Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ
Глава 1. Скорость 15
Механическое движение (15). § 1.2. Система отсчета. Траектория (16). § 1.3. Прямолинейное движение. Закон движения (18).
Равномерное движение (19). § 1.5. Переменное движение (20).
Средняя скорость (21). § 1.7. Мгновенная скорость переменного движения (23)・
Глава 2. Инерция 24
Принцип инерции (24). § 22 Инерциальные системы отсчета (26). § 2.3. Принцип относительности (28). § 2.4. Преобразования Галилея (29). § 2.5. Классический закон сложения скоростей (31).
Глава 3. Скаляры и векторы. Вектор скорости 31
Скалярные величины (31). §3.2. Векторные величины (32).
Некоторые операции над векторами (33). § 3.4. Разложение вектора на два слагаемых (35). § 3.5. Скорость — вектор (36).
Сложение скоростей (37).
Глава 4. Ускорение 39
Среднее и мгновенное ускорение (39). § 4.2. Прямолинейное переменное движение (39). § 4.3. Прямолинейное равнопеременное движение (40). § 4.4 График скорости при равнопеременном движении (40), § 4.5. Графическое вычисление перемещения (41).
Перемещение и средняя скорость при равнопеременном движении (42). § 4.7. Равномерное движение материальной точки по окружности (43). §4 8. Ускорение при равномерном движении материальной точки по окружности (44).
Глава 5. Сила 45
Сила —— мера взаимодействия тел (45). § 5.2. Упругие и пластические деформации (46). § 5.3. Сила — вектор (48). § 5.4. Сложение и разложение сил, приложенных к материальной точке (49).
Глава 6. Вес и масса 50
Сила тяжести. Вес (51). § 62 Свободное падение (52).
Масса тела (54). § 6.4. Плотность вещества (54).
Глава 7. Основной закон динамики 55
Сила и ускорение (55). § 7.2. Применения основного закона динамики (58). § 7.3. Невесомость (60). § 7.4. Система единиц (61).
Международная система единиц (62). § 7.6. Системы единиц СГС и МКГСС (63).
Глава 8. Закон движения материальной точки и начальные условия 64
Основная задача динамики (64). § 8.2. Движение материальной точки под действием силы тяжести (65). § 8.3. Численное решение основной задачи динамики (67). § 8.4. Движение тела под действием упругой силы (68). § 8.5. Величины, определяющие закон движения материальной точки (71).
Глава 9. Тяготение 72
Открытие закона тяготения (72). §9.2. Закон тяготения Ньютона (74). § 9.3. Опыт Кавендиша (75). § 9.4. Определение расстояний от Солнца до планет (75). §9.5. Поле тяготения (76). §9.6. Напряженность поля тяготения (77). §9.7. Поле тяготения Земли (77). §9.8. Влияние вращения Земли на ускорение свободного падения (79).
Глава 10. Электрические силы 80
Электрический заряд (80). § 10.2. Закон Кулона (81).
Единицы заряда и системы единиц (83). § 10.4. Диполь (84).
Электрическое поле. Напряженность (86). § 10.6. Поле точечного заряда и диполя (87).
Глава 11. Треиие 89
Внешнее и внутреннее трение (89). § 11.2. Тренне покоя (90).
Угол трения (92). § 11.4. Трение скольжения (93). § 11.5. Трение качения (94). § 11.6. Движение тел под действием силы трения (94). § 11.7. Внутреннее трение (95). § 11.8. Движение тела в жидкости (97). § 11.9. Падение тела в жидкости или газе (99).
Глава 12. Теория относительности 101
Скорость света и закон сложения скоростей (101). § 12.2. Основные постулаты специальной теории относительности (103). § 12.3. Одновременность событий (104). § 12.4. Одновременность и длина (107).
Релятивистский закон сложения скоростей (107). § 12.6. Предельный характер скорости света (109). § 12.7. Преобразования Лоренца (110). § 12.8. Длина отрезка (111). § 12.9. Промежуток времени между двумя событиями (111). § 12.10. Промежуток времени между причиной и следствием (112). § 12.11. Соотношение между релятивистской и ньютоновской механикой (114).
Глава 13. Масса, импульс и сила в теории относительности 115
Релятивистская масса (115). § 13.2. Основной закон динамики в теории относительности (116). § 13.3. Соотношение между ньютоновской и релятивистской динамикой (117).
Глава 14. Закон движения и соотношение неопределенностей . . . .119
Начальные условия и измерительная аппаратура (119).
Соотношение неопределенностей (123). § 14.3. Соотношение неопределенностей и классическая механика_(123).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Глава 15. Закон сохранения импульса 127
Замкн)7тая система тел (127). § 15.2. Закон сохранения импульса (128). § 15.3. Явление отдачи (129). § 15.4. Измерение масс] (131).
Реактивное движение (131). § 15.6. Расчет запаса топлива (132).
Центр инерции (133). § 15.8. Движение центра инерции (134),
Глава 16. Полная и кинетическая энергия 136
Полная энергия тела (136). § 16.2. Кинетическая энергия (137).
Энергия и импульс (138). § 16 4. Кинетическая энергия и работа (138). § 16.5. Мощность (141). § 16.6. Единицы измерения энергии, работы и мощности (141). § 16.7. Импульс и энергия локализованной частицы (142).
Глава 17. Элементарная теория столкновений 144
Что такое столкновение? (144). § 17.2. Абсолютно иеупругий удар (145). § 17.3. Упругий удар (147). § 17.4. Замедление нейтронов (148). § 17.5. Давление потока частиц на стенку (149).
Глава 18. Консервативные силы и потенциальная энергия 151
Работа переменной силы (151). § 18.2. Работа упругой силы (152). § 18.3. Работа кулоновской силы (153). § 18.4. Работа гравитационной силы (155). § 18.5. Консервативные силы (156). § 18.6. Потенциальная энергия упругих, кулоновских и гравитационных взаимодействий (157). § 18.7. Потенциал электростатического поля (159).
Потенциал поля точечного заряда (160). § 18.9. Энергия электрического поля (161).
Глава 19. Закон сохранения энергии в ньютоновской механике ....161
Механическая энергия и ее сохранение (161). § 19.2. Механическая энергия и трение (162). § 19.3. Космические скорости (163).
«Чертова петля» (164). § 19.5. Потенциальные кривые (164).
Потенциальная энергия и равновесие (167).
Глава 20. Внутренняя энергия 168
Внутренняя энергия системы частиц (168). § 20.2. Изменение внутренней энергии при деформации тела (169). § 20.3. Изменение внутренней энергии тела при тепловых процессах (170). § 20.4. Изменение внутренней энергии при химических реакциях (171). § 20.5. Изменение внутренней энергии при ядерных реакциях (172).
Глава 21. Закон сохранения энергии . . 173
Работа как мера изменения полной и внутренней энергии (173).
Теплообмен (174). § 21.3. Количество теплоты (175). § 21.4. Первое начало термодинамики (176). § 21.5. Адиабатически изолированная система (177). § 21.6. Закон сохранения энергии (178). § 21.7. Закон сохранения массы (178). § 21.8. Еще о релятивистской массе (180).
Глава 22. Закон сохранения момента импульса 182
Особенности вращательного движения (182). § 222 Кинетическая энергия и момент инерции (182). § 22.3. Зависимость момента
инерции от положения оси вращения (184). § 22.4. Момент силы (186).
Условие равновесия тела, имеющего ось вращения (187).
Момент импульса и основное уравнение динамики (188).
Закон сохранения момента импульса (189). § 22.8. Аналогия между величинами и соотношениями между ними при поступательном и вращательном движениях (191).
Глава 23. Симметрия в природе и законы сохранения 192
Законы сохранения как основные законы природы (192).
Законы сохранения как принципы запрета (193). § 23.3. Законы сохранения и симметрия пространства —времени (194). § 23.4. Однородность времени и сохранение энергии (195).
Глава 24. Неинерциальные системы отсчета и тяготение196
Явления в ускоренно движущейся системе отсчета (196).
Силы инерции (198). § 24.3. Особенности сил инерции (200).
Пространство и время в неинерциальных системах отсчета (200).
Принцип эквивалентности (203). § 24.6. Понятие о теории тяготения Эйнштейна (205). § 24.7. Парадокс близнецов (208).
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА
Глава 25. Молекулярное движение 211
Как измерили скорость движения молекул (211). § 25.2. Распределение молекул по скоростям (213). § 25.3. Длина свободного пробега молекулы (215). § 25.4. Диффузия (217). § 25.5. Закон диффузии (218). § 25.6. Разделение газовых смесей (219).
Глава 26. Идеальный газ 221
Давление газа (221). §26.2. Единицы давления (223). § 26.3. Идеальный газ (225). § 26.4. Температура (226). § 26.5. Абсолютная температура и уравнение состояния идеального газа (228). § 26.6. Газовый термометр (228). § 26.7. Градус и кельвии. Практическая и абсолютная шкала температур (229). § 26.8. Абсолютный нуль (231). § 26.9. Число Авогадро и постоянная Больцмана (232). § 26.10. Распределение молекул в силовом поле (235). § 26.11. Барометрическое распределение (236).
Глава 27. Идеальный газ и первое начало термодинамики 238
Внутренняя энергия одноатомного идеального газа (238).
Работа при расширении идеального газа (239). § 27.3. Первое начало термодинамики и теплоемкость газа (240). § 27.4. Изохорный процесс (241). § 27.5. Изобарный процесс (242). § 27.6. Изотермический процесс (244). § 27.7. Адиабатный процесс (244). § 27.8. Теплоемкость двухатомного газа (246). § 27.9. Понятие о квантовой теории теплоемкости газов (249).
Глава 28. Второе начало термодинамики . . 253
Квазистатические процессы (253). § 28.2. Обратимые процессы (254). § 28.3. Необратимость реальных тепловых процессов (255).
Необратимость и статистика (256). § 28.5. Диффузия и термодина-
мическая вероятность (259). § 28.6. Термодинамическая вероятность и другие тепловые процессы (260). § 28.7. Термодинамическая вероятность и энтропия (261). § 28.8. Энтропия и теплообмен (263).
Второе начало термодинамики (265). § 28.10. Статистический смысл второго начала термодинамики. Флуктуации (266). § 28.11. Броуновское движение и флуктуации (267). § 28.12. Броуновское движение и постоянная Больцмана (268).
Глава 29. Тепловые машины . 271
Тепловые машины и развитие техники (271). § 29.2. Тепловой двигатель (271). § 29.3. Схематическое устройство и энергетический баланс теплового двигателя (272). § 29.4. Тепловой двигатель и второе начало термодинамики (273). § 29.5. Цикл Карно (274), § 29.6. К. п. д. реального двигателя (275). § 29.7. Обратный цикл Карно (276). § 29.8. Холодильная установка и тепловой насос (278).
Глава 30. Основы газовой динамики 279
Термодинамические параметры движущегося газа (279).
Уравнение неразрывности (280). § 30.3. Уравнение и мп ул ьсов (280). § 30.4. Уравнение Бернулли (281). § 30.5. Скорость распространения упругих возмущений (282). § 30.6. Учет сжимаемости газа. Число Маха (285). § 30.7. Конус Маха (286). § 30.8. Ударная головная волна (287). § 30.9. Явления на прямом скачке уплотнения (288).
Волновое сопротивление (289). § 30.11. Сопло (291).§ 30.12. Аналогия между соплом и тепловой машиной (292). § 30.13. Сопло Лаваля (293). § 30.14. Реактивный двигатель (293). § 30.15. Крыло самолета (295). § 30.16. Измерение давления и скорости в потоке жидкости (296).
Учет вязкости. Сопротивление трубопроводов (297).
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ И АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Глава 31. Молекулярные силы 299
Плотность и сжимаемость вещества (299). § 31.2. Молекулярные силы (300). § 31.3. Электрическое происхождение молекулярных сил (301). § 31.4. График молекунярннх сил (303). § 31.5. Потенциальная кривая молекулярного взаимодействия (305). § 31.6. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей (306).
Глава 32. Дальний порядок . . .307
Монокристалл (307). § 32.2. Поликристалл (309). § 32 3. Кристаллическая решетка. Дальний порядок (310). § 32.4. Дефекты упаковки и блочная структура кристалла (311). § 32.5. Движение дефектов и диффузия (313). § 32.6. Движение дислокаций и деформация кристалла (314).
Глава 33. Плотная упаковка частиц 315
Типы кристаллических связей (315). § 33.2. Плотнейшая упаковка одинаковых шаров (318). § 33.3. Плотнейшие упаковки шаров с разными радиусами (319). § 33.4. Решетки, которые нельзя представить как упаковку шаров (320). § 33.5. Структура льда (322). § 336 Полимеры (322).
Глава 34. Ближний порядок 324
Особенности жидкого состояния (324).§34.2.Структура жидкости и ее свойства (325). § 34.3. Среднее время оседлой жизни (327).
Диффузия в жидкостях (328). § 34.5. Вязкость жидкостей (329).
Аморфные тела (331). § 34.7. Энергия поверхностного слоя и поверхностное натяжение жидкости (331). § 34.8. Давление под искривленной поверхностью жидкости (333). § 34 9. Капиллярные явления (334). § 34.10. Адсорбция. Эффект Ребиндера (335).
Глава 35. Пары 337
Испарение (337), § 35.2. Насыщенный пар (338). § 35.3. Давление насыщенного пара (339). §35.4. Изотерма пара (342). §35.5. Критическое состояние вещества (343). § 35.6. Влажность воздуха (344).
Глава 36. Фазовые переходы 346
Изменение агрегатного состояния (346). § 36.2. Диаграмма перехода жидкость — газ (347). § 36.3. Диаграмма перехода кристалл —— газ (348). § 36.4. Диаграмма перехода кристалл — жидкость (348).
Диаграмма перехода кристалл — кристалл (349). § 36.6. Тройная точка (350). § 36.7. Изменение внутренней энергии при фазовых переходах первого рода (351). § 36.8. Метастабильные состояния (353).
Конденсация. Пересыщенный пар (355). § 36 10. Кипение. Перегретая жидкость (356). § 36.11. Сжижение газов (358).
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава 37. Поле неподвижных зарядов в вакууме 360
Силовые линии (360). § 37.2. Эквипотенциальные поверхности (361). § 37.3. Связь между напряженностью и потенциалом (362). § 37.4. Диполь в электрическом поле (363). § 37.5. Плоский конденсатор (365).
Электроемкость (366). § 37.7. Энергия поля. Плотность энергии (367). § 37.8. Сила взаимодействия между пластинами конденсатора (367). § 37.9. Проводник в электрическом поле (369). § 37.10. Определение заряда электрона (370).
Глава 38. Диэлектрики372
Электрическое поле при наличии диэлектрика (372). § 38.2. Вектор поляризации (373). § 38.3. Электрическая восприимчивость (374).
Энергия поля в диэлектрике (374). § 38.5. Деформационная поляризуемость (376). § 38.6. Ориентационная поляризуемость (377).
Глава 39. Постоянный ток 379
Стороннее поле. Напряжение и э. д. с. (379). § 39.2. Сила тока и плотность тока (381). § 39.3. Закон Ома для однородного участка цепи (383). § 39.4. Сопротивление (383). § 39.5. Закон Ома в дифференциальной форме (384). § 39.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи и для замкнутой цепи (385). § 39.7. Закон Джоуля —— Ленца (386).
Зарядка и разрядка конденсатора (387).
Глава 40. Магнитное поле в вакууме 388
аимодействие токов. Магнитные силы (388). § 40.2. Закон преобразования для поперечного импульса и поперечной силы (389).
399399413413433433444444459459466466
399
399
413
413
433
433
444
444
459
459
466
466
§ 40.3.Взаимодействие между движущимися зарядами (390). § 40.4.Вектор индукции магнитного поля. Силовые линии (392). § 40.5. Магнитное поле проводника с током (393). § 40.6. Магнитный момент (395). § 40.7. Напряженность магнитного поля (397). § 40.8. Магнитное поле соленоида (398). § 40.9. Инвариантность электрического заряда (398).
Глава 41. Заряды и токи в магнитном поле
Сила Лоренца (399). § 41.2. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле (401). § 41.3. Определение знака заряда элементарных частиц (402). § 41.4. Циклотрон (403). § 41.5. Энергия частицы и условие синхронизации (405). § 41.6. Синхрофазотрон (406). § 41.7. Удельный заряд электрона (409). § 41.8. Удельный заряд иона (410).§ 41.9. Проводник с током в магнитном поле (411). § 41.10. Рамка с током в магнитном поле (412).
Глава 42. Магнетики
Три типа магнетиков (413). § 42.2. Магнитный момент атома (415). § 42.3. Величины, характеризующие магнитное поле в веществе (416). § 42.4. Диамагнетизм (417). § 42.5. Парамагнетизм (419). § 42.6. Ферромагнетизм. Точка Кюри (421). § 42.7. Гистерезис (423). § 42.8. Доменная структура ферромагнетиков (424 )_§ 42.9. Опыт Эйнштейна и де-Гааза (427). §42.10. Опыт Штерна и Герлаха (428). § 42.11. Спин электрона (430). § 42.12. Антиферромагнетизм (431).
Глава 43. Электромагн итиая индукция
Открытие Фарадея (433). § 43.2. Явление электромагнитной индукции и сила Лоренца (434). § 43.3. Электродвижущая сила индукции (435). § 43.4. Явление индукции в неподвижном проводнике (436). § 43.5. Напряженность индуцированного поля (437). § 43.6. Электромагнитное поле и принцип относительности (437). § 43.7. Закон индукции Фарадея (438). § 43.8. Правило Ленца (440). § 43.9$ Электромагнитная индукция и закон сохранения энергии (440). § 43.10. Самоиндукция (441), §43.11. Энергия электромагнитного поля (442).§ 43.12. Включение цепи с индуктивностью (443).
Глава 44. Электропроводность твердых тел
Экспериментальные основы электронной теории проводимости металлов(444). §44.2.Эффект Холла (446), § 44.3.Электронный газ (449). § 44.4. Вывод закона Ома из электронной теории (450). § 44.5. Электропроводность металлов и полупроводников (452). § 44.6. Вывод закона Джоуля —— Ленца (453). § 44.7. Контактная разность потенциалов (455). § 44.8. Термоэлектричество (456). § 44.9. Работа выхода (457).
Глава 45. Теплоемкость и теплопроводность твердых тел
Теплоемкость (459). § 45.2. Теплоемкость металлов (461).
Теплопроводность изоляторов (461). § 45.4. Теплопроводность металлов (464).
Глава 46. Электропроводность электролитов
Электролитическая диссоциация (466). § 46.2. Закон Ома и электропроводность электролитов (467). § 46.3. Законы Фарадея (46Q. § 46.4. Гальванический элемент (469). § 46.5. Аккумуляторы (470).
471471Глава 47. Ток в вакууме
471
471
Термоэлектронная эмиссия (471). § 47.2. Диод и его характеристика (472). § 47.3. Триод и его характеристика (474). § 47.4. Электронно-лучевая трубка (475).
Глава 48. Ток в газах 476
Ионизация и рекомбинация (476). § 48.2. Несамостоятельный разряд (478). § 48.3. Ударная ионизация (480). § 48.4. Счетчик Гейгера — Мюллера (481). § 48.5. Самостоятельный разряд. Плазма (482). § 48.6. Тлеющий разряд (484). § 48.7. Плазма в магнитном поле (485). § 48.8. Сжатие и удержание плазмы (487). § 48.9. МГД-гене- ратор (489).
.Предметный указатель 491
ПРЕДИСЛОВИЕ
В наше время физика занимает лидирующее положение среди естественных наук. Это определяется богатством и многообразием идей и методов исследования современной физики, их фундаментальным значением для гносеологии (теории познания), для развития диалектико-материалистического миропонимания. Не менее важно влияние физики и на развитие производительных сил общества. Ряд областей современной техники, таких, как электроника (включая полупроводники и квантовую электронику), ядер- ная техника и ракетостроение, радиотехника и др., настолько тесно переплетаются с физикой, что становятся неотъемлемыми от нее. Вместе с тем и в давно сложившихся «классических» отраслях науки и техники применение новых физических идей и методов исследования приводит зачастую к принципиально новым решениям ряда проблем.
Появились и бурно развиваются новые пограничные общенаучные и инженерные дисциплины, находящиеся на стыке нескольких наук и базирующиеся на физике (кибернетика, радиоастрономия, бионика, биофизика и др.). Существенно расширились возможности для дальнейшего взаимного проникновения различных областей знания друг в друга. Для нашего времени, кроме того, характерно резкое сокращение сроков между научными открытиями и их применением в народном хозяйстве, повседневной жизни и практике.
Все это не могло не привести к резкому повышению требований, предъявляемых к современному курсу физики в системе как среднего, так и высшего образования. В средней школе введена новая программа по физике, появляются новые учебники и учебные пособия. В старших классах средней школы введены факультативные курсы, задача которых — более глубоко ознакомить интересующихся школьников с некоторыми проблемами современной физики.
В специализированных классах и физико-математических средних школах физика изучается по программам повышенного уровня. В высшей школе, в частности технической, в последние годы значительно повышен научно-теоретический уровень преподавания физики.
Повышение уровня преподавания физики выдвигает ряд новых методических проблем. Из них наиболее сложная ——создание сооэсетствующих учебников и учебных пособий. При этом необходимо решить задачу, которую мы (не претендуя на полноту и строгость) сформулируем следующим образом: без применения сложного математического аппарата изложить основные идеи современной физики, их физический смысл, методы исследования и важнейшие результаты. При этом необходимо показать органическую преемственность современной и классической физики, непреходящую ценность и важность тех результатов «классики», без усвоения которых невозможно проникнуть в круг идей современной физики, понять ее методы и осмыслить достижения.
Многолетний опыт преподавания физики в средней и высшей школе привел авторов к мысли, что книга, в которой была бы решена эта задача, может быть создана, если отказаться от традиционной последовательности изложения учебного материала. Основной методический замысел книги, предлагаемой вниманию читателя, заключается в том, чтобы с самого начала вскрыть органическую связь классической и современной физики.
В частности, это приводит к необходимости через весь курс механики и электродинамики пронести идеи специальной теории относительности и по возможности в полной мере использовать их при формировании основных понятий. (Методические идеи изложения основных понятий теории относительности и ее многочисленных применений в данной книге предложены А. А. Пинским.) Некоторые важнейшие идеи квантовой механики также должны использоваться на протяжении всего курса физики.
При реализации этого замысла авторы встретились с большими методическими трудностями. Главнейшая из них заключается в том, чтобы в систематическом курсе ввести с самого начала понятия и представления, смысл которых раскрывается лишь постепенно, на протяжении всего курса физики. Однако эта же трудность существует и при традиционной системе построения курса.
Более того, при традиционной системе изложения, когда понятия и представления современной физики даются в конце курса, на 12
mix, как правило, не хватает ни места в книге, ни учебного времени. Кроме того, эти понятия и представления трудно закрепить ——основная часть учебного материала уже осталась позади, и возвращаться к нему «по второму кругу» не представляется возможным. Наконец, при традиционной системе изложения мы невольно вырабатываем у слушателя некий психологический барьер, мешающий восприятию идей современной физики,— они представляются противоречащими тому «здравому смыслу», закреплению которого как раз и способствует традиционная методика.
Вот почему, отчетливо понимая, что стоявшие перед нами большие трудности не могли не привести к существенным недостаткам рукописи, мы все же решили написать эту книгу. Она рассчитана на читателей, твердо усвоивших курс физики в объеме восьмилетней школы и желающих овладеть основами классической и современной физики. Мы надеемся, что она будет полезна учащимся старших классов средней школы как при изучении основного курса физик», так и в особенности при изучении школьных факультативных курсов.
Студенты вузов также извлекут определенную пользу, работая по этой книге.
Однако не следует думать, что отсутствие высшей математики в книге по физике сразу же делает ее легкой для чтения и усвоения. Физика ——это сложный и достаточно трудный предмет, изучение которого требует серьезных усилий. Поэтому всякая книга, по которой можно изучать физику, требует времени и серьезного, напряженного труда. Ее нельзя просто читать, по ней нужно работать.
Авторы хотели бы надеяться, что время и усилия, затраченные читателем на изучение основ физики по этой книге, окупятся в дальнейшей учебе и работе.
Во втором издании книги раздел «Электродинамика» перенесен в первый том. Во втором томе излагаются разделы: «Колебания и волны»; «Основы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел»; «Основы физики ядра и элементарных частиц». В отличие от пер* вого издания, главы по обоим томам имеют единую нумерацию. Формулы перенумерованы по главам.
Во втором издании в определенной мере учтены многочисленные отзывы читателей на первое издание, а также некоторый опыт работы по этой книге преподавателей ряда обычных и физико-математических школ в разных городах и селах страны.
Всем читателям, и особенно школьникам, приславшим свои замечания и пожелания, авторы приносят глубокую благодарность. Мы отчетливо сознаем, что и второе издание книги нуждается в дальнейшем совершенствовании, и будем признательны за критические замечания.
Отзывы и замечания по этой книге авторы просят посылать по адресу: Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы.
Б. М. Яворский, А. А. Пинский
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ
ГЛАВА 1
СКОРОСТЬ
Механическое движение
Все тела, окружающие нас, от звезд и планет до таких мельчайших частиц, как атомы и их составные части, находятся в состоянии непрерывного движения. Простейшей формой движения является изменение положения тел друг относительно друга — механическое движение.
Механическое движение лежит в основе движения большинства механизмов и машин, в основе действия всех видов транспорта. Вместе с тем оно является и составной частью более сложных, немеханических процессов. Так, тепловые явления связаны с беспорядочным движением молекул; излучение света — с движением электронов в атомах; ядерные реакции ——с движением и взаимодействием элементарных частиц (протонов, нейтронов, мезонов). Число этих примеров можно было бы умножить. '
Для описания движения тела следует указать, как движутся все его точки.
Одним из видов движения тел является поступательное движение, при котором все точки тела движутся совершенно одинаково; прямая, соединяющая две произвольные точки тела, переносится параллельно себе самой (рис. 1.1). Очевидно, что для описания поступательного движения тела достаточно описать движение какой- либо одной его точки.
Другим простым видом движения является вращательное движение, при котором все точки тела описывают окружности в параллельных плоскостях, причем центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис. 1.2).
При решении ряда задач механики целесообразно отвлечься от размеров тела и рассматривать его как материальную точку. Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче.
Естественно, что данное понятие является абстракцией, что никаких материальных точек в природе нет. Однако постановка ряда
задач механики такова, что позволяет с успехом пользоваться этой абстракцией.
Действительно, если пассажира интересует, сколько времени нужно самолету, чтобы долететь из Москвы до Новосибирска, то совершенно не нужно знать характер движения отдельных частей самолета. В то же время нельзя пренебречь размерами и формой самолета, изучая такие явления, как взлет, посадка, сопротивление
воздуха и т. п. Аналогично мы можем считать Землю и другие планеты точками, если нас интересует характер их движения вокруг Солнца. Однако если нужно выяснить причины смены дня и ночи или времен года, то ту же Землю уже нельзя считать точкой, а следует учесть ее размеры, вращение вокруг оси, наклон этой оси к плоскости орбиты и т. п.
Таким образом, одно и то же тело в одних задачах можно рассматривать как материальную точку, а в других задачах так поступать нельзя.
Система отсчета. Траектория
Если рассмотреть явления, происходящие вблизи поверхности Земли, то мы убедимся в неравноценности различных направлений в пространстве. Так, тело, выпущенное из рук, всегда движется по вертикальному направлению вниз (примерно к центру Земли); свободная поверхность жидкости располагается в горизонтальной плоскости; для движения тела по вертикали вверх ему нужно сообщить начальную скорость, для движения же тела по вертикали вниз начальная скорость не нужна, и т. д. Эта неравноценность различных направлений в пространстве вызвана тем, что Земля притягивает к себе тела.
На весьма значительном расстоянии как от Земли, так и от других планет и звезд мы обнаружили бы, что 6 пространстве, свободном от больших тел, все направления равноценны. Мы говорим, что свободное пространство изотропно, т. е. в нем нет выделенных направлений, обладающих особыми свойствами.
Точно так же равноценны все точки пространства, если вблизи этих точек нет больших тел типа планет или звезд. Вследствие этого 16
мы говорим, что свободное пространство однородно, т. е. в нем нет точек, обладающих особыми свойствами.
Наконец, однородным является также время. А именно, любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково. Действительно, если сегодня маленький шарик падает с высоты 6 м за 1,1 с, то в этой же лаборатории с этой же высоты он падал столько же времени и месяц назад, и год назад, и столько же времени его падение будет продолжаться 1000 лет спустя.
Как мы убедимся далее, из факта однородности времени, однородности и изотропности пространства вытекает ряд важных следствий (см. гл. 23). Одно из них мы можем учесть уже сейчас: раз пространство однородно (т. е. все его точки равноценны) и изотропно (т. е. все направления в нем равноценны), то невозможно определить положение материальной точки относительно пространства.
Однако вполне возможно определить положение одного тела относительно другого. Например, положение лампочки в комнате полностью задается ее расстоянием от пола и расстояниями до двух взаимно перпендикулярных стен. С помощью такой же тройки чисел можно определить положение любого другого тела, находящегося как внутри комнаты, так и вне ее.
Системой отсчета называется тело или группа тел, которые в данной задаче рассматриваются как неподвижные и относительно которых определяется положение всех остальных тел.
В принципе любое тело можег служить системой отсчета, однако
не все системы отсчета могут оказаться одинаково удобными. Так, движение автомобиля удобнее рассматривать в системе отсчета, связанной с Землей, а не с Солнцем или Луной. Наоборот, движение планет удобнее рассматривать в системе отсчета, связанной именно с Солнцем, а не с Землей или другой планетой,——законы движения планет будут описываться проще. Некоторые критерии выбора системы отсчета будут рассмоарены ниже.
С системой отсчета обычно связывают три взаимно перпендикулярные прямые ——оси координат (рис. 1.3). Положение точки характеризуется тремя координатами: абсциссой х, ординатой у и ап- ликатой г.
Движущаяся точка описывает в заданной системе отсчета линию, которая называется траекторией. Так, если зажечь прутик и быстро вращать его в воздухе, особенно в темной комнате, то отчетливо будет видна траектория движения уголька на конце прутика.
Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. Действительно, пусть тело падает в вагоне, который движется относительно Земли. Тогда траектория этого тела относительно вагона будет прямой линией, относительно же Земли это будет кривая (при отсутствии сопротивления воздуха — парабола). То же самое можно сказать о траектории, которую описывает какая-либо точка пропеллера движущегося самолета. В системе координат, связанной с самолетом, эта точка движется по окружности; в системе же координат, связанной с Землей, она движется по винтовой линии.
Таким образом, понятие формы траектории имеет относительный смысл. Нельзя говорить о форме траектории вообще; речь может идти лишь о форме траектории в заданной системе отсчета (системе координат).
Прямолинейное движение. Закон движения
Пусть в некоторой системе отсчета материальная точка движется по прямой. Тогда удобно направить вдоль этой траектории одну из осей координат, например, ось абсцисс. В каждый момент времени движущаяся точка будет иметь вполне определенную координату. А это значит, что координата движущейся точки есть функция времени: % = /(/)• Вид этой функции и есть закон движения.
Для того чтобы экспериментально определить закон движения, необходимо, чтобы движущаяся точка каким-либо образом оставляла метки на оси координат.
Пусть, например, нас интересует закон движения эскалатора метрополитена. Для этого можно было бы вдоль стены натянуть бумажную ленту, а стоящему на лестнице экспериментатору дать в руки прибор, который через равные промежутки времени (например, через каждую секунду) наносил бы на ленту метки. Результат эксперимента можно свести в таблицу:
Момент времени tt с
1
2
3
4
5
6
7
8
Координата х, м
1,75
2,50
3,25
4,00
4,75
5,50
6,25
7,00
Этот эксперимент не позволяет надежно определить положения точки в промежуточные моменты времени. Однако здесь придет на помощь следующее рассуждение. Попробуем подобрать такую функцию 力=〃力，значения которой при / = 1; 2; 3 и т. д. были бы точно х==1,75; 2,50; 3,25 и т. д. Нетрудно убедиться, что это будет линейная функция х = 1 +0,75t Предполагая, что характер движения не менялся в процессе нашего исследования, мы имеем право 18
считать, что и для всех остальных моментов времени, лежащих в интересующих нас пределах (от первой до восьмой секунды), координата вычисляется по этому же закону.
Заметим, что чем меньше будут промежутки времени между двумя последовательными метками, тем больше оснований полагать, что наше предположение о характере закона движения близко к истине. Поэтому при экспериментальном изучении закона движения некоторого тела существенную роль играет объем информации: чем больше мы получим меток и чем меньше будут промежутки времени между двумя соседними метками, тем более точно можно определить закон движения.
Предположение, что характер движения не менялся в процессе исследования, имеет принципиальное значение. Действительно, пусть к концу десятой секунды человек, стоящий до этого неподвижно на ступеньке эскалатора, решил ускорить спуск и стал шагать по ступенькам вниз. Естественно, что характер его движения существенно изменился, и мы уже не вправе пользоваться найденным ранее законом движения для моментов времени после десятой секунды (от начала эксперимента).
Таким образом, экспериментально найденным законом движения можно пользоваться только в том интервале времени, в течение которого проводилось исследование. Экстраполяция (т. е. применение найденного закона для более широкого интервала времени) возможна лишь после дополнительного исследования, позволяющего установить, что характер движения не изменился.
Равномерное движение
Движение материальной точки называется равномерным, если координата точки является линейной функцией времени:'
х = ^ + Ь, (1.1)
где и и b — некоторые постоянные, физический смысл которых будет выяснен в дальнейшем.
Всякое неравномерное движение называется переменным.
Закон движения очень наглядно изображается с помощью графика. Для этой цели строим на плоскости систему координат, откладывая на оси абсцисс время t, а на оси ординат ——переменную координату точки (например %). Откладывая по обеим осям соответствующие значения переменных, взятые из таблицы, проводим в этих точках перпендикуляры к осям координат. На их пересечении получим некоторые точки; линия, плавно соединяющая эти точки, и есть график движения. Поскольку в равномерном движении координата является линейной функцией времени, то графиком этого движения служит прямая (рис. 1.4).
Полагая в законе движения / = 0, имеем х0 = Ь. Это ——начальная координата, т. е. расстояние от движущейся точки до начала координат в начальный момент времени.
к движению космических частиц через аппаратуру, к движению самолета или ракеты,к движению космических частиц через аппаратуру, к движению самолета или ракеты,тел (планет, комет), рительнуюих обнаружит радиолокатор, и т. п.тел (планет, комет), рительнуюих обнаружит радиолокатор, и т. п.
к движению космических частиц через аппаратуру, к движению самолета или ракеты,
к движению космических частиц через аппаратуру, к движению самолета или ракеты,
тел (планет, комет), рительную
их обнаружит радиолокатор, и т. п.
тел (планет, комет), рительную
их обнаружит радиолокатор, и т. п.
Следует особо обратить внимание на смысл понятая начальный момент времени. Это никоим образом не начало движения, а тот момент времени, когда был пущен секундомер, т. е. начало экспери-
мента по исследованию данного движения.
Что же касается момента начала движения, то он нас не всегда интересует, а иногда и вовсе не может быть установлен. Так, астроном, исследующий закон движения метеорита, обнаруживает метеорит только тогда, когда он войдет в сравнительно плотные слои атмосферы и раскалится. Это и будет начальный момент —— начало наблюдения, но отнюдь не начало движения метеорита. То же относится к движению других небесных изме- когда
Переменное движение
Рассмотрим переменное движение на двух примерах: тела, падающего с некоторой высоты, и тела, брошенного вертикально вверх. В обоих случаях мы имеем дело с прямолинейным движением. Однако нетрудно убедиться, что это неравномерные, т. е. переменные движения.
Пусть маленький и достаточно тяжелый шарик падает вдоль оси апликат. Метки на координатной оси можно получить, например,
t помощью моментальной фотографии, открывая затвор аппарата через равные промежутки времени. Результаты эксперимента сведем в таблицу:
Момент времени £ с
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Координата z, м
0.049
0,196
0,431
0,784
1,22
1,76
2,40
3,14
3,97
4,90
Построив график движения, мы увидим, что он является не прямой линией, а параболой; закон движения имеет вид 2 = 4,9 尸 (рис. 1.5).
Если с помощью описанной методики исследовать характер движения тела, брошенного вертикально вверх, то получится следующая таблица данных:
Момент времени t, с
0
0,2
0,4；0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Координата z, м
0
1,74
3,144,12
4,70
4,90
4,70
4,12
3,14
1,74
0
Движение здесь также прямолинейное переменное. Закон движения имеет вид г — 9,8 / — 4,9 /2. На графике закон движения изобразится параболой (рис. 1.6).
Следует обратить внимание на принципиальное отличие графика движения от траектории. Траектория ——это кривая, по ко-
торой материальная точка движется в системе отсчета; график — это кривая на чертеже, соединяющая изображающие точки в плоскости координата ——время.
Шарик, падающий с некоторой высоты, и шарик, брошенный вертикально вверх, движутся по траектории одинаковой формы-—по прямой линии, а графики у них различные вследствие неодинакового характера движения.
Средняя скорость
Рассмотрим случай, когда материальная точка движется вдоль
какой-либо оси координат все время в одном направлении.
Перемещением материальной точки за промежуток времени
Д/ = /2 —— 匕 называется отрезок △% = %?——/・
Заметам, что если точка движется все время в одном и том же направлении, то пройденный путь равен абсолютной величине перемещения: As=|A%|. Если же точка движется сначала в одном направлении, а затем, остановившись, начинает двигаться в обратном направлении (например, в случае колебательного движения или движения тела, брошенного вертикально вверх), то пройденный путь равен сумме абсолютных величин перемещений в том и другом направлениях: As= | Ax±| + | Дх2| + ...
Для примера обратимся опять к случаю движения тела, брошенного вертикально вверх. Выберем моменты времени f】=0,8 с и £纟=1,4 с — им соответствуют координаты %1=4,70 м н ха— 4,12 м (см. предыдущую таблицу). Перемещение
Дх = & — %i = 4,12 — 4,70 = —0,58 м.
Знак минус указывает, что перемещение направлено в сторону, противоположную направлению оси координат. Пройденный же путь будет значительно больше, ибо движущаяся точка в момент времени f= 1,0 с достигла наибольшей высоты 力макс ~ 4,96 м, а затем стала падать вниз. Следовательно,
As= [ хмакс—Xt | + | &—^макс 1 = I 4,90 — 4,70 | + ]4,12 — 4,90 | =
= 0,20 + 0,78 = 0,98 м・
Средней скоростью движения за данный промежуток времени называется физическая величина, численно равная отношению перемещения к промежутку времени:
Средняя скорость — вектор. Ее направление совпадает с направлением перемещения.
Единица измерения скорости определяется как скорость такого движения, при котором перемещение материальной точки за единицу времени составляет единицу длины:
回=將.(1.3)
Здесь квадратные скобки указывают единицу измерения величины.
В Международной системе единиц (сокращенно СИ, от System International) единицей измерения перемещения является метр (м), а единицей времени — секунда (с). Следовательно, единицей измерения скорости будет м/с.
Кроме этого, применяется и ряд внесистемных единиц:
1 см/с — 10-2 м/с;
1 км/ч = yg м/с = 0,273 м/с;
1 узел = 1 миля/ч = 1852 м/3600 с = 0,514 м/с и другие.
В переменном движении величина средней скорости существенно зависит от выбора промежутка времени, в течение которого двигалось тело. Так, в случае свободного падения, который был 22
рассмотрен выше, средняя скорость в промежутке от Л ==0Д с до % = 0,2 с (см. таблицу)
0,1471,仃-=1,47 м/с.0,1471,仃-=1,47 м/с.—0,196 — 0,049ucp= 0,2 —0,1
0,1471,
仃-=1,47 м/с.
0,1471,
仃-=1,47 м/с.
В промежутке времени от Л = 0,7 с до ^а = 0,8 с средняя скорость
=一7 4 m/e%р— 0,8—0,7 一 0,1 —/卢 м/с.
А от Zi = 0,7 с до % = 1,0 с_4,90-2,40— 2,50 а2 山С% — 1,о—0,7 — ~оХ — 8,33 м/с.
И только при равномерном движении средняя скорость——постоянная величина, не зависящая от выбора промежутка времени. Действительно, здесь 尤 1 — vti + b,尤2 = u/纟 + b и средняя скорость
АхАх4P=瓦4P=瓦Хд —尤1 Vt 2 Ь — Uf]—Ь
Ах
Ах
4P=瓦
4P=瓦
/2 一厶％ 一%
Для оценки численного значения средней скорости на практике иногда пользуются следующим определением: средняя скорость равна отношению пройденного пути ко времени движения. Подчеркнем, что определенная таким образом средняя скорость является скаляром, а не вектором.
Мгновенная скорость переменного движения
Во многих случаях нас интересует не средняя скорость движения тела за определенный промежуток времени, а скорость тела 6 данный момент, или мгновенная скорость. Например, если тело ударяется о преграду, то сила, с которой оно в этот момент действует на преграду, определяется скоростью в момент удара, а не средней скоростью; дальность полета ракеты и форма ее траектории определяются скоростью в момент запуска, а не ее средней скоростью, и т. п.
Х2 — AjХ2 — AjДля определения мгновенной скорости материальной точки можно поступить следующим образом. Пусть в момент времени / координата точки равна 尤.В момент времени /] = / + △/ координата ее будет 尤[ = % +А%, где △尤 —— перемещение. Тогда средняя скорость
Х2 — Aj
Х2 — Aj
(1.4)
Чем больше промежуток времени △/, тем, вообще говоря, средняя скорость больше отличается от мгновенной. И, наоборот, чем меньше промежуток времени А/, тем меньше средняя скорость отличается от интересующей нас мгновенной скорости.
Определим мгновенную скорость и как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток временив
(1.5)(1.5)и= lim %,= lim 第.
(1.5)
(1.5)
AJO Af f 0 a
В математике такой предел называется производной. Следовательно, мгновенная скорость есть производная от координаты по времени.
Поскольку средняя скорость равномерно движущейся материальной точки является постоянной величиной, а пределом постоянной величины является сама эта величина, то и мгновенная скорость равномерно движущейся материальной точки является постоянной величиной.
Итак, равномерное движение можно определить как движение с постоянной скоростью.
Таким образом, постоянная и в законе равномерного движения x — vt + b ——это скорость движения, а постоянная b ——начальная координата.
Как видно из графика (см. рис. 1.4), скорость равномерного движения численно равна тангенсу угла наклона графика к оси времени:
u = ^=K・tga,
где К — размерный коэффициент, равный отношению масштабов единиц измерения перемещения (ось ординат) и времени (ось абсцисс).
Движению с большей скоростью будет соответствовать график с более крутым наклоном.
ГЛАВА 2
ИНЕРЦИЯ
Принцип инерции
Основной задачей механики является изучение движения тел в той или иной системе отсчета и причин, определяющих характер этих движений.
Необходимо выяснить, при каких условиях тело движется па прямолинейной или криволинейной траектории, равномерно или неравномерно, ускоренно или замедленно.
Опыт показывает, что при взаимодействии тел характер их движения меняется. Так, падающее тело, соприкоснувшись с Землей, либо останавливается ——и тогда его движение прекращается, либо подпрыгивает вверх ——и тогда направление его скорости меняется на противоположное. Далее, покоящееся относительно Земли тело само никогда не начнет двигаться и только под действием какого- либо другого тела выходит из состояния покоя и начинает перемещаться. Число этих примеров, естественно, можно было бы умножить.
Однако из правильного заключения о том, что взаимодействие тел приводит к изменению скорости их движения, некоторые 24
мыслители древности, например Аристотель, сделали ложное заключение о том, что само движение тел есть результат их взаимодействия с другими телами.
Одна из причин, которая привела их к такому неверному выводу, заключалась в том, что они считали Землю абсолютно неподвижным центром Вселенной. Вследствие этого они считали покой относительно Земли естественным состоянием тел, а движение — временным, вынужденным состоянием, являющимся результатом действия внешних сил. Правда, при этом возникали и определенные трудНости, например при объяснении движения брошенного камня или стрелы, вылетевшей из лука: ведь здесь нет тел, которые бы все время подталкивали камень или стрелу! И вот, для объяснения этих явлений античные ученые предлагали различные произвольные гипотезы, лишь бы сохранить свое основное предположение о вынужденной природе движения.
В конце XVI в. две задачи выдвинули вновь проблему движения. Прежде всего, с развитием артиллерии нужно было найти законы движения снарядов. Затем, в связи с возникновением гелиоцентрической системы Коперника, стало ясно, что Земля является не центром Вселенной, а рядовой планетой, обращающейся наряду с другими планетами вокруг Солнца. Отсюда неизбежно вытекал вывод, что планеты (а значит, и другие тела) движутся сами по себе, ибо совершенно невероятно, чтобы Землю и другие планеты что-то все время подталкивало в течение миллиардов лет.
Кроме того, нужно было объяснить, почему мы не чувствуем вращения Земли, а также почему, оторвавшись от Земли, например подпрыгнув, мы опускаемся в ту же точку Земли.
Первое правильное, хотя и неполное решение проблемы движения было дано Галилеем в начале XVII в. И лишь 50 лет спустя Ньютон смог найти четкую формулировку трех основных законов движения, что явилось основой для создания классической механики.
Для правильного решения проблемы движения следовало прежде всего отвлечься от всяких внешних воздействий и сформулировать проблему так: что произойдет с телом, если оно перестанет взаимодействовать с другими телами? Здесь на помощь должен прийти мысленный эксперимент^ идея которого и была выдвинута Галилеем. Действительно, во всяком реальном эксперименте на Земле мы не можем освободить тело от действия силы тяжести и силы трения. Однако мо;кно поставить вопрос так: а что произойдет, если мы эти силы, хотя бы и мысленно, станем постепенно уменьшать?
Допустим, что тележка движется по песку — тогда она быстро остановится. А вот на горизонтальном куске стекла она будет дви- I аться значительно дольше, хотя и здесь в конце концов останови 1ся. А если стекло станет абсолютно гладким? Очевидно, тележка нс остановится, а будет сама по себе двигаться неограниченно долго.
Вот эта-то идея мысленного эксперимента над телом, которое свободно от всяких внешних воздействий, и позволила Галилею прийти к идее инерциального движения тела. И хотя сам Галилей и ошибался, считая, что по инерции тело может не только двигаться равномерно и прямолинейно, но и равномерно двигаться по окружности (последнее неверно!), его идея позволила Ньютону правильно сформулировать закон инерции-.
Если данное тело не взаимодействует с окружающими телами^ то скорость его движения не меняется ни по величине, ни по направлению, т. е, оно движется прямолинейно 〃 равномерно.
Этот закон называют также первым законом Ньютона.
Инерциальное движение есть движение по кратчайшему расстоянию, ибо в свободном пространстве кратчайшим расстоянием между двумя точками является прямая линия.
Если же мы говорим о том, что некое тело покоится, то это не абсолютный покой, а покой лишь в данной системе отсчета, которая сама движется относительно других тел.
Именно благодаря инерции, подпрыгнув вверх в движущемся вагоне, мы опускаемся в то же самое место. Действительно, находясь на полу равномерно движущегося вагона, мы имеем с ним одинаковую скорость. Подпрыгнув вертикально вверх, мы сохраняем горизонтальную скорость неизменной, ибо в этом направлении на нас ничто не действует. А потому, пройдя по горизонтали одинаковый с вагоном путь, мы возвращаемся в ту же точку, от которой мы отделились в момент прыжка. Буквально то же самое можно сказать и относительно нашего движения совместно с Землей.
Благодаря инерции движутся брошенные тела. Действительно, в момент броска мы сообщаем камню некоторую скорость. И если бы камень не испытывал сопротивления воздуха и притяжения Земли, он двигался бы, сохраняя эту скорость неизменной по величине и направлению. Взаимодействие же камня с воздухом и Землей приводит к замедлению его движения и искривлению траектории и в конечном счете к его остановке.
Инерциальные системы отсчета
Формулировка принципа инерции, предложенная в предыдущем параграфе, не может быть признана полной. Действительно, там идет речь о движении тела, но ничего не сказано о той системе отсчета, в которой совершается движение. Между тем нам известно, что говорить о форме траектории, а также о скорости можно лишь относительно некоторой системы отсчета, так как, например, траектория, прямолинейная в одной системе отсчета, может оказаться криволинейной в другой системе.
Поэтому необходимо видоизменить формулировку принципа инерции, введя явные указания на характер системы отсчета, относительно которой данное движение рассматривается. Принцип инерции более точно формулируется так:
Существуют системы отсчета, относительно которых все тела, не взаимодействующие с др步ими телами, движутся прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, удовлетворяющие этому принципу, называются инерциальными системами.
Понятие инерциальной системы отсчета является абстракцией, реализуемой на практике лишь с некоторой степенью приближения. Действительно, всякая система отсчета связана с какими-то телами, а все тела в природе в той или иной степени взаимодействуют друг с другом. Поэтому невозможно указать строго инерциальные системы отсчета; можно лишь указать системы, которые для данного круга рассматриваемых вопросов могут считаться инерциальными. Естественно, что вопрос о том, является ли данная система отсчета инерциальной, может быть решен только экспериментально.
Практика показала, что в первом приближении можно считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной системой. А именно, существует целый круг явлений, на ход которых вращение Земли не влияет. Эта система отсчета называется геоцентрической (от греческого ge — Земля).
Так, вращение Земли практически не влияет на работу всевозможных механизмов и машин, на движение различных видов транспорта. Оно не влияет на ход тепловых, химических и ядерных реакций, а также на электромагнитные процессы, происходящие в генераторах, электродвигателях, трансформаторах, радиопередатчиках и приемниках; оно не влияет на распространение электромагнитных волн, на световые и звуковые явления. Следовательно, при описании всех этих физических процессов можно с большой степенью точности считать геоцентрическую систему отсчета инерциальной.
Вместе с тем существует и ряд явлений, вызванных вращением Земли вокруг своей оси и движением Земли вокруг Солнца. Поскольку оба эти движения не являются прямолинейными и равномерными, то они вызывают эффекты, невозможные в инерциальных системах отсчета.
Так, наблюдая ночью за небосводом, мы заметим, что вся система звезд вращается вокруг оси, проходящей через Полярную звезду и центр Земли. С точки зрения геоцентрической системы отсчета здесь следует найти какой-то механизм взаимодействия между Землей и всеми звездами, позволяющий объяснить причину искривления их траекторий. Далее, планеты совершают довольно сложные движения по небосводу. Двигаясь в некотором направлении, планета вдруг останавливается, затем перемещается назад и, описав петлю, начинает двигаться в первоначальном направлении.
Многочисленные попытки объяснить наблюдаемое движение небесных светил в геоцентрической системе отсчета, предпринятые Аристотелем, Птоломеем и другими исследователями, оказались «есостоятельными. Правильную теорию движения небесных тел
дали Коперник, Галилей и Кеплер, связав систему отсчета не с Землей, а с Солнцем. Эта система отсчета называется гелиоцентрической (от греческого helios ——Солнце). Она является в значительной степени более инерциальной, чем геоцентрическая система отсчета.
Принцип относительности
Инерциальных систем (с той степенью приближения, которая указана выше) имеется бесчисленное множество. Любая система отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно некоторой инерциальной системы, тоже является инерциальной.
Действительно, пусть в некоторой системе отсчета тело движется по инерции. Следовательно, его скорость не меняется ни по величине, ни по направлению. В другой системе отсчета, которая движется относительно первой прямолинейно и равномерно, наше тело будет иметь другую скорость, но опять-таки постоянную по величине и направлению. Следовательно, вторая система отсчета в такой же мере инерциальна, как и первая.
Так, системы отсчета, связанные с вагоном или судном, движущимся равномерно и прямолинейно относительно Земли, будут в такой же мере инерциальными, как и система отсчета, связанная с Землей.
Опыт показывает, что на судне, движущемся прямолинейно и равномерно относительно Земли, так же легко двигаться по любому направлению, как и на Земле. При выстреле из пистолета пуля летит столько же времени от носа к корме, сколько и от кормы к носу. Тело, выпущенное из рук, падает вертикально вниз (разумеется, относительно судна; относительно Земли оно движется по параболической траектории). Вода, налитая в какой-либо сосуд, имеет горизонтальную поверхность, как и на Земле.
Из этих и многих иных явлений следует, что никакой механический эксперимент не позволяет нам выделить из совокупности инерциальных систем какую-либо одну преимущественную систему отсчета. Отсюда вытекает, что не может быть речи об абсолютном покое или абсолютном движении тел, а можно говорить лишь об их относительном движении в какой-либо инерциальной системе отсчета.
Этот основной закон природы называется принципом относительности Галилея. Его можно сформулировать следующим образом:
Во всех инерциальных системах отсчета законы, механики одинаково справедливы', или, короче, все инерциальные системы отсчета равноправны.
Анализ принципа относительности, проделанный Альбертом Эйнштейном, привел его в 1905 г. к выводу, что этот принцип является одним из самых фундаментальных законов природы, который применим не только к механическим, но и к любым другим явле- 28
ниям — тепловым, электромагнитным, оптическим и т. п. Это позволило ему сформулировать общий принцип относительности, называемый часто принципом относительности Эйнштейна:
Во всех инерциальных системах отсчета все законы природы одинаковы.
Этот принцип является одной из основ современного физического миропонимания.
§2.4. Преобразования Галилея
В ньютоновской механике мы имеем дело с относительно малыми скоростями. Действительно, самые большие скорости, с которыми двткутся макроскопические тела,——это скорости планет, метеоров, космических кораблей. Они не превышают нескольких десятков километров в секунду, что много меньше скорости света с = 300 000 км/с.
Если координаты некоторой материальной точки заданы в одной инерциальной системе отсчета, то можно вычислить координаты этой же точки в любой другой инерциальной системе, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно. Точная форма соответствующих преобразований координат будет выведена в § 12.7. Здесь же мы рассмотрим так называемые преобразования Галилея, которые позволяют связать между собой координаты некоторой материальной точки в двух разных инерциальных системах отсчета при скоростях движения, много меньших скорости света.
Свяжем одну систему отсчета для определенности с Землей, а вторую — с вагоном, который движется относительно Земли равномерно и прямолинейно со скоростью v. Для простоты рассуждений направим одну из осей координат (например, ось абсцисс) вдоль направления движения вагона (рис. 2.1). Из чертежа очевидно, что апликаты и ординаты точки К в обеих системах координат совпадают: 7 = z н Т = у. Абсциссы же отличаются на отрезок 00’ = uf. Отсюда преобразования Галилея примут вид
2’ =2, 夕=丛 尤—иЛ (2. 1)
Чтобы убедиться, что преобразования Галилея удовлетворяют принципу относительности, рассмотрим, каков будет их вид, если
29
вагон считать неподвижным, а Землю — перемещающейся в обратном направлении со скоростью К Абсолютные величины скоростей Кии совпадают, направления же их противоположны; следовательно, V = —а Рассуждения, совершенно аналогичные вышеизложенным, приводят к формулам
2 = * у=Т， х = Хг + и/.(2.2)
Итак, преобразования Галилея взаимны: любая из инерциальных систем отсчета может быть условно принята за неподвижную, а преобразования к любой другой инерциальной системе производятся по тем же формулам, но с учетом знака относительной скорости системы. А это и означает, что данные преобразования согласук^гся с принципом относительности.
Перемещения точки в разных системах координат различны. Действительно, пусть в момент h материальная точка имела координату %!, а в момент /2— координату 尤？• Перемещение точки в системе отсчета, связанной с Землей:
Перемещение этой же точки в системе отсчета, связанной с вагоном:
А%'=修—％ =:力в ―- Xj — и (/& — /[) ^^ △尤—5 А/.(2.3)
Соответственно
А% = А£ + s △厶(2.4)
Однако длина отрезка в обеих системах отсчета сохраняется. Действительно, длиной отрезка (рис. 2.2) называется разность
координат его конца и начала, измеренных одновременно: / =工纟一尤工 при %2 =厶,т. е. Д^ = 0. Тогда из (2.3) или (2.4) следует:
(2.5)
Этот результат представляется совершенно очевидным, и на первый взгляд даже неясно, зачем это нужно было выводить. Смысл вывода станет ясен ниже (§ 12.8).
