)-Q(x, я)й(у, я)],

(16.31)

Я2, t - Я2, у - Я2, х = g1 [й (у, у) й (у, я) - й (х, х) й (х, у) ], й< (ж, у)+йх(я, у)-ЙДж, у) =

= £2[й(;г, х^Н^х, у)-й(у, у^Н^х, у)].

Однако рассмотрение лишь подпространства ^~0 приводит к дополнительным ограничениям, вытекающим из того факта, что Л(2Л — 1) независимых вещественных генераторов алгебры 5О(2Л) параметризуются Л(Л—1) вещественными элементами антисимметричных матриц £ и £+. Следовательно, имеется

Л(2Л — 1) — Л(Л — 1) = Л2

вещественных условий, которые содержатся в тождествах

Л2 + В+В =(^У/2)21, ВА=А'В. (16.32)

Эти уравнения уже обсуждались ранее [102].

Для билокальных величин Н^х, у), Н2(х, у), СЦх, у), тем самым, возникают условия

У [Й ^х, z) Й (у, z) — Ят (х, z) Ят (z, у)] dz = (ЙЯ)2 6 (х — у),

У[й(г, ж)й(г2 у) — Я2(ж, г)Я2(г, у)] dz = ^N^b (х — у),

(16.33)

У(ЯХ (л:, г)й(г, у) + й (х, z)H2(z, y^\dz = 0,На^х, у)=~На(у, х).

Уравнения (16.31) и (16.33) еще слишком сложны, и путей их общего решения не видно. Полезно поэтому установить связь полученной системы с системой Неве и Па- паниколау [197], связанной с симплектической группой Sp(2n, R), и обобщенной далее Захаровым и Михайловым [253].

Пусть u“ и п“ — величины, преобразующиеся по 2л- мерному представлению группы Sp(2n, R). Рассмотрим систему, описываемую уравнениями

Ut + и$ = g2 (и^ь) vat Vt — v^ = — g2 (ubvb\ua,(16.34)

где поднятие и опускание индексов осуществляется с

217

помощью матрицы

[8аь] = [е^ = г_^ 1„\(16 35)

.'\ vn/

Простое вычисление показывает, что при этом било- кальные поля

h^x, у, t)=ua(x, t)ua(y, Z), кг^х, у, z)—у°(ж, f)va^y, Z),(16.36)

to (ж, у, t) = ua(x, t)va(y, Z)

удовлетворяют уравнениям (16.31). Поэтому для получения решений системы мы можем использовать результаты работы [197]. Надо, однако, иметь в виду, что не все такие решения приводят к решениям системы (16.31), удовлетворяющим дополнительным условиям (16.33). В качестве простейшего примера можно использовать решение типа плоской волны для группы Sp(2, R). В этом случае

а -1;—7 /cosGA

и = g+

-i ;—г [ sin 6 А"

Ua = g+

(16.37)

а -1— sinOA

и = g У СОь — «д 7

° г д V cos 0/■

-1 -.г—r/cosOA''

Va = g

0 = akt — kx, №h = V № + ^V-g^Y

и мы имеем

(0ь —1“ к

hY (ж, у, к) = —j—sin [^ (^ — У)Ь

g

Мж» у; ^) = -^ “2 ~ sin [Л (л — у)],(16.38)

g

to (х, у; к) = р cos [Л ^х — у)].

Величины h^ кг и to всегда удовлетворяют - уравнениям (16.31), но, вообще говоря, не удовлетворяют условиям связи (16.33). Однако эти условия выполняются для 218

следующей суперпозиции полей:

нги,у) =

w ^(х, у, к^ - ^Jsin [^ - у^ (16.39) На (х, у) = - ^N J sin [Л (ж — у)] 1g, Q (ж, у) = ^pg2 J cos [Л (ж - у)] ^, а уравнения (16.33) выполнены, если параметр р удовлетворяет интегральному уравнению

(1вЛ0)

Уравнение (16.40), помимо тривиального решения р = 0, имеет также хорошо известное решение сверхпроводящего типа с р ^ 0. Нетрудно получить выражение для энергии основного состояния, подставляя выражения (16.39) для билокальных полей в функционал энергии (16.5). Вычисления, использующие уравнение (16.40), дают '

е,--Ц2№>"^^^ »-w’,(16.41)

где L — объем системы.

Как и следовало ожидать, энергия основного состояния зависит лишь от одного размерного параметра т, который заменяет безразмерную константу связи. Для тривиального решения т = 0 уравнение (16.41) сводится к стандартной сумме по дираковскому морю состояний отрицательной энергии для безмассовых фермионных возбуждений. Интеграл в (16.41) расходится при к -»• оо. Эта расходимость может быть устранена, как обычно, с помощью стандартной регуляризации.

Уравнения (16.34) обладают также решениями типа солитонов. Явные формулы для односолитонного решения можно найти в работе [197]. Многосолитонные решения можно получить с помощью техники работы [253]. Эти решения можно использовать для построения возбужденных состояний системы (16.31), (16.33) (см. [203])....

Глава IT

РЕЛАКСАЦИЯ ■

К ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМУ РАВНОВЕСИЮ

В этой главе рассмотрены два примера применения метода когерентных состояний к проблемам неравновесной статистической физики. А именно, описана эволюция к термодинамическому равновесию квантовых систем с эквидистантным спектром (квантовый осциллятор и частица со спином, находящаяся в магнитном поле), помещенных в термостат.

Релаксация квантового осцилляторак термодинамическому равновесию

Мы будем следовать здесь работам [31, 32]. Эволюция квантового осциллятора описывается кинетическим уравнением для матрицы плотности р. Эта задача является простейшей моделью для описания статистических свойств когерентного светового пучка, распространяющегося в слабо поглощающей среде (см. в связи с этим работы [147, 183, 225, 227]). Рассмотренная задача важна еще и потому, что она принадлежит к весьма немногочисленным задачам неравновесной квантовой статистической механики, допускающим точное решение..

Кинетическое уравнение. Состояние квантового осциллятора, находящегося в термостате с температурой Г, характеризуется матрицей плотности р и описывается следующим уравнением (относительно вывода этого уравнения см. работы [177, 227, 31]):

р = — ‘^^[(v + 1) (а+ар — 2ара+ + ра+а) +

+ v(aa+p — 2а+ра + раа+)].(17.1)

Здесь а и а+ — операторы уничтожения и рождения для осциллятора, 7 — константа затухания осциллятора, находящегося в состоянии термодинамического равновесия:

v = |(1 — |)-1 = [ехр^ы/ЛГ) — I]-1, £ = ехр(— Тш/М").

(17.2)

Кинетическое уравнение (17.1) по существу содержится уже в известной работе Ландау [174] (для случая 220'

v = 0). Действительно, уравнение (31) из [174} можно переписать в виде'

Р =(^+ - D-PD + ЫГр - pD+D\ (17.3)

где D — оператор дипольного момента, D* — его положительно- и отрицательно-частотные части. Оставляя в (17.3) лишь резонансные члены и учитывая, что для одномерного осциллятора

D* = e(h/2m&)112, exp(i®f)a+,.

D~ = е^/2ишУ,г ехр(— itot^a, (17.4) видим, что уравнение (17.3) совпадает с (17.1) при v = 0, 7 = 2е2®2/3тпс3. Это уравнение может быть получено также из общей теории релаксации квантовых систем [177]. Заметим, кроме того, что уравнение (17.1) может описывать не только затухание, но и линейную раскачку колебаний осциллятора (в среде с отрицательной температурой). Для этого необходимо изменить знак 7 и считать v < — 1. Отметим еще, что уравнение (17.1) является единственным уравнением, которое можно написать на основе следующих общих требований:

линейность по р;

эрмитовость: р+ = р;

сохранение нормировки tr р = 1;

допустимость использования приближения однофотонного поглощения, т. е. ограничения в (17.1) парой операторов а и а*. При этом в силу принципа соответствия константа 7 совпадает с постоянной затухания классического осциллятора.

Рассмотрим, следуя [31, 32], несколько методов решения кинетического уравнения (17.1).

Характеристические функции и распределения квазивероятностей. Матрицу плотности р можно задавать не только матричными элементами pmn, но также с помощью характеристических функций х(т1), которые определяются так (см. § 1.7):

X»(n) = tr [р ехр(г]а+)ехр (-ца)], Хо(т1) = tr [р ехр(г]а+— ц-д)],(17.5)

Ха (ц) = tr [р ехр (-ца) ехр (гщ+)];

при этом

Хд (Т]) = ехр(-щ|т]|г)хИт]).(17.6)

Уравнение (17.1) в терминах функций Хь(т]) имеет вид (см. [31, 32])

• М ахь1

Хь = ~7 2'W-^jT + (v + aft)|illaXft >

7 = 1г 2; г] = П1 + iTh-(17.7)

Общее решение его нетрудно найти [31, 32]:

ХД^Ъ т) = exp {-(v + Щ^'П^хЛ/’1'2'1!. °) . (17 8) где р = ехр(—т), 7 = 1 —ехр(—т), т = ^t. Формула (17.8) для %о (т], 0 была получена также в работе [183], однако не из уравнения (17.1), а на основе модели осциллятора с затуханием [225] путем приближенного интегрирования гейзенберговских уравнений движения для оператора а (7). Отсюда следует, что эта модель эквивалентна кинетическому уравнению (17.1).

Перейдем теперь к описанию состояния осциллятора с помощью распределений квазивероятностей И\(а). Они связаны с характеристическими функциями хЛл) преобразованием Фурье

Wh (а) = л-2 J хГ(т]) ехр (ца — ца) й2т].(17.9)

При этом И\(а) совпадает с весовой функцией в интегральном представлении:

р = Jp(a)|a> <a|d2a.(17.10)

Далее, PPo(a)= VP(a)—функция Вигнера [251] (плотность в фазовом пространстве), и наконец, И7Л(а) = = л-1^(а), где Q(a)= <а|р!а>. (Более подробное обсуждение свойств функций ^(а) можно найти в § 1.7.)

Как показано в [31, 32], распределения квазивероятностей И\(а) подчиняются уравнению Фоккера — Планка где

Л = — 4 V0^ 5У =/^T(v + Oh) бу, a = «! + ia2.

Решение уравнения (17.11) имеет вид [156, 31]

W»(a1T) =,

= f Wft (а',0) [ng (v + стА)]-1 exp (— ^-“/Л* ) d2“'.

J[ s т "A) J

.(17.12)

Сделаем несколько замечаний о временной эволюции квазивероятностей ТТА(«, т).

Комплексная амплитуда на a-плоскости испытывает затухание, пропорциональное р|/2. Кроме того, при v Ф 0 за счет взаимодействия с термостатом в системе нарастают флуктуации..

При т -► оо независимо от начального распределения имеем

Wk(a, т) = [л (v + oft)]_1 exp [— Ial7(v + oA)]. (17.13)

Для произвольного распределения Wk(a, 0) среднее <«i> и дисперсия Dy = < («i —<«,■>) («;— <«j>)> меняются по закону

<«Дт)> =Нт)]‘/2 <«Д0)>,

(17.14) О^т^р^Оу^^ ЧгЧ^ (v + о^бу.

При этом <«, + ia2> одинаково для всех к и равно tr(pa), а дисперсии Dy для разных к связаны соотношением

D^ = D^ + V2<W(17.15)

Если начальное распределение Wk(a, 0) является гауссовским, то оно остается таковым и в процессе релаксации и полностью определяется уравнениями (17.14).

Приведем несколько примеров, взятых из работы [32].

Пусть при t = 0 осциллятор находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой То, отличной от температуры термостата:

pmn(0) = (l-^)№„, g0 = exp(-^//cr0). (17.16)

Тогда■ :

p(i) = p(i)v0 + g(i)v,

' p(i) = exp(-Yi), qW = 1-ехр(-^), (17.18)

223

т. е. в любой момент времени W^a, t) имеет гауссовский вид. Поэтому распределение населенностей WnW в каждый момент времени остается план#овским, а температура осциллятора меняется от Те до Т в соответствии с уравнением

й(0= PW^ + ?(0v-(17.19)

Отметим, что этот результат другим способом был получен Швингером [223].

Начальным состоянием является суперпозиция когерентного состояния |а0> и планковского с параметром v = v0. Тогда

’ (17.20)’ (17.20)Wh (а, *) = [л (ц + <тй)] ехр — -1— ( ц"Г Од

’ (17.20)

’ (17.20)

Р W - р (£) v0 + q ^ v.

Пусть при t = 0 мы имеем суперпозицию (по Глауберу [143]) планковского распределения с когерентным усредненным по фазе

Шй (а, к) = [л (у + Ой)]-1 X

X 10(2/>1/2|а-а0|/(ц + <тй))ехр{— (|а|2 + р [а0 |2)/(ц+<гй)},

(17.21) где 10 — функция Бесселя.

