КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ЛЯПУНОВА

Глава I

ВВОДНАЯ

Преобразование систем Ляпунова

В системах Ляпунова ([77а], §§ 33—45; [79а], гл. IV; [796], тл. VII) может быть понижен порядок на две единицы, если воспользоваться интегралом энергии и выбрать за .независимое переменное, как это делал Ляпунов, полярный угол в плоскости критических переменных. Преобразованная система [322д — ж, к, о, У, Ф1 будет неавтономной и содержащей параметр, равный квадратному корню из приведенной постоянной энергии. Если последняя достаточно мала по сравнению с единицей, то к преобразованной системе может быть применен метод Пуанкаре ([107а], т. I, гл. III) определения периодических решений неавтономных систем (см. § 2 и гл. III). Особый интерес применение метода Пуанкаре представляет в тех случаях, когда для исходной системы метод Ляпунова ([77а], §§ 34—45; [79а], §§ 26—29; [796], гл. VII, §§ 1—4) отыскания периодических решений неприменим.

Однако к преобразованной системе можно, вообще говоря, применять и другие методы малого параметра, например, метод усреднения [30, 17, 85г, 33, 39]. Поскольку при этом исследуется более широкий круг вопросов, чем определение периодических решений, в частности, изучение переходных процессов и др., то этим и определяется полезность преобразования систем Ляпунова. Эта сторона вопроса развита в гл. III.

Общий случай [322д — ж, к, у]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Ляпунова

^- = — Ху + X (ж, у, .. ., х^, -^ =--Хх-\-У (х, у, хи .. ., жп), dx(1Л)

"^ = РзЛ + • ■ ■ + Рзп^п + Хв(х, у, хи .х^

(s = 1,.. ., га).

Здесь X, psr — вещественные постоянные, а X, Y, Xlt . . ., Хп суть вещественные аналитические функции х, у, хи . . ., жп, раз-

ложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка. Ляпуновым доказана теорема ([77а], § 42): если

уравнение det || pST — 6srx || = 0 не имеет корней вида mki (т = 0, ±1, ±2, . . ., i = У —1),

возможно найти формально удовлетворяющие системе (1.1) ряды по-степеням произвольной постоянной с

х = cxW 4- с2х№ + • • У = су^ + с2у^ + • •

xs = ед:1) + сЧТ + • • • (s = 1, .... и),t1'2)

причем xW, у№, х^\ ... ., х^ (к = 1, 2, . . .) — периодические функции t одного периода и х® (t^ = yW (t0) = 0 при k ^> 1, то найденные ряды абсолютно сходятся, пока с не превосходит некоторого предела и представляют при этих значениях с периодическое решение исходной системы (1.1).

Остановимсяна техслучаях,когда по крайнеймере одно из этих условий нарушено и теорема Ляпунова отказывает. Нарушение условия а) означает появление «резонансного» случая, чему посвящена статья Ю. А. Рябова [316а]. Условие б) нарушается, когда в разложения X, У, Хг, . . ., Хп не входят члены х-* и yv (v = 2, 3, . . .). В последнем случае на каждом шаге определения коэффициентов любого из рядов (1.2) будут получаться тождественные нули.

Однако и в этих случаях, как будет показано в гл. Ill, возможно определить периодические решения системы (1.1), если они существуют. Имея в виду также сказанное во введении к параграфу, перейдем к преобразованию системы Ляпунова не подчиненной, вообще говоря, условиям а) иб). Будем предполагать для дальнейшего, что система (1.1) допускает первый интеграл х), который необходимо будет аналитической функцией переменных х, у, хг, ... , .'., хп ([77а], § 38; [79а], § 25; 1796], гл. VII, § 1) вида

Н — х2 4- у2 4- W (х^ . . ., х^ 4- S3 (х, у, xlt . . ., х^ = ц2 (и > 0), ■(1.3)

где W — квадратичная форма. Подстановка Ляпунова

х = рсовй, у = р sin й, xs = pz6 (s = 1, . . ., и) (1.4) приведет систему (1.1) и первый интеграл (1.3) к виду

(1.5)(1.6)(1.5)(1.6)5-= р=т? (Р, й, z), ^- = Х4-р@(рЛ,з),

(1.5)

(1.6)

(1.5)

(1.6)

"УУ = Psl^l + • • • 4" An^n + P^s (р, б1, z) •(s = 1, . . ., n),

p2 11 + W (z) 4- pS (p, й, z)] = p2.

Здесь R, 0, Zv . . ., Zn и S — аналитические функции переменных р, z1; . . ., zn в некоторой окрестности нулевых значений, разложения которых по степеням р начинаются, вообще говоря, с членов нулевой степени, коэффициенты степенньтх рядов по р, z1; . . . . . ., zn суть периодические функции d периода 2л, являющиеся многочленами относительно cosD и sin 1}, именно:

R = р~2 [X (р cos Ф, р sin 'й, pz) cos ft -)

+ Y (p cos '01, p sin O', pz) sin 0], 0 = p-2 [ — X sin 0 + Y cos 0], -(1-7)

Zs = p'2A’s (p cos 0, p sin 0, pz) — z.R (p, 0, z) (s — 1, . . ., ?t), S = p~353 (p cos 0, p sin 0, pz) .

и z есть вектор с компонентами zn . . ., zn.

Предположим, что 1 Н- W > 0 в (1.6). Это будет иметь место для всех значений zn . . ., zn, если W есть определенно-положительная квадратичная форма (что имеет место для интеграла энергии) и для некоторых достаточно малых значений zv . . ., zn в общем случае. Разрешим (1.6) относительно р, взяв одну из ветвей аналитической функции, именно — всюду имеется в виду арифметическое значение корня:.

р = (1 + W,,2p {i - -L (1 + и^)-31-^ (0, о, z) р +(18)

+ [4- (1 + wy3 S'2 (0, », Z) - 4- (1 + wr Sp (0, ^, z)] P2} + 0 (u4). Предполагая ц достаточно малым, введем фазовое время И, для чего разделим последние п уравнений (1.5) на второе:

dls Psi4Y ■ Vn + Pz8(P’0,z)(

айx + p0(P, a, z)- i,...,

Запишем результат подстановки разложения (1.8) в последнюю систему:■

х 44 = A1Z1 + • . . + Anz„ + [1 + W (z)]-2 [zs (0, fl, z) —

— 4" (/^l^l + • • • + PsnZn) © (°, -&, Z)j Ц + [1 + W (z)]”1 X ( dZ (0, fl, z) 4„„

x[1+(z)rl 5 (0’ $> z>z» (°- ^z) -

-4-0(0, fl, z)Zs(0, », z)+

, 1 ,,,\ Г 1 МО\96(0, 0, z) .

+ — (PslZl + • • • + PsnZn) 0J (°, ^> z)"g-p - +

+ 4- (1 + ИТ1 S (0, », z) 0 (0, », z)] j Ц2 + 0 (u3) (1.9)

(s = 1,. .., n).

К системе (1.9) впервые пришел И. Г. Малкин ([79а], § 26), выписав явно лишь ее постоянную часть. И. Г. Малкин ограничивается доказательством существования периодического решения в окрестности нулевого порождающего решения. Здесь же (гл. III) будут отыскиваться периодические решения в окрестности ненулевых порождающих решений, а также исследоваться переходные процессы. Порядок системы (1.9) на две единицы.ниже порядка исходной системы (1.1), а когффициенты ее нелинейной части суть периодические функции А периода 2л и аналитически зависят от zn . . ., zn и малого параметра р.

Системы уравнении второго порядка [322 к, о, у, ф]. Рассмотрим класс систем Ляпунова, описываемых к + 1 уравнением второго порядка

cl^y^ "512cl^y^ "512(2.1)(2.1)— + Vu = U (и, й, щик, Ьи .. ., и^,

cl^y^ "512

cl^y^ "512

(2.1)

(2.1)

р Их 1^1 + • • • + Чхкик — Vх (и, й, Щ, . . ., Vk, Vi, .

(х = 1, .. ., к).

Здесь А > О, ajx = axj (х, / = 1, . . ., к) — вещественные постоянные, a U, Vlt . . ., Vk суть вещественные аналитические функции и, й, vit . . ., vk, t^, . . ., vk, разложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка. Будем предполагать, что система (2.1) допускает первый интеграл, который необходимо будет аналитической функцией переменных и, й, у11 . . ., vk, vr, ... . . .,vk ([77а], § 38; [79а], § 25) вида

Я = м2 + A2u2 + W (р1( . . ., vk, . . ., v^ +

+ S3 (и, й, vlt . . ., нА, иги^ = р2 (р > 0), (2.2)

где W — квадратичная форма, a S3 означает совокупность членов не ниже третьего порядка. Подстановка Ляпунова ([77а], § 33)

H = pcos6‘, и = -^-р sinti,(2 3)

Их = pZx, Йх = PZA+x (х = 1, . . ., к)

приведет систему (2.1) и первый интеграл (2.2) к виду

^-= р27?(р, A, z), -^ = А + р@ (р, О, z),

-^ = г*+х + pZx(р, A, z), (х = 1к) (2.4)

= — «xizi — . .. — axkZk + pZk+x (р, A, z),

р2 [1 + И4 (z) + pS (р, A, z)] = р2.(2.5)

Здесь R, 0, 2П . . ., Z2h и S, как и в п. 1.1,— аналитические функции переменных р, zn . . ., z2h в некоторой окрестности нулевых значений, разложения которых по степеням р начинаются, вообще говоря, с членов нулевой степени, коэффициенты степенных рядов по р, zb . . ., z2h суть периодические функции » периода 2л, именно:

R = p~2U (Х-1р sin », р cos », pz) cos »,

0 = — p~2U (Х-1р sin », р cos », pz) sin »,

Zx = —zxR (р, », z), (х = 1, . . ., к),(2.6)

Zh+X = p~2Fx (Х^р sin», р cos», pz) — zk+x R (p,», z),

S = p~3S3 (X-1p sin », p cos », pz)

и z есть вектор с компонентами zlf . . ., z2h. В предположении, что 1 + W (z) > 0 в (2.5) (см. п. 1.1), разрешим (2.5) относительно р: р = [1 +Ж (г)]-^ц{1 ~4-[1 + W(z)r^(0,», z)nl + <7(n3).

(2.7)

Предположим pi настолько малым, что правая часть второго уравнения (2.4) положительна, т. е.

X + р (», z; р)0 (р (», z; р), », z) ^> О,

и введем фазовое время », для чего разделим последние две группы уравнений (2.4) на второе:

_ z/c+x + Р (». z; р) Zx (р (», z; р), », z)

d-& X + р (», z; р) 0 (р (», z; р), О', z) ’

d4w = — ЙХ121 — ■ • • - Vt + р (^ z: и) Хк+х (р (О', z; р), », z) d^X + р (О', z; р) 0 (р (О', z; р), О', z)

. (х = 1, . . ., к).■

Запишем результат подстановки разложения (2.7) в последнюю систему:■'

^ "di" = Zt+x + и l1 + w (z)]-’11 [Zx (0, », z) — V^fc+K© (0, », z)] 4

+ O(P), (x=l,...,fc), (2.8)

"^ = ~ 0x121 + • • • — a^ + H I1 + ^ (z)]“,|! X

X [Zt+x(0, », z) -|- X 1 (axiZi -|- . . . -|- axkz^^ (0, », z)] -|- О (ц2).

Из полученной системы исключим zh+1, . . ., z2ft; будем иметь

d2z„.■ ■ -9Z

X2 "^^2" + axlzl + • • • + йхцЗк = и [1 + W (z)]^ [Z/i+x + X -ggН

+ 2Х 1 (axiZ! 4- ... 4- ах11гк) 0 —

7=1 Jj=l 1)=11 ’

X (a^ + ... 4- a,a)] + О (ц2) (x = 1,..., к).(2.9)

Здесь в аргументах всех функций (а для частных производных после их взятия) р положено равным нулю, а компоненты z^, . . . . . ., z2!f вектора z заменены соответственно на Xz[, . . ,,Xzi (штрих означает производную по ■0). Мы учли также, что производная от W (z), взятая в силу дифференциальных уравнений первого приближения, равна нулю, т. е.

j—17=1

ибо W (z), как следует из интеграла (2.2), есть интеграл невозмущенной (т. е. при ц = 0) системы (2.8).

Заметим, что если U, Vlt . . ., 'Vh не зависят от vv . . ., v h, как это имеет место в ряде приложений, то последняя сумма в квадратной скобке (2.9) равна нулю.

Мы не останавливаемся здесь на случае исходной системы Ляпунова второго порядка, в частности, механической системы с одной степенью свободы. Наличие первого интеграла позволяет свести интегрированиетакой системык квадратурам. Для консервативной голономной системы с одной степенью свободы периодическое решение будет зависеть от двух произвольных постоянных (например, начальных значений определяющей координаты и ее производной) и, следовательно, будет являться общим решением. Все это достаточно широко освещено в литературе. Заметим лишь, что подстановка Ляпунова (1.4) (или (2.3)), ряд (1.8) и второе уравнение (1.5) могут дать наиболее приемлемый вид периодического решения. Мы отсылаем читателя к § 4, гл. VII монографии 1796] И. Г. Малкина.

О методе Пуанкаре определения периодических решенийнеавтономных квазилинейных систем

Из различных методов в теории нелинейных колебаний значительное применение получил метод малого параметра. Возникнув из теории малых возмущений в небесной механике, этот метод был изложен впервые в классическом труде Пуанкаре ([107а],

т. I, гл. III). Дальнейшее развитие метода наибольшим образом связано с советскими школами и направлениями исследований. Основными в них являются работы А. А. Андронова и А. А. Витта [3,4], Б. В. Булгакова [25] и И. Г. Малкина [79а,б].

Дифференциальные уравнения порождающего решения и первых поправок. Мы хотим, не претендуя на новизну результатов, показать, что для систем с большим числом степеней свободы весьма полезным является использование аппарата теории матриц и некоторых элементарных положений теории операторов. Рассмотрим нелинейную систему к дифференциальных уравнений второго порядка, представимую в виде векторного уравнения

M-Jt + Qo^F + poV = f(O + pg(i, v, v, ц), (1.1) где М, Qo, Ро суть постоянные вещественные матрицы порядка к X к, при этом М и Ро симметрические, а матрица Qo — кососимметрическая: f (i) — периодическая с периодом Т = 2л/ю интегрируемая кусочно-непрерывная вектор-функция; g (i, v, v, p) — аналитическая вектор-функция р при р = О, Т — периодическая по t и имеющая достаточное количество производных по v и v в рассматриваемой области изменения переменных.

Будем искать ^-периодические решения уравнения (1.1), являющиеся аналитическими функциями р при р = 0:

v (#, р) = v-W (i) + pvW (i) + p2v<2) (0 + . . .. (1.2)

Подставляя в (1.1), получим, что порождающее решение v<°) (i) должно удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

+ Pov(o) = f (t), (1.3)

а первая и вторая поправки — системам

. М + Qo £L- + Pov(D = g (i, v(0), v№, 0),

M^ + Q.^ + p.v®-^/» + ^v« + (#).<1Л)

где индекс нуль у частных производных означает, что после дифференцирования положено р = 0, v = v<°\ v = v<°). Символами dg/dv и dg/dv мы будем обозначать ниже матрицы соответствующих

частных производных

dg 11 9Si Гdv дтхdg 11 9Si Гdv дтхdg = II 9Si dv il dvxdg = II 9Si dv il dvx

dg 11 9Si Г

dv дтх

dg 11 9Si Г

dv дтх

dg = II 9Si dv il dvx

dg = II 9Si dv il dvx

Для однородной системы, отвечающей системе (1.3)

z/2V^

M^+Qo-^ + PoV<») = 0,(1.5)

через X±j, . . ., Х±к обозначим корни характеристического уравнения (Х_ч = XJ

det (Х2М + XQ0 + Ро) = 0 "(1.6)

и через Нм — соответствующие собственные векторы

(ХуМ -]- XyQ0 -(- Р0)ау = О (v = +1, . . ., zEfc).

Рассмотрим два случая.

Нерезонансный случай. Система (1.5) не имеет Т-периоди- ческих решений,— для этого необходимо и достаточно, чтобы

Ху =^ ip® (v = il, . ■ ., i^J p = 0, il, i2, . . .). (2.1)

В этом так называемом нерезонансном случае система (1.3) (и аналогично системы (1.4) и последующие) имеет единственное Т-пери- одическое решение (см. ниже). По теореме Пуанкаре [(107а], т. I, гл. III) (см. также [79а]) ряд (1.2) сходится при р = 0, т. е. существует единственное аналитическое по р при р = 0 Т-периодическое решение исходной нелинейной системы уравнений (1.1).

Получим формулу для Г-периодического решения системы (1.3). Ограничимся для простоты случаем Qo = 0 и, не нарушая общности, положим Мо = Ift и запишем уравнение

4^ + Pov«»=f(0 (Р^Ро)(2.2)

в виде векторного уравнения первого порядка:

^.-Ах+ЫО, <=(.„,). А-(_Р1 ‘У h=(,).(2.3)

Решение системы (2.3) с начальными условиями дается формулой (см., например, [146], п. II, 1.4)

t.

х (I) — е1К ^х (0) + ^ esAh (s) ds] .

Отсюда найдем для tt+т

х (< + Т) = еГАе*А Гх (0) + e~sAh (s) ds + § e~sAh (s) dsl =

= еТАГх(£) + § g((-s)Ah (s) dsl.

Заменим в последнем интеграле s на т = Т 4- ( — s и выпишем необходимое и достаточное условие периодичности х (( + Т) = х (1):

т

еГА Гх (() + § 4T'T)Ah (t — т) dr I = х (i).

L оJ

Поскольку матрица I2h — eTA неособая в силу условия (2.1), то единственное Г-периодическое решение системы (2.3) дается формулой

т

х (О = [1г/с — ^Г1 ^ етАЬ (( — т) dr.(2.4)

о

Для матрицанта е,А найдем в силу (2.3)

,А _ / соз^/Ро) (/р0)-1 sin (г Vp0) \■

6\— /Ро sin (t /Ро)со з (t /р0)/ ’

где введенные матрицы-функции определяются формулами [146], (2.3), п. 1,2.1. Для первого множителя формулы (2.4), найдем

/ Ifr(/Po^ctgl^r/Po^X

2/с1 ~ 2_/ !_\’

y-ZPoCtg^T/PjЧ/

что можно проверить умножением на I2k — exp (ГА). При этом для достаточно малой по норме матрицы У Ро имеем

ctg (4- т /₽;) = 4 сн^г1 - 4-т ^ - Л (4-т ^] -

Для так введенных тригонометрических матриц-функций справедливы общие формулы тригонометрии (см. [146], § 1, 2). Поэтому из (2.4) получим для единственного (при условии (2.1)) Г-периодичес- кого решения системы (2.2) и его производной

v«»(0 = 4*5 (I^Po)"1 sin (т у^Рд) f (( — т) dr 4- О '

+ 4" (VPof1 ctg (4* Г /Ро)5 cos (т VРо) f (t - т) dr, _т ° _(2.5)

V<°) (0 =^- Ctg ^4" ^ КР0^ sin (т VРо) f (< — Т) dr 4-

О

- 44 cos^p^Po)! (/ — г) dr.

Резонансный случай. Допустим, однородная система (1.5) имеет 2d (1 d к) линейно-независимых ^-периодических решений. Тогда будут иметь место 2d равенств

X,- = ip/o (j = ±1, • •+d; р-} = —pj, <o= ^ ,

а для. остальных корней характеристического уравнения (1.6) неравенства

^h Ф ip<a (h = ± (d + 1), . . ., ±/с),

где р; и р суть целые числа. Запишем 2d Т’-периодических вектор- решений системы (1.5) в комплексной форме

у^е^'а,- (7 = 1d\(3.1)

Выясним необходимые и достаточные условия существования Т’-периодических решений у системы (1.3) в рассматриваемом резонансном случае. Пусть u (i) и w (i) — вектор-функции, допускающие интегрируемые кусочно-непрерывные вторые производные па отрезке [О, Т\, и значения вектор-функций и их первых производных на концах отрезка равны:

и (7’) = и (0),u (71) = й (0),

w (71) = w (0),w (71) = w (0).

Тогда имеет место формула *) тт

^ (Mu + Qou + Pou, w) dt = § (u, Mw + Qow + Pow) dt. (3.2) о0

Действительно, по формуле (Ax, у) = (x, A*y) имеем т

(Mu + Qou 4- Pou, w) dt = о

ттт

= ^ (u, Mw) dt — ^ (u, Qow) dt + ^ (u, Pow) dt 000

и применяя для второго интеграла и дважды для первого интеграла интегрирование по частям, получим формулу (3.2). Допустим, что у системы (1.1) существует периодическое решение v (i, ц).

4 Если

то (х, у) = ^т]! -]-...-]- ^цк (черта над скалярными величинами означает комплексно-сопряженную величину).

Подставляя его и какую-нибудь из 2d функций (3.1) в формулу (3.2), получим тождества по ц.

т-

$ (f (0 + HgG> v> V, н), v^dt = 0(/ l,..„d),(3.3)

о■■

поскольку

Mv^ + Qov^ + Povj? = 0 (/=l,..,d).

Полагая в (3.3) pi = 0, получим т

$ (f (0, v^) dt = 0(7—d).

о

Будем предполагать эти равенства выполненными; вычтем их из тождеств (3.3) и, сократив на pi, получим тождества

- т■

(g(t, v, v, и), v^dt = 0(/= 1,..., d).(3.4)

О'

Положив в пих ц = Ои подставив v^ из (3.1), получим, что порождающее решение v<0)(t) в резонансном случае необходимо удовлетворяет следующим 2d условиям:

т

ф,-=^ e^^g^, vW,v(°), 0), a,)d( = 0 .(3.5)

О

(7 = ±l,...,+d).

Порождающее решение v(0)(() будем искать в виде

v(0) = w(0)(0+ i) ^“га; £-i = W-i=-PiV j=—d

где w(°) (t) — некоторое частное периодическое решение системы (1.3). При этом (3.5) представляют собой систему 2d уравнений !) для определения комплексных чисел ^_д, . . ., £d — уравнения для порождающих амплитуд. Обозначим через S-J, . . ., ^0) решение системы (3.5). Можно показать, что если якобиан системы уравнений (3.5) отличен от нуля, т. е.'

Щ^... , ti0))’

*j Эти уравнения получаются из общей в теории операторов теоремы фред- гольмовского типа..

то решение (1.2) существует и является аналитическим по р при

р = 0.■

Приравнивая в тождестве (3.4) члены с р, р2, . . ., получим

ь = (((£) v«> + (5) V"> + (f) , -,) Л - О"" 'о*/ О\ г /.о/

(у — Ч- 1, • ■ ■, Ч- d),(2-6)

где индекс нуль означает, что после дифференцирования положено р = 0, v = vW (<), v = v(°> (<).

Уравнения в вариациях для периодического невозмущенного движения. Принимая (1.2) за невозмущепное движение, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения

V = V (<, р) + у

и выпишем их первое приближение, т. е. систему уравнений в вариациях

МР v - ии

М- Р У + Р >

где в частных производных после дифференцирования подставлено невозмущенное движение (1.2): v = v (Z, р), v = v (Z, p). Введем обозначения для матриц-функций

Р 1^ = - Н₽ (<, И), Р^)= “ PQ^-И)-

Разложим эти последние в ряды по степеням р:

рР (t, р) = р?! (?) + р2Р2 (<) + ••.,

pQ (t, р) = pQj (*) + p2Q2 (<) + . . .,

где

м) = -(®, ^«--йУ<4Л>

причем индекс нуль означает, что после дифференцирования положено р = 0, v = v^ (<), v = v<°> (t). Представим векторное уравнение, записывающее систему уравнений в вариациях, в виде

М-^г + iQo + pQi (0 + p2Q«(0 + •••] -^ +

+ [Po + pPi ^ + р2Рг W + -.] у = 0. (4.2)

Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с Г-периодическими коэффициентами.

Случай различных мультипликаторов невозмущенной системы уравнений в вариациях. Рассмотрим систему уравнений в вариациях (4.2) при ц = О

м5- + ^-8 + роу = °-<5Л)

При условиях Мт = М )> О, Pg = Ро )> О, QJ = —Qo все корни ее характеристического уравнения (1.6) чисто мнимы:

Xv = im4 (v = ± 1, . . ., ±к; co_v = — cov). (5.2)

Допустим, что все мультипликаторы системы (5.1), отвечающие периоду Т

рч = ею'*т (v = +1, ..., + к), различны: рх ^ р„, т. е.

мх^о), ^modco = ^ (%, v = + 1, ..., +к\ '

Иначе говоря, каждый класс сравнимых по модулю Зл/Т чисел оь состоит из одного числа. Характеристические показатели системы уравнений в вариациях равны ([146], п. IV, 3.4)

«7 (Ю = itoj — iOjj sign /•р + О (р2) (у = ± 1±£),

где *)

det [—со|М + itojQ0 + Ро] = О,

0ц = - ([₽?’ + ZoiyQ^laj, а,-),(5.3)

тт

р<о)=-1- ^ Pi w at, qio)=4- S Q1 ^dtо0

и а, суть нормированные собственные векторы

(—G)jM + Zg^Qq + Р0)а; = О,

([2«;М — iQ0]ay, а;) = sign / (у = ± 1, . . ., ±к\ (5.4)

Для вещественных частей характеристических показателей системы уравнений в вариациях (4.1) будем иметь в рассматриваемом случае'

Re а,- (ц) = — sign /-Im [(Р1о) + ZcOj-Q^lay, а,)р + О (р2)

U = ± 1, . . ., ±к).

Следовательно, если

sign /-Im([P™ + ZojyQl’^Jay, а,) > 0(/ = ± 1, . . ., ±/с), (5.5)

х) Напомним, что (х, у) = S^x^x (см. сцоску в п. 2.3).

т. е. для всех j, то невозмущенное движение (1.2) асимптотически устойчиво [77а, 145а] при достаточно малых положительных р, а если хотя бы для одного из скалярных произведений {при некотором f из последовательности ± 1, . . ., ±^)

sign/'-Im ([Р^о) + itoy-Q^la;., а/) < 0,(5.6)

то невозмущенное движение (1.2) неустойчиво [77а; 145а] при достаточно малых положительных р.

Прим е ч а и и е. В рамках рассматриваемого случая различных мультипликаторов допустим, что

(Р?Ч аД {j = ±1, . . ., ±fc)

вещественны. Это заведомо будет иметь место при тривиальном условии Pi0) = 0, а также при условии Qo = 0. В последнем случае а1; . . ., ak, как собственные векторы симметрической матрицы М-1Р0, вещественны и а_; = а; (/ = 1, . . ., /с). Поскольку <о; sign / > 0 (см. (5.2)), то

Re а; (р) = - Re (Q^a„ аДр + О (р2)(/ = ± 1, . . ., ±/с).

Следовательно, если для всех /

»;^-Re(Q{%a,) =.

т

= -^-Re^ dt-aj, аА <0(/= +1, •••, + ^), (5.5')

\ dv /0/

то невозмущенное движение (1.2) асимптотически устойчиво при достаточно малых положительных р, а если хотя бы для одного из скалярных произведений

»г=ТКе6(Э/'---.«г)>0,(5.6')

О

то невозмущенное движение неустойчиво при достаточно малых положительных р. Если Qo = 0, то условия (5.5') и (5.6') достаточно испытывать только для одних положительных индексов и знак Re автоматически опускается из-за вещественности (Qi^ay, аД (/ = 1, . . ., к\

Случай кратных мультипликаторов ([146], п. V, 3.4). Допустим, что система уравнений (5.1) имеет r-кратный мультипликатор ро, отвечающий периоду Т-.

р0-е™№т.

Пусть ®j , . . ., tojr — класс корней уравнения (5.3), отвечающий

этому мультипликатору, т. е.

(Оу = ю<°)

mod® =

(7 = 71, ---, 7г)-

Итак, система уравнений (4.2) имеет при р = 0 кратный характеристический показатель itaW. Определим целые числа mt формулами

ю, = ®(0) + m,-y U = 7ь —, 7r).

Представим матрицы-функции (см. (4.1))

матричными рядами Фурье в комплексной форме

Pi(0~ У, exp^m^P^, Qi(<)~ У, exp [im^ Qlm)-

Определим числа оу^ формулами

Gjh = — ([Pl + i«jQi 1 a,, ah)(J, к = 7г),

где а; пронормированы условиями (5.4), а т

р^ь) = -1. е-Чт^1 рх (<) at,

О г

^^ = ^ е-1(И)< Q1 W dt-

о

(6-1)

Введем числа

V/h =

О

1

-1

(7, А = 71,

й составим уравнение

det || ojh - i%y}h Цу, h=jl> , = 0.

(6-2)

Если вещественные части корней этого уравнения %д, . ; ., Х/г отрицательны и это имеет место для всех мультипликаторов системы уравнений (5.1), то невозмущенное движение (1.2) асимптотически устойчиво [77а, 145а] при достаточно малых положительных у.. Если вещественная часть хотя бы одного из корней уравнения (6.2) в одном из классов положительна, то невозмущенное

движение (1.2) неустойчиво (77а, 145а] при достаточно малых положительных ц■

Для г характеристических показателей системы уравнений в вариациях (4.2), обращающихся при ц = 0 в im1-^, справедлива формула '■-

«у (И) = i“>№ + Х;ц + О (р1+8)(6 > 0; / = А, . . ., /г),

где числа Xj являются корнями уравнения (6.2).

Примеры. Пример 1. Рассмотрим скалярное уравнение Ван-дер Поля

| + оЧ = I sin t + р (1- ИЧ. (о > 0, Z > 0),

детально исследованное А. А. Андроновым и А. А. Виттом ([3], стр. 70—84). Корни характеристического уравнения (1.6) суть X = = ± ia. Исследуем оба возможных случая.

■ а) Нерезонансный случай (о не есть натуральное число). Уравнение (1.3) запишется в виде

|(0) + оЧ(0) = Z sin t

и допускает единственное 2л-перцодическое (Г = 2л) порождающее решение

^(°)= -J-j-sinZ.

Из первого уравнения (1.4)

определится первая поправка

Z ГZ2 1Z3

£<*> =1 — 77-5—cos t + . . „’—.... 9—„г cos3(.

=(а2 — I)2 L 4(о2— 1)2J1 4 (а2 — 1)3(а2 — 9)

Все последующие члены ряда (1.2) определятся также единственным образом из, второго уравнения (1.4) и последующих уравнений. Искомое решение (1.2) есть

. ZsinZ . tiZ[Г.Z2 1, .

(<> Р) ~ а2 _ 1 + (О2_1)2~ 4 (а2 _ 1)2 J cos 1 +

.cosi

+ 4(а2—1)(а2 —9)] +

Для суждения об его устойчивости вычислим 'ft по формуле (5.5'):

в=^^^1(1-еЧл=

■= 3? ^ t1 ~ (а2—!)2 si”2 *]d< = 1 — 2(02 —I)2 *

■о'

и, согласно (5.5') и (5.6') заключим, что для достаточно малых р и при

(7-1)(7-1)/2 > 2 (о2-1)2

(7-1)

(7-1)

найденное 2л-периодическое решение £ (7, р) асимптотически устойчиво, и неустойчиво, если знак неравенства обратный.

Резонансный случай (о = р, где р — натуральное число1).

Уравнение (1.3) примет вид

■ £<°> + р2|<°> = I sin t

и допускает 2л-периодическое решение для любого р начиная с двух, что и будем предполагать в дальнейшем. Согласно п. 2.3,

^(°) = ^тгisin< + Cicospf + C2sinpC

После очевидных вычислений определятся левые части уравнений (3.5) и сами уравнения запишутся как

^1 = - 4 ^2 [^ + ^ + (р"2"- 1)2 -4]=°-

, Л t Г 5-2 t 5-2 ,2Z2)

4’2 — — РС1 [С1 + ^2 + („2_1)2 — 4_] — °--

При любых значениях параметров р и I уравнения допускают нулевое решение

^ _ ^ = о,

а при Z < р^2 (р2 —1) сверх того еще и решение

У ~т~ к ^72г(о)‘

М — Ы ,^2 — <52 — + у (^171)2" — 51 •

D №i. fe)У(£1, £2)D №i. fe)У(£1, £2)= О41—41 , 41=42= О41—41 , 41=42где ^0) — любое из вещественных чисел, не превосходящих по модулю V^—2Z2/(p2—I)2. Для последнего решения якобиан п. 2.3

D №i. fe)У(£1, £2)

D №i. fe)У(£1, £2)

= О

41—41 , 41=42

= О

41—41 , 41=42

и, основываясь на п. 2.3, нельзя утверждать, что существует аналитическое по р при р = 0 2л-периодическое решение, для которого порождающим решением является

■ £«» = ^—i sin t + ^0) cos pt + ^0) sin pt.

Для дополнительных исследований отсылаем читателя к [3].

Обратимся к первому решению уравнений (7.2), т. е. ^1=^2 — = 0 Якобиан

Р Wi. ^2) I D^i, £2) 1о=^Р Wi. ^2) I D^i, £2) 1о=^— _ Л2р21о 4L(p2-1)2— _ Л2р21о 4L(p2-1)2- 2]" ф О- 2]" ф О

Р Wi. ^2) I D^i, £2) 1о=^

Р Wi. ^2) I D^i, £2) 1о=^

— _ Л2р21

о 4L(p2-1)2

— _ Л2р21

о 4L(p2-1)2

- 2]" ф О

- 2]" ф О

при I Ф V2 (р2—1), и согласно п. 2.3, существует аналитическое по ц при р = 0 решение. Из первого уравнения (1.4) будем иметь для- первой поправки в случае четного р

£(1) ~cos * +

(р2— I)2 L4(p2— I)2J1

+ 4(p2_i^(p2 = 9j cos St + Л1 cos pt + 112 sin pt,

где гц и ii2 определяются из уравнения (3.6). Условием устойчивости остается (7.1)..

Пример 2. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений ([140], стр. 117):

Л1 + Л1 = Н (1— Л1 — Лг) Л1 + [Ч cos t, . Ла + И2Л2 = Н (1— Л1 — Л^Лг»(7-3)

где ц > 0, 5 < 0, ю2 )> 0 и Ша ^= -^- т(т — натуральное число). Корни характеристического уравнения (1.6) суть

XTi = 4-г,Xzpa = -+-to2i

и, поскольку со = VaiIT = 1, то имеет место резонансный случай: P-v = —1, pv = 1, Х^2 т^ pi (см. начало п. 2.3). Порождающее 2л- периодическое решение системы (7.3) будем искать в виде ц^ = 0,

Л10) = V‘ + ^е-’' = 2Re (^‘) = 2ах cos t -2p1Sin t,

при этом обозначено ^ = ах + ipv Вычислим теперь левые части системы уравнений (3.5)

Ф_1 = 2л [-1- q - it (1 - ^t)] ,

ф! = 2л [4 q + i^ (1 - Sit)] •

Выпишем уравнения (3.5), складывая их и вычитая, получим

qx —2рг (1-а? - р?) - О, 2iax (1-а? - р!) = 0.

Отсюда найдем, что ах = 0, a pt должно быть корнем кубического уравнения

’/(Pi) = Pi-Pi + 4-? = °.<7Л>

При q < —4^3/9 это уравнение имеет только один вещественный корень р^ > 2 |^3/3, а при —4 |^3/9 < q < 0 один положительный корень Pj01 (1 < р^ < 2|^3/3) и два отрицательных различных корня рг и Pi (Pi < рх ). Итак, порождающее решение сис-

темы (7.3) имеет вид т]20) = О,

Р^ =+ £pV‘ = -2^ sin t (^ = ^Д (7.5)

где 0Х удовлетворяет уравнению (7.4). Вычислим якобиан системы уравнений (3.5)

D == 4л2 К1 - ГО - d0)^0)‘l = 4л2 (3^ - 4^+1).

Якобиан D обращается в нуль только при 0г = 4- ф^З/З и 0! = = Т 1. Поскольку Pi0)4> 1, то'при p^Pi» якобиан отличен от нуля. Далее, случай 0г =+1 невозможен, поскольку / (=р1)<0. Поэтому якобиан D равен нулю тогда и только тогда, когда Pi = —уз/з, т. е. при q = —4]/3/9. Здесь этот случай исключается, как требующий дополнительного исследования. Во всех остальных случаях решение (1.3) существует и является аналитическим по р при р = 0. Система уравнений (1.4) для первой поправки примет вид

л!0 + Р?1 = —201 cos ЗС Ц^ 4- ш^ = 0, откуда

pW = у^1' 4- у, е-“ 4- 4"Picos 3Z’ ^ = °'

Далее нужно определить порождающую амплитуду ух первой поправки, на чем мы, однако, не будем останавливаться, а перейдем к исследованию устойчивости решения (1.2).

Уравнения в вариациях (4.2) для системы.(7.3) и порождающего решения (7.5) суть

5г 4- tnQi W + .-I ^ 4- [Ро 4- HPi W + ...1 У = 0,

где

111 0Ро=|о (О» ’111 0Ро=|о (О» ’Р1Ю =Р1Ю =dg\ _l|4P®sin2tdv/o ||0dg\ _l|4P®sin2tdv/o ||00000

111 0

Ро=|о (О» ’

111 0

Ро=|о (О» ’

Р1Ю =

Р1Ю =

dg\ _l|4P®sin2t

dv/o ||0

dg\ _l|4P®sin2t

dv/o ||0

0

0

0

0

= (—1 4~ 2p2 — 2P1C0S 2/) I2.

\dv/o

Таким образом,

Qp) = (—1 4~ 2р2)I2, q!2) = q<-2) = - рХ I2 = |J 1|,

а все остальные коэффициенты Фурье матриц-функций Рх (Z) и Qi (0 равны нулю.

Корни уравнения (5.3) суть со-! = 1, ю1 = 1, ю_2 = —о>2 и (о2- Собственные векторы ах и а2 матрицы Ро, нормированные условиями (5.4), суть

ai-y=ei, а2--р=е2.

Имеется класс из двух корней {«-ц «>!}, соизмеримых по модулю

= 1, а все остальные корни по условию со2 Ф ™т ие соизмеримы с ними и несоизмеримы между собой, и образуют два класса по одному корню: {®_2} и {(о2). Начнем с класса из двух корней и определим целые числа т^ и тх из выражений

Ю_1 = 0 + (-!)•!, Ю1 = 0 + 1-1,

откуда m_Y =— 1, п^ = 1. Вычислим а№ по формулам (6.1)

О-1-i = Оц = -^- (20т —■ 1), о_и = Щ-! = —2~ Pit

и составим уравнение (6.2)

a-i-i + <Х o_u' 01-1 On — <Хa-i-i + <Х o_u' 01-1 On — <Х=[х+4-(-1+2₽1)У-4-₽1=°-=[х+4-(-1+2₽1)У-4-₽1=°-

a-i-i + <Х o_u

' 01-1 On — <Х

a-i-i + <Х o_u

' 01-1 On — <Х

=[х+4-(-1+2₽1)У-4-₽1=°-

=[х+4-(-1+2₽1)У-4-₽1=°-

Корни его

Х1 = 4-(1-₽?), Х2=^-(1-ЗрЬ.

При 0J = pi0) ^> 1 Xi и Хг отрицательны. При 0 = 01 -< О или 0! = 01* < О (что возможно лишь при q +> —4^3/9) Xi положительно, ибо из (7.4) имеем

В силу заключения п. 2.6 периодическое решение (1.2) с порождающими амплитудами — 201 и —20” (см. (7.5)) — неустойчиво. Для суждения об устойчивости периодического решения (1.2) с порождающей амплитудой 20iO) надо обратиться к оставшимся двум классам {®-2} и {со2}. Вычислим +2 и Ф2 по формуле (5.5')

1-20? '

^2 = - (Qi” Я2, а2) = ~’ ^ = ^

При 0J = 0iO) ^> 1 ^ отрицательно. Таким образом, периодическое решение (1.2) с порождающей амплитудой 201о) асимптотически устойчиво.

Следующий пример выделим в отдельный параграф.

Вынужденные колебания прядильных центрифуг

Постановка задачи и уравнения движения. В производстве вискозного шелка применяется прядильная центрифуга, представляющая собой сочетание электроверетена с прядильной кружкой, укрепленной на конце вертикального консольного гибкого шпинделя. Рабочая скорость вращения шпинделя приближается в современных прядильных центрифугах к 9000 об/мин. Эта скорость значительно превышает ту угловую скорость, при которой начинают заметно проявляться упругие свойства шпинделя. При определенной скорости упругие восстанавливающие силы и моменты, возникающие вследствие деформации шпинделя, несущего прядильную кружку, уравновешиваются инерционными силами и моментами, обусловленными его вращением. По общепринятой терминологии гибким валом называют такой, основная собственная частота поперечных колебаний которого ниже угловой скорости его вращения. Большим достоинством центрифуг с гибким валом является их свойство самоцентрирования. При указанных рабочих оборотах возникает тенденция к устранению как статической, так и динамической неуравновешенности ротора.

Однако в устройствах с гибким валом при определенных условиях могут возникнуть неустойчивые режимы движения. Возможны также автоколебания, т. е. такие режимы, когда наряду с чисто вынужденными колебаниями от дебаланса ротора возбуждаются незатухающие колебания, происходящие с частотами, близкими к собственным частотам линеаризованной системы дифференциальных уравнений, описывающих движение устройства.

Причиной потери устойчивости режима чисто-вынужденных колебаний в закритической области может быть внутреннее трение в материале гибкого вала ([74], стр. 108—113). Согласно известному теоретическому положению силы внешних сопротивлений отодвигают границу устойчивости в область высоких частот [44, 45]. В связи с этим представляет интерес задача, состоящая в определении таких соотношений между параметрами внутреннего трения и внешних сопротивлений, при которых вынужденные колебания центрифуги оказываются асимптотически устойчивыми.

Для вывода дифференциальных уравнений движения центрифуги воспользуемся расчетной схемой, предложенной Я. И. Ко- ритысским ([66], стр. 383). Представление о расчетной схеме прядильной электроцентрифуги типа ЭВ-ЗМ можно получить из рис. 1.

Там же указаны координаты, определяющие положение устройства относительно неподвижной системы отсчета хии. Ось х в действительности направлена вертикально вверх. Согласно принятой динамической модели и учитывая некоторые естественные допущения, принимаемые многими авторами [66, 74] колебания электроцентрйфуги можно описать квазилинейной неавтономной

системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при ведущих членах. Записанная в комплексной форме, она имеет следующий вид:

тйу + сИиг — с12и2 — с13м3 = тех2 exp (ivt) —

— ц{нг [йх + lex exp (ivt)](x0 + хх | иг |2) +

+ НсИ (йх — ixuy1) — hc12 (й2 — ivu2) — йс13(й3 — ivu3)},

^1Й2 — ivTSTg^ — ^21^1 “Ь с22и2 -)- с23н3 =

= ц [(*2" ivК3й2 -}- с2лнл с22н2 — с23н3) | н212 —

(jxK0u2 —З^й^Ке (й2м2) + hc21 (йт — ixu^ —(1.1)

—hc22 (й2 —ixu^ — hc23 (й3 — ixu^A,

Ай3 — c31Uy + с32и2 + (с33 + f)u3 = ц [/ic31 (й, — ixu^ —

■-— hc32 (й2 — ixu2) — Нс33 (й3 — ixu^ — Лх2й3].

Смысл комплекснозначных координат и3 У — 1,2, 3) легко вы

ясняется из рис. 1: иу = ц + гЕ, где ц и Е — координаты центра

Рис. 1.

тяжести жесткой части ротора 5 вместе с прядильной кружкой'5; и2 = аг + ?ри где ctj и рл — углы Резаля, характеризующие направление касательной к упругой оси вертикального консольного гибкого валика 4 в точке насадки жесткой части ротора 5; и3 = = ф + гф, где ф и 'О — углы, характеризующие отклонения оси корпуса электроверетена 1 от неподвижной оси х. ■

Постоянные коэффициенты cjh = c^j, с33 (j, k = 1, 2, 3) зависят от конструктивных и физических параметров устройства. Жесткость амортизаторов корпуса 2 по отношению к угловым пере-

мещениям корпуса 1 определяется коэффициентом /. Линейный эксцентриситет е ротора считается малой величиной по сравнению с ведущими членами дифференциальных уравнений. Остальные величины, входящие в уравнения (1.1), имеют следующие значения: К01 Кг — соответственно полярный и экваториальный центральный моменты инерции ротора; А — экваториальный момент инерции устройства для его неподвижной точки; т — масса ротора; х0, хп х2 — коэффициенты внешних диссипативных сил; h — коэффициент внутреннего трения в материале гибкого валика [44, 661.

Отметим, наконец, что параметр р введен в дифференциальные уравнения движения (1.1) для выделения членов, малых по сравнению с членами, записанными в левых частях этих уравнений.

Определение периодического решения. Как свидетельствуют экспериментальные данные, а также наблюдения за центрифугой в процессе эксплуатации, неуравновешенность ротора является причиной возникновения чисто-вынужденных колебаний устройства. Этим колебаниям соответствует периодическое решение исходных дифференциальных уравнений (1.1), определять которое будем методом Пуанкаре. Предварительно исходную систему трех дифференциальных уравнений (1.1) второго порядка относительно комплекснозначных функций и3 (/ = 1, 2, 3) запишем в виде одного вещественного векторного уравнения (2,1.1)

М#+ Qo5+PoV = fW + pg(#,v,v). (2.1)

Здесь введены следующие обозначения: векторы

pg (t, v, v) = рpg (t, v, v) = р/^i g» gs gi

pg (t, v, v) = р

pg (t, v, v) = р

. gs \ge

где ^i = т], ж2 = £, хэ = ап х4 = рп х5 = ф, х» = А, а функции pg) (/ = 1, . . ., 6) находятся в результате расщепления соответствующих комплексных уравнений системы (1.1);

матрицы

М = diag (ш, п, Кг, Kv А, Л), Qo = || qJh Щ,

причем qa4 = К^, qi3 = — К^, а остальные элементы матрицы Qo равны нулю.

В результате расщепления исходной системы комплексных уравнений (1.1) определяется матрица Ро, которая оказывается для исследуемой системы симметрической и положительно-определенной. Элементами этой матрицы порядка 6x6 являются коэффи-

2 В. М. Старжинский

циенты cjh = см, с33 + / (/, к = 1» 2, 3). Таким образом, вектор v представляет собой координаты устройства, а вектор-функция pg (^ v> v) — периодическая по времени t с периодом Т = 2n/v.

Будем искать Т-периодическое решение уравнения (2.1) в виде ряда (2,1.2) по целым степеням малого параметра р, ограничиваясь при этом первой поправкой к порождающему решению:

v (*, р) = V® (О + руФ (t) + . . . (2.2)

В результате применения известной процедуры (см. п. 2.1) получаем векторные дифференциальные уравнения (2,1.3) —для порождающего решения, а также (2,1.4) —для первой поправки. Характеристическое уравнение (2,1.6) для однородной системы (2,1.5) имеет следующий вид: '

[det (Р, -Ц,)]2 + {[(си + ^2)(с3°3 + / + ЛЬ2) -c23]X0v}2X2= 0.

Оно, очевидно, имеет чисто мнимые корни ^ = iaj(j = =F 1, . . . . . ., 4=6). Предполагается, что среди этих корней нет чисел вида ipv (р = 0, 4=1, 4=2, . . .; i = V —!)• В этом случае уравнение для порождающего решения, а также каждое из последующих уравнений будут иметь единственное ^-периодическое решение. Фактически эти решения целесообразно находить, вновь обратившись к комплексной записи исходных уравнений. Тогда порождающее решение представится следующим образом:

4к-1 + = me^D-^D^ (v)exp (ivi) (к = 1, 2, 3).

Напомним, что х^ (i = 1, . . ., 6) — компоненты вектора v<°> порождающего решения, а величина 7)lh (v) представляют собой алгебраические дополнения к соответствующим элементам в фундаментальном определителе

D (v) = det (— v2M + ivQ0 + Po).

Здесь:

M = diag (m, Kv Л), Qo = diag (0, —ivX0, 0),

cu — Cy — Сц— Cj2 C22^23

— Сщ C23 C®3 + f

Первые поправки определятся так:

И (^ + ix^) = D"^ (v) 3 гАк (v) (к = 1, 2, 3).j=i

В последних формулах введены следующие обозначения: Xj1^ (j = 1, . . ,, 6) —компоненты вектора vW,

Тк = g2h-i ^ v№, vW) + iglh (t, v№, vW) (k = 1, 2, 3).

Таким образом,;

Г1 ivme [x0 + %i (^^^У ] (1 + ^ЛД^р) exp

r3 = — wA^ ?^щ^ exp (zv#).

Аналогично находятся последующие приближения.

■ 3.3. Исследование устойчивости. Известно, что физически реализуются только устойчивые движения. Поэтому найденное в предыдущем пункте периодическое решение необходимо исследовать на устойчивость, что дает также возможность определить области существования периодических движений центрифуги. Для исследования устойчивости составим уравнения в вариациях, принимая за невозмущенное движение найденное периодическое движение.

Обозначим вектором у малое отклонение от невозмущенного движения; тогда возмущенное движение представится так:

V = V (#, ц) + у.

Подставляя возмущенное движение в систему (2.1), запишем урав* нения в вариациях в векторной форме (2,4.2), ограничиваясь при этом членами, содержащими р в первой степени:

m-§- + IQo + hQi(O+ ...]^4-[Ро + цР1(0 + -]у-0- (3.1)

В исследуемом случае, как было отмечено выше, все корни характеристического уравнения чисто мнимые и все мультипликаторы системы (3.1) при р = 0, отвечающие периоду Т = 2лА>, различны. Характеристические показатели системы (3.1) определятся формулами (2,5.3):

а, (р) = 1ю, — ion sign ур + О (ц2)(/ = T 1, . . ., +6),

где Ojj = — ([Pi0)+ i®jQi0)] a;, a7), и а,- — нормированные собственные векторы

(—®|М + zg),-Q0 + Р0)а; = О,

([2со,М — zQoJa^, a;) — sign j (/ — =p 1, , , ,, ^pG).

В качестве компонентов собственных векторов можно взять следующие величины:

•' а) _ £м(®у)(2) _ Аа(®у) (з) _

. ai -D^^” ai - D^’ j ~ b-

M _„(5) _(в) _ Д2з(Юр

5 C” ai ~О^)Сь ai ~ D№^

U —н 1, • • •, + 6),

гдегде1 - — w;1 - — w;mmД21 (®у)2Д22 (®у)2Д21 (®у)2Д22 (®у)2+ ^1 (1 -+ ^1 (1 -^oV \2Kltoj)^oV \2Kltoj)+ A+ AAs(to,)aDu (<o,-)2As(to,)aDu (<o,-)2sign /,sign /,

где

где

1 - — w;

1 - — w;

m

m

Д21 (®у)2

Д22 (®у)2

Д21 (®у)2

Д22 (®у)2

+ ^1 (1 -

+ ^1 (1 -

^oV \

2Kltoj)

^oV \

2Kltoj)

+ A

+ A

As(to,)a

Du (<o,-)2

As(to,)a

Du (<o,-)2

sign /,

sign /,

а для суждения об устойчивости в случае различных мультипликаторов нормировка не существенна.

Вследствие вещественности величин (Р^а,-, а,-) (/ = + 1, . . . . . ., 4=6) условия асимптотической устойчивости исследуемого движения (2.2) запишутся в виде (2,5.5'):

Re (Q<%, а,-) > 0(/ - 1, . . ., 6).

Матрица

pQi0), выч

исленная

для систе

мы (2.1), так

ова:

М 4- hcu

0

~ ^12

0

^С13

0

0

М + hcu

0

— Лс12

0

hcis

— ^с1а

0

Ьс 22

^1V/^

^^23

0

0

— ^С12

- к^

Ac^2

0

А^23

^с13

0

Нс^з

0

^сзз + Аий

0

0

^33

0

^^23

0

hc^ + 4X2

где

М = т (х0 Н-х^), fk = mev2/)”1^)/)^ (v)(& = 1, 2).

Условия асимптотической устойчивости чисто-вынужденных колебаний прядильной центрифуги в развернутом виде представятся следующим образом:

[т (х0 + x^D^ (to,-)2 + AxJ)^ (^ +

+ /№(»jZ)21 (toy)2 — haj (Kov —K^j^D^ (c»y)2 —

-h^ - Aa^DM (a^ > 0(/ = 1, . . ., 6).

Здесь Z)2t (<»y) — алгебраические дополнения к соответствующим элементам в фундаментальном определителе системы (2.1).

Из анализа условий асимптотической устойчивости можно сделать вывод о том, что практически в устройствах, подобных рассмотренной здесь центрифуге, силы внутреннего трения не могут нарушить асимптотической устойчивости вынужденных колебаний, вызванных неуравновешенностью ротора.

Глава II

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ

Два следующих параграфа посвящены плоским колебательным цепям. В первом параграфе [322г] эти цепи свободные и целиком упругие, т. е. если речь идет о механических системах, то рассматривается система материальных точек, связанных невесомыми пружинами. В четвертом параграфе [322в] нарушается одно из этих условий, именно некоторые из пружин заменяются невесомыми стержнями, а в одном из примеров к тому же движение некоторой из масс стеснено направляющими, — колебательная цепь перестает быть и целиком упругой и свободной.

На первый взгляд это частные вопросы механических колебаний. Однако такое представление ошибочно. Даже в механических задачах можно рассматривать стержень как колебательную цепь и трудно решить, что лучше отражает действительность — сплошная или дискретная модель. Если же рассматривать и электродинамические системы, то аналогии еще более глубокие. Отошлем читателя к книге Л. И. Мандельштама [80] (ч. I, лекция 29; ч. II, лекция 12). В § III, 2 будет выяснена связь колебаний частиц в циклических ускорителях с колебаниями пружинных маятников; это лишь один из многих примеров.

Свободные, целиком упругие колебательные цепи

Определение понятия колебательные цепи. Рассмотрим механическую систему, стесненную голономными и не зависящими явно от времени связями. Пусть qv . . ., qn суть лагранжевы координаты системы, а qu . . ., ?п — соответствующие обобщенные скорости. Допустим, что обобщенная сила, соответствующая координате qv, может быть представлена в виде

Qv tai, . • ., q^ —R. tai, • • •, %) (v = 1, ..., n).

Здесь Qv и R, — непрерывные и дифференцируемые функции своих аргументов в области их определения. Для выделенных сил сопротивления будем предполагать, что их работа на любом возможном перемещении (совпадающем в рассматриваемом случае

с одним из действительных) отрицательна:

-• 3 ^(ffi, ...,grM<°.(1.1)

v=l

Отсюда и из непрерывности следует, что

R» (0, . . ., 0) = О (v = 1, . . ., п).

В простейшем нелинейном случае, когда R„ = /(<?„) (v = 1,... . . ., п), условие (1.1) означает, что а/ (а) > 0 (а #= 0), а требование непрерывности означает, в частности, что / (0) = 0. В линейном случае условия (1.1) означают, что диссипация полная.

Кинетическая энергия Т системы в силу независимости связей явно от времени будет квадратичной формой обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими лишь от лагранжевых координат

т = — У, «у(?!>•• •>?„)№?■ (ац = ау;

7=1

Уравнения движения в форме Лагранжа второго рода запишутся в виде

(uola 1 oa.s\

У,д«?» + У,— у э^") q^j = Q'» — R» (1-2)

i=li,7=l3

(v = 1,..., r).

Попытаемся по отношению к переменным qv . . ., qT, qT, . . . . . ., qr (г ^ n) изучить устойчивость в смысле Ляпунова невозму- ■ щенного движения.

q^q^W, q» = ^э (t) (v = 1, . . ., n).(1.3)

Для возмущенного движения значения координат и скоростей обозначим

q^ = q^o to + xv, q, = q^ to + xv (v = 1, ..., n\

Дифференциальные уравнения первого приближения возмущенного движения (уравнения в вариациях) могут быть представлены в виде

у , [(avi)o -^ + b,i to -^ + cvl (t) Xi] = 0 (v = 1,..., n), (1.4) i=l

где

Ъ^=у V2-) + (^4M)+(V-) . (1-5)

“^(дЫШ^^}”^)^ (V’I = 1 n^ <L6)

а индекс нуль при а^ и частных производных означает подстановку в их значения

910 kt\ • • ч 9noW» 910 (О» • • ч 9п0

Условимся называть исходную механическую систему «колебательной цепью» относительно невозмущенного движения (1.3), если возможно выбрать такие лагранжевы координаты, при которых коэффициенты (avi)0, (м (t)ncvi (Z) таковы, что для некоторого

натурального т <^ п

Мо = 0(1.7)

(v = 1, . . ., тп, i = т + 1, . . ., n; v = тп -|- 1, . . ., п, I =

= 1, . . ., тп),

(дН_, \

\a^J0 (v«i = !.--чП).(1.8)

(v = 1, . . ., тп, i = пг + 1» • • ч п; v = m + 1. . . ., п, i = =1, . . ., тп), cvi (<) = О

(v = 1, . . ., тп, i = тп + 1> • • ч п; v = m + 1, . . ., п, I =

= 1, . . ., тп)

для всех I, не меньших некоторого t0. Условия (1.7) —(1.10) означают, что матрицы-функции коэффициентов системы (1.4) имеют вид

/ИЮоГ 0 \ /»^(0 С0 \

\ о ll(^)ol^+1/’ X о |^(0С+1/

Уравнения в вариациях (1.4) при выполнении условий (1.7) — (1.10) разбиваются на две группы из т и п — т уравнений

г d2X- /ЗЛ \ Зх.-1

Е[(»Л ^ + (47).^ + « И -.] = о (Г»)

(т = 1, ..., ш),

d^ ~dPd^ ~dPd^d^+ с« (О Xi+ с« (О Xi= 0= 0(1.12)(1.12)

d^ ~dP

d^ ~dP

d^

d^

+ с« (О Xi

+ с« (О Xi

= 0

= 0

(1.12)

(1.12)

44Рис. 2.44Рис. 2.

44

Рис. 2.

44

Рис. 2.

(v = т + 1, • • • , и).

Определение положений равновесия. Простейшим примером «колебательной цепи» будет свободная, целиком упругая колебательная цепь относительно вертикальных колебаний (т. е. когда за невозмущенное движение принимается вертикальное колебание названной системы). На рис. 2 представлена система N материальных точек с массами т^, . . ., mN, последователь-

но соединенных N пружинами (массой которых пренебрегаем) с жесткостями cv . . ., с^и длинами в ненапряженном состоянии Zlt . . ., lN. Начало первой пружины закреплено в точке О, начала каждой из последующих прикреплены к невесомым шарнирам, оси которых перпендикулярны к вертикальной плоскости Оху, что обуславливает плоский характер движения. Таким образом, на систему наложено лишь N тривиальных связей: ^ = 0, . . ., zn = 0 и за 2N лагранжевых координат примем хх, . . ., xn, у'1, . . ., у'н — декартовы координаты матери- у альных точек mv . . ., mN- Кинетическая энергия Т в этом простейшем случае

Nг-^^ч+б;1),к=1

т. е. al3 = mfii3 $гз —символ Кронекера; i, ) = 1, . . ., TV). Вычислим потенциальную энергию V (я^, . . ., х^, у'ъ . . ., y)v) линейных сил упругости пружин и сил тяжести

N4

v = У, {- gmky'k + -L ск [(хк - я^)2 + (у'к - у'к^ - к=1

■~ 2Zk )/\я:к — я^)2-Н/к — 9^1} ’ (2.1)

считая х0 = у» = 0 и рассматривая всюду лишь арифметические значения корня. • Начнем с определения положений равновесия системы, для чего рассмотрим систему

5^ = — Ck^k-l + (ck + ck+l) ^к — ск+1жк+1 — СЛ [(^k — ^k-l)2 +

+ (,Ук — Z/k-l^l '‘^ — ^w) + Ck+A+1 [(^k+l — ^k)2 +

+ (Vk+1 — У'к)Т1/!(Як+1 — ^k) = 0,(2.2)

—r = — mkg — cky 4- (ck + c^ у — cmy -

— cklk [(я^ — я:и)2+ (y'k — у'^А^ЧУ'к — V^ +

+ ск^1т [(я:т — жк)2+ (yk^— У^'Ч^ц^ — yk) = 0 (fc = 1,.. ., N^,

считая cw+1 = lNvv = 0. Эта система допускает решение (нижнее положение равновесия)

хи — 0, ук — (Zt + Xt) + . . . + (Zfe + Хн) (к — 1, . . ., TV),

(2.3) где Х3 означает статическое удлинение у-й пружины

kj = (m, + m,+1 + . . . + тп^ g/cj (j = 1, . . ., TV).

Найденное положение равновесия будет изолированным. Действительно, якобиан системы уравнений (2.2) при значениях переменных (2.3) D = Вг-Вй, где Вх и В2 — определители якобиевых матриц TV-ro порядка

0CN^N

lN + ^N

а В2 получается из Вг при 1к = 0, Хк = 1 (к = 1, . . ., TV). Воспользовавшись формулой для определителя якобиевой матрицы,

найдем

в=Пттт>0'

ч+ч

что и требовалось установить.

Введем переменные ук) представляющие отклонения по вертикали к-й материальной точки от нижнего положения равновесия

Ук — Ук — (^i + М — • • • — (Ч + ^s)(^ = 1, • • м №)•

(2.4)

В нижнем положении равновесия ^ = . . . = xn = Ук = . • . .. .= yN = 0. Для определения положений равновесия, отличных от нижнего, запишем систему уравнений (2.2) в виде

ск (хк хк-1) X.

Х^Ч Ife — ^k-l)2 + (Ч + Ч + Ук — Ук-1)2]_’,“ — 1} +

+ ck+l (^к+1 —Х^ {4+1 [(^к+1 —^к)2 +

+ ^4+1 + ^к+1 + Ук-н — Ук)21-,,‘ — 1} = О,

(2.5)

—ск (Ч + Ч + Ук — Z/k-1) X

. X {4 [(^к — ^k-i)2 + (Ч + Ч + ук — t/k-i)2!-1** — О +

+ ск+1 (/к+1 + ^к+1 + Ук+1 •— ^^{/k+lU^k+l —xkf +

+ (4+1 + ^к+1 + Ук+1 — Z/k)2l-**2 — 1} = mkg-

Выпишем уравнения, отвечающие к, равному N, cn (xn — ^n i){ 1 — In [(^n — ^v-i)2 +

+ Vn + ^N + yN — ^/^-l)2l“',2} = 0,

CN Vn + ^N + yN — yN-1) {1 — In [(^N — ^N-l)2 +

+ Vn + Чг + yN — yN-l)2lJ|2} = m-Ng-

Фигурная скобка отлична от нуля, так как в противном случае второе уравнение не может быть удовлетворено. Тогда из первого уравнения найдем xN = xN-i, а второе уравнение примет вид

Cn Vn + ^n + yN — yN-i) X

X {1 — In I In + ^N + yN — yN I-1} = mNg-

Последнее уравнение всегда имеет решение yN = Vn-i, а при условии Xn <С In и решение у^ = yN-i — ^n. Будем рассматривать наиболее распространенный случай, когда статическое удлинение каждой из пружин меньше длины ее в ненапряженном состоянии

хК-<Чккк = ч т.(2.6)

Поступая с уравнениями (2.5), отвечающими к = N — 1, N — 2, ... . . ., 1, аналогичным образом, найдем 2^ положений равновесия

свободной колебательной цепи:

хг = . . . = xN = О,(2.7)

_ [ °_ f У1_ {

У1 I о/ » У» — | „9797 •

I — “ЧI У1 —• • ч УН, I УН—1 ~ "*'Н

При этом должно быть оговорено, что плоскости движения каждой из N материальных точек различны и параллельны вертикальной плоскости.1

Асимптотическая устойчивость в большом нижнего положения равновесия при наличии сил сопротивления. Уравнения движения (1.2) свободной, целиком упругой колебательной цепи записываются весьма просто:

mk2k — дх 21k (21, ■ • ч кн, Уъ • • ч УМ),■

av<зл)

ткУк = — 5^ — Rn+K (21, . . ; XN, У1, • . ., Vtv)

(fc = 1,...,^.

Обозначим через inf V наименьшее значение потенциальной энергии свободной целиком упругой колебательной цепи среди 2N — 1 положений равновесия, отличных от нижнего. В фазовом пространстве xv . . ., хн, Уц . . ., у Nt хъ . . ., &н, Уи ■ • ., ун определим замкнутую область G неравенством

. Т + V < inf V.

Теорема. При наличии сил сопротивления, удовлетворяющих условию (1.1), нижнее положение равновесия свободной, целиком упругой колебательной цепи асимптотически устойчиво для начальных отклонений

21 , . . ., Хн , У1 , • • ч УН , 21 , . . ., Хн , У1 , • • ч Ун ,

принадлежащих области G. Последнее означает, что ТОТ + F<°> удовлетворяет неравенству

ТОТ + 70 <; inf V,ТОТ + 70 <; inf V,(3.2)(3.2)

ТОТ + 70 <; inf V,

ТОТ + 70 <; inf V,

(3.2)

(3.2)

где в выражении ТОТ и KW подставлено хг = ж™\ . . ., ун = Ун- Доказательство. Примем за функцию у теоремы 14.1

Н. Н. Красовского [70] полную энергию системы

(3.3)(3.3)V = Т + V - V (0, . . ., 0).

(3.3)

(3.3)

Вычислим У (0, . . ., 0) — величину потенциальной энергии в нижнем положении равновесия

N

У (0,..., 0) = — ^^ {^hg [(/х + ^i) + ■ ■ • + (lk + ^к)] + к=1

■+ 2"ск (U — ^л)| ■

Покажем, что У — У (0, . . ., 0) будет определенно-положительной в смысле Ляпунова функцией хг, . . ., хц, уг, . . ., у к- Преобразуем У — У (0, . . ., 0) к виду•

N

У - У (0,. . 0) = -L^Q [(^ - х^у + (yk-yk-x?+2lk(lk + Хк +

+ Ук— Ук-1) — ^к V(хк — ^к-1)2 + (к + Kt + Ук — Ук-1)2]

и установим справедливость неравенств

(хк — ^-i)2 + (ук — yk-if + ^ (lk + Xt + ук — ук_х) ~>

^к V(^к - жк-1)2 + (^ + К + Ук — Ук-1)2 (3-4)

(к = 1, . . ., N; х0 = у0 = 0). Левая часть этих неравенств может быть представлена в виде

(хк — хк_гу + (ук — ук_х + 1к)2 + 1к (1к + 2XJ

и, очевидно, положительна. Возведем неравенства (3.4) в квадрат и после преобразования получим

[(^ — ^.Д2 + (ук — z/fc-i)2 + 2lk (yh — ун)]2 +■

+ 41кХк [(^ — ^_1)2 + (ук — z/ki)2l > 0 (к = 1, . . ., N). Полученные неравенства достоверны, в них одновременное наличие знака равенства возможно лишь при хг = . . . = xr = уг = = . . . = Ум = 0. Следовательно, полная энергия (3.3) системы будет определенно-положительной в смысле Ляпунова функцией всех лагранжевых координат и скоростей. Производная ее в силу уравнений (3.1) равна

N '

±. [Г + у _ у (0,..., 0)1 = - £ (Rkik + R^y,) < 0.