§ 2・5. Классический закон сложения скоростей
Пусть материальная точка движется равномерно вдоль оси абсцисс со скоростью и = Дх/ДЛ Найдем скорость этой же точки в другой инерциальной системе отсчета 加=Лх7ЛЛ Для этой цели воспользуемся формулой (2.3). Разделив обе части равенства на А/, получим
〃一и(2.6)
или соответственно
u = uf + v.(2.7)
Это и есть классический закон сложения скоростей для рассматриваемого частного случая.
Классический закон сложения скоростей хорошо подтверждается при скоростях движения, много меньших скорости света.
Так, если вагон движется относительно Земли со скоростью 80 км/ч, а пассажир идет по вагону в том же направлении со скоростью 6 км/ч, то скорость пассажира относительно Земли составит 86 км/ч. Если река имеет скорость течения 2 м/с, а скорость парохода относительно воды 8 м/с, то при движении парохода против течения его скорость относительно Земли составит 6 м/с, а при движении по течению — 10 м/с.
Логические соображения, положенные в основу вывода преобразований Галилея, представляются самоочевидными, а следствия, получаемые из этих преобразований, такие, как неизменность длины отрезка в разных системах отсчета, закон сложения скоростей и т. п., отлично оправдывались в экспериментах при тех скоростях движений, с которыми имели дело ученые в течение примерно трех столетий после работ Галилея и Ньютона. Постепенно сложилось представление, что эти преобразования должны быть справедливы для любых физических явлений. И только в конце прошлого века было обнаружено, что применение представлений ньютоновской механики к явлениям, связанным с распространением света, приводит к ряду противоречий. В гл. 12 мы покажем, как возникли эти противоречия и как они были устранены в теории относительности.
ГЛАВА 3
СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ. ВЕКТОР СКОРОСТИ
§ 3.1. Скалярные величины
Скаляром называется величина, которой в любой системе отсчета соответствует определенное число, зависящее от выбора системы единиц. При записи скаляра рядом ставят его численное значение и единицу измерения. Например:
/ = 3 м = 300 см = 3000 мм.
Численное значение скаляра обратно пропорционально единице измерения. Символически это можно записать так:
а[А]^а' [Л(] или 今=親， (3.1) где 14] и 1ЛЧ ——единицы измерения скаляра, а и а* ——его численные значения,
Примерами скалярных величин могут служить: время, длина, площадь, объем, температура, масса, работа, энергия.
Сумма или произведение скаляров есть также скаляр. И вообще —— любая алгебраическая операция над скалярными величинами также дает скаляр.
Заметим, что если некоторое выражение, составленное из скалярных величин, находится под знаком неалгебраической (трансцендентной) функции, то оно является отвлеченным числом. К такого рода функциям относятся показательная, логарифмическая, тригонометрическая функции. Например, если координата % выражена в метрах ([х] = м), то выражение у = а為* имеет смысл только в том случае, если [й] = м-1. Аналогично выражение % = 4 cos ①/ имеет смысл только при [(о1 = с-1.
§ 32 Векторные величины
Вектором называется величина, которой в любой системе отсчета соответствует направленный отрезок. Вектор характеризуется абсолютной величиной (модулем), направлением и точкой приложения его начала. Примерами векторных величин являются
скорость, сила.скорость, сила.
скорость, сила.
скорость, сила.
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец определяет положение некоторой материальной точки, называется радиусом-вектором этой точки (рис. 3.1).
Векторы принято обозначать малыми латинскими буквами с горизонтальной стрелкой вверху (а, Вит. д.) или жирными буквами (о, Ь, ...). Радиус-вектор принято обозначать буквой г.
Любой вектор может быть спроектирован на оси координат.
Проекции вектора。на оси координат обозначаются соответственно а幻 ayi 〃z, где нижний индекс характеризует ось, на которую проектируется вектор (рис. 3.2). Из чертежа видно, что
ах = %2 -修， ау - У^一弘， a2 =n2 - Z],(3.2)
где %i, ylt 2i —— координаты начала вектора, х2, у^ г2 —— координаты его конца.
Проекциями радиуса-вектора г являются координаты его конца, поскольку координаты его начала равны нулю:
G =尤， 『у=У, x*z = z・(3.3)
Очевидно, что проекции вектора являются скалярами.
Абсолютной величиной вектора или, короче, его модулем называется скаляр, равный длине отрезка, изображающего этот вектор. Обозначается \а\ или просто а. Пользуясь теоремой Пифагора, получим
| 二a = /磯+ 啰 +磅=/的-%i)2 + (%一弘户 + (人一^i)2. (3.4)
Модуль радиуса-вектора
I尸丨=广=/炉+ y2 +炉，(3.5)
Некоторые операции над векторами
Суммой двух векторов является новый вектор, проекции которого суть суммы соответствующих проекций слагаемых. Если проекциями слагаемых векторов а и & являются (ах, ау, а2) и (bXf byt 6Z), то из определения следует:
'% = % + 以，
c^a + b. если < су^ау + Ьу,(3.6)
、с? ~ciz-]~bz.
Из этого определения вытекает ряд важных следствий.
Переместительный закон сложения:
a^b^b + a.(3.7)
Действительно, для проекций, как для любых чисел, переместительный закон безусловно справедлив.
Аналогично доказывается сочетательный закон сложения:
o + b + c = (a + b) + c = o + (b + c)・(3.8)
Правило многоугольника: чтобы сложить несколько векторов, например 。工,。却 а3,。《и。5, нужно начало второго слагаемого совместить с концом первого, начало третьего 一 с концом второго и т. д. Затем строится новый вектор, начало которого совпадает с 2 Б, М, Яворский, А. А. Пинский, т. ，33
началом первого слагаемого, а конец — с концом последнего (рис. 3.3). Этот замыкающий вектор Ь и будет искомой суммой:
&=的+色+包+仇+ 口"
Для доказательства этого следствия расположим два вектора «г и а2 в плоскости 物 причем начало вектора а2 совместим с концом вектора аг (рис. 3.4). Соединив начало аг с концом а2, получим вектор б, который по определению и является искомой суммой.
Рис. 3.4.Рис. 3.4.
Рис. 3.4.
Рис. 3.4.
Из чертежа видно, что проекции вектора b на оси координат являются суммами соответствующих проекций векторов 口】и а2 на эти же оси.
Для нескольких же векторов можно воспользоваться сочетательным законом сложения.
Рис. 3.5・Рис. 3.5・Рис. 3.6.Рис. 3.6.
Рис. 3.5・
Рис. 3.5・
Рис. 3.6.
Рис. 3.6.
Заметим, что сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма (рис. 3.5). Однако при построении суммы нескольких векторов правило многоугольника более удобно.
Разностью двух векторов называется вектор, построенный следующим образом: совмещаются начала уменьшаемого b и вычитаемого а векторов (рис. 3.6). Тогда вектор с, проведенный от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого, и есть искомая разность:
с = &—а.(3.9)
В проекциях
с* = Ь*—Су = by —勾，cz — Ьг — пг. Доказательство непосредственно вытекает из правила многоугольника, поскольку о +с =Ь・
ВВПроизведением вектора а на скаляр k является новый вектор Ь, проекции которого в k раз больше соответствующих проекций вектора а. Из этого определения следует, что
В
В
6# =左
b 二力0，еслиb 二力0，еслиby = kay, (3.10)
b 二力0，если
b 二力0，если
Для целого положительного k это прямо следует из закона сложения лекторов.
При умножении вектора на скаляр его направление не меняется, модуль же нового вектора возрг
Ъ = /呢+增+必=К奴瓏十胪礁十左吐!=左/礫+的十磴=Еa .
Частным от деления вектора а на скаляр &，0 является новый вектор 仇 проекции которого в 左 раз меньше соответствующих проекций вектора а. Итак, из определения следует, что
сли % = % %=^， &=^・(З.П)
Предоставляем читателю самостоятельно показать, что при делении вектора на скаляр его направление не меняется, модуль же уменьшается в 尼 раз.
Разложение вектора на два слагаемых
Разложить вектор а на два слагаемых — значит найти такие два вектора b и с, чтобы 口= b + с В этом случае Ь, с и а образуют замкнутый треугольник, (правило многоугольника).
Эта задача является неопределенной: на отрезке длиной а можно построить бесчисленное множество треугольников, две стороны
Рис. 3.8.Рис. 3.8.которых являются модулями искомых векторов (рис. 3.8). Задача станет определенной, если будут заданы некоторые дополнительные условия.
Рис. 3.8.
Рис. 3.8.
На практике часто встречается 5адача о разложении данного вектора а па два слагаемых вектора, направления которых параллельны некоторым прямым. Эта задача является вполне определенной.
Через концы отрезка о проведем
八ве прямые линии, параллельные за
данным прямым (рис. 3.9). В получившемся треугольнике строим два вектора так, что начало первого совпадает с началом век- юра а, а его конец — с найденной вершиной треугольника; начало
же второго вектора совпадает с вершиной треугольника, а конец — с концом вектора о. Это и будут искомые векторы Ь и с.Действитель-
но, они направлены параллельно заданным прямым, а их сумма, по правилу многоугольника, равна первоначальному вектору: Ь+с=а,
Скорость — вектор
Рис. 3.10.Рис. 3.10.L Пусть материальная точка движется по прямолинейной траектории, не совпадающей с осями координат. В момент времени h положение материальной точки определяется радиусом-вектором
Рис. 3.10.
Рис. 3.10.
Рис. 3.11.
тор перемещения:тор перемещения:Г1, в момент /2— радиусом-вектором 尸纟(рис. 3.10). Определим век
тор перемещения:
тор перемещения:
(3.12)
Тогда и средняя скорость, очевидно, является вектором:
(3.13)
В самом деле, при делении вектора А尸 на скаляр А/ получается новый вектор, направление которого совпадает с направлением
перемещения. Следовательно, векторы скорости и перемещения имеют одинаковые направления.
Мгновенная скорость
0=lim 第(3.14)
А/ т ()2
также является вектором, совпадающим по направлению с вектором перемещения.
Итак, скорость прямолинейно движущейся точки есть вектор, направленный вдоль траектории.
При движении материальной точки по криволинейной траектории мы сохраним определения средней и мгновенной скорости (3.13) и (3.14). В этом случае векторы перемещения и средней скорости направлены по хорде, соединяющей две точки траектории, соответствующие положению материальной точки в моменты времени 匕 и /2 (рис. 3.11). В случае, когда АЮ, направление хорды стремится к направлению касательной. В пределе бесконечно малый вектор перемещения и вектор мгновенной скорости совпадут с направлением касательной.
Итак, при движении материальной точки по криволинейной траектории вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории.
Проекции вектора перемещения:
А『# = /]
A勺=%一弘= аy, }(3.15)
Дгг = х2 — zt = Az.丿
Отсюда соответствующие проекции вектора мгновенной скорости:
limlim 兽， ％= lim(3.16)
* а、о А/， у д/->о д/ " А，+о А/ 、'
Модуль мгновенной скорости:
0=m曜 + % + %.(3.17)
Сложение скоростей
Поскольку в ньютоновской механике скорость является вектором, то операция сложения скоростей сводится к сложению соответствующих проекций скорости. Следовательно, скорости складываются по правилу многоугольника (или параллелограмма).
Так, пусть человек движется по платформе со скоростью 打, составляющей угол а с одной из сторон платформы. Сама же платформа движется со скоростью 哲 относительно Земли (рис. 3.12). 11айдем величину и направление скорости человека w относительно Земли.
Задачу можно решить так. Проекции вектора 加 их~и cos а, 〃产〃 sin а;
соответствующие проекции вектора 哲：
弘=7 % = о；
отсюда
叫：=% + %= ucosa + o,wy =%у4- Dy = usina.
Модуль скорости человека относительно Земли:
如=j/r^ 十然=J/炉 cos2 a + 2uv cos a4-y2 + u2sin2a =
=* + 2uv cos a, (3.18)
а ее направление определяется соотношением
sin§ =sin§ =wy и sin a3 一 wwy и sin a3 一 w(3.19)(3.19)
sin§ =
sin§ =
wy и sin a
3 一 w
wy и sin a
3 一 w
(3.19)
(3.19)
Этот же результат можно получить с помощью теоремы косинусов.
Движение человека относительно платформы называется относительным, платформы относительно Земли — переносным, а человека относительно Земли ——сложным движением.
Итак, в ньютоновской механике скорость сложного движения равна векторной сумме скоростей относительного и переносного движений:
® = 〃 +叽 (3.20)
Выражение (3.20) представляет собой классический закон сложения скоростей в векторном виде.
В теории относительности, как будет показано в § 12.5, скорости складываются по более сложным правилам, и выражением (3.20) там пользоваться нельзя.
ГЛАВА 4
УСКОРЕНИЕ
Среднее и мгновенное ускорение
Средним ускорением за данный промежуток времени называется физическая величина, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени.
Пусть в момент времени ^ материальная точка имела мгновенную скорость 叨，а в момент %— соответственно скорость 5・ Тогда, согласно определению,
— /2—/1 一 豆.
Из определения очевидно, что ускорение является вектором. Направление вектора ускорения зависит от характера движения материальной точки. Это будет дальше рассмотрено подробнее.
Мгновенным ускорением называется физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится среднее ускорение за бесконечно малый промежуток времени:
a=hm^.(4.2)
Единица измерения ускорения
Поскольку в Международной системе единиц (СИ) единицей скорости является м/с, то единицей измерения ускорения в этой сис- 1еме единиц служит метр на секунду в квадрате (м/с2). Применяется зоне 1 см/с2 = I0"2 м/с2.
Прямолинейное переменное движение
Если материальная точка движется по прямолинейной траектории, то векторы скорости и ускорения направлены вдоль этой же прямой. Следовательно, в случае прямолинейного движения материальной точки меняется лишь абсолютная величина скорости. Л потому здесь среднее и мгновенное ускорения вычисляются так:
"2一"]
а= lim 4т • (4.4)
Переменное движение называется ускоренным, если скорость материальной точки все время возрастает по абсолютной величине, I. е. для любого 彳2>乙 справедливо условие U2>t4. Примером может служить движение тяжелого шарика, свободно падающего с небольшой высоты.
Соответственно замедленным называется движение точки, скорость которой все время убывает по абсолютной величине: для любого 方2>友 справедливо условие v2<^i- Примером может служить движение тяжелого шарика, брошенного вертикально вверх (до остановки).
Из определений (4.3) и (4.4) вытекает, что в случае ускоренного движения материальной точки ускорение выражается положительным числом, в случае замедленного движения — отрицательным. Это означает, что в первом случае векторы скорости и ускорения совпадают по направлению, во втором же направление ускорения противоположно направлению скорости.
Прямолинейное равнопеременное движение
Движение материальной точки называется равнопеременным, если его мгновенная скорость является линейной функцией времени:
0=0()+a 厶(4.5)
'где % н а — постоянные величины.
Здесь % имеет смысл начальной скорости. Действительно, при / = о скорость и = и。, где под f = 0 понимается момент времени, когда началось наблюдение за движением материальной точки. Этот момент, вообще говоря, не совпадает с моментом начала движения, который часто вообще неизвестен (см. § 1.4). Вместе с тем не исключен случай, когда моменты начала наблюдения и начала движения совпадут (например, если включить секундомер в тот момент, когда мы выпускаем камень из рук и он начинает падать). В этом частном случае и0 = 0 и и = а九
Выясним смысл а в выражении (4.5). По определению, среднее ускорение равнопеременного движения
a =屯一？i _ St + 出2-仇+ 出1) _ a «2 -方1) __ер 一 ---
Пределом постоянной величины является сама эта величина, поэтому мгновенное ускорение в случае равнопеременного движения есть величина а, входящая в выражение для мгновенной скорости (4.5).
Это позволяет по-новому определить понятие равнопеременного движения. Равнопеременным называется движение с постоянным ускорением.
График скорости при равнопеременном движении
Чтобы построить график скорости, отложим на оси абсцисс мгновенные значения времени, на оси ординат — соответствующие им значения мгновенной скорости. Линия, соединяющая изображающие точки, и является графиком скорости.
40
Графиком скорости в случае равнопеременного движения является прямая, отсекающая на оси ординат значение начальной
скорости (рис. 4.1). Тангенс угла наклона графика численно равен ускорению:
tgB=3j = a・(4・6)
В случае ускоренного движения график скорости образует с осью абсцисс острый угол (рис. 4.1), а в случае замедленного движения ——тупой (рис. 4.2).
Графическое вычисление перемещения
Соотношение между перемещением и пройденным путем было рассмотрено в § 1.6 на примере точки, движущейся вдоль оси абс
цисс. Это соотношение справедливо и в том случае, когда точка
Рис. 4.3.Рис. 4.3.движется по произвольной траектории.
Рис. 4.3.
Рис. 4.3.
На графике скорости равномерного движения (рис. 4.3) произведение vt есть площадь заштрихованного прямоугольника. Следовательно, перемещение 2 = W численно равно площади этого прямоугольника (при соответствующем выборе масидаба).
Этот вывод можно обобщить на случай произвольного переменного движения. Действительно, пусть скорость материальной точки меняется по произвольному закону v = f(f)\ график этой функции июбражен на рис. 4.4.
Разобьем промежуток времени / ~ /2 ——左 на несколько частей и будем считать, что в течение малого промежутка времени Af скорость не меняется, а затем скачком принимает новое значение. Это «скачкообр аз ное» движение с какой-то степенью точности изображает истинное движение, при котором скорость изменялась не скачками, а плавно, как изображено на графике. Перемещение в течение малого промежутка времени Af численно равно площади заштрихованной полоски, поскольку в течение этого времени движение рассматривалось как равномерное. Перемещение же за время t приближенно равно площади ступенчатой фигуры (конечно, речь идет о численном равенстве). Чем меньше будут промежутки Af, тем точнее «скачкообразное» движение изображает истинное переменное движение. Точный результат получится, если мы перейдем к пределу при условии А」0.
Итак, на графике скорости перемещение при произвольном переменном движении материальной точки численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, справа и слева ——значениями мгновенной скорости в моменты 厶 н % н сверху — графиком скорости. Заметим, что вычисление такого рода площадей является предметом раздела математики, который называется интегральным исчислением.
§ 4.6. Перемещение и средняя скоростьпри равнопеременном движении
Пользуясь выводом предыдущего параграфа, легко вычислить перемещение при равнопеременном движении материальной точки. Действительно, здесь скорость — линейная функция времени, график скорости ——прямая линия, и искомая площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту (см. рис. 4.1).
Отсюда следует, что при 厶=0 н 厶=/ переме- 4/ щение можно вычислить по формуле
(4.7)
千 у jПодставив значение у = у0 + ^^ получим
(4.8)
рис 45.Таким образом, координата материальной
''' точки, совершающей равнопеременное движение, является квадратичной функцией времени. Уравнение (4.8) и есть искомый закон движения. График пройденного пути является параболой. На рис. 4.5 изображен график простейшего случая движения, когда
/o = Q, Vo = 0 и / — д/2/2.
Нетрудно убедиться, что рассмотренные в § 1.5 примеры переменных движений являются равнопеременными движениями.
42
Воспользовавшись определением средней скорости (3.13), легко показать, что абсолютная, величина средней скорости при равнопеременном движении материальной точки есть полусумма на- ч(11ьной 〃 конечной скорости:
%р%р_2_2(4.9)(4.9)
%р
%р
_2
_2
(4.9)
(4.9)
Действительно, по определению
"合。(4.Ю)
Подставив значения /2 и Zx и проделав несложные преобразования, имеем
I _ /о + ?()/2 + (0/?/2)-+ (现;/2)]=
*рt? — t”
,?0 ("~~~'厶)+(1/2)а他一匕)(/2十厶).2bo + 出1+。/2 -,
(00+0力)十(比+必)—^1 + ^2
Заметим, что этот вывод применим только для равнопеременного движения. В общем случае переменного движения он несправедлив. 'I ак, пусть автобус трогается от остановки и тормозит на следующей остановке. Тогда Vi — v2 = 0, но средняя скорость, очевидно, нулю не равна.
Равномерное движение материальной точкипо окружности
Пусть материальная тачка равномерно движется по окруж- иосги радиуса г. Перемещением точки за время А/ является дуга Л/ 二 г-Да, где Аа — угол поворота радиуса
(4.И)(4.И)(рис. 4.6).
(4.И)
(4.И)
0)0)Да дГДа дГПри равномерном движении материальной чочки по окружности величина
0)
0)
Да дГ
Да дГ
на илвается угловой скоростью точки.
Единица измерения угловой скорости―■ 卩丄⑴ан в секунду (рад/с).
Размерность угловой скорости
Из определения скорости равномерного движения
v = 2F = k = e
(4.12)
2. Время Т, в течение которого точка совершает полный оборот по окружности, называется периодом. Величина v, обратная периоду, показывает, сколько оборотов совершает точка в единицу времени. Она называется частотой:
w = l/厂 (4.13)
3. В течение промежутка времени, равного периоду, перемещение точки составит полную окружность, т. е. при А£ = 7 перемещение Д/ = 2лг. Отсюда следует:
V = 2лт/Т = 2nrv.
(4.14)
Сравнив (4.12) и (4.14), получим
з = 2л;/Т = 2nv.
(4.15)
§ 4.8. Ускорение при равномерном движении материальной точкипо окружности
1. При равномерном движении материальной точки по окружности абсолютная величина скорости не меняется: |矶= u = const・
Рис. 4.7.
Однако это вовсе не значит, что точка движется без ускорения. Действительно, здесь непрерывно меняется направление скорости, как вектора, направленного по касательной к траектории. А это и означает, что точка движется с ускорением.
2. Вектор изменения скорости Ао=砂‘——砂 построим (рис. 4.7) согласно правилу, изложенному в п. 2 § 3.4. При малом А/ дуга АВ мало отличается
от хорды АВ. Из подобия треугольников АО В и BMN следует
V 一广
Отсюда абсолютная величина среднего ускорения
Av V А/
Абсолютная
величина мгновенного ускорения
а= lim %р= Игл 等= lim (?
厶 J О СР А> О А/ Д/->0 \ г
Постоянный множитель v/r выносим за знак предела; тогда
а = — lim гд/-о
(4J6)
Однако, согласно (4.12), и = сог. Подставив в (4.16), получим
аЛ = п3/г = зк(4.17)
Нам осталось определить направление вектора мгновенного ускорения.
Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол р = (л + Аа)/2. Но при Д/->0 и угол Аа->0. Следовательно, вектор мгновенного ускорения составит с вектором скорости угол (p= lim 上拦(4.18)
Итак, равномерно перемещающаяся по окружности материальная точка движется с ускорением, направленным перпендикулярно вектору скорости, т. е. по радиусу к центру. Поэтому это ускорение называется нормальным или центростремительным.
ГЛАВА 5
СИЛА
Сила — мера взаимодействия тел
Опыт показывает, что все тела в природе так или иначе взаимодействуют друг с другом. Так, например, атмосферный воздух давит на поверхность Земли и все находящиеся на ней предметы; взаимодействие между молекулами воды и поверхностью тела купальщика приводит к тому, что к телу прилипают капли жидкости; сильное взаимодействие между составными частями атомного ядра (протонами и нейтронами) является причиной того, что атомные ядра чрезвычайно трудно разрушить.
Мерой взаимодействия тел или частиц, из которых состоят тела, является сила.
Понятие силы первоначально возникло из оценки мышечного напряжения. Чтобы поднять камень, сдвинуть лодку, натянуть тетиву лука и т. д., требуется некоторое напряжение мышц, различное в разных случаях. Степень этого напряжения и оценивалась силой. Можно привести примеры ряда выражений, где и сейчас слово 《сила》 применяется в своем первоначальном смысле: «сильный человек», «сделать отчаянное усилие》，«у меня силы на исходе» и т. д.
Затем люди убедились, что понятие силы может служить и для характеристики воздействия одних тел на другие. Так появились понятия «сильный ветер», «сильное течение», «сильный удар» как характеристики внешних воздействий, равносильных мышечному усилию.
В дальнейшем термин《сила» стал трактоваться весьма широко. Возникли выражения «сила волн», «сила духа», «сильнее смерти» и тому подобные. Такое расширение понятия о силе служило и служит причиной ряда недоразумений, и его следует избегать. К со-
Рис. 5.1.Рис. 5.1.
Рис. 5.1.
Рис. 5.1.
жалению, до сих пор пользуются рядом терминов, таких, например, как «сила света», «электродвижущая сила», «лошадиная сила» и т. д., хотя эти понятия Ничего общего с силой не имеют.
Термин «сила» мы будем в механике применять только в прямом его смысле ——как меру взаимодействия тел.
В современной физике различают следующие типы взаимодействий:
гравитационное, возникающее между телами за счет всемирного тяготения;
электромагнитное, возникающее между неподвижными или движущимися зар яжен- ными частицами или телами;
сильное или ядер ное, характеризующее взаимодействие элементарных частиц, например тех, которые входят в состав атомного ядра;
слабое взаимодействие, имеющее своим результатом распад некоторых элементарных частиц.
В механике рассматриваются силы, возникающие при непосредственном контакте тел,— силы трения и силы упругости. Кроме того, в механике изучаются силы тяготения.
Результатом взаимодействия тел является либо деформация (изменение размеров
или формы тела), либо ускорение (изменение величины или направления скорости). Конечно, не исключено, что одновременно могут возникнуть и деформация, и ускорение.
Каждое из этих проявлений силы может быть использовано для ее измерения. Однако измерить величину деформации часто значительно проще, чем ускорение. Поэтому основной деталью прибора для измерения сил ——динамометра (от латинского dynamis —— сила) — является пружина, степень деформации которой зависит от величины измеряемой силы (рис. 5.1).
Упругие и пластические деформации
Деформация тела называется упругой, если после снятия нагрузки полностью восстанавливаются размеры и форма тела. Пластической называется деформация, в результате которой возникающие изменения размеров и формы тела не исчезают после прекращения действия силы. После пластической деформации тело сохраняет (частично или полностью) вновь приобретенную форму и измененные размеры.
Мосты, балки, стены, детали станков при действии на них сил должны работать в области упругих деформаций ——это обеспечит 46
длительную сохранность и надежность конструкции. Наоборот, при механической обработке материала (ковка, штамповка и т. п.) его подвергают пластической деформации с таким расчетом, чтобы деталь, полученная в результате обработки материала, получила нужные размеры и форму и сохранила их после снятия усилий.
Характер деформации зависит от величины и длительности действия нагрузки, а также от материала, из которого изготовлено тело, и состояния этого материала (температура, предшествовавшая обработке, и т. и).
Так, если изогнуть стальную пластинку и тут же отпустить ее, то она примет первоначальную форму; ясно, что здесь мы имеем дело с упругой деформацией. Однако если пластинку закрепить в изогнутом состоянии на длительное время, то после снятия внешних усилий она уже полностью не выпрямится. Значительное увеличение длительности внешнего воздействия превращает упругую деформацию в пластическую.
На характер деформации очень сильно влияет температура. Стальная пластинка, нагретая до температуры желтого каления, становится пластичной при сравнительно небольших внешних усилиях, которые при комнатных температурах способны вызывать в этой пластинке лишь упругие деформации. Наоборот, свинец, весьма пластичный при комнатной температуре, становится упругим при низких температурах. Свинцовый колокольчик, охлажденный жидким воздухом, издает чистый звон, а это значит, что в нем происходят упругие деформации. Увеличение пластичности материалов с ростом температуры используется в технике при обработке металлов.
Таким образом, нет резких границ между упругими и пластическими деформациями. Однако, как показывает опыт, небольшие и кратковременные деформации могут с достаточной степенью точности рассматриваться как упругие.
Из практики известно, что чем большую деформацию мы желаем создать, тем большее усилие нужно приложить к деформируемому телу. Следовательно, по величине деформации можно судить о величине силы. Анализ ряда экспериментов показывает, что абсолютная, величина упругой деформации пропорциональна приложенной силе. Это утверждение составляет содержание закона Гука.
Так, при деформации удлинения (или сжатия) тела
尸=左(/— /0)—々AZ, (5.1)
где 尸 ——абсолютная величина силы, /0——первоначальная длина тела, I — длина деформированного тела и k — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом упругости. Коэффициент упругости численно равен абсолютной величине силы, вызывающей деформацию, равную единице длины.
Из закона Гука следует, что шкала динамометра должна быть равномерной (см. рис. 5.1). Это существенно облегчает градуировку динамометра.
Сила — вектор
Всякая сила имеет определенное направление, причем результат действия силы зависит не только от ее величины, но и от направления. Например, сила трения чаще всего направлена противоположно вектору скорости. Если, например, под действием некоторой силы пружина растягивается, то при изменении направления силы пружина сожмется. Ударяя по мячу, футболист сообщает ему ускорение, направленное в ту же сторону, что и сила, с которой нога футболиста действует на мяч. Наконец, из закона Гука видно, что сила имеет векторный характер, ибо коэффициент упругости есть скалярная величина, удлинение же А/ =/2—厶 есть
вектор, а при умножении вектора на скаляр получается вектор (см. § 3.3).
Итак, сила является вектором.
Закон Гука можно записать в векторной форме, учитывая направление векторов перемещения и силы. При этом следует раз
Рис. 52Рис. 52личать внешнюю силу и силу упругости.
Рис. 52
Рис. 52
Рис. 5.3.Рис. 5.3.Пусть внешнее тело, например рука, растягивает пружину
Рис. 5.3.
Рис. 5.3.
(рис. 5.2). Сила, с которой внешнее тело действует на пружину, называется внешней силой. Направление внешней силы совпадает с направлением перемещения, следовательно, оба вектора имеют одинаковое направление. Итак,
(5.2)(5.2)尸внешн ~々А厶
(5.2)
(5.2)
Опыт показывает, что деформированная пружина действует на руку с силой, равной внешней силе по величине, но противоположной по направлению. Сила, с которой деформированная пружина действует на внешнее тело, называется силой упругости (рис. 5.3). Поскольку направление силы упругости противоположно вектору удлинения, то
爲 пр = —^А2. (5.3)
(5・4)(5・4)Анализируя различные виды взаимодействия тел, Ньютон пришел к выводу, что всегда два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, но противоположными по направлению^
(5・4)
(5・4)
e2 = 一居1，
где 尸 12——сила, с которой первое тело действует на второе, a F2i ——
48
сила, с которой второе тело действует на первое. Это утверждение называется третьим законом Ньютона.
В качестве примера можно рассмотреть опыт по взаимодействию магнита с куском железа. Динамометры, прикрепленные к
Рис. 5.4.Рис. 5.4.
Рис. 5.4.
Рис. 5.4.
обоим телам, регистрируют одинаковые по величине, но противоположные по направлению силы взаимодействия (рис. 5.4).
Примеры на применение третьего закона Ньютона будут рассмотрены в последующих главах.
Сложение и разложение сил, приложенныхк материальной точке
Если к материальной точке приложено несколько сил, то их можно заменить равнодействующей силой. Равнодействующая яв
ляется векторной суммой слагаемых сил, и ее можно найти по пра-
можно найти и по правилу параллелограмма (рис. 5.6), однако применение этого правила для нескольких сил менее удобно, чем использование правила многоугольника.
Если многоугольник сил окажется замкнутым, то это означает, что равнодействующая данной системы сил равна нулю. Такая система сил называется уравновешенной. Примером может служить система из трех равных по абсолютной величине сил, расположенных в одной плоскости под углами 120° друг к другу (рис. 5.7).
Систему сил, приложенных к одной точке, можно уравновесить, приложив к ней уравновешивающую силу. Уравновешивающая сила по абсолютной величине равна равнодействующей, но имеет противоположное направление.
Силу, как и любой вектор, можно разложить на две составляющие (см. § 3.4). На практике часто встречается случай разло
жения силы на две составляющие с заданными направлениями.
Так, пусть на кронштейн действует некоторая сила Р, например вес какого-то груза (рис. 5,8). Требуется найти усилия в стержнях. В этом случае искомые силы направлены вдоль стержней. Строим треугольник АгВуСх так, что
бы его стороны были параллельны силе Р и стержням, а длина стороны А1С1 равна Р (в избранном масштабе). Тогда вектор 尸i = /iB является силой, растягивающей стержень АВ. а вектор
居= EiC\—силой, сжимающей стержень ВС. В избранном масштабе силы F] и 尸婁 равны сторонам треугольника Л1В】и 61^. Впрочем, их можно вычислить из пропорции
ТВ — 8С — АС •
ГЛАВА 6
ВЕС И МАССА
Сила тяжести. Вес
Из повседневного опыта известно, что все тела падают на Землю, если этому движению не препятствуют другие тела. Что же является причиной падения?
Проделаем такой опыт. Подвяжем ниткой гирю к пружине и отпустим ее. Гиря продвинется слегка вниз и растянет пружину,
затем остановится. Деформированная пружина действует на гирю с некоторой силой Fynp, направленной вертикально вверх, однако гиря остается в равновесии. А это возможно лишь в том слу
чае, если кроме силы упругости на гирю действует еще одна сила Р, равная ей по абсолютной величине, но направленная . вертикально вниз, к Земле (рис. 6.1).
Если пережечь нить, связывающую гирю с пр ужи- 丈 ной, то взаимодействие между ними исчезнет. Пружина §* вновь примет первоначальную форму и размеры. Вза- О, имодействие же между Землей и гирей сохранится —— Земля продолжает притягивать гирю с силой Р. Под 《》Fynp действием этой силы гиря выходит из состояния покоя и f ； начинает падать на Землю./
Рис. 6.LРис. 6.LСила, с которой Земля притягивает к себе тела, называется силой тяжести.
Рис. 6.L
Рис. 6.L
Сила тяжести действует на все тела, расположенные вблизи Земли. И если не все они падают на Землю, то это происходит оттого, что их движение ограничивается некоторыми другими телами —— опорой, нитью, пружиной, стенкой и т. п.
Тела, которые ограничивают движение других тел, называются связями. Происхождение этого термина оче-
видно: эти тела связывают движение данного тела, препятствуют его свободному перемещению. Так, поверхность стола является связью для всех предметов, лежащих на нем; пол служит связью для стола и т. д.
Под действием силы тяжести связи деформируются, и реакция деформированной связи по третьему закону Ньютона уравновешивает силу тяжести. Но если деформацию пружины обнаружить сравнительно легко, то для наблюдения деформации других связей нередко необходимы приборы, позволяющие регистрировать очень малые перемещения.
Весом называется сила, с которой тело действует на связь (давит на горизонтальную опору или растягивает нить) вследствие притяжения, этого тела к Земле.
Как будет показано в § 7.2, вес тела равен силе тяжести, если тело и связь покоятся относительно Земли (или движутся относительно нее прямолинейно и равномерно).
Реакцией деформированной связи можно воспользоваться для измерения веса. Для этой цели применяется динамометр (пружинные весы), градуированный в каких-либо единицах силы.
Впрочем, можно поступить и иначе. Подберем эталонную гирю — тело, вес которого равен единице силы, и изготовим гири в несколько раз больше или меньше эталона. Эта система гирь называется разновесом.
Поместим на одну чашку равноплечих рычажных весов некоторое тело, вес которого мы желаем определить, а на
другую чашку —— гири такой величины, чтобы весы уравновесились (рис. 6.2). Поскольку для равновесия равноплечих рычажных
весов необходимо, чтобы на обе чашки действовали равные силы, мы заключаем, что вес испытуемого тела равен весу гирь.
Итак, вес можно определить на пружинных или рычажных весах.
Свободное падение
Свободным падением называется движение тел под действием одной только силы тяжести. Для того чтобы исследовать свободное падение тел, нужно освободить их от действия всех посторонних сил, в частности от сопротивления воздуха.
Легко убедиться, что сопротивление воздуха существенно влияет на характер падения тел. Выпустим из рук камень и кусок ваты. Камень быстро упадет на Землю, вата опускается медленнее. У нас может сложиться представление, что тяжелые тела падают быстрее легких. Однако если вату скатать в плотный шарик, то он значительно быстрее упадет на Землю. Что же изменилось в этом опыте? Уменьшился размер шарика и соответственно сопротивление воз- духа. Точно так же кусок бумаги, скатанный в плотный комок, испытывает значительно меньшее сопротивление воздуха и потому падает быстрее, чем лист одинакового с ним веса.
Естественно, возникает вопрос: а как будут падать тела в вакууме, когда сопротивление воздуха исключено? Будут ли они падать с одинаковым ускорением? В дальнейшем мы убедимся, что это действительно так, что в данной точке Земли все тела, независимо от их веса, падают с одинаковым ускорением. Здесь же мы это утверждение подтвердим, рассмотрев следующий опыт (рис. 6.3). Возьмем стеклянную трубку длиной более метра, запаянную с одной стороны, а с другой стороны закрытую крышкой с патрубком. Внутри трубки находятся кусочек свинца и перышко. Если
Рис. 6.3.Рис. 6.3.
Рис. 6.3.
Рис. 6.3.
резко опрокинуть трубку, то свинец падает вниз быстро, а перышко падает очень медленно. Присоединим трубку к воздушному насосу и выкачаем из нее воздух. Вновь перевернув трубку, убедимся, что оба тела падают одинаково —— перышко нисколько не отстает от свинца!
Таким образом, все тела, независимо от их веса, свободно падают совершенно одинаково.
Впервые к такой мысли пришел Галилей в начале XVII в. До этого времени в науке господствовали представления Аристо
теля о том, что тяжелые тела падают быстрее легких. Чтобы убедиться в правильности своей точки зрения, Галилей поставил ряд опытов, бросая разные тела с знаменитой Пизанской наклонной башни и измеряя время их падения.
Галилей показал, что свободное падение является равноускоренным движением. Для доказательства этого положения достаточно, например, убедиться, что расстояние, пройденное телом при свободном падении, пропорционально квадрату времени движения (см. § 4.6). Галилей не имел приборов, позволяющих точно измерять малые промежутки времени. Поэтому он имитировал свободное падение движением тела по наклонной плоскости.
В настоящее время можно с помощью электрического секундомера очень точно измерить время падения тела с любой высоты. Пусть небольшой стальной шарик удерживается на некоторой высоте с помощью электромагнита. Специальное реле позволяет разомкнуть ток в цепи электромагнита и одновременно включить электрический секундомер. Шарик, падая вдоль вертикальной линейки, проходит определенное расстояние и в конце пути размыкает цепь, тем самым останавливая секундомер. Меняя это расстояние и измеряя каждый раз время падения, легко установить закон движения. Сопротивление воздуха можно исключить, поместив всю установку в трубку и выкачав из нее воздух. Впрочем, при падении малень-
кого тяжелого шарика с малой высоты можно пренебречь сопротивлением воздуха (см. § 11.9).
Результаты экспериментов убедительно свидетельствуют о сле
дующем:
Свободное падение является равноускоренным движением.
Все тела свободно падают с одинаковым ускорением g (от латинского gravitas — тяжесть).
Ускорение свободного падения s разных точках Земли несколько различно. При не очень точных измерениях этой разницей (которая не превышает 0,6%) пренебрегают и считают g = 9,81 м/с2.
§ 63 Масса тела
Опыт показывает, что сила тяжестиь действующая на данное тело в разных точках Земли, несколько различна —— она меняется в завпскмостн от географической широты и от высоты над уровнем моря; точно так же меняется и ускорение свободного падения. Однако для любого тела отношение силы тяжести к ускорению свободного падения является постоянной величиной:
= .., = const.
gl g2 统
Следовательно, отношение P/g является некоторой характеристикой данного тела. Эта величина называется массой тела.
Массой тела называется отношение действующей на тело силы тяжести к ускорению свободного падениям
(6.1)(6.1)ZH = P/g.
(6.1)
(6.1)
Понятие массы является одним из важнейших в физике. Оно будет неоднократно рассматриваться в дальнейших разделах курса: при изумении законов Ньютона, закона тяготения, в связи с такими важнейшими понятиями^ как импульс и энергия. Это позволит значительно углубить и расширить наши представления о массе.
Масса является скалярной величиной, а сила тяжести и ускорение свободного падения — это векторы, имеющие одинаковое направление. Соотношение (6.1) лучше записать в векторной форме:
(6.2)(6.2)P=mg.
(6.2)
(6.2)
m2 - % 'm2 - % '(6.3)(6.3)Поскольку ускорение свободного падения для всех тел одно и то же, то из (6.1) следует:
m2 - % '
m2 - % '
(6.3)
(6.3)
т. е. отношение масс двух тел равно отношению их весов, ибо здесь вес равен силе тяжести.
На этом основан метод определения масс с помощью рычажных весов. Как уже указывалось (см. рис. 6.2), рычажные весы находятся в равновесии, если вес тела равен весу гирь. Но тогда и масса тела равна массе гирь. Изготовив эталонную гирю и приняв ее массу за единицу, мы можем на рычажных весах сравнить с ней массу любого другого тела. Следовательно, слово «взвешивание» применяется фактически в двух смыслах: как определение веса и как определение массы.
Итак, масса тела может быть определена на рычажных весах.
§ 6.4. Плотность вещества
Если изготовить из одного и того же вещества тела различных объемов, то и массы их будут различными. Однако, как показывает опыт, отношение масс этих тел к их объемам будет постоянной
величиной:величиной:巧= %=-巧= %=-=const.=const.
величиной:
величиной:
巧= %=-
巧= %=-
=const.
=const.
Это отношение может служить характеристикой вещества — его плотностью.
Плотностью вещества называется отношение массы тела к его объему.
р = т/К(6.4)
Как будет показано ниже, плотность вещества зависит от его температуры, внешнего давления и агрегатного состояния. Поэтому в справочниках всегда указываются условия, при которых справедливы табличные данные,——без этих указаний они лишены смысла.
ГЛАВА 7
ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ
. Сила и ускорение
Из закона инерции следует, что тело само по себе, без взаимодействия с окружающими его телами, не может изменить своей скорости. Всякое изменение величины или направления скорости движения тела вызывается воздействием на него внешних тел. Это воздействие, как известно, характеризуется силами (см. § 5.1). Основной закон динамики (иначе называемый вторым законом Ньютона) выражает соотношение между силой 〃 изменением скорости взаимодействующих тел.
Наиболее простой вид основной закон механики имеет в инерциальных системах отсчета. Случай неинерциальных систем будет рассмотрен ниже (гл. 24).
Вначале мы ознакомимся с основным законом механики при условии, что скорость движения материальной точки относительно выбранной инерциальной системы отсчета значительно меньше скорости света. Далее будет показано, что многие задачи механики могут быть решены в этом приближении с точностью, достаточной для практики. Более общий релятивистский случай будет рассмотрен ниже (гл. 13).
Смысл основного закона динамики можно выяснить на основе следующего эксперимента. В вагонетке между двумя стенами заделан твердый и гладкий стержень, по которому с ничтожным трением может перемещаться тело массой т. К телу прикреплен динамометр, который вторым концом крепится к передней стенке (рис. 7.1). Пусть вагонетка движется относительно инерциальной системы отсчета (например, Земли) с некоторым ускорением а.
Если тело неподвижно относительно вагонетки, то относительно Земли (инерциальной системы отсчета) оно движется с тем же ускорением а, что и вагонетка. Опыт покажет, что в этом случае пружина
динамометра находится в деформированном состоянии. А это означает, что пружина действует на тело с некоторой силой, которая и сообщает ему ускорение. Действительно, если нарушить взаимодействие между пружиной и телом (скажем, пережечь соединяющую их нить), то пружина придет в недеформировайное состояние. Тело же будет двигаться относительно Земли равномерно, сохраняя по инерции ту скорость, которую оно приобрело к моменту прекращения взаимодействия.
Рис. 7.1.
Проделав опыты с телами разной массы и при разных ускорениях вагонетки, мы убедимся, что степень растяжения пружины пропорциональна массе ускоряемого тела (при неизменном ускорении) и ускорению (при данной массе тела). Кроме того, растяжение пружины не зависит от скорости движения тела и вагонетки. Но по определению (см. § 5.2) сила упругости пропорциональна растяжению пружины, так что по величине растяжения пружины мы можем судить о величине действующей силы.
Результаты эксперимента можно сформулировать так:
Если тело движется с ускорением относительно некоторой инерциальной системы отсчета^ то на него действует сила,
Сила вызывает ускорение, которое пропорционально этой силе и совпадает с ней по направлению} при заданном ускорении сила пропорциональна массе тела, которому она сообщает ускорение.
При скоростях, значительно меньших скорости света, сила не зависит от скорости Обиженна ускоряемого тела.
Аналогичный результат получится при исследовании криволинейного движения материальной точки, что покажет следующий эксперимент. Стержень с грузом и пружиной крепится одним концом к оси центробежной машины и приводится во вращение вокруг этой оси (рис. 7.2). Мы обнаружим, что при вращении системы пружина деформируется и действует на тело с силой, которая зависит от массы тела, расстояния от тела до оси вращения и от скорости вращения.
Этот результат легко объяснить. При равномерном движении тела по окружности абсолютная величина скорости остается постоянной, направление же вектора скорости все время меняется. А мы 56
加办-m智］一Д (mv)加办-m智］一Д (mv)(7・2)(7・2)Импульсом (или .количествомИмпульсом (или .количествомдвижения) называется вектор,движения) называется вектор,равный произведению массы тела на его скорость:равный произведению массы тела на его скорость:
加办-m智］一Д (mv)
加办-m智］一Д (mv)
(7・2)
(7・2)
Импульсом (или .количеством
Импульсом (или .количеством
движения) называется вектор,
движения) называется вектор,
равный произведению массы тела на его скорость:
равный произведению массы тела на его скорость:
уже установили (см. § 4.8), что в этом случае имеется нормальное или центростремительное ускорение:
ап = *〃 = о2г.
Деформированная пружина и сообщает телу это ускорение.
Проделав опыты с различными телами при разных скоростях их движения и при различных расстояниях от тела до оси вращения, мы убедимся, что и в этом случае на тело действует сила, пропорциональная массе тела и центростремительному ускорению. Произведение массы тела на центростремительное ускорение называется центростремительной силой.
Обобщая результаты экспериментов, о которых говорилось выше, мы приходим к выводу: сила равна произведению массы тела на ускорение, которое она сообщает этому телу;
尸= т@.(7.1)
Это и есть второй закон Ньютона (или основной закон динамики) для случая, когда скорость дви
жения тела много меньше скорости света в вакууме.
Основной закон динамики можно записать и в несколько иной форме, которая часто бывает более удобной. По определению ускорения
Подставив в .выражение (7.1), имеем
р = тр.р = тр.(7.3)
р = тр.
р = тр.
Тогда основной закон динамики (7.2) можно сформулировать следующим образом: сила равна изменению импульса 6 единицу
времени.
(7・4)(7・4)尸=包
(7・4)
(7・4)
Это и есть наиболее общая формулировка основного закона динамики.
Наконец, если на тело действует некоторая совокупность сил, равнодействующая которых равна R, то второй закон Ньютона записывается так:
/? = /т =畿阻.(7.5)
Заметим, что если материальная точка движется по окружности равномерно, то равнодействующая всех сил направлена к центру. Эта равнодействующая и будет центростремительной силой.
Применения основного закона динамики
С помощью основного закона динамики можно определить силы, действующие на тело, либо характер движения тела по заданным силам. Так, если задан закон движения, то можно найти ускорение, с которым движется тело. Зная же ускорение и массу тела, легко определить действующую силу.
При составлении уравнения движения надо пользоваться следующим правилом:
вначале нужно найти все силы, действующие на данную матери* альную точку (включая силы реакции);
затем следует найти равнодействующую этих сил;
исходя из основного закона динамики, записать, что равнодействующая всех сил равна произведению массы на ускорение.
Составленное уравнение движения следует решить относительно неизвестной нам величины.
Пример /. На полу лифта находится человек, масса которого т、Определить, с какой силой давит человек на пол лифта, если лифт движется:
вертикально вверх с ускорением;
вертикально вверх с замедлением;
вертикально вниз с ускорением;
вертикально вниз с замедлением;
равномерно.
Поскольку человек покоится относительно лифта, то он движется относительно Земли с тем же ускорением, что и лифт. По третьему закону Ньютона нам известно, что пол лифта давит на человека с такой же силой, с какой человек давит на пол, но направления этих сил противоположны. Итак, на человека действуют две силы: сила тяжести Р и реакция пола Q.
Направим ось г вертикально вверх. Тогда сила реакции является положительным вектором, сила тяжести — отрицательным, знак же вектора ускорения зависит от характера движения (рис. 7.3). В случае (а) вектор ускорения направлен вертикально вверх, и потому он положителен; то же относится и к случаю (г) —— вектор ускорения при замедленном движении направлен против вектора скорости. В случаях же (б) и (в) вектор ускорения направлен вертикально вниз.
Уравнение движения в векторном виде запишется так:
Р+ Q = та.(7.6)
Чтобы перейти к скалярной записи, следует учесть знаки векторов. Для случаев (а) и (г): —P + Q = ma, откуда
Q = Р + та = m(g + a)t
Для случаев (б) и (в):——P + Q =——ma, откуда
Q = m(g—a)・
Наконец, для случая (д): ——Р + Q = 0, откуда
Q = R
Итак, если лифт движется относительно Земли с ускорением и является, тем самым, неинерциальной системой отсчета, то сила.
Рис. 7.3.
с которой тело давит на опору (т. е. вес), не равна силе тяжести. В частности, если ускорение лифта направлено противоположно ускорению силы тяжести, то сила давления на опору больше силы тяжести. Когда же ускорение лифта совпадает по направлению с ускорением силы тяжести, то сила давления тела на опору меньше силы тяжести. Если при этом окажется, что а = g, то из (7.6) следует Q = 0, т. е. тело вообще не давит на опору.
И только в том случае, когда лифт движется равномерно относительно Земли (и является, тем самым, инерциальной системой отсчета), сила давления тела на опору равна силе тяжести.
Пример 2. Самолет, двигаясь со скоростью у, совершает в вертикальной плоскости мертвую петлю радиуса г. С какой силой летчик прижимается к сидению? При какой минимальной скорости летчик удержится на сидении? Рассмотреть верхнюю и нижнюю точки траектории.
Вместо силы, с которой летчик прижимается к сидению, мы найдем равную ей и противоположно направленную силу реакции. На летчика действуют две силы: реакция сидения и притяжение
Земли. В нижней точке реакция направлена вертикально вверх, в верхней точке ——вертикально вниз. Хотя самолет движется по ок
ружности равномерно, вектор скорости все время меняется по на
правлению, следовательно, имеется нормальное (центростремительное) ускорение ап — u2/r. В нижней точке траектории оно направлено вертикально вверх, в верхней — вниз (рис. 7.4). Направим для
удобства ось г вертикально вниз, вдоль силы тяжести.
Уравнение движения в векторной форме имеет вид
P+Q = m@少(7.7)
В проекциях на ось г получим для нижней точки: Р — Q =—乎^ , откуда
Q = p+^ = m^ + gyQ = p+^ = m^ + gyСледовательно, здесь летчик испытывает перегрузку. Для верхней же точки Р + Q = -у-, откуда
Q = p+^ = m^ + gy
Q = p+^ = m^ + gy
Q=罕—Р = М^—g).
%нн%нн(7.8)(7.8)Поскольку Q есть абсолютная величина силы реакции, т. е. положительное число, то величина v2/r не может быть меньше g. Следовательно, летчик удержится на сидении, если Wlr^g. Минимальная скорость найдется из условия
%нн
%нн
(7.8)
(7.8)
Невесомость
В § 6.1 мы определили вес как силу, с которой тело действует на связь вследствие притяжения этого тела к Земле. В предыдущем параграфе мы убедились, что в случае, если тело неподвижно относительно Земли, вес равен силе тяжести.
Анализ решения примера 1 в предыдущем параграфе приводит к выводу, что вес равен силе тяжести также и в том случае, если тело находится в лифте, движущемся относительно Земли прямолинейно и равномерно, т. е. в инерциальной системе отсчета. Таким образом, в любой инерциальной системе отсчета вес равен силе тяжести.
Если же тело находится в лифте, движущемся ускоренно относительно Земли, или в самолете, движущемся по окружнрсти (т. е. тоже с ускорением относительно Земли), то сила давления на опору, т. е. вес, уже не равна силе тяжести-
Система отсчета, движущаяся ускоренно относительно инерциальной системы, называется неинерциальной системой отсчета. Более подробно явления в неинерциальных системах отсчета будут рассмотрены в гл. 24. Здесь же ограничимся анализом смысла двух понятий: невесомости и перегрузки.
Рассмотрим, с какой силой космонавт, находящийся в кресле космического корабля, давит на опору в случае взлета, торможения и при свободном полете на орбите.
При взлете космический корабль под действием ракеты-носителя движется ускоренно. Этот случай вполне аналогичен пункту (а) первого примера предыдущего параграфа. Здесь сила, с которой космонавт давит на опору, больше силы тяжести. Действительно, по третьему закону Ньютона ]Гдавл| = Q = m(g + a), в то время как сила тяжести равна mg. Космонавт будет испытывать перегрузку, т. е. ему будет казаться, что он стал как бы тяжелее.
Организм тренированного человека может перенести примерно шестикратную перегрузку, т. е.尸ДавЛ ^ 6Р・ Значит, ускорение космического корабля не должно превосходить пятикратного значения ускорения силы тяжести. Действительно, из m (g + а) ^ 6mg следует, что 5g.
Предоставляем читателю, основываясь на результате решения пункта (г) примера 1, показать, что при торможении космического корабля возникают такие же перегрузки, как и при взлете.
Если космический корабль движется на орбите вокруг Земли, то ускорение корабля равно ускорению силы тяжести: а = g. Из (7.6) в этом случае следует, что Q = 0. Космонавт на опору не давит, он будет ощущать это как «потерю веса».
Итак, состояние невесомости наступает в том случае, когда неинерциальная система (в нашем случае — космический корабль) движется относительно Земли с ускорением а = g.
Заметим, что такая величина ускорения еще не предопределяет характера движения. Движение может быть прямолинейным, если при вертикальном взлете или вертикальном приземлении будет выключен двигатель ракеты, или криволинейным, когда космический корабль движется по орбите вокруг Земли — здесь это ускорение является центростремительным. Для наступления состояния невесомости форма траектории не играет роли, важно только одно — чтобы космический корабль двигался с ускорением а = g.
§ 7・4・ Система единиц
Как уже указывалось выше, единицы измерения какой-либо физической величины могут быть выбраны произвольно. Единственным необходимым условием является однородность единицы измерения и измеряемой величины: единицей измерения длины может служить длина какого-то твердого стержня, единицей измерения скорости — скорость какого-то равномерного движения и т. д. Однако такой произвол в выборе единиц измерения физических
величин приводит к неудобствам: в формулах, связывающих некоторые величины функциональной зависимостью, появляются числовые коэффициенты.
Так, известно, что площадь прямоугольника пропорциональна его длине и высоте:
S = а/Л,
где S ——площадь, I ——длина, Л ——высота и а ——коэффициент, зависящий от выбора единиц. Если единицей измерения длины и высоты будет метр, а площади — гектар, то а = 0,0001; тогда S = = 0,00012伝 Однако удобнее за единицу измерения площади принять площадь квадрата со стороной, равной единице измерения длины. Если длина измеряется в метрах (м), то площадь измеряется в квадратных метрах (м3), и искомое выражение примет простейший вид:
S = /Л.
Итак, целесообразно единицы измерения физических величин выбрать так, чтобы они были связаны, между собой теми же соотношениями, что и измеряемые величины. Это позволит существенно уменьшить число коэффициентов, входящих в формулы, выражающие соотношения между физическими величинами.
Совокупность единиц измерения величин, построенная согласно указанному правилу, называется системой единиц.
Все единицы, входящие в данную систему, разбиваются на два класса:
Основные единицы, установленные произвольно и независимо друг от друга. Обычно основные единицы определяются с помощью эталонов.
Производные единицы, которые выражаются через основные с помощью соответствующих физических законов.
Например, единица измерения длины является основной, а единица измерения площади ——производной.
Размерностью физической величины В называется соотношение, определяющее связь между единицей измерения этой величины [В] и основными единицами [Л^; [Д 3L [，з】，* • • данной системы. Формулы размерности имеют вид
[В] = [Д1]"-[Д2]^.[Д3]^...