Начальное состояние является TV-квантовым: р(0) = I7VX7VI. Тогда

WM t) = [л (gv + <ц)]-("+1) (gv-р + nJ" X

X exp {—Ial7(gv + <ц)}£«(.г),(17.22)

где Ln^x)— полином Лагерра,

х = lal2p/[(gv + ot) (р —gv —ое)].(17.23)

17.1.3. Использование символов операторов. Для получения явных формул для населенностей wH^ поставим в соответствие матрице плотности р ее символ

/?(а, P) = exp[72(lal2+Ipl2)] <alplp. (17.24) Тогда

K(zn ^; t> 2 pm,n(t) \тп\п\Гг!ЧТ^ (17.25)

т. е. функция 7?(zi, z2[ является производящей функцией для матричных элементов рт„. Кинетическое уравне-

нио (17.1) при переходе к функции 7?(zb z2) принимает вид [31, 32]

•—/)2 R /1 \

7?(zx, z2) = y (v + 1)-—=- — v + у I X

dR - dRZx я— + Z2 -=-8zld^dR - dRZx я— + Z2 -=-8zld^v (zxz2 — 1) 7?v (zxz2 — 1) 7?OZ.OZ., \/

dR - dR

Zx я— + Z2 -=-

8zld^

dR - dR

Zx я— + Z2 -=-

8zld^

v (zxz2 — 1) 7?

v (zxz2 — 1) 7?

. (17.26)

Функцией 7?(zb z2) удобно пользоваться и в более сложном случае релаксации квантового осциллятора при наличии внешней силы [31, 32]. В этом случае уравнение для матрицы плотности имеет вид

р {(v + 1) (а+ар — 2ара+ + ра+а) +

+ v(аа+р — 2а+ра + раа+)] — г [У, р],(17.27)

где

У = —/(?)ж = — (2ю)-1/2{/ (?)ехр(—гю?)а + /ехр(гт?)а+}.

(17.28)

Уравнение (17.26) принимает теперь вид

7? = у7? = у(v + 1)(v + 1)д2Я dZ1dz2д2Я dZ1dz2

7? = у

7? = у

(v + 1)

(v + 1)

д2Я dZ1dz2

д2Я dZ1dz2

/(Z)exp(Zto0Z)/(Z)exp(Zto0Z)

/(Z)exp(Zto0Z)

/(Z)exp(Zto0Z)

+ V (zxz2 — 1) 7?] — г (2и0) 1/2

—/(Z) ехр(—zto0Z) f^|-— zj 7?, (17.29)

где coo — собственная частота осциллятора.

Можно показать, что решение уравнения (17.29) при произвольных начальных условиях таково:

7? (zx, z2; Z) =

= J G (zx, z2; Cx, C2 U) Я (Cl, C2; 0) dti (Ct) dy (£2), (17.30) где

^(^) = л-1ехр(-^12).^,(17.31)

а функция Грина G равна G^iv, z2; ^t, £2|i) =

= (1 + q^-1 exp {^(z,, z2; ^, ?2I?)/(1 + ^v)}, (17.32)

15 a. M. Переломов225

где

F = gvZiZ2 + g(v + l)?i?a +

+ p1/2№ + z2£2-y£1-y£2) + yZ1 + yz2- Ы2 (17.33) и введены обозначения

. p = exv<-4t^ 9 = 1-ехр(-^),

' у (f) = 77=^ f / (£') exp f (i — i') + imat' dt' (17.34) r 2too оL z

(величина y(i) совпадает с комплексной амплитудой вынужденных колебаний классического осциллятора, возбуждаемого силой /(£)). Формула (17.30) в принципе решает задачу об эволюции произвольного начального состояния. Для получения населенностей различных уровней w^ty и недиагональных элементов матрицы плотности pmn остается лишь разложить функцию Н^ц z2; t) в ряд по степеням zt и z2.

Отметим, что эволюция матрицы плотности р(£) согласно уравнению (17.30) может быть описана как результат трех последовательных преобразований над начальной матрицей плотности р(0).

Релаксация при нулевой температуре термостата и /(t)=0. Этот процесс отвечает затуханию комплексной амплитуды на a-плоскости в р~1/2 раз. Соответствующая функция Грина получается из (17.32), (17.33) при у = v = 0.

Нарастание гауссовских флуктуаций амплитуды (при /(t)=0 и без учета затухания амплитуды). Функция Грина, отвечающая этому преобразованию, получается из (17.32) после замены

р -> Г, 90, ^v v(l — ехр(— ^f)), у 0.

Унитарное преобразование

рр'= Z)(y)pZ)-1(y), D(y) = ехр(уа+ — уа), (17.35) т. е. сдвиг комплексной амплитуды осциллятора на вектор y(t). По форме преобразование (17.35) тождественно с изменением p(i) для осциллятора без затухания под действием внешней силы (затухание у входит в D(v) лишь через определение y(i), см. формулу (17.34)). Отметим, что преобразования 1 и 2 неунитарны, что характерно для процесса релаксации.

Перейдем теперь к рассмотрению примеров.

Пусть

о/ -1 Г vJ2 + azi + “^a~lal2 '

R ^г, z2; 0) = -г-:ехр 01 = ,

7 t + vo I *+vo J

(17.36)

где Vo > 0, ct — произвольное комплексное число. Такая матрица плотности отвечает характеристической функции_

Хк(т]) = ехр(—VoIt)!1 + ац — ац), (17.37) т. е. суперпозиции когерентного состояния |а> с гауссовским шумом (распределением Планка с параметром Vo= [ехр(^й0/’й7’0) — I]-1 )• Как показал Глаубер [143], суперпозиция двух состояний отвечает сложению электромагнитных полей, создаваемых независимыми источниками. Поэтому пример (17.36) относится к часто встречающемуся в квантовой оптике случаю, когда входное поле состоит из когерентного сигнала, на который налагается случайный тепловой шум. Подставляя (17.36) в (17.30), получаем

R (Z1, z2; t) = ^ exp ^J, (17.38)

где

p = pv0+gv, 0 = ptfla+ v(t).(17.39)

Сравнение (17.38) c (17.36) показывает, что форма данного состояния в процессе его релаксации сохраняется, меняются лишь параметры 0 и ц. При этом p(t) совпадает со средней энергией осциллятора, релаксирующего в отсутствии внешней силы, a 0(f) является амплитудой колебаний классического осциллятора с начальным условием 0(0) = а. Из (17.38) вытекают формулы для населенностей

n w ~ хр I I - т+>>

Здесь ЬДя)—стандартные полиномы Лагерра (заметим, что Ln (х) > 0 при ж < 0).

.2. Полагая a = 0, приходим к формулам, описывающим релаксацию планковского распределения (с параметром Vo и начальной температурой То) - Если теперь пренебречь релаксацией, то p(f) = Vo, ив выражении (17.34) для и^ следует положить 7 = 0. После этих

упрощений выражение (17.40) переходит в формулу, полученную Швингером [223].

В частном случае v0 = 0 формулы (17.36) — (17.40) описывают релаксацию когерентного состояния |сс> (при этом p = vg). Особенно простой результат получается при нулевой температуре термостата (v = 0, p(f)= lp(f)><p(f) I), т. e. осциллятор в любой момент времени находится в когерентном состоянии |^(i)>. Это — единственный случай, когда релаксация оставляет состояние чистым несмотря на взаимодействие с диссипативной подсистемой (в данном случае — с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля). Этот факт еще раз подчеркивает квазиклассичность когерентных состояний.

Значения а = v0 = 0 соответствуют невозбужденному осциллятору р(0) = 10X01. Для pmn(f) по-прежнему справедливы формулы (17.16) и (17.17), где теперь И = gv, P(i) = n(i). При v = 0 для населенностей и\(£) получается распределение Пуассона

№n(f) = exp(-X)^, Х=|п(#)р. (17.41) Для осциллятора без затухания, эта формула была получена Фейнманом [127]. Интересно отметить, что учет затухания при v = 0 не меняет вида распределения (17.41), а сказывается лишь на значении амплитуды v^. При v > 0 это уже не так.

Более сложный случай, когда начальное состояние осциллятора TV-квантовое. Вычисление интеграла (17.30) дает [31, 32]

R (zv z2; ?) = .

[gl + v)^ (gvz z2 + w +rz2 —|v|2)

= ~— vir exp < —-? Ln (xV

a: = —p(zt — p) (z2 — n)/g(l + v) (1 + gv). (17.42) Выражение для w„(t) здесь имеет, вообще говоря, сложный вид. Укажем несколько простых случаев.

' А. Полагая в (17.42) z, = z2 = 0, находим населенность основного уровня.

г^0(^)= {[g(l + v)F/(l + gv)^+1} X

X exp {— Iv.lV(4 + gv)}£w(— p|y|2/g(l + v) (1 + gv)).

(17.43)

Б. При v = 0 (нулевая температура термостата) вы- ■ ражение для ш,^ сильно упрощается, и мы имеем

[31, 32]

i) - exp (- X) 2 т^^ ^"-^ I «< Ю|'.

K^(17.44)

где.

n< = min(A:, n), n> = max(A:, n),m = \k — n\, X=h(t)|2.

. Производящая функция для населенностей zp„(t) при v = О имеет вид

GN(z, t) = ^wn(t)zn =

= (1-Х)%хр(-Ц)^(-^), : = l-z. (17.45)

17.2. Релаксация частицы со спином, находящейсяв магнитном поле, к состояниютермодинамического равновесия

Частица со спином у, находящаяся в магнитном поле Н = (О, О, Н) в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, описывается матрицей плотности

р = Л ехр (р/о), Л7 = sh (^/2) /sh [ (у + V2) М,

(17.46) Р = yMJkT.

Отсюда получаем выражение для символов этой матрицы

Q (n) = (ch (р/2) + sh (0/2)cos 6)2j,(17.47)

.P(n) = (ch(0/2) + 3sh(p/2)cos 6) при у =1/2. (17.48)

Эволюция такой системы, находящейся в тепловом контакте с термостатом при температуре Т, описывается уравнёнием, полученным в работах [5, 6]:*

р = - (у/2) ((v + 1) (7+7-р - 27-р7+ + р7+7_) +

+ v (7_7+р - 27+Р7_ + Р7_7+)},(17.49)

где величина v дается формулой Планка

■ v = [exp(WA:T)-ir1. .(17.50)

Для термостата, находящегося при нулевой температуре (v = 0), это уравнение принимает вид

Р = (V2) <[/-, р/+] + [7_р, 7+]1.(15.51)

229

Предположим для простоты, что Р(п) = Р(9, ф) зависит лишь от 6. Тогда, подставляя р= [ Р (n) I n><n |dp,;(n) в уравнение (17.51), приходим к уравнению для Р(6, t), полученному и изученному в работах [193, 194]:

(sin 6 (М) = ^- [(/ sin е + ^i-^^jsin е • Р(е, о]+ +01- (17.52)

du L “J

Но уравнение (17.52) есть не что иное, как уравнение Фоккера—Планка на сфере S2 = (п : п2 = 1} для функции /(6, i) = sin0-P(0, t). Это уравнение содержит коэффициент, который приводит к движению распределения /(0, t) как целого по поверхности сферы. Кроме того, распределение расширяется (или сужается), что определяется коэффициентом диффузии .0(0) = = */2(1 — cos 9), который принимает наибольшее значение для 0 = л и исчезает для 0 = 0. Комбинированный эффект «смещения» и диффузионного члена приводит к расширению распределения на сфере и перемещению его максимума к точке 0 = 0. При t -* °° матрица плотности стремится к р = I/, —/> </, —/I. Заметим, что максимум распределения определяется величиной 6шах, для которой получается уравнение

-^ 9max ГУ ®1П 0man(17.53)

имеющее решение

tg(720max(O)=tg(V2^max(0))ехр(-У77).(17.54)

Предположим теперь, что момент количества движения велик, 7 > 1. Тогда в первом приближении уравнение (17.52) для /(6, t) имеет вид'

(17.55)

Это уравнение с начальным условием /(9, О) = /о(9) легко интегрируется методом характеристик. Ответ имеет вид '

/(9, i) = (ch(yji) — cos9sh(Yj7))~* X

’X/0(2arctgexp("(j£)tg(9/2)), (17.56)

и нетрудно доказать, что функция /(9, 7) является нормированной в любой момент времени.

Рассмотрим специальный случай

/о = sin 0 • б (cos 0 — cos 0о).(17.57)

Тогда

/(0, f) = sin 0-6/(0, f) = sin 0-6(17.58)(17.58)cos 0 ch (y/i) + sh ^jt) \ COS 0“ , , ,л;—г ,—-■ .

