ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Книга Георгия Евгенио Оскара Джакальи посвящена методам теории возмущений гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы являются важнейшими при исследовании движения в задачах небесной механики и космодинамики. Их роль и возможности особенно возросли в связи с широким использованием ЭВМ для качественного и количественного исследования поведения механических систем. В последние два десятилетия методы теории возмущений получили значительное развитие и нашли новые применения при решении актуальных задач механики.

Нельзя не согласиться с утверждением автора о том, что его книга является единственной в своем роде. Она представляет собой интересную и на наш взгляд успешную попытку систематического изложения различных методов теории возмущений гамильтоновых систем. Достаточно сказать, что в книге Г. Е. О. Джакальи с единой точки зрения и на языке, доступном для весьма широкого круга читателей, рассмотрены классические методы Линдстедта, Пуанкаре, Цейпеля, Биркгофа, тщательно и с разных точек зрения рассмотрены результаты Колмогорова, Арнольда и Мозера о поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, описаны разработанные совсем недавно методы Хори и Депри, много внимания уделено анализу различных резонансных случаев в теории возмущений. В книге также нашли отражение собственные результаты автора — известного специалиста в области методов возмущений и их приложений.

В заключении к книге подводятся итоги развития теории возмущений от времен Лагранжа и Эйлера до наших дней и обсуждаются не решенные еще и сегодня важные вопросы. Важным достоинством книги Г. Е. О. Джакальи является обширная библиография и ее критический анализ, проведенный автором. Переводчик пополнил ее некоторыми работами советских авторов за последние 10—15 лет.

Книга Г. Е. О. Джакальи является весьма полезным пособием по изучению и практическому применению методов теории возму- мущений гамильтоновых систем.

А. П. Маркеев

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге предполагается возможно более полно изложить новые достижения в развитии методов теории возмущений для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом отношении настоящая книга является единственной в своем роде. ■

Основной целью является описание методов теории возмущений, обсуждение их достоинств и пределов применимости, а также рассмотрение некоторых примеров. Изложение основывается на аналитических и численных методах нелинейной механики. Большое внимание обращается на создание методов, учитывающих приближения высоких порядков, которые теперь стали необходимы в связи с увеличением точности измерений во всех областях науки и техники. Излагаются основные теоремы, используемые в методах теории возмущений, но они являются лишь необходимой основой этих методов, а не главной частью настоящей книги. Каждая глава завершается детальным обзором соответствующей литературы; приводятся также некоторые добавочные сведения и много примеров, дополняющих и разъясняющих основной текст. Литературные ссылки даны для указания источников излагаемых сведений и предназначены для тех читателей, которые захотят более подробно разобраться в некоторых вопросах. Основные упоминаемые работы принадлежат к области теории дифференциальных уравнений, нелинейных колебаций и небесной механики.

Автор благодарен Катрин Мак Дьюгал и Сандре Спинасси за помощь при оформлении данной работы. Автор также благодарен за большую помощь руководителей Математической Программы Организации Морских Исследований.

Остин, Техас апрель 4972

Г. Е. О. Джакалъя

ВВЕДЕНИЕ

В этом введении кратко описывается последовательность, в которой мы собираемся излагать основные проблемы теории возмущений. Здесь мы хотим привести некоторые простые утверждения, не вдаваясь в математические подробности относительно рассматриваемых функций. Все необходимые предположения будут сделаны в последующих главах книги.

Следуя историческому пути развития, мы сначала рассмотрим проблему Линдстедта [46.1] *), которая заключается в получении решения такого уравнения:

х -Ь «о х = е/ (ж, х, t),

где 0 < е < 1 — параметр. Решение ищется в виде рядов, не содержащих секулярных и (или) смешанных секулярных членов. Как было обнаружено, возможность получения решения

х = хо^ + ex! (t) + eX2(t)4-.„,

х = Ko(t) + exi(t) +e2Z2(0+ —

приведенного выше уравнения, где х5(1^, х5(1)—ограниченные функции при всех t е R, существенно зависит от природы функции / и ее производных до некоторого порядка. Как было найдено Линдстедтом, опорное решение хо^, x0(t) дается формулами

х0 = a cos (tot + а),

т0 = —а о sin (cot + о).

Здесь со — вначале неизвестная величина, по предположению

представимая в виде степенного ряда

(О = (Оо + 6(01 + 62G)2 + 63(0з + . . .,

где (01, (02, ... — константы, зависящие от (Оо, а и /. Строго говоря, самые первые попытки исследования возмущенных колебательных систем были сделаны еще Эйлером [23.1] при рассмотрении движения Луны. Делоне [16.1] был вторым исследователем, обнаружившим, что при уничтожении неограниченных членов в рядах решения для таких систем большую трудность представляет выбор опорной частоты — факт, который привел его, возможно впервые, к систематической процедуре определения рядов, которые сегодня называются характеристическими показателями Флоке — Ляпунова. Переход от метода последовательных канонических преобразований Делоне к методу, использующему производящую функцию, впервые был предложен Тиссераном [68.1]. Через некоторое время была опубликована работа Линдстедта [46.1], результаты которой сразу же были применены Пуанкаре [57.1] к систематической процедуре усреднения для гамильтоновых систем (не обязательно автономных). По существу весь второй том его «Небесной механики» посвящен этому методу и связанным с ним вопросам, среди которых важнейшим является проблема резонансов (причем в нелинейном смысле). Пуанкаре достиг больших успехов в обобщении всех предшествующих работ, включая и фундаментальные работы Бохлина и Гильдена. В хронологическом отношении дальнейшие успехи в рассматриваемой проблеме были достигнуты опять же в небесной механике Цейпелем [105.2], обобщившим идеи Пуанкаре. Здесь мы не будем вдаваться в детальное обсуждение всех этих работ, а укажем только на различные обзоры рассматриваемого вопроса (Чезари [13.1]; Джакалья [29.1]; Кинер [43.1]). После этого прошло более десяти лет, прежде чем похожие проблемы и задачи возникли в нелинейной теории цепей; они привели затем к появлению метода усреднения Крылова — Боголюбова [39.1], [40.1], который стал доступным для западных математиков благодаря усилениям Лефшеца [67.2]. Работа Брауна [8.1] по нелинейным резонансам была хорошо воспринята после работ Пуанкаре, занимавшегося этой проблемой; в действительности она основана на примерах, которые Браун привел для иллюстрации метода Бохлина. Начиная примерно с 1950 года появилась обширная литература по методам теории возмущений и процедурам усреднения, и специальные ссылки на эти работы будут даваться в соответствующих местах настоящей книги. Что касается чисто аналитических работ, направленных на исследование качественных закономерностей, то для последнего столетия типичными являются работы, посвященные классическому анализу явно зависящих от времени решений систем дифференциальных уравнений.

Если даже исходить из различных точек зрения, то первым, кто пытался понять геометрические аспекты дифференциальных систем, был Пуанкаре [60.1]. Его предположение о существовании неподвижных точек у сохраняющих площадь отображений, связанное с решением автономных систем, было доказано Биркго- фом [3.1], чья работа должна рассматриваться как работа, оказавшая наиболее глубокое влияние на развитие понятия решения дифференциальных систем. Будучи без сомнения родоначальником топологии, он ввел такие важные понятия, как инвариантные множества, блуждающие точки и т. д.—все они связаны с геометрическим поведением интегральных кривых систем дифференциальных уравнений. По-видимому, основные проблемы в этой области были решены в знаменитой работе Мозера [55.1] о сохраняющем площадь отображении кольца на себя, в работе Хейла [33.1] об интегральных многообразиях возмущенных систем и в работе Крылова и Боголюбова [39.1]. Более подробные ссылки на литературу будут даны в соответствующих местах при изучении инвариантных множеств.

Классическими (и вероятно старейшими) методами теории возмущений являются методы типа метода Эйлера — Лагранжа, обобщенного Пуассоном. Основной частью их консервативных аналогов является теорема Якоби о вариации канонических переменных. Так как метод Пуассона является наиболее общим, то он заслуживает здесь особого упоминания, что и будет сделано по мере исторического изложения результатов.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

« = /(«,/),(1)

где х и /— и-мерные векторы. Для простоты будем считать, что функция / аналитична в некоторой области D и-мерного векторного пространства и < ей. Пусть в D величина

а = а (ж, /)(2)

будет первым интегралом системы уравнений (1). Отсюда следует, что вдоль любого решения системы (1) в области D мы имеем

‘ до до пдх ' dt

где о —m-мерный вектор (т^и), так что до]дх —прямоугольная матрица Якоби размерности т X и. Тогда для любого .те/) имеем тождество

-^^ + 4г = 0'(3)

Рассмотрим теперь возмущенную систему

х= f(x, t) +g(x, t),(4)

где опять функция g (х, t) предполагается аналитической в области D\R- Рассмотрим вариацию интеграла (2) вдоль решения системы (4), т. е.

tHg(x,t^+-^-

или, учитывая (3),

Уравнение (5) было в общем виде получено Пуассоном и как частный случай содержит уравнения Лагранжа для вариации произвольных постоянных и теорему Якоби. В частном случае динамической системы

х = / (ж, х, t) 4- g (х, х, t)

уравнение Пуассона принимает вид

О = -^g(x, X, t),(6)

Эх

где о —интеграл при g = 0. Весьма интересно, что все основные теоремы классической-механики сразу же выводятся из (6). Например, если о является интегралом энергии

Е = А_^ + у(х, t),

то отсюда следует Е= х, и справедливо соотношение

Ё = xTg(x, х, t), являющееся основным законом энергии и работы. Если о — интеграл количества движения

L = х X х,

то, записав выражение для L. и подставив его в (6), получим соотношение

.L = х X g (х, х, t).

которое является основным законом количества движения и импульса.

Пусть система уравнений (1) является гамильтоновой (х — 2п-мерный вектор), так что

х = МН^^

где Н = Н (ж, t), М — каноническая матрица размерности 2n X Х2и:

(О I \М— 1 О/’

а I и О — единичная и нулевая матрицы размерности п X п- Положим

Я.= Яо + Яь

Если о — первый интеграл системы (7) при Н = Но, т. е. о находится в инволюции С Яо, то

o=^m№-V(8)

ОХ \ OX jх '

Если, кроме того, матрица Якоби J = до^дж является симплекти- ческой (т. е. преобразование х —>о каноническое), то отсюда следует соотношение

а = -^М №Г = М (9-№,(9)

дх \ дх I \ до I I до /х '

являющееся утверждением теоремы:

Теорема Якоби. Если а является 2п-мерным вектором, то уравнения (8) являются уравнениями Лагранжа для вариаций произвольных постоянных в случае не зависящих от времени сил.

Классическим подходом к решению уравнений (9) является попытка искать о в виде степенных рядов по некоторому малому параметру и таким образом сводить задачу к методу последовательных приближений. В большинстве случаев эта процедура приводит к появлению секулярных и смешанных секулярных членов, и, следовательно, эти ряды не будут сходящимися для всех моментов времени. Если рассматривать только ограниченные промежутки времени, то в конце концов сходимости можно добиться; по- видимому, самой ранней работой, посвященной этому вопросу, является работа Макмиллана [71.2]. Мы ссылаемся на эту работу, так как она простая и довольно строгая.

В большинстве достаточно сложных методов усреднения (для гамильтоновых систем) предполагается, что функция Гамильтона

2л-перподична по каждой из угловых переменных у^, . . ., у„ и представляется сходящимся рядом Фурье

И = ЪА}(х)е^(ру),(10)

у

где у — (Я, /2, ..., /п)т — целочисленный вектор.

Уравнения, соответствующие функции Гамильтона (10), имеют

В11Д

Если рассматривать только часть функции Н, соответствующую /==0, т. е.

= Яо (^О ’

то система уравнений (11), очевидно, является интегрируемой, и ж = ж0, У = ® (^о)* + Уо,(12)

где

’®t (^о) = dH0!dxi |я_Жо.

Если в некоторой области величины Aj (х) при j =р 0 таковы, что их производные малы (в некотором смысле) по отношению к сщ (ж), то величину Н— Но можно рассматривать как возмущенпе. При классическом подходе говорят, что если эта ситуация имеет место, то решение уравнений (11) никогда не уходит слишком далеко от решения (12). Такое предположение в данном случае, очевидно, неверно п редко подтверждается, даже если рассматривать только «орбитальную близость», не обращая внимания на время. В действительности «временная близость» соответствующих точек чаще всего разрушается возмущениями. По аналогии с понятием устойчивости здесь можно сказать, что более распространенной является орбитальная, а не ляпуновская устойчивость.

В любом случае, используя (12) в качестве опорного решения с модифицированным вектором частот v (ж0) и используя метод итераций, мы получаем формальные ряды

у Cj (®0)

® =+exp [i (jTv) i],

У = v (ж0) t + у о + A ч exp [i (y'v) i],

где v = (о0 + еы1 + е2ы2 + ... Ясно, что произведения jTv = Яп-Н + hx2 + ■ ■ • + /„v„, стоящие в знаменателях, могут стать сколь

угодно малыми при /1, /2, .. ., /п, принимающих все возможные целочисленные значения. Для таких рядов Пуанкаре пришел к выводу, что они будут расходящимися для всюду плотного множества частот, что, вообще говоря, есть явление случайное. Колмогоров [38.1] показал, что существует множество частот с ненулевой мерой (тем большей, чем меньшее), на котором рассматриваемые ряды сходятся. Главным образом это следует из того, что для всех целых чисел /1, /2, . - ., /п возможно указать нижнюю границу чисел /ivi + /2V2 + ... + 7„vn, как это делается в теории диофантовых приближений. Способ, которым этого можно достичь в рядах, будет описан в главе II чисто формальным образом; последующие главы будут посвящены проблеме сходимости введенных методов. Глава I посвящена объяснению обозначений и терминологии, используемых во всей книге. Последняя глава книги посвящена вопросу о нелинейных резонансах.

ГЛАВА I•

ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.ОБОБЩЕНИЯ

Введение

В этой главе мы будем иметь дело с терминологией и хорошо изв'естными утверждениями, которые необходимы для изложения результатов в остальных главах. В задачу этой главы не входит описание гамильтоновых систем и их общих 'свойств. Такое описание можно найти в различных книгах и монографиях, среди которых мы хотим упомянуть ставшие классическими работы Биркгофа [5], Зигеля [65], Уинтнера [69], Абрахама {1], Мозера [56]. Мы постараемся избежать каких-либо усложнений и не будем давать определения гамильтоновых систем на многообразиях и какие-то существенные представления о них не потому, что это не важно, а потому что это не является необходимым для последующего изложения.

Сначала вспомним определения матриц Лагранжа и Пуассона. Они естественным образом возникают в методе вариаций произвольных постоянных. Пусть преобразование у, «->1), 1 принадлежит классу С2 и является обратимым в некоторой области 2п-мерного пространства. Векторыу, х, так же как и векторы т], ^, имеют размерность п. Пусть также а = col (у, ж) и £ = = col (ц, ^) *) — 2п-мерные векторы. Матрица Лагранжа $^ определяется как матрица

$^=FMJ, (1.1.1)

где М — единичная симплектическая (т. е. каноническая) матрица размерности 2пХ2п, имеющая вид

а 7 —матрица Якоби преобразования^-»-?, такая, что

J = Эа/Э^.(1.1.2)

’) col (у. х) —вектор-столбец (прим. перев.у

Легко проверить, что и, следовательно, /'дх.Эх. ду. \

’■^и® = l^i, ^j] = 2 (d^Td^J —(1-1.4)

k=i \ * 3*/

Очевидны следующие свойства матрицы Лагранжа:

2” = гмч = _ ГМ] =, _ $1|^| —, |/|2,

(|Л| = detH для любой квадратной матрицы Л).

Матрица Пуассона ^(z) определяется формулой

P^ = JMF,(1.1.5)

и легко проверить, что

так что _/dz. dz. dz. dz. \

PiAz) =Azt,zA = У•(1-1-7)

\» ^^dr\kd^k 9^kdT\kjv '

Легко установить свойства матрицы Пуассона:

Рт = — Р,

|Р| = |Z-42 = 1/[7|2,

$-x^ = i-xM-4iTV = 1-хмц-ху =-р^.

Выражения (1.1.4) и (1.1.7) называются скобками Лагранжа и скобками Пуассона соответственно.

Если рассмотреть систему п обыкновенных дифферециальных уравнений второго порядка

У = f(y. У, t)(1.1.8)

и ее решение

У = УЧ1,а, Р), У - xn(t,a, Р) = ^,(1.1.9)

соответствующее начальным условиям

У4°,а, 0) = у0, «°(0,а, Р) = у0,(1.1.10)

то легко проверить, что

дл;0 „ ,•.

Для возмущенной системы >(1.1.8) имеем выражение

У = Ну,У, 0 + g^y.y, t)(1.1.11)

и положим, что ее решение имеет вид (1.1.9), где, разумеется, аир теперь зависят от времени. Отсюда следует, что

a = »s+^a *р = ;г.(№

dt dt да 1 dp r \ т, е.

р - °.(1.1.12)

где а, 0 — векторы размерности п. Далее имеем

dy 8х«8х” • . &х° q , ,•.. .. .•

+ f^y^ + sly,у А

и, следовательно,

^« + ^p-gW,«,P), *°(Са,0М)-(1.1.13)

Система 2и обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.1.12) и (1.1.13) образует систему уравнений Лагранжа для вариаций произвольных постоянных. Эти уравнения можно записать в виде одной системы, используя, например, матрицу Лагранжа $ (у), где у = со1(а,0). Тогда получим

2ДтН = (^У §(уА V). я0 (С v), t).(1.1.14)

Ясно, что из уравнений (1.1.14) можно найти у при выполнении обычного условия

|2ДТ)1 #=0, означающего, что выполнено неравенство

I о (а, р) Г-

которое будет удовлетворено, если считать у0, х° общим решением уравнений (1.1.8) с произвольными начальными условиями у0, х0 или с постоянными интегрирования ос, р. Более того, мы потребуем, чтобы матрица

Pto (^jT g^y0,®0,^

удовлетворяла условиям Липшица в некоторой области у-прост- ранства. Строго говоря, все вышеперечисленные утверждения носят локальный характер, однако, и это становится важным при рассмотрении каких-нибудь приложений, эти утверждения можно распространить на некоторую область изменения переменных. Аналогичным образом функции, которые мы будем рассматривать, считаются непрерывно дифференцируемыми по t, вообще говоря, при всех вещественных t.

Матрицы Лагранжа и Пуассона удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающей некоторыми замечательными свойствами. Действительно, рассмотрим систему 2га дифференциальных уравнений

z = <р (z, t)

и ее решение z (у, £) е С2, зависящее от 2га постоянных интегрирования у и времени ^, в некоторой области у-пространства для всех |^| < Т. Пусть J = dzjdy— неособенная матрица Якоби преобразования у -> z,которая по предположению также есть матрица класса С2. Тогда получим

• d dzd dz ,,д - ,..d , ,.. .. dtp т

J == 373- (у, t) = з- Z(y,t) = ф (Z (у, i), t) = J

at dydt оу ' • ’ 'ду ' •'ду т ' ' *11

ИЛИ

3=01,(1.1.15)

где G = дф/dz — неособенная матрица размерности 2га X 2га. Теперь будем считать

S^Y, t) = Г MJ,

так что, используя (1.1.15), находим

$ = J^G^M + MG^J.(1.1.16)

Лемма. Матрица Лагранжа S4y, t) преобразования y-^z является постоянной тогда и только тогда, когда матрица MG симметрична.

2 Г. Е. О. Джакалья

Действительно, пусть матрица MG симметрична, т. е.

MG = <MGy = — GTM.

Тогда GTM + MG = 0 и S’ = 0. Обратно, пусть S = 0. При описанных выше предположениях отсюда следует, что

G"M +MG = 0 или

G^M = -MG = M'G = \G'My,

что и завершает доказательство.

Из (1.1.16) и доказанной леммы следует, что поток гамильтоновой системы сохраняется (теорема Лиувилля).

Действительно, в случае если Н = H^z) является гамильтонианом, имеем

z = MHTz, так что

G = ^MHT^ = MH?e

и матрица MG = — Нхх, следовательно, симметрическая. Отсюда получаем S = 0 или

^MJ^ =0,

т. е. JTMJ = const. Пусть у — вектор начальных условий z0, a Jo — I (единичная матрица), и, следовательно,

ГМ1 = М,(1.1.17)

а также, в частности,

|J| = const =1,

что и доказывает теорему (случай |J| = — 1 отбрасывается по непрерывности).

Если 2п-мерный вектор z состоит из п-мерных векторов у и х (координаты и импульсы), то более точно можно записать

(

8у ду \ 8уо 8х^ \ д® д® I дуя д®^/

и при 4 = 0

J °\-1

J О I О J )2П"

Отсюда следует, что отображение z0—>z можно представить в виде

у = у0 + ¥(х0,у0,^, х = x0 + X(x0,y0,t^,(1.148)

где У (#01 Уо> 0) = X ^xti, уо,.О) = 0, так что для достаточно малых t имеем

У (#0. Уо- О = tY (®о. Уо. t^ X (х0, у0, t) = tX (ж0, у0, t).

Эту ситуацию можно также рассмотреть с другой точки зрения. Так как при 4=0 отображение z0->z является тождественным, то существует такая производящая функция

3 = х»у + tW(x0,y,t),(1.1.19)

что выполняются равенства

$ = Зу = х0 -)- tWy0, yQ = Sx„ = у + tW„, (1.1.20) а это эквивалентно соотношениям (1.1.18).

Канонические преобразования

Неособенное преобразование z->£, принадлежащее классу С2, называется каноническим, если оно переводит каждую гамильтонову систему z = МН] в гамильтонову систему £ = МК^.

Это свойство является чисто локальным, однако опять можно быть уверенным в полезности возможного глобального распространения такого определения и его следствий на некоторую область фазового пространства. Пусть z = col (у, ж), £ = col (ц, ^) —■ векторы размерности 2п. Инвариантность гамильтоновой формы уравнений подразумевает, что преобразование будет каноническим тогда и только тогда, когда форма

Ф№= 2(1-2.1)

h=l

будет полным дифференциалом для всех Н.

Из (1.2.1) мы выведем необходимое и достаточное условие каноничности преобразования (см. [6]). Заметим, что (1.2.1) 2*

можно переписать в виде

Ф(Щ=ЛТМ6^.(1,2.2)

Более того, для данного преобразования

^ = ^М(1.2.3)

мы имеем

t = Л + gz,(1.2.4)

где 3 — матрица Якоби J = 8E,/8z. Отсюда следует, что g = JMlTz + ^

а из (1.2.2) получаем ф (Я) = (- нгмг + ?0 м eg,

или, учитывая равенство 6g = J6z, имеем

Ф (Я) = - НгМ $ (z) bz + ^М J бг, или

Ф(Я) = -HZM$ (z)6z + ^*<t,z)6z1(1.2.5)

где

M (di/ \dz)

Величина S’* (f, z), очевидно, является вектор-строкой, элементы которой равны скобкам Лагранжа [i, 2„].

Условие интегрируемости формы Ф(Я) для всех Я можно свести к условиям интегрируемости таких величин

0(0) = ^* (i,z) 6z = 2 [t, zk] 6zh,

Ф (г/h) = — 2 l^k, zj 6zz + Ф (0), ф (3^) = 2 \yht zz] 6zz + Ф (0), Ф(Уй^) =^1^Уз,21Уук — [^,zz,)^} 6zz -f- Ф(0).

Отсюда следует, что

а^* ^ ~ а^’ z^7

а?: ^ Zil~ ^ z^д ., д ..

^[y^a^Iy^,.].

В итоге получаем

[i/к Zz] = 0 ДЛЯ Zi#=Xh

[^А, Zz] = О ДЛЯ Zi=#yk, а также

[Уа, ^а] =1 — [^i, yi\ t=t const = X.(1.2.6)

Последнее соотношение получено с использованием первых трех выражений, откуда, применив тождество Якоби, находим

4 Vzh’ ^ = °’ а^ ^’ =Л = 0.

В матричных обозначениях условия (1.2.6) можно переписать в виде'

3 ^ = PMJ = ХМ.(1.2.7)

Так как по предположению |7| ^Ю, то константа X не может быть равной нулю. Соотношение (1.2.7) выражает необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. С другой стороны, так как Р (z) = — 3 к^, то это условие может быть записано также с помощью матрицы Пуассона в виде

Р = JMF = ХМ.(1.2.8)

Достаточность условия сразу же следует при подстановке (1.2.7) в (1.2.5), что дает

Ф (Н) = XH,bz + 3* kt, z)&z = & к^Н + W),(1.2.9)

где W kz, t) — функция, удовлетворяющая равенству

Wz8z = 3* kt, z) 6z = Ф (0)(1.2.10)

н являющаяся полным дифференциалом. При этих предположениях легко сделать следующее заключение.

Теорема (Якоби—Пуанкаре). Необходимым и достаточным условием каноничности неособенного преобразования z->-£, принадлежащего классу С2, и того, что новый гамильтониан имеет вид

K^KH + W,(1.2.11)

является условие: форма

ip = kx^dy— |Tdi] + Wdt(1.2.12)

есть полный дифференциал.

Действительно,

* - (^’ -V^ <9 - S' -Й- ^ + (”' - S’ £) *

и условия интегрируемости для ip имеют вид

д Л-т _ st ’ ^ \ — A/— St ^ \

d®5 dy ) dy\ 5 d®

dtду ]ду^ 5dt )'

9fSt^ \ =Э / W _ StдЧ \

dt\68® )d®^5dtД

или в покомпонентной форме[A, Zz] h= 0 (zfc =/=£,, Zh^X^,[y&, AI>=A [t, zA] — dW!dzk,

что и завершает доказательство.

В заключение получим соотношение Якоби — Пуанкаре. Из JI.2.12) находим

ip = kxTdy — §Tdi] + (К — кЩ dt,

и, следовательно, для каноничности преобразования необходимо и достаточно, чтобы функция ip являлась полным дифференциалом, т. е.

kx^dy - № + (К — ХЯ) dt = dF, (1.2.13)

где все функции считаются зависящими от переменных ц, §.

Множество всех матриц 4, удовлетворяющих условию

A'MAv=;M,

образует группу (по отношению к умножению матриц), которая называется симплектической группой.

Случай X =/= 1 обычно исключают из рассмотрения. Канонические (и, следовательно, симплектические) преобразования с X =/= 1 еще и потому обычно не рассматривают, что они могут быть получены в виде произведения обычного канонического преобразования (Х= 1) и очень простого канонического преобразования (X =/= 1)

I = —Ал, Ч = У,

для которого в этом случае

г _ S (Т1, ^) (I О \» д(у, х)~ \О —и)’

легко видеть, что

J»M!0 = ХМ.

Этот простой прием описан в книге Зигеля [65].

Исключая в дальнейшем случай X =# 1, необходимые и достаточные условия каноничности запишем в одном из двух видов:

$ ^ = ГМ! = М, Р(г) = !МГ = М, (1.2.14) где

J да ‘

Условие Якоби—Пуанкаре запишется тогда так:

x^dy — Г^ч + (К — Н) dt = dF. (1.2.15)

Если преобразование не зависит явно от времени t, то оно называется полностью каноническим, а если dF^jO, то однородным *),

Из результатов, полученных в § 1, мы также можем заключить, что преобразование, определяемое решением гамильтоновой системы уравнений и отображающее фазовое пространство на себя, является каноническим. Свойство сохранения объема было уже установлено выше. Тогда в более строгом виде эти утверждения можно сформулировать так.

Пусть z = MHl — гамильтонова система уравнений, и пусть существует единственное решение z = z(£, f), проходящее через

точку z = ^ при t = to- Предположим, что вектор-функция z (£, t) принадлежит классу С2 относительно 2п + 1 переменных z, t в окрестности точки z=t, и при достаточно малых |t—to|. Тогда отображение t,--z, определяемое решением z=z{^, t), будет сохранять объем и будет каноническим.

Уравнение Гамильтона — Якоби. Обобщения

Рассмотрим неособенное, принадлежащее классу С2, преобразование

У = У(чЛЛУ ж = ж(т), 1, t),(1.3.1)

и пусть в частном случае *)

|-^"|^0, h-i.lKS,(1.3.2)

т. е. локально можно разрешить первую систему уравнений относительно Ц и получить

= 11 (у, ?, О,

и, следовательно,

X = х (у, I, t).

Если существует функция 8 (у, |, t), такая, что

и Se С2, то преобразование, определяемое формулами х = s;, т) = Sj,

является каноническим, а новая функция Гамильтона имеет внд К (Т), §, t) = Я (у (Т), 1, t), X (Т), £, t), t) + ^- (у (Т), 1, t), 1, t).

Действительно, подставляя в (1.2.15) дифференциальное тождество

?TdTl = d(?TTl)-TlT^,

получим

хЧу + т^ + {К - Я) dt = d ^F + ^Ч).(1.3.3)

Если положить

S= F -W4 = S(y, g;t),

то из

dS=—dy ^-^A-—dt1

и из (1.3.3) находим

х^-^-х' {у, ^ t),^ = -Ц- = пт (У’ ^ 0.(1.3.4)

К = Н + St.

Для того чтобы записать преобразование в явном виде, потребуем, чтобы

I 8у8^ |

В этом случае получаем

5 = ^(У,», tY

и, следовательно,

= П(У, $^ 0

при выполнении очевидного условия | Эч\!Эу | =/= 0. Так как предполагалось, что5 е С2, то отсюда |5у/дт]| #= 0, и, следовательно, используя (1.3.2), возвращаемся к (1.3.1).

Для наших целей весьма важным результатом является последнее из уравнений (1.3.4), которое мы перепишем явным образом так:

ВДу, 5, 0, ^ 0=# (у, X (у, £, 0, tH ^- ky, It 0. (1.3.5)

Если преобразование не зависит от времени явно, т. е. St =/= 0, то новый гамильтониан является просто образом старого гамильтониана при отображении z->£.

Основная проблема Гамильтона—Якоби заключается в вопросе о существовании преобразования, генерируемого функцией S и такого, что новый гамильтониан сводится к некоторой абсолютной константе или, что эквивалентно, к функции, тождественно

равной нулю. Другими словами, мы ищем рашение такого дифференциального уравнения в частных производных:

Я(у, Sy,t) + St = O,(1.3.6)

где 8 = 8 (у, £, f). Как хорошо известно, Якоби показал, что общее решение этого уравнения находить не нужно, а надо только найти его полный интеграл, т. е. функцию S {у, £, f), зависящую от п произвольных постоянных | и такую, что | д8(9Х | ¥= 0. В этом случае новые переменные ц, | являются константами, и соотношения

ц = ц(у, х, t),§ = §(#,#,£),

которые получаются из (1.3.4), соответствуют 2п интегралам движения. Ясно, что если исходная гамильтонова система интегрируема в смысле существования и единственности решения уравнений

z = МН^

то производящая функция 8 (у, |, f) должна существовать (при этом она может и не выражаться через элементарные функции). Действительно, так как решение определяет каноническое отображение z = z(X, t), гДе £— вектор начальных условий, и так какдля<=<о 9у!9т\ = I (единичная матрица), то при достаточно малых |< — fol имеем |ду/дц| =#0, и, следовательно,

S = X'ryA-kt-t»Vky1^^(1.3.7)

при достаточно малых |f — <®| в полном соответствии с соотношением (1.1.19).

Проблему Гамильтона—Якоби можно обобщить, ослабив условие того, что новый гамильтониан должен быть абсолютной константой. С точки зрения методов канонической теории возмущений эту обобщенную проблему уместно рассмотреть более подробно.

Мы хотим узнать, существует ли каноническое преобразование, генерируемое функцией 8 (у, |, f), такое, что новый гамильтониан соответствует системе с меньшим числом степеней свободы, чем число степеней свободы системы, которой соответствует старый гамильтониан.

Один из способов решения этого вопроса состоит в приведении гамильтониана к виду

Я(ц, X,t) = H(y, х, t) + St(y, §, t),

для которого

дК!8х\к 0

(1.3.8)

при А: ='1, 2,. .., р ^ п. Получившаяся система, очевидно, сводится к квадратурам, если р = п или р'=п— I1). Это — самое меньшее, что надо потребовать от преобразования, но такое требование намного менее жесткое, чем предлагаемое в методе Якоби. Можно также потребовать, чтобы новый гамильтониан не содержал явно времени. Такая процедура в общем случае называется методом усреднения (см. [9]) и она обычно используется, если Н является периодической функцией времени t. Можно также легко обобщить это понятие на случай условно-периодических функций времени. Если Н зависит от некоторого малого параметра е и допускает тейлоровское разложение вблизи е = 0, то можно показать, что существуют формальные ряды относительно е, которые дают решение для 5 до любой желаемой степени параметра е. Свойства сходимости таких рядов в общем случае неизвестны. Задача существования таких рядов и их сходимости, строго говоря, относится к теории периодических поверхностей (см. [19], [20]) и к теории Мозера [55] инвариантных кривых при сохраняющих площадь отображениях. Последний из упомянутых вопросов будет подробно рассмотрен в главе IV настоящей книги. Качественное описание этих проблем можно найти в работе Кинера [42], посвященной исследованию движения спутника в гравитационном поле сжатой планеты. Теория Дилиберто в настоящей книге подробно не рассматривается. Этот подход на самом деле имеет отношение к изучаемым здесь вопросам, но его описание можно найти во многих книгах (см., например, [19], [33]).

Новый подход к изучению канонических преобразований был предложен в теории Ли [45]. В задачах динамики ряды Ли были использованы в различных случаях, и их хорошее описание, как основы исследования, можно найти в работе Лейманиса [44]. Совсем недавно эти ряды были введены в методы теории возмущений для нелинейных гамильтоновых систем, а затем также распространены на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих некоторым незначительным ограничениям, причем эти уравнения не обязательно должны иметь гамильтонову форму. Такие примеры применения рядов Ли будут обсуждены в главах II и V. Здесь мы только хотим описать то, что необходимо для понимания такого применения. Мотивом для введения рядов Ли служит такой простой факт, что если данная система зависит от некоторого параметра, то обычно бывает известно ее решение при нулевом значении этого параметра. Затем строится решение в виде ряда по степеням параметра, или в случае автономной системы решение может быть получено

с помощью канонических преобразований, которые аналогичным образом выражаются через степенные ряды по параметру. Вообще говоря, о сходимости этих рядов известно очень мало, однако во многих прикладных задачах они оказываются неоценимо важными. В таких задачах сходимость проверяется с помощью точного численного интегрирования или с помощью наблюдений системы. Здесь, по-видимому, будет уместно повторить некоторые слова профессора Зигеля [64] о нормализации функций Гамильтона: «Возможно, что из-за наличия малых знаменателей в коэффициентах преобразования ряды в общем случае будут расходиться, однако до сих пор ни одного примера такого рода не найдено. Из хорошо известной теоремы Пуанкаре об аналитических интегралах канонических дифференциальных уравнений мы можем только заключить, что эти ряды не являются всегда сходящимися..., тогда как эта теорема не может быть применена к фиксированной функции Н». Позднее о некоторой специальной проблеме он сказал: «В частности, интересно решить, является ли функция Н регулярной или сингулярной (т. е. приводится ли она к нормальной форме сходящимися рядами) в этом специальном случае..., однако, по-видимому, этот вопрос не поддается решению известными методами анализа». Мозер [54] исследовал аналогичные вопросы, но, в сущности, не смог доказать ни одной новой теоремы о степени частоты встречающихся случаев регулярных гамильтонианов, а только повторил результаты Зигеля (см. [65] и § 6 гл. IV).

'4. Ряды Ли и преобразования Ли

То, о чем пойдет речь в этом параграфе, относится к следующему факту (доказательство приводится к тексте).

Пусть 8 (у. ас, е) и Цу, ас, е) — функции, зависящие от «-мерных векторов у (координаты) и® (канонически сопряженные импульсы) и от безразмерного параметра 8. Предполагается, что 8 и / — действительные аналитические функции 2n + 1 переменной. Определим такой оператор

M = U,W) + -^,(1.4.1)

где (/, W) — скобки Пуассона. Наконец, рассмотрим оператор

Ewi=^^wiV»,(1.4.2)

гдегдеп>0 "

где

где

А^/=/,

Aw/ = ^wf 1

A^/ = AWA^*/ (n = 2, 3, ...).

Тогда основной результат при сделанных предположениях заключается в том, что если ряды (1.4.2) сходятся, то преобразование

T]A = #wyA, £а = Ewxh(1.4.3)

является полностью каноническим.'Более того, произвольная вещественная аналитическая функцияg (у, ж) выражается через новые переменные ц, по формуле

£(у01, I, е), ж (ц, |, е)) = Ewg^, |).(1.4.4)

Теорема Ли ([45]). Впервые ряды Ли к методам теории возмущений применил Хори [34]. Он рассматривал операторы Dgf, определяемые формулами

D°sf = L D$f = (f, S),^=0^,(1.4.5)

где /, 8 — вещественные аналитические функции 2п канонически сопряженных переменных ц, ^: ц = (щ, ..., ц„), ^=i (£i, ...,£„). Теорему Ли Хори записал в следующем виде:

Теорема Ли. Набор 2п переменных у, х, определяемых уравнениями

Ж х^^^ЦчЖ(1.4.6)

п=0

будет каноническим, если ряды сходятся для достаточно малых е независимо от значений ц, ^.

Доказательство такой теоремы весьма просто. Введем каноническую систему дифференциальных уравнений•

^ _ 88_dx — 8^?^ _ 88_dx — 8^?d^j _88dxйт)^d^j _88dxйт)^(7 = 1,2, ...,п^(7 = 1,2, ...,п^(1.4.7)(1.4.7)

^ _ 88_dx — 8^?

^ _ 88_dx — 8^?

d^j _88

dxйт)^

d^j _88

dxйт)^

(7 = 1,2, ...,п^

(7 = 1,2, ...,п^

(1.4.7)

(1.4.7)

где т — произвольный параметр, и пусть функции т],(т), £,(т) будут единственным решением этой системы уравнений в области, в которой 8 — вещественная аналитическая функция. Тогда из (1.4.6) следует, что

а в силу аналитичности Ду, х) имеем

Уу^.цДт + е), Xj = £Дт + е) (/ = 1, 2,..., п) (1.4.8)

для достаточно малых е. Так как величины (1.4.8) являются решением гамильтоновой системы (1.4.7), а отображение (1.4.8) — каноническое, то из этого следует, что переменные у, х будут каноническими.

Если задан «генератор 5», то, как следует из (1,4.6), преобразование будет иметь такой явный вид:

(1.4.9) n=l1n=l1

Кажущимся неудобством такой теории для приложений в методах теории возмущений является то, что функции / и S, как правило, должны быть представлены в виде степенных рядов по е, а такая зависимость не учитывается в вышеприведенных формулах. Модифицированный подход к этому вопросу был предложен Депри [17]; позже различными авторами (см., например, [49]) была показана эквивалентность этого подхода и теории Хори. Эквивалентность обобщенной теории преобразований Гамильтона—Якоби и преобразований Ли, использовавшихся в работах Пуанкаре, Хори и Депри соответственно, будет показана в конце главы II. Здесь мы ограничимся изложением основных теорем преобразований Ли для случая, когда функции / и S зависят от е. Основной целью является получение соотношений (1.4.3) и (1.4.4). Изложение проводится так же, как и в работе Депри [17].

Рассмотрим вещественные аналитические функции / и S, зависящие от 2п канонически сопряженных переменных. Скобки Пуассона (/, 5) можно записать в виде

V- ду \дх ) Эх \ду ) ’

где, как обычно, производная скалярной функции по вектору предполагается строчной матрицей. Можно определить 2/г-мер- ный вектор z = (у, х) и двумерный вектор (/, S) и записать матрицу Пуассона размерности 2X2

Pz(f,S) = JzMjTz,(1.4.11)

где Jl=d(j, S)/dz—матрица размерности 2X2n а М — единичная симплектическая матрица размерности 2n X 2щ Тогда

/ 0 1\

Рг(/,£)-(/,0).

Для нетривиального канонического преобразования z = z(£) имеем

ГМ] = м,

где 7 = да/д^. Тогда

J^ = JJ.(1.4.12)

Теперь получаем

Pt (j, S) = Jt,MJX = JzJMJ'Jz = JzMTz = Рг (j, SY

что показывает инвариантность матрицы Р относительно канонических преобразований.

Производная Ли функции /, генерируемая функцией S, имеет вид

Lsf=U,SY[(1.4.13$

Так как Lsj является билинейной формой относительно /, S, то отсюда вытекают следующие свойства (а, р — постоянные числа)!:

Ls (af + pg) = aZs/ + ?>Lsg,

Ls(j-g) = f-Lsg + g-Lsf,

(1.4.14)

Ls U, g) = (/, Lsg) + (Lsj, g),

LsLs-j = Ls'Lsj + Lts,S')j.

Если ввести определение Lsj = j, то п-я производная Ли будет иметь вид

Lsj = LgLg ij.

Для этой производной легко проверить следующие свойства:

Lg (а/ + Pg) = a.L’sj + pLgg,

bs(/-g)=2CT-Ln,(1.4.15)

m=0.

C)L"g(j, g)= 2 C^№,LTmgY

m=0

Если S — вещественная аналитическая функция, то можно выбрать такое достаточно малое число е, что ряды

25-^/ = exp(eLs)/(1.4.16)

п=0

будут сходящимися для аналитических функций j.

Опять нетрудно проверить следующие свойства:

exp (eZs) (ос/ + Pg) = а exp (eZ,s)/ + Р exp (eLs) g,

exp(eLs) (/ • g) = exp(eZ,s)/ • exp(eLs) g,

(1.4.17)

exp(eAs) (/, S) = (exp(e£s)/, exp(e£s)g).

Из последнего свойства вытекает следующее утверждение.

Теорема. Пусть е— постоянный параметр. Рассмотрим преобразование z = z(^ 2п-мерного вектора z = (y, а;), где у, ж— канонически сопряженные переменные, в 2п-мерный вектор S = h, 1). Если существует такая вещественная аналитическая функция 8 (z), что ряды

£ = exp (eLs) z(1.4.18)

сходятся в некоторой области z-пространства, то преобразование будет каноническим.

Заметим, что по существу эта теорема совпадает с теоремой Ли, сформулированной выше. Доказательство рассматриваемой теоремы немедленно следует из таких соотношений:

?г ^^i exp (eLs)zt

и из формулы (1.4.17), примененной к выражению

(Ль Si) *=i (exp (eLsJzj, exp (eLs)z,) = exp(eLs) (zt, z,) или

P(^ = exp (eLs)P(z).

Так как z — канонический набор переменных, то Р (z) = М и, следовательно,

Р(^ = м,

т. е. £ — также канонический набор переменных.

Другим важным результатом является закон преобразования произвольной функции переменных z в функцию переменных £.

Теорема. Образ каждой вещественной аналитической функции / (z) при преобразовании

z = ехр (еЛе) g(1.4.19)

есть функция

Т(Л, ^) = f (exp (e£s) g) = exp (e£s) / ^*(1.4.20)

Действительно,Действительно,Lst (£, б) — -^- Lsz,Lst (£, б) — -^- Lsz,(1.4.21)(1.4.21)

Действительно,

Действительно,

Lst (£, б) — -^- Lsz,

Lst (£, б) — -^- Lsz,

(1.4.21)

(1.4.21)

где дЦдг— строчная матрица Ildy/SzJI, a L8z—матрица-столбец II (zk, S) ||.

Дифференцируя (1.4.19) по е, находим

szsz

sz

sz

и, следовательно, получаем

ь8ж е) = 4444 = 44-Ы/ Qz Q6Q6

Повторяя эту процедуруПовторяя эту процедуруп раз, находим81 дъпп раз, находим81 дъп

Повторяя эту процедуру

Повторяя эту процедуру

п раз, находим

81 дъп

п раз, находим

81 дъп

или из (1.4.20)5^75епили из (1.4.20)5^75еп= ^зЖ 0) = ЖУ 8=0= ^зЖ 0) = ЖУ 8=0(1.4.22)(1.4.22)

или из (1.4.20)

5^7

5еп

или из (1.4.20)

5^7

5еп

= ^зЖ 0) = ЖУ 8=0

= ^зЖ 0) = ЖУ 8=0

(1.4.22)

(1.4.22)

Следовательно, тейлоровское разложение функции f ^ в) имеет

вид

/«.=) = 2 т ^ = 2® - «*ж.

п=0088=0 п—0

что и завершает доказательство.

Из этой последней теоремы можно получить следствие, которое в конечном счете устанавливает справедливость подхода Хори, рассматривавшего 8 как функцию е.

Следствие. Если функция j^z, е) допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности точки е е= 0, т. е.

1М = 24Мt1-4-23)

n=0

го после применения канонического преобразования (1.4.19) получим

/ (2 ^ ^, 8) = 2 4г 2 №^п-го ©.(1.4.24)

П=0771=0

3 г. Е. О. Джакалья

Действительно, из (1.4.20) получаем соотношение

/n(z(£,e)) = 2 ^М^771-0

после подстановки которого в (1.4.23) и после собирания членов одинакового порядка по е приходим к желаемому результату.

Наконец, докажем следующую теорему о преобразовании, обратном к каноническому преобразованию, определяемому рядами Ли.

Теорема. Преобразование, обратное к преобразованию

z = exp(eLs)g, имеет вид

g = exp (eL_s) z.(1.4.25)

Действительно,

£ = exp (eLs.) z = exp (eLsJ (exp (eLs) g) = exp (e (Ls, + Ls)) g.

Оператор exp (e (Ls. Ls)) должен соответствовать тождественному преобразованию, для которого Ls. -|- Ls = 0. Следовательно, S' •= —S, что и требовалось доказать.

Преобразование Ли, зависящее от параметра

Как уже раньше говорилось, канонические преобразования, связанные с методами теории возмущений, обязательно зависят от параметра, вообще говоря, малого; при этом решение бывает известно, когда этот параметр равен нулю (или любому другому фиксированному числовому значению). В терминах описанной в предыдущем параграфе теории преобразований Ли это означает, что генератор преобразования может явно зависеть от параметра е. Такую зависимость можно учесть введением оператора [17]

bs = Ls+-^(1.5.1)

со следующими очевидными свойствами:

а)

As(a/ + ^) = aAs/ + PAsg,

Ь)

As(/-g) =/• Asg+g-As/, As(/,g) = (As/,g) + (/, Asg),

с)

d)

ASASV = As-As/+ L(S,|S)/+ L ./,

Dg—tig

где

s = s (z, е), s£ = as/a£.

Также разумно определить n-ю итерацию оператора Ав/ в помощью формул

A^ = As(ArV),

А£/ = /.

Легко получить соотношения, соответствующие свойствам (1.5.2). Введем такие определения:

/п (?’ 0) — [Аэд.е)/ (?, е)]е=о(1.5.3)

и новый оператор

Esf=f ^-fnW(1.5.4)

ii -0

Очевидно, что если существует конечная величина А, такая, что

/„(g, 0)<Л»

для £ из некоторой окрестности точки go, то ряд (1.5.4) сходится. Следующие соотношения легко проверить:

£g(a/ + Pg) = aEsf + ^Es g,

EB(f-g) = Esf-Esg,(1.5.5)

EB(f,g) = (Esf, Esg).

Так же, как ранее это было сделано для оператора Ls, можно теперь показать, что преобразование g, e-*z, определяемое формулами

z = '£s(?)= У^-гп(?,0),(1.5.6)

71=0

является каноническим и описывается сходящимися рядами. Для определения генератора приведенного выше преобразования докажем следующую теорему.

(1.5.7)(1.5.7)Теорема. Преобразование z = Es (g) является решением гамильтоновой системы уравнений

(1.5.7)

(1.5.7)

аг I dz / ’

соответствукицим начальным условиям z = t, при е = 0. При атом функция S(z,e) связана с Eg^ формулами (1.5.4) и (1.5.3).

Действительно, рассматривая (1.5.1), имеем

Asz(g, е) = ^sz(^e) +Asz(g, е) = ^sz(^e) +»z_dz/dS\T dz/dSV1 ds dy ^Зж у Эх \^ду )»z_dz/dS\T dz/dSV1 ds dy ^Зж у Эх \^ду )dzds’dzds’

Asz(g, е) = ^sz(^e) +

Asz(g, е) = ^sz(^e) +

»z_dz/dS\T dz/dSV1 ds dy ^Зж у Эх \^ду )

»z_dz/dS\T dz/dSV1 ds dy ^Зж у Эх \^ду )

dz

ds’

dz

ds’

где z = со1(у,ж). Из (1.5.7), где 8 = 5(^, е), находим

'dS\T das)'dS\T das)dy‘ ds'dy‘ ds'(dS_\T dx^dy /ds '(dS_\T dx^dy /ds '

'dS\T das)

'dS\T das)

dy

‘ ds'

dy

‘ ds'

(dS_\T dx

^dy /ds '

(dS_\T dx

^dy /ds '

так что

. x dz dy . dzdx , dz dz,. - „,

=+:(1.5.8)

Предполагая преобразование z (£, e) вещественным и аналитическим, получаем

АИ,е) = ^,(1.5.9)

аг

а при е = 0 это дает такие соотношения:

АМ,е)АМ,е)dnzdsn е=оdnzdsn е=о= =п (5, 0),= =п (5, 0),(1.5.10)(1.5.10)

АМ,е)

АМ,е)

dnz

dsn е=о

dnz

dsn е=о

= =п (5, 0),

= =п (5, 0),

(1.5.10)

(1.5.10)

так что, используя (1.5.6), находим

Это и завершает доказательство теоремы.

Преобразование вещественной аналитической функции / (z, е) при каноническом преобразовании z = z(^, е) = Es(£), определяемом формулами (1.5.6), записывается с помощью такого простого соотношения:

f.(Es^, b^Esf^ 6).f.(Es^, b^Esf^ 6).(1.5.11)(1.5.11)

f.(Es^, b^Esf^ 6).

f.(Es^, b^Esf^ 6).

(1.5.11)

(1.5.11)

Действительно, вдоль решения z = z (S, е) системы (1,5.7), проходящего через точку z = ^ при е = 0, как следует из (1.5.10),

имеем

n=Q

d^f' dBn'

e=0n=0

8=0

Следовательно, из определения Eg получаем соотношение

которое совпадает с (1.5.11).

Интересным частным случаем правила , преобразования (1.5.11) является случай, когда 5(£, е) и /(£, е) представляются степенными рядами по е, т. е.

S(^) = 2 5-Sn+1®,(1.5.12)

п—О

/(^е) = 2^"/п(?).(1.5.13)

П^О

В этом случае введем определение

LSp = Lp (.Р 1)»

так что с помощью результатов предыдущего параграфа найдем

4/«,=)-2т/-+1«)

И

Lgf (?, е) = 22 C™Lm^k-m ®.

71=0ш=0

Тогда, представляя As/ в виде ряда

п—0 находим

f^ (?) = /„+1 (?) + 5 СЬт^п-т (?)771=0

и, следовательно,

/k0 (?Wi + Wo = А + (Ar W

Вводя аналогичным образом ряды

165=^№®-

находим

А2) (5) = /&, (5) + 2 CT^Lm (5)т=0

и, следовательно,

или, используя выражения для fo\ fi\ получаем

/2) (?) = А + 2 (A, SJ + (/„, S^ + ((/„, ^), SJ.

Таким образом, получаются общие рекуррентные формулы преобразования функции / (z, е) при преобразовании, задаваемом рядами Ли с генератором S (z, е) в случае, когда обе эти функции являются вещественными аналитическими функциями всех переменных, а е берется из некоторой окрестности точки е = 0:

№ (?) = f№ + 2 C™Lm^M. (1.5.14)

m=0

Эту формулу можно проиллюстрировать следующим символьным треугольником

Интересным частным случаем является закон преобразования вектора z = col(y,;r). Каноническое преобразование задается формулами

У = ^(т]) = 2 5^(5, 0),

n:° п(1.5.15)

®-^(1) = 2-и-^п)^0),

п—0

где коэффициенты Чо0 = Чо0 (£> 0) и |оп) = 1оп) (?, 0) определяются в результате описанной выше рекуррентной процедуры. В (1.5.15) очевидно ЧоО> =4 и 1оО) = I-

Все описанные выше процедуры можно обобщить на случай явной зависимости канонического преобразования от времени. Один из способов получить этот результат заключается в том, чтобы принять время за добавочную каноническую координату, тогда сопряженным импульсом будет сам гамильтониан1). Такой путь сразу же приводит к алгоритму, описанному детально в работе Депри [17].

Эквивалентность преобразований

В предыдущих параграфах мы описали несколько способов получения канонического преобразования в виде ряда по степеням параметра е. Такие преобразования можно записать в виде

(1.6.1)(1.6.1)(1.6.2)(1.6.2)У = У(Ч-1, е), ж = ж(ч, 1,е)

(1.6.1)

(1.6.1)

(1.6.2)

(1.6.2)

или

z = z(g, е),

где х, у, ч,1— n-мерные векторы, a z,£— 2п-мерные векторы. С помощью генератора, удовлетворяющего уравнению Гамильтона—Якоби, т. е. с помощью генератора, который требуется в методе теории возмущений Пуанкаре, преобразование (1.6.1) можно записать так:

/^W\t/ЛИЛт

у = ч - у (ч, 8),1 = ^ +- 1 (ч,в), (1.6.3)

где W = W (ч, х, е) —производящая функция. Условие

W (ч, х, 0) = 0(1.6.4)

указывает на то, что преобразование (1.6.1) является преобразованием, близким к тождественному при достаточно малых е.

Преобразование аналогичного типа, как было видно, осуществляется с помощью генератора 5 = 5 (у, ж, е), которому соответствует решение такой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений:

dy _ /asy de’dy _ /asy de’dx /asy de\ дУ/dx /asy de\ дУ/(1.6.5)(1.6.5)

dy _ /asy de’

dy _ /asy de’

dx /asy de\ дУ/

dx /asy de\ дУ/

(1.6.5)

(1.6.5)

*) Гамильтониан co знаком минус (прим. nepee.Y

с начальными условиями у = т], х — с при е = 0. Справедливо следующее основное утверждение об эквивалентности преобразований.

Теорема (Шнайад [63]). Генераторы W и S, удовлетворяющие описанным выше условиям, удовлетворяют также соотношению

S(y,x,e) = ^(т),ж, е), (1.6.6) где

(

5W\T =У1ч,х, 8). (1.6.7)

В самом деле, после применения преобразования (1.6.3) к системе (1.6.5) новый гамильтониан S' (т), £, е) в соответствии с теорией Гамильтона—Якоби определяется формулой

8' От § От ж, е), 8) = S {у (т], X, е), ж, е) — ^ (Т], X, б). (1.6.8)

С другой стороны, величины т] и ^ по определению должны быть постоянными, и, следовательно, гамильтониан S'(i], £, е) должен быть тождественно равен нулю, что и доказывает теорему.

Теперь, вспомнив, что в общем случае функции W и S представляются степенными рядами по 8, найдем связь между коэффициентами этих двух рядов. Действительно, так как функция S' тождественно равна нулю, то соотношение

„ /. /6W\t\ 9W ,\ л/л а л\

должно удовлетворяться тождественно при любых значениях 2n + 1 независимых переменных т), ж, 8.

Запишем S и W в виде рядов

S (у, ж, е) = 2 8п+1 (у, х) £п,

(1.6.10)

W (т]. Ж, 8) = 2 ^п (л, Ж) 6”,п=1

где переменные у определяются формулами (1.6.7).

Подстановка рядов (1.6.10) и (1.6.7) в (1.6.9) приводит к рекуррентным соотношениям

2 8х 8^2 8х 8^

2 8х 8^

2 8х 8^

и т. д. Здесь 8Sj8t\ и производные высших порядков вычисляются по формуле 8Sn/8i\ |y=n- В общем случае в работе Мерс- маиа [51] найдено, что

W] = Sb

(n Н 1)Жп+1 — Sn+l + kl *4 9^. .. .др. дх, ■“ Эх. ’1 ’

к=1 у '*1 'th *1«к

где второе суммирование осуществляется по всем наборам из к -|- 1 целых положительных чисел До, Рь • • ■, Ри, таких, что ро + _]_ рх _]_ . ., -|- рк = п -[- 1. Соотношения (1.6.11) полностью эквивалентны соотношениям, первоначально полученным в работе [28] при нахождении явных формул для метода Цейпеля (Пуанкаре). Рекуррентные формулы (1.6.11) теперь можно использовать для установления явной связи между генераторами, определяемыми методом Пуанкаре и методом Хори и Депри с помощью рядов Ли. Эти соотношения детально исследованы в работе [51]. Эквивалентность формул Хори и Депри устанавливается косвенным образом при внимательном изучении того факта, что при оригинальном подходе Хори генератор S может на самом деле считаться функцией е, хотя в этом случае приведенное доказательство теоремы Ли не годится. Впервые дискуссия по этому вопросу была открыта в работе [10] в связи с обсуждением некоторых отрицательных замечаний Депри [17] о теории Хори. Аргументация авторов этой работы по существу сводится к тому, что они считают генератор S принадлежащим некоторому однопараметрическому семейству (параметр семейства ео), затем строится преобразование при фиксированном значении параметра и показывается справедливость построений для любого значения 6 параметра ео. Аналогичный прием весьма успешно применил Пуанкаре [58] в задаче, в которой одному и тому же параметру фиктивно присваивалось два разных наименования; Пуанкаре проводил разложение по двум параметрам, а на последнем этапе опять употреблял одно наименование параметра.

Для примера вслед за Пуанкаре рассмотрим функцию

/ (е) = sinч

х '1 — е

и ее разложение в ряд Тейлора вблизи е = 0. Можно провести это разложение следующим образом. Пусть

. е . еsm = S1H *:.

1 — е 1 —ц

Тогда разложение в ряд Тейлора имеет вид

.8sin ч1 -ц.8sin ч1 -цб” 12п! (1-р)б” 12п! (1-р)[!-(-!)"] =[!-(-!)"] =

.8

sin ч

1 -ц

.8

sin ч

1 -ц

б” 1

2п! (1-р)

б” 1

2п! (1-р)

[!-(-!)"] =

[!-(-!)"] =

- 2 £ и - <- m 2с”. (- от-71=07П=0

Вспоминая, что р, равно е, получим выражение

™ г£ - i i £ с'- <- ^-t i - <- D-i p=0 ln=0

которое, как нетрудно проверить, по существу является точным разложением функции /(е) в ряд Тейлора.

В рассматриваемом случае, возвращаясь к оператору

exp (e£s) = 2 V71=0*

находим, что свойство

exp(e£s)(£ g) = (exp(eLs)/, exp(eZ,s)g)

не зависит от того, будет ли функция S зависеть от е или нет. Следовательно, в силу того, что вышеприведенное свойство является основой доказательства каноничности преобразования

z = exp (eLs) g,

находим, что его можно применить и при доказательстве в случае Хори.

Обобщенные преобразования на основе рядов Ли

Рассмотрим п-мерное векторное пространство и неособенное вещественное аналитическое преобразование точки х в точку у этого пространства, определяемое формулами

У = Ж + 2 ^Т Ут W,(1-7.1)

т=1*

где^т—и-мерные векторы, а £ — параметр, не зависящий от х. При е = 0 преобразование (1.7.1) будет тождественным, а при достаточно малых е и при условии сходимости рядов (1.7.1) это

преобразование будет близко к тождественному. Однако мы будем считать выражения вида (1.7.1) лишь формальными рядами и применять к ним все правила операций со сходящимися рядами (см., например, [И]).

Одной из целей всех последующих выкладок является создание простого алгоритма преобразования произвольной векторной функции F (у, е) после применения преобразования фазовых переменных по формулам (1.7.1). Результат мы хотим получить в виде степенного ряда по е, т. е. хотим найти коэффициенты в разложении

F(y(;r,e),e) = 2^^W-(1-7.2)-

п=0

Ясно, что для того, чтобы ряды (1.7.2) существовали, векторная функция F должна быть вещественной и аналитической по е при е ,.= 0. Предположим также, что она является вещественной аналитической функцией по у. Хори [35, 36] и Кэмел [37] независимо развили два разных алгоритма, главная цель которых состоит в решении при помощи формальных рядов задач нелинейных колебаний. Описание применений этих алгоритмов будет приведено в следующей главе. Здесь мы ограничимся описанием упомянутых выше формальных разложений.

По предположению функцию F^x, е) можно разложить в ряд

“l^F.W. (1.7.3) п=0\ оь / е=0 п—о

а также в ряд

F<x<y,e),e) = ^^-Fw^,(1.7.4)

п=0

где

_(п)rf" „ ../ д , Эх д \« „ , ,. .

+ F^^’е’е ’

Обе=0 Vs "6е=0

а преобразование ж = ж(у,е) является обратным к преобразованию (1.7.1) и оно предполагается существующим.

Обращая (1.7.1), мы можем также записать

(1.7.5)(1.7.5)х = У + ^

(1.7.5)

(1.7.5)

П—1

так что

8х8г8х8г

8х

8г

8х

8г

(1.7.6)

Выражение для дх/дь ясно указывает, что переменные у при этом считаются постоянными. Выражение (1.7.6) можно записать так:

^ = Т(я,е),(1.7.7)

где

Т ^ ®) = 2 -Й-^1’ (У) = 2 ^ Tn+i кх\ (1.7.8) п=0п=0

Тогда имеем

а99х88т8е_ де де де дх 8г х ' дх 8г'*

где оператор Ly, определяемый выражением

Ьт = Ткх.^(1.7.10)

действует на произвольную вещественную аналитическую функцию / (ж, е). В последнем выражении Т (ж, е) считается п-мер- ной вектор-строкой, а д/дх — и-мерпыми вектор-столбцами. Теперь мы получаем

n=0

В* m 9Fn W

п=0п=0ml "+1 8x —

п=0

п=0

= 2 ^Чх), (1.7.11) n=0

где

"8F

F^ (x) = Fn+1 (ж) + 2 C™Tn_m+1 (x) -^ =

m=0

= Fn+1 (x) + 2 C^T^ (x) -^2. (1.7.12) p=0

В общем случае мы получаем

^^(Ж,б) = 2 ^^(ж),(1.7.13)

^п=0*

где

F^ (я) = F^P (ж) + 2 С™Тт+1 (х) -2^L(1.7.14)

т=0

при А ^ 1 и п ^ О, а

F^ (х) = Fn (ж), F^ (х) = Fw (х) = Fw (у) |y=„ (1.7.15)

Уравнение (1.7.14) является основой рекуррентного алгоритма получения коэффициентов Fw (х) по Fn (х) в рядах (1.7,4) и (1.7.3). Наименование переменных, разумеется, является условным. Соответствующие формулы получения коэффициентов Fn (ж) по коэффициентам Fw (ж) имеют вид

F^ = F^ - 2 С^Т^ (ж) "Y (1.7.16)

771—О

где п ^ 1 и к ^ 0.

Последовательная подстановка формул (1.7.16) друг в друга, начиная с п = 1, дает

F^ = 2 C^Nj(1.7.17)

j=o

где n^ 1, к 5s 0, а линейные операторы N5 (j ^ 0) определяются формулами

Уо = 1, ..

- 2 С?Г^5Цтт (X) У = - 2 СТ"^5_тЬт (1.7.18)

Щ=1'Ш=1

при / > 1 и■

Lm = Tm^^.(1.7.19)

Например, первые несколько операторов Nj имеют вид

No = 1,

Nx=-Li,

N2 = -NxLi-L2,

No = — N2L\ — 2,N\L2 — Lo,

В частности, при к ='0 уравнения (1.7.17) дают

Fn = 5 NjJ=o

что можно переписать так

Fn = 2 С^,п_ь(1.7.20)

j=0

где

Fja = - m2 СнУн*(1.7.21)

Здесь по определению

Foa = F№.

Формулы (1.7.20) дают возможность рекуррентного получения величин F(n) через Fn или величин Fn через Fw- Как было обнаружено Кэмелом, они являются наиболее простыми из всех возможных формул.

Векторное преобразование. Коэффициенты уп (х) в (1.7.1) теперь можно легко получить по формулам (1.7.16), примененным в специальном случае (1.7.3). Тогда получаем

Fw = F = y,

F(ft) = 0,к>0,

Fg = Уд (х) = X,Fn0) = Fn = уп (л).

Действительно, формулы (1.7.16) в этом случае дают

„ ( \ V т , х ^У п~т—1 ^Х1

Уп Vх)—1-* т+1 Vе) ^

771=0

или, считая р =1 та + 1,

Уп М - 2 C”-vTP

или

рп ^ = -Тп (л) - 2 С^-\ТР (ж) ^=^.(1.7.22)

Обратное преобразование получается из (1.7.14) или непосредственно из (1.7.21).

Действительно, в обозначениях выражений (1.7.4) получаем F(x(y, е), е) = х,

Fw = y, F^ (у) = Х(п\у), и

П=1"

Рекуррентные соотношения (1.7.21) с учетом (1.7.8) дают

3

Хзл^ = - 2 С^Т^-^Хз-тЛ^

m=1(1.7.23)

Xw (у) - Т„ (у) - ^CUt Хм (у), j=l где

Х0Л = Х(к) (у).

Применения полученных выше результатов будут описаны в следующей главе, где мы будем иметь дело с проблемой интегрирования нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Замечания

Липдстедт [46] показал значение развития метода теории возмущений, который дает возможность исключить секулярные и смешанные секулярные члены при исследовании возмущенных гармонических осцилляторов. Этот метод он описал различными способами, но всегда подразумевалось, что возмущающие силы должны быть четными или нечетными функциями входящих в них угловых переменных. Вскоре это ограничение было снято Пуанкаре [57 — 60]. В своих прославленных «Новых методах» (т. 2) [58] он развил канонический аналог метода Линдстедта, который даже на сегодняшний взгляд кажется очень общим и детально разработанным. Однако ясно, что основная идея метода Пуанкаре восходит к работам Делоне [16] и некоторым дополнениям Тиссерана [68] к теории движения Луны, развитой Делоне. В действительности можно даже вернуться ко второй теории движения Луны, разработанной Эйлером [23], Последний, очевидно, отдавал себе отчет (и это видно при сравнении двух

его лунных теорий между собой) о значении разложений частот возмущенных систем в степенные ряды по малому параметру задачи. Эти теории оказали большое влияние на работу Пуанкаре [58]. Заслуга Цейпеля состоит, главным образом, в применении метода Пуанкаре к теории движения хорошо определенных систем, хотя систематическое выделение членов разного периода при разложениях возмущений безусловно является важным вкладом в теорию возмущений, особенно если учесть тот факт, что различные короткопериодические колебания малоинтересны, а наибольшее значение имеют долгопериодические или секулярные члены. Вообще методы усреднения (в том смысле, в котором они употребляются в книге Чезари [12], [13]) были весьма популярны в небесной механике, хотя и без изучения проблемы их сходимости. Возможно, это произошло из-за вполне определенных утверждений Пуанкаре о расходимости рядов Линдстедта. Такие ряды использовались и продолжают использоваться для достаточно точного прогноза положения различных небесных тел. Крылов и Боголюбов [39], [40] дали некоторые оценки ошибок, получающихся при отбрасывании членов цыше некоторого порядка, а как следствие новых успехов в небесной механике в 60-х годах эти оценки были улучшены Кинером [42], [43]. До некоторой степени удивительно, что в западной литературе существует огромный пробел в описании проблем, связанных с линейными и нелинейными колебаниями,— область, весьма хорошо представленная в советской литературе, особенно начиная от работ Ляпунова и до 1950-х годов. Вся небесная механика развивалась в результате использования имевшихся к концу прошлого века достижений классического анализа, а также результатов из нелинейной теории цепей, и похоже, что механические системы для западных математиков не являются чем-то очень привлекательным. Выдающаяся работа Чезари [12] в 1940 году не сразу получила законное признание, в то время как в ней впервые содержалось доказательство сходимости метода усреднения для широкого класса задач. Интересные работы Гамбилла [24] — [27] и Хейла [30] — [33] появились болеее чем через десять лет1). Работы Биркгофа [3] —[5], Зигеля [64], [65]и Уинтнера [69] были больше направлены на математические аспекты качественных свойств динамических систем. Одновременное изучение Биркгофом пространственного движения в ограниченной задаче трех тел и численные эксперименты Стремгрена [66] были оценены совсем недавно и обобщены в ценной работе Себехея [67].

’) Заметим, что основные теоремы работ [12, 24 — 27, 30], доказанные при помощи метода сжимающих отображений, позднее были естественным путем получены В. А. Якубовичем (см., например, [22*]) только на основании теорем Ляпунова (прим. перев.).

Мультон [53] и Макмиллан [47] также должны фигурировать в списке ученых, которые получали одновременно и теоретические, и численные результаты. Аналогично Адамс и Дарвин [15]. Метод Пуассона [61] вариации интегралов движения является одним из немногих методов, использовавшихся в течение долгого времени. В современной литературе он был возрожден Кирхом [41] и в связи с разными проблемами и под разными названиями упоминается в работах Дэнби [14], а также Брауэра и Клеменса [7]. Недавно во многих работах он появился под названием Универсальных Переменных в ньютоновской задаче двух тел1). Использование векторного и матричного исчисления также еще встречается редко в книгах, написанных более чем через сто лет после окончательной разработки этого аппарата. Книги Зигеля [65] и Абрахама [1] показывают эволюцию классических математических представлений одних и тех же проблем в наши дни. Определение матриц Лагранжа и Пуассона вообще трудно найти где-нибудь, и приходится ссылаться на работы по квантовой механике и теории поля. Доказательство условий симплектичности для канонических преобразований весьма упрощается при использовании матричных обозначений. Связь между анализом нелинейных цепей, методами нелинейной механики и классическими методами усреднения в небесной механике вполне отчетливо показана в работе Чезари [13]. Эквивалентность метода Крылова — Боголюбова — Митропольского и метода Цейпеля впервые показана в работе Бурштейна и Соловьева [9]. Усилия по созданию наилучшей теории движения искусственных спутников до некоторой степени инициировали появление новых исследований по аналитической и геометрической теориям. После 1960 года стало ясно, что появились два встречных потока исследований в теории нелинейных колебаний и в небесной механике. Ключевые работы в этой области выполнили Мозер [54] — [56], Хейл [30] — [33] и Дилиберто [18] — [21], а в Советском Союзе — Колмогоров [38], Арнольд [2] и Мерман [48]. Важный шаг в сторону (и вперед) от работ Пуанкаре и Биркгофа был сделан Хори [34], который использовал канонические отображения Ли. Всего за год до этого ряды Ли использовались в работе Леймани- са [44], посвященной изучению движения твердого тела, однако без попыток применения методов теории возмущений. Распространение этих результатов на неканонические системы было осуществлено в докладе Хори [35] и независимо в работе Кэмела [37]. Однако такое обобщение является несущественным, так как любую систему можно записать в гамильтоновой форме, на что впервые указал Дирак [22]. Этот факт был хорошо известен исследователям по теории оптимизации и теории управления, хо-

]) Об Универсальных Переменных см., например, [3*] (прим. перев.^.

^ Г. Е. О. Джакалья

тя большинство прикладных математиков, работавших в затронутых в настоящей книге областях, ничего об этом не знали. Ранними работами в этой области, насколько нам известно, являются работы Минера, Тэпли и Пауэрса [52]. Наконец, операции с формальными рядами, как с обычными сходящимися, обосновываются, например, в работе Картава [И]. По-видимому, это не первая работа, но одна из лучших.

ЛИТЕРАТУРА

Abraham R. Foundations of Mechanics.— Philadelphia: W. A. Benjamin Inc., 1967.

Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.— УМН, 1963. т. 18, №-6, стр. 91—492.

В i г k h о f f G. D. Proof of Poincare’s geometric theorem.— Trans. Amer. Math. Soc., 1915, vol. 14, N 1, p. 14—22.

Birkhoff G. D. The restricted problem of three bodies.— Rend. Giro. Mat. Palermo, 1915, vol. 39, p. 1—115.

Бир кгоф Дж. Д. Динамические системы.— М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

В г е v е s J. A. A new proof of the conditions for a canonical transformation. Seminars Univ, of Sao Paulo, 1968.— In: Celest. Meeh., 1972, vol. 6, No. 1.

Брауэр Д.. Клеменс Дж. Методы небесной механики.— М.: Мир, 1964.

В г о w n Е. W. Elements of theory of resonance.— Houston: Rice Inst. PubL, 1931, N 19.

Бурштейн Э. Л., Соловьев Л. С. Гамильтониан усредненного движения.—ДАН СССР, 1961, т. 139. № 4. стр. 855—858.

Campbell J. А., .1 е f f е г у s W. Н. Equivalence of the perturbation theories of Hori and Deprit.— Celest. Meeh., 1970, vol. 2, N 4, p. 467—473.

Cartan E. Elementary theory of analytic Functions of one or several complex variables.— Massachusetts: Addison-Wesley Reading, 1963.

C e s a r i L. Sulla stabilita delle soluzioni dei sistemi di equazioni diffe- renziali lineari a coefficienti periodici. Atti Accad. Itai. Mem. Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633—692.

. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: Мир, 1964.

D a n b у J. М. A. Fundamentals of celestial mechanics.— New York: MacMillan, 1962.

Darwin G. H. Scientific papers.— London. Cambridge Univ. Press, 1911.

Delaunay С. E. Paris: Mem. Acad. Sci., 28, 29 (entire volumes), 1860—1867.

Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter.— Celest. Meeh., 1969, vol. 1, № 1, p. 12—30.

D i 1 i b e r t о S. P., Hufford G. Perturbation theorems for nonlinear ordinary differential equations.— Ann. Math. Studies, 1956, vol. 36, p. 207—236.

Diliberto S. P. Perturbation theorems for periodic surfaces, I and II.— Rend. Circ. Mat. Palermo, 1960, vol. 9, p. 265—299: 1961, vol. 10, p. 111.

Diliberto S. P., К у n e r W. T., Freund R. F. The application of periodic surface theory to the study of satellite orbits.— Astron. J., 1961, vol. 66, N 3, p. 118—128.

D i 1 i b е г t о S. P. New results on periodic surfaces and the averaging principle. US-Japanese Semin, on Diff. Func. Equas.— Philadelphia. W. A. Benjamin Inc., 1967, p. 49—87.

D i г a с P. A. M. Generalized hamiltonian dynamics. London, Proceed. Roy. Soc., 1958, vol. A 246, p. 326—332.

Euler L. Theoria motus Lunae, novo methodo. Petrop., 1772.— In: Brown E. W. Lunar theory.— New York: Dover Public., 1960.

G a m b i 11 R. A. Criteria for parametric instability for linear differential systems with periodic coefficients.— Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 169—181.

G a m b i 11 R. A. Ibidem, 1955, vol. 6, p. 37—43.

Gambill R. A. Ibidem, 1955, vol. 6, p. 311—319.

G a m b i 11 R. A., Hale J. K. Subharmonics and ultraharmonics solutions of weakly nonlinear systems.— J. RAT. Meeh. Anal., 1956, vol. 5, p. 353—398.

Giacaglia G. E. 0. Notes on von Zeipel’s method. GSFC-NASA Puhi. X-547-64-161, Greenbelt, 1964.

Giacaglia G. E. 0. Evaluation of methods of integration by series in celestial mechanics. Ph. D. Dissertation, Yale University, New Haven, 1965.

H a 1 e J. K. On the boundedness of the solution of linear differential systems with periodic coefficients.— Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 137—167.

Hale J. K. Periodic solutions of nonlinear systems of differential equations.— Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 281—311.

