АННОТАЦИЯ

Книга посвящена приближенным асимптотическим методам решения задач теории нелинейных колебаний, встречающихся во многих областях физики и техники. Второе издание дополнено изложением некоторых методов, весьма широко использующихся сейчас на практике. Увеличено количество примеров решений типичных задач. Книга рассчитана на широкий круг инженерно-технических и научных работников, интересующихся колебательными процессами.

Боголюбов Николай Николаевич и Митропольский Юрий Алексеевич

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний

Редактор Е. Е. Жаботинский

Техн, редактор А. П. КолесниковаКорректор А. С. Бакулоса

Сдано в набор 11/III 19 58 г. Подписано к печати 26/VI 1958 г. Бумага 70X108/16- Физ. печ. л. 25,5. Условн. печ. л. 34,93. Уч.-изд. л. 31,14. Тираж 7000. Т-03975. Цена книги 17 р. 55 к.

Заказ 137

Государственное издательство физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

16-я типография Московского городского Совнархоза. Москва, Трехпрудный пер., 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию . 5

Предисловие к первому изданию (>

Введение 7

Глава I. Собственные колебания в системах, близких к линейным . . .36

Построение асимптотических решений 36

Консервативные системы, близкие к линейным 49

Случай нелинейного трения 60

Автоколебательные системы 68

Стационарные амплитуды и их устойчивость 76

Построение стационарных решений 86

Эквивалентная линеаризация нелинейных колебательных систем 93

Нелинейные колебательные системы с медленно меняющимися параметрами 107

Глава II. Метод фазовой плоскости 116

Траектории на фазовой плоскости.Особые точки 116

Метод Льенара 133

Релаксационные колебательные системы 144

Метод А. А. Дородницына для уравнения Ван-дер-Поля . . . .148

Глава III. Влияние внешних периодических сил 155

Асимптотические разложения в «нерезонансном» случае . . . .155

«Резонансные» случаи 170

Воздействие синусоидальной силы на нелинейный . вибратор . .185

Воздействие синусоидальной силы на нелинейную систему с характеристикой, составленной из прямолинейных отрезков 198

Параметрический резонанс 209

Воздействие периодических сил на релаксационную систему . .221

Воздействие «периодических» сил на нелинейные системы с медленно меняющимися параметрами 232

Глава IV. Одночастотные колебания в нелинейных системах со многими степенями свободы 247

Собственные одночастотные колебания в системах со многими степенями свободы 247

Собственные одночастотные колебания в системах со многими степенями свободы, описываемые системой дифференциальных уравнений второго порядка 259

Влияние внешних периодических сил на одночастотные колебания в системах со многими степенями свободы 270

Исследование одночастотных колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы при наличии медленно меняющихся параметров 281

Глава V. Метод усреднения . . " 297

Уравнения первого и высших приближений в методе усреднения 297

, Случай быстро вращающейся фазы 315

Глава VI. Обоснование асимптотических методов 327

Обоснование метода усреднения 327

Преобразование основной системы уравнений 332

Некоторые свойства решений преобразованных уравнений в окрестности точек равновесия и замкнутых орбит 355

Соответствие между точными и приближенными решениями основного уравнения на бесконечном интервале .379

Периодические и почти периодические решения 386

Литература 407

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящее издание этой книги по сравнению с первым изданием, вышедшим в 1955 г. под тем же названием, имеет следующие отличия.

Систематизирован и облегчен ряд разделов, связанных с методом гармонического баланса. Заново переработан параграф, посвященный рассмотрению «резонансных» случаев. Расширено содержание последней главы, посвященной вопросам математического обоснования асимптотических методов.

Изложение книги дополнено новой главой, посвященной рассмотрению одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы, а также более подробным изложением метода медленно меняющихся параметров, который в настоящее время весьма широко используется на практике.

Кроме того, в настоящее издание внесены различные более мелкие дополнения, уточнения и исправления, о которых мы не упоминаем.

В связи с изменением объема книги авторы несколько изменили также принятую ранее нумерацию глав и параграфов.

При подготовке второго издания авторы стремились учесть ценные замечания, сделанные им различными лицами, которым они выражают свою признательность.

Авторы также благодарят аспиранта О. Б. Лыкову за помощь при подготовке к печати настоящего издания.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В настоящее время вопросы нелинейных колебаний привлекают к себе большое внимание в самых различных областях техники и физики.

Весьма эффективным средством для исследования нелинейных колебаний являются методы асимптотических разложений по степеням малого параметра. С их помощью в большом числе практически важных случаев удается получить сравнительно простые расчетные схемы и детально выяснить характер протекания колебательного процесса.

В связи с этим чувствуется потребность в книге, в которой соответствующая методика была бы изложена в возможно простой форме, не требующей от читателя большой математической подготовки. Выпущенная в 1937 г. книга Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова «Введение в нелинейную механику», посвященная как раз этим вопросам, в настоящее время является библиографической редкостью, к тому же разработанные ее авторами методы получили теперь значительное развитие. В связи с этим настоящая книга и предлагается вниманию читателя.

Ее основной целью является изложение метода асимптотических разложений по степеням малого параметра в их современной форме применительно к задачам нелинейной механики.

Поэтому рассматриваемые в ней примеры имеют в основном иллюстративный характер, и книга никоим образом не претендует на сколько- нибудь полный охват проблем теории нелинейных колебаний и рассматриваемых в ней физических явлений.

Книга состоит из введения и пяти глав.

В главе первой рассматриваются собственные колебания в системах с одной степенью свободы, близких к линейным.

Глава вторая содержит основные элементарные сведения метода фазовой плоскости. Рассмотрены также свободные колебания в системах релаксационного типа. Для понимания вопроса о переходе к разрывной трактовке релаксационных колебаний здесь изложены основные положения метода большого параметра, разработанного А. А. Дородницыным.

Глава третья посвящена исследованию колебательных систем, находящихся под воздействием внешних периодических сил. ’

В главе четвертой излагаются методы усреднения, с помощью которых можно рассматривать системы со многими степенями свободы.

Эти четыре главы рассчитаны на читателя, знакомого с математикой в объеме нормального курса втуза.

Глава пятая предназначена для математиков, интересующихся вопросами теории дифференциальных уравнений с малым параметром. В ней рассмотрены вопросы обоснования асимптотических методов и установлен ряд теорем о существовании и устойчивости периодических и почти периодических решений.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение колебательных процессов имеет основное значение для самых разнообразных разделов механики, физики и техники. Вибрации сооружений и машин, электромагнитные колебания в радиотехнике и оптике, автоколебания в системах регулирования и следящих системах, звуковые и ультразвуковые колебания — все эти, казалось бы, различные и непохожие друг на друга колебательные процессы объединяются методами математической физики в одно общее учение о колебаниях.

Следует заметить, что с развитием науки и техники быстро возрастает и роль учения о колебаниях. Не говоря о таких дисциплинах, как радиотехника и акустика, которые полностью «оккупированы» учением о колебаниях, возьмем, например, хотя бы машиностроение. Еще не так давно изучению колебаний здесь не придавалось особого значения, и расчеты на прочность велись на основе статических представлений о зависимости деформаций от нагрузок. Однако вместе со стремлением к увеличению числа оборотов и уменьшению габаритов при переходе к скоростному машиностроению пренебрегать ролью колебаний и здесь стало уже невозможно. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок из-за возбуждения колебаний, сделали необходимым для конструкторов и инженеров тщательное исследование возможных вибраций узлов машины и оценку их интенсивности.

Истоки современного учения о колебаниях мы можем ясно заметить в классической механике времен Галилея, Гюйгенса, Ньютона в задаче о движении маятника. В трудах Лагранжа имеется уже сформировавшаяся теория малых колебаний. При дальнейшем развитии она получила название теории линейных колебаний/ т. е. колебаний, характеризуемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами как однородными, так и со свободными членами, являющимися известными функциями времени.

В трудах ряда ученых линейные дифференциальные уравнения стали мощным орудием исследования. Так, А. Н. Крылов и его ученики, развивавшие теорию линейных колебаний, с успехом применяли ее к решению проблемы о качке корабля, к теории гироскопа, к задачам артиллерии.

Простота основных принципов теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффипиентами обусловила большую разработанность теории линейных колебаний, общность формулировок ее законов и их физическую наглядность. Такие основные понятия этой теории, как собственная частота, декремент затухания, резонанс, нормальные вибраторы и т. д., приобрели самую широкую популярность и явились незаменимым средством исследований почти во всех разделах физики и техники. Свойство линейности дифференциальных операторов, интерпретируемое как принцип суперпозиции колебаний, факт перехода гармонических функций времени при применении этих операторов в гармонические же функции с той же частотой позволили сводить исследование влияния

произвольных приложенных сил на линейную колебательную систему к исследованию влияния сил простейшего типа, гармонически зависящих от времени. Тем самым выработался «спектральный» подход к колебательным процессам, получивший громадное значение и вне теории колебаний в собственном смысле.

Техника расчета конкретных линейных колебательных систем при стимулирующем влиянии электротехники обогатилась созданием так называемого символического метода и его различных вариантов, например метода комплексных амплитуд. Основная его идея состоит в том, что, поскольку оператор дифференцирования в комбинациях с постоянными коэффициентами подчиняется таким же законам дистрибутивности, ассоциативности, коммутативности, как и обычные числа, то можно заменить оператор дифференцирования по времени некоторым символом и формально привести систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к линейным алгебраическим уравнениям. Решая их, мы получаем «символическое решение», которое надлежит затем раскрыть, пользуясь определенной рецептурой.

В случае колебательных систем с бесконечным числом степеней свободы (или, как говорят еще, с распределенными параметрами), описываемых уравнениями в частных производных, где, кроме дифференцирования по времени, содержится также дифференцирование и по другим независимым переменным, символический метод приводит к уравнениям с меньшим числом переменных, что уже представляет весьма существенное упрощение.

После основополагающих работ Хевисайда символический метод стал с успехом применяться главным образом в электротехнике для решения многочисленных задач. Однако он долгое время вызывал сомнение со стороны математиков в отношении его законности и обоснованности. Лишь с 20-х годов настоящего столетия, после работ Карсона, Дейча, Бромвича и др., математическая сторона символического метода начала существенно проясняться, связываясь с преобразованиями Лапласа и мощными методами теории функций комплексного переменного.

Вопросам теории и приложения символических методов в настоящее время посвящена обширная литература.

В Советском Союзе работы в области символического метода проводились А. М. Эфросом и А. М. Данилевским, Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, А. И. Лурье и др.

Ввиду того, что теория линейных колебаний по указанным выше при- чйнам разработана весьма детально и ее математический аппарат действует, можно сказать, почти автоматически, исследователи стремились изучаемые ими колебательные процессы по возможности подводить под линейные схемы, отбрасывая часто без должного обоснования нелинейные члены. При этом иногда совершенно упускалось из виду, что такая «линейная» трактовка может привести к существенным ошибкам не только количественного, но и принципиально качественного характера. •

На первом этапе развития учения о колебаниях лишь в отдельных случаях не пользовались -линеаризацией и рассматривали нелинейные колебания как таковые (Остроградский, Гельмгольц, Рэлей). Вместе с тем следует подчеркнуть, что уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть приложен для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным называются обычно колебания, для которых соответствующие

дифференциальные уравнения хотя и являются нелинейными, но содержат некоторый параметр г, входящий в эти уравнения так, что при нулевом значении г они вырождаются в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр г является «малым», т. е. может принимать лишь достаточно малые по абсолютной величине значения. Говоря о таком математическом аппарате, мы имеем в виду прежде всего теорию возмущений, разработанную астрономами для изучения движения планет. Здесь также приходится иметь дело с изучением движений, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. При его нулевом значении они вырождаются в уравнения, интегрируемые элементарными приемами, обычно в уравнения «задачи двух тел». Такого рода задачи, в частности знаменитая «задача трех тел», рассматривались уже при самом возникновении небесной механики, причем быстро выяснилась существенная трудность, состоящая в невозможности использования обычных разложений по степеням малого параметра для получения результатов, пригодных для изучения движения за достаточно длительный промежуток времени.

Дело в том, что обычные разложения по степеням малого параметра приводят для искомых величин, характеризующих движение, к приближенным формулам, где наряду с членами, гармонически зависящими от времени, присутствуют еще так называемые секулярные члены типа

ZmsinaZ, ZmcosaZ, (1)

в которых время I входит вне знака синуса или косинуса. Вследствие того, что интенсивность секулярных членов быстро возрастает вместе с t, даже без детального анализа погрешности ясно, что область применимости получаемых приближенных формул ограничена слишком коротким интервалом времени.

■ Эту трудность можно полностью проиллюстрировать на тривиальном примере затухающего движения, описываемого уравнением

с малым положительным параметром г. Решение этого уравнения есть х = Ce~st.(3)

Но если бы мы применили для решения данного уравнения обычный метод разложения по степеням г, то получили бы

.х = С (1-Sz + E-^-...).(4)

Останавливаясь здесь на одном, двух, трех членах, т. е. рассматривая формулы первого, второго и т. д. приближений, мы не сможем заметить по ним, что наша величина затухает при возрастании I, поскольку эти 1 ’

формулы будут применимы, лишь пока 2 < - , а за это время х не успеет заметно измениться.

Указанное свойство обычных разложений по степеням малого параметра легко также выявляется при рассмотрении метода, предложенного Пуассоном при исследовании задачи о колебаниях маятника.

Метод Пуассона сводится к следующему: пусть требуется найти решение упомянутого нелинейного уравнения, содержащего малый пара-

метр s, которое мы можем представить в виде

d2r dPd2r dP(5)(5)

d2r dP

d2r dP

(5)

(5)

Тогда решение, удовлетворяющее уравнению с точностью до величин порядка малости г"+1, ищут в виде ряда

, Ж = жо + sa-l. + е2ж2 + • • • + еПхп •(6)

Подставляя ряд (6) в левую часть уравнения (5), разлагают результат подстановки по степеням г, причем отбрасывают члены, содержащие г в степени выше и-й. После этого приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях параметра г.

Таким образом, получают систему уравнений:

Легко убедиться, однако, что применение изложенного метода приводит к появлению в решении вышеупомянутых секулярных членов.

Действительно, рассмотрим конкретное уравнение

m + ах + уж3 = 0, а > 0, у > 0,(8)

которое может быть интерпретировано как уравнение незатухающих колебаний некоторой массы т, притягиваемой к положению равновесия восстанавливающей упругой силой:

р (ж) = ах + уж3.(9)

Предположим, что характеристика восстанавливающей силы р (ж) близка к линейной.

Тогда, обозначая ^- = ш2, J-=s, образуем приближенное решение с точностью до величин второго порядка малости.

Имеем:

ж = ж0 + ®ж1,(10)

причем

+ =(и)

$1- + ^i-(12)

Из уравнения (11) находим:

ж0 = a cos (ш/Д-б),(13)

п, подставляя в правую часть (12), получаем:

-^^ + ш2ж1 = —^ a3 cos (ш/ + 6) —^ a3 cos 3 (ш1 -|- 6).(14)

Отсюда находим для гк1 следующее значение:

Ж1= — ta3 sin (“^ + 9) + ^г cos 3 («V + 9).(15)

Подставляя (13) и (15) в (10), получаем искомое решение в виде х = a cos (wZ + 6) — -^ a3t sin Qst + 9) + -^2 cos 3 ^st + 9).(16)

В найденном приближенном решении имеется секулярный член

— a3t sin (ш< + 9),

и потому колебания, представляемые формулой (16), должны раскачиваться, а амплитуда их при неограниченном возрастании t должна неограниченно возрастать, что находится в явном противоречии с характером точного решения уравнения (8), которое, как известно, выражается через эллиптические функции и имеет следующий вид:

(17)

где сп, К обозначают соответственно эллиптический косинус и полный эллиптический интеграл первого рода.

Несоответствие решения (16) действительности подтверждается еще следующим фактом.

■ Если умножить уравнение (8) на ^ и проинтегрировать, то легко найдем первый интеграл — интеграл живых сил

^"•(т^ + ^^+т11*-®-<18>

выражающий закон сохранения энергии.

Из (18) следует, что при а > 0, у > 0 ж2 не может быть больше чем — , и, следовательно, амплитуда колебании не может неограниченно

увеличиваться.

Анализируя приведенные простые примеры, мы убеждаемся в том, что изложенный способ получения приближенных решений с помощью

разложения х в ряд по степеням малого параметра г пригоден только для очень малого интервала времени.

Ряд (16) из-за присутствия секулярных членов не пригоден не только для количественного, но также и для качественного анализа поведения решения уравнения (8) на всей действительной оси, даже в случае, если ряд (16) сходится [см., например, первый пример — уравнение (2)].

Заметим еще раз, что наличие в разложении (16) секулярных членов пи в коем случае не означает, что уравнение (8) вообще не имеет периодических решений. Это свидетельствует только о несоответствующем выборе разложения.

Проиллюстрируем сказанное следующим простым примером. Рассмотрим функцию

'sin (ш-I-s) г,(19)

при малых г и любых со и t мы можемпри малых г и любых со и t мы можем2 тс которая имеет период ;

при малых г и любых со и t мы можем

при малых г и любых со и t мы можем

ее разложить в ряд

(20)(20)е2^2Е3/3

(20)

(20)

sin (со -|- з) £ = sincoZ + at cos ш<^j- sin rot —■ "ypcos “^ H

Рассматривая правую часть (20), трудно установить ее периодичность ввиду наличия секулярных членов.

Совершенно такой же характер имеет и упомянутая трудность вековых членов в теории возмущений. Для ее преодоления после трудов Лагранжа и Лапласа был предложен ряд эффективных методов. Правда, степенные ряды по степеням малого параметра, к которым они приводят, являются, как правило, расходящимися, но тем не менее приближенные формулы, получаемые здесь, если ограничиться некоторым фиксированным числом членов т=1, 2, 3,..., оказываются весьма пригодными для практических расчетов. Дело в том, что ряды эти являются асимптотическими в том смысле, что погрешность m-го приближения пропорциональна (т-у1)-й степени малого параметра s. Поэтому для фиксированного т = 1, 2, 3, ... погрешность будет сколь угодно мала при достаточно малых значениях г. Разумеется, увеличивая неограниченно тп, мы не получим вообще сходимости при т-^со, но ее отсутствие несущественно для практических расчетов, поскольку на практике определение коэффициентов при последующих степенях з столь быстро усложняется, что фактически могут быть использованы приближения лишь первого, второго, вообще очень невысокого порядка, а их применимость всецело обусловливается свойством асимптотичности .

Упомянутые асимптотические методы оказались весьма эффективными в небесной механике и были затем перенесены в квантовую механику. Следует, однако, подчеркнуть, что эти методы были разработаны специально для консервативных динамических систем, описываемых каноническими уравнениями, и не могли быть без принципиального обобщения применены для изучения большинства рассматривавшихся нелинейных колебательных систем, поскольку эти последние являются неконсервативными, содержа источники как притока энергии, так и ее поглощения.

Кроме аппарата теории возмущений, был разработан математический аппарат, не связанный специально с консервативными системами. Здесь прежде всего следует указать на теорию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, созданную А. М. Ляпуновым, и на локальную теорию периодических решений Ляпунова — Пуанкаре. В этой последней рассматриваются общие нелинейные дифференциальные системы, содержащие малый параметр г, таким образом, что при s = 0 они обладают периодическими решениями, и устанавливаются явные критерии существования и устойчивости периодических решений при достаточно малых значениях г#=0. Методы Ляпунова и Пуанкаре имеют перед обычными методами, теории возмущений то существенное преимущество, что являются методами, строго обоснованными, пригодными не только для количественного, но также и для качественного исследования.

Хотя, как видно из сказанного, математический аппарат, который можно было бы применить для изучения нелинейных колебаний, уже существовал, он не был, однако, систематически использован в этой области примерно до начала 30-х годов настоящего столетия. Не была также раскрыта его глубокая внутренняя связь с проблемами нелинейных колебаний.

Впервые методы Ляпунова — Пуанкаре были применены к систематическому исследованию нелинейных колебаний, начиная с 1929 г., советской школой физиков, связанной с именами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, А. А. Витта. ,

Здесь следует отметить, что сами нелинейные колебания приобрели особую актуальность и стали вызывать к себе усиленный интерес лишь

с 20-х годов в связи с быстрым развитием радиотехники после появления электронной лампы. Такие проблемы, как проблема устойчивой генерации незатухающих колебаний, трансформации частоты, принудительной синхронизации, модуляции ит.д., могли быть решены лишь с помощью введения в колебательные системы нелинейных элементов, поскольку в чисто линейных колебательных системах не могут существовать установившиеся колебательные режимы, не зависящие от начальных условий; при действии внешних гармонических сил с некоторой частотой <о возбуждаются вынужденные колебания лишь с той же частотой <о и т. п. Электронные лампы оказались чрезвычайно гибким и удобным средством для-создания соответствующих нелинейных элементов.

Только после появления многочисленных исследований, связанных с проблемами упомянутого типа, стало физически ясным то глубокое, принципиальное отличие механики нелинейных колебаний от механики линейных колебаний, которое полностью сохраняется даже при рассмо-. трении слабо нелинейных колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями, отличающимися от линейных с постбянными коэффициентами лишь наличием весьма малых членов.

Представим себе, что система настолько близка к линейной, что колебания в течение одного периода имеют форму, весьма близкую к гармонической. Однако если рассматривать эти колебания на большом интервале времени по сравнению с периодом колебания, то уже существенно будет проявляться влияние даже малых отклонений системы от линейной, выражающееся в наличии малых нелинейных членов в дифференциальных уравнениях.

Так, например, в системе могут присутствовать источники и поглотители энергии, которые производят и поглощают весьма малую работу за один период колебаний, но при длительном их действии эффект, производимый ими, может накапливаться и оказывать существенное влияние на протекание колебательного процесса, на его затухание, раскачивание и устойчивость. Аналогично нелинейность квазиупругой силы будет при длительном воздействии оказывать влияние на фазу колебаний и т. п.

Таким образом, малые нелинейные члены могут оказывать как бы коммулятивное действие.

Подчеркнем еще, что из-за нелинейности нарушается принцип суперпозиции, и отдельные гармоники колебаний вступают во взаимодействие между собой, вследствие чего делается невозможным индивидуальное рассмотрение поведения каждого гармонического слагающего колебаний в отдельности.

Совершенно естественно, что наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью, поскольку к ним в той или иной форме можно применять методы теории возмущений.

Исследование же системы с большой нелинейностью является с математической точки зрения весьма трудной проблемой, требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае.

Более или менее исследованными, и то лишь с качественной стороны, являются колебательные системы с одной степенью свободы, находящиеся под воздействием сил, не зависящих от времени.

Для систем же, слабо нелинейных, описываемых упоминавшимися ранее дифференциальными уравнениями с малым параметром при нелинейных членах, имеется теперь уже ряд достаточно общих методов, применимых ко многим типичным классам колебательных систем, часто встречающимся на практике»

Одним из первых таких методов явился метод Ван-дер-Поля. В своих исследованиях Ван-дер-Поль рассматривал главным образом уравнения вида

_./(„, ^) (21)

с малым положительным параметром г. При этом обычно полагалось (уравнение Ван-дер-Поля):

та

При известной схематизации это уравнение, во всяком случае с качественной стороны, правильно описывает процессы самовозбуждающихся колебаний в электронных генераторах. .

Для получения первого приближения Ван-дер-Поль предложил особый метод «медленно меняющихся» коэффициентов, аналогичный одному из методов, применявшихся еще Лагранжем в небесной механике, а именно: он представил истинное решение в виде функции, выражающей гармонические колебания

х = a cos (wZ + <р) (23)

с медленно меняющимися амплитудой а и фазой <р. Эти последние величины должны находиться из дифференциальных уравнений с разделенными переменными

= ^ = е!Ца>, (24)

где А(а), В(а') — некоторые функции амплитуды, просто определяемые через заданное выражение / ^х, ^0. С помощью своего метода Ван-дер- Поль получил ряд важных результатов. Так, например, им были исследованы процесс установления колебаний, стационарные режимы, колебательный гистерезис и т. д.

Следует, однако, подчеркнуть, что в данной Ван-дер-Полем формулировке приближение выводилось с помощью чисто интуитивных рассуждений, и, хотя приближение это оказалось плодотворным в первый период работ в области нелинейной механики, оно не могло полностью удовлетворить запросам практики. Кроме того, оставались неясными вопросы его теоретического обоснования, пределов применимости и получения высших приближений.

Основной целью настоящей книги является изложение асимптотических методов нелинейной механики, разработанных Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Для исследования систем с медленно меняющимися параметрами изложен метод Ю. А. Митропольского. Главное внимание уделено слабо нелинейным системам с одной степенью свободы.

В конце книги некоторые из этих методов распространяются на более общие случаи.

Как мы уже говорили, системы изучаемого нами вида весьма часто встречаются на практике.

Рассмотрим поэтому ряд типичных примеров таких систем. В дальнейшем этими примерами мы будем пользоваться для иллюстрации излагаемых нами методов.

Наиболее простым примером нелинейной колебательной системы является обычный математический маятник (рис. 1). Если пренебречь трением, то уравнение, описывающее колебания маят

Рис. 1.Рис. 1.ника, имеет вид

Рис. 1.

Рис. 1.

тР -^- + mgl sin ж = 0, (25) где т — масса маятника, Z — длина, g—ускорение силы тяжести, х — угол отклонения от вертикального положения.

Для малых углов отклонения sin ж с достаточной степенью точности можно заменить через ж. В этом случае уравнение (25) может быть приведено к виду

(26)(26)S+f ж = °-

(26)

(26)

Уравнение (26) является уравнением гармонических колебаний, причем последние будут изохронными, т. е. период их Т = 2 тс j/^y не будет зависеть от начальной скорости и отклонения.

Однако для больших отклонений маятника уравнение (26) является неточным. В случае, если отклонения не превышают углов порядка одного радиана, то sin ж в уравнении (25) с достаточной сте- У пенью точности может быть заменен первыми двумя чле- \ нами разложения в ряд

\sin ж — ж—^- + . ..(27)

/Тогда уравнение (25) примет вид

IS+tO-v) = 0-(28)

Очевидно, как это будет подробно показано ниже, колебания в этом случае уже не будут являться изохронными, и ' частота их будет зависеть от амлитуды колебания:

Рис. 2.<и = ш(а).

Рассмотрим также колебания некоторого груза массы т, подвешенного на пружине (рис. 2). Пусть /(ж) —сила, которую создает пружина, растянутая на длину ж по отношению к состоянию покоя. В этом случае жесткость пружины для смещения ж может быть определена как /' (ж). Пренебрегая опять-таки силой трения, имеем уравнение движения

Tn^+f^ = O. (29)

Если жесткость пружины возрастает с увеличением смещения, то, как принято говорить, пружина имеет жесткую характеристику нелинейной восстанавливающей силы (рис. 3). Если жесткость уменьшается с увеличением смещения, то пружина имеет мягкую характеристику (рис, 4). Очевидно, что колебания груза на пружине, описываемые уравнением (29), тоже не изохронны ввиду того, что период колебания будет уменьшаться при увеличении жесткости, а эффективная жесткость

в данном случае растет с амплитудой. Аналогично в случае мягкой характеристики период будет увеличиваться.

Например, в уравнении (28) восстанавливающая сила /(#) = = mglQx—^-^ обладает мягкой характеристикой и, следовательно, период колебаний будет возрастать с увеличением амплитуды.

Приведем теперь пример нелинейной электрической колебательной системы.

Для этого рассмотрим колебательный контур, состоящий из самоиндукции L, железного сердечника и емкости С (рис. 5). Пусть

Ф —магнитный поток, проходящий сквозь катушку. Тогда уравнение для рассматриваемого контура можно написать в виде

(30)(30)й2Ф i

(30)

(30)

где г —сила тока. Для определения зависимости между силой тока и индуцируемым потоком в катушке при наличии железного сердечника воспользуемся следующей общепринятой формулой:

1 = аФ-ЬФ3,(31)

где а > 0, Ъ > 0.

Тогда, - подставляя (31) в (30), получим следующее нелинейное уравнение:

^ + ^(аф_6фз) = 0,(32)

для которого восстанавливающая сила также имеет мягкую характеристику.

В рассмотренных выше колебательных системах не принимались во внимание силы трения, вызывающие затухание собственных колебаний.

Как известно, законы механического трения, вообще говоря, весьма слабо исследованы.

На практике обычно пользуются следующими законами трения:

Сила трения пропорциональна скорости (при колебаниях в воздухе с небольшими скоростями).

Сила трения пропорциональна квадрату скорости (при колебаниях в жидкой среде или в воздухе, но при больших скоростях).

Сила трения постоянна по величине, не зависит от скорости и действует в направлении, противоположном скорости, — кулоновское

трение.

Внутреннее трение, зависящее от потерь в материале при колебаниях (в пружине, в нити маятника и т. д.). В этом случае сила трения обычно выражается в виде более сложных зависимостей от смещения или скорости.

Так, например, рассматривая маятник, свободно качающийся в воздухе, и предполагая, что сила трения пропорциональна скорости, получим уравнение колебаний в виде

S + X£+^- = 0,S + X£+^- = 0,(33)(33)

S + X£+^- = 0,

S + X£+^- = 0,

(33)

(33)

где X — коэффициент пропорциональности, обычно называемый коэффициентом затухания. .

Если тело, подвешенное на пружине с восстанавливающей силой /(ж), погрузить в жидкость, то, предполагая, что сила трения пропорциональна квадрату скорости, получим следующее уравнение:

(34)(34)

(34)

(34)

1, если— 1, если1, если— 1, еслиРис. 6.Рис. 6.

1, если

— 1, если

1, если

— 1, если

Рис. 6.

Рис. 6.

здесь а — коэффициент затухания, и, кроме того, знак « 4- » следует брать dxdx

при ^ > ", а знак « —» —при "^ <0, так как сила трения всегда

направлена противоположно скорости- тела.

Предположим еще, что на это же тело, подвешенное на пружине, действует не квадратичное, а кулоновское трение.

Тогда уравнение движения будет:

m^ + AsignC^A-\-Hx) = O, •льtit у

где А — абсолютная величина силы трения и

£>о.

В качестве примера, иллюстрирующего учет сил внутреннего трения, рассмотрим вертикальные колебания некоторой массы т, подвешенной к стержню длины I сечением F и с модулем упругости Е) (рис. 6).

Предположим, что масса т может совершать только вертикальные колебания, а масса стержня, играющего в нашем случае роль пружины, незначительна по сравнению с подвешенной массой т. Тогда систему можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. При составлении дифференциального уравнения движения колеблющейся массы т будем учитывать потери энергии колебания на внутреннее рассеяние в материале стержня, массой же самого стержня будем пренебрегать.

Обозначая через х относительное удлинение стержня, получаем

уравнение в виде

ml

d^xи?

у ЕЕ

ЕЕФ (х) = О,

(37)

1 Г. С. Писаренко [36]. В его иссле- оляющий изучать влияние внутреннего и с бесконечным числом степеней свободы.

ИЛИ

^ + ш2^ + Ф^ = 0-

(38)

где ш2 = ^ —собственная частота линейной системы, ш2Ф(ж)—функция* учитывающая затухание в материале стержня, причем значение ее прй восходящем и нисходящем движении различно; в уравнении это отмечено

соответственно двумя различно направленными стрелками.

рои происходит потерярои происходит потеряТаким образом, процесс колебания рассматриваемой системы, в кото- ~~~ —— энергии на рассеяние в материале стержня,'

рои происходит потеря

рои происходит потеря

фактически выражается двумя дифференциальными уравнениями.

Будем предполагать, что отклонение зависимости между напряжением а и деформацией а: в материале стержня мало отличается от линейного закона Гука. В этом случае уравнение (38) будет близким к линейному.

Приведем также явное выражение для

функции ш2Ф(ж). Допустим, что при вертикальных колебаниях массы т, подвешенной на упругом стержне, петля гистерезиса, построенная в координатах: х — относительное удли-

нение, а —нормальное напряжение, будет симметрична (рис. 7).

В этом случае истинный модуль упругости будет переменным, и согласно гипотезе Н. Н. Давиденкова выражение для функции ш2Ф (ж) имеет следующий вид:

(39)(39)ш2Ф (ж) = - 2^1 [(а + ж)" _ 2"-1ап], ш2Ф (ж) = -^ [(а - ж)" - 2"^"],

(39)

(39)

где м и п — постоянные, определяемые экспериментально, а а — амплитуда колебаний.

В рассмотренных выше колебательных системах в некоторых случаях не учитывались диссипативные силы (силы трения), однако в действительности диссипативные силы всегда в той или иной мере воздействуют на колебательную систему, в результате чего колебания со временем затухают.

Незатухающие колебания практически могут существовать в случае* если в системе имеется некоторый источник энергии, который может компенсировать расход энергии, возникший в результате наличия диссипативных сил.

Таким источником энергии может являться периодическая сила, воздействующая на колебательную систему. Так, например, если на обычный линейный вибратор воздействует внешняя периодическая сила, имеющая одну гармонику, то мы получаем следующее уравнение движения:

(40) at at ■

согласно которому в колебательной системе будут существовать незатухающие колебания. В данном случае потери на трение, вызываемые наличием диссипативного члена X ^-, будут компенсироваться за счет энергии, поступающей извне и характеризующейся периодическим членом EsinMZ.

Однако источник энергии сам по себе может и не иметь никакой определенной периодичности, но его воздействие на колебательную систему играет роль как бы отрицательного трения, которое компенсирует обычное положительное трение, вносимое диссипативными силами..

Колебания такого типа, существенно отличающиеся от рассмотренного выше случая наличия периодического источника энергии, называются автоколебаниями.

В автоколебательных системах при известных условиях положение равновесия теряет устойчивость и возникает движение, переводящее систему в режим стационарного периодического колебания (т. е. колебания, совершающегося с постоянной амплитудой и фазой).

Для осуществления стационарного периодического режима необходимо, чтобы система состояла из трех частей: из колебательной системы; из некоторого источника энергии, управляемого колебательной системой, воздействие которого на систему компенсирует потери на трение, делает положение равновесия неустойчивым, а колебания нарастающими, и из некоторого ограничителя, переводящего эти нарастающие колебания в стационарное состояние.

Первые две части системы могут быть линейными, ограничитель же колебаний всегда является нелинейным, и поэтому любая автоколебательная система описывается нелинейным дифференциальным уравнением.

Автоколебательные системы широко распространены и имеют большое значение в физике и технике.

Для того чтобы наглядно составить себе представление о характере возбуждения колебаний в автоколебательной системе, рассмотрим колебания системы с одной степенью свободы.

Если колебания имеют малую амплитуду, то приходим к исследованию линейного дифференциального уравнения

Общее решение этого уравнения, как известно, будет:

х = ае~51 cos (wt + ср), (42)> где а и <р — постоянные интегрирования,

8=2^ («>‘

Поэтому, если X > 0, то, очевидно, амплитуда малых колебаний ае~5,1 будет затухать по экспоненциальному закону.

Если же, наоборот, X < 0, то малые колебания будут раскачиваться и их амплитуда будет возрастать по экспоненциальному закону.

Ввиду того, что амплитуда колебаний не может бесконечно увеличиваться, естественно предположить, что, начиная с некоторого момента, коэффициент затухания меняет знак и становится положительным.

. Это свойство колебательной системы можно отразить в дифференциальном уравнении колебаний, заменив. постоянный коэффициент X

на переменный коэффициент, например, следующего вида: Х=-Л+5(^)',<44)

где А > 0, В > 0.

В результате получаем уравнение вида

"^А-^вОжУ^*10-0-<45>

из которого следует, что затухание отрицательно для малых по абсолютной величине значений ^ и положительно для больших. Таким образом, колебания малой амплитуды будут раскачиваться, а большой — затухать.

Итак, мы видим, что существуют незатухающие автоколебания, к которым стремятся как колебания с малой амплитудой, так и колебания с большой амплитудой.

Уравнение (45) называется уравнением Рэлея и имеет большое значение в теории автоколебаний.

Уравнение (45) с помощью замены переменных

может быть приведено к следующему:может быть приведено к следующему:(46)(47)(46)(47)

может быть приведено к следующему:

может быть приведено к следующему:

(46)

(47)

(46)

(47)

Рис. 8.Рис. 8.

Рис. 8.

Рис. 8.

где —= = s.

У km

Уравнение автоколебаний, представленное в таком виде, называется уравнением Ван-дер-Пол я.

Приведем теперь конкретные примеры автоколебательных систем.

Рассмотрим электронный генера-

тор, схематически изображенный на рис. 8.

Пусть iL, ic, iR — соответственно токи в самоиндукции L, емкости С и сопротивлении R колебательного контура.

Обозначим через Еа постоянное напряжение в анодной цепи, Fa —полное напряжение на аноде электронной

лампы, Vg — напряжение на сетке, io — анодный • ток, М — коэффициент взаимной индукции между цепью сетки и колебательным контуром.

Согласно схеме рис. 8, пренебрегая сеточным током, имеем:

Ld!r=^Vcdt=Ri^Ea-v»'(48)

^5f = ^(49)

Ч = Ч + Ч + А *(50)

и, следовательно, можем написать дифференциальное уравнение:

Как известно, анодный ток ia является определенной функцией управляющего напряжения и = Vg + DV а, т. е.

ia = fW = fkVfl^DVa\(52)

где D— константа, называемая проницаемостью лампы. Обычно численная величина D мала по сравнению с единицей.

Подставляя (52) в (51) и принимая во внимание (48) и (49), получим: "$+Т7 + ‘‘-<[М-+(*-М17]-<53>

Введем в рассмотрение следующие величины: E0 = DEa,

V = <M-LD^.

Очевидно, V — переменная слагающая управляющего напряжения и, возбуждаемая вибрациями тока в колебательном контуре, а Ео — постоянная слагающая, возбуждаемая источником постоянного тока.

Тогда для неизвестной V из (53) получаем уравнение следующего

М^+УЦ^-^1-ЬЕ'^^(54)

Произведя замену переменных по формуле t = х V ^Е» получаем следующее уравнение для электронного генератора в безразмерной форме:

Тогда для некоторого интервала значений V можем приближенно положить:

HE^V^f^HVf'^oH^r^.(56)

Допустим, ЧТО

(M-LD)f(E9) <0,^М-ЬПМЧЕ^-^>0.

Тогда уравнение (55) преобразуется к уравнению Ван-дер-Поля:

S-s(1-^2)5+^ = o,S-s(1-^2)5+^ = o,(57)(57)

S-s(1-^2)5+^ = o,

S-s(1-^2)5+^ = o,

(57)

(57)

где введены обозначения:

VM—LD^f (Ео)-±

7=— = е, aF = х,

V LC

„2 _ -kM-LDM"^ ,^^M-LD) /' (^о)-4}

Приведем еще один пример автоколебательной системы, встречающейся в электротехнике.

Рассмотрим электрический колебательный контур (рис. 10), состоящий из емкости С, самоиндукции L и некоторого элемента с нелинейной характеристикой напряжение —ток: e = F ^ (рис. И).

Рис. 10.Рис. 10.

Рис. 10.

Рис. 10.

Тогда колебания в контуре будут описываться уравнением to$+i+CF'W",-0(58)

или, если положить, что характеристика аппроксимируется полиномом пятой степени

F ^ = Л + Bi + Di1 -V Ei8-V F i4-V Gi6,(59)

следующим уравнением:

LCd^-\-i-VC^B-V2Di-V^Ei1-V4Fi3-V5Gi4)^r = 0,(60)

для которого в зависимости от характера полинома (59) может существовать решение, соответствующее стационарному колебательному режиму.

В качестве механической автоколебательной системы рассмотрим маятник Фроуда..

Устройство этого маятника схематически представлено на рис. 12: на вал О, вращающийся с равномерной скоростью, надета муфта М, жестко связанная с маятником; трение муфты при вращении на валу

известно. Обозначим через 0 угол отклонения оси маятника от верти-

■кали (рис. 13), и — угловую скорость вращения вала, J — момент инер- . <Z9

ции маятника, /. — — момент сил трения маятника о воздух, пропор-

.циональныи угловой скорости колебании маятника -^ .

Рис. 13.Рис. 13.Кроме сил трения маятника о воздух, при составлении уравнения необходимо учесть также момент сил трения между муфтой и валом.

Рис. 13.

Рис. 13.

(61)(61)Допустим для упрощения, что этот момент 5Ш является определенной функцией F от относительной угловой скорости и (маятника относительно вала)

(61)

(61)

В рассматриваемом случае, очевидно, имеем:

^9,dt ’

J%Vr-f^F(u^<62)J%Vr-f^F(u^<62)я поэтому уравнение колебаний маятника Фроуда (идеализированного) может быть представлено в виде

J%Vr-f^F(u^<62)

J%Vr-f^F(u^<62)

•где т — масса маятника, а — расстояние от центра тяжести маятника до центра оси вала, g — ускорение силы тяжести.

Характеристика трения между муфтой и валом (61) имеет, вообще говоря, падающие участки (рис. 14), на которых

^'(у)<о.

Выберем скорость и так, чтобы и была абсциссой точки перегиба падающего участка:

F" (и) = О,

причем допустим, что

Р' (и) 4-Х < О,F" (и) > 0.

Для -^- , лежащего в известных пределах, можно положить:

F (м + 5) =F ^ + F' ^Ц1^ (S)3-(63>

Тогда, рассматривая случай малых колебаний и полагая sin9=s9, приводим уравнение (62) к уравнению Рэлея или уравнению Ван-дер-Поля.

Приведем еще один пример механической автоколебательной системы.

-У (У)-У (У)Рис. 15.Рис. 15.Допустим, что некоторое тело массы т находится на шероховатой поверхности ремня, натянутого между двумя шкивами и двигающегося

-У (У)

-У (У)

Рис. 15.

Рис. 15.

Рис. 16.

с постоянной скоростью и0 (рис. 15). Тело прикреплено к неподвижной точке при помощи пружины, упругость которой изменяется по линейному закону..

Как известно, для определенных значений v0 тело не будет находиться в состоянии покоя, а будет совершать прерывистые колебания. Это является следствием того, что сила сухого трения между телом: и ремнем — не постоянная величина, а изменяется в зависимости от скорости скольжения -^ тела относительно ремня (рис. 16). Пока тело находится в покое относительно ремня ("^" = 0^> сила трения ?^"^у^ возрастает, оставаясь в каждый момент равной силе натяжения пружины; когда эта сила достигает некоторого значения, равного критической величине силы трения, начинается движение тела относительно ремня, причем сначала сила трения будет уменьшаться при возрастании l^], а затем при достаточно большом | ^ | — увеличиваться.

Выберем начало координат в точке, в которой пружина находится в недеформированном состоянии. Тогда скорость скольжения тела можно записать в виде'

dy dx"dt ~ ~dT ~ v°’

и уравнение движения тела будет иметь следующий вид:

(64>

Если за начало отсчета принять положение тела, в котором ош> находится в равновесии при одновременном действии упругой силы

и силы трения, т. е. положение, для которого

Ф (- е0) + ^ = О,(65)

то для новой координаты z:

z = Hj?(-t'o),уравнение движения будет иметь вид

"^*р^ун-й,(бб>

где

p^^^^^-^-^^-^v

Рассмотренные выше колебательные системы достаточно близки к линейным.

В полученных дифференциальных уравнениях нелинейные члены, являясь малыми, могут рассматриваться как слабое возмущение, пропорциональное некоторому малому параметру.

Поэтому в общем случае для таких колебательных систем дифференциальное уравнение удобно записывать в виде

где правая часть содержит малые нелинейные члены ($< 1), характеризующие нелинейное трение, нелинейные добавки к восстанавливающей упругой силе, нелинейные члены, обусловливающие существование автоколебательного режима, и т. д.

Введение малого параметра е является очень удобным средством математического представления того обстоятельства, что в течение времени порядка ^ (периода колебания) форма колебаний близка к синусоидальной.■

Если говорить об общих свойствах таких нелинейных колебаний, то следует подчеркнуть, что в отличие от линейных колебаний их частоты и амплитуды могут быть переменными. Если даже пренебречь высшими гармониками и приближенно положить" .

. х = a cos 6,(68)

то при этом надо учесть, что а и 0, вообще говоря, переменны.

В нелинейных системах амплитуда колебания может изменяться в зависимости от поступления или убыли энергии в системе. В слабо нелинейных системах это изменение, естественно, очень мало, так что практически оно сказывается лишь за время Т, намного большее времени одного цикла колебания.

Рассматривая выражение мгновенной мощности, создаваемой силами, представленными в уравнении малыми возмущающими нелинейными членами, мы видим, что это выражение, являясь периодической функцией фазового угла 6, зависит также от амплитуды а.

Поскольку фазовый угол вращается с частотой ш, а амплитуда меняется достаточно медленно, то при усреднении за промежуток времени, в течение которого амплитуда еще не успеет заметно отклониться от начального значения, а фаза уже успеет сделать достаточно большое число

оборотов, члены, содержащие cosn6 и sinnS, сделаются весьма малыми, так как выражения

1 С11^

-=■ \ cos пб dt = —=- sin п9,

Т .)пюТо

(69)(69)О

(69)

(69)

1т1тТ

1

т

1

т

С1I

\ sin пб dt ==- cos nO

JпюТ[о

о

содержат Т в знаменателе.

Таким образом, мощность, развиваемая указанными силами за промежуток времени Т, будет в результате зависеть лишь от амплитуды колебания.

(70)(70)' Поэтому естественно рассматривать приближенное уравнение, определяющее ход изменения амплитуды, в следующем виде:

(70)

(70)

В дальнейшем мы убедимся, что последовательное применение тотического метода действительно приводит к уравнению именно типа.Функцию F(a) целесообразно представить в виде —5 (а) а, эффективный декремент 6 (а), подчеркивающий здесь аналогию с ными системами, в которых 6 является постоянной.Таким образом, естественно положить:da „. .ЧГ = и)^’В дальнейшем мы убедимся, что последовательное применение тотического метода действительно приводит к уравнению именно типа.Функцию F(a) целесообразно представить в виде —5 (а) а, эффективный декремент 6 (а), подчеркивающий здесь аналогию с ными системами, в которых 6 является постоянной.Таким образом, естественно положить:da „. .ЧГ = и)^’асимп-такогоасимп-такоговводя линей-вводя линей-(71)(71)

В дальнейшем мы убедимся, что последовательное применение тотического метода действительно приводит к уравнению именно типа.

Функцию F(a) целесообразно представить в виде —5 (а) а, эффективный декремент 6 (а), подчеркивающий здесь аналогию с ными системами, в которых 6 является постоянной.

Таким образом, естественно положить:

da „. .

ЧГ = и)^’

В дальнейшем мы убедимся, что последовательное применение тотического метода действительно приводит к уравнению именно типа.

Функцию F(a) целесообразно представить в виде —5 (а) а, эффективный декремент 6 (а), подчеркивающий здесь аналогию с ными системами, в которых 6 является постоянной.

Таким образом, естественно положить:

da „. .

ЧГ = и)^’

асимп-такого

асимп-такого

вводя линей-

вводя линей-

(71)

(71)

где а) (а) — «эффективная частота колебаний», a 8 (а) — «эффективное затухание», определяемое наличием в системе источников или поглотителей энергии.

В системах с трением при любых значеняих а

8 (а) > 0,

в автоколебательных же системах для некоторых значений амплитуды колебания

8(а) = 0.

Остановимся еще на одном типе колебательных систем, имеющих очень широкое распространение в природе, однако существенно отличающихся от приведенных выше автоколебательных систем с малой нелинейностью тем, что в них параметр в — большой параметр, и, в частности, рассмотрим случай е—» оо.

Колебания, описываемые уравнениями такого вида, получили название релаксационных. Это название отражает наличие двух различных и характерных стадий, на которые распадается колебательный процесс в релаксационной колебательной системе, а именно: медленное накопление энергии системой и последующая разрядка энергии, происходящая почти мгновенно после того, как достигнут некоторый критический потенциальный порог для указанного накопления энергии.

Колебательные системы релаксационного типа (г достаточно велико), так же как и рассмотренные выше системы, близкие к линейным, могут быть охвачены достаточно общими методами исследования.

В качестве примера рассмотрим релаксационные колебания, происходящие при известных условиях в цепи с неоновой лампой, составленной согласно схеме рис. 17. В этой схеме неоновая лампа N замкнута на источник постоянного напряжения Еа через сопротивление 7? и зашунтирована емкостью С. При рассмотрении этой схемы будем пренебрегать силами инерции в колебательной системе, что приведет нас в итоге к дифференциальным уравнениям не второго порядка, а первого.

Нелинейность колебательной системы, приведенной на схеме рис. 17, обусловливается неоновой лампой, для которой зависимость между напряжением v и током i не подчиняется линейному закону Ома.

При идеализации процесс изменения тока i в зависимости от изменения напряжения г протекает следующим образом: при изменении г от

напряжения v3, называемого напряжением зажигания, лампа загорается, ■ ее сопротивление резко падает, и ток скачком получает значение z3; дальнейшее увеличение г вызывает линейное нарастание тока. Если теперь, после того как напряжение достигло некоторого значения ymax>v3, начать производить непрерывное уменьшение его, ток г будет уменьшаться по линейному закону, пока г не дойдет до так называемого напряжения гашения уг. В этот момент лампа гаснет и ток I срывается, становясь равным нулю. В принятой идеализации рассмотренная зависимость графически представлена характеристикой рис. 18, состоящей из прямолинейных участков и обладающей гистерезисной петлей.

Поэтому можно положить г = 0 для погашенной лампы

и i = 1г+ д для горящей лампы. ■

Для составления дифференциального уравнения заметим, что, поскольку ток через конденсатор равен С-^- , ток в сопротивлении R будет C^ + i и, следовательно, падение напряжения на R представится равенством

л(с^-н)-Е.-,,

откуда находим:откуда находим:

откуда находим:

откуда находим:

(72)(72)dyЕа—у—Ri

(72)

(72)

~dt~ CR

' При замыкании ключа в схеме рис. 17 начинается процесс заряда конденсатора.

Так как в начальный момент напряжение на зажимах лампы равно нулю, то в течение некоторого периода времени оно будет меньше и3. В течение этого времени неоновая лампа не зажигается и, следовательно, согласно (72) имеем:

dt RC ‘6’

Если Еа > у3, то согласно уравнению (73) спустя некоторое время и достигает значения у3, лампа загорается, после чего начинается при достаточно большом значении R процесс разряда конденсатора через неоновую лампу. Для этого процесса мы имеем:

dtRC

Пусть R столь велико, что

Еа — у — Rir < 0.

Тогда у согласно (74) монотонно убывает до значения у = уг, после чего лампа гаснет и начинается опять процесс заряда конденсатора, затем снова процесс разряда через лампу и т. д.

Таким образом, в нашей схеме совершаются периодические релаксационные колебания, при которых у изменяется между уг и у3.

Уравнение колебаний, очевидно, может быть записано в виде ^ = ф(у).(75>

где Ф(у) на интервале уг<у<у3 согласно (73) и (74) имеет два значения:"

Ф (у) = ЕдС v (для у возрастающих),

Еа —у—Rir—б—(у — уг) (для у убывающих).(7^)

ф и ^- ”

3. В приведенных выше примерах колебательных систем возмущающие силы не зависели явно от времени. Эти колебательные системы были изолированы от внешних влияний, вследствие чего все действующие на систему силы зависели только от динамического состояния самой системы.

Приведем теперь типичные примеры нелинейных колебательных систем, находящихся под воздействием внешних периодических сил, и проанализируем с физической точки зрения характерные явления, могущие возникнуть в нелинейных системах в этом случае.

Начнем с рассмотрения самого простого примера — нелинейного вибратора, на который действует слабая гармоническая возбуждающая сила sE cos vZ.

Уравнение движения в этом случае запишется в виде

^-рА = в/^;г, ^^_|_е^С08^.(77)

Ввиду малости внешней силы и малости нелинейного члена колебания за один цикл будут иметь форму, близкую к гармонической:

(78)(78)х ^ acos (ш< + ф),^ як — аю sin (ш< + ф).

(78)

(78)

Амплитуды и фазы будут здесь претерпевать существенные изменения лишь за время, включающее большое количество циклов.

Рассмотрим* среднюю мощность

/о + Т

— sE cos -vi ~^~dz,(79)

<0

вносимую в систему внешней силой за время Т, в течение которого юна еще не успевает заметно изменить форму колебания. Так как внешняя сила считается малой, это время Т, в течение которого колебание приближенно является «собственным», может быть взято достаточно большим по сравнению с циклом колебания.

Подставляя (78) в выражение (79), получим среднюю мощность в виде

. а<о=Е Г cos [(м + <о) i + ф] cos [(м—ш) t—ф] "|Zo+T

Для достаточно больших Т это выражение практически отлично от нуля только тогда, когда внешняя частота достаточно близка к собственной.

Таким образом, малая возмущающая сила, действующая в течение продолжительного времени, может оказывать заметное влияние на рассматриваемый вибратор лишь в случае резонанса м^ш. Такой резонанс условимся называть «главным» или обыкновенным резонансом.

В нашем рассуждении мы исходили из чисто гармонической формы собственных колебаний.

Однако из-за наличия нелинейного члена в собственном колебании непременно будут появляться (и при отсутствии внешней возбуждающей силы) высшие гармоники.

Подставляя в (79) вместо х выражение собственного колебания, содержащее высшие гармоники с частотами гаю, и повторяя вышеприведенное рассуждение, убеждаемся в том, что рассматриваемая средняя мощность при достаточно большом Т может быть практически отлична от нуля не только при ш^м, но и при гаю^м, где п = 2, 3 и т. д. Эти дополнительные резонансы, которые можно заметить лишь в следующем приближении, при учете наличия обертонов в собственных колебаниях, будем называть резонансом деления частоты или демультипликационным резонансом.

В еще более высоких приближениях можно заметить и более сложные резонансы дробного типа

им «к тч

•обусловленные тем, что при достаточно высоком приближении в выраже-

нии ^ следует учитывать не только обертоны собственной частоты, но и (комбинационные тонЫ с частотами типа пщ^гч. ■

В рассматривавшемся случае слабо нелинейного вибратора с приложенной малой гармонической силой в первом приближении мы обнаружили лишь Главный резонанс оз % v. Однако в некоторых слабо нелинейных системах уже в первом приближении проявляются и резонансы другого типа, например резонансы деления на два.

Так, например, если рассматривать колебательную систему, жесткость которой изменяется периодически, то получаем известное уравнение Матье:,.

-^г + и2 (1 + /г cos vZ) ж = 0.(81)

Предполагая, что коэффициент модуляции частоты <о2/г мал, и считая член.

■'ш2/г cos Nt-x ,(82)

внешним возбуждением, подсчитаем выражение для средней мощности,. . Здесь уже в первом приближении имеем:,

to+т

С

А=-^г \ w^hcos Nt cos (mt + ф) aw sin (u>z 4- ф) dt ='

<0

ш3А Г cos [("v + 2ш) t + 2p] cos[("v—2d) t—2ф] 1,o+T

- L ч4-2ш—2ш J t0 ’

и, следовательно, pa бона, произведенная возмущающей силой (82)» в среднем за большой промежуток времени практически не исчезает в случае, если ч % 2<u, т. е. ш % -^- .

Таким образом, в колебательной системе, описываемой уравнением (81), мы уже в первом приближении можем обнаружить резонанс деления частоты на два.

Рассмотрим еще . влияние внешнего, гармонического возбуждения на автоколебательную систему. Для этого возьмем обобщенное уравнение В ан-дер-Пол я в виде

— е(1 — ж2)+ ж = £ sin vL(84)

Предполагая, что v не принимает значений, близких к единице, произведем замену переменных согласно формуле

.х = у -]- U sin\i,(85)

Е*•.

гДе ^=1^2-

Тогда имеем:.

^. + y = e[l-(y + ^sin^)2] [^-b^cos^J .(86)

' Проанализируем, какие резонансы могут быть обнаружены в первом приближении для данного уравнения._

Подсчитывая среднюю мощность, производимую малой возмущающей силой,■

е [ 1 — (у + U sin v£)2] [" 44 + Un cos Nt j^У'

в режиме чисто гармонического колебания

у = a cos (шг + ф).

^- = — aw sin (а)< + ф),

нетрудно заметить, что она не исчезает,^ если 2ш «к м, а также если 2м якш, причем резонанс 2ш м возникает от слагаемого возмущающей силы (87), амплитуда которого пропорциональна U, а резонанс 2м «к и — от слагаемого, амплитуда которого пропорциональна ЦЧ ■ Таким образом, если Е — величина малая, то резонанс 2<о «а м можно обнаружить во втором приближении, а резонанс 2м «к ш — только в третьем приближении.

; Уже из сделанного предварительного анализа ясно, что в случаях резонанса весьма слабые периодические возмущения могут оказывать существенное влияние на протекание колебательного процесса в течение достаточно больших интервалов времени. .

При этом в отличие от возмущений, не зависящих явно от времени, типа е/^ж, -^-^ , здесь существенную роль будут играть фазовые соотношения.

В самом деле, взяв типичную формулу (80) и положив в ней для простоты (о=м, найдем:

Ля»—^? sin ф. (88)

Итак, при sin ф < 0 энергия поступает в систему, при 8шф>0 энергия забирается из системы. Уже на этом простом примере мы видим важность фазовых соотношений в случае резонанса.

(89)(89)Поэтому приближенные уравнения, определяющие протекание колебания, должны включить не только амплитуду, но и фазу колебания, так . что вместо одного уравнения (70) мы будем теперь иметь систему двух связанных уравнений типа

(89)

(89)

^ = Ф(М).

Вопрос о фактическом определении правых частей этих уравнений применительно к первому и высшим приближениям рассмотрен в главе III. В этой главе будут изложены расчетные, асимптотический методы, подтверждающие правильность приведенных здесь предварительных рассуждений качественного характера и дающие им надлежащее развитие.

В рассмотренных выше примерах мы имели дело с колебательными системами, описываемыми уравнениями типа

т). (*» где f^yt, х, -^-^ — периодическая функция с периодом 2тс относительно yt.

В случае нелинейного вибратора мы имеем: ^t,x,^=efQx,^ + eEcoSyt.

В случае уравнения (81) (уравнение Матье):

е/ ( W, х,-^- ) = — t»2^ cos vt-х.

Следует подчеркнуть, что к уравнению такого вида сводится большое число практически важных колебательных систем.

Примером колебательной системы, описываемой уравнением (77), может являться задача о колебаниях груза единичной массы, подвешенного на пружине с нелинейной характеристикой упругости при наличии трения и находящегося под воздействием возмущающей силы e^cosW (рис. 19).

Задача о крутильных колебаниях вала, состоящего из двух масс, соединенных при помощи нелинейной упругой связи, на одну из

Рис. 20.Рис. 20.Рис. 21.Рис. 21.

Рис. 20.

Рис. 20.

Рис. 21.

Рис. 21.

которых действует синусоидальный крутящий момент F (t) = еЕ cos tt (рис. 20), приводится к уравнению вида

JxJ^Wi-VJMHfC^^Ecos.t,(91)

также принадлежащему к уравнению типа (77), Здесь Jx и J2 —моменты инерции масс, 6 = 6,— 62 — угол скручивания, f (^"^ — функция скорости, учитывающая влияние трения.

Задача о колебаниях маятника, находящегося под воздействием внешней периодической силы, также приводится к уравнению типа (77) и т. д.

К уравнению типа Матье (81) сводится, например, задача о поперечных колебаниях шарнирно закрепленного стержня, находящегося под воздействием продольной пульсирующей силы F (t) = еЕ1 Cos vZ.

В этом случае получаем уравнение

<92>

где введены обозначения: EJ — жесткость стержня, Z — длина стержня (рис. 21).

Уравнение более общего типа, чем уравнение Матье, имеет место при рассмотрении нелинейного вибратора, в котором некоторые пара-

метры, например собственная частота соответствующей линейной системы, периодически изменяются.

Тогда имеем уравнение вида

^+ш2(1+^51п^)ж = г/^ж, ^.(93)

В качестве примера рассмотрим колебания в контуре, состоящем из обычной самоиндукции L, катушки с характеристикой (магнитный поток —ток) вида

Ф = Ф(г),

малого омического сопротивления R и переменной емкости

С = С0(1 + р sin vi).

(рис. 22).Ijr]

Тогда полный поток магнитной индукции JСI

в контуре будет:jg<1и

,Лг4-Ф(г),RZJ о

и, таким образом, имеем следующее уравнение: SRг

t‘\ЛАЛЛ

Щ1+2«1 + да + ^ ; Л = о, (94) р„ 22 о

или, вводя в качестве неизвестной заряд на обкладках конденсатораt

?= ^ idt,о

получим:

Предполагая, что самоиндукция L достаточно велика по сравнению с «нелинейной самоиндукцией»:

ь^ф'^;

и, кроме того, коэффициент р, характеризующий «глубину изменения» емкости, достаточно мал, можем уравнение (95) с точностью до величин второго порядка малости привести к виду

d^q !2/4•R Г лJ'Xdq „ У dt

^^(l-psin^^ -z(l+(96)

1

где <o = -т= .

V LC

В качестве примера автоколебательной системы, находящейся под воздействием внешнего синусоидального возбуждения, рассмотрим регенеративный приемник, схематически приведенный на рис. 23.

В этом случае получаем уравнение

«£+«с;в+»-ь<97>

причем

— характеристика лампы.

Так как

V8 = MTdl^E0sm.t,(99)

где Мт = М — DL, то подстановкой

z, = i — т™ cos "<t(100)

уравнение (97) можно привести к виду

++(101)

ututх^у

где „Е0С V VLCVt — iyA-R1^

Уравнение (101) принадлежит к типу уравнения (93), а при помощи подстановки

G = 7 + 7,Д^ cos <w + ^’ '<102)

где ш2'=-^т , приводится к виду (86).

Рассмотрим еще некоторые примеры, приводящиеся к более сложным уравнениям, чем уравнения типа (67) или (90).

В качестве первого примера рассмотрим задачу о колебаниях маятника с переменной длиной,

Пусть m обозначает массу маятника, g —ускорение силы тяжести, & — угол отклонения от вертикального положения, 1 = Ц1) — длину маятника, зависящую от времени. Тогда, пренебрегая силой трения, получаем уравнение

Рис. 23.[ m/2 (Z)^l+g/(Z) sinд =0.(103)

Рассмотрим еще работу отражательного клистрона в режиме сверхрегенеративного усиления. Пусть Ge = Gr + GH — суммарная активная проводимость; GR — проводимость, характеризующая потери в резонаторе; Сд — проводимость, характеризующая нагрузку; Ge — активная часть электронной проводимости; Е (t) — э. д. с. сигнала; ^ (Z)—переменное напряжение суперизации.

Тогда уравнение, характеризующее работу клистрона, будет иметь следующий вид:

^ .4- Р (Ge - Ge) § + и = Е (Z) sin (1 + $ ^ ^t,(104)

Т 21

где р = «>0£, < =•

Если в уравнениях (103) и (104) коэффициенты, являясь переменными, изменяются медленно, что мы будем обозначать в дальнейшем

в виде зависимости не от I, а от т, где % = at, s —малый параметр, то эти уравнения будут принадлежать к уравнениям вида

4{«(<}+<ф).г-./(Дг.£),(105)

ИЛИ

Е (т 5} +с (х) ж=s/ ("’ 6'ж’ ^) ’(106)

где т = е(, ^Чг).

К уравнениям типа (105) или (106) приводятся многие задачи физики и техники, как, например, задача о прохождении через резонанс, исследование неустановившихся процессов в колебательных кон

Рис 24,Рис 24,турах, вопросы частотной модуляции, ряд задач из теории ускорительных устройств и т. д.

Рис 24,

Рис 24,

До сих пор мы рассматривали воздействие внешних периодических сил на колебательные системы, близкие к линейным. Можно, однако, также рассмотреть вопрос о влиянии малых периодических возмущающих сил и на релаксационные колебательные системы, описываемые, например, уравнением типа

= Ф (ж) 4- sEcos 'ft, (107)

где, как и в случае уравнения (75) свободных релаксационных колебаний, Ф (ж) представляет определенную на интервале (а,6) двузначную функцию.

В частности мы получим уравнение (107), если в ранее рассматривавшейся схеме генератора релаксационных колебаний включим последовательно с постоянным напряжением Е^ переменное гармоническое напряжение гЕч cos'ft.

Так, для схемы, приведенной на рис. 24, имеем, очевидно:

di dtdi dt= Ф(0 += Ф(0 +еЕч Cos 'llzеЕч Cos 'llz(108)(108)

di dt

di dt

= Ф(0 +

= Ф(0 +

еЕч Cos 'llz

еЕч Cos 'llz

(108)

(108)

Ввиду того, что в свободных релаксационных колебаниях существенную роль играют обертоны вплоть до весьма большого порядка, мы видим, анализируя выражение

т

— \ sE4 cos ft — dt,о

что в системе имеют место резонансы типа деления частоты

v ,п

где п может быть достаточно большим числом.

Поэтому резонансы деления частоты на большое число удобнее всего наблюдать на релаксационных системах.

ГЛАВА I

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ,БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ

§ 1. Построение асимптотических решений

Перейдем к изложению метода построения асимптотических приближений, в первую очередь для случая колебаний, определяемых дифференциальным уравнением вида

(г, А),(1Л)

где з —малый положительный параметр.

К правильной формулировке этого метода мы можем прийти, исходя из физических представлений о характере рассматриваемого колебательного процесса.

Так, при отсутствии возмущения, т. е. при з = 0, колебания, очевидно, будут чисто гармоническими

ж = <z cos фс постоянной амплитудой и равномерно вращающимся фазовым углом:5Г = °- $ = ш (Ф = ^ + 6)

(амплитуда а и фаза 9 колебания будут постоянными по времени величинами, зависящими от начальных условий).

Наличие нелинейного возмущения (з + 0) приводит к появлению в. решении уравнения (1.1) обертонов, обусловливает зависимость мгно- ' „й\>

венной частоты -^ от амплитуды и, наконец, может вызвать систематическое увеличение или уменьшение амплитуды колебаний в зависимости от притока или поглощения энергии возмущающими силами.

Все эти эффекты возмущения, очевидно, исчезают в предельном случае (з = 0).

Принимая все это во внимание, будем искать общее решение рассматриваемого уравнения (1.1) в виде разложения)

ж = а cos ф H-e^ (а, ф) + $2м2 («, ф) + £3«з (а, ф) + ...,(1.2)

в котором и^а, ф), и, (а, ф), .. . являются периодическими функциями угла ф с периодом 2я, а величины а, ф как функции времени опреде-

ляются дифференциальными уравнениями:

-^ = аЛ1 (а) + =М2 (а) + ...,

d-bС1*3)

Итак, перед нами возникает задача подбора соответствующих выражений для функций ^(а, ф), м2(а, ф), . .^ЛДа), В1(а), Л2(а), В2(а),... таким образом, чтобы выражение (1.2), в которое вместо а и ф будут подставлены функции времени, определенные уравнениями (1.3), оказалось бы решением исходного уравнения (1.1).■

Как только эта задача будет решена и будут найдены явные выражения для коэффициентов разложений, стоящих в правых частях (1.2), (1.3), вопрос об интегрировании уравнения (1.1) сводится к более простому вопросу об интегрировании уравнений (1.3) с разделяющимися переменными, допускающему исследование с помощью известных элементарных приемов.

Как мы увидим далее, определение коэффициентов указанных разложений не представляет принципиальных затруднений, однако ввиду быстрого усложнения формул практически эффективно могут быть найдены обычно лишь два-три первых члена.■

Останавливаясь в наших разложениях на этих членах, т. е. полагая

ж = а со8ф + вМ1(<1, ф) + $2и2(а, ф)+.. .-he^^, ф)(1.4)

(т = 1,2, ...) и

^ = зЛ(а)+еМ2(а)+... + г"1Лп1(а),]

J = «> + гВх (а) + ^ («)+...+ г™Вт (а), |(1

мы сможем получить приближения первого, второго и т. д., вообще небольшого, порядка, и потому практическая применимость метода определяется не свойствами сходимости сумм (1.4); (1.5) при т—>оо, а их асимптотическими свойствами для данного фиксированного т при а—*0. Требуется лишь, чтобы при малом г выражение (1.4) давало бы достаточно точное представление решения уравнения (1.1) для достаточно длительного интервала времени. Поэтому мы не будем здесь изучать проблему сходимости при т —» оо и условимся рассматривать разложения (1.2), (1.3) как формальные разложения, необходимые для построения асимптотических приближений (1.4).

Иначе говоря, доставим задачу более осторожно, сформулировав ее как задачу о нахождении таких функций:.

иг(а, ф), ^'(а, ф), ..., А (а), Аг (а), ..., Вх^, Вг (а), ...,(1.6)

чтобы выражение (4.4). в котором функции времени а, ф определяются «уравнениями m-го приближения» (1.5), удовлетворяло уравнению (1.1) с точдостью до величин порядка малости sTn+J.

v Заметим, что как раз в рассматриваемом случае уравнения (1.1) можно было бы устанбвить сходимость разложений (1.2), (1.3) при весьма общих условиях, наложенных на функцию /Гж, ^-\ Поскольку, однако,

в дальнейшем придется иметь дело со случаями, в которых аналогичные разложения заведомо расходятся, мы не будем связывать изложение нашего метода построения асимптотических приближений с доказательствами сходимости и потому всегда, без дальнейших оговорок, будем придавать рядам, расположенным по степеням малого параметра, вышеуказанный формальный смысл.

Скажем еще несколько слов об оценке погрешности. Из того факта, что получаемое приближенное решение удовлетворяет уравнению (1.1) с ошибкой порядка зт+1, с помощью обычного мажорационного приема устанавливается, что отклонение приближенного решения от соответствующего точного (при согласовании начальных условий) будет ограничиваться величиной порядка sm+1Z и, таким образом, это отклонение остается малым при сколь угодно больших значениях at, если только само з достаточно мало. Здесь имеем основное отличие от приближенных формул (6), рассматривавшихся во введении, которые были применимы только при малых значениях at, т. е. только на таком интервале времени, в течение которого амплитуда колебаний не успеет заметно отойти от своего начального значения..

Заметим, что вопросы строгого обоснования асимптотических методов представляют особую, чисто математическую проблему, имеющую значение для теории дифференциальных уравнений с малым параметром.

Мы сочли поэтому целесообразным отнести обсуждение их в главу VI, являющуюся математическим дополнением к основному тексту книги. Здесь же сосредоточим внимание на проблеме фактического построения приближенных решений и применении их к исследованию конкретных примеров, причем на ряде примеров, для которых известны точные решения, будет проиллюстрирована эффективность метода и точность приближенных формул. .- •

Прежде чем перейти к проблеме построения приближенных решений, заметим, что задача определения выражений (1.6) содержит некоторый произвол..

В самом деле, допустим, что найдены какие-то выражения для этих функций. Беря после этого произвольные функции

31(a), «2 («), • ■ •, Ма), Ма), ■ • ■

И совершая в (1.2), (1.3) замену переменных

а = b + 304 (Ь) 4- ®% (6) + • • ■,

Ф = ? + S?1 W + s2?2 W получим:■

х = b cosy+ з [04 (6) cos tp — b^ (b) siny + ит (6, у)] + е2..., .