Обычно стремятся уменьшить число основных единиц, но это не всегда оказывается удобным на практике. Поэтому при построении системы единиц приходится учитывать потребности измерительной техники, а также исторические традиции.
Международная система единиц
В 1963 г. в СССР в качестве предпочтительной по сравнению с другими возможными системами введена Международная система единиц СИ. Для измерения механических величин в ней вводятся три основные единицы:
метр (м) — единица длины;
секунда (с) — единица времени;
килограмм (кг) ■— единица массы.
Производные единицы для измерения механических величин определяются следующим образом:
единица скорости — метр в секунду (м/с) — скорость равномерного движения материальной точки, проходящей расстояние 1 м в течение 1 с;
единица ускорения — метр за секунду в квадрате (м/с2) — ускорение равнопеременного движения материальной точки, скорость которой изменяется на 1 м/с за 1 с;
единица измерения силы —— ньютон (Н) —— сила, которая материальной точке с массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2.
Единицы измерения остальных механических величин будут введены по мере их определения.
Основным единицам — длины, времени и массы — приписываются размерности Lt Т и М. Производные единицы имеют следующие размерности:
[vl = LT~\ [。] - LTE [Fl = MLT~\ [pl = ML- и T> &
Системы единиц СГС и МКГСС
Кроме Международной системы единиц используются системы СГС («физическая») и МКГСС («техническая»).
Основными единицами системы СГС являются сантиметр (см), секунда (с) и грамм (г).
Производные единицы определяются аналогично соответствующим единицам системы СИ. Единицей измерения силы служит дина (дин)——сила, которая материальной точке с массой 1 г сообщает ускорение 1 см/с3. Предоставляем читателю самостоятельно доказать соотношение
1 Н = 10$ дин.
Несколько иначе строится система МКГСС. Ее кинематические единицы (длина, время, скорость, ускорение) совпадают с единицами системы СИ. Третьей же основной единицей является килограмм-сила (кгс или к Г) — это вес эталона массы при нормальном ускорении силы тяжести ).
Нетрудно показать, что
1 кгс = 9,80665 Н.
Действительно, из определения массы следует, что Р = mg. Подставив m = 1 кг и g = 9,80665 м/с3, получим, что при нормальном ускорении силы тяжести тело с массой 1 кг весит 9,80665 Н. Но это, по определению, и есть килограмм-сила.
Масса в системе МКГСС измеряется производной единицей, называемой технической единицей массы (т.е.м.),— это масса материальной точки, которая под действием силы 1 кгс движется с ускорением 1 м/с2;
1 тем. = 9,80665 кг.
При приближенных расчетах обычно полагают
1 kic = 9,81 Н, 1 т.е.м. =9,81 кг.
ГЛАВА 8
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Основная задача динамики
Очень многие задачи астрономии, транспорта, артиллерии и ряда других областей науки и техники формулируются следующим образом: имеется тело, которое можно рассматривать как материальную точку (например планета, снаряд, ракета и т. п.); известны силы, действующие на это тело. Требуется найти закон движения точки, т. е. выразить ее координаты в виде определенных функций времени.
Это и есть основная задача динамики, которая кратко формулируется так: определить закон движения материальной точки, если известны действующие на нее силы.
Для ее решения вначале с помощью основного закона динамики (второго закона Ньютона) находят ускорение, с которым движется материальная точка. Затем с помощью известных формул кинематики ищут выражения для скоростей и координат.
Математические трудности, возникающие при решении задачи в общем виде, могут оказаться весьма значительными. Вместе с тем частное решение любой задачи может быть получено численными методами ——приближенно, но с любой наперед заданной степенью точности.
Две простейшие задачи будут рассмотрены ниже. Одну из них решим в общем виде, вторую — численными методами. На их примере мы попытаемся выяснить, что же нужно знать для того, чтобы суметь решить основную задачу динамики.
Точное решение задачи нам удастся получить только в простейшем случае ——при расчете движения тела под действием постоянной силы. Что же касается численных методов, то они пригодны для решения любых задач, но требуют всегда очень большого числа арифметических выкладок. В настоящее время такие выкладки поручают быстродействующим электронным цифровым вычислительным машинам (ЭЦВМ), которые легко решают данные задачи при соответствующем их программировании.
§ 8・2・ Движение материальной точкипод действием силы тяжести
Пусть на материальную точку, кроме силы тяжести, никакие другие силы не действуют. Например, это могло бы быть тело на Луне, где нет атмосферы. Впрочем, с известным приближением это решение будет пригодно и на Земле, если скорость точки не превосходит нескольких метров в секунду, ибо при таких скоростях можно пренебречь сопротивлением воздуха.
Систему отсчета, связанную с Землей,
будем считать инерциальной. Оси коор- z .勿 данат выберем так, как показано на рис.Т
8.1. Выражение для силы, действующейI -
на материальную точку, запишется так：卄=徴
尸=P = mg,(8.1) I
или в проекциях на оси координат
尸н = 0,尸v = 0,Fz = —mg. (8 ⑵
Рис.
Основной закон динамики примет вид
Fx = тах = 0,尸g』/nag = 0,尸z = /n& = —mg.(8.3)
Следовательно, проекции ускорения
& = 0, ау 0,& = —g・(8・4)
Теперь уже нетрудно найти и закон движения. Вдоль оси абсцисс точка движется без ускорения, т. е. равномерно. В этом случае скорость точки остается постоянной, а ее координата —— линейной функцией времени (см. § 1.4):
(8-5)(8-5)(8.6)(8.6)v^ = u0 = const,元=/+〃0九
(8-5)
(8-5)
(8.6)
(8.6)
Аналогично для оси ординат
% = % = const,9 = % + %/•
Наконец, вдоль оси апл и кат тело движется с постоянным ускорением* Тогда (см. §§ 4.3—4.6) ее скорость является линейной функцией времени, а координата ——квадратичной функцией времени:
(8.7)聞(8.7)聞v2 = v0 + azt = v0—gt, .,.% 伊g/2
(8.7)
聞
(8.7)
聞
z=入+好 += Zo+%f2" *
3 В, М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1
Итак, закон движения найден. Он имеет вид
尤=х° + uoZ,
(8.8)(8.8)y = yS3
(8.8)
(8.8)
2 = 2° + ”2~ '
Мы получили в (8.8) перед.ускорением знак минус, а в (4.8) был знак плюс. Это связано с направлением оси апликат: в (4.8) уско
рение направлено вдоль оси апли-
Рис. 8,2.Рис. 8,2.кат, здесь же направление вектора ускорения противоположно.
Рис. 8,2.
Рис. 8,2.
В выражение для закона движения вошло шесть произвольных постоянных: начальные координаты х0,勿,2о и начальные скорости и», % %. Они определяют положение и скорость движения материальной точки в момент времени 方=0, принятый за начальный.
Система уравнений (8.5)—
(8.8) описывает все возможные случаи движения тела под действием силы тяжести. Чтобы получить какое-либо частное решение, необходимо указать конкретные
начальные условия.
Пусть тело брошено из начала координат со скоростью 匕 под углом а к горизонту, причем вектор начальной скорости лежит в плоскости хг (рис. 8.2). Тогда начальные условия примут вид
叫=0,以° = Vo cos а, % = Vo sin ос. (8.9)
Закон движения выглядит так:
у =0, x = VQt cos се, z = VQt sin а—~ .(8.10)
Покажем, что тело движется по параболе, лежащей в вертикальной плоскости %%• Действительно, из (8.10) следует: ^ = x/V0 cos а. Подставив в третье уравнение, получим
2 — Voxsincc g%?
Vo cos cc 2Уо cos2 a
ИЛИ
z = xtga——(8.11) cos3 a
А это и есть уравнение параболы в общем виде. Дальность полета получим, положив в (8.11) z = 0,尤=厶；тогда
L — 2吟 tg ОС cos2&L — 2吟 tg ОС cos2&gg吟 sin 2cc吟 sin 2ccgg(8.12)(8.12)
L — 2吟 tg ОС cos2&
L — 2吟 tg ОС cos2&
g
g
吟 sin 2cc
吟 sin 2cc
g
g
(8.12)
(8.12)
Наибольшая дальность полета достигается при бросании тела под углом а = 45° к горизонту: здесь sin 2a = sin 90° = 1.
Рекомендуем читателю самостоятельно получить выражения для частных случаев:
Тело, находясь на некоторой высоте Л над Землей, брошено горизонтально с начальной скоростью «0. Найти закон движения; траекторию; дальность полета.
Тело брошено вертикально вверх из начала координат с начальной скоростью v0- Найти закон движения; траекторию; макси^ мальную высоту подъема и время подъема.
Тело со скоростью V брошено под углом а к горизонту. Найти закон движения; траекторию.
§ 8.3. Численное решение основной задачи динамики
В предыдущем параграфе нам удалось весьма просто найти общий закон движения только потому, что на точку действовала постоянная сила. Если же на точку действует переменная сила, то общий закон движения можно найти только методами высшей математики. Однако частное решение при конкретных начальных условиях может быть всегда получено с помощью численных методов. При этом все решение сводится к совершенно элементарным, хотя и довольно длинным арифметическим действиям.
При расчете будем исходить из следующих соображений. Среднее ускорение в течение некоторого промежутка времени А£ = =/„ ——/„ -х определяется из соотношения (см. § 4.1)
Полагая (при малом Л/), что среднее ускорение мало отличается от мгновенного в конечный момент f = /门，имеем приближенно
vn^vn_^an\t.(8.13)
Для средней скорости vn получим аналогичную формулу:
風+(8.14)
где средняя скорость
Но по определению (см. § 1.6) средняя скорость
0冷一及一一%,
отсюда следует
% =马-1 +以 At(8.15)
Теперь мы имеем все необходимое для численного расчета закона движения. Действительно, пусть нам известны координата и
3*67
скорость точки в некоторый начальный момент; ускорение найдем с помощью основного закона динамики. По формуле (8.13) вычислим скорость спустя А/ секунд, а по формуле (8.15) — координату. Приняв эти новые скорости и координаты за исходные и воспользовавшись теми же формулами, мы сделаем еще один шаг, и т* д. Через конечное число шагов получим скорость и координату в нужный момент времени.
Естественно, чем меньше А/, тем точнее будет результат. Но это потребует увеличения числа выкладок.
Движение тела под действием упругой силы
В этом параграфе мы проиллюстрируем примеиеиие численного метода решения основной задачи механики на примере движения материальной точки под действием упругой силы.
Пусть на материальную точку действует упругая сила 尸=——kx (рис. 8.3). Тогда основное уравнение динамики примет вид
Рис. 8,3.Рис. 8,3.—kx = ma, (8.16) или в проекциях на оси координат—kx = max, 0 = ma^, 0=таг. (8.17) Положим, что 玖)=力=0 и 叫)=%=0; следовательно, материальная точка движется только по оси абсцисс с ускорением—kx = ma, (8.16) или в проекциях на оси координат—kx = max, 0 = ma^, 0=таг. (8.17) Положим, что 玖)=力=0 и 叫)=%=0; следовательно, материальная точка движется только по оси абсцисс с ускорениемах — а =—ах — а =—k mk m(8.18)(8.18)
Рис. 8,3.
Рис. 8,3.
—kx = ma, (8.16) или в проекциях на оси координат
—kx = max, 0 = ma^, 0=таг. (8.17) Положим, что 玖)=力=0 и 叫)=%=0; следовательно, материальная точка движется только по оси абсцисс с ускорением
—kx = ma, (8.16) или в проекциях на оси координат
—kx = max, 0 = ma^, 0=таг. (8.17) Положим, что 玖)=力=0 и 叫)=%=0; следовательно, материальная точка движется только по оси абсцисс с ускорением
ах — а =—
ах — а =—
k m
k m
(8.18)
(8.18)
Для численного решения задачи нужно задать какое-либо конкретное значение постоянной 色/zn, начальную координату х0 и начальную скорость и0. Пусть
А/m = 2,467 = л2/4;х0= 1,000; ио = О.(8.19)
Расчет будем вести, полагая Д/— 0,1 с.
Из (8.18) следует, что ускорение в течение первого промежутка времени приближенно равно。产一2,467』=—2,467.
Конечная скорость через Д/= 0,1 с
吟 °н =办十 а0Д/ = —2,467 • 0」=—0,2467.
Средняя скорость за этот промежуток времени
0,1234.0,1234._ v0 + ^OH 0-0,2467
0,1234.
0,1234.
% = —0— =a
Координата точки к концу промежутка
Х1 х0+v0 А/ = 1,000—0,1234 • 0,1 =0,988.
Аналогично вычисления могут быть продолжены далее (табл. 8.1).
Далее £ = 1 с производить вычисления не имеет смысла, ибо начиная с этого момента времени значения координаты х повторяются, но с противоположным знаком. Следовательно, при 2=2 с координата точки примет значение %=—1; при /= 3 с — значение х= 0. Наконец, при /= 4 с координата и скорость будут иметь те же значения, что и при /= 0.
График зависимости координаты точки от времени (рис. 8.4) очень напоминает график функции х== 4 cos(oZ, где w= Yklm. Здесь же изображен график 68
Таблица 8.1
*
a=
= —2,467 x
V
Вычисления
0,0
1,000
—2,467
—0,123
^o = 0
吟 °" = % + 仪0 削=—0,246
0,1
0,988
—2,437
—0,367
尤J.=凡 + %△/ = 1,000—0,012 = 0,988 工=« + агМ = —0,123—0,244 = —0,367
0,2
0,951
—2,347
—0,602
小=/ + 互揖=0,988—0,037 = 0,951
^ = В + 仰厶£ = —0,367—0,235 = —0,602
0,3
0,891
—2,199
—0,822
x3 f +RAf = 0,951 —0,060 = 0,891
口3 = ?z + <2зА/ = —0,602--0,220 — —0,822
0,4
0,809
— 1,996
-1,022
三=^з + 云△£ = 0,891—0,082 = 0,809
G =匈+口4八工=—0,822—0,200 = —1,022
0,5
0,707
— 1,743
— 1,196
受=54 +工△/ = 0,809—0,102 = 0,707
齿=勿十 a$Af = —1,022—0,174 — —1,196
0,6
0,587
— 1,450
-1,341
三=xb +^Af = 0,707—0,120 = 0,587 ve = уб + % А' = —1,196—0,145 = —1,341
0,7
0,453
—1,120
-1,453
#7 -- *6 + ?6厶『—0,587—0,134 = 0,453 旳=勿 + 出A/ = -1,341—0,112 = -1,453
0,8
0,308
—0,722
—1,525
% f + В А/ = 0 ,453—0,145 = 0,308 内=工 + а^М = —1,453—0,072 =—1,525
0,9
0,156
—0,380
—1,563
x9 f + @£ = 0,308—0」52 = 0,155
?9 =内+询削-—1,525—0,038 = -1,563
IQ
0,000
0,000
-1,563
% = %9 + UgAf = 0,156—0,156—0,000 v10 — u9+«ioA^ ~—1,563—0,000 = —1,563
1,1
—0,156
0,380
—1,525
尤и = /о + U[oAf = 0,000—0,156 = —0,156 _%] = ^ю+^цА/=—1*563+0,038=—1,525
1,2
—0,308
0,722
— 1,453
尤12 =尤 и + ицД^=—0,156—0,152=—0,308 e2=^11+/心力=-1,525+0,072=—1,453
мгновенной скорости точки, весьма похожий на график функции v= В sin mt. И в самом деле, точное решение этой задачи методами высшей математики приводит к следующему результату:
х = cos — /) V — sin ~ t.(8.20)
Выразив переменный угол сс— (л/2) / не в радианах, а в градусах, найдем по таблицам тригонометрических функций значения выражений (8.20) и сопоставим
Рис. 8.4.
их с результатами наших вычислений (табл. 8.2). При этом следует учесть, что формула (8.20) дает мгновенные значения скорости к началу каждого промежутка времени, мы же вычислили приближенное значение средней скорости в течение этого промежутка.
Таблица 8.2
力e
а=-^ / = 90°/
Теоретические данные
Расчетные данные
я , x = cas — f
»=--7siny £
X
1,0000
0,0000
1,000
—0,123
0,9877
—0,2457
0,988
—0,367
0,9511
—0,4854
0,951
—0,602
0,8910
—0,7131
0,891
—0,822
0,8090
—0,9233
0,809
—1,022
0,7071
—1,1107
0,707
—1,196
0,5878
—1,2708
0,587
—1,341
0,4540
—1,3996
0,453
—1,453
0,3090
— 1,4938
0,308
—1,525
0,1564
— 1,5515
0,156
—1,563
0,0000
—1,5708
0,000
— 1,563
—0,1564
—1,5515
—0,156
—1,525
Заметим, что фактически расчетные данные были получены путем деления промежутка времени на 100, а не на 10 частей, и в таблицу внесены округленные значения. Мы видим очень хорошее совпадение теоретических и расчетных данных для координат.
Движение, совершаемое материальной точкой под действием упругой силы, называется гармоническим колебанием. Подробно этот вид движения будет рассмотрен в гл. 49.
Величины, определяющие закон движенияматериальной точки
На примере задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, мы убедились, что для определения закона движения материальной точки необходимы следующие данные:
должна быть известна сила, действующая на тело; силу можно задать как функцию времени или координат;
должны быть известны начальные условия*, координаты и скорость точки в некоторый момент времени. (Вместо начальной скорости может быть задан начальный импульс р0 = mVa.)
Если эти величины известны, то всегда можно найти закон движения точки, т. е. выразить ее координаты в виде функций времени. А это в свою очередь позволяет предсказать поведение частицы в любой предшествующий или последующий момент времени.
Так, зная силы взаимодействия между Солнцем и планетами, а также координаты и скорости планет в некоторый момент времени (т. е. начальные условия), можно предсказать состояние их движения как в давно прошедшие времена, так и на будущее. В частности, можно предсказать такие явления, как солнечные или лунные затмения, великие противостояния Земли и Марса (т. е. моменты времени, когда расстояние между этими планетами становится минимальным) и т. п.
Зная скорость запуска космической ракеты и ее координаты в некоторый момент времени, а также силы, действующие на нее, можно рассчитать ее траекторию； определить, где она будет находиться в любой момент времени; предсказать время и координаты точки приземления.
Если окажется, что истинное движение материальной точки не совпадает с расчетным, то это означает, что либо неверно определены начальные условия, либо неверно задана сила. По степени расхождения расчетной и истинной траекторий обычно удается определить и величину допущенной ошибки. В качестве примера рассмотрим историю открытия планет Нептун и Плутон.
В 1781 г. английский астроном В. Гершель сконструировал огромный по тому времени телескоп и с его помощью обнаружил новую, седьмую планету, которую назвали Ураном. Учитывая действие на Уран Солнца и остальных планет солнечной системы, известных к тому времени (Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна), нашли закон его движения и определили его траекторию на небосводе. Расчетная траектория оказалась неверной — Уран двигался по другой кривой. Поскольку начальные условия были заданы верно, то единственно разумным являлось предположение, что учтены не все силы, действующие на Уран.
Французский ученый Леверье и английский ученый Адамс независимо друг от друга выдвинули предположение, что за Ураном должна находиться еще одна планета, которую никто еще не наблюдал. По отклонению расчетной траектории Урана от истинной
они смогли определить закон движения этой неизвестной планеты и предсказать, в какой точке небосвода ее можно найти в тот или иной момент времени. Опыт блестяще подтвердил их расчет: направив в эту точку небосвода телескоп, немецкий астроном Галле в 1846 г. действительно обнаружил там планету, названную впоследствии Нептуном.
В начале XX в. американский астроном Лоуэлл, учитывая результаты более точных наблюдений, пришел к выводу, что расхождения между расчетной траекторией Урана и истинным характером его движения нельзя объяснить только действием Нептуна, что за Нептуном есть еще одна, девятая планета. В 1930 г., уже после смерти Лоуэлла, в основанной им обсерватории астроном Томбо обнаружил эту планету, названную Плутоном.
Итак, на примере ряда задач ньютоновской механики мы убедились, что сила 〃 начальные условия полностью определяют закон движения материальной точки.
Дальнейшее развитие науки показало, что в микромире невозможно такое задание начальных условий, какое применяется в ньютоновской механике (см. гл. 14).
ГЛАВА 9
ТЯГОТЕНИЕ
Открытие закона тяготения
К началу XVII столетия большинство ученых окончательно убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира. Согласно этой системе, предложенной Николаем Коперником, Земля и все остальные планеты движутся вокруг Солнца, которое является центром нашей планетной системы. Однако ученым того времени не были ясны ни законы движения планет, ни причины, определяющие характер их движения.
Иоганн Кеплер, обработав результаты многочисленных наблюдений, проведенных Тихо браге и им самим, получил законы движения планет вокруг Солнца. Ему было ясно, что для объяснения этих законов нужно найти силы, которые действуют на планеты. Однако ни ему, ни его современникам это не удалось сделать. Задача была решена гениальным английским ученым Исааком Ньютоном и изложена в его книге «Математические начала натуральной философии» (натуральной философией в то время называли физику), вышедшей в 1686 г.
В первом приближении можно считать, что планеты движутся почти равномерно по орбитам, которые мало отличаются от окружностей. Но при движении материальной точки по окружности имеется нормальное (центростремительное) ускорение, направленное к центру орбиты, где находится Солнце. Из основного закона динамики следует, что это ускорение вызывается некоторой силой. Итак,
Сонние действует на каждую планету с некоторой силой, направленной к его центру (рис. 9.1). Из третьего закона Ньютона следует, что и планета действует на Солнце с такой же силой, но направленной в противоположную сторону.
Известно, что Луна вращается вокруг Земли. Очевидно, что
:Луна притяги-:Луна притяги-ниминимисилы притяжения действуют также и между вается к Земле, а Земля —— к Луне.
:Луна притяги-
:Луна притяги-
ними
ними
Ньютон выдвинул решающее предположение, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, и сила, с которой Земля притягивает Луну, имеют совершенно одинаковое происхождение. Для этой цели он сравнил ускорение свободного падения и нормальное ускорение, с которым Луна движется на своей орбите.
Это ускорение можно рассчитать из таких соображений. Расстояние от Земли до Луны г = 384 403 км = 3,84-108 м;
период обращения 7 = 27,322 суток = 27,3• 24• 3600 с. Орбитальная скорость 〃 = 2лт77\ а нормальное ускорение
№=4№r= 4n2.з,84・108in-з м/р2 zo п
°г —「2 —(27,3・24・3600)2 —2'7 2・1UМ/С.(У」)
Как мы видим, нормальное ускорение Луны и ускорение свободного падения резко отличаются друг от друга по величине. Однако Ньютон объяснил расхождение между этими величинами, выдвинув предположение, что сила тяготения убывает с увеличением расстояния между взаимодействующими
Рис. 9 2.Рис. 9 2.телами по некоторому закону, который мы сейчас найдем. Действительно, ускорение свободного падения равно 9,81 м/с2 вблизи поверхности Земли, т. е. когда расстояние от притягиваемого тела до центра Земли равно ее среднему радиусу (R = 6371 км — 6,37- 10е м); нормальное же ускорение Луны получено для точки на ее орбите, когда расстояние между взаимодействующими телами равно радиусу лунной орбиты г = 3,84-108 м (рис. 9.2). Составив пропорцию
Рис. 9 2.
Рис. 9 2.
(9-2)
можно определить степени. Подставивможно определить степени. Подставивнеизвестный показатель
можно определить степени. Подставив
можно определить степени. Подставив
значения расстояний и ускорений, получим
9,81_ /3,84-108у
2,72・10-з =(6,37 • 106 丿
или 3600 — 60”，откуда 言=2.
Итак, ускорение, вызванное силой тяготения, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния: из (9.2) при п = 2 сле
дует, чтодует, чтоgR 招=КgR 招=К(9.3)(9.3)
дует, что
дует, что
gR 招=К
gR 招=К
(9.3)
(9.3)
где К — некоторая постоянная величина.
. Закон тяготения Ньютона
Результаты, полученные Ньютоном при анализе нормального ускорения, возникающего при движении Луны вокруг Земли, привели его к выводу, что все тела в природе притягиваются друг к другу с некоторой силой, называемой силой тяготения, причем ускорение, вызванное этой силой, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между взаимодействующими телами.
Пусть два тела с массами тх и т2 расположены на расстоянии г друг от друга. Они взаимодействуют с силами F、= т^ и F2 = т2а2» причем по третьему закону Ньютона Ft = F2. Учитывая (9.3), имеем
也勺=吆检(9 4)
Это равенство будет справедливо, если положить Ki ~ут2 и ^2 = =丫加卜 где у —— некоторая постоянная величина. Тогда
Итак,
(9-5)
Закон тяготения формулируется следующим образом:
Сила тяготения между двумя точечными массами (материальными точками) пропорционалъна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Изложенные выше соображения никоим образом нельзя рассматривать как вывод закона тяготения. Они могут служить лишь иллюстрацией к рассуждениям Ньютона.
Для опытной проверки этого закона необходимо уметь находить силу тяготения не только между материальными точками, но и между телами конечных размеров. В общем случае эта задача представляет огромные математические трудности, и решить ее элементарными методами невозможно. Точный расчет показывает, что формулой (9.5) можно пользоваться и для расчета силы взаимодействия между однородными шарами с массами тх и 加纟,понимая под г расстояние между центрами шаров.
Коэффициент у, входящий в закон тяготения, называется гравитационной постоянной. Она численно равна силе, с которой
взаимодействуют частицы с единичной массой, расположенные на единичном расстоянии друг от друга.
В Международной системе единиц гравитационная постоянная численно равна силе, с которой взаимодействуют две частицы с массами 加1 =加2 = 1 кг, расположенные друг от друга на расстоянии 尸=1 м. Эта величина может быть определена только опытным путем.
9.3. Опыт Кавендиша
В 1798 г. Кавендиш поставил опыт, позволивший измерить силу тяготения в лабораторных условиях и тем самым определить гравитационную постоянную. В качестве экспериментальной установки
Рис. 9.3.Рис. 9.3.использовались крутильные весы, принцип устройства которых ясен из рис. 9.3.
Рис. 9.3.
Рис. 9.3.
На тонкой кварцевой нити подвешен легкий стержень, а на нити жестко закреплено небольшое зеркальце. Луч света, падая на' зеркальце, отражается от него и попадает на шкалу. При повороте стержня отраженный луч перемещается по шкале, регистрируя тем самым угол закручивания нити. На концах стержня укреплены два свинцовых шарика с массами т
угол до тех пор, пока сила гравитаци- взаимодей- расстояниеугол до тех пор, пока сила гравитаци- взаимодей- расстояниекаждый. К ним подносят два симметрично расположенных свинцовых шара с массами М. При этом нить закручивается на некоторый упругости деформированной нити не уравновесит силу
угол до тех пор, пока сила гравитаци- взаимодей- расстояние
угол до тех пор, пока сила гравитаци- взаимодей- расстояние
онного взаимодействия между шарами. Измерив силу ствия по углу закручивания нити, зная массы шаров и
между их центрами, можно определить гравитационную постоянную.
Наиболее точные измерения, проведенные по усовершенствованной методике, дали следующий результат:
Y = (6,670 ± 0,006)・ 10 7 Н-м2/кга.
§ 9・4・ Определение расстояний от Солнца до планет
Применим закон тяготения для вычисления расстояний от Солнца до планет. При этом для простоты рассуждений положим, что планеты движутся по круговым орбитам. Это мало скажется на точности результатов расчета, ибо истинные траектории планет мало отличаются от окружностей.
Сила тяготения, действующая со стороны Солнца на планеты, сообщает им нормальное ускорение:(1^ = Rm =、М1 尸* А так как
an == v2/r — WrlT2, toan == v2/r — WrlT2, to4л2гуз，4л2гуз，(9.6)(9.6)
an == v2/r — WrlT2, to
an == v2/r — WrlT2, to
4л2г
уз，
4л2г
уз，
(9.6)
(9.6)
где M ——масса Солнца, г ——радиус орбиты, Т — период обращения планеты вокруг Солнца. Отсюда
(9.7)(9.7)г3 уМ .
(9.7)
(9.7)
Итак, кубы средних расстояний от планет до Солнца пропорций- налъны квадратам периодов обращений планет вокруг Солнца (третий закон Кеплера).
Поскольку периоды обращения планет могут быть измерены весьма точно, то для определения расстояний до всех планет достаточно измерить расстояние от Солнца до одной какой-либо планеты. В качестве такого эталона принято расстояние от Сюлнца до Земли, которое называется астрономической единицей длины. Оно равно 149,5-109 м.
В 1960—1962 гг. советские ученые с помощью мощного радиолокатора измерили расстояние от Земли до Венеры, Что позволило уточнить величину астрономической единицы и тем самым ——расстояния до всех планет солнечной системы. Отличное совпадение результатов астрономических и радиолокационных измерений является хорошим доказательством справедливости закона тяготения Ньютона.
Поле тяготения
В современной физике механизм гравитационного взаимодействия представляется следующим образом. Каждое тело массой М. создает вокруг себя поле； если же в некоторую точку этого поля поместить пробное тело массой т, то поле действует на пробную массу с некоторой силой 尸，зависящей от свойств поля в этой точке и от величины массы пробного тела. Естественно, что пробное тело создает вокруг себя свое поле, которое в свою очередь действует на тело с массой М.
Свободное от вещества пространство обладает рядом геометрических и физических свойств. Так, кратчайшим расстоянием между двумя точками является прямая линия; ход времени во всех точках пространства один и тот же; лучи света представляют собой прямые линии и т. п.
Согласно Эйнштейну, тело массой М, внесенное в некоторую область пространства, изменяет свойства последнего. В частности, кратчайшим расстоянием между двумя точками будет уже не прямая, а некоторая кривая, форма которой зависит от массы тела и от расстояния между телом и исследуемыми точками пространства. Свет по-прежнему распространяется по кратчайшему расстоянию между двумя точками, но теперь уже световые лучи искривляются. Соответственно и время вблизи массивных тел замедляется.
Таким образом, гравитационное поле характеризует изменение физических и геометрических свойств пространства вблизи массивных тел (см. §§ 24.5 и 24.6).
Гравитационное поле материально. Оно существует независимо от нашего сознания и может быть обнаружено по его воздействию на физические объекты, например на измерительные приборы. Гравитационное поле является одним из видов материи.
Напряженность поля тяготения
Для количественной характеристики поля тяготения вводится физическая величина, называемая напряженностью гравитационного поля G. Напряженность поля численно равна отношению силы тяготения, действующей на пробное тело, к массе этого тела:
0 = 4- 0-8)
Воспользовавшись законом тяготения (9.5) и положив в нем тr ™ m,加2=т，имеем
6 =学・ (9.9)
Мы видим, что напряженность поля тяготения определяется массой тела, создающего поле (источником поля), и расстоянием от этого тела до интересующей нас точки поля. Она не зависит от массы пробного тела, помещаемого в эту точку.
Очевидно, что по своему физическому смыслу напряженность гравитационного поля совпадает с ускорением пробного тела. Поскольку напряженность поля не зависит от массы пробного тела, то все тела, независимо от их массы, движутся в данной точке гравитационного поля с одинаковым ускорением. В частности, именно поэтому все тела падают в поле силы тяжести с одинаковым ускорением g (см. § 6.2).
Напряженность поля является вектором, направленным в ту же сторону, что и сила тяготения. Если радиус-вектор г направить от источника поля М к исследуемой точке поля, то вектор напряженности направлен всегда противоположно радиусу-вектору. Чтобы показать это, формулу (9.9) следует писать со знаком минус:
G—Y* (9.10)
Поле тяготения Земли
Если бы Земля не вращалась вокруг свой оси, то сила тяжести совпала бы по величине и направлению с силой тяготения. При этом ускорение свободного падения совпало бы с напряженностью поля тяготения Земли.
По мере удаления тела от поверхности Земли сила тяжести и ускорение свободного падения уменьшаются. Тело, расположенное на уровне моря, притягивается к Земле с силой
P° = mgo = Y 饗，(9.П)
где М х R — масса и радиус Земли, tn — масса тела, g0— ускорение свободного падения на уровне моря. Тело же, поднятое на высоту h над уровнем моря, притягивается к Земле с силой
尸=mg = у 依+守,(9.12)
Отсюда следует, что сила тяжести и ускорение свободного падения меняются с высотой в одинаковой степени.
На небольших высотах, много меньших радиуса Земли, можно этими изменениями пренебречь и считать силу тяжести и ускорение свободного падения постоянными величинами. Действительно, поскольку средний радиус Земли R = 6371 км, то даже на высоте в несколько сот километров над уровнем моря только очень чувствительные приборы могут обнаружить изменение величин силы тяжести и ускорения. Пусть А = 300 км, тогда
君=(嶽
что отличается от единицы на 4,5%. А при 力=30 км 决瑞儲У = °，9957,
что отличается от единицы на 0,43%.
Зная ускорение силы тяжести и гравитационную постоянную, можно определить массу Земли. Действительно, из (9.11)
60 R2，
откуда масса Земли
м =竿=2'諳3仁卷=5,97• 1024 кг. (9.13)
Аналогично можно рассчитать и массу Солнца. Зная, что радиус земной орбиты Аз = 149,5-109 м, а период обращения Земли вокруг Солнца Т = 1 год = 31,56-106 с, можно найти нормальное ускорение Земли:
4я27?ч
аз = Т2 — = 5,9 •м/с2.
По аналогии с (9.13) имеем
м「等1=5”記閣.Wwmw кг.
Итак, масса Солнца в 330 000 раз больше массы Земли.
Зная массу Земли и ее радиус, можно определить ее среднюю ПЛОТНОС1'Ь：
М ЗМ 5,97・ 1024.3
Рср = F = 4冗个=Ъх・б,3河 1。店=5,5 JO- кг/м.
Поскольку каменные породы, из которых состоит поверхностный слой Земли, имеют примерно вдвое меньшую плотность, то очевидно, что внутри Земли имеется ядро, плотность которого примерно вдвое больше ее средней плотности. А это значит, что ядро Земли состоит в основном из металлов типа железа, меди и т. п.
По гипотезе академика О. Ю. Шмидта Земля образовалась из метеорного облака. Метеориты, сталкиваясь друг с другом, разогревались; кроме того, разогрев вызывался теплотой, которая выделялась при распаде радиоактивных веществ. В результате земной шар приобрел пластичные свойства. Бол ее плотные вещества, как металлы, притянулись к центру Земли и образовали ее ядро; менее плотные вещества всплыли на поверхность и образовали каменную оболочку Земли — литосферу.
Одна ко в литосфере нередко встречаются массивные залежи более плотных веществ ——металлических руд. Вблизи этих залежей ускорение силы тяжести больше, чем в областях, состоящих только из каменистых пород. Таким образом, точные измерения ускорения силы тяжести помогают геологам обнаружить рудные залежн. Этот метод, называемый гравиметрической разведкой^ широко применяется на практике.
Влияние вращения Земли на ускорениесвободного падения
В предыдущем параграфе выведена зависимость ускорения свободного падения от высоты поднятия тела над уровнем моря.
Рис. 9.4.Рис. 9.4.Однако при этом мы не учли, что на эту величину влияет еще и суточное вращение Земли.
Рис. 9.4.
Рис. 9.4.
Пусть тело с массой tn расположено в точке Л на географической широте ф (рис. 9.4). Поскольку это тело участвует в суточном вращении Земли, то оно движется по окружности радиуса АК =厂= н R cos ср, где R — радиус Земли. Во всяком криволинейном движении есть нормальное ускорение
D2 — 4几2r cos ф
где Т ——период вращения Земли.
Чтобы найти силу, вызывающую нормальное ускорение, разложим силу тяготения /\яг на две компоненты: центростремительну ю силу Fn и силу тяжести Р. Из рис. 9.4 видно, что сила тяжести повсюду, кроме полюсов, меньше силы тяготения. Кроме того, повсюду, кроме экватора и полюсов, сила тяжести направлена не к центру Земли, а несколько в сторону.
За счет того, что сила тяжести на полюсах несколько больше, чем на экваторе, земной шар немного сплюснут: его полярный радиус равен 6356,9 км, а экваториальный — 6378,4 км.
Ускорение свободного падения на полюсе имеет максимальное значение. Действительно, здесь нормальное ускорение равно нулю, а полярный радиус имеет минимальные размеры. Следовательно,
ьпол ——々2 •
«пол
Ускорение свободного падения тела на экваторе есть разность между напряженностью поля тяготения и нормальным ускорением:
Точные измерения дают
^пол^ 9,83210 м/с2,统кв = 9,78038 м伫
На широте 45° ускорение свободного падения тела g = = 9,80620 м/с2.
При приближенных расчетах полагают g = 9,81 м/с2.
ГЛАВА 10
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ
§ ЮЛ. Электрический заряд
Помимо гравитации, в природе существует особый класс электрома^нитных взаимодействий. Простейшим примером электрического взаимодействия является притяжение или отталкивание
наэлектризованных тел.
С явлением электризации тел позволяет ознакомиться следую
щий эксперим^т. Два стержня из пластмассы установлены на иг
лах и могут свободно поворачиваться (рис. 10.1). На одном стержне укреплена хорошо отшлифованная метал - лическая пластинка, на другом — пластинка из плексигласа, также хорошо отшлифованная. Снимем стержни с игл и приведем пластинки в соприкосновение. Если вновь поставить стержни на иглы и отпустить, то пластинки притянутся друг к другу. Эта сила, естественно, не является гравитационной, ибо масса тел до и после контакта остается неизменной,
а гравитационные силы зависят только от масс тел и расстояния между ними. Следовательно, в данном
эксперименте мы встречаемся с новым классом сил, которые называются электрическими.
Физическая величина, характеризующая свойство тел вступать при определенных условиях в электрические взаимодействия и определяющая величину электрических сил, называется электрическим зарядом. Явление, сопровождающееся перераспределением зарядов на телах, называется электризацией.
Электризация тел при соприкосновении иногда называется еще электризацией вследствие трения, что по существу неверно. Трение здесь не играет принципиальной роли, оно лишь улучшает контакт между соприкасающимися телами и тем самым способствует их электризации.
При всех явлениях, связанных с перераспределением электрических зарядов в изолированной системе взаимодействующих тел, алгебраическая сумма электрических зарядов сохраняется постоянной. Этот закон сохранения электрических зарядов является таким же основным законом физики, как и другие законы сохранения, которые будут рассмотрены дальше (см. гл. 15).
Закон Кулона
Опыт показывает, что сила электрического взаимодействия довольно сложным образом зависит от формы наэлектризованных тел и характера распределения заряда на этих телах. Следовательно, не существует единой простой формулы, описывающей электрическое взаимодействие для любого произвольного случая. И только для точечных зарядов закон взаимодействия записывается в достаточно простой форме.
Заметим, что понятие точечного заряда является удобной абстракцией, аналогично понятию материальной точки (см. § 1,1). Точечным называется заряд, распределенный на теле, размеры которого значительно меньше, нем любые расстояния, встречающиеся в данной задаче.
Воспользовавшись крутильными весами (см. § 9.3), Кулон в 1785 г. смог опытным путем найти закон взаимодействия точечных зарядов. Крутильные весы Кулона (рис. 10.2) имели легкое стеклянное коромысло, которое заканчивалось с одной стороны металлическим шариком. До этого шарика Кулон дотрагивался наэлектризованным стержнем, тоже стариком на конце. При этом заряд распределялся между шариками и они отталкивались друг от друга. Коромысло закручивало нить до тех пор, пока сила упругости не уравновешивала силу электрического взаимодействия. Поворачивая рукоятку, можно было изменять угол закручивания нити, изменяя тем самым силу упругости и за счет этого расстояние между зарядами. Из ряда экспериментов Кулон нашел, что сила электри-
деского взаимодействия между зарядами изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.
В отличие от опыта Кавендиша, где массы взаимодействующих тел были известны, у Кулона не было метода для измерения величины заряда на шариках. Однако здесь оказалось возможным применить следующий прием. К наэлектризованному шарику прикасались незаряженным шариком одинакового с ним размера, который потом уносили далеко от прибора. Поскольку при этом заряд распределялся поровну между обоими соприкоснувшимися телами, заряд пробного шарика уменьшался вдвое. Оказалось, что ровно во столько же раз уменьшалась и сила электрического взаимодействия.
Повторяя эту операцию несколько раз, Кулон пришел к выводу, что сила электрического взаимодействия пропорциональна произведению зарядов взаимодействующих тел.
Опыты Кулона были не очень тотны, поскольку шарики были слишком велики и сила измерялась со значительной погрешностью. Наконец, опыты производились в воздухе, что хотя и незначительно, но все же влияло на результаты эксперимента. Тем не менее Кулону удалось сформулировать закон, который в дальнейшем блестяще подтвердился всей совокупностью электрических явлений: сила в^имодействия между двумя точечными зарядами в вакууме прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними,
尸=无警. (10.1)
Здесь F —— сила взаимодействия, q】н q^ —— заряды, г —— расстояние между ними, k ——коэ4)фициент пропорциональности, зависящий от системы единиц, которой пользуются при расчетах.
Кулоновская сила, как и любая другая сила (например, гравитационная), подчиняется третьему закону Ньютона: силы взаимодействия между зарядами равны по величине и направлены противоположно друг другу вдоль прямой, соединяющей эти заряды.
Опыт показывает, что одноименные электрические заряды отталкиваются друг от друга, а разноименные — притягиваются. Этим 82
кулоновские силы принципиально отличаются от фавитационных, которые всегда являются силами притяжения.
Сила отталкивания, действующая на данняй заряд, направлена в ту же сторону, что и радиус-вектор, проведенный к этому заряду; сила притяжения имеет противоположное направление (рис. 10.3). Поэтому целесообразно приписать этим силам соответствующие знаки: силам отталкивания ——положительный, силам притяжения —отрицательный.
Закон Кулона учитывает знак сил автоматически: если заряды одноименные, то их произведение является положительным числом и сила отталкивания имеет тот же знак. Если же заряды имеют разные знаки, то их произведение является отрицательным числом, что соответствует знаку силы притяжения.
(10.2)(10.2)Заметим, что, согласно условию о знаке сил, выражение для закона тяготения следует писать со знаком минус:
(10.2)
(10.2)
尸=一Y产，
так как массы всегда имеют положительный знак, а между ними действует отрицательная сила — сила притяжения.
Единицы заряда м системы единиц
Наиболее простой вид закон Кулона примет, если положить коэффициент пропорциональности равным единице; в этом случае (при % = % =，)2
*.(10.3)
Но положив 后=1, мы тем самым уже определили и единицу измерения электрического заряда, ибо единицы измерения силы и расстояния заданы. Так определяется единица измерения заряда в абсолютной электростатической системе единиц (системе СГС):
Абсолютной электростатической единицей заряда является точечный заряд, который взаимодействует в вакууме с равным ему зарядом, расположенным на расстоянии 1 см, с силой в 1 дину.
В Международной системе (СИ) единицей заряда служит кулон:
1 Кл = 3-109 абс. электростат, единиц.
Два точечных заряда по 1 кулону, расположенные на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют в вакууме с силой
尸=喘器=9.а дин = 9.10=Н.
Поскольку коэффициент k в законе Кулона (аналогично гравитационной постоянной в законе тяготения) численно равен силе, с которой два единичных заряда взаимодействуют на единичном расстоянии, то
А-9-109 Н・м2/К*
В системе СИ закон Кулона принято писать в виде
(Ю.4)(Ю.4)91,24леог2
(Ю.4)
(Ю.4)
Величина % называется электрической постоянной. Сравнивая (10.1) и (10.4), получим
% =磊= ^1ё5 Kл^/(H.м^) =8,85-10-» Кп2/(НМ).
За единицу измерения электрического заряда естественно было бы выбрать заряд, электрона. В этом случае заряд любого другого тела выражался бы целым числом, показывающим, сколько электронов это тело приобрело (или потеряло) при электризации. Однако, поскольку единица заряда уже выбрана, заряд электрона был определен опытным путем. Оказалось, что заряд электрона (элементарный заряд е) равен
е = 1,6-10~19 Кл = 4,8-10-10 абс. электростат, единиц. Отсюда
1 Кл-6,25.1018е.
Сравним силу гравитационного и электрического взаимодействия между двумя электронами. Имеем
к^~ 4ЛЕоГ2» &рав—厂2，
где т — 9-10-31 кг — масса покоя электрона;
• 1,6а-10-38.36.10»_ р
戸грав 一 4兀£qY卢—4n・6,67 • 10-11 • 92.10-62 一 ％丄и .
Таким образом, при рассмотрении явлений, протекающих в электрически заряженных системах, и в частности в мире молекул, атомов и атомных ядер, можно полностью пренебречь гравитационными силами по сравнению с электрическими. И только для космических тел (планет, звезд), обладающих огромными массами, гравитационные силы начинают играть преобладающую роль.
Диполь
Диполем называется электрическая система, состоящая из двух зарядов q, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку (рис. 10.4). Электрической характеристикой диполя является вектор
р『ql. (10.5)
Он называется электрическим моментом диполя. Вектор I считается направленным от отрицательного к положительному заряду. Модуль |Z| = / называется плечом диполя. Вектор ре направлен в ту же сторону, что и вектор /.
Поскольку диполь представляет собой электрически нейтральную систему, то на первый взгляд может показаться, что диполи неспособны к электрическому взаимодействию. Однако такой вывод является слишком поспешным. Диполи взаимодействуют, и это вызвано тем фактом, что заряды, образующие диполь, расположены в разных точках пространства.
Рассмотрим случай взаимодействия двух одинаковых диполей, расположенных вдоль одной оси. Расстояние между центрами диполей обозначим г; пусть это расстояние много больше плеча диполя:(рис. 10.5).
?中 A W，Рис. 10.4.?中 A W，Рис. 10.4.
?中 A W，
Рис. 10.4.
?中 A W，
Рис. 10.4.
Сила взаимодействия складывается из четырех компонент —— двух сил отталкивания между одноименными зарядами и двух сил притяжения между разноименными зарядами:
г — (— g)・(一g) I (+ g)・(+ g)一4леола 十 4л2/2г — (— g)・(一g) I (+ g)・(+ g)一4леола 十 4л2/2(—g)* (+ g)丄(—q)“(+ g) 4ле0 (r — /)2 * 4冗瓦(г 十 С)* ——4r£q [_г2 (г — /)3(—g)* (+ g)丄(—q)“(+ g) 4ле0 (r — /)2 * 4冗瓦(г 十 С)* ——4r£q [_г2 (г — /)3
г — (— g)・(一g) I (+ g)・(+ g)一4леола 十 4л2/2
г — (— g)・(一g) I (+ g)・(+ g)一4леола 十 4л2/2
(—g)* (+ g)丄(—q)“(+ g) 4ле0 (r — /)2 * 4冗瓦(г 十 С)* —
—4r£q [_г2 (г — /)3
(—g)* (+ g)丄(—q)“(+ g) 4ле0 (r — /)2 * 4冗瓦(г 十 С)* —
—4r£q [_г2 (г — /)3
После несложных преобразований получим
6沪2产一0/3）
否或"・ Г2（戸一/）2 ■
Обозначив ql =卩金 и отбрасывая /2, как очень малую величину по
сравнению с 户，имеем
(10.6)
Нетрудно обобщить это выражение для случая взаимодействия диполей с разными электрическими дипольными моментамир1е и рге.
(Ю.7)(Ю.7)р 6pigp2g
(Ю.7)
(Ю.7)
一 4^8qT4 .
Итак, если дипольные моменты двух диполей расположены вдоль одной прямой и одинаково направлены, то они притягиваются, причем сила притяжения пропорциональна произведению электрических моментов диполей и обратно пропорциональна четвертой степени расстояния между ними. Следовательно, дипольное взаимодействие убывает с расстоянием значительно быстрее, чем взаимодействие между точечными зарядами.
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что диполи, моменты которых расположены вдоль одной прямой и
направлены в противоположные стороны, отталкиваются с такой же по величине силой.
2矿4ле0г22矿4ле0г22g2 cos a4ле07?22g2 cos a4ле07?2Вычислим силу взаимодействия между диполями, ориентированными так, как это показано на рис. 10.6. Равнодействующая сила
2矿4ле0г2
2矿4ле0г2
2g2 cos a4ле07?2
2g2 cos a4ле07?2
尸П尸1 + 尸2 -尸3 cos a —尸4 cos a =
Учитывая, что cos a = /7R и R^ —尸？ = /* получим после несложных преобразований:
户_2汽2(戸+rr+r2)
一 4Пe"耍3(r +r)・
Полагая, как и выше, что /«г, следовательно, R^r, имеем
(106)(106)尸,_ 2д2/2・3「2 — 3滋 —F_
(106)
(106)
—4ле0-2ге — 4ле0г4 — ~2~ *
Читатель легко убедится, что при антипараллельной ориентации дипольных моментов возникнет такая же по величине сила притяжения.
Сравнивая выражения (10.6) и (10.6'), мы убеждаемся, что, в отличие от центральных сил (гравитационных и кулоновских),
Рис. 10.6.Рис. 10.6.
Рис. 10.6.
Рис. 10.6.
величина которых зависит только от расстояния между взаимодействующими телами, сила взаимодействия между диполями зависит не только от расстояния между ними, но и от их взаимной ориентации. Аналогичными свойствами обладают ядерные силы (см. § 80.5).
Дипольное взаимодействие играет исключительно важную роль в физике. Оказывается, что всякая система, состоящая из асимметрично расположенных зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю, может в первом приближении рассматриваться как диполь. Это позволяет объяснить один из видов молекулярного взаимодействия——так называемые силы Ван-дер-Ваальса (см. § 31.3).
Электрическое поле. Напряженность
Аналогично тому, как было введено понятие о поле тяготения (см. §9.5), введем понятие об электрическом поле. А именно, будем считать, что электрическое взаимодействие осуществляется по схеме «заряд ——поле ——заряд»: каждый заряд создает вокруг себя электрическое поле, которое действует на все остальные заряженные частицы.
Электрические поле является одним из видов материи. Оно существует независимо от нашего сознания и может быть обнаружено по его воздействию на физические объекты, например на измерительные приборы.
Силовой количественной характеристикой электрического поля является векторная величина, называемая напряженностью электрического поля Е
E = F[q, (10.8)
Напряженность поля численно равна отношению силы, действующей в данной точке поля на пробный положительный точечный заряд % к величине этого заряда. Пробный заряд должен быть столь малым, чтобы его поле не искажало исследуемого поля.
Поле точечного заряда и диполя
Выражение для напряженности поля точечного заряда можно получить из закона Кулона. Обозначив заряд, создающий поле, буквой Q, а пробный заряд через д, имеем
F = Qq/4n% 产，
ОТКУДЭ Е = (10.9) 4ле0г2 ' '
Заряд, создающий поле, мы поместим в начало координат. Проведем радиус-вектор в интересующую нас точку поля М. Тогда при положительном знаке источника поля вектор напряженности направлен в ту же сторону, что и радиус-вектор, а при отрицательном—в противоположную (рис. 10.7).
Заметим, что напряженность определяется источником поля Q и точкой поля ——радиусом-вектором г, но не зависит от пробного заряда д. Это позволяет говорить о поле в данной точке пространства независимо от того, находится ли в этой точке пробный заряд или нет.
Поле любого заряженного тела, вообще говоря, можно рассчитать, исходя из того, что напряженность ——вектор, а закон сложения векторов нам известен. Метод принципиально не сложен:
нужно разбить тело на столь малые участки, чтобы заряд этих участков можно было считать точечным, вычислить напряженность поля, создаваемого каждым точечным источником, а затем найти векторную сумму по правилу многоугольника.
треуголь- величинетреуголь- величинеВычислим, например, напряженность поля в центре правильного ника, если в его вершинах расположены равные по абсолютной
треуголь- величине
треуголь- величине
заряды ——два положительных и один отрицательный (рис 10 8). Векторы £\, £г> Ез равны по абсолютной величине, по формуле (10 9) имеем
1 — 4n%R2 — 4冗瓦@2，
поскольку R~a/ V"3 Складывая все три вектора по правилу многоугольника, получим равнобочную трапецию, большее основание которой и есть искомый вектор Е. Из рисунка видно, что
E = Eg + Ei sin 30° +Е3 sin 30° = 2^!=^^^
Кроме того, видно, что вектор Е направлен в ту же сторону, что и вектор £2.
Вычислим напряженность поля на оси диполя £ц и в точке на нормали к середине оси диполя Е丄(рнс. 10.9). При этом, как и в § 10.4, расстояние от точки поля до оси диполя значительно боль-
88
ше плеча диполя:『》/. Напряженность поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, созданных положительным и отрицательным зарядами. Так как Ег и 品 направлены по одной прямой, тоше плеча диполя:『》/. Напряженность поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, созданных положительным и отрицательным зарядами. Так как Ег и 品 направлены по одной прямой, то
ше плеча диполя:『》/. Напряженность поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, созданных положительным и отрицательным зарядами. Так как Ег и 品 направлены по одной прямой, то
ше плеча диполя:『》/. Напряженность поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, созданных положительным и отрицательным зарядами. Так как Ег и 品 направлены по одной прямой, то
Отбрасывая малую величину /?《/■纟 и полагая ql = p@, имеем
乱1=急，(1。・1。)
Напряженность поля в точке В равна векторной сумме напряженностей Ei" и Е^\ Из подобия треугольника напряженностей и треугольника расстояний (на рисунке заштрихованы) имеем
Из (10.9) fF，— qKmQRz', следовательно,
e丄=e丄=qiqi4ле07?34ле07?34 叫 R3 •4 叫 R3 •
e丄=
e丄=
qi
qi
4ле07?3
4ле07?3
4 叫 R3 •
4 叫 R3 •
При『》＞/ можно без особой погрешности положить, что R;^ 乙 Тогда
e丄=/d。•⑴
Итак, напряженность поля, создаваемого диполем, пропорциональна моменту диполя и обратно пропорциональна кубу расстояния от точки поля до центра диполя.
ГЛАВА 11
ТРЕНИЕ
Внешнее и внутреннее трение
Силой трения Т называется сила, возникающая при соприкосновении поверхностей двух тел и препятствующая их взаимному перемещению. Она приложена к телам вдоль поверхности их соприкосновения и направлена всегда противоположно относительной скорости перемещения.
Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение.
Внешним трением называется взаимодействие между поверхностями двух соприкасающихся твердых тел. Если эти тела неподвижны друг относительно друга, то говорят о трении покоят при отно-
89
сительном перемещении говорят о трении скольжения, или кинематическом трении.
В случае, когда одно из тел катится по поверхности другого без проскальзывания, возникает особый внд сопротивления, называемый трением качения.
Внутренним трением называется взаимодействие, возникающее между слоями жидкости или газа, движущимися друг относительно друга. В отличие от внешнего трения, здесь отсутствует трение покоя.
Трение покоя
Особенности внешнего трения могут быть изучены с помощью установки, изображенной на рис. 11.1. Брусок, лежащий на гладкой горизонтальной доске, с помощью динамометра крепится к нитке, которая наматывается на барабан, насаженный на ось электродвигателя. Динамометр служит для измерения силы тяги. Регулируя скорость вращения двигателя, можно менять силу тяги в нужных
Рис. 11.1.Рис. 11.1.
Рис. 11.1.
Рис. 11.1.
пределах. Опыт показывает, что до тех пор, пока сила тяги меньше некоторой величины FMHH, брусок с места не сдвигается. При большей же силе тяги он скачком срывается с места и затем, в зависимости от условий опыта, движется равномерно или ускоренно.
Отсутствие ускорения у бруска при наличии силь】 тяги можно объяснить только тем, что сила тяги уравновешивается силой трения.
Основной закон динамики имеет вид
(11.1)(11.1)戶+ Т ^та,
(11.1)
(11.1)
где 尸—— сила тяги, Т —— сила трения, m — масса бруска но — его ускорение.
При а = 0 брусок либо покоится, либо движется равномерно. Следовательно, здесь |尸| = |Т|, откуда следует, что для измерения силы трения покоя или силы трения скольжения достаточно измерить соответствующую этому состоянию силу тяги.
Сила трения покоя не является однозначно определенной величиной. В зависимости от приложенной силы тяги величина силы трения покоя меняется от нуля до FMHH ——того значения силы, когда брусок скачком начинает двигаться. Поэтому
TaGH^T^=-F^ (П.2)
Обычно силой трения покоя и называют максимальную силу трения.