H a 1 e J. K. Sufficient conditions for the existence of periodic solutions of first and second order differential equations.— J. Math. Meeh., 1958, vol. 7, N 2, p. 163—172.

H a 1 e J. K. Integral manifolds of perturbed differential equations.— Ann. Math., 1961, vol. 73, N 3, p. 496—531.

H о r i G. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables.— J. Japan. Astron. Soc., 1966, vol. 18, N 4, p. 287—296.

H о r i G. Lie transformations in nonhamiltonian systems. Lecture Notes, Summer Institute in Orbital Mechanics, The Univ, of Texas at Austin, May 1970.

Hori G. Theory of general perturbations for noncanonical systems.— J. Japan. Astron. Soc., 1971, vol. 23, p. 567—587.

К a m e 1 A. A Perturbations methods in the theory of nonlinear oscillations.— Celest. Meeh., 1970, vol. 3, N 1, p. 90—106.

Колмогоров A. H. Общая теория динамических систем и классическая механика. Международный математический конгресс в Амстердаме.—М.: Физматгиз, 1961, стр. 187—208.

Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний.— Киев: Изд-во АН УССР, 1934.'■

Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механй- ку.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

Kurth R. Introduction to the mechanics of the Solar system. (Chapt. Ill, Section 3).— New York: Pergamon Press, 1959.

К у n e г W. T. Qualitative properties of orbits about an oblate planet— Comm. Pure Appl. Math., 1964, vol. 17, N 2, p. 227—231.

К у n e г W. T. Averaging methods in celestial mechanics. Proc. Intern. Astron. Union Symp., No. 25, Saloniki, Greece, 1964. New York, Acad. Press, 1967.

Le i m a n i s E. The general problem of motion of coupled regid bodies about a fixed point.— New York, Springer-Verlag, 1965, p. 121—128.

L i e M. S. Theorie der transformationgruppen. (vol. 1, I) Leipzig, Teubner, 1888.

Lindstedt A. Beitrag zur integration der differentialgleichungen der storugtheorie. Abh. K. Akad. Wiss., St. Petersburg, 1882, b. 31, No. 4 (см. также: Comptes Rendus Acad. Sci., Paris. 1883, t. 3; Bull. Astron., 1884, vol. 1, p. 302).

MacMillan W. D. Dynamics of rigid bodies.— New York, Dover Publications, 1920, p. 403—413.

M e p м а н Г. А. Почти-периодические решения и расходимость рядов Линдстедта в плоской ограниченной задаче трех тел.—Бюл. Ин-та теорет. астрой., 1961, т. 8, стр. 5—133.

М е г s m a n W. A. A new algorithm for the Lie transformation.— Celest. Meeh., 1970, vol. 3, N 1, p. 81—89.

M e r s m a n W. A. A unified treatment of Lunar theory and artificial satellite theory.— В кн.: Periodic Orbits, Stability and Resonances /Ed. G. E. O. Giacaglia.— Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

Mersman W. A. Explicit recursive algorithm for the construction of equivalent canonical transformations.— Celest. Mesh., 1971, vol. 3, N 3. p. 384—389.

M i n e r s W. E., T a p 1 e у В. D., P о w e r s W. F. The Hamilton — Jacobi Method applied to the low-thrust trajectory problem. Proc. 18-th Cong. Intern. Astronaut. Fed., Belgrade, Yugoslavia, 1967.

M о u 11 о n F. R. et al. Periodic Orbits. Washington, Carnegie Inst. Wash. PubL, No. 161, 1920..

M о s e r J. Nonexistence of integrals for canonical systems of differential equations.— Comm. Pure Appl. Math.,* 1955, vol. 8, p. 409—436.

Мозер Ю. К. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.—Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51—67.

М о з е р Ю. Лекции о гамильтоновых системах.—М.: Мир, 1973.

Poincare Н. Sur la methode de M. Lindstedt.— Bull. Astron.. 1886, t. 3, p. 57.

Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, т. 1,2. Избр. тр., М.: Наука, 1971—1972.

Пуанкаре А. Лекции по небесной механике.—М.: Наука, 1965.

Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме. Избр. тр.—М.: Наука, 1972, т. 2.

Р о i s s о n S. D. Memoire sur la variation des constantes arbitraires.— J. Ecole Polyt., 1834, t. 3, p. 266—344.

Powers W. F., Tapley B. D. Canonical transformation applications to optimal trajectory analysis.— AIAA J., 1969, vol. 7, N 3, p. 394—399.

S h n i a d H. The equivalence of von Zeipel mappings and Lie transforms.—Celest. Meeh., 1969, vol. 2, N 1, p. 114—120.

Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем.—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 103—117.

Зигель К. Л. Лекции по небесной механике.—М.: ИЛ. 1959.

Stromgren Е. см. стр. 551—553 в [671.

Szebehely V. Theory of orbits — the restricted problem of three bodies.—New York: Acad. Press, 1967.

Tisserand F. Traite de mecanique celeste.— Paris: Gauthier-Villars, 1896, 4 vols.

У и н т н e p А. Аналитические основы небесной механики.— М.: Наука, 1967.

ГЛАВА II

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ.ОБОБЩЕНИЯ

Введение

Эта глава имеет две главные цели. Во-первых, описываются известные методы канонической теории возмущений и приводятся некоторые примеры, на которых основываются теоремы в главах III и IV. Во-вторых, описываются некоторые основные результаты, касающиеся итеративных процедур, которые играют очень важную роль в методах усреднения. Важнейшие, часто пересекающиеся друг с другом, результаты в этих областях получили Линдстедт [70], Пуанкаре [91], Уиттекер [102], Зигель [96], Крылов [61], Боголюбов [7], Колмогоров [59], Арнольд [3, 4], Дилиберто [32], Плисс [89], Кинер [63], Мозер [78], Хейл [47]. Многие из этих результатов сообщили и подробно описали в своих ценных книгах Зигель [98], Уинтнер [104], Немыцкий и Степанов [88], Чезари [15], Хейл [50], Абрахам [1], Бирк- гоф [6], Боголюбов и Митропольский [8], Лефшец [67], Минор- ский [74], Сансоне и Конти [95], Стернберг [99].

Общепринятым, хотя и долгое время не упоминавшимся, фактом является то, что методы усреднения были введены впервые Линдстедтом [70]. Вполне возможно, что идеи Линдстедта появились в результате усилий Эйлера [34], предпринятых им для решения проблемы движения Луны.

В линейных периодических системах метод усреднения сразу же приводит к определению характеристических показателей Флоке — Ляпунова, а в нелинейных гамильтоновых системах — к разделению «завязанного» уравнения Гамильтона — Якоби и, следовательно, к определению переменных действие—угол1). В общих нелинейных системах (т. е. не обязательно в гамильтоновых) метод усреднения приводит к разделению движения в расширенном фазовом пространстве, которое можно назвать ко- тангенциалъным пространством исходного пространства системы.

Относительно гамильтоновых систем общеизвестен и общепризнан тот факт, что, вообще говоря, они являются неинтегри- руемыми. Тем не менее, такое утверждение надо рассматривать

’) По-видимому, автор имеет в виду применение метода усреднения только к устойчивым системам. Для неустойчивых систем это утверждение ошибочно ^призм. перев.).

с осторожностью и в зависимости от определения самого понятия пнтегируемости. Действительно, если гамильтониан принадлежит по крайней мере классу С2 в некоторой области D фазового пространства, то существует, и притом единственное, решение, соответствующее любой начальной точке из области D. В этом смысле система является, разумеется, интегрируемой. С другой стороны, слово «интегрируемость» в гамильтоновых системах часто связывается с идеей разделимости движения, т. е. с так называемыми системами Штеккеля (или, в частности, с системами Лиувилля). Связь между двумя этими понятиями можно проследить, если вспомнить, что при существовании и единственности решения для моментов времени из интервала 0 ^ f <Г движение в фазовом пространстве есть отображение, сохраняющее площадь (или, по-другому, дивергенция потока гамильтоновой системы равна нулю). Верно также то, что такой поток является каноническим, т. е. любая точка решения P(f) (при 0 ^ t < Г) получается из начальной точки Р\^ каноническим преобразованием, которое при достаточно малых t принадлежит классу С2 и, кроме того, обратимо. Отсюда следует, что в терминах начальных условий, взятых в качестве частного набора канонических переменных, система с необходимостью будет разделимой с гамильтонианом, сводящимся к константе. Разумеется, такого рода разделимости можно достичь только после того, как решение известным образом явно записано в виде функции времени и начальных условий, так что никакой пользы от такого результата нет. Однако он служит для указания связи между двумя вышеупомянутыми понятиями интегрируемости.

Что касается периодических линейных систем, то нам известно, что при некоторых достаточно общих условиях решение всегда существует и, согласно теории Флоке — Ляпунова, имеет вполне определенный вид.

Для общих нелинейных систем интегрируемость можно понимать только как существование и единственность решения. Однако связь с идеей разделимости можно установить «тамильтониза- цией» системы в котангенциальном пространстве, о чем подробно будет рассказано ниже.

Большинство результатов, касающихся неинтегрируемости, основано на исследовании существования интегралов в окрестности особой точки (см. [96]), на приводимости к нормальной форме Биркгофа с помощью степенных рядов или на сходимости итеративных процедур. Не очевидно, что отрицание вышеперечисленных утверждений подразумевает неинтегрируемость. Биркгофом было доказано, что в общем случае'- нормальная форма для гамильтоновых систем не может быть получена с помощью сходящихся рядов. Хотя методы усреднения, по существу, являются переведенной на некоторый другой, язык нормализацией Биркго-

фа, мы, тем не менее, не можем сделать вывода об их расходимости, так как известно, что операции с рядами могут изменить свойство сходимости или расходимости метода. В самом деле, как будет показано на примерах, метод усреднения эквивалентен нормализации, и, следовательно, в общем случае мы вправе ожидать его расходимости. С другой стороны, методы усреднения можно так обобщить, переопределить, дополнить и подчинить возмущения таким условиям, что эти методы будут сходиться по крайней мере для некоторого набора начальных условий.

Как было показано для некоторых специальных примеров, дополнительные интегралы, определяемые формальными рядами (см. [24]), имеют почти тот же смысл, что и истинные интегралы движения, и это было проверено численно для очень больших интервалов времени. Метод поверхностей сечения (см. [91]) оказал неоценимую помощь при поисках возможных интегралов, и было показано, что интегралы (не обязательно общие или допускаемые глобально) могут существовать и для систем, определяемых вначале как неинтегрируемые (см. [9]).

Сходимость классического метода итераций

Если соответствующим образом подобрать значения границ временного интервала, то можно показать, что при достаточно общих условиях простейший метод последовательных преближе- ний решения рядами является сходящимся. В действительности известен следующий результат (см. [71]).

Рассмотрим сначала систему п уравнений относительно Ж[, ...

..., хп, зависящую от параметра е:

F^x, е) = 0 (i = 1, ..., га),(2.2.1)

где х — набор переменных Xi, ..., х„. Далее предположим, что

Fi(Q, 0) — 0(i=l, ..., га);

8 (Fa, ..F

J = det 2_ =^ 0 при х = 0, е = 0.

8F.

-^- ^= 0 для всех i при х = 0.

Отсюда следует, что функции Ft можно разложить в степенные ряды по х и е вблизи точки х = 0,е = 0. Тогда, как легко доказать, при условии аналитичности функций Ft по всем аргументам в некоторой области переменных ж, 8 ряды

Xj = 2 е%-5,(2.2.2)

полученные методом последовательных приближений, равномерно сходятся по е. Величины ajs получаются подстановкой выражений для х5 в разложения функций Ft и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в. Доказательство этого утверждения можно провести, взяв за основу любую стандартную книгу по математическому анализу (см., например, [45]). Для дальнейшего рассмотрим подробнее некоторые детали. Разложение функций F^x, в) имеет вид

2 to) й72 = 2 2 b^a5iakV?=1 ' j / 0 J=o к=02 to) й72 = 2 2 b^a5iakV?=1 ' j / 0 J=o к=0(г, 5=1, . . . я).(г, 5=1, . . . я).

2 to) й72 = 2 2 b^a5iakV

?=1 ' j / 0 J=o к=0

2 to) й72 = 2 2 b^a5iakV

?=1 ' j / 0 J=o к=0

(г, 5=1, . . . я).

(г, 5=1, . . . я).

Для стандартизации записей введем обозначение хо = в. Тогда приведенное разложение можно записать так:

) "^i — ^^к^З^к Д' hlkj^jX^Xi Д' • • •

,-=i \ , / ойХоz,O=0

(2.2.3)

При подстановке рядов (2.2.2) в ряды (2.2.3) сравнение коэффш циентов при одинаковых степенях в (или хо') дает

(2.2.4)

Следовательно, на ^аждом шаге коэффициенты aiP вычисляются по данной системе п уравнений, правые части которых известны, если найдены все предыдущие приближения ац, ..., ajp. Определитель этой системы не равен нулю по предположению б). С формальной точки зрения уравнения (2.2.4) полностью аналогичны набору линейных неоднородных уравнений в частных производных, которые встречаются в методе усреднения Линдстед-

та — Пуанкаре, а также при асимптотическом решении с помощью рядов Ли.

Теперь рассмотрим случай 7 = 0 и предположим, что по крайней мере один из первых миноров этого определителя не равен нулю. Далее положим, например, dF<idx\ = 0. Тогда (п—1)-е уравнение (2.2.1) может быть решено относительно х^ .,., хи в виде степенных рядов по хо и жь Если результат подставить в n-е уравнение (2.2.1), то получится уравнение относительно хо и жь Так как коэффициент при первой степени Xi будет равен нулю, то решение для х^ в виде степенных рядов по хо должно содержать дробные степени этого параметра. Это является прямым следствием теоремы Вейерштрасса об умножении степенных рядов. Использование уничтожающихся определителей, согласно работе [13], позволяет найти решение в случае обращения в нуль всех первых миноров порядка п — 1. Макмиллан [71] развил этот метод дальше. Появление дробных степеней в этих случаях непосредственно приводит к появлению дробных степеней в рядах асимптотического решения, что, как будет видно ниже, связано с проблемами резонансов.

Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений

^ = е/Дж, е, 0,(2.2.6)

где i = l, ..., и, а функции А аналитичны по ж, е, t при ж е D (D— заданная открытая область пространства 7?"), 0 < е < 1, Ze7?, и регулярны при ж,-= ос,- (7=1, ..., п), е = 0 для всех t е [0, 7]. Пусть функции /г можно разложить в степенные ряды по g.- = Xi — a,t и е. При t е [0, 7], |ж;— сс4| ^ тщ (г = 1, ... ..., п) и 0 < е < ео ^ 1 эти ряды являются сходящимися. Представление уравнений (2.2.6) в виде рядов приводит к уравнениям

где 50 = хо = е, а0 = 0, а нижний индекс нуль означает, что величины Xi заменены на №. Эти уравнения можно записать в виде

(2.2.7)(2.2.7)фо'* + ^. Ф^у + —j Ф^Й/^ ~5=0ЗЛ=0

(2.2.7)

(2.2.7)

где функции ф зависят от а и t.

Наша цель заключается в получении величин £f в виде степенных рядов по е, коэффициенты которых являются функциями

времени и постоянных а, т. е.

(2.2.8)(2.2.8)^г = 2 №.А—О

(2.2.8)

(2.2.8)

гдегде^^(сМ)(1 = 1, ...,пу^^(сМ)(1 = 1, ...,пу

где

где

^^(сМ)(1 = 1, ...,пу

^^(сМ)(1 = 1, ...,пу

Если (2.2.8) подставить в (2.2.7) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях уравнений, то в результате придем к системе дифференциальных уравнений

t(i) _ тФ

si — Фо ,

t«) _ V

to — Ф> 51 ;

(2.2.9)(2.2.9)= 2 W + 5 ф W’,j=lзЛ=1

(2.2.9)

(2.2.9)

bp — 2^ W3 bp—1rp :

7 = 1

где p = 1, 2, 3, ... Функции Fp^ зависят от решения для всех предыдущих приближений до порядка р — 1, так что на каждом шаге имеется такой набор приближений:

^ф^Ж’, t, ра

при 1=1, ,.., и; /•= 1, • •., п; к = 1, ..., р — 1; I — 1, .. . П(р~ 1).

В результате функции ^р находятся в квадратурах. Постоянные интегрирования 0 не являются произвольными. Действительно, если остановиться на р-м шаге решения, то решения будут зависеть от исходных постоянных ai, ..., an и от пр постоянных Р. Можно предпочесть выбор Р в виде нулей или определить их каким-нибудь другим подходящим образом. Во втором случае они будут функциями величин а. Если постоянные ак являются начальными условиями, т. е. ж,-(0) = а,, то постоянные Р должны быть выбраны так, чтобы все £р > уничтожались при t = 0. Теперь покажем, что ряды для gi, получаемые описанным выше способом, будут сходящимися при te [0, Т7] и достаточно малом е.

Без потери общности можно предположить, что правые части уравнений (2.2.7) являются сходящимися рядами при | ^| ^ 1,

e^l, 1е [О, Т]. Если это условие не выполняется сначала, то ему всегда можно удовлетворить изменением скалярных множителей при £i и е. Отсюда следует, что все коэффициенты <р, стоящие в правых частях уравнений (2.2.7), ограничены и меньше некоторого положительного М, т. е.

при i=:l, ..., пи к = 1, 2, 3, ... Теперь можно использовать понятие мажорирующих рядов. Действительно, рассмотрим уравнения

(i = l, ...,пУ(2.2.10)(i = l, ...,пУ(2.2.10)

(i = l, ...,пУ(2.2.10)

(i = l, ...,пУ(2.2.10)

Правые части этих уравнений можно разложить в степенные ряды по е и тр при |е| < 1 и |2тр| < 1. Учитывая описанные выше предположения, получаем, что каждый коэффициент таких рядов будет положителен и больше соответствующего коэффициента в рядах (2.2.7). Уравнения (2.2.10) можно решить только что описанным методом последовательных приближений. Отсюда следует, что правые части уравнений (2.2.9) будут меньше соответствующих правых частей уравнений (2.2.10). Таким образом, .если решение уравнений (2.2.10) сходится, то и решение уравнений (2.2.9) также сходится. Но уравнения (2.2.10) можно проинтегрировать в явном виде. Если начальные условия принять равными нулю (т. е. §< = 0, если а, являются начальными условиями исходной задачи), то в результате получаем

Ш = • - - =Цп = Ц

или

• Me

^ — (1 — 8) (1 — ПТ])

2Л/пе<у/211 — е / J’2Л/пе<у/211 — е / J’п, следовательно,

2Л/пе<у/21

1 — е / J’

2Л/пе<у/21

1 — е / J’

(2.2.11)

что удовлетворяет начальным условиям ц = 0 при t = 0 и е = 0. Разложение (2.2.11) в степенной ряд по е будет сходящимся при условии

2MnetТ —82MnetТ —8<1<1

2Mnet

Т —8

2Mnet

Т —8

<1

<1

для всех t из [0, Г], т. е. при условии

I 8 I < 8о 2пМТ ‘(2.2.12)

Так как метод последовательных приближений дает единственный результат, то он должен совпасть с разложением величины (2.2.11). Таким образом, ряды для |г являются сходящимися при i е [0, Т] и 181 < 8о, где М — верхняя оценка всех коэффициентов в (2.2.7). Видно, что при достаточно большом Т ряды будут сходиться, вообще говоря, при 8—>0. Описанная выше оценка не является наилучшей, поэтому слова «вообще говоря» допускают ситуацию, когда описанный метод сходится при достаточно малых 8 (но ненулевых) при Г-^сю.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Xi = gt (х, t) + eft (ж, е, t) (i = 1, ....и).(2.2.13)

Заменяя величины аг в описанном выше методе на решения Хщ^Г) системы (2.2.13) при 8 = 0 и определяя

Bi ■ ^i ‘ ^i0?

аналогичным образом можно найти, что коэффициенты ^ удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида

^ = 5 ^ + F^ (^г), 0,(2-2.14)

7=1

где i=l, ..., п; 1=Л, ..., п; к = 1, ..., р — 1; р = 1, 2, 3, ... Весьма замечательным свойством этих уравнений является то, что, как и раньше, функции Фу не зависят от номера р, т. е. решения однородных уравнений, соответствующих (2.2.14), одинаковы при всех р. Они являются явными функциями времени п величин XiO^t), которые зависят от набора п постоянных интегрирования. Что касается постоянных интегрирования для (2.2.14), то их можно выбрать так, чтобы ^р) = 0 при t = 0, или, используя терминологию небесной механики, в этом случае решения £г и Хю будут оскулирующими. Существуют другие способы выбора постоянных интегрирования, но они потребуют некоторых дополнительных модификаций, обусловленных тем, что в них разложения ведутся не в окрестности точки |г = 0 (при £‘=i0).

Классический метод приближений Пикара позволяет показать, что решение системы уравнений

= 2 ^ДП^ + kt^ (i = i, 7=1

мажорируется в интервале [О, Г] решением системы

(i = 1,п),

3=1

где М— верхняя оценка функций <p«(t) и k^t) в интервале [О, Г]. Затем так же, как это было сделано выше, можно показать, использовав мажорирующие функции, определяемые решением уравнений

• = ч 8 + Щ+...+Т]П

!_(g + T1i+ ,

что ряды для Xi являются сходящимися в интервале [О, Г] при

|е| < ехр(-МпТ),(2.2.15)

где М— верхняя оценка коэффициентов уравнений (2.2.13), если представить §j в виде рядов по е. Полученная оценка в этом случае является более строгой, поэтому Т может быть больше, чем в предыдущем случае. Эти случаи подробно разобраны в работе Мультона [86]. Однако, как мы увидим ниже, оценка (2.2.15) может и не быть в этом случае наилучшей.

Секулярные члены. Способ Линдстедта

В классической ситуации описанные выше методы приводят к появлению секулярных членов, т. е. в рядах, описывающих решение (или в ip О, содержатся члены, линейные (по крайней мере) по t. Если такого явления можно избежать и, более того, если можно сделать функции ipl) (i) ограниченными при всех t (скажем, условно-периодическими или просто периодическими), то скорость сходимости может быть улучшена, и в некоторых специальных случаях (как будет видно в следующей главе) для всех t будет иметь место действительная сходимость при достаточно малых е.

Сейчас мы применим описанный в предыдущем параграфе метод к уравнению простого маятника и убедимся в появлении секулярных членов, а также опишем способ Лиццстедта в приложении к этому частному случаю.

Для простоты предположим, что начальные условия соответствуют колебательному случаю в движении маятника, т. е. колебаниям конечной амплитуды около устойчивого положения равновесия. Уравнение движения можно записать следующим образом:

где too = g/l1). Рассмотрим сходящееся разложение sin 9 в ряд по 9 и введем новую переменную по формуле 9= "Vex, так что уравнение (2.3.1) принимает вид

X + ©ох = — ©о 2 (— ^"^ W(2.3.2)

При е = 0 (бесконечно малые колебания) решение этого уравнения можно записать так:

^о(£) = A sin(toot + а).(2.3.3)’

Рассмотрим ряды

I = ж — Хп =| 2 em£m(t);

это означает, что решение в окрестности опорного решения xo^t) ищется в виде

х=х0^ + 2 e^t).(2.3.4)

т=1

Согласно только что описанному методу надо подставить ряд /(2.3.4) вместо х в (2.3.2) и приравнять коэффициенты при одп- нажовых степенях е. Первые несколько приближений определяются уравнениями

V .2»12 .3

51 "Ь ®OS1 — "gptoo^o,

1г + ®о!г = "27 <^11^р «о^о,

1з + ®о1з = j-tog (a&2 + x0^ - ;^-®Ы11 + ^Жо, (21315)

I» + «514 - "^«o (З^з + 6x0^ + li) -

— 77 °o (^062 + 2<roSi) + "77 tog^oligptoo^o.

Исследуем решение для ёь соответствующее начальным условиям }i = §1 = 0 при t = 0. Без потери общности будем считать too = 1- Этого всегда можно добиться соответствующим выбором

’) Здесь g — ускорение свободного падения, Z — длина нити маятника (прим, перев.).

единицы времени. Как известно, частное решение уравненияz + z = a sin р (< + а)

имеет вид

z -= ®in Р V + а) при р ^ 1,

z = — aZcos(<4-a) при р = 1.

Решение уравнения

z 4 2 = « cos р (t + a)

имеет вид

z = ^° "з cos Р ^ + a) ПРИ Р Ь

z = — at sin (t 4- a) при p = 1.

Отсюда легко получить, что

^ = 5 sin (t -{- P) — -^-Л3^ sin (t 4- a) 4~ ^^3sin 3 (t 4- a),(2.3.6)

где 5, p определяются формулами

ЛЗ-^3Л3 .

В sin 8 = — sin 3a, В cos В = — -ту cos 3a 4- sin a.

11У2b4lb

Видно, что в рассматриваемом частном случае секулярные члены появились в (2.3.6), т. е. уже в первом приближении (в действительности эти члены чаще называют смешанными секулярными членами). Ясно, что появление t вне тригонометрических функций крайне затрудняет получение случая сходимости описанного выше процесса при ^-*-оо. Постоянными интегрирования В и р никак нельзя распорядиться для уничтожения секулярных членов.

Способ, предложенный Линдстедтом [70], заключается в том, что в опорном решении, т. е. в жо(<), изменяется частота. Действительно, рассмотрим выражение

x^t) = A sin(tot + a),x^t) = A sin(tot + a),(2.3.7)(2.3.7)

x^t) = A sin(tot + a),

x^t) = A sin(tot + a),

(2.3.7)

(2.3.7)

где мы положим

ы3 — (Од 4~ coil 4~ с^Юо 4" • • • •

(2.3.8)(2.3.8)или, как и раньше, считая ио = 1, имеем to2 = 1 + е<01 + Е2й)2 + • •

(2.3.8)

(2.3.8)

где й)), юг, ..., —постоянные (зависящие от Л, а), которые надо выбрать соответствующим образом. Переписывая уравнение (2.3.2) в виде

••v®2“+1

X +_ш2ж — eco1z — 82СО2Ж — . . . = — ^ (— 1)" Е"

и используя решение нулевого порядка

^o(i) = A sin(o)f + а).

где частота со определяется формулой (2.3.8) и заранее неизвестна, аналогично предыдущему случаю мы получим такие уравнения:

41 4- ®2^ = со^о + -^-жо.

4г + «^2 = “1^1 + ГО2Ж0 + ^ Ж^ !-jrXo.

Правые части последних уравнений, очевидно, являются нечетными функциями tot + а, т. е. набором синусов величины tot + а. В уравнениях для £Р соответствующие неизвестные приближения сор надо определить так, чтобы отсутствовали секулярные (или в этом случае смешанные секулярные) члены. Уравнение для членов первого порядка имеет вид

Пг + со2^ = сщЛ sin (tot + а) + -g- Л3 sin (tot = а) —

—^ Л3 sin (Зсо/ 4- За), так что, если положить

toi = - — Л-.

то вынуждающий резонансный член уничтожается, и решение принимает вид

£i = 5 sin (mi + Р) + ^ Л381п(3со< -- За).

где В, р можно определить следующим образом:

В sin р = — Л3 sin За,В sin р = — Л3 sin За,В cos Р = — -Г Л3 cos За$В cos Р = — -Г Л3 cos За$

В sin р = — Л3 sin За,

В sin р = — Л3 sin За,

В cos Р = — -Г Л3 cos За$

В cos Р = — -Г Л3 cos За$

т. е. щ = §1 = О при t = 0. Легко видеть, что уравнение, которое надо проинтегрировать для нахождения приближения любого порядка, имеет вид

Sp + ю2£р = юрж0 + ^1 (Л ю1т • • •, Юр-i) sin (toi + а) +

+ 5 ^гж И, ю15 ..., top-!) sin [(2/ + 1) (ю£ + а)],

и его решение таково:

Юр = — ^- Л? (Л, ю^ ..., (Op-i), п„

Отсюда следует, что частота и определяется последовательно шаг за шагом, а все решение выражается в виде периодической функции t, т. е.

°^ Пр Ар

ж = жй (i) + 2 е"2 ТТПщф^-фф sin [(2/ + 1) (®i + «)].

В этом частном случае из-за того, что исходное уравнение можно точно проинтегрировать, сходимость вышеописанной процедуры можно доказать непосредственно, если только начальные условия соответствуют колебательному движению. Вышеприведенные ряды расходятся в случае вращательного движения. Насколько нам известно, случай асимптотического движения маятника не может быть вообще рассмотрен с помощью рядов. В случае вращательного движения также можно получить сходимость, если по-другому ввести переменную. Действительно, в этом случае угол 9 непрерывно увеличивается со временем, если исключить незначительные флуктуации. Такое увеличение со временем можно учесть, если считать

гдегде0 = at + V еж,

где

где

а = «о + eai + е2а2 + ...,

ж = жо(О + e§i + е2§2 + • ■., ж0 = A sin (оЦ + [}),

ы2 = tog есщ е2ю2 Т- . ..

5 Г. Е. О. Джакалья

При изучении аналога метода Линдстедта для канонических систем мы укажем способ, которым можно рассмотреть единым образом сразу оба случая (колебания и вращения). Это возможно сделать введением эллиптических функций с модулем, принимающим любые значения. Тогда асимптотический случай движения маятника будет фигурировать в качестве предельного случая общего решения. Возможность такого глобального рассмотрения детально изучалась в работе Гарфинкеля и др. [29.5].

Метод Пуанкаре (метод Линдстедта)

Метод последовательного подбора частот системы, который был изложен в примере предыдущего параграфа, применим к любой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть записана в нормальной форме и удовлетворяет некоторым условиям регулярности, по крайней мере локально. Однако желательно, чтобы такая регулярность распространялась на некоторую область. В этом случае мы можем считать, что система имеет вид

Xt = ft (ж, К е) (i = l, ...,п)

или в векторной форме —

х = / (ж, I, е).(2.4.1)

При помощи перехода в котангенциальное пространство Дп- рака система (2.4.1) может быть приведена к каноническому виду, если определить вектор канонически сопряженных обобщенных импульсов у ^Уо t = 1, ..., п) и гамильтониан

Н = р (x,t, е)у.(2.4.2)

Уравнения движения имеют вид

х = Ну = f(x, е, i),

У = — НЖ — fx(x, е, t)у,

и предположим, что система уравнений

ц = -кал, о)Ч

интегрируема в некоторой области D 2п-мерного фазового пространства (|, ц) при 0 ^ t ^ Т. Предположим, что функции / (ж, £, е) принадлежат по крайней мере классу С2 в D, непре-

рывны по t при t е [0, 71] и аналитичны по в при 0 ^ е ^ 1, Этими же свойствами, следовательно, обладает функция Н.

Таким образом, ограничение, заключающееся в предположении о гамильтоновости исходной системы уравнений, весьма несущественно и, следовательно, особую важность приобретают методы теории возмущений для гамильтоновых систем 1).

С точки зрения предыдущих рассмотрений логичным является вопрос о получении оценки лучшей, чем оценка (2.2.15). Гамильтониан рассматриваемой системы (2.2.13) имеет вид

н = 2 У1§1 t) + Е 2 Vtfi е, £) = Яо + вЯ^ (2.4.3) i=lг=1

и соответствующая каноническая система уравнений записывается так:

ЭН । ;

эн v V 8h

ij i i 1

Предположим, что при в = О система

= g, (ж, О, У, = " L Уз Э7. (2.4.5) 3*

интегрируема. Действительно, первая группа уравнений (2.4.5) интегрируема по введенному ранее предположению и имеет решение x1 = xio(i). Подстановка этих выражений во вторую часть уравнений приводит к системе линейных уравнений

У,~Хаи W Уъ

3

которая, очевидно, интегрируема при t из интервала определения решения хю^. Запишем решение системы (2.4.5) в виде

х^хя^а, р, i),yt = yi0(a, р, Г),

!) Это утверждение автора нуждается в пояснении. При исследовании конкретных систем небольшого числа дифференциальных уравнений методами теории возмущений предлагаемую гамильтонизацию по-видимому проводить нерационально. Этот прием обретает смысл или про исследовании систем высокого порядка или при получении большого числа приближений. В этих случаях действительно оказывается проще оперировать с одной функцией (гамильтониан), пусть и зависящей от вдвое большего числа переменных, чем с п функциями правых частей уравнений. Особенно эффективна гампльтонизация системы нелинейных дифференциальных уравнений при использовании современных ЭВМ, снабженных развитыми комплексами программ буквенных выкладок ^прим. перев.}.

где при г = 1, ..., п

^i0(a, Р, 0)'=«.-, Ую(а., Р, 0) = (Г.

Из теоремы Якоби следует, что решение системы (2.4.4) может быть записано в виде

xt = ж{0(а, Р, f), yt = у,о («, £, i),

если а, р — функции времени, удовлетворяющие уравнениям

<4 -<4 -ЭН е^5-ЭН е^5-= — е= — е8Нг 8 а.8Нг 8 а.(2.4.6)(2.4.6)

<4 -

<4 -

ЭН е^5-

ЭН е^5-

= — е

= — е

8Нг 8 а.

8Нг 8 а.

(2.4.6)

(2.4.6)

где z = 1, ..., п. Но система (2.4.6) является системой изученного ранее типа (уравнение (2.2.6)), и к ней применим метод последовательных приближений, дающий такой критерий сходимости

I е I С-

который при М/ ~ М является лучшей оценкой, чем оценка (2,2.15) для системы (2.2.13).

Теперь вернемся к главной цели настоящего параграфа и опишем основные идеи и основные этапы осуществления метода Линдстедта, изложенного Пуанкаре на языке канонических систем. Рассмотрим автономную динамическую систему с гамильтонианом

Н = Н (у, х, в),(2.4.7)

где у, х — 2/г-мерные векторы, определенные в фазовом пространстве размерности 2га, е — безразмерный постоянный параметр, а функция Н — вещественная и аналитическая в некоторой области D фазового пространства и е из [0, 1]. Мы еще раз подчеркнем тот факт, что любая аналитическая система уравнений z = f (z, е) может быть сведена к гамильтоновой форме введением котангенциального фазового пространства.

Главная функция Гамильтона W (у,Х,&) определяется решением уравнения в частных производных

(2.4.8)(2.4.8)новыеновые(2.4.9)(2.4.9)у/ 8W ) TZ (V \

(2.4.8)

(2.4.8)

новые

новые

(2.4.9)

(2.4.9)

ЦУ-^^ 61 = ^(Х> е)>

где К (X, е) — гамильтониан системы, записанной через переменные У, X, которые определяются уравнениями

, 8Wv .8W / v ч

^=9^=Уй(У’Х’е)> хк= — = хк(у,Х,Е).

При выполнении вышеперечисленных условий относительно функции Н функция W, удовлетворяющая уравнению (2.4.8), безусловно существует (в смысле Якоби), так как система дифференциальных уравнений, соответствующая функции Гамильтона (2.4.7), имеет единственное решение в D. Решение очевидно будет аналитической функцией е и п постоянных интегрирования Xi, ..., Хп из D. Мы предположим, что система дифференциальных уравнений, соответствующих функции Н (у, х, 0) = Но (у, х), интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. в D существует п независимых первых общих интегралов движения. Если х^, ...,хп — такие интегралы, т. е. хк (у, х) = ак вдоль решений системы с гамильтонианом (2.4.7) при 8 = 0 и в области Д, то, вообще говоря, угловые переменные Ук, канонически сопряженные переменным действие хк, имеют частоты (по времени), которые являются линейно независимыми на множестве целых чисел, и, следовательно, движение будет условно-периодическим (почти-пе- риодическое движение будет в случае, соответствующем системе с бесконечным набором базисных частот). Через эти переменные, называемые переменными действие — угол, гамильтониан (2.4.7) можно записать в виде IV Vy', ж7, б) с очевидным условием Н' (у', х', 0) = Но ^x'Y Следовательно, при предположении об интегрируемости (в упомянутом специальном смысле) системы с гамильтонианом Н0(у,х), не теряя общности, можно считать, что гамильтониан зависит только от импульсов х. Также логично ожидать, что почти во всей области D частоты со® = дН0!дхк являются линейно независимыми на множестве целых чисел. В частности, из этого следует, что в D ни одна из частот не равна нулю или, более точно, все импульсы присутствуют в гамильтониане. Теперь задача сводится к такой, при которой функция Н (у ,х, 0) не зависит от у и, следовательно, главная функция Гамильтона W(у, X, 0) является производящей функцией тождественного преобразования, т. е.

Wky,X,^=y^X.

Мы будем предполагать, что функция W является аналитической по е при е = 0, и, следовательно, при достаточно малых 8 можно считать

W (у, X, V) = утХ Y-eS (у, X, е),(2.4.10)

где

5 (у, X, 8) = 5, (у, X) + ё52 (у, X) + ...(2.4.11)

— сходящийся степенной ряд по 8.

Отсюда следует, что (2.4.9) можно записать в виде

Yh = yh + ^o^ = yh + ^Fk (У-х е),as(2'4Л2)

xh = Xh + ^ = Xh + 6Gh(y,X,^

при к =. 1, ..., п и достаточно малом е. Отображения типа (2.4.12) широко изучались главным образом в работах Мозера [75, 77, 78, 83].

При сделанных предположениях можно показать, что существуют формальные ряды (2.4.11), являющиеся решением уравнения (2.4.8) до любого порядка (степени) по е.

Введем понятие среднего значения (/) условно-периодической функции /(уь ..., z/n) переменных yh = toht -V Ун (®h— постоянные величины, линейно независимые на множестве целых чисел) с помощью выражения

т

</> = lim А [ fat.(2.4.13)

В обобщенном смысле условно-периодическая функция / при (/) =. 0 будет называться чисто условно-периодической. Очевидно, что если / представить в виде ряда Фурье по п угловым переменных yi, . . ., z/n, то (/) будет равно постоянному члену в ряде Фурье. С другой стороны, в общем случае, если (/) = 0, то

т

lim ^fdt<^oo,(2.4.14)

что является очевидным следствием определения (2.4.13) для условно-периодической функции /, принадлежащей классу L2 и teR. Функция F(t), удовлетворяющая условию

lim F (i) < оо,(2.4.15)

t-*OO

называется функцией, свободной от секулярных членов. Любая условно-периодическая функция из класса L^ удовлетворяет этому условию. Из предположения об интегрируемости системы с функцией Гамильтона Но следует, что записанный через переменные действие — угол у, х, гамильтониан Н(у,х.б) является условнопериодической функцией, если, например, он имеет сходящиеся многомерные ряды Фурье относительно yi, ..., z/„ при ее[0. 1] и x,y<=D.

Формальные ряды для S и К теперь получаются прямой подстановкой (2.4,10) и {2.4.11) в (2.4.8), т. е.

К (X, 8) = Ко (X) + 8^ (X) + 82^2 (X) + . . .К (X, 8) = Ко (X) + 8^ (X) + 82^2 (X) + . . .

К (X, 8) = Ко (X) + 8^ (X) + 82^2 (X) + . . .

К (X, 8) = Ко (X) + 8^ (X) + 82^2 (X) + . . .

Разложение первого из этих выражений в ряд Тейлора (который по предположению сходится) дает в символической записи

гт / 9W ’V’ 8угт / 9W ’V’ 8у1 д^Н ^1 Эхк1 д^Н ^1 Эхк00 . 00 а^нй=0р=0тт / ух । - ЭНд fdS = Я0(Х)+ 8-^-1 —00 . 00 а^нй=0р=0тт / ух । - ЭНд fdS = Я0(Х)+ 8-^-1 —8у + 8у • ' ' ' )8у + 8у • ' ' ' )1 829у +е1 829у +е55Лт ,55Лт ,

гт / 9W ’

V’ 8у

гт / 9W ’

V’ 8у

1 д^Н ^1 Эхк

1 д^Н ^1 Эхк

00 . 00 а^н

й=0р=0

тт / ух । - ЭНд fdS = Я0(Х)+ 8-^-1 —

00 . 00 а^н

й=0р=0

тт / ух । - ЭНд fdS = Я0(Х)+ 8-^-1 —

8у + 8у • ' ' ' )

8у + 8у • ' ' ' )

1 82

9у +е

1 82

9у +е

55Лт ,

55Лт ,

221: г Н (и 1 Г»Э®1^У' х>)!

2

2

+ "-reti1(y,A) , е

+е2Я2(у,Х)+(2.4.16)

где запись dHJdXi означает dHh/dxi [x=x-

Выражения до любого порядка приближений впервые были получены в работе Джакальи [36]. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, в любом порядке приближения получаем уравнения типа

2 S + Ф^У’ ^ + Н^ ^' X) =Кр^. (2.4.17)

В этих уравнениях, например,

Ф1(у,Х) = 0,

Ф - 1 У У9S1 , у дн, 8S1

Л) — 28Х.8Х, ду. ду, + ЭХ. Эу"

Вообще, Фр (у, X) является функцией от 5], . .., 5p_i, К\, ... . .., КР-\, так что решения уравнений (2.4.17) можно получать только последовательно.

Один из способов получения Кр (X) заключается в использовании процедуры усреднения

^р(Х) = <Фр(у,Х) + Яр(у,Х)>,(2.4.18)

где предполагается, что все ук представляются линейными функциями времени ук = (Од^ + Уь, а все (Од линейно независимы на множестве целых чисел (т. е. рационально независимы). Получающаяся функция Кр^Х), разумеется, от времени t не зависит. Отсюда следует, что функция

Fp = Фр + Нр - Кр = Fp (у, X)(2.4.19)

является чисто условно-периодической при учете предположений относительно функции Н (у, х, е). Приближение р-го порядка для производящей функции Sp получается из линейного уравнения

где (Од = дН0/дХк. Теперь становится очевидным, что если все (Од^О, то функция Sp будет условно-периодической функцией переменных ух, ..., уп кик— ®^+Уа), причем свободной от секулярных членов, т. е. для линейно независимых на множестве целых чисел (Од имеем

Sp(y,X)^-^^ \ Fp (у, X) dyk + Gp (X),(2.4.20)

где функция Gp (X) произвольна. Разумеется, если одна из частот (Од равна нулю, то эту процедуру использовать нельзя, по крайней мере до тех пор, пока для функции Fp (у, X) не будет выполнено условие

8F_

= 0(2.4.21)

для этого ук. Легко показать, что

lim Sp (у, X) < оо(2.4.22)

для уд = (Од^ + уд. Все эти соотношения справедливы для любого порядка р и, следовательно, можно определить формальные ряды

у-Х +с51 + е252 + ...,

Ко + e^i + № + . ..,

такие, что функция eSi + e2Si + ... будет условно-периодической и свободной от секулярных членов. Случаи, когда некоторая частота (Од равна нулю или мала в некотором смысле, будут изуче-

ны в главе V в связи с общей проблемой резонанса. Формально система решается в любом желаемом приближении, и «решение» в новых переменных (У, X) имеет вид

Yk = tokt + Y°hl Хк = Хк,(2.4.23)

где

Уд = const, Хк = const + О (ЕР+1),^ 4 24)

+е S + • • • + 5 = соп^(еР+1)'

~ т/е (.по край- метода в некото-получасмV0\ ь (2.4.25)~ т/е (.по край- метода в некото-получасмV0\ ь (2.4.25)Здесь О(вр+1) — члены такого наинизшего порядка, которыми пренебрегают после получения последних приближений Sp и Кр. Их также можно интерпретировать как ошибку или как оценку ошибки в решении. Разумеется это цожпо сделать только в случае сходимости метода. С этой проблемой мы будем иметь дело в следующих двух главах настоящей книги. Грубая оценка, проведенная в работе Кинера [64], показывает, что верхняя ошибка эквивалентна ошибке, полученной Боголюбовым и Митропольским [8] для канонического метода усреднения Крылова — Боголюбова — Митропольского и в действительности, как было показано в работе Бурштейна и Соловьева [9.1], эквивалентна ошибке метода Пуанкаре. Эта ошибка пропорциональна в при t ■ • - ■•■

~ т/е (.по край- метода в некото-

получасм

V0

\ ь (2.4.25)

~ т/е (.по край- метода в некото-

получасм

V0

\ ь (2.4.25)

ней мере). Сходимость рассматриваемого здесь рых частных случаях будет изучена в главе III.

С чисто формальной точки зрения из (2.4.21)

yk = tokt+Y°k+6Nk(Y1, ...,У„, Х°, .. хк = Хк + еИ\ (Yx, ...,Yn, X?, ..., X,°t,

где Nh, WK —■ условно-периодические и свободные от секулярных членов функции переменных У1, ..., У„. Ясно, что в большинстве случаев основная ошибка будет заключаться в частоте cuft, так как любая такая ошибка линейно умножается на время. При практическом применении лучшим способом избежать потери точности является численное получение значений гок при усреднении ^Ук-) по времени t. Такое усреднение, если выполнены соотношения (2.4.25), очевидно, даст значения coft. Подобное использование «наблюдаемости» уничтожит методические ошибки, вызванные неточностью вычисления частот cot.

Быстрые и медленные переменные

Случай собственного вырождения [4] является весьма общим в теории возмущений. Строго говоря, в этом случае движение определяется не независимыми частотами невозмущенной системы.

Это означает, что для данного гамильтониана Но = Нй (а?) и частот 8Но /.,ч

имеет место собственное вырождение, если матрица

V Ц,к = \....,^(2.5.1)

является особенной. Это определение включает в себя и случай рациональной зависимости частот, и случай, когда некоторые из переменных действие не входят в гамильтониан Нй(х), т. е. по крайней мере одна из частот со,- тождественно равна нулю. Оно также включает в себя и линейные системы, т. е. случаи, когда

Hq = toi^i —|— ... —]— (On^n.(2.5.2)

Теперь рассмотрим случай, когда матрица (2.5.1) имеет по крайней мере один минор порядка m (0 <; m ^ п), отличный от нуля. Невозмущенная система является нелинейной, интегрируемой и определяется т независимыми частотами, соответствующими независимым угловым переменным ук = (oh (ж) t + Ук, где к — =Л, .... т. В этом случае существует каноническое преобразование (ж, у) —> (ж', у'), такое, что, по крайней мере локально, гамильтониан Но зависит только от т импульсов х', а соответствующая ему матрица (2.5.1) — неособенная.

Однако, может быть, стоит заметить, что если все импульсы х входят в Но, то иногда можно найти преобразование, после применения которого гессиан (2.5.1) нового гамильтониана будет неособенной матрицей. Действительно, рассмотрим гамильтониан в самом общем виде

Н = Н(у,х, е) = Нй^ + ейГДу, ж) Д- ...

и предположим, что ю,- = дНо/дх; N= 0, где / =.1, . . ., и. Если может быть найдена такая функция F =. Ф (Я), что

F = Fq(х) -)- eF^у, х) -J- . .

и такая, что для Q, =. dFoldxs матрица

j 662 л

является неособенной, то кажущееся вырождение исчезает.

Уравнения движения теперь принимают вид

• _ 1 df1 ЭР

^i а Эх?xi а йу ?

где а — постоянная, определяемая через начальные условия формулой

Ф (Я) = Ф (Я (у0, ж0, е)) = Ф (й) = а.

a h — значение интеграла энергии, соответствующее начальным условиям у0, ж0. Очевидно, а можно представить в виде степенного ряда по е (предполагается, что Я — вещественная аналитическая функция по всем переменным), и если Ф — аналитическая функция, то степенной ряд

ф (Я) = Уо (ж) + бРх (у, ж) + 82У2 (у, ж) + ...

сходится. Эту процедуру нельзя применить к линейному случаю (2.5.2), так как независимо от вида Ф (Я) гессиан функции У0(ж) равен нулю. Однако эту процедуру можно применить в остальных случаях. Например, это можно сделать в важном случае

^0=4' + ^

встречающемся во многих задачах небесной механики (задача двух тел во вращающейся системе координат, ограниченная задача трех тел во вращающейся системе координат и т. д.).Хотя гессиан функции Но равен нулю (Яо линейно зависит от жг), видно, что существует несколько функций, зависящих от Яо, которые приводят к функции Fq с не равным нулю гессианом (см., например, [91])1).

Исключив пока из рассмотрения линейный случай, мы теперь исследуем случай, при котором в Яо отсутствуют некоторые импульсы. Пусть жр+1, ..., жп — импульсы, не входящие в Яо, и рассмотрим теперь уравнения, соответствующие гамильтониану

Я =, ЯО(Ж,, . . ., Жр) + гЯ^Ж,, ..., ж„, ух, ..., уп) + ...,

т. е.

ЭН • ЭНЭНХ

Уъ = Д•— 5= — 8

dxh9УкаУк

') Более подробное изложение этого приема уничтожения кажущегося вырождения см. в книге [4*] (прим, перев.).

Отсюда следует, что в нулевом приближении переменные хк — константы, а yh — линейные функции времени (к =.!,..., р) или также константы Qt = р + 1, . ■., и). Если этот результат подставить в уравнения движения и усреднить их по yi, . . ., ур, то в первом приближении получим

Ун = ®h W t + ун, xh = xL

где

®к — ЮА + &®h®h = eM/t®к — ЮА + &®h®h = eM/t(к = 1, . . ..р),

®к — ЮА + &®h

®h = eM/t

®к — ЮА + &®h

®h = eM/t

(к = РЛ Г ...,«).

Это простое описание служит основанием к тому, чтобы назвать угловые переменные у\, ..., ур (которые являются сопряженными к импульсам Xi, ..., хр, входящим в Яо) быстрыми, а угловые переменные у$^\, ..., уп (которые являются сопряженными к импульсам, отсутствующим в гамильтониане Hq) — медленными переменными. Вследствие этого также говорят, что любая функция, содержащая хотя бы одну быструю переменную, является короткопериодической, а любая функция, не содержащая ни одной быстрой переменной — долгопериодической функцией. Разумеется, мы не хотим здесь дать точных определений, а только приводим традиционное объяснение терминологии.

Для этого случая теперь рассмотрим проблему существования формальных рядов, представляющих производящую функцию метода Пуанкаре. Вообще говоря, ответ на вопрос о существовании является отрицательным, за исключением только некоторых исключительных ситуаций, которые мы и обсудим в настоящем параграфе.

Исключение быстрых переменных достигается таким обобщением проблемы Гамильтона, при котором мы требуем, чтобы новый гамильтониан содержал только медленные переменные. Более точно, мы строим производящую функцию в виде формального ряда

w^x^y'X-v^Ay^v-

аналогичного (2.4.10), (2.4.11) и (2.4.12), п требуем выполнения закона сохранения энергии в виде

Н {у, ж, 8) = к (Yp+l, ...,YK. X. 8), (2.5.3) так что исходная система сводится к системе с числом степеней свободы, равным п — р. Это всегда возможно, так как при определении m-го приближения уравнение, которое надо

проинтегрировать, имеет вид

а Кт определяется усреднением функции Fm + Нт по быстрым переменным. Новый гамильтониан получается в виде формального ряда. Если допустить, что такие ряды являются сходящимися (по крайней мере на конечном интервале времени), то теперь задача сводится к исследованию уравнений движения, соответствующих гамильтониану

К = К0(ХН ^K^Yp^. ...,YnXH

(2.5.4)

в то время как постоянные импульсы Xi, . . ., Хр играют роль параметров. В случае сходящихся рядов выражения

=(2.5.5)

при k = 1, . .., р представляют собой первые интегралы исходной системы, зависящие от р параметров Xi, . . ., Хр, для которых могут быть взяты произвольные значения.

Теперь при выполнении простых условий можно исключить медленные переменные. Действительно, в (2.5.4) функция Ко (X) зависит только от Хь ..., ХР и, следовательно, является константой движения. Гамильтониан теперь может быть записан в виде

6F = еРг (q, pH е?Рг (,q, pH • ■ • = sF (q, p, e),(2.5.6)

где q = (Ур-щ, • •., Уп), p — (Xp+1, ..., Хл), а параметры Xb ... ..., Xp можно дальше не рассматривать. Уравнения движения имеют простой вид (k = 1, . . ., п—р)

‘ дР ‘ЭР,„ г

Если п — р =. 1, то система имеет одну степень свободы и задача теоретически разрешима. Если п — р > 2, то, очевидно, интегрирование можно осуществить методом последовательных приближений, который уже был изложен, при условии, что главная часть функции eF, т. е. функция E,Fy(q,pk, соответствует интегрируемой системе. Начиная с этого места, можно повторить всю процедуру Пуанкаре, описанную в предыдущем параграфе. По-види- мому, будет полезно сказать, что формально задачу можно решить до конца, если функция Е3 (q, р) не зависит ни от одной пере-

менной ди содержит все переменные р, т. е. переменные А'р+ь ... . .., Хп. Существенным достижением Цейпеля [105] в решении рассматриваемой задачи явилось понимание того факта, что хотя полная редукция системы может быть невозможна, тем не менее частичная редукция является существенным шагом вперед в решении задачи.

Оценки ошибок метода были получены в работе Кинера [63], а в случае сходимости в работе Мозера [81] была использована процедура ускорения сходимости, основанная на применении итераций ньютоновского типа. Впервые аналогичная процедура была предложена Колмогоровым [59], а затем она широко использовалась в различных работах Арнольда [3, 4]. В следующей главе об этом будет сказано более подробно. Очевидно, что в некоторых случаях оценка ошибки О(е2), полученная Кинером, может быть значительно улучшена. Например, при доказательстве Мозером [78] сходимости закручивающих отображений может быть получена сходимость лучше, чем квадратичная, так что ошибка уменьшается по мере увеличения степени е в процессе вычисления итераций. Для того, чтобы это утверждение было верным, не требуется даже аналитичности рассматриваемого отображения, а лишь существование конечного числа производных.

Обобщение процедуры усреднения, нормализация Биркгофа и дополнительные интегралы

В большинстве случаев, когда применяется метод усреднения, основное предположение заключается в том, что гамильтониан является периодической функцией по каждой из угловых переменных yi, . .., уп. Как было видно из § 4 настоящей главы, понятие условно-периодических функций было некоторым небольшим обобщением понятия периодичности по каждой из переменных, применявшихся в соответствующих определениях понятия усреднения. Такие предположения напоминают о тех специальных областях, для которых были развиты эти методы: небесная механика и теория колебаний в механических и электрических системах.

Для того чтобы найти более общий подход к решению нужных задач, подход, при котором не надо проверять перечисленные выше гипотезы (предположения), рассмотрим сначала простой пример. Пусть функция Гамильтона имеет вид

Н(уь У2, Ж], жг) =. Но + Нх + Н2 + .. где

Но = у Ац (a:j + yf) + у А22 (^2 + Уг) + Аг (^А + Z/iZ/i)»

Нт = Я,(уь у2, ал, x2) (р =■ 1, 2, 3, ...). .

Здесь Нр — однородные полиномы степени р + 2. Решение «главной» части задачи получается сразу же, если можно уничтожить члены я^г + У1У2. Вообще говоря, это весьма легко можно сделать с помощью линейного канонического преобразования (у, х^-* (т), £):

+ ~ 2 ajh^k'k=i+ ~ 2 ajh^k'k=i2Л; = 2 аыУ1ик=12Л; = 2 аыУ1ик=1

+ ~ 2 ajh^k'k=i

+ ~ 2 ajh^k'k=i

2

Л; = 2 аыУ1ик=1

2

Л; = 2 аыУ1ик=1

где, например, можно положить

«12 = Л12, «22 = л22 — Ли, «и = (1 + <^12^21) /«22,«21 = (Л12«22Л22О12)/(Л22^12 Л" Лц«222Л12«12^22У

если исключить случай Лц = Л22, когда выписанное преобразование становится особенным. Разумеется, этот один особый случай много легче исследовать отдельно. В общем случае гамильтониан принимает вид

Н = Hq + Я1 + Я2 + . -.,

где Яо = Лх (£i + л1)Л2 (£2 + Лг), а Н\, Н^, ... опять являются однородными полиномами степени 3, 4, ... относительно ^1, ^2, Ль Лг- Также можно написать

Л1 = "2 (Лц«11 + Л,2«21 + 2«и«21Л12),

Л2 = -g- (Лп«12 + Л22 «22 + 2.а1гамА12).

Решение уравнения Гамильтона — Якоби

Л1 Ш ~ ^] + Лз [(IS-)2 + п^ = F° ^’ “г)

получается сразу же. Естественным образом выбирая

^о = Л1«1 + Л2аг,

находим S = S1 —4 S2l где

+^ = «i №=1,2),

и, следовательно,

«1 = 11+ т]1, Ph = (?1 + л!)1/2 arcsin (Лй/аь)-

Обратное преобразование имеет вид

= ahsinb. ^ = «hcos^ (к = 1,2).

Главная часть функции Гамильтона запишется так:

Но = F6 = ^l^a^ -Г A^ci^,

а вся функция Гамильтона может быть в общем виде представлена как сумма членов

(2.6.1) Sin \'

Решение нулевого порядка

ak = const, ^h = 2Акак1 V $ (к = 1,2)

показывает, что применение метода Пуанкаре обязательно приведет к появлению смешанных секулярных членов, обусловленных дифференцированием по ai или аг в производящей функции метода (функция обязательно содержит члены вида (2.6.1))1).

В действительности вопрос решается проще, по крайней мерь в формальном смысле. В самом деле, пусть функция Гамильтона содержит переменные ж, у только в виде комбинаций ^i+yi и ^Н- + У2, т. е.

H = H(4 + yL ^ + Д).

В этом случае в силу уравнений движения

• эн о ■дн „

получаем, что

^j -|- Z/J = С; = COnSt,

и, следовательно,

X; = с,- cos (и/ + а,), у5 =. с,- sin (и/ + Oj),

где

и, = — 2и, = — 2ЭНЧ^ + у^ЭНЧ^ + у^= const,= const,

и, = — 2

и, = — 2

ЭН

Ч^ + у^

ЭН

Ч^ + у^

= const,

= const,

a ch о, — произвольные постоянные. Ситуация здесь аналогична случаю, рассмотренному в книге Уиттекера [103], когда гамильтониан является только функцией переменных со,- =. х5у,, а и,- тогда — постоянные. Разумеется, такая ситуация будет иметь место и для случая любых других комбинаций координат и импульсов. Такие рассмотрения приводят нас к естественному вопросу: возможно ли привести весь гамильтониан к такому виду, когда он зависит только от комбинаций хХ + yi и^+ Уг, если Но имеет вид

Но = Ат (хХ 4- уi) + А2 (хз + у 2) •

Ответ на этот вопрос будет утвердительным в том смысле, что по крайней мере формально такую редукцию в общем случае можно произвести рядами, состоящими из зависящих от всех переменных полиномов, хотя вопрос о сходимости этих рядов как таковых никогда не исследовался. Тем не менее, эквивалентность упомянутого здесь преобразования проблеме нормализации Биркгофа очевидна.

Пусть теперь главная часть Яо функции Гамильтона будет функцией только выражений ^1 + У1 и хХ + уХ, а члены высших порядков в функции Гамильтона являются функциями переменных х,у, которые входят, скажем, только в комбинациях

р q т п

где

W\=xxx2-yyvy2l и?2 = Х1У2—Х2у1,2,22,2

Mi — #1 + Уь м2 — ^2 + Уг-

Такой случай, например, встречается в небесной механике при исследовании в переменных Пуанкаре (см., например, [12]). В общем случае можно считать, что члены высших порядков в Н являются однородными полиномами увеличивающихся степеней относительно xt, уь х2, у2. Исключение всех членов (кроме комбинаций из Mi, м2) в Я1 можно осуществить с помощью производящей функции

8 = ^1У1 + х2у2 + 81 4- 82 + ...,

6 г. Е. О. Джакалья

так что приходим к уравнению

Нг (л', у) +Нг (л', у) +2V 8S!дН0^ Эу^ Эх'к=1 8 к охк2V 8S!дН0^ Эу^ Эх'к=1 8 к охк=н^)+1^,k=i 9$к °Ук=н^)+1^,k=i 9$к °Ук

Нг (л', у) +

Нг (л', у) +

2

V 8S!дН0

^ Эу^ Эх'

к=1 8 к охк

2

V 8S!дН0

^ Эу^ Эх'

к=1 8 к охк

=н^)+1^,

k=i 9$к °Ук

=н^)+1^,

k=i 9$к °Ук

где штрихом отмечены новые переменные и новый гамильтониан. Далее, так как Но =.AiUi + ^2^2, то функция Hi определяется той частью функции Hi, которая содержит только комбинации из Mi и и2; обозначим эту часть через Hi,. Оставшаяся часть, обозначаемая как Hi„ будет служить для определения Si. Так как Н'о (х', у) = Но (х', у), то отсюда следует, что

ЭНд Э8у9х’к 9УкЭНд Э8у9х’к 9УкЭН0 Э8Х \Э«к 9х'к )ЭН0 Э8Х \Э«к 9х'к )= -Н1р<х', у),= -Н1р<х', у),

ЭНд Э8у

9х’к 9Ук

ЭНд Э8у

9х’к 9Ук

ЭН0 Э8Х \

Э«к 9х'к )

ЭН0 Э8Х \

Э«к 9х'к )

= -Н1р<х', у),

= -Н1р<х', у),

где в Hip любой член, в который входит ui и (или) и2, в качестве множителя содержит члены, зависящие от гщ или w2. Далее, учитывая вид До, имеем

^0 = 2а х- 9х’;^0 = 2а х- 9х’;ЭНВ 9 д—2 = 2а,у, оу. 101ЭНВ 9 д—2 = 2а,у, оу. 101

^0 = 2а х- 9х’;

^0 = 2а х- 9х’;

ЭНВ 9 д—2 = 2а,у, оу. 101

ЭНВ 9 д—2 = 2а,у, оу. 101

где

Следовательно, уравнение для Si принимает вид9 х ( '8St 8St \ тт , , х22“f ^^-У^^-Нгр^х , у).

С другой стороны, из рассмотрения выражений для wk и ик (к = 1, 2) следует, что

dSt

9St

• 9S-,

• OSi

Xi

8У1

= ^27-7- ои)^

-to!—4- dto2

dS!

9St

' 9Si

- 9$!

x2

9уг

da;2

= wi-A- 9w2

-U)2-A.

где

w\ = /юъ + угуг, w2 = х\уг--x2yv

Уравнение для Si становится таким:

2 (о^ — a,) w2 —J- \8ш.2 (о^ — a,) w2 —J- \8ш.- dS, \-^1-48to2 /- dS, \-^1-48to2 /= — HXp(wt, w's.u'i.ib^-Q^p^Wi^a').= — HXp(wt, w's.u'i.ib^-Q^p^Wi^a').

2 (о^ — a,) w2 —J- \8ш.

2 (о^ — a,) w2 —J- \8ш.

- dS, \

-^1-4

8to2 /

- dS, \

-^1-4

8to2 /

= — HXp(wt, w's.u'i.ib^-Q^p^Wi^a').

= — HXp(wt, w's.u'i.ib^-Q^p^Wi^a').

где зависимость от ыь и^ исчезает и не будет больше встречаться в дальнейших выкладках (до тех пор, пока не возникнет вопрос о зависимости только от величин Ui, и^). Решение этого последнего уравнения можно получить введением вспомогательных переменных интегрирования

Zi = (ш;)2 — (шз)2, z2 = (иц)2 + (w2)2.

Произведя эти замены, мы находим

= 4 («/-a,) J (2Д)1/2+ Ф1

где Ф[ — произвольная функция z2, щ, п2. Этот метод нельзя применить, если ai = a2, т. е.

эн6 _ ан0дих диг

Очевидно, это есть случай внутреннего резонанса в линейном приближении, который является исключительным. Аналогичные выкладки и общие рассуждения справедливы для приближения любого порядка. Гамильтониан, по крайней мере формально, приводится к виду

Н' — Но + Hi + ... — Н’ (щ, п2),

так что

U2 = (^з)2 + (у2)2 = const.U2 = (^з)2 + (у2)2 = const.“1 = (^i)2 -г ktivY = const,

U2 = (^з)2 + (у2)2 = const.

U2 = (^з)2 + (у2)2 = const.

Связь между переменными со штрихами и переменными без штрихов получается из соотношений

Ук~ Ук~ —;—г

’ , dSi , dS2

Xh-Xh^dyh +dyk

Проведенные выше рассмотрения устанавливают тесную связь между проблемой Пуанкаре и нормализацией Биркгофа [6, 98]. В действительности эти задачи эквивалентны по их целям, и такая эквивалентность в некоторых специальных прикладных вопросах была недавно показана в работах Депри [28—31].

Хорошо известно, что в общем случае ряды, вводимые при нормализации Биркгофа, расходятся, хотя и существуют некото- 6»

рые исключения. Новые результаты, касающиеся таких проблем, крайне редки1), и теоремы Колмогорова и Мозера можно применить только из-за нелинейности уравнений, соответствующих функции Но.

Следующим важным понятием, введенным Уиттекером [103], является понятие дополнительных интегралов. Определение этих величин и их представление в виде рядов, которое получил Уиттекер, недавно было использовано в работе Контопулоса [20], где, между прочим, показано, что такие интегралы, до сих пор считавшиеся формальным результатом, па практике остаются постоянными в течение очень большого интервала времени, а именно, настолько долго, насколько ЭВМ дает возможность проводить интегрирование с разумной достоверностью в точности результата. Отсюда следует вопрос: можно ли для консервативной системы найти другой интеграл, кроме интеграла энергии? Очевидно, существуют системы, для которых это справедливо. Действительно, по определению интегрируемая система с п степенями свободы имеет п таких интегралов. Хотя хорошо известный результат Пуанкаре указывает, что динамическая система пеинтегрируема, это касается только существования однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. Зигель [96] также показал, что в окрестности особой точки не существует дифференцируемых интегралов. Тем не менее, могут существовать интегралы для отдельных значений параметров, появляющихся в уравнениях, для отдельных значений начальных условий или, в исключительных случаях, например, даже непрерывные интегралы. В конце этого параграфа мы приведем пример такого исключительного случая.

Пусть функция F {у, х, t) будет дифференцируемым в области D интегралом консервативной системы, определяемой гамильтонианом Н\у, х); пусть он, кроме того, принадлежит классу С2 в некоторой области D 2п-мерного фазового пространства У = (У1> • • -, УпУ ж --(яд, ■ ■ •, ^п). Хорошо известно, что для того, чтобы независимая от Н функция F была первым интегралом, необходимо и достаточно выполнения соотношения

IF, Я) + ^ = 0.IF, Я) + ^ = 0.(2.6.2)(2.6.2)

IF, Я) + ^ = 0.

IF, Я) + ^ = 0.

(2.6.2)

(2.6.2)

В явном виде скобки Пуассона здесь записываются так:

(F, Я) =(F, Я) =у (8F 8Н (Эу. 8ту (8F 8Н (Эу. 8т8F дН\toh 8yJ-8F дН\toh 8yJ-

(F, Я) =

(F, Я) =

у (8F 8Н (Эу. 8т

у (8F 8Н (Эу. 8т

8F дН\

toh 8yJ-

8F дН\

toh 8yJ-

') Существенные новые результаты о сходимости рядов нормализующих преобразований получены в работах А. Д. Брюно [5* —12*] ^прим. ред.).

Если интеграл F не зависит явно от времени, то упомянутое условие принимает простой вид: (Е, Я) = 0.

Теперь рассмотрим случай, при котором Н зависит от безразмерного параметра е, |е| е [0, 1], и Н раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки 8 = 0 при |е| < 8о:

Я (у, ж, 8) = Я0(ж) + гН^, х) + еЧ1^у, ж) + ... (2.6.3)

Наконец, предположим, что F не зависит от времени явно и является аналитической функцией (в вещественном смысле) параметра е при | е | < ео. Тогда

^(У, ж, 8) = Е0(у, ж) + eEJy, ж) + е2Е2(у, я) + ..., (2.6.4)

и потребуем, чтобы функции Fh (у, ж) при к — 0, 1, 2, .. . были дифференцируемыми в области D. Если F является интегралом для всех е при | е| < ео, то должно быть выполнено равенство (Ео, Яо) — 0 или в явном виде

(2.6.5)(2.6.5)^ ^jl 9Н0 __ q

(2.6.5)

(2.6.5)

W Ж/, ох

Ясно, что любая функция вида F6 (ж) удовлетворяет уравнению (2.6.5). Если функция Ео(ж, у) является решением уравнения (2.6.5), то функция Е0(ж, у') + F^ (х) также будет его решением незваисимо от вида функции Fo (ж). Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции (Од = дНй]Эх являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел для хе D. В действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное мноЯсно, что любая функция вида F6 (ж) удовлетворяет уравнению (2.6.5). Если функция Ео(ж, у) является решением уравнения (2.6.5), то функция Е0(ж, у') + F^ (х) также будет его решением незваисимо от вида функции Fo (ж). Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции (Од = дНй]Эх являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел для хе D. В действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное множество условийжество условий2 7йюйЙ^12 7йюйЙ^1> К (ю°)> К (ю°)2 I 7й |2 I 7й |Й=1Й=1(2.6.6)(2.6.6)

Ясно, что любая функция вида F6 (ж) удовлетворяет уравнению (2.6.5). Если функция Ео(ж, у) является решением уравнения (2.6.5), то функция Е0(ж, у') + F^ (х) также будет его решением незваисимо от вида функции Fo (ж). Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции (Од = дНй]Эх являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел для хе D. В действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное мно

Ясно, что любая функция вида F6 (ж) удовлетворяет уравнению (2.6.5). Если функция Ео(ж, у) является решением уравнения (2.6.5), то функция Е0(ж, у') + F^ (х) также будет его решением незваисимо от вида функции Fo (ж). Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции (Од = дНй]Эх являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел для хе D. В действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное мно

жество условий

жество условий

2 7йюй

Й^1

2 7йюй

Й^1

> К (ю°)

> К (ю°)

2 I 7й |

2 I 7й |

Й=1

Й=1

(2.6.6)

(2.6.6)

для всех одновременно не обращающихся в пуль целых чисел Д и некоторой постоянной К. Резонансные случаи или случаи, близкие к резонансным, в применении к задаче о дополнительных интегралах детально изучены в работах Контопулоса [25, 26]. Для систем с числом степеней свободы п > 2 в литературе не встречается даже приближенного решения рассматриваемой задачи, хотя его можно получить без особого труда. Выписанные выше условия исключают частные решения (или «почти» решения) типа

где рк — такие целые числа, что

2 кРь = 0. Л =4

Тогда мы имеем следующее утверждение.

Лемма 1. Функция Fq является произвольной функцией переменных жь ..., х„ и произвольной функцией линейной формы ШУ1 + • • • + «nJ/п, где вещественные, не являющиеся все одновременно рациональными числа а.к таковы, что

«1(01 + • • • + м2 = 0.

Отметим, что так как решение системы уравнений, соответствующих функции Гамильтона И о, имеет вид

Xk = Const, yk = toft (ж) t + y°k,

то любая функция от aiyi + ... + a„y„ сводится к независимой постоянной. По этой причине мы будем рассматривать только Fo = F0 (х) в качестве решения уравнения (2.6.5). В действительности это очевидно, так как функция F0 должна быть интегралом системы уравнений, соответствующих гамильтониану Но, и, следовательно, функцией п интегралов этой системы Xi, ..., хп.

Лемма 2. Если F0 = F0{x) и функция Fr(y, х) является 2п-периодической относительно у{, ..., уп с нулевым средним, то функция (Н\, F0 также будет 2п-периодической относительно yi, • ■ ~, Уп с нулевым средним при условии, что Н^у, х) — 2п-пе- риодическая функция относительно yi, ..., у„.

Действительно, условие (F, Н) —, 0 приводит к такому набору условий при р — 1, 2, 3, ...:

(FP, Н^ + (Fp_b НО + (Нр_2, Н^ +...+ (Fo, Нр) = 0. (2.6.7)

При р = 1 мы имеем

(Fh Но) ,+ (Fo, Hi) =.0,

пп(2.6.8)(2.6.8)п

п

п

(2.6.8)

(2.6.8)

SO dFt _™'57 =

где

8F^_ дх.8F^_ дх.

8F^_ дх.

8F^_ дх.

Правая часть уравнения (2.6.8) — 2л-периодическая по каждому yh и имеет нулевое среднее. Аналогичное утверждение справедли-

во и относительно функции F^y, я;), в которой можно пренебречь любой произвольной функцией х; величины ю®; удовлетворяют условию (2.6.6). Пусть теперь 6 = piyi + • • • + Р^у™ — произвольный аргумент в ряде Фурье функции Hi (у, ж), где целые числа pi, ..., рп одновременно в нуль не обращаются. В силу линейности уравнения (2.6.8) можно обойтись этим единственным аргументом. Таким образом, отбросив произвольную функцию х, для этого аргумента получаем

2 Pjpj

Ру=3-^(— A sin 6 + В cos 6),(2.6.9)

j=i

где, согласно определению, Нх = A cos 6 + В sin 6 + ... Сомножитель, стоящий перед скобкой в правой части (2.6.9), является функцией х, которую обозначим через С (ж), и, учитывая (2.6.6), находим, что он не слишком велик (очевидно, надо, чтобы постоянная К (to0) в (2.6.6) была 0(1) по сравнению с е).

Отсюда следует равенство

(FT, Ях)е = j^ Pi Ц"Ч l~i~ ^ sin 26 + АВ cos 2б\

которое ri доказывает лемму, так как члены, не зависящие от 6, можно считать периодическими функциями этого аргумента.

Рассмотрим уравнение (2.6.7) для р =. 2. Функция F2 определяется формулой

(F2, Но) + (Fi, Hi) + (Fo, Нг) =. О

НЛП

6=16=1ак

откуда следует, что если пренебречь произвольной функцией переменных х, то F^ также будет 2л-периодической функцией относительно У1, •..., у„.

Однако в общем случае утверждение о 2л-периодичности по угловым переменным г/ь ..., уп функции F, является неверным. Оно остается справедливым только при выполнении очень специальных условий. Наиболее важный пример такого рода — это когда Н представляется рядами из косинусов углов ух, . .., уп. В этом случае легко видеть, что F также представляется рядами из коси-

пусов. Следовательно, любая функция, получаемая при вычислении скобок Пуассона, будет выражаться через ряды из синусов II не может содержать постоянных членов. В этом легко убедиться, если написать выражение

/ г mV / 9Р 9НдР дН \

'\ OU, ОХ,ОХ, ОУ, /

k=l \ Зк к к Зк /

и обнаружить, что в каждом слагаемом один сомножитель есть ряд из синусов, а другой — ряд из косинусов.

Аналогичное утверждение верно, когда Н представляется рядами из синусов. В задачах небесной механики, в которых рассматриваются ньютоновские силы, эти условия часто бывают выполнены.

Сходимость такого метода последовательных приближений была доказана Уиттекером [102] для некоторого специального класса задач с двумя степенями свободы, а именно: для движения в окрестности положения равновесия в общем эллиптическом случае при рационально независимых частотах нормальных колебаний ан, 0)2 и в достаточно малой окрестности равновесия. Хотя Уиттекер считал, что для большинства случаев имеет место сходимость, он, тем не менее, указал на факт, что такие дополнительные интегралы в общем случае не могут быть равномерно сходящимися для любого значения независимой переменной и по отношению ко всем значениям постоянных интегрирования или параметрам задачи из любого интервала. Это последнее утверждение очевидно следует из того факта, что по мере того, как отношение со 1/0)2 изменяется от иррационального значения к некоторому рациональному, ряды, определяющие дополнительные интегралы, принимают совершенно другой вид. Аналогичная ситуация имеет место при применении метода усреднения по отношению к типу движения, определяемого гамильтонианом Но (опорное решение). При нелинейных колебаниях нормальная форма зависит от начальных условий и, следовательно, кажется естественным заключить, что, насколько это касается начальных условий, сходимость в любой области фазового пространства невозможна. В действительности аналогичные соображения лежали в основе теоремы Пуанкаре о расходимости рядов в небесной механике [91].