к=1

При этом в силу определения рассматриваемых сил сопротивления равенство нулю в последнем неравенстве возможно лишь в положении равновесия. Движение, начавшееся в области G, не может из нее выйти, в области же G положение равновесия будет единственным. Таким образом, выполнены условия теоремы 14.1 Н. Н. Красовского [70]. Теорема доказана.

Примечание. Можно установить формулы для радиуса сферы или ребра куба, вписанных в замкнутую 4У-мерпую область G.

Уравнения в вариациях для вертикальных колебаний системы. Выпишем подробно уравнения (3.1)

^ h^ й =

= Ск fak ^к-1) + Q+1 fe+1 -^к) Н~ ^к^к ^к ^к-1) X

X [(^й — ^й-1)2 + (к + ^к + Ук — Ук-1)2]-1''2 —

'— Ск+ik+i (%i — ^й) [te+i — ^й)2 +

+ (^+1 + ^й+1 + Ук+1 — Ук)й)^г —

— Rk (к, • • •, ^N, У1, • • -, М, (4.1)

ткУк = —скк + ск+1к+1 — ск (Ук — Ук-1) +

+ сй+1 (Ук+1 — Ук) + кк (к + к + Ук — Ук-1) X

X [fe — л?й—1)2 + (к + ^к + У к — Уй-1)2]-*'2 —

— ск+1к+1 (к+1 + ^fc+l + Ук+1 — Ук) х

X 1(^й+1 '— ХкУ + (к+1 + ^к+1 + Ук+1 — ykyV'1 — — RN+k (^i, • - -, &N, Уи ■ • -, Ум) (к = 1, - - -, N).

Допустим, что проекции на ось х сил сопротивления удовлетворяют условиям ■

Rk(0, . . ., О, yv . . ., yN) = 0 (к = 1, . . ., N).

Система (4.1) допускает решение (невозмущенное движение (1.3))

Як = 0, ук = ук0 (t) (к = 1, . . ., N);(4.2)

при этом Ук0 (0^ удовлетворяют системе уравнений

Ук» + —RN+k (0, • ■ •> 0, Унн • • -, Ум») — РкУк-1,о +

+ (Рк + Нй+1А+1) Ук» —■ ^к+1Рк+1Ук+1,о = 0 (4.3)

(к = 1, . . ., N).

Здесь

Рк=^ (& = 1, • • .,W; рл+1 = 0),тк

=(к = 2, . .N; pN+1 = 0).

тк-1

Проверим выполнение условий (1.7)—(1.10) (п = 2N, m=N).

Условия (1.7) и (1.8) выполнены, так как

_ f ?nv6vi(v = 1,.. ., N; i = 1, . .., 2N),

”[ m^N 6vi(v = N + 1, . .., 2N; i = 1,. .., 2N).

Условие (1.9) требует, чтобыУсловие (1.9) требует, чтобыДО, (4.4)ДО, (4.4)

Условие (1.9) требует, чтобы

Условие (1.9) требует, чтобы

ДО, (4.4)

ДО, (4.4)

где индекс нуль означает, что после дифференцирования подставлены значения аргументов из (4.2). Условия (4.4) будут выполнены, в частности, если Rk не зависят от yb a Rn+h — от ж( (А:, I = 1, . . ., N"). Будем предполагать условия (4.4) выполненными.

Условие (1.10) требует, чтобы

=0 (j,k = V..,N),

что выполнено, так как индекс нуль означает, в частности, что после дифференцирования положено ^ = . . . == 0. Следо

вательно, имеют место уравнения в вариациях (1.11) и (1.12) для возмущенного движения (хк = 0 + ^, ук = ук0 (£) + ц^: к = 1, . . ., N)

dt1 т L X\9^xJ0 J -

г=1

'dt? + mk9y. dt +.

(А: = 1,...,У)

или, в развернутой записи,

\ а57/о "dt ~ Рк I1 ~ l1 + Vk+ тк -} х

X (£k-i — ^) + Цк+хА+х -^4 — [1 + ^k+1 + Т-^k+1>0 ^ — Ую(0)] j- X

X(^-^+i) = 0,(4.5)

N

^2т1к1 f9RN+k \ dx\^

~№ + ^" Z , \“^Г“ )0"dt—+ ^k + Pk+1A+1) Пй —

'г=1 г

" Ик+^к+хЛй+х = 0(4-6)

(к = 1,..., N).

Заметим, что эти уравнения выписаны, несмотря на то, что вопрос об устойчивости в большом нижнего положения равновесия при выполнении условия (1.1) решен теоремой п. 1.3. Имеются в виду, во-первых, случаи невыполнения условия (1.1) (например, при частичной диссипации), во-вторых, использование уравнений (4.5) — (4.6) для суждения об устойчивости невозму-

щенного движения (4.2) и, в-третьих, отсутствие сил сопротивления. К этому консервативному случаю мы и переходим.

Консервативный случай. При отсутствии сил сопротивления свободная целиком упругая колебательная цепь будет консервативной системой. Отклонения ук0 (t) ее масс от нижнего положения равновесия при вертикальных колебаниях (нёвозмущен- ное движение) удовлетворяют системе (4.3) при Rn-vk = 0 (к = = 1, . . ., N) (описывающей малые колебания штурмовых систем [36]). Уравнение частот о этой системы оказывается вековым уравнением некоторой якобиевой матрицы

<02 — (Р1-{-Р2р2)Р2Р20. . . О

Р2Р20)2—( р2 + Ш лз) Рзр3 • • • о _ о

О00. . .<о2 — pN

Уравнения (4.5) из системы уравнений первого приближения возмущенного движения при R; = 0 (/ = 1, . . ., 27V) будут иметь либо периодические коэффициенты, если частоты йц . . ., on соизмеримы, либо почти-периодические —.в противном случае. Исследование устойчивости невозмущенного движения в обоих случаях является довольно сложной задачей.-

Исследование облегчается тем обстоятельством, что в консервативном случае все решения системы (4.6) ограничены. Это следует из положительности собственных значений выписанной выше якобиевой матрицы. Ограниченность решений может быть установлена и непосредственно, для чего запишем систему (4.6) при Rnm = Rn^ = . . . = R^n = 0 в виде

= Р/сЛ/с-1 — (Рк + И/c+lP/c+l) Л/с + И/с+1Л+1Л/с+1

(к = 1,...,У).

Рассмотрим определенно-положительную квадратичную форму переменных ц^ . . ., т]^) Ль • • •, Л-v с постоянными коэффициентами■

N

и = -у^^1- • -ИИрИЛ/с — Ли)2 + Лк] (^1 = 1, Ло = О). К=1

Производная ее, взятая в силу выписанных уравнений, равна нулю, что и устанавливает ограниченность решений.

Устойчивость вертикальных колебаний пружинного маятника. Однозвенная свободная, целиком упругая колебательная цепь представляет собой математический маятник массы т на

пружине длиной I в ненапряженном состоянии и жесткостью с (рис. 3). Система уравнений (4.3) сводится к одному

ту0 + сУо = 0.

и мы будем иметь для невозмущенного движения

х = 0, у = уо(0 = Fcos®/х = 0, у = уо(0 = Fcos®/

х = 0, у = уо(0 = Fcos®/

х = 0, у = уо(0 = Fcos®/

Уравнения в вариациях (4.5) и (4.6) запишутся в виде

ё + юЧ1-ё + юЧ1-111 + у + у Y cos cot1 + у + у Y cos cot5 = 0, Л + ®2Л = 0.(6.1)5 = 0, Л + ®2Л = 0.(6.1)

ё + юЧ1-

ё + юЧ1-

1

1

1 + у + у Y cos cot

1 + у + у Y cos cot

5 = 0, Л + ®2Л = 0.(6.1)

5 = 0, Л + ®2Л = 0.(6.1)

Заметим, что выполнение условия (1.8) не является внутренним свойством самой механической системы и выбранного невозму

щенного движения, а определяется также и выбором лагранжевых координат. Если в рассматриваемом примере перейти к полярным координатам, то будем иметь

Т = l.w(pV+ р2),

V = у с (р — Z)2 — mgp cos ф,

и уравнения Лагранжа при отсутствии сил сопротивления запишутся в виде

Р2Ф + 2рр<р = — gp sin ср,

р — рф2 = — ^-(Р — Z) + gCOSф.

Принятое за невозмущенное движение вертикальное колебание массы m выразится теперь в прежних обозначениях как

ф = ф0 = 0, р = р0 (/) = I ~Ь X + Y cos tot.

Формула (1.5) даст для коэффициента bti (/) значение

Ьп (0 = 2тРоРо Ф °,

что и означает нарушение условия (1.8). Уравнения в вариациях для возмущенного движения (ф = 0 + Ф, р = Ро (0 + Р) примут в полярных координатах вид

с/2Ф _ у И sinT ДФ уф = 0

с/т2 1 + у + р cos т с/т1 + Y + Р cos т’

^+Р = 0(т=

Как видим, появление члена с первой производной в уравнениях в вариациях возможно и в консервативной системе.

Возвратимся к декартовым координатам и, вводя безразмерное время т = со#, запишем дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде

, Y + pcosr EjrOiA <#2П , „ , ГО, _ А

Здесь, как и выше, у и р означают безразмерные параметры, выражающие отношение статического удлинения и амплитуды вертикальных колебаний к недеформированной длине пружины

а [2] — члены второго порядка малости.

Устойчивость либо неустойчивость тривиального решения уравнений в вариациях (6.1) определяется таковой для первого из уравнений (6.1). Однако в рассматриваемом консервативном случае устойчивость тривиального решения системы (6.1) не определяет вообще устойчивости невозмущенного движения по отношению к переменным х, у, х, ij, так как имеет место один из критических случаев. Неустойчивость же тривиального решения системы (6.1) влечет за собой (за исключением, быть может, граничных случаев) неустойчивость невозмущенного движения ([145а], п. 70) по отношению к переменным’ х, у, х, у.

Это обусловлено тем, что первое из уравнений в вариациях имеет своим коэффициентом периодическую функцию и при неустойчивости его тривиального решения наинизшее характеристичное число в смысле Ляпунова отрицательно.

Переходя к исследованию неустойчивости тривиального решения уравнения

d^, Т + рсозт ,0(62)

1 + Y + pcosrfe’v ’

начнем, однако, с критерия Жуковского [251], гарантирующего устойчивость при выполнении неравенств

l^p^X-^ + l)®(А: = 0, Г, 2, . ..).

При условии р < 1 + у, выражающем естественное ограничение, что амплитуда продольных колебаний меньше статически напряженной длины пружины, имеем

inf р (т) =sup р (т) = . "У .

v /1 + Y — р-v '1 + Y + Р

Критерий Жуковского требует выполнения неравенств

р + у, р ^ у — у (при к = 0),

либо неравенства

И < — -3+ V (при к = 1).

При к > 1 критерий отказывает. Результирующая область устойчивости тривиального решения уравнения (6.2), доставляемая применением критерия Жуковского, заштрихована на рис. 4. Проделанное построение окажется полезным для сопоставления с областью неустойчивости.

Для отыскания области неустойчивости по методу малого параметра примем р за малый параметр и запишем уравнение (6.2) в виде

§ +[Ро(т) + №(т,?) +

+ Р2Р2(т,у) + ...] £ = 0;

при этом

Р» (т) = ^ .

Pi (Т, у) = 2р« (у) cos т(/>® (У) = 2 (1 + у)2

В скалярном случае области неустойчивости в плоскости параметров ру могут примыкать на оси р = 0 к тем точкам ут, которые являются корнями уравнения ([146], (V, 2.5))

2/Ро(Ут) = т или ут = ^^ (т = 1,2,...).(6.3)

При у > 0 широкая область неустойчивости (т. е. с отличным от нуля углом между касательными) примыкает лишь к точке yi = у , и других таких точек на полуоси у > 0 нет. Тангенс угла наклона касательной в нашем примере определится по формуле, получаемой из [146], (V, 2.24)

+(6.4)

Отсюда определяется в первом приближении область неустойчивости вертикальных колебаний маятника на пружине

7-Тр + ...<т<у + _

Лучи, ограничивающие эту область, обозначены на рис. 4 штриховой линией.

Из общей теории ([146], п. V,2.3)) следует, что так как

=/=0,^7 Iy=Yi '

то уравнения границ будут аналитическими функциями параметра ц, поэтому отброшенные члены по порядку не ниже ц2. Следующие коэффициенты разложений можно вычислить, воспользовавшись тем, что на границах этой области неустойчивости существует антипериодическое (поскольку тп нечетно) решение. Приведем лишь окончательный результат: во втором приближении область неустойчивости определяется из неравенств

^-2^+ 128^+3- + ^+128^+---<6-5>

Ограничивающие эту область кривые даны на рис. 4 штрих- пунктирной линией.

Из опытов известно [240], что возмущение вертикальных колебаний при наличии сил сопротивления имеет место для маятника

11 \

напружине с ь~-^ I (т. е. при у ж у 1. Области «консервативной неустойчивости» будут порождать в диссипативном случае области неустойчивости вертикальных колебаний. Несмотря на асимптотическое затухание колебаний, которое при не столь большой диссипации будет идти медленно, практически большие изменения колебаний за счет авторезонанса в цепи могут оказаться весьма существенными для оценки работы системы.-

Свободные, не целиком упругие колебательные цепи

Помимо общих положений теории колебательных цепей, значительное место уделяется устойчивости их вертикальных колебаний. Аппаратом исследования является математическая теория параметрического резонанса. Подчеркнем, что в наших задачах встречаются канонические (гамильтоновы) системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами специального вида, именно когда параметр у, соответствующий обратной величине частоты параметрического возбуждения, входит нелинейно. Для таких систем формулы для границ областей динамической неустойчивости даны В. А. Якубовичем и Б. Г. Питтелем ([303]; [146], п. V.2.3).

Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему из N материальных точек с массами mk и декартовыми прямоугольными координатами х^, ук, z^ (к = 1, . . ., А) относительно инерциальной системы координат. Из ЗА — п голономных независимых

явно от времени связей пусть Д" связей будут: Zj = 0, . . . . . ., z1V = О (это означает, что движение будет плоским) и 2N— п связей

А fo, У1xn, Ум) = 0 (а = 1, 2, . . ., 2N — п).

Обозначим через дг, . . ., дп лагранжевы координаты системы и представим обобщенную силу, соответствующую координате д„, в виде

Q4 (41?л) —R, (Qi<„) (v = 1, . . ., п),(1.1)

где QM и R, — непрерывные и дифференцируемые функции своих аргументов в области их определения.

Кинетическая энергия системы

7=1-

при этом.

ац-ам(У1, • • , 4.) - ^^(^^ + ^^(i,/ = l,..., п).

Уравнения движения в форме Лагранжа второго рода запишутся в виде.

2-1 2-1 к W^d?, 8q 2 dq^ dq, + 2 dq dq- dq^

i=lЦ j=l S-l

d^y. dy.I d2yk dy,4 d2y,_ dy,\

dq^qj dq„2 dq pqdq^ 2 dq^dqjdqJ J 3 xJ 4'

(V = 1,...,M). ■

Предполагая изучать по отношению к переменным

41, • • -, 4т, 41, • • •, 4т (г < п)

устойчивость невозмущенного движения

4ч = 4* (А, с„ = ^0 (?) (v = 1, . . ., п),(1.3)

обозначим значения координат и скоростей для возмущенного движения

4ч = 4ч» W + хч, см = д„а (^) + х, (v = 1, . . ., п).

Уравнения первого приближения возмущенного движения (урав- неиня в вариациях) представим в виде

/ । (ачг^О -д^Г + b^i (^)+ C4i (^) X, = 0(1.4)

Здесь

Ьл (0 = 2 \ тк \ дh .. .) (jo (О т (, /с=1 j=i 1 3

(f) = V rnk V+

х1 8q.8q.8q 1'

к=11=111

N d^k 8хк ! 8Чк 8^хк d»xk d2xk ,8^ dxk

^2 dqdq.dq.dq, 2 dqdq.dq.dq, dqdq,dq.dq, dq.dqBq dq

12 dq^dq^dq.12 dq^dq^dq.dx.I d2x. d2xkII(9Q,, \

1

2 dq^dq^dq.

1

2 dq^dq^dq.

(v — 1(v — 1,,n).,,n).oq.2 oq^oqt dqpq.J ^JU x 7 2 1 x 7 J\ oq^J

(v — 1

(v — 1

,,n).

,,n).

Индекс нуль при а.л и частных производных означает подстановку в их значения q10 (<), . . ., qn0 (0; 9ю (^ • • •, 9«о (О- В выражениях для Z?Vi (/), с,,, (Z) многоточием отмечены члены, получающиеся заменой ж на у.

В и. 1.1 введено определение: рассматриваемая механическая система называется «колебательной цепью» относительно невозмущенного движения (1.3), если возможно выбрать такие лагранжевы координаты, при которых коэффициенты (<z.,i)0, 1м (/) и c^j (Z) таковы, что для некоторого натурального т <^ п и t t0 выполнены условия (1,1.7) — (1,1.10).

Условия (1,1.7)—(1,1.10) означают, что уравнения в вариациях (1.4) разбиваются на две группы (1,1.11) и (1,1.12) из т и п —т уравнений.

Уравнения (1,1.11) и (1,1.12) разрешимы относительно старших производных в силу положительности кинетической энергии Т.

Кинетическая и потенциальная энергии. Рассмотрим свободную, целиком упругую колебательную цепь, состоящую из N масс ш1, . . ., mN, соединенных последовательно N невесомыми пру

жинами с жесткостями с1? . . ., cN и длинами в ненапряженном состоянии 1г, ..., In (см. рис. 2). Начало первой пружины закреплено в точке О, начала каждой из последующих прикреплены к невесомым шарнирам, оси которых обуславливают плоский характер движения. Пусть одна группа из h пружин заменена нерастяжимыми невесомыми стержнями; допустим, что это будут стержни, соединяющие массы mf, т^^, . . ., mf+h. Таким образом, кроме N тривиальных связей zY = 0, . . ., zn = 0, на систему наложено h связей

(xfvn —х^гУ + (у)+^ —y'f^-i)1 = ^+1) (ц = 1, . . ., НУ

где х^, у) —декартовы координаты массы mv (v = 1, . . ., N-, ж0 = у'о = 0). Однако абсциссы (или ординаты) масс т}^, . . . . . ., mf+h не являются теперь лагранжевыми (определяющими)

координатами. За 2N — h координат примем

^1, • • •, ^л Ф/+1, • • •> ^bhA ^Z+h+l) • • ч ^Ni

Ух = Ух — Lv . . ., У/ = Vi — (^1 + • • • + Lt\

УМ*1 = У/+к+1 — (£1 + • ■ • + Lf^ . . ., yN =

= Vn — (^i + . . . + Ln). Здесь Lk есть длина А-й пружины в напряженном состоянии (к = =1,...,/,/+ h + 1, . . ., N\ либо длинажесткогостержня

(к=/ + 1,..., / + К), т. е. Lk = Zk + Хк1где Хк —статиче

ское удлинение к-й. пружины

■^к = (^к + mk+i + . . . + mN)gjck

(к= 1, ../, / + к + 1, . . ., N; км = .. . = )^h= 0).

Таким образом, координаты Уц . . ., У/, У^нуъ • • ч Ун равны отклонениям по вертикали соответствующих масс от нижнего положения равновесия. Координаты ф/+1, . . ., <p^h суть полярные^углы, отсчитываемые от оси Оу до стержней Z/+i, . . ., Z)+h по направлению часовой стрелки.

Кинетическая энергия Т системы равна т) Nh

Т = -у- mk(Sk + Ук) + -у- у1, т/-н |(*/ + У^) + К=1'4=1■

+ У, ltA»4Wi VWS'fA» + 2 (^ cos <р(+а — у, sin Ф,-нс)] +'

+ 2 У Zf+^W4[A-a4jA-S C0S (фЖ— Фж)}’(2^)

а, Р=1

а<Р

Потенциальную энергию V линейных сил упругости пружин и сил тяжести запишем в виде

f.N

V = — g 3 (mt-vi + . .. + mm А-т^Уа — g 3 m^ — hN

g У, cos ф/+п + — У, ck [(жк — ж^О2 +.

П=1/£=1

+ (Ik + ^k + Ук — Ук-1)2 —

N

3 cklkV(.xk — Жк-1У + ((-к + кк + Ук — У/с-1)2 ,(2-2)

к=1.

рассматривая всюду арифметические значения корня и принимая Sf-vh = h+h sin <p/+h, y^h = l)+h (cos <pHh — 1). Штрих у 2 озна-

!) В формуле (2.1) статьи [322 в] допущена ошибка, здесь исправленная.

чает, что при суммировании должны быть пропущены слагаемые, отвечающие к = f + 1, ...,/ + h. Аналогично п. 1.2 нетрудно показать, что имеется 2N положений равновесия свободной,

не целиком упругой колебательной цепи. Имеет место и теорема п. 1.3: нижнее положение равновесия (отвечающее нулевым значениям лагранжевых координат) асимптотически устойчиво в большом при наличии сил сопротивления, работа которых отрицательна при любом возможном перемещении.

Обозначим теперь лагранжевы координаты, записанные в той последовательности, в которой они были введены, через qv . . . д^-п- Для Q4 в выражениях (1.1) будем иметь "

^ = 4?7 (V=1,...,R),

а для выделенных сил сопротивления допустим, что Rk = Rk ((b . • •, 4n) (к = 1, . . ., А), Rn^ = Rnv (gN+i, • • ., q»N-h) (/ = 1, • • •, N —/i), Я„(0, . . ., 0) =0 (v = 1, . . ., 2N — h).

Уравнения (1.2) допускают решение (вертикальные колебания свободной, не целиком упругой колебательной цепи)

qk = qko (0 = 0 (к = 1, . . ., А),

qN*j = qN+j.oW и = 1, . . ., A — h),

где qN+j,o (0 определяется из последних уравнений (1.2). Это решение примем за невозмущенное движение (1.3). Нетрудно показать, что условия (1,1.7) —(1,1.10) выполнены и, следовательно, уравнения в вариациях разбиваются на две группы (1,1.11) и (1,1.12) из А и А — h уравнений. Неустойчивость невозмущенного движения будет определяться неустойчивостью тривиального решения первой группы (1,1.11), ибо характеристичные числа второй группы (1,1.12) неотрицательны (п. 1.6).

Пример. Рассмотрим двухзвенную колебательную цепь, в которой первое звено абсолютно жесткое, а второе — упругое с жесткостью с. Обозначения ясны из рис. 5. Статическое удлинение

пружины Z2 = m^glc. Формулы (2.1) и (2.2) запишутся в виде

Т = —^- zn2 (^2 4" Уг) + *2” пц^фи

V = — m^cos фх — т^у4 + 4~ с К^г — к sin фх)2 +

+ (^2 + ^2 4" Уг + к — Zxcos Ф1)2] — ск [(ж2 — к sin фх)2 +

1

4" (^2 4" ^2 4" Уг 4" к — к cos Ф1)2] 2 .

Уравнения Лагранжа (1.2) при естественном предположении, что к 4- ^2 4- у2 4> 0’ допускают решение (вертикальные колебания массы т2 — невозмущенное движение)

фх = О, ж2 = 0, у2 = У cos Qi = 1/ —1 .

Группа уравнений (1,1.11) в вариациях (фх = 0 + Ф, хг = = 0 4 х2) может быть записана в безразмерном виде

-^- 4- [(! 4- а) Ру + а₽р cos т +

+ а U гФ - /а /1 - —г16 = 0, (3.1)

\1 + у + р cos т / J'\1 + у + р cos т /''

-д^ Ка ^ — 1 + у + р, cos т ) ф + (1 — 1 + у + р СОЗ т ) = О (t = Q(, g = /a^, а=-^, Р= + - Т = -^’ ^=^)- \^1«711^1^2Ч /

Ограничимся случаем тпг = тпу к = к (а = Р = 1) и запишем систему (3.1) в матричной форме

"5" 4- [Ро (?) 4- Нр1 (т. У) 4- Н2р2 (Т, у) + • • у = о, где

(Г). Р.М^||- + 4,+'') 1||-

P,(r,T) = 2Pl»(T)C0ST, Р«>(т) = ^Ц-?||1 + <21+т)’ ;ц. Матрица

dPe 1111+2(1+у)2 -111

rfy (1+у)2-11||

положительно-определенная; тогда применимы результаты В. А. Якубовича и Б. Г. Питтеля ([303]; [146], п. V.2.3). Вычислим

<о1 (у) и <о2 (у) — собственные частоты невозмущенной системы

(3.2)(3.2)0)1 " |Z 7 ? + ТГГ™ V 1 + (I + у)2 ] ’®2 = /^ + *+? + V 1 + (1 + у)2 ] '

(3.2)

(3.2)

Широкие области неустойчивости (т. е. с отличным от нуля углом между касательными) могут примыкать лишь к тем точкам полуоси ц = 0 (у > 0), для которых

«3 (То) + (То) = 1 (A H=V 2).(3.3)

Поскольку в нашем примере

2^ (у), 2<о2 (у) И ©! (у) + 0)2 (у)

— возрастающие функции у, то широкие области неустойчивости могут быть при единственном значении у в каждом из следующих трех случаев: 1) 2<ах (у) = 1, 2) 2o>2 (у) = 1 — основной резонанс, 3) «1 (у) + <а2 (у) = 1 — комбинационный резонанс. Так как (Р1)ср = 0, то для вычисления /^ (угловых коэффициентов касательных к границам областей неустойчивости) воспользуемся формулой [146] (V,2.24)

2 (Р^а,, а.)

Здесь у0 — корень соответствующего уравнения

■«3 (У) + «к (У) = 1 (Л ^ = 1. 2),

a a,, ah — -соответствующие собственные векторы матрицы Ро, т. е.

Ро (То) а; = <о; (То) а;, Ро (То) ah = 4 (у0) ам причем

I ®з (То) + “д (То)1 (а;, ah) = 6jh (j, К = 1, 2).

Приведем результаты вычислений. Области первого (7) и второго (2) основного резонанса на рис. 6 определяются с точностью до О (ц2) из неравенств'

0,076 - 0,364ц + ... < у < 0,076 + 0,364ц + ...,

0,549—0,385ц + . . . < у < 0,549 + 0,385ц + . . .,

а область комбинационного резонанса (3) находится из неравенств

0,157 - 0,088ц + . . . < у < 0,157 + 0,088ц + . . ..

Маятник на свободной упругой подвеске. Пусть математический маятник массы тг с длиной стержня Z2 подвешен к шарниру массы т^ (рис. 7). Пружина с длиной в ненапряженном состоянии Zj и жесткостью с одним своим концом прикреплена к шарниру, а другим — к неподвижной точке О, статическое удлинение

пружины X = (т^ + т^ glc. Формулы (2.1) и (2.2) дают

Т = — (mr + m2)(i2 + у2) + -^-mgZgtp2 + ^гф U cos ф — у sin ф),

V = — (mi + m2) gy — т^Ц cos ф +

+ 4-с [^ + (Zi + X + у)2] - ch Ух» + (Zx + X + у)2 .

Уравнения (1.2) запишутся в виде

(т^ + т^ х + m2Z2rp cos ф — 7zг2Z2ф2 sin ф =

= -сх 4- с^х [^ + (к + X + у)2ЬЧ (4.1)

(пц 4- тЛ у — т-ЦЬ sin ф — m,L<t? cos ф =

= -с (к + у) + ск (к + X + у) [^ + (к + X + у)2]-‘1%Z2cp + х cos ф — у sin ф = — g sin ф.

Введем безразмерные координаты | = x!lv т) = у!к и безразмерное время т = Vcl(mi + т^) V» тогда] система уравнений

движения преобразуется к виду

£" + аРф'созф = аРф^зт Ф — £ + £ [£2 + (1 + у + Ti)2l f% т)" — аРф" sin ф =

= аРф'2 cos ф — (1 — т]) + (1 + у + Ti)[g2 + (1 + у + т))2] */• V cos ф — т]" sin ф + Рф" = —у sin ф,

где введены параметры

и штрих означает производную по т. Разрешим последнюю систему относительно старших производных:

Г =1-а^ф+ ^^s.nф +

+ -7ТТ^(1 +Т + Т1)3?8П1фсО8ф,

n" = У — ■ 1 ^^^ Ж (1 + у + Т]) + аРф" cos ф +(4.2)

.+ t2q ^^ sin ф cos ф,

ф" = pTfLo) ^os ф^^ К sin ф,

где'г

Ж = 1 - [g2 + (1 + у + Т])2]”2"'

Уравнения движения (4.2) допускают решение

£ = Ф = О, Л = р cos т (р > 0).(4.3)

(4.4)(4.4)Это и есть принятое за невозмущенное движение вертикальные колебания масс mt и тг. Первая группа уравнений в вариациях (1,1.11) (£ = 0 + и, ф = 0 + ф, т] = р cos т + ш) может быть записана в виде

(4.4)

(4.4)

у" + Q (т, у. р; а, Р) у = о,

ф\ п _ у + р cos т и) ’1 — аф\ п _ у + р cos т и) ’1 — а11Р Р (1 + У + Р cos т)_1а 1 + у + Iх cos т11Р Р (1 + У + Р cos т)_1а 1 + у + Iх cos т

ф\ п _ у + р cos т и) ’1 — а

ф\ п _ у + р cos т и) ’1 — а

11

Р Р (1 + У + Р cos т)

_1

а 1 + у + Iх cos т

11

Р Р (1 + У + Р cos т)

_1

а 1 + у + Iх cos т

а вторая группа (1,1.12) состоит из уравнения

ш" + ш = 0.

Итак, неустойчивость невозмущенного движения (4.2) определяется неусто йчивостью тривиального решения системы (4.4),

которую в предположении р < 1 + у представим как

у" + [Qo (y; а- Р) + HQ1 (т, т; «, Р) + о (р2)] у = о, (4.5) где

. 1. 1Qi = 2Qi1)cos т, 9^=-^Qi = 2Qi1)cos т, 9^=-^1

. 1

. 1

Qi = 2Qi1)cos т, 9^=-^

Qi = 2Qi1)cos т, 9^=-^

Р (1 +т)

1

1 + у

11

Р Р (1 + у)2

1

а (1 + ?)2

Собственные значения <о2 иСобственные значения <о2 и<о2 матрицы Qo положительны и равны

Собственные значения <о2 и

Собственные значения <о2 и

2714-1ml/ 1 4-1।2(2а~ i) 1

ы1,2-2(1-а)[ р+1 + у+ V Р2 +(1-у)2+Р(1 + Т) Г

Однако к системе (4.5) нельзя непосредственно применять формулы [146], и. V,2.3. Дело в том, что матрица Q в (4.4) и, следовательно, матрицы 9 о и Q^ в (4.5) не являются симметрическими; системы (4.4) и (4.5) «запутаны» линейной подстановкой. Систему (4.5) нужно предварительно «распутать» линейным преобразованием

у = [So (у; «, р) + и8! (y; «> Р) + ° (н2)1v

(det So =# О, det Sx =/= 0).

В преобразованной системе

V" + [Ро (y; а. Р) + Н ■ 2Р?} (y; а, Р) cos т + О (р2)] v = 0 (4.6) матрицы Ро и Р™ будут вещественными симметрическими, например,

Ро = S^QA =Ро = S^QA =оо

Ро = S^QA =

Ро = S^QA =

о

о

и к преобразованной системе применимы формулы [146], и. V,2.3» для определения границ областей динамической неустойчивости в первом приближении по р. В частности, для случая, рассмотренного в и. 4.3 (п^ = m2, lx = Z2, т. е. а = V2, Р = 1), будем иметь те же выражения (3.2) для оц (у) и <о2 (у), а значит, и те же критические значения параметра у, к которым примыкают две области основного и одна область комбинационного резонанса. На вычислении угловых коэффициентов %т, касательных к названным областям, мы здесь не останавливаемся.

Рис. 8.Рис. 8.

Рис. 8.

Рис. 8.

Маятник на упругой - подвеске в направляющих. Пусть в обозначениях и. 2.4 движение массы т^ стеснено вертикальными направляющими (рис. 8). Получившаяся колебательная цепь

является не свободной (потеряна степень свободы, отвечающая х) и не целиком упругой. Для кинетической и потенциальной энергии будем иметь теперь

Т = 4"(т! + т2) У2 +

+ -4- тп2/|ф2 — m^ytp sin ф,i -(5-1)

V = — cz/2 + m2gl2 (1 — cos ф)

и уравнения Лагранжа второго рода суть

(™1 + тп2) у — m2Z2cp sin ф —

■— п^г^ф3 cos Ф = —СУ>

—у sin Ф + /2ф = —g sin ф.

Разрешив последние уравнения относительно старших производных, получим"

ц" + ц = (1 — a sin2 ф) 1 (аф'2 cos ф — ау sin2 ф —ац sin2 ф)

ф" -[- уф = (1 — а sin2 ф) Д—ц sin ф + аф'2 sin ф cos ф —(5.2)

— ау зш3ф) + у (ф — sin ф), где введены безразмерные переменные и параметры

Т] = -7~ , Г = (0^(0=1/ ; ,

\+ m2 //С Э\

Исследуем устойчивость невозмущенного движения — вертикальных колебаний

Ф == 0, ц = р, cos т (ц > 0).(5.4)

Считая для возмущенного движения ф = 0 + ф, ц = р cos т + щ получим, что первая группа уравнений в вариациях (1,1.11) состоит из одного уравнения

ф" + (? + Ц cos т) ф = О,(5.5)

а вторая группа (1,1.12) — также из одного: и" + и = 0. Неустойчивость невозмущенного движения (5.4) определяется неустойчивостью тривиального решения уравнения (5.5) — уравнения Матье. Последнему посвящена многочисленная литература; для

наших целей достаточно применять формулы (3.3) и (3.4), в случае когда матрицы Ро иР™ суть скаляры у и V2 соответственно. Уравнение (3.3) определяет критические значения параметра

PwdyPwdy2®(уп) = 2Ут; = п1 ?„ = 4-и2 (и = 1,2,...), а формула (3.4) даст для угловых коэффициентов касательных к широкой области неустойчивости в плоскости ру

Pw

dy

Pw

dy

Х* = 4Х* = 4=+4-<5-6)

Х* = 4

Х* = 4

Т=Т1.

Широкая область неустойчивости в плоскости ру (т. е. с отличным от нуля углом между касательными) примыкает лишь к точке у = V4 и определяется в первом приближении неравенствами 4---1-р + ...<?<4- + 4-р + ... .(5.7)

Глава III

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРАК КОЛЕБАНИЯМ В СИСТЕМАХ ЛЯПУНОВА

В этой главе рассматриваются некоторые механические и физические задачи. Математическим аппаратом для определения периодических движений и описания процесса их установления в тех случаях, когда периодическому движению отвечает предельный цикл (в фазовых пространствах размерности 2А ^> 2), являются методы малого параметра. Вычислительные аспекты метода Пуанкаре [107а] развиты в § 1,2, что касается метода усреднения, то здесь читатель найдет лишь простейшие приложения по Вандер Полю [30]. Более сложные задачи (некоторые из них намечены в § 4) потребуют приложения, а может быть, и некоторой модификации вычислительных алгоритмов, развитых в фундаментальных исследованиях Н. Н. Боголюбова [17, 72], Ю. А. Митропольского [85г] и А. М. Самойленко [19].

Можно наметить общий подход к так называемой задаче о перекачке энергии (§§ 1—3). Первым ее этапом является установление исходного (чаще всего тривиального) периодического режима и определение областей его неустойчивости в пространстве параметров системы, на основе математической теории параметрического резонанса. Это проделывалось в пп. 11,1.6,11,2.3, 11,2.4, 11,2.5. Второй этап решения заключается в отыскании периодических режимов, возникающих при критических значениях параметров и отличных, разумеется, от исходного. Этот этап основывается на преобразованиях п. 1,1.2 и применении к преобразованной системе метода Пуанкаре [107а] определения периодических решений. Но к преобразованной системе можно применять и другие методы малого параметра, например, метод усреднения, позволяющий провести третий этап решения — исследование переходного процесса, часто называемого перекачкой энергии. Эти три этапа и иллюстрируются на примерах механических систем (§§ 1,3) и физической системы (§ 2) с двумя степенями свободы.

Процесс срыва вертикальных колебаниипружинного маятника

При определенных значениях параметров происходит срыв вертикальных колебаний массы на пружине в результате сколь угодно малых поперечных возмущений движения (см., например, [240, 367а]). Математическое описание этого процесса и составляет содержание § 1. "

Первый этап. Рассмотрим движение массы т на невесомой пружине длиной I в ненапряженном состоянии, подчиняющейся закону Гука, с жесткостью с (см. рис. 3). Пусть х и у' — Z + X + + у — декартовы координаты массы т, отсчитываемые от точки подвеса О, где X = mg/c — статическое удлинение пружины. Выберем постоянную потенциальной энергии V силы тяжести и упругой силы пружины таким образом, чтобы она обращалась в нуль для положения статического равновесия х = у = 0, и будем иметь

Т = ~т (х2 + у2"),

! z!(1.1)

V = - mgy + с \У х2 + (Z + К + yV - I? - 4гeV.

Обозначим через со = У dm круговую частоту вертикальных колебаний массы на пружине и введем безразмерные время т = = mt и координаты £ = хЦ, ц = уЦ. Тогда уравнения движения запишутся в виде

+ n = _i+v + n _ 1 L = М

^2Уу + (1 + у + п)2V z / ,л 2х

^L , у а = г11 1 £;

^2 Т 1 + 7 »[ ^2 + (1 + у + трг 1 + У J ’

где разложения правых частей в окрестности ^ = ц = 0 начинаются с членов второй степени. Система (1.2) не содержит малого параметра, вместе с тем в силу нарушения условия б) теоремы Ляпунова (п. 1,1.1), к ней неприменим метод Ляпунова отыскания периодических решений. Поскольку система консервативна и связи не зависят явно от времени, то имеет место интеграл энергии

-У У 2 (Т + У) с = ц = const.(1.3)

Это обстоятельство, а также применение подстановки Ляпунова (1,1,2.3)

Ti=psin^, -^~- = pcos^, ^ = pzi, -^|-= pz2 (1.4)

позволяет понизить порядок системы (1.2) на две единицы. Общие формулы для преобразования системы уравнений второго порядка указаны в и. 1,1.2. Применительно к системе (1.2) будем иметь по формулам (1,1,2.6)

е = т^Л^4 + <т г, = ^.;+сИ, (1.5)

vsin д , COS $2,\

Z2 -(1 + V)2 Z1 + 2 (1 + Vp Z1Z2 + 0 (P)'

Уравнения (1,1,2.9) запишутся в виде (ls zlt ^'=^^/й-&)

- H (1 + ТГ [(1 + -Дг t> + rfsinll +

+i1+w E‘+t'T (4- Атт tsi" • -

_^.E'COS^^ + O(^).(1.6)

Тривиальное решение уравнения (1.6) £ = 0 отвечает вертикальным колебаниям'

у = Y cos <о (^ — /0)(1.7)

массы т на пружине с периодом Тверт = 2л/<о.

В крайних положениях потенциальная энергия V массы, опре’1

деляемая второй из формул (1.1), равна -^cY2. Воспользовавшись интегралом энергии (1.3), получим для амплитуды вертикальных колебаний выражение

У = Zp.(1.8)

Устойчивость (1.7) исследована в и. 11,1.6 методами математической теории параметрического резонанса. Единственная область неустойчивости в плоскости цу определяется неравенством (11,1,6.5).

, 1.2. Второй этап. Возникает вопрос об определении периодических решений уравнения (1.6) (а в силу подстановки (1.4) и системы (1.2)), отличных от тривиального.

Для отыскания периодических решений уравнения (1.6) применим метод малого параметра для неавтономных систем с одной степенью свободы в форме, предложенной Пуанкаре [107а], т. I, гл. III. Будем искать это решение в виде ряда (и. I, 2.1).

С W = Со W + н^ W + ^ W + • •■•

3 В. М. Старшинский

и, подставляя этот ряд в уравнение (1.6), получим уравнения для- нахождения £0 и ^

> + ^5.-0,(2.1)

Т^’+ ч+т - (1 + tF К* +T+7C» + £iy'sln9 +

+ (* + т+v s+ty (4- п4л- ?. ™ ® - 4-1«cos») ЧЕ-

(2.2)

Уравнение (2.1) обладает семейством Т (у)-периодических решений

£0 = MQ cos у ^^ ^ + ^ sin У у^ - ^

(Т(7) = 2л]/1Е).(2.3)

Решение (2.3) можно рассматривать и как qT (у)-периодиче- ское, где q — любое натуральное число. Уравнение (1.6) зависит явно от независимой переменной $ и эту зависимость также можно рассматривать как р • 2л-периодическую с любым натуральным р. Поэтому решение (2.3) будет порождающим для 2рл-периодиче- ского решения уравнения (1.6) тогда и только тогда, когда

(2-4)(2-4)9Т (у) = 2рл или у =\

(2-4)

(2-4)

НН -1

где p/q — любая несократимая неправильная дробь.

Итак, уравнение (1.6) допускает периодические решения с наименьшим" периодом 2рл (р = 2, 3,...) только лишь для значений относительного удлинения у = V/, определяемых формулой (2.4). Любое положительное рациональное число либо выражается формулой (2.4), либо может быть приближенно представлено ею с любой степенью точности.

Уравнение (2.2) с учетом (2.3) и (2.4) запишется в виде

-^- += - l^y^ (м0 cos у 0 + Лг0 sin у У X

х {[1 + ^ (^ + N^ J'2 sin й + [1 + У (Л^ + Аф]-'Ь X

X —^- ° 4-+ - 2 cos У- ft + M0N0 sin-^» X

L\РР /

X sin $( M0N0 cos—— sin) cos$11

2\ и и ргр )

(2.5)

и представляет собой уравнение для определения первой поправки по ц 2рл-периодического решения уравнения (2.2) (р=2, 3,...).

Неоднородная часть уравнения (2.5) содержит тригонометрические функции У1 с круговыми частотами

(а), (б) L?rM , (в), Е±М. .

' ' р' 'р’ X / рр

Выясним, когда одна из этих частот совпадает с круговой частотой порождающего решения:

= —, р = 2, q = 1, у = -L;

P2Z17 = ^4=11

' ' рр

—£=-2-, р = 2, q = i У = -5-.рр г4'3

В случае (в) такое совпадение невозможно. В случаях (а) и (б) уравнение (2.5) допускает 2рл-периодические решения при указанных р не для всех значений Мо и Уо, а лишь для тех, при которых уничтожаются члены с sin (q^/p) и cos (q^/p) в уравнении (2.5). Уравнения для «порождающих амплитуд» при у = у (р = = 2, q = 1) суть

У о (4-2М* + У") = О, Мо (4 + Mg — 2N^ = О

и дадут ненулевые решения: Мо = ±2, Уо = +2. Из (2.3) получим тогда

?о = ±2/^08 (4^ + 4л) ’(2-6)

т. е. единственное значение порождающей амплитуды, равное 2|^2 при четырех значениях порождающей начальной фазы.

В случае у = у уравнения для порождающих амплитуд обращаются в тождества. Поэтому при всех остальных значениях у в (2.4), кроме у = -у , формула (2.3) доставит семейство порождающих решений уравнения (1.6) от двух параметров.

Остановимся в заключение на случае (а), при котором уравнение (1.6) допускает периодическое решение с наименьшим периодом пой1, равным 4л. Из формул (1,1,2.4), (1,1,2.7), (1.5) и (2.6) имеем

Р = у^Р + °(н2), ^ = 1 + -Ц^р(1 ± sinti) sinti + О (tr2), а,(2.7)

t = у 1 — - g 3 Ц (1 + s'n ^) sin й A O (u2)

Отсюда будем иметь для периода качаний массы на пружине 1 с относительным статическим удлинением у = -д-

Г = -^ t1 + Т И + О (р2)] = 2Твеут [1 + ^ р + О (р2)] ,

а для закона движения

х = + -A )^6 Zp cos (^~ coZ + -^ + О (р2),

_(2-8)

у = -|- КЗ Zp sin tot + О (р2).

Заметим, что период колебаний жесткого маятника длиной -2-Z ^у = -А^ и размахом, определяемым первой формулой (2.8), равен

Т„ = 2л У ^- [1 + О(р2)] = 2Гверт[1 + О(Р2)]-

Отметим также, что из второй формулы (2.8) следует, что при качаниях пружинного маятника на долю вертикальных колебаний 4

приходится — [1+О(р2)] энергии всего движения.

Третий этап. Переходим к исследованию процесса срыва вертикальных колебаний. Поскольку У = у есть единственное значение параметра у, при котором вертикальные колебания неустойчивы для сколь угодно малый значений их безразмерной амплитуды р = У/Z и поскольку У = у отвечает периодическое дви-

4

жение (2.8), то естественно положить в уравнении (1.6) У — у и исследовать его решение при достаточно малых начальных значениях £ (0) и £' (0). Итак, рассмотрим уравнение

d2? , 19г 3, 1 и2

d^2 + 416{ 2 ^ d» 008+ 4 ^ + \ d^ ) J

- [i + 4:2 + ^"Ysin 4 + °(и2)- (ЗЛ)

Подстановка Ван-дер Поля [30]

: = acos^« + <p), -^- = — А. аSin (^А.# у ф) (3.2)

приведет уравнение (3.1) к эквивалентной системе относительно медленно меняющихся переменных а и ф:

-^ = ^- ^ []А+4 »2 sin

^- а2 fl + -^- а2^ 2 sin (й 4- 2ф) cos й] sin (й + 2ф) + О (ц2),

^=i4FA1+^ra2sin$~

|-a2fl + -^“^ ^sin^ + 2ф)со8тЭ^ [1 4- cos (4 + 2ф)] + С^ц'2).

Усредняя по явно входящему независимому переменному й, получим укороченные уравнения Ван-дер Поля

W = "(Ь ^ ^4 + а"cos 2(Р + 0 (и2)-

(3.3)

тиг^ ш^ утт^81112^^)'

Разделив первое из уравнений (3.3) на второе и проинтегрировав, получим

1 ?„2 й

\ "77~i—ТГ^а = \ ctg 2фйф 4- О (и).

2 j а (4 + a2) j s т т 1\г/

СоФо

Выполняя интегрирование, найдем первый интеграл укороченных уравнений Ван-дер Поля:

a4 sin2 2ф = с2 (4 4- а2)3 4- О (н) с2a4 sin2 2ф = с2 (4 4- а2)3 4- О (н) с2sin2 2ф0sin2 2ф0

a4 sin2 2ф = с2 (4 4- а2)3 4- О (н) с2

a4 sin2 2ф = с2 (4 4- а2)3 4- О (н) с2

sin2 2ф0

sin2 2ф0

Однако подстановка этого интеграла в первое из уравнений (3.3) приводит к необозримым квадратурам. Впрочем, укороченные уравнения Ван-дер Поля, разумеется, дают лишь первое приближение решения уравнения (3.1) (дальнейшие приближения определяются по методу последовательных приближений Пикара с вытекающими из него оценками точности). Поэтому мы ограничимся приближенным интегрированием системы (3.3). Из второго уравнения (3.3) следует, что при | а | ^ 2)^2 имеем йф/й'й^О и будем иметь | Фо | I Ф I > 0- Поскольку при | а\ 2 4^2 в силу (3.2) имеем | С | ^ 2 У 2, где, напомним, 2у2 есть амплитуда порождающего решения (2.6), то на весь промежуток процесса срыва (перехода вертикальных колебаний в маятниковые качания) можно положить cos 2ф ж 1, если ф0 достаточно мало. Тогда

первое уравнение (3.3) даст нам для а0 = а (0) > 0

арарdaа У 4 + а2daа У 4 + а29 а= -FT-ЦП,64 г9 а= -FT-ЦП,64 г

ар

ар

da

а У 4 + а2

da

а У 4 + а2

9 а

= -FT-ЦП,64 г

9 а

= -FT-ЦП,64 г

и после интегрирования найдем

InInV 4 + g2 — 2аV 4 + g2 — 2а/4 + а*-2/4 + а*-29 а= 12 ^9 а= 12 ^

In

In

V 4 + g2 — 2

а

V 4 + g2 — 2

а

/4 + а*-2

/4 + а*-2

9 а

= 12 ^

9 а

= 12 ^

Отсюда получим приближенный закон изменения амплитуды

а =а =460 ехр460 ехр(».-^У4 + 4-2]). (3.4)(».-^У4 + 4-2]). (3.4)

а =

а =

460 ехр

460 ехр

(».-^У4 + 4-2]). (3.4)

(».-^У4 + 4-2]). (3.4)

Вычислим время перехода вертикальных колебаний (£ = 0) в маятниковые (2.6). Полагая в (3.4) а = 2]/2, будем иметь для соответствующего значения ft

(3.5)(3.5)А = f ^з-1 “о9И ^ /4~Н=-2

(3.5)

(3.5)

Заметим, что переходной процесс происходит на интервале времени, длина которого имеет порядок О (ц-1), что соответствует алгоритму асимптотического интегрирования в методе усреднения ([90], гл. III, § 4, п. 4).

В силу малости <р0 имеем aoxt (0) и последняя формула для малых а0 примет вид

(3.6)

Формулы (1.4) позволят выразить £ (0) через начальные значения исходных переменных, именно,

£(0) = ж(0)[у(0)2 + ю-2у(0)2^

Наконец, последняя из формул (2.7) определит искомое время переходного процесса от вертикальных колебаний к маятниковым (2.8) _

^-MO+ti^ + ^L (317)

Напомним, что ц можно определить из формулы (1.3)

либо, считая поперечное возмущение х (0) малым, из формулы (1.8). Двойной знак в формуле (3.7) связан с фазой маятниковых качаний в (2.6).

О связи радиальных и вертикальных колебаний частицв циклических ускорителях

В настоящем параграфе определяются чисторадиальные колебания и исследуется их устойчивость. Затем проводится преобразование уравнений колебаний, и по методу малого параметра Пуанкаре находятся вертикально-радиальные колебания. Существует единственное значение определяющего физического параметра, при котором имеется единственная приведенная амплитуда вертикально-радиальных колебаний, а чисторадиальные колебания при этом значении параметра неустойчивы для сколь угодно малой их амплитуды. Далее описывается переходный процесс и определяется время перехода чисторадиальных колебаний в вертикально-радиальные, а затем отмечается аналогия с пружинным маятником, в частности, в переходных процессах.

Первый этап. Уравнения бетатронных колебаний частиц в циклических ускорителях со слабой фокусировкой имеют вид 1) ([270], (4.6)):

В 4- со2(1 — п)В =^Ч8, ц + со2пт] = —/с^ц.(1.1)

Здесь £ = (г — г0)/г0, ц = z/r0; г и z — две из цилиндрических координат частицы, точка сверху обозначает дифференцирование по времени; константы со, п и к суть

еЯ(г0)г0 / ЭН \

(1-2)

к-- Г° (№Н

Л Я (г0) \ dr2 / о’

где m и е — масса и заряд частицы, с — скорость света, Hz = = Н (г) — вертикальная компонента вектора напряженности магнитного поля, значения частных производных вычислены при г = г0 — радиусе траектории, соответствующем заданной величине энергии частиц.

Введем безразмерное время т = со )/1 — п t и запишем систему (1.1) в виде.

5- + Е = -4-М*. ■9- + “1 = -№ч.(1-3)

х) В первом уравнении (4.6) в [270] перед правой частью должен стоять знак минус.

где положительные параметры аи Р суть

а =-Р =[ •(1.4)

1 — п ’r со3 (1 — га)' '

Интеграл (1,1,2.2) для системы (1.3) есть интеграл энергии частиц, соответствующий колебательной части движения

^ = £2 ++ w + 5з$= и2

(1.5)

^ = а^ + ^)2, S3 = p^y.

Прежде чем приступить к преобразованию системы (1.3), заметим, что она допускает решение (чисторадиальные колебания частиц).

ц = 0,£ = Ц cos (т —т0).(1.6)

Из интеграла (1.5) следует, что константа ц2 равна квадрату амплитуды чисторадиальных колебаний. Для суждения об устойчивости последних положим в (1.3)

5 = ц cos (т — то) + X, ц = 0 + у,

и получим уравнения в вариациях в виде

ж +[а+р^cos (т—т°>1у=°-

Отсюда следует, что неустойчивость чисторадиальных колебаний (1.6) определяется неустойчивостью тривиального решения второго из последних уравнений — уравнения Матье. Физически определяющим параметром является и; см. (1.2). Области неустойчивости на плоскости ри примыкают к критическим точкам на оси п, определяемым равенствами (см. [146], § VII, 1)

2/а^) = /(/ = 1,2, ...),

откуда

и = и, =(Z = 1, 2, . . .).

Широкая область неустойчивости (т. е. с отличным от нуля углом между касательными) примыкает лишь к точке п1 = 1/5, тангенс угла наклона касательных определяется формулой (11,2,5.6)

2Р_ к_ 2 к

%+ = +-Т"—

<1П n —Til

Таким образом, в первом приближении единственная широкая область неустойчивости (1.6) в плоскости ци определяется

неравенствами

—=з- Р Ц- . .Tl <Z ~Е Е9" И Н- • • •• 7)

55 со2 г ~5 з <о2 ‘х '

с критическим.значением п — пг = 1/5.

2. Второй этап. Перейдем теперь к преобразованию системы

.3). По формулам (11,1,2.6) найдем

R (р, $, zlt z2) =у Pzi cos Ф, 0 (p, 6-, zb z2) = -|- Pzj sin Ф,

■Zi(p, i% Zj,z2) = -^- PziCOS^,(2.1)

Z2 (p, O', Zi, z2) = — pz! sin -& + -y- pz^z2 cos-01.

Уравнение (1,1,2.9) запишется в виде (zx = £, £' = йуй^)

^ + «C =-ppufrT^TTrsin» +

+ (1 +aC2 + Г Г'2 (Ц^ C sin ^ - A ^'cos ^] + ° (И2)- (2-2)

Уравнение (2.2) при a = y/(l + у) и p = (1 + у)-2 переходит в уравнение (1,1.6), и определяет аналогию с § 1. Используя эту аналогию, получим, что уравнение (2.2) допускает периодические решения с наименьшим периодом 2рл (р = 1, 2, ...) только лишь для значений a = ^2/р2, т. е., в силу (1.4), для

где q и р —любые взаимно простые числа. Множество значений п, определяемое формулой (2.3), всюду плотно на интервале (0, 1) изменения п, иначе говоря, каждое значение п ее (0, 1) либо определяется формулой (2.3), либо может быть представлено ею с любой степенью точности. При всех значениях п в (2.3), кроме п = 1/5 (р = 1, р = 2), формула (1,2.3) доставит семейство порождающих решений уравнения (2.2) от двух параметров.

Остановимся в заключение на значении п = 1/5 — единственном значении м, при котором порождающее решение уравнения (2.2) имеет вид (1,2.6) и для которого чисторадиальные колебания (1.6) неустойчивы при сколь угодно малой их амплитуде р (см. (1.7)). Аналогично (1,2.7) получим

■^- = 1 + -^-]ЛЗрр (i + sin -ft) sin -ft + O(p2).

Отсюда будем иметь для периода вертикально-радиальных колебании при п = -у

4

Т = 1^ ^1 + 4" VЗРн (1 + sin О) sin $ + О (|i2)j 1 № =

(О 1/ 1 —0*

2 /5л(О2 /5л(О[1 +А/зД^ + О^2)], (2.4)[1 +А/зД^ + О^2)], (2.4)

2 /5л(О

2 /5л(О

[1 +А/зД^ + О^2)], (2.4)

[1 +А/зД^ + О^2)], (2.4)

а для закона движения аналогично (1,2.3) будем иметь

В = 4" /$ Н sin (4" /^ + 0 (И, р = р£= ±4^cos(^m<+-^) + 6>(/=).(2.5)

Величина ц определяется по начальному значению приведенной энергии (1.5) колебаний.

Третий этап. Перейдем к описанию процесса перекачки энергии при п = 1/5, т. е. переходного процесса от неустойчивых чисторадиальных колебаний (1.6) к вертикально-радиальным колебаниям (2.5). Укороченные уравнения Ван-дер Поля будут иметь вид (1,3.3) с заменой множителей 9/64 и 9/128 соответственно 11-

на-уР и -у р. Аналогично п. 1.3 определится закон изменения амплитуды Ван-дер Поля

4b0 exp I — Ррд ) й = Д"1 — by exp (Рцй)4b0 exp I — Ррд ) й = Д"1 — by exp (Рцй)'o = -4^4 + ao-'o = -4^4 + ao-(2-6)(2-6)

4b0 exp I — Ррд ) й = Д"

1 — by exp (Рцй)

4b0 exp I — Ррд ) й = Д"

1 — by exp (Рцй)

'o = -4^4 + ao-

'o = -4^4 + ao-

(2-6)

(2-6)

Время t переходного процесса от чисторадиальных колебаний (1.6) к вертикально-радиальным (2.5) при п = 1/5 определится из формул.

t = 44 [ ^ + 4" ^ М 6 + О (ц) ] ,(2.7)

где

₽=44,s-^-m2^^-.)

г 4 <о2 ’ри5(0)’

^О)^^^)^2^)^- Д-ю-Т(0)р,

а величина ц определяется по начальному значению приведенной энергии (1.5) колебаний.

Процесс срыва вертикальных колебаний маятникана упругой подвеске в направляющих

Первый этап решения приведен в п. 11,2.5. Исходным периодическим режимом являются вертикальные колебания (11,2,5.4).

Определение нетривиальных периодических режимов (второй этап). Используя формулы (11,2,5.1), (11,2,5.3), приведем интеграл энергии к виду

(^У+Ч2 + «^У + 2«у(1 ^^^= рЛ (1.1)

Разложив правые части системы уравнений (11,2,5.2), а также левую часть интеграла энергии по степеням переменных, получим

S + ri-a(Sy~aw^^ S+vv =+ [3],

(-^У + Ч2 + “УФ2 + У + (31 = И2-

Сравнивая это с (1,1,2.1) и (1,1,2.2), по формулам (1,1,2.6) находим

R = a (—yzi + 4) cos # + О (р), 0 = a (yz2 — z2) sin # + О (р), Zi = a (yz® — z^) cos # + О (p),

Z2 = — z1sin # + a (?ZiZ2 — Z2) cos# + О (p).

Система уравнений (1,1,2.9) в рассматриваемом примере сводится к одному уравнению (zj = £,£' = cZ£/cZ#):

^ + У? = И {- ^ sin » fl + a№ + H +

+ a [1 + a № + Г)П [2? sin »(y2^ + £'2 - ЗуГ) +-

+ ^со8#(5у^-П]) + О(Р2)- (1.2)

Проводя вычисления аналогично пн. 1.2, 2.2, с помощью метода Пуанкаре [107а] получим порождающее периодическое решение при критическом значении параметра у = 1/4

^o = ±2)/-^cos (4-» + 4"л) •^'^

Отсюда и из формул (1,1,2.7), (1,1,2.3), (11,2,5.3) для периодического решения, отличного от вертикальных колебаний, т. е. для маятниковых качаний, находим

y = ^f3Z2tlsin|/^-^-Z + O(p=),(14)

Ф = ±4'/4^СО8(4->/7^^<+^) + °^

Исследование переходного процесса (третий этап). Подстановка Ван-дер Поля [30]

= ftcos №^+’ Sr=- -r^sin(4-$+t) (2Л)

приведет уравнение (1.2) при у = хк к эквивалентной системе относительно медленно меняющихся переменных а и т|):

^ = ца ^у/" 1 + -^ я2 sin й sin (й + 2тр) —

— ^1 -]—^- я2^ ,2 ^-^- я2 sin й sin (й Ц- 2тр)^- я2 cos й — |- я2 cos й cos (й + 2тр) + -^ я2 cos й cos2 (й + 2i|))^ + О (р2), (2.2) "5У = И ^у/1 + ^ «2 sin й [1 + cos (й + 2ф)] —

— ^1 -)—y а'1^ L ^-^ я2 sin й (1 Ц- cos (й + 2тр)) — ^я2 cos й sin (й + 2i|)) —^ я2 cos й sin (2й + 4i|))^ + О (р2).

Выпишем укороченные уравнения Ван-дер Поля, усредняя по явно входящему независимому переменному

-^ = ^ ря V 4 + я2 cos 21)? + О (р2),

(2-3)

^ = 4-H7=sill24’ + W).

Точное решение уравнений (2.3) приводит к необозримым квадратурам. Впрочем, укороченные уравнения Ван-дер Поля, разумеется, дают лишь первое приближение решения системы (2.2). Поэтому ограничимся приближенным интегрированием системы (2.3). Из второго уравнения (2.3) следует, что при | я | ^ 2)4 2 имеем с/'ф/йй <^ 0 и будем иметь | ф0 I > I Ф | > 0- Поскольку при | я | ^ 2)42, в силу (2.1) имеем | ^ | ^ 2)42/)ла, где, напомним, 2)42/)4а —амплитуда порождающего решения (1.3), то на весь промежуток переходного процесса (т. е. перехода вертикальных колебаний (11,2,5.4) в маятниковые качания (1.4) можно положить cos i|) ~ 1, если i|)0 достаточно мало. Тогда из первого уравнения (2.3) для я0 = я (0) )> 0 получим

J а V 4 + а2 4 г

и после интегрирования найдем

InInУ 4 + а2 — 2л0а ^4+^-2У 4 + а2 — 2л0а ^4+^-2= 4-^'= 4-^'

In

In

У 4 + а2 — 2л0

а ^4+^-2

У 4 + а2 — 2л0

а ^4+^-2

= 4-^'

= 4-^'

Отсюда следует приближенный закон изменения амплитуды

а =а =4Ьоехр4Ьоехр1 " ьо ехР (Н^)1 " ьо ехР (Н^)(6°" 4; ^4 +а» - 21) •(6°" 4; ^4 +а» - 21) •(2.4)(2.4)

а =

а =

4Ьоехр

4Ьоехр

1 " ьо ехР (Н^)

1 " ьо ехР (Н^)

(6°" 4; ^4 +а» - 21) •

(6°" 4; ^4 +а» - 21) •

(2.4)

(2.4)

Вычислим время перехода вертикальных колебаний при условии их возмущения (а = а0 ^> 0) в маятниковые качания (а = 2]/2). Полагая в (2.4) а = 2 ]/2, для соответствующего значения ■О' находим

» = — In / V 3 ~ 1- а°

И \/2/4 + я2_2

Заметим, что промежуток времени перехода имеет порядок О (и.-1), что соответствует алгоритму асимптотического интегрирования в методе усреднения. В силу малости ф0 получим а0 ~ ж £ (0). Последняя формула для малых а0 примет вид.

А- 2 1-ДУОТ-р

С помощью формул (1,1,2.3) выразим t, (0) через начальные значения исходных переменных

Для времени переходного процесса (время перекачки энергии при критическом значении Т =-4 (т. е. X = -j Z2) имеем

t = у тут^ + о(1у

Величину р можно определить из выражений (11,2,5.1), (11,2,5.3) и (1.1)

У = ^ К2фТГГЙ^

или, считая поперечное возмущение ф (0) достаточно малым, из формулы (11,2,5.4).

Периодические режимы маятникана свободной упругой подвеске

Преобразование уравнений движения. Разложим правые части системы уравнений (11,2,4.2) в ряд по степеням переменным и запишем (11,2,4.2) в виде

л" + т] = У (т], £, ф, ф'),

+ (1 - «)(! + у) ^ ” 1 - а ^ = ^^’ ^’ Ф’ Ф )’^’^

Ф" - ц^н^УР ^ + Ф = Ф (Л, L Ф, Ф')-

Здесь штрих означает производную по т, а разложения функций У, X и Ф начинаются с членов не ниже второго порядка. Корни характеристического уравнения линейной части суть + i<D1, =F гш2, ГД6

Х2 2 (1 - а) (1 + у) р А

х [1 + У + Р + У (1 + У + РГ — 4Р (1 — а) (1 + у) j.

Поскольку 0 < а < 1, а р 0, у J> 0, то

О < (1 + у + Р)2 — 4 (1 — а) (1 + у) р < (1 + у + Р)2

и, следовательно, ю2 и с»2 положительны.

Интеграл энергии (1,1,2.2) имеет вид

л'2 +.Ла + Г + т^2 + араф'2 + 2арфТ + 83 = р2.(1.2)

Подстановка (1,1,2.3) запишется теперь как

Л' = р cos’d, л = р sin d,.

£ = Pzl, ф = pz2, Г = pz3, ф' = pz4,

и мы получим из (1.2).

Р = Р ^ + 1 ^. у zi + 2з + 2apz3z4 4-ap2z2) + ^(P2)-(1'3)

Выпишем теперь систему уравнений (1,1,2.9)

Й + ~^+^

<i2z2уу _\4

</1>2 р (1—a)(l+y)Z1^~ Р (1 — а) 22

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ МАЯТНИКАПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ МАЯТНИКА7979§ 4]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ МАЯТНИКА

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ МАЯТНИКА

79

79

Периодические решения. Общее решение для порождающей (т. е. при р = 0) системы (1.4) есть

zio = ly — «Si (1 — а) 0] (М^ sin Ю1» + Мг cos со^) + + [? — 0)2 (1 — а) 0] (М3 sin <о2О + М4 cos о^Ф),

z20 = i +v C^i sin wi$ + ^2 cos Wi^ + M3 sin w^ + M4 cos o)2$).

Если подставить эти значения в выражения у = Zjp sin й, ж = = ZxPZj, ф = pz2 и (1.3) и учесть, что в силу второго уравнения (1,1,2.4) 4 = т + О (р), то получим следующее приближение для периодического решения системы (11,2,4.1):

у = р/^ (т) sin т + О (р2),

х = р/^ (т) {[у — 0o)i (1 — а)] (Мх sin o)tT + М3 cos о^т) +

+ [у — о)20 (1 — а)] (M3sin о)2т + М4 coso)2t)} + О (р2),

Ф = р ^ ^ F (т) ^М1 sin 0)iт + Мг cos 0)14: +

+ М3 sin о)2т + М4 cos о)2т) + О (р2), где..

