ПРЕДИСЛОВИЕ

Электроразведка — один из основных методов в общем комплексе геофизических методов разведки. Она основана на изучении особенностей распространения постоянных и переменных электромагнитных полей в земле и определении по измеренным полям электромагнитных параметров среды, несущих важную информацию о петрофизических свойствах, литологическом составе, термодинамическом и фазовом состоянии пород в земных недрах.

Исторически сложилось так, что электроразведка явилась одним из первых геофизических методов, которые начали широко применяться в СССР в конце 20-х — начале 30-х годов при поисках и разведке месторождений полезных ископаемых. За истекшие годы электроразведка прошла большой путь — от простейших методов сопротивлений на постоянном токе до сложных современных методов электромагнитных зондирований с естественными и мощными искусственными источниками поля. Изменились не только методика и техника работ, но и наши представления о моделях геоэлектрических разрезов, используемых при интерпретации. Особенно бурное развитие теория интерпретации элекгроразведоч- ных данных испытала за последнее десятилетие. Если в предшествующие годы при интерпретации применялись одномерные модели геоэлектрических разрезов (т. е. такие модели, в которых электромагнитные параметры среды являются функцией только глубины), то теперь при анализе электроразведочных данных все чаще используются двумерные и даже трехмерные геоэлектрические модели Это потребовало создания соответствующего математического аппарата интерпретации, использующего современные достижения электродинамики неоднородных проводящих сред и вычислительной математики. Большой вклад в развитие электроразведки внесли советские ученые А. Н. Тихонов, В. Р. Бурсиан, А. И. Заборов- ский, Л. М. Альпин, С. М. Шейнманн, М. Н. Бердичевский, Л. Л. Ваньян, В. И. Дмитриев, В. А. Комаров, А. П. Краев, Б. К- Матвеев, Г. В. Молочнов, Б. С. Светов, Ю. В. Якубовский и многие другие.

Интенсивное развитие теории и методики электроразведки нашло отражение в бурном росте числа журнальных публикаций и оригинальных монографий, посвященных перечисленным выше проблемам. Поэтому, несмотря на то, что геофизики располагают рядом фундаментальных учебников по электроразведке [1—31, представляется целесообразным издание учебника, отражающего с единых физико-математических позиций новейшие достижения теории и методики электрических методов разведки и ориентированного на подготовку специалистов, которые придут в научные учреждения и на производство в конце 80-х — начале 90-х годов.

Следует отметить, что области практического применения электроразведки весьма разнообразны. Электрические методы разведки используются при поисках рудных месторождений, залежей нефтями газа, при решении структурных и глубинных геоэлектри- ческих[задач, в гидрогеологии и инженерной геологии. Различие решаемых задач определяет разнообразие в методике возбуждения и регистрации поля. В связи с этим число модификаций методов электроразведки чрезвычайно велико, что делает практически невозможным описание теории и методики всех этих подходов в одном учебнике. Поэтому основное внимание в данной книге обращено на те методы, которые находят широкое применение в структурной (нефтяной) электроразведке, а также при глубинных геоэлектрических исследованиях.

В основу учебника легли конспекты лекций, читаемых автором более 15 лег студентам-геофизикам бывш. Московского института нефтехимической и газовой промышленности им. И. М. Губкина по курсу (ныне Московский институт нефти и газа — МИНГ) «Эл е ктрор азвед к а».

При написании учебника автор стремился к максимальной полноте изложения физико-математических основ современной теории методов электроразведки, полагая, что сегодняшний студент нуждается больше в фундаментальных геофизических знаниях, чем в информации о многочисленных частных способах и модифика- цияхрлектроразведки, которые непрерывно возникают в процессе развития нашей науки. Вместе с тем в учебнике нашли отражение наиболее распространенные методики наблюдения, обработки и интерпретации электроразведочных данных, включая описание основных комплексов электроразведочной аппаратуры.

Глава I

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКЕ

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Основные уравнения теории электромагнитного поля

Теория электроразведки базируется на изучении законов распространения в неоднородной проводящей земле электромагнитных полей естественного или искусственного происхождения. В основе этой теории лежат уравнения Максвелла, представляющие собой математическую формулировку основных законов электромагнетизма,

rotH=7 + oW = c;(1.1)

rotE=— dBidt;(1.2)

divB = 0;(1.3)

divD = ?.(1.4)

Здесь H и В — векторы магнитного поля; Е и D — векторы электрического поля; q — плотность электрических зарядов; / — плотность токов проводимости; с — плотность полного тока.

Плотности электрического тока / и электрических зарядов q связаны между собой уравнением непрерывности

(1.5)(1.5)div / = —dq/dt,

(1.5)

(1.5)

которое, как показано в курсах теории поля, является следствием первого и четвертого уравнений Максвелла.

Напомним физический смысл каждого из приведенных выше уравнений. Начнем с уравнения (1,2).

Выделим в пространстве произвольную гладкую поверхность S, ограниченную контуром L, и найдем поток вектора rot Е через эту поверхность (рис. 1):

rot Е ■ nds -rot Е ■ nds --25- ■ nd s = —St-25- ■ nd s = —Stд atд atВ-nds.В-nds.(1.6)(1.6)

rot Е ■ nds -

rot Е ■ nds -

-25- ■ nd s = —

St

-25- ■ nd s = —

St

д at

д at

В-nds.

В-nds.

(1.6)

(1.6)

где п — единичный вектор внешней нормали к S.

Рас. 1. Схема, поясняющая физиче- Рис, 2, Схема, поясняющая понятие' ский смысл второго уравнения Макс-токов смещения

велла

По теореме Стокса поверхностный интеграл в левой части (1.6)- можно преобразовать к криволинейному интегралу:

П rot Е• rids = fj E-tdl.(1.7Ф

s'£

Подставив (1.7) в (1.6), получим

$ Е ^dl =— С (В • nds,(1,8>

где т — единичный вектор касательной к L.

Рассмотрим характерный случай, когда поверхность S опирается на проводящий контур L (например, L—тонкий провод). Тогда, циркуляция электрического поля Е по контуру L равна электродвижущей силе (ЭДС), наводимой в этом контуре:

Ф£-т^ = ЭДС,(1.9>

L а

1)5-^ = Ф,(1.10)

s

где Ф— магнитный поток, пронизывающий контур.

Подставляя (1.9) и (1.10) в (1.8), находим, что ЭДС, наводимая в замкнутом проводящем контуре, равна (с обратным знаком) скорости изменения магнитного потока, пронизывающего' контур:

ЭДС——дФ/д/,

т. е. мы получили закон электромагнитной индукции Фарадея.

Вернемся к первому уравнению Максвелла (1.1). Вычислим поток векторного поля rot Н через поверхность 8 (см. рис. 1):

рл -»с г _ГГ 6D — [Т "* "*

\\rotW-nds = jp -nds+ j)-^ -nds = jjc-nds. (1.11) 5ss' 5

По теореме Стокса левая часть (1.11) равна циркуляции вектора Н по контуру L. Правая же часть есть поток вектора плотности полного тока через поверхность S, т. е. полный ток /полн сквозь контур L:

^Н.т41 = 1пол". (1.12)

Соотношение (1.12) представляет собой математическое выражение закона полного тока: циркуляция магнитного поля Н по любому замкнутому контуру равна полному току сквозь этот контур. Выясним, из чего складывается полный ток.

(1.13)(1.13)Согласно (1.11):

(1.13)

(1.13)

33

Первое слагаемое в (1.13) дает величину тока проводимости / сквозь контур L, а второе — величину тока смещения /ск. Токи смещения впервые были введены в электромагнетизм Максвеллом. Это понятие возникает при рассмотрении электрической цепи с конденсатором, через которую пропускают переменный ток, (рис. 2). Как известно, конденсатор — не разрыв для цепи переменного тока. Окружим цепь замкнутым контуром L и вычислим циркуляцию магнитного вектора Н но этому контуру. По закону полного тока эта величина равна потоку плотности электрического тока как через поверхность 8Х, пересекающую провод с током, так и через поверхность 32, проходящую между пластинами конденсатора:

tH-tdl = И onds= 11 c*nds. (1-14) L s,

Через поверхность пересекающую провод, течет обычный ток проводимости. В то же время через 8а этот ток не течет, однако (поскольку конденсатор не является разрывом для цепи переменного тока и согласно (1.14)) в пространстве между пластинами конденсатора как продолжение тока проводимости течет ток смещения с плотностью

Гм - dDrat.

Таким образом, плотность полного тока с складывается из плог- ности тока проводимости и тока смещения:

с=Г-нсн- (1.15)

Первое уравнение Максвелла, как видно из (1.11), показывает, что ток смещения наравне с токами проводимости возбуждает магнитное поле. Напомним, что ток проводимости—это движение зарядов, а ток смещения — скорость изменения поля D, однако оба эти процесса порождают магнитное поле.

Обнаружение токов смещения — гениальное открытие Максвелла. Эго открытие привело к созданию радиосвязи и всей современной радиотехники. Согласно (1.2) изменения магнитного поля порождают электрическое поле, а согласно (1.1) изменения последнего вновь возбуждают магнитное поле. Электрические и магнитные поля непрерывно питают, поддерживают друг друга, следовательно, они могут распространяться в пространстве достаточно далеко. На этом основаны представления об электромагнитных волнах и вся современная электродинамика.

Таким образом, из (1.1) и (1.2) следует, что вихрями магнитного поля Н являются токи проводимости и токи смещения, а вихрями электрического поля Е — изменения во времени магнитного- поля В.

Четвертое уравнение Максвелла показывает, что электрические заряды являются источниками электрического поля D, т, е.. это уравнение Представляет собой математическое выражение закона Кулона, согласно которому электрическое поле Е, создаваемое точечным электрическим зарядом в однородной изотропной: среде с диэлектрической проницаемостью в, прямо пропорционально величине этого заряда Q и обратно пропорционально квадрату расстояния до заряда г и 4ле:

зуемся теоремой Остроградского—Гаусса:

SВ

Скалярный поток вектора плотности тока через поверхность S называется силой электрического тока

/-ПГ-S.(1.18а)

s

Вместе с тем правая часть (1.17) есть изменение электрического заряда Q внутри объема V за единицу времени:

-^-^-do=—dQ/d(.(1.186)

Подставляя (1.18 а, б) в (1.17), находим

/=—dQ/dt.(1.19)

Соотношение (1.19)— математическое выражение закона сохранения электрического заряда: электрические заряды не возникают и не исчезают; если из замкнутой поверхности вытекает ток, то количество заряда внутри нее уменьшается в единицу времени на величину, равную силе вытекающего тока.

Четыре уравнения Максвелла следует дополнить уравнениями связи между векторами £, D, В, Н:

Ь = еЕ; В = рН, (1.20) где е и р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Кроме того, экспериментально установлено, что плотность электрического тока проводимости в большинстве сред (в частности в горных породах, слагающих Землю) прямо пропорциональна вектору Е;

1=аЕ, (1.21) где а — удельная электрическая проводимость (уД^ьная электропроводность) среды.

Соотношение (1.21) носит название закона Ома в д и ф - ■Ф ерепциальной форме. Величина, обратная о, называется удельным электрическим сопротивлением среды р:

р = 1/о.

Нетрудно показать, что из соотношения (1.21) следует обычный закон Ома, широко известный в электротехнике:

(1.22)(1.22)U = IR,

(1.22)

(1.22)

где U — падение напряжения на концах цилиндрического проводника; 7 — сила тока; R — сопротивление проводника,

R = pliS.(1.23)

Здесь / и S — соответственно длина и площадь поперечного сечения проводника; р — его удельное электрическое сопротивление.

В самом деле, поместим цилиндрический проводник в однородное электрическое поле Е, направленное по оси проводника, и проинтегрируем (1.21) по всему объему V проводника;

1 ] i jdv = Ш aEdv,(1.24)

" у- у

где ) и Е — длины векторов j и Е соответственно. Учитывая, что Е, а следовательно, и / постоянны внутри проводника, равенство (1.24) можно переписать:

jSl — aESl.

Произведение / на S есть сила тока 7 через проводник.-

jS = /,(1.25)

а произведение £ на / равно напряжению электрического поля £ вдоль оси проводника, т. е. падению напряжения (7 на проводнике:

Е I = U.(1.26)

Подставляя (1.26) и (1.25) в (1.24), с учетом (1.23) мы и получаем закон Ома (1.22).

Отметим, что в уравнениях (1.1) — (1.4) не учитывается способ возбуждения поля. Дело в том, что токи и заряды могут создаваться не только электромагнитными силами, но и силами, например, механического, химического и другого происхождения. Такие токи и заряды, которые создают электромагнитное поле, но сами от пего не зависят, так как поддерживаются с помощью сил неэлектромагнитного происхождения, называются сторонними.

При учете сторонних токов и зарядов уравнения Максвелла записываются в виде:

rotH=7rTT+dD;dt;(1.27а)

rot£= — dB/di-(1.276)

divB = 0;(1.27в)

divD = <? + /T,(1.27г>

где /, /” — соответственно плотности сторонних электрических токов и зарядов, связанные между собой уравнением непрерывности

div 7"= — dq"ldt.(1.28)

Следует отметить, что уравнения (1.27в) к (1.27г) являются следствием уравнений (1.27а) и (1.276) и уравнений непрерывности (1.5) и (1.28).

Наконец, необходимо подчеркнуть, что уравнения Максвелла •справедливы лишь в тех областях, где электромагнитные параметры среды 6, р, о меняются достаточно гладко, т. е. настолько гладко, что поля Е, D, В, Н можно дифференцировать. В случае наличия границ со скачкообразным изменением свойств среды уравнения Максвелла должны быть дополнены соответствующими граничными условиями.

Граничные условия для векторов электромагнитного поля

На границе между различными слоями земли параметры в, р, а могут скачкообразно изменяться. При этом согласно формулам (1.20), (1.21) неизбежно меняются скачками и некоторые векторы поля. Поэтому для решения задач электромагнитной индукции в земле необходимо помимо уравнений Максвелла знать граничные условия — условия сопряжения векторов поля в двух бесконечно близких точках, находящихся по разные стороны от границы раздела сред с различными электромагнитными параметрами.

Сформулируем граничные условия для наиболее важного в практике случая, когда гладкая поверхность S разделяет две среды (() и (i 4- 1), в каждой из которых параметры постоянны либо меняются от точки к точке достаточно медленно, так, что в малой ■окрестности любой точки на границе последнюю можно считать плоской, а параметры среды — неизменными. Обозначим через п вектор единичной нормали к поверхности 8 в данной точке. Будем полагать также, что на границе S сторонние токи и заряды отсутствуют. Тогда справедливы следующие соотношения.

Для нормальных составляющих поля.

В^-В^^-О;(1.29)

£^-^=^(1.30)

где к] — поверхностная плотность электрического заряда на границе 8, равная количеству электричества, приходящегося на единицу площади. Следовательно, нормальная составляющая магнитного поля В непрерывна при переходе через границу раздела сред, а нормальная составляющая электрического поля D терпит разрыв, равный поверхностной плотности электрического заряда.

Для касательных составляющих поля

[пх(//(‘+1)-Дт)]-Л(131)

где / — плотность поверхностного электрического тока;

.[л х (£(Ж) —Е<0)] = 0-(1.32)

Плотность поверхностного тока / отличается от нуля только на поверхности идеального проводника, следовательно, для реальных сред (1.31), (1.32) можно переписать:'

Н^— Н^=0‘(1.33)

£<т,+,) —Ет*-0,'(1.34)

где индексом т обозначена касательная к S компонента поля. Иными словами, касательные составляющие вектора магнитного поля Н непрерывны на границах реальных сред, а касательные составляющие вектора электрического поля Е непрерывны на границах любых сред.

С помощью соотношений (1.29) — (1-34) и уравнений связи (1.20), (1.21) можно получитыюлный набор граничных условий для нормальных и тангенциальных компонент векторов Е, В, D и И.

МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКЕ

Поле в области однородности среды

Рассмотрим, как упростятся уравнения Максвелла (1.1) — (1.4) для однородной изотропной среды, т. е. в предположении е =

- const, р, = const, о — const. Учитывая, что D = б£, В = р//, j = оЕ, и вынося постоянные коэффициенты с, р из-под знака дифференцирования, находим

rot Я = oE + £dE/dt;(2.1а)

rot£ = — pidH^dt;(2.16)

div# = 0;(2.1в)

div Е = 0.(2.1г)

Плотность свободных электрических зарядов q в уравнении (2.1г) равна нулю вследствие того факта (доказательство которого можно найти в курсах теории электромагнитного поля), что в однородной проводящей среде свободные заряды нигде не могут накапливаться (плотность свободных зарядов равна нулю).

Во многих задачах электроразведки бывает полезно разделить уравнения Максвелла (2.1), т. е. записать отдельные уравнения

тля электрическбго и магнитного полей. Для этого применим к обеим частям (2.16) оператор rot и затем в получившееся равенство подставим (2.1а).

rot rot Е ■ I- ре ЬгЕ!д1й -| ■ padE/dZ = 0.(2.2)

Аналогично, действуя оператором rot на (2.1а) с учетом (2.16), получаем

rot rot Н + pedWdZ2 -| ■ цсгдЯ/dZ 0.(2.3)

Ввиду векторного тождества

rot rot Е = grad div Е— ДЕ

ii четвертого уравнения Максвелла (2.1г) соотношение (2.2) можно переписать:

ДЕ- pedzE/dZ2 — podE/dZ - 0.(2.4>

Такие же преобразования с помощью третьего уравнения Максвелла (2.1 в) позволяют привести (2.3) к виду

Д£—ped=S/dZa —pod№dZ = 0.(2.5)

Уравнения (2.4) и (2.5), которым удовлетворяют векторы электрического и магнитного полей в области однородности среды, называются телеграфными уравнениями.

Уравнения монохроматического поля

При решении многих задач электроразведки рассматриваются поля» изменяющиеся во времени по гармоническому (косинусоидальному или синусоидальному) закону с определенной, хотя и произвольной, круговой частотой го. Такие поля называются монохроматическими. Заметим, что любое переменное электромагнитное поле можно представить в виде суперпозиции монохроматических полей, поскольку, как известно, любую функцию времени можно представить с помощью ряда или интеграла Фурье от ее частотных составляющих. Поэтому в целях упрощения математического анализа поля достаточно изучать поля одной частоты, т. е. монохроматические поля. Рассмотрим, например, магнитное поле Н и предположим, что каждая компонента этого поля в некотором декартовом базисе dx, dy, dz меняется по закону косинусов:

Н (t) = Hxcos (coZ—ф,) dx -\-Иу cos (roZ—фу) dy + Hz cos (roZ—ф2) dz,

(2.6)

где го — круговая частота колебаний; //„ Нй, Hz и фх, <ру, ф2 — амплитуды и фазы соответствующих компонент.

Преобразуем выражение (2.6), воспользовавшись известной формулой Эйлера

^moz-Ф) _cos^—^—isin(w(—ср),(2.7)

откуда

cos (cof-y) = Re e-W-ч».(28)

С учетом (2.8) выражение (2.6) можно записать в виде

Н (0 = Нх Re е"' ^^^ d, + Яу Re е-' ^^d, + Яг Re е“‘ ^‘"^d, =

= Re [(^х e^dx + Нд ^dy + Hz e^dj е"!в'].(2.9)

Назовем комплексным вектором магнитного поля Н выражение Я = Я, ^xdx + Ну ^dy + Нг ^zdz.

Отметим, что комплексный вектор Я не является вектором в обычном смысле, так как коэффициенты, стоящие в последнем выражении при ортах декартова базиса, комплексные числа. Тогда (2.9) записывается как

// = Re[^e^‘w']..(2.10)

Аналогично можно ввести понятие комплексных векторов магнитного поля В, электрических полей Е и D и комплексной плотности электрических зарядов ^:

В = В, e^d* + Ву e^dy + Вг е*^;

Е = ЕХ eaxdx + Еу e^dy + Ег е\;

D = Dx ^xdx + D„ ^9du -1■ Dz ^zd2;

q=q^>

где B,^,Фх(у.?)| BX(ylZ), ссх(у-г), Ях(у,г), P*(yT?), q^ 6

амплитуды и фазы соответствующих компонент векторов В, Е, D и скаляра q. При этом

В = Re (в e-i,a'), В = Re (в е-,ад<),

b = Re(oe''to'), t?=Re(^e-ia,<)-(2-11)

Подставим выражения (2.10) и (2.11) в (1.1) — (1.4) и в силу линейности операторов rot, div, dldt поменяем их местами с символом Re (символом взятия вещественной части от комплексных величин):

Re (rot Яр*'юО - Re (оДГ^) -|- Re f5 — e~£<H,

Re (rbt E e-‘to0 = - Re e4&4 ,(2.12)

\ ft J

Re (div Be~™9= 0,Re (div D e"ito#) = Re (^e-1'^).

Производя в первом и втором равенствах системы (2.12) дифференцирование по t, (d/df) е~1а/ = — itoe~tot и опуская всюду символ. Re, получаем

rot Н е~^ = аЕ e',<of — i^D e"to£,

TotEe^-itoSe-™*,(2.13)

divBe^^O,divBe-™^^-'^.

Очевидно, что система (2.12) является следствием системы (2.13), поэтому если комплексные векторы поля Н, Е, В и D удовлетворяют системе (2.13), то реальные векторы Н, В, Е и D автоматически удовлетворяют уравнениям Максвелла. Сокращая в левой и правой частях (2.13) на e_£"f и учитывая уравнения связи (1.20), окончательно записываем

(2Л4>(2Л4>rot Н — сЕ—1<йеЕ, rot Е = itoyuff,div(p//)=0, div(e£) = p.

(2Л4>

(2Л4>

В дальнейшем мы будем опускать знак над Н, Е и q и вместо- «комплексный вектор поля» говорить просто «вектор поля». Однако при этом всегда надо помнить, что если рассматриваются поля, удовлетворяющие уравнениям, содержащим комплексные величины [например, tap в (2.14)], то мы имеем дело не с реальными векторами поля, а с комплексными. Для того чтобы получить физический результат, надо умножить эти комплексные векторы на временной множитель е~^< и взять действительную часть от полученных выражений согласно формулам (2.10) — (2.11).

Переход к комплексным векторам поля удобен тем, что избавляет от дифференцирования по времени в уравнениях Максвелла и тем самым облегчает решение электродинамических задач.

В заключение укажем, что граничные условия для комплексных векторов ноля полностью совпадают с граничными условиями для реальных полей.

Основные модели электромагнитных полейj

При построении теории электрических методов разведки широко пользуются упрощенными моделями электромагнитных полей. Основные из них: волновая, квазистационарная/стационарная. Рассмотрим особенности каждой из этих моделей.

Волновая модель поля

Эта модель возникает при изучении законов распространения поля в изоляторе. Очевидно, что при ст = О телеграфные уравнения (2.4) и (2.5) записываются следующим образом:

ДЕ —ped2E/dt2=0;(2.15)

Д^—ие№/^2 = 0.(2.16)

Уравнения (2.15) и (2.16) носят название волновых уравнений. Оли описывают процесс распространения электромагнитной волны в изоляторе.

Кеаз «стационарная модель

Во многих задачах электроразведки рассматривают электромагнитные поля, которые относительно медленно меняются во времени. Для таких нолей в уравнениях (2.4) и (2.5) можно пренебречь второй производной по времени по сравнению с первой производной, тогда эти уравнения принимают вид

(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)ДЕ — р(тдЕ/^ = 0,

(2.17)

(2.17)

(2.18)

(2.18)

ЬН — улдН/д1 = 0.

Уравнения (2.17), (2.18) называются уравнениями диффузии. Таким образом, в квазистацион арной модели распространение электромагнитного поля в среде описывается уравнениями диффузии.

Фактически квазистационарная модель поля возникает, если в первом уравнении Максвелла пренебречь токами смещения (т. е. пренебречь магнитоэлектрической индукцией dDid^, сохраняя производную магнитного поля по времени (т. е. учитывая электромагнитную индукцию dBtdt) во втором уравнении Максвелла. Следовательно, уравнения квазистационарного поля будут:

(2.19а)(2.196)(2.19а)(2.196)rot Н = аЕ;

(2.19а)

(2.196)

(2.19а)

(2.196)

rot Е= —дШд1;

div£ = O;(2.19в)

d iv £ =— £ • grad a.(2.19r)

Отметим, что уравнение (2.19г) является следствием уравнения (2.19а).

Стационарная модель

Стационарным электромагнитным полем называется поле, не зависящее от времени. Его уравнения получаются из (1.1) — (1.4), если положить все производные по времени равными нулю:

rotH^hrot£ = 0,(2.20)

divB —0,div D=q.

Соответственно уравнения (2.4) и (2.5) поля в области однородности среды записываются:

Д£ = 0,(2.21а)

ДН = 0.(2.216)

Таким образом, стационарные электрические или магнитные поля в однородной среде в отсутствие сторонних токов удовлетворяют уравнениям Лапласа.

Перечисленные выше модели электромагнитных полей являются основными в электроразведке. Ниже мы более подробно изучим два наиболее распространенных класса моделей электромагнитных полей, применяемых в структурной (нефтяной) электроразведке, а также при глубинных исследованиях: стационарную и квазистационар ну ю.

СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

При построении теории методов электроразведки, использующих постоянный электрический ток, основной моделью электромагнитного поля является стационарная модель.

Уравнения стационарного электромагнитного поля (2.20) с учетом уравнений связи (1.20), (1.21) можно переписать:

rot £ = 0, div D — q, "Ь — еЕ,

rot Н = j, divS = 0,(3.1)

еб.)щ=йгйЬ Si^*1^

Сравнивая уравнения (3,1) с полной системой уравнений Максвелла (1.1) —(1.4), видим, что взаимная связь между электрическим и магнитным полями в этих уравнениях утрачена. Магнитное поле уже не влияет на электрическое, а электрическое поле создает в проводящей среде ток, возбуждающий магнитное поле. Однако если этот ток отсутствует (т. е. если проводимость среды о ~ 0), то система (3.1) распадается на две совершенно независимые группы уравнений: уравнения электростатики и уравнения магнитостатики.

Электростатическая модель поля; электростатический потенциал

В электростатике изучается поле неподвижных электрических зарядов. Раз заряды неподвижны, значит, нет токов и, следовательно, нет магнитного поля. Поэтому в электростатике существует лишь электрическое поле, удовлетворяющее уравнениям левого столбца в системе (3.1):

rot £ = 0,(ЗДа)

div 5 = ^,(3.26)

D — бЕ.(3.2в)

Как видим, электрическое поле £ является безвихревым, т. е. потенциальным во всем пространстве:

£= —gradtA(3.3)

где U'1 — электростатический потенциал.

Отметим, что алгебраический знак в формуле (3.3) может задаваться произвольно, но выбран знак минус, чтобы выполнялось условие, согласно которому вектор £ направлен от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.

Определим электростатический потенциал поля U3 по самому этому полю. Для этого соединим две точки А и В гладкой линией Lab с единичным вектором положительной касательной к ней т. Вычислим напряжение электростатического поля £ вдоль линии Ьдв.

eLab(E)= J E-dl.(3.4)

lab

Подставляя (3.3) в (3.4), находим

( E-dl =— ( grad U3-tcII =— ( dU9 dl =

lABLAB‘'AB

= — J dU'<=-.U9^A^U4By(3.5)

lab

Как видим, напряжение электростатического поля вдоль любого пути не зависит от формы этого пути, а определяется только положением начальной и конечной точек. В частности, циркуляция электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

^E-dl = 0.

L

Отметим, что согласно формуле (3.4) напряжение электрического поля Е вдоль пути ЬАВ численно равно работе внешних сил W (со знаком минус) по переносу единичного положительного электрического заряда из точки А в точку В:

WAB-- Г E-dl=U4B)-U4Ay(3.6)

lar

Эта работа совершается против сил электрического поля Е, чему соответствует отрицательный знак в (3.6).

Формулы (3.3) и (3.6) позволяют перейти от описания электростатического поля с помощью вектора Е к его описанию с помощью скалярной функции U3 и обратно. Следовательно, оба описания поля равноправны, однако оперировать со скалярной функцией проще, чем с векторной.

Заметим, что электростатический потенциал U3 в формулах (3.3) и (3.6) определяется неоднозначно, поскольку прибавление любой константы Uo к потенциалу U3 не меняет этих равенств, так как

grad (t/3 -|- Uo) = grad U3 -h grad UQ = grad U3.

Естественным способом устранения этой неопределенности является выполнение требования, чтобы потенциал бесконечно удаленной точки был равен нулю. Это условие согласуется с известным из физики фактом, что поле электрических зарядов, сосредоточенных в конечной области пространства, стремится к нулю на бесконечности.

Теперь в формуле (3.6) устремим точку А к бесконечности и воспользуемся условием U3 (со) = 0. Тогда

Woob^— j E-di=U3<By(3.7)

LooB

Таким образом, мы выяснили физический смысл потенциала. Потенциал какой-либо точки В численно равен работе, которая совершается против сил электрического поля при переносе единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку.

Поверхности, на которых потенциал U5 принимает одинаковые значения, называются эквипотенциальными поверхностями. В каждой точке эквипотенциальной поверхности

вектор Е направлен по нормали к этой поверхности. Ё самом деле, запишем уравнение эквилотенцииальлой поверхности

U3U, У. г) = const.(3.8)

Дифференцируя (3.8), получаем

dU3 = <dU3idx> dx + Widg) dy + ^dU^dz) dz = 0.(3.9)

Дифференциалы dx, dy, dz являются компонентами вектора перемещения dr, вдоль которого мы хотим определить изменение функции U:\ а поскольку dU3 = 0, этот вектор лежит, на эквипотенциальной поверхности. Кроме того, частные производные dU3!dx, dU3idy, dUVdz есть компоненты вектора градиента

grad^3=—‘Е.(3.10)

Как видим, dU3 — скалярное произведение векторов — Е и dr и согласно (3.9), (3.10) на эквипотенциальной поверхности

dU3 = -E-dr^O.

Следовательно, векторы Е и dr ортогональны.

Таким образом, совокупность кривых, ортогональных к эквипотенциальным поверхностям, образует семейство векторных линий электрического поля Е.

Подставляя (3.3) в (3.2в), находим выражение для электрического поля D через электростатический потенциал:

D=—в rgadf/3.(3-11)

Откуда, ввиду (3.2 б), следует, что U3 удовлетворяет уравнению div (Egrad U3') — еДС/3 + grad e.grad U3 ~ —q. (3.12) В случае, когда среда однородна (в = const), электростатический потенциал является решением уравнения Пуассона

^а=—д1е.(3.13)

В точках среды, свободных от зарядов, (3.13) переходит в у равнение Лапласа

Д(73 = 0.(3.14)

Основной задачей электростатики является определение скалярного потенциала U3, который удовлетворяет во всем пространстве уравнению Пуассона (3.13), стремится к нулю на бесконечности и обеспечивает' выполнение необходимых граничных условий на заданных поверхностях. Найдем эти граничные условия.

20.

Граничные условия

для электростатического потенциала

Общий вид граничных условий для векторов электромагнитного- поля был установлен в п. 1,2. Эти условия остаются справедливыми и для электростатического поля.

Пусть поверхность S — граница раздела среды (i) и среды (i 4-1), а « — единичный вектор нормали к S, направленный от Среды (О к среде (i + 1)- Тогда, согласно (1.30) и (1.34),

Е^п = Е^, D^—D^ = т),(3.15)

где т) — поверхностная плотность электрических зарядов на S;. индексами тип обозначены тангенциальные и нормальные к поверхности S проекции векторов поля.

Обозначим через d№idn и дУЧдт производные потенциала U3 в нормальном и тангенциальном направлениях. Тогда на основании (3.3) и (3.11) граничные условия (3.15) могут быть записаны с использовавием электростатического потенциала следующим образом:

/ DU3 хН+О / dU» уо/ dUa VH-1)/ аиа

: е,+1Ы=-Т)-

(3.№>

Отметим что в соответствии с (3.7) потенциальная функция должна быть непрерывной при переходе через границу S, поскольку работа по переносу точечного единичного положительного заряда из бесконечности в любые две прилегающие друг к другу точки,. расположенные на противоположных сторонах поверхности S, должна быть одинаковой

уэи-м = и»ю.(ЗЛ7у

Первое из условий (3.16), очевидно, следует из (3.17), поэтому в качестве независимых граничных условий для электростатического потенциала выбираются два независимых соотношения

U3^ = lPw;er+1 (dt/^^+^-ef ldU3/dn)w = -ц.

(3.18>

Важную роль в задачах электростатики играют проводники — области, заполненные веществом, в пределах которых электрические заряды могут свободно передвигаться, образуя ток проводимости с плотностью / — оЕ, определяемой согласно (1.21). Очевидно, что электрические заряды внутри проводника могут находиться в состоянии электростатического равновесия, т. е. быть неподвижными только тогда, когда электрическое поле внутри проводника равно нулю и в каждой точке поверхности проводника тангенциальная составляющая электрического поля также равна, нулю. Это означает, что электростатический потенциал U3 внутри

проводника постоянен, а поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Следовательно, граничные условия (3.15) на поверхности проводника можно переписать в виде

e¥+I>=0,D!,w, = n.(3.19)

а для электростатического потенциала

U3 (<+n = const, е,+1 (диЧдп^1 = — п, (3.20) если отнести индекс (i) к области, занятой проводником в состоянии электростатического равновесия.

Вычисление электростатического поля заданного распределения зарядов

Покажем, как решается уравнение Пуассона (3.13) для простейшего случая, когда заряды распределены в некоторой области V однородной изотропной среды, характеризующейся постоянной диэлектрической проницаемостью е.

Для простоты изложения предположим, что имеется точечный заряд Q, помещенный в начало координат. Тогда согласно формуле (1.16) радиальная компонента электростатического поля Ег на расстоянии г от заряда будет

Ег (7) = Q/4ner2.(3.21)

Вычислим потенциал точки В с радиусом-вектором г', воспользовавшись формулой (3.7):

U4B)=U3V'Y= - ( ЕЛ=- [ —^dr='

JJ 4 лег5

- —( d (—) —Q—.(3.22)

4ле J \ г / 4лег'

Как видим, эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда является семейство концентрических сфер. Векторные линии поля Е совпадают с лучами, выходящими из начала координат.

Нетрудно сообразить, что если точечный заряд Q находится не в начале координат, а в некоторой точке с радиусом-вектором г, то электростатический потенциал такого заряда в точке г'

(7) = Q/4JT817—7[.(3-23)

Пусть теперь точечные заряды непрерывным образом заполняют некоторую область V в пространстве. Вырежем из области V элементарный объем du и обозначим через dQ суммарный заряд этого «объема.

ОтношениеОтношение

Отношение

Отношение

(3.24).(3.24).dQ/du—q (г)

(3.24).

(3.24).

называется объемной плотностью электрического заряда, распределенного в V.

Обозначим через did3 (г') электростатический потенциал, создаваемый в точке г' зарядами, попавшими в du. Полагая, что объем du чрезвычайно мал, для вычисления dU3 (г') можно воспользоваться выражением (3.23), справедливым для потенциала точечного заряда:

dl/3 (г') — dQ/4ne ] г—г' |. (3.25)

Интегрируя (3.25) по всему объему V и учитывая (3.24), получаем выражение для электростатического потенциала объемного заряженного источника .