Теория явления сухого трения еще недостаточно разработана, но в общих чертах механизм возникновения трения покоя выглядит так.
Поверхность твердого тела, даже хорошо отшлифованного, далеко не ровная. На ней имеются микровыступы, впадины, трещины; часто эта поверхность покрыта окислами, прилипшими слоями газа или жидкости, посто- 图麗眾黑調嗚黑叢噺 躋薦闕謬1xz喘； большом увеличении соприкасающиеся поверхности будут выгля-Рнс・ 11.2，
деть, например, как нарисовано на рис. 11.2). Естественно, что зацепление этих выступов будет препятствовать перемещению соприкасающихся тел друг относительно друга.
На ряде участков расстояние между соприкасающимися телами может оказаться порядка радиуса действия молекулярных сил. Это приведет к слипанию тел на данных участках, что также препятствует их относительному перемещению.
Внедрению микровыступов и частичному слипанию поверхностей способствует внешняя сила нормального давления Рп, прижимающая твердые тела друг к другу. Этой силой может служить сила тяжести или ее нормальная компонента (если тело лежит на наклонной плоскости), а также любая другая сила, перпендикулярная поверхности соприкосновения тел.
Сила тяги, меньшая максимальной силы трения покоя, вызывает в основном упругие деформации микровыступов и областей, где действуют силы молекулярного сцепления. Возникшая сила упругости и есть, по существу, сила трения покоя.
Изложенные соображения позволяют лишь качественно объяснить происхождение трения покоя, но они недостаточны для расчета величины силы трения. Для получения соответствующего закона обратимся к эксперименту.
Нагружая разными гирями брусок в установке, изображенной на рис. 11.1, будем менять силу нормального давления Рп (соответственно и равную ей силу реакции N = Рп). Измеряя каждый раз силу тяги, мы убедимся, что сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления'.
т 歌。= %°кМ(11.3)
Величина цпок называется коэффициентом трения покоя.
Меняя площадь бруска, например поворачивая его с основания на бок, мы заметим, что сила трения покоя не зависит от площади бруска. Разделим обе части равенства (11.3) на площадь бруска и
обозначим через x=T/S величину, называемую касательным напряжением-, поскольку р = Р/S есть давление, то полученный закон трения можно записать так:
^покС ~ Цпок Р* ( 1 L4)
Коэффициент трения покоя зависит от качества обработки поверхностей. У шлифованных поверхностей трение обычно меньше, чем у грубо обработанных поверхностей. Но это справедливо лишь до известных пределов. Именно, опыт показывает, что при очень тщательной шлифовке тела прилипают друг к другу, что вызывает резкое возрастание коэффициента трения. По-видимому, у грубо обработанных поверхностей основную роль в возникновении силы трения играют зацепления выступов, а при тщательной шлифовке —— молекулярное сцепление.
Сила трения покоя также зависит от того, сколько времени тела находятся в контакте друг с другом. При длительном контакте тел и значительной силе нормального давления происходят пластические деформации соприкасающихся поверхностей. Это способствует слипанию тел и приводит к росту силы трения покоя.
Угол трения
Для определения коэффициента трения удобно использовать установку, изображенную на рис. 11.3. Приподнимая осторожно наклонную плоскость, заметим, что при некотором угле ф0 брусок
Рис. 11.4.Рис. 11.4.скачком сдвигается с места и начинает скользить по плоскости.
Рис. 11.4.
Рис. 11.4.
В данном случае на брусок действуют три силы: сила тяжести Р, сила реакции ^ и сила трения Тпок. При отсутствии ускорений равнодействующая всех трех сил равна нулю, т. е. они образуют замкнутый треугольник (рис. 11.4). Поскольку сила тяжести направлена по вертикали, сила трения ——вдоль наклонной плоскости, а сила реакции перпендикулярна ей, то треугольник сил NPT^k является прямоугольным, а угол при его вершине равен ср0. Отсюда
следует, что 7110K = N tg <p0. Поскольку TaotL =卩 110KM то
tg% = Nn°K・ (1L5)
Измерения для разных материалов при различном качестве их обработки показывают, что коэффициент трения покоя меняется в весьма широких пределах 一 от нескольких сотых до единицы. При значительном же молекулярном сцеплении коэффициент трения может достичь значения 2——3.
Трение скольжения
Опыт показывает, что при равномерном движении бруска в установке, изображенной на рис. 11.1, к нему должна быть все время приложена сила тяги. Но равномерное движение является инерциальным; оно происходит само по себе, без воздействия внешних сил. Очевидно, что отсутствие ускорения у бруска при наличии силы тяги можно объяснить только тем, что сила тяги уравновешивается силой трения скольжения (кинематическим трением).
Исследовав величину силы трения скольжения при различных условиях, мы увидим, что она, как и сила трения покоя, зависит от нормального давления и качества обработки трущихся поверхностей. Она не зависит от площади их соприкосновения и мало зависит от скорости относительного движения трущихся тел. Это позволяет силу трения скольжения вычислять по формуле
Tck = nM (1L6)
где ц — коэффициент трения скольжения.
Если трение покоя вызывается в основном упругими деформациями микровыступов на поверхностях трущихся тел, то трение скольжения возникает в результате пластических деформаций микровыступов и их частичного разрушения. Действительно, различные микровыступы в состоянии покоя находятся под действием неодинаковых сил, да и прочность разных выступов различна. Под действием силы тяги некоторые из них сразу же разрушаются. При этом сила тяги сосредоточится на еще не разрушенных участках, которые уже не смогут выдержать возросшую нагрузку. В результате происходит лавинообразное разрушение микровыступов, и тело скачком срывается с места. Сила трения при этом убывает, ибо уменьшение зацепления и прилипания поверхностей содействует их взаимному проскальзыванию, в результате чего коэффициент трения скольжения ц меньше коэффициента трения поКОЯ Цпок*
Качественный анализ механизма трения скольжения показывает, что оно возникает в результате износа и нагрева трущихся поверхностей. Характер износа определяется состоянием трущихся поверхностей — степенью их шероховатости, твердости и т. п. Благодаря износу возможны некоторые виды обработки материалов —шлифовка и полировка.
Рис. 11.5.Рис. 11.5.заметно не отличается от силы трения у бруска, ибо она практически не зависит от площади соприкосновения трущихся тел. Если же скобки на оси отпустить, то диск станет катиться и сила трения резко уменьшится. Итак, сила трения качения значительно меньше силы.旗。。儿〃兄 скольжение.заметно не отличается от силы трения у бруска, ибо она практически не зависит от площади соприкосновения трущихся тел. Если же скобки на оси отпустить, то диск станет катиться и сила трения резко уменьшится. Итак, сила трения качения значительно меньше силы.旗。。儿〃兄 скольжение.2. Опыты показывают, что сила трения качения пропорциональна силе нормального давления и обратно пропорциональна радиусу цилиндра (или колеса):2. Опыты показывают, что сила трения качения пропорциональна силе нормального давления и обратно пропорциональна радиусу цилиндра (или колеса):
Рис. 11.5.
Рис. 11.5.
заметно не отличается от силы трения у бруска, ибо она практически не зависит от площади соприкосновения трущихся тел. Если же скобки на оси отпустить, то диск станет катиться и сила трения резко уменьшится. Итак, сила трения качения значительно меньше силы.旗。。儿〃兄 скольжение.
заметно не отличается от силы трения у бруска, ибо она практически не зависит от площади соприкосновения трущихся тел. Если же скобки на оси отпустить, то диск станет катиться и сила трения резко уменьшится. Итак, сила трения качения значительно меньше силы.旗。。儿〃兄 скольжение.
2. Опыты показывают, что сила трения качения пропорциональна силе нормального давления и обратно пропорциональна радиусу цилиндра (или колеса):
2. Опыты показывают, что сила трения качения пропорциональна силе нормального давления и обратно пропорциональна радиусу цилиндра (или колеса):
Износ и нагрев трущихся деталей механизмов и машин безусловно вреден; поэтому в технике принимают ряд мер для уменьшения трения. Для этой цели часто применяется смазка (см. § 11.7). Тре
ние скольжения заменяют также трением качения, устанавливая шариковые или роликовые подшипники (рис. 11.5).
Трение качения
1. Заменим в нашей экспериментальной установке скользящий брусок цилиндром, который может вращаться на оси (рис. 11.6). Если зажать скобки на оси так, чтобы цилиндр не вращался, то он будет скользить на поверхности доски. При этом сила трения
Ткач = А(1L7)
Здесь k ——коэффициент трения качения; он имеет размерность длины и в Международной системе единиц измеряется в метрах. Выражением (Ц.7) можно пользоваться только в том случае, когда диск не проскальзывает на поверхности.
Движение тел под действием силы трения
До сих пор мы рассматривали силу трения как некое препятствие для движения тела. Однако это далеко не всегда так. На самом деле именно наличие трения покоя дает возможность двигаться, скажем, человеку или автомобилю по земной поверхности, поезду или трамваю ——по рельсам и т. д. Действительно, при движении человека между подошвой его обуви и землей возникает сила трения покоя. Эта сила и вызывает его перемещение. Всем известно, как трудно ходить по льду, где сила трения покоя слишком мала.
Выясним роль силы трения при повороте велосипедиста на горизонтальном участке пути. Из опыта известно, что для поворота необходимо наклониться в соответствующую сторону, что вызовет автоматический поворот руля.
94
tga = ~^tga = ~^г ♦ mgrgг ♦ mgrg& Нпок*& Нпок*
tga = ~^
tga = ~^
г ♦ mgrg
г ♦ mgrg
& Нпок*
& Нпок*
Рассмотрим силы, действующие на велосипедиста при наклоне влево (рис. 11.7). Сила тяжести Р и сила реакции ^ действуют уже не по одной прямой. Под действием этих сил велосипедист начинает вращаться в вертикальной плоскости, что должно было бы вызвать проскальзывание колеса. При этом возникает сила трения по
коя Trok，направленная в ту сторону, куда наклонился велосипедист.
Поскольку сила трения перпендикулярна скорости, она сообщает велосипедисту нормальное ускорение ап = у2/г. Из основного закона динамики следует, что центростремительная сила равна силе трения покоя:
= Тпок ：^ Нпок ” mg
ИЛИ
Угол наклона велосипедиста (считая
от вертикали) можно найти из усло
вия, что равнодействующая силы реакции и силы трения долж， на быть направлена вдоль движущегося тела:
Велосипедист не должен отклоняться от вертикали больше чем на угол трения фо = arctg цпок. Для того чтобы создать возможность крутого поворота на больших скоростях, велосипедную дорожку (трек) профилируют, наклоняя ее на угол, соответствующий условию tg a^〃2/rg.
Внутреннее трение
Опыт показывает, что в движущихся жидкостях или газах возникают силы внутреннего трения. Наличие этих сил можно обнаружить с помощью установки, изображенной на рис. 11.8, На тонкой проволоке висит тяжелый цилиндр. В наружный цилиндрический сосуд, ось которого совпадает с подвесом, наливается некоторая жидкость. Если наружный цилиндр привести во вращение, то внутренний цилиндр повернется на некоторый угол. Следовательно, вращающаяся жидкость действует на поверхность внутреннего цилиндра с силой, которая уравновешивается упругостью закрученной нити. Эта сила зависит от расстояния между наружным и внутренним цилиндрами, от скорости вращения наружного цилиндра, рода жидкости и ее температуры.
Явление внутреннего трения описывается следующим образом. Пусть между двумя плоскостями находится слой жидкости; верхняя плоскость движется относительно нижней со скоростью и
Рис. 11.8.Рис. 11.8.тт'внутр'внутр(П.8)(П.8)
Рис. 11.8.
Рис. 11.8.
т
т
'внутр
'внутр
(П.8)
(П.8)
(рис. 11.9)« Мысленно разобьем жидкость на очень тонкие слои параллельными плоскостями, отстоящими на расстоянии Ам друг от друга. Слои жидкости, касающиеся твердых тел, прилипают к ним. Промежуточные слои имеют распределение скоростей, изображен^ ное на рис. 11.9. Это распределение характеризуется градиентом, скорости ——величиной Аи/А/г, показывающей, как быстро меняется абсолютная величина скорости при перемещении на единицу длины в направлении, перпендикулярном вектору скорости (соответственно ——слоям жидкости).
Между соприкасающимися слоями жидкости при наличии градиента скорости возникают силы, направленные вдоль плоскости соприкосновения и препятствующие их относительному перемещению — силы внутреннего
Рис. 11.9.
трения. Согласно Ньютону, касательное напряжение сил внутреннего трения пропорционально градиенту скорости:
где 刀—коэффициент внутреннего трения, или вязкость жидкости.
Единицей измерения вязкости в системе СИ является паскаль- секунда:
Па-с = Нс/м2,
ее размерность [т|] = ML^T"1. В системе СГС единица вязкости называется пуаз:
1 П — 1 дин-с/см2 = 0,1 Па-с.
Силы внутреннего трения проявляются не только в жидкостях, но и в газах. В этом можно убедиться, приводя в быстрое вращение установку, изображенную на рис. 11.8, когда между телами находится воздух (или какой-либо другой газ). Вязкость газов весьма мала ——примерно в 105 раз меньше, чем вязкость жидкостей.
Силы внутреннего трения значительно меньше сил трения скольжения. Поэтому для уменьшения трения между движущимися 96
частями механизмов и машин используется смазка ——слой вязкой жидкости, заполняющий пространство между трущимися поверхностями и оттесняющий их друг от друга. Это приводит к существенному уменьшению сил трения, что связано с уменьшением нагрева и износа деталей. Вместе с тем следует избегать попадания жидкости между фрикционными муфтами, между ремнем и шкивом в ременной передаче, между ведущими колесами локомотива и рельсом и т. д., ибо во всех этих случаях именно сила трения служит для передачи движения. Уменьшение трения в этих случаях безусловно вредно.
Движение тела в жидкости
Опыт показывает, что тело, движущееся в жидкости или газе, испытывает сопротивление. Это сопротивление зависит от размеров и формы тела, от скорости его движения и свойств жидкости или
газа.
Рассмотрим поток жидкости, движущийся со скоростью V в некоторой системе координат, связанной с неподвижным телом. Из
принципа относительности следует, что сила, с которой движущийся поток действует на тело, в точности равна силе сопротивления, которую испытывало бы это тело, двигаясь с той же скоростью в неподвижной жидкости.
Поток жидкости, набегая на тело, деформируется и обтекает его. При этом слои жидкости, прилегающие непосредственно
к телу, прилипают к нему.
При определенных уело-Рис. 11.ю.
виях образуется так на
зываемый пограничный слой ——область жидкости, в которой скорость очень быстро возрастает от нуля примерно до скорости невозмущенного потока, т. е. имеется большой гради-ент скорости. При отрыве пограничного слоя от тела за ним возникают вихри (рис. 11.10). Сопротивление жидкости или газа в значительной
мере определяется явлениями, происходящими в пограничном слое, и характером вихрей. Однако детальный анализ явлений в пограничном слое и вычисление сил сопротивления является исключительно сложной задачей. Мы можем попытаться оценить лишь порядок этих сил и основные параметры, от которых они зависят.
Можно считать, что сила сопротивления состоит из двух слагаемых: сопротивления давления и сопротивления трения. Первое определяется разностью давлений на передней и задней кромках
97974 Б. М. Яворский, А. А, Пинский, т. 1
97
97
обтекаемого тела, второе ——силами внутреннего трения, возникающими за счет большого градиента скорости в пограничном слое.
Для оценки влияния каждой из этих компонент применим метод размерностей.
Сила сопротивления, возникающая вследствие разности давлений на передней и задней кромках обтекаемого тела, зависит от плотности жидкости, 斤 скорости потока и пло- * щади «мидделя» ) — максимального поперечного сечения, перпендикулярного потоку:
R = 4)^BS* (11.9) где А — безразмерный коэффициент.
В любом равенстве размерности левой и правой частей одинаковы, т. е. (Rl = (paMSl Подставив
[v] = LT~i и [S] = L2, определим неизвестные показатели а, Р и у. Имеем
MLT - 2 = ММ 7吼吋 т^т,
откуда следует:
а = 1;—За + 0 + 2丫 — 1 i—§ = —2 *
или
a = 1,в=2, Y = L
Обозначим, как это принято, 4=С72・
Выражение для сопротивления давления имеет вид
(11.10)(11.10)r = CS*
(11.10)
(11.10)
Коэффициент С, входящий в это выражение, очень сильно зависит от формы тела, или, как говорят, от его удобообтекаемости. Так, если для круглого диска С = 1,1——1,2, то для шара С = 0,4—0,2, а для каплеобразного обтекаемого тела С ^ 0,04, т. е. примерно в 10 раз меньше, чем у шара, и в 30 раз меньше, чем у диска (рис. 11.11).
Сила вязкого трения, как это следует из (11.8), должна зависеть от вязкости, скорости и размеров тела:
7 = 8n也也3(11.11)
где В ——безразмерный коэффициент, a L ——характерный размер тела. Анализ размерностей левой и правой частей дает
MLT-2 _ MmL~mT-mLnT-nLk, откуда
/n=1;-加 + 几 + 左=1;-m —九=-2;
следовательно,
加=九=々=L
Выражение для сопротивления трения имеет вид
T^Bx^L.(11.12)
Коэффициент В, как и С, чаще всего определяется экспериментально. Для шара, как показал Стокс, В = 6冗,а характерным размером является радиус. Итак, для шара
Т = 6пт]*(11.13)
Полная сила сопротивления является довольно сложной комбинацией сопротивления давления R и сопротивления трения Т. Однако при очень малых скоростях сила трения, пропорциональная первой степени скорости, будет значительно больше силы давления, которая пропорциональна второй степени скорости. При больших скоростях, очевидно, справедливо обратное.
Поскольку понятия《большая》и《малая》скорость являются довольно неопределенными, введем специальный критерий для ее оценки. Для этого найдем отношение сопротивления давления к сопротивлению трения:
Отбрасывая безразмерные коэффициенты С и В и считая площадь сечения пропорциональной квадрату характерного размера (S 〜L2), получим
孚^時=Re.(И.14)
Безразмерное число Re, называемое числом Рейнольдса, играет исключительно важную роль в гидро- и аэродинамике: именно оно и определяет величину сопротивления.
Так, для «ползущих» течений, когда ReVl, можно пренебречь силами давления и учитывать только силы трения. Наоборот, при больших значениях числа Рейнольдса следует учитывать только силы давления, отбрасывая силы трения.
Падение тела в жидкости или газе
Выше было рассмотрено свободное падение тел, т. е. движение тел под действием одной лишь силы тяжести. Мы установили, что это движение является равноускоренным, и нашли соответствующий закон движения (см. § 8.2). Здесь мы рассмотрим падение тела
в среде с сопротивлением — в жидкости или газе. Заодно выясним,
при каких условиях можно пренебречь сопротивлением воздуха и
рассматривать падение тела в воздухе как свободное.
На тело, падающее в жидкости или газе, действуют три силы: сила тяжести Р, архимедова выталкивающая сила FapK и сила сопротивления Fconp (рис. 11.12). Основной
закон динамики в этом случае запишется
так:так:ma^P — F^-Fa^. (11.15)
так:
так:
Из трех сил лишь одна является переменной ——это сила сопротивления, величина которой быстро возрастает с ростом скорости. Сила тяжести и архимедова сила являются постоянными величинами. Естественно, что с течением времени, по мере возрастания скорости, ускорение уменьшается, и наступит такой момент, когда оно станет равно нулю. Начиная с этого момента тело будет двигаться равномерно. жидкости и газе лишь на начальном этапе
является ускоренным; начиная с некоторого момента тело падает с постоянной скоростью, которая называется установившейся.
Установившаяся скорость vyCT может быть найдена из (11.15) при условии а = 0:
Р —居 рх-尸爆(11.16)
Для того чтобы произвести соответствующий расчет, следует оценить порядок величины числа Рейнольдса и выбрать соответствующее выражение для силы сопротивления.
с радиусом 广=2 мм его плотность рж 二с радиусом 广=2 мм его плотность рж 二Re =Re =PCПPCП1,2.103-2. 10-1,2.103-2. 10-v〜v〜Зи.Зи.Пусть, например, железный шарик (р= 7,8-103 кг/м3) падает в глицерине. Вязкость глицерина 刀=0,83 Па-с, = 1,2-103 кг/м3. Число Рейнольдса
с радиусом 广=2 мм его плотность рж 二
с радиусом 广=2 мм его плотность рж 二
Re =
Re =
PC
П
PC
П
1,2.103-2. 10-
1,2.103-2. 10-
v〜
v〜
Зи.
Зи.
Пусть Re< 1, тогда сила сопротивления вычислится по формуле Стокса (11.13).
Как известно, сила тяжести Р — mg, = -улг3р^. Выталкивающая сила по за-
4
кону Архимеда равна весу вытесненной жидкости:尸арх= ^ж— —лл3рж^. Подставив в (11.16) и произведя соответствующие преобразования, получим
усг— %]—9・0,83〜U,W м/с.
Итак, здесь мы вполне обоснованно воспользовались формулой Стокса для вычисления сил сопротивления, ибо Re— 0,21 < 1.
В газах, например в воздухе, такие «ползущие» движения получаются для очень малых тел ——пылинок, капелек тумана и т. д.
При больших числах Рейнольдса сила сопротивления обусловлена в основном сопротивлением давления R. Основной закон динамики примет вид (пренебрегая для газов выталкивающей силой Гарх <^Р)
та г mg—CS 号^ ,(11.17)
где ро 一 плотность газа.
Если тяжелое тело малых размеров падает с небольшой высоты, то сила сопротивления может оказаться много меньше силы тяжести. Тогда можно сопротивлением пренебречь и считать, что тело падает почти свободно. Если же тело падает с большой высоты, то сопротивлением уже пренебречь нельзя, и начиная с некоторого момента тело будет падать с установившейся скоростью, которую легко определить из (11,17), положив 〃=0:
°уст=/^^・⑴.18)
Так, дождевые капли, имеющие форму шара (С =0,4) радиусом около г、 1——2 мм, при плотности воздуха р0=^ i кг/м3 падают с установившейся скоростью независимо от высоты облаков над поверхностью Земли (для воды р = =103 кг/м3):
•10-3.103.98~wa—8 м/以•10-3.103.98~wa—8 м/以—/2-4ллз.р£ _ у ЗС•冗戸.р。一
•10-3.103.98
~wa—8 м/以
•10-3.103.98
~wa—8 м/以
Анализ формулы (11.18) позволяет понять роль парашюта. Человек, падая без парашюта со значительной высоты, имел бы установившуюся скорость порядка нескольких десятков метров в секунду. Удар о земную поверхность с такой скоростью привел бы к его гибели.
При раскрывании парашюта сила сопротивления резко возрастает. Действительно, у парашюта площадь сечения, обдуваемого потоком, примерно в сто раз больше, чем у падающего человека, а коэффициент сопротивления С у парашюта в несколько раз больше, чем у человека. При возрастании множителя CS в несколько сот раз установившаяся скорость уменьшится в десятки раз, примерно до 3——4 м/с. А приземление с такой скоростью совершенно безопасно.
ГЛАВА 12
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Скорость света и закон сложения скоростей
В середине XIX в. были разработаны методы, позволившие достаточно точно измерить скорость света. Оказалось, что в вакууме она составляет с = 3-108 м/с; более точно:
с = (2,997928±0,000004)・ 108 м/с.
Напрашивается естественный вопрос: к какой системе отсчета относится данное значение скорости света? Ведь говорить о скорости без указания системы отсчета, вообще говоря, бессмысленно.
Исходя из классического закона сложения скоростей, мы приходим к выводу, ч^о в разных системах отсчета скорость света должна быть различной; следовательно, данное значение скорости света
101
должно относиться лишь к одной какой-то системе отсчета, например, связанной с источником света. На этой основе можно предложить следующий эксперимент.
Пусть некоторый прибор, позволяющий измерить скорость света с достаточно большой точностью, покоится относительно источника света, расположенного в системе отсчета xyz. В этом случае прибор зарегистрирует скорость света, равную с (рис. 12.1).
Рис. 12 3.Рис. 12 3.Рис. 12.4.Рис. 12.4.
Рис. 12 3.
Рис. 12 3.
Рис. 12.4.
Рис. 12.4.
Поместим теперь прибор в другую систему отсчета, которая движется относительно системы xyz так, как это изображено на рис. 12.2, 12.3 и 12.4. На основе классического закона сложения скоростей следовало бы ожидать, что с'=с—и, c" = c + q с"' = =/$ + 庐,т. е. что скорости света с； с" и с"' различны.
Первый опыт по измерению скорости света в движущейся системе отсчета был поставлен Майкельсоном в 1881 г., затем аналогичные эксперименты ставились рядом ученых буквально до самого последнего времени, причем точность измерений, естественно, все время возрастала. Оказалось, что опыт дает отрицательный результат: с очень высокой степенью точности во всех системах отсчета, независимо от величины и направления скорости их движения, скорость света (в вакууме) такая же, как и в системе отсчета, связанной с источником, т. е. с'=с" = с〃‘=с・
Этот результат показывает, что классический закон сложения скоростей имеет ограниченную область применения. Он, в частности, не пригоден для описания явлений, связанных с распространением света. Но классический закон сложения скоростей является следствием из преобразований Галилея; следовательно, и последние имеют ограниченную область применения.
Поскольку инвариантность скорости света во всех инерциальных системах отсчета есть твердо установленный экспериментальный факт, и в то же время этот факт не согласуется с преобразованиями Галилея, то возникла необходимость в критическом пересмотре тех идей, которые положены в основу этих преобразований. Эту задачу решил в 1905 г. А. Эйнштейн. Но для этого понадобился радикальный пересмотр наших представлений о пространстве и времени.
Эйнштейн показал, что при выводе преобразований Галилея в неявном виде вводились два положения, которые казались настолько очевидными, что их даже не считали нужным обосновывать:
полагали, что одновременность двух событий есть абсолютное понятие — два события, одновременные в одной системе отсчета, считали одновременными и в любой другой системе； отсюда вытекало, что часы, расположенные в произвольных инерциальных системах отсчета, регистрируют одно и то же время,— короче, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково;
предполагалось, что длина стержня во всех инерциальных системах отсчета одна и та же (см. § 2.4).
В действительности эти положения оказались не универсальными, а только первым приближением, справедливым лишь в ньютоновской механике,
§ 12.2. Основные постулаты специальной теорииотносительности
Специальная теория относительности называется иначе релятивистской теорией (от латинского relativ ——относительный). В основу ее положены два принципа, которые являются постулатами. Эти постулаты надежно подтверждены экспериментально.
Принцип относительности. Все инерциальные системы отсчета равноправны, во всех инерциальных системах не только
механические, но и все другие явления природы протекают одинаково.
Принцип инвариантности скорости света. Во всех инерциальных системах скорость света в вакууме одинакова и равна с.
Посмотрим же, какие следствия вытекают из этих основных положений.
Одновременность событий
Для того чтобы определить момент времени, когда в данной точке пространства А происходит некоторое событие, нужно сопоставить это событие с показаниями часов, которые расположены вблизи этой точки. То же относится и к любой другой точке В. Однако сравнивать показания обоих часов имеет смысл, если они синхронизированы. Это положение представляется настолько очевидным, что в течение многих лет никто не задумывался над вопросом: а какова же физическая процедура синхронизации?
Эйнштейн предложил синхронизировать часы с помощью световых сигналов, исходя из следующего мысленного эксперимента. По определению полагаем, что время, в течение которого световой сигнал идет из А в В, равно времени, в течение которого он идет из В в 4. Пусть сигнал вышел из А в момент времени /Упр, доходит по В в момент времени /в, отражается и возвращается в точку А в момент времени /дрих. Тогда, согласно определению,
tB-tT^r-tB.
Иными словами, часы в точке В должны показывать время ^=4(^пр+^рих).
При такой процедуре синхронизации часов выполняются два условия:
условие симметрии: если часы А идут синхронно с часами В, то и часы В идут синхронно с часами А;
условие транзитивности: если часы А идут синхронно с часами В, а часы В — с часами С, то и часы А идут синхронно с часами С.
Из двух основных постулатов теории относительности вытекает, что два события, одновременные в одной системе отсчета, не одновременны 6 другой системе.
Чтобы доказать это положение, которое на первый взгляд кажется парадоксальным, рассмотрим следующий эксперимент. Пусть одна система отсчета связана с Землей, вторая——с вагоном, движущимся относительно Земли прямолинейно и равномерно (рис. 12.5). Отметим на Земле точки А, В ^ М, причем АМ = ВМ, а в вагоне соответственно точки А\ B\ М' стаким расчетом, что A'yM' = BfM\ Пусть в тот момент, когда отмеченные на Земле и в вагоне точки сов-
падают, в точках Л и б произойдут некоторые события, например ударяют две молнии.
Очевидно, что если свет от обеих вспышек придет в точку М одновременно, то в точку Mf раньше придет свет из В\ затем из А1. Проанализируем теперь эти события с позиций наблюдателей, находящихся в обеих системах отсчета.
Рис. 12.5.
На Земле: расстояние АМ — ВМ. Скорость света во всех направлениях одна и та же. Сигналы от обоих событий пришли в точку М одновременно. Следовательно, и события в точках А и В произошли одновременно.
В вагоне: расстояние 4'ЛГ = В'ЛГ. Скорость света во всех направлениях одна и та же. Сигнал из точки В пришел раньше, чем из точки 4‘. Следовательно, событие s точке В' произошло раньше, чем в точке
Если бы вагон двигался справа налево, то получился бы обратный результат: событие 8’ произошло бы позже, чем 4‘.
Итак, понятие одновременности имеет относителъный смысл, 况 в разных инерциальных системах отсчета время протекает по- разному.
Заметим, что в приведенном рассуждении мы пользовались только двумя принципами: мы считали обе системы отсчета равноправными (принцип относительности) и считали, что свет во всех направлениях движется с одной и той же скоростью (принцип инвариантности скорости света). Никаких других дополнительных гипотез мы йе вводили.
В классической же физике совершенно бездоказательно предполагалось, что время во всех системах отсчета протекает одинаково. Отсюда получался классический закон сложения скоростей, который противоречит экспериментально установленному закону инвариантности скорости света.
Иногда спрашивают: ну, а на самом деле события в точках 4 и В одновременны или нет? Очевидно, что этот вопрос не имеет смысла. Ответить на вопрос, что происходит на самом деле, означает фактически указать некую преимущественную систему отсчета. А такой системы отсчета просто нет в природе.
Вообще не всегда можно ответить на вопрос о том, что происходит на самом деле. Так, когда в Москве утро, то во Владивостоке вечер а в Сан-Франциско ночь. И нелепо спрашивать, а что же сейчас на
самом деле: утро, вечер или ночь? Это относительные понятия, ответ зависит от того, в какой точке Земли находится наблюдатель. В такой же мере относительны понятия «верха» и «низа» для людей, живущих на противоположных сторонах земного шара (рис. 12.6).
Точно так же понятие одновременности является относительным —на вопрос об одновременности или неодновременности двух событий нельзя ответить, не указав систему отсчета, относительно которой данная задача решается.
Почему же в классической физике мы пренебрегаем этим свойством времени и считаем время инвариантом, т. е. величиной, не зависящей от системы отсчета?
Дело в том, что в классической физике мы имеем дело со скоростями, настолько меньшими скорости света, что можно пренебречь запаздыванием сигналов и считать, что свет распространяется практически мгновенно, с бесконечно большой скоростью. В этом случае наблгодатели на земной поверхности и в вагоне не заметят никакой разницы в поступлении сигналов из точек А и В (рис. 12.5), а потому оба придут к одному и тому же выводу об одновременности или неодновременности событий.
Итак, относительность одновременности есть следствие конечности скорости распространения света и вообще конечности скорости передачи любых взаимодействий. Опытный факт отсутствия каких-либо процессов, распространяющихся с бесконечно большой скоростью, Эйнштейн положил в основу теории относительности.
Одновременность и длина
Выше мы определили длину стержня как разность координат его начала и конца, измеренных, одновременно (см. § 2.4). Однако понятие одновременности имеет относительный смысл, и события, одновременные в одной системе отсчета, окажутся неодновременными в другой системе. А отсюда вытекает, что длина стержня s разных системах, отсчета будет различной (см. далее § 12.8). Нельзя говорить о длине стержня, не указав системы отсчета, относительно которой эта длина измеряется. Это так же бессмысленно, как говорить о скорости пассажира, не указывая системы отсчета: скорость пассажира относительно вагона не равна его скорости относительно Земли.
Итак, 6 теории относительности промежутки времени между событиями и длины отрезков являются относите л ьным и понятиями, имеющими различные значения в разных инерциальных системах отсчета.
Релятивистский закон сложения скоростей
Как было показано выше, преобразования Галилея не согласуются с экспериментально установленным фактом постоянства скорости света. Поэтому необходимо вывести новые преобразования координат при переходе из одной инерциальной системы отсчета к Другой.
Рассмотрим систему координат xyz, связанную с Землей, и систему координат »“, связанную с вагоном (см. рис. 2.1, стр. 29). В этом случае вдоль оси ординат и оси апликат движения нет, откуда вытекает, что 夕 =у н z' =z, как и в случае преобразований Галилея.
Свободное пространство однородно и изотропно. Это значит, что преобразования координат являются линейными функциями (рис. 12.7). В самом деле, как видно из рисунка, в этом случае
длина отрезка не зависит от того, в какой области пространства этот отрезок находится: из /г = /2 следует 2； = /；.
Если бы преобразование было нелинейным (рис. 12.8), то из /х = /2 следовало бы /；#/；, т. е. длина стержня зависела бы бт того, в какой области пространства он находится. Это означало бы нарушение однородности пространства.
Естественно, что аналогичное рассуждение справедливо и для времени.
Поэтому мы будем искать релятивистские преобразования в виде линейных функций:
xf = Ах + Bt, t' = Mx + Nt.(12.1)
Здесь A, Bf M и N ——постоянные, которые следует определить.
Перемещение вдоль оси абсцисс в вагоне
— = 4 (% —工J + В (/2 — /工)=4А%+ В Nt. (12.2)
Аналогично для промежутка времени между двумя событиями имеем
=^M\x + NM.(12.3)
Разделив (12.2) на (12.3) и учитывая, что скорость точки относительно вагона
优=А£/А 九(12.4)
(12 5)(12 5)а скорость той же точки относительно Земли и = Ах/А/,
(12 5)
(12 5)
получим выражение для закона сложения скоростей (вдоль оси абсцисс):
(12.6)
Используем (12.6) для определения постоянных, введенных в выражения (12.1). Для этого рассмотрим следующие частные случаи:
Пусть материальная точка покоится относительно вагона. Тогда 〃‘= 0, u = v. Подставив в (12.6), имеем 0 =咨牛^, откуда
B^—Av.(12.7)
Пусть точка покоится относительно Земли. Тогда и'=——и, " = 6. Подставив в (12.6) и используя (12.7), имеем ——и =——Av/Nt откуда
N = 4 (12.8)
Пусть вместо материальной точки в вагоне распространяется световая волна. На основе второго постулата теории относительности — принципа инвариантности скорости света во всех инерциальных системах — получим
(12.9)(12.9)а' — к —— с.
(12.9)
(12.9)
Подставив в (12.6) и используя результаты (12.7) и (12.8), имеем
(12.10)(12.10)М = — Avic.
(12.10)
(12.10)
Полученные значения В, М в N подставим в (12.6) и получим релятивистский закон сложения скоростей (вдоль оси абсцисс):
(12.11)
Предельный характер скорости света
Из релятивистского закона сложения скоростей вытекает предельный характер скорости света: ни s какой системе отсчета тело 〃е может двигаться со скоростью, превосходящей скорость света s вакууме.
Действительно, пусть тело движется относительно вагона со скоростью 〃'，не превосходящей скорость света в вакууме: 0 V if <с. Вагон же движется относительно Земли со скоростью и, также меньшей скорости света, 0v?Vc. Тогда легко показать, что скорость тела относительно Земли (при любых uz и и, меньших с) будет также меньше скорости света.
Для доказательства найдем разноеть между скоростью света в вакууме и скоростью тела в новой системе отсчета:
(12.12)(12.12)优 + и — (с —% (с—〃')1+〃'&/с2 — С(1 十〃'“С?) ”
(12.12)
(12.12)
Поскольку мы с самого начала предположили, что скорость тела в старой системе отсчета и скорость самой системы меньше с, то с—4>0. Итак,
〃 Vc〃 Vc(12.13)
〃 Vc
〃 Vc
Преобразования Лоренца
Преобразования координат, соответствующие двум основным постулатам теории относительности, были впервые получены Ло- ренцом.
Для вывода искомых преобразований подставим в выражение (12.1) значения постоянных В, М н N; получим
(12.14)(12.14)xz — Л (х—uf),，=4 (/ - 0%/户).
(12.14)
(12.14)
Из принципа относительности вытекает полное равноправие обеих систем отсчета: можно считать покоящейся систему координат, связанную с вагоном; тогда система координат, связанная с Землей, будет двигаться относительно вагона со скоростью 炉=—и (взаимность преобразований Лоренца),
Преобразования координат примут вид
Подставив выражения (12.15) в (12.14), имеем
(12.16)(12.16)(12.17)(12.17)(12.18)(12.18)л/ =4? (л/ + 卅一吁一и2х7с2), откуда после сокращений получим
(12.16)
(12.16)
(12.17)
(12.17)
(12.18)
(12.18)
Н1Т2/С2 *
Окончательно преобразования Лоренца примут вид
"'=弘 N‘ = z,"'=弘 N‘ = z,У = У ,У = У ,%一"历一叫金f —ux/c2У1—网,2
"'=弘 N‘ = z,
"'=弘 N‘ = z,
У = У ,
У = У ,
или
一］/!一巾毎 _ Г+^7^а _ )/Т二石疹
В классической механике пространство и время рассматриваются как понятия, независимые друг от друга. Из преобразований Лоренца вытекает тесная связь между пространственными и временными координатами: не только пространственные координаты зависят от времени (это мы имели и в преобразованиях Галилея), но и время зависит от пространственных координат, а также от скорости движения системы отсчета.
Преобразования Лоренца и релятивистский закон сложения скоростей соответствуют принципу инерции.
Действительно, если тело движется равномерно и прямолинейно относительно одной инерциальной системы отсчета (скажем, относительно вагона), то оно будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно любой другой инерциальной системы: из 〃‘ =const н и = const следует, согласно (12.11), что н 〃 = const.
Длина отрезка
Пусть стержень расположен параллельно оси абсцисс и покоится в системе отсчета xyz (например, на земной поверхности). Его длину в системе отсчета, относительно которой он покоится, обозначим А,= л：2 — Xi (см. рис. 2.2, стр. 30). В системе отсчета %'y'z', движущейся относительно системы xyz со скоростью и (например, в вагоне), длина стержня / определяется так: 1 = х\ — %； при условии 4= t[. Из преобразований Лоренца (12.18) следует
k+出；
r 芯+"；.
отсюда
=金二乌空丝4(12.19)
Положив по условию 岂=耳，имеем
/ = W1 —°2/с2.(12.20)
Назовем длину стержня в той системе отсчета, относительно которой он покоится, собственной длиной /0. Из (12.20) следует, что длина стержня в любой другой системе отсчета, относительно которой он движется, меньше собственной длины.
Заметим, что в разных системах отсчета, движущихся с разными скоростями относительно той системы отсчета, в которой стержень покоится, длина этого стержня различна. А отсюда явно вытекает, что релятивистское изменение длины не вызвано никакими деформациями стержня (или другими аналогичными процессами).
Промежуток времени между двумя событиями
Любые явления, происходящие с телами, будем называть событиями.
Пусть в точке Л, где находится интересующее нас тело, в момент времени 厶 происходит некоторое событие, а в момент времени /2— другое событие. Тогда промежуток времени между этим событиями У 友—厶・ Этот промежуток времени измерен в системе отсчета xyz, связанной с исследуемым телом (собственное время). Найдем промежуток времени между этими же событиями в системе отсчета
x'y'z', движущейся относительно xyz со скоростью f (вдоль оси абсцисс).
Используя выражение (12.17) и учитывая, что события происходят в одной точке Л, т. е.尤纟工尤口 имеем
T = ?2 --/ 1 =-б一 h =，c一一
Hl —叫e2 Hl 一 №俨
Итак, искомый промежуток времени
ттН1 —叫,2 *Н1 —叫,2 *(12.21)(12.21)
т
т
Н1 —叫,2 *
Н1 —叫,2 *
(12.21)
(12.21)
Мы получили фундаментальной важности результат: промежуток времени между двумя событиями имеет наименьшее значение в системе отсчета, связанной с точкой Л, где происходят исследуемые события.
В любой другой системе отсчета этот промежуток времени будет больше.
Время т0 называется собственным временем.
Иными словами, s движущейся системе отсчета время замедляется по сравнению с системой отсчета, в которой происходят события и которую мы приняли за неподвижную.
Замедление времени в движущейся системе отсчета позволяет объяснить одно любопытное явление.
Под действием космического излучения на границе атмосферы возникают частицы, называемые мюонами (см. § 83.3). Эти частицы обнаруживаются затем на поверхности Земли. Толщина атмосферы— порядка 300 км. Даже в том случае, если мюоны движутся со скоростью, очень близкой к скорости света, время их движения сквозь атмосферу — около 10~3 с. Между тем опыты над мюонами показывают, что эти частицы неустойчивы и самопроизвольно распадаются. Время жизни мюона 10-6 с, т. е. в тысячу раз меньше, чем время его движения сквозь атмосферу к поверхности Земли! Как же согласовать это кажущееся противоречие?
Оказывается, никакого противоречия здесь нет. Действительно, в системе отсчета, связанной с мюоном, время его жизни 10~6 с. Система же отсчета, связанная с Землей, движется относительно мюона со скоростью, близкой к скорости света. В этой системе темп времени замедлен и мюон живет около 10-3 с — в тысячу раз больше, чем в системе отсчета, связанной с этим мюоном.
Промежуток времени между причинойи следствием
В природе часто встречаются события, связанные между собой определенным видом связи, которую мы называем причинно-следственной. Так, для того чтобы пуля попала в мишень, необходимо предварительно произвести выстрел. Здесь выстрел является тем 112
событием, которое служит причиной, а попадание пули в мишень — следствием.
При этом необходимо отметить два характерных свойства этого вида связей между явлениями:
вначале всегда происходит событие, когорое является причиной, а уж затем ——следствие;
если каким-либо образом устранить событие, которое служит причиной, то не произойдет и другое событие, которое является следствием.
Покажем, что хотя в теории относительности время в разных системах отсчета протекает по-разному, последовательность во времени между причиной и следствием сохраняется.
Рис. 12.9.
Пусть в системе отсчета, связанной с Землей, выстрел произошел в момент времени tt в точке с координатой xlt а пуля попала в мишень с координатой 尤纟 в момент времени /2 (рис. 12.9). Скорость пули в этой системе отсчета
“ 一 x2 —
Найдем промежуток времени между этими же событиями в системе отсчета, движущейся вдоль оси абсцисс со скоростью и. Из выражения (12.17) получим
■——=厶―1 一号).(12.22)
У1 一 Уа/саК1 — У2/С2 \С 丿
Скорость пули 〃 и скорость движения новой системы отсчета и меньше скорости света в вакууме. Поэтому 1 — uv/c2 является положительным числом. Знак разности 芍 一 /； совпадает со знаком разности /2—九・
Но /2> /1, поскольку в системе отсчета, связанной с Землей, пуля попала в мишень после выстрела. А поэтому и в любой другой системе отсчета 芍 > & .
Итак, "хотя промежуток времени между двумя событиями в разных системах отсчета различен, во всех системах отсчета событие, являющееся причиной^ происходит раньше события^ которое является следствием.
Соотношение между релятивистскойи ньютоновской механикой
Ньютоновская механика и, в частности, преобразования Галилея основывались на допущении, что во всех системах отсчета время протекает одинаково. Выше мы показали, что это до-пущение по существу неверно. Естественно, возникает вопрос: как могла эта теория в течение нескольких веков успешно применяться на практике и давать правильные результаты? Более того, и в настоящее время мы с успехом ведем расчеты движения небесных тел, космических кораблей, автомобилей, судов и т. п. на базе законов ньютоновской механики^ пользуемся преобразованиями Галилея —— и всегда получаем отличные результаты! Нет ли здесь какого-то противоречия?
Оказывается, никакого противоречия нет. Все дело в том, что перечисленные тела движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. А в этом случае релятивистские формулы с достаточной для практических целей точностью автоматически переходят в ньютоновские.
Действительно, пусть тело движется со скоростью и= 10 км/с относительно Земли. Это — скорость космической ракеты. Обычно в инженерной практике имеют дело с телами, которые движутся значительно медленнее. Свяжем с этим телом новую систему отсчета. Точные соотношения между координатами и временем в обеих системах отсчета выражаются с помощью преобразований Лоренца. Однако нетрудно убедиться, что, пользуясь преобразованиями Галилея, мы получим практически одинаковые результаты.
Действительно, в нашем случае отношение
Следовательно, для того чтобы величину К1 一 и2/са отличить от единицы, нужен измерительный прибор, позволяющий измерять с точностью до девяти значащих цифр! На практике мы пользуемся значительно менее точными приборами. То же самое можно сказать о величине vx/c2 — она несущественно отличается от нуля.
Но если в преобразованиях Лоренца положить К1—— и2/с3^? 1 и vx/c2 0, то они автоматически перейдут в преобразования Галилея:
Таким образом, при анализе явлений, происходящих со скоростями значительно меньшими, чем скорость света в вакууме, можно с успехом пользоваться преобразованиями Галилея, т. е. формулами ньютоновской механики. Применение в этих случаях преобразований Лоренца даст практачески тот же результат, хотя выкладки будут значительно более сложными.
Мы получили принципиальной важности результат: теория относительности включает е себя ньютоновскую механику как предельный случай механики явлений, скорость которых значительно меньше скорости света 6 вакууме.
На этом примере виден путь развития науки. Всякая научная теория описывает некоторый круг явлений с определенной степенью точности, зависящей от уровня развития науки, а также от уровня развития измерительной техники. При дальнейшем развитии науки мы охватываем все более обширный круг явлений. Одновременно возрастает и точность наших измерений.
На определенном этапе может оказаться, что старая теория уже не сможет объяснить вновь открытые явления. Выводы старой теории вступят в противоречие с новыми фактами. Тогда создается новая теория, часто на основе совершенно новых принципов. Однако новая теория не отбрасывает старую, как заблуждение. Она включает в себя результаты старой теории как предельный случай для того круга явлений, которые и прежде описывались удовлетворительно. Это положение в науке называется принципом соответствия.
Часто критика принципиальных основ старой теории оказывается довольно болезненной, ибо нужно преодолеть представления, которые кажутся «очевидными», «само собой разумеющимися», а поэтому якобы истинными. Однако рано или поздно более прогрессивная теория всегда побеждает. И последующим поколениям часто даже непонятно, чем были вызваны предшествующие дискуссии.
Так было и с теорией относительности. Ее появление вызвало бурную дискуссию. Многие ученые, не сумев отказаться от привычных представлений, не поняли ее сущности. Реакционеры всех мастей повели с ней ожесточенную борьбу, пытаясь представить ее как противоречащую «здравому смыслу». Однако дальнейшее развитие науки полностью подтвердило истинность как ее исходных положений, так и всех ее выводов.
ГЛАВА 13
МАССА, ИМПУЛЬС И СИЛА В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Релятивистская масса
В ньютоновской механике предполагалось, что масса тела имеет одно и то же значение в различных инерциальных системах отсчета. Опыты над телами, скорость движения которых много меньше скорости света, казалось, подтверждали это положение: при этих скоростях никакой зависимости массы от скорости обнаружить не удается. Именно поэтому во всех предыдущих расчетах мы полагали, что масса тела является постоянной величиной.
Рассмотрим, как будет двигаться при этом предположении тело под действием постоянной силы. Для упрощения дальнейших
намики, чтобы выводы из негонамики, чтобы выводы из негоРис. 13.1.Рис. 13.1.
намики, чтобы выводы из него
намики, чтобы выводы из него
Рис. 13.1.
Рис. 13.1.
расчетов предположим, что при /】=0 начальная скорость 江1 = О, т. е. тело не имеет начальной скорости. Тогда основной закон динамики (7.2) примет вид
F = mu/t, или и — Film, (13.1)
При предположении о постоянстве силы и массы а = F/m — const. Следовательно, скорость тела прямо пропорциональна времени действия силы:
〃 at. (13.2)
А это означает, что при достаточно длительном воздействии постоян
ной силы на тело скорость его движения возрастает неограниченно.
Этот результат противоречит теории относительности. Действительно, один из фундаментальных выводов теории относительности гласит, что никакое тело не может двигаться со скоростью, превосходящей скорость света 8 вакууме (см. § 12.6).
Таким образом, нам следует преобразовать основной закон ди
согл асов ыв а л ись с выводами теории относительности. Оказывается, что для этого необходимо считать, что масса тела различна s разных системах отсчета. Это выражается зависимостью (рис. 13.1)
т == . (13.3)
К 1一"2/*• ' '
Здесь т0— масса тела в системе отсчета, относительно которой оно покоится; эта величина называется собственной массой или массой покоя; величина m —■ масса того же тела в системе отсчета, относительно которой оно движется со скоростью 〃；эта величина называется релятивистской массой (см. § 21.8).
Импульс в теории относительности определяется так же, как и в ньютоновской механике:
р = ти.р = ти.(13.4)
р = ти.
р = ти.
Но, в отличие от ньютоновской механики, масса, входящая в выражение (13.4),—— это не масса покоя, а релятивистская масса.
§ Г3.2. Основной закон динамики в теории относительности
Основной закон динамики (7.2) и (7,4) сохраняет свою формулировку —— сила равна изменению импульса в единицу времени, т. е. скорости изменения импульса:
(13.5)(13.5)尸=p2一死'孔2乩2一疗"乩L
(13.5)
(13.5)
/2 一厶 厶一厶
Покажем, что при такой записи основного закона динамики выводы из него не противоречат теории относительности.
При тех же предположени я х, которые были сделаны выше (尸=const,九=0, 〃i = 0), имеем
(13.6)(13.6)mu _m0%
(13.6)
(13.6)
/ 一/ H 二 4^7®
btbt" 一 i》二:=■." 一 i》二:=■.(13.7)(13.7)Положив Л/то = Z? = const и решив это уравнение относительно скорости 以，получим
bt
bt
" 一 i》二:=■.
" 一 i》二:=■.
(13.7)
(13.7)
Исследуем полученный результат.
При достаточно малых промежутках времени произведение Ы значительно меньше скорости света в вакууме; следовательно, 6用%2w1, и приближенно
и^Ы.
Итак, мы получили классическое приближение как предельный случай медленных движений.
При длительном же действии постоянной силы величина Ы может стать значительно больше с; тогда bH^lc ^> 1, и приближенно
btи 尸&
Таким образом, при длительном действии постоянной силы скорость тела стремится к скорости света, а не возрастает неограниченно, как это следовало из законов ньютоновской механики (см. далее рис. 13.2).
§ 13.3. Соотношение между ньютоновскойи релятивистской динамикой
быть обнаружены изменения его массы. Относительная ошибка при измерении массы
* =甯嚏1——“2/*(13.8)
Эта ошибка должна быть меньше 10-п, следовательно,
1 —，1 —"2/02 < ]0ИЛИ 1 — 10-" < J 1—"2/d.
Возведем неравенство в квадрат, что возможно, ибо единица больше чем 10 Тогда
1 —2・ 10-"+IO—" V 1—炉/d или ы<с/2-10~«— 10~2\
Учитывая, что Ю"2И<^ 10-й, имеем
u < ”2。10-以.
Пусть, например, измерения производятся с точностью до шести значащих цифр (м = 6). Тогда и <；2-10~6 = 423 км/с. Таким образом, при скоростях движения, не превосходящих четыреста километров 6 секунду, масса покоя отличается от релятивистской массы менее чем на Ю-6, т. е. менее чем на одну десятитысячную долю процента!
В реальных условиях движения больших тел их скорость значительно меньше указанного предела — даже космические ракеты имеют скорость около 10 км/с, т. е. в 40 раз меньше. Да и измерения в технике редко когда производятся с такой точностью. Ясно, что в этих условиях применение законов ньютоновской механики для расчета движения тел даст идеальные по своей точности результаты.
Одаако в мире атомных частиц нередко встречаются скорости, близкие к скорости света в вакууме. В этом случае только применение законов теории относительности даст правильные результаты. В частности, при анализе движения быстрых микрочастиц удалось опытным путем проверить выражение для релятивистской массы (13.3), причем результаты эксперимента оказались в отличном согласии с теорией.
Изложенные соображения позволяют нам ввести следующую классификацию движений (рис. 13.2).
Ньютоновская область. Скорость движения тел столь мала, что измерительная аппаратура не позволяет обнаружить релятивистские эффекты замедления времени, сокращения длин, возрастания массы и т. п. Здесь вполне допустимо пользоваться законами ньютоновской механики.
ИЗ
Релятивистская область. Скорость движения достаточно велика, и релятивистские эффекты становятся вполне измери\гыми. Естественно, что здесь правильные результаты дает только теория относится ьности.
Ультрарелятивистская область. Скорость тела становится почти равной скорости света в вакууме. Точнее, разность между скоростью тела и скоростью света меньше чувствительности измерительного прибора. Конечно, и в этом случае только применение законов теории относительности даст верные результаты.
В нашем примере, когда точность измерений не превосходит 10~в, классическую область скоростей составляют скорости, меньшие 400 км/с; ультрарелятивистскую область —— скорости, отличающиеся от скорости света менее чем на 300 м/с; остальной диапазон скоростей ——это собственно релятивистская область.
Рассмотрим, как же меняется импульс тела под действием постоянной силы. Из уравнения (13.5) при условии, что при /] = 0 начальный импульс /ь = 0, следует:
p = F" (13.9)
Итак, под действием постоянной силы импульс возрастает пропорционально времени.
В ньютоновской области импульс возрастает только за счет роста скорости, ибо изменением массы можно пренебречь. Наоборот, в ультрарелятивистской области скорость тела практически не меняется, и импульс растет только за счет роста массы. Естественно, что в промежуточной (релятивистской) области рост импульса происходит за счет возрастания обоих сомножителей — как скорости, так и массы. При этом скорость растет медленнее, чем в ньютоновской области, именно из-за возрастания массы ускоряемого тела.
ГЛАВА 14
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Начальные условия и измерительная аппаратура
Успешное применение рассмотренного в гл. 8 метода решения основной задачи динамики в ньютоновской механике неизбежно приводило ученых к мысли, что эти методы являются универсальными, что их можно применять для решения любых задач. При этом никто всерьез не задавался вопросом: а можно ли на самом деле задать начальные условия настолько точно, как это нам необходимо? Само успешное решение задач приводило к мысли, будто бы начальные условия могут быть заданы с произвольной степенью точности.
Конечно, из彼рение координат и импульсов производится с определенной погрешностью. Однако в XIX в. предполагалось, что путем усовершенствования измерительной аппаратуры погрешность
измерений может быть сделана сколь угодно малой. Дальнейшее развитие науки показало несостоятельность этой точки зрения.
Попытаемся на примере проанализировать в общих чертах действие приборов, с помощью которых можно измерить координаты и скорости тел.
Для определения координат самолета применяется радиолокатор (рис. 14.1). Антенна локатора излучает радиоволны короткими импульсами. Волна, дойдя до самолета, отражается от него и возвращается к антенне. На экране локатора получаются две отметки: от отправленного и принятого (отраженного) сигнала. Зная скорость
движения луча по экрану и и скорость радиоволны (с = 3-105 м/с), можно из пропорции — ^ -™ по величине смещения отметки судить о расстоянии до самолета X =^ L. Смещение на экране градуируется в километрах (ибо величина с/2〃 постоянна и известна). Это позволяет без дополнительных расчетов сразу же определять координату самолета по отметкам на экране осциллографа.
Заметим, что с помощью прибора, который служит для определения мгновенных значений координат, невозможно измерить мгновенные значения скорости. Правда, наблюдая за движением отметки на экране локатора, можно определить среднюю скорость самолета за некоторый промежуток времени, но мгновенную скорость самолета в момент измерения координаты найти с помощью этого прибора невозможно.