Разумеется, существует один случай, при котором вопрос о сходимости даже не встает: очевидная ситуация, когда ряды обрываются. Даже если интеграл существует в виде полинома относительно е, остается вопрос о том, каким должно быть нулевое приближение Fo. Разница между получением рядов (в конечном счете расходящихся) и полинома может зависеть от выбора функции F0(x\ Если бы был найден общий принцип нахождения таких функций, то мы могли бы иметь критерий существования пн-

тсгралов, являющихся полиномами относительно некоторых физических параметров. Рассмотрим, например, случай

Н = Н0^ + Н1 ^х^

достаточно общий в задачах теории возмущений. В этом случае уравнение, определяющее функции FT, имеет вид (р=.1, 2, 3, ...) \FT1 Но) + (^-b ЯО =.о.

Очевидно, если Fh (/с ^ р) тождественно равны нулю, то отсюда следует, что F =. FQ + FxFT_Xl где

(Яо, Яо) =,0,

(Я1, Яо) + (Яо, ЯО =.0,

(Яг, Яо) -ф (Яь ЯО =.0,

(Яр-i, Яо) + (Яр-г, ЯО —. О,

(Я.-i, Я0 = 0.

Последнее условие подразумевает, что функция FP_\ является интегралом системы уравнений, соответствующей гамильтониану Яь Это есть необходимое условие того, что интеграл F является полиномом степени р— 1 относительно е. Ясно, что для этого достаточно, чтобы функция Яр-i была равна Н\ или являлась функцией от Яь

Например, такая ситуация имела место в случае интегрируемости Ковалевской для движения симметричного волчка под действием гравитационного поля. Для изучения этого движения введем переменные Андуайе [2]

Я =. р^ = G cos 6, ре = G sin Ъ • sin (I — ф), р^ = Я = G cos /, где ф, ф, 9 — углы Эйлера, определение которых можно найти, например, в книге Голдстейна [44], G — величина кинетического момента, / — наклонение плоскости р (нормальной к вектору кинетического момента) к инерциальной экваториальной плоскости, Ъ — наклонение главной инерциальной экваториальной плоскости тела к плоскости р, а I — угол между связанной с телом осью Ох и линией пересечения плоскости Оху, связанной с телом, с плоскостью р. Пусть h — угол между инерциальной осью ОХ и линией пересечения плоскостей ОХУ и р, a g — угол между линиями пересечения плоскости р с плоскостями ОХУ и Оху. Тогда переменные L, G, Н, I, g, h будут канонически сопряженными (см., например, [31]), и кинетическая энергия имеет вид

ж0 = 4" (4sin21+4со®2 z) ^г ™+4 L'2’

(2.6.10)(2.6.10)

(2.6.10)

(2.6.10)

где Л, В, С — главные центральные моменты инерции (по осям Ох, Оу, Oz соответственно). Если положить А = В, то

Потенциальная энергия при сделанном выборе осей может быть записана в виде

iv36i=.u;{xG [sin I sin geos I + (sin b cos I + cos b sin/cos g)sinZ] +

+ zc [cos b cos I — sin b sin / cos g]},

где iv — вес волчка, a xG, yG =. 0, zG — координаты центра масс в системе координат, связанной с телом. Очевидно, мы имеем интегралы 5^о + w36\ = Е (интеграл энергии) и Н = G cos I = Но (так как h, — циклическая координата).

Рассмотрим интеграл системы Еф, G, И, I, g, h), такой, что F = Fo + wFx + ...,

Fo = ^L, G), Fh = Fk(L, G, I, g) (к =.l, 2, ...),

где по предположению h. — циклическая переменная, а Н = Но — параметр, зависимость от которого явно не показана. Мы можем переписать 36о, 36 \ в виде

36й =

36 х = A0 sin (Z 4- g) + В0 sin (Z — g) + C" sin I 4- D" cos g -j- E\ где

A0 = xG

Условия того, что функция F — интеграл, имеют вид (&=1, 2,...)

(,360, Fk) + (36x, Р^) = 0.

Оставим пока функцию т|; (22, G) = Fq неопределенной и попыта-

емся определить, при каких условиях на ф и физические параметры ряд для F обрывается. Из (2.6.10) получаем

0Еь0F.

010g

OF. 1

= [Л° cos (Z 4- g) 4- в° cos (Z — g) + C° cos Ц gL 4-

OF., + [ЛЧоз (Z + g) — B° cos (Z — g) — D° sin g] —^

- [Л1 sin (Z 4- g) + Bl sin (Z - g) + cl sin l+Dl cos g+ElA -^ -

— [Ло sin (Z + g) + Bq sin (Z — g) + Cq sin Z + Dy cos g + Eg] —^ •

(2.6.11)

При к = 1 находим

Fi =Fi =gL —■ bGgL —■ bGsin (Z + g) +sin (Z + g) +50 (^~^g)aL — bG50 (^~^g)aL — bGsin (Z — g) +sin (Z — g) +

Fi =

Fi =

gL —■ bG

gL —■ bG

sin (Z + g) +

sin (Z + g) +

50 (^~^g)aL — bG

50 (^~^g)aL — bG

sin (Z — g) +

sin (Z — g) +

с°фг . ,Hsin Z +ttJUс°фг . ,Hsin Z +ttJU£^4bG£^4bGcos g + E' =cos g + E' =

с°фг . ,Hsin Z +ttJU

с°фг . ,Hsin Z +ttJU

£^4bG

£^4bG

cos g + E' =

cos g + E' =

= A' sin (Z + g) + B' sin (Z — g) + C sin I + D' cos g + E’, (2.6.12)

где E' — произвольная функция, зависящая от L, G. Функция Ег имеет тот же вид, что и 36 \. Действительно, это условие является необходимым, так как, взяв за -ф функцию 36^ (ф = 36^, мы должны получить Ei = 36х + произвольная функция, зависящая от L, G. Также ясно, что не существует функции ф ^ 0, такой, что Fi = 0. При к = 2 уравнения (2.6.11) дают (см. [38])

F^ = Ло,1 cos g + Ло,2 cos 2g + А^^ cos (Z — g) +

4* Л],о cos Z 4* Aij cos (Z 4" g) 4" Л],2 cos (Z 4" 2g) 4"

^2,-2 cos (2Z — 2g) + Л2,-1 cos (2Z — g) 4- Л2,о cos 2Z 4-

+ Лгл cos (2Z 4" g) 4" A^,2 cos (2Z 4" 2g) 4* ^i,—2 sin (Z — 2g) 4"

5i,_i sin (Z — g) + Bi,0 sin Z 4- В1Л sin (Z 4- g) 4-

"t 5i,2 sin (Z 4" 2g) 4" E",(2.6.13)

где E" — произвольная функция, зависящая от L, G, a A,-. k, B,. k — определенные функции, зависящие от фь, фс, Л°, 5°, С°, 5°, Е', L, G, а, b и их производных. Если предположить Е^ = 0, то все эти коэффициенты должны быть тождественно равны нулю, и мы находим, что

Е" = E'l=E'g = 0,

а при условии, что к — ненулевая постоянная, должно быть А' = кА», В' = кВ», С = кС», В' = кВ»,

так что Fg = кЗбу и Fx = к36\. Отсюда видно, что любой дифференцируемый интеграл (справедливый для всех значений ш), имеющий вид Fe + wF\, необходимо должен быть пропорционален функции 36q + w36\.

Из (2.6.11) при к = 3 находим

F3 = ^5 g .2 з [Ajcos (^ + 7^) + В'м sin (kl + /g)], (2.6.14)

где индексы к, j одновременно в нуль не обращаются, а Л^,.^',— функции, зависящие от фь, фс, А», В», С», В», Е', Е", L, G, а, b и их производных. Полагая равными нулю все коэффициенты этого тригонометрического полинома, находим

I) а = b (Л = 2G),

П) В» = Е» = Е' = 0 (zG = 0),

ш)Ф = ^=^,(2-6л5>

IV)Е" = 2.4 № kL^^\-2L1H\

При этих условиях из (2.6.12) следует, что

^ = ^^ “ ^) VG" ~ IP WG-L^ sin(Z Ag^-

- (G + L) Sin (Z - g)] + -^ /(G2 - Я2)3 sin I

или

Fy = ^j- G2 sin2 b [sin I (sin g cos Z — cos b cos g sin Z) —

— cos I sin b sin Z],(2.6.16)

Из (2.6.13) находим

F.F.4жс I 1 (l^+ H2

F.

F.

TF'L’Tk G2

или

F, = ^- (1 — cos2 Ъ cos21 — sin2 b sin21 cos2 g -f

4- 2 sin b cos b sin I cos I cos g).

Легко видеть, что функции Fa, Ft, ... равны нулю, т. е. мы установили существование интеграла

F = Fo -J- wFT + uFF^,

который является интегралом Ковалевской (см., например, [68]). Записывая F через р, q, г (компоненты вектора угловой скорости по осям Ox, Оу, Oz) и углы Эйлера, находим

/24 /72 \-/24

Г)

Fx =-^ [(р2 — q^ sin 0 sin ф + 2pq sin 0 cos ф],

F, = ^(1 — cos2 9) = -^sin20.

Используя обозначения Лейманиса [68]

ц = wXqA-1, § = sin ф sin 9,

ц = cos ф sin 9,£ = cos 9,

получаем

F = (р2 _ 9г _ 2^)2 + (2рд - 2цг|)2.

Таким образом, для любого значения w (которое здесь играет роль е) найден интеграл, правда, при условии А = В = 2С. При более общих условиях Арнольд [3] показал, что эта система интегрируема для достаточно малых значений w, т. е. он показал устойчивость быстрого волчка.

Решение задачи Пуанкаре с помощью скобок Пуассона.Уничтожение секулярных членов в дополнительных интегралах

В этом- параграфе мы хотим показать, как решить задачу Пуанкаре, используя скобки Пуассона и, в то же время, как исключить секулярные члены при построении дополнительных интегралов. Главным образом мы будем иметь дело со случаем вырождения, при котором главная часть гамильтониана зависит только от одной переменной действие, а возмущения 2л-перио- дичны по угловым переменным. Как мы уже видели, в этой си-

туации при введении рядов в методе Пуанкаре возникают некоторые трудности, которые привели Цейпеля к уже описанному обобщению метода. Как мы уже видели, с помощью метода Пуанкаре строятся п формальных интегралов, нулевыми приближениями которых являются переменные действие, являющиеся постоянными в невозмущенном движении. Оставшиеся п интегралов по существу являются постоянными интегрирования для угловых переменных, если все они в конце концов исключены из гамильтониана. Процесс, который мы здесь собираемся обсуждать, по существу совпадает с процессом, введенным Уиттекером, хотя исключение секулярных членов было впервые проведено в работе Джакальи [37].

В обычных обозначениях рекуррентные соотношения имеют вид

k— 1

(Но, 7^) = - 2 (Hh_h Fj) = - ^ (у, ж),(2.7.1)

з=о

где функция i|\ известна, когда все (А — 1) приближений известны. При к = 0 11^ = 0. Полагая также Но = Но (ж), имеем

2®°& =ЫУ, ж)(2.7.2)

с условием, что в каждой функции Fh (у, х) не должно быть о , о секулярных членов в том смысле, что замена у, = ю^т + Уз должна давать

lim Fh (у (т), ж) < оо.(2.7.3)

Однако функции ip^ получаются в результате перемножения тригонометрических рядов, т. е. они должны содержать члены, которые являются функциями только ж, так что при интегрировании уравнений (2.7.2) условия (2.7.3), вообще говоря, не будут выполнены. Нежелательное секулярное поведение может быть уничтожено введением описываемой ниже процедуры усреднения. Мы рассмотрим случай вырождения высокого порядка, когда функция Но зависит только от одного импульса, т. е. Яо = Яо(ж1). Аналогично процедуре Пуанкаре мы попытаемся получить интегралы, которые при Н = Йо равны импульсам, а в общем случае

^ = ж; + еА^(у, ж)(2.7.4)

при / = 1, 2, 3, ... При этом остается открытым вопрос о том, приведет ли такой выбор к интегралам

eW, (у, ж),(2.7.5)

определяемым методом Пуанкаре. Так как но предположению F} и ^ являются интегралами, то функции

Fj-x^s^F—W^

также будут интегралами. Теперь Д^ и И^ не являются интегралами (так как Xj — не интегралы), так что ^Fi = Wj. Отсюда следует, что, если процедура сходится для е из некоторого интервала, то оба метода приведут к одинаковому результату, хотя использование скобок Пуассона дает явный вид решения и дает некоторую дополнительную информацию. Следовательно, мы положим

^ = ^ + ^(^,^ + ^(1/,^)+ ...,(2.7.6)

Н = Яо (^) 4- Нг (у, х) + Н2(у,х)+(2.7.7)

где Н удовлетворяет упомянутым выше условиям. Уравнение для приближения первого порядка (А=1), получаемое из (2.7.1), дает

о ^Л5Ъ

9угдУ1 ’

так что

Л = - А Н« ^У' ж) + Fn <У^®),(2.7.8)

Ю1

где Я1р определяется операцией выделения из Н^ среднего по уь В общем случае

т

!р (У, ж^ = 1 (У, ж) - lim I / (t, у2, ..., yn, ж) dt,

или для рассматриваемого случая

2Л

ip {у, x} = i^x} — ^ f <У1' у^--^ у^ ®) йу!.

о

Индекс s указывает на отсутствие переменной у\, а функция Р\., очевидно, произвольна. Приближение второго порядка определяется из уравнения

где ф2р и ^2$ —известные функции, имеющие вид у Г/№х d/M 1ЭНг 8FA 1 дН2

Ч*2Рду. IЭх. ) Эу. ’

^23 =

Если функция F2 не должна содержать секулярных членов, то y2s должна уничтожаться, что определяется условием

^2s — (Я13, t Is)^2s — (Я13, t Is)1 д<в^2 (й)£)5 <^11 д<в^2 (й)£)5 <^1= о,= о,

^2s — (Я13, t Is)

^2s — (Я13, t Is)

1 д<в^

2 (й)£)5 <^1

1 д<в^

2 (й)£)5 <^1

= о,

= о,

а так как последний член в правой части этого условия равен нулю, то функция Els определяется уравнением

(2.7.9)(2.7.9)(Hls, Els) = О,

(2.7.9)

(2.7.9)

для которого надо найти какое-нибудь простейшее частное решение в этом случае E]s = 0. Для простоты рассмотрим случай

(2.7.10)(2.7.10)Н = Но + Ни

(2.7.10)

(2.7.10)

так что приближение второго порядка определяется уравнением

^ = ^p-(H1P,F^^ = ^p-(H1P,F^о? ls’ lp) 2(<o?)2^iо? ls’ lp) 2(<o?)2^i

^ = ^p-(H1P,F^

^ = ^p-(H1P,F^

о? ls’ lp) 2(<o?)2^i

о? ls’ lp) 2(<o?)2^i

а так как

тг-

IP 9У1

то отсюда следует

F^ = — ^ор" J СЯ1=’ Я1р) dFv — 2 ^оу э^ {Н^п, (2.7.11)

F2 = F2р А- ? 1$,

где функция Е2з (у2, ..., уп,ж) произвольна. В случае (2.7.10) для приближения третьего порядка имеем

^v9^=(Hx,F^ = ^3P^^s.

где

ip3t = (7/is, E2s) + (Ни, F^p},,

и учитывая условие фз5 = 0, определяем произвольную функцию F^, из соотношения

2л

(Sisi ^2s) =2л" j ^is’ ^2р) ^У1 = Фз$ (У 21 • • • i Ути ®V

О

где Фз= — известная функция.

Характеристики однородных уравнений в частных производных для Fis, ..., ЕЬз одинаковы при любом к и определяются формулами

Дуг ._ ^Уп ^2__ dxn 7

эн,эн, эн,ЭН. ’

1sIsIsIs9$гдхп " 9уг~ дуп

где т — вспомогательный параметр. Таким образом, решения для Fka (к = 1, 2, ...) будут зависеть от решения такой системы уравнений:

dу. ЭН. dx. ОН

= 1*_1 =У (7 = 2п\.

dx Эх. ' dx ду.'

Эти уравнения соответствуют динамической системе с (п— 1)-й степенью свободы и гамильтонианом Ни. Тем не менее, необходимо отметить, что надо найти только частное решение (в смысле Якоби) такой системы. Разумеется, если для некоторого значения (®,у) одна или более частных производных ЗЯ^/Зжа равны нулю или малы (скажем, так же малы, как и е), то решение будет содержать особенности или малые делители и метод применять нельзя. Один из способов рассмотрения такой ситуации заключается в предположении о резонансности, и он будет описан в главе V. Здесь мы ограничимся изучением частного случая, когда одна из производных, например dHuldx^, является О(е'/г), и рассмотрим разложение

F = Fo + е'^ + eF2 + e3/2F3 + ...

Из основного уравнения (F, Я) = О приравниванием членов одинакового порядка по е получаем

(Но, Fq) = 0, (Яо, Fi) = О,

'0’2/1 I 9хг dyY Ш Qx^ Qy^ “Г • • • “Г gx^ Qy^

_ ЭН^ 0Р\>_ _ ОН^ ОРц __ Mil _ g

9У1 9xv ду2 дх2 " ‘ " дуп дхп) ’

' ”дх2 9угЭУ1 Эх2 9уг 1 ‘ Эхп Эуп

dHx ЭРг _ ЭНг dFtЭНг ЭРЛ _

9У1 9хг Эуг Эх2 ‘ " Эуп Эхп) ~

7 Г. Е. О. Джакалья

И т. дуетИ т. дуетД.Д.Если опятьЕсли опятьсчитать Но = Яо(^1), Fo = хь то отсюда сле-считать Но = Яо(^1), Fo = хь то отсюда сле-О ЭРг _ ®1 я— 9У1 ° дРг л = 9У1О ЭРг _ ®1 я— 9У1 ° дРг л = 9У10. т. е. Fx = Els(y2. .... уп, ж).0. т. е. Fx = Els(y2. .... уп, ж).9yi 4з"9yi 4з"„0^3 _ /ZT F X 9H1S 9F^ Я-1 ^17 ^ Эхг дуг ^3’„0^3 _ /ZT F X 9H1S 9F^ Я-1 ^17 ^ Эхг дуг ^3’

И т. дует

И т. дует

Д.

Д.

Если опять

Если опять

считать Но = Яо(^1), Fo = хь то отсюда сле-

считать Но = Яо(^1), Fo = хь то отсюда сле-

О ЭРг _ ®1 я— 9У1 ° дРг л = 9У1

О ЭРг _ ®1 я— 9У1 ° дРг л = 9У1

0. т. е. Fx = Els(y2. .... уп, ж).

0. т. е. Fx = Els(y2. .... уп, ж).

9yi 4з"

9yi 4з"

„0^3 _ /ZT F X 9H1S 9F^ Я-

1 ^17 ^ Эхг дуг ^3’

„0^3 _ /ZT F X 9H1S 9F^ Я-

1 ^17 ^ Эхг дуг ^3’

n9F.дН. а

<0? ^ = Fh^ + -^ №-з -= ф„

при к = 4, 5,... Теперь функция Fla — произвольная п может быть взята нулевой, так что автоматически получаем фз = 0 и, следовательно,

со? = О

ИЛИ

E3=E3s(y2, • •., У», *1, • ХпУ

С другой стороны,

^2 = fl" ^Р + ^2$,

так что функция

= (Я18, E2s) + (Я1Р, F2P)s

должна быть пулевой. Так как

Hip,Hip,I д<о® (<о^)2 5^1I д<о® (<о^)2 5^11Р’ 9У1 /в1Р’ 9У1 /в= о,= о,

Hip,

Hip,

I д<о® (<о^)2 5^1

I д<о® (<о^)2 5^1

1Р’ 9У1 /в

1Р’ 9У1 /в

= о,

= о,

то отсюда следует

ф45 = (Я15, E2s) -= О,

T4S ' zs/ Эхг ду2 7

и, например, функция Fis = 0 удовлетворяет этому требованию. Б любом случае характеристики (для любого порядка) определяются уравнениями

^Уз == аУп = dx3 _dxn

^is9Hls

9^з9хп ду3дуп

с исчезнувшим требованием отсутствия малого делителя dH\sldxz.

Если ^2$*= 0, то функция F^ полностью определена, a F^ имеет вид

1 С Г9Н. ЭН. _11.

Fi=~ {^ор J [(^ н^ - -^Г -^7 й^ ~ ^ор ^7 (Н^Р

и т. д. При каждом последовательном приближении характеристики остаются теми же самыми и не имеют каких-либо особенностей. Также ясно, что этот метод аналогичным образом можно применить и в случаях, когда больше чем одна производная дЩа1дхк мала.

Положим теперь Fo = ха, так что функция F будет соответствовать интегралу хг в задаче Пуанкаре. В этом случае

п° ^1 = - ^

дУ1 дУ2 ’ так что

гОН, ,.,.

Ру = — ^J ^-^1 + Ф1(г/2,

Однако подынтегральная функция dHifdy^ может содержать члены, не зависящие от у\ и, следовательно, в F\ будут секулярные члены, увеличивающиеся вместе с z/ь Такие секулярные члены будут иметь вид

С 8Н л

и они не будут равны нулю до тех пор, пока функция Щ8 не станет независимой от у^. Следовательно, приходится отказаться от предположения Fo = х^ и принять более общую форму

Если можно выбрать функцию Fo так, чтобы в высших приближениях отсутствовали секулярные члены, то можно получить по крайней мере формальный интеграл, а в конечном счете и сходящийся. Уравнение для функции F\ получается из соотношения

(77о, F\) -j- ^Н\, Fo) — О

и имеет вид

^ = ^H1,Fn).

Секулярная часть членов правой части уравнения должна быть равна нулю, т. е.

(Яи,Яо)=О,(2.7.12)

так как Fq по предположению не зависит от уь Это предположение легко оправдать условием (Яо, /^о)=О при Яо=Яо(а?1). Решение уравнения (2.7.12) получается сразу же и имеет вид: Fo=kHis, где к — постоянная. С точки зрения теории Гамильтона — Якоби ясно, что такой выбор вида Fo эквивалентен ситуации в методе Пуанкаре (см, [37]).

Интересной физической чертой этой процедуры является то, что секулярная часть функции Я1 становится приближением нулевого порядка для интеграла движения. Этот факт объясняется сохранением энергии системы при каноническом преобразовании. Кроме того, обсуждаемый вопрос тесно связан с методами теории возмущений, основанными на преобразованиях и рядах Ли, которые будут описаны ниже в этой главе.

Теперь рассмотрим исходную систему вида

ЭН • ЭН

хк = "= 1, • •

Эх,р- di,. х

к

где Н = Я (у, х\ Пусть ( = yn+i, так что

==(а = 1, • ••,« + !), (2.7.13)

а

где 56 = Я + xn+i, xn+i = ^ = const. Угловые переменные такой системы, в соответствии с методом Пуанкаре, имеют вид

У а -- Юа< -]- Уао, где г/ао — независимые постоянные, а ^n+l,1 ,9 2,

®а — —V — toot 4" 8(0а -;- 8"toa -j- . . .

и все о>„ являются функциями переменных х\,...1хп- В частности,

так что

У а = «& 4" 8V„ (ж', 8) t 4- 0а.

С другой стороны,

Уа = -г- = Уа{® , у, е) = У« + ер» V® , У, г). 9ха

Сравнение двух последних соотношений дает

Р« = У» — ®^ + е (На — VJ)-

Но ^а являются постоянными для системы (2.7.13) и могут быть записаны в виде

Рй = Ук — <4yn+t + e0ft (х',у, t, e),(2.7.14)

а члены нулевого порядка в таких интегралах можно записать так:

^ко^Ук — ®кУп-ц (& = 1, ...,и).(2.7.15)

Теперь условие Пуассона записывается в виде

n+i

I дх ду ду дх ]*

а=1 ' аа /

Если Но = Но (ж), то приближение нулевого порядка должно определяться уравнением

у №0 ^Fo _ дР09хк 8Ук " 9Уп+1 ’

частным решением которого является функция

г .,дНоо

о У15^- Уп-ц = У1 — <»1 г/ п4-1,

что совпадает с (2.7.15) при к = 1.

Возникает вопрос: имеют ли какое-нибудь значение полученные таким образом формальные ряды, так как в рассматриваемом случае члены, линейные относительно времени, уничтожить нельзя? Однако тот же вопрос возникает и при использовании метода Пуанкаре, при котором частоты <ок = <о& + еи>1 + ... в действительности на практике получаются только до некоторого приближения порядка р. Как уже говорилось, этот факт отражается тем выводом, что даже если ряды сходятся, в практических вычислениях они, тем не менее, могут быть пригодны не для любых интервалов времени, а в лучшем случае лишь при t = О(е-Р).

Запишем условие существования интеграла F для (2.7.14) в виде

(^,Я)+^ = 0

и формально определим эти интегралы следующим образом. Мы положим

^о = У1 — Ю1С

Н = H0V -^H^yV

Рекуррентные соотношения для Fh будут иметь вид

(^.Я0)+^- = -(^_1,Я1)

или

дрдр^9Р„

др

др

0) IV

9ут

При к-= 1 имеем

о9Fv , эргдНг , 9^ №.

1 ду, dt64 1 дчдУ1

а при к = 2

ЭР. 9уЭР. 9у+ V = ^. FJ+ V = ^. FJ

ЭР. 9у

ЭР. 9у

+ V = ^. FJ

+ V = ^. FJ

и т. д. Можно найти решение для F\ в виде

1 ? 9Н1 ,,1 9toteaH

J 9ч d!/1 1 (ш0)2 дч J дУ1

1 Эш^ Г энt д^ Г 9Н1,

(Ш0)2 9хг УЛ дУ1 dyi 1 ^дч J дУ1 d^ 1 ^S’ ■■■,Уп^),

где ф— произвольная функция. С другой стороны, имеем

дН, 9 ,„ .„

V У1 = (НлуЛ — Я,,9У1 9У1Х11

так что, если IIj является 2л-периодической функцией переменных yi, ..., у„, то мы получаем

лГ" (-^1У1) d,yi H^yY — С H^^pdy^.

Следовательно,

1 С ЭН1 9to9 Г _t Эо9

1 9ч 1,1 (шоу Эч J 1Р 1 ю0дч !Р ■

Единственным нежелательным членом, из-за которого могут возникнуть секулярные относительно yi члены, является первый член в правой части уравнения. Более того, этот член в действительности имеет вид

л С ЭН1 8Н.

to0 J дхгш0 дхг

Функция

^1 о "щГ У1 ~ —о ( ^ + Щ^ ^ ) ^1Р — ( 0X2 дж” ) ^Р^1 “ Ф1

является периодической по yi, ..., уп и секулярной по t. Этого последнего свойства функции избежать нельзя, и оно является нежелательным.

Предлагаемый здесь выход из создавшейся ситуации заключается в следующем. Определим функцию Fo так:

Р0 = У1 — ^ Ч- Фо (Уа, --^Уп, ж).

Очевидно, эта функция является решением уравнения

(Ео,Но) + ^. = О.

Тогда уравнение для Ft принимает вид

О8Ft , 8Ft1дут 8tО8Ft , 8Ft1дут 8t8Hj 8хг8Hj 8хг, .э^эн.,+ дЧ дУ1, .э^эн.,+ дЧ дУ1^(ЯгЛо),^(ЯгЛо),

О8Ft , 8Ft

1дут 8t

О8Ft , 8Ft

1дут 8t

8Hj 8хг

8Hj 8хг

, .э^эн.,+ дЧ дУ1

, .э^эн.,+ дЧ дУ1

^(ЯгЛо),

^(ЯгЛо),

и его решение совпадает с решении предыдущего уравнения; до бавляется только член

^ J (Я1Т ф0) йУ1

Часть этого интеграла, содержащая секулярные члены относительно yv, будет равна нулю тогда и только тогда, когда выполнено соотношение

9^ + (Hls, ф0) - 0.

Последнее уравнение подсказывает способ, согласно которому надо выбирать произвольную функцию фо. Решение этого уравне-

ния в частных производных эквивалентно интегрированию характеристик

dy, 5Н doc ^Нdx ох^ ’ dx Эу^ ’

где т — произвольный параметр, к = 2, ..., п, a ад надо считать постоянным параметром. Если у^ хк найдены из этого уравнения в виде функций величины т, то функция Hi8 затем выражается через т, а фо получается в виде

После того как интегрирование закончено, функция фо опять записывается через переменные у^ ..., уп, ад, $2, • • •> х^. Добавление фо к функции Ео приводит к изменению опорной частоты со?, что. другими словами, и предполагается в методе Линдстедта.

Таким образом, мы установили тесную связь между процедурой определения дополнительных интегралов и интегрированием гамильтоновой системы методом Пуанкаре. Такая же связь, как мы увидим ниже, устанавливает фундаментальное соотношение между методом, использующим ряды и преобразования Ли, и м.етодом, использующим дополнительную систему для характеристик.

Методы теории возмущений,основанные на преобразованиях Ли

Этот параграф посвящен описанию (настолько короткому, насколько это возможно) методов теории возмущений, введенных впервые Хори [54]. Как мы уже видели в главе I, вполне естественно генератор S, введенный Хори, считать зависящим от параметра е и, следовательно, определить каноническое преобразование формулами

где у, — координаты, х, — импульсы, гр, ^ — соответствующие новые переменные, а 5 = 5(ц, g, е). Образ любой функции /^у,х,е?) в новом фазовом пространстве (ц, 1) с помощью

генератора 5 определяется формулой

(2.8.2)(2.8.2)с?

(2.8.2)

(2.8.2)

/(у,ж,е) = 2 ^Dsf^, |,е),

т=0

где по определению

Dsf = /, пЧ V ( 9i 9S 9i 9S\

Ds/ = Ds№'V) (m = l,2, ...).

Очевидно, все функции, включая и /, 5, должны быть по крайней мере бесконечно дифференцируемыми, а приведенные выше ряды должны быть сходящимися при достаточно малых е.

Теперь рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений, определяемую гамильтонианом

Н = Н(у,х,е), который для простоты положим аналитическим относительно (2ге + 1) аргумента при (^,ж)еО иО^е<ео. Уравнения движения имеют вид

у = Яд, х = — Ну.(2.8.3)

Предположим, что степенной ряд

Н(у,х,е)= 5>ehHk(y,x)(2.8.4)

h—0

является таким, что система с гамильтонианомЯо (у, х) интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. система дифференциальных уравнений (к = 1, 2, ..., га)

^-%^9,(2.8.5).

имеет явное решение

% = Лй(аь -„А, Р1 + ®П, Рз, ---.Рп),(2 8 6)

U = Й («1, • • •, an, Pj + ®iT, р2, ..., рл),' '

где а, р — постоянные интегрирования, а величина (щ = (щ (он) с помощью специального, но довольно обычного выбора вида инте-

грала энергии зависит только от одной из координат вектора а, например от «ь Требование неособенности якобиана

9 (п*. Г)

9 (р, а)

при достаточно малых т позволяет обратить выписанные выше соотношения п записать их в виде

(2.8.7)(2.8.7)а^ аДт], £). (k = 1, ..., га),Pi + ®гт = Pt (ц, |).

(2.8.7)

(2.8.7)

Р» = Рл(т1» I)Р» = Рл(т1» I)(к = 2, ..., га).(к = 2, ..., га).

Р» = Рл(т1» I)

Р» = Рл(т1» I)

(к = 2, ..., га).

(к = 2, ..., га).

Следуя определению Хори, мы будем называть уравнения (2.8.5) дополнительной системой. Нетрудно понять (и это следует запомнить), что, так как система с гамильтонианом Но предполагается интегрируемой в смысле Лиувилля, то существует каноническое преобразование (в частности, преобразование (2.8.6), если ос, р — переменные действие — угол), которое приводит Но к такому виду, что эта функция зависит только от новых импульсов, а в данном сучае только от ось

Теперь рассмотрим задачу построения не зависящих от Н первых интегралов движения для системы (2.8.3). Для этого рассмотрим полностью каноническое преобразование (2.8.1) с генератором

(2.8.8)(2.8.8)eS (ц, |, е) = 2е^(ц,|).

(2.8.8)

(2.8.8)

А=1

Если Х(ц, |, е) — новый гамильтониан, и преобразование не зависит от времени, то отсюда следует равенство

(2.8.9)(2.8.9)Н (у, х,е) = К (ц, |, 8),

(2.8.9)

(2.8.9)

где в левой части этого соотношения координаты и импульсы (у, х) предполагаются функциями от ц, |, 8 вида (2.8.1). В соответствии с (2.8.2) такое преобразование получается непосредственным использованием генератора S, если только он является уже известной функцией, т. е.

771=0771=0(2.8.10)(2.8.10)

771=0

771=0

(2.8.10)

(2.8.10)

Если стоящий справа степенной ряд относительно 8 является сходящимся, то мы должны считать, что существует аналогичный

сходящийся ряд и для К, т. е.

Я(л, Le)= £ 8™Ят(т],§).(2.8.11)

m—0

Подставляя в правую часть уравнения (2.8.10) ряды (2.8.4), (2.8.8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем

Я0(п, 1) = Яо(п, 1),

(2.8.12)

ЯР(П, Ю = (Яо, SP)+ЕР , (р = 1, 2, ...),

где Fp являются функциями от Яо, Яц ..., Яр-1, 5ц ..., 5p-i и могут быть определены или непосредственным образом, или ре- куррентно. Определение функций Fp и тот или иной способ их определения, так же как и их сравнительные достоинства и недостатки, детальное обсуждение которых проводится при изучении того или иного метода, с точки зрения рассматриваемого сейчас вопроса неважны. При р > 1 дифференциальные уравнения в частных производных (2.8.12) представляют собой уравнения относительно Sp с типичными для методов усреднения характеристиками, причем функции Кр также неизвестны. Это уравнение можно переписать при фиксированном р в виде

отк de. 5L УТ] +

= Яр(щ, ...^„Л, ...Л^ (2.8.13)

или, используя дополнительную систему, в виде

as ,,

--Л-VFp (а, рх + т, р2, ..., рп) = Кр (а, р! + т, р2, . ... рп).

(2.8.14)

Приниип усреднения в данном, методе может быть сформулирован как условие независимости функций Кр от т. Если, как обычно, предположить, что гамильтониан Я(у,ж,е) является 2л-периодической функцией относительно каждой из переменных у, и учесть, что система с гамильтонианом Яо интегрируема в смысле Лиувилля, то переменные У* и х* будут условно-периодическими (или периодическими) функциями т,— классический результат, следующий из общей теории переменных действие — угол. Мы обобщим введенное ранее понятие среднего условно-

периодической функции, определив1)

т

Кр = Нт ( ^р (“^ Рг + т, р2, ..., Pn) (h =

= Яр(а,—,р2, ...,РП) = Кр^ЛУ (2.8.15)

где последнее преобразование в (2.8.15) осуществлено с помощью (2.8.7). Отсюда следует, что

^ = ^р («, Рг + т, р2, ..., рп) — Яр (а. —. р2, ..Р„)

или

8р = J ^Fp — Яр) <7т = Sp (а, pj + т, р2, ..., Pn) = Sр (ц, |),

(2.8.16)

где опять для преобразования использовано соотношение (2.8.7). Из определения Яр также ясно, что предел

lim Sp(а, Рх + т, р2, ...,рп).

конечен, и в силу упомянутого выше предположения функция Sp — условно-периодическая (или периодическая) по отношению к т и не имеет постоянного члена. По индукции (или каким-нибудь иным способом) можно показать, что эта процедура пригодна для любого значения р = 1, 2, ... Это и доказывает существование формальных рядов

S = So(^ 1) + eSx (ц, 1) +...,(2.8.17)

с помощью которых гамильтониан приводится к виду

Я - Яо (71, 1) + еЯ, (п, 1) +...,(2.8.18)

где новый гамильтониан обладает тем свойством, что если ц, ^ заменить на решение дополнительной системы, то Я не будет явно зависеть от т и, следовательно,

^ = ^ = 0,(2.8.19)

где К' определяется формальным рядом

К' = Яо (а, —, р2, ..., рп) + eЯ^ (а, —. р2, ..., рп) - . ..

*) Далее «—» означает, что функция не зависит явно от соответствующего аргумента. {Прим. перев.).

Очевидно, можно написать

dr ( др dr • 1 дс dr I (6/5 ЙТ |ft йт)

п, учитывая (2.8.19), имеем dKojdt = 0, так что

Л7о(п, 1) = 7о = const.(2.8.20)

Итак, в итоге применения преобразования Ли мы получили следующий результат: новый гамильтониан не зависит от дополнительного времени т и, следовательно, найден новый {формальный) интеграл движения, имеющий вид (2.8.20). Справедливость этого формального результата в неформальном смысле может быть проверена только анализом сходимости метода. Так как была показана эквивалентность метода Ли и метода Цейпе- ля (см. [63.1]) и так как при условии сходимости метода Колмогорова (при переменных частотах) сходится метод Цейпеля (см. [81]), то сходимость метода преобразований Ли при достаточно малых и несколько раз дифференцируемых возмущениях может быть отсюда получена косвенным образом. Как и раньше, такая сходимость не может быть равномерной по отношению к 8 п к начальным условиям. Преимущество излагаемого здесь метода заключается в том, что в него входят только квадратуры, а в методе Пуанкаре, в противоположность этому, мы имеем дело, вообще говоря, с уравнениями в частных производных. Не менее важным преимуществом является то, что мы получили преобразование в явном виде (см. (2.8.1)), можем записать любую функцию переменных у, х через переменные ц, £ непосредственным использованием генератора S (см. (2.8.2)), а сам метод и получающиеся в результате его применения величины инвариантны относительно канонических преобразований, что непосредственно следует из инвариантности скобок Пуассона относительно таких преобразований.

Напомним, что каноническое преобразование

Q = Q{q1p.T), Р = P(q,p,x),(2.8.21)

может бытьможет быть(2.8.22)(2.8.22)получаемое с помощью генератора Ли S(Q,P,t), определено как решение системы уравнений

может быть

может быть

(2.8.22)

(2.8.22)

dQ 8s Уdp —I 9S У

dr\8P ) ’dr — dQ )

с начальными условиями (при т = 0)

<?(», р, 0) = ^, P^q, р, 0) = р, (2.8.23)

где т — некоторый параметр. Предполагается, что правые части соотношений (2.8.21) принадлежат классу С2 относительно всех 2п + 1 переменных в некоторой области фазового пространства п при т, ограниченном некоторым интервалом, скажем, ]т] ^ tq.

Для генератора И7 ^q, Р, т) из метода Пуанкаре это же каноническое преобразование определяется формулами

+f =0.8.24)

при УСЛОВИИ

‘W (q, Р, 0) = 0,

которое эквивалентно начальным условиям (2.8.23). Как уже было установлено,

5 «), Р, т) = 9W ^Р’ т),(2.8.25)

где Q определяется первой из формул (2.8.24). Вводя разложения

W^ Р, т) = 2 Wn(Q, Р)т",

О

оо(2.8.26)

S(Q, р^ = £«, PVn

n=0

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т в (2.8.25), получаем связь между функциями Wk и 5,-, которая и была установлена выше.

В работе Мерсмана [73] алгоритм Депри получен формальным предположением т = е. Если считать, что теперь обозначение S соответствует генератору Ли из уравнения (1.5.7), то для сохранения используемых там обозначений в уравнении (2.8.25) 5„ надо заменить на 5П+1М! и тогда можно получить

5i = Wi,

с ew о V\9W18W1 , dW^W^ ,

2i\_8Q. дР? + dQTdP?^

, v[ dWi aw1sw1 9 sw, aw^wa+ ^ildQ dQ. ЭР. 8P. z 8Q.8P. 8P. 80,

и т. д. Алгоритм Хори также получается из (2.8.25), если заменить 5 (^, Р, т) на 5 (^, Р) и затем положить т = 1, т. е. разложения из уравнения (2.8.25), соответствующие разложениям (2.8.26), имеют вид

W(<P Р) = 5 ^„(0, Р^

п=1

S<Q, P^S^Q, Р).

Их подстановка в (2.8.25) (или сразу же в получающиеся из (1.6.10) разложения) дает

тт7 С1 V 8St 3S. ,

И - »1 + — 2*эо7эр7 +

I IVT^i 8ST Э5г , №8Л 9SxdS, , dSx 8St Э8г1 , ' 6 ^AdQ.SQ, ЭР. ЭР. ; dQ.9P. ЭР. 8Q. ^ ЭР.дО- 8Q ЭР. I * "

’(2.8.27)

Затем в функциях W и 5 вводится параметр е, так что

W = W^Q, Р, е), и рассматриваются формальные

w = 2 Wn (Q. Р) в",71 = 1

Тем пли иным образом обращая

S1 = U<Q1 P, e),

ряды

U = 2 Un ^Q, P) e". (2.8.28) n=l

соотношения (2.8.27), находим

aw dW , d2W dW dW 1

№i 9Qj Г 8Pi8Pj dQ". d^Jj + • *

(2.8.29)

Подставляя разложения (2.8.28) и приравнивая члены одинакового порядка по 8, из (2.8.27) находим

W1 = их.

Wt-^ + 4"^^^(2.8.30)

а из (2.8.29)а из (2.8.29)

а из (2.8.29)

а из (2.8.29)

Ux = Wb

иг = Wиг = W1 у dWt 8Wt2 ^dQt ЭР.1 у dWt 8Wt2 ^dQt ЭР.(2.8.31)(2.8.31)

иг = W

иг = W

1 у dWt 8Wt

2 ^dQt ЭР.

1 у dWt 8Wt

2 ^dQt ЭР.

(2.8.31)

(2.8.31)

и т. д. Выписанные соотношения позволяют перевести описанный в начале параграфа метод теории возмущений Хори [54] в метод, введенный Депри.

В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга без демпфирования, т. е. уравнение

(2.8.32)(2.8.32)й + и + ел/м3'= s5 cos cot,

(2.8.32)

(2.8.32)

где 8 > О, 7^0, В и со ^ 0 — постоянные параметры. Рассмотрим случай, когда со не является рациональным и, более того, когда для любых целых чисел р ^ 0, q соотношение

|рю — q\> K(p^eV2|рю — q\> K(p^eV2(2.8.33)(2.8.33)

|рю — q\> K(p^eV2

|рю — q\> K(p^eV2

(2.8.33)

(2.8.33)

удовлетворяется для выбранной некоторым образом функции К(р^, скажем, для К(р^ = р^2^, где целое число о ^ 4. Если соотношение (2.8.33) не выполнено, то мы будем иметь дело с резонансным случаем, который рассматривается в последней главе книги.

Введя каноническое преобразование

и = У2Щ sin qb it = У2ц cos qx,

уравнение (2.8.32) можно записать в виде

QiQiЭНдР1 ’ЭНдР1 ’• энР1 = —9qi• энР1 = —9qi(2.8.34)(2.8.34)

Qi

Qi

ЭН

дР1 ’

ЭН

дР1 ’

• эн

Р1 = —

9qi

• эн

Р1 = —

9qi

(2.8.34)

(2.8.34)

где

Н = pt+ E\Pi sin 4у1 — 851/2^! sin qv cos at.

Введя далее координату q^ = at и сопряженный ей импульс р^ систему можно привести к виду (/ = 1, 2)

• эк•эк

Qi — "а)Pi—af

7 dpj’1 7Эд.’

К = рх + йр, + 8 (ypi sin 4qx — В V^Pv sin ддсоэ q^ ='

= Ко (р!, р^ + 87^ (q^ q.2, Р1, —).

Дополнительная система определяется гамильтонианом Ко, и ее решение имеет вид

91 = Т + Рх, 72 == ®Т + р2, Р1 = аь ^2 = «2,

где «1, «2, Pi, Р2 — постоянные. Пусть новый гамильтониан имеет вид

К* = Ко + еЯ? + е2^2 + • • •,

а генератор Ли —

eS = е5х + e2S2 + ...,

с условием, что функция К* не должна зависеть от т и, следовательно, Ко — интеграл движения. Обозначим новые координаты и импульсы через 71, 72, Ph Ра-

Из уравнения

^ + ^1 W1, 92, ^1, —) = К^

при условии, что со не является целым, получаем

2

Ki = -g-Y^i,

S'x^—-l-^i sin 271 4--^L. т? х sin 471 +

В y2pv * ,BV 2pl / *+ ЖТ^Г C0S W ++ 2(1—<o) Cos

Используя уравнение

-ж + 4^ + ^’ S.Hk^kX

и то, что в нашем случае Kz = 0, второе приближение получаем в виде

172 *’£2

^2 — 64 V ^1 + 8(1 _Ю2), г,1 Г 21„В2 1 . „ *32*

^=-—[-32-^1 +4(1-^)]5ш2^~128^ sm47i-

-192^1 sm 6 7, -зю(1_ю2) sin 272 +

+з2<г1$ы^(=4)"™(,;+,;) +

8 Г. Е. О. Джакалья

Sy(13 —to2) /о„*\3/2 • ( **\

32 (1 — ш2) (1 — <о) ^sib(91-92)-

-^Т-^\^

+ 128(5 + 0» C0S(^ + ^> + 128(5 — 0» C0S^ “ ^ ~

~ 16(гЬ+Sin(2^ + 2^ “ 16(1- о»2 8™ ^ * -q^'

Таким образом, в найденном приближении новый гамильтониан имеет вид

к* = Pl + юр2 + -g-eyp! + -g^ e-ypi + О (е3),

где отброшена аддитивная постоянная. С другой стороны, j^o является интегралом движения, т. е.

р* + ыр2 = const,

так что функция

К* — Pi — юр2 = -g- eypt + -g^ t^pv + О (е3)

также является интегралом, т. е. в главной своей части задача сведена к квадратурам, и за исключением только рациональных или «близких» к рациональным значений со может быть найдено общее решение. Связь между двумя наборами переменных ?, р и q*,p* определяется формулами (2.8.1) или в используемых сейчас обозначениях формулами

(2.8.36)

где р= 1,2. Ясно, что так как функция 8 не зависит от р2, то дг = 92т т. е. преобразование не изменяет времени (д2= (Bi). Так как мы определили

&S = &Si + е252+...,

то, если положитьто, если положитьW = еЗ,W = еЗ,(2.8.37)'(2.8.37)'

то, если положить

то, если положить

W = еЗ,

W = еЗ,

(2.8.37)'

(2.8.37)'

преобразование можно записать так:

qj = qj + Zu Dw1qj = qj + Zu Dw11 8W dpi ’1 8W dpi ’(2.8.38)(2.8.38)Pi = Pi — ^ yr DwPi = Pi — ^ yr Dw6W6W«j«j

qj = qj + Zu Dw1

qj = qj + Zu Dw1

1 8W dpi ’

1 8W dpi ’

(2.8.38)

(2.8.38)

Pi = Pi — ^ yr Dw

Pi = Pi — ^ yr Dw

6W

6W

«j

«j

или с точностью до членов второго порядка поили с точностью до членов второго порядка поее

или с точностью до членов второго порядка по

или с точностью до членов второго порядка по

е

е

гдегдечз = q') +чз = q') +Pj = PiPj = PiдИ\ dpjSW,дИ\ dpjSW,9<ц9<цSW2 сЧзSW2 сЧз1 / ^2 (SpJ11 / ^2 (SpJ11111w\w\И7! = eSbИ7! = eSbЖ2 = б52.Ж2 = б52.

где

где

чз = q') +

чз = q') +

Pj = Pi

Pj = Pi

дИ\ dpj

SW,

дИ\ dpj

SW,

9<ц

9<ц

SW2 сЧз

SW2 сЧз

1 / ^

2 (SpJ

1

1 / ^

2 (SpJ

1

1

1

1

1

w\

w\

И7! = eSb

И7! = eSb

Ж2 = б52.

Ж2 = б52.

Очевидно, что если предположить сходимость метода, то все pt сведутся к константам, а <?; — к линейным функциям времени (при этом qa = mt\ Частота угловой переменной qt является степенным рядом относительно е. С точностью до членов второго порядка имеем

* I А I 2* .51.,*® .\ / I Q*

45 = Т е^ + ~64~ e"W1 + • •+ Р1’

где Ph Pi константы.

Методы теории возмущений для негамильтоновых систем,основанные на преобразованиях Ли

Хори [55] и Кэмел [57] независимо друг от друга развили методы теории возмущений для общих негамильтоновых систем, обобщив соответствующий метод, пригодный только для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Ясно, что такое обобщение не является таким уж необходимым, ибо, как уже говорилось, любую систему можно свести к гамильтоновой увеличением ее порядка вдвое и введением котангепциального пространства Дирака. Увеличение вдвое числа рассматриваемых уравнений окупается тем, что необходимо найти только две функции: новый гамильтониан и генератор преобразования. При 8»

непосредственном подходе приходится иметь дело со столькими неизвестными функциями, сколько есть переменных; действительно, при использовании результатов § 7 главы I это становится ясно сразу же. Здесь мы опишем такой способ наиболее близким к работе Кэмела [57] образом.

Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений первого порядка

(2.9.1)(2.9.1)ж = / (ж, е)

(2.9.1)

(2.9.1)

и предположим, что / (ж е) — вещественная аналитическая по каждой из n + 1 переменных Ж1, ..., х^, е вектор-функция в некоторой области Q {ж е D CZ |е|<е0}. Правая часть уравнения (2.9.1) может быть разложена при достаточно малых 'е в сходящийся степенной ряд

^ = 2irfMW,(2-9.2)

где

дада8=08=0

да

да

8=0

8=0

Очевидно, функции fW (ж) в области D будут вещественными аналитическими функциями. В конечном счете это требование аналитичности может быть ослаблено, если на каждом шаге вычисления приближений воспользоваться операцией сглаживания, однако для общего понимания метода это не имеет значения. Мы не будем рассматривать неавтономных систем, хотя и есть такие случаи, когда t не может рассматриваться в качестве дополнительной ^-переменной. Таковы, например, случаи, когда исследуется асимптотическое поведение, устойчивость или периодические решения.

Если уравнения (2.9.1) или (2.9.2) нельзя проинтегрировать в общем виде, то можно искать такое преобразование к новым п переменным ^, скажем,

(2.9.3)(2.9.3)(2.9.4)(2.9.4)х = х^ е),

(2.9.3)

(2.9.3)

(2.9.4)

(2.9.4)

что дифференциальные уравнения относительно §

§ = g(§,8),

получающиеся из (2.9.3) и (2.9.1), поддаются более простому изучению. Ясно, что сформулированная так проблема слишком обща, чтобы определить, какими свойствами должны обладать эти преобразования переменных. Один из способов убедиться в

этом, разумеется, состоит в предположении о том, что при е = О общее решение уравнения (2.9.1) известно, т. е. уравнение

y = /(y,0) = /W(y)(2.9.5)

интегрируемо. Затем можно заинтересоваться вопросом о существовании преобразования (2.9.3), которое переводит уравнение (2.9.1) в уравнение (2.9.5), точнее, в уравнение/

Х = РЧ^.(2-9.6)

Так как при е = 0 преобразование (2.9.3), очевидно, будет тождественным, то мы приходим к задаче нахождения преобразования, близкого к тождественному, т. е.

ж=5+е^(е, е),(2.9.7)

а функция й(^, е) предполагается аналитической в некоторой области по каждой из п + 1 переменных £, е, причем эта область содержит точку е = 0. Очевидно, что при достаточно малых 8 вблизи е = 0 преобразование будет обратимым. Можно записать

^=^+2jr^©’(2.9.8)

и преобразованная система дифференциальных уравнений в общем случае будет иметь вид

1=<P(I, e) = 2^<pW®,(2.9.9)

)i>0‘

где

Теперь нашей задачей является получение по данному преобразованию (2.9.8) функций <pfh) (£) в (2.9.9) из функций /^ (ж) в (2.9.2). Очевидно, это можно сделать разными способами, однако, если необходимы члены большого порядка и их систематическое исследование, то можно рекомендовать рекуррентный алгоритм, аналогичный алгоритму § 7 главы I. Дифференцирование соотношения (2.9.8) по времени t дает

v ^ 8Eh ^ ft! d§v ^ 8Eh ^ ft! d§LL

v ^ 8Eh ^ ft! d§

v ^ 8Eh ^ ft! d§

L

L

и, подставляя сюда (2.9.2) и (2.9.9), находим

2тГ”(«) = 2 "ИА*® + 2 К^ 2^ *«(?)■ (2.9.10)

k>0й>0ЙМ ” j>0

Из соотношения (1.7.2) теперь мы видим, что

Д^,8),8) = £-^/пШ,п=0

и в нашем распоряжении есть рекуррентные соотношения для определения функций fn®i например, уравнения (1.7.4) или (1.7.15), или заключительные соотношения из § 7 главы I. Из (2.9.10) теперь следует, что

дЕ (£)

Л (I) = Ф(п) (I) + 2 С" "Г ^т) ^.(2.9.11)

т=16

Если теперь рассмотреть (1.7.22), то получим

П—1ду~

Еп (I) = - Тп (|) - 2 ti^d)771 — 1®

или в обозначениях (1.7.9)

Еп (I) = -Тп (|) - "if C^LmEn-m (I). (2.9.12) m=l

Преобразование, обратное к (2.9.8), запишем в виде

^"^ТГ^,(2.9.13)

так что

Xw (ж) = Тп (ж) - 5 C^LmXmiTl_m(2.9.14)

771=1

где использованы введенные в (1.7.20) и (1.7.21) обозначения, т. е.

■р

Xp,qk.X^ =2 Ср—1 LmXp_miq (ж),. „ _

”i=i(2.9.15)

х^х^^Чху

Наконец, находим

”,ГдЕ.1

Ф^ (|) = /(п) (|) + 5 cq t^-i (I) -<р("-» (I) , (2.9.16)

что и является искомым рекуррентным соотношением. Очевидно, уравнение (2.9.16) содержит коэффициенты Тп, определяю-

щие отображение (2.9.8), т. е. коэффициенты Х(п+1) (ж) разложения

получаемого из (2.9.13), и коэффициенты разложения

4 = т(?,»)-2^-тп+1(?),п>0

так же, как и в (1.7.6), (1.7.7) и (1.7.8). На каждом шаге приближения функции Тп (|) в зависимости от выдвинутых требований должны быть выбраны соответствующим образом. Эти неизвестные функции Тп (|) можно выделить в уравнении (2.9.16) следующим образом:

ф(0) (|) _Гп (|) = ф(п) _ f щ _ Gn (|); (2.9Л7)

где функции Gn (|) зависят от всех предыдущих приближений. Кэмел получил для них такие формулы:

<?„(!) =

= Т Ф(0) (I) - К,О (I) + 2 С"& Ч^”™' (I) - tm,n-m (1)1, ®771=1 LbJ

[(2.9.18) где

Е;^ = Еп^ при Тп = О,

/п,о (I) =/п,о (I) при Тп = 0,

/р,д(1) = — ^Cp_iLmfp_miq (|),

Полное описание этого метода было дано в работах Кэмела i[57] и Хенрарда [51] и в работе Хори [55]. Кэмел показал, что подход, основанный на преобразованиях Ли, содержит в себе как частные случаи важные методы разложения по двум переменным и подбора асимптотических решений, развитые в работе Кеворкяна [58]. Этот вопрос здесь не рассматривается, так как он весьма подробно изложен в работе Коула (см. [18.5]). Может быть, стоило бы отметить, что алгоритм Депри для преобразований Ли, которые генерируются функцией малого параметра, примененный к функциям Гамильтона, зависящим от этого же

параметра, также может быть здесь получен, если с самого начала забыть про наличие этого параметра, что и было показано выше и следует из работы Мерсмана [73]. Аналогичным образом описанный выше метод может быть упрощен введением операторов и функций, не являющихся функциями параметра, с последующим разложением в степенные ряды по е всех полученных результатов. Такой подход был осуществлен Хорп [55], и здесь мы ограничимся кратким изложением его результатов.

Рассмотрим набор из п переменных £i, ..., £„ и операторы Л (5), и пусть

(2.9.19) k=i

Рассмотрим отображение

(2.9.20)

где

Z>| = 1, D^ = D^, DX = D-6DVV

Это отображение аналогично отображению (2.8.1) и соответствующим определениям. В частности, функция Тк^ играет роль функции д8!д^к. Рассмотрим также отображение вещественной аналитической функции / (ж), зависящей от п переменных ащ ... ..., т^ в ^-пространство по формулам

/М = /(1)+2(2.9.21)

В действительности формулы (2.9.20) являются следствием формул (2.9.21). Определим обратное отображение

Тк' (х) = Th (I) ^=Х1(2.9.22)

Вх=^ ГГЧх^,(2.9.23)

А=1*

так что, обращая отображение (2.9.21), имеем

/(!) = / (ж) + 2 Т D$f (ж),(2.9.24)

что является непосредственным обобщением преобразования Ли. Все выписанные соотношения в действительности в том или

ином виде содержатся в предыдущем изложении (где есть зависимость от е), а их доказательство получается сразу же.

Уравнение

(2.9.25)(2.9.25)= к (^)

(2.9.25)

(2.9.25)

после применения преобразования (2.9.20), генерируемого функцией Тк, переходит в уравнение ■

^ = Ф>(£).(2.9.26)

Используя (2.9.24), получаем преобразование, обратное к (2.9.2Q), в виде

^ = + 2 ОГ'Т"1 (х).(2.9.27)

(2.9.28)(2.9.28)Так как из (2.9.25) следует, что

(2.9.28)

(2.9.28)

«itЭх, ’

k—i «

то для произвольной функции имеем

k—ik—iЭР •д$к кЭР •д$к к

k—i

k—i

ЭР •

д$к к

ЭР •

д$к к

Вычисление функции фй(|) в (2.9.26) проведем следующим образом. Дифференцирование соотношения (2.9.27) дает

и, подставляя сюда (2.9.25) и (2.9.23), находим

Xi = h W + 2 4^ 2 fk k^№VTTV ^P>1k=lк

или, используя (2.9.21) и (2.9.20),

I,- = ш + 2 7г Ж (i) + 2 т 2 ik (1)4- ^ts (d)+ P>1p>lA=1^k

+ 2 4^2 7T°l(ixW"'tM+ 2 4^2 7T°l(ixW"'tM= Ф> (I)-= Ф> (I)-(2.9.29)(2.9.29)

+ 2 4^2 7T°l(ixW"'tM

+ 2 4^2 7T°l(ixW"'tM

= Ф> (I)-

= Ф> (I)-

(2.9.29)

(2.9.29)

Теперь рассмотрим ряды

^ = <$4^ +(2.9.30)

Т} = 1^+

и будем искать такие операторы Т;, чтобы функции ф, имели желаемый вид. Очевидно, предполагаем, что уравнения

к = $Чу)(2.9.31)

имеют известное общее решение. Разложение (2.9.30) функций /,■ не обязательно подразумевает разложение в степенные ряды по некоторому малому параметру и не обязательно имеет бесконечное число членов. Действительно, в обычном случае для возмущений интегрируемой системы (2.9.31) имеем f^= 0 при к 2, т. е.

Подставляя ряды (2.9.30) в (2.9.29) и приравнивая члены одинакового порядка, можно получить рекуррентный алгоритм вычисления неизвестных функций Фуй> и Т^ • В этом отношении явное использование параметра е для представления членов разного порядка является весьма удобным, хотя и не обязательным. Это означает, что приравнивание членов одинакового порядка лучше заменить приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е, если положить = О ^skY фук> = О ^skY Т^ = = О^ку

Первые несколько приближений имеют вид

| Th ye Tit а? |'

h=l I’к>

, 1 V т(1) 8

"аГ-

а в общем случаеа в общем случае2 -Л”2 -Л”k=lk=l—^ + rw + ... + fp> = ^г), (2.9.32)—^ + rw + ... + fp> = ^г), (2.9.32)1 У (V1) I /1^ I /2) _ т(2)" Й=1

а в общем случае

а в общем случае

2 -Л”

2 -Л”

k=l

k=l

—^ + rw + ... + fp> = ^г), (2.9.32)

—^ + rw + ... + fp> = ^г), (2.9.32)

что, по существу, эквивалентно выписанным выше соотношениям (2.9.17). Здесь все функции зависят от переменных §. Теперь мы введем важное понятие дополнительной системы, определив

^ = /^Ш (2.9.33)

с общим решением

(2.9.34)(2.9.34)&=Ыт),

(2.9.34)

(2.9.34)

так что

ат^ат^ттatatdT^ ~dT +dT^ ~dT +irir(р)h &*(р)h &*

ат^

ат^

т

т

at

at

dT^ ~dT +

dT^ ~dT +

ir

ir

(р)

h &*

(р)

h &*

Общее уравнение (2.9.32) на каждом шаге вычисления при

ближения приводится к линейной системе дифференциальных уравнений относительно Т^ (|)

^ +2 9-!11^ 7^ (т) + Ff (т) = ^\(2.9.35)

где все § заменены решениями (2.9.34) дополнительной системы. Ясно, что уравнение (2.9.35) является непосредственным обобщением уравнения (2.8.9). Заметим, что как и в обычных методах усреднения, функции <р^р) надо выбирать так, чтобы в Т^М отсутствовали секулярные члены, т. е. надо, чтобы предел

lira Т^ (т)

был конечным. В простейшем случае функция /$0) линейно зависит от переменных 1, так что система уравнений (2.9.35) является линейной неоднородной системой с постоянными коэффициентами для приближения любого порядка. Если имеет место не такой случай, а, например, функции d/j0)/d£fe |§=§(Т) являются периодическими или условно-периодическими функциями т, то интегрирование уравнений (2.9.36) представляет собой нетривиальную задачу. Следовательно, желательно произвести такое разложение функций Л(1), чтобы все f? (I) были линейными.

Уравнение Ван дер Поля. В качестве примера рассмотрим уравнение

х + е (1 — х^х + х = О,

которое можно записать так

^1 = ^2- ^2 = ^1 8 (1 — ^1)^2-(2.9.36)

Здесь мы имеем

Г = ^ /(20) = -^/V^/^...^Г^.^о,

й' = й'=

Дополнительная система

имеет решение вида

gi = асов(т + Р),^2 = —asin(T + P),(2.9.37)

где a, р — скалярные постоянные. Уравнения первого приближения принимают вид

^Т^ + g [1 — a2 cos2 (т + Р)1 a sin (т + Р) = ф^0,

или

^ + Т^ = 8 [(1 - £) a sin (Т + Р) - ^sin (Зт + ЗР)] -

^1° m<i)

~toФ2 "

Для того чтобы не появилось секулярных членов, в уравнении для Т^ должен отсутствовать член sin(T + P)- Один из возможных способов выбора произвольных функций описывается формулами

_i_ + r<1)=_6^sin(3T + 3P),

-^- + Ф2П = е (1 — ^) a sin (т + Р),

Ф20 = ^ = у 8 (1 - ^) a Sin (т + Р),

так что

ФУ’— — е [1—4 (й+s=)]= - c[i-±® + ©]£.

и, следовательно,

Т\п = § sin (Зт + ЗР) = ^2 (Й - 3^1),

71(1) е Е /4 ! 7 е2 5

Таким образом, уравнения в новых переменных в первом приближении имеют вид

^=-^-е[1-|(^+^)| ^2*

Легко проверить, что уравнение для 52 получается из уравнения для £1 при замене ^2->—^1, ^i->^2, что объясняется сделанным выбором срг’ = dtp^/dx. Если положить

2 р2 г р2м — £1 Т §2)

то найдем, что

-т- = — 2е 1 — -г и2atI /

и, следовательно,

а знак + или — надо выбирать в зависимости от знака постоянной к, т. е. в зависимости от начальных условий так, чтобы величина и2 была положительной.

При е > 0 мы получаем асимптотическое поведение:

и2-*-Опри i-^-oo,

что описывает хорошо известное демпфированное движение по направлению к фокусу. Если е < 0, то и2->4 при i->oo и мы имеем предельный цикл в уравнении Ван дер Поля. То, что первое приближение (по е) дает возможность получить полную ин-

формацию об асимптотическом поведении системы, объясняется тем, что в любом приближении уравнения для £i, сг имеют тот же вид, что и уравнения первого приближения, т. е.

gi = [1 + е2/2 W + е4Л (^) + ■ • • 1^2-

— 6^1 — j + e2g3 (u2) + e4g6 (и2) + ... ^17

^2 = ^1Й2^-^1, 51

так что описанные выше асимптотические свойства сохраняются.

Замечания

Интегрируемость динамической системы является весьма спорным понятием. Некоторые считают, что по отношению к гамильтоновым системам разделимость уравнения Гамильтона — Якоби может служить достаточно хорошим определением интегрируемости, хотя это и не является общим мнением. К сожалению, теорема Штеккеля не дает никаких указаний на то, как в действительности надо строить систему координат, чтобы разделить уравнение. Хорошо известно только, что если есть п независимых интегралов у системы с п степенями свободы, то, в соответствии с результатами Арнольда, инвариантное многообразие состоит из торов, на которых в общем случае движение будет условно-периодическим. Существование таких многообразий для некоторого класса систем изучал также Дилиберто, который называл их периодическими поверхностями. Для негамильтоновых систем этот вопрос еще более сложен, хотя, как показывает пример в конце главы V, здесь можно думать об обобщении процедуры нормализации Биркгофа в случае возмущенного движения гармонических осцилляторов. В действительности многие задачи соответствующим выбором переменных в времени могут быть сведены к задаче о гармонических осцилляторах. Например, ньютоновская задача двух тел использованием преобразования Леви-Чивита [69]

Ж — ZZ2 — У2, У = 2иисовместно с преобразованием времениdr = dtjr

сводится к простому гармоническому осциллятору. Другие силовые поля недавно были рассмотрены в работе Джакальи и др.

[42, 43], где использованы методы, введенные Кустаанхеймо [62]').

Ниже мы также придем к изучению интегрируемости системы в окрестности устойчивого положения равновесия — область, в развитие которой много усилий вложили Зигель и Мозер, так же как и многие другие авторы. Хотя сходимость методов нормализации установлена быть не может, из результатов Конто- пулоса [17—23], Барбаниса [5] и Бозиса [9, 10] ясно, что при достаточно общих обстоятельствах могут существовать другие интегралы (или квазиинтегралы) как в общих, так и в резонансных системах. Очевидность существования интегралов была также установлена методом поверхностей сечения в работе Хенона и Хейлеса [52, 53].

Что касается методов последовательных приближений, то найти решение системы в виде ряда можно любым методом; при этом может быть достигнута сходимость этих методов на достаточно малом интервале времени. На интересующий вопрос можно ответить, используя простой метод итераций Пикара, что, по существу, и было сделано во многих работах, особенно в работах, использующих численные расчеты на ЭВМ.

Для заданной системы, зависящей от малого параметра, способ поиска решения в виде рядов по степеням этого параметра определяется тем, насколько решение близко к особой точке (равновесию) системы, и тем, является ли эта особая точка устойчивой. Свойства систем такого рода сначала изучались Бирк- гофом в связи с поведением отображений, сохраняющих площадь, в окрестности неподвижной точки. Сравнительно недавно важные результаты в этой области получили Мозер, а также Гельфанд и Лидский [35]. Типичный пример изменения характера разложения по параметру в окрестности равновесной точки дает ограниченная задача трех тел, в которой есть пять частных решений Лагранжа и Эйлера. Как было недавно показано в работе Себехея и др. [100], такие разложения могут проводиться по степеням е1/3, е1/2 или е.

Метод последовательных приближений Макмиллана [71, 72], описанный во втором параграфе, легко можно свести к методу усреднения для уравнения (2.2.6) или для этого же уравнения, но записанного в виде ряда (2.2.7). Такой метод был предложен Чезари и несколько позже Хейлом. Появление секулярных членов в решении, как было показано в примере, приведенном в начале § 3, привел Линдстедта к изучению методов усреднения. В некоторых задачах неудачный выбор опорного решения влияет на успех использования метода последовательных приближе-

’) О регуляризующих преобразованиях Леви-Чивита и Кустаанхеймо — Штифеля см. [13*] (прим. перев.).

ний, аналогично тому, как плохой выбор системы координат влияет на интегрируемость (разделимость движения) системы. Гамильтонизация системы, предложенная впервые Дираком, применима практически только в тех случаях, когда система (2.4.5) имеет постоянные коэффициенты (если не рассматривать исключительных случаев), т. е. когда функции g; линейны относительно компонент ж,- вектора ж и имеют постоянные коэффициенты. Во всех остальных случаях определение опорного решения из (2.4.5) может представлять собой очень трудную задачу. Что касается метода Пуанкаре (который, кстати, называл его методом Линдстедта), то он был назван методом Цейпеля главным образом из-за работы Цейпеля об астероидах [105], для которых Брауэр [11] получил эффективное решение при решении задачи об искусственных спутниках Земли. Начиная примерно с этого времени и появились в полной мере в небесной механике методы усреднения. Интересно отметить, что до этого времени метод Пуанкаре использовался исключительно в теории нелинейных колебаний, в том числе и в работах советских авторов. Уравнение (2.4.8) также указывает на то, что за исключением операции усреднения все эти методы в консервативных системах сводятся к решению уравнения Гамильтона — Якоби с помощью последовательных приближений. Главный недостаток этих методов, заключающийся в неявной связи между старыми и новыми переменными, которая осуществляется производящей функцией И7 (см. уравнение (2.4.10)), и в задаче обращения этой связи, только недавно был преодолен введением рядов Ли. Утверждение о том, что если среднее условно-периодической функции равно нулю, то эта функция ограничена, может быть проверено, если потребовать выполнения некоторого условия иррациональности между базисными частотами «щ, ..., со„ соответствующих рядов Фурье; точнее, нужна выполнимость условия

где К — некоторая положительная постоянная, а о > п—1. Если эти условия не выполнены (они могут нарушаться только на множестве частот со нулевой меры), то интеграл от условнопериодической функции с нулевым средним может не быть ограниченным из-за наличия малых делителей; этот вопрос обсуждался Мозером в теории условно-периодических движений.

Если исходить из чисто геометрической точки зрения, то Мозер [78] сделал очень важный шаг при изучении сохраняющих площадь отображений, близких к тождественным (см. (2.4.12)). На его работу очевидное влияние оказали труды Биркгофа и Зигеля.

Выкладки, включающие в себя действительные вычисления, следующие из (2.4.16), на практике оказываются очень утомительными и невероятно длинными. Тем не менее, недавнее введение в практику научных исследований автоматических буквенных алгоритмов для быстродействующих электронных вычислительных машин уничтожает большинство практических трудностей. Важные результаты здесь получили Ковалевский [60], Депри и Ром [28—31] в приложении к типичным задачам небесной механики1). Аналогичные работы из области нелинейной механики и теории цепей нам неизвестны.

Понятие вырожденных систем, введенное Арнольдом, к сожалению, является очень общим; тем более важно исследовать их поведение при введении возмущений. Существенной геометриче^- ской трудностью при этом является то, что размерность инвариантного многообразия невозмущенной задачи ниже размерности многообразия для возмущенной задачи2). Кроме того, линейные возмущенные системы крайне чувствительны к появлению различных резонансных ситуаций и весьма трудны для описания. Внимание, которое уделяется разделению переменных на быстрые и медленные, объясняется тем, что обычно быстрые переменные соответствуют малым амплитудам колебаний и не влияют на медленные переменные; эволюция последних связана с большими масштабами изменений по отношению к переменным невозмущенной системы и за большие промежутки времени.

Во многих случаях усреднение понимается просто как процедура исключения времени, входящего явно в уравнения движения. Тогда этот процесс осуществляется простым взятием среднего от правых частей дифференциальных уравнений. В действительности в методе Крылова — Боголюбова — Митропольского это является только первым шагом. Такая процедура в различных ее вариантах использовалась Хейлом [50], изучавшим при времени, стремящемся к бесконечности, разницу между решением неавтономной системы

х = e/(t, х, е)х = e/(t, х, е)и решением усредненной системыи решением усредненной системыгдегдех = 8/oW,тfo (ж) = lim А- Г / (i, х, е) dt.Т-*оо 1 Jх = 8/oW,тfo (ж) = lim А- Г / (i, х, е) dt.Т-*оо 1 J(2.10.1)(2.10.2)(2.10.1)(2.10.2)

х = e/(t, х, е)

х = e/(t, х, е)

и решением усредненной системы

и решением усредненной системы

где

где

х = 8/oW,тfo (ж) = lim А- Г / (i, х, е) dt.Т-*оо 1 J

х = 8/oW,тfo (ж) = lim А- Г / (i, х, е) dt.Т-*оо 1 J

(2.10.1)

(2.10.2)

(2.10.1)

(2.10.2)

*) См. также [14*—18*] (прим, перге.).

См. также [83], [19*], [20*] (прим. ред.).

9 Г. Е. О. Джакалья

Хейл получил условия, определяющие существование периодических решений, и условия их устойчивости. Исходное преппо- ложение при этом заключается в гипотезе существования преобразования

я = у + eu(i, у, е) (2.10.3) при достаточно общих условиях, которое приводит уравнение ,(2.10.1) к виду

У = е/о(у) + eF(i, у, е), (2.10.4)

где F^t, у, 0) = 0. Ясно, что близкое к тождественному преобразование (2.10.3) приводит к системе (2.10.4), отличающейся от (2.10.2) членами порядка не ниже О(е2). Ошибка, оцененная Кинером, в действительности является только уточнением этой основной ошибки.

Мозер [84] ’) изучил с современной точки зрения топологию кеплеровского движения, особые точки фазового пространства и ввел понятие усреднения на многообразии, избежав явного использования операций с координатами. Его существенные результаты основаны на применении специальных методов к векторному полю, задаваемому кеплеровским движением. Процедура регуляризации, использованная Мозером при изучении орбит, близких к началу координат (г = 0), была введена Леви-Чивита и хорошо известна под названием преобразование обращения. Обычно при изучении глобального поведения траекторий оно не используется, так как добавляет новые особенности в тех точках, где скорость частицы равна нулю.

Предположив, что правые части дифференциальных уравнений являются периодическими функциями времени, Ларичева [66] получила значительно более лучшую оценку ошибки усредненных уравнений небесномеханического движения, чем ошибка, оцененная Боголюбовым и Митропольским [8]. В своей работе «Теория орбит вблизи сжатой планеты» Кинер [64] дал отличное описание методов усреднения, а также, для частного примера, описание теории периодических поверхностей Дилибер- то и ее связи с методами усреднения. В этом частном случае, как и ожидалось, существуют двумерные торы, так как предполагается, что поле планеты имеет цилиндрическую симметрию. Кинер также применил метод, развитый Хейлом в книге «Нелинейные колебания» [49], для получения условий периодичности орбит и, кроме того, построил их приближения.

Что касается применения метода Пуанкаре к гамильтоновым системам, когда гамильтониан представляется степенным рядом

') См. также [13*] (ргрим. перев.).