F^) =(1 + |у2(1 +У)"ЧР(1 -«) (1 +У — 0) 1о)?(Л^? +

+ М^) + о)22 (Ml + Ml)] - у (1 + у - 0 + 2а0) (М? + М^ +

-|- М3 4~ -М4) + «0У (.Mi sin o>iT -|- ТИ2 cos o>iT -|- .M3sin о)2т -|-

+ М4 cos о)2т)2})-*'=.

Здесь т = )/"c/(mi + т2) (< —tg), а р определяется из начального значения приведенной энергии (1.2). Исследование первого из уравнений (Г,2,1.4) (уравнения1 для порождающих амплитуд) определит критические значения параметров а, 0, у, для которых порождающие амплитуды Mi, М2, М3, М4 зависимы (что будет соответствовать предельным циклам). Для всех остальных значений параметров а, 0, у найденное периодическое решение, как содержащее шесть произвольных постоянных Mi, М2, М3, М4, t0 и р, будет общим для достаточно малых р > 0.

Глава IV■

КОЛЕБАНИЯ В ВИДОИЗМЕНЕННЫХ СИСТЕМАХ ЛЯПУНОВА

Системы Ляпунова с демпфированием

Невозмущенная нелинейная автономная система ляпуновского вида (2& + 2)-го порядка возмущена аналитическим и достаточно малым по норме демпфированием. Проводится преобразование возмущенной системы, при котором невозмущенная система может быть преобразована в квазилинейную неавтономную систему 2/с-го порядка. Предполагается известным ее решение для достаточно малого по сравнению с единицей корня квадратного из начального значения приведенной энергии системы. Для первой и последующей поправок соответствующего (т. е. с теми же начальными условиями) решения возмущенной системы составляется полная система уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре — неоднородная система линейных дифференциальных уравнений (2& + 1)-го порядка с переменными коэффициентами. Если известен общий интеграл невозмущенной системы, то интегрирование системы уравнений в вариациях согласно Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II) сводится к квадратурам. Последние три пункта посвящены примерам.

Преобразование уравнений движения. Рассмотрим класс систем Ляпунова с демпфированием, описываемых уравнениями второго порядка каждое:

-^- 4- и — U (и, и, vi, .. . , vk, щ, . . . , vk) = — 2еЕ0 (u, vv .. ., vk'),

'(1.1)

+ «x^i + • • • + а^ик — Vx<u,u,vb . . . , vk, иь .. . , v^ =

= — 2sFx (u, Vi, . . . , vk) (x = 1,..., k).

Здесь точка означает производную по т, а,х = ах1 (х, / = 1, . .. . . ., к) — вещественные постоянные, a U, УИ . . ., Vh, Fn, Fv . . . . . ., Fh суть вещественные аналитические функции своих переменных, разложения Fo, F^ . . ., Fh начинаются с членов не ниже первого порядка, а для U, Vv . . .,Vk —не ниже второго порядка,

наконец, е ^> 0. Будем предполагать, что невозмущенная система (1.1) (т. е. система (1.1) при е = 0) допускает первый интеграл, который необходимо будет аналитической функцией переменных и, й, ух, . . ., vk, vlt . . ., 0к ([77а], § 38; [796], гл. VII, § 1) Я = й2 +'u2 + W (у^ . . ., ®к, vv . . ., -б^ +

+53 (и, й, уи . . ., уь v1; . . ., 0к) = р2 (ц > 0),(1.2)

где W — квадратичная форма, а 53 — совокупность членов не ниже третьего порядка. Для выделенных сил сопротивления Fo, Ft, ... . . ., Fk будем предполагать, что их работа на любом возможном перемещении (совпадающем в рассматриваемом случае с одним из действительных) отрицательна

к

— Fo (и, Vi,..., щ) й — У FK (й, vb ..., v^ vx < 0.(1.3)

х=1

В простейшем нелинейном случае, когда Fj = F (v,) (/ = 0,1, . .. . . ., к; у0 = й) условие (1.3) означает, что aF (ос) > 0 (а #= 0). В линейном случае условие (1.3) означает, что диссипация полная. Подстановка Ляпунова

й = р cos S, и = р sin S (р > 0),.

Ух ~ Р^к, ^х = p^k+к(к ~ 1, ...,&)

приведет систему (1.1) и первый интеграл (1.2) невозмущенной системы к такому виду:

-^-= 1 —-L17 (р sin S, р cos S, pz) sin S +

+ 2е -^- Fo (р cos S, pz<2>) sin S, У£- = U (p sin S, p cos S, pz) cos S —

— 2e — Fo (p cos S, pz(2)) cos S,

.< P

dz1

-^- = Zkw — — zxU (p sin S, p cos S, pz) cos S +

+ 2e -i- zxF0 (p cos S, pz<2)) cos S,

_^22L _ _ axiZ1 _ ... — axkzk— zk+xU (p sin S, p cos S, pz) cos S + dxP

+ — Vx (p sin S, p cos S, pz) -[-

(1.6)(1.6)-|- 2e -^- zk+xF0 (pcos S, pz<2>) cosiS — 2e-^- Fk (pcos S, pz<2>)(x = 1,... , k),p2 [1 + W (z) H- p5 (p, S, z)] = p2.

(1.6)

(1.6)

Здесь z и z(2> суть векторы соответственно с компонентами zv . . ., z2k и zk+1, . . ., z^, a S = p^Sg. Предположим для дальнейшего, что в параллелепипеде | z | ^ 6, 0 ^ р ^ г0 и при любом ft ^ ft0 для всех е е= [0, е0] выполнено неравенство

1^- [£7 (р sin ft, р cos ft, pz) — 2eF0 (p cos ft, pz(2))] sin ft > 0.(1.7)

При условии (1.7) разделим второе и последующие уравнения системы (1.5) на первое:

dp U cos ft — 2eF0 cos ft

<7 ft1 — р-1 ((7 — 2ef 0) sin ft ’

X Ч** - Р'Ч (^ - 2е70) cos ft

а» "1 — р-чи — 2e70)sina ’

■^р = [ 1 — р”1 (Z7 — 26^0) sin ft]'1 (— ах^г — . . . — axkzk —

— p-1zk+xU cos а + p-17x + 2ер'1гк+х/70 cos ft — 2sp'1Fx)

(x = 1,. .. , k).

В § I, 1 невозмущенная система (1.8) (т. e. при e = 0) за счет использования интеграла (1.6) сведена к квазилинейной неавтономной системе 2&-го порядка; ее решение определяется в гл. III методами малого параметра для достаточно малых р ^> 0 в (1.6).

Полная система уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре и ее решение. Запишем систему уравнений (1.8) в виде векторного уравнения

^ = Н^х;е),(2.1)

где х —вектор с компонентами р, zn . . ., z2h, a f —вектор- функция, составленная из правых частей системы (1.8), аналитическая по х и е в области определения (1.7), а коэффициенты степенных рядов по р, zn . . ., г2Д) суть периодические функции ft периода 2л.

Допустим, что нам известно некоторое решение х0 (ft) певозму- щенной (т. е. при е = 0) системы (2.1):

^ = f(ft,xo;O).(2.2)

Основываясь на теореме Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II), будем искать решение системы (2.1) для достаточно малых положительных значений е в виде

(2.3) 7П—0

г) В дальнейшем положим 2А: + 1 = п и будем считать, что п — любое натуральное число.

Вычитая из уравнения (2.1) тождество (2.2) и используя формулу Тейлора для функции многих переменных, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем последовательность векторных дифференциальных уравнений (полную систему уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре)

Здесь индекс нуль означает, что значения частных производных вычислены при х0 = х0 (й) и е = 0; ах, а2, . . . суть натуральные

Последующие члены в уравнениях (2.4) также нужно трактовать в операторном смысле, так, например,

04Wx X1J

дх2 1Х2 " Эх х2*

Поэтому мы различали, например, члены с хтха и хахт из-за неком- мутативности, вообще говоря, оператора.

Если е входит в (2.1) линейно, т. е.

f (У1, х; е) = g (У1, х) + eh (У1, х), то уравнения (2.4) примут вид

m(2,5)

dXm _ / dg \у [ 1 / d*g \ VV

Ох Дv! \ dxv A 2-1х«.----х^ +

v=2a,+...+av=m

'.1/ dv-1h \ V1 z d x

+ Tv^ijrL<m;>

«<+...+av_1=m—l

Уравнения (2.4) и (2.5) интегрируются последовательно непосредственно только в скалярном случае..

Однако если известен общий интеграл невозмущенной (т. е. при е = 0) системы (2.1), то интегрирование системы уравнений (2.4) (и (2.5)) любого порядка, как это показал Пуанкаре, сводится к квадратурам. Действительно, пусть

§ 1]

(2:5)). Тогда решение первой из систем (2.4) (и аналогично (2.5)) с нулевыми начальными условиями х1(,&0) = 0 (ибо Хд^; а) = = х(°\ xv (Од) = 0, v = 1,2, . . .) запишется по методу Лагранжа вариации постоянных в виде

х1= (^Vt-^-Vd», (2.6)

да \ da j \ да /о х '

где dXg/da —неособая матрица в силу того, что решение х0 = = х0 (О; а) — общее. Для хт (т )> 1) получатся формулы, аналогичные (2.6), с заменой под знаком интеграла (df/de)0 на неоднородную часть соответствующей системы (2.4) или (2.5).

Для отыскания решения исходной системы (1.1) требуется еще проинтегрировать первое уравнение (1.5) с той же точностью, т. е. до О (е2), если речь идет о первой поправке.

О колебаниях механической системы с одной степенью свободы при наличии нелинейностей разного вида. Рассматривается механическая система с одной степенью свободы, подверженная действию восстанавливающей силы и силы сопротивления. Обе эти функции предполагаются аналитическими функциями соответственно координаты и скорости. Подчеркнем, что лишь одна из сил—именно сила сопротивления — предполагается «е-малой» и граница для е ^> 0 определяется мажорантным неравенством теоремы Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II), вообще говоря, неэффективным. Что касается восстанавливающей силы, то ее нелинейная часть определяет верхнюю границу параметра ц — корня квадратного из начального значения приведенной энергии. Таким образом, предлагаемое в конце п. 1.3 общее решение справедливо для достаточно малых е > 0 и для эффективно ограниченных значений начальной энергии системы.

Уравнение движения рассматриваемой системы при подходящем выборе масштаба времени т может быть записано в виде

й + 2еР(й) + и — U (и) =0 ^>0, = -^ , (3.1) где F (й) и U (и) — аналитические функции во всей области изменения переменных, разложения которых начинаются соответственно с членов не ниже первой и второй степени, кроме того, работа силы сопротивления предполагается отрицательной на любом перемещении: —F (и) й < 0, что, в частности, выполнено для нечетной функции F (й). При е = 0 невозмущенное уравнение (3.1) допускает интеграл энергии

Н = и? -]- и2 -]- 2У (iz) = ц2, fy (и) =—^U(u)du, р’^оУ (3.2) х о

Подстановка Ляпунова (1.4) преобразует уравнение (3.1) в систему (1.5) вида

-А = 1— \U (р sin О) — 2eF (р cos fl-)] sin О,

I '(3'3)

.-^- = U (р sin О) cos О — 2eF (р cos О) cos О.

Предположим для дальнейшего, что для всех в и о в прямоугольнике 0 ^ е ^ е0 и 0 ^ р ^ г0 при любом О выполнено неравенство

^- yU (р sin О) — 2eF (р cos О)] sin $ > 0.(3.4)

Неравенство (3.4) вместе с первыми двумя формулами (1.4) определяет допустимую область изменения и, й. При условии (3.4) разделим второе уравнение (3.3) на первое:

dp U (р sin О) соз О— 2eF (р соз И) сэз йг.

= 1"( • )

1 — -^- [7 (р sin О') — 2бЕ (р соз О1)] sia О

Интеграл уравнения (3.5) при в = 0 найдем, подставив (1.4) в интеграл энергии (3.2); будем иметь.

р2 _|_ 27 (р sin О) = р.2;(3.6)

при этом разложение второго слагаемого начинается с членов не ниже третьей степени р. Поскольку р > 0, то уравнение (3.6) допускает единственное решение

р = р0(»;р) = р - Ay(psin#) +У (ц sin») sin»-

_JL[y(psin»)]2 + O(p4)(3.7)

Г

для достаточно малых положительных р (ниже для примера в п. 1.4 будет определен радиус сходимости ряда (3.7)).

Основываясь на теореме Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II), будем искать решение уравнения (3.5) для достаточно малых положительных значений в в виде

Р=Дрт(*; р) ет.Р=Дрт(*; р) ет.(3.8)(3.8)

Р=Дрт(*; р) ет.

Р=Дрт(*; р) ет.

(3.8)

(3.8)

В п. 1.2 получена последовательность дифференциальных уравнений (2.4) для определения Pm^S р) (т ~ 1,2, • • •) (полная система уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре). Нас будет интересовать первая поправка Р1(»; р); дифференциальное уравнение для нее есть уравнение в вариациях по параметру Пуанкаре (первое уравнение (2.4)). Получим его непосредственно.

Записывая уравнение (1.5) в виде р'=/(^,р;е)( = ^

и вычитая из него тождество

Ро = / (О, Ро; °), получаем

т'= ^\т+ ^й"\ + 0^ (г = р№р)-Ро(^;р)). (3-9) где индекс нуль означает, что значения частных производных вычислены при р = р0(О; р) и е = 0. Разделив (3.9) на е и положив затем е = 0, получим в силу (3.8) уравнение в вариациях по параметру Пуанкаре:

Р. + (#)„•(3-Ю)

В рассматриваемом скалярном случае это уравнение интегрируется без труда, хотя и в неудобной для приложений форме. Поэтому предпочтительнее пользоваться способом Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II), изложенным в конце п. 1.2. В нашем случае (3.7) является общим интегралом невозмущенного уравнения (3.5) (т. е. при е = 0):

Ро = / (9-, р0(О; р); 0).

Продифференцировав это тождество по р, получим

дРос№ \ др /о др ’

т. е. др0/др есть решение однородного уравнения, соответствующего (3.10). Тогда решение уравнения (3.10) с нулевыми начальными условиями

Pi^oi р) = 0 (ибо р0 (О0; р) = р<°>, рт (»0; р) = 0, т = 1, 2, . . .) запишется в виде (2.6)

So

Из (3.7) и (3.5) найдем

-^Г -1 - ^r[-^-F<^sin»>]-Ь"<^)-<ЗЛ2>

("^-/о ~ ~ 2 [1 ^~ U (Ро sin О) sin О]-1 F (р0 cos О) X

X cos О {1 + -i- U (р0 sin О) sin О ^1— U (р0 sin О) sin О’] *} .

РоРо(3.13)

Теперь из (1.4), (3.8), (3.7) и (3.11) получим

и = [ро(Ц; и) + ePi(H; и) + о (е2)]sin и (3.14)

и после определения О = О (т; Оо) из первого уравнения (3.3) найдем общее решение исходного уравнения (3.1) (с произвольными постоянными ц и Ид) для достаточно малых положительных е, определяемых условием (3.4) и условием цитированной теоремы Пуанкаре. При этом граница сверху для ц > О (корня квадратного из начального значения приведенной энергии (3.2)) определяется радиусом сходимости ряда (3.7).

Уравнение Дюффинга с линейным демпфированием. Рассмотрим в качестве примера названное уравнение

и + 2ей + и + аи3 = 0 (е ^> 0, а > 0),(4.1)

т. е. (см. (3.1) и (3.2)) F (й) = м, U (и) = —аи3, У (и) = -|" аи4. Условие (3.4) определит область допустимых значений в трехмерном октанте изменения переменных р > 0, О > Оо и параметра е > 0

1 + ар2 sin4 О + е sin 20 ^> 0(4.2)

и будет заведомо выполнено при O^e^l. Интеграл энергии (3.2) невозмущенного (е = 0) уравнения (4.1) примет вид '

р2 Н—|- ар4 sin4 О' = ц2

и при условии 2ap,2sin4,S < 1, которое заведомо выполнено при ^<1L(4-3)

допускает единственное решение (3.7)

Ро (*, И) = И [1 — 4" “И2 sin4 » + О (И4)] •(4.4)

Вычислим (3.12) и (3.13)

-^=1 -4-ац28ш4» + О(ц4),

\ За

= — 2р0 cos2 О (1 + ард sin4 й)-111 — ард sin4 й (1 + ард sin4 й)-1] •—

= — 2ц cos2 О £1|- ац2 sin4 О + О (ц4)] .

Будем искать решение, удовлетворяющее начальным условиям: и (0) ^ 0, м (0) = й0 ^> 0, при этом в силу (1.4) и (4.4) Оо = 0 и ц = йд. Предположим также (см. (4.3)), что й0 < jAO^a. По

формуле (3.11) найдем

Pi № р) = — р ^ 4" -у sin 24 + -у ар2 ^— 34 sin4 4 —

у sin 24 sin4 4 — -|- 4 + yr sin4 4 4- -у sin3 24^ + О (р4) j .

Из первого уравнения (3.3) найдем а

т = ^ (1 — ар2 sin4 4 — е sin 24 + . ..) с№ = о

= 4 — в sin2 4 — ар2 ^g sin 44 — -у sin 24 + -|- 4^ + . .. ,

где точками обозначены члены порядка е2 и ер2. Обращая последнюю формулу, получаем

1/31\

4 = т 4- — «р2 (-у т — sin 2т 4- у sin 4т j + 8 sin2 т 4- • • • •

Выпишем решение в виде (3.14)

и = £р ^1^~а^2 s’11* т) — 8^ (г + A" s’n ^ + ^] х

X sin [т 4—у ар2 ^у т— sin 2т 4- -у вт4т^ 4* 8 sin2t 4- О (е2)] (4.5)

для интервала изменения т порядка О (е-1).

Замечание. Используя специфику примера, именно линейность демпфирования, можно получить решение, справедливое для всех т > 0. Подстановка

■ ^и = е-ЕТ»

приведет уравнение (4.1) к виду

(4-6)(4-6)— = g(T,x;a),

(4-6)

(4-6)

— (1 — 82) У —— (1 — 82) У —ууае-2£Т у3ае-2£Т у3

— (1 — 82) У —

— (1 — 82) У —

у

у

ае-2£Т у3

ае-2£Т у3

Будем искать его общее решение в виде

X = Хо (т) 4- ахт(т) 4- а2х2 (т) 4- ...

Общее решение невозмущенного (т. е. при а — 0) уравнения (4.6) при 0 < е < 1 есть

(7? = /1 - е2).(7? = /1 - е2)./ М cos Лт + ^ sin Лт '

(7? = /1 - е2).

(7? = /1 - е2).

Х° ^\— МR sin Лт -|- NR cos Лт

Формула (2.8) даст нам для первой поправки

(4.7)(4.7)

(4.7)

(4.7)

где а — вектор с компонентами М и N, а

ду0 де0дхр = ЭМ 3Nда Эк0 дг-рдМ dN

и индекс нуль означает подстановку а = О, х = х0 (г). Опуская очевидные вычисления в формуле (4.7), выпишем общее решение уравнения (4.1) при 0 < е < 1 (нетрудно получить его и для в > 1)'

и = \М cos 7?т + N sin 7?т + а^ (г) + О (а2)] е~",(4.8)

где

иг ^ ~ T^R~ (2 Iе-2" ( — е sin 2Rt — R cos 27?т) + R\ X

X IM (M2 + 3TV2) cos Rt - N (№ + 3M2) sin 7?т] +

+ (4—Зе2)""1 [е-2" (—е sin 4Rt — 27? cos 47?т) + 27?] IM (М2 —

- 3TV2) cos Rt + N (TV2 - 3M2) sin 7?t] +

+ (4—3e2)~4e""2£T (— e cos 47?t + 27? sin 47?t) +

+ e] [TV (TV2 — 3M2) cos Rt — M (M2 — 3TV2) sin 7?t] —

— 4 [e-2” (—e cos 2Rt + 7? sin 27?t) + s] (TV3 cos Rt +

+ M3 sin 7?t) + 3 (M2 + TV2) (1 - e^x

Очевидно, что M = и (0), TV = (1 — е2) ’^й (0).Очевидно, что M = и (0), TV = (1 — е2) ’^й (0).X (TV cos Rt — M sin 7?t)}.

Очевидно, что M = и (0), TV = (1 — е2) ’^й (0).

Очевидно, что M = и (0), TV = (1 — е2) ’^й (0).

Пружинный маятник с линейным демпфированием. Рассмотрим плоский пружинный маятник массы m на невесомой пружине длины Z в ненапряженном состоянии и подчиняющейся закону Гука с жесткостью с (рис. 9). - Пусть х и у' = I + ^ + У — декартовы координаты массы т, отсчитываемые от точки подвеса и, где л = —— статическое удлинение пружины. Выберем постоянную потенциальной энергии П силы тяжести и упругой силы пружины таким образом, чтобы она обращалась в нуль для положения

статического равновесия х = у = 0; тогда п = — ingy + -^-е [Уж3 + (/ + X + уУ — /|-|-сХ3,

^-Н«У+(Ж

Допустим, что на массу т действует еще сила сопротивления R, пропорциональная скорости: R = —by. Обозначим через со = = Vclm круговую частоту вертикальных колебаний массы на пружине и введем безразмерные время т = tot и координаты £ = = х!1, т] = у[1. Тогда уравнения движения запишутся в виде

М Г 1 + ? + П - -И" 90 ? -

л2 т2 + (1 + ? + п)2 J dx

х V t _ Г*1 ] Х—_2я^1

A2 г1+тё+ (1 + у 4.4)2 l+?p

где

— безразмерные параметры, а разложения квадратных скобок в окрестности ^ = ц = 0 начинаются с членов второй степени. При е=0 имеет место интеграл энергии

-А- р2(7' + П)с = р = const.(5.2)

Подстановка Ляпунова

ц = р sin О, ^-= р cos а, ^ = ргп -^ = pz2 (5.3)

приведет возмущенную систему (5.1) и интеграл (5.2) невозмущенной системы к виду (1.8) и (1.6)

<Zp U cos О' — 2ео cos2 О' d^ 1 — p-1t7 sin О' + е sin 20' ’

dzv z2—Zjp"1!/’cos О'+ 2ezt cos2 О'(5*4)

</■01—р-1(/ sin O' + e sin 2^0’

c?z2 —Y(1 + V)'1 zi— z2p"1t/’cos O'+ р-1К — 2ez2sin20' </■01—p-1?/sin O' + e sin 2^0’

P2 f1 + T+7 zi + 22 + P5 (^’ P’ zi’ Z2)] = p2’(5-5)

где

^ = -2KT^ + °(P3)’ V=-^l^+O^

и предполагается выполненным условие (1.7), т. е.

■1 + е sin 2ft 4- ~у(1 + Т)”2 Pzi 8ш ft + ^(Р2) > 0.(5.6)

Невозмущенная система (5.4) (т. е. при е = 0) допускает порождающее решение (см. Ill, 1, 2.3))

. p0(ft; щ М, N) = р [1 + g\M2 + N^FI2 + О (р2),

z® (ft; р, М, N) — М cos g^ + N sin g^ + О (p),(5.7)

z® (ft; p, M, N) = g (—M sin g^ + N cos g^ + О (p), где

?=+]/тТ7 ^+~тУ

Это решение, как показано в п. III, 1.2, является общим при всех 1 /1 \

у, кроме у = -у (g = — . В нашем примере векторы а и х0 суть

Вычислим элементы формулы (2-. 6):

дх0дадх0да^-4= + О (р) — g^MK^ =р + О (р2) — g^NR-^v + О (р2)

дх0да

дх0да

<Р(») + О(р) cosgft4-O(p)singft + O(p)

ip(ft)4-0(p) — g sin gft + О (p)gcosgft + O(p)

где

к = 1 4- g1 (M2 + TV2).

При вычислении обратной матрицы несколько огрубим результат, положив ф (ft) = ф (ft) = 0; тогда получим для (дхр/да)*1 выражение

дх0 \ да /дх0 \ да /-1-1^+О(Р) g2X-i£(ft)p + O(p2)К-»Г(О)Н+О(Р2)

дх0 \ да /

дх0 \ да /

-1

-1

О (р)cos gft + О (р) — g-1 sin gft + О (р)

О (р)sin g^ + О (р)g-1 cos gft + О (р)

где L (ft) = М cos gft + TV sin gft.

Вектор (df/de)0, где f — вектор правых частей системы (5.4), а индекс нуль означает подстановку е = 0 и порождающего решения (5.7), равен

df \ = де /оdf \ = де /о— 2рК-‘12соз2» + О(р2)

df \ = де /о

df \ = де /о

2L (ft) cos2 ft — L' (ft) sin 2ft + О (p)— 2L' (ft) sin2 ft + g^L (ft) sin 2ft + О (p).

Мы положим в формуле (2.6) ^0 = 0; согласно (5.3) это означает, что в начальный момент т = О имеем ц (0) = 0. Опуская очевидные вычисления по формуле (2.6), выпишем нужные нам первые две компоненты вектора х, (4; р, М, N) первой поправки: pt (Ф; р, М, N) = — р^"1'2 ^ + -^ sin 2$) + О(И2), zl(D; р, М, N) = -у- sing^ + -^- М sin 2^ cos g’Q' + gM sin2 O' sing^—

— N sin 20’singO’— gN sin2 O’COSgO’ + O(p).

Остается проинтегрировать первое уравнение (1.5), это нам даст, опять-таки при Оо = 0,

О = О’ (т) = t + е sin2 т + О (р) + ...,

где точками отмечены члены второго порядка относительно р и е. Окончательно получим решение системы (5.1) для случая ц (0) = = 0 в виде

ц (т) — fp0 (О’ (т); р, М, 7V)+ep1 (О' (т); р, М, TV)] sin О’ (т)+ О(е2),

§ (т) = [р0 (О' (т); р, М, N) + ер, (О (т); р, М, TV)] X

X [z? (О (т); р, М, N) + ez} (О (т); р, М, IV)] + О (е2).

Постоянные р (начальное значение энергии (5.2)), М и N определяются из начальных условий ц (0), £ (0) и £ (0); интервал изменения т имеет порядок О (е-1).

О системах типа Ляпунова

Определение 1. Системой, близкой к системе Ляпунова, называется вещественная система вида

^ = Ax + X(x) + pF(Z,x,p),(0.1)

обращающаяся при р = 0 в систему Ляпунова (I, 1, 1.1), т. е.

а = м24-р, 12 = 1° ”J|, P = ||psr||i

и в которой вектор-функция F аналитична по х и малому параметру р в некоторой области, непрерывна и периодична по t с периодом 2л.

Определение 2. Системой типа Ляпунова называется вещественная система вида

^ = Ах + Х(х),(0.2)

в которой матрица А линейной части системы имеет I нулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два чисто мнимых собственных значения: + Xi, и. не имеет собственных значений, кратных + Xi; X (х) (как и в (0.1)) — аналитическая вектор-функция х, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка.

В этом параграфе показано, что системы типа Ляпунова могут быть сведены к системам Ляпунова.■

Постановка задачи. Запишем систему типа Ляпунова, в развернутом виде при обозначениях, отличающихся от (0.1),

^ = и(х, у, z),= М2у + v (х, у, z), ^- = Bz + w(x, у, z),

(1.1) где

и вектор-функции u, v, w — аналитические функции переменных ^, . . ., Со т)1, т]2, Ci, • • •, Cm в некоторой окрестности начала координат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка; среди корней уравнения

det [В — xlm] = 0

нет нулевых и кратных величинам + Xi.

■ Предположим, что система (1.1), кроме ляпуновского скалярного интеграла

■(у, у) + Ф (х, у, z) = у0,(1.2)

допускает еще I также аналитических первых интегралов, записанных в векторном виде как

р(х) +f(x, у, z) = c,(1.3)

где

В (1.2) и (1.3) разложения ф, q)1T . . ., <р( начинаются с членов не ниже второго порядка относительно Ci, . . ., Со тр, т]2, Ci, • • • .. ., Cm", Л1 (я), • • •> л/ (я) —линейные независимые формы перемен-

ных ^, . . ., £г, которые можно выбрать в виде л, (ж) = £j (/ = 1, . . ., Z); таким образом,

Р(х) = х.(1.4)

Преобразование системы типа Ляпунова.

Лемма I. Систему (1.1) — (1-3) можно преобразовать так, что вектор-функции u, v, w и f обращаются в нуль при у = z = 0:

п (х, 0, 0) = v(х, 0, 0) = w(х, 0, О) = f (х, 0, 0) = 0.

Доказательство леммы основано на преобразовании Ляпунова ([77а], п. 28) при исследовании критического случая одного нулевого корня. Именно, выполним в (1.1) — (1.3) замену переменных

У (0 = У (0 + У (х), z(t) = z (t)+z(x),(2.1)

где у (х), z (х) — аналитические вектор-функции переменных £ъ . . ., £(, не содержащие линейных членов и удовлетворяющие уравнениям

Ы2у (х) + v(x, у (х), z(x)) = 0,Bz (х) + W (х, у (х), Z (х)) = 0.

В результате замены будем иметь, выделяя новые нелинейные члены й, V, w,

-^ = и(х, у + у(х), Z + z(x)) = u(x,y, z),

^ = M2y + v(x, у + у(х), z+ z(x)) —v(x, у(х), z(x) —

— ^-ч^^зУ+ v(x, у, z),(2.2)

5" = Bz + w (x, у + у (x),.z + z (x)) — w (x, у (x), z (x)) —

—= Bz + w (x, y, z),

где

dy II ^Hy dz || 9^

суть матрицы порядка 2 X l и m X l соответственно. Нам требуется доказать, что

и (х, 0, 0) = и (х, 0, 0) = w (х, 0, 0) = 0.

Запишем векторный интеграл (1.3) в силу (1.4) и (2.1) в виде

(2.3)(2.3)X + f (х, у (Z) + у (х), z (t) + Z (х)) = с

(2.3)

(2.3)

и продифференцируем его в силу (2.2)

u(x,y,z)+ -^u(x,y,z) + -^ [u2y + v (х, у, z)+ -|^й(х,у,^]+

+ ^ [Bz + w (х, у, z) + ^- й (х, у, £)] = 0.

Положим в этих тождествах у = z = 0 (замечая, что из (2.2) следует v (х, 0, 0) = — ^ п(х, 0, 0), w (х, 0,0)=— ^-п (х, 0, 0)):

[lz + ^^]u(x,0, 0) = 0.

Следовательно, в достаточно малой окрестности начала координат (х = у = z = 0) й (х, 0, 0) = 0. Из (2.2) следует, что в этой же окрестности

v (х, 0, 0) = w (х, 0, 0) = 0.

Система (2.2) допускает решение х = const, у = z = 0; подставляя его в (2.3), найдем

f (х, 0, 0) = 0.-

Лемма I доказана.

Будем считать, что система (1.1) — (1.3) преобразована согласно лемме I и сохраним для нее прежние обозначения. Разрешим векторный интеграл (1.3) относительно х

х = с-ф f* (с, у, z),(2.4)

где f* — аналитическая вектор-функция относительно с, у, z (f* (с, 0, 0) = 0), не содержащая линейных членов при с = 0. ■ Подставив (2.4) в (1.1), (1.2), получим векторную систему — систему Ляпунова

% = М2у + v* (с, у, z), ^-=Bz +w*(c, у, z),(2.5)

и скалярный интеграл

(у, у) + 4* (с, у. z) = у*,(2.6)

где функции v*, w* и ф^ аналитически зависят от с, у, z и обращаются в нули при у = z = 0 (согласно лемме 1), а постоянная у* = = у0 — ф (с, 0, 0). Вектор-функции v* и w* не содержат линейных членов при с = 0.

Относительно функции ф* справедлива

Лемма II. Функция ф* в (2.6) при достаточно малом по норме векторе с в интеграле (1.3) не содержит членов первого порядка от

носительно ^ и z.

Доказательство. Пусть

4* = (а, У) + (Ь, z) + [2],

где не выписаны члены порядка выше первого относительно у и z, а векторы а и Ь зависят аналитически от вектора с и обращаются в нули при с = 0. Продифференцируем интеграл (2.6); в силу системы (2.5)

(a, М2у) + (Ь, Bz) + [2] = 0.. (2.7)

Определитель однородной системы (2.7) относительно 2 + т компонент векторов а и Ь непрерывно зависит от с и при с = 0 обращается в X2 det В у= 0. Следовательно, при с = 0 имеем а = Ь = 0. В силу непрерывности, последние равенства должны выполняться и при достаточно малом по норме векторе с.

Лемма II доказана.

Для определения периодических решений в системе Ляпунова (2.5) можно применять метод, предложенный Ляпуновым [77а] и развитый И. Г. Малкиным (см. [79 а, б]). Иной круг вопросов для системы (2.5) исследован в гл. III.

4 В. М. Старжинский

Часть втораяПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМК ЗАДАЧАМ КОЛЕБАНИЙ

Глава V

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМВЕЩЕСТВЕННЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

■ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В математике проблема приведения автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к наиболее простой, нормальной форме с помощью замены переменных была поставлена Пуанкаре [188] и развита Ляпуновым [77а] и др. Наиболее общие результаты в теории нормальных форм получены А. Д. Брюно [234к]; там же читатель найдет и библиографию. В § 1,2 мы излагаем проблему, основываясь на работе [234к], однако, не с общих позиций и не в самых общих ситуациях, а применительно к задачам нелинейных колебаний, описываемых указанными в заголовке системами уравнений. Часть доказательств в § 2 опускается.

Первоначальные сведения

Постановка задачи. Рассмотрим системы вида

-^- = Х^ + Ф„ (х) (v = l, .... п),(1.1)

где х — вектор с компонентами хъ . . ., хп; Ф„ (х) — аналитические в некоторой окрестности нуля функции, разложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка; Х„ — либо вещественные либо комплексносопряженные величины; в последнем случае Х„- = Х^, х^ = $^, Фу = Ф^. Итак, здесь предполагается, что исходная вещественная система преобразована таким образом, что ее линейная часть приведена к жордановой форме и, более того, предполагается, что эта форма — диагональная. Последнее обстоятельство в силу теоремы Вейерштрасса (см., например, [146], п. I, 1.14) имеет место для колебаний в консервативных системах и близких к ним.

Задача заключается в приведении системы (1.1) посредством обратимого (но, вообще говоря, неоднозначного) преобразования

Хч = Уч + ^ (Уь • • -, УтЛ (v = 1, .. ., п; х^ (0, ..., 0) = 0) (1.2)

К простейшей нормальной форме (разложения 3^ начинаются с членов не ниже второго порядка). Именно, в статье А. Д. Брюно [234а] была введейа следующая запись преобразованной системы: ^- = Хчу„ + Ы» (у) = ^ + У^ У, WQ (!-3) гQewu

(У = (gi, • • •, Уп)т, v = 1, . . .,п\

где Q = (д1т . . ., qny — вектор с целочисленными компонентами, yQ = у?1 . . . y£n; ?vq — искомые коэффициенты. Множество SRV значений Q для v-ro уравнения таково:

у1; ...,yw, yv+1,..., yn>0, q,> — 1, ^qj>i (1.4) i

(читателю нужно обратить внимание на множитель у„ в v-м уравнении). Введем обозначение 9R = 9Й! J ®2 U • • • U до

определение нормальной формы содержится в следующей теореме, которую сформулируем применительно к постановке задачи п. 1.1.

Основная теорема А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 1, п. I). Существует обратимое преобразование (1.2) системы, (1.1) в такую систему (1.3), что при записи системы в форме (1.3) gVQ могут быть отличны от нуля лишь для тех Q, для которых выполнено резонансное уравнение

(^ Q) = ^191 + • • • + О?п = 0-(2-1)

Здесь А = (Х1т . . ., Хп)т — вектор из диагональных элементов линейной части системы (1.3) (и (1.1)). Система (1.3), обладающая этим свойством, называется нормальной формой.

Доказательство. Докажем, следуя А. Д. Брюно, что существует формальное преобразование (нормализующее преобразование)

^ = УД1 + Му)], Му) = 3 ^ОУ9 (v = l,...,n) (2.2) ■QESRV

системы

^- = Ха + ^Л (х), /, (х) = У, AqxQ (v = 1,.. ., п) (2.3)

В систему

^-=Xvyv + Mv(y), gv(y)= У, ЗД9 (v = l,..„ п), (2.4)

(A, Q)=0

такое что gvQ = 0, если (A, Q) ^ 0, причем Avq для (A, Q) = О можно задать произвольно (отсюда и возможность неоднозначно-

сти преобразования!); тогда остальные h^Q и g„Q определятся однозначно. Здесь yji„ (у), а\/„ (х) и y^g^ (у) — степенные ряды, не содержащие членов ниже второй степени. Преобразование (2.2) переводит (2.3) в (2.4), если выполнены формальные равенства рядов по уъ , . ., уп:

V Э[уД1 + \)]■,

z=i 1

+ У«(1 + ^)А(У1(1+М, • • Уп(1 + М (V = 1, .. ., д).

Отсюда имеем после очевидных преобразований

у^» + ^2-19^"Xtii =—y'*g''h"' -^Z-fW"yigl + z=i 1z=i 1

+ уД1 + ^)А(У1(1 + ?h), • • Уп(1 + A»)) (v = l,..., га). (2.5)

Выпишем коэффициенты при y^yQ в v-м равенстве (2.5)

gvQ + (A, Q) &vQ =

= — S h^pg^R— 2 S hippigiR + {(1 + кчИЛч (2-6) P4-R=QI— 1 P+R=Q .

(QeSR,; v — 1,..n\

где последнее слагаемое обозначает коэффициент при yQ в ряде (1 + h^ (у! (1 + AJ, . . ., уп (1 + h^.

Множество га-мерных вещественных векторов вполне упорядочивается следующим соотношением: вектор Р предшествует вектору Q (Р < Q), если отрицательна первая ненулевая из последовательных разностей:

пп

S Pi — S 4i-> Pi — 4h * * ч Pn-i — Чп-i • 11

Очевидно, что каждому Q Ё 9R предшествует лишь конечное число векторов из 9R. Заметим, что в правую часть (2.6) входят только такие hjp и gjp. (/ = !,..., га), что векторы Р и R предшествуют вектору Q. Это справедливо для первого и второго слагаемых в правой части (2.6), так как там в индексы входят только такие Р и R, что Еру + Егу = Еду и Ер,-^>0, Еду > О, поэтому Ер, <3 < Еду, Ег,- < Ед,-. Наконец, {(1 + h^f^^ содержат лишь такие hjp, что Ер,- < Еду, так как ряд х,,^ (х) не содержит линейных членов. Равенства (2.5) будут выполнены, если положить:

g-Q = 0; AvQ = (A, QJ-^q для (A, Q) Ф 0,

g^Q = c„Q; h^Q произвольно для (A, Q) = 0, Q e SR» (v = = 1, . . ., га). Здесь cvq обозначает правую часть равенств (2.6)

Таким образом, в указанном выше порядке по Q определяются g^^ и 7i4q. Теорема доказана.

■ Замечание. В силу условия б) только (2.1) приводит к возможности неоднозначности преобразования (2.2). Если (2.1) при qt + . . . + Qn = m выполнено лишь для конечного числа значений исходных параметров системы, то естественно h^ определять по непрерывности, если это представляется возможным.

1.3. Теорема Пуанкаре ([188]). Если величины Хь . . ., Х„ системы

удовлетворяют условиям: ■

.Кч='21 Pj^i (v =!,...,«),(3.1)

3=1

при любых целых неотрицательных р5, для которых />!+... + + Рп ^ 2;

на комплексной плоскости X существует такая, проходящая через нуль, прямая К, что все точки Хх, . . ., Хп лежат по одну сторону от нее,

то существует единственное обратимое аналитическое в нуле преобразование (1.2), переводящее систему (1.1) в систему "

= (v = l,..., п).(3.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование единственного формального преобразования (1.2) (которое можно представить и в виде (2.2)) в нормальную форму (3.2) следует из теоремы п. 1.2. Запишем выражение (A, Q) в силу (1.4) в виде:

(A, Q) =2?А; =— Х„ + ^PjXj (v = 1,..., п), 11

где pv = qv + 1, а остальные р, = qj. Числа рг, . . ., рп неотрицательны и pt + . . . + рп ~> 2. По условию (3.1) (A, Q) #= О, следовательно, по основной теореме А. Д. Брюно все g.,Q равны нулю и все h,., q определяются однозначно (см. условие а) в конце п. 1.2).

На этом завершим доказательство, отсылая читателя для установления сходимости преобразования (1.2) к концу п. 2.4 (см. также [188]; [96], изд. 1-е).

Замечание. В рассматриваемом здесь вещественном случае спектр Хь . . ., Хп симметричен относительно вещественной оси. Таким образом, наряду с прямой К условию 2) будет удовлетворять и прямая К, симметричная относительно вещественной оси, а значит, и мнимая ось плоскости X. Поэтому достаточно проверить выполнение условия 2) теоремы для мнимой оси,

Дополнительные сведения

Некоторые свойства нормализующих преобразований. В конце доказательства основной теоремы А. Д. Брюно (и. 1.2) было отмечено, что коэффициенты A, q нормализующего преобразования (1,2.2) однозначно определяются для не резонансных членов, т. е. при (A, Q) ^ 0 и могут быть выбраны произвольно по резонансные членам., т. е. при (A, Q) = 0. Вместе с тем, хотя структура нормальной формы фиксирована при заданной нумерации переменных, коэффициенты ее g^ зависят от выбора коэффициентов нормализующего преобразования. Естественно предположить, что последующие преобразования переменных, проведенные только по резонансным членам, будут переводить одну нормальную форму в другую. Таким образом, выясняется смысл теоремы А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 1, п. II):

Если преобразование

у„ = zv [1 + dv (z)] (v = 1, . . ., re),(1.1)

АЛ

z = ; , d„ (z) = у dVQzQ\ - /Qe'jj?v

переводит нормальную форму (1,2.4) в нормальную форму той же структуры, то d„Q = 0 для ^Х, Q) =^ 0, т. е. преобразование (1.1) происходит только по резонансным членам (т. е. для которых (Л, Q) = 0).

Обозначим через ^ (у) такое преобразование

^®(У) = УЛ1+ 2 WQ] (v = l,...,re),(1.2)

(A, Q)=0

рассматриваемое как «произвольная» часть нормализующего преобразования (1,2.2). Будем предполагать, что ряды (1.2) сходятся. Этого можно достичь, в частности, положив в (1.2) все hM^ = 0, т. е. выбрав

£° (у) = у, (v = 1, . . ., ге).(1.3)

Из теоремы 3 А. Д. Брюно ([234к], гл-. I, § 1, п. III) следует, что при условии сходимости рядов (1.2) из сходимости (или расходимости) некоторого нормализующего преобразования (1,2.2) следует сходимость (или расходимость) всякого нормализующего преобразования (1,2.2).

, Классификация нормальных форм и возможность их ин- тегрв^рания. Здесь будет рассмотрен случай, когда в (1,1.1)

Re^^ 0(/ = 1,.. ., ге),(2.1)

т. е. справа от мнимой оси комплексной плоскости X нет точек Хх, . . ., Хп. Обозначим

А; = — н; + tv, (i = V — I'* 7 = 1, • •, ")

и, предполагая, что имеется Z (0 ^ Z <^ и) чисто мнимых сопряженных или нулевых собственных значений матрицы линейной части исходной системы, занумеруем переменные так, что

О = цх ^ . . . = цг < Иг+1 ^ . . . ^ цп.(2.2)

Введем векторы

тогда

А = —М + iN.(2.3)

Пусть V = (а, . . ., ипУ — вектор размерности и; обозначим через V' = (Ыц . . ., иг)т вектор размерности Z и через V" = (р(+1, . . . . . ., ипу вектор размерности п — Z. Неравенство V > О означает, что z?x > 0, . . ., ип 0. Например, согласно (2.2) имеем М' = = О, М" > 0.

Теорема А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 2, п. II). При сделанных предположениях нормальная форма имеет вид

= ^}У) + Ф; U = 1, • • -, 1У(2.4)

Ук = КУк + 5 Ьму^ + 2 bhQl. .. Чк-хУ^У • • • У^1 (2-5)

(h =

Здесь ipj, bkj-, bkqu . . . qh-i — степенные ряды от уг, . . ., ур bkh = 0. Первая сумма в (2.5) берется по тем / > Z, для которых выполнено (2.7), вторая сумма — по всем целым qm, . . ., дк_ц для которых выполнено (2.8).

Доказательство. В нормальной форме (1,2.4) g^g ^ Ф 0, только если Q ^ ®\, (A, Q) = 0. Последнее (резонансное) уравнение в силу (2.2) и (2.3) эквивалентно системе двух уравнений

, Q) = 0, (М, Q) = ?г+1Цг+1 + . . . + Чп^ = 0.(2.6)

Желая подчеркнуть номер уравнения нормальной формы, к которому относится Q, будем снабжать Q соответствующим индексом. Второе уравнение (2.6) имеет только такие решения Q (= 9RV, что

Q, = 0, если v Z.

При v )> Z решения второго уравнения (2.6) (буде они существуют) таковы, что

Q" = е,- — е„, если ц; = щ,,(2.7)

ИЛИ т

Qj = У| Qj^j Суj=z+l

(7, > О, I + 1 < nt < v, pm < pv, ^ q^j = pv). (2.8)

Итак, если v ^ Z, to qul = . . . = qH = 0, t. e. yWl . . . . . ., yn входят в ф; (см. (2.4)) с нулевыми показателями степени. Следовательно, ф; не зависят от у". Если v ^> Z, то Q^ имеют вид (2.7) и (2.8). Этим Q и отвечают члены, выписанные в (2.5). Т е орема доказана.

Рассмотрим частные случаи применения доказанной теоремы.

Пусть Z = 0 и 0 < р.1 < . . . < цп. Тогда отсутствует подсистема (2.4) и коэффициенты рядов в (2.5) являются константами, сама же нормальная форма треугольна

Ум = кУм 4~ ^"Ь^. . . Q„_j71 • • • Ум-1

(v = 1, . . ., п),(2.9)

где сумма берется по всем целым неотрицательным qb . . ., q»-i таким, что

A.v = q^ -J- . . . + д^Х^

(?!+...+ q^ > 2; v = 1, . . ., n).(2.10)

Эта нормальная форма была получена Г. Дюляком [348]. Уравнения (2.10) имеют конечное число решений (в условиях теоремы Пуанкаре п. 1.3 — ни одного решения). Поэтому правые части нормальной формы (2.9) являются полиномами. Уравнения (2.9) последовательно решаются в квадратурах.

Пусть Xj = . . . = Хг = 0. Интегрирование нормальной формы (2.4), (2.5) сводится к двум этапам: решению системы Z-ro порядка (2.4) и последовательным квадратурам, как в случае а).

Случай, когда имеется nt пар чисто мнимых (0 < m <" V2Z) и Z — 2m нулевых собственных значений Х} (см. [234к], гл. I, § 2, ц. II, стр. 151).

Если Z = п, то теорема не дает никаких упрощений.

Понятие о степенных преобразованиях. Речь идет о возможности с помощью бирациональных преобразований

z, = у”'1*... у“^ (v = l, ...,п)(3.1)

^j — вещественны, А = || а^ ||”, det А ^ 0)

понижать порядок нормальной формы (1,2.4). Каждому коэффи-

циенту g^ Ф 0 в (1,2.4) ставится в соответствие точка Q п-мерной целочисленной решетки SR = SRi U Ж2 U . . . |J 9Rn. Множество таких точек обозначается © (Gq), т. е. множество © (Gq) в 9R определяется условиями

(A, Q) = 0, Qe®v, Gq = (g1Q,. ..,gnQ)T^0.

Обозначим

и запишем систему (1,2.4) и преобразование (3.1) соответственно в виде

/^-:=Л+ У, Gq exp (In у, Q),.

-QE®(Gq)

In z = A In у.

При преобразовании (3.1) член yQ преобразуется в

yQ = exp (In у, Q) = exp (A-1 In z, Q) = exp (In z, A-1*Q) = zA-1*Q и поэтому будем иметь

^_А£^ = АЛ+ У AGqzA^'Q.atatx

Qe$(Gq)

Введем обозначения

P = A^Q, GP = AGq(3.2)

и запишем последнюю систему в виде

^Л = АЛ+ У, GPzp.(3.3)

РЕ® (Ер)

Множество © (Gp) таких точек Р, для которых GP Ф 0, получается из © (Gq) линейным преобразованием (3.2),

© (GP) = A-1© (Gq).

Система (3.3) не обязательно принадлежит к тому же типу, что исходная (имеется в виду аналитичность в окрестности нуля). Но если она аналитична в окрестности нуля и исходная система является нормальной формой, то (3.3) — тоже нормальная форма " (при целочисленной матрице А).

Возможность понижения порядка определяется теоремой А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 2, п. I):

Пусть d — число линейно независимых Q ЕЕ 9R, удовлетворяющих уравнению (Л, Q) = 0. Существует бирационалъное преобразование (3.1) с целочисленной унимодулярной матрицей А (av; — целые, det А = +1), переводящее нормальную форму (1,2.4) в систему (3.3). Первые d уравнений этой системы'образуют систему порядка d, а остальные — сводятся к квадратурам.

Способы эффективного построения матрицы А приведены в статье (234в].

91 + • • • + 9п91 + • • • + 9пПОПОТеорема А. Д. Брюно о сходимости и расходимости нормализующих преобразований. Выделим в нормализующем преобразовании (1,2.2) ряды (1.2) по резонансным членам. Сформулируем, следуя (234к] (§ 0, п. II), условия и, ш и А. Положим и^ = min | (Л

91 + • • • + 9п

91 + • • • + 9п

ПО

ПО

Условие и

(4.2)(4.2)vi In са

(4.2)

(4.2)

к=1

Условие соУсловие со— 1п “к11 m ——— ^оо.— 1п “к11 m ——— ^оо.

Условие со

Условие со

— 1п “к

11 m ——— ^оо.

— 1п “к

11 m ——— ^оо.

Переходя к условию А, напомним, что всюду здесь предполагаются выполненными неравенства (2.1). Обозначим, как и в п. 2.1, через Х1Т . . ., Xt (0 ^ I <_ п) те из Х^, которые лежат на мнимой оси.

Условие А': Существует такой степенной ряд а (уг, . . ., у^, что в (2.4)

^7 = Х}У)а U = !, • • •- 0-

Перейдем к условию А". Будем различать два случая:

1*) числа Хъ . . ., Xt попарно соизмеримы,

1**) среди этих чисел есть хоть одна пара несоизмеримых.

Условие А”. Если Л относится к случаю 1*, то в (2.5) ряды ^hj (^, / — ^ +1, . . ., га) произвольны, если же Л относится к случаю 1**), то существуют еще такие степенные ряды аи1, . . . . . ., ап от уг, .-. ., уь что;

Если Q ЕЕ 9R, (М, Q) = 0, то q^a^t -Н . . . + q^a^ = 0,

Нилъпотентна (п — Z) X (га — Z) матрица

В = Ц bhj — 8hj (Xha + a^) ||Г+1

(б/,; — символ Кронекера), т. е. В'1-1 = 0.

Условие А (в рассматриваемом здесь случае выполнения неравенств (2.1)) — это условия А' и А" одновременно.

Теорема А. Д. Брюно о сходимости и расходимости нормализующих преобразований ([234к], гл. II, III).

Если у сходящейся системы, (1,1.1) Л удовлетворяет условию со и некоторая нормальная форма (1,2.4) удовлетворяет условию А, то преобразование (1,2.2), переводящее (1,1.1) в (1,2.4), является сходящимся тогда и только тогда, когда все ряды (1.2) сходятся в некоторой окрестности нуля.

Если для нормальной формы (1,2.4) не выполнено одно или оба из условий ю и А, то существует такая сходящаяся система (1,1.1), для которой система (1,2.4) является нормальной формой и всякое преобразование которой к нормальной форме является расходящимся.

Для примера вернемся к теореме Пуанкаре (п. 1.3) для случая вещественных систем, т. е. когда прямая К — мнимая ось. Очевидно, что условие А в этом случае «пусто» (выполнено автоматически), а (см. (4.1))

coft = min | q^ + . . . + gnXn | > min | Re X„ | = const > 0,

и тогда в левой части неравенства (4.2) получим также константу, т. е. условие со выполнено. Поскольку нормализующее преобразование в условиях теоремы Пуанкаре к тому же однозначно, то по п. 1) сформулированной выше теоремы оно сходится в некоторой окрестности нулевых значений.

Практический способ вычисления коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы

Основные тождества. Допустим, что колебательная система описывается вещественной автономной системой дифференциальных уравнений и-го порядка. Будем предполагать, что эта система приведена к диагональному виду и правая часть ее — аналитическая в некоторой окрестности нулевых значений с комплексными, вообще говоря, коэффициентами

-^- = Кх„ + yajhXjXh +?b'-h1ixjxhxlcJr .. . (v = 1,. .. ,п).(1.1)

Здесь и всюду ниже суммирование ведется по два раза входящим индексам, принимающим значения 1, . . ., п, а коэффициенты симметризованы, т. е.

ак) = 0,^ ь4^ = i. d. J) (v, 7, h, k = 1, . . ., и)

и всюду {ар . . . со} — любая перестановка чисел а, р, . . ., со.

По основной теореме А. Д. Брюно (п. 1.2), существует обратимое (но, вообще говоря, неоднозначное и в некоторых случаях —

R idem (то же самое — лат.).

расходящееся) нормализующее преобразование с комплексными, вообще говоря, коэффициентами

«з = Уз +Уа.1тУ1Ут +У^1трУ1УтУр + • • •(1-2)

(От, = а,т, Р^тр)—i. d.; /, I, т, р = 1,. .., п), приводящее систему (1.1) к нормальной форме

=+51 В^Ух.-.уУ (v = l,...,n).(1.3)

(A, Q)=o

А и Q — векторы с компонентами Хи . . ., Хп и дг, . . ., дп соответственно, при этом последние суть целые числа:

^ > —1, д5>0 (j=#v), дТ + • • • + qn>i, (1.4) ^q — общее обозначение для коэффициентов нормальной формы. Суммирование в (1.3) происходит только по резонансным членам, удовлетворяющим резонансному уравнению (см. (1,2.1))

(Л, Q) = дуХу + • • • + УпХп = 0.(1.5)

Симметризуем коэффициенты нормальной формы (1.3) и запишем ее в виде

^7 = ХмУм + ^д^тУЙт + ^Х^УзУтУр + • • • (v = 1, . . . , п)

(1.3а) (фт^фгт, Xpmp} = i. d. V, I, TH, Р = 1, . . . , п).

Разумеется в представлении (1.3а) отличные от нуля коэффициенты ф^щ, Xzmp, • • • определяются представлением (1.3). Замена (1.2) переводит систему (1.1) в нормальную форму. Ограничиваясь членами до третьей степени переменных включительно, получим формальные тождества (штрих — производная по т)

Ум + "21 aim (УзУт + УзУт) Л-^&Зтр^УгУтУр + УгУтУР + УзУтУр^- • • = = ХмУм + XM^a.imytym + X , 2 Р/трУгУтУр +

+ S4(уу + З^-тУгУт) (ул + За/тУгУт) +

+ ^bjh!iyjyhylt+. . . (v = l,... , п), где точками обозначены члены не ниже четвертой степени переменных. В силу (1.3а) будем иметь отсюда

S ^гтУгУт + 3 ХЗтрУзУтУр + 3 alm K^z + Хт) УгУт + Ут S ^зрУзУр + + Уг 3 ФзрУзУр] + 3 Pzmp(^z + Хт + Хр) УгУтУр + • • • =

= Хм УрктУгУт + хч 2 ^трУзУтУр 4" 3 а$кУзУк + 3 Я-Зк^тУзУзУтЛ" ' + 5>^а^УАУгУт + 3^/1кУ?УАУк+ ...(v=l,...,n).'

Изменяя индексы суммирования и симметризуя коэффициенты в суммах, получим основные тождества

2 ФьтУгУт + 2 ХтрУ^тУр +

+ 4" У) (4фтр + «Дпфрг + а/рфУ УйтУр +

+ 2 (^Z + ^-т “ ^ а^тУ1Ут + 2(^-1 + У + ^-Р — ^ &трУ1УтУр + ••• • • • — 51а1тУ1Ут + 2 ^т^ИУтУр +

+ -|* У, (аД“тр + ajmOpZ + ^рИ/т) УШтУр + • • •(1-6)

(V = 1, ..., ге).

Вычислительная альтернатива. Введем символы

{

1, если л^ = ^j ^т’

0, если Xv ^= Xz + Xm;

v fl» если Хч = Xz + Xm+ Xp, Д,тр = t 0, если Xv^ Xt + Xm + Xp( - )

(v, I, m, p = 1,. .., re).

Имеет место следующая альтернатива:

Допустим, что значения v, I, т, р (и реальных параметров исходной колебательной системы, от которых зависят У Хь Хт, Хр) таковы, что круглые скобки в четвертой, а затем в пятой суммах (1.6) отличны от нуля (Д/т = 0, а затем Д?тр = 0). Сравнивая члены с произведениями ytym, а затем с yiymyP в левой и правой частях основных тождеств (1.6), заметим, что при сделанном допущении таковой член из первой суммы, а затем из второй суммы слева заведомо отсутствуют. Действительно, обращаясь к представлению (1.3), запишем член с у;ут первой суммы в виде

У^тУДтУ^-

Для этого члена (A, Q) = Xt • 1 +Xm-1 + Х^-(—1) ^ 0 в силу сделанного в начале 1) допущения, а согласно (1.3) в первую сумму слева в (1.6) входят только те члены, для которых (A, Q) = 0. Аналогично устанавливается отсутствие члена с yiymyp во второй сумме (1.6) при сделанном допущении. Будем иметь, приравнивая в (1.6) коэффициенты при членах второй степени переменных

“"’WT’<2-2>

а затем, при членах третьей степени, п

P?mp = "^ 4—X | X X ^^Р3~ ^^J ^Я^^Р + ^jmOpZ 4~ G-jpO-im

(ttji^mp 4™ CLjm^pl 4“ ^^рф^т)] j- .(2.3)

Подчеркнем, что формулы (2.2) и (2.3), как это уже оговорено, справедливы для тех значений v, Z, тп, р из 1, . . ., га, для которых знаменатели формул не обращаются в нуль.

Допустим, что значения v, I, тп, р (и реальных параметров исходной колебательной системы) таковы, что круглые скобки в четвертой, а затем в пятой суммах (1.6) равны нулю (А/т = 1, а затем ^тр = 1). Это означает, во-первых, что соответствующие значения a,im, а затем Pimp, могут быть выбраны любыми, в частности, нулями, или определенными по непрерывности по значениям реальных параметров. Это обстоятельство отмечалось ранее (см. условие б) в конце доказательства основной теоремы А. Д. Брюно, п. 1.2 и начало п. 2.1). Во-вторых, при сделанном допущении имеем (A, Q) = 0. Из сравнения членов с угут, а затем с У1УтУр в левой и правой частях основных тождеств (1.6) теперь определятся симметризованные коэффициенты нормальной формы (1.3а): ф^, а затем Ximp- Будем иметь

ф/т = ^(Цт (V, I, т = 1, ... , га),(2.4)

71.•

Xhnp = ^1тр ^Ь?шр 4$~[^'г^тр -|- йзтгДр! 4“ ttjptttm

— (а^фтр 4-«утфрг 4-аурфгт)]} (v, l,m, р = 1,..., п).(2.5)

Подчеркнем, что формулы (2.4) и (2.5) хотя и получены для случая 2), справедливы при всех значениях индексов, именно в случае 1), они в силу обозначений (2.1) дадут нули для соответствующих значений v, I, m и р.

Покажем, что если в рамках случая 2) выбрано х) а/m = 0 (Х„ = Хг 4- Хт), то все слагаемые в круглой скобке (2.5) равны нулю. Покажем, например, что а/(фтр = 0 (/ = 1, . . ., га). Допустим сначала, что А^р = 0; тогда из (2.4) следует, что фтР = = 0 и наше утверждение справедливо. Остается рассмотреть случай А^р = 1, т. е.

^/ = ^т 4" ^р-(а)

г) При таком выборе будем иметь, очевидно, Д^а^ —0 (v, Z, m=l, ... • га)-

В» нашем случае 2) имеем Д"тр = 1, т. е.

'К = ^ 4" ^т + Хр.(б)

Вычитая из (б) равенство (а), получим Х„ = X,- + Х;, т. е. Дд = = 1; в силу обусловленного выбора имеем ад = 0, т. е. опять-таки адфтр = 0 (/ = 1, . . ., га). Для остальных слагаемых в круглой скобке доказательство аналогично, ибо они получаются из первых слагаемых круговой перестановкой букв.

Итак, если все произвольные квадратичные коэффициенты нормализующего преобразования выбраны нулями, т. е. если

Щт = 0 при Д*т = 1,

или если квадратичные члены в нормальной форме отсутствуют, то формула (2.5) упростится'

Xlmp = Д(тр ^(тр 4 g~ ^^ [ЯдОтр 4" <ljmOp! 4" «^аЦ (2.6) 3=1

(v, I, m, p = 1,..., ra).

Общая процедура определения коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы содержится в доказательстве основной теоремы А. Д. Брюно (п. 1.2). Предлагаемый здесь способ представляется нам предпочтительным для приложений в задачах колебаний, почему он и назван практическим.

Основные тождества в общем виде и их преобразование. Унифицируя обозначения в исходной системе диагонального вида (1.1), нормализующем преобразовании (1.2) и нормальной форме (1.3а), запишем их соответственно в виде

■ Д! = Х„ж„ 4- ^^ ^jiii^ji^ii 4" • • • 4" ^^ а31--3х%з>* • • "^iz 4" • • • (v=l,...,ra),(3.1)

эс, = у, 4- 2 ^УьУь 4- • • • 4- 3 «К-кУп ■■■Узх + -“

(v = 1, ..., га),(3.2)

-^ = Ку, 4" ^ ^МгУНУЗг + • • • 4" У\ Ч>31...3ХУ31 • • • Узх + * * *

(v = 1,..., п).(3.3)

Напомним, что коэффициенты всюду симметризованы, т. е. не изменяются при произвольной перестановке нижних индексов:

^(л-.-Зх) — Зч aUb..?x) —3-, Vui-V — i- 3.(v = 1, . . ., га; х = 2, 3, . . . ),^(л-.-Зх) — Зч aUb..?x) —3-, Vui-V — i- 3.(v = 1, . . ., га; х = 2, 3, . . . ),(3.4)

^(л-.-Зх) — Зч aUb..?x) —3-, Vui-V — i- 3.

(v = 1, . . ., га; х = 2, 3, . . . ),

^(л-.-Зх) — Зч aUb..?x) —3-, Vui-V — i- 3.

(v = 1, . . ., га; х = 2, 3, . . . ),

а суммирование там, где не обозначено, происходит по два раза входящим индексам от 1 до п независимо один от другого.

Будем употреблять и свернутую запись

йх ”-

= 2 S Н-А(v = 1,. .., nV (3.1а)

х=1■

2 3<Ч-.2хУ2.---У2х(v = l,...,n),(3.2а)

Х=1-

т^-2 2<л-л <v-i.....»).(з.з=)

Х=1

где

а- = XV6V,-, a) = 6V?, q>j = XV6V;,(3.5)

a 6», — символ Кронекера: 6VV = 1, 6^, = 0 (/ ^ v). Подставляя (3.2) в (3.1), получим в силу (3.3) следующие формальные тождества (основные тождества в общем виде)

^У» + 2 ФмУдУь + • • • + 3 Ф^-ДхУл •••У)x+•••

• • • + 2 ^л №» + УлУл) + • • • + 3 “з'-Зх (№ •••У;х+---

• • • + У1. • • • У^-дУ^У^! • • • У1* + • • * + Ул • • • У)х-1^х) + • • • =

= Х.у. + X, ^ а.мУз.Ук + • • • + К 2 «к-кУз* •••У1х+"’

• • • + 2 а№ Q а’лУд + • • • + 2 «д лУл • • • Ул + • •

21 1121—26 2126

. -+ 2«д .1 Ул-'-Ул Н~ • • •) (3^зУз + • • •31-"Зк-! 21 Зк-121 21

• — + 2ал лУ д • • • Уз + • • • + 2 ад .2 Уд •••У.2 ) + 21-26 2126lv-Зк-Л 21 Зк-1

. . . + 2 ah..-3x ^Т^лУл + • • • + 3 ал лУл- • • Ул + • • ■21 2121- -26 2126

• • + 2 «д д Ул • • • Ул + . . .) X . . .21—2к-х+1 212/c-x+l.

• • X (2 а .хУ .X + . . . + 2 а .X ,хУ .х • • • У .х + • • •

21 2121--26 2126

• • + 2 °^х .X Уд • • - У ,z21--2/С-Х+1 212/c-x+l

(V = 1, . . . , п).

Быцишем в этих тождествах члены с /с-й степенью переменных,

учитывая (3.3),

к—1 х

S ^...ЗкУй • • - Узн^ S 3 . S а31-.-зхУз« • • • Уз'у-гУз^ • • • Узх X x=2V.=13i,-,3x

X S Ф^ .У Уу----Уу +

.11 ,Ц 11-->к-х+1 111к—х+1'

. 3iv,3k-x+l■

+ S (^7. + • • • + ^-зк) аЬ -}кУ^ - 1 1 У1к = ^v S “dL.^y/i • • • Узк +

к—1..

+ S S ай..лх S S ал л.х х

х=2гъ...,гхр.14-...4.р. =/с 1 х Лг-ф, ’V-’lSt

X Уд Уд . . . У.х • • • У.х +2 а^Узг • • • Узк (V = 1, . . . , п), (3.6) 11^11 Зр-ХК*

где pn . . ., р^ — натуральные числа.