Существуют приборы, с помощью которых можно измерить мгновенную скорость точки. Например, тот же радиолокатор можно переоборудовать так, чтобы он сравнивал частоту колебаний в волне, которую посылает антенна, с частотой колебаний в волпе, которая отражается от самолета.
Если самолет движется со скоростью и вдоль оси абсцисс, то темп времени в связанной с ним системе отсчета изменяется по сравнению с темпом времени в системе отсчета, связанной с радиолокатором (см. § 12.9). С изменением темпа времени, естественно, изменяется частота волны, что будет видно на экране переоборудо- 120
ванного радиолокатора: при удалении самолета от локатора волна растягивается вдоль экрана (рис. 14.2), при приближении ——сжимается (рис. 14.3).
Пользуясь преобразованиями Лоренца, можно вывести соотношение между частотой отправленной волны v и частотой
ботботРис. 14.2.Рис. 14.2.Рис. 14,3.Рис. 14,3.
бот
бот
Рис. 14.2.
Рис. 14.2.
Рис. 14,3.
Рис. 14,3.
отраженной от самолета волны v\ Частотой называется число колебаний в единицу времени; следовательно, частота колебаний волны в разных системах отсчета обратно пропорциональна промежутку времени между двумя событиями (например промежутку времени между отражением волны от самолета и приемом ее радиолокатором (рис. 14.4)). В системе отсчета, связанной с локатором, имеем частоту волны V и промежуток времени А/. В системе отсчета, связанной с самолетом, соответственно U и АУ. Тогда
(14.1)(14.1)М Аг
(14.1)
(14.1)
不=立.
Но
/ 1 —叫C2
uuxDHJicx nuiuiviy, riu <лраженн<1н иилна движется в направлении, противоположном направлению оси абсцисс), получим
Af' = AfAf' = Af1+и/с Н1 — ?2/с21+и/с Н1 — ?2/с2(И.2)(И.2)
Af' = Af
Af' = Af
1+и/с Н1 — ?2/с2
1+и/с Н1 — ?2/с2
(И.2)
(И.2)
Сравнив оба выражения, получим
(М-3)(М-3)У =笛 Н—№“2匚Fu/C —
(М-3)
(М-3)
Итак, частота волны, которая отражается от удаляющегося самолета, будет меньше частоты волны, которую посылает локатор.
Рис. 14.4.Рис. 14.4.
Рис. 14.4.
Рис. 14.4.
Если же самолет приближается к локатору, то его скорость имеет противоположный знак и частота отражаемой волны возрастает:
1—v/c
Это явление называется оптическим продольным эффектом Допплера. С его помощью легко измерить скорость самолета — достаточно сравнить частоты излучаемой и отраженной волны.
С помощью эффекта Допплера можно измерить также скорость тела, которое само излучает свет, например скорость движения звезды (см. § 59.8).
Однако прибор, позволяющий измерить скорость материальной точки (следовательно, и ее импульс), не позволяет измерить ее координату. Действительно, для измерения скорости по эффекту Допплера необходимо иметь синусоидальную волну с определенной частотой, для измерения же координаты самолета радиолокатор должен излучать волны короткими импульсами, а такие волны не являются синусоидальными.
Следовательно, для одновременного измерения координаты и скорости (или импульса) движущегося тела необходимо иметь два прибора, из которых один измеряет координату, второй — скорость.
Нильс Бор (один из основателей современной квантовой физики) показал, что все измерительные приборы можно разделить на два класса таким образом, что приборы одного из них дают информа-
цию, дополнительную к той, которую дают приборы другого класса. Например, одни приборы служат для измерения координат, другие ——импульсов или скоростей. Полную информацию о характере движения тела можно получить только при совместном применении приборов обоих типов.
Соотношение неопределенностей
Приборы, с помощью которых производятся измерения координат и скоростей, взаимодействуют с телом, параметры которого измеряются. Так, радиоволна, достигая самолета и отражаясь от него, оказывает на самолет определенное давление и тем самым изменяет его координату и скорость.
Конечно, в случае самолета эти изменения совершенно ничтожны, и мы можем их не учитывать. Однако по мере проникновения в микромир стало ясно, что измерительный прибор может вносить серьезные возмущения в характер движения микрочастицы, и воздействием прибора пренебрегать нельзя. Это связано с особой природой микрочастиц, которую мы рассмотрим в разделе, посвященном квантовой механике.
В. Гейзенберг проанализировал результаты всевозможных экспериментов, которые могут быть проведены для измерения координаты частицы и ее импульса (или скорости). Он пришел к выводу, что особая природа микрочастиц приводит к тому, что при одновременном измерении координат и импульсов возникают неопределенности в их значениях, равные Ах и Хрх соответственно. Эти неопределенности связаны соотношением
&х^рх^Я, (14.5)
где постоянная Планка К = 1,05443- Ю-84 кг-м/с — одна из важнейших мировых констант, имеющая огромное значение в описании явлений микромира. С этой величиной мы часто будем встречаться в квантовой механике.
Аналогичным соотношением связаны неопределенности координат и импульсов и по другим осям:
а夕 аp? ^^ Az-a厶 ^方.
Соотношение неопределенностейи классическая механика
механике удается найти закон движения с произвольной, наперед заданной точностью?
Для ответа на этот вопрос проанализируем три задачи. В первой из них рассмотрим движение макроскопического тела (ракеты); во второй — движение микрочастицы (электрона) на макроскопической траектории и, наконец, в третьей задаче ——движение микро
частицы на микротраектории.
Задача 1. Ракета массой 103 кг вращается вокруг Земли по
круговой орбите. Радиус орбиты 6500 км; скорость ракеты 8 км/с.
С какой точностью могут быть заданы радиус и скорость?
Для того чтобы ракета двигалась по окружности, вектор скорости в каждой точке траектории должен быть перпендикулярен радиусу. Это значит, что компонента скорости вдоль радиуса должна равняться нулю. Но если эта компонента точно равна нулю, то и ее неопределенность Avr тоже равна нулю. А тогда, как показывает соотношение (14.5), неопределенность в значении радиуса станет бесконечно большой. Но мы можем пойти
на компромисс. Пусть радиус орбиты задан с неопределенностью А几 а радиальная компонента скорости равна нулю, но с неопределенностью Аи「, которая может быть получена из соотношения неопределенностей Гейзенберга (рис. 14.5):
a八аог^方.
Если при этом неопределенности интересующих нас величин значительно меньше их самих, то можно считать, что задача решена достаточно точно. 。
Положим в нашем случае, что Аг= 1А= 10~10 м,— эта неопределенность примерно равна диаметру атома. Ясно, что на практике ошибка любого измерительного прибора значительно больше! Тогда неопределенность радиальной составляющей импульса ракеты
方 10 — 34
А"г^ 昭= IO-?' кг-м/с,
а неопределенность радиальной компоненты скорости
A Apr 方 10~341Л_„7.
а0 = ^ —t— = 77；сk一可=]0-2? м/с.
г tn т^г 103- Ю~10/
Но ведь орбитальная скорость ракеты 8-103 м/с несоизмеримо больше полученной неопределенности!
Итак, при анализе движения макроскопического тела соотношение неопределенностей не играет никакой роли, Мы можем впол- 124
no пренебречь неопределенностями координат и скоростей, полагать, чю начальные условия могут быть заданы с той точностью, которая нам нужна, и решать основную задачу динамики классическими ме- ■1 одами.
Задача 2. Электрон движется в бетатроне (приборе для ускорения электронов) по круговой орбите радиусом 2,5 м со скоростью, равной 99% от скорости света: и = 0,99 с = 2,97-108 м/с. С какой точностью могут быть заданы радиус орбиты и скорость электрона?
В отличие от предыдущей задачи, здесь следует учесть зависимость массы от скорости. Масса покоя электрона т0 = 9,1-10-31 кг. При данной скорости движения его масса
m 二—=一加。一=.恤 _ = 7 1m
У 1-。 2 d Hl—0,992 H,99.0M ],411.0,1 ，0，
Поскольку масса электрона значительно меньше массы ракеты, нельзя задать радиус орбиты с такой высокой степенью точности, как это было сделано в предыдущей задаче. Однако если мы зададимся неопределенностью радиуса Аг = 0,05 мм, то орбита будет определена весьма точно — относительная ошибка составит
± = = 107 = 0,002%.
厂 2,5-10J
Неопределенность радиальной компоненты скорости
% ]0-34
А% = 7・9・10-3i.5・10-5 ^0,3 М/С.
При скорости электрона, почти равной скорости света, радиальной компонентой в 30 см/с можно безусловно пренебречь, положив ее равной нулю. Следовательно, и в этом случае, когда микрочастица движется по макроскопической траектории, соотношение неопределенностей фактически не играет никакой роли. И здесь можно полагать, что начальные условия могут быть заданы с нужной степенью точности, и решать задачу классическими методами (с учетом релятивистских эффектов).
В дальнейшем мы узнаем, что сложная природа элементарных частиц (электронов, протонов, нейтронов и т, п.) не позволяет, строго говоря, рассматривать их в качестве материальных точек, и их траектории нельзя так просто рассчитывать. Однако в случаях, аналогичных рассмотренному, вполне допустим такой подход к решению задачи о характере их движения.
Задача 3. Рассмотрим движение микрочастицы на микроорбите, например движение электрона в атоме. Радиус атома примерно равен г^ 0,5 А = 5-10"11 м; орбитальная скорость примерно равна и^ 106 м/с. При данной скорости можно пренебречь релятивистскими эффектами и считать массу электрона равной его массе покоя. Неопределенность радиуса положим равной одному проценту от значения радиуса, т. е. Дг = 0,01 г = 5-10-13 м. Тогда
неопределенность радиальной компоненты скорости
—5 1з = 2,2• IO® м/с, г9-10_31-5-10-13
что почти равно скорости света.
Итак, неопределенность радиальной компоненты скорости в 220 раз превышает орбитальную скорость! Очевидно, что в этом случае никакой речи о движении электрона по орбите быть не может, ибо скорость его движения совершенно не определена.
Наоборот, если мы зададимся некоторым разумным значением неопределенности радиальной компоненты скорости, например Аи/и=1%, то мы совершенно ничего не сможем сказать о траектории. Действительно, если А%=0,01и= 104 м/с, то неопределен
ность радиуса
Аг — ==i J ・ ют м= НО А.
104.9・10-31,
А это в 220 раз превышает сам радиус! Ясно, что здесь говорить о какой-то определенной орбите совершенно невозможно.
Итак, мы убедились, что соотношение неопределенностей не влияет на применимость методов ньютоновской механики или теории относительности к макроскопическим объектам. Здесь по силам и начальным условиям можно с любой наперед заданной степенью точности найти закон движения частицы, рассматривая ее как материальную точку. Соотношение неопределенностей фактически не ограничивает применение этих законов и к микрочастицам, которые движутся в макроскопических; областях пространства. Так, вполне имеет смысл говорить о траектории электрона в радиолампе, электронно-лучевой трубке, ускорителе и т. п.
Совсем иная картина наблюдается в микрообластях — атоме, атомном ядре, кристаллической решетке твердого тела и т. д. Из-за соотношения неопределенностей здесь методы классической механики оказываются совершенно непригодными. В частности» здесь теряют всякий смысл такие классические понятия, как закон движения частицы, ее траектория, мгновенная скорость и т. п. Бессмысленно говорить о траектории электрона в атоме или о скорости движения протона в атомном ядре. Для решения этих задач используются методы квантовой механики.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ГЛАВА 15
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Замкнутая система тел
Для точного решения задачи о характере движения некоторого тела следует учесть все силы, действующие на него со стороны всех окружающих его тел. Но этих сил фактически бесконечно много. Кроме того, данные силы являются переменными, ибо в результате взаимодействия между собой окружающие тела движутся весьма сложным образом. В результате при такой постановке задачи ее фактически решить нельзя из-за непреодолимых математических трудностей.
На самом же деле задачу можно существенно упростить, если учесть, что не все окружающие тела действуют на данное тело с одинаковыми силами. Так, если спутник движется вокруг Земли на орбите с радиусом примерно г = 8000 км, то Солнце действует на него с силой, которая значительно меньше силы притяжения Земли:
尸С 一宀Y也附С 一附СГ2，
где R = 1 астр, ед尸 1,5* 10е км, Мз =6-1024 кг и Мс = 2-1030 кг. Подставив численные значения, мы получим, что Солнце действует на этот спутник с силой, в тысячу раз меньшей силы притяжения Земли, Читатель может убедиться, что сила притяжения Луны будет еще в 200 раз меньше, а действие остальных планет — ничтожно мало.
Этот расчет показывает, что мы можем в первом приближении отвлечься от действия на спутник всех тел, кроме Земли. Следовательно, можно рассмотреть систему, состоящую из двух тел —— спутника и Земли, и считать, что их взаимодействие в основном определяет характер движения спутника. Все остальные тела можно считать внешними по отношению к этой системе и действие этих тел учесть в виде поправок к основной силе.
Принято силы, с которыми взаимодействуют между собой составные части данной системы, называть внутренними силами.
127
Внешними называются силы, с которыми вся система или отдельные тела, входящие в ее состав, взаимодействуют с окружающими телами.
Система тел называется замкнутой (или изолированной), если можно пренебречь действием внешних сил по сравнению с внутренними.
Так, в рассмотренном примере систему тел Земля —— спутник можно в первом приближении рассматривать как замкнутую.
С еще большей степенью точности можно считать замкнутой солнечную систему. Действительно, силы взаимодействия между Солнцем и планетами значительно превосходят силы, с которыми на эти планеты действуют даже самые близкие звезды. Ближайшая к солнечной системе звезда расположена на колоссальном расстоянии R = 4,5 свет, года ) = 4,2-1013 км; расстояние же от Земли до Солнца г = 1,5-108 км. Полагая, что масса звезды примерно равна массе Солнца, получим
尸зв г2-утМ г2 \ 108 у
Итак, здесь внутренняя сила (т. е. сила взаимодействия между Солнцем и Землей) в 80 миллиардов раз больше внешней силы (т. е. силы, с которой на Землю действует ближайшая звезда). Естественно, что у нас есть все основания считать систему Земля — Солнце замкнутой.
Понятие замкнутой системы является весьма полезной абстракцией, ибо в этих системах все явления описываются с помощью наиболее простых и общих законов. Поэтому всюду, где это возможно, следует отвлечься от действия внешних сил и рассматривать изучаемую систему тел как замкнутую. Затем, если это необходимо, следует в решение, полученное в первом приближении, внести поправки, учитывающие характер возмущений, вносимых действием внешних сил.
Закон сохранения импульса
Для замкнутых систем справедлив закон сохранения импульса, который можно сформулировать так: суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых процессах, происходящих в этой системе.
Не следует думать, что этот закон требует неизменности импульса каждого тела, входящего в систему. Как раз наоборот ——благодаря действию внутренних сил импульсы тел, входящих в систему, все время изменяются. Сохраняется лишь векторная сумма импульсов всех составных частей системы,
Для вывода закона сохранения импульса воспользуемся вторым и третьим законами Ньютона. Для простоты рассуждений огра
ничимся случаем, когда система состоит из двух тел; рассмотрение более общего случая системы, состоящей из многих тел, не даст ничего принципиально нового, но существенно усложнит вывод.
Пусть в момент времени /工 первое тело имеет массу т； и скорость второе — массу т^ и скорость К； в момент времени /2——соответственно т工 и ©i, т2 и ©2- Второй закон Ньютона для первого тела запишется так:
m皿——""期1
для второго
По третьему закону Ньютона 尸21 = —Ft^ или
加202 -打Z；0;—加15 一 他;期;
z2一 ^1/2 一 ^ 1
Сократим знаменатели и перенесем все члены без штрихов в левую, а со штрихом — в правую часть равенства. Получим
m2s + ^i©i ="，初；+ m；z；(15.1)
или, короче,
团2% + 加也 1 = const(15.2)
для любого момента времени.
Если замкнутая система состоит из нескольких тел, то для нее закон сохранения импульса запишется так:
m丄。1Т-加2。2 十• • • + mzi©n -= const.(15.3)
При выводе закона сохранения импульса мы пользовались только законами Ньютона, причем в форме, которая справедлива как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Следовав тельно, закон сохранения импульса применим как в ньютоновской, так и в релятивистской механике; но в последней следует учитывать зависимость массы от скорости.
Явление отдачи
На практике часто встречается явление, когда некоторое тело под действием внутренних сил распадается на две части. Если при этом внутренние силы много больше внешних, то эту систему можно рассматривать как замкнутую и применить закон сохранения импульса.
Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда тело до распада на части покоилось относительно системы отсчета. Тогда можно утверждать, что два новых тела, возникших в результате распада, будут двигаться в противоположных направлениях со скоростями, обратно пропорциональными их массам. Пусть массы
5 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1 129
этих тел равны 加^ и т2, их скорости соответственно 廿^ и 已含.Из закона сохранения импульса
尸=#1+尸2，
Поскольку до распада тело покоилось относительно системы отсчета, то 尸=0. Отсюда
0 = ГП】/ 十加2%(15.4)
или
5 =—鬻 5，(15.5)
е. действительно векторы ki и 刃2 направлены противоположно.
С явлением отдачи мы встречаемся, например, при выстреле из орудия: если его не закрепить, то оно откатится в сторону, противоположную направлению движения снаряда. В пулемете, автомате и т. п. за счет отдачи затвора происходит выбрасывание стреляной гильзы и перезарядка оружия.
Рис. 15.1.
С явлением отдачи связано движение всех видов транспорта. Так, при вращении ведущих колес автомобиля возникает сила трения между поверхностью ската и Землей. Эта сила является внутренней (в системе машина ——Земля). За счет этой силы автомобиль движется в одну сторону, Земля — в противоположную. Движение Земли, конечно, происходит с ничтожно малой скоростью, ибо масса Земли несоизмеримо велика по сравнению с массой автомобиля.
Точно так же движется судно: его винт захватывает воду и отбрасывает ее за корму, благодаря чему судно движется вперед.
Многие явления в ядер ной физике также сопровождаются отдачей. Например, ядро урана при попадании в него нейтрона де- Л1тся на два осколка примерно равной массы. Поскольку ядро и нейтрон до реакции движутся с очень малыми (тепловыми) скоростями, то можно приближенно считать, что до распада система покоилась. Но тогда возникшие при распаде осколки должны двигаться в противоположные стороны. Это хорошо видно на фотографии (рис. 15.1), полученной с помощью камеры Вильсона (см. § 36.9), посередине которой помещена пластинка с нанесенным слоем окиси урана. Видны следы Л и В, оставленные двумя осколками, разлетевшимися в противоположных направлениях.
Ниже мы рассмотрим еще одно явление, связанное с отдачей при ядерных реакциях (см. § 17.4).
Измерение масс
Пользуясь законом сохранения импульса, можно сравнить массы двух тел, не прибегая к их взвешиванию. Свяжем два тела разной массы нитью и поместим между ними сжатую пружину. При пережигании нити оба тела станут двигаться вдоль некоторой оси в противоположных направлениях со скоростями 沙i и 沙乞・ Так как, согласно формуле (15.5), скорости обратно пропорциональны массам, то, зная эти скорости и массу одного тела, мы определим массу второго без весов.
В механике этим методом измерения массы практически не пользуются, поскольку измерить скорости тел довольно трудно: дело в том, что из-за наличия трения эти скорости непрерывно меняются. Однако в ядер ной физике, где скорость частицы можно измерить но длине ее пробега, этот метод может быть использован, например, для сравнения масс осколков, возникших при делении ядра.
Реактивное движение
Движение ракеты объясняется на основе того же закона, что и явление отдачи, а именно, закона сохранения импульса. При сгорании топлива из сопла с большой скоростью вырываются газы, в результате чего ракета движется в противоположном направлении так, что сумма импульсов ракеты и газов остается постоянной величиной.
Пусть в некоторый момент времени /0 масса ракеты (вместе с горючим и окислителем) равна т, а скорость ее относительно Земли равна V. При сгорании некоторого количества топлива ракета к моменту времени & будет иметь массу "“ и скорость относительно Земли i/工. Скорость газов относительно ракеты ——скорость истечения ——равна 〃 и направлена в сторону, противоположную скорости ракеты. Тогда скорость газов относительно Земли в момент времени
4 равна разности скорости ракеты и скорости истечения: vra3 — =и】—〃*
Импульс ракеты в момент времени 备 равен р0 — ^- В момент времени 厶 суммарный импульс ракеты и газов
Р1=他卫[十 тгаз% аз =m101 + (m-m1)(比一«).
Поскольку ракета и газы образуют замкнутую систему, к ней прлменим закон сохранения импульса:
mv = Шх^! + (т — mt) (^). — 〃)•(15.6)
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
tn(U — 口1) == 〃 (tTl* — /?2).
Но Аи = % — у равно приращению скорости ракеты; A/n = тх — m равно массе топлива, выгоревшего за время △£ = £]——10. Следовательно,
—能・ Ao = 〃• Am.(15.7)
Газы, вырываясь из сопла ракеты, действуют на нее с некоторой силой, которая называется реактивной силой m兄己〃.Чтобы найти ее, воспользуемся основным уравнением динамики (7.2). Для этого разделим обе части равенства (15.7) на А九 Учитывая, что mA0/Af = F представляет собой силу тяг% а » = NmJkt — ежесекундный расход топлива, получим
F =—卩〃.(15.8)
Итак, реактивная сила тяги пропорциональна ежесекундному расходу топлива и скорости истечения газов; она направлена противоположно направлению истечения газов.
Расчет запаса топлива
Для грубой оценки примерного запаса топлива проделаем ориентировочный расчет. Допустим, что ракета с массой около 10 тонн должна подниматься с ускорением а~ 5g= 49 м/сй. Сила тяги F= та~ 49-104 Н. Скорость истечения газов у современных ракет 〃 = 4 км/с. Отсюда расход топлива
尸 _49，104 .0 =彳e=尸 _49，104 .0 =彳e=122,5 кг/с.122,5 кг/с.
尸 _49，104 .
0 =彳e=
尸 _49，104 .
0 =彳e=
122,5 кг/с.
122,5 кг/с.
Первую космическую скорость (8 км/с) ракета, двигаясь с ускорением около 50 м/с2, достигает через время t~ v:a~ 8000: 50= 160 с. Следовательно, суммарный запас топлива составит
Мтопл — ц/ = 122,5 кг/с 160 с ^ 19 600 кг q 20 тонн.
Приведенный расчет является весьма грубым и не годен даже для ориентировочной оценки запаса топлива. Дело в том, что ракета является телом с переменной массой, поскольку по мере выгорания топлива масса ее все время уменьшается. А поэтому, если нам нужно запустить на орбиту ракету массой 10 тонн, 132
то в начале полета даже по нашему ориентировочному расчету ее масса составляет около 30 тонн. Чтобы сообщить этой массе нужное ускорение, нужна сила тяги в 3 раза больше, что требует увеличения расхода топлива,— а это неизбежно приведет к еще большему увеличению запаса топлива и его расхода.
Запас топлива можно точно рассчитать по формуле Циолковского, кото
*,3也%，(15.9)*,3也%，(15.9)рую мы приведем без доказательства:
*,3也%，(15.9)
*,3也%，(15.9)
где и — конечная скорость ракеты; начальная скорость у0— 0; 〃 一 скорость истечения газов; Л1 — масса ракеты на орбите; Мо= Мтопл+ М— начальная масса ракеты с топливом. График этой функции приведен на рис. 152
党=撫=。，87。，党=撫=。，87。，Полагая и= 8 км/с, 〃= 4 км/с, М = 10 тонн, получим:
党=撫=。，87。，
党=撫=。，87。，
откуда Мо/М = 7,42, AIq^ 74,2 тонны и Л!гопл =
—64,2 тонны ——почти в 3,5 раза больше того, что дала грубая оценка. Еще больший запас топлива ——около 160 тонн ——потребуется для достижения второй космической скорости у = 11,2 км/с.
Центр инерции
Пусть две материальные точки с массами % и т2 расположены на оси абсцисс в точках с координатами %i и х3. Расстояние между этими точками / = %2 —%工(рис. 15.3). Точку С, которая делит рас
”器.(15.10)”器.(15.10)стояние между частицами на отрезки, обратно пропорциональные массам этих частиц, назовем центром инерции (или центром масс) данной системы частиц. Итак, по определению
”器.(15.10)
”器.(15.10)
центра(15.11)центра(15.11)Поскольку /1 = Хц —хь 厶= %2 —/, где хц—координата инерции, то
центра
(15.11)
центра
(15.11)
色(Хц — 巧)=团2 (/ — /)， откуда
Ц 一 m1十团2 "
Это выражение легко обобщается на случай нескольких материальных точек, расположенных произвольным образом; абсцисса центра инерции
ц — -小工十小2十…，十帽仪—
Аналогичные выражения получаются для ординаты у^ и апли- каты гц центра инерции системы материальных точек.
Движение центра инерции
Задачу о характере движения центра инерции решим для случая, когда тела движутся со скоростями, много меньшими скорости света, когда массы тел являются постоянными величинами.
Записав выражение (15.12) для двух разных моментов времени и вычитая одно из другого, получим
А/А/团1厶％1 -|- z??2△芯2 Ч~ * * *tn f1Ax"团1厶％1 -|- z??2△芯2 Ч~ * * *tn f1Ax"加］十m2十.•.十m〃加］十m2十.•.十m〃(15.13)(15.13)
А/
А/
团1厶％1 -|- z??2△芯2 Ч~ * * *tn f1Ax"
团1厶％1 -|- z??2△芯2 Ч~ * * *tn f1Ax"
加］十m2十.•.十m〃
加］十m2十.•.十m〃
(15.13)
(15.13)
Разделив обе части равенства на Д/ — /3 —匕 м положив А//А/ =建 (компонента вектора скорости по оси абсцисс), имеем
(15.14)(15.14)
(15.14)
(15.14)
Аналогичные выражения получатся для компонент скорости по осям ординат и апликат. Выражение для скорости центра инерции в векторной форме имеет вид
灯=加m+”2 +…+m聞=£
где М — суммарная масса системы, Р——ее суммарный импульс.
Если система частиц замкнута, то ее суммарный импульс является постоянной величиной. Но тогда и скорость центра инерции является постоянной величиной.
Иными словами, центр инерции замкнутой системы совершает инерциальное движение, т. е. движется прямолинейно и равномерно независимо от того, как движутся отдельные тела, из которых составлена система.
Следует обратить внимание на смысл этого утверждения. В замкнутой системе действуют внутренние силы, вследствие чего тела, входящие в состав системы, могут двигаться ускоренно и их скорости (и импульсы) могут непрерывно изменяться. Однако это не сказывается на движении центра инерции. Итак, под действием внутренних сил скорость движения центра инерции не меняется.
Читатель легко может найти ряд примеров, подтверждающих полученный результат. Так, находясь в автомобиле, можно давить на любую его стенку с произвольной силой, но это никак не повлияет на характер движения машины: если она покоится относительно Земли, то и останется в покое, а если движется, то продолжит движение с той же скоростью.
Точно так же ясно, что барон Мюнхаузен сочинял, рассказывая о том, как он сам себя за волосы вытягивал из болота (рис. 15.4). Поскольку его центр масс погружался, то любые усилия, которые он сам прилагал к своим волосам, не могли изменить скорость погружения.
При перемещении человека вдоль лодки последняя перемещается в противоположном направлении. Причина заключается 134
в следующем. При очень малых скоростях сила трения между лодкой и водой ничтожно мала (см. § 11.8), поэтому лодка вместе с
Рис. 15.4.
человеком образует замкнутую систему. Перемещение человека в одном направлении вызывает соответствующее перемещение лодки
в противоположном направлении так, что центр масс этой системы С сохраняет неизменное положение (рис. 15,5).
Данное положение относится не только к поступательному, но и к вращательному движению. Так, можно лишь приближенно говорить о том, что Луна обращается вокруг Земли; фактически система Земля —— Луна обращается вокруг общего центра масс. Найдем его положение. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 384000 км, масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Из (15,12) следует, что расстояние от центра масс до центра Земли
1-384 000 + 8Ь0
=Г+^i470° км.
Но радиус земного шара равен 6370 км, следовательно, центр масс системы Земля ——Луна заметно отстоит от центра Земли. Проделав такой же расчет для системы Земля ——Солнце и проанализировав результат, можно убедиться, что центр масс этой системы почти точно совпадает с центром Солнца.
ГЛАВА 16
ПОЛНАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Полная энергия тела
Понятие энергии является одним из основных понятий физики. Из начального курса физики читателю известен закон сохранения энергии — один из важнейших законов природы, а также ряд применений этого закона для объяснения механических, тепловых и электрических явлений. С понятием энергии приходится встречаться при рассмотрении ряда технических задач, ибо одной из важнейших проблем техники является получение, передача и использование энергии. В этой и последующих главах будет подробно изложено понятие энергии и показано, как им пользоваться при решении ряда физических задач.
Наиболее общее понятие об энергии можно получить, пользуясь идеями теории относительности. Можно определить полную энергию изолированного от внешних воздействий тела как произведение релятивистской массы на квадрат скорости света:
6 =仁(16.1)
где 6 — полная энергия,团=-尸_「— релятивистская масса J/ 12/^2
и с = 3* 108 м/с — скорость света.
Из этого определения следует, что 8 разных системах отсчета 九。〃臣〃兄 змер?〃兄 тела различна. Она зависит от того, с какой скоростью тело движется относительно системы отсчета, поскольку от скорости зависит его релятивистская масса (см. § 13,1), а в разных системах отсчета тело имеет различную скорость.
Наименьшей энергией тело обладает в системе отсчета, относительно которой оно покоится. Это значение энергии тела называется энергией покоя:
Sq = ш0с2. (16.2)
Кинетическая энергия
Кинетической энергией тела называется разность между его полной энергией и энергией покоя'.
К — S—矶-(他一门%) *(16.3)
где К ——кинетическая энергия. Она зависит от скорости движения те】а относительно системы отсчета.
Выражению для кинетической энергии придадим вид, более удобный для дальнейших исследований. Из (13.3) следует, что mJm = pj —必/炉，откуда
К = ГПe? (1 -*)=從2 (1 —К 1 —〃2/e2).
Умножив и разделив это выражение на 1 +/1——〃2/с?, имеем
К =吋—一 = (16 4)
1+ К 1 — и2/с2m(l+ М1—公外)•I * '
В ньютоновской механике скорость движения тела относительно системы отсчета много меньше скорости света; поэтому там можно пренебречь дробью м2/с2 по сравнению с единицей и положить ]/ 1 —— м2/с2 ^ 1. Тогда мы получим очень простую формулу для вычисления кинетической энергии в ньютоновской механике:
К = *^・(16.5)
Хотя эта формула и является приближенной, при скоростях движения, с которыми обычно приходится иметь дело в технике, она дает очень хорошую точность. Пользуясь результатами § 13.3, получим, что даже при скоростях порядка сотен километров в секунду приближенное выражение (16.5) отличается от точного (16.4) менее чем на десяггитысячную долю процента.
При скоростях, много меньших скорости света, кинетическая энергия тела значительно меньше энергии покоя. Действительно,
Даже при скорости м ^ 300 км/с, что в 10 раз больше орбитальной скорости Земли, кинетическая энергия составит
К^оК^о9.1010 с 匚 s -о，丽7Е = 5」О= = 5.1Ог9о,
К
^о
К
^о
т. е. стотысячные доли процента от энергии покоя тела!
Наоборот, при ультрарелятивистских скоростях, мало отличающихся от скорости света, практически вся энергия тела сводится к его кинетической энергии: энергия покоя здесь значительно меньше кинетической. Так, в современных синхрофазотронах протоны разгоняются до скоростей порядка и = 0,999923 с. Здесь
IDК(53,9941IDК(53,99411 = 80,6—1 ^80.1 = 80,6—1 ^80.К — (m— ff?。)演—]
IDК(53,9941
IDК(53,9941
1 = 80,6—1 ^80.
1 = 80,6—1 ^80.
-一 V1 二^2京一
Следовательно, при этих скоростях кинетическая энергия протона в 80 раз больше его энергии покоя.
Пренебрегая энергией покоя по сравнению с кинетической, получим из (16.3) приближенно для ультрарелятивистских скоростей
(16.6)(16.6)k 0?6 =m儿
(16.6)
(16.6)
Энергия и импульс
Выведем соотношение между полной энергией тела и его импульсом, которое нам потребуется в дальнейшем. Для этой цели возведем в квадрат выражение для релятивистской массы (13.3); после несложных преобразований получим
他 2c2-加电2 mlcz
или, умножив на 爲
/и%'—(16.7)
Учитывая, что импульс тела р = ти, полная энергия d = тс? и энергия покоя 亂= 惆吟 имеем
卓二碗+ рЗ(16.8)
В ультрарелятивистской области
К^б ^рс.(16.9)
Анализ выражения (16,8) показывает, что существуют два способа изменения полной энергии тела.
Во-первых, можно изменить импульс тела, не меняя энергии покоя. Для этого необходимо изменить скорость движения тела относительно избранной системы отсчета. Во-вторых, можно изменить энергию покоя; при этом, естественно, изменится и масса покоя этого тела. На первый взгляд неясно, с помощью каких процессов можно изменить массу покоя тела. На самом же деле такие процессы возможны, что будет показано в гл. 20 и 21.
Кинетическая энергия и работа
Рассмотрим случай, когда на тело действует сила F, составляющая угол а с направлением перемещения. В общем случае мы можем считать силу переменной, а траекторию тела криволинейной.
Разложим силу на две компоненты (рис. 16.1), тангенциальную Ft^ F cos а и нормальную Fn ~ F sinat и рассмотрим, как они влияют на кинетическую энергию тела.
Нормальная компонента силы меняет только направление вектора скорости, но не меняет ее абсолютной величины (см. §4.8), поэтому нормальная компонента силы не меняет кинетической энергии тела. Действительно, в выражение для кинетической энергии
AA(16.4) входит квадрат скорости, следовательно, кинетическая энергия зависит только от модуля скорости (или импульса), но не зависит от направ-
A
A
ления этих векторов.
Тангенциальная же компонента силы влияет именно на абсолютную величину скорости (или импульса), но не на их направление. Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит под действием тангенциальной компоненты силы. Последняя, согласно (13.5), может быть записана так:
戸—p2— Pl а口
Действительно, тангенциальная компонента силы характеризует изменение абсолютной величины импульса в единицу времени, поэтому следует в выражении (13.5) вместо разности векторов рассматривать разность модулей этих векторов.
Пусть под действием силы тело переместилось на малое расстояние А/ в течение малого промежутка времени А/. При неизменной энергии покоя изменение кинетической энергии тела равно изменению его полной энергии:
Ak 二二兄一k]=(別-百о)一(品一孔)=品一 ^1 —a6.
Изменение полной энергии может быть вычислено с помощью выражения (16.8):
砖=册+峥2,贫=鏡+ p衿
Вычитая из первого равенства второе, получим
(62一况)(別+乳)=(p2Pi) (p2-rPi)炉， Положим
Si~ S — I,负=6 +1/2 Ad；
Pi = P — % Ар,% = P + % Ap.
Тогда
卜&• 2(^ = Ар • 2*2 или N& • me2 = Ар • mud.
Итак,
A^ = AK = 〃・Ap.(16.10)
Умножив и разделив (16.10) на А/, учтем что
〃А/二△厶 ^ = Ft = Feos а.
При неизменной энергии покоя изменение полной энергии тела равно изменению его кинетической энергии. Тогда получим
△К =储△/ = ЛД/ cos а.△К =储△/ = ЛД/ cos а.(16.11)(16.11)
△К =储△/ = ЛД/ cos а.
△К =储△/ = ЛД/ cos а.
(16.11)
(16.11)
Физическую величину Ft Л/ — FA/ cos а назовем элементарной работой:
АЛ = FA/ cos а = 3 А/.(16.12)
Из (16.11) и (16.12) следует
(16.13)(16.13)А4 = АК,
(16.13)
(16.13)
т. е. элементарная работа равна бесконечно малому изменению кинетической энергии тела.
Рассмотрим случай работы произвольной силы на конечном участке траектории (рис. 16.2). Разобьем эту траекторию на малые
участки А/】, А/2, • •・,厶/几・ Для каждого участка, согласно (16.13), имеем:
△4= AKi= Ki — /(0;АЛ 2= АХ2= К? — ^1;...;AЛn= АКп= К—爲.
Сложив все эти равенства и обозначив полную работу на конечном участке пути Л =A<l + ДЛ2 + - . . + АЛП, имеем
{ н к — Ко,(16.14)
ибо все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются.
Итак, работа силы на конечном участке пути равна изменению кинетической энергии тела, т. е. разности значений кинетической энергии в конечной и начальной точках траектории. Выражение (16.14) выведено на основе "формул теории относительности и потому справедливо для движений тела с произвольными скоростями (но при условии, что энергия покоя не меняется).
Учитывая важность этого результата, рекомендуем читателю самостоятельно вывести выражение (16.14) для случая действия постоянной силы в приближении 〃«с (ньютоновская механика). Можно, например, воспользоваться выражениями (4.9), (4.10) и (7.2) и получить
4=萼 粤.(16.15)
Мощность
Средней мощностью за промежуток времени Д/ называется отношение работы, совершаемой за это время, к промежутку времени:
Мр = £(16.16)
Мгновенной мощностью называется предел, к которому стремится средняя мощность за бесконечно малый промежуток времени'.
N= Нт 等.(16.17)
Мгновенную мощность можно выразить через силу и мгновенную скорость. Для этого подставим в (16.17) выражение (16.12), получим
N=lim
где и ——модуль мгновенной скорости. Следовательно,
N = Fttt = Fu cos».(16.18)
Заметим, что если сила перпендикулярна траектории (а = л/2), то и работа, и мощность равны нулю.
Единицы измерения энергии, работы и мощности
Поскольку работа есть мера изменения энергии, то работа и энергия измеряются одними и теми же единицами.
В Международной системе единиц (СИ) единицей работы является джоуль. Джоуль ■— это работа, совершаемая силой 1 Н на расстоянии 1 м:
1 Дж = 1 Н -1 м.
Размерность работы:
[A\ = lF][l\ = ML2T-\
Ту же размерность можно получить и так:
W1 =[6]=[他]”]=m。T?
Наглядное представление о масштабе джоуля можно получить из следующих соображений: если тело массой 2 кг движется со скоростью 1 м/с, то его кинетическая энергия равна 1 Дж.
В системе СГС единицей работы является эрг:
В тепловых расчетах энергию иногда измеряют в калориях} по определению
1 кал = 4,1868 Дж 4,2 Дж — 0,427 кгс-м.
В атомной физике применяется единица измерения энергии электрон-вольт (эВ) и ее производные: килоэлектрон-вольт (1 кэВ ~ =103 эВ), мегаэлектрон-вольт (1 МэВ = 106 эВ) и гигаэлектронвольт (1 ГэВ = 109 эВ).
1 эВ = 1,6-10~19 Дж.
Смысл такого наименования единицы энергии будет выяснен ниже (см. § 18.7).
Единицей измерения мощности в системе СИ служит ватт'
1 Вт = 1 Дж/с.
Применяются также единицы:
1 эрг/с = 10-7 Вт;
1 кГ-м/с — 9,81 Вт;
1 л. с. = 75 кГ • м/с = 735,499 Вт 大;736 Вт;
1 ккал/ч1 ккал/ч一 103.4,2 ДЖ3600 с —一 103.4,2 ДЖ3600 с —= 1,163 Вт.= 1,163 Вт.
1 ккал/ч
1 ккал/ч
一 103.4,2 ДЖ
3600 с —
一 103.4,2 ДЖ
3600 с —
= 1,163 Вт.
= 1,163 Вт.
Рекомендуем читателю в порядке упражнения вывести соотношения между единицами: киловатт-час и килокалория; лошадиная сила и килокалория в час; гектоватт-час и килограммометр.
Импульс и энергия локализованной частицы
Частица называется локализованной в некоторой части про
странства с характерным размером а, если для ее координат спра
ведливы соотношения
%о W 尤 W %о + а,Уо W У W Уо + а,
备 wzw备 + a• (16.19) Это означает, что частица не выходит за пределы кубика, изображенного на рис. 16,3.
Естественно, что неопределенность координаты частицы совпадает с характерным размером области локализации:
А%^\z^а. (16.20)
Воспользовавшись соотношением
неопределенностей (14.5), найдем неопределенности проекций импульсов:
Арх^ Арр^ А%^方/а・(16.21)
Попытаемся оценить величину среднего значения импульса этой частицы. Из (16.21) следует, что разность двух произвольных
значений проекции импульса на любую координатную ось не превосходит 方7а:
Но сумма модулей двух величин не меньше модуля их разности:I Рхх I +1 Рх2 I > 1 % —Рх1 丨加а.
Среднее значение проекции импульса на ось абсцисс:
成 ^ % (I Aj 十 1% I) N 方/2а
Аналогично для других проекций
рх^ ру卩工^ 加 2a.(16.22)
Отсюда следует выражение для среднего значения импульса частицы 万=/広 + 被+ 忌 n/з加/4&2^%/а,(16.23)
где а — размер области локализации ).
Выведем выражение для средней кинетической энергии локализованной частицы. Для нерелятивистского случая имеем согласно (16.5) и (16.23)
春(16.24)
Для ультрарелятивистской частицы в соответствии с (16.9) получим
Кр^ рс》Яс/а.(16.25)
Если число частиц в единице объема (т. е. концентрация частиц) равна п, то очевидно, что па3 = 1, откуда следует, что а =孔一*/% Подставив в (16.24) и (16.25), выразим кинетическую энергию через концентрацию частиц:
_公嚅,(16.26)
冗ex》加箱包(16.27)
Итак, частица, локализованная в некоторой области пространства, не может покоиться: среднее значение ее импульса равно р 々 方/а, среднее значение кинетической энергии равно К ^? А2/2та2 (ИЛИ Крсл ^ "〃)•
Этот результат представляется на первый взгляд парадоксальным, он противоречит нашему повседневному опыту, где мы наблюдаем множество покоящихся тел. Разобраться в этом парадоксе нам помогут две задачи.
Задача /. Пусть на столе лежит копеечная монета (/и = 1 г = = 10-3 кг). Оценим ее средний импульс и скорость. Область лока-
лизации здесь по крайней мере не меньше ее размеров: а 定 1 см = —10-2 м* Среднее значение импульса
- 方 IO-34 1С 19 z=10-32 КГ. М/С,
средняя скорость
2 = ^^需^^ 10-29 m/e.
Естественно, что такой скоростью можно пренебречь и с полным правом считать монету покоящейся. Мы вновь видим, как и в § 14.3, что в области ньютоновской механики можно пренебречь следствиями из соотношения неопределенностей.
Задача 2. Оценим импульс и энергию электрона в атоме (а ^ ^ 1 А = 10"10 м). Имеем
р10~24 кг - м/с,
- р 方10~34SA
i s Qi s 帀 106 м/с.
т Ща 9， 10-31. ]0-19/
Мы видим, что электрон в атоме должен двигаться со значительной, хотя и нерелятивистской скоростью. Среднее значение кинетической энергии:
—力 21П-68
К ^ 丁立 ^ 5~万 1П 31 [八 20 寸5 ・ 1079 Дж ^ 3 зВ・ 2та2 2・9・ 10-31.10-20—
При более детальном знакомстве со строением атома (см. гл. 71, 72) мы убедимся, что по порядку величины получили верный результат.
Итак, в микромире пользоваться ньютоновскими представлениями нельзя, здесь лишь квантовые идеи, и в том числе следствия из соотношения неопределенностей, дадут правильные результаты.
ГЛАВА 17
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
Что такое столкновение?
В обыденной жизни под столкновением понимается явление, аналогичное соударению бильярдных шаров, когда тела при встрече непосредственно касаются друг друга. В физике же это явление понимается в более широком смысле. Под столкновением или ударом мы понимаем любое кратковременное взаимодействие частиц. Так, можно говорить о столкновении молекул, хотя они взаимодействуют на расстоянии через свои электрические поля; можно говорить о столкновении нейтрона или альфа-частицы с ядром, хотя и здесь нет непосредственного касания частиц, а взаимодействие осуществляется с помощью ядерных или электрических сил.
Особенностью теории столкновений является то, что мы детально не анализируем механизм взаимодействия. Причина заключается в том, что анализ сил, возникающих при столкновении, весьма затруднителен, а во многих случаях и просто невозможен. Так, например, обстоит дело с ядерными силами, закон изменения которых с расстоянием пока еще не найден.
Естественно, что в результате мы лишаемся возможности детально описать закон движения частиц, не можем рассчитать траектории, мгновенные скорости и т. п. Но зачастую это нас особенно и не интересует, тем более, что для микрочастиц точное задание траектории и мгновенных скоростей (или импульсов) иногда просто невозможно из-за соотношения неопределенностей.
Задача о столкновениях обычно формулируется так: заданы импульсы и кинетические энергии частиц до столкновения; как найти значения этих величин после того, как столкновение произошло? Оказывается, что для решения этой задачи детальный анализ взаимодействия не нужен.
Ниже мы рассмотрим теорию столкновений только в приближении ньютоновской механики, когда скорости частиц много меньше скорости света в вакууме, а массы частиц достаточно велики. Кроме того, для простоты рассуждений мы рассмотрим столкновение только двух частиц. Несмотря на кажущуюся ограниченность такой постановки задачи, она окажется полезной для анализа многих реальных физических явлений. Рассмотрим некоторые задачи, для решения которых достаточно применить закон сохранения импульса.
Абсолютно неупругий удар
Удар называется абсолютно неупругим, если тела после соударения движутся с одинаковой скоростью, образуя одно новое тело. Примером может служить, скажем, попадание снарядов в платформу с песком, удар метеорита о Землю и т. п.
Пусть частица с массой тг движется со скоростью ①力 а частица с массой 篤2 ——со скоростью 舒纟・ Частицы встретились в некоторой точке и слиплись. Какова скорость вновь образовавшегося тела (рис., 17.1)? Поскольку мы рассматриваем нерелятивистский случай, массы тел при изменении скорости не меняются, и масса
образовавшегося тела М = ш工十 m2. На основе закона сохранения импульса имеем
加上"1 + 他2"2 =(% + 加2)z,(17.1)
откуда
0 =2.(17.2)
小十九2'
Следует обратить внимание на то, что скорости и импульсы — векторы, и потому нельзя (17.1) понимать как арифметическую сумму. Сложение здесь выполняется по правилу сложения векторов
(рис. 17.2). В частности, если
%&тела движутся по одной прямой
——•5j；—~-不•—一навстречу друг другу, то одному
/2вектору следует приписать знак
Рис. 17.3.плюс, другому —— минус (рис.
17.3).
При неупругом ударе сумма кинетических энергий частиц до удара не равна кинетической энергии тела, образовавшегося после удара.
Это совершенно очевидно для случая неупругого столкновения двух тел, импульсы которых равны и противоположно направлены. Здесь кинетическая энергия тела после столкновения равна нулю, а сумма кинетических энергий сталкивающихся тел до удара, естественно, нулю не равна. То же справедливо и для случая, когда тело, относительно данной системы отсчета, распадается на два осколка.
В качестве примера рассмотрим конкретную задачу о так называемом альфа-радиоактивном распаде. При этом ядро некоторого радиоактивного элемента выбрасывает альфа-частицу (ядро гелия); вновь образовавшееся ядро испытывает отдачу.
Допустим, что нам известна кинетическая энергия альфа-частицы К и нас интересует кинетическая энергия нового ядра, которую мы обозначим буквой R. Эта задача легко решается на основе закона сохранения импульса.
Пусть масса альфа-частицы равна т, а масса ядра до распада М, тогда масса нового ядра равна М — /п. Предполагая, что ядро до распада покоилось относительно лабораторной системы отсчета, получим в соответствии с законом сохранения импульса:
^=P^PR'(17.3)
Следовательно, импульсы альфа-частицы и нового ядра равны по величине и противоположны по знаку.
Пусть альфа-частица движется с нерелятивистской скоростью; скорость нового ядра будет еще меньше. Их кинетические энергии найдем по формуле (16.5):
к』，
(17.4)
Отношение
Изменение
кинетических энергий К М — т
Rт *
энергии первоначального ядра
(17.5)
Д4
(17.6)
Рассмотрим конкретный числовой пример. Как показали исследования, ядра радия при распаде выбрасывают альфа-частицы с кинетической энергией К = -二 5,681 Мэв; мйсса ядра радия в 56 раз больше массы альфа-частицы (М — 56/孔). Тогда кинетическая энергия ядра, образовавшегося в результате радиоактивного распада,
R=爬产唱^。，侬mЗв.
а полная энергия реакции
A6 = K+r = 5,784 МэВ.
Упругий удар
Удар называется упругим, если, кроме суммы импульсов, сохраняется сумма кинетических энергий соударяющихся тел. Это вовсе не означает, что не меняется энергия каждого из них. Напро
тив, при ударе меняются скорости тел, а вместе с ними — импульсы и кинетические энергии. Но сумма импульсов и сумма кинетических энергий при упругом ударе сохраняется.
При упругом столкновении двух тел получим такую систему уравнений:
网+p2 =p；+0；，)
где без штрихов обозначены энергии и импульсы до удара, штрихами —— после удара.
Рассмотрим упругий центральный удар двух шаров, т. е. такой удар, когда векторы скоростей направлены по прямой, соединяющей центры этих шаров. Для про
стоты рассуждений будем рассматривать 夕 —尸 守 явление в той системе отсчета, относитель-「《 .
но которой шар т2 покоится (рис. 17.4),
а шар mt движется со скоростью и. Уравнения (17,7) примут вид
Или так:Или так:(17.8)(17.8)т^^т^^т^ \加粗2 tn^ I m2vl (
Или так:
Или так:
(17.8)
(17.8)
m1(02一^)=62若.)
Разделив второе равенство на первое, имеем
0+ %=%.(17.9)
откудаоткудаПодставив (17.9) в первое равенство системы (17.8), получим
откуда
откуда
(17.10)(17.10)U = -X-_2 и。9 = —г2— у.
(17.10)
(17.10)
1加1十加28 加1十/П?
Остановимся на некоторых интересных частных случаях.
^* ^ п^* ^ пЕсли т2 = ть тои—О, % = s Следовательно, при упругом центральном ударе шара о покоящийся шар равной ему массы первый шар остановится, второй же приобретет скорость первого шара. Если эти шары к тому же неразличимы (например, молекулы), то результат будет такой, как будто бы первый шар «прошел сквозь второй» и продолжал двигаться с той же скоростью, а неподвижный шар так и остался на месте.
^* ^ п
^* ^ п
Если 加1>加2, то OVsvu, a v2>v. В предельном случае, когда 恤»%, скорость массивного шара почти не изменится, а легкий шар, покоившийся до удара, полетит со скоростью Uz^2u.
Если % <加2, то—uWs之。,т. е. легкий шар, налетев на массивный, отразится в обратном направ
лении. Массивный же шар т2 приобретет скорость 0^у2<у.
В предельном случае, когда т2^ть можно положить, что отношение тг/т2 стремится к нулю. Тогда из (17.10) следует, что 力=0; скорость же первого шара
他 1一加2 „ 一(恤/扬2)-1 7, „ 九
- m1十扰2 U _(恤/加2)十1 —-，
т. е. шар при ударе о массивную стенку отразится от нее с той же скоростью, с которой он на нее налетает (рис. 17.5); скорость стенки практически не изменится.
Замедление нейтронов
Для некоторых ядерных реакций необходимо замедлить нейтроны, т. е. уменьшить их кинетическую энергию от нескольких Мэв до сотых долей электрон-вольта. Замедление достигается за счет упругих соударений нейтронов с ядрами веществ а -з амедл ител я. Найдем коэффициент замедления г, равный отношению энергии, потерянной нейтроном при одном соударении, к его первоначальной кинетической энергии.
Пусть масса ядра замедлителя М, его скорость после удара и =-—р-^ у (см. (17.10)). Энергия, потерянная нейтроном, равна энергии, которую получило ядро замедлителя; итак,
Д^ 也江2*2 4тМ
『=而十〃р ， (17.11)
В качестве замедлителя часто используется углерод. Масса его ядра в 12 раз больше массы нейтрона. Из (17.11) при М= 12m получим
Г =匕¥ = 0,284 = 28,4%.
Для определения числа соударений до полного замедления нейтронов проделаем такой расчет. Если начальная кинетическая энергия нейтрона равна 148
К, то после одного соударения
К1 = К-АК = К(1-「)・
После второго соударения
k2=k1 -△k1=k1(1一Г)=k(1一，产
Очевидно, что после п столкновений кинетическая энергия
кП = k (1 一 Г产.
Полагая К= 1,75 МэВ = 1,75* 106 эВ, Kl 0,025 эВ, г — 0,284, получим: 0,025 — 1,75- 106-0,716га или 7-107= 0,716~^, откуда
—一 1g (7・ 13)_—7,845_
"=一瓜露7历— =一0」45 = 3 ,
И та к, если бы упругое соударение нейтрона с ядром углерода было всегда центральным, то за 54 соударения его кинетическая энергия уменьшилась бы с 1,75 МэВ до 0,025 эВ, т. е. в 70 миллионов раз! Однако на самом деле кроме центральных ударов происходят косые соударения, при которых нейтрон теряет меньше энергии, чем при центральных. Поэтому для получения соответствующего за- мсдления потребуется некоторое увеличение числа столкновений.
Значительно более эффективным замедлителем служит «тяжелая» вода, в
которой атомы водорода замещены атомами «тяжелого» водорода ——дейтерия. Здесь' М — 2т, г —■—^^-^ ——-, Подставив в (17.11), получим К%= К/9% По-
лагая, как и выше, К = 1,75 МэВ, Кп~ 0,025 эВ, получим 〃=7・
Давление потока частиц на стенку
Рассмотрим поток, состоящий из одинаковых частиц с массой
"Z, которые все движутся со скоростью。 перпендикулярно некото
рой стенке, масса которой значительно больше массы всех частиц
Рис. 17.6.Рис. 17.6.(рис. 17.6). Из рисунка видно, что за время А/ к стенке подойдут все частицы, содержащиеся в объеме V = S Ы = 5уЛ/. Если концентрация частиц (число частиц в единице объема) равна 几, то за время А/ о стенку ударится N частиц:
Рис. 17.6.
Рис. 17.6.
N==nV=-nSvM. (17.12)
При ударе о стенку на частицу действует сила, равная изменению импульса частицы в единицу времени:
/-A(mv)/A/. (17.13)
По третьему закону Ньютона частица действует
на стенку с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Учитывая, что на стенку за время А/ падает ^ частиц, найдем полную силу:
F — —/W ^= —nSv* △ (my).(17.14)
Изменение импульса частицы зависит от характера ее удара о стенку.
При упругом ударе частицы о неподвижную стенку ее скорость меняется на противоположную (см. § 17.3).
Итак, %ач = 5 %н= —5 изменение импульса
А (^и)упр = /п%он—m%ag - ~2mu.(17.15)
Подставив в (17.14), получим
尸 упр = 2Snmu2.(17.16)
По определению давлением р называется отношение силы 尸 к площади S, на которую эта сила действует (причем направление силы перпендикулярно площадке):
p = F/S.
Отсюда следует, что давление, которое оказывает поток частиц при упругом ударе о стенку, выразится так:
(17.17)(17.17)p^^2nmvz.
(17.17)
(17.17)
При неупругом ударе, когда частицы как бы «прилипают» к стенке, давление оказывается в два раза меньше. Действительно, здесь начальная скорость инач = и, а конечная скорость икон = 0. Изменение импульса
А (ти)неупр 工 m%°H — rnvHa4 = — mv.(17.18)
Подставив в (17.14), получим
(17.19)(17.19)^неУпр^5пти2,%7叩=孔m陋
(17.19)
(17.19)
Полученные выражения для силы, с которой поток действует на стенку, являются весьма общими. Они пригодны, например, для вычисления давления газа (см. § 26.1), для расчета светового давления и т. д.
Применим их для вычисления силы, с которой поток жидкости действует на стенку. Произведение р = тп есть плотность жидкости. Действительно, умножив концентрацию — число молекул в единице объема — на массу одной молекулы, мы получим массу вещества в единице объема, т. е. плотность вещества.