/(0, f) = sin 0-6

/(0, f) = sin 0-6

(17.58)

(17.58)

cose sh(yj< +ch(yj< /

Возвращаясь к точному уравнению (17.52), произведем в нем замену переменных согласно работе [194]:

/ (0, 7) = 2y+1 sin 0 (1 - cos 0)-2ti+1) h (z, 7),

z = ctg24-(17-59)

Тогда уравнение (17.52) перейдет в

| = [1 + 2 (/ + 1) Z] g + Z (1 + z) 0.(17.60)

Решение этого уравнения с начальной функцией h, (z, 0) = = /io (z) было найдено в работе [194] и имеет вид

к (z, ?) =

111

7 + -у + ^i 7 + у — i°; 1; —ZI X

о

X expX expа2 +а2 +7 4- 1/2 + io; '7 4- 1/2 + io; '

X exp

X exp

а2 +

а2 +

7 4- 1/2 + io; '

7 4- 1/2 + io; '

. о

/ + 4 - io' 1; - Z'j (1 + 2'fh» (z') dz\ (17.61) где F(a, 6, с; ж)—стандартная гипергеом;етрическая функция, а в скобках мы должны взять th, для целых / и cth для полуцелых /.

■ Для начальных данных специального вида существует решение с разделяющимися переменными

k(z, t) = Ф(г)ехр(— М),Ф*(z, X) = (1 + z^-^'^^FU + 1/2 ±р, ''

-7 + 1/2±р; 1±2р; (1+z)-1), (17.62)

231

где р =((; + 1/2)2 — X]l/S. Заметим, что можно фиксировать знак в выражении для р, разрезая комплексную Х-плоскость от (/ + 1/2)2 до + °° вдоль положительной вещественной оси и требуя, чтобы величина р была положительной при положительных Re р > 0. Следовательно, Re р > 0, если Im X ^ 0.

Глава 18

ДИАМАГНЕТИЗМ ЛАНДАУ

В этой главе, следуя работе [20], мы используем когерентные состояния для получения диамагнетизма Ландау [175] свободного электронного газа ).

Построим сначала запаздывающую функцию Грина для гармонического осциллятора в представлении когерентных состояний; при этом используем систему единиц h = 1, кв = 1 (кв — постоянная Больцмана), энергию осциллятора будем отсчитывать от энергии основного состояния Ео = 1ий/2. По определению функции Грина

G(p, t; a, £0) = <Р(£) 1а(£ор = <Р1 ехр(— Шт) 1а>,

т>0; G = 0, т < 0; т — t — ta, Н = ц>а*а. (18.1)

Поскольку a(t^ = ехр(— нв£)а, то

G(P, £; а, £о) = exp[0аexp(— йот)—V2(lal2 + Ipl2)].

(18.2)

Из (18.2) получаем выражение для функции Грина

G (Р, a; Е) = - i <Р |<Я - Ef11а> =

= J" exp (ISt) G (Р, т; а, 0) dr = а

- т “4- 4- (।а г+1«] 4- 41 - 4 Ч <1М>

где F (а, с; ж) — вырожденная гипергеометрическая функция. Заметим, что это выражение намного проще своего аналогу, записанного в координатном представлении.

Отметим также, что энергетические уровни системы определяются сингулярностями функции Грина в комп-

лексной плоскости Е, которые в нашем случае являются простыми полюсами в точках

Е„ = пю, n = 1, 2, ....

Действительно,

G(0, а; Я) = ^„(^„(а)^^’(18.4)

п

/ I а |2\

где ф„ (а) = ехр( —«"(га!)-1/2.

Из запаздывающей функции Грина с помощью замены т -> — IT-1 (Т — абсолютная температура) получается температурная функция Грина

<0 | ехр (—Я/7) | а> =

= ехр рос exp (— «/Г)^ (I а I2 + I 012)], (18.5) а из нее — статистическая сумма осциллятора в термостате при температуре Т

20СЦ = J <а | ехр (- Н/П | «> ^ = ^-ех^-ю/ПГ1 •

(18.6)

Перейдем теперь к расчету магнитной восприимчивости свободных электронов. Для единичного объема электронного газа в магнитном поле 38, направленном по оси ж3, пользуясь представлением (а, рг, Рз) получаем следующее выражение для статистической суммы:

7ЭЛ =(1 - ехр (- ш/ТУГ1 ехр (-. «/27). (18.7)

Множитель ехр(—ю/27) в формуле (18.7) появился за счет учета основного состояния.

Зная свободную энергию ST = — Т In 2ЭЛ, можно получить намагниченность'

-,д$"е / 1Т1) /л о у.

- тс ( 2<йехр (<о/Т) — 1 /' V '

При малых о это выражение пропорционально 36, и для восприимчивости получается известный результат

х =(18.9)

Отметим, что, как ясно из расчета, диамагнетизм газа свободных электронов имеет квантовую природу. До сих

пор мы пользовались классической статистикой Больцмана. В случае сильного вырождения электронного газа необходимо учесть, что электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака. Запишем основную формулу квантовой статистики

Йкв = -7’21п[1 + ехр((ц-£п)/7’)1(18.10)

п

(ц — химический потенциал) в виде контурного интеграла [73]

(18.11)

где

□кл(Р) = -7’2ехр(-Ш = п

= _ г ^ ,/" m ехр (_ И (i _ ехр (_ р(о))_1(18 12)

— больцмановская статистическая сумма.

Интегрирование в (18.11) выполняется в комплексной ^-нлоскости по контуру L, изображенному на рис. 1.

Рис. 1

Функция ЙКЛ(Р) при р = 0 и [} = оо имеет точки ветвления (поэтому в плоскости р необходимо провести разрез по отрицательной части вещественной оси: — °° < =5 ^ 0), а также полюсы в точках

р6 = 2лг&/(в, к = ± 1, ± 2, ... .

При высоких температурах интеграл (18.11) можно вычислить, замыкая контур в правой полуплоскости р. Сумма всех вычетов в точках nJT приводит к обычной формуле для йт. Если ц> о/2, то контур L можно зам-

кнуть в левую полуплоскость. При этом получаем (см. рис. 2)

QKB = <олюс) + Й(крвазрез).(18.13)

Вклад полюсов на мнимой оси дает

п(полюс) т V , ..n COS (2ягац/© — л/4) (maW2dZ\

Qkb =^Д(_n Sh№^rm * (tii 4)

Это выражение периодически зависит от поля 36. Периодический характер изменения термодинамических величин (эффект де Гааза — ван Альфена) является

®

0.

0

Рис. 2

отражением аналитических свойств температурных функций Грина.

В формулах (18.13), (18.14) не учтен спин электрона. Для его учета необходимо в формуле (18.12) ввести множитель ехр(— ^gp,Bo36), отвечающий энергии спина в магнитном поле (рБ — магнетон Бора, о = ±1/2), и просуммировать по проекциям спина. За счет этого в (18.12) появится дополнительный множитель 2ch(g'[3co/4), а в (18.14)—множитель 2 соз(л§тг/2).

В очень слабых полях (и < ц) все слагаемые в сумме быстро осциллируют и Й™^ 0. Остается только вклад от разреза, который приводит к диамагнетизму Ландау. При со -► О

fi™^-^) (1-1^-+...), (18.15)

откуда

йкв ~ Йо + цб^^Вц,йкв ~ Йо + цб^^Вц,(18.16)(18.16)

йкв ~ Йо + цб^^Вц,

йкв ~ Йо + цб^^Вц,

(18.16)

(18.16)

(18.17)(18.17)X = — Цб/4щ

(18.17)

(18.17)

Учет спина приводит к дополнительному множителю 2 ch(jW2) ^ 2(1 + р2ш2/8).

При этом X помножается на два и еще добавляется Хпара = — Зхдиа, что дает наряду с диамагнетизмом Ландау парамагнетизм Паули

X = Хдиа + Хпара, Хдиа = — Нв/Зр, Хпара = -^ Нв/Зр.

(18.18)

Глава 19

ЛАГРАНЖИАН ГЕЙЗЕНБЕРГА — ЭЙЛЕРА

В этой главе, следуя работе [21], с помощью когерентных состояний мы дадим вывод лангражиана Гейзенберга — Эйлера — нелинейной поправки к лангран- жиану электромагнитного поля.

Рассмотрим релятивистскую частицу со спином 0 в постоянных однородных электрическом 8 и магнитном Я, полях. Предположим, что (8* Ял) ^0. Тогда существует система координат, в которой

8 = (0, 0, #), Я = (0, 0, ЗВу (19.1)

Состояние частицы характеризуется обобщенным импульсом

Пц = дм — еА„ [Пр, ПД = ieF^, р, v = 0, 1, 2, 3,

(19.2)

где Ар — потенциал электромагнитного поля, Е^ — тензор электромагнитного поля. В нашем случае

[П„ П2] = /е^, [По, П3] = ^.(19.3)

Из (19.3) следует, что операторы Пр можно выразить через бозонные операторы

П, = (а + а+) ]/^, П2=-г(а-а+))/^,

По = /? (6 + Ь+), П3 = - I /f (6 - 6+). (19.4)

Для нахождения нелинейных поправок к лагранжиану электромагнитного поля удобно воспользоваться методом собственного времени, что сводит рассматриваемую задачу к задаче с гамильтонианом

Н = р2 — Пц = р2 + еЗв ^"а + аа+) — е$ (66 + 6+6+).

-(19.5)

При этом функционал действия электромагнитного поля приобретает поправку

W' = —itrlnG,(19.6)

где G = (р,2 —П2)-1 = Н-1— функция Грина скалярной частицы во внешнем электромагнитном поле. В интересующем нас случае эта величина задается формулой

W' = —itr In [(p2 - П2)”1 ] = - i tr J ^ ехр(- sH) =

О

= — 1 ^ У ехР (— Р25) ^г ехР [se<^ (66 + 6+6+) — о

— зеЗё(а+а + аа+)]. (19.7)

В формуле (19.7) след вычисляется по всем квантовым числам частицы, поэтому надо учесть вырождение уровней Ландау. Это дает дополнительные множители eSSLJjJ^v и е<87,2772л, связанные с вырождением для поперечных и продольных компонент. Здесь Lx, Ls, Lz — размеры области, в которой сосредоточено внешнее поле, Т — интервал времени, когда внешнее поле отлично от нуля. Действие W' оказывается пропорциональным объему LXL„L2T, как это и должно быть в постоянном и однородном поле. Коэффициент при четырехмерном объеме и есть интересующая нас поправка к лагранжиану

. е36 eg Г ds ,'

= — г oz- oz- — exp (— su2) X

2л 2л J s 'о

X trexp [se^ (62 + (6+)2) — se5^(aa+ + a+a)]. (19.8) Здесь символ tr означает след по переменным, связанным лишь с операторами а и 6, и легко вычисляется. Так, tr exp [— se36 (а+а + аа+)] =

-2exp[-»*(2»+l)|=ML5. (19.9) п=0

Для вычисления второго следа выполним преобразование, диагонализирующее оператор (66 + 6+6+):

66 + 6+6+ = iJ/(6+6 + 66+)Z7-1,

U = exp [-!• л (6+6+ - 66)],(19.10)

после чего получаем

trexp [see? (ЬЬ + Ь+Ь+)] =

= tr{C7 exp [^ (b+b + №+)] И”1] = ^™- (19.11) .64 DILI у ОС (у J

В результате выражение для 2" принимает вид

1 f ds еЗб eg16л2 J s sh (se 5g) sin (seg)о1 f ds еЗб eg16л2 J s sh (se 5g) sin (seg)оexp (— sp2).(19.12)exp (— sp2).(19.12)

1 f ds еЗб eg16л2 J s sh (se 5g) sin (seg)о

1 f ds еЗб eg16л2 J s sh (se 5g) sin (seg)о

exp (— sp2).(19.12)

exp (— sp2).(19.12)

Это выражение необходимо регуляризовать, вычитая из подынтегрального выражения первые члены ряда Тейлора по $г и 5^2:

1 С ^4[ se36 seg, е s ™2 2^2\lpvn /<...2)

16л2 J S3[sh(se5g) sin (seg) .6 ')J P( НГ

°(19.13)

В случае слабых полей получаем поправку четвертого по

рядка по ^ и ^

(19.14)(19.14)4 е4 7(^2-5g2)2 + 4(8JLP

(19.14)

(19.14)

8С 16л2360р2

Поправка к лагранжиану электромагнитного поля за счет взаимодействия с частицами спина 1/2 получается аналогичным методом. Необходимо учесть лишь, что, во- первых, из-за фермиевской статистики изменится знак в формуле (19.6) и, во-вторых, при квадрировании функции Грина возникает множитель 1/2:

W'^ = i tr In G — i tr In [m — уП]-1 =

= (i/2) tr In [m2 - (уП)2]-1.(19.15)

Величина (уП)2 = П2 + есгИу-Гиу/2 содержит слагаемое с аИУГИУ, которое коммутирует с оператором П2. Поэтому след по проекциям спина дает множитель 2ch(se5^) для магнитной части и множитель 2cos(se<8’) для электрической части. Отсюда получаем выражение для лагранжиана Гейзенберга — Эйлера

_1 f ds Г se36 seg..