Формула (3,26) дает решение уравнения Пуассона (3.13).

Аналогия между полем постоянных токов и электростатическим полем

Покажем, что в области, не содержащей свободных электрических зарядов и сторонних токов, существует аналогия между полем постоянных токов и электростатическим — электростатическая аналогия.

Выпишем уравнения постоянного электрического поля, вытекающие из (3.1), и уравнение непрерывности (1.5), записанное для случая dqidt = 0:

rot Е = 0, div j = 0,/ = оЕ.(3.27)

В то же время при а = 0 уравнения электростатики (3.2) принимают вид

rotE = 0, divD = 0, D = sE.(3.28)

Легко видеть, что эти системы уравнений аналогичны при парном соответствии

У^Б, <т^е.(3.29)

Указанная аналогия позволяет применять для решения задач электростатики и распространения постоянного электрического.

тока одинаковые методы. В частности, из нее непосредственно следует, что электрическое поле постоянных токов потенциально:

Е = —grad U,(3.30)

где U — электрический потенциал, удовлетворяющий по аналогии с U3 [см. (3.14)] уравнению Лапласа

At/ = 0.(3.31)

Отметим, что по аналогии с формулой (3.7) электрический по тенциал находится по полю Е:

= — E-dl,(3.32)

дде Еоов — произвольный путь, соединяющий бесконечно удаленную точку с точкой В.

На границе раздела двух проводников с различными постоянными удельными электрическими проводимостями а( и о<+1 выполняются следующие граничные условия для электрического потенциала:

уи^ = uW. а^ ^-^i+n = Ot f-^y1.(3.33)

Эти условия получаются из (3.18) путем замены е на а (с учетом того, что, как мы отмечали, данная аналогия справедлива при от- •сутствии электрических зарядов, т. е. когда ц — 0).

В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о растекании электрического тока I, создаваемого точечным источником в однородной изотропной проводящей среде с проводимостью о = — const. Поместим начало координат в источник и окружим его сферой Sr радиусом г (рис. 3). Очевидно, что скалярный поток плотности тока / через поверхность сферы равен силе тока в источнике /:

II 1 ■ ds = \\jrds=I.(3.34)

sr sr

В силу сферической симметрии токов, создаваемых точечным источником (см. рис. 3), всюду на сфере

;г — const.

Следовательно, /, можно вынести из-под знака поверхностного интеграла

j, 11 ds — jr4nra— I.

s\

•Откуда

/,= //4лг2.(3.3

Рис. 3. Схема растекания электриче-о

ского тока точечного источника в одно-у

родной изотропной среде/

Ввиду закона Ома в дифференциальной форме (1.21) jr — аЕг, имеем

Ег = //4лог2.(3.36}

Формула (3.36) позволяет найти электрический потенциал точечного источника тока в точке В с радиусом-вектором г' (см. рис. 3). В самом деле, подставляя (3.36) в (3.32) и интегрируя по лучу L«>B. окончательно находим

U (В) = U (г'} — [ едг = _ [ (//4ллг2) dr = В4лог'. (3.37)-

Как видим, формулы (3.36) и (3.37) полностью идентичны формулам (3.21) и (3.22), если сделать подстановку Q*±. I ик^о. Следовательно, ряд соответствий между полем постоянных токов и электростатическим можно продолжить, а именно точечный заряд Q в электростатической задаче заменяется на полный ток /, вытекающий из точечного электрода. Отметим, что эта аналогия: допускает определенные обобщения.

Рассмотрим задачу, в которой ток в проводящей среде создается, электродом произвольной формы из металла, проводимость которого о0 много больше проводимости вмещающей среды о: o/on « 1. К такой задаче, например, относится большинство задач электроразведки на постоянном токе. Граничные условия для вектора D* в отсутствие поверхностных зарядов согласно (1.30) и (1.34)

D^'1 = D„\D^^iD^ = е<£+1 ’/е'0.(3.38)

В силу установленного соответствия (3.29) для тангенциальных и нормальных компонент вектора плотности тока на границе элек-

трод (i) — вмещающая среда (t + 1) выполняются граничные условия:

in=fn>Wi^ = 0/00^ i,

т. е.

А^О.(3.39)

Таким образом, нормальные составляющие плотностей тока во вмещающей среде и электроде равны между собой, а тангенциальная составляющая А па поверхности электрода практически отсутствует. Полученные граничные условия (3.39) аналогичны граничным условиям в электростатике (3.19) на границе проводник— диэлектрик при замене поверхностной плотности зарядов проводника т] на плотность тока А0’, вытекающего из электрода. Следовательно, полный заряд проводника Q = И ^ в электростатиче- ской задаче заменяется для поля постоянных токов на полный ток, вытекающий из электрода:

S

Итак, в случае одинаковой геометрии электродов (в задаче о токах) и проводников (в электростатической задаче) установлена следующая система аналогий.

Задача о растеканиитокои в проводящей средеЗадача о растеканиитокои в проводящей средеЭлектростатическая задачаЭлектростатическая задача

Задача о растеканиитокои в проводящей среде

Задача о растеканиитокои в проводящей среде

Электростатическая задача

Электростатическая задача

j (плотность тока)?ЛD(электрическое поле)

о (удельная электропроводность) Ji в (диэлектрическая проницаемость)

/ (полный ток, вытекающий из <^ (? (полный заряд проводника) электрода)

Выявленная аналогия позволяет широко использовать методы электростатики для решения задач теории постоянного электрического тока.

3-5. Магнитное поле постоянных электрических токов

Закон Био—Савара

Уравнения магнитного поля постоянных электрических токов определяются правым столбцом системы (3.1):

rot Н =7,(3.40а)

divB--0,(3.406)

В = ц/7.(3.40в)

К этим уравнениям необходимо добавить уравнение непрерывности для плотности электрического тока

div/ = 0,(3.41)

из которого следует, что распределение токов в стационарной модели всегда соленоидально. Создаваемое этими токами магнитное ноле, как видно из (3.406), также соленоидально во всем пространстве, следовательно, существует представление

В = rot Л11,(3.42)

где Л*1 — векторный магнитный потенциал.

Если среда по своим магнитным свойствам однородна и изотропна (т. е. если р — скаляр и р — const), то, подставляя (3.42) в первое из равенств (3.40), записываем

rot rot Л^ = р/.(3.43)

Из курса теории поля известно, что для однозначного определения любого векторного поля необходимо знать как его ротор, так и дивергенцию (т. е. как сто вихри, так и источники). Соотношением (3.42) мы задали вихри поля Лк, но пока никак не определили его источники. Таким образом, в общем случае векторный: потенциал А^ определяется с точностью до его дивергенции. Наложение дополнительных условий на div Ли называется калибровкой векторного потенциала. В теории постоянного магнитного поля обычно используют калибровку Кулона

div 4U = 0.

Тогда ввиду векторного тождества

rot rot F -= grad div F—AF,(3.44)

справедливого для любого векторного поля F, в том числе для. F = Ли, уравнение (3.43) принимает вид

ДЛЦ = —^.(3.45)

Последнее соотношение носит название векторного уравнения Пуассона. В области, где нет токов (в изоляторе), векторный потенциал магнитного поля удовлетворяет векторному уравнению Лапласа

ЛЛц = 0.(3.46)

Таким образом, основная задача теории постоянного магнитного поля — задача определения этого поля по заданному распределению электрических токов — сводится к решению векторного уравнения Пуассона (3.45) для магнитного потенциала и подстановке найденного векторного потенциала Л ^ в (3.42). Для решения этой задачи введем декартовый ортонормированный базис \d,, dy, d,|

и разложим векторы Ап и / по этому базису:

А*1 = Ai? -dx4- Ау<1й+ Аг<1г,

Т=1А + 1Д+1А.Т=1А + 1Д+1А.(3.47)(3.47)

Т=1А + 1Д+1А.

Т=1А + 1Д+1А.

(3.47)

(3.47)

Подставляя (3.47) в (3.45), получаем следующую систему скалярных уравнений Пуассона

(3.48)(3.48)ДАЙ=— р/а,

(3.48)

(3.48)

где а принимает значение любого из индексов х, у или г:

а = л, Ух 2.

Однако скалярные уравнения Пуассона мы уже умеем решать. В п. 3.3 была выведена формула (3.26), дающая решение уравнения Пуассона (3.13) для скалярного электростатического потенциала. Сравнивая (3.13) и (3.48), видим, что последнее получается из (3.13) путем замены У3 ->■ А^, q -^ ja и в ^- 1/р.. Производя ука- занную замену в решении (3.26), находим

А«(г') = ——J^^ ^у, а- = Х, у, z, (3.49)

4л 4 4 J ^ — г'\

где V — область, в которой текут электрические токи. Подставляя (3.49) в (3.47), окончательно получаем

V V Г — Г |

Формула (3.50) и дает решение векторного уравнения Пуассона (3.45). Воспользуемся теперь формулой (3.42) для того, чтобы найти магнитное поле токов:

В (Н - rot'А ц (?) = -£“В (Н - rot'А ц (?) = -£“(3.51)|л-Г|(3.51)|л-Г|

В (Н - rot'А ц (?) = -£“

В (Н - rot'А ц (?) = -£“

(3.51)

|л-Г|

(3.51)

|л-Г|

где штрих у оператора rot означает, что дифференцирование выполняется по переменной г'. Вместе с тем интегрирование в (3.51) ведется по переменной г, поэтому оператор rot' можно внести под знак интеграла:

VL I г ' | □VL I г ' | □(3.52)(3.52)

VL I г ' | □

VL I г ' | □

(3.52)

(3.52)

Воспользуемся теперь известным тождеством векторного анализа

rot UF = grad U X F + U rot F,(3.53)

приняв в нем

ТогдаТогда"р-Ш"р-Ши= 1/|7-?|,и= 1/|7-?|,x / (o + —44-.x / (o + —44-.(3.54)(3.54)

Тогда

Тогда

"р-Ш

"р-Ш

и= 1/|7-?|,

и= 1/|7-?|,

x / (o + —44-.

x / (o + —44-.

(3.54)

(3.54)

Но плотность токов j (/■) есть функция переменной интегрирования г, в то время как дифференцирование выполняется по переменной г', следовательно, rot'/ (г) = 0 и

= grad := grad :х7(7).х7(7).(3.55)(3.55)

= grad :

= grad :

х7(7).

х7(7).

(3.55)

(3.55)

Выполняя дифференцирование в правой части (3.55) и подставляя результат в (3.52), окончательно записываем

(3.56)(3.56)В (7) —(((_Ы2<Ж^,

(3.56)

(3.56)

4я ]7—7 Is

Формула (3.56) выражает в общем виде закон Био — С а - вара. В самом деле, предположим, что мы хотим с помощью формулы (3.56) вычислить магнитное поле Н (г ) некоторого элементарного линейного тока, текущего с постоянной плотностью /о = /от вдоль бесконечно узкого цилиндрического проводника, расположенного вдоль линии L (где г — единичный вектор касательной к L). Тогда

Н (7') == _L. С /^$ ( ^ r’1 х L d[ =(з,57)

4 l l7-7|3

_ /о Г (?— г') X dl4я ь 17-?Г *

где /0 — сила тока в цилиндрическом проводнике с поперечным сечением As, 70— j jods; dl = rdl—ориентированный элемент дуги As

Закон, выражаемый формулой (3.57), часто формулируют следующим образом: всякий элемент линейного тока [odl с о з - дает вклад dH (г') в магнитное поле:

dH (г’) = —— -^—D2£^L.(3.58)

4л 17—?|3

Именно этот результат был экспериментально получен в 1820 г.

Био и Саваром.

§4. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Квазистационарная модель поля используется, как уже отмечалось в § 2, в большинстве задач электроразведки при изучении электромагнитных полей, относительно медленно меняющихся во времени так, что вторыми производными по времени в уравнениях поля (2.4) — (2.5) можно пренебречь по сравнению с первыми производными. Уравнения электромагнитного поля в квазистационар- ном приближении имеют согласно (2.19) вид

rotH=a£;(4.1а)

rot £ = —dBidt.(4.1б>

Отметим, что уравнения (2.19в) и (2.19г) в общем случае получаются из уравнений (2.19а) и (2.196) путем взятия дивергенции от левых и правых частей этих уравнений, поэтому включать (2.19в) и (2,19г) в полную систему уравнений поля необязательно. Мы видим также, что в уравнения (4.1) не входят явным образом вектор D и параметр е, следовательно, можно сделать вывод, что квазистационар- пое электромагнитное поле не зависит от диэлектрической проницаемости среды.

В дальнейшем во многих задачах мы будем рассматривать гармонические во времени (т. е. монохроматические) поля, поэтому запишем уравнения монохроматических квазистациопарных электромагнитных полей.

Уравнения монохроматических квазистациопарных полей

Предположим, что зависимость электромагнитного поля от времени выражается экспоненциальным множителем Тогда, повторив все рассуждения, приведенные в § 2, получим следующие уравнения для комплексных векторов поля:

rot£ = a£;(4.2а)

rot £ =/сор//.(4.26)

В системе (4.2) поля Е и Н взаимосвязаны, однако для решения ряда практических задач удобнее иметь дело с уравнениями, в которые поля Е и Н входили бы порознь. Получение указанных уравнений называется разделением уравнений Максвелла. Такое разделение возможно, если в некоторой области D пространства удельная электрическая проводимость и и магнитная проницаемость р постоянны. Для разделения уравнений подействуем оператором rot на левые и правые части (4,2):

rot rot Н = a rot £,

(4.3)

rotrot£ = i»protH,

Подставив (4.2) в (4.3), запишем

rot rot Н = 1<ораЯ,

(4.4)

rot rot Е = ttopcrE.

Ввиду векторного тождества (3.44) и уравнений

div И = 0, divE = 0,(4.5)

вытекающих из (4.2), получаем

Д/7 + itoyoH = О,

(4-6)

АЕ — ito^aE — 0.

Введем обозначения

fe2=ttopo.(4.7)

Тогда уравнения (4.6) запишем:

ДЯ + № = 0,

(4-8)

ДЕ + А2Е = 0.

Уравнения (4.8) называются уравнениями Гельмгольца.

Таким образом, задача разделения уравнений Максвелла решена.

Параметр ft, определяемый соотношением

к = Д1шра = ^‘" V^H0 •(4-9)

носит название волнового числа среды. Исследуем волновое число. Для извлечения корня из I представим эту величину в экспоненциальной форме, воспользовавшись формулой Эйлера:

лД = <\/е<л211 = ± е(лМ) r = ± [cos(n/4) + isin(n/4)] = ±(l + 0/V2* Для определенности выберем то значение корня, при котором

ReA>0, ItnA>0,(4.10)

т. е.

£ = е<л 4) 1 д/шРа =0+ 0 л/^Р-^.(4.И)

Введем обозначение

(4.12)(4.12)Vti)po/2 — 2 л/Л.

(4.12)

(4.12)

Тогда

А=(1 + 02л/Х. (4.13)

Определим размерности X и к, учитывая, что со = 2л/ = 2л/Т (где /—частота колебаний в Гц; Т— период в с); и = = 1/р П/(Ом-м)], и полагая ц равной магнитной проницаемости вакуума р. = р0 = 4л-10-7 (Ом-с)/м:

(4-14)(4-14)Х^ГОрТ .

(4-14)

(4-14)

Следовательно, X измеряется в единицах длины — метрах, а к — в обратных метрах. Физический смысл величины X будет выяснен ниже.

Плоские электромагнитные волны в однородной среде

Применим изложенную выше общую теорию квазистационарного электромагнитного поля к решению одной из наиболее простых и в то же время фундаментальных для электроразведки задач — исследованию распространения плоских электромагнитных волн в однородной среде. . -'

Пусть задана однородная изотропная проводящая среда с параметрами а, р. Введем в ней декартову систему координат XYZ (ось Z направлена вертикально вниз). Пусть в этой среде распространяется квазистационарное, гармоническое во времени поле Н, Е, обладающее следующими свойствами.

Вдоль любой горизонтальной плоскости векторы Н s Е постоянны:

£ га const, Н = const при г = const.

(4.15)

2. Поле исчезает с ростом г:

Е, И^0при z-* <х>.

(4-16)

Исследуем свойства этого поля. Ввиду (4.15)

ЭЕ = _9^ = _ЭН_ = ЭН = 0

ОхдуЭхду

(4.17)

Откуда

ДН - дЧЕдг2;ЛЕ = d^Eidz1.

Следовательно, уравнения Гельмгольца (4.8) для векторов приобретают вид

И иЕ

S4U№ + к8Н=0,

(4.18а)

д2Е/дгЧ-^Е=0.

<4.186)

Уравнения (4.18) носят название одномерных уравнений Гельмгольца, Решения этих уравнений записываются в виде

Н = /7+е1кг + Н~ё~1кг,(4.19а)

Е = E+e*z + £“е~(кг,(4.196)

рассмотримрассмотримгде И*, Н~, £+, Е~ — некоторые постоянные (в общем случае комплексные) векторы, которые необходимо определить. Для этого экспоненты ей2, е-№г:

рассмотрим

рассмотрим

е№г - ехр ( —^ z ) exp Q "С2 ) ’(4'20а>

е-Аг =ехр(-^г)ехр ( —1 ^-z).(4.206)

ПосколькуПоскольку( 2л X , - • / 2л X .„

Поскольку

Поскольку

е *= cos (—— zl±tsin(-—zl— функция, ог-

по z, ясно, что ^2 -►О при г-^оо, a e-ifez не

стремится к 0 при z-*oo. Итак для того чтобы удовлетворялось условие задачи (4.16), необходимо в (4.19) положить

Н' = 0,£" = 0.

Окончательно получаем

И = Н^к\ £ = Е^^1.(4.21)

Теперь разложим векторы Н и Е по декартовому базису dx, dg, dz. Тогда векторные равенства (4.21) можно записать в виде системы скалярных. Например, для магнитного поля

Hx = Hteikz, H„ = Htetkz, H7 = Hteik\ или в компактной записи

Ял^)-^.,^(4.22а)

Аналогично

£х (у. г) ~ £му, г)е(4.226)

Из (4.22а) и (4.226), вытекаег:

дНК ;й, ^idz = ife.Hx [у, г), дЕх (у, z^dz = 1кЕх ^д, г).(4.23)

Из формул (4.23) и из уравнений Максвелла (4.5) следует, в частности, что в плоской вертикально распространяющейся волне вертикальные компоненты поля Hz, Ег равны нулю. В самом деле, ввиду (4.5) и (4.17) имеем

дНг!дг = 0, dEJdz — 0.(4-24)

33332 Закая № 1723

33

33

Подставляя (4.22) в (4.24) и учитывая, что А ^ О, получаем H^E$ = Q.

Таким образом, векторы поля в вертикально падающей плоской волне всегда лежат в горизонтальной плоскости.

Исследуем полученные формулы (4.22). Прежде всего вспомним

(СМ. § 2), что реальный физический смысл имеют поля

Ке(яе"(“9, Re(£e“‘“')-

Например, для х-компонеиты магнитного поля

Re (Н^1") = Re(tf+etee-'aZ).(4.25)

Отметим, что Н^ — комплексная величина:

(4.26)(4.26)Ht^H^,

(4.26)

(4.26)

гдеНХо = | Я|); ух = arg Н*.

Подставляя (4.26) и (4.20а) в (4.25), находим

Re \НХ охр ( — i©/)] = Re ^HXq exp ( - -~ г X ехрр '^^ехр ( — ш^)] Re ^*осхр( — -Re \НХ охр ( — i©/)] = Re ^HXq exp ( - -~ г X ехрр '^^ехр ( — ш^)] Re ^*осхр( — -+ "Т"&tЗдесь+ "Т"&tЗдесь— 2— 2•) exp (iq>J X2л X Г.-у-2) ехр2 — ©Г .К 7•) exp (iq>J X2л X Г.-у-2) ехр2 — ©Г .К 7(4.27)(4.27)2л2лЛЛ(4.28)(4.28)

Re \НХ охр ( — i©/)] = Re ^HXq exp ( - -~ г X ехрр '^^ехр ( — ш^)] Re ^*осхр( — -

Re \НХ охр ( — i©/)] = Re ^HXq exp ( - -~ г X ехрр '^^ехр ( — ш^)] Re ^*осхр( — -

+ "Т"&t

Здесь

+ "Т"&t

Здесь

— 2

— 2

•) exp (iq>J X

2л X Г.

-у-2) ехр

2 — ©Г .

К 7

•) exp (iq>J X

2л X Г.

-у-2) ехр

2 — ©Г .

К 7

(4.27)

(4.27)

2л

2л

Л

Л

(4.28)

(4.28)

амплитуда поля,

(4.29)(4.29)Ф^ + ^г — tot = Ф(г)

(4.29)

(4.29)

фаза поля.

Как видим, в каждый фиксированный момент времени функция Rc ^Hx^r"i<0<^ есть затухающая по экспоненте косинусоида с пространственным периодом Л, причем скорость затухания определяется величиной 2лД. Таким образом, чем больше X, тем медленнее затухает поле с глубиной; чем меньше Л, т. е. чем чаще колеблется косинусоида, тем быстрее она затухает. При изменении времени / вся кривая Re (Яде_‘“г) «бежит» вниз, непрерывно колеблясь по косинусоидальному закону и затухая с глубиной. Следовательно, можно говорить о волновом движении поля и о плоской электромагнитной волне. Вместе с тем необходимо все время помнить, что в квазистациопарном приближении электромагнитное поле удовлетворяет не телеграфному и не волновому уравнениям, а уравнениям диффузии (2.17), (2.18). Распространение поля в среде идет

по закону диффузии, поэтому термин «электромагнитная волна» в этом случае носит условный характер.

Дадим теперь несколько определений.

Определение 1. Фазовым фронтом электромагнитной волны называется поверхность, проходящая через точки с одинаковыми фазами колебаний.

В рассматриваемом случае согласно (4.29) уравнение фазового фронта имеет вид

ф (z) = ф, + (2л/Х) 2 — of = const.'

Откуда

z = (tot — фх + const)/.(4.30)

Как видим, в каждый фиксированный момент времени t фазовый фронт волны — это горизонтальная плоскость. Поэтому электромагнитную волну такого типа называют плоской однородной электромагнитной волной (однородной, так как Н и Е постоянны вдоль фронта волны). Если время t растет, согласно (4.30) растет и z, т. е. фазовый фронт движется сверху вниз. Таким образом, мы имеем дело с плоской электромагнитной волной, падающей сверху вниз.

Определение 2, Фазовой скоростью распространения электромагнитной волны называется скорость движения ее фазового фронта.

Для нахождения фазовой скорости электромагнитной волны продифференцируем (4.30) по времени t:

и = dz/dt = (со/2л) X = )JT,(4.31)

так как © = 2л/Т, где Т — период колебаний. Вспомним, что согласно (4.14)

Х-д/Ш’рГ.

Следовательно,

и = л/10,р/Т •(4.32)

В этом выражении р задается в Ом-м, Т — вс, тогда и получается в м/с.

Итак, скорость и тем больше, чем выше сопротивление среды р и чем меньше период колебаний Т. В пл охот доводящих породах скорость может расти неограниченно. Известно, что скорость и не может быть выше скорости света с %? 300 000 км/с. Противоречие возникает из-за того, что мы рассматриваем квазистационарную модель, т. е. пренебрегаем токами смещения. Однако для геофизи- Ч^ких приложений, когда измерения проводятся па сравнительно небольших площадях на поверхности земли, практически безразлично, превышает ли скорость электромагнитной волны в плохо- проводящих средах скорость света или равна ей, т. е. ошибка за счет выбора квазистационарпой модели поля' пренебрежимо мала. 2*

Определение 3. Расстояние, проходимое фазовым фронтом за один период, носит название длины электромагнитной волны.

Очевидно, что длина волны равна произведению скорости у на период. Учитывая формулу (4.31), получаем

uT = 2. = V^P^-(4.33)

Как видим, введенная выше постоянная К имеет смысл длины волны.

С длиной электромагнитной волны связано другое важное в теории электроразведки понятие — глубина проникновения поля в землю.

Определение 4. Глубиной проникновения электромагнитного поля в землю называется расстояние, на котором амплитуда волны а (г) уменьшается в е раз.

Глубину проникновения будем в дальнейшем обозначать символом 6С. Согласно определению

а (г)/а (г + 6е) = е.(4.34)

Подставим (4.28) в (4.34). После простых сокращений получимехр (— — 6е) = е.

Логарифмируя последнее выражение и разрешая его относительно бе, записываем

■6e-X/2n»0,159X.(4.35)

Или, учитывая (4.33),

6е д/WpT /2л ~ 0,159 V"IOW •(4 - 36)

Здесь р в Ом-м и Т в с имеют те же размерности, что и в (4.32); б, В М.

Исследуем теперь соотношение (4.36). Как видим, глубина проникновения электромагнитного поля в землю тем больше, чем выше р — сопротивление горных пород. В изоляторе бе стремится к бесконечности, т. е. поле распространяется сколь угодно далеко, практически не затухая. В хорошем проводнике бс, наоборот, стремится к нулю. Это свойство, в частности, приводит к явлению экранирования электромагнитного поля (например, радиоволн) металлическим проводником.

Отмеченную закономерность физически можно объяснить следующим образом. При распространении электромагнитного ноля в проводнике его энергия тратится на «раскачку» свободных электрических зарядов, содержащихся в проводнике. Очевидно, что энергии тратится тем больше, чем больше в среде свободных зарядов, т. е. чем лучше проводник. Вследствие этого поле в проводнике быстро растрачивает свою энергию и затухает. Описанное явление затухания электромагнитного поля в проводнике носит название скин-эффекта (от английского слова skin — кожа),

а величина 6e — толщины скин-слоя (т. е. слоя, в котором амплитуда ноля затухает в е раз).

В изоляторе нет свободных электрических зарядов, полю не на что тратить свою энергию, поэтому оно и может распространяться, практически не затухая, сколь угодно далеко.

' Следующее важное следствие, вытекающее из формулы (4.36), заключается в том, что глубина проникновения поля зависит также от периода его колебаний Т (или, что одно и то же, от частоты го). Чем больше период колебаний, т. е. чем меньше частота, тем глубже проникает поле в проводящую землю. Наоборот, чем короче период колебаний, т. е. чем больше их частота, тем быстрее поле затухает с глубиной. Отмеченное свойство переменного электромагнитного поля открывает перед геофизиками возможность управлять глубиной его проникновения в землю, меняя частоту го гармонических колебаний. Эта особенность поля находит важное применение н электроразведке, в так называемых методах частотных электромагнитных зондирований.

Электродинамические потенциалы

Другой способ упрощения системы уравнений (4.2) в однородной н изотропной среде основан на введении электродинамических потенциалов. Ввиду (4.5) магнитное поле Н соленоидально и его можно представить как

Я = rot 4,(4.37)

где вспомогательное поле 4 носит название векторного электродинамического потенциала.

Подставим (4.37) в (4.26):

rot Е — Iгор rot 4:rot (с — irop4) = 0.

Выражение в скобках, ротор которого равен нулю, как известно, можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции Я, которую называют скалярным э л е к т р о д и нами чес к им потенциалем:

Е—гырД = —grad U, -откуда

Е = t го р4 — grad U.(4.38)

Запишем теперь первое уравнение Максвелла (4.2а) с помощью электродинамических потенциалов:

rot rot 4 = tropcr4 — <r grad U

«ли с учетом тождества (3.44) и обозначений (4.7):

(4.39)(4.39)ДД + к24 = grad (div 4 4~ая).

(4.39)

(4.39)

Отметим, что соотношением (4.37) мы определили лишь ротор векторного потенциала, в то время как величина его дивергенция пока осталась произвольной. Потребуем теперь, чтобы

div А = — оУ. (4.40) Это дополнительное условие носит название калибровки Лоренца. Тогда (4.39) превращается в уравнение Гельмгольца:

дЛ + АМ = 0. (4.41)

Подставляя (4.38) в (4.5), записываем аналогичное уравнение для скалярного потенциала

ДЕ-рАаЕ = 0. (4.42)

Таким образом, мы свели задачу с шестью неизвестными (шестьк> скалярными компонентами векторов Е и Л) к решению задачи с четырьмя неизвестными (тремя скалярными компонентами векторного потенциала А и скалярным потенциалом Ь‘У Такая редукция уравнений позволяет в ряде случаев, как мы увидим ниже, упростить решение задач электроразведки.

Квазистацнонарное поле дипольного источника в однородной среде

Проиллюстрируем эффективность введения электродинамических, потенциалов на примере решения задачи о поле дипольного источника, питаемого переменным электрическим током, в однородной изотропной среде. Предположим, что диполь длины dl помещен; в начало декартовой системы координат и направлен по произволь

ному единичному вектору d (рис.ному единичному вектору d (рис.Рис. 4. Сферическая электромагнитная волнаРис. 4. Сферическая электромагнитная волна. Диполь питается переменным, гармоническим во времени электрическим током / — lyO-4®1^,. где /0 — const — амплитуда тока в диполе. Параметры среды; о, р постоянны и известны. Необходимо найти электромагнитное поле Е, К дипольного, источника в любой точке пространства.

ному единичному вектору d (рис.

ному единичному вектору d (рис.

Рис. 4. Сферическая электромагнитная волна

Рис. 4. Сферическая электромагнитная волна

Первоначально рассмотрим, частный случай, когда частота тока в диполе о = 0. Тогда по- закону Био—Савара (3.58) магнитное иоле диполя, питаемого постоянным током, в точке- с радиусом-вектором г

Н° (7) [р х г] 14кг8, (4.43)

где р — момент тока в диполе,

р = pd= l^dl-d.(4.44)

Нетрудно убедиться, что вектор-потенциал Л° постоянного магнитного поля Н° можно задать в виде

Д°=р/4лг.(4.45)

В самом деле, вычислим rot от Д0, воспользовавшись правилами дифференцирования произведения скалярной f (г) [и векторной Т (г) функций:

rot[/ (г) ?(r )] = [grad/(r ) х f(r)] + /( r)rot f(t). (4.46)

Тогда

rotrot— grad — xp =

4л \ г у 4л г

= [px г]/4лг3 — H°(r ),что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к общему случаю со 7^ 0. Ввиду результатов н. 4.3 1(4.37), (4.38) и (4.40)] электромагнитное поле диполя, питаемого переменным током, может быть выражено через вектор- потенциал А:

H = ralA‘,Е = 1ырЛ + (1/сг) grad div А, (4.47)

где А удовлетворяет уравнению Гельмгольца (4.41).

Запишем это уравнение в сферической системе координат (г, Ч> 0) с центром, расположенным в начале декартовой системы (см. рис. 4):

-г Sin 9—— +

г2 Рг \ 6г 7 г2 sin 9 69 \69 /

1 !-^.6_ + ^=0ф(4.48)

г2 sin2 96V2

Очевидно, что мы должны найти такое решение уравнения (4.48), которое обращалось бы в нуль на бесконечности (так как источник поля электрический диполь находится в начале координат) и совпадало бы с А” при со — 0. Заметим, что потенциал постоянного Диполя Лп согласно (4.45) обладает сферической симметрией, поэтому будем искать решение (4.48) в классе сферически-симметрич-

них функций. Тогда производные по долготе 9 и широте <р в (4.48) пропадают, и мы получаем

— — (г2 — ) + кгА - 0.(4.49)

г» дг \ дг )' '

Левую часть (4.49) можно преобразовать:

jTjд_Гг1 d4 М = J_[2 J± + r d2^ 1 =J

r I r dr k dr /J r L dr dr2 J r dr2 (гА) -

Следовательно, (4.49) эквивалентно уравнению

_^-(гЯ)+№А=О.(4.50)

Общее решение уравнения (4.50) имеет вид

г А = cletor + с2е— 1кг,(4 .51)

где сг и сг — произвольные постоянные векторы.

Как мы уже убедились в п. 4.2, ввиду условия Im ^>0 экспонента ^кт стремится к нулю при г^- оо, в то время как вторая экспонента ti-№ при больших г не имеет предела.

Следовательно, физическому условию затухания решения на бесконечности соответствует равенство вектора с^ нулю; с2 ~ 0. Откуда получаем

А (7) = c^/r.(4.52)

Для определения второго неизвестного постоянного вектора с, воспользуемся предельным случаем и ^ 0. Тогда согласно (4.45)

Пт А (г)= с, —= А°(г)=~^—,(4.53)

и—ит4п г

откуда

сх = р‘Ак.(4.54)

Подставляя (4.54) в (4.52), окончательно записываем

(4.55)

Формула (4.55) и определяет векторный потенциал электромагнитного поля переменного электрического диполя в безграничной' однородной изотропной среде. Для нахождения самих векторов —У —У

поля Е, Н остается подставить (4.55) в (4.47):

^^ = ^rot ("Т” ^) ’(4'56а>

5 (') = “Зг -" Р + -^- ^ad di v (^Г" ^)'(4156б>

Для вычисления ротора в (4.56а) воспользуемся формулой (4.46): rot Г-у- р) = grad -2— х р,(4.57)

а Для нахождения дивергенции в (4.566) вспомним следующее векторное тождество:

div[/ (л)7'(л)]^&гас1/(л)?(л) + /(г)<11У?(л). (4.58)

Тогда / е1кгaikr

div[p)-grad —р.(4.59)

\ г/г

В свою очередь,

. / с'^ X др ai&r X ,tkr (1 —t^r) г ,А

grad f -—■ 1 = — 1J grad г — "e "— •-60)

Подставляя (4.60) в (4.57) и (4.59) и учитывая (4.56), записываем

Н (7) =(1 - (Аг) [р х 7 ];(4.61)

Р—;grad е'—-—'-рг . (4.62)

' z 411 г4лп\/

Вычисления показывают, что

grad— рг =

, / Qikr j^ х Z— ->Х с^ (1—i6r), М “X

=-^radV'r)=

_ s^L^3l^l^^ [ р.2,_+_^2 (* - ^ р. (4 63)

г3V г / гг®

Подставляя (4.63) в (4.62) и учитывая (4.7), находим

Е (г ) -- — -с(1 —:Аг —А^г2) р —

z 4лстг®

+ -®^- (3 — 3ihr — fe2r3) (р -7/г) 7 /г.(4.64)

Формулы (4.61) и (4.64) дают решение задачи о вычислении электромагнитного поля переменного электрического диполя.

Сферические электромагнитные волны

Проанализируем полученное решение. Прежде всего мы отмечаем, чт° вектор-потспциал А, описываемый формулой (4.55), обладает сферической симметрией, т. е. его величина зависит только от расстояния г от диполя, а направление всюду совпадает с направле-

нием вектора р — момента тока в диполе. В то же время магнитное поле Н в любой точке пространства ортогонально вектору р и радиусу-вектору г. Последнее свойство вытекает из того простого факта, что скалярное произведение вектора [рхг]на векторы р и г равно нулю. Геометрически это означает, что если провести сферу радиусом г с центром в начале координат и построить плоскость Т, касательную к сфере в некоторой точке М, то вектор магнитного поля Н в точке М лежит в плоскости Т (см. рис. 4). Точнее говоря, вектор Н направлен по линии пересечения плоскости Т и плоскости N, проходящей через точку М и ортогональной моменту р тока в диполе (см. рис. 4).