=.л,т+==[ "-siw-^д,w+л, (L7) £=„+.в1(б)+.= [^^м»)-^Л(»)+в,(^ j

Как видно из (1.7), мы опять пришли к формулам типа (1.2), (1.3), только уже с измененными выражениями коэффициентов (1.6). Поэтому для однозначности определения этих коэффициентов следует наложить на них дополнительные условия, что можно сделать, вообще говоря, с известным произволом. В качестве этих дополнительных условий

примем условия отсутствия первой гармоники в выражениях и^ ^а, ф), «2(а, ф),... Иначе говоря, будем так определять эти периодические функции фазового угла, чтобы выполнялись равенства

2тс2 тс,

(1.8)(1.8)^ uv (а, ф) cos ф с(ф = О, ^ м2 (а, ф) cos ф t/ф = 0,... оо

(1.8)

(1.8)

2 тс2тс(

^ и1 (а, ф) sin ф с?ф — 0, ^ м2 (а, ф) sin ф с?ф = 0,. . . IооJ

С физической точки зрения принятие этих условий соответствует выбору в качестве величины а полной амплитуды первой основной гармоники колебания.

После сделанных предварительных замечаний перейдем к поставленной задаче о нахождении подходящих выражений для (1.6) с учетом дополнительных условий (1.8).

Дифференцируя правую часть (1.2), находим:

ж = a cos ф + smj (а, ф) + з2м2 (а, ф) + .. .,

dxИdxИ8иг 2

dxИ

dxИ

8a “

а81ПФ + гаф+£а81ПФ + гаф+£

а81ПФ + гаф+£

а81ПФ + гаф+£

d2xd2a f,. 8иг, 2 du21

COS ф + г1 + 4+ . . .

dt2dt2 |T da daJ 1

da с?фdt dtZ Я Ь X 2da с?фdt dtZ Я Ь X 2ПбШф + з^1- 2Г 8а2° с• ! ,52“1-81Пф + г--—т-т 8 аПбШф + з^1- 2Г 8а2° с• ! ,52“1-81Пф + г--—т-т 8 а,2,22 ^2. r 8a84j2 ^2. r 8a84j. 82иг „ асовф + з ^ + s2. 82иг „ асовф + з ^ + s282игУф282игУф2JJ(1.9)(1.9)

da с?ф

dt dt

Z Я Ь X 2

da с?ф

dt dt

Z Я Ь X 2

ПбШф + з^1- 2

Г 8а2° с

• ! ,52“1

-81Пф + г--—т-

т 8 а

ПбШф + з^1- 2

Г 8а2° с

• ! ,52“1

-81Пф + г--—т-

т 8 а

,2

,2

2 ^2. r 8a84j

2 ^2. r 8a84j

. 82иг „ асовф + з ^ + s2

. 82иг „ асовф + з ^ + s2

82игУф2

82игУф2

J

J

(1.9)

(1.9)

следующие величины:следующие величины:Учитывая уравнения (1.3), можем найти

следующие величины:

следующие величины:

S-GS+-,t+-0(--4-+,,-4-+'-)=‘1-4>^

} (1.10)} (1.10)( ж “ <u*+*,Д=)2 = »ч;,

} (1.10)

} (1.10)

я $ - («Л++ ■ ■.) (« + .s,+.=в2 +...) =

= sAox-P г2 (Л2'Р 4- А.ВЛ 4- г3. . .,

(3)4,.+iJ,51+3 =

= <О2 + г2я>в1 + г2 (В= 4- 2<оВ?) ч- е3. ..

Подставив (1.3), (1.10) в (1.9) и располагая результат по степеням параметра е, найдем:

^- = — аш sin ф + е {F cos ф — аВх sin ф + ш -^ | + 4-е2 { Л2 cos ф — а52 sin ф 4-F ^-4-^ ^ 4-ш ^| + г3

= — аш2 cos ф + е I — 1 dPт I1 да= — аш2 cos ф + е I — 1 dPт I1 да4j sin ф — 2<ваВ1 cos ф + ш2 ™^ аВ^ — 2ша52^ cos. ф —4j sin ф — 2<ваВ1 cos ф + ш2 ™^ аВ^ — 2ша52^ cos. ф —(1.11)(1.11)

= — аш2 cos ф + е I — 1 dPт I

1 да

= — аш2 cos ф + е I — 1 dPт I

1 да

4j sin ф — 2<ваВ1 cos ф + ш2 ™^ аВ^ — 2ша52^ cos. ф —

4j sin ф — 2<ваВ1 cos ф + ш2 ™^ аВ^ — 2ша52^ cos. ф —

(1.11)

(1.11)

— ^2шЛ2 + 2А1В1 + А^ ^ sin ф +

. 9 , дгиг 9 „ дгиг 2 d2u2 I I 3

+ 2ш Л1 а^ф + 2ш51 ip-+ 'SF J +

откуда следует, что левую часть уравнения (1.1) можно представить в виде■

^- 4- ш2ж = е { — 2™^! sin ф — ЗшаЯ, cos ф 4- ш2 ^* 4- ш2^ J 4

'4- s2 ^ А -^ — аВХ — 2ша52^ cos ф —

■ -(2шЛ24-2^1В14-А^а)8тф + 2шЛ1^4- 4-2ш51^4-Ш2^4-А2}4-е3(1.12)

Правую часть уравнения (1.1), учитывая (1.2) й (1.11), можем записать следующим образом: .

— аш sin ф) 4-— аш sin ф) 4-3 >.. (1,13)3 >.. (1,13)е/ (ж, ^ ^ = е/ (a cos ф, — аш sin ф) 4-е2 {а^ (a cos ф, 4- ^F cos ф — аВу sin ф 4- ш "^у^/х' (а cos ф, — аш sin

— аш sin ф) 4-

— аш sin ф) 4-

3 >.. (1,13)

3 >.. (1,13)

Для того чтобы рассматриваемое выражение (1.2) удовлетворяло исходному уравнению (1.1) с точностью до величин порядка малости em+1, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степейях е в правых частях (1.12) и (1.13) до членов ти-го порядка включительно.

В результате получим следующие уравнения:

ЭгигЭгиг^2» f д2и2Ш C"dF^2» f д2и2Ш C"dF1- ^1 ^ = /о (а, ф) 4* 2ш^! sin ф 4- 2«>аВ1 cos ф,4- а2 ^ = /1 (а, ф) -ф ДшЛ2з1п ф 4- 2юаВг cos ф,1- ^1 ^ = /о (а, ф) 4* 2ш^! sin ф 4- 2«>аВ1 cos ф,4- а2 ^ = /1 (а, ф) -ф ДшЛ2з1п ф 4- 2юаВг cos ф,(1/1^)(1/1^)

Эгиг

Эгиг

^2

» f д2и2

Ш C"dF

^2

» f д2и2

Ш C"dF

1- ^1 ^ = /о (а, ф) 4* 2ш^! sin ф 4- 2«>аВ1 cos ф,

4- а2 ^ = /1 (а, ф) -ф ДшЛ2з1п ф 4- 2юаВг cos ф,

1- ^1 ^ = /о (а, ф) 4* 2ш^! sin ф 4- 2«>аВ1 cos ф,

4- а2 ^ = /1 (а, ф) -ф ДшЛ2з1п ф 4- 2юаВг cos ф,

(1/1^)

(1/1^)

0)2 (?f + Um) = ^ ^а’ '^ + 2(йЛт sin ф + ^^ cos Ф’

где для сокращения введены обозначения:

/0 (а, ф) = / (а cos ф, — аю sin ф),

/1 (а, ф) = «i/х (а cos ф, — аа)8тф)-|-

Аа cos ф — аВт sin ф + соАа cos ф — аВт sin ф + соdzzi If// 1^J /ж, (а cos ф,dzzi If// 1^J /ж, (а cos ф,— аю sin ф) 4-— аю sin ф) 4-+ ^аВ^-Л1^)со8ф+^2Л1В1 + Л1^-а)8тф-+ ^аВ^-Л1^)со8ф+^2Л1В1 + Л1^-а)8тф-(1.15)(1.15)1 да di1 да did2u.d2u.

Аа cos ф — аВт sin ф + со

Аа cos ф — аВт sin ф + со

dzzi If// 1^J /ж, (а cos ф,

dzzi If// 1^J /ж, (а cos ф,

— аю sin ф) 4-

— аю sin ф) 4-

+ ^аВ^-Л1^)со8ф+^2Л1В1 + Л1^-а)8тф-

+ ^аВ^-Л1^)со8ф+^2Л1В1 + Л1^-а)8тф-

(1.15)

(1.15)

1 да di

1 да di

d2u.

d2u.

J

Нетрудно видеть, что fk (а, ф) есть периодическая функция переменной ф с периодом 2тс, зависящая от а; ее явное выражение известно, как только найдены выражения Л, (a), Bj^a), иДа, ф) до А-го номера включительно.

Чтобы определить Ч1(а), ВДа), Uy^a, ф) из первого уравнения системы (1.14), рассмотрим разложения Фурье для функций f0(a, ф) и иу (а, ф):

(1.16)(1.16)/о(а> Ф) = ^о («) + 2 ^W«)s n^+Ma)smn^,■71=1■

(1.16)

(1.16)

Mi (а, Ф) = у0 (а) + 2 К (а) созпф + щп (а)8шпф]. 71—1

Подставляя правые части выражений (1.16) в первое уравнение системы (1.14), получим выражение

<А0 (а) 4- У со2 (1 — и2) {ип (а) cos иф 4" ®п (м) sin п^ =

■'"71=1

= go (а) + {§1 (а) + ^а-Ву\ cos Ф 4- ^Ч (а) + ^J sin ф +

+ ^ {£п(а)с°8иф4-Ма)8тиф},

п—2

из которого, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, найдем:

gy (а) 4- 2юаВу = 0, /4 (а)-|-2<о41 = О,

(1.17)(1.17)у0 (а) =, уп (а) =- , оу (а) = —

(1.17)

(1.17)

и \ /0)2 TL \ /Ц)2 (1пл) ’ TL \ /0)2 Ц ^2^

(и = ^, о, . . .).

Таким образом, нами однозначно определены Ау (а) и В, (а), а также все гармонические компоненты функции Uy(a, ф), кроме первых Uyl.a') и Wy(a'). Однако в силу дополнительных условий (1.8) эта функция не содержит первой гармоники, поэтому

yi (а) =0, ^(а) =0 и, следовательно,

М1 ф) =1 у.(1.18)

п=2п=2•1 \ ’ Т/ Ц)2' Ц)21—п2,х

п=2

п=2

Определив полностью и^а, ф), Л3 (а) и В^а), мы тем самым в соответствии с (1.15) имеем явное выражение для ^(а, ф). Разлагая его в ряд Фурье

А (°> Ф) =(а) + S Un1’ U) cosпф + /г™ (a) sinпф}

П=1

и воспользовавшись вторым из уравнений (1.14) и условием (1.8), совершенно аналогично находим:

g™ (а) + 2waB2 = 0, /г}1’ (а) + 2а)Л2 = 0(1.19)

и

„(«) , 1 v g»’ (a)cos^+^’ (а) Sin Аф

М2Т=^ •

п=2'

Таким образом, получается процесс для последовательного однозначного определения интересующих нас величин (1.6).

Изложенный метод действительно позволяет определить

“»М)> AtAaY BnW (n = l, 2, 3, ...)

до какого угодно высокого значения индекса п и тем самым построить приближенные решения, удовлетворяющие рассматриваемому уравнению (1.1) с точностью до величин сколь угодно высокого порядка малости по отношению к г.

Как видно из процесса определения функций (1.6), величины Лп(а), Вп (а) (п = 1, 2, 3, ...) однозначно определяются условиями (1.8), выражающими отсутствие в функциях ип(а, ф) первой гармоники. В результате получаем для Лп(а), Вп (а) выражения типа (1.17) или (1.19), которые обеспечивают отсутствие в правых частях уравнений (1.14) членов с первыми гармониками, что в свою очередь дает возможность избежать появления в решении секулярных членов.

Рассмотрим первое приближение:

х = a cos ф +еи1 (а, ф),(1.20)

в котором

Заметим, что, исходя из (1.21), можем написать:

△а = a (Z) — а (0) гМ1,

△ (ф — ай) = [ф (Z) — wZ] — ф (0) atBv

где Лх и BY — некоторые средние значения Л1 (а) и Bt (а) на интервале (0, Z). Рассматривая последние выражения, видим, что время Z, в течение которого величины а и ф — wZ смогут получить конечные прираще- ,1

ния, должно быть порядка — .

С другой стороны, уравнения первого приближения (1.21) получаются после пренебрежения в уравнениях (1.3) членами порядка мало-

§ 1] на av сти г21, а такая ошибка в значениях первых производных —, за время t приводит к ошибке порядка =?t в значениях самих функций а и ф. Мы видим, следовательно, что в том интервале времени, в течение которого а, ф —oV успеют заметно отойти от своих начальных значений, погрешности в значениях амплитуды и фазы колебаний будут величинами порядка е и потому в этом интервале в выражении (1.20) не имеет смысла сохранять член ги1(а, ф) первого порядка малости, поскольку как погрешность формулы (1.20), так и погрешность упрощенной формулы

'х = a cos ф

будут величинами первого порядка малости.

Рассмотрим еще случай стационарных колебаний, т. е. колебаний, совершающихся с постоянной амплитудой и частотой. В этом случае, очевидно, имеем:

.$A(a) + $%(a)+ . ..=0.(1.22)

Из-за присутствия множителя s перед Лг(а) видно, что если в выражении (1.22) мы отбросим величины, начиная со второго порядка малости, и будем определять значение стационарной амплитуды первой гармоники из уравнения первого приближения

Лт(а)=0,

то тем самым мы совершим ошибку, вообще говоря, не второго порядка, а уже первого порядка малости.

Принимая все это во внимание, естественно в дальнейшем брать в качестве первого приближения упрощенное выражение

ж —a cos ф,(1.23)

в котором а и ф определяются уравнениями:

‘(1'24)

Рассуждая совершенно аналогично, в качестве второго приближения возьмем выражение

х = a cos ф + ги1 (а, ф),(1.25)

в котором функции времени а и ф определяются уравнениями:

5-=sA(a)+SM2(a),'

(1.26)

^. = «>+гВ1(а) v^B^Y

Приведем здесь также явные формулы для ЛДа), Л2(а), В^а), В2^ и их^а, ф). Из (1.15), (1.16) и (1.17) имеем:

СI

Лх (а) = — 2^ \tka cos Ф> — аш sin Ф) sin Ф ^Ф> о

2.Г (1-27)

51(а) = — 2лаш ) /(ас08Ф> — аю sin ф) cos ф с?ф.

6)

Далее, из (1.18) следует, что

„ (а, ф) = ?оИ _ ^ у £„(а)со8пф + Ма) sin лфg

lx ’ т/ 0)20)2л21’\/

71=2 где gn (а) и /гп (а) находим по формулам

к

gn (а) = —/ (а cos ф, — goj sin ф) cos пф йф, j

2к}(1.29)

hn (а) =-^~ ^ / (а cos ф, — ао> sin ф) sin пф йф. I

6)

Наконец, в силу (1.15) и (1.19) можем написать:

— 2лш ^ ^мх (а, ф)/^ (a cos ф, — аю sin ф)-|-

6

+ ^ Лх cos ф — аВх sin ф + со -^-^ х

X /хДасозф, — аю sin ф) з1пф(/ф,

(1.30)

5 (а)= _ X-

7v 72(о V 1 а аа )

"2^ \ [»i(«> Ф)/И»со8ф, -а<озтф) + 0

+ ^А cos ф — a^sin ф +<о ^~^ X

Х/^Дасозф, — аю sin ф) j cos фйф.

Заметим, что уравнения второго приближения (1.26), где Л2(а) и В2(а) определяются согласно выражениям (1.30), сложны ввиду того, что они записаны в самом общем случае. Для конкретных колебательных систем, как будет показано ниже, эти уравнения значительно упрощаются.

Остановимся теперь; на более детальном рассмотрении первого приближения.

В соответствии с формулами (1.23), (1.24) и (1.27) первое приближение для решения уравнения (1.1) может быть представлено в виде

х = а cos ф,(1-31)

где а и ф определяются уравнениями:

(L32)

j- = a> + eB1(a)=a>1(a),

причем

eAt (<z) = — т^ ^ / (a cos ф, — aw sin ф) sin ф d^,(1.33)

о■

■2

тх (a) = w — 2^^ ^ / (a cos ф, —aw sin ф) cos ф d^.(1-34)

о

Заметим, что полученные нами уравнения первого приближения совпадают с уравнениями, найденными по методу Ван-дер-Поля.

Выведем теперь еще одну формулу для определения мгновенной собственной частоты со1 (а).

Возведя правую часть выражения (1.34) в квадрат, получим:

2л:

со2 (а) = со2 — ^/ (а cos ф, — aw sin ф) cos ф </ф +

о

г 271

+ 4л2д2юг [ ^ / (<z cos ф, — асо sin ф) cos ф с?ф I2, о

откуда, поскольку все вычисления ведем в первом приближении, отбрасывая члены второго порядка малости по отношению к г, имеем:

2 тс

wi(a)=—\ [(о3а cos ф — s/(a cos ф, — aw sin ф)] cos ф</ф.(1.35)

.о

* Выражение для квадрата мгновенной собственной частоты (1.35) можно упростить.

Введем функцию

объединив «квазиупругий- член» с нелинейным.

Тогда, очевидно,

wi (а) = " ^ F ка cos Ф> — ato sin ф) cos ф</ф.(1-36)

о

Аналогично, принимая во внимание, что

ш2а cos ф sin ф </ф = О,

о

имеем также:

3^(61)= —^— ^ F (a cos ф, — аш sin ф) sin ф с?ф. (1.37)

В полученных формулах (1.36) и (1.37) функции еЛ1(а) и ю1 (а)

представлены непосредственно с помощью функции fQx, ^^» ч»о отличает их от формул (1.33) и (1.34), где фигурирует лишь нелинейный поправочный член. Входящая в последние две формулы величина о>

может быть, очевидно, интерпретирована как приближенное значение (нулевое приближение) частоты колебаний рассматриваемой системы.

Приведем теперь еще один спгсб получения уравнений первого приближения. Прежде всего напомним, что при з = 0 уравнение (1.1)

допускает решение:

х = a cos ф,

(1.38)(1.38)dx.,

(1.38)

(1.38)

_- = — аю sm ф,dt1

где ф = cot + 6, причем амплитуда а и фаза колебания О являются постоянными величинами.

Нетрудно, однако, убедиться, что формулы (1.38) могут быть оставлены и в случае з Ф 0 при условии, что величины а и 6 мы будем рассматривать не как постоянные, а как некоторые функции времени.

Будем рассматривать (1.38) как некоторую замену переменных, а и 0 —амплитуду и фазу колебания — примем за новые неизвестные функции времени, определив которые, с помощью (1.38) сможем найти искомое выражение для первоначально неизвестной х. Чтобы составить дифференциальные уравнения для а и 0, продифференцируем обе части первой формулы (1.38). Получим:

dx da •. .. .• *

=-т- cos ф — a — sintb —sin ф,(1.39)

dt dt T dt ттх •

откуда, принимая во внимание второе соотношение (1.38), имеем уравнение

cos ф — a 4-sin ф = 0.(1.40)

dt тdt т'

Продифференцировав обе части второй формулы (1.38), получим: '

=— со sin Ф - асо — cos ф — асо2 cos ф.(1.41)

dt2 dt ' dtт'’

,,dx d2x

Подставляя теперь в уравнение (1.1) вместо х, -т-, соответственно их значения, взятые согласно формулам (1.38) и (1.41), найдем:

co-^sin ф—асосозф = з/(a cos ф, — асо sin ф).(1-42)

Решая систему двух уравнений (1.40) и (1.42) относительно неиз- da■

вестных -г- и -г-, получим: dt dt '

=—-/(acos6, — асо sin ф) sin ф,

=— /(асоэф, — асоsin ф) cosф.

dt а* ’ хт

Итак, вместо одного дифференциального уравнения второго порядка (1.1) относительно переменной ж имеем два дифференциальных уравнения (1.43) первого порядка относительно переменных а и 0.

Заметим, что правые части уравнений (1.43) обладают по отношению к независимой переменной t периодом, равным ^, а кроме этого, da d^, ,

й -5^ пропорциональны малому параметру г, так что а и 0 буду, медленно изменяющимися функциями времени.

Дифференциальные уравнения, приведенные к такому виду, будем называть уравнениями в стандартной форме.

Нетрудно видеть, что правые части уравнений (1.43) могут быть представлены в виде сумм:

—^ / (n cos ф, -- aw sin ф) sin ф =

= г 2 ^ (a) cos ^ + ^2 ^ sin VH

е".(1.44)

—/(а cos ф, — aw sin ф) cos ф =

= г 2 ^ ^ C0S ^ + $1 (а) sin VW'

Согласно вышеизложенному форма приближенного решения системы уравнений может быть определена из следующих соображений. Так как а и 0 — медленно изменяющиеся величины, представим их как суперпозицию плавно изменяющихся членов а и 0 и суммы малых вибрационных членов. В первом приближении положим

(1.45)(1.45)(1.46)(1.46)а=а, 0 = 0 (ф = оЦ + 6).

(1.45)

(1.45)

(1.46)

(1.46)

Тогда

^- = —^/(асозф, — aw sin ф) sin ф =

= г 2 ^^ ^ C0S ^ + ^2 ^а\ sin ^Ь

Д / (a cos ф, — aw sin ф) cos ф =

UtД(о,

= s 2 (АТ (а) соз^ф -I- /$ (а) sin^J,

ИЛИ

da dtda dtsf^ (а) + малыеsf^ (а) + малыесинусоидальные колебательные члены,синусоидальные колебательные члены,(1.47)(1.47)-ЗГ = £ГоЛа) + малые-ЗГ = £ГоЛа) + малыесинусоидальные колебательныесинусоидальные колебательныечлены.члены.

da dt

da dt

sf^ (а) + малые

sf^ (а) + малые

синусоидальные колебательные члены,

синусоидальные колебательные члены,

(1.47)

(1.47)

-ЗГ = £ГоЛа) + малые

-ЗГ = £ГоЛа) + малые

синусоидальные колебательные

синусоидальные колебательные

члены.

члены.

Считая, что эти синусоидальныеСчитая, что эти синусоидальныелишь малые вибрации а и 0 окололишь малые вибрации а и 0 околоколебательные члены вызывают их первых приближений а и иколебательные члены вызывают их первых приближений а и и

Считая, что эти синусоидальные

Считая, что эти синусоидальные

лишь малые вибрации а и 0 около

лишь малые вибрации а и 0 около

колебательные члены вызывают их первых приближений а и и

колебательные члены вызывают их первых приближений а и и

и не оказывают влияния на систематическое изменение а и 6, приходим к уравнениям первого приближения в виде

(1-48)(1-48)"ЗГ = s/oV («) = у { - ^ / (« cos ф, - аш sin ф) sin ф ] Ау- = s/^’ (а) = М I — ~f(a cos ф, — aw sin ф) cos ф

(1-48)

(1-48)

где М — оператор усреднения при постоянных а и 6 по явно содержащемуся времени.;

Нетрудно видеть, что полученные уравнения (1.48) для а и 9 совпадают с ранее найденными уравнениями первого приближения. .

Действительно, произведя усреднение и введя вместо 6 полную фазу колебаний ф, получим:■

\ /(асозф, — аш sin ф) sin ф с?ф,'

at1

О

2ч

cos ф, — au> sin ф) cos ф с?ф.

at2г.аш Jтт

О

Для получения второго приближения необходимо принять во внимание в выражениях для а и 6 также и вибрационные члены. Учитывая в (1.47) члены в/У (<z) cos vф, ef^l (а) sin vф (i = l, 2), как вызывающие в а и 6 колебания вида

е sin мФ ,(i) е cos мФ ,({).—.,.,

—T^AiA), —(1 = 1,2), приходим к следующим приближенным выражениям:

а = а + г 2 V (А? (а) sin тф — f^ (а) cos 7ф],

(1.49)(1.49).м^О '

(1.49)

(1.49)

6 = 9-ps2 А [А^ («) sin vф — f^ (а) cos мф],

м^О которые соответствуют улучшенному первому приближению. Подставляя значения (1.49) в правую часть (1.38), получаем с точностью до величин первого порядка малости включительно выражение (1.25).

. Для получения уравнений второго приближения, определяющих а и 6 с точностью до величин второго порядка малости включительно, необходимо значения (1.49) подставить в правую часть уравнений (1.48) и результат усреднить по явно содержащемуся времени.

Приведенным выше рассуждениям можно придать более обоснованную форму. Для этого необходимо выражения (1.45), (1.49) и т. д. рассматривать как замену переменных в исходной системе дифференциальных уравнений, приведенной к стандартному виду. Однако на этом вопросе остановимся более подробно в конце книги.

Заметим только, что изложенный метод усреднения дифференциальных уравнений, приведенных к стандартному ’ виду, очень облегчает применение методов нелинейной механики для построения приближенных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений.

В настоящем параграфе нами изложен метод построения приближенных решений для уравнений типа (1.1). Не представляет, однако, никаких затруднений распространить его и на уравнение вида где

Здесь правая часть уравнения имеет более сложную зависимость от г. Ввиду отсутствия каких-либо существенных особенностей мы не будем детально останавливаться на последнем уравнении, а перейдем к подробному рассмотрению различных частных случаев, встречающихся на практике.

2. Консервативные системы, близкие к линейным

В качестве частного случая уравнения (1.1) рассмотрим свободные пссвдогармонические колебания без затухания некоторой массы т, т. е. колебания, описываемые уравнением вида

т^ + М*) = 0,(2.1)

в котором зависимость

между упругой силой и перемещением является нелинейной.

Предположим, что [эта нелинейность достаточно «слаба», так что можно положить

р (г) = /сж + гФ (ж).(2.2)

Тогда уравнение (2.1) будет принадлежать к рассмотренному типу, причем

ш = — , / ^,=— ,(2-3)

та X at /тах

где г —малый положительный параметр.

Для построения первого приближения рассмотрим разложение Фурье для функции Ф(асозф). Так как эта функция является четной, то в ее разложении в ряд Фурье синусы будут отсутствовать:

Ф(асодф) = Cn(a)cosаф.(2.4)

72=0

Отсюда на основании (1.16) и (2.3) получим:

gn (а) =—h (а) = 0,'

откуда находим:

А(а)=0, Вг (а) = -^Сг (а).(2.5)

Таким образом, учитывая (1.23), (1.24), в первом приближении имеем:

ад = a cos ф,

где а и ф определяются уравнениями■

-дг = 0, -дт" == «I (а)(2.6)

(значок внизу у х и (о(а) указывает номер приближения).

Из первого уравнения системы (2.6) следует, что амплитуда колебания не зависит от времени и сохраняет свое начальное значение

.а = а0 = const.

Ввиду постоянства а из второго уравнения (2.6) получаем:

ф = од (a) t + 9,

где 9 — фазовая постоянная, равная начальному значению фазы ф.

Таким образом, в рассматриваемом случае изучаемое колебание в первом приближении будет гармоническим. Нелинейный характер уравнения (2.1) в первом приближении сказывается, очевидно, лишь в том, что частота колебаний a>i(a) зависит от амплитуды. Иначе говоря, из-за присутствия в уравнении (2.1) нелинейного члена еФ(ж) колебательная система теряет свою изохронность (изохронностью называется свойство линейных колебательных систем, состоящее в том, что их частота собственных колебаний не зависит от величины амплитуды), причем, как это следует из выражения для од (а) (2.6), потеря изохронности будет тем меньше, чем меньше будет ®Ф (х) по сравнению с (о2а:.

Перейдем теперь к построению второго приближения. По формуле (1.18) находим:

Ф) = т5<2-7)

п=0

Подставив найденные выражения (2.5) и (2.7) в (1.30), получим-

Л(«) = 0,.)

D /„х1 Г QiW г ,I

(2.8)(2.8)( )2ш L 2 шт a J +1

(2.8)

(2.8)

со2 т

+ о—"—УФ'(а совф) cos ф cos/гф с?ф. I

2штг.ак^п2— 1) ) vтI

71=001

71=£1)

Поскольку 2 тс

Со ^^iS Ф(асо8ф)с?ф,о..

2тс

.С„ (а) = — ^ Ф (а cos ф) cos лф с?ф (л>1),

‘"о

то, дифференцируя, найдем:

2^-Ф'(а cos ф) cos ф с/ф ="о

2л .

— \ Ф' (а cos ф) cos ф cos ифйф

о

и, следовательно, можем написать:

dC0 (а)dadC0 (а)dadCH (а)dadCH (а)da‘ 2ютка ] ^—1п2— 1In—2Таким образом, во втором приближении имеем:‘ 2ютка ] ^—1п2— 1In—2Таким образом, во втором приближении имеем:2С0(«)2С0(«)dCoOOJdCoOOJdada(2.9)(2.9)х1А = a cos фх1А = a cos фsC0 (a) s yi Сп (а) cos пФsC0 (a) s yi Сп (а) cos пФккп—2п—2и2 —1и2 —1(2.10)(2.10)2 V /2u> I 2и>та I

dC0 (а)da

dC0 (а)da

dCH (а)da

dCH (а)da

‘ 2ютка ] ^—1п2— 1

In—2

Таким образом, во втором приближении имеем:

‘ 2ютка ] ^—1п2— 1

In—2

Таким образом, во втором приближении имеем:

2С0(«)

2С0(«)

dCoOOJ

dCoOOJ

da

da

(2.9)

(2.9)

х1А = a cos ф

х1А = a cos ф

sC0 (a) s yi Сп (а) cos пФ

sC0 (a) s yi Сп (а) cos пФ

к

к

п—2

п—2

и2 —1

и2 —1

(2.10)

(2.10)

(2.11)(2.11)причем

(2.11)

(2.11)

где, х , =С1(а) to (а) = о) + -^—IIх '2и>тагде, х , =С1(а) to (а) = о) + -^—IIх '2и>тае2е2е2е22и>тка2и>ткаГ Сг(а) у2шта J ‘V LnW da, , dC0W2j n2 —1da. n— 2Г Сг(а) у2шта J ‘V LnW da, , dC0W2j n2 —1da. n— 2(2.12)(2.12)

где

, х , =С1(а) to (а) = о) + -^—

IIх '2и>та

где

, х , =С1(а) to (а) = о) + -^—

IIх '2и>та

е2

е2

е2

е2

2и>тка

2и>тка

Г Сг(а) у

2шта J ‘

V LnW da, , dC0W

2j n2 —1da

. n— 2

Г Сг(а) у

2шта J ‘

V LnW da, , dC0W

2j n2 —1da

. n— 2

(2.12)

(2.12)

Мы видим, что и во втором приближении амплитуда а не зависит от времени и сохраняет любое свое начальное значение. Фазовый угол ф вращается с постоянной скоростью

ф = <оп (а) ( + 0 (6 = const),

и формула (2.10) дает приближенное представление общего решения (с точностью до величин порядка малости е2), содержащего две произвольные постоянные интеграции а и 6. Заметим, что для консервативных колебательных систем, описываемых уравнением типа (2.1), все величины Лп (а) обращаются в нуль, так что уравнение для амплитуды основной гармоники с точностью до любой степени г будет:

da dtda dt0,0,

da dt

da dt

0,

0,

что выражает условие стационарнссти колебания 6 произвольной амплитудой. Так как погрешность формулы (2.10) является величиной порядка г2, то, производя вычисления с тсй же степенью точности,

минимальногоминимального(2.13)(2.13)находим следующие выражения для максимального и отклонения:

минимального

минимального

(2.13)

(2.13)

„_ п еС« W . е Y Сп (а)

JTlmax-“ кга2—1 ’

п-2

_ _ _ еСр (а) | е х , ( — 1)таСп (а)

"л! mln “ к "г" к 2-1 nt — l

п-2

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров, преобразуем формулу (2.12), служащую для определения зависимости частоты от амплитуды колебания.

Возводя обе ее части в квадрат и удерживая при этом лишь члены не выше второго порядка малости, получим:

оо Сп (а) ^^п ^а^1

со*“(а)=<п2 + Е-^-^Н—Lv Л—2С0’(а)^Ш.(2.14)

IIх 7та 1 mkan2 — 10 х ’ da ( х 7

n=2J

Ограничиваясь первым приближением, имеем:

O)2 ((z) = ti)2 + J£1M ,(2.15)

Заметим теперь, что во всех полученных выше формулах линейная и нелинейная слагающие упругой силы входят раздельно.

Линейная слагающая входит посредством множителей ю и к, нелинейная — посредством коэффициентов Сп (а) разложения (2.4) для функции Ф (a cos ф).

Однако нетрудно видеть, что разделение полной упругой силы /? (ж) (2.2) на линейную и нелинейную слагающие в значительной степени произвольно, так как постоянную к можно выбирать различными способами.

Определим ее, например, из того условия, чтобы «нулевое приближение» для частоты колебания ю совпадало бы с первым приближением Wj(а).

Тогда согласно (2.15) получим:

С1(а)=0.(2.16)

Рассмотрим теперь разложение Фурье

р (a cos ф) = р0 (а) + ^ />п(а)со8иф(2.17)

П=1

и заметим, что в соответствии с (2.2) и (2.4) будет:

Рп(а) = вСп(а) (^ = 0, 2, 3, 4, ...), )

рг (а) =ак-\-гС1(а).j

Итак, условие (2.16) приводит к следующей формуле для определения эквивалентной жесткости:

2 тс

к — — Pi(a) =— \ Р(а cos Ф) cos Ф ^Ф-(2.19)

Постоянная к определяется здесь как некоторая функция амплитуды, и поэтому возможность использования формулы (2.19) связана с тем, что сама амплитуда а является постоянной. Если бы мы рассматривали затухающие псевдогармонические колебания, то такой выбор постоянной к вообще был бы недопустимым, так как тогда ^^- оказалось бы переменной во времени величиной.

Постоянную к можно определить и иным способом. Рассматривая, например, степенное разложение упругой силы в окрестности точки равновесия

р (х) = ах -|- рт2 + уж3 + . .., естественно отнести ах к линейной части, а остальные члены к нелинейной

еФ (ж) = рт2 + уж3 + ..., что соответствует выбору к с помощью формулы

к = р'^.(2.20)

Независимо от того или иного способа выбора постоянной к мы можем, воспользовавшись (2.18), освободить формулы (2.10), (2.13), (2.14), (2.15) от параметра $, перестроив их так, чтобы в них входила лишь известная функция р ^х\

В результате приходим к следующим окончательным формулам: первое приближение

ж1 = асовф, 1

14 ' та )

второе приближение ОО

п=2

оо р(аХ^РрМ} (2‘22)

о)2 (й)=а)2 (а)-)—■ " 2 ~2/>0(a)^MJ_ |

II' ' I' ' ткап2— 1т да тка i

п=2)

Как видно, слагаемое

da-тка (п2—1) .

представляет влияние n-й гармоники на собственную частоту, а слагаемое

„ , х dPoW

тка

появляется за счет смещения рабочей точки на характеристике в связи с наличием в колебании постоянного члена

Ро (а)

к

В частном случае симметричных колебаний, когда упругая характеристика системы Fs = р (ж) симметрична ) относительно начала координат, так что значения Fs для ± х равны по величине и противоположны по знаку

/Аж) = -р(-х),

все четные гармоники в разложении (2.17) исчезают и формулы (2.22) принимают вид

т - л1 V P2n+1 (а) Cos (2" + ^ +

хи - a cos ф т>

n—i

О=/л^плбВ(2-23)

р2п+1 \а) "ТТ I

wn W = ^ (а) + —2(2п + 1)2_1•

п — 1J

Наконец, освободимся также от параметра г в выражениях для максимального и минимального отклонения.

Из (2.13) и (2.18) находим:

Птах “£' £n2_f ,

n=2j. (2.24)

=_ P»^ i 1 V (~1)nP« (a) I

II min “ к T k Zj n2 — l ‘n=2

Чтобы получить представление о практической эффективности найденных приближенных формул, рассмотрим некоторые числовые примеры, для которых известно точное решение.

Рассмотрим уравнение свободных колебаний математического маятника с массой m и длиной I без учета трения:

(2.25)(2.25)d2x . 8 • лm —т -Р-р sin ж = О,dt1 I

(2.25)

(2.25)

где ж—угол отклонения маятника от положения равновесия. В данном примере

р ^ = у sin ж

и разложение (2.17) будет:

р (a cos ф) = А 2 2 Н)л4.я («) cos (2'г + 1) Ф

71=0

(Jh (а) — функции Бесселя).

Согласно (2.21) и (2.23) находим: в первом приближении жт = a cos ф, 1 ( 0,1 У^^Ид)(2.26)

V а>0 / а ’ '

во втором приближении ОО

‘f (2.2?)

(Юп V — fУ 72n+i (а) J2n+t (a)I

\ "о / Wo?o^Zj (2n+lp —1•|

В частности, s,„„-«+2^2<2-28>

П=1 Рассматривая жтах и ш как функции амплитуды первой гармоники ^•тах = ^тах (®), ш = ш (а),(2.29)

подсчитаем их приближенные значения для ряда возможных значений а.

Ввиду весьма быстрой сходимости рядов, стоящих в правых частях выражений (2.27) и (2.28), достаточно при подсчете учитывать в них лишь первые два члена.

Далее, для оценки точности полученных решений (2.28) подсчитаем по таблицам эллиптических функций соответствующие значения (2.29) с помощью точных формул (для тех же значений а):

^Ф’ a>=^ С08Ф-3(Ги5уС083Ф+"-’

здесь, как принято в руководствах по теории эллиптических функций, Л—модуль, К — полный эллиптический интеграл первого рода, _ К'

q = е к , а К' (к) = К (Д'), где к' = р 1 — Л2.

Результаты вычислений сведены в табл. 1, в которой имеется также графа, указывающая точные жтах в градусах.

Результаты вычислений свидетельствуют о вполне удовлетворительной точности, в особенности если принять во внимание, что наши приближенные формулы выведены в предположении, что упругая характеристика восстанавливающей силы обладает «слабой» нелинейностью — близка к прямолинейной. В рассматриваемом примере даже при углах отклонения маятника около 160° относительная погрешность первого приближения частоты составляет 5,5%, а второго — всего около 3%, хотя очевидно, что в пределах от — 160° до +160° синус весьма плохо

аппроксимируется прямой. При колебаниях маятника в пределах примерно от — 30 до + 30° первое приближение частоты дает четыре точных знака, а для углов между ± 45° второе приближение дает пять точных знаков. Следовательно, там, где характеристика действительно близка к линейной, полученные приближенные формулы обладают высокой степенью точности.

Таблица 1

XI max=a

ХП max

zmax

Ш1 шо

ш П шо

шо

max

0,2

0,19996

1,19996

0,99751

0,99751

0,99751

11°27'25"

0,4

0,39966

0,39968

0,99002

0,99003

0,99003

22°53'46"

0,6

0,5988

0,5989

0,97759

0,97763

0,97763

34°18'52"

0,8

0,7972

0,7973

0,9602

0,96040

0,96040

45°40'55"

1,0

0,9944

0,9946

0,9381

0,93847

0,93846

56°59'11"

1,2

1,1900

1,1906

0,9113

0,91201

0,91198

68°12'59"

1,4

1,3835

1,3846

0,8799

0,88122

0,88114

79°19'54’

1,6

1,5743

1,5763

0,844

0,8463

0,8461

90°18'55"

1,8

1,761

1,76й -

0,804

0,8076-

0,8072

101°07'37"

2,0

1,943

1,951

0,759

0,7654

0,7646

111°47'03’

2,2

2,118

2,132

0,711

0,7200

0,7185

122°09'17"

2,4

2,283

2,307

0,658

■ 0,6719

0,6698

132°10'53’

2,6

2,432

2,476

0,602

0,6216

0,6138

141°51'52"

2,8

2,558

2,635

0,541

0,5699

0,5610

150°58'28"

3,0

2,642

2,783

0,475

0,5179

0,5023

159°27'15’

Ухудшение точности для углов, близких к 180°, объясняется тем, что это значение является критическим: при переходе через него изменяется характер движения — колебания сменяются вращением.

Остановимся теперь на исследовании небольших колебаний маятника. В этом случае можем в уравнении (2.25) sin ж заменить двумя или тремя (в зависимости от того, на каком приближении собираемся остановиться) первыми членами тейлоровского разложения).

Получим:

т$-+т1г-4+<-'---)“0- (2-31)

Применив к этому уравнению формулы (2.21), находим (ограничиваясь двумя членами в разложении для синуса):

(2.32)(2.32)^ = a cos ф,“>l(a)1 а2

(2.32)

(2.32)

<“о8"

откуда

Ш1 (а)

ш0

1 —— .

16

(2.33)

ИзИзформулы (2.33) непосредственно видно, что при увеличении

Из

Из

амплитуды колебания маятника частота уменьшается, а период собственных колебаний

гр То16гр То16Т1 оТ1 о22(2-34)(2-34)

гр То

16

гр То

16

Т

1 о

Т

1 о

2

2

(2-34)

(2-34)

увеличивается. I Здесь 10 = — = у —g)"

Для построения решения во втором приближении воспользуемся формулами (2.23); тогда, учитывая в разложении для sin а; также член -^-, получим:

^^асозф-^^+^а^созЗф + ^созбф, ]

}(2.35)

Л ^ , За4

"7^-=1—8-+312 ’|

откуда

<2-36>

(2.37>

Для максимальных отклонений согласно (2.24) имеем:

^П max = а ~ 192 — 1024 ’(2.38)

При помощи полученных формул можно подсчитать частоты, периоды и максимальные отклонения для ряда значений а (амплитуды первой гармоники). Результаты вычислений приведены в табл. 2.

Таблица 2

*1 тах=а

гП max

ш 0

111 “о

тг

Тй

ГП

То

0,2

0,19996

0,99750

0,99750

1,00250

1,00250

0,4

0,39966

0,99000

0,99003

1,01000

1,01008

0,6

0,5988

0,97750

0,97763

1,02250

1,02288

0,8

0,7970

0,9600

0,96040

1,0400

1,04120

1,0

0,9938

0,9375

0,93848

1,0625

1,06543

1,2

1,1886

0,9100

0,91203

1,0900

1,09607

1,4

1,3805

0,8775

0,88125

1,1225

1,13376

1,6

1,5684

0,840

0,8464

1,160

1,1792

1,8

1,751

0,798

0,8078

1,203

1,2333

2,0

1,927

0,750

0,7656

1,250

1,2969

2,2

2,094

0,698

0,7204

1,303

1,3711

2,4

2,250

0,640

0,6724

1,360

1,4572

2,6

2,392

0,578

0,6221

1,423

1,5564

2,8

2,518

0,510

0,5700

1,490

1,6701

3,0

2,622

0,438

0,5166

1,563

1,7998

Сопоставляя табл. 2 с табл. 1, легко видеть, что для отклонений маятника, не превышающих ± 35° (в этих пределах частоты и максимальные отклонения совпадают с точными соответственно до 5-го и 4-го знака включительно), с успехом можно рассматривать уравнение (2.31) и соответствующие ему более простые приближенные решения (2.32) и (2.35) вместо точного уравнения (2.25). При больших же углах отклонения (порядка ± 160°) относительная погрешность первого приближения •составит 13%, а второго всего около 3%.

При рассмотрении свободных колебаний маятника мы не учитывали ■сил трения.

Если предположить, что колебания маятника затухают под воздействием сил, пропорциональных скорости, то приходим к исследованию ■следующего уравнения:

или для небольших отклонений:

'"5+’г+т(>-тг)-0-(2-40>

Согласно общим формулам § 1 в первом приближении решение уравнения (2.40) будет:

ж — a cos ф,(2-41)

где а и ф должны быть определены из системы уравнений первого приближения:

(2.42)

здесь введены обозначения о =, со = у ^ .

Интегрируя первое уравнение системы (2.42) при начальных значениях t = 0, а = а0, находим:

а = aoe“S(.(2.43)

После этого из второго уравнения системы (2.42) получаем:

(2.44)

■где 0 —начальное значение фазы.

Подставляя значения амплитуды (2.43) и фазы (2.44) в формулу (2.41), получим первое приближение в виде

ж = айе~м cos {со £ t +^ (e~2S( — 1) j + б} .(2.45)

Таким образом, в первом приближении колебания будут затухающими, с частотой, зависящей от амплитуды со = со (а), причем с увеличением времени вследствие постепенного затухания мгновенная частота будет увеличиваться, стремясь в пределе к постоянному «линейному» .значению частоты со = 1/ -Д- .

Г ил

§ 2]§ 2]консервативные системы, близкие к линейнымконсервативные системы, близкие к линейным5959

§ 2]

§ 2]

консервативные системы, близкие к линейным

консервативные системы, близкие к линейным

59

59

Рассмотрим теперь колебания системы, для которой характеристика восстанавливающей упругой силы имеет вид

(2.46)(2.46)р (х) — аж + уж3 (а

(2.46)

(2.46)

В этом случае получаем нелинейное дифференциальное уравнение

(2.47)(2.47)m ™ + аж + уж3 = 0,

(2.47)

(2.47)

которое может быть проинтегрировано в явной форме с помощью эллиптических функций. Следовательно, здесь можно также сопоставить приближенным решениям точные.

Так как для этого случая разложение (2.17) будет:

р (a cosр (a cost--|- y<z3^) cos ф + ^- cos Зф,

р (a cos

р (a cos

основа-основа-то, вводя безразмерные комбинации уж, yyj а, —, на нии (2.21) и (2.23) можем написать:

основа-

основа-

в первом приближении

Ш1(а) у“о /Ш1(а) у“о /а cos ф,< т \1/з "|2— а , О),а cos ф,< т \1/з "|2— а , О),атат(2.48)(2.48)

Ш1(а) у

“о /

Ш1(а) у

“о /

а cos ф,

< т \1/з "|2

— а , О),

а cos ф,

< т \1/з "|2

— а , О),

а

т

а

т

(2.48)

(2.48)

во втором приближении

^и^иa cos ф 4- —-—г32 У УЧa cos ф 4- —-—г32 У УЧзcos 3^зcos 3^

^и

^и

a cos ф 4- —-—г

32 У УЧ

a cos ф 4- —-—г

32 У УЧ

з

cos 3^

з

cos 3^

(2.49)

31283128

3

128

3

128

откуда имеем:

1/2

I $imax

ЖП max

а

1

а2

32

. (2.50)

Точные значения

1 ^шах И — ДЛЯ ДЭННЫХ<°0

а найдем по

таблицам эллиптических функций с помощью формул

^ (ф, ^) — ^тах СП

^ах ^ {Мcos ф+it? c°s зф+• • •} ’ (2-51)

ш_л/1 + а2$

5 maxU У •

Здесь сп, к, К, q обозначают воответственно эллиптический

модуль, полный эллиптический интеграл первого рода а К' (к) = К (к'), где к' = }/1—к2.

косинус,и е к,

Ха/Птах

( 4 Y2*

АТУ шах

Ш !

ш п

шо

ш 0

0,29927

0,30005

0,3

1,0330

1,0331

1,0331

0,59464

0,5998

0,6

1,1248

1,1258

1,1259

0,88552

0,8992

0,9

1,2602

1,2638

1,2641

1,1733

1,1981

1,2

1,4256

1,4333

1,4340

1,4592

1,4966

1,5

1,6115

1,6241

1,6257

1,7443

1,7948

1,8

1,8116

1,8297

1,8323

2,0293

2,0931

2,1

2,022

2,0459

2,0493

2,3140

2,3912

2,4

2,240

2,2697

2,2740

2,5991

2,6895

2,7

2,463

2,4985

2,5041

2,8841

2,9877

3,0

2,690

2,7318

2,7385

Результаты вычислений приводим в табл. 3.

Т а б л и ц"а 3

Принимая во внимание простоту формул (2.48) и (2.49), следует, очевидно, признать получаемую и в данном примере степень приближения вполне удовлетворительной. Можно, кроме того, показать, что эти формулы не теряют своей эффективности даже при a(j^)

В самом деле, соотношения (2.51) приводят к следующей асимптотической формуле:

ш 11 + ?^“о4 /2 Vqш 11 + ?^“о4 /2 Vq

ш 11 + ?^

“о4 /2 Vq

ш 11 + ?^

“о4 /2 Vq

где q берется для модуля к = -4=, а точки обозначают член, отношение у 2

которого к написанному первому члену стремится к нулю при a^J^ —> оо. Аналогичные асимптотические формулы получаются из (2.48) и (2.49) для ■ 1 ^ и ■ 11 ^ соответственно с коэффициентами про- G)oO)Q

, / 3" , / з" < , , 3 < 4 V А ы

порциональности у -^ > У \ +128<"3") / численные значения будут:

<l+iA =0,887; 1/1 = 0,866; 1/1 (1+ А МЛ2 А = 0,892.

4/2 V Vq У „=А_’ 4’’ г 4 А 128 А 3 у у ’

/2

Таким образом, в пределе при aQ^^ оо относительная погрешность первого приближения частоты составит 2,4%, а второго —всего 0,6%.

§ 3. Случай нелинейного трения

В качестве второго частного случая рассмотрим уравнение вида

(3.1)(3.1)d^x ,„

(3.1)

(3.1)

т + кж = грdt1

которое можно интерпретировать как уравнение колебаний массы т.

находящейся под воздействием линейной упругой силы кх и нелинейного слабого трения sF (^^ > зависящего от скорости.

Это уравнение, очевидно, принадлежит к типу общего уравнения (1.1), причем здесь

Чтобы воспользоваться формулами (1.21) — (1.28), определяющими искомые приближенные решения, рассмотрим разложение

~F (a cos ф) = 2 ^n (а) cos(3-2)

О

из которого получим:

— F (— aw sin ф) = У Fn (асо) cos п ф + у ^ •п—О

Сопоставляя последнее разложение с (1.16), находим:

g^W = Fn (аю) cos у > An (a) = —FnWsin у •(3-3)

Поэтому согласно (1.17) имеем:

^(^ = 0.(3.4)

Таким образом, учитывая (1.23) и (1.24), получим первое приближение в следующем виде:

ж=асо8ф,)

Отсюда легко видеть, что для систем, описываемых уравнением типа (3.1), в первом приближении амплитуда колебания затухает согласно закону, выраженному вторым уравнением (3.5). Что касается мгновенной частоты, то она постоянна и равна обычной линейной частоте <о, так что,

1) = rot + 9,'

где 9 —начальное значение фазы ф.

Таким образом, в первом приближении колебания оказываются гармоническими с постоянной частотой со.

Мы уже имели возможность убедиться в том, что нелинейные колебательные системы, вообще говоря, не изохронны.

Рассматриваемый же пример является одним из важных случаев, когда в первом приближении система изохронна. Такие случаи будем называть случаями квазиизохронности).

Перейдем к построению второго приближения. Согласно (1.28) и (3.3) находим:

<П*1)<П*1)(3.6)(3.6)

<П*1)

<П*1)

(3.6)

(3.6)

1 V nFn (аи>) 2ю2пт 2-1 п2 — 179 = 0(П=£1)1 V nFn (аи>) 2ю2пт 2-1 п2 — 179 = 0(П=£1)dadaА (я)2а>п атА (я)2а>п ат(3.7)(3.7)

1 V nFn (аи>) 2ю2пт 2-1 п2 — 1

79 = 0

(П=£1)

1 V nFn (аи>) 2ю2пт 2-1 п2 — 1

79 = 0

(П=£1)

da

da

А (я)

2а>п ат

А (я)

2а>п ат

(3.7)

(3.7)

Далее из (1.30), (3.4) и (3.6) получаем:

2л

^^ F' ( — am sin ф) cos ф sin ф с?ф — о

2л

^ F' (— аю sin ф) - sin п Q ф + 2"^ sin ф с?ф,

,,9 । j ।1 XT "Fn (аи>)

X cos2 ф d& —> —2 v .

11 2ю‘тат 4—» п2— 1

п=0

2 лX F'(о2 лX F'(о(пХО

2 л

X F'(

о

2 л

X F'(

о

аю sin ф) sin п( ф + у ) cos ф а?ф.

С другой стороны, заменяя в интегралах ф на ф - у, находим: 2л

f F' ( — аю sin ф) sin п ( ф + sin ф йф = о

2 л

— — F' (аю cos ф) sin п» cos ф d^ = 0,

"о

Далее, интегрируя по частям, получим:

^ F' (—аю sin ф) sin п (^ ф + у^) cos ф d^ = о

? „, ,,, .1 Г ., , Г F (аи> cos Ф)

= — \ F (am cos о) sin ny sin у аф = — — \ sin по d — —

оо

\ F (аю cos ф) cos пф db = —F (атало т ) х1 zaw п х

0

Поэтому (3.7) можно записать следующим образом: Л2(а) = 0,

1 XI п2^^ (аю) 2(оэа2 п2 — 5п=21 XI п2^^ (аю) 2(оэа2 п2 — 5п=2(3,8)(3,8)R , X Рг (аю') dFx (аю) F2 (аю)2'8<о3а da4о>9а2

1 XI п2^^ (аю) 2(оэа2 п2 — 5

п=2

1 XI п2^^ (аю) 2(оэа2 п2 — 5

п=2

(3,8)

(3,8)

Итак, в рассматриваемом случае второе приближение имеет вид

.00 ^п (аш) cos п С ф +у )

ж = «со8ф--^2 <(3.9)

п—0.

-(п^1)

причем da гР х (асо)■

^ = ш + 52В2(а),

где В2(а) определяется выражением (3.8).

Прежде чем перейти к анализу уравнений зависимости амплитуды от времени для различных законов силы трения, т. е. для различных видов функции В^^^, заметим, что для применимости выведенных формул необходимо общее ограничение, а именно: сила трения должна быть достаточно малой.

. Переходя к анализу конкретных примеров, прежде всего рассмотрим линейное уравнение

^ + Х^ + ш^ = 0(3.11)

с малым коэффициентом затухания:

X = sv.

Для данного уравнения

Р у Дх \Дх

V di JД1 1

и потому .■

Fy (аса) = — vo>a,

Вп(а;и) = 0 (п = 0, 2, 3, . ..).

Таким образом, согласно (3.8), (3.9) и (3.10) получим сразу во втором приближении:

ж = асозф,

Да Ха

Как видно из первого уравнения (3.12), для закона затухания амплитуды получается полное совпадение с точной формулой

■а = аое 2,

а для частоты колебаний имеем приближенную формулу .

^-„{l-l^)1} ,(3.13)

которая соответствует двум первым слагаемым в разложении точного

выражения для частоты

по степеням -^-, что, впрочем, совершенно естественно, так как мы не учитываем членов выше второго порядка малости.

Чтобы составить себе представление о степени точности полученной приближенной формулы (3.13), возьмем, например, -^- = ^-^ . Заметим, что это значение коэффициента X соответствует весьма значительному затуханию. Так за один период амплитуда колебаний уменьшается в два раза. По абсолютной величине «возмущающий член» Х^- достигает еще примерно Vt «главных членов»: ^ или a>2z. Несмотря на это, относительная погрешность формулы (3.13) оказывается меньше чем 0,01%.

Рассмотрим еще один простой пример, приводящий к уравнению типа (3.1): гармонические или вообще малые колебания маятника в среде, сопротивление которой пропорционально второй степени скорости и мало.

В этом случае уравнение колебаний будет:

d^x , f dxX% . оndx

dF^idi) = если^>М d2xf dx"^ оndx n(3-14)

dF-^Vt) +ш2ж = 0’ если df<0’

или d^x dx I dx I , n

где, как всегда, | ™ | обозначает абсолютную величину-^-. (Мы прибегаем к такой записи, чтобы отметить, что член а(^"^г^) представляет собой сопротивление движению.)

Считая затухание достаточно слабым, положим

a = sv.

Тогда уравнение (3.15) будет уравнением вида (3.1), причем

V dt ) dt I dt Г

Находим выражение n-го члена в разложении Фурье для F (асозф):

^п (й) = ~ ^ F ка cos Ф)cos и-ф <^ф = — -- ^ | cos ф | cos ф cos пф t/ф = оо

2те

2va2 Г СС1

= —— 4 \ cos2 ф cos пф с/ф — \ cos2 ф cos пф Йф 1,

0те

откуда

Fo (а) = Р2 (а) = РДа)=...=Р2<1^=...=0, F / \ _ &va2 р / \ _8-va2 (— l)^1

— "3^ ,(2g+l) [(2g + I)2 — 4]

(7 = 0, 1, 2,

Таким образом, согласно (3.8), (3.9) и (3.10) второе приближение можем написать в виде'

,8м2 yisin(2g+l)tp

Ж-ПСОЗф- — 2j (2g + l) [(2g+1)2-1] [(2g+ l)2-4]“ 9=1■

= a cos ф — ^ |sin3^ +^sin 5ф + •.. } , (3.16)

где а и ф определяются уравнениями:

da4а<о ,

(3.17)(3.17)= 0,0407...(3.18)= 0,0407...(3.18)-тг =о~ « ,dtЗп

(3.17)

(3.17)

= 0,0407...(3.18)

= 0,0407...(3.18)

at [J 7

здесь для сокращения обозначено:

С = 8 2 [(2д + 1)2-1] [(2д + 1)2-4]2 =

д=1

1,1, 1

= 25 + 1323 + 12150

Интегрируя первое уравнение (3.17), имеем:

(3.19)(3.19)основной гармоники коле-основной гармоники коле-(3.20)(3.20)11 4ао> ^

(3.19)

(3.19)

основной гармоники коле-

основной гармоники коле-

(3.20)

(3.20)

аа0Этт

откуда находим закон затухания амплитуды бания:

а =а =Др

а =

а =

1+^5tО 71

Таким образом, амплитуда колебаний при квадратичном законе затухания затухает приблизительно обратно пропорционально увеличению линейной функции времени.

Подставив выражение (3.20) во второе из уравнений (3.17) и интегрируя, получим закон вращения фазового угла:

Ф = Ю{_2£^61+ф(3.21)

Итак, имеем явные выражения для представления колебательного процесса во втором приближении.

Заметим, что поправочные члены второго приближения весьма малы

3

даже при значительном затухании. Так, если взять аа0 = -^-, т. е. рассматривать случай, в котором амплитуда а через один цикл после начала колебаний уменьшается в два раза, то сумма амплитуд всех

обертонов колебания будет составлять менее 1% от амплитуды главной гармоники, а поправка второго приближения для частоты колебаний будет менее 0,25%.

Сопоставим теперь полученное приближенное решение с точным.

Уравнение (3.15) может быть проинтегрировано до конца. Действительно, полагая при Z = 0, я = я0 > 0, ^ = 0, находим:

«о

t -.- ■ = -A- t.(3.22)

J V (1 + 2ах) — (1 + 2аг0) е"21 ^"^ V 2л

Ввиду того, что правая часть является трансцендентной квадратурой, искомую функцию х нельзя представить с помощью элементарных функций. Однако нетрудно установить уравнение для двух последовательных амплитуд, затухающих из-за наличия трения, пропорционального квадрату скорости. Следуя F. PrasiPio), имеем:

(2ouri + 1) — In (2аж! +1) = (2ажп +1) — In (2ахц + 1),(3.23)

или в наших обозначениях

(2аа0+ 1) — In (2аа0+ 1)= (2аа1 + 1) — In (2аа1 + 1),(3.24)

где а0 —начальное значение амплитуды, а1—значение амплитуды по истечении одного периода колебания.

Для того чтобы сравнить результаты, полученные по точной формуле (3.24) и приближенной (3.19), преобразуем формулу (3.19). Очевидно, ее можно представить в следующем виде:

(3.25)(3.25)_11__ г®

(3.25)

(3.25)

2аа 2аа0 Зп

Подставляя в правую часть значение периода в первом приближении, получим следующее соотношение, связывающее между собой две последовательные амплитуды):

(3.26)(3.26)1L = А2аах 2аа0 3 ’

(3.26)

(3.26)

Приводимая ниже табл. 4 показывает хорошее совпадение последовательных амплитуд, рассчитанных по точной формуле (3.24) и приближенной. Для 2аа0=1, т. е. в случае, когда амплитуда через полуцикл уменьшится до 0,6 своего значения, результаты по формуле (3.26) (которая характеризует только первое приближение) отличаются от точных результатов по формуле (3.24) только на 1%; для случая же 2аао = О,1 — на 0,4%.

Рассмотрим еще один пример, приводящий к уравнению типа (3.1): колебания тела, находящег оя под воздействием кулоновского трения.

В этом случае приходим к расвмотрению уравнения ■

т^+кх = — ’ (3<27>

Таблица 4

^^®)точ

(2м)пр

(2ад) ГОЧ

(2аа)пр

(2аа)точ

(2м)пр '

1,0000

1,0000

0,1570

0,1578

0,0854

0,0856

0,5936

0,6000

0,1420

0,1428

0,0808

0 0810

0,4240

0,4285

0,1298

0,1304

0,0767

0,0769

0,3301

0,3332

0,1194

0,1200

0,0730

0,0731

0,2704

0,2726

0,1106

0,1111

—

—

0,2290

0,2307

0,1030

0,1034

—

0,1986

0,1999

0,0964

0,0967

-—

—

0,1753

0,1764

0,0906

0,0908

—

§ 3]§ 3]СЛУЧАИ НЕЛИНЕЙНОГО тренияСЛУЧАИ НЕЛИНЕЙНОГО трения6767signsign.dx1, если -гг dt,dx— 1, если dt.dx1, если -гг dt,dx— 1, если dtО,О,0.0.(3.28)(3.28)где

§ 3]

§ 3]

СЛУЧАИ НЕЛИНЕЙНОГО трения

СЛУЧАИ НЕЛИНЕЙНОГО трения

67

67

sign

sign

.dx

1, если -гг dt

,dx

— 1, если dt

.dx

1, если -гг dt

,dx

— 1, если dt

О,

О,

0.

0.

(3.28)

(3.28)

(3.29)(3.29)Сопоставляя уравнение (3.27) с (3.1), имеем: е г / </z\ А . f dx

(3.29)

(3.29)

Следовательно, при а>0 получаем: 2те

г F (а (о cos ф) cos ф t/ф =

2 г.2 г.ЗтстгЗтстг2 тс2 тс22cos ф с?ф — ^ со s ф с/ф + ^ cos ф с/ф У = — 4Л ^ cos ф йф = — 4Л.cos ф с?ф — ^ со s ф с/ф + ^ cos ф с/ф У = — 4Л ^ cos ф йф = — 4Л.2Далее, при а = 02Далее, при а = 0Зтс2Зтс2ОО2 тсе F (асо cos ф) cos ф с/ф — 0 - о2 тсе F (асо cos ф) cos ф с/ф — 0 - о

2 г.

2 г.

Зтс

тг

Зтс

тг

2 тс

2 тс

2

2

cos ф с?ф — ^ со s ф с/ф + ^ cos ф с/ф У = — 4Л ^ cos ф йф = — 4Л.

cos ф с?ф — ^ со s ф с/ф + ^ cos ф с/ф У = — 4Л ^ cos ф йф = — 4Л.

2

Далее, при а = 0

2

Далее, при а = 0

Зтс

2

Зтс

2

О

О

2 тс

е F (асо cos ф) cos ф с/ф — 0 - о

2 тс

е F (асо cos ф) cos ф с/ф — 0 - о

da _ 2Л dtптш ’da _ 2Л dtптш ’если а > 0;если а > 0;(3.30)(3.30)Поэтому согласно (3.5) в первом приближении для мгновенной амплитуды можем написать уравнения:

da _ 2Л dtптш ’

da _ 2Л dtптш ’

если а > 0;

если а > 0;

(3.30)

(3.30)

если а = 0.

Интегрируя ура внение (3.30) при начальных значениях / = 0, а = а0, находим: 2А .. , тстш

& —I при Z ~ . Яо,

° пт»r2А и’

< = 0при t > -2^- а0.

Согласно (3.31) очевидно, что при кулоновском трении колебания совершенно затухнут, начиная с момента времени t=t, где

- %т<о

Автоколебательные системы

Рассмотрим еще колебательную систему, описываемую уравнением вида

5 + ^ = ®/^)^,(4.1)

которое также является частным случаем уравнения (1.1).

Заметим, что ранее рассмотренное уравнение (3.1) может быть приведено к виду (4.1).

В самом деле, полагая

и дифференцируя уравнение (3.1), получаем:

Сопоставляя уравнение (4.1) с (1.1), имеем:

поэтому, для того чтобы воспользоваться формулами (1.21) — (1.28), необходимо разложить в ряд Фурье выражение

/ (a cos ф) aw sin ф.

Для упрощения этой операции рассмотрим функцию

F* (ж) = ^ / (ж) dx(4.2)

о

и разложение в ряд Фурье:

F* (a cos ф) = 2 Fn (о) созпф.(4.3)

п=0

Дифференцируя (4.3) по ф, на основании (4.2) получим:

ОО

/ (a cos ф) aw sin ф = ^ wnF^^s'mn^.(ДА)

■п=0

Сопоставляя (4.4) с (1.16) и (1.17), находим:

5,^ = 0,(4.5)

откуда в первом приближении имеем:

х = a cos ф,

где а и ф должны удовлетворять уравнениям

(4-6)(4-6)Для построения второго приближения можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа.Исходя из выражений (3.2), (3.6), (3.7), (3.8) и (4.4) и учитывая, что'Для построения второго приближения можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа.Исходя из выражений (3.2), (3.6), (3.7), (3.8) и (4.4) и учитывая, что'^ ^ / (a'cos ф) cos ф sin ф с?ф — 0, о— f (a cos ф) cos2 ф </ф =it J ' '1ааО^ ^ / (a'cos ф) cos ф sin ф с?ф — 0, о— f (a cos ф) cos2 ф </ф =it J ' '1ааОможем написать:можем написать:, , е уз (а) sin ПФ х = a cos ф 4— У —" , ,;—1 п —2, , е уз (а) sin ПФ х = a cos ф 4— У —" , ,;—1 п —2(4-7)(4-7)где а и ф определяются уравнениямигде а и ф определяются уравнениями=<о + г252 (а),=<о + г252 (а),а 52 (а) имеет следующий вид:а 52 (а) имеет следующий вид:52 («) =52 («) =18аш 1 i ' da 2соа2 n2— 1 ’ n=218аш 1 i ' da 2соа2 n2— 1 ’ n=2(4.8)(4.8)(4-9)(4-9)Сопоставляя полученные приближенные решения с решениями уравнения (3.1), найденными в предыдущем параграфе, убеждаемся в их полной идентичности.Таким образом, система, описываемая уравнением (4.1), также является квазиизохронной.В качестве примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:Сопоставляя полученные приближенные решения с решениями уравнения (3.1), найденными в предыдущем параграфе, убеждаемся в их полной идентичности.Таким образом, система, описываемая уравнением (4.1), также является квазиизохронной.В качестве примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:5_в(1-^ + ^0.5_в(1-^ + ^0.(4.Ю)(4.Ю)

(4-6)

(4-6)

Для построения второго приближения можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа.

Исходя из выражений (3.2), (3.6), (3.7), (3.8) и (4.4) и учитывая, что'

Для построения второго приближения можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа.

Исходя из выражений (3.2), (3.6), (3.7), (3.8) и (4.4) и учитывая, что'

^ ^ / (a'cos ф) cos ф sin ф с?ф — 0, о

— f (a cos ф) cos2 ф </ф =

it J ' '1аа

О

^ ^ / (a'cos ф) cos ф sin ф с?ф — 0, о

— f (a cos ф) cos2 ф </ф =

it J ' '1аа

О

можем написать:

можем написать:

, , е уз (а) sin ПФ х = a cos ф 4— У —" , ,;—1 п —2

, , е уз (а) sin ПФ х = a cos ф 4— У —" , ,;—1 п —2

(4-7)

(4-7)

где а и ф определяются уравнениями

где а и ф определяются уравнениями

=<о + г252 (а),

=<о + г252 (а),

а 52 (а) имеет следующий вид:

а 52 (а) имеет следующий вид:

52 («) =

52 («) =

1

8аш 1 i ' da 2соа2 n2— 1 ’ n=2

1

8аш 1 i ' da 2соа2 n2— 1 ’ n=2

(4.8)

(4.8)

(4-9)

(4-9)

Сопоставляя полученные приближенные решения с решениями уравнения (3.1), найденными в предыдущем параграфе, убеждаемся в их полной идентичности.

Таким образом, система, описываемая уравнением (4.1), также является квазиизохронной.

В качестве примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:

Сопоставляя полученные приближенные решения с решениями уравнения (3.1), найденными в предыдущем параграфе, убеждаемся в их полной идентичности.

Таким образом, система, описываемая уравнением (4.1), также является квазиизохронной.

В качестве примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:

5_в(1-^ + ^0.

5_в(1-^ + ^0.

(4.Ю)

(4.Ю)

Сопоставляя (4.10) и (4.1), имеем:

/(х) = 1-х2,

и потомуи потому

и потому

и потому

F*(x) = x-^ ,

после чего находим разложение (4.3) для нашего случая:

F* (a cos ф) = а Г 1 — созф — ^ cos Зф,

согласно которому получим:

F* (а) = 0, если п Ф 1, п Ф^. _

Таким образом, учитывая (4.6), в первом приближении имеем:

х = a cos ф,(4.12)

где а и ф должны быть определены из системы уравнений:

daга < , а1 \'

24 ’(4.13)

Итак, в первом приближении получаем гармоническое колебание, обладающее постоянной частотой ш = 1, амплитуда которого изменяется в соответствии с первым дифференциальным уравнением системы (4.13). Чтобы найти в явном виде закон зависимости амплитуды колебания от времени, необходимо решить это уравнение. Умножая обе его части на а, имеем:

откуда

или

что дает

In^-^-ln(4.15)

■4— а14 —''

где а0 — начальное значение амплитуды .

Из (4.15) окончательно находим:

й= Г У-=•0.16)

+ ±а=(ег‘-1)

Подставив (4.16) в (4.12), имеем выражение для первого приближения в явном виде:

1

Е<

х = —а°е -cos (<Щ -|- 6).(4.17)

у 1 + 1а=(«6‘-1)

Как видно из (4.17), если начальное значение амплитуды а0 равно нулю, то амплитуда останется равной нулю для любого t, и мы полу-

ним ж = О, т. е. тривиальное решение уравнения Ван-дер-Поля. Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, т. е. отсутствию колебаний в системе.

Однако, исходя из этой же формулы, нетрудно заключить, что этот ■статический режим неустойчив. Действительно, как бы мало ни было начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно возрастать, приближаясь к предельному значению, равному 2. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с нарастающей амплитудой, т. е. -система самовозбуждается. ■

Из (4.17) также замечаем, что если а0 = 2, то а = 2 для любых t > 0. Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:

х = 2 cos (Z + 6), (4.18)

В отличие от статического динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение ,а0 =£ 0, малое или большое, все равно a(Z)—^>2 при I—-> со.

Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию (4.18).

Заметим, что только в первом приближении можно представить стационарный режим (4.18) как гармоническое колебание с частотой <о = 1 и амплитудой, равной 2. В действительности же стационарный режим не гармонический.

Перейдем теперь к построению второго приближения. Согласно ■(4.7), (4.8) и (4.11) находим:

х = a cos ф — ^- sin Зф, (4.19) где а и ф должны быть определены из уравнений

Для стационарных колебаний во втором приближении получим:

ж = 2 cos (coZ + 6) —-^-sin 3 (coZ + 6),(4.21)

причем

. е2to -1 —.