“8л2 J s3 Ith se36 tg seg1 +

0 ,2 21

+ ^-(^2-^2) . exp(—sm2),(19.16)

Для случая слабых полей отсюда получается известное выражение-

е4 (^2-^2)2 + 7(S3D2

•<19Л7)

Отметим, что подынтегральные выражения в формулах (19.13) и (19.16) имеют полюсы в точках sn = лп/е^, которые приводят к появлению мнимой части у лагранжиана и к неустойчивости вакуума относительно рождения пар частиц.

Глава 20

СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Синхротронное излучение — это квантовое излучение заряженной частицы в однородном магнитном поле, или, что то же самое, радиационный распад уровня Ландау. Поэтому расчет этого эффекта сводится к вычислению массового оператора частицы в однородном магнитном поле (см. работы [72, 224]). Как было показано в работе [21], которой мы будем следовать в данном разделе, использование когерентных состояний значительно упрощает вычисления. Так же, как и в главе 19, рассмотрим релятивистскую заряженную частицу в однородном магнитном поле. В этом случае продольные компоненты импульса сохраняются и мы можем заменить их собственными значениями

Пц = (По, П,) = (Е, 0).Пц = (По, П,) = (Е, 0).(20.1)(20.1)

Пц = (По, П,) = (Е, 0).

Пц = (По, П,) = (Е, 0).

(20.1)

(20.1)

Поперечные же компоненты, как и в главе 19, имеют вид

; П1= ]/^(а + а+), П2 = -I У^^а-а^. (20.2)

Массовый оператор частицы в магнитном поле дается формулой

■*-<iJvJ*(2n-'t)x

и к и

X exp [is (П — /с)2 — isp2] (2П — 7с). (20.3)

В этом подынтегральном выражении перенесем оператор, содержащий экспоненту, вправо. При этом изменятся лишь операторы nt и П2, поскольку только они не

коммутируют с этим оператором. Именно,

П, -*- П1(8) = (П1 — Aijcos 2se5^ —(П2 — &2)sin 2se5^ + kt,

(20.4)

П2 -*- II2(s) = (П2 — &2)cos 2se38 + (IL — fc^sin 2se38 + k2.

Ограничиваясь учетом главных по к/Е членов, получаем

= ff ^П-П (s)-exp [is (П — ку — isp2],

(2Л) v К v

0(20.5)

П -П (s) = П2 + П1 (1 — cos 2se3^) + геЗё sin 2se9€.

На массовой оболочке имеем

П2=р2, П’1 = £2-р2.(20.6)

Кроме того, ограничиваясь рассмотрением случая слабого магнитного поля

е^«р2«^2,(20.7)

имеем'

„ 4eV (Vkо Е2 . ,

Л = —I —5- I as 1 + 2 -г sin2 se56 X

(2л)4 J A2 J V ц2 /

-X exp [is (П — ку — isp2]. (20.8)

Поскольку оператор Л зависит лишь квадратично от операторов а и а+ под знаком экспоненты, удобно перейти от этого оператора к его символу

Л (а) = <а1Л1а>,

где |а> — обычное глауберовское когерентное состояние

|а> = ехр ^—-Ц^-jexp (аа+) |0>.

Используя формулы § 1.2 и удерживая в показателе лишь линейные члены, находим

<[}| exp (is (П — ку — tsp2] |^> = ехр(—2iskeE + 2iNk),

(20.9)

где вектор N имеет лишь поперечные компоненты

N = -Ш- (sin 2se^, 1 - cos 2se^, 0).(20.10)

Учитывая, что

IР [2 = < РI a+a I р > = (52 - р2 - ^) /2еЖ (20.11)

получаемполучаем/с.2п2^2lNl= Jx sin^)./с.2п2^2lNl= Jx sin^).(20.12)(20.12)

получаем

получаем

/с.2п2^2

lNl= Jx sin^).

/с.2п2^2

lNl= Jx sin^).

(20.12)

(20.12)

Таким образом,

/22 P

^(P) = <PI^IP> =

E2E2(2л) J к

E2

E2

X ds I1 + 2 — sin2se <Ж I exp 2i (Nk —sEk^. (20.13)

Далее, в силу оптической теоремы вероятность распада Ws состояния |р> связана с мнимой частью массового оператора простым соотношением

Ж₽ = -11тЖ(₽),Ж₽ = -11тЖ(₽),(20.14)(20.14)

Ж₽ = -11тЖ(₽),

Ж₽ = -11тЖ(₽),

(20.14)

(20.14)

откуда получаем

Wp =

X I 1 Н—о sin2 se3€ I cos (2Nk — 2s£(o). (20.15) k H /

Вычисляя интеграл по углам излучаемых фотонов, находим

J dQ cos (2Nk — 2jE,sco) =

= ^- [sin (2sco£' + 27Vco) — sin (2sco£' — 27Vco)]. (20.16)

Заметим, что в рассматриваемом нами случае слабого магнитного поля при интегрировании по s основной вклад дает область зеЗб ~ р/£ < 1. Разлагая по параметру р,/£, получаем

лEstoлEstoJ dQ cos (2Nk — 2E's(o) =

л

Esto

л

Esto

(20.17)

Для спектрального распределения излучения теперь

24124116 А. м. Переломов

241

241

получаем формулуполучаем формулуXXг 21 + 2^- (se^)2 .г 21 + 2^- (se^)2 .sin mEssin mEsА2<^23А2<^23— sin 4<aEs ,— sin 4<aEs ,(20.18)(20.18)

получаем формулу

получаем формулу

X

X

г 2

1 + 2^- (se^)2 .

г 2

1 + 2^- (se^)2 .

sin mEs

sin mEs

А2<^2

3

А2<^2

3

— sin 4<aEs ,

— sin 4<aEs ,

(20.18)

(20.18)

или

dW = -J ^) dto J? ^ + ^ sin ^ (^ + y) — T

(20.19)

где

£=(toH3)/(e5№).

Эта формула была получена Швингером [224], однако более сложным способом. Удерживая слагаемые порядка со, можно получить поправки порядка % = еЕЗё/\1\ имеющие квантовый характер.

Глава 21

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ЭНТРОПИЯ

«Классическая энтропия» для квантовомеханической системы, введенная в работе [247], естественно определяется с помощью системы КС. Метод КС дает возможность легко доказать некоторые неравенства для этой величины.

В работе Верля [247] введено полезное понятие «классической энтропии» 8е1 для квантовой-системы и были исследованы некоторые свойства этой величины. (Обзор свойств энтропии дан в работе [246].) Верль предположил, в частности, что Scl > 1. Это предположение было доказано затем Либом [182].

Начнем с рассмотрения простейшей квантовой системы с одной степенью свободы; пусть р и q — канонические операторы импульса и координаты. Как известно, состояние системы можно описать с помощью матрицы плотности р, которая представляет неотрицательно определенный оператор со следом, равным единице. Квантовая 242 ' . •

(21.1)(21.1)энтропия такого состояния дается формулой Se(p)=-tr(plnp),

(21.1)

(21.1)

а классическая энтропия для плотности распределения Р (р» ?) в фазовом пространстве — формулой

S(p) = -j^plnp.(21.2)

Обычно утверждается, что в пределе Я ->■ О выражение для квантовомеханической энтропии переходит в выражение для классической энтропии. Это утверждение, однако,

не верно, поскольку квантовомеханическая энтропия всегда ^0, в то время как классическая энтропия может быть отрицательной или даже равной —°°. Как показано в [247], это связано с тем обстоятельством, что классическая плотность распределения может быть сконцентрирована в областях фазового пространства с площадью <2л%. Такое распределение нарушает соотношение неопределенности и потому не может осуществляться в природе. Луч

шее, что мы можем сделать, это взять квантовое состояние с наименьшей неопределенностью ^р • ^q со средни

ми значениями координаты и импульса q и р, т. е. взять

когерентное состояние [а>, а = у^ (7 + ipY

Определим теперь классическую плотность распределения р(а) формулой

р(а)=<а|р|а>(21.3)

и классическую энтропию 5е* как

(21.4)(21.4)

(21.4)

(21.4)

Тогда функция р(а) удовлетворяет следующим условиям [247]:

0^р(а)<1,

функция р(а) непрерывна,

р(а)-»-0 при |а|-><».

Отсюда вытекает:

соответствие с соотношением непррделенности: плотность распределения р(р, д) = р(а) не может быть сконцентрирована в области с площадью, меньшей 2лЙ;

важное неравенство

Scl>5«.(21.5J

Действительно, из вогнутости функции s (z) = — х In х 16*243

(при х > 0) следует, что.

S(<a|pla>)> <а|5(р) |а>,(21.6)

и потому

Scl = p(p(a))^>

> J <а | 8 (р) | а> ^- = tr 8 (р) = SQ (р). (21.7)

Далее, в силу непрерывности функции р(а) из равенства Scl=Sq следовало бы, что 5(<alp|a>) = <a|S(p) I a> для всех а, т. е. в силу сильной вогнутости функции s(x'), каждый вектор |а> должен был бы быть собственным вектором р, что невозможно.

. Еще одно важное свойство энтропии 5е1 заключается в ее монотонности. Пусть р12 — матрица плотности квантовой системы в пространстве В2 (R) ® £2 (R) и пусть |аь а2> = lai> ® |а2>. Определим Pi2(“u “2) согласно формуле

Р12 (аи а2) = <аи ^г IP12I ^i, а2>>(21.8)

и пусть pi (ах) соответствует матрице плотности pt = ™tr2pi2. Тогда, как показал Верль [247], справедливо неравенство

5и ^ S (р^ («х, a2)) > S (р?1) = ^*.(21.9)

Отметим, что это свойство энтропии, которое можно было бы ожидать, исходя из физических соображений, вообще говоря, не выполняется для квантовой энтропии (см. [247]).

В работе Верля [247] была выдвинута также

• Гипотеза. Минимум величины 8е1 равен единице (не зависит от %). Этот минимум достигается лишь для матриц плотности вида p=la><a|, где |а> — обычное глау- беровское когерентное состояние.

Доказательство этой гипотезы приведено в работе Ли- ба [182], а здесь мы приведем лишь доказательство следующей леммы:

если матрица плотности р минимизирует 8е1, то р = I тф> <-ф1.

Доказательство. Пусть р = 2 ^ I ^i) (^i |, Х{ >■ 0 и 2^ = 1- Тогда pcl (z) = 2 ^Р< (z), где pj (z) = <z|B^,.|z>.

Но из вогнутости функции 5(ж) следует s(pcl(z))^ ^ 2 ^»s (Pi (z)), и здесь равенство достигается, если и только если р,(г) = рДг) почти всюду для всех i и /.

Предположим, что pi — проекция на г]), е L2 (R). Пусть to = q+ipeC и пусть /»(^) = J ^(ж) exp (—ж2/2 + + wx) dx. Тогда /Дгр)— целая функция переменной и), и из равенства почти всюду р{(г) = рДг) следует, что l/i(zp)| = 1/Дгу) | для всех w, и следовательно, /Дгу) = =/j(zz;)exp(z9(tz;)), где функция 9(wz) вещественна и аналитична в тех точках, где /Дю) т^ 0. Значит, 9 (ю) = const. Далее, из единственности преобразования Фурье следует Tpt =Aifo, где 1/U = 1 почти всюду, и потому Р^ = ^^ что противоречит исходному предположению.

Обобщая гипотезу Верля, Либ в работе [182] выдвинул для случая спиновых когерентных состояний следующую гипотезу.

Пусть {|п>} — множество спиновых когерентных состояний. Тогда для данной матрицы плотности р образуем функцию рс1(п)= <п|р|п> и

(21.10)(21.11)(21.10)(21.11)5cl(p) = s(pcl(n)), где

(21.10)

(21.11)

(21.10)

(21.11)

s (/) = — J / (°)ln / (n) d^ (п)’dp, (и) = 2^ 1 sin 9 d9 dtp.

Монотонность Sct и неравенство 5cl > S9 остаются справедливыми и для этого случая. Из простых вычислений . ,, п / е п следует, что поскольку <п |^п|п > = Icos -у , где 9 — угол между векторами п и п', то

5е1 (Рп) = 2/7(2/+1).(21.12)

Гипотеза (Либ [182]):

5е1 (р9)^ 2/7(2/+ 1).(21.13)

Справедливость этой гипотезы для / = 1/2 легко доказывается ([182]), однако для случая произвольного / доказательство неизвестно.