Теперь интересно выяснить, как ориентирован вектор Е электрического поля. Для этого разложим момент тока в диполе р на две составляющие-— радиальную рг и тангенциальную рс, параллельную плоскости 7':

р = р, + рт,(4.65)

где

рг = (р ■ г/г) г/ г,(4.66а)

р( ----- р — рг = р — (р• г/г) fir.. 66}

Подставляя (4.65) и (4.66а) в (4.64), записываем

+ т£" (1"i6r) Р'- *’ (*)+г Д)-(«И

где Е^ (г) — тангенциальная составляющая электрического поля, лежащая в плоскости Т\

Ет(А =— - (1 —ikr —ЕМ) рТ1(4.68а»

а Ег (г) — радиальная составляющая, направленная ио радиусу- вектору:

-*= ikr^

ЕДг) = —(1 — Ег) рг.(4.686)

4 7 2погн

Важно отметить, что составляющая Е.( всегда ортогональна к вектору магнитного поля Н. В самом деле, согласно (4.666)

[рХг]-рт = [р х rj-{p— (prlr) HrH

•ДрХ r]p — [р X г]-r/r (р-г/г) = О.

Откуда, ввиду (4.61) и (4.68а), находим

/7(7).Ет(7) = 0.(4.69)

Таким образом, векторы Н и £т лежат в касательной плоскости Т и взаимно ортогональны (см. рис. 4). Такова в общем случае структура электромагнитного поля диполя. При этом необходимо подчеркнуть, что, строго говоря, вся изображенная выше геометрическая картина справедлива не для комплексных векторов поля, а для вещественных частей Re Tle~i№t и Re Ee-ltot. Только они, согласно п. 2.2, имеют реальный физический смысл.

В связи с этим в качестве примера проанализируем вещественную часть вектора-потенциала:

Re ехр (— twi)) = —— - Re exp (ifer—— '2 4nr

~ ^7exp (- -Fr)Re exp D (^r -“Ol -

**P/ 2л Л /2л лM 70)

= —-—exp (——r cos [—-г — им.

4nrX )\ X)

Здесь

(4171a)

4лг X A V

о. (г) — амплитуда вектор а-потенциал а:

—^Г — ю^Ф(г),(4.716)

Ф (г) — его фаза.

Найдем фазовый фронт поля электрического диполя. Согласно определению 1 п. 4,2, уравнение фазового фронта в данном случае имеет вид

Ф (г) = (2л/Х) г— о^ = const, откуда

г — (wf -|- const)/2n/?..(4.72)

Как видим, в каждый фиксированный момент времени / фазовый фронт поля диполя -- это сфера с центром в начале координат. Поэтому электромагнитное поле такого типа называют сферической электромагнитной волной. Если время t растет, то согласно (4.72) увеличивается и г, т. е. сферический фазовый фронт расширяется с фазовой скоростью

и = drldt „ МТ = V^W •(4 • 73)

Это значит, что скорость движения сферической электромагнитной волны совпадает со скоростью распространения плоской волны

[сравните с формулами (4.31) и (4.32)1. Следовательно, расстояние, проходимое сферическим фазовым фронтом за один период, т. е. длина сферической волны, совпадает с длиной плоской волны.

Отметим, что согласно (4.55), (4.61) и (4.67) электромагнитное поле диполя зависит главным образом от произведения к-r. Модуль этого произведения, деленный па 2д/2 л, иногда называют приведенным расстоянием гЛ:

<4-74>

В зависимости от величины приведенного расстояния г^ в поле любого источника выделяют три зон ы:

ближнюю, в которой

[ кт ] < I или т <£ X,

с р е д н ю ю (или промежуточную), в которой )Аг] имеет значение, по порядку близкое к единице,

| кг | ^ 1 или г ^ X,

д а л ь н ю ю, в которой

| кг | )> 1 или г > к.

Отметим, прежде всего, что в средней зоне электромагнитное поле диполя описывается строгими формулами (4.61), (4.68а) и (4.686).

В ближней зоне | кг ] ->• 0 и (4.61), (4.68а), (4.686) упрощаются:

»Гг)-Д(7)= ^^х/].(4.75а)

(4 756>

(475В)

Таким образом в ближней зоне (т. е. в области относительно малых расстояний г по отношению к длине волны К) электромагнитное поле диполя, питаемого переменным током, формально эквивалентно полю постоянного электрического диполя.

В дальней зоне при j кг | )§> 1 (т. е. при больших г по сравнению с длиной волны X) мы можем в формулах (4.61), (4.68а), (4.686) в круглых скобках пренебречь единицей по сравнению с kra единицей и кг по сравнению с (Аг)2, тогда получаем

Н Р) - - Пг (7) = - ik -^ Р х 7], (4.76а)

z 4ПСи 4л г

Ег ( г) — —1к —^— - Р,.Ег ( г) — —1к —^— - Р,.(4.76в)(4.76в)

Ег ( г) — —1к —^— - Р,.

Ег ( г) — —1к —^— - Р,.

(4.76в)

(4.76в)

Выражения (4.76) свидегельствуют о том, что в дальней зоне радиальная компонента электрического поля убывает быстрее, чем тангенциальная, поэтому при больших расстояниях г первой можно пренебречь. Следовательно, при большом г сферическая электромагнитная волна состоит из двух взаимно ортогональных векторов электрического и магнитного поля, колеблющихся в тангенциальной по отношению к любому радиальному лучу плоскости. Тем самым структура сферической волны становится похожей на структуру плоской электромагнитной волны. Дальнюю зону часто называют волновой зоной источника.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД.

ПОНЯТИЕ О ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКОМ РАЗРЕЗЕ

Основными параметрами горных пород, определяющими поведение в них электромагнитного поля, являются удельное электрическое сопротивление р, диэлектрическая и магнитная проницаемости е и р. Рассмотрим последовательно эти параметры.

5.L Удельное электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление горной породы численно равно сопротивлению изготовленного из нее куба с ребром 1 м. Единицей измерения величины р является ом-метр.

Величина, обратная р, носит название удельной электропроводности а горной породы. Она измеряется в сименсах на метр.

Различные горные породы характеризуются разными значениями удельного электрического сопротивления р, что и предопределяет' возможность применения электрических методов разведки для изучения строения земных недр. Более того, одна и та же горная порода может иметь различное удельное сопротивление в зависимости от ее состояния и условий залегания (внутренней структуры, температуры, давления, наличия жидкой фазы — минерализованных растворов и т. д.).

Характерные значения удельных электрических сопротивлений (в Ом-м) для ряда минералов и горных пород следующие.

Пирит 0,1Сланец6,4-10*—6,510®

Магнетит 0,6—1,0Глина (сухая) 2Л09—2-Ю5

Графит 0,03Галька (конгломерат).2-10’—2-10°

Соль310я—5-106Песчаник (сухой) . . .7-10е

Серпентин2104Известняк КН—10’

Гранит 10’Нефтенасыщенный песок4-10“—2,2-10'’

Габбро 10’— 10sНефть 10я— 10й

Диабаз 3,1-№Морская вода0,15—5

Мрамор 10я—10’Дистиллированная вода 10*

Гранитогнейс . . . .2-10’

Как видно из приведенных данных, сопротивление горных пород изменяется в довольно широких пределах. Это объясняется тем, что очень немногие минералы обладают электронной проводимостью. Большинство горных пород проводит электрический ток

благодаря содержанию ионов в водах, насыщающих поры и трещины в горной породе, поэтому сопротивление очень сильно зависит от минерализаций вод, а также от пористости и влажности горных пород.

Наиболее высокими сопротивлениями характеризуются скальные (изверженные, осадочные и метаморфические) горные породы. Причем величина их сопротивления определяется, в первую очередь, такими факторами, как трещиноватость и степень выветре- лости. Повышенная трещиноватость скальных пород ниже уровня подземных вод, т. е. при практически полном водонасыщеиии приводит к уменьшению сопротивления. При заполнении трещин воздухом сопротивление пород становится более высоким, чем у ненарушенных разностей.

Сопротивление рыхлых осадочных пород практически полностью определяется гидрогеологическими условиями. Например, сухие пески могут иметь р, равное тысячам ом-метров, тогда как в условиях полного водоиасыщения оно снижается до десятков и даже единиц ом-метра. Наиболее низкими и в то же время колеблющимися сопротивлениями характеризуются глинистые породы (единицы — десятки Ом ■ м).

Таким образом, в целом массивы интрузивных пород имеют высокие сопротивления, осадочные породы, как более рыхлые и пористые,—более низкие сопротивления. При этом каждая разновидность горной породы обычно характеризуется некоторым диапазоном изменения сопротивлений, определяемым, как уже отмечалось выше, условиями ее залегания и структурой.

Горные породы, насыщенные нефтью или газом, обладают значительно более высоким удельным электрическим сопротивлением, чем те же породы, насыщенные минерализованными водами. Это свойство пефте- или газонасыщенных пород является чрезвычайно важным диагностическим признаком, широко используемым в нефтяной и газовой электроразведке.

Необходимо отметить, что большинство горных пород являются анизотропными. Это значит, что величина удельного сопротивления зависит от направления пропускания электрического тока через породу. Обычно анизотропия горных пород бывает обусловлена их тонкослойной структурой. В этом случае величина удельного электрического сопротивления току, текущему в направлении, перпендикулярном к слоистости, больше, чем вдоль слоистости. Это различие характеризуется коэффициентом анизотропии

Рп/рт , где р„ и рт — поперечное и продольное удельные электрические сопротивления породы (т. е. удельное электрическое сопротивление, получаемое соответственно при пропускании электрического тока поперек и вдоль слоев). Для большинства горных пород «а изменяется от 1 до 2.

Диэлектрическая и магнитная проницаемости

Диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз уменьшается сила взаимодействия электрических зарядов при переносе их из вакуума в данную однородную изотропную среду. Диэлектрическая проницаемость может быть вычислена теоретически с учетом эффектов поляризации атомов и молекул вещества под действием приложенного внешнего электрического поля. В самом деле, если любое вещество поместить в электрическое поле Е, под его действием одна часть электрических зарядов (свободные электрические заряды) начинает свободно перемещаться, образуя электрический ток (ток проводимости), а другая часть зарядов, входящих в состав атомов и молекул (связанные заряды), только слегка смещается друг относительно друга, т. с. происходит также процесс поляризации вещества. В средах, содержащих большое число свободных электрических зарядов (проводниках), преобладают процессы, связанные с токами проводи- мости, а в средах, содержащих большое число связанных зарядов (диэлектриках),—процессы поляризации зарядов. Многие горные породы обладают свойствами как проводников, так и диэлектриков.

Схематически механизм поляризации заключается в следующем: при отсутствии внешнего поля электрические заряды, входящие в атомы и молекулы вещества, ориентированы хаотически, а под действием поля Е они ориентируются вдоль поля. Степень поляризации вещества характеризуется объемной плотностью дипольных моментов Р электрических диполей поляризованной среды. Оказывается, что для огромного большинства диэлектриков Р прямо пропорциональна Е:

^ = е6х6Е,(5.1)

где хе — диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, t^ — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Вектор электрического поля D, в свою очередь, согласно основным соотношениям электростатики, определяется как

D^e„E4-P.(5.2)

Подставляя (5.1) в (5.2) я учитывая уравнения связи (1.20), получаем

О = е0 (1 ~|- xf) Е = еЕ, откуда

Е = ед(1-|-х,).(5.3)

Отметим, что в случае использования постоянного электрического тока или квазистанионарного электромагнитного поля параметр е, как следует из основных уравнений поля, не влияет на

результаты электромагнитных наблюдений. При работе же с пере» менными полями достаточно высоких частот влияние е становится заметным. Однако применяемые в нефтяной электроразведке переменные электромагнитные поля обычно характеризуются не слишком большой частотой (не более 10—100 Гц). При таких частотах величина диэлектрической проницаемости практически не влияет на результаты наблюдений.

Для воздуха диэлектрическая восприимчивость и, --- 0, а проницаемость ей = (1/36л) 10-6 Ф/м. У горных пород диэлектрическая проницаемость может меняться от е0 до 100 е0,

Третья величина, определяющая структуру электромагнитного поля в земле,— магнитная проницаемость горных пород ц, показывающая, во сколько раз увеличивается сила взаимодействия электрических токов при переносе их из вакуума в данную среду. Практически для всех горных пород (кроме пород с вкрапленностью ферромагнитных минералов) эта величина мало отличается от щ— магнитной проницаемости вакуума, равной ~ 4л> Ю-7 Гн/м. Поэтому для нефтяной (структурной) электроразведки можно полагать, что ц постоянно для всего геологического разреза и не влияет на особенности прохождения электромагнитного поля в земле.

Понятие о геозлектрическом разрезе

Фундаментальные модели геоэлектрических разрезов

Для большинства методов электроразведки основное влияние на характер распространения электромагнитного поля в Земле, как мы убедились выше, оказывает удельное электрическое сопротивление р горных пород. Соответственно этот параметр главным образом и определяется по результатам электромагнитных наблюдений.

В общем случае основной задачей электроразведки является нахождение распределения удельного электрического сопротивления различных горных пород, слагающих Землю, как функции пространственных координат р (х, у, г). Графики и карты распределения этой функции в вертикальных плоскостях или в пространстве обычно называют одним термином — геоэлектрический разрез. Очевидно, что определение истинного геоэлектриче- ского разреза Земли — задача чрезвычайно сложная. Поэтому на практике используют упрощенные модели геоэлектрических разрезов, основными из которых являются одномерная, двумерная и трехмерная модели.

Наиболее простой и в то же время весьма широко распространенной является одномерная модель. В рамках одномерной модели реальный неоднородный разрез Земли заменяется горизонтальнооднородным разрезом, в котором удельное электрическое сопротивление— функция только глубины р = р (z), Предполагается, что при z - 6 проводящая земля граничит с однородной непроводящей атмосферой (рй = оо). Если р (z) — непрерывная функция z, такая модель носит название градиентной модели (рис. 5).

jOg = =° ВоздухjOg = =° Воздухр-р(ъ) Земляр-р(ъ) ЗемляЛе-*, ВоздухАct, ЗемляАdzЛе-*, ВоздухАct, ЗемляАdz»з»з

jOg = =° Воздух

jOg = =° Воздух

р-р(ъ) Земля

р-р(ъ) Земля

Ле-*

, Воздух

А

ct, Земля

А

dz

Ле-*

, Воздух

А

ct, Земля

А

dz

»з

»з

^N 11 Дн»*”^N 11 Дн»*”Рис. 5. Градиентная одномерная модель геоэлектрического разреза

^N 11 Дн»*”

^N 11 Дн»*”

Рис. 6. Горизонтально-слоистая модель геоэлектрического разреза

Однако наибольшее распространенно на практике получили одномерные модели, состоящие из конечного числа однородных горизонтальных слоев. Пример такого А-слойного разреза представлен на рис. 6. Здесь толщина слоев обозначена dt (t = 1, 2, . . . , N—1), а удельные сопротивления — р/ (i = 1, 2А),при этом мощ

ность А-го слоя dN = оо.

Например, двуслойный разрез содержит один слой ограниченной мощности, подстилаемый пластом-основанием бесконечно большой мощности (рис. 7). Очевидно, что существует лишь два варианта соотношений между pj и р3: р!<р2 и р12>рч.

Трехслойный разрез (рис. 8) состоит из двух пластов конечной толщины, залегающих па пласте-основании бесконечной мощности. В этой модели существуют четыре варианта соотношений между Pj, р2 и р3, в соответствии с которыми различают следующие типы трехслойных разрезов:

типАР1<Рз<Рз;

«КPi<p2>pa;

«НРт^рг^Рз:

«Qр1>р2>рз.

Чстырехслойный разрез содержит уже три слоя конечной мощности, залегающих на бесконечном! основании. Очевидно, что в этом случае существует восемь вариантов соотношений удельных электрических сопротивлений, определяющих следующие типы разрезов:

Рис. Z. Двуслойный геоэлектрически й разрезРис. Z. Двуслойный геоэлектрически й разрезРис. 8. Трсхслойпый геоэлсктричс- ский разрезРис. 8. Трсхслойпый геоэлсктричс- ский разрез

Рис. Z. Двуслойный геоэлектрически й разрез

Рис. Z. Двуслойный геоэлектрически й разрез

Рис. 8. Трсхслойпый геоэлсктричс- ский разрез

Рис. 8. Трсхслойпый геоэлсктричс- ский разрез

ип

АА

Pi<p2<Pa<Pi;

тип

НА

Р1>р2<р8<р4;

АК

Р1<Ра<Рв>Р4;

«

НК

Р1>Р2<РЗ>Р4^

«

KQ

Рз<Р2>рз>р4;

«

QQ

Р1>р2>Рз>р4;.

«

КН

Р1<Рг>Рз<р4;

QH

Р1>р4>Р3<Р4.

Нетрудно

показать, что с ростом

числа

слоев N

в разрезе число

типов разрезов возрастает пропорционально 2W-1.

Описанная выше модель горизонтально-однородного слоистого разреза используется при построении основ теории практически всех методов электрической разведки. Такой разрез иногда называют нормальным геоэлсктрическим разрезом Земли, а распределение удельных электрических сопротивлений в нем — нормальным распределением р„:

pi, 0<г<Л,

Ра, di-Czec^ + dt,

рл = р« (г) =рл = р« (г) =Ps, <fi + da<z-<di-}-d2-r dg,

рл = р« (г) =

рл = р« (г) =

(0.4)

Pw; Z dt<z<oc.

В отличие от' нормального разреза реальный геоэлектрический разрез Земли может характеризоваться латеральными (горизонтальными) неоднородностями в распределении р.

Различают два класса моделей горизонтально-неоднородных геоэлектрических разрезов: двумерные и трехмерные. В типичном примере двумерной модели (рис. 9) проводящая земля при z —■ О граничит с однородной непроводящей атмосферой. Удельное электрическое сопротивление земли является функцией горизонтальной координаты х и вертикальной координаты 2 и не зависит от горизонтальной координаты у. На практике двумерные гсоэлектриче- ские разрезы встречаются в районах с линейно-вытянутыми гео- электрическими структурами. В таких районах свойства горных пород в направлении оси простирания структуры (которое мы совмещаем с осью у) меняются слабо, а основные изменения происходят вкрест простирания (ось х) и по глубине (ось г).

Наконец, трехмерная модель геоэлсктрического разреза описывает наиболее общие геологические ситуации, встречающиеся в практике электроразведочных работ. Следует подчеркнуть, что интерпретация электромагнитных данных над трехмерными струк-

/Гх, Z//Гх, Z/ВоздухЗемляВоздухЗемляРис, 9. Двумерная модель геоэлектри- ческого разрезаРис, 9. Двумерная модель геоэлектри- ческого разреза

/Гх, Z/

/Гх, Z/

Воздух

Земля

Воздух

Земля

Рис, 9. Двумерная модель геоэлектри- ческого разреза

Рис, 9. Двумерная модель геоэлектри- ческого разреза

турами — одна из наиболее сложных и в то же время наименее разработанных задач электроразведки.

Перечисленные выше модели геоэлектр и ческих разрезов мы будем называть фундаментальными моделями.

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ

Множество теоретических задач, возникающих при рассмотрении физико-математических основ электрических методов разведки, можно разбить на два больших класса: прямые задачи и обратные.

Прямая задача электроразведки заключатся в нахождении электромагнитного поля, возбуждаемого заданной системой источников в данной модели геоэлектрического разреза.

Обратная задача заключается в восстановлении гео- электрической модели разреза по электромагнитным полям, измеренным в некоторой части пространства (на поверхности земли, вгптри земли — в шахтах и скважинах, и т. д.). При этом геофизики либо располагают дополнительной информацией о структуре источников поля (в методах, использующих искусственные поля), либо такие данные отсутствуют (в методах, использующих естественные поля).

Рассмотрим более подробно основные проблемы, возникающие при решении прямых и обратных задач электроразведки.

Прямая задача электроразведки

Наиболее глубоко и полно в настоящее время разработана методика решения прямых задач электроразведки для одномерных моделей геоэлектрического разреза. К числу важнейших прямых задач относятся задачи: 1) о поле точечного и дипольного источников постоянного тока, расположенных на поверхности нормального (горизонтально-слоистого) разреза; 2) о поле плоских электромагнитных волн в горизонтально-слоистой среде; 3) о поле переменного электрического (или магнитного) диполя, расположенного на поверхности нормального разреза. Указанные задачи составляют основу теории и методики методов электроразведки постоянным электрическим полем, магнитотеллурических и магннтовариа- •шонпых исследований и электромагнитных зондирований с контролируемым источником поля и будут подробно разобраны нами 11 соответствующих разделах учебника. Особенностью этих задач является то, что все они могут быть решены аналитически, причем решение получается либо в виде элементарных функций, либо 11 виде, интегралов или рядов.

Значительно большие трудности возникают при решении прямых задач для двумерных и трехмерных геоэлектрических моделей. -1ля большинства задач этого класса, за исключением задач для моделей, содержащих неоднородные включения простой геометрической формы, получить решение в аналитическом виде не удается. 'Мн решения прямых задач электроразведки над горизонтально-

неоднородными геоэлектрическими разрезами применяются раз* личные численные математические методы, основными из которым являются методы интегральных уравнений, метод сеток и др. В нашем курсе мы познакомимся с некоторыми простейшими приемами математического (численного) моделирования электромагнитных полей в разделах, посвященных теории соответствующих методой разведки. Здесь же мы лишь отметим, что любая прямая задача электроразведки может быть математически записана в виде

^[р]=Л (6.11

где р — функция координат или набор геоэлектрических параметров, описывающих данную модель геоэлектр и ческого разреза; F — электромагнитные поля или функции от них, отвечающие данному распределению р; ^— оператор (математический закон), ставящий в соответствие каждому распределению р определенные F. Например, в случае нормального горизонтально-слоистого разреза для определения р (г) достаточно задать число слоев Л7, их мощности ^ и сопротивления р/. Заданному набору р, (i — 1, 2, . . . , N)t dt (z = 1, 2, . . . , N—1) при данном типе источников(например# электрический диполь или плоская волна) отвечают вполне опреде-* ленные величины электромагнитных полей Е и Н, рассчитывав11 мые на основе уравнений Максвелла, поля F.

Обратная задача — основная задача электроразведки

Любой метод электроразведки заключается в регистрации на поверхности земли (или внутри земли — в скважинах и шахтах) элек^ тромагнитных полей, возбуждаемых искусственными или ecTecTJ венными источниками, и определении по ним параметров геоэлен» трических моделей, наилучшим образом описывающих реальный геоэлектрический разрез. Иными словами, при интерпретации дан* ных электроразведки соотношение (6.1) рассматривается как уравнение, в котором задана правая часть F (электромагнитные ноля или функции от них) и неизвестны геоэлектрические параметры pt стоящие в левой части. Задача определения геоэлектрических па* раметров модели р по измеренным полям F, т. е. задача решения операторного уравнения (6.1), называется обратной задачей электроразведки.

В зависимости от того, для какого класса геоэлектрических моделей решается обратная задача, различают одномерную, двумерную и трехмерную обратные задачи электроразведки.

Очевидно, что простейшей обратной задачей является одномерная. В рамках этой задачи по электромагнитным данным ищутся параметры одномерного нормального геоэлектрического разреза Pt (z = 1, 2, . . . , ^), dt (i — 1, 2, . . . , ^—I). Следует отметить, что одномерная задача составляет теоретический фундамент практически всех существующих методов электроразведки, поэтому в нашем курсе мы уделим особое внимание ее изучению. Необходи-

мость решения двумерных и трехмерных обратных задач возникла в самое последнее время в связи с усложнением геологических задач, стоящих веред современной электроразведкой. Перспективы повышения геологической эффективности электромагнитных методов разведки как раз связаны с развитием методов решения обратных гсоэлектрических задач над двумерно- и трехмерно-неоднородными разрезами. В связи с этим вопросы интерпретации электромагнитных данных над горизонтально-неоднородными струк- прами также занимают важное место в курсе электроразведки.

Понятие о некорректно поставленных задачах и методах их решения

Рассмотрим теперь некоторые общие проблемы, возникающие при решении обратных задач электроразведки. В связи с этим вам потребуются понятия корректно и некорректно поставленных задач в геофизике.

Понятие корректной постановки задачи математической физики было сформулировано французским математиком Х<. Адамаром и состоит в том, что должны быть выполнены следующие условия: J) решение задачи существует; 2) решение задачи единственно: 3) решение задачи устойчиво, т. е. непрерывно зависит от данных задачи.

Проанализируем эти условия применительно к обратной задаче электроразведки. Эта задача, как мы уже отмечали, заключается в решении операторного уравнения (6.1) относительно неизвестного распределения геоэлектрических параметров р. Существование решения этой задачи следует непосредственно из ее физического смысла. Единственность решения зависит от того, каким набором измеренных электромагнитных полей, т. е. каким набором, правых частей F уравнения (6.1), мы располагаем. Например, если мы решаем одномерную обратную задачу при возбуждении электромагнитного поля в среде вертикально падающей плоской электромагнитной волной и нам известны значения поля Е и Н на поверхности земли только для одной частоты ш, то обратная задача неоднозначна. Вместе с тем при задании Е и Н в некотором интервале частот задача становится уже однозначной. Таким образом, вопрос о единственности обратной задачи электроразведки в каждом отдельном классе гсоэлектрических моделей (одномерных, двумерных и трехмерных) требует проведения специальных исследований и доказательства соответствующих теорем единственности. Формулировки некоторых основных теорем единственности будут даны в соответствующих разделах курса.

Предположим теперь, что мы решаем некоторую обратную элек- троразведочную задачу, единственность которой доказана. Тогда Для корректности постановки этой задачи необходимо, как было отмечено выше, чтобы решение задачи было устойчиво. В электроразведке это означает, что малым вариациям измеренных электромагнитных полей [правых частей F в (6,1)] должны отвечать ма-

лые вариации в решении р. Однако теория и эксперимент показывают, что это условие обычно не выполняется. Оказывается, даже в рамках одномерных моделей можно задать два таких распределения удельных электрических сопротивлений рх (г) и р3 (г), которые отличаются друг от друга как угодно сильно, а вместе с тем отвечающие им электромагнитные поля, измеренные на земной поверхности, сколь угодно близки между собой. Это обстоятельство приводит к резкой практической неустойчивости при поиске решения уравнения (6.1), Иными словами, обратная задача электроразведки, в общем случае, является некорректно поставленной. Положение осложняется также тем, что на практике мы всегда измеряем электромагнитные поля с некоторой погрешностью 6, т. с. правая часть (6.1) — F известна приближенно. При этом в силу неустойчивости обратной задачи небольшие погрешности в исходных данных могут приводить к чрезвычайно большому разбросу возможных решений.

В прошлом веке, да и в начале нашего века ученые, столкнувшиеся с некорректно поставленными задачами, предпочитали их просто не решать. Однако в геофизике все обратные задачи некорректны. Поэтому для решения обратных геофизических задач понадобились большие дополнительные усилия математиков по разработке способов решения некорректно поставленных задач. Методы их решения получили название методов регуляризации. Большая заслуга в разработке методов регуляризации .для решения некорректно поставленных задач принадлежит советскому ученому акад. А. Н. Тихонову. В настоящее время теория решения некорректно поставленных задач представляет собой ■самостоятельную, чрезвычайно быстро развивающуюся ветвь математики. Поэтому здесь мы ограничимся лишь формулировкой общей идеи методов регуляризации. Приложения этих методов к решению некоторых конкретных элсктроразведочных задач будут даны в соответствующих разделах учебника.

В основе большинства методов регуляризации лежит идея замены некорректной обратной задачи (6.1) на множество корректных обратных задач:

^a[p} = F, (6-2)

где <я£а— регуляризованный оператор, аппроксимирующий в некотором смысле точный оператор прямой задачи ^-; а- -параметр регуляризации. Параметр регуляризации а. может пробегать бесконечное множество значений, причем требуется, чтобы при а-* О оператор ,^а асимптотически приближался к точному оператору .$£:

при а->-0. (6.3)

В теории некорректно поставленных задач дастся строгое математическое определение понятия предела, описываемого формулой (6.3) В нашем курсе мы ограничимся определением этого понятия па физическом уровне. А именно, если .yj- — оператор строгого решения прямой задачи, полученный на основе уравнений Максвелла,

то j^a — некоторый упрощенный закон связи между геоэлектри- ческими параметрами и электромагнитным полем, построенный таким образом, что при а->0 совпадает со строгим законом .s^. Вместе с тем операторы ,$#а конструируются так, чтобы обратные- задачи (6.2) были бы уже корректно поставлены. Иными словами, операторы j^a выбираются таким образом, чтобы задача (6.2) имела единственное решение ра, непрерывным образом зависящее от правой части F. При этом в теории методов регуляризации доказывается, что приближенные решения ра при а ->- О стремятся к точному решению исходной обратной задачи (6.1):

ра->-Р при а-»-0. (6.4)

Таким образом, суть методов регуляризации заключается в том,, что решение исходной некорректно поставленной задачи (6.1) заменяется решением множества корректно поставленных задач (6.2) и выбором из большого числа полученных приближенных решений ра некоторого одного решения ра()1 наилучшим образом описывающего точное решение р (и вместе с тем устойчивого по отношению к погрешностям исходных данных F).

Отметим, что в некоторых простых ситуациях оказывается необязательным решать обратные задачи (6.2) для всевозможных наборов а, а достаточно решить лишь одну приближенную корректную обратную задачу, аппроксимирующую нужным образом задачу (6.1). Такие ситуации возникают в тех случаях, когда можно описать распределение искомых гсоэлектрических параметров р небольшим (конечным) числом параметров с ограниченными пределами изменений.

Для этих случаев справедлива теорема Тихонов а, согласно которой при онределелпых условиях обратная задача (6.1) для р, зависящих лишь от конечного числа ограниченных параметров, являегся корректно поставленной, т. е. ее решение устойчиво — непрерывно зависит от данных задачи. Теорема Тихонова играет чрезвычайно важную роль в теории электроразведки. Опа говорит о том, что эффективность решения обратных задач электроразведки во многом зависит от удачного выбора классов моделей гсоэлектрических разрезов, в которых решается обратная задача. Если нам удается описать реальный геоэлсктрический разрез такой моделью, которая допускает достаточно простую параметризацию (т. е. может быть описана сравнительно небольшим числом, параметров), интерпретация экспериментальных данных в рамках этой модели является задачей корректной.

В этой связи понятна та роль, которую играют в теории электроразведки обратные задачи для одномерных моделей геоэлектриче- ских разрезов. Эти модели легче всего параметризовать, например, заменив любое сложное изменение электропроводности по вертикали кусочно-постоянным распределением, т. е. используя горизонтально-слоистую модель с небольшим числом слоев. Вместе с тем, как мы убедимся ниже, именно для этих моделей оператор ^ имеет наиболее простую структуру.

Глава II

МЕТОДЫ постоянного ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ ПОСТОЯННЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ (АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ)

Основными методами электроразведки постоянным электрическим полем являются вертикальное электрическое зондирование (ВЭЗ), дипольное электрическое зондирование (ДЗ), электрическое профилирование (ЭП) и др. В основе теории этих методов лежат близкие задачи о постоянном электрическом поле, создаваемом искусственными источниками в некоторых фундаментальных моделях гео- электрических разрезов. Основной фундаментальной моделью для электроразведки, как уже отмечалось выше, является одномерная (горизонтально-слоистая) модель, поэтому мы и посвятим изложение главным образом анализу нолей точечного и дипольного источника в одномерных моделях гсоэлектрических разрезов. При этом рассмотрим прежде всего простейшие ситуации, когда источники поля расположены на поверхности однородного изотропного полупространства. Затем перейдем к описанию спектрального метода решения задачи о поле в горизонтально-слоистой среде и, наконец, завершим паше изложение анализом влияния простейших трехмерных гсоэлектрических неоднородностей.

Поля точечного и дипольного источников, расположенных на поверхности однородной изотропной среды

Рассмотрим важную для теории электрической разведки на постоянном электрическом токе задачу о поле точечного источника постоянного тока, расположенного на поверхности однородной проводящей земли с удельным электрическим сопротивлением р •(рис. 10).

Рмс. 10. Поле точечного источника постоянного тока, расположенного на поверхности однородной проводящей земли:

/ — токовые линии; 2 — эквипотенциаль* пые иоперхиости

Пусть точечный источник А посылает в землю ток силой I. Поскольку воздух практически является изолятором (сопротивление воздуха ри бесконечно велико), весь ток, посылаемый точечным источником, растекается в земле. Так как земля однородна, ток от источника течет равномерно по всем направлениям, т. е. векторные (токовые) линии поля / (линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора /') представляют' собой прямые лучи, выходящие из точки А и расположенные в нижнем полупространстве (в проводящей земле).

Окружим точку А полусферой S радиусом г с центром в точке А. Очевидно, что сила тока, проходящего через эту полусферу, равна, полной силе тока Л Следовательно, плотность тока в любой точке М, расположенной на полусфере, равна силе тока, деленной на площадь полусферы:

/ = //2лг2.(7.1)

В силу закона Ома величина электрического поля Е в точке М определяется соотношением

£ = р/ = /р^пг2,

а вектор Е направлен по радиусу, соединяющему точки А и М. Если обозначить вектор АМ буквой г, выражение для электрического поля Е окончательно примет вид

£^(Zp/2№)7'r,(7.2)-

где Пг — единичный вектор, направленный по радиусу.

Поместим начало декартовой системы координат X, Y, Z в точку А, причем ось Z направим вертикально вниз, а оси X, У — вдоль плоскости раздела земля—воздух. Обозначим координаты точки М ■—х, у, г. Тогда скалярные компоненты вектора г равны (х, у, z), а его длина г =-х/х^+у^+Т2 . Следовательно, проекции вектора Е на. оси декартовой системы координат запишутся в виде

р(Р_ х . р ,

— 2№ г ’ 'у " 2вгг г ’

(7-3)

2лс2 г

Из формул (7.3), в частности, следует, что на поверхности земли (при г — 0) вертикальная компонента электрического поля Ег — 0. Физически это соответствует тому, что через границу проводник (земля) — изолятор (воздух) ток течь не может. Рассматривая выражения (7.3), нетрудно убедиться, что все они являются частными производными (со знаком минус) одной и той же функции

]^Чпг. Эта функция в соответствии с (3.30) представляет собой электрический потенциал U точечного источника:

U = /р/2лг. (7.4)

Формула (7.4) показывает, что потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию до источника.