На рассмотренном нами простом примере колебательной самовоз- буждающейся системы, описываемой уравнением Ван-дер-Поля, замечаем коренное отличие этой системы от колебательных консервативных ■систем, описываемых уравнением вида (2.1).

Именно в консервативных колебательных системах, как мы видели (см. стр. 51), возможны колебания с любой постоянной амплитудой, в автоколебательных же системах колебания с постоянной амплитудой возможны лишь при некотором определенном ее значении. Физически это ясно из следующего очевидного соображения. Поскольку в

консервативной системе нет ни рассеяния, ни источника энергии, то раз возбудившиеся колебания не могут ни возрастать, ни затухать, и их амплитуда остается равной ее начальному значению.

В самовозбуждающихся системах имеется рассеяние энергии и ее источник. Поэтому амплитуда колебаний будет возрастать, если количество энергии, доставляемой источником, превышает количество энергии, рассеиваемой диссипативными силами. Наоборот, если количество энергии, доставляемой источником, меньше количества рассеиваемой энергии, колебания будут затухать.

Постоянное же значение амплитуда будет сохранять только в том случае, когда оба упомянутые количества энергии точно уравновешивают ДРУГ друга.

Построим теперь приближенные решения для уравнения Ван-дер- Поля, воспользовавшись принципом усреднения.

Для этого необходимо уравнение (4.10) привести к стандартной форме. Это легко сделать, если вместо неизвестной функции ж ввести две новые функции а и 6 посредством следующих формул замены переменных :

■ ж = a cos (Z + 6), (4.22) ^-= — a sin (Z Ц-9), (4.23)

(4-24)(4-24)Дифференцируя (4,22) и сравнивая с (4.23), получаем: cos (Z + 6) — а ~ sin (Z + 9) = 0.

(4-24)

(4-24)

OLILL

Дифференцируя (4,23) и принимая во внимание (4.22), (4.10), имеем:

sin (Z + 9) + а cos (Z + 9) = s [ 1 — <z2 cos2 (Z + 9)] a sin (Z + 9). (4.25)

Разрешив соотношения (4.24), (4.25) относительно производных, приходим к системе двух уравнений в стандартной форме:

(4.26)(4.26)^-= е [1 _ a2 cos2 (Z + 9)] a sin2 (Z + 9),

(4.26)

(4.26)

= е [ 1 — <z2 cos2 (Z Ц- 9)] sin (Z + 9) cos (Z + 9),

или

£-Д4(1-"т)-4««=2(1 + ») + ^соз4(г+0)}. g—{I(i-^)=in2p+e)-^sin4(<+e)}.

Применяя принцип усреднения, получаем в первом приближении CL9 — ^1?

причем

(4.28)(4.28)day _ sat < , а^У d9t ’ "di" —

(4.28)

(4.28)

так как

М {cos 2(Z + 6)} = Л/{sin 2 (Z + 9)} = М {cos 4 (Z + 9)} = Л/{sin 4(Z + 9)} = 0. tttt

Как видно, уравнения первого приближения (4.28) совпадают с полученными выше уравнениями (4.13).

Улучшенное первое приближение, очевидно, будет:

(4.29)(4.29)а = а^ — ^ sin 2 (Z + 9Х) + ^ sin 4 (Z + 9Х),

(4.29)

(4.29)

9 = 9Х — (1 — у cos 2 (Z 4- 9Х) + cos 4 (Z + 0х).

Для стационарного режима, как и выше, имеем: a (Z) —2 при Z —> оо,

и, следовательно, для установившегося колебательного режима при ах = 2 формулы (4.29) улучшенного первого приближения дают:

(4.30)(4.30)а = 2 — у sin 2 (Z + 9Х) + -^ sin 4 (Z + 9Х),9 = 9Х + -^ cos 2 (Z + 9Х) + -^- cos 4 (z + 9Х).

(4.30)

(4.30)

Подставляя эти значения в (4.22), получим:

ж = Г 2 — -|- sin 2 (Z + 9Х) +

+ -^-sin4 (Z + 9Х) J cos ^+ 9X + -^ cos 2 (Z + 9X) + -У cos 4 (Z + 9X)^), (4.31)

или, пренебрегая членами второго порядка малости, после элементарных преобразований получаем улучшенное приближение

(4.32)(4.32)ж = 2 cos (Z + 9Х) — -^- sin 3 (Z + 9Х),

(4.32)

(4.32)

которое совпадает с выражением улучшенного приближения, найденным нами ранее.

Прежде чем перейти к специальному рассмотрению стационарных амплитуд и их устойчивости, рассмотрим еще один классический пример автоколебательной системы — колебания часового маятника, возбуждаемого импульсами.

В этом случае имеем уравнение

d^xЩ2d^xЩ26 (ж — ж0)| + Аж = 0,6 (ж — ж0)| + Аж = 0,(4.33)(4.33)

d^x

Щ2

d^x

Щ2

6 (ж — ж0)| + Аж = 0,

6 (ж — ж0)| + Аж = 0,

(4.33)

(4.33)

где ж0 —значение угла отклонения маятника, при котором на маятник посылается импульс I, о(ж) — «несобственная функция», определяемая соотношениями:

(4.34)(4.34)6 (ж) da: = 1,

(4.34)

(4.34)

6 (ж) = 0 при ж + 0. jЧтобы привести уравнение (4.33) к виду (1.1), полагаем

(4.35)

На основании (4.34) и (4.35) можем написать: 2л2л

г \ / (a cos ф, — аш sin ф) sin ф с?ф = у \ Хасо sin2 ф <7ф —

О

2л

1а со Г

о

sin ф +1 sin ф |

о

2

sin ф с?ф =

Хаита Гаи>

2

— ж0) sin2 ф7ф.

(4.36)

2

Пусть фа является корнем уравнения a cos ф = х0,

(4-37)

лежащим между 0 и у .

Тогда для а>х0 имеем:

2

2

Фа+о■

2фс?ф= ^ 8 (а cos ф — х0) sin2 фс?ф = Фа-°

Если же а

хо+0

= — \ о (х — хл sin ф„ ах =—

а J ' и/ таа

хо— О

х0, то, очевидно,

.2О

1

Таким .-нения для

2

8 (a cos ф — ж0) sin2 фс?ф = 0.

—2

образом, на основании (4.36), (1.24) и определения мгновенной амплитуды в

(1.27) получаем урав- пзрвом ^приближении

da X

лт =если

а < х0;

da X , , di — — 27“

2 л/

^, если

(4.38)

О’

,и совершенно аналогично

уравнение для

3=ш(а)’

полной

фазы

где

о>,

ю (а) =

если а < х0;

ш

Гх0

"Zula1 ’

если а > х0.

Из уравнения (4.38)

следует, очевидно, что при достаточно малом

начальном значении амплитуды а0, например при

амплитуда будет убывать:

а (<) —> О при t —> сю, и колебания с течением времени затухнут.

Данная колебательная система не имеет, следовательно, самовозбуждения, и статический режим (равновесие)

а = О является устойчивым.

Однако мы можем поставить вопрос о существовании стационарных (установившихся) динамических режимов, соответствующих постоянным, не равным нулю значениям амплитуды. Очевидно, что такие значения амплитуды а должны удовлетворять уравнению

+^1/1-^ = 0,(4.39)

2/2 л/ У'

так как для стационарных амплитуд ^ = 0.

Таким образом, вопрос о существовании стационарных динамических режимов связан с вопросом о существовании вещественных положительных корней у уравнения стационарных амплитуд (4.39). Рассмотрим это уравнение.

Переписывая его в форме

получим биквадратное уравнение для а:

---(Я-’ЧЯ^0’

из которого находим два корня:

Корни эти будут вещественны, если

-'.<Я(4.42)

Если

жо>Т4Р’ .(4-43)

то оба корня (4.40) и (4.41) будут комплексными, и поэтому в случае (4.43) стационарные динамические режимы невозможны. В этом случае единственным возможным стационарным режимом может быть положение равновесия а = 0.

Итак, при выполнении условия (4.43) колебания в рассматриваемой колебательной системе поддерживаться не могут. Независимо от своего начального значения амплитуда монотонно убывает, стремясь к нулю, и колебания со временем затухают.

При выполнении условия (4.42), как это следует из (4.38), процесс изменения амплитуды будет происходить следующим образом:

если а (0) < av то а (<) —> 0;

t СО

если а(0)>а1, то а (<) —> а2,

t ~> СО.

причем если а(0)>а2, то амплитуда монотонно убывает до значения а£, а если а1<а(0)<а2, то амплитуда монотонно возрастает, стремясь

к тому же значению а2.•

Итак, если параметры колебательной системы удовлетворяют условию (4.42), в системе возможно устойчивое стационарное колебание с постоянной амплитудой:

но для того, чтобы возбудить это колебание, необходимо, чтобы начальная амплитуда колебаний была больше av т. е. необходим достаточно сильный начальный толчок, который создал бы" отклонение маятника, превышающее av

Например, если начальные условия при Z = 0 будут

~ dx .

ж = 0, -гт = А,

at

то мы видим, что'

Фо = у ’ А = аою

и, следовательно, условие возбуждения колебаний будет

А > а^.

Стационарные амплитуды и их устойчивость

В предыдущих параграфах были получены приближенные уравнения, определяющие закон изменения со временем амплитуды главной гармоники колебания.

Для любого л-го приближения полученное уравнение имеет вид

§- = $(«).(5.1)

где

Ф (а) = г/Д (а) + s2A2 (а) 4- .. . +зГ1Лп(а), и потому может быть проинтегрировано в квадратурах.

Однако, и не производя интегрирования, можно исследовать поведение решения а = а (£) в зависимости от свойств Ф (а), чем сейчас и будем заниматься.

Допустим прежде всего, что не существует положительной величины а*, для которой

Ф (а) > 0 для всех а > а*.

Условие это, очевидно, необходимо принять и из чисто физических соображений.

Действительно, если бы такое значение а* существовало, то, взяв начальное значение амплитуды большим а*-.

а (0) > а*,

получили бы в соответствии с уравнением (5.1) неограниченное возрастание амплитуды

а (<) —> со при t—> со,

т. е. неограниченное раскачивание колебаний, что, очевидно, физически невозможно.

Поэтому в дальнейшем всегда будем предполагать," что это условие (которое можно назвать условием ограниченности амплитуд) выполнено.

Из уравнения (5.1) выводим, что амплитуда увеличивается, когда Ф(а) > 0, и уменьшается, когда Ф(а) < 0.

Неизменяющиеся, стационарные значения а определяются уравнением

Ф(а) = 0,(5.2)

для получения которого необходимо приравнять нулю правую часть уравнения (5.1).

Из уравнения (5.1) видим, что если начальное значение амплитуды не стационарно (не удовлетворяет уравнению (5.2)), то с возрастанием времени амплитуда а (<), монотонно возрастая (если Ф (а0) > 0) или убывая (если Ф(а°Х0), стремится к стационарному значению.

Итак, всякое нестационарное колебание с течением времени приближается к стационарному. Нестационарные колебания называются обычно неустановившимися колебаниями или колебаниями в переходном режиме. Факт приближения всякого колебания к стационарному выявляет особую роль стационарных колебаний, в особенности для высокочастотных колебательных процессов, для которых ввиду малости их периода колебаний переходной режим очень быстро приближается к стационарному. Поэтому колебания такого рода почти тотчас после начала колебательного процесса можно рассматривать практически как стационарные.

Заметим, что существует случай вырождения, когда функция Ф (я) тождественно равна нулю. В этом случае переходных режимов нет и всякое колебание является стационарным. Этот случай имеет место, например, , /dx \dx m

когда fix, -^ \ зависит только от ж и не зависит от ^-. 1огда уравнение (1.1) принимает вид

^ + ^(ж) = 0,(5.3)

подробно рассмотренный нами выше.

Это уравнение можно интерпретировать как уравнение колебаний материальной точки, находящейся под действием силы F(ж), зависящей „ dU

лишь от положения и потому равной —, где потенциал

U = F {x}dx.

Уравнение (5.3) является уравнением консервативной колебательной системы, энергия которой не меняется в течение колебаний.

Практически, однако, никакая обычная колебательная система не является консервативной, и в йей всегда имеются диссипативные силы, вызывающие рассеяние энергии, а также, если речь идет об автоколебательной системе, могут находиться и источники энергии.

Перейдем теперь к вопросу устойчивости стационарных колебаний.

Допустим, что а0 —некоторый корень уравнения (5.2), т. е. постоянное, стационарное решение уравнения (5.1). Рассмотрим бесконечно близкие к а0 решения уравнения (5.1). Полагая

a = Hq —|- 8а, для бесконечно малого приращения Sa получим (пренебрегаем членами высшего порядка малости):

что дает:•

8a = (oa)0e*' <ao) *.

Таким образом, мы видим, что рассматриваемое значение амплитуды является устойчивым, т. е. соответствует устойчивому стационарному колебанию,.если

Ф' (а0) < 0,(5.4)

в противном случае, когда

Ф' («о) > О, соответствующее стационарное колебание является, очевидно, неустойчивым. .

В частности, так как значение а0 = 0, соответствующее состоянию равновесия (статическому режиму), всегда является корнем уравнения (5.2) (благодаря формуле (1.33)), неравенство

Ф' (0) > 0

будет представлять условие самовозбуждения колебаний.

Записав его в раскрытой форме:

ел; (0) + еМ' (0) + . . . + епл; (0) > о,

и оставляя в стороне случай, когда функция Л* (а) может иметь кратные корни, мы видим, что при достаточно малых е (что, впрочем, всегда явно или неявно предполагается) вопрос о самовозбуждении решается «наком одного члена, именно еЛ( (0), т. е. так же, как если бы мы имели дело с уравнением первого приближения.

Далее, в соответствии с (5.2) стационарные амплитуды должны удовлетворять уравнению

Лт (а) + еЛ2 (а) + ... + en"Mn (а) = 0.

Поэтому, оставляя в стороне вышеупомянутые случаи кратных корней, можем разложить а в ряд по степеням параметра е:

a = a(0>4-ea(1) + е2а<2> + . ..,(5.5)

где а<°> —корень уравнения Лх (а) = 0 (стационарная амплитуда в первом приближении),

Так как данный стационарный режим будет устойчивым или неустойчивым, если соответственно

еЛ' (а) + eMg (а) + . • • + 8"-^п (я) S О, и так как вследствие соотношения

еЛ 1 (а) + е2Л' (а) + ... + е"Л; (а) = еЛ; (а<°>) + г2 .. . ,

вытекающего из (5.5), знак его левой части определяется при достаточно малом е знаком eA^aW), видим, что вопрос об устойчивости стадиона р-

иых колебаний решается при достаточно малых е в зависимости от знака еЛ^ (а<°>), т. е. так, как если бы имели дело с уравнением первого приближения.

Вообще следует подчеркнуть, что, за исключением некоторых особых случаев, уравнения первого приближения приводят к тем же качественным результатам, что и уравнения высших приближений. Переход

к уравнениям высших приближений вводит обычно лишь поправки количественного характера, например поправки к величине стационарной амплитуды и т. п.

Заметим, что условие самовозбуждения колебаний не является необходимым для возможности существования устойчивого стационарного режима колебаний. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы уравнение стационарности (5.2) имело по крайней мере один не равный нулю корень, удовлетворяющий условию (5.4).

Кроме аналитического исследования функции Ф(а), во многих случаях для определения характера колебательного процесса удобно рассматривать графики типа рис. 25 — 28, на которых приведена зависимость Ф(а) от а.

Стационарные амплитуды здесь определяются точками пересечения кривой Ф(а) с осью абсцисс. Нетрудно убедиться, что точки, в которых кривая пересекает ось Оа сверху вниз, соответствуют устойчивым

амплитудам колебаний, а точки, в которых кривая пересекает ось Оа снизу вверх, дают неустойчивые амплитуды.

Действительно, в первом случае нарушение стационарной амплитуды вызывает такое ее последующее изменение, благодаря которому амплитуда возвращается к своему стационарному значению. Во втором случае имеем обратную картину. На рис. 25 — 28 стрелками показано направление изменения а. Рис. 25 соответствует диссипативному случаю, рис. 26 — случаю самовозбуждения с одной возможной стационарной амплитудой, рис. 27 —случаю самовозбуждения с несколькими возможными стационарными амплитудами: av а3, а5 (колебания с амплитудами а2, а4, очевидно, неустойчивы).

Вообще, если функция Ф (а) имеет корень а*, удовлетворяющий неравенству Ф' (а*) < 0, то возможен стационарный режим колебаний с постоянной амплитудой, равной а*. Заметим, что стационарная амплитуда самовозбужденных колебаний (т. е. предел монотонно возрастающей амплитуды колебаний, для которых а° было весьма мало) равна наименьшей из всех возможных стационарных амплитуд. Этот факт становится ясным из того очевидного физического соображения, что амплитуда, возрастая, не может перескочить через устойчивый корень уравнения Ф (а) = 0, т. е. через корень этого уравнения, удовлетворяющий условию Ф'(а) < 0.

На рис. 28 изображен случай, когда система несамовозбуждена, но вместе с тем в ней все же возможны стационарные колебания. В этом случае если начальное значение амплитуды а0 меньше av то колебания затухают, если же оно больше av то колебания устанавливаются и в пределе превращаются в стационарные колебания с амплитудой а2.

В качестве примера рассмотрим уравнение

^ЧЧ^ + ^ + ^ + ^я3 +V4) -^ + w2z = 0,(5.6)

встречающееся в теории ламповых генераторов.

Чтобы обеспечить применимость к этому уравнению полученных нами результатов, допустим, что возмущающий член является достаточно малым, и положим

- (\ + \х + \^ + Х4ж3 + \^

Тогда получим:

2 тс

- е Г , ,,. , х • , 7. х . Х»а3ш . Х5а5«>

— \ / (a cos ф, — асо sin ф) sin ф аф = ^асо -ф- 1— ,

о

и потому на основании (1.27) приходим к следующему уравнению первого приближения для амплитуды:

da \га\3а3 \5а5

dt —28ПГ ‘

Заметим, что если Х5 < 0, то правая часть этого уравнения оказывается положительной для всех достаточно больших значений а. Таким образом, в этом случае колебания с достаточно большой амплитудой неограниченно раскачиваются, т. е. а(£)—»оо при t—^co, что, очевидно, невозможно по физическим соображениям.

Допустим поэтому, что Х5 > 0. Далее заметим, что условием самовоз- уждения будет \ < 0. Рассматривая случай отсутствия самовозбужде-

ния, положим Xj > 0. Решая уравнениеXia , Хза® К5а6 ~2816ния, положим Xj > 0. Решая уравнениеXia , Хза® К5а6 ~2816(5.7)(5.7)кроме «статического» решения а = О, находим:кроме «статического» решения а = О, находим:а'а'Хз , ,/"Г Хз Д2 8ХХ6 г V Х5 Vк5Хз , ,/"Г Хз Д2 8ХХ6 г V Х5 Vк5Так как Х2 > 0, Х6 > 0, то, если Хд > 0 или если ^Так как Х2 > 0, Х6 > 0, то, если Хд > 0 или если ^2 8XjI , урав-2 8XjI , урав-нение (5.7) не имеет положительных решений, График зависимости ^ atот^а имеет вид, представленный на рис. 25, показывающем, что колебания любой амплитуды являются затухающими.Пусть, наоборот,нение (5.7) не имеет положительных решений, График зависимости ^ atот^а имеет вид, представленный на рис. 25, показывающем, что колебания любой амплитуды являются затухающими.Пусть, наоборот,Х3<0,Х3<0,8X1.ХЕ ’8X1.ХЕ ’тогда имеем два возможных значения для амплитуды стационарных колебаний:тогда имеем два возможных значения для амплитуды стационарных колебаний:«1«1х5 ГХ5х5 ГХ5^2^2ХзХ5ХзХ5График зависимости ^ от а в этом случае приведен на рис. 29, Очевидно, что ат соответствует неустойчивым, а а2 — устойчивым колебаниям.

ния, положим Xj > 0. Решая уравнение

Xia , Хза® К5а6 ~

2816

ния, положим Xj > 0. Решая уравнение

Xia , Хза® К5а6 ~

2816

(5.7)

(5.7)

кроме «статического» решения а = О, находим:

кроме «статического» решения а = О, находим:

а'

а'

Хз , ,/"Г Хз Д2 8Х

Х6 г V Х5 Vк5

Хз , ,/"Г Хз Д2 8Х

Х6 г V Х5 Vк5

Так как Х2 > 0, Х6 > 0, то, если Хд > 0 или если ^

Так как Х2 > 0, Х6 > 0, то, если Хд > 0 или если ^

2 8Xj

I , урав-

2 8Xj

I , урав-

нение (5.7) не имеет положительных решений, График зависимости ^ at

от^а имеет вид, представленный на рис. 25, показывающем, что колебания любой амплитуды являются затухающими.

Пусть, наоборот,

нение (5.7) не имеет положительных решений, График зависимости ^ at

от^а имеет вид, представленный на рис. 25, показывающем, что колебания любой амплитуды являются затухающими.

Пусть, наоборот,

Х3<0,

Х3<0,

8X1.ХЕ ’

8X1.ХЕ ’

тогда имеем два возможных значения для амплитуды стационарных колебаний:

тогда имеем два возможных значения для амплитуды стационарных колебаний:

«1

«1

х5 ГХ5

х5 ГХ5

^2

^2

Хз

Х5

Хз

Х5

Итак, колебания с начальной амплитудой, меньшей av будут затухать, а колебания с начальной амплитудой, большей а1, будут приближаться к устойчивому стационарному режиму.

Рассмотрим теперь случай, когда в колебательной системе имеется некоторый

..Фю/..Фю/Рис. 29.Рис. 29.параметр р (или группа па

..Фю/

..Фю/

Рис. 29.

Рис. 29.

раметров), который можно изменять как угодно медленно (адиабатически). В этом случае правая часть уравнения (5.1) будет зависеть от р и может быть представлена в виде Ф(а, р).

Будем рассматривать изменение параметра, настолько медленное по сравнению с эффективной длительностью переходного режима (т. е. по сравнению с временем, по истечении которого произвольное колебание становится практически стационарным), что для каждого значения р в течение этого изменения колебание можно предполагать стационарным.

Для определенности допустим, что для р, меньших некоторого р0,

ФИО, р) <о,

а для р, больших этого значения, ф» (0, р) > 0.

Будем теперь адиабатически изменять р, увеличивая его, начиная с некоторого значения р1( меньшего р0.

Пусть система находилась вначале в равновесии: а = 0. Тогда, поскольку при р < р0 система не самовозбуждена, она и останется в равновесии вплоть до достижения параметром р критического значения, равного р0. При переходе через это критическое значение появляется самовозбуждение, и равновесие становится невозможным, амплитуда а от нуля переходит к значению а (р), равному наименьшему устойчивому корню уравнения

Ф (а, р) = 0.

Таким образом, зависимость амплитуды от параметра представляется в виде,

а = 0 для р < р0,а = а (р) для р > р0.

. Если полученная кривая будем говорить, что имеем. Если полученная кривая будем говорить, что имеемРис. 30.Рис. 30.зависимости а от р непрерывна, то мы случай мягкого возбуждения . колебаний (по отношению к данному параметру). В случае мягкого возбуждения при переходе через критическое значение р=р0 в системе начинается генерация колебаний, амплитуда которых вблизи критического значения постепенно возрастает от нуля.

. Если полученная кривая будем говорить, что имеем

. Если полученная кривая будем говорить, что имеем

Рис. 30.

Рис. 30.

Пусть, например, правая часть уравнения (5.1) имеет следующий вид:Пусть, например, правая часть уравнения (5.1) имеет следующий вид:Если же в точке р = р0 имеется разрыв, то тогда при переходе через критическое значение амплитуда перескакивает от нулевого значения сразу к значению а(ро + О). Этот случай называют случаем жесткого возбуждения.

Пусть, например, правая часть уравнения (5.1) имеет следующий вид:

Пусть, например, правая часть уравнения (5.1) имеет следующий вид:

(5.8)(5.8)Ф(«> р) = {ф(а)--^} Ф’(а> р),

(5.8)

(5.8)

где ’Г (а, р) > 0 и Ф (а) — некоторая функция а, не зависящая от р.

В этом случае вопрос о характере возбуждения можно решить с помощью следующих графических построений.

Построим кривую (рис. 30)

У = Ф(аУ

Тогда стационарные амплитуды определятся точками пересечения этой кривой прямыми вида у = ^а. Устойчивыми будут те, для которых угол наклона прямой больше угла наклона касательной в точке пересечения.

Таким образом, на рис. 30 имеем случай мягкого возбуждения, так как при переходе р через критическое значение, равное

_ 1 _ 1

^^TgT ~(0) ’

амплитуда начинает возрастать от нуля.

На рис. 31 имеем случай жесткого возбуждения. При переходе через критическое значение амплитуда перескакивает от нуля к av

Рассмотрим детально случай, представленный на рис. 31. Пусть мы увеличиваем постепенно параметр р. от нуля, уменьшая таким образом „1

угол у наклона прямой у = — а, и пусть система находится вначале в состоянии покоя а = 0.■

Тогда, очевидно, амплитуда будет равна нулю вплоть до того момента, пока у не станет меньше £. После перехода через $ амплитуда

Рис. 32.Рис. 32.

Рис. 32.

Рис. 32.

скачком принимает значение ат и затем начинает непрерывно расти. Если мы теперь начнем уменьшать р (увеличивать у), начиная от значения у, > $, то амплитуда будет убывать и, начиная с у = $1, срывается, при этом в системе устанавливается состояние покоя. Отобразив графически зависимость а от р в течение такого процесса, получим кривые (рис. 32), имеющие характерную гистерезисную петлю. Значение стационарной амплитуды зависит не только от значения параметра, но и от того,

Подобного рода явления наблюдаются в некоторых автоколебательных системах и называются колебательным гистерезисом или затягиванием; последнее наименование отражает тот факт, что при бесконечно медленном, или, как иногда говорят, адиабатическом, изменении параметра амплитуда стремится как бы затянуть возможно дольше плавное изменение до тех пор, пока непрерывное изменение приводит к неустойчивым амплитудам.

Гистерезисные петли могут иметь и более сложную форму, чем на рис. 32. Так, например, для случая диаграммы рис. 33 при изменении [г имеем зависимость, схематически изображенную на рис. 34. Для исследования характера возбуждения колебаний можно воспользоваться еще следующим приемом, по существу аналогичным вышеизложенному.

Построим кривуюПостроим кривуюУсловие устойчивостиУсловие устойчивостиЭФ (а, р.)даЭФ (а, р.)да<0<0

Построим кривую

Построим кривую

Условие устойчивости

Условие устойчивости

ЭФ (а, р.)да

ЭФ (а, р.)да

<0

<0

(5-9)(5-9)Ф (а)у = ——3 а

(5-9)

(5-9)

Тогда стационарные амплитуды определятся точками пересечения этой кривой прямыми, параллельными оси а;

У = А.(5.10)

может быть записано в виде

дада(5.11)

да

да

и потому допускает простую геометрическую интерпретацию. Устойчивыми будут амплитуды, соответствующие таким точкам пересечения кривой

♦ У♦ УРис. 35.Рис. 35.

♦ У

♦ У

Рис. 35.

Рис. 35.

(5.9) с прямой (5.10), в которых направление кривой идет сверху вниз (рис. 35).

Сказанное относится к стационарным амплитудам, не равным нулю. Кроме этого, всегда существует и стационарная амплитуда, ранная нулю. Она будет неустойчива, если

(5‘12)

1 a J а—ор''

т. е. если точка пересечения кривой (5.9) с осью а = 0 лежит выше точки пересечения с этой осью прямой (5.10). В противном случае равновесие устойчиво.

Как видно, этот последний графический прием удобнее первого, так как в этом случае не требуется проводить касательных. В остальном рассуждения остаются теми же, что дает нам возможность не детализировать их.

На рис. 36 схематически изображена картина колебательного гистерезиса, соответствующего случаю, изображенному на рис. 35.

В качестве простейшего примера рассмотрим уравнение электронного .генератора (при безразмерном времени):

т + у + ;тЬ{4-<М-ЙЬ)/'<£»+’')}<=0- <5ЛЗ>

Здесь V — переменная слагающая управляющего напряжения, L, С и R — соответственно самоиндукция, емкость и сопротивление колебательного контура, Л/— коэффициент взаимной индукции между ценью сетки и колебательным контуром, Ео — постоянная слагающая управляющего напряжения, D—проницаемость лампы.

Ввиду того, что при обычном устройстве генератора безразмерное выражение

^ {-1 - (М - ПЦ Г (Ео + В)}(5.14)

будет величиной порядка 0,01, для построения приближенного решения можем воспользоваться ранее выведенными формулами.

На основании (1.23), (1.24) и (1.27) в первом приближении имеем:

V = a cos (< + у),(5.15)

причем

2УЁС^= -^a-F(M-DL)F (а),(5.16)

где

2л2л

F (а) = F- ^ f (Ео-\- a cos т) sin2 т d~. = — А- ^ / (-Ео + a cos т) sin т d-. (5.17) оо

Характер возбуждения колебаний, выраженный уравнением (5.16), согласно изложенному выше может бытьщсследован двумя графическими приемами:

Путем построения кривой

'У = Е^а\

так называемой колебательной характеристики лампы. Тогда стационарные амплитуды определятся точками пересечения этой кривой с прямыми

_ L

У - (М—DL) R °'

Путем построения кривой

и рассмотрения ее пересечений с прямыми

_ L

У" (М—ПЦ R ’ параллельными оси у = 0.

Заметим мимоходом, что угловой коэффициент касательной к характеристике лампы, т. е. f (Е), именуется обычно в радиотехнике крутизной характеристики.

Ввиду того, что

^Ц^- = — ^ /' (^о + а cos ')sin2 ^dz — f (Fo + a cos d) о

(0<»<2гс),

F (а)„„

выражение —можно назвать средней крутизной лампы.

Поэтому первый графический метод иногда называется методом колебательной характеристики, второй — методом средней крутизны.

данном примере параметр = -—•

В настоящем параграфе мы подробно рассмотрели первое уравнение системы (1.3), выражающее зависимость амплитуды от времени и тем самым характеризующее свойства колебательного процесса с точки зрения

его амплитуды.'

Что касается второго уравнения системы (1.3), то оно характеризует частотные свойства колебаний.

Согласно этому уравнению мгновенная собственная частота колебаний равна w(a). Поэтому в случае стационарных колебаний й(а),

являясь постоянной, будет обычной собственной частотой.

2лш (“)2лш (“)Легко видеть, что собственная частота w(a), а тем самым и период

2л

ш (“)

2л

ш (“)

стационарных колебаний, зависит от амплитуды. Таким образом,

вообще говоря, нелинейные колебательные системы не изохронны.

Как мы видели выше, в некоторых важных частных случаях нелинейная колебательная система в первом приближении может быть изохронной. .

Построение стационарных решений

В предыдущих параграфах нами приведен метод построения приближенных решений для уравнений типа (1.1). Построены первые и высшие приближения для различных частных случаев уравнения (1.1), а также произведены расчеты для конкретных примеров. Как мы убедились выше, во всех случаях решение нелинейного дифференциального уравнения типа (1.1) заменяется решением двух уравнений первого порядка, определяющих амплитуду и фазу колебания.

Таким образом, для того чтобы построить приближенное решение с определенной, наперед заданной точностью, нам необходимо составить уравнения типа (1.5) и после этого найти из них выражения для амплитуды и фазы как функций времени.

Для определения приближенных решений, соответствующих установившемуся режиму в колебательной системе (стационарным колебаниям), необходимо приравнять правую часть уравнения (5.1) нулю, так как при стационарном режиме амплитуда постоянна и, следовательно, производная от нее равна нулю. Из полученного алгебраического уравнения находим стационарные значения амплитуды. Однако для построения приближенных решений, соответствующих непосредственно стационарным колебаниям, можно указать более простой способ, чем изложенный выше. ■ Рассмотрим сначала уравнение консервативной колебательной системы (2.1), которое можно записать в виде

(6.1)

Согласно результатам § 2 стационарное решение этого уравнения во втором приближении имеет вид:

1 = «оо5(«1 + т)-^3'Ш>^^г>, |

Й[<6-2)

o>^(a) = to2-s^^ + c2 . ..,।

где /п(а) (и = 0, 1, 2, ...) —коэффициенты Фурье в разложении

/(аСО8ф) = 2 /п(а)С08Иф,I

71=0I

f(6.3)

'/п(а) = \ / (й COS ф) cos иф d^, I

оJ

а и <р — постоянные интегрирования, определяющиеся начальными значениями.

Исходя из выражений (6.2), естественно для получения высших приближений, соответствующих стационарному режиму, воспользоваться следующим приемом.

Представим решение уравнения (6.1) в виде х = z (u>t +?), где z (tot + <р) — периодическая функция wt + у с периодом 2тг.

Заметим, что я: = z (оЦ + у) будет удовлетворять уравнению (6.1) только тогда, когда z (<>>< + <?) удовлетворяет уравнению

0)2 ^г+и)22 = аН2\(6-4)

Решение уравнения (6.4) г = г(ф), ф = ш< + <р, а также выражение для частоты колебания ш естественно искать в виде разложений

2(ф)= 2 е%(ф),(6.5)

71=0. •

™2=2sn«n,(6.6)

.71=0.

коэффициенты которых определим, подставив (6.5) и (6.6) в (6.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра г, причем потребуем, чтобы zn (ф) были периодическими функциями ф с периодом 2тс.

Произведя подстановку, получаем следующие уравнения:

ао + ш го 6,

I 2 j Xd2z0

ао "dtp" + ш zi — / (zo) а1 ”5^г >

4г1г ।\^^ ^2jZi'(6.7)

а° dip' + ш z2 — / (zo) zi ~ а2 "5фГ а1 д^г -

«о 5> + «% = г (z0) z2 + А Г (2о) 22 _ а3 ^ _ ч ^ - «^ ,

Определяя из первых 7V+1 уравнений системы (6.7) функции z0, zv z2, . .., Zn, а также величины a0, av a2, ..., aN, моя;ем составить выражение

N _x= 2 ^% («< + ?).(6.8)

n=0

где

0)2 = 2 eX-

7?=0

которое будет удовлетворять уравнению (6.1) с точностью до величин порядка малости 6^+* и, следовательно, может рассматриваться как N + 1-е приближение решения уравнения (6.1), соответствующее стационарным колебаниям. Определение функций zn(wZ4-<p) и величин ап(и = 0, 1, 2, ...) из уравнений (6.7) может быть произведено, вообще говоря, неоднозначно. Для того чтобы эти величины были определены однозначно, необходимо наложить некоторые дополнительные условия.

Потребуем, чтобы zn (ф) (п=1, 2, 3, ...) не имели в своем составе основной гармоники аргумента ф. Из первого уравнения (6.7) находим:

г0(ф) = ас°8ф, а0 = <я2.(6.9)

Подставляя (6.9) во второе уравнение системы (6.7), имеем:

шг(4^ + 21) = /(аС08Ф) + а1ас08Ф(6.10)

или, учитывая (6.3),

ш2(^^ + Z1) S /п (°) cos пф + ^0+11 (a)) cos ф. (6.11) 71=0 71=5^1

Принимая во внимание требование периодичности функции г^ф), приравниваем в правой части уравнения (6.11) нулю коэффициент при первой гармонике аргумента ф. В результате получаем уравнение для определения аг:

а^ + А («)=0, откуда находим:

Подставляя найденцое значение 04 в правую часть урарнеция (6.11), имеем:

4^+zi=i 2 а> (°)cos ^ь(6-12)

. 71 = 071^1

откуда находим для zx (ф) следующее выражение:

^W-^S(6.13)

тг=О71^1

При этом как выражение (6.13), так и выражение для 04 совпадают с выражениями, найденными согласно общему методу.

Продолжая изложенный процесс, можем последовательно определить все функции iv z2, z3, ... и величины 04, а2, а3, ... до сколь угодно большого значения индекса и тем самым построить приближенные решения, удовлетворяющие рассматриваемому уравнению (6.1) с точностью до любой степени г.

В качестве примера определим стационарное решение в третьем улучшенном приближении (с точностью до величин порядка малости г3 включительно) для колебательной системы, Описываемой уравнением вида

d^x"d?d^x"d?-|- ;Г-f- е.ГЕ3 = 0.-|- ;Г-f- е.ГЕ3 = 0.(6.14)(6.14)

d^x"d?

d^x"d?

-|- ;Г-f- е.ГЕ3 = 0.

-|- ;Г-f- е.ГЕ3 = 0.

(6.14)

(6.14)

Для определения функций z0, z1, z2, z3 и величин а0, а1, а2, а3 на основании (6.7) получаем уравнения:

<72ZO । „ Л

а° dy1 +zo —О,

а0 ^2 +Z1— Z 31 ^2 •

d^ _o2d^o^

0 d^ T z2 -oz0z1 а2 ^a^2 ,

d43_0 2, _ O _^20 _ „ ^1 _ „ ^2z2

ao -5^ + z3 — ozoz2a3 ^2 a2 ^204 d^2 .

Из первого уравнения находим:

г0(ф) = асо8ф, a0=l.

После этого второе уравнение можно записать в виде

-^2. + гх = — a3 cos3 ф + а^ cos ф, или

^2zi ,а3 О! ! Л3-

-^4-г^ --^собЗф + ^а^-^аЗ^созу, откуда имеем:

32

з1(ф) = ^-со8 3ф.

(6.15)(6.16)(6.17)(6.18)(6.19)(6.15)(6.16)(6.17)(6.18)(6.19)Подставляя (6.16) и (6.19) в третье уравнение системы (6.15), получаем:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

+ z2 = — cos2 ф cos Зф 4- a5 cos Зф 4- a2a cos ф, (6.20) или

<Z2z2 .21 г о, 3°5 с । । Л 3°5 Л ।

-V" + Z2=128a СО83ф-"128 с^йф + ^^а-^^собф,(6.21)

откуда находим:

«2— 128 ’

' 21а5(6-22)

22(Ф)= -J024 «6с°83Ф +1024 COS 5ф ,

После этого последнее уравнение системы (6.15) может быть записано в виде:

^■ + Z3= -За2С082ф(-1^а5с08 3ф+1^с08 5ф)-

— 3 ^4 cos2 9ф a cos ф 4- a3a cos ф + ^^ ^- cos Зф —

-Та2(1Й4а59с°83Ф-1&25С085ф) ’ (6"23^

или d1»-1059a7. 177 ,

V + Z3=2048" C0S3'^ +2048 aCO85^-

- 2048 «7со87Ф + (аз«+ 4096 а7)СО8Ф. (6.24)

из которого находим:

57 « аз— 4096 “ ’

10591773(6125)

гз W = 204ЁГ8 COS 3Ф - 2048-24 Я? C0S 5Ф + 2048^8 Я? C0S

Таким' образом, принимая во внимание (6.8), (6.19), (6.22) и (6.25), получаем приближенное стационарное решение уравнения (6.14) с точностью до величин порядка малости г3 включительно в виде

ж = <z cos (ш/ + ф) + г ччч 1 — s а + $ чтТ а cos (ш< + ф) +

+ е21Й4 Г —а^“] Cos5(m^) + e32oracos7(^-^ (6‘26) где а и ф — произвольные постоянные, а частота колебаний ш определяется выражением

^-l+A^ + i^'-^A*.(6.27)

Перейдем теперь к построению приближенных решений для стационарных колебаний в неконсервативных системах. Для этого рассмотрим уравнение вида (1.1) '

^^-/(^т). «б-28»

х = a cos ф 4- ^^х = a cos ф 4- ^^(6.29)(6.29)(6.30)(6.30)Стационарное решение (улучшенное первое приближение) этого уравнения согласно § 2 может быть записано в виде

х = a cos ф 4- ^^

х = a cos ф 4- ^^

(6.29)

(6.29)

(6.30)

(6.30)

где ^— произвольная постоянная, ш —частота колебания, z (ф) — периодическая функция ф с периодом 2л.

Как и выше, функция z (ф) должна удовлетворять уравнению

(6.32)(6.32)2 d^Z I о 4 Г ^^

(6.32)

(6.32)

<0 -уто-Н-ш2z = s/z, ш-у— ) .

с^2 1X. с?ф V

Будем искать функцию г(ф) и частоту колебаний ш в виде разложений

(6.33)(6.33)2(Ф) = 2 е%(ф), 71=0 71=0

(6.33)

(6.33)

где zn (ф) — периодические функции ф с периодом 2л.

Подставляя значения z (ф) и <о (6.33) в уравнение (6.32) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получим следующую систему уравнений:

А^ + А> = 0,

шо ~дф += / (\, Шо -^р^) — 2<и0Ш1 -Щ^ ,

(6.34)(6.34)9,,/dz0Л . ,,{dz0 Лdz,,

(6.34)

(6.34)

<0° "dj^ +to z2- A^o- ™0^)zi + A'Zo,o)o -^p J(00^+

,,,<dz0\dz0od2z0o9 d4

ш0^)tox^2<oo(O2rfp— 2<oo<o1 ^г-«4-^,

Решаем первое из этих уравнений, полагая

г0 = асозф, ш0 = ш,(6.35)

где а —некоторая, пока не определенная постоянная.

Подставив значения г0(ф) и ш0(6.35) в правую часть второго уравнения системы (6.34) и учитывая (1.16), имеем

ш2 + zi^) = 2 tS'n W cos пф + hn (a) sin пф] + 2<ow1a cos ф. (6.36) n = 0

Чтобы это уравнение имело относительно zx (ф) периодическое решение (т. с. чтобы в выражении для zx (ф) не появилось секулярных членов), необходимо приравнять нулю коэффициенты при основной гармонике, входящей в правую часть (6.36).

Приравнивая, получаем уравнения

^п(«) = А (а) = 0, 1

_ g1W(6.37)

2аш ’ J

определяющие а и ш1. После этого уравнение (6.36) примет вид

ш2 (4pL + zO = go (а)+ 2 [§'п(«)со8лф+/гп(а)8тнф].(6.38)

п— 2

Решая его, находим:.

.,rt) = .1№H^ + ±2'*^^(6.39)

п = 2

где ^ — произвольная постоянная, которая должна быть определена из условия периодичности z2(ф).

Покажем, как определяется av Для этого выражение для зДф) представим в виде

zi (Ф)= ai cos Ф + и (а> Ф)>(6.40)

где1

м /а лх = 8о (а) , 1 у 8п (я) cos У + Ап (а) sin у ' ’ ‘ 'ф2 * ц>2 ^—J^__д2

п=2

является известной периодической функцией ф.

Подставляя значение zx (ф) (6.40) в третье уравнение системы (6.34),. получим:

-щ^- + z2 J = Ща cos ф, — aw sin ф) ах cos ф —

— f'- (a cos ф, — aw sin ф) a^w sin ф -|- 2ww1a1 cos ф +

+ 2ww2a cos ф + у (ф), (6.41)# где

у (ф) = /' (a cos ф, — aw sin ф) и + Д'(а cos ф, — aw sin ф) w-^--ф-

+ Д'(асозф, — aw sin ф) wxa sin ф + wzacos ф. (6.42)

Напишем разложение для и(ф) в ряд Фурье:

п(ф) = 2 [un (a)cos пф + гуп (a) sin пф].(6.43)

п=0

Кроме того, имеем:

Д(асозф, — аю sin ф) cos ф — Д'(а cos ф, — aw sin ф) w sin ф =

= У [^(n) cos пф + К (а) sin пф], (6.44) п= 0

и поэтому уравнение (6-41) можно записать в виде

w2 (4^+20 = ^ 2 [?А(а)созпф + Л;(а)8тпф] + п=0

.+ 2w (w^ + w2a) cos ф 4- У [un (a) cos пф + wn (a) sin пф]. (6.45)

п=0

Для того чтобы г2(ф) являлось периодической функцией, необходимо в правой части уравнения (6.45) приравнять нулю коэффициенты при sin ф и созф. Получаем:

а^ (<z) = - wx (а), 1^

aig'i (п) + 2о)(а)1а1 + а)2а)= — иДа). /'

Первое из этих уравнений определяет ах:

причем /г! (а) = А1 (а) Ф 0, так как мы предположили, что функция Ах (а) имеет только простые корни.

Из второго уравнения находим w2:

Ю2=s (6.48)

После этого уравнение (6.45) можем записать в виде

<"2 ( ^г + z2) = (v0 (а) + ^1^6 (а)) + 2 «ип ^ + а^ ^ cos п^ + п=2

+ (дап (а) Ч-axfe; (а)) sin пф}. (6.49)

Решением этого уравнения будет:

ОО

z2 (ф) = а2 cos ф + 4г ("о (а) + Я1£о (а)) + 4г 2 <^n (а) + axgn (a)) cos пф + 'п—2.

+ (юя(а) + а1^(а))8тпф}1:^,(6.50)

где а2 — неопределенная постоянная, которую определяем из условия периодичности функции з3(ф) и т. д. Продолжая изложенный процесс, можем построить приближенные решения для стационарного режима -с любой наперед заданной степенью точности. Например, во втором приближении согласно (6.31), (6.39) и (6.37) имеем:

т = (а -р saj cos (ioZ + ?) + ^г go (а) +

n=2n=2

n=2

n=2

где

« = w + s£jMt(6.52)

а амплитуда должна быть определена из уравнения

/гп (а) = 0«(6.53)

Сравнивая полученное выражение для ж (6.51) с ранее найденным выражением для стационарного режима (6.29), замечаем, что единственное отличие этих двух решений состоит в том, что амплитуда первой гармоники в (6.29) равна а, где а — корень первого уравнения (6.30), а в формуле (6.51) амплитуда первой гармоники равна a-V^v Однако такое расхождение полностью совпадает с нашим замечанием по этому поводу, приведенным в § 1.

Эквивалентная линеаризация нелинейных колебательных систем

Как указывалось выше, уравнения первого приближения в большинстве случаев приводят к тем же качественным результатам, что и уравнения высших приближений.

Ввиду этого, а также ввиду сложности вычислений, с которыми, как правило, сопряжены операции с уравнениями высших приближений,

обычно целесообразно ограничиваться рассмотрением лишь уравнений первого приближения.

Эти уравнения допускают весьма простую физическую интерпретацию и могут быть образованы даже без предварительного составления исходного точного дифференциального уравнения, например типа (1.1).

В настоящем параграфе мы займемся вопросом интерпретации уравнений первого приближения.

Для этого напишем основное дифференциальное уравнение колебательной системы в виде

m^^kx = ai^x’^’<7Л)

где т и к положительны.

Как было установлено, решение уравнения (7.1) в первом приближении может быть представлено в виде

ж = асозф,(7.2)

причем ни ям:причем ни ям:амплитудаамплитудаа и полная фаза ф должны удовлетворятьа и полная фаза ф должны удовлетворятьуравне-уравне-Да Hi "Да Hi "S2^а>тS2^а>т2 л;^/(асозф, — аю sin ф) sin ф с?ф, о.2 л;^/(асозф, — аю sin ф) sin ф с?ф, о.(7.3)(7.3)

причем ни ям:

причем ни ям:

амплитуда

амплитуда

а и полная фаза ф должны удовлетворять

а и полная фаза ф должны удовлетворять

уравне-

уравне-

Да

Hi "

Да

Hi "

S2^а>т

S2^а>т

2 л;

^/(асозф, — аю sin ф) sin ф с?ф, о.

2 л;

^/(асозф, — аю sin ф) sin ф с?ф, о.

(7.3)

(7.3)

гдегде5 = Ш^а)’

где

где

2 к Ю2 = — , т

ю2 (а) = си2ю2 (а) = си2sттаsтта2тс

ю2 (а) = си2

ю2 (а) = си2

s

тта

s

тта

^/(асоэф, — аю sin ф) cos ф с?ф.

б

Напомним, что первое приближение (7.2) является основной гармоникой приближенного решения (1.4), удовлетворяющего исходному уравнению (7.1) с точностью до величин порядка малости гт, а амплитуда а является согласно нашим допущениям полной амплитудой основной гармоники.

Заметив это, введем в рассмотрение функции амплитуды ке (а) и \(а), определяемые следующим образом:

2ге

Хе (а) = -^- ^ / (а cos ф, — аю sin ф) sin ф с?ф, 0 2г.(7'4>

ке (а) = к — -^ ^ / (а cos ф, — аю sin ф) cos ф d^. о.

Тогда уравнения первого приближения (7.3) могут быть написаны в виде

da Хе (а)'

dt2m ’/7 кх

Продифференцируем теперь выражение (7.2) для первого приближения. Приняв во внимание (7.5), имеем:

-аое (а)асозф.(7.6)

Дифференцируя (7.6) еще раз, убеждаемся, что

—— = — аи>е (a) cos ф + ato„ (a) sin ф 4. V a cos ф 4

. К» (я) 9 dui„ (я) . , . d\e (я) а.

-V а —sin ф 4а cos ф =

2mda‘ da 2т 2тт

_ _ ке (д')_ Хе (я) dx _ Хе (я).

тт dt ^.т1~*~

। Хе (я) ,2 ^“е (а)। ।1 2Хе (я) Хе (я) ~

После этого па основании (7.4) можем записать (7.7) в виде

т^ + М^+Ма^О^,(7.8)

где О (г2) - величина порядка малости г2.

Таким образом, видим, что рассматриваемое первое приближение (7.2) с точностью до величин порядка малости е2 удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению вида

mS-v'KeW^ + keW^ = 0.(7.9)

Итак, в первом приближении колебания исследуемой нелинейной колебательной системы эквивалентны (с точностью до величин порядка малости е2, т. е. с точностью до величин, отбрасываемых при самом составлении уравнений первого приближения (7.3)) колебаниям некоторой линейной колебательной системы, обладающей коэффициентом затухания Хе (а) и коэффициентом упругости кв (а).'

Ввиду этого будем называть Хе (а) ■ эквивалентным коэффициентом затухания, ке (а) — эквивалентным коэффициентом упругости, самоё же линейную колебательную систему, описываемую уравнением (7.9), назовем эквивалентной системой.

Сравнивая уравнение (7.9) с уравнением (7.1), видим, что уравнение (7.9) получается из (7.1) путем замены нелинейного члена

(7.10) линейным

^^-[АД^^ + ХДа)-^!,(7.11)

где кг (а) = ке (а) — к.

Заметим далее, что выражение

8<(“) = Т^

представляет собой декремент Затухания эквивалентной линейной системы, а

№е W = 1/"ке ^

V ■ т

— собственную частоту колебаний этой системы.

Мы видим, следовательно, что уравнения первого приближения (7.5) могут быть формально образованы следующим образом.

Линеаризируем рассматриваемую колебательную систему, заменяя в основном уравнении (7.1) нелинейную силу (7.10) линейной (7.11), в которой

2к

(7-12)(7-12)Хе (а) =■ -^^- ^ / (а cos ф, — а<о sin ф) sin ф d^, о

(7-12)

(7-12)

^(а^—-^- ^/(асозф, — аш sin ф) cos ф с?ф.б

Для полученной эквивалентной линейной системы с массой т, коэффициентом затухания Хе (а) и коэффициентом упругости ке (а) = Л + ку (а) обычным путем находим декремент затухания 8е (а) и частоту собственных колебаний юе (а), отбрасывая при этом величины второго порядка малости.

Тогда получаем:

^ = Т’ ^^ = ^-(7.13)

Образовав выражения для декремента затухания и частоты, применим общеизвестные для линейных колебательных систем формулы

4=»- <7Л4>

выявляющие тот факт, что декремент затухания есть логарифмическая производная амплитуды, взятая с обратным знаком, и что частота w есть угловая скорость вращения полной фазы колебания.

Если мы в уравнения (7.14) подставим значения 6 и ш по формулам (7.13) и (7.4), то получим равенства, совпадающие с ранее выведенными нами уравнениями первого приближения (7.3).

Изложенный формальный метод образования уравнений первого приближения будем называть методом линеаризации.

При пользовании этим методом возникает вопрос, почему с физической точки зрения при линеаризации, точнее говоря, при замене нелинейной силы (7.10) эквивалентной линейной силой (7.11), коэффициенты kv (а) и \ (а) должны принимать именно те значения, которые даются формулами (7.12), а не какие-либо иные. Ввиду этого необходимо решить вопрос о физической интерпретации для этих формул.

Покажем прежде всего, что соответствующие (7.12) значения эквивалентного коэффициента затухания получим, приняв, что средние (за период колебания) мощности, развиваемые реальной (7.10) и эквивалентной (7.11) силами, равны. При этом, приравнивая выражения для обеих мощностей, следует пренебречь величинами порядка малости г2, так как уравнения первого приближения точны лишь до величин именно этого порядка малости.

Так как работа, совершаемая силой Ле(а)а;, пропорциональной перемещению, за период колебания равна нулю,-то, приравнивая друг другу мощности, развиваемые силами (7.10) и (7.11), получаем:

<7Л5>

о о

где Т — период колебания. Из (7.15) следует также, что Хе (а) должно быть величиной первого порядка малости.

Но с точностью до величин порядка малости г мы можем положить 2тг в течение интервала времени порядка — :

ж = a cos (wt + ^), ^у-= — aw sin (wZ + $),(7.16)

где a и 0 постоянны в течение этого интервала. В таком же приближении w будет частотой колебаний, а 7’ = -^-— периодом.

Подставив в обе части формулы (7.15) выражения (7.16), а также Т = ^-, имеем с точностью до величин второго порядка малости (так как в обеих частях (7.15) есть множители, являющиеся величинами первого порядка, именно г и Хе(а)):

2тс

— еа> ^ / [a cos (tot + ^), — ato sin (tot + ^)] a sin (tot -V^dt = о

тс

= — Xe (a) ^ a2w2 sin2 (wZ + 0) dt = — \ (a) a2~w (7.17) о

или

тс

Xe (a) -ma2 — sa ^ / (a cos Ф, — aw sin Ф) sin Ф ^Ф- о

Имеем, следовательно, как раз то значение коэффициента Хе (а), которое определяется по формулам (7.12).

Чтобы получить аналогичную интерпретацию и для другого коэффициента, для Ах(а), воспользуемся принятым в электротехнике понятием реактивной мощности.

Напомним, что называется реактивной мощностью.

Пусть по некоторому проводнику АВ протекает переменный ток i (Z) и Е (Z) есть разность напряжений между концами А и В этого проводника.

Тогда активной мощностью Ра, отдаваемой или поглощаемой (в зависимости от знака) в рассматриваемом проводнике, называют величину работы, совершенной за период колебания Т, разделенную на величину Т, т. е.

т

P^-L^S^i^dt.(7.18)

о

Как видно, понятие активной мощности полностью соответствует обычному понятию средней механической мощности; будучи связано с понятием работы или энергии, оно имеет вполне реальное физическое значение.

В электротехнике, однако, общепринято вводить в рассмотрение, кроме имеющего непосредственное физическое значение понятия активной мощности, еще и несколько искуственное понятие реактивной мощности.

Реактивной мощностью называют величину

т

(7.19)(7.19)P^-^^E^i'^dt,о

(7.19)

(7.19)

где функция i* (Z) представляет ток одинаковой формы с током i (Z), но отстающий по фазе относительно последнего на 90°, иначе говоря:

i*W = iQt—£)•(7.20)

Ввиду очевидной и прямой аналогии между колебаниями механическими и электрическими представляется целесообразным использовать понятие реактивной мощности и для механических колебаний.

Допустим, например, что имеется некоторое тело, находящееся под воздействием какой-либо силы F (Г) и совершающее периодические колебания.

Пусть Т будет периодом колебания, х (t) — перемещением тела. Так как активной мощности в данном случае соответствует средняя механическая мощность

т

±^Fl(t)x'(t)dt,(7.21)

о

то, рассуждая по аналогии с предыдущим, естественно называть реактивной мощностью выражение вида

т

L^F^x'Q-^dl.(7.22)

о

Приняв это определение и вернувшись к вопросу об интерпретации значения (7.12) для эквивалентного коэффициента ^(а), покажем, что именно это значение мы получим, если предварительно постулируем равенство реактивных мощностей (опять-таки с точностью до величин порядка малости s2), развиваемых реальной и эквивалентной силами. В самом деле, приравнивая друг другу выражения для обеих реактивных мощностей, имеем:

т

г-^-^fVx^, х’ (0] х’ Q — ^ dt =т ■

= —-^ ^ [^(сОя^ + ХДа);/:' (Z)] х* Q—^^dt.(7.23)

о

Так как Хв (а) есть величина первого порядка малости, то очевидно, что кх (а) будет того же порядка малости относительно в.

Поэтому, подставляя в выражение для реактивных мощностей формулы:

х = a cos (wZ + ^), ^= — aw sin (wZ-|-&), Т = ^\точные до величин первого порядка малости,. имеем с требуемой точ-

ностью;

т2тс

г А ^ f\x(f), х' (01^' ^ —^^) й1 —^Г \^а С08Ф> — а<1)8тф)с08фс/ф,

Оо

■^ 1М«) ^ (<) + \ (а) x'^x'Qt-^dt _ «W^L , о

откуда на основании (7.23) получим;

2тс

^ (а) = — ^ ^ / (а cos ф, — aw sin ф) cos ф d^, о

т. е. то же самое выражение, что и по формуле (7.12).

Итак, резюмируя вышесказанное, видим, что при применении метода линеаризации параметры (эквивалентные коэффициенты) ^эквивалентной линейной силы

М«)я + М«)$],(7.24)

заменяющей нелинейную:

F—/^),(7.25)

могут быть определены приравниванием друг другу выражений активных и реактивных мощностей, развиваемых силами (7.24) и (7.25) при гармонических колебаниях:

х = а cos (wt + 0), где со — частота в «нулевом» приближении.

Этот способ определения эквивалентных коэффициентов назовем принципом мощности или принципом энергетического баланса.

Приведем еще один, более простой прием определения эквивалентных коэффициентов.

Для этого подставим значения х и -^ согласно формулам (7.16) в выражения (7.24) и (7.25).

Для гармонического колебания (7.16) линейная эквивалентная сила Рй также будет гармонической функцией времени с частотой ш. Обозначая амплитуду и фазу Fe соответственно через Je и ре, имеем:

^e = /ecos(o)t + <pe).(7.26)

Нелинейная сила будет, вообще говоря, периодической функцией времени, состоящей из различных гармоник с частотами вида nw, где и=1, 2, ...

Допустим, что

.7 cos (wt + <р)(7.27)

является ее основной гармоникой. Тогда, приравнивая . амплитуды и фазы

Je = J- ?е = ?

эквивалентной силы (7.26) и основной гармоники нелинейной силы (7.27), получаем два уравнения, которые дают для параметров ку (а) и \(а) как раз те значения, что и формулы (7.12).

В самом деле, в раскрытом виде при гармоническом колебании эквивалентная линейная сила будет:

— ку (а) а cos (юг + ^) + «\ (а) a sin (wt 4- Я),(7.28)

а основная гармоника нелинейной силы:

2 71

^ — ^ / (a cos ф, — аю sin ф) cos ф с?ф J-cos (юг-J-$) 4- ■ о

4~-^~ ^ / (а cos ф, — аю sin ф) sin фйф j sin (ю^4-&)5(7.29)

о

Приравнивая друг другу обе гармоники (7.28) и (7.29), получим (практически проще приравнивать не амплитуды и фазы, а соответственно коэффициенты при синусах и косинусах в выражениях первых гармоник):

2 кх

а/с1(а) = —-—\ /(асозф, — аю sin ф) cos ф с?ф, j

} (ГЗО)

юХе (а) а = — \ / (а cos ф, — аю sin ф) sin ф йф, I 07

откуда для ку (а) и Хе (а) получаем те же самые значения, что и по формулам (7.12).

Этот последний прием будем называть принципом гармонического баланса.

Нетрудно установить, что принципы энергетического и гармонического баланса по существу вполне эквивалентны. Для этого необходимо заметить, что выражения мощностей

тт

(t)x'(t)dt, ^ F^x'Qt-^dt, о0

развиваемых некоторой периодической ^c периодом T = ^^ силой F (t) при гармонических колебаниях

х = a cos (юг 4-Я),

зависят лишь от основной гармоники F ^.у

Таким образом, если основные гармоники (гармоники с частотой ю) данных сил равны, то мощности, развиваемые ими при гармонических колебаниях (частоты ю), также равны, и наоборот.

Этим обстоятельством и обусловлена существенная эквивалентность обоих вышеизложенных способов определения параметров эквивалентной линейной системы в методе линеаризации (принципа гармонического баланса и принципа энергетического баланса).

Заметим теперь, что нет никакой необходимости сначала составлять дифференциальное уравнение колебаний и лишь затем линеаризовать входящие в него нелинейные выражения.

Во многих случаях, особенно для более или менее сложных колебательных систем, может представиться, наоборот, более удобным до

составления дифференциального уравнения, исходя непосредственно из рассмотрения схемы колебательной системы, заменить в ней нелинейные элементы эквивалентными линейными (например, при помощи принципа гармонического баланса), а затем находить выражения для частоты we (а) и декремента йв(а), исходя из общеизвестных классических формул теории линейных колебаний.Основным условием допустимости такого рода метода эквивалентной линеаризации является, очевидно, приближенная гармоничность колебаний.В качестве примера рассмотрим тело массы т, подвешенное на пружине и совершающее приближенно гармонические колебания (рис. 37). Пусть зависимость между упругой силой пружины F и растяжением ее х нелинейна и выражается следующим соотношением:Е = Цх).(7.31)Тогда для гармонических колебаний х = a cos (tot -|- 6) основная гармоника силы упругости будет: 2л cos (tot + Q) Сх ,\ /(acos^) cos^a<p. осоставления дифференциального уравнения, исходя непосредственно из рассмотрения схемы колебательной системы, заменить в ней нелинейные элементы эквивалентными линейными (например, при помощи принципа гармонического баланса), а затем находить выражения для частоты we (а) и декремента йв(а), исходя из общеизвестных классических формул теории линейных колебаний.Основным условием допустимости такого рода метода эквивалентной линеаризации является, очевидно, приближенная гармоничность колебаний.В качестве примера рассмотрим тело массы т, подвешенное на пружине и совершающее приближенно гармонические колебания (рис. 37). Пусть зависимость между упругой силой пружины F и растяжением ее х нелинейна и выражается следующим соотношением:Е = Цх).(7.31)Тогда для гармонических колебаний х = a cos (tot -|- 6) основная гармоника силы упругости будет: 2л cos (tot + Q) Сх ,\ /(acos^) cos^a<p. оПользуясь изложенным выше принципом гармонического баланса, можно заменить реальную нелинейную пружину эквивалентной линейной с коэффициентом упругости2л■’ке(а)=—\ / (a cos <р) cos <?d^,(7.32)оПользуясь изложенным выше принципом гармонического баланса, можно заменить реальную нелинейную пружину эквивалентной линейной с коэффициентом упругости2л■’ке(а)=—\ / (a cos <р) cos <?d^,(7.32)опосле чегопосле чегосогласно известным формулам находим частоту линеаризиросогласно известным формулам находим частоту линеаризироРис. 38.Рис. 38.ванной системыванной системы(7.33)(7.33)Если рассматриваемую колебательную систему, состоящую из тела массы т и нелинейной пружины, подвесить на линейной пружине с коэффициентом упругости с (рис. 38), то, предполагая, что колебания будут приближенно гармоническими (с достаточно велико), получим согласно принципу гармонического баланса для частоты колебаний следующую формулу:Если рассматриваемую колебательную систему, состоящую из тела массы т и нелинейной пружины, подвесить на линейной пружине с коэффициентом упругости с (рис. 38), то, предполагая, что колебания будут приближенно гармоническими (с достаточно велико), получим согласно принципу гармонического баланса для частоты колебаний следующую формулу:или с точностью до величин первого порядка малостиили с точностью до величин первого порядка малости1 к(а)Л2 с У '1 к(а)Л2 с У '(7.35)(7.35)

составления дифференциального уравнения, исходя непосредственно из рассмотрения схемы колебательной системы, заменить в ней нелинейные элементы эквивалентными линейными (например, при помощи принципа гармонического баланса), а затем находить выражения для частоты we (а) и декремента йв(а), исходя из общеизвестных классических формул теории линейных колебаний.

Основным условием допустимости такого рода метода эквивалентной линеаризации является, очевидно, приближенная гармоничность колебаний.

В качестве примера рассмотрим тело массы т, подвешенное на пружине и совершающее приближенно гармонические колебания (рис. 37). Пусть зависимость между упругой силой пружины F и растяжением ее х нелинейна и выражается следующим соотношением:

Е = Цх).(7.31)

Тогда для гармонических колебаний х = a cos (tot -|- 6) основная гармоника силы упругости будет: 2л cos (tot + Q) Сх ,

\ /(acos^) cos^a<p. о

составления дифференциального уравнения, исходя непосредственно из рассмотрения схемы колебательной системы, заменить в ней нелинейные элементы эквивалентными линейными (например, при помощи принципа гармонического баланса), а затем находить выражения для частоты we (а) и декремента йв(а), исходя из общеизвестных классических формул теории линейных колебаний.

Основным условием допустимости такого рода метода эквивалентной линеаризации является, очевидно, приближенная гармоничность колебаний.

В качестве примера рассмотрим тело массы т, подвешенное на пружине и совершающее приближенно гармонические колебания (рис. 37). Пусть зависимость между упругой силой пружины F и растяжением ее х нелинейна и выражается следующим соотношением:

Е = Цх).(7.31)

Тогда для гармонических колебаний х = a cos (tot -|- 6) основная гармоника силы упругости будет: 2л cos (tot + Q) Сх ,

\ /(acos^) cos^a<p. о

Пользуясь изложенным выше принципом гармонического баланса, можно заменить реальную нелинейную пружину эквивалентной линейной с коэффициентом упругости

2л■’

ке(а)=—\ / (a cos <р) cos <?d^,(7.32)

о

Пользуясь изложенным выше принципом гармонического баланса, можно заменить реальную нелинейную пружину эквивалентной линейной с коэффициентом упругости

2л■’

ке(а)=—\ / (a cos <р) cos <?d^,(7.32)

о

после чего

после чего

согласно известным формулам находим частоту линеаризиро

согласно известным формулам находим частоту линеаризиро

Рис. 38.

Рис. 38.

ванной системы

ванной системы

(7.33)

(7.33)

Если рассматриваемую колебательную систему, состоящую из тела массы т и нелинейной пружины, подвесить на линейной пружине с коэффициентом упругости с (рис. 38), то, предполагая, что колебания будут приближенно гармоническими (с достаточно велико), получим согласно принципу гармонического баланса для частоты колебаний следующую формулу:

Если рассматриваемую колебательную систему, состоящую из тела массы т и нелинейной пружины, подвесить на линейной пружине с коэффициентом упругости с (рис. 38), то, предполагая, что колебания будут приближенно гармоническими (с достаточно велико), получим согласно принципу гармонического баланса для частоты колебаний следующую формулу:

или с точностью до величин первого порядка малости

или с точностью до величин первого порядка малости

1 к(а)Л

2 с У '

1 к(а)Л

2 с У '

(7.35)

(7.35)

(7.36)(7.36)Предположим теперь, что наша колебательная система испытывает при своих колебаниях некоторое слабое амортизирующее воздействие нелинейного типа и зависящее только от скорости:

(7.36)

(7.36)

Тогда, предполагая, что колебания по форме будут оставаться близкими к гармоническим, для основной гармоники амортизирующей силы получим выражение

sin (™г + 8) ф (— аю sin ф) sin ф tZy.о

На основании принципа гармонического баланса эту реальную силу можно заменить эквивалентной линейной амортизирующей силой

Фе = Мя)^,

где коэффициент трения выражается следующей формулой:

Ма) =Ма) =(7.37)(7.37)2 71

Ма) =

Ма) =

(7.37)

(7.37)

\ Ф (—аю sin ф) sin ф t/ф, ашт J 'г

0

после чего согласно известным формулам находим выражение для де

(7.38)(7.38)кремента затухания

(7.38)

(7.38)

/ х Ар 1^о, (а) =е х ’ 2т

Заметим, что наличие трения при принятой нами степени точности не окажет влияния на частоту колебаний, так как (_ ) является величиной второго поряд

ку ст / ка малости.

Рис- 39.в качестве второго примера рассмот

рим электронный генератор, составленный согласно схеме, приведенной на рис. 39. Пусть сопротивление R,

включенное последовательно, достаточно мало и, следовательно, колебательный контур, помещенный в этой схеме в цепи сетки, является слабозатухающим.

Обозначая ток в колебательном контуре г, имеем:

U-tU J0,1U-tU J0,1(7.39)(7.39)

U-tU J0,1

U-tU J0,1

(7.39)

(7.39)

(7.40)(7.40)где го —анодный ток, зависящий от управляющего напряжения Е (при отсутствии сеточного тока):

(7.40)

(7.40)

к = / (^)-

Управляющее напряжение в электронном генераторе слагается из постоянного напряжения Еп и переменного управляющего напряжения е, индуцируемого колебательным контуром.

Таким образом, зависимость анодного тока от переменной слагающей управляющего напряжения будет:

(7.41)(7.41)i« = /(so + e).

(7.41)

(7.41)

Если е изменяется по закону

е = a cos (wZ -f- 6),

то основная гармоника анодного тока будет:

2тс

cos (rot + 0) Г , , г, .х ,

„ 5 / (^0 + a cos у) cos у d?, о

и поэтому на основании принципа гармонического баланса можем заме нить нелинейную зависимость (7.41) эквивалентной линейной

ia = Se,

где параметр S — «средняя крутизна характеристики лампы» — имеет вид 2к

5 (а) = ^ ^ / (^о + « с°8 у) c°s у d.^,(7.43)

о

После этого уравнения (7.39) можно представить в видеLTARi^^\Ut = MSSfU-VV JIZh

С другой стороны, исходя из схемы рис. 39, можно написать:

В случае, если проницаемость лампы очень мала. т. е. D близко к нулю, можно принять:

e = ^^idt.(7-45)

Подставляя (7.45) в уравнение (7.44), получаем:

откуда согласно обычным формулам находим выражения для собственной частоты и декремента затухания:

1

-.RC-MS^е W 2LC

На этих простых примерах нами показан способ применения метода линеаризации непосредственно к самой схеме данной колебательной системы. При этом очевидно, что нелинейные элементы системы линеаризуются независимо от прочих параметров системы, роль которых при линеаризации сводится лишь к обеспечению приближенной гармоничности колебаний.

Подчеркнем еще раз тот факт, что эквивалентные линейные элементы существенно отличаются от истинных линейных тем, что их параметры — эквивалентные коэффициенты — являются не постоянными, а некоторыми определенными функциями амплитуды колебания.

Преимущество метода эквивалентной линеаризации при эффективном построении уравнений первого приближения особенно выясняется в случае сложных колебательных систем, для которых даже самое образование основных дифференциальных уравнений колебательного процесса, не говоря уже об операциях над ними, может представить затруднения.