Другое неравенство для энтропии в терминах одночастичных распределений получено Тиррингом [239]. Пусть р — матрица плотности для системы бозонов или фермио- 245

нов. С этой матрицей плотности связана одночастичная матрица плотности

Pi = n2jm'><?n|tr(p^am),(21.14)

и можно определить одночастичные распределения в фазовом пространстве‘

p(q, к) — tr (pa^.kRq.k))-

Здесь векторы | тп) е L2 (R3) являются элементами орто- нормированного базиса, а векторы вида lq, k> ~ ~ g(x — q)exp(ikx) с функцией g (х) е I? (R3) образуют полный набор векторов в гильбертовом пространстве

Пусть а/ — J а (х) / (х) dx и а^ — J я+ (х) / (х) dx — операторы уничтожения и рождения для состояния, характеризуемого данной функцией /(х). Тогда энтропия всей системы ограничена некоторым одночастичным выражением.

Теорема [2391.

8 (р) = — tr (р In р)< — tr [рх In рх ± (1 + рх) In (1 + рх)] == 51(P1X — J [p(q. k) lnp(q, k)±

± (IT p (q, k)) In (IT p (q, k))](21.15)

(2л)

Здесь символ tr означает след операторов в пространстве L? (R3), а верхний (нижний) знак в формулах соответствует статистике Ферми (Бозе).

Замечания.*

Величина N — trpt является средним числом частиц. Поскольку для фермионов числа заполнения пт ^ 1, мы имеем операторные неравенства 0 ^ рх ^ VN. Соответственно

f р (q, к)^ = ЛГ и 0<p(q, к)<Л.

J (2л)84 N

Таким образом, оба вклада в формуле (21.15) в случае фермионов являются положительными.

Теорема утверждает, что в случае, когда состояние системы является произведением состояний, мы имеем 246

максимальную энтропию для данного одночастичного распределения. Таким образом, отсутствие корреляций приводит к максимальному хаосу. Величина 5, не определяется только лишь одночастичной матрицей плотности. Она отличается от величины —tr(p, In р,) лишь вкладом дырок, которые описываются матрицей плотности (1 — р,).

Как следствие неравенства Клейна матрица плотности р, = [exp (—0 (h — р)) ± I]-1 максимизирует величину 5, при фиксированных значениях tr(p,fe) и tr(p,). Аналогично, для фиксированных значений интегралов

Н k>»^k>^ - j"p<1.k>^-

матрицы плотности

Р^в(Ч, Ю = (exp [—P(k(q, к)—р)] ±1}-‘ максимизируют интеграл для S. Отметим, что в работе [239] эти неравенства были использованы для простого вывода теории Хартри и Томаса — Ферми.

Глава 22

СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ -

СЛАБОНЕИДЕАЛЬНОГО БОЗЕ-ГАЗА

Как было показано Боголюбовым [13], эта задача сводится к задаче нахождения спектра и волновых функций гамильтониана, квадратичного по операторам рождения и уничтожения бозонов. В той же работе указан и способ решения задачи, состоящий в диагонализации гамильтониана с помощью линейного канонического преобразования, которое получило затем название канонического преобразования Боголюбова. Здесь мы, следуя [98, 233], рассмотрим упрощенную модель сверхтекучести.

Множество линейных канонических преобразований этой задачи образует определенную группу, а именно прямое произведение групп SU^, 1). При этом основное состояние гамильтониана оказывается КС, связанным с определенным представлением этой группы.

Рассмотрим сначала упрощенную модель сверхтекучести [98]. Пусть наша система состоит из N слабо взаимодействующих бозонов и описывается следующим

гамильтонианом:

Н = ^2^®^ ^h "Ь у^A®P+A®9—А®Р®9’

hк,рл(22.1)

. еА = к^т.

Ограничимся сначала тремя состояниями, так что р, q и к принимают лишь значения (—1, 0, +1), и пусть e±i = е, V± = V и е0 = 7о = О. Тогда гамильтониан (22.1) принимает вид

Н = е (a+<z+ + ata_) + V [а^а0 («+«+ + ata_) +

+ a^a^at + а^"2а+а_], (22.2)

где мы использовали обозначения а± = а±1. Для 7 = 0 основное состояние состояло бы из N частиц с нулевой энергией. Предположим, что для слабо взаимодействующей системы состояние с нулевой энергией является макроскопически заполненным (так что мы можем считать операторы а0 и а^ с-числом, равным V7V0, где No = («о^о)) Это и есть физическое предположение, из которого следует сверхтекучий характер модели. Таким образом, редуцированный гамильтониан имеет вид

Ягсд = (е + Я07)(а+а+ + ^«-) + N6V^aXat_ + а+а_\ (22.3)

Мы видим, что редуцированный гамильтониан линеен по операторам представления Т1/2 алгебры Ли группы 8Щ1, 1):

Я^^г^У^Ло + ^-уН^ ^ = 1+^. (22.4)

Итак, наша задача сведена к уже решенной ранее задаче о спектре и собственных функциях оператора

Нп = Q<X - Q,^ - ^Кг = ПК, (22.5) где

П0 = 2Я07ц, ^, = -2^7, П2 = 0.(22.6)

В рассматриваемом нами случае оператор Н дается формулами (22.5), (22.6), а для его упрощения достаточно рассмотреть «вращение» вокруг оси хг;

R (0) = exp (—iK^,

к'г = R (0) К^Г1 (0) = сЬ(0)-Я1 + зЬ0-Я2, (22.7)

Яо = Я(0)ЯоЯ-1(0) = сЬ0-Яо + sh0.Kie

так что ■■

д(е)яд-че) =

= 2N.V [Ко (ц ch 0 - sh 0) + К, (ch 6 - ц sh 0) - 1/2]. (22.8) Поскольку |th6[ < 1, то в зависимости от знака потенциала V после поворота можно получить операторы Kt или Ко.

Таким образом, в случае:

V < 0 (потенциал притяжения), ц<1, возьмем th 0 = ц:

RHR-1 =-2N0V (Kt schO + p/2), 2K0|V|>e. (22.9)

V > 0 (потенциал отталкивания), ц > 1, возьмем cth 0 = ц:

RHR-1 = 2К0 V (К» csch 0 - ц/2).(22.10)

Отсюда следует, что в первом случае спектр энергий непрерывен. Второй случай представляет больший физический интерес, так как при этом спектр энергий дискретен. Из (22.10) следует, что

К„ = (2n + 1 + IДI )К — К0У — е, (22.11) где Е = У2еК0У + е2, а Д— собственное значение оператора а^а+—ata_. При этом собственные векторы имеют вид | У„ > =R^ (0) | п> = ± №)" |То>, (22.12) где■.

|Т0> = К"1(0)|0>, б+ = ТГ^еу^ф). (22.13) Таким образом, собственные векторы являются когерентными состояниями, связанными с представлениями Тк дискретной серии группы SU(_i, 1). В простейшем случае Д = 0, к = 1/2, имеем

|Т0> = ^t-^schT-f^lrH (22Л4) 771''

ИЛИ'

|Т0> = (l-i2)1/2exp(-iatai)|0>,(22.15)

где

< = th(e/2) = -K0/K0r..

Заметим, что преобразование (22.13) является линейным каноническим преобразованием операторов а+ и а_

&+ = uaj + ш_, Ь_ = иа_ + уа^. (22.16) 249

Это -преобразование было впервые использовано для решения задачи о сверхтекучести слабонеидеального бозе- газа в известной работе Боголюбова [13]..

Перейдем теперь к рассмотрению слабонеидеального бозе-газа, описываемого гамильтонианом (22.1). Используя, как и ранее, приближение Боголюбова a0=at~ У^<р можем записать Н в виде,

Я = -1 Л^ + 2 (е„ + NaV^ atah +

+ ^ 2 ^ №-» + ^-^ (22Л7>

к

где суммирование проводится по всем значениям к, за исключением к = 0, и оставлены лишь члены второго порядка по ah и at- В этом же приближении имеем N = = Wo + 2 ataki и наш гамильтониан можно переписать к

в виде

^=4^о + 2+ N»v^а^ +

+ ^ 2 г» («И+ aka-hY (22Л8) Введем операторы

^1 = 4 (^ а-д + aqa-qY

^2 = — 4 (^а-» — a^-qY

^ = 4 №з + a-qa-q + !)•(22Л9)

Мы видим, что эти операторы генерируют алгебру Ли группы 8U (1, 1)„ а гамильтониан является линейной комбинацией генераторов этой алгебры

Я = S W0Fg (Я[3) + рХ3) - Цд/2) + Ча^Х. q1

pg = 1 + 3g/W0Fg. (22.20)

Как и раньше, в случае F,<0, |p.J < 1, мы имеем непрерывный спектр, а в случае V, > 0 или ц5 > 1 гамильтониан можно упростить с помощью унитарного преобразования

R = П ® R (9g). R (9g) = exp ( - гЯ(23)0д), 0g = cth pg,

9(22.21)

так что

RHR”1 = £ (csch Gg-A^ — Цд/2) 2V07g + г/а^У0. (22.22)

Операторы Казимира имеют вид

. Cq = K^-K^-K^ = (А= —1)/4, (22.23)

где интегралами движения Дд = aqaq — а_да_д являются разности чисел частиц в состояниях с противоположными импульсами. Поскольку спектр энергий должен быть ограничен снизу, то единственное разрешенное представление — это

П ® Т4, kq = 1/2 + Ag/2.(22.24)

Мы видим теперь, что спектр энергий имеет вид

Et + const,

1(22.25)

где

^=(28,^ +e2)V2.

Волновая функция основного состояния для случая А; = О имеет вид

I то> = [П .(1 - t1)l/2 exp (- Ua+atm))l | 0>, (22.26)

где

t; = th(0;/2).

Приложение!.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛНОТЫ НЕКОТОРЫХ ПОДСИСТЕМ КС

В § 1.4 было доказано, что подсистема когерентных состояний {|аА>} полна тогда и только тогда, когда не существует целой функции i|)(a) такой, что i|)(aA) = 0 и

J | if> (а) |2 ехр (— | а |2) d2a < оо.

Заметим, что утверждение А этого параграфа очевидно.

Докажем утверждение Б: система {|аА>} полна, если {аА} не содержит точку а = О и

2Ы'2~е = °°(i.i)

к

при некотором е > 0. Это утверждение является следствием общих теорем относительно связи порядка роста целой функции с распределением ее нулей. .

Напомним, что порядком роста X целой аналитической функции /(z) называется число

Х = Й^1-п1°Щ(1.2)

где М(г) — максимум модуля функции /(z) на окружности |z| = г, lim = limsup— верхний предел. Соответственно число

ji = hm—(1.3)

Г^оо Т называется типом функции /(z).

Пусть {аА} — последовательность нулей целой функции /(z). Последовательность {аА} характеризуется так называемым показателем сходимости. Это число X] такое, что для любых сколь угодно малых е > 0 и б > 0 ряд SI ал I 18 сходится, а ряд 2 I ал I 1 расходится. Что h

касается ряда 51«л] \ то он может как сходиться, так л

и расходиться.

Из теории целых функций [78] известно, что порядок роста X целой функции /(z), имеющей нули в точках {аА}, не меньше показателя сходимости последовательности {аА} (Х^Х4).

Условие (1.1) эквивалентно условию Xi >2. Следовательно, порядок роста X функции /(z) с нулями в точках {аА} больше двух: Х>Х,>2. Ясно, что при этом J | /12 ехр (— | z |2) d?z = оо, и следовательно, система {|аА>} полна. Соответственно при X, < 2, а также при X, = 2 и при условии сходимости ряда SI “а |~2 система {1аА>} неполна. Если же X, = 2 и ряд 2|аьГ2 расходится, то для решения вопроса о полноте подсистемы {|аА>} требуется иметь более подробную информацию о распределении точек ah на a-плоскости (детали см. в работе [37]). В этом случае нетрудно построить целую функцию второго порядка роста (X = 2) с нулями в точках (aj. При этом согласно теореме (9.1.1) книги [79] тип р, функции /(z) должен удовлетворять неравенствам

(1.4)(1.5)(1.4)(1.5)ИИАПЫЮ2б г-^оо ^ 1АПЫЮ2б г-^оо ^ 1_ 1 .. N(r)

(1.4)

(1.5)

(1.4)

(1.5)

И

И

АПЫЮ

2б г-^оо ^ 1

АПЫЮ

2б г-^оо ^ 1

где У (г) — число точек (aj в круге |z| ^r,lim= liminf — нижний предел,lim= lim sup—верхний предел.