Интересно сравнить формулу (7.4) с (3.37), полученной для потенциала точечного источника, помещенного в однородную изотропную среду. Как видим, эти формулы различаются лишь множителем 2 в знаменателе. Если в (7,4) вместо / подставить величину //2, получим (3.37). Последнее обстоятельство легко объяснить физически. В самом деле, в нашем случае весь ток / течет в землю, поскольку верхнее полупространство — воздух-изолятор. В § 3 в задаче о поле источника в однородной среде ток мог течь как в нижнее полупространство, так и в верхнее, поэтому сила тока, текущего вниз, уменьшается в 2 раза. Отметим, что аналогичные рассуждения, позволяющие переходить от решения задачи в однородной среде к решению аналогичной задачи в однородном полупространстве, можно использовать и для расчета полей в более сложных моделях проводящей земли, в частности в задаче о растекании электрического тока в однородном полупространстве, содержащем сферическое проводящее включение (см. п. 9.4 и др.).

Точечный источник постоянного тока, описанный выше, является идеализированной моделью реальных источников, используемых в электроразведке. Практически постоянный электрический ток в земле создают в электроразведке с помощью двух заземлений А и В, подключаемых к генератору или к батарее постоянного тока. Заземления представляют собой погруженные в землю металлические электроды чаще всего стержневой формы. При выводе формул, описывающих электрическое поле в земле, обычно пренебрегают формой электродов и рассматривают их как точечные. Такое допущение правомерно, поскольку уже на расстояниях порядка четырех-пяти длин электродов поле от них практически совпадает с полем точечных источников. Если электрод В отнесен от электрода А на достаточно большое расстояние, в окрестности электрода А электрическое поле в земле совпадает с полем точечного источника, описанным выше. В общем же случае для изучения распространения постоянного электрического тока в земле необходимо рассмотреть задачу о поле двух разнополярных источников А и В, расположенных на поверхности проводящего полупространства с удельным электрическим сопротивлением р.

Пусть на поверхности однородного проводящего полупространства на расстоянии L друг от друга расположены два электрода А и В, через которые протекает электрический ток / (из электрода А ток вытекает, а в электрод В втекает, т, е. источник А имеет силу Д а источник В — силу минус /).

Поместим начало декартовой системы координат в точку А, ось X направим ло линии ДВ, ось Z—вертикально вниз (рис. 11). Рассмотрим некоторую точку М в нижнем полупространстве, уда-

\VР \ X\VР \ XБозЗилЗемляБозЗилЗемляРис. И. Поле двух разнополярных электродов, расположенных на поверхности однородной проводящей земли.

\V

Р \ X

\V

Р \ X

БозЗил

Земля

БозЗил

Земля

Пунктир — эквипотенциальные поверхности

ленную от точки А на расстояние тл, а от точки В — на расстояние г2. Из курса физики известно, что поля постоянного электрического тока удовлетворяют принципу суперпозиции: поле, создаваемое двумя источниками, равно сумме полей, создаваемых каждым из этих источников в отдельности. Согласно этому принципу поген- ннал точки М

U(M}=EA(M) + UB(M),(7.5)

где UА (М) — потенциал, создаваемый в точке М электродом Ат a Uв (М) — потенциал, создаваемый в точке М электродом В;

Uл (М) = 1рР2лгьUв (М) = —/р/2лг2.(7.6);

Подставляя выражения (7.6) в (7.5), получаем

и^и^/р2л/р2л(7-7)(7-7)

и^

и^

/р

2л

/р

2л

(7-7)

(7-7)

Согласно формуле (7.7) эквипотенциальные поверхности определяются условием

/р / 1 1х ,

—— I) — const

2п \ Г, ^2 /

(Семейства таких эквипотенциальных поверхностей изображены: па рис. 11. В частности, при rv = г2

U (М) = const 0.

Это означает, что вертикальная плоскость Р, параллельная осям Y и Z и пересекающая ось X посередине между точками А и В, является поверхностью нулевого потенциала.

Поскольку, в свою очередь, векторные линии поля Е всюду в пространстве перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям, в точках плоскости Р эти линии параллельны оси X. Таким образом, вектор плотности тока / в точках плоскости Р коллинеарен оси X и, следовательно, имеет одну отличающуюся от нуля компоненту — проекцию на ось X: / — (/х, 0, 0). Согласно закону Ома (1.21)

/х —^х-

Р

Исходя из формулы (3.30) можно записать

Ех --■. — dU^dx.

-откуда-откуда(7-12)(7-12)U (г)к (°)U (г)к (°)1[1 + (2г/7)2]321[1 + (2г/7)2]32(7.13)(7.13)

-откуда

-откуда

(7-12)

(7-12)

U (г)

к (°)

U (г)

к (°)

1

[1 + (2г/7)2]32

1

[1 + (2г/7)2]32

(7.13)

(7.13)

(7.8)(7.8)i_ _аи_ р дх

(7.8)

(7.8)

Подставив в (7.8) выражение для электрического потенциала 47,7), получим

Из рис. И следует, что согласно теореме Пифагора

ri=-V^-H/H-z8 ,г^^х—ЬУ + д^Л-^ .

Подставив эти соотношения в (7.9) и продифференцировав их :по х, найдем

к =. (7.10)

' 2л 1 У^-^Г[и-^ + ^+г2]3'2 /

В частности, в точках плоскости Р (т. е, при х = /,/2)

/.(7.11)

2л (Lz/4 + у* + ^'Р^

Проанализируем изменение плотности тока вдоль вертикальной прямой, проходящей через середину отрезка Л 8, т. е. при у = 0:

2л (ь2/4 ^а

Для этого вычислим отношение плотности тока на глубине г к плотности тока на земной поверхности (при z = 0):

На рис. 12 изображены графики зависимости отношения )х (гУЬ (0) от z при различных L. Увеличение расстояния между источниками 4 и В приводит к увеличению относительной плотности тока на данной глубине. Иными словами, чем больше расстояние между питающими электродами, тем глубже электрический ток проникает в землю. В частности, расчеты показывают, что в однородном полупространстве до глубины г, равной половине рас-

Рис. 12. Графики зависимости относительной плотности тока от глубины Z.

Шифр кривых L в м

стояния между питающими электродами г = Л/2 = Л 8/2, протекает половина полного тока //2, посылаемого в землю, поэтому величина Л 8/2 получила название глубины проникновения постоянного электрического поля в землю. Это понятие, как мы увидим ниже, играет важную роль в методах электроразведки на постоянном токе.

Рассмотрим теперь случай, когда расстояние L между точечными источниками А и В мало по сравнению с расстояниями г, и г2 до точки наблюдения. Такая система разнополюсных источников в электроразведке носит название электрического а п и о л я.

Обозначим вектор, соединяющий точки А и В, через dl, а радиус-вектор точки наблюдения М через г. В этих обозначениях, очевидно,

^=171= г, r2 =| r + d/|. (7.14)

Подставляя (7.14) в (7.7), получаем следующее выражение для потенциала диполя:

Очевидно, если dl достаточно мало, выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части (7.15), можно рассматривать как приближенное выражение для производной от функции 1/| г | = \ir по направлению dl:

(7.16) | H | r -|- dl | J

Подставляя (7.16) в (7.15), записываем

„ - dl = —grad U (~)-dl.(7.17)

где U (r) — потенциал точечного источника, описываемый формулой <7.4). Таким образом, потенциал электрического диполя пропорционален (со знаком минус) производной потенциала точечного источника по направлению диполя.

Очевидно, что

gradU0--.

Следовательно, ^“-^[(^•^-^Wl.<7-18>

где момент тока в диполе

p=/dZ(7.18а)

Подставляя (7.18) в (3.30), окончательно находим выражение для электрического поля диполя, расположенного на поверхности однородного проводящего полупространства:

^о (7) = -grad UD (7) = -grad - (7 7) -

- —^ grad (7- р) = -^- rir [(7/г) р] — ——- р. (7.19) 2№''2ш3z J 2лг*

Продольная проводимость и поперечное сопротивление горизонтально-слоистого разреза

Изучим основные законы распространения постоянного электрического тока в горизонтально-слоистой модели земли. Прежде всего рассмотрим отдельно один горизонтальный пласт с сопротивлением р и толщиной d (рис. 13). Вырежем из этого пласта призму высотой d с квадратным основанием 1 х 1 м. Проводимость такой призмы в направлении, перпендикулярном к ее боковой грани, называется продольной проводимостью S одиночного пласта. Иными словами, продольная проводимость — это проводимость пласта по отношению к току, текущему вдоль напластования. Вычислим, чему равна продольная проводимость. Согласно (1.23) сопротивление проводника R определяется выражением

(7.20)

As

где Д/ — длина проводника; Д$—площадь его поперечного сечения, перпендикулярного к направлению тока.

Рис. 13. Схема, поясняющая определение продольной проводимости ОДИНОЧ

НОГО пласта

В нашем случае AZ — 1 м, As = d х 1. Следовательно,

S = —=(7.2h

R Р 1 Р'

Таким образом, S измеряется в сименсах,

Поперечным сопротивлением Т одиночного пласта называется сопротивление вырезаемой из него призмы с единичной площадью основания в направлении, перпендикулярном к основанию. Для определения Т в формуле (7.20) надо положить

AZ = d; AS = 1 х 1.

Следовательно,

т-7^РТ^Т=р^I7-22)

Введенное таким образом Т измеряется в омах.

Понятия продольной) проводимости и поверочного сопротивления нетрудно распространить на пачку из m горизонтальных однородных слоев с удельным сопротивлением Pi, р2, ■ . . , рщ и толщиной dv d2, ... , dm (рис. 14). Для этого вырежем из пачки призму высотой D — d^ -\- d2 — ... Д dm с квадратным основанием 1 X 1 м. Для тока, текущего параллельно напластованию, призму можно представить как систему параллельно включенных сопротивлении (рис. 15) с проводимостями

Ai—-cZi/pi, S^-— d2/p2l . , , , S^ — dm/pm.

Проводимость такой системы, как известно из курса физики, равна сумме проводимостей отдельных сопротивлений. Поэтому продольная проводимость S всей призмы равна сумме продольных проводимостей отдельных слоев:

А — Si Н' 8.Л + S3 + . . . + Sm.

Pac. 14. Схема, поясняющая определение суммарной продольной проводимости и поперечного сопротивления пачки слоев

Рис. 15. Система параллельно включенных сопротивлений

Поэтому, если квадратный трехчлен (7.30а) неотрицателен, его дискриминант

В2 — ЛС^О.(7.31)

Подставляя (7.306) в (7.31), получаем (7,29).

Воспользуемся теперь неравенством Коши—Буняковского для изучения свойства анизотропии пачки слоев. Положим в (7.29)

<ti = у S; ='\/dil[>i , bi=-x/Tt =^jdiPi. (7.32) Подставляя (7.32) в (7.29), находим

Ей) < ( Е й/рг) ( Е йр«) = ST. (7.33)

i=i / ki=i /ki=i /

Откуда

D2 ^S-T.

Поделив левую и правую части (7.33) на D2, окончательно записываем

1 < ST ID2 = (Г/П)/(О/5) = рп/рг,(7.34)

что и требовалось доказать.

Корень из отношения pn/pt часто называют коэффициентом макроанизотро иии пачки слоев амакро (в отличие от микроанизотропии, связанной, как указывалось в § 5, с текстурными особенностями горных пород):

<хмакро = VpVpi = a/ST ID.(7.35)

Итак, коэффициент макроанизотропии слоистого разреза всегда больше единицы

«макро ^ 1

и «макро = 1, если среда однородна,

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В ОДНОМЕРНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИX МОДЕЛЯХ

Фундаментальной геоэлектрической моделью в теории электроразведки на постоянном токе является одномерная модель, описывающая горизонтально-однородный слоистый геоэлектрический разрез. Существуют различные способы решения задачи о поле точечного источника в горизонтально-слоистой среде. В нашем курсе, учитывая ту чрезвычайно важную роль, которую играют в современной электроразведке спектральные преобразования электромагнитных полей, мы рассмотрим спектральный метод решения этой задачи.

Спектральные представления в электроразведке

Предварительно напомним некоторые простейшие понятия и определения из теории преобразования Фурье.

Обозначим через Г (х, у, г) произвольную скалярную функцию координат, определенную во всем безграничном пространстве и

абсолютно интегрируемую вдоль любой горизонтальной плоскости р . z = d, где ^!-<d<zd2 (dx н d2 — некоторые константы). Последнее означает, что существует интеграл от модуля F (х, у, г):

jjlfk у, z^\dxdy<oo, (8.1)

для любых г из интервала (dv d2).

Отметим, что необходимым следствием условия (8.1) является стремление функции F (х, у, г) к нулю при х, у оо (для d1<z<dO-

Пространственным спектром функции F (х, у, г) по плоскости Pz называется ее двукратное преобразование Фурье, вычисленное по этой плоскости:

сю

SF(&„ кд1 z) = jj Fix, у, z)&xp[i{kxx +kgy)]dxdy, (8.2) где kx, kg — пространственные частоты.

Очевидно, что ввиду условия (8.1) интеграл (8.2) имеет смысл» т. е. пространственный спектр заведомо существуег для всех z из интервала (dv d2).

Справедлива формула обращения, позволяющая восстановить функцию F (х, у, г) в полосе d1<z<d2 по ее пространственным спектрам:

Р<Л, у, 2)^—1— f( SF(fe„ ky, г)ехр[—1'(^х+^у)]^^. (8-3)

Формулы (8.2) и (8.3) образуют пару преобразований Фурье, устанавливающих взаимно однозначное соответствие между функцией F (х, у, г) и ее спектром SF (6„ ku, z):

F(x, у, z)^SF(kx, kti, zy (8.4)

Указанное соответствие дает возможность при решении тех или иных задач электроразведки переходить от электромагнитных полей к их пространственным спектрам. Такой переход позволяет, как мы убедимся ниже, существенно упрощать решаемые задачи. Решения, полученные в виде пространственных спектров, затем преобразуются с помощью обратного преобразования Фурье к исходным полям. Такова схема применения спектрального подхода к электроразведочным задачам. Эффективность применения спектрального метода объясняется тем, что целый ряд дифференциальных операций над полями на языке спектров сводится к простым алгебраическим преобразованиям, что значительно облегчает решение уравнений электромагнитного поля.

Напомним некоторые простейшие свойства пространственных спектров. Прежде всего найдем спектр от горизонтальных произ- з*

водных функции F

SarЭхSarЭхdF (х, у, г)dF (х, у, г)дхдхexp [i (А,х + Asy)] dxdy =exp [i (А,х + Asy)] dxdy =dF (х, у, г)dF (х, у, г)дхдхexp (ikxx) dx Idy.exp (ikxx) dx Idy.(8-5)(8-5)

Sar

Эх

Sar

Эх

dF (х, у, г)

dF (х, у, г)

дх

дх

exp [i (А,х + Asy)] dxdy =

exp [i (А,х + Asy)] dxdy =

dF (х, у, г)

dF (х, у, г)

дх

дх

exp (ikxx) dx Idy.

exp (ikxx) dx Idy.

(8-5)

(8-5)

dF (x, y, z)dxdF (x, y, z)dx= ехрЦкхх) F(x, y, z)= ехрЦкхх) F(x, y, z)F(x, y, z)exp (ikxx)dx.F(x, y, z)exp (ikxx)dx.

dF (x, y, z)dx

dF (x, y, z)dx

= ехрЦкхх) F(x, y, z)

= ехрЦкхх) F(x, y, z)

F(x, y, z)exp (ikxx)dx.

F(x, y, z)exp (ikxx)dx.

Вычислим интеграл, стоящий в фигурных скобках в (8.5), с помощью интегрирования по частям

exp V^xX) dx = J exp (t'A^x) dF (x, y, z) =

Ввиду стремления F (x, y, z) к нулю при x ->- ± oo первое слагаемое в правой части последнего выражения обращается в нуль, следовательно,

dF (х, у, г) £хр (й^) dx = — ikx f F (x, y, z) exp Ukxx) dx- (8.6) OXJ

Подставляя JK 6) в (8.5) и учитывая (8.2), получаем

Sapiax^x, ^„ z)=— ik^p^x, hti, z).(8.7a)

Аналогичное соотношение справедливо и для SSFidy №х> ку, ZY

SdFiay^x, ky, z^—ikySpVkx, k9, z).-(8.76)

Таким образом, пространственный спектр горизонтальных производных функций F равен спектру самой функции, умноженному на соответствующие пространственные частоты (с коэффициентом —i).

Найдем теперь спектр вертикальной производной функции F (^, У. zY

S9F;dz (kx, kv, г)= И _^£цУ1А_ exp [i (Алх + ft^)] dxdy =

=\ \ F ^ У' г) exP [‘ ^kxx + ktiy^ dxdy =

J J

'= Sp ^’ ^’ Z)'(8.8'

Как видим, пространственный спектр вертикальной производной функции F равен вертикальной производной спектра самой функции.

Пространственные спектры обладают еще целым рядом других замечательных свойств, изложение которых читатель может найти в соответствующих разделах курса высшей математики. Здесь же мы ограничимся простыми соотношениями (8.7) и (8.8), которых, как мы увидим ниже, нам будет достаточно для решения многих электроразведочных задач.

В качестве примера, найдем пространственные спектры поля точечного источника постоянного электрического тока, расположенного в однородной изотропной безграничной проводящей среде с удельным электрическим сопротивлением р. Согласно формуле (3.37) потенциал точечного источника

U (7) = /р/4лг,(8.9)

л скалярные компоненты электрического поля Е находятся по формулам: £,= — dU/dx, Eg= —dUidy, Et= —dUidz. (8.10)

Перейдем в формулах (8.10) от полей к их пространственным спектрам, используя свойства спектров (8.7) и (8.8):

6* — i'A^u, gg^ikyu, е1=—ди/дг =—я',(8.11)

где приняты обозначения

7 = 8^ (^. 6,, г), и - Sy (А„ ку, 2),(8.12)

а штрих означает дифференцирование по z.

Как видим, для вычисления спектров электрического поля достаточно найти спектр и скалярного потенциала. В соответствии с (8.9) и (8.2)

\ ™ехр [i (А^х + Avy)] dxdy.(8.13)

4л J J г

Интеграл в правой части (8.13) —табличный:

\ \ — ехр U (кхх + ^i/)] dxdy =

= С С— exp u fex + hyi}^ dxdy = 2л СХр ^о 1 z В ,

J J д/х -)- у2 г2я°

(8.14а) где

no = VAx + fty.(8146>

Отметим, что в силу обратного преобразования Фурье (8.3) справедливо также интегральное тождество

(8.14в)(8Л5>(8.14в)(8Л5>д | г |/дг = sign г =д | г |/дг = sign г =1,О,— 1,1,О,— 1,г = 0,г = 0,

(8.14в)

(8Л5>

(8.14в)

(8Л5>

д | г |/дг = sign г =

д | г |/дг = sign г =

1,

О,

— 1,

1,

О,

— 1,

г = 0,

г = 0,

V^+^н- z2 т

Подставляя (8.14а) в (8.13), записываем

U = (1/2) /р схр ( — п01 г [)/л0.

Наконец, подстановка (8.15) в (8.11) позволяет определить спектры электрического поля;

ех = (1/2) /pi^cxp ( — п01 г |)/п0, (8.16а) еу — (1/2) Ipiky схр ( — пс ] г |)/п0, (8.166) ег = (1/2) /рсхр(— н0 |г]) д]г|/дг. (8.16в)

Легко видеть, что

Следовательно,

е2 — (1/2) /р ехр (— по | г)) sign г =е2 — (1/2) /р ехр (— по | г)) sign г =(1/2) /рехр( — пог),— (1/2) /р ехр (лог).

е2 — (1/2) /р ехр (— по | г)) sign г =

е2 — (1/2) /р ехр (— по | г)) sign г =

(8-17)

Из (8.17) видно, что при переходеИз (8.17) видно, что при переходечерез плоскость г — 0, содержащую-

Из (8.17) видно, что при переходе

Из (8.17) видно, что при переходе

точечный источник, спектр г-компоненты электрического поля терпит разрыв;

।,1|г«=+о — гг 1г =—о = ~।,1|г«=+о — гг 1г =—о = ~1212/р./р.(8.18)(8.18)

।,1

|г«=+о — гг 1г =—о = ~

।,1

|г«=+о — гг 1г =—о = ~

1

2

1

2

/р.

/р.

(8.18)

(8.18)

Здесь индексом (г = -|- 0) обозначен предел ег при г-+0 с положительной стороны оси Z (z"> 0), а индексом (г = — 0) — предел е2 при г ->- О с отрицательной стороны оси Z (г <0). Спектры же горизонтальных компонент электрического ноля, как видно из (8.16а) и (8,16 б), непрерывны при переходе через плоскость г = 0, содержащую источник.

В заключение отметим, что соотношение (8.18) можно записать для спектров потенциала так;

и.' |2 = +о — а' |г _ -о = — /р. (8.19)

Полученные свойства спектров поля точечного источника надо иметь- в виду при решении задач об электрическом поле в горизонтально-слоистой среде. "

Спектральные представления поля точечного источника в горизонтально-слоистой среде

Рассмотрим одномерную геоэлектрическую модель Земли, состоящую из конечного числа N горизонтально-однородных слоев с сопротивлениями р;- (/ — 1, 2, . . . , /V) и толщинами d-,- (j = 1,. 2N—1), dN = оо.

Предположим, что на поверхности земли (при z = 0) в точке'*Л находится точечный источник постоянного электрического тока силой /. Необходимо найти электрический потенциал U и поле Е этого источника па поверхности земли (при г = 0),

Прежде всего в соответствии с общей теорией распространения постоянного электрического тока в среде (см. п. 3.4) запишем математическую формулировку задачи.

Условие в окрестности источника. Скалярный потенциал в первом слое можно записать как сумму потенциала точечного источника на поверхности однородного полупространства и дополнительного слагаемого, учитывающего искажающее влияние горизонтальных границ:

U (г) = /р1/2лг+У0(г) при +0<г<^—0, (8.20)

причем Ua (г) носит название аномальной части электрического потенциала.

Уравнения для потенциала. Всюду в проводящей среде скалярный потенциал U (г) и функция Ua (г) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнению Лапласа:

At/o(r) = 0 при + 0^z<d!—0;(8.21)

AUCr^O при Z/4-0 z < Z/+i —0, (/=1, 2, . . ., N—2),

(8.22)

где ?/ — dt + de + . . . ф- d/, / = 1, 2, . . ., N—Y — глубина залегания подошвы /-го слоя.

В формулах (8.20) и (8.22) символами ф 0, d,—0, 2/ ф 0 и 2/—О обозначены нижние и верхние поверхности соответствующих границ раздела слоев.

Граничные условия. На поверхности границы раздела земля— воздух ток течет вдоль плоскости 2=4-0, поэтому

ZZ=0, z=+0=0, z=+0г=4-0 dzг=4-0 dz№ !_ /pi

Z

Z

=0, z=+0

=0, z=+0

г=4-0 dz

г=4-0 dz

dz (z=+o 2л

=0.(8.23)dz |г=+ограницах раздела слоев выполняются=0.(8.23)dz |г=+ограницах раздела слоев выполняютсяоткуда

=0.(8.23)

dz |г=+о

границах раздела слоев выполняются

=0.(8.23)

dz |г=+о

границах раздела слоев выполняются

На всех горизонтальных граничные условия

С/|г=г._0=[7|г=г+0;I.

.(8.24)

Условия на бесконечности. Потенциальная функция при удалении точки наблюдения в бесконечность обращается в нуль.

В соответствии с теоремой единственности перечисленные условия однозначно определяют искомый скалярный потенциал точечного источника.

Перейдем теперь от электрического потенциала U (г) к его пространственному спектру

и А 2) = J j U (7) exp ft (М + А$у)] dxdy

—ОО

и перепишем условия 1—4 на языке спектров.

1а. Условие в окрестности источника. Согласно (8.20) и (8.14 а) спектр потенциала в первом слое имеет вид

u(kt, hy, 2) = IpxK-^^n^ + Ua^^ ky, 2) при+ 0<z<’di—0,

(8.20a)

где ua V$x, ky, г) — спектр аномальной части электрического потенциала.

2а. Уравнения для спектров потенциала. Уравнения Лапласа (8.21) и (8.22) на языке спектров записываются так:

(— ikxf иа + ( — 1к^ иа + иа = 0,

(—i^xY п + (— ikyY и - h и" = О, или после простых преобразований

uo = n^iu ^при +0<2<d!—0,(8.21а)

и =пои при 2/_г‘ 0<2<2/—0, (j = 2, . . . , Ny

-(8.22а)

За. Граничные условия. Условие (8.23) для вертикальной производной функции Ua переходит в соответствующее условие для вертикальной производной ее спектра:

Ma)z=o = O.(8.23а)

Граничные условия (8.24) на границах раздела слоев на языке- спектров

и |№._е = t4 +0, Л-и/_^_и<(8.24а)

1Pi z=ij-a pj+L z=z^o

4а. Условия на бесконечности. В последнем W-м слое разреза

и(А„ ку, 2)-* 0 при z-*oo.(8.25)

Найдем спектры иа и и, удовлетворяющие сформулированным, выше условиям. Для этого прежде всего заметим, что общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений (8.21а) и (8.22а) имеют вид

иаЦгх, ку, 2) = и7еПв2+u^e-v при + O^zcdi—0;

(8.26)

и(кх, ку, z) = и/"еПе' + и7-е-"°г при ?,■_,+О ^ z < 2/—О

(/ = 2, 3, . . . , У),(8.27)

где и?, и* (j = 2, 3, . . . , У) — неизвестные коэффициенты, за-

висящие только от пространственных частот kx и ку и не зависящие от г. Следовательно, задача расчета спектров потенциала сводится к нахождению этих коэффициентов. Последнее может быть легко осуществлено с помощью граничных условий и условий на бесконечности.

Предварительно получим единое выражение для спектров потенциала во всех слоях земли, включая первый. Для этого подста- яим (8.26) в (8.20а):

п(£х, ky, z) = ui"eneZ-V и~ё~п®‘ при +0<z^<'di—О,

(8.28)

где ut = и*. «Г = u7 -I- —— /Pl.(8.29)

Заметим также, что в УУ-м слое

и(й„ ку, z) = u£ev + uNe-Лo^

Однако для того, чтобы выполнялось условие на бесконечности (8.25), необходимо положить и^ = 0. Отсюда

и(6„ ку, 0) = и^е-""г при zw-i+0<z.(8.30)

Таким образом, объединяя (8.28), (8.27) и (8.30), мы видим, что в каждом слое спектр потенциала представим в виде суммы двух экспонент: убывающей вниз и возрастающей вниз, причем в последнем слое имеется лишь убывающая вниз экспонента.

Данный результат допускает простое физическое истолкование. Убывающая вниз экспонента описывает вклад в поле точечного источника и всех вышележащих границ слоев, а возрастающая вниз экспонента — вклад отражений от нижележащих от точки наблюдения границ. В основании разреза в слое N (бесконечной мощности) нет отражений, поэтому спектр экспоненциально затухает по г.

Образуем теперь вспомогательную функцию

F^ — u$x, ку, z)/u'(kx, ку, z),(8.31)

■определенную при z > +0. Функцию F (z) будем называть и м - педансным отношением. Физический смысл этого термина будет ясен из дальнейшего изложения.

Очевидно, что искомый пространственный спектр электрического потенциала u Vkx, ки, z) на поверхности земли (при z — + 0) согласно (8.31), (8.20а) и (8.23а) выражается формулой

и (kx, ку, + 0) = F (-Н 0) и' (кх, ку, + 0))=

^/г( + 0)[-/Р1+и;(Ал1 ку, + 0)]=-/Р1^(-|-0). (8.32)

Следовательно, мы решим задачу о поле точечного источника в слоистой среде, если научимся вычислять импедансное отношение F (2).

Заметим прежде всего, что в ^-м слое (при zN_t 4- 0 < 2) согласно (8.30)■

F^ =F^ =uNe nezuNe neznQuNe neznQuNe nez1Ло1Ло(8.33)(8.33)

F^ =

F^ =

uNe nez

uNe nez

nQuNe nez

nQuNe nez

1

Ло

1

Ло

(8.33)

(8.33)

т. е. в нижнем слое — основании разреза — импедансное отношение постоянно.

Далее вычислим F (z) для любого слоя с номером /'. Для этого подставим (8.28) или (8.27) в (8.31):

1 к+еУ-у с V F (z)« — ^,п0 ' и+eV —и^е V1 к+еУ-у с V F (z)« — ^,п0 ' и+eV —и^е Vгде ^/-i + 0 < z < г,—0.где ^/-i + 0 < z < г,—0.

1 к+еУ-у с V F (z)« — ^,

п0 ' и+eV —и^е V

1 к+еУ-у с V F (z)« — ^,

п0 ' и+eV —и^е V

где ^/-i + 0 < z < г,—0.

где ^/-i + 0 < z < г,—0.

Поделим числитель и знаменатель правой части на ^ц+ц— .

F (?) =——-—Ь-—

П° 'х/'tf/UY eV — '\/^/“/" е“ V

Введем обозначение

Qj^lnV U, (uf .

Тогда

F^-AF^-A= J— cth {noz—q^ n0= J— cth {noz—q^ n0exp [noz —9/] -[ ■ exp [ — (noz — q^exp hoz — q,] — exp [ — (n^ — 9/)]

F^-A

F^-A

= J— cth {noz—q^ n0

= J— cth {noz—q^ n0

приZ/-i + 0<z^z/—0. (8.34)

Следовательно, задача отыскания F (2) сводится к задаче определения неизвестных постоянных ^,7—1,2,..., N—1. Очевидно, что в силу граничных условий (8.24а)

PjF (2/ — 0) = p/+1f (z/ + 0).(8-35)

Подставляя (8.34) в левую часть (8.35), находим

— cth (пог/—9/) = р/+1Г (?/ + 0). Ко

Откуда

(8-36)(8-36)qi — ngZj — arcth I -£t±1^L p (Zj 4-L Pi

(8-36)

(8-36)

Найденное значение qi подставим опять в формулу (8.34), полагая в последней z — г5_г 4- 0:

F Vzj-i 4- 0) = -1- cth |n0 (Zj^—г,) 4- arcth [-^p- f

_ _ _L cth Uod,- - arcth p ^i 4- 0; «0 IL Р/

Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение, связывающее значение импедансного отношения F (?) на кровле (/ + 1)-го пласта с его значением на кровле /-го пласта.

Полагая последовательно в формуле (8.37) / = 1, / = 2, / — — 3, . . . , j — N—2, j — N—1, получаем

при /=1 F(4-0) =—— cth |riDdj— arcth £-£^-F(zx + of||, (8.38a) при / = 2 F(zi + 0)=— cth Uo4 — arcth Г-?3^- F(z2 + 0)lj,

»o IL p2

(8.386)

при j — N — 2 F(zN_3'r0) =— cth x

«0

X ^djv-2 — arcth £ ^-i^l f (g^ 0)]j,(8.38b)

при / = /V—1 F(zw-2 + 0) cthx

x (по^-х-arcth [-^F(z^^(8.38r)

Но согласно (8.33)

F(zw_1 + O)=-l/no.(8.39)

Подставляя (8.39) в (8.38г), затем (8.38г) в (8.38в) и так далее, мы получаем следующую общую формулу для расчета импедансного отношения на поверхности земли:

F(-VO)=-(Wng)R0N(n0),(8.40)

где RtiN (н0) — функция параметров нормального jV-слойного гео- электрического разреза и пространственных частот:

Rm (ло) — Rm (пй; рх, di, ра, d^, . . . , Pv-x, dN_x, Рм) —

= cth 1 rtgdx 4- arcth Г -^- cth (noda + arcth f-^ cth xIL Pi \x Pi

ta+ • ■ • + arcth fnocljv-x-I-arcth———

Xpw-i / Z

(8.41а)

где n0 = V^-l-^-

Отметим, что ввиду известного тождества

cth (х + arcth у) - th (х + arth у)

функция £!л? (п0) может быть представлена в эквивалентной форме: Яи(п0)—thfno^ + arth r^th frtod2-|-arthf—th f/vt3+ . . .

IL Pl V\ V

. . . +arth^od,v-i+arth~-^—) - . . ^]|-(8.416)

Функцию R°n (n0) в дальнейшем мы будем называть приведенным импедансным отношением слоистого разреза. Подстановка (8.40) в (8.32) позволяет получить выражение для пространственного спектра электрического потенциала па поверхности земли

* кд, +О) = (/рА)^(по),(8.42)

где учтено, что в силу непрерывности потенциала и его спектра при z = 0 и (kx, кд, 0) = и (кх, к„, — 0) = и (кх, кд, + 0).

В соответствии с формулами (8.11) спектры горизонтальных компонент электрического поля на поверхности земли в этом случае будут

еЛкХ1 ky, O^Vk^rioVPiRN^.

etiVkx, ки, О) = ^по) 1р^аК(пйУ(8.43)

Тем самым на языке спектров задача решена.

Описанный выше простой способ определения импедансного отношения был предложен Н. В. Липской и Л. Л. Баньяном.

Электрическое поле точечного источника в горизонтально-слоистой среде

Перейдем теперь от решения (8.42), (8.43) задачи в спектральной области к самим электрическим полям. Для этого воспользуемся обратным преобразованием Фурье (8.3):

U (х, у, 0) = С [ — - R n (п0) exp [— i <к$х 4- kyy)J dkxdks, 4n J J no

(8.44a)

Ex (x, y, 0) = —7- f fR» (n0) exp [ — i (&xx + k9y^ dkxdks,

(8.446)

Eg (X, у.О^-^И-^К», (По) exp [-( (V + k8y^ dkxdkg, 4ла J J no

(8.44b)

E^x, у, 0) = 0,(8.44r)

где Rn (n0) определяется формулами (8.41).

Выражения (8.446), (8.44в) и (8.44г) можно объединить в векторной форме

Е (х, у, 0) =\ \ i — R°n (л») exp [ — t (Ахх + h^ dk^kg,

J J n0

(8.45)

где n6 — волновой вектор,

ne = Mx+Mv-(8.46)

Формулы (8.44) и дают решение задачи о поле точечного источника, расположенного на поверхности горизонтально-слоистой среды. Интегралы, входящие в правые части (8.44), вычисляют с применением соответствующих численных методов на ЭВМ.

Рассмотрим в качестве примера, как могут быть упрощены полученные соотношения в простейших случаях М — 1 и N = 2.

^ Случай N — 1. Этот случай эквивалентен задаче о поле точечного источника на поверхности однородного полупространства. Формально выражения для компонент поля в этом случае могут быть получены с помощью предельного перехода в формуле (8,41а) для R^a») при ДЛ -* оо:

(8-47)(8-47)R; = Iim^(no)=l.

(8-47)

(8-47)

Здесь учтена следующая асимптотика гиперболического котангенса:

(8.48)(8.48)4- е~х1е-2*

(8.48)

(8.48)

cthx = ——= -► 1 при х -► оо.

ех-е-'1-е-^

Подставляя (8.47) в (8.44а) и учитывая (8.14в), записываем

(8.49) источ-(8.50)(8.49) источ-(8.50)U (х, у, 0) = -—— \ \ exp J — i (kxx + £yf)l dkxdky = 2л 2л ] ) п0

(8.49) источ-

(8.50)

(8.49) источ-

(8.50)

'pt1

что совпадает с известной формулой (7.4) для потенциала точечного ника по поверхности однородного полупространства.