В качестве применения метода эквивалентной линеаризации к системам со многими степенями свободы) рассмотрим колебательный контур, который схематически изображен на рис. 40 и состоит из линейной части с комплексным сопротивлением Z (too) и нелиней- С него элемента с характеристикой напряжение —

х Vток:

WVW Тогда соответствующее дифференциальное урав- Zdw)нение будет:

Рис. 40.Z(p)Z = /(/), р = 1.(7.47)

Предположим, что параметры системы таковы, что в ней возбуждаются периодические колебания, близкие к гармоническим:

I =у a cos (tot -J- ф).(7.48)

Тогда можем воспользоваться методом эквивалентной линеаризации и заменить в первом приближении нелинейный элемент линейным с характеристикой

V = SI, где

5 (а) = — / (а cos ф) cos ф йф. о

Для стационарных колебаний найдем тогда уравнение вида

Z (iw) = 5 (а),

откуда, разделяя вещественную и мнимую части комплексного сопротивления

Z (iu>) = X(to) -|- iY (u>), получим:

(7.49) частоты, образом, прибли- уточним(7.49) частоты, образом, прибли- уточнимш) = 5 (a), I

(7.49) частоты, образом, прибли- уточним

(7.49) частоты, образом, прибли- уточним

F(to)=0. J

Одно из полученных уравнений служит для определения другое —для определения амплитуды колебания.

Метод эквивалентной линеаризации можно уточнить таким чтобы получить не только уравнения первого, но и высших жений.

Построим уравнения второго приближения. Для этого

формулу (7.48), включив в нее высшие гармоники и постоянный член.

В первом приближении напряжение на нелинейном элементе будет:

(7.50)(7.50)7 = /(acos$), д = ш£ + ф.

(7.50)

(7.50)

Разложив это выражение в ряд Фурье, получим:

V = 2 /»(а) cos и^>(п^О)

где, как и обычно:

/0 (а) = 2 ^ / (а cos ft) d^,о

2л

/п (а) = — \ / (а cos ft) cos пв d^.

и

Заметим теперь, что гармоническая слагающая напряжения

/п (a) cos (mot + иф) (п = 0, 2, 3, ...) вызывает в линейном элементе ток

(z) /п (а) cos (nwZ + ПФ)-

Введем абсолютное значение и фазу комплексного сопротивления

Z (г'2) = 7? (Q) еМа).

Тогда.

Z-1 (рИп (а)со8(па><+пф) = ^^ cos (шог + пф-^то)).

Таким образом, уточненный вариант формулы (7.48) будет:

Z^acosM- ^ Щ^ cos(n8-¥(n<o)).(7.51)

(п=0, 2. 3, ...)

Отсюда, между прочим, сразу вытекает критерий применимости излагаемого метода. Нам необходимо, чтобы член a cos & был основным, а остальные лишь поправочными. Поэтому для применимости метода требуется, чтобы

« Я (п = 0, 2, 3, . ..).| R (ла)) | х v >>>/

Воспользуемся выражением (7.51) для уточнения формулы (7.50).

Имеем:

V = / (а cos 9 + £), где

(п=0, 2. 3, ...)

но так как ? должно быть мало по сравнению с первым членом, то напряжение V будет:

И = / (a cos 9) 4- £/' (а cos 9).

Разложив теперь полученное выражение в ряд Фурье, находим:

V = 2 /« (a) cos и» +

(п^О)

+ { 2 [Фп (а) cos n&+ Gn (a) sin п&]-]-Ф0 (а)},(7.52)

(п^1)

где сумма в фигурных скобках дает разложение в ряд Фурье функции;/' (a cos 9).

Нас особо будут интересовать значения Фх (а) и 61(а). Приведем поэтому соответствующие формулы:

2л

Фх (а) — А ^ ^' (a cos Я) cos Я с?Я,о2л

Gx (а) ~ V ^ ^' (а 008 $) 8*П ^ ^'0

Рассматривая опять стационарные колебания, приравняем первую гармонику напряжения из разложения (7.52) первой гармонике напряжения на линейном элементе:

Z (zco) a cos (ш? + ф) = R (<о) a cos (tot + ф -f-<p (w)),

после чего находим:

/х (<z) cos (tot + ф) + Фх (а) cos (tot + ф) + ^i (а) sin (tot + ф) =

= R(to)a cos (tot + ф + <p (о))), откуда получаем уточненные уравнения гармонического баланса:

7? (<о) a cos <р (<о) = /х (а) 4- Фх (а),

7? (to) a sin<p (ш) = — Gx (а), или

(7.53)(7.53)Х(ш) = ^ (а)^Ф1 (а)

(7.53)

(7.53)

х 7а

Упростим теперь выражения для Ф^#) и Gx(a). Имеем:

фх (а)= 2 щ^у ^ ^ ^ ^а cos $)cos ^cos ^ — ^ ^^ ^ = (n^l)0

d% (а)

= V 5 r COS <p (n<o),

(n^l)

2л

Gi(a)= 2 ^S V 5^ ’ ^a COS $) Sin $ Sin ^ ~ ? ^^ db = (n^l)0

2л

= ^ щ^cos<p(nw)-^-^ /'(tz cos d) sind sin n&dd. П=;Ы)0

Ho

2л2л ।

— \f(a cos sin & sin n% d% =—sjn n%d% =

л j ' '7ал Л ЭЭ■

о0

2tc

= — ^ j(a cos Я) cos пЯ

o

т. е.

Gi^ = 2 ^2rcosvM-(n^2)

Таким образом, уточненные' уравнения гармонического баланса для стационарных колебаний будут:

^/п (°)

-ХДи>) = ^1^ + АУcos tp (raw),

(п=о, 2, з,...)}(7.54)

У(ш)= — Уcos у (raw).

V '^ O^R (710)) г х '

Сравнивая их с уравнениями первого приближения (7.49), видим, что здесь уже отражено влияние обертонов колебаний. Полученными формулами (7.54) можно также воспользоваться для более детального выяснения пределов применимости уравнений первого приближения.

Отметим еще, что приведенные результаты можно было бы получить и методом асимптотических разложений. Для этого целесообразно представить основное уравнение колебательного процесса (7.47), например, в форме

{(Р2 + ^2) Q ^ + е5 (р^ I = ef (Z). (7.55)

Нелинейные колебательные системыс медленно меняющимися параметрами

Рассмотрим теперь нелинейную колебательную систему, у которой некоторые параметры, например масса системы, жесткость, коэффициент трения и др., медленно изменяются со временем («медленно» по отношению к естественной единице времени — периоду собственных колебаний). В этом случае мы приходим к рассмотрению следующего нелинейного дифференциального уравнения с медленно меняющимися коэффициентами:

(8Л)

в котором, как и ранее, s —малый положительный параметр, -=$Z — «медленное» время.

Построение приближенных решений уравнения (8.1) не вызывает дополнительных принципиальных затруднений и может быть осуществлено с помощью изложенного нами выше асимптотического метода. Отметим, что для построения асимптотических рядов необходимо, чтобы коэффициенты уравнения (8.1) гаг (-с), А(т), а также /^т,ж, ^^) имели достаточное число производных по т для всех конечных значений и, кроме того, для любых т на интервале 0<т<Л (только на этом интервале времени^О, ™^ мы будем рассматривать колебательный процесс, описываемый дифференциальным уравнением (8.1)) к(т)=^О, т (т) ^ 0 и положительны.

Совершенно очевидно, что если в коэффициентах уравнения (8.1) считать т некоторым постоянным параметром, то мы получаем уравнение,

рассмотренное нами в § 1, для которого построены асимптотические формулы, учитывающие все те дополнительные явления, которые возникают в колебательной системе из-за нелинейного возмущения. При г = st, т. е. если в исследуемой нелинейной колебательной системе некоторые параметры будут изменяться со временем, хотя и медленно,, естественно ожидать еще некоторых дополнительных изменений в решении, не наблюдаемых в колебательных системах с постоянной массой,, жесткостью и т. д. Такими дополнительными явлениями будут, например, зависимость «собственной» частоты от «медленного» времени и др.

Учитывая все это, естественно искать общее решение уравнения 8.1) в виде разложения:

ж = acos ф -|- ва1 (т, а, ф) + г3а2 (т, а, ф) + .. .,(8.2)-

в котором аДт.а, ф), м2 (т, а, ф),... являются периодическими функциями угла ф с периодом 2т, а величины а и ф как функции времени определяются уже следующими дифференциальными уравнениями:

(8.3).(8.3).^ = еАг М + г2Л2(т, а)+..., У^ш^ + гВ^, а) + г252(т:, а) +

(8.3).

(8.3).

гДегДе«собственная» частота рассматриваемой колебатель

гДе

гДе

ной системы. Таким образом, как и в § 1, задача построения асимптотических приближенных решений уравнения (8.1) сводится к определению выражений для функций

мт (т, а, ф), а2 (т, а, ф), ..., Аг (т, а), А,, (т, а),. . ., Вт (т, а), В2 (т, а),... (8.4)

и последующему интегрированию системы уравнений (8.3), определяющей амплитуду и полную фазу колебания.

Как и в § 1, для однозначного определения функций, стоящих в правых частях уравнений (8.3), необходимо наложить дополнительные условия на функции аДг, а, ф), м2 (^ а, ф), ... В качестве таких условий принимаем опять-таки условия (1.8), которые должны в данном случае выполняться для любых т на интервале 0<t<L. После сделанных предварительных замечаний приступим к определению функций (8.4). Для этого дифференцируем правую часть выражения (8.2) с учетом уравнений (8.3) и подставляем в уравнение (8.1), правую часть которого раскладываем в ряд Тейлора. Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем следующие уравнения:

т ^т ^^pr+^^^i ] = /о(т- а' ф) + 2т(т:)(1)(т)Л181пф +

т ^

т ^

+ 2т (т) со (т) Вг cos ф р- rf (m ^^ ^^ a sin ф,(8.5)

^(-.а, ф) + ти(Д [2<u(-.)a7i,-^^^^] со8ф +

+ «г (О [ 2<о (г) А2 -1- 2АА + а ^ Л, + ^ -|- ^ ^у ] sin ф, (8.6)

где введены обозначения:

/0(т, а, ф) =/(t, а совф, —mo sinф),(8.7)

/, (t, а, ф) = Д (t, a cos ф, — aw sin ф) иг 4-

+ fx' Ь, a cos ф,+ fx' Ь, a cos ф,— mo sin ф) [ гД cos ф — аВх sin ф + ^ w

+ fx' Ь, a cos ф,

+ fx' Ь, a cos ф,

— т (т)— т (т)[2Д<о:(т) + 2^1Л1(1>(г)+2^(»И81 +

— т (т)

— т (т)

|_ от оф ' ' ОаОф 1' оф2 ' ' х

(8-8)(8-8)диг dm (т) Эиг <о (т) dm (т) "1

(8-8)

(8-8)

дф dt ' дф т (т) dt J '

Далее, из уравнения (8.5), учитывая условия отсутствия первой гармоники в функции их^, а, ф), находим:

“1(т-а’^=2^ 2а> ф)е-™ф<1ф.(8.9)

п^Ь±1О

Но условие отсутствия первой гармоники в (8.9) дает нам следующие выражения для ЛДт, а) и Вх (т, а):.

■д , -XЯ d (?) (О (г)]'

1 ' ’2т (?) «> (?) dt

— о\ /о(', а> ф)з1пфс/ф, , 2тт (?) (О (?) Jт т у (8.10)

2л

В, к, а) =f0 (t, а, ф) cos фс?ф.

1' 2ит (?) со (?) а j’

0

Таким образом, в первом приближении асимптотическое решение уравнения (8.1) следует искать в форме

ж = асо8ф,(8.11)

где а и ф должны быть определены из уравнений первого приближения: daга d [т (z) <о (т)]ч

dt 2т (-.) ® (т) du

'•’\ /о а> Ф) sin Ф

2^^®^Y )(8Л2)

= (о (т) — тf0 (y, а, ф) cos фс?ф. at v ' 2кт (т) со a j 1 и ' ’ ’ т/ т 1

О

Заметим, что по аналогии с § 7 уравнения первого приближения (8.12) можно записать в виде:

(т, а) а,(т, а) а,daга d [т (г) <о (т)] А

(т, а) а,

(т, а) а,

.13).13)dt 2т (t) <о (-) dr0|

.13)

.13)

$=<ое (т, а),

где Зе (г, а) и ше (т, а) являются соответственно эквивалентным декрементом затухания и эквивалентной частотой, причем они отличаются

от приведенных в § 7 аналогичных выражений только наличием «медленного» времени и определяются выражениями:

2тих

(т а) = —.— \ /0 (х, а, ф) sin ф dф,

■е 2,>(8.14)

Ю1 (х, а) = О)2 (т) - J . t /0 (х, а, ф) cos ф йф.

' о)

Для построения второго приближения необходимо найти из условия отсутствия первой гармоники в функции и2 (х, а, ф) выражения для Д (х, а) и В^а).

Исходя из уравнения (8.6), имеем;

й х '2(о (т) L 1 ат 1 1 1 т (т) di 1 J

2тс

о\ А а> Ф) sin Ф

.2кт (т) (о (т) J ,1К т/ ' т т

о /\1 Г 9Аг . 9Аг № .1 dm (х) , 1(8.15)

В2(х, а) = „ . .+— аВХА■ , Д —

z '2ш (т) a L 9а 1 9т 1 т (т) ат 1J

2тс'

о/ X / X \ а> Ф) Cos Ф2лт(х)ш(т)а Jт т

О

и следовательно, асимптотическое решение уравнения (8.1) во втором приближении будет:

х = a cos ф + гих а, ф),(8.16)

где а и ф должны быть определены из уравнений второго приближения:

§ = еД (х, а) + еМ2(х, а),'

(8Л7> А = ш (^Н-еВДт, а) + г2В2(х, а).

Здесь Д(т, а) и В1(х,а) определяются выражениями (8.10), Л2(х,а) и В2 (х, а) — выражениями (8.15), а м1 (х, а, ф) — согласно формуле (8.9). Заметим, что во всех полученных формулах при интегрировании по ф ечитаем а и х постоянными параметрами.

Сопоставляя полученные выражения для первого и второго приближения с результатами § 1, убеждаемся, что общая схема построения решений для случая колебательной системы, описываемой уравнением (8.1), будет такая же, как и в случае системы, рассматривавшейся в § 1. Полученные нами уравнения первого приближения отличаются от уравнений (1.24) наличием «медленного» времени и дополнительного слагаемого

га d [m (т) ш (т)]

2т (т) ш(х) 9т ‘

Таким образом, в первом приближении медленная изменяемость массы и коэффициента упругости, кроме нарушения гармоничности колебаний, вводит дополнительные «силы трения», знак которых будет зависеть от того, каким образом изменяются параметры исследуемой колебательной системы.

Остановимся еще на следующем обстоятельстве. При построении асимптотических приближенных решений мы сводим интегрирование одного уравнения второго порядка (8.1) к интегрированию двух уравнений первого порядка (8.12) или (8.17), которые во многих случаях не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях, и поэтому их решения приходится искать при помощи численных методов.

Используя численные методы, можно было бы проинтегрировать непосредственно уравнение (8.1), однако это сложная задача, требующая чрезвычайно много времени и в большинстве случаев трудно выполнимая в связи с возможностью накопления большой систематической ошибки. Численное же интегрирование уравнений первого (или второго) приближения не представляет затруднений ввиду того, что в этих уравнениях переменными являются амплитуда и фаза, а не сама осциллирующая функция х. Для получения полной картины процесса здесь достаточно вычислить небольшое количество точек, расположенных на сравнительно «гладкой» кривой, что существенно упрощает численное интегрирование, в то время как при интегрировании непосредственно уравнения (8.1) нам пришлось бы находить не огибающую, а непосредственно синусоиду.

Заметим, что для составления как уравнений первого приближения (8.12), так и второго приближения (8.17) нет необходимости пользоваться формулами (8.10) или (8.15). Мы можем для составления этих уравнений, так же как и в случае уравнения (1.1), воспользоваться непосредственно уравнениями гармонического баланса, которые в нашем случае имеют вид

2тс о

г) (х;cos ф = 0,

V dt У J я=асо8Ф+... т т

2тс1

С f Г / \1 । у / \

з Ь7МтЬ7]+^<-)ж-

0'

s/ ( т, х,sind>dtb = O.

' X ’ dt ) J х=а cos Ф+...т т

Подставляя в подынтегральные выражения значения х,Подставляя в подынтегральные выражения значения х,dx"dt ’dx"dt ’d^xd^x

Подставляя в подынтегральные выражения значения х,

Подставляя в подынтегральные выражения значения х,

dx

"dt ’

dx

"dt ’

d^x

d^x

найденные из (8.2) с точностью до величин первого порядка малости, с учетом, разумеется, того, что а и ф являются функциями времени, удовлетворяющими уравнениям (8.3), и производя интегрирование, получим для ЯД1!, а) и В-^, а) выражения (8.10). Учитывая при подстановке х, ^ , ^ также величины, пропорциональные г2, получим для Л2(т:, а) и в2(т> а) выражения (8.15).

Заметим, что при вычислении интегралов (8.18) т, как и а, считаем некоторым постоянным параметром и интегрирование ведем только по ф.

Рассмотрим еще некоторые частные случаи уравнения (8.1), для которых уравнения первого приближения (8.12) принимают совсем простую, форму.

Допустим, что в трение, и уравнение,Допустим, что в трение, и уравнение,исследуемой колебательной системе отсутствует описывающее движение, имеет следующий вид:

Допустим, что в трение, и уравнение,

Допустим, что в трение, и уравнение,

(8.19)(8.19)^ [^^^J + с(т)ж = е/(«:, ж).

(8.19)

(8.19)

В этом случае уравнениями первого приближения будут:

da ея d [m (т) <о (т)]'

dt 2т (т) (о (т) dt ’

тс

^=ю(т)f0 (Т> C0S

at х 7(?) со (?) a J ,0 х ’’т т

О.

Система уравнений (8.20) может быть проинтегрирована до конца. Действительно, из первого уравнения находим:

аадо[т (?) to (т)]1^2 ’до[т (?) to (т)]1^2 ’(8.21)(8.21)

а

а

до

[т (?) to (т)]1^2 ’

до

[т (?) to (т)]1^2 ’

(8.21)

(8.21)

где а0 —начальное значение амплитуды при < = 0. Подставляя найденное значение амплитуды во второе уравнение системы (8.20), получим:

1

0 = ше (т) dt,(8.22)

0] где.

ше м = «> (0 - Е- ф) cos Ф ^Ф- (-23)

2т [т (-) ш (-)] ,2я0 J \ [т (г) ш (т)] ,2/

Таким образом, в первом приближении колебания, описываемые уравнением (8.19), будут «синусоидальными» с амплитудой, обратно пропорциональной у т (т) «о (т), и фазой, изменяющейся согласно формуле (8.22).

В качестве второго частного случая рассмотрим систему с медленно меняющейся массой т^), находящуюся под воздействием линейной упругой силы & (т) ж с медленно меняющимся коэффициентом упругости и нелинейного трения, зависящего от скорости и «медленного» времени. Колебания этой системы описываются уравнением

d Г , . dxl , 7/ dx^d Г , . dxl , 7/ dx^(8.24)(8.24)

d Г , . dxl , 7/ dx^

d Г , . dxl , 7/ dx^

(8.24)

(8.24)

вид:

da _ея d [т (с) ш (т)]

dt 2т (т) (о (т) d-

Е2ит (т) (о (т)

2 т

/0 (т, а, ф) sin d> d^, о

(8.25)

Из второго уравнения сразу находим закон изменения полной фазы колебания

t

(8.26)(8.26)ф = \ «) (т) dt.

(8.26)

(8.26)

о

Из системы (8.25) следует, что частота колебания, описываемого уравнением (8.24), в первом приближении не зависит от амплитуды, а зависит только от характера медленного изменения коэффициентов m (-t) и к (т).

В качестве примера рассмотрим колебания математического маятника постоянной массы (в случае переменной массы дополнительных затруднений не возникает) при наличии малого затухания, пропорционального первой степени скорости, и медленного изменения длины. К подобной схеме приводятся многочисленные задачи практики. Обозначая 6 угол отклонения маятника от вертикального положения, g— ускорение силы тяжести, т массу маятника, 1 = 1^— медленно изменяющуюся длину, 2п — коэффициент трения, получим дифференциальное уравнение

'^т72^)^+2га^[/^^^ (8.27)

Для небольших отклонений мы можем sin 9 заменить первыми двумя членами разложения в степенной ряд, после чего уравнение (8.27) можно записать следующим образом:

4 [ тР « 31 + "*81И » — /( «, ^ ) ,(8.28)

в котором

£К;-’fJi^?)=^^b3~2^<8-29>

В первом приближении согласно (8.11) и (8.12) имеем:

9 = a cos ф,(8.30)

где а и ф должны ближения:где а и ф должны ближения:быть определены из системы уравнений первого при-

где а и ф должны ближения:

где а и ф должны ближения:

da па Зе/' (т)

(8.31)(8.31)dt ml (г)4/ (т) а’

(8.31)

(8.31)

</ф z \®> М а3

dt^)

Интегрируя первое уравнение системы (8.31) при начальных значениях z = 0, а=а0, получаем выражение для а:

П (* mJ а = аое 0

dt

‘^ /1(0)

\ 1 (г)

^®/4

(8.32)

Подставляя найдем:

это

значение а во

второе

уравнение системы

(8.31),

Ф

= ) ш(-) 0

2n р dt

16

' / (0)>3/2х

(8.33)

Формулы (8.32) и (8.33) дают возможность построить график зависимости амплитуды и фазы от времени при медленном изменении длины маятника по произвольному закону.

Если в этих формулах положить 1 = const, то получим:

(8.34)(8.34)(8.36)(8.36)

(8.34)

(8.34)

(8.36)

(8.36)

«о (е U

16Х

где X = —^, у — начальное значение фазы.

Последние формулы совпадают с ранее найденными выражениями (2-44).

Допустим теперь, что длина маятника изменяется по линейному закону I (х) = 10 4-1^' 10 — значение длины при Z = О, г/х — скорость изменения длины маятника (для малого интервала времени всегда можно предположить с достаточной степенью точности, что длина изменяется по линейному закону). В этом случае для амплитуды и фазы имеем выражения:

п

(8'35)

Согласно формуле (8.35) амплитуда колебаний при медленном изменении длины маятника будет изменяться не по экспоненциальному закону, как при обычном линейном трении, а обратно пропорционально некоторой степенной функции времени. При этом очевидно, что при п < О, Zx > 0 и | ^^ ) < 4 ’ а также ПРИ и > 0 и 1Х > 0 колебания за* тухают.

Таким образом, медленное увеличение длины маятника, как и следовало ожидать, способствует затуханию колебаний. Если 1Х < 0, п > О

I I 3| 71 I 3»-

и 7*^7 < "4" > то амплитуда возрастает, а при L "4 — убывает. При 1Х < 0 и п < 0 амплитуда возрастает. При отсутствии затухания (и = 0) амплитуда колебаний возрастает с уменьшением длины и убывает с увеличением длины.

Аналогичный анализ может быть проведен и для частоты колебаний. Так, например, при отсутствии затухания мгновенная частота уменьшается при увеличении длины маятника и увеличивается при уменьшении длины.

Подсчитаем для данного примера колебаний маятника с медленно меняющейся длиной второе приближение.

Согласно формулам (8.16), (8.9) и (8.17) после ряда выкладок имеем:

О = a cos ф — ^ cos Зф,(8.37)

где а и ф должны быть определены из системы уравнений второго

приближения:

da _/ 3Z' (т). п\ /.^Л‘

(8.38)(8.38)dt\ 4Z (t) S' ml ^ ) \Я 16 ) ’

(8.38)

(8.38)

dt162<o (r) \т2?ЬГ(

"^mZ2^)^ 4Z(r)29-316Z2 (t) J ’ j

которые тоже могут быть проинтегрированы до конца. Так, из первого уравнения системы (8.38) получаем следующее соотношение между а и Z:

ае т h(8.39)

/164-а2 /16+а§ХН^ УV 4

после чего можем проинтегрировать также и второе уравнение системы (8.38).

ГЛАВА II

МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

§ 9. Траектории на фазовой плоскости^ Особые точки

Излагавшиеся ранее асимптотические методы ограничены в 'своем применении требованием наличия в уравнении малого параметра. Однако во многих случаях нам приходится иметь дело с уравнениями более общего типа, к которым эти методы неприменимы.

Если уравнения, описывающие движение исследуемой динамической системы, могут быть приведены к виду

^""^(^’У)’ ^Qkx, у),^""^(^’У)’ ^Qkx, у),(9.1)(9.1)

^""^(^’У)’ ^Qkx, у),

^""^(^’У)’ ^Qkx, у),

(9.1)

(9.1)

то для них можно применить качественные методы исследования. К уравнениям типа (9.1) сводятся все те уравнения, которые были рассмотрены ранее. Кроме того, как увидим далее, при исследовании колебательных систем слабо нелинейных, но находящихся под воздействием внешних периодических сил в качестве уравнений первого приближения получим также уравнения типа (9.1).

Для качественного исследования решений уравнений (9.1) целесообразно рассматривать ж, у как координаты точки на плоскости. Эта плоскость, как известно, называется фазовой плоскостью, а точка х, у — фазовой точкой. Движение х = х^, у = у ^ совершается по некоторой линии, которая называется фазовой траекторией. Построение фазювой траектории для данной системы означает построение кривой, выражающей для заданного движения зависимость скорости от смещения.

Фазовая плоскость с имеющимися на ней фазовыми траекториями дает возможность сразу увидеть всю совокупность движений, могущих возникнуть в рассматриваемой динамической системе.

Для построения фазовых траекторий необходимо найти решение системы уравнений (9.1) ж = ж(<), у = у (<). представляющее собой уравнение фазовой траектории в параметрической форме, либо найти характеристики, т. е. интегральные кривые уравнения

(9.2)(9.2)(9.3)(9.3)^у = ^ (ж> у) dx Р (х, у) ’

(9.2)

(9.2)

(9.3)

(9.3)

дающие непосредственно зависимость между х и у. Остановимся сначала на простейших случаях. Рассмотрим уравнение линейного вибратора:

S + ^ + kx = O.

Полагая

приводим уравнение (9.3) к виду

— кх,

(9.4)(9.4)dtа ’

(9.4)

(9.4)

’ Предположим, что трение невелико, т. е.* № <к, ‘к >*0; тогдарешение системы (9.4) запишется в виде

(9.5)(9.5)х = ае*м cos (ш^ + а), у = — №е*м sin (иу + а + d).

(9.5)

(9.5)

где ш”— к— h2, & = arctgi, а и а — произвольные постоянные, определяющиеся начальными, значениями.

Выражения (9,5) представляют собой уравнейия фаЗовой_траектории в параметрической форме. При их помощй не представляет Затруднений проанализировать характер движения фазовой точки на фазовор плоскости.

Заметим, что система (9.4) определяёт в'Каждой точкс.фазовой плоскости единственную касательную к интегральной кривой, за исключением точки ж = О, у = 0. Наклон касательной определяёГсЯ’ выражением

(9.6)(9.6)dy _ —Угу— кх dx— у

(9.6)

(9.6)

В точкё ж = 0, у = 0 направление касательной становится'неопределённым. Такие точки носят название критическихили особых ■ точ&к.

Рис. 41.Рис. 41.Для простейших особых точек (особых точек первого порядка, или элемента р- ных точек) через!особую точку либо не проходит ни одной, либо (прохо;- дит больше чем одна интегральная кривая.

Рис. 41.

Рис. 41.

Допустим сначала, что h = 0. Тогда решения (9.5) принимают вид

(9.7)(9.7)х = a cos (™/ + а), у = — am sin (mt + а).

(9.7)

(9.7)

На фазовой плоскости получаем семейство подобных эллипсов (рис. 41), причем через каждую точку фазовой плоскости проходит только один эллипс, соответствующий определенным начальным условиям.

Исключая из выражений (9.7) время t, получаем уравнение семейства эллипсов в виде

которое мы могли бы также получить, интегрируя непосредственно уравнение (9.6) при /г = 0.

Через начало координат не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка, вблизи которой интегральные кривые замкнуты и охватывают особую точку, называется центром.

Так как в данном случае все фазовые траектории являются замкнутыми кривыми, эллипсами (за исключением траектории, выродившейся в точку ж = 0, у = 0), то движение будет периодическим.

Особой точке х = 0, у = 0 соответствует состояние равновесия в рассматриваемой колебательной системе.

Совершенно ясно, что и в общем случае уравнений (9.1) состояниям равновесия системы соответствуют на фазовой плоскости точки, для которых одновременно 57 = 0, ^ = 0, т. е. особые точки уравнений (9.2).

Периодическим жеПериодическим жедвижениям, происходящим в системе, на фазовой

Периодическим же

Периодическим же

плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории уравнения (9.2).

В дальнейшем нам придется пользоваться понятием устойчивости состояния равновесия.

Приведем здесь только определение, не вдаваясь в детали. Состояние равновесия является устойчивым, если при любой заданной области допустимых отклонений от состояния равновесия (область т]) мы можем указать область о (ц), окружающую состояние равновесия и об-

рис 42.падающую тем свойством, что ни одно

движение, начинающееся внутри 6(т]), никогда не покинет области ц (рис. 42). Аналитически это определение устойчивости может быть выражено

следующим образом: состояние равновесия х = х0,'д = ,у0 называется устойчивым, если для любого наперед заданного, сколь угодно малого ц можно

найти такое о (ц), что если для t = t0

M'o)-^! <8(l), |y(zo)-yoK 8h),

то и для любых t, таких, что Zo < Z < оо,

]щ(г) —щ0|<^» !у(О-Уо! <ч-

Нетрудно видеть, что состояние равновесия типа центра является устойчивым состоянием равновесия.

Пусть теперь h > 0, что соответствует затухающему колебательному процессу. В этом случае получаем согласно выражению (9.5) на фазовой плоскости семейство спиралей, для которых начало координат является асимптотической точкой (рис. 43), причем чем меньше отношение ^- , т. е. чем меньше трение, тем ближе в течение одного оборота спираль к эллипсу.

Фазовая скорость в данном случае нигде, за исключением начала координат, не обращается в нуль, но непрерывно уменьшается по мере приближения изображающей точки к началу координат.

Фазовые траектории соответствуют в данном случае осциллирующим, но затухающим движениям, а особая точка а; = 0, у = 0 соответствует состоянию равновесия.

Рассматриваемая в данном случае особая точка, являющаяся асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, называется фокусом, причем при /t^>0 фокус будет устойчивым.

Пусть теперь h < 0. В этом случае мы опять получаем семейство спиралей (рис. 44), однако фазовая точка с течением времени будет удаляться от начала координат. Скорость движения изображающей точки по интегральной кривой, обращаясь в нуль при х = 0, у = 0, монотонно возрастает по мере удаления точки от начала координат. В данном случае положение равновесия неустойчиво, и особая точка х = 0, у = 0 представляет собой неустойчивый фокус.

Рис. 43.Рис. 43.Рис. 44.

Рис. 43.

Рис. 43.

Рассмотрим теперь случай, когда /г2 > к, что соответствует при h > 0 затухающему апериодическому процессу. В этом случае решение системы (9.4) можно представить в виде

где обозначено:где обозначено:х = Схе 91*-уС2е 9а*,

где обозначено:

где обозначено:

У = — Cvh е^1' — С^е-9»1,

— qx = — h + ]/7г2 — к,— q2 = — h — Vh? — к.

(9.9)(9.10)(9.11)(9.9)(9.10)(9.11)Для получения картины на фазовой плоскости умножим выражение (9.9) сначала на qx, затем на q^ и сложим с (9.10). Возводя полученные результаты соответственно в степени qx и q^, находим:

(9.9)

(9.10)

(9.11)

(9.9)

(9.10)

(9.11)

илиили(у + ^)91 = С(у + у2ж)92(9.12)

или

или

у + qxx = С <у + у2ж)91.(9.13)

На фазовой плоскости получаем семейство деформированных парабол (рис. 45), касающихся прямой у = — qxx в начале координат. Нетрудно установить направление движения изображающей точки по интегральным кривым. Изображающая точка будет двигаться по интегральным к ривым

в направлении, указанном на рис. 45 стрелками, т. е. всегда будет приближаться к началу координат. .

Точка х=0, у=0 будет особой точкой, причем все интегральные кривые проходят через нее. Особая точка такого типа называется узлом. В рассматриваемом случае положение равновесия будет устойчивым, и этому положению соответствует устойчивый узел.

Рассмотрим теперь характер интегральных кривых на фазовой плоскости для случая большого отрицательного трения к<0, №>к. В этом случае, воспользовавшись (9.13), получаем на фазовой плоскости семейство кривых параболического типа (рис. 46) с особой точкой тоже типа узла.

Рис. 46.Рис. 46.

Рис. 46.

Рис. 46.

Однако, анализируя движение изображающей точки, легко убедиться, что изображающая точка при движении по любой из интегральных кривых стремится уйти от состояния равновесия (см. рис. 46, на котором направление движения указано стрелками). Таким образом, рассматриваемая особая точка представляет собой неустойчивый узел, причем, как и выше, неустойчивость обусловлена тем, что /г<0. Заметим, что неустойчивость очевидна непосредственно из рассмотрения выражений (9.9) и (9.10).

Для полноты изложения приведем еще один тип фазовых траекторий, с которыми встретимся при дальнейшем изложении. Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение.

^ = 0,(0Д4)

где к положительно. Уравнение вида (9.14) получаем, рассматривая, например, малые отклонения маятника около верхнего положения неустойчивого равновесия.

Решение уравнения (9.14) будет:

х = С1е^м + с1е- ,1

■1 _?(9 15)

у = С1 |/кеУм _ сй укв~ ^ . J .

При помощи этих соотношений не представляет затруднений построить фазовые траектории. Действительно, согласно (9.15) легко получить соотношение•';

тг-& = 1’ ■(9-16)

представляющее собой уравнение семейства гипербол (рис. 47). При С=0 мы получаем две асимптоты этого семейства гипербол, проходящие

"У У-^к х"У У-^к х

"У У-^к х

"У У-^к х

через начало координат:

(9.17)

Начало координат является единственной особой точкой, причем, за исключением асимптот, ни одна интегральная кривая не проходит через- начало координат. Такая особая точка называется особой точкой типа

седла.

Рассматривая направление движения y-^jki изображающей точки на фазовой плоскости, приходим к выводу, что где бы ни находилась- изображающая точка в начальный момент (за исключением начала координат и асимптоты у =—Vk&\< °В8- всегда, в конце концов, будет удаляться от начала координат, причем движение будет носить апериодический характер, а не колебательный. Положение равновесия, Соответствующее особой точке типа седла, всегда будет неустойчивым ввиду - того, что движение по асимптоте у = = — У кх не может быть никогда точно реализовано, так как вероятность начального состояния, соответствующего движению к особой точке, равна нулю.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Прежде всего займемся изучением точек равновесия — особых точек уравнения (9.2), в которых

Р^х, у) = 0, . Q^x, у) = 0.(9.18)

Пусть Р(х, у) и Q (х, у) — вещест-Рис. 47.

венные аналитические функции. Пред

положим, что точки равновесия, т. е. решения уравнений (9.18), изолированы и, таким образом, число особых точек в любой ограниченной области конечно.

Тогда для анализа поведения динамической системы в окрестности данной особой точки х = х0, у = у0 положим

я = я0 + ая, у = у0 + 8у.(9.19)

Не нарушая формы уравнений (9.1), можем принять особую точку х = х0, у = у0 за начало координат. Тогда, подставляя (9.19) в уравнения (9.1), получим:

(9.20)(9.20)^ = сх + dy + Р^ (х, у),d^ = ax + by + Q2 (ж, у),

(9.20)

(9.20)

где для упрощения записи вариации 8ж, 8у заменены через х и у и введены обозначения:

c = P;(0,0), d = Py(0, 0), а = ^(0,0), b = Q'(O, 0),

а Р2(х, у) и Q2(x, у) — функции, обладающие непрерывными частными производными до второго порядка включительно и обращающиеся в начале координат в нуль вместе со своими частными производными первого порядка. '

Пренебрегая в уравнениях (9.20) членами высшего порядка по отношению к малым отклонениям от точки равновесия, получаем следующую систему с постоянными коэффициентами;

(9.21)(9.21)^ = cx-ydy,^-ax-Yby,

(9.21)

(9.21)

которая, как известно, называется «уравнениями в вариациях» около точки равновесия.

Характеристическое уравнение системы (9.21) будет:

(9.22)(9.22)X2 — (6 4- с) X — (ad — 6с) = 0.

(9.22)

(9.22)

Будем рассматривать только случаи, когда характеристические корни Хх, Х2 не равны нулю и, следовательно, ad — Ъс ф 0. Соответствующие критические точки называются особыми точками первого порядка или элементарными точками.

Решение системы уравнений (9.21) будет:

х= +С2е^,)

<9'23>

де Хх и Х2 определяются следующими выражениями:

(9.24)(9.24)(9.25)(9.25)xi = y[6 +с + У(Ь — с)2 + 4ad] ,X2=4t& + с — V^ — с)2 + 4ad\ ,

(9.24)

(9.24)

(9.25)

(9.25)

а хх и х2 — корни уравнения

tZx2 + (b — с) х — а = 0.

Анализируя правые части выражений (9.24), нетрудно установить, при каких соотношениях между коэффициентами уравнений (9.21) а, Ь, с, d правые части (9.23) стремятся к нулю или остаются ограниченными при i —» оо и, следовательно, соответствующая критическая точка будет устойчивой.

Для того чтобы критическая точка была устойчива, необходимо, чтобы b-Yc<0 при (b — с)2 + 4ad<. 0; в случае, если (b — с)2 -t 4ad > 0, то для устойчивости необходимо также, чтобы ad — be < 0, в противном случае критическая точка будет неустойчива.

Если &4-с = 0, то для устойчивости необходимо, чтобы (Ь— с)2 + + 4ad < 0. .

В случае, если Ь + с>0, критическая точка будет всегда неустойчива. .

Если ad—ЬсфО, то характер критической точки уравнений (9.1) по существу определяется характером ее первого приближения (за исключением случая, когда Ь + с = О), т. е. характером решения системы (9.21), полученной при замене Р(х, у) и Q(x, у) их членами первого порядка.

Совершенно очевидно, что присутствие отброшенных нами членов высшего порядка не изменит характера движения в окрестности точки равновесия в случае, если Re[X1( Х2] ^ 0, поскольку ясно, что отброшенные члены могут вызвать лишь малые добавки к «эффективным» значениям декремента затухания. В случае, если Re [Хг] = 0 или Re [Х2] = О, то малые отброшенные члены могут повлиять на характер движения, поскольку его устойчивость как раз и будет определяться этими малыми добавками.

Рассмотрим, например, уравнение

у + ЧгУ+^о-<9-26>

(9.27)(9.27)которое можно записать в виде а!-=_-к^-х, dx dt=y-

(9.27)

(9.27)

Для исследования характера точки равновесия х = 0, у = 0 получаем уравнения в вариациях

согласно которым точка равновесия х = 0, у = 0 устойчива, так как 6 + с = 0, 4ad= — 4 < 0.

Как видно, для уравнений (9.27) характер движения меняется, так как наличие в уравнении (9.26) члена ^(^^)3 приведет к затуханию колебаний или к неограниченному возрастанию, в зависимости от того, будет ли X положительна или отрицательна.

Приведем здесь теорему, являющуюся весьма частным случаем теоремы Ляпунова.

Пусть в уравнениях (9.20) Р2 (ж, у) и Q2^, у) — функции, обладающие непрерывными частными производными до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки х = 0, у = 0. Пусть в этой точке Р^х, у) и Qa^x, у) со своими частными производными первого порядка обращаются в нуль. "

Тогда, если для соответствующей системы «первого приближения» (9,21) вещественные части корней характеристического уравнения (9.22) отрицательны, тривиальное решение х = 0, у =0 системы (9.20) устойчиво по Ляпунову.

Больше того, все решения системы (9.20), исходящие из начальных точек, достаточно близких к (0, 0), будут асимптотически приближаться к тривиальному решению при t —>+со.

Доказательство этого утверждения весьма просто можно получить следующим путем.

Пусть

х = иХ2Л' у = и22Л /х = иХ2Л' у = и22Л /(9.29)(9.29)

х = иХ2Л' у = и22Л /

х = иХ2Л' у = и22Л /

(9.29)

(9.29)

будут решениями уравнений 'первого приближения при начальных условиях:

. tfu(O) = l, t/21(0)-0,( ^12(0) = 0-, ZZ22(0) = l.

Тогда-нетрудно заметить, что уравнения вида ^ = схл-ДуА-Рх^, ■/>-^ = а$^Ьу-^Е2^;

интегрируются с помощью квадратур:

х = ихх^х(0) + V {qu(/-^:ЕХ^А-ихгkt-^FiМ)

У = UM W у^+^ {U2X (< - г) Ех (г) 4-' им ^ - г) F^ (г)} ^. о

Воспользовавшись этими формулами для уравнений (9.20), получим:

^(^ = ^11 (^/(0)+ j VUh^-^P^x^, у(т)) +о V

+ tM^-^X?,^), y^dx, >(д^0)

yW = UM^)y (0)+ J iJJ2x (t --') Р2(х(-'), yW+ .

'.+ ^22'(<-'c)<?2(^(^), y^dt. ,

Мы заменили тем самым систему , дифференциальных уравнений (9.20) системой интегральных уравнений. ,

Подчеркнем, что ввиду того, что вещественные части корней характеристического уравнения (9.22), по предположению, отрицательны, функции Uab (<) будут экспоненциально затухать, так что можно написать:

^ХкеЛ(9.31)

где к и а — положительные постоянные.-

Будем исследовать интегральные уравнения (9.30) с помощью обычного метода последовательных приближений..О1

Воспользовавшись оценкой (9.31), найдем, что при достаточно малых начальных значениях ж(0), у(0):.

- 1) I жп (0 I < Ce~ai, | уп (t) | < Ce~at, С — постоянная, не зависящая от п.

жп(<), уп(<) сходятся к решениям x^t), у (t) равномерно для всех t на интервале (0, со).

Отсюда и вытекает, что x^t\ у (t) будут стремиться к нулю при t —> ■ •■ со......

. Перейдем теперь к анализу характера критических точек на фазовой ПЛОСКОСТИ.' .

Для этого надо рассмотреть поведение характеристик в окрестности особой ТОЧКИ.-'"

Уравнение характеристик в параметрической форме дано выражениями (9.23), согласно которым не представляет затруднений построить интегральные кривые и проанализировать йх характер в зависимости от соотношений между коэффициентами a, b, с, d. ■

. Рассмотрим различные случаи.

Пусть (Ь — с)2 + 4ad < 0; в этом случае правые части выражений (9.23) имеют колебательный характер. Если Ь-\-с = О, то в окрестности критической точки характеристиками является семейство подобных эллипсов, охватывающих особую точку, которая в данном случае будет особой точкой типа центра. Если 6 + с=^0, то характеристики представляют собой семейство спиралей, для которых асимптотической точкой является критическая точка типа фокуса, причем в случае, если 6 + с<0, характеристики стремятся к началу координат при t —>со, и фокус будет являться устойчивой особой точкой; если 6 + с>0, то характеристики будут стремиться к началу координат при^-^ — со; в этом случае фокус будет неустойчивой особой точкой.

Пусть ^b — cY-V4ad - 0. Тогда, исключая из выражений (9.23) время, получим уравнение характеристик на фазовой плоскости в окрестности критической точки в виде

Хг

у_Х1Ж = с((у — хгхух. (9.32)

Последнее выражение, как уже указывалось выше, представляет собой уравнение семейства парабол или семейства гипербол в зависимости

от знака показателя степени р. Если ^->0,. то (9.32) представляет

собой, уравнение семейства парабол. Таким образом, если ad — bc<0, критическая точка является узлом, устойчивость которого, зависит от

знака выражения Ь-\-с.

В случае, если ^- < 0, что будет при ad — be > 0, то (9.32) является уравнением семейства гипербол и критическая точка является особой точкой типа седла.

Рассмотрим теперь случай, когда (6 — с)2 + 4ad = 0 и когда, следо- дательно, корни характеристического уравнения (9.22) равны и вещественны: < кх = Х2 = у (^ + с) •

Тогда, если a = d = 0, b = c = \, согласно уравнению (9.21) получаем;

(9.33)(9.33)^У = У.dx х

(9.33)

(9.33)

и уравнение характеристик у = сх представляет собой уравнение семейства прямых, проходящих через начало координат. Особая точка х = 0, у = 0 в этом случае тоже называется узлом.

В общем же случае необходимо в уравнениях (9.21) сделать замену переменных согласно формулам:'

$ = ах у, 1

2 '(9.34)

. У = у.I

Тогда, после исключения времени t, получаем следующее уравнение:

S-t+f-""<9-35)

решение которого

4

7]=yUn$ + C$

(9.36)

представляет собой совокупность кривых, проходящих через особую точку и представленных на рис. 48. Особая точка опять является узлом,

причем узел будет устойчивым при Ъ + с < 0 и неустойчивым при b + с > 0.

Результаты проведенного рассмотрения даны в табл. 5

Таблица 5

1

(6—c)24-4ad<0

Нс^О фокус

64-c=0 центр

6-|-с<0 устойчивый фокус b-VoO неустойчивый фокус

2

(6—c)24-4ad=0

узел

&+^<0 устойчивый узел 64-0О неустойчивый узел

3

(6—с)2-|-4ас? >0

ad—6с<0 узел

ad—6с>0 седло

64-с<0 устойчивый узел

6-рс >0 неустойчивый узел

Перейдем теперь от локального исследования характера движения вблизи особых точек к исследованию поведения интегральных кривых на всей фазовой плоскости.

Для получения ориентировочного представления о возможном характере поведения интегральных кривых на фазовой плоскости рассмотрим вначале приближенное решение уравнения (1.1), описывающего колебания системы с малой нелинейностью:

х = a cos ф + ах = a cos ф + аУ = ^ = —ашзтф + гУ = ^ = —ашзтф + г(9.37)(9.37)

х = a cos ф + а

х = a cos ф + а

У = ^ = —ашзтф + г

У = ^ = —ашзтф + г

(9.37)

(9.37)

где амплитуда колебаний а и фаза ф определяются следующими уравнениями:

^=-8(”)«. '

Выражения (9.37) представляют собой уравнения фазовых траекторий в параметрической форме. Поведение этих фазовых траекторий будет зависеть от корней уравнения

Ф(а)=а8(а) = 0, (9.39) соответствующих стационарному режиму в колебательной системе, а также от знака функции Ф« (а).

Тривиальный корень а = 0 соответствует, очевидно, состоянию равновесия.

Пусть уравнение (9.39) имеет ряд корней, для которых Фа(а)=£0. Тогда мы получаем положение, изображенное на графиках типа рис. 49 или 50.

Очевидно, что в первом случае а^ и а3 являются корнями уравнения (9.39), соответствующими устойчивому стационарному режиму в колебательной системе, а а2 соответствует неустойчивому режиму, а = 0 является неустойчивым состоянием равновесия. Во втором случае а = 0 будет устойчивым положением равновесия, а1 и а3 соответствуют неустойчивому стационарному режиму, а а2 — устойчивому стационарному режиму.

Переходя к фазовой плоскости, мы получим точку равновесия и ряд замкнутых кривых, близких к эллипсу:

5"+& = t (a = av а2, а3, ... ).(9.40)

На рис. 51 и 52 приведена картина на фазовой плоскости соответственно для двух рассмотренных выше типов корней уравнения (9.39).

Таким образом, на фазовой плоскости мы получили особую точку, соответствующую нулевому корню, и замкнутые траектории, соответствую-

щие корням уравнения (9.J39) av аг, а3,... Все остальные фазовые траектории будут асимптотически стремиться к этим замкнутым траекториям при t—»со или при t—>—со.

В данном случае фазовая плоскость разделена на ряд полос, целиком заполненных интегральными кривыми, асимптотически приближающимися

к некоторой замкнутой интегральной кривой, которая называется предельным циклом, или к точке равновесия. Предельный цикл будет устойчив, если все интегральные кривые полосы достигают его при t—>со, и неустойчив, если они достигают его при 2—>—со.

■ Заметим, что в случае, если колебательная система консервативна, то ‘Ф(а) = 0,

и в системе возможен стационарный периодический режим с произвольной амплитудой, зависящей только от начальных. значений.

Этому случаю на фазовой плоскости соответствует семейство замкнутых циклов, окружающих особую точку типа центр (рис. 53).

Разумеется, приведенное нами рассуждение не является строгим и, самое главное, оно относится лишь к частному случаю систем, близких к линейному гармоническому вибратору, для которых возможна только одна особая точка. '

Общий случай системы (9.1) был исследован Пуанкаре с помощью

строгих качественных методов, причем в результате получается картина поведения траекторий на фазовой плоскости, являющаяся естественным обобщением приведенной выше.

Предположим, что система (9.1) описывает некоторый колебательный процесс. Этим самым мы исключаем из рассмотрения случай, когда на

фазовой плоскости могут существовать траектории, уходящие в бесконечность.

Тогда на фазовой плоскости имеем особые точки, замкнутые траектории и сепаратрисы — интегральные кривые, проходящие через особую точку типа седла. Сепаратриса играет особую роль, так как она разделяет фазовую плоскость на ряд областей, заполненных траекториями различных типов (рис. 54).

Любая незамкнутая интегральная

Рис. 53.Рис. 53.кривая или навивается на предель

Рис. 53.

Рис. 53.

ный цикл, или приближается к одной или ряду особых 'точек. Замкнутые циклы могут образовывать как непрерывное семейство,

так и дискретное.

Рис. 54.Рис. 54.Картина, при которой циклы образуют непрерывное семейство с особой точкой внутри типа центра, с физической точки зрения типична для консервативных систем.

Рис. 54.

Рис. 54.

В случае, если циклы образуют дискретное семейство, то они заключены в полосы, причем все интегральные кривые, заключенные в такой полосе, асимптотически стремятся к циклу, являющемуся в данном случае предельным. Если приближение к данному циклу совершается при t—»со, мы говорим об устойчивом предельном цикле. Если это приближение имеет место при t—»—со, то естественно говорить о неустойчивом цикле.1

Такая картина характерна для автоколебательных систем. Предельные устойчивые циклы изображают стационарные режимы автоколебаний, причем совершенно очевидна независимость стационарного режима в автоколебательной системе от начальных условий, лежащих в известных пределах. Разумеется, в случае наличия нескольких предельных циклов при существенном изменении начальных значений возможна переброска с одного предельного цикла на другой.

Приведенная картина поведения траекторий на фазовой плоскости очень наглядна, однако она с большим трудом поддается детализации при решении конкретных примеров.

До сих пор не существует достаточно общих теоретических методов для решения вопроса о существовании предельных циклов и определения места их расположения, за исключением случая систем, близких к линейным ($<<1).

При исследовании задач такого рода часто большое значение имеет понятие индекса, введенное Пуанкаре.

Возьмем на рассматриваемой фазовой плоскости некоторую замкнутую кривую Г, причем предположим, что эта кривая простая (т. е. не имеет двойных точек) и не проходит через состояния равновесия. Возьмем на

этой кривой некоторую точку5 и проведем через нее вектор, совпадающий с направлением касательной к проходящей через эту точку фазовой траек- тор ии.

Пусть непрерывная функция 6(t) определяет угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси Ох.

Если точка S сделает полный оборот по замкнутой кривой Г и вернется на прежнее место, то вектор совершит за этот период некоторое число оборотов и, следовательно, 6 (t) изменится на величину 2те/, где / — положительное или отрицательное целое число (рис. 55). Число / называется индексом замкнутого контура Г.

Очевидно, что число / может быть выражено криволинейным интегралом:

гг

Этот криволинейный интеграл берется от полного дифференциала; следовательно, если внутри области, охватываемой кривой Г, подынтегральная функция и ее производные непрерывны, то интеграл равен нулю.

Совершенно ясно, что такие свойства непрерывности могут нарушаться лишь в точках, для которых

/>2+<22 = о, т. е. в особых точках нашего уравнения.

Поэтому, если внутри кривой Г особых точек не содержится, то ее индекс равен нулю.

В общем случае, когда внутри Г имеется ряд особых точек, проведем построение, изображенное на рис. 56.

В этом случае сумма интегралов (9.41), взятых по кривой Г и кривым 1\, Г2, Г3, .,. , окружающим особые точки, равна нулю, поскольку в соответствующей многосвязной области, ограниченной кривыми Г, Г1; Г2, Г3, .. . , особых точек уже не содержится.

Поскольку кривым Гр Г2, Г3, ... мы приписываем обход, противоположный принятому в определении индекса, видим, что индекс кривой Г является суммой чисел, зависящих лишь от свойств соответствующей особой точки.

Эти числа и называются индексами особых точек. По данному определению, индекс какой-либо особой точки равняется интегралу

£ PdQ — QdP

2тг У P2 + Q2 ’г

взятому по кривой Г, окружающей лишь одну данную точку М, и не зависящему от формы Г.

Для фактического определения индекса можно, следовательно, взять в качестве Г эллипс

(ах + byY + (сжД- dyY = 1,(9.42)

сколь угодно близкий к точке равновесия. Здесь, как видно, мы поместили начало координат в рассматриваемую особую точку.

Тогда, пренебрегая в выражениях для Р (х, у) и Q (х, у) членами высшего порядка малости, получим:

l^^^^dd-ydxY(9.43)

где q = be — ad, или, в силу известного выражения для площади через криволинейный интеграл,

гдегдеI? II? I— площадь эллипса и, следовательно,— площадь эллипса и, следовательно,

где

где

I? I

I? I

— площадь эллипса и, следовательно,

— площадь эллипса и, следовательно,

I? Г

Отсюда сразу следует, что индекс Пуанкаре для узла, фокуса и центра равен + 1, а для седла — 1. Эти же результаты можно было бы получить, исходя из непосредственного рассмотрения картины на фазовой плоскости (рис. 57).

Следует подчеркнуть, что даже если мы знаем характер и местоположение особых точек, то этого еще совершенно недостаточно для общего суждения о поведении интегральных кривых дифференциального уравнения (9.2). Однако для ряда частных случаев можно прийти к важным заключениям.

Рассмотрим, например, некоторую замкнутую интегральную кривую, определяемую уравнением (9.2), без двойных точек и особых точек.

Так как вектор, касательный к такой кривой, при полном обходе кривой в положительном направлении поворачивается на угол 2х, то, следовательно, сумма индексов всех особых точек, находящихся внутри замкнутой интегральной кривой, равна 1.

Таким образом, очевидно, что внутри замкнутой интегральной ^кривой должна находиться, по крайней мерс, едва особая точка, причем если эта точка одна, то это центр, фокус или узел.

Если внутри замкнутой интегральной кривой имеется несколько особых точек, то число особых точек типа седла на единицу меньше числа особых точек остальных типов.

Понятие индекса дает возможность определить количество и местоположение предельных циклов для данного уравнения, т. е. выделить на фазовой плоскости некоторое число колец конечной ширины, в каждом из которых расположен только один предельный цикл.

Рис. 57.

Для этого нужно выделить йесколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружить их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области не было особых точек.

После этого надо исследовать направление вектора скорости изображающей точки на этих кривых. В зависимости от направления этого вектора можно вывести заключение о наличии предельного цикла, а также о его характере. Так, например, если вектор скорости изображающей точки направлен везде внутрь кольцеобразной области, то в данной ^области существует, по крайней мере, один устойчивый предельный цикл. Если вектор скорости везде направлен наружу, то существует, по крайней мере, один неустойчивый предельный цикл и т. д.

Приведем в заключение изящный пример), для которого легко определить предельный цикл аналитически.

Рассмотрим уравнение

(9.44)(9.44)dy _ (^ + у) V^2+у2 —У .dx (х— у) |®2+у2 — х

(9.44)

(9.44)

Делая замену переменных ж = рсоб(р, y = psinip, где р и ср — полярные координаты, получим уравнение

(9.45)

общий интеграл которого будет:

р = 1 + СеЧ(9.46)

где С — произвольная постоянная. Чтобы р было всегда положительным, необходимо, чтобы у<1п|С'| для С < 0. Семейство интегральных кривых в этом случае будет состоять из окружно- cjh радиуса р=1 (для С = 0), спиралей, выходящих из начала координат и асимптотически приближающихся к окружности изнутри (навивающихся на окружность изнутри) при у—» — со (для С < 0), и спиралей, асимптотически приближающихся к окружности снаружи (навивающихся на окружность снаружи) при у—> — со (для С > 0). Окружность с радиусом р = 1 будет в данном случае являться предельным циклом уравнения (9.44) (рис. 58).

§Ю. Метод Льенара

Во многих важных частных случаях нелинейное дифференциальное уравнение (9.2) удобно исследовать с помощью гра

фического построения интегральных кривых на фазовой плсскссти. Очень изящным методом графического построения интегральных кривых является метод, предложенный французским инженером Льенаром [26]. Этот метод позволяет изучить все типы движения, допускаемые данным уравнением, и найти предельные циклы.

Льенар исследовал уравнение вида

^ + /(я)$ + ^) = 0.(ЮЛ)

К уравнению такого типа, как известно, принадлежит уравнение Ван-дер-Поля, а также может быть приведено уравнение Рэлея и др.

После работы Льенара вопрос об установлении критериев существования и единственности предельного цикла для уравнения типа (10.1) был предметом исследования ряда авторов. Упомянем, например, работы В. С. Иванова, Левинсона и Смита, А. В. Драгилева.

Приведем формулировку теоремы А. В. Драгилева. Введем обозначения:

(10.2)(10.2)F (ж) = / (ж) dx, G (ж) = ^ g (х) dr.оо

(10.2)

(10.2)

Тогда, если:

g^ удовлетворяет условиям Липшица; ж£(ж)>0, ж ^ 0; G(oo)—-оо;

F (ж) однозначно определена в промежутке — оо < х < оо и для каждого конечного интервала удовлетворяет условиям Липшица и, кроме того, для достаточно малых | х | F (ж) < 0 при х > 0 и F (ж) > 0 при х < 0;

существуют число М и такие числа к и к', к' < к, что

F (х) > к, когда х > М,

F^^k', когда х<—М,

то уравнение (10.1) имеет, по крайней мере, один предельный цикл.

Как видно, здесь при весьма общих условиях устанавливается существование, по крайней мере, одного предельного цикла.

Вопросу о единственности предельного цикла посвящена теорема Левинсона и Смита:

Пусть

g (ж) — нечетная функция, такая, что g (ж) > 0 для ж > 0.

F (ж) — нечетная функция, причем существует значение ж0, такое, что F (ж) < 0 для 0 < ж < ж0 и F (х)>0 и монотонно возрастает для ж>ж0.

F (оо) = G (оо) = оо.

/ (ж) и g (ж) удовлетворяют условиям Липшица на любом конечном интервале.

В таком случае уравнение (10.1) имеет предельный цикл, и притом единственный.

Мы не будем останавливаться здесь на доказательстве этих теорем). ■ Рассмотрим более простой случай, когда выполнены следующие ограничительные условия:

/(ж)—функция четная, g (ж) — нечетная и, кроме того, ж# (ж) > 0 для любых ж, а / (0) < 0.

/ (ж) и g (ж) — функции аналитические.

F (ж) —» оо при ж —> оо.

Уравнение F (ж) = 0 имеет единственный положительный корень ж = а, и, кроме того, для ж>а функция F (ж) монотонно возрастает.

Как нетрудно видеть, этим условиям удовлетворяет уравнение Ван-дер-Поля, а также уравнение Рэлея.

Покажем, что при их выполнении уравнение (10.1) обладает единственным замкнутым циклом, который будет устойчивым. Доказательство проведем с помощью весьма наглядного и элементарного способа, приведенного в книге С. Лефшеца [24]. Положим

y=^^F^\^x,y} = ^+G^.(10.3)

При таких обозначениях у можно интерпретировать как кинетическую энергию, причем заметим, что введенную выше функцию G^ можно интерпретировать как потенциальную энергию.

Определим теперь энергию, рассеиваемую системой при колебаниях, описывающихся уравнением (10.1). Имеем:

или, принимая во внимание (10.1) и обозначения (10.2) и (10.3), находим после сокращения на dt:

d~K — F{x)dy.(10.4)

Таким образом, энергия, рассеянная системой, будет выражаться величиной интеграла ^ F (ж) dy, взятого вдоль интегральной кривой.

Переходя к переменным х, у, из уравнения (ЮД) получим эквивалентную ему систему:

(10.5)

Таким образом, нам надо показать, что система (10.5) обладает единственным устойчивым циклом.

точкой системы (10.5) на фазовойточкой системы (10.5) на фазовойСистема уравнений (10.5) обладает следующими очевидными свойствами:

точкой системы (10.5) на фазовой

точкой системы (10.5) на фазовой

если ж(<) и y(Z) являются решениями системы уравнений (10.5), то в силу приведенных ограничений — ж (Z), — у (Z) также будут решениями (так как F (х) — функция нечетная); следовательно, кривая, симметричная интегральной кривой по отношению к началу координат, является также интегральной кривой уравнения (10.5);

единственной критической

плоскости является начало координат, и поэтому предельный цикл дол

жен окружать начало координат;

(10.6)(10.6)наклон интегральной кривой Г определяется следующим уравнением:

(10.6)

(10.6)

dxу — F (ж) '

Так как g(0) = 0, то все касательные к траектории Г в точках, лежащих на оси Оу (за исключением начала координат), горизонтальны.

С другой стороны, если мы рассмотрим кривую А, уравнение которой будет у —Fix') =0 (рис. 59, пунктирная линия), то нетрудно заметить, что все касательные к Г в точках пересечения ее с А вертикальны, за исключением начала координат так как на А у — F (ж) = 0 и, следовательно, ^ = со ^. Далее, так как g (ж) — нечетная, xg(x)>0, то согласно (10.5) у убывает вдоль кривой Г направо от оси Оу и возрастает налево от оси Оу. Кроме того, х возрастает, когда Г лежит над А

(так как в этом случае у — F (ж) > 0), и убывает, когда Г лежит ниже Д. Следовательно, кривая Г имеет вид, изображенный на рис. 59.

Обозначим через а абсциссу точки В и будем в дальнейшем писать Г„ вместо Г.

Установим теперь, при каких условиях Га будет замкнутым циклом.

Очевидно, необходимо, чтобы ОА' = ОА, так как в противном случае, повторяя наше рассуждение, убедимся, что, продолжая Г за точку А', мы получим, поскольку цикл не может себя пересекать, точку А", лежащую ниже А' (рис. 60), и т. д. Таким образом, если О А' фОА, кривая Га не сможет возвратиться ни в точку Л, ни в точку А' и,

следовательно, не сможет быть замкнутой. Следовательно, Га 'должна пересекать каждую ось в двух и только в двух точках. 'Отсюда следует, что ОА = — ОС. ■

Действительно, допустим, что ОА + —ОС и пусть точки'Л' и С симметричны точкам Л и С по отношению к началу координат. Согласно первому свойству системы уравнений (10.5) кривая, симметричная кривой Га по отношению к началу координат, будет замкнутой интегральной кривой Г1( проходящей через точки А', С. Так как ось Оу перпендикулярна к Га, то мы приходим к положению, изображенному на рис. 61, когда кривые Га и 1\ пересекаются, что невозможно. Таким образом, О А = — ОС.

Наоборот, предположим, что ОА= — ОС. Тогда кривая, симметричная дуге АС по отношению к началу координат, является дугой цикла, соединяющей точку А с точкой С налево от оси Оу. Вместе с дугой АС она образует замкнутый цикл.

Итак, для того чтобы Г« являлась замкнутым циклом, необходимо и достаточно, чтобы ОА= — ОС.

Так как, согласно обозначениям (10.2), Х(0, у) = ^-, то последнее условие можно сформулировать следующим образом.

Для того чтобы Га являлась замкнутым циклом, необходимо и дотаточно, чтобы

Х(Л) = Х(0, (10.7)

Итак, покажем, что при выполнении условий, которым удовлетворяют функции / (ж) и g(x), выполняется равенство (10.7) и, следовательно, уравнение (10.1) обладает предельным циклом.

Для доказательства будем рассматривать следующие криволинейные интегралы, взятые вдоль кривой Г.

Положим

(10.8)(10.8)у (а) = X (С) — X (Л) = ^ dX = F\^dy.

(10.8)

(10.8)

АВС АВС

Если а<а (см. рис. 59), то dy < 0, а также согласно четвертому условию (см. стр. 134) F (х) < 0 и, таким образом, ф(а)>0, т. е. Х(С)>Х(Л).

Следовательно, в этом случае Га не может быть замкнутым циклом. (В этом случае F (x'jdy > 0, т. е. энергия, рассеянная систе-

АВС мой, положительна и, очевидно, в системе не могут осуществляться незатухающие колебания.)

?г(а) = \ dX;DBE?г(а) = \ dX;DBEПоэтому предположим, что а>а, т. е. кривая Га имеет такой вид, как на рис. 59. Обозначим:

?г(а) = \ dX;

DBE

?г(а) = \ dX;

DBE

?i (а) " } ^Х + dX, AD СЕ

тогда

?(«) = ?! (а)+?2 (а).

Согласно (10»4) и (10.6) мы можем написать:

(10.9)(10.9)Так как F (х) < 0 для х < а, то dX положительно,Так как F (х) < 0 для х < а, то dX положительно,в направлении от А к D или от Е к С и, Наоборот, вдоль DBE мы имеем dX < 0 и, следовательно, <р2 (°0 < 0.Очевидно, что при увеличении а дуга AD будет подниматься, а дуга СЕ опускаться и, таким образом, для фиксированного х будет увеличиваться |у|. Так как для ^(а) пределы интегрирования, принимая во внимание (10.9), фиксированы (от х = 0 до х = а),в направлении от А к D или от Е к С и, Наоборот, вдоль DBE мы имеем dX < 0 и, следовательно, <р2 (°0 < 0.Очевидно, что при увеличении а дуга AD будет подниматься, а дуга СЕ опускаться и, таким образом, для фиксированного х будет увеличиваться |у|. Так как для ^(а) пределы интегрирования, принимая во внимание (10.9), фиксированы (от х = 0 до х = а),такимтакимкогда Га описана образом, ср1(а)> 0.когда Га описана образом, ср1(а)> 0.то в результате увеличения уменьшаться, так как dX =то в результате увеличения уменьшаться, так как dX =уменьшается при увеличенииуменьшается при увеличенииа ^(а) будет—dx1^О)|У-а ^(а) будет—dx1^О)|У-УУ5;5;ООагагхЕ,хЕ,ВгВг/7,/7,\Е,\Е,п;2п;2Перейдем теперь к оценке характераРис. 62.'изменения у2 (а) ПРИ увеличении а. Пустьат и а2 — два последовательных значения а, причем а2 > а1. Покажем, чтоПерейдем теперь к оценке характераРис. 62.'изменения у2 (а) ПРИ увеличении а. Пустьат и а2 — два последовательных значения а, причем а2 > а1. Покажем, что

(10.9)

(10.9)

Так как F (х) < 0 для х < а, то dX положительно,

Так как F (х) < 0 для х < а, то dX положительно,

в направлении от А к D или от Е к С и, Наоборот, вдоль DBE мы имеем dX < 0 и, следовательно, <р2 (°0 < 0.

Очевидно, что при увеличении а дуга AD будет подниматься, а дуга СЕ опускаться и, таким образом, для фиксированного х будет увеличиваться |у|. Так как для ^(а) пределы интегрирования, принимая во внимание (10.9), фиксированы (от х = 0 до х = а),

в направлении от А к D или от Е к С и, Наоборот, вдоль DBE мы имеем dX < 0 и, следовательно, <р2 (°0 < 0.

Очевидно, что при увеличении а дуга AD будет подниматься, а дуга СЕ опускаться и, таким образом, для фиксированного х будет увеличиваться |у|. Так как для ^(а) пределы интегрирования, принимая во внимание (10.9), фиксированы (от х = 0 до х = а),

таким

таким

когда Га описана образом, ср1(а)> 0.

когда Га описана образом, ср1(а)> 0.

то в результате увеличения уменьшаться, так как dX =

то в результате увеличения уменьшаться, так как dX =

уменьшается при увеличении

уменьшается при увеличении

а ^(а) будет

—dx

1^О)|

У-

а ^(а) будет

—dx

1^О)|

У-

У

У

5;

5;

О

О

аг

аг

хЕ,

хЕ,

Вг

Вг

/7,

/7,

\Е,

\Е,

п;

2

п;

2

Перейдем теперь к оценке характераРис. 62.'

изменения у2 (а) ПРИ увеличении а. Пусть

ат и а2 — два последовательных значения а, причем а2 > а1. Покажем, что

Перейдем теперь к оценке характераРис. 62.'

изменения у2 (а) ПРИ увеличении а. Пусть

ат и а2 — два последовательных значения а, причем а2 > а1. Покажем, что

?2F(a2) < Ъ^д-

Проведем перпендикуляры DXD'X и ЕХЕ\ к прямой £>2£2г(рис. 62). Тогдаj

F{x)\dy= FJ^dy-V F (х^) dy-V F (x)dy. '(10.10)

О2В2Е2О2О^D'E{Е^Ег

Так как при этом F (ж) > О, a dy < 0, то

F (ж) dy < ^F^dy.(10.11)

D^B^E^^1^1

По самому построению D( и Е’у мы видим, что у меняется па кривых DyByEy и D'yE'y в одинаковых пределах (от большего значения к меньшему).

С другой стороны, для данного у абсцисса ж точки кривой D'yE'y будет больше, чем для соответствующей точки кривой DyByEv

Поэтому для данного у F (х) па DyByEy будет меньше, чем F (ж) на D'yE'v Следовательно, поскольку dy < 0,

F^dy< ^ F^dy,(10.12)

D'E'DiBiEi

и из (10.11) найдем:

^ Р(х^у< ^ F^dy,(10.13)

В^В^ЕйDyByEy

т. е. действительно <р2 (а2) < ?2 (ai) ПРИ а2 > аг

Таким образом, <р(а) = <рх(а) + <р2 (а) при а>0 является монотонно убывающей функцией а.

Заметим, что в случае a<.a имеем:

?(«) = ?i(a)>0.

Покажем теперь, что

— ?2 (а) —> 00ПРИ a —^ 00 •

Фиксируем для этого какое-либо ху так, чтобы a < жх < а,

и проведем ось РР' параллельно оси Оу через точку ху на оси Ох (рис. 59).

Имеем:

$ d 't . < ^dX = ^F^dy.(10.14)

ОВЕ РВР РВР1

Но для дуги РВРУ имеем ж > ху и, следовательно,

F(ж)>F(ж1).

Найдем поэтому

^ d\<F (х^ ^ dy = — F(ж1)|FF1|,

ОВЕPBPi

откуда

-%(«)=- ^ d\>KL.KP.(10.15)

ОВЕ

Но ясно, что отрезки КР и KL могут быть взяты сколь угодно большими при достаточно больших а.

Итак, действительно,

— Уг^)-* 00— Уг^)-* 00при a —> оо.при a —> оо.

— Уг^)-* 00

— Уг^)-* 00

при a —> оо.

при a —> оо.

Таким образом, мы показали, что <?(а) является монотонно убывающей функцией от значений <р (а) > 0 до <р (а) = — оо при а —» оо. Следовательно, щ(а) обращается в нуль один и только один раз для а = %, а Гао будет искомая единственная замкнутая характеристика, так как для нее выполняется условие (10.7).

Покажем теперь, что Гао будет устойчивым предельным циклом.

Если а < а0, то <р(а)>0 и, следовательно, Х(С)>Х(Л).

Если а > а0, то <р (а) < 0 и, следовательно, Х(С)<Х(Л).

Пусть точки Ло и Со соответствуют пересечению Гао с осью у; тогда очевидно, что точка С ближе к Гап, чем точка А, если а < а„, и, следо

Рис. 63.Рис. 63.вательно, точка А' ближе к Гао, чем А.