Отсюда следует, что система когерентных состояний полна при X, = 2 и выполнении любого из условий

Г— У (г) 11Ш— r-оо г2Г— У (г) 11Ш— r-оо г2>6.>6.(1.6)

Г— У (г) 11Ш— r-оо г2

Г— У (г) 11Ш— r-оо г2

>6.

>6.

(1.7)

Перейдем к рассмотрению случая В, когда точки а* образуют правильную решетку на а-плоскости:

taj = (amn = та, + па2),-

где периоды решетки а, и а2 линейно независимы — 1т(а2а1)=/= 0, а т и п пробегают все целые числа.

,253

Заметим прежде всего, что в случае правильной решетки с площадью элементарной ячейки 8

Ит^^Й^^Р = 5-.(1.8)

Г-»оо Г г-*оо г &

Теперь из условия (1.6) сразу же следует справедливость первой части теоремы.

Рассмотрим теперь решетку с 8 > л. Для доказательства второй части теоремы построим целую функцию, принадлежащую пространству #“ и обращающуюся в нуль во всех точках решетки ат„. Последнему условию удовлетворяет ст-функция Вейерштрасса (см., например, книгу [67])

<Ла) = аП71-^)ехр^-+ * (^-уТ (1.9)

Здесь штрих означает, что в произведение (1.9) не входит член с т = 0, п = 0.

Хорошо' известно [67], что порядок роста ст-функции равен двум: X = 2. Можно показать далее, что существует число v такое, что тип ц функции о(а) = ехр(—vai)o(a) является минимально возможным при заданных нулях {amJ и дается формулой

ц = л/28.(1.10)

Оказывается, что при этом

|o(a)|2 = p(a, a)exp(2plal2),(1.11)

где p(a, a) — дважды периодическая функция с периодами еь и со2. Нетрудно видеть, что при 8 > л интеграл I = J,o|2exp(—|z|2)<22z сходится. В этом случае функция а (а) определяет вектор !^)еЖ. ортогональный всем состояниям lamn>, и следовательно, подсистема {lam„>} не полна. Тем самым вторая часть теоремы доказана.

Из соотношения (1.11) видно также, что при 8 = л интеграл I расходится для любой целой функции, имеющей нули в точках Отп. Следовательно, при 8 = л система (lamn>) полна.

Заметим далее, что при выбрасывании из системы состояния ] amono> вместо функции ст(а) мы должны рассмотреть функцию CTi(a) = (a —amn)-1n(a). Поэтому во- 254

прос о полноте в этом случае сводится к исследованию сходимости интеграла

Можно показать, что такой интеграл расходится, и следовательно, при выбрасывании одного состояния система {lamn>} еще остается полной.

Теперь выбросим из системы (lam„>} два каких-либо состояния |ат1П1> и |ат2па). Как и прежде, приходим к рассмотрению интеграла

(1.13).(1.13).р (а, а) d2a

(1.13).

(1.13).

I а — а„ |2 | а — а_ _ |2 '

I| m2n21

Нетрудно видеть, что такой интеграл сходится. Следовательно, при выбрасывании двух любых состояний система становится неполной. Это завершает доказательство теоремы.

Приложение 2

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРА В (?)

Прежде всего дадим вывод формулы (1.168) для мат- ричных_элементов оператора D^. Производящая функция G(a, р) для них имеет вид

= ехр= ехр—) exp (оф + ау — Ру).—) exp (оф + ау — Ру).(2.1)(2.1)

= ехр

= ехр

—) exp (оф + ау — Ру).

—) exp (оф + ау — Ру).

(2.1)

(2.1)

Разлагая ее в ряд по степеням аир, получаем

G = ехрG = ехр—П +п n +n- П /-\П-a i 2p 1 3y 2(— y) 3—П +п n +n- П /-\П-a i 2p 1 3y 2(— y) 322= ехр= ехрnvmtnnvmtnni! n2! ng! т—п. /—\п—у Ч-т)п ! (т — п.\\ (п —ni! n2! ng! т—п. /—\п—у Ч-т)п ! (т — п.\\ (п —а р .а р .(2.2)(2.2)Отсюда находим min(m,n)Dmn — Vml п! 5n.=oОтсюда находим min(m,n)Dmn — Vml п! 5n.=o^-п^Цп -n^l^-п^Цп -n^l,2,2

G = ехр

G = ехр

—П +п n +n- П /-\П-

a i 2p 1 3y 2(— y) 3

—П +п n +n- П /-\П-

a i 2p 1 3y 2(— y) 3

2

2

= ехр

= ехр

nvmtn

nvmtn

ni! n2! ng! т—п. /—\п—

у Ч-т)п ! (т — п.\\ (п —

ni! n2! ng! т—п. /—\п—

у Ч-т)п ! (т — п.\\ (п —

а р .

а р .

(2.2)

(2.2)

Отсюда находим min(m,n)

Dmn — Vml п! 5

n.=o

Отсюда находим min(m,n)

Dmn — Vml п! 5

n.=o

^-п^Цп -n^l

^-п^Цп -n^l

,2

,2

(2.3)

255

Рассмотрим сначала случай т = п + к > п_ Тогда

D = V - ехи (- 111! I У (~ Й)П~П1 (" + *)!

(2.4)

Воспользуемся теперь выражением для полиномов Ла- герра (см., например, [80]):

"Ws| (Л_,)|Г(»+,+1)1(215)

Сравнение (2.4) и (2.5) дает

Отп = У ^ехр(-^)7™-^п(Ы^^^^(2.6)

При т ^ п имеет место аналогичная формула

S™. - / 9 ехр ( - Ш-2) (_ ^—L*-" (I т Р). (2.7)

Заметим, что выражение (2.5) для полиномов Лагерра имеет смысл и для отрицательных значений к. При этом из (2.5) находим соотношение симметрии

т! Дп+а (^) — <m ^ ( :^Lm ^\(2.8)

Таким образом, формулы (2.6) и (2.7) эквивалентны.

Заметим, что из условия унитарности |Dmnl ^ 1 следует неравенство

при (п + /с) > 0.при (п + /с) > 0.| ехр (— г/2) т№Ькп (г) | < )/ ^-^

при (п + /с) > 0.

при (п + /с) > 0.

(2.9)

Запишем теперь матричный элемент <m\D^)\n> в представлении Фока — Баргмана, причем для оператора Д(7) воспользуемся антинормальной формой записи D^) = = ехр(Ц^ухр(— уа) ехр(уа+). Для функции Dmn^) получаем следующее интегральное представление: <^|^(?)|«> = 77=тлехр'"Т' fexP(—VZP) X

X exp (yz ■—у z ) zmznrfp (z). (2.10)

Сравнивая это выражение с выражением (2.6), получаем следующее интегральное представление для полиномов Лагерра:

№(|тр) =

= ^ ехр | у |2 J exp (yz — yz^ | z |2пе-|г| dp (z).(2.11)

Полагая в этом интеграле г = рехр(?ф) и интегрируя по Ф,- получаем

^п (ж) = 22^1ж J ехр (_ t^ tn+h/2Jh (2 /й) dt. (2.12) о

Далее, умножая обе части соотношения (2.11) на t", суммируя по и и интегрируя, находим производящую функцию для полиномов Лагерра:

2^п(|у|2) = у”йехр|уРХ

X J ехр (— | z |2 + 11 z |2) exp (yz — у z) zh dp (z); (2.13)

2 № = (1 - expД);

UI <1, k^O.(2.14)

Наконец, полагая в (2.11) k=m — n, умножая обе части соотношения на t", суммируя по и и интегрируя, получаем.

2i”^n_”(^) = (l +i)mexp(-U). (2.15)

Далее используем представление Фока — Баргмана и формулу для действия оператора D (у) в этом представлении. Получаем еще одно интегральное представление для полиномов Лагерра.

У^ (| У Г) = J ехР (—lz I2) ехР (YZ) ^ ^-”^ dp (z).

(2.16)

Это интегральное представление можно переписать в виде Уп+й,п (у) = Jфn+ft(z)фn(z —y)exp^^-dp(z), (2.17)

25725717 а. М. переломов

257

257

где введено следующее обозначение:

-П/I -

фп (z) = —= exp (— ЦМ=JL_ exp (— р2/2) exp (1Иф). (2.18) у nl\6 < уп\

Заметим, что функции фп(г) являются собственными функциями гамильтониана двумерного гармонического осциллятора.

Пусть п » 1. Тогда функция ф„ (z) имеет узкий максимум, который определяется условием

р = 1п,(2.19)

т. е. функция ф„(г) сосредоточена вблизи окружности радиуса р = Уи. Поэтому при п»1 и т»1 получаем геометрическую картину, изображенную на рис. 3.

Рассмотрим две возможности. _

l._hl ^Уи. В этом случае окружности 1а1=Ут и la —^| = Уи пересекаются, и следовательно, Z)m„h) не являются экспоненциально малыми, если

Н1-Ип<1т< hl + Уи.Н1-Ип<1т< hl + Уи.(2.20)(2.20)

Н1-Ип<1т< hl + Уи.

Н1-Ип<1т< hl + Уи.

(2.20)

(2.20)

hl <Уи. В этом случае Dm»Vf) не являются экспоненциально малыми при выполнении условия

Уи— Ь1<Ут<|у1+1/га-Уи— Ь1<Ут<|у1+1/га-(2.21)(2.21)

Уи— Ь1<Ут<|у1+1/га-

Уи— Ь1<Ут<|у1+1/га-

(2.21)

(2.21)

Эти два условия можно объединить в одно:

1У«-ЬП <Ут<Уп+Ь1. (2.22)

Иными словами, величины Ут, У и и hl должны удовлетворять условиям треугольника. При этом при m > 1 и 258

n > 1 асимптотически точное выражение для u>m„ = = Ютп(т)12, усредненное по осцилляциям, дается выражением

^ТПП^ТПП'2,2'р + д „—т'2,2'р + д „—т-РхУА-^д-д^-РхУА-^д-д^2- 9Х + iPx^="W2- 9Х + iPx^="W— n I dpdq,— n I dpdq,(2.23)(2.23)

^ТПП

^ТПП

'2,2'

р + д „—т

'2,2'

р + д „—т

-РхУА-^д-д^

-РхУА-^д-д^

2

- 9Х + iPx

^="W

2

- 9Х + iPx

^="W

— n I dpdq,

— n I dpdq,

(2.23)

(2.23)

Наконец матричный элемент ОтП(у) можно также вычислять, используя координатное представление. Отсюда получаем выражение для интеграла

J ехр (— я2 Т z V2 гх) Нт (я) Н^ (я) dx =

П4-ТП..

= /л 2 2 m! (zr)”-mexp (£j L^VY (2.24)

Приведем еще несколько полезных формул.

Матричный элемент <m|Z?(a)ln> нетрудно преобразовать к виду

<т | О (а) | п><т | О (а) | п>= -^<01 amD (a) (a+)n ] 0> = (m!»!)-V2 х у лиги.

<т | О (а) | п>

<т | О (а) | п>

X ехр ^-у~)<01 атехр (— аа) ехр(аа+)(а+)”| 0> =

= (™!«П ^^(^(“^(^^(“Ц1-)- (2-25>

Вычислим также производящую функцию для квадратов матричных элементов. Используя формулу (2.10), получаем

F (и, и; у) = 2 “""у” I < т I D (у) | п} |2 =

= ехр | у |2 J ехр {— (| а |2 + | р |2) + (осу — ay) +

-+ (Ру — Ру) + (czaP + Ppa))dp(a)rfp(p). (2.26)

Этот интеграл гауссовский и легко вычисляется. В результате получаем

(м, у; V) = (1 - ииГ1 ехр (| у |2) ехр (- |^1 -^Eu^ ~ Р))•

(2.27)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .

Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1974.— 432 с.

Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.— М.: Наука, 1971.— 544 с.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения: Пер. с англ. В 2-х т., Т. 1, 456 с., Т. 2, 396 с.— М.: Мир, 1980.

Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ, в 3-х т., Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены.— М.: Наука, 1966,— 296 с.

Белавин А. А., Зельдович Б. Я., Переломов А. М. и др. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром.— Препринт ИТЭФ, № 622, 1968.

Белавин А. А., Зельдович Б. Я., Переломов А. М. и др.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 264.

Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука, 1965,— 236 с.

Березин Ф. А.— Функцион. анализ и его прилож., 1967, т. 1, № 2, с. 1.

Березин Ф. А.— Мат. сб., 1971, т. 86, с. 578.

Березин Ф. А,— Изв. АН СССР, сер. мат., 1974, т. 38, с. 1116. И. Березин Ф. А,—ДАН СССР, 1978, т. 241, с. 15.

Березин Ф. А.— Успехи физ. наук, 1980, т. 132, с. 497.