по координатам и импульсам (как в примере из начала шестого параграфа), то он был описан в работе Джакальи [37]. Эта проблема сначала естественным образом возникла в теории малых колебаний, а затем в небесной механике при использовании переменных Пуанкаре и в задаче о резонансе. На этом пути получено некоторое обобщение понятия нормализации Биркгофа, связанное, во-первых, с предположением о том, что имеются произвольные комбинации координат и импульсов, и, во-вторых, с тем, что дается более систематическое изложение самой процедуры нормализации. Однако применение Дейр и [31] рядов Ли в аналогичной проблеме показывает, что возможно более сложное и эффективное использование этого метода. Как было показано в работе Джакальи [41] при исследовании колебательных случаев в эллиптической ограниченной задаче трех тел, в этом случае характеристические показатели лучше всего получать, используя метод Чезари, развитый в его работе [14]. Очевидно, после того, как получены выражения для характеристических показателей в виде рядов по малому параметру до некоторого порядка, нетрудно будет использовать преобразование Ляпунова, сводящее задачу к интегрированию линейной системы, коэффициенты которой являются постоянными при учете членов того же порядка по малому параметру. В этом случае проблема малых делителей из метода Пуанкаре переходит в задачу о параметрическом резонансе.

Построение интегралов движения с помощью метода последовательных приближений к условию Пуассона, предпринятое во многих работах Контопулоса, очень хорошо показывает изменение вида этих интегралов (или квазиинтегралов) при пересечении резонансных зон. Так как в предельном случае резонансные точки также плотны в фазовом пространстве, как множество рациональных чисел на отрезке, то можно ожидать очень запутанного и сложного поведения этих интегралов, изменяющих свой вид бесконечно много раз на каждом конечном интервале частот, определяемом малым параметром и (или) начальными условиями. В действительности этот факт не будет мешать сходимости для фиксированных наборов частот, образующих множество ненулевой меры. Однако такие интегралы не могут быть аналитическими, а никакие их представления в виде рядов не могут быть равномерно сходящимися или непрерывными. Все проведенные здесь рассмотрения и высказанные предположения весьма тесно соприкасаются с теориями Мозера и Колмогорова.

Построение интеграла Ковалевской, проведенное нами в § 6, представляет собой редчайший случай рядов, имеющих конечное число членов, и, разумеется, может быть осуществлено только в исключительных ситуациях. Тем не менее, этот пример указывает на опасности, появляющиеся при попытке дать определение

9*

интегрируемых и неинтегрируемых систем для всех возможных рлучаев.

Методы преобразований Ли в настоящее время весьма популярны и они действительно представляют собой настоящий прорыв в стене классических методов. По крайней мере, можно сказать, что они были неизвестны Пуанкаре,— факт, в общем-то, удивительный для методов теории возмущений. Честь введения этих новых методов принадлежит Хори. Более поздние работы и модифицированные алгоритмы надлежит рассматривать только как обработку и другие варианты одной и той же основной идеи. Одним из лучших примеров использования этих методов является работа Депри и Рома [31] об основных задачах, связанных с искусственными спутниками Земли. Кроме того, таким примером могут служить недавние исследования Джакальи и др. [39, 40] о движении твердого тела под влиянием центрального гравитационного поля. Различные примеры также приводят Чой и Тэпли [16].

Пример, который мы дали при решении уравнения Ван дер Поля, с точностью до членов третьего порядка рассмотрен в недавней работе Хори [55], посвященной негамильтоновым системам. Этот пример является лучшим образцом использования метода преобразований Ли в негамильтоновых системах. Гамиль- тонизацию уравнения Ван дер Поля

х = —е (1—х^х—хможно провести, если положить х = z/i, х = y2l так что

У1 = У2» Уч = — е(1 — z/i)z/3 — ух, и гамильтониан имеет вид

Н = х\у\ + Х2У2 = Но + Н^ где

Яо = XYy2—x2yv,

Я1 = — е (1 — у^ х2у2.

Уравнения движения записываются так:

У к = ^хд’^Л — ^Ук'

а дополнительная система, определяемая гамильтонианом К = ■— ^142—^2Пи имеет вид

^1 е^Sat

dx”2’dx

dx**2’dx

и ее решение можно записать следующим образом:

£1 = си sin (т + Pi),Й = «1 cos (т + ^),

ц? = a2sin (т + Р2),т]2 = а2соз(т+р2).

Из уравнения для приближения первого порядка

dSTdtdSTdtн^к.н^к.

dSTdt

dSTdt

н^к.

н^к.

мы получаем

гт

Ку = lim^- f Н^ dr = lim^[-s(l- П?2) Пз — П?!^ =

/ а2 \

= _M^l_^jCos(p1-P2)

5i = J [Я, (т) - XJ dT.

Полное решение задачи до членов третьего порядка приведено ц работе Чоя и Тэпли [16].

Наконец, для более детального и всеобъемлющего понимания методов усреднения, как с точки зрения Крылова и Боголюбова, так и с точки зрения Пуанкаре, а также для оценки отбрасываемых членов более высокого порядка, мы отсылаем читателя к посвященной классическим вопросам работе Мьюзена [87] и к обширной работе Волосова [101].

ЛИТЕРАТУРА

Abraham R. Foundations of mechanics.— Philadelphia: W. A. Benjamin Inc., 1967.

Andoyer H. Cours de mecanique celeste, (vol. I).— Paris: Gauthier- Villars, 1926.

Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.—УМН, 1968, т. 18, № 5, стр. 13—40.

Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.—УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91—492.

BarbanisB. The topology of the third integral. Intern. Astron. Union Symp. No. 25.— New York: Academic Press, 1966, p: 19—25.

Биркгоф Дж. Д. Динамические системы,—М.-Л.: Гостехиздат, 1,941.

Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике.—Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.—М.: Физматгиз, 1963.

В о z i s G. A new integral in the restricted problem of three bodies. Doctoral thesis, Univ, of Saloniki, Greece, 1966.

В о z i s G. On the existence of a new integral in the restricted three-body- problem.— Astron. J., 1966, vol. 71, № 6, p. 404—414.

Brouwer D. Solution of the problem of artificial satellites without drag.— Astron. J., 1959, vol. 64, p. 378—390.

Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики.— М.: Мир, 1964.

Galey А.— Comb. Dublin Math. J., 1848, vol. 3, p. 116.

C e s a г i L. Sulla stabilita delle soluzioni dei sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti periodici.— Atti Accad. Itai. Mem. Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633-692.

Ч e з a p и Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: Мир, 1964.

Чой Дж., Тэпли Б. Расширенный метод канонических возмущений,— Механика, 1974, № 4, стр. 38—50.

Contopoulos G. A third integral of motion in a Galaxy.— Zeits. fur Astrophys., 1960, b. 49, s. 273—291.

Cont opoulos G., BarbanisB. An application of the third integral of motion.— The Observatory, 1961, vol. 82, p. 80—82.

Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion.— Astron. J., 1962, vol. 67, № 1, p. 1—14.

Contopoulos G. A classification of the integrals of motion.— Astrophis. J., 1963, vol. 138, N 4, p. 1297—1305.

Conto poulos G. Resonances cases and small divisors in a third integral of motion.— Astron. J., 1963, vol. 68, № 10, p. 763—769.

С о n t о p о u 1 о s G., W о 11 j e г L. The third integral in nonsmooth potentials.— Astrophis. J., 1964, vol. 140, N 3, p. 1106—1119.

Contopoulos G. The third integral in the restricted three-body problem.— Astrophis., J., 1965, vol. 142, № 2, p. 802—804.

Contopoulos G. Adiabatic invariants and the third integral.— J. Math. Phis., 1966, vol. 7, N 5, p. 788—797.

Contopoulos G., Had j i deme t ri о us J. P. Characteristics of invariant curves of plane orbits.— Astron. J., 1968, vol. 73, JNs> 1, p. 86—96.

Contopoulos G. Resonance phenomena in spiral galaxies.— In: Periodic Orbits, Stagility and Resonances/Ed. G. E. Giacaglia.— Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

Contopoulos G. Orbits in highly perturbed dynamical systems, I, II, HL—Astron. J„ 1970, vol. 75, № 1, p. 96—107; 1970, vol. 75, № 1, p. 108—130; 1971, vol. 76, № 2, p. 147—156.

D e p г i t A. et al. Birkhoffs normalization.— Celest. Meeh., 1969, vol. 2, № 2, p. 222—251.

D e p г i t A. et al. Analytical Lunar ephermeris: Brouwer’s suggestion.— Astron. J., 1970, vol. 75, № 6, p. 747—750.

D e p г i t A., Rom A. Characteristics exponents of L^ in the elliptic restricted problem.— Astron. Astrophys., 1970, vol. 5, № 3, p. 416—428.

D e p г i t A., R о m A. The main problem of artificial sattelite theory for small and moderate eccentricities.— Celest. Meeh., 1970, vol. 2, № 2, p. 166—206.

Diliberto S. P. New results on periodic surfaces and the averaging principle. US — Japanese Semin, on Diff. Func. Equas.— Philadelphia: W. A. Benjamin Ins., 1967, p. 49—87.

D i г a с P. A. M. Generalized hamiltonian dynamics.— London: Proceed. Roy. Soc., 1958, vol. Л246, p. 326—332.

Euler L. Theoria motus Lunae.— Petrop., 1753: Theoria motus Lunae, novo methodo.— Petrop.: Typ. Imp. Acad. Scion., 1772.

Гельфанд И. M., JI и д с к и й В. Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.— УМИ, 1955, т. 10, № 1, стр. 3—40.

G i а с a g 1 i a G. Е. О. Notes on von Zeipel’s method. GSFC-NASA Publ. X-547-64-161, Greenbelt, 1964.

G i a c a g 1 i a G. E. 0. Evalution of methods of integration by series in celestial mechanics. Doctoral Thesis, Yale University, New Haven, 1965.

G i a c a g 1 i a G. E .0. Nonintegrable dynamical systems. Chair Thesis, General Mechanics, Univ, of Sao Paulo, 1967.

G i a c a g 1 i a G. E. 0. et al. A seminalylical theory forthe motion of a Lunar satellite.— Celest. Meeh., 1970. vol. 3, № 1, p. 3—66.

G i a c a g 1 i a G. E. 0.. Jefferys W. H. Motion of a space station.— Celest. Meeh. 1971, vol. 4, № 3/4, p. 442—467.

Gia ca glia G. E. 0. Characteristics exponents at L^ and Ls in the elliptic restricted problem of three bodies.— Celest. Meeh., 1971, vol. 4, № 3/4, p. 468—489.

Gia ca glia G. E. 0. Regularization of conservative central fields.— J. Japan. Astron. Soc., 1972, vol. 24, № 3.

G i a c a g 1 i a G. E. 0., N u о t i о V. I. Spinor regularization of conservative central fields. 3-d Annual Meeting, Div. Dynamical Astron., Am. Astron. Soc., Univ, of Maryland; Bull. Amer. Astron. Soc., 1972.

ГолдстейнГ. Классическая механика.—M.: Наука, 1975.

Г у р с а Э. Курс математического анализа.— М.—Л.: 0НТИ, 1936.

Н а 1 е J. К. On the boudedness of the solution of linear differential systems with periodic coefficients.— Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 137—167.

Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential equations.— Ann Nath., 1961, vol. 73, № 3, p. 496-531.

H a 1 e J. K. On differential equations containing a small parameter. Contrib. Diff. Eq. (ed. LaSalle et al.), vol. 1.— New York: J. Wiley pab., 1962.

Хойл Дж. Колебания в нелинейных системах.—М.: Мир. 1966.

Н а 1 е J. К. Ordinary differential equations. Chapt. 5,— New York: Wiley-Interscience. 1969.

H e n r a r d J. On a perturbation theory using Lie transforms.— Celest. Meeh., 1970, vol. 3, № 1, p. 107—120.

H e n о n M., H e i 1 e s C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments — Astron. J., 1964, vol. 69, № 1, p. 73—79.

Hen on M. Exploration numerique du probleme restreint.— Ann. Astrop- hys.. 1965, vol. 28, p. 499 and 992.

Hori C. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables.— J. Japan. Astron. Soc., 1966, vol. 18, № 4, p. 287—296.

Hori G. Theory of general perturbations for noncanonical systems.— J. Japan. Astron. Soc., 1971, vol. 23, p. 567—587.

К a m e 1 A. A. Expansion formulae in canonical transformations depending on a small parameter.— Celest. Meeh., 1969, vol. 1, № 2, p. 190—199,

Kamel A. A. Perturbation method in the theory of nonlinear oscillations.— Celest. Meeh., 1970, vol. 3, № 1, p. 90—106.

Kevorkian J. The two variable expansion procedure for the approximate colution of certain nonlinear differential equations, vol. 7, p. 206. Lectures in applied mathematics. Providence, Amer. Math. Soc., 1966.

К о л м о г о p о в А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.—ДАН СССР, 1953, т. 98, № 4, стр. 527— 530.

Kovalevsky J. Review of some methods of programming of literal developments in celestial mechanics.— Astron. J., 1968, vol. 73, № 3, p. 203—209.

Крылов H. M., Боголюбов H. H. Введение в нелинейную механику.—Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

К u s t a a n h е i m о Р. Spinor regularization of kepler motion.— Ann. Univ. Turkuensis, 1964, vol. A73, p. 3—7.

К у n e r W. T. Invariant manifolds.— Rend. Circ. Mat. Palermo, 1961, vol. 10, p. 98—110.

К у n e r W. T. A mathematical theory of the orbits about an oblate planet. Tech. Rep. to ONR, Det. Math.— Univ, of Southern Calif., Los Angeles, 1963.

Kyner W. T. Rigorous and formal stability of orbits about an oblate planet.— Mem. Amer. Math. Soc., 1968, vol. 81, p. 1—27.

Ларичева В. В. Об осреднении одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений.—Диф. уравнения, 1966, т. 2, № 3, стр. 345—352.

Л е ф ш е ц С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.—М.: ИЛ, 1961.

Leimanis Е.. М i п о г s к у N. Dynamics and nonlinear mechanics. Chapt. I.— New York: J. Wiley pub., 1958.

Levi-Civita T. Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei the carpi.— Ann. Math., 1903, t. 9, p. 1—27.

Lindstedt A. Beitrag zur integration der differentialgleichungen der storungtheorie. Abh. K. Akad. Wiss., St. Petersburg, 1882, b. 31, No. 4.

MacMillan W. D. Dynamics of rigid bodies.—New York: Dover Publications, 1920, p. 403—413.

M a с M i 11 a n W. D. A method of determinating solutions of a system of analitic functions in the neighborhood of a branch point.— Math. Annalen, 1912, vol. 72, p. 180.

M e r s m a n W. A. Explicit recursive algorithm for the construction of equivalent cannonical transformations.—Celest. Meeh., 1971, vol. 3, №3, p. 384—389.

M in or s ky N. Nonlinear oscillations.— Princeton, New Jersey, van Nostrand Puhi., 1962.

Moser J. Nonexistence of integrals for canonical systems of differential equations.— Comm. Pure Appl. Math., 1955, vol. 8, p. 409—436.

Moser J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems.— Comm. Pure Appl. Math., 1958, vol. 11, № 1, p. 81—114.

Мозер Ю. Новый метод построения решений нелинейных дифференциальных уравнений.—Математика, 1962, т. 6, № 4, стр. 3—40.

Мозер Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.—Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51—67.

Moser J. Perturbation theory for almost periodic solutions for undamped nonlinear differential equations. Int. Symp. on Nonlinear Diff. Eq. and Nonlinear Meeh., Colorado Springs, 1961; p. 71—79, New York, Acad. Press, 1963.

M о з e p Ю. Лекции о гамильтоновых системах.—М.: Мир, 1973.

Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения.—УМН, 1968, т. 23, № 4, стр. 179—238.

Moser J. On the theory of quasi-periodic motions.— SIAM Rev., 1966, vol. 8, № 2, p. 145—172.

Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды.—УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165—311.

Moser J. Regularization of Kepler’s problem and the averaging method on a manifold.— Comm. Pure Appl. Math., 1970, vol. 23, № 4, p. 609—636.

M о u 11 о n F. R. Periodic oscillating satellites.— Math. Ann., 1913, vol. 73, p. 441—479.

Moulton F. R. Periodic orbits.— Washington: Carnegie Inst. Washington PubL, 120.

M u s e n P. On the high order effects in the methods of Krylov-Bogoliu- bov and Poincare.— J. Astronaut. Sci., 1965, vol. 12, № 4, p. 129—134.

Не м ы ц к и й В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.—М.: Гостехиздат, 1949.

П л и с с В. А. К теории инвариантных поверхностей.—Диф. уравнения, 1966, т. 2, № 9, стр. 1139—1150.

П л и с с В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний—М.: Наука, 1964.

91—92. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Иэбр. тр.—М.: Наука, 1972, т. 2.

Пуанкаре А. Лекции по небесной механике.—М.: Наука, 1965

В о е 1 s J., Louterman С. Normalization des systemes lineaires canoniques et application an probleme restreinte des trois corps.— Celest. Meeh., 1970, vol. 3, № 1, p. 129—140.

Sansone G., Conti B. Nonlinear differential equations.— New York: Pergamon Press, 1964.

3 и г e л ь К. Л. Об интегралах канонических систем.—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 103—117-

3 и г е л ь К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129—156.

3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике.—М/. ИЛ, 1959.

Sternberg S. Celestial mechanics.— New York: W. A. Benjamin Inc., 1969, 2 voIs.

Szebehely V. et. al. Mean motions and characteristic exponents at the libration points.— Astron. J., 1970, vol. 75, № 1, p. 92—95.

В о л о с св В. В. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.—УМН, 1962, т. 17, № 6, стр. 3—126.

Whittaker Е. Т. On the adelphic integrals of the differential equations of dynamics.— Proc. Boy. Soc. Edinburg, 1916, vol. 37, p. 95.

Уиттекер E. Аналитическая динамика,—M.: ОНТИ, 1937.

У и н т н е р А. Аналитические основы небесной механики.—М.: Наука, 1967.

Z е i р е 1 Н. Becherches sur le mouvement des petits planets.— Arkiv. Astron. Mat. Phys.. 1916—1917, t. 11,12,13.

ГЛАВА III

ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Движение, описываемое интегрируемой системой

В этом параграфе мы дадим более точную характеристику свойств траекторий, являющихся решениями интегрируемых систем.

Мы начнем с результата Лиувилля. Пусть дана гамильтонова система

Ук = Нхк, хк = —НУк (& = 1, ...,га), (3.1.1)

где функция Н=Н (у, ж) аналитична в некоторой области D фазового пространства. Если в области D' czD известны и общих интегралов Рг, ..., F^, находящихся в инволюции, то в области D' система интегрируема, т. е. сводится к квадратурам. Пусть для г= 1, ..., и

Fi (у, х) = Сг = const. (3.1.2)

В общем случае верно, что замкнутые многообразия, определяемые уравнениями (3.1.2), являются торами, и на них движение является условно-периодическим. В действительности можно показать, что этот вывод всегда верен для систем Лиувилля. Точнее, можно получить следующее утверждение [5].

Теорема. Пусть система (3.1.1) с га степенями свободы имеет п первых общих интегралов Fi, ..., Fn, находящихся в инволюции. Уравнения Fi=Ci определяют компактное многообразие М = Мс., в каждой точке которого векторы gradE’i(i=l,... ,.га) линейно независимы в фазовом пространстве размерности 2п. Тогда М — тор размерности п и точка (у (t), x(t)), являющаяся решением уравнений (3.1.1) в области D\ совершает условно-периодическое движение на М.

Эта теорема оправдывает тот факт, что мы всегда рассматриваем в качестве интегрируемой системы систему с гамильтонианом Н = Н0(х), т. е. с гамильтонианом, зависящим только от импульсов. В общем случае частоты ®k = HOxk [k=i, ..., га) будут рационально независимы, так что движение иа торах, определяемое параметрами ух, .. ., уП1 является эргодическим, в том

смысле, что траектории, покрывающие такие торы Тп, всюду плотны. Другими словами, для данной точки Ра^Тп (где Р° = = (У1, • • • > Уп)) и для произвольного е>0 всегда можно найти такое Т(е), что для данного t из интервала 0<с< ^(г) соотношения | ук (<) — Уь I < е удовлетворяются для всех к.

Возмущения интегрируемых систем

Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом

Н = Я0(ж) + ^Н^у. х, р),(3.2.1)

где 0<р^1, а Н\— периодическая (периода 2л) функция относительно у\, . . ., у„. Мы попытаемся проверить тот факт, что при этих условиях движение возмущенной системы, соответствующей гамильтониану (3.2.1), происходит на торе, который близок к тору, определяемому условиями xh = хк = const (&= 1, ..., и).

Вначале мы остановимся на кратком описании классических методов теории возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана Н, определяемого формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким формам:

Н = Н^Чх'Н^Н?Чу',х'. р),

Н = Н^ (х") + ^Н^(у",х\ р),

Н = Н^ <xVs^ р 'Я.'1 (уи\ хи\ р),

Такие методы, как было видно в предыдущих главах, приводят к уравнениям вида

2 ah = F (х, у) = F (ж, у + 2л),

решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся/ даже еслп частоты <щ являются рационально независимыми. В последнем случае предполагается, что п вещественных компонент вектора ю= (сщ, ..., м„) удовлетворяют бесконечному числу неравенств

2 kito;

I пр

>2|М К,

где />=и+1, все целые числа к^ одновременно в нуль не обращаются, а число A((oi, ..., wn) >0 выбирается соответствующим образом (см. [24]). Следовательно, для множества значений (01, ..., wn, имеющего ненулевую меру, в классической теории возмущений все знаменатели ограничены снизу по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как мы считаем, что частоты юк являются непрерывными функциями жд, то непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к резонансным значениям юк, и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть непрерывными функциями x°h, т. е. начальных условий задачи. При некоторых ограничениях на Hi можно установить сохранение условно-периодических движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал [6]: «Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне современных методов, решение 200-летних проблем, ясная геометрическая картина и широкие горизонты — таковы достоинства этой работы». Это действительно так, ибо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в слишком общей форме, и думалось, что они оставляют только небольшой шанс на то, что динамическая система будет интегрируемой. .

Можно только предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких предположений о плотности интегрируемых систем в нашем распоряжении нет. Если они, по крайней мере, также плотны, как множество рациональных чисел на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа на задачу п тел, на ограниченную задачу трех тел, на задачу о несимметричном волчке и т. д., в которых только доказана неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических интегралов (см., например, [43, 40,36,38]). ч

Простейший вывод, который можно сделать из теоремы Колмогорова, заключается в том’ что при выполнении условия невырожденности | дгНй]дхг | ^ 0 при малом аналитическом возмущении большинство инвариантных многообразий (торов), определяемых функцией Но, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Термин «большинство» подразумевает нигде не плотное множество, дополнение которого имеет меру, малую вместе с е.

Действительно, в любой окрестности инвариантного тора невозмущенной системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е, частоты <щ рационально зависимы. Однако при малых возмущениях эти инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в течение длительного времени (асимптотически) не известно. Для консервативной системы с двумя степенями свободы многообразие, определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные инвариантные торы. Это — максимальная размерность, при которой промежуток между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории, начинающиеся в этой области, будут оставаться в ней все время. Для больших размерностей это в общем случае неверно.

Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при приведении гамильтониана к виду, зависящему только от переменных действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления малых знаменателей. Как отмечают Брауэр и Клеменс [14], сходимость этих рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с увеличением порядка приближения (по мере того, как все большие числа входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из наиболее важных аспектов, описанных Колмогоровым в предложениях по доказательству его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского метода приближений, обладающего квадратичной сходимостью, в том смысле, что ошибка к-го приближения еп имеет порядок 8n—i при п=1, 2, ... и ei<l.

Точнее, предположим, что возмущение р,Я1 в (3.2.1) находится в пределах: | р,7К | <?р,<1 при х, у из некоторой области D'. Если записать Н\ в виде

Ну кд, ж) = 2 A к®)1 ехр (1кту),

где к^у = k^i +... + кпУп, то при |1шу|^р коэффициенты А^ к®') убывают как Мехр к— 111 Р)-Принимая во внимание (3.2,2), для ц2/Л2) мояшо получить оценку МгЬ7ч при | Im у' | ^ р — бь Величина 6ь связана с величиной 6о, такой, что М ^6^ при бо>О достаточно малом и N достаточно большом. Следовательно, //(18)<6^ при | Imy(s) | < р—6s = p,<ps-i<...<p. Можно предположить, что частоты системы сщ фиксированы, и проаппрокси- мировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве теоремы, данном Арнольдом [6], частоты сщ не

являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым следствиям в задаче представления Пуанкаре метода Линдстедта. Первоначально требовалась аналитичность функции Н, но Мозер [33] показал достаточность существования некоторого количества производных функции Н. Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет обсуждаться в следующей главе.

Рассмотрим систему с гамильтонианом' вида (везде суммирование проводится от 1 до п)

н(у, Х^ = Яо + Jw^ -Г А (у} +

к

+ 2 Вк ^ xh + 2 Chj (у) хкх, + D (у, х^ (3.2.3) к

где Н — аналитическая по всем переменным и периодическая (периода 2л) функция переменных ук1 Но — некоторая постоянная, функция D содержит степени не ниже третьей относительно х>л а величины <щ удовлетворяют условию

(3.2.4)

I й I \ й /

при s = «+l, при всех целых /й и при выбранной некоторым образом постоянной е(ы).

Рассмотрим далее каноническое преобразование (г/, #)->-(?/', а/),; определяемое производящей функцией Гамильтона—Якоби

Sb,x3 = 2(4 + «Jyft+ Y^yHlL^Ay^ (3.2.5) йк

где ай — постоянные, так что

Xi = Syi = х\ + at + YVi (у) + ^хк¥ку. (у),(3.2.6)

Z/i = Ss. = yi¥Yi (у).

Из последнего соотношения, предположив, что матрица

Р=^ = 7+Ю

является неособенной для у, из некоторой окрестности точки у» можно получить

Ki = Fi Ю ^Vi+Yi (у'),

(3.2.7)

и, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя Xj из (3.2.6) в (3.2.3), находим

я = я0 + 2t^k^h + ^юкжк + «(0) + А* (у) + hк

+ 5 Вк (У) хк + ^^ (у') + 5 В^ (у') хк + hк

+ 5О/)ЭД + Я(1)(/,^ (3.2.8) kJ

' где (615=О, W=i; 6^=1)

А* (у) = ^®к^~ ~ A (У) — "(O), к ak

^fe (y) = 2 toj) A-B^y^,

^<П (.У') = 2 CM (^) (^ + ^") («j + ^7) + Do (y),

B^ (У') = 2 CU &) к ++ Dk ^

mBY. dY.

с^ ю = си (у) + 2 См (У) JT + Dl3 (у),(3.2.9)

Du4y', x'^ = n(y, x’ + a + ^ + ^Xj^-A - D0(y) - \By j By j

Do {y) = D\y, аDo {y) = D\y, аd2D dx^dx^d2D dx^dx^Du (У) = ^(^ik kJ \Du (У) = ^(^ik kJ \

Do {y) = D\y, а

Do {y) = D\y, а

d2D dx^dx^

d2D dx^dx^

Du (У) = ^(^ik kJ \

Du (У) = ^(^ik kJ \

Здесь у надо заменить на у' согласно (3.2.7). Цель введения константы а^ будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на то, что величины Л* (у) и Вк (у) являются величинами первого порядка относительно a.h, Y, Yh, которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. G другой стороны, величины Л^1* и Вк^ являются величинами второго порядка по отношению к тем же переменным.

Целью метода является уничтожение величин Л*, Вк1 с по-* мощью соответствующего выбора Y, аь Yh(k—1, ..., п^. Это можно сделать следующим образом. Введем величины

z, = е^.

Тогда, в силу сделанных относительно II предположений, в частности, имеем

Л (у) = 2 akeW = 2 Я#2(Ю(3.2.10)

ftft

где &=№, ..., кп^ ^у^ кхух+„.+кпуп, z^ = ^ ... z^- В силу тех же предположений, имеем

Y^ = 2 Ywzw, Yj^ = 5 Y^zw. (3.2.11) h^Oйт^О

Считая Л*(у) = 0. из первого соотношения (3.2.9) находим

Y^-Y^^-Y^Yy*^-

= 2 а^к\к+о(3.2.12)соотноше-= 2 а^к\к+о(3.2.12)соотноше-= 2 i (<»Tfc) Ywzw 6*0

= 2 а^к\к+о

(3.2.12)

соотноше-

= 2 а^к\к+о

(3.2.12)

соотноше-

или

YW = -i^k^at,

что и дает определение Y и а(0). Теперь из второго ния (3.2.9), определив

В k=W\cki = ^cy

и

m^-Ya^-Y^1'-

находим, что ay и У^ определяются уравнениями

(3.2.13)(3.2.14)(3.2.13)(3.2.14)2 ^ак + Р^ + В(^ = 0 к

(3.2.13)

(3.2.14)

(3.2.13)

(3.2.14)

i ^к') Y^ + Р^ + В^ + 2 C^’az = О

соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными некоторые условия, а именно:

величины (wTfc) не должны обращаться в нуль (для того чтобы выражения (3.2.12) имели смысл).

определитель {СдР) не должен быть равен нулю, чтобы уравнения (3.2.13) имели решение относительно вектора а= = («ь ..., а„);

для получения констант Y^ из уравнения (3.2.14) должно быть выполнено условие (а).

Также очевидно, что если А (у), Bh(y), Ch3{y) имеют конечное тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительно у ), то производящая функция В, определяемая формулой (3.2.5), также является полиномом Фурье относительно у. Описанную процедуру можно повторить и после применения последовательных канонических преобразований; в пределе исходной гамильтониан примет вид

Н - 5 оД + 5 Км ^ XhX3 + А (У, X),(3.2.15)

где в А содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент Хк вектора X. В этом случае система допускает решение (/с=1, ..., и)

Xft=0, Yk=tok^t-tky(3.2.16)

Теперь можно сформулировать теорему Колмогорова в следующем упрощенном виде.

Теорем а (Колмогоров). Пусть гамильтониан системы Н, имеющий вид (3.2.3), аналитичен в области Do: Izbl ^ г0, |Imz/ft| ^pou удовлетворяет в этой области следующим условиям:

для всех целых ненулевых одновременно чисел jk, выбранной каким-нибудь образом постоянной 8 = е(со) и $ = н-|-1 выполнены неравенства

5 № >6 5 |м| ;(3.2.17)

h=lU=1 J

матрица {С^} — неособенная. (3.2.18)

Тогда для достаточно малых в Do функций М(у)| и | Bh (у) | существует каноническое преобразование {у, ж)->(У, X), имеющее вид

xh = Xk + Eh(Y) + 2^(Л Х3,

>(3.2.19)

Ун = Yh + Nh (У),

такое, что функции Ek, Еу Nk 2к-периодичны по каждой компо- Ю Г. Е. О. Джакалья

ненте У, и аналитичны в области Ао, определяемой неравенства- 33

ми |Xh|<-$-r0, | Im Yh | < -£- p0. Преобразование (3.2.19) отображает ^ в Dq, а в Ao гамильтониан H имеет вид (3.2.15).

Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что применение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6) образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от (3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда основных лемм, установленных Арнольдом [6, 7]. Здесь мы ограничимся упоминанием только двух главных лемм.

Лемма 1. Если п ненулевых частот удовлетворяют условиям (3.2.17), если

F^ = 2 Wh\(3.2.20)

(й)*0

и если S удовлетворяет уравнению

(3-2-21) то его решение

S = - У ^^(3.2.22)

(й)^=о (kTe>)

удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С следующим соотношениям:

|| S Urtp-A) <|| S Urtp-A) <СE/lS+nСE/lS+n||^11г(Р),||^11г(Р),it asit asГ(р-Л)Г(р-Л)Zh dzk Irfp-^efes+n+iHbp),Zh dzk Irfp-^efes+n+iHbp),(3.2.23)(3.2.23)

|| S Urtp-A) <

|| S Urtp-A) <

СE/lS+n

СE/lS+n

||^11г(Р),

||^11г(Р),

it as

it as

Г(р-Л)

Г(р-Л)

Zh dzk Irfp-^efes+n+iHbp),

Zh dzk Irfp-^efes+n+iHbp),

(3.2.23)

(3.2.23)

где норма || || является верхней гранью абсолютной величины функции в кольце

Г (р) = {е~ р ^ | zk | ^ еР} = {| Im yh | < р}

для всех к = 1, ..., п и 0 < h < р.

Доказательство леммы опирается на условие иррациональности (3.2.17), которое дает верхнюю границу для делителей, т. е.

(3.2.24)(3.2.24)

(3.2.24)

(3.2.24)

где 0 — константа, зависящая от п и s. Наиболее утомительная

часть доказательства заключается в правильной оценке величин /(1)/(ктб>) в кольце Г(р) и последующей оценке функции 8 и ее производных. Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде основной леммы [6].

Лемма 2. Рассмотрим величины

е0 = max (]] А||г(ро);|| Въ ]|Г(Ро))

e^maxdl^^U); WiU),

Г1=г0—2h, Pi = Po—4h и

0<h<r0/2, 0</Кр0/4.

Пусть

Г(г, р) = {|а| ^ г, | Im (у*) | < р; &=!, ..., л},

^(у, ж)Цг(г.Р) = sup|F(y, ж)| для всех (у, ж) е Г (г, р).

Рассмотрим оценки

max | С^ | ^ 2N,

№(У, X) ||Г(г„ р.) < 2М,II Cft;||r(p0) ^ 2М,

где C^i — элементы матрицы, обратной к матрице (С^}. Пусть выполнено (3.2.4) и /Ке, t=s+n+l, 1/2 ^ r0 < 1.

Тогда при выполнении этих условий существуют константы Ск (А=1, ..., s), зависящие только от N, М, п и такие, что, если 8о ^ №‘*й!С0, то выполнены следующие условия-.

Преобразование (3.2.6) может быть записано в виде

Уг = УгА-1ЛУ^ = F^y'^,

Xi = А + дг (у') + 2 gi} (у') x'j = Gt (y', x'V <3'2'25)

3

где функции F,, Gt аналитичны при у' еГ(pt), а

|| h ||Г(Р1) < 2h,|| gt ||Г(Р1) ^ ^2,|| gl3 ||г(р.) < ^2, (3.2.26)

и отсюда следует, что преобразование (3.2.25) отображает

Г(гг pi) в V(r0—h, р0—2/i). Кроме того, Si^p^eo-

Новый гамильтониан определен для всех у', х'изТ(г\, pi)1, и

ки11г(р1)<||Сг;1|г(р.) + ЛС2,(3.2.27)

II Dw (у', х') ||r(r„Pl) < || D (у, х) ||Г(Го,|Ро) + hC3, (3.2.28)

+(3.2.29)

О»

Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Бар- рара [10]. Сначала используется лемма 1 для оценок

maxD2L#| дУк |г(р,-Л) hl+lmaxD2L#| дУк |г(р,-Л) hl+l8 рк (У) 1г(р,-л) <8 рк (У) 1г(р,-л) <^+1’^+1’|®кК|®кК£2^^+1 ’£2^^+1 ’(3.2.30)(3.2.30)

maxD2L#

| дУк |г(р,-Л) hl+l

maxD2L#

| дУк |г(р,-Л) hl+l

8 рк (У) 1г(р,-л) <

8 рк (У) 1г(р,-л) <

^+1’

^+1’

|®кК

|®кК

£2^

^+1 ’

£2^

^+1 ’

(3.2.30)

(3.2.30)

где С', С", С"' — постоянные, зависящие только от А, М, п. После оценок величин У, Рк, ah в Г(р0—А) проводятся оценки Yk (из (3.2.14)) в Г(р0 — 2/t), получающиеся из леммы 1 в виде

max|| Yk Цщро-г/р^max|| Yk Цщро-г/р^6^0 ^21+1’6^0 ^21+1’шахшах9Y к IICve0'^i ||г(Р„-2Л)^Л2‘+2’9Y к IICve0'^i ||г(Р„-2Л)^Л2‘+2’(3.2.31)(3.2.31)

max|| Yk Цщро-г/р^

max|| Yk Цщро-г/р^

6^0 ^21+1’

6^0 ^21+1’

шах

шах

9Y к IICve0

'^i ||г(Р„-2Л)^Л2‘+2’

9Y к IICve0

'^i ||г(Р„-2Л)^Л2‘+2’

(3.2.31)

(3.2.31)

где опять постоянные C1V- Cv зависят только от N, М, п. Затем используется теорема Руше для того, чтобы показать, что

шах ||КЛ||г(рв-ал»<2Zt.

Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное

Уг = yi -Vfi^, где

ll/t II Г(Р0—2Л)<: 2/t,

и оно отображает T(pi) в Г(р0—2/t). Легко также видеть, что функции ft (у') являются 2л-периодическими по каждой из переменных у Ki так что утверждение (а) леммы получается введением величины Со = шах (С7, С", С"', С1\ С\ и + 2), и, следовательно все величины

шахшахау9Укау9Укшахшах9Yt9yh9Yt9yhЯкЯк

шах

шах

ау

9Ук

ау

9Ук

шах

шах

9Yt

9yh

9Yt

9yh

Як

Як

в кольце Г(ро—2Л) меньше, чем А/(и+2). Аналогично, если у' е Г (Pi), то из утверждения (а) следует: у е Г (р0 — 2А). Все остальные оценки из утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы Коши и неравенства Шварца.

Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан Н, записанный через у, х из Г(го, р0), переходит в гамильтониан такого же вида, но зависящий от у', х' из Г(г0 —2/t, ро — 4А). Затем эта операция (определенная в лемме!

и удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения

Гт+1^—Гт 2Л-т+1, рт+1^=рт ^^m+l*

На т-м шаге гамильтониан И определен в пространстве переменных VyWi ®(m)) ^ Г (rm, pm), и по утверждению леммы 2

em = max (|| Л(т) ||Г(Рт); || B(hm) |Г(Рт)).

Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом шаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1. Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара [10]. Основой служат оценки леммы 2, получающиеся из условия

£,°т+1 '1 ,3t+3 '"

0"т+1

Выбор удобной величины L>\, удовлетворяющей неравенствам

Lm+v ^max^Ca , Z2e0 = a<l, (3.2.32) ^7П+1

дает | em| <a2m и

.»h3t+3

11"m+l

em <Lm+2< £m+lCo’

что заменяет условия eo =^ K^^JCo и «i ^ С\1№+3 из леммы 2. Неравенство (3.2.32) будет удовлетворено, если положить Кт= = 6/2™ и L 2$ (23!+3/63!+3)max (Co, CJ или С>1 в любом случае. Для исходного гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными оценки

k«|<^||C/tJ.||r(Po)^M,

P(ZO ®) ||г(г„ Р,) ^ М,

и для выбора' соответствующего Масштаба положим г0=1. Выбрав достаточно малое 6>0, можно показать, что ет->-0 в (33\

"^~го, "4~ Ро) ПРИ т-^-оо.

Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями леммы 1, удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения (3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является каноническим, так как

оно является комбинацией ряда канонических преобразований. Кроме того, суммарное преобразование 7Чт) после т итераций отображает Г(гт+1, pm+i) в Г(гт, рт), и область его определения / з з \

содержит в себеГ1-£-г0, -4-Pol- Поэтому Tw является равномерно ограниченным, и последовательность сходится к преобразованию Т, которое в точности равно (3.2.17).

В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то время как итерации функции Гамильтона Я, с помощью которых здесь определены все операции из леммы 1, аналогичны итерациям Ньютона и, таким образом, обладают квадратичной сходимостью.

При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях исходный гамильтониан имеет вид

m71

Н = Яо + 2 ЮкЗСк + 2 ^«А +

т А (у) + V Вк (у) xk 4- 2 Ckj^XhXj v D^y, х),(3.2.33)

h=lk,j=V

где ц — малый параметр, например, порядка е (см. уравнение (3.2.4)). Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию det {£«} = 0. Возможно, что первый случай может быть изучен аналогично вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае.

Общая теория Мозера [35] предполагает обширные знания многих теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если рассматривать только аналитические возмущения, чего па самом деле не делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные методы сглаживания, но, разумеется, получаются и более общие результаты.

Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также оказывается более общей, чем рассмотренная выше.

Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области D фазового пространства, скажем П={|1туЛ| < <р, гее(?} (k = 1, ..., и), где G— открытое множество в R" и

в области D. Тогда показывается,в области D. Тогда показывается,функция Гамильтона 2л-периодична по каждой из переменных уh. Основное предположение заключается в условии необращения яI 92НЙ

в области D. Тогда показывается,

в области D. Тогда показывается,

дх.дх.1 Rдх.дх.1 Rв нуль определителя "

дх.дх.

1 R

дх.дх.

1 R

что Эля каждого £>0 существует М(К, р, G, Ho)Z>O такое,что если | pZ/i \ ^ М в D, то траектории, определяемые гамильтонианом Н, таковы, что

Существует инвариантное множество Di (вещественное), и если В.еD=Dt4-D2, то mesD2 =5 КmesD.

Множество D\ состоит из инвариантных аналитических п-мерных торов Ты, определяемых уравнениями

х = ®и + Л> (*]), У = Т1 + ^(Ч),

где fto, gto — аналитические функции с периодом 2л по каждой из переменных т\Дк = 1, ..., п), а ю — параметр, определяющий тор Тю.

Движение, определяемое гамильтонианом Н, н)а торе Тю является условно-периодическим с п частотами со = (ti^, . ,.,соп)

^h = Пй =^h = Пй =9$к9$к

^h = Пй =

^h = Пй =

9$к

9$к

которые удовлетворяют неравенствам

715 mhtoh к=1715 mhtoh к=1(8 = П + 1)(8 = П + 1)

71

5 mhtoh к=1

71

5 mhtoh к=1

(8 = П + 1)

(8 = П + 1)

для всех наборов целых чисел mk, не обращающихся одновременно в нуль.

Эти условия в основном такие же, что и выписанные нами выше, а условие на Но переходит в условие на определитель квадратичной части функции Н (относительно хк, х^, которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении теоремы Колмогорова на вырожденные случаи, т. е. на случаи, когда 152^а/^^^^л 1 = 0. Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь место, например, когда одна из компонент вектора х не входит ни в сумму S03^, ни в квадратичную часть 2 ChjXhXj. Очевидно, что первый случай делает невозможным условие (3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для определения ак оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра, здесь — р.

Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция Но невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество ненулевой меры инвариантных торов, определяемых Но, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Однако переход с одного тора на другой не может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо пересекать зоны рациональной зависимости частот СЩ.

Необходимо, однако- отметить, что условие, налагаемое на Яо, можно сделать менее жестким и только предположить, что )

detdet52Я„ дхх>х^ дН052Я„ дхх>х^ дН08Н68Н6(3.2.34)(3.2.34)

det

det

52Я„ дхх>х^ дН0

52Я„ дхх>х^ дН0

8Н6

8Н6

(3.2.34)

(3.2.34)

Вырожденные системы

В тех случаях, когда упомянутые условия для Яо (ж) не выполнены, или в простейшей ситуации, которая встречается в теореме Колмогорова, когда матрица {Ci3} является особенной, а условия иррациональности (3.2.4) остаются справедливыми, доказательства Арнольда или Баррара не годятся. В раннем варианте своего доказательства [9] Баррар указал возможный способ исследования случая, когда гамильтониан имеет вид

тп

^ = А 2 toA ++ А (х) + р#! (у, х^ (3.3.1)

h=lj=m+l

где Ao — постоянная величина, ар — постоянный параметр (0 ^ ^ц<1). По сравнению с исходным гамильтонианом, записанным в виде

Я = Я0(а:) + р[Я18(а:) + Я1р(у,а:)],(3.3.2)

причем

Hypdy = О,

частоты Юк определяются теперь формулами

^=^(Я0+ИЯ18)to ; =Я15о®} х=х»^=^(Я0+ИЯ18)to ; =Я15о®} х=х»(к = 1, ..., иг),(j = m + l, ...,п),(к = 1, ..., иг),(j = m + l, ...,п),

^=^(Я0+ИЯ18)

to ; =Я15

о®} х=х»

^=^(Я0+ИЯ18)

to ; =Я15

о®} х=х»

(к = 1, ..., иг),

(j = m + l, ...,п),

(к = 1, ..., иг),

(j = m + l, ...,п),

и предполагаются выполненными неравенства

тпS ihtoh + И S li^i k=ti=m+lтпS ihtoh + И S li^i k=ti=m+l66

тп

S ihtoh + И S li^i k=ti=m+l

тп

S ihtoh + И S li^i k=ti=m+l

6

6

для всех не равных одновременно нулю целых чисел /р. Известно, что мера всех tok (к = 1, ..., п), не удовлетворяющих этим

условиям, меньше Абд, где К — надлежащим образом подобранная функция от (о*. Введем новое предположение

га2 (н0 + ця, \)

det —1з) = 2Au ^ ОI di.di. |'

для x=x°eD. Если функция Н1р достаточно мала, то существуют условно-периодические решения системы, соответствующие гамильтониану Н, и они имеют вид

yh = ak(t — rh) + <ph(eUl<, ..., eiXmt, e^M-t*, ..., eiuXnt),

y, = p®j (t — Tj) + <p, (eU1<, ..., eiw, e^M-i*, ..., eiMn<),

xt = at + if; (eiw, ..., eiw, e^m-H*, ..., e^V),

где А = 1, ..., m; j = m + 1,..., n; i = 1,..., n. Функции <p*, <р„ if j имеют одинаковый вид. В действительности доказательство осуществляется приведением гамильтониана (3.3.2) к виду (3.3.1) с разложением в ряд Тейлора и применением бесконечного числа канонических преобразований, уменьшающих на каждом шаге величину Н^ (у , х\ Можно показать, что этот метод будет сходящимся при и=2, ттг=1. Сходимость, однако, не может быть равномерной ни по отношению к ц, ни по отношению к а?0.

Теорема Арнольда [7] является гораздо большим достижением, особенно это касается свойств сходимости. Арнольд рассматривает функцию Гамильтона Н(у,х, е), где у = (у0, Уг), ж = = ^х0,х^), а у0, х0— векторы размерности п0 и У1,хг—векторы размерности тгц так что тг=тго+тг1 равно числу степеней свободы системы. Функция Н предполагается 2л-периодической по каждой компоненте вектора уо и аналитической в области D = ^xoeGg, |1пгу0|^р, l^il^-S, l^il^-^}, a s —вещественный параметр и O^s<so. Также предполагается, что существует разложение

Н = Н0 (Хд) + еЯх (у, х) + е2Я2 (у, х, е),

где Я1 может быть^ разбита на короткопериодическую Я1 и долгопериодическую Я1 части; при этом

Яг = Нг (х0, xlt yj + Н\ (х0, хх, у0, у^ и .

^ Hidyg = О,

т. е. многомерный ряд Фурье для Я1 не имеет постоянного члена или, точнее говоря, он может быть включен в Яь Долгопе-

риодическая часть также может быть разбита на секулярную часть Н\, и чисто периодическую (по каждой компоненте вектора У1) часть Н\р, т. е.

#1 = ^1з (о>т) + ^1P (*0> ®П У1)’

гдеnnп

Я13 = ^0 + S ^iH + S ^i/HT; + i. ^ijhTiT?Th + • • •i=li,;=li,j,h=l

Величины X с индексами являются функциями х0, Xlj = Xji, а 2тк = 4 + у^ (к = 1, . . .,71^.

Предполагается также, что в области Go выполнены условия

det (^ °, det 0.

I 9xoi9xoj )и

Тогда при соответствующих ограничениях на На, й\, Н\, Н\„ Я1Р для произвольной постоянной К>0 можно найти такое число Ео^К, Но, Н\, Gq, р, R, С, е), что при О<Я<Яо. 0 <^ е <^ Eq и

|Я2|<С, |Я,| ^С, |Я,.| ^С,

|Я1р|<Сmax (1^11, |У1|), |Я,|<С

существуют условно-периодические решения данной гамильтоновой системы, покрывающие инвариантные торы Т ш, погруженные в область D\, являющуюся частью области D, и дополнение этой области Da, мало, в том смысле, что

mes Da<_K mes D\.

Инвариантные множества Т to аналитичны и мало отличаются (в некотором специальном смысле) от торов, определяемых условиями хОк=хокй=const, тк=тки=const. Векторные частоты условно-периодического движения на таком торе имеют вид

- 9Н»®о дх о«>- 9Н»®о дх о«>„ 9Н^6)1"„ 9Н^6)1"

- 9Н»

®о дх о«>

- 9Н»

®о дх о«>

„ 9Н^

6)1"

„ 9Н^

6)1"

Эта теорема, так же как и теорема Колмогорова, имеет большой геометрический смысл. Она показывает сохранение определенных инвариантных многообразий при возмущениях. Она также подразумевает, что эти инвариантные многообразия могут быть параметризованы в торы1), хотя условия невырожденности для Но и смягчены.

Возмущение линейных колебаний

Рассмотрим гамильтониан

Я=Я(», у),(3.4.1)

где х,у — канонически сопряженные векторы импульсов и координат размерности п, и пусть Н — вещественная аналитическая функция в области D 2га-мерного фазового пространства. Предположим, что х, у — вещественные переменные, а точка (0, 0)sD — изолированное положение равновесия системы

(3.4.2)(3.4.2)Хк = -НУк, ук = НЯк (k = 1, Предположим также, что

(3.4.2)

(3.4.2)

при х=0, у =0. По предположению функция Н раскладывается в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки (0, 0), так что

н=н2+н3+н4+..„н=н2+н3+н4+..„(3.4.3)(3.4.3)

н=н2+н3+н4+..„

н=н2+н3+н4+..„

(3.4.3)

(3.4.3)

где Нр — однородные полиномы степени р относительно zi, . .., хп, yi, ..., уп. В дальнейшем предположим, что все собственные числа квадратичной формы Н2 различны между собой. Обозначим их через Xi, ..., Х„, —Xi, ..., —Х„. Тогда существует линейное симплектическое преобразование, приводящее (3.4.3) к виду

Н-^ XkXkYk + Я3 (X, У) + Н, (X, У) + ...(3.4.4)

Л=1

Введем новые переменные по формулам

e§k=Xft, er]&=Kh (/с=1, ..., га), (3.4.5)

где 0 ^ е ^ 1. Уравнения (3.4.2) теперь можно переписать так:

гдегде(3.4.6)(3.4.7)(3.4.6)(3.4.7); _ 9F • 8F

где

где

(3.4.6)

(3.4.7)

(3.4.6)

(3.4.7)

F = ^ ^% + еЛ(1,Ч, е),А=1

а функция Fi является степенным рядом относительно £*, т]*, 8, начинающимся с членов третьей степени относительно £*, ц*.

Собственные числа могут быть вещественными или комплексными. Здесь мы будем предполагать, что точка (0, 0) является положением равновесия эллиптического типа, т. е. все Хк — чисто мнимые. Мы также определим

Ль = itoh (k = 1, ..., п).

где вещественные числа со,, могут быть положительными или отрицательными, но не нулевыми ). В этом случае коэффициенты функции Fx будут чисто мнимыми, и мы можем написать)

Fx=-iHx,

где Их — степенной ряд относительно £ь щ с вещественными коэффициентами, и он начинается с членов третьего порядка относительно §4, Щ.

После применения канонического преобразования

^ = 4^, ик = 2НпЬ, . (ЗА8) ИЛИ чк = У2^е'т\ = 1/2^ У (3.4.9) уравнения (3.4.6) принимают вид

и* = ~ 6 а^’ = юа + е ^. (3.4.10) Этим уравнениям соответствует функция Гамильтона

Н = S ^кик + е//, (и, о, е),Ь=1

где функция Их периодична по каждой переменной ик с периодом 2л, а ее коэффициенты ряда Фурье являются полиномами относительно их, ..., ип ).

Следовательно, задача построения решений в окрестности положения равновесия сводится к изучению возмущений интегрируемой системы дифференциальных уравнений, которая соответствует гамильтониану

А=1

Теоремы, сформулированные в предыдущих параграфах, к этой задаче неприменимы, так как

det = 0.

I ои.ои.

■I I з)

С другой стороны, может оказаться, что функция

2Л2Л

His = т—^ \\ Нг (и, v) dv^ ... dvn

(2Л)J

V У00

равна нулю и, более того, частоты нормальных колебаний <щ могут оказаться линейно зависимыми на множестве целых чисел. Однако в общем случае этого не будет. Именно с этой проблемой мы будем иметь дело в следующей главе, в которой строятся формальные ряды, являющиеся решением системы (3.4.10).

Важно отметить, что упомянутая проблема является частным случаем классической задачи о возмущениях линейных осцилляторов, т. е. задачи исследования уравнений (к = 1, .. ., и)

^ + ю^ = е/й (ж, ж, е).

Эти уравнения легко приводятся к виду

uk=eUkl ok = tok4-eVk

с помощью преобразования

+ №кхк = ике11\

т. е.

xk = ukcosvk, tokxk = ик sin vk,(3.4.11)

где хк, хк (&=!, . . ., и) — вещественные величины. Это и есть очень важная задача о возмущенных линейных колебаниях. Авторами основных результатов в этой задаче были: Крылов и Боголюбов [6], Ван дер Поль [42], Боголюбов [12, 13], Митропольский [28], Арнольд [1] и Мозер [29, 30].

Рассмотрим сначала автономный случай дифференциальных уравнений

z + co2z = eZ(z, z),(3.4.12)

где функция Z предполагается аналитической по z, z в некоторой области фазового пространства (z, z) и по е при 0 ^ с < 1. Частота со — вещественная и постоянная. С помощью преобразования

z = j/^siny, z = У 2сох cos у(3.4.13)

это уравнение переходит в уравнения

х = 8 V c°syZ* (ж, у) = eg (г, у),

.“ .(3.4.14)

у = о — е Z* (х,у) = со + е/ (ж, у), у 2<М

и будем считать функции g и / периодическими по у с периодом 2л. Мы попытаемся получить такое преобразование (см. [34])

ж = £ + ег;(т], е) + еР(ц, г^ = х^, ц, е),(3 4 15).

у = ц+ ем(т], е)= у(ц, е),

что уравнения (3.4.14) сводятся к уравнениям

i = O^, п = ы + 0(£).(3.4.16)

Положив £ = О, мы, очевидно, сведем уравнения (3.4.16) к линейной интегрируемой системе.

Рассмотрим более общую систему уравнений

х = Q 4- Mx + &g(x, у),

.1(3.4.17),

У = со + X + е/(х, у),

и будем считать, что существуют такие постоянные Q, М, X, зависящие от е, со, что система (3.4.17) сводится к системе (3.4.16). Решение этой задачи будет возможно, если систему алгебраических уравнений

(3.4.18)(3.4.18)Q(e, co) = Af(e, со) = О,со = со + Х(е, со)

(3.4.18)

(3.4.18)

можно решить для данных со и е из некоторого интервала О ^ е ^ ео. Мы предположим, что функции у, V, и являются пе-

риодическими с периодом 2л по ц, аналитическими по е и г) и имеют нулевое среднее относительно ц. Более того, мы предположим, что существуют формальные ряды

А = еМ + е2Хз + ...,

M = sMx-V е2М2 + - -.,(3.4.19)

Q = eQi -)- е2йг + • • •

В силу сделанных предположений об аналитичности можно записать

и = и0 + ещ + e2v2 + . .., V=V0 + eV1 + e2V2 + ...,(3.4.20)

и = ио + £Mi + е2и2 + ...,

где коэффициенты uh1 Vh, uh (к = 0, 1, ...) раскладываются в ряды Фурье; например,

Vh = 2 uhielm' vhj = const.

Из второго соотношения (3.4.15) следует, что

и, сравнивая это уравнение со вторым соотношением (3.4.16), имеем

т]+е|^т] = <о + к + е/Сг(£, ц, е), (/(ц, е)).(3.4.21)

Из первых соотношений (3.4.15) и (3.4.16) получаем

5 , де 1 . dV < . T7t-

= Й + M^ + ev 1- eV^ + eg (х (g, ц, е), у (ц, е)). (3.4.22)

Дифференцирование этого уравнения по g дает

д^д^ди дц дт) д£ди дц дт) д£дУ5цдУ5цдУ ? дрдУ ? дрat _at _= М (1 + еУ) + 6^.= М (1 + еУ) + 6^.(3.4.23)(3.4.23)

д^

д^

ди дц дт) д£

ди дц дт) д£

дУ

5ц

дУ

5ц

дУ ? др

дУ ? др

at _

at _

= М (1 + еУ) + 6^.

= М (1 + еУ) + 6^.

(3.4.23)

(3.4.23)

Считая уравнения (3.4.16) выполненными при £=0, из (3.4.21),

и (3.4.23) получаем

ею ^ = X + е/ (ер, I] + ер),

ею ^ = Q + еМр + eg (ер, h + sp), .(3.4.24)

£®^= М (1 + eV) + е^(ер, ц + ер) (1 + eV).

Осталось показать, что из (3.4.24) можно получить функции р, р, V, определяющие нужным образом величины X, М и £2. Используя (3.4.19) и (3.4.20), для членов порядка 0(e) получаем уравнения

-г/(0,ц),

o^Q^-gM,(3.4.25)

В силу сделанных предположений имеем

HU)=M>ei№ (Х^О),

£©-4)= 2^©^(Х^О),

к

ьк

Полагая

мо = 2 uohelh1A (^0),

к

из первого уравнения (3.4.25) получаем

2л

^-1 = — /о (°) = — ^ j / (°, п) ^П = const,

о

к (°)+

Рпь = —г = COnst.

Аналогичным образом находим

2л

^1 = — go (0) = — ^ ^ g (0, ц) йх\ = const, о

8к (0) t

«№ =,= const

И

2Л

"1ТГ - - $■ ,f g (О, Ч) Дч = const,О

г°* = т^7 =consL

В общем случае нетрудно показать, что уравнения для членов порядка е* (/с = 2, 3, ...) имеют вид (3.4.25), т. е. в результате получим

ц = cot + Цо,

х — еи (ц, в) = е 2 2 бЬи^е^®1"^,

1(3.4.26)

у = mt + ц0 + 2 5 eftuft/ij(“'+T1»),А—О 1

и, следовательно, учитывая (3.4.13), можно заключить, что мы нашли периодическое решение (g = 0) уравнения (3.4.12), обобщенного нами для того, чтобы можно было учесть члены, получающиеся при подстановке (3.4.14) в (3.4.17). Сходимость метода оказывается возможной, если предположить, что величина | со | не слишком близка к нулю, и если предположить сходимость выражений (3.4.20) (см., например, [34]).

Типичным примером рассмотренной задачи является система автономных уравнений

zi = Z2, Z2 =. —cd2zi +е Z (zi, Z2),

В КОТОРЫХ ФУНКЦИЯ Z ЯВЛЯеТСЯ ПОЛИНОМОМ ОТНОСИТеЛЬНО Z1 И Z2.

Эти уравнения можно переписать в виде

Zi Z2,

zi = (etoi — со2) zi + eto2z2 + еРг (zi, z2),

где Ра — полином, начинающийся с членов не ниже второй степени.

уравнениемуравнением— Xвсо^ — со?— Xвсо^ — со?18С0а— X18С0а— X= 0,= 0,Предположим, что собственные числа задачи, определяемые

уравнением

уравнением

— Xвсо^ — со?

— Xвсо^ — со?

1

8С0а— X

1

8С0а— X

= 0,

= 0,

различны, т. е. со2 е®! +-|- е2и2. В этом случае линейная часть может быть приведена к диагональному виду с помощью Н Г. Е. о. Джакалья

линейного преобразования

z = Вх, | В | =7^ О,

получающегося при условии, что

5-1Л5 = Л = (о XJ,

где А — матрица линейной части уравнений.

В результате преобразования получаем

х = Лж + гВ^1 (р = Лж + g (ж),(3.4.27)

V 2/'

где функции gk (к = 1, 2) являются полиномами относительно Ж], ж2, начинающимися с членов не ниже второго порядка.

Посмотрим, при каких условиях существует преобразование

ж = <р(у) = у + <р*(у),(3.4.28)

приводящее уравнения (3.4.27) к линейному виду

У = Лу,(3.4.29)

т. е. к виду ук = Хкук (к = 1, 2). Пусть функции фА являются степенными рядами относительно yi, у2, а разложение функции Фа начинается с членов не ниже второго порядка.

Используя выписанные выше соотношения, получаем такие уравнения относительно ф:

§ Лу = Аф + g (ф).(3.4.30)

Учитывая вид функций g, легко проверить, что уравнения

5 ^ ЧУк = кФп + 8п (Ф1, ф2)(3.4.31)

при п = 1, 2 дают коэффициенты функций ф, если только

2

IL4Pk-4=#0(7 = 1,2),(3.4.32)

к=1

где р\ и рг — целые неотрицательные числа, a pi + рг 5s 2.

Если вещественные части величин %А имеют одинаковые знаки, то доказательство сходимости можно провести так же, как это сделал Зигель [40] при доказательстве сходимости процеду-

ры построения периодических движений, определяемых теоремой Ляпунова, однако такое доказательство для общих случаев неизвестно1).

Важно отметить, что упомянутые выше предположения для уравнения Ван дер Поля

z + to2z = е(1 — z2)z

выполняются при со >> е/2.

Линейные периодические возмущения

В заключение этой главы рассмотрим пример неавтономных линейных возмущений. В частности, мы будем иметь дело с уравнением

z + (o2z = eF^z,(3.5.1)

где F(t) =F(i+2n) для всех t и F^ является аналитической функцией для всех конечных t и имеет нулевое среднее значение. Проблемы, связанные с этим уравнением, были детально изучены сначала Чезари [16], а затем Гэмбиллом [18], Хейлом [21] и некоторыми другими авторами2). Здесь эту задачу мы будем рассматривать с помощью методов теории возмущений, специально приспособленных для ее решения, но отличающихся от методов, рассмотренных выше в § 9 главы II.

Введем преобразование

z=j/r^siny, z = ]/2сох cos у(3.5.2)

и получим систему

х = — х sin у cos у F (f),

. Ю 8(3.5.3)

У = ® — — sin2^ (i),

уже рассмотренную для автономного случая. Далее, рассмотрим преобразование

x = g + ev(Ti, f, е) + еР(т1, t, е^,(3.5 4)

у = т] + еи(т], f, е)' '

) В сжучае, когда все Re X* имеют одинаковые знаки и выполнено условие (3.4.32), доказательство сходимости проведено Пуанкаре [88.2]. Доказательство сходимости при невыполнении условий (3.4.32) проведено Дюляком [21*] (прим. ред.).

) Подробную библиографию работ, посвященных исследованию таких систем, см. в [22*] (прим. перев.).

11*

и покажем, что существуют 2л-периодические по у и t функции р, V, и, такие, что уравнения (3.5.3) приводятся к виду

(3.5.5)(3.5.5)т]=й(е, ©)

(3.5.5)

(3.5.5)

при £ = 0. Это позволит определить характеристические показатели Хилла в этой задаче. Следуя той же процедуре, что и в предыдущем параграфе, легко находим

e(Q^“ + £) = ю- Q - ^sin2(n + eu^F^,

е (Q ^+S’)=¥и sin ^+ем>cos ^+eu)F ^

= v ^ +еУ)sin ^ + е“)cos ^ + е“)F W-

Отсюда, полагая © — Q = еХ, получаем

Q ^ + ^ = Х "" ^ Si“2 (П + ем) F ^’(3-5'6)

^ + $ = ^sin(2T] + 2eu)E(0,(3.5.7)

Q g(l + sn + <?(1 + 8P) = A (1 + еУ) sin (2n + 2eu) F (t). (3.5.8)

Предположим, что из уравнения (3.5.6) можно определить величину X и 2л-периодическую по t и ц функцию и. Тогда правые части уравнений (3.5.7) и (3.5.8), поделенные на и и 1 + eV соответственно, будут известными 2л-периодическими функциями i и ц. Если ои 1 + eV удовлетворяют одинаковым начальным (или граничным) условиям, то, очевидно,

(3.5.9)(3.5.9)v = 1 + eV.

(3.5.9)

(3.5.9)

С другой стороны, взяв частные производные по ц от обеих частей уравнения (3.5.6), находим

Q9iau\ a^\_l. . (22 ) F(f). 7t +

т. е.

“ч(*+е ^+^+=9 - - з-^+89sin(2’1+2в“и(0-

Отсюда вытекает, что уравнение для 1+едм/дт], правая часть которого берется со знаком минус, такое же, что и уравнение (3.5,7) или (3.5.8). В частности, отсюда следует, что необходимо выпол-

нение равенства

In (1 + 8^ + In v = / (т) — Qi),

где / — произвольная функция. Положим / = In [g (т]—Qi) ], так что

l + e^^gCn-Qi),(3.5.10)

где g — произвольная функция. Если удастся найти функцию, u(r],i), то с помощью алгебраических операций легко получатся функции v и 1 + еУ, но с точностью до некоторой произвольной функции. Если функция и является 2л-периодической по ц и i и требуется, чтобы этими же свойствами обладали функции и и V, то за функцию g(r]—Qi) необходимо принять какое-нибудь постоянное число, если только величина Q не окажется рациональной. Тем не менее, как мы вскоре увидим, этот последний случай надо исключить из рассмотрения, если функцию и необходимо определять из уравнения (3.5.6). Следовательно, необходимо, чтобы

(3.5.11)при ^ = 0(3.5.11)при ^ = 0у ^1 + е -^j = & (е, со) = const.

(3.5.11)

при ^ = 0

(3.5.11)

при ^ = 0

После учета этого равенства преобразование (3.5.4) принимает вид

х = еу(т], i, е), у = ц + ^(л, i, в) или

(3.5.12)(3.5.12)х = ev(Qi + т]о, i, е),

(3.5.12)

(3.5.12)

у = Qi+r]o+EM(Qi+T]o, t, е),

где и, и — 2л-периодические функции по ц = Qi + ц0 и i. Эти функции не могут быть периодическими по i, если только не исключить случаи, когда величина Q является рациональным числом. Принимая во внимание (3.5.2) и (3.5.12), легко видеть, что

z = a(i) cos Qi + р (i) sin Qi,

так что в действительности величина Q является характеристическим показателем Хилла. Применение описанного метода к уравнению Хилла в работе Джакальи [20] показало его преимущества по сравнению с классической процедурой вычисления бесконечного определителя.

Таким образом, осталось показать, что из уравнения (3.5.6) можно определить величину X = X(Q, со, е) и 2л-периодическую

по т] и t функцию и(т], t). Действительно, рассмотрим разложения

и = uq + eui + e2U2 +,..,

X ^ Ч 4* еЧ 4- е2Ч 4~ • • •, где

ик = ^(т], С = “И1! +2л, t) = иА(т], < + 2л)

и

2Я 2л

J dt [ ukdx\ = 0.'

о о

Для коэффициентов при е° находим

Й ^ + ^ = ч - A- sin2 ^F W (3.5.13)

и, следовательно, Хо = 0. В силу сделанных предположений, можно написать

F^^F^m fo=O,

к

что дает возможность определить и0 при условии, что

|АЙ-/| >е|А|-’,(3.5.14)

где к — не равное нулю целое число, р — выбранное соответствующим образом положительное число, а / — произвольное целое число. Это утверждение будет рассмотрено в следующей главе в связи с полученными Мозером [33] результатами об отображениях кольца, сохраняющих площадь. В теории Мозера, кроме того, будет рассмотрена и проблема сходимости. Функции ик1 получающиеся при А-м приближении по е, определяются как решение уравнений вида

Q%- + ^- = ^+ 2 ^V0”14-90,(3.5.15)

Р.9

если определить Ч = — ^оо\ что является типичным для методов усреднения. В результате получим

Х;= еЧ 4* е2Ч 4* ... = &G (е, й, со), т. е.

со — й = e2G(e, й, со),

откуда находим характеристический показатель в виде

й = й(е, со) = со 4- е2йг(со) 4- e^3(co)4-..,

' Если уравнение (3.5.1) рассматривается для n-мерного случая, т. е.

z + Az = гВ^г,

где z = col (zi, ..., zn), А — постоянная nXn-матрица, a B(t) — периодическая nXn-матрица, то вышеописанная процедура может быть применена в случае, когда все собственные числа матрицы А различны (и, следовательно, не равнь! нулю). Необходимо отметить при этом существенную трудность, заключающуюся в том, что уравнения, соответствующие уравнениям (3.5.6), не будут уравнениями только относительно неизвестной им а являются уравнениями относительно всех других компонент вектора и и вектора и. Однако этот факт не мешает одновременному определению функций пике помощью метода последовательных приближений и обобщенной процедуры усреднения.

Замечания

Выполнимость условия иррациональности

(

П\ —8

21^| >(3.6.1)

,=1/

где s = n + 1, может быть установлена в следующей теореме, сформулированной в работе Хинчина [23] и обсуждавшейся также в работе Коксмы [24],

Теорема. Почти каждый вектор и = (и1, ..., ип) удовлетворяет выписанным выше неравенствам (3.6.1) для всех ненулевых целочисленных векторов k = (к^, ...,к^ и выбранной соответствующим образом величины Х(со) > 0.

Доказательство теоремы является весьма простым и опирается на тот факт, что неравенства (3.6.1) не выполняются только в резонансных областях, ширина которых меньше 2К |*|-*, где 1*1 = 21kj\, для данных*, К и со из ограниченной области й(и). Этот факт очень сильно влияет на сходимость итераций, так как, считая функцию Е^ аналитической (см. уравнение (3.2.20)), получаем, что ее коэффициенты tw убывают экспоненциально быстро, т. е. для некоторых положительных вещественных чисел М, р имеем

\fw\<Me-№

и, следовательно, из (3.2.22) получаем

(к^а)(к^а)ML —№1(р—5) е Кб?

(к^а)

(к^а)

где р = 2п + 3, a L, 6 — выбранные соответствующим образом постоянные. Это приводит к сходимости ряда для производящей функции метода Пуанкаре 8 в кольце Г(р —б).

Колмогоров [25] предложил следующий подход к решению вопроса о сходимости последовательности канонических преобразований, определяемых функцией 8. Рассмотрим инвариантный тор 7* (to*) возмущенной системы; движение на нем будет условно-периодическим с заданными заранее частотами ®* = (©1, ... ...,юп), удовлетворяющими условиями (3.6.1). Тор ТД®*) расположен в окрестности соответствующего тора невозмущенной системы, определяемой гамильтонианом Я0(а:), т. е.

х* = х + О (р,), со* =^^1.

В этой окрестности можно ввести новые переменные х', у' с помощью аналитического канонического преобразования, определяемого функцией 8, а гамильтониан тогда принимает вид

Н ку, хУ= ^ (у', а/) = Н^ (я/) + Я^ (у', х'У

где соотношение | Н^ | ~ | Нх |2 дает начало квадратичной сходимости ньютоновского типа, что обсуждалось в работах Нэша [37] и Канторовича [22]. Такой подход изменяет характер сходимости последовательных приближений, который был указан после уравнения (3.2.1) и где было получено только линейное сжатие, так же как и при классическом подходе в методе Пуанкаре. Оценки из леммы 1 могут быть получены с помощью процедуры мажорирования, однако, как указывал Мозер [35], оценки с помощью мажорирующих рядов не приводят к сходимости. Оценки Мозера привели к мажорирующим рядам 5 кР'^8 Р^, которые

р

расходятся для всех ц > 0. В модифицированном методе Ньютона, предложенном Колмогоровым, точность увеличивается как степень двух и предыдущие ряды заменяются на ряды . 2(р!)28 Р2Р» р

которые сходятся при достаточно малых ц > 0. Как указывал сам Колмогоров, его теорема непосредственно применима в некоторых классических задачах динамики, например, в следующих задачах.

Движение точки на аналитической поверхности, мало отличающейся от поверхности вращения или от поверхности эллипсоида.

Плоское движение (планетарный случай) астероида под действием притяжения Солнца и Юпитера. Хотя в этой задаче гамильтониан невозмущенного движения имеет вид (в равномерно

вращающейся системе координат)

Яо = — + az2

и, следовательно, преобразование формально расходится, в том смысле, что det{d^o/dz,dz,} = O, но модифицированное условие

92Н0 ЭН0

удовлетворено, и теорема Колмогорова применима.

Интересно отметить, что если выписанное выше условие выполнено, то существует функция F = Ф (Я) = Ф (Яо) + е..., такая, что функция Ф (Яо) невырождена в обычном смысле. В качестве примера можно взять функцию

F = Я2 = f• • = Яо + ...

\/

и в результате получить det^Eo/dZidz,} ^ 0.

Устойчивость положения равновесия и периодических решений в системе с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае. Важным приложением является круговая ограниченная задача трех тел (см. работы Арнольда [1] и Леонтовича [27]). Наилучшее решение этого последнего вопроса было дано в работе Депри [17] *), которые использовали важные работы Мозера [32] и Гельфанда и Лидского [19] 2). В окрестности такой эллиптической точки гамильтониан может быть записан в виде

2,

Я = 2L "2 юк (^к + Ук) + Я3 + . . .

к=1

Если И1И2 > 0, то устойчивость гарантируется тем, что квадратичная форма Я2 в Я будет знакоопределенной), хотя это ус-

ловие и является только достаточным. Для доказательства устойчивости в случае <Di<D2<0 функция Н приводится к нормальной форме до членов четвертой степени, что, в соответствии с результатами Биркгофа [11], можно сделать, если /i<bi+/2<B2=#0 при 0< |/1]+ |/21 ^ 4, или если | eii/c^l =#?/? при р, д=1, ... ..., 4. Укороченная нормальная форма в этом случае будет иметь вид

1=1Й=1 1 = 1

Тогда теорема Арнольда утверждает, что:

Если для системы уравнений, соответствующей функции Гамильтона Н,

Р11 Р12 tol Р21 Р22 W2 ^ 0, to^ ti) 20

то положение равновесия хк = ук = 0 (к — 1, 2) устойчиво.

Это условие в точности соответствует общему условию невырожденности в четвертом приближении, которое получили Мозер [33] и Арнольд [6] при решении задачи о существовании инвариантных кривых для возмущенного закручивающего отображения и при доказательстве теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений соответственно. Распространение этой теоремы на случаи большей размерности для получения таких же результатов, что и в системах с двумя степенями свободы, невозможно. Геометрическая причина этого заключается в том, что промежутки между торами размерности больше двух в общем случае не являются ограниченными областями. В действительности можно построить примеры, когда такие положения равновесия эллиптического типа являются неустойчивыми1).

Распространение результатов Колмогорова на случай вырожденных систем было дано Арнольдом по крайней мере для двух простых примеров: в классической задаче получения условнопериодических решений из периодических невозмущенных орбит [2] и в вырожденной задаче взаимодействия двух планет [4]. В первой задаче он рассматривал движение точки (yi, уг) на торе Т^. Это движение будет условно периодическим, если

(3.6.2)

где Л — иррациональное число. Близкая система (возмущенная) дифференциальных уравнений на торе может быть записана в виде

^ = Х + а + е/(у1,у2),(3.6.3)

где а, е — параметры, а функция /(yi, у2) предполагается аналитической. Теорема Колмогорова в этом случае подразумевает, что если возмущение e/(yi, у2) достаточно мало, то можно найти такое a = af(e), что при соответствующей замене переменных уравнение (3.6.3) примет вид (3.6.2). Это и было показано Арнольдом в работе [3]. Вопрос о вырождении здесь возникает тогда, когда X = О (или рационально), так что невозмущенное движение является периодическим и происходит по окружностям yi = const. В случае иррационального % приведение (3.6.3) к виду (3.6.2) использует тот факт, что величина пХ + т может быть ограничена снизу с помощью неравенства

|п% + т\ > А|%|п-2(3.6.4)

для всех целых т и п ^ 0. Арнольд показал, что если Л (А) есть множество всех %, удовлетворяющих условию (3.6.4), а Л — объединение всех Л (А) при К > 0, то предельная точка множества Л при К из интервала (0, 1/4) есть нуль, и нуль является также точкой накопления Л. Арнольдом установлены две следующие теоремы.