Рис. 63.

Рис. 63.

Проводя аналогичные рассуждения для случая а > а0, приходим к заключению об устойчивости предельного цикла Гао.

Перейдем теперь к изложению метода фактического построения интегральных кри-

вых Па фазовой плоскости.

Графическим методом Льенара обычно пользуются тогда, когда упругая сила g^ линейна относительно ж; при этом соответствующим выбором новых переменных можно, не нарушая общности, привести уравнение (10.6) к виду

(10.16)(10.16)dyX

(10.16)

(10.16)

dxу — F (ж)

Метод графического интегрирования уравнений типа (10.16), предложенный Льенаром, состоит в следующем. На фазовой плоскости строим кривую А, уравнение которой

y-F^ = 0(10.17)

(рис. 63). Построив эту кривую, мы можем графически найти направление касательной к интегральной кривой уравнения (10.16), проходящей через любую точку фазовой плоскости. Для этого из точки М (х, у), для которой мы ищем направление касательной, опускаем перпендикуляр на ось абсцисс МС и продолжаем его до пересечения с кривой А в точке D. Из точки D опускаем перпендикуляр на ось ординат DN. Тогда линия NM будет перпендикулярна к интегральной кривой уравнения (10.16), проходящей через точку М. Действительно, если фазовая точка уравнения (10.16) в момент £ = 0 совпадает с точкой М (х, у), то спустя отрезок времени dt она переместится вдоль оси ординат на отрезок

' dy = — xdt = ND dt = МС',

а вдоль оси абсцисс на отрезок

dx — (у — F (х)) dt = MD dt = CM'.

Так как треугольники NDM и МС'М' подобны, то

МС’ _ С'М; _ М'МND DM — MN

через эту точкучерез эту точкуРис. 64.Рис. 64.и, следовательно, М'М _L MN.

через эту точку

через эту точку

Рис. 64.

Рис. 64.

Таким образом, для того чтобы через данную точку М (ж, у) в плоскости х, у провести касательную к интегральной кривой Г, проходящей достаточно провести вертикальную прямую MCD, горизонтальную прямую DN и соединить точки N и М. Искомая касательная к кривой Г будет перпендикулярна к прямой NM, откуда следует, что, имея произвольную кривую А и произвольные начальные урловия х0, yQ, изображаемые точкой Мо (ж0, yQ), легко найти направление касательных и, следовательно, построить приближенную интегральную кривую.

Итак, для построения интегральной кривой Г, проходящей через заданную точку фазовой плоскости М (х, у), поступаем следующим образом. При помощи описанного построения находим касательную в данной точке и заменяем интегральную кривую в окрестности этой точки небольшим отрезком касательной, затем в конце полученного отрезка опять определяем направление ка

сательной и в окрестности новой точки заменяем интегральную Кривую отрезком прямой. В результате получается приближенная интегральная кривая в виде ломаной линии, причем степень точности будет зависеть от величины отдельных звеньев.

Во многих случаях для преобразования уравнения (10.1) вместо замены переменных (10.3) удобно произвести замену согласно формуле

и рассматривать уравнение в виде

v +<10Л8>

или, обозначая ^ = у и исключая время t,

у^+ЛуН^о.(10.19)

В этом случае уравнение вспомогательной кривой будет:

хг + Е^у) = 0,(10.20)

на фазовой плоскости мы^получаем построение, приведенное на рис. 64. Опуская из точки М перпендикуляры на оси абсцисс Мт и ординат МС, а также опуская перпендикуляр из точки D на ось абсцисс, находим согласно уравнению (10.19):

N^=-y^,(10.21)

и, следовательно, уравнение (10.19) может быть записано в виде

Nm = CM-CD,(10.22)

так как СМ=хг, CD = — F (у).

Итак, и в этом случае можем провести построение приближенных интегральных кривых согласно изложенной выше схеме.

Если кривая А симметрична относительно начала координат, то построенные таким образом интегральные кривые Г будут навиваться на замкнутые кривые — предельные циклы, соответствующие периодическому режиму, существование и устойчивость которых были доказаны выше.

Заметим, что графическое построение, предложенное Льенаром, не предполагает обязательной симметрии кривой А. Этот графический прием применим также в случае, если А более или менее близка к симметричной кривой, например к кривой, определяемой характеристикой неоновой лампы и т. д. При этом кривая А не должна обязательно изображаться каким-либо алгебраическим уравнением. Эта кривая может быть получена экспериментально; последнее очень важно с практической точки зрения.

Приведем некоторые примеры, иллюстрирующие описанное графическое построение интегральных кривых.

Заметим, что для некоторых частных случаев построение Льенара сразу дает интегральную кривую и необходимость в построении приближенной ломаной отпадает.

Например, в случае свободных линейных колебаний, описываемых уравнением

У + ^ = 0,(10.23)

уравнение фазовых траекторий будет:

(10.24)(10.24)dyх

(10.24)

(10.24)

dxу "

В данном случае уравнение кривой А будет ж = 0, и тогда точка N совпадает с началом координат для всех задаваемых значений точки D. Следовательно, интегральными кривыми будут окружности с центром в начале координат.

Если колебания системы происходят под воздействием линейной упругой силы при наличии кулонова трения, уравнение движения может быть представлено в виде

^А№^Лх = 0.(10.25)

В этом случае для кривой А получаем следующее уравнение:

х = Ах = — Ах = Ах = — А(10.26)(10.26)dx ,при ^>0,.dx ппри < 0.

х = А

х = — А

х = А

х = — А

(10.26)

(10.26)

Очевидно, что для интегральной кривой Г в верхней полуплоскости точка N совпадет с точкой 5Х, а в нижней полуплоскости — с точкой 52

(рис. 65) независимо от задаваемых» значений точки D. Таким образом, интегральная кривая Г будет состоять из дуг окружностей с центрами в точках Sx и S2; эти дуги переходят друг в друга при пересечении интегральной кривой с осью Ох. При этом очевидно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается на величину 2/1 при каждом

прохождении между двумя последовательными положениями покоя у = О до тех пор, пока колебательная система окончательно не приходит в состояние покоя.

Проинтегрируем теперь методом Льенара уравнение Ван-дер-Поля, причем возьмем его в виде

Уравнение кривой Д на фазовой плоскости будет:

х-г^-у^у = 0,(10.28>

где г — некоторый параметр.

Свойства функции — ®(1 — у^у следующие:

при у —0 и у= ± 1 ж = 0;

при у = ± —= х принимает экстремальные значения:

(рис. 66).

Согласно этому при увеличении г петля будет вытягиваться вдоль оси х, приближаясь к паре прямых у= ± 1 (рис. 67).

В случае, когда г = 0, интегральные кривые уравнения

dy _ s (1— у2)у — х dxу

образуют семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, и тогда это уравнение будет соответствовать простым гармоническим колебаниям.

При s^O исследование поведения интегральных кривых уравнения (10.27) проводим, пользуясь графическим методом Льенара. Согласно этому методу для кривой (10.28) строим поле направлений и находим предель-

ные циклы. На рис. 67 приведены кривые (10.28), построенные соответственно для трех различных значений: г = 0,1; е = 1 и е=10. На этих же рисунках по методу Льенара построены предельные циклы системы. Как известно, в рассматриваемом

случае е>0 начало координат является неустойчивым положением равновесия, все интегральные кривые, выходящие из начала координат, будут описывать вокруг него расширяющиеся спирали. Однако раскручивающиеся около начала координат спирали не могут простираться неопределенно далеко, так как для больших значений у затухание в колебательной системе, описываемой уравнением ИО.27). становится поло-

жительным.

При расширении каждой спирали ее последовательные витки все более и более сближаются друг с другом и все спирали асимптотически навиваются изнутри на замкнутую кривую — предельный цикл.

На этот предельный цикл будут навиваться как спирали, близкие к началу координат, так и спирали, удаленные от начала. Замкнутая

Рис. 68.Рис. 68.

Рис. 68.

Рис. 68.

интегральная кривая — предельный цикл, к которой стремятся все интегральные кривые уравнения (10.29), соответствует периодическому решению уравнения (10.27).

Заметим, что замкнутый цикл содержит внутри одну особую точку с индексом 4-1, причем для е = 0,1 и г = 1,0 эта точка является неустойчивым фокусом, для г = 10 мы имеем неустойчивый узел.

Исходя из рис. 67, можно судить о том, как изменяется характер движения в системе при изменении параметра г. При любых е в системе происходят автоколебания, но размах и форма этих автоколебаний и характер их установления различны. На рис. 68 для сопоставления приве-

<27

t

дены нами результаты численного интегрирования непосредственно уравнения (10.29) соответственно при тех же значениях параметра е,

а также кривые, характеризующие непосредственно изменение х со временем (рис. 69).

В заключение заметим, что Ренсуки-Усуи *), комбинируя метод Льенара (подробно разработанный автором для случая симметричной характеристики) и метод Кир штейна (чрезвычайно за

труднительный для практических применений), разработал стандартный графический метод решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в само- возбуждающихся системах. Разработанный им метод может быть применен для рассмотрения колебательных процессов в сложных контурах, а

также в связанных контурах.

Однако на этом методе мы здесь не будем останавливаться, отсылая интересующихся к соответствующей специальной литературе.

§ 11. Релаксационные колебательные системы

До сих пор мы рассматривали уравнение Ван-дер-Поля в основном при малом s и только в § 9 указали на те изменения, которые происходят в решении при возрастании г.

Рассмотрим теперь уравнение Ван-дер-Поля при больших s и, в частности, попытаемся найти асимптотическую форму решения при г—>оо.

Для исследования удобно взять уравнение Ван-дер-Поля в виде

d2x Г dx 1 / dx 'у3 "I "di2 — ® L "dt — T V "dt ) J

+ х = 0

(11.1)

и добиться того, чтобы перед второй производной стоял малый параметр. Полагая в уравнении (11.1)

получаем

или

X = £7],t = etv

е2 dt2 L ^13 V ^1/ J 1

•1-3

^2 ^•"

(11.2)

(И.З)

(11.4)

*) P e н с у к и-У с Report of Radio Research*) P e н с у к и-У с Report of Radio Researchу и, Нелинейная теория электрических генераторов, in Japan, vol. V, № 2, 1935.

*) P e н с у к и-У с Report of Radio Research

*) P e н с у к и-У с Report of Radio Research

предельный цикл.предельный цикл.остальных же точкахостальных же точкахТТ

предельный цикл.

предельный цикл.

остальных же точках

остальных же точках

Т

Т

При г > 1 можем в уравнении (11.4) в первом приближении пренебречь сла- 1 dri'•

гаемым ^ —1, после чего получим зависимость между т( и тр

'1 'з

(11.5)(11.5)у Т-Ч,

(11.5)

(11.5)

при помощи которой не представляет затруднений исследовать характер движения на фазовой плоскости.

Построим кривую (11.5) (рис. 70) и заметим, что согласно (11.4) на

кривой (11.5) поле направлений горизонтально, так как ^ =0 для всех

т) и т), удовлетворяющих уравнению (11.5). В фазовой плоскости (за исключением точек, очень

поле на-поле на-близких к кривой (11.5)) при

поле на-

поле на-

правлений стремится к вертикальному, так как согласно (11.4) ^—> со при s —> оо для всех точек, не удовлетворяющих уравнению (11.5). Исходя из этого, видим, что при больших значениях г интегральная кривая уравнения (11.4), выходящая из произвольной точки Р (см. рис. 70), будет очень близка к вертикальной прямой почти до точки Pv лежащей на кривой (11.5). Далее интегральная кривая пойдет вдоль кривой (11.5), оставаясь ниже ее, пока не достигнет окрестности точки Р2, после чего пойдет вертикально вверх до тех пор, пока вновь не достигнет кривой (11.5). Затем интегральная кривая будет следовать вдоль кривой (11.5), оставаясь над ней; досигнув точки Р4, интегральная кривая повер-

нется вертикально вниз. В результате мы получаем _ который при г —> со будет иметь вид, изображенный на рис. 70.

Такую картину мы получаем вследствие того, что участки Р3Р4 и Р3Р5 кривой (11.5) обладают свойством притяжения, причем чем больше е, тем сильнее будет притяжение. Так как в любой точке поле направлений вертикально, а на кривой (11.5) горизонтально, то любая точка стремится к кривой (11.5), подойдя к ней, отходит, так как на кривой ноле направлений горизонтально, после этого точка снова стремится приблизиться к кривой (11.5). Если е достаточно велико, то указанных отклонений мы не заметим и практически получим картину, изображенную на рис. 70.

Асимптотическое значение для периода колебаний в рассматриваемом приближении находим, подсчитывая интеграл по предельному циклу.

Для уравнения (11.4) имеем:

(И.6)

откуда

(11.7)

Так как на вертикальных участках цикла сВ] = О, то вместо (11.7) можем написать:

Согласно (11.5) находим 7^ = 1, т12 = 2и, следовательно, для периода Тх при больших значениях е получаем формулу

7\ =1,614"(11.9)

или, переходя к старым переменным, следующую асимптотическую формулу:

"Т = 1,614 =(11.10)

Итак, для случая з>1 при асимптотической трактовке колебательный процесс будет протекать следующим образом: при возрастании т], начиная от значений — т;0, скорость т] будет положительна и изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по кривой Р3Р4 (см. рис. 70). Когда т] достигнет максимального значения-j т;0, изображающая точка скачком

перейдет из положения Р4 в Р5, что соответствует мгновенному изменению знака скорости тр Далее, при уменьшении т; скорость т; будет оставаться отрицательной и изображающая точка будет двигаться по кривой Р5Рй. В точке Р2 опять произойдет изменение знака скорости, а изображающая точка на фазовой плоскости скачком перейдет в положение Р3.

Таким образом, в течение одного периода колебания скорость т; терпит разрыв дважды — в моменты достижения величиной т, максимального и минимального значения. Разумеется, на самом деле скорость непрерывна, хотя и меняется весьма быстро, так как s хотя и велико, но конечно, и, говоря о разрыве, мы допускаем определенное уцрощение, соответствующее принятому нами асимптотическому приближению.

После того как нами получена зависимость скорости от смещения на фазовой плоскости и найден период колебания, не представляет затруднений построить кривые, представляющие т; ит, как функции t (рис. 71 и 72).

Рассмотренные нами колебания называются релаксационными и имеют широкое распространение в природе.

Приведенная здесь идеализированная разрывная трактовка уравнения Ван-дер-Поля при больших г может быть применена и в общем случае При исследовании нелинейных колебательных систем при г>1. При такой трактовке мы пренебрегаем в уравнении инерционным членом, в результате чего релаксационные колебания характеризуются дифференциальным уравнением первого порядка '

$ 11]РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ147

причем последнее удобно обратить относительно ^ и написать в виде | = Ф(4(11.12)

где Ф (ж) представляет определенную многозначную функцию типа, схематически изображенного па рис. 74.

Приведем еще пример конкретной релаксационной колебательной системы, описываемой уравнением типа (11.12).

Рассмотрим схему (рис. 73), представляющую последовательное соединение самоиндукции L, сопротивления 7? и нелинейного элемента с вольт- амперной характеристикой типа «8», замкнутое на источнике постоянного напряжения Еа. Здесь для элемента «8» вольтамперная характеристика

Рис. 73.Рис. 74.

имеет форму, примерно изображенную на рис. 74. В качестве конкретной модели такого нелинейного элемента можно взять, например, электронную лампу в динатронном режиме.

Составляя для рассматриваемой схемы баланс напряжений, приходим к дифференциальному уравнению вида

Ldj-t + Ri + v = Ea. (11.13)

Заметим теперь, что поскольку единственным резервуаром, способным запасать энергию колебаний, является в нашей системе самоиндукция, то запасенная в ней энергия будет равна у Ы2. Так как в течение колебательного процесса энергия должна изменяться непрерывно, то очевидно, что и величина тока i должна также изменяться непрерывно, плавно увеличиваясь и уменьшаясь.

С другой стороны, в соответствии с рис. 74 нетрудно убедиться, что при плавном увеличении и соответственно при плавном уменьшении тока i напряжение у будет изменяться, как указано на рис. 75. Обозначим зависимость между напряжением и током, представленную графически на этом рисунке (причем учитываем только отрезки сплошной линии), функциональным соотношением

« = №- (И-14)

в котором / (г) имеет два значения для i, изменяющегося в интервале (i0, ij).

Пусть параметры генератора подобраны так, что в интервале (г0, ц) значения функции •'

ф,(Ц.15)

соответствующие нижней ветви /(i), положительны, а для верхней ветви отрицательны. Тогда в нашей схеме возбуждается релаксационный колебательный процесс, при котором ток i будет изменяться в пределах от г0

до iv Дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс, будет принадлежать к типу (11.12).

Как видно, в данном примере мы не доводили дело до построения

дифференциального уравнения второго порядка, а сразу приняли схему, которая привела к разрывному уравнению вида (11.12), в котором, не принимается во внимание инерционный член.

До сих пор рассматривался случай наличия одного замкнутого цикла. Если кривая, характеризующая зависимость (11.12), будет иметь вид, изображенный на рис. 76, то получим, два замкнутых цикла.

Заметим, что рассмотренные релаксационные колебательные процессы протекают без внешних периодических сил, и потому естественно уравнение (11.12) называть уравнением свободных релаксационных колебаний. . Изложенная здесь разрывная трактовка релаксационных колебательных процессов интуитивно убедительна.

Однако если мн хотим ее строго обосновать или вычислить соответствующие поправки для формы колебаний и их периода Т, то необходимо обратиться к строгому методу асимптотического приближения, разработанному А. А. Дородницыным.

Метод А. А. Дородницына для уравнения Ван-дер-Поля

' В настоящем параграфе приведем метод, разработанный А. А. Дородницыным [15], при помощи которого можно построить интегральные кривые на фазовой плоскости в случае з>1.

Суть этого метода заключается во введении некоторых «связующих» областей и в построении для этих перекрещивающихся областей особых

1 асимптотических разложении по степеням —.

Для наглядности применения этого метода приведем1согласнр А. А. Доъ родницыну решение уравнения Ван-дер-Поля

+(12.1)

при больших значениях параметра г ).

На фазовой плоскости (ж, г/), где у= — , это уравнение преобразуется к следующему виду:

у-^(! -^y-v^ = о.у-^(! -^y-v^ = о.(12.2)(12.2)

у-^(! -^y-v^ = о.

у-^(! -^y-v^ = о.

(12.2)

(12.2)

Рис. 77. решение перешло в то, котороеРис. 77. решение перешло в то, которое

Рис. 77. решение перешло в то, которое

Рис. 77. решение перешло в то, которое

Как известно,Как известно,предельный цикл для уравнения (12.2) имеет вид,

Как известно,

Как известно,

приведенный на рис. 77.

При больших значениях параметра г решение уравнения (12.2) в областях I и 111 стремится соответственно к решениям «укороченных» уравнений

г^-е^-г^О,(12.3)

— s (1 — ж2) у + х = 0.(12.4)

Однако области I и III, в которых можно рассматривать вместо уравнения (12.2) соответственно уравнения (12.3) и (12.4), не соприкасаются между собой, и поэтому решения этих уравнений нельзя сопрячь, так как неизвестно, как выбрать постоянную интегрирования в уравнении (12.3), чтобы при аналитическом продолжении решения в область Ill это

стремится к решению уравнения (12.4).

Для того чтобы можно было произвести такое сопряжение решений,

вводят две «связующие» области 11 и IV, для которых строят асимптотические решения непосредственно уравнения (12.2), так как в этих областях мы не можем воспользоваться «укороченными» уравнениями. Области I, II, III и IV перекрываются между собой, и поэтому мы можем найти решение для всего цикла с точностью до величин любого

порядка малости относительно —.

Приступим к построению асимптотических решений уравнения (12.2) для введенных областей (см. рис. 77). При этом заметим, что ввиду симметрии можно рассматривать только одну часть каждой из введенных областей.

Построим сначала решение для области I. Для этого обозначим через ах и а2 значения х, при которых -^- = 0 (для предельного цикла

ах = аг = а\, тогда область I определится следующими неравенствами:

— l + v<a:<a1 — v,— l + v<a:<a1 — v,У > 0,У > 0,— а2 + v < я < 1 — v,— а2 + v < я < 1 — v,У < 0,У < 0,v> 0; |v> 0. )v> 0; |v> 0. )(12.5)(12.5)

— l + v<a:<a1 — v,

— l + v<a:<a1 — v,

У > 0,

У > 0,

— а2 + v < я < 1 — v,

— а2 + v < я < 1 — v,

У < 0,

У < 0,

v> 0; |v> 0. )

v> 0; |v> 0. )

(12.5)

(12.5)

Как указывалось выше, решение достаточно искать только для первой части области (12.5). Решение ищем в виде ряда

У-^^к^.(12.6)

п=0

Подставляя значение у (12.6) в уравнение (12.3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, получаем систему уравнений, из которой находим последовательно все /п(ж) (п = 0, 1, 2, . ..).

Так, для первых двух функций имеем:

/о (^ = с + ^ - 4 ^^(12.7)

+ 4—7 I/ -5—7 arctg arctg 71 = ,(12.8

4— 1 V х2 —4 (6/3(х2 —4)/3(х2 — 4) J 4

где через хх обозначен вещественный положительный корень уравнения 2

/о(а:) = О, причем предполагается, что с > у , что и имеет место для предельного цикла. Функции /п (ж) имеют особенности в окрестности точки x = xv однако ряд (12.6) сохраняет асимптотический характер до значений х, удовлетворяющих условию

о^-х) > oQy).

В частности, ряд (12.6) является асимптотическим рядом при х = хх — О ^у^; ПРИ этом У будет порядка единицы.

Найдем теперь асимптотическое решение для области II, являющейся окрестностью точек у = 0, х = ах; у = 0, х= —а2. Для определенности будем рассматривать ту часть области II, для которой у = 0, х = ах.

Введем новую переменную z по формуле z = — гу и будем искать х как функцию z. Уравнение (12.2) запишется следующим образом:

(12.9)(12.9)(12.10)(12.10)dx 1 z

(12.9)

(12.9)

(12.10)

(12.10)

'daе2 z (т2 — 1) — х "

Решение этого уравнения ищем в виде ряда

^=2 Хп^2"-п=0

Подставляя значение х (12.10) в уравнение (12.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим систему уравнений для определения функций /п (z) (n = 0, 1, 2, . ..). Для первых двух функций имеем:

^«-^[^Чт'Ч'-Ч18)] • <12Л”

Z1^ " М—1)‘ {(^ ‘’К’ + а, И— 1)) +

1„ Г!_±<2к^Д1

+ [:-|y+2v-2(«;-i)z-] ^.^ J +

-h^fo'c1-^)}- <12Л2>

Эти функции имеют особенности при zЭти функции имеют особенности при z«1а? —1«1а? —1и при z -^ — со.и при z -^ — со.ряд (12.10) сохраняет асимптотический характер для всех z,ряд (12.10) сохраняет асимптотический характер для всех z,Однако удовле-Однако удовле-творяющих условиютворяющих условию

Эти функции имеют особенности при z

Эти функции имеют особенности при z

«1а? —1

«1а? —1

и при z -^ — со.

и при z -^ — со.

ряд (12.10) сохраняет асимптотический характер для всех z,

ряд (12.10) сохраняет асимптотический характер для всех z,

Однако удовле-

Однако удовле-

творяющих условию

творяющих условию

а также в случае z < 0 длй всех z, удовлетворяющих условию

O(z)<O(s2).i

При этом асимптотическая сходимость ряда (12.10) имеет место при г= — е, т. е. у = 1.'

Так как ряды (12.6), (12.10) асимптотически сходятся при одинаковых значениях х, при которых у = 0(1), то можем их сопрячь. Для этого нужно определить постоянную ах по заданному значению постоянной с. Полагая в (12.6) и (12.10) у=1, получаем следующие два уравнения с двумя неизвестными х* и а1:

1 = е 2^=2 Хп(-=)^2П-•(12.13)

п=0.п= 0•

Из первого уравнения находим х*, после чего из второго уравнения находим ах, выраженное через с или через хх.

" Перейдем теперь к определению решения для области III. Эта область определяется следующими интервалами:

а, — м > а; > 1 + у < О, м > 0; I

лА(12.14)

— а2 + м < х < — 1 — м, у > 0, м > О, J ■

и имеет очень существенное значение для релаксационных колебаний. Когда х попадает в область (12.14), то колебания системы сразу же с большой степенью точности переходят к установившимся автоколебаниям.

Будем рассматривать ту часть области III, для которой у < 0..

Произведя ряд выкладок, легко показать, что решение уравнения (12.2) в этой области может быть получено в виде ряда .

y=-^P^V"w,(12.15)

.п=0.

где Рп (ж) определяются, как и выше, из ряда рекуррентных уравнений и имеют вид.;

ЭД = ^, Рх^=-^^,...(12.16)

Ряд (12.15) сохраняет асимптотический характер при условии О (х — 1) > О (е~2/э), причем при подходе к границе сходимости у (12.15) будет иметь порядок е~1,э.-

Перейдем к определению решения в области IV. Эта область определяется следующим образом:

1 - v < х < 14- n,р < О, ч > 0; )

-1-^<ж<-1 + ^, р > 0, v > 0. J(12.17)

Как показано выше, при подходе к границе области III у приближается к О (в-1/»). Поэтому естественно ввести замену переменных:

У= -s-'lsQ^uY ц = е2/з(ж-1).(12.18)

, Тогда уравнение (12.2) примет следующий вид:

Q^-^uQ^X^-^a^Q-uY(12.19)

Решение этого уравнения ищем опять в виде асимптотического ряда

QW= 2 QnW^n,(12.20)

71 = 0

который подставляем в (12.19), и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, получаем ряд уравнений для последовательного определения функций Qn (и) (п = 0, 1, 2, . ..). При этом начальные условия для Q^ (и) должны определяться так, чтобы полученное решение было сопряжено с решением в области III.

После ряда выкладок находим:

ш) = И2 + а 4-5-+ ^ + • • • >

X 0 \I Ц 34М4 I §и5

о

Л(ц) = ехр(-?5),(12.21)

X- J ХО /

0

где а — наименьший корень уравнения

Для сопряжения с решением у (12.15), определенным для области III, необходимо, чтобы величина в~2/3^1 (и) была ограниченной при u = Q (sv).

Анализируя выражение для Qn(uY убеждаемся, что ряд (12.20) сохраняет асимптотический характер до значений и, ограниченных условием Q (и) < Q (е2/з), т. е. при значениях х, удовлетворяющих условию О(х — 1) < О (1), и, таким образом, области, в которых пригодны решения (12.20) и (12.15), перекрываются.

Теперь нам осталось сопрячь решения для областей I и IV. Для этого мы должны сопрячь решение (12.6) с решением (12.20), учитывая в последнем замену переменных (12.18).

Заметим, что так как у > 0 при х = —1, то постоянная с должна быть больше 2/3.

Положим с = у4-у. Определим порядок у; так как у (— 1) = О (е-1/»), то ву тоже будет порядка s—1/з и, следовательно, y = O(s—4/3).

Нетрудно показать, что ряд (12.6) сохраняет асимптотическиигхарак- тер до значений ж, удовлетворяющих , условию О (х—1) > О (е—^'а), и, таким образом, области, в которых пригодны решения (12.20) и (12.6), перекрываются, причем асимптотическая сходимость этих разложений обеспечена для х = —14-е-1/8.

Таким образом, постоянную интегрирования: с можно определить, приравнивая при х = — 1-|-е-1/а значения у, полученные из формул (12.20) и (12.6):

^-зУ^8^.^8)^ ^^(12.22)

п—0п=0

Определяя из этого соотношения у с точностью до величин порядка е-8/а, получим:

т^ае-‘/з_±.1|1+(^0_1_|1п4)в-2+^^^(12.23)

где Ьо = Ьо (а) — известная величина.

Определив постоянную с = у 4- у, легко находим хг — корень уравнений /о(^1) = О, после чего, воспользовавшись уравнениями (12.12), получаем амплитуду автоколебаний

а ~ 2 + | е-4/а- g^s + 4 (3feo - 1 + 2 In 2 - 8 In 3) е"2 + О (е-8/а).(12.24)

Период автоколебаний может быть вычислен согласно формуле

Т-Дтд'<12-251

Для этого разбиваем весь промежуток интегрирования на пять частей соответственно различным областям:

от —а до — х2 — по области II, где х2—значение х, полученное по формуле (12.10) при значении

а2 — 1 k ’

от — хг до — (1-|- е-1/а) по области III;

от — (1-|-е-1/а) до — (1 —е_1/а) по области IV;

от — (1 — е—1/а) до х* по области I, где х* определяется 'по формуле

«_11 1П е хг

Жs2”" (х2—1)2 ~

“I2' [ (и2—I)2 1п ^ ^ ~ ^ — грп (и2 —1)а ] —

-^T^F1i)r + 0(e'3); (12>26)

от х* до а по области II.

Тогда полный период Т будет равен

7’=2[7\+7’2 + 7’3+7’4 + 7’5],(12.27)

где 7\ —часть интеграла (12.25), взятая соответственно для i-ro промежутка интегрирования.

Произведя интегрирование для полного периода, получаем:

Т ~ (3-2 In 2)е + Зае-1/з-^-^ +

+ (3 In 2 - In 3 - | + b0 - 2d) e-1 + О (е~4/з) (12.28) или, подставляя численные значения коэффициентов:

Г % 1,613706г+ 7,01432г-1/з-^^+ 0,00876-! +О (г-4/з). . (12.29)

При достаточно большом г можно в этой формуле пренебречь всеми членами, за исключением первого, в результате чего получим асимптотическое выражение для периода, совпадающего с формулой (11.10), найденной в предыдущем параграфе.

Для асимптотических решений (12.6), (12.10), (12.15) и (12.20) можно без затруднений доказать методом последовательных приближений сходимость (асимптотическую) в соответствующих областях. .

Уже из рассмотрения полученных здесь асимптотических формул становится ясным, что случай большого е значительно сложнее, чем случай малого е. При е < 1 мы имели чисто степенные асимптотические формулы. Здесь же для е > 1 в них входят дробные степени, логарифмические члены. В случае е > 1 имеется большая чувствительность к конкретному виду уравнения, чем в случае е < 1. Естественно поэтому, что при больших значениях нелинейности фактическое построение приближенных решений требует большей конкретизации изучаемых дифференциальных уравнений.

Заметим, что для исследования этой важной и трудной проблемы нахождения асимптотических приближений при наличии большого параметра (или малого параметра перед старшей производной) можно с успехом применять эффективные асимптотические методы, разработанные А. Н. Тихоновым [43] и его учениками.

ГЛАВА III

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ

§ 13. Асимптотические разложения в «нерезонансном» случае

Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем, находящихся под воздействием внешних периодических сил, зависящих явно от времени.

Будем рассматривать систему с одной степенью свободы, для которой дифференциальное уравнение движения можно представить в виде

£),(13.1)

где е — малый положительный параметр, f('»t, х, -^^ — функция, периодическая по отношению к ^ с периодом 2к, которая может быть представлена в виде

(13.2)

и——N

При этом будем предполагать, что коэффициенты }Т1(х, "^"^ в конечной сумме (13.2) являются некоторыми полиномами по отношению к х и -^-.

Рассматриваемое уравнение (13.1) может быть, очевидно, интерпретировано как уравнение колебаний некоторой механической системы единичной массы с собственной частотой ш, находящейся под воздействием малого нелинейного возмущения e/^t, х, -^-'). явно зависящего от времени. С многочисленными примерами колебательных систем, описываемых уравнением такого вида, мы уже познакомились во введении.

Прежде чем переходить к изложению методов нахождения асимптотических решений для системы, описываемой уравнением (13.1), остановимся еще раз на анализе влияния периодического воздействия на систему, исходя из физических соображений.

При отсутствии возмущения, т. е. при е = 0, получаем чисто гармонические колебания:

х — a cos (ait + <р),^- = — осо sin (mt + <р),

где а и <р — произвольные постоянные.

Очевидно, что если мы, применяя метод, изложенный в предыдущей главе, будем определять функции uv и2, ..., то, ввиду зависимости внешнего воздействия от времени, в разложении функции sfC^t, х, —^^

^после подстановки в нее ж = a cos (oV-|-<р), -^— —а<о sin (<oZ ч <р)^ в ряд Фурье, благодаря ее периодичности по vZ, появятся члены, содержащие sin (рм + та») t и cos (nv + та») t, где n и m — целые числа. Таким образом, в правых частях дифференциальных уравнений, определяющих их, и2, ..., появятся гармонические компоненты с комбинационными частотами вида ^т + та»).

Совершенно ясно, что когда одна из таких комбинационных частот сделается близкой к собственной частоте системы, то соответствующая гармоника возмущающей силы может оказать значительное влияние на характер колебания, даже если в выражении приложенной возмущающей силы соответствующий коэффициент является малым (амплитуда соответствующей гармоники мала). Разумеется, чем меньше этот коэффициент, тем меньше должна быть расстройка между собственной и внешней частотой для того, чтобы это влияние было заметным. Таким образом, как это уже нами было установлено выше, в нелинейных колебательных системах резонансные явления имеют место не только при ш^ ч, как в обычных линейных системах, но и в случае, если одна из комбинационных частот внешего воздействия близка к собственной частоте системы, т. е. если гм + тш «а со.

Таким образом, в нелинейных системах резонанс может наступить при выполнении условия

(13.3)

где р и q — целые взаимно простые числа (обычно небольшие).

Введем следующую классификацию различных случаев резонанса:

p = q=i, т. е. м я= ш; такой случай будем называть «главным» или обыкновенным резонансом;

q= 1, т. е. м «а рю или со ^ у ; такой случай будем называть резонансом на обертоне собственной частоты, или демультипликационным резонансом (дробным, поскольку колебания здесь совершаются с частотой, равной дробной части внешней частоты), или параметрическим резонансом. Резонанс этого типа возможен и в линейных системах с периодическими коэффициентами;

р = 1, т. е. со я« qv. такой случай будем называть резонансом на обертоне внешней частоты.

Здесь необходимо отметить следующее обстоятельство. Так как р и q могут принимать всевозможные целочисленные значения, то множество |—У является плотным и, следовательно, отношение ^ при соответствующем выборе чисел р и q может приблизиться к любому наперед заданному числу. Поэтому может создаться впечатление, что в нелинейной системе возможен резонанс при произвольных р и q. В действительности же это не так, потому что не все возможности, указанные формулой (13.3), осуществимы, иначе говоря, не при всяких р и q имеет место соответствующий резонанс. Практически разложение (13.2) имеет конечное число членов, и числа р и q вполне определяются характером исследуемой колебательной системы.

Выясним теперь, какие резонансы проявляются в первом приближении.

Как и обычно, будем предполагать, что колебания в первом приближении остаются по форме чисто гармоническими и на каждом отдель-

ном цикле с достаточной точностью могут приближаться обыкновенной гармоникой; малая же возмущающая сила, какой бы сложной структуры она ни была, может влиять на ход колебаний, вызывая лишь медленное, но систематическое изменение амплитуды и фазы колебания (медленное по сравнению с естественной единицей времени —с периодом цикла).

По определению резонанса можем считать, что резонанс как раз и характеризуется тем фактом, что малая возмущающая сила может приводить к значительному, часто весьма большому изменению амплитуды колебаний. Это имеет место тогда, когда работа, совершаемая внешней силой за цикл колебания, не уничтожается, так как в противном случае внешняя сила вызывала бы лишь малые дрожания.

Выражение возмущающей силы e/i mZ, J в режиме гармониче- ских колебаний ^т. е. при ж = a cos (mZ +<р), ^- = — аш sin (o>Z-I-<р) содержит, как указывалось выше, различные гармоники с частотами ± им ± тш-

Составим выражение виртуальной работы, которую совершала бы эта возмущающая сила в режиме гармонических колебаний на виртуальных перемещениях

8ж0 = За cos (оП 4 <р)--3<j>asin (од + <р),(13.4)

соответствующих виртуальному приращению амплитуды и фазы колебания.

Для подсчета удобно выражение виртуальной работы в режиме гармонических колебаний

е/(^> ж0, ^-)^о(13.5)

представить с помощью ряда Фурье в виде суммы гармонических членов с частотами

Но при усреднении этой суммы за достаточно большой промежуток времени в ней останутся заметными лишь те члены, у которых частоты Xnm будут соответственно малыми.

Таким образом, в первом приближении проявляются только такие резонансы, для которых частоты в выражении виртуальной работы (13.5) достаточно близки к нулю. Разумеется, интенсивность резонанса будет тем слабее, чем меньше будет соответствующая амплитуда в выражении (13.5).

После этих предварительных замечаний перейдем к оформлению методов фактического построения приближенных решений.

Начнем рассмотрение колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), сначала для нерезонансного случая, как наиболее простого, т. е. будем предполагать, что ни одна, из комбинационных частот (им 4- пгт), входящих в рассматриваемое приближение, не равна (и не близка) частоте

им + ma> 4 '»-(13.6)

Здесь следует указать на известный в теории чисел факт. Если — иррационально, то всегда можно подобрать такие целые п и т.

что выражение

гы^-(т — 1) ш будет сколь угодно близким к нулю.

Поэтому, если в выражении рассматриваемого приближенного решения будут присутствовать гармоники со всеми линейными комбинациями п^ + тто, то придется наложить условие, чтобы отношение -^- аппроксимировалось рациональным числом не слишком быстро и не вызвало расходимости рассматриваемого выражения. (См. по этому поводу стр. 167.)

Приступая к построению приближенного решения дифференциального уравнения (13.1), будем исходить, как и в случае возмущения, не содержащего явно времени, из тех же самых интуитивных соображений.

При полном отсутствии возмущающих сил (® = 0) колебания, очевидно, будут чисто гармонические ж = асовф с постоянной амплитудой хda „

и равномерно вращающимся фазовым углом-^-= О,

Влияние возмущающей силы выражается в том, что, во-первых, в колебаниях могут появиться как обертон, так и гармоники комбинационных частот различного порядка малости, и поэтому решение надо искать в виде

х = a cos ф + sM} (а, ф, vZ)4-s2u2(a, ф, vZ)+...,(13.7)

где функции и^а, ф, vZ), и2(а, ф, vZ), . .. периодические по обеим угловым переменным ф и vZ с периодом 2тг.

Во-вторых, и амплитуда, и скорость вращения фазы уже не могут быть постоянными, а должны определяться, как и в предыдущей главе, дифференциальными уравнениями:

™ = s^1(a)-)sM2(a)+

(13'8> = to + $ВХ (а) 4- e2S2 (а) -р ...

Правые части этих уравнений должны зависеть только от амплитуды, так как при отсутствии резонанса фаза собственных колебаний не связана с фазой внешних сил, и поэтому последняя не оказывает влияния ни на амплитуду колебания, ни на полную фазу колебания. Разумеется, в резонансном случае нам надо будет как в выражение для мгновенной частоты, так и в выражение для мгновенной амплитуды ввести зависимость от сдвига фаз.

Итак, задача построения приближенных решений уравнения (13.1) в нерезонансном случае сводится к задаче, аналогичной рассмотренной в первом параграфе: требуется найти функции

^(а, ф, vZ), u2 (а, ф, vZ), ..., Л1(а), Л2(а), ..., В^а), В2(а), ...

таким образом, чтобы выражение (13.7), в которое вместо а и ф будут подставлены функции времени, определенные уравнениями (13.8), оказалось решением нашего исходного уравнения (13.1).

Как и в первом параграфе, после решения этой задачи, т. е. после того, как будут найдены явные выражения для коэффициентов разложений, стоящих в правых частях (13.7), (13.8), вопрос об интегриро-

вании уравнения (13.1) сводится к более простому вопросу интегрирования уравнений (13.8). Следует заметить, что в нерезонансном случае для определения а и ф мы получаем уравнения с разделяющимися переменными; в резонансных случаях, как увидим ниже, в этих уравнениях переменные в общем случае уже не будут разделяться.

Прежде чем приступить к построению функций иДа, ф, ^t), и2(а, ф, vZ), . .., ЛДа), Л2(а), ..., ^(а), S2(a), ..., необходимо для однозначности определения коэффициентов разложений (13.8) ввести, как и выше, некоторые дополнительные условия.

В качестве таких условий естественно принять условия отсутствия резонансных членов в функциях иДа, ф, vZ), м2 (а, ф, vZ), ..., т. е. членов, знаменатели которых могут обратиться в нуль.

Это условие равноценно требованию отсутствия в функциях «Да, ф, vz), и2(а, ф, W), ... первой гармоники аргумента ф, а с физической точки зрения соответствует выбору в качестве величины о полной амплитуды основной гармоники колебания.

После этих предварительных замечаний перейдем к определению функций иДа, ф, и2(а, ф, vZ), . .., ЛДа), Л2 (а), ..., .ВДа), -ВДа), ..., учитывая вышеприведенное дополнительное условие.

Дифференцируя (13.7), имеем:

dx(,, дил, , ди,,1da ,

= ( СО8ф4 = ^ + s2^+ . . . 1

dtIт да da Jdt

<-^+*,^+--- о3-9»<-^+*,^+--- о3-9»। ~ Эи-^ . 2 ди^ .

<-^+*,^+--- о3-9»

<-^+*,^+--- о3-9»

7 ° дф дф '

дихдадихда9 Эи, ,1 d^a ,

дихда

дихда

, , ди, , 2 ди, 1 Э2ф

;81ПФ + ^ + е2^ + "•} -^^

, , д2а, . о д2и2 , IасОвф + ^+^Д +} у

2 f д2^_2 d^1 Эф

+ 1 д;дф+" ЗгЗфJ dt

•। I d2Ui 2 д2иа-81ПФ + ед?дф+£^дф•। I d2Ui 2 д2иа-81ПФ + ед?дф+£^дфda d^ Уиг ,d2u2ИЧ10]

•। I d2Ui 2 д2иа

-81ПФ + ед?дф+£^дф

•। I d2Ui 2 д2иа

-81ПФ + ед?дф+£^дф

эг^г+°^+е ^+---

Заменив в (13.10) -^- , -^ , -Д- , их выражениями по формулам (13.8) и формулам (1.10) первого параграфа, подставляем найденные значения ^- , -^f- , а также (13.7) в левую часть уравнения (13.1), после чего, располагая результат по степеням малого параметра г, получим:

-Jf- + «Аг = г |^р .о2 + ^i + 2 -^-.а) + о)2Ы1 - ^ашВ^ cos ф - 2<иЛ1 sin ф | +

. +®2 {^ ю2 + ^ + 2^^и)+а>2и2-2яюД!С08ф-2<иЛ281пф +

+ (XiS- aBi) С08ф - (аА^ + 2АА") Sin Ф +

++ 2+ 2^-53 +е2... (13.11)

да оф1 оф2 да dt 1 'оф ot х Jх

Правую часть уравнения (13.1) согласно (13.7) и (13.9) можем представить в виде

afх, -^-^ — zf (Nt, асозф, — ашз!пф)4

■V^Uxbt, асозф, — aw sin ф) u^ 4

V (13.12)

+ /x'(^, acostp, — acosin<J))x

x ^! cos Ф — a/?!sin Ф 4-^U) +-^-^ J 4-Ss. . .

Для того чтобы искомое выражение (13.7) удовлетворяло исходному уравнению (13.1) с точностью до величин порядка малости а^1 (как и выше, будем ограничиваться нахождением m-го приближения), необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е в правых частях (13.11) и (13.12) до членов m-го порядка включительно.

В результате получим систему та уравнений для определения иДа, ф, Nty и2(а, ф, vZ), ..., ит(а, ф, Nt), а также АДа), А^а), ...

Ат(а), В^а), В^а),Вт(а):

„ Э2их . о Э2и^ . д2иг . о

(13.13)(13.13)’W + 2w^+^+(0Mi =

(13.13)

(13.13)

= jQ(a, ф, vz) 4-Заю^х cos ф 4-2(»А! sin ф,

2 d2u2 , о 52u2 . 82u22

<0+a2 =

—/i(a, ф, vZ) 4-2aco52 cos ф + 2о)Л2 sin ф,

(13.14)

W +2w++'

= /m-i(a> Ф> ^)4-2аон8тпсо8ф 4-2шАт81пф,

где для сокращения обозначено

j0(a, ф, vZ) = / (vZ, асозф, —я») sin ф),

^ (а, ф, vZ) = /x(mZ, асозф, — aw sin ф) и^ -\~fx- (vZ, асозф, аш sin ф)х

X [л^озф-а^^тф + ^а) +-^] 4- (а5=--^1 А,^ cos ф 4

- 2Вг - 2(«^i. (13А5)

dadt 1 o^.ot 1 аааф 1 '7

Очевидно, что функции jh(a, ф, W) являются периодическими функциями с периодом 2it по обоим аргументам ф и Nt и, кроме того, зависят от а. Явное выражение для этих функций известно, как только найдены значения АДа), 5Да), ыДа, ф, ^)(/=1, 2, . .., А1).

Прежде чем переходить к определению интересующих нас функций, приведем краткие сведения из теории кратных рядов Фурье.

Если / (ж) — некоторая периодическая функция х с периодом 2m (в случае произвольного периода 2/ мы всегда можем путем линейного преобразования над х прийти к периоду 2m), то, как известно, при определенных ограничениях она может быть представлена в виде ряда Фурье: ’

/ (х) = -у--|- 2 {«ncosna;-|-6nsinna;},(13.16)

71= 1

где

ап = ^ \ /(5) cos ns d^,иап = ^ \ /(5) cos ns d^,и6„ = 4 ^ /(Q sin «WS.06„ = 4 ^ /(Q sin «WS.0(13.17)(13.17)

ап = ^ \ /(5) cos ns d^,и

ап = ^ \ /(5) cos ns d^,и

6„ = 4 ^ /(Q sin «WS.0

6„ = 4 ^ /(Q sin «WS.0

(13.17)

(13.17)

нойнойВо многих случаях удобнее пользоваться рядом Фурье в комплекс- фо рме.В этом случае / ^х) можно представить в видеВо многих случаях удобнее пользоваться рядом Фурье в комплекс- фо рме.В этом случае / ^х) можно представить в виде/(^)= 2 спе™х>/(^)= 2 спе™х>(13.18)(13.18)гдегде2m■ 62m■ 6(13.19)(13.19)(Здесь индекс п принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения.) При этом получаем следующую связь между коэффициентами Фурье (13.19) и (13.17):(Здесь индекс п принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения.) При этом получаем следующую связь между коэффициентами Фурье (13.19) и (13.17):ап ^п _&п Н“ ^псп—2’ -п—2ап ^п _&п Н“ ^псп—2’ -п—2(13.20)(13.20)Возмем теперь функцию /(ж, у) периодическую, с периодом 2m, по обеим переменным х и у.Рассматривая формально / (ж, у) как функцию от х, имеем:Возмем теперь функцию /(ж, у) периодическую, с периодом 2m, по обеим переменным х и у.Рассматривая формально / (ж, у) как функцию от х, имеем:гдегдеf^-. У)” 2 сгЛуР>\оf^-. У)” 2 сгЛуР>\о(13.21)(13.22)(13.21)(13.22)

ной

ной

Во многих случаях удобнее пользоваться рядом Фурье в комплекс- фо рме.

В этом случае / ^х) можно представить в виде

Во многих случаях удобнее пользоваться рядом Фурье в комплекс- фо рме.

В этом случае / ^х) можно представить в виде

/(^)= 2 спе™х>

/(^)= 2 спе™х>

(13.18)

(13.18)

где

где

2m

■ 6

2m

■ 6

(13.19)

(13.19)

(Здесь индекс п принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения.) При этом получаем следующую связь между коэффициентами Фурье (13.19) и (13.17):

(Здесь индекс п принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения.) При этом получаем следующую связь между коэффициентами Фурье (13.19) и (13.17):

ап ^п _&п Н“ ^п

сп—2’ -п—2

ап ^п _&п Н“ ^п

сп—2’ -п—2

(13.20)

(13.20)

Возмем теперь функцию /(ж, у) периодическую, с периодом 2m, по обеим переменным х и у.

Рассматривая формально / (ж, у) как функцию от х, имеем:

Возмем теперь функцию /(ж, у) периодическую, с периодом 2m, по обеим переменным х и у.

Рассматривая формально / (ж, у) как функцию от х, имеем:

где

где

f^-. У)” 2 сгЛуР>\

о

f^-. У)” 2 сгЛуР>\

о

(13.21)

(13.22)

(13.21)

(13.22)

Функция сп (у) в свою очередь может быть разложена в ряд вида

с.^ 2 с^т\с.^ 2 с^т\(13.23)(13.23)

с.^ 2 с^т\

с.^ 2 с^т\

(13.23)

(13.23)

m=—со

162

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ

|Гл. III

где

’2л

с"»>= "^ Sс" ^ e"im71 d-n =

0

2л 2л

= 4^2 ^ ^/(^’ Т]) е_,(п=+т'1) d$di],

0 0

(13.24)

Подставив полученное выражение для сп (у) в формулу (13.21) имеем:

/(z, у)= 2 2 V^™»),(13125)

п——оо т=—со

или сокращенно следующую формулу:

/(я, у) = 2 С™е№ту\ •(13.26)

п, т——оо

которая обобщает ряд Фурье на случай двух переменных.

Таким же образом, для периодической функции/ (ж1, z2, ...,xN') от N независимых переменных периода 2 л относительно каждой из переменных получим:

У^, х4, . .., xN) =У^, х4, . .., xN) =22р>(П1Х1+П2Хг+...+п¥Х.Л,ЬщП2 . . . П;уе'’р>(П1Х1+П2Хг+...+п¥Х.Л,ЬщП2 . . . П;уе'’

У^, х4, . .., xN) =

У^, х4, . .., xN) =

2

2

р>(П1Х1+П2Хг+...+п¥Х.Л,

ЬщП2 . . . П;уе'’

р>(П1Х1+П2Хг+...+п¥Х.Л,

ЬщП2 . . . П;уе'’

(13.27) где

2л 2л

с1СС

П1П2 . . . П у = \ \ . . .

4 *0 0

тс

...$Ж, 62, ..., 5jV)e-i<T^^+«2Ea+...^nvex> d^2 _ д^ (13 28) о

. Приведенная комплексно-экспоненциальная форма кратного ряда Фурье весьма удобна для расчетов. Следует, однако, подчеркнуть, что она совершенно эквивалентна обычной форме разложения по синусам и косинусам, так что условия сходимости будут те же самые.

Приступим теперь к определению + («), В^а) и ыДа, ф, W) из уравнения (13.13). Для этого разложим /0(а, ф, 'У) в двойной ряд Фурье: ■

/о(а> Ф> *0 = 22Лт(Ф<и+4), (13.29) пт х

где 2тс 2л

/пт («) = ^2 ^ ^/(®’ аС08Ф, — аш sin ф) 6"«"б+тф) ДО (/ф. О О

Представим ыДа, ф, vi) в виде ряда Фурье:

ыДа, ф, v«) = 2 2/пт (^).(13.30)

пт

Подставляя в уравнение (13.13) значение /0(а, ф, vZ) (13.29) и и1(а, ф, vZ) (13.30), имеем:

У У {(О2 — (nv + тиш)2} /nm (a) е«"^1+тф) —

= 2awB1 cos ф + 2(0^ sin ф + У У Дт (а) ейп^-нпф). (13.31) птх

Из (13.31) необходимо определить /пт(а), Аг (а) и В-^а?) так, чтобы и1 (а, ф, vZ) не содержало резонансных членов. Последнее условие будет выполнено, если Аг (а) и В± (а) определить из соотношения:

Зао^! cos ф + 2юАг sin ф = - У У Дт (а) е^+тф).(13.32)

[u)2—(nv+m<D)2=0]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в выражении (13.31), получим

/пт \а)т2— (71^+ тш)3

для всех п и т, удовлетворяющих неравенству

<и2 — (тгм + т/гсо)2 Ф О

или, ввиду того, что мы рассматриваем нерезонансный случай, неравенству

п2 + (ти2 — I)2 ^ 0 (т. е. /г + 0, т + j- Г).

Подставляя найденное значение /пт (а) в (13.30) и делая для упрощения замену mZ = 9, получаем для и-^а, ф, vZ) следующее выражение:

1 х, х,1(п8+тф)

и^а, ф, 6) = 7—2- У У —г—-,—тх X

' Т ' 4тс2со2—(nv +

[n2+(m2—T^oj

2тс 2тс ■

X ^ ^ /0 («, Ф> 9)’е—й^о+тф)^ ^ф(13.33)

о о

или, переходя к тригонометрическим функциям:

/,1Г cos (пб + тф)

и^а, ф, 0)=—-V—)—) \ х

'т ' 2ти2( (о2—(nv + mw)2

[п2 + (т2—1)2^0].

2тс 2тс'

X ^ ^ /° (а, ф, 6) cos (?г9 + ттгф) d6 d^ -]0 0

2тс 2тс

■+ т^^тйтр ^ ^о (“’ Ф’ 6) sin (п6 + тФ) ^9 <^Ф } • (13.34)

о о

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в (13.32), находим выражения для Лх(а) и 5х(а)):

А(«) = - 4^7 ^ /о(а> Ф. 9)8шф«г9йф, I о о

2я 2я((13.35)

Si(a) = _4^ S S ^й* Ф’ ^С08^8^-об)

После определения их(а, ф, 9), Лх(а) и Вх (а) мы в соответствии с (13.15) имеем явное выражение для /х(а, ф, 9). Разлагая его в ряд Фурье и воспользовавшись уравнением (13.14), а также, учитывая условие отсутствия резонансных членов в выражении для и2(а, ф, 9), аналогично найдем и2(а, ф,9), Л2(а), В2(а), необходимые для построения второго приближения. После ряда выкладок имеем:

1е1(п6+тф)

М2 Q) = Zj Zj Ш2 — (nv + тш)2 Х

[П2Н (m2—1)2^0]

2тс 2тс

X ^ ^ /1(а, ф, 9) е~{(и8+тФ) d.9<7ф, (13.36) .о о

^2 (а) = — -g^ [ -^ аА + 2ЛХВХ j —

2тс 2тс

- 4^7 § S V” (8’ а cos А -аш sin ^ М1 + о б

+ /х- (9, a cos ф, — <z<o sin ф) ^ Лх cos ф —.

— аВх8тф+^1 ш8тфс?9с?ф,

2тс 2тс

S {/И0, аcosф,-аа)sinф)ггx +o о -

+ /х' (9, a cos ф, — aw sin ф) ^ Лх cos ф —

-аВх8тф + ^ш + ^1^| cos ф <Z9 с?ф.

Продолжая изложенный процесс последовательного определения интересующих нас выражений, можно построить решение уравнения (13.1) в любом приближении.

Заметим, что, исходя из рассуждений, аналогичных приведенным в главе I, здесь также не имеет смысла при построении и-го приближения удерживать в правой части ряда (13.7) член порядка малости еп.

Заканчивая рассмотрение нерезонансног.о случая, заметим, что согласно формулам (13.35) в уравнения первого приближения войдет лишь свободный член /0^ж, -^-^ разложения (13.2) возмущающей силы /(б, х,^.

На основании (13.2) имеем тождественно:

/о(ж> 5)=й V(T’х’ ^>-/о(ж> 5)=й V(T’х’ ^>-(13.38)(13.38)

/о(ж> 5)=й V(T’х’ ^>-

/о(ж> 5)=й V(T’х’ ^>-

(13.38)

(13.38)

Поэтому для получения уравнений первого приближения мы можем усреднить возмущающую силу по явно содержащемуся в ней времени, после чего воспользоваться формулами первого параграфа (1.27).

Так как в рассматриваемом нерезонансном случае уравнения первого приближения (а также и высших приближений) имеют ту же форму, что и уравнения первого приближения для случая (1.1) (т. е. для случая, когда внешние возмущающие силы не зависят явно от времени), которые уже были нами подробно исследованы, то мы не будем останавливаться здесь на их изучении.

Остановимся только на рассмотрении выражения для ж во втором приближении:

ж = a cos ф +гм1 (а, ф, 9), (13.39)

где м1(а, ф, 9) определяется формулой (13.33) или (13.34).

В нерезонансном случае согласно формулам (13.39) и (13.34) влияние внешнего периодического воздействия сказывается только во втором приближении. Так, например, из формулы (13.39) непосредственно следует, что только во втором приближении в решении могут появиться различные комбинационные гармоники, компоненты с частотами вынуждающей силы различной кратности и т. д. Амплитуды всех этих дополнительных гармоник будут порядка малости г.

Рассмотрим еще формулу (13.39) в случае стационарных колебаний:

a — const, ф = о) (a) 14-Я, Я = const.(13.40)

В этом случае колеблющаяся величина ж состоит из собственного колебания с частотой ш (а) (представляемого членом a cos [ш (a) t + Я]), вынужденных колебаний с частотами пч (и = 1, 2, 3, ...) и комбинационных колебаний с частотами nv + шш (и, ти=1, 2, 3, ...). При этом интенсивность комбинационного колебания с частотой nv ± тш усиливается по мере приближения к соответствующему резонансу, т. е. по мере уменьшения соответствующего делителя

ш2 — (иу ± тиш)2.

В частном случае, когда собственные колебания отсутствуют, т. е. когда <ж = 0, формула (13.39) вырождается в следующую:

ж = s У ^,00^9 + 5^93 4

^—J(О'5. -''

где обозначено: 2л

Ai = ~7 /о (®> 0, 0) cos пб d6,о2л

Вп = -^ S^ fQ (6, 0, 0) sin пб d6.о

Таким образом, при а = 0 в колебательной системе имеются лишь одни вынужденные колебания с частотами внешнего возбуждения пч (п = 1, 2, 3, ...).

Поэтому в данном случае имеем дело с чисто вынужденными колебаниями. Режимы колебаний, соответствующие формуле (13.41), называются иногда гетеропериодическими, так как периоды всех гармоник колебания навязаны системе извне.

Если исследуемая колебательная система такова, что для не зависящей явно от времени слагающей е/0 ^ж, ^^ возмущающей функции г/ ^6, ж>-^-^ эквивалентный коэффициент затухания положителен:

Х(а)>0,(13.42)

где 275 2 71

X* (а) = 4^" ^ ^ / (6, а 008 Ф, — аю sin ф) sin ф dQ d^ = b b

тс

= 2^- \ /о (я cos ф, — аш sin ф) sin ф d^, о

то (см. § 7)

a (Z) —> 0, t-*co

и поэтому при выполнении неравенства (13.42) всякое колебание приближается к гетеропериодическому, так что гетеропериодический режим будет единственно возможным стационарным режимом.

Полученное условие (13.42) затухания собственных колебаний, вообще говоря, зависит от амплитуды внешней периодической силы. При отсутствии внешнего возбуждения, т. е. в случае, когда правая часть уравнения (13.1) не зависит явно от времени, мы получаем обычное условие самовозбуждения

М«)<0(13.43)

и соответственно условие затухания

Хе (а) > 0,(13.44)

где 2

Хе (а) =\ / (0, а cos ф, — aw sin ф) sin ф d^ *).

о

В зависимости от структуры нелинейной функции /^6, х, -^j может получиться, что одновременно выполняются условия (13.43) и (13.42). Тогда окажется, что система, являющаяся самовозбужденной при отсутствии внешнего периодического воздействия, теряет самовозбуждение при наличии внешнего периодического воздействия. В этом случае мы имеем дело с так называемым нерезонансным или асинхронным гашением.

Аналогично может представиться также и противоположный случай асинхронного возбуждения.

В начале предыдущего параграфа мы предположили, что правая / dx Л часть исследуемого дифференциального уравнения (13.1) / Г vZ, х, \ — периодическая функция по t с периодом ^ и, кроме того, может быть представлена в виде конечной суммы (13.2), в которой коэффициенты . / dx Xdx

^ k х’ ~dt ) являются некоторыми полиномами по отношению к х и -^ .

Если сделать более общее допущение, предположив, что функция /( vZ, х, ~^pj может быть представлена в виде равномерно сходящегося

ряда

(13.45)(13.45)

(13.45)

(13.45)

в котором fn\^x, — J—некоторые произвольные регулярные функции х и ^ , то в выражение для wx (а, ф, 6), м2 (а, ф, 6), ... вместо конечных двойных сумм войдут двойные бесконечные ряды типа

Благодаря присутствию делителей вида <о2 — (nv + mu>)2 эти ряды, вообще говоря, будут расходящимися.

Как известно, в общем случае точки расходимости рядов такого вида на оси v (т. е. значения v, при котором ряд расходится) образуют всюду плотное множество.

Таким образом, каково бы ни было значение v, всегда можно найти сколь угодно близкое к нему значение v0, для которого ряд (13.46) расходится.

»« 1(|р1+|«|)2+‘»« 1(|р1+|«|)2+‘С другой стороны, заметим, что для почти всякого значения отношения ^ (т. е. за возможным исключением множества меры нуль) мы можем найти) такие Сий, что

»« 1(|р1+|«|)2+‘

»« 1(|р1+|«|)2+‘

при любых целых р, q.

2С ^

| n 1 + 1 m IS1

(I ” 1 + 1 m|)

Но тогда

и по абсолютному значению каждый член ряда (13.46) будет соответственно меньше, чем

6+1271 2тс

| \ V0 (а’ Ф> 0) е”,’(п6+п,ф)^Ф | •"о о1

Поэтому данный ряд будет абсолютно сходящимся, если только /0(а, ф, 6) обладает по отношению к угловым переменным ф, 6 достаточным числом непрерывных частных производных.

Однако, чтобы не вдаваться в такие теоретико-числовые тонкости, целесообразно в практических приложениях не доводить дело до появления бесконечных сумм гармонических слагающих и отнести остаток ряда к высшим степеням е.

Иначе говоря, удобнее исходить из уравнений вида

^) + $з.._,(13.47)

в которых /0 ^vZ, х, -^-^ , /i (^t, х, ^-^ , • • • являются уже конечными суммами типа (13.2).

Распространение же изложенной методики построения приближенных решений применительно к уравнению (13.47) не представляет никаких затруднений.

Перейдем теперь к рассмотрению конкретного примера.

Рассмотрим обобщенное уравнение Ван-дер-Поля

-^4-у-е(1-у2)-^ = £'sin ^Z,(13.48)

где е —некоторый малый положительный параметр.

Это уравнение, как указывалось выше, путем замены

у = ж-|- (7sin vZ,(13.49)

где U = ^ ^-з' (мы рассматриваем нерезонансный случай, следовательно, v не равно и не близко к единице), приводится к виду

-^- + a;=e[l-(a; + C7sin^Z)2]<-J+t/vcos^zy (13.50)

и построим множество интервалов Znm (для любых целых положительных и отри- .п2С

цательных п, т) с центром в точках — и длинами-—г.

(|л| + М)2

С одной стороны, видно, что для любого числа х, не принадлежащего ни к одному из интервалов Zn, т, выполняется при любых целых п, т неравенство п k С

х — — >•(°)

(|n| + l^l)2+

С другой стороны, множество х, которое принадлежит к одному из интервалов Zn> т, имеет меру, меньшую чем

У mes In, ш ^ Д-n, m

Таким образом, для всех х, за возможным исключением х, принадлежащих к множеству меры, меньшей д, выполняются неравенства (а).

Воспользовавшись формулами (13.35), получим решение уравнения (13.50) в первом приближении:

х = a cos (/ + &),(13.51)

где &= const, а а, очевидно, должно быть определено из уравнения

т-тО'т-у)'<13-52>

Уравнение первого приближения (13.52) показывает, что при

ий< 2ий< 2(13.53)

ий< 2

ий< 2

система самовозбуждена, и существует устойчивый стационарный режим колебаний, соответствующий амплитуде

ПриПриа2 = 4-2772.

При

При

(13.54)(13.54)1Р> 2

(13.54)

(13.54)

амплитуда а с возрастанием t стремится к нулю и, следовательно, в системе происходит асинхронное гашение.

Найдем теперь решение уравнения (13.50) во втором приближении. Воспользовавшись формулами (13.39) и (13.37), имеем:

, . stM4 —U2 —2а2), , Л^,

х = a cos ф Н" cos 6 + 4СГГ9^2) cos 39 +

еС7а2 (З + ч).„eUa2 (2 + ^).

+ 4(1+^(3+^ C0S (9 + 2^ + 4(1 —ч)(3—ТУ C0S (6 - 2W +

+(26 + Ф) + sin (2° - Ф) sin 3Ф’ (13-55)

lo^^lH-^) х т/16^(1 — ^)х т/ 32 х '

где а и ф должны удовлетворять системе уравнений второго приближения:

da еа / . а2U2 \

"5Г ~ Т 4Т ) ’

(13.56)(13.56)^Ф,_2< 1я2 । 7а^ , e2t/2(5.-l) ,

(13.56)

(13.56)

dt<888(1—V2)

, e2U4 (Ц-4ч — 8ч2)+64(1—м2), e2U4 (Ц-4ч — 8ч2)+64(1—м2)s2U2a2 (7м4 —40^2 + 32м — 9)32 (9—ч2) (1—<2)

, e2U4 (Ц-4ч — 8ч2)

+64(1—м2)

, e2U4 (Ц-4ч — 8ч2)

+64(1—м2)

Как и следовало ожидать, во втором приближении у нас наряду с вынужденными колебаниями с частотами ч и Зм, равными частотам внешней силы, появились компоненты с кратными частотами Зю, а также с комбинационными частотами ч ± 2<о, 2^ ± <о, что характерно только для нелинейных систем.

Далее, на основании ранее сказанного при выполнении условия (13.53) гетеропериодический режим колебаний является неустойчивым и поэтому физически невозможным. В случае выполнения условия (13.54) гетеропериодический режим будет единственным устойчивым стационарным режимом. С течением времени в системе установятся гетеропериодические колебания вида

■ § 14. «Резонансные» случаи

Перейдем к рассмотрению резонансных случаев. Предположим, что

Р

<и як —9

где р и q — некоторые взаимно простые числа.

Тогда в зависимости от характера стоящей перед нами задачи может возникнуть два различных подхода к ее решению: 1) при исследовании резонанса достаточно ограничиться рассмотрением только самой резонансной области; 2) кроме изучения резонансной области, необходимо также изучить подходы к этой области из нерезонансной зоны.

Начнем рассмотрение с первого случая, как более простого. Ввиду того, что в этом случае предполагается рассматривать значения — v, достаточно близкие к ш, естественно положить

Ш2= ^^^еД,(14.1)

где еД представляет собой расстройку между квадратом собственной и внешней частоты.

Тогда исходное уравнение (13.1) запишется в виде

^ + (f = е {/(vZ.z, -^)-Дя}.(14.2)

Таким образом, расстройку еД ввиду малости относим к возмущающей силе, после чего решение уравнения (14.2), как и в нерезонансном случае, можем искать в виде

х = a cos ф 4- szz1 (a, vZ, ф) 4- а2и2 (a, mZ, ф) 4- „(14.3)

где их (а, ^t, ф), и2(а, ^, ф), • • • — периодические функции с периодом 2it по обеим угловым переменным vZ и ф, а а и ф —некоторые функции времени, которые мы должны определить из соответствующих дифференциальных уравнений.

Для составления этих уравнений удобно ввести в рассмотрение, кроме угловой переменной ф, представляющей собой полную фазу колебания, еще разность фаз

= ф — — mZ.т 9

Как уже ранее указывалось, из простых физических соображений следует, что в резонансных случаях разность фаз между собственным колебанием и внешним воздействием может оказывать существенное влияние на изменение амплитуды и частоты колебания. Поэтому в отличие -da

от ранее рассматривавшихся случаев мы будем представлять и -^- как функции не только а, но также и 8, иначе говоря, мы будем определять а и ф как решения дифференциальных уравнений вида

(14.4)(14.4)^ = еА(«, 8) + еМ2(а, 8)4-

(14.4)

(14.4)

^ = | ^гВ^а, 8) 4-e2S2 (а, 8) 4-. . . ,

где Л1(а, $), Л2 (а, 9), .. ., Вт (а, $), Вг^а, &),... — периодические функции угловой переменной & с периодом 2тг.daПоскольку в правые части выражении для -ч- и -у- входит не полная фаза ф, а фазовый угол &, целесообразно исключить ф из выражения (14.3) и уравнений (14.4).где Л1(а, $), Л2 (а, 9), .. ., Вт (а, $), Вг^а, &),... — периодические функции угловой переменной & с периодом 2тг.daПоскольку в правые части выражении для -ч- и -у- входит не полная фаза ф, а фазовый угол &, целесообразно исключить ф из выражения (14.3) и уравнений (14.4).Тогда,Тогда,полагая ф = — W + 9,полагая ф = — W + 9,получим вместо (14.3)получим вместо (14.3)следующееследующее

где Л1(а, $), Л2 (а, 9), .. ., Вт (а, $), Вг^а, &),... — периодические функции угловой переменной & с периодом 2тг.

da

Поскольку в правые части выражении для -ч- и -у- входит не полная фаза ф, а фазовый угол &, целесообразно исключить ф из выражения (14.3) и уравнений (14.4).

где Л1(а, $), Л2 (а, 9), .. ., Вт (а, $), Вг^а, &),... — периодические функции угловой переменной & с периодом 2тг.

da

Поскольку в правые части выражении для -ч- и -у- входит не полная фаза ф, а фазовый угол &, целесообразно исключить ф из выражения (14.3) и уравнений (14.4).

Тогда,

Тогда,

полагая ф = — W + 9,

полагая ф = — W + 9,

получим вместо (14.3)

получим вместо (14.3)

следующее

следующее

выражение:

х = a cos ^у Nt + 9^ -Ь ги1 (a, ft, ^ t ^ + е2м2 Qa, $, у ^ + ..., (14.5)

в котором функции времени а и & должны удовлетворять уравнениям:

(14.6)(14.6)^ = ^ <аЛН^2 (а, »)+...,^гВ^аЛУ^В, (а, &) + ...

(14.6)

(14.6)

Таким образом, нам нужно определить функции

Лх (а, $), Л2 (а, ^, ..., Вх (а, &), В2 (а, Ъ), ..и^ Qa, у ^ »

так, чтобы выражение (14.5), в котором вместо а и & подставлены решения уравнений (14.6), удовлетворяло основному рассматриваемому уравнению (14.2).

Дифференцируя (14.5), находим:

d® f , диг , о диг ,1 da .

-47 = 1 COS ф + г + е2 + . . . 1 — + at [ т да даJ at

■+|_o^,sin<1) + e^i + e2^2 + ...}>(14.7)

d2®Г।, 8ui ,2 ^u21 d^aГ д2иг 2д2в21 / da \2

( COS ф + е -Л- + е2 + . . . 1+ 4 е е2 + . . . И ч- ) +

dp[т да 1 даJ “<2I да21 да2) vdt J '

, о f • 1 , d2iii 2 ^2ц2,1 da d% .