Теперь мы хотим сравнить коэффициенты при ул . . . yjk, где /и ■ ■ и jk — любая фиксированная последовательность из натуральных чисел, не превышающих п. При этом образовавшиеся в ходе вычислений несимметричные коэффициенты должны быть симметризованы, ибо определяемые коэффициенты подчинены условиям (3.4). Во втором члене слева тождеств (3.6) в каждом сла

гаемом суммы 2 заменим индексы суммирования следующим об- p=i

разом: 7\, . . ., 7"li_1, y^+i, . . ., /х соответственно на ib . . ., ix-i; индекс у^ заменим на i, индексы 7^, . . ., 7£_х+1 заменим соответственно на ix, ix+i! • • •> ih- Становится очевидным, что все слагае

мые суммы 2 одинаковы и поэтому представим эту сумму как Н=1

х раз взято одно из слагаемых. Для симметризации последнего рассмотрим все сочетания рг, . . ., px-i по х — 1 натуральных чисел из 1, . . ., к (их число обозначим CJ-1). Наконец индексы суммирования iPl, . . ., $р обозначим через 7Р„ . . ., jp^, а оставшиеся из индексов ib . . ., ik обозначим через 7Х, 7х+1, . . ., fk.

Итак, мы проделали преобразования

S S «Л-лУн .н Ун • • • Узи.-! X

У=1 .. .Р-.Р-3i—3k-x+iг 1

' 31,•■•,3х' 31 ,...,)к-х+1

X У,-^ • • • yixyv -..У>= %. S . «1 .л,^ <pL А^ •••Уч =П Эк-х+1гX У,-^ • • • yixyv -..У>= %. S . «1 .л,^ <pL А^ •••Уч =П Эк-х+1гпп•Узк (v-l,...,n).(3,7)•Узк (v-l,...,n).(3,7)

X У,-^ • • • yixyv -..У>= %. S . «1 .л,^ <pL А^ •••Уч =

П Эк-х+1г

X У,-^ • • • yixyv -..У>= %. S . «1 .л,^ <pL А^ •••Уч =

П Эк-х+1г

п

п

•Узк (v-l,...,n).

(3,7)

•Узк (v-l,...,n).

(3,7)

Здесь 5^*’ -^Px-i обозначает суммирование по всем сочетаниям по х — 1 натуральных чисел, из 1, . . ., к. Заметим, что числа /р,, . . . • • • ’ А>х-х могут быть (и притом даже все) одинаковы, ибо они (впрочем, каки /х, 7х+1, . . ., А) пробегают при суммировании значения 1, . . ., п независимо друг от друга. Что же касается индексов у i или у /, то все они различны — вот почему типом соединений являются сочетания..

Перейдем к преобразованию второго члена справа в (3.6). Заменим индексы суммирования Д, . . ., 7^, . . ., j*, . . ., j£ (p,j + + . . . + цх = £) на Д, . . ., Д. Для симметризации коэффициента при yjv . . yik рассмотрим все сочетания pi, . . ., р^., по Цх натуральных чисел из 1, . . ., к (их число обозначим С^1), затем все сочетания р^+х, . . ., №1+|^ по ц2 натуральных чисел из оставшихся к — р,х натуральных чисел 1, . . ., &\ рг, . . ., р^ (их число обозначим C^J и т. д. Вплоть до сочетаний Pk-Hx-Hx-i+i’ • • • . .., Ph-p.x по р.х—1 из оставшихся Цх-i + Цх натуральных чисел 1, . . ., к \ plt . . ., р^,, р^+х, . . ., Pk-vvPx-i (их число обозначимИтак- мы проделали преобразование

rx-l+rx

2 а .1 А • • • «х .х У .1 • • • У .1 • • - У .х • • • У .х =

= У 15Р*-Их-Их-1+1^^х х

A• С^"11^--^-Нк-Нх-Х• • •

Л^ч}ц К «—1*1^х-х+^х

v qPHi+I’-.РЩ+И, qP*РН> iii.v

• • • k 'P*"-^ 'PH.+X-^PH.+H, X ‘

• 1 1x aiPk-V’x-V’x-i+i"-ipk_y.^1ipit_y.x+1-"iPi^i1 '"' ^5k‘(3-8)

Здесь ^p*»—^i обозначает суммирование по всем сочетаниям по Цх натуральных чисел рх, . . ., р^, из 1, . . ., к; Si, ..,n\pt,./.,pp.l — суммирование по всем сочетаниям по ц2 натуральных чисел ру.1+1, . . ., 7?jx1+jxt из оставшихся к — Цх натуральных чисел !,...,& \ рх, . . ., р^ и т. д.

Теперь, используя (3.7) и (3.8), запишем (3.6) в симметризо- ванном виде

1п п

УI Vil- зкУн • • -Узк + УI Cx-1У1 У1 “ipi-ipx-i1 Х

Х=2 кi=l 11,...,Зк=1

к—1nfn

= 2а71-.)кУ)1 • • • У)к + 222 X

кх=2Йix=l Н+...+Нх=» Л,-,7к=1

V оРА~1лх-1Лх-1+1’"’Р,НЛхоРр.1+1,-..,Рр.1+р.2 у

с^_..с^-11^-..„Pk-^v 1

к к—1 Px-i+rx „PiPu., Li.

X Si . к «i* .«1-X . . .

X QjX1i СЦХ i • • • Узь (3.9)

’Pk-Px-^x-i+l""’Vk-v-x ’Pk-v-^l-’p^31 a,l£ V

(v = 1,..., n).

3.4. Вычислительная альтернатива в общем случае. Введем СИМВОЛ

{

1, если Xv = Х,\ + . .. + Х,к,

О, если Xv Ф X3t + • • ■ + Х3к^'

(v,/i,... ,jk = 1, • • •, и).

Справедлива следующая альтернатива.

Допустим, что значения v, ]ъ . . ., /й (и реальных параметров исходной колебательной системы, от которых зависят Xv, Xjt, . . ., Xjk^ таковы, что круглая скобка в последней сумме левой части тождеств (3.9) отлична от нуля, т. е. А),.... $ = 0. Сравнивая члены с у31 . . . У), в левой и правой частях тождеств (3.9), замечаем, что при нашем допущении соответствующий член из первой суммы слева заведомо отсутствует. Действительно, обращаясь к представлению (1.3), запишем член с у31 . . . у3к в виде

Уv'^Pjt,}кУji ••• УзкУ^ •

Для этого члена (Л, Q) = Х71-1 + . .. +Ч>' ^ + ^‘(—1)^0» а согласно представлению (1.3) в первую сумму слева (3.9) входят только члены, для которых (Л, Q) = 0.

Приравнивая в тождествах (3.9) коэффициенты при у31 . . . . . . У] , получим формулу для коэффициентов нормализующего преобразования (3.2):

(4.2)(4.2)1 — А ■

(4.2)

(4.2)

^--ЧО'*

Ч-Л- Х.+...+Х.д_Х/л..Л

7а = !,•••. ").7а = !,•••. ").(Ъ1 + • • • + Xjk — Xv ^= 0; v, /1, . . .,

7а = !,•••. ").

7а = !,•••. ").

где к—1 п

=1 c^x-i хх=2 ii,...,ix=iМ-...+Рх=к vk• • • ^Рх^+Рх

„ РЛ-Рх-Рх-1+1”к-Нх QPp,+i-Pp1+p2 vл ^XP.-.P/c-^x-^-i ' " '•*ХРь-.>Рц1 х

х sf k^ai' j a?x

Зрг-^рц, ,Pp,+i""3Pp1+pz’Pk-Px-Px-i+l"'3^-^

xa> 5 - -2L_SP-.. ->Px-iy’, л (4.3)

’Pk-v-x+i-^k c*"1 1k 4-1Wx+r-.^/ v

(v, /1, . • ■ , jk = 1, . . ■, n\

Допустим, что значения v, j\, . . ., j\ (и реальных параметров исходной колебательной системы, от которых зависят Х„, XJt, . . . . . ., Х3 ) таковы, что круглая скобка в последней сумме левой части тождеств равна нулю, т. е. А),...,^ = 1- Это означает, во-первых, что величина а^.,3к может быть выбрана любой, в частности, равной нулю или определенной по непрерывности по значениям реальных параметров. Во-вторых, сравнивая члены с у31 . . . . . . г//„ в левой и правой частях тождеств (3.8), получим теперь формулу для симметризованных коэффициентов нормальной формы

= А,-,...^,...^ ^ha---ak = V--,™Y (4.4)

Резюме. ^х..4к в обеих формулах играет роль «сторожа». Действительно, по формуле (4.4) при ^,...3; = 0 имеем фдл.;, = = 0 (случай 1)). При Ад...^ = 1 (Х,-,+ . . . + Х3к — X, = 0) дробь перед квадратной скобкой в формуле (4.2) теряет смысл, превращаясь в неопределенность — мы хотели напомнить читателю, что при этом значение aj,...,- может быть выбрано любым.

Поясним еще раз обозначения в формуле (4.3). Величины о^... jk (и а^... ixY a)p... 3q, ф)'^ суть симметризованныекоэф

фициенты исходной системы диагонального вида (3.1), нормализующего преобразования (3.2) и нормальной формы (3.3), при этом ah = 6jh, фл = X36jh (63h — символ Кронекера). Формулы (4.2) и (4.4) рекуррентные — величины а и ф, в них входящие, суть коэффициенты до (к — 1)-х степеней включительно. Числа р15 . . ., ph-i—натуральные, С1т — число сочетаний из т элементов по Z; «Sx .... к означает суммирование по всем сочетаниям ри ... . . ., ру., по р! натуральных чисел из 1, . . ., «> Д117..,)С\Р1,...,ру1озна-

чает суммирование по всем сочетаниям /)ц,+1, . . ., Рц^ч по ,ц2 натуральных чисел из оставшихся к — рг натуральных чисел 1, . . . . . ., к \ ръ . . ., рц, и т. д. Наконец, через /х, jx+1, . . ., jk обозначены оставшиеся из индексов ]\, . . ., jk за вычетом индексов 7р„ • • Ч 1PX-V

3.5. Замечание о переходе от симметризованных коэффициентов к обычными Пусть индексы ]ъ . . ., jh (принимающие, вообще говоря, значения из 1, . . ., п независимо друг от друга) расположены так, что первые х (1 ^ X ^ &) различны и пусть ]г встречается т^ раз, . . ., /х встречается mjx раз (т51 + . . . + т,х = к). Число N различных размещений этих индексов равно

N = —г.(5.1)

Это означает, что в сумме п

ЧЧ—1

будет всего N подобных членов, содержащих xjv . . xjk. Поэтому N и есть множитель при переходе от симметризованных коэффициентов к обычным, т. е. когда все одночлены в сумме различны.

Формулы для коэффициентов при четвертых степенях.

При к = 4 формула (4.2) даст

^МгЫ*= аМ2Ы* 4 2~№аМ»Д ^ПйгФййй 4~ ба^а^

i—1

^“з^Фйй) 4 g~ У\ Sa^a^ay, (v, j\, j2, J3, /4 = 1, . . ., n). i, h=l

Здесь S означает сумму по всем сочетаниям индексов у / в первом сомножителе из чисел 1, 2, 3, 4. Для первых двух сумм это сводится к круговой перестановке индексов 7’4, j2, j3, ц, для остальных сумм у первых сомножителей индексы ]\j2 заменяются последовательно на 7J3, 7474, /Jg, 7J4, 7з74. Будем иметь для симметризованных коэффициентов нормализующего преобразования (1.2) по формуле (4.1)

'1 _ ДУ. . .

a3i3ii=3*+ К-г + Xjs +— Xv^2’ 7з, 74 —п7,

где ^у^ определены в (4.1). При кь + Хл + %л + Хл — Х^ = = 0 соответствующие сс^д,-^ могут быть выбраны любыми. Наконец, формула (4.4) даст симметризованные коэффициенты нормальной формы (3.3а)

^ЗУаЗай = ^Зй23аЗ«.®3131Ы»(v> 71, 7г, 7з, 74 = ^> • • •> nY

Случай непростых элементарных делителей матрицы линейной части. Предположим, что линейная часть произвольной автономной аналитической системы обыкновенных дифференциальных уравнений приведена к жордановой форме

d.x°°

-^- = Ха 4- ЙА+1 4" ^, ^, ^у-Зх^З!'"^^(7-1)

Х=2

(v = 1 ,. . ., п;6п =0).

Вектор Л = (X, ,. . ., Хп) предполагается имеющим хотя бы одну ненулевую компоненту; 6i ,. . ., 6n_j равны нулю или единице соответственно при отсутствии или наличии непростых элементарных делителей. Все коэффициенты степенных рядов (равно как и Xj ,. . . . . ., Хп) предполагаются комплексными числами, а сами ряды — сходящимися в некоторой окрестности начала координат. Коэффициенты при степенях выше первой предполагаются симметри- зованными (см. п. 3.3). Нормализующее преобразование представим в симметризованной форме (3.2). Оно приводит систему (7.1) к нормальной форме А. Д. Брюно ([234к], § 0, п. II и гл. I, § 1, п. I) 1)

~ = Xvyv 4- 6,у,+1 4- у, V gvoy^-.-yn" (7.2)

(ДГО)=о

(v — 1, ... , п; 6П = 0)

или, в симметризованной форме (все обозначения см. в п. 3.3.), ^ = Х,у, 4- 6vyv+1 4- ^^V-ixVix - 4ix С7-3) х=2

(v == 1, . .., п; 6П = 0).

Подставляя (3.2) и (7.1), получим в силу (7.3) аналогично началу п. 3.4 формальные тождества

2 2 .Узх + 2 . 2 . 2 »Зг.ЛхУ1\ - Уз^_ХУз\хУз^-У5х =

х=»ЗхЗхх=2)12x^=1

..,п; 6„ = 0>...,п; 6„ = 0>.= Xv 2 2 -ЗхУз^ ••• Узх + $v 2 2 ^Зу-ЗхУЗх ••• Узх + x=2j1Зхх=2згЗх

..,п; 6„ = 0>.

..,п; 6„ = 0>.

+ 2 2 °?г

х=2зу.,.,з'х

(v = 1,

4 В записи А. Д. Брюно в жордановой клетке единицы расположены ниже главной диагонали, в нашей записи — выше.

Выпишем в этих тождествах члены с к-й степенью переменных; учитывая (7.3), будем иметь аналогично (4.1)

к—1X

. 3 ^...№-^ + 3 . з ^ ^Уч-У^х

Зр.-мЗ^х—» J^viJx Г—-1

Ху^-У^ 3q/£ ,ц У,Р----У.у+

з*’i - ’k-x+i ^-х+1

Ч’ ик-х+1

к

4" 3 ^г-о’к S У4 ••• У^^Унг-п"- Узк^зрУзр*з =

>iЗк Н=1

к—1

= Sv 3, аЗг--ЗкУч "‘ У)к "^ . 2, азг.-зкУч ••• У)к + 3.3. °ir..4x X

31ЗкЧ’"-,3*х^1!-"-’1*

X 33 «Л Д.хУд-Уд ...Ух...Ух

Уч+...-НЧ=к -I л ’i-^, й"гНх Ч31 ^х

(v = 1, ..., п; 6П = 0),(7.4)

где у^ ,. . ., ph_] — натуральные числа. Предшествующая сравнению коэффициентов при у^ . . . yjk симметризация несимметричных коэффициентов здесь проводится совершенно аналогично п. 3.4. В результате тождества (7.4) запишутся в симметрйзован- ном виде аналогично (3.9):

. 3 IT?! ..^ + (^-4 + + ^Зк ~ ^ “k-’J ^Ч ^Зк +

’1зк=1 nк

+ . 3 ач--зк S ^1у.Уч"-yip-yyipA-v УзкУзу.*1

-Sv 3 а^г-зкУч-Узк= S ^ч-^-У^к (7-5)

Ч,-..зк=1ir--3k=i

(v = 1,..., га; бп= 0),

где В^...^ определяются формулой (4.3). Как подчеркивалось выше, все определяемые коэффициенты симметризованы. Из множества равных коэффициентов, отвечающих различным перестановкам нижних индексов, будем определять тот, у которого нижние индексы расположены в неубывающем порядке. Итак, предположим, что ji ^ у'г^- • . ^ 7k и допустим, что всеа^-...^ (7'1 ^ < 7а < • • • < 7k), Для которых /; < ]\, . . ., 7* < jk; h + ■ . ■ . . . + 7k < 7'1+ • • • + 7k, определены (v = 1 ,. . ., га). Приравнивая в тождествах (7.5) коэффициенты при у^ . , . у^, получим

систему из п алгебраических уравнений для определения а^-^ и Tii.;.ik (v = 1, п):

Ф/г-^ + (^ + ••• + ^jk — Xi) °jr.jk +.

+ [буа^гА + - + ^'X-Wk-il ~ М^ = ^г-^’ (7-6)

ф”г\ + (^1 + •" + ^Jk — ^п-1) ^^.^ +

+ [SJ a^-ijy .ik + - + ^kOj^k-ifr-il ~ ^-i0?!-^ = Biv\' ф£-?к + <4 + ••• + ^з\ ~ М а^..^ +..

+ [б/a?-^...^ ++ б^" ,.ik_^i] = 5"r..jk.

■ Здесь те из величин•

a-V^-i^-ik G^.---.^ v — 1,..., го),

у которых один из нижних индексов Ур — 1) обращается в нуль, равны нулю.

Система уравнений (7.6) решается шаг за шагом, начиная с последнего т) уравнения. При этом на каждом шаге имеет место следующая вычислительная альтернатива.

Допустим, что значения Х^,. . ., Х^ и п таковы, что круглая скобка в последнем уравнении (7.6) отлична от нуля. Заметим, что при сделанном допущении ф", ,..jk = 0. Действительно, обращаясь к представлению (7.3), запишем соответствующий член в тождествах (7.5) в виде

Для этого члена (Л, Q) = Х^-1 + . . . + Х^-1 + Хп-(—1) ^ 0, а согласно представлению (7.2) в нормальную форму (7.3) входят только те* члены, для которых (Л, Q) = 0. Итак, из последнего уравнения (7.6) будем иметь

Ч-’к = X,. + .. + Х- -Xn VB5r..ik — (6j Х-^-’к + '••

-+М.-*^ 4*=°)- (7-7)

Допустим, что значения Х^, . . . , X;k и Хп таковы, что круглая скобка в последнем уравнении (7.6) равна нулю. Это означает, во-первых, что величина a£...jk может быть выбрана любой, в частности, равной нулю или определенной по непрерывности

6 з]практический Способ вычисления121

по значениям реальных параметров. Во-вторых, последнее уравнение (3.6) даст нам теперь формулу для ф^...^:

Ч^г-Л = BVik — l^X-Va-Xt + - + 6jX-Wi-ib <7-8)

Переходя к предпоследнему уравнению (7.6), будем следовать этой же альтернативе:

„Я-11I Dn~l I А ~**

h-^ “+ -+Х,+

31Зк

- lM^2^ + + M^t-ilY ^Зк = °’ <7-9) если Х^ + ... + Xjk — Xn-i 4= ° и

^•^k = BV-3k * ^-^r-ik —

-I6^-^-^ + - + 6>Х?1^-щг1Ь aV-3k - любое> (7Л0> если 2^,^ + . . . + Xjk — Xn_L = 0.

Решения последующих уравнений (7.6) от (п—2)-го до первого получаются из (7.9) и (7.10) заменой п последовательно на п — 1, п — 2 ,, . . , 2.

Глава VI

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКАВ СЛУЧАЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Прежде всего выделяется тот класс задач, в котором нормальная форма имеет самый простой вид, доставляемый теоремой Пуанкаре (п. V,1.3), и представление решения задачи Коши в общем виде может быть осуществлено на каждом шаге приближения в эффективном виде. Сюда относятся демпфированные колебательные системы (асимптотически устойчивые по линейному приближению) с аналитическими нелинейностями общего вида. Результаты иллюстрируются в § 2 на примерах механических систем с одной и двумя степенями свободы.

Демпфированные колебательные системы

Приведение к диагональному виду. Рассмотрим механическую систему с к степенями свободы, описываемую дифференциальными уравнениями г)

2вКиК -]- юхмх =

= /х (U! ,. . ., ик) + фх (Й! , . . , йц) (х = 1 ,. . ., к). (1.1) Здесь fi ,..., fn и ф1 , . . ., ф* — вещественные аналитические функции своих переменных в некоторой окрестности нуля, разложения которых начинаются для fi ,. . ., А с членов второго порядка, а для Ф1 ,. . ., ф* — с членов не ниже второго порядка:

сох > ех > 0 (х = 1 ,. . ., к).

Случай, когда для некоторых х' имеем ех- > юх- > 0, можно рассмотреть отдельно.

Приведем линейную часть системы (1.1) к диагональному. виду, введя новые переменные

xi = ' '^ ' (^-)Ы1Л — йр|) 0 = + 1, • • •, + &)»(1-2)

1?1

х) Можно в (1.1) справа вместо /х + фх ввести Гк (ии ..., ик, ®lt ..., й^).

§

где i = V — 1»

X, = — eb1 + *гш sign/ (/ = + 1,. . ., =р й), rx = + V®х — е® (х = 1 ,. . ., к).

Очевидно, что Х_х = Хх, х_х = Жх (отрицательные индексы введены для удобства дальнейших вычислений), и

(^—х “Ь ^х)Re жх,

. 1,(1-3)

йх — “2“ (Х-ХЖ-Х -f“ Ххггх) — Re (Ххях) (х — 1,.»., /с).

В новых переменных система (1.1) примет диагональный вид

*i = ^ixi — 7^- sign 7[/|Л (4"(^-i + xi)> • • •> 4“^ + ^ +

+ Ф|Л ^~2~ (^-i^i + ta^i), • • 4~2-(X-kX-k + X^^^j(1-4)

(7 = + 1+ к).

Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования. Поскольку ХТ1 ,. . ., XTft расположены в левой полуплоскости, то условие 2), п. V,1.3 выполнено и остается лишь одно условие 1) теоремы Пуанкаре:

Xy^SpnXn3 Рп >(2.1)

—к'-к'

при любых целых неотрицательных р^. Это условие очевидно выполнено при 61= . . . = ак = е > 0; при различных положительных 8! ,. . ., ек будем считать его выполненным..

Тогда, по теореме Пуанкаре п. V,1.3, существует единственное обратимое аналитическое в окрестности нуля, нормализующее преобразование к ,к ,

Х)=У)А- 3 а?>гУкУг+ S ^ытУкУДт +-.(2.2)

h,t=—kh,t,m=—k

(7 = + 1+*),

переводящее систему (1.4) в систему

Уз — ^;Уу (7И 1 v • ч + к).(2.3)

Ограничимся вычислением квадратичных членов нормализующего преобразования, для чего подставим (2.2) в (1.4):

К .к ,

Уз + 3 а?и (УпУг + УпУг) + ••• = ^зУз + ^з 3 амУлУг ~ h,l=—k..h,l=—k

^^[^'1 ("F^-1 + У1^’ • • •’ “F^^ +' У»)) +

+ Ф|з| ^~(^-1У-1 + ^1У1), • • -, — ^-кУ-к + ^кУк)^

(/ = +1, • • •> + &)•

В силу (2.3) получим отсюда тождества ‘к

3 (^h + ^) — ^3) амУкУ1 +=

h, l=—k

- - 4 У, [т (тЙ") to-»+ M to-. + g» +

111 /I idi X ouh°ul '0

4* aa(Х-пУ-п + ^гУг) t.X-iy-i + ^гУг)1 + •

4 \duhdujoJ

(j =+ !,...,+&),где индекс нуль означает, что все аргументы положены равныминулю, а точками обозначены члены выше второго порядка, Для ко-эффициентов при квадратичных членах разложения (2.2) имеем

Г/"

8г|Л Xh + Xl-Xj Ц du^du!,! Jo Л ' \ ЭЙ|Л| дй|;|/0

Q,h, Z = + l,..., +*)•(2.4)

Очевидно, что а’\ = а^ й a^Li = а?м (j, h, I = ^ 1 ,. . ., + А) и из четверки величин а^, aih, aA-i, а-’-л (или пары величин <x?hh, cc-h-h) будем выписывать ниже только одну. Знаменатели Xh + Xt — Xj отличны от нуля, в силу условия (2.1). Нам пона»- добится и обратное к (2.2) преобразование; очевидно, что

Уз = ^— 3 «ыад + — (/ = + 1,+*)(2.5)

h,l=—к

(у-х = Ух х = 1 ,. . ., к\

Общее решение исходной системы (решение задачи Коши в общем виде). Определим приближенный вид общего решения системы (1.1), отвечающий сделанному приближению в разложении (2.2). Введем вещественные переменные по формулам

Vx = -у(У-х + Ух) = Не Ух (х = 1к),(3,1)

В силу (2.3) будем иметь

йх = -^- (Х-хУ-х + Ххух) = Re (Ххух) (х = 1, ..„&), . . (3.2)

Vx + 2ех»х 4* <oxpx — 0 (х— 1, . . ., к).(3.3)

Обратное преобразование имеет вид

^^■^Г^1-^ (/ = + 1-”-+*)- (М Общее решение уравнений] (3.3) запишем в виде

рх = — е"Ех< [ (г х cos rxt + ех sin rxZ) vx + sin rxt • p® ],

1X t(315)

px = -2- e *x [ — cox sin rxt • vx + (fx cos rxt— ex sin rxZ) pJ ]

' (x = 1,..., k),

где p® = px (0), 0® = vx (0). Выразим последние через начальные значения исходных переменных их и йх, воспользовавшись формулами (3.1), (3.2), (2.5) и (1.2):

vx = Re (ж® — 2 аьгж®жг®) = М=-к

к_ ^ ■sign (Ы)Х м=-к 'i^11к_ ^ ■sign (Ы)Х м=-к 'i^11Re [а^ (X_hP®h| — й®/1|) (X_ZM®Z| — йщ)],Re [а^ (X_hP®h| — й®/1|) (X_ZM®Z| — йщ)],(3.6)(3.6)

к

_ ^ ■sign (Ы)

Х м=-к 'i^11

к

_ ^ ■sign (Ы)

Х м=-к 'i^11

Re [а^ (X_hP®h| — й®/1|) (X_ZM®Z| — йщ)],

Re [а^ (X_hP®h| — й®/1|) (X_ZM®Z| — йщ)],

(3.6)

(3.6)

р® = Re [Хх (х® — У аЫж,0)] = Л, 1= —к "'

= Й°х + У,Re [Ххау (Х-* - 4h|)- X

X (Х-гм®| — й®|)] (х = 1,.. ., ку Воспользуемся теперь формулами (1.3), (2.2) и (3.4):

их = Re (ух + ^мУнУг^ =

= рх — У - Re [ахг (X_hP|h| — P|h|)(X4P|z| — P|Z|)1 (x=l,..., к).

Формулы (3.7), (3.5), (3.6) и (2.4) выражают решение задачи Коши в общем виде для исходной системы (1.1) при условии (2.1), для случая, когда в разложениях (2.2) и (2.5) мы ограничились линейными и квадратичными членами.

2. Примеры

Система с одной степенью свободы. При к = 1 система уравнений (1.1) запишется в виде одного уравнения х)

й + 2ей + со2м = / (м) + ф (й) (св > е > 0)(1.1)

при сделанных в п. 1.1 предложениях о функциях / и ф. Формулы (1, 2.4) дадут нам

[/"(0) +<2е2 -0)2 +2Z V" (0)1,

°-и = а^ = ^^ [/" (0) + «V (0)],

^ = 45ie [/" <°)+(^ -ю2 -2Zer) ^ <°)i

(i = /-Т, г = + /to2 - е2).

По формулам (1,3.7) выразим решение задачи Коши для уравнения (1.1) в общем виде:

и = у -I о-г-5 2 I3/' (°) + (4е2 - Зсо2) ф' (0)] -

8(g)2 — е2)\[9(о2— 8е2 1 х ' х/t\/j

-5w (°) -ю2<р" <°)]} и2е2 -ю2)^+2е^+^ +

+ 2е{ 90,4^2 [/" (0) + (5ю« - 4в2) ф" (0)1 -

^^' (°) + ^V" (°)’} у (еу + *) "

-51/" (°) + toV (°)] ^ + 2е^ + *2>) • Здесь (см. (1,3.5))

у = ~ e~ti f(r cos ri + е sin ri) v (0) 4- sin rt • v (0)],

v = ~е^‘ I— 0)2 sin ri-у (0) + (r cos ri — e sin ri) у (0)}

и, наконец, у (0) и й (0) выражаются через исходные начальные значения формулами, полученными из (1,3.6):

v (0) = и (0) + -^ ({ ^1^2 [ЗГ (0) - (Зсо2 - 4е2) Ф" (0)] -

- -5Vf" <°) - ^V" (°)1} К2^2 - ®2) и (О)2 + 2еу (0)«(0) + й (О)2] +

+ 26^^ 8^- [/" (0) + (5to2 - 4е2) ф" (0)] -

г) Можно вместо / и ф ввести F {и, й) и отдельно рассмотреть случай е ^ со > О,

~ 4г [/" (°) + “V (°)]} “ (0) [ей (0) + й (0)1 -

- ^ [/" (0) + “V (0)1 [о)2п (О)2 + 2еи (0) й (0) + й (0)»]) , у (0) = й(0) + А. (9цД^ {[3/" (0) + (4е2 - Зи2) Ф" (0)] х

X [е (Зи2 — 4е2) и (О)2 + 2 (to2 — 2е2) и (0) й (0) — ей (О)2] — — е V" (0) + (5и2 — 4е2) ф^О)] [(4е2 — to2) и (О)2 +.

+ 4еи (0) й (0) + й (О)2]} + 5- (Г (0) + и2Ф" (0)1 х

X [и2^ (О)2 + 2еи (0) й (0) + й (О)2] +

+ 2 {/" (0) [ей (0) + й (0)] и (0) - Ф" (0) [и2и (0) + ей (0)] й (0)})

Колебания массы на пружине при линейном демпфировании. Запишем уравнения (IV, 1,5.1), изменив обозначения переменных

.Л = UU 5 = U2

в виде'

u; + 2euj + Ui = (1 + Т + “i)[(l + Т + ^i)2 + и^М2 — 1, и2 + 2еи2 4- । ^ ^ иг " и2 [(1 + Т + и1)2 + иг] 11 — Y+V^2’ ^-l) где.

— безразмерные положительные параметры, а штрих означает производную по т. Случаи V у/(1 + у)^ е^ 1 и е)> 1 потребуют отдельного рассмотрения.

Вычислим величины aki по формулам (1,2.4) и выпишем только те из них, которые отличны от нуля (с учетом сделанного сразу после формулы (1,2.4) замечания)

а-2”2 = 8^7Г+^)2^г^хГ’ а22= Sr^l + v)2 2X2-Xi ’

8^(1-by)»+

28r2(l -|-Y)2 Х_1 + Х_2 — ^ ’

“^2 = 8r2(l + Y)2 Xi+X.,-^ ’

i12 i 1

“-“ " 8г2(1 + 7/ X_t ’ 012 _ 8r2(l + Y)2 Xx ’

где

^ = —е + iTj sign 7(7 = ^1, =р2),

г=]/^Т, Г1 = + /1 —е2, r2 = + i/y^y—е2.

Формулы (1,3.7) дадут нам решение задачи- Коши для (2.1) в общем виде:

- 1,1 - ^+/у (~ ==+<^+^у №-+2г«) х

X [(ер2 4" уг)2 — г^] 4" 2ег2Р2 (ер2 4" уг)} 4* 2гх [(ер2 4" ^г)2 4" Г2У2] 4" + еТ+(7;_2г2)2' <2ег2^2 (®^2 4- У2) — (гх — 2г2) [(ер2 4- р2)2 — г2р2]}) ,

“‘ - ^ - -^(I+tf (~ *+KW «г*+ 2г=> х

X [(е^х 4- Рх) (ер2 4- р2)—ГхГ2РхР2]4-е [гх^х (ер2 4- р2)4-г2р2 (еРх4-1’41} 4

4" 2гх (ер2 4- р2) (2еРх 4" ух)pTppr^^P" ^Г1 — ^l }Г1Г2р1р2 4"

(вРх 4- pj (ер2 4- <4)1 4- е [ГхРх (ер2 4- р2) — г2р2 (вРх 4- р'х)]})

Здесь рь р2, р^, р2 определяются формулами (1, 3.5) с заменой на t и при et = е2 = е. При этом р?, р®, р/, р2® выражаются формулами (1,3.6), которые теперь дадут

"; - “‘°+ ^TS" (~ W+^y «г* + ^ ^+^ -

— Г2^2 ] -|- 2ег2^2 (бМ2 4~ U^ )} -|- 2г1 [(бИг Ч- ^2 )2 + ^2^2 ] 4”

+ е2_|_(Г1_2г2)2' {2ег2М2 (ей® + и2) — (Г1 — 2г2) [(eu® + и2 )2 — г2и® 1}^, р1 = и' + "^(1 + ^ (^2 + ^+2742- (е (Г!4-Г2)[(е^ 4- и^-т^Ч -

— Г2 [гх (гх + 2г2) — е2] u® (eu® +м2)} —

— 2егх [(ей® + м2 )2 4" г2и® ] 4" е2 _|_ ^Г12г2)2 (е (Г1 — Г2) [(ен2 4" м2 )2 — гМ2] — г2 [гх (2г2 — Гх) 4- е2] и® (ей® 4- и2 )}^ , о о ।11

Р2 — и2 + ^^2+ т)2 е2 + (Г1 + 2г2)2

X {(гх 4- 2г2) [(ей® 4-p'i°)(ep®4- и2°) — гхг2и?и®] 4-

4~ е [гхм? (ей® 4~ и») 4" г2и2 (eux 4" ^2)]} 4~

+ 2г1 (ей? 4~ u2) (2eu? + ui)^пр(77^2г^ ^Г1 — ^т'^ [Г1Г2и1и2 +

(ей? 4- и”) (ей? 4- u?°)] 4- е [гхи? (ей? 4- и^) — г^ (ей® 4- и?”)]}) , р2 _ U? 4" ^^г + ^2 ( е2 + (Г1 + 2г2)2 Х

X {? (Г1 + Зг2) [(ей? + и'1) (ей? + и2°) — ГХГ2И?И®] —

— [г2(Г1 + 2г2) — е2] [rtu?(ей? + и”) + r2u®(eu? + uf)]} —— 2гх {е [(ей? 4~ ^х) (ей? 4~ ^2) 4~ r2uxu?J 4-

e2u? (eu? + u2) + r2u? (eu? + ui)}е2 _|_ (Г1 _ 2г 2)2 хX {е (Зг2 — Гх) [(бих 4~ Ы1) (емг 4~ w2) 4~ ri7"г^?^] 4"

5 В. М. Старшинский

' Глава VII

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Для задач теории колебаний представляют интерес типы расположений собственных значений матрицы линейной части системы третьего порядка в левой замкнутой полуплоскости комплексного переменного X, изображенные на рис. 10. Случай, аналогичный аъ рассмотрен в § VI, 1. Специального рассмотрения потребовал бы

случай аг и предельные для него случаи, когда два или три собственных значения совпадают, обращаясь, в частности, в нуль. Случаи Ъ и с рассмотрены в § 1 и § 2; они имеют преимущественное значение. Случаю d отводится § 3. Первый параграф завершается электромеханическим примером. Результаты этой главы могут быть применены и к электромагнитным колебаниям двух связанных осцилляторов, когда собственные колебания одного из них описываются нелинейным уравнением первого порядка.

1. Случай пары чисто мнимых собственных значенийматрицы линейной части

Приведение к нормальной форме. Допустим, что исходная система приведена к диагональному виду и сделана замена независимого переменного т = ю<, где ±он — чисто мнимые

собственные значения матрицы линейной части

+ '2sa5hXjXh + Жма^аъ + • • •(1-1)

(v = 0, ±1).

Суммирование всюду ниже по два раза встречающимся индексам, принимающим значения О, ±1; Хо = —6 <0, Xt = i, X_t = —г. Коэффициенты а^, Ьр#, • ■•, вообще говоря, комплексные, причем, и это следует подчеркнуть, они симметризованы, т. е.

а^ = 4, Ц№ = i. d. (v, j, h, к = 0, ±1),(1.2)

где укЦ — любая перестановка чисел j, h, к, a i. d. означает idem (то же самое).

По основной теореме А. Д. Брюно (п. V, 1.2), существует обратимая комплексная замена переменных (нормализующее преобразование)

^ = У) + S°?mytym + ЕР’тпУгУтУп +2?1тпрУ1УтУпУр +

+ Зб^прдУ^г/пУрУд + . . .(/ = 0, + 1),(1 .3)

(4 = alm, P{!mn} = i. d.,... j, I, m, n, p, q = 0, ± 1),

приводящая систему (1.1) к нормальной форме '

-^- = Xvyv + yv У, g^yiV-i1 (v = 0,+1).(1.4)

(дГо)=о

Здесь А и Q — векторы с компонентами Хо, Х^ X_t и д0, qv q_i соответственно! последние суть целые числа или нули, при этом д„ ^ —1, а остальные qj — неотрицательные и

9о + 91 + 9-1 > !•(1-5)

Суммирование в (1.4) происходит только по резонансным членам, показатели степеней которых удовлетворяют резонансному уравнению

(A, Q) = д0Х0 + qtXi + д,^ = — 6у0 + г (9i — 9-i) = 0. (1.6)

Решение здесь очевидно:

9о = 0, - д-i = gi.(1.7)

Следовательно в (1.4) g0 + 9i + 9-i = 2?i ив рассматриваемом случае нет форм четной степени, а для форм нечетной,^ + 1)-й степени имеем g_t = gi = г (г = 1, 2, . . .). Итак, нормальная

5*

форма (1.4) запишется в виде

= гУг + Ут У, gry^-vг—1

^ = гУ-1 + У-1•(1 -8)

Г=1

-^- = — буо + yo^gryiy-vг—1

В силу вещественности исходной системы имеем у^ = ух, gr1 = = g^ (г = 1, 2, . . .) и первое уравнение (1.8) комплексно сопряжено второму.

Вычисление коэффициентов нормализующего Преобразования и нормальной формы. В нашем случае, как показано в п. 1.1, у нормальной формы нет членов второй степени. В этом можно убедиться и из формулы (V,3,2.4), ибо для всех значений индексов формула (V,3,2.1) дает А^ = 0 (иначе говоря, Xv =# Xz + Xm) и ф(т = 0 (v, Z, m = О, ±1). Следовательно, формула (V,3,2.2) справедлива для всех значений индексов:

^,1,т = 0, ±1).(2.1)

Перейдем теперь к вычислению коэффициентов при третьих степенях. Выясним, при каких значениях индексов имеет место равенство Xv = Xz + Хт + Хр. Очевидно, что только при I, т, р = = (v, 1, —1}, где, напомним, фигурная скобка обозначает любую перестановку индексов. Иными словами,

A{vl-1) = 1, Aimp = О

(у, I, т, р = 0, ±1; I, т, р =^ (v, 1, —1}).(2.2)

Это значит, что Р^-ц могут быть выбраны произвольно; мы положим их равными нулю:

Р1у1-1> = о (v = 0, ±1).(2.3)

Для остальных значений Р^р справедлива формула (V,3,2.3). В силу (2.2) в формулах (V,3,2.6) отличны от нуля лишь симме- тризованные коэффициенты нормальной формы х^-ц. Последние очевидным образом связаны с коэффициентами g^ нормальной

формы в представлении (1.8)■

£i = б/ол-н £i = 3X11-1, gi1 = Зх-п-1

(множитель равен числу различных перестановок нижних индексов у х)- Будем иметь из формулы (У,3,2.6)

g® = 6601-1 + 4 2 (aoiai-i + au"a-io + a-u-aoi), (2-4) 3=0, ±1

5i = Si1 = 3bii-i + 2 2 (2eiiai-i + л-ijOii). (2-5) .i=o.±i

Из доказательства основной теоремы А. Д. Брюно (п. V,1.2) следует неоднозначность преобразования (1.3) в тех случаях, когда уравнение (1.6) имеет хотя бы одно решение Q (не равное нулю в силу условия (1.5)). Более подробно об этом см. п. V,2.1. Прежде чем обсуждать вопрос сходимости (1.3), следует остановиться на определенной «ветви» преобразования. Примем для дальнейшего, что если в тождествах (V, 3,1.6), выписанных до четвертых, ПЯТЫХ И Т. Д. Степеней, Коэффициенты При Чз'т'п'п'рЧ 6("т"п"р"д” (см. (1.3)) и т. д. обращаются в нуль, то У^т'п'р' = 0, б^п-р-д- = 0 И Т. д.

Это и означает, что в рядах (V,2,1.2) все AvQ = 0 (v = 0, ±1; Q Е SRV, (A, Q) = 0), т. e. ряды (V,2,1.2) обращаются в (V,2,1.3) и сходятся тривиальным образом.

Перейдем теперь к условиям сходимости нормализующего преобразования (1.3). Из уравнения (1.6) видно, что .

I (A, Q) | = + /^6Ч^-^2.

По определению (V,2,4.1) будем иметь

coft = А = inf (б, 1)(6 > 0)-

Левая часть условия со п. V,2.4 примет вид

/с=1-

и условие со, очевидно, выполнено. Заметим, что случай 6 = 0 нельзя рассматривать как предельный, хотя бы потому, что (2.6) обратится в +<». Случай 6 = 0 выделен в следующий параграф.

Условие А' п. V, 2.4 означает выполнение условий

g? = £ = -£ (Г = 1, 2, . . .),.(2.7)

т. е. условий, что коэффициенты g, (г = 1, 2, . . .) являются чисто мнимыми. Это следует из вида первого и второго уравнений (1.8). Поскольку в нашей задаче имеется лишь одна пара сопряженных

чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части исходной системы, то мы имеем дело со случаем 1 *) п. V,2.4, когда условие А сводится лишь к выполнению условия А'. Итак, условия ю и А выполнены при выполнении условий (2.7) и по теореме А. Д. Брюно п. V,2.4 нормализующее преобразование (1.3) с вычисленными в этом пункте значениями коэффициентов — сходится (при выполнении условий (2.7)) в некоторой окрестности нуля.

Что же будет, когда не все из gX, gX, • • • являются чисто мнимыми? В этом общем для нас случае согласно гипотезе 1 А. Д. Брюно [234и] нормализующее преобразование является гладким (бесконечно дифференцируемым).

■ При выполнении условий (2.7) система (1.8) допускает первый интеграл

У1У-1 = | У1 Р = С1 (С1 = | У1 (0) р > 0),(2.8)

получаемый после умножения первого и второго уравнений (1.8) соответственно на У_х = У1 и У1 и сложения. Подставляя этот интеграл в третье уравнение (1.8), найдем

^ = fe-6)yo (са=^М).(2.9)

"1

Окрестность начала координат расслаивается на цилиндры с2 = const. На каждом из них есть экватор (предельный цикл), он устойчив длд с2 < 6 (см. (2.9)), хотя, строго говоря, неизвестно, будет ли этот предельный цикл лежать в области сходимости ряда (2.9), сходящегося в силу теоремы А. Д. Брюно п. V,2.4. При с2 > 8 этот предельный • цикл неустойчив.

Применение степеннбго преобразования. Как следует из (1.7), число линейно независимых решений уравнения (1.6) d = 1. Это означает, что по теореме А. Д. Брюно п. V,2.3 система (1.8) интегрируется в квадратурах. В (1.8) два последних уравнения независимы. Для них матрица А степеннбго. преобразования, как это следует из [234в], § 2, имеет вид

и само степенное преобразование запишется как

Zi = УтУ-1 = | У1 | 2,z_! = У_г

(У1 = z^lX, У_г = z^).

Применяя его к первому и второму уравнению (1.8), найдем

dlnzj </1пУ1^lny TR л г

Из последнего уравнения имеем

Z1

(3-1)(3-1)1 Г <кг

(3-1)

(3-1)

У j =°lvi(o)|2 Zj ^ Re?rzi

r=l

и после обращения интеграла найдем

Z! = Zt (т).

Теперь очевидным образом будем иметь из первого и третьего уравнений (1.8)

У1 (т) = Ут (°) е"ехр К 5 g^ (s)r dsl,(3.2)

Уо (т) = y0 (0) exp ^ 3 grZi (s)r ds] .(3.3)

Поскольку нормализующее преобразование выбрано нами гладким (конец п. 1.2), то интегрирование в (3.1)— (3.3) оправдано.

Замечание. В случае системы (1.8) к этому же результату можно прийти, умножая второе уравнение (1.8) на уг, а первое — на уг и складывая их. Нашей целью было проиллюстрировать п. V,2.3.

Остановимся в заключение на той ситуации в рамках общего случая, когда вычисления, как это имело место в п. 1.2, доведены до третьих степеней переменных включительно, т. е. когда из величин gr нам известна лишь одна — gv Из (3.1) найдем тогда

|У! (0) р -T- = 2Re^ откуда получим

Z1 (Т) “ I У1(0) Г2 — 2 Re g^T '

Постоянная 2Re gt играет роль константы G Ляпунова при исследовании критического случая устойчивости установившихся движений с одной парой чисто мнимых корней линейного приближения ([77а], § 40). Именно, если постоянная Не положительна, то тривиальное решение неустойчиво. Если же

(3-4)(3-4)Re g} < 0,

(3-4)

(3-4)

то тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Вычислим в рамках нашего приближения (и условия (3.4))

_ 1

( 21 ($) ds = \9 и 1™ = ln И - 2Re gl I Ух (°) I2 ^ 2•

JJ 13/1(0) I -2 Reg}»

Теперь формулы (3.2) и (3.3) дадут

Уо(т) = Уо (0)6-841 - 2 Re ^| ^(0)1'4] ^i,(3.5)

yitTHyitO^tl^Regilz/HO^T] 2Rc< (3.6)

Свободные колебания следящего электропривода. Схема следящего электропривода изображена на рис. И. Объект (ось отработки) приводится во вращение сервомотором через редуктор.

Для определенности примем, что в качестве сервомотора применен электрический мотор постоянного тока с независимым возбуждением. Ток в якоре сервомотора регулируется усилителем, на вход которого подается напряжение V, зависящее от угла рассогласования Ф — <р роторов задающего сельсина и сельсина, связанного с объектом (на схеме оба сельсина заменены потенциометрами), т. е.

V = / (д — <р),

где <р — угол поворота объекта, Ф — угол поворота задающей оси, отнесенный к углу поворота объекта.

Если пренебречь запаздыванием сигнала, люфтом между каждой парой сцепляющихся зубчатых колес и трением, то уравнения

движения системы можно представить в следующем виде:

(А + «М 1 "д^" + СФ — ^3,^4+№ + ^1^- = /(»-ф).

Здесь Jt — приведенный момент инерции якоря сервомотора и вращающихся частей редуктора относительно оси ведущего звена; J2 — момент инерции объекта относительно его оси; i — ток в цепи якоря сервомотора; L — коэффициент самоиндукции цепи якоря; R — омическое сопротивление цепи якоря; ct (dxp/df) — противо- электродвижущая сила, развиваемая якорем при его вращении; ki3 — момент пондеромоторных сил, приведенный к оси ведущего звена; сф — момент сил сопротивления относительно оси объекта.

Примем линейную зависимость напряжения, подводимого в цепь якоря от угла рассогласования,

/ (Ф — ф) = п-(^ — ф);

желая рассмотреть колебания объекта (и электропривода) при введении его в заданное положение, положим для последнего Ф = 0. Введем базразмерные переменные

Тогда уравнения движения (4.1) запишутся в виде

-«-67--6Ф-ХФ',4г=Ф', -^---Ф + ТЛ (4.2)

где введены безразмерные положительные параметры

(4-3)(4-3)Если ввести вектор u = (Z, ф, ф')т, то система запишется в видеЕсли ввести вектор u = (Z, ф, ф')т, то система запишется в виде# = Си +</т# = Си +</т00— б — и01— 10— б — и01— 10Очевидно, собственные значения матрицы С суть —6, i, —I (i = V — !)• Приведем матрицу С к жордановой форме; будем иметь С = S diag (—6, г, —t) S-1, гдеОчевидно, собственные значения матрицы С суть —6, i, —I (i = V — !)• Приведем матрицу С к жордановой форме; будем иметь С = S diag (—6, г, —t) S-1, гдеS =S =1 — б — tx — d + iz0 б + <6 — I0 - 1 + id — 1 - id1 — б — tx — d + iz0 б + <6 — I0 - 1 + id — 1 - idМатрица SМатрица Sопределит преобразование системы (4.2) u = Sx,определит преобразование системы (4.2) u = Sx,

(4-3)

(4-3)

Если ввести вектор u = (Z, ф, ф')т, то система запишется в виде

Если ввести вектор u = (Z, ф, ф')т, то система запишется в виде

# = Си +

</т

# = Си +

</т

0

0

— б — и

01

— 10

— б — и

01

— 10

Очевидно, собственные значения матрицы С суть —6, i, —I (i = V — !)• Приведем матрицу С к жордановой форме; будем иметь С = S diag (—6, г, —t) S-1, где

Очевидно, собственные значения матрицы С суть —6, i, —I (i = V — !)• Приведем матрицу С к жордановой форме; будем иметь С = S diag (—6, г, —t) S-1, где

S =

S =

1 — б — tx — d + iz

0 б + <6 — I

0 - 1 + id — 1 - id

1 — б — tx — d + iz

0 б + <6 — I

0 - 1 + id — 1 - id

Матрица S

Матрица S

определит преобразование системы (4.2) u = Sx,

определит преобразование системы (4.2) u = Sx,

х = (ж0, ж,, ж_1)т, или, в развернутом виде,

I = х0 — (6 + ix)^ — (6 — tv^x^ = х0 — 2Re [(6 + ix)^], ср = (6 + ^Хг + (6 — O^-i = 2Re [(6 + i)^],(4.4)

ф' = —(1 — ib^Xt — (1 + 1Ь^х_г = —2Re [(1 — iS)^].

Сама же преобразованная система примет вид

-^- = diag (— б, i, — i) х + S"1

26 (x —1) — 1 —16— 1 + i626 (x —1) — 1 —16— 1 + i6Вычисления дадут для матрицы S-1 2 (1 + 6=) 2 (х + 62) S"1 ;=-06 - i

26 (x —1) — 1 —16

— 1 + i6

26 (x —1) — 1 —16

— 1 + i6

^б2)06 + Z

Теперь остается воспользоваться первой из формул (4.4), чтобы представить систему (4.5) в виде (1.1) (а/т = 0; v, I, m = 0, ±1)

ДХ — ^V^v + booO-T'o + 6111^1 + 6—1—1—1^-! +

~Г SbogiXgX! + Збдд-^дЯ^ -|" ЗЬдцЖдЖ^ + З^д—Т—1ЖдЖ_1 +

+ З^^^^ ! 4- ЗЬ^-^х^ + б^-рГо^.!(V = о, +1).

Здесь■

С = А (х-1)6, Ь°ш = bVi-i = — А (х — 1) б (б + ix)3,

6001 = ^оо—1 — — А (х — 1)6 (6 -|- ix),

boiv = &0-1-1 = А (х — 1) 6 (6 + ix)2,

611-1 = 6?-i-i = — А (х — 1) 6 (62 Ц- х2)(6 + ix),

b^i = А (х - 1) 6 (62 + х2), bU = - -L д (1 + j6),

6ш = 4"Л ^ + ^) <б + iy^’ b«i = -у Д (! + i8X6 + ^)- (4-6> Ьоп - - 4"л ^ + ^х6+^)2- 8oi-i = - 4-д (62+^х1+f6X bVi - 4" А <62 + ^Х1 + i6X8 + ix),

6L1_1_1=4-A(1 + W-ix)3,

6оо-1 = 4~ A (1 + i6)(6 — ix), tJ-1-1 =1- A (1 + z‘6)(6 — ix)2,

bi-!-! = 4" Д (62 + x2)(l + i6)(6 - ix),

где А = у (1 + б2)-1. Поскольку в нашей задаче а!т = 0, то в силу (2.1) а1т = 0 (v, I, т = 0, ±1), и формулы (2.4), (2.5) дадут нам

g“ = 6Д (х — 1) 6 (62 + х2),

gi = -|-А(62,+ х2){(1 — х) 6 + i (х + 62)].

Условие (3.4) асимптотической устойчивости примет вид (см. также (4.3))

х > 1 (Av < CtRY(4.7)

Предполагая это условие выполненным, обозначим

а2 = — 2Re g} = ЗА (х — 1)6 (б2 + х2),

т 1(4.8)

,2_1_ 1 х + 6гV ’

Re^ " 2 (х-1)6 ‘

Формулы (3.5) и (3.6) дадут в этих обозначениях

У» (т) = go (0)е-8т (1 + а2 | Ух (0) | 2 т)2,(4.9)

У1 (т) = Ух (0) (1 I а2 | Ух ^ | ^У’2 X

X exp i [т + b2 In (1 + а2 | уч (0) | 2 т)].

Используя формулы (V,3,2.3), (2.3) и (4.6), выпишем нормализующее преобразование (1.3):

Т у I У(х —1)6 (1 зГ (6 + ixf 31

— go + t + §2 |26 ^2[ 6 + 3i +

+ 6go Re ^-^^Ух^ — 3go Re [i (6 + ix)2 g2] -

— 6(62 +«2) gig_iRe ( ^Г^)} + [4]) (4.-10)

= Ух + 4" -ЦУ^" { se+'i Уо — 4"1 (S + lx)3 yi +

+ -4- 1 (6 — lX-r У-i — -26 (s + lx) ^/o.Vi — "2ft^y- M-1 +

, 3 (6 + ix)2 2,0 (6 - ix)22 ,

-5-6_ г У0У1 + 3 6 + 3i У0У-1 +

+ -|-(62 + x2)(x -r i^lRy-i + 6 66"^-УоУхУ-х \ + Hl-

Для того чтобы начальные значения g0 (0) и yL (0) выразить через ж0 (0) и xv (0), потребуется обращение формул (4.10); оно, очевидно,

Итак, q0, qx — «произвольны», поставлены кавычки) Q СЕ ЭД,Итак, q0, qx — «произвольны», поставлены кавычки) Q СЕ ЭД,q_x = qx. Разумеется (и поэтому т. е.q_x = qx. Разумеется (и поэтому т. е.q„ > — 1, q, > 0q„ > — 1, q, > 0U Ф v) (v = 0, ±1),U Ф v) (v = 0, ±1),

Итак, q0, qx — «произвольны», поставлены кавычки) Q СЕ ЭД,

Итак, q0, qx — «произвольны», поставлены кавычки) Q СЕ ЭД,

q_x = qx. Разумеется (и поэтому т. е.

q_x = qx. Разумеется (и поэтому т. е.

q„ > — 1, q, > 0

q„ > — 1, q, > 0

U Ф v) (v = 0, ±1),

U Ф v) (v = 0, ±1),

сводится к перемене знака перед фигурной скобкой. Обращаясь к формулам (4.4) и (4.9), можно выписать формулы, дающие решение задачи Коши в общем виде с точностью до членов третьей степени переменных включительно. Мы этого, однако, делать не будем, а выделим главную часть решения.

Главной частью решения в рамках сделанного приближения назовем решение нормальной формы, взятое с точностью до третьих степеней переменных включительно, преобразованное нормализующим преобразованием с точностью до вторых степеней переменных включительно. Для главной части угла поворота ф объекта будем иметь из (4.4), (4.9) и (4.10)

Ф (т) = 2 Re [(6 + i) Ж! (т)] ж 2 Re [(6 + i) ух (т)] » «2 Re 1(6 + i)X

V /1 + a2 I ®!(О)Рт

X exp i [т+Ь2 In (1 + a21 xx (0) |2r)]j = [1 + a2

X {ф (0) cos [т + b2 In (1 + a2 -^^i^^+

+ ф'(0)зт[т+Ь21п(1 + a2-^^^^T)^(4-H)

Выводы. 1) Определена граница автоколебаний (см. (4.7)):

х = 1 (Ln = схН\

Практическая степень точности главной части решения определяется сравнением (4.11) с решением задачи Коши. Последнее дается формулами (4.4), (4.10) и (4.9).

Случай нейтральности линейного приближения

Нормальная форма. Вернемся к п. 1.1 и рассмотрим случай 6 = 0, повторив все рассуждения до резонансного уравнения (1,1.6), которое запишется теперь в виде

(1.1)(1.1)q-1 — qx = о.

(1.1)

(1.1)

!7о + !7i + q-i — ?о + ^-qi 1.

Для членов 2г-й степени нормальной формы (q0 + 2^! = 2г —1) возможен следующий набор показателей степеней (индекс при Q

отмечает номер уравнения):

Qo = (-1, г, г), (1, г - 1, г - 1), . . ., (2г - 1, 0, 0),

Q±i =(1, г - 1, г - 1), . . ., (2r-1, 0, 0).

Для членов (2г + 1)-й степени нормальной формы (_q0 + 2^= 2г;

г = 1, 2, . . .) вектор Q принимает значения

Q = (0, г, г), (2, г - 1, г - 1), . . ., (2г, 0, 0),

независимо от номера уравнения нормальной формы.

После того как найдены все решения резонансного уравнения (1.1), запишем нормальную форму (V,1,2.4) как

4г = У- У, Wi (v-0,+ 1),(1.2)

8>о (если v-^o) s>— 1(если v=o)

или, в развернутом виде,

= iyv6| |1 Sign V + у, ) , [g2(r-p)-l, p Уо +

7*—1 p=0

+ £« P] y^ Wi (V = O, + 1).(1.2a)

При этом

g^T = 0 (r = 1, 2, . . .),(1.3)

ибо, как следует из вычисления Q„, в двух последних уравнениях (v = ±1) нет членов с у,1..

Отметим, что нормальная форма усложнилась по сравнению с (1,1.8). И это не только усложнение записи, но и по существу. Во-первых, теперь число I собственных вначений линейной части системы, расположенных на мнимой оси, равно порядку системы (Z = 3) и теорема А. Д. Брюно п. V,2.2 не дает никаких упрощений. Во-вторых, все решения резонансного уравнения (1.1) можно представить в виде

Q = 9о (1, 0, 0) + qv (0, 1, 1)

(?о = -1, 0, 1, 2, . . .; ?1 = 0, 1, 2, . . .),

где q0 и qx не равны нулю одновременно. Это означает, что число d, линейно-независимых решений резонансного уравнения равно двум. По теореме А. Д. Брюно п. V,2.3 существует бирациональ- ное преобразование, переводящее нормальную форму в систему (V,2,3.3) (уже не являющуюся нормальной формой), в которой первые два уравнения образуют систему второго порядка, а третье уравнение сводится к квадратуре. Впрочем, эту систему второго порядка можно получить непосредственно, умножив второе и

третье уравнения (1.2) соответственно на у_х = ух и ух и сложив их:

■^ = у0 £ G°My>, -^= 2Z ^ ReG^ (1.4)

•>—18, а>0

а>0s-j-e>0

(z = У-1У1 = |i/i|2). Если исходить из (1.2а), то получим в развернутом виде

тЁ Ё ^-рн, руо1+^°(г-р), pi yr-pv.

Г:1Р;°(i-^

= ^Z 5L^е £а(г—р)—1, рУ*)1 + Re ^2(r—р), р] Уо1 p^zp.

Т=1 р—О

Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы. Следуя альтернативе п. V,3.2, выделим все значения индексов v, I, m, при которых Xv = Хг + Хт. Будем иметь в силу обозначений (V,3,2.1)

△(ГО = △{!—!} — △{01} = △{0—1} = 1, ^Чт = О

(v, Z, m = О, +1; V, I, т^О, 0, 0; 0, {1, -1); 1,{0,{1};-1, {0,-1}).

(2.1)

Выберем для а?т, определяемых’ случаем 2) альтернативы, нулевые значения:

аоо = a(i—11 = «{oi} = аю—it = 0.(2.2)

Для этих же значений v, I, т будем иметь по формулам (V,3,2.4) для квадратичных коэффициентов нормальной формы

(2-3)(2-3)gio — Too — аоо, g -п — ^Ti—1 — 2ai—i, gio = 2<poi = 2aOi, gm = 2<ро—1 = 2а0_ i.

(2-3)

(2-3)

Для оставшихся квадратичных коэффициентов нормализующего преобразования формула (V,3,2.2) дает

Vа1т

а,ТП- ^+^“^

(v, Z, т = 0, + 1; v, I, т ^= 0, 0, 0; 0, {1, - 1}; 1, {0,1); - 1, (0, - 1}).

(2-4)

Переходя к кубическим членам, снова прежде всего выделим те значения индексов v, I, т, р, при которых Xv = Хг + Хт + Хр и положим для них

0ооо — 0(01—1} = 0(ooi} = 0(11—п = 0(oo-i} — 0(1—1—1} = 0,(2.5)

где, напомним, (Z, т, р) обозначает любую перестановку чисел I, т, р. Для соответствующих кубических коэффициентов нормальной формы по формуле (V,3,2.6) будем иметь (учитывая (2.2))

^20 = Хооо = ^ооо + 2 5 «О,"»^,'

1=о, ±1

goi = 6%oi—i = 6601—1 + *4 S (aojai—i + а11«~ю + a—ijaoi),

£20 = 3%ooi = 3frJoi + 2 5 (2ooj«3i + ttijQoo),

got — 3%n—i — 3^ii—i 4" 2 S (2oyoii—i + a—ijdn),

gao = 3%00_1 = З^оо—х 4- 2 5j(2aoj«o i 4" a-u«oob

got = 3Xi—i—i = 36iLi~x 4- 2 S(ai/ a—i—i 4- 2a_yai—x).

Для оставшихся кубических членов нормализующего преобразования формула (V,3,2.3) даст

J=», ±1

4" Ят/Тр, 4" dpld?m)j (2.7)

(v, l,m,p = 0^+ 1; v, I, m, p 4= 0, 0, 0, 0; 0, (0,1, — 1);

(0, 0,1); 1, (1,1, — 1}; — 1, (0, 0, — 1); - 1, (1, — 1, - 1)).

Выпишем нормализующее преобразование (1,1.3) с точностью до вторых степеней переменных включительно, учитывая (2.2) и вещественность исходной системы

^о = Уо 4- 2Re (ацУ1) + 4Re (а51УоУ1) + l3L (2-8)

Hi = $-1 = У1 + <ХооУо + ctiiZ/i + <Х-1-1У-1 +

+ 2ао-1УоУ-1 4- 2а1_! | уг |2 4- [3].

Коэффициенты здесь выражаются по формулам (2.4) через коэффициенты системы диагонального вида (1,1.1) (6 = 0) следующим образом:

01 . 00j 01j 1

0x1-^- Юхх,^01 “— t®01>®00 =t®00,

Оц = ion, o—i—i = ~у to—1—1, do—1 = ~2~ ^о—I. di—1 = zOi—1.

Используя формулы (2.5) и (2.7), можно выписать в (2.8) и члены с третьими степенями переменных.

Замечание о сходимости. Следуя теореме А. Д. Брюно (п. V,2.4), начнем с условия со. Очевидно, что

| (A, Q) | = | ^ — q^ |,

и по определению (V, 2,4.1) имеем

Юк = 1(/с = 1, 2, . . .).

Условие со (см. (V, 2,4.2)) выполнено, поскольку его левая часть равна нулю.

В нашем случае все собственные значения матрицы линейной части исходной системы находятся на мнимой оси и попарно соизмеримы, следовательно, мы находимся в случае 1*), п. V.2.4, когда условие А сводится к условию А':

Ф, = М>а (Уо, Уь У-1) U = 0, ±1),(3.1)

где ф^ — правые части уравнений (1.2а). Условия (3.1) выполнены в том исключительном случае, когда правая часть первого уравнения (1.2а) тождественно равна нулю, а все коэффициенты правых частей второго уравнения (1.2а) чисто мнимые или равны нулю.

При выполнении этих условий нормализующее преобразование этого пункта при условии, что все его произвольно выбираемые коэффициенты положены нулями, сходится в некоторой окрестности нуля.

Некоторые суждения об устойчивости. Выпишем в системе уравнений (1.2) члены до второй степени переменных включительно; учитывая (2.3), будем иметь

" ^т° = аоэУо Ч" 2а®_ 1У1У1 + [3],

■ J^ = iyi + ^ао1УоУ1 + [3],(4-1)

-/^ = — iyi + 2аиТ/оу1 + [3].

Умножая второе уравнение на уп а третье уравнение — на уг и складывая, получим укороченную систему уравнений

= « + 2a?_1Pz, -g- = 2Веа^0р (4.2)

с вещественными коэффициентами и неотрицательной переменной р = | У1 | (в отличие от (1.4а), где z = р2). Заметим, что система (4.2) однородна и, следовательно, интегрируется. Это свойство присуще всем укороченным системам второго порядка, ибо они имеют «размерность 1» по терминологии [234в], § 2.

Как известно ([145а], п. 13), для того чтобы обнаружить неустойчивость тривиального решения системы (4.2), достаточно за-

метить всего одну траекторию, выходящую за заданную область т > т0, Уо + р2 < Ra

при сколь угодно малых значениях начальных возмущений Уо = Уо (т0) и р0 = р (т0).

Рассмотрим возникающие здесь ситуации.

Пусть о”» #= 0. Рассмотрим решения системы (4.2), начинающиеся на оси у0, т. е. для которых р0 = 0. Из второго уравнения (4.2) имеем (dp/dr)0 = 0, следовательно, для этих решений р (т) = 0. Подчиним сколь угодно малое начальное значение Уо условию'

. о • о .

sign Уо = sign а00.

Как следует из первого уравнения (4.2), для таких решений будем иметь

I Уо W I > I «So I Уо

что и означает неустойчивость тривиального решения системы (4.2) при Ддд ^= 0.

Допустим, что ада = 0, но а?_! =^= 0, Re а^ ^ 0. Разделив первое уравнение (4.2) на второе, получим

,а0

^Уо _ а1-1 Р^Р Rea^ Уо ’и отсюда найдем первый интеграл системы (4.2) (при а^о = 0):

Очевидно, при условиях

а^ = 0, aJ-iRe а^ < 0(4.3)

тривиальное решение системы (4.2) устойчиво (начало координат является г^ентпромУ а при условиях

«от = 0, a^Re a^ > 0 тривиальное решение системы (4.2) неустойчиво (начало координат является седлом^.

Допустим, что aSe = «i-i = 0, Re «01 N= 0. Из первого уравнения (4.2) имеем у0 (т) = уд. Выбирая у о из условия sign уо — sign Re a^, будем иметь для таких решений в силу второго уравнения (4.2), что р -* оо при т -> оо и р0>0,— тривиальное решение системы (4.2) неустойчиво.

Допустим, наконец, что ajo = Re a^ = 0, a®_! ^= 0. Второе уравнение (4.2) дает нам р (т) = р0. Траектория, для которой

sign Уо = sign «1-11 Ро > 01 уходит в бесконечность; опять-таки неустойчивость.

Итак, тривиальное решение системы (4.2) (а следовательно, и укороченной системы (4.1)) устойчиво лишь при условиях (4.3). Случай а^о = «1-1 = Re «01 — 0 требует исследования по членам не ниже третьей степени.