Теорема 1, Пусть на торе Т2 дано дифференциальное уравнение

dy\ldy2 = е/(уь у2),(3.6.5)

где е — параметр, а / — аналитическая функция. Пусть точки у\ + 2л и yi -f- 2л отождествлены с точками у\ и уг, а

2Л

J / (У1. Уг) dy, > 0 о

для всех у\.. Тогда для всех достаточно малых X е Л(А) можно найти е(%) и замену переменных z = z^yi, у2), аналитическую по у\ и уг, такие, что уравнение (3.6.5) приводится к виду

dz/dy2 X.

Множество е(Х) при ХеЛ имеет положительную меру и нуль является точкой накопления множества.

Для доказательства теоремы к уравнению (3.6.5) применяется классическая процедура усреднения, и оно приводится к виду ^ = ес + 6^(у<1), у2,е).(3.6.6)

После того как такое приведение осуществлено, рассматривается следующая теорема.

Теорема 2. Теорема 1 справедлива для уравнения (3.6.6) на торе Т^ где с — постоянная, a F(yx, у г, е)—аналитическая функция.

Теперь видно, что получена квадратичная сходимость. В конечном счете это приводит к тому, что

X = ес + е2с + ..,и после n-кратного применения процедуры усреднения получаем'^- = ес + е2с + ... + s^F (y(in), у2, е).

В общем случае, если |e2F| < М < |ес|б4, то после преобразования новая функция FMB удовлетворяет неравенству

Величину 6 >- 0 можно выбрать так, что |e2F^’B|<Mn = M^, а это и обеспечивает сходимость.

Для примера рассмотрим уравнение

-^ = еН^, у),

и пусть среднее значение функции

2Л

Л =2tJ y')dl = fs(y)>oО

для всех 0 ^ у ^ 2л. Определим также /Р = / — /, = /„(х, у) и рассмотрим замену переменной

У1 = У + еЛ(х, у).

Отсюда следует, что

^ = в/, (у) + е/р (ж, у) + е -g- + е2-~ / (ж, у). Выберем

Цк, у) = - j /p(g, y)d^.

о

Следовательно,

^ = e/s (yj + 82ср (ж, уи е).

Наконец, определим новую переменную

Vi

y2(z/i)-j /^’

где постоянная с определяется из условия уз(2л)— У2(0)=2л, т. е.

2л

Условие fs(y)>0 имеет очевидный смысл и необходимо для существования последнего интеграла. Для уз получаем, наконец, такое уравнение;

^ = ес4-е2ф(аг, у2, е).

Повторив процесс, получим

§ = ес' + е46 (ж, уд, е)

и т. д.

Можно привести очень много примеров, использующих идеи, содержащиеся в теореме Колмогорова. Тот вид (3.2.3), который, как мы предположили, имеет функция Гамильтона Н, является немного менее общим, чем в оригинальном изложении Колмогорова, а условия невырожденности, получающиеся при этом, могут быть сделаны более наглядными и напоминают разложение гамильтониана в окрестности положения равновесия или периодического решения. Действительно, приведение к системе, обладающей инвариантными многообразиями в виде то-

ров, очевидно похоже на нормализацию Биркгофа функции Н. То, что процедура мажорирования не может быть использована для эффективного доказательства сходимости последовательности канонических преобразований, определенных в лемме 1, не подлежит сомнению, и в действительности Арнольд и Мозер смогли обойтись без мажорирования. Гораздо более важным вопросом, требующим особого рассмотрения, является то, что обычно задача вырождена и, следовательно, не годится ни теорема Колмогорова, ни теоремы Мозера, которые будут обсуждаться в следующей главе. Если п — число степеней свободы, то отсутствие m<7z переменных действие в гамильтониане невозмущенного движения эквивалентно наличию т линейных связей между п ненулевыми частотами, определяемых соответствующей невозмущенной системой. Только что рассмотренный пример представляет собой первое удачное приближение к решению этого вопроса, хотя проведенное Арнольдом изучение отображения окружности на себя, начатое в работе [3], уже содержит в себе идеи, необходимые для решения вопроса в общей постановке, что и было затем сделано в работе [7].

Для системы с п степенями свободы существование одной целочисленной линейной связи между невозмущенными частотами соответствует наличию одного типа малых делителей при классическом использовании метода Пуанкаре. Существование п—1 таких связей соответствует невозмущенному периодическому движению. В обоих случаях можно показать существование условно-периодических движений при наличии аналитических и достаточно малых возмущений. Отсутствие некоторого числа переменных действие в невозмущенном движении, согласно Арнольду, называется собственным вырождением, и такие случаи, за исключением линейных, являются наиболее общими в физике. Для случаев собственного вырождения известен основной результат, полученный Арнольдом и справедливый также в общем случае независимо от числа отсутствующих в Но переменных действие. В работе [4] по классической теории возмущений Арнольд привел пример, в котором встречаются вместе все известные трудности, которые могут помешать сходимости в классических теориях, подобных методу Линдстедта — Пуанкаре. Рассматривалась задача взаимного влияния планет с иррациональными средними движениями (средняя угловая скорость движения вокруг Солнца). Случай рациональных средних движений может быть рассмотрен аналогично, что и было в действительности обнаружено в работе Мозера [35]. В плоском случае задача имеет четыре степени свободы, гамильтониан нулевого порядка (описывающий кеплеровское взаимодействие) зависит только от двух импульсов, а также вводится предположение о близости частот к рациональным значениям, настолько близко, насколько это по-

зволяет условие (3.6.1). Имеется как собственное вырождение, так и вырождение, обусловленное переходом от круговых орбит планет к эллиптическим.

Определив лагранжево движение как движение медленно вращающегося в плоскости эллипса, у которого большая полуось, эксцентриситет и долгота перицентра совершают короткопериодические колебания малой амплитуды. Арнольд доказал следующее утверждение [4]. Рассмотрим движение двух планет в одной плоскости вокруг Солнца, и пусть их общий центр масс неподвижен, a ак и ек(к=У 2) —большие полуоси и эксцентриситеты орбит планет. Определим в восьмимерном фазовом пространстве область D (6): 0 <£&<«&<£)/, ek<6 (&=!, 2). И пусть тк=у1аДк=1, 2)—массы планет, где ак— постоянные. Тогда имеет место такая теорема.

Теорема. Для любого т]>0 существует е>0 такое, что если, ц<е, 6<е, то большинство точек области D^, за исключением множества меры, меньшей T)mesZ)(6), движется так, что 1) точка всегда остается в 2) (6);

она совершает условно-периодическое движение на аналитически! четырехмерных торах из В(^У

она всегда остается ближе, чем т), к точке в фазовом пространстве, которая совершает некоторое лагранжево движение.

По существу, этот результат является решением вопроса об устойчивости, в том смысле, что для упомянутого исключительного множества, везде плотного и неограниченного, движение будет топологически неустойчивым. Арнольд также сделал аналогичное заключение о наблюдаемых в природе щелях в распределении малых планет1).

При отсутствии линейных целочисленных связей между частотами медленно изменяющихся переменных (средние долготы планет), в соответствии с теоремой Колмогорова, можно применить метод усреднения относительно таких переменных. Гамильтониан приводится к виду

Р-Р^Ь^цР^ЬЛ, ц) + О(ц2),

где L = (lL1, L2)—усредненные переменные действие, соответствующие средним долготам, а

^Н-^^е^ехр (ito^ (£=1, 2),

сщ — долгота перицентра планеты номер к. Затем гамильтониан приводится к (укороченной) нормальной форме в окрестности

устойчивого положения равновесия ^=1)4=0, т- е- к виду

F = F2(r) + F,(r, 0),

где г = (гх, г2), 9 = (9Х, 02), F3 = O (г3), а

pF2 = VXrx + V2r2 + СХХГХ + 2СХ2ГХГ2 + С22Г2-

Следовательно, в новых канонических переменных (г, 9)

F = F0 (17) + pF2 (Ь\ г) + О (ц2, г3).

При этом rk=O(e£). Частоты vi и V2 являются величинами порядка О(р), т. е. они соответствуют медленно меняющимся углам 61, 62. Условно-периодические решения получаются использованием итеративной процедуры ньютоновского типа, в которой достигнута квадратичная сходимость.

Оригинальная формулировка теоремы Арнольда для вырожденных систем, обобщающая описанный выше результат, может быть изложена в следующем виде. Пусть гамильтониан имеет вид

Н = Я0(®!, . .., Х„) + 6^(2/!, . . ., Z/n, Хь . . ., Хп),

где к<_п, функция Щ является 2л-периодической по каждой из переменных yt и аналитической прижеД и | Im у | <£. Предположим, что при е=0 движение является условно-периодическим и определяется формулами

У. = ^ = ^^ = 0 (i = 1, • • •, &)

и

г/1=^=0(/=&+!, ..., п).

При условии, что среднее значение от Щ по отношению к yi, ...

..., ук не зависит от умд, ..., уП1 т. е.

2Л 2Л

J .. • J Ях (у, х) йуг... dyk = Нх (х), о о

можно показать, что при достаточно малых е для большинства начальных условий (так же, как и в предыдущей теореме, исключительное множество является связным, всюду плотным и неограниченным) движение, определяемое гамильтонианом Н, для всех моментов времени мало отличается: от условно-периодического, определяемого частотами yj—dHldXj—^ (где для /=1, .. п п ij — постоянные) и гамильтонианом Н = Но (х) + +е Нх^хУ Начальные условия должны быть таковы, чтобы

'/ к\— к— 1

I 71ю! + • • • + 1к^к I > К (со) 2 I 71 I у

для выбранной соответствующим образом постоянной К. Точнее, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Пусть при x^D матрицы

L д У U, 7 = 1, •. •, к), L ?(i. у = /с -г 1, ..., п\

V i >V i ))

являются неособенными. Пусть Т — тороидальная область

{Im х = Im у = 0; tgD; 0^т/г^2л, i = 1, ...,nY

Для данного произвольного т] > 0 существует ео>О, такое, что, если |е|<ео, то в Т есть аналитические п-мерные инвариантные торы, и движение на них является условно-периодическим. Торы образуют в Т нигде не плотное множество, мера дополнения которого меньше г] nies Т.

Эта теорема является более простой эквивалентной формой сложной теоремы Арнольда, приведенной в § 3 настоящей главы. Стоит отметить, что предшествующая теорема о планетарном движении является очень важной, так как она дает решение проблемы в случае, когда имеется два разных типа вырождения: предельное вырождение rk=0 (или ек=0), соответствующее круговым орбитам, и собственное вырождение ц = 0, при котором для описания иевозмущенного движения необходимо меньше частот, чем для описания возмущенного движения.

Для общих линейных систем, рассмотренных в четвертом (уравнение (3.4.17)) и пятом (уравнение (3.5.3)) параграфах, наиболее ранние результаты были получены Боголюбовым [13] и дополнены Митропольским [28]. Новые результаты в этой области были получены Мозером [34] и затем улучшены в замечательной работе [35] того же автора.

Боголюбов [12] установил следующую теорему.

Теорема. Если Re Qk <—у<0 и е достаточно мало, то система

У = ^У £g (t, у, е),У = ^У £g (t, у, е),(3.6.7)(3.6.7)

У = ^У £g (t, у, е),

У = ^У £g (t, у, е),

(3.6.7)

(3.6.7)

где Q = diag(Qi, ..., Q„), имеет почти-периодиче сков решение,если g(t, у, е)—почти-периодическая функция. Если g(t, у, е)— условно-периодическая функция с базисными частотами <ui,..., <ап и аналитическая, то таким же будет и решение этих уравнений.

Как мы уже видели в этом разделе (уравнение (3.6.3), теорема 1), система

(3.6.8)(3.6.8)ж = о) + К + е/ (ж, е, Ху

(3.6.8)

(3.6.8)

12 г. Е. О. Джакалья

допускает решение для Х=Х(е) вида

х = tot + с + ей (ю7 + с, е), где с —соответствующим образом подобранный постоянный вектор с=(с1т ..., сп). Это утверждение было доказано Арнольдом. Основная теорема Боголюбова сводит воедино оба этих типа систем й может быть сформулирована следующим образом.

Теорема (Боголюбов [12]). Если для системы дифференциальных уравнений

X = ю + Z + г^х,у, 1, е),(3 6 9)

у= Qy + eg (ж,у,1,е)

предположить, что

| /тю | ^ 71 j |"т, ReQh^ — 7<0,(3.6.10)

то существует Х = Х(е), такое, что система обладает п-парамет- рическим семейством условно-периодических решений

х = tot + с + ев (ю7 + с, е), у = ее (ю7 + с, е),

где все рассматриваемые функции аналитичны по всем входящим в них аргументам.

Вектор х предполагается и-мерным, а вектор у — т-мерным. Мозер [34] показал справедливость этих результатов для случая, когда / и g дифференцируемы, сведя задачу к исследованию потока на торах. Однако он пошел еще дальше и доказал следующую теорему.

Теорема. При условиях

|i(jTto)-Qj>7|/rT, J =(7i, • ..,7п), I ^iM — ^h + ^z I > т I i Гт ^, г = 1,..., п)

существуют Х=Х(е), |н=|н(е), М=М^, аналитические по 6, уничтожающиеся при е = 0 и удовлетворяющие условиям

Й*ц = 0, Мй*—Й*М=0,где * означает транспонирование, такие, что система уравнений

х = to + ^ + еКх,у,бЛ.,^,(3 611)

у = йу + ц + Му + eg (ж, у, е, 1, ц),

где х— п-мерный, а у — т-мерный векторы, f,g— аналитические по всем аргументам и 2я-периодические по х\, ..., х„ функции, имеет условно-периодическое решение с частотами о, Q.

Это означает, что существует такое аналитическое преобразование

= + 6“,(?’Е?’ч(3.6.12)

у = ц + ег(|, е) + eV (|, е) т],

что выписанная выше система (3.6.11) принимает вид

€=®+О(ц),т^Йт^Ч-О^2).

Уравнение Хилла. В качестве примера того специального случая, с которым мы имели дело в § 5, рассмотрим уравнение Хилла

2 + огг = 2е2г 2 ah cos 2Ат,(3.6.13)

где

Введем замену переменных

2 = ^^ sin у, 2 = р^схг cos у

и получим

= ^ 2 “л [sin 2 (У + *т) + sin 2 (у — Ь)],

(3.6.14)

у = ю— 82^ 2 “h [2 cos 2А:Т — cos 2 (у + ^т) — cos 2 (у — Ат)].

Теперь найдем преобразование координат вида (3.6.12), т. е. я—Б+еХ^, т, в) Ч-®^ (ц, т, 8)^, у = ц4-еУ(т], т, 8),

и приведем уравнения (3.6.14) к форме

i=o^,ч=^+о^,

где для некоторого X

Q=(o—еЦе, со), |/Q—А] ^ е,|/|~а

при выбранных соответствующим образом s' и а. 12*

•Зигель [41] показал, что при 0<Й<1 множество значений й, которые не удовлетворяют выписанным выше условиям (7с, j — целые числа и 7^0), имеет меру, меньшую чем 2ле' (1+е')/3.

В соответствии с уравнением (3.5.4) и утверждениями, приведенными в конце § 5, положим

х — 2 ^-k£hih>0y= ^¥^\х — 2 ^-k£hih>0y= ^¥^\Yk = 2 Y^ exp i (рц + дт),

х — 2 ^-k£hih>0

y= ^¥^\

х — 2 ^-k£hih>0

y= ^¥^\

P,9

Уравнения для определения Yk при к = 0, 1, 2, ... имеют вид

Й^ +V = ^ + Gk^Q1 ...Д^щт),(3.6.15)

и мы определим величину Хк как среднее значение от —Gk по отношению к ц, т. Действительно, легко видеть, что Gk в (3.6.15) по предположению имеет вид

Gh = S GhP,9) exp [Z (рц + л)],p,g

так что в силу сделанного предположения об иррациональности й имеем

<7<р,д)

-1 _ л(о,о)тНр,д) _

,IklpQ + q

для всех р, q, не обращающихся одновременно в нуль. В случае уравнения Хилла (3.6.13) находим (см. [20])

Хд = Х^ = X, = 0Хд = Х^ = X, = 0. _225Й16со2(Й2 —1) ‘. _225Й16со2(Й2 —1) ‘

Хд = Х^ = X, = 0

Хд = Х^ = X, = 0

. _225Й

16со2(Й2 —1) ‘

. _225Й

16со2(Й2 —1) ‘

Следовательно,

со — Й = еХ =со — Й = еХ =225е4Й I n / з\16ш2 (Й2 — 1) +°(6)

со — Й = еХ =

со — Й = еХ =

или, подставляя значение со, получаем

й=1 + 6-|62-^8з-0(64),

что совпадает с выражением для со (см. [15], стр. 276), полученным при вычислений бесконечного определителя последовательными приближениями от главной диагонали. Здесь исцоль-

зованы те же обозначения, что и в работе автора [20]:

T=t— 70, е = 7П = П— п',

где величины t, t0, п, и' определены в работе Брауна [15].

Для изучения общих методов построения условно-периодических решений нелинейных уравнений рассмотренного выше типа с помощью сходящихся разложений в ряды мы отсылаем читателя к работе Мозера [35]. По нашему мнению, эта работа содержит в себе большинство из того, что было сделано в теории возмущений. Системы уравнений в вариациях в окрестности положения равновесия или периодического решения также рассмотрены в этой работе, и там можно найти много интересных ответов на исследуемые здесь вопросы. Что касается резонансных случаев или случаев рациональности частот со, Q, то они будут рассмотрены в конце главы V настоящей книги именно с этой точки зрения.

Другие применения теоремы Колмогорова. Кроме уже упомянутых примеров, мы закончим этот раздел указанием на то, что Баррар [8] использовал теорему Колмогорова для доказательства существования условно-периодических орбит искусственных спутников сжатой Земли. Однако он не мог рассматривать орбиты с эксцентриситетами, стремящимися к нулю, из-за появляющегося предельного вырождения. Такое рассмотрение можно провести, если использбвать упомянутый выше модифицированный подход Арнольда.

Мозер применил [30] теорему Колмогорова для построения условно-периодических решений уравнения Дюффинга без демпфирования

хА-ах-\-Ъа? = г^11 я, х),(3.6.16)

где / — условно-периодическая функция времени t с базисными частотами (щ, ..., мп и вещественная аналитическая функция относительно х, х. Как обычно, считается, что при т>п—1 существует постоянная А>0, такая, что условия

I Г® + /о I > К |/ГТ,7 = (71, • • •, к)

удовлетворяются для почти всех о. При этих условиях Мозер показал, что при /, удовлетворяющей еще условию

/(7, х, x)=f(—t, х, —х), существует вещественная аналитическая функция а(е) и условно-периодическое решение x=<p(t, е) с базисными частотами со;, ..., <йп, такие, что а(0)=и, ф(7,0)=0. В конечном счете это еще не дает решения уравнения (3.6.16), так как коэффици-

ент при х должен быть приведен к некоторому а(е)=#а. Метод, развитый Мозером, не является просто непосредственным применением теоремы Колмогорова, а некоторым новым подходом к рассматриваемой конкретной задаче, также и потому, что не требуется, чтобы исходное уравнение имело гамильтонов вид. Член Ьх? рассматривается как возмущение. Уравнение переписывается в комплексной форме

z=iaz+6;r3+e/(t, х, х^,

где z=x+ix, а а/а полагается изменяющимся на отрезке [1—ц, 1+ц] при малом ц. Запишем

у—а—а=О^,

так что уравнение примет вид

z=t(a+y)z+eg(0, z, z),

где 0= (0i, ..., 0„), 0„=<о^.

Тогда существует преобразование координат

z/^n+^Cn), z=S+p(0, £, I, n),

такое, что в результате ряда последовательных приближений уравнение приводится к виду

£ = i(«+n)£,

который и используется для доказательства упомянутого результата.

ЛИТЕРАТУРА

А р н о л ь д В. И. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае.—ДАН СССР, 1961, т. 137, № 2, стр. 255—257.

Арнольд В. И. О рождении условно-периодического движения из семейства периодических движений.—ДАН СССР, 1961, т. 1138, № 1, стр. 13— 15.

А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели I. Об отображениях окружности на себя.—Из®. АН СССР, Сер. матем., 1961, т. 25, № 1, стр. 21—86.

Арнольд В. И. О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем.—ДАН СССР, 1962, т. 145, № 3, стр. 487—490.

Арнольд В. И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики.—Сиб. матем. ж., 1963, т. 4, № 2, стр. 471—474.

Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.—УМН, 1963, т. 18, № 5, стр. 13—40.

А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.—УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91-492.

В а г г а г R. В. Existence of conditionally periodic orbits for the motion of a satellite around an oblate planet.— J. of Appl Math., 1966, vol. 24, p. 47-55.

В a r r a r R. B. A proof of the convergence of the Poincare — von Zeipel procedure in celestial mechanics.— Am. J. Math., 1966, vol. 88, p. 206—220.

Barrar R. B. Convergence of the von Zeipel procedure.— Celest. Meeh., 1970, vol. 2, № 4, p. 494—504.

Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.—М.: Гостехиздат, 1941.

Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике.—Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

Боголюбов Н. Н. Об условно-периодических решениях в нелинейных задачах механики.—Киев: Изд-во АН УССР, 1963.

Брауэр Д., Клемане Дж. Методы небесной механики.—М.: Мир, 1964.

Brown Е. W. An introductory treatise on the Lunar theory.— London: Univ. Press, 1896.

C e s a r i L. Sulla stabilita delle soluziqni dei sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti periodici. Atti Accad. Itai. Mem. Glas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633—692.

Dep г i t A., Deprit-BartholomeA. Stability of the triangular lagrangian points.— Astron. J., 1967, vol. 72, № 2, p. 173—179.

Gambill R. A. Criteria for parametric instability for linear differential systems with periodic coefficients.— Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 169—181.

Гельфанд И. M., ЛидскийВ. Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.—УМН, 1955, т. 10, № 1, стр. 3—40.

G i а с a g 1 i a G. Е. О. Transformation of Hill’s equation — a method of solution.— Astron. J., 1967, vol. 72, № 8, p. 998—1001.

H a 1 e J. K. Sufficient condition for the existence of periodic solutions of first and second order differential equations.— J. Math. Meeh., 1958, vol. 7, № 2. p. 163—172.

Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика.—УМН, 1948, т. 3, № 6, стр. 89—485.

Хинчин А. Я. Цепные дроби.—М.: ОНТИ, 1935.

Koksma J. F. Diophantische approximationen.— Berlin: Springer-Verlag, 1936.

Колмогоров A. H. Общая теория динамических систем и классическая механика. Международный математический конгресс в Амстердаме.— М.: Физматгиз, 1961, стр. 187—208.

К р ы л о в Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.—Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

Леонтович А. М. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел.—ДАН СССР, 1962, т. 143, № 3, стр. 525—528.

М и т ро п о л ь с к и й Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний,—М.: Наука, 1964.

М о s е г J. The resonance lines for the synchrotron. Geneva, p. 290—292, Proceed. CERN Symp., 1956.

M о s e г J. Combination tones for Buffing’s equation.— Comm. Pure Appl. Math., 1965, vol. 18, № 2, p. 167—181.

M o s e г J. The stability behavior of the solution of hamiltonian systems. Lecture notes, S. I. D. A., 1965.

M о s e г J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems.— Comm. Pure Appl. Math., 1958, vol. 11, № 1, 81—114.

M о з e p Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.—Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51—67.

Moser J. On the theory of quasi-periodic motions.— SIAM Rev., 1966, vol. 8, № 2, p. 145—172.

Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды.—УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165—211.

Мозер 10. Новый метод построения решений нелинейных дифференциальных уравнений,—Математика, 1962, т. 6, № 4. стр. 3—10.

N a s h Р. The imbedding of Riemmanian manifolds.— Ann. Math., 1956, vol. 63, № 1, p. 20—63.

R usman II. Uber die existenz einer nornialform inhaltstreuer ellip- tischer transformationen.— Math. Annalen, 1959, b. 173, s. 64—77.

Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем,—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 103—117.

3 и г е л ь К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия,—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129—156.

Зигель К. Л. Лекции по небесной механике,—М.: ИЛ, 1959.

Р о 1 В. van der. Forced oscillations in a circuit with nonlinear resistance.— Phil. Mag., 1926, vol. 2, p. 21—27; 1927, vol. 3, p. 65—80.

Уиттекер E. Аналитическая динамика.—M.: ОНТИ, 1937.

ГЛАВА IV

ВОЗМУЩЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХПЛОЩАДЬ

Предварительные соображения

Согласно теореме Лиувилля, поток гамильтоновой системы в фазовом пространстве сохраняет меру, т. е. сохраняется фазовый объем.

Рассмотрим общую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

ж = /(ж, i),(4.1.1)

где х= (а^, ..., zn), / = (/1Т ..., /п); Пусть функции / аналитичны в области D пространства R’1 и периодичны по t с периодом 2л. Предположим также, что при всех t функции / принадлежат по крайней мере классу С2 относительно I. Если хй е D, то существует, и притом единственное, решение этой системы уравнений

x^g(x0,t),(4.1.2)

такое, что

g (х0, 0) = х0,^ (#„, о = / (5 (*о> ty tV

Рассмотрим отображение

Т : х-*- g (х, 2л),(4.1.3)

которое является однозначным в окрестности точки x = xQ. Обозначим через Тч д-кратпое последовательное применение отображения Т, например,

Г2: х-*- Т : g (х, 2л)-> g[g (х, 2л), 2л].

Пусть х = 0 — решение системы уравнений (4.1.1). Тогда, очевидно, точка х = 0 является неподвижной точкой отображения Тч (q — целое положительное число), т. е.

Тч:х=х.(4.1.4)

Здесь стоит упомянуть следующие определения.

Неподвижная точка х является особой, если в D существует такая ее окрестность, что в ней нет других неподвижных точек отображения Т. Отметим, что в общем случае неподвижная точка отображения Тч (д ■— целое положительное число) соответствует периодическому решению системы уравнений (4.1.1) с периодом 2лд. Если эта точка особая, то периодическое решение также особое1). Очевидно, понятие, введенное Уиттекером [39], является частным случаем данного определения.

Неподвижная точка х является неособой, если в любой ее окрестности, принадлежащей области D, существует по крайней мере одна другая неподвижная точка. Соответствующее периодическое решение тогда называется неособым.

Здесь мы будем в основном рассматривать преобразования, сохраняющие площадь, т. е. такие, для которых в соотношении

| J | dxi ... dxn = dxx ... dxn,

где J — матрица Якоби, а 171 — якобиан

9 кА' • • ■ • О

имеем |/| = 1.

Рассмотрим теперь гамильтонову систему уравнений

хк=-НУк yk=HXh (£ = 1,.. ,,п),(4.1.5)

где функция Гамильтона

Н = Н {x,y,t) = Н (ж, у, t -|- 2л)

является аналитической в некоторой области D фазового пространства, содержащей в себе начало координат, и для всех конечных t она принадлежит по крайней мере классу С2 относительно t. Пусть точка (х, ?/)—(О, 0) является положением равновесия системы (4.1.5).

Пусть ( х0, Уо^гН и пусть

f(x0,y0,t),9=8^0,90,^

будет соответствующим решением системы уравнений, аналитическим в D. Рассмотрим отображение

( х = /(ж, у,2л),[ 9* =8{х,у,2п)

в окрестности начала координат. Очевидно, точка (0, 0) является неподвижной точкой отображения Т. Так как функции / и g являются аналитическими в окрестности точки (0, 0), то их можно разложить в ряды Тейлора

«•-<(°.0-2я>+Ц,'г+^1»!'+ ■■■

Принимая во внимание, что /0 = g0 = 0, и определив

z*z*

z*

z*

т I Эх Эд \. .

4А = 7(0,0),

\дх Эд /

получаем

(4.1.7)(4.1.7)z*=7oz+ ...

(4.1.7)

(4.1.7)

JTEJ—E,JTEJ—E,Заданное таким образом отображение Т является каноническим, т. е. должно быть |7| = 1 и, более того, матрица J должна быть симплектической (с единичной валентностью)

JTEJ—E,

JTEJ—E,

где

а 1и, Оп — единичная и нулевая матрицы размерности пХп. Этими же свойствами, очевидно, обладает и матрица /0, а отображение (4.1.7) сохраняет площадь. Рассмотрим линейное отображение

(4.1.8)

с собственными числами задачи, соответствующими алгебраическому уравнению степени 2п относительно X

|7o-U|=O.

Так как свободный член этого уравнения равен 17о |, то ни один из его корней не равен нулю. Пусть ик — собственные векторы, соответствующие собственным числам Хщ т. е.

J<)Uk = ^кик-

Отсюда последовательно получаем равенства

EJ<Pk = ^кЕик1

JqEJ оий = KkJ дЕик, Еик = XhJgEuh, JoEuk = -2- Euh, так что Ай является решением такого характеристического уравнения

а так как | Jo — AZ | = |70—AZ| =0, то если Ай является собственным числом, тогда и 1/Ай— также собственное число. Таким образом *),

ХД2 . . . A2n = 1.

Пусть все Хк различны между собой (они могут быть вещественны или комплексны). Если существует линейное преобразование

Х=Ь®, такое, что

to* = L-xJ0Lto=\to1 где

£-V0L=A=diag (Ai, ..., Агп), то

toh = Afctofc,

и отображение (4.1.7) можно записать в виде

Z* = AZ + ip(Z).(4.1.9)

Так как отображение (4.1.9) является аналитическим в окрестности начала координат Z = 0, то можно написать

X*h=XhXh+ 2 Pm^^X^Y^т—2

Y*h= тМ 2 9m(X,Y),k т=2

9 Это сразу видно из того, что |/0| = 1 (прим. перев.).

где /с=1, ..., п, а рт и qm — однородные полиномы степени т относительно Хь ..., Х„, Уь ..., Уп. В векторной форме можно написать

X* = XX + <р(Х,У),

У* = Шу + Ф(Х, У),(4.1.10)

где необходимо, чтобыгде необходимо, чтобыд(Х*, У*) д(Х, У)д(Х*, У*) д(Х, У)

где необходимо, чтобы

где необходимо, чтобы

д(Х*, У*) д(Х, У)

д(Х*, У*) д(Х, У)

и, следовательно, отображение (4.1.10) сохраняет площадь.

Запишем теперь отображение (4.1.10) в виде

Xk = XhUhl Yk = YkVh <к = \,...,пу (4.1.11) где

Uh = £ Р* (X, Y), Vh = £ Q^ (X, Y),(4.1.12)

m=0

a P^m и Qm? — однородные полиномы степени m. Разумеется, при этом мы имеем

nW п, /}W^

Vo =•

Обсуждение свойств неподвижных точек отображений вида (4.1.10), которые- сохраняют площадь, имеет первостепенную важность в теории динамических систем, но выходит, к сожалению, за рамки настоящей книги. Тем не менее, в качестве введения в результаты, излагающиеся в следующих параграфах, мы хотим упомянуть некоторые факты, касающиеся свойств отображений в окрестности неподвижной точки (подробнее см. [5], [35]),

Основная теорема утверждает, что для автономной системы

#=/(#),#=/(#),

#=/(#),

#=/(#),

и начальных условий х — § е D при /=0 и при условии аналитичности функции / (ж) в D существует, и притом единственное, решение х =х (|, 1), такое, что ж (|, 0) = | и функция х (|, Р> аналитична по t при t из максимального интервала 0 ^ К.Т. Если для точки | е£) решение ж(|, <) является периодическим с периодом 2л и оно лежит в D, то отображение

х* = х (|, 2л)

имеет неподвижную точку | в D.

В общем случае для данного преобразования, определенного в некоторой области D, задача заключается в решении вопроса о существовании и нахождении неподвижных точек этого преобразования. Теоремы Брауэра и Пуанкаре — Биркгофа о неподвижных точках являются типичными примерами такого рода задач. Вторая теорема немедленно находит себе применение во многих задачах динамики, так как соответствующая область является типичной для инвариантных многообразий, встречающихся в динамике. В этом отношении теория возмущений имеет дело со свойствами отображений в окрестности неподвижных точек или, в более общем случае, с поведением инвариантных многообразий, соответствующих отображениям, сохраняющим площадь при действии возмущений. В историческом отношении решающей проблемой явилась проблема нормализации отображения в окрестности неподвижной точки, решению которой посвящена оригинальная работа Биркгофа [4] и недавние исследования Густав- сона [10]1).

Хорошо известно, что сохраняющее площадь отображение

Ук = !^ft + gh к®, У}

при \кк=МХк Не может быть приведено, если рассматриваются не исключительные случаи, к нормальной форме

(4.1.14)(4.1.15)(4.1.16)(4.1.14)(4.1.15)(4.1.16)^к = ХДк, т)й = ЦйТ)й с помощью преобразования

(4.1.14)

(4.1.15)

(4.1.16)

(4.1.14)

(4.1.15)

(4.1.16)

у [ Хк = Вй + Фй (1+ Л)>I Ук =Пй + ^й (^-q).

Нормальную форму Биркгофа

т- рй=ЛйМ£,т1),Пй =(I, п),

где

Uk = ^к + 2 а2,1Ъ'П1 +22 a4,j,I^Tlj5z'r]z+ • • 1=11=1 Z=1

vk = Ий + 2 ^2,1£/П1 +22 ^j.^yq^rj, + ..., 1=11=1z=i

с помощью преобразования (4.1.15) опять же можно получить в виде формальных рядов, в общем случае расходящихся. Тем не менее, можно найти преобразование, приводящее отображение (4.1.13) к виду, совпадающему с нормальной формой Биркго- фа до приближения любого порядка, хотя остаточные члены и не стремятся к нулю по мере того, как порядок приближений стремится к бесконечности. Этот факт для систем с одной степенью свободы естественным образом приводит к теореме Бирк- гофа о неподвижной точке.

Пусть теперь начало координат является неподвижной точкой (отображения) эллиптического типа и пусть отображение имеет вид (4.1.13) и сохраняет площадь. Матрица Якоби J этого преобразования является симплектической, т. е.

JTEJ=E.

Если, в частности’ рассмотреть замену переменных (4.1.15), где к = \, ..., п, то производные dx^Jd^, ду^д^к равны единице в начале координат § = ц=0 и, следовательно, существует производящая функция Ж(уД), такая, что

xk = Ww %=И^.(4.1.17)

Функция W является аналитической в окрестности точки (У, 6) = (0, 0), а ряд

VE=S^+...(4.1.18)

в этой окрестности — сходящимся. Производящая функция W будет описывать любое преобразование типа U (см. (4.1.15)). При приведении к нормальной форме Биркгофа ряд для производящей функции W, тем не менее, в общем случае является расходящимся. В этом случае рассмотрим функцию W*, полученную отбрасыванием в W всех членов, степень которых выше 2т-|-2, т. е. функцию

w* = i у^к + 2 ApqyV ... уР"^ ... е, (4.1.19) h=lp,g

где суммирование по р и q производится по всем значениям д„ р„ удовлетворяющим неравенствам

3^2 (Pt + Qi) ^ 2m + 2.

Мы получаем

(4.1.20)(4.1.20)Хк — Wук — ^к + Хк (у, g),Па = W*tk = ук + Nk ^у, £),

(4.1.20)

(4.1.20)

а по предположению

д?Щ*d^,kdyk

в начале координат ^=У=0. Следовательно, в окрестности начала координат можно написать

^=^4-^^, п),^=^+^(^, п)-(4.1.21)

Ряды (4.1.21), разумеется, являются сходящимися в окрестности начала координат и приводят отображение (4.1.13) к виду Т*, который совпадает с нормальной формой Биркго- фа (4.1.16) с точностью до членов порядка 2т+1. Для получения Т* требуется только выполнение условий X) =^ 1, где j = = 1, ..,, и, a s=l, . .., 2ттг-|-2. Если такое условие не выполнено, то в W* появляются нулевые делители, точнее, они появляются первый раз в членах порядка 2 ^ к ^ 2т+2 при Xj = 1т)-

Пусть т = 2. Так как мы считаем начало координат неподвижной точкой эллиптического типа, то Т* имеет вид

^ = ^% + ф^4)(1,п),

Пй + 44)(|,П),

где функции фь4) и фь4) имеют порядок не ниже четырех, так что достаточно взять

= ah + 2 Р^г],.

7=1

Важным условием является то, что не все Рь одновременно могут быть нулевыми. Если Р/, окажутся именно такими, то необходимо найти приближение более высокого порядка. Если это условие нарушено в любом порядке, то система является чрезвычайно особенной. Такая ситуация может быть связана с задачей о резонансе в консервативной системе.

Очевидно, числа ак и р( являются вещественными и, более того, i]h=§h (черта означает комплексное сопряжение). Отсюда следует, что Щ = £д, так что необходимо рассматривать

') В действительности должно выполняться более сильное требование XpXg2 ... Х*”=/=1,где $,■ — целые числа, a |sj +.„+|$п | =1, 2,...,2т-|-2 (прим. реЭ.у

только соотношения

£й = е'^Х. + фЧЧёЛ),

С другой стороны, разложение экспоненты имеет видe^=Z&(l + ^),

где члены более высокого порядка входят в Фь , а

= 2 1Ш12.

7=1

Следовательно, в векторной форме

X = А1 + Ф«>,A=diag (A,i(l+i6i), ..Xn(l+i6n)}.

При п = 1 это преобразование удовлетворяет теореме Биркго- фа о неподвижной точке. Распространение этой теоремы на случаи п > 1 не является справедливым. При числе степеней свободы п = 2 для консервативной системы существуют случаи, когда теорема может быть верна. Например, когда гамильтониан периодичен по одной из переменных.

Области движения.

Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа

Исследование асимптотического поведения решений гамильтоновых систем включает в себя, в частности, изучение областей возможного движения, инвариантных множеств, соответствующих некоторому множеству начальных условий. Эта задача является также частью задачи об устойчивости таких решений. Решения, которые рассматриваются в этом случае, являются периодическими или условно-периодическими. Введем ограничивающее определение, полезное для наших целей: функция z(i) = ср (9i,..., 9„) является условно-периодической, если

функция ср периодична по каждой из 9ft (А: = 1,..., 2);

функция ср обладает некоторыми свойствами регулярности, например, принадлежит классу Ср, или С”, или является аналитической:

13 Г. Е. О. Джакалья

0А = wAZ + аА (к = 1, ..., и), где аА, о)„— постоянные;

2 Ркюк = 01 где pi,..., Рп — целые числа, тогда и только А = 1

тогда, когда pt = ... = рТ1 = 0 *).

Как мы уже видели, если система с гамильтонианом И (х, у) является интегрируемой в смысле Лиувилля, то в общем случае движение будет условно-периодическим, и соответствующее инвариантное множество состоит из н-мерных торов, параметризованных угловыми переменными цА = tokt + а„ {к = 1,..., и), где все о)„ линейно независимы на множестве целых чисел. Это эквивалентно существованию такого канонического преобразования {х, у) —>- (g, ц), что новая функция Гамильтона, выраженная через переменные ^, ц, будет зависеть только от переменных (т. е. ОТ gl, . . ., gn).

Это преобразование может определяться производящей функцией Гамильтона — Якоби 5 (|, у'), такой, что

Ль == ‘^fti ^-к ^Vk’

и, следовательно,

^ (ж, у) = const (к = 1, ..., к) и

Ль ^, У) = Н^ (х ^, ц), у (|, ц)) = б)„ (1) = const или

Ль = ®kt + О*.

Траектории при этом остаются на некоторых тг-мерных торах. Изменение начальных условий ук будет менять только начальные фазы Цл(О), а сами торы не изменяются. Изменения начальных условий для хк приведет к изменению частот оц или к изменению «радиусов» торов, т. е. §!,...,§„. Действительно, функция W должна удовлетворять уравнению

„(8W 8W\.

Н\дУ1’ ' ' "'дУп Jv " Уп) “

так что энергия зависит только от gi,, §„, и любые изменения начальных фаз а,к не влияют па значение энергии.

Условно-периодические движения обладают следующими важными свойствами.

') Величины «ц,..., wn называются базисными частотами условно-периодической функции z(t) (_прим. перев.).

Траектории всюду плотны на торах. Это означает, что для любой заданной области D точка (a?(t),^(t)) такова, что существует конечное время t = т, для которого (ж (т), у (т)) е D.

Траектории на торах равномерно распределены, т. е. время At, в течение которого точка остается в области D, пропорцио- нальпо мере области D для достаточно больших At. Другими словами, для любой функции Е(уь ..., у„), где yh=tokt-\-ak, Я-инте- грируемой на торе, среднее значение по времени равно частному среднему значению по фазовым переменным

г

Нт \ F (<оД + «!, ..., <ont 4- an) dt =

Г 6

2л1 Г(2л)" ,)О2л1 Г(2л)" ,)О2л

2л

1 Г

(2л)" ,)О

2л

1 Г

(2л)" ,)О

j ^(У1, .. .,yn)dy! ... dyn.

'о

Существуют значения 51, • ••-5», такие, что для некоторых не равных одновременно нулю целых чисел pi, ..., рп справедливо равенство

2А—12А—1апап

2

А—1

2

А—1

ап

ап

В этих случаях решение системы уравнений является периодическим. Таким образом, периодическое решение связано с существованием неподвижной точки сохраняющего площадь отображения, так что решение вопроса о существовании периодического решения сводится к изучению таких особых точек. Более того, аналогичные утверждения справедливы и относительно свойства устойчивости.

Как мы видели, в окрестности неподвижной точки эллиптического типа можно определить инвариантные торы с помощью возможного усечения нормальной формы Биркгофа. Нормальная форма показывает, что в окрестности точки эллиптического типа каждая инвариантная окружность радиуса г с центром в начале координат (которое является неподвижной точкой) отображается на себя посредством преобразования кручения

а (г) = а0 + air + а2г2 + ...

Если рассматривать возмущения, оказываемые отброшенными при нормализации членами, то основная задача состоит в определении того, что происходит с инвариантными окружностями (или торами). Из теоремы Колмогорова [17] следует, что большинство окружностей не разрушается, а лишь слегка деформируется. 13*

Неподвижная точка, следовательно, окружена замкнутыми аналитическими инвариантными кривыми, сколь угодно малыми, т. е. она устойчива. Такие кривые покрывают область ненулевой меры, и начало координат для них является точкой накопления. Однако они не покрывают целиком любую заданную окрестность начала координат. Между ними существуют зоны неустойчивости, получающиеся из-за существования таких окрестностей, что величина а (г) соизмерима с 2л (см. [3]). В действительности под действием возмущений от членов высшего порядка часть окружностей переходит в четное число неподвижных точек, половина из которых — точки эллиптического типа, а половина — гиперболического типа [5]. Из точек гиперболического типа рождаются орбиты, известные под названием «хаотических движений», как и предполагалось в работах Пуанкаре и как недавно показал Денби [7].

Теоремы Мозера

Рассмотрим сначала систему с двумя степенями свободы (и = 2). Условно-периодические орбиты описываются формулами

Уй =®а(^1, ^t + г/g, xh = x°k (к = 1,2).(4.3.1)

Тор Г2 можно получить двумя путями: как прямое произведение двух окружностей с радиусами #1 и х2 и с помощью квадрата в плоскости yi, у2. Второй путь проще и лучше обозрим в многомерных случаях. Если значения yi и у2 брать по модулю 2л, то можно отождествить противоположные стороны квадрата, т. е. точки (0, у2) и (yi, 0) с точками (2л, уг) и (у i, 2л) соответственно. Таким образом, тор имеет классическое определение через соотношение эквивалентности. Траектории являются отрезками прямой линии, наклоненной к оси yi под углом to2ftoi. Ясно, что если величина «г/®! иррациональна, то траектории покрывают весь квадрат и являются условно-периодическими (эргодический поток) . В любом случае решения остаются на торе, который, следовательно, инвариантен по отношению к потоку.

Если предположить выполненным условие Колмогорова

дх.дх.

то отсюда следует, что для аналитической функции Н = Но 4+ цЯ], достаточно малых ц и для всех оц, сог, рационально независимых И удовлетворяющих условию |hIi<Bl + ^2®2| ^ К при всех не обращающихся одновременно в нуль целых mi, m2, существуют инвариантные торы

^ = ЛДУ1, У2),у6= У»4-ФДУ1, у2)(* = 1,2),

а решение на каждом торе определяется формулами Уд = toht 44- Yfc. Этот факт можно выразить иначе, сказав, что эргодический поток может быть непрерывным при возмущениях.

Сведение этой проблемы к изучению сохраняющего площадь отображения множества на себя дает определенные преимущества, которые следуют из геометрических свойств такого отображения. Проводниками геометрической линии исследования являлись Пуанкаре [31], Биркгоф [5] и Мозер [24, 26, 27].

Рассмотрим задачу Мозера о сохраняющем площадь отображении кругового кольца на себя. Для данного кругового кольца А {0 < а ^ г ^ 6} рассмотрим отображение

( 0* = 0 -И (О (г),( 0* = 0 -И (О (г),(4.3.2)(4.3.2)

( 0* = 0 -И (О (г),

( 0* = 0 -И (О (г),

(4.3.2)

(4.3.2)

где datldr > О, геА.

Такое отображение не изменяет окружностей, а просто вводит поворот' па угол со (г), увеличивающийся вместе с г. Рассмотрим1 теперь возмущенное отображение

(4.3.3)(4.3.3)О* = 6 + со (г) + F (г, 6), г* = г + G (г, 6),

(4.3.3)

(4.3.3)

где | F (г, 6) | < to (г) для всех 6, | G (г, 6) | < г для г Е й и периодических по 6 (периода 2л) функций F, G. Тогда можно показать, что при некоторых условиях на cd (г), F, G и при Uo и U^ сохраняющих площадь, отображение U (отображение кручения') имеет замкнутые инвариантные кривые, которые близки к инвариантным окружностям отображения Uo. Одним из существенных условий является то, что величина со должна быть несоизмерима с 2л. Связь этого результата с консервативными системами с одной степенью свободы очевидна. Действительно, инвариантными множествами интегрируемой одномерной гамильтоновой системы являются окружности.

Теперь рассмотрим систему с двумя степенями свободы, соответствующую гамильтониану

Н = Н0(х1, х2) 4" Ц^.Си.хг) -VHip(xi,x2, у\, у2^.

который аналйтичен в некоторой области D фазового пространства и периодичен (с периодом 2л) относительно у\ и у2, а | ц| < Цо, где 0 =5 Цо ^ 1- Пусть условия теоремы Колмогорова выполнены, и в области D справедливо: дТ/о/д^^О. Следовательно, можно решить уравнение

Но(х\, Х2) + Ц^1 (^1, ^2, у\, yi) = h = const

относительно хг и найти

хг = R\xv, ух, У2, h, р),(4.3.4)

где К—аналитическая функция в некоторой области Z)'((2;i, ^}; |р| < Цо} и она периодична по ух, уг с периодом 2л. Тогда можно разложить R в степенной ряд относительно р. В действительности нам достаточно знать, что при сделанных предположениях можно написать .

R = ^o(xh ^) +ц^1 (хь У\, Уг, Н, ц) ■(4.3.5)

^ ^3^^ ^3^Теперь, исключив переменную хг, можно также исключить из системы время. Действительно,

^ ^3^

^ ^3^

dy2 drjdr..dy2 drjdr..^ ая/ая — М ^Уэ ~ 9У1/9г2 Эу/

dy2 drjdr..

dy2 drjdr..

где R определяется формулой (4.3.5). Определим величины

У2 = Т, Хх = X, уХ = У,

так что, обозначив штрихом дифференцирование по т, имеем систему'

с гамильтонианом

К = К^ + H^i(^, У, т, р).

В пространстве переменных х, у, т изучение решений системы '(4.3.7) может быть сведено к изучению отображения Т„ плоскости т = 0 в плоскость т = 2л. Такое отображение полностью определяется системой уравнений (4.3.7). Пусть при т=0 имеются начальные условия х = х0, у = у0, лежащие в области D, а соответствующее решение уравнений (4.3.7) имеет вид

х = ф(т, х0, у0, р), у = тр (т, х0, у0, ц).(4.3.8)

Тогда отображение Т, определяется формулами

х* = ф(2л, х, у, р),

У* = ф(2л,х, у, р).(4.3.9)

При р = О отображение То имеет вид

х* = фо (2л, х, у) = ф (2л, х, у, 0),

У* = фо(2л, X, у) = ф (2л, х, у, 0),

где сро и 4'о можно сразу же выписать в явном виде. Действительно, при ц = 0 гамильтониан К = Kq^ и, следовательно,

У (г, ^». Уо) = Уо + -^т’(т, ^0, Уо) = жи^

где

^- (Ж1, ^2 (г/ь у2, хл^ = юг (я),

а отсюда e>i/to2 = to^. Считая а(х) = 2л(о(л), отображение Тй можно записать в виде

х* = х, у* = у + а(х),

что в точности совпадает с видом отображений, изученных Мозером. Отображение 7\ в конечном счете может быть записано в виде

* i Л /А(4.3.10)

У* = У + а(х) + p^(z, у, р),

а величину х можно считать определенной в кольце 0 < а ^ < х С Ь. Ясно, что отображение (4.3.10) сохраняет площадь, т. е. площадь dx dy инвариантна относительно Тц. С другой стороны, легко видеть, что, в силу сделанных предположений, функции G и F периодичны по у с периодом 2л. Если в данном кольце имеем а' (х) > 0, а а(.т) удовлетворяет условию

I а— 2л I > цп3/2

где а — целое число, большее четырех, тп и п^ 0 — целые числа, то теорема Мозера [26] гарантирует, что при достаточно малых р отображение Т» имеет инвариантные кривые, близкие к окружностям х* = const, которые являются инвариантными кривыми отображения То. Другими словами, инвариантные кривые отображения То мало изменяются при малых возмущениях.

С другой стороны, если существует интеграл J {х, у) = const, то, очевидно, /(л*, у*) = J(х, у) и, следовательно, кривые Цх, у) = const являются инвариантными кривыми. Это дает необходимое условие существования интегралов системы (4.3.7), близких к интегралам х = const при ц = 0.

Наконец, посмотрим, как условие а'(х)#=0 выражается в терминах исходного гамильтониана. По определению

а = 2л ^-= а (хД.

^v хг (^Д)

Таким образом,Таким образом,da dxxda dxx8'Нп dx> \ дххдхг dxx I8'Нп dx> \ дххдхг dxx I

Таким образом,

Таким образом,

da dxx

da dxx

8'Нп dx> \ дххдхг dxx I

8'Нп dx> \ дххдхг dxx I

дН0' / d»Hn , №H0 dx^Sx1 I dx19x1 5^2 dxx

Но из определения ^(^ь ^2) = Л следует, что

ЙН„ . 6НВ dx2 дхх ~ йхг dxx

ИЛИ

дН0

dx2 Эх1

dxxdH„ ’

8=2 и, следовательно,

где А — определитель:

(4.3.11)

который должен быть отличен от нуля. Это условие является менее жестким, чем условие, рассмотренное Колмогоровым [17], а в действительности оно было получено Арнольдом [3] в его теореме. Здесь оно является следствием гипотезы Мозера [26] !).

4. Системы со многими степенями свободы

Рассмотрим аналитический (в некоторой области) и 2л-пери- одический по каждой компоненте У\, . .., уп вектора у гамильтониан

Н = Н0 (х') 4-у,Нг (х, у').(4.4.1)

При ц = 0 условно-периодические решения

yh = nh(x0V + yh, хк=х°к (к = 1, .п), (4.4.2) лежат на торе Рп, и поток является эргодическим. Вдоль каждого

') См. примечание в конце § 4 (герилг. перев.).

решения системы уравнений, соответствующих гамильтониану (4.4.1), мы имеем

Н (ж (1), у (0) = й = const.

Предположим, что dHIdx^Q. Тогда мы можем решить уравнение II = к относительно хп и найти

хп = Цхъ x„_h pi,..., у„, h, р).(4.4.3)

Обозначая у„ = т и исключая из уравнений время i, имеем

-...«-О. (4.4.4)

где

/ = /(zi,..., xn-v уь ..., уп-1, Т, К р).

Если функция Н аналитична, то функция / также будет аналитична. Опять изучение решений системы (4.4.4) может быть сведено к изучению определяемого системой (4.4.4) отображения Т, плоскости т = 0 в плоскость т = 2л. Действительно, пусть в плоскости ijn = т = 0 выбраны начальные условия ^д, ук (к = = 1, ..., п—1). Решение уравнений (4.4.4), проходящее через точку при т = 0, будет иметь вид

^к = ^(т- iA и)- У к = У к ^ -A <Л И)^к = ^(т- iA и)- У к = У к ^ -A <Л И)(й = 1, ..., п — 1),(й = 1, ..., п — 1),(4.4.5)(4.4.5)

^к = ^(т- iA и)- У к = У к ^ -A <Л И)

^к = ^(т- iA и)- У к = У к ^ -A <Л И)

(й = 1, ..., п — 1),

(й = 1, ..., п — 1),

(4.4.5)

(4.4.5)

и, следовательно,

(4.4.6)(4.4.6)( Х*к = Хк^, X, у, р),

(4.4.6)

(4.4.6)

и \ »(к = 1, ..., п — 1).

I ук ==ук(2л, х, у, р)

С другой стороны,

8к = ^zk8к = ^zk8Н0dr,Q.8Н0dr,Q.ан, Восан, Восрр(4.4.7)(4.4.7)

8к = ^zk

8к = ^zk

8Н0

dr,Q.

8Н0

dr,Q.

ан, Вос

ан, Вос

р

р

(4.4.7)

(4.4.7)

так что при р = 0 (к — 1, ..., п — 1)

(4.4.8)(4.4.8)^к — ^кч

(4.4.8)

(4.4.8)

Ук = ^- (^Ь • •., ^»-)) Т 4- уХ-

Положив а6 = 2лQJQn, получаем (к = 1,..., п — 1)

Г» *\(4-4.9)

I У кxn_v) + У1И

и при р ^ 0 (к = 1, ..., п — 1)

[ Хк = Xh + Gk (^ ..., х^, yYу^),

|Л *|*

I Ук = У к + ^к Сн, • • •, xn_L) + Fk (ж^ ..., xn_v уг, ..., уп^)

(4.4.10)

где переменные хк берутся из кольца 0 < ак ^ хк ^ Ьк. Ясно, что функции Gk и Fk зависят от ц и должны стремиться к нулю при ц-> 0.Так как система уравнений (4.4.4) является гамильтоновой, то отображение Т„ сохраняет площадь. Если существует первый интеграл системы (4.4.4), то он является инвариантным по отношению к отображению Т^. Более того, периодические решения периода 2лр, где р>0 — целое число, должны быть таковы, что

П кх\ У0) = <х\ у°),

т. е. точка (ж0, у0) является неподвижной точкой отображения Tw.

На геометрическом языке теорема Колмогорова теперь может быть сформулирована в следующем виде. Мы хотим определить, при каких условиях отображение Ти имеет инвариантные множества, близкие к инвариантным множествам (торам) отображения То.

Рассмотрим То, определенное в кольце 0 < ак =5 хк < Ьк (к = = 1, ..., 7V), при условии

(Вес. 1

det I ^ 0.

Торы Т”, являющиеся прямым произведением N окружностей хк = const, инвариантны относительно отображения То. Рассмотрим теперь отображение Тц, где Fk и Gk— ограниченные и 2л-пе- риодические по у\,..., уК функции. Предположим, что каждое замкнутое ограниченное множество, близкое к TN и представленное в виде

xk = МУ1, .. ., Ук) = fkUk + 2л, ...., yN + 2л), (4.4.11)

пересекается со своим образом при отображении Т^, где функции d^Jdyi удовлетворяют некоторым условиям ограниченности. При сделанных предположениях теперь можно показать, что отображение Т№ имеет ограниченные зам.кнутые инвариантные множе-

ства при достаточно малых значениях функций Fk и Gk и при условии, что эти функции являются некоторое число раз дифференцируемыми.

Здесь мы только дадим схему доказательства этой основной теоремы, начав изложение с некоторых важных лемм. При .V = 1 детальное доказательство было дано Мозером [26].

Теорема. Для данных е>0 и целых $>1 отображение Tw имеет ограниченное замкнутое инвариантное множество

у=у° + р(у°), ®=®о + 5(у°), (4.4.12)

где р и у— N-мерные векторы, периодические по каждой компоненте у\,...,уы вектора у, принадлежащие классу С‘ и при |а|» + I7а|s<e, удовлетворяющие условиям:

каждое замкнутое множество и его образ при отображении Tw, определяемом формулами (4.4.10), имеет хотя бы одну общую точку;

в кольце 0 ^ek^ xk^ bk, bk — ак > 1 можно найти такое Су > 1, что

—det у СМС*.

|^\ | о+ | Gk | оСбо,|^\ | о+ | Gk | оСбо,(4.4.13)(4.4.13)Тогда можно найти такую функцию /0(е, s, Со) >0 и целое число m{s), что FkeCm, GkeC™ и

|^\ | о+ | Gk | оСбо,

|^\ | о+ | Gk | оСбо,

(4.4.13)

(4.4.13)

|аьЫ~ |^*|т + |Ся|т < Со.

Более того, отображение, индуцируемое множеством (4.4.11), имеет вид

Ук = Ук + ah (х") =УкА-ак.(4.4.14)

Точнее, для данного ак, удовлетворяющего условиям

«„(а) + е < ак < аДЬУ — е,«„(а) + е < ак < аДЬУ — е,N5 ihO-h + 7?г+12л А=1N5 ihO-h + 7?г+12л А=1Г N V-N—MSSIMU=1 JГ N V-N—MSSIMU=1 J(4.4.15)(4.4.16)(4.4.15)(4.4.16)

«„(а) + е < ак < аДЬУ — е,

«„(а) + е < ак < аДЬУ — е,

N

5 ihO-h + 7?г+12л А=1

N

5 ihO-h + 7?г+12л А=1

Г N V-N—MS

SIM

U=1 J

Г N V-N—MS

SIM

U=1 J

(4.4.15)

(4.4.16)

(4.4.15)

(4.4.16)

при всех одновременно не равных нулю целых числах }к существуют инвариантные множества (4.4.11) с а.к(х°') = ак( коэффициент кручения).

В теореме использовано обозначение

I # II / д \м / д \sn г /.

где s — si + ... + s„, a z Е D— область определения функции fW-

Сначала можно доказать такое вспомогательное утверждение. Лемм а. Данное отображение

(к = 1, ..., 7V),(к = 1, ..., 7V),^ | 4=хк + gk<x, у),\Ук = Ук + хк+1к (х, у)

(к = 1, ..., 7V),

(к = 1, ..., 7V),

определенное в кольце 0 < ак < хк ^ Ък, где fk, gk — 2л.-пе риоди- ческие по каждой компоненте у\, ..., ys вектора у функции, bk — ak> ЦС0 и

|/|1+ |g|i<6o,(4.4.17)

|ЯтА| + |£>"^| <Со,(4.4.18)

где

pm_ I JL\P1/ g +v /JM91/ 9 \qN

—■ ■ ' )^ ) (s^) • • ‘ \SyN )

при P1+ ... +ps+qi+... +qs=m,

в)в)ak + e < ak < bk — e,ak + e < ak < bk — e,

в)

в)

ak + e < ak < bk — e,

ak + e < ak < bk — e,

-c+N+3/2-c+N+3/2N

-c+N+3/2

-c+N+3/2

r)r)S № + 2n/.v+1 k=l

r)

r)

(o ^ 2N + 1) — целое число'), можно привести к виду

QoQoj Xk■ xk,

Qo

Qo

I У и = Уь + xk.

Это приведение можно осуществить с помощью итерационной процедуры, очень похожей на процедуру, использованную при доказательстве теоремы Колмогорова. Однако в данном случае итерации сходятся таким образом, что отклонение от Qo уменьшается вместе с б9 , где п — номер итерации, a q может быть взято равным 4/3.

Действительно, пусть три параметра Q, М, б удовлетворяют соотношениям

М = Q' > Q > 1, б = Л/"2’

при

q = A-, v = 6(o + l),m=3 + llv. (4.4.19)

Параметры Qn-^, М^-х, 6„-i, получающиеся при итерации номера

п — 1, связаны с Q, М, 6 соотношениями

Q = <%-*,M=MVv,6 = 6*_1тQ = <%-*,M=MVv,6 = 6*_1тQn-i = Qr'v.мп_1=мГ1.

Q = <%-*,M=MVv,6 = 6*_1т

Q = <%-*,M=MVv,6 = 6*_1т

6n-i = 6Г1

при условии, что на каждом шаге

I .Ml + I srdt < 6П-! при 1^ —aft|<^—, (4.4.20)

I D4?,_Jk | + | D-Mn_16t | < Q^t' W V.5"^1(4.4.21)

при .7; + ... + qN + pi + ... + PN — Tn.

При n = Соотношение (4.4.20) совпадает с (4.4.17) при достаточно малых 6. Более того, беря Mq> i/s и С — aft| < 1/Л^о< < £, мы, разумеется, имеем ак ^ хк ^ Ьк. Аналогичным образом соотношение (4.4.21) при п = 1 совпадает с (4.4.18). Действительно, из (4.4.18) следует, что

\DmQofk\-V\DmMogk\ ^CQMQ,

так как М > Q. Таким образом, в силу того, что

?i + • • • + Qn + Pi + .. • + Pn — m ^ v,

7t+...+?N ,fPi+---+PjV / nn nv,,

У о MoVo > VoM0.

получаем

Co-Wo^t'oVo Al0^VoMo

так как Qq > CQ. Следовательно, при n = 1 мы должны взять Мо > 1/е и Qo> Со, т. е. 60 < е2’, 60 < Со 2?v, и в конце концов 6о можно взять «много меньшим, чем» выписанные выше величины.

Теперь мы подходим к доказательству основной леммы, которая нуждается в упоминании двух хорошо известных утверждений.

А) Рассмотрим разностное уравнение

Sk.yA-a^-S^=F^,(4.4.22)

где S и F — периодические функции периода 2л по каждой компоненте yi, ..., yN вектора у и они имеют нулевое среднее. Пусть вектор а удовлетворяет неравенствам

( N 1—T+N4-V2( N 1—T+N4-V2(4.4.23)(4.4.23)N

( N 1—T+N4-V2

( N 1—T+N4-V2

(4.4.23)

(4.4.23)

^J 1как "Г 2Л7ху+1 4=1

где т ^ 2N + 1 — целое число. Тогда, если функция F (у) имеет т > 2N + 1 непрерывных производных по каждой компоненте у» то уравнение (4.4.22) имеет непрерывное решение, такое, что |5(f)|0<-^|f|T,(4-4.24)

где С — произвольная постоянная, которая не зависит пи от одного из параметров. Более того, можно взять 5(0) = 0. Действительно, используя для функции F разложение в ряд Фурье

F ^^F^W,

получаем решение в виде = 2,(4.4.25)

где j =(jb ..., Jr). Так как функция F имеет т непрерывных производных по каждой компоненте у,, то

)

N

где 2 |Д| ^=0. С другой стороны, 3 1

I Nt+W+1/2

для достаточно малых е, и, следовательно,

ei(iT«) 1ei(iT«) 1

ei(iT«) 1

ei(iT«) 1

и ряд (4.4.25) является абсолютно сходящимся. Для того чтобы показать справедливость оценки (4.4.24), достаточно взять

(4.4.26)

Как следствие отсюда получаем, что если F(x,y) является 2л-периодпческой функцией по yi, ..., ys и имеет нулевое среднее, то, как и раньше, можно решить разностное уравнение

S (х, у -V а') — S (ж, у) = F (х. у)

и получитьи получить|S|OC-5|^F|O.|S|OC-5|^F|O.

и получить

и получить

|S|OC-5|^F|O.

|S|OC-5|^F|O.

Б) Мы можем определить действие операции сглаживания (см. [26, 3]) на функцию 2^ переменных. В некотором специальном смысле в результате этой операции функции F (х, у) будут аппроксимироваться функциями Ф (ж, у), которые имеют более гладкое поведение, чем F {х,у). В основном эта операция сводится к интерполяции производных функции Ф, которая оставляет инвариантными (точно интерполирует) полиномы некоторой степени.

Пусть F (ж, у) — непрерывная функция в области

ак <2 -Th <21 bk,ак <2 -Th <21 bk,— оо < ук < + ОО— оо < ук < + ОО

ак <2 -Th <21 bk,

ак <2 -Th <21 bk,

— оо < ук < + ОО

— оо < ук < + ОО

при A=l,|..., N. Степень аппроксимации по отношению к двум векторным переменным ж и у может быть различной (в действительности она может быть различной для каждой из 2N переменных) и она определяется двумя параметрами Л/ и Q > 1. Сглаживающая функция ФМ,«(Г) определяется в меньшей области

^к — ^h + эд ^кд!^к — ^h + эд ^кд!РЛ,РЛ,

^к — ^h + эд ^кд!

^к — ^h + эд ^кд!

РЛ,

РЛ,

и предполагается, что 2{М < bk — ак. Эта функция определяется формулой

Фм^(Р (х, у)) = У • • Д J • • • У KM.Q(x — 1, у — 1]) F (I, ц) d^d-tv ah<^k :bk

— оо<Т]^<-|-оо

(4.4.27)

Ядро Km,q (х. у) берется так, чтобы

Km,q(х, у) = МК (Мх) • QK (Qy),

где К (х) е С°°, и удовлетворяет условиям

(4.4.28)(4.4.28)К (х) = 0 при ]жй|^>1 и

(4.4.28)

(4.4.28)

У . ..J 4* •a^K^dxУ . ..J 4* •a^K^dx1 для 5 ^; = О| 0 для 0 < 2 Ак < т,1 для 5 ^; = О| 0 для 0 < 2 Ак < т,(4.4.29)(4.4.29)

У . ..J 4* •a^K^dx

У . ..J 4* •a^K^dx

1 для 5 ^; = О

| 0 для 0 < 2 Ак < т,

1 для 5 ^; = О

| 0 для 0 < 2 Ак < т,

(4.4.29)

(4.4.29)

где Аг, О 0 и пг — фиксированные числа. Таким образом, функция ФМ,9(Р) зависит от иг, которое выбирается так, чтобы удовлетворялись условия (4.4.13).

Условие (4.4.28) показывает, что KMiQ равно нулю при |yfe|> >1/(1 и |жй| >1/М. Следовательно, интервал интегрирования в (4.4.29) можно ограничить интервалом, содержащимся в щ < < 5й < Ък, так как ак < хк < pft. Отсюда функцию (4.4.27) можно записать через новые переменные и, v, имеющие очевидный смысл, так:

Фм,р (F (ж, у)) = J ... J f ... J АДд (и, г) F (х — ^, у — ~\du do. lUhlClJeftlClА'

(4.4.30)

Наконец, условие (4.4.29) показывает, что полиномы Рт (ж, у) степени не выше т остаются инвариантными при операции сглаживания, т. е.

Фмщ (Рт ^* У)) = рт ^ У)-

Теперь, если функция F (х, у) непрерывна в кольце ак < хк <_ < Ък1 то при ак < хк < [Д легко проверить, что

|7)и>$Фмщ(А)|<СеР‘+-^sup |А| (4.4.31)

ak‘'*xk<*t'k

для всех целых pi, ..., рК, qi, ..., qN, а постоянная С зависит от ядра К (ж) и чисел р, q. Аналогичным образом, если F (х, у)^Ст, то при ак < хк <_ (За справедливы неравенства

I F - Фмщ^) \ ^CQ""P1"'"-PNFr4^" -4N sup | D^DPF | (4.4.32) при Pl +... + ?» = ТП, йк < хк < ^к.

Эти утверждения можно получить, если заметить, что из (4.4.27) следуют неравенства

№>5Фм,<?(а)|^

< sup |A|f ... f |7)£0^лло(ж—1,У~tOI^c^s^ ah=^xh<bh

sup |A|()P1+'''+PNT7gi+''+gN f ... f |^ °k<xk<bk .

X Jf|DpsK^\dy,

которые и доказывают (4.4.31). Далее, мы разложим функцию F ^х — и,’М, у—v/<2) в ряд Тейлора в окрестности точки и=и = = 0 до членов порядка, меньшего т, с какими-то остаточными членами. Так как Фм,» сохраняет полиномы степени ниже тп, то только остаточные члены этого рядаRm($, у, и, о) дадут вклад в разложение F— Флг е (F) = (7— Фдг, q^F. Эти остаточные члены

могут быть оценены с помощью неравенств (pi + ... + Ун = тп)

1 "--1 < s>1 №sF&-ч) '■

где

I £h-^h I < "^, I ЛкУ к I < Q ' I uk II ^k I < 1 •

Следовательно, из (4.4.30) мы получаем

Ki-OM^^^.^I^supC* P1 - pnm 51 - 52VlZ)^(^n)|,

где pi + ... + рн + q\ + ... + qN = m и

C=N sup f .Пи?1 ... u^i* ... vsK^u, и) Ida de,

Pi+...+qN=m

что и доказывает неравенства (4.4.32).

Замечание. Для ай < ^ < bh при pi + ... + pN = т, gi = = ... = qN = 0 мы имеем

5* = | 5 (Фм,о (J (ж, у))) |< -|-1 D>M,Q (F) \0^CC^\F |0,

и, выбирая Q > 1/е, о = т + 1, отсюда, следовательно, получаем

S* ^ W+i]F|0 = СС(?Д^|0(4.4.33)

и, аналогичным образом,

S*2 = | S (S (Фм.о (.F (х, у)))) | С CCQ2a | F |0.(4.4.34)

Можно также показать, что функция К (х), обладающая упомянутыми свойствами, действительно существует (см. [26]).

Теперь мы переходим к рассмотрению итерационной процедуры в процессе приведения отображения к линейному виду отображения кручения Мозера.

Л е м м а. Рассмотрим отображение

(4.4.35)(4.4.35)т хк =zh + gh (ж, у),I Ук ~ Ук + Ik + fk 0е, у)

(4.4.35)

(4.4.35)

при |жй —ай| < 1/Мп_ь удовлетворяющее уже упомянутым выше условиям

1/11+ 1^11 < 6о,

Pm/*| + Pmg*| < Со

14 г. Е. О. Джакалья

и такое, что каждая замкнутая ограниченная регулярная поверхность. близкая поверхности xk = const (^ = 1, ..., N^, и ее образ имеют хотя бы одну общую точку. Тогда для достаточно малых 6g существует преобразование

хк = 1к + и^, п)■ Уь = Щ + М5, И) (4.4.36) при

такое, что

Ы1-Ы1<-^,(4.4.37)

а отображение Т приводится к виду

5s = 5а + Фа(5, п), Ил = Пл -г Ч’а(1» 11),(4.4.38)

где

I Фа 1о 1 ^й |0 < 6 = 6^_v(4.4.39)

при ] 5„ — aft| < IjQ, и, более того,

|zOT^a| + №^^(4.4.40)

при р^ -г- . .. + pN + 9i + • • . + Qn = аг.

Действительно, из выписанных выше соотношений следует

5ft + Фа (б, П) + ик (§*, т]*) = дй + ик (|, ц) + gk (5 + », П+у),

Па ~г 5а - Фа (L И) + vk (5*- И*) = Па + vk (|, ц) + ^ + ик (|, ц) +

+ /а (5 +», П + О

Фа (б, П) + «л (5*, И*) = ик (|, 1]) Ч- gk [| + и (|, ц), т] 4- v (|, т])],

Фа (5, П) + ик (1*, и*) = Ук (I- П) + ик (|, т]) + /а II +

п-м(5, п), П + »(5, п)]- (4.4.41)

Теперь линеаризуем уравнения, которые получаются из соотношений Фа = ф\ = 0 при условии, что величины Д, g^ ик, ик и |sa — «а! имеют одинаковый порядок малости, т. е. являются величинами порядка О(ц). Будем пренебрегать членами порядка, равного или большего, чем О(ц2). В результате находим

уй (1, 1] Т to) — vk (5, Т]) = ик (I, Т]) + fh (I, Т]), ик^. 1] + to)-HA(l, П)=^а(1,П).( '’

Второе из этих уравнений можно решить в соответствии с предыдущей леммой, если только функция gh (|, ц) имеет нулевое

среднее относительно ц. В любом случае к функциям Д и ^ надо применить операцию сглаживания для того, чтобы восполнить «потерю» необходимого количества производных.

Определим функции ик1 vk как решение системы уравнений

uh (I, Л + «) - ик (I, П) = Ф Uk ~ 8к\(4.4.43)

«к (I, П + а) — (1, Л) = ик (I, Л) + Ф Uk),•

где ик = 0, черта означает среднее по отношению к т], а Ф — определенный ранее оператор сглаживания.

Усреднение второго из этих уравнений дает

+ Ф(Д) = О,

так что из первого уравнения находим

иК = SW^ = W))- Ф(Д),(4.4.44)

где оператор S определяется формулой (4.4.22). Из второго уравнения (4.4.43) следует, что .

0> = 5(^ + Ф(Д)) =5(5(ФШ)) +5(Ф(Д)).(4.4.45)

Уравнения (4.4.44) и (4.4.45) определяют функции ик1 ик в кольце

I Sh ак I Л/п_1 ,v = Р-

Остается проверить только соотношения (4.4.37), (4.4.39) и (4.4.40).

Используя (4.4.33) и (4.4.34) и рассматривая (4.4.20), находим

Ы + |гМ ^^^(lAlo+l^lo) <СОТп-1 = С^М-2 (4.4.46) и аналогичным образом

l^i + i^Kc^i-1, .(4.4.47)

Так как мы приняли v > 2а + 1, то |м*| + 1^1 < MQM и | “ь| i + |^|i < MQ-> что и совпадает с доказываемым выражением (4.4.37). Отсюда также следует, что ик, ик определены в кольце

при условиипри условииМо > 41/(1+<”,Мо > 41/(1+<”,

при условии

при условии

Мо > 41/(1+<”,

Мо > 41/(1+<”,

й здесь выполнено неравенство (4.4.46). По теореме о неявной функции образ области | §»—а» | < З/Jf при отображении (4.4.36) будет покрывать по крайней мере кольцо |х4—а»| < 2JM, и, следовательно, обратное преобразование определено (и притом единственным образом) в кольце |х4 — а4| ■< 2]М, и в нем оно будет непрерывно дифференцируемым при достаточно большом М 3$ Mq. Отсюда следует, что отображение (4.4.38) определено и дифференцируемо в кольце 1^ — а4| «< 1JM, так как преобразование (4.4.36) переводит эту область в

I "Ч ^к | ^ I ^>к ^к I | мй | <^ у 4 qy ,

а отображение (4.4.35) — в

I *I I А - 1,1 I 12

I я R I I R r } । nri. Q I др’

где отображение (4.4.38) определено единственным образом.