Итак,
2sp 吟(17.20)
Reynp = Spu2.(17.21)
По существу, аналогичными формулами мы уже пользовались в гл. 11 для оценки сил сопротивления, испытываемых телом при его движении в жидкости (см. (11.10)). Там выражение было получено из анализа размерностей, в данной же главе мы его вывели на основе закона сохранения импульса.
ГЛАВА 18
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Работа переменной силы
Как уже указывалось (§ 16.4), элементарной работой силы 尸 на бесконечно малом перемещении AZ называется произведение модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между этими векторами:
ДА = F AZcosa,
Иными словами, элементарная работа равна произведению тангенсиальной составляющей силы на модуль перемещения'.
\A=FtM.
В зависимости от того, является ли угол а острым или тупым, элементарная работа ДА может быть как положительной (если 0<а<л/2, то ДА>0), так и отрицательной (если л/2<а<л, то ДА<0).
Для вычисления работы на конечном участке пути разобьем весь путь на малые перемещения и вычислим элементарную работу на каждом из них. Сумма элементарных работ и будет искомой работой силы на конечном участке пути:
4 = А&+А4+ ・・・+А4=尸尸А4 + 6"А厶+••・+尸尹А* (18.1)
Строго говоря, здесь всегда возникает некоторая ошибка, зависящая от способа разбиения пути на малые участки. Точный результат получится лишь s пределе, когда путь будет разбит на бесконечно большое число бесконечно малых перемещений:
4 工 lim 3?)А% + 尸沪 А/3+..，+ 尸严 Д/л). о
(18.2)
Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути выразится так:
Л = F^l ~ Fl cos а,(18.3)
Действительно, в этом случае можно в формуле (18.1) вынести общий множитель /
элементарных перемещений Д/ даст пройденный путь Z.
Эту работу можно изобразить на графике (рис, 18.1). Графиком тангенциальной компоненты силы при Ft = const является прямая, параллельная оси абсцисс. Тогда работа на участке пути / = /2 —厶 численно равна площади заштрихованного прямоугольника. При этом нужно учесть переводной масштаб — единичная площадка изображает единицу работы (на нашем рисунке 1 сма изображает 1 Дж).
В общем случае тангенциальная компонента силы является переменной величиной (рис. 18.2). Для графического вычисления работы разобьем путь / на несколько малых участков. Наименьшие значения силы на каждом участке (в нашем случае ——левые ординаты) умножим на соответствующие перемещения и сложим.
Площадь полученной таким образом внутренней ступенчатой фигуры изображает некоторую работу ЛМИ[); поскольку мы на каждом перемещении брали наименьшее значение силы, то работа Амнн меньше искомой работы А.
Если проделать такой же расчет, но выбрать на каждом перемещении наибольшие значения силы (на рис. 18.3 — правые ординаты), то площадь выступающей ступенчатой фигуры изображает некоторую работу Амакс, которая больше искомой работы Л. Итак,
Смнн、с、Смаке。
Если увеличить число разбиений, скажем, вдвое, то площадь внутренней ступенчатой фигуры увеличится, а площадь внешней —— уменьшится (рис. 18.4). В курсах высшей математики доказывается, что при неограниченном возрастании числа разбиений (соответственно при А/т 0) площади обеих ступенчатых фигур имеют общий предел, равный площади криволинейной трапеции, которая и даст точное численное значение работы переменной силы.
Итак, работа переменной силы изображается на графике площадью криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, сверху — графиком силы и с боков —— ординатами крайних точек.
Работа упругой силы
Вначале мы вычислим работу внешней силы, растягивающей пружину. По третьему закону Ньютона внешняя сила равна по модулю силе упругости, но имеет противоположное направление (戸вненш=——尸упр)； учитывая выражение для упругой силы, получим 尸 внешн =々•г,(18.4)
где k ——коэффициент упругости. График этой силы изображен на рис. 18.5. Работа внешней силы на участке пути Z = х2 ——％i численно равна площади заштрихованной трапеции:
л =尸1 + 尸2 / = hx't一*(y _г、= 归元^ 归元； UR 4) ■^*внешн — 2 2 — 2 (/ 尤J — 22 ' ^10.0)
Работа упругой силы на том же участке отличается только знаком, следовательно,
Аупр =岑—壊(18.6)
При %iV%2, т・ е. при растяжении пружины, упругая сила совершает отрицательную работу, что соответствует правилу о знаке силы: силы притяжения считаются отри
цательными, силы отталкивания ——по- 《〃勿^ ложительными (см. § 10.2).
Рис. 18.5.Рис. 18.6.
Действительно, при увеличении расстояния между притягивающимися телами сила притяжения составляет тупой угол с направлением перемещения (л/2<а^л), а косинус тупого угла является отрицательным числом. Здесь сила притяжения совершает отрицательную работу (рис. 18.6, а). Сила же отталкивания составит острый угол с направлением перемещения (О&а V兀/2); она совершает положительную работу (рис. 18.6, 6).
Работа кулоновской силы
Нам удалось довольно легко вывести выражение для работы упругой силы, ибо здесь работа изображается площадью обычной трапеции. Несколько труднее вычислить работу кулоновской (или гравитационной) силы.
Действительно, здесь сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, и графиком этой силы является кривая линия. Поэтому работа изображается площадью криволинейной трапеции (рис. 18.7), этакие площади мы вычислять не умеем. Для расчета воспользуемся численными методами.
Найдем работу, которую совершает кулоновская сила при перемещении заряда вдоль радиуса от Aj = 2 м до г2 ^ 3 м. Для простоты расчетов положим, что qiqJ4兀2о = 1. Тогда выражение для
Рис. 18.7.Рис. 18.7.силы примет вид
Рис. 18.7.
Рис. 18.7.
F = 1/儿(18.7)
Разобьем путь / = f —乙 на 10 равных участков. Элементарную работу вычислим как произведение средней силы на длину перемещения Аг:
А4=%рА「，(18.8)
где за среднее значение силы примем полусумму ее значений в начале и конце перемещения:
尸ср = % (尸на» + 尸ко)
Результаты вычислений сведем в табл. 18.1.
Таблица 18 1
л
Г
戸
Fcp-2
дл =
工尸cpAr
力n=А01+
+ ДЛ2++
+ △4
г 1Г"
1
2,000
0,2500
0,2384
0,0238
0,0238
0,5000
0,0238
2
2,100
0,2268
0,2167
0,0217
0,0455
0,4762
0,0455
3
2,200
0,2066
0,1978
0,0198
0,0653
0,4545
0,0652
4
2,300
0,1890
0,1813
0,0181
0,0834
0,4348
0,0833
5
2,400
0Д736
0,1668
0,0167
0,1001
0,4167
0,1000
6
2,500
0,1600
0,1539
0,0154
0,1155
0,4000
0,1154
7
2,600
0,1479
0,3846
0,1425
0,0142
0,1297
0,1296
8
2,700
0*1372
0,1324
0,0132
0,1429
0,3704
0,1429
9
2,800
0,1276
0,1232
0,0123
0,1552
0,3571
0,1552
10
2,900
0/189
0,1150
0,0115
0,1667
0,3448
0Д667
11
3,000
0,1111
0,1076
0,0108
0,1775
0,3333
0,1774
12
3,100
0,1041
0,3226
Анализ этой таблицы показывает, что с хорошей степенью точности (четыре значащие цифры) работа силы (18.7) может быть выражена так:
L
<1<2
Если бы мы провели расчет не для частного случая, когда ^172/4л80 ■= 1, а для общего случая произвольных зарядов, мы получили бы для работы кулоновской силы выражение
яСкуляСкул91020102910201024леогх 4ле0г2 “4леогх 4ле0г2 “(18.10)(18.10)
я
Скул
я
Скул
91020102
91020102
4леогх 4ле0г2 “
4леогх 4ле0г2 “
(18.10)
(18.10)
междумеждузарядами силы от-зарядами силы от-с「равс「равFI 1~FI 1~(18.12)(18.12)
между
между
зарядами силы от-
зарядами силы от-
с「рав
с「рав
FI 1~
FI 1~
(18.12)
(18.12)
Рекомендуем читателю самостоятельно показать, что в полном
соответствии с положением, выведенным в конце предыдущего
параграфа, при увеличении расстояния
талкивания произведут положительную работу, а силы притяжения ——отрицательную.
Рассчитаем работу кулоновской силы при перемещении заряда по произвольной криволинейной траектории (рис, 18.8).
Разобьем эту кривую на бесконечно малые перемещения AZ, которые в первом приближении можно считать бесконечно малыми отрезками. Элементарная работа на этом участке
ДА =FA/cosa-FAr, (18.11)
ибо, как видно из чертежа,
Д/cosa = Аг. Это выражение совпадает с (18.8), когда мы рассматривали перемещение заряда вдоль радиуса. Сумма всех элементарных работ
А = FiAAcosM + F2A/2cosa2 +・・・+ 尸工А/ + Г2Дг2+...
Взяв средние значения силы и произведя численный расчет, мы придем опять к выражению (18.10).
Итак, работа кулоновской силы не зависит от формы траектории заряда; она определяется только радиусами-векторами начальной и конечной точек траектории.
Работа гравитационной силы
Расчет работы гравитационной силы фактически ничем не отличается от расчета работы кулоновской силы. Следует лишь в формуле (18.10) заменить ^1^2/4ле0 выражением утгт2 и изменить знак, ибо гравитационная сила всегда является силой притяжения. Получим
получим выражение для работы силы тяжести:
Л =Л =утМ I утМутМ I утМутЛЙR(R+"утЛЙR(R+"(18.13)(18.13)Работа внешней силы имеет противоположный знак, следовательно,Работа внешней силы имеет противоположный знак, следовательно,к _ ymMh*внешн= R(R_|_^・к _ ymMh*внешн= R(R_|_^・(18.14)(18.14)Если высота h много меньше радиуса Земли, то можно приближенноЕсли высота h много меньше радиуса Земли, то можно приближенно勿力勿力Рис. 18 9.Рис. 18 9.точностью доточностью доположить R + h^ R. Используя (9.11), получим ^внешн =yrnMh/R2 - mgh. (18.15) Собственно, этот результат можно было получить совершенно элементарно. На небольших высотах над Землей сила тяжести Р = trig является постоянной величиной, А для постоянной силыположить R + h^ R. Используя (9.11), получим ^внешн =yrnMh/R2 - mgh. (18.15) Собственно, этот результат можно было получить совершенно элементарно. На небольших высотах над Землей сила тяжести Р = trig является постоянной величиной, А для постоянной силыЯ СвнетнЯ СвнетнPh = mgh.Ph = mgh.Однако предложенный выше вывод хотя и более сложен, но зато позволяет оценить погрешность, которую мы получаем, заменяя точную формулу (18.14) приближенным выражением (18.15). Действительно, пусть нам нужно вычислить работу с одного процента; тогдаОднако предложенный выше вывод хотя и более сложен, но зато позволяет оценить погрешность, которую мы получаем, заменяя точную формулу (18.14) приближенным выражением (18.15). Действительно, пусть нам нужно вычислить работу с одного процента; тогда^Прибл —力 точн ^прибл^Прибл —力 точн ^прибл4Toчн4Toчн—1 <0,01.—1 <0,01.
Л =
Л =
утМ I утМ
утМ I утМ
утЛЙR(R+"
утЛЙR(R+"
(18.13)
(18.13)
Работа внешней силы имеет противоположный знак, следовательно,
Работа внешней силы имеет противоположный знак, следовательно,
к _ ymMh
*внешн= R(R_|_^・
к _ ymMh
*внешн= R(R_|_^・
(18.14)
(18.14)
Если высота h много меньше радиуса Земли, то можно приближенно
Если высота h много меньше радиуса Земли, то можно приближенно
勿力
勿力
Рис. 18 9.
Рис. 18 9.
точностью до
точностью до
положить R + h^ R. Используя (9.11), получим ^внешн =yrnMh/R2 - mgh. (18.15) Собственно, этот результат можно было получить совершенно элементарно. На небольших высотах над Землей сила тяжести Р = trig является постоянной величиной, А для постоянной силы
положить R + h^ R. Используя (9.11), получим ^внешн =yrnMh/R2 - mgh. (18.15) Собственно, этот результат можно было получить совершенно элементарно. На небольших высотах над Землей сила тяжести Р = trig является постоянной величиной, А для постоянной силы
Я Свнетн
Я Свнетн
Ph = mgh.
Ph = mgh.
Однако предложенный выше вывод хотя и более сложен, но зато позволяет оценить погрешность, которую мы получаем, заменяя точную формулу (18.14) приближенным выражением (18.15). Действительно, пусть нам нужно вычислить работу с одного процента; тогда
Однако предложенный выше вывод хотя и более сложен, но зато позволяет оценить погрешность, которую мы получаем, заменяя точную формулу (18.14) приближенным выражением (18.15). Действительно, пусть нам нужно вычислить работу с одного процента; тогда
^Прибл —力 точн ^прибл
^Прибл —力 точн ^прибл
4Toчн
4Toчн
—1 <0,01.
—1 <0,01.
Подставив точные и приближенные значения работы и сократив одинаковые множители, имеем
嘗■一 i=4<0-01-
Итак, вплоть до высот h = 0,01/? — 0,01-6371 ^ 64 км можно с точностью до 1 % пользоваться приближенной формулой (18.15).
Совершенно очевидно, что работа гравитационной силы, как и кулоновской силы, не зависит от формы траектории, по которой перемещается материальная точка; работа определяется только радиусами-векторами начальной и конечной точек траектории. Это прямо следует из полной тождественности выражений для вычисления работы гравитационной и кулоновской сил.
Консервативные силы
В предыдущих параграфах было показано, что существуют силы ——упругие, кулоновские, гравитационные,——работа которых не зависит от формы траектории, а определяется лишь координатами начала и конца траектории. Такие силы называются консервативными (от латинского conservatio ——сохранение). Покажем, что
работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории равна нулю.
Для доказательства рассмотрим некоторую замкнутую траекторию (рис. 18.10). Работы на участках М1КМ2 и МгЬМ2 обозначим соответственно Ак н AL. Из определения понятия «консервативная сила» следует, что если тело перемещается из точки Mi в точку 加官， то работа не зависит от того, движется ли оно по кривой МгКМ2 или AfiLMz； итак, 4K = 4厶・ Пусть при движении тела из точки
Mi в точку Mg совершается положительная^
работа, тогда при перемещении тела из точки弦 \
/И2 в точку Mi совершится отрицательная /№
работа, /]=——Al, Действительно, если на- 'у/
правление силы не меняется, а направление / У7 перемещения изменить на противоположное, (/ /
то работа, согласно определению, изменит vj^^^ /〃 знак.ЛГ /
Работа по замкнутой траектории есть сум- А / ма работ на участках Л^АТИ? и M2LMX\ итак,\ /
4амкн = Ак~М； = /к—乙=0・“
Рис. 18.10. Рекомендуем читателю проделать расчет
для конкретной с^лы, действующей на заданной траектории, воспользовавшись полученными выражениями для упругой (18.6), кулоновской (18.10) или гравитационной силы (18.12).
Заметим, что существуют и неконсервативные (иначе — диссипативные. от латинского dissipatio ——рассеяние) силы, работа которых существенно зависит от формы траектории. Примером может служить сила трения. Действительно, перемещая какой-либо предмет, скажем, по полу, мы совершаем работу против сил трения. Но здесь, как показывает опыт, работа существенно зависит от того, по какому пути перемещается тело. В частности, если
сила трения во всех точках поверхности пола одинакова, то работа по кратчайшему пути меньше, чем по любой другой траектории.
Работа диссипативной силы по замкнутой траектории нулю не равна. Например, работа силы трения (и любых других сил сопротивления) всегда отрицательна, ибо сила направлена против перемещения. Естественно, что на любой траектории работа этой силы в нуль не обратится.
Потенциальная энергия упругих, кулоновскихи гравитационных взаимодействий
Введем понятие о потенциальной энергии U взаимодействующих тел. Так называется энергия, зависящая от взаимного расположения этих тел. Иначе ее называют взаимной потенциальной энергией.
Во всех рассмотренных примерах (формулы (18.6), (18.10), (18.12)) работа консервативных сил равнялась разности двух выражений, являющихся функциями координат начала и конца траектории. Следовательно, эта работа равнялась изменению потенциальной энергии системы взаимодействующих тел:
A = U* — U 父 (18.16)
Сравнивая формулы (18.6) и (18.16), мы получим следующее выражение для потенциальной энергии упругих сил:
4пр = ^2/2・(18.17)
Очевидно, что потенциальная энергия равна нулю при х = 0, т. е. в том случае, когда пружина не деформирована.
Аналогичное сравнение формул (18.16) и (18.10) позволяет получить выражение для потенциальной энергии кулоновских сил'.
(18.18)(18.18)〃—01%
(18.18)
(18.18)
КУ" ~ 4Л8о7 #
Заметим, что здесь потенциальная энергия стремится к нулю в том случае, когда расстояние между взаимодействующими зарядами неограниченно возрастает (厂—8). Если заряды q* и q2 имеют одинаковый знак, то между ними действует сила отталкивания, а потенциальная энергия является положительной величиной. Если же заряды ^i и q2 имеют разные знаки, то между ними действует сила притяжения, и потенциальная энергия является отрицательной величиной.
Потенциальная энергия гравитационных сил может быть найдена путем сравнения формул (18.16) и (18.12):
^грав^гравy恤恤y恤恤(18.19)(18.19)
^грав
^грав
y恤恤
y恤恤
(18.19)
(18.19)
Здесь потенциальная энергия является отрицательной величиной, ибо гравитационная сила является силой притяжения. При неограниченном увеличении расстояния между взаимодействующими те
лами (г->оо) потенциальная энергия стремится к нулю, т. е. воз
растает за счет работы внешней силы, которая увеличивает расстоя
ние между взаимодействующими телами.
Определенный интерес представляет значение потенциальной энергии сил тяжести вблизи поверхности Земли. Положим в выражении (18.16) энергию на поверхности Земли Ux =0, энергию % на
высоте Л обозначим через U; вместо работы силы тяжести подста
вим выражение (18.13). Получим
(18.20)
При небольших высотах 也«R) имеем приближенное выражение
(18.21)(18.21)U = mgh.
(18.21)
(18.21)
Последние два выражения часто называют потенциальной энергией тела в поле тяжести. Такая терминология не вполне точна: фактически потенциальной энергией обладает не само тело, а система, состоящая из Земли и этого тела. Однако если об этом не забывать, подчеркивая наличие поля тяжести (которое создается Землей), то такое словоупотребление не принесет вреда. Аналогично можно говорить о потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Но совершенно недопустимо говорить просто о потенциальной энергии тела, не указывая на поле, в котором находится это тело.
Заметим, что потенциальную энергию мы можем найти лишь с точностью до некоторой произвольной постоянной слагаемой. Действительно, прибавим ко всем значениям потенциальной энергии некоторую константу; новое значение потенциальной энергии Uf выразится так:
Uf = U + const.
При таком преобразовании потенциальной энергии работа не изменится. Действительно,
/V = (7； — Uj = (U * 4~ const) — (U2 + const) = U 】一 U 2 = A.
Полученный результат часто формулируется следующим образом: нулевой уровень потенциальной энергии может быть выбран произвольно; при переходе к другому нулевому уровню значения потенциальной энергии во всех точках изменяются на одно и то же слагаемое; работа же силы сохраняет свою величину.
Именно учитывая это свойство, мы подробно рассматривали вопрос о нулевом уровне потенциальной энергии упругого, кулоновского и гравитационного взаимодействия.
Потенциал электростатического поля
В гл. 10 мы характеризовали электрическое поле с помощью силовой характеристики — вектора напряженности Е. Однако можно ввести и энергетическую характеристику поля — скалярную величину ф, называемую потенциалом.
Потенциал точки поля численно равен отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда, помещенного в эту точку поля, к величине этого заряда:
q = Ujq. (18.22)
Если пробный заряд перемещается из точки поля с потенциалом (Pi в точку поля с потенциалом 屮纟,то при этом поле совершает работу
A^Ur — U^q^ —屮 J (18.23)
Итак, работа, совершаемая электрическим полем при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую, равна произведению заряда на разность потенциалов.
Электрические силы являются консервативными; их работа не зависит от формы траектории и определяется только значениями потенциала начальной и конечной точек пути. Отсюда следует, что потенциальное электрическое поле неспособно заставить электрические заряды перемещаться по замкнутой траектории.
Единицей потенциала в системе СИ является вольт (В). Вольт равен потенциалу точки поля, где пробный заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж. Естественно, что если разность потенциалов между двумя точками поля равна 1 В, то электрические силы, перемещая между этими точками пробный заряд 1 Кл, совершат работу 1 Дж：
в=^.
1 Кл
Теперь можно обосновать смысл единицы энергии электронвольт, введенной в § 16 6: электрон-вольт есть энергия, приобретенная частицей, несущей на себе элементарный заряд (т. е. заряд электрона), при движении ее между точками поля с разностью потенциалов в 1 В. Поскольку е = 1,6- 10~1Э Кл, а 屮】——屮纟=1 В, то
1 эВ — 1,6-10-19 Кл■ 1 В — 1,6 10-19 Дж.
Рекомендуем читателю самостоятельно показать, что единица
потенциала составляетпотенциала составляет1. Если1. Еслив абсолютной электростатической системе единиц СГС 300 в.
потенциала составляет
потенциала составляет
1. Если
1. Если
Потенциал поля точечного заряда
обозначить через Q точечный заряд, создающий поле,
(18 24)(18 24)а через q ——пробный заряд, то потенциальная энергия пробного заряда на расстоянии г от источника поля согласно (18 18) примет вид
(18 24)
(18 24)
Отсюда следует, что потенциал поля точечного заряда равен
(18.25)(18.25)中=岛・
(18.25)
(18.25)
Из данного выражения вытекает, что потенциал поля точечного заряда обращается в нуль в бесконечно удаленной точке. Однако такой выбор нулевого уровня потенциала хотя и удобен, но вовсе не обязателен. В принципе можно нуль потенциала выбрать в любой точке поля (см. § 18.6, п. 6). От этого изменятся потенциалы всех точек поля на одно и то же постоянное слагаемое, однако работа электрических сил не изменится, так как она зависит не от абсолютных значений потенциалов, а от разности потенциалов, которая при этом не меняет своей величины.
Аналогично потенциалу поля электрического заряда можно ввести понятие о потенциале гравитационного поля. Потенциал поля 160
частицы с массой М на расстоянии г от нее согласно (18.19) равен
ЧРграв = — ?М〃・(18.26)
При этом потенциал обращается в нуль в бесконечно удаленной точке. Если же положить, что потенциал равен нулю иа поверхности Земли, то, согласно (18.20), потенциал гравитационного поля на высоте h над поверхнЬстью Земли равен
中грав = R 消.九)=g^ V^ •(18.27)
А на небольших высотах (А«R) имеем приближенно
屮 FpaB=gA“(18.28)
Энергия электрического поля
Потенциальная энергия двух зарядов q* и д^ как было показано в § 18.6, равна
Но выражение 9х/4л^г = ф! есть потенциал поля, созданного зарядом q* в точке, где находится заряд g窘；а выражение ^а/4леог =屮$ есть потенциал поля, созданного зарядом 夕力 в точке, где расположен заряд 9i・ Поэтому выражение для потенциальной энергии двух взаимодействующих зарядов может быть записано так: /
u = %92 = 9會屮］.(18.29)
Полусумма двух равных величин равна каждой из них; следовательно,
U =% (仇％ 4-仆＜р)(18.30)
Для совокупности многих зарядов потенциальная энергия вычисляется аналогичным образом ——как полусумма произведения каждого заряда на сумму потенциалов полей, созданных всеми зарядами, кроме него самого: q* умножается на сумму всех потенциалов, но без ф!； ^密一 на сумму всех потенциалов, кроме ф2, и т. д. Причина заключается в том, что поле, созданное некоторым неподвижным зарядом, действует на любые другие заряда, но не на этот заряд.
ГЛАВА 19
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКЕ
§ 19Л. Механическая энергия и ее сохранение
Рассмотрим систему тел, в которой действуют только консервативные силы. Физическая величина W, равная сумме кинетической 〃 потенциальной энергии, на^аетс^ механической энергией системы:
6 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 16 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1* = K+U・(19.1)
6 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1
6 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1
161
В ньютоновской механике эта величина играет исключительно важную роль.
Допустим, что рассматриваемая консервативная система тел является замкнутой,— это значит, что в ней действуют только внутренние силы. Из соотношения (16.14) следует, что работа внутренних сил равна изменению кинетической энергии, а из (18.16) — что она равна изменению потенциальной энергии. Итак,
4=Kz-Kt и A^Ur — U^
Приравнивая правые части этих выражений, получим или
(19.2)
Следовательно, сумма кинетической и потенциальной энергии, т. е. механическая энергия системы, сохраняется:
/ = K+U = 8nst・(19.3)
Мы получили закон сохранения энергии в ньютоновской механике. Его можно сформулировать так: механическая энергия замкнутой консервативной системы сохраняется.
Механическая энергия и трение
Сформулированный выше закон сохранения энергии в ньютоновской механике является в некоторой степени идеализацией условий реального эксперимента. Действительно, во всякой реальной системе тел действуют силы трения, которые не являются консервативными. Поэтому закон сохранения механической энергии выполняется лишь приближенно и тем точнее, чем меньше силы трения по сравнению с упругими, электрическими или гравитационными силами.
Опыт показывает, что существуют такие системы тел, где силами трения можно в первом приближении пренебречь. В этом случае расчеты, проведенные на основе закона сохранения механической энергии, хорошо оправдываются на практике.
Если же силами трения пренебречь нельзя, то можно внести поправку, учитывающую трение, написав закон сохранения механической энергии в таком виде:
吃=吃+4,，(19.4)
где Wi и F2 — механическая энергия в начале и в конце процесса, 4Tp——работа сил трения. Кстати, часто именно таким образом оказывается возможным определить силу трения.
Ниже будут рассмотрены некоторые примеры применения закона сохранения механической энергии.
162
Космические скорости
Попытаемся рассчитать, какую скорость следует сообщить ракете, чтобы она вышла на круговую орбиту вокруг Земли. Обозна
чим ее орбитальную скорость vop6, скорость запуска и, радиус орбиты г (рис. 19.1).
тМГтМГ呜6呜6(19.5)(19.5)На ракету, движущуюся на круговой орбите, действует сила тяготения Земли, сообщающая ей нормальное ускорение а = v§p6/r. По второму закону Ньютона
тМ
Г
тМ
Г
呜6
呜6
(19.5)
(19.5)
Однако нас интересует не орбитальная Рис. 19.1. скорость, а скорость запуска. Для ее нахождения воспользуемся законом сохранения энергии в ньютоновской механике: суммы потенциальной и кинетической энергии на поверхности Земли и на орбите равны между собой,
(19.6)(19.7)(19.6)(19.7)илиилиmua 、тМ ^орб у/иМ~2~~mua 、тМ ^орб у/иМ~2~~Кщ(в + ^«®В = Корб 十 〃op6'
(19.6)
(19.7)
(19.6)
(19.7)
или
или
mua 、тМ ^орб у/иМ
~2~~
mua 、тМ ^орб у/иМ
~2~~
Учитывая (19,5), имеем
тиа y加m Y加m ymM
Окончательно получим
и=]Дм (斎一；).(19.8)
Мы провели расчет без учета сопротивления воздуха. В реальных условиях, когда ракета запускается в атмосфере, скорость запуска должна быть увеличена. Однако расчет истинной скорости запуска весьма сложен, и здесь он не может быть выполнен.
Рассчитаем первую космическую скорость, т. е. скорость запуска при условии, когда ракета вращается недалеко от поверхности Земли. В этом случае r^ R, поэтому
g (斎(19.9)
Поскольку на малых высотах g = yM/R2j то
и】 = UgR =/9,81 м/с2*6,37■ 10е м = 7,91 • 103 м/с ^ 8 км/с.
Итак, первая космическая скорость составляет 8 км/с.
Второй космической скоростью называется скорость запуска ракеты при условии, что оиа покинет поле тяготения Земли и станет 6*163
искусственной планетой. В этом случае можно положить, что ракета уйдет на бесконечно далекую орбиту. Полагая в (19.8), что г->оо, имеем
S ，2yM/R = vr К2== 7,91 • 1,414 = 11,2 км/с.
Вторая космическая скорость почти в полтора раза больше первой.
«Чертова петля»
Пусть велосипедист скатывается* не вращая педали, по вертикальному треку «чертова петля» (рис. 19.2). Требуется определить минимальную высоту Н, с которой должен начаться спуск, чтобы велосипедист не сорвался в верхней точке петля, т. е. в наиболее опасном участке траектории.
В верхней точке на велосипедиста действуют две силы, сила тяжести Р — mg п реакция трека ^; их равнодействующая сообщает велосипедисту нормальное ускорение а—典匕 Согласно второму закону Ньютона
mg+N^mv^/r, (19 10)
mgH~ mg-2r -J-mgH~ mg-2r -J-mv2mv222£)8ИЛИ Н —2г+-^7 .£)8ИЛИ Н —2г+-^7 .Чтобы найти скорость в верхней точке петлн, используем за кои сохранения энергии: потенциальная энергия в начале спуска (иа высоте Я) должна быть равна сумме кинетической и потенциальной энергии в верхней точке петли (иа высоте 力=2г),
mgH~ mg-2r -J-
mgH~ mg-2r -J-
mv2
mv2
2
2
£)8
ИЛИ Н —2г+-^7 .
£)8
ИЛИ Н —2г+-^7 .
Подставив значение № из (19.10), имеем
Минимальная высота (без учета трения) получится, если в верхней точке петли велосипедист проскальзывает, почти не касаясь трека. Тогда реакция трека " = 0 и Н— 2,5г.
§ 19,5. Потенциальные кривые
Часто материальная точка может двигаться только по некоторой заданной кривой, например вдоль оси абсцисс. В этом случае ее потенциальная энергия зависит только от одной переменной, т. е. потенциальная энергия выражается в виде функции U = f (х). График, изображаквдий зависимость потенциальной энергии от расстояния, называется потенциальной кривой. Оказывается, что анализ формы этого графика дает очень много сведений о характере движения точки-
В качестве примера рассмотрим движение частицы под действием упругой силы (рис. 19.3). При х==х0 пружина не деформирована и сила, действующая на частицу, равна нулю. При отклонении частицы от положения равновесия на нее действует сила 464
F=—k(x — xj・ Заметим, что при х>х0 сила отрицательна(притя- женне), а при %V%o — положительна (отталкивание).
Потенциальная энергия частицы (см. (18.17)) равна
и =£；*"'•(19.11)
Она изображается на графике (рис. 19.3) в виде параболы с вершиной в точке х = х0. Механическая же энергия частицы 取=К + U является постоянной величиной, и она изобразится на графике прямой, параллельной оси абсцисс.
Из графика, прежде всего, видно, что кинетическую энергию в любой точке можно сразу найти как длину отрезка от Прямой W до параболы, ибо K^=W — U. Максимальное значение кинетической
Рис. 19.3.Рис. 19.3.энергии частица имеет при х = х0; здесь (7 — 0 и Кнакс = ^・ В точках же х =Л1 и х = ха кинетическая энергия частицы равна нулю, ибо здесь
Рис. 19.3.
Рис. 19.3.
Далее, из графика видно, что частица не может сместиться правее точки х2 и левее точки 无》Действительно, кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной, следовательно, потенциальная энергия не может стать больше полной *). В этом случае говорят, что частица находится в потенциальной яме с координатами
Анализ наклона потенциальной кривой позволяет сразу же определить знак силы и тем самым — характер ее действия (притяжение или отталкивание). В самом деле, элементарная работа АЛ — FAx; с другой стороны, АЛ = U* — U2 — —AU・ Следовательно, если сила — функция только одной координаты, например абс
циссы х, то 尸А# = —AU, или
(19.12)
Но на графике A(7/Ax==tga, где а ——угол наклона потенциальной кривой к оси абсцисс (рис. 19.4)* Собственно, точное значение силы
получится лишь в пределе, когда перемещение Ан стремится к нулю:
Однако нас здесь интересует только знак силы, это можно получить и без предельного перехода.
В случае, когда потенциальная энергия возрастает, потенциальная кривая образует с осью абсцисс острый угол. Тангенс острого угла ——положительное число, а сила имеет противоположный знак, т. е. отрицательный; следовательно, она является силой притяжения.
Если же потенциальная энергия убывает, то потенциальная кривая образует с осью абсцисс тупой угол, тангенс которого является отрицательным числом. В этом случае сила положительна, т. е. является силой отталкивания.
Наконец, в точках минимума или максимума энергии сила, очевидно, равна нулю, ибо в окрестностях этих точек она меняет знак. На графике касательная к потенциальной кривой в этих точках параллельна оси абсцисс (рис. 19.5).
Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что в случае, изображейном на рис. 19.6, частица с полной энергией W<ZUq будет либо находиться в потенциальной яме Х1《х&无2, либо удаляться в бесконечно удаленную точку; потенциальный же барьер Ха&х&*з эта частица не сможет преодолеть ни слева, ни справа.
Следует обратить внимание на одно весьма интересное свойство потенциальной энергии сил притяжения. Если расстояние между притягивающимися частицами убывает, то убывает и потенциальная энергия, а сила притяжения увеличивается. Наоборот, увеличение расстояния между притягивающимися частицами сопровождается ростом потенциальной энергии и уменьшением сил притяжения.
Это свойство является совершенно общим и пригодно для любых сил притяжения. Правда, его доказательство в общем виде несколько затруднительно, и мы здесь этим заниматься не будем. Прове* рить же его справедливость на примере кулоновских или гравитационных сил мы предоставим читателю.
Для этого целесообразно проанализировать потенциальную кривую гравитационного взаимодействия между двумя материальными точками, изображенную на рис. 19.7, и сравнить энергию и силу в точках с координатами /\ и г2. При построении кривой мы полагали, что потенциальная энергия равна нулю при бесконечно большом расстоянии между взаимодействующими точками (см. (18.19)). Однако это не имеет принципиального значения ——результат рассуждения совершенно не зависит от того, где выбран нулевой уровень потенциальной энергии.
Потенциальная энергияи равновесие
Анализ потенциальных кривых позволяет судить об условиях равновесия некоторого тела (точнее — материальной точки).
Тело находится 8 равновесии, если равнодействующая всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Очевидно, что равновесию соответствуют точки с ми
нимальной или максимальной потенциальной энергией (точки М и N на рис. 19 5), ибо именно в этих точках сила обращается в нуль. Однако точки максимума или минимума энергии не равноценны.
Действительно, пусть частица находится в точке хм, где потенциальная энергия минимальна. На участке Xi^х<хм потенциальная энергия убывает; следовательно, на частицу действует положительная сила отталкивания, возвращающая ее в точку М. На участке *mV%&%2 потенциальная энергия возрастает; следовательно, на частицу действует отрицательная сила притяжения, вновь возвращающая ее в точку Л1.
Итак, если частицу, находящуюся в точке с минимальным значением потенциальной энергии, вывести из этого состояния, то под действием сил она будет возвращаться в эту точку. Мы приходим к выводу, что условием устойчивого равновесия является минимальное значение потенциальной энергии.
Проведя аналогичные рассуждения для точки N, где частица обладает максимальным значением потенциальной энергии, читатель легко убедится, что здесь силы, действующие в ее ближайшей окрестности, не будут возвращать частицу в эту точку. Таким образом, максимум потенциальной энергии характеризует состояние неустойчивого равновесия.
При анализе условий равновесия мы рассматривали только ближайшую окрестность интересующей нае точки поля. Под ней следует понимать такую область, где нет дополнительных максимумов или минимумов энергии. Если не обратить внимания на это условие, то можно прийти к неверным выводам.
Так, анализируя силы, действующие на частицу, смещенную вправо от положения устойчивого равновесия (无纟＞%м，，мы утверждали, что это будут силы притяжения. Но это верно лишь до тех пор, пока частица остается левее максимума энергии. Если же переместить частицу дальше вправо, например в точку 也＞切 (см. рис. 19.5), то мы уже получим силу отталкивания, и частица не вернется в прежнее положение.
ГЛАВА 20ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
Внутренняя энергия системы частиц
В гл. 16 было показано, что полную энергию тела можно пред* ставить в виде суммы кинетической энергии и энергии покоя. Кинетическая энергия тела зависит от скорости его движения относительно избранной системы отсчета, т. е. относительно внешних тел.
Энергия покоя тела зависит от процессов, происходящих внутри этого тела, и поэтому энергия покоя иначе называется внутренней энергией.
Пусть тело с массой покоя Mo состоит из N частиц, массы покоя которых /nf* 加伊з •…加华'・ Далее, пусть эти частицы движутся С произвольными скоростями Ф1?- фв, . . ., En，но так, что при этом их центр масс остается неподвижным в Данной системе отсчета, т. е. т^г + 加2内+••・+ mN暫n = 0.
Наконец, предположим, что эти частицы находятся друг от друга на значительных расстояниях, так что взаимодействием между ними можно в первом приближении пренебречь.
На первый взгляд может показатьс^ что энергия покоя тела просто равна сумме энергий покоя частиц, из которых оно сЬстоит. Но это неверно. Действительно, хотя тело и покоится относительно системы отсчета, частицы, из которых оно состоит, определенным образом движутся. Поэтому внутренняя энергия тела 6。(т. е. его энергия покоя) равна сумме полных энергий частиц, из которых это тело состоит:
6。= 6⑴+ 8力+ .一十8" (20.1)
Учитывая, что, согласно (16.3), 8介=6伊+ К“)，где i — номер частицы, имеем
6。+6 沙+ k⑴+ k(2) +... +к(м =
™酬')+6俨 + •・• + 剖“’ + КйЬутр, (20.2) где /Свнутр = К ⑴ + К'% +...+ К'"＞ — суммарная кинетическая энергия внутреннего движения частиц, из которых состоит тело.
Выше мы рассмотрели систему невзаимодействующих частиц. На самом же деле во всех телах (за исключением разреженных 168
газов) частицы довольно сильно взаимодействуют друг с другом. Обычно эти силы являются силами притяжения. Потенциальная энергия сил притяжения является отрицательной величиной, поскольку при отсутствии сил взаимодействия мы считали потенциальную энергию равной нулю (см. § 18.6).
Обозначим через f/BHyrp суммарную потенциальную энергию взаимодействия частиц. Фактически (7внутр представляет собой энергию полей, с помощью которых осуществляется взаимодействие между частицами внутри тела. Тогда, обобщая формулу (20.2) на случай взаимодействующих частиц, получим
6о ^俨 + 部幻 + ♦・♦ + 風"'+ Квнутр + ^Внутр' (20- 3)
Итак, внутренняя энергия тела равна сумме энергий покоя чао тиц, из которых тело состоит, плюс суммарная кинетическая энергия этих частиц и потенциальная энергия полей, осуществляющих взаимодействие между частицами.
Разделив (20.3) на 炉 и учитывая, что SJc^^Mo есть масса покоя тела, а 金$"с2Hm伊一 масса покоя некоторой частицы с номером t, получим
此=加户 + %幻 + •・.+加产 + & (^Свнутр + UBI1yTp). (20 4)
Таким образом, оказывается, что в общем случае масса покоя < тела не равна сумме масс покоя частиц, из которых это тело состоит.
В частности, при наличии больших сил притяжения абсолютная величина потенциальной энергии полей может оказаться значительно больше суммарной кинетической энергии внутреннего движения. А так как потенциальная энергия сил притяжения есть число отрицательное, то может оказаться, что Квнутр+ ^внутр<0* Следовательно, в этом случае масса покоя тела будет меньше суммы масс покоя частиц, из которых состоит это тело.
С этим явлением мы встретимся во втором томе при изучении ядерных сил и методов получения энергии ядра.
Изменение внутренней энергиипри деформации тела
Тело под действием силы деформируется, т. е. меняет свои размеры и форму. Деформация тела связана с изменением расстояния между молекулами и, тем самым, с изменением энергии молекулярного взаимодействия. Следовательно, деформация тела сопровождается изменением его внутренней энергии.
Поскольку внутренняя энергия тела меняется, то изменяется и его масса. Почему же мы этого не замечаем? Ответить на этот вопрос позволит следующий пример.
Стальной стержень длиной / = 1 м н сечением S = 1 см под действием силы 尸=2・ 10 Н удлиняется на А/ = 1 мм. Работа упругой силы
Л 々％2 尸 А/ 1 с тт4=万=亍=10 Дж.
А什普А什普品=1,1.107 кг.品=1,1.107 кг.Она равна изменению внутренней энергии стержня: Л = Д^о. Изменение его массы
А什普
А什普
品=1,1.107 кг.
品=1,1.107 кг.
Масса же стержня до деформации
m = plS^ 7,8* IO-1 • 10-4 = 0,78 кг.
Как видно из расчета, изменение массы тела ничтожно мало — оно скажется только в шестнадцатом знаке после запятой! Не существует приборов, которые были бы в состоянии обнаружить такую малую величину. Поэтому на практике изменениями массы тела при его деформациях пренебрегают,
Рассчитаем, на сколько изменится энергия одной молекулы при деформации тела. Один килограмм стали содержит 1025 молекул. Наш стержень массой 0,78 кг состоит из N = 0,78* 1025 молекул. Тогда изменение энергии одной молекулы
° == 0,78・ 1025 = 13 1°т4 Дж.
Удобнее эту энергию выразить в электрон-вольтах. Как уже указывалось, 1 3B = i,6・l。-" Дж, следовательно,
1,3.10~24D
£ = 1,6.10-19 ^1°7 эВ.
Итак, изменение энергии молекулы при деформациях тела составляет по порядку несколько миллионных долей электрон-вольта. Ниже мы сравним эту величину с изменением энергии молекулы при иных процессах.
Изменение внутренней энергии телапри тепловых процессах
изменение температуры сопровождается изменением расстояния между положениями равновесия в узлах кристаллической решетки тела, что мы регистрируем как тепловое расширение тел. Естественно, что при этом изменяется энергия взаимодействия молекул. Изменение же агрегатного состояния является результатом изменения молекулярной структуры тела, что вызывает изменение как энергии взаимодействия молекул, так и характера их движения.
Итак, тепловые процессы сопровождаются изменением внутренней энергии тела.
Оценим, на сколько меняется энергия молекулы при тепловых процессах. Известно, что при изменении температуры 1 кг воды на 1° С поглощается энергия, равная 1 ккал = 4,18-103 Дж. Один килограмм воды состоит из 3,3-1026 молекул. Следовательно,
Д^о 4,18.103 s „ 口 七 一 /V 一3,3・10231,6，10-19 〜1U OD.
Эта энергия примерно в 100 раз больше энергии при упругих деформациях. При превращении же 1 кг воды в пар поглощается 539 ккал = 2,25- 10е Дж. Энергия молекулы при этом увеличится примерно на
Л^о 2,25-Ю6 Л г D£ = "ЛГ3,3.]023],6"ОТ9 0,5 эВ,
Несмотря на то, что при тепловых процессах внутренняя энергия возрастает в тысячи раз больше, чем при упругих деформациях, изменение массы тела и при этих процессах измерить невозможно. Действительно, если при испарении 1 кг воды его энергия возрастает на 2,25- 10е Дж, масса увеличится на величину
Azn = ^ = ^^ = 2,5.10-« кг,
что лежит далеко за пределами чувствительности измерительной аппаратуры.
Изменение внутренней энергиипри химических реакциях
Химические реакции представляют собой процессы перестройки молекул, их распада на более простые части или, наоборот, возникновение более сложных молекул из более простых или из отдельных атомов (реакции анализа и синтеза). При этом существенно изменяются силы взаимодействия между атомами, что сопровождается соответствующим изменением энергии взаимодействия. Кроме того, меняется характер как движения молекул, так и взаимодействия между ними, ибо молекулы вновь возникшего вещества взаимодействуют между собой иначе, чем молекулы исходных веществ.
Итак, химические реакции сопровождаются изменением внутренней энергии тела.
Заметим, что химические реакции всегда сопровождаются тепловыми процессами ——изменением температуры, а часто и агрегатного состояния системы. Так, твердый углерод при сгорании образует газообразные продукты: окись углерода (угарный газ) и двуокись углерода (углекислый газ).
Оценим изменение энергии молекулы при химических реакциях. При сгорании 1 кг угля выделяется энергия примерно 7000 ккал = 3* 107 Дж. Поскольку 1 кг угля состоит из 5・ 10踵 атомов углерода, то изменение энергии одной молекулы составит
£ = = 5・喚・ 1,6・ 10-К Q 4 эВ-
Следовательно, при химических реакциях изменение энергии молекулы составляет несколько электрон-вольт ——в сотни и тысячи раз больше, чем при тепловых процессах, и в миллионы раз больше, чем при упругих деформациях.
Заметим, что эта энергия совпадает со средней величиной кинетической энергии электрона в атоме (§ 16.7). Этого и следовало ожидать, поскольку химические реакции сводятся к перестройке электронных оболочек атомов и молекул.
Однако и здесь изменение массы взаимодействующих тел столь мало, что оно лежит за пределами точности измерительных приборов: оно скажется лишь в десятой значащей цифре, а с такой точностью масху измерять мы не умеем. Действительно, при сгорании 1 кг угля
a^ =崂=羅=3,3.107。 кг.
Изменение внутренней энергиипри ядерных реакциях
При некоторых условиях ядра атомов испытывают превращения, которые называются ядерными реакциями. Независимо от механизма процессов, происходящих при этом (а они могут быть весьма различными), все они связаны со значительным изменением энергии взаимодействующих частиц. Следовательно, ядерные реакции сопровождаются изменением внутренней энергии тела, в состав которого входят ядра, испытывающие соответствующие превращения. При этом меняется масса покоя реагирующих ядер. Это позволяет по известным массам исходных частиц и продуктов реакции оценить энергетический выход реакции (см. § 80.4).
Оказывается, если 1 кг тяжелого водорода (дейтерия) превратится в гелий, то в результате этой реакции получится всего 993,75 г гелия, т. е. масса покоя уменьшится на 厶惆= 6,25 г. А такое изменение массы (на 0,6%) уже вполне может быть измерено чувствительными приборами.
Изменение внутренней энергии при этой реакции составит 厶机工 А/с^~6,25-10~3-9* 1016 = 5,62-1014 Дж,
Для сопоставления вычислим, сколько угля нужно сжечь для получения такой же энергии:
5,62- Юг« 分 1Л7^угля = ―§：而—^2 • 1° кг
(здесь 3-107 Дж ——энергия, выделяющаяся при сгорании 1 кг угля). Учитывая, что вагон вмещает около 50 тонн угля, мы получим, что 1 кг дейтерия при превращении в гелий выделит столько же энергии, сколько выделяется при сгорании 400 вагонов угля.
Оценим изменение энергии одного ядра при такого рода реакции. Один килограмм гелия состоит из 1,5- Ю26 атомов, следовательно,
е =等=1,5•储工罵』=2,34・ О зВ = 23,4 МэВ.
Эта энергия в миллионы раз больше энергии химических реакций и в миллиарды раз больше энергии тепловых процессов.
Заметим, что эти цифры характеризуют и порядок ядерных сил по сравнению с силами взаимодействия между атомами и между молекулами.
ГЛАВА 21
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Работа как мера изменения полной и внутренней энергии
В § 20.2 мы выяснили, что при деформациях тела меняются расстояния между частицами, из которых оно состоит. А это приводит к изменению внутренней энергии тела.
Кроме того, при неупругих деформациях меняется температура тела, в чем легко убедиться на опыте. Если несколько раз быстро перегнуть кусок проволоки, то в месте изгиба температура резко возрастет; это можно почувствовать, притронувшись к месту изгиба пальцем.
Но при деформации тела совершается работа. Эта работа и является мерой изменения внутренней энергии.
Внутренняя энергия тела меняется также при его неупругом соударении с другим телом. При этом, как было показано (см. § 17.2), кинетическая энергия соударяющихся тел уменьшается. Но отсюда вовсе не следует, что кинетическая энергия исчезает бесследно. Нетрудно убедиться, что она превращается во внутреннюю энергию тела.
Проделаем следующий опыт. Положим кусок проволоки на наковальню и сильно ударим по ней несколько раз молотком. Если затем дотронуться до этого участка проволоки, то можно убедиться в значительном повышении температуры.
Как мы видим, при неупругом ударе кинетическая энергия тел превращается во внутреннюю. Но мерой изменения кинетической
энергии является работа силы. Естественно, что работа этой же силы может служить и мерой изменения внутренней энергии.
Наконец, изменение внутренней энергии тела происходит под действием силы трения, поскольку, как известно из опыта, трение всегда сопровождается изменением температуры трущихся тел. Естественно, что работа силы трения может служить мерой изменения внутренней энергии.
Приведенные примеры позволяют установить более общую связь между работой силы и изменением энергии, чем это было сделано в гл. 16.
Пусть полная энергия тела в некотором состоянии равна 卷ш = =^^“ +КШ・ Если на тело подействует некоторая внешняя сила, то состояние этого тела изменится; соответственно изменится и его полная энергия; она станет равна <^(2> =^2> + К^}* Изменение энергии а6=6⑶-6⑴=(6w一6俨)+ (k⑶-k⑴)или, короче,
A/ = A/q + AK・ (21.1)
Но мы уже знаем, что работа внешней силы может изменить как кинетическую, так и внутреннюю энергию тела, т. е. его полную энергию. Поэтому можно написать
А^ = 4нешн， (21.2) т. е. работа внешней силы есть мера изменения полной энергии тела.
Теплообмен
Существует еще один способ изменения энергии тела, не связанный с работой сил. Если тело поместить в пламя горелки, то его температура изменится, следовательно, изменится и его внутренняя энергия. Поместив затем нагретое тело в холодную воду, мы убедимся, что его температура вновь изменится, что опять связано с изменением его энергии. Однако никакая работа здесь не совершалась, ибо не происходило видимого перемещения ни самого тела, ни отдельных его частей под действием каких-либо сил.
Фактически здесь изменение внутренней энергии тела происходит под действием молекулярных соударений. У нагретого тела молекулы движутся с большими скоростями, у холодного — с малыми. При контакте этих тел происходят упругие соударения между молекулами. Быстро движущаяся частица, столкнувшись с другой частицей, имеющей меньшую скорость, передает ей часть своей кинетической энергии. Естественно, что при контакте двух тел с разной температурой за счет соударений между молекулами суммарная кинетическая энергия молекул горячего тела уменьшится, суммарная же кинетическая энергия молекул холодного тела возрастет. Следствием этого и является передача энергии от горячего тела к холодному без совершения работы.
Процесс передачи энергии от одного тела к другому без совершения работы называется теплообменом.
Рассмотренный процесс теплообмена между телами, находящимися в непосредственном контакте, называется теплопроводностью или кондуктивным теплообменом.
Теплообмен может совершаться и за счет конвекции. Слои жидкости или газа, прикасаясь к телу с высокой температурой, нагреваются и всплывают вверх, а на их место поступают более холодные. Теплообмен, происходящий с помощью струй жидкости или газа, называется конвективным теплообменом.
Наконец, теплообмен может осуществляться с помощью как видимых, так и невидимых лучей. Убедиться в этом можно с помощью следующего опыта. Укрепим в штативе нагретое тело, например утюг. Поднесем снизу руку на расстояние 15—20 см. Мы почувствуем, что утюг передает руке энергию. Этот процесс не является конвекцией, ибо струи нагретого воздуха поднимаются вверх и руки не достигают. Это не может быть и теплопроводность, ибо она у всех газов, в частности у воздуха, очень мала.
Оказывается, что всякое тело излучает инфракрасные лучи, а при температурах свыше 800° С — и видимый свет. Процесс передачи энергии с помощью электромагнитных волн (инфракрасного и видимого излучения) называется теплообменом с помощью излучения.
В описанном опыте с нагретым утюгом мы действительно имеем дело с такого рода теплообменом. В самом деле, поместив между рукой и утюгом лист жести, мы почувствуем, что нагрев руки прекратился. Причина заключается в том, что металл частично отражает, а частично поглощает излучение, и оно уже до руки не доходит.
Наконец, отметим, что если для кондуктивного или конвективного теплообмена между двумя телами необходимо, чтобы между ними обязательно было вещество, то теплообмен с помощью излучения происходит и в вакууме. Так, энергия, излучаемая Солнцем, поступает на Землю через космическое пространство, где царит глубокий вакуум.
Количество теплоты
Мерой изменения энергии тела при механических процессах является работа, совершаемая внешними силами (см. (21.2)). Введем физическую величину, характеризующую изменение энергии тела при теплообмене. Эта величина называется количеством теплоты и обозначается Q.
Количеством теплоты называется энергия, переданная путем теплообмена.
Из этого определения следует, что в случае, если энергия тела меняется только путем теплообмена, то
Q = A6, (21.3) т. е. количество теплоты есть мера изменения энергии тела прй теплообмене.
В Международной системе единицей измерения количества теплоты, как и работы и энергии, служит джоуль (см. § 16.6):
К】=【6) = /=д弧
На практике иногда применяется внесистемная единица измерения количества теплоты — калория. По определению
1 кал = 4,1868 Дж.
Напомним читателю известные из курса восьмилетней школы выражения, с помощью которых можно рассчитать количество теплоты:
При изменении температуры тела
Q = mc М、(21 4)
где т — масса тела, Д/ — изменение температуры, с — удельная теплоемкость вещества.
При плавлении кристалла (при кристаллизации расплава)
Q = m%,(21.5)
где 儿一удельная теплота плавления.
При испарении жидкости (или конденсации пара)
Q = mL,(21.6)
где £ — удельная теплота па рообразова н и я.
При химической реакции
Q = S,⑵.7)
где q — удельная теплота реакции. Так, количество теплоты, выделяющееся при сгорании 1 кг топлива, называется удельной теплотворной способностью (удельной теплотой сгорания).
Следует обратить внимание на то, что термин «нагревание» применяется в обиходе в двух смыслах: как передача энергии в форме теплоты (при теплообмене) и как изменение температуры. Между тем оба эти процесса неравнозначны. Температуру тела можно изменить, не передавая ему теплоты. При неупругом ударе, при неупругой деформации, при трении и т. п. температура тела изменяется за счет работы, а не за счет теплообмена. Наоборот, при таких процессах, как плавление или кипение, температура тела не меняется, хотя энергия в форме теплоты к нему подводится. Поэтому при точном описании явлений следует избегать двусмысленного термина «нагревание», нужно точно указывать, в чем сущность рассматриваемого процесса — в изменении температуры или в передаче энергии путем теплообмена.
Первое начало термодинамики
Наука, изучающая условия превращения энергии из одного вида в другой и характеризующая эти превращения с количественной стороны, называется терлюдинамикой.
Выше бйло показано (формулы (21.2) и (21.3)), что энергия тела может изменяться либо за счет действия внешних сил, либо за счет теплообмена с окружакхцей средой. Возможен и такой случай, когда энергия тела изменяется за счет обеих этих причин.
Тогда изменение энергии системы равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, полученного от окружающих тел:
△宓= 4внешн +、・ (21.8)
Работа, совершаемая системой против внешних сил, отличается от работы внешних сил только знаком: А =——Лвиешй. Тогда выражению (21.8) можно придать вид
△6 ~ — 4 + Q, или
Q = A6+4 (21.9)
т. е. количество теплоты (энергия, полученная системой путем теплообмена) расходуется на изменение энергии системы и на работу против внешних сил.
Полученное выражение называется первым началом термодинамики. Оно имеет чрезвычайно общий смысл и может применяться для описания самого широкого круга явлений. В дальнейшем мы используем этот закон для описания ряда тепловых и иных процессов.
В последующих параграфах данной главы мы выясним связь между первым началом термодинамики и одним из важнейших законов природы — законом сохранения энергии.
Адиабатически изолированная система
Замкнутой является система тел, в которой можно пренебречь действием внешних сил по сравнению с внутренними (см. § 15.1). Из этого определения следует, что в замкнутой системе работа внешних сил равна нулю.
Адиабатически изолированной называется система, которая не вступает в теплообмен с окружающей средой. Согласно этому определению количество теплоты, получаемое адиабатически изолированной системой, равно нулю.
Понятие адиабатически изолированной системы является идеализацией некоторых реальных систем. Конечно, полностью отключить систему от теплообмена невозможно, но существует возможность приблизить процессы, происходящие в данной системе, к адиабатным.