.+ 2 1 — SIH ф + s —+ e2 ч- Л + ■ • • Г +

т да до да до J dt dt

, о ГР• !1д2“11 2 д2ц211 da

+ 2 1 — — м S1H ф + е + е2 + . . . -ЧТ + 1|q ' да dt dadt* dt

। > ^Ui , 2 9иг 1 d2&

+ {-«81Пф + е —+.e2 —+

f 1 d2Ui 2 d2u2 ,1 Л1

+ {-ас08ф-Н V"+e+

+ 2 {-а^С08ф + е^+е25>+...}5 +

+ {-a(л-^со8^+е^+е2^+(14-8)

Далее, на основании (14.6) имеем:

d2a .2 J дА л , дЛ1 R 1 L -з

f da Л2 2 i 3( d^ Л32 D2 1 „3

d2»\йВхА , 8В. 1 з

dt dt11J

Подставляя (14.5) и (14.8) в левую часть уравнения (14.2), учитывая при этом (14.6), (14.9) и располагая результаты по степеням параметра г, получим:

s?+ (f ’У ” = " { _ 2 f ’sin *л* “ 2“ f ’cos ®'++^ЧНЧ+-Ч[^+в>>-^-

— 2а У nB^ j cos ф + |^ — 2И1В1 — 2 у \П2 —

8В, .8В, D 7 . , . п 82и, .

- а - а В sin ф + 2 -7- А, +

Эа 1 Эе 1J т dadt 1

+ 2Мвх + ??-+С7’У<14ло>

Раскладывая правую часть уравнения (14.2) по степеням малого параметра, находим:

г |/ Q#t, х, ^^ — Дж | = г | — Да cos ф +

+ /^W, асоэф, —ау\з1пф^| +

+ ®2{/х(^, асоэф, — а у Msin ф') ат+

+ /х'^^, асоэф, —а^.м81пф^^Л1со8ф — аВ151пф +

+ 1t)-Ahi} + s3--- (14Л1)

Приравнивая в правых частях (14.10) и (14.11) коэффициенты при одинаковых степенях в, получим для определения искомых функций следующую систему уравнений:

^г+(7^)2н1 = /о(а’ ^> Ф) + 2^-^1зтф +

+ 2ау •vB1 cos ф — Да cos ф,(14.12)

S'+Cf ^)2н2 = /1(а’ Nt’ ^Н^^-^ + а^А^а^в.Л-

+ 2^5^ 8шф+ [га^^-^-^-^В^аВ3] созф, (14.13)

где введены обозначения:

/0 Qa, Nt, ф^ = /Q»t, асоэф, — ау-чэшф^, (14.14) /^а, Nt, ф) = /х^<> асовф, — а ^ ч sin ф J) мА +

-V fx- (^Nt, асозф, — а ^ \sin ф ^ ^Лх cos ф — аВх sin ф + ^ ^ —

_^и1-2А1^-2В1^ .(14.15)

х к оа ot к оу ot х '

Как и в ранее изложенных случаях, /h(a, Nt, ф) являются периодическими функциями с периодом 2 т? по обеим угловым переменным Nt, ф [^(а, &) и Вх^а, &) — периодические функции по отношению к & с периодом 2тг].

Найдем из уравнения (14.12) их ^a, Nt, ^Nt + & ^ , Лх (а, &) и Вх {а, &), соблюдая условие отсутствия в выражении для м1 Qa, Nt, уNt + &^ членов, знаменатели которых могут обратиться в нуль.

Представляя функции u1Qa, Nt, •^•^ +& J и /о(а, ^, 7^ + &) в виде конечных сумм Фурье, имеем:

/пх„i}

iq Qa, Nt, £-nIA-&) = 2 У Mnm(a) e 9,(14.16)

n m

/0(«,^,^+»)=22/зде4(14.17)

где

2л 2л

/™(а)=^ ^ J /0 (а, 6, ф)е-г{"»+-ф}^йф,о о

причем следует заметить, что фактически в случае, если правая часть уравнения (13.1) sfQ»t, х, ^^) является полиномом по отношению к х, ^ и содержит конечное число гармоник по переменной Nt, то разложения (14.17) могут быть найдены при помощи элементарных тригонометрических преобразований.

Подставим правые части выражений (14.16) и (14.17) в уравнение (14.12). В результате получим:

5 2 {(у 0 -QnNA-m-N^) j е 4'и^к^ =

= 2 2^(а)е9+2^-^1Sin^^+&^+

+ 2а у ^В1 cos ^-у V +$^ — Да cos ^у Nt +& у, (14.18)

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, нахо

дим:дим:^пт (п) —^пт (п) —(14.19)(14.19)

дим:

дим:

^пт (п) —

^пт (п) —

(14.19)

(14.19)

для всех и, т, удовлетворяющих условию

(у)'_(„ + „уу

или эквивалентному условию

nq + {т ± 1) Р Ф 0;

получаем так же соотношение для определения ^(а, Я) и Вг(а, 0):

2 у ^ sin ^ Nt -|- (Q 4- ^2а у nBx — Да J cos ^у-^ + ^ ) +

i I Ti*»t-Vm vt + A ) I

+ 2 2 eП№ = 0. (14.20)

[nq + (m±l)P=0]

Подставляя значение «„^(a) (14.19) в правую часть формулы (14.16), находим:

Nt, —Nt 4-й qNt, —Nt 4-й q)-2S[nq + (m±l)p^0])-2S[nq + (m±l)p^0](14.21)(14.21)г[п^/+?п (-V/+0)) /(О) (а) е П J пт х

Nt, —Nt 4-й q

Nt, —Nt 4-й q

)-2S

[nq + (m±l)p^0]

)-2S

[nq + (m±l)p^0]

(14.21)

(14.21)

Обратимся теперь к уравнению (14.20). Суммирование в нем, как указано, идет по всем целым п, т (положительным, отрицательным и нулевым), для которых

nq + (m ± 1) Р = 0. (14.22)

Поэтому в данной сумме имеются комплексные экспоненты вида

i { (n + m-) 'Л+mo} е 9i { (n + m-) 'Л+mo} е 9= еФ^+т9]= е= е= еФ^+т9]= е= е

i { (n + m-) 'Л+mo} е 9

i { (n + m-) 'Л+mo} е 9

= е

Ф^+т9]= е= е

= е

Ф^+т9]= е= е

cos (^у ^ + ^ + z sin (_™ ^ + ^^ е‘ <m -f) *.

Заметим, кроме того, что в силу (14.22) m + 1 делится на q, так что мы можем записать этот сомножитель в виде до (— со < о < со).

Приравнивая коэффициенты при cos ^уNt + &^ и sin ^у^“Ь$} в (14.20), имеем:

2те 2к

А(“. &)= 4A7S ei9’9 S S ^0^а’ °’ ^ e-i9°*'в1п^6^’ а0 0

Вх(а, ») = 4-

(14.23)(14.23)’2 pN

(14.23)

(14.23)

2тс 2тс

—4^2^ 2 ei9°8 ^ 5) /о(а> ®> ф) е—i9°8'cos ф (Z0 </ф ар о0 0

В формулах (14.23) суммирование производится для всех значений а, как положительных, так и отрицательных, для которых интегралы, стоящие под знаком суммы, отличны от нуля. Эти интегралы будут отличны от нуля для тех значений а, для которых суммарный показатель соответствующей экспоненты (полученной после разложения в ряд Фурье подынтегрального выражения) равен нулю. Таким образом, если правая часть уравнения (13.1) является полиномом относительно ж, ^ , cos nI и sin Nt, то а будет принимать конечное число целых значений.

Итак, в первом приближении для резонансного случая решение уравнения (13.1) будет:

х = a cos Q^ mZ + 0 J ,

где а и О должны быть определены из системы уравнений

2л 2л

» (14.24)» (14.24)^ = - "S^ 2е^& $ $ /° ^8> e~i^!’8, sin d9d^ а0 0

» (14.24)

» (14.24)

2л 2л

?=^ - 4^Ь 2 е'9а8 S S ^(а - ° *ф) e^0,r cos фd9 d^

а0 0

Так как в резонансном случае предполагается, что расстройка еД является величиной первого порядка малости, можем с той же степенью точности систему уравнений (14.24) представить в виде

2л 2л

/ (14.25)/ (14.25)57 = - 4^ 2 ei9°* V°(а’ Q’ e-i938' sin а0 0

/ (14.25)

/ (14.25)

2л 2л

= <о — — м — т-4^— V е’9’а (9, Ф) е~i9°8' cos ф dd

atq WaNpj J uT/T T

а0 0

Зная выражения для иг^а, Nt, ^-^Z + H,A1(a, 0) и 51 (a, 0), можно в соответствии с (14.15) найти явное выражение для fx( а, Nt, Nt + 0 , после чего из уравнения (14.13) получим выражения для Л2 (а, U) и В2(а, 0), необходимые для построения второго приближения:

М«, »)- -^[«^А + а^в. + глА] -

2л 2л

~ 4^ 2 е’9°а S V1^’9, ^ e-i9°8'sin ^ d9^’а 0 0

В2(а,=] -

2л 2 л

- 4^Д 2^ л (а> 9> Ф) e^”of}'cos Ф ds ^Ф- а0 0

Перейдем теперь к рассмотрению самого общего случая.

Пусть требуется исследовать поведение системы как вблизи резонанса, так и для подходов к резонансной области из нерезонансной зоны. Для этого необходимо построить такие приближенные решения, которые

давали бы возможность изучить поведение системы для достаточно большого интервала частот и из которых как частные случаи можно было бы получить выведенные выше формулы как для резонансного случая, так и для нерезонансного.

Здесь мы уже не можем считать, что расстройка мала, и поэтому приближенное решение должны искать непосредственно для уравнения (13.1); кроме того, в выражения для мгновенной амплитуды и частоты надо ввести зависимость от угла сдвига фаз.

Таким образом, решение, как и выше, ищем в виде ряда

х = а cos ^у mZ + & ^ + еи1 {а, Mt, ф) + e2u2 (a, mZ, ф) 4- .. ., (14.27)

где а и & должны быть определены из следующей системы дифференциальных уравнений:

(14.28)(14.28)»)+^А2(а, &)+■•.,

(14.28)

(14.28)

57 = w-f ^ + sSi ^ &Н^В2(а, &)+..., причем разность а> —~ м не обязательно мала.

Здесь, как и всегда, uT (a, mZ, ф), и2(а, Mt, ф) обладают периодом 2тс по отношению к обеим угловым переменным ф и mZ, a А^а, &) и В£ (а, &)(г = 1, 2,...) периодические, с периодом 2т?, по отношению к угловой переменной &.

Для определения всех этих функций мы могли бы применить неоднократно использованный прием непосредственного дифференцирования разложений (14.27) и подстановки результата в основное уравнение с последующим приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях. Вместо этого воспользуемся здесь рассуждениями, аналогичными тем, которые были применены при изложении метода гармонического баланса.

Для получения первого приближения рассмотрим главную гармонику ж = асозф, ф = -^^4-$-(14.29)

На основании принципа гармонического баланса при подстановке (14.29) в уравнение (13.1) с учетом системы уравнений (14.28) главные гармоники в левой и правой частях уравнения (13.1) должны быть равны.

Для получения второго приближения мы, естественно, при определении главной гармоники в левой части уравнения (13.1) должны учесть члены при =2, а в выражении для f ^t, х, ^-^ должны учесть члены с еи1(а, м!, ф).

Таким образом, во втором приближении для главной гармоники левой части уравнения (13.1) сразу получаем:

главная гармоникаглавная гармоника{5?+Ш2Ж} = {е [("-f ") Тй1-2^5!] +

главная гармоника

главная гармоника

-{е [("-f О^^"^ + ^[("-7

+ ^А + ^51 + 2лА]}8М- (14.30)

Подставляя в правую часть уравнения (13.1) х = a cos ф4-6^ (<z, W, ф), получаем с точностью до величин второго порядка малости для главной гармоники следующее выражение:

главная гармоника {s/(^,=

= в 2 fWe *4 V +

п, т

[nQ+(m±l)p«0j

п, т[nq+(mil)p=0]

2тс 2тс

== г ^ cos ф^ ^ eiaqa ^ f^a, 9, ^e-ia^' cos^d6d^-Vа 0 0

2я 2тс.

+ sin ф ^2 2 ^^/о(^> 6, ф)е-^ эшфсЮ^фУ +

а 0 0..

4-з2 | cos ф 2^2 2 е*°9& ^ ^/1(а, ®» ф)е—^0^'созфс?6с?ф4-а0 0

2тс 2тс

+ sin ф 2^2 2 et°9& ^ ^/1 (а’ ®> Ф) е-^06' sin ф (/Э^ф^, (14.31) а0 0'

где введены обозначения:

/о (я, 9, ф) =/(9, <z cos ф, — асозтф),(14.32)

/Да, 9, ф)=/'(9, a cos ф, — <z<o sin ф) мт +/^ (9, асоэф, — а<0 8тф)х

X [л^овф-аВ^тф + ^С®^ >-)]-^^

9» V q ) д»

(14.33)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в выражениях (14.30) и (14.31), получаем в первом приближении:

^<о — у v^ ^ — 2а<йВх = 2^2 2 eiaQ& ^ 5 ^а’ 6’ ф) е-^06'cos фс?9(/ф,]

a00'

^<о —^- v^ а ^1 + Зсо^! = — 2^2 2 е”96 ^ ^ ^о (а> ®> Ф) e-iQay зтф d9 d^; I

(14.34)

во втором приближении:

("-у’)^-2"£-=-{:й-4-+^1в^‘,в?) +

2тс 2тс.

+2^2 ei9°8 5 5 ^а’ 0’ ф) e-i9°8'cos ф ^Q ^ф, с0 0

^щ—Zv^a -^+2о>Л2 = “ {“ "д^ ^1 + Я "V 51 +

+ 2^^! — ^2 2 ei9°8 ^ А (а’ 9’ Ф) е-^09' sin фс?Ос?ф. (14.35) а 0 0

Выражение для su1(a, ч1, ф) определяем как вынужденные колебания, возбуждаемые в ж действием высших гармоник внешней силы sf(^t,x, ^-^ в режиме гармонических колебаний (^ж = асо8ф, — =-а«)81Пф )

__i(nv/ + m<f)

’М) =2(14-36)

n, m

£т1д+(т±1)р^0]

где

2-п; 2тс

М = ^ ^ /о (а, 6, ф)е-Нп8 + тф)сг9сгф.(14.37)

о о

Заметим, что в предыдущих случаях, «резонансном» и «нерезонансном», мы могли бы первое и второе приближения построить также, применяя изложенный метод гармонического баланса.

Скажем еще несколько слов по поводу определения А(а- ^) А (а, &) (г=1, 2) из систем уравнений (14.34) и (14.35).

Правые части этих уравнений периодические по & и представляют собой суммы типа 2 A W б*”8’ поэтому и решение для А^а, &), Bi^a, &) (г = 1, 2) мы должны искать в виде аналогичных сумм. В результате все выкладки при определении Л, (а, 6), В; (а, &) (г=1, 2) сводятся к чисто тригонометрическим операциям.

Нетрудно заметить, что из выведенных нами формул для исследования как резонансной области, так и подходов к ней можно получить все ранее найденные формулы. Так, полагая в уравнениях (14.34) со — у v = зД, находим с точностью до величины первого порядка малости выражения для Ау (а, &) и В^а, &) (14.23), полученные в случае резонанса.

Резюмируя, приведем схему построения решения уравнения (13.1) в первом и во втором приближениях для самого общего случая. В качестве первого приближения принимаем:

(14.38)(14.38)х = a cos ( — W + &

(14.38)

(14.38)

где а и & должны быть определены из уравнений:

^ = еА («,»),]

d%р(14'39>

— = и)_^7 + г51(й> §), J

в которых А1(а, &) и В1(а, &) — частные, периодические решения системы (14.34). Во втором приближении полагаем:

х = a cos ^~ vZ + &^ + ги1 Qa, vZ, у vZ + fQ ,(14.40)

где а и & определяются уравнениями:

d»р(14‘41)

v + eJBi(fl, д) + е252(й, ^),

в которых ЛДщ Й), В1(й, &), А2Л, &), В2(а, Я) должны быть найдены из систем (14.34) и (14.35), а и^ a, vZ,-^ vZ + $ ^) по формуле (14.36).

Заметим еще раз, что уравнения второго приближения (14.41) с учетом выражений для Л2(й, &) и В2(а, &) (14.35) кажутся достаточно сложными только потому, что они записаны в самом общем виде. Для конкретных примеров даже во втором приближении мы получаем сравнительно простые уравнения, определяющие амплитуду и фазу колебания (см., например, уравнения (13.56) и (15.38)).

Остановимся на рассмотрении первого приближения.

В отличие от нерезонансного случая здесь в уравнениях первого приближения (14.39) переменные не разделены, и мы имеем систему двух взаимно связанных уравнений для определения двух неизвестных а и &.

Заметим сначала, что для достаточно больших р и q ввиду сделанного ранее предположения о полиномиальном характере функций ^C^’^D первое приближение в резонансном случае не отличается от нерезонансного случая. Действительно, для достаточно больших р и q в суммах, стоящих в правых частях уравнений (14.39), останутся только члены, соответствующие а = 0, которые совпадают с выражениями (13.35), полученными в нерезонансном случае.

Таким образом, эффект резонанса сказывается, вообще говоря, при небольших значениях чисел р и q.

Возвратимся к рассмотрению уравнений первого приближения (14.39).

Так как правые части этих уравнений зависят от й и от &, то проинтегрировать их в замкнутом виде в общем случае не удается. Качественный характер решений может быть, однако, исследован и в общем случае с помощью теории Пуанкаре, потому что здесь мы имеем дело с двумя уравнениями первого порядка.

Согласно основным результатам этой теории (см. гл. III) можно утверждать, что всякое решение) уравнений (14.39) приближается

(14.42)(14.42)с возрастанием времени или к постоянным решениям a = at, & = &; (г = 1, 2, ...), определяемым из уравнений

(14.42)

(14.42)

^(а, ^) = 0, (о — у v + eBt (а, &) = 0,

или к периодическим.

Таким образом, получаем два основных типа стационарных колебаний: колебания, соответствующие постоянному решению или, как говорят, «точке равновесия» уравнений (14.39), и колебания, соответствующие периодическому решению.

В первом случае колебания в первом приближении совершаются с частотой, точно равной у» и находящейся, следовательно, в простом рациональном соотношении с частотой возбуждения. Поэтому такой режим колебаний называется синхронным.

В высших приближениях (см., например, формулу (14.21)) в выражении для и^a. Nt, ^-»< + &^), кроме основной частоты ^ , присутствуют, вообще .говоря, и другие обертоны разделенной частоты у .

В случае, если в системе существует постоянное решение типа а = 0, соответствующее отсутствию собственных колебаний, выражение для ^Qa, Nt, у Nt +&^ (14.21) будет то же самое, что и в нерезонансном случае (13.34), и представляет собой гетеропериодический режим колебаний.

Исследуем вопрос устойчивости стационарного синхронного режима. Для определения устойчивости постоянных решений а0 и &0, определяемых уравнениями (14.42), необходимо образовать соответствующие им уравнения в вариациях.

На основании (14.39) уравнения в вариациях можем записать в виде:

(14.43)(14.43)(14.44)(14.44)^- = вЛ1а(а0, &0)8а + еЛ{6(а0, %) 8»,^ = е5(а(а0, %^a-V»BU(a0, &0)8».

(14.43)

(14.43)

(14.44)

(14.44)

Характеристическое уравнение для системы (14.43) будет:

s^41 а — X вл!»еВ1аеВ^»— X

или

X2 — (аЛ1а4-е5(6) X-j-e2 (AiaB[s — S(a^i») = 0.(14.45)

Из (14.45) получаем следующие условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний:

Л'а (а0. »о) +(а0, »0) < 0,(14.46)

Л{о(а0, %)B’is(a0, ^) — Ais(a0, &0)Bio(a0, »0) > 0.(14.47)

Во втором случае, соответствующем периодическому решению уравнений (14.39), в первом приближении колебание будет совершаться

с двумя основными частотами — с частотой <о или — м 4- Дм и частотой биений Дю, где Дм = — ^Т— период данного периодического решения). Эти колебания называются асинхронными.

В качестве примера, иллюстрирующего характер синхронного и асинхронного режимов, рассмотрим ламповый генератор, находящийся под воздействием внешней периодической силы с частотой ».

В случае, если генератор составлен по схеме, приведенной на рис. 78, дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс, будет:

•<14'48’

слагающая управляющего напряжения, происходящая от колебаний в контуре.Рассмотрим случай, когда /(Е04-и), где и = е 4- F cos Nt, является кубическим полиномом:HE^u^ = j (Ео) + Sou + S^u2 - 8йи\ (14.49) в котором 82 > 0.слагающая управляющего напряжения, происходящая от колебаний в контуре.Рассмотрим случай, когда /(Е04-и), где и = е 4- F cos Nt, является кубическим полиномом:HE^u^ = j (Ео) + Sou + S^u2 - 8йи\ (14.49) в котором 82 > 0.где L — симоиндукция, М — коэффициент взаимной индукции, R — сопротивление, D — проницаемость лампы, ш = — собственная частота линейного контура, С —емкость, iQ = / (Ео 4- F cos Nt 4- e) — характеристика лампы (га —анодный ток), Е = Ей 4- F cos Nt 4- е — полное управляющее напряжение, Ео — постоянная слагающая полного управляющего напряжения, F cos Nt — слагающая нелинейного управляющего напряжения, вызываемая внешним возбуждением, е —

слагающая управляющего напряжения, происходящая от колебаний в контуре.

Рассмотрим случай, когда /(Е04-и), где и = е 4- F cos Nt, является кубическим полиномом:

HE^u^ = j (Ео) + Sou + S^u2 - 8йи\ (14.49) в котором 82 > 0.

слагающая управляющего напряжения, происходящая от колебаний в контуре.

Рассмотрим случай, когда /(Е04-и), где и = е 4- F cos Nt, является кубическим полиномом:

HE^u^ = j (Ео) + Sou + S^u2 - 8йи\ (14.49) в котором 82 > 0.

Предположим, что члены, стоящие вРис. 78.

правой части уравнения (14.48), малы; тогда

колебания будут близки к гармоническим, и мы можем построить приближенное решение уравнения (14.48), воспользовавшись приведенными выше формулами.

Будем рассматривать «резонансный» случай, когда р=1, q — 2,

т. е. со =» -^ .

Уравнение (14.48) перепишем в форме

>+4* = -ш" ^’^-<M-DL^-(«,»_^y. (14.50)

Решение в первом приближении ищем в виде

е = асобф, ф=у<4-^,

где а и & должны быть определены из системы уравнений

т.-А*. Ч 5—В*. Ч

для составления которой воспользуемся методом гармонического баланса.

Подсчитаем главные гармоники в левой и правой частях уравнения (14.50); имеем (см., например, (14.10)):

главная гармоника |^ + 4 е^ = аАг (а, 8-) v sin ф — гВ± (a, 8)а7созф; главная гармоника | — ю2 Г-^ ^ — (М — DL)f^ (E0A-F cosv< + e^)J —

cos 281 sin ф — la ( ш2 —sin281 cos ф,2d crJI 44 у Zd cr)cos 281 sin ф — la ( ш2 —sin281 cos ф,2d crJI 44 у Zd cr)

cos 281 sin ф — la ( ш2 —sin281 cos ф,

2d crJI 44 у Zd cr)

cos 281 sin ф — la ( ш2 —sin281 cos ф,

2d crJI 44 у Zd cr)

где обозначено. 60 2дд > ^cr д ^j)^

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и .учитывая, что о> + у % v, получим для определения а и 8 следующую систему уравнений:

da dtda dt%%udо о ।Z«7/ +ST“udо о ।Z«7/ +ST“^15* l^bg лл■ 9C cos 28, Zd cr^15* l^bg лл■ 9C cos 28, Zd crd%— = to dtd%— = to dt2 £i£% sin 28225cr 81П2"‘2 £i£% sin 28225cr 81П2"‘(14.51)(14.51)

da dt

da dt

%

%

udо о ।Z

«7/ +ST“

udо о ।Z

«7/ +ST“

^15* l^bg лл

■ 9C cos 28, Zd cr

^15* l^bg лл

■ 9C cos 28, Zd cr

d%

— = to dt

d%

— = to dt

2 £i£% sin 28

225cr 81П2"‘

2 £i£% sin 28

225cr 81П2"‘

(14.51)

(14.51)

Ввиду того, что во второе уравнение системы (14.51) входит только Одна неизвестная функция 8, оно может быть проинтегрировано с помощью квадратуры.

Однако, мы остановимся на другом вопросе.

Исследуем, при каких соотношениях между частотами ю и ч, а также коэффициентами полинома (14.49) в генераторе будут существовать стационарные колебания.

(14.52)(14.52)Допустим сначала, что

(14.52)

(14.52)

2 R I 25cr I ■

Тогда, интегрируяТогда, интегрируя(14.53)(14.53)второе уравнение системы (14.51), получим:

Тогда, интегрируя

Тогда, интегрируя

(14.53)

(14.53)

8(<)—>80,Z-»co

где

Из первого находим:

уравнения системы (14.51) при выполнении (14.53)

а^—>а0,(14.55)

t->co

80 = yarcsin2^?5cr.

(14.54)

где а0 определяется из уравнения

(б'о - 5cr - 4 S2F2 + 15^ cos 280) а0 - -|-8гаХ = 0.(14.56)

Если

50-5cr-f 5^ + 15^ cos2&o <°>(14.57)

то, очевидно,

я0 = 0.

Таким образом, при выполнении условий (14.52) и (14.57) в генераторе устанавливается гетеропериодический режим — единственный возможный в данном случае стационарный режим.

Пусть теперь

50 -5cr -^SJ?2 + ^StF cos 2&0 > 0;(14.58)

тогда решение ао = О неустойчиво и система будет самовозбуждающаяся. Из уравнения (14.56) находим значение а0:

%=/-[50-^-4^ + 1^008 2^] .(14.59)

Таким образом, при выполнении условий (14.52) и (14.58) в рассматриваемой колебательной системе устанавливается синхронный режим и в первом приближении

е = а0 cos ^41 + Sq^ ,(14.60)

где а0 и &0 определяются выражениями (14.59) и (14.54), т. е. в генераторе устанавливаются стационарные колебания с постоянными амплитудой и фазой и с частотой, равной половине частоты возбуждения.

Согласно условию (14.52) расстройка резонанса |ш —yj не Д°лжна при этом превосходить некоторой величины. Иначе говоря, синхронный режим возможен при достаточно малых значениях расстройки.

Рассмотрим теперь случай, когда ш, оставаясь достаточно близкой к 4, так что условия применимости уравнений (14.51) выполняются, удовлетворяет неравенству

(14.62) функция 6(14.63)(14.62) функция 6(14.63)

(14.62) функция 6

(14.63)

(14.62) функция 6

(14.63)

Тогда, проинтегрировав второе уравнение системы (14.62), можно представить & в виде

& = Acoi + Ф (Дш< + 6), где 6 — произвольная постоянная, Ф (6) — периодическая с периодом 2т,

Подставляя значение & (14.62) в первое уравнение системы (14.51), получаем для определения стационарных значений амплитуды уравнение первого порядка с периодическим коэффициентом.

Это уравнение допускает решение а = 0, соответствующее гетероперио- дическому режиму. Вопрос об устойчивости решения а = 0 зависит от

знака выражения

^0-^сг-4^2 + у^^Х(14.64)

где cos 28- обозначает усредненное значение cos 28- по периоду Т: т

cos 28 = -^- С cos 28 dt.(14.65)

Благодаря (14.63) имеем cos 28 = 0, и поэтому выражение (14.64) принимает вид

5°-5сг-у52^2.(14.66)

Если выражение (14.66) отрицательно, то самовозбуждение отсутствует и гетеропериодический режим а = 0 устойчив; если же выражение (14.66) положительно, то в системе имеют место самовозбуждение и, следовательно, неустойчивость гетеропери одического режима.

Итак, при выполнении условия (14.61) и условия

5о-^-|^2>О(14.67)

можно показать, что

«(<)-> Л (До><+6),(14.68)

где Л (Дш^ 4* 9) — соответствующее периодическое решение с периодом Т = -^ первого уравнения системы (14.51) после подстановки в него значения 8 из (14.62).

В частности, при достаточно больших значениях расстройки | ш —g-1 получаем приближенно:

Л (6) а0,(14.69)

где

т. е. значение стационарной амплитуды в нерезонансном случае.

Итак, при выполнении условий (14.61) и (14.67) в генераторе устанавливается стационарный двухчастотный режим — асинхронные колебания. В первом приближении для стационарных колебаний получаем выражение

е = Л (Дшг4-6) cos |^у4-Дш^ £4-64-Ф (Дшг 4-6) ^j,(14.70)

в котором у 4- Дю — основная частота, а амплитуда Л(До^ + 6) и фаза 6 4-Ф (Дю? 4-6) колеблются с частотой биений Дю.

Анализируя выражение (14.70), нетрудно заметить, что в этом случае при удалении от резонанса колебания приближаются к нерезонансным колебаниям вида

е = а cos (wf 4- 6).

Этот факт, очевидно, имеет место и в самом общем случае. Исследуя общие уравнения первого приближения (14.39), можно показать, что при увеличении расстройки | со —^-1 «резонансное» первое приближение непрерывно переходит в «нерезонансное».

§ 15. Воздействие синусоидальной силына нелинейный вибратор

В качестве частного случая колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), рассмотрим нелинейный вибратор, находящийся под воздействием гармонической силы. Колебания такой системы, как указывалось выше, описываются следующим дифференциальным уравнением:

. т -^ + кх = tf Q^.^-^ + s^sin »Z ).(15.1)

Анализируя во введении это уравнение, мы пришли к заключению, что в первом приближении может быть обнаружен только основной резонанс.

Итак, пользуясь ранее выведенными формулами, построим приближенные решения уравнения (15.1) в случае основного резонанса (р = 1, q = 1).

Согласно (14.39) и (14.40) в первом приближении имеем:

(15.2)(15.2)(15.3)(15.3)(15.4)(15.4)х= a cos(vZ + &),

(15.2)

(15.2)

(15.3)

(15.3)

(15.4)

(15.4)

где а и & должны быть определены из системы уравнений: ■2те

=/о(«, ф) 81пф С?фу? -COS&,

atJ /ох т/ т т т (ш + м)

0

2 те

= о) — » — 5/0 (а, ф) cos ф d& -]—sin &.

at2тсш am J1 та (ш + \)

0

Во втором приближении полагаем

х = a cos ф + ем1 (а, ф),

где м1(а,ф) определяется как вынужденное колебание, возбуждаемое в системе высшими гармониками внешней силы в режиме синусоидальных колебаний:

^Ля.Ф)^^ У -Гм(«)>

2«

^4^ = ^ 5 /0(а,ф)е-^с?ф,о

а а и & должны быть определены из системы уравнений второго приближения, для построения которой воспользуемся формулами (14.34) и (14.35).

Сначала находим согласно (14.31) и (14.32) главную гармонику функции е2/1(а, ф):

главная гармоника {s2/1(a, ф)} =

2тс2 тс

= —^^ ^ 71 («, Ф) cos Ф йф + —^ ^ 71 (“> Ф) sin ф йф,о"о

где обозначено:

/х (а, ф) = /^ (а cos ф, — аю sin ф) иг (а, ф) +

+ fx- (a cos ф, —aw sin ф) £ At cos ф — aBy sin ф Д ^ (u> — ») ] .

Далее, согласно (14.35) для определения А2(а, 9) и 52(а, 9) составляем систему

тп I— 2а«) 5„ 1 =

2тс

=[^Л1 + %Г51~а51] + S ^1(“’ Ф)00^^’

о

тп £ (<у — ») а '^ + 2о> А 2 ] =

2л

Г ЗВу . ЗВу о ! о 11 Г 7 ,,х,

= -™ [а^А + а w51+2v4151J /Да, ф)з1пфйф.

о

После этого, зная Ау(а, &), Л2 (а, d), By (а, 9), В2^а, 9), не представляет труда составить уравнения, определяющие а и 9, во втором приближении.

Остановимся подробнее на исследовании первого приближения.

Как и в случае нелинейной системы, находящейся под воздей-. ствием возмущения, не зависящего явно от времени, положим для сокращения (см. (7.4))

2л'

^ ^^^Д Ма’ Ф)з1пФй.

° 2л>(15.5)

ке№ = к-^ ^ /о(“> ф)созфйф

о)

и заметим, что введенные параметры \(а), Ае (а) являются соответственно эквивалентным коэффициентом затухания и полным эквивалентным коэффициентом упругости для рассматриваемой колебательной системы в «свободном» состоянии при отсутствии внешнего возбуждения, т. е. для системы, описываемой уравнением вида

mS + ^ = s/(a;’^)-(15'6>

(15.7)(15.7)После этого уравнения (15.3) можцо записать следующим образом:

(15.7)

(15.7)

и (а) ——sin 8, I

6 v 7та (<о -f- v)/

где 8е (а).— ^—-, о>е (а) = у^~~- являются соответственно эквивалент

ным декрементом затухания и эквивалентной частотой нелинейных собственных колебаний, описываемых уравнением (15.6).

Рассмотрим стационарные режимы колебаний. Для получения в первом приближении стационарных значений амплитуды а и фазы 8 необходимо приравнять нулю правые части уравнений (15.7), после чего получим соотношения:

— В (а) а~—г cos 8 = 0, 1

(15.8)(15.8)е 'т

(15.8)

(15.8)

о> (а) —м-|sin& = О, Iе v 7та (0) + ^))

или с точностью до величин второго порядка малости следующие соотношения:

(15.9)(15.9)2тч а8е (а) = — еЕ cos 8,та [<«е (а) — ч2] = — еЕ sin 8,

(15.9)

(15.9)

откуда, исключая фазу 8, находим зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:

(15.10)(15.10)т^а2 [(u)y (а) — ^2)2-(- 4^2о2 (а)] = е2Е2.

(15.10)

(15.10)

Полученные нами уравнения (15.9) и (15.10) совпадают с уравнениями, которые в классической линейной теории используются для определения амплитуды и фазы вынужденного колебания

(15.11)(15.11)ж = a cos (^Z 4- 8)

(15.11)

(15.11)

в системе с массой т, коэффициентом упругости ке (а) и коэффициентом затухания Хе (а) ^и соответственно с частотой ше (а) = j/^eJ^- и декрементом Sy (а) = ^т ^’ нах°ДяЩейся П°Д воздействием внешней синусоидальной силы еЕ sin Nt.

Поэтому можем сформулировать следующее правило. Пусть дана некоторая нелинейная система, находящаяся под воздействием внешней синусоидальной силы с частотой, близкой к собственной частоте системы. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарного синхронного колебания (15.2).

Для этого, линеаризируя данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы e^sin^Z), определяем функции амплитуды — эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний.

Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний (15.9) и (15.10), получим уравнение для определения искомых величин амплитуды и фазы.

Настоящее правило сформулировано для частного случая колебательной системы, описываемой дифференциальным уравнением (15.1), однако оно может быть распространено и на более общие случаи колебательных систем.

Выведем условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний.

Для резонансного случая уравнения первого приближения (15.7) с точностью до величин второго порядка малости могут быть представлены в виде

2м = — 2м аВ [(а) — — cos 9,

at7 т

2ма^=[а)=(а)-м2]а + ^8тд,(15.12)

а уравнения стационарных синхронных режимов — в виде

7? (а, &) = 0, 1

Ф(а, &) = 0, J

где через 7? (а, 9) и Ф(а, &) обозначены соответственно правые части уравнений (15.12).

Пусть а и 9 —какие-либо решения уравнений (15.13). Для исследования вопроса об их устойчивости воспользуемся выведенными ранее условиями (см. (14.46), (14.47)). Применительно к нашему случаю они будут иметь следующий вид:

а7?;(а, &) + Ф£(а, &)<0,(15.14)

7?д(а, 9)Ф»(а, 9) —7?^ (а, &)Фд(а, 9) > 0.(15.15)

Раскроем смысл этих неравенств.

Из (15.14) имеем:

а7?а (а, 0) + Ф&(а, &) = —2м аВе (а) — 2ма2 ^^ !^ Cos &,

a clтп

откуда, принимая во внимание первое уравнение системы (15.12), находим:

а7?;(аЛ) + Ф^(а, ») = - 2ма ^^ - 2ма 8е (а) = - 2м (a^, (15.16)

Имея в виду введенные обозначения (15.15), можем написать:

2м а\ (а) = ^^ м == W (а),(15.17)

где 2 л

W (а-) = ^ \ s/ (а cos (wt + d), — aw sin (wt + $)) aw sin (wt + ^) ^ (wt + 0) о

(15.18)

.,, / dx

представляет среднюю мощность, рассеянную силой г/ ( ж, ) ПРИ колебаниях

х = а cos(<o?4-d).

При обычных законах трения W (а) возрастает вместе с амплитудой, так что

W (а) > 0.

; Таким образом, если ограничиться рассмотрением систем с обычным законом трения, то условие (15.14) согласно выражениям (15.16) и (15.17) ■будет всегда выполняться.

Рассмотрим теперь условие (15.15). Для этого исследуем зависимость .а и & —решений уравнений (15.13) — от частоты м.

Дифференцируя (15.13) по м, получим:

(15.19)(15.20)(15.19)(15.20)(15.21)(15.21)п, Да . р, Д^ у

(15.19)

(15.20)

(15.19)

(15.20)

(15.21)

(15.21)

ф'L Ф4 = — Ф'

а Дч 8 Дч

откуда находим:

(7?'Фв - Ф<^) ^ = фж - т?ж

€ другой стороны, из (15.13) имеем

Т?8 = —sinS, 7?^ = — 28 „(а) а,

Фд = — cosft, Ф'= — 2ча,

в связи с чем правую часть (15.20) можем записать следующим образом:

ФЖ-ЛЖ = 2ае^ Asin& + Se (а) ~cos^ или, учитывая уравнения (15.9), в виде

(15.22)(15.22)может бытьможет быть(15.23)(15.23)ФЖ — 7? Ж = 2ма2 [((о| (а) — м2) — 28= (а)].

(15.22)

(15.22)

может быть

может быть

(15.23)

(15.23)

Таким образом, из (15.20) и (15.22) вытекает, что

№e - Ф<Ж) ^ = 2ча? [(о,2 (а) - ,2) - 28= (а)].

Да Дч Да ДчДа Дч Да ДчПосле этого очевидно, что условие устойчивости (15.15) представлено в виде

Да Дч Да Дч

Да Дч Да Дч

0, если o)g (а) > м2 + 28g (а),

0, если o)g (а) < м2 + 282 (а),

или с точностью до величин первого порядка малости (о| (а) — величина второго порядка малости):

(15.24)(15.24)^ > 0, если го (а) > ч,

(15.24)

(15.24)

<0, если (ов (а) < м,

Полученные условия устойчивости (15.24) очень удобны при графическом представлении зависимости амплитуды от частоты.

В самом деле, воспользовавшись уравнением (15.10), построим кривую (рис. 79)

а = Р(ч)(15.25)

(резонансную кривую), а также построим кривую

(15.26)(15.26)а =7^0(Д,

(15.26)

(15.26)

определяемую уравнением точного резонанса юе (а) = ^

(так называемую скелетную кривую).

Тогда на ветви кривой (15.25), лежащей левее кривой (15.26), устойчивыми (т. е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те участки, на которых а возрастает вместе с ^; на ветви, лежащей правее кривой (15.26), наоборот.

Рис. 79.Рис. 79.устойчивыми будут те участки, на которых а убывает с возрастанием ч.

Рис. 79.

Рис. 79.

Графическое построение делает наглядной зависимость устойчивой стационарной амплитуды от частоты возбуждающей силы и, в частности, позволяет определить точки срыва и скачка, обусловливающие гистерезисные явления, характерные только для нелинейных систем.

В качестве конкретного примера

рассмотрим нелинейный вибратор о жесткой характеристикой нелинейной восстанавливающей силы (F = = ст + с?т3), находящийся под воздействием внешней синусоидальной силы. Пусть колебания вибратора описываются уравнением вида

т ~dP + 41 + сх + ^ = ^ s*n

(15.27)(15.27)где х — координата, определяющая положение системы, t — время, т — масса системы, b— коэффициент сопротивления, F = сх + dx3— нелинейная восстанавливающая упругая сила, Е и ч — соответственно амплитуда и частота внешней синусоидальной силы. .

(15.27)

(15.27)

Введем для упрощения безразмерные хг и tv по формулам:

Тогда уравнение (15.27) можно представить в виде

+ о-тг + х + х3 = Е, sin^Z,(15.28)

1 at1х

, ЪЕ / а

где о =—=:, Еу =— 1/ — и для упрощения опущены индексы при х и t. у тсс ’ с

Допустим теперь, что в исследуемой системе трение, а также амплитуда внешней силы являются малыми и, кроме того, характеристика нелинейной восстанавливающей силы достаточно близка к линейной.

Тогда, сопоставляя уравнение (15.28) с (15.1), имеем:

-^-х3’ sE = Ev<15'2"9)

после чего, воспользовавшись формулами (15.2), (15.5) и (15.7), получим в первом приближении решение уравнения (15.18) для случая основного резонанса в виде

х = a cos (W + 9),(15.30)

где а и & должны быть определены из системы уравнений

daЪа Е.п

— = — —— COS

—■ — 1 — м + -s- Ч—У т Sin &.

dt8 а (14-м)

Перейдем сразу к рассмотрению стационарного режима синхронных колебаний. При таком режиме в первом приближении согласно (15.30) величина х будет изменяться по косинусоиде с частотой внешнего [возбуждения и с постоянными амплитудой и фазой, определяемыми с точностью до величин второго порядка малости системой уравнений

(15.32)(15.32)(15.33)(15.33)— 8а — Ех cos & = 0,а [(! + ¥)2-^] +^iSin& = 0.

(15.32)

(15.32)

(15.33)

(15.33)

Согласно (15.5) для уравнения (15.28) имеем;

ое (а) = о, ше (а) = 1 + -g-.

Исключая из соотношений (15.32) фазу & (или непосредственно подставляя значения бе(а) и ше (а) (15.33) в (15.10)), находим следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:

^{[(l+^y-^y + S2}-^(15.34)

из которой находим:

м = |/Г и>е (а)^^^ — й2.(15.35)

При помощи этой зависимости строим резонансную кривую (рис. 80),

а также скелетную кривую, определяемую уравнением

1 + ^=^ (15.36) (рис. 80, пунктирная линия).

При помощи полученной диаграммы согласно приведенному на стр. 190 правилу легко установить зоны устойчивых и неустойчивых амплитуд.

Так, устойчивым амплитудам будут соответствовать участки резонансной кривой МАВ

и DCN. Точки В и D будут являться точками срыва и скачка амплитуды.

Диаграмма, приведенная на рис., 80, позволяет полностью проанализировать характер колебаний в исследуемой системе при изменении частоты внешней силы. Так, при увеличении частоты внешней силы, начиная от малых значений, амплитуда вынужденных колебаний нарастает сначала по кривой МАВ. В точке В происходит срыв амплитуды— значение амплитуды скачком переходит в точку С и при дальнейшем увеличении частота изменяется по кривой CN. Если теперь

начать уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний

будет изменяться по кривой NCD. Дойдя до точки D, значение амплитуды перейдет в точку А и дальше будет изменяться по верхней ветви резонансной кривой АМ.

Заметим, что, говоря об изменении частоты внешней силы, мы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что практически в каждый момент систему можно рассматривать как стационарную. Ниже этот вопрос будет более подробно рассмотрен в связи с явлением прохождения через резонанс.

Приведем теперь решение уравнения (15.28), соответствующее второму приближению. Согласно формулам (15.4) и (14.42) во втором приближении имеем:

л 3

ж = a cos ^t + 8) +-32" cos 3 (W -|- 8), (15.37)

где а и 8 должны быть определены из системы уравнений второго приближения:

da dtda dtЗа , За38 Г 1У + 16 — ^41 + ^За , За38 Г 1У + 16 — ^41 + ^За2 (7—.)8,(3-.) (1+.)2За2 (7—.)8,(3-.) (1+.)2cos 8cos 8518• qsm $, 2(1 + .)2518• qsm $, 2(1 + .)2(15.38)(15.38)

da dt

da dt

За , За38 Г 1

У + 16 — ^41 + ^

За , За38 Г 1

У + 16 — ^41 + ^

За2 (7—.)8,(3-.) (1+.)2

За2 (7—.)8,(3-.) (1+.)2

cos 8

cos 8

518• q

sm $, 2(1 + .)2

518• q

sm $, 2(1 + .)2

(15.38)

(15.38)

d^. За2 3215а4

dt — 1 — + 8 — "Г256 +

11 + .11 + .За2 (5 — 3.)8(3-.) (1+.)2За2 (5 — 3.)8(3-.) (1+.)2sin 8sin 89 ,. . .. cos 8.2а (1 + .)-9 ,. . .. cos 8.2а (1 + .)-

1

1 + .

1

1 + .

За2 (5 — 3.)8(3-.) (1+.)2

За2 (5 — 3.)8(3-.) (1+.)2

sin 8

sin 8

9 ,. . .. cos 8.

2а (1 + .)-

9 ,. . .. cos 8.

2а (1 + .)-

Как следует являются высшие с инусоидальным.Как следует являются высшие с инусоидальным.

Как следует являются высшие с инусоидальным.

Как следует являются высшие с инусоидальным.

из выражения (15.37), во втором приближении по- гармоники, и колебание уже не будет являться чисто

правые части уравнений (15.38) нулю и исключаяправые части уравнений (15.38) нулю и исключаяПриравнивая

правые части уравнений (15.38) нулю и исключая

правые части уравнений (15.38) нулю и исключая

угол 8, получаем зависимость между амплитудой колебания а и часто-

той внешней силы . во втором приближении. При помощи этого соотношения строим резонансную кривую во втором приближении (рис. 81, пунктирная линия).

Как указывалось выше, в колебательной системе, описываемой уравнением (15.1), в первом приближении возможно обнаружить только один резонанс, а именно главный резонанс (р = 1, <7= 1). Демульти- пликационные резонансы заметны только при рассмотрении высших приближений.

Для того чтобы проиллюстрировать это, построим первое и второе приближение для колебательной системы, описываемой уравнением (15.28) в случае р = 1, q=3.

Согласно формулам (14.38), (14.39) в первом приближении имеем:

ж = a cos

(!«+»).

(15.39)

где а и 9 должныгде а и 9 должныбыть определены из уравнений

где а и 9 должны

где а и 9 должны

da 8а

(15.40)(15.40)"dt —’

(15.40)

(15.40)

d» ,1, За2

1г=1-т^+-г-

Правые части уравнений (15.40) зависят только от а и характеризуют систему в нерезонансном случае. Интегрируя эти уравнения, получаем для ж выражение

х = аое 2< cosp — ^ е~5< + 90j , (15.41)

а0 и 90 — произвольные постоянные. Таким образом, в первом приближении колебания системы описываются затухающей по экспоненциальному закону косинусоидой и частота колебаний зависит от амплитуды.

Никакого эффекта резонанса в первом приближении не будет; а ввиду того, . что амплитуда внешнего синусоидального возбуждения порядка е, то в первом приближении не имеют места даже вынужденные колебания с частотой возбуждения (вынужденные колебания будут заметны при рассмотрении улучшенного первого приближения).

Подсчитаем теперь второе приближение. Воспользовавшись формулами (14.40) и (14.41), находим для х следующее выражение:

х = a cos

Q^ + &)+^ cos3(A^ +

^ sin^Z

(15.42)

в котором а и 9 — решения уравнений:

da

dt

8а . 3 . о

-Т + Гб&а

d% . v ! За3 82

di-8"

15а4

"256

(15.43)

Выражения (15.42) и (15.43) свидетельствуют о влиянии внешнего возбуждения на колебательную систему, которое мы обнаруживаем при рассмотрении второго приближения. Так, согласно (15.42) в выражении для х, кроме обертонов собственной частоты, появились также и гармоники с частотой внешней силы. При помощи уравнений (15.43) мы можем обнаружить резонансные зоны и построить резонансные кривые.

Приравнивая правые части уравнений (15.43) нулю, получаем с точностью до величин третьего порядка малости следующие зависимости, определяющие стационарные значения амплитуды а и фазы колебаний 9:

— о. (а) а — cos 39- = О, 6 х '32

^»-^ + ^г sin 39 = 0.

Здесь введены обозначения:

ое (а) = о —

2 / х л । За2 82

Ш2 («) = ! + — —

15а4

128 "

(15.44)

(15.45)

Исключая из зависимостей (15.44) фазу Я, находим соотношение между амплитудой и частотой возмущающей силы:

(15.46)

ИЛИ

V = 31/^ (п)±./- 8° (а),(15.47)

при помощи которого Приведем теперьпри помощи которого Приведем теперьЧ|Ф||МРис. 82.Ч|Ф||МРис. 82.можно построить резонансную кривую.

при помощи которого Приведем теперь

при помощи которого Приведем теперь

Ч|Ф||М

Рис. 82.

Ч|Ф||М

Рис. 82.

пример, для которого уже в первом приближении можно обнаружить дробный резонанс.

Рассмотрим линейный колебательный контур с регенерацией при помощи электронной лампы (рис. 82).

Как известно, на этом примере Мандельштамом и Папалекси [29] было изучено явление резонанса и-го рода, причем решение получаемого уравнения находилось для установившегося режима методом Пуанкаре, а для исследования процесса установления колебаний применялся метод Ван-дер-Поля.

Для указанной колебательной системы дифференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид

гдегде+++(15.48)

где

где

^/ot^)(15-49)

есть уравнение характеристики лампы, зависящее от управляющего напряжения.

После ряда преобразований уравнение (15.48) может быть сведено к виду*)

(15.50)

где обозначено:

dt) = F ^dt 1 1+^’ 1

^(ZH^/ltz)-2^,1

aTLo Vot0 J

(15.51)

TlR ^ Ш2 П2Шд

(15.52)

*"wL ’n2(o^’1

j ‘a /о (^s) ।

“ /„ ZoJ

*) См. [29], т. II, стр. 21.

Остановимся на исследовании резонансного случая. Для того чтобы можно было применить для построения приближенного решения формулы § 14, необходимо в уравнении (15.50) сделать замену переменных:

ж = у 4- у~^ si11 nt’ (15.53)

после чего получаем следующее уравнение:

d2y£ Г । Е •4 dy Еп"1d2y£ Г । Е •4 dy Еп"1(15.54)(15.54)

d2y£ Г । Е •4 dy Еп"1

d2y£ Г । Е •4 dy Еп"1

(15.54)

(15.54)

Допустим, что регенерация в контуре осуществляется при помощи электронной лампы с характеристикой:

га = а + 6ж+ еж2 — с?ж3,га = а + 6ж+ еж2 — с?ж3,(15.55)(15.55)

га = а + 6ж+ еж2 — с?ж3,

га = а + 6ж+ еж2 — с?ж3,

(15.55)

(15.55)

где Ио = 12е, Zo = 142 ма, a, b, с, d — постоянные. Тогда для правой части (15.50) получаем выражение

(15.56)(15.56)(15.57)(15.57)Vе + 2$ + v^) dt + o.oie^’ в котором приняты обозначения:

(15.56)

(15.56)

(15.57)

(15.57)

2 = Т4Т’ к=ко + ^> Р = О,О16,& = 0,013, Y= -2, к0 = -0,05(а = 0,95, 6 = 3,35, с = 2,25, ^=1,5).

Подставляя значение /(ж, -^Q (15.56) в уравнение (15.54), находим для правой части рассматриваемого уравнения следующее выражение:

, Г । Е . dy . ЕпI

/+—+ l—^cosniJ =

= [А + Зу + ^^ет иГ+у^ + ^^еш и< +, Е2 . <,~\ 1 у dy Еп , > .

+ Тл81Щ nt+ Д2 cos nt +

(1 —л2)2) J 4 dt1 — n2У

+ n ( У -V sin и< •(15.58)

0,0161 1 —n2 у ''

Построим теперь решение уравнения (15.54) в первом приближении для случая и = 2, т. е. для случая, когда в колебательной системе может возникнуть резонанс деления на два.

Воспользовавшись формулами (14.39) и (14.25) и полагая у=1, 9 = 2, после ряда выкладок получаем:

у = a cos (Z +&),(15.59)

где а и & должны быть определены из системы уравнений первого приближения

Система уравнений первого приближения (15.60) дает возможность исследовать как стационарный режим, так и процесс установления колебаний при резонансе второго рода.

Для исследования процесса установления колебаний необходимо проинтегрировать систему (15.60) и найти а и & как функции времени. В данном случае интегрирование системы (15.60) может быть произведено до конца. Для этого сделаем в уравнениях (15.60) замену переменных согласно формулам:

u = acosd, u = asin&.u = acosd, u = asin&.(15.61)(15.61)

u = acosd, u = asin&.

u = acosd, u = asin&.

(15.61)

(15.61)

После ряда выкладок вместо уравнений (15.60) получаем для новых переменных м и и следующую систему:

Система (15.62), как это показано в работе [29], может быть приведена к уравнению типа Бернулли.

Действительно, умножая уравнения (15.62) соответственно на и и и и вычитая из первого второе, находим:

■ к*5-63»

Умножая первое уравнение системы (15.62) на « и складывая полученный результат со вторым уравнением, умноженным на и, получим:

^-«[4+т(«+4)]+т£-(15.64)

Обозначая

= Ъ(15.65)

можем вместо (15.63) и (15.64) написать следующую систему:

<15-66>

^„[НД.^)]-^.(15.67)

Уравнение (15.66) легко интегрируется.

После того как мы определим из него х(0> (15.67) может быть приведено к виду

^ = ^-«Ч^а,(15.68)

где ср (г)—известная функция времени.

Подстановкой W = ^- (15.68) приводится к линейному уравнению

dWdt

В результате получаем следующую известную формулу, выражающую закон изменения амплитуды колебания со временем:

j ф(() dt

(15.70)(15.70)t

(15.70)

(15.70)

t С v (0 dt

Су\ е° dt

О

где Су — постоянная интегрирования.

Перейдем теперь к определению установившихся колебаний, совершающихся с постоянной амплитудой и фазой.

Приравнивая правые части системы (15.60) нулю, получаем соот

ношения :

(15.71)(15.71)^+^+^+4sin2^=°’

(15.71)

(15.71)

— 4- + cos 29 = 0,р р

определяющие стационарные значения амплитуды и фазы колебаний. Исключая из (15.71) фазу 9, находим известную зависимость

(15.72)

при помощи которой можно построить резонансные кривые, характеризующие зависимость амплитуды а от расстройки $ (рис. 83). Стационарные значения фазы & находим с помощью формулы

3Рис. 83.

где а определяется из (15.72).

Для определения устойчивых значений стационарной амплитуды поступаем согласно общим правилам.

Находим сначала величины:

Л'(н, 9) = l(^+^) + ^ + ^sin29, ’

4»(а, 9) = -rcos29,(15.74)

В» (а, 9) = 0,

В» (а, 9) = — 4" sin 29.

После этого составляем уравнения в вариациях:

d^a Г 1 Z , , Зта2 \^S2 . Е . г..] ч ]

из которых находим условия устойчивости стационарных значений « и 8:

к-\ -™- -4-— sin 2d—5-sin 2d < О, 2 \4 у 3663

{М‘+Т><+^К-^>о- <15',6)

Эти условия после ряда преобразований можно представить в виде следующих известных неравенств:

А + ^ + ^-СО,(15.77)

t[a+jt+-iS-] >°-(15-78)

анализ которых совместно с зависимостью (15.72) дает возможность определить величину и границы областей устойчивости периодического решения с периодом 2и ).

§ 16. Воздействие синусоидальной силы на нелинейную систему с характеристикой, составленной■

из прямолинейных отрезков

В качестве второго частного случая рассмотрим колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из нескольких прямолинейных отрезков, находящейся под воздействием синусоидальной возмущающей силы.

Колебательные системы, для которых нелинейная восстанавливающая сила имеет характеристику, состоящую из отрезков прямых (рис. 84, 85, 86, 87), широко распространены в технике.

Исследованию вынужденных колебаний в нелинейных системах такого типа посвящен ряд работ, например работы А. И. Лурье и А. И. Чекмарева ), где приводится решение методом Галеркина; для некоторых начальных условий специального вида Ден-Гартогом ) строится решение, которое можно рассматривать как точное, однако это решение чрезвычайно громоздко.

Для решения подобных задач нам представляется все же более удобным применение вышеизложенного асимптотического метода, который в первом приближении дает те же результаты, что и метод Галеркина, по одновременно с этим позволяет легко определить второе приближение, найти поправки к частоте во втором приближении, а также исследовать не только стационарный режим, но и проследить движение системы в период установления колебаний.

Итак, предположим, что колебания системы описываются уравнением вида

^- + F ^ = е/г ( ^ ) + аЕ sin Ч,(16.1)

где функция F (ж), выражающая зависимость нелинейной восстанавливающей силы от смещения, является нечетной функцией ж (случай сим

метричной нелинейной характеристики) денный на рис. 84 — 87.метричной нелинейной характеристики) денный на рис. 84 — 87.и имеет вид, например, приве-и имеет вид, например, приве-

метричной нелинейной характеристики) денный на рис. 84 — 87.

метричной нелинейной характеристики) денный на рис. 84 — 87.

и имеет вид, например, приве-

и имеет вид, например, приве-

Рис. 87.Рис. 87.

Рис. 87.

Рис. 87.

Заметим, что если характеристика нелинейной восстанавливающей силы несимметрична, то при помощи изложенного метода также не представляет затруднений построить решения.

Предположим, что F (ж) можно записать в виде

(16.2)(16.2)F (ж) = с"ж + е/ (ж);

(16.2)

(16.2)

тогда вместо уравнения (16.1) можем рассматривать следующее:

1-с"ж= — s/^ + s/^^-^+sSsin^,(16.3)

и, следовательно, согласно (15.2) и (15.3) в первом приближении имеем решение

х = a cos (v£ + &),(16.4)

где а и 4 должны быть определены из системы уравнений:

cos &,cos &,2 71

cos &,

cos &,

о

— = co — v 4-\ / (a cos ф) cos ф с/ф

о

Принимая во внимание, что

2и2ti

(16.6)(16.7)(16.8)(16.9)(16.6)(16.7)(16.8)(16.9)со2 + -^ ^ / (a cos ф) cos ф с?ф = — ^ F (а cos ф) cos оо

(16.6)

(16.7)

(16.8)

(16.9)

(16.6)

(16.7)

(16.8)

(16.9)

преобразуем (16.5) к виду

da s . sE „= — °е (°) а;— cos ",

atв х

<Й . .sE . „

-г- = а> (а) — v 4;г sin

где, как и выше, 2ti

(а)= 1^7 S /1 (- аш sin Ф) sin Ф ЙФ’о

2 71

1 Г

IO2 (а) = — \ (а cos Ф) cos Ф ^Ф-

6

Приравнивая в уравнениях (16.7) правые части нулю и исключая 9, находим зависимость между а и v для стационарного режима:

а2 [(ш| (а) — v2)2 f 4v2dg (а)] = е2^2.(16.10)

Если пренебречь трением, то вместо (16.10) 'получаем следующую простую формулу:

а [а>е (а) — v2] = + sE,(16.11)

при этом в правой части следует брать « +» для а > 0 и « — » для а < 0. Приведем еще соответствующие формулы для второго приближения. Пренебрегая в уравнении (16.1) трением, имеем:

(16.12)(16.12)х = a cos (v£ + &) + гих (a, it, vi + &),

(16.12)

(16.12)

где

их(а, vZ, v< +»)=--! 2 ^2^У^ ^/(асо8ф)со8фс?ф, (16.13) п=20

а амплитуда стационарных колебаний определяется соотношением

А1^^(16.14)

п—2

в котором введены обозначения:

2 гс''

fnW \ / (а cos Ф) cos п^ ^Ф >

L(16.15)

(а) = ^ /а (а cos ф) cos п^ d^. |о)

Перейдем к построению резонансных кривых. Для характеристики нелинейной восстанавливающей силы, приведенной на рис. 84—87, имеем:

’ С X

для

— х0 < X < ж0,■

F(x) =

с"х + (с' — с") х0

ДЛЯ

^0 < х < оо,

(16.16)

с"х— (с' — С'^Хд

ДЛЯ

— ОО <С ^<^ — ^0-

Положим а > 0, а > х0 и обозначим через ф0 наименьший корень уравнения

ж0 = асо8ф.(16.17)

Тогда, как нетрудно видеть,

е/ (a cos ф) =е/ (a cos ф) =(16.18)элемен-(16.18)элемен-(16.19)(16.19)(16.20)(16.20)(с' —с") а cos ф для ф0<ф<и — ф0, (с' — с") a cos ф0 для О<ф<фо, — (с'с") a cos ф0 для тс — ф0 < ф < тс.

е/ (a cos ф) =

е/ (a cos ф) =

(16.18)

элемен-

(16.18)

элемен-

(16.19)

(16.19)

(16.20)

(16.20)

Разбивая промежуток интегрирования на три части, после тарных вычислений находим:

2тс

^ е/ (a cos ф) cos ф d^ = о

= с"а+^-(с'-с") [aarcsin-^+^j/ 1-^у

При а < 0, | а | > ж0 после аналогичных вычислений имеем: 2 тс

— \ е/ {a cos ф) cos ф йф = о

= с"а-^(с'-с") [aarcsin-^ + aio]/1 - (^у ] .

Таким образом, при отсутствии трения согласно (16.11) получаем следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:

а (с" — v2) +У (с' — с") £ж0 ^ 1 — (^-^-^ + а arcsin ^- j = ± гЕ

или, обозначая — = Л,

n^'-^+^^^^J^ 1 1 + Лагс81п^]==±^- (16-21)

При помощи зависимости (16.21) строим семейство резонансных кривых (рис. 88—91) ( зависимость между — и — , где ш2 = 1/с" ) для

Чж0 ю2У

„ Е

различных значении —— .

Резонансные кривые, приведенные на этих рисунках, практически совпадают (в пределах точности построения графиков) с резонансными кривыми, построенными по точным формулам Ден-Гартога и Рельса.

Для построения резонансных кривых во втором приближении необходимо определить выражение для суммы, входящей в формулу (16.14). Заметим, что подсчет этой суммы не вызывает затруднений, так как ее слагаемые с увеличением п быстро уменьшаются, и поэтому достаточно подсчитать только несколько первых слагаемых.

Принимая во внимание (16.18), находим для интегралов (16.15) следующие значения:

2 лп—1

е/ (a cos ф) cos пф с?ф = ^-^-^ а {"” (— 1) 2 cos Qn arcsin -у" у + bJ

y^ ^2y sin ^ (п — 1) arcsin ^ j + ^ 1 sin ^ (и-у 1) arcsin^ j | (16.22) (и = 3, 5, 7, 9, .. .), 2 тс

Р ^ ®/а (a cos ф) cos пф <7ф = — — (с' — с") sin и arccos -у- b’

(и = 2, 4, 6, 8, ...).

Подставляя (16.22) в выражение (16.14) и ограничиваясь в сумме пятью слагаемыми, получаем:

а (чг — с") — ^- (с' — с") ^ х0 р^ 1 —^ + a arcsin у J +

(16.23)(16.23), 1 (/зМ^ч^+^ч»)] , м«)№ч-о+^^

(16.23)

(16.23)

+ ^У 18+24J ±

где /п (а) и /„’ (а) (и = 2, 3, 4, 5, 6) определяются выражениями:

§ 16]

воздействие синусоидальной силы на систему

203

При помощи зависимости (16.23) строим резонансные кривые во втором приближении (см. рис. 92, 93, 94, на которых резонансные кривые, а также скелетные кривые во втором приближении начерчены пунктиром, причем следует заметить, что масштаб здесь значительно увеличен; сплошные линии —кривые в первом приближении).

На рис. 95 — 98 нами приведены семейства резонансных кривых, построенных с учетом трения согласно формуле (16.10). При построении этих кривых трение принималось пропорциональным скорости, а -^Д = 0,1.

Рассмотрим еще случай, когда характеристика нелинейной восстанавливающей силы имеет вид, приведенный на рис. 99. Для вычисления о)е (а) согласно формуле (16.9) имеем:

( с"ж

ДЛЯ

/у»/у»/у»

| с"ж + (с"

-сД^-ж)

»

zy>

F^ = ^ с"ж4-(с"

-сД^-ж)

»

— Ж2 <Ж< —ЗСг,

(16.25)

| с” ЭС — (с"

-с') (ж2-жД

»

ж2 < х оо,

( с"ж + (с"

-сД (ж2-жД

»

— оо С х < — хг.

Для определения интеграла, стоящего в правой части формулы (16.9), обозначаем через фг и ф2 наименьшие корни уравнений хг = a cos ф, ж2 = исо5ф. Тогда можем написать:

c"<ZCOS(j), ф1<ф<тс— ф^

с"a cos ф 4- (с" — сД (a cos фг — a cos ф), ф2<ф<ф1,

с"a cos ф 4- (с" — сД (а cos фг — a cos ф),

F (асоэф) =тс —ф^фСтс —ф2,(16.26)

с"a cos ф — (с" — сД (а cos ф2 — a cos фД,

0<ф<ф2,

с"a cos ф 4- (с" — сД (а cos ф2 — a cos ф Д, тс — ф2 < ф < тс.

После этого, разбивая промежуток интегрирования на пять частей, получим для и>е (а) следующее выражение:

q / х о I 2 (с — с ) Гx-t .

сое (а) =Д— 4 arccos —-— arccos — +

х 2аа

(I6.27)

степенистепениПолагая для упрощения, что трение пропорционально первой

степени

степени

, / dx X „, dxскорости еД ( — 1 = — 2q—, имеем:

ое (а) = о.

Для построения графика зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней возмущающей силы получаем следующую

1,21,31А152

Рис. 96.

зависимость:

(16.28)(16.28)v2 = ш2 (а) ± "|/^ — 4о2ш2 ,

(16.28)

(16.28)

(16.29)(16.29)при помощи которой строим график, определяя значение ч в зависимости от значений а. Согласно соотношению

(16.29)

(16.29)

v = toe (a)

строим кривую зависимости собственной частоты от амплитуды. На

рис. 100 нами приведено семейство кривых, характеризующих зависимость амплитуды от частоты внешней силы при различных амплитудах внешней

силы (семейство резонансных кривых). При помощи критериев, приведенных на стр. 189, нетрудно определить устойчивые и неустойчивые зоны этих резонансных кривых, а также точки «срыва» и «скачка» амплитуды. На рис. 101 нами приведена одна из резонансных кривых, причем участки

этой кривой, начерченные жирной линией, соответствуют устойчивым амплитудам, а начерченные тонкой линией соответствуют неустойчивым

амплитудам.

Так, согласно резонансной кривой, приведенной на рис. 101, при бесконечно медленном изменении частоты внешней силы (т. е. при стационарном режиме), начиная от малых значений, амплитуда вынужденных колебаний нарастает сначала по кривой МА, из точки А значение амплитуды скачком переходит в точку В и далее изменяется по кривой ВС. В точке С происходит срыв амплитуды — амплитуда скачком переходит в точку D и при дальнейшем увеличении частоты изменяется по кривой DN.

Если теперь начать уменьшать частоту приложенной силы, то ампли

Рис. 100.Рис. 100.туда вынужденных колебаний будет изменяться по кривой NDE. Из точки Е амплитуда скачком перейдет в точку F и дальше будет изменяться по

Рис. 100.

Рис. 100.

крив ой’ЕБС. Дойдя до точки G, амплитуда скачком перейдет в точку Н, после чего будет] изменяться по кривой НМ. Таким образом, мы здесь также наблюдаем характерные для нелинейной колебательной системы гистерезисные явления, аналогичные рассмотренным нами на стр. 191.

Приведенные примеры показывают большую гибкость и широкий диапазон применения изложенного метода. Получаемые формулы даже для сложной характеристики нелинейной восстанавливающей силы достаточно просты. В случае, если характеристика составлена из двух отрезков прямых, получим совсем простую формулу (заметим, что в первом приближении для стационарного режима получаем результат, совпадающий с результатом Лурье и Чекмарева). Если характеристика нелинейной восстанавливающей силы состоит из нескольких прямолинейных отрезков, то наши формулы претерпевают совершенно незначительное изменение, в то время как метод Ден-Гартога настолько усложняется, что становится практически неприменимым.

§17. Параметрический резонанс

В настоящем параграфе остановимся на рассмотрении некоторых колебательных систем, изучение которых сводится к интегрированию дифференциальных уравнений с переменными (зависящими от времени)

Рис. 102.Рис. 102.коэффициентами. Наибольший интерес представляет случай периодических коэффициентов. Как известно, кроме проблем небесной механики, ряд чисто технических задач приводится к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами ).

Рис. 102.

Рис. 102.

Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению указанных уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил.

Допустим, что на стержень, длиной I, закрепленный шарнирно по концам, с площадью поперечного сечения А, с жесткостью EI и плотностью у, действует периодическая продольная сила

F-F^(17.1)

(см. рис. 102). Тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня может быть представлено в следующем виде:

(17-2)(17-2)

(17-2)

(17-2)

где g — ускорение силы тяжести.

В случае шарнирно закрепленных концов граничные условия для дифференциального уравнения (17.2) будут;

д2У dz2д2У dz2I =о, lz=0I =о, lz=0д2У dz2д2У dz2(17-3)(17-3)у I =0,

д2У dz2

д2У dz2

I =о, lz=0

I =о, lz=0

д2У dz2

д2У dz2

(17-3)

(17-3)

3 |z —О

у I = 0, 3 |z=Z

Очевидно, что уравнение (17.2) вместе с граничными условиями (17.3) путем подстановки

у = a; sin it у(17.4)

может быть сведено к следующему:

фф^'ф-0-I17-5»

где введено обозначение

. Уравнение (17.5) является известным уравнением Хилла.

К уравнению (17.5) может быть приведена также задача о колебаниях математического маятника, ось вращения которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, задача о колебаниях механической системы с периодически изменяющейся жесткостью, задачи амплитудной модуляции и многие другие.

В случае, если периодическая функция F (Z) имеет следующий вид:

F ^ = P0c.osNt,(17.7)

то вместо (17.5) получаем уравнение

которое называется уравнением Матье.

Как уравнение Матье, так и уравнение Хилла являются частными случаями дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами'

(17.9)

где /) (Z) и q (Z) — периодические функции Z с периодом Q.

Уравнения типа (17.9) подробно исследовались рядом ученых, однако существующие теории (см., например, А. М. Ляпунов [27]) дают возможность производить только качественный анализ поведения решений уравнения (17.9) и не указывают способов построения приближенных решений или способов, позволяющих решить вопрос об устойчивости этих решений.

Для частного случая уравнения (17.9) —для уравнения Матье — построены решения (функции Матье), которым посвящена обширная литература.

Во многих случаях дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами могут быть сведены к рассмотренному в § 13 уравнению (13.1), и поэтому приближенные решения можно построить согласно изложенному методу.

Ниже мы построим приближенные решения, а также определим зоны устойчивости в первом и во втором приближении для простейшего случая уравнения с периодическими коэффициентами (17.9) —для уравнения Матье—и сопоставим полученные результаты с решениями, известными в литературе.

Итак, перейдем к построению приближенных решений для уравнения (17.8), которое можем записать в виде

(17.10)(17.10)~ ф ш2 (1 — h cos vZ) ж = 0,

(17.10)

(17.10)

где обозначено

т.Е1

< 1.

Как уже указывалось, в первом приближении мы можем рассматривать для уравнения типа (17.10) лишь главный демультипликацион- ный резонанс р•= 1, 7= 2. Предполагая, что го s« у , построим приближенные решения, соответствующие резонансному случаю.

В первом приближении, воспользовавшись формулами (14.25), имеем:

(17.11)

где а и & должны быть определены из системы уравнений:

da aho>2 .

sin 28,

(17.12)

Чтобы решить полученную систему уравнений первого приближения, введем новые переменные м и и согласно формулам

(17.13)(17.13)и = a cos 8, у = а sin 8.