Оценка величин |ф4|, |ф4| в области |§» —а»| < ММ нуждается в предположении, что каждая замкнутая поверхность, близкая к инвариантному многообразию хк = const (к= 1,.. ., N), т. е. к ^,н = ^L имеет образ

е;=^+фй(5°. п),

который пересекается с ^ = ^ и, следовательно, это эквивалентно предположению о существовании хотя бы одного нуля функции [фй(1°, Ч)1 относительно ц. Следовательно,

sup |ф4(1°, ц) | < амплитуда ф4(1°, Ч) < 2sup ^t(I°, n)+z»(^°) |, пвв

где гК ^— соответствующим образом подобранные функции от |. Мы будем брать

Ч (I) = — Ф(^ (I- Ч))-

Из (4.4.41) имеем

4" | Фй (I, ч) I»< I Фй (I, Ч) - Ф (gk (I- ч)) 1о =

= I «Й (I, ч) — ^к (I*, Ч*) + gk (1 + U. 11 4- у) Ф (gk (I- ч)) iu-

а используя (4.4.43), (4.4.47), находим

4-1 ФИ§. Ч) Io < C.Q^M-^ I £h - aft I + К k (| фй 10 + | ^Й Io) +

+ I Ф (gk (ж, У)) 11 (I ^Й Io + I Уй Io) + I (^ - Ф) (gk (я. У» |ц.

где нормы всех членов, зависящих от ж, у, определяются при условии, что эти функции определены в кольце

it „1^11

I 6h “ft I < M , M 1 n—1

Аналогичным образом, вычитая первое уравнение (4.4.42) из второго уравнения (4.4.41), находим

4 I ^ (^ ^) 10 < С^М^ 15ft - aft| + Hi (I <Pft Io + I ^ Io) + + I Ф (/ft (^, У)) 11 (I «ft Io + I Vk Io) + I (^ - Ф) (/ft ^ y)) |0.

Складывая эти две последние оценки и рассматривая уже установленные условия

I Ф (/ft) li < С3М | fh |0 < ^-,| Ф (gft) к ^

вместе с предположениями (4.4.21), т. е. с неравенствами

। «"<?.-./» ।+ю-м,.» । < с’Л-^лса4™,

где Qi + ... + qN + Р\ + . .. + pN = тп, находим

I Фк Io + Шо ^ С4 (^2о+171^3 + <№~фт\(4.4.48)

С другой стороны, ^^Зо+^з = С^М v <^_2q

при достаточно больших М и

v>3^ = 6g + 3-

Кроме того, так как m^q — 1) > 1 + 2g2v, то мы имеем С^^ < 4 М-29 = 4 y-2fV.

Из (4.4.48) тогда получаем

I Фк |о + I ^h 1о < ^-29 = 6,

что и доказывает неравенство (4.4.39).

Для доказательства последней части леммы введем величины жк = Мжк, ^'к = М^к, Ук = QPk, lift = <?r|ft.

Тогда отображение (4.4.35) можно записать в виде

gk = Mgk, ,(4.4.49)h = Qh..gk = Mgk, ,(4.4.49)h = Qh..як = х'к +ghk®'- y'Y

gk = Mgk, ,(4.4.49)

h = Qh..

gk = Mgk, ,(4.4.49)

h = Qh..

* Q •*,

Ук = Укт-м Xk-T IkAx .. у>,

Из (4.4.21) следует, что

\DlD9s.Qfh\ + \Dpx,Dqv.Mgk\<

С /\ М /

Vn-i д7) =Vn-t

С другой стороны,

\Qfky + \Mgh\^M8n_1=-L<l

при \жк— оск| < 1/Afn—1. Следовательно, функции Д и gk определены для всех вещественных у' и ж' из области

\4 — Мак\<^— <1,

П—1

и они меньше единицы, так же как и их производные до порядка т. Из теоремы о среднем, примененной последовательно к каждой из этих производных до этого порядка, следует, что

I (к к^' у’) к +1 ^л к®'- у') к < Съ,

где константа С5 зависит только от тп. Следовательно, отображение Т из (4.4.49) таково, что справедливо неравенство

| ^к Т gk |m "Т | У кэд ^к /лк < Су.

которое мы перепишем в виде [ГДт < С6.

Для преобразования переменных (4.4.36), записанного в виде

[ хк = ^ 4- ukkVi О,

I У к = 11л + Ул (Г- V)-

при pi + ... + pN + 91 + ... + Ук т- + 2о мы аналогично находим

Ы U + | ^ |m < C.MQ20^ = С7Л/-1(?20 < А <

Теперь из теоремы о неявной функции следует существование обратного преобразования, все производные которого до порядка т ограничены константами, не зависящими от Q и М в кольце | А — oct | < 2/М. Следовательно,

|РИ'|^<2,|W'-‘|m<2

и отображение W~XT'W имеет в качестве компонент функции, производные которых до порядка m ограничены константой Cg, не зависящей от М и Q. Следовательно,

IВД<Ж I +1 адм^к I < с8<2р,+-+р V1+-+5N

при щ 4- ... 4- pN + qx + . .. 4- Qn < т в кольце |^—ак| < ММ при условии Q > С8, что и доказывает неравенство (4.4.40).

Теперь утверждение первой леммы настоящего параграфа сразу же получается из только что доказанной леммы.

Действительно, определим

r0 f ^к = хк 4- gkMc,yV

I Ук = Ук + xk+fk(x, У)

при ah ^ xh < bk, а также определим

УкУ к Т ^k •УкУ к Т ^k •

УкУ к Т ^k •

УкУ к Т ^k •

Здесь |Д| + |gj < б0 для | Т° — Т” | < бо. Вторая лемма устанавливает существование преобразования

( *й = ^ + uh^, ц).

1 I ук = ilh + Ml, л),

которое переводит Т° в Тх при Т1 = И4 ’ГИр откуда формально получаем | Т1 — Т°° | < бо = 6V Повторяя начатую процедуру приведения отображения Т°, определенную в любом меньшем кольце, находим

Тп = W"vTu"xW'n (п =1, 2, ...), (4.4.50) где | Т" — Т°° | < 6„_1 = 6П. Если считать ^, ц координатами, отнесенными к отображению Тп, то оно будет определено в кольце

1^-ак|<^- = ^—. (4.4.51)

Из второй леммы следует, что преобразование Wn координат шага номер п — 1 в координаты шага номер п удовлетвоняет неравенству

|W.-Z|1<A= 1(4.4.52)

Vn—I

где I — тождественное преобразование. Следовательно, на торах 5л = ак отображение Тп сходится к отображению Т", которое представляет собой «поворот» Ць = Ла + “а-

Связь между координатами §, ц отображения Тп и координатами ж, у отображения Т°, как следует из (4.4.50), определяется соотношениями

sn=w1w2...wn, г = 8^8^

Преобразование Sn определено в кольце | ^ — ал | «< ММ» и отображает его в меньшее кольцо | хк — а* | < 11М0. Если записать 8„ в виде

" 1 Ук = Ла + Qk (5, Л),

то будет достаточно показать, что функции рк, дк (и их производные) равномерно сходятся к функциям ^(ц) и ^(ц). Если это так, то инвариантное многообразие из теоремы в начале настоящего параграфа (для специального случая ак = х„ и 6 = 1) в точности равно

( хк =«а + Ра (Л),

I Ук = Ла + 9а (л)-

В этом легко убедиться, если сначала заметить, что

а для достаточно больших Qo последний член может быть сделан меньше е. Для доказательства сходимости производных от рк, qk рассмотрим матрицу Якоби Jn преобразования Wn. Так как

д^ + 6^ ’ dr), дт), ’

то отсюда следует, что

ди ди ,

dv де"дГ W

Максимальная абсолютная величина этой матрицы, т. е. |/„ —/|, согласно (4.4.52), при |w*|i + | ык| i < 1JQ определяется формулой

Матрица Якоби Gn преобразования S„ теперь, очевидно, будет равна произведению п матриц /1, ...,/„, т. е. Gn = /] ... /„.

Также очевидно, что сходимость производных от рк, qk эквивалентна сходимости произведения Gu. Но матрица Л мажорируется матрицей

Следовательно, достаточно показать сходимость произведения

Это произведение, будучи коммутативным, меньше (или равно) произведения

ПехР^- = ехр 2#".t=l

которое, очевидно, является сходящимся. Также имеем

|Gn-/||Gn-/|Со Аехр —$- - 1VoСо Аехр —$- - 1Vo

|Gn-/|

|Gn-/|

Со А

ехр —$- - 1

Vo

Со А

ехр —$- - 1

Vo

Выбором достаточно большого Qo можно сделать | Gn — 11 С е и, следовательно, |а|8+ | 9а | s Се при s = 1, как и утверждается в теореме.

Для завершения доказательства теоремы осталось снять ограничение ak^s') =xh. Для этого достаточно ввести замену переменных и опять доказать, что теорема следует из второй леммы настоящего параграфа. Действительно, пусть отображение

| 4 = xk 4- Gh ^х, у),Ц ( Ук = Ук + «к (ж) + Fh (х, у)определено прп ah "С хК < bh. Пусть

Хк = «к W, Пк = Ук-(4.4.53)

Тогда отображение Т» принимает вид

т f Vk = ^k + gktl, л),I Лк = Лк + ^к + /к(|, л),

так как преобразование (ж, у) —>(|, ц) однозначно и имеет иг ограниченных производных. Кроме того,

/к(1, Л) =Fk (я(|), л),

gk (I, л) = «к (ж + G (х, у)) - ак (х) =

= ah (х (|) + G (ж (|), л)) — «к & (I)), и, следовательно, условия (4.4.17) и (4.4.18) удовлетворяются при соответствующем выборе постоянной Со. Кольцо, в котором определено отображение Т, содержится в кольце шириной Со-1, т. е. ак (6) — ак (а) ^ Со"1 при ак (а) ^ Eh ^ ак (6), что следует из (4.4.53).

Доказательство теоремы для s > 1 проводится аналогичным образом с помощью вывода новых соответствующих соотношений между параметрами М, Q, 6, q, s, v, о, пг (см., например, [26, 28]). Важно отметить следующее.

Теорема Мозера эквивалентна (в смысле утверждений теорем) теореме Колмогорова, но не требует аналитичности гамильтониана (в случае аналитичности отображения Т^. Требуется только существование производных до некоторого порядка. Это стало возможно в результате применения к соответствующим функциям операции сглаживания.

Появление малых делителей в рядах типа exp [i (jTa)]—1 контролируется оценками вида (4.4.23). Классические результаты в теории диофантовых приближений показывают, что при всех целых jk такой оценке не будет удовлетворять только множество значений, мера которого по сравнению с мерой единичного куба О < ак < 1 (^ = 1, . .., п) равна 0(e) и стремится к нулю вме-

сте с е. Возможные малые значения таких знаменателей компенсируются тем, что сходимость приближений к отображению Т” имеет такую же скорость, что и у последовательности 6? •

Ш) Условие невырожденности, фигурирующее в теореме Мозера, как уже упоминалось выше, совпадает с условием Арнольда п является менее жестким, чем условие Колмогорова *).

Действительно, так как

Q.

ак = 2nah = 2л ^-,Qn5^0,

то условие (4.4.16) можно переписать в виде

> s'(2 [Л|)' к=1/> s'(2 [Л|)' к=1/N

> s'(2 [Л|)

' к=1/

> s'(2 [Л|)

' к=1/

к=1

что является обобщенным условием иррациональности Зигеля. Условие

после использования определения

ан0

«а = 2л -^- (^х, ..., ^п—х, х^ (^х, ..., хК_х, ^))

и соотношений

8Н0

8хп =8xi

8xjдН0

дхп

приводит к обобщению условия (4.3.11), т. е.

841g

82Н0 ЭхуЭх^

82НО

8^Н0 дх^дх

1 п

82НО

8Н0 8х^

8Н0

8х^ ^н0

8х28хг

8^2

дх2дхп

8хг

^ 0.(4.4.54)

аш0

82Н0

8гН0

8Нп

дх^дх^

Эхп8х^

дх^

U1Cn

8хп

ЭНо

8Н0

8Н0

8xv

8хг

8хп

’) См. примечание в конце параграфа ^прим. перев.).

Также очевидно, что если Qs =/= 0 (к = 1, . . ., п) и если обычно условие невырожденности, фигурирующее в теореме Колмогорова, выполнено, то и (4.4.54) выполнено1). Обратное не всегда верно.

Вырожденные системы

Здесь мы ограничимся несколькими замечаниями, которые позволят доказать теорему, эквивалентную теореме Арнольда, в вырожденном случае.

Пусть ц — малый параметр, входящий в гамильтониан системы Н и 0 < ц < 1. Однако в общем случае ц много меньше единицы. Допустим также, что некоторые Q& = 0 (к = 1, ..., р<п). Как и в теореме Арнольда, определим «секулярную» часть Щ, функции Я], т. е.

Н = Но 4* ц(Я15 4- Я1р),

а из нее определим

дЯ.

Q>=S; (7 = ^ + 1,к).

Следовательно, отображение Т» будем записывать в виде

Xk = xhA- ^Gh (ж, у)Ук = Ук 4- И [“к (*) + Fk (ж, у)] 4- PftУ* = Уз 4* а, (ж) 4- pF 5 (я, у)Xk = xhA- ^Gh (ж, у)Ук = Ук 4- И [“к (*) + Fk (ж, у)] 4- PftУ* = Уз 4* а, (ж) 4- pF 5 (я, у)(& = 1, ...., п),

Xk = xhA- ^Gh (ж, у)

Ук = Ук 4- И [“к (*) + Fk (ж, у)] 4- Pft

У* = Уз 4* а, (ж) 4- pF 5 (я, у)

Xk = xhA- ^Gh (ж, у)

Ук = Ук 4- И [“к (*) + Fk (ж, у)] 4- Pft

У* = Уз 4* а, (ж) 4- pF 5 (я, у)

(к = 1, ..., р),(4.5.1)

(/= р4-1, .п),

и оно определено в кольце 0 < ah < xh < Ък, Ък — аА ^ 1, где к = 1, ..., п. При этих условиях теорема Мозера будет оставаться справедливой, если ввести следующие модификации.

(& = 1,(& = 1,Отображение (4.4.14) надо заменить на отображение

(& = 1,

(& = 1,

У к = Ук 4* № W =Ук+ № У к = Уз 4- «, (ж0) = у] 4- а,

') В действительности условия Колмогорова и Арнольда — Мозера (4.4.54) не сводятся одно к другому. Ошибочность приведенного в тексте книги утверждения следует, например, из рассмотрения системы с гампль- тонианом (<0j > 0)

Но= (toizi—<02*2) (I + X1+Z2).

Здесь определитель Колмогорова равен — (он + сог)2^ 0, а определитель (4.4.54) равен нулю (прим. ред.).

и So можно опять выбирать независимо от ц. Это очень важно, так как в противном случае при ц -> О мы имели бы 6о —*• 0 и доказательство не годилось бы.

Отображение То (т. е. Т, при р, = 0) надо заменить на отображение

(к — 1, ..., п), (^ = 1. .... PY U = Р + 1. • • • и).(к — 1, ..., п), (^ = 1. .... PY U = Р + 1. • • • и).З-Д ^К

(к — 1, ..., п), (^ = 1. .... PY U = Р + 1. • • • и).

(к — 1, ..., п), (^ = 1. .... PY U = Р + 1. • • • и).

Уъ = № (®) + ук -г рк

У* = а^х) + у}

при

рай (а) < рай (ж) < иак (6).

Интервал, определяемый формулой (4.4,15), надо заменить на интервал

«к («) + е < ^у-^- < «к (Ь) — е,

и, наконец, условие (4.4.16) необходимо записать в виде

рN[ Wт—TV—1/2

2+ 2 m,jo.j 4- 2шп1Х+1 ^ ре I 2 I mk If

h=li=p+l№=1J

где m*, m.j — произвольные, не обращающиеся одновременно в нуль целые числа.

Замечания

Проблемы нормализации гамильтоновой системы дифференциальных уравнений и сохраняющих меру отображений в окрестности положения равновесия или неподвижной точки соответственно аналогичны друг другу и имеют одинаковые трудности, приводящие в общем случае к расходимости асимптотических рядов, представляющих преобразование. Однако это не указывает на то, что нормальная форма не существует, а только в худшем случае на то, что такая форма не может быть получена с помощью степенных рядов. Основная идея, лежащая в основе нормализации Биркгофа в гамильтоновых системах, заключается в описании всех движений в окрестности положения равновесия с помощью естественного обобщения ляпуновской процедуры построения периодических движений в этой окрестности.

Основная теорема Биркгофа [5] утверждает, что если характеристические показатели (частоты нормальных колебаний в окрестности положения равновесия) рационально независимы, то в формальном смысле существует нормальная форма, и гамильтониан

в соответствующих координатах у и импульсах х может быть записан в виде формального ряда (степенного) относительно ,], . . . ..., £„, где ^к = хХ + У к- Как уже отмечалось выше, в этом случае ясно, что все £ становятся интегралами движения. В общем случае они являются только формальными интегралами, так как преобразование от исходной формы к нормальной форме описывается формальными рядами, вообще говоря, расходящимися.

В резонансных случаях, т. е. когда есть рациональная зависимость между частотами нормальных колебаний, ситуация не изменяется, и в общем случае нормальная форма, полученная Густав- соном [10], также расходится, на что также указывают его численные эксперименты, а также схожие эксперименты Хенона и Хейлеса [13]. Точные результаты о плотности множества гамильтонианов, для которых приведение к нормальной форме может быть осуществлено сходящимися рядами, были получены Зигелем [33].

Для систем с двумя степенями свободы тейлоровское разложение функции Н вблизи положения равновесия эллиптического типа имеет вид

# = 2 тvk ^Ук + 4) + Н3 (у, х) -к ... + Нп (у, х) 4- ..., (4.6.1) й=1

где

И V „— V V V у „„к, к2 Ц l2

£,/кх к2 Zi ?8

и из сходимости разложения для Н соответствующей перенормировкой фазовых переменных п времени можно получить

|с«|<1.(4.6.2)

Пусть S — множество всех функций Н вида (4.6.1), удовлетворяющих условиям (4.6.2). Зигель показал, что гамильтонианы с иррациональными значениями vi/v2, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме расходится, плотны в S при топологии, определяемой выбором окрестностей, задаваемых неравенствами] с*,।— c^il^e*,! для всех к,1 и для данных е*,ь Скорость уменьшения чисел гьд с увеличением к, I произвольна.

Следовательно, для решения вопроса о сходимости или расходимости преобразования необходимо точно знать все коэффициенты функции Н, что придает процедуре приведения к нормальной форме очень небольшое физическое значение, так как параметры системы никогда не бывают известны абсолютно точно. Более строгий результат Зигеля [34] указывает, что случаи, при кото-

рых имеет место сходимость преобразования Биркгофа, оказываются исключительными в том смысле, что они образуют множество, которое является объединением бесконечного числа нигде не плотных множеств. Стоит упомянуть результат Рюсмана [32], который показал, что если система дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану (4.6.1), допускает аналитический интеграл

6 = 5 Рй (.У к + хк)

к=1

где V1P2 — V2P1 ^ 0, то преобразование Биркгофа сходится. Это оправдывает тот факт, что интегрируемые гамильтоновы системы в окрестности положения равновесия можно определить как системы, для которых преобразование Биркгофа сходится.

Связь между гамильтоновыми системами и сохраняющими меру отображениями устанавливается легко. Если дано такое отображение М, что М° — тождественное отображение, М1 = М, M‘+s = = ЛГЛР, то отображению М соответствует решение гамильтоновой системы

У=Нх(у, х), х — — Ну(у,х), т. е.

‘ I X = х(у0, х0, <)•

В этом случае отображение М имеет интеграл Н (у, х), который инвариантен относительно отображения М. Обратно, если отображение М обладает интегралом, то

М° — тождественное, Мх = М, М,+з = М‘М3

и само М может быть приведено к нормальной форме с помощью сходящегося преобразования Биркгофа. Основы доказательства этого утверждения были заложены Биркгофом [4]. За большими деталями мы отсылаем читателя к статье Мозера [25] об интегрируемости отображений.

Что касается приведения к нормальной форме системы

Хк =fkW (к = 1, ..., га)

в окрестности положения равновесия х = 0, то сходимость преобразования, описываемого рядами, может быть легко установлена. Если

fh (х) = 2 ckixi + члены высшего порядка, г=1

и собственные значения Xi, ..., Х„ матрицы {сы} различны между собой, то существует постоянная неособенная матрица Р, такая, что

Р-^СР = diag (Хь ..., Х„) =.1,

и в окрестности точки ж = О мы получаем такой вид уравнений:

х = Хх 4- ф (ж) ■

Если 2 h4 -Х^О при 5/к^2, где /л — целые числа, то сукк

ществует преобразование х = у 4- Ф (у), приводящее исходную систему к виду

У =4j-

Сходимость можно установить, если все Re Xh имеют один и тот же знак, так как в этом случае нетрудно показать, что все малые делители задачи, т. е. величины 2/л^л~ Хг, отделимы от нуля. Ясно, что вышеупомянутое предположение не может быть выполнено в гамильтоновой системе. Однако для неконсервативных систем в общем случае нормализация является более простой процедурой, чем применение рядов метода Ли, и оба этих метода приводят к одинаковому результату.

Ясная связь между приведением к нормальной форме и устойчивостью устанавливается с помощью следующей теоремы (см. [36]). Пусть D— ограниченная в Сп область, содержащая начало координат, и пусть решение уравнений z = / (z), z = = (z1; ..., zn), где / (z)— аналитическая в D функция и / (0) = О, остается в D.

Теорема. Если решения системы уравнений z=/(z),z(0) = = z0 eD остаются в D при всех t и при ecexz0 ^ D, то в окрестности D' (D' с О') нуля существует такая замена переменных z = и (£) =£ + члены высшего порядка,

что преобразованная система дифференциальных уравнений имеет вид S = ^, где Л — постоянная диагональная матрица, собственные значения которой имеют нулевые вещественные части.

Теорема Мозера об инвариантных кривых становится проще для понимания, если рассматривается для двумерной системы, т. е. на плоскости. Рассмотрим кольцо Л{1 < R < 2}, где В? = х1 + у2. Если 9 — полярный угол, то dx dy= -у dR d9.

Отображение кручения определяется формулами

( R* = R,

М

0 [ 0* = е + 7(Д).

Отображение Мо очевидно сохраняет площадь, и окружности R = const инвариантны относительно Мо. Важно, чтобы выполнялось условие кручения: V^) ^ 0, ReA. Основным свойством отображения Мо является то, что каждая окружность для любого ч(И), соизмеримого с 2л (т. е. ^/2 л = pfqV состоит из неподвижных точек отображения Mq. Каждая окружность, для которой величина не соизмерима с 2л, плотно покрывается образами любой точки при отображении Mq. Мозер рассмотрел возмущенное отображение кручения

( R* = R + ^f(R, 6, е),е\ e* = 6 + Y(fl) + eg(fl, 6, 8),

где /, g — 2л-периодические функции 6. Отображение Mt определено в кольце А. Наличие малого параметра е не обязательно, но здесь для удобства мы выбрали именно этот вид отображения. Если отображение Ме сохраняет площадь, то для данного рационального числа, заключенного между ^(1)/2л < pfq и ч(2)/2л > pfq, существует 2q неподвижных точек отображения Ml, удовлетворяющих условиям

R» = R, 0’ = 6 + 2лр

для достаточно малых е. В теореме Мозера рассматриваются возмущения таких окружностей R = const, для которых число ,у(Д)/2л является иррациональным, и эта теорема может быть сформулирована следующим образом (случай «малых возмущений»).

Теорема. Пусть '{'(.R') #= 0 для Re А и пусть любая кривая Г, окружающая окружность R = 1, пересекается со своим образом, т. е. с кривой Г*=Ме(Г). Функции fug предполагаются достаточно гладкими. Тогда для любого данного числа со, заключенного между Т (1) и Т(2), не соизмеримого с 2л и удовлетворяющего неравенствам

]дсо — 2лр| > С|д|~3/2

для всех целых р, q ^ О, существует дифференцируемая замкнутая кривая

tR = F^sY

| 0 = ф -[- G (ф, е),

где функции F, G имеют период 2л относительно ф, которая инвариантна относительно отображения М„ при условии, что е — достаточно малая величина. Более того, образ каждой точки кривой Г получается заменой ф на ф + со.

15 г. Е. О. Джакалья

Ясно, что если отображение Ме сохраняет площадь, и кривая Г окружает окружность R = 1, то образ этой кривой ЛГЕ(Г) обязательно пересечет кривую Г в силу предположения о свойстве сохранения площади, так как он не может целиком лежать внутри или вне кривой Г при отображении Ме, достаточно близком к Мо.

Эту теорему легко можно применить для прямого доказательства теоремы Арнольда об устойчивости положений равновесия эллиптического типа в двумерных системах. Важное применение этой теоремы было также указано Кинером [20] в задаче о движении спутника сжатой планеты в поле с цилиндрической симметрией. Мозер [29] описал применение своей теоремы в задаче об адиабатических инвариантах в магнитных полях с замкнутыми медленно меняющимися магнитными поверхностями. За описанием этих приложений мы отсылаем читателя к упомянутым оригинальным работам.

С геометрической точки зрения теорема Колмогорова имеет один очень интересный аспект.

Действительно, рассмотрим гамильтониан Н (у, х, е), аналитический при е =. 0 и при х е D CZ Rn, | Im у | < р. Пусть, кроме того, Н (у + 2л, х, е) = И (у, i х, е) и Н{у, х,_О)=Но(х). Пусть точка х = хое D, и определим величину

ЭН _ ,.

-(®1, •••А)

при е — 0 и х = х0. Предположим далее, что точка хй может быть выбрана так, что при 8 =, 0 определитель det Нхх #= 0 и, более того, все Гой (к = 1, ..., п) удовлетворяют обычным условиям иррациональности.

При сделанных предположениях теорема Колмогорова эквивалентна утверждению о существовании таких аналитических век- тор-функций и, с, что выражения

у = 9 + и (9), х = С + v (9)

описывают инвариантный тор. Движение на торе определяется формулой 9 =. 4», где 9 = (61, ..., 9„).

Легко осуществить сведение описанной задачи к отображениям, сохраняющим меру. Действительно, рассматривая для простоты случай п = 2 и гамильтониан

Н =.Н0(Х1, яг) + еЯДуц у2, хь х2, е),

положим Xi = г, ух =, 9, у2 = т, х2 = х. Далее предположим, что dHddx2 ^ 0. Исключая из уравнений движения время t и пере-

менную х с помощью интеграла движения, получаем

dr dtdr dt8Н / 8Н86/ дх8Н / 8Н86/ дх= F (г, 0, т, е),= F (г, 0, т, е),dedxdedxоН / сН Л! Ь X тНг- =G(r, 0, т, е), dr/ 8х х ’ ' ’оН / сН Л! Ь X тНг- =G(r, 0, т, е), dr/ 8х х ’ ' ’(4.6.3)(4.6.3)

dr dt

dr dt

8Н / 8Н

86/ дх

8Н / 8Н

86/ дх

= F (г, 0, т, е),

= F (г, 0, т, е),

dedx

dedx

оН / сН Л! Ь X тНг- =G(r, 0, т, е), dr/ 8х х ’ ' ’

оН / сН Л! Ь X тНг- =G(r, 0, т, е), dr/ 8х х ’ ' ’

(4.6.3)

(4.6.3)

где, очевидно, функции F и G имеют период 2л по т. Более того, если через го, 0о обозначить начальные условия, соответствующие □ри т = 0 заданному значению энергии, т. е. Н (0О, 0, г0, ж) =. й, то решение

0 =.0(0О, го, т, е), г = г(0о, го, т, е)

□ри т = 2л отображает точку (0О, го) из плоскости т = 0 в точку (0, г) из плоскости т = 2л (эти плоскости перпендикулярны оси т в расширенном фазовом пространстве рассматриваемой системы). Следовательно, отображение

( 0* == 0 (0О, г0, 2л, 8),' Е i г* =г (0О, г0, 2Л, 8)

сохраняет площадь, так как система (4.6.3) гамильтонова, и при 8 = 0 легко получить, что

[ е* = 0 +2л-^-,М J °“2

0’

где

<ох 6Н018Я0<о2 8хх 16х2<ох 6Н018Я0<о2 8хх 16х2ЭН о 19Н0 1 / х

<ох 6Н018Я0

<о2 8хх 16х2

<ох 6Н018Я0

<о2 8хх 16х2

8r I дх2л' ’

так как переменную х можно исключить, если использовать интеграл энергии. Тогда отображение Mq определяется формулами

^о{^о{0* =Оо + а(го), г* = ге,0* =Оо + а(го), г* = ге,

^о{

^о{

0* =Оо + а(го), г* = ге,

0* =Оо + а(го), г* = ге,

а при е N= 0 имеем

( 0* = Оо + а (г0) + еф (0О, г0, е), е( г* =го + еф(Оо, г0, е).

Теперь можно применить теорему Мозера о малых отображениях кручения, если соответствующим образом ограничить величину Ж] (здесь г) кольцом 0 < а ^ г0 ^ Ъ. 15*

Понятие адиабатических инвариантов и их использование очень тесно связаны с обсуждаемыми сейчас методами теории возмущений. Это понятие очень интенсивно изучалось и хорошо описано в литературе; здесь мы хотим упомянуть некоторые из основных результатов. Ранней работой, которую следует назвать в связи с рассматриваемыми вопросами, является статья Андронова и др. [1], упомянутая Арнольдом. Очень хорошие работы выполнили Касуга [16] и Крускал [18]. Арнольд изучил часть рассматриваемой задачи в работе [2] и более подробно в работе [3] (глава II, стр. 111—124). Недавние работы, относящиеся в той или иной степени к нашему вопросу, выполнены Картсатосом [14], Вазовым [38] и Халламом [12].

Термин адиабатический имеет классический смысл (общий с термодинамическим смыслом), означающий очень медленное изменение параметров, определяющих физическую конфигурацию системы.

Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом

Н = Н (у, х, т),

где т = et, а е — малый параметр. Мы имеем следующее определение.

Функция Цу, х,т) называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы, если для любого 6 > О возможно найти такое Со > 0, что при 0 < е < со для всех t из интервала О < i < 1/е выполняется неравенство

ТО -7(0)1 <б.

Здесь мы положили /(£)=/ (у(Ц, x(t), et), где y(t), x(t) — интегральные кривые системы, определяемой гамильтонианом Н.

Ясно, что любой интеграл является адиабатическим инвариантом, а в действительности даже вечным инвариантом. Наиболее типичным примером для систем с одной степенью свободы является следующий пример, рассматриваемый в квантовой механике.

Рассмотрим Н = ЕЦу, х, т). При т = const уравнение 1Цу, х, т) —.Е(у0, х0, т) = const в плоскости (у, х) описывает мгновенную конфигурацию линий энергетического уровня. Предположим, что при значениях т и Е из некоторой области эти линии образуют замкнутые траектории. В этом случае они заключены в некоторой области, площадь которой обозначим через 2л/(уо, ^о, г), где (уо, ^о) —любая точка соответствующей ограничивающей траектории. Тогда можно показать, что величина I является адиабатическим инвариантом в смысле, определенном выше. Например, рассмотрим простой маятник с медленно меня-

ющейся длиной нити. Гамильтониан такой системы имеет вид

Я=

где ® = ®(т) > 0 для всех т = в1. Тогда т Н1 9 , 1 о

to2to 2

Хотя за конечное время величина 7(f) может измениться мало, но за большие промежутки времени она может иметь большие изменения (даже секулярные). Тем не менее было получено такое утверждение (см. [3], глава II, § 2).

Теорема. Для медленно и периодически изменяющихся гамильтонианов Н^у, ж, т) нелинейных колебательных систем с одной степенью свободы адиабатический инвариант сохраняется вечно, т. е. для любого 6 > 0 можно найти такое 8о(6) > 0, что при |е| < во неравенство [7(f) —7(f0)| <6 выполняется для всех t.

Этот важный факт является следствием нелинейности системы, т. е. следствием свойства зависимости частоты от амплитуды. Аналогичный результат не может быть получен для линейной системы с ее классической неустойчивостью при резонансе.

Для того чтобы показать строгую связь между адиабатическими инвариантами и формальными интегралами, получаемыми в асимптотических методах теории возмущений, рассмотрим систему с одной степенью свободы и гамильтонианом

Н(у, х, т) = Н^у, х, т + 2л), т =. ef.

При т = const система автономна и интегрируется непосредственным образом. С помощью переменных действие — угол 7, W, определяемых производящей функцией Гамильтона — Якоби 5 =. = S (у, I, т), мы имеем

х =. dS]dy, W = dSjdl, где

5 (у, 7, т) = ^ х (h, у, т) dy.h

Последний интеграл вычисляется вдоль замкнутой траектории, определяемой условием h, = П0Д, т), где функция К = Яо есть функция, обратная к функции

а я (Л, у, т) определяется из уравнения Н^у, х, т) = h. Для современного и ясного определения операции введения переменных действие — угол мы предлагаем читателю книгу Мейровича [23] (глава 9).

Величина I, очевидно, является постоянной, а угол W на окружности I = const изменяется равномерно:

W = W(/, т)

До сих пор мы считали, что величина т является постоянной. Пусть теперь т изменяется со временем: т = et. Тогда приведенное описание движения является только приближенным (адиабатическим) в интервале времени t ~ 1/е. Однако в общем случае мы можем написать

Я (7, W, т) = НйЦ, т) + еЯ,(7, W, т),

где в силу того, что преобразование (у, х) -> (Ж, 7) является каноническим, но зависящим явно от времени, имеем

Я1=^- = Я1(7, Ж,т).

Последняя величина является однозначной функцией W и т, зависящей от них 2л-периодическим образом. Классическая картина поведения траекторий в расширенном фазовом пространстве (у, %, т) — следующая. Отождествим точки с координатами т и т + 2л, а также W и W + 2л. Уравнение 7 = const определяет двумерные торы с угловыми координатами т и W. Если 8 = 0, то фазовая точка движется вдоль линий т = const с угловой скоростью Ж(7, т). При 8 =# 0 имеет место медленное движение (т = et) по нормали к уже описанному. Оно происходит на торе, имеющем две частоты. Однако в адиабатическом приближении фазовая точка остается на инвариантном торе, определяемом условием I = const. Истинное движение близко к адиабатическому приближению при t ~ 1/е. Если система является нелинейной, то адиабатическое приближение остается справедливым при всех t. В действительности это и утверждается в теореме Колмогорова.

Средняя частота определяется формулой

2л_

о

ГД62л

Не=^ J ЯО(7,Т)^Т.

о

Нелинейный характер движения определяется условием невырожденности

di- di

Из этого условия следует вечная адиабатическая инвариантность величины I, т. е. всегда можно найти инвариантные торы для системы, соответствующей переменной величине т, и они будут близки к торам I = const для достаточно малых е и любых моментов времени. Точнее, можно утверждать следующее.

Для любого 6 > О можно найти такое е0 > 0, что если |е| ■< ео, то точка (уо, хо, т) лежит между двумя инвариантными торами Т\ и Т^. где

|7(У1, xb п) — Цу^ х^ т2) | <6

при условии, что (?/1, Xi, Ti) E'Ti, (Уг, ^2, т2) G 72.

Рассмотрим такой гамильтониан

H(Z, W, т) = Но(1, т) + eH^I, W, т),

что dHojdl ^ 0, д^Но]дР ^ 0 и Н аналитичен при |7— Zq] < Р- Тогда для каждого 6 > О можно найти такое ео > 0, что если |е| -< е0 и |Z(to) —Zo| ■< р~б, то для всех t выполнено неравенство 17 (t) — I (to) | < б.

С помощью леммы Арнольда (см. [3], стр. 116—118) о преобразовании гамильтониан приводится к виду

К^ р, 0) = е^о(р) + e2K^q, р, 0) + • •

где 0 = W — новая независимая переменная, a q, по существу, совпадает с т. К этому гамильтониану можно применить теорему Колмогорова, из которой и следует, что I будет вечным инвариантом.

Адиабатическая инвариантность в системах с двумя степенями свободы также была исследована Арнольдом (см. [3],глава 2, § 3) и применена к классической задаче о магнитных ловушках. В результате доказано, что заряженные частицы (например, электроны), движущиеся по спиралям вокруг магнитных силовых линий, захватываются магнитным полем, если только оно медленно меняется или если скорости частиц малы. Основная лемма, рассмотренная Арнольдом для доказательства этого результата, заключается в следующем.

Лемма. Пусть данный адиабатический гамильтониан Н(уХ, Уп жь ж1\ г9е У1 =еуъ при фиксированных значениях у^, ^i определяет колебательную систему с переменными действие Р (i/i, A, h) и угол Q^j'hhi1^1^ Тогда существует

аналитическое преобразование переменных yt, уг. ^i, ^2 в новые переменные у, W, Pv, Pw, обладающие такими свойствами.

Функции у\, уг, Жь х2 имеют период 2л по W, и при 6-»-0 получаем у->Ух, WР^-*х\, Pw-^P.

Вдоль решений системы с гамильтонианом Н справедливы следующие канонические уравнения с гамильтонианом Hy,pv,w,hy.

dPy = _8I_ dy8I_dW 9«' dW~ ^Py'

где h — параметр {константа интеграла энергии Н — hy

Величина I имеет вид I = —ePw, где функция

Pw = Р{Ру, У, h) + eh {Pv, у, W, h) + ...

является аналитической функцией периода 2л по W, а h{Pv, У, h) = P{y,Pv, hy

Из проведенного ранее рассмотрения одномерных систем следует, что Р и 6^1 будут вечными инвариантами. Различные способы приведения к гамильтониану рассмотренного вида, который в пределе становится адиабатическим инвариантом, могут быть осуществлены с помощью методов теории возмущений в нелинейных системах.

Контопулос [6] применил методы теории возмущений к построению третьего интеграла (который строится последовательными приближениями с учетом выполнения условий обращения в нуль скобок Пуассона) и к нахождению адиабатического инварианта в системе

Ук ::= Нху хь — Hyh

с гамильтонианом

Я = -^ (^ + ^ + “12/1 + ИгУг) — 6У1У2 sin tot = Яо + eHv

Эта работа, помимо очень интересных аналитических построений, содержит также численную проверку результатов. Основной вывод работы: если нет резонанса между частотами (Oi, (02, то оба метода дают одинаково хорошие результаты. Тем не менее, если числа coi и сог почти соизмеримы, то адиабатический инвариант очень быстро (по времени) вырождается и в случае точной соизмеримости пропадает. С другой стороны, в этом же случае соответствующим образом модифицированный третий интеграл можно

найти, так что он будет оставаться интегралом в очень высоком приближении (по времени). Как говорит Контопулос, несправедливость свойства адиабатической инвариантности при резонансе была известна еще по очень давним работам, на которые в работе [37] ссылается Зоммерфельд, однако в современной литературе этот факт упоминается редко.•

Мы закончим этот раздел напоминанием, что в настоящей главе почти не говорилось о теории существования инвариантных многообразий возмущенных систем, которая построена в работах Левинсона [21], Дилиберто [8, 9], Кинера [19] и Лоуда [22]. Однако отличное описание результатов этих работ можно найти в замечательной работе Хейла [И]. Основная идея заключается в рассмотрении автономной системы

ж=Дж), х = (я1? ..., жп)

с периодическим решением

® = РЛ^ =Рй (( + ^о)-

В п-мерном пространстве (ж, 6) цилиндр х = р0 (6) является инвариантной поверхностью, т. е. каждое решение, принадлежащее цилиндру в какой-то момент времени, будет оставаться на нем все время.

Рассмотрим возмущенную систему

® = Ди) + eg^x, t, s),

где g (х, t, е) =g (х, t+ Т, е). Можно показать, что если /(ж) и g (ж, t, е) принадлежат по крайней мере классу С3, то при достаточно малых е в пространстве (х, t) существует поверхность х = р (t, 6, е) е С1, лежащая вблизи цилиндра х = р0 (6) и являющаяся инвариантной поверхностью возмущенной системы. Также справедливо утверждение, что функция р (t, 6, е) имеет период Т по t0 и.период Та по 6, a p(t, 6, 0) = ро(О).

Распространение этих результатов на случай условно-периодических (по t) функций g (ж, t, е) было осуществлено Хейлом [И]. Результат будет аналогичным, с тем только замечанием, что функция p(t, 6, е) также условно периодична по t. Плисс [30] ) получил условие существования инвариантных многообразий, которое не зависит от понятия возмущения, т. е. для систем вида

х = X (х, у, t), y = Y(x, у, t),

где х, у — векторы размерности п. Основное предположение: X, Уеб^в некоторой области {ж eRn, teR, Uyl^X} и Х,.У

имеют период Т по t. При доказательстве используется сведение задачи к исследованию сжимающих отображений, а затем к доказательству существования неподвижной точки. Аналогичный способ исследования интенсивно использовался Картсатосом в работе [15]. В этой работе можно найти много относящихся к рассматриваемому вопросу литературных ссылок, но ее обсуждение здесь проводиться не будет.

ЛИТЕРАТУРА

Андронов А. А. и др. К теории адиабатических инвариантов.—Ж. Русек, хим. общ., 1928, т. 60, стр. 413—457.

Арнольд В. И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона.—ДАН СССР, 1962, т. 142, № 4, стр. 758—761.

Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.—УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91—492.

В i г k h о f f G. D. Surface transformations and their dynamical applications.— Acta Math., 1922, vol. 43, p. 1—119.

Б и p к г о ф Дж. Д. Динамические системы.— М.— Л.: Гостехиздат, 1941.

Contopoulos G. Adiabatic invariants and the third integral.— J. Math. Phys., 1966, vol. 7, № 5, p. 788—797.

Danby J. M. A. Wild dynamical systems.— В кн.:Periodic Orbits, Stability and Resonances /Ed. G. E. O. Giacaglia.—Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

Diliberto S. P. An application of periodic surfaces. Solution of a small divisor problem. Contrib. to the theory of nonlinear oscill., vol. 3.— Ann. of Math. Studies, 1956, vol. 36, p. 257—261.

D i 1 i b e r t о S. P., Hufford G. Perturbation theorems for nonlinear ordinary differential equations.— Ann. of Math. Studies, 1956, vol. 36, p. 207—237.

Gustavson F. A. On constructing formal integral of a hamiltonian system near an equilibrium point.—Astron. J., 1966, vol. 71, № 8, p. 670—686.

Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential equations.— Ann. Math., 1960, vol. 73, № 3, p. 496—531.

H a 11 a m T. G. Convergence of solutions of perturbed nonlinear differential equations.— Ann. Math. Pure Appl., 1972.

H ё n о n M., H e i 1 e s C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments.— Astron. J., 1964, vol. 69, № 1, p. 73—79.

Karts at os A. G. On the maintenance of oscillations of the n-th order equations under the effect of small forcing term.— J. Diff. Eq., 1971, vol. 10, p. 355—363.

К a r t s a t о s A. G. On the relationship between a nonlinear system and its nonlinear perturbation. (Preprint from Dept, of Math., Univ, of South Florida, Tampa, Fla., 1972).

К a s u g a T. On the adiabatic theorem for the hamiltonian system of differential equations in celestial mechanics.— Proc. Japan Acad., 1961, vol. 37, p. 366—382.

Ко л моторов A. H. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.—ДАН СССР, 1953, т. 98, № 4, стр. 527—530.

Kruskal М. Adiabatic invariants.— Princeton, Princeton Univ. Press, 1961.

К у n e r W. T. Small periodic perturbations of an autonomous system of vector equations.— Ann. of Math. Studies, 1958, vol. 41, p. 111—125.

К у n е г W. Т. Rigorous and formal stability of orbits about an oblate planet.— Mem. Amer. Math. Soo., 1968, vol. 81, p. 1—27.

Levinson N. Small periodic perturbations of an autonomous system with a stable orbit.— Ann. Math., 1950, vol. 52, № 3, p. 727—738.

L о u d W. S. Periodic solutions of a perturbed autonomous system.— Ann. Math., 1959, vol. 70, № 3, p. 490—529.

M e i г о v i t c h L. Methods of analvtical dynamics.— New York, McGraw- Hill, 1970.

Moser J. Nonexistence of integrals for canonical systems of differential equations.— Comm. Pure Appl. Math., 1955, vol. 8, p. 409—436.

M о s e r J. On the integrability of area-preserving cremona mappings near an elliptic fixed point.— BoL.Soc. Mat. Mexicana, 1961, p. 176—180.

Мозер Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.—Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51—67.

Moser J. Hamiltonian systems.— Lecture notes, New York Univ., 1964.

Moser J. On the theory of quasi-periodic motions.— SIAM Rev., 1966, vol. 8, № 2, p. 145—172.

Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.—М.: Мир, 1973.

Плисс В. А. К теории инвариантных поверхностей.—Диф. уравнения, 1966, т. 2, № 9, стр. 1139—1150.

Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме. Избр. тр., 2.— М.: Наука, 1972.

R ii s m a n n Н. Uber das verhalten analytischer hamiltonscher differen- tialgleichungen in der niihe einer gleichgewichtslosung.— Math. Annalen, 1964, b. 154, s. 285—300.

Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем.—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 103—117.

Зигель К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.— Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129—156.

Зигель К. Л. Лекции по небесной механике.—М.: ИЛ, 1959.

S i е g е 1 С. L., М о s е г J. К. Lectures on celestial mechanics.— New York, Springer—Verlag, 1971.

Sommerfeld A. Atombau und spektrallinien. vol. 1, 7-th ed., p. 370, p. 698, Braunschweig, Vieweg, 1951.

W a s о w W. Adiabatic invariance of a simple oscillator.— Not. Am. Math. Soc., 1971, vol. 18, No. 7 (Abstract).

Уиттекер E. Аналитическая динамика,—M.: ОНТИ, 1937.

ГЛАВА V

РЕЗОНАНСЫ

Введение

Ранний вариант описания проблемы, с которой мы сейчас будем иметь дело, можно найти в работах Бохлина [13] (см. также [68]), в монографии Цейпеля [76] по теории движения астероидов и в работе Уиттекера [75] о задаче поиска решений в виде рядов и о задаче поиска дополнительных интегралов. Все эти работы прямо или косвенно связаны с задачами небесной механики. Первыми, кто изучали эту проблему в теории линейных и нелинейных колебаний, были Ляпунов [55], Крылов [51], Боголюбов [11] и Митропольский [58]. В современной литературе, т. е. после середины нашего столетия, имеется очень много работ о резонансах, в которых содержатся обобщения старых и вводится много новых разнообразных определений и подходов к проблеме.

Хотя рассматриваемое понятие резонанса является объектом всеобщего изучения, его надлежащее определение сегодня зависит от частной задачи, исследуемой автором, и от области его научных интересов. Мы не будем отступать от этой «традиции», хотя и попытаемся поставить проблему в достаточно общих терминах, применения которых настолько широки, насколько только возможно. '

Физическое предположение заключается в том, что нам дана система дифференциальных уравнений, описывающая поведение некоторого механизма, или электрического, или механического. Механизм является осциллятором в том смысле, что он может быть описан с помощью вполне определенного набора переменных действие и угол. В общем случае угловые переменные изменяются со временем с рационально независимыми частотами, а случай рациональной зависимости является исключительным, хотя и вполне возможным случаем. Следовательно, мы предполагаем, что осциллятор имеет дискретный спектр частот и что он ограничен некоторой полосой. Это основное предположение.

Типичные проблемы, которыми мы будем интересоваться, связаны с изучением поведения осциллятора при введении малых изменений его структуры и (или) под действием внешних по отношению к системе факторов (или возмущений). Такие изменения и возмущения вызывают эффекты, коренным образом связан-

ные с частотами осциллятора. Если движение осциллятора является резонансным (периодическое решение), т. е. существует по крайней мере одна обращающаяся в нуль линейная целочисленная комбинация частот, то каков же будет эффект малых возмущений (внутренних или внешних) в системе? Или каково будет результирующее движение, если внешнее воздействие также оказывает осциллятор, частоты которого рационально связаны с частотами системы? В классической постановке гармонический (линейный) осциллятор, который подвергается воздействию внешних сил, находящихся в резонансе с осциллятором, будет увеличивать свою амплитуду безгранично. Однако в естественно-технических задачах это невозможно, так как не существует ни чисто линейных систем, ни диссипативных сил, которыми можно полностью пренебречь, а система распадется, когда амплитуда колебаний достигнет значения, достаточного для разрушения системы.

Частота линейного осциллятора не зависит от амплитуды, а при точном резонансе величина амплитуды стремится к бесконечности. Для нелинейного осциллятора частота зависит от соответствующей амплитуды (или наоборот), так что при изменении амплитуды в осцилляторе перестает выполняться условие резо- нансности частот. Тем не менее, если два нелинейных осциллятора находятся в резонансе, то общим явлением становится такое, когда резонансная система стационарна с ограниченными амплитудами и фиксированными резонансами. Осцилляторы «захватываются в резонанс». Такая конфигурация в общем случае является устойчивой, в том смысле, что малые изменения в системе приводят к малым колебаниям около стационарной конфигурации. Асимптотическая устойчивость может оказаться только при наличии диссипативных сил, но не в консервативных системах.

Типичной задачей, иллюстрирующей проблему резонанса, особенно для читателей, работающих в области небесной механики, является задача о движении простого маятника. Эта задача была подробно исследована Брауном [14] и недавно еще более детальным образом Кинером [52]. Здесь мы не будем еще раз описывать этот пример, а лучше подойдем к проблеме с более общей точки зрения.

В любом случае крайне важно понять, что поведение системы под действием возмущений и при выполнении условий резонанс- ности можно только тогда изучить до конца, когда известны все особые точки соответствующей системы дифференциальных уравнений и их характеристики досконально исследованы. Для систем с одной степенью свободы в общем случае это простая задача, п классификация особых точек хорошо известна. Такая классификация была обобщена на случай систем с двумя степенями свободы [66], но ее геометрическая интерпретация практически невозможна. Более того, большее число геометрических теорий, пригод-

ных для систем с одной степенью свободы (например, теорема Биркгофа о неподвижной точке, теорема Бендиксона — Пуанкаре, теория предельных циклов и аналогичные геометрические проблемы), нельзя обобщить на случай систем с двумя и более числом степеней свободы.

Большинство результатов, относящихся к проблеме резонансов в нелинейных системах и рассматривающихся здесь, являются описательными, за исключением только нескольких случаев. В большинстве случаев окончательный ответ приводится в виде уравнения Бохлина, к которому мы приходим применением принципа, известного главным образом под названием принципа минимума энергии или принципа сохранения устойчивых стационарных решений. В чисто историческом плане мы хотим упомянуть интересную статью Бакера [7], встретившегося с проблемой резонансов (малых делителей) в задачах небесной механики и давшего очень интересное описание поведения системы в типичной резонансной ситуации. Из этой работы можно почерпнуть много физических и математических рекомендаций. Сегодня за решение рассматриваемых вопросов берутся много авторов. Такое исследование, остающееся сегодня одним из лучших, было проведено Арнольдом [5]. Рассматриваемая проблема не может быть отделена от вопроса о структурной устойчивости, однако даже для систем с двумя степенями свободы результаты в этой области остаются скудными (см., например, [67]). Один известный результат проливает некоторый свет на теорию возмущений: гамильтоновы системы (не зависящие от времени) могут быть аппроксимированы структурно устойчивыми системами. Другими словами, для данной консервативной системы можно найти «очень близкую» (в смысле С'1), которая будет структурно устойчивой1). В этой связи мы еще раз упомянем возможные следствия того факта, что любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, приводимую к нормальной форме, можно записать в гамильтоновой форме (глава II, § 4). По нашему мнению, такую возможность надо использовать во всех случаях, чтобы воспользоваться специальными свойствами гамильтоновых систем, а особенно в связи со свойствами соответствующих инвариантных многообразий.

Движение в окрестности положения равновесия

В этом параграфе мы кратко опишем постановку задачи о движении в окрестности положения равновесия, ее решение с помощью формальных рядов и подход к полному решению, который необходим в случае, когда частоты нормальных колебаний линейно независимы на множестве целых чисел (глава III, § 4).

Пусть гамильтониан Н (у, ж) аналитичен в некоторой области D фазового пространства, и соответствующие уравнения движения имеют вид

У = НХ1 х = -Н^У = НХ1 х = -Н^(5.2.1)(5.2.1)

У = НХ1 х = -Н^

У = НХ1 х = -Н^

(5.2.1)

(5.2.1)

где х, у — векторы размерности и. Допустим также существование такого изолированного стационарного решения#0, у° в D, т. е.

(5.2.2)(5.2.2)Нх» = Н^б = О,

(5.2.2)

(5.2.2)

для которого матрица д^Н/дудх не является особенной при х = х°, у=у°.Отсюда, разумеется, следует, что такая точка является максимумом или минимумом для функции Н, т. е. квадратичная часть тейлоровского разложения функции Н в окрестности этой точки может быть приведена к нормальной форме или, что то же самое, соответствующие уравнения отвечают п независимым осцилляторам). Мы будем считать, что точка (#°, у°) является точкой минимума, так что вышеупомянутую редукцию можно осуществить с помощью вещественного преобразования. В соответствии с этим, если дано 6>0, то можно найти такое е>0, что при

|^о —^° К е, | Уо — У°|<е,

где (х0, у0) е D, для всех моментов времени имеем

]# — #°|<б, |у —У°|<6,

где х, у — решение уравнений (5.2.1), соответствующее начальным условиям #0, у0. Следовательно, определим q= у — у0 и р= = х — х°, так что можно считать р, q ограниченными для всех моментов времени. Принимая у,уза новые переменные, раскладывая функцию Я(у°+ q, #°+р) в ряд Тейлора и отбрасывая посто-

*) Из невырожденности матрицы д2Н/дудх в положении равновесия в общем случае не следует, что эта точка является максимумом или минимумом гамильтониана. Это утверждение справедливо только в одномерном случае. Например, в двухчастотной системе с гамильтонианом (<о1><о2>О)

янную часть, в силу сделанных предположений получим

Н = Н2 + На + ..(5.2.3)

где Hh(q, р)—однородйые полиномы степени к относительно компонент векторов q, р. Ряд (5.2.3) является абсолютно сходящимся. В частности, мы имеем

H.2 = ^qTAq-VqTBp-vl.pTCp,(5.2.4)

где Ат = А, Ст =.С, а, очевидно, Н2— по предположению положительно определенная квадратичная форма, приводимая линейным симплектическим вещественным преобразованием к нормальной форме

Я2 = !-№ + №).(5.2.5)

Здесь D2 = diag(coi,... ,«)„), a (0j(/ = 1, ..., п) — собственные числа задачи1)- Якобиан |/| линейного преобразования (q, р)—^-(ц, £), т. е.

Г 9 ^3 Р)

9 (П, §) ’

соответствует постоянной, вещественной и симплектической матрице [73]. Соотношение (5.2.5) можно переписать в виде

Я2 = |2(п1 + ®М

А—1

так что функции Гамильтона Н2 соответствует п независимых гармонических осцилляторов, описывающих ограниченное движение вблизи положения равновесия, когда амплитуда колебаний стремится к нулю. Применяя преобразование (q, р)-^, 1) ко всему гамильтониану, находим

я = А(т1т11 + №) + я3 + я4+...,

где Нк — однородные полиномы степени к относительно компонент векторов ц, %.

Уравнения движения можно записать в виде

‘ч=Н1=П^ + Ф^ч),Х = -Нтч=-Ч+^^, п),

где Ф и Y — ряды из однородных полиномов относительно компонент векторов 1], 1, минимальная степень которых равна двум. Также ясно, что если записать Н = Н^ + Н3 + Н4 4- ..., то для всех t каждый полином Нк ограничен величиной порядка 0(6'"). Аналогичное утверждение верно и для рядов Ф и Т и, очевидно, уравнения (5.2.6) имеют единственное решение в области D.

Введем теперь каноническое преобразование

^^ = ^717’^>°h^^ = ^717’^>°h(5.2.7)(5.2.7)

^^ = ^717’^>°

h

^^ = ^717’^>°

h

(5.2.7)

(5.2.7)

или

^C0S^,^C0S^,(5.2.8)(5.2.8)

^C0S^,

^C0S^,

(5.2.8)

(5.2.8)

Па =V23thtoh sinyk.

Отсюда следует, что так как | щ |, I Вл I ограничены некоторой величиной порядка 0(6), а все «>к (к = 1, ..., и) положительны и конечны, то |^| будут ограничены величиной порядка О(62), а | z/h | < л/2 4- Следовательно, значение ук полностью определяется из (5.2.7) значением тангенса.

После применения выписанного выше преобразования гамильтониан принимает вид (см. [75])

И — №1^14- ... 4~ 0)А + Из 4- Н4 4-...,(5.2.9)

где Нк имеют конечное число членов, соответствующих тригонометрическому полиному максимальной степени к относительно у, т, е.

Нк = 2 2 А™’^1 ... z^n exp [i (v^ 4- ... 4- vnyn)J, (5.2.10) m v

*) В действительности из (5.2.8) видно, что необходимо считать —л<</ь^л (прим. перев.).

16 г. Е. О. Джакалья

где.

mi + ••• + mn -у^(5.2.11)

Ы^2гп,-, |vi| +...+ Ы ^ к.

Соотношения (5.2.11) называются характеристиками, Даламбера функции Hh (или Н)1). Все mk — положительные полуцелые числа, а все vt — целые числа. Так как хк = О(б2), то Нк = О(б6), к —, 3, 4, ... Интегрирование системы уравнений, определяемой гамильтонианом (5.2.9), теперь сводится к нахождению возмущений решения

xh=Xh = const, yh = caht + Уь,(5.2.1)

соответствующего гамильтониану Н = Л2 = а»1Х] + ... + а>„хп.

Действительно, соотношения (5.2.12) описывают бесконечно малые колебания в окрестности устойчивого положения равновесия (х°, у°), которое в новых переменных соответствует точке Х = у =0.

С самого начала ясно, что гамильтониан Н является вырожденным, в том смысле, что матрица ^НДдхДх^ — особенная. С другой стороны, функция Н3 не может содержать секулярных членов (членов, не зависящих от переменных у,), так как она является нечетной функцией вектора у и имеет период 2л по каждой компоненте этого вектора. Также очень важно напомнить, что каждая функция Нк состоит из конечного числа членов (при конечном к). Число таких членов увеличивается с увеличением к в соответствии с условиями (5.2.11).

Форма Н2 такова, что никакая теорема, обсуждаемая в главе III книги, к ней неприменима. Тем не менее мы можем показать, что в любом случае существуют формальные ряды, нормализующие функцию Н, т. е. приводящие ее к виду Н = К (X, 0), где все угловые переменные отсутствуют. В действительности будет показано, что существует преобразование, определяемое конечным числом тригонометрических полиномов такого же вида, что и вид Н, такое, что вышеупомянутая нормализация может быть достигнута с любой степенью точности, хотя в пределе это и может привести к расходящимся рядам. В различных задачах такая редукция была проведена Депри и др. [30.2, 31.2], где использовались ряды Ли. Здесь мы будем использовать подход типа подхода Цейпеля, который в действительности, как говорилось в главе II, является эквивалентным вышеупомянутому подходу Депри.

]) Подробное описание свойств полиномов и рядов Пуассона, обладающих характеристиками Даламбера, см. в работе [30*] (прим, перев.).

Решение с помощью формальных рядов

Сначала рассмотрим случай, когда ют, ..., юп линейно независимы на множестве целых чисел, т. е. условие

/itoi + ... + inton = 0(5.3.1)

удовлетворяется тогда и только тогда, когда все целые числа /1, ..., /„ равны нулю. Из этого, в частности, следует, что ни одна из со не может быть нулевой или, другими словами, все переменные присутствуют в гамильтониане. Однако это является прямым следствием предположения об устойчивости положения равновесия ).

(5.3.2)(5.3.2)Процедуру Цейпеля нельзя применить непосредственно без некоторых предварительных рассуждений и аккуратного определения понятия «порядка члена». Действительно, гамильтониан имеет вид

(5.3.2)

(5.3.2)

Н — 2 ®hzh + Х3 + Н4 + . . .,h=l

где Нр = О(бр), как следствие того, что степень полинома Нр, выраженного через Xi, ..., хп, равна р/2, а х, = О(б2). Отсюда следует, что дифференцирование по переменным х понижает порядок члена на две единицы, так что, например, полином

дяД . .. йх1^дяД . .. йх1^(Р1 + • • • + Рп = Р)(Р1 + • • • + Рп = Р)

дяД . .. йх1^

дяД . .. йх1^

(Р1 + • • • + Рп = Р)

(Р1 + • • • + Рп = Р)

имеет порядок О (б'"-21’). Тем не менее в уравнениях, получающихся из обобщенного уравнения Гамильтона — Якоби, мы никогда не будем иметь членов отрицательного порядка по б.

Производящая функция канонического преобразования (ж, у)-> -ЧХ, У)

8 = Хту + S3 (X, у) + S4 (X, у) + .. •(5.3.3)

выбирается так, чтобы

хь = 8Уь = Xh 4- S3yh + Stoh + •..,(5.3.4)

а нормализованный гамильтониан имеет вид

X (X) = 2 tohXh + К3 (X) + К4 (X) +...(5.3.5)

На этом этапе все ряды считаются чисто формальными, за исключением ряда (5.3.2), который является равномерно сходящимся.

После подстановки (5.3.4) в (5.3.2) и разложения в ряд Тейлора первые несколько приближений будут определяться уравнениями

^ ®А ^ + Я3 (X, у) = Х3 (X),(5.3.6)

к h

2«,^+2«Ь№Л)«. + я.(Х,!,) = Х.(Х), (5.3.7) кккк

ЭУкdXh dyh

ЧЗЗ^Й^^+З^^^+я.ех,,,)-

2 ft j dAkdAj ^кк dAk 9Ук

= №).(5.3.8)

В нерезонансном случае формальное решение вообще не представляет никаких затруднений. Действительно, так как

Нр (X, у) = 2 А^^Х) exp г (vfy, + ... + vpyn ), (5.3.9)

где vp = (vf, ..., v„), а ДрР(Х)~ однородные полиномы степени р/2 относительно Хь ..., Х„, то отсюда, например, следует

Х3(Х) = Лз(Х),

S3 = 2 Ар (X) [i (vj®! + ... + Vn®n)] X vP

X exp i (viy1 +...-(- v„yn) A- F э (X, 0),(5.3.10)

где F3 (X, 0)—произвольная функция, зависящая только от X. Ее можно положить равной нулю. Это не повлияет на приближения более высоких порядков, так как во всех уравнениях функции 53, S4, .. . встречаются только в виде своих частных производных по переменным у. Уравнения для приближения любого порядка имеют одинаковый вид и решаются аналогично.

Теперь рассмотрим случай, когда имеется один (и только один) набор целых (несократимых одновременно) чисел Д, ..., /„, не обращающихся одновременно в нуль и таких, что выполнено условие (5.3.1). В этом случае может оказаться, что некоторые делители, встречающиеся в (5.3.10), равны нулю, т. е. некоторый набор чисел (vi, ...,v„) кратен набору (/i, ..., jn). Это обязательно должно случиться лишь с конечным числом членов какого-то при-

ближения, так как функция Нр имеет конечное число членов при конечном р. Тем не менее ясно, что при увеличении р рассматриваемые знаменатели могут стать сколь угодно малыми. Для рационально независимых чисел со сходимости можно добиться введением нижней границы соответствующих резонансных соотношений, как это уже рассматривалось в главах III и IV. Действительно, Уиттекер [75] упоминает пример, в котором ряды

ОО ОО ^Яг^Я

т — па

п=1 т~1

при l^il < 1, | Уз | < 1 и а, иррациональном в действительности являются сходящимися. Для рационально зависимых чисел ю рано или поздно должен появиться нулевой делитель и, следовательно, в том виде, в каком он использовался раньше, описанный способ нормализации применить нельзя.

В том случае, когда в функции Н3 нет таких членов v®^ + . .. ... + VnZ/n, что v^tox + ... + v„(on = 0, все угловые переменные по-прежнему можно исключить, если только заметить, что функцию S3 можно записать в виде (5.3.10), где произвольная функция Г3 может теперь зависеть и от критической комбинации (аргумента) 7ii/i + ... + jnyn, т. е.

F3=F3(XJiyi + ... +jnyn).(5.3.11)

Как легко проверить, произвольная функция, зависящая от такого критического аргумента, не даст никакого вклада в уравнение (5.3.6). Теперь уже произвольную функцию можно использовать для уничтожения любого члена, содержащего критический аргумент (или кратный ему аргумент) в следующих приближениях. Важная роль, выполняемая здесь следующими членами по отношению к квадратичной форме в преобразовании, которое рассматривается в теореме Биркгофа о неподвижной точке, также проявляется и в функции Гамильтона.

Действительно, положим

^з (X Гу) = S S“ (X) exp [га (у^)],(5.3.12)

а'

где целое число а определяется на следующем шаге вычисления приближений, a S3 (X) — однородные полиномы степени 3/2 относительно Ху, . . ., Х„. Определив

Н3(Х, у) = Я3б(Х) + Я3р(Х, у^(5.3.13)

получаем

5з(¥) = -1л?(Х)№7\^^-))"1,(5.3.14)

где Л™ (X) — коэффициенты при членах с критическим аргументом o-fy в Н». Видно, что дополнительные особенности могут появиться в окрестности и в самой точке X = X, такой, что

dH3s (X)

27ft эх _ = 0’<5-зл5)

кк Х=Х

однако в общем случае этого не произойдет. Таким образом, решение получается введением на каждом шаге произвольной функции Fp(X,fy) в SP(X, у), которая должна определяться на следующем шаге. Возможно также, что «секулярная» часть функции Яз или некоторого другого приближения окажется равной нулю. В этом случае приходится вводить секулярную часть из более высокого приближения, увеличив, таким образом, размеры соответствующих членов в рядах, что, тем не менее, будет полезно во многих задачах.

Если Яз3 = 0, то, подставляя вместо этой функции функцию Я^, получим вместо (5.3.14) формулу

Яз (X) а (А) <,

U ft J

так что в действительности Я“ (X) является функцией второго порядка малости. Тем не менее, такие случаи и случай, когда Я3 содержит критический аргумент, являются наилучшими для применения нижеописываемого метода, согласно которому исходная система сводится к системе с одной степенью свободы, где в качестве единственной появляющейся угловой переменной берется критический аргумент. Следовательно, формально система сводится к квадратурам.

В рассматриваемом случае рассмотрим сначала каноническое преобразование к новым переменным ж', у' по формулам

Ук = Ук (к =1, ....п — 1), Уп = 11У1++ кУп,

x^x’h-YikxV (к = 1, ...,п — 1), жп=/пж« (7п=#0).

(5.3.16)

В новых переменных гамильтониан приобретает вид

Я =+ ... + <on_^n-i + 2 4“ (ж) exp iay„ + Я3 + Я4 + ...,

a

где в Я3 собраны члены, не содержащие только критический аргумент уп- Записанная в новых переменных система является вырожденной. Если все43(ж') не равны тождественно нулю и Нз имеет нулевую секулярную часть, то можно исключить из

гамильтониана только углы У1, ..., yn— 1, т. е. углы, соответствующие имеющимся в Н2 импульсам. Теперь, опуская штрихи при переменных, функцию Н можно записать в новом виде

Н — (щт^ + ... -f- (On—i^n—i Ч- xj ^з к®) exp in#yn а

+ Нз (ж, у) + Н^ {х, у) + ...,(5.3.17)

где функция Нз может быть записана следующим образом:

Нз = 2 Аз (ж) exp [i ^^ + ... + vnyn)J;V

при этом целые числа vi, ..., vn-i не обращаются одновременно в нуль, если vn =# 0. Следовательно, в силу сделанного предположения о единственности набора ненулевых одновременно целых чисел, удовлетворяющих соотношению (5.3.1), условие vitoi + ... H-VntOn = 0 не может быть выполнено ни для одного набора целых чисел v= (vi, ..., vn) из. Нз.

Теперь только необходимо потребовать, чтобы новый гамильтониан К, записанный в новых переменных X, Y, представлялся рядом

К = К(Х, Уп') = К. + Кэ + К4+

вообще говоря, формальным, так что Xi, ..., Xn-i являются постоянными, и система имеет единственную степень свободы. Производящая функция опять определяется формальным рядом

S = XTy + S3(X, y) + S4(X, у)+ ...,

а соответствующее преобразование имеет вид

riНЯ

что, как и всегда, дает К2 = g)i.¥i-|-. . ,-|-ton_iXn_i.

Рассмотрим тейлоровское разложение обобщенного уравнения Гамильтона — Якоби

H^+v + "-^=Klx'8-+5;+"^ =

= 2 ®hxh^K3kx, yn) + ...

Принимая во внимание уменьшение порядка на две единицы при каждом дифференцировании по X, для первых нескольких

приолижении получаем

2®^ + Яз(^У)=Яз(^, Уп)

п—1п—19S4 , у9S4 , уЬ=1Ь=19Н3 (X, у) 9S39Xh 9yk9Н3 (X, у) 9S39Xh 9yk+ Н4(Х, у) =+ Н4(Х, у) =

п—1

п—1

9S4 , у

9S4 , у

Ь=1

Ь=1

9Н3 (X, у) 9S3

9Xh 9yk

9Н3 (X, у) 9S3

9Xh 9yk

+ Н4(Х, у) =

+ Н4(Х, у) =

= К4<Х, у„) += К4<Х, у„) +9Кз (X, у^ dS3Эуп ЭХ^'9Кз (X, у^ dS3Эуп ЭХ^'

= К4<Х, у„) +

= К4<Х, у„) +

9Кз (X, у^ dS3

Эуп ЭХ^'

9Кз (X, у^ dS3

Эуп ЭХ^'

у1 ^5 , у 9Н3 (X, у) 9S4,1 V 9Щ3 (X, у) 9S3 9S3

Й К 9^^ 9ХН 9^2 £ 9X^Xi 9^ ®У3

= №, у^А-= №, у^А-ЭН4кХ, У^^Д-И^Х, у^ =ЭН4кХ, У^^Д-И^Х, у^ =9ХЬ k к9ХЬ k к9К3 (X, уп) gg49^ 9Хп9К3 (X, уп) gg49^ 9Хп, 1 ^з(^Уп)/^3\2 ,+ 29^ [9Xj +, 1 ^з(^Уп)/^3\2 ,+ 29^ [9Xj +

= №, у^А-

= №, у^А-

ЭН4кХ, У^^Д-И^Х, у^ =

ЭН4кХ, У^^Д-И^Х, у^ =

9ХЬ k к

9ХЬ k к

9К3 (X, уп) gg4

9^ 9Хп

9К3 (X, уп) gg4

9^ 9Хп

, 1 ^з(^Уп)/^3\2 ,+ 29^ [9Xj +

, 1 ^з(^Уп)/^3\2 ,+ 29^ [9Xj +

Ж4<Х, у„) д8з дуп дХп"

На каждом шаге, очевидно, соответствующее уравнение можно записать в виде

п—19S

2 +ЯР(Х> У)+l^'Wexp(ja(yJ =К^Х, у^,

(5.3.18)

где функция Нр обладает теми же свойствами, что и описанная ранее функция Н3 в (5.3.17).

Определим функцию К» в виде

к» (X, уп) = н;8 (X) + 2 Л£₽ (X) exp (iaM, (5-3.19)

аР

где

h; = h;s(X) + h;p(x, 9у

Тогда функция 5ц определяется как решение уравнения^toh^l+H;p<X, у) = 0,

в котором в силу сделанного выбора функции Н^ нет ни одного нулевого делителя. Такая частичная нормализация может быть

осуществлена до приближения любого порядка, так что мы можем записать новый гамильтониан в виде

x-sX^ + ^tx, уп)+ ... + ш Уп) + о(|^1р+1),

ь=1

и с точностью до О (| X |р+1) соответствующая система может быть проинтегрирована в квадратурах.

Эквивалентность проблеме возмущения линейных систем

Легко установить связь между результатами предыдущего’ параграфа и классической задачей возмущения линейных систем, изученной в работах Чезари [15], Хейла [40] и некоторых других авторов. Действительно, рассмотрим уравнения (5.2.6), переписанные в виде

\/ э\нД 5 0b У\/ э\нД 5 0b У(5.4.1}(5.4.1}

\/ э\н

Д 5 0b У

\/ э\н

Д 5 0b У

(5.4.1}

(5.4.1}

где Ml = Из + Н^ +• • ■ Введем линейное преобразование

z =z =1 — iD~i —I\iZ)"1 — I1 — iD~i —I\iZ)"1 — Iдиди(5.4.2}(5.4.2}

z =

z =

1 — iD~i —I

\iZ)"1 — I

1 — iD~i —I

\iZ)"1 — I

ди

ди

(5.4.2}

(5.4.2}

или обратное ему

(5.4.3)(5.4.3)Т| \ i jiD — iD\

(5.4.3)

(5.4.3)

2"\-z-z )z>

где z — вектор размерности 2и. Отсюда следует, что z удовлет

воряет уравнению

(ID О\ / О I \ f D-1 о \/дДН\т

2 = Ц ~iZ)/ +2Д—Z О Д0д-1 Д ^ /

ИЛИ (А = 1, . . ., 71)

zh — z(06z6 + fh(z\ zn+\ — — itohZn+h -|- /n+ft(z),

(5.4.4)

, 2i 8№,2i 8&H

Л=ЧКД’<5A5>

Следует заметить, что уравнения (5.4.4) можно переписать

в виде (к = 1, ..., п)

2i ан • 2i ан,_ ,

=—• Zn+k =(5.4.6)

Шк ®zn+kшк dzh

где

H 2* ^j ^к^к^п^к ~b А^ •

В любом случае уравнение для фундаментальной матрицы решений уравнений (5.4.4) можно записать так:

2 = Лг + Ф(г),(5.4.7)

где Ф (Z) — матрица, элементами которой являются ряды из однородных полиномов степени не ниже 3/2. В используемых здесь обозначениях

Ф = Ф3 + Ф4Ч-» • •

Теперь можно представить метод усреднения, описанный в предыдущем параграфе, с помощью следующей процедуры последовательных приближений. Пусть В — постоянная диагональная матрица с неизвестными элементами Xh (к = 1, ..., 2п). Тогда можно положить

S=diag (in, ..., ir„, —in, ..., —in,)', где неизвестные постоянные n, ..., тп должны определяться в результате использования метода усреднения. Определим дополнительное уравнение

Z = SZ+G(Z),(5.4.8)

где

G (Z) = ф (Z) + М - 5) Z.(5.4.9)

Видно, что при G(Z) = 0 решение уравнения (5.4.8) имеет вид

Z(0) = entCi(5.4.10)

где С — постоянная матрица, которую можно положить равной единичной матрице.

Введем преобразование

Z = ешУ,

так что уравнение (5.4.8) переходит в уравнение

У = e~BtG(eBtY),(5.4.11)

где У,0) = const — приближение нулевого порядка. Вообще говоря, нельзя считать, что в интеграле от функции e~BtG^eB‘Y№'j

не будет содержаться секулярных членов. Надо считать, что секулярные члены будут присутствовать в таком интеграле наряду с условно-периодическими функциями времени t (предполагается, что величины ti, ..., т„ линейно независимы на множестве целых чисел).

Тогда определим операцию усреднения

т

Р VM (0) = ^у j* М (t) dt,6

так что матрица

M(t^ -Р\М^"\ = (J-P)M(t)

является условно-периодической или, в исключительных случаях, периодической. Таким образом, мы получаем уравнение

у(» = (J-P)e-B‘G(eB‘Ym),

интегрирование которого дает условно-периодическую матрицу. В общем случае мы определим процедуру последовательных приближений и усреднения формулой

YW = yW + ^J_P) e-B9G ^B9y(m-i^ d9

Возвращаясь к матрице Z, получаем

Z^ = eBtYw + eBt f (J- P) e-B9 [Ф (Z(m-1)) + (Л - B) Z(m-1)] d9.