Прежде всего, теплообмен происходит обычно достаточно медленно, значительно медленнее, чем передача энергии с помощью других процессов. Поэтому любой быстрый процесс типа взрыва, удара, вспышки и т. п. может с хорошей степенью точности рассматриваться как адиабатйый.
С другой стороны, систему можно приблизить к адиабатной, затруднив теплообмен с окружающей средой, т. е. создав надежную теплоизоляцию. Хорошим примером адиабатной оболочки является сосуд Дьюара, который служит основной частью термоса (рис. 21.1). Это тонкостенный стеклянный сосуд с двойными стенками, между
которыми создан хороший вакуум. Вакуум препятствует кондуктив- ному теплообмену и конвекции. Внутренняя стенка сосуда посеребрена. Получившаяся в результате этого зеркальная поверхность хо-
рошо отражает лучи, препятствуя лучистому теплообмену.
Систему, находящуюся в оболочке типа сосуда Дьюар% можно с хорошей степенью точности считать адиабатически изолированной.
Закон сохранения энергии
Из первого случае полная 6= const.Из первого случае полная 6= const.Рассмотри^ некую систему тел, которая не взаимодействует с окружающими ее телами механическим путем (система замкнута) и не вступает с внешними телами в теплообмен (система адиабатически изолирована). Из условия замкнутости следует, что система не совершает работы против внешних сил, т. е. 4=0. Из условия адиабатической изоляции вытекает, что система не получает и не отдает энергию путем теплообмена, т. е. Q = 0. начала термодинамики (21.9) получим, что в этом энергия системы не меняется: А/=0 и потому
Из первого случае полная 6= const.
Из первого случае полная 6= const.
Итак, полная энергия замкнутой и адиабатически изолированной системы является постоянной величиной. Это и есть наиболее общая
формулировка закона сохранения энергии.
Закон сохранения энергии в ньютоновской механике (см. § 19.1) является частным случаем полученного здесь закона. Действительно, в гл. 19 мы рассматривали только консервативные системы, а в этих системах отсутствует теплообмен и для сохранения энергии необходимо только одно условие — замкнутость системы.
Закон сохранения энергии вовсе не требует, чтобы энергия
каждого из тел, входящих в данную систему, оставалась неизмен^ ной. На самом деле между телами может осуществляться как механическое взаимодействие, так и теплообмен, и потому энергия отдельных тел, входящих в данную систему, будет безусловно меняться. Для сохранения энергии системы необходимо, чтобы она не взаимодействовала с внешними телами и не участвовала в теплообмене. В этом случае полная энергия системы не будет меняться, хотя энергия ее составных частей меняется.
Закон сохранения массы
Если полная энергия системы сохраняется, то сохраняется и пр о пор цион альная ей релятивистская масса. Итак, из закона сохранения энергии можно вывести закон сохранения массы:
Релятивистская масса замкнутой и адиабатически изолированной системы является постоянной величиной.
178
Как мы видим, закон сохранения массы есть следствие закона сохранения энергии. Поэтому нередко говорят о едином законе сохранения энергии и массы.
Значительно сложнее обстоит дело с массой покоя (собственной массой системы).
В ньютоновской механике рассматриваются тела, движущиеся с малыми скоростями. В этом случае масса тела фактически совпадает с его собственной массой; здесь изменения энергии тела за счет его движения, деформации, тепловых или химических процессов ничтожно малы по сравнению с энергией покоя (см. §§ 16.2, 20.2, 20.3, 20.4), так что можно последнюю считать постоянной величиной. Кроме того, в ньютоновской механике не рассматриваются случаи преобразования одних форм материи в другие; например, в рамках этой теории невозможны преобразования одних частиц вещества в другие, в электромагнитное поле и иные поля. Поэтому в ньютоновской механике масса рассматривается как величина, постоянная для данного тела (независимо от его энергии), а масса системы —как сумма масс тел, из которых она состоит. Естественно, что в ньютоновской механике справедлив закон сохранения, массы, независимый от закона сохранения энергии. Опыт отлично подтверждает этот закон при тех процессах, которые рассматриваются в этой теории.
В теории относительности масса покоя системы не равна сумме масс покоя тел, из которых эта система состоит (см. § 20.1). Собственно, этого одного уже достаточно, чтобы утверждать, что в общем случае масса покоя не является сохраняющейся величиной.
Но кроме этого при больших кинетических энергиях возможно превращение одних частиц в другие, а также «рождение» и «исчезновение» частиц. Здесь мы ограничимся одним примером.
Пусть быстрый протон, разогнанный в ускорителе до скорости, близкой к скорости света, ударяется о неподвижный протон. Оказывается, что если быстрый протон обладает достаточной кинетической энергией, то вместо двух частиц возникнут четыре: три протона и один антипротон.
Реакция записывается так:
1Р1 + 1Р1 Ipl + Ipl + 1р1 + -1Р1.
где ip】一протон, a -ip】—антипротон (частица с массой, равной массе протона, но с противоположным знаком электрического заряда). Обозначим энергию покоя протона ^0; тогда энергия покоя системы до удара составляла 2/q, после удара 4/q・ Итак, масса покоя здесь не сохраняется; кинетическая энергия превращается в энергию покоя.
Пользуясь законами сохранения энергии и импульса, определим минимальную кинетическую энергию протона, способного при ударе о неподвижную водородную мишень «родить» антипротон. Для простоты решения примем, что после удара все частицы движутся с одним и тем же импульсом /ь・ Согласно закону сохранения
импульса
р = 4р[,(21.10)
где р ——импульс быстрого протона до удара о мишень. Используя связь (16.8) между энергией и импульсом, имеем
&一费=pW, 贫一欄=阮*(2i.li)
где Sq — энергия покоя протона, ^—энергия быстрого протона до удара н % — энергия протона или антипротона после удара. Исключив из (21.10) и (21.11) импульс р, получим
卓一 16 贫十156^ = 0.(21.12)
Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия двух протонов до столкновения равна сумме полных энергий четырех частиц, возникших после столкновения:
g + £q = 4g 工.(21.13)
Подставив в (21.12) и проделав несложные выкладки, получим
6 = 7 卷°,(21.14)
откуда следует, что кинетическая энергия быстрого протона до соударения
К —6q = 66。•(21.15)
Существенно важно, что из кинетической энергии К = 6^ только 2So превратилось в энергию покоя; остаток же 4乳 сохранил форму кинетической энергии продуктов реакции — трех протонов и одного антипротона.
Рекомендуем читателю произвести числовой расчет, учитывая» что масса покоя протона 惆=1,67-10*27 кг. Вы убедитесь, что кинетическая энергия быстрого протона составит К^б ГзВ = —g. Ю9 эВ, а его скорость равна 99% от скорости света.
Еще о релятивистской массе
В § 13.1 мы ввели выражение (13.3) для релятивистской массы без вывода. Покажем, что эту формулу можно получить, исходя из трех положений: закона сохранения импульса (§ 15.2), закона сохранения релятивистской массы (§ 21.7) и релятивистского закона сложения скоростей (§ 12.5).
Представим себе два совершенно одинаковых тела с равными массами покоя /и0> что можно установить путем взвешивания (§ 6.3). Пусть тело, расположенное справа, покоится относительно системы отсчета, а другое тело движется слева направо со скоростью и параллельно оси абсцисс. Импульс левого тела равен 团〃；после неупругого соударения с правым телом импульс системы будет равен MV, где М ——суммарная масса системы тел.
Из закона сохранения релятивистских масс следует:
M = tn + tn09(2L16)
а из закона сохранения импульса:
tnu^(tn + me)V.(2И17)
Перейдем к системе отсчета, связанной с левым телом. Здесь изменяются лишь направления векторов скорости, остальные величины остаются такими же. Закон сохранения импульса примет вид:
•-/n〃 = —V (加+ 加0).(21.18)
С другой стороны, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой скорость преобразуется согласно формуле (12.11), которая в данном случае запишется так:
У'=-У=1^・(21」9)
Корни квадратного уравнения (21.19) суть
%=乳+/口丽)
и
%=授(1一/1一"").
Первый корень не имеет физического смысла, ибо тела не могут двигаться со сверхсветовой скоростью (§ 12.6). Итак, скорость системы после неупругого соударения:
V — -- (1 — / 1 - 〃2便)=V — -- (1 — / 1 - 〃2便)=1十V亡I丽1十V亡I丽⑵.20)⑵.20)
V — -- (1 — / 1 - 〃2便)=
V — -- (1 — / 1 - 〃2便)=
1十V亡I丽
1十V亡I丽
⑵.20)
⑵.20)
Подставив в (21.17), получим выражение (13.3) для релятивистской массы:
ттh1 一"2代h1 一"2代
т
т
h1 一"2代
h1 一"2代
Если вместо релятивистской формулы (21.19) мы воспользовались бы классическим законом сложения скоростей (2.6), то получили бы: Vf = —V=V — и, откуда У = 〃/2. Подставив в (21.17), мы получили бы: ти = 1/ъ(т + m,Q)u, откуда следует: т = т&.
Итак, из законов сохранения массы и импульса совместно с преобразованиями Галилея следует инвариантность массы в ньютойов- ской механике. Те же законы сохранения вместе с преобразованиями Лоренца приводят к релятивистскому закону зависимости массы тела от его скорости относительно системы отсчета.
ГЛАВА 22
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Особенности вращательного движения
Вращающиеся тела часто встречаются на практике — это всевозможные маховики, валы, роторы генераторов и двигателей, винты, сверла, фрезы и т. п. Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых расположены на оси вращения. Все эти точки движутся с разными линейными скоростями, а одинаковой для них является угловая скорость со = Ит 怨 (см. § 4.7).
При изучении законов движения материальной точки мы ввели ряд динамических величин: импульс, сила, кинетическая энергия и т. п. Фактически мы пользовались этими величинами и для описания законов поступательного движения твердого тела. Если твердое тело движется поступательно, то все его точки движутся по одинаковым траекториям (см. § 1.1), а значит, и с одинаковой скоростью. Поэтому выражения для импульса или кинетической энергии имеют точно такой же вид, как и для материальной точки. В самом деле, импульс тела равен сумме импульсов отдельных частиц, из которых это тело состоит:
р="1+网+-，，+0以=m坦+加打+一•+济园=
=(m1 +加2 + • ， 。 + m力a =m也 где ти 济2，..., % — массы отдельных частиц, а масса тела т = =mi + т3 +，,.+ /Ид. Такой же результат получится и для кинетической энергии тела при его поступательном движении.
Если же твердое тело вращается, то приведенное рассуждение окажется непригодным, ибо скорости разных точек различны. Здесь нужно все динамические характеристики выразить через угловую скорость. Именно по этой причине мы вынуждены будем ввести в данном случае ряд новых физических величин — момент силы, момент инерции и момент импульса.
Кинетическая энергия и момент инерции
Выведем выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Задачу будем решать в приближении ньютоновской механики, т・ е. при условии, что все точки движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Для упрощения задачи вначале рассмотрим систему, состоящукгда двух материальных точек, а затем обобщим полученный результат на любое твердое тело.
Пусть две материальные точки с массами 色 и /л2 расположены на расстоянии / друг от друга (рис. 22.1). Будем считать систему жесткой, т. е. расстояние между точками не меняется. Система вра- 182
щается вокруг оси с угловой скоростью со. Тогда, согласно (4.12), скорость первой точки % = скорость второй vz = r2m, где гг и г2 — расстояния от материальных точек до оси вращения. Кинетические энергии материальных точек, согласно (16.5),
Ki=讐=4"m/:炉，耳=等=^m2w炉，(22.1)
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий Ось Вращения
Рис. 22.1.
материальных точек, из которых эта система состоит:
К = К1. + К?=另~ (mj； + 色喲.(22.2)
Физическая величина
J少加2w(22.3)
называется моментом инерции системы материальных точек. Он характеризует распределение масс этих частиц относительно оси вращения.
Единицей измерения момента инерции в системе СИ служит килограмм на метр в квадрате (кг-м2).
Подставив в (22.2), получим
k =J炉/2.(22.4)
Итак, кинетическая энергия системы материальных точек равна половине произведения момента инерции этой системы на квадрат угловой скорости вращения.
Если система состоит не из двух, а из п материальных точек, то выражение для ее кинетической энергии сохранится, но момент инерции примет вид
J =加/； + 加2厂：+ • ・ • +^л^Я"(22.5)
Твердое тело можно разбить на достаточно большое число частиц с массами 厶倒1，А加2, ..., А/Ид таким образом, чтобы каждую из них можно было считать материальной точкой. Тогда момент инерции этого тела
j=a加1/；十А加2&+ 。 • . +А^Лгп"(22.6)
183
Вообще говоря, результат будет зависеть от способа разбиения тела на частицы к от положения оси вращения. Только перейдя к пределу при неограниченном увеличении числа разбиений, цы получим точный результат. Вычисление моментов инерции твердого тела представляет собой довольно сложную математическую» задачу, и мы ее здесь решать не будем.
§ 223 Зависимость момента инерцииот положения оси вращения
Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от положения оси вращения. Это непосредственно следует из выраже- 力 ния (22.5). Действительно, если пере， /нести ось вращения в другую точ-
у!\ку, то массы 加卜 加2, ..., /лп не изме-
/ /1| нятся, а радиусы ль г2» ■ *., лп станут r// ||д> другими, в результате чего и • момент
yZ 。/ 万i[ 2 инерции окажется иным.
// j| Вычислим моменты инерции систе-
丿^/ gj ]мы из двух материальных точек отно-
①(‘ 斤―二厂Н\，％ сительно двух осей, параллельных друг >"一十 **другу и перпендикулярных плоскости
Рис. 222чертежа (рис. 22.2). Расстояние между
осями АС = а.
Момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку А:
J =01^1 +m&Rf.(22.7)
Момент инерции той же системы относительно оси, проходящей через центр масс С:
九=/nj； + ?n#：.(22.8)
По теореме Пифагора
R；=力 +(G + х)\& = » + J—冷久
Подставив в (22.7) и проделав несложные преобразования, получим с учетом (22.8)
/二人+(色+加2)他2 +炉)+ 2%(^/1一加心).
Но 九2 + 尤2 = @2; из определения понятия «центр масс》(см. § 15.7) следует, что т^Гх —— 加纟『禽=0. Наконец, для нерелятивистских скоростей 色 + 济广加 есть масса системы. Следовательно,
J = Jo + 加@ 久(22.9)
Итак, момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси равен моменту инерции этой системы относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы Нй квадрат расстояния между осями (теорема Штейнере^.
184
Поскольку тс^ —— положительное число, то из теоремы Штейнера следует, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через ее центр масс.
Воспользуемся теоремой Штейнера для вычисления момента инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной
恻仰側側仰川川而而wЙ而Hlffllfj]恻仰側側仰川川而而wЙ而Hlffllfj]стержню и проходящей через его конец (рис. 22.3). Пусть масса стержня т, его длина 厶 Момент инерции пропорционален массе и квадрату линейных размеров:
恻仰側側仰川川而而wЙ而Hlffllfj]
恻仰側側仰川川而而wЙ而Hlffllfj]
J = O/nPt
где 0 — коэффициент пропорциональ- Рис. 22 з. ности (отвлеченное число).
Вычислим момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. С одной стороны, мы можем считать стержень состоящим из двух равных кусков с массами 7nl = m/2 и длинами 厶=〃2. Учитывая, что момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции обеих половин, получим
J°= 28加若=28 •号•£ = ^/п/2.
С другой стороны, согласно теореме Штейнера
Jg = J—ma* = Bml”一m (^了 =加含(6 —} Сравнив равенства, получим
彳=8—— , откудз 0 == -g-.
перпендикулярно стержню,перпендикулярно стержню,Итак, момент инерции однородного стержня относительно
перпендикулярно стержню,
перпендикулярно стержню,
оси, проходящей через его конец
J = m/2/3.(22.10)
Момент инерции того же стержня относительно оси, проходящей через ментр масс,
J0-m/2/12.(22.11)
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, пропородо* нален его массе и квадрату радиуса:
J = amR 工
Для определения коэффициента пропорциональности а вычислим момент инерции кольца, изображенного на рис. 22.4. Он равен разности моментов инерции двух дисков с радиусами R я R】н соответственно с массами т и mi = tnR"R?:
Масса кольца
/п猿二 m—mT = fn(R* — Ri)/R2.
Если кольцо достаточно тонкое (Ri^R), то его момент инерции можно вычислить из (22.6). Имеем
人=А恤个+a恤个+，一=(А恤+Am2+一，)个=恤7?2=m(屮—R》
Сравнив оба выражения для момента инерции кольца, получим после сокращений
a(《+r)=个.
А так как по условию R ^ R, то а = %.
Итак, момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, равен
/=1/加个.(22.12)
Момент силы
Пусть на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, действует некоторая сила 尸(рис. 22.5). Вычислим работу, которую совершает эта сила при повороте тела на угол Да. Элементарная работа, согласно определению (16.12), равна
А力=吊А/.
Но Ft = Fsinyt где у— угол между направлением силы и направлением радиуса, проведенного от оси вращения до точки приложения силы. Дуга же А/ = гАа. Следовательно,
АД ^Frsiny-Аа. (22.13) 2・ Величину
Рис. 22.5.М = RsifiY = Fd (22,14)
назовем моментом силы относительно оси вращения. Кратчайшее расстояние от оси вращения до направления силы d = rsiny назовем плечом силы.
Моментом силы, относителшо некоторой оси называется произведение. силы на ее плечо.
Единица измерения момента силы в Международной системе единиц — ньютон-метр (Н-м).
Подставив (22.14) в выражение для элементарной работы (22.13), получим
АЛ =МАа,(22.15)
т. е. работа, совершаемая при повороте тела, равна произведению момента силы на угол поворота.
Чтобы вычислить мощность, следует выражение (22.15) разделить на промежуток времени А/. Учитывая, что NAI kt = N 共 есть средняя мощность, а Асс/А/ = <оср——средняя угловая скорость, 186
получим
Nc^=M(j>cp1 или, перейдя к пределу при А/f 0, получим для мгновенной мощности
N = M(at(22.16)
Мгновенная мощность равна произведению момента силы на угловую скорость вращения.
Условие равновесия тела, имеющего ось вращения
В § 19.6 мы вывели условие равновесия для свободного тела, которое может перемещаться в любых направлениях. В этом случае равновесие достигается, если векторная сумма всех сил (их равнодействующая) равна нулю. Рассмотрим, при каком условии находится в равновесии тело, которое может вра* щаться вокруг некоторой заданной оси.
Будем считать положительными моменты, вращающие тело против часовой стрелки, и отрицательными —— моменты, вращающие его по часовой стрелке. Так, на рис. 22.6 моменты сил 7\ и Eg имеют отрицательный знак, момент силы F3 ——положительный, если ось проходит через О.
Если тело находится в состоянии равновесия, то при повороте его на бесконечно малый угол Ла потенциальная энергия не изменится, следовательно, элементарная работа ЛД, равная изменению потенциальной энергии, равна нулю: АД =0. Но
АД = А Xi + 厶力纟十 А4з = MiAa + Л12Аа + Л1зАа =
=(此+此+此)Аa.
Поскольку Аа/=0, то очевидно, что
Мг + М^ + М^О.(22.17)
Это и есть искомое условие равновесия. Итак, тело, имеющее заданную ось вращения, находится в состоянии равновесия, если алгебраическая сумма всех моментов сил относительно этой оси равна нулю.
Иначе можно сказать, что равновесие достигается здесь в том случае, если сумма моментов, вращающих тело против часовой стрелки, равна сумме моментов, вращающих тело по часовой стрелке.
Из полученного условия видно, что малая сила, имеющая большое плечо, способна уравновесить большую силу, имеющую малое плечо. Это свойство моментов сил находит практическое применение в рычагах, вороте, винтовом подъемнике (домкрате) и в целом ряде других приспособлений, широко применяемых в технике.
Момент импульса и основное уравнение динамики
Пусть на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, действует несколько сил (рис. 22.6). Алгебраическую сумму моментов всех сил обозначим М, Как показывает опыт, под действием суммарного момента сил угловая скорость вращения тела меняется и вместе с этим меняется его кинетическая энергия. Если в момент времени 厶 тело имеет угловую скорость 阿 и кинетическую энергию Ki = /*/2, то в момент времени % оно имеет угловую скорость 5 и энергию Т<2 = Js；/2・ Изменение кинетической энергии
aК =此一十=缪一學=^ (*一.)(网 + ")= (%,一JsJ 3中
где средняя угловая скорость оср— (<»)! +(оа)/2. Работа, совершаемая суммарным моментом сил, выражается, согласно (22.15), формулой
ДЛ = 2И Да = М(йС9 Af.
Но работа есть мера изменения кинетической энергии, следовательно,
Мо)ср Af = (J^ — Ja)^ %p,
откуда
М Af = Joj — Joi.(22.18)
Физическая величина, равная произведению момента инерции на угловую скорость, называется моментом импульса (иначе—вращательным моментом или моментом количества движений
L^Jid.(22.19)
Заметим, что для материальной точки, движущейся по окружности радиуса л, момент импульса равен произведению импульса на радиус:
L = Jm = tnrP = mrv — рг.(22.20)
Единицей измерения момента импульса в Международной системе единиц служит килограмм-метр в квадрате на секунду (кг-м2/с).
Разделив обе части равенства (22.18) на Д/ и учитывая, что
J(о 會—J tt>i = L》—Z/丄=AL, получим
М 吟.(22.21)
Это и есть основное уравнение динамики для вращающегося твердого тела: момент силы равен изменению момента импульса в единицу времени.
188
факт, что в выражении внешних сил. Что же ка-факт, что в выражении внешних сил. Что же ка-Рис 22 7.Рис 22 7.внутренних силвнутренних силСледует обратить внимание на тот (22.21) речь идет только о сумме моментов сается внутренних сил, то сумма их моментов всегда равна нулю, что прямо следует из третьего закона Ньютона. Для доказательства рассмотрим систему из двух взаимодействующих материальных точек (рис. 22.7). Сила F2 = —Fi, обе силы имеют одно и то же плечо d. Следовательно, Mi = Fid, Mz = F2d= =—尸id =——Ah, и суммарный момент
факт, что в выражении внешних сил. Что же ка-
факт, что в выражении внешних сил. Что же ка-
Рис 22 7.
Рис 22 7.
внутренних сил
внутренних сил
Мвнутр = М + М? = О.
Закон сохранения момента импульса
Пусть алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на тело, равна нулю. В частности, это условие всегда справедливо для замкнутой системы, на которую внешние силы вообще не действуют. Тогда из (22.21) следует
или 厶=const.(22.22)
Мы получили очень важный результат, который называется законом сохранения момента импульса:
Момент импульса замкнутой системы является постоянной величиной.
Из различия между понятиями «импульс» и «момент импульса» вытекает одно интересное следствие.
В § 15.8 было показано, что под действием внутренних сил скорость центра масс системы материальных точек не может измениться. При поступательном движении тела скорость всех его точек совпадает со скоростью центра масс. Следовательно, внутренние силы не в состоянии изменить скорость поступательно движущегося тела.
Совсем иной результат получается при вращении тела вокруг оси. Под действием внутренних сил может измениться расстояние между отдельными частями тела, что приведет к изменению его момента инерции. Но из закона сохранения момента импульса следует, что постоянным является лишь произведение L = Js, а Не каждый из сомножителей. Если момент инерции под действием внутренних сил уменьшится, то во сколько же раз возрастет угловая скорость, произведение же Js останется постоянной величиной.
Данный результат имеет многочисленные практические применения.
Рассмотрим, например, как спортсмен совершает сальто назад (рис. 22.8). После приседания с отведенными назад руками спортсмен прыгает вверх, поднимая руки вперед и затем вверх и слегка назад. Тем самым он сообщает своему телу небольшую скорость вращения относительно оси, проходящей через центр масс (примерно
на уровне талии). Вблизи верхней точки траектории он «группируется» —резко подтягивает колени к подбородку и охватывает их руками. При этом момент инерции значительно уменьшается, а скорость вращения возрастает, что позволяет спортсмену быстро совершить поворот. При приземлении он вновь выпрямляется и выбрасывает руки вверх и слегка вперед, замедляя тем самым вращение.
Рис. 22.8.
Аналогично фигуристы на льду выполняют фигуру, называемую волчком. Раздвинув руки в стороны и заводя свободную ногу, фигурист сообщает себе медленное вращение вокруг вертикальной оси. Резко «сгруппировавшись», т. е. подтянув руки и ногу, он уменьшает момент инерции и начинает быстро вращаться.
Нетрудно убедиться, что во всех приведенных примерах кинетическая энергия вращения не сохраняется. Пусть вначале кинетическая энергия K = J炉/2. После «группировки» момент инерции уменьшается в л раз, J\ = J//i. Во столько же раз увеличивается угловая скорость: из J(o=J1a)l следует, что ^=/10). Кинетическая энергия
Приращение кинетической энергии АК = Ki — К = К(拉一1). Но для увеличения кинетической энергии нужна работа. Какие же силы ее совершают?
Поскольку рассматриваемые системы в первом приближении являются замкнутыми, то действием внешних сил можно пренебречь. Следовательно, в данном случае кинетическая энергия вращения возрастает за счет действия внутренних сил, т. е. в конечном счете за счет внутренней энергии вращающейся системы. Естественно, что этот результат находится в полном соответствии с законом сохранения энергии.
Из закона всемирного тяготения следует, что каждая из планет обращается вокруг Солнца по эллипсу, причем Солнце находится в одном из его фокусов (первый закон Кеплера). По закону сохранения энергии (§ 19.3)
,
—Y ~ = const»
Нетрудно убедиться, что орбитальная скорость все время меняется — с увеличением расстояния между Солнцем и планетой скорость последней убывает (рис. 22.9).
Пользуясь результатами многолетних наблюдений, Кеплер установил, что 6 равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади (второй закон Кеплера). Покажем, что этот закон есть следствие закона сохранения момента импульса.
В самом деле, Солнце и планета образуют замкнутую систему, поэтому к ней применим закон сохранения момента импульса. Центр масс этой системы практически совпадает с центром Солнца, следовательно, скорость Солнца практически равна нулю. Согласно (22.22) момент импульса этой системы
L=mvr=const. (22.23)
Рис. 22,9.Рис. 22,9.ооm^"京const.m^"京const.(22.24)(22.24)Площадь, описываемая радиус-вектором планеты в единицу времени,
Рис. 22,9.
Рис. 22,9.
о
о
m^"京const.
m^"京const.
(22.24)
(22.24)
А это и есть второй закон Кеплера.
Аналогия между величинами и соотношениями между ними при поступательном и вращательном движениях
Если сопоставить соотношения между величинами, характеризующими движение материальной точки (или поступательно движущегося тела), с такими же соотношениями, описывающими вращение тела вокруг оси, то бросается в глаза глубокая аналогия между ними. Запишем ряд величин и связывающие их уравнения в виде таблицы, ограничиваясь случаем ньютоновской механики (табл. 22.1).
Из таблицы видно, что простая подстановка аналогичных величин в формулы для поступательного движения автоматически приводит к правильным формулам для вращательного движения. Так, заменив в выражении к = р2/2т импульс р на аналогичный ему момент импульса 厶，а массу т на ее аналог — момент инерции J, получим для вращательного движения верное выражение К = LV2J. Точно так же можно по аналогии написать выражение для работы, совершаемой при закручивании пружины на некоторый угол 屮. Действительно, в § 18.2 мы получили из графика выражение
Д ~ F//2. Заменив силу ее аналогом — моментом силы, а перемещение —— углом поворота, получим Л =М(р/2・ Конечно, это выражение можно вывести независимо, с помощью графика, но из аналогии результат получается быстрее и проще.
Таблица 22 1
Поступат-ельное движение
Вращательное движение
Перемещение Д/
Скорость и
Масса т
Импульср=加力
Сила 尸
Основное уравнение динамики
Кинетическая энергия mv^ 户
Элементарная работа АЛ -^ А/
Мощность N = F±u
Угол поворота Да
Угловая скорость о
Момент инерции J
Момент импульса £ = J®
Момент силы Л1
Основное уравнение динамики
Кинетическая энергия 丿炉 Да k=丁 =宣
Элементарная работа Д4 = Л1Да Мощность N = М(а
Рекомендуем читателю, введя понятие об угловом ускорении 6 二 Д(о/Д/,получить по аналогии выражения для мгновенной угловой скорости и угла поворота при равнопеременном вращении, а также выражение для основного уравнения динамики вращающегося тела.
ГЛАВА 23
СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Законы сохранения как основные законы природы
В предыдущих главах были рассмотрены три основных закона природы: законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует учесть, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета. В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а последние применимы только в инерциальных системах.
Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если систему можно считать замкнутой (сумма всех внешних сил и соответственно всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно —— тело должно еще быть и адиабатически изолированным (т, е. не участвовать в теплообмене).
Законы сохранения ценны своей общностью. Действительно, ни детали того или иного физического процесса, ни особенности отдельных тел, участвующих в этих процессах, не влияют на справед-
ливость этих законов. Они в одинаковой мере применимы как к планетам и звездам, так и к молекулам, атомам и элементарным частицам, из которых состоят атомные ядра. Ими можно пользоваться при исследовании тепловых, химических, электрических и любых иных процессов.
Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при замене одних теорий другими.
Так, в теории относительности существенные изменения претерпевают классические представления о времени и одновременности событий, о длине отрезков и массе тел; вводятся новые формулировки закона сложения скоростей и второго закона Ньютона; меняется выражение для кинетической энергии и т. д. Однако законы сохранения импульса, момента импульса и энергии оказываются полностью справедливыми в этой теории. Более того, в теории относительности два закона ньютоновской механики — закон сохранения массы и закон сохранения энергии ——объединяются в единый закон сохранения массы и энергии.
В микромире — мире атомов, молекул и элементарных частиц — мы встречаемся с рядом специфических явлений, которые резко отличаются от явлений в мире больших тел. Благодаря соотношению неопределенностей здесь, например, невозможно решить основную задачу динамики и однозначно определить, скажем, траекторию электрона в атоме. Все это требует совершенно иного подхода к явлениям микромира. Однако и здесь законы сохранения остаются в силе, и в квантовой механике они играют еще более важную роль, чем в ньютоновской или релятивистской механике. Часто законы сохранения оказываются единственным инструментом для объяснения явлений, происходящих в микромире.
Именно универсальный характер законов сохранения и придает им особую ценность.
Законы сохранения как принципы запрета
Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку, и начальные условия, то можно найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. (см. гл. 8). Законы же сохранения не дают нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в природе не происходят.
Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором #е выполняется хотя бы один из законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни один из законов сохранения, 6 принципе может происходить.
1931937 Б. М. Яворский, А. А. Пинскнй, т. 1
193
193
Заметим, что незапрещенные явления на практике всегда и происходят, хотя и с разной вероятностью: некоторые из этих явлений происходят очень часто, другие ——редко, но все же их можно наблюдать.
Может показаться, что законы сохранения оставляют слишком большой произвол, слишком много вариантов, и потому неясно, почему в эксперименте реализуется чаще всего один-единственный процесс. На самом же деле оказывается, что совместное действие нескольких законов сохранения часто почти однозначно определяет возможный ход процесса.
Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет своей внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникшая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.
На самом же деле этот процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадется на части.
Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс остался в покое,——а только этого и требует закон сохранения импульса.
Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно быть способно распадаться на части. Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на осколки, то его внутренняя энергия (и масса покоя) будут постоянными величинами.
Кстати, именно совместным действием законов сохранения энергии и импульса объясняется тот факт, что для получения антипротонов при столкновении быстрых протонов с неподвижными (см. § 21.7) необходимо бомбардирующим частицам сообщив кинетическую энергию б^о^ 6 ГэВ, хотя для возникновения двух новых частиц — протона и антипротона — достаточна энергия 2机.
Законы сохранения и симметрия пространства — времени
Показав универсальный характер законов сохранения, мы тем самым пришли к некоторому логическому противоречию с теми рассуждениями, с помощью которых эти законы были выведены. Действительно, законы сохранения были нами получены как следствия второго и третьего законов Ньютона. Между тем сами законы Ньютона являются результатом обобщения экспериментов с упругими, гравитационными и кулоновскими взаимодействиями. Но эти взаимодействия не описывают всех явлений природы.
В настоящее время известны еще два вида взаимодействий. Сильным взаимодействием обусловлены ядерные силы, действующие между элементарными частицами внутри ядра, а также процессы образования тяжелых элементарных частиц при очень высоких энергиях, например рассмотренная нами в § 21.7 реакция рождения пары протон — антипротон. Слабые взаимодействия имеют своим результатом распад некоторых элементарных частиц, например бета-распад ядер (см. §§ 81.12 и 83.5).
Совсем не очевидно, что для этих взаимодействий пригодны законы Ньютона, тем более что здесь начинает играть определяющую роль соотношение неопределенностей. Между тем, законы сохранения здесь полностью сохраняют свою силу, о чем свидетельствуют все известные явления.
Таким образом, оказывается, что законы сохранения имеют значительно более всеобъемлющий характер, чем законы Ньютона, из которых мы исходили. Поэтому представляется целесообразным найти некоторые более общие принципы, из которых вытекали бы законы сохранения.
Оказалось, что такие принципы действительно существуют. Ими оказались принципы симметрии пространства ——времени. Было показано, что из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса, из изотропности пространства — закон сохранения момента импульса и из однородности времени — закон сохранения энергии.
Тот факт, что законы сохранения являются следствиями столь общих представлений, является сильнейшим подтверждением универсальной значимости этих законов.
Однородность времени и сохранение энергии
В качестве иллюстрации зависимости между свойствами симметрии пространства — времени и законами сохранения рассмотрим элементарные соображения, поясняющие связь между законом сохранения энергии и однородностью времени.
Однородность времени, о которой уже говорилось в § 1.2, выражает собой не что иное, как независимость явлений природы от того, какой момент будет нами принят в качестве начального. В частности, отсюда следует, что масса покоя замкнутой и адиабатически изолированной системы не зависит от времени.
Заметим, что условие адиабатической изоляции, не играющее роли при а на-* лизе свойств пространства, здесь играет существенную роль, ибо при наличии теплообмена масса покоя со временем мет1яется.
Если записать уравнение (16.8) для двух моментов времени, в течение которых рассматривается замкнутая и адиабатически изолированная система, то с учетом m产 const мы вновь получим уравнение, совпадающее с (16.10):
Ag = 〃•厶р. (23 1)
Так как система замкнута, то внешняя сила F~ 0, следовательно, Др—尸А£= О, Из (23.1) при этих условиях вытекает, что А乐=0.
Итак, для замкнутой и адиабатически изолированной системы из факта од^ породности времени следует ^S~。，нли 6= const, т. е. закон сохранения энергии. Более строгое доказательство требует значительно более сложного матема-' тического аппарата, чем тот, который мы предполагаем у читателя.
ГЛАВА 24
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ТЯГОТЕНИЕ
Явления в ускоренно движущейся системе отсчета
В предыдущих главах мы описывали явления в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим, как же ведут себя тела в системах отсчета, которые движутся с ускорением относительно инерциальной системы. Для простоты рассуждений ограничимся частным случаем, когда неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальной прямолинейно, с постоянным ускорением ш = =const и 6 течение небольших промежутков времени, так что ско-
Несмотря на такую ограниченную постановку задачи, мы получим, и притом элементарными средствами, все закономерности, которые имеют принципиальное значение.
Представим себе достаточно длинный вагон, вдоль которого протянут горизонтальный стержень. На стержне может без трения двигаться массивный шар (рис. 24.1). Система отсчета xyz, связанная с Землей, как уже говорилось, является в достаточной мере инерциальной. Рассмотрим, как явления, происходящие в вагоне, описываются в связанной с ним системе отсчета х'у'г'.
Опыт показывает, что когда вагон движется с ускорением w относительно Земли, то шар перемещается вдоль стержня с ускорением а = —w относительно вагона. Опишем это явление с точки зрения обеих систем отсчета.
Система xyz
На шар никакие силы не действуют, и по закону инерции его скорость не меняется, т. е. относительно Земли он движется без ускорения. Но вагон движется относительно Земли с ускорением ш, и потому относительно вагона шар движется с ускорением
0=--ш.
Система £屮父
На шар никакие силы не действуют, и тем не менее относительно вагона он имеет ускорение а. Значит в системе отсчета, связанной с вагоном, закон инерции нарушен: здесь возникают ускорения, не вызванные силами. Пр ичина заключается в том, что вагон движется относительно инерциальной системы с ускорением
w = — a.
Итак, в ускоренно движущейся системе отсчета нарушается закон инерции. Поэтому такая система является неинерциальной.
Видоизменим несколько эксперимент, соединив шар с пружиной, один конец которой прикреплен к передней стенке вагона (рис. 24.2). Пока вагон покоится относительно Земли или движется относительно нее прямолинейно и равномерно, пружина остается недеформированной. Если вагон станет двигаться с ускорением, то пружина растянется и будет сохранять это деформированное состояние до тех пор, пока продолжается ускоренное движение вагона. Шар же будет покоиться относительно вагона. Рассмотрим и этот случай с точки зрения обеих систем отсчета.
Система xyz(инерциальная)
Шар покоится относительно вагона, следовательно, он вместе с вагоном движется относительно Земли с ускорением w. Но по второму закону Ньютона ускорение вызывается силой F = тш. Эта сила приложена к шару со стороны деформированной пружины:
Система хуг^(неинерциальная)
Шар покоится относительно вагона, хотя деформированная пружина действует на него с силой F ^kx. Следовательно, в системе отсчета, связанной с вагоном, нарушается второй закон Ньютона. Дело в том, что вагон движется относительно инерциальной системы отсчета с ускорением
§ 242 Силы ин^)ции
Как было показано в предыдущем параграфе, в неинерциальных системах отсчета законы Ньютона не выполняются. Однако можно сформулировать правило, позволяющее формально пользоваться вторым законом Ньютона (основным уравнением динамики) и в неинерциальных системах отсчета.
Рис. 24.3.
Для этого вернемся к анализу явлений, происходящих в вагоне при его ускоренном движении (см. рис. 24.1 и 24.2). В первом опыте, когда шар не взаимодействует с другими телами, он все же движется относительно вагона с ускорением а = —w. Таким образом, шар ведет себя так, как если бы на него действовала некая сила
/=加0=一加吻,которая и сообщала бы ему это ускорение.
Во втором опыте на шар действует деформированная пружина с силой F=—kx. Однако эта сила не сообщает шару ускорение относительно вагона. Дело обстоит так, как если бы на шар действовала некая сила
I=ma = ~mwt
которая уравновешивала бы силу 尸(рис. 24.3).
Величина
/ =一加叫
где w — ускорение неинерциальной системы отсчета (относительно инерциальной), называется силой инерции.
Пользуясь этим понятием, можно записать основное уравнение динамики в неинерциальных системах следующим образом:
r + / =m仅，(24.1)
Где R ——это сумма всех сил взаимодействия, I — сила инерции и а —— ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета.
Формула (24.1) есть обобщение основного уравнения динамики на случай неинерциальных си-етем отсчета:
198
Векторная сумма всех сил взаимодействия и сил инерции равна произведению массы тела на его ускорение относительно неинерци- а гьной системы отсчета. Покажем на примере, как этот принцип применяется.
Пусть в вагоне, движущемся ускоренно относительно Земли, висит на нити некоторое тело с массой т. Как показывает опыт, до тех пор, пока вагон движется с ускорением, нить составляет некоторый угол а с вертикалью.
Вычислим этот угол, причем расчет проведем в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.
Инерциальная системаПоскольку тело покоится относительно вагона, оно вместе с вагоном движется с ускорением ш относительно Земли. Это ускорение телу сообщает равнодейству-Инерциальная системаПоскольку тело покоится относительно вагона, оно вместе с вагоном движется с ускорением ш относительно Земли. Это ускорение телу сообщает равнодейству-Рис. 24.4.Рис. 24.4.ющая двух сил—силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 24.4).Согласно основному уравнению динамикиF=P + T =Но F]P = tga. Подставив значения F ~mw и Р = mg, получимtg а = mw/mg = w/g.ющая двух сил—силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 24.4).Согласно основному уравнению динамикиF=P + T =Но F]P = tga. Подставив значения F ~mw и Р = mg, получимtg а = mw/mg = w/g.Неинерциальная системаПоскольку тело покоится относительно вагона, то векторная сумма всех сил, включая силы взаимодей-Неинерциальная системаПоскольку тело покоится относительно вагона, то векторная сумма всех сил, включая силы взаимодей-Рис. 24.5・Рис. 24.5・ствия и силы инерции, равна нулю. Следовательно, сила тяжести, сила натяжения нити и сила инерции образуют замкнутый треугольник (рис. 24.5). Из рисунка следует: tga~//P. Подставив / = тш и Р = mg* получимtga ~ mw/mg =切/g.ствия и силы инерции, равна нулю. Следовательно, сила тяжести, сила натяжения нити и сила инерции образуют замкнутый треугольник (рис. 24.5). Из рисунка следует: tga~//P. Подставив / = тш и Р = mg* получимtga ~ mw/mg =切/g.
Инерциальная система
Поскольку тело покоится относительно вагона, оно вместе с вагоном движется с ускорением ш относительно Земли. Это ускорение телу сообщает равнодейству-
Инерциальная система
Поскольку тело покоится относительно вагона, оно вместе с вагоном движется с ускорением ш относительно Земли. Это ускорение телу сообщает равнодейству-
Рис. 24.4.
Рис. 24.4.
ющая двух сил—силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 24.4).
Согласно основному уравнению динамики
F=P + T =
Но F]P = tga. Подставив значения F ~mw и Р = mg, получим
tg а = mw/mg = w/g.
ющая двух сил—силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 24.4).
Согласно основному уравнению динамики
F=P + T =
Но F]P = tga. Подставив значения F ~mw и Р = mg, получим
tg а = mw/mg = w/g.
Неинерциальная система
Поскольку тело покоится относительно вагона, то векторная сумма всех сил, включая силы взаимодей-
Неинерциальная система
Поскольку тело покоится относительно вагона, то векторная сумма всех сил, включая силы взаимодей-
Рис. 24.5・
Рис. 24.5・
ствия и силы инерции, равна нулю. Следовательно, сила тяжести, сила натяжения нити и сила инерции образуют замкнутый треугольник (рис. 24.5). Из рисунка следует: tga~//P. Подставив / = тш и Р = mg* получим
tga ~ mw/mg =切/g.
ствия и силы инерции, равна нулю. Следовательно, сила тяжести, сила натяжения нити и сила инерции образуют замкнутый треугольник (рис. 24.5). Из рисунка следует: tga~//P. Подставив / = тш и Р = mg* получим
tga ~ mw/mg =切/g.
Особенности сил инерции
Силы инерции обладают рядом особенностей, отличающих их от сил взаимодействия: упругих, электрических, гравитационных, сил трения.
Перечислим важнейшие из них.
Сила ийерции вызвана не взаимодействием тел, а ускоренным движением самой системы отсчета; поэтому к силам инерции неприменим третий закон Ньютона.
Сила инерции действует на тело только в неинерциальной системе отсчета; в инерциальных системах таких сил нет.
Для любой системы тел, находящейся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними силами; следовательно, здесь нет замкнутых систем, и потому не выполняются законы сохранения (подробнее об этом см. § 24.4).
Наконец, отметим, что сила инерции, как и сила тяготения, пропорциональна массе тела; поэтому в поле сил инерции, как и в поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс (подробнее об этом см. § 24.5).
В инерциальных системах отсчета сил инерции вообще нет. И поэтому пользоваться силами инерции в этих системах нельзя, это является грубой ошибкой. В инерциальных системах термин «сила» применяется только в ньютоновском смысле, как мера взаимодействия тел.
В неинерциальных же системах силы инерции действуют также, как и силы взаимодействия. И если при резком торможении вагона сила инерции бросит вас вперед, то вы эту силу будете ощущать так же реально, как и силу тяжести. Точно так же космонавт очень реально чувствует силу инерции, прижимающую его к креслу при разгоне ракеты.
Пространство и время в неинерциальныхсистемах отсчета
Мы уже неоднократно обращали внимание читателя на то, что в инерциальных системах отсчета время однородно, а пространство однородно и изотропно. Геометрические свойства однородного и изотропного пространства описываются с помощью геометрии Евклида.
Одним из основных положений геометрии Евклида является пятый постулат, который можно сформулировать так: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Из пятого постулата вытекает, что сумма внутренних углов треугольника равна л радиан (180°). Наконец, заметим, что в евклидовой геометрии кратчайшим расстоянием между двумя точками является отрезок прямой.
Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся анализом геометрических соотношений на плоскости, например %у.
В однородном и изотропном пространстве длина отрезка не зависит от того, в какой области пространства он находится. Разобьем оси координат на равные отрезки А% = Ар = / и через точки деления проведем параллельные осям прямые. Тогда плоскость ху разобьется на элементарные ячейки (рис. 24,6), имеющие форму равных квадратов.
Рис. 24.6.Рис. 24.6.Рис. 24.7,Рис. 24.7,
Рис. 24.6.
Рис. 24.6.
Рис. 24.7,
Рис. 24.7,
Точно так же благодаря однородности времени в инерциальной системе отсчета промежуток времени между двумя событиями А/ не зависит от того, в какой точке пространства эти события происходят.
В неинерциальной системе отсчета пространство неоднородно. В самом деле, длина отрезка в движущейся системе отсчета меньше, чем в системе отсчета, где отрезок покоится (см. § 12,8):
Ал/ = Ах/1—。2/济(24.2)
Но при равноускоренном движении № = 2©居 где w — ускорение неинерциальной системы отсчета. Подставив в (24.2), получим
Ах' = Ахрг1 — 2 侬％ДЛ(24.3)
Мы видим, что в неинерциальных системах отсчета длина отрезка зависит от тог。，в какой области пространства он находится: в точках с разными абсциссами длина одного и того же отрезка различна.
Отрезок же вдоль оси ординат сохраняет неизменную длину, ибо вдоль этой оси нет движения: Ар' = Ау. Построив координатную сетку в неинерциальной системе отсчета, мы убедимся, что здесь уже плоскость 尤'у' разбивается на элементарные ячейки в виде прямоугольников, ширина которых убывает по мере продвижения вдоль оси абсцисс (рис. 24.7).
В неинерциальной системе отсчета пространство не только неоднородно, но и неизотропно.
Действительно, здесь оба направления вдоль оси абсцисс неравноправны: в нашем примере вдоль положительного направления
этой оси элемент длины убывает, вдоль отрицательного — возрастает, а вдоль оси ординат его величина не меняется. Следовательно, у нас есть возможность с помощью физического эксперимента различить разные направления в этом пространстве, а это и свидетельствует о его неизотропности.
Заметим, что благодаря неоднородности и неизотропности про странства в неинерциальных системах отсчета не выполняются
законы сохранения импульса и момента импульса, о чем мы уже говорили.
Наконец, можно убедиться, что и время в неинерциальных системах отсчета неоднородно, вследствие чего здесь не выполняется закон сохранения энергии.
В движущейся системе отсчета промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке (см. § 12.9), выражается так:
河一吗潢河一吗潢(24.4}(24.4}
河一吗潢
河一吗潢
(24.4}
(24.4}
(24.5)(24.5)Используя, как и выше, выражение и2 = 2m, получим
(24.5)
(24.5)
Н 二 2ow^ *
Покажем, что в неинерциальных системах отсчета благодаря неоднородности и неизотропности пространства его свойства должны описываться неевклидовой геометрией.
Для доказательства рассмотрим, как в данном пространстве выглядит отрезок прямой, не параллельной осям координат. Построим в инерциальной системе отсчета отрезок Л В, наклоненный под углом 45° к осям координат (рис. 24.8). В неинерциальной системе этот отрезок превратится е ломаную (рис. 24.9), а фактически, если сделать элемент длины А%' бесконечно малым,— в кривую линию. Но тогда уже сумма углов полученного криволинейного треуголь- 202
ника окажется больше 180° (а‘+ р'+т‘> 180°). А это и означает, что в данном пространстве геометрия является неевклидовой.
Заметим также, что здесь кратчайшим расстоянием между точками 4HB является не отрезок прямой, а дуга некоторой кривой,— а это тоже отличает геометрию данного пространства от евклидовой.
Впервые идею о возможности существования неевклидовых геометрий выдвинул в 1826 г. Н. И. Лобачевский. Он показал возможность построения непротиворечивой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, положив тем самым начало ряду последовавших затем работ по неевклидовым геометриям. При этом он также выдвинул идею о том, что геометрия реального мира, возможно, и не является евклидовой.
Современники Лобачевского не могли понять глубины идей, заложенных в его работах, и многие их просто не принимали всерьез. И неудивительно,——геометрия Евклида, которой пользовались в течение более двух тысячелетий, представлялась незыблемой основой науки, а попытка создания неевклидовой геометрии выглядела как явное чудачество, противоречила «здравому смыслу». Кстати, так же многие ученые восприняли несколько позже и теорию относительности.
И все же истина заключалась не в «здравом смысле» консерваторов, а в смелых, революционных идеях Лобачевского и Эйнштейна. Предвидение Лобачевского о неевклидовом характере окружающего нас мира полностью подтвердилось в общей теории относительности.
Пространство, геометрические свойства которого описываются неевклидовой геометрией, часто называют «искривленным» пространством. Смысл такого термина заключается в том, что в неевклидовом пространстве кратчайшим расстоянием между двумя точками оказывается не прямая линия, а некоторая кривая, называемая «геодезической линией». Примером может служить дуга большого круга на поверхности шара или винтовая линия на поверхности цилиндра.
Принцип эквивалентности
Силы инерции, как и силы тяготения, пропорциональны массам тел, на которые эти силы действуют. Поэтому в поле сил инерции, как и в поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс.
Таким образом, силы инерции по своим проявлениям неотличимы, от сил тяготения. Для иллюстрации этого положения проанализируем еще раз явление, описанное в п. 3 § 24.1. Здесь на шар действует упруго деформированная пружина с силой 尸=——kx, но эта сила не сообщает телу ускорения относительно вагона. Такое положение возможно, если на шар, помимо силы упругости, действует еще одна сила, равная ей по величине и противоположная по направлению. Одаако все тела, находящиеся в вагоне, с шаром не взаимодействуют. Какие же выводы можно сделать?
Первый вывод
По-видимому,вагон
являетсянеинерциальной
системой отсчета, и силу упругости уравновешивает сила инерции: F — — /. Чтобы убедиться, что это действительно сила инерции, нужно к пружине прикреплять тела с разной массой. Так как сила инерции пропорциональна массе тела, то и растяжение пружины должно быть пропорционально массе:
一尸 /
% kk k _ ^m,
где
自Н侬/々=const.
Второй вывод
По-видимому, вагон яв - ляется инерциальной системой но он находится в поле тяготения, и силу упругости уравновешивает сила тяжести: 尸=——Р, Чтобы убедиться, что это действительно сила тяжести, нужно к пружине прикреплять тела с разной массой. Так как сила тяжести пропорциональна массе тела, то и растяжение пружины должно быть пропорционально массе:
где
g=g/E = const.
Таким образом, явления е инерциальной системе, находящейся в однородном поле тяжести, и е неинерциальной системе, движущейся с постоянным по величине и направлению ускорением, происходят совершенно одинаково. Это положение было впервые сформулировано Эйнштейном и положено им в основу релятивистской теории тяготения (см. § 24.6). Оно называется принципом эквивалентности.
Следует обратить особое внимание на точность формулировки принципа эквивалентности. Он справедлив только для малых областей пространства ——столь малых, что в этих областях поле тяготения можно считать однородным. В больших же областях пространства, где отчетливо проявляется неоднородность поля тяготения, невозможно подобрать такую неинерциальную систему отсчета, чтобы в ней силы инерции имели такие же величины и направления, как в поле сил тяготения.
Дело в том, что поле сил тяготения является центральным — силы тяготения направлены к центру тяготеющей массы, например Земли; они убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Никаким ускорением системы отсчета получить такие силы инерции невозможно ——при ускоренном движении системы отсчета силы инерции будут параллельны друг другу (рис. 24.10).
Отсюда следует, что не может быть и речи о том, будто бы из принципа эквивалентности следует, что поле тяготения является 204
лишь «кажущимся», что будто бы в любом случае можно выбрать систему отсчета, где поля тяготения не будет. Об этой ошибке предупреждал неоднократно Эйнштейн. Речь может идти лишь о том,
что свойства пространства и времени в поле тяготения и в неинерциальных системах отсчета аналогичны. Это и составляет сущность теории тяготения Эйнштейна, некоторые идеи которой будут изложены ниже.
Понятие о теории тяготения Эйнштейна
Вблизи массивных тел возникает поле тяготения. Оно характеризуемся вектором напряженности О, совпадающим по смыслу с ускорением тел в данной точке поля, и скалярной величиной <р —— потенциалом поля тяготения (см. §§ 9.6, 18.9). В однородном поле, направленном вдоль оси абсцисс, потенциал 屮=g%, где g — ускорение силы тяжести, х — расстояние точки поля от нулевого уровня потенциала, который мы выберем на оси ординат (см. (18.28)).
Из принципа эквивалентности следует, что свойства пространства и времени в поле тяготения должны быть такими же, как и в неинерциальных системах отсчета.
Пусть в точке, где потенциал поля тяготения равен нулю, элемент длины вдоль оси абсцисс равен Дх0； промежуток времени в этой же точке поля равен А%. Тогда в любой другой точке поля, где потенциал равен ф, элемент длины Ах片 Дх0, а промежуток времени А/片 А%. Для их вычисления воспользуемся формулами (24.3) и (24.5). Поскольку из принципа эквивалентности следует, что g — =侬,то произведение wx ^=gx = ^. Подставив в (24.3) и (24.5), получим
Ах = △/ /1—2中便 (24.6)
(24.7)(24.7)И
(24.7)
(24.7)
М1 — 2(р/с2 '
Итак, в гравитационном поле, как и в неинерциальных системах отсчета, время неоднородно, а пространство является неевклидовым, т. е. неоднородным и неизотропным. Тем самым подтверждено гениальное предвидение Лобачевского, что геометрия реального мира может быть неевклидовой.
Посмотрим, как с этой точки зрения описывается движение тела в поле тяготения.
В ньютоновской механике тело при отсутствии поля тяготения движется по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно. Если же оно попало в поле тяготения, то под действием силы нарушится инерциальность движения. Тело приобретает ускорение и движется уже не равномерно и не прямолинейно.
Согласно общей теории относительности (теории тяготения Эйнштейна) тела всегда движутся по инерции независимо от наличия или отсутствия поля тяготения. Движение по инерции есть движение по геодезической линии (т. е. по кратчайшему расстоянию), и на движение расходуется минимальное собственное время (т. е. время по часам, связанным с движущимся телом).
Если тело движется вне поля тяготения, то там пространство однородно и изотропно, а время однородно. Следовательно, тело будет двигаться по прямолинейной траектории, а скорость движения будет постоянной величиной: из Дх = const и А/= const следует v — =Дх/Д/ = const.
Если же тело движется в поле тяготения, где время неоднородно, а пространство неоднородно и неизотропно, то геодезическая линия уже не прямая, а какая-то кривая, форма которой зависит от структуры поля тяготения. Точно так же скорость движения окажется переменной величиной, ибо элемент длины и промежуток времени являются здесь функциями гравитационного потенциала (см. (24.6) и (24.7)).
Основываясь на этих идеях, Эйнштейну удалось сформулировать релятивистскую теорию тяготения, из которой закон тяготения Ньютона вытекает как предельный случай для слабых полей при медленных движениях взаимодействующих тел.
Однако новый взгляд на свойства пространства и времени позволил Эйнштейну не только полу^ть новую теорию тяготения, но и обнаружить "три эффекта, которые не были известны в теории тяготения Ньютона.
Прежде всего, Эйнштейн показал, что планеты движутся вокруг Солнца не по эллипсам, а по незамкнутым кривым. Каждую из этих кривых можно приближенно представить как эллипс, ось которого медленно поворачивается в плоскости орбиты.