(17.13)

(17.13)

Дифференцируя выражения (17.13) и принимая во внимание уравнения (17.12), имеем:

du daA d% . п Г hto2 Г' X1

cos 8r a sin 8 = — <0 —уa sin 8,

dt dtdtL\‘ / J

du da . „n Г Аш2 У4 1a(17.1 )

sin 8 4- — a cos 8 =3- + 01 —9la cos 8

dt dtdtL4у J

или

du Г /гш2 У9 4 1

* = [2)J"'(1715)

du ГW , У9 41(К.

d? = I+1 u-

Таким образом, уравнения первого приближения (17.12) мы привели к системе двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Характер решений системы уравнений (17.15) и, следовательно,

решении систел нения

или

ш (17.12) зависит

X

W У

2 /

от корней

X

характ

-7)

= 0.

еристического урав-

= 0

(17.16)

Обозначим корни этого уравнения через

причем

4-Х, -X,

(17.17)

и, = С^е^ + С2е—и,и, = С^е^ + С2е—и,Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (17.15) может быть представлено в следующем виде:

и, = С^е^ + С2е—и,

и, = С^е^ + С2е—и,

(17.18)

где Сх, С2 — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

После этого определяем амплитуду а и фазу колебаний Я, входящие в правую часть формулы (17.11). Имеем:

(17.19)(17.19)а2 = и24- у2,и = arctg •— .

(17.19)

(17.19)

Согласно формулам (17.17), (17.18) и (17.19) очевидно, что при к мнимом амплитуда а будет ограниченной функцией времени.

В случае, если К действительное, амплитуда а будет возрастать по экспоненциальному закону. Этот случай соответствует наличию в системе основного демультипликационного резонанса.

Согласно равенству (17.17) условие вещественности X будет следующее:■

W"27 >W"27 >Ш 2Ш 2(17.20)(17.20)

W

"27 >

W

"27 >

Ш 2

Ш 2

(17.20)

(17.20)

или с точностью до величин первого порядка малости

так как v = 2«> + О (/<).

находится(17.21)находится(17.21)2<о(1-А)<,<2(О(1+4).2<о(1-А)<,<2(О(1+4).Таким образом, если частота внешнего возбуждения в интервале

находится

(17.21)

находится

(17.21)

2<о(1-А)<,<2(О(1+4).

2<о(1-А)<,<2(О(1+4).

то в системе возникает главный демультипликационный резонанс, при котором амплитуда колебаний возрастает по экспоненциальному закону. Ввиду того, что этот резонанс возникает в результате периодического изменения одного из параметров колебательной системы, его часто называют параметрическим резонансом.

Неравенство (17.21) определяет собой зону неустойчивости, внутри которой положение равновесия ж — 0 оказывается неустойчивым и в системе самовозбуждаются колебания.

Перейдем теперь к построению и анализу второго приближения.

Согласно формулам (14.5), (14.21), (14.25) и (14.26) во втором приближении имеем:

г-асозГ 4-»)-cos f 1,< + »Y (17.22)

V ' = (-+?)

где а и 0 должны быть определены из следующей системы уравнений:

da dtda dtahw2 .— sin 2»,ahw2 .— sin 2»,d% v . Л2 («>+•*) «>32 ( <o + "2" )d% v . Л2 («>+•*) «>32 ( <o + "2" )A«>2cos 2».A«>2cos 2».(17,23)(17,23)

da dt

da dt

ahw2 .

— sin 2»,

ahw2 .

— sin 2»,

d% v . Л2 («>+•*) «>

32 ( <o + "2" )

d% v . Л2 («>+•*) «>

32 ( <o + "2" )

A«>2

cos 2».

A«>2

cos 2».

(17,23)

(17,23)

Система (17.23) заменой переменных (17.13) тоже сводится к системе линейных уравнений

(17.24)(17.24)

(17.24)

(17.24)

Корни характеристического уравнения в данном случае имеют вид

и, следовательно, зона неустойчивости во втором приближении определяется с точностью до величин второго порядка малости включительно следующим неравенством:

Ч^-йЬ’^Ф+т-й]-<17-26)

Найдем теперь соотношение между ш и h, при котором решение уравнения (17.10) будет периодическим с периодом ^ . Это возможно в случае, если в формулах (17.11) и (17.22) а = const. Для этого необходимо, чтобы X, определяемая выражением (17.17) или (17.25), равнялась нулю.

Таким образом, соотношение, которому должны удовлетворять ш и h для того, чтобы х являлось функцией периодической, будет в первом приближении:

2® .Л 5/г2V= 164 ’2® .Л 5/г2V= 164 ’(17.27)(17.27)во втором приближении:во втором приближении:(17.28)(17.28)

2® .Л 5/г2

V= 164 ’

2® .Л 5/г2

V= 164 ’

(17.27)

(17.27)

во втором приближении:

во втором приближении:

(17.28)

(17.28)

или соответственно с той же степенью точности в первом приближении:

(17.29)(17.29)4<о2, , Л

(17.29)

(17.29)

“ = 1± 2

и во втором приближении:

4-Для периодических решений с периодом — из (17.11) и (17.22), принимая во внимание (17.29) и (17.30), находим следующие выражения:4-Для периодических решений с периодом — из (17.11) и (17.22), принимая во внимание (17.29) и (17.30), находим следующие выражения:Соотношения (17.29) и (17.30) представляют собой уравнения кривых в плоскости ( , п 1 (в первом и во втором приолижении), на которых решение уравнения (17.10) будет периодическим, т. е. уравнения граничных кривых областей устойчивости решений уравнения (17.10) (рис. 103).

4-

Для периодических решений с периодом — из (17.11) и (17.22), принимая во внимание (17.29) и (17.30), находим следующие выражения:

4-

Для периодических решений с периодом — из (17.11) и (17.22), принимая во внимание (17.29) и (17.30), находим следующие выражения:

(17.31)

^п = «о cos ^ Z + 90^) —^cos (^ + &0) >(17.32)

в которых индекс при х указывает на номер приближения.

Сопоставим теперь найденные формулы с результатами, полученными при определении непосредственно периодических решений уравнения (17.10) в случае малых h.

с помощью которого Матье находил решения уравнения (17.10) и уравнения граничных кривых, предполагая параметр h малым. (Этот прием следует непосредственно из метода А. Пуанкаре [38] нахождения периодических решений.)

Ищем периодическое решение уравнения (17.10) с периодом — в виде ряда

х = х0 + hx1 + №хй + . . ., (17.33)

в котором х0, ж1, х2, . . . должны быть периодическими функциями 4л

с периодом — .

Выражение для о>2 тоже представляем в виде ряда■

(17.34)(17.34)<о2 = у + 1ги>1 + /г2о>2 + .. .

(17.34)

(17.34)

Подставляя правые части (17.33) и (17.34) в уравнение (17.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /г, получаем следующую систему уравнений:,

Щ2 + 4

.-щт + -4 Ж1 =^С05^ —Ш1 J^o,■ у (17.35)

^A^2=^cosvZ —^^^(^cosvZ-^^g,|

из которой необходимо определить функции х0, хг, ха, . .. и величины о>2, . . .

Решая первое уравнение системы (17.35), находим:

а;0 = a0cos ^у Z + &0^,(17.36)

где а0 и &0— произвольные постоянные.

Подставляя значение z0 (17.36) в правую часть второго уравнения системы (17.35), имеем:

^ + ^1= -w1a0cos(yZ + &0^ + ya0cos(yZ + &,QcosvZ, (17.37) или

^ + Т= -(^-у )a0cosyZcos&0 +

+ ^w1 + y^aosinyZsin&o + y a0cos(y vZ + &,Q .(17.38)

Для того чтобы хг было периодической функцией с периодом у , необходимо, чтобы коэффициенты при cosyZ и sin — Z в правой части (17.38) равнялись нулю. Тогда получим:

ш1 = у, sin&0 = 0, Оо = О или

и)! = — у , cos &0 = 0,&0 = у .

После этого находим выражение для ж1:

^i = — c°s t + и cos ( t +,(17.39)

или

sin у Z+u cos Г-^ + ф^) .(17.40)

Подставляя значения х0 и хх в правую часть третьего уравнения системы (17.35), имеем для случая ш1 = у, &о = О: da®2 '^2 Л ^а , Л а 3** _+ -^2= -^cosvZ-io, J-C0Syt -

— (у cos vZ — ш1 J u cos^y Z + ф J + (Ш1 cos vZ — w2) a cos у Z.

Приравнивая опять коэффициенты при cosyZ и siny Znynro, получаем: ^2^27^2.,„

Ш2 16 128 128’(17‘

yusin<p + -g-Msin<p = O, t. e. sin<p = 0, <p = 0.

Аналогично для второго случая получим: 7^2 Ш2 - 128 ’

cos <р = 0. <р = у .

или

чaohЗч ,

х = а0 cos у / —— cos у t,

(17.43)

м 4 1 8 1 128 ’

(17.44)

Подставляя полученные значения ж0, ах, ш., о>„ в правые части формул (17.33) и (17.34), имеем:

X = а0 sin у t 4- Jg- sin у t,

(17.45)

9^2/г^2 , 7/г^2

М = 4 8 1 128 •

(17.46)

В,этих формулах мы для} удобства включили 7ш в полную амплитуду первой гармоники а0.

Полагая v = 2 и а0 = 1, находим:

X = cos £ —— cos 3/,

2 л , h , 7А2

”=1+т+з2’

х = sin t + ^ sin 37,

Ш=1~т+Д2-

(17.47)

(17.48)

Выражения (17.47) и (17.48), как и следовало ожидать, совпадают с первыми двумя членами в разложениях функций Матье Сп и 5П (для п = 1) в ряд Фурье. Действительно, имеем*):

6Д = cos t — ^ cos 3t Д- О (/z2), ^l + l + ^ + ^A3),

(17.49)

а также

51 = sin z 4- ^ sin 3t + О (/z2), ^^l-l + ^ + O^3)-

(17.50)

Остановимся теперь на построении приближенных решений уравнения (17.10) и определим границы областей неустойчивости в случае со % у р, где р = 2, 3.

Для случая /? = 2, т. е. о> ^ v, полагаем в формулах (14.21), (14.23) и (14.26) р = 2, 9=2.

Тогда для второго приближения найдем следующее выражение:

х = a cos ^t + ft) + .-,9 .■ cos ^t 4- 4)cos 4, (17.51)

' ।। 2'>('> + 2<o)'1 ' 2ч (v—2<o)’ ''

*) См., например, M. Д. О. Стретт, Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, стр. 35—39.

где а и & должны быть определены из уравнения второго приближения:

da h2a®4.

Т- = О 9 i sin 2»,

(17.52)(17.52)dt 8ч2 (2ш— ч)

(17.52)

(17.52)

dS _„h2®4h2®4

— „Ш — Ч—^ (4u)2_v2) + 8^2 (2® —ч)

Из системы (17.52), так же как и в предыдущем случае, находим условие вещественности корней характеристического уравнения

со — чсо — чI h2®4 (4®2—ч2) || 8ч2 (2®— ч)I h2®4 (4®2—ч2) || 8ч2 (2®— ч)(17.53)(17.53)

со — ч

со — ч

I h2®4 (4®2—ч2) || 8ч2 (2®— ч)

I h2®4 (4®2—ч2) || 8ч2 (2®— ч)

(17.53)

(17.53)

и, следовательно, зона неустойчивости определяется с точностью до величин второго порядка малости неравенством

,2Л2®44г ч2 (4®2 — ч2),2Л2®44г ч2 (4®2 — ч2)h2®4ч3 (2® — ч)h2®4ч3 (2® — ч)/ 2®у ,_ ,2/г2®4< Ч )4 + ч2(4®2 —Ч2)/ 2®у ,_ ,2/г2®4< Ч )4 + ч2(4®2 —Ч2)h2®4ч3(2®— ч)h2®4ч3(2®— ч)(17.54)(17.54)или, принимая неравенствомили, принимая неравенствомво внимание, что ю % ч, с той же степенью точностиво внимание, что ю % ч, с той же степенью точности4 + ¥-^<(^)2<4 + ¥+^(^-55)4 + ¥-^<(^)2<4 + ¥+^(^-55)Для случая р = 3, т. е. со % — ч, необходимо подсчитать третье приближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты ю. После ряда выкладок находим:Для случая р = 3, т. е. со % — ч, необходимо подсчитать третье приближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты ю. После ряда выкладок находим:х = а cosх = а cos[cOS ( i 4t +9 1 COS ()®2ha ( V 21 / у 2) .2 [ ч(2®-рч)ч (2® — ч)hWa [cosG^+a) cjGGGII 16ч2 [ (2®-рч) (ч-p ®)(2® — ч) (® — ч) J[cOS ( i 4t +9 1 COS ()®2ha ( V 21 / у 2) .2 [ ч(2®-рч)ч (2® — ч)hWa [cosG^+a) cjGGGII 16ч2 [ (2®-рч) (ч-p ®)(2® — ч) (® — ч) J(17.56)(17.56)где а и & должны быть определены из системы уравнений третьего приближения:где а и & должны быть определены из системы уравнений третьего приближения:dah3®6a.di 3-25ч3(2ю —ч) (®— ч) 8111’d%3®4h2h3®6nn"dt = “ ~~ 3-2ч (4w2—ч2) — 3-25ч3(2® — ч) (® — ч) C0S 2 'dah3®6a.di 3-25ч3(2ю —ч) (®— ч) 8111’d%3®4h2h3®6nn"dt = “ ~~ 3-2ч (4w2—ч2) — 3-25ч3(2® — ч) (® — ч) C0S 2 '(17.57)(17.57)Попутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выписывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенствоПопутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выписывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенство2®4/г2ч2 (4®2 — ч2)2®4/г2ч2 (4®2 — ч2)®6Л3/ / 2® у .23ч4 (2® — ч) (® — ч)J < У +,2®4/г2,®4№+ ч2 (4®2 — ч2) + 23ч4 (2® —ч) (® —ч) ’®6Л3/ / 2® у .23ч4 (2® — ч) (® — ч)J < У +,2®4/г2,®4№+ ч2 (4®2 — ч2) + 23ч4 (2® —ч) (® —ч) ’(17.58)(17.58)

,2Л2®4

4

г ч2 (4®2 — ч2)

,2Л2®4

4

г ч2 (4®2 — ч2)

h2®4

ч3 (2® — ч)

h2®4

ч3 (2® — ч)

/ 2®у ,_ ,2/г2®4

< Ч )4 + ч2(4®2 —Ч2)

/ 2®у ,_ ,2/г2®4

< Ч )4 + ч2(4®2 —Ч2)

h2®4

ч3(2®— ч)

h2®4

ч3(2®— ч)

(17.54)

(17.54)

или, принимая неравенством

или, принимая неравенством

во внимание, что ю % ч, с той же степенью точности

во внимание, что ю % ч, с той же степенью точности

4 + ¥-^<(^)2<4 + ¥+^(^-55)

4 + ¥-^<(^)2<4 + ¥+^(^-55)

Для случая р = 3, т. е. со % — ч, необходимо подсчитать третье приближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты ю. После ряда выкладок находим:

Для случая р = 3, т. е. со % — ч, необходимо подсчитать третье приближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты ю. После ряда выкладок находим:

х = а cos

х = а cos

[cOS ( i 4t +9 1 COS ()

®2ha ( V 21 / у 2) .

2 [ ч(2®-рч)ч (2® — ч)

hWa [cosG^+a) cjGGGII 16ч2 [ (2®-рч) (ч-p ®)(2® — ч) (® — ч) J

[cOS ( i 4t +9 1 COS ()

®2ha ( V 21 / у 2) .

2 [ ч(2®-рч)ч (2® — ч)

hWa [cosG^+a) cjGGGII 16ч2 [ (2®-рч) (ч-p ®)(2® — ч) (® — ч) J

(17.56)

(17.56)

где а и & должны быть определены из системы уравнений третьего приближения:

где а и & должны быть определены из системы уравнений третьего приближения:

dah3®6a.

di 3-25ч3(2ю —ч) (®— ч) 8111’

d%3®4h2h3®6nn

"dt = “ ~~ 3-2ч (4w2—ч2) — 3-25ч3(2® — ч) (® — ч) C0S 2 '

dah3®6a.

di 3-25ч3(2ю —ч) (®— ч) 8111’

d%3®4h2h3®6nn

"dt = “ ~~ 3-2ч (4w2—ч2) — 3-25ч3(2® — ч) (® — ч) C0S 2 '

(17.57)

(17.57)

Попутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выписывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.

Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенство

Попутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выписывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.

Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенство

2®4/г2

ч2 (4®2 — ч2)

2®4/г2

ч2 (4®2 — ч2)

®6Л3/ / 2® у .

23ч4 (2® — ч) (® — ч)J < У +

,2®4/г2,®4№

+ ч2 (4®2 — ч2) + 23ч4 (2® —ч) (® —ч) ’

®6Л3/ / 2® у .

23ч4 (2® — ч) (® — ч)J < У +

,2®4/г2,®4№

+ ч2 (4®2 — ч2) + 23ч4 (2® —ч) (® —ч) ’

(17.58)

(17.58)

или с той ясе степенью точности

+(17.59)

Приведем здесь также неравенство определяющее зону неустойчивости в случае ш ^ у . Согласно (17.20) имеем:

(17.60)

Из анализа неравенств (17.55), (17.59) и (17.60) очевидно, что величина (ширина) области неустойчивости уменьшается с ее порядком р, как hp.

Таким образом, высшие резонансы р = 2, 3, ... можем наблюдать, рассматривая соответственно второе, третье и т. д. приближения, а при рассмотрении точного решения уравнения (17.10) получим бесконечный спектр резонансов.

На рис. 103 приведены первые три зоны неустойчивости, построенные согласно неравенствам (17.55), (17.59) и (17.60).

Заметим, что при наличии затухания, т. е. для уравнения

(17.61)(17.61)+ 6+ш2 (1 —h cos vZ) х = 0,

(17.61)

(17.61)

at1 at ''

эти зоны уменьшаются (см. на рис. 103 заштрихованные области). Нетрудно показать, что вместо рассматриваемых неравенств при наличии трения мы получим следующие:

(17.62)(17.62)

(17.62)

(17.62)

4 + "-|Л4-64^<(^)2<4+^+|А‘-64>(17.63)

9 + ^- /З^3^< (^)‘< 9 + ^ +(17.64)

Неравенства (17.62), (17.63) и (17.64) содержат еще дополнительные условия:

для первой области

h >4-^-,(17.65)

для второй

h >2 *142 4,(17.66)

Для третьей

K>W^-<1L67>

Как нетрудно видеть, при наличии затухания, для того чтобы был заметен резонанс со % у, требуется гораздо большая глубина модуляции параметра Лю2, чем в случае резонанса ш 4. Еще тяжелее осуществить 3 резонанс ш^-у'л

Поэтому обычно наибольший практический интерес представляет резонанс со^у.

Рассмотрим теперь параметрическое возбуждение в нелинейной колебательной системе.

Заметим, что приведенный выше случай показывает, что в линейной колебательной системе при параметрическом изменении массы или жесткости системы при определенных условиях положение равновесия становится неустойчивым. Даже при очень малых значениях (о2/г (глубины модуляции) в системе при определенном соотношении частот возникают колебания, амплитуда которых неограниченно возрастает.

При наличии в линейной системе диссипативных сил влияние последних сказывается только на условии возбуждения колебаний — при наличии диссипации глубина модуляции, при которой наступает резонанс, имеет некоторый нижний предел, отличный от нуля и зависящий от величины декремента затухания. Стационарных колебаний при наличии трения в линейной системе не будет.

В нелинейной колебательной системе дело обстоит иначе. Как будет показано ниже, при изменении рассматриваемых параметров колебательной системы по гармоническому закону с частотой, для определенности, например, равной или близкой к удвоенной собственной частоте системы, наступает резонанс. В данном случае возможны устойчивые режимы стационарных колебаний.

В качестве простейшего примера рассмотрим колебательную систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:

^ + to2 (1 — h cos м?)ж + 2В ^- + уж3 = 0.(17.68)

Предположим, что колебания, описываемые уравнением (17.68), близки к гармоническим. Тогда решение уравнения (17.68), соответствующее наличию в системе основного демультипликационного резонанса, ищем в виде

х = а cos^y < + &^,(17.69)

где согласно (14.25) а и & должны удовлетворять следующей системе уравнений:

da .,ah.®1 .

~— sin 2»,

(17.70)

Для получения стационарных значений амплитуды и фазы колебания приравняем правые части системы (17.70) нулю.

Получаем соотношения:

-8a-^sin2& = 0,2 4м 2м-8a-^sin2& = 0,2 4м 2м(17.71)(17.71)

-8a-^sin2& = 0,

2 4м 2м

-8a-^sin2& = 0,

2 4м 2м

(17.71)

(17.71)

Исключая из них фазу &, находим с точностью до величин первого порядка малости включительно следующее соотношение между ампли-

тудой а и частотой модуляции ч;

(17.72)(17.72)а2 = 1 [ (у У - 0)2 + у V^ - 4ч282 ] •

(17.72)

(17.72)

При помощи этой зависимости строим резонансную кривую.

В случае, если у > 0, получим резонансную кривую, приведенную на рис. 104. Анализируя эту кривую, видим, что при увеличении v, начиная с малых значений, колебания в системе будут отсутствовать, пока v но достигнет значения, соответствующего точке А. При достижении v точки А в системе возникнут колебания, и при дальнейшем увеличении v амплитуда этих колебаний будет изменяться вдоль верхней ветви резонансной кривой АВ. В точке В колебания потеряют свою устойчивость и сорвутся.

При уменьшении n, начиная с больших значений, колебания скачком возбудятся в точке С (жесткое возбуждение), и при последующем уменьшении v амплитуда колебаний будет изменяться вдоль кривой АВ.

В случае, если у < 0, получим аналогичную картину, только резонансная кривая будет наклонена в сторону малых значений v (рис. 105).

.Для определения границ зоны синхронизации необходимо приравнять правую часть выражения для а нулю.

В первом приближении зона резонанса будет:

.oa-l/^-iea)^2 < (^^ < Ш2 + ~//г2ш4 — 16о)282,(17.73)

и потому ширина резонансной зоны

(17.74)(17.74)Д = У^А- 16ш2&2.

(17.74)

(17.74)

Заметим, что наличие затухания уменьшает интервал АС, внутри которого возникает параметрический резонанс.

Очевидно, что Д будет действительным, если выполняется неравенство

(17.75)

которое, как указывалось, определяет минимальную глубину модуляции, необходимую для параметрического резонанса при данном затухании.

Рассмотрим еще случай параметрического резонанса в колебательной системе с нелинейным трением.

В случае параметрического возбуждения контура с электронной лампой (рис. 23) уравнение колебаний будет:

(17.76)(17.76)+ 2 (Хо + Х^) ^ + <02 (1 - h cos vZ) х = 0. VlvU- v

(17.76)

(17.76)

Допустим, что при отсутствии параметрического возбуждения, т. е. при

1г = Ь, система несамовозбужденная. Для этого необходимо, чтобы Хо > 0.

Составим уравнения первого приближения. Имеем:

(17.77)(17.77)^ti/=V’Рис. 106.^ti/=V’Рис. 106.

(17.77)

(17.77)

^ti/=V’

Рис. 106.

^ti/=V’

Рис. 106.

Для определения стационарных значений а и & приравниваем правые части уравнений (17.77) нулю:

Xgtt ДXgtt ДХ2а3Х2а3aha2aha24 ” 2чч /го)24 ” 2чч /го)2sin 29 = 0,sin 29 = 0,2 2ч2 2чcos 29- = 0.cos 29- = 0.(17.78)(17.78)

Xgtt Д

Xgtt Д

Х2а3

Х2а3

aha2

aha2

4 ” 2ч

ч /го)2

4 ” 2ч

ч /го)2

sin 29 = 0,

sin 29 = 0,

2 2ч

2 2ч

cos 29- = 0.

cos 29- = 0.

(17.78)

(17.78)

Исключая из полученных соотношений 8, находим с принятой нами степенью точности следующую зависимость между амплитудой колебания а и частотой изменения параметра ч:

При помощи этой зависимости можем построить резонансную кривую (рис. 106), а также найти условия параметрического возбуждения, максимальную амплитуду возбуждения, границы резонансной области ит.д.

§ 18. Воздействие периодических сил на релаксационную систему

Остановимся теперь на исследовании случая воздействия внешней возмущающей силы на релаксационную колебательную систему, характеризуемую уравнением типа

-^ = Ф (ж) + =Е cos vZ,-^ = Ф (ж) + =Е cos vZ,(18.1)(18.1)

-^ = Ф (ж) + =Е cos vZ,

-^ = Ф (ж) + =Е cos vZ,

(18.1)

(18.1)

где, как и во второй главе, Ф (х) представляет определенную на интервале (а, 6) двузначную функцию.

Для построения решения уравнения (18.1) целесообразно прежде всего преобразовать уравнение (18.1) с целью исключения из него неоднозначной функции Ф(х). Для этого будем исходить из некоторого частного периодического решения уравнения свободных релаксационных колебаний:

Так, например, еслиТак, например, еслиж = с (oV),(18.3)ж = с (oV),(18.3)и нижней ветвей соответственно следующие значения:и нижней ветвей соответственно следующие значения:Ф (ж) = Фх = const,Ф (ж) = — Фо = const,Ф (ж) = Фх = const,Ф (ж) = — Фо = const,а < х < Ь, а < х < Ь,а < х < Ь, а < х < Ь,(18.4)(18.4)

Так, например, если

Так, например, если

ж = с (oV),(18.3)

ж = с (oV),(18.3)

и нижней ветвей соответственно следующие значения:

и нижней ветвей соответственно следующие значения:

Ф (ж) = Фх = const,

Ф (ж) = — Фо = const,

Ф (ж) = Фх = const,

Ф (ж) = — Фо = const,

а < х < Ь, а < х < Ь,

а < х < Ь, а < х < Ь,

(18.4)

(18.4)

Для определенности примем то из решений уравнения (18.2), в котором величина х принимает минимальное значение при £ = 0.

Обозначая через m частоту свободных релаксационных колебаний,

напишем это периодическое решение в виде

где z (<р) — некоторая периодическая функция 9 с периодом 2тс.

Принимая во внимание результаты § 10, легко видеть, что производная z' (<р) в течение одного периода дважды терпит разрыв и что по абсолютной величине она всегда больше некоторой положительной постоянной. ’ двузначная функция Ф (ж) имеет для верхней

то решение уравнения (18.2) (рис. 107) можно представить в виде

=(18-5)

1 0 L Ф1 J Ф1 v 71 Ф0Ф1 ■7

Т = — = (Ь — а)'(^-б)

СО V ' ФдФ)V ’

и, следовательно,

Обозначим:

„ о_ Фо^-^Фо + Ф, ’

тогда периодическое решение z(<p) можно записать следующим образом:

г(ф) = а + ^Т, 0 <?<%>1

(]8‘8)

z(T) = a + ^^(2TC-T), ?0<T<2,. J

Заметим теперь, что, поскольку выражение (18.8) представляет решение уравнения (18.2), функция z(<p) должна удовлетворять тождественно следующему соотношению:

(18.9)(18.9)юг' (?) =Ф [z (<р)].

(18.9)

(18.9)

Сделаем теперь в уравнении, описывающем вынужденные колебания (18.1), замену переменных.

Введем вместо неизвестной х новую неизвестную ? посредством формулы

z = z(®).(18.10)

§18] ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА РЕЛАКСАЦИОННУЮ СИСТЕМУ 223 Дифференцируя (18.10) и подставляя в (18.1), получим;

г' (у) ^ = Ф [2(^)1 + ®Е cos^,(18.11)

или, учитывая тождество (18.9):

^ = ш + ±^£21Д_ .(18.12)

atz (ср)v '

Преобразованное уравнение (18.12) уже не содержит в правой части неоднозначных функций. .

Для удобства построения приближенных решений дифференциальных уравнений обычно желательно, чтобы правая часть была регулярной функцией. В уравнении (18.12) правая часть ввиду наличия в знаменателе разрывной функции z'(у) не удовлетворяет условию ретуляр- ности. 1

■ Для регуляризации уравнения (18.12) достаточно обратить роли переменных Ли у и в дальнейшем считать у независимой переменной^ a t неизвестной функцией у, определяемой дифференциальным уравнением

d (yt)dyd (yt)dysEcosnI "Ш z' tosEcosnI "Ш z' to(18.13)(18.13)

d (yt)dy

d (yt)dy

sEcosnI "

Ш z' to

sEcosnI "

Ш z' to

(18.13)

(18.13)

Если обозначить через у положительную постоянную, такую, что

(18.14)(18.14)(18.15)(18.15)] Ф (ж) ] > у, а < х < b,

(18.14)

(18.14)

(18.15)

(18.15)

то согласно (18.9) и (18.10) имеем:

ш I z' (?) | > у.

Предположим, что амплитуда еЕ внешней возмущающей силы меньше у. Тогда знаменатель в правой части (18.13) положителен и сама правая часть уравнения (18.13) является аналитической функцией неизвестной t. Уравнения типа (18.13) исследовались А. Пуанкаре и А. Данжуа. Однако при помощи результатов, полученных ими, можно выяснить только качественный характер решений. Для получения методики, дающей возможность производить количественные расчеты, воспользуемся методом усреднения, кратко изложенным в главе I.

Для приложения результатов § 1 к уравнению (18.13) разложим правую часть уравнения (18.13) в ряд по степеням е. Имеем:

(18.16)(18.16)d (W)\snE cos-Лs2nE2 cos2 Nt

(18.16)

(18.16)

dyo>co2 z' (ср) ш3[z' (ср)]2

Будем исследовать уравнение (18.16) для резонансного случая. Предположим, что отношение ^- близко к некоторому рациональному числу у, где, как и выше, р и q, вообще говоря, небольшие взаимно простые числа.

Тогда, полагая

— + еДЯ

и вводя новую переменную т по формуле

t =Nt — — ф,q т

окончательно уравнение (18.16) можем записать в виде

(18.18)(18.18)

(18.18)

(18.18)

Уравнение типа (18.18) мы условились выше называть уравнением в стандартной форме.

Приближенное решение этого уравнения может быть построено на основании принципа усреднения.

В первом приближении согласно результатам § 1 главы I решение уравнения (18.18) будет:

(18.19)

где $ определяется из усредненного уравнения

=(18.20)

d^9Ш ф I 2 (ф) J

Раскроем операцию усреднения в правой части полученного уравне-

ряд Фурье.ряд Фурье.ния. Для этого необходимо разложить функцию —,в

ряд Фурье.

ряд Фурье.

Имеем:

(ср) Ф [z(cp)J —2 ^П C0S (П? + V(18.21)

Заметим теперь, что выражение

М¥М¥{cos{cosр qр q

М¥

М¥

{cos

{cos

р q

р q

может быть отлично от нуля лишь при — =п. В этом случае имеем:

М {cos (иф + 8n) cos ($ + ну)} = cos (6 — 8-J.

Таким образом, если — фп, где п — целое число, то уравнение пер

вого приближения (18.20) вырождается в следующее:

di

dtp

из которого находим:

т = $ = гДу 4* const,

г, е,

илиилиmZ —-Е. у q тmZ —-Е. у q т^аЦ + фо,^аЦ + фо,(18.23)(18.23)

или

или

mZ —-Е. у q т

mZ —-Е. у q т

^аЦ + фо,

^аЦ + фо,

(18.23)

(18.23)

(18.24)(18.24)dc^dc^22cos ($ — &„).cos ($ — &„).(18.25)(18.25)

(18.24)

(18.24)

dc^

dc^

2

2

cos ($ — &„).

cos ($ — &„).

(18.25)

(18.25)

и, следовательно, в первом приближении

х = г(ай + ф0).

Итак, в случае, если ^ 4= п, мы получаем для вынужденных колебаний в первом приближении такое же выражение, как и для свободных

колебаний, когда внешняя сила гЕ cos vi на систему не воздействует.

Таким образом, в первом приближении влияние малой внешней силы на форму и частоту колебаний оказывается пренебрежимым в случае, когда ее частота не является достаточно близкой к одному из обертонов собственной частоты.

Рассмотрим теперь случай, когда ^ равно некоторому целому числу та, что соответствует субгармоническому резонансу со^^-.

Из уравнения (18.20) находим:

Полученное уравнение значительно проще, чем соответствующие уравнения первого приближения (14.39) для системы, рассмотренной в § 14 настоящей главы, где мы получили систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных — амплитуды и полной фазы колебания. В рассматриваемом случае релаксационных колебаний имеем лишь одно дифференциальное уравнение относительно фазового угла 5, которое к тому же интегрируется в квадратурах.

Характер решений уравнения (18.25) можно обнаружить и непосредственно, не производя предварительно его интегрирования.

Пусть, например,

I щ I(18.26)

Тогда производная ^ будет знакопеременной функцией $ вида, изобра

женного на рис. 108.

Таким образом, очевидно, существуют постоянные решения ^, являющиеся корнями уравнения

F ^ = m - cos ($ _ &J = 0.(18.27)

При этом те из решений, для которых

^)=^sin(E-&m)>o,

неустойчивы, а те решения, для которых

^) = ^sin(5_8m)<0,

устойчивы.

Так как в рассматриваемом случае $ = т = ^z— игу, имеем:

ОС = ZОС = Z(18.28)

ОС = Z

ОС = Z

с тече-колеба-совер-с тече-колеба-совер-откуда очевидно, что вынужденные релаксационные колебания нием времени приближаются к установившимся периодическим ниям, соответствующим различным корням уравнения (18.27) и

с тече-колеба-совер-

с тече-колеба-совер-

шающимся с частотой, точно равной субгармонике ^ частоты ч внешней силы.

Таким образом, для значений частоты ч, лежащей внутри резонансной полосы, определенной неравенством (18.26):

I гтАШ — —2"I гтАШ — —2"v . I smAv . I smA(18.29)(18.29)

I гтА

Ш — —2"

I гтА

Ш — —2"

v . I smA

v . I smA

(18.29)

(18.29)

(18.30) производ-(18.30) производ-оот сот сооткуда находим:откуда находим:?=4+т/^+^?=4+т/^+^(18.31)(18.31)гдегдеа =а =1?11?1(18.32)(18.32)

(18.30) производ-

(18.30) производ-

о

о

т со

т со

откуда находим:

откуда находим:

?=4+т/^+^

?=4+т/^+^

(18.31)

(18.31)

где

где

а =

а =

1?1

1?1

(18.32)

(18.32)

имеет место явление синхронизации.

Ширина резонансной зоны в первом приближении

l3^ml>

как видно, пропорциональна амплитуде внешней силы.

Рассмотрим теперь случай, когда и лежит вне резонансной зоны и, следовательно:

В этом случае согласно уравнению (18.25) очевидно, что ds--v

ная имеет постоянный знак, равный знаку разности — — т.

Интегрируя уравнения (18.25), получаем:

-.Р const,

S^Atfi ,. a \

2 COS (£^m)

с перио-с перио-(18.33)(18.33)

с перио-

с перио-

(18.33)

(18.33)

т

90— произвольная постоянная, / (£) — периодическая функция $ дом 2тг:

1C0S k2

/(£)^аге,*;ф5э

Здесь

0 = arccos —0 < 0 < u.

Обращая (18.31), получим:

5 = «(?_&0)+^{а(?_&0)},(18.34)

где F (&) — периодическая функция 0 с периодом 2и.

Замечая, что в принятом приближении

^ = г = ч — т^,

из (18.34) имеем:

•v< = m<p + a(<p-»0) + F{a(<p-»0)}.(18.35)

Положим

«(? - »0) =6; тогда

? = М-4(18.36)

и

(m + а) 6 + aF (0) = a (>Z — m&0),

откуда, решая это уравнение относительно 6, находим:

g _ (i^t—m^o)m + ag _ (i^t—m^o)m + aa ^nI — т$о)m + aa ^nI — т$о)m + a(18.37)(18.37)где а (&) — периодическая функция & с периодом 2и.где а (&) — периодическая функция & с периодом 2и.. Подставляя. Подставляязначения 6 (18.37) в правую часть (18.31), получаем:значения 6 (18.37) в правую часть (18.31), получаем:где обозначено:где обозначено:<р= QpZ + <?! + a [m (Qe — 8р) Z — т^],<р= QpZ + <?! + a [m (Qe — 8р) Z — т^],(18.38)(18.38)

g _ (i^t—m^o)m + a

g _ (i^t—m^o)m + a

a ^nI — т$о)m + a

a ^nI — т$о)m + a

(18.37)

(18.37)

где а (&) — периодическая функция & с периодом 2и.

где а (&) — периодическая функция & с периодом 2и.

. Подставляя

. Подставляя

значения 6 (18.37) в правую часть (18.31), получаем:

значения 6 (18.37) в правую часть (18.31), получаем:

где обозначено:

где обозначено:

<р= QpZ + <?! + a [m (Qe — 8р) Z — т^],

<р= QpZ + <?! + a [m (Qe — 8р) Z — т^],

(18.38)

(18.38)

P m + a s m

ПодставляяПодставляя— = const,m + a

Подставляя

Подставляя

выражение для вынужденных релаксационных колебаний в видевыражение для вынужденных релаксационных колебаний в видев (18.28), находим окончательно приближенное

выражение для вынужденных релаксационных колебаний в виде

выражение для вынужденных релаксационных колебаний в виде

ж = z {2р/ + ^ + a [m(й, - Qp) < - m^]}.(18.39)

Таким образом, в рассматриваемом случае колебания являются кратно периодическими и совершаются с двумя основными частотами — с частотой 2р, которую можно было бы назвать измененной собственной частотой, так как 2р==<о при г = 0, и с частотой биений

lm(Qe-Qp)l = |”У^К(^-/ио))2-^^ ,(18.40)

представляющей разностный тон между частотой внешней силы м=т2, и m-м обертоном измененной собственной частоты.

Заметим, что при приближении v к границе резонансной зоны а—» О а потому стремится к нулю и частота биений.

Кроме того, нетрудно показать, что при удалении от резонанса интенсивность биений, определяемых функцией а, уменьшается и измененная

собственная частота Йр приближается к своему значению «>, соответствующему свободным колебаниям.

Перейдем теперь к построению второго приближения. Для этого прежде всего найдем выражение улучшенного первого приближения.

Рассмотрим сначала общий случай произвольного рационального значения отношения — .. q

Воспользовавшись разложением Фурье (18.21), получаем для коэффициента при первой степени s в правой части уравнения (18.20) выражение

COS ( тф—Ср )X,

q^ 2 (t)q 0 V q т)

-f 2 ^{c°s K” + O?+“ + M+cos•

71^=0

Поэтому улучшенное первое приближенйе будет иметь следующий вид:

(18.41)(18.41)т = £ + ем(<р, Е),

(18.41)

(18.41)

где

»(?,»(?,5) = — Ло sin5) = — Ло sinsin |^« + y^tp+^ + 8n|sin |^« + y^tp+^ + 8n|(18.42)(18.42)

»(?,

»(?,

5) = — Ло sin

5) = — Ло sin

sin |^« + y^tp+^ + 8n|

sin |^« + y^tp+^ + 8n|

(18.42)

(18.42)

Подставляя значение т (18.41) в уравнение (18.20) и усредняя по ср, получим уравнение второго приближения:

d^d.^d^d.^Ircos ( £ + — <p )t ? ф L 0)2 ^.Ircos ( £ + — <p )t ? ф L 0)2 ^.+ e?M9+ e?M9P^Q^V')q “>2' (cp)P^Q^V')q “>2' (cp)«(?, ^) +«(?, ^) +

d^

d.^

d^

d.^

Ircos ( £ + — <p )

t ? ф L 0)2 ^.

Ircos ( £ + — <p )

t ? ф L 0)2 ^.

+ e?M

9

+ e?M

9

P^Q^V')

q “>2' (cp)

P^Q^V')

q “>2' (cp)

«(?, ^) +

«(?, ^) +

o> z' (cp)o> z' (cp)(18.43)(18.43)COS2 ( ^ + — cp A, p V q v"Г q [coz' (cp)]2

o> z' (cp)

o> z' (cp)

(18.43)

(18.43)

Рассмотрим сначала нерезонансный случай, когда отношение у не равно ни целому, ни половине целого числа, и следовательно, когда частота внешней силы не лежит вблизи обертонов собственной частота) ты — пт и ее половины—^ •

Заметим, что в принятом нерезонансном случае для любых целых п и т имеем неравенства

п ф — , п + — + т — — .q q q

Далее, на основании (18.21) имеем:

COS 2 + — к д

m2' (ф)

п —п —> (18.44)> (18.44)ms’ (cp)ms’ (cp)q тq тп=£0п=£0

п —

п —

> (18.44)

> (18.44)

ms’ (cp)

ms’ (cp)

q т

q т

п=£0

п=£0

-sin [(n-f

Поэтому, учитывая (18.42) и (18.44), можем написать:

ММP A,

М

М

=0,(И I ’

[COS2f £ + —<p\,,

О 1I™2' (f)]2 I - 24

МфМфJ2J2- i iq q- i iq q

Мф

Мф

J2

J2

- i i

q q

- i i

q q

После этого уравнение второго приближения (18.43) принимает следующий вид:

(18.45)(18.45)(18.46)(18.46)— = еД 4- s2y =+ s2v,

(18.45)

(18.45)

(18.46)

(18.46)

a.^1 <o q 1

где обозначено

q ^ 4 2 p2

Интегрируя уравнение (18.45), находим:

где £0— произвольная постоянная. Принимая во внимание (18.41), полу чаем следующую формулу второго приближения:

= vt ~= vt ~— + г2Тq 11— + г2Тq 11£ : s2. q£ : s2. q

= vt ~

= vt ~

— + г2Тq 11

— + г2Тq 11

£ : s2. q

£ : s2. q

из которой с точностью до величин второго порядка малости включительно получаем:

Полагая здесь:

ЙР =, 'Po--8»-.(18-48)

1 + s2y

имеем:>

? = ЙР< 4-То - SM |ер< + То. ^-^р)1—^ %} v •(18.49)

Итак, в нерезонансном случае получаем следующие выражения второго приближения для вынужденных релаксационных колебаний:

ж = z (ф),

<Р = ЙР< + <Ро + ^7 2sinIw(Qpz + %) + ^.+ М*

n*° 2V + ? )

(18.50)(18.50)+ -у S7 sin [" ^p1 + %) - ^ + ^nl + еЛ0 sin Mt,

(18.50)

(18.50)

где согласно (18.48) с принятой нами степенью точности

П2<0П2<0п^Оп^О(18.51)(18.51)9292

П2<0

П2<0

п^О

п^О

(18.51)

(18.51)

92

92

Из полученных формул второго приближения нетрудно исключить вспомогательную величину — отношение у. 1ак как разность — - первого порядка малости, то формулы (18.50) верны с точностью до величин второго, а формула (18.51) до величин третьего порядка малости. С такой же степенью точности можем написать:

ж = г(<р),■

(18.52)(18.52)? = 2p« + <Po+2 F^^sint^^ + 'Po) +^ + ^n} + п=?ьО

(18.52)

(18.52)

+ 2 Г^У^ sin i74Q J

n^O

-^ еаж4ц Г пш пш "|

Bt^O

Найденное решение соответствует асинхронному режиму колебаний. Здесь колебания будут квазипериодическими с двумя основными частотами v и tip. . - ■

Изменение фазового угла ^ представляется здесь как вращение с постоянной угловой скоростью, равной tip, на которое налагаются колебания с малой амплитудой, с частотами м, nQp — м, пйрН м.

в резонансномв резонансномвзять отноше-взять отноше-Перейдем теперь к построению второго приближения случае.

в резонансном

в резонансном

взять отноше-

взять отноше-

Для исследования резонансного случая следует

ние у равным целому или половине целого числа. Если положим у = т, то в качестве уравнения второго приближения получим уравнение, отличающееся от (18.25) на члены второго порядка малости. С помощью этого уравнения мы можем уточнить положение и ширину резонансной зоны, уточнить значение измененной собственной частоты асинхронных колебаний и т. д.

Не останавливаясь на этом,Не останавливаясь на этом,рассмотрим случай, когда отноше-

Не останавливаясь на этом,

Не останавливаясь на этом,

ние — является половиной целого числа: 9

р 2т + 1

7 =2~

Для раскрытия операции усреднения в уравнении второго приближения (18.43) заметим, что согласно (18.42) имеем:

2т + 1

2

2т + 1 у, Лп5Ш222т + 1 у, Лп5Ш222т +1 \— Л, 2т + 12т +1 \— Л, 2т + 1

2т + 1 у, Лп5Ш22

2т + 1 у, Лп5Ш22

2т +1 \

— Л

, 2т + 1

2т +1 \

— Л

, 2т + 1

2т +122т +12(18.53)(18.53). Г/ 2т+ 1\2

2т +12

2т +12

(18.53)

(18.53)

22т +1

”2”

подставляя значение (18.53) в правую часть уравнения (18.43), после ряда выкладок находим:

(18.54)(18.54)(18.55)(18.55)tZ$ N 2т -р 1оо 2m -р 1 q/ О ► « 1 \

(18.54)

(18.54)

(18.55)

(18.55)

Г" + 5 Т -—4- Sm cos(2$ + фт),

где обозначено с • t ™ Г sin (2m +1)

с ,I cos + 1)

Полученное уравнение (18.54) отличается от уравнения (18.45) для нерезонансного случая наличием слагаемого

у2^5тсо8(2$-фт).

Так же как и в случае первого приближения, нетрудно видеть, что резонансная зона определяется неравенством

.22m + l„ n 2т-Ц 22 2m+ 1 „„

— 3 2rsY< =4 дт(10.00)

или, вводя измененную собственную частоту Й с той же степенью точности, неравенством

2 2т + 1 о , м 2т + 1;4°m < 0^22 2т + 1 о , м 2т + 1;4°m < 0^2-2-22т +1 с42т +1 с4(18.57)(18.57)

2 2т + 1 о , м 2т + 1

;4°m < 0^2

2 2т + 1 о , м 2т + 1

;4°m < 0^2

-2

-2

2т +1 с4

2т +1 с4

(18.57)

(18.57)

Итак, рассматривая первое приближение, мы нашли резонансные зоны только для м, лежащих в окрестности тш, причем ширина их оказалась пропорциональной первой степени г; во втором приближении обнаруживаются дополнительные резонансные зоны для м, лежащих в окре- 2т + 1

стности —-—(0, и ширина этих «вторичных» зон пропорциональна ква

драту г.

Анализ высших приближений указал бы также на наличие резонансных зон для м =к — со, 5 = 3,4, . .. с шириной порядка г9.

§ 19. Воздействие «периодических» сил на нелинейные системыс медленно меняющимися параметрами

Перейдем теперь к рассмотрению воздействия внешних «периодических» сил на нелинейные колебательные системы с медленно меняющимися параметрами, причем будем предполагать, что «частоты» внешних сил в свою очередь также медленно изменяются со временем (медленно в смысле, указанном нами в § 8).

Итак, рассмотрим следующее нелинейное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися коэффициентами:

[m«)g ] +4Wi-«f(t, 6, г.^) .(19.1)

в котором, как и везде, е — малый положительный параметр, t = $z — «медленное» время, F^t, 9, ж, ^^ — функция периодическая по 0 с периодом 2тс, которая может быть представлена в виде

f(?.(19.2)

причем коэффициенты Fn (\, х, ^ ^ этой конечной суммы в свою очередь являются некоторыми полиномами х, ^ . Коэффициенты этих полиномов зависят от т. Будем предполагать, кроме того, что ^ = м (т), т. е. мгновенная частота внешней периодической силы тоже медленно изменяется со временем. Для возможности применения асимптотического метода к построению приближенных решений уравнения (19.1) предположим, как ив §8, что коэффициенты уравнения (19.1) ж(т), А(т), а также Fn ^ т, х, ^^ и м(т) имеют достаточное число производных по для всех конечных значений т и, кроме того, для любых т на интервале 0< t < L т (-) и А(т) строго положительны.

При этих предположениях построим приближенные решения для уравнения (19.1) в самом общем виде, пригодные для исследования как резонансной зоны, так и подходов к ней из нерезонансной зоны, причем для случая любого демультипликационного резонанса.

К правильному выбору структуры асимптотического решения уравнения (19.1) приходим, как и в предыдущих параграфах, из тех же физических соображений.

При отсутствии возмущения (s = 0) и при постоянном т решение уравнения (19.1) будет выражаться синусоидой с постоянными амплитудой и фазой колебания, определяемыми начальными значениями.

При наличии возмущения в решении могут появиться обертоны, гармоники комбинационных частот; могут возникнуть различные резонансы и другие явления, о которых мы уже говорили выше (§§ 1 и 13). Нали

чие же медленно меняющегося времени т (медленная изменяемость массы системы, коэффициента упругости, частоты внешней периодической силы и

других параметров) также вызывает в системе ряд дополнительных явлений, не наблюдаемых в колебательных системах, описываемых уравнением (13.1). Так, например, как указывалось в § 8, здесь уже теряет смысл обще

принятое понятие собственной частоты системы, так как в данном слу

чае «собственная частота» о> (т)чае «собственная частота» о> (т)будетбудеттакже медленно изметакже медленно изме

чае «собственная частота» о> (т)

чае «собственная частота» о> (т)

будет

будет

также медленно изме

также медленно изме

няться со временем, зависимость мгновенной частоты внешней силы м (т) от времени будет влиять да величину амплитуды колебаний и т. д.

Прпнимая во внимание все эти физические соображения, естественно,

учитывая структуру асимптотических решений для уравнений (8.1) и (13.1), приближенное решение уравнения (19.1) искать в виде ряда

х = a cos ^у 6 + 9^ + зи1 ^ т, a, 9, -"9 + 9^ +

+ ®2и2 ^т, а, 9, у 9 + 9^+ .. ., (19.3) в котором и, ^т, а, 9, -|Офб^ , м2 ^ т, а, 9, ^ 9 + &^ , . .. — периодические функции углов 9, у 9 + 9 с периодом 2 т; р и q, как и выше, — некоторые небольшие взаимно простые числа, выбор которых зависит от того, какой резонанс мы собираемся исследовать, а величины а и 9 — функции времени, определяющиеся из следующей системы дифференциальных уравнений:

(19.4)(19.4)£ = ^ih, + &)+^Ь а, 9) +

(19.4)

(19.4)

^ = ш (т) - Z v (т) + авх (х, а, 9) + s2B2 (т, а, 9) + .. .,

— = м (т) — мгновен- at х 'x = st, а разность— = м (т) — мгновен- at х 'x = st, а разностьгде со (т) = у — «собственная» частота системы, ' ' г т (т)’

— = м (т) — мгновен- at х '

x = st, а разность

— = м (т) — мгновен- at х '

x = st, а разность

ная частота внешнего периодического возмущения,

в процессе колебания.в процессе колебания.<о (т) — ^ м (т) может изменяться

в процессе колебания.

в процессе колебания.

Для определения функций, стоящих в правых частях выражений (19.3) и (19.4), мы можем, как и обычно, найти, исходя из (19.3), выражения для ^, с учетом, разумеется, уравнений (19.4), полученные выра-

жения подставить в уравнение (19.1), приравнять коэффициенты при оди-

наковых степенях е, после чего найти выражения для иг Qt, а, 6, у 6 + &^, м2(^т, а, 6, у6 + &'), ..., а также, учитывая дополнительные условия типа (1.8), выражения для Лх(т, а, &), B^t/a, &), Л2(т, а> ^), В2^, а, &), ...

Можно эти функции найти и проще, воспользовавшись уравнениями гармонического баланса, которые в рассматриваемом случае имеют вид:

о

т, 6, X, 5)}A со8Г^6 + »^6 = 0,

(19.5)(19.5)k=a cos (^ •+»+... Vq )

(19.5)

(19.5)

2 тд

\ {у,[^WS]+^W^-

6

-гр(х, 6, X,, sin 6+ ^6 = 0.

dt; J х—а cos (^ Н») + ...)

Подставляя в подынтегральные выражения значения х, -^, -^ ,

найденные из (19,3) с точностью до величин первого порядка малости с учетом того, что а и U являются функциями времени, удовлетворяющими уравнениям (19.4), и, произведя интегрирование, получаем уравнения типа (14.34) для функций Ах (т, а, &) и 5,(т, а, 8-).

d х d^x

Учитывая при подстановке х, -у-, также величины, пропорцио-

нальные -2, получим уравнения, определяющие Л2(т, а> ^) и ^2(т, а> ^)- После этих элементарных выкладок находим приближенные решения

для уравнения (19.1).

В первом приближении решение уравнения (19.1) будет иметь вид

х = acos уб + &^ ,(19.6)

где а и & должны быть определены из системы уравнений первого приближения:

d%р'(19-7)

в которой Лх(т, а, &) и В^т, а, 8-) — периодические по & с периодом 2it частные решения системы

[ш(т)-7^(т) ] ^-2ао(с)51 =

2к 2 к

= о г1 / х"(т> а, 6> Ф) е-’’’9' cos ф йб йф,

2п2т (т) I J J11

Г / х Р / ЭВ1 , о / х л1 <?[т(т)ш(т)](19.8)

ш (т) — v (т) а 4- 2ш (т) Л, =——у—_

2k 2k

о 21 , У е'34^ \ V Fn U, a, 0, ф) e-t®9»' sin ф dB d&.

c 0 0

В этой системе, как обычно, введено обозначение

Fo (т, а, 6, ф) = F (т, 6, a cos ф, — аш (т) sin ф), J/1F = ф —у 9.

Во втором приближении имеем:

х = a cos (^"^ ^ + ^^ + £Ui (у» а> 6, у" ® "Ь ®) ’(19.9)

где а и й — решения следующей системы уравнений:

^ = гЛ1(т, а, й) + гМ2 (^j а> ^)> (19.10)

^ = а> (т) _ ^ v (т) 4- гВг (т, а, й) + s2S2 (т, а, й).

Здесь и1 ^т, а, 9, -^9 4-й ^ определяется формулой

/ р X 1^[-0+-(^ в+&)]

и-Д т, а, б, — 9 + 9- Л =——- V —— —-—

1< ’5 У4л2ЛП (т) ^j Ш2 (т)— (ГкШ (т) 4- MN (т))2

П, 771

2тс 2к

X \ ^ ^о(т’ а’ в, ф) e"-i (n5+m^) rf9 ^ф, (19.11) 6 о

в которой суммирование выполняется для значений п, т, удовлетворяющих условию nq 4- р (т 4- 1) 4= 0. В этом случае в правой части выражения (19.11) отсутствуют члены, знаменатели которых могут обращаться в нуль для любых т в интервале 0<т</,. ^2(т, а, ^) и ^(^i а> ^) определяются из системы уравнений:

у- Ь) ] -%- - 2а<о (т) S2 =

L да dv 1 дт 1 dz т (т) J

2 ^2те

•(19.12)•(19.12)+ 2^УГ 2 ^ S VFi^’ а> 6’ Ф)е-“98'со8фс?6с?ф,в 0 0

•(19.12)

•(19.12)

■f-v М ] а ^- + 2-0 (х) А2 =

Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев уравнения (19.1). В качестве первого частного случая рассмотрим дифференциальное уравнение колебаний нелинейного вибратора, находящегося под воздействием синусоидальной силы, амплитуда и мгновенная частота которой медленно изменяются. В этом случае имеем следующее дифференциальное уравнение:

тп -^ + кх = г/ ^ж, ^- ^'+ sE (т) sin 0,(19.13)

где -^- = Дт), ^ = е1, т и « — постоянные.

Колебательные системы, описываемые уравнением такого типа, играют значительную роль в машиностроении, электротехнике и т. д.

Как указывалось выше (см. § 13), в таких системах в первом приближении возможно обнаружить только основной резонанс, поэтому мы сейчас остановимся на составлении уравнений первого приближения для случая основного резонанса р = 1, ^=1. Для вывода уравнений первого приближения воспользуемся уравнениями гармонического баланса.

В первом приближении для случая основного резонанса решение уравнения (19.13) ищем в виде

х = a cos (6 4- ft),(19.14)

где а и ft должны быть определены из уравнений первого приближения -^-^еЛДт, а, ft), d%(19Л5)

— = со-Дт)4- гВх^, а, ft),в которыхксо =— = const.

Т т

Определим ЛДт, а, 9) и Вх^, а, ft). Для этого находим (с точностью до величин порядка г включительно) ^^ da zo । ах • zn ■ ах d(0 + s) — = —cos(9 + ft)-asin(9 + ft)=

= еЛ1 cos (0 + ft) — асо sin (9 4- ft) — гаВх sin (9 4- ft), (19.16)

-^- = e ^ (ш — м (Д) ™t— 2«co£1 j cos (9 4- ft) — асо2 cos (9 4- ft) —

-s [ (co-ДД) a ^- + 2a)^J sin (94-ft). (19.17)

Подставляя (19.17) и (19.14) в левую часть уравнения (19.13), имеем: | т 4- кх\= ш Г (со — v (т))— 2ашВ. 1 cos (9 4- ft) —

t dt2 1 J x=a cos (6+8) L v v " oftH1/

-гт [ (co - Дт)) a ^- 4- 2<»Л1 ] sin (9 4-ft), (19.18) так как mco2 = к.

Мы здесь не учитываем члена гАггДт:, а, 9, 9 4-ft), так как он не содержит первой гармоники и при интегрировании пропадает.

Правую часть уравнения (19.13), учитывая (19.14) и (19.16), можем представить с точностью до величины порядка г в виде

+ е£ (т) sin о}=

dl /Jx=acos(6 + 8)

= е/ (a cos (6 + &), — аш sin (6 4- &)) 4- гЕ (^ sin 6, или

1е^(х,^-Л + еЕ(^8‘и1е\=

I X dt 2J ac^a cos (Н8)

e cos (0 +») Г.,

= \ j (a cos ф, — aw sin ф) cos ф аф 4-

о

4- ЛЛ15Ц2+_?2. ^ / (a cos ф, — аш sin ф) sin ф z/ф + е ^ Un1 («) cos n (0 + ft) + Оn^l

+ /пЧ») sinn (0 + 4)} + sS(v) [cos & sin (64- 4) — sin & cos (64- 4)], (19.19)

где

2л

/п’ (a) = v S ^° (“’ ^ C0S '^ d^’0

2 k

/n ’ («) = V ^ /о (“’ Ф)81ПИфс?Ф,0

причем

/0(a, ф) = /(асозф, — aw sin ф).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е и одинаковых гармониках (соответственно при синусах и косинусах) в правых частях выражений (19.18) и (19.19), находим систему уравнений, определяющую ^(т, а, 4) и ^(т, а, 4):

2 71\

т £ (ю — v (т)) ^— 2aw51 j = ^- ^ /0 (а, ф) cos ф d^ — Е (z) sin &, |

f (19-20)

т ^(m — v (т)) а ^-4-2^ j = —^- ^ /0(а, ф)з1пфс?ф — E(z) cos Я, о'

из которой без затруднений находим:

Л(т, а, »)=-2^ ^о(а’ Ф)81пФ^--^+ЙмГСО8&’ |

(19.21)

В. к, а, &) = —(а, ф) cos ф d^ 4sin ^- i

О

После этого уравнения первого приближения принимают следующий вид:

2теч

~\ /о(а>—COS 9,

dt 2тспш J/oxт т т [со + >(г)]|

О‘

2?} (19.22)

= со — м (т) —/0 (а, <!>) cos ф <2ф 4. sin 9. I

at' ' 2т.тша J,ux ■' т т та [ш + v (т)]|

ОV

Воспользовавшись обозначениями (15.5) (см. § 15), систему (19.22) можно записать следующим образом:

аа/ \= -%^ааа/ \= -%^аеЕ ^„г, / м COS 9, т [ш + v (т)]еЕ ^„г, / м COS 9, т [ш + v (т)]-^- = ше (а) — V (т)-^- = ше (а) — V (т)еЕ (т). „1;, .81П 9,■ та u+v (г)]еЕ (т). „1;, .81П 9,■ та u+v (г)](19.23)(19.23)

аа/ \

= -%^а

аа/ \

= -%^а

еЕ ^„

г, / м COS 9, т [ш + v (т)]

еЕ ^„

г, / м COS 9, т [ш + v (т)]

-^- = ше (а) — V (т)

-^- = ше (а) — V (т)

еЕ (т). „

1;, .81П 9,

■ та u+v (г)]

еЕ (т). „

1;, .81П 9,

■ та u+v (г)]

(19.23)

(19.23)

где ое (а) и сое (а) являются соответственно, эквивалентным декрементом затухания и эквивалентной частотой для нелинейной колебательной системы, описываемой уравнением (15.6).

Для нашего случая аиу(т, а, Ь, 6 Т 9) мы можем найти либо воспользовавшись формулой (19.11), либо непосредственно как вынужденные колебания, возбуждаемые в исследуемой системе высшими гармониками, находящимися в правой части выражения (19.19), т. с. суммой

е 2 (/п ’ (a) cos п (6 4- 9) + /„* (а) sin и (0 4- 9)}.

Явное выражение для емД-с, а, 6, 0 4-9) будет:

гМ1 (т, а, 6, 0 4- 9) = -^2- 2 Y^r [ cos n (0 + 9) р0 (а, ф) cos пф t/ф + n=5fclО

2тс

4- sin п (6 4- 9) ^ /у (а, ф) sin пф t/ф j .(19.24)

о

причем оно не зависит от медленного времени т и совпадает со вторым слагаемым в правой части (15.4).

Выражений для /12 (т, а, 9) и В^^, а, 9) мы здесь находить не будем; заметим только, что для их определения, после того как мы нашли явное выражение для иг (t, а, 0, 0 + 9), проще всего опять воспользоваться уравнениями гармонического баланса, однако все выкладки вести уже с точностью до величин второго порядка малости включительно.

В качестве второго частного случая рассмотрим весьма распространенное в технике уравнение Матье в случае, если частота модуляции медленно изменяется со временем. Имеем уравнение

■^|- ;-ш2 (1 —/1 cosO) z = 0, (19.25) где -^- = ч (t), т = st, со и h — постоянные, причем h <^; 1. Обозначая /г = е/г,, можем уравнение (19.25) представить в виде

-^ 4-со2а: = 6(0^ ж cos 6. (19.26)

Как указывалось выше, для уравнения (19.25) уже в первом приближении можно рассматривать демультипликационный резонанс. Поэтому

построим асимптотическое решение в первом приближении для случая ja = l, q = 2, воспользовавшись, как и в предыдущем случае, уравнениями гармонического баланса.

Итак, решение уравнения (19.25) ищем в виде

(19.27)(19.27)/ 1х = a cos ( тг

(19.27)

(19.27)

где а и & должны быть определены из системы

(19.28)(19.28)

(19.28)

(19.28)

Определим ЛДт, а, &) и Вх(т, а, &). Для этого, подставляя (19.27) с учетом соотношений (19.28) в левую часть уравнения (19.26), имеем с точностью до величин первого порядка малости:

2awBx j cos ( у 9 + &2awBx j cos ( у 9 + &

2awBx j cos ( у 9 + &

2awBx j cos ( у 9 + &

— е ^со —у v(T)^a-^-4-2wH]lJ sin^yO + & ). (19.29)

Правую часть уравнения (19.26) можем представить в виде:

{еш2/г.2: cos 6} и =Е-— cos 2^а cos (6 + d +

*х=а cos I g 9]2X 2/

+ ^Д1 sin 2da sin ^у ® + ^ ) + ^lA1 cos3^y®+^ycos^ +

+ ^isin3^y6 + »)sin2». (19.30)

Приравнивая коэффициенты при первой гармонике в правых частях (19.29) и (19.30), получаем систему уравнений:

( ш — у v (г) )— 2ашВх = -° — cos 2&,

(19.31)(19.31)V Z ' / dv1 Z

(19.31)

(19.31)

Qш — у v (-.) \ а + 2иАх =—1 sin 2»,

из которой находим:

А(т, а, d) = --^isin2d,14(т)

Вх (т, а, &) = — cos

■1 х(т)

И, следовательно, уравнениями первого приближения, определяющими а и &, в рассматриваемом случае будут:

da "dF — ~d%—г- = ш dtda "dF — ~d%—г- = ш dtahuA .

da

"dF — ~

d%

—г- = ш dt

da

"dF — ~

d%

—г- = ш dt

(19.33)(19.33)-5- Sin 2»,(т)

(19.33)

(19.33)

v (т) НиА „„

■—V-—COS 29.

22-» (т)

Остановимся теперь на применении полученных формул к исследованию колебательных процессов в конкретных системах с медленно меняющимися параметрами, в частности, рассмотрим явления, происходящие в колебательной системе при прохождении через резонанс. Для того, чтобы легче было сопоставить полученные результаты с изученным стационарным режимом, рассмотрим, как и в § 15, нелинейный вибратор с жесткой характеристикой нелинейной восстанавливающей силы (F = сж + с?ж3, d > 0), находящийся под воздействием внешней синусоидальной силы с постоянной амплитудой и медленно изменяющейся частотой. Пусть колебания этого вибратора описываются следующим уравнением:

т "5^-+ b-^-\-exdx3 = Е sin В, (19.34)

где х — координата, определяющая положение системы, t — время, т — масса, Ъ — коэффициент сопротивления, F = сх + dx3 — нелинейная восстанавливающая упругая сила, Е — амплитуда возмущающей силы, 6 — некоторая функция времени. Введем, как и выше, для упрощения выкладок безразмерные хг и 1г по формулам:

х1 = У^х,t^y^t-(19.35)

тогда уравнение (19.34) запишется в виде

+ +(19.36)

где введены обозначения:

\тсс г с

Предположим, что трение, амплитуда внешней силы, а также член, характеризующий нелинейность, достаточно малы по сравнению с собственной частотой системы, т. е. система близка к линейной консервативной, и положим

Тогда согласно (15.5) находим:

после чего, воспользовавшись (19.14) и (19.23), в первом приближении получим:

хх = a cos (64- 9),

где а и & должны быть определены из системы уравнений:

COS &,COS &,(19.38)(19.38)ЕЕsin &,sin &,da 8а Ег dt21 + v (т)

COS &,

COS &,

(19.38)

(19.38)

Е

Е

sin &,

sin &,

при этом v (т) = -^— некоторая функция времени, характеризующая закон изменения со временем мгновенной частоты внешней силы.

j 19) воздействие «периодических> сил на нелинейные системы 241

В § 15 подробно исследован стационарный режим колебательных систем, описываемых уравнением типа (19.34); построены резонансные кривые; исследована устойчивость различных ветвей этих кривых; рассмотрены гистерезисные явления, возникающие в связи с нелинейностью.

Здесь мы рассмотрим поведение кривых зависимости амплитуды колебания от частоты внешней силы при медленном изменении частоты со временем, причем допустим, что в процессе своего изменения частота внешней силы проходит через резонансные значения ). Для того чтобы построить резонансные кривые при прохождении через резонанс, необходимо систему уравнений первого приближения (19.38) численно проинтегрировать при помощи какого-либо метода численного интегрирования. Для исследуемых уравнений (19.38) удобным является метод численного интегрирования, разработанный А. Н. Крыловым. Заметим, что нет необходимости численно Интегрировать уравнения (19.38) для всего промежутка времени, в течение которого изменяется частота внешней силы. Для получения полной картины процесса, происходящего при прохождении через резонанс, достаточно проинтегрировать систему (19.38), начиная от того момента времени, когда частота внешней силы достаточно близка к собственной частоте системы, но еще не находится непосредственно в резонансной зоне.

Как показывает практика построения резонансных кривых при прохождении через резонанс для тех значений частоты внешней силы, для которых стационарная резонансная кривая близка к горизонтальной линии, кривые прохождения через резонанс мало отличаются от стационарных резонансных кривых даже при достаточно больших скоростях изменения частоты внешней силы. Кроме того, на характер резонансных кривых при прохождении через резонанс (на величину и положение максимума и т. д.) почти не влияют начальные условия в случае, если они не находятся непосредственно в резонансной зоне (т. е. в зоне частот, гДе амплитуда резко возрастает). Поэтому для численного интегрирования системы (19.38) в качестве начальных значений целесообразно принимать значения а, & и v, удовлетворяющие стационарному режиму вблизи резонансной зоны, но не в зоне быстрого возрастания амплитуд.

На преимущество интегрирования системы уравнений (19.38) по сравнению с непосредственным интегрированием уравнения (19.34) уже обращалось внимание, и поэтому подробно на этом останавливаться не будем.

Будем рассматривать случай, когда мгновенная частота внешней силы зависит от времени линейно: •

vW^o+fa (19.39)

при р>0 частота возрастает со временем, при р<0— убывает. Скорость прохождения через резонанс зависит от значений р. Чем больше по абсолютной величине р, тем скорее система проходит через резонанс.

Численно интегрируя систему уравнений при различных значениях ^, получаем ряд кривых прохождения через резонанс, которые приведены на рис. 109, 110, 111. Для сопоставления со стационарным режимом на этих же рисунках приведены стационарные резонансные кривые, построенные согласно формулам § 15.

На рис. 112 и 113 приведены как стационарные резонансные кривые, так и кривые прохождения через резонанс для случая, когда

Рис. 109.

§219] воздействие «периодических» сил на нелинейные системы 243

характеристика нелинейной восстанавливающей силы имеет вид, приведенный на рис. 114.

Анализ построенных резонансных кривых при прохождении^ через резонанс позволяет выявить ряд характерных особенностей этого сложного явления, а также влияние на него нелинейности системы. Этот вопрос

? ис. 112.

подробно рассмотрен в специальной литературе [31], и поэтому мы здесь укажем только на некоторые характерные особенности этого явления, резко отличающие его от обычного резонанса при стационарном режиме.

При прохождении через резонанс существенное влияние на резонансные кривые оказывает скорость изменения частоты внешней силы: при ее

увеличении максимумы амплитуды снижаются, а острота первого максимума становится меньше остроты стационарной резонансной кривой.

После достижения первого максимума наблюдаются биения амплитуд, причем чем быстрее осуществляется прохождение через резонанс, тем характернее выражены после первого максимума несколько максимумов меньшей величины.

Если при стационарном резонансном режиме в системе вследствие нелинейности имеются точки разрыва амплитуды, то при прохождении

через резонанс для соответствующих значений частоты наблюдаются резкие изменения амплитуды (особенно для медленного прохождения).

Максимумы амплитуды имеют место не в момент совпадения частоты возмущающей силы с собственной частотой системы, а позже или раньше, что зависит от скорости изменения частоты, характера нелинейности, а также от направления изменения частоты.

В каждом конкретном случае нелинейность накладывает специфический отпечаток не только на стационарную резонансную кривую, но и на кривые прохождения через резонанс, причем чем медленнее прохождение через резонанс, тем сильнее сказываются особенности данной нелинейности.

Остановимся теперь на исследовании некоторых примеров нелинейных колебательных систем с переменными коэффициентами, в которых возможен более сложный резонанс.

В качестве первого примера рассмотрим поведение амплитуды при резонансе п-го рода в зависимости от режима изменения расстройки в колебательном контуре с регенерацией при помощи лампы. Этот пример в случае п = 2 при постоянной расстройке рассматривался нами в 8 15.