(5.4.12)

Если процедура сходится, то последовательность Z(m) будет иметь предел Z, удовлетворяющий интегральному уравнению

t

г = е5'^ + eBt ^(J-P) е~В9 [Ф (Z) + (Л - В) Z] d9.

Дифференцируя последнее уравнение, получаем

Z = BeBtYw + В (Z~ eBtYw) + eB\J - В) e~Bt [Ф(г)+(Л - В) Z] или

Z = ЛZ+Ф(Z) -es,B{e-s,[O(Z) + (Л-В)г]},

что является решением уравнения (5.4.7) тогда и только тогда,

когда выполнено равенство

P{e-B,[O(Z) + H-B)Z]} = О или г

lira A f е~в,[Ф (Z (Z)) + (Л - В) Z ^ at = 0.(5.4.13)

ь

До сих пор не была показана ни сходимость, ни расходимость метода последовательных приближений, определяемых уравнением (5.4.12). Теорему о сходимости, доказанную Чезари [15] и Хейлом [40] при более общих предположениях для определения периодических решений, в этом случае не так просто обобщить, так как принцип сжатия, который позволяет применить теорему Банаха о неподвижной точке, здесь очевидно не выполняется. Действительно, полнота пространства всех условно-периодических функций очевидно не имеет места. В этом случае похоже, что можно применить непосредственный путь доказательства, аналогично тому, как этот было сделано Чезари [15]. По нашему мнению, этот метод будет сходящимся, по крайней мере для множества частот ©i, . .., ®„, удовлетворяющих соответствующему условию иррациональности и, возможно, за исключением некоторого конечного числа соотношений между toh, которые привели бы к классической задаче о параметрической неустойчивости (см. [60, 31, 37]).

В покомпонентной форме уравнение (5.4.12) можно переписать так:

Z^ = e^Z^ + e"ht f (J - P) е~"к9 [ф^- (Z(m"'1)) +

+ Ц®й - rj Z^-^] 79,

а условием (5.4.13) определяются постоянные Z^, и оно должно быть сведено к системе уравнений относительно неизвестных тц . .., т„, выражающихся через ©i, . .., ®„. Эквивалентные соотношения для исходной системы (5.4.4) имеют вид

4™) = е"^ + eTh4 (J - Р) е"^9 [/, (z^11) +

+1 (®к — тй) zl Ч ай,

^и = ^^4°^ + е"^ (7 - Р^ е1^9 Vfn+k (z'”1"11) -

— t (©а — т^ z^1^ ай,

или для вектора z

zw = eBtzw + eBt j (J - P) е^ВЙ [/ (z(m-1)) + (A - B) z(m-1)] d9.

(5.4.14)

Тот факт, что близкие к линейным целочисленные соотношения между частотами оси, .. ., соп могут привести (и в самом деле приводят) к появлению если и не нулевых, то по крайней мере малых делителей, немедленно следует из результата применения оператора P[f(i)] к функции / (t) = exp i(kiyi + ... ... + к^уп), где Уь—tokt+yh (к = 1, ..., п).-

Хейл (см. [49.2]) доказал существование почти-периодиче- ских решений системы уравнений

у = Ay + q^ у, е)(5.4.15)

при условии, что функции q — почти-перподические относительно t, а система у = Ау—некритическая, т. е. все собственные числа матрицы А имеют ненулевые вещественные части. Рассматриваемый здесь случай очевидно соответствует критической системе, хотя можно найти такое преобразование, которое делает все элементы диагональной матрицы вещественными. Для некритических случаев можно показать существование почти-пе- риодических решений (относительно t) уравнений (5.4.15) с теми же частотами, что и у функции q. Для динамических систем этот результат очень важен при изучении возмущений поч- ти-периодических решений. Если получающаяся вариационная система нормализована до членов второго порядка, и в результате получается некритическая система, то почти-периодические решения будут существовать в соответствующим образом ограниченной окрестности исходного решения. Аналогичные проблемы возникают и при исследовании устойчивости по Ляпунову, структурной устойчивости относительно возмущений, а также при изучении свойств инвариантных (или интегральных) многообразий. Основные результаты в этой области получили Дили- берто [27], Боголюбов и Митропольский [12]. Основные результаты, касающиеся условно-периодических решений, получили Малкин [56, 57] и Розе [71].

Нелинейный резонанс

До сих пор мы имели дело с задачей построения решения в окрестности положения равновесия, начиная эти построения с линейных гармонических колебаний, соответствующих нормальным колебаниям. Теперь мы займемся более общей задачей, т. е.

будем считать исходный осциллятор нелинейным в том смысле, что частоты зависят от амплитуд. Как упоминалось выше, некоторые аспекты этой проблемы рассмотрел Пуанкаре [68], осуществивший идеи, которые предложил Бохлин [13].

Изучение нелинейного осциллятора и выяснение эффектов влияния на него возмущений потребует точного знания всех особых точек фазового пространства, определения сепаратрис, седел и центров, а также областей колебательного или вращательного характера движения. Разумеется, все эти понятия широко известны, и их подробное описание можно найти, например, в работах [64, 74, 54, 65, 28, 2]. Эти книги являются основными также и для большинства других обсуждаемых в этой главе вопросов, хотя работы Мозера [61—63] наиболее близки к излагаемым здесь вопросам. Ряд ценных замечаний относительно рассматриваемых вопросов содержится в работе Кинера [52], но, к сожалению, она малодоступна.

Рассмотрим сначала автономную гамильтонову систему, определяемую гамильтонианом Н (д, р) в некоторой области D фазового пространства. В области D функция Н имеет конечное число особых точек (типа центр или седло). Здесь сепаратрисы определяются просто как траектории, соединяющие (в предельном смысле) две седловые точки, которые могут в конечном счете совпасть. Во внутренней по отношению к сепаратрисе области всегда существует центр. Для систем с числом степеней свободы, большим единицы, некоторые из этих понятий сразу же обобщить нельзя. В предыдущих параграфах мы описали получение решений в виде рядов (в конечном счете, только формальных), описывающих движение в окрестности устойчивого положения равновесия. Здесь мы до некоторой степени расширим задачу, получив формальные ряды, описывающие решение в окрестности центра (т. е. в колебательной области) и в окрестности вращательного движения (т. е. во вращательной области). В первом случае одна или более угловых переменных ограничены теми или иными пределами в общем интервале, меньшем чем 2л, в то время как во втором случае все угловые переменные не- ограничены.

Мы предположим, что гамильтониан можно разбить на конечное или счетное число частей, т. е.

Н = Но + Н\ + Н2 +• • ч

где для простоты будем считать Я6 = О(е'1), хотя наличие «малого параметра» е несущественно. Тем не менее, его использование упрощает вывод многих формул. Мы также будем рассматривать следующие предположения.

Движение с функцией Гамильтона Но является интегрируемым и, следовательно, если надо, ее можно записать в виде функции только импульсов (или координат).

Функции Hh(k">0^ состоят из конечного числа членов вида

нк = s At (р) exp i (v^! + ... + v^n).

Множества инвариантных многообразий систем уравнений с функциями Гамильтона Н и Но соответственно не сильно отличаются друг от друга. Другими словами, предполагается, что существует непрерывное преобразование, переводящее одно множество в другое и такое, что при е—>0 оно становится тождественным.

Последнее предположение, по существу, совпадает с утверждением теоремы Колмогорова, в которой, разумеется, должна быть еще исключена линейная зависимость между частотами движения, соответствующего гамильтониану Но. Так как эти частоты предполагаются непрерывно зависящими от амплитуд, то можно исключить такое множество начальных условий, которое приводит к различного рода «неприятностям». Вопрос теперь заключается в том, как можно описать движение в окрестности резонансной области (критической точки).

Сначала мы изучим системы с одной степенью свободы, т. е. системы, которые в принципе сводятся к квадратурам. Следовательно, это рассмотрение служит только для целей дальнейшего обобщения результатов.

Итак, пусть дан гамильтониан

И = Н0{р) + Нх (р, q) + Н^р, q) -[-.. .

со скалярными величинами р, q, a.Hh—O(Ek),Hh=^lAk(p)exp(i,vq).

v

Предполагается, что функция Н аналитична в некоторой области D фазового пространства (р, q) и что при е = 0 имеем SkHo]dpk=O при p = poeD и к = 1, ..., т (ттг — конечное число).

Мы также предположим, что при е =# 0 гамильтониан имеет точку минимума, т. е. можно решить систему

= о, 8JLM_ = о,(5.5.1)

8qдр'*

и ее гессиан будет отличен от нуля в окрестности некоторого решения этой системы (5.5.1). В силу сделанных предположений система (5.5.1) имеет по крайней мере два решения: максимум и минимум в области И1). Пусть точка минимума определяется

’) Это следует из периодичности гамильтониана относительно q (прим, перев.).,.

координатами (р, q), где

р = Po + epi + е2рг + ..., eq = eqi + ^q^ + e3q3 + ...(5.5.2)

ЭЬНв (Р)8phЭЬНв (Р)8phИз аналитичности функции И в области D следует, что существует такое 6 = 6(Я, е) > 0, что при |р—ро| ^ 6, p^D1 и 0 ^ =С q < 2л выполнены неравенства

ЭЬНв (Р)8ph

ЭЬНв (Р)8ph

< fioe^+i-W8,(5.5.3)

где s > 0, a Qo не зависит от е, 6 и к = 1, ..., т.

Наша цель заключается в исключении из гамильтониана переменной q, т. е. в приведении к нормальной форме в окрестности особой точки ро. Эта цель будет еще больше расширена в следующих параграфах.

Пусть каноническое нормализующее преобразование определяется производящей функцией

'S(P, q) =Pq + M(P, q),

где функция AS определена в некоторой области Q по Р при О ^ q < 2л и имеет порядок О(ег) (г>0). Величина т зависит -от s, от порядка а наинизших членов в Я, содержащих угловую переменную q, и от та. Предполагается также, что новый гамильтониан К(Р) может быть записан в виде

Я(Р) = Я0(Р) +АЯ(Р),

где функция АЯ(Р) определена в области Q и имеет некоторый порядок О(е₽) (р>0). Все вещественные числа s, г, р априори неизвестны и должны быть определены по числам а, тп.

Уравнение энергии

я(р+^, д)=Я(Р),(5.5.4)

разложенное в ряд Тейлора, дает

И1 8hHe^ a\s\h.

.. . + Я, (Р) + 2 А д-^М_ (^^ + ... = яо (Р) + АЯ (Р),

(5.5.5)

так что, как и обычно, Яо(Р) = Я0(Р). Следующее приближение в 5 (в А5) надо использовать для уничтожения q в Яа(Р, q), ■если предполагается, что все функции Я;, ..., На-\ не зависят

от q. В силу сделанных предположений получаем, что при достаточно малых е функция AS должна удовлетворять уравнению

у 1 аЧуч / аду у к\ 9ph \ dq /у 1 аЧуч / аду у к\ 9ph \ dq /+ H^P,q^=K7AP),+ H^P,q^=K7AP),(5.5.6)(5.5.6)

у 1 аЧуч / аду у к\ 9ph \ dq /

у 1 аЧуч / аду у к\ 9ph \ dq /

+ H^P,q^=K7AP),

+ H^P,q^=K7AP),

(5.5.6)

(5.5.6)

где а ^ 1, m ^ 1 — заданные целые числа. Кроме того, положим

АК = Кх (Р) +...+ К^х (Р) 4- ^а(Р) +-..,(5.5.7)

где

К^РУ^Н^ (/= 1, ..., а — 1).

Из уравнения (5.5.6) следуют соотношения

(ти + 1 — ft)s +/сг = а (/с = 1, . .., /л),(5.5.8)

так что необходимо выполнение равенства

Г = 8 = —,(0.0.9)

m + 1

которое является решением уравнений (5.5.8) для всех к.

Эти условия определяют то, что мы называем областью колебаний, т. е. область, содержащую центр и ограниченную замкнутой сепаратрисой.

В случае а = 1 и т = 1 мы получаем классический результат г = s = 1/2, т. е. разложения 5(Р, 9) и Я(Р) ведутся по степеням квадратного корня из малого параметра е. Идея разложения по степеням квадратного корня очень стара и, как уже упоминалось выше, вытекает из теории Вейерштрасса об умножении степенных рядов. Она естественным образом появилась из работ Бохлина [13] о колебательных движениях. В наших работах мы в основном полагали, что вблизп ро функция Н ведет себя как

И ~ (р—р0)т+7(р, 9) + eg(p. 9).

где / (ро, ?) ^0. В классической постановке т = 1.

Хотя это и не является необходимым, мы опишем простейший и в действительности наиболее общий случай а = 1, т = 1, т. е. можно записать

S = Pg + S1/2(P, 9) + S,(P, 9)

Я = Я0(Р) +^(Р) +Я3/2(Р) + Я2(Р) +...,

17 г. Е. О. Джакалья

так как легко проверить, что ^о(^) = ^o(P), ^i/2 (Р) = 0. Из (5.5.5) следует, что уравнение первого порядка для определения функций <?i/2 и Ki имеет вид

Н'о Sr " 4 Я» (4г)2 ^НЛР^ = К1 (РУ (5.5.10)

где штрихи означают дифференцирование по Р.

Для определения функции Ку (Р) мы потребуем, чтобы точка (р, д) была неподвижной точкой преобразования, определяемого функцией S. Так как функция Hi (Р, q) непрерывна и периодична по q, то мы можем найти Ку в виде

Ку (Р) = min ^i (Г q) = ^i (Р- 91 (^)Х(5.5.11)

где функция $i (Р) такова, что

8Нг I _ л 92Нг I q dq ’9q2 к-.»:

для всех Р e O. Ясно, что так как функция Н аналитична, то q — 91 (р) — О (е) или q — q\ (ро) = О (е). Пусть

F^P, q^H^P, ^-^(Р),

так что, очевидно, функция Pi (Р, 9) положительна при PeQ и 0 < g < 2л, за исключением значений q = qi (Р), при которых она равна нулю. Функция <51/2 теперь определяется из уравнения Бохлина

, 8S.1-)4„ / dS«i<> \2.

НгГн« Нг) + F*(Р’ = °- &5Л2)

При 9 = gi(P) и Р = р0 получаем, что dSn^dq = 0. Так как в этом приближении

то из предыдущего равенства находим, что рассматриваемая неподвижная точка является центром, если <51/2 удовлетворяет равенству dSy^ldP = 0 при Р = ро.

Для простоты перепишем уравнение (5.5.12) в виде

^^- + -4-В^У + Р(Р, 9)=0,(5.5.13)

где Р(Р, q) > 0, Р(Р, qi (Р)) = 0, а Л = O(eV1) и В ограничено снизу при малом е. При этих условиях получаем, что, так как

функция F(P, q) является периодической по q, то она является также четной функцией этой переменной, т. е. F(P, q) = = F{P, —q) и, следовательно, ее можно записать в виде

F = 2 “, (Р) sin2,‘ q.

М

Пусть всегда выполнено равенство

-А.-А = max F(P, q).(5.5.14)

°{g}

Тогда функция ст, зависящая от Р, больше нуля. Функция

^(Р, g)=^F(P, q)

такова, что

maxY (Р, q) = 1(<? = ± л/2),

<д}

minY (Р, q) = 0 (q = 0),

<g}

Т (Р, д) = Т (Р, -д)

и она, следовательно, может быть записана в виде

Т (Р, q) = 2 Pj (Р) sin2' q,

з=1

Будем предполагать, что

р!«1,|М<1(/^2).

Исключая тогда случай Л = 0, получим

^ = R (Р) р 1 ± [- А т (Р. д^2 j. (5.5.15)

где R — AjR. Мы также предположим, что А > С. Случай Л < 0 соответствует аналогичной формуле с заменой А на |Л| и соответствующей заменой знаков.

Очевидно, возможны следующие случаи:

ст < 1 — колебания,

ст > 1 — врагцения,

ст = 1 — сепаратриса или сеолоеые точки.

И*

Так как в последнем случае требуется выполнение точного равенства, то он имеет значение только в предельном приближении к S, и то, если ряд для 5 сходится.

Если о < 1, то функция Т (Р, 9) не может достичь своего предельного значения (единицы), т. е. существуют такие значения д = gi, д =дг, что

Т(Р, 91) = Т(Р, д2) = о2,

и в рассмотренном выше случае gi = — 92. Значения 91 и 92 являются граничными точками колебаний. Если а > 1, то функция V (Р, 9) принимает все возможные значения, угол д неограничен и д имеет (в среднем) постоянный знак.

Теперь введем модуль к = min (а, а-1) и эллиптический интеграл и, определяемый формулой

Т (Р, 9) = к2 sn2 и = а2 sn2 и (колебания) или

V (^, 9) = sn2 и (вращения) ,

где snu = sn(w, к^—эллиптическая функция Якоби sn с модулем к и амплитудой ф, которая определяется формулой

ат и = фь = arcsin (-у- V^j (колебания)

или формулой

ат и = фс = arcsin (]/W) (вращения).

В обоих случаях максимальное значение амплитуды равно л/2 и совпадает с 9 = 91 или 9 = 92 (колебания) или с 9 = л/2 (вращения). Переменная и совершает полный оборот с периодом 4К, где К — полный эллиптический интеграл первого рода и l-2~, к). Модуль к зависит от Р.

Уравнение для W теперь можно переписать в виде

=/?(—! + сп и)

\ Эд или

=P(-l + dnu) ' Эд /с

в случае колебаний и вращений соответственно. Знаки плюс или минус, разумеется, несущественны, так как функция спи изменяет знак через каждую половину периода 2К, при вещественных значениях и функция dn и всегда положительна.

Рассмотрим случай, когда V — четная функция и 92 = —91, т. е. имеются симметричные колебания относительно колебательного центра. Отсюда следует, что

4rL (Р, q) = о2 sn2 и = 2 Р; ^Р) sin2' 9

и

(sin2 q)c = У Л; sn^'+H и .

7--о

В обоих случаях мы можем написать

sin3 q = 2 В, sn2<2>+*> и.

7=о

где |Р, | < So (/ ^ 1), Bo « о2 в случае колебаний и 50 «1 в случае вращений. Мы также находим, что

sin 9 = У Сj sny-rlu,

где Со(£) = о и Со (С) = 1. Кроме того, |Cj| <_CQ при 7 ^ 1. Выражение для cos q зависит от типа движения. В общем случае мы имеем

cos2 q = 1—sin2 q = 1— (So sn2 и + Bi sn6 и +...).

В случае колебаний Во ~ о2 = к2, так что добавляя и вычитая величину о2 sn2 и, находим

cos2 q = dn2 и— [ (Ро — o2)sn2 и + B\ sn6«+...],

и все коэффициенты | So—о2|, | Si |, ... малы по сравнению с единицей. Так как к = о <_ 1, то из выписанных выше рядов мы получим сходящееся выражение

(cos q)L = dn и(cos q)L = dn и1 + У Dj sn2;’ и7=f1 + У Dj sn2;’ и7=f

(cos q)L = dn и

(cos q)L = dn и

1 + У Dj sn2;’ и7=f

1 + У Dj sn2;’ и7=f

где |P>J < 1. '

В случае вращений Во ~ 1, так что добавляя и вычитая из cos2 q величину sn2 и, находим

cos2 q = СП2 и — [ (So — 1) sn2 и + В\ sn6 и +•..],

где коэффициенты |50—1|, |Pi|, ... малы по сравнению с

единицей. Следовательно,

где |£ч| < 1.

Наконец, рассматривая ряды Фурье для sn и, сн и, tn и, dn и, можно записать функции cos q, sin q и Ч1" (Р, q) в виде рядов Фурье по и. Функция q = q(u) легко получается с помощью выписанных выше соотношений и тождества

d . ..dn

— (sin q) = cos q

du '1 du

В случае колебаний находим

^_=спп. 2^; sn^u,3=1

где Fq ~ о. Отсюда следует выражение

WL =

= —Rq + R j cn и du = — Rq 4" R 2 F 3 J sn2ju cn2 и du, 3=0

которое в общем случае состоит из эллиптических интегралов, представленных сходящимися рядами Фурье относительно sin (/лп/2А') плюс линейный член по и. Аналогичный характер имеет связь между qL и и, т. е.

qLqL= 2 F; 1 cn и sn2j'и du,= 2 F; 1 cn и sn2j'и du,

qL

qL

= 2 F; 1 cn и sn2j'и du,

= 2 F; 1 cn и sn2j'и du,

где Fq « о. Существенно, что переменная р находится из соотношения

ds.

р = р^-4г~0^

и в случае колебаний

р = Р + R (—1 + cn u) = Р ч5. сп и, но

так что р колеблется около среднего значения

Р =РР =РHq W Н"о WHq W Н"о W

Р =Р

Р =Р

Hq W Н"о W

Hq W Н"о W

и достигает максимального значения при и = 0 или и. = 4К, и минимального значения при и = 2К.

В случае вращений находим

где Goo «1 и |(?у| < 1 для всех других индексов. Следовательно, имеем выражение

ОО м

Wc = — Rq — R 2 2 G^ ' tn2i и sn4j' и dn3 и du.

i=0 i=0

которое также состоит из эллиптических интегралов, представляемых рядами Фурье по и. В этом случае находим

Н'

р — Р — R (1 — dn и) = Р- Н£■ dn и,Но

п среднее значение р определяется формулой

РНо + До 2’

где

к2 = ^ = [^ (Л <7i)J”1 = [V (Р, ^Г1-

Максимальное значение р соответствует величине и = О, 2К, 4К ^4 = ^1 а минимальное — и = К, ЗК (q = q\ или q = qa).

Асимптотические разложения до любого порядка

Чтобы сделать законным формальный подход вычисления приближения первого порядка, который описан в предыдущем параграфе, надо показать, как получить решения для высших приближений. Для приближения любого порядка мы потребуем, чтобы функция Д5 была стационарной в колебательном центре.

Уравнение для членов порядка е3/2 будет иметь вид

(д' ■ н" 9?^\dS11 н"Н98\Г2>\ , ТТ- 981/2к ,рх

Тем не менее, мы отметим, что в колебательном центре коэффициент при 8S\]dq обращается в нуль и функция 5] становится в этой точке неопределенной. Следовательно, в уравнение мы должны добавить член наименьшего порядка (большего пли равного.

3/2), который содержит (dSi/dg)2. Таким образом, мы перепишем вышеприведенное уравнение в виде

з) = Я3/2(Р), (5.6.1)

где член Яз/2 определяется из предыдущего уравнения. Так как член ^з/2 отсутствует, то ошибка в определении q\ (Р) (точка минимума функции U^kP, q)) имеет порядок малости С>(е1/2) по сравнению с величинами из рассматриваемого уравнения и, следовательно, допустима. Таким образом, мы определяем

к31г^ = MP.ii (р>).

Положим

U3/2 — ^3/2 = F3/2 (Р, 9)" Определяя теперь

Д5(1) = S1/2 + Sx(5.6.2)

Р(3/2) = + я,/2, из уравнений (5.5.12) и (5.6.1) получаем уравнение

н’й8-^- +^н^(^}2+р{3,2^р^9) = о’ (5-6-3)

из которого, так же как и в первом приближении, находим Д5(1) или Si.

Вдали от колебательного центра квадратичный член (т. е. член О(е2)) в (5.6.1) не вносит ошибки, так как он имеет более высокий порядок. По мере приближения к центру каждый член в (5.6.1) стремится к нулю как е1/2. Следовательно, в пределе ^з/2 — О, и координаты центра не изменились. Тем не менее, амплитуда колебаний может измениться на величину, порядок которой может быть больше е, Этого не случится в следующем приближении при определении S3/2, так как в общем случае Нг ^ 0. Уравнение для следующего приближения будет иметь вид

3^2) +(^^^ + ^2) (р д) = АЦ2) ^ (5 6 4)

и координаты колебательного центра теперь изменятся на величину q2 (Р), являющуюся решением уравнений

au® (Р, q) _ п ^С72(р1(?)dq’dq^’

а в силу исходного предположения об аналитичности имеем

9 — 92 = О(е2)'.

Предыдущие приближения соответствующим образом исправляются, и уравнение (5.6.4) дает улучшенное решение. Можно теперь легко показать, что процесс может быть повторен до приближения любого порядка, так что в общем случае

н» ^^г + 4 я° (^)2 + pW№ <Р'q) = °'

Если процесс сходится, то мы, очевидно, получаем

9AS ^ z , х

или

соответственно, если

2 max F” (Р, q) = -L => 1

(Ноу qо2 к2

или

2 -^- max F°° (Р, g) = -L = А2 < 1.

Только в таком предельнохм приближении, если оно существует, можно определить асимптотическое движение. Сепаратриса определяется условием

2-Л^2тахГ° (Р' ?) = L

("О)9

В этом случае соответствующее преобразование, очевидно, имеет вид

2—~F°°(P, q) = th2u,

что дает

8^S но /, ,, х

и точка q .= О соответствует точке и = оо. Отсюда следует, что

р = Рт (1— sch и),но

и предельное значение р определяется формулой

Plim = Р— Н'уН’у

которая в точности совпадает с формулой для среднего значения в колебательном движении.

В общем случае, как уже говорилось, сходимости рядов можно добиться только для конечных интервалов времени Т = О(е-1) независимо от того, сколько приближений учитывается (см. [52]).

Общая теория и идеальная резонансная проблема

Рассмотрим гамильтониан

Н = Яо (ж) + Я, (ж, у) + Я2 (ж, у) + ... = const,

где Яь Я2, ...— периодические функции у с периодом 2л. Рассмотрим топологию фазовой плоскости (у, х) с траекториями Н^х, у) = const. Предположим, что в этой плоскости имеется центр и две седловые точки, которые после соответствующего преобразования мы будем считать расположенными следующим образом:

Центр:х = х, у = л;.

седла:х = х, у = 0(2л).' ‘ ‘

Если теперь рассмотреть точку х0 и тейлоровское разложение Я вблизи этой точки, то мы найдем

Я = Яо (х0) + Яо (^0) (ж — ^о) + 4 Н"° ^о) (^ — жо)2 +•••

... + Ях (х0, у) + Hi (х0, у) (х — х0) + ... = const, (5.7.2) где штрихом обозначено дифференцирование по х. Здесь мы последуем подходу, основные черты которого предложены в работах Хори [45] и который затем детально развит в работах Жуппа [47], [48]. Мы здесь также будем предполагать, что, как и обычно, функции Нр (х, у) при р ^ 1 можно разложить в ряды Фурье (которые мы будем считать быстро сходящимися) и что Я является четной функцией у, хотя последнее ограничение можно довольно просто устранить. Отсюда следует, что функции Нр(х, у) при р^ i можно записать в виде

Нр(х, у) = 2 Ap(x)cosny.(5.7.3)

п=0

Мы рассмотрим классический случай |ж — z0| = О(е1/2). Это связано с поведением функции Яо (ж) в окрестности точки х0, как уже упоминалось в предыдущих параграфах. Отсюда следует, что «главной» частью функции Я, за исключением константы, является функция

Нг = Вб ^В'6- + Л] (ж0) cos у = 56 4- уВ'62 + Л cosy, (5.7.4)

где А, В, В' — постоянные величины, а 6 = х—xq. Мы будем считать А > 0. Случай А < 0 получается из рассмотренного ниже случая очевидными модификациями. Оставшаяся часть гамильтониана может быть записана в виде ряда Фурье, коэффициентами которого являются полиномы относительно 6:

Н = Н\ 4- Н2 -|- Нз -|- ...(5.7.5)

Каждая функция Нр имеет конечное число членов относительно 6, но тригонометрических членов может быть бесконечно много. Будет также показано, что функцию (5.7.5) можно привести к виду (5.7.4), который соответствует так называемой идеальной резонансной проблеме. Такая редукция будет вкратце описана в конце настоящего параграфа.

Рассмотрим теперь систему уравнений, соответствующую гамильтониану (5.7.4), который перепишем в виде

Н1 == F = 56 + у 5'62 4- A cos у = С = const, (5.7.6)

личина В' Уравнения имеют видличина В' Уравнения имеют видпренебрегая членами порядка выше 0(e). Отметим, что мы считаем максимальное значение В величиной порядка О(е1/2), ве-

личина В' Уравнения имеют вид

личина В' Уравнения имеют вид

конечна и не мала, т. е. порядка 0(1), а А = 0(e). движения, соответствующие гамильтониану (5.7.6),

(5.7.7)(5.7.7)С ЭР•др

(5.7.7)

(5.7.7)

6 = -5—,У —•

ду 3 дё

Очевидно, что уравнения (5.7.7) имеют равновесные решения

6 — — -^-, у = 0, л, (2л),

и также очевидно, что решение у = л, 6 = —В!В' является центром, в то время как решения у = 0, 2л и 6 = —В]В' являются неустойчивыми (седловыми) точками. Пусть при t = О имеем 6 = 0, у = л. Определим т|' = у — л. Тогда гамильтониан (5.7.6) при С = —А + const принимает вид

F =Б6 + у5'62 + 24 sin2 у ц'. (5.7.8)

который является новым «интегралом энергии». Наконец, пусть даны формулы

2 А = о»2 = 0(e),6=у£—у, ц' = 2 ц,

описывающие каноническое преобразование (6, цл)-^(|, ц).

Отсюда следует, что

F = V + и2 зт2ц,

(5.7.9)

где в соответствии с вышеупомянутыми начальными условиями при t = 0 имеем ц = О и g = 2BIB', т. е. значение F вполне определено. Теперь становится ясна важность аналогии с маятником.

Положениями равновесия системы с гамильтонианом (5.7.9) являются точки:

устойчивая (центр): ц = О, § = 0;

неустойчивые (седла): ц = ±л/2, § = 0,

и мы считаем |g| = О(е1/2).

Если это же преобразование проделать над введенным выше полным гамильтонианом, то мы найдем

H = F^Fk^, 2ц),кH = F^Fk^, 2ц),к(5.7.10)(5.7.10)

H = F^Fk^, 2ц),к

H = F^Fk^, 2ц),к

(5.7.10)

(5.7.10)

где функции Fk(c„ 2ц) являются рядами Фурье относительно 2ц и их коэффициенты являются полиномами относительно §.

Решение главной (идеальной) задачи, соответствующей функции Гамильтона F, хорошо известно и получено с помощью метода Цейпеля (см., например, [48]), а аналогия с маятником детально разработана Кинером [52]. В первой из упомянутых работ приводится решение для приближений любого порядка, хотя в общем случае это приводит к появлению гиперэллиптических интегралов. Решение для приближения первого порядка (члены О(е1/2)) в основном такое же, как и в § 5 настоящей главы.

Основное отличие от описанного выше подхода заключается в том, что вместо использования колебательного центра исходной системы в качестве начальной точки для получения разложений вида (5.7.2) можно использовать произвольную точку xq. Эта точна Хо может быть взята и из области колебаний, и из области вращений. Однако ее нельзя взять на сепаратрисе или принять за нее неустойчивые точки, так как в этих случаях разложение не может быть сходящимся и в действительности оно лишено смысла. Эти движения можно получить только как предельные случаи вращений или колебаний. Такие предельные случаи первоначально изучались Пуанкаре [68], а самые последние исследования описаны в статье Гарфинкеля и др. [29, 30].

Интересно посмотреть, как эту задачу можно решить с помощью рядов Ли. Рассмотрим, например, подход Ли — Хори. Главной частью в Н является функция F, и она является га-

мильтонианом дополнительной системы

drdrЭР о • О — = со2 sin 2т). dr]1ЭР о • О — = со2 sin 2т). dr]1-^ = --^ = — 2L (5.7.11)

dr

dr

ЭР о • О — = со2 sin 2т). dr]1

ЭР о • О — = со2 sin 2т). dr]1

<zt Ус ъ

так что мы получаем уравнение маятника

4^ - 2®2sin2i] = 0.

Различие между колебательным, вращательным пли асимптотическим характером движения в конечном счете определяется начальными условиями или, по-другому, значением интеграла энергии (5.7.9) и значением § или ц в некоторый момент т. Хорошо известно из теории простого маятника, что значение энергии определяет тип движения. Одинаковое описание всех типов движения, как приближение к некоторому истинному движению, определяемому возмущениями (5.7.10) гамильтониана F, имеет сомнительное значение. Эти возмущения можно надлежащим образом подобрать в областях колебаний и вращений, т. е. достаточно далеко от сепаратрисы. Возмущения асимптотического движения или седловых точек представляют собой нечто иное и должны рассматриваться особым образом. Непохоже, чтобы этот тип движения сохранялся, в то время как колебания или вращения по всей видимости сохраняются при достаточно малых возмущениях.

Теорема Арнольда дает нам объяснение этому эффекту. Невозмущенная орбита в этом случае описывается эллиптическими функциями или интегралами, и можно будет использовать метод теории возмущений, но, поскольку используется «лучшее» невозмущенное движение, чем просто положение равновесия (которое обязательно должно быть центром), то можно ожидать, что метод последовательных приближений имеет большие шансы на сходимость. В описываемой здесь формулировке уравнения Ли — Хори в точности совпадают с этими уравнениями для нерезонансных систем. Понижение порядка при дифференцировании по § в точности компенсируется умножением на ц, которое после подстановки решения дополнительной системы приводит к появлению малого сомножителя О(е1/2). В самом деле, можно трактовать выражение (5.7.10) как обычный ряд с F = Fo и с остаточными членами увеличивающегося порядка, приняв в конечном счете за порядок дробь р/2, где р — целое число. Характер разложения очень похож на разложения из работы Жуппа [48, 49], и здесь его не стоит повторять. До членов второго порядка это разложение можно найти в работе [49].

Приведение общего случая, упомянутое в начале параграфа, к идеальному виду (5.7.9) может быть осуществлено следующим

образом (см. [36]). Пусть

(5.7.12)(5.7.12)Н = Ло (z)2 А5 (z) cos jy = H (x, y),

(5.7.12)

(5.7.12)

j=i

где величины /4j(z) (/=; 1, 2, ...) предполагаются ограниченными малыми порядка е. Как обычно, мы запишем

ЛДж) = 0(e)(/ = 1, 2, ...)

при х из некоторого интервала DeR. Мы также положим в этом интервале Ао (z) = О (1), Ао (z) = 6*(е1/2), а переменная у определена на отрезке [0, 2л]. Идеальная резонансная проблема определяется гамильтонианом

(5.7.13)(5.7.13)Hi =. A (z) + В (х) cos у,

(5.7.13)

(5.7.13)

и при некоторых условиях существует каноническое преобразование, определяемое формальными рядами, которое приводит гамильтониан (5.7.12) к виду (ЬЛЛЗ), т. е. такое каноническое преобразование (z, y)-»-(g, ц), что

Н№ ц), у^, ц)) = К^, ц) =P(g) + (?(g)cost]. (5.7.14)

Вначале допустим, что выполнены условия:

Для любого x^D и 0 $5 у ^ 2л существуют только два решения у =. О и у = л уравнения х = — Hv = 0.

Ао (х) > О, А1 (z) > 0 при х е D.

Максимальное значение М функции II достигается для x^D при у = 0.

М (z) = У Aj (z) > 0.

j=i

Минимальное значение тп функции II достигается для х е D при у = л.

m (z) = У (—l);4j(z) = 0.

Производящая функция преобразования (z, у) -*■ (£, ц) имеет классический асимптотический вид

S^,y)=^y + S1/2^,yHSd^yH

Коэффициенты Р^) и Q^) имеют аналогичный асимптотический вид

P®=P0’(K)+Pm2^HPi®A-...i

0 (s) = <2о (Ю + <21/2 (Ю+ <?!©+ ■■■

Приравнивая члены одинакового порядка в тейлоровском разложении уравнения

££1/2Эу££1/2Эу..у) = К^ у~..у) = К^ у~

££1/2Эу

££1/2Эу

..у) = К^ у~

..у) = К^ у~

мы найдем

0(1):Р0®=А0®, <?„©-0,

0(s1/2): Pu2^ = Qm2^ = 0,

, aS. ...1 »[ dS«

0(e):Л0©-^ + тЛ©(^).+

+ 2 Aj © cos h = Р, ® + Qy © cos у,

О (.^у[л; ® + а; © ^1» ] «L+4 а; © (а)2 +

+4 а;" © (^)3 + ^ i а; © cos а, =

— Г3/2© + <?3/2©cosy — ^©^^siny

и т. д. В общем случае рассматриваемые уравнения имеют вид

[ло ® + а; ®[ло ® + а; ®551/29у551/29у22

[ло ® + а; ®

[ло ® + а; ®

551/29у

551/29у

2

2

~ Рп+1/2 (Ю + ^п+1/2 (Ю COS У + T?n+l/2 (L Z/),(5.7.15)

з

где п = 1, у, 2, ... и где функции 7?n+i/2(5, у) зависят от уже известных предыдущих приближений. Привлекая члены более высокого порядка, мы можем записать уравнение (5.7.15) в виде

[Ло (£) + Л'^)[Ло (£) + Л'^)ЭЗ^1^ ]9у 1ЭЗ^1^ ]9у 1

[Ло (£) + Л'^)

[Ло (£) + Л'^)

ЭЗ^1^ ]

9у 1

ЭЗ^1^ ]

9у 1

=А-+1/2© + <2n+l/2(5)COSI/ + 7?n+V2(^, у),(5.7.16)

где

8^1 — S;/2 + Si + 8з,2 + ... + Sp.

Суммируя уравнения (5.7.16) от п — 1 до п — ри прибавляя еще уравнение для членов порядка 0(e), при р — 1/2, 1, 3/2, ...

находим, что

4 ® ЗМ 4 ® (^ - i"wa (6) + «Г*" © «« г +

гдегдеR^-^.y).(5.7.17)

где

где

pW=P1 + P3/2+ ... ^Pk, Qw = <2i + <2з/г -г • • • + Q^ RW= R^^ + Ri + • • • + Rk-

Рассмотрим случай p = 1/2. Решая уравнение относительно ^м^У' находим

(*S'i/2)y =7 ±(*S'i/2)y =7 ±

(*S'i/2)y =7 ±

(*S'i/2)y =7 ±

и выбереми выберемтак чтотак чтоPi— Ml — <21) cos у — 2 Aicos йj=2.Pi— Ml — <21) cos у — 2 Aicos йj=2.А(^) = £.(£) = л^).А(^) = £.(£) = л^).

и выберем

и выберем

так что

так что

Pi— Ml — <21) cos у — 2 Aicos й

j=2.

Pi— Ml — <21) cos у — 2 Aicos й

j=2.

А(^) = £.(£) = л^).

А(^) = £.(£) = л^).

М 1/2) уМ 1/2) у^о ^о^о ^о2Лгсо82-|. — 2 Aj cos/у j=i .2Лгсо82-|. — 2 Aj cos/у j=i .1/21/2

М 1/2) у

М 1/2) у

^о ^о

^о ^о

2Лгсо82-|. — 2 Aj cos/у j=i .

2Лгсо82-|. — 2 Aj cos/у j=i .

1/2

1/2

Если у = 0, то величина, имеющая степень 1/2, приобретает впд,

9

М +4r[2A-^(?)]. \ Л Ао

Если эта величина положительна, то функция (Si/2)y всегда вещественна, и переменная у описывает вращения. Если она отрицательна, то величина у не может достичь значения у = 0, и эта величина описывает колебания около значения у = л. Если у = л, то эта величина принимает вид (Л0/Л0)2, и знак в рассматриваемом выражении надо выбрать так, чтобы (S 1/2)5 = 0 в этой же точке. Этим условиям легко удовлетворить, если kS\l2)y представляет собой ряд из синусов целых кратностей величины у, но в общем случае этого не будет. ,

Рассмотрим теперь уравнение

y = Ht = ^

т. е. уравнение

Ло W + 5 ^j (*) cos jy = 0.

При у = л имеем уравнение

^ой + З (-iMm =0,

и, так как входящие в него величины имеют разные порядки, то приближенно (с точностью выше е1/2) решение будет определяться условием:

т«тм2, где Ло (а4/2) = 0; точка (ж, у=л) является центром колебаний, а точка (жцг, у = л) дает первое приближение для его координат.

При у — 0 имеем уравнение

Ло (^*) + 2 А', (а;*) = 0,j=i

и опять:

х* = х*^, где Ло (ж1/2) = 0; точка (ж*, у = 0) является седловой точкой, а точка ( лцг» У = 0) дает первое приближение для ее координат. _

При у = л, х = х первое приближение функции S =^У + S1/2 соответствует тождественному преобразованию, так как (S'i/2)s=0, а (Si/2)g = 0 по построению.

В следующем приближении для получения (S'i)],=0 мы опять выберем Рз/2 = ^з/2, и теперь функция Qs^ определяется по коэффициентам известных членов при cos у, т. е.

2л (

V3/2 к л J 1 6\ ду / ‘

о 1

+ -3-^ L А3 (£) cos jy + Q1 (£) sin y> cos У ay.

В общем случае выбор этих функций будет таким:

2Л

о

18 Г. Е. О. Джакалья

и по индукции легко установить, что Rw ^ л) = 0 и

^ = - 4 ± ((4? ++ д*^1'2^, у)]

УЯд р Яд у Яд LJ

а при у =. л получаем (5(p))v = 0.

Колебательный, вращательный или асимптотический характер движения на каждом шаге будет определяться в соответствии с тем, будет ли выражение

2^2P^t,24S-V Rwro^, 0)]2^2P^t,24S-V Rwro^, 0)]

2^2P^t,24S-V Rwro^, 0)]

2^2P^t,24S-V Rwro^, 0)]

больше, меньше или равно нулю соответственно, хотя наличие асимптотического случая, если он и имеет место, можно установить только в пределе при р-*-оо. Теперь определим формальный ряд для функции 5(£, у), которая соответствует преобразованию, приводящему гамильтониан к виду

К (1, Т]) = (Ро + Ру + Р8/2 + • • •) + (^1 + С 3/2 + • • •) COST] =

= Л0©+^2Р®со8^, (5.7.18)

где Ло (В) = О (1), Л'о (9 = О (е1/2), Р^ = О (е).

При т]=.л функция К^, ц) имеет минимум, если, разумеется, считать Ло(|) > 0, Р^) > 0. Такой вид гамильтониана в точности определяет идеальную резонансную проблему.

Здесь мы описали самую простую ситуацию, которая только может встретиться. Очевидно возможна более сложная топология фазовой плоскости (ж, у), если имеется некоторое количество п центров и более чем 2га — 1 седловых точек. По-видимому, в более общем случае какое-то обсуждение становится невозможным.

Следующим по простоте после рассмотренного случая является случай, когда имеется более общая идеальная резонансная проблема и имеется два центра и три седловых точки на отрезке 0 ^ у < 2л. Здесь главная часть гамильтониана имеет вид

F = Ло(^) + Л] (z)cos у + Bi(z)cos 2у, (5.7.19)

где при ieD имеем Ло(^) = 0(е1/2), а Л1 (ж) = 0(e), В\^ = = 0(e). Этот случай детально рассмотрен в работе Джакальи [36].

Несколько степеней свободы

До сих пор мы рассматривали задачи с одной степенью свободы. В действительности в общем случае система с т рационально независимыми друг от друга резонансными соотношениями между частотами может быть сведена к системе с т степенями свободы. Если m > 1, то полное рассмотрение этой задачи маловероятно. Общепризнано, что очень мало известно о системах с двумя степенями свободы и, как упоминалось выше, интерпретация критических точек является крайне громоздкой. Однако в самом общем виде проблему можно сформулировать следующим образом.

Опять рассмотрим систему уравнений с гамильтонианом

Я (х, у) = Яо (ж) Ч-Н^уН ...»(5.8.1)

где при к > 1

Нк = 2 Ак ^ exp (ipTy),(5.8.2)

а число членов в каждой функции Hh предполагается конечным. Как обычно, предположим, что функция Я аналитична прихей, где D — некоторое n-мерное дифференцируемое многообразие. Ряд (5.8.1) предполагается равномерно сходящимся как степенной ряд по «малому параметру» е, который всегда служит для упрощения выкладок, хотя в некоторых примерах можно показать справедливость (сходимость) формальных рядов, строящихся при 0 < е < Б0, где Е0 достаточно мало. Мы будем считать систему с гамильтонианом (5.8.1) неприводимой в том смысле, что все угловые переменные описывают медленное движение. Все быстрые переменные системы предполагаются исключенными тем или иным способом (см. главу II). Предположение о нелинейности резонанса теперь соответствует рассмотрению особых точек системы уравнений

х = - Hl у = Hl

т. е. решений х = х°, у = у9 уравнений Я* = О, Н^=0. Решения такого типа являются «центрами» «характеристический многочлен системы уравнений в первых вариациях имеет только чисто мнимые корни) или «седлами» (характеристический многочлен имеет по крайней мере одну пару корней с ненулевой вещественной частью; один из корней этой пары имеет отрицательную вещественную часть, а другой должен иметь положительную). Как хорошо известно, «центры» не обязательно являются устойчивыми точками. «Седла», разумеется, неустойчивы. Однако

для консервативных систем недавно было доказано, что теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле, справедлива при достаточно общих условиях (см. [39]), т. е. если гамильтониан Н не зависит от времени, то его аналитичности более чем достаточно для обеспечения устойчивости точки минимума потенциала и неустойчивости точки максимума).

Приближение к нелинейным условиям резонанса, очевидно, дается уравнениями

х = хй = const, у = H^t + у0,

где для данного р, > 0 мы предположим, что существует такое е > 0, что || дН01дхк ||ж=х» = О (е1/2) при || х — х" ||< ц. Определитель, составленный из вторых производных, предполагается невырожденным и отделимым снизу от нуля величиной 0(1), т. е. не уничтожающимся вместе с е и не зависящим от е.

Разложив функцию Гамильтона в и-мерпый ряд Тейлора вблизи некоторой точки х0, мы получим главную часть функции Н в виде

F (6, у) = ат6 + 6MS + Нх {х0, yY (5.8.3)

Ну (®0, у) = 5 Л? (ж0) exp (ipTy).р

Можно показать, что существует формальное каноническое преобразование, которое приводит гамильтониан общей задачи к виду, аналогичному виду гамильтониана главной задачи (5.8.3). Эта процедура очень похожа на процедуру приведения, уже описанную для одномерного случая. Мы опять будем считать

|| 61| =0(8^), [|аЦ== 0(61/2), j^l =О(6).

Далее, очевидно, что матрица Л симметрична и, следовательно, соответствующим преобразованием ее можно привести к диагональному виду. Но такое преобразование привело бы к появлению нецелых коэффициентов в функции Яц выраженной в новых угловых переменных и, следовательно, оно не очень удобно. Как и в большинстве случаев ранее, предположим, что главный член в Я1 соответствует единственной комбинации угловых переменных ук (& = 1, ..., п), и пусть эта комбинация записана так:

2 = РАЛ + • • • +РпУп.

Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (5.8.3), имеют вид

6k = — ^- =—Mtpkexp(ipTt/)+ 1(АРХУ Phexp(— ip^y), (5.8.4)

У и == ak + 2 2 AM&j,(5.8.5)

kj=l

где * означает комплексное сопряжение. Отсюда следует, что

z =z =— 2iAp 2 2 АмР)Рк exp (iz) 4 j=l Й=1J

z =

z =

+ 2г (Л?)* 2 S AhjPjPh exp (—iz)

J=1 k^Y

или

z = ще’2 + a*e-iz,z = ще’2 + a*e-iz,(5.8.6)(5.8.6)

z = ще’2 + a*e-iz,

z = ще’2 + a*e-iz,

(5.8.6)

(5.8.6)

где z — вещественная переменная, a co — комплексная величина, определяемая формулой

со = — 21А^ 2 5 AMPjPk.

5=1 h=l

Действительно, мы можем записать уравнение (5.8.6) в вещественной форме

z = coicosz—cogsinz,(5.8.7)

где

coi = 2Reco, сог = 21m со.

Решением уравнения (5.8.7) является эллиптический интеграл первого рода, легко приводимый к нормальной форме заменой

£ = z + a, sin а = ■ Ю1 - , cos а =“2,

У ш1 + ю2)/ю1 + ю2

так что при т= ]/ of + Юг имеем уравнение

^ = msin^,(5.8.8)

которое опять является уравнением простого маятника. Следовательно, поведение переменной £ уже рассматривалось и «главный аргумент» z может описывать колебания, вращения или асимптотическое движение.

Теперь легко полностью проинтегрировать уравнения (5.8.4) и (5.8.5), если сначала получить бА из (5.8.4) с помощью простых квадратур, так как теперь

6а = iPh [- ^feiz + (л?) е-^У

После этого из уравнений (5.8.5) получаем каждый угол yh опять в виде простой квадратуры.

Ясно, что рассмотренный выше случай в действительности эквивалентен одномерному случаю.

Задачу также можно решить аналогичным способом, если главная часть функции Ну зависит от угла z = pit/i + ... + рпУп и конечного числа целых кратностей величины z, хотя в этом случае уравнение для z может привести к вычислению гиперэллиптических интегралов, так как ^ = №[ sin £ + ... +тр sin pt.

Когда имеется несколько линейно независимых комбинаций Zi, —, zp, то решить задачу известными методами удается только, если возможно определить непересекающиеся области, в каждой из которых каждая переменная zA соответствует главному члену. Полное решение в этом случае может быть получено объединением решений, локально справедливых в каждой из упомянутых областей. Одним из наиболее эффективных методов является процедура разложения по многим переменным, справедливая асимптотически в упомянутых областях. Такой метод для случая р = 2 был развит в работе [50], а позже в работе [18]. Здесь мы не будем останавливаться на таких процедурах.

Когда имеется р угловых комбинаций, система, которую надо решить, имеет вид

za = 2 (A; cos Zj + Bkj sin z;)

или p

^ = 2mftJsin^. (k = 1, ..., p).(5.8.9)

В случае малых колебаний в окрестности точки ^ = 0 эта система является линейной, и решение находится сразу же. В против-

ном случае система уравнений (5.8.9) далеко не тривиальна. Аналогично можно сказать, что если все углы ук описывают колебания около некоторого положения равновесия, то при малых колебаниях решение может быть проаппроксимировано любым желаемым образом. Но если хотя бы один угол ук описывает вращения, то решение получить не так просто. Эти же утверждения можно сделать и относительно переменных £.

В качестве примера рассмотрим случай р = 2, так что можно написать (функция F предполагается четной относительно ух, уг)

F = HiSi -j- &262 4“ ®11$1 4“ 2fli261S2 4“ ^22^2 4“

+ A?pcos(ay1 + Ру2) + АРЧ cos (pyt + qy^.(5.8.10)

В этом случае мы находим

zi =. —кц sin zi — kxi sin z2,

(5.8.11)

z2 = —к^ sin zi — km sin z2, где

Zi = ayx + РУ27 z2 = pyx + qy2,kn=~kuA^,ки=киАрД

knAAkM=kMA^

и

кц = 2(а2ац + 2сфй12 + P2a22),

Д12 = 2(арпц + P?ai2 + а<Щ12 + Ppa22), ^22 = 2(р2ац + 2pqaXs + g2a22).

Преобразование

sin 4г = ^sn (un кД sin-y- = k, sn {u2, k^

приводит уравнения к виду

-^- ^их — /си) сп2 Uj] = аг сп и^ sn u2 dn u2uv,

d VC \1•(5.8.12)

-^- H U2 ^22) cn2 U2j ~ a2 cn U2 sn UT dn ^U-2,

где

ai =2Zc12-—a2 =2A21 -j~-

Система распадается, если ai = a2 = 0, т. e. для этого необходимо и достаточно, чтобы

араХ1 + ^р + ag)ai2 + ^qam = 0,(5.8.13)

и в этом случае решение уравнений (5.8.12) получается немедленно. Одним из возможных случаев является случай

«11 «12 «22 = 0,«11 «12 «22 = 0,(5.8.14)(5.8.14)

«11 «12 «22 = 0,

«11 «12 «22 = 0,

(5.8.14)

(5.8.14)

но тогда мы имеем дело не со случаем резонанса. Другим интегрируемым случаем, разумеется, является случай, когда

kwkm — kiakai = 0,(5.8.15)

и в этом случае величины Zi и z2 таковы, что одна из них является целой кратностью другой, и мы опять возвращаемся к одномерному случаю.

Другое частное решение можно получить, если к\ = к^, т. е. функции Zi и Z2 являются периодическими функциями времени t и имеют одинаковый период. Действительно, легко проверить, что если /сп + Усы = ^22 + ^21, то мы имеем частное решение И1 =. иг, так что Zi и Z2 являются просто сдвинутыми по фазе друг относительно друга периодическими функциями с одинаковым периодом.

Однако в общем случае Zi и Z2 (их вещественные части) будут условно-периодическими функциями времени t, и в конечном счете можно получить их непериодические экспоненциальные ряды Фурье, если в исходной системе (5.8.11) положить

sin =: 2 2 °Т ехР (^'МД + ^2^)1,

" к I

где, разумеется, (щ и со2— неизвестные частоты. Ясно, что так как при к\2 = 0 имеем

sin -^- = ^ sn («!, к^ = f ^ №) sin[ (2к + 1)

(2Z + 1)(2Z + 1)Л1/32^ (А^)Л1/32^ (А^)где «1 =~ У kut + w10, а при /ещ = 0 аналогично имеем

(2Z + 1)

(2Z + 1)

Л1/3

2^ (А^)

Л1/3

2^ (А^)

sin = к2 sn (ы2, Л2) = ^. ^2 (^2) s™г=о

где w, = ]/к24+и20 н в этих выражениях модули к\ и кг зависят от начальных условий, то легко получить члены нулевого порядка в разложениях со, и сог, записав их через ки, кт, ki, ks, а члены более высокого порядка находятся по рекуррентным формулам. Такая процедура типична для случаев, когда система «слабо завязана», т. е. |Л12|, |^211 "С l^ii |» |^2г|. Совершенно ясно надо

осознавать, что сложность проблемы, описанная выше, связана только с главной задачей, решение которой служит основой для получения решений высших порядков или, в случае подхода, основанного на рядах Ли, для определения решения дополнительной системы. В обоих случаях главная задача настолько сложна, что есть только небольшая надежда на получение каких-нибудь дальнейших приближений.

Если за точку, около которой производится разложение, принять центр, то при р = 2 метод Цейпеля, примененный к описанной выше задаче, приводит к уравнению

Й1 (^1/2)у1 + а2 (^1/2)у2 +й11 [(^V2)vJ2 +

+ 2а12 (51/2)у, (Sl/2)y2 + «22 l№/2)y2]2 +

+ Л?р cos (ay,. + 0у2) + А1^ cos ^руу + qy^ = Kt (6j, 62),

(5.8.16)

гДе Si/2 — приближение первого порядка (т. е. член порядка О(е1/2)) в производящей функции канонического преобразования (6П 62, уг, y2)-*(6i, 62, i/i, у^. Разумеется, при этом мы ничего не приобретаем, потому что малопонятно, как решать уравнение в частных производных (5.8.16). Кроме того, утерян принцип получения функции 7^т(61, 62), т. е. членов порядка 0(e) в новой функции Гамильтона. Решение будет тривиальным для общего (нерезонансного) случая «и = «12 = «22 = 0 или, точнее говоря, когда

S = тождественная часть + A-S,

где за AS можно взять функцию порядка 0(e). Используя ранее введенные величины zj и 22, уравнение (5.8.16) перепишем в виде

(«“г + ра2) (*Si/2)Z1 + (ра1 + qa^ (Si/2)z2 +

+ ~2- ^u [(^l/2)zj2 + ^12 (^1/2)2, (S 1/2)z2 H2" ^22 [(‘51/2)zJ2 +

+ Л?р cos zd + A)9 cos z2 — Kv (5.8.17)

Это уравнение при k\i = 0 опять имеет простое решение в эллиптических функциях Якоби, в то время как в общем случае оно не проще исходного.

Вероятно, будет полезно отметить, что иногда возможно выбрать такую исходную точку, что

араи + ^р + ag)ai2 + ^«22 = 0,(5.8.18)

где величины «и, «12, а22 не обязательно равны нулю. Действи-

тельно, целые числа а, Р, р, q заданы, но так как

аИаИэ'-н,

аИ

аИ

х^х^х^х^дх.дх .г з

х^х^

х^х^

та может случиться, что специальным выбором величин Хю, #2» удастся «развязать» систему. Для того чтобы это было можно сделать, функция Hq должна принадлежать к классу функций /, удовлетворяющих уравнению (р = 2)

kSr+2lS; + "*^T-0< (5.8.19)

где к, I, т — заданные целые числа. Рассмотрим следующие важные частные случаи.

I) а — Р, так что aq + ^р = $q + ар и, следовательно, в (5.8.19) 21 = т + к-, в этом случае уравнение (5.8.19) переходит в уравнение

/ э э \ /, df .Э{\ п

которое легко решить;

П) р = q; аналогично предыдущему случаю;

известно, что когда кт больше, равно или меньше Z2, то уравнение будет соответственно эллиптического, параболического или гиперболического типа; в каждом случае свойства решений для / хорошо известны и могут быть найдены в любой книге о дифференциальных уравнениях в частных производных.

На самом деле проблема менее сложна, так как функция /, т. е. Ло (61, 6г), задана, и вопрос о том, будет ли удовлетворяться уравнение (5.8.18), сводится к решению уравнения (в общем случае не алгебраического) относительно двух неизвестных. Все возможные решения этого уравнения дадут области, в которых резонансные эффекты могут быть отделены друг от друга.

Взаимодействие двух гармонических осцилляторов

Мы завершим эту главу кратким обсуждением задачи о нелинейной связи осцилляторов. Это описание основано на результатах, полученных в работе Хори [46], и служит заключительным примером использования методов теории возмущений, основанных на рядах Ли для консервативных систем. Рассматриваемая система описывается уравнениями

11 .22

(5.9.1)(5.9.1)xv -|- «BiZj = ez2,

(5.9.1)

(5.9.1)

z2 + е>Ххг = 2ea;1z2,

где (01, юг, в — положительные вещественные постоянные. Существование третьего интеграла для этой системы уравнений исследовалось в нескольких работах Контопулоса и др. [19—22].

В гамильтоновой форме уравнения (5.9.1) можно переписать так:

^ = Ftik, yk = ~FXh (& = 1, 2),(5.9.2)

где

F = F0<x,y') + F1<x),(5.9.3)

Fo = -у (yt 4- У2 + coi^i + (02^2),(5.9.4)

Fx = — ez^.(5.9.5)

Расматриваемая теория строится до членов второго порядка включительно. Для канонического преобразования (ж, у)—>- (^, ц), определяемого по формулам

где мы пренебрегли членами порядка О (е3) , генератор Ли — Хори S(^, Л) е) представим в виде степенного ряда по е

S = Si + S2 +...

С точностью до членов того же порядка отображение функции /(1, Л) с помощью генератора 5 задается формулой

/ кх. У) = / (I, Л) + (/. Sr) + (Л S^ + |((/, ^), 5J. (5.9.7)

Это соотношение, как указывалось в главе II, может быть использовано для получения формулы

Ф(1, Л) = F(x, у),(5.9.8)

где Ф — новый (преобразованный) гамильтониан. Заметим, что в этом примере обозначения х и | приняты для координат, а обозначения у и г] — для импульсов.

Так как

®0 = Fy = у (Л1 + Т]2 + (01^1 + (О^г),

то решение дополнительной системы имеет вид (/ = 1, 2)

Е; = C;COs((O;T + Cj), Т]; = — Cjtoj SIB (to;T + Cj). (5.9.9)

Нерезонансный случай. Пусть со L и Ыг—линейно независимы на множестве целых чисел. Тогда решение соответствующих уравнений имеет вид

Ф, = ИшФ, = Ишy- j F^ (т), ц (т)) йт = Fls,y- j F^ (т), ц (т)) йт = Fls,(5.9.10)(5.9.10)оSc = jl^^W, ц^-ф^йт, Ф2=4(51 + Ф1, 5j)s,S, = f (Л + Фх, ^-фЪт,оSc = jl^^W, ц^-ф^йт, Ф2=4(51 + Ф1, 5j)s,S, = f (Л + Фх, ^-фЪт,(5.9.11)(5.9.11)(5.9.12)(5.9.12)(5.9.13)(5.9.13)

Ф, = Иш

Ф, = Иш

y- j F^ (т), ц (т)) йт = Fls,

y- j F^ (т), ц (т)) йт = Fls,

(5.9.10)

(5.9.10)

о

Sc = jl^^W, ц^-ф^йт, Ф2=4(51 + Ф1, 5j)s,

S, = f (Л + Фх, ^-фЪт,

о

Sc = jl^^W, ц^-ф^йт, Ф2=4(51 + Ф1, 5j)s,

S, = f (Л + Фх, ^-фЪт,

(5.9.11)

(5.9.11)

(5.9.12)

(5.9.12)

(5.9.13)

(5.9.13)

Ф3 = 4 (Л +Ф1, 52)s Ч- | (^2 + Ф2, 5^ ++ ^ ((Л - Ф1, 5J, 5^Ф3 = 4 (Л +Ф1, 52)s Ч- | (^2 + Ф2, 5^ ++ ^ ((Л - Ф1, 5J, 5^(5.9.14)(5.9.14)и дает генератор S до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов третьего порядка.В нашем случае находими дает генератор S до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов третьего порядка.В нашем случае находим

Ф3 = 4 (Л +Ф1, 52)s Ч- | (^2 + Ф2, 5^ +

+ ^ ((Л - Ф1, 5J, 5^

Ф3 = 4 (Л +Ф1, 52)s Ч- | (^2 + Ф2, 5^ +

+ ^ ((Л - Ф1, 5J, 5^

(5.9.14)

(5.9.14)

и дает генератор S до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов третьего порядка.

В нашем случае находим

и дает генератор S до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов третьего порядка.

В нашем случае находим

51 = — cofФ1= о,5.2 = —2о)?51 = — cofФ1= о,5.2 = —2о)?^—- [(®? - 2coi) т]!^ - гют^^Цг — гп^г], [ — 4со2 )^—- [(®? - 2coi) т]!^ - гют^^Цг — гп^г], [ — 4со2 )8"8"+ ^42+ ^42(co'f-4co2) |СО?(^м2—М(co'f-4co2) |СО?(^м2—МВ1Р1<»i-tofВ1Р1<»i-tof[(2®i + Ыа) ^ — Зг^] 4[(2®i + Ыа) ^ — Зг^] 4ФзФз_ мз(м?-м1)_ мз(м?-м1)й —й —(Oj 4" 2(02(Oj 4" 2(02со? — сосо? — со5со? — 8со? 9 Зсо? —,5со? — 8со? 9 Зсо? —,8 со?8 со?Sco?Sco?4? ’4? ’(5.9.15)(5.9.15)е2е22со( (со| — 4со?2со( (со| — 4со?23 2‘Ю2 — у “123 2‘Ю2 — у “1.2 \2.2 \2

51 = — cof

Ф1= о,

5.2 = —2о)?

51 = — cof

Ф1= о,

5.2 = —2о)?

^—- [(®? - 2coi) т]!^ - гют^^Цг — гп^г], [ — 4со2 )

^—- [(®? - 2coi) т]!^ - гют^^Цг — гп^г], [ — 4со2 )

8"

8"

+ ^42

+ ^42

(co'f-4co2) |

СО?(^м2—М

(co'f-4co2) |

СО?(^м2—М

В1Р1

<»i-tof

В1Р1

<»i-tof

[(2®i + Ыа) ^ — Зг^] 4

[(2®i + Ыа) ^ — Зг^] 4

Фз

Фз

_ мз(м?-м1)

_ мз(м?-м1)

й —

й —

(Oj 4" 2(02

(Oj 4" 2(02

со? — со

со? — со

5со? — 8со? 9 Зсо? —,

5со? — 8со? 9 Зсо? —,

8 со?

8 со?

Sco?

Sco?

4? ’

4? ’

(5.9.15)

(5.9.15)

е2

е2

2со( (со| — 4со?

2со( (со| — 4со?

23 2‘

Ю2 — у “1

23 2‘

Ю2 — у “1

.2 \2

.2 \2

4[ to?4[ to?

4[ to?

4[ to?

41со?

ф3 = °-

В соответствии с общими результатами, установленными в главе II, следующие величины являются интегралами движения для дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану Ф(6, Ч):

Ф(1 Ч)— const, Фо(£, ч)= const. (5.9.16)

Легко проверить, что из (5.9.16) следует (/ = 1, 2)

Й + -Д = CJ = const.(5.9.17)

Следовательно, решение уравнений, соответствующих гамильтониану Ф, имеет вид

^ = cycos (со;£ + cj), t]y = — Cytoy sin (tojt + су), (5.9.18)

где «исправленные» частоты со;- с точностью до членов порядка О(е4) определяются формулами

(Ю1)2 = (0? 1+ ~2, Г' Г’<5'9-19)

/ *Х22 (л IЕ2Г 2 2 I /п 2 з 2\

(юг) — ю2 И 4Ь 27" 2, 2\ Ю1С1 + | 2®2— Г2 Г

Связь между переменными (ж, у) и (^, ц) легко устанавливается с помощью формул (5.9.6). Формула, соответствующая формуле (5.9.7), при обратном преобразовании имеет вид

/ (|, П) = / (х, у) - (/, 50 - (/, 50 + 4 ((/. 5i). 50 + ...

(5.9.20)

где невыписанные члены имеют порядок О(е3). Применение формулы (5.9.20) к функции

/ = Й + -V 41 = ci = consttoi

дает с той же точностью третий интеграл, полученный в работе Контопулоса [22]:

^1 + -Д- У i + • • • = с2 = const.

Использование в тех же целях функции

/ — 52 42 ^2

не дает нового интеграла, не зависящего от с2 и интеграла энергии (Ф или F).

Резонансный случай. Из (5.9.15) и (5.9.19) ясно, что в рассматриваемых нами приближениях надо исключить случаи

2/222

со, = 4(о2,(щ = (о2.

В действительности по мере получения приближений высших порядков будут появляться делители вида шщ — тсог, где целые числа п, т увеличиваются вместе с порядком строящейся теории. Как указывалось в предыдущих параграфах, даже не надо, чтобы эти делители обращались в нуль, а для неприменимости теории достаточно, чтобы они были достаточно малыми. Например, первое из соотношений (5.9.15) показывает, что если ы2— 4о>2 = О (е), то функция 51 больше не будет величиной первого порядка малости, как это предполагается с самого начала. В таких случаях аргумент (критический), соответствующий малому делителю, надо оставить в функции Ф, если она выражается через решение дополнительной системы (5.9.9).

Если ш? to 4(02, то такой подход приводит к выражениям

Ф1 = - -Ц Мх (co^i - ni) + 210^)^42 ],

40ЦС02

^Х = ,22/То—Г fW2 (З®1 + ^“г) 'Hl^ +

4o)jto2 («щ -j- 2со2)

+ ((ох + 4(0,) т]1т]| + 2(о?(о2^2т]2] ,(5.9.21)

ф2=-— Г+

32<0j<02 (<°i + 2<о2) £(^ ш2 / у " ш2 у

+ (о2 (5(ol + 8(о2) I Н7 4- —7 I •

Этих соотношений достаточно для последующего построения третьего интеграла и подтверждения результатов, полученных в работе Контопулоса [21].

Теперь, как и предлагается в методе Линдстедта, можно ввести такое каноническое преобразование, после применения которого одна из координат не будет входить в гамильтониан, а именно, та координата, которая соответствует некритическому аргументу. Следовательно, при использовании дополнительной системы новые координаты надо определить по формулам

(5.9.22)(5.9.22)9-1 = 2 (ю2т + с2) — (и^ + с\\ 9 г = — (®2т + с2).

(5.9.22)

(5.9.22)

Второе из этих соотношений выбрано таким образом, что qa не будет входить в гамильтониан, а соответствующий импульс будет совпадать с найденным Контопулосом третьим интегралом для резонансного случая. Вообще говоря, за qa можно принять любую линейную комбинацию величин ацт + с, и <о?т + са (не кратную только критическому аргументу gi). Импульсы, соответствующие координатам qi, qa, определенным по формулам (5.9.22), записываются так:

to, 22 । to» 2

Р1 = ^С\, Р2 = MiCi + y-c2,(5.9.23)

а сами переменные q\, qa, pi, ра легко выражаются через ^, т] с помощью формул (5.9.9).

Легко видеть, что гамильтониан, записанный в переменных д, р, не содержит qa, так что ра — константа, т. е.

“1 ^Й +++= const. (5.9.24)

Преобразование этого выражения с помощью формулы (5.9.20) дает третий интеграл Контопулоса в этом резонансном случае:

=/>2=const.=/>2=const.+ 555(^7+255 ^ (Ш1 + “2) ^2 + т^ ~У^1 +

=/>2=const.

=/>2=const.

Хори в упомянутой выше работе получил полностью эквивалентный результат, положивши = 4®2 (точное равенство)1).

Другой резонансный случай, рассмотренный Контопулосом [22], а также описанный здесь,— это случай со2 «со22). В этом случае критический аргумент, приводящий к появлению малого (или нулевого) делителя в общей теории, имеет вид (ш^ + cj) — —(а2т + са\ Сохраняя этот аргумент (и кратные ему аргументы) в функции Ф2 (функция Ф] остается такой же, как и в

;) См. также [34*, 35*], где рассмотрены и другие резонансные случаи (прим. перев.).

нерезонансном случае), получаем

Как и в предыдущем случае, после введения соответствующего набора новых переменных

51 = (ы2т + с0 — («хТ + ci), 52 = — (®2т + с'2),

1212,12

Р1—ytoiC!,Ра2 Ю1С1 + "2"Ю2С2

новый гамильтониан не будет содержать координаты 52, так что импульс р^ будет постоянным. Следовательно,

4Ю1 С ^1 +-^П1^ +4 Ю2^2 + Л ^2^ = ^2 = const,

2\1/2\^2/

или, используя (5.9.20),

е- -- [ю2 (ю? — 2(О1<о2— 2ю?) ^ж? +

<О1<о2 ]/ со? — 4 со?

+ 2(0)! — (02) (х^ — у^аУ^ + О (е2) = р.г = const.

Опять можно показать, что эта формула точно совпадает с результатами, полученными Контопулосом в случае со? «го2.

В обоих рассмотренных здесь резонансных случаях легко видеть, что новый гамильтониан, записанный в переменных 5, р, имеет ту же главную часть, что и в идеальной резонансной проблеме. А именно, для резонанса и? « 4со? имеем

Н = (юг — 2ю2) рх + ю2р2 —(^2 — 2pi) VPi cos 5i,

l/JG^CDs

а для резонанса (of^(O2 —

7/ = (<O1 — o)2) pY + (o2p2 +22/2—K8co2 — Зи?) pX +

+ 2 (Scot + 4(о1(о2 — Sco?) Р\Рч — (Зю? + Зо^со-з—Йео?) Рх +

+ 4(о2 (to! + 2(о2) (р4 — р^ рх cos 2^].

В обоих случаях видно, что при точном резонансе

дНо]8рх = 0.

Однако во втором случае можно допустить, что эта производная является малой величиной порядка 0(e), и тогда по-прежнему можно получить решение в виде формальных рядов по степеням е. В первом случае величина наименьшего порядка может быть малой величиной порядка О(е1/2), и в этом случае решение надо строить по степеням е1/2, о чем и говорилось в предыдущем параграфе.

Системы дифференциальных уравнений типа системы (5.9.1) очень широко изучаются в литературе, и сравнение классических методов решения с формальным подходом, основанным на рядах Ли, может оказаться весьма плодотворным. Сходимость рядов этого последнего подхода является, вероятно, наиболее интересной частью проблемы.

Замечания

С физической точки зрения понятия линейного или нелинейного резонанса могут отражать только некоторые аспекты тех пли иных постановок задач. Для любых физических целей линейный резонанс не существует. Нелинейный резонанс является главным принципом настройки, т. е. выделения сигнала из общего шумового фона, а в естественных системах — причина устойчивых колебательных конфигураций; общим для обеих ситуаций является явление «захвата в резонанс». В более сложных системах резонанс выявляется только с помощью численных исследований. Хорошие примеры в этом отношении дают работы Хено- на и Хейлеса [43] и Густавсона [38]. В некоторых случаях метод поверхностей сечения (или результаты Пуанкаре) является очень эффективным, как например, в задаче, рассмотренной Дэнби [26]. Что касается гамильтоновых систем, то мы немедленно сталкиваемся с вопросом о том, будут ли такие системы осцилляторами. Ясное описание, даваемое с помощью переменных действие — угол, применимо только тогда, когда можно разделить уравнение Гамильтона — Якоби, и поэтому оно имеет слишком ограниченную область применения. Таким образом, мы вынуждены прийти к обычному описанию колебаний в окрестности положения равновесия, которое надо считать устойчивым. Нелинейность заключается в том, что если такие колебания периодичны по каждой переменной, которая описывает отклонение от положения равновесия, то их период зависит от этого отклонения. 19 Г. Е. О. Джакалья

Математическое определение нелинейного резонанса, основанное на методе, который применяется для получения асимптотических решений, разумеется, не является удовлетворительным, хотя и часто используется (см., например, [52], стр. 18). Такое определение, если оно основано на появлении нулевых делителей в приближенных методах (как описывается в этой главе), есть не что иное, как эквивалентное утверждение о неполном вырождении. Перед тем как переходить к более уточненным и подробным определениям, надо отдавать себе отчет, что рассматриваемый вопрос по существу заключается в изучении поведения нелинейной динамической системы под влиянием внешних (или внутренних) возмущений. Асимптотически устойчивые решения можно в конечном счете получить с помощью асимптотических или чисто качественных методов, на что и указывалось в работах Боголюбова и Митропольского [12], Немыцкого и Степанова [64], Чезари [16] и Митропольского [58]. Поиск таких решений очень часто сводится к определению расположения и типов особых точек в фазовом пространстве. Тип этих точек зависит от поведения интегральных кривых в их окрестности, и, следовательно, располагая такой информацией, мы можем установить топологическую картину поведения траекторий в этих окрестностях фазового пространства. Однако в большинстве случаев поведение интегральных кривых в фазовом пространстве остается неизвестным, и часто численные методы являются единственными методами, имеющимися в нашем распоряжении. Кроме того, иногда пытаются понять нелинейные эффекты, упростив систему.

Характерный пример типично нелинейных трудностей и резонансных эффектов дает рассмотрение уравнения

х + а2х + ах = ^/(т),(5.10.1)

где св и а зависят от х и х. Амплитуда ^ вынуждающей силы предполагается фиксированной, а т =• 6t, где е — малая величина. Типичным предположением является предположение о том, что ы2 и а являются функциями «энергии» Е системы, т. е.

2E = x2^to2^x\(5.10.2)

и тогда ищется колебательное решение

х =• a cos (vt + ф),х = — av sin (vt + ф).

Если амплитуда а и фаза ф медленно меняются со временем за период Т =' 2n/v, то можно усреднить соответствующее уравнение за период и получить решение с известной величиной ошибки (см., например, [52], стр. 17—18, уравнения (2.19) и (2.20)).

результатерезультатеТакие усредненные уравнения, получающиеся в упомянутой процедуры, имеют вид

результате

результате

• а В .

а= --^a-^smcp,

Ф = 4г^2- v^ — 2va cos(5.10.3)

Е = ^ (to2 + v2),

и они показывают, что предположение о медленном изменении

амплитуды верно, если

I «а|,I «а|,I I -С va. | v II I -С va. | v I

I «а|,

I «а|,

I I -С va. | v I

I I -С va. | v I

Медленно меняющаяся фаза будет встречаться в таких областях плоскости (а,ср), где

<V.<V./ в V/2

<V.