Случай N = 2. Для двуслойного разреза

/?2 (n0) = cth |nodi 4- arcth-^1.IPi J

Преобразуем это выражение, воспользовавшись известной формулой

arcth х =m.

2 х —1

Тогда

arcth -^- =— In ~-i-— —L in£u = — in ^klt ,

Pi 2 рг — Pi2

где fc12 — коэффициент отражения тока границей слоев,

6 is — (Рг — Pi)/(Pe + Pi)-(8.51)

Отсюда

^2 (rto) = cth {Vl — <Л д/*12 } ^

_ exp (M1VVA12 + exp ( — Mi)-У*?Г _exp (Mi)Цкхг — exp ( — Mi)• V*i7

= 1 4-exp( —2MiHu _ f + 2 exp(—2Mi)-fe» .(8 52j

1 — exp ( — 2Mi)-kia 1 — exp( —2М!)-Ь12

Воспользуемся теперь следующим разложением:

" = Е *12 еХР ( ~ 2п0И1) ■(8'53)

J — ехр( —2М1)*и1=0 Х

Подставляя (8.53) в (8.52), находим

^2 ("о) = 1 + 2 2 ^ “Р [ "^О (1 + n ^l] =

= 1-|-2 £ ^2ехр(—гп^).(8.54)

1=1

Следовательно, выражение (8.44а) для электрического потенциала над двуслойным разрезом записывается

;Р14П2;Р14П2U (Х' ^ 0) = 15" ^17*° (”») exp [ - f (V + М)] ДМкн =

;Р1

4П2

;Р1

4П2

— exp [ — i (ьхх + А^)] dkxdk + rtO

(8.55)(8.55)+ 2 V й^2 И l^LL—exp [ — i (A^ + h^ak^ky / , J JnO

(8.55)

(8.55)

i=l—00

Все интегралы, стоящие в выражении (8.55),— табличные. Согласно (8.14в)

— exp [ — i ^к^ + k^)] dk^ky = —■;(8.56а)

"°Vx2 + y2

ехр(—Snoldj) ехр _ . ^х _|_ k^ dkxdky =

2л2л«о

2л

2л

(8.566)

V^ + ya + (2/di)a

Подставляя (8.56а) и (8.556) в (8.55), получаем простые выражения для потенциала

U (х, у- 0) - ~^- 2л

*12

/х= 4- у3 + (2?<Уа

ЕДх, у, 0) =-^1- 2лЕу<х, у, 0)ЕДх, у, 0) =-^1- 2лЕу<х, у, 0)

ЕДх, у, 0) =-^1- 2л

Еу<х, у, 0)

ЕДх, у, 0) =-^1- 2л

Еу<х, у, 0)

-+ 2 у ^,

(8.58а)

^+«V L p-iV+(24)T

(8.586)

Отметим, что аналогичные выражения могут быть полечены для модели с любым числом слоев N, если существует общая мера глубины dQ, целое число раз укладывающаяся в dv d2, . . . , dN_v Для этого достаточно заменить в (8.57) и (8.58 а, б) d^ на d0 и £{2 на qtr где q; — коэффициенты эмиссии, которые могут быть рассчитаны для любого значения I по заданным параметрам многослойного разреза (А. И. Заборовский, 1963 г.).

Поле электрического диполя в горизонтально-слоистой среде

Во многих методах электроразведки в качестве источника поля используется электрический диполь, расположенный на поверхности земли. Обозначим, как и в п. 7.1, через р = Idi — момент тока диполя dl, помещенного в начало декартовой системы координат на поверхности земли. Потенциал горизонтального электрического диполя согласно (7.17), (7.18а) и (8.44а)

UD^—^ U-di=-grad U -р = - — -— рх- —- р =

= t{ (— -р]^ ("о)ex р [ — i(^х + куу)\dkxdky, (8.59)

где п0 = kxdx -|- kydM — волновой вектор.

Отсюда находим выражение для электрического поля произвольно ориентированного горизонтального диполя на поверхности земли

£(х, Ул ^=—@cadUD =

= -По (— ■ р) Ян (я0) exp [ — i (J?xx+куу^ dkxdky.

(8.60>

Следовательно, х- и у-составляющие поля диполя имеют вид

Ех\Х, у, 0) =\ \М~ *Р^ («о) ) X4л J J X п0/

X exp I — t (kxx + fcyt/)] dkxdky,(8.61)

Eg^x, у, 0) =Eg^x, у, 0) =~^J—’М(«о))х4л1 J J " л«J

Eg^x, у, 0) =

Eg^x, у, 0) =

X exp [ — i (kxx + ftyy)] dkxdky.

Если ввести на земной поверхности полярную систему координат (г, <?) с центром в диполе и полярной осью, совмещенной с осью X декартовой системы, то с помощью соотношений (8.61) нетрудно определить азимутальную Е^ и радиальную Ег составляющие электрического поля:

Er = E-dr; Ev»E.dv,(8.62)

где dr — радиальный орт, dr = —dx + ^-d„,(8.62а)

dv — азимутальный орт, d _ +JLrf(8.626)

а на поверхности земли г = УхЧ-уа.

Ew (г, ф, 0) =Ew (г, ф, 0) =(8.63)(8.63)В случае, когда диполь ориентирован по оси X (р = pdx), подстановка (8.61) в (8.62) даст

Ew (г, ф, 0) =

Ew (г, ф, 0) =

(8.63)

(8.63)

Выражение электрических полей в горизонтально-слоистой среде с помощью преобразований Ханкеля

Очевидно, что поле точечного источника, расположенного на поверхности горизонтально-однородной слоистой среды, обладает цилиндрической симметрией относительно вертикальной оси (оси Z), проходящей через источник. В связи с этим в ряде электрораэве- дочных задач оказывается удобным записать электрический потенциал и электрическое поле в цилиндрической системе координат (г, <р, 2). Такая запись может быть получена, например, для электрического потенциала на поверхности земли с помощью интегрального тождества

1”

—- J J7(«o)exp[—i (k^ + kyi/)] dkxdky ~

4л2—CQ

= — I / (л0) n0J0 (л0 Vх2 + уа) dn0.(8- 64)

2л о

где / (л0) — произвольная абсолютно интегрируемая на вещественной полуоси 0 < н0< оо функция; Jo — функция Бесселя нулевого порядка.

Полагая в (8.44а)

(/piM0) Rw^-tV^

и подставляя последнюю формулу в (8.64), получаем

U (г) = Г Rn (л0) /о (V) dnti,(8.65)

2л о

где r^V^H^'

Выражение, стоящее в правой части (8.65), относится к классу интегральных преобразований Ханкеля. Напомним, как определяются эти преобразования.

Пусть f (п0) — произвольная абсолютно интегрируемая на вещественной полуоси 0 < п0<со функция переменной п0:

fjl Hn»)\dn0< ОО. о

Тогда существуют следующие пары взаимно однозначных интегральных преобразований, называемых преобуразованиями Ханкеля или Фурье — Бесселя (порядка т):

№ (И = " / («о) ^т (М rtodno,(8.66а)

о

/ (п0) = Г 74 (г) Jm (nQr) rdr,(8.666)

где т — О, 1, 2 . . . , J т —функция Бесселя порядка т.

Таким образом, формула (8.65) показывает, что электрический потенциал получается с помощью преобразования Ханкеля нулевого порядка от приведенного импедансного отношения слоистого разреза R°n (п0), умноженного на коэффициент /р^лпо- В силу формулы обращения (8.666) справедлива формула

.R^ (п0) = ^ С ML j6 ^^ rdr.(8.67)

Pi J *

о

Отсюда можно сделать важный для теории электроразведки вывод о том, что приведенное импедансное отношение слоистого разреза, однозначно связанное с геоэлектрическими параметрами, может быть определено по измерениям электрического потенциала на разных расстояниях от источника (при заданной силе тока /).

Выразим с помощью (8.65) радиальную компоненту электрического поля точечного источника:

Ег (Г) С ^ (п0) Ji (nor)(8.68)

0г 2л J

О

где использовано свойство бесселевых функций

dJo W)<dr — — nQJx (nar).(8.68a)

Следовательно, радиальная компонента электрического поля есть- преобразование Ханкеля от приведенного импедансного отношения слоистого разреза, умноженного на /pt/2n. Обратное преобразование в данном случае имеет вид

Rn («о) - — (Л (V) rdr.(8.69)

Pi J 'о

Таким образом, измерения электрического поля Ег на различных расстояниях от источника также дают необходимую информацию о геоэлектрических параметрах слоистого разреза (при заданной силе тока /).

Выразим теперь с помощью преобразования Ханкеля компоненты электрического поля диполя. Для этого запишем представление Е = —grad UD в полярной системе координат:

ЕДг, <р) =—QUDidr\Е^г, ф)=—Ur-dUD!d<p. (8.70)

Предположим теперь, что электрический диполь с моментом тока р ориентирован вдоль оси X:

"р = pdx = Idid,,(8.71)

тогда электрический потенциал диполя

UD (г, ф) - -4" grad U • р.- -dlХ + —-d,.

/'\ dr г дф V

(8.72)

В соответствии с (8.62а) и (8.626) орт dx можно выразить через орты полярной системы координат dr и d^

dx = ^-"dr —^-dv--= cos (pd, —’sin <pdrp,(8.73)

где Ф — полярный угол.

Подставляя (8.73) в (8.72), записываем

UD « ф) = -dl cos ф + dl.(8.74)

drr dcp

Однако, как мы знаем [см., например, (8.65)), потенциал U обладает цилиндрической симметрией, т. е. не зависит от ф : U — U (г). Следовательно, производная по ср в (8.74) обращается в нуль, и мы получаем

Uо (с ф) = —dl cos фд(/ (г)/Уг.(8.75)

Подстановка (8.75) в (8.70) позволяет записать

Е, (г, ф) = dl cos ф3217 (r)/dr2,(8.76а)

Е^ V. ф) = —dl sin ф (1/r) 9U (г)/дг(8.766)

С учетом 10.65) последние выражения можно представить в виде

ЕДс ф) =RN^Mn^dn^ (8.77а)

2ло

Е^ (г, ф) =sin ф — f Rn (ио) Jо (nor) dnQ‘ (8-77б) *2л г dr о

Учитывая известные свойства Бесселевых функций, а также формулу (8.68а), записываем

(<32/^) JD(nor)= — Ло^/а^уЛпог)^ (n0/r) J/OV)— лУо(ног).

(8.78)

Таким образом, подстановка (8.68а) и (8.78) в (8.77а) и (8.776) позволяет окончательно получить следующие выражения для радиальной и азимутальной компонент электрического поля диполя на поверхности горизонтально-слоистой земли:

Ег (г, ф) — cos Ф Г Rn (по) У1 («оО — ”ог/о (°ог)1 «о^«о;

(8.79а)

Eq, (г, Ф) = "4^7" sin Ф * R« ^noi ^ 1 (^оН п^п^ (8.796)

§ fl. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

Перейдем теперь к анализу двумерных и трехмерных моделей, содержащих горизонтальные геоэлектрические неоднородности. Эти модели являются теоретической основой методов электрического профилирования. Наш анализ начнем с простейшей двумерной модели с вертикальным контактом, а затем рассмотрим задачу о поле в присутствии шаровой неоднородности.

Поле точечного источника при наличии вертикальной плоскости раздела сред

Рассмотрим простейшую модель горизонтально-неоднородной среды, в которой проводящая земля при z = О граничит с однородной непроводящей атмосферой (р0 = ею). Совместим оси X и. Y декартовой системы координат с поверхностью земли, ось Z направим вертикально вниз. Предположим, что земля разделена вертикальной

Рис. 17, Схема, поясняющая расчет поля точечного источника при наличии вертикальной плоскости раздела сред

плоскостью х = d на две однородные части (рис. 17): левую с удельным электрическим сопротивлением рт и правую с удельным электрическим сопротивлением р2. Поместим в начало координат точечный источник постоянного электрического тока силой /. Задача заключается в нахождении электрического поля этого источника.

Для упрощения решения задачи прежде всего избавимся от влияния границы раздела земля—воздух. Для этого дополним все нижнее полупространство его зеркальным отображением в плоскости z = 0, одновременно увеличив ток в источнике до 2/. В силу зеркальной симметрии задачи очевидно, что вертикальная составляющая плотности тока на поверхности земли в новой модели так же, как в исходной, будет равна нулю. Вместе с тем за счет удвоения силы тока в источнике мы сохраняем величину полного тока в нижнем полупространстве. Таким образом, для всего нижнего полупространства (z > 0) исходная и новая, получаемая зеркальным отображением земли в воздух, задачи полностью идентичны. В то же время последняя задача характеризуется более простой геометрией модели и поэтому допускает более простую технику решения.

Простейший способ решения этой задачи основан на методе зеркальных отображений. Суть этого метода заключается в сле- 84

дующем. Предположим, что вся среда заполнена веществом с удельным электрическим сопротивлением рг. Тогда потенциал точечного* источника тока силой 2/ в этой однородной среде согласно (3.37)

(91) г

Искажающее влияние среды с сопротивлением р2 можно учесть,, если в точку А' (зеркальное отображение А относительно плоскости х = ф поместить фиктивный источник интенсивности 2/' (см. рис. 17). Тогда электрический потенциал в первой среде (при. х < d) где

г = д/Х2 + у2 + Z2 , г' = д/(2^ — Х)3 + у4 + Z3 .

При расчете электрического потенциала во второй среде искажающее влияние вертикальной границы раздела также можно учесть^ поместив дополнительный источник в точку А:

U^ = U (М2) = — ^- — ■(9.3)

2л г

Очевидно, что правые части (9.2) и (9.3) всюду в пространстве удовлетворяют уравнению Лапласа и исчезают на бесконечности. При этом неизвестные постоянные I' и /", входящие в эти выражения, в соответствии с общей теорией, изложенной в п. 3.4, должны находиться из граничных условий (3.33), которые для данной задачи принимают вид

пт т/т 1 dUW 1 ’dU^. /п

UW = Uw, = при х — а. (9.4)

pj дх р2 дх

Подставляя (9.2) и (9.3) в (9.4), записываем

'Pl

1

1

/'Pl 1

I "Ра

1

2л

Го

■ 1

2л /о

2л

Го ’

1

'Р1

d

1

''Pi d

1

'"Ра-

d

pj

2л

Pl

2л

Рг

2л

где

г0 = д/^ + у2 + г3.

Откуда

и + П Р, = /"р=. 1-Г = I".

Г = 2pl I.(9.5),Ра + PiГ = 2pl I.(9.5),Ра + PiРешая последнюю систему линейных алгебраических уравнений относительно Г и /", находим

Г = 2pl I.(9.5),

Ра + Pi

Г = 2pl I.(9.5),

Ра + Pi

I'Рг ~ Р» ] Ра + Р1

КоэффициентКоэффициент

Коэффициент

Коэффициент

(9.6a)(9.6a)ь Рг —Pl

(9.6a)

(9.6a)

Pa - - Pi

’носит название коэффициента отражения тока, а (1—^ 2) — коэффициента пропускания тока. ■Отметим, что соотношение (9.6а) можно переписать в простом виде

р2/Р1^ (1 -гкиУ^ — М-(9-66)

Подставляя (9.6а) в (9.5), окончательно записываем

Г = hvJ; Г' = (1-612) 1.

Отсюда формулы (9.2) приобретают вид

U« - и (М^ =;(9.7а)

2л X г г' )

U^ = U (Мг) =1-612 =1+612 -.(9.76)

2л г 2л г

Для точек наблюдения, расположенных на дневной иоверхно- •сти (г = 0), последние выражения упрощаются:

Um = 2pj_ / — 1;(9.8а)

ц№ = ^Р2* fen ^Pi* + fen(д gg)

2л д/^ + уа2я V*2 + У1

Отсюда дифференцируя по х и по у, находим горизонтальные ^составляющие электрического поля на поверхности земли:

^•(1) ^Р* f. Х(2d *) fen\ /д Qg\

* ' 2Л ^ гу2у<2'

" 2л L (^ + y2) i S L(2d — X)2 + y2J3'2 Л

п№ _ ^р2

(1 —Ли) X

/р.

(1 ■ 1- Aia) х

2л

^+v2^2

2л

(? + i/2)M ’

р^ _ ZP=

(1 — к13) у

(1 -I- fen) У

(9.96)

“2л

(х2 + уУ2

2л

^А-У'Т

Например, вдоль профиля ЛЛ\ совпадающего с осью X, электрическое поле записывается:

Е^ = -^- (1/х2-kui<2d-х)2), Е^ = 0;(9.10а)

Е«> =_^1_ (1 -ккуХ2 = -^ (1 + 613)/х2, Е® = 0. (9.106)

Поле точечного источника в присутствии сферического проводящего включения

Перейдем теперь к анализу простейшей трехмерно-неоднородной' геоэлектрнческой модели, содержащей тар с удельным электрическим сопротивлением р2, помещенный в безграничную однородную проводящую среду с сопротивлением р, (рис. 18). Эта модель, является основной в рудной электроразведке (при р2 < pj, в то же время она может использоваться и для анализа структуры элек- нефтяной залежью (р2 ^> р,)..

тричсского поля над изометр Очевидно, что реальной ситуации отвечает модель однородного проводящего полупространства, содержащего сферическое включение, так как воздух (верхнее полупространство) —- изолятор. Однако расчет поля в модели с безграничной вмещающей средой намного проще, поэтому мы и начнем изложение с этого случая.Будем полагать, что электрическое поле в модели возбуждается точечным источником постоянного электрического тока I, помещен -тричсского поля над изометр Очевидно, что реальной ситуации отвечает модель однородного проводящего полупространства, содержащего сферическое включение, так как воздух (верхнее полупространство) —- изолятор. Однако расчет поля в модели с безграничной вмещающей средой намного проще, поэтому мы и начнем изложение с этого случая.Будем полагать, что электрическое поле в модели возбуждается точечным источником постоянного электрического тока I, помещен -Piic. 18. Схема, поясняющая расчет поля точечного источника в присутствии, сферического проводящего включенияPiic. 18. Схема, поясняющая расчет поля точечного источника в присутствии, сферического проводящего включенияным в точку А вмещающей среды (см. рис. 18). Задача заключается

тричсского поля над изометр Очевидно, что реальной ситуации отвечает модель однородного проводящего полупространства, содержащего сферическое включение, так как воздух (верхнее полупространство) —- изолятор. Однако расчет поля в модели с безграничной вмещающей средой намного проще, поэтому мы и начнем изложение с этого случая.

Будем полагать, что электрическое поле в модели возбуждается точечным источником постоянного электрического тока I, помещен -

тричсского поля над изометр Очевидно, что реальной ситуации отвечает модель однородного проводящего полупространства, содержащего сферическое включение, так как воздух (верхнее полупространство) —- изолятор. Однако расчет поля в модели с безграничной вмещающей средой намного проще, поэтому мы и начнем изложение с этого случая.

Будем полагать, что электрическое поле в модели возбуждается точечным источником постоянного электрического тока I, помещен -

Piic. 18. Схема, поясняющая расчет поля точечного источника в присутствии, сферического проводящего включения

Piic. 18. Схема, поясняющая расчет поля точечного источника в присутствии, сферического проводящего включения

в определении электрического потенциала U и электрического поля Е внутри и вне шара.

Прежде всего введем сферическую систему координат (г, (р, 9) с началом в центре шара и полярной осью (от которой отсчитывается коширота 9), проходящей через точку А. Такой выбор системы координат обусловлен тем, что поле, очевидно, обладает осевой симметрией относительно линии, соединяющей источник и центр шара, поэтому оно не будет зависеть от долготы ф. Расстояние от источника до центра шара АО положим равным d. Обозначим через г радиус-вектор точки наблюдения М, выходящий из начала координат (центра шара). В соответствии с общей теорией (см. п. 3.4) запишем математическую постановку задачи.

Условия в окрестности источника. Скалярный потенциал U (г) всюду в проводящей среде (вне и внутри шара) можно записать как сумму потенциала точечного источника в однородном пространстве U„. (г) (нормального потенциала) и дополнительного- слагаемого Uo (г) (аномального потенциала), учитывающего искажающее влияние шара:

U (7) = Un (7) + Ua Гг) = /р^лЯ + Ua (7), (9.11).

где ^ — расстояние от источника А до точки наблюдения Л!, в соответствии с теоремой косинусов (см. рис. 18)

^ = (^+г2—2drcose)i2.(9.12)

Уравнения для потенциала. Всюду в проводящей среде (за исключением поверхности шара) аномальный скалярный потенциал ■описывается дважды непрерывно-дифференцируемой и ограниченной функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа, которое в сферической системе координат может быть записано (с учетом независимости потенциальной функции от ср)

9 / , ди а X .1 д / . д ди а \ А, /А 104

К— н— —-IsinQ—-2-1 = 0, при Г^=а, (9.13)

дг \ 9r / sin 0 96 X 96 /“

где а — радиус шара.

Граничные условия. На поверхности шара выполняются следующие условия

(9.14a)(9.146)(9.14a)(9.146)U \r=a+o — Р |r^a-(h

(9.14a)

(9.146)

(9.14a)

(9.146)

1ЙЦ 11dU I

Р1дг |г^а+ОРадг |г=а—О

Здесь символами а—0 и а -|- 0 обозначены соответственно внутренняя и наружная поверхности шара.

Условия на бесконечности. Аномальная потенциальная функ- *ция Uo (г) при удалении точки наблюдения в бесконечность обра- лцается в ноль:

Uа (7)^-0ПриUа (7)^-0ПриГ^>- ОО.Г^>- ОО.(9.15)(9.15)

Uа (7)^-0При

Uа (7)^-0При

Г^>- ОО.

Г^>- ОО.

(9.15)

(9.15)

Перечисленные условия по теореме единственности однозначно ■определяют электрический потенциал поля точечного источника в присутствии шаровой неоднородности.

Для решения уравнения Лапласа (9.13) воспользуемся методом •разделения переменных, заключающимся в представлении функции Ua в виде двух сомножителей, зависящих отдельно от переменной гиб:

идг, Ф, Й^СДг, e) = V(r)U7(8).i(9.16)

Подстановка (9.16) в (9.13) дает

„ _L С* + (sin е „ о.дг х дг ) sin 9 99 х 99 )

откуда после деления на VW получаем

V dr х dr ) VT sin 6 96 \90 /

t. e.

V dr \ dr )W sin 0 99 k 96 /'

Левая часть равенства (9.17) зависит только от г, а правая — только от 8, следовательно, это равенство возможно только в том случае, если каждая его часть равна одной и той же константе т:

(sin—т;1(9.18)

if sine ае V а% )’ х г

-—(9.19) V dr \ dr )*

Таким образом, мы разделили переменные в уравнении (9.13)„ сведя его к двум уравнениям относительно функций V (г) и W (6), зависящих отдельно от переменных г и 0. Введем в уравнение (9.18)- новые обозначения:

z = cos 9,(9.20)-

тогда

— [(1-z2)—l + mU7=-.O.(9.21)

дг Ldz; J

Уравнение(9.21) носит название уравненияЛе

жандра. Тривиальным решением этого уравнения является функция 1У (z), равная тождественно нулю: W (z) — 0. В теории специальных функций (А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, 1966 г.) доказывается, что уравнение Лежандра имеет нетривиальные решения в том и только в том случае, когда

т = п (п + 1), п = 0, I, 2 . . .(9.22)

Таким образом, (9.21) окончательно записывается так:

^[(l-^^LJ.p^.^^o.(9.23)

Нетривиальными решениями уравнения (9.23), ограниченными при z — ± 1 (отвечающем углу 8 — 0 и 9 = 180°), являются п о - л и н о м ы Лежандра Pn (г) (отметим, что мы ищем ограниченное решение (9.23) при — 1 ^ 2 < 1 ввиду условия 2 задачи), определяемые формулой Р о д р и г а:

(М4>

Например, первые три полинома имеют вид:

Р6 (г) = p6 (cos 9) = 1,Рх (г) = Рх (cos 9) = cos 9,

Ра (?) = Рг (cos 9) == y (3 cos 29 + 1) и так далее.

Отсюда записываем частные решения уравнения (9.18);

W, (9) = спРп (cos 9), n = 0, 1, 2 (9.25)

где сп — некоторые константы.

Подставляя (9.22) в (9.19), получаем уравнения для V (г):

-^(г -^—n (п+1) V = 0,n = 0, 1, 2. . .(9.26)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнение ^9.26) при фиксированном п имеет следующие два линейно-независимых частных решения'.

V*11 (г) = гп,(9.27а)

V„2) (г)—l/rn+l.(9.276)

Следовательно, общее решение уравнения (9.26) имеет вид

VnVV-b^r^ + b®^,(9.28)

где йп’, Ь^ — некоторые константы.

В соответствии с формулой (9.16) частное решение исходного уравнения Лапласа (9.13) может быть записано

иа (г, 0) - Vn (Г) Гп (9) = №" + №+v) спР„ (cos 6) =

= (AZ 4- BnZ+‘) Рп (cos 9),(9.29)

где Ап — Й’сп, Вп = Ь^сп — новые неизвестные константы.

Общее решение уравнения Лапласа получается в виде суммы всевозможных частных решений

VaV, 9)= £ (AZ+B»Z+l)Pn(cos9). (9.30) л=0

Итак, аномальный потенциал представим в виде ряда по полиномам Лежандра. Коэффициенты этого ряда можно найти из условий на бесконечности и граничных условий. Прежде всего заметим, что всюду вне шара (при г>-а) аномальный потенциал должен убывать с ростом г. Следовательно, при г>-а мы должны положить Ап — 0 (л = 0, 1, 2, . . .) и записать

^п V» 9) = £ (BZ" +1) P^cos 9) при г > а + 0. (9.31) л—0

Напротив, при г<а надо потребовать Вп = 0 (п — 0, 1, 2 . . .), так как аномальный потенциал внутри шара должен описываться ■ограниченной функцией

Va(r, 9) = £ А п^Рп (cos 9) при г<а—0. (9.32) п=0

Подставляя (9.31) и (9.32) в (9.11), получаем выражения для электрического потенциала точечного источника в присутствии проводящего шара снаружи и внутри последнего:

U V, 9)=-^U V, 9)=-^(9.33)(9.33)£ VBn!rnИ) Prt (cos6), г>а-гО;

U V, 9)=-^

U V, 9)=-^

(9.33)

(9.33)

Для определения неизвестных коэффициентов Ап и Вп воспользуемся граничными условиями (9.14а) и (9.146). Подстановка (9.33)* в (9.14а) дает

5 (A^ — BJa^ Р« (cos 6) =0,(9.34)

п—о

откуда в силу ортогональности полиномов Лежандра

А^-В^а^-О, п = 0, 1, 2, . . .(9.34а)

Прежде чем подставить (9.33) в (9.146), выразим нормальный потенциал Ipd^R в формуле (9.33) также через полиномы Лежандра. Для этого обратимся к формуле (9.12):

—^— =(d2 + г2—2dr cos О)-12.

4лЯ 4л

Выражение в круглых скобках, как следует из теории полиномов Лежандра, можно разложить в ряд по этим полиномам. При этом, возможны два случая:

r<;d,''

У Гр- <cos 9^t9-35^

r?>d,

— - — У (-d-Y Р„ (cos 0).(9.356)

п=0

Полагая, что red (т. е. что точка наблюдения находится в окрестности шара) и подставляя (9.35а) в (9.33), получаем

у (~4rn/dn+1+я^1)р" (c°s Q)- /1=0

(9.36)(9.36)У (~7Л'^+3-1-л„г)Рп(cos9), г: . п=0

(9.36)

(9.36)

Следовательно, радиальная производная потенциала

У (^- ^‘/d^^^ + .l) BJr^Pn (cosO), п=0

ди у, 9) _ dr "ди у, 9) _ dr "а + 0<ге^;(9.37)

ди у, 9) _ dr "

ди у, 9) _ dr "

У (^- rn-xidn^x ^пАп^уп (COS 9), (1=0

Подставляя (9.37) в (9.146), записываем

Pi P2 / 4л

—п- АпсГ'\рп (cos0)=0.

Pa J

Отсюда в силу ортогональности полиномов Лежандра

(9.38)

1 1 \ ■^Pi,i п—I / Jn+i (^ 'Ь 0 о !ап^

А^-1 =0,

п = 0, 1, 2, . . .

(9.38а)

Мр2 —Pi)Мр2 —Pi)(9.39)(9.39)

Мр2 —Pi)

Мр2 —Pi)

(9.39)

(9.39)

Решая совместно систему уравнений (9.34а) и (9.38а) при каналом фиксированном п относительно Ап и Вп, получаем

Д 1 = ^Р1 п (р2 — Р1)*

4л(л + 1) Ра "И npi dn+l

/pi »(Рг — Pi)

4 л («Ч-Ора + пр! dn+i

Подставляя (9.39) в (9.33), окончательно записываем

кп - 1- (—-Y Рп (cos 6), г < а—0,

(9.40)

где kn = ————^«коэффициент отражения» тока от поверх* (л + 1) Pi + npi

носги шара.

Шар в однородном поле

Рассмотрим случай, когда точка наблюдения М находится вблизи шара, а источник А удален достаточно далеко как от шара, так и от точки наблюдения М (рис. 19): d > г, R > г и d > а. Тогда можно полагать, что в области, где находятся точка наблюдения и шар, электрическое поле практически однородно. Следовательно, задача расчета поля в точке Л1 может рассматриваться в этом случае как задача о шаре в однородном электрическом поле. Очевидно, решение этой задачи можно получить, если в разложениях (9.40)

ограничиться первым членомограничиться первым членомU (г, 0) = -121—|_-2.Р14л/? 4лU (г, 0) = -121—|_-2.Р14л/? 4лряда (поскольку r/d <§( 1 и aid. < 1):

ограничиться первым членом

ограничиться первым членом

U (г, 0) = -121—|_-2.Р1

4л/? 4л

U (г, 0) = -121—|_-2.Р1

4л/? 4л

А “- P1(=OS0) г>а+о

1 d2 г2

^-^-PitcosO), r^a—0.

(9.41)

t/(r, 0)= -^- +74л/?t/(r, 0)= -^- +74л/?/Р14 л/?2/Р14 л/?26гcos 96гcos 9п=/Лг,п=/Лг,г > a + 0, г < а—0,г > a + 0, г < а—0,(9.42)(9.42)Перепишем последнее равенство, учитывая, что в данном случае R» d и ?! (cos 0) = cos 0:

t/(r, 0)= -^- +74л/?

t/(r, 0)= -^- +74л/?

/Р1

4 л/?2

/Р1

4 л/?2

6гcos 9

6гcos 9

п=/Лг,

п=/Лг,

г > a + 0, г < а—0,

г > a + 0, г < а—0,

(9.42)

(9.42)

Рис. 19, Схема, поясняющая решение задачи о проводящем шаре, расположенном в однородном полеРис. 19, Схема, поясняющая решение задачи о проводящем шаре, расположенном в однородном поле(9.44)(9.44)(9.44а)(9.44а)

Рис. 19, Схема, поясняющая решение задачи о проводящем шаре, расположенном в однородном поле

Рис. 19, Схема, поясняющая решение задачи о проводящем шаре, расположенном в однородном поле

(9.44)

(9.44)

(9.44а)

(9.44а)

Заметим теперь, что

/Pi/4np = Un,

/Р1/4лЯа = —dUJdr — Еп,

(9.43)

где Еп — проекция нормального электрического поля (т. е. поля точечного источника в однородной безграничной среде) на линию АМ, соединяющую источник и точку наблюдения. Отметим, что ввиду малости г по сравнению с R и d можно полагать,

что Е„ есть проекция нормаль

ного электрического поля на линию ЛО, соединяющую точку А

и центр шара.

Если обозначить через х текущее расстояние по этой линии, отсчитываемое от центра шара (см. рис. 19), то

Еп= — dUrjdx,

где х = г cos 0.

Интегрируя (9.44), находим

Un = 7р1/4л/? = —Епх + const = —Enr cos 0 4- const. (9.45)

Заметим, что в (9.45) можно положить const = 0, так как в модели однородного поля электрический потенциал выбирается с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Подставляя (9.43) и (9.45) в (9.42), окончательно записываем

UV, 8)=—£Vcos6+Ebreos0

(п/r)8,1,

Или для точек наблюдения, лежащих на полярной оси X, с учетом (9.44а) получаем

U (х) ~ — Епх\ 1 + A^Vr5),г > "а + О,

■^.и ^х)=—Enx^+ki\<<а—0.(9.47)

В частности, для аномального потенциала вне шара

Ua (х) = —Enxk^jr®.(9.48)

Сопоставим формулу (9.48) с выражением (7.18) для потенциала дипольного источника, находящегося в точке 0 — центре шара и ориентированного по полярной оси X (см. рис. 19). Очевидно, если в (7.18) принять момент диполя

р = —2nEnkJpia4x,(9.49)

где dx — орт полярной оси X, эта формула становится эквивалентной (9.48).

Следовательно, аномальное поле проводящего шарового включения, помещенного в однородное электрическое поле, эквивалентно полю электрического диполя, расположенного в центре шара. Физическим источником аномального поля являются электрические заряды, индуцированные нормальным полем на поверхности шара. Однако распределение этих зарядов, как мы убедились выше, эквивалентно дипольному источнику в центре шара.

Поле в однородном полупространстве, содержащем сферическое проводящее включение

Перейдем теперь от модели шара в однородном безграничном пространстве к более приближенной к реальным электроразведочным ситуациям модели шара в однородном полупространстве.

Пусть горизонтальная граница раздела земля—воздух проходит через точку А, содержащую источник. Учет влияния плоской границы раздела земля—воздух можно выполнить, если зеркально отобразить шар в верхнее полупространство (см. рис. 18 и 19) и заполнить все верхнее полупространство веществом с удельным электрическим сопротивлением ръ а шар — веществом с сопротивлением р2 (равным сопротивлению сферического включения в нижнем полупространстве). Аномальное поле в такой модели, очевидно, будет обусловлено действием двух шаров, находящихся на одинаковом расстоянии от точки наблюдения. Следовательно, формулы для электрического потенциала на поверхности земли в данной модели в первом приближении можно получить непосредственно из выражений (9.40) и (9.47), удвоив в последних аномальную часть потенциала (и, кроме того, удвоив силу тока / в источнике):

Щг- 6)- ^ +2>Р"^^гр"(с“в|: W

П=1

и ^ - — Е^х (1 + 2^0?;^.(9.51)

Отметим, что, хотя выражения (9,50) и (9.51) дают приближенное решение задачи для шара в полупространстве, их точность достаточно высока (расчеты показывают, что при глубине залегания верхней кромки шара, большей его радиуса а, погрешность формул (9.50) и (9.51) по сравнению с точными формулами, учитывающими взаимное электрическое влияние зарядов в реальном и фиктивном (полученном отражением) шарах, не превышает 5 %).

Проиллюстрируем, как ведет себя электрическое поле на поверхности земли вдоль прямой, проходящей над центром шара через источник Л. Поместим начало декартовой системы координат в точку N — проекцию центра шара на земную поверхность. Ось X направим вдоль плоскости раздела земля—воздух на источник, ось Z — вертикально вниз. Заметим, что в этой системе координат формула (9.51) сохраняется, так как новая ось X параллельна старой (полярной) оси (см. рис. 19).