Замечание. Критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней для установившихся движений рассмотрен Г. В. Каменковым ([54], т. I) и И. Г. Малкиным ([79в], § 96). Подчеркнем, что система (4.2) содержит всего лишь три коэффициента, что вместе с условием неотрицательности х) переменной р и определило специфику исследования по сравнению с общим случаем ([79в], §§ 94, 96). Однако мы не можем утверждать, что нормализующее преобразование (и, следовательно, нормальная форма) может быть выбрано аналитическим в окрестности нуля. Это обстоятельство не позволяет перенести суждения об устойчивости тривиального решения системы (4.2) на устойчивость невозмущенного движения (тривиального решения исходной системы (1,1.1) при 6 = 0). Заметим, что при ад0 =/= 0 неподвижная точка будет неустойчивой не только в укороченной, но и в полной системе (4.2). Это соответствует гипотезе 2 [234и], которая еще не доказана. Применять ее нужно к решению р = 0. Если же выполнены условия (4.3), то укороченная система обладает устойчивостью нейтрального типа, которая может быть изменена на неустойчивость влиянием неучтенных членов более высокой степени.

Интегрирование нормальной формы в квадратичном приближении. Вернемся к укороченной системе (4.2). Рассмотрим сначала частные случаи, понимая ниже под квадратным корнем его арифметическое значение.

Допустим, что Re а^ = 0, а^ ^ 0, aj^ # 0. Второе уравнение (4.2) дает р = р0, а первое — запишется в виде

_^0_ _ 0 2 , 9 0 2л- — “ооУо + ^«1—1Ро

и после интегрирования дает нам а) если а = «oo/(2«i-i) > 0, то

V»»; О'» ’г,г77'

*) Для применения теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости необходимо наличие области, содержащей внутри себя отрезок оси у0(см.[79 в], стр. 414), что невозможно при р^ 0.

б) если а •< 0, то

р01+^/,K^yg-Po2а»оро \

мй — ‘ J" " ‘ 1 "' “~^”I tv —” а С — ■ —" 1 ■

/—а 1 —/сест\У — а у® + р0V— а /

(здесь и ниже т0 = 0, у о = Уо (0))

Допустим, что Re а^ = а^ = 0, а?_х ^ 0. Решение системы (4.2) очевидно:

Р = Ро. Уо = За^^роТ + Уо-

Допустим, что Re а^ = а?_х = О, ajo ^ 0. Решение системы (4.2) также очевидно:

/ 1 о

Р = Ро, Уо = (-Б«ооТ \ ^о.

Допустим, что aJo = 0, а?_х ^ 0, Re а^ ^ 0. Разделив первое уравнение (4.2) на второе и проинтегрировав, получим первый интеграл системы (4.2)

ReaiiReaii(Р2 — Ро)-(Р2 — Ро)-

Reaii

Reaii

(Р2 — Ро)-

(Р2 — Ро)-

Подставляя этот интеграл в первое уравнение (4.2), будем иметь

NoNo= 2 Re a£x (уо — Я) Я = у?= 2 Re a£x (уо — Я) Я = у?Hea^iHea^i

No

No

= 2 Re a£x (уо — Я) Я = у?

= 2 Re a£x (уо — Я) Я = у?

Hea^i

Hea^i

— R— Rtg (2 /-«ReaJ^)tg (2 /-«ReaJ^)

— R

— R

tg (2 /-«ReaJ^)

tg (2 /-«ReaJ^)

Аналогично 1) рассмотрим следующие случаи:

Если R < 0 (что возможно лишь при aJ-x/Re a^ > 0), то

Уо =Уо =_ ^-b-y^tgCa/^Re^x)

Уо =

Уо =

sec2 (2 /— R Re a^r)

Если R = 0 (что опять-таки возможно лишь при aJ-x/Re aJx > 0), то

Уо = (“V — 2 ReeJxTV, р* = --701 (Ц2Rea5xtV

ai-i \ Уо

Если Я > О, то

Уй =-VRУй =-VRкУ R - yg) еКт - (/Я + vg) е-к'кУ* - у») вк' + (/Я + у») е-к'

Уй =-VR

Уй =-VR

р2 = — 4 -^- R<R- у^К/R- У°о) ек“1—1

{К = 2 УR Re ag,),(5.1)+ (/я + ^>-^г2.{К = 2 УR Re ag,),(5.1)+ (/я + ^>-^г2.Очевидно, что р (оо) = О, а у0 (оо) = — УR при Re «^ > 0 и у0 (оо) = УR при Re Ящ <0 и в плоскости ру0 каждое решение системы (4.2) описывает дугу эллипса (5.1) одним из двух спосо-

{К = 2 УR Re ag,),

(5.1)

+ (/я + ^>-^г2.

{К = 2 УR Re ag,),

(5.1)

+ (/я + ^>-^г2.

личны от нуля.личны от нуля.получимполучимбов (в зависимости от sign Re a^), как показано на рис. 12.

личны от нуля.

личны от нуля.

получим

получим

Заметим, что случай в) при любых начальных значениях р0, yg (Ро + Уо ^ 0) возможен лишь при условиях (4.3).

Допустим, что a?-i = 0, а®0 + 0, Re йщ ^ 0. В этом случае интегрирование системы (4.2) дает нам

/ 1 оУо — ( —s «ооТ ] ,

А У о)

2 Re а^" о

Р = Ро (1 — а“о^т) “оп .■

Рассмотрим теперь общий случай, когда в системе (4.2) все три коэффициента от- Разделив первое уравнение (4.2) на второе,

dMo« Уо , Р Р

dpУ Р У Уо

(а — ago, р — 2а^—1, у — 2 Re а01).

(5-2)(5-2)Известная подстановка у0 = ра (р) приведет это уравнение к виду

(5-2)

(5-2)

Допустим, что ago = 2Re agi ^ 0 (а = у), а?-! ^ 0. Выполняя интегрирование в (5.2), найдем

Уо = ±Р

Подставляя во второе уравнение (4.2), придем к квадратуре

Обращение этого интеграла даст нам р = р (т; р0, уд-).

Допустим, наконец, что «оп # 0, а®^ # 0, Re а^ ^ 0 и «оэ # 2Re йог (а ¥= ?)• Из (5.2) получим первый интеграл системы (4.2)

(а — У) Ур + Рр2(« — V) У? + РРр

Отсюда будем иметь

и второе уравнение (4.2) приведет нас к квадратуреи второе уравнение (4.2) приведет нас к квадратуреРоРо

и второе уравнение (4.2) приведет нас к квадратуре

и второе уравнение (4.2) приведет нас к квадратуре

Ро

Ро

из которой определится р = р (т; р0, i/p).

Анализ случаев 1) — 7) обнаруживает ограниченность всех решений системы (4.2) при любом т > 0 лишь в случае 4) при условиях (4.3), что совпадает с выводами п. 2.4. Нормализующее преобразование (2.8) позволит выписать, общее решение исходной системы (1,1.1) при б = 0 с точностью до вторых степеней переменных включительно. Исследуя общее решение, можно, в частности, выделить области условной устойчивости в пространстве начальных значений для тех преимущественных случаев, когда тривиальное решение системы (4.2) неустойчиво.

6. Пример. Рассмотрим уравнение

и + Ъ^й = си3 (5 )> 0, с Ф 0),

или, вводя безразмерное время т = bt, уравнение

W I ZЧС \“= чиW I ZЧС \“= чи(6Л)(6Л)

W I ZЧС \

“= чи

W I ZЧС \

“= чи

(6Л)

(6Л)

<fu Дт<fu Дт0А= 000А= 00

<fu Дт

<fu Дт

0

А= 0

0

0

А= 0

0

представимое в виде системы уравнений

/ 0 \о

у к3 )

Собственные значения матрицы А суть О, I, —i, Выпишем матрицу S (и ей обратную), приводящую матрицу А к диагональной формеСобственные значения матрицы А суть О, I, —i, Выпишем матрицу S (и ей обратную), приводящую матрицу А к диагональной форме8 =8 =1О о1О о11008^ =8^ =оо“ 2“ 21“ 21“ 2(6.3)(6.3)00ЗаменаЗаменаu = Sx,u = Sx,ххт0=4Т-,т0=4Т-,2222(6.4)(6.4)ООУ (То+ Т!+$_!)=ООУ (То+ Т!+$_!)=

Собственные значения матрицы А суть О, I, —i, Выпишем матрицу S (и ей обратную), приводящую матрицу А к диагональной форме

Собственные значения матрицы А суть О, I, —i, Выпишем матрицу S (и ей обратную), приводящую матрицу А к диагональной форме

8 =

8 =

1

О о

1

О о

1

1

0

0

8^ =

8^ =

о

о

“ 2

“ 2

1

“ 2

1

“ 2

(6.3)

(6.3)

0

0

Замена

Замена

u = Sx,

u = Sx,

х

х

т0

=4Т-,

т0

=4Т-,

2

2

2

2

(6.4)

(6.4)

ОО

У (То+ Т!+$_!)=

ОО

У (То+ Т!+$_!)=

приведет системуприведет системук диагональному виду

приведет систему

приведет систему

•^ = diag (0, i, — i) 4- S 1 или, в развернутом виде,

^ = Y (ж0 + ^1 + 2-1)3,

(6.5)(6.5)-^ = Й! — -^-у (ж0 + 21 + 2-1)3,

(6.5)

(6.5)

-^ = — 1Х_Х— у (Жо 4- Ж1 4- ж^)».

Поскольку квадратичные члены в системе (6.5) отсутствуют, то и в нормальной форме они также будут отсутствовать и нормальная форма (1.2а) с точностью до кубичных членов включительно примет вид

-^" = £мУо + £о1УоУ1У-1 + [4],

-J~ = iyi + £мУоУ1 + £о1У1У-1 + [4],(6.6)

-^ = — ty-i + ^2оУоУ-1 + £<пУ1?/-1 + [4].

Коэффициенты нормальной формы (6.6) вычисляются по формулам (2.6), где значения Ь’тп берутся из (6.5):

gM = Y, goi = бу, g2o = goi =gao =goi = —

Умножая второе уравнение (6.6) на у_х = yv а третье на ух и складывая, придем к системе

% = ШМ^ -$- = -4тр(уо+р8)

(рг = У1У-1 = |У1Р).(6.7)

Система (6.7) интегрируется. Мы, однако, этого проделывать не будем, ибо одного взгляда на эту систему достаточно, чтобы установить неустойчивость ее тривиального решения при любом у^О.

Нормальные формы систем третьего порядкав случае нулевого собственного значенияматрицы линейной части

Нормальная форма и нормализующее преобразование. Вернемся вновь к системе уравнений (1,1.1), в которой, однако, независимым переменным осталось t и Хо = 0, ^ = —у + i®, А_х = —у — Im (у > 0, (о )> 0). Резонансное уравнение (1,1.6) примет теперь вид

(Л, Q) = О-9о — у (91 + 9-1) + 1ю (9i — 9-i) = 0,(1.1)

и его решения при условии (1,1.5) суть

91 = 9-1 = 0, 9о = 1, 2, 3, . . . .(1.2)

Нормальная форма (V,1,2.4) примет теперь вид

8=1

= (— Y + 1®) У1 + У1 У, НУо,(1 -3)

"8=1

^ = (— Т — М У-1 + У-1 У, ^У^ 8=1.

где у-1 = yn g;1 = gt

Следуя альтернативе п. V,3.2, выделим все значения индексов v, I, т, при которых Xv = Х; + Хт, и положим для них

(1-4)(1-4)аоо — a{oi} — a(o-,i} — 0.

(1-4)

(1-4)

Формулы (V,3,2.4) дадут нам для соответствующих квадратичных коэффициентов нормальной формы

ЧтЧт81 = Фоо = аоо, 8i = 2<pJi = 2а^, gi1 = 2q)0-i = 2а0-ц (1.5) а оставшиеся квадратичные коэффициенты нормализующего преобразования определяются формулами (V,3,2.2) '

Чт

Чт

“гт X, + Хт — X.,

(1-6)(1-6)(v, I, т = 0, ± 1; v, I, тф 0, 0, 0; 1, (0,1}; - 1, (0, — 1}).

(1-6)

(1-6)

Повторяя эту процедуру для кубических членов, положим Рооо — Pfooil — Р(оо-П — 0(1.7)

и затем по формулам (V,3,2.6) и (V,3,2.3) найдем

(1-8)(1-8)Si = Хооо — ^000 + 2 ^J «^"«ОО, 1=0, ±1

(1-8)

(1-8)

Si ~ Si = 3/00l = 3b001 4~ 2 5i(2«oj«oi 4~ «ij«oo),

Pzmp “ —2|| X X ^Zmp 43“ (^Ij^mp 4“ «mj«p/ 4“ ®pi«Zm)j

(1.9)

(v, I, m, p = 0, ±1; v, I, m, p ^ 0,0,0,0;

1, {0, 0, 1); -1, {0, 0, -1}).

Нормализующее преобразование (1,1.3) с точностью до вторых степеней переменных включительно имеет вид

^о = У о 4- 2 Re (a^y?) + 2аУ |Уг|24

+ 4Re (a^yoyj + 13], ^ = ^ = У! + а£оУо 4

4- aii[/i 4- «-1-1^1 + 2ao-iyoy1 4- 2а}_! | yt | 2 + 13].(1.10)

Коэффициенты здесь выражаются по формулам (1.6) через коэффициенты исходной системы (1,1.1) (Хо = 0, А±1 = —у ± гы) следующим образом:

о«п —о«п —«оо —«оо —1“11О“1—1 О “о!

о

«п —

о

«п —

«оо —

«оо —

2 — у 4~«° ’1-1 2у ’01— у 4~гм '

“оэ „1 ап,. I“-1-1

у—ito 1—у + itoу + Згсо

1^-1

“°-11 2co ’ “i-1 - У + ico •

Используя формулы (1.7) и (1.9), можно продолжить (1.10) до третьих степеней включительно.

(2.1)(2.1)Интегрирование нормальной формы. Первое уравнение (1.3) приводит к квадратуре

(2.1)

(2.1)

\ уЗ^У "о

После обращения интеграла (2.1) второе (и третье) уравнения также решаются в квадратурах.

§ 31

Если g® = Яоо ф 0, то для второго приближения будем иметь

Уо

С du ./ 1 о А"1/ О z m

\ —5—Г" — t, Уо — (~5 aoot)(Уо=/=О),

«о

что сразу обнаруживает неустойчивость тривиального решения системы (1.3), а следовательно, и исходной системы.

Если g® = 0, но ^® Ф 0 (см. (1-8)), то будем иметь из третьего приближения

Уо = sign yj (у? 2 — 2g®t)-V\

Если g® < 0, то у0 (i) —>0 при ^ —> оо и, как следует из второго уравнения (1.3), ух (t) —>0 при t —> оо. Итак, при g® < 0 тривиальное решение системы (1.3), а следовательно, и исходной системы, асимптотически устойчиво; при g® Д> 0 оно неустойчиво.

Все сказанное соответствует критическому случаю одного нулевого корня, исследованному Ляпуновым ([77а], §§ 28—32). Здесь мы также основывались на теореме Ляпунова об устойчивости по т-му приближению в первом критическом случае ([77а], § 32).

По исследованию грубости свойств устойчивости и неустойчивости мы отсылаем читателя к монографии Н. Н. Красовского ([70], § 19). Там же читатель найдет теорему об устойчивости по приближению ттг-го порядка (§ 22), и дополнительные результаты по критическому случаю одного нулевого корня (§ 26).

Замечание о сходимости. Обратимся к достаточным условиям сходимости нормализующего преобразования (и нормальной формы), доставляемым теоремой А. Д. Брюно (п. У,2.4). Из уравнения (1.1) видно, что

I (A, Q) | = +

По определению (У,2,4.1) имеем

toh = А = inf (у, ю) (к = 1, 2, . . .).

Левая часть условия со (п. У,2.4) запишется в виде

V In А . .

-L—=-1пА-к=1

и условие со, очевидно, будет выполнено. Условие А' (п. V, 2.4) запишется в виде

фо = 0,(3.1)

гдеф0 — правая часть первого уравнения (1.3). Поскольку в нашем случае имеется лишь одно собственное значение (Хо = 0) матрицы

линейной части исходной системы, расположенное на мнимой оси, то мы находимся в случае 1*), п. V,2.4, когда условие А сводится лишь к выполнению условия А'. Итак, условия со и А выполнены при выполнении условия (3.1) или в развернутом виде при выполнении условий

gs = О (s = 1, 2, . . .). (3.2)

Следовательно, нормализующее преобразование этого пункта при условии, что все его произвольно выбираемые коэффициенты положены нулями, и при условиях (3.2) сходится в некоторой окрестности нуля.

Достаточные условия расходимости п. V,2.4 в условиях этого параграфа (а также в условиях § 1 и 2) отказывают.

Свободные колебания следящей системы с телевизонным измерительным устройством. Рассмотрим систему, состоящую из двухстепенного гироскопа, с внутренней рамкой которого жестко связано оптико-телевизионное устройство [136]. Изображение объекта слежения через оптическую систему попадает на экран электронно-лучевой трубки, на котором расположен прямоугольный растр, покрытый сеткой точечных светочувствительных элементов. При попадании объекта в поле зрения оптической системы на растре появляется пятно. Слежение за объектом осуществляется при помощи специального телевизионного измерительного устройства (ТИУ) [136] с окном прямоугольной формы, всегда расположенным на изображении объекта (рис. 13). Центр

симметрии окна при помощи ТИУ, совмещается с центром тяжести изображения объекта на растре. Задача следящей системы состоит в том, чтобы с наименьшей ошибкой совместить центр тяжести изображения объекта с центром симметрии растра.

Будем рассматривать случай, когда изображение объекта на растре больше размеров измерительного окна. Подобная ситуация всегда возникает при достаточно близком расстоянии от объекта. При этом, если пятно полностью накрывает измерительное окно, то сигнал па выходе ТИУ отсутствует. Таким образом, в рассматриваемом режиме ТИУ представляет собой нелинейный элемент с характеристикой типа зоны нечувствительности, которая здесь аппроксимируется кубической параболой. Амплитудно-частотная

характеристика гиростабилизатора, снятая на стенде, аппроксимирована колебательным звеном с интегратором. Окончательно структурная схема следящей системы с ТИУ. в данном режиме имеет вид, изображенный на рис. 14.

Данной схеме при zBX = 0 соответствует дифференциальное уравнение

z + 2az + b2z = —cz8,

где

1 t ,1к

® ji 6,т * ^ т4

(0<Е<1,&>0,7>0).

приведет его к видуприведет его к видуЗамена независимого переменного т = bt

приведет его к виду

приведет его к виду

z™ + 2£z" + z' = - yz3 (=^,7 = ^),(4.1)

что можно представить как систему

/ О А = Az + О dT\— yz8/ О А = Az + О dT\— yz8/ zZ = I 2\ 2/ zZ = I 2\ 2А =А =О о оО о о1о— 11о— 1о1-25о1-25(4.2)(4.2)

/ О А = Az + О dT\— yz8

/ О А = Az + О dT\— yz8

/ z

Z = I 2

\ 2

/ z

Z = I 2

\ 2

А =

А =

О о о

О о о

1

о

— 1

1

о

— 1

о

1

-25

о

1

-25

(4.2)

(4.2)

Собственные значения матрицы1 А суть

О, е^, e-i<p (ф = arccos (—|)).

Матрица S, приводящая матрицу А к диагональной форме, составлена из собственных векторов матрицы А. Выпишем ее и

обратную ей матрицу

S.S.1 1О ei:pО е25'»1 1О ei:pО е25'»1е-1Фе-21Ф1е-1Фе-21ФS-1 =S-1 =1О О1О О2^д-1е-Мф2^д-1е-Мф1- А"1^А~УФ1- А"1^А~УФ(4.3)(4.3)

S.

S.

1 1

О ei:p

О е25'»

1 1

О ei:p

О е25'»

1е-1Фе-21Ф

1е-1Фе-21Ф

S-1 =

S-1 =

1

О О

1

О О

2^д-1е-Мф

2^д-1е-Мф

1

- А"1^А~УФ

1

- А"1^А~УФ

(4.3)

(4.3)

где А = det S = —2i^l — £2. Замена

z = Sx, х = | j(4.4)

\ *-i/

приведет систему (4.2) к диагональному виду

^ = diag (0, е’ф, е~!ф) х + S"1^ = diag (0, е’ф, е~!ф) х + S"1О 'О '— V (®о + ^i + К-1)3О 'О '— V (®о + ^i + К-1)3(4.5)(4.5)

^ = diag (0, е’ф, е~!ф) х + S"1

^ = diag (0, е’ф, е~!ф) х + S"1

О '

О '

— V (®о + ^i + К-1)3

О '

О '

— V (®о + ^i + К-1)3

(4.5)

(4.5)

Используя (4.3), запишем (4.5) в развернутом виде

-^ = — у (Жо + Ж1 + Жл)3,

-^ = (— 6 + i /1 — 52)^+ А- у (1 — i ^_L__^ (^о + Ж1+ ж^)3,

(4-6)

^=(- ^ -1 и - е2) ^-i+4-т (i+* /г4^) <ж°+Ж1+ж-!)3-

Поскольку квадратичные члены в системе (4.6) отсутствуют, то и в нормальной форме (1.2) они также будут отсутствовать и сама нормальная форма (1.2) с точностью до кубичных членов включительно примет вид .

^ = ^Ы+ [4],

%- = (~ 6 + i /1 - Е2) У1 + УгУоУх + [4],(4.7)

где g® и gj определяются формулами (1.8)

о13/ а . Е

g»=-^

и не выписано третье уравнение (4.7), поскольку у_г = уг (х-г = = Sj).

Перейдем к интегрированию укороченной нормальной формы.

Из первого уравнения (4.7) найдем

у0 = yS (1 +(Уо = У» (0), у? - у, (0)),(4.8)

затем из второго уравнения (4.7) получим

?А = У^' (1 + 2yy?T)’i‘(cos J^l — |2 т + i sin 1^1 — |2т) х

X [cos Ц- ,1= In (1 + 2уУот)1 —

— i sinIn (1 + 2vyg2T)l|. (4.9)

Нормализующее преобразование (1,1.3) с точностью до кубичных членов включительно имеет . вид

$м = Ум + РоОоУо + Р111У1 + Р-1-1г1У-1 + >'^Р»О1?/п//1 + ЗРоО-11/оУ-1 +

+ ЗРо11УоУ1 4" ЗРд-^УоУ^ 4" Зр^^У-х + SPj-j-x У1У-1 +

■+ 6₽O1-W1?/-1 + [4] (V = о, ± 1).

В силу (4.4) имеем ж_1 = Яи и мы вправе были выбрать выше у_г = ут; с учетом этого нормализующее преобразование запишется в виде (см. также (1.7))

жо = Уо + 2Re (Р111У1) + 6у0 Re (Peoi^/i) Н- ^Уо И® (Р011У1) ~Р

+ 61У1 р Re (Рп—1У1) + 60о1-1Уо | Уг Р + [4],

(4.10)

Ж1 = У1 + РоооУо + Р111У1 + Р-1-1-1У-1 + ЗРад_1у0У-1 + Зр^УоУх +

4" ЗРо-i-i УоУ-г + ЗРп-i | У1 Р У1 -)' 3Pi—1—11 Уг Р У-i -р

+ Ор^-хУо | У1 Р + [4].

Коэффициенты здесь определяются формулами (1.9); при этом значения b/mn берутся из (4.6), таким образом, получим

Pin = Р—1—1—1 з- Те—,ф1 Pooi = Vе го.

Рои = - 4- ^’ Р1°1-1 = - V (2eiv + ^'Г1.

Poi-1=-Т^ + е-^Г1, Pioo = —-^-е-2^,

Pm = ^ ^, pL^ = - ^- ^ - 3)-\(4.11)

Pio-! = --^(^-ir1- Pii^^-e-^,

PU-1 = - 4- ^» - 2)-i, Pl^ = ^- (1 + e^r1,

Pl-1-1 — 2Д ’ P01-1 — "A" ’

где, напомним,

у = kT, б1* = -g + iV 1 - £2> А = -^V1 - £а-

Очевидно, что обращение формул (4.10) сведется к перемене знака у всех слагаемых справа, начиная со второго. Это обращение понадобится для того, чтобы выразить начальные значения у® и У? через Яд и я?, а в силу (4.3) и (4.4) и через z0, z0, z0.

Из (4.4) и (4.3) будем иметь

z = я0 + 2Re яг(4.12)

Этим и завершается решение задачи Коши в общем виде для уравнения (4.1) с точностью до кубичных членов включительно. Оно представлено в виде цепочки формул (4.12), (4.10), (4.9), (4.8).

Выделим главную часть решения согласно определению в конце п. 1.4. Поскольку из (4.10) имеем

^о = Уо + [3], ^i = ®-i = У1 + [3],

то из (4.12) будем иметь

2 = Уо + 2Re ух + [3],

и в силу (4.8) и (4.9) получим главную часть решения

. г ^ у®(1 + 2Ту„°Ч)-^ + 2е^ (1 + 2Ty?T)-l*Z (т), где

Z (т) = cos [рЧ — £2 т — 0 (т)Ше у® —

— sin [ |^1 — £2 т — 0 (т)]1т у® и через 0 (т) обозначено

ем-^-у^то+^т).

Здесь в силу определения главной части решения и формул (4.3) и (4.4)

Уо -~ ^0 = ^д + 2^Zg 4~ Zg,

у? ж я? = ^e-^z’g — ^e-^Zo =

/ Е . . 2^ — 1 \(1 , .£\ "

(+ l грьчФ’Я, 2 + 1 гуГ^;0’

т. е.

Re У^ t~ ^Zgg- Zg,

Imy? 2^^ К2Г - 1) ^ + ^0'].

Глава VIII

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМЧЕТВЕРТОГО И ШЕСТОГО ПОРЯДКАВ СЛУЧАЕ НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Системы четвертого порядка

Первый пункт относится к системам произвольного порядка. В последующих двух пунктах, основываясь на результатах гл. V, исследуются резонансы и нормальные формы, возникающие для вещественных аналитических автономных (вообще говоря, неконсервативных) систем четвертого порядка с двумя парами различных чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части. Исследование устойчивости тривиального решения основывается на использовании в п. 1.4 критерия А. М. Молчанова [2986], либо, если последний оказывает, на применение критерия Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса [227].

Замечание о коэффициентах диагонального вида. Рассмотрим колебания системы с к степенями свободы, описываемые векторным уравнением

V + Pv = f (v, v),(1.1)

где v = (i^, . . ., ицУ, P — вещественная симметрическая к X к матрица, f — вектор-функция аналитическая в некоторой окрестности нулевых значений аргументов. Допустим, что собственные значения матрицы Р, будучи вещественными, положительны, обозначим их о)х (®х }> 0; х = 1, . . ., к}. Пусть S — неособая матрица (которую можно выбрать ортогональной), приводящая матрицу Р к диагональному виду, т. е.

Р = S diag (цц(oj) S-1.

Линейное преобразована» v = Su приводит'систему (1.1) к виду Их + toxUx = S Ajpuau3 -f- ^B^UaU^ 4- 2 CpUaMp 4

+ 5j Оа^й^й^^ 4-^^«йр 4" 3 ^аРт^а^З^Т 4"

4-2Ж^#йдйу 4-[4] (х = 1,.. . ,/с),(1.2)

где не выписаны формы четвертой и более высоких степеней относительно переменных uv . . ., Uk, йь . . ., йц. Представим (1.2) в виде системы 2к уравнений первого порядка и приведем линейную часть, системы к диагональному виду линейной подстановкой (см. (VI,1,1.2) и (VI,1,1.3))

= Ы1Л(i = /7г1, / = + 1, :.., + *), (1.3)

u-x(^Г—х Ч- ^х)Не жх,

йх = — ioix (жх — х_х) = — юх Im жх 1 (х = 1, • • • , &),

где <o_x = — о)к (х = 1 ,. . ., к). Очевидно имеем

x-х = $х (х = 1, . ./с).(1.5)

После преобразований получим

dxк"

= ito,x9 + '^a^jxh + ^bjMxjxhxl + . . .(1.6)

(v = + l, . . . , + к).

Будем различать случаи:

Если правая часть (1.2) содержит только разложения по иг ,. . ., Uk (т. е. для форм второй и третьей степени правая часть (1.2) состоит лишь из первой и второй сумм), то коэффициенты a-jh, Цм». • ■ в (1.6) чисто мнимые [227].

Если правая часть (1.2) содержит только разложения по йп . . ., йк (т. е. для форм второй и третьей степени правая часть (Е2) состоит лишь из третьей и четвертой сумм), то коэффициенты форм четной степени в (1.6) (например, а3\) — чисто мнимые, а коэффициенты форм нечетной степени (например, Ь^ — вещественные).

Наличие только перекрестных членов (последние три суммы) в (1.2) приведет к вещественным коэффициентам при квадратичных членах в (1.6); предпоследняя сумма в (1.2) также приведет к вещественным коэффициентам в формах третьей степени в (1.6), а последняя сумма д (1.6) — к чисто мнимым коэффициентам в формах третьей степени в (1.6).■

Приведение к нормальной форме. Рассмотрим вещественную автономную систему четвертого порядка в предположении, что линейная часть системы, имеющая две пары различных сопряженных чисто мнимых собственных значений, приведена к

диагональной форме

= Ха + У, ajhXjXh + У, Ь^х,хкхк + • • •(2.1)

(v = +l, + 2).

Ниже индексы суммирования всюду принимают значения ± 1, ±2; Х_„ = Х„, не нарушая общности, положим X_i = — i, Хх = i, Х_г = — Xi, Хг = Xi (0 < X < 1); коэффициенты ари Ъ^м,. . ., вообще говоря, — комплексное (см. п. 1.1), причем, подчеркнем, и, симметризованные

ак5 = а^, Ь^Ы} = i. d.(2.2)

где, напомним, {ар . . . со} обозначает любую перестановку чисел а, р, . . ., со; i. d.— idem (то же самое).

По основной теореме А. Д. Брюно (п. V, 1.2) существует обратимая комплексная замена переменных (нормализующее преобразование)

■Ej = У] 4" ^1^1тУ1Ут 4" ^1МтпУ1УтУп 4" • • • U = + 1, +2), (2.3) (^ml = &1т> Pjlmn) = i- d.), приводящая систему (2.1) к нормальной форме

" йт = ^У* + У-» У, б^У^хУхУ^Уй(2.4)

(Л, Q)—О

(v = + l, + 2).

Здесь

Q = (9-1, ?1, 9-2, q^Y,

(Л, Q) = ^-i9-i 4" ^i9i 4" ^-г9г 4" ^92 =

= г 1(91 — 9-1) 4- X (92 — ?_2)],

q_i, Qi, q_^, q^ суть целые числа или нули, при этом q„ ^ — 1, а остальные q, — неотрицательны (q_t + 9i 4- 9-2 + 9г > !)• Итак, в нормальную форму входят только резонансные члены, показатели степеней которых удовлетворяют резонансному уравнению

(A, Q) = 0, т. е. qx — q.A + X (?2 — q_^ = 0.(2.5)

Рассмотрим возможность появления в (2.4) резонансных членов г-й степени, для которых

9-i + 91 + 9-2 + 9г = г — 1 (г > 2).(2.6)

Уравнение (2.5) при любом Х^ (0, 1) допускает тривиальное решение ■

9-1 = 91,9-2 = 9г(2-7)

6 В. М. Старжинский

и нетривиальное решение

последнее в силу условий 0 < X < 1 и (2.6) сопровождается ограничениями■

о < I q-Y — 41 I < I ?2 — q-» | < Т-(2.9)

Для квадратичных членов (г = 2) тривиальное решение невозможно (так же как и вообще для форм чётной степени), ибо в силу (2.6) и (2.7) сумма двух четных чисел не может равняться нечетному числу. Нетривиальное решение возможно .1-

лишь при X = у и даст нам для резонансных членов уравнении (2.4) соответственно

Q-i = (-1, 0, 2, 0), Qj = (О, -1, 0, 2),

Q_2 = (1, 0, -1, 1), Q2 = (0, 1, 1, -1).

Для членов третьей степени (г = 3) тривиальное решение (2.7) даст нам

Qv = (1, 1, 0, 0) и Qv = (О, О, 1, 1) (v = ^1, 4=2).

Нетривиальное решение возможно лишь при ^ = j и даст нам для резонансных членов дополнительно к тривиальному решению еще и

Q-i = (- 1, О, 3, 0), Qj = (0, -1, 0, 3), Q_2 = (1, 0, -1, 2), Q2 = (0, 1, 2, -1).

Заключение. Если в уравнениях (2.4) ограничиться членами до третьей степени включительно, то основная теорема А. Д. Брюно (п. V, 1.2) приведет к ' следующим нормальным формам:

1 1

При отсутствии главных резонансов, т. е. при \Ц= —, -^ (общий случай)

5 = Ку. + g.y^-. + М.Уз-АА УМ-з (v = + t + 2). (2.10)

Для первого главного резонанса (X = у) в каждое из уравнений (2.10) следует добавить справа по одному члену второй степени, соответственно

/-1У-2, /1У2, /-2У-1У2, /2У1У-2.(2.11)

Дл я второго главного резонанса ^Х = у^ в уравнении (2.10) следует добавить справа по одному члену

третьей степени, соответственно

е-!^, е^Х, e-^yt егу<у^.(2.12)

3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных форм. Нормализующее преобразование (2.3) переводит систему (2.1) в нормальную форму (см. (2.10) — (2.12)). Представив последнюю в симметризованном виде (V, 3,1.3а), придем к основным тождествам (V,3,1.6). Далее следуем альтернативе п. V,3.2.

Допустим сначала, чтоХ=£ -у . Тогда Xv =/= Хг + Xm (v, I, т = = ±1, ± 2) и для квадратичных коэффициентов нормализующего преобразования справедлива формула (V,3,2.2)

Чт ~ г + х™ X, V’ l’ m ~ + I’ + 2’ Х т) (ЗЛ)

без иных ограничений (^Х S (0, yj , ^у , 1^ .

При X = у имеем, что Xv = Хг + Хт тогда’ и] только тогда,

когда v, I, т = —1, —2, —2; 1, 2, 2; — 2, (-1, 2}; 2, (1, —2}. Выберем

П—10,1п—2п2

-2-2’U22’U{-12}’U{l-2}

любыми (предпочтительнее определенными по непрерывности из формулы (3.1) приХ—> у , если это возможно, или нулями). Для остальных aim справедлива формула (3.1). Коэффициенты появляющихся при X = у квадратичных членов (2.11) определятся по формулам (V,3,2.4)

/-1 = t:L2 = ®^> /i = ф22 = а22’ (3 2) /-2 = 2Ф=?2 = 2а^ к = 2q^2 = 2^. ' >

Перейдем теперь к кубическим членам. Допустим сначала, чтоХт^ у. Выделим значения v, I, т, р, при которых XV = XZ + + Xm + Хр, это будут

v, I, т, р = v, (Z, — I, v} (v, I = =р 1, =р 2), (3.3)

и положим

^w = О" (v, I = Tl, T2).^w = О" (v, I = Tl, T2).(3.4)(3.4)

^w = О" (v, I = Tl, T2).

^w = О" (v, I = Tl, T2).

(3.4)

(3.4)

Для остальных значений v, Z, т, р справедлива формула (V,3, 2.3), т. е.

Pimp = j—рр^—+ 4 S ^И “тр + ^“pl + 4*)1 (3.5)

(v, Z, т, р = +1, + 2; Z, т, р =f=^ {Z, — Z, v}).

Поскольку вообще Z = ^ v, Т (3 — | v |), то для коэффициентов при членах третьей степени в (2.10), соответствующих выделенным значениям индексов, будем иметь при X =^ у по формуле (V,3,2.6)

gv = 3x«-v = 3bV» +2 s (2a^-ai_v + alv,-aiv), (3.6) )—+1, T2

Ziv = 6%v. 3-|v|, |v|-3 = 6Z>v, 3-|v|, |v|-3 +^ S (ava3~M, |v|-3 + J^l, T2

+ аз-М,Лкз,.+ а|^^^

4 = + 1, +2; ^^y) ■

ПриХ = у надлежит воспользоваться формулами (V,3,2.5).

Остается рассмотреть случай в) п. 1.2: X = -у . Дополнительно к (3.3) Х„ = Xz + Хт + Хр при

v, Z, иг, р = —1, —2, —2, —2; 1, 2, 2, 2;

-2, {-1, 2, 2); 2, {1, -2, -2} и мы выберем

Р-2-2-21 Pz22i Pi-122|, P(l-2-2)

любыми (предпочтительнее определенными. по непрерывности из формулы (3.5) приХ—> у, если это возможно, или нулями). Коэффициенты появляющихся при X = у кубических членов (2.12) определятся по формулам (V,3,2.6):

6-1 = Х-2-2-2 = Zl-2-2-2 + 22a-2ja-2-2i

i=Ti, Т2

61 = Х222 — Z>222 4" 2 2 <l2j'°22,(3-7)

3

6-2 = ЗХ-122 — ЗЬ-122 + 2 2 (®-ljCl22 4" ^-alj a-12),

62 = 3xi—2—2 = 3ti-2-2 + 22a-2)a{_2).

При любом X ЕЕ (0, 1) вычисления начинаются с формул (3.6) (а приХ — -^— с формул (3.7), и уж затем (3.6)) и заканчиваются формулами (3.5).

Критерий А. М. Молчанова устойчивости колебаний. Известны исследования Г. В. Каменкова [54], т. I и И. Г. Малкина [79в] устойчивости в критическом случае двух пар чисто мнимых корней. Здесь предпочтительнее воспользоваться критерием А. М. Молчанова [2986], отражающим специфику нормальных форм и возникающих резонансов.

Будем теперь предполагать1), следуя п. 4.1, переменные попарно комплексно-сопряженными:1

= ж;, у-, = у, (/ = 1,2).

Рассмотрим'общий случай^Х =/= у, у). Умножая уравнения (2.10) соответственно на уч и складывая их попарно, получаем

^Ы = 2Ве^1|№|4 + 2ВеХ1|у1Нг/2|2,

12(4-1)

rfJ^1 = 2ReX2|yiP|z/2p + 2Reg2|y2|4.

Для неустойчивости согласно определению, достаточно заметить одну неустойчивую траекторию. Полагая у2 = 0, а затем уг = 0, получим, что при выполнении любого из неравенств

Re gt > 0 либо Re g2 > 0(4.2)

тривиальное решение системы (4.1) неустойчиво.

В этом пункте далее будем предполагать

Re gt < 0, Re g2 < 0,

оставляя случай Re gv = Re g2 = 0 для следующего пункта. Введем новые знакоопределенные (неотрицательные) переменные

иг = —2 Re gt | у^ p, v2 = — 2 Re g2 | y2 |2

и запишем систему уравнений (4.1) в виде

— У1 (У1 + ак2),— У2 (^У1 + Уа), (4.3)

где

Re К, , Reа =1 1 ° = -

Re g2 ’ Re gt

(напомним, что gu g2, ht1 h2 определяются формулами (3.6)).

Критерий A. M. Молчанова [2986]. Неустойчивые системы (4.3) лежат ниже отрицательной ветви гиперболы ab = 1. Выше прямой а + b = — 2 находится область монотонной устойчивости.

г) В пп. 1.2 и 1.3" это предположение необязательно.■

Доказательство. Сложив уравнения (4.3), получим

где

Напомним, что ^ и р2 — неотрицательные переменные. Поэтому условия отрицательной определенности матрицы А являются достаточными условиями асимптотической устойчивости тривиального решения системы (4.3). Последние же приводят к неравенствам '

— 2 < а + Ъ и— 2 < а + Ъ иd -J- Ъ <^ 2.d -J- Ъ <^ 2.(4.4)(4.4)

— 2 < а + Ъ и

— 2 < а + Ъ и

d -J- Ъ <^ 2.

d -J- Ъ <^ 2.

(4.4)

(4.4)

Покажем, что второе условие может быть снято. Рассмотрим V- функцию■

7 = 1^ + ^,

являющуюся для неотрицательных переменных ъ\ и р2 определенно-положительной. Производная ее, взятая в силу (4.3), равна

^ = _ уз _ (а + ь -J- 1) У1р2 (^ -|- р2) — рз

и будет определенно-отрицательной при условии а + b + 1 > 0.(4.5)

По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости при условии (4.5) тривиальное решение системы (4.3) асимптотически устойчиво. Из условий (4.4) и (4.5) остается одно,

а + Ъ 2> — 2,

что и доказывает вторую половину критерия.

Перейдем к доказательству его первой половины. Будем искать решения системы (4.3) вида

Ух = у®у (т)(у® > 0, х = 1, 2).(4.6)

Подставляя эти выражения в (4.3), будем иметь

т- = оу2, у (0) = 1,

— у? — ар2 = а, — bv® — р2 = а.

Отсюда найдем

а (6 — 1)1 — abа (6 — 1)1 — ab„ о (а — 1) п

а (6 — 1)

1 — ab

а (6 — 1)

1 — ab

11 — ab ’2

При о О О решение (4.6) стремится к бесконечности при т—>- оо. Поскольку р” > 0 и р” )> 0, то условие о О О будет иметь место при выполнении неравенств

ab > 1, а < 1, Ъ < 1,

что и доказывает первое утверждение критерия.

Примечание. А. М. Молчанов утверждает также ([2986]), что между отрицательной ветвью гиперболы ab = 1 и прямой а + b — — 2 расположены формально устойчивые системы (4.3), решения которых могут, однако, возрастать перед тем как начать затухать. Степень «раскачки» в таких системах грубо оценивается числом | а | + | b |. Ясно, что при большой «раскачке» такие системы могут оказаться практически неустойчивыми.

Критерий Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса. В случае а) п. 1.1 коэффициенты g4 и h4 (v = + 1, у 2) системы (2.10) — чисто мнимые, т. е. критерий А. М. Молчанова заведомо отказывает. Выпишем в этом случае второе и четвертое уравнение системы (2.10) (ХЕ (0, 1); Х=(=™,-|-)в виде

= 0/1 + i (~у- г/i | Ут |2 + -у /Л | уг |2) + [4],

Г\(5-1)

= ^Уг + i ( -у У г | ,У1|2 + -у у г | у г |2^ + [4].

Система (5.1) есть частный случай системы (1.2)

В применении к (5.1) теорема Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса [227] приводит к следующему критерию: Если X — иррациональное и (см. (3.6))

тио «почти вся» е-окрестность начала координат заполнена почти- периодическими движениями, т. е. положение равновесия «практически» устойчиво по Ляпунову.

Задача А. Ю. Ишлинского

Изложение в пн 2.4—2.6 не зависит от пн. 2.2, 2.3.

Преобразование уравнений движения к ляпуновскому виду. В монографии А. Ю. Ишлинского ([52а], приложение 2) получены точные (в рамках прецессионной теории) уравнения двц-

женин (40) т) гироскопической рамы чувствительного элемента гирогоризонткомпаса относительно трехгранника Дарбу. Выпишем эти уравнения в предположениях (17), (41), (47) и в дополнительном предположении о равномерности движения точки подвеса по сфере:

dadtdadtтЬ;ш2В cos етЬ;ш2В cos еcos a cos y +cos a cos y +

da

dt

da

dt

тЬ;ш

2В cos е

тЬ;ш

2В cos е

cos a cos y +

cos a cos y +

+ ^™^0с°8У + 4-со8а18р-оз,

—к- = л-scos a cos p sm y +— sin p sin y — -к- sin a,

dt 2Bcoser2Bcose r 1 R *

(1.1)(1.1)dydtdydt2 В cos emlR2 В cos emlRmlnto. _cos a sin p cos y —2Bcoser 1mglsin2 Ву cos a2Bcose 'cos PR cos p ’mlnto. _cos a sin p cos y —2Bcoser 1mglsin2 Ву cos a2Bcose 'cos PR cos p ’

(1.1)

(1.1)

dydt

dydt

2 В cos emlR

2 В cos emlR

mlnto. _

cos a sin p cos y —

2Bcoser 1

mglsin2 Ву cos a

2Bcose 'cos PR cos p ’

mlnto. _

cos a sin p cos y —

2Bcoser 1

mglsin2 Ву cos a

2Bcose 'cos PR cos p ’

dsdtdsdtе — е0 ф-е — е0 ф-mZy д 2Bsin е0mZy д 2Bsin е0(1-2)(1-2)

ds

dt

ds

dt

е — е0 ф-

е — е0 ф-

mZy д 2Bsin е0

mZy д 2Bsin е0

(1-2)

(1-2)

— (sm a cos y + cos a sin p sin y) +

2Bsins v'

+.— cospsiny-

1 2Bsme r 1

Заметим, что система (1.1) — обратимая (Л-инвариантная), т. е. не изменяется при замене а на —а, у на —у и t на — t. Следуя (45), (19), (20), положим в уравнениях (1.1)

и, ограничиваясь в уравнениях (1.1) членами до третьей степени включительно, запишем систему (1.1) в виде

^B + ®Д-4-®«2 + ®(1 +4-^W + WBA- at2\2/

1_юа2д + (д(1 + -|-к)д3+^(l + ^- ^) ВД2,

= — Na + озГ + ^BГ + соГД + at

+ _L Na3- А- юа2Г + со (1 + 4* ^) ГД2 + АГВГД,

(1.3)

= - мВ - Л’Д +Л^а2 - ^B2 + NKA2 - юВД +

at2

+ 4- NKN3 + 4- ®а2В - со (1- + 4“ я) ВД2 - ^B2Д,

х) Всюду ниже формулы с одинарной нумерацией относятся к [52а].

= - «а + АГ + соЯаД - со ВГ - NKTk - dt11N1

-w^-l-K + K^ аД2 + -L (оа3 + NK (^ + К^ ГД2. Здесь введены параметры

У =*=4В2-^(L4)

и переменные

а, В = Ар, Г = А?, Д,(1.5)

V2 по(1.6)V2 по(1.6)а также здесь и в дальнейшем пренебрегается величиной сравнению с N2:

V2 по

(1.6)

V2 по

(1.6)

У2 _ У2 ^.

№ ~ gR

При скоростях у точки подвеса до 100 м/с последнее означает, что отбрасываются величины меньше 1,5-10 ~4 по сравнению с единицей. Собственные значения матрицы А линейной части системы (1.3) суть

+ (А+(о)г, +|А-(о|г (г = / = 1). (1.7)

Матрица Sx линейного преобразования, приводящего линейную часть системы (1.3) к диагональному виду, составлена, как известно, из собственных векторов матрицы А и равна

(1.8)(1.8)1111— г г — i i-1 —1 1 1— i i i — I

(1.8)

(1.8)

Нетрудно выписать матрицу S2 линейного преобразования, приводящего диагональную систему к ляпуновской кососимметричной форме:

1—<ОО

S2 “ “S2 “ “1<00

S2 “ “

S2 “ “

001—< ‘

001<

Матрица S результирующего преобразования равна

10 10

S = SxS2 =

0—10—1

— 10 10

0—101

Итак, сделаем в системе (1.3) линейную замену переменных (выпишем рядом и обратное преобразование):■

а = 5 + 5, В = —л — X, Г = С — 5, Д = X — Л (1-9)

(^ =-4-<а” Г-— 4-<B i" Д)’

=4"(а+г)*х=4-(д ~в))'

Таким образом, уравнения движения (1.1) в предположении (1.6) и при сохранении членов до второй степени переменных включительно, можно записать в новых (также безразмерных) переменных в виде системы

-g- = ? 4- 4- U.K - 1) *л - (А + X) Sy. + (1 - ХК) лС +

4-Х(1 + Л')М,

4г = -Ьх + 4"^ + D2--^W- х(1 +4-а)х2+ (1Л0) + ^-у ХК 1^ лх*

-^ = х: + 4[-:1 + А)Вл + (А-х)^ + (1 + х^)ле +

+ Х(1-7№1- Здесь введено безразмерное время.

т = (.V + Ю) t(1.11)

и содержатся два безразмерных параметра: К (см. (1.4)) и

(0<X<D(1.12)

(можно рассмотреть и случай to > N, введя X' = —X). Заметим, что система (1.10) обратимая (Z-инвариантная), т. е. не изменяется при замене £ на —£, £ на — £ и т на — т.

Преобразование системы ляпуновского вида. Система (1.10) является системой Ляпунова ([77а], §§ 33—45), если она допускает аналитический и знакоопределенный в некоторой окрестности нулевых значений переменных первый интеграл. Нетрудно проверить, что при ХЕ (0, 1) система (1.10) допускает в рассматриваемом приближении знакоопределенный первый

интеграл

Я = ^ + я2 +^ + Х2+^Х(х3-Ц3Н

+ 4-4 (£2 + с2 - ЗХХ2) - 4- X а2 + ^ - ЗАГТ!2) +

+ ^(П-Х)+[4] = Ц2 (|1>О).(2.1)

Однако, поскольку не установлена сходимость (2.1), то систему (1.10) будем называть системой ляпуновского вида.

Основываясь на интеграле (2.1) и подстановке Ляпунова

g = р cos О, я = р sin О, £ = pzi, X = pz2, (2-2)

в п. I, 1.1 указано преобразование системы Ляпунова к неавтономной квазилинейной системе, при котором порядок понижается на две единицы. Обозначим квадратичные (и более высокие) члены в уравнениях (1.10) соответственно через

В (5, я, С, х), Н (5, я, С, X), Z (5, ц, с, X), X (5, я, С, X)

и вычислим функции

Р (р, О, Zx, z2) = р-2 (В cos О + Н sin О),

0 (р, О, Zi, z2) = р~2 (— В sin О + Н cos О),

Zx (р, О, Zx, z2) = p~2Z — ZxP,

Z2 (p, О, Zi, z2) = p~2X — z2P.J

Будем иметь

P = 4~ (2 + 3X) sin 0 sin 20 4- 4" (1 — XX) Zi sin2 0 4

+ 4" (X — 2X) z2 sin 204 (cos 0 4- Zi)2 cos 0 4-

4 4 X (1 4- X) ziz2 sin 0 4- 4“ X?9 cos 0 4- О (p),

0 = — 4 + 4"^") sin3O 4- 4" (X — 1) cos 0 sin 20 4

4"0 — XX) Zisin20 4- ^4“X — X^Z2 sin204-

4~ X (1 4- X) zxz2 cos 04 Xz2 sin 0 —

L(X 4- X)z2cos2O 4- ~4(cosO 4- zi)2sin0 4- O(p), (2.3)

Zx =4 XX sin2 0 4- ^4" ^ — 4 z2 sin 0 4

4" X (cos 0 4- zi)24 ^ — ^) zisinZ —

4 (2 4- 3X) Zi sin 0 sin 20 -|- 4" (2X — X) ZiZ2 sin 20 —

— X (1 + -^- К j z| + -^ (cos # 4- zi)2 Zi cos 4 —

^- X (1 + K) ZiZ2 sin О^- Kt,^ cos О + О (p),

Z2 =^ (1 + A) sin 20 + -^- (1 + XA) Zi sin 0 +

+ (A — X) z2 cos 01-(2 + ЗА) z2 sin Osin2O-|-

+ -i- X (1 — A) ZjZ2(1 — XA) ziz2 sin2 0 +

+ -^ (2A — X) z2 sin 20 + -^ (cos 0 + zL)2 z2 cos 0 — ^-X (1 + A) ziz2 sinO^ Az2cosO + 0 (p).

В результате преобразования мы придем к неавтономной квазилинейной системе вида (1,1,1.9)

-^- = — Xz2 J- р. (1 -|- Zi + z2)-42 [ZL (О, О, zb z2) +

+ Xz20(i),0, zn z2)] + 0(р2),(2.4)

-^- — Xzi + И (^ + zi + Zj)-'2 [Z2 (О, О, Zi, z2) —

-Xz19(3,0,z1,z2)J + ^(p2).

К системе (2.4) можно применить различные методы малого параметра. Здесь остановимся на одном из них — методе Пуанкаре ([107а], т. I, гл. III) определения периодических решений.

Определение периодических решений. Будем искать периодические решения системы (2.4) в виде

Z1 (О) = z® (О) + pzi (О) + p2z? (О) + . . . ,

z2 (О) = z® (О) + pz1, (О) + p2z' (О) + . . . ,}

и подставляя эти ряды в (2.4), получим системы уравнений для определения z®, z2 и zi, z^:

rfz?„ rfz® n

(3.2)

5" = - ^z2 + (i + z?2 + Z“V1‘2 VZ1 (О, Й, z?, z®) +

+ Xz®0(O,», z?, z?)],(3.3)

= Xz} + (1 + z?2 + zf)-*l2 [Z2 (0, *, z?, z®) - Xz?0 (О, Й, z?, z®)].

Общее решение системы (3.2) является 7’(Х)-периодическим:

zX = С cos X# + D sin M), zX = —D cos X^ + C sin X4. (3.4)

Решение (3.4) можно рассматривать и как ?7’(Х)-периодическое, где q — любое натуральное число. Правые части уравнений (2.4) (и (3.3)) зависят от явно независимой переменной и эту зависимость можно рассматривать как 2рл-периодическую с любым натуральным р. Поэтому решение (3.4) будет порождающим для 2рл- периодического решения системы (2.4) тогда и только тогда, когда

qT (X) = 2рл или X — —,(3.5)

где q/p — любая положительная несократимая правильная дробь. Сведем систему дифференциальных уравнений (3.3) для первых поправок к одному уравнению относительно z}; учитывая (3.4), будем иметь

+ Vz* = (1 4- С2 4- DV12 Zt (О, A, z? (»), z" (^)) +

+ Xz2 А- © (0, », zj (»), zX (»)) - xz2 (0, », zX (»), zX (»)) 4

4- 2X2z?© (0, », zX (»), zX (»)] .(3.6)

Вычислим правую часть этого неоднородного уравнения, обозначая штрихом полную производную по •&:

Z; 4- Xz2©' - XZ2 4- 2X2z?© =

= - A-(2X2A 4- 26X2 4- 32X-3A 4-l)z?sin»4-

4--^ (6X2A 4-6X2 - 9A - 9)z?sin3»4-

4s (5XK — 15Х — 16) zX cos » 4- -^- X (1 4- A') A cos У» 4

-^ (- 2Х3А 4- ЗХ2 4- 4ХА — 4) zX sin 2» +

4- А- X2 (ХА - 2) zt sin 2» - -L X2 (9Х 4- ЗА 4- 12) zXzX 4

-^ (ЗХ3 - 5Х2А - 4Х 4- 4A) zXzX cos 2» -

-(2Х2К 4- 1) zf sin » 4- -^ X (6X2A 4- 6X2 - 4A - 5) x

X A z2 cos ■O' 4- -^- (2X2 4- A) zXzX sin ■& —

--|-X(2X2A4-2X2- A)zfcos#. (3.7)

Неоднородная часть уравнения (3.6) содержит тригонометрические функции И с круговыми частотами

a)^L, б^Г?) , в)1?2гМ,Р’ р 1’ р '

г) f+ ?^ + У Зр — 922 (р + 9)2? р-\-Зд

р ' р ' р ’’ р ' -р ' р ■

Выясним, когда одна из этих частот совпадает с круговой частотой q/p порождающего решения:

а)

р — д р

р ’

9 = 1,

Р=2,

к =

1

2

б)

2 (р— g) р

_ _д_ р ’

9 = 2,

р = 3,

к =

2

3

в)

Р — Зд

Р

_ _д_ р ’

9=1,

Р = 4,

к =

1

4

Зд — р

Р

_ _д_ р ’

9 = 1,

р = 2,

к =

1

2

В случае г) такое совпадение невозможно. В случаях а), б), в) уравнение (3.6) допускает 2рл-периодические решения при указанных q и р не для всех значений С и D, а лишь для тех, при которых уничтожаются члены с sin (^/р) и cos (q^/p) в уравнении (3.6). Однако уравнения для «порождающих амплитуд» при ^ = "5", у, у дают лишь нулевые решения: С =D =0. Это означает, что при этих значениях к не существует периодического решения. При всех иных значениях к, определяемых формулой (3.5), существует периодическое решение при любых значениях С и D. Последнее означает, что вне резонансов к = -^-, -у- , -|- для всех рациональных значений к ЕЕ (0, 1) периодическое решение является общим с четырьмя произвольными постоянными С, D, ц и <0. В силу (2.1), (2.2), (3.4) и (3.5) названное решение запишется в виде (см. также п. III, 1.2)

В = ■ у —cos iJ + О (ц2),/1 + С2 + №v

п = у : sin О + О (ц2),1/1 + с» + О2v

с =и (С cos—й + Dsin —«А + О(Ц2), (3.8)

у =— - (— D cos — й -V С sin — {А + О (ц2),

/1 +С2 + рг \рР )

» = (^ + (0)(<-(0) + О(ц);*

Напомним, что переход к исходным переменным осуществляется по формулам (1.9), (1.5) и (1.2).

Однако количественное описание движения предпочтительнее провести через приведение уравнения движения к нормальной форме; к этому мы и переходим.

Преобразование уравнений движения к диагональному виду и нормальной форме. Сделаем в системе (1.3) линейное преобразование, определяемое матрицей (1.8) (выпишем ниже и обратное преобразование):

а = ^-1 + ^i + ^-2 + ^2 = 2Re (^ + х2),

В = г (— х_, + х, — ж_2 + ж2) = —21m (ж, + ж2),

(4.1)

Г = —х_т — a:i + ж_2 + х2 = 2Re (ж2 — ^j),

А = г (—х_А + х, + х_г — ж2) = 21m (ж2 — хгу,

х, = х/4 [а + (—1)Т — гВ sign v + i (—1)'А sign v](4.2)

(v = + 1, + 2).

Введя безразмерное время т (см. (1.11)), придем к системе уравнений вида (1,1.6):

% = 4- (1 + < + 4- (к -7) ^ -

-4-(1+К)(2Х + 1)Л + 4(1 +^)(2Х-1)^ +

+ ^(3 + Я)зд + 4-(^-1)(2 + Х)^_2-

4 (1 + ^) (2 — X) Ж-1Ж2 + ^ М3 ~ -А) хгх_г —

- 4-МЗ + А)-'^;-: -^(К - 1)а;_2^+ [3],(4.3)

^- = ^х» + А(1 + К) (2 + Х)Л - ^(1 + А) (2 - ХН +

Н—g- X (1 -}- К') ж22 -]—g-X (7 —г К') ж2 -)—^-Х (1К') х-уХу -)-

Ч—^- (1 — К^ (2Х + 1) Ж-рГ-г Н—^- ^К — 3) х_хх2 -|-

4--^-(7^ + 1) (2Х—1) ятрЖ—2 -^—^- (3 -j- К) х^х^ —

-4*Х(3+ KV-^-Y [3] -

Здесь не выписаны члены третьей степени, ибо не все они понадобятся в дальнейшем, а также первое и третье уравнения, поскольку х_х = Si, х_г = г2 (см. (4.2)).

Определим atm по формулам (1,3.2). Очевидно, что а"Д_т = = alm (v, I, т = +1, + 2) и из четверки величин aim, а}^, a_i-m, aLm,i (или пары величины а^, аТ/_;) будем выписывать ниже только одну:

a_i-i = а_2_2 = “g- i (^ — 7),•

а11 = 0-2-2 = О22 = «1-2 = «-1-1 = а11 = ®22 = а-12 = ~g~ (1 4“ ^),

а_и = а_т_-> = а^_2 = а _22 =g- i (3 + К),(4.4)

aZh = аД = 4- i (К — 3),■

а12 ’ а-22 — а-11 = а12 = “8“ Ц1 К).

Эти же значения выбираем для aZ2-2 и aZ^ и ПРИ X = у . Формулы (1,3.3) дадут нам

/-1 = /1 = /—2 = /2 = 0.

Последнее означает (см. конец п. 1.2), что приХ = у аннулируются резонансные члены, и нормальная форма с точностью до членов второго порядка включительно

^ - х,9.(4.5)

(Xi = X_t = i, Х2 = Х_2 = Xi; v = + 1, + 2)

в рассматриваемой задаче справедлива и для X = у , т. е. для всех X £ (0, 1) без этого единственно возможного исключения.

Решение задачи Коши в общем виде. Общее решение системы (4.5)

у, = е^у., (0) (v = + 1, q= 2)

позволит решить задачу Коши в общем виде для исходной системы (1.1) с рассматриваемой степенью приближения, рсновываясь на формулах замены переменных (1,2.3), (4.1) и (1.5). Например, для переменной а будем иметь

a = 2Re (хг 4- хг) = 2Re [z/j + уг + 2 (а[т + a?m) у£ут] =

= 2Re 1вкуг (0) + е1Хху2 (0) +

+ S (aL + akWxA^ yt (0) ут (0)1,

откуда найдем

а = Re У1 (0) cos т — Im yi (0) sin т + Re уг (0) cosXt —

— I m уг (0) sin Хт —^-^- (а?™ + щт) X

X |[Reyz(0)Irnym(0) + Re ym(0) Im yz (0)] cos -^-(Xz + Xm)r ++ [Re уi (0) Re ym (0) — Im yt (0) Im ym (0)] sin -^ (^z + Xm) *} • (5.1)Остается выразить константы y^ (0) через начальные значенияa0, Ро, То, ^о исходных переменных. Обращая (1,2.3), найдем

Ум (0) = ,х„ (0) — ^а^ (0) xh (0) + [3] (v = + 1, + 2),

и используя (4.2) и (1.5), получим

Ум (°) = 4 {“° +^ "4 То + i sign v ^— ^ Ро + (— 1)" Ао]} —

— 4г ^ 07,1 {“о + (— 4)’ 4“ то +7 sign 7 [— т" 0° + Ао]} х

X |a0 + (— l)h4"To + isignX^ — -^-рд + (— 1У‘Д0^.

Отсюда будем иметь

Re yv(O) = ^[ao + (- 1)^то] +

+ 4" У, "4 a7h{Sign 4°°”^ ^—^ ~^ Т°]А°]

j, H=T1, +2

+ sign / ^a0 + (— l)h4"To][— 4-Po + (— 4)5^oJ},(5.2)

Im yv(°) = ^[—4"P° + (_ ^o] —

-^6 IL ^“Ц[а° + (-^T’Toj^o + t-^^To]^

— sign (/A) ^-y- po — (— 1)’ Aoj ^^7- po — (— l)h Ao]| (v = + 1, + 2). Суммирование проведено всюду по значениям индексов ±1, ±2. Аналогично (5.1) могут быть выписаны формулы для р, у и А (и е; см. (1.2)). Заметим, что Р и у имеют по сравнению с a и А порядок V/N (величина, квадратом которой пренебрегалось по сравнению с единицей),— результат, впрочем, получаемый из линейного приближения.

Таким образом, формулы (5.1), (5.2) и (4.4) дают представление решения системы (1.1) как почти-периодического (при иррациональном X) или периодического (при рациональном X).

Первоначальные суждения об устойчивости. До сих пор в нормальных формах учитывались лишь члены до второй степени включительно, а они в случае двух пар чисто мнимых корней, как следуёт из общей теории и как видно из п. 2.5, не разрушают нейтральности приближения. Посмотрим, что даст рассмотрение членов третьей степени. Вычислим коэффициенты gn g3, hv h2 системы (1,2.10) по формулам (1,3.5):

gi — ЗЬи^ -|- 2 [2 (ai-1o121 -(- a^a^-t -(- aj_2*ii-i + «i2ai-i) +

+ «-l-lall + «-11*111 + «—1-2*111 + «-12alll,

ol2 ! о rQ / 2 — 1 I 2 1I 2 —2 I 2 2 \ I

g2 — ^^22-2 4" ^ M (&2-la2-2 + ^21^2—2 4“ tt2-2a2-2 4“ fl22a2-2) 4“

I 2-li 2 1 I 2-2 । 2 2i

4" d-2-1^22 4“ ^-21^22 4“ &-2-2^22 “i“ ^-22^221 >

^i — 6d12_2 4“ 2 (^1_1a2-2 4“ ^11^2-2 4“ ^1—2^2 2 4“ ^12^2-2 "T

<12-1*11-2 4“ «21*11—2 H" «2-2al-2 4“ «22*11-2 "T" ■

Ч- «-2-1*112 + «-21*112 + «-2-2*112 + «-22*112),

,p,2। n / 2-1।212—2,22,

«2 — O«21-l + 4 («2-1*11-1 + «21*11—1 + «2—2*11—1 + «22*11—1 T

i 2-1।21।2-2।22।

+ «1-1*12-1 + «11*12-1 + «1—2*12-1 + «12*12—1 tH

i 2-1 ।21।2-2 ।22 \

4" «-1-1*121 4" «-11*121 4" «-1-2*121 4" «-12*121) •

Величины a/m определены формулами (4.4); a)/, суть коэффициенты соответствующих квадратичных членов в уравнениях (4.3); Ь^ — также коэффициенты при соответствующих членах третьей степени, не выписанных в уравнениях (4.3). Эти последние коэффициенты получим из системы (1.3), используя преобразования (4.1), (4.2) и (1.11). Подчеркнем, что при вычислениях уравнения (4.3) должны быть приведены к виду (1,2.1), т. е. должно быть выполнено (1,2.2). Будем иметь

4^1-1 =# + 45-^ + тк(5-5^ + 4^)’

4 Ь^ = 4 - 4 к + А (21 + 13^ + 4^^),

4^-2 = - 4+4К+4 11 - ^к+14^2)’

4^i-i = -4- 4к+4(-3+5к+4^2)’

g1 = 4^(l + 2^)(X-l), g2=0,

hr = -^-iK (1 + 2Ж)(Х- 1), Л2 = 0.

Поскольку величины gu g^ чисто мнимые, то критерий А. М. Молчанова (п. 1.4) отказывает. Заметим, что в этом случае в силу уравнений (1,4.1) выражения

I У! I2 = С1 И | у2 I2 = С2 являются первыми интегралами системы (1,2.10) и могут быть использованы для построения функции Ляпунова системы (1,2.10). Определитель J (см. формулу (1,5.2)) равен нулю. Поэтому критерий Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса (п. 1.5) также отказывает.