Боголюбов Н. Я,—Изв. АН СССР, сер. физ., 1947, т. И, с. 77.

Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Я.— ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 1340.

Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп,— М.: Наука, 1965,—588 с.

Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений трехмерного пространства и группы Лоренца.— М.: Физматгиз, 1958.— 368 с.

Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Я. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.— М.: Физматгиз, 1962.— 656 с.

Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции.— М/. Наука, 1966.— 512 с.

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз, 1971.— 1100 с.

Грановский Я. И., Димашко Ю. А.— Укр. физ. Ж., 1974, т. 19, с. 1456.

Грановский Я. И., Димашко Ю. А.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1975, т. 68, с. 1991.

Грановский Я. И., Жеданов А. С.— Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 41, с. 312.

Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях.— М.: Атомиздат, 1980.— 296 с.

Гуткин Е.— Функцион. анализ и его прилож., 1975, т. 9, № 3, с. 89.

Демков Ю. Н., Островский В. Н., Соловьев Е. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 125.

Дубровин В. А., Новиков С. П.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1980, т. 79, с. 1006.-

Дыхне А. М.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960, т. 38, с. 570..

Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М.: Наука, 1970.— 664 с.

Зельдович Я. Б,—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1492.

ЗелъЭович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1968, т. 95, с. 209.

ЗелъЭович Б. Я., Переломов А. М., Попов В. С. Релаксация квантового осциллятора. I, II.— Препринты ИТЭФ № 612, 618, 1968.

ЗелъЭович Б. Я., Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 55, с. 589; 1969, т. 57, с. 196.

ЗелъЭович Я. Б., Питаевский Л. П., Попов В. С. и др.— Успехи физ. наук, 1971, т. 105, с. 780.

ЗелъЭович Я. В., Старобинский А. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1971, т. 61, с. 2161..

Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных: Пер. с нем.— М.: ИЛ, 1964.— 168 с.

Ивантер И. Г., Смилга В. П.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968 т. 54 с. 559.

Карасев В, П., Шелепин Л. А.— Труды ФИАН, 1980, т. 124, с. 49.

Кириллов А. А. Элементы теории представлений.— М.: Наука, 1978,- 344 с.

КлауЭер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики: Пер. с англ.— М.: Мир, 1970.— 428 с.

Когерентные состояния в квантовой теории/Сб. статей — М.: Мир, 1972.— 232 с.

Костант Б.— Успехи мат. наук, 1973, т. 28, № 1, с. 163.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики в 10-ти т., Т. 1. Механика.— М.: Физматгиз, 1958.— 206 с.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики в 10-ти т., Т. 3. Квантовая механика.— М.: Физматгиз, 1963.— 704 с.

Левин В. Я. Распределение нулей целых функций.— М.: Гос- техиздат, 1958.

Лизин И. М., Махвиладзе Т. М., Шелепин Л. А.— Труды ФИАН, 1976, т. 87, с. 21.

Малкин И. М., Манько В. И. Динамические симметрии и коге- ■ рентные состояния квантовых систем,— М.: Наука, 1979,— 320 с.

Маргулис Г. А — Функцион. анализ и его прилож., 1969, т. 3, № 4, с. 89.

Маринов М. С., Попов В. С.—Ядерная физика, 1972, т. 15, с. 1271.

МахвилаЭзе Т. М., Шелепин Л. Л.—Труды ФИАН, 1973, т. 70, с. 120.

Молчанов В. Ф — Функцион. анализ и его прилож. 1980, т. 14, № 2, с. 73.

Монастырский М. И., Переломов А. М.— ДАН СССР, 1972, т. 207, с. 1303.

Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца,— М.: Физматгиз, 1958.— 376 с.

Нарожный Н. Б., Никишов А. И.— Ядерная физика, 1970, т. И, с. 1072.

Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики: Пер. с нем,—М.: Наука, 1964,—368 с.

Носов В. Г., Яковлева И. В.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1962, т. 43, с. 175.

Переломов А. М.— Жури, эксперим. и теорет физ., 1961, т. 40, с. 1418.

Переломов А. М., Попов В. С.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 50, с. 179.

Переломов А. М., Попов В. С.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54, с. 1799.

Переломов А. М., Попов В. С.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 56, с. 1375.

Переломов А. М., Попов В. С.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57, с. 1684.

Переломов А. М., Попов В. С.— Теорет. и мат. физ., 1969, т. 3, с. 360..

Переломов А. М.— Теорет. и мат. физ., 1971, т. 6, с. 213.

Переломов А. М.— Функц. анализ и его прилож., 1972, т.. 6, № 4, с. 47.

Переломов А. М.— Функц. анализ и его прилож., 1973, т. 7, № 3, с. 57.

Переломов А. М.— Теорет и мат. физ., 1973, т. 16, с. 303.

Переломов А. М. Препринт ИТЭФ № 46,— М., 1974.

Переломов А. М — Теорет и мат. физ., 1974, т. 19, с. 83.

Переломов А. Л/.—Успехи физ. наук, 1977, т. 123, с. 23.

Переломов А. М.— Ядерная физика, 1979, т. 29, с. 1688.

Попов В. С,—Жури, эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1248.

Ритус В. И.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1544.

Ритус В. И.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57, с. 2176.

Румер Ю. В.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1948, т. 18, с. 1081.

Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики: Пер. с англ.— М.: Мир, 1968.

Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.— М.: Советское радио, 1961.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ.— В 2-х т.— Т. 2.— Мл Мир, 1967.— 752 с.

Филиппов Г. Ф., Василевский В. С., Чоповский Л. Л.— ЭЧАЯ, 1984, т. 15, вып. 6, с. 1338—1385..

Форд Л. Автоморфные функции.— М.— Л.: ОНТИ, 1936.— 340 с.

Хуа-Ло-Кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях.— М.: ИЛ, 1959.•

Чженъ Ш.-Ш. Комплексные многообразия.— М.: ИЛ, 1961.— 240 с.

Шапиро И. С — ДАН СССР, 1956, т. 106, с. 647.

Шапиро И. С,—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 70, с. 2050.

Шварц А. С,—ДАН СССР, 1967, т. 173, с. 793.

Шелепин Л. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54, с. 1463.’

Янсен Д — Ядерная физика, 1977, т. 25, с. 897.

Arecchi F. Т., Courtens Е., Gilmore R., Thomas Н.— Phys. Rev., 1972, v. Аб, р. 2211.

Aronszajn А.— Trans. Amer. Math. Soc., 1950, v. 68, p. 337.

Anderson P. W — Phys. Rev., 1958, v. 112, p. 1900.

Bacry H., Grossman A., Zak J.— Phys. Rev., 1975, v. B12, p. 1118.

Bargmann V.— Ann. Math., 1947, v. 48, p. 568.

Bargmann V.— Comm. Pure Appl. Math., 1961, v. 14, p. 187.

Bargmann V,— Rev. Mod. Phys., 1962, v. 34, p. 829..

Bargmann V.— Comm. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 1.

Bargmann V,— in: Analytic methods in mathematical physics. N. Y.: Gordon and Breach, 1970, p. 1.

Bargmann V., Butera P., Girardello L., Klauder L R.— Reps. Math. Phys., 1971, v. 2, p. 221.

Bars I., Giinaydin M.— Comm. Math. Phys., 1983, v. 91, p. 31.

Barut A., Girardello L.— Comm. Math. Phys., 1971, v. 21, p. 41.

Bassichis W. H., Foldy L. L.— Phys. Rev., 1964, v. A133, p. 935.

Bellissard J., Holtz R.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 1275.

Bellman R. A brief introduction to theta functions. N. Y.: Holt, Rinehart and Winston, 1961.

Berezin F. A.— Comm. Math. Phys., 1975, v. 40, p. 153.

Berezin F. A.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 63, p. 131.

Bergmann S. The kernel functions and conformal mapping, Math. Surveys No. 5, Amer. Math. Soc., 1950.

Boas R. P — Ann. Math., 1946, v. 47, p. 21.

Boas R. P. Entire functions. N. Y.: Acad. Press, 1954.

Boon M., Zak J., Zucker J.— J. Math. Phys., 1983, v. 24, p. 316.

Botke L, Scalapino D., Sugar R.— Phys. Rev., 1974, v. D9, p. 813.

Cahill K — Phys. Lett., 1974, v. B53, p. 174.

Calogero F — J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 419.

Carruthers P., Shih C.— Phys. Lett., 1983, v. B127, p. 242.

Carruthers P., in: Proc. XIV-th Intern. Symp. on Multiparticle Dynamics, World Sci. Puhi. Co., 1984, p. 825.

Cartier P — in: Proc. Symp. Pure Math., v. 9, Algebraic groups and discontinuous subgroups. Providence, R I.: Amer. Math. Soc. 1966, p. 361.

Caves C., Thorne K., Drever R., Sandberg V., Zimmerman M.— Rev. Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 341.

Chung V;—Phys. Rev., 1965, v. B140, p. 4110.

Cummings F., Johnston R.— Phys. Rev., 1966, v. 151, p. 105.

Curct G., Greco M., Srivastava У.— Phys. Rev. Lett., 1979, v. 43, p. 834.

D’Ariano G., Rasetti M., Vadacchino M.— J. Phys.: Math. Gen., - 1985, v. A18, p. 1295.

D’Ariano G., Rasetti M.— Phys. Lett., 1985, v. A107, p. 291.

Davies M., Heller E.— J. Chem. Phys., 1981, v. 75, p. 3919.

Delbourgo R.— J. Phys: Math. Gen., 1977, v. A10, p. 1837.

Delbourgo R., Fox J. R.— J. Phys.: Math. Gen., 1977, v. A10, p. 1233.

Dicke R. H.— Phys. Rev., 1954, v. 93, p. 99.

Dunne L., Clark A., Brandas E.— Chem. Phys. Lett., 1983, v. 97, p. 573.

Eriksson K.-E., Skagerstam B.-S.— Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 3858.

Eriksson K.-E., Mukunda N., Skagerstam B.-S.— Phys. Rev., 1981, v. D24, p. 2615.

Feldman A., Kahn A.— Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 4584.

Feynman R. P.— Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 108.

Flammand G.— J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 1924.

Fock V. A.— Zs. f. Phys., 1928, v. 49, p. 339.

Fowler G., Stelte N., Weiner R.— Nucl. Phys., 1979, v. A319, p. 349.

Fuller W., Lenard A.— Comm. Math. Phys., 1979, v. 69, p. 99.

Carding L.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1947, v. 33, p. 331.

Ghosh G., Dutta-Roy B., Bhaumik D.— Plasma Phys., 1977, v. 19, p. 1051.

Gilmore R.— Ann. Phys., 1972, v. 74, p. 391.

Gilmore R.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 2090.

Gilmore R.— Phys. Lett., 1976, v. A55, p. 459.

Gilmore R., Bowden С. M.— J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 1617.

Gilmore R., Feng D.— Phys. Lett., 4978, v. B76, p. 26.

Gilmore R., Feng D.— Nucl. Phys., 1978, v. A301, p. 189.

Gilmore R., in: Symmetries in Science, Plenum Puhi., N. Y., 1980, p. 105.

Glauber R. J.— Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 395.

Glauber R. J.— Phys. Rev., 1963, v. 130, p. 2529.

Glauber R. J.— Phys. Rev., 1963, v. 131, p. 2766.■

Gochev 1. G.— Preprint JINR E17-84-253. Dubna, 1984.

Golden S — Phys. Rev., 1965, v. B137, p. 1127.

Gomatam J.— Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 1292.

Gordon J. P., Walker L. R„ Louisell W. H — Phys. Rev., 1963, v. 130, p. 806.

Greco M., Palumbo F., Pancheri-Srivastava G., Srivastava Y.— Phys. Lett., 1978, v. B77, p. 282.

Gross D., Neveu A.— Phys. Rev., 1974, v. DIO, p. 3235.

Hammer C., Shrauner J., de Facto B.— Phys. Rev., 1978, v. D18, . p. 373.

Harish-Chandra — Amer. J. Math., 1956, v. 78, p. 1.

Hedlund E — Duke Math. J., 1946, v. 47, p. 21. .

Heisenberg W-, Euler H.— Zs. f. Phys., 1936, Bd. 98, S. 714. ,

Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, N. Y.: Acad. Pres., 4978.■.

Hepp K„ Lieb E. H — Ann. Phys., 1973, v. 76, p. 360; Phys. Rev.,

1973, v. A8, p. 2517.'

Holiday D., Glassgold A. E.— Phys. Rev., 1965, v. A139, p. 1717.

Hollenhorst I.— Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 1669.

Horn D., Silver R.— Ann. Phys., 1971, v. 66, p. 509.

Husimi K.— Progr. Theor. Phys., 1953, v. 9, p. 381.