Точка наблюдения М, центр шара О и источник А имеют следующие координаты:

М : (х, 0, 0); О : (0, 0, ге); А = (х, 0, 0).

В этих обозначениях (см. рис. 18)

d?.Vr2-R2cos 6 =Mrd?.Vr2-R2cos 6 =Mrо,R—x' —х,4 + ххо,R—x' —х,4 + хх(9.52)(9.52),2о,2оvх -гзПодставляя (9.52) в (9.50), записываемvх -гзПодставляя (9.52) в (9.50), записываем

d?.Vr2-R2

cos 6 =

Mr

d?.Vr2-R2

cos 6 =

Mr

о,R—x' —х,

4 + хх

о,R—x' —х,

4 + хх

(9.52)

(9.52)

,2о

,2о

vх -гз

Подставляя (9.52) в (9.50), записываем

vх -гз

Подставляя (9.52) в (9.50), записываем

U (х) = ^- -Н 2 -*' 2л (я' — х) 2U (х) = ^- -Н 2 -*' 2л (я' — х) 2n^-in^-i

U (х) = ^- -Н 2 -*

' 2л (я' — х) 2

U (х) = ^- -Н 2 -*

' 2л (я' — х) 2

n^-i

n^-i

1...р«4-1"^ГГ1...р«4-1"^ГГг0г0(9.53)(9.53)Т^оТ^о

1...р

«4-1"

^ГГ

1...р

«4-1"

^ГГ

г0

г0

(9.53)

(9.53)

Т^о

Т^о

Для шара в однородном поле определяем

(9.54)(9.54)U (х) — —Епх (1 - 2^-

(9.54)

(9.54)

Дифференцируя полученные выражения по х, можно найти формулы для горизонтальной составляющей электрического поля. Опуская некоторые преобразования, приведем окончательный вид этих формул.

Для поля точечного источника

Ех~Ех~/Pi 12л (V — х)2/Pi 12л (V — х)2-1-2-1-2

Ех~

Ех~

/Pi 1

2л (V — х)2

/Pi 1

2л (V — х)2

-1-2

-1-2

п-НпЧ-1

(/Xl"zo) 2 (?.! г2) 2

X[V,2 + г2 pn (cos ^,1+ ^p(cos 6)]e l(9 55)

(X —x)

Для однородного поля согласно (9.54)

Е _ dU WхдхЕ _ dU Wхдх= Еп 1 + 2^а3= Еп 1 + 2^а3Zg —2?'Zg —2?'(9.56)(9.56)

Е _ dU Wхдх

Е _ dU Wхдх

= Еп 1 + 2^а3

= Еп 1 + 2^а3

Zg —2?'

Zg —2?'

(9.56)

(9.56)

Полученные формулы используются при интерпретации элек* троразведочных данных над геоэлектрическими разрезами, содержащими локальные неоднородные включения.

§ 1». ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗОНДИРОВАНИЯ

Электрические зондирования — одни из основных методов электро* разведки на постоянном токе. Они направлены на получение информации о вертикальном распределении электрических сопротивлений в земле по измерениям электрического поля на земной поверхности.

Фундаментальной геоэлектрической моделью для электрических зондирований является одномерная модель, т. е. горизонтальнооднородный слоистый геоэлектрический разрез, в котором р— функция только глубины г. Теория растекания постоянного электрического тока в одномерных моделях была рассмотрена в § 7 и 8. В § 8 мы убедились, что для получения информации о геоэлектрических параметрах одномерной модели необходимо на поверхности земли знать электрический потенциал U или электрическое поле Е на различных расстояниях от источника. На этих простых соображениях и базируется методика электрических зондирований. Изложение основ этих методов мы начнем с описания схем измерительных установок, применяемых при электрических зондированиях.

Схема измерений в методах электрических зондирований

Электрическое поле при электрических зондированиях на постоянном токе обычно создают системой точечных или дипольных источников, располагаемых различными способами на дневной поверхности. Электрический потенциал или поле этих источников измеряют в одной или нескольких точках на поверхности земли с помощью измерительных электродов, которые с целью упрощения теории также можно считать точечными.

В простейшей схеме измерений используется четырехточечная установка AMNB с двумя питающими Либи двумя измерительными М и N электродами (рис. 20). На практике обычно к питающим электродам Л и В подключают какой-либо источник постоянного тока так, что через электрод Л в землю втекает ток силой /, а через электрод В вытекает (т. е. сила тока равна — /). При этом производят измерения разности потенциалов MJMN между изме-

Рис. 20. Четырехточечная установка AMNB

a

,у -— *

AMN&

А м a n

в

Рис. 2/. Измерительные установки, применяющиеся в методах электрических зондирований:

а — прямолинейная четырехточечная, б — симметричная, в — ортогональная, г — Дивергентная, д — трехточечная, е — двухточечная (потенциальная)

5

А

е

А

N*

Ц-»’g^.^>

ригельными электродами М и N. Очевидно, что величина измеряемой разности потенциалов в соответствии с законом Ома пропорциональна силе тока / в источнике и является функцией от распределения геоэлектрических параметров разреза. Например, в простейшем случае однородного полупространства с удельным электрическим сопротивлением р потенциал точки М определяется как сумма потенциалов двух точечных источников А и В в соответствии с формулой (7.4):

ы /р / 11 \

V м — ™— ]— 1.

\ лм ВМ /

Аналогично для потенциала точки N

U — lp f 11

U N —I '—-— I 1

X ANBN /

где расстояния гДМ, rBM, rAN, rBN показаны на рис. 20. Следовательно,

Ml — П ..п — ^ ( 11।11 \

z X AM BM BN an /

(10.1)'

t. e. в данной модеди MJMN пропорционально p.

Заметим, что, если расстояние между измерительными электродами rMN достаточно мало, отношение ^UMff!rMN стремится к величине EMN (проекция электрического поля на линию MN) в точках измерения. Такиеизмерительные установки называются предельными. Они позволяют измерять не-

97974 Заказ № 1723

97

97

посредственно электрическое поле Е на поверхности земли. В частности, для четырехточечной установки, расположенной на поверхности однородного полупространства, поле Е, так же как и разность потенциалов, пропорционально силе тока в источнике и удельному электрическому сопротивлению р:

Г ^UmN ^Р / *|1 I 11 \

ЬМН ~"7IГ —) •

fMN ZnrMN \ ГАМ ГВМ 'BN ГАН )

(10.2)

На практике применяют следующие разновидности четырехточечных установок (рис. 21).

Прямолинейная четырехточечная установка. В этой установке все электроды располагаются по одной линии (рис. 21, а). При этом обычно измерительные электроды размещают в пределах средней трети отрезка АВ, поскольку в этом случае установка близка к предельной.

Симметричная четырехточечная установка (установка Шлюмберже}. Наиболее распространенным видом прямолинейных установок является симметричная установка Шлюмберже, в которой питающие электроды Л и В и измерительные М я N расположены симметрично относительно некоторого центра О (рис. 21, 6}. При этом, как правило, выбирают rMN < гдв /3 для того, чтобы установка по своим свойствам была бы близка к предельной.

Для симметричной установки (см. рис. 21,6) rAM — rBN и ган = гвм* следовательно, формулы (10.1) и (10.2) записываются следующим образом:

^^мм —^^мм —М КрrAMrANМ КрrAMrANMN ~ rAMrANMN ~ rAMrAN(10.3)(10.4)(10.3)(10.4)

^^мм —

^^мм —

М Кр

rAMrAN

М Кр

rAMrAN

MN ~ rAMrAN

MN ~ rAMrAN

(10.3)

(10.4)

(10.3)

(10.4)

В случае точных предельных установок (при rMN -* 0) выражение (10.4) переходит в формулу

Emn^(10.5)

где г = гдо — половина расстояния между питающими электродами.

Ортогональная установка. Состоит из питающей линии АВ и вынесенной от нее в сторону по нормали к ней измерительной линии MN (рис. 21, в)."

Дивергентная установка. Простейший вид дивергентной установки показан на рис. 21, г. От симметричной установки она отличается тем, что в нее добавлен еще один измерительный электрод О в центре установки. Это позволяет измерять не только разность потенциалов M/MN, но и разности потенциалов MJ№0 и MJqn- Очевидно, что при этом разность &U0M —^Uon, отнесенная

к расстоянию rMW, пропорциональна второй производной потенциала в середине установки. Если к измерительным электродам MON добавить пару M'N* электродов, расположенных по линии, проходящей через точку О ортогонально к линии MN, мы получаем дивергентную установку для измерения двух вторых производных потенциала по ортогональным направлениям. Из теории известно, что сумма этих вторых производных равна (со знаком минус) дивергенции горизонтальной составляющей вектора электрического поля Е^л

дх2 1 ду* дх ду

Именно поэтому данная установка получила название дивергентной.

Трехточечная установка. Если в прямолинейной четырех- точечной установке электрод В отнести на бесконечность (5 -> оо), получающаяся схема измерений носит название трехточечной установки (рис. 21, д). Такая установка возникает на практике, если электрод В удален настолько далеко от точек измерения, что создаваемое им электрическое поле пренебрежимо мало по сравнение с полем электрода А. На поверхности однородного полупространства разность потенциалов, измеряемая трехточечной установкой, определяется формулой, получаемой из (10.1) при там -> оо и Гу^ —*" °®’

(10.6)(10.6)агг . fP гмн

(10.6)

(10.6)

^MN" ——

2л г.„г

AM AN

Предельная трехточечная установка называется установкой Гуммеля. Для нее формула (10.2) записывается как

(Ю.7>(Ю.7>EMN = Ipl2nr\

(Ю.7>

(Ю.7>

гДе г — расстояние от точки А до точки измерения поля О.

Двухточечная (потенциальная) установка. Получается из трехточечной, если измерительный электрод N также отнести в бесконечность (на практике это означает, что электрод N располагают столь далеко от источника тока А, чтобы потенциал точки N был бы близок к нулю). Следовательно, двухточечная установка позволяет измерять непосредственно потенциал точки М (этим и определяется ее название). В частности, на поверхности однородной земли

(10.8)(10.8)UM = /р/2лг,

(10.8)

(10.8)

ГАе£ ~глм«

И »^nw«. установки. Эти 1 установки были предложены ' ’ Альпиным. Они получаются из четырехточечных, если пи- щие ^" и измерительные MN электроды сближены настолько, «ПЛИНЫ отРезков глв и rMN много меньше, чем расстояние между центрами этих отрезков (рис. 22).

Различают следующие типы дипольных установок в зависимости от угла ф между осью питающего диполя Л В и радиусом-вектором г, соединяющим центры диполей, а также от угла 0 между осью измерительного диполя MN и г (см. рис. 22): а) азимутальная (р = л/2); б) радиальная (0 = 0); в) параллельная (Р = ф); г) осевая (ф = 0, 0 = 0); д) экваториальная (ф = л/2).

Очевидно, что в случае дипольной установки с помощью измерительного диполя MN определяется проекция электрического поля на ось приемного диполя:

^MN ~ ^MN^MN' (10-9)

Для предельных установок приближенное равенство (10.9) переходит в точное.

Электрическое поле, так же как и электрический потенциал, является функцией момента р = 1гдв электрического диполя АВ и геоэлектрических параметров разреза. Например, в случае однородного полупро

£ = Зр г (— 2л/-3 г V г£ = Зр г (— 2л/-3 г V гстранства в соответствии с формулой (7.19)

£ = Зр г (— 2л/-3 г V г

£ = Зр г (— 2л/-3 г V г

1—7(10.10) 2лг3

(10.11)(10.11)Момент диполя р можно разложить на две ортогональные составляющие:

(10.11)

(10.11)

Р = РА'Рг«

где рг — проекция р на радиус-вектор г, а р.х — ортогональная ей компонента, определяемые формулами (4.66а) и (4.666). С учетом последних формул выражение (10.10) переписывается так:

Е = ~ТР- = -^"р,- ^Р. (10.12) 2лра 2 л г4 № 2лг3

Интересно заметить, что в случае дипольно-осевой установки У—>- 11 ^

Ф = 0, pt = 0, р = р, и формула (10.12) записывается

£д-» = (р/лга)р.(10.13)

Откуда

Емы = 1ргдв^ . .(Ю.14)

и в соответствии с (10.9)

Д^м№^лвгм^яг®-00Л5)

Для дилольно-экваториалыюй установки ф = л/2, р, = О, р" - 7т 11

Ед-,= —(р/2лг»)р.(10.16)

В частности, при измерениях с параллельной экваториальной

установкой

Емы = 1ргАВ12п.Н,

(10.17)

отсюда

AUMR^lprABfy^nr6.

(10.18)

Для азимутальной установки (см. рис. 22)

р _ Р „ _ ^b’^V

(10.19)

" 2пг> Рт2лг»

«

Л Umn = ^P^ab^mn sin ф/2№.

(10.20)

Наконец, для

радиальной установки

F _ Р „ _ 1>/IBC1,S(t)

^MN-з Рг—

(10.21)

И

Д Um N = ^АВ^М N COS <р!лГ».

(10.22)

Понятие кажущегося удельного электрического сопротивления

Выше мы уже отмечали, что главной задачей электроразведки является нахождение распределения удельных электрических сопро- гпвлений в земле по измерениям электрического поля на поверхности земли, т. е. решение обратной задачи. В общем случае для решения обратной задачи необходимо привлекать достаточно сложные математические приемы и методы интерпретации. Однако в простейшей ситуации однородного геоэлектрического разреза, как следует из формул предыдущего пункта, существует чрезвычайно простая связь между электрическим потенциалом, электрическим нолем заданных источников постоянного тока I и удельным электрическим сопротивлением р однородного полупространства. С по- мощыо этой связи можно непосредственно вычислять р по измеренным нолям. Например, для произвольной четырехточечной установки в соответствии с формулой (10.1) находим

' р :,(|0>23)

О'^ЛД1 “ ^ГВМ + ^rBN — ^rAn) 1

Если ввести обозначение.

К = 2л(1/глм-1/гВЛ1 + \lrPN-\lrANy\ (10.24)

" Таблица 1

Тип измерительной установки

Схема измерений

Формула для определении рк

Номер формулы, на основе которой получена формула для рк

Геометрический коэффициент установки К

Прямолинейная четырехточечная

А МН5

Pk_a._a^l (])

(I0J)

—— (la)

к^гдм— ХивмА-Мгвм— 1/мм)

Симметричная (Шлюмберже)

рк=К^^ (2)

(10.3)

К = №амгдн,гмн(2а)

Предельная симметричная

А мам в

Рк = к -^-(3)

(10.5)

К = лА г=гд0(За)

Трехточечная

• ■ е f •*

рк = Х^^- (4)

(10.Б)

К — 2лгд м'А N^M N(4а)

Предельная трехточечная (Гуммеля)

А МОН В^оо

Рк - К ^-(5)

(Ю.7)

X = 2лг®, г = г до(5а)

Двухточечная (потенциальная)

АМ Л/—оо

В --оо

(10.8)

X —- 2лг, г = гАМ(6а)

Продолжение гада, i

Тип измерительной установил

Схема намерений

Формула для определения рк

Номер формулы, на основе которой получена формула для рк

Геометрический коэффициент установки К

Азимутальная

М

<^30*

?/=:*

EUmn 1

(7)

(10.20)

К = to^lrABTMN sin ^

(7а)

Предельная азимутальная

А

Qi В

Рк К

Emn 1

(8)

(10.19)

К

= 2лг3/гд в sin <р , г = гоуО»

(8а)

Параллельная

Рк= Д

MJ MN

O)

(10.18)

К = 2лг^1г а втм N

(9а)

дипольно- ^кваториалъная

д»

м ог

N

I

Предельная параллельная дипольно- экваториальная

В 1

Рк = к

Emn

1

(10)

(10.17)

К = 2л.г3/глв, г= гого2

(Юа)

Дипольнорадиальная

А

М*

pк = ^

MJ mN I

(И)

(10.22)

К = nrslrAB’'MNC0^W

(11а)

Предельная Дипольно-радиальная

А

0; В

Рк - к

Emn I

(12)

(10.21)

к

= дг^гд в cos Ф, г = гогО2

(12а)

Дипольно-осевая

Рк = К-

MJ MN $

(13)

(10.15)

к = n^/rAB^MN

(13а)

► Предельная дипольно-осевая

A bt 8

му

рк = к

Emn I

(14)

(10.14)

К = ЦТ*!ГД в, г = г0^2

(14а)

то (10.23) переписывается:

p = KA[7A1JV/j.(10.25)

Формула (10.25) позволяет по известной силе тока / в питающей цепи и разности потенциалов MJMN между измерительными' электродами, расположенными на поверхности однородной среды, определить удельное электрическое сопротивление этой среды.

Однако реальный разрез земли далеко не однороден. Поэтому при подстановке в формулу (10.25) результатов реальных измерений мы получаем не истинное удельное сопротивление какого-либо- слоя земли, а некоторую фиктивную, кажущуюся величину, обозначаемую рк и называемую кажущимся удельным электрическим сопротивлением:

Рк-KMWL(10.26)

Кажущееся удельное электрическое сопротивление заведомо отличается от истинного сопротивления слоев земли и носит фиктивный характер. Тем не менее определять этот параметр чрезвычайно* полезно, поскольку, как мы увидим ниже, он позволяет в конечном итоге после соответствующего анализа судить об истинном сопротивлении земли. Кроме того, как видно из (10.26), при вычислении рк мы как бы осуществляем нормировку измеренного сигнала &UM№ на силу тока в питающей цепи I и тем самым приводим результаты! наших измерений к некоторой стандартной форме, отвечающей току единичной силы.

По аналогии с (10.26) можно записать выражения для кажущихся удельных электрических сопротивлений для различных, типов измерительных установок, применяемых в электроразведке (табл. 1).

Сущность метода вертикальных электрических зондирований

Идея метода вертикальных электрических зондирований заключается в следующем.

Пусть геологический разрез земли состоит из трех горизонтальных слоев различного удельного электрического сопротивления ро р2 и ра. Расположим на поверхности земли симметричную четырехэлектродную установку AMNB. Как мы знаем, глубина проникновения постоянного электрического поля в землю определяется половиной расстояния между питающими электродами А и В. Предположим сначала, что расстояние гдв намного меньше толщины, первого слоя. Тогда все поле, посылаемое в землю, затухает, не достигая второго слоя. Иными словами, поле «не чувствует» второго- и тем более третьего слоев; для него весь разрез как бы состоит из. пород первого слоя, т. е. является однородным с сопротивлением р,. Следовательно, кажущееся сопротивление, вычисленное для такой установки, совпадает с сопротивлением первого слоя: рк = ри

Если теперь увеличить расстояние (разнос) между питающими

электродами Л и 5, причем так, чтобы гАв^ было соизмеримо с толщиной первого слоя, поле начнет проникать во второй слой и на величину рк будут оказывать влияние как рх, так и р2. При дальнейшем увеличении разносов гАВ поле проникает в третий слой и сопротивление последнего р3 также начинает влиять на кажущееся удельное электрическое сопротивление рк. Таким образом, по мере увеличения разносов питающих электродов электрическое поле все глубже проникает в землю. При этом исследователи получают информацию о все более глубоких слоях земли, как бы зондируют разрез по вертикали.

Описанная выше методика получила название вертикального электрического зондирования (сокра-

Рис. 23. Полевая кривая ВЭЗ над тре.хслойным разрезом Щ > Ра < рп

щен по ВЭЗ). Основным полевым материалом работ методом ВЭЗ являются полевые кривые кажущихся сопротивлений — графики зависимости рк от параметра глубинности исследования гдв/2. При построении этих графиков с целью удобства дальнейшей интерпретации (см. § 11) по вертикальным и горизонтальным осям декартовой системы координат откладывают не сами значения рк п гдр/г, а их логарифмы. Поэтому кривые ВЭЗ строят на билога- рифмических бланках (по вертикальным и горизонтальным осям которых отложены логарифмы исследуемых величин). Пример типичной полевой кривой ВЭЗ над трехслойным разрезом с соотношением удельных электрических сопротивлений слоев р]>р2-<Р» приведен на рис. 23. Эта кривая качественно отражает изменения удельного электрического сопротивления земли по вертикали, хотя численно кажущиеся сопротивления п общем случае не совпадают с. истинными сопротивлениями соответствующих слоев разреза. Поэтому для количественного определения параметров геоэлек- трического разреза полевые кривые ВЭЗ следует подвергать соответствующей расшифровке (количественной интерпретации). Методика такой интерпретации будет описана ниже.

Отмстим, что при вертикальных электрических зондированиях используют не только симметричные установки, но и трехточечиые и двухточечные (см. табл. 1).

Приведем теперь аналитические выражения для кажущихся электрических сопротивлений для основных типов измерительных установок (см. табл. 1).

Предельная симметричная установка. Согласно формулам (3) и (За) табл. 1 в этом случае

pK = «r'EMNIL (10.27)

Величину Emn мы найдем, воспользовавшись формулой (8.68):

(10.28)(10.28)EMN = 2Er (г) = -^ J R^ fa)^ (п/) nodn6,я о

(10.28)

(10.28)

где г = гА0.

Коэффициент 2 перед Ег в (10.28) появляется из-за того, что в симметричной установке имеется два питающих электрода А и В; посылающих в землю ток разного знака: I и — 1. Поэтому электрическое поле каждого из этих электродов Ег в центре измерительной установки (т. е, на равных расстояниях от Л ид) удваивается.

Подставляя (10.28) в (10.27), записываем

Рк = piF* f Rn (п^Дп^) n0dn0.(10.29)

о

Предельная трехточечная установка. Для этой установки в соответствии с формулами (5) и (5а) табл. 1

Рк = 2лгЧЕмнНу(10.30)

Причем EMN = Е, (г), где Ег (г) определяется согласно формуле (8.68). Отсюда получаем

Рк = PV2 5?ы (Ло) з ДМ пйдпй.(10.31)

о

Как видим, выражения для рк, полученные симметричной четырехточечной и трехточечной установками, совпадают.

Двухточечная установка. В этом случае формулы (6) и (6а) позволяют записать

рк = 2лг^мП).(10.32)

Подставляя сюда выражение для потенциала точечного источника (8.65), получаем

Рк = Р1<7 Rn (n0) JD(nor) dna.(10.33)

о

Дипольное электрическое зондирование

Наряду с методом вертикального электрического зондирования при электроразведке на постоянном электрическом токе широко применяют метод дипольных электрических зондирований (ДЗ), впервые предложенный и теоретически обоснованный советским ученым Л. М. Альпиным.

При работе методом ДЗ используют дипольные измерительные установки (см. табл. 1). Расстояние г — гО1ог между центрами питающего и измерительного диполей называется разносом дипольной установки. Величина разноса г (аналогично параметру rARi2 в методе ВЭЗ) определяет глубину исследований с дипольной установкой.

Формулы для определения кажущегося электрического сопротивления в методе ДЗ (7) — (14) приведены в табл. 1. В этих формулах геометрический коэффициент зависит от геометрии измерительной установки (размеров диполей АВ и MN, их расстояния г друг от друга и взаимной ориентации).

'Если разрез однороден, эти формулы позволяют определить его истинное сопротивление р : р = рк. Для неоднородных же сред .рн —некоторая фиктивная, кажущаяся величина, сложным образом отражающая истинное распределение сопротивлений.

Методика ДЗ заключается в последовательном определении рк для ряда увеличивающихся разносов г. При этом либо диполь^В оставляют неподвижным, а диполь МП удаляют от него, либо оба диполя раздвигают в разные стороны так, что точка, соответствующая середине расстояния между ними, неподвижна. В результате на билогарифмическом бланке строят график зависимости рк от г, называемый полевой кривой ДЗ. Поскольку г (аналогично параметру Гдр^ в ВЭЗ) определяет глубину исследований, полевая кривая ДЗ качественно отражает характер изменения электрического сопротивления разреза по вертикали.

Выпишем теперь аналитические выражения для рк в случаях горизонтально-слоистых разрезов для некоторых типов дипольных установок, приведенных в табл. 1.

Предельная дипольно-азимутальная установка. Кажущееся сопротивление для этой установки определяется согласно формулам (8) и (8а) табл. 1:

рк = (2лг%/ sin ф) E“n , (10.34)

где принято глв = dl — длина питающего диполя АВ.

Учитывая, что для такой установки Емк = £ф, где £ф определяется формулой (8.796), и подставляя (8.796) в (10.34), записываем

Рк= PV8” Rn ^oViMV) М^о- (10.35) о

Как видим, (10.35) совпадает с (10.29) и (10.31). Отсюда можно -сделать вывод, что кажущиеся сопротивления, полученные на поверхности горизонтально-однородного слоистого разреза с помощью четырехточечной симметричной, трехточечной и дипольно-азимутальной установок, совпадают. Частным случаем азимутальной установки является параллельная экваториальная установка (ф = л/2), следовательно, кажущееся сопротивление рк при работе с такой установкой также определяется по (10.35).

Предельная дипольно-радиальная установка. Для такой установки рк определяется в соответствии с формулами (12), (12а), табл. 1: '

рк = ^r»idl cos ф) —— ■ (10.36)

Для радиальной установки EMN = ЕГ) где Е, вычисляется по (8.79а). Следовательно,

Р«=(Р1Г2/2) Г Rn (л0) [Л^) — norVo (Ml М^о- (Ю.37> О

Очевидно, что эта формула остается справедливой и для дипольно1 осевой установки.

Формулы (10.29), (10.31), (10.33), (10.35) и (10.37) лежат в ос^ нове теории интерпретации данных электрических зондирований, которую мы рассмотрим ниже.■

§ 11. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ■

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗОНДИРОВАНИЙ

Существующие приемы и методы интерпретации данных электрических зондирований можно разделить на две большие группы: качественные методы и количественные методы.

Качественные методы интерпретации предназначены для определения общих закономерностей геологического строения исследуемого района, оценки вероятных зон обнаружения тех или иных геологических структур. Эти методы основаны на связи между особенностями строения геоэлектрического разреза и характерными параметрами электроразведочных кривых. Обычно результатами качественных методов является построение различных карт и графиков, подчеркивающих те или иные свойства кривых электромагнитного зондирования.

Количественные методы интерпретации данных электроразведки заключаются в непосредственном определении удельных электрических сопротивлений и мощностей слоев, слагающих Землю. Количественная интерпретация завершается, как правило, построением геоэлектрических разрезов, на которых показано распределение электрических сопротивлений различных слоев Земли (и границы этих слоев). Иными словами, количественные методы интерпретации основаны на строгом решении обратных задач. При этом, как уже отмечалось выше, основной моделью геоэлектрического разреза является одномерная модель. Поэтом^ задача интерпретации результатов электрических зондировании в данной точке сводится, как правило, к одномерной инверсии кривых электрических зондирований.

А. Н. Тихоновым была доказана теорема единственности решения обратной задачи для одномерных геоэлектрических моделей, согласно которой параметры одномерного геоэлектрического раэ^ реза рь dH р2, d.2pN„vdN_t, Pn однозначно определяются по кривой рк = рк V)» (где г — разнос установки), заданной на всей положительной полуоси 0<г< оо, Ниже рассмотрим ряд конструктивных методов решения обратной задачи.

Ц.1. Качественная интерпретация

Качественная интерпретация, как уже отмечалось, заключается в анализе общих закономерностей в поведении кривых электрического зондирования в районе исследований. На этапе качественной интерпретации строят: а) карты типов кривых зондирований, б) карты изоом в горизонтальной и вертикальной плоскостях, в) карты изолиний продольной проводимости S разреза и др. Охарактеризуем кратко перечисленные выше типы качественных карт.

Карты типов кривых зондирований. Тип кривой зондирования определяется типом соответствующего одномерного разреза, ('см. п. 5.3), т. е. числом слоев геоэлектрического разреза и соотношением их удельных электрических сопротивлений. Например, различают’ трехслойные кривые типа А, К, Н, Q, четырехслойные кривые типа АА, АК, KQ и т. д. Схематические карты, показывающие зоны распределения кривых разного типа, несут в себе информацию об особенностях геологического строения площади исследований.

Карты изоом кажущихся сопротивлений в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Принцип построения карты изоом в вертикальной плоскости, или разреза кажущихся сопротивлений, чрезвычайно прост. В каждой точке зондирования на профиле вдоль- вертикальной оси выписывают значения рк, соответствующие глубине, численно равной полуразносу установки Гд^ (в методе ВЭЗ) или разносу г (в методе ДЗ). При этом, как правило, используют логарифмический масштаб глубин. Затем проводят изолинии равных значений рк. Полученный разрез качественно отражает особенности реального геоэлектрического разреза.

Карта изоом в горизонтальной плоскости строится по значениям рк для какого-то одного фиксированного разноса установки. Такая карта (или наборы таких карт для разных фиксированных разносов) качественно отражает изменения разреза в горизонтальном направлении.

Карты изолиний продольной проводимости S. Эти карты строят для разрезов с опорным электрическим горизонтом высокого сопротивления (pw -*- оо). Значения S определяются по асимптотам правой ветви кривых ВЭЗ или ДЗ в различных точках зондирования (по методике, описанной ниже). По этим значениям строят карты S, отражающие изменение суммарной мощности И надопор- пой толщи в пределах всей площади исследований. В случае, когда продольное удельное электрическое сопротивление р, надопорной толщи постоянно или мало меняется по площади, величина S пропорциональна толщине Н надопорной толщи:

Н — ptS.

Для определения р; в одной точке можно воспользоваться дополнительной геолого-геофизической информацией (или данными бурения). Например, если по данным бурения в одной точке известна глубина Н6 опорного электрического горизонта, a So —

суммарная продольная проводимость в этой же точке, то

pj — Но/So.

Отсюда находим

Н = (Н^ S.

Последняя формула позволяет непосредственно перестраивать карты S в карты глубин Н.

Заметим, что на этапе качественной интерпретации применяется еще ряд других графических построений, подробные сведения о которых можно найти, например, в [3 k

11.2, Теоретические кривые электрических зондирований

В § 10 мы показали, что для трех основных типов измерительных установок, применяемых в методах ВЭЗ и ДЗ (симметричной четырехточечной, трехточечной и дипольно-азимутальной), теоретические выражения для кривых рк (г) над одномерными разрезами имеют один и тот же вид, описываемый формулой (10.35), Из (10.35) получаем

'~рк(г)/р1=^(^^(^МЛо.(11.1)

Выполняя над левой и правой частями формулы (11.1) обратное преобразование Ханкеля (8.666), получаем

R°n (Лр) = f .Zl^L dr.(11 .2)

J Pl r о

Таким образом, мы заключаем, что существует взаимно-однозначная связь, описываемая прямым (11.1) и обратным (11.2) преобразованиями Ханкеля, между функцией рк (г) (0 < г< оо) и приведенным импедансным отношением R°N (rig), связанным формулой (8.41) с параметрами геоэлектрического разреза. Следовательно, задаваясь различными параметрами одномерных геоэлектрических моделей, мы можем по формуле (8.41) рассчитать функцию Кдг(пд), а затем от нее с помощью преобразования Ханкеля (10.35) перейти к кривой электрических зондирований рк (г). Эта процедура реализуется численно на ЭВМ и воплощена в настоящее время в соответствующих программах, использующих точные и быстрые методы счета интегралов, содержащих в качестве ядер быстроосцил- лирующие функции Бесселя.

При численных расчетах в формуле (10.35) удобно перейти от переменной интегрирования п<>, имеющей, очевидно, размерность обратной длины, к безразмерной переменной р:

Р — пог.(11.3а)

Тогда

nn = P/r, dn0 = dp/r.(11.36)

Rn («о) = Rn (P/r) — ctb ^d^r + arcth [-y- cth (J^H

+ arcth (-&-cth (Wr+ . . . НагсШ^)...)))]]■

(11.4)

Подставляя (11.3a), (11,36) и (11.4) в (10.35), получаем

Рк(г) = Р1”^(Р/г)Л(Р)№(11.5)

о

Отмстим, что функцию l?w(P/r) можно выразить через безразмерные параметры. В самом деле, обозначим

7 = ^; v^dai'dv, Ра = Р1/рь v3 = ds/d1; р3=р3/р! (11.6)

и так далее. Тогда (11.4) записывается следующим образом:

R°n (P/r) = cth | р/г 4- arcth [р2 cth (pv2/г 4-

- Ь arcth (—— cth f Pv3/r 4-4- arcth

V Pa \^N-l

= /(p; Г, v21 p2, v3, p3 . . . , HW).(11.7)

Подставляя (11.7) в (11.5), окончательно находим

Рк(г)/р1= ,f f(P; 7, Vg, р2, v8, р8, . . . , pN)A(P)Pdp.

°(1L8>

Как видим, теоретические кривые зондирования зависят только от отношений удельных электрических сопротивлений и толщин второго и последующего слоев к соответствующим параметрам первого слоя. Это свойство кривых рк используется для упрощения их расчетов.

11.3. Асимптоты теоретических кривых

Важное значение в теории интерпретации данных электрических зондирований имеет анализ асимптотического поведения кривых зондирований при больших и малых г. Этот анализ нетрудно выполнить на основе соответствующих свойств преобразований Хан- келя. Прежде чем сформулировать указанные свойства, дадим следующие определения.

lim f (x)/g(x) = 1. х-*аlim f (x)/g(x) = 1. х-*аБудем говорить, что функции / (х) и g (х) эквивалентны при х а, если

lim f (x)/g(x) = 1. х-*а

lim f (x)/g(x) = 1. х-*а

(U.9) 111

Условие эквивалентности будем обозначать символом ~:

f(x)~g(x).к-*а

Справедливы следующие свойства. Свойство Z:

(11.10а) (11.106)(Il.Ual (II.II#(11.10а) (11.106)(Il.Ual (II.II#если f(rt0)~g(n0),„и**о

(11.10а) (11.106)

(Il.Ual (II.II#

(11.10а) (11.106)

(Il.Ual (II.II#

то Хг^-Хй^)-

Свойство 2;

если f<,n^ — g^,Лф^оо

то ^н~ ХМг-*0

где

Х/(г)== I Ж) ММ*О

X«W = .(' g^) JiM nodno.о

Отмеченные свойства преобразований позволяют сделать {с учетом формулы (11.3а)1 следующий качественный вывод: большим разносам г (г -► оо) отвечают низкие пространственные частоты л0 («о -*■ 0) и, наоборот, малым разносам г (г -* 0) отвечают высокие пространственные частоты («0—гоо). Этим простым соответствием между г и п0 мы будем широко пользоваться в дальнейшем для оценок поведения кривых электрических зондирований.

Таким образом, для построения асимптот теоретических кривых рк необходимо, прежде всего, найти низкочастотную и высокочастотную асимптотики приведенного импедансного отношения 7?”'(л0). Эту задачу мы будем последовательно решать для двух случаев: а) в основании одномерного разреза лежит пласт конечного сопротивления (0<Pn<oo); б) в основании разреза лежит пласт-изолятор (pw = оо).