Построение функции Ляпунова. Перейдя в системе (1.3) к независимому переменному т по формуле (1.11), получим

^ = 4-(1+МВ + 4-(1-МА-^(1-Ма2 +

+ 1- (1 - X) (1 + А а) А2 + -4 (1 + М ВД - ~4 (1 - М а2Д +

+ А (1 _ X) (1 +д3 + 1 (1 + х) Л + 1 д \ вд2

^ =L(l + x)a+4-(l-Mr + 4-(l+k)Br +

+ А(1-Х) гд + 4 (1 + х)аз — 4~(1 — м;«2г +

+ Л (1 _ X) (i + х х) ГД2 + ^ (1 + X) вгд, ^^-^-(l-^B-^-^ + MA + ^-^ + Ma2- (7.1) - 2_ (1 + X) В2 + ^- (1 + X) АД2 - 4" (1 - X) ВД + + 4- (1 + X) АД» + -1- (1 - ^ «2В - 4~ (! - л) (1 + 4~ ^)ВА2 -

-4(1+Х)В2Д, 44=-4-(1-^а+4-(1+^г!+4-(1-х)ХаД-

(1 + X) АГД - 4- (1 - X) ^ ВГ + 4- (1 - М а3 - _i(i-x) ^(4 + ^\аД2+(1 + х)а(4+^гд2 с точностью до членов третьей степени переменных включительно. Производная от функции

^ = а2 (1 — Д — 4"“2) + В‘2 + В2 +

+ Д2 (1 + АД- 4^Д2/ + 4~ (“" “ ХД2)2’ (7‘2)

взятая в силу уравнений (7.1), равна нулю. При условиях

Д<1—А1<^А<^А2,(7.3)

где А, и Д2 суть корни квадратного уравнения

К^ - ЗАА -3 = 0, т. е.

Д1,2=4(i+|/ i+4y),

функция W определенно-положительна в смысле Ляпунова. Заметим, что

_-^<д1<0,3<Д2.

Итак, тривиальное решение системы (7.1) устойчиво по Ляпунову и область (7.3) в пространстве а, р, у, А является областью допустимых начальных условий.

Однако система (7.1) (как и система (1.3)) является приближением системы (1.1), хотя и довольно высокого порядка — до третьих степеней переменных включительно. И пока не высказано суждение о сходимости первого интеграла системы (1.1), для которого (7.2) представляет разложение до четвертого порядка включительно, мы вправе лишь говорить о формальной устойчивости [234д] положения равновесия а = р = у = 0, е = е0 системы (1.1).

О траектории, описываемой центром поперечного сечения вала за один оборот

Постановка задачи и уравнения движения. Изучению колебаний роторных систем посвящено большое количество как теоретических, так и экспериментальных исследований. Сейчас многие ученые считают, что большинство вопросов, представляющих интерес, получило законченное решение. В то же время ряд явлений, наблюдаемых в роторных системах, остался за пределами внимания. Так, до сих пор не получили объяснения случаи усталостного разрушения устойчиво работающих роторов (веретена типа ЭВА). В самом деле, в рамках существующих представлений устойчиво работающий вал в равножестких или абсолютно' жестких опорах описывает в любом своем сечении по длине круговую траекторию. Следовательно, вал находится под действием статических напряжений (за исключением напряжений от собственного веса), не способных вызвать его усталостного разрушения. Однако, как показывает опыт, круговые траектории в роторах почти не встречаются. Причиной появления некруговых траекто-

рий является «некруглость» подсадочного места под наружное кольцо подшипника в опоре. Эта «некруглость» присутствует во всех без исключения опорах, и вызвана тем, что отверстие под подшипник невозможно расточить точно по кругу вследствие биения сверл и разверток. Отсюда ясно, что изучение форм траекторий, описываемых центром поперечного сечения вала в пределах одного оборота, представляет как практический, так и теоретический интерес. Насколько нам известно, подобных исследований до работ Э. А. Попова [309, 310а, б] не проводилось.

Наиболее сложным является выбор упрощенной модели, с достаточной степенью точности воспроизводящей качественную картину поведения системы. Как наиболее простую модель, возьмем невесомый вертикальный вал (рис. 15) с массой ш, закрепленной на валу с эксцентриситетом е. Массу выбираем как приведенную по известной методике [44, 45]. Предполагаем, что вал, абсолютно жесткий на кручение, расположен в абсолютно жестких опорах и приводится во вращение приводным элементом, с которым он имеет жесткую связь, с постоянной угловой скоростью (о0. Пусть в некоторый момент времени масса оказалась отклоненной от равновесной траектории. Тогда скорость ее движения по траектории окажется не постоянной. Сила инерции, действующая на массу, станет нецентральной и вызовет у вала появление, кроме радиальной, тангенциальной силы

П = -^-/сг2(1 +а2),П = -^-/сг2(1 +а2),(1-1)(1-1)упругости. В самом деле, если бы вал не получал бокового изгиба, то движение массы по траектории в сторону вращения в период разгона было бы невозможно. На основании этого потенциальная энергия системы может быть представлена как сумма работ сил инерции на пути радиальной и тангенциальной деформаций, т. е.

П = -^-/сг2(1 +а2),

П = -^-/сг2(1 +а2),

(1-1)

(1-1)

где а — отклонение по углу радиуса-вектора г точки закрепления массы на валу от своего расчетного положения при ф = <в0 =

= const.

Вычислим кинетическую энергию системы, переходя к полярной системе координат по формулам

xg = г cos (соо/ — а) + е cos cl>0Z, ys = г sin (соо/ — а) + е sin соо<

®0,

+ cooe sign c ^—2-^- sin a

too — cos a + tog

(1

где к — жесткость вала в месте крепления массы, с = р2 р — собственная круговая частота изгибных колебаний

Уравнения движения точки закрепления массы на валу иметь вид

~ — г (соо — ^у — togecosasignc + psr(l + a2) = 0,

.3)

Считая угол а достаточно малым и заменяя cos а первыми двумя членами его разложения в ряд, получим

о da /da\2„ „ .

-да + cr + 2to»r SF - г ) + Р ra +

+ — cogea2 sign с — соде sign с = 0,(1.4)

d2a . п 1 dr da n 1 dr ,,.2 a . n

-Ж + 2—— dr + P2“ + moe — signc = 0.

В первом уравнении имеется свободный член соде, от которого целесообразно освободиться, чтобы иметь в качестве нулевого решения круговую траекторию. Заметим, что при a = 0 из (1.3) мы получаем невозмущенное движение с

2 ^L d«2

(Og —+ ™oe sin a sign c + p2r2a = 0.

Ctl / Ctl

(1

Введем новые переменные dz_.dz_o

Z-1 = F— Гд,Z„2=a, Z2=~^,(1-6)

тогда уравнения возмущенного движения запишутся в виде

-^- + CZ_X + 2(OgFgZ2 = FgZ2 4" Z_jZ2 — 2(OgZ_iZ2 —

— (р2Го + 4" «об Sign с^ z!2 — P^Z-iZ-i, (1-6)

^+27-^_z1Z2-2COg7-^-z1+

+ p2z-2 + (Oge ■■ ■ z_2 sign c = 0.

Полагая, что амплитуда возмущенного движения меньше невозмущенного, т. е. | Z-! | ■< г0, представим дробь

1гэ + 2-1

в виде сходящегося биномиального ряда, ограничившись первыми тремя членами разложения

Подставляя это разложение в (1.6) и учитывая (1.5), получим автономную систему четвертого порядка,

ST = Z1’

~5Г= — cz-i — 2шогог2 4- /i (z_b zi, z_2, z2),^17)

■ST -Z2’.

^ = 2 ^- Zi — (2p — too) z_2 + /2 (z_b zb z_2, z2), где

/i = — StogZ^Zg — (p2r0 + 4“ “oe si£n c) z-2 + r^ — P^-A + z_iz_2,

A — —2-l2l + '—£“2-l2-2~2i22 +(1'8)

roror°

Это согласуется с рекомендацией по выбору области рабочих угловых скоростей в зарезонансной зоне

®раб 1>4<0кр,

выработанной многолетней практикой эксплуатации роторных систем. В дальнейшем считаем выполненным одно из условий (2.2).

Введем безразмерное время

т = o2i

и запишем векторное уравнение (1.7) в виде

= — Az + — f(z).(2.3)

ат <о2«2 vv

Матрица — А имеет собственные значения

Х-! = —i, K = V X_2 = —Xi, Х2 = М (x = ^-<lV (2.4)

Линейная замена переменных

(2-5)(2-5)z = Sx,

(2-5)

(2-5)

где S — матрица, составленная из собственных векторов матри- цы—А, приведет систему (2.3) к диагональному виду

^ = diag (- i, i, - Xi, Xi) х + ± S-Ч (Sx).(2.6)

Вычислим S и S *:

S =

11

— i(02i(02

ic?2 — id^ d.^<Z2<o2

DiDx

D— iDx

11

— 1<Ог it»! idY — idY dYtoY dYtoY iD^

— iD^

Dj

D3

S^

6^2 d ^Х

D

-XD1

-D3

d^ d^k

D ^^

~ D1

-D3

где введены обозначения:

di — 0)1°

= “’ “ ° D- dlX

ЗГоШой)! ’

"2i/,q(Oq(O22 (d^ *" c/^X)

nn *

(2-7)

12to2№ —rf2M ’

z 2(d1 — d1X') ’ d 2o)2(rf2 — dvX} '

Запишем преобразования (2.5) и обратное в развернутом виде

Z-X = х_^ + ^ + £-2 + ж2,

zx = —1<й2х_г + год — ito^x^ + ico^, Z—2 — id^scх 16?2Ж^ ] id^x„3 1б?х^2*

z2 = d2<o2a:_1 + d2to2xv + ^«ц^-г + ^to^;(2.8)

Х-! = —Dz^ + iD1z1 + iD2z_2 4- S3Z2,

^ = —Z>z_1 — ID a — ID Аг + Da>

%-г =Da — г DaDa — Da,

хг =+ г -pDA-\—г- D^z^ — Da-

Ur^AtЛ

Последнее преобразование может быть записано более компактно: v Ш""D^+8ign'1,1 1 Ш"~‘ Di21+

+ sign-»(-l)'i(A.y"-1D^_I_(_1)'Cj21(,_:р1,Т2). (2.10)

Очевидно, что «диагональные» переменные комплексно-сопряжены: x_Y = $х, ж_2 = 52, поэтому преобразование (2.8) представимо в виде

z_v = 2Re (жх + х^, zT = — 21m (од + <ovx2)> (2.Н) z_2 = 21m (йа + ^x^, z2 = 2Re (d2<o2xv + d1<o1x1').

Пычислим теперь компоненты вектораh(x)=As-4 (Sx)

нелинейной части системы (2.6):

h_! (z) = 4- [^/^(Sx) + D3h (Sx)], Лх = 4- [- iD^ + ^3/2],

(2.12)

л-2=D^ - d^A - ^=i V ¥ D^ - ^1 •

Здесь в силу (1.8) и (2.8)

/х (Sx) = <о2 {а (ж-х + ^х)2 + b (х_2 + х^1 +

+ g (ж-х + Жх) (ж_2 4- х^) 4- [Л (ж-х — Жх) + 7 (^-2 — ^2)12},

(2.13)

/2 (Sx) = i<o2 [Z (ж21 — а$ + п (ж2 2 — Жг) +

4" Ч (^—1^l) (^-2 "Ь ^2) ~Н ^ (^—1 *^ ^1) (^—2^2)],

где обозначено:

а ^2 (^2®2^*02©о)» ^ == Х^ (</1©1Гд 2 ©у),

g ^2 (^i®i^o^©о) 4" Xdy (d3a>3r32©0),

= "^j" ^2^0 -^ + 2 d^a^y 2o)o^ ,(2.14)

и = -^- ^iF0 — + 2X dv^Af» + 2X(oo^ , 9 = ”5" (^2ro ——H 2 <Z1(o1r0 + 2co0^ ,

s = —— (d^g ——2 d^Tg.

Запишем теперь систему диагонального вида (2.6) в принятой в книге симметризованной форме:

-^ = U4- У, а^зск 4- [3] (v = 4-1, 4-2) (2.15)

5, h=+l, +2

(a^j — ^jhi v, /, h — —|— 1, —j— 2).

Коэффициенты при квадратичных членах в силу формул (2.12) и (2.13) запишутся в виде

aZ^-i = — а^ = i (а 4- A2) D1 4- UD3,

ali-i = — ай1 = — i (a + &2) DT 4- UD3,

a2i-i = — ац = — i-^-(a 4- /г2) Di — UD3,

alm = - ай2 = г (« + *2) Di ~ ^°з,

^-2-2 — — ^22 = ^ (^ 4“ J2) ^1 4“ iTlD^,

<1-2-2 = — ^22 = — ^ (^ 4“ J2) ^1 4“ ^^3?

<1-2-2 — — ^2 = — Ф + J2) Di — tnD^,

= — a^ = i (b + j2) DT inD3l

aZ^ = - а^ц = - i А(а 4. h^D^(2.16)

2aZ^_2 = — 2^2 = i (g + ^hf) Dv + i (q + s) D3, 2а^_2 = —2аГ2 = —i (g + ^hf) Dx + i (q + s) D3, 2a_J_2 = — 2a12 = — i -2- ^g + ^.h]^ Di — i (q + s) D3,

2a_1_2 =2a12 = I -^- ^g -|- 2fey) Dy — i (q + s) D3,

2aZ£2 = — 2a^2 = i (g — 2fcj) Dy + i (q — s) D3, 2^2 = —2a^2 = —i (g — ^h^ Dy + i (q — s) D3, 2aZ22 = - 2aL2 = - i A (g _ 2hj) D1-i(q-s) D3, ^ = - 2a;X = i^(g- 2hf) D1-i(q-s) D3, d—^3 =■^-22 = ^ (Ь J2) Oh

ч-м = — a-22 = — i "^ (b + y2) -Di •

Таким образом, все коэффициенты при квадратичных членах (и при линейных — тоже) оказываются чисто мнимыми и aZj-h = ^ = = — a-h (v, j, h = q= 1, Т 2).

Приведение к нормальной форме. Исключим из рассмотрения X = -^-, т. е. будем -предполагать, что (см. начало п. 3.2)

<оа #= 2 с»!.(3.1)

Тогда нормальная форма с точностью до членов второй степени переменных включительно, как это показано в п. 1.2, имеет вид

-^- = Xvyv + [3] (v = +1,-4-2).(3.2)

Нормализующее преобразование при этом

^ч — Ум +2 а1тУ1Ут + [3] (v = -|- 1, -|- 2),(3.3)

I, т=Т1, +2

где коэффициенты определяются формулами (1,3.1)

Щт = утрх—х ^v’ ^> т = + ^ +2).(3.4)

Напомним, что X+i, ХТ2 определяются формулами (2.4), ащ — формулами (2.16) конца предыдущего пункта. Очевидно, что все а/т вещественны.

Решение задачи Коши в общем виде. Общее решение системы (3.2)

У. = е^у. (0) (v = т 1. Т 2)

позволяет решить поставленную задачу для исходной системы с принятой степенью приближения. В силу (3.3) имеем

г,(х) = Лту,(0) +

+2«^(0)^(0) e<W + [3] (j = + l,+2). (4.1)

m=+i, q:2

Подставляя полученные выражения в формулы (2.11), получим для исходных переменных общее решение в виде

— z_i = Re уг (0) cos т — Im уг (0) sin т +

+ Re уе (0) cos Хт — Im уг (0) sin Хт + 2 (aL + a?m) X

I, m

X ^im cos —(Xz + Xm) x — 7Zmsin — (Xz + Xm) xj ,

-y Zi = — co2 Re yx (0) sin x — co2 Im y^ (0) cos x —

— (Ox Re уг (0) sin Xx — coi Im уг (0) cos Xx —

^J (®2a?m + ОДЩт) ^Zm sin “ (^Z + ^m) T + Am cos “ (A + An) T]’

— z_2 = d2 Re yt (0) sin x + d2 Im yx (0) cos x +

+ d,i Re y2 (0) sin Xx + di Im Уг (0) cos Xx +

+ ^1 №a]m + <ZiCt?rn) ^^Zm Sin —т— (X; + ^m) T + Am COS^— (Хг + Xm) xj , /, m

-y z2 = co2 d2 Re yi (0) cos x — co2 d2 Im yx (0) sin x -|-

+ coi d,i Re уг (0) cos Xx — coi 4y Im y2 (0) sin Xx +

+ ^J (<*>2 d-aO^m + ®L^lCt?m) ^ZmcOSy- (Хг -|- Xm) X — I, m

— 7zm sin-L(Xz + Xm) r] ,

§ 3]

где для сокращения письма обозначено

Rim= Re \ух (0) ут (0)] = Re ух (0) Reym (0) — Im yt (0) Im ym (0), Ilm= Im [yi (0) ym (0)1 = Reyt (0) Im ym (0) + Im yt (0) Re ym (0).

Остается выразить начальные значения у„ (0) через начальные значения исходных переменных z5 (0) (v, /= + !,+ 2). Обращая нормализующее преобразование (3.3), получим

у, (0) = ж, (0) — 3 а-ьж,- (0) жп (0) (v = + 1, + 2),

и подставляя значения (2.10), будем иметь

У. (0) = (—!)’ (-^)|V| 1 Da-i (0) + sign v ( — If i ("^-)M 1 di2i (°) + + signv(— 1)" i (-^У’1 1 S2z-2(0) — (— l)v S3z2(0) — - £ c^ [(- iy (^У’1’1 Dz_, (0) + sign j (- 1/ i (^.y^1 D.z. (0) + + sign у (— 1У i ^4“)Ь1 1 D1Z"1 (°) — (~ ^D$Z1 (°)] x x[(- ^H^T"1 Dz-^°H s^ x

X S1Z1(O) 4- signA(— l)hi (-^yh| 1 S2z_2(0) —

— (—l)hS3z2 (0)"J (v = +1, + 2). Суммирование всюду по значениям индексов +1, +2 независимо одно от другого.■

Для примера по полученным формулам в [3106] был проведен расчет траектории, описываемой моделью, имеющей параметры:

к = 5,926 кПсм, та = 0,2635-10"4 кГсм-1с2,

I = 2-Ю-з см, р2 = 22,51-104 1/с, ®0 = 800 1/с.

При этих параметрах г0 = 3,085 -10~3 см.

В качестве начальных условий были взяты: начальное отклонение от равновесной траектории z_x = 0,3 г0 = 0,9255-10~3 см; из условий равенства момента количества движения массы при г = г0 и rj = 1,3 г0 была получена угловая скорость ф = 4321, откуда z2 = 800—432 = 368 1/с. Начальные значения остальных переменных ^ и z_2) были приняты равными нулю.

Подставив в (2.7), (2.14) численные значения параметров, вычислим затем коэффициенты а^н (v, /, А = Т1» ТЗ)) по формулам (2.16) и коэффициенты a/h (v, /, А = q=l, qp2) по формулам (3.4). После этого вычислим начальные значения уч (0) (v = = Т1. ТЗ) и наконец z_! (#) и Z-2 (<), которые при пренебрежении

постоянными составляющими имеют вид

Z-! (i) = 0,752-10“3 cos to^ + 0,175-10-3 cos <o2t —

— [0,336 cos 2toat + 0,094 cos 1,15 m2t +

+ 0,038 cos 0,85 to2t — 0,006 cos 2<o1f]-10~3 cm, z^f) = 0,257 sin <0^ + 0,082 sin <o2< ~

— 2-0,017 sin 2to2t — 2-0,002 sin 1,15 m2t +

+ 2-0,013 sin 0,85 ша1 + 2-0,001 sin 2co1t

Из этих выражений видно, что применение метода нормальных форм дает уточненное решение и позволяет получать траектории

центров поперечного сечения вала, близкие к реально существующим, в то время как линейное приближение может дать только эллиптические траектории, которые в реальных системах встречаются редко. В уточненном решении присутствуют высокочастотные слагаемые, это, в рамках принятой модели, указывает на то, что напряжения в материале вала меняются с частотой, превышающей частоту вращения. Следствием этого могут быть усталостные поломки устойчиво работающих верти

кальных гибких валов, о которых говорилось в начале п. 3.1.

По этим уравнениям для модели с указанными параметрами бы

ли построены траектории, описываемые точкой крепления массы на упругой связи. При этом время, а следовательно, и период, определялись по низшей частоте,

(7 = 03,296),

что соответствовало угловому шагу tootj = 15°. Для сравнения на рис. 16 штриховой линией проведена круговая траектория радиуса г0 при «возмущении» z_2 = 0.

§ 4. Системы шестого порядка

В этом параграфе исследуются резонансы и нормальные формы аналитических автономных (не обязательно консервативных) систем шестого порядка с тремя парами различных чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части. Завершается параграф исследованием устойчивости.

Решения резонансного уравнения. Рассмотрим названную выше систему в предположении, что ее линейная часть приведена к диагональному виду (см. п. 1.1)

~ А^ + ^^ djhXjXh + ^^ bjhnXjXh^k + • • •(1-1)

(v = + l,+2,+3).

Индексы суммирования всюду ниже принимают значения ±1, +2, ±3; А_„ = А„, не нарушая общности, положим

А.^ t, Aj —t, А—2 — pt, Ag — pt,

A_3 = —Ai, A3 = Ai (i = V—1> 0 < A < p < 1);(1.2)

коэффициенты a^, Цьк,- • • , вообще говоря, комплексные и симметризованные

анэ 0-jht ^{jhit} i. d. (v, j, h, к " -pl, -p2, -p3).(1.3)

По основной теореме А. Д. Брюно (п. V,1.2), существует обратимая комплексная замена переменных (нормализующее преобразование")

Xj = у} + Safmy^m + ^тпУДтУп + • • •(1-4)

(/ = +1, т2, +3)

(^ml — Ctlmi P(/mn} ^ Б d., /, Б tTZ, 72 = “pl, “р2, ^рЗ),

приводящая систему (1.1) к нормальной форме

-^- = А,у, + у, У g^^V-MV-sW (1-5) (Л, Q)=0

(v = + l,+2,+3),

где д_г ,. . ., д8 суть целые числа или нули, при этом ^ > — 1, а остальные д, неотрицательны, 5^ > 1. В нормальную форму входят только резонансные члены, показатели степеней которых удовлетворяют резонансному уравнению (Л, Q) = 0, или, в развернутом виде,

41 — 9-1 + Р (92 — 9-2) + ^ (9з — 9-з) = 0.

Рассмотрим возможность появления в (1.5) резонансных членов r-й степени, для которых

9-i + 91 + 9-2 + 9з + 9-з + 9з = г — 1 (г > 2). (1.7)

Резонансное уравнение (1.6) при любых X, р из (1.2) и любом нечетном г > 3 допускает тривиальное решение

9-1 = 91, 9-2 = 9г> 9-з = 9з-(1-8)

Далее рассмотрим три полутривиальных решения, когда в (1.6) одна из скобок обращается в нуль:

9-i = 9i,4=<L9)

9-2 = 92,=(1-1°)

^ = q:^= ^^.(1.11)

Поскольку при обращении в (1.6)двух скобок в нуль, обращается

в нуль и третья, что соответствует тривиальному решению, то остается рассмотреть нетривиальное решение, когда в (1.6) все скобки отличны от нуля:

X +L( M2)

41 — 4-141 — 4-1"х

Для квадратичных членов (г = 2) тривиальное решение невозможно. Полутривиальные решения возможны лишь для определенных значений X и р и дадут нам для резонансных членов уравнений (1.5) соответственно

4 = 4:Q-i = Qi = O,Q_2 =(0,0,-1,0, 2,0),

Q2 = (0, 0, 0,- 1, 0, 2), Q_g = (0, 0, 1, 0,- 1, 1);

Qg = (0, 0, 0, 1, 1,-1);

X = 4~ = Q-г = (- 1, °, °, °, 2, °), Qi = (°, —1,0, 0, 0, 2),

Q-2 = Q2 = О, Q_g = (1, 0, 0, 0, -1, 1), Qg = (0,1, 0, 0,1, -1);

р = -L : Q,t = (- 1, 0, 2, 0, 0, 0), Qi = (0, - 1, 0, 2, 0, 0),

Q-z = (1,0, -1,1, 0,0), Q2 = (0,1,1,-1,0,0), Q-3=Q3 = O.

Для нетривиального решения будем иметь

X + р = 1: Q-! = (-=1, 0, 1, 0, 1, 0), Qi = (0, -1, 0, 1, 0, 1), Q^ = (1, 0, -1, 0, 0, 1), Q2 = (0, 1, 0, -1, 1, 0), Q_g = (1, 0, 0, 1, -1, 0), Qg = (0, 1, 1, 0, 0, -1).

Для членов третьей степени (г = 3) тривиальное решение (1.8) даст нам для любых X и р из (1.2)

Qv = (1, 1, 0, 0, 0, 0), Qv = (0, 0, 1, 1, 0, 0), Qv = (0, 0, 0, 0, 1, 1) (v = +1, +2, +3).

Все остальные решения возможны лишь для определенных значений X и р из (1.2). Выпишем их вместе с показателями степеней Qv по уравнениям (1.5). Полутривиальные решения: -"4": Q i = Qi = °- Q-, = (о,о,-1,о, з,о),

Q2 = (0, 0, 0, -1,0, 3), Q_3 = (О, 0, 1, 0, -1, 2),Q3 = (0, 0, 0, 1, 2, -1);

Х=4-: Q-1 = (—1, 0, 0, 0, 3, 0), Qi = (0, — 1, 0, 0, 0, 3), Q_2 = Q2 = О, Q_3 = (1,0, О, О, -1, 2), Q3 = (О, 1, О, 0, 2, -1); ^=4-: Q-i = (—1, О, 3, О, 0, 0), Qi-(0, — 1, 0, 3,0,0), Q-2 = (1. о, -1, 2, О, 0), Q2 = (О, 1, 2, -1, О, 0), Q_3 = Q3 = 0. Наконец, нетривиальные решения дадут нам 2Х + р = 1: Q_x = (-1, О, 1, 0, 2, 0), Qx = (О, -1, О, 1, 0, 2), Q_2 = (1, О, -1, О, 0, 2), Q2 = (О, 1, 0,-1, 2, 0), Q-3 = (1, О, О, 1, -1, 1), Q3 = (О, 1, 1, О, 1, -1);

X + 2р = 1: Q^ = (-1, 0, 2, О, 1, 0), Q, = (О, -1, 0, 2, О, 1), Q_2 = (1, 0, —1, 1, 0, 1), Q2 = (0, 1, 1, —1, 1, 0), Q-3 = (1, О, 0, 2, -1, 0), Q3 = (О, 1, 2, О, О, -1);

2р. — X = 1: Q-! = (-1, 0, 2, О, 0, 1), Q, = (О, -1, 0, 2, 1, 0), Q_2 = (1, 0, -1, 1, 1, 0), Q2 = (0, 1, 1, -1, 0, 1), Q-3 = (О, 1, 2, О, -1, 0), Q3 = (1, О, 0, 2, О, -1).

Возникающие резонансы представлены ниже на рис. 17 для г = 2 и на рис. 18 для г = 3.

Нормальные формы. Если в уравнениях (1.5). ограничиться членами до третьей степени включительно, то основная теорема А. Д. Брюно (п. V, 1.2) приведет к следующим нормальным формам:

а) При отсутствии резонансов, т. е. при

. , 11 ., 11 X 11

Л 2 ’ 3 ’2 ’ 3 ’р2 ’ 3 ’

X + р. т^ 1, 2Х + р т^ 1, 2р ± X ^ 1

7 В. М. Старшинский

(общий случай, т. е. для X, р из (1.2), не принадлежащих прямым рис. 17 и 18),

-^ = Xvyv + £хУ^У-1У1 + ^гУ^У-гУз + ёзУЛ-зУз

(v = +l,+2,+3).(2.1)

Для резонансов, возникающих из полутривиальных реше

ний (1.9) — (1.11)! уравнения (1.6), в каждое из уравнений (2.1)

добавится справа по Одному члену, соответственно

"^7 = *у : 0, 0, /-гУ-з, /гУз, /-зУ-гУз, /зУгУ-з',

X = -^ : е-хУ-з, бхУз, 0, 0, е_3у_хУз, е3ухУ-з',

Р = 4": ^-1У-2, ^хУз, ^_гу_хуз, ^уху_2, 0, 0;

4" = 4": °* °’ с-2У-з, сгУз, с-зУ-гУз, СзУгУ-з.

X = 4-: Ь-хУ-з, Ь1Уз, 0, 0, Ь-зУ-1Уз, ЬзУхУ-з!

-И = 4": а-1У^> ^1У2, а-гУ-1Уг, «гУхУ-г, 0, 0.

Для резонансов, возникающих из нетривиальных решений (1.12) уравнения (1.6), в каждое из уравнений (2.1) добавится справа по одному члену, соответственно

X + р = 1: /^у-зу-з, йхУзУз, й-зУ-хУз, Кйугу_3, К_^у_хуг, h^y.^

2Х + р = 1: ^-хУ-зУ-з, ^хУгУз, ^-гУ-гУз, ЧУ1У-31 ^-зУ-л.УгУз' ^зУтУ-зУ-з'

% + 2р. = 1: 7-1Z/-2Z/-3- ЙУгУз- 1-гУ-1УгУз> ЬУтУ-гУ-З' Д3У-1У2, /3У1У-2;

2 ц — X = 1: к-^уд, к^у-з, к-Д-^УзУ-з, k2yyy_2y3, к-зУуУ-г, кду^у^.

Замечания. Для значений X и ц, принадлежащих двум и более резонансам (точки пересечения прямых совокупности рис. 17 и 18), в уравнениях (2.1) происходит суперпозиция двух и более дополнительных членов.

В вещественном случае у_м = у» (у = =р1, =р2, =рЗ) и достаточно было бы выписывать нормальные формы только для v = = 1, 2, 3 (или только для v = — 1, —2, —3). Здесь же имеется в виду и случай, когда в исходной системе уравнений (1.1) переменные не являются комплексно-сопряженными.

Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных форм. Нормализующее преобразование (1.4) переводит систему (1.1) в общем случае а) п. 4.2 в нормальную форму (2.1); в резонансных случаях б) и в) п. 4.2 в (2.1) появляются дополнительные члены. Представив нормальную форму в сим- метризованном виде (V,3,1.За), придем к основным тождествам (V,3,1.6). Далее будем следовать альтернативе п. V,3.2.

Исключим резонансы, возникающие для квадратичных членов (п. 4.1), т. е. допустим, что

-т^-^-; к, р,^ — ; к + ц Ф 1 (3.1)

(см. также (1.2)). Тогда кч ^ кг + кт (v, Z, m = +1, +2, +3) и для квадратичных коэффициентов нормализующего преобразования справедлива формула (V,3,2.2)

nZm = X + X—— X " (v> ^’ т = ^~ ^ ’ ^~ 2’ + 3) (3.2)

с ограничениями, указанными в (3.1).

При — = -у (случай б) п. 4.2) имеем, что Xv = Хг + кт тогда и только тогда, когда v, I, т = —2, —3, —3; 2, 3, 3; —3, {—2, 3}; 3, {2, —3}. Выберем

u-3-3> u33> и{-23}> 4(2—3}

любыми (предпочтительнее определенными по непрерывности из формулы (3.2) при>— , если это возможно, или нулями).

Для остальных a?m справедлива формула (3.2). Коэффициенты появляющихся при — = — квадратичных членов (см. б), п. 4.2) г

определяются по формулам (V, 3, 2.4) Г -2-2Г 22

7-2 — Ф-з-з — ^-з-31 72 — Фзз — ^33»

/—з = 2ф_23 = 2а_23, /з = 2ф2-з = 2й2-з.

Аналогично, при X = -^ выберем

4-13,43-3e-з = 2a_j3, е3 = 2а®_3;4{—12},4^-2}lZ„2 = 2д_^2, 6/2 == 2д^_2,4(1-3},4Д2},Ор-2}4-13,43-3e-з = 2a_j3, е3 = 2а®_3;4{—12},4^-2}lZ„2 = 2д_^2, 6/2 == 2д^_2,4(1-3},4Д2},Ор-2}4-3-3,и33,

4-13,43-3

e-з = 2a_j3, е3 = 2а®_3;

4{—12},4^-2}

lZ„2 = 2д_^2, 6/2 == 2д^_2,

4(1-3},4Д2},Ор-2}

4-13,43-3

e-з = 2a_j3, е3 = 2а®_3;

4{—12},4^-2}

lZ„2 = 2д_^2, 6/2 == 2д^_2,

4(1-3},4Д2},Ор-2}

любыми и определим

е-1 = ®-3-3, ei = ®33, 1,

при р = у выберем

4-2-2,422,

любыми и определим

Й-1 = ®-2-2,^1 = ®22,

и при X + р = 1 выберем -11-2

4{—2—3},4(23},4{_13},

любыми и определим

А-1 = 2а_2-з, ^i = 2^23, Л-2 = 2я_13,

/z2 = 2д^_3, И-з = 2д_^2, ^з = 2^—2-

Перейдем теперь к кубическим членам, и прежде всего исключим возникающие здесь резонансы, т. е. допустим, что

4^4’ Х,р^=-|-; 2Х + р^=1; 2р + Х^1.(3.3)

Выделим значения v, I, т, р, при которых xv = хг + Хт + Хр, это будут

v, I, т, р = v, {Z, —Z, v) (v, Z = +1, +2, +3),(3.4)

и положим

Pp-N) = 0 (v, Z = +1, Т2, 4=3).(3.5)

Для остальных значений v, Z, т, р справедлива формула (V,3, 2.3), т. е.

P'mp =6'mP +4 Ц <аИатР +

L?=-и, +2, ч з

Ч- G-mj&pl Д’ ^jp4;m)

(v, I, тп, р = +1, + 2, + 3; Z, т, p^^l, — Z, v})(3.6)

с ограничениями, указанными в (3.3). Для коэффициентов при членах третьей степени в (2.1), соответствующих выделенным в (3.4) значениям индексов, будем иметь при условиях (3.1) по формуле (V,3,2.6)

= 3%^_„ = ЗЬ^_„ + 22(2^^ + a-vjaiv)

1=Т1, Т2, +з

(v = +1, + 2, + 3),

gh = 6x'n-n = 6bVh. + 4 2 (a^-h + ан^_^ + oI^h) (3,7)

(v = +1, + 2, + 3; h = 1, 2, 3; h ^ | v |).

При — = -у; X, p = -g-, X + p = 1 надлежит воспользоваться формулами (V,3,2.5).

Остается рассмотреть случаи, исключенные в (3.3). При

— = —, дополнительно к (3.4), Х„ = Хг + Хт + Хр при

v, I, т, р = —2, —3, —3, —3; 2, 3, 3, 3;

-3, {-2, 3, 3}; 3, {2, -3, -3}, и мы выберем

Р

—2 о 2 л —3 оЗ•

-3-3-3» РЗЗЗ» Р{-233}» Р{2—3-3}

любыми (предпочтительнее определенными по непрерывности из формулы (3.6) при>-д-, если это возможно, или нулями). Коэффициенты появляющихся при — = — кубических членов (см. б), п. 4.2) определятся, вообще говоря, формулами (V,3,2.5) (однако, если при этом р = -^-, -|-, то формулами (V,3,2.6), тар как выполнено (3.1) и в нормальной форме отсутствуют квадратичные члены). Именно,

С-2 = Х-з-з-з, с2 : Хззз, с-з — Зх-233, сз : Зха-з-з-

Аналогично, при X = V3 выберем

Р-3-3-3, РзЗЗ, Р{—133}, Р{1—з—3}

любыми и определим

b-г = Х-з-з-з, bi = Хззз, Ь-з = Зх-1зз, Ьз = З^^з-з'12 \12

по формулам (V,3,2.6) ^р^= —,—у, а при Р =,"дп° формулам (V,3,2.5).

При р, = V3 выберем Р—1о1 о—2 л2

-2-2-21Р2221Р-1221Р1-2-2

любыми и определим -11о-2о 2

<1-1 — Х-2-2-2, #1 — Х222, Д-2 — ОХ-122, #2 — ^Xl-2-2

по формулам (V.3,2.6) (X =# V6), а при X = V6 — по формулам (V,3,2.5).

. При 2Х + р = 1 выберем о — 1о—2л2о—3лЗ

Р{-2-3-3}1 Р{233}1 Р{-133}1 Р{1-3-3}1 Р{-123}1 Р{1-2-3} любыми и определим

i-i = Зх—2—з—з, й = ^Хгзз, й2 = ЗХ-133,

Й = ЗХ1-3-3, Й3 = 6х-123> Й = 6Х1-2-3

по формулам (V,3,2.6) (X ^ x!^t а при X = 1/4 — по формулам (V,3,2.5).

При X + 2ц = 1 выберем д-1д1о_2о 2д-ЗоЗ

Р{-2-2-3}1Р|223}1Р{-123}1Р{1-2-3}1Р{-122}1Р(1-2-2}

любыми и определим

7-1 = Зх—2—2—з, 71 = 3x223, 7-2 = 6х-12з, 72 = 6Х1-2-3, У-g = ЗхЛгг,7з = Зх 1-2-2

по формулам (V,3,2.6) (X ^= Ч^, а при X = V4 — по формулам (V,3,2.5)..

Наконец, при 2р — X = 1 выберем ft-1ftlft”^ft^ft-®ft®

P{-2-23}iP{22-3}>P{-12-3}1P{l-23}iP{l-2-2}iP{—122}

любыми и определим

^-1 = ЗХ—2—23, ^1 = ЗХ22-З, ^-2 = 6 X-12-3,

^2 = 6X1-23, ^-3 — 3X1—2—2, ^3 — Зх-122

(

11 \11

Х^-у- ,, а приХ = -5- ,-уформу- оZ уо 2*

лами (V,3,2.5).

Всюду здесь в ситуации выбора (ф^р предпочтительнее их определять по непрерывности из формулы (3.6) (если это возможно), или полагать их нулями.

Об устойчивости по третьему приближению. Критерий А. М. Молчанова. Рассмотрим общий случай а) п. 4.2 в предположении вещественности исходной системы (1.1). Последнее

199199СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКАСИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА§ 41

199

199

СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

означает, что в системе (2.1) не только Х_к = Хк, но и

У-к = Ук. g? = gr (к, г = 1, 2, 3).

Умножая уравнения (2.1) на y_v и складывая их попарно, придем к вещественной системе уравнений

,з

^--Л^^Л- (к = 1,2,3),(4.1)

а—1 где

Лк = Ш2 > 0, Ека = -2 Re ^ (к, а = 1, 2, 3).(4.2)

Система (4.1) исследована А. М. Молчановым [2986] для произвольного к 2. Случай к = 2 изложен в п. 1.4. Обратимся к случаю к = 3, следуя [2986].

Если положить в (4.1) все переменные т^, кроме одного, равными нулю, то получим необходимые условия устойчивости тривиального решения вещественной системы (1.1) в общем случае

Екк > 0 (к = 1, 2, 3).

Положительная определенность матрицы

|4-(^+МС

является достаточным условием устойчивости. В этом легко убедиться, складывая все уравнения (4.1).

Перейдем к необходимым и достаточным условиям устойчивости тривиального решения системы (4.1). Поскольку переменные Ли Ла> Лз неотрицательны, то вопрос сводится к устойчивости в конусе т]к > 0 (к = 1, 2, 3). Инвариантными лучами системы (4.1) называются решения вида т]к = т]?т] (t). Подставляя эти выражения в (4.1), имеем

ч(0) = 1,(4.3)

г 3т

л" Г 2ММ=0 (к = 1,2,3).(4.4)

La=lJ

Здесь Е — параметр, аналогичный собственному значению в линейных системах, знак которого, как видно из (4.4), определяет устойчивость.

Для отыскания инвариантных лучей системы (4.1) оставим в каждом из уравнений (4.4) только второй множитель и придем к основной системе линейных уравнений

з

2^° = Я (к = 1,2,3).(4.5)

а=1

Если матрица

И/Л (4-6)

неособая, то при любом значении параметра Е система (4.5) имеет единственное решение. Эти решения заполняют инвариантную прямую, состоящую из устойчивого (£ > 0) и неустойчивого (£ < 0) лучей. Если матрица (4.6) особая, то решение, определенное с точностью до пропорциональности, существует только при Е = 0 — нейтральная инвариантная прямая. Все решения нелинейной алгебраической системы (4.4) можно получить, оставляя в каждом из уравнений первый либо второй множитель. Всего получается восемь решений, включая разобранное выше и тождественное Th = т]2 = Лз = 0- Эта процедура соответствует независимому изучению системы (4.1) на каждой из трех граней конуса щ- > 0 (к = 1, 2, 3).

Критерий А. М. Молчанова [2986]. Для того чтобы, тривиальное решение системы (4.1) было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы внутри и на границе конуса ц^ > 0 (к = 1, 2, 3) не было ни одного нейтрального или неустойчивого луча.

Необходимость доказана выше. Доказательство достаточности намечено в [2986].

Замечание. В ряде задач.(см. пн. 1.1, 2.6) все величины gr (к, г = 1, 2,3) оказываются чисто мнимыми. В этом случае в силу уравнений (4.1)

,№|2 = ^ (к = 1,2,3)

являются первыми интегралами системы (2.1) и могут быть использованы для построения функции Ляпунова по методу Четаева ([145а], гл. II, п. 10) связки интегралов. Однако построенная здесь таким образом функция Ляпунова будет определена с точностью до третьих степеней переменных включительно и может привести лишь к суждению о формальной устойчивости [234д] тривиального решения системы (1.1).

Глава IX

КОЛЕБАНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛАС ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ

ОКОЛО НИЖНЕГО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Случай, когда центр тяжести расположенв одной из главных плоскостей эллипсоида инерциидля закрепленной точки

В пп. 1.1, 1.2 и 1.5 проводятся преобразования дифференциальных уравнений колебаний тяжелого твердого тела с закрепленной точкой около нижнего положения равновесия в случае, указанном в заголовке параграфа. К преобразованным уравнениям предпочтительнее применять известные методы, что показано на примере применения метода последовательных приближений.

Приведение к диагональному виду. Рассмотрим несимметричное тяжелое твердое тело в единственном предположении, что центр тяжести G лежит на одной из главных плоскостей инерции для закрепленной точки О; не нарушая общности, направим главные оси Oxyz эллипсоида инерции так, что xq ^ 0, ус = 0, zg > О (OG2 = зс^ + Ус 4> 0). Уравнения Эйлера запишутся в виде

^4-

где I = OG и неподвижная ось Oz* направлена вертикально вниз, а у, у', у" — ее направляющие косинусы. Желая изучать колебания около нижнего положения равновесия (у = £, у' = 0, у" = £), положим во все время движения

у = g + г, у' = Г', у" = £ + Г".

Введем безразмерные переменные и время

Р = Q = -^, R = ^, т = vt vVV\ r/

(заметим, что v — частота маятниковых колебаний около оси Оу, если она занимает горизонтальное положение) и запишем уравнения Эйлера — Пуассона в виде

^.=._-Lr+l^<27?, -^-= — ^ + дп — уп,

= ^Г - ЕГ" + (с - a) RP,Ш + РГ-ЯГ, (1.1)

МТмт

# = -гг' + -4Ар,2’^ = £<2 + <?г-рг.

Собственные значения матрицы линейной части системы (1.1) суть: 0, 0, —I, +<, —Xi, +Xi,

х = +]/4-^ + -г^ £2 + C2 = D. (1Ла)

где нулевому собственному значению отвечают простые элементарные делители. Выпишем матрицу S, составленную из соответственно расположенных собственных векторов матрицы линейной части системы (1.1) и обратную матрицу S-1:

0 ^

0 0

0

1

0 —

1

1 аХ

0

1 аХ

0

s=

0 £

0

0 i

X _ сХ

. X

1 сХ

5 0

— ^

^

0

0

0 0

0

0

1

1]

£ о

0

0

(1.2)

0

0

0

5

0

0

сХ^

0

X «X2

0

0

0

0

1

2

0

.х

1 2

0

— 1 2

S'^

0

1

2

0

г 2

0

4

•

2Х

0

. 5

1 2Х

0

1

2

0

.X 2Х

0

гх

1 2Х

0

1

2

0

Обозначим через и вектор с компонентами Р, Q, R, Г, Г', Г", а через х — вектор с компонентами xv . . ., хв. Запишем систему (1.1) в виде .

= Au + g(u),

где g (и) — вектор-функция, составленная из нелинейных членов системы (1.1). Замена u = Sx приведет систему (1.1) к диагональному виду

^-=S-iASx + S-ig(Sx),^-=S-iASx + S-ig(Sx),(1.3)(1.3)

^-=S-iASx + S-ig(Sx),

^-=S-iASx + S-ig(Sx),

(1.3)

(1.3)

где S-1AS — диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы А в указанной выше последовательности. Поскольку переменные х3 и хь комплексно-сопряжены переменным х4 и хв : х3 = 34, х6 = $в, то уравнения для первых выписывать не будем. Итак, система (1.3) запишется в виде

=4^4 — 4) + IX ^ — Х^,

^ = ~Z~X2~' ^3 + ^4) 4" ^ (А,2 - 1) (Х3 4- Х^ (х5 - Х^,

(l+X^C-a)^ 2 , 1 . /..

"4“ 2асХ^ ^в + 2 ^^ ^3 + ^4^

♦ Гл2

LА \ са

= 1\х6 4- 1\хх (ха — х^ 4

+ 4-41~х+4-(4?+4с=)]«:>++4е|41_х+44.р+-5_£4зд +

Выпишем в диагональных переменных три известных первых интеграла: тривиальный, кинетического момента относительно вертикали Oz* и энергии:

2хг 4- ^ — <z3 — х4у 4- (я6 4- 16? = 0,(1.5)

ас\2хг 4- acVxyx2 4- i (с — а) ^х^ (х3 — х^ -]

4- -Ц2^- (я3яБ 4- ^в) + -М-^ (^з^в + ^4^б) = *(* =»

ЛА,\J

(1.6)

— 2хг 4- ас\ЧХ 4- tx3 4- z4)2 — (х8 — z6)2 = ц2.

(1.7)

Приведение к ляпуновскому ([77а], § 33—45) виду. Нетрудно выписать матрицу Т линейного преобразования, приводящую диагональную систему (1.4) к ляпуновской кососимметричной форме

т=1,+т,^т„ ь=|^ j||, т,-4-|; -;|.

Матрица L результирующего преобразования исходной системы (1.1) в систему ляпуновского вида равна

L = ST,

<Zz2 _ (а — c)<Zt йсХ2 2 3<Zz2 _ (а — c)<Zt йсХ2 2 3X2 — 1■^X^ 2з2"’X2 — 1■^X^ 2з2"’(2.2)(2.2)dx - - z4 + (c - a) KZ2 + —^— z6 4-dx - - z4 + (c - a) KZ2 + —^— z6 4-

<Zz2 _ (а — c)

<Zt йсХ2 2 3

<Zz2 _ (а — c)

<Zt йсХ2 2 3

X2 — 1

■^X^ 2з2"’

X2 — 1

■^X^ 2з2"’

(2.2)

(2.2)

dx - - z4 + (c - a) KZ2 + —^— z6 4-

dx - - z4 + (c - a) KZ2 + —^— z6 4-

где S

см. (1.2). Выпишем ее и обратную ей матрицу:

0

Е,

0

0

0

йХ

0

0

0 Е,

0

0

0

1

0

0

0

^ сХ2

0

"Т20

йХ2

0

0

L =

0

£

0

0

0

А, сХ

, L-! =

0

1

00

0

0

, (2И)

Е,

0

0

0

0

0

0

0 -^

0

Е,

0

0

0

0

1

0

0

0

00

1

0

£

0

0

с

0

0

X

0

4- о

0

0

Замена

переменных и =

= Lz приведет систему (1.1)

к

Ляпунов-

скому виду

— Z3Z4 4" Xz5Z6,

di^.. (с — й) E£

= Z3 + Z1Z3 - Z2Z5 +^Ze,

^ = — Xze — Xz4z6 4- z2z4 + ^"^^ z4ze,

^ = Xz6 4- 4"£2) 2223 + i1^ 2з2'

Выпишем в ляпуновских переменных три первых интеграла в прежней последовательности:

2z4 + z4 + z4 + z| = 0,(2.3)

acX2z2 4" acX2z4z2 4- (c — a) ^z2z4 4- -y z4ze + zsz5 = k, (2.4) —2z4 4" acX2z2 4~ Zg 4~ 2g = p2.(2.5)

Простейшая связка интегралов по Четаеву ([1446], стр. 430— 431) сводится здесь к сумме тривиального интеграла (2.3) и интеграла энергии (2.5) и дает положительно-определенную форму V всех переменных

F = Zi + acVzi + z2 + Z4 + z2 + z2 = р,2, что, напоминая об устойчивости нижнего положения равновесия, позволяет определить область его притяжения в переменных р, q, г, у, у', у".

Резонансы. Формула (1.1а) устанавливает отношение частот линейной части системы (1.1). Приравнивая это отношение р = т/п, где т и п— взаимно простые натуральные числа, получим

4-s2+4-^2=p2’(зл)

или

а (р2с - Щ2 + с (р2а - 1) С2 = 0(g2 + С2 = 1). (3.1а)

В первом октанте пространства {а, с, £2} уравнение (3.1) определяет часть поверхности второго порядка

(а — с) £2 = с (р2а — 1)(3.16)

при естественных ограничениях.

0<^2<1, а + с > 1, с — а^1, а — с^1.(3.2)

Последние три неравенства выражают известные соотношения, что сумма двух любых главных моментов инерции не меньше третьего из них. При р = 1 уравнение (3.1) запишется в виде

А (С - 5) g2 + С (Л - В) С2 = 0.(3.3)

Это, как заметил Ф. X. Цельман [3336], условия на параметры твердого тела в случае Гесса — Аппельрота [216]. Разумеется, уравнение (3.3) выполнено и в случая Лагранжа — Пуассона а = о, А = By .

При р = 2 уравнение (3.1) примет вид

А (4С - 5) £2 + С (4Л - 5) С2 = 0.

При условиях А = В, £ = 0 имеем А = 4С, что, как заметил Ф. X. Цельман [3336], характеризует параметры твердого тела в случае Горячева — Чаплыгина [386, 138].

Однако, уравнение (3.1) (или 3.1а), (3.16)), имеющее решение при любом 0 < р = mln -< 00, не имеет решения, отвечающего случаю Ковалевской [61] (р =)/2).

Простейшие движения. Начнем с перманентных вращений, во все время которых р, q, г, у, у', у" постоянны, т. е. ось

вращения (с постоянной угловой скоростью) занимает неизменное положение в теле. Ь равнения (1.1) дадут■

(1 - с) QR - S?' = 0. Ry' — Qy" = 0,

(с - a)RP + £у - ё?" = 0, Ру" - Ry = О, (4.1) (а — 1) PQ + ^у* = О, Qy — Ру' = 0.

Из последних трех уравнений имеем

Р = Qy, Q = Qy', R = Qy" (Q = + УР^^Гд!^ (42)

т. e. перманентная ось всегда вертикальна. Для определения ее положения в теле умножим первое и третье уравнения (4.1) соответственно на £ и £ и, сложив их, в силу (4.2) будем иметь

/15 (1 - с) у" + £ (а — 1) у] = 0.

В рассматриваемом случае геометрическое место осей перманентных вращений в теле (конус Штауде) распадается на две плоскости:

у = 0 и £ (1 — с) z + £ (а — 1) ж = 0.

Перейдем к маятникообразным движениям. Такие движения, как известно, возможны относительно той из главных осей инерции (необходимо горизонтальной и неподвижной в пространстве), которая перпендикулярна к плоскости, содержащей центр тяжести. Именно наличие маятникообразного движения и определило постановку задачи. Итак, положим в уравнениях (1.1) Р = R = = Г' = 0 и возвращаясь к переменным у и у", получим

(4.3)

Поскольку у" = cos D, где $ — угол нутации, то при у' = 0 имеем у = sin^. В положении равновесия cos ■& = £, поэтому положим для маятникообразного движения

А = arccos £ + 0.

Из уравнений (4.3) получим уравнение маятниковых колебаний

Преобразование уравнений диагонального вида. Выразим хт из тривиального интеграла (1.5).

Ж1 = 4-(ж3 — х^ — 4-(ж5 + ж6)2 + [4].(5.1)

Подставив это значение в интеграл кинетического момента (1.6) и замечая, что хй имеет тот же порядок малости, что и к,

получим

^=^А+4^+эд> -

— ^SF ^аХб + ^^ + "( aW ^ ^ ^3 ~ ^) + t3b(5-2)

Всюду далее мы будем отмечать порядок малости отброшенных членов по переменным х3, х4, х5, х6 и постоянной к. Теперь порядок системы уравнений (1.4) понизится на две единицы и преобразованная система, состоящая из двух пар комплексно-сопряженных уравнений (х3 = $4, х5 = 56), примет вид

dx4 .,dx4 .,2а2с2Х42acV 52а2с2Х42acV 5

dx4 .,

dx4 .,

2а2с2Х42acV 5

2а2с2Х42acV 5

(1 + X) (с - a) ^g 2i Г. _ c-a / J_.2 _ 1 2\1 ,_

+ 2acX2 6 2ac№ L1 X \ c a /J ' 5

г Г1 I с~а Ми 1 ъ„ (c -а) ^ т т •

2acX2 + X с a ]\кХб асХ» 56 +

+ A- i (x3 — x^ (x3 — xl) — -^ i (x3 + x^ (x3 + x6Y —

— "”"" “^tX)-^ k (хз^ + ^B) +

+k (^3^5 + ^e) — i ^^-^^^ k2 (^з — a?») +

+ 2^3" p (^ + 1) (^3^6 + Я4Я5) + Ц^ — 1) (^3^5 + ^^e) +

+!t ‘ <«• - ^>] {[' - ^{^ - 4- Ф«+ 41+T(-4t2-4-t,)N+I4b (5-3) w=^- + г» [‘ - >•+4- (4-«’+4- г2)] ^ +

+ 4 (4-^+4- £*)]ki- + '"^t1^ to - +

+ -^- iX (x3 — ir4)2 (xe — x^ 4- -L ik (Д — Xe') (x3 + Xe) +

+ 2^[Z ^ — X^ (ЭД + Х4Хз) — f С1 + M (^e + ^s) +

+[“1~x+t(4-e!+4-£,)]4 + w

Оставшийся первый интеграл удобнее взять в виде суммы интеграла энергии (1.7) и тривиального интеграла (1.5). Используя (5.1) и (5.2), запишем первый) интеграл системы уравнений (5.3) в виде

-^Г Н— (ж3ж5 + ^д)(ж3ж6 + ж4ж6) +

+ г (Я ""асХ^ к (Жз — ^^ + 41 ^412 + 41 жв |2 + [4] = р2.

Возможные обобщения. Рассмотренная здесь система дифференциальных уравнений является трехпараметрической,— по числу входящих независимых параметров: а, с и £ (напомним, что £ = + У" 1 — £2). Если бы эллипсоид инерции относительно точки О оказался эллипсоидом вращения (а = 1 или с = 1 или а = с), или центр тяжести оказался бы на одной из главных осей произвольного эллипсоида инерции относительно точки О (£ = 0 или £ = 1), то система уравнений была бы двухпараметрической. В случае Лагранжа — Пуассона (а = 1, £ = 0) система уравнений (1.1) содержит один параметр с. В случае кинетической симметрии (а = с = 1, £ = 0) и в случае Ковалевской (а = 1, с = 2/2, е = 1, либо а = с = 2, £ = 1) система уравнений (1.1) не содержит параметров. В общем случае движение твердого тела описывается системой дифференциальных уравнений с четырьмя параметрами: а, с, |, ц (£ = + У" 1 — £2 — ц2).

Получающиеся четырехпараметрические уравнения аналогичны (другой подход, см. § 2, приводит к более простым уравнениям) здесь приведенным, но более громоздки. Также более громоздки и уравнения колебаний около положения равновесия в других силовых полях, например, в центральном ньютоновском поле сил.

Проделанные преобразования позволяют для тяжелого твердого тела применить методы, специфические для колебаний в существенно нелинейных автономных системах. Некоторые из таких методов развиты в главах!, IV и VIII. Насколько они окажутся эффективными для колебаний твердого тела, покажет будущее. Остановимся в заключение на том методе, который приводит, на наш взгляд, к эффективным результатам.

Ситуация, близкая к случаю Ковалевской. В рамках сделанного в этом параграфе предположения рассмотрим ситуацию, когда центр тяжести G тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для закрепленной точки О, являющегося эллипсоидом вращения. Итак, предположим,

А = В 7^= С, yG = zg = 0, xG = OG ^= 0.

Рассматриваемая ситуация включает в себя и случай Ковалевской (С = VH).

Уравнения (1.1) при а = 1, £ = 1, £ = 0 примут вид

A^Py'-Qy", — Ру" Ry^ = Qy~Py'.

Три первых интеграла: тривиальный, кинетического момента относительно вертикали Ozx и энергии запишутся в виде

V2 + V'2 + V"2 = 1. ^V + QV + ^7" = к (к == A tfZ1), (7.2)

Р2 + ^ + сД2 _ 2у = _g_.(7.3)

Намереваясь изучать колебания около нижнего положения равновесия (у = 1, у' = у" = 0), разрешим два первых интеграла относительно у и Р:

У = + К1-7'2-у"2, Р -.(7.4)

Последние выражения являются аналитическими функциями переменных при условии

у'2 + у"2 < 1,(7.5)

т. е. до тех пор, пока центр тяжести G не достигнет горизонтальной плоскости, проходящей через точку О. Допустим, что центр тяжести тела достигает указанной горизонтальной плоскости с нулевой угловой скоростью, т. е.

p=Q = R = y = 0, у'2 + у"2 = 1.

Для этого движения постоянная h в интеграле (7.3) равна нулю и для него же имеем в начальный момент в силу (7.3)

Р1 (0) + <У (0) + cR1 (0) - 2у (0) = 0.

Следовательно, если в начальный момент

Р2 (0) + Q1 (0) + с Д2 (0) — 2у(0) < 0,,(7.6)

то и во все время движения центр тяжести не достигнет указанной горизонтальной плоскости, т. е, выполнено условие аналитичности (7.5).

Подставив (7.4) в (7.1), получим систему четвертого порядка

dQ _ d\dQ _ d\V' + (С — 1)1?V' + (С — 1)1?к — Qy' — cRy"к — Qy' — cRy"dR1 ,dtcdR1 ,dtc

dQ _ d\

dQ _ d\

V' + (С — 1)1?

V' + (С — 1)1?

к — Qy' — cRy"

к — Qy' — cRy"

dR1 ,

dtc

dR1 ,

dtc

(7.7)(7.7)^ = Q^-^ = Q^-v'2 _ V'2 _ v k-QY- сду"v'2 _ V'2 _ v k-QY- сду"

(7.7)

(7.7)

^ = Q^-

^ = Q^-

v'2 _ V'2 _ v k-QY- сду"

v'2 _ V'2 _ v k-QY- сду"

dY _ /с —Qy' —сДу" _ R V, _ V2 — V'2

системысистемыаналитическую при условии (7.6).

системы

системы

Характеристическое уравнение для линейной части (7.7) есть

v + ^i + .L + ^ + .L+^^o.

мнимые и различные.мнимые и различные.При с < 1 корни этого уравнения чисто

мнимые и различные.

мнимые и различные.

Пусть с ^> 1; тогда при условии

/с2

1

с— 1

(7.8)

появляется один положительный корень. Заметим, что граница (7.8) неустойчивости в большом нижнего положения равновесия сколь угодно велика для толстого диска (с = 1 + е, е > 0) и сколь угодно мала для тонкого диска («блина», с ^> 1).

Выясним совместность условия (7.8) — неустойчивости в большом и (7.6) — аналитичности, имея в виду, что в силу (7.2)

к = Р (0) у (0) + Q (0) у' (0) + cR (0) у" (0).

Пусть движение начинается из состояния равновесия, т. е. у (0) =1, у'(0) =У"(О) =0.

Тогда к = Р (0) и условия (7.8) и (7.6) запишутся в виде неравенств

-^<^(0X2- (?2(0)_7?2(0),-^<^(0X2- (?2(0)_7?2(0),(7.9)(7.9)

-^<^(0X2- (?2(0)_7?2(0),

-^<^(0X2- (?2(0)_7?2(0),

(7.9)

(7.9)

которые совместны лишь при с > 3/а.

Применение метода последовательных приближений. Представим систему уравнений (7.7) в векторном виде:

где f (х) — вектор-функция, составленная из нелинейных членов. Примем за нулевое приближение х0 — х (0); тогда будем иметь

для первого приближения

^-AX1 = f(Xo)(8.2)

и для последующих приближений

^--AXt+1 = f(X)£) (к = 1,2,../).

Отсюда будем иметь

x^i = е^х (0) + ^ е'^^ Af (хк (s)) ds.(8.3)

о

Оценим стандартным образом норму разности

Хк+1 (т) — хк (т) = 5lf (хк (s)) — f (хк-1 (s))l ds(& = 1, 2, . . .).

о

Будем иметь

з

I хк+1 (т) — хй (т) | < 42 Lt I e^ s)A | | хк (s) — хи (s) |(0< s< т; к = 1, 2, ...),

где L — константа Липшица в замкнутой области, содержащейся в (7.5). Таким образом, при

т <^ т* = —^- | е(т-$)л |-1

отображение (8.3) является сжимающим и последовательность {xt (т)} равномерно сходится на отрезке 0 ^ т ^ т*.

Для первого приближения будем иметь из (8.2) и (8.3)

Х1 (т) = е^х (0) + А1 (е^А - I4) f (х0).(8.4)

В развернутом виде формула (8.4) описывает процесс вставания тонкого диска, достаточно сильно заверченного вокруг вертикали (эффект монетки).

Замечания по определению положения твердого тела с закрепленной точкой. Мы исходим из интегрирования уравнений Эйлера — Пуассона. Однако, найдя значения р, q, г, у, у', у" для данного момента времени t, мы получим при этом только пять произвольных постоянных, ибо сумма квадратов направляющих косинусов в любой момент времени равна единице. В то же время начальные данные могут принимать шесть произвольных начальных значений, например, pQ1 q0, г0, ф0, ф0, Ид, где ф, ф, Ф — эйлеровы углы. Легко показать (см., например, [386], гл. I, §5), что для полного решения, кроме интегрирования уравнений Эйлера — Пуассона, необходимо выполнить еще одну квадратуру. Действительно,

если для <р и й мы имеем конечные формулы [386]

<р = arctg -^- , й = arccos у", то для угла ф прецессии будем иметь

dt у' L у'2_|_у"2 Щ * dt

П. В. Харламов применяет иной способ определения положения тела в пространстве, именно при помощи подвижного и неподвижного годографов угловой скорости и дуговых координат. Этот способ ([138], и. 1.6) называется естественным по аналогии с кинематикой точки.

§ 2. Общий случай

Система динамических и кинематических уравнений Эйлера как замечает А. Ю. Ишлинский ([52а], гл. IV, § 1), оказывается малоудобной для изучения поведения гироскопов. Эта замечание относится и к рассматриваемой в этой главе задаче. В общем ее случае, если исходить из уравнений Эйлера — Пуассона, имеется четыре независимых параметра, за которые можно принять два отношения моментов инерции и два отношения координат центра тяжести к расстоянию его до неподвижной точки. Если, как и в § 1, центр тяжести расположен в одной из главных плоскостей эллипсоида инерции для закрепленной точки (что всегда осуществимо, если последний является эллипсоидом вращения), то число независимых параметров меньше четырех. Оно равно трем в общей при сделанном допущении ситуации, не превосходит двух в указанном случае эллипсоида вращения, равно одному в случае Лагранжа — Пуассона и, наконец, в случае Ковалевской таковые параметры отсутствуют.

Преобразование линейной части уравнений рассматриваемых в этой главе колебаний к жордановой форме оказывается весьма громоздким, если исходить из уравнений Эйлера — Пуассона. Если же число названных выше параметров хотя бы на единицу меньше, чем в общем случае, то это преобразование довольно компактно (см. п. 1.1). Однако если в задаче этой главы исходить из специальных осей сопутствующей телу системы координат, введенных П. В. Харламовым ([138], и. 2.6), то выкладки существенно упрощаются.

В этом параграфе, как и в § 1, мы проводим подготовительные преобразования для применения методов малого параметра и метода нормальных форм. Само же применение этих методов потребует значительных усилий. Это отражает существо вопроса: движение твердого тела с закрепленной точкой не сводится, вообще

говоря, к наложению колебаний, а описывается, как известно, качением без проскальзывания подвижного аксоида по неподвижному (детальное исследование проведено в [138]). Что же касается

применения метода последовательных приближений, то результаты п. 2.6 (см. также п. 1.8) представляются достаточно эффективными.

Опорная система координат. Предположим, что центр масс G тела не совпадает с закрепленной точкой О. Первую координатную ось ОХ проведем через центр масс G тела, а две другие, OY и OZ, выберем из условия, что центробежный момент инерции Jyz равен нулю. Систему координат OXYZ, связанную с телом, назовем опор

ной (рис. 19).

Кинетическая энергия тела является, как известно, квадратичной формой компонент угловой скорости

т = — ^ ХХЮХ + J УУ(Оу + JZZ^Z + 2JXY®X®Y + 2JzxCOzCOx), (1.1)

где J хх, -I'm Jzz — осевые, a Jxy = Jyx, Jzx = Jxz Vyz = = JM = 0) — центробежные моменты инерции тела. Воспользовавшись формулами для проекций кинетического момента к0 тела на опорные оси

&Х = J ХХ®Х + JXY^Y + Jxztozi

kY = Jyx^x + Jyy^y!(1-2)

kz = Jzx®x + Jzztoz,

запишем (1.1) в виде

T = у кк.кх<йх + kytoy + ^z<oz).(1-3)

Разрешим уравнения (1.2) относительно юх, (оу, coz:

(1.4)(1.4)сох = Qxxkx + йхх^у + ^xzkz, toy = йух^х 4" £2уу&у 4~ Qyz^z, toz = &zxkx 4" tizyky 4~ ^zzkz,

(1.4)

(1.4)

где

^хх^ххYYJ ZZота—’ Qyy =YYJ ZZота—’ Qyy =YX JZX det JYX JZX det JQzz =Qzz =XX^ YYГХ¥det JXX^ YYГХ¥det J

^хх

^хх

YYJ ZZо

та—’ Qyy =

YYJ ZZо

та—’ Qyy =

YX JZX det J

YX JZX det J

Qzz =

Qzz =

XX^ YYГХ¥det J

XX^ YYГХ¥det J

&XZ = ^ZX = —&XZ = ^ZX = —XZJ YY det JXZJ YY det JО О — J XYJ ZZ ^XY = «YX =^J-

&XZ = ^ZX = —

&XZ = ^ZX = —

XZJ YY det J

XZJ YY det J

n О JXYJZX

Uyz == detJ-

и, наконец, det J есть определитель положительно-определенной квадратичной формы (1.1), т". е. определитель матрицы

J ххJXYJzxJ ххJXYJzxJXY JZXJ YYO'0 ^zzJXY JZXJ YYO'0 ^zz(1.5)(1.5)

J хх

JXY

Jzx

J хх

JXY

Jzx

JXY JZX

J YYO'

0 ^zz

JXY JZX

J YYO'

0 ^zz

(1.5)

(1.5)

Подставляя (1.4) в (1.3), получим кинетическую энергию тела как квадратичную форму компонент кинетического момента тела относительно закрепленной точки О

Т = -^-^ххкх + йуук^ + Qzz^z +

+ 2йххкх^х + 2QyZ/cy7cz + 2йгхкгкх)Д (1.6)

Таким образом, осуществлен переход от тензора инерции Vxx, ••• • • •, Jzx^ к гирационному тензору {Qxx, . . ., Qzx} (см. [138], п. 2.5).