Рис. 114„ч2 —4ш2

со временем, то, как нетрудносо временем, то, как нетрудноследующее уравнение:следующее уравнение:видеть, вместо (15.50)^.S^ + Bsina,видеть, вместо (15.50)^.S^ + Bsina,получаем(19.40)получаем(19.40)Если расстройка Е = —^— изменяется

со временем, то, как нетрудно

со временем, то, как нетрудно

следующее уравнение:

следующее уравнение:

видеть, вместо (15.50)

^.S^ + Bsina,

видеть, вместо (15.50)

^.S^ + Bsina,

получаем

(19.40)

получаем

(19.40)

которое при помощи замены переменной

(19.41)(19.41)ж = z —— sin It

(19.41)

(19.41)

может быть приведено к виду

-^ + z = eM/(Z-^sin21, ^.-^cos2(, Е(.)).(19.42)

Предположим, как и в § 15, что

/(*■ Ж- ^У^ + ^ + ^ж+Щв1’<1943)

причем для определенности положим:

к^ = к0-^^ ,=, Х=0,016,

_037 1 + Е(т) ’’ |(19.44)

9 = 0,013, у=—2, /0= — 0,05.J

Тогда уравнение (19.42) принимает следующий вид:

d2z .0,016 Г, , .S . ОА .

\k^-2V 3 sm2z)-t-

+ T(^fsi„2t)1}(^-^=os2,) + T^(Z-4sin2t). (19.45)

Воспользовавшись формулами (19.6) и (19.7) и полагая р = 1,; д = 2, после ряда выкладок в первом приближении получим:

z = acos(Z + &),(19.46)

где а и & должны быть определены из системы уравнений:

£ = Н9{Н4<') + Я+^ + т8>”2Ч^

сЙ I 1E I’

Для построения графиков, характеризующих изменение амплитуды колебания при резонансе 2-го рода для различных режимов изменения

расстройки $(-:), необходимо, как и обычно, численно проинтегрировать систему уравнений (19.47).

Для определенности предположим, что расстройка изменяется за счет изменения собственной частоты «> колебательной системы, причем предположим, что $ (-с) изменяется согласно формуле

Н^) = а0 + а«. (19.48)

Подставляя это выражение в уравнения (19.47) и произведя численное интегрирование, получаем кривые, характеризующие зависимость а от £ для различных

значений а (рис. 115).

На этом же рисунке для сопоставления приведена резонансная кривая при стационарном режиме, построенная согласно формуле (15.72) (жирная линия).

Анализируя полученный график, можно сделать ряд выводов. Как и обычно, при увеличении скорости прохождения через резонанс максимумы резонансных кривых снижаются и смещаются. Резко бросается в глаза существенное отличие в поведении амплитуды колебания при

прохождении через резонанс второго рода по сравнению с рассмотренным выше примером прохождения через обычный резонанс. В то время как при прохождении через обычный резонанс (см. рис. 110) после первого максимума резонансной кривой наблюдалось еще несколько максимумов меньшей величины, и таким образом, колебания носили характер затухающих биений, в данном случае амплитуда ■ после достижения максимального значения непрерывно убывает, стремясь к нулю. .

В качестве второго примера рассмотрим прохождение через параметрический резонанс.

Пусть на стержень длиной / с шарнирно закрепленными концами (рис. 116) действует «периодическая» продольная сила

(19.49)(19.49)£0 cos 6 ,

(19.49)

(19.49)

мгновенная частота которой -^"''(')> медленно изменяясь со временем, проходит через удвоенное критическое значение (для определенности положим через удвоенное первое критическое значение).

(19.50)(19.50)■ Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня можем записать в виде'

(19.50)

(19.50)

Ь1 да1 g dt2 + £ocosa dz2 —

где, как и в § 17, Л —площадь поперечного сечения, £/ —жесткость, у — плотность материала, из которого сделан стержень, g — ускорение силы тяжести.

Граничные условия будут

L=°q |z=I ’

(19.51)

и поэтому путем подстановки

у =■ х sin к ±

уравнение (19.50) можемdt2уравнение (19.50) можемdt2свести к следующему:свести к следующему:+ <о2 (1 — /г cos 6) х = 0 ,+ <о2 (1 — /г cos 6) х = 0 ,(19.52)(19.52)

уравнение (19.50) можем

dt2

уравнение (19.50) можем

dt2

свести к следующему:

свести к следующему:

+ <о2 (1 — /г cos 6) х = 0 ,

+ <о2 (1 — /г cos 6) х = 0 ,

(19.52)

(19.52)

где обозначено:

П Ek ’tAli ‘

Предположим, что = м (т) = ч0 + at, изменяясь со временем, пройдет через удвоенное значение частоты со. В этом случае для исследования колебательного процесса построим первое приближение, соответствующееПредположим, что = м (т) = ч0 + at, изменяясь со временем, пройдет через удвоенное значение частоты со. В этом случае для исследования колебательного процесса построим первое приближение, соответствующее.cos 9.cos 9NM1NM1Рис. 117.Рис. 117.резонансу p=V, q = 2. Для этого мы можем воспользоваться непосредственно формулами, выведенными выше для уравнения (19.25). Итак, согласно (19.27) и (19.33) имеем:резонансу p=V, q = 2. Для этого мы можем воспользоваться непосредственно формулами, выведенными выше для уравнения (19.25). Итак, согласно (19.27) и (19.33) имеем:х = a cosх = a cosгде а и & должны быть опреде-где а и & должны быть опреде-леныленыиз системыиз системыda dt d%—— = (Оdtda dt d%—— = (Оdtah^ « n g—y-Tv Sin 2 »,ah^ « n g—y-Tv Sin 2 »,Рис. 116.Рис. 116.S> (19.53) х cos 2» . I*o + a6JS> (19.53) х cos 2» . I*o + a6J

Предположим, что = м (т) = ч0 + at, изменяясь со временем, пройдет через удвоенное значение частоты со. В этом случае для исследования колебательного процесса построим первое приближение, соответствующее

Предположим, что = м (т) = ч0 + at, изменяясь со временем, пройдет через удвоенное значение частоты со. В этом случае для исследования колебательного процесса построим первое приближение, соответствующее

.cos 9

.cos 9

NM1

NM1

Рис. 117.

Рис. 117.

резонансу p=V, q = 2. Для этого мы можем воспользоваться непосредственно формулами, выведенными выше для уравнения (19.25). Итак, согласно (19.27) и (19.33) имеем:

резонансу p=V, q = 2. Для этого мы можем воспользоваться непосредственно формулами, выведенными выше для уравнения (19.25). Итак, согласно (19.27) и (19.33) имеем:

х = a cos

х = a cos

где а и & должны быть опреде-

где а и & должны быть опреде-

лены

лены

из системы

из системы

da dt d%

—— = (О

dt

da dt d%

—— = (О

dt

ah^ « n g

—y-Tv Sin 2 »,

ah^ « n g

—y-Tv Sin 2 »,

Рис. 116.

Рис. 116.

S> (19.53) х cos 2» . I

*o + a6J

S> (19.53) х cos 2» . I

*o + a6J

Задаваясь численными значениями h, co, oo, а и интегрируя систему (19.53) численно, получаем кривые прохождения через параметрический резонанс, приведенные на рис. 117.

ГЛАВА IV

ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§ 20. Собственные одночастотные колебанияв системах со многими степенями свободы

Колебательные системы со многими степенями свободы, и даже с бесконечным их числом, постоянно встречаются во многих актуальных проблемах современной техники.

Как известно, даже в случае, если колебания в таких системах описываются дифференциальными уравнениями, близкими к линейным, то приложение обычных асимптотических методов нелинейной ■ механики, идея которых изложена нами выше, требует предварительного решения совокупности линейных дифференциальных уравнений с числом неизвестных пропорциональным числу степеней свободы, что создает значительные затруднения при практическом применении этих методов.

В колебательных системах со многими степенями свободы наличие неизбежного внутреннего трения, а также наличие внешних возмущающих сил приводят обычно к быстрому исчезновению высших частот, т. е. к установлению основного тона колебаний (или колебаний с какой-либо одной частотой шьУ Поэтому целесообразно при исследовании системы со многими степенями свободы рассматривать одночастотный режим, т. е. колебания системы, при которых все точки нашей системы совершают колебания с одной и той же частотой.

Как будет видно из дальнейшего, построение асимптотических разложений в этом случае может быть произведено так, как если бы мы имели дело с колебательной системой с одной степенью свободы.

Для рассмотрения общего случая предположим, что одночастотные колебания в системе со многими степенями свободы описываются следующей системой дифференциальных уравнений:

d$-i1Va = <^:.!(20.1)

'(А = 1, 2,..., н) ,

переходящей при нулевом значении малого параметра s в систему линейных дифференциальных уравнений:

(А = 1, 2,..., и)(20.2)

9 = 1

с постоянными коэффициентами. Систему дифференциальных уравнений

будем в дальнейшем называть дифференциальными уравнениями невозмущенной системы.

(20.3)(20.3)Предположим, что в невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с некоторой частотой <о:

(20.3)

(20.3)

жк = ауйе*(ш,+ *> + а<?к*е~*<ш<+°>(^ = 1, 2,..., и),

зависящие только от двух произвольных постоянных а, 6; здесь уй, <рк* — собственные функции, характеризующие форму колебания, а значок * указывает на переход к комплексно-сопряженной величине.

Предположим также, что в невозмущенной системе единственным статическим решением будет тривиальное решение: хк = 0 (&= 1, 2, ..., и) и что, кроме того, в ней невозможны незатухающие колебания с частотами кратными <о (условие отсутствия внутреннего резонанса).

При этих условиях будем искать решение невозмущенных уравнений (20.1), соответствующее одночастотному колебанию нашей системы со многими степенями свободы, с помощью разложений

хк = а<рке^ + а^е-Ч1 + ей™ (а, ф) + e2Wh’ (а, ф) + ... (20.4)

(А = 1, 2, ..., п\,

в которых и™ ^а, ф), и™ (а, ф), ... (Л=1, 2, ..., и) являются периодическими функциями угла ф с периодом 2ir, а величины а и ф как функции времени определяются дифференциальными уравнениями:

(20.5)(20.5)^г =вЛ1(а) + вМ2(а) + ... ,^ =ш + е81(а) + е2В2(а) +

(20.5)

(20.5)

Таким образом, как и в предыдущих случаях, мы здесь ставцм задачу определения функций

и™ (а, ф) г421 (а, ф) , ... (£ = 1,2,..», и),(20.6)

периодических, с периодом 2ir, по отношению к ф и функций

ЛДа), Л2(а), ...; BJa), В2 (а), ..,(20.7)

таким образом, чтобы выражения (20.4) удовлетворяли бы уравнениям (20.1) всякий раз, когда а и ф удовлетворяют уравнениям (20.5).

Заметим, что, поскольку интегрирование уравнений (20.5) вводит только две произвольные постоянные, мы получаем с помощью выражений (20.4) приближенное представление не для общего решения уравнений (20.1), которое должно зависеть от п произвольных постоянных, а лишь для двупараметрического семейства частных решений. Так как в нелинейных системах принцип суперпозиции не имеет места, то, исходя из различных частных решений, мы не можем непосредственно построить общее решение. Однако в ряде важных случаев двупараметрическое многообразие решений (20.4) обладает особым свойством сильной устойчивости, заключающимся в том, что любое решение уравнений (20.1) при начальных значениях, близких к начальным значениям нашего двупараметрического многообразия интегральных кривых (20.4), при увеличении t стремится к решениям, принадлежащим к семейству (20.4). Рассматрираемое многообразие как бы притягивает к себе все близкие к нему решения.

Собственно говоря, только в этих случаях исследование решений тина (20.4) и может представлять физический интерес. В дальнейшем в главе, посвященной математическому обоснованию, мы более подробно остановимся на указанном вопросе устойчивости многообразий типа (20.4) и на вопросе получения критериев, при выполнении которых представляет интерес рассмотрение двупараметрических семейств типа (20.4).

Прежде чем переходить к решению поставленной задачи — определению функций (20.6) и (20.7), сделаем некоторые предварительные замечания о свойствах колебаний в невозмущенной системе, описываемой уравнениями (20.2), которыми нам придется воспользоваться.

Заметим прежде всего, что для системы однородных алгебраических уравнений

2 (а^-^^о(20.8)

9 = 1

(А= 1, 2, ..., п),

где

если k = q ,hq 0, если кф q;

разрешающий определитель

7)(/,) = 7)||V-cmII(20.9)

в соответствии со сделанными предположениями о наличии в системе одночастотного колебательного режима имеет два простых сопряженных чисто мнимых корня р = + № и р = — io) и, кроме того, значения р = 0 и р= ± imxo (где т — любое целое число, отличное от единицы) не являются корнями уравнения /)(/>) = 0, т. е.

D (imw) Ф 0 ,(20.10)

где — оо < т < со, т ^ ± 1 .

Обозначим нетривиальные решения системы уравнений (20.8) для значений р = + io> и р = — iu> соответственно через tpk и tpft* (Д = 1, 2, ..., п).

Возьмем сопряженную с (20.8) систему алгебраических уравнений

2 ^р + с^х^О(20.11)

9 = 1

и обозначим ее нетривиальные решения для значений р= + io> и р= —io> соответственно через -у^ и /h* (А=1, 2, ..., п).

Введя эти обозначения, рассмотрим вынужденные колебания, вызываемые в невозмущенной системе (20.2) внешними гармоническими силами

Эти колебания описываются системой дифференциальных уравнений ^-^ЧА = Р^ .(20.12)

9=1

Как известно, в случае, если т — любое целое положительное или отрицательное число, отличное от ± 1, решения системы (20.12)

представляются формулой

п

(20.13)(20.13)Xh = eimtol 2 Zkq(im«>) Fq,

(20.13)

(20.13)

Q=1

Zhq (ima) =Zhq (ima) =Dkg (imw)D (iznro)Dkg (imw)D (iznro)

Zhq (ima) =

Zhq (ima) =

Dkg (imw)D (iznro)

Dkg (imw)D (iznro)

где Dhq (p) — соответствующие миноры определителя 1Цр\ Если тп=±1, то уравнения (20.12) не имеют, вообще говоря, периодического решения, поскольку D (i z"<o) = 0. Для того чтобы такое решение все же существовало, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Q=12 %g*Eg = 09=1Q=12 %g*Eg = 09=1для п = 1,для п = 1,для п = — 1.для п = — 1.(20.14)(20.14)

Q=1

2 %g*Eg = 0

9=1

Q=1

2 %g*Eg = 0

9=1

для п = 1,

для п = 1,

для п = — 1.

для п = — 1.

(20.14)

(20.14)

При выполнении этих условий вынужденное колебание, определяемое уравнениями (20.12) для щ=1, представляется формулой

в которой

хк = eitot

2V,+ C?ir- (*=1,2,. q=l

• , nY

(20.15)

8 Dkg Ср) Эр

(к, 5=1, 2, .. .

, и)

°kq "

ЭР (р)

др

р=?гш

и С — произвольная постоянная. Аналогичную формулу получаем и для п = — 1.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении периодического, с периодом — , решения системы дифференциальных уравнений

$- 2 Wg= 2 FTV^ (к = 1, 2, ... , и), (20.16) q=l(—оо<тп<оо)

е. задачу о нахождении вынужденного колебания в невозмущенной системе под действием сил

2(k=i, 2, . .. , п).

(—оо<тп<оо)

Поскольку нас интересуют, разумеется, лишь вещественные решения, мы будем предполагать выполненными условия вещественности

(20.17)(20.17)Ftm) = Fkm) (А=1, 2, ... , п).

(20.17)

(20.17)

Тогда на основании вышесказанного убеждаемся, что поставленная задача имеет решение только в случае, когда выполняются условия

2х^° = 0.(20.18)

9=19 = 1

Заметим, между прочим, что благодаря (20.17) одно из этих условий является следствием другого.

Если условие (20.18) выполняется, то искомое периодическое решение представляется следующей формулой:

4 =2^ | 2 z^ w + ^t 2 skQF^ +

( —oo<m<oo\I 1J

\ m=#±l).

+ e-^t 2 S^F^ + C^e^ + C*^-^(&=1, 2п), (20.19)

9=1

содержащей две произвольные постоянные — вещественную и мнимую части С.■

Заменяя в предыдущих выкладках mZ на ф, легко получить следующий результат, который нам понадобится в дальнейшем при определении функций (20.6)..

Для того чтобы система уравнений

Sv9 = 5 F^e^,(20.20)

■9=1(—оо<т<оо)

для которой выполняются условия вещественности (20.17), имела вещественное периодическое решение, с периодом 2л, необходимо и достаточно, чтобы

S^V’x^O.(20.21)

Если это условие выполнено, искомое решение имеет следующий вид:

=2f' ZM(iTnw)E'm)[ + eW j^

/ —зо<т<а>\1.9=1)9=1

(m^=±l )

+ e-™ 2 8^ F^A- C<pke^ + C*^e-^, (20.22)

9 = 1

где С — произвольная комплексная постоянная.

После этих предварительных замечаний приступим к решению нашей основной задачи, т. е. к нахождению функций (20.6) и (20.7).

Разложение (20.4) напишем в виде

хк = и1!?' (а, ф) + ги^ (а, ф) + ^ (а, ф) + • • •(Л = 1, 2и),(20.23)

где для сокращения положено

Uh^a, ф) = <ркае^+ ^ ае~{Ф (^=1, 2, >.. , и),(20.24)

Дифференцируя выражения (20.23) по времени и учитывая при этом уравнения (20.5), находим:

d$k _ Г°ик , dt t даd$k _ Г°ик , dt t да^1, .2^,1^.6 да~ даdtг ди£0)ди11)= 9™ «> + г |4-дф 11„ г дик0> dui0’+ ® {^дГ^г + ^ЩГ52^^1, .2^,1^.6 да~ даdtг ди£0)ди11)= 9™ «> + г |4-дф 11„ г дик0> dui0’+ ® {^дГ^г + ^ЩГ52^(к = 1, 2и),(к = 1, 2и),8ик’ ,1 йф_дф ' ‘ " J dt8ик> п 8икП 1"8^В1 + ‘°^г} +Sul1’ duln 5“ь2>1„да 1 дф 1 1 дф J8ик’ ,1 йф_дф ' ‘ " J dt8ик> п 8икП 1"8^В1 + ‘°^г} +Sul1’ duln 5“ь2>1„да 1 дф 1 1 дф J

d$k _ Г°ик , dt t да

d$k _ Г°ик , dt t да

^1, .2^,1^.

6 да~ даdt

г ди£0)ди11)

= 9™ «> + г |4-

дф 11

„ г дик0> dui0’

+ ® {^дГ^г + ^ЩГ52^

^1, .2^,1^.

6 да~ даdt

г ди£0)ди11)

= 9™ «> + г |4-

дф 11

„ г дик0> dui0’

+ ® {^дГ^г + ^ЩГ52^

(к = 1, 2и),

(к = 1, 2и),

8ик’ ,1 йф_

дф ' ‘ " J dt

8ик> п 8икП 1

"8^В1 + ‘°^г} +

Sul1’ duln 5“ь2>1„

да 1 дф 1 1 дф J

8ик’ ,1 йф_

дф ' ‘ " J dt

8ик> п 8икП 1

"8^В1 + ‘°^г} +

Sul1’ duln 5“ь2>1„

да 1 дф 1 1 дф J

и поэтому Левыеи поэтому Левыечасти уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:части уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:q= 1q= 1Г^пI афГ^пI аф^kq^q9=1^kq^q9=1ЭиУ» диК»да 1 + ЭфЭиУ» диК»да 1 + Эф(О(Оа^Эфа^Эф2 V- q=l2 V- q=l„ ди^ dul0’ ди™(к = 1, 2, . .. , п).„ ди^ dul0’ ди™(к = 1, 2, . .. , п).афаф

и поэтому Левые

и поэтому Левые

части уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:

части уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:

q= 1

q= 1

Г^п

I аф

Г^п

I аф

^kq^q

9=1

^kq^q

9=1

ЭиУ» диК»да 1 + Эф

ЭиУ» диК»да 1 + Эф

(О

(О

а^Эф

а^Эф

2 V- q=l

2 V- q=l

„ ди^ dul0’ ди™

(к = 1, 2, . .. , п).

„ ди^ dul0’ ди™

(к = 1, 2, . .. , п).

аф

аф

Подставляя (20.23) в правые части уравнений (20.1), можем их записать следующим образом:■

еДп (ж,, . ., , Жп) + е2/^ (а^, . . . , х^ + е3 . . . = е/£п (иТ, ... , и”») +

+ е3 {^ А”' (и)0', . . . , и^) н'1' + А2' (и)0', . . . , н^)} + е3 • • -

(к = 1, 2, ... , п).

Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях е в последних двух выражениях, получим:

duO' —ди^ dul01■

Ш^2, и^-^А.-^В.,(20.25)

ш< - 2= 2 С - о+

q = lг=1

дul>^', duL11 dul01 dul01

+ /V’ №^) --ЭТА1- < Вх--£гАг-^Вй, (20.26)

(к = 1, 2, ... , п).

Из полученных систем уравнений (20.25), (20.26) и т. д. мы последовательно можем определить искомые функции и’ьЧа, Ф), ui?4ai Ф)> ••• (Л=1, 2, ... , п), а также функции й1(а), 51(<z), А2(а), В2(а), ... , причем последние должны быть определены так, чтобы функции «^'(а,^), u’h1 (а, ф), ... , (Л=1, 2, .. . , п) были периодическими по ф с периодом 2 it.

Приступая к решению системы уравнений (20.25), рассмотрим разложения Фурье для функций /й11 (и)0', . . . , tin1) (к= 1, 2, . . . , п) в комплексной форме:

fkn $., , и^=2Ф^0)(а)е<"*Ф (Л=1, 2,, п),

(—оо<т<оо)

где

2 к

Ф ^т> (О = i \ th1 №\ • ^ - ^0)) е-1тФ d^

Тогда систему уравнений (20.25), учитывая также ■ обозначения (20.24), можем представить в виде

"зф— 2и™ =2(а)+

q —1( —oo<m<co\

V 7П^±1 }

+ {Фк1* (а) - А1% - 1В^ е*ф + {ФГ’ (а) - Atf + Ш^к а} е"4Ф (20.27) (А= 1, 2, .. . , пУ

Мы получили тем самым уравнения типа (20.20). Поэтому, для того чтобы из системы (20.27) можно было бы определить искомые функции и™ (а, ф) (к = 1, 2, ... , п), периодические по ф, должно выполняться условие, аналогичное условию (20.21), т. е.

2 X, W (а) - Л?, - iB^ = 0, . 9=1

откуда находим выражения для Лх(а) и Вх(а):

■2 Хдф9П (а)

A1(ayyiaB1(a) = ^-^.(20.28)

2 Xg®g•

9=1

Решая теперь уравнения (20.27), получаем в соответствии с (20.22) следующее выражение для функций икЦа, ф):

41’ (а, ф) =2 е-ф { 2 Zkq (im^ ФГ> (а)} +

( т^±1)

+ е‘Ф 25йд{Ф‘1>(а)-(^1(а) + 1аВ1(а)) ъД + е-Ф £ 8^(а) -

9=19=1

- (А (а) - ia Вх (а)) Ф;} + Сх (а) ?ке<Ф + С* (а) ?£е-«Ф(20.29)

(^ = 1, 2, ... , пу

содержащее две произвольные функции — вещественную и мнимую части £х(а), не зависящие от ф.

Чтобы несколько упростить это выражение, заметим, что по определению миноров Dkq (р) имеем тождественно:

(20.30)(20.30)PShg(P)-2 C^DrqkP^KqDkPYr=l

(20.30)

(20.30)

PDhq (?) - 2 crq nhr (p) = aftg d (Pyr=l

где.

fl, k = q,^hQ i 0, к Ф q. .

Полагая в (20.30) p = iw, видим, что при любом фиксированном q величины xh = Dhq (iw) удовлетворяют уравнениям (20.8) и, следовательно, должны быть пропорциональны ^к. Аналогично при любом фиксированном к Dkq (icu) должны быть пропорциональны yQ.

Таким образом, имеем:

DhqW = \№(20.31)

Дифференцируя (20.30) по р и затем полагая р = та, получим в силу (20.31):

NhXq + iwDkq (Z<O) - 2 ChT D^ (» = \q D' (to),r=l

или, учитывая ранее введенные обозначения,

Таким образом, при любом фиксированном q величины ук = Skq удоТаким образом, при любом фиксированном q величины ук = Skq удо(20.32)(20.32)(20.33)(20.33)Р^ш) itoShq 2 Chr Srq — 4q

Таким образом, при любом фиксированном q величины ук = Skq удо

Таким образом, при любом фиксированном q величины ук = Skq удо

(20.32)

(20.32)

(20.33)

(20.33)

г—1

Поэтому

к=1

влетворяют уравнениям:

откуда

Xi и v

/I М = —у k=l

поскольку корень р = та уравнения D(/j)=0 является простым.

Следовательно, видим, что знаменатель в формуле (20.28) всегда отличен от нуля.

Умножим теперь обе части (20.32) на <р5 и просуммируем результат по q. Так как согласно (20.33)

2 Xai№qU

± о,

Th.В (i<o)

то будем иметь:

(2 ^^J-S скт 2 Srq<pq = O,(20.34)

q = lr = lq=l

и поэтому

2 Skq^q^^k» «—.const (^=1, 2, .П).

Принимая во внимание полученные равенства и вводя вместо Сг (а) новую произвольную функцию

К (а) = Сг (а) — а [Лх (а) + ia Вх (а)],

мы можем представить (20.29) в следующем виде:

«^’(<1, Ф) =26^ ! 2 Zhq^^^q*11^ +

/ — cc<m<ccig = l

( т^±1)

+ ^{2 ^Ф^’(«) + ^(«)%} + ^Н2 А^Ф^’^ + Х*^)^} (20.35)

(А = 1, 2га).

Заметим, далее, что так как значения р = j^iw являются простыми корнями уравнения D (д) = 0, то они будут простыми полюсами функций

и поэтому на основании (20.31) можем написать:

Z»W= 27(^5^)+wSM^ <20'36>

где Z*(1(p) является регулярной функцией в окрестности точек р=^№. Поскольку по определению

п Dhq (1®)М- D* (i<o) ’

то мы видим, что Skq будет значением регулярной части Zkq (р) в точке полюса д = №>:

+t20-37*

Аналогично S*g будет значением соответствующей регулярной части Zkq в точке полюса р = — iw.

<20-38>

В полученном нами выражении для функций и^ (а, ф) (А = 1,2га) (20.35) содержатся две произвольные функции — действительная и мнимая части К^ау Для определения этих функций мы можем, как делали это ранее, наложить дополнительное требование, заключающееся в том, чтобы каждая из га функций и^ (а, ф) не содержала основной гармоники, так как подобное требование привело бы к 2га условиям.

В рассматриваемом случае воспользуемся следующим приемом.

Возьмем какие-либо постоянные gxg^ и образуем линейную комбинацию:

£1И1П(а, ф)+ ... + g^4a- Ф)-(20.39)

Потребуем, чтобы в разложении Фурье для функции (20.39) отсутствовал член с е^. Для этого необходимо, чтобы имело место следующее соотношение:

^ [^и)1’(а, ф)+ ••• A-g^ (а, ф)] е—^фс?ф =0.(20.40)

б

Подставляя в (20.40) значения ик' (а, ф) (А=1, 2га) (20.35), получаем одно линейное уравнение, из которого можем определить К (а).

В частности, если в качестве gv . .. , gn взяты вещественные величины, условие (20.40) будет эквивалентно условию отсутствия основной гармоники у функции (20.39).

Найдя, таким образом, вещественную и мнимую части К (а) и определив тем самым, согласно (20.35), вид функций и™ (а, ф) (А = 1, 2, ..., п), перейдем к решению уравнений (20.26).

Как и в предыдущем случае, для того, чтобы эти уравнения обладали периодическим решением по ф с периодом 2л, необходимо, чтобы выполнялось условие типа (20.21), т. е. чтобы

п 2тс п

2 хк ^ {2 С^0’—w-hw, ...^п- h=10г=1

дадаААдиУди^дфдадиУди^дфдади^дфди^дф

да

да

А

А

диУди^

дфда

диУди^

дфда

ди^дф

ди^дф

Это условие дает нам возможность определить функции А2 (а) и 52 (а):

А2 (а) + 1аВ2 (а) =

-2 »Г{ 2 /ЯГ <.<,"> «'M^W «^-Тл,-?^ h=l 0г=1

2« 2 »(20.41)

h=i

Приняв это выражение для А2(а) и В2(а), мы можем найти из (20.26) периодические функции иь2)(а, ф) (А=1,2, . ..,п).

Таким образом, мы можем теперь построить приближенные решения системы уравнений (20.1), соответствующие одночастотному колебательному режиму.

В первом приближении имеем:

хк = ^ае1* + <phae—^’1,(А=1,2, . ,.,п),(20.42)

(20.43)(20.43)где <рк, <р£(к = 1, 2, ..., п) — нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений (20.8), в которых положено соответственно р = йо и р = — гш;' а и ф — функции времени, определяемые уравнениями

(20.43)

(20.43)

5 =(0+85, (а),

в которых Л, (а) и 5, (а) находятся из (20.28).

Во втором приближении имеем: жк = <ркае5ф +<р£ае-м' +еикп(а, ф) (А=1,2п),(20.44)

где и™ (а, ф) определяются согласно формуле (20135) а а и ф — функции времени, определяемые из уравнений:

(20.45)(20.45)=eA(a)+eM2(a),

(20.45)

(20.45)

$ = ш + е51(а)+ е»В2 (а),

в которых Л1(а) и 51(а) определяются выражением (20.28), а Л2 (а) и В2(а) выражением (20.41).

Резюмируя полученный результат, укажем сейчас формальный прием, с помощью которого можно построить первое и второе приближение для решений системы (20.1), соответствующих одночастотному колебательному процессу, зависящих от двух произвольных постоянных.

Прежде всего необходимо выделить невозмущенную линейную систему и убедиться, что в ней возможны гармонические собственные колебания с некоторой частотой <о. Затем следует проверить, что собственные колебания с этой частотой зависят лишь от двух произвольных постоянных а и 6:

жь = фк«е* <ш,+й> + ф^ге™1(А=1,2и),(20.46)

и что в невозмущенной системе (г = 0) невозможны собственные незатухающие колебания ни на обертонах ю, пи на «нулевой гармонике» (условие отсутствия «статических» решений, отличных от тривиального).

Далее рассматриваем вынужденные колебания

•4= 2 Zkr(za)Freia<,

Г=1

возбуждаемые в невозмущенной системе приложенными силами FTeiat, и находим условие конечности вынужденных колебаний при a = w:

2хЛ = о.

h- 1

Тогда в качестве первого приближения может быть использовано выражение (20.46), в котором а и ф = о>£-|-9 являются функциями времени, определяемыми уравнениями первого приближения (20.43). Функции ИДа) и 51(а), входящие в эти уравнения, находим, подставляя (20.46) в «уравнение гармонического баланса»:

5 2 xh {- 2 Wr --

О Л=1г—1

- ^Г (^iО - • • •} „=^ (а, ^-^ = 0.(20.47)

При такой подстановке дифференцирование совершаем с учетом уравнений (20.43) и отбрасываем члены порядка малости выше первого.

Нетрудно проверить, что мы получим для ЛДл) и УДа) выражения, аналогичные тем, которые получаем согласно формуле (20.28).

Для построения второго приближения рассмотрим главные члены возмущающих сил

гД1’^, ...,хп) (А=1, 2,

подставим в них значения жгжп согласно формулам первого приближения (20.46) и разложим результат в ряд Фурье:

2еФ^1)(а)е™(“'+е).(20.48)

(—со<т<со)

Считая здесь а и 6 постоянными, рассмотрим регуляризированное вынужденное колебание

_ ,/>гт (tot + О) f П , .л

(—со<т<со\г=1

( т^±1 . )

+ ei ^+ о) | ^ ^r^r1’ (а)} + е^ <“(+°> { 2 ^ФГ1’ (а)}(20.49)

Г—1Г=1

(к = 1, 2, ..., и),

возбуждаемое в невозмущенной системе приложенными силами (20.48). Мы говорим о «регуляризированном» вынужденном колебании, подразумевая, что в гармонических компонентах вынужденного колебания, возбужденных «резонирующими членами»,

еФд'е1 (“(+9),вф^’е-* (ш/+в)

из множителей ZkT (р) удалены их особенности

D' (ie>) (р—io>)

для р = iw и

Х*Чк#-*

D' (— io>) (р+ iw)

ДЛЯ р = — V»-

Введем, далее, две произвольные вещественные функции К^ (а) и К2 (а) (К(а) = К1(а) + 1К2(а)), после чего в качестве второго приближения берем выражения вида

хк = ^ае1 <“(+в) 4- у^ае-* <ш(+6) -|- е<ркК (а) е1 <ш<+°) -|-

4- г$К* (а) е-1 <“'+9> 4- ги^ (a, wt 4- 6)(20.50)

(к = 1, 2, ..., п), в которых

К (а) = КА (а) 4- iK2 (а), К* (а) = Кг (а) — 1К2 (а).

Выражения (20.50), очевидно, могут быть интерпретированы как сумма собственных колебаний и регуляризированных вынужденных колебаний.

Чтобы определить функции еЛ1 (а) 4" е2 Л2 (а) и е^ (а) 4-e2S2 (а), стоящие в правых частях уравнений второго приближения (20.45), подставляем значения xk (к= 1, 2, ..., п) согласно формулам (20.50) в «уравнение гармонического баланса» (20.47), причем при дифференцировании учитываем уравнения второго приближения (20.45) и вычисления ведем с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Простая проверка убеждает нас в том, что изложенный формальный прием приводит к тем же результатам, что и разработанная выше теория асимптотических разложений.

§ 21. Собственные одночастотные колебания в системах со многимистепенями свободы, описываемые системой дифференциальныхуравнений второго порядка

Часто при исследовании колебательных систем со многими степенями свободы удобнее рассматривать систему TV дифференциальных уравнений второго порядка, где N — число степеней свободы.

Мы рассмотрим частный случай, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.

Для исследования этого частного случая воспользуемся результатами, установленными в предыдущем параграфе. Как известно, в этом случае невозмущенная система полностью характеризуется кинетической энергией

N

Т= | 2 arsqrqs(21.1)

Г, 8=1 и потенциальной энергией

N

УЦр„№(21.2)

Г, 3=1

где 7s(s = 1,2, ..., TV) — обобщенные координаты и ars, crs — соответственно инерционные и квазиупругие коэффициенты, причем aTS = asr, ^TS ^зт'

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии (21.1) и (21.2) в уравнения Лагранжа, мы получаем дифференциальные уравнения невозмущенного движения в виде

N

2^,9,+ ^9,1 = О (г =1,2, ...,^).(21.3)

8=1

Предполагая, что возмущение определяется малыми обобщенными силами вида

<?r(9v ...,qN, qv...,qN, s) =

= s^n (qv ...,qN,qv ■•• •, Qn) + eVrM (9v • • •’ 9n, qv • • •, 9a) + sS. • • (21.4)

(r= 1, 2, .. .. N),

приходим к задаче исследования следующих дифференциальных уравнений:

N

2 («гз9з + Сг^ =

8—1

= sQr14qv --^qN, qv •••, 9jv)+s2<2r2’(91, • • •, qN, qv • • •, 9a)+®3 • •• (21.5)

(r = l, 2, .... N),

которые при e = 0 вырождаются в уравнения (21.3).

Прежде чем переходить к применению результатов предыдущего параграфа к исследованию системы уравнений (21.5), остановимся на некоторых свойствах решений системы невозмущенных уравнений (21.3).

Как известно, частные решения невозмущенной системы (21.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями:

qs = ^W ^t+9) + ^’ае^ ^w»(s, / = 1, 2TV)или в вещественной форме

4s = ^^ cos (“V + ®) (s,/=1>2N),(21.6)

где u>y(/=l,2, ..., N) — собственные частоты, определяемые характеристическим уравнением

Z)||-arX + crs|| = 0-(21.7)

ср^ ($, j = 1, 2, . .., N) — нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений

5 {-ars«>,? + crs}^'> = 0(г,/= 1,2, e..,N),(21.8)

8=1

обладающие свойством ортогональности

^^ = 0,

(21-9)

2 сгз<Рг М0 = 0 (/>/), Г, 8=1

а а и 9 — вещественные произвольные постоянные.

Заметим далее, что вынужденные колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (21.3) гармоническими обобщенными силами

QT = Ет cos (at + &) (г = 1, 2, ..., TV), определяются выражениями:

qs = us cos (at + ft) (s=l, 2N),

Постоянные амплитуды ит (г = 1, 2, . .., N) удовлетворяют системе неоднородных алгебраических уравнений

2 {-arsa2+crs}ns=Er (г = 1,2N),(21.10)

8=1

для решения которой воспользуемся нормальными координатами. Будем искать выражение для ws(s = l, 2N) в виде сумм

^ = ^е/(s=l,2N),(21.11)

где с, — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя (21.11) в систему уравнений (21.10) и учитывая, что

^Цз, /=1, 2N) удовлетворяют системам однородных алгебраических уравнений (21.8), получим:

^ ^ аТз^-^с^=Ег (г = 1, 2, . . ., TV). (21.12) 3 = 1 S=1

Умножая эти уравнения соответственно на ^Д <p23’i), ..., ^i* и суммируя результат по т, находим:

ANN

2 с>'Р-а2} 2 «^№ = 2(21.13)

3=18, Г—1Г=1

Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и вводя обозначения

2 arsAsj, = ^ (/=1, 2, ...,У),(21.14)

Г, S=1

находим:

А 2 Ет^

2Г (s=l, 2, ...,У).(21.15)

rs m;W— а2)'''

3=1

Таким образом, условие конечности вынужденных колебаний в случае, когда частота внешней силы а равна одной из собственных частот, например о^, будет иметь вид:

2 адп = о.(21.16)

г=1

При выполнении этого условия амплитуды вынужденных колебаний определяются формулой

А '

-2 ''.=?

+ W-V).(21.17)

3=23

где С — произвольная постоянная.

После сделанных кратких замечаний о собственных и вынужденных колебаниях в невозмущенной системе (21.3) перейдем к исследованию системы возмущенных уравнений (21.5).

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим задачу о построении асимптотических приближенных формул для частных решений, соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при малых е) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (21.6), например к нормальному колебанию

qs = tp^'a cos(о^г-|-0) (s = l,2, .. .,У)(21.18)

с частотой о),.

Чтобы удовлетворить условиям применимости метода, изложенного в предыдущем параграфе, необходимо сделать следующие допущения:

В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой ю1, зависящие только от двух произвольных постоянных.

Единственным решением, соответствующим равновесию в невозмущенной системе, является тривиальное решение

91=^2 = ••• = 9а = 0.

Частота <ох, а также ни один из ее обертонов 2m L, Зш^, ..., Лл^, .. . не равны какой-либо собственной частоте о>2, . ...ш^ невозмущенной системы (отсутствует внутренний резонанс).

При этих условиях мы можем применить наш метод и построить асимптотические разложения•

qs = ^а cos (а>^4-6) 4-еМдП (<z, 047 4- 6)4-e2Hs2> (а, 0)^4- 0) + $3- • • (21.19)

(s=l, 2, ..., N\

в которых а и ф = со^ 4-6 определяются дифференциальными уравнениями вида:

(21.20)(21.20)^■ = еЛ(а)4-еМ2(«) + е3

(21.20)

(21.20)

} = М14-еВИа) + е2В2(а) + г3 ...

Функции и,™^, (о^ + 6),Ms2'(«, “Д + 6), . . . (s = 1, 2, . . . , TV);

^(a), Л2(а), .. .; S1(a), B2(a), ..., стоящие в правых частях выражений (21.19) и уравнений (21.15), могут быть определены совершенно так же, как и в предыдущем параграфе. Однако нетрудно убедиться, что первые члены разложений (21.19) и (21.20), необходимые для построения решений в первом и во втором приближении, могут быть найдены с помощью формального приема, сформулированного в предыдущем параграфе.

Выведем вначале формулы для первого приближения. Как и в предыдущем параграфе, в качестве первого приближения принимаем выражения qs = tp^’a cos ф (s — 1, 2, ..., TV),(21.21)

(21.22)(21.22)в которых амплитуда а и полная фаза ф определяются уравнениями:

(21.22)

(21.22)

^ = со1 4-еВ1 (а).

Здесь функции ^ (а) и ВДа) можем найти, подставляя (21.21) в уравнения гармонического баланса:

2{ 2 1ат^ + стД^ ~ (Qv •••.Qs- <7i,, q^ -

0 r=l s=l

(21.23)(21.23)- 6W kqv • • •, qs. qv • • •, 4v) - • • • } cos Ф ^Ф = °>

(21.23)

(21.23)

5 2 Vr11 {2 ^s + crSq^-sQVu(<7i, • • •, qN> qv • ••,qN)- 0 r=l s= 1

~^Q?4qv --.qs. qvзтф </ф = о,

причем при подстановке ограничиваемся только членами первого порядка малости включительно.

Найдем явные выражения для ^i(<z) и В^^а). Дифференцируя (21.21), учитывая при этом уравнения (21.22), находим с точностью до величин первого порядка малости:

(21.24)(21.24)qs = ^s1* [s cos фЛ1 (a) — aw x sin ф — eaa)1 sin фВ1 (a)], qs = yjn [ — e2co х sin фЛ1 (a) — aco2 cos ф — e2aa)1 cos фВ1 (a)] (s=l, 2, TV).

(21.24)

(21.24)

Подставляя (21.21) и (21.24) в выражения (21.23), находим с той же степенью точности: 2л АА

^ 2 р?’ | 2 P^’t — ат» (au)icos Ф + ^“i® cos ^Bt (а) + 2еа>1 sin ф^ (а)) + 0 Г=18—1

+ crsa cos ф]—г^Чр^’а cos ф, ..., — р^аа^ sin ф, . ..) | созфс?ф = 0,

2т. NN

^ 2 ^г1’ { 2 Ф^1’ [ — arS (au)icos Ф + 2nu)1s cos фВх (а) + 2s<d1 sin ф^ (а)) +

О Г=18—1

+ сТ8а cos ф] — е^1’ (р^’а cos ф, ..., — р^’аа)! sin ф, ...,) I sin ф d^ = 0.

Меняя порядок суммирования и интегрирования, полагая при интегрировании по ф, что а—постоянная и учитывая, что 2л2л2х

^ cos2 ф с?ф = it, ^ sin ф cos ф с?ф = 0,^ sin2 ф с?ф = тс,

"ооо

получим:

NN

Заш^гВ^а) 2 P^’Ps1’^ - атс 2 (crS-“^DPs'Рг1^

Г, 8=1Г,8=1

2л N

= — s ^ 2 Pr1’^1’ (р^’а cos ф, . .., — p'^aoij 81пф, .. .) cos ф d^, 0 г=1

N

Зю^зЛ^а) 2 ?№о„ =

Т, 8=1 2л N = — S 2 ?г1>^г1> (pl1’^ cos ф, . .., — p^’Oto! sin фп ...)з1пфс?ф. О г=1

Учитывая, что

NN

2 “rsPr^Ps1’ = mv 2 (^-«гз^Рз'^О,

Г, 8=15=1

окончательно получаем следующие формулы:

2л N ^1(а)=-^^^ 2 ^’^‘(р'/’асозф, ...

О г=1

...)зшф^ф, 2„ АГ

еВ1 ^ = - 20,,^,» S 2 'Рг1)^1> (Р1па СОЗ ф, . ..

О г=1

..., — p^’aMj sin ф,.. .) cos ф с?ф. j

Заметим теперь, что формулы (21.25) можно получить гораздо проще, проведя аналогию с результатами первого параграфа для системы с одной степенью свободы.

Действительно, на основании (21.7) и (21.14), можем написать:

N

т, s—1

Полагая ж = псо8ф, вместо (21.23) получаем следующие уравнения гармонического баланса:

N

— е 2 (Рг1’<?г1’ (ф^’ж, . • ., <р™ж, у™ж, . . ., <р™ж)} cos ф <7ф = О,

N

— s ^ у™*?)1’ (^(“ж, . . ., р'у'ж, у^'ж, . . ., уту’ж) j- sin ф о!ф = 0.

Отсюда совершенно очевидно, что уравнения первого приближения (21.22) должны оказаться теми же, что и для системы с одной степенью свободы с массой т1, упругостью т^, находящейся под воздействием возмущающей силы:

N

5 S Уг1’^)1’ (^’ж, ..., у^’ж, <р™ж, ..., <р^’ж).(21.27)

Г=1

Поэтому, воспользовавшись формулами (1.27), выведенными для случая системы с одной степенью свободы и подставляя в них вместо /(псозф, — шо sin ф) выражение (21.27), мы сразу находим формулы (21.25).

Остановимся еще на простой энергетической интерпретации полученных формул (21.25).

Рассмотрим для этого выражение виртуальной работы оРК, которую совершили бы возмущающие обобщенные силы

Qr11 (?1, . ■ ■, qN, <?i, • • •, q^ (г = 1, 2, ..., TV) в режиме синусоидальных колебаний

qs = ^а cos ф, q5 — — a^tp^’a sin ф,

на виртуальных перемещениях

ogs =<р™ cos фон — (p”’a sin фоф, соответствующих вариациям амплитуды и полной фазы нормального колебания. Имеем с принятой степенью точности, т. е. с точностью до величин первого порядка малости включительно:

N

ЗРК = е ^ (?гП (?™« cos ф, .. ., — «p^’auij sin ф, ...) X

1

Возьмем среднее значение этой работы за полный цикл колебания;

271

8Й" = А 8^^ф.(21.29)

о

Тогда, сопоставляя (21.28), (21.29) с (21.25), можем написать;

oW = — т1ш1агВ1 (а) За + mxw1a$A1 (а) 8ф.

Обозначим символами

6Ж ОТ6а ’ 6ф

коэффициенты при вариациях За и оф в выражении для бЖ .

Тогда будем иметь:

e^(a) = -^^, еВ1(а) =—(21.30)

и поэтому уравнения первого приближения можно представить в виде

da 16Ж

dtт1<о1а 6ф ’

(21.31)(21.31)dФ1 ОТ

(21.31)

(21.31)

= Шл;—

dt 1тхи>ха 6а

Итак, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно определить только среднюю величину виртуальной работы за цикл колебания, которую совершили бы возмущающие силы в режиме синусоидальных колебаний на виртуальных перемещениях, соответствующих вариации их амплитуды а и фазы ф.

Перейдем теперь к построению решений для уравнений (21.5) во втором приближении.

Для этого рассмотрим вначале, с точностью до величин первого порядка малости, вынужденные колебания, которые возбуждались бы в невозмущенной системе (21.3) обобщенными силами

QT (4i, • • •, 4n, 4i, • • •, 9х) (г = 1, 2, ..., 2V),

если бы в них qx, ..., qN, qv ..., qN были бы синусоидальные:

qs = ^'Vz cos (<!>!< + 6), qs = — ^’ашх sin (ш1< + 6) (s = l, 2, . ,.,N). Заметим, что тогда

QA4i, --^Qn, 4i, ■ --A; s) =

= e^r1’ (^^’a cos ф, . .., — ^’a^j sin ф, . ..,) 4-s2 . . . (r = 1, 2, . . .,

Разложим s^r1’(^’a cos ф, . .., — ^’aoij sin ф, . ..) в ряд Фурье;

e^r1' (?)1>а cos ф, . . ., — ^’aa^ sin ф, .. .) = e/)0> (a) +

+ г 2 {/^ (a) cos к (wxt + 0) + gW (a) sin к (co^ + 6)} h=l

■(r = 1, 2, . .., vV),

где

2л

fA (д) = -L ^ (^ («р^’д cos ф, .— ^‘“даз^тф, ...) cos Аф йф,

о

2л

gW (а) = — ^ <2гп («р^’л cos ф, .— р^’дт, sin ф, .. .) sin Аф йф

о

(г=1, 2, N; £ = О, 1, 2,

Каждая из компонент этого рода с частотой Л:<о1 (к = 0,2,3 ...) в соответствии с (21.15) возбуждает вынужденное колебание

N

N 5 ^ (°) cos к W + 8) + в™ (°) sin/c (ю^ + й)}^’

(<U?А?2О>5) 3-1

(к = 2, 3, ...),

N

N 2

=—— * = о

‘s т,чо; ’з=13

(s=l, 2, N\

У гармоники с частотой <о1 учтем в сумме (21.10) только члены, соответствующие возбуждению высших нормальных координат:

N

N 2 «А <°) C0S (®1г + 0) + 41’ (а) sin (*°lt + б}^’

е У ф(3) Г^1 ‘ sту (<о? — «>^)

(s = 1, 2, . .., N).

Таким образом, получаем «регуляризированное» вынужденное колебание, возбуждаемое в невозмущенной системе обобщенными силами QA4v ■••Лм, 9i, Чк, s) (r=1, 2,^), в которых qs, g3(s=l, ..., У)

синусоидальны, в следующем виде (с точностью до величин первого порядка малости включительно):

N 2 fr^ (°) Yr^

г^> (д, Ю1< + 6) = г у ?^) ^—,+

N

N 2 Vr11 (а) cos (“1* + Q) + grn (а) sin (®if + Q)} Vr’

+ ® 2 ^3>my(«>? —о>2)~

3=2

N

оо N 2 Vrh) (а) cos *(“1«+ 8) + ^h) (<z) sin к (to^ + Q)} ф(.5)

+ S 24?>ti^FW<21'32)

h=2 3=l

(s=l, 2, ..., Ny

Складывая эти выражения с первым приближением, получаем решения уравнений (21.5) во втором приближении:

'q8 = tp‘naсовф + ем"’(а, ф)(21.33)

(s=l, 2, ,>., N\

Как и в предыдущем параграфе можно было бы добавить сюда члены типа в {Сд (a) cos ф + С2 (a) sin ф} уг1’ > содержащие две функции Сг (а) и С2(а\ Но поскольку их выбор произволен, то для получения более простых формул положим Ст (а) = С2 (а) = 0 и будем в дальнейшем оперировать с выражениями (21.33).

(21.34)(21.34)Для того чтобы выражения (21.33) давали в действительности второе приближение, в них а и ф должны быть функциями времени, определяемыми из уравнений второго приближения:

(21.34)

(21.34)

4г = “1 + sBi W + ®2В2 (а) •

Входящие сюда функции А2 (а) и В2 (а) могут быть найдены с помощью подстановки второго приближения (21.33) в уравнения гармонического баланса (21.23). При этом дифференцирование по времени должно быть выполнено с учетом уравнений (21.34) так, чтобы производные по t не фигурировали под знаком интеграла, а интегрирование по ф должно совершаться, как если бы а было постоянным параметром и все вычисления велись бы с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Заметим теперь, что в формулах (21.32) гармоники первого порядка cos ф и sin ф входят только в члены, пропорциональные уг’, ?г3), ••• ..., yW (/’ = 1,2, ...,NY и что имеют место соотношения:

2 ^s?"’?'’= О,2 =^^ = 0

Г, S=1Г, 8=1

(/ = 2, 3, ...,2V).

Поэтому выражения

Поскольку выражение

(21.36)(21.36)Г d^X 2 \+ш1ж;

(21.36)

(21.36)

состоит лишь из первой гармоники по отношению к ф, то уравнения (21.35) эквивалентны уравнению, выражающему равенство выражения (21.36) первой гармонике суммы:

2 ^’(г^С^Ч-гц)1’, . . J+s2^2’^1^, ...)). Г=1

Обозначим первую гармонику какой-либо периодической функции /'’(ф) через /7,{F):■

2тс2тс

Нх {^} — cos ф 2- ^ F (ф) cos ф с?ф + sin ф 2- ^ F (ф) sin ф с?ф.оо

Тогда уравнение, эквивалентное выражениям (21.35), можем написать в следующем виде:

N

'Ч^+^И.^ ^^(^Ч-^1’, ...) + ^2,№, •••)]}• г—1

(21.37)

Разумеется, что это уравнение должно удовлетворяться лишь с точностью до величин второго порядка малости включительно, причем в выражениях обобщенных сил qT и дг(г=1, 2, ...,N^ должны быть заменены согласно формулам (21.33) с учетом уравнений (21.34).

Заметим теперь, что так как ж=асо8ф, то мы можем написать: d^x

+ ш2ж = s { — 20)41 sin ф — 2(o1aS1 cos ф} +

т е2 { ^1 ^ — аВ\ - 2шхаВ„ J cos ф — (^ 2о>42 + 2^4 + Л1 ^ а ^) s in ф |.

(21.38)

Разлагая правую часть уравнения (21.37) по степеням г и удерживая лишь первые два члена, находим:.

Ну { k' ^Qr (9i, • • •, 9х, 91, • • ■, 9х, е)} =

Г=1

= ^sLx (а) + г2В2 (а)} cos ф + {$Л/1 (а) 4- ^М^ (а)} sin ф. (21.39)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и одинаковых степенях г в правых частях выражений (21.38) и (21.39), находим:

Аг (а) = -, Вх (а) = - ЬМ(21.40)

1 х 7’1X72<о1/?г1а ’х '

а также

д ^*1 (°) By (а)^(а) dBx (а) АМа)■

2Ш12®i da 2(0] тх ’^

RВХ(а) Ах (a) dА, (а)£2 (а)I

220»!2<о1а da Zfo^m^a *■

Нетрудно убедиться, что формулы (21.40) дают для Л1(а) и В1(а) те же выражения, что и ранее полученные формулы (21.25).

Итак, уравнения второго приближения могут быть написаны в следующей форме:

da zM, (а)-\-г2М.2 (а) еМ, (а) By (а) s2Ay (a) dBx (а)>

dt2шуту®i2®j da ’ I

^L=0) A W + =2L2 (a) s2B2 (a) AM dAy (a)'

di 1ZtoyWya2®!' 2®xa da "/

Заметим теперь, что с точки зрения обычной теории малых колебаний, сумма

2 «г

Г=1

представляет собой обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату.

Таким образом, чтобы написать уравнения второго приближения в явной форме, достаточно уметь подсчитать первую гармонику этой обобщенной силы с учетом членов не выше второго порядка малости.

Рассмотрим частный случай стационарных одночастотных колебаний с постоянной амплитудой. В этом случае фаза ф вращается равномерно с некоторой угловой скоростью <и1(а):

ф = <о1 (a)Z + 6 , 0 = const.

Из (21.42) имеем:

eZj (а) + е2£2 (а)_2В1(«) , „2 4(e) <Мг(е)

toi I = <».■е —р о —;

хх2ч>уШуа2®х2®ха аа

а также

Му (а) + еМг (а) + е2т1Л1(а)В1 (а) + г2«г1Л1 (а) —5^- а = 0 ,

или у^ (а) + гЛ2 (а) = 0 .

Последнее равенство показывает, что Му(а) и Л1(а) будут величинами первого порядка малости, и потому с той же степенью точности можем написать:

еМу (а) + г^М^ (а) = 0(21.43)

и

или, учитывая (21.40),

, хsLy (а) е2 / Ly (а) Л2 г2/^о(а)

хх ZtoyiTiya 2и>у \_ 2®1т1а / ZroyWya

Возводя в квадрат и отбрасывая члены порядка малости выше второго, для квадрата частоты стационарных колебаний получаем окончательно

следующее выражение:

«’(^^-^^кШЦ^Ы^.(21.44)

Итак, расчет стационарных одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы может производиться по следующей простой схеме.

Прежде всего определяем обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату; заменяем в ней qT, qr(r=l, 2, ...,N) согласно формулам (21.33), где и)п(а, ф) (г = 1, 2, .. ., N) определены как вынужденные «регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними силами, в режиме синусоидальных колебаний; раскладываем полученное выражение обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату, в ряд Фурье. После этого коэффициент при синусе, взятый с точностью до величин второго порядка малости включительно, приравниваем нулю и получаем уравнение (21.43), из которого определяем стационарную амплитуду колебаний. Коэффициент при косинусе подставляем в правую часть формулы (21.44), определяющей частоту стационарных колебаний.

§ 22. Влияние внешних периодических силна одночастотные колебания в системахсо многими степенями свободы

Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем со многими степенями свободы, находящихся под воздействием внешних периодических обобщенных сил, зависящих явно от времени и имеющих следующий вид:

Qr bt, qv qN, qv ..., qN, e) = sQ'1’ ^t, qv qN, qv qN) +

+ e2(№, qv ...,qN, k, ...,qNH... (22.1) (r=l, 2, ...,?/).

Тогда мы приходим к рассмотрению системы N уравнений второго порядка:

N

2Оми + с^ = 6Q®(^- 9i, - .-,qN, 9i, •••,qNH 8—1

+ ^Q^ ^t, qu ...,qN, qv ...,qNH---(22.2)

(r=l, 2, ..., N),

в которой, как и в предыдущем параграфе, qr(r = 1, 2, ..., TV) —обобщенные координаты, aTS = asr, crs = csr — постоянные.

Предположим, как и в § 13, что функции QT ^t, qXl ..., qN,qv - ■ .

..., qN, г) (r= 1, 2, ..., N) являются периодическими по отношению к '>t с периодом 2тс и могут быть представлены в виде конечных сумм Фурье с коэфициентами, являющимися некоторыми полиномами по отношению к qr, qT(r = 1, 2, ..., N).

Кроме того, предположим, что для невозмущенной системы уравнений:

(22.3)(22.3)2 (аГ878 + сГ8?,) = 0

(22.3)

(22.3)

S=1

(r=l, 2, ...,7V)

выполняются условия, приведенные в § 21, стр. 261.

При этих предположениях будем искать решения системы (22.2), соответствующие одночастотному режиму, близкому к какому-либо нормальному колебанию, для определенности положим к нормальному колебанию с частотой o>v При этом’ будем рассматривать как нерезонансные случаи, так и резонансные.

Ввиду того, что исследование одночастотных режимов формально сводится к исследованию некоторого одного эквивалентного уравнения второго порядка вместо системы W уравнений второго порядка, то при построении приближеных решений для системы (22.2) воспользуемся, кроме методики и результатов предыдущих двух параграфов, также результатами главы III.

В нерезонансном случае), исходя из соображений, приведенных в § 13 (стр. 158), решение системы (22.2) следует искать в виде асимптотических рядов

,73 = 7sUa cos ф + ам"1 (tz, mZ, ф) + е2м82) (а, mZ, ф)-|-е3...(22.4)

($=1, 2,..., 7V),

в которых и™ (а, ф, vZ), м82) (а, ф, vZ), . .. (s=l, 2TV) —периодические по обеим угловым переменным с периодом 2тс функции, а амплитуда а и фаза ф должны быть определены из уравнений:

(22.5)(22.5)-^ = еЛ(ц) + еМ2(а)+

(22.5)

(22.5)

= Ш1 -|- еВг (а) + е^В^ (а) + ... at

Для определения функций м8п (а, vZ, ф), м82) (а, vZ, ф), ... (s= 1, 2, .. . TV), Л1 (а), Л2 (а), . . .,ВХ (а), В2 (а), . .. можем воспользоваться непосредственно результатами, полученными в § 13 для случая системы с одной степенью свободы.

Вместо системы (22.2), описывающей одночастотный колебательный режим, рассматриваем соответствующее ей одно уравнение второго порядка

.N

^С^^^^ З^1’^^,-^,^х, ??хs), . (22.6)

Г=1

для которого, воспользовавшись непосредственно формулами (13.35),

находим:

2 тс 2 тс TV

(а) = - 4д2^— ^ s 2 ^“^ <"’ °’ ^ sin Ф ^ ^ ’

1 ° о г=1,,22 ?)

2и 2и NI V

sB1 (а) = — . , 1 ( ( s V ^ВО™ (а, 9, ф) cos ф М d^ , I

О О r=lJ

где введены обозначения:

гф™ (а> в, ф) = е^11 (6, у^’а cos ф, . . -, ^’а cos ф, — «р^'но^ sin ф, .

.— <p™<zo)1 sin ф) (22.8)

(г=1,2, ,Ny

Далее, находим и™ (а, ф, vZ) (s= 1, 2, . . ., TV) как вынужденные «регу- ляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (22.3) силами (22.8), которые представляем в виде сумм Фурье (т. е. внешними обобщенными силами в первом приближении, взятыми в режиме синусоидальных колебаний: qr = ^'а cos ф, gr = — «рДяа^ sin ф (г=1,2, ...,Ny.

aQ^a, vt, ф) = г 2 <2™ (а) еНп^+тф)(22.9)

(r= 1, 2, ..,

где

7t 2тс

<2го («) = 4"2 S $^о(«> 6, ф)е^("°+тф)(/9(/ф(22.10)

о о

(г=1, 2, .. ., N).

Итак, и(“ (a, vZ, ф) (s = 1, 2, . ..,А7) должны быть определены как вынужденные колебания из системы линейных дифференциальных уравнений:

, (/ЗцО)ч

2 («rS^F + ^<1’) = s2(22.11)

s=ln,m

(г = 1, 2, TV).

Здесь ф = o)1Z -|- 9.

Искомые функции и™ (н, vZ, ф) (s=l, 2, ..., А7) ищем в виде рядов

иУ’ (н, VZ, ф)= 2 ^rn (a) ei("v,+m4->(22.12)

(s = l, 2, Ny

в которых коэффициенты ^^(н) подлежат определению.

Подставляя значения м^Дн, vZ, ф) (s=l, 2, .. ., TV) (22.12) в уравнения (22.11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем для определения коэффициентов к^т^ (s=l, 2, . .., TV)

§22] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА ОДНОЧАСТОТН. КОЛЕБАНИЯ 273 систему алгебраических уравнений:

л7

2 {а„[ — ш^т — Ъш^тп — ^и2] + crs} ^„(а) = ^ (а)(22.13)

8=1

(г=1, 2, .Л7), для решения которой воспользуемся нормальными координатами.

Будем искать выражение для к^т (а) в виде суммы

^т^^с^) (s = l, 2, N\(22.14)

где <p(h> — нормальные функции, a ch — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя (22.14) в систему уравнений (22.13) и учитывая, что уМ (s, к = 1, 2, . ..,N) удовлетворяют системе однородных алгебраических уравнений

2[-^ + ^]?</!) = °(22-15)

(г=1, 2, N\ получим:

2 2 M“HmW]<W?) = O) k=i s=l

(r = 1, 2, ..., Ny

Умножая эти уравнения соответственно на <р(й1), <р£к1), • ••, «р^ и суммируя результат по г, находим: NN NN

2 ch И-(^т 4- w)2] 2 2 a^W1'1 = 2 C?™^)?^- (22.16) к=Л8=1 t=lr=l

Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и обозначение (21.14), находим:

N

2 ^(^^

ск = г-* .—(к=1, 2, ..., У).(22.17)

Подставляя значения ск (&=1,2, .. ., У) (22.17) в (22.14) и результат подстановки в (22.12), получаем выражения для и™ (a, it, ф) (s= 1, 2, . .., У):

А 2(“) е{(”^+тф)

su^, 'к, ф) = У 2Г=1 г 2 - ,]2Т-(22-18)

п, т к=Л

(s = l, 2, ..., У).

Для «регуляризации» выражений (22.18) заметим, что их правые части могут сделаться неограниченными, если п и т таковы, что

± ю! = m-V m-ti^,а последнее равенство ввиду того, что мы рассматриваем нерезонансный

случай, эквивалентно равенству

■и2 + (ти2 — I)2 = О, или п = 0, т = ± 1.

Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при к = 1 отсутствовали члены с гармониками е±{Ф, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7).Итак, для wj1’(ах, мг, ф) (s=l, 2TV) получаем выражения:Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при к = 1 отсутствовали члены с гармониками е±{Ф, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7).Итак, для wj1’(ах, мг, ф) (s=l, 2TV) получаем выражения:uj1’ (а, vt. Ф) =uj1’ (а, vt. Ф) =. n, т k—i(n^O, m^± 1 для /1=1). n, т k—i(n^O, m^± 1 для /1=1)ЛЬ)*6ЛЬ)*62л 2л N{5 5 У т^го(а*в'^е^(п6+т^^^^ 0 0 г~12л 2л N{5 5 У т^го(а*в'^е^(п6+т^^^^ 0 0 г~1т^ [ю|—(nv+m<oi)2]т^ [ю|—(nv+m<oi)2](s= 1, 2, ..., TV).(s= 1, 2, ..., TV).(22.19)(22.19)

Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при к = 1 отсутствовали члены с гармониками е±{Ф, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7).

Итак, для wj1’(ах, мг, ф) (s=l, 2TV) получаем выражения:

Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при к = 1 отсутствовали члены с гармониками е±{Ф, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7).

Итак, для wj1’(ах, мг, ф) (s=l, 2TV) получаем выражения:

uj1’ (а, vt. Ф) =

uj1’ (а, vt. Ф) =

. n, т k—i

(n^O, m^± 1 для /1=1)

. n, т k—i

(n^O, m^± 1 для /1=1)

ЛЬ)

*6

ЛЬ)

*6

2л 2л N

{5 5 У т^го(а*в'^е^(п6+т^^^^ 0 0 г~1

2л 2л N

{5 5 У т^го(а*в'^е^(п6+т^^^^ 0 0 г~1

т^ [ю|—(nv+m<oi)2]

т^ [ю|—(nv+m<oi)2]

(s= 1, 2, ..., TV).

(s= 1, 2, ..., TV).

(22.19)

(22.19)

Для определения функций Аг (а) и Вг (а) можем либо воспользоваться непосредственно формулами § 13 (формулы (13.37)), либо составить уравнения гармонического баланса, выражающие равенство коэффициентов при первой гармонике угла ф в левой и правой частях уравнения (22.6) после подстановки в него значений ж = асобф, gs = Ф*1’a cos ф 4-гиз1) (а, ^, ф) (s = 1, 2 TV)с учетом, разумеется,

того, что а и ф определяются уравнениями (22.5), причем все вычисления следует вести с точностью до величин второго порядка малости включительно.

После элемент арных выкладок получаем для Аг (а) и Вг (а) следующие выражения:

^2 («) = - 2^ [ Т ^ + 2^ ^ £1 ^ 1 -

2л 2ге /V

0 0 r=1(22.20)

В 2 («) = —!_ I a^WA^-aB\ (a)l -

2 4 7 2ш1т1а [ da 1 ' 'J

2?t 2m N

"4^ S ^^Ж’^, 6, ф) COS ф tZO t/ф,■0 0 г—1.

где обозначено:

Q^ (a, 0, ф) = ^2) (9, ^"’асовф, ..., <pjy’a cos ф, —

'N ci)

-^’аш^шф, ..., — ^асо^шф)-!-^ {^-«s1'(a> e> Ф) +

+ ^- [Ts1^! (a) cos ф - Ф^аВ! (a) sin ф + Ш1 + ^- ] }gs==¥<i>a cos ¥

qs—~ ^Dau^SinU-"

6 (22.21) (r = l, 2, ..., TV).

Перейдем к рассмотрению резонансного случая.

Ради простоты изложения вместо общего случая, когда

где р и q — некоторые взаимно простые числа, рассмотрим случай, называемый главным резонансным, когда p = q=i. При этом заметим, что все рассуждения могут быть перенесены и на общий случай без существенных изменений.

Как уже нами выше указывалось, при рассмотрении резонансного случая, в зависимости от характера стоящей перед нами задачи, могут возникнуть два подхода к ее решению — исследование непосредственно резонансной области и изучение, помимо резонансной области, также подходов к ней из нерезонансной области.

Здесь мы рассмотрим второй, как наиболее общий случай, причем для нахождения соответствующих асимптотических формул опять воспользуемся результатами, полученными для системы с одной степенью свободы, в § 14.

Исходя из рассуждений, приведенных на стр. 176, приближенные решения будем искать в виде рядов '

qs = ср^’а cos (pt + 9) + ей™ (я, Nt, ф) + е2^2’ (я, Nt, ф)4-...(22.22)

(s=l, 2, ..... N\

где ф = Nt + Я, и™ (a, 6, ф), и™ (а, 6, ф), . .. (s = l, 2, ..., TV) периодические функции по обеим угловым переменным 6 и ф с периодом 2л, а я и & должны быть определены как функции времени из системы дифференциальных уравнений

^ = еА,(а, 8)+гМ2(я,...,

-В И(22.23)

-др = wi — > + еВх (а, &) + е25а (я, &)+■■•

Для построения первого и второго приближения нам необходимо найти выражения для ЛДя, %\Вг(а, &),Л2(я, &), В2(а, &) и^Дя, Nt, ф) (5=1, 2, ..., N)..

Для определения ^Дя, &) и В^а, &) сразу же составляет систему, аналогичную уравнениям (14.34).

Для этого в уравнениях (14.34) необходимо заменить <о на ш1, учесть наличие обобщенной массы тк и вместо /0 (я, Q, ф) подставить

2 « («, 9, Ф), гДе

QVo^, в, ф) =(6, <р"’я cos ф, ..., — ф$1)яю1 sin ф, ...).

В результате получаем систему уравнений

(wi — Д "ао1 ” 2ашА =

2л 2л N ■

= ^ 2 е‘т982 Фг1’ ^ (а> 9> Ф) e—ioQ8' cos ф d9 dty,

доб Г—1■

> (22.24)J> (22.24)J.. . 8В, п .

> (22.24)

J

> (22.24)

J

((Oi ~ Д а + 2(0 А =

2л 2л N

= — 2^- 2 е‘т99 ^ ^ 2 Vr11*?™ (я, 6, ф) e”iT98' sin ф dOd^ т0 0 г=1

.(&' = ф_0).

276 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV из которой не представляет затруднений найти частные периодические по & значения ЛДа, д), Вт^а, д), как об этом уже упоминалось выше.

Для построения асимптотических формул во втором приближении определяем и™ (a, Nt, Nt + d) (s = 1, 2, ..., TV) как вынужденные «регуляри- зированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними возмущающими силами, взятыми в режиме синусоидальных колебаний, причем при «регуляризации» в отличие от нерезонансного случая в соответствующих суммах должны отсутствовать члены, для которых могут выполняться соотношения между индексами п, т типа nq-Y + (ш ± 1)^ = 0 (для слагаемых, в знаменателе которых присутствует соД.

Таким образом, «регуляризированное» выражение для и™ (a, Nt, м? + д) ($=1, 2, ..., TV) будет иметь вид

Mg1’ (а, Nt, Nt + d) =

2тс 2тс А

N$ S XQrV (^ 0> ^ е~^+™Ф) dQd,^

= X У У mW 0 0 ^ X

4”2A1, Smh [<Dh— (ш^и + '.п)2]

n, т r=1

ZnQ + CwilJp^OH \ для h=l )

X ei[nw+m(MH-»)] ($=1, 2, . .., TV). (22.25)

Для составления уравнений, определяющих Л2(а,&) и В2(а,й), воспользуемся соответствующими формулами, выведенными в § 14 для системы с одной степенью свободы, либо уравнениями гармонического баланса. Вывод этих уравнений в явном виде предоставляем читателю.■

Остановимся еще на рассмотрении частного случая системы (22.2), часто встречающегося при решении практически важных задач, когда возмущающие обобщенные силы имеют вид:

Qr^, дг, qN, qv • •, qN, Д =

= sQAqv qN, qi, •■•, qN, e) +eosine (22.26) (r=l, 2, ..., TV),

и, следовательно, колебания описываются системой дифференциальных уравнений:

2 (^rs qs И- ^rs^r) ~ sQt ^В, * * *, qN, q^, * •', qN, c) H-~Br sin 9 (22.27)

S=1