Случай 0cpNc ею. Рассмотрим для простоты двуслойный геоэлектрический разрез. Согласно (8.41а)

R» (л0) = cth Qiodt-V arcth -^-) ■(11.12)

Устремляя в (11.12) п0 -э- 0, находим

Д2° (л0)~ cth arcth(11.13) n.,-fOpi pi

В случае трехслойного разреза

Яз («о) = etg [nodi + arcth ^ — cth (Ma + arcth '—))] 1

(11-14)

Полагая в (11.14) п^ -> 0, определяем

Яз (п0) ~ cth arcth f-^— cth arcth —3.

n„-»OX PiPa / pi Pa pi

(11.15)

С помощью метода математической индукции соотношения (11.13) и (11.15) можно распространить на /V-слойный разрез:

Ям(л0)~Рм/р1-(П-16)

nLI-*O

Случай pN = оо. Начнем анализ низкочастотной асимптотики со случая двуслойного разреза. Заметим, что

..1 .* -|- 11 . I + 1/х

arcth х = In —-—— — —— In —

2 х — 121—1/г

Поэтому

lim arcth p2/pz — —— limln _L+£1l£2_ — -J— ]n j — o.

^.г-кх>2 p2->co 1 —Pi/p2 2

Следовательно, в этом случае /^(no) = cth(nodi).(11.17)

ССПХ LfX, x-«-0arcth I/x x.jc-kOССПХ LfX, x-«-0arcth I/x x.jc-kO(11.18)(11.18)Для гиперболических функций известна следующая асимптотика: thx—х, arthx—х, С учетом этих формул получаем

ССПХ LfX, x-«-0

arcth I/x x.

jc-kO

ССПХ LfX, x-«-0

arcth I/x x.

jc-kO

(11.18)

(11.18)

Ri (п<>) = cth (nodz) — l/nodz = VHqPzSz,п„->С1где S, — dj/pi — продольная проводимость первого слоя.

Обобщим полученный результат на трехслойный разрез. Так же как и выше,

Итагс(ЬрМ=0.(1119|

Следовательно, (11.14) принимает вид

•Кз (п0) = cth (nodi + arcth [(pa/pi) cth nod2)).

С учетом асимптотик (11.18) имеем

/?3 (Но) cth [Hod, -|- arcth (рг/порА)] ~

~-cth (nopidi/pi-}- ЛоР1^5/р2)~1/Пор1 (Sx+ Sj) = l/fioPiS, (11.20) 113

где S — Sj +S2 = d/p, + da/p2 — суммарная продольная проводимость разреза (поскольку только первые два слоя и являются! проводящими).

С помощью метода математической индукции этот результат обобщается на любой У-слойный разрез:

^(n0)—IMoPiS,(11.21)

«<►—►О

Д'- J^-(

где S — Xs(^ 2 ddpt — суммарная продольная проводимости 1=1/=1

разреза.,

Теперь мы выполнили всю необходимую подготовительную работу для нахождения асимптот кривых рк. Рассмотрим также двб случая.

Асимптотика, теоретических кривых в случае конечного с»* противления основания (Ocp^coo). В соответствии с (10.35)» (11.16) на основе асимптотических свойств преобразований Хай* келя (11.10) записываем:

Рк (Г) = р/ ,| R°n М J! (Л0Г) П^ ~0r^*QQ

7РмГ

~ Р/2 \J 1 (М t^M = pNr2 \ Ji (nor) ngdng. (11.22)

JpiJ

оо

Учитывая (8.68а), последнее соотношение перепишем

Рк(г)"7о(М^о-(11.29)

Л-хюuf 0

Интеграл, стоящий в (11.23),— табличный

7 Jg^dng- — ■(И-24|

ог

Следовательно,

рк(г)~ —) =PN-(11.25)

г-н»dr х г )

Таким образом, при больших г кривая кажущихся солротивлИ ний асимптотически приближается к горизонтальной прямой, от1 секающей на оси абсцисс удельное электрическое сопротивление основания разреза pN (рис. 24, кривая 1).1

Асимптоты теоретических кривых в случае, когда в основании разреза лежит пласт-изолятор (р^ = оо). Для разрезов этого типа с помощью формул (10.35) и (11.21), а также свойств (11.10) преобразований Xанкеля получаем

Рк (И = Pl^,j Rn (По) j 1 («оП nodno ~0г-юе

— pZ J (l/nopiS) J 1 (nQr) rtodnQ = r4/S f Jt (z^r) dn0. (11.26) Вычисляя табличный интеграл в (11.26)

” JiVwWo^(11.27)

находим

или для логарифмов левых и правых частей (11.28)

log рк (г) ~ log г—logs.(11.29)

Легко видеть, что на билогарифмическом бланке, на котором откладываются логарифмы рк и г, асимптотическая формула (11.29) описывается прямой, наклоненной под углом 45° к оси абсцисс (сл?. рнс. 24, кривая 2). При этом если рк = 1, то

log rs = logS или r$ = S.(11.29а)

Следовательно, абсцисса точки пересечения наклонной асимптоты с горизонтальной осью численно равна значению суммарной продольной проводимости S (в См). Указанная наклонная асимптота получила название линии S.

В заключение найдем асимптотику теоретических кривых при г 0. Очевидно, что для любого одномерного разреза

^-(no) = cth(nodo+ . . • )~1-(Н-30)

поскольку

limcthx = lim—= lim—— =1.

x->ooеI —е

Следовательно, ввиду (11.11а), (11.116) и (10.35):

Рк (г) — Pi'2 ( Ji^Hodn^(11.31)

г^О О

Учитывая (8.68а) и (11.24), находим

Рк(г)~ —)-Рг(11.32

г-0дг \ г /•

Таким образом, при изображении кривой зондирования рк hi билогарифмическом бланке эта кривая имеет левую горизонтальную асимптоту, отсекающую на вертикальной оси величину р, (см. рис. 24).

Отметим, что полученный результат допускает простое физическое истолкование. В самом деле, при маленьких г электрическо поле проникает лишь в первый пласт, следовательно, при малых слоистый разрез можно заменить однородным полупространство* с сопротивлением р = pi, для которого кажущиеся сопротивления совпадают с истинными:

Рк = Pi-

11.4. Способы решения обратной задачи электрических зондирований

Обратная задача электрических зондирований в общем случае как мы показали выше, является некорректно поставленной. Слё довательно, для ее эффективного численного решения необходимей применение методов регуляризации.д

Простейший и в то же время наиболее естественный спосо* регуляризации заключается в ограничении числа искомых параметров одномерного разреза и выборе таких характеристик модели которые могут определяться по кривой рк устойчивым образов При такой постановке обратной задачи ищется по существу не стр<1 гое ее решение, а так называемое квазирешение, т. е. в заданное классе простых моделей разреза подбирается такая модель (квази решение), которая лучше отвечает экспериментальным данным К числу указанных способов относятся способ определения сум« маркой продольной проводимости разреза и палеточный enoedfl интерпретации.

Определение суммарной продольной проводимости разреза S по асимптотике кривых рк

Как мы уже показали, в случае, когда в основании разреза лежи пласт высокого сопротивления, величина суммарной продольно проводимости S вышележащей толщи определяется по кривЫ! зондирования устойчиво. Поэтому для разрезов такого типа це.г сообразно выбрать S как простейший основной параметр, опре, ляемый до кривым рк. Сама процедура нахождения S реализуете чрезвычайно просто с помощью анализа асимптотического повеД* лия кривых зондирования, В самом деле, мы показали, что права ветвь кривой рк с ростом г асимптотически стремится к прямо линии, наклоненной под углом 45° к оси абсцисс [см. (11.29) и рис.2-* кривую 2]. Эта асимптота отсекает на горизонтальной оси разнос г»

численно равный суммарной продольной проводимости S (в См) гсМ. (11.29а) J. Указанное простое свойство кривых рк и лежит в основе метода S-иптерпретации данных электрических зондирований.

Палеточный способ интерпретации

Суть палегочного способа интерпретации заключается в том, что квазирешенис обратной задачи ищется среди набора заранее расСуть палегочного способа интерпретации заключается в том, что квазирешенис обратной задачи ищется среди набора заранее рас

Суть палегочного способа интерпретации заключается в том, что квазирешенис обратной задачи ищется среди набора заранее рас

Суть палегочного способа интерпретации заключается в том, что квазирешенис обратной задачи ищется среди набора заранее рас

считанных теоретических кривых отвечающих одномерным разрезам с небольших числом слоев (как правило, N — 2 или N = 3). Наборы указанных кривых носят название палеток. Палетки рассчитываются по формулам (11.8).

Палетки двуслойных кривых ВЭЗ. В этом случае согласно (11.8)

Рк (r)/pi=ff(P- 7, ц2)Л(Р)Р^₽= О

= к(7, ^, (11.33)

где р 2 ^ Рг/р! — модуль двуслойного разреза; г = Hd^ — длина поауразноса гАВ/2, приведенная к мощности первого слоя.

При изображении кривой зондирования на билогарифмическом бланке имеем

электрических зондировании,.

1°8Рк—log р, = log Т (logV—Рис м Палетка иусМии1

—logdIt pi). (11.34) кривых ВЭЗ.

Таким образом, форма кривой Ш1,Фг кривых — ц = р,/р, зондирования, построенной на билогарифмическом бланке, при данном значении р2 не зависит от параметров первого слоя рг и dv Изменения pj и dv приводят лишь к смещению кривых зондирования вверх или вниз, вправо или влево параллельно оси г или рк. Следовательно, можно объединить теоретические кривые для всевозможных двуслойных разрезов в одно семейство кривых вида (11.33), где модуль р.2— — Pz'Pi выступает как параметр (шифр) кривых. Такое семейство кривых, изображенное па одном графике для заданного набора И г, носит название палетки двуслойных кривых (рис. 25). Как видим, в соответствии с асимптотическими свойствами кривых зондирований, изученными выше, выполняется:

1) Рк/Pi—*-1

при г^-0;

Рк/pi ~* P2/P1 При Г-»-оо, ■

Рк^-dSx при г->оо, или pK/pi->r/di при r^-oo, т. ej кривая с модулем ц3 ->- о° стремится к биссектрисе первого квад«1| ранта билогарифмического бланка (см. рис. 25).

Палетки трехслойных кривых ВЭЗ. Теоретическая формула для расчета трехслойных кривых ВЭЗ согласно (П.8) имеет слв‘ дующий вид:

Рк/pi— ,f / (0; Л v2, рг, р3) У,(0) ₽d₽ = F(г, v2, ра, рз), (11.33)

где v2 = d^id^ р2 = Pa'Pit Ра ” Ps/pi-I

Форма кривой зондирования, изображенной на логарифмиче» •ском бланке, так же как и для двуслойного разреза, не зависит di параметров первого слоя рх и dp Очевидно, что графики функции F (г, v2, р2, рз) при различных значениях параметров (модулей). v2, Из» Нз Уже не могут быть изображены в виде одного семейства кривых. Для этого требуется построить несколько таких семейств( т. е. трехслойные кривые ВЭЗ образуют целый альбом палеток.

В настоящее время рассчитаны и опубликованы альбомы палеток со следующими параметрами (шифрами палеток): ;р2 = 1/39; 1/19; 1/9; 1/4; 3/7; 2/3; 3/2; 7/3; 4, 9, 19, 39;

Из = °; (Pa'Pi)2' (P2/pi)3/2; (р2/р1)|/2; 1; °°;

-V, = 1/9; 1/5; 1/3; 1/2; 1; 2; 3; 5; 9; 24.

В альбомах палеток используются различные принципы группи^ рования трехслойных кривых. Наиболее распространены палетки^ в которых кривые объединены в семейства следующим образом:

рк/pi — F {НА^) | na=econst, ц3—const, V2=vvar>I

т. e. в каждом семействе параметры р2 и ря фиксированы, а пара]* метр v2— меняется. Типичный пример такой палетки (для случая Рз — Pil Рг = 1/9 Pi) приведен на рис. 26.

Имеются также наборы палеток, рассчитанные для многослой4 ных разрезов ^N = 4, N ~ 5). Однако на практике такие палеткй применяются редко вследствие сложности подбора по ним экспб* риментальных кривых.

Заметим, что, как было доказано выше, палетки ВЭЗ совпадают с палетками теоретических кривых для дипольных азимутальный зондирований. Для дипольных установок другого типа также имеются соответствующие альбомы кривых.

Палаточный способ интерпретации кривых электрического зоЯ4 дирования заключается в том, что с помощью альбома палеток под4 бирают такую теоретическую кривую зондирования, которая наилучшим образом описывает наблюденную кривую. При этом подбор ведется с учетом принципа эквивалентности. Например, для трехслойных кривых типа Н и А учитывается эквивалентность по S

V2/^2 = Vj/p^

f^lfif^lfiРис. 26. Палетка трехслойных кривых ВЭЗ.Pi'Pi " ^ Ря — Рь шифр кривых —v2 — r^/djРис. 26. Палетка трехслойных кривых ВЭЗ.Pi'Pi " ^ Ря — Рь шифр кривых —v2 — r^/dj

f^lfi

f^lfi

Рис. 26. Палетка трехслойных кривых ВЭЗ.

Pi'Pi " ^ Ря — Рь шифр кривых —v2 — r^/dj

Рис. 26. Палетка трехслойных кривых ВЭЗ.

Pi'Pi " ^ Ря — Рь шифр кривых —v2 — r^/dj

а Для трехслойных кривых типа К и Q — эквивалентность по Г

V2P2 =^ V^g.

Иными словами, при подборе трехслойных разрезов учитывается*- что по палеткам однозначно могут быть определены либо отноше* ния параметров т2/рг, либо их произведения v2p2. Для раздельного- определения этих параметров нужна дополнительная информация.

Мы уже отмечали, что многослойные палетки на практике применяются редко. Современная методика палеточиой интерпретации основана на аппроксимации многослойной кривой зондирования рядом трехслойных кривых (или их элементов), соответствующим образом сопряженных между собой. Остановимся более подробно на технике такой интерпретации.

На первом шаге интерпретации из наблюденной полевой кривой рк выделяют ее левую трехслойную ветвь, отвечающую относительно небольшим разносом, и обрабатывают ее отдельно, считая что в этом диапазоне разносов на величину рк влияют лишь три первых слоя разреза. С помощью двуслойной палетки подбирают величины рх и d^ первого слоя, а затем по трехслойным палеткам с учетом действия принципа эквивалентности находят параметры vs и р3 палеточной кривой, а по ним р3 — р^ч « d2 = '-- dyv2.

На втором шаге интерпретации первые два слоя разреза заменяют одним эквивалентным слоем, параметры которого выбираются в зависимости от типа начального трехслойного разреза.

В разрезах типа Н преобладает горизонтальная составляющая плотности тока, поэтому в качестве эквивалентного- выбирают слой, эквивалентный нескольким слоям (на начальном шаге интерпретации — первым двум) по S (см. § 7), т. е.

(11.36а).(11.36а).ГН

(11.36а).

(11.36а).

<4, Н 2 ^иi=l

Рэ, н " Pi= ^э, н/З = ^ dj 2 Si,(11.366)

i=I i = l

тде tn = 2, 3, . . . — число первых слоев, заменяемых на один эквивалентный.

В разрезах тина А ток растекается от источника как вдоль напластований, так и по нормали к ним, следовательно, на величину поля оказывает влияние как продольная проводимость, так и поперечное сопротивление горных пород, В связи •с этим исходя из формул (7.21) и (7.22) мощность и удельное электрическое сопротивление эффективного слоя вычисляют так:

/ / Ш х / m хт

<к А = ^ST =(^2 S£) (^2= амакро 2 dr, (11.37а)

V

m mmm

2 Til 2 St = «„экро 2 di! 2 St.(11 -376)

где аМакро — коэффициент макроанизотропии слоистого разреза, ■определяемый (7.35)..

В разрезах типа К и Q также необходимо учитывать эффекты макроанизотропии, которые проявляются здесь нё1 •сколько иначе, чем в случае А, что находит отражение в появлй^ нии дополнительных множителей ех, е.2, 6 при вычислении эффективных параметров. Множители е1( еа, б определены эмпирическим путем и зависят от соотношений параметров разреза (А, И. ЗабО- ровский, 1963):

^э, к = е1амакро 2 db(11.38а)

рэ, к ■ ■ Е’^микро 2 d£!2 Si;(11 -38d)

(11396) Z=l

p3,Q--=6 2t/1-/2Sz.(11.396)

1=11=1

Итак, заменяя первые два слоя одним эквивалентным с параметрами йэ, рэ и предполагая, что разносы г таковы, что ноле проникает ниже эквивалентного слоя нс глубже, чем в следующие две -слоя, опять интерпретируем выделенную трехслойную 'ветвь кривой по трехслойным палеткам. Определяем v, = d3/dg и р9 =* = Рз'Рэ. гДе d3 и р3 — искомые параметры третьего слоя. Теперь мы можем объединить первые три слоя в один эквивалентный слой, пользуясь формулами, приведенными выше, и т. д. Таким образом удается последовательно определить параметры plf dj, рг, dz, . . • . ;pw~i> d^-!, рм разреза.

Отметим, что по существу палеточпый способ интерпретации1 представляет собой одну из разновидностей метода подбора. При этом регуляризация решения обратной задачи достигается, во- первых, за счет ограничения числа подбираемых параметров на каждом шаге интерпретации, а во-вторых, за счет визуального сглаживания экспериментальной кривой зондирования интерпретатором в процессе подбора. Такую регуляризацию можно условно назвать «интуитивной», поскольку она не предусматривает применения тех или иных дополнительных регуляризирующих процедур,, а осуществляется опытным интерпретатором интуитивно в процессе ручной обработки экспериментальных данных.

Решение обраткой задачи методом подбора на ЭВМ

В настоящее время численные методы интерпретации электрораз- всдочных данных с использованием ЭВМ повсеместно вытесняют палеточные (ручные) способы. В основе большинства автоматизированных методов интерпретации лежит та же идея подбора, которая является основой палеточного способа. При этом, однако, ЭВМ, как правило, не хранит в своей памяти различные кривые зондирования (т. с. не располагает альбомом палеток, как это- было при ручной интерпретации), а непосредственно рассчитывает все необходимые по ходу подбора теоретические кривые по- специалъным заложенным в ЭВМ программам.

Обозначим, например, через pi = pi (р1( dv р2, d^, ps, d3, . . . ,. pjV) какую-либо теоретическую кривую, отвечающую М-слойному разрезу с толщинами dn d2, ... , dN_3 и удельными электрическими сопротивлениями рп ра, . . . , pN. Обозначим также через рк. соответствующую полевую кривую, которую необходимо проинтерпретировать (т. е. определить параметры разреза, над которым опа получена). Пусть далее pKJ- обозначает величину рк в /-й отсчетной точке на полевой кривой (т. е. при каком-то /-м значении разноса г), a pi/ — соответствующее значение теоретической кривой- в /-й отсчетной точке. Тогда задача подбора искомых параметров разреза может быть сведена к минимизации (по параметрам рп dJf p2, d2, . .. , pN подбираемого разреза) функции /, равной квадратному корню из суммы квадратов разностей рк/ и pi,-:

7(Р1. di- р2, d2). . . , pn) = i(p)=aJ Ё(рк/ —Pi/)2 =min,

(11.40)'

где М — общее число отсчетных точек; р = (рп dp р2, de, . . . , pN\ вектор, составленный из парамегров геоэлектрического разреза. При этом требуется, чтобы выполнялось условие М >2N — 1. Отметим, что практически удобнее минимизировать нефункционал (11.40),

а сумму квадратов разностей логарифмов рк:

log (pi, di, ра, d2, . . . , рдг) = I ]Og ^p^ =

£ DogPK/—logp^J2 = min, (11.41)

поскольку графики кривых зондирования наиболее дифференци-1 рованы при изображении именно на билогарифмических бланках] Последний функционал будем называть функционалом логарифмической невязки. Задача подбора решается на основе итерационной процедуры, состоящей в последовательной коррекции вектора параметров р (рь db р2, d2, . . . , р^ и образовании последовательности р( (t = 1, 2, . . . , А) наборов этих параметров, минимизирующей функционал /jog. При этом корА ректировка параметров осуществляется с помощью стандартной процедуры быстрейшего спуска или метода Ньютона, при который теоретические кривые зондирования, полученные на каждом по-1 следующем итерационном шаге, лежат ближе (в смысле уменьше1 ния функционала 7Jog) к наблюденной кривой, чем кривые, найденные на предыдущем шаге. Итерационная процедура завершается тогда, когда функционал /]og становится соизмеримым с величиной е, характеризующей среднеквадратическую точность определения рк.

Если обратная задача решается в классе одномерных геоэлек- трических моделей с небольшим числом N слоев (причем каждый из слоев предполагается достаточно «толстым» настолько, чтобь! избежать действие принципа эквивалентности), ее решение в соответствии с теорией регуляризации Тихонова получается устойчй-^ вым. Иными словами, минимизация функционала логарифмической невязки в классе моделей с небольшим числом достаточно толсты* слоев — это простейшая форма регуляризации.

Однако этот класс моделей не всегда приемлем для описания реальных геоэлектрических разрезов, состоящих из большого числа -однородных или даже неоднородных слоев. Поэтому на практике приходится искать решение обратных задач, перебирая большое число подбираемых параметров. При этом основная сложность подбора заключается не в том, что приходится численно рассчитывать достаточно сложные кривые электрического зондирования {расчет кривой ВЭЗ или ДЗ по формулам (10.35) или (11.8) на современных ЭВМ идет за секунды), а в принципиальной практической неустойчивости обратной задачи, о чем мы уже говорили в § 6. Эта неустойчивость проявляется в том, что одна и та же экспериментальная кривая может быть описана либо плавной теоретической кривой, либо кривой значительно более сложной формы, как бы колеблющейся с высокой частотой около наблюденной кривой. Следовательно, основная задача методов регуляризации заключается в том, чтобы предотвратить это «разбалтывание» теоретиче- 122

ских кривых, приводящее к резкому возрастанию неопределенности в выборе параметров модели. Один из эффективных методов решения указанной задачи заключается в переходе от минимизации функционала логарифмической невязки /1ог к минимизации следующего параметрического функционала Тих о н о в а:

Ma(p)=/IOB(p) + «Q(p), (11.42) —

где П (р) — так называемый стабилизирующий функционал, роль которого заключается именно в предотвращении' «разбалтывания» параметров; а — параметр р е г у л я р и - з а ц и и, контролирующий влияние стабилизатора.

На практике используют различные формы стабилизирующих функционалов. Одной из простейших и в то же время удобных форм является

. fi И = V Д ^,оз р< -1ое Р‘)21- Дк- ^’ <11 -43> где р?, d®, р®, d®, . . . , рл'—1, d^_1, p°v— параметры некоторой опорной модели, которая строится с учетом всей известной геологической и геофизической информации о геоэлектрическом разрезе в районе исследований. Весовые коэффициенты А® и А? выражают степень доверия к отдельным параметрам опорной модели. Влияние опорной модели на результаты решения обратной задачи можно оценить, варьируя ее параметры.

Важное место в процедуре решения обратной задачи на основе минимизации параметрического функционала Ма занимает выбор параметра регуляризации а. Очевидно, что, если а слишком мал, эффект стабилизирующего функционала может оказаться недостаточным и практическая неустойчивость решения будет еще значительна, Если а слишком велик, то минимизация Ма будет достигаться за счет уменьшения Q, т. е. за счет приближения решения к опорной модели, а не за счет уменьшения функционала логарифмической невязки. Следовательно, существует оптимальное значение а0, обеспечивающее, с одной стороны, устойчивость решения, а с другой — близость подобранной теоретической кривой рк к наблюденной. Такое значение а9 определяется на основе принципа оптимальности Тихонова—Иванова, согласующего параметр регуляризации с точностью измерений 131].

В настоящее время в ряде организаций СССР созданы и успешно Функционируют программы автоматического подбора геоэлектри- ческих разрезов, основанные на сформулированных выше принципах.

Основным итогом работ методами электрических зондирований служат, как правило, геоэлектрические разрезы, построенные на основе количественной одномерной интерпретации кривых зондирований в каждой отдельной точке. При построении таких разрезов

на профилях под точками зондирований вдоль вертикальной осн откладывают границы разделов слоев с указанием их удельных электрических сопротивлений. Затем, плавно соединяя полученные отметки глубин на соседних пунктах зондирования, строят вертикальные геоэлектричсские разрезы. При этом надо иметь в виду, что, поскольку реальные разрезы не одномерны, а характеризуются латеральными изменениями мощностей отдельных слагающих их слоев, полевые кривые ВЭЗ или ДЗ могут быть искажены, т. е. могут отличаться от теоретических кривых, отвечающих одномер- ному разрезу. Строгий количественный учет таких искажений мо« жег быть осуществлен только путем численного решения прямых задач электроразведки на постоянном токе для двумерных или даже трехмерных геоэлектрических моделей. Однако пока расчеты таи кого типа не вошли еще в практику электроразведочных работ, в связи с чем при анализе кривых электрических зондирований ■ограничиваются лишь качественным учетом подобных искажен ний. Указанное обстоятельство сужает область практической применимости методов электрических зондирований на постоянном токе, ограничивая ее рамками горизонтально-слоистых или пологб напластованных разрезов.

ЭЛЕКТРОПРОФИЛИРОВАНИЕ

При вертикальном и дипольном электрических зондированиях, как •отмечалось выше, центр измерительной установки остается непод^ вижным, а последовательно увеличивается либо расстояние между питающими электродами гАВ, либо разнос г между питающим АВ и измерительным MN диполями. Однако возможна и другая мё- тодика работ, при которой фиксируют разносы установки АВ Я MN и расстояние между ними, а всю установку как единое целой передвигают вдоль профиля. В этом случае глубина исследования не меняется, поэтому определяемое при каждом положении уста^ новки кажущееся сопротивление отражает изменение электриче1 ских свойств горных пород вдоль профиля в горизонтальном нй* правлении. Такая методика получила название электриче* с кого профилирования (ЭП).

Основные модификации электропрофилирования

На практике применяются следующие основные видыэлектропро- филирования: симметричное, по схеме срединного градиента, дипольное, дивергентное и др. Рассмотрим коротко особенности каждого из этих способов.

Симметричное электропрофилирование (СЭП). Его выполняют обычно с симметричной установкой AMNB (см. рис. 21, б). Основным первичным материалом электропрофилирования с симметричной установкой являются графики и. карты изменения кажущегося удельного электрического сопротивления вдоль профиля или по площади (при фиксированных разносах гАВ).

На типичном графике для ЭП с симметричной установкой (рис. 27) разрез представлен двумя толщами: глинами с низким сопротивлением рх и известняками с высоким сопротивлением р2. В кровле известняков имеется антиклинальное поднятие. Очевидно, что слева и справа от антиклинали поле, создаваемое электродами А и В, не достигает второго слоя и, следовательно, рк в этих зонах близко к рг Однако над сводовой частый антиклинали поле уже «чувствует» влияние высокоомного второго слоя (так как расстояние до него соизмеримо с глубиной проникновения поля ^в'2) и рк возрастает. Таким образом, качественно кривая электропрофилирования повторяет форму высокоомного основания.

Рис. 27. График кажущегося сопротивления рк, полученный по результатам электрического профилирования над двуслойным разрезом (pi<p2)

Обычно профилирование с симметричной установкой производят с двумя фиксированными разносами гАВ — большим и малым (на практике это осуществляется путем использования двух пар питающих электродов АВ и А'В'). При этом большой разнос определяет глубину исследования, а малый выбирается так, чтобы фиксировать геоэлектрические неоднородности верхней (приповерхностной) части разреза, искажающие влияние глубинных проводящих или изолирующих тел. Шаг профилирования задают исходя из детальности исследования и глубинности (величины большого разноса). По результатам измерений вычисляют кажущиеся сопротивления рк и рк и строят совмещенные графики электропрофилирования, которые позволяют отличать глубинные неоднородности от приповерхностных. ■

Электропрофилироеание по схеме срединного градиента ОП—СГ). Оно заключается в том, что положение питающих электродов АВ фиксировано, а измерительные электроды перемещаются в средней части разносов АВ, так что измерениями покрывается целая часть территории, заключенной в промежутке между питающими электродами (рис. 28). ■ ■ ■ ■ ■

Рис. 28. Электропрофилирование по схеме срединного градиента

AA

A

A

M N

Результатом работ по этой схеме являются карты кажущихся сопротивлений.

Комбинированное профилирование. Этот вид профилирования применяют для поиска и картирования крутопадающих границ раздела различных слоев Земли — зон тектонических нарушений, пластов антрацита, рудоносных жильных тел и т. д. Измерительные установки, использующиеся при комбинированном профилировании, состоят из двух встречных трехточечных установок AMN и MNB с общим питающим электродом С, отнесенным в бесконечность (рис. 29, а). Электроды А и В располагают на профиле сим метрично относительно центра О измерительных электродов М и N. При каждом положении установки на профиле производят два определения рк: одно — установкой AMNC«, а второе — установкой CcoMNB. Результат измерений относят к общему центру — точке О (см. рис. 29, а). В результате работ строят два графика профилирования рк и рк, отвечающих установкам AMNC» и CcoMNB соответственно. Совместный анализ этих графиков позволяет в ряде случаев более эффективно, чем при симметричном электропрофили

ровании, выявлять горизонтальные неоднородности разреза.

Дипольное электропрофилирование (ДЭП). Осуществляется с использованием дипольных установок. При этом применяют либо двусторонние дипольно-осевые, либо двусторонние дипольно-экваториальные установки (рис. 29, бив). При каждой расстановке электродов проводят два измерения разности потенциалов &UMfj (при включенной левой АВ или правой А'В' паре питающих а^L ~

электродов). Точка наблюдения.—. v—.

относится при этом к середине •1।

расстановки — середине между ^*0 N

измерительными электродами М и N (точке О). По результатам » измерений в каждой точке вычи- , , ,,

А 8МОЛА* 8Т

Рис. 29. Схема измерений при элек- 5 тропрофилированни: f а — комбинированное профилирование, Г

сляют два значения кажущихся сопротивлений рк и рк, соответствующих двум положениям питающих электродов, и составляют графики и карты изменения рк и р^ Эти карты отражают горизонтальные геоэлектрические неоднородности в строении разреза.

Дивергентное электропрофидирование. Выполняется с дивергентной установкой, описанной в и. 10.1 (см. рис. 21, г). Оно обладает повышенной разрешающей способностью и чувствительностью к геоэлектрическим неоднородностям разреза по сравнению с симметричным и дипольным электропрофилированием. Это свойство дивергентного профилирования обусловлено тем фактом, что с его помощью измеряют вторые производные электрического потенциала по поверхности земли, более чувствительные к геоэл сктри- ческим неоднородностям, чем сам потенциал либо его первые производные.

Однозначность решения обратной задачи электрического профилирования

Прежде чем переходить к рассмотрению различных приемов интерпретации данных электрического профилирования, постараемся ответить на главный вопрос — в каких случаях обратная задача электрического профилирования будет иметь единственное решение? Ответ на этот вопрос важен не только с точки зрения понимания границ применимости тех или иных модификаций методов электроразведки, но и, это главное, с точки зрения выбора наиболее эффективной методики электропрофилирования.

Напомним, что в случае электрических зондирований оптимальная методика заключалась в последовательном измерении электрического поля на различных расстояниях от источника. Выбор такой методики мы связывали с теоремой единственности Тихонова для задач электрических зондирований одномерных геоэлектрических разрезов. При электропрофилировании мы должны изучать уже двумерные и трехмерные геоэлектрические разрезы, поэтому важно знать, как формулируются теоремы единственности для таких сложных моделей земли. Впервые ответ на этот вопрос был дан В. Л. Друскиным (1982 г.), доказавшим теорему единственности решения обратной задачи электроразведки на постоянном токе.

Сформулируем эту теорему. Рассмотрим трехмерную геоэлек- трическую модель, в которой при 2 = 0 проводящая земля граничит с однородной непроводящей атмосферой (рис. 30). Земля состоит из произвольного числа областей, характеризующихся различными постоянными удельными электрическими сопротивлениями (точнее говоря, удельное электрическое сопротивление земли есть кусочно-постоянная функция координат). Расположим в некоторой точке с радиусом-вектором г' на поверхности земли точечный источник постоянного электрического тока силой 7 и обозначим через G (г'; г) электрический потенциал этого источника в точке с радиусом-вектором г. Пусть 20 — некоторая область на поверх-

ности земли (при z = 0). Предположим, что мы располагаем инфори мацией об электрическом поле точечного источника в области £| для всевозможных положений источника также в 20. Иными ело1 вами, предположим, что нам известна функция и (г', г) при всевозможных положениях источника г* и приемника г на 20 (г' g S,, г £ 20). Оказывается, что этих данных достаточно для однознач1 ного определения геоэлектрических параметров земли.

Сформулированная выше теорема чрезвычайно важна для обоснования рациональной методики электроразведочных работ на постоянном токе. В самом деле, выше мы убедились, что основное

Рис. 30. Геоэлектрическая модель с кусочно-постоянным распределением электрических сопротивлений

отличие методов электропрофилирования от электрических зондирований заключалось в том, что первые предназначены для изучения горизонтальных неоднородностей разреза, а последние — вертикальных распределений удельных электрических сопротивлений^ В то же время данных электропрофилирований с одним или даже несколькими фиксированными разносами установки в общем случае может оказаться недостаточно для изучения двумерно- или трехмерно-неоднородных разрезов. Вместе с тем, если в районе исследований провести серию электропрофилирований в широком диапазоне изменения разносов г, таких данных, как следует из теоремы единственности, оказывается достаточно для совместного определения горизонтальных и вертикальных изменений р. Таким образом, наиболее эффективная методика электроразведочных работ на постоянном токе заключается в рациональном сочетании электрических зондирований и электропрофилирования.

Способы интерпретации данных э лектропрофилировани я

Существуют простые ситуации, при которых данные электролро- филирования даже на одном фиксированном разносе допускают однозначную количественную интерпретацию. Рассмотрим некоторые примеры таких ситуаций.

Наиболее благоприятными для изучения методом электропрофилирования являются разрезы с квазивертикальными границами раздела слоев. Простейшая модель такого разреза — вертикальный контакт двух сред — была рассмотрена в п. 9.1. Воспользуемся результатами расчетов, представленных в п. 9.1, для построения графиков комбинированного электрического профилирования над вертикальным контактом.