Все это можно записать в более компактном виде:

k0 = Jco, Т = — (к0; ю) = — (Jco, со),

со = 1-^0, Т = 4-<к°’J"lk°)-(1-7)

Специальные оси координат. Повернем оси опорной^си- стемы координат OXYZ вокруг оси ОХ на угол е в направлении от оси 0Y к 07; новые оси обозначим ОХХуХй (см. рис. 19). Новые единичные векторы выражаются через таковые опорной системы координат формулами

ex, = еу cos е + ez sin е, ех2 = —еу sin е + ez cos е.

Матрица R, составленная из компонент нового базиса ех, е^,, вх. в опорном базисе ex, еу, ez, имеет вид

1

0

0

R =

0

cose

— sin e

0

sine

COS E

и является ортогональной: R 1 = RT.

Матрица J тензора инерции в новом базисе определится формулой [146], (1.1.27):■

J = R^JR =

■УххJху COS 8 —|— У2х sin В У2 у COS 8 Ух у Sin 8

1.

_ Jxy cos е + J2X sine Ууу cos2e + У22 sin2s -2~(У22—Ууу)81п2е

.1..

Уzx cos e Уx у sin e 2 (Уzz 7yy) sin 2s У yy sin2 8 —|— У22 cos2 s

Очевидно, det J = det J. Вычисления дадут для элементов обратной матрицы

7~22 ^ = 'deTF ^хх^~S™26 +

+ (7xxJzz — 7zx) cos2e + JxyJzx sin 2e],

J за (e) = ~defj I (7 xxJ zz — 7zx) sin2 e +

+ (/xx/yy— J%y)cos28 — Jx'yTzx sin 2e], (2.1)

/и (e) = 7Й1 (e) = — - j^j- (7yy/zx sin e + Jzz/xy cos e),

J13 (e) = J31 (e) = ^ j (/zz/XT sin e — /yy/zx cos e),

^(c) = •^321(e) =-J-Tj-|^-(/xx/yy —/xy —-

— / xxJ zz + /zx) sin 2e + / xyJ zx cos 2ej.

П. В. Харламов ([138], n. 2.6) ввел специальные оси связанной с телом системы координат из условия 7щ-(е) = 0, т. е. определил угол поворота е% от опорных осей 0XY7 к специальным ОХХгХг (отсчитываемый против часовой стрелки, если смотреть от точки G к точке О'), формулой

tg 2ех =tg 2ех =(2.2)(2.2)^XY-^ZX

tg 2ех =

tg 2ех =

(2.2)

(2.2)

JXX JZZ — ^ZX — JXXJYY"V J^XY

Значения (2.1) при е = е% обозначим, следуя П.В. Харламову:

Д — У и — —ЗёГ5— ’ S1 — "^22 (е^)’ Й2 — "^зз (е^)>

(2.3)

bi = 7и (е^),62 = 7у (ех).

Заметим, что параметры а, аг и ^ заведомо положительны.

Согласно (1,7) кинетическая энергия твердого тела выражается через проекции кх, кХ1, кх, кинетического момента относительно

закрепленной точки па специальные оси ОХХ1Х2 следующим образом:

Г = 4-(ко, 1'^0) =

— “^(я&х + ®1^х, 4~ Й2^х3) 4" (^i^Xi + Ьгкх^ кх, (2.4) а проекции угловой скорости ю тела на специальные оси суть

<йх = акх + ЪхкХ1 + Ъ2кХ2,(2.5)

юх, = Ьхкх + ®i^Xi, юх2 = Ьгкх + а2кХ2.

. 2.3. Уравнения движения тяжелого твердого тела в специальных осях. Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой описывается системой уравнений

= [к0 Хю] + [ZexxMgv°], 4p=v°Xro, (3.1) допускающей первые интегралы

(v°, v°) =1, ^к0, v°) = k0Z; Т - {Mgv\ 1ех) = К (3.2) где ко — кинетический момент твердого тела относительно неподвижной точки 0,ех — единичный вектор, направленный в центр тяжести тела G, v° — единичный вектор силы тяжести, I = 0G. Обозначим, как и в п. 2.2, проекции вектора ко на специальные оси 0ХХ1Х2 через кх, кХ1, кх2, а направляющие косинусы вектора V0 в этих же осях через v, v15 v2, и запишем уравнения (3.1) и интегралы (3.2) в силу (2.5) в виде ([138], уравнения (3.2.11), (3.2.12), (2.6.8), (3.3.16), (3.3.18) и (3.3.11)) dk х■

= ф^кх + агкх^ кХ1 — (bikx + ахкХ1) кХг,

-дР = — Mgl^ + (^акх + ЬхкХ1 + Ь2кх2) кХг — (Ь2кх + а2^х2) кх, ■^р = Mglxx — lakx + bxkX1 + bjkx2) кХ1 + (bxkx + axkX1) kx,

-^p = (Ьгкх + агкх^ vi — (bxkx + axkx^ v2,

-^- = (,akx + bxkX1 + b2kx2) v2 — (b2kx + агкХ2) v,

^p = — ^dkx + bxkX1 + Ьгкх^ Vi -|- (bxkx 4" di^x,) v; (3.3) v2 4- Vi 4- v2 = 1, kx-v 4- кХ1"»х 4- *x2v2 = kOz*,

-^-(akx 4- «i^x, 4- »2^x2) 4- Фхкх, 4- b^kx,) kx — Mgb = h. (3.4)

Система (3.3) допускает решение кх = кХ1 = кХ1 = 0, vx = = v2 = О, v = 1, отвечающее нижнему положению равновесия. Положим во все время колебаний

v = 1 + N,(3.5)

и введя безразмерные переменные и параметры по формулам

^-V^rfex.. ^-V^^»<з-б>

запишем систему (3.3) и интегралы (3.4) в виде

-^- = (е2х + d2x2) хх — (ехх + хх) х2,

"^^ = ^2 Ч- (^ X 4“ ^1^1 4“ ^2X2) ^2 (^Х Ч- d2X2) X,

-^ = Vx — (d'x + ехХ! + е2х2) хх + (ехх + хх) х,

^- = (е2х + d2x2) Vi — (ехх + Xi) v2,

-^ = — е2х — d2x2 4- (d'x Ч- бгХг Ч~ егХ2) v2 — (е2х Ч- d2x2) N,

-^- = егх + хх — (d'x + егхг + е2х2)ух + (ехх + хх) N; (3.7) 2N + N2 + у? + ^ = О,

х (1 + N) + XxVx + x2v2 = j/ -^-ког* = к, d'v? 4- Хх Ч~ d^ Ч- 2 (ехХх Ч* ^2^2) х — 2N = 2/г' Ч~ 2 ^h,' = *^~р^ •

8 (3-8)

Система уравнений (3.7), описывающая общий случай колебаний тяжелого твердого тела около нижнего положения равновесия, содержит четыре безразмерных параметра d', d^, ev е2, определяемых формулами (3.6), (2.3), (2.2) и (2.1) (см. также п. 1.1). Собственные значения матрицы линейной части системы (3.7) суть

О, 0, —i, 4~i, —l^^i, Ч~1^^2^(3.9)

где нулевому собственному значению отвечают простые элементарные делители. Выпишем матрицу S, составленную из соответственно расположенных собственных векторов матрицы линейной

части системы (3.7), приводящую последнюю к жордановой (в на

01000— 81110о0S =1000000000i—i000 1100 0112ei 20 0118-1 =28120 01®2-2d2 °2 01е2„_12d2 02 001000— 81110о0S =1000000000i—i000 1100 0112ei 20 0118-1 =28120 01®2-2d2 °2 01е2„_12d2 02 0шем случае диагональной) форме,шем случае диагональной) форме,2^г2^г2^22^2000011.00— i У С?21 /5700(3.1 \000011.00— i У С?21 /5700(3.1 \и обратную ей матрицу S *:и обратную ей матрицу S *:Оооо1 0~ 2 110~2~ 1Оооо1 0~ 2 110~2~ 1

0

10

0

0

— 811

1

0

о

0

S =

1

00

0

0

00

0

0

0i

—i

0

0

0 1

1

0

0 0

1

1

2

ei 2

0 0

1

1

8-1 =

2

812

0 0

1

®2-

2

d2 °

2 0

1

е2„_

1

2

d2 0

2 0

0

10

0

0

— 811

1

0

о

0

S =

1

00

0

0

00

0

0

0i

—i

0

0

0 1

1

0

0 0

1

1

2

ei 2

0 0

1

1

8-1 =

2

812

0 0

1

®2-

2

d2 °

2 0

1

е2„_

1

2

d2 0

2 0

шем случае диагональной) форме,

шем случае диагональной) форме,

2^г

2^г

2^2

2^2

0

0

0

0

1

1.

0

0

— i У С?2

1 /57

0

0

(3.1 \

0

0

0

0

1

1.

0

0

— i У С?2

1 /57

0

0

(3.1 \

и обратную ей матрицу S *:

и обратную ей матрицу S *:

Оо

оо

1 0~ 2 1

1

0~2~ 1

Оо

оо

1 0~ 2 1

1

0~2~ 1

Переход к жордановым переменным, осуществляемый с помощью матрицы S, приведет систему (3.7) к диагональному виду (имеется в виду, что последний термин относится лишь к линейной части преобразованной системы). Приведение к диагональному виду предшествует преобразованию к нормальной форме. Здесь сам диагональный вид нам не понадобится, а матрицы S и S"1 окажутся полезными для приведения системы к ляпуновскому виду, к чему мы и переходим.

2.4. Приведение к ляпуновскому виду. Нетрудно выписать матрицу Т линейного преобразования, приводящую систему диагонального вида к ляпуновской кососимметричной форме

t=i1+t,+t„ I.-1* ;|, т.-4-ц;

Матрица L результирующего преобразования исходной системы (3.7) в систему ляпуновского вида

L = ST,

где S определяется из (3.10). Выпишем ее и обратную ей матрицу:

0

0

0

0

0

0

0

— 81

1

0

0

0

L =

0

_ 82

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-утг

0

0

0

1

0

0

00010010000■ 08110000L1^000001б?20100000010VaT00010010000■ 08110000L1^000001б?20100000010VaT(4.1)(4.1)

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

■ 0

81

1

0

0

0

0

L1^

0

0

0

0

0

1

б?2

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

VaT

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

■ 0

81

1

0

0

0

0

L1^

0

0

0

0

0

1

б?2

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

VaT

(4.1)

(4.1)

Обозначим через и вектор с компонентами х, хх, х2, N, vx, v2, а через v — вектор с компонентами vx, . . ., v6. Запишем систему (3.7) в виде

^-=Au + g(u),

где А — матрица ее линейной части, a g (и) — вектор-функция, составленная из нелинейных членов системы (3.7). Замена

(4.2)(4.2)(4.3)(4.3)(4.2а)(4.2а)u = Lv

(4.2)

(4.2)

(4.3)

(4.3)

(4.2а)

(4.2а)

приведет систему (3.7) к ляпуновскому виду

-^- = L^ALv + L^g (Lv).

Выпишем преобразование (4.2) и систему (4.3):

х = н2> хх = — егу2 + р3, х2 =р2 + Уы

N = нх, vx = — V dip6, v2 = им

ух = N, у2 = и, Vs = ехх + хх, v4 = v2,е2 ,1

—v,;

^- = — u3ut — d3Vd. vbv6,

^ = "^УгУз — eMv» + (d2 — 1)р3р5,

-г— — — ^4 + ~Г" ( А + £Х + —у— ) 1^2 + е2^5 + «2 \“2 /

/б2 \

~Ь \d —■ d^ — ех — d^e^ — 2—^—) ^2^5 4“ ^1<^2^з^5,

2(4.3а)

-2 \

2 \,

) v-iP» +

+ К^а exVaUe + У d^ e8p5ve,

4г =-^2^4-6! f cZ' — е2 — -^-) Р2 — е^2 +

++ 2е2 + -4- + —I ^з + игиь^з^б,

“2]“1

—д^" = /^2 У6 4 У^2 ^1^6 +

+ тт= \~d + 61 + — v»Vt — _^v3U4 _у^.

V дй \а2 / У d^ У d2

Первые два интеграла (тривиальный и кинетического момента относительно вертикали) (3.8) в новых переменных запишутся в виде

2У1 + у? + ^ + 4^в = 0,(4.4)

р2 + У1^2 — "^ v2v4 + 61 Vdi иги6 — 1^2 Уз^в + у4^5 = к. (4.5)

Линейная комбинация интеграла энергии и тривиального интеграла приведет к знакоопределенному интегралу

/е2 \

^ + (d' - е1 - ^-) у2 + ^3 + ^ + d, (р2 + р2) = 27У + 2. (4.6)

Резонансы. Из (3.9) очевидным образом получается отношение частот линейной части системы (3.7) или системы (4.3а). Приравнивая это отношение тп/п, где тип — взаимно простые натуральные числа, получим

d2 =.(5.1)

2 аг п2х '

Из формулы (2.2) имеем

sin2 8х = 2^- [^ + (JxxJw — ^1y) — уXXJZZ — ^zx)]7

COS2 Ex = o-L- ^ — (/XX JYY — Jxy') + (^XX JZZ — -^Zx)] 7

sin2ex =sin2ex =^XX^YY31^XX^YY31

sin2ex =

sin2ex =

^XX^YY

31

^XX^YY

31

где

Я = + V VJXX (JZZ — ^yy) + JxY — -^zx]2 + 4Jxy^ZX-

Отсюда в силу формул (2.3) и (2.1), будет иметь

«2 _ Jxx ^TYY + ^zz) (^XY + ^zx) ~ -^

01 JXX (JyY + Jzz) — ^"xy 4" ^zx) 4* 51

Резонансное уравнение (5.1) после очевидных преобразований

примет вид

(r4 + 7П4) JXX У xxJyyJzz — JyyJzx — JzzJxy) =

= п^т? {(JxxJyy — JxyY 4* У xxJzz — JzxY + 2JxyJzxA. (5.2)

Допустим, что опорные оси являются главными осями эллипсоида инерции для точки О, т. е. Jxy = Jzx = 0. Тогда эти оси являются и специальными осями, ибо по формуле (2.2) ех = 0. Уравнение (5.2) запишется тогда в виде

(к4 + тп4) JyyJzz = и2т? (Уут + JzzY(5.3)

Очевидно, его решение есть

^zz m2

^YYп4

Например, в случае Лагранжа — Пуассона Jхх = С (ибо ось ОХ направлена на центр тяжести тела), Jyy = Jzz = Л, что соответствует (5.4) при т — п = 1.

Однако в случае Ковалевской [61] Jxx = 4 и

^zz _ 1

jyy — 2 ’

т. е. (5.4) не выполняется.

Применение метода последовательных приближений. Разрешим интегралы (4.4) и (4.5) относительно переменных ^ и у2 V1 - - 1 + /1 - v2 - d2v2 = ~~»1^-^+[4],(6.1)

„ _k + Vda»3ve — v^s

62г

1 + V1 v4 + ^1V da D6

= к +->to4-e1/d"2/cz;6 + [3]. (6.2)

Разложения (6.1) и (6.2) с учетом (4.2а) сходятся при условиях

v! + v2<l, —1 < N.v! + v2<l, —1 < N.(6.3)(6.3)

v! + v2<l, —1 < N.

v! + v2<l, —1 < N.

(6.3)

(6.3)

Эти условия, очевидно, выполняются, если центр тяжести тела при колебаниях не достигает горизонтальной плоскости, проведенной через неподвижную точку О.

Последние четыре уравнения (4.3а) представим в векторном виде как

v3

vs

v«

0 —1

0

0

10

0

0

в —

00

0

-/sr

00

VT2

0

= BW + f (W,(w), v2 (w)),

(6.4)

где f — вектор-функция, составленная из нелинейных членов. Возьмем за нулевое приближение для системы (6.4) вектор, составленный из начальных условий: w0 = w (0), а за первое приближение — решение системы

-^1 = Bwj + f (w0, рх (w0), р2 (w0)).

Это решение при прежних начальных условиях wx (0) = w0 имеет вид

W1 (т) = ^Bw0 + В"1 (етВ — I4) f (w0, ^ (w0), v2 (w0)).

Для компонент вектора w4 (т) получим выражения

р3 (т) = Уз (0) cos т — р4 (0) sin т +

+ ["^ ( ^' + е1 + ~^j U1 (^) + е2У5 W + (^ ^2е2 \1

— Ci — d2e?— 2 у2 (0) р5 (0) + e^Pg (0) р5 (0)j sin т —

2 Ь (0) Уз (0) + У^г ^' — ei^^ Уг (0) У в (0) 4*

+ ^2 е^з (0) Ув (0) + V d^ е2у6 (0) v6 (0) j sin2 -j-, y4 (t) = n3 (0) sin т + У4 (0) cos т +

+ 2 [-7- ( d + б? +-у-^У2 (0) + 62Уб (0) 4- le2 \

yd — d^ — e4 — d^ — 2 ~^J У2 (0) У5 (0) 4"

*3 (0) P5 (0)j sin2 -^- 4- ^1 (0) p3 (0) 4-

— /e2 \_

^a^ \ d — ei —^j v2 (0) Ув (0) ~ь V^a^ 61У3 (О) рв (0) 4

+ Va2 егУб (0) y6 (0)j sinT, y6 (T) = У5 (0) cos Vd2 т — Vd2 vs (0) sin )^d2 т 4

e2 \

d'-eX--^ у?(0)-61у!(0) 4- «2 /

+ (1 d 4- 2e4 4- -г- +у2 (0) Уз (0) 4"

\a2/

V» (0) p6 (0) — -^- Уз (°) Уб (0)] sin У"аг Т —

— 2 [pi (0) р6 (0) + -^- ^— d' + ei + -^^ у2 (0) у4 (0) —

- -^ Уз (0) у4 (0) - - J- У4 (0) у6 (0)] Sin2 ^2Т ,

у» W = V <к уб (0) sin ^21 + Pe (0) cos V d^ T +

22/e2 \

2

2

Ci (d Ci — I p2(0) — е1Уз(°)+

/e2 e2 \

+ I 1 — d' + 2ei + ~r~ + ”7") Уа (0) уз (0) ++ y2 (0) p6 (0) — -^ y3 (0) ^ (0)] sin2 Yj^L .

Г4 /e2 \

+ [^i (0) у» (0) + "^ — ^' + ei + "^y y2 (0) у» (0) —

— -^ Уз (0) p4 (0) — -^ p4 (0) p5 (0)] sin /d2 r.

Затем по формулам (6.1) и (6.2) вычисляются ri (т) и pi (т). Второе приближение w2 (т) определится из уравнения

^ = Bw2 + f (W1 (т), pi (т), pi (т)),

решение которого даст (w2 (0) = w0)

w2 (т) = eTBw0 + етВ § e~sB f(wi (s), pj (s), pi (s)) ds. (6.5) о

Мы можем несколько огрубить результат, положив в (6.5) pi (s) = 0 и pi (s) = к. Это означает, что в (6.5) пренебрегается в выражении f членами третьего порядка малости.

Запишем интеграл (4.6) в исходных переменных, воспользовавшись формулами (4.2а)

/е2 \

\d* — е^— ^ х2 + (eix + Xi)2 +

+ d2 ("^ и + Х2)2 + N2 + vi + v22 = 2Л' + 2. (6.6)

Допустим, что центр тяжести тела достиг горизонтальной плоскости, проходящей через неподвижную точку О (N = —1, v^ + + vi = 1) с нулевой угловой скоростью (х =хг =х2 = 0).

Подставляя в (6.6), найдем что h' = 0. Эта ситуация, как отмечалось, является предельной для сходимости предложенного варианта последовательных приближений. Поэтому интеграл (4.6) с учетом (Л' = 0) определяет поверхность шестимерного эллипсоида, внутри которого лежат допустимые начальные значения переменных г?!, . . ., г?6, т. е. должно быть выполнено неравенство

/е2 \

Р1 (0) + е1^2 (0) + Рз (0) +

4" ^4 (0) 4" ^2^5 (^) 4" ^2^6 (0) < 2.

КРАТКИЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

К главе /

Практический способ определения периодических решений систем Ляпунова предложен И. Г. Малкиным [79а]. В. М. Соколовым [320] определялись периодические решения некоторых видов систем Ляпунова, для которых известный способ вычисления решений оказался затруднительным.

п. 1.1. Излагаются результаты статей [322д — ж, к, у].

п. 1.2. Это преобразование указано в [322к, о, у, ф].

§ 2. Изложение следует § IV.6 [146].

Метод Пуанкаре как для неавтономных, так и для автономных систем изложен в монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина [4], И. И. Блехмана [15а], Б. В. Булгакова [25], В. Д. Мак-Миллана [78], И. Г. Малкина [79а, б]. Практическому исследованию периодических решений по методу малого параметра Пуанкаре посвящены статьи А. П. Проскурякова [311а — о] и Г. В. Плотниковой [305а, б, в]. В них рассматриваются квазилинейные автономные и неавтономные системы с одной или несколькими степенями свободы, а также некоторые нелинейные системы и ряд особых случаев.

Остановимся на одном нетрадиционном применении метода Пуанкаре в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, как в исследовании общих свойств уравнений движения, так и в их непосредственном интегрировании. В 1953 г. Л. Н. Сретенский [321] предложил применять метод малого параметра при изучении движения твердого тела, приведенного в быстрое вращение вокруг неподвижной точки. В работах Ю. А. Архангельского [219а, в] рассмотрено построение периодических решений квазилинейных автономных систем, обладающих первыми интегралами, что приводит к вырожденным случаям. Основываясь на этих результатах, в статьях [2196, г, д] найдены новые частные решения быстро вращающегося вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела.

К главе II

Составным математическим, физическим и упругим маятникам посвящена многочисленная литература. Укажем статьи Е. Меттлера [367а], Р. Н. Страб- ла [390а], Дж. Хайнбокела и Р. Н. Страбла [359, 393а, Ь], Б. И. Чешанко- ва [335а — д], содержащие обширную библиографию.

Излагаются результаты статьи [322г].

п. 1.6. М. 3. Литвин-Седой [278а, б] установил, что если плоский математический маятник переменной длины увлекается ускоренным движением точки его опоры, то даже при отсутствии внешних сил возникает восстанавливающая сила, создаваемая силой инерции от поворотного ускорения маятника.

Излагаются результаты статьи [322в].

$ В. М. Старшинский

К главе III

Оригинальные статьи Б. Ван-дер Поля [373а, Ь] переведены на русский язык [30J. Метод осреднения изложен в монографиях Н. Н. Боголюбова [17], т. I, Ю. А. Митропольского [85г], В. М. Волосова и Б. И. Моргунова [33], Е. А. Гребеникова и Ю. А. Рябова [39], ч. I.

Вопросы ■ точности в теории нелинейных колебаний рассматривались в работах Ю. А. Рябова [3166—д] и С. А. Горбатенко [244а — г].

Здесь излагаются статьи: § 1 [322з], § 2 [322л], § 3 [322о], § 4 [323].

Первые результаты, относящиеся к перекачке энергии при колебаниях упругого маятника, принадлежат А. А. Витту и Г. С. Горелику [240]. Перекачка энергии при изгибно-крутильных колебаниях описана в работе В. О. Кононенко [265а]. Перекачка энергии исследовалась в статьях Р. Н. Страбла [390b], Р. Н. Страблаи Дж. Хейнбокела [393а, b], Р. Н. Страб- ла и Г. К. Вармбруда [394], Б. И. Чешанкова [335а, б], Ф. X. Цельмана [333а], К. А. Меркера, П. Л. Риса и Ф. Дж. Фахи [366].

К главе IV

Системы Ляпунова изучались И. Г. Малкиным [79а, б]. В гл. VIII [796] рассматриваются системы, близкие к системам Ляпунова, однако в другом смысле, чем у нас, именно неавтономные системы.

пп. 1.1, 1.2, 1.5. Излагаются результаты статьи [322н].

п. 1.2. Доказательство теоремы Пуанкаре о разложении интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений по степеням малого параметра читатель найдет также в монографии В. В. Голубева [38а] (гл. III, § 2). '

п. 1.3. Как показано во введении к п. 1.3, наше рассмотрение выходит за рамки уравнения х 4- o>2z = eq) (х, >). Последнему уравнению, как в скалярном, так и в векторном случае посвящена многочисленная литература, из отечественных трудов назовем монографии А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина [4], Б. В. Булгакова [25], И. Г. Малкина [79а, б], Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [18а], Н. Н. Моисеева [90], Я. Н. Ройтен- берга [117]. Вместе с тем подчеркнем, что п. 1.3 является некоторым дополнением к изучению общего случая колебаний системы с одной степенью свободы, описываемых уравнением х 4- / (z) = eq> ( •), проведенному Б. В. Булгаковым [25], Н. Н. Моисеевым [90] и Я. Н. Ройтенбергом [117].

пп. 1.3, 1.4. Излагаются результаты статьи [322щ].

§ 2. Системы, близкие к системам Ляпунова, исследовались И. Г. Малкиным [796], рассмотревшим периодические решения, обращающиеся при ц = 0 в ляпуновские решения и периодические решения в случае резонанса. С. Н. Шиманов исследовал вопросы существования, практического вычисления и анализа устойчивости периодических решений, используя разработанный им метод вспомогательных систем [336а, в, г]. '

Частный случай систем типа Ляпунова был изучен В. М. Соколовым [320]; с иной точки зрения подобные системы рассматривались Ю. А. Рябовым [316а].

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Предостережем читателя в терминологии. Здесь рассматриваются нормальные формы систем дифференциальных уравнений и их приложения к задачам колебаний.

Наряду с этим в теории колебаний рассматриваются нормальные колебания, которым отвечают прямолинейные траектории в конфигурационном пространстве. Приведем краткие литературные указания для последних. Определение нормальных колебаний приведено в [313а, 6]. Для широкого класса

квазилинейных систем существование решений, близких к нормальным колебаниям, доказано Ляпуновым [77а]. В статье Л. И. Маневича [281] показана возможность трактовки нормальных колебаний в терминах теории инвариантно-групповых решений, развитой Л. В. Овсянниковым [98]. В статьях Л. И. Маневича и М. А. Пинского [282а, б] обнаружены некоторые новые классы систем, допускающие прямолинейные и криволинейные нормальные формы колебаний, в силу того, что соответствующие системы инвариантны относительно дополнительных дискретных "групп преобразований. В статьях Л. И. Маневича и Б. П. Черевацкого [284а, б] изучались вырожденные системы, которые приводятся к сингулярно возмущенным уравнениям. Предложен эффективный метод построения периодических решений таких систем. Конструктивный метод определения нормальных колебаний многомерных консервативных систем описан в статье [283] и статье Ю. В. Михлина [296а]. В основе метода лежит построение криволинейных траекторий искомых решений в конфигурационном пространстве, близких к прямолинейным формам колебаний. Траектории построены в форме степенных рядов, установлена связь с результатами Ляпунова [77а]. В статье Р. М. Розенберга [313а] дано доказательство некоторых теорем существования нормальных колебаний. В статье [2966] исследуются резонансные режимы и дается доказательство их близости к нормальным колебаниям в нескольких частных случаях.

К главе V

Первоначальные сведения по автономным системам имеются в книге А. Д. Мышкиса [92]. Затем рекомендуем монографию Ю. Л. Далецкого и М. Г. Крейна [41], которую читатель нематематик может перелагать на язык конечномерных пространств. Качественная теория развита в монографии В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [96], однако сведения по нормальным формам попали лишь в ее первое издание (1947 г.).

§ 1. Обобщающие результаты по теории нормальных форм получены А. Д. Брюно [234к]; там же читатель найдет библиографию.

п. 1.2. В основной теореме А. Д. Брюно [234к] не предполагается, что жорданова форма — диагональная, т. е. рассматривается случай произвольных элементарных делителей линейной части системы. Изложение п. 1.2 основывается на постановке задачи п. 1.1.

п. 1.3. Обобщения теоремы Пуанкаре (в случае нарушения условий 2) или 1)) даны К. Л. Зигелем [49] и В. А. Плиссом [304].

Геометрическую интерпретацию (в пространстве показателей степеней) «укороченных систем» и примеры использования последних читатель найдет в работах А. Д. Брюно [234н].

п.2.4. Существование аналитического преобразования в вещественном случае рассмотрено Л. М. Мархашовым [288] и А. Д. Брюно [234ц]. Обобщение теоремы Пуанкаре в смысле существования конечно-гладкого преобразования к линейной системе дано В. С. Самоволом [318] и А. Д. Брюно [234ц].

Автор согласен с замечанием А. Д. Брюно [234м], что метод нормальных форм, естественно, распадается на две части. Первая (алгебраическая) заключается в указании алгоритма для построения требуемых формальных разложений [234к]. В этой книге алгоритм доведен до расчетных рекуррентных формул для общего случая.

Вторая (аналитическая) часть заключается в интерпретации результатов посредством функций аналитических: Пуанкаре [188], Г. Дюляк [348], К. Л. Зигель [49], В. А. Плисс [304], окончательный результат А. Д. Брюно [234к], или гладких: Д. Биркгоф [12] и др., а также в оценке точности приближенного интегрирования этим методом: Д. Биркгоф [12], К. Л. Зигель [49], Ю. Мозер [297].

Нормальные формы не исчерпывают локального метода. Для дальнейшего изучения локального метода (полунормальные формы, связанные с ними

интегральные многообразия и др.) отсылаем читателя к работам А. Д. Брюно [234к, р — х], в которых содержится и библиография.

Распространение нормальных форм на неавтономные системы намечено в статье В. В. Костина [268].

К главе VI

Излагаются результаты статьи [322и].

§ 1. Первым (после Пуанкаре [188]) представление общего решения уравнения (V,1,1.1) через решения уравнения (V,l,3.2) получил Ляпунов [77а].

О связи рассматриваемых здесь задач с первым методом Ляпунова, а также по более широкому кругу вопросов отсылаем читателя к ч. II обзорной статьи Н. П. Еругина [476].

п. 1.2. Общее решение, в котором произвольные постоянные суть начальные значения переменных (и их производных), будем называть решением задачи Коши в общем виде.

К главе VII

Излагается статья [322р].

п. 1.4. Постановка задачи принадлежит Я. Н. Ройтенбергу. Влияние люфта и трения на свободные и вынужденные колебания рассмотрено в [322 а].

Излагается статья [322х].

К главе VIII

1.4. Подход К исследованию критических случаев устойчивости с более общих позиций (например, без требования аналитичности правых частей) намечен в монографии Н. Н. Красовского [70].

1.4. Преобразования п. 1.4 — частный случай степенных преобразований, развитых А. Д. Брюно [234в].

1.5. Автор заведомо огрубляет содержание теоремы Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса [227].

пп. 2.1, 2.4—2.7 — излагается содержание статьи [322м].

§ 4. Излагается содержание [1256, ч. II, § 6].

По исследованию критического случая трех пар чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части отсылаем читателя к статье В. Г. Веретенникова [2396].

К главе IX

Исследования последних лет по динамике твердого тела и системы тел П. В. Харламова, Е. И. Харламовой и их школы представлены в [83]. Обширная библиография последних работ (70 названий) приведена в статье П. В. Харламова [330].

Описание интегральных многообразий и бифуркационных множеств в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой проведено в статье С. Б. Каток [256], основывающейся на изучении топологии механических систем с симметрией по С. Смейлу [319].

п. IX, 1.4. По вопросам устойчивости перманентных вращений отсылаем читателя к исследованиям В. В. Румянцева (библиографию см. в [120]).

п. IX, 1.7. Другой вариант метода последовательных приближений для этой задачи дан в [322ч],

ЛИТЕРАТУРА

А. МОНОГРАФИИ, УЧЕБНИКИ, ОБЗОРЫ

Абалакин В. К., Аксенов Е. П., ГребениковЕ.А., Рябов 10. А., Справочное руководство по небесной механике и астродинамике, «Наука», 1971.

Аб г арян К. А., Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем, «Наука», 1973.

Андронов А. А., Собрание трудов, изд. АН СССР, 1956.

Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, Изд. второе, Физматгиз, 1959.

А р н о л ь д В. И., а) Лекции по классической механике, изд. МГУ, 1968; б) Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Наука», 1971, в) Математические методы классической механики, «Наука», 1974.

Бабаков И. М., Теория колебаний, изд. второе, «Наука», 1965.

Байнов Д. Д., Константинов М. М., Методът на усред- няването и неговото приложение в техниката, «Наука и изкуство», София, 1973.

БарбашинЕ. А., Введение в теорию устойчивости, «Наука», 1967.

Б елецкий В. В., Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс, «Наука», 1965.

Беля К. К., Нелинейные колебания в системах автоматического регулирования и управления, Машгиз, 1962.

Биргер И. А., Некоторые математические методы решения инженерных задач, Оборонгиз, 1956. ..

Б и р к г о ф Дж. Д., Динамические системы, Гостехиздат, 1941.

Бишоп Р., Колебания, «Наука», 1968.

Б л а к ь е р О., Анализ нелинейных систем, «Мир», 1969. .

БлехманИ. И., а) Синхронизация динамических систем, «Наука», 1971;

Метод малого параметра, «Механика в СССР за 50 лет», т. I, «Наука», 1968, 157-165.

БлехманИ. И., П ан о в к о Я. Г.,

Прикладные проблемы теории колебаний, «Механика в СССР за 50 лет», т. I, «Наука», 1968, 89—ИЗ;

Методы решения линейных задач теории колебаний, «Механика в СССР за 50 лет», т. I, «Наука», 1968, 167—169..

Боголюбов Н. Н., Избранные труды в трех томах, том первый, «Наукова думка», Киев, 1969.

Боголюбов Н. Н., Митр о по льс к ий Ю. А., а) Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, изд. 4-е, «Наука», 1974.

Аналитические методы теории нелинейных колебаний, Труды Всесоюзного съезда по теор. и прикл, механ., 1960, изд. АН СССР, 1962, 85-95;'

Метод интегральных многообразий в нелинейной механике, Труды ' Межд. симпозиума по нелинейн. колебаниям, 1961, изд. АН УССР, Киев, 1963, 93—154.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике, «Наукова думка», Киев, 1969.

Б о л о т и н В. В., а) Динамическая устойчивость упругих систем, Гос- техиздат, 1956;

Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости, Физматгиз, 1961.

Бондаренко Г. В., Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний, Изд. АН СССР, 1936.

Бондарь Н. Г.,Казакевич М. И., Обзор прикладных задач нелинейной механики, разрешаемых с помощью метода переменного масштаба, Zagadnienia drgan nielinowych, 1971 12, 53—70.

Бояджиев Г. Н., Нелинейни трептения, «Техника», София, 1970.

Брюно А. Д., Элементы нелинейного анализа (конспект лекций), изд. СаГУ, Самарканд, 1973.

Булгаков Б. В., Колебания, Гостехиздат, 1954.

БутенинН. В., а) Элементы теории нелинейных колебаний, Суд- промгиз, 1962,

Т е о р и я колебаний, «Высшая школа», 1963.

Б у тенин Н. В., Н е й м а р к Ю. И., Ф у ф а е в Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, «Наука», 1976."

Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Г р о б ман Д. М., Н е м ы ц- кий В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, «Наука», 1966.

Вайнберг Д. В., Писаренко Г. С., Механические колебания и их роль в технике, изд. второе, «Наука», 1965.

В а н - д е р П о л ь Б., Нелинейная теория электрических колебаний, Связьиздат, 1935.

В ихер Е., 3 емб а С., Мушинс к а А., Радзишевски Б., Шадковски Е., Обзор некоторых направлений и научных работ по теории колебаний и динамике машин, Zagadnienia drgan nielinowych, Nonlinear vibrations problems, Warszawa, 1971 11, 9—40.

Волосов B.M., Метод осреднения в теории нелинейных колебаний, «Механика в СССР за 50 лет», т. I, «Наука», 1968, 115—135.

Волосов В. М., Моргунов Б. И., Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем, Изд. МГУ, 1971.'

Вульфсон Н. И., К о л о в с к и й М. 3., Нелинейные задачи динамики машин, «Машиностроение», 1968.

Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, 1953.

Г а н т м а х е р Ф. Р., Крейн М. Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые'колебания механических'систем, изд. 2-е, Гостехиздат, 1950.

Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П., Нестационарные колебания механических систем, «Наукова думка», Киев, 1966.

Голубев В. В., а) Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, изд. 2-е, Гостехиздат, 1950;

Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, Гостехиздат, 1953.

ЗЭ^Г^'е б е н и к о в Е. А., Рябов Ю. А., Новые качественные методы гв небесной механике, «Наука», 1971.

Т'р'о б ов В. А., а) Асимптотические методы расчета изгибных колебаний "валов турбомашин, изд. АН СССР, 1961;

Лекции по теории колебаний, Киев, 1971;

Далецкий Ю. Л., К р е й н М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, «Наука», 1970.

Д е м и Д о 6 и ч Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, «Наука», 1967.

Д ен-Гартог Дж. П., Механические колебания, Физматгиз, 1960.

Диментберг Ф. М., Изгибные колебания вращающихся валов, изд. АН СССР, 1959.

Диментберг Ф. М., Шаталов К. Т., Гусаров А. А., Колебания машин, «Машиностроение», 1964.

ДубошинГ. Н., а) Основы теории устойчивости движения, изд. МГУ, 1952;

Небесная механика, Основные задачи и методы, Физматгиз, 1962;

Небесная механика, Аналитические и качественные методы, «Наука», 1964.

Е р у г и н Н. П., а) Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, «Наука и техника», Минск, 1970;

Аналитическая теория и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории, Дифф, уравнения, 1967, т. III, № 11, 1821—1863.

Житомирский В. К., Механические колебания и практика их устранения, «Машиностроение», 1966.

Зигель К. Л., Лекции по небесной механике, ИЛ, 1959.

Зубов В. И., а) Математические методы исследования систем автоматического регулирования, Судпромгиз, 1959;

Колебания в нелинейных и управляемых системах, Судпромгиз, 1962;

Аналитическая динамика гироскопических систем, «Судостроение», 1970;

Устойчивость движения, «Высшая школа», 1973.

И о р и ш Б. И., Измерение вибрации, Машгиз, 1956.

ИшлинскийА. Ю., а) Механика гироскопических систем, изд. АН СССР, 1963;

Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация, «Наука», 1976.

К а л и н и н С. В., Устойчивость периодических движений в критических случаях, изд. МГУ, 1972.

Каменков Г. В., Избранные труды в двух томах, «Наука», 1971.

Камке 3., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, ИЛ, 1950.

Каннингхэм В., Введение в теорию нелинейных систем, Гос- энергоиздат, 1962.

Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, изд. 5-е, Физматгиз, 1962.

Каудерер Г., Нелинейная механика, ИЛ, 1961.

К и н Н. Тонг, Теория механических колебаний, Машгиз, 1963.

Кобринский А. Е., Кобринский А. А., Виброударные системы. (Динамика и устойчивость), «Наука», 1973.

Ковалевская С. В., Научные работы, изд. АН СССР, 1948.

К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958.

КолмогоровА. Н., Ф о м и н С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука», 1968.

К о л о в с к и й М. 3., Нелинейная теория виброзащитных систем, «Наука», 1966.

Коно н е н к о В. О., Колебательные системы с ограниченным возбуждением, «Наука», 1964.

Коритысский Я. И., Исследования динамики и конструкций высокопроизводительных веретен текстильных машин, Гизлегпром, 1963.

Красносельский М. А., а) Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, 1962;

Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений, Современные проблемы математики, «Наука», 1966.

Красносельский М. А., Бурд В. Ш., К о лес о вЮ. С., Нелинейные почти-периодические колебания, «Наука», 1970.

Красносельский М. А., Перов А. И., П о в л оц- к и й А. И., Забрейко П. П., Векторные поля на плоскости, Физматгиз, 1963.

Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959.

К р ы л о в А. Н., Собрание трудов, т. IX, Теория корабля, изд. АН СССР, 1949.

Крылов Н. М.,Боголюбов Н. Н., Введение в нелинейную механику, изд. АН УССР, Киев, 1937.

К у з ь м и н П. А., Малые колебания и устойчивость движения, «Наука», 1973.

Ку шуль М. Я., Автоколебания роторов, Изд. АН СССР, 1963.

Летов А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых систем, изд. 2-е, испр. и доп., Физматгиз, 1962.

Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1961.

Ляпунов А. М., а) Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892; Собр. соч., т. II, 1956, стр. 7—263;

Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения, изд. ЛГУ, 1963.

Мак-Миллан В. Д., Динамика твердого тела, ИЛ, 1951.

М а л к и н И. Г., а) Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1949,

Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1956; в) Теория устойчивости движения, изд. 2-е, «Наука», 1966.

Мандельштам Л. И., Лекции по колебаниям, изд. АН СССР, 1955.

Мандельштам Л. И., Папалекси Н. Д., Андро- н о в А. А., Витт А. А., Г о р е л и к Г. С., X а й к и н С. Э., Новые исследования нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1936.

Мартынюк А. А., а) Техническая устойчивость в динамике, «Тех- шка», Киев, 1973;

Устойчивость движения сложных систем, «Наукова думка», Киев, ■1975.•~

Механика твердого тела (республиканский межведомственный сборник), «Наукова думка», Киев, вып. 1, 1969; вып. 2, 1970; вып. 3, 1971; вып. 4, 1972; вып. 5, 1973; вып. 6, 1974; вып. 7, 1974.

Минорский Н., Современные направления в нелинейной механике, Сб. «Проблемы механики», ИЛ, 1955, 5—53.

Митропольский Ю. А., а) Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, изд. АН УССР, Киев, 1955;

Исследование нестационарных колебаний в нелинейных системах, Труды Межд. симпозиума по нелинейн. колебаниям, 1961, т. 3, изд. АН УССР, Киев, 1963, 241—274;„

Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, «Наука», 1964;

Метод усреднения в нелинейной механике, «Наукова думка», Киев, 1971.

Митропольский Ю. А., Лык о в а О. Б., а) Лекции по методу интегральных многообразий, изд. Ин-та матем. АН УССР, Киев, 1968;

Интегральные многообразия в нелинейной механике, «Наука», 1973.

Михайлов Ф. А., Свободные колебания линейных систем с переменными параметрами, Труды МАИ, 1961, вып. 135.

Мищенко Е.Ф., Р о з о в Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, «Наука», 1975.

Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, «Мир», 1973.

Моисеев Н.Н., Асимптотические методы нелинейной механики, «Наука», 1969.'

Морозов В. М., Устойчивость движения космических аппаратов, Итоги науки, Общая механика, ВИНИТИ, 1971, 5—83.

М ы ш к и с А. Д., Математика для втузов, специальные курсы, «Наука», 1971..

Натанзон В. Я., Муфты с нелинейной характеристикой/ Труды ЦИАМ, 1943, № 40._

НеймаркЮ. И., а) Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, «Наука», 1972;

Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, «Механика в СССР за 50 лет», т. I, «Наука», 1963, стр. 137—156.

Н е л е п и н Р. А., (ред.), Методы исследования нелинейных систем автоматического управления, «Наука», 1973.

Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, изд. 2-е, Гостехиздат, 1949.

Н у д е л ь м а н Я. Л., Методы определения собственных частот и критических чисел для стержневых систем, Гостехиздат УССР, 1942.

Овсянников Л. В., Групповые свойства дифференциальных уравнений, изд. СО АН СССР, Новосибирск, 1962.

П а н о в к о Я. Г., Введение в теорию механических колебаний, «Наука», 1971.,

П а н о в к о Я. Г., Губанова И. И., Устойчивость и колебания упругих систем, «Наука», 1964.

Папкович П. Ф., Труды по вибрации корабля, Судпромгиз, 1960.

Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 2-е, Гостехиздат, 1947.

Писаренко Г. С., Рассеяние энергии при механических колебаниях, изд. АН УССР, 1962.

П л и с с В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, «Наука», 1964.

Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 1961..

Попов Е. П., П а л ь т о в И. П., Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем, Физматгиз, 1960.

Пуанкаре А., а) Избранные труды в трех томах, «Наука», т. I, 1971; т. II, 1972;

О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гос- ■ техиздат, 1947.

РагульскисК. М., В итк ус И. И., РагульскенеВ. Л., Самосинхронизация механических систем, 1. Самосинхронные и виброударные системы, «Минтис», Вильнюс, 1965.

Рагульскис К. М., Кавовелис А.— П. К., Балтрушайтис И. Д., Саткявичус Э. Б., Самосинхронизация механических систем, 2. Самосинхронизация, моделирование, «Минтис», Вильнюс, 1967.

РагульскисК. М., КубайтисЗ. И., КумпикасА. Л., Гецевичюс Ю. Ю., Б а к ш и с А. К., Колебания сложных механических систем, «Минтис», Вильнюс, 1969.

РашковиЙ Д., Teoruja осциллаци]а, «Научна книга», Београд, 1957.

Р е й с с и г Р., С а н с о н е Г., К о н т и Р., Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений, «Наука», 1974.

ИЗ. Релей (Стретт Дж. В.), Теория звука, т. I, т. II, Гостехиздат, 1940.

Р епин ков А. В., Колебания в оптимальных системах автоматического регулирования, «Машиностроение», 1968.

Розенвассер В. Н., Колебания нелинейных систем, «Наука», 1969.

Розе М.,Нелинейные колебания и теория устойчивости, «Наука», 1971.

И7. Ройтенберг Я. Н., Автоматическое управление; «Наука», 1971.

Р о к а р И., Неустойчивость в механике, ИЛ, 1959.

Рубаник В. П., Колебания квазилинейных систем с запаздыванием, «Наука», 1969.

Румянцев В. В., Об устойчивости стационарных движений спутников. Математические методы в динамике космических аппаратов вып. 4, изд. ВЦ АН СССР, 1967.

Рыжик И. М., Градштейн И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд. 3-е, Гостехиздат, 1951.

Рымаренко В. В., Некоторые аспекты применения теории возмущений к задачам теории нелинейных колебаний, Сб. «Асимптотические методы в нелинейн. мех.», Киев, 1974, 212—227.

Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, ИЛ, 1953.

Серебренников М. Г., Колебания и вибрации в элементарном изложении, Гостехиздат, 1940.'

Старжинский В. М., К теории нелинейных колебаний, издание мех.-мат. ф-та, МГУ, ч. I, 1970; ч. II, 1971; ч. III, 1972.

Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, изд. 6-е, Гостехиздат, 1953..

Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, изд. 2-е, ИЛ, 1953.

Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, изд. 2-е, перера- бот., «Наука», 1964.

Теодорчик К. Ф., Автоколебательные системы, Гостехиздат, 1948.

Тибилов Т. А., Асимптотические методы исследования колебаний подвижного состава, Труды Ростов-н/Д ин-та инж. ж. д. трансп., 1970, вып. 78.

Тимошенко С. П., а) Теория колебаний в инженерном деле, Физматгиз, 1959;

Прочность и колебания элементов конструкций (избранные работы), «Наука», 1973.

Т о н д л А., Нелинейные колебания механических систем, «Мир», 1973.

Филатов А. Н., Ш а р о в а Л. В., Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний, «Наука», 1976.

Филиппов А. П., а) Колебания механических систем, Киев, изд. «Наукова думка», 1965;

Теория колебаний и задачи динамики, Прикл. механика, изд. АН УССР, 1967, III, вып. И, 8—22.

Фомин В. Н., Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах, изд. ЛГУ, 1972.

Ф р е м к е А. В., Телеизмерения, «Высшая школа», изд. третье, 1975.

Харкевич А. А., Автоколебания, Гостехиздат, 1953.

Харламов П. В., Лекции по динамике твердого тела, изд. Новосибирск. гос. ун-та, 1965.

X а я с и Т., Вынужденные колебания в нелинейных системах, ИЛ, 1957.■

Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах, «Мир», 1966.

Цзе Ф. С., М о р з е И. Е., Хинкл Р. Т., Механические колебания, «Машиностроение», 1966.

Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, Гостехиздат, 1948.

Чезари Л., Асимптотическое поведение и устойчивость решений 1 обыкновенных дифференциальных уравнений, «Мир», 1964.

Челомей В. Н., Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций, «Аэрофлот», 1939.

Четаев Н. Г., а) Устойчивость движения, изд. 2-е, Гостехиздат, 1955;

Устойчивость движения; работы по аналитической механике, изд. АН СССР, 1962.

Якубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, «Наука», 1972.

Abraham; В., Marsden J.E., Foundations of mechanics, W. A. Benjamin, N. Y., Amsterdam, 1967.

Bickley W.G., T a 1 b о t A., An introduction to the theory of vibrating systems; Clarendon Press, Oxford, 1961.

Bishop R. E. D., J о h n s о n D. C., The mechanics of vibration, Cambridge, Univ. Press, 1960.

Bishop R. E. D., Parkinson A. G., Vibration and Balancing of flexible shafts, Appl. Meeh. Rev., 1968 21, .V 5, 439—451.

Blaquiere, A., Mecanique non lineaire. Les oscillateures a regimes quasi sinusoidaux, Gauthier—Villars, Paris, 1960.■

В о s z n a у Adam, Muszaki rezgestan, Muszaki Kiado, Budapest, 1962.

C e m p e 1 C., Okresowe drgania z uderzieniami w dyskretnych unkla- dach mechanicznych, Politechnika Poznahska, Rozprawy, Poznan, 1970, № 44.

Chen Yu., Vibrations theoretical methods, Reading, Mass., Addison Wesley Puhi., Co., Inc., 1966.

C h i s n e 1 1 R. F., Vibrating systems, Routeledge and K. Paul, London, 1960.

Church A. H., Mechanical vibrations, 2nd ed., John Willey and Sons, N. Y.— London, 1963.

Cole E. B., Theory of vibrations for engineers, 3rd ed., Macmillan, N. Y., 1957.

Cole J. D., Perturbation methods in applied methematics, Blaisdell Puhi., Comp., Waltham, Massachusets, Toronto — London, 1968.

D i n c a F., Teodosiu C., Vibralii neliniave ^i aleatove, Acad. R. S. P., Bucure^ti, 1969.

F о r b a t N., Analytische Mechanik der Schwingungen; VEB Dtsch. Verlag Wiss., Berlin, 1966 XII.

Giacaglia G. E., Perturbations methods in non-linear systems, Appl. Math. ScL, 1972, 8 VIII.

Gutman L, Industrial uses of mechanical vibrations, Bussiness Books, London, 1968.,

Haag J., Les mouvements vibratoires, t. 1, Paris Presses Universitai- res de France, 1952; t. 2, 1955.

H a 1 a n a у A., Differential equations: stability, oscillations, time lags, Academic Press, N. Y., 1966...

Hansen H. M., C h e n e a P. F., Mechanics of vibrations, J. Wiley and Sons, Champen a. Hall, N. Y.— London, 1952.

Harris С. M., C r e d e С. E. (Eds), Shock and vibration handbook, Vols I, II, III, McGraw-Hill Book Co., Inc., N. Y., 1961.

Hayashi C., Nonlinear oscillations in physical systems, New ed., McGraw—Hill Book Co., N. Y.— London, 1964.,

Hochstadt H., Differential equations, Holt, Rhinehart and Winston, N. Y., 1964.

Hort W., Technische Schwingungslehre, 2 AufL, Berlin, 1922.

H ii b n e r E., Technische Schwingungslehre in ihren Grundzugen, Springer, Berlin, 1957.

Jordan H., Greiner M., Mechanische Schwingungen, Verlag W. Girardet, Essen, 1952.

Klotter K., Technische Schwingungslehre; Bd. 1, Berlin—Gottingen— Heide.berg, 1951, Springer; Bd. 2, 1960.

Magnus K., Schwingungen, Eine Einfuhrung in die teoretische Be- handiung von Schwingungsproblemen, 2 AufL, Teubner, Stuttgart, 1969.

L a f i t a B. F., Mata H., Vibraciones mecanicas en ingeneria, Inta, Madrid, 1964.

Lefshetz S. (edit.), Contributions a la theorie des oscillations non lineaires, Vol. 2, Princeton Univ. Press, 1952.

Mathey R., Physique des vibrations mechaniques, Dunod, Paris, 1963.

M awn in J., Degre topo'ogique et solutions periodiques des systemes^dif- ferentielles non lineaires, Bull. Soc. Roy.,Liege, 1969,38, №7—8, 308—398.

M a z e t R., Mecanique vibratioire, Dunod, Paris, 1966.

M с C a 1 1 i о n H., Vibration of linear mechanical systems, Harlow, Longman, 1973.

Meirovitsch L., Analytical methods in vibrations, Macmillan, N. Y., 1967.

M e t t i er E., a) Dynamic buckling, Handbook of engineering mechanics, McGraw-Hill Book Company, 1962;

b) Stability and vibration problems of mechanical systems under harmonic excitation, Dynamic stability of structures, Oxford — New York, Pergamon Press, 1966.

M e у e r E., G u i с к i n g D., Schwingungslehre, Braunschweig, Fri- edr. Vieweg und Sohn, 1974.

Minor sk у N., a) Introductions to non-linear Mechanics, J. W. Edwards, Ann. Arbor, Michigan, 1947;■

Nonlinear oscillations, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, New Jersey—Toronto—N. Y.— London, 1962,■

Nouvelles methodes de la theorie des oscillations, Conf. Semin, mat. Univ. Bari, 1957, № 25—28,

Theorie des oscillations, Gauthier—Villars, Paris, 1967.

Morrill B., Mechanical vibrations, Ronald Press Co., N. Y., 1957.

Muczynska A., On rotor dynamics (survey), Nonlinear vibration, problems, Zagadnienia drgan nieliniowych, Warszawa, 1972 13, 35—138.

M у к 1 e s t a d N. O., Fundamentals of vibration analysis, McGraw- Hill, N. Y.— London, 1956.,

О s i e s к i J., ZiembaS., Podstawy pomiarow drgan mechanic- znych, Panstwowe wydawnictwo naukowe, Warszawa, 1968.

Poincare H., These (1879), Oeuvres, 1, Paris, 1928.

P о v у L., Contribution a l’analyse et la synthese des asservissemens echantillonnes non lineaires en regime dynamique, These doct. sci. phys. Fac. sci, Univ. Lille, 1969, 99.

P ust L., Kmity neanearni netiumene soustavy a dvoy stupnich vol- nosti, Rozpr. CSAV, Rada TV, 1959 69, № 1.

Pu s t L., T о n d 1 A., Uvod do teorie nelineSrnych a quasi-harmodic- kych kmitov mechanickych sustav, CSAV, Pratia, 1956.

R e i s s i g R., S a u s о n e G., Conti R., Qualitative Theorie nicht- linearer Differentia gleichungen, Cremonese, Roma, 1963.

R о c a r d Y., Dynamique generale des vibrations, 3-me ed., Masson et Cie, Paris, 1960._

Rosenberg R. M., Les vibrations non-aneaires de systemes a plu- sieurs degree de liberte, t. 2 (Semin, mec. et acoust. Centre rech. phys.), CNRS, Marseille, 1970.'

S a a t у Т. L., Modern nonlinear equations, McGraw-Hill, N. Y., 1967.

S a a t у T. L., Bram J., Nonlinear mathematics, McGraw-Hill, N. Y., 1964.

Sansone G., Conti R., Non-linear differential equations, Pergamon Press, N. Y., 1964.

S a n t e n G. W., Introduction to a study of mechanical vibrations, 3rd ed., Eindhoven, Centrex, 1962.

Schowdon J. C., Vibration and shock in damped mechanica systems, John Willey and Sons, N. Y., 1968.

Schmidt G., a) Resonanzlosungen nichtlinearer Schwingungsglei- chungen, Nowa Acta Leopoldina, neue Folge, Leipzig, 1972 34, № 187, b) Parametererregte Schwingungen, VEB Dtsch. Verlag. Wiss., Berlin, 1975.

Schuler M., Mechanische Schwingungen, Teil II Mehrfache Schwinger, Geest und Portig, Leipzig, 1959.

Skudrzyk E., Simple and komplex vibratory systems, University Park, Univ. Press, Ра-London, Pa State, 1968.

Sochting F., Berechnung mechanischer Schwingungen, Springer— Verlag, Wien, 1951.

S t о d о 1 a A., Dampfl-und Gasturbinen, 5 Aufl., Berlin, 1922.

Struble R. A., Nonlinear differential equations, McGraw-Hill Book Co., N. Y., 1962.

T о m s о n W. T., Mechanical vibrations, 2nded., Prentice-Hall, Inc., N. Y., 1956.°

T о n d 1 A., a) К analyze rezonancnich kmitu nelinearnich systemfl se dVema stupni volnosti, Rozpr. CAW, 1964, TV 74, № 8;

Self-excited vibrations, Nat. Res. Inst. Machine Design, Bflchovice, 1970;

Domains of attraction for nonlinear systems, Bechovice, 1970.

Timoschenko S. P., Vibrations problems in engineering, 3 ed., D. Van Nostrand, N. Y., 1955.

Urabe M., Nonlinear autonomous oscillations, Analytical theory, N. Y., Acad. Press, 12, 1967.

V i e г с к R. K., Vibration analysis, Internat. Textbook Co., Scranton, Pa, 1967.

Ziemba S., Anafiza drgan, PWN, Warszawa, 1957.

Б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

Аксенов E. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г., Д у б ош и н Г. Н., Орлов А. А., Рябов Ю. А., Некоторые сильно возмущенные задачи нелинейной механики, Сб. «Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления», «Наука», 1975, 38—42.

Аксянцев А. М., Об одном методе решения задачи нелинейных колебаний, Труды Унив. Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1966, XV, теор. мех.,вып. III, 180—190.

Акуленко Л. Д., а) О резонансных колебательных и вращательных движениях, ПММ, 1968 32, вып. 2, 306—313;

Об исследовании резонансов в нелинейных системах, ПММ, 1968 32, вып. 6, 1106—1110.-

А л д о ш к и н Ю. Г., а) О методе Крылова — Боголюбова, Вестник МГУ, серия I, 1972, № 3, 97—104;

О нормальной форме нелинейных колебаний, Вестник МГУ, серия I, 1972, № 5, 110—115.

Аппельрот Г. Г., Не вполне симметричные гироскопы, Сб. «Движение твердого тела вокруг неподвижной точки», изд. АН СССР, 1940, 61—155.

Аржаных И. С., О цепных системах теории нелинейных колебаний, Труды Межд. симпозиума по нелинейн. колебаниям, 1961, изд. АН УССР, Киев, 1963, 59—72.

Арнольд В. И., Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике, УМН, 1963 18, № 6, 91—192.

Архангельский Ю. А., а) Периодические решения квазилинейных автономных систем, обладающих первыми интегралами, ПММ, 1963 XXVII, вып. 2, 369—372;

О движении приведенного в быстрое вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ПММ, 1963 XXVII, вып. 5, 864— 877;

Об одном случае построения периодических решений квазилинейных систем, ПММ, 1964 XXVIII, вып. 5, 941—942;

О новых частных решениях задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ДАН СССР, 1964 158, № 2, 292 — 293;

Новые частные решения задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ДАН СССР, 1964 159, № 1, 36—38.

Аткинсон Ч. П., Т э с к е т т Б., Исследование нелинейно связан- ■ пых модельных решений связанных нелинейных систем при помощи метода суперпозиции, Прикл. механика, Труды Амер, о-ва ипж.-исследователей, серия Е, 1965 32, № 2, 117—124.

Бабий В. П., О вычислении периодических решений неавтономных систем методом последовательных приближений, Изв. Вузов, матем., 1972 123, № 8, 3—9.

Байнов Д. Д., а) Периодични колебания на неавтономна квазилинейна система с п степени на свобода при наличието на резонансни ча- стоти, Изв. на Матем. инет. Бълг. АН, 1966 9, 191—199;

Периодические колебания неавтономной квазилинейной системы с п степенями свободы при наличии резонансных частот, Zagadnienia drgan nielinowych, Nonlinear vibration problems, Warszawa, 1966 8, 87—92;

Метод асимптотического интегрирования уравнений движения квазилинейных неавтономных систем со многими степенями свободы. Там же, 173—177.

Байнов Д. Д., Парт и нова Н., Метод решения автономной квазилинейной системы с п степенями свободы при наличии одной групп соизмеримых частот, Zagadnienia drgan nieliniowych, Nonlinear vibration problems, Warszawa, 1966 8, 67—85.

Бахмутский В. Ф., а) О применении метода Пуанкаре для исследования неустановившихся колебаний, Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1961, № 3, 84—90;

К исследованию процессов установления колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы, Изв. АН СССР, Отд. мех. и машиностр., 1962, № 2, 110—113.

Беленький И. М. а) О достаточных условиях отсутствия периодических траекторий для консервативных систем, ПММ, 1966 30, вып. 3, 604—606;

Приложение метода присоединенных полей к нелинейным системам, ПММ, 1967 31, вып. 2, 372—376;

Циклы и квазииндексы особых точек консервативных систем, ПММ, 1967 31, вып. 5, 938—946.

О достаточных условиях отсутствия периодических траекторий для автономных систем в случае многосвязных областей, Дифф, уравнения, 1967 III, № 8, 1248—1252;

Приложение метода присоединенных полей к пространственным автономным системам, ПММ, 1968 32, вып. 1, 131—135; .

О нормальных конфигурациях консервативных систем, ПММ, 1972 36, вып. 1, 33—42.

Бибиков Ю. Н., О приводимости системы двух дифференциальных уравнений к нормальной форме, Дифф, уравнения, 1971 VII, № 10, 1899—1902.

Бибиков Ю. Н., П л и с с В. А., О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Дифф, уравнения, 1967 III, № 11, 1864—1881.

Боголюбов Н. Н., О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики. Первая летняя математическая школа, ч. I, «Паукова думка», Киев, 1964, 11—101.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Об исследовании квазипериодических режимов в нелинейных колебательных системах Colloq. internat. Centre nat. rech. sclent., 1965, № 148, 181—192.

Боголюбов H. H. (мл.), Садовников Б. И., О периодических решениях дифференциального уравнения n-го порядка с малым параметром, Труды Межд. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, Изд. АН УССР, Киев, 1963, 155—165.

Болотин В. В., Джанелидзе Г. Ю., П ано в к о Я. Г., Современные проблемы теории колебаний механических систем, Изв. Вузов, машиностроение, 1963, № 4, 5—13.

Бондарь Н. Г., Новый метод теории нелинейных колебаний, Ви]. Inst, politehn., Iasi, 1963 9, № 3—4, 25—34.

Бояджиев Г. Н., Чешанков Б. Й., а) Периодичнидвижения на еластично математично махало при резонанс, Годишник на ВТУЗ, математика, «Техника», София, 1966 II, 1, 113—121;

Периодични решения и устойчивост на една неавтономна система, Годишник на ВТУЗ, математика, «Техника», София, 1966, II, 3, 131—143.

Брюно А. Д., а) Асимптотика решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 1962 143, № 4, 763—766;

Нормальная форма дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 1964 157, № 6, 1276-1279;

Степенные асимптотики решений нелинейных систем, Изв. АН СССР, серия матем., 1965 29, № 2, 329—364;

О сходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме, ДАН СССР, 1965 165, № 5, 987—989;

О формальной устойчивости систем Гамильтона, Матем. заметки, 1967 I, вып. 3, 325—330;

О расходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме, ДАН СССР, 1967 174, № 5, 1003—1006;

Аналитическая форма дифференциальных уравнений, Матем. заметки, 1969 6, № 6, 771 — 778;

Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов, Матем. сб., новая серия, 1970, 83 (125): 2 (10), 273—312;

Нормальная форма нелинейных колебаний, Труды 5-й Междунар, конференции по нелинейным колебаниям, Киев, т. I, 1970, 112—119;

Аналитическая форма дифференциальных уравнений, Труды Моск, матем. о-ва, ч. I, 1971, т. 25, 119—262; ч. II, 1972, т. 26, 199—239;

О движении гироскопа в кардановом подвесе, Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1972, № 6, 5—18;

Локальный метод в нелинейных резонансах, Arch, math., Scripta fac. sci; nat. ujep. Brunessis, 1972, 4 VIII, 177—178;

О степенных асимптотиках решений нелинейных систем, ИПМ АН СССР, 1973, препринт № 51, 41 стр.;

О локальных инвариантах дифференциальных уравнений, Матем. заметки, 1973 14, вып. 4, 499—507;

О локальных задачах механики, ИПМ АН СССР, 1973, препринт № 96, 11 стр.;

Аналитические интегральные многообразия, ДАН СССР, 1974 216, № 2, 253—256;

Нормальная форма дифференциальных уравнений с малым параметром, Матем. заметки, 1974 16, вып. 3, 407—414;

Множества аналитичности нормализующего преобразования, 1. Основные результаты, ИПМ АН СССР, 1974, препринт № 97, 58 стр.;

Множества аналитичности нормализующего преобразования 2. Приложения и обобщения, ИПМ АН СССР, 1974, препринт № 98, 53 стр.;

Аналитические интегральные множества, ИПМ АН СССР, 1975, препринт № 86, 16 стр.;

Интегральные аналитические множества, ДАН СССР, 1975 220, № 6, 1255—1258;

Нормальная форма вещественных дифференциальных уравнений, Матем. заметки, 1975 18, вып. 2, 229—236.

Булгаков Н. Г., Колебания квазилинейных автономных систем со многими степенями свободы и неаналитической характеристикой нелинейности, ПММ, 1955 XIX, вып. 3, 265—272.

Валеев К. Г., Исследование колебаний в квазилинейной автономной системе в резонансном случае, Прикл. механика, Киев, 1969 5, вып. 4, 25—31.

Валеев К. Г., Г а н и е в Р. Ф., Исследование колебаний нелинейных систем, ПММ, 1969 33, вып. 3, 413—430.