Itzykson C.— Comm. Math. Phys., 1967, v. 4, p. 92.

Janssen A. Weighted Wigner distributions vanishing on lattices, Caltech preprint, Berkley, 1979.

Janssen A.— J. Math. Phys., 1982, v. 23, p. 720.

Jevicki A., Papanicolaou N.— Ann. Phys., 1979, v. 120, p. 107.

Kibble T. W.— J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 315.

Kibble T. Ж— Phys. Rev., 1968, v. 173, p. 1527; v. 174, p. 1882; v. 175, p. 1624.

Kibble T. W.— in: Mathematical Methods in Theoretical Physics, Gordon and Breach, N. Y., 1969, p. 387.

Klauder J. R.— Ann. Phys., 1960, v. 11, p. 123.

Klauder J. R — Bell System Tech. J., 1960, v. 34, p. 809.

Klauder J. R — J. Math. Phys., 1963, v. 4, p. 1055; 1964 v 5, p. 177.‘

Klauder J. R., McKenna J.— J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 878.

Klauder J. R.— Phys. Rev., 1984, v. A29, p. 2036.

Klauder J. R., Skagerstam R.-S. Coherent States, Applications in Physics and Mathematical Physics, World Sci. Puhi. Co., Singapore, 1985, 911 p.

Kostant R.— in: Group representations in mathematics and phy- siks, ed. by V. Bargmann, Lecture Notes in Physics, v. 6, Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer, 1970, p. 237.

Landau L. D.— Zs. f. Phys., 1927, Bd. 45, S. 430.

Landau L. D — Zs. f. Phys., 1930, Bd. 64, S. 629.

Langer J — Phys. Rev., 1968, v. 167, p. 183.

Lax M.— Phys. Rev., 1960, v. 145, p. 110.

Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1964.

Leschke H., Stolze J., Moraweck M.— J. Phys. Math. Gen., 1980, v. A13, p. 1311.

Lewis H. R., Riesenfeld IF. R.— J. Math. Phys., 1969, v. 10, p. 1458.

Lieb E. H.— Comm. Math. Phys., 1973, v. 31, p. 327.

Lieb E. H — Comm. Math. Phys., 1978, v. 62, p. 35.

Louisell IF. 77. Radiation and noise in quantum electronics. N. Y.: McGraw-Hill, 1965.

Majorana E.— Nuovo Cim., 1932, v. 9, p. 335.

Marinov M. S., Popov V. S.— Fortschr. Phys., 1977, Bd. 25, S. 373.

Martin J. L — Proc. Roy. Soc., 1959, v. A251, p. 543.

Mead L., Papanicolaou N.— Phys. Rev., 1983, v. B28, p. 1633.

Mollow R. R.— Phys. Rev., 1967, v. 162, p. 1256.

Monastyrsky M. I., Perelomov A. M.— Reps. Math. Phys., 1974, v. 6, p. 1..,

Monastyrsky M. I., Perelomov A. M.— Ann. Inst. H. Poincare, 1975, v. 23, p. 23.

Moncrief V.— Ann. Phys., 1978, v. 114, p. 201.

Montonen C — Nuovo Cim., 1974, v. A19, p. 69.

Narducci L. M., Rowden С. M., Coulter C. A.—Lett. Nuovo Cim., 1973, v. 8, p. 57.„„

Narducci L. M„ Rowden С. M., Coulter C. A.— Phys. Rev., 1974, v. A9, p. 829, p. 999.

Narduccl L., Bowden C., Bluemel V., Garrazana G., Tuft R — Phys. Rev., 1975, v. All, p. 973.

von Neumann J.— Math. Ann., 1931, Bd. 104, S. 570.

Neveu A., Papanicolaou N.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 58, p. 31.

Ni G.-L, Wang Y.-P — Phys. Rev., 1983, v. D27, p. 969.

Nieto M. M., Simmons L. M., Gutschik V. P.— Phys. Rev., 1981, v. D23, p. 927.

Nieto M. M., in: Proc. Intern. Seminar on Group Theor. Methods in Physics, Zvenigorod 1982, Nauka, Moscow (1983), p. 174.

Ohnuki Y., Kashiwa T.— Progr. Theor. Phys., 1978, v. 60, p. 548.

Onofri E.— J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 1087.

Papanicolaou N.— Ann. Phys., 1981, v. 136, p. 210.

Paul R — Phys. Lett., 1983, v. A96, p. 263.

Parker L.— Phys. Rev., 1969, v. 183, p. 1057.

Parker L.— Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 346.

Perelomov A. M.— Comm. Math. Phys., 1972, v. 26, p. 222.

Perelomov A. M.— Phys. Lett., 1972, v. A39, p. 165.

Perelomov A. M — Phys. Lett., 1972, v. A39, p. 353.

Perelomov A. M.— Comm. Math. Phys., 1975, v. 44, p. 197.

Perelomov A. M. Generalized Coherent States and Their Applications, Springer — Verlag, 1986.

Poincare H.— Acta Math., 1882, v. 1, p. 193.

Rabi I. L— Phys. Rev., 1937, v. 51, p. 652.

Radcliffe J. M — J. Phys.: Math. Gen., 1971, v. A4, p. 313.

Rasetti M., Regge T.— J. Low Temp. Phys., 1973, v. 13, p. 249.

Rasetti M.— Intern. J. Theor. Phys., 1975, v. 13, p. 425.

Rasetti M.— Int. J. Theor. Phys., 1975, v. 14, p. 1.

Rayne F-— Nucl. Phys., 1979, v. B159, p. 244.

Rossi H., Vergne M.— J. Funct. Anal., 1973, v. 13, p. 324.

Ruhl W.— Comm. Math. Phys., 1982, v. 83, p. 455.

Schrodinger E.— Naturwiss., 1926, Bd. 14, S. 664.

Schwinger L— Phys. Rev., 1953, v. 91, p. 728.

Schwinger J — J. Math. Phys., 1961, v. 2, p. 407.

Schwinger J.—Phys. Rev., 1973, v. D7, p. 1696.

Senitzky I. R — Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 670.

Shankar R.— Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 1088.

Shen Y. R — Phys. Rev., 1967, v. 155, p. 921.

Shi S.— J. Chem. Phys., 1983, v. 79, p. 1343.

Siegel C. L — Ann. Math., 1945, v. 46, p. 708.

Simon B — Comm. Math. Phys., 1980, v. 71, p. 247.

Skagerstam В.-S.— Zs. f. Phys., 1984, Bd. C24, S. 97.

Skagerstam В.-S.— Journ. Phys. A., 1985, v. 18, p. 1.

Solomon A. I — J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 390;

Stone M — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1930, v. 16, p. 172.

Sudarshan E. C. G — Phys. Rev. Lett, 1963, v. 10, p. 277.

Suzuki T — Nucl. Phys., 1983, v. A398, p. 557.

Takahashi Y., Shibata F.— J. Phys. Soc. Japan, 1975, v. 38, p. 656.

Terenetyev M. V — Ann. Phys., 1972, v. 74, p. 1.

Thirring W.— Lett. Math. Phys., 1980, v. 4, p. 67.

Thompson С. I.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 1812.

Unruh W — Phys. Rev., 1978, v. D17, p. 1180.

Toyoda T., Wildermuth K — Phys. Rev., 1980, v. D22, p. 2391.

Vtnclarelll P.— Phys. Lett., 1975, v. B59, p. 380.

Vuillermot P.— Comm. Math. Phys., 1980, v. 76.

Wang Y., Hioe F.—Phys. Rev., 1973, v. A7, p. 831.

Wehrl A.— Rev. Mod. Phys., 1978, v. 50, p. 221.

Wehrl A.— Reps. Math. Phys., 1979, v. 16, p. 353.

Weil A.— Acta Math., 1964, v. 113, p. 143.

Weyl H — Zs. f. Phys., 1927, Bd. 46, S. 1.

Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel, 1928 (перевод: Вейль Г. Теория групп и квантовая механика: Пер. с англ.— М.: Наука, 1986).

Wigner Е. Р — Phys. Rev., 1932, v. 40, р. 749..

Yaffe L — Rev. Mod. Phys., 1982, v. 54, p. 407.

Zakharov V. E., Mikhailov A. V.— Comm. Math. Phys., 1980, v. 74, p. 21.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебра Гейзенберга — Вейля, случай нескольких степеней свободы 61

— — —, — одной степени свободы 13

Гипотеза Верля 244

— Либа 245

Группа вращений трехмерная 66

— Гейзенберга — Вейля 12

— — —, матричные элементы представлений 43

—, нормальное (виков- ское) и антинормальпое (анти- виковское) представления 41

— Ли осцилляторпая 57

— Лоренца 99

— метаплектическая 119

— пекомпактпая, представления дискретной серии 84

Диамагнетизм Ландау 232

Излучение синхротронное 239

Кваэиэнергия 158

Квантование геометрическое 133

— по Березину 133

Коэффициенты Клебша — Гордана для группы SU^, IS, 204

Круг Зигеля единичный 123

Матрица плотности 47

Мера интегрирования в многомерном фазовом пространстве 61

в фазовой плоскости 19

Многообразие кэлерово однородное 147

Многочлены Лаггера 256

— Эрмита, интегральное представление 28

от двух переменных 177

Модель Гросса — Невё 211

Неравенство Березина 39

— Голдена — Томпсона 40

— Фейнмана 40

Оператор Казимира 58

— Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского 93

— массовый 239

— ядерный 39

Операторы рождения и уничтожения, бозевский случай 12 — —, линейные канониче

ские преобразования 101

— — — —, представление Фока — Баргмана 24—28

— — — —, фермиевский случай 127

Осциллятор, динамика 158

—, релаксация к равновесию 220

Предел квазиклассический для представлений группы 577(2) 207

— фермионных полей 215

—энтропии 243

Представления класса I 108

Преобразование линейное каноническое 117

Проекция стереографическая 69

Разложение Гаусса 68

— единицы 19

Реализация Фока — Баргмана для гильбертова пространства 24

Решетка допустимая 62

— правильная 29

Рождение пар бозонов 182

— — фермионов 192

Символ оператора 36

вейлевский 44

Симметрия динамическая 156

Соотношение неопределенности для компонент момента количества движения 77

— — — координаты и импульса 21

Соотношения перестановочные Гейзенберга, случай нескольких степеней свободы 60

— — —, — одной степени свободы 12

Состояния обобщенные когерентные, общее определение 50

Спин, релаксация к равновесию 229

Теорема Стоуна — фон Неймана 16

Тета-функции 34

Уравнение Фоккера — Планка 222

Условия Римана — Фробениуса 62

Функции Вейерштрасса 36

— характеристические для распределения вероятности в фазовом пространстве 47

Функция зональная сферическая 93

Электродинамика квантовая, эффективный лагранжиан 236

Энтропия 242

Эффект де Гааза — ван Альфе- на 233

Ядро Бергмана 150

— воспроизводящее 20

— орисферическое 96

— Пуассона 96

Список опечаток в книге Переломова А. М.

Стр.

Строка или формула

Напечатано

Должно быть

21

5 сверху

<9>

<9>

26

1 сверху

Р =

P =

41

ф.( 1.152)

Уд (“за) = • • •

Ул(а, a) = ...

42

1 снизу

... ехр ('(а — fa)

... exp (fa — fa)

43

ф. (1.166)

-07).

45

ф.(1.177)

... JD-'(a) = ...

...JO-1 (a) — ...

58

1 снизу

^Я = ...

5= ...

61

ф. (3.11)

ехр («) = exp (is 1)О(а),

exp (iz) = exp (is I)O(a)

Z)(a) = ехр (аа+ — -аа).

O(a) = exp (aa+ — aa).

102

8 сверху

... + 06 + 06),

... + 06 + 06),

105

ф. (6.40)

■... (= ch т — ...

... = (ch т — ...

114

ф. (7.51)

.. {е’^т+4о^О ^-

{/(Хт+6о№))+

120

11 снизу

..., а,|0|| = 0.

... o3|0> = 0.

124

ф. (8.44)

... = x(g^ g-^,

. • • = $(g, £, g^.

144

1 сверху

и^Л

148

ф. (10.74)

<2I?>’

196

17 снизу

... = VI? 4- m,

...= /p2+m2,

255

ф. (1.13)

|a — aI2..,

a —I2...

1mini |'

1mini 1

257

ф. (2.11)

... (rz-?z) ...

... (7z—Yz) ...

В этой главе изучается система КС для фермионной системы с конечным числом степеней свободы. Состояние ррстрмы характрризуется комплексной антирцм$@тричной ^атр.цррй. В издржениц ^ы сдедуе^ рабртр [1Р2].

А.М. Переломов

ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

А.М. Переломов

Обобщенные когерентные состояния и их применения

А.М.Переломов