<V.

V — ю2 н—— cos ср

При отсутствии диссипации (а =• 0) система является канонической, и соответствующий гамильтониан имеет вид

р

Н (р, 6) = -^ j [со2 (ж) — V2] dx — 2е Vp cos 6,

где р а2, е =i ₽/2v..

Отсюда видно, что амплитуда а является ограниченной, если предел

lim J | со2 (ж2) — v21 х dx(5.10.4)

“-*°° а,

конечен и не равен нулю. В действительности это условие подразумевает, что система не ведет себя линейно при больших амплитудах. За исключением тех интегральных кривых, для которых особая точка является предельной точкой, траектории в фазовой плоскости (а, 6) замкнуты и не пересекаются друг с другом, если при этом отождествить точки 6 =• 0 и 6 = 2л.

При отсутствии диссипации особыми точками системы

а =— е sin ср, ср=-^-(ю2 — v2)^-cos ср, (5.10.5}

которая относится к типу систем, обсуждавшихся в главе III, являются точки

а 0, ср л/2, ср = Зл/2

и а = ф = 0, т. е.

Ф = 0, л, -^-(со2 — v2) = ± е.(5.10.6)

Уравнение (5.10.6) описывает резонансную кривую системы в плоскости (a, v). Это означает, что координата особой точки а при данном значении v является корнем уравнения v±(a) —1 (со2 ± p/а)1/2,

где фаза ф = л при v = v+ и фаза ф = 0 при v = v— Видно, что v+(a) является кривой центров, если V4. (а) < 0, кривой седел, если v+ (а) > 0, и кривой смешанного типа, если v^. (a) = 0. Для v-(a) ситуация обратна. Приведем некоторые важные факты, справедливые для любой нелинейной системы.

Для любого значения частоты v существует по крайней мере один центр.

Число центров на единицу больше числа седел.

При малых вариациях каждая смешанная точка исчезает или распадается на пару точек: центр и седло.

Сепаратриса проходит через каждое седло и исключительные особые точки a = 0, ф = л/2, ф = Зл/2.

Наконец, общей чертой движения без диссипации является то, что период, определяемый формулой

Г (С) = ф -^-,Н=С ф

может быть оценен в результате следующей приближенной процедуры, если только интегральные кривые достаточно близки к центру. Линеаризация уравнений (5.10.5) в окрестности центра Ск дает

d — — еф, ф = — ак[ак — а], где

Ф(СЙ)~ 0, ah = a(Ch), afe =tohto/v Д-е/а2,«н = (o(a(Cft)),ю^юДа^)).

Такие линеаризованные уравнения очевидно могут быть записаны в виде

х + &акх = 0,

где х = а — a (Ch). Таким образом, в пределе С = Ск и частоты в амплитуде колебаний х определяются формулой

а периода период

а период

а период

Th = 2л/]/ео7.

В этой системе степень 1/2 возникает естественным образом, и обычная ссылка на изучение «пограничного слоя» едва ли необходима. Действительно, как мы видели в § 5 настоящей главы, при различных предположениях возникают различные степени 8 (уравнение (5.5.9)). В областях, далеких от центра, интеграл для Т (С) надо вычислять точно, и в большинстве случаев это можно сделать только численно. Однако, если а }> е, то пренебрегая членами (е/а)2 и более высокого порядка, находим

х = — е sin ф, <р =| а^,

и при — 1 ^ Ск =5 1 интеграл для Т (С) дает формулу

а при Ск > 1

Т (С) = 2 [eaft (1 + Ch)/2]-V2 К

где К^ —полный эллиптический интеграл первого рода с модулем к.

Мы можем проверить результат для центра, положив Ск ==. ,= — 1. Если Ск—> 1, то Т —> оо, и в действительности случай Ск =. 1 соответствует сепаратрисе.

Вариация амплитуды Аа (амплитуда колебаний в окрестности центра) определяется формулой

Aa(C) = max a (С, <р) — min a (С, ф), п, следовательно, получаем

Aa = 2[2A(l + Cb)as]i/2

и

Aa = |/-^ [/СГ+"1 - VC^l](Ck > 1).

Эти результаты по существу описаны в наших статьях [32—36], но здесь мы следовали прямому описанию работы Бакай [6].

В результате получаем, что Аа увеличивается вместе с С^ стремясь к максимальному значению при Ск —> 1 слева, а затем круто уменьшается; при этом характер движения изменяется с

колебательного (конечные вариации фазы) на вращательный (неограниченные вариации фазы).

Если вводится диссипация, то картину фазовых траекторий также нетрудно найти, несмотря на «потерю» интеграла энергии (гамильтониан). Действительно, хотя траектории больше не являются замкнутыми, они приближаются или к замкнутым траекториям, или к неподвижной точке. В противоположность предыдущему случаю мы имеем следующие свойства.

Фаза ф особой точки не является постоянной. Для особой точки, определенной ветвью v+ (а), имеем л/2 ^ ф ^ Зл/2, а для точки, определенной ветвью v~!(а), имеем —л/2 ^ ф ^ л/2.

При значении а, удовлетворяющем соотношению аа =' 2s, ветви v+ (а) и v~ (а) сливаются с кривой, определяемой формулой v = v(a>). При отсутствии трения ветвь v+(a) (или v~(a)) лежит всегда над (или под) этой кривой.

Центры переходят в фокусы, которые устойчивы при d^aa^jda >0 и неустойчивы при d(aa)lda < 0. Седловые и смешанные точки остаются.

Каждая фазовая траектория стремится к устойчивому фокусу или к устойчивому предельному циклу, окружающему его. Переход осуществляется через фазовую траекторию, имеющую седло в качестве предельной особой точки. В этом случае одна ветвь приближается к фокусу, а другая — к предельному циклу.

В заключение мы хотим упомянуть важные результаты, полученные Мозером [62] прц построении условно-периодических движений, в частности, при построении движений в окрестности резонансных систем.

Этот вопрос связан с возможностью применения к резонансным случаям теоремы Мозера об условно-периодических движениях, описанной в § 6 главы III. Обобщение этой теоремы для гамильтоновых систем получено Мозером [62]. Если рассматривается система с А' степенями свободы, ап — число рационально независимых частот невозмущенной системы, то в случае n=-N применима теорема Колмогорова или теорема Мозера. Если п = 0, то мы имеем положение равновесия, а случай п = 1 соответствует периодическому движению; первым этот случай рассматривал Арнольд [4]. Все остальные случаи 1 < п < N являются резонансными, и кратность резонанса равна N — п. С точки зрения вопросов, описанных в § 3 главы III, резонансы рассматривались в статье Арнольда [5] при обобщении теоремы Колмогорова. Действительно, основные результаты работы Мозера содержатся в теореме Арнольда,— факт, становящийся очевидным при сравнении, например, функции Hi, (§ 3, глава III) с функцией Н из работы Мозера. В случае простого резонанса (т. е. n='N—1) результаты Мозера можно сформулировать очень просто.

Действительно, рассмотрим гамильтониан

Н = Я(г/Ь ..., ун, хь ..., хн, ъ),

где 77 (у, х, О)=Но (yN, xY а функция И 2л-периодична по каждой угловой переменной yi, ..., уп (n = N—lY Более того, для фиксированных значений xi,..., xN-\, ограниченных в некоторой ограниченной области, мы будем считать точку yN ='XN = 0 равновесным решением системы с гамильтонианом Hq, т. е.

ЭНОдН0 п

дудх

При е = 0 на многообразии

хк= Ск = const, yN = xN = 0 (к = 1, ..., п) (5.10.7)

мы имеем n-параметрическое семейство условно-периодических движений. При условии, что положение равновесия является положением равновесия эллиптического типа, эти движения могут быть продолжены при достаточно малых возмущениях, т. е. при малых е1). Точнее, Мозер (см. [62], теорема 6) доказал такое утверждение.

Теорема. Пусть система, с гамильтонианом Н(у-,х,е.) при е = 0 имеет равновесную точку и выполнены условия:

при Е = 0, Хн = Ун = 0, хк = Ск(1, /, к = 1, ..., п)

det

№Н д2Н

дх.дх, дх.Эх..

г 3i N

д^Н ЭгН

9Ун9хЗ ЭУн

¥=0,

2) если при в = 0, xN = yN •= 0, хк = Ск, дЧ1 д^н

А = det

9xn э^н

дх,.ду

Э^Н

= а2;

>0,

Ох .тду __

N ^N

9«n

то при Е = 0, Хн = Ун = о, хк = Ск (i, i, к = 1, ..., п)

дН \

Эх, I

д^Н

Эх.Эх.

detL— А I

Тогда при, достаточно малых е существуют условно-периодические решения с п частотами, которые близки решениям, определяемым формулами (5.10.7).

Разложение функции в ряд Тейлора осуществляется в окрестности решения (5.10.7), и положение равновесия xN = yN*=0 предполагается положением равновесия эллиптического типа, т. е. матрица

эгнЙ '

^ 8^Уп' д2Н0 92Нр '8хп8Уп 8Ун

приводима к диагональной форме

0\аг0\аг

0\

аг

0\

аг

где а =# 0. Таким образом, окончательная форма гамильтониана такова:

= 2 ajXj + у ^n + Yn) + о k&Y j=l

где1

jXj — ^| — O(g2)(7=1, ...,n),

| XK — Xn I ~ | Ts — yw | ~ О (e4).

Дифференциальные уравнения возьмем в виде

у =а + О(е),|=Й| + О(е),(5.10.8)

где у = (ут, ..., у^, § = (xi, ..., х„, xN, yN).

Собственные числа матрицы Q таковы:

Qi = ... = Q„ == 0, Q^ = —Qx+i = "J/"— 1.

Для применения теоремы Мозера (§ 6 главы III) необходимо построить модифицированную систему

У = о + ^ + О (е),i = ^ + ^4-0(8).

Однако, как показал Мозер, можно выбрать М = oQ, где вещественная величина о ^ 0, так что «растяжением» времени

dx =i (1 + a^dt

находим

у'= (1и)-1 (а + X) + О (е),

Г= ^ + О(е), п константы

«1 — (1+о)-1 (а, + М

можно получить соответствующими величинам Ch (к = 1, ..., п) , которые удовлетворяют предположениям теоремы.

Тогда в системе (5.10.8) будут существовать условно-периодические движения.

Что касается периодических решений в окрестности положения равновесия, когда частоты нормальных колебаний являются рационально зависимыми, то этот вопрос первым изучал Зигель [73]. Он привел пример, показывающий, что распространение теоремы Ляпунова на этот случай не всегда возможно. Однако совсем недавно в работе Бергера [8] для гамильтоновых систем при отсутствии гироскопических членов была доказана одна важная теорема из этой области. С другой стороны, Хенрард [44] в конкретной системе1), в которой такие члены присутствуют, провел формальную нормализацию, и с помощью численных методов показал, что, по-видимому, при некотором резонансном соотношении между частотами нормальных колебаний в окрестности положения равновесия существуют периодические орбиты. Наконец, Рул [69], применив метод нормализации, показал существование периодических орбит, соответствующих рациональным частотам, в ограниченной задаче трех тел, а позже [70] дал доказательство теоремы, обобщающей результаты Ляпунова. Точнее, периодические решения в окрестности положения равновесия будут существовать, когда Х4 = к)^ (к ^4, Xi — чисто мнимая величина) и выполнены некоторые условия, зависящие от к и от членов более высокого порядка в разложении гамильтониана около положения равновесия. Здесь мы ограничимся упоминанием только наиболее важных результатов Бергера и Рула).

Бергер обобщил теорему Ляпунова следующим образом [8].

Теорема. Пусть дан гамильтониан

Н {у, ж) = |$Ч у уАу + F (у), где у и ш — п-мерные векторы, F (у) принадлежит по крайней мере классу Сх при 0 у < 2л, lim 14^-II/II v II = 0, а А —

постоянная самосопряженная матрица размерности п\п с собственными числами X?, ..., Х„. Если существует р собственных чисел, не обязательно различных, но равных величине к2^ (к — целое число для некоторого 1 ^ / ^ п, то существует по крайней мере р различных однопараметрических семейств и,(е) (7 = 1, --ч Р) периодических орбит с периодами /^(е). При е -> О все семейства переходят в положение равновесия и периоды равны 2л/|Х,-|. Более того, если функция Е(у) вещественно аналитична, то и.,(е) и Т,[(e) непрерывны в окрестности положения равновесия.

Ясно, что теорему нельзя применить, если гамильтониан содержит линейные по х члены, т. е. по вектору «скоростей». В этом случае применима теорема Рула при следующих предположениях [69, 70].

Теорема. Пусть дан вещественный аналитический гамильтониан-Н (.у, х) в окрестности положения равновесия (0, 0). Если все собственные числа линейной системы в вариациях различны между собой, одно из них, например, X], является чисто мнимым, и существует другое собственное число, например, ki, такое, что Х2 = kk\ ^k ^ 4 — целое число), то существует семейство вещественных периодических решений, зависящих аналитически от вещественного параметра в окрестности положения равновесия, если, кроме того, число R(k) ф 0.

Это число зависит от к и от коэффициентов разложения функции И в окрестности точки (0, 0) до членов четвертого порядка. Если е —> 0, то эти решения переходят в положение равновесия, а их периоды, являющиеся аналитическими функциями параметра е, стремятся к величине 2л/|Х]|. Первое приближение для этого решения совпадает с первым приближением, получающимся в методе Ляпунова для нерезонансного случая *).

Разумеется, список результатов для многих частных случаев может быть продолжен до бесконечности. Мы хотим только упомянуть важные работы, которые написали Хейл [41] (особенно §§ III.5—III.И и главы IV,V), Сансоне и Конти [72] (особенно §§ VII.1, VIII.7), Чезари .[16] (§ 8, 9), Андронов и др [2] §§ (1.2—1.5, главы II, VI), Андронов и др. [3] (главы II, III, IV, особенно с важной точки зрения структурной устойчивости), Немыцкий и Степанов [64] (главы IV, V), Ла-Салль и Лефшец [53] (глава 4, особенно с точки зрения обобщения ляпуновского метода исследования устойчивости), некоторые авторы- Трудов

i) Весьма примечательно, что, в отличие от классического нерезонансного случая Ляпунова, в резонансном случае в работах [44, 69, 70, 37*]. кроме того, обнаружены такие периодические движения, которые при е->0 не переходят в положение равновесия (^прим. перев.).

Международного симпозиума по дифференциальным уравнениям и динамическим системам [42] (под редакцией Хейла и Ла-Сал- ля). Урабе [74] (главы 4, 5), Розе [71] (главы 9. 10, 12, 13, 18 и некоторые примеры на протяжении всей книги), некоторые авторы в переводах Американского математического общества [1], Чен [17] (особенно некоторые примеры по вибрациям в нелинейных механизмах).

Одной из лучших работ по теории колебаний в электрических системах, где анализируется проблема резонанса в некоторых ситуациях и для некоторых примеров, является работа Блакьера [10]. Наконец, много общих задач и специальных случаев, встречающихся в небесной механике, собрано в Трудах Международного симпозиума по периодическим орбитам, устойчивости и резонансам [35] (под редакцией Джакальи).

Очень часто утверждается, и в действительности с общематематической точки зрения это верно, что асимптотические методы не могут точно предсказать орбиты на интервалах времени, превышающие 1/s, где 8 — малый параметр задачи. Тем не менее, доказано, что такие методы (основанные главным образом на методах Линдстедта, Пуанкаре и Цейпеля) как в нерезонансной, так и в резонансной ситуациях, могут точно предсказать наблюдения на гораздо большие времена. Например, учет долгопериодических возмущений, произведенный для искусственных спутников Земли, должен был бы оставаться верным в течение примерно 2Х Ю3 часов (около 84 дней), а в конце этого периода точность должна была бы резко ухудшиться. Однако при надлежащем использовании методов усреднения точность, лучшая, чем одна миллионная, может поддерживаться в течение 100 дней. Аналогичное утверждение верно и относительно справедливости нормальных форм, полученных с помощью «вообще говоря, расходящихся» рядов. В этом отношении очень интересны замечания Мозера [59], сказавшего, что «...в случае системы с двумя степенями свободы такое преобразование (нормализация Биркгофа) может быть получено также только с помощью расходящихся рядов. Но при использовании понятия устойчивости в практических целях эти ряды дают вполне достаточное описание...». Замечание аналогичного рода было сделано Кинером [52], утверждавшим, что «...модель (маятниковая) справедлива для интервалов времени порядка 1./У/22 (/22 — малый параметр задачи), например, в Течение периода колебаний». Утверждения такого типа должны сопровождаться словами: «если /22 — достаточно малая величина». Однако численная проверка показывает, что «эта теория может быть применена и для синхронных спутников Земли...». Мы хотим добавить, что времена, превышающие математический интервал справедливости теории возмущений, должны получаться в результате каких-то специальных оценок, сущест-

венно использующих те или иные особенности конкретной задачи.

Что касается представления движения в окрестности особых точек с помощью асимптотических методов усреднения, то, начиная с создания теории Хори [45], известно много работ, например, работы Гарфинкеля [30] (в этой работе есть хороший список литературы по рассматрнваемому вопросу), Джакальи [32—34, 36] и Жуппа [47, 49].

Наконец, с важной точки зрения построения и справедливости третьего интеграла движения, мы настоятельно рекомендуем несколько работ Контопулоса [21—25], так как, кроме тщательных аналитических выкладок, они содержат много обширных и производящих глубокое впечатление численных приложений и проверок, очень эффективные вычислительные процедуры для исключительно простых и академических параметров, и, кроме того, удобны для читателя, использующего методы усреднения в теории возмущений.

ЛИТЕРАТУРА

Almuhamedov, Bautin, Е 1 s g о 1 z, Malkin, Nemytskii. Stability and dynamical systems.— Amer. Math. Soc. Transl. ser. 1, 1962, vol. 5

Андронов А. А., Витт A. A., X а й к и н С. Э. Теория колебаний,— М.: Физматгиз, 1959.

Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.—М.: Наука, 1967.

Арнольд В. И. О рождении условно-периодических движений из семейства периодических движений.—ДАН СССР, 1961, т. 138. № 1, стр. 13-15.'

Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.—УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91—192.

В a k a i A. S. Resonance phenomena in nonlinear systems.— Diff, eq., 1966, vol. 2, p. 479—491.

Baker H. F. On certain linear differential equations of astronomical interest.— Phil. Trans. Roy. Soc. London (A), 1916, vol. 216, p.129—189.

В e r g e r M. On one parameter families of real solutions of nonlinear operator equations.— Bull. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 75, № 2, p. 456—459.

В h a t i a N. P., S z e g 6 G. P. Stability theory of dynamical systems.— New York: Springer-Verlag, 1970.

Б л а к ь e p О. Анализ нелинейных систем.— M.: Мир, 1969.

И. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике.—Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

Б о г о лю б о в Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Физматгиз, 1963.

В о h 1 i п К. Uber die bedeutung der prinzips der lebendigen kraft fur die frage von der stabilitad dynamischer systeme.— Acta. Math.. 1887, b. 10, s. 115—138.

В г о w n E. W. Elements of theory of resonance.— Rice Inst. PubL, 1932, vol. 19.

С е s а г i L. Sulla stabilita delle soluzioni del sistemi di equazioni differenziali linear! a coefficienti periodici.— Atti Accad. Itai. Mem. Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t.ll, p. 633—692.

Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений,— М.: Мир, 1964.

С h е n Y. Vibrations theoretical methods.— Massachusetts, Addison-Wes- lley, 1966.

С о 1 e J. D. Perturbation methods in applied mathematics.— Massachusetts, Ginn-Blaisdell, 1968.

Contopoulos G. A third integral of motion in a galaxy.— Zeits. fur Astrophys., 1960, b. 49, s. 273—291.

Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion.— Astron. J., 1962, vol. 67, № 1, p. 1—14.

Contopoulos G. Resonance cases and small divisors in a third integral of motion, I.— Astron. J., 1963, vol. 68, № 10, p. 763—779.

Contopoulos G. Resonance cases and small divisors in a third integral of motion, II.— Astron. J., 1965, vol. 70, № 10, p. 817—835.

Contopoulos G. Resonance cases and small divisors in a third integral of motion, III.— Astron. J., 1966, vol. 71, № 8, p. 687—698.

Contopoulos G. Resonant periodic orbits.— Astrophys. J., 1968, vol. 153, № 1, p. 83—94.

Contopoulos G. Resonance phenomena in spiral galaxies.— В кн.: Periodic Orbits, Stability and Resonances/Ed. G. E. O. Gicaglia.— Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

D a n b у J. M. A. Wild dynamical systems.— В кн.: Periodic Orbits. Stability and Resonances/Ed. G. E. O. Giacaglia.— Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

Diliberto S. P. Perturbation theorems for periodic surfaces, I, II.— Rend. Circ. Mat. Palermo, 1960, vol. 9, p. 265—299; 1961, vol. 10, p.lll—200.

Elsgolts L. E. An estimate for the number of singular points of a dynamical system defined on a manifold.— Providence, Am. Math. Soc. TransL, 1952, No. 68.

Garfinkel B. et al. A recursive von Zeipel algorithm for the ideal resonance problem.— Astron. J., 1971, vol. 76, № 2 p. 157—166.

G a r f i n k e 1 B. et al. Regularization of the ideal resonance problem.— Celest. Meeh., 1972, vol. 5, № 2, p. 189—203.

Гельфанд И. M., Лидс к и й В. Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.—УМН, 1955, т. 10, № 1, стр. 3—40.

Giacaglia G. Е. О. Double resonance in the motion or a satellite.— Symp. Math., 1968, vol. 3, p. 45—63 (publ. Acad. Press, New York, 1970).

Giacaglia G. E. O. Resonance in the restricted problem of three bodies.— Astron. J., 1969, vol. 74, № 10, p. 1254—1260.

Giacaglia G. E. O. Parametric representation of resonance in the restricted problem.— Mem. Soc. Astron. Itai., 1969, t. 40, p. 499—515.

G i a c a g 1 i a G. E. O. (Ed.) Periodic Orbits, Stability and Resonances.— Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

Giacaglia G. E. O. Two centers of libration.—В кн.: Periodic Orbits, Stability .and Resonances /Ed. G. E. O. Giacaglia.—Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

Giacaglia G. E. O. Characteristic exponents at L4 and Ls in the elliptic restricted problem of three bodies.— Celest. Meeh. 1971, vol. 4, № 3/4, p. 468—489.

Gustavson F. A. On constructing formal integrals of a hamiltonian system near equilibrium point— Astron. J., 1966, vol. 71, p. 670—686.

Хагедорн П. Обращение теорем устойчивости Лагранжа — Дирихле и Раусса—Механика, 1972, № 5, стр. 3—36.

Н а 1 е J. К. On the boundedness of the solutions of linear differential systems with periodic coefficients.— Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 137—167.

Hale J. K. Ordinary differential equations.— New York: Wiley-Intersci- ence, 1969.

H a 1 e J. K., LaSalle J. P. (Eds.) Differential eguations and dynamical systems.— New York: Acad. Press, 1967.

Henon M., H e i 1 e s C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments.— Astron. J., 1964, vol. 69, № 1, p. 73—79.

H e n r a r d J. Periodic orbits emanating from a resonant eguilibrium.— Boeing Sci. Res. Lab. PubL, 1969, Dl-82-0874.

H о r i G. The motion of an artificial satellite in the vicinity of the critical inclination.— Astron. J., 1960, vol. 65, № 5, p. 291—303.

H о r i G. Nonlinear coupling of two harmonic oscillators.— J. Japan. Astron. Soc., 1967, vol. 19, p. 230—241.

Jupp A. H. On the ideal resonance problem.— Astron. J., 1969, vol. 74, № 1, p. 35—43.

J u p p A. H. On the ideal resonance problem, II.— Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 1970, vol. 148, p. 197—210.

J u p p A. H. A second order solution of the ideal resonance problem by Lie series.— Celest. Meeh., 1972, vol. 5, № 1, p. 8—26.

Kevorkian J. The two variable expansion procedure for the approximate solution of certain nonlinear differential equations, vol. 7, p. 206. Lectures in applied mathematics. Providence, Amer. Matr. Soc., 1966.

Крылов H. M., Боголюбов H. H. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний.— Киев: Изд-во АН УССР, 1934.

Kyner W. Т. Lectures on nonlinear resonance. Yale Summer Institute in Dynamical Astronomy, Purdue Univ., 1968.

Ла-Сал ль Ж., Л е ф ш е ц С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова,— М.: Мир, 1964.

Л е ф ш е ц С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.— М.: ИЛ, 1960.

Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т. 2.— М.: Изд-во АН СССР, 1956.

Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.— М.: Физматгиз, 1966.

М а л к и н И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.— М.: Гостехиздат, 1956.

Митропольский Ю. А. О построении общего решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью метода, обеспечивающего ускоренную сходимость.—Укр. матем. ж., 1964, т. 14, № 4, стр. 475—501.

М о s е г J. The resonance lines for the synchrotron. Geneva, p. 290—292, Proceed. CERN Symp., 1956.

M о s e г J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems.— Comm. Pure Appl. Math., 1958, vol. 11, № 1, p. 81—114.

Moser J. On the theory of quasi-periodic motions.—SIAM Rev., 1966, vol. 8, № 2, p. 145—172.

M о з e p Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды.—УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165—211.

Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.— М.: Мир, 1973.

Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.— М.— Л.: Гостехиздат, 1949.

Немыцкий В. В. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.—УМН, 1965, т. 20, № 1, стр. 1—34.

Немыцкий В. В. Топологическая классификация особых точек.—Диф. уравнения, 1967, т. 3, № 3, стр- 359—370.

Р е i х о t о М. М. Qualitative theory of differential equations and structural stability. — В кн.: Differential equations and dynamical systems/Eds. J. K. Hale, J. P. LaSalle.—New York: Acad. Press, 1967.

Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр., т. 1.— М.: Наука, 1971.

R о е 1 s J. Orbites de longues periodes resonantes autour des points equilateraux de Lagrage, 1, 2.— Astron. Astrophys., 1969, vol. 1, № 1, p. 77—90; № 3, p. 380—387.

Roe I s J. An extension to resonant cases of Lyapunov’s theorem concerning the periodic solutions near a hamiltonian equilibrium.— J. Diff. Eq., 1971, vol. 9, № 2, p. 300—324.

P о з e M. Нелинейные колебания и теория устойчивости,—М.: Наука, 1971.

S a n s о n е G., Conti R. Nonlinear differential equations.— New York: Pergamon Press, 1964.

Зигель К. Л. Лекции по небесной механике.— М.: ИЛ, 1959.

Urabe М. Nonlinear autonomous oscillations.— New York: Acad. Press, 1967.

Уиттекер E. Аналитическая динамика.— M.: ОНТИ, 1937.

Z е i р е 1 Н. Recherches sur le mouvement des petites planets.— Arkiv. Astron. Mat. Phys., 1916—1917, t. 11, 12, 13.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЗАМЕЧАНИЯ, НЕКОТОРЫЕ ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫИ ИССЛЕДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ

Методы усреднения используются уже довольно давно, и к настоящему времени мы накопили опыт их применения и приобрели необходимую интуицию. Они дают удивительно хорошие результаты, которые, вообще говоря, даже лучше, чем можно было бы ожидать исходя из чисто математических оценок. Как бы ни была хороша оценка для общего случая, ясно, что в конкретной задаче может быть получена лучшая оценка. Другим аспектом рассматриваемого вопроса, особенно в задачах, где угловые частоты могут быть получены непосредственно из наблюдений, является то, что значительно более хороший результат получается, если такие частоты (их численные значения) используются в аналитической теории. Тогда периодические колебания около некоторых средних значений, полученные в виде аналитических выражений, оказываются в хорошем согласии с наблюдениями. Вероятно — это одна из причин успеха теории движения Луны Хилла — Брауна по сравнению с теорией Делоне. Рассмотрение вопросов такого рода показывает, что эта старая проблема остается открытой до сих пор, и никакие имеющиеся в нашем распоряжении «современные» методы не дают возможности вычислить действительные частоты нелинейной системы. Для приложений эта проблема остается нерешенной, так как в приближениях рядами, сходящимися или только формальными, может быть вычислено лишь конечное и, вообще говоря, очень небольшое количество членов. Пока нельзя найти способа выражения общего члена и суммы этих рядов. В прошлом этого можно было достичь только для тривиальных примеров. Таким образом, мы обращаемся к нелинейному методу решения. Можно добавить, что ускоренные методы сходимости, типа метода Ньютона, которые были введены Колмогоровым, привели к реальному прогрессу в достижении этой цели. Но даже здесь известны случаи, когда метод Ньютона не дает квадратичной сходимости: должны быть удовлетворены некоторые специальные условия. Кроме того, до сих пор были развиты только численные приложения этого метода. В численном анализе существуют также методы решения дифференциальных уравнений, которые в конечном счете дают сходимость лучше квадратичной. В основном они известны под названием методов Эйткена. Например, если при сведении интегрирования к задаче о неподвижной точке имеются три после-

довательных приближения к точке, т. е. ж„-1, х„, жп+1, то отличная оценка неподвижной точки (или корня соответствующего уравнения) дается формулой

-(п+1 - тп)2

■^n+2ж«+1„х *

Vl ^Хп 1 П— 1

Это соотношение точно оценивает сумму геометрической прогрессии в том смысле, что если взять жп-1 = 1, хп-= 1 -|- е, Жп+i —1 = 1 + е + е2, то получим ж„+2 >= 1/(1 — е) . Этот и другие интересные методы описываются в работе Фиджина [7]. Как можно использовать такие ускоренные методы в аналитической теории,— это открытый вопрос.

Существуют другие методы, кроме тех, которые используют процедуру усреднения, однако они не стали такими же популярными, как эти последние при действительном применении методов к решению задач с помощью степенных рядов по (малому) параметру. Методы усреднения просты, наглядны, понятны и, что самое главное, систематизированы. Это означает, что они легко переносятся на автоматические способы решения (с помощью итераций) на электронной вычислительной машине с алгебраическим символьным манипулятором. Такие машинные манипуляторы, специально приспособленные для метода усреднения, были созданы в работах Депри и Рома [23, 24, 30.2,31.2] и Джеффриса [14]. Кроме того, в Смитсоновской астрофизической обсерватории в Кембридже (Массачусетс) Ж. Черняк [16*] создал специальный язык, основанный на системе FORMAC и приспособленный для решения аналогичных задач1).

В работе [2] Арнольд анализировал некоторые нерешенные проблемы, и, насколько нам известно, они остаются нерешенными и сегодня. Хотя большие успехи были сделаны при качественном изучении динамических систем, по-прежнему очень мало известно о двумерных системах и еще меньше для многомерных случаев. Первый вопрос, поднятый Арнольдом, связан с устойчивостью положения равновесия эллиптического типа в системах с числом степеней свободы, большим двух. Аналогичную трудность представляет собой вопрос об обобщении теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке на случай высоких размерностей системы. Кроме того, Арнольд имел дело с устойчивостью по мере для динамических систем, которая связана с тем свойством, что большинство изменений начальных условий сохраняет

условно периодический тип решения ’). С другой стороны, так как промежутки между инвариантными торами для случая размерности, большей двух, являются связанными между собой и неограниченными, то траектория, проходящая между двумя инвариантными торами, не обязательно будет оставаться близкой к одному из них или являться ограниченной,— этот случай Арнольд,назвал топологической неустойчивостью). Вопрос заключается в том, является ли такая ситуация типичной для динамических (гамильтоновых) систем с более чем двумя степенями свободы). Арнольд также упоминает тот факт, что нет хотя бы приближенного доказательства существования зон неустойчивости (хоатическое движение) Пуанкаре в окрестности точки гиперболического тппа. Мы хотим напомнить, что уже после этого Денби [6] для конкретной динамической системы показал, что в действительности такие зоны существуют. Хотя в его работе используются численные методы псследования, тем не менее, без сомнения, ясно, что такие зоны могут и не существовать.

Другой задачей является задача о больших возмущениях. Если рассматривать для сильно возмущенных систем исходный вопрос о существовании инвариантных торов, то можно видеть, что никакого прогресса в его решении нет, хотя Контопулос [5], исходя из полуаналитической точки зрения, получил очень интересные результаты, связанные главным образом с выводом о разрушении в конечном счете третьего интеграла движенпя.

Следующим и по трудности, и по важности вопросом является вопрос об обобщении теории Флоке — Ляпунова на случай условно-периодических систем. Если у — вектор размерности п, и дифференциальные уравнения для него у =Y (у) имеют периодическое решение у = у (of) с периодом Т = 2л/ы, a Y (у) =#0 при всех t, то соответствующая система уравнений в вариациях имеет вид

6у = -^ (У W) бу

В теории Флоке — Ляпунова устанавливается сущестование системы нормальных координат, в которых эта линейная система с периодическими коэффициентами сводится к линейной системе с постоянными коэффициентами. Другими словами, вводится такая угловая переменная 9 и такой (п—1)-мерный вектор х, что

’) Такая устойчивость называется устойчивостью для большинства начальных условий (данных) или устойчивостью по Арнольду (прим, перев.).

существует преобразование

У = У^ + F(0)»,

где F — 2л-периодическая матрица размерности (?г—1)Хи. Это преобразование обладает следующими свойствами.

Уравнение у = У (у) переходит в уравнения

6 = со + /(ж, 6), x = g(x, 6),

где f(O,0)=g(O,0)=O.

Соотношения 0*= tot + const, х = 0, определяют периодическое решение у = у (toty

Матрица dg (0, 0)/дж = Q, имеющая размерность (га— — 1) X кп— 1), не зависит от 0, так что вариационная система приводится к виду 0=w, 6ж = й6ж. Собственные числа матрицы Q являются характеристическими показателями Флоке — Ляпунова.

Теперь вопрос заключается в обобщении этих результатов на случай, когда уравнения у = У (у) имеют условно-периодическое решение у = y(to1t, ..., <omi), где вектор у имеет размерность п, а т п или т > п. Точнее, мы хотим знать, существует ли такая система нормальных координат 0 = (01, ..., 0m), х = ^хъ... ..., Жр), что уравнения у = У (у) приводятся к виду

0=F(0, ж),x=G$, х),

где F, G — 2л-перподические функции по каждой переменной 6А, a F (0, 0) = to t= (он,..., ti>m) = const и G (0, 0) = 0. Условно-периодическое решение у (toi) переходит в решение 0М = г= tokt + const, х — 0, а система уравнений в вариациях приобретает вид

0 = F(0, ж), 8х = ^ (0, 0) 8х,

где 9G (0, 0)/&с = Q — постоянная матрица размерности р X Р- Собственные числа матрицы Q в этом случае были бы обобщенными показателями Флоке — Ляпунова для условно-периодического решения у (ю^). С другой стороны, если сразу же дана система с этими свойствами, т. е. с самого начала известны нормальные координаты, то эквивалентной задачей является задача определения инвариантного многообразия х = 0. Таким многообразием, очевидно, являются торы размерности тп, погруженные в (р + иг)-мерное пространство, с угловыми координатами

Oi,..., 0m на них. Собственные числа Qi,..., QP матрицы Q и компоненты юц.. ., Ют вектора ю являются характеристическими числами Мозера [19], а все юй по предположению являются рационально независимыми.

В таком обобщенном случае основное, что надо доказать, это — приводимость вариационной системы для условно-периодического решения. При и = 1 и m ^ 2 (условно-периодические решения одномерной системы) такая приводимость при некоторых условиях была показана, однако об остальных случаях (n > 1) ничего не известно. (См. работы Гельмана [8] и Андриановой [1], цитированные Арнольдом.)

Другой важной проблемой, упомянутой несколько выше, является изучение совокупности движений в окрестности положения равновесия. Для неканонических систем приводимость к нормальной форме была показана Зигелем «[26], однако, как уже говорилось, для канонических систем необходимые предположения не могут быть выполнены. Общий случай изучения совокупности движений в окрестности периодического решения также является открытым вопросом для канонических систем. Он обсуждался в работе Зигеля [27], но остался нерешенным. Наиболее общей формой этой проблемы является грандиозная задача изучения совокупности движений в окрестности условно-периодического решения. Важные результаты в этой области были получены в работе Белаги [3]. Эта проблема, представленная Мозером [19] как задача о сохранении условно-периодических решений, уже обсуждалась выше. Его результаты похожи на результаты, полученные Белагой, главную теорему которого мы приводим ниже.

Теорема. Рассмотрим систему уравнений

х = А® + /(», у), y = e» + g(®, У), где х— вектор размерности п,у— вектор размерности т, матрица А = diag (Хц ..., Х„), а / = 0 (®2), g = О (®) — 2л-периодиче- ские функции относительно у =(у±, . . .,ут). Рассмотрим бесконечное количество условий

| (^1^1 + • • • + ^тАп) — ^i + V— 1 G1®1+ • • • + ^niwm) I ^

для некоторого К >0, е е [0, 1], 7=1, ..., п; все числа к\, ... ..., кп, 2ц ..., 1m — целые, а |&i | + ...+1&„] > 1 + е. Тогда существует аналитическое преобразование

Х = х + ф(®, у), У = у + Ф(®, у), приводящее данную систему к виду

Х = ХХ, У = ю.

Функции ф, ф — 2п-периодические по ij\,..., ут, а Ф = О (ж2), ф = О (ж).

Однако такая теорема неприменима к каноническим системам в том смысле, что системы, удовлетворяющие описанным выше условиям относительно (о, А, образуют множество нулевой меры в пространстве (о, А). Результаты Мозера только показывают существование сходящегося метода построения условно-периоди- ческих движений. Вся совокупность таких движений неизвестна.

Ясно, что все эти вопросы могут быть обобщены на случай динамических систем с более чем одной независимой переменной или на случай функциональных дифференциальных уравнений. Об этих уравнениях см. работу Хейла [И].

Другой проблемой, представляющей большой интерес, является вопрос о лучшем понимании решения «вдали, вблизи и при выполнении резонансных условий». Когда мы в действительности будем иметь процесс захвата в резонанс и какое наиболее предпочтительное определение резонанса системы? Для сильно возмущенных систем это — полностью открытый вопрос. Наличие диссипативных сил имеет здесь большое значение, но может и не быть решающим фактором при выборе некоторых устойчивых резонансных конфигураций. Интересный пример такого рода в небесной механике недавно был изучен в работах Коломбо [4] и Кинера [17]. Действительно, явление резонанса между средними движениями планет и их спутников, как орбитальными, так и движениями относительно центра масс, может служить темой для дискуссии. См., например, работы Гингерича [9], Хенона [12], Молчанова [20, 21] и Роя и Овендена [25]1).

Существует также ряд вопросов, связанных с изучением динамических систем в алгебре Ли. Они могут быть связаны (а могут и не быть связаны) с методами теории возмущений, использующими преобразование Ли, хотя известно, что движение, соответствующее гамильтониану Н, образует группу Ли в алгебре Ли, определенной скобками Пуассона (Fi7 F^ *= 0, где F^i, j = = 1, ..., n) — интегралы системы уравнений с функцией Гамильтона II, если только они существуют. С этой точки зрения, используя алгебру Ли (для операторов), Мозер [19] описал ясный подход к изучению задачи возмущений условно-периодических движений. С помощью аналогичного подхода можно описать в более точных терминах методы теории возмущений, введенные Хори [13]. По существу, эту задачу можно рассматривать как задачу построения алгебры операторов и определения их области действия и нуль-пространства. В задаче формального приведения

■) Относительно различного рода синхронизмов в небесной механике см. также работы В. В. Белецкого, в частности, книги [43*, 42*] (прим, перее.у

к нормальной форме такие методы были использованы в работе Густавсона [10]. Мы не знакомы подробно с подобными приложениями, за исключением только работ Лейманиса [18] по изучению движения твердого тела. Однако в области квантовой механики такой подход весьма распространен (алгебра коммутаторов). Связь этих вопросов с задачами небесной механики была установлена в различных работах Кустаанхеймо [15, 16] и Нуо- тио [22] по алгебре спиноров. К сожалению, эти вопросы не являются легко доступными для специалистов, работающих в области астрономии, техники п физики, так как требуют больших знаний алгебры.

Очевидно, список открытых вопросов и исследуемых задач бесконечен, и всегда можно только приветствовать различного рода обобщения известных результатов. Трудно только предвидеть, какие обобщения могут сыграть важную роль в прикладных науках.

ЛИТЕРАТУРА

Андрианова Л. Я. Приводимость системы п линейных дифференциальных уравнений с условно-периодическими коэффициентами.—Вестник ЛГУ, 1962, т. 17, № 7, стр. 14—24.

Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.—УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91—192.

Б е л а г а Э. Т. О приводимости обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности условно-периодического движения.—ДАН СССР, 1962, т. 143. № 2, стр. 255—258.

Colombo G. Rotational period of the planet Mercury (Letter to editor).— Nature, 1965, vol. 208, p. 575.

Contopoulos G. Orbits in highly perturbed dynamical systems.— Astron. J., 1970, vol. 75, № 1, p. 96—107; p. 108—130. 1971, vol. 76, № 2, p. 147—156.

D a n b у J. M. A. Wild dynamical systems.—В кн.: Periodic Orbits, Stability and Resonances /Ed. G. E. O. Giacaglia.— Dordrecht, Holland: Reidel Publ. Co., 1970.•

F e a g i n T. W. Numerical solution of two-point boundary value problems using Chebyshev series. Ph. D. Thesis, College of Engineering, Univ, of Texas at Austin, 1972.

Гельман A. E. О приводимости одного класса систем дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами.—ДАН СССР, 1957, т. 116, № 4, стр. 535—537.

Gingerich О. Kepler and the resonant structure of the Solar system.— Icarus, 1969, vol. 11, p. Ill—113.

Gustavson F. A. On constructing formal integrals of a Hamiltonian system near an equilibrium point.— Astron. J., 1966, vol. 71, № 8, p. 670—686.

Hale J. K. Functional differential equations.— New York, Berlin: Sprin- ger-Verlag, 1971.

H e n о n M. A comment an ’The resonant structure of the Solar system by A. M. Molchanov.— Icarus, 1969, vol. 11, p. 93—94.

Н о г i G. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables.— J. Japan. Astron. Soc., 1966, vol. 18, № 4, p. 287—296.

Jefferys W. H. A Fortran-based list processor for Poisson series.— Celest. Meeh., 1970, vol. 2, № 4, p. 474—477.

Kust a an he i,m о P., N u о t i о V. S. Spinor algebra, I. Preprint No. 1, Dept, of Appl. Math., Univ, of Helsinki, 1965.

К u s t a a n h e i m о P., N u о t i о V. S. Lectures on celestial mechanics. Preprint No. 2, Dept, of Appl. Math., Univ, of Helsinki, 1966.

Kyner W. T. Passage through resonance.—В kh.: Periodic Orbits, Stability and Resonances /Ed. G. E. 0. Giacaglia.— Dordrecht, Holland: Reidel Publ. Co., 1970.

L e i m a n i s E. The general problem of motion of coupled rigid bodies about a fixed point.— New York, Berlin: Springer-Verlag, 1965.

M о з e p Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды.—УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165—211.

Molchanov А. М. Resonances in complex system: a reply to critiques.— Icarus, 1969, vol. 11, p. 95—103.

M о 1 c h a n о v A. M. The reality of resonances in the Solar system.— Icarus, 1969, vol. 11, p. 104—110.

N u о t i о V. S. Generalized motor electrodynamics.— Ann. Acad. Sci. Fennicae, Series A, VI. Phys., 1970, vol. 351, p. 1—37.

Rom A. Mechanized algebraic operations.— Celest. Meeh., 1970, vol. 1, № 3/4, p. 301—319.

Rom A. Echeloned series processor.— Celest. Meeh., 1971, vol. 3, № 3, p. 331—345.

R о у A., О v e n d e n M. On the occurrence of commensurable mean motions in the Solar system, I, II.— Mont. Not Roy. Astron. Soc., 1954, vol. 114, p. 232; 1955, vol. 115, p. 296.

3 и г e л ь К. Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия.—Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 119—128.

Зиге ль К. Л. Лекции по небесной механике.— М.: ИЛ, 1959.

(используется в примечаниях редактора и переводчика и приводится в порядке упоминания в тексте)

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика.— М.: Наука, 1973

Синг Дж. Л. Классическая динамика.— М.: Физматгиз, 1963.

X е р р и к С. Астродинамика, т. 1.— М.: Мир, 1976.

Д е м и н В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения.— М.: Наука, 1968.

Б р ю н о А. Д. Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений.—ДАН СССР, 1962, т. 143, № 2, стр. 763—766.

Б р ю н о А. Д. Степенные асимптотики решений нелинейных систем.— Изв. АН СССР. Сер. «Математика», 1965, т. 29, № 2, стр. 329—364.

Б р ю н о А. Д. О степенных асимптотиках решений нелинейных систем.— М.: ИМП АН СССР, 1973, препринт № 51.

Б р ю н о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений.— Труды Моск, матем. о-ва, 1971, т. 25, стр. 119—262; 1972, т. 26, стр. 199— 239.

Б р ю н о А. Д. Множества аналитичности нормализующего преобразования.— М.: ИПМ АН СССР, 1974, препринт № 98.

Б р ю н о А. Д. Аналитические интегральные множества.— М.: ИПМ АН СССР, 1975, препринт № 86.

Брюно А. Д. Нормальная форма в нелинейных задачах.—М.: ИМП АН СССР, 1976, препринт № 18.

Б р ю н о А. Д. Нормальная форма и методы осреднения.—ДАН СССР, 1976, т. 230, № 2. стр. 257—260.

Ш т и ф е л ь Е., Ш е й ф е л е Г. Линейная и регулярная небесная механика.—М.: Наука, 1975.

Chapront J., MangeneyL. Developpements litteraux dans la the- orie analytique de la Lune.— Astron, and Astrophys., 1969, No. 2, p. 425—437.

Chapront J. Construction d’une theorie litterale plane taire jusqu’au second order des masses.— Astron, and Astrophys., 1970, No. 7, p. 175—203.

C h e r n i a c k J. R. A more general system for Poisson series manipulation.— Celest. Meeh., 1973, vol. 7, № 1, p. 107—121.

Брумберг В. А. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ.—Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974.

М а р к е е в А. П., Сокольский А. Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем.—М.: ИПМ АН СССР, 1976, препринт № 31.

Мельников В. К. Об одном семействе условно-периодических решений систем Гамильтона.—ДАН СССР, 1968, т. 161, № 3, стр. 546—549.

Sokolsky A. G. On the stability of small quasiperiodic motions in the hamiltonian systems.— Celest. Meeh., 1978, vol. 17, p. 373—394.

Dulac H. Solutions d’un systeme d’equations differentielles dans le voisinage des valeurs singulieres.— Bui. Math, de France, 1912, t. 40, p. 324-383.

Якубович В. А., С т а р ж и н с к и й В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения,— М.: Наука, 1972.„

М а р к е е в А. П. Об устойчивости треугольных точек либрациц в круговой ограниченной задаче трех тел.— ПММ, 1969, т. 33, № 1, стр. 112— 116.

Сокольский А. Г. Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс.—Письма в АЖ, 1978, т. 4, № 3, стр. 148—152.u

Марке ев А. П. К задаче об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел.—ПММ, 1973, т. 37, № 4, стр. 753—757.

Б р ю н о А. Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов.—Матем. сб., 1970, т. 83, № 2, стр. 273—312.

М а р к е е в А. П. О методе точечных отображений и некоторых его приложениях в задаче трех тел.— М.: ИМП АН СССР, 1973, препринт № 49.

М а р к е е в А. П. Об устойчивости треугольных точек лпбрацпи в системе Солнце — Юпитер.—Астрон. ж., 1974, т. 51, № 3, стр. 627—634.

П л и с с В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1977.

D е р г i t A., D е 1 i е A. Trojan orbits. I. d’Alember series at L4.— Icarus, 1965, vol. 4, No 3, p. 242—266.

С о к о л ь с к и й А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка.— ПММ, 1977, т. 41, № 1, стр. 24—33.

Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике.—М., Изд-во АН СССР, 1962.

Ко iter W. Т. On the instability of equilibrium in the absence of a minimum of the potential energy.— Proc. Koninkl. Nederl. Akademie van Wetenschappen, Ser. B, 1965, vol. 68, No 3, p. 107—113.

M a p к e e в A. П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса. — ПММ, 1968, т. 32, № 4, стр. 738—744.

М а р к е е в А. П. К задаче об устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем.— ПММ, 1970, т. 34, № 6, стр. 997—1004.

С о к о л ь с к и й А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот.—ПММ. 1974, т. 38, № 5, стр. 791—799.

S с h m i d t D. S. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a hamiltonian system.— Celest. Meeh., 1974, vol. 9, № 1, p. 81—103.

H e x о p о ш e в IT. H. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым.— Функц. анализ, 1971, т. 5, № 4, стр. 82—83.

Нехорошев Н. Н. Устойчивые оценки снизу для гладких отображений и для градиентов гладких функций.—Матем. сб., 1973, т. 90. № 3, стр. 432—478.

Нехорошев Н. Н. Метод последовательных канонических замен переменных. Добавление к книге Ю. Мозера «Лекции о гамильтоновых системах».—М.: Мир, 1973, стр. 150—164.

Нехорошев Н. Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым.—УМН, 1977, т. 32, № 6, стр. 5—66.

Б е л е ц к и й В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле.—М.: Изд-во МГУ, 1975.

Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. Изд. 2-е.—Мл Наука, 1977.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1974.

Б а у т и н Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.— М.: Наука, 1976.

Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике.— М.: Наука, 1971.

Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.— Киев: Наукова думка, 1971.

Н а й ф э А. X. Методы возмущений.—М.: Мир, 1976.

С т а р ж и н с к и й В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1977.

А р н о л ь д В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978.

М а р к е е в А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.— М.: Наука, 1978.

Абрахам (Abraham R.) 14, 49, ,53

Альмухамедов 299, 300

Андриянова Л. Я. 308, 310

Андронов А. А. 228, 234, 254, 298, 300

Андуайе (Andoyer Н.) 89, 133

Арнольд В. И. 49, 53, 73, 78, 93, 138, 140, 140, 147, 150, 153, 157, 169, 170, 174, 175, 182, 196, 200, 207, 228, 229, 231, 238, 294, 300, 305, 310, 313

Бакай (Bahai A. S.) 293, 300

Бекер (Baker Н. В.) 238, 300

Барбавис (Barbanis В.) 127, 133

Баррар (Barrar R. В.) 142, 148, 149, 152, 181, 183

Баутин Н. Н. 299, 300, 313

Белага Э. Т. 308, 310

Белецкий В. В. 309, 313

Бергер (Berger М.) 297, 300

Биркгоф (Birkhoff G. D.) 9, 14, 48, 50, 53, 83, 133, 170, 183, 189, 190, 196, 197 221 223 234

Блакьер (Blaquifcre А.) 299, 300

Боголюбов Н. Н. 8, 9, 48, 51, 53, 73, 130, 133, 135, 157, 177, 178, 183, 236, 253, 300, 302

Бозис (Bozis G.) 55, 127. 133

Бохлин (Bohlin К.) 8, 236, 254, 257

Браун (Brown Е. W.) 8, 50, 51, 180, 181, 183, 237, 300

Брауэр (Brouwer D.) 49, 50, 81, 128, 134, 141, 183

Бревес (Breves J. А.) 19, 50

Брхмберг В. А. 129. 305. 312

Брюно А. Д. 84, 175, 190, 312, 313

Бурштейн Э. Л. 27, 49, 50. 73

Бхатиа (Bhatia N. Р.) 300

Вазов (Wasow W.) 228, 235

Ван дер Поль (van der Pol В.) 157, 184

Витт А. А. 254, 298, 300

Волосов В. В. 133, 137,

Гарфинкель (Garfinkel В.) 66, 268, 300, 301

Гельман А. Е. 308, 310

Гельфанд И, М. 127, 134, 169, 183, 252, 301

Гингерич (Gingerich О.) 309, 310

Голдстейн (Goldstein Н.) 23, 89, 135

Гордон И. И. 298, 300

Гребеников Е.'А. 313

Гурса (Goursat Е.) 56, 135

Густавсои (Gustavson F, А.) 190, 222.

2,34, 289, 301, 310

Гамбилл (Gambill В. А.) 48, 163, 183

Дарвин (Darwin G. Н.) 49, 50

Дели (Delie А.) 242, ,313

Делоне (Delaunay С. Е.) 8, 47, 50

Демин В. Г. 75, 312

Депри (Deprlt А.) 30, 34, 39, 41, 83, 89, 129, 131, 169, 242, 305, 313

Делри-Барсоломе (Deprit-Bartholom£ А.) 169, 183

Джакалья (Giacaglia G. Е. О.) 8, 41, 47, 71, 91, 94, 100, 127, 131, 132, 165, 180, 181, 252, 270, 274, 293, 299, 301

Джеффрис (Jefferys W. Н.) 41, 50, 132, 135, 305, 311

Дилиберто (Diliberto S. Р.) 27, 49, 50, 53, 134, 233, 234, 253, 301

Дирак (Dirac Р, А. М.) 49, 51, 134

Дэнби (Danby J. М. А.) 49, 50, 196, 234, 289, 301, 306, 310

Дюляк (Dulac Н.) 163, 312

Жупп (Jupp А. Н.) 266, 268, 300

Зигель (Siegel С. L.) 14, 23, 28, 48, 49, 53, 54, 83, 140, 162, 180, 184, 189, 222, 224, 235, 297, 303, 308, 311

Зоммерфельд (Sommerfeld А.) 233, 235

Калей (Galey А.) 57, 134

Канторович Л. В. 168, 183

Картан (Cartan Е.) 43, 50

Карте (Kurth R.) 49, 51

Картсатос (Kartsatos A. G.) 228, 234

Касуга (Kasuga Т.) 228, 234

Кеворкян (Kevorkian J.)119,135,

278, 302

Кинер (Kyner W. Т.) 8, 27, 48, 50, 51, 53, 73, 78, 130, 136, 226, 233, 234, 235, 237, 254, 266, 268, 290, 299, 302, 309

Клеменс (Clemence G. М.) 49, 50, 81. 141, 134, 183

Ковалевский (Kovalevsky J.) 129, 135

Койтер (Koiter W. Т.) 276, 313

Коксма (Koksma J. F.) 140, 167, 183

Колмогоров А. Н. 13, 49, 51, 53, 78, 135, 140, 168, 183, 195, 200, 234

Коломбо (Kolombo G.) 309, 310

Конти (Conti R.) 53, 137, 298, 303

Контопулос (Contopoulos G.) 55, 84, 85, 134, 127, 232, 234, 283, 286, 287, 300, 301, 305, 310

Коул (Cole J. D.) 119, 278, 301

Крускал (Kruskal М.) 228, 234

Крылов Н. М, 8, 9, 48, 51, 53, 135, 157, 183, 236, 302

Кустаанхеймо (Kustaanheimo Р,) 127, 135, 310, 311

Кэмел (Kamel А.) 43, 49, 51, 115, 116, 119, 135

Кэмпбелл (Campbell J. А.) 41, 54

Ландау Л. Д. 23, 312

Ларичева В. В. 130, 136

Ла-Салль (La Salle J. Р.) 254, 276, 298, 299, 302

Левинсон (Levinson N.) 233, 235

Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) 69, 136

Шнайад (Shniad Н.) 40, 52, 109Штифель (Stiefel Е. L.) 127, 130, 312Шнайад (Shniad Н.) 40, 52, 109Штифель (Stiefel Е. L.) 127, 130, 312

Шнайад (Shniad Н.) 40, 52, 109

Штифель (Stiefel Е. L.) 127, 130, 312

Шнайад (Shniad Н.) 40, 52, 109

Штифель (Stiefel Е. L.) 127, 130, 312

Леймаиис (Leimanis Е.) 27, 49, 51, 93, 136, 310, 311

Леонтович А. М. 169, 183

Леонтович Е. А. 298, 300, 313

Лефшец (Lefschetz S.) 8, 53, 136, 254, 276, 298, 302

Ли (Lie М. S.) 27, 29, 51

Лидский В. Б. 127,134, 169, 183,

301'

Линдстедт (Lindstedt А.) 7, 8, 47, 51, 53, 63, 136

Лифшиц Е. М. 23, 312

Лоуд (Loud W. 8.) 233, 235

Лутерман (Louterman G.) 137

Ляпунов А. М. 236, 302

Майер А. Г. 298, 300

Макмиллан (Mac Millan W. D.) И, 52, 49, 55, 57, 127, 136

Малкин И. Г. 253, 299, 300, 302

Маркеев А, П. 129, 169, 170, 190, 287, 305 312 313

Мейрович (Meirovitch L.) 230, 235

Мельников В. К. 129, 312

Мерман Г. А. 49, 52

Мерсман (Mersman W. А.) 30, 41, 52, 110, 120, 136

Минер (Miners W. Е.) 50, 52

Минорский (Minorsky N.) 53, 93, 136 Митропольский Ю. А. 53, 73, 130, 133, 157, 177, 183, 236, 253, 290, 300, 302, 313

Мозер (Moser J. К.) 9, 14, 27, 28, 49, 52. 53, 71, 78, 109, 128, 129, 130, 136,140,142,150,157,161,166,168,

170,174,177,178,181,183,184,

200,203,207,209,218,223,226,

252,254,294,295,299,302,308,

309

Молчанов А. М. 309, 311

Мультоп (Moulton F. В.) 52, 49, 61, 136

Мьюзеи (Musen Р.) 133, 136

Мэидженей (Mangeney L.) 129, 312

Найфэ (Nayfeh А. Н.) 313

Немыцкий В. В. 53, 136, 238, 254, 290, 298, 299, 300, 302

Нсхорошев Н. Н. 313, 306

Нуотио (Nuotio V. 8.) 310, 311

Нэш (Nash Р.) 168, 184

Овендеп (Ovenden М.) 309, 311

Пауэрс (Powers W. F.) 50, 52

Пейксото (Peixoto М. М.) 238, 303

Плисс В. А. 53, 137, 233, 235, 313

Пуанкаре (Poincarfe А.) 8, 9, 41, 47, 48, 52, 53, 55, 75, 88, 137, 163, 197, 235, 236, 255, 268, 303

Пуассон (Poisson 8. D.) 49, 52

Розе (Roseau М.) 253, 299, 303

Рой (Roy М.) 309, 311

Ром (Rom А.) 83, 89, 129, 131, 132, 134, 242, 305, 311

Рул (Roels J.) 137, 297, 298, 303

Рюсман (Riismann Н.) 140, 184, 223,

Рябов IO. А. 313

Сансоне (Sansone G.) 53, 137, 298, 303

Себехей (Szebehely V.) 48, 52, 127, 137

Сего (Szego G. Р.) 298, 300

Синг (Sing G. L.) 23, 312

Сокольский А. Г. 1, 129, 169, 243, 287,

295, 305, 312, 313

Соловьев Л. С. 27, 49, 50, 73

Старжинский В. М. 163, 312, 313

Степанов В. В. 53, 136, 254, 290, 298,

302

Стернберг (Sternberg S.) 53, 137

Стремгрен (Stromgren Е.) 48, 52

Тиссеран (Tisserand F.) 8, 47, 52

Тэпли (Tapley В. D.) 50, 52, 132, 133, 134

Уинтнер (Wintner А.) 48, 52, 53, 137

Уиттекер (Whittaker Е. Т.) 53, 81, 84, - 88, 137, 140, 184, 186, 235, 236, 241, 245, 303

Уолтьер (Woltjer L.) 127, 134

Урабе (Urabe М.) 254, 299, 303

Фиджин (Feagin Т. W.) 305, 319

Фрупд (Freund R. F.) 27, 50

Хагедорн (Hagedorn Р.) 276, 301

Хаджидеметриос (Hadjidemetrious J. Р.) 85, 134

Хайкин С. Э. 254, 298, 300

Халлам (Hallam Т. G.) 228, 234

Хаффорд (Hufford G.) 49, 50, 233, 234

Хейл (Hale J. К.) 27, 48, 49, 51, 53, 129, 130, 135, 163, 183, 233, 234, 249, 252, 253. 298, 299, 302, 309, 310

Хейлес (Heiles С.) 127, 135, 222, 234, 289, 302

Xenon (Henon М.) 127, 135, 222, 234, 289, 302. 309, 310

Хенрард (Henrard J.)135,119, 297,

298, 302

Херрик (Herrick S.) 49, 312

Хпичин А. Я. 167, 18.Т

Хори (Hori G.) 29, 43, 49, 51, 104, 112, 115, 119, 120, 132, 135, 266, 282, 300, 302, 309, 311

Цейпель (Zeipel Н.) 8, 79, 137, 128, 236, 303

Чезари (Cesari L.) 8, 48, 49, 50, 53, 131, 134, 163,183, 249, 252, 290,

298, 301

Чен (Chen У.) 299, 301

Чепняк (Cherniack J. R.) 129, 305, 312

Четаев Н. Г. 276, 313

Чой (Choi J. S.) 132, 133, 134

Шапрон (Chapront J.) 129, 312

Шейфеле (Scheifele G.) 127, 130, 312

Шмидт (Schmidt D. S.) 297, 298, 313

Эйлер (Euler L.) 8, 47, 51, 53, 134

Эльсгольц Л. Э. 254, 299, 300, 301

Якубович В. А. 48, 163, 312

Адиабатическая инвариантность 231

Адиабатический инвариант 228

Арнольда теорема 170

Асимптотическое разложение 263

Базисные частоты 194

Биркгофа нормализация 55, 78, 131, 174

, связь с проблемой Пуанкаре 83

— нормальная форма 54, 190, 221

Боголюбова теорема 177

Бохлина уравнение 238

Ван дер Поля уравнение 123, 157, 163

Вариация 9, И, 14

— интегралов 49

Вечный инвариант 228

Возмущения 12, 138, 139

— линейные периодические 163

— линейных колебаний 155

, задача 157

Волчок симметричный 89

Вращение 65, 254, 259

Вырождение 73, 151

— предельное 177

— собственное 174, 177

Вырожденные системы 150, 220

Гамильтона главная функция 68

— функция 24

Гамильтона — Якоби проблема 25

производящая функция 194

уравнение 24, 39, 128

Гамильтонова система 11

Гармонический осциллятор 47, 126, 282

Генератор 39

Гиперболического типа точки 19л

1'руппа симплектическая 22

Даламбера характеристики 242

Движение астероидов 236

—на торах 170

— условно-периодическое 194

Дирака пространство 66

Диффузия Арнольда 306

Долгопериодическая функция 76

Дополнительная система 106 113

Дополнительные интегралы 84, 104

Дюффинга уравнение 112, 181

Задача классическая о магнитных ловушках 231

— Мозера 197

— о возмущениях линейных колебаний 157

— о движении маятника 237

— трех тел ограниченная 48

Задач классические динамики 168

Закон количества движения и импульса И

— энергии и работы 10

Захват в резонанс 237, 289, 309

Идеальная резонансная проблема 267

Инвариант адиабатический 228

— вечный 228

Инвариантная поверхность возмущенной системы 233

Инвариантность адиабатическая 231

Инвариантные кривые 197, 199

Интеграл Ковалевской 93

— третий 232, 283, 300

— энергии 10, 267

Интегралы дополнительные 55, 78, 84, 93, 104

— формальные 222. 229

Интегрируемость 53, 54, 126

— Лиувилля 69

Иррациональность 167

—, обобщенное условие Зигеля 219

Исключение переменных 77

Искусственные спутники 49, 181

Каноническое возмущение 26

— отображение 33

■— преобразование 14, 19

Каноничность полная 23, 24

Ковалевской интеграл 93

Колебания 61, 254, 259

Короткопериодическая функция 76

Кручения коэффициент 203

— отображение 127, 224

— условие. 225

Лагранжа матрица 14, 16

— скобки 15

— уравнения 16

Ли алгебра 309

— генератор 30, 109, ИЗ

— каноническое отображение 49

— преобразование 28, 34, 38, 104, 109, 115, 309

, зависящее от параметра 34

— производная 31

— ряды 28, 34, 36, 40, 49

— теорема 29, 32, 41

Линейные колебания 155, 157

Линдстедта метод 66, 286

Лиувилля теорема 18

Магнитные ловушки 231

Малые знаменатели 139

Манипулятор алгебраический символьный 305

Матрица Лагранжа 14

— Пуассона 14, 15, 17, 21

— симплектическая 187

— Якоби И, 216

Маятник 268

— простой 61, 228, 237, 278

Метод итераций классический, сходимость 55

— КБМ 73, 129

— Линдстедта 68, 128

Метод Пикара 60

— Пуанкаре 39, 41, 66, 80, 128

— усреднения 27, 53, 78,^250, 304

Крылова — Боголюбова 8

Линдстедта — Пуанкаре 56

— Цейпеля 41, 109, 128, 242, 243, 268

— Эйткена 304

Методы теории возмущений 53, 115

Многообразия инвариантные 140, 233

Момент кинетический 10

Неинтегрируемость 54

Нелинейный характер движения 231

Неподвижная точка 185, 189

неособая 186

особая 186

Неустойчивость топологическая 306

Нормализация 28, 79, 248, 256

Нормальные колебания 221

— координаты 306

Ньютоновское приближение 141, 304

Область колебаний 257

Обычная точка 186

Ограниченная задача трех тел 48

Операция сглаживания 207

Опорное решение 12, 63, 88

Особая точка 186

Осциллятор 236

—, захват в резонанс 237

— нелинейный 254

Осцилляторное решение 290

Осцилляторы гармонические 282

Отделимость 54■

Отображение кручения 197, 224

—, неподвижная точка 185, 186, 189

Отображения, сохраняющие меру 223

—, — площадь 185, 189, 197

—,, задача Мозера 197

Первые интегралы движения 106

Переменные быстрые 73, 76, 129

— действие — угол 53, 69, 71, 230

— медленные 73, 76, 129

Периодические возмущения 163

— поверхности 27

Пикара метод 60

Планетное движение 175

Поверхности периодические 126

— сечения 55

Полное решение 26

Положение равновесия 238

эллиптического типа 156

Порядок члена 243

Предельный цикл 125

Преобразование векторное 46

— каноническое 24

свободное 24

— кручения 78, 224

— обратное к каноническому 34

— обращения 130

— однородное 23

—, полностью каноническое 23, 29

, сохраняющее площадь 186

точечное каноническое 23

Преобразования обобщенные 42

, эквивалентность 39

Приводимость 308

Принцип минимума энергии 238

Производящая функция 26

тождественного преобразования

69

Произвольные постоянные 16

Пространство котангепциалыюе 53

Процедура усреднения 71

Пуанкаре метод 39, 41, 66, 80, 128, 130

Пуассона матрица 14, 15, 17, 21

скобки 15

уравнение 10

Разложение по двум переменным 119, 278

Резонанс 8, 58, 236, 289

, асимптотическое разложение 263

идеальный 266, 270, 288

, кратность 294

— нелинейный 253, 289

, общая проблема 73

простой 294

Резонансная кривая 292

Резонансные области 167

Рекуррентный алгоритм 45

Решение опорное 88

периодическое неособое 186

особое 186

, существование 130

, устойчивость 130

— почти-периодическое, существование 253

Ряды формальные 12, 243

Сглаживание 207

Седло 254, 259, 292

Секулярный член 7, И, 47, 61, 93

Сепаратриса 254, 259

Симплектическая группа 22

Система возмущенная 16

, инвариантная поверхность 233

— гамильтонова И

— дополнительная 106, 123

«слабо завязанная» 280

Системы вырожденные 152, 220

интегрируемые 138, 139, 233'

линейные 249

— негамильтоновы 115

Смешанные секулярные члены 7, 11,

■ 47, 63

Сохранение объема 23

Среднее значение 70

Степени дробные 58

Сходимость 55

— ускоренная 304

Теорема Арнольда 153, 170

— Боголюбова 177

— Колмогорова 140, 145, 148, 151, 173, 181, 202

— Лиувилля 18

— Ляпунова 297

— Мозера 196, 203, 218, 220, 224

Раусса, обращение 276

Якоби И, 68

— Пуанкаре 22

Теория Луны 47, 3041

Флоке — Ляпунова 306.

Хори 41

Топологическая неустойчивость 306

Точки гиперболического типа 196

эллиптического типа 196

Третий интеграл 232, 285, 287

Уравнение Ван дер Поля 123

— простого маятника 278

— Пуассона 10

— разностное 205

— Хилла 179

Условие кручения 225

— обобщенное иррациональност-и Зигеля 219

Условно-периодические движения 138,

194

Условно-периодическая функция 70

Условно-периодическое решение 178,

195, S07

Усреднение И, 27, 48, 53, 55, 78, 107, 250, 304

—, метод Крылова — Боголюбова 8

—, обобщение процедуры 78

—, процедура 71

Устойчивость по Арнольду 306

— — мере 305

— точки эллиптического типа 169

Фокус 125

Функция долгопериодическая 76, 153

— короткопериодическая 76, 153

— производящая Гамильтона — Якоби 194

— свободная от секулярных членов 70

— условно-периодическая 70, 193

, среднее значение 70

— чисто условно-периодическая 70, 72

— эллиптическая Якоби 260

Хаотическое движение 306

Характеристики Даламбера 242

Характеристические показатели 8, 163, 307

— числа 308

Хилла уравнение 165, 179

Хори теория 41

Центр 254, 259, 292

Частоты базисные 194

Эйлера — Лагранжа метод 9

— углы 89

Эквивалентность методов Ли и Цейпе- ля 109

— преобразований 39, 40

Эллиптического типа Точки 196

Якоби матрица 14, 216

симплектичесвая И

— теорема И

— функция эллиптическая 260

1) В дальнейшем при ссылках на литературу первое число означает порядковый номер цитируемой работы в списке литературы к главам

*) Отметим, что указанное автором появление секулярных членов обусловлено не существом задачи, а неудачной заменой переменных ць, £ь->-«&, Р*. Если ввести каноническую унивалентную замену по формулам

i1h = ]/2^ sin pft,^h = V2afe cos ^,

то секулярные члены не появятся, и решение может быть записано в виде формальных рядов при некоторых дополнительных ограничениях на линейные члены (прим. перев.).

1 У Г d2W dW dW , , 92W

+ 12 IdQ.dQ. ЭР. ЭР. dQ.bP.

i, j L VJ г j< г )

(5.2.11) (прим, перев.).

*) Окончательное решение задачи об устойчивости лагранжевых решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел получено в работах [23*], [24*] (прим. реЭ.).

3) В этом случае устойчивость устанавливается на основании теоремы Ляпунова об устойчивости, если за функцию Ляпунова принять знакоопределенный гамильтониан Н, полная производная которого в силу уравнений движения равна нулю (прим, пврвв.у

*) Важные результаты в этой задаче получены в работе А. Д. Брюно [26*] (прим, перев.у

*) См. также работы А. Д. Брюно о нормальных формах [8*—12*]. Другой подход для неавтономных периодических систем, использующий метод точечных отображений, использован в работах А. П. Маркеева [27*], [28*] (прим. перев.).

*) О структурной устойчивости см. [50*] (прим. перев.).

Н = "2" ец (^ + ^ Д' ^2 ($2 + Уг) упомянутая матрица невырождена, а тривиальное положение равновесия является лишь седловой точкой. В действительности замечание автора об экстремальных свойствах гамильтониана ниже никак не используется, а для приводимости системы к виду, отвечающему в линейном приближении независимым осцилляторам, необходимо и достаточно, чтобы матрица д2Н/дудх была невырожденной и чтобы кратным собственным значениям этой матрицы соответствовали простые элементарные делители (прим, перев.).

*) Вопросы построения и исследования устойчивости таких движений рассматривались в работе [20*] (^прим. реЭ.у

Г. Е. О. ДЖАКАЛЬЯ

МЕТОДЫ

ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ

Перевод с английского

А. Г. СОКОЛЬСКОГО

Под редакцией

А. П. МАРКЕЕВА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1979

22.21

Д 49

УДК 531

G. Е. О. Giacaglia

PERTURBATION METHODSINNON-LINEAR SYSTEMS

SPRINGER-VERLAGNEW YORK • HEIDELBERG • BERLIN19 7 2

Д ж а к а л ь я Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем: Пер. с' англ./Под ред. А. П. Маркеева.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 320 стр.

Излагаются методы теории возмущений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром. В основном рассматриваются гамильтоновы системы уравнений, а затем все выводы обобщаются на случай негамильтоновых систем. Отражены как классические, так и новые методы теории возмущений, в том числе и методы, созданные самим автором. Проведен сравнительный анализ разных методов. Описание теоретических основ методов проиллюстрировано примерами из механики.

Глубина, подробность и ясность изложения делают книгу весьма полезной как для специалистов по качественной теории дифференциальных уравнений и по небесной механике, так и для начинающих исследователей.

Библ. 410 назв.

20302—016Д 053(02)-7920302—016Д 053(02)-79160-79.160-79.17030200001703020000f^ Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», 1979f^ Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», 1979

20302—016

Д 053(02)-79

20302—016

Д 053(02)-79

160-79.

160-79.

1703020000

1703020000

f^ Главная редакция

физико-математической литературы издательства «Наука», 1979

f^ Главная редакция

физико-математической литературы издательства «Наука», 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора 5

Предисловие 6

Введение 7

14 14 192428343942 475014 14 192428343942 4750Глава I. Теория канонических преобразований. Обобщения .

14 14 19

24

28

34

39

42 47

50

14 14 19

24

28

34

39

42 47

50

Введение

Канонические преобразования

Уравнение Гамильтона — Якоби. Обобщения

Ряды Ли и преобразования Ли

Преобразование Ли, зависящее от параметра

Эквивалентность преобразований

Обобщенные преобразования на основе рядов Ли

Замечания ....•

Литература•

Глава II. Методы теории возмущений для гамильтоновых систем. Обобщения53

Введение ....•53

Сходимость классического метода итераций 55

Секулярные члены. Способ Линдстедта 61

Метод Пуанкаре (метод Линдстедта) 66

Быстрые и медленные переменные73

Обобщение процедуры усреднения, нормализация Биркгофа и дополнительные интегралы 78

Решение задачи Пуанкаре с помощью скобок Пуассона. Уничтожение секулярных членов в дополнительных интегралах ..93

Методы теории возмущений, основанные на преобразованиях Ли Ю4

Методы теории возмущений для негамильтоновых систем, основанные на преобразованиях Ли115

Замечания•. . .126

Литература 133

Глава III. Возмущения интегрируемыхсистем138

Движение, описываемоеинтегрируемой системой ....138

Возмущения интегрируемых систем 139

Вырожденные системы 152

Возмущение линейных колебаний 155

Линейные периодические возмущения163

Замечания ....•167

Литература•,..182

Глава IV. Возмущения отображений, сохраняющих площадь ..185

Предварительные соображения ........185

Области движения. -Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа•193

Теоремы Мозера 196-

Системы со многими степенями свободы 200

Вырожденные системы 220

Замечания ... 221

Литература 234

Глава V. Резонансы 236

Введение ....■236

Движение в окрестности положения равновесия....238

Решение с помощью формальных рядов243

Эквивалентность проблеме возмущения линейныхсистем..249

Нелинейный резонанс 253

Асимптотические разложения до любого порядка....263

Общая теория и идеальная резонансная проблема....266

Несколько степеней свободы 275

Взаимодействие двух гармонических осцилляторов ...282

Замечания•...289

Литература 300

Заключение. Замечания, некоторые открытые вопросы и исследуемые задачи 304

Литература ■ . ■... 310

Литература, добавленная при переводе .. '312

Именной указатель315

Предметный указатель317