Валеев К. Г., М и с а к В. В., а) Об устойчивости почти-периоди- ческого решения обобщенного уравнения Дюффинга, Сб. «Матем. физика», «Наукова думка», Киев, 1972, вып. 12, 9—13;

Исследование колебаний нелинейных систем. Прикл. механика, Киёв, 1973, 9, вып. 2, 53—59.

Веретенников В. Г., а) К исследованию вынужденных колебаний нелинейной системы с двумя степенями свободы, Труды Ун-та Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1966 XV, теор. мех., вып. III, 152— 165,

Об устойчивости движения в случае трех пар чисто мнимых корней, Труды Ун-та Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1966 XV, теор. мех., вып. III, 166—179,

К построению решений квазилинейных неавтономных систем в резонансных случаях, ПММ, 1969, 33, вып. 6, 1126—1134.

Витт А. А., Горелик Г. С., Колебания упругого маятника, как пример колебаний двух параметрически связанных линейных систем, ЖТФ, 1933 III, вып. 2—3.

Волк И. М., а) Некоторые обобщения метода малого параметра в теории пёриодических решений неавтономных систем, ПММ, 1947 XI, вып. 4, 433—444;

О периодических решениях неавтономных систем, зависящих от малого параметра, ПММ, 1948 XII, вып. 1, 29—38;

Об одном классе автоколебательных систем, ДАН СССР, 1956 НО, № 2, 189—192;

О периодических решениях квазилинейных дифференциальных уравнений в одном классе'случаев, Изв. Вузов, матем., 1953, № 3, 31—40;

О предельном цикле динамической системы дифференциальных уравнений в одном классе случаев, Изв. Вузов, матем., 1959, № 1, 34-44.

Ганиев Р. Ф., Определение амплитуд при колебаниях твердого тела около центра масс, Изв. АН СССР, мех. и машиностр., 1965, № 2, 163-167,

Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О., а) О нелинейных колебаниях твердого тела, несущего вращающийся ротор, Изв. АН СССР, механика и машиностроение, 1965, № 5, 31—37;

О нелинейных резонансах при пространственных колебаниях твердого тела, Изв. АН СССР, механика твердого тела, 1967, № 4, 32—39.

Горбатенко С. А., а) К вопросу о границах применимости и точности метода Ван-дер Поля в теории нелинейных колебаний автономных систем, Труды Унив. Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1964 V, теор. мех., вып. II, 45—69;

Некоторые вопросы точности асимптотических методов в теории нелинейных колебаний автономных систем, Труды Унив. Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1966 XV, теор. мех., вып. III, 82—105;

О точности асимптотических методов и метода усреднения в теории нелинейных колебаний автономных систем. Там же, 106—127;

Об ограничениях в применении метода усреднения в теории нелинейных колебаний автономных систем. Там же, 128—151.

Дасарати Б., Эквивалентные линейные и нелинейные системы высших порядков, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1972, № 2, 11—14.

Д е в я н и н Е. А., О свойствах уравнений первого приближения метода осреднения, ПММ, 1958 XXII, вып. 5, 713—719.

Джанелидзе Г. Ю., Лурье А. Н., О применении интегральных и вариационных принципов механики в задачах колебаний, ПММ, 1960 XXIV, вып. 1, 80—87.

Дородницын А. А., Асимптотическое решение уравнения Ван-дер Поля, ПММ, 1947 XI, вып. 3, 313—328.

Дроздов Ю. М., Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным (примеры), ПММ, 1955 XIX, вып. 1, 33—40.

Жаров Е. П., а) О колебаниях прядильных центрифуг, Изв. Вузов, технология легк. пром-сти, 1966, № 6, 138—142;

Вынужденные колебания центрифуг типа ЭВ-3 в резонансных зонах, Изв. Вузов, технология легк. пром-сти, 1971, № 1, 123—126.

Жуковский Н. Е., Условия конечности интегралов уравнения (Pyldx^ + ру = 0, Матем. сб., 1892 XVI, вып. 3, 582—591; Собр. соч., т. I, 1948, 246-253.

Зигель К. Л., О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия. Сб. переводов «Математика», 1961 5, № 2, 119—128.

Ишлинский А. Ю., Наближений метод дослщжения коливальних систем, Прикл. мехашка, 1956 2, № 2, 152—158.

Казакевич В. В., Приближенный метод исследования некоторых типов сильно нелинейных систем, Труды Межд. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, изд. АН УССР, Киев, 1963, 226—255.

Канторович Л. В., Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, 1948 3, № 6, 89—185..

Каток С. Б., Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжзлого твердого тела, УМН, 1972 27, № 2, 126—132.

Кац А. М., а) Бигармонические колебания диссипативной нелинейной системы, вызываемые или поддерживаемые гармонической возмущающей силой, ПММ, 1954 XVIII, вып. 4, 425—444;

Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным, ПММ, 1955 XIX, вып. 1, 13—32.

Кеворкян Дж., Прохождение через резонанс одномерного осциллятора с медленно изменяющейся частотой, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1972, № 2, 41—50.

Климов Д. М., Фименков В. А., О резонансе в существенно нелинейной гироскопической системе, Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1970, № 6, 42—54.

Ковтун Р. И., Аналитическое рассмотрение развития резонансных колебаний в нелинейных консервативных системах, Сб. «Асимптотические методы в нелинейной механике», Киев, 1974, ИЗ—131.

Колмогоров А. Н., О сохранении условно-периодического движения при малом изменении функции Гамильтона, ДАН СССР, 1954- 98, № 4, 527—530.

К о л овский М. 3., О применении метода малого параметра для определения разрывных периодических решений, Труды Межд. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, изд. АН УССР, 1963, 264— 276.

Коловский М. 3., Первозванский А. А,, О линеаризации по функции распределения в задачах теории нелинейных колебаний, Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1962, № 5, 118—128.

Кондратьев В. А., С а м о в о л В. С., О линеаризации автономных систем в окрестности особой точки типа узел, Матем. заметки, 1973 14, № 6, 833-842.

Кононенко В. О., а) О связанных изгибно-крутильных колебаниях. Поперечные колебания и критические скорости, ИзД. АН СССР, 1953, № 2, 194—237;

О нелинейных колебаниях в системах с изменяющимися параметрами,. ДАН СССР, 1955 105, № 2, 229—232;

О колебаниях в нелинейных системах со многими степенями свободы, ДАН СССР, 1955 105, № 4, 664—667;

Резонансные колебания вращающегося вала с диском, Изв. АН СССР, Отдел техн, наук, 1958, № 7, 87—90;

Собственные колебания нелинейной системы с периодически изменяющимися параметрами, Сб. «Вопр? прочности материалов и конструкций», АН СССР, 1959, 177—193;

О свойствах двух нелинейных колебательных систем, Труды 3-го совещания по основным проблемам теории машин и механизмов, Динамика машин, Машгиз, 1963, 79—92;

Некоторые автономные задачи теории нелинейных колебаний, Труды Междунар, симпозиума поЗ нелинейным колебаниям, 1961, т. 3, Изд. АН УССР, Киев, 1963, 151 — 179;

О колебаниях твердого тела около центра масс, Изв. АН СССР, мех. и машиностр., 1963, № 4, 23—30;

О некоторых современных задачах теории колебаний, Труды II Всес. съезда по теор. и прикл. механике, Обзор докладов, вып. 2, «Наука», 1965, 65—80;

Исследования нелинейных колебаний твердых тел, Sb. ref. 5. konf. Dynam. stroju, Liblice, 1968, 201—208;

Пространственные нелинейные колебания твердых тел, Прикл. механика, 1969, 5, № 2, 13—27.

Кононенко В. О., Фролов К. В., О резонансных свойствах параметрической колебательной системы, Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1962, № 3, 73—80.

К о пн ин Ю. М., Периодические колебания нелинейных неавтономных систем со многими степенями свободы, Инж. журн. (механика твердого тела), 1965 5, № 2, 217—226.

KoctIh В. В., Нормальна форма неавтономных систем, Допов1д1 АН УРСР, 1973, сер. А, № 8, 693—696.

Костин В. В., Ле Д и н ь Т х ю н, Некоторые признаки сходимости нормализующего преобразования, ДАН УССР, сер. А., 1975, № 11, 982-985.

Коуэн Б., Циклотрон и фазотрон, Сб. «Ускорители», Госатомиздат, 1962, 133—220.

К о ч и н Н. Е., О крутильных колебаниях коленчатых валов. ПММ, старая серия, 1934, 2, вып. 1, 3—28; Собр. соч. т. II, 1949, 507—535.

Кошляков В. Н., а) Об уравнениях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, Укр. матем. жури., 1973 25, № 5, 677—681,_„

О применении параметров Родрига — Гамильтона и Кэйли — Клейна к задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Укр. матем. журн., 1974 26, № 2, 179—187.

Красносельский М. А., а) О применении методов нелинейного функционального анализа в некоторых задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики, ДАН СССР, 1956 111, № 2, 283—286;

Об устойчивости периодических решений, рождающихся из состояния равновесия, ДАН СССР, 1963 150, 463—466;•

О некоторых новых методах в теории периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Труды. II Всес. съезда по теор. и прикл. механике, 1964, Обзор докладов, вып. 2, «Наука», 1965, 81—96;

Функционально-аналитические методы в теории аналитических колебаний, Труды 5-й Междунар, конференции по нелинейным колебаниям, т. I, Киев, 1970, 322-331.

К у з м а к Г. Е., К теории неавтономных квазилинейных систем со многими степенями свободы, Укр. матем. ж., 1958 10, № 2, 128—146.

К у к л е с И. С., О двух проблемах теории нелинейных колебаний, Труды Межд. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, т. 2, Изд. АН УССР, 1963, 212—219.'_

Лакшми-Бай С., О некоторых новых приемах расчета нелинейных систем, Механика, Период, сборн. перев. ин. статей, 1962, № 3, 45-54.

Леонов М. Я., а) О квазигармонических колебаниях, ПММ, 1946, X, вып. 5—6, 575—580;

Приближенный метод исследования квазигармонических колебаний, Научи, зап. Ин-та машиноведения и автоматики АН УССР, 1953 2, № 1, 5—8.

Литвин-Седой М. 3., а) О невозмущаемости сферического маятника переменной длины при движении точки опоры в центральном поле тяготения, Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1963, № 1, 33—40; б) Об уравнениях, связывающих параметры движения тела-носителя и носимых маятников. Ин-т мех. МГУ, Научн. труды, 1971, № 10, 136-147.

Лурье А. И., О неустановившихся движениях в квазилинейных автономных колебательных системах, Труды Ленингр. политехи, ин-та, № 192, Машгиз, 1958, 98—108.

Лыкова О. Б., а) Об одночастотных колебаниях в системах с медленно меняющимися параметрами, Укр. матем. ж., 1957 9, № 2, 155—162. б) До питания про одночастотш коливання системи з багатьма степенями свободи, ДАН УССР, 1957, № 3, 222—226.

Маневич Л. И., Инвариантно-групповые решения и проблема, нормальных колебаний, Гидромеханика и теория упругости, № 13, Днепропетровск, 1970, 140—146.

Маневич Л. И.,Пинский М. А., а) О нормальных колебаниях в нелинейных системах с двумя степенями свободы, Прикладная механика, 1972 8, вып. 9, 83—90;„„

Об использовании симметрии при расчете нелинейных колебаний, Изв. АН СССР, механика твердого тела, 1972, № 2, 43—46.

Маневич Л. И., Михлин Ю. В., О периодических решениях, близких к прямолинейным, нормальным формам колебаний, ПММ, 1972 36, вып. 6, 1051—1058.

Маневич Л. И., Ч еревацкий Б. П., а) О приближенном определении нормальных колебаний нелинейной системы с двумя степенями свободы, Сб. «Вопросы прочности, надежности и разрушения мех. систем», Изд. ДГУ, Днепропетровск, 1969, 26—34;.

Нормальные колебания в нелинейных консервативных системах с несимметричной характеристикой, Труды ДЛИТ, Днепропетровск, 1972, вып. 126, 56—74.

Манжерон Д. И., Метод интегральных уравнений в нелинейной механике, Труды Межд. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, изд. АН УССР, Киев, 1963 1, 347—350.

М а р к е е в А. П., Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики, изд. Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1970, 163 стр.

Марти И. С., Д и к ш а т у л у Б. Л., К р и ш н а Ж., Об асимптотическом методе Крылова—Боголюбова для нелинейных систем с сильным демпфированием, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1970, № 5 , 34—48.

Мархашов Л. М., О приведении дифференциальных уравнений к нормальной форме аналитическим преобразованием, ПММ, 1974, вып. 5, 788—790.

Мельников В. К., Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе, ДАН СССР, 1963 148, № 6, 1257—1260.

Мельников Г. И.,К теории нелинейных колебаний, Вестник ЛГУ, 1964, № 1, вып. 1, 88—98.

Миллионщиков В. М., К спектральной теории неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений, Труды Моск, матем. о-ва, 1968 18, 146—186.

Митропольский Ю. А., а) Вынужденные колебания в нелинейных системах при прохождении через резонанс, Инж. сборн., 1953 15, 89—98;.

О колебаниях в гироскопических системах при прохождении через резонанс, Укр. матем. журн., 1953 5, № 3, 333—349;

О нестационарных колебаниях в системах со многими степенями свободы, Укр. матем. журн., 1954 6, № 2, 176—189;

Про вплив пружних елемент1в з нел!н1йною характеристикою на мал! кол!вання в деяюх проскопичшх системах, Наук. зап. Кшвськ. ун-та, 1954 13, № 8, 107—114;

К вопросу о прохождении через резонанс второго рода, Укр. матем. журн., 1955 7, № 1, 121—123;

К вопросу о внутреннем резонансе в нелинейных колебательных системах, Наук. зап. Кшвськ. ун-та, 1957 16, № 2, 53—61;

Про неусталеш процесси в деяких релаксащйних коливних системах. Наук. зап. Кшвськ. ун-та, 1957 16, № 16, 93—101;

Воздействие на нелинейные колебательные системы внешних сил с переменными частотами, Bull. Inst, politehn. Ia$i, 1957 3, № 1—2, 15—24;

Основные направления в теории нелинейных колебаний и их развитие, Труды Междунар, симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, изд. АН УССР, Киев, 1963 1, 15—22;

Метод усреднения в нелинейной механике, Труды 5-й Междунар., конференции по нелинейным колебаниям, т. I, Киев, 1970, 21—39.

Митропольский Ю. А., Лопатин А. К., О преобразовании систем нелинейных дифференциальных уравнений к нормальной форме, Сб. «Матем. физика», «Наукова думка», 1973, вып. 14, 125—140.

Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б., Исследование поведения решений нелинейных уравнений в окрестности положения равновесия, Сб. «Матем. физика», «Наукова думка», Киев, 1965, 74—96.

Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., а) Условнопериодические колебания в нелинейных системах, «Матем. физика. Респ, межвед. сб.», 1972, вып. 12, 86—105.

Многочастотные колебания нелинейных систем, Zagadnienia drgan nieliniowych, Nonlinear vibration problems, PWN, Warszawa, 1973, 14, 27—38.

Михлин Ю. В., а) Применение асимптотических методов для определения нормальных колебаний в нелинейных консервативных системах, Сб. «Динамическая прочность и устойчивость элементов крупных машин», ДГУ, Днепропетровск, 1973, вып. 1, 175—180;

Резонансные режимы нелинейных систем, близких к консервативным, ПММ, 1974 38, вып. 3, 459—464.

Мозер 10., Новый метод построения решений нелинейных дифференциальных уравнений, Математика, Период, сб. перев. ин. статей, 1962

№ 4, 3—10.

Молчанов А. М., а) Разделение движений и асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, ДАН СССР, 1960 136, № 5, 1030-1033,

Устойчивость в случае нейтрального приближения, ДАН СССР, 1961 141, № 1, 24—27.

Резонансы в многочастотных колебаниях, ДАН СССР, 1966 168, № 2, 284—287.

М ы ш к и с А. Д., О точности приближенных методов анализа малых нелинейных свободных колебаний с одной степенью свободы, Сб. «Вопросы динамики и динам, прочности», Изд. АН Латв. ССР, Рига, вып. 1, 1953, 139—164.■

Нейштадт А. И., О прохождении через резонансы в двухчастотной задаче, ДАН СССР, 1975 221, № 2, 301-304.

Нустров В. С., а) О периодических решениях нелинейных авто- ■ номных систем одного вида, ПММ, 1969 33, вып. 2, 274—279;

О периодических решениях нелинейных систем, Изв. АН СССР (механика твердого тела), 1969, № 2, 56—62;

О периодических решениях систем, близких к нелинейным системам при главном резонансе, Изв. Вузов, математика, 1970, № 3 (94), 63—69;

О периодических решениях стохастических систем, близких к системам Ляпунова, Изв. Вузов, радиофизика, 1970 XIII, № 11, 1606— 1613;

Об одном случае резонанса для нелинейных систем, ПММ, 1974, 38, вып. 6, 986—990.

Осипов А. В., К вопросу о существовании преобразования в нормальную форму, Дифф, уравнения, 1973 9, № 6, 1149—1150.

П и т т е л ь Б. Г., Юзефович Г. И., Простоение областей динамической неустойчивости канонических систем с периодическими коэффициентами, Вестник ЛГУ, 1962, № 1, серия матем., мех. и астр., вып. 1, 89—101.

П л и с с В. А., О приведении аналитической системы дифференциальных уравнений к линейной форме, Дифф, уравнения, 1965 I, № 2, 153—161.

Плотникова Г. В., а) О построении периодических решений неавтономной квазилинейной системы с двумя степенями свободы, ПММ, 1960 XXIV, вып. 5, 933—У37;

О построении периодических решений неавтономной квазилинейной системы с одной степенью свободы вблизи резонанса в случае двукрат-

ных корней уравнений основных амплитуд, ПММ, 1962 XXVI, вып. 4, 749—755;

К построению периодических решений неавтономной квазилинейной системы с двумя степенями свободы, ПММ, 1963 XXVII, вып. 2, 365—369.

Плотникова Г. В., Б айн о в Д. Д., Периодические колебания механической системы с п степенями свободы при наличии резонансных частот, Rev. Roumaine Sci. Techn., Ser. Meeh.- appl., 1965 10, № 2, 371—378.

Полубаринова-Кочина П. Я., Об однозначных решениях и алгебраических интегралах задачи о вращении тяжелого твердого тела около неподвижной точки, Сб. «Движение твердого тела вокруг неподвижной точки», Изд. АН СССР, 1940, 157—186.

11 о п о в Е. П., О малом параметре в методе гармонической линеаризации, Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 2, 41—52.

П о п о в Э. А., Устойчивость движения гибких валов с учетом их боковой жесткости, Изв. вузов, технол. текст, пром-сти, Иваново, 1975, № 4, 144—147.

Попов Э. А., К в а р т и н Л. М., а) Определение потенциальной энергии быстровращающихся валов текстильных машин, Оборудование для прядильного пр-ва и пр-ва хим. волокон, ЦНИИТЭИлегпищемаш, реф. информация, Москва, 1975, № 10, 10—13;

О форме упругих линий быстровращающихся валов текстильных машин. Там же, 1975, № 11, 15—18.

Проскуряков А. П., а) К построению периодических решений автономных систем с одной степенью свободы, ПММ, 1957 XXI, вып. 4, 585—590;

Построение периодических решений автономных систем с одной степенью свободы в случае произвольных вещественных корней уравнения основных амплитуд, ПММ, 1958 XXII, вып. 4, 510—518;

Колебания квазилинейных неавтономных систем с одной степенью свободы вблизи резонанса, ПММ, 1959 XXIII, вып. 5, 851—861;

Об одном свойстве периодических решений квазилинейных автономных систем с несколькими степенями свободы, ПММ, 1960 XXIV, вып. 4, 734—737;

Периодические колебания квазилинейных автономных систем с двумя степенями свободы, ПММ, 1960 XXIV, вып. 6, 1103—1109;

Периодические решения квазилинейных автономных систем с одной степенью свободы в виде рядов по дробным степеням параметра, ПММ, 1961 XXV, вып. 5, 954—960;

К построению периодических решений квазилинейных автономных систем с несколькими степенями свободы, ПММ, 1962 XXVI, вып. 2, 358—364;

Построение периодических решений квазилинейных автономных систем с несколькими степенями свободы в особых случаях, ПММ, 1963 XXVII, вып. 6, 1128—1134;_„

Метод малого параметра Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, Труды II Всес. съезда по теор. и прикл. механике, Обзор докладов, вып. 2, «Наука», 1965, 112—124;

К построению периодических решений квазилинейных неавтономных систем с одной степенью свободы в случае кратных корней амплитудных уравнений, ПММ, 1966 30, вып. 6, 1115—1120;

О методе Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Случай вырождения системы, ПММ, 1967 31, вып. 4, 617—623;

Структура периодических решений квазилинейной автономной системы с несколькими степенями свободы в случае разных, но частично несоизмеримых частот, ПММ, 1968 32, вып. 3, 548—552;

О влиянии сил сопротивления на существование субгармонических колебаний квазилинейных систем, ПММ, 1971 35, вып. 1, 144—147;

Периодические решения квазилинейных систем с несколькими степенями свободы при произвольных частотах, ПММ, 1972 36, вып. 2, ■349—357.■

Пустыльников Л. Д., Устойчивые и осциллирующие движения в неавтономных динамических системах. Обобщение теоремы К. Л. Зигеля на неавтономный случай, Матем. сб., 1974 94, № 3, 407—429.

Розенберг Р. М., а) О формах колебаний нормального типа нелинейных систем с двумя степенями свободы, Механика, Период, сборн. перев. ин. статей, 1961, № 5, 3—15;

О свободных колебаниях нормального типа нелинейных систем общего класса с двумя степенями свободы, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1961, № 5, 17—34;

Нелинейные колебания, Механика, Период, сборн. перев. ин. статей, 1962, № 5, 3—14.

Розенберг Р. М., Аткинсон Ч. П., О типах и устойчивости собственных колебаний нелинейной системы с двумя степенями свободы, Механика, Период, сборн. перев. ин. статей, 1959 26, № 3, 377— 385.1

Розенберг Р. М., Кью Дж. К., Неоднородные колебания нелинейных систем с двумя степенями свободы, Прикл. механика, Труды Амер, о-ва, инж.-исследователей, серия Е, 1964 31, № 2, 139—147.

Рябов Ю. А., а) Обобщение одной теоремы А. М. Ляпунова, Ученые записки МГУ, 1954 VII, вып. 165, 131—150;

Оценка области сходимости периодических рядов — решений дифференциальных уравнений с малым параметром, ДАН СССР, 1958 118, № 4, 642—645;

Оценка области сходимости периодических рядов — решений дифференциальных уравнений с малым параметром. Случай отсутствия ре- ■ зонанса, Изв. вузов, математика, 1959, № 2, 202—212;

Об одном способе оценки области применимости метода малого параметра в теории нелинейных колебаний, Инж. ж., 1961 I, вып. 1, 16—28;

Об оценке области применимости метода малого параметра в задачах теории нелинейных колебаний, Инж. ж., 1961 I, вып. 3, 3—21.

Савинов Г. В., Автоколебательные системы с сильно выраженной нелинейностью, Вестник МГУ, 1953, серия I, № 6,77—83.

С а м о в о л В. С., О линеаризации системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, ДАН СССР, 1972 206, § 3, 545—548.

Смейл С., Топология и механика, УМН, 1972 27, № 2, 77—123.

Соколов В. М., О периодических колебаниях систем Ляпунова в одном случае, Труды Уральск, политехи, ин-та, 1954, Сб. 51, матем., 12—19.

Сретенский Л. Н., Движение гироскопа Горячева — Чаплыгина. - Изв. АН СССР, ОТН, 1953, № 1, 109—119.

Старжинский В.М., а)Об автоколебаниях следящего электропривода, ПММ, 1949 XIII, вып. 1, 41—50;

б) Крутильные колебания коленчатых валов ткацких станков, Научные доклады высшей школы, 1959, № 1, 51—67; № 2, 44—47;

Свободные не целиком упругие колебательные цепи, Изв/ АН СССР, мех. и машиностр., 1961, № 6, 68—73;

Свободные целиком упругие колебательные цепи, ПММ, 1962 XXVI, вып. 1, 172—181;__

Об одном методе в теории нелинейных колебаний, Bull. Inst. PIN Iasi, 1965 XI (XV), fasc, 1—2, 81—89;

Vereinigungen der Methoden von Ljapunow und Poincare in der Theo- rie der nicntlinearen Schwingungen, Труды HI Межд. конф, по нели. нейным колебаниям, Берлин (Abhandl. d. DAW, Akad. Verlag, Berlin), 1965 1, 123—129;

05 одном варианте метода определения периодических решений, Инж. ж. (механика твердого тела), 1968 4, № 6, 67—71;

Процесс срыва вертикальных колебаний пружинного маятника, Изв. АН СССР (механика твердого тела), 1971, № 2, 155—157;

Об одной из нормальных форм в нелинейных колебаниях, Вестник МГУ, 1971, серия I, № 6, 92—98;

Einige Probleme nichtlinearer Schwingungen, ZAMM, I, 1971 51, № 6, 455-469; И, 1973 53, № 8, 453—462;

О связи радиальных и вертикальных колебаний частиц в циклических ускорителях, ПММ, 1971 35, вып. 6, 1096—1100;

О нормальных формах четвертого порядка в нелинейных колебаниях, Изв. АН СССР (механика твердого тела), 1972, № 1, 5—13;

Системы Ляпунова с демпфированием, ПММ, 1972 36, вып. 2, 344-348;

К задаче о перекачке энергии, Прикл. механика, изд. АН УССР, 1972 8, № 6, 83—89;

Прикладные методы в теории нелинейных колебаний, Сб. аннот. XIII IUTAM, «Наука», 1972, 103;

О нормальных формах третьего порядка нелинейных колебаний, Вестник МГУ, 1973, серия I, № 3, 87—94;

Практический способ вычисления нормальных форм в задачах нелинейных колебаний, ПММ, 1973 37, вып. 3, 407—413;

Колебания тяжелого твердого тела с закрепленной точкой около нижнего положения равновесия в общем случае, Изв. АН СССР (механика твердого тела), 1973, № 4;

Некоторые вопросы теории нелинейных колебаний, Bull. Inst. DIN Iasi I, 1973 XIX (XXIII), ’ fasc. 1—2, 113—120; II, fasc. 3-4, 127— 134;

О некоторых методах в теории колебаний (теория и приложения) Zacadnienia drgan nieliniowych, Nonlinear vibration problems, PWN, Warszawa, 1973 14, 329—340;

О колебаниях в системах третьего порядка в случае нейтральности линейного приближения, Изв. АН СССР (механика твердого тела), 1974 5, 21—27;

Некоторые приложения нормальных форм' в нелинейных колебаниях, Изв. Матем. ин-та Бълг. АН, 1974 XV, 285—290;

Колебания в существенно нелинейных аналитических автономных системах. Сб. «Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления», «Наука», 1975, 293—300;

Вычисление нормальных форм, Сб. «Матем. физика», «Наукова думка», Киев, 1976; 20, 64—71;

Системы близкие к консервативным, Сб. «Матем. физика», «Наукова думка», Киев, 1977, 22.

Старжинский В. М., Байройтер И., Eine Methode zur Bestimmung periodischer Losungen von Ljapunowschen Systemen, ZAMM, 1965, 45, № 6, 444—446.

С т p а б л P. А., Колебания маятника при параметрическом возбуждении, Сб. перев. и обз. ин. лит., 1964, № 5 (87), 30—40.

Т о н д л ь А., О решении некоторых задач квазилинейных систем, Труды Междун. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, 1, Изд. АН УССР, Киев, 1963, 474—484.

Томас Дж., Ультрасубгармонический резонанс в системе Дюф- финга, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1972, № 2, 31—36.

Урабе М., Метод Галёркина для нелинейных периодических систем, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1966, № 3, 3—34.

Фролов К. В., Нелинейные колебания двух твердых тел на упругих опорах с параметрически возбуждаемыми упругими, связями, Sb. ref. 5. konf. Dynam. stroju, Liblice, 1968, 133—146.’

Хайнбокел Дж., С т p а б л Р. Н., Периодические решения систем дифференциальных уравнений, обладающих симметрией, Механика, Период, сб. перев. ин. статей, 1966, № 1, 3—17.

Харламов П. В., Новые методы исследования задач динамики твердого тела, Проблемы аналитической механики, теорий устойчивости и управления, «Наука», 1975, 317—325.

Ходжаев К. Ш., Резонансный и нерезонансный случаи в задаче о возбуждении механических колебаний, ПММ, 1968 32, вып. 1, 36—45.

Худайбердиев Р., Ц ит о в ич П. А., К теории переходных процессов в нелинейных системах, Изв. АН Узб. ССР, сер. техн, наук, 1972, № 2, 38—42.

Цель м.а н Ф. X., а) О «перекачке энергии» между нелинейно-связанными осцилляторами в случае резонанса третьего порядка, ПММ, 1970 34, № 5, 957—962;

Резонансы и некоторые случаи интегрируемости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, ДАН СССР, 1972 207, № 3, 560—662.■

Черноусько Ф. Л., О резонансе в существенно нелинейной системе, Жури, вычисл. матем. и матем. физ., 1963 3, № 1, 131—144.

Чешанков Б, И., а) Резонансные колебания специального двойного маятника, ПММ, 1969 33, вып. 6, 1112—1118;.

Резонансни трептения на две свързани махала, Теоретична и прилежна механика, Бълг. АН, София, 1970 I, 1, 81—91;

On the exact solution of a non-linear system,’ Докл. Болг. АН, 1970 23, 9, 1039—1042;

О субгармонических колебаниях маятника, ПММ, 1971 35, вып. 2, 343-348;

Резонансные колебания крутильного физического маятника, ПММ, 1972 36, вып. 1, 129—138.

Шиманов С. Н,, а) К теории квазигармонических колебаний, ПММ, 1952 XVI, вып. 2, 129—146;

К теории колебаний квазилинейных систем, ПММ, 1954 XVIII, вып. 2, 155—162;

Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем, ПММ, 1955 XIX, вып. 2, 225—228;

Колебания квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности, ПММ, 1957 XXI, вып. 2, 244—252;

Обобщение одного предложения Ляпунова о существовании периодических решений, ПММ, 1959 XXIII, вып. 2, 409—411.

Якубович В. А., а) Об ограниченности и устойчивости в целом решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 1958 121, № 6, 984—986;

Периодические и почти-периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями, ДАН СССР, 1966 171, № 3, 533—536.

Bader W., Ein nenes Verfahren zur Mathematischen Behandlung gewisser nichtlinearer Schwingungen, Труды Межд. симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, Изд. АН УССР, Киев, 1963 1, 73—85.

Bellin A. I., Non autonomous systems, Advances in Applied Mechanics, Academic Press, Inc., N. Y., 1953, 295—320.. ,.

Bendixson I., Sur les corbes de finies par des equations differentiel- les, Acta Mathem., 1901 24, 1—88.

Bradbury Т. C.,Brintzenhoff A., Periodic solutions of a non-linear differential equation, J. Math. Phys., 1971 12, № 7, 1269 — 1275.

Brand L., Periodic solutions of linear differential equations, Arch., Ration. Meeh, and Anal., 1968 27, № 5, 365—372.

В r a u n "b e к W., Sauter E., Schwebungen schwach gekoppelter nichtlinearer Systems, Zeitschr. fur. Phys., 1960 160, 232—246.

Cartwright M. L., a) Forced oscillations in nonlinear systems, Contr. to the theory of nonlin. oscill., Ann. of Math. Stud., Princeton Univ. Press, 1950 1, № 20, 149—241;

b) Some aspekts of the theory of nonlinear vibrations; Proc. Internat. Congr. Mathematicians, 1954, Groningen, Amsterdam, 1956 4, 71—76.

Castro A., a) Sulle oscillazioni non-lineari dei sistemi in uno о piu gradi di liberta. Rend. Seminar, mat. Univ. Padova, 1953 22, № 2, 294— 304;

b) Sopra Pequazione differenziale delle oscillazioni non-lineari; Riv. mat. Univ. Parma, 1953 4, № 1—2, 133—143.

Cooke R. H., Struble R. A., a) On the existence of periodic solutions and normal mode vibrations of nonlinear systems, Quart. Appl. Math., 1966 24, № 3, 177—193;

b) Perturbation of normal mode vibrations, Intern. Journ. of Nonl. Meeh., 1966 1, № 2, 147—155.

Den Hartog J.P., John Orr memorial lecture: Recent cases of mechanical vibration, S. Afric. Meeh. Engr., 1969 19, № 3, 53—68.

Dulac H., Solutions d’un systeme d’equations differentielles dans le voisinage des valeurs singulieres, Bull. Soc. Math, de France, 1912 40, 324-383.

D у s t h e К. B., Gudmestad О. T., On resonance anti stability of conservative systems, Journ. Math. Phys., 1975 16, № 1,56—64.

For bat N., Strenge Untersuchung einer periodischer Losung einer nichtlinearer Differentialgleichung, Abhandl. Dtsch. Akad. Wiss., Berlin, KL, Math., Phys, und Techn., 1965, № 1, 245—250.

Gilchrist A. O., The free oscillations of conservative quasilinear systems with two degrees of freedom, Internat. of Meeh. Sei., 1961 3, 286—311.

GreenbeergH. J., Yang T a - L u n, Modal subspaces and normal mode vibrations, Int. Journ. of Noul. Meeh., 1971 6, 311, 326.

Gutowski R., A method for investigating nonlinear perturbations of motion of a mechanical system and its influence on the properties of solutions of the equations of motion, Archiwum mechaniki stosowanej, Warszawa, 1972 24, № 2, 169—177.

Gutowski R., Radziszewski B., Asymptotic behaviour and properties of solutions of a system of non-linear second order ordinary differential equations describing motion of mechanical systems, Archiwum mechaniki stosowanej, Warszawa, 1970 22, № 6, 675—694.

Hale J. K. a) Periodic solutions of non-linear systems of differential equations, Riv. mat. Parma, 1954 5, № 5, 281—311;

b) Sufficient conditions for the existence of periodic solutions of systems of weakly nonlinear first and second order differential equations, J. Math. Meeh., 1958 7, 163-171.

Hale J. K., Seifert G., Bounder and almost periodic solutions of singularly perturbed equations, J*ourn. of math. anal, and appl., 1961 3, Я» 1, 18—24.

Hale J. K.,Stokes A. P., Behavior of solutions near integral manifolds, Arch, for mat. mech. and anal., 1960 6, № 2, 133—170.

Hayashi C., a) Subharmonic oscillations in nonlinear systems, Journ, Appl. Phys., N. Y., 1953 24, № 5, 521—529;

Ь) Higher harmonic oscillations in nonlinear forced systems, Colloq. internat. Centre nat. rech. scient., 1965, № 148, 267—284.

Heinbockel J. H., Struble R. A., Resonant oscillations of an extersib'e pendulum, J. of Appl. Math, and Phys. (ZAMP), 1963 14, fasc. 3, 262—269.

Heinrich W., Schmidt G., Zum Einflub noherer Naherungen bei parametererregten Schwingungen, Monatsberichte der DAW, Berlin, 1971 13, № 8, 557—561...

Hsieh D. Y., Variational methods and nonlinear forced oscillations, Journ. Math. Phys., 1975 16, № 2, 275—280.

Kinoshita H., Теория нелинейных колебаний для неконсервативных систем, Токе тэммондай хо, Tokyo Astron. Observ. Rept., 1972 15, № 4, 789-812.

363ЛМ algarini G., Studio asintotico di un sistema concernente le oscil- lazioni non lineari. Rend. 1st. Lombardo sci. e lettere. Sci. mat., fis., chim.

■ e geol., 1961, A95, № 1, 131—146.

M a n g e г о n D., C h a 1 e a t R., Theorie generale de la synchronisation et applications, Note II. Conditions de stabilite dahs la theorie generale de la synchronisation. Bui. Inst. Politechn., DIN Iasi, serie noua, 1965, II (15), № 3-4, 301-306.

Massaglia F., Sulle vibrazioni quasi armoniche di un sistema dissipative con elastita constanta a tratti, Atti Semin., mat. a fis., Univ. Modena, 1953—54 7, 167—181.

M e г с e r C. A., R e e s P. L., F a h у F. J., Energy flow between two weakly coupled oscillators subject to transient excitation. J. Sound and - Vibr., 1971 15, № 3, 373—379.

Mettler E., a) Stabilitatsfragen bei freien Schwingungen mechanischer Systeme. Ing.— Archiv, 1959 XXVIII, 213—228;

Schwingungs- und StabiUtatsprobteme bei mechanischen Systemen mit barmonischer Erregung, ZAMM, 1965 45, № 7—8, 475—484;

Stability and vibration problems of mechanical systems under harmonic exitation, Dynam. Stabil. Struct., Pergamon Press, N. Y., 1967, 169— 188;

Uber hohere Naherungen in der Theorie des elastischen Pende's mit innerer Resonanz, ZAMM, 1975 55, H. 2, 69—82.

Minorsky N., Sur les systemes non-autonomes, Colloq. internat. Centre ant rech. scient., 1965, № 148, 83—94..

Moser J., Perturbation theory for almost periodic so’utions for undam- ■ ped nonlinear differential equations, Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Mechanics, Acad. Press, N. Y., 1963, 71—79.

Muszunsk a A., Radziszewski B., Szadkowski J., Ziemba S., Some problems of the theory of vibrations, Zagadnienla, drgan nielinowych, 1972 13, 7—20..

Nixdorff K., Zur iterativen Bestimmung nichtlinearer Schwingun- gen, ZAMM, 1974 54, H. 12, 819—822.

P a k С. H., Rosenberg R. M., On the existence of normal mode vibrations in nonlinear systems, Quarterly of Appl. Math., 1968 26, № 3, 403-413.'.

Pol *B. van der, a) A theory of the amplitage of free ans forced triode vibrations, Radio Rev., 1920 1, 701, 754;

b) The nonlinear theory of electric oscillations, Proc, of the IRE, 1934 22, 1051—1086.■

Roberson R. E., On an iterative method for nonlinear vibrations, Journ. Appl. Meeh., 1953 20, № 2, 237—240..

Rosenberg R. M., a) On normal mode vibrations, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1964 60, № 3, 595-611;

On the existence of normal mode vibrations of nonlinear systems with two degrees of freedom, Quarterly of Appl. Math., 1964 22, № 3, 217—234;

On a geometrical method in nonlinear vibrations, Colloq. internat. Centre nat. rech. Scient., 1965, № 148, 69—79;

Steady-state forced vibrations, Int. Journ. of Nonl. Meeh., 1966 1, № 2, 95—108.

Rosenberg R. M., Atkinson С. P., On the natural modes and ' their stability in nonlinear two-degrees of freedom systems, Journ. of Appl. Meeh., 1959 26, 377—385.

Rosenberg R. M., Hsu C. S., On the geometrization of normal vibrations of nonlinear systems having many degrees of freedom, Труды Междунар, симпозиума по нелинейным колебаниям, 1961, Изд. АН ' УССР, Киев, 1963, 1, 380—416.

Schmidt G., W е i d е n h a m m е г F., Gedampfte erzwungene Schwingungen in rheolinearen Systemen, Math. Nachr., 1964 27, № 3/4, 215—228.

Schmidt G., a) Zur Stabilitat der Resonanzlosungen nichtlinearer Schwingungsgleichungen, Nova Acta Leopoldina, neue Folge, Leipzig, 1969 34, № 187, 61—68;

b) Dampfungseinflusse bei parameter- und zwangserregten Schwingungen, Zbornik Radova X Jugoslovenskog Kongresa Mehaniku, 1970, 489— 503.'

S ch m i d t G., Heinrich W., Uber nictlineare Parameter-resonan- zen, ZAMM, 1972 52, № 3, 167—171.

Schmitt K., Periodic solutions of nonlinear second order differential equations, Math. Zeitschr., 1967 98, 200—207.

S e d z 1 w у S., On periodic solutions of a certain third-order non-linear differential equation, Ann. Polon. Matem., 1965 17, 147—154.

S e w i n E., On the parametric excitation of pendulum-tipe vibration absorber, J. of Appl. Meeh., 1961 28, Trans. ASME, Ser. E, 1961 83, 330— 334.

S i b u у a Y., a) Nonlinear ordinary differential equations with pe- riodic"coefficients, Funcialaj Ekvacioj (Ser. Int.), 1958 1, 77—132;

b) On perturbations of periodic solutions, J. Math. Meeh.,1960 9, 771—782.

S k a 1 a k R., Y a г у m о v у c h M. I., Subharmonic oscillations of a pendulum, J. Appl. Meeh., 1960 27, 159—164.

Skowronski J.,Ziemba S., Pewne uwagina marginesie jakoscio- wej teorii drgan nieliniowych, Ach. automat, i telemech., 1963 8, № 1, 115—124.

Stoker J. J., a) Mathematical methods in nonlinear vibration theory, ' Proc. Sympos. Nonlinear Circuit Analysis, 1953 2, 28—55;

b) Non-linear vibrations of a systems with several degree of freedom, Proc. ■ 2-nd U.S. Nat. Congr. Appl. Meeh., Ann. Arbor, Mich., 1954, N. Y., 1955, 33—43.

Stokes A., On the approximation of nonlinear oscillations, J. Dif. Equat., 1972 12, № 3, 535—558.

Stoppelli F., Su un’equazione differenziale della' mechanica" dei . fili., Rend. Accad. Sc. Fiz. Mat., Napoli, 1952 4, № 9, 109—114.

Struble R. A., a) A discussion of the Diffing problem, J. Soc. Iridustr. Appl, Math., 1963 11, № 3, 659—666;

Oscillations of a pendulum under parametric excitation, Quart, of Appl. Math., 1963 XXI, № 2, 121—131;

A note on damped oscillations'in nonlinear systems, SIAM Rev., 1964

№ 3, 257—259,‘■ -

Some recent’contributions to the theory of nonlinear ordinary differential equations, Recent Adv. Eng. ScL, N. Y., 1968 3, 233—241.

Struble R. A., Fletcher J. E., General perturbational solution of the harmonically forced van der Pol equation, J. Math. Phys., 1961 2, 880—891.

Struble R. A., H a r r i s T. C., Motion of relativistic damped oscillator, J. of Math. Phys., 1964 5, № 1, 138—141.

Struble R. A., Heinbockel J. H., a) Energy transfer in a beampendulum system, J. of Appl. Meeh., 1962, 29, Trans. ASME, Ser. E, ■1962, 590—592;

b) Resonant oscillations of abeam—pendulum system, J. of Appl. Meeh., 1963 30, 181—188.

Struble R. A., Warmbrod G. K., Free resonant oscillations of a conservative two degree of-freedom system, J. of Frankl. Int., 1964, 278, № 3, 195—209.

Struble R. A., Y i о n о u 1 i s S. M., General perturbation solution of the harmonically forced Duffing equation, Arch, for Rat. Meeh, and Anal., 1962 9, 422—438.

Szemplinska-Stupnicka W., a) Postacie drgan przy rezo- nanzie nieliniowego ukladu о dwoch stopniach swobody, Archiwum Budowych maszyn, Warszawa, 1962 IX, № 1, 123—144;

Normal modes of a nonlinear two degree of freedom system and their properties, Там же, 1963 X, № 1, 35—56;

Almost-periodic vibration of certain autonomous weaklynonlinear multiple degree of freedom systems. Там же, 1965 XII, № 2, 213—227;

On the normal coordinates in an analysis of steady-state forced vibrations of a nonlinear multiple-degree of freedom system, Archiwum mecha- niki stosowanej, Warszawa, 1969 5, № 21, 603—621;

On the phenomenon on the combination type resonance in non-linear ■ two degree of freedom systems, Int. J. Non-Linear Mechanics, 1969 4, 335—359;

On the asymptotic, averaging and Ritz method in the theory of steadystate vibrations of non-linear systems with many degrees of freedom, Archiwum mechaniki stosowanej, Warszawa, 1970 2, № 22, 161— 181;'

On the averaging and W. Ritz methods in the theory of nonlinear resonances in vibrating systems with multiple degrees of freedom. Там же 1972, 24, 1, 67—88.

T a - 1 u n Yang, Symmetry properties and normal mode vibrations, Int. Journ. of Non!. Meeh., 1968 3, № 3, 367—381.

T a - 1 u n Yang, Rosenberg R. M., On forced vibrations of a particle in the plane, Int. Journ. of Nonl. Meeh., 1968 3, № 4, 47—63.

Tse F. S., M о r s e I. E., Hinkle R. T., Mechanical vibrations, Prentice-Hall, London, 1963.

Urabe M., Periodic solutions of differential systems; Galerkin’s procedure and the method of averaging, J. Diff. Equat., 1966 2, 265—280.

V i 11 a r i G., Contributi allo studio delle’esistenza di soluzioni periodi- che per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie, Ann. matem, pura ed appl., 1965 4, № 69, 171—190.

W a s о w W., Sur les problemes de perturbation singuliers dans la theo- rie des vibrations non lineaires, Pubis, scient. et techn. Ministere air, 1952, № 281, 207—222.

W u Lee M. H., Subharmonic resonance of a system having non-linear spring with variable coefficient, Proc. First U. S., Nat. Congr. Appl, Meeh., Publ, Amer, Soc, Meeh. Engrs, N, Y., 1952, 147—153.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Альтернатива вычислительная нормальных форм 109, 115, 120

Бибикова — Плисса критерий 167

Брюно теорема о бирациональном преобразовании 106

— — о преобразовании нормальных форм 102

— — о структуре нормальных форм 103

— — о сходимости и расходимости нормализующих преобразований 106

— — основная 99

Вап-дер Поля подстановка 68

— уравнение 26

Вращения перманентные 206

Главная часть решения 140

Движения маятникообразные 206 — простейшие тяжелого твердого тела 206

Демпфированные колебательные системы 122

Дифференциальные уравнения возмущенного движения 22

— — движения центрифуги 32

— — первых поправок 17

Дюффинга уравнение с линейным демпфированием 88

Задача Ишлинского 167

Инвариантные лучи 199

Колебания бетатронные 71

— гибкого вала 181

роторных систем 180

свободные следящего электропривода 137

системы с одной степенью свободы 85, 126

Колебательные системы демпфированные 122

— цепи, определение 39

— —, положения равновесия 40

— — свободные, не целиком упругие 51

— — —, целиком упругие 40

— —, устойчивость 43

Критерий Бибикова — Плисса 167

— Молчанова для систем четвертого порядка 165*

— — — — шестого порядка 200

Ляпунова подстановка 12, 14, 81

— система дифференциальных уравнений 11

— теорема 12 '

Маятник на свободной упругой подвеске 58

на упругой подвеске в направляющих 61

пружинный 48.

— — с линейным демпфированием 90, 127

Метод Пуанкаре определения периодических решений неавтономных систем 17

Механическая система с одной степенью свободы 85, 126

Молчанова критерий для систем четвертого порядка 165

— — — — шестого порядка 200

Нерезонансные члены нормальной формы 102

Нормализующее преобразование 99 108, 111

Нормальная форма 99, 108, 111

Оси координат опорные 213

— — специальные Харламова 215

Перекачка энергии маятника на упругой подвеске 77

— — при бетатронных колебаниях 74

— — пружинного маятника 70

Подстановка Ван-дер Поля 68

— Ляпунова 12, 14, 81

Полная система уравнений в вариациях по параметру Паункаре 83

Порождающее решение 17

Преобразование нормализующее 99, 108, 111

— степенное (бирациональное) 104

Приведение к диагональному виду 159

Применение метода последовательных приближений 210, 221

Пружинный маятник 48

— — с линейным демпфированием 90, 127

Прядильная центрифуга 31

Пуанкаре метод определения периодических решений неавтономных систем 17 — теорема 101

Резонансное уравнение 99, 108

Резонансные члены нормальной формы 102

Резонансы в системах четвертого порядка 161

— — — шестого порядка 194

— тяжелого твердого тела 205

Решение порождающее 17

Решения резонансного уравнения нетривиальные 162, 192

—1 — — полутривиальные 192 — — — тривиальные 161, 192

Свободные колебания следящего электропривода 137

Система, близкая к системе Ляпунова 93

— дифференциальных уравнений Ляпунова И

— Ляпунова с демпфированием 80

— ляпуновского вида 171

— типа Ляпунова 93

— уравнений в вариациях по параметру 83

Ситуация, близкая к случаю Ковалевской 208

Следящая система с телевизионным измерительным устройством 154

Следящий электропривод 136

Спектр линейной части систем третьего порядка 130

Способ практический вычисления нормальных форм 107

Структура коэффициентов диагонального вида 160

Тензор гирационный 214

— инерции 214

Теорема Брюно о бирациональном преобразовании 106

— — о преобразовании нормальных форм 102

— — о структуре нормальных форм 103

— — о сходимости и расходимости нормализующих преобразований . 106

— — основная 99

— Ляпунова 12

— об устойчивости для колебательных цепей 43

— Пуанкаре 101

Тождества основные для нормальных форм 109, 112

Уравнение Ван-дер Поля 26

— Дюффинга с линейным демпфированием 88

— резонансное 99, 108

Уравнения в вариациях для колебательных цепей 38

— — — для периодического невозмущенного движения 22

— Эйлера 201

— Эйлера-Пуассона 202

Форма нормальная 99, 108, 111

Харламова оси координат специальные 215

Центрифуга прядильная 31

Цепи колебательные 39

Эйлера уравнения 201

Эйлера-Пуассона уравнения 202

I to0 2 W0e 212

В. М. СТАРЖИНСКИЙ

ПРИКЛАДНЫЕМЕТОДЫНЕЛИНЕЙНЫХКОЛЕБАНИЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва 1977

531

С 77

УДК 534.0

Прикладные методы нелинейных колебаний. В.М.Старжинский. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977, 256 стр.

В книге излагаются методы исследования существенно нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Книга состоит из двух частей. В первой части дается сочетание метода Ляпунова, метода малого параметра Пуанкаре и метода усреднения. Вторая часть книги посвящена приложению теории нормальных форм к автономным системам третьего, четвертого и шестого порядков. Рассматриваются механические, физические и электромеханические примеры.

Книга предназначена для специалистов в области прикладной математики, студентов старших курсов и аспирантов физико-технических и физикоматематических факультетов.

20302—037G 053(02)-77 148-7620302—037G 053(02)-77 148-76Илл. 19, библ. 609.

20302—037

G 053(02)-77 148-76

20302—037

G 053(02)-77 148-76

©Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1077

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 7

Часть первая

Колебания в системах Ляпунова

Глава I. Вводная 11

Преобразование систем Ляпунова.. . . И

Общий случай (И). 1.2. Системы уравнений второго порядка (14).

О методе Пуанкаре определения периодических решений неавтономных квазилинейных систем 16

Дифференциальные уравнения порождающего решения и первых поправок (17). 2.2. Нерезонансный случай (18). 2.3. Резонансный случай (20). 2.4. Уравнения в вариациях для периодического невозмущенного движения (22). 2.5. Случай различных мультипликаторов невозмущенной системы уравнений в вариациях (23). 2.6. Случай кратных мультипликаторов (24).

Примеры (26).

Вынужденные колебания прядильных центрифуг 31

устойчивости (35).Глава II. Колебательные цепи 37§ 1. Свободные, целиком упругие колебательные цепи 37устойчивости (35).Глава II. Колебательные цепи 37§ 1. Свободные, целиком упругие колебательные цепи 37Постановка задачи и уравнения движения (31). 3.2. Определение периодического решения (33). 3.3. Исследование

устойчивости (35).

Глава II. Колебательные цепи 37

§ 1. Свободные, целиком упругие колебательные цепи 37

устойчивости (35).

Глава II. Колебательные цепи 37

§ 1. Свободные, целиком упругие колебательные цепи 37

Определение понятия колебательные цепи (37). 1.2. Определение положений равновесия (40). 1.3. Асимптотическая устойчивость в большом нижнего положения равновесия при наличии сил сопротивления (43). 1.4. Уравнения в вариациях для вертикальных колебаний системы (45). 1.5. Консервативный случай (47). 1.6. Устойчивость вертикальных колебаний пружинного маятника (47).

Свободные, не целиком упругие колебательные цепи . . . . .51

Постановка задачи (51). 2.2. Кинетическая и потенциальная энергии (53). 2.3. Пример (55). 2.4. Маятник на свободной упругой подвеске (58). 2.5. Маятник на упругой подвеске в направляющих (61).

Глава III. Применение методов малого параметра к колебаниям в системах Ляпунова .63

Процесс срыва вертикальных колебаний пружинного маятника 64 1.1. Первый этап (64). 1.2. Второй этап (65). 1.3. Третий этап (68).

О связи радиальных и вертикальных колебаний частиц в циклических ускорителях 2.1. Первый этап (71). 2.2. Второй этап (73). 2.3. Третий этап (74).

Процесс срыва вертикальных колебаний маятника на упругой подвеске в направляющих

Определение нетривиальных периодических режимов (второй этап) (75). 3.2. Исследование переходного процесса (третий этап) (76).

Периодические режимы маятника на свободной упругой подвеске

Преобразование уравнений движения (78). 4.2. Периодические решения (79).

Глава IV. Колебания в видоизмененных системах Ляпунова . . . .

Системы Ляпунова с демпфированием

1Л. Преобразование уравнений движения (80). 1.2. Полная система уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре и ее решение (82). 1.3. О колебаниях механической системы с одной степенью свободы при наличии нелинейностей разного вида (85). 1.4. Уравнение Дюффинга с линейным демпфированием (88). 1.5. Пружинный маятник с линейным демпфированием (90).

О системах типа Ляпунова . . . .

Постановка задачи (94). 2.2. Преобразование системы типа Ляпунова (95).

Часть вторая

Приложение теории нормальных формк задачам колебаний

Глава V. Краткие сведения по теории нормальных форм вещественных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений .

Первоначальные сведения

Постановка задачи (98). 1.2. Основная теорема А. Д. Брюно (99). 1.3. Теорема Пуанкаре (101).

Дополнительные сведения

Некоторые свойства нормализующих преобразований (102).

Классификация нормальных форм и возможность их интегрирования (102). 2.3. Понятие о степенных преобразованиях (104). 2.4. Теорема А. Д. Брюно о сходимости и расходимости нормализующих преобразований (106).

71757889899398981021077175788989939898102107Практический способ вычисления коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы . . . .... . . . 3.1. Основные тождества (107). 3.2. Вычислительная альтернатива (109). 3.3. Основные тождества в общем виде и их преобразование (111). 3.4. Вычислительная альтернатива в общем случае (115). 3.5. Замечание" о" переходе от симметризованных коэффициентов к обычным (117). 3.6^ Формулы для коэффициентов при четвертых степенях (117). 3.7. Случай непростых элементарных делителей матрицы линейной части (118).

71

75

78

89

89

93

98

98

102

107

71

75

78

89

89

93

98

98

102

107

Глава VI. Нормальная форма систем произвольного порядка в случае асимптотической устойчивости по линейному приближению 122

Демпфированные колебательные системы. 122

Приведение к диагональному виду (122). 1.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования (123). 1.3. Общее решение исходной системы (решение задачи Коши в общем виде) (124).

Примеры 126

Система с одной степенью свободы (126). 2.2. Колебания массы на пружине при линейном демпфировании (127).

Глава VII. Нормальные формы систем третьего порядка 130

§ 1. Случай пары чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части 130

Приведение к нормальной форме (130). 1.2. Вычисление . коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы (132). 1.3. Применение степенного преобразования (134).

Свободные колебания следящего электропривода (136).

Случай нейтральности линейного приближения 140

Нормальная форма (140). 2.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной формы (142).

Замечание о сходимости (144). 2.4. Некоторые суждения об устойчивости (144). 2.5. Интегрирование нормальной формы в квадратичном приближении (146). 2.6. Пример (149).

Нормальные формы систем третьего порядка в случае нулевого собственного значения матрицы линейной части 151

Нормальная форма и нормализующее преобразование (151).

Интегрирование нормальной формы (152). 3.3. Замечание о сходимости (153). 3.4. Свободные колебания следящей системы с телевизионным измерительным устройством (154).

в случае нейтральности линейного приближения159§ 1. Системы четвертого порядка 159в случае нейтральности линейного приближения159§ 1. Системы четвертого порядка 159Глаза VIII. Нормальные (формы систем четвертого и шестого порядка

в случае нейтральности линейного приближения159

§ 1. Системы четвертого порядка 159

в случае нейтральности линейного приближения159

§ 1. Системы четвертого порядка 159

Замечание о коэффициентах диагонального вида (159). 1.2. Приведение к нормальной форме (160). 1.3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных форм (163). 1.4. Критерий А. М. Молчанова устойчивости колебаний (165). 1.5. Критерий Ю. Н. Бибикова — В. А. Плис- са (167).

Задача А. Ю. Ишлинского 167

Преобразование уравнений движения к ляпуновскому виду (167). 2.2. Преобразование системы ляпуновского вида (170). 2.3. Определение периодических решений (172). 2.4. Преобразование уравнений движения к диагональному виду и нормальной форме (175). 2.5. Решение задачи Коши в общем виде (176). 2.6. Первоначальные суждения об устойчивости (178).

Построение функции Ляпунова (179)..

О траектории, описываемой центром поперечного сечения вала за один оборот .. .180

Постановка задачи и уравнения движения (180). 3.2. Приведение к диагональному виду (183). 3.3. Приведение к нормальной форме (187). 3.4. Решение задачи Коши в общем виде (188).

190190201201201201212225229254212225229254

190

190

201

201

201

201

212

225

229

254

212

225

229

254

Системы шестого порядка. . . .

Решения резонансного уравнения (191). 4.2. Нормальные формы (193). 4.3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных форм (195). 4.4. Об устойчивости по третьему приближению. Критерий А. М. Молчанова (198).

Глава IX. Колебания тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, около нижнего положения равновесия . . .

Случай, когда центр тяжести расположен в одной из главных плоскостей эллипсоида инерции для закрепленной точки . . .

Приведение к диагональному виду (201). 1.2. Приведение к ляпуновскому виду (204). 1.3. Резонансы (205). 1.4. Простейшие движения (205). 1.5. Преобразование уравнений диагонального вида (206). 1.6. Возможные обобщения (208). 1.7. Ситуация, близкая к случаю Ковалевской (208). 1.8. Применение метода последовательных приближений (210). 1.9. Замечания по определению положения твердого тела с закрепленной точкой (211).

Общий случай . . .

Опорная система координат (213). 2.2. Специальные оси координат (214). 2.3. Уравнения движения тяжелого твердого тела в специальных осях (216). 2.4. Приведение к ляпуновскому виду (218). 2.5. Резонансы (220). 2.6. Применение метода последовательных приближений (221).

Краткие литературные указания Литература Предметный указатель

За последние десятилетия в теории нелинейных колебаний можно заметить преимущественное развитие исследований, основывающихся на классических методах конца XIX — начала XX века. Примером тому является развитие метода малого параметра в монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина [4], Б. В. Булгакова [25], И. Г. Малкина [79а,б], развитие метода усреднения из метода Ван-дер Поля (Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольский [17, 85г], В. М. Волосов и Б.\ И. Моргунов [33]), новая теория возмущений В. И. Арнольда [218], ос'но- вывающаяся на классических методах возмущений, метод У-фун- кций Г. В. Каменкова [54], т. II, базирующийся на фундаментальных результатах Ляпунова — Четаева.

Вместе с тем в теорию нелинейных колебаний проникали и новые методы: асимптотические методы, развитые Н. Н. Боголюбовым, Н. М. Крыловым и Ю. А. Митропольским [17, 72, 19, 85в], функционально-аналитические методы, введенные М. А. Красносельским [67а,б; 273а — г] и его школой [68, 69], метод точечных преобразований, развитый А. А. Андроновым и А. А. Виттом [3,4] и Ю. И. Неймарком [94а,б], стробоскопический метод Н. Минор- ского [183а,Ь,с], осцилляционный метод Ф. Р. Гантмахера — М. Г. Крейна [36], метод определения условно-периодических движений А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда [261, 218]. Понятие новизны метода, разумеется, относительно, если вспомнить, например, что еще до Ван-дер Поля усреднение применяли Эйлер, Лагранж и Лаплас. Впрочем, это замечание для будущих исследователей.

Первая часть книги посвящена сочетанию методов Ляпунова, Пуанкаре и метода усреднения при изучении колебаний систем Ляпунова и систем, близких к ним. Представляет интерес исследование колебательных систем, описываемых аналитическими автономными дифференциальными уравнениями, не содержащими малый параметр. В консервативном случае (системы Ляпунова) известен метод Ляпунова определения периодических решений. Однако доставляемое методом Ляпунова периодическое решение

зависит только от двух произвольных постоянных. Поэтому для систем более чем с одной степенью свободы оно не может быть общим по своей природе, кроме того, известны случаи, когда метод Ляпунова отказывает. В § 1,1 развито преобразование исходной системы, намеченное Ляпуновым, при котором порядок системы понижается на две единицы и вводится параметр, равный корню квадратному из величины приведенной- энергии, а сама система становится неавтономной. Если этот параметр достаточно мал, то к преобразованной квазилинейной неавтономной системе применимы методы малого параметра.

Предложенный вариант метода оказался эффективным в ряде задач, в частности, в задаче о перекачке энергии. Первым ее этапом является установление исходного периодического режима и определение областей его неустойчивости в пространстве параметров системы на основе математической теории параметрического резонанса [796, 146]. Второй этап решения заключается в отыскании периодических режимов, возникающих при критических значениях параметров и отличных, разумеется, от исходного. Этот этап основывается на указанных выше преобразованиях и применении к преобразованной системе метода Пуанкаре определения периодических решений для неавтономных систем. Однако к преобразованной системе можно применять и другие методы малого параметра, например, метод усреднения, позволяющий провести третий этап решения — исследование переходного процесса, часто называемого перекачкой энергии. Все три этапа проиллюстрированы в гл. III на примерах пружинного маятника, маятника на упругой подвеске и бетатронных колебаний частиц в циклических ускорителях со слабой фокусировкой. Заметим, что задача о перекачке энергии основывается на общей теории колебательных цепей, развитой в гл. II.

Перейдем теперь к применению теории возмущений (§ IV, 1). Допустим, что невозмущенная нелинейная автономная система ляпуновского вида (2Л+2)-го порядка возмущена аналитическим и достаточно малым по норме демпфированием. Проводится преобразование возмущенной системы, при котором невозмущенная система может быть преобразована в квазилинейную неавтономную систему 2&-го порядка. Предполагается известным ее решение для достаточно малого по сравнению с единицей корня квадратного из начального значения приведенной энергии системы. Для цервой и последующей поправок соответствующего (т. е. с теми же начальными условиями) решения возмущенной системы составляется полная система уравнений в вариациях по параметру — последовательность неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений (2А: + 1)-го порядка с переменными коэффициентами. Полная система записана в операторном виде для ■ общего конечномерного случая ■ аналитической теории воз-

мущений. Если известен общий интеграл невозмущенной системы, то интегрирование полной системы согласно Пуанкаре сводится к квадратурам.

Последний параграф первой части посвящен колебаниям в системах типа Ляпунова. Здесь излагаются некоторые результаты В. С. Нустрова [301а,б], о содержании которых можно составить суждение по оглавлению.

Вторая часть книги также основывается на развитии одного из классических методов конца XIX — начала XX века — теории нормальных форм (Пуанкаре, Ляпунов, Г. Дюляк, К. Л. Зигель, Ю. Мозер, В. И. Арнольд, В. А. Плисс и др.).

В работах А. Д. Брюно [234а — ц] получены обобщающие результаты цо теории нормальных форм нелинейных аналитических автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Начало этому методу положил Пуанкаре [188]. На основе этой теории во второй части рассматриваются некоторые задачи колебаний, описываемые названными уравнениями.

В гл. V приводятся необходимые для читателя сведения по теории нормальных форм.

Прежде всего (гл. VI) выделяется тот класс задач, в котором нормальная форма имеет самый простой вид, доставляемый теоремой Пуанкаре, и представление решения задачи Коши в общем виде может быть осуществлено на каждом шаге приближения в эффективном виде. Сюда относятся демпфированные колебательные системы (асимптотически устойчивые по линейному приближению) с аналитическими нелинейностями общего вида. Результаты иллюстрируются примерами механических систем с одной и двумя степенями свободы. '

Затем 'исследуются системы третьего порядка с двумя чисто мнимыми и третьим отрицательным (§ VII, 1) или нулевым (§ VII, 2) собственными значениями линейной части. Параграф VII, 1 завершается исследованием колебаний в электромеханических системах «с полутора степенями свободы».

Наконец исследуются нормальные формы и резонансы, возникающие в аналитических автономных системах четвертого (§ VIII, 1) и шестого порядка (§ VIII, 4) с двумя и соответственно тремя парами различных чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части, но, вообще говоря, неконсервативных. Приводится решение задачи Коши в общем виде с учетом квадратичных членов. Для нормальных форм третьей степени обсуждаются результаты, получаемые из критериев устойчивости А. М. Молчанова и Ю. Н. Бибикова — В. А. Плисса. Предлагается построение функции Ляпунова в случае консервативных систем, как непосредственного, так и по методу Н. Г. Четаева связки интегралов, доставляемых нормальными формами третьей степени. Результаты применяются к задаче А. Ю. Ишлинского о

движении гироскопической рамы чувствительного элемента ги- рогоризонткомпаса (§ VIII, 2).

Обе части книги в первом приближении независимы.

Книга предназначена для математически образованных инженеров, научных работников в области механики и прикладной математики, студентов старших курсов и аспирантов физико-технических и физико-математических факультетов.

Эта книга возникла из лекций, читанных автором на инженерном потоке механико-математического факультета МГУ в 1956—76 годах. Благодаря товарищеской поддержке коллег по кафедре прикладной механики МГУ часть глав книги увидела свет в ротапринтном издании 1970—72 гг. [125].

Если автор чему-то может научить читателя в области теории колебаний и устойчивости, то этим он прежде всего обязан преждевременно ушедшим от нас Борису Владимировичу Булгакову и Николаю Гурьевичу Четаеву.

Целью предисловия было обрисовать книгу и ее место в самых общих чертах. Уместнее было бы название «Некоторые прикладные варианты методов нелинейных колебаний».

В книге принята нумерация формул по пунктам (подпараграфам), номер параграфа не указывается. При ссылке на формулу другого параграфа в номер формулы вносится номер параграфа, при ссылке на формулу другой главы впереди ставится номер главы, отделяемый запятой от последующих цифр. Это правило справедливо и при ссылках на параграфы и подпункты.

Автор

Часть первая