Рис. 32. Графики электропрофилирования над вертикальным контактом (по И. М, Блоху), полученные установками:1 — AMNC^. 2 — ВМНСЮ, 3 — симме- тричноЙ AMNBРис. 32. Графики электропрофилирования над вертикальным контактом (по И. М, Блоху), полученные установками:1 — AMNC^. 2 — ВМНСЮ, 3 — симме- тричноЙ AMNB_ /Pi / 12л V г2_ /Pi / 12л V г26 ц(2d — 2х + г)16 ц(2d — 2х + г)1(12.2а)(12.2а)

Рис. 32. Графики электропрофилирования над вертикальным контактом (по И. М, Блоху), полученные установками:

1 — AMNC^. 2 — ВМНСЮ, 3 — симме- тричноЙ AMNB

Рис. 32. Графики электропрофилирования над вертикальным контактом (по И. М, Блоху), полученные установками:

1 — AMNC^. 2 — ВМНСЮ, 3 — симме- тричноЙ AMNB

_ /Pi / 1

2л V г2

_ /Pi / 1

2л V г2

6 ц

(2d — 2х + г)1

6 ц

(2d — 2х + г)1

(12.2а)

(12.2а)

Рис. 31. Элсктропрофилированае

над вертикальным контактом

Кажущееся электрическое сопротивление для предельной трехточечной установки AMNC«,, согласно формулам (5) и (5 а) табл, 1, рассчитывается по формуле

рк = 2лге£(/,(121)

где г — разнос установки (расстояние от электрода А до середины линии между измерительными электродами М и N\

Электрическое поле трехэлектродной установки над вертикальным контактом двух сред можно вычислить по (9.10а) и (9.106). Однако предварительно необходимо сделать некоторые изменения в обозначениях, поскольку в п. 9.1 рассматривалось поле фиксированного электрода А (по х) на разных расстояниях х т него. В методе электропрофилирования все три электрода А, М и N перемещаются по профилю. Поэтому удобно зафиксировать начало координат и обозначить через х координату середины измерительных электродов М и N (рис. 31). Тогда координата питающего диполя А будет х—г (где г — фиксированный разнос установки).

Для того чтобы переписать в этих обозначениях формулы (9.10а) и (9.106), в последних надо заменить переменные:

x^r, d-*d—х + г.

Тогда получаем:

при x<^d (т. е. когда и питающий электрод А, и измерительные электроды /И и ^ находятся слева от контакта — см. рис. 31)

при d<;x<.d +7 (т. е, когда питающий электрод Л нахо*

■129■129Заказ № 1723

■129

■129

дится слева от контакта, а измерительные электроды М и N — справа от него)

g ^Рг (1^12) ^Pi О-[-^1») ,(12 2

* 2л г22л г1 1

при d -f- г<х (т. е. когда и питающий, и измерительные электроды находятся справа от контакта)'

* 2л V г! (2х — 2d — г)е* 2л V г! (2х — 2d — г)е(12.2в)(12.2в)

* 2л V г! (2х — 2d — г)е

* 2л V г! (2х — 2d — г)е

(12.2в)

(12.2в)

где

(12.2г)(12.2г)Ь Pl Pi ь «21 —;— —«is-

(12.2г)

(12.2г)

Р1 + р2

Подставляя (12.2а), (12.26) и (12.2в) в (12.1) и учитывая (12.2г), получаем кривую электропрофилирования над контактом

Р1[1-Р1[1-(2d — 2х + гр(2d — 2х + гр2Р1Р2Рк — Р1 + Р22Р1Р2Рк — Р1 + Р2(2х — 2d — л)2(2х — 2d — л)2X<d, d<x<d-U, (12.3) d + r-<x.X<d, d<x<d-U, (12.3) d + r-<x.

Р1[1-

Р1[1-

(2d — 2х + гр

(2d — 2х + гр

2Р1Р2

Рк — Р1 + Р2

2Р1Р2

Рк — Р1 + Р2

(2х — 2d — л)2

(2х — 2d — л)2

X<d, d<x<d-U, (12.3) d + r-<x.

X<d, d<x<d-U, (12.3) d + r-<x.

Характерной особенностью графиков рк, рассчитанных по этим выражениям (рис. 32), является увеличение рк при приближении измерительных электродов к контакту с породами пониженного сопротивления и, наоборот, уменьшение рк при приближении к контакту с плохопроводящими породами. При переходе измерительных электродов через контакт значение рк меняется скачкообразно.

Аналогичным образом рассчитываются графики рк для второй трехэлектродной установки CMMNB, применяющейся при комбинированном электропрофилировании. Среднее арифметическое из этих двух кривых комбинированного профилирования дает нам кривую симметричного профилирования (см. рис. 32).

С помощью аналогичных рассуждений можно получить формулы и для профилирования через вертикальный контакт с дипольными установками.

Таким образом, электролрофилирование над вертикальным контактом позволяет точно установить положение этого контакта и: соотношение удельных электрических сопротивлений контактирующих пород.

Другим простейшим примером геоэлектрического разреза, для которого результаты электропрофилирования допускают относительно простую интерпретацию, является модель сферического вклю- е ния в однородном полупространстве (рис. 18 и 19). . .

Предположим, что мы выполняем электропрофилирование над шаром трехэлектродной установкой. Тогда, как мы знаем, кажущееся сопротивление

рк = 2пг*Е11.

Подставляя в последнюю формулу выражение (9.55) и учитывая, что при профилировании расстояние (х'—х) от источника А до середины измерительных электродов М и N фиксировано и равно г, х'—х = г, получаем

xIV^ + zq P„(cosO)--V* + 4 P„+i(cos9)]}, (12.4)

Рис. 33. Графики комбинированного профилирования над идеально проводящим шаром (по Ю, В. Якубовскому).

Величины разносов в долях радиуса шара: / — 10, // — 4, /// — 2, / У — 1

где приняты те же обозначения, что и в формуле (9.55), ах— координата точки измерения.

Формула (12.4) позволяет построить графики электрического профилирования над шаром. Типичные примеры таких графиков для идеально проводящего шара приведены на рис. 33. Хорошо проводящий изометрический объект отражается на этих графиках либо минимумом кривых (при малых размерах шара), либо перегибом кривых, или перекрытием кривых комбинированного профилирования (при больших размерах шара).

В качестве частного, но важного случая, рассмотрим электропрофилирование нал шаром по методу срединного градиента. Если расстояние между питающими электродами А и В много больше размеров шарового включения, для расчета графиков электропрофилирования можно воспользоваться формулами для тара в однородном поле. Кажущееся сопротивление в методе рединного градиента-вычисляют ио формуле

у рРк " Р\ЕmnSЕп,(12-5)

я — нормальное поле (в отсутствие неоднородности).

J^L^LI(хЧ ^)5/2 . ’J^L^LI(хЧ ^)5/2 . ’Рк = Pi 1 + 2А1С9Рк = Pi 1 + 2А1С9(12.6)(12.6)гаегаег»г»Подставляя (9.56) в (12.5), находим

J^L^LI(хЧ ^)5/2 . ’

J^L^LI(хЧ ^)5/2 . ’

Рк = Pi 1 + 2А1С9

Рк = Pi 1 + 2А1С9

(12.6)

(12.6)

гае

гае

г»

г»

— глубина залегания шара; кх = (р2—pi)/(2p3 + р,).

Рис. 34, График электропрофилирования над шаром по методу срединного градиентаРис. 34, График электропрофилирования над шаром по методу срединного градиентаГрафик рк/рп рассчитанный по (12.6), представлен на рис. 34. Заметим, что по анализу экстремальных точек на этом графике, нетрудно определить параметры шара (глубину залегания его центра г0 и радиус а).В самом деле, абсциссы экстремальных точек кривой рк^Рж находятся по формулеГрафик рк/рп рассчитанный по (12.6), представлен на рис. 34. Заметим, что по анализу экстремальных точек на этом графике, нетрудно определить параметры шара (глубину залегания его центра г0 и радиус а).В самом деле, абсциссы экстремальных точек кривой рк^Рж находятся по формуле<9 Рк<9 РкОтсюдаОтсюда= 2Ме= 2Медд(^-2^)(^-2^)5х (/ + ^№5х (/ + ^№- 2kia9- 2kia9^ Р,6х3 — 9xzq^ Р,6х3 — 9xzq- 0.- 0.

Рис. 34, График электропрофилирования над шаром по методу срединного градиента

Рис. 34, График электропрофилирования над шаром по методу срединного градиента

График рк/рп рассчитанный по (12.6), представлен на рис. 34. Заметим, что по анализу экстремальных точек на этом графике, нетрудно определить параметры шара (глубину залегания его центра г0 и радиус а).

В самом деле, абсциссы экстремальных точек кривой рк^Рж находятся по формуле

График рк/рп рассчитанный по (12.6), представлен на рис. 34. Заметим, что по анализу экстремальных точек на этом графике, нетрудно определить параметры шара (глубину залегания его центра г0 и радиус а).

В самом деле, абсциссы экстремальных точек кривой рк^Рж находятся по формуле

<9 Рк

<9 Рк

Отсюда

Отсюда

= 2Ме

= 2Ме

д

д

(^-2^)

(^-2^)

5х (/ + ^№

5х (/ + ^№

- 2kia9

- 2kia9

^ Р,

6х3 — 9xzq

^ Р,

6х3 — 9xzq

- 0.

- 0.

Хэ I 0, ^э а, з — ± V^/2 z0 ж ± l,225zg.

Следовательно,

(12.7)(12.7)Zg — Д/З/З Хз 2, з ^ 0,82Хд j, д.

(12.7)

(12.7)

Экстремальная величина pK/pi при х = 0, очевидно, будет

Рк, э/Р1 — 1+2Рк, э/Р1 — 1+2РаФ1 — 1РаФ1 — 1Spg/pi +1Spg/pi +1а®гоа®го

Рк, э/Р1 — 1+2

Рк, э/Р1 — 1+2

РаФ1 — 1

РаФ1 — 1

Spg/pi +1

Spg/pi +1

а®

го

а®

го

Рк. э/Р1 11Рк. э/Р1 11а= z0а= z0Отсюда

Рк. э/Р1 11

Рк. э/Р1 11

а= z0

а= z0

(12.8)(12.8)(2pa/pi+J)

(12.8)

(12.8)

I pVPi — 1 I

где модули лад знаком корпя поставлены ввиду того, что радиус а заведомо величина положительная.

Для завершения решения обратной задачи вам осталось определить соотношение удельных электрических сопротивлений шара и вмещающей среды. Опыт интерпретации показывает, что здесь достаточно довольно грубой оценки.

Предположим, что шар —хороший проводник, тогда, полагая в (12.8) Р2+1 < L находим

а = z0а = z03/-V I Рк, э/pi — 11'2 .3/-V I Рк, э/pi — 11'2 .(12-9)(12-9)

а = z0

а = z0

3/-

V I Рк, э/pi — 11'2 .

3/-

V I Рк, э/pi — 11'2 .

(12-9)

(12-9)

Наоборот, в случае, когда шар — изолятор (p*/pi "* °°)> имеем

(12.10)(12.10)<i = zq VIPk. s/pi — 11 .

(12.10)

(12.10)

Как видим, в случае электропрофилирования над шаром обратная задача может быть решена относительно просто по кривым электропрофилирования.

Таким образом, при электропрофилировании над простыми моделями геоэлектрического разреза обратная задача решается элементарными средствами. Однако реальные геоэлектрические раэ-

резы характеризуются весьма сложным распределением электропроводности. Для однозначной интерпретации электроразведоч- ных данных над такими разрезами необходимо, как уже отмечалось выше, комплексировать методы электрического профилирования и электрического зондирования и производить интерпретацию их данных совместно, привлекая математическое и физическое моделирование электрических полей в неоднородных геоэлектриче- скпх средах.

АППАРАТУРА И ОБОРУДОВАНИЕ

Основные требования к электроразведочной аппаратуре и оборудованию определяются используемым методом и спецификой вы- полняемых полевых работ.

В большинстве методов электроразведки на постоянном токе ■основными измеряемыми величинами являются разность потенциалов между приемными электродами и сила тока в питающей цепи. Охарактеризуем кратко основные типы применяемой в электроразведке аппаратуры и принципы ее устройства.

Способы измерения постоянной разности потенциалов в электроразведке

Для измерения постоянной разности потенциалов и постоянного электрического тока используют четыре способа: 1) компенсационный; 2) автокомпенсационный; 3) осциллографический; 4) компа- рационный.

Компенсационный способ. Основан на сравнении измеряемой и известной разностей потенциалов. Принципиальная схема измерений изображена на рис. 35. В этой схеме гальванический элемент Е нагружен на делитель напряжения R. В общем случае между электродом М и точкой m делителя напряжения R существует некоторая разность потенциалов, фиксируемая гальванометром Г. Однако, передвигая ползунок п делителя, можно добиться такого положения, при котором компенсирующая разность потенциалов &UMN = IkRmn будет равна измеряемой разности потенциалов между электродами М и N: MJmn = &UMN (при подходящей полярности подключения измерительных электродов). В этом случае гальванометр Г отметит отсутствие тока и, следова- тельно, равенство потенциалов между точками М и пг. Таким образом, фиксируя (по показанию гальванометра) то положение ползунка делителя Rmt, при котором измеряемая разность потенциа- гов оказывается равной известному падению напряжения на де- пггелс, мы и определяем &UMN:

&UMN = ^Umn = IKRmn. (13.1)

Зная электродвижущую, силу элемента Е и все сопротивление Делителя, по которому течет компенсационный ток, можно вычис-

Рис. 35. Схема измерения разности потенциалов компенсационным способомРис. 35. Схема измерения разности потенциалов компенсационным способомРис. 36. Схема измерения разност» потенциалов автохомпенсаиионным способомРис. 36. Схема измерения разност» потенциалов автохомпенсаиионным способом

Рис. 35. Схема измерения разности потенциалов компенсационным способом

Рис. 35. Схема измерения разности потенциалов компенсационным способом

Рис. 36. Схема измерения разност» потенциалов автохомпенсаиионным способом

Рис. 36. Схема измерения разност» потенциалов автохомпенсаиионным способом

лить величину этого тока:

/к = E/R = const.03.2>

Подставив выражение (13.2) в (13.1), окончательно найдем

AUMN = tEfR)Rm„.(13.3>

Таким образом, определение. AUMW сводится к снятию отсчета со шкалы делителя Rwn в момент компенсации. Компенсационный способ реализован в одном из первых электроразведочных приборов— потенциометре ЭП-1.

Автокомпенсационный способ. Этот способ отличается от компенсационного тем, что компенсирующую разность потенциалов, подбирают автоматически без участия оператора. Способ реализован в серийно выпускаемых автокомпенсаторах типа ЭСК (электро- разведочный стрелочный компенсатор).

Автокомпенсационпая схема (рис. 36) содержит усилитель постоянного тока У с глубокой отрицательной обратной связью. На вход усилителя подается разность между измеряемым напряжением MJMH и компенсирующим напряжением AUnm, падающим на сопротивлении Rmn, которое включено и в первичную, и вторичную цепи этого усилителя:

AUy = AU ^N— Д^тП‘

Если коэффициент усиления усилителя обозначить через Кч, на выходе получаем напряжение

AUt = K^Uy = /Су ^Uм N ^^ти)'

Следовательно, компенсационный ток, текущий во вторичной цепи усилителя, состоящей из сопротивления микроамперметра г и компенсирующего сопротивления Rnin,

j А(7з Ку (&UMN Д6/тп)цЗ ^y

Rmn "1" rRmn “h r

В то же время компенсирующее напряжение определяется по формуле■

At^mn — KRtnn*(13.5)

Подставляя (13.5) в (13,4), получаем уравнение для определения компенсационного тока

I Ry^UMN hlRmn)

Rmn + г

откуда

/к = ^*N.(13.6)

Rmn 4" (Rmn 4" 01Ry

Коэффициент усиления Ку усилителя выбирается достаточно большим, чтобы компенсирующее напряжение устанавливалось почти равным измеряемому напряжению. В самом деле, при Ку 3> 1 формула (13.6) дает

^^мм 555 ^пКтп*(13.7)

Сравнивая (13.7) с (13.5), видим, что

MJMN~bUтп'(13.8)

Таким образом, в указанной схеме компенсация измерительной разности потенциалов А(7№N осуществляется автоматически. При этом /WMN пропорциональна силе компенсационного тока /к, который может быть определен непосредственно по стрелке микроамперметра.

Осциллографический способ. Характеризуется тем, что в качестве измерительного прибора используют гальванометр, подключаемый к электродам М и N. Принцип действия зеркального гальванометра основан на свойстве проводника (рамки) с током поворачиваться в поле постоянного магнита. При этом угол поворота пропорционален току, протекающему в рамке, т. е. прикладываемой к рамке измеряемой разности потенциалов NUmn. Этот угол поворота измеряют с помощью зеркальца, помещенного на нити подвеса рамки. Луч света, направленный от осветителя на зеркальце, отражается на движущуюся фотобумагу. При этом отклонение блика луча на фотобумаге от нулевой линии записи (когда ток в рамке отсутствует) пропорционально углу поворота зеркальца ". следовательно, величине M/MN.

Осциллографический способ регистрации применяется в элек- троразведочных станциях.

Компарационный способ. Этот способ измерения разности потенциалов заключается в сравнении ее с известным напряжением, вырабатываемым источником градуировочного напряжения. Компарационный способ применяется, в частности, при осциллографической регистрации сигналов. Принцип измерения сводится к следующему. Подключив к схеме разность потенциалов MJMN, определяют величину отклонения рабочего импульса на осциллограмме

в миллиметрах Цмм). Далее, к этой же схеме подается сигнал ДС/^ известной величины (градуировочный), отклоняющий блик гальва^ нометра на Zrp миллиметров. Величина kUMN находится из пропорции

Д^мN " ^^гр^МН^гр*

Более сложные компарационные схемы применяются в приборах, работающих на переменном токе. В этом случае градуировочное напряжение вырабатывается специальным опорным генератором,

Переносная аппаратура для изучения постоянных электрических полей

Перечисленные выше принципы измерения постоянной разности потенциалов реализованы в соответствующей электроразведочной аппаратуре.

Одним из первых электроразведочных приборов, применявшихся в практике работ на постоянном токе, является электрораз-

Рис. 37. Блок-схема электронного стрелочного компенсатора ЭСК-1 (ЭСК-2, ЛЭ-72):

/ — усилитель переменного тока; преобразователь постоянного напряжения в [переменное; 3 — детектор^ ■4 — задающий генератор; 5 — измерительное устройство; б — компенсатор поляризации; 7 — включатель TOJKa^ 8 — источник мктакия линии АВ;

9 — переключатель рода работы (7 —- измерение ^^^^. ^ — измерение 1>

ведочный потенциометр ЭП-1. В этом приборе реализован компенсационный способ измерения [34]. В настоящее время промышленными предприятиями он уже не выпускается и на производстве используется редко.

Автокомпенс анионный способ регистрации реализован в электронных стрелочных компенсаторах ЭСК-1, ЭСК-2 и в автокомпенсаторе электроразведочном АЭ-72 (рис. 37). Компенсация измеряемой разности потенциалов осуществляется усилителем переменного тока с преобразованием напряжения на входе из постоянного в пульсирующее и последующим механическим выпрямлением его на выходе.

Приборы этого типа позволяют измерять не только разность потенциалов MiMN между измерительными электродами, но и ток. / в питающих электродах АВ. Для этого питающий ток подается1 на внутреннее сопротивление прибора известной величины, и производится компенсация падения напряжения на этом сопротивле- 136

йИп по схеме, описанной выше. Измеряемая таким образом раз* ность потенциалов пропорциональна силе тока /, что отражено в соответствующей шкале прибора, позволяющей непосредственно брать отсчеты / в сантиамперах.

В комплекте прибора предусмотрен также компенсатор поляризации, предназначенный для компенсации ЭДС естественной электрической поляризации, возникающей на контакте измерительные электроды — вмещающая среда, а также естественного электрического поля. Перед измерением прибором MJMS с помощью компенсатора поляризации стрелка гальванометра устанав- .дивается на нуль. При измерении тока / в питающей цепи компенсатор поляризации выключается.

Ламповые электронные стрелочные компенсаторы ЭСК-l и .ЭСК-2 просты в управлении и удобны в эксплуатации, однако они плохо защищены от помех, обусловленных промышленными токами утечки, и требуют тщательной настройки.

Более совершенным является транзисторный вариант этих приборов — автокомпенсатор электроразведочный АЭ-72. По массе он почти в 2 раза меньше, чем ЭСК-I или ЭСК-2 (менее 4 кг). В этом приборе электромеханический преобразователь постоянного тока в переменный, применяющийся в ЭСК-1 и ЭСК-2, заменен транзисторным преобразователем. В остальном принципиальная схема прибора АЭ-72 совпадает со схемой ЭСК-1 и ЭСК-2.

Аппаратура для измерения медленно меняющихся полей

Дальнейшее совершенствование приборов для измерения электрических полей в электроразведке привело к созданию аппаратуры, работающей на переменном электрическом токе низкой частоты.

Дело в том, что законы распространения низкочастотного тока в земле с высокой степенью точности совпадают с законами распространения постоянного электрического тока. В то же время применение переменного тока оказывается технически более выгодным, поскольку позволяет исключить влияние ЭДС поляризации приемных электродов и промышленных помех. В разное время в СССР была разработана аппаратура низкой частоты различных типов: АНЧ-1, АНЧ-3, ИКС-1, ИКС-50. В данном учебнике мы рассмотрим устройство двух наиболее совершенных приборов: ИКС-50 и АНЧ-3.

Генератор, входящий в комплект аппаратуры измерителя кажущегося сопротивления ИКС-50, позволяет преобразовывать постоянное напряжение батарей в переменный ток частотой 22.5 Гц (такая частота выбрана для того, чтобы избавиться от промышленных помех, имеющих частоту 50 Гц). Этот ток подается в питающие электроды АВ, причем величина питающего тока независимо о т

Рис. 38. Блок-схема измерителя кажущегося сопротивления ИКС-50 настроенного на частоту 22,5 I стрелочным индикатором И (рис.Рис. 38. Блок-схема измерителя кажущегося сопротивления ИКС-50 настроенного на частоту 22,5 I стрелочным индикатором И (рис.A t/0 — RYjXU у^/а.,A t/0 — RYjXU у^/а.,(13.9)(13.9)

Рис. 38. Блок-схема измерителя кажущегося сопротивления ИКС-50 настроенного на частоту 22,5 I стрелочным индикатором И (рис.

Рис. 38. Блок-схема измерителя кажущегося сопротивления ИКС-50 настроенного на частоту 22,5 I стрелочным индикатором И (рис.

A t/0 — RYjXU у^/а.,

A t/0 — RYjXU у^/а.,

(13.9)

(13.9)

сопротивления заземления автоматически поддерживается равиб! некоторой константе /0 = 10 мА. Это сделано для того, чтобы прт бор позволял непосредственно определять кажущееся сопротивл® ние разреза

рк = K&U мкЦй,

Поскольку в аппаратуре предусмотрена стабилизация токаизмеренная величина &иим, поделенная на 10, автоматическидает отношение MJMJ4/I6, которое, будучи умноженным на гей-*метрический коэффициент установки, позволяет определять ка<1

жущееся сопротивление^ В связи с этим прибор имеет две шкалы — одну для измерения kUMN в милливольтах и вторую для измерений ^мД В 0МЗХ-

Измерение разности пои тенциалов &UMN осущест11 вляется компараиионпым способом (см. п. 13.1). Для этого измеряемый сигнал kUMN подается через калибр рованный ступенчатый дели“ тель напряжения Rtt nfi вход избирательного уси^ лителя переменного тока У., I и снабженного на выходе 38). Очевидно, что показаний

этого индикатора

где а — коэффициент деления делителя R^, а К^ — коэффициент* усиления усилителя У.

Опорный сигнал ДУоп формируется специальным опорным reJ нератором ОГ, нагруженным на ступенчато /?р и плавно R4 меняю-1 щиеся сопротивления. С помощью ступенчатого и плавного переклю1 чателей подается такой опорный сигнал

А^оп = 7<у(Р + т)/Оп,(13-Ю)

где ₽ и у — величины сопротивлений R^ и Rv чтобы отсчет по стрелочному индикатору оставался прежним

(13.11)(13.11)(13.12)(13.12)Д(/Оп = ди0.

(13.11)

(13.11)

(13.12)

(13.12)

Подставляя (13.9) и (13.10) в (13.11), находим &&№№ = а(Р + У) ^оп-

В приборе опорный ток /оп стабилизирован и равен 1 мА, а ве*1 личины сопротивлений р и у известны но показаниям на ручкам

переключателей сопротивлений R6 и Ry, Следовательно, измеряемая разность потенциалов (в мВ)

AlVv-«(Hv). (13.13)

Отметим, что нестабильность коэффициента усиления /Су из- ■бирательного усилителя не вносит погрешности в определение ^UMn, так как в итоговых формулах (13.12) и (13.13) он не участвует. Точность прибора определяется только стабильностью опорного генератора и точностью делителей Ra, R^ и Rv, а также стабильностью питающего генератора, вырабатывающего ток /0 = г- К) мА.

Комплект аппаратуры низкой частоты АНЧ-3 рассчитан па работу с переменным током сверхнизкой частоты 4,88 Гц. Переход на более низкую частоту снижает искажающее влияние скии- эффекта, позволяет увеличить глубинность исследования, ослабляет индукционные связи между приемной и питающей линиями.

Аппаратура представляет собой комплект, в который входят два генератора (переносный и стационарный) и три милливольтметра. Переносный генератор питается от батарей, развивает на выходе мощность 1—30 Вт и посылает в землю стабилизированный ток, величина которого устанавливается в зависимости от сопротивления питающей цепи с помощью соответствующего переключателя равной /0 = 10, 30, 75 и 100 мА ± 1 %. Стационарный генератор питается от бензоэлектрического агрегата и развивает на выходе мощность от 35 до 300 Вт. Он также посылает в землю стабилизированный ток, сила которого по выбору оператора может задаваться /0 = 100; 150; 250; 400; 1000; 1500; 2000 мА ± 1 %.

В основу схемы милливольтметров комплекта АНЧ-3 положен принцип автокомпенсации, поэтому принципиальная схема милливольтметра аналогична схеме приборов ЭСК-1 и ЭСК-2. Благодаря использованию избирательного усилителя с фиксированной частотой 4,88 Гц удалось существенно увеличить чувствительность милливольтметра. Кроме того, у измерителя выше помехоустойчивость к электрическим полям промышленной частоты. Наконец, применение переменного тока позволяет избавиться от влияния электродной поляризации и естественного поля, поэтому в измерителе отсутствует компенсатор поляризации.

В заключение необходимо отметить, что при работе с комплектом АНЧ-3 производительность труда выше, чем при работе с комплектом ИКС-50, так как отсчет берется непосредственно по показаниям прибора без дополнительных вычислений. Кроме того, использование одновременно трех милливольтметров позволяет выполнять измерения сразу в нескольких точках изучаемой площади. Наконец, конструктивно генераторы и милливольтметры комплекта АНЧ-3 выполнены по более совершенным схемам, чем предшествующие образцы электроразведочной аппаратуры.

Глава Ш

МАГНИТОТЕЛ Л УРИ Ч ЕСКИ Е И МАГНИТОВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ I МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Основные типы геомагнитных вариаций

Наблюдения магнитного поля Земли в течение длительного врЫ мени показывают, что величина и направление этого поля непрвч рывно меняются во времени. Эти изменения получили название вариаций геомагнитного поля. Принято различ чать два вида вариаций: вариации, обусловленные внутренним им точником (вековые вариации), и вариации, вызываемые внешним источником. 1

Геомагнитные вариации, обусловленные внутренним источни ком, имеют периоды, исчисляемые многими столетиями, десятилетиями и годами (поэтому их и называют часто вековыми вариациями)! Эти вариации связаны с процессами, происходящими в глубинный слоях Земли—земном ядре.

Геомагнитные вариации, обусловленные внешним источником имеют периоды от долей секунд до 11 лет. Они вызываются процеС сами, происходящими вне Земли — в околоземном космическое пространстве.

Согласно законам электромагнитной индукции вариации red магнитного поля возбуждают в Земле переменное электрически поле и соответственно электрический ток. Величина этого тока те# больше, чем быстрее меняется во времени магнитное поле. Вековы! вариации связаны со столь медленными изменениями магнитноп) поля (периоды — века!), что практически не приводят к появлениК электрического тока. В то же время вариации, обусловленные внеш ним источником, могут возбуждать в Земле сильные токи, вколи* доступные измерениям и наблюдениям. Эти токи получили назва1] ние земных, или теллурических, токов (от латинского слова tellu-^ rus — Земля). В целом поле геомагнитных вариаций и теллуричви ских токов носит название м а гн итот е л л у р и ч ес ко rd поля. ,

Природа магнитотеллурического поля тесно связана с процеоЧ сами, происходящими на Солнце. В результате этих nponecj сов Солнце непрерывно выбрасывает в космическое пространств® мощные потоки заряженных частиц—корпускул, образующий так называемый солнечный ветер. Основная причина возмущений геомагнитного ноля Земли, по современным представлениям, кай раз связана с существованием солнечного ветра и с процессами»

происходящими прй взаимодействии солнечного ветра с магнитным полем Земли. Корпускулярный поток, составляющий солнечный ветер, обладает высокой проводимостью, поэтому магнитное поле Земли не может проникнуть внутрь него. При этом возникает достаточно четкая граница между областью, где существует магнитное поле Земли (последняя называется магнитосферой), и областью, где его нет. Наиболее активной зоной, в которой возбуждаются магнитотеллурические вариации различных типов, является граница магнитосферы и пограничный слой, отделяющий ее от солнечного ветра. Выясним, какую форму имеет граница магнитосферы.

Рис. 39. .Магнитосфера Земли;

/ — силовыелинии магнитного поля диполя; 2 — силовые линии геомагнитного поля; 3 — граница магнитосферы; 4 — переходная эона- 5 — область» занятая солнечным ветром

В первом приближении магнитное поле Земли можно рассматривать как поле постоянного магнитного диполя, расположенного в центре Земли. Конфигурация силовых линий такого поля изображена на рис. 39. Однако под действием давления солнечного ветра поле диполя искажается. В самом деле, в солнечном ветре поток частиц движется в среднем со скоростью 400 км/с, в результате чего солнечный ветер как бы «перекидывает» магнитные силовые линии с дневной стороны на ночную (см. рис. 39, линия 2). Таким образом, магнитосфера имеет вид затупленного снаряда, «летящего» в сторону Солнца. По современным данным, полученным на космических летательных аппаратах, на дневной стороне Земли граница магнитосферы удалена от земной поверхности примерно на 60 тыс. км, а на ночной — протягивается, по крайней мере, на расстояние, равное 100 радиусам Земли!

Интенсивность и скорость солнечного ветра непрерывно меняются во времени в связи с изменениями солнечной активности, т. е. с внутренними процессами, идущими на Солнце. В результате магнитосфера как бы пульсирует: магнитные силовые линии то прижимаются к Земле, то отходят от нее, вызывая тем самым вариации геомагнитного поля на ее поверхности.

Очевидно, что в то время как поверхность Земли на большей части широт «защищена» магнитным полем от непосредственного попадания заряженных частиц (корпускул) солнечного происхождения, на высоких широтах на дневной поверхности Земли силовые линии образуют своеобразную воронку, составленную из конусов, повернутых в сторону Солнца. Эти широты оказываются откры-

тыми для солнечного излучения, поэтому указанная область яа< ляется особенно чувствительной к порывам солнечного ветра. Пре этом определенное количество заряженных частиц проникает внутрь магнитосферы — в ионосферу, образуя в последней элек4 трические токи. Растекаясь по ионосфере, электрические токи концентрируются в приполярных зонах, где повышенная электро' проводность вызвана вторжением энергичных заряженных частиц; В результате возникает струйный ток (так называемая полярнаЯ электроструя) шириной до сотен и длиной несколько тысяч километров. Струйный ток порождает возмущения геомагнитного поля/ длящиеся от получаса до двух часов (так называемые бухтообразные вариации).

/23 У У У 7 t,MU«/23 У У У 7 t,MU«Рис. 41. Иррегулярные геомагнитные! пульсацииРис. 41. Иррегулярные геомагнитные! пульсацииТакова в общих чертах природа возмущений геомагнитного поля Земли. Основными типами вариаций естественного электро-

/23 У У У 7 t,MU«

/23 У У У 7 t,MU«

Рис. 41. Иррегулярные геомагнитные! пульсации

Рис. 41. Иррегулярные геомагнитные! пульсации

01234567 t'MIlH

Рис. 40. Устойчивые геомагнитные пульсации

магнитного поля, используемыми в магнитотеллурических методах исследования, являются пульсации, бухтообразные возмущения, солнечно-суточные вариации и мировые магнитные бури. Привет дем основные характеристики этих вариаций. ■

Пульсации представляют собой короткопер иодные колебания геомагнитного поля (КПК) с диапазоном частот от сотых долей герца до нескольких герц. Короткопер иодные вариации' имеют относительно малую амплитуду: в средних широтах ампли-| туды КПК обычно не превышают нескольких единиц нанотесл Hi лишь в высоких широтах могут возрастать до десятков, а в отдельных случаях до сотен нанотесл. . ■

По своей структуре КПК подразделяются на два класса: устой-| чивые пульсации (Pc-вариации) и иррегулярные пульсации (Pi-ва» риации). Пульсации Рс характеризуются устойчивыми квазисину4! соидальными колебаниями магнитотеллурического поля с периодами от 0,2 до 1000 с (рис. 40). Пульсации Pi носят неравномерный! характер и представлены изолированными цугами колебаний; (рис. 41). Они имеют характерные периоды от 1 с до нескольких, минут. ■

Происхождение геомагнитных пульсаций связано, как уже отмечалось, со сложными процессами, происходящими в магнитосфере Земли, которые изучены еще недостаточно полно. Согласий одной из точек зрения, пульсации являются результатом собствен^ ных колебаний силовых линий геомагнитного поля под «порывами», солнечного ветра. Есть основания полагать также, что причиной ге-, нерации пульсаций являются гидромагнитные волны, распростра- 142

Е = (9/4лег2) dn (1.16)

где dr — единичный вектор (орт), направленный вдоль радиуса- вектора.

+ буу)] dk,dhy\

—\ “ (—М + М Rn (По) exp [—Z (А^Ч-

4лar J J л0

+ йуу)1 dkxdky

Соотношения (8.61) и (8.63) лежат в основе теории дипольных

электромагнитных зондирований.

■ М.С.ЖДАНОВ

М.С.ЖДАНОВ

ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКА

Допущено

Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых»

МОСКВА „НЕДРА” 1986

УДК 550.837 (075)

Жданов М. С. Электроразведка: Учебник для вузов.— М.: Недра, 1986.— 316 с.

Приведены общие сведения о физико-математических основах электроразведки, условиях и способах возбуждения и измерения электромагнитных полей. Описаны методы электроразведки постоянным электрическим полем, магнитотеллурические и магнитовариационные методы, электромагнитные зондирования с контролируемыми источниками поля, методы полей физико-химического происхождения. Рассмотрены аппаратура, оборудование, методика работ, способы обработки и интерпретации результатов наблюдений.

Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых*.

Табл.— 2, ил.— 85, список лит.— 35 назв.

Рецензенты:

Б. С. Светов, д-р техн, наук (Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн);

Г, в. Молочное, д-р физ.-мат. наук, проф. (Ленинградский государственный университет).

ЖЖ1803020000—173043(01)—86^43—861803020000—173043(01)—86^43—86© Издательство «Недра», 1986© Издательство «Недра», 1986

Ж

Ж

1803020000—173

043(01)—86^43—86

1803020000—173

043(01)—86^43—86

© Издательство «Недра», 1986

© Издательство «Недра», 1986