Для планет, которые находятся далеко от Солнца, обнаружить этот эффект очень трудно. Меркурий же расположен к Солнцу ближе остальных планет; следовательно, он находится в более сильном гравитационном поле и движется по орбите быстрее других планет. Поэтому здесь релятивистские эффекты скажутся сильнее. Оказалось, что поворот оси Меркурия должен составить 43 дуговых се-
кунды за столетие. Такая особенность в законах движения Меркурия была замечена астрономами еще в середине XIX столетия, но объяснить это явление не удавалось. Наиболее точные астрономические измерения дали доя смещения значение 42,6土 0,9 дуговой секунды за столетие, что отлично объясняется теорией тяготения Эйнштейна.
Вторым эффектом, вытекающим из этой теории, является искривление световых лучей в поле тяготения. Действительно, свет всегда распространяется по геодезическим линиям, а в поле тяготения геодезической линией является кривая, форма которой зависит от структуры поля.
Рис. 24.11,
В пределах солнечной системы сильное поле тяготения имеется литйь вблизи поверхности Солнца. Поэтому искривление световых лучей можно наблюдать следующим образом. Нужно сфотографировать участок небесной сферы вблизи Солнца, а затем — тот же участок, когда Солнце уйдет оттуда; при этом должно наблюдаться смещение звезд на некоторый угол 0 (рис. 24.11). Естественно, что фотографировать небо следует во время полного солнечного затмения, иначе на фоне яркого света Солнца слабый свет, исходящий из звезд, не будет виден.
Эйнштейн показал, что
9=鲁=禦， (24.8)
где М н R — масса и радиус Солнца. Подставив значения у = 二 6,67- 10~u м3/(кг-с2), М =2- Ю30 кг, R = 7-108 м и с = 3-108 м/с, получим
6 =0,85-10~§ радиана = 1,75 угловой секунды.
Измерения, проведенные рядом наблюдателей, дали от 1,72±0,11 до 1,82±0,15 секунды, что в пределах ошибок измерения отлично согласуется с теорией.
Наконец, благодаря неоднородности времени любой периодический процесс в поле тяготения должен идти несколько медленнее, чем вне поля.
Так, пусть атом излучает электромагнитные волны (безразлично —— видимый свет или гамма-излучение) вне поля тяготения с некоторой частотой v0. Тогда этот же атом, находясь в поле тяготения с потенциалом 屮，излучает волны с меньшей частотой v. Действи-
тельно, Wo = тг, где AN — число колебаний. В поле тяготения
v = 寸,откуда — = -т-7 . Используя (24.7), получим
w =1—2ф/с2.(24.9)
В эксперименте может быть зарегистрировано изменение частоты
Vo Vo卞 C2(l+ F^ 1 —2(p/c2)
Поскольку обычно 輕 W то
1 +K1 — 2(р/са 2.
Итак,
^ =豊.(24.10)
В поле тяготения Земли эффект изменения частоты исключительно мал. Так, на высоте h над поверхностью Земли
AvAv里一型里一型9,81 九9,81 九9」0i69」0i6=1,09*10-16А.=1,09*10-16А.
Av
Av
里一型
里一型
9,81 九
9,81 九
9」0i6
9」0i6
=1,09*10-16А.
=1,09*10-16А.
Тем не менее в 1960 г. Паунд и Ребка, используя эффект Мёссбауэра (см. §81.11), сумели экспериментально подтвердить изменение частоты гамма-излучения в поле тяготения Земли. Сравнивалось излучение ядер изотопа железа с атомным весом 57 у двух источников, один из которых находился на поверхности Земли, второй —на высоте 22,5 м. Теоретическое изменение частоты —=
AV°
=2,46・ 10Т5. в эксперименте получилось — = (2,56 土 0,25)-10~15.
Av (эксп.)Av (теор.)Av (эксп.)Av (теор.)=1,04±0,12,=1,04±0,12,Их отношение
Av (эксп.)
Av (теор.)
Av (эксп.)
Av (теор.)
=1,04±0,12,
=1,04±0,12,
что в пределах ошибок эксперимента блестяще подтверждает теорию тяготения Эйнштейна.
Парадокс близнецов
Представим себе, что космический корабль стартует с Земли в точке А, разгоняется и удаляется от нее вдоль оси абсцисс со скоростью и. Затем он в точке В поворачивает, движется к Земле с той же скоростью, тормозит и совершает посадку. Свяжем с Землей систему отсчета хуг. с удаляющимся кораблем — систему ^y'z1 и с приближающимся —— ％"y"z" (рис. 24.12).
Сравним промежуток времени между стартом и посадкой по показаниям земных часов и часов, которые находятся на космическом корабле. Предполагается, что конструкция часов позволяет им одинаково хорошо работать в обеих системах отсчета.
Промежуток времени между этими событиями по земным часам:
А%ем =%/ — G/ = 〃2再一％) + ("—力力(24.11)
Тот же промежуток времени по космическим часам равен согласно (12.22)
厶九 см = А/ +А/ =Р!^—十Рт^•
(24.12)
Учитывая, что
厶石一S' /B-厶/ ’
и подставив в (24.12), получим
акем =-3)两二2/众十(3 一厶石)Ml_//& =
=仇4 -浦/1-。” + 4в一 i) /1一呐=△&m /1-*便・
Итак,
△5= A3i-^・(24.13)
ООкорабля,корабля,Рис. 24.12.показывают его собственное времяРис. 24.12.показывают его собственное времяЭту задачу можно решить и иначе, с позиций наблюдателя, находящегося в космическом корабле. Часы, покоящиеся
О
О
корабля,
корабля,
Рис. 24.12.
показывают его собственное время
Рис. 24.12.
показывают его собственное время
относительно (см. § 12.9):
(24.14)(24.14)А'косм = А'о + А/()・
(24.14)
(24.14)
Время по земным часам найдем по формуле (12.21):
А/зем = А，+ △/"• =А/зем = А，+ △/"• =А/оА/оА’КОСМА’КОСМУ 1—V2/C2 М 1—1)2” Hl—У2/С3У 1—V2/C2 М 1—1)2” Hl—У2/С3・(24.15)・(24.15)
А/зем = А，+ △/"• =
А/зем = А，+ △/"• =
А/о
А/о
А’КОСМ
А’КОСМ
У 1—V2/C2 М 1—1)2” Hl—У2/С3
У 1—V2/C2 М 1—1)2” Hl—У2/С3
・(24.15)
・(24.15)
Мы вновь пришли к формуле (24.13).
Итак, при любом расчете оказывается, что время в космическом корабле течет медленнее, чем на Земле. Если, например, и = —0,9998 с, то время замедлится в 50 раз! Следовательно, если один из двух близнецов отправится с указанной скоростью в далекое кос-
мическое путешествие и при этом (по своему календарю) состарится на 1 год, то его брат, оставшийся на Земле, состарится на 50 лет.
Замедление времени в быстро движущемся космическом корабле открывает принципиальную^возможность в течение разумных промежутков времени по собственным часам путешествовать к далеким звездам. Правда, об итогах этого путешествия люди, оставшиеся на Земле, уже ничего не узнают.
Заметим, что в настоящее время совершенно не ясны технические условия (в том числе источники энергии), позволяющие ускорять космические корабли до ультрарелятивистских скоростей. Даже разгон элементарных частиц до этих скоростей связан с огромными трудностями (см. §§ 41.4—41.6).
Полученный выше результат называется «парадоксом близнецов» потому, что на первый взгляд он представляется странным. В действительности никакого парадокса не существует, и выдвигаемые иногда возражения против полученного результата не обоснованы. Рассмотрим некоторые из них.
Иногда говорят, что полученный результат противоречит принципу относительности (§ 12.2). Это возражение основано на недоразумении. В космическом корабле при старте, повороте и посадке возникают перегрузки, при свободном полете — невесомость; ничего этого на Земле нет. Итак, обе системы отсчета неравноправны, и поэтому в них темп времени различен. Принцип относительности здесь применять нельзя.
Иногда возражают против полученного результата, указывая, что космический корабль не является инерциальной системой отсчета на -этапах старта, поворота и посадки, а мы при расчете пользовались формулами специальной теории относительности. Это замечание резонно, но оказывается, что учет неинерциальности не меняет существа дела. На участках, где движение корабля неравномерное, время тоже замедляется, что было показано в предыдущих параграфах.
Иногда высказываются сомнения в законности применения теории относительности к темпу процессов, происходящих в живых организмах. Кстати, возможность применения к этим же объектам законов ньютоновской механики почему-то сомнений не вызывает. Между тем никаких оснований для таких сомнений нет. Развитие науки показало, что жизнь в конечном счете сводится к физикохимическим процессам, происходящим в весьма сложных системах, состоящих из высокополимерных соединений — белков и нуклеиновых кислот. Благодаря высокой степени организации эти системы, естественно, имеют свои специфические закономерности. Но общие законы физики ——как ньютоновской, так и релятивистской ——применимы к этим объектам в полной мере.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА
ГЛАВА 25
МОЛЕКУЛЯРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 25・1・ Как измерили скорость движения молекул
Из курса физики восьмилетней школы читателю известно, что все тела состоят из молекул или атомов, которые находятся в состоянии непрекращающегося беспорядочного движения. Как же определить скорости движения молекул?
Впервые такой эксперимент поставил в 1920 г. Штерн, В дальнейшем предложенная мм методика «молекулярного пучка» использовалась различными учеными, создавшими более совершенные установки. Рассмотрим идею эксперимента, осуществленного Ламмертом в 1929 г.
Прибор (рис. 25.1) состоит из толстостенного сосуда /, к которому присоединяется «молекулярная печка» 2 — сосуд, в котором испаряется ртуть (или какой-либо другой жидкий металл). Пары ртути проходят через систему диафрагм 3, в результате чего создается довольно узкий молекулярный пучок. Два диска 4? и 5 с узкими прорезями (рис. 25.2) повернуты друг относительно друга на некоторый угол ср и приводятся во вращение мотором 6. Молекулярный пучок, пройдя через прорези обоих дисков, попадает в ловушку 7, охлаждаемую жидким азотом. Молекулы осаждаются на стеклянной мишени 8, образуя на ней видимый осадок»
/夕/夕Рис. 252Рис. 252и =и =2n・50・0,4，18024 л2n・50・0,4，18024 л= 300 м/с.= 300 м/с.
/夕
/夕
Рис. 252
Рис. 252
и =
и =
2n・50・0,4，18024 л
2n・50・0,4，18024 л
= 300 м/с.
= 300 м/с.
В установке с помощью насоса 9 поддерживается высокий ваку、 ум, чтобы избежать столкновений молекул ртути с молекулами воздуха.
Очевидно, что при неподвижных дисках молекулярный пучок на мишень не попадет. Если же диски привести во вращение, то молекулы, обладающие определенной скоростью, смогут пройти через
прорезь второго диска. Это произойдет в том случае, когда за время, в течение которого молекулы движутся между обоими дисками, второй диск как раз успеет повернуться на угол ср, так что прорезь окажется на пути молекулярного пучка.
Если диск вращается с угловой скоростью з = 2л;〃 (где п—■ частота его вращения), то угол 屮=со/ = 2лл/・ Но Z = 〃и, где и ——скорость молекул. Отсюда ф = 2лп//и, или
(25.1)(25.1)v — 2лм//(р.
(25.1)
(25.1)
Зная угол между прорезями, расстояние между дисками и частоту их вращения, можно вычислить скорость молекул.
Например, если / = 40 см = 0,4 м,屮=24° = 24л/180 рад и м — =3000 об/мин = 50 об/с, то скорость молекул
Заметим, что вследствие конечной ширины прорезей скорость измеряется не точно, а с некоторой погрешностью. Действительно, пусть молекула летит через левый край прорези первого диска. Во второй прорези она может пройти как через левый, так и через правый край. Но в первом случае система повернется на угол ф, а во втором ■— на угол 屮i =屮 4* △屮.Соответственно на мишень попадут как молекулы, которые движутся со скоростью и (они пройдут через левый край), так и молекулы, движущиеся с меньшей скоростью vx 2пп11^х (они пройдут через правый край прорези). Погрешность при измерении скорости равна
дл_7.一2冗欣2冗献 一 2лл/А(р _ tM(p/9г 9ч
公° ° — %- ф+дф — ф (ф + Д(р) ~
В конкретном примере, который мы рассчитали выше, при А(р = 2° имеем
= 300 226 = 23 м/с.
Итак, в данном опыте мы можем лишь утверждать, что скорость молекул лежит в интервале между 300 м/с и 277 м/с.
Конечно, эту погрешность можно уменьшить, сделав прорези более узкими. Однако принципиально невозможно полностью ликвидировать разброс скоростей, поскольку нельзя сделать щель бесконечно тонкой.
Распределение молекул по скоростям
Если бы все молекулы двигались с одинаковыми скоростями,
то при заданном угле между прорезями и заданном расстоянии м& жду дисками все молекулы попали бы в ловушку только при определенной скорости вращения диска. В этом случае при подходящей
скорости вращения мишень быстро покроется налетом молекул, а при иных скоростях молекулы на нее не попадут. На самом деле результаты эксперимента оказались совершенно иными. Прежде всего, молекулы проникали в ловушку при разных скоростях вращения дисков. А это свидетел ь ст в ует о наличии в пучке молекул с различными скоростями. В самом деле, из (25.1) следует, что молекулы, движущиеся с большими скоростями, попадут в ловушку при большей скорости вращения дисков, медленные же молекулы попадут в ловушку при меньших скоростях вращения. Далее оказалось, что для получения осадка одинаковой толщины при
разных скоростях вращения тре
буется различное время. А это свидетельствует о том, что доля быстрых и медленных молекул в пучке различна.
Наиболее трудно в данном эксперименте определить число
молекул, движущихся с той или иной скоростью. Из этого затруднения был найден весьма остроумный выход. Опыт показал, что ви-
димый осадок получается при вполне определенном числе сконденсировавшихся молекул. Чем больше число молекул в пучке, тем меньше времени требуется для получения видимого осадка, т. е.
%2^1%2^1• Таким образом, в данном эксперименте может быть опре-
%2^1
%2^1
делено относительное число молекул, скорость которых лежит в интервале от и до и + Av, т. е. число .
Результаты одного из экспериментов приведены в табл. 25.1 и на рис. 25.3. Измерения проведены с молекулами некоторого вещества при определенной температуре в «молекулярной печи».
Из результатов эксперимента вытекает, что имеется некоторая скорость, с которой движется наибольшее число молекул; в нашем случае она лежит в интервале 270—300 м/с. Эта скорость называется наиболее вероятной. Обозначим ее через 〃.
Большинство молекул движется со скоростями, близкими к наиболее вероятной; имеется очень мало молекул, скорость которых много больше или много меньше наиболее вероятной скорости.
Таблица 25 1
Интервал скоростей, м/с
Относительное число молекул Д^/^Д^
Интервал скоростей» м/с
Относительное число молекул Д^/^Дo
Интервал скоростей, м/с
Относительное число молекул Д^/^Дo
60—90
82
270—300
368
480—510
161
90—120
137
300—330
361
510—540
127
120—150
195
330—360
342
540—600
86
150—180
251
360—390
313
600—660
46
180—210
300
390—420
278
660—720
22
210—240
338
420—450
450—480
237
720—840
9
240—270
361
198
Распределение молекул по скоростям, полученное экспериментально, хорошо согласуется с теоретическим распределением, которое получил Максвелл еще в 1860 г., применив к тепловому, хаотическому движению законы теории вероятностей. Полученный нм закон называется максвелловским распределением молекул по скоростям. Хорошее согласие теоретического закона с экспериментальными данными является отличным подтверждением правильности наших представлений о характере молекулярного движения в газах.
Как из опыта, так и из максвелловского распределения можно вычислить наиболее вероятную скорость движения молекул газа. Оказалось, что она зависит от температуры газа и массы его молекул.
Так, для водорода при температуре 0℃ и 100℃ наиболее вероятная скорость равна соответственно 1510 м/с и 1765 м/с. При тех же условиях наиболее вероятная скорость молекул кислорода равна 378 м/с и 442 м/с, т. е. в 4 раза меньше, а скорость молекул паров ртути — 151 м/с и 176,5 м/с, т. е. в 10 раз меньше, чем скорость молекул водорода.
Как известно, масса молекулы водорода в 16 раз меньше массы молекулы кислорода и в 100 раз меньше массы атома ртути (молекула ртути состоит из одного атома, молекулы же водорода и кислорода — двухатомные). Следовательно, из опыта вытекает, что при заданной температуре газов наиболее вероятные скорости их молекул обратно пропорциональны корням квадратным из их масс:
(25.3)
Отсюда можно получить
加上启__g吗（25 4）
Итак, средняя кинетическая энергия молекул не зависит от природы газа, а зависит только от его температуры.
Длина свободного пробега молекулы
Поскольку при комнатных температурах скорость молекул раза составляет несколько сот метров в секунду, то на первый взгляд неясно, почему диффузия в газах происходит сравнительно медленно. Например, в комнате запах из одного конца в другой распространяется в течение десятков секунд, а не сотых долей секунды, как этого, казалось бы, следовало ожидать. Причина заключается в том, что молекулы очень часто соударяются друг с другом, вследствие чего траектория молекулы представляет собой не прямую линию, а весьма сложную, запутанную ломаную.
Представление о характере этой траектории можно получить, наблюдая в микроскоп за движением броуновской частицы. В 1827 г. Броун с помощью сильной лупы наблюдал за поведением в жидкости мельчайших спор, размером около микрона. Он обнаружил, что эти частицы находятся в состоянии непрерывного беспорядочного движения, как бы отплясывая какой-то фантастический танен. В дальнейшем было обнаружено, что броуновское движение совершают любые микроскопические частицы как в жидкостях, так и в газах.
Как доказали в 1905 г. Эйнштейн и Смолуховский, броуновские частицы ведут себя как гигантские молекулы, средняя кинетическая энергия которых равна средней кинетической энергии молекул жидкости или газа, окружающих эту частицу. Поэтому характер движения броуновских частиц полностью соответствует характеру движения молекул, но с одной лишь существенной разницей: скорость движения частиц значительно меньше скорости движения молекул. Действительно, из равенства средних значений кинетической энергии частицы и молекул Кчаст=Хюл следует
М"；аст ^мол~rvj
-=-~■ j ИЛИ Уча ст — ^мол г т] М»
где чертой обозначено среднее значение скорости, m — масса молекулы, М ——масса броуновской частицы. Броуновская частица содержит миллиарды молекул: М/т^ 1010; скорость газовых молекул составляет несколько сот метров в секунду. Следовательно, скорость броуновских частиц составит несколько миллиметров в секунду, что и наблюдается на практике.
Итак, молекула испытывает ежесекундно множество столкновений. Попытаемся вычислить число соударений за секунду и среднюю длину свободного пробега молекулы.
Предположим, что молекулы газа при столкновении ведут себя как упругие шарики. Для упрощения расчета предположим, что движется только одна молекула, крайняя слева на рис. 25.4, а остальные покоятся. При столкновении двух молекул их центры сближаются на расстояние d, равное диаметру молекулы. Поэтому удобно считать, что движущаяся молекула имеет радиус r = d, а остальные молекулы являются материальными точками.
При каждом столкновении молекула меняет направление своего движения, так что ее траектория имеет форму запутанной ломаной (рис. 25.5). Для удобства расчета мысленно спрямим эту траекторию, как это изображено на рис. 25.4. Это не может отразиться на расчете
числа столкновений, ибо форма траектории здесь не играет никакой роли. Рассматриваемая молекула за время t пройдет путь I = vt. При этом она столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат в цилиндре, образующая которого l = vt, а площадь основания о имеет диаметр, равный удвоенному диаметру молекулы. Эта площадь называется эффективным сечением соударения.
Число молекул в этом цилиндре N = по/ = mwf, где п ——концентрация молекул, т. е. число молекул в единице объема. За секунду молекула испытывает г столкновений:
г = Nit = nov. (25.5)
Если бы молекула двигалась в вакууме, не испытывая соударений, то она за секунду прошла бы расстояние, численно равное ее скорости. На самом же деле она за секунду испытывает z столкновений. Следовательно, длина свободного пробега
ии1ЛО1ЛО(25.6)(25.6)
и
и
1
ЛО
1
ЛО
(25.6)
(25.6)
Этот расчет является довольно приближенным, так как при выводе мы сделали ряд искусственных допущений. Однако строгая теория, учитывающая движение всех молекул, дает результат, отличающийся от полученного нами на 30——40%, что в данном случае не очень существенно, ибо нас интересуют здесь не точные значения величин, а лишь их порядок.
Существует несколько методов, позволяющих экспериментально определить длину сеободного пробега. Оказалось, что при 216
нормальном атмосферном давлении длина свободного пробега мо・ лек\лы газа составляет около 0,1 микрона = 10- 7 м; концентрация же молекул газа при этих условиях п^ 1025 молекул в 1 м3. Отсюда можно найти эффективное сечение соударения:
ш25= Ю~18 м2.
ПЛ10-7 • 1022
Поскольку о = л* где d — эффективный диаметр молекулы, то d= J/g/冗笈 10_& м = 10 А;
здесь 1 А (ангстрем) = 10-10 м ——единица длины, часто употребляемая в оптике, молекулярной и атомной физике. Полученный результат по порядку хорошо согласуется с численными значениями для размеров молекул, которые получены другими способами.
Диффузия
Диффузией называется процесс выравнивания концентраций двух веществ при их смешении друг с другом. Диффузия происходит как в газах, так и в жидкостях и твердых телах.
Для наблюдения диффузии в газах можно поставить следующий эксперимент. Толстостенный стальной цилиндр разделен перегородкой с клапаном на две части (рис. 25.6). Нижняя половина цилиндра заполняется кислородом, верхняя ——водородом. В боковых стенках имеются запальные свечи, между электродами которых может создаваться искра. В начале эксперимента искра не вызывает взрыва, так как кислород отделен от водорода. Если же открыть клапан, то через некоторое время газы перемешаются и искра вызовет взрыв возникшей при этом смеси — гремучего газа. Заметим, что при диффузии более тяжелый кислород
поднимался вверх, а водород, который легче кислорода в 16 раз, опускался вниз. Следовательно, газы двигались вопреки действию поля силы тяжести.
Это явление естественно объясняется на основе молекулярнокинетической теории. Дело в том, что молекулы обоих газов, двигаясь беспорядочно и сталкиваясь друг с другом, попадают в промежутки между соседними молекулами, что приводит к проникновению одного газа в другой. Постепенно возникает смесь двух газов с одинаковой концентрацией обоих сортов молекул.
Заметим, что именно благодаря диффузии окружающая нас атмосфера (по крайней мере ее нижний слой ——тропосфера) пред-
ставляет собой однородную смесь азота, кислорода, углекислого газа и небольшой примеси инертных газов и паров воды. При отсутствии диффузии произошло бы расслоение атмосферы под действием поля силы тяжести: внизу оказался бы слой наиболее тяжелого углекислого газа, над ним — кислород, а еще выше — азот и инертные газы.
Так как с ростом температуры возрастают скорости движения молекул, то при этом ускоряется и процесс диффузии, что и наблюдается на практике. Всем известно, что в горячей воде соль или сахар растворяются значительно быстрее, чем в холодкой,——а это и означает ускорение процесса диффузии е ростом температуры. Аналогичные явления наблюдаются и в газах, и в твердых телах.
Закон диффузии
Попытаемся выяснить более глубоко механизм диффузии в газах, а заодно определить, от чего зависит масса вещества, переносимого в процессе диффузии. Для простоты рассуждений рассмотрим процесс самодиффузии — случай, когда сосуд заполнен одним газом, но концентрация молекул в разных частях сосуда различна.
Рис. 25.7・
Пусть, например, сосуд представляет собой трубу, в левой части которой поддерживается избыточная концентрация, а в правой —— некоторое разрежение (рис. 25.7). Концентрация молекул п и пропорциональная ей плотность газа р = mon убывают по направлению оси абсцисс. Выделим мысленно в трубе некоторую площадку S и подсчитаем массу Д/n вещества, которая переносится через единицу площадки в единицу времени, т. е. величину Дт/5Д?.
Через площадку могут пройти только те молекулы, которые отстоят от нее на расстояний, не превышающем длину свободного пробега, т. е. молекулы, находящиеся в слоях / и 2 на рис. 25.7・ Но так как молекулы движутся совершенно беспорядочно, то для них все направления в пространстве одинаковы, и потому 6 среднем
в заданном направлении движется лишь одна шестая часть всех молекул: №6 вдоль положительного направления оси абсцисс, 7V/6 вдоль ее отрицательного направления, N/6 вдоль положительного направления оси ординат и т. д.
В объеме 1 находится N* — %SA молекул; из них через площадку S пройдет одна шестая часть, т. е. NJ6 = i/6〃iSL・ Соответственно из объема 2 через площадку S пройдет N』6 =寸扪岔\ молекул. В результате через площадку за время Д/ продиффундирует молекул AN = X/6S% (nj — п3). Умножив обе части равенства на массу одной молекулы т0 и учитывая, что mQ^N ~ Д/n, a /n0(ni——п2)= —т^Пх—加 Q/Zg — pi —p2 = —Ар, получим
Nm = — ^SXAp.(25.7)
Преобразуем несколько это равенство. Величина ~ = — -, характеризующая скорость изменения плотности газа вдоль оси абсцисс, называется градиентом плотности. Дробь ^ = ^ = 2и равна удвоенной средней скорости движения молекул. Учитывая это, перепишем (25.7) так:
\m = — ~S^= —器寺 А/ = —^o*SAf.
Отсюда масса вещества, переносимого вследствие диффузии через единицу площади в единицу времени, выразится так:
Ат = —& 入u^SA/,(25.8)
или
\m = — D^SM,(25.9)
т. е. масса продиффундировавшего вещества пропорцаональна гра~ диенту плотности, площади сеченая трубы и времени. Это и есть закон диффузии.
Коэффициент
D = %(25.10)
называется коэффиццентом диффузии. Зная коэффициент диффузии и среднюю скорость движения молекул, можно вычислить и длину свободного пробега молекулы.
Разделение газовых смесей
Довольно интересные явления наблюдаются при диффузии газов через пористую перегородку. Для ознакомления с явлением проделаем следующий опыт (рис. 25.8). Пористый сосуд из необожженной глины соединим резиновой трубкой с водяным маномет-
ром. Накроем сосуд небольшим химическим стаканом и введем в ста
кан водород — газ, молекулы которого имеют гораздо меньшую массу, чем молекулы азота или кислорода, из которых состоит воздух. Мы заметим, что уровень жидкости в манометре сместится и покажет, что давление внутри пористого сосуда стало больше атмосферного.
Это явление можно объяснить следующим образом. Через стенки пористого сосуда диффундирует как воздух, так и водород. Воздух
выходит из сосуда, водород же проникает внутрь. Однако скорость диффузии у них различна. Поскольку масса молекулы водорода примерно в 16 раз меньше массы молекулы кислорода и в 14 раз —молекулы азота, то скорость движения его молекул и соответственно коэффициент диффузии водорода примерно в 4 раза больше, чем коэффициент диффузии воздуха. В результате в пористый сосуд проникает гораздо больше водорода, чем из него выходит воздуха, и давление внутри этого сосуда возрастает.
Исходя из этих соображений, мы
можем предугадать, что если пористый сосуд опустить в более тяжелый газ, например в углекислый, то скорость диффузии воздуха из него будет значительно больше скорости диффузии углекислого газа в пористый сосуд. В результате давление газа внутри пористого сосуда станет меньше атмосферного, что и покажет манометр. Опыт подтверждает это пред
положение.
Описанное явление может быть использовано для разделения газовых смесей. Представим себе сосуд, разделенный пополам пористой перегородкой (рис. 25.9). В левую половину сосуда нагнетается газовая смесь, состоящая из двух компонент. Поскольку легкая компонента быстрее диффундирует через пористую перегородку, чем тяжелая, то на выходе из прибора мы получим уже новые газовые смеси, из которых одна обогащена легкой компонентой, а вторая ■ более тяжелой. Пропустив интересующую нас смесь через большое число камер, можно добиться практически полного отделения одной компоненты от другой.
Почти все химические элементы представляют собой смесь изотопов, т. е. атомов, которые обладают совершенно одинаковыми химическими свойствами, но различаются атомным весом.
Так, природный водород состоит из 99,985% легкого изотопа (протия) и из 0,015% тяжелого изотопа (дейтерия); массы их атомов относятся примерно как 1 : 2 (точнее — 1,008142 : 2,014735). Искусственно можно получить и сверхтяжелый изотоп водорода (тритий), масса этого атома примерно в 3 раза больше массы атома про-
тия. Природный уран состоит в основном из двух изотопов, массы атомов которых относятся примерно как 235 : 238; легкий изотоп составляет 0,715%, тяжелый ——99,28% всей массы урана, оставшиеся 0,005% составляют другие изотопы.
Разделение изотопов химическими методами невозможно, ибо их химические свойства совершенно одинаковы. Поэтому для их разделения нужно использовать физические явления, ход которых зависит от массы атомов.
Одним из важнейших способов разделения изотопов является диффузионный метод, описанный выше.
Пористая
Так, для некоторых типов ядерных реакторов необходим обогащенный уран, содержащий до 80% легкого изотопа. Для его получения используется газ — шестифтористый уран (UF6), который прогоняется насосами через систему из нескольких сот или даже тысяч диффузионных камер (в зависимости от нужной степени обогащения). В результате установка для диффузионного разделения изотопов урана представляет собой огромное и дорогостоящее сооружение.
ГЛАВА 26ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Давление газа
Опыт показывает, что газ, заключенный в некоторый сосуд, производит давление на его стенки. Это явление объясняется на основе молекулярно^кинетической теории следующим образом. Молекулы, двигаясь совершенно беспорядочно, ударяются о стенки сосуда. Суммарный импульс, который молекулы передают за единицу времени единице площади,——это и есть давление, производимое газом.
Для вычисления давления воспользуемся формулой (17.17), с помощью которой описывается давление потока частиц, упруго соударяющихся со стенкой (см. § 17.5):
(26.1)(26.1)p = 2ши“2,
(26.1)
(26.1)
где п — концентрация частиц (число частиц в единице объема). Однако в это выражение нужно внести две существенные поправки. В § 17.5 мы рассматривали поток частиц, в котором все они движутся в одном направлении с одной и той же скоростью. Молекулы идеального газа движутся беспорядочно во всевозможных направлениях, а скорость молекул, согласно распределению Максвелла, раз-
лична.лична.Поэтому вместо квадрата скорости нужно в формулу (26.1)
лична.
лична.
ввести среднюю величину квадрата скорости:
〈№〉=》=煮 ®； +若 + ... +吸).
Корень квадратный из среднего квадрата скорости У^^У<v2> называется средней квадратичной скоростью.
Соответственно нужно в (26.1) вместо концентрации п ввести одну шестую концентрации, п/6. Действительно, вследствие полной хаотичности молекулярного движения и огромного числа молекул в единице объема можно утверждать, что в любом направлении движется одна шестая часть всех молекул.
22Таким образом, давление газа пропорционально концентрации молекул и 〃％ средней кинетической энергии:
2
2
(26.2)
Выражению (26.2) можно придать другую форму, учитывая, что концентрация молекул n = N/V, где N —— полное число молекул в сосуде объемом У; подставим 九=N/V в (26.2); тогда
(26.3)
Как показывает опыт, средняя кинетическая энергия молекул не зависит от сорта газа, а определяется только его температурой (см. § 25.2). Следовательно, при изотермическом процессе (т. е. процессе, происходящем при неизменной температуре) средняя кинетическая энергия молекул является постоянной величиной. Но тогда из (26.3) вытекает, что и произведение давления газа на его объем является при этом условии постоянной величиной. Итак, мы получили следующий важный результат:
При неизменной температуре (加°及/2 = const) и неизменной массе газа (число молекул ^ = const) произведение его давления на объем является постоянной величиной (закон Бойля и Мариотта),
(26.4)(26.4)pV = const.
(26.4)
(26.4)
Закон этот часто формулируется и так: при изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объему (при неизменной массе газа).
Графиком изотермы^на осях р — V является гипербола (рис. 26.1). Для одной и той же массы газа разные кривые соответствуют различным температурам.
Объем равен частному от деления массы на плотность: V = —т/р. Подставив в (26.4) и учитывая, что мы полагаем массу газа величиной постоянной, получим
р/р = const. (26.5)
Итак, закон Бойля и Мариотта можно сформулировать и следующим образом: при постоянной температуре 〃 неизменной массе газа его давление прямо пропорционально плотности.
График этой зависимости на осях р ——р изображен на рис. 26.2. Наклон графика зависит от температуры газа.
Единицы давления
Единицей измерения давления в Международной системе единиц служит паскаль (Па). Это давление, вызываемое силой 1Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2:
1Па=1Н/1м®,
В системе СГС единицей давления служит дин/смв;
1 Па = 1 Н/м2 = 10дин/см2.
Часто используется внесистемная единица давления ——бар:
1 бар — 105 Па = 10е дин/сма.
В технике широко используется внесистемная единица —— техническая атмосфера (ат):
1 ат = 1 кгс/см2 = 98066,5 Па^9,81*104 Па = 0,981 бар.
С ошибкой порядка 2% можно пренебречь разницей между атмосферой и баром.
Давление в жидкости или газе удобно сравнивать с давлением вертикального столба некоторой жидкости. Так, например, измеряется давление атмосферы с помощью ртутного барометра или степень разрежения в вакуумной установке (рис. 26.3) с помощью манометра.
Для вычисления давления, которое производит вертикальный столбик жидкости, нужно его вес разделить на площадь основания:
Р mgР mg*p砲,*p砲,(26.6)(26.6)
Р mg
Р mg
*p砲,
*p砲,
(26.6)
(26.6)
где р — плотность жидкости, силы тяжести.где р — плотность жидкости, силы тяжести.h — высота столба, g — ускорениеh — высота столба, g — ускорение
где р — плотность жидкости, силы тяжести.
где р — плотность жидкости, силы тяжести.
h — высота столба, g — ускорение
h — высота столба, g — ускорение
Рис. 26.3.Рис. 26.3.
Рис. 26.3.
Рис. 26.3.
Для измерения малых давлений нередко применяется наклонная манометрическая трубка. Здесь
р = pg/sin а,(26.7)
где а — угол между трубкой и горизонтальной плоскостью и / —— длина столба жидкости.
Для практических целей часто оказывается удобным определять давление по высоте столбика жидкости в манометрической трубке. Используются единицы:
миллиметр ртутного столба (тор):
мм рт. ст. = 10~3 м-13 595 кг/м3-9,80665 м/с3= 133,322 Па;
нормальная или физическая атмосфера:
1 атм = 760 мм рт. ст. — 1,01325-105 Па
(с ошибкой порядка 3% можно пренебречь разницей между физической и технической атмосферой);
метр водяного столба-.
м вод. ст. = 1 м* 103 кг/м3-9,81 м/с2 = 9,81-103 Па =0,1 ат.
Идеальный газ
Закон Бойля и Мариотта неоднократно проверялся на опыте. Оказалось, что при давлениях, не превосходящих нескольких десятков атмосфер, и при сравнительно высоких температурах (порядка комнатных и выше) он выполняется довольно хорошо. Отступления результатов эксперимента от теоретических расчетов не превосходят 1——3%. Однако при давлениях порядка сотен атмосфер и выше экспериментальные значения произведения pV уже значительно отличаются от теоретических.
Рис. 26.4.
В табл. 26.1 и на рис. 26.4 приведены некоторые данные по сжатию трех различных газов при неизменной температуре % = 0°С, начальном давлении % = 1 атм и одинаковом начальном объеме 匕= 22,41 л.
Таблица 26.1
Кислород
Водород
Гелий
р, атм
匕л
", атм
匕Л
Р/о
р, атм
V, л
「％
10,07
2,20
0,988
10,07
2,24
1,007
10,04
2,24
1,004
51,4
0,408
-0,937
51,9
0,448
1,04
51,1
0,448
1,02
106
0,187
0,884
108
0,224
1,08
105
0,224
1,05
Из анализа результатов эксперимента следует, что при давлениях, не превосходящих нескольких десятков атмосфер, соотношение между давлением и объемом газа выражается законом Бойля и Мариотта. Целесообразно не учитывать при этих условиях незначительные отклонения экспериментальных данных от теоретического значения pV — const и ввести понятие о некотором идеальном газе. который точно следует закону Бойля и Мариотта.
Итак, идеальным газом называется газ, у которого при изотермическом процессе давление в точности обратно пропорционально его объему (при неизменной массе).
Понятие идеального газа является идеализацией, аналогично тому как идеализациями являются понятия материальной точки,
8 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1 225
точечного заряда и т. п. Однако в ряде случаев использование подобных идеализаций весьма целесообразно, ибо позволяет существенно упростить решение задачи без заметного ущерба для точности ее решения,
Попытаемся выяснить, какова же молекулярная структура идеального газа. Для этой цели сравним плотность газа с плотностью жидкости (или твердого тела) при одном и том же давлении и температуре.
При нормальном атмосферном давлении и температуре 100° С плотность воды равна 958,4 кг/м3, а водяного пара 0,598 кг/м3, т. е. в 1600 раз меньше. Но плотность есть произведение массы молекулы на концентрацию молекул: р ~ mon. Следовательно, в единице объема воды в 1600 раз больше молекул, чем в единице объема водяного пара.
Так как объем пропорционален кубу линейных размеров, то расстояние между молекулами пара в /1600^ 12 раз больше, чем расстояние между молекулами воды при тех же условиях. Аналогичный расчет для других веществ приводит к такому же результату: расстояние между молекулами 6 газах 6 десятки раз больше, чем в жидкостях или твердых телах (при не очень больших давлениях).
Ниже будет показано, что молекулярные силы меняются очень быстро с расстоянием; например, силы молекулярного притяжения обратно пропорциональны седьмой степени расстояния (см. § 31.4). Следовательно, в газах силы взаимодействия между молекулами (при не очень больших давлениях) в десятки миллионов раз меньше, чем в жидкостях и твердых телах. А это означает, что при этих условиях можно вообще пренебречь силами молекулярного взаимодействия.
Тем самым оправдано то неявное допущение, которое мы фактически сделали при выводе формулы (26.2), когда учитывалось только взаимодействие между молекулами газа и стенками сосуда, но не учитывалось взаимодействие между самими молекулами. Следовательно, закон Бойля и Мариотта будет выполняться, если в газе не играют заметной роли силы молекулярного взаимодействия.
Заметим, что в этом случае не учитываются также и размеры молекул, поскольку суммарный объем молекул (рассчитанный, например, по их эффективным размерам) оказывается много меньше объема сосуда.
Итак, с молекулярной точки зрения идеальный газ представляет собой систему молекул, которые друг с другом не взаимодействуют и которые е первом приближении можно считать материальными точками.
Температура
Понятие температуры возникло вначале из ощущений «горячее» и «холодное». Однако такой критерий весьма субъективен, поскольку наши ощущения зависят не только от состояния среды, 226
но и от состояния нашего организма.Так,если в одну и ту же комнату войдут два человека, один из горячей ванны, а второй с мороза, то первому будет холодно, а второму тепло.
Необходимо найти объективный критерий для характеристики температуры, а также установить однозначный способ измерения этой величины.
С точки зрения термодинамики температура является величиной, характеризующей направление теплообмена. Действительно, как показывает опыт, теплообмен происходит всегда таким образом, что энергия в форме тепла передается только от нагретых тел к холодным.
Для иллюстрации этого явления рассмотрим следующий эксперимент. В сосуд, содержащий некоторое количество воды, опустим горячий кусок железа. Спустя некоторое время мы заметим, что температуры обоих тел сравнялись — вода и тело на ощупь будут одинаково теплыми. Но при этом железо охладилось, а его внутренняя энергия соответственно уменьшилась; вода же нагрелась, еле* довательно, ее внутренняя энергия возросла.
По определению (см. § 21.3) количеством теплоты называется энергия, переданная путем теплообмена. Следовательно, при контакте двух тел с различной температурой количество теплоты передается от тела с более высокой температурой ^ телу е более низкой температурой.
Равенство температур определяется следующим условием: температуры. двух тел равны, если между ними не происходит теплообмена.
Это необходимо учитывать при измерении температуры. Термометр фактически регистрирует всегда свою собственную температуру; поэтому для правильного измерения температуры некоторого тела следует термометр привести в контакт с телом и выждать, пока показания термометра не окажутся стабильными. Это и будет означать, что теплообмен между Телом и термометром прекратился и температура у них одинаковая.
С точки зрения молекулярно-кинетических представлений температура есть величина, характеризующая среднюю кинетине- скую энергию поступательного движения молекул идеального 203a. Это определение имеет смысл, поскольку опыт показывает, что при одинаковой температуре средние кинетические энергии молекул различных газов совпадают (см. § 25.2).
Учитывая термодинамический смысл температуры, мы можем свести измерение температуры любого тела к измерению средней кинетической энергии молекул идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия с данным телом. Однако измерение скоростей (или кинетических энергий) молекул связано со значительными трудностями. Поэтому на практике измеряют не кинетическую энергию молекул, а некоторую другую величину, пропорциональную ей, например давление газа.
Абсолютная температура и уравнениесостояния идеального газа
Определим абсолютную температуру как физическую величину, пропорциональную средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. В соответствии с этим определением и законами классической молекулярной теории зависимость между температурой и средней кинетической энергией молекул такого газа имеет вид
或=%尼Т・(26.8)
Здесь ek ——средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, Т —— абсолютная температура и k —— коэффициент пропорциональности, который называется постоянной Больцмана (см. § 26.9).
Для того чтобы можно было пользоваться сформулированным выше понятием абсолютной температуры, следует прежде всего установить метод измерения этой величины; затем следует установить единицу измерения и, наконец, определить нулевой уровень температуры. Это будет сделано в следующих параграфах.
Как было показано, средняя кинетическая энергия молекул идеального газа может быть выражена через давление газа и концентрацию его молекул (см. (26.2)):
(26・9)
Из (26.8) и (26.9) следует
p = nkT,(26.10)
т. е. давление идеального газа пропорционально езо абсолютной температуре и концентрации молекул.
Учитывая, что n ~ N/V, получим
岑=N6 = const.(26.11)
Данное уравнение называется уравнением газового состояния. Оно формулируется так:
При неизменной массе газа (т. е. при неизменном числе молекул М) произведение его давления на объем пропорционально его абсолютной температуре.
Газовый термометр
Прибором для измерения абсолютной температуры служит газовый термометр (рис. 26.5). Он представляет собой баллон /, который заполнен газом (обычно водородом); с помощью трубки 2 с расширением и резинового шланга 3 сосуд соединяется с манометрической трубкой 4. Сосуд с водородом приводится в контакт с 228
7\17\ = pj рм7\17\ = pj рм(26.12)(26.12)давления произво-давления произво-Рис. 26 5.Рис. 26 5.термометрами, rep- п. Однако все этитермометрами, rep- п. Однако все этипературы ошибкапературы ошибка5= А"=р—"на5= А"=р—"наРнл РидРнл РидГазб=Др/ридКислород Водород Гелий0,000730,000120,00018Газб=Др/ридКислород Водород Гелий0,000730,000120,00018Таблица 26.2Таблица 26.2
7\17\ = pj рм
7\17\ = pj рм
(26.12)
(26.12)
давления произво-
давления произво-
Рис. 26 5.
Рис. 26 5.
термометрами, rep- п. Однако все эти
термометрами, rep- п. Однако все эти
пературы ошибка
пературы ошибка
5= А"=р—"на
5= А"=р—"на
Рнл Рид
Рнл Рид
Газ
б=Др/рид
Кислород Водород Гелий
0,00073
0,00012
0,00018
Газ
б=Др/рид
Кислород Водород Гелий
0,00073
0,00012
0,00018
Таблица 26.2
Таблица 26.2
телом, температуру которого нужно измерить. Поднимая либо опуская манометрическую трубку, мы доводим уровень ртути в расши-
рении 2 до заданной метки, так что измерение дится при неизменном объеме газа.
Температуры двух тел сравниваются следующим образом. Приведем газовый термометр вначале в состояние термодинамического равновесия с первым телом, а затем —— со вторым, каждый раз измеряя при этом давление по высоте столбика ртути. Тогда на основании уравнения газового состояния (26.11) при условии постоянства объема газа мы заключаем, что
Тем самым измерение температуры сведено к измерению давления газа.
На практике, естественно, температуру измеряют не газовым термометром, а другими приборами — ртутными или спиртовыми мометрами сопротивлений, термопарами и т.
приборы градуируются с помощью газового термометра, который служит, таким образом, эталонным прибором.
Выбор в качестве термометрического тела именно водорода, а не какого- либо иного газа, не случаен. Оказывается, что показания водородного термометра точнее, чем газового термометра, баллон которого заполнен любым другим газом.
Они ближе всего к показаниям, которые дал бы газовый термометр с идеальным газом.
В табл. 26.2 показаны ошибки, которые дают газовые термометры при измерении тем-
кипякцей Воды. Относительная
гДе Рид —гДе Рид —показания газового термометра с
гДе Рид —
гДе Рид —
идеальным газом, р — показания газового термометра, заполненного соответствующим газом. Мы видим, что отклонения эти вообще очень малы, они составляют сотые доли процента. При этом показания водородного термометра в полтора раза точнее, чем гелиевого, и в шесть раз точнее, чем при заполнении баллона кислородом (или воздухом).
Градус и кельвин. Практическая и абсолютная шкала температур
На практике за единицу измерения температуры принимается градус Цельсия (℃)——это одна сотая температурного интервала между точкой таяния льда и точкой кипения дистиллированной воды при нормальном давлении р0 = 101325 Па. За единицу измерения
абсолютной температуры принимается кельвин (К). По размеру градус и кельвин равны. Точное определение кельвина будет дано в § 36.6.
Итак,
1К = ”!喘曲(26.13)
На основе данного определения единицы измерения температуры можно экспериментально определить значения абсолютной температуры для точки плавления льда и точки кипения воды. Действительно, из (26.12) следует
Ркип — ^КЯЛ TJTTTJ Ркип —Рпл — ^КИЛ 一Тщ/ПС 1 Л
у —于一 ИЛИ fJ 4)
Рдл / плнлл' лл
где pnjI——давление, регистрируемое газовым термометром, погруженным в смесь воды и тающето льда, ркип — давление, регистрируемое тем же термометром, погруженным в кипящую дистиллированную воду.
Из опыта следует, что ркип/рпх—1,3661； следовательно,
空虻迎= 0,3661.
Рпл
Согласно же определению кельвина (26.13) Гкип — 7ПЛ== 100 К・ Подставив в (26.14), получим
7^ = 273,15 К,
Итак, точка плавления льда при нормальном давлении равна 273,15 К； соответственно точка кипения дистиллированной воды при нормальном давлении равна 373,15 К・
Определив основные (реперные) точки абсолютной шкалы, можно проградуировать газовый термометр. Для этой цели запишем формулу (26.12) следующим образом:
Т = 273,15Л/ЛПЛ,(26.15)
где h ——высота столбика ртути в манометрической трубке газового термометра при измеряемой температуре, а Авл——высота того же столбика ртути при точке плавления льда; эта величина определяется для каждого газового термометра опытным путем.
Тем самым осуществлена градуировка газового термометра — по высоте столбика ртути в манометрической трубке (в миллиметрах) можно сразу вычислить абсолютную температуру.
Для практических измерений температуры используется обычно не абсолютная шкала температур, а Международная практическая температурная шкала, иначе называемая шкалой Цельсия. В ней точке кипения воды присвоена температура 100° С, точке плавления льда — 0° С.
230
Как уже говорилось, градус и кельвин по размеру равны. Сдвинут лишь уровень отсчета температур. Соотношение между температурами в обеих шкалах изображено на рис. 26.6.
Нетрудно убедиться, что
7于［餘買力総 ^-273J5Рис. 26.6,7于［餘買力総 ^-273J5Рис. 26.6,273/5,(26.16)
7于［餘買
力総 ^-273J5
Рис. 26.6,
7于［餘買
力総 ^-273J5
Рис. 26.6,
где / — температура по шкале Цельсия, Т — та же температура по абсолютной шкале.
Для расчетов с точностью 0,055% можно положить, что / =273.
Абсолютный нуль
Нулевой уровень температуры по абсолют^ ной шкале называется абсолютным нулем. Ему соответствует температура —273,15° С по Международной практической температурной шкале.
Абсолютный нуль — это предельно низкая температура. Ни при каком эксперименте невозможно получить температуру, равную абсолютному нулю. Тем более невозможно получить температуру, меньшую абсолютного нуля.
Получение низких температур, близких к абсолютному нулю, представляет большой интерес, поскольку при таких температурах свойства вещества существенно изменяются. Возникает ряд интересных явлений, таких, как сверхтекучесть гелия, сверхпроводимость и т. д. (см. § 75.10). В настоящее время с помощью очень сложных методов, которые здесь не могут быть рассьготрены, удалось достичь температур, лишь на 0,0001 К выше а&олютного нуля.
Следует отметить, что при температурах, блмзкик к абсолютному нулю, средняя кинетическая энергия молекул уже не пропорциональна абсолютной температуре. Эго следует из того факта, что при температурах, близких к абсхшютлому нулю, начинают сказываться квантовые свойства молекул. В частнсгстщ при понижении температуры средняя энергия молекул стремится не к нулю, как это можно было бы подумать согласно (26.8), а к минимальной энергии локализованной частицы, выражаемой формулой (16.26).
Итак, при низких температурах возникнет вырождение газа — соотношение (26.8) оказывается несправедливым. Температуру вырождения можно оценить из соотношения
откуда следуетоткуда следует78Hp78Hp=办公网-3也询=办公网-3也询(26.17)(26.17)
откуда следует
откуда следует
78Hp
78Hp
=办公网
-3也询
=办公网
-3也询
(26.17)
(26.17)
Так, для гелия при концентрации n;^ 1025 м-3 имеем
~ 10-68. 1050/3 〜
/ выр 〜福「10三з.о*. 10-26
Мы видим, что температура вырождения молекулярного газа очень низка, так что использование модели классического идеального газа даже при весьма низких температурах оправдано. Для жидкого гелия (п^ 1028 м~3) температура вырождения
Т湍餐102T蟲*о,2К・
Однако электронный газ в металлах оказывается вырожденным при любых, даже очень высоких температурах (см. § 75.5), и его свойства существенно отличаются от свойств обычного идеального газа.
Итак, при температурах, близких к абсолютному нулю, средняя кинетическая энергия молекул уже не пропорциональна абсолютной температуре, а выражается значительно более сложной функцией. Поэтому принципиально неверно утверждение, встречающееся иногда в популярной литературе, будто бы при абсолютном нуле прекращается молекулярное движение. Как доказано в настоящее время, молекулярное движение даже при абсолютном нуле не прекращается ——молекулы совершают так называемые нулевые колебания. Нулевым колебаниям соответствует нулевая энергия —— минимальная энергия, которой могут обладать молекулы данного вещества и которая не может быть отнята от тела ни при каком охлаждении, вплоть до абсолютного нуля (см.§ 70.5). Наличие нулевых колебаний обнаруживается по рассеянию света в веществе при температурах, близких к абсолютному нулю.
При абсолютном нуле теряет смысл понятие идеального газа. Поэтому неверным является встречающееся иногда утверждение, что при абсолютном нуле давление идеального газа якобы равно нулю. Такая экстраполяция формулы (26.10) незаконна, она имеет смысл только при температурах, далеких от абсолютного нуля, именно, при температурах, много больших температуры вырождения.
Число Авогадро и постоянная Больцмана
Из выражения (26.10) можно получить ряд интересных следствий. Прежде всего, из него следует, что при одинаковых условиях (т. е. при одинаковых давлениях и температурах) концентрация молекул у различных газов одна и та же. Иными словами, е единице объема различных газов при одинаковых условиях содержится одинаковое число молекул (закон Авогадро).
Для вычисления концентрации молекул следует знать постоянную Больцмана. Имеется ряд методов измерения этой величины (см., например, § 28.12). В настоящее время ее измерили с 232
точностью до 0,0036%:
左=(1,38049土0,00005)-10-23 Дж/К.
Зная постоянную Больцмана, вычислим число молекул в 1 м3 газа при нормальных условиях(Т0 = 273,15 К, % = 1 атм = 101325Па):
—1,38-IO-23-273,15 ~Z,DO/ U M •
Эта величина называется числом Лошмидта:
Nl =⑵68709 ±0,00009)-1025 м—・
Зная плотность газа при нормальных условиях, можно вычислить массу одной его молекулы, учитывая, что плотность есть произведение массы одной молекулы на их концентрацию. Итак,
_Ро一后一 2,687• 102g •_Ро一后一 2,687• 102g •РоРо
_Ро
一后一 2,687• 102g •
_Ро
一后一 2,687• 102g •
Ро
Ро
Так, плотность водорода при нормальных условиях р0 = = 0,0899 кг/м3, кислорода 1,4291 кг/м3, гелия 0,1785 кг/м3. Тогда масса молекулы водорода равна 3,345-10~27 кг, масса молекулы кислорода 53,145-10~27 кг, масса атома гелия 6,643-10"27 кг.
Решением XIV Генеральной конференции по мерам и весам, которая состоялась в октябре 1971 г. в Париже, в Международную систему единиц введена еще одна основная величина ——количество вещества. Под количеством вещества следует понимать физическую величину, определяемую числом специфических структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. л.), из которых состоит это вещество.
Так как массы отдельных структурных элементов (например, молекул) отличаются друг от друга, то одинаковые количества вещества имеют разную массу. Например, 1026 молекул водорода и 1026 молекул кислорода считаются одинаковыми количествами вещества, хотя они имеют разные массы, соответственно равные 33,45 г и 531,45 г. Таким образом, решением XIV Генеральной конференции окончательно вносится ясность в вопрос о том, что масса не является мерой количества вещества.
Единицей измерения количества вещества установлен моль (моль) — это количество вещества системы, содержащей столько же специфических структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), сколько содержится атомов в массе 0,012 кг изотопа углерода С12 (см. § 80.1).
Кроме моля разрешены к употреблению кратные и дольные от него единицы, в частности, киломоль (кмоль):
кмоль = 103 моль.
Мы в дальнейшем будем вести все расчеты на 1 кмоль.
Число атомов, содержащихся в одном моле (соответственно — киломоле) вещества, называется числом Авогадро:
汽月=(6,02252士0,00028)-1023моль"1 =6,02252-10зв кмоль'1.
Зная число Авогадро и число Лошмидта, можно найти объем моля (молярный объем) при нормальных условиях:
т/ "/6,023- 1028 МОЛЬ"1 CG % 17по л 1 Q?
"«*=^=-^716^^ = 22,41 л/моль = 22,41 м8/кмояь.
Здесь и далее индекс 《т》внизу означает, что данная величина рассчитана на моль или киломоль.
Масса одного моля (молярная масса)
m ~ Ро^ст =m()"小
где р0 — плотность вещества при нормальных условиях, т0 — масса структурной единицы (молекулы, атома, иона и т. п.). Мы будем далее буквой М. обозначать массу киломоля. Это не может привести к недоразумениям, ибо при числовом значении этой величины всегда стоит единица измерения: кг/моль или кг/кмоль.
Вводятся еще две безразмерные величины: относительная атомная масса элемента Аг и относительная молекулярная масса веще、 ства Mri определяемые как,отнодение средней массы атома (или молекулы) природной смеси изотопов вещества к 1/12 массы атома изотопа С12 (см. § 80.1):
"〜1,6603-10-2? кг •
Заметим, что относительная молекулярная масса численно равна массе киломоля.
Произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана называется универсальной или молярной газовой постоянной^
R==NAk= 8,3143 ± 0,0012 Дж/(моль- К)—
=8,3143-103 Дж/(кмоль* К)・
С помощью этой величины уравнение газового состояния (26.10) преобразуется следующим образом:
Р = М抬心糕RT = %
Итак, уравнение газового состояния примет вид
Р=^-(26.18)
Умножив обе части равенства на объем газа и учитывая, что /л = рР есть масса газа, получим уравнение Клапейрона — Менделеева:
(26.19)(26.19)pV^RT.
(26.19)
(26.19)
Распределение молекул в силовом поле
Допустим, что газ, заключенный в некотором сосуде, находится в силовом поле, например в поле тяжести (рис. 26.7). Выясним, как влияет наличие поля тяжести на характер распределения молекул газа.
Если бы поля силы тяжести не было, то молекулы с течением времени разместились бы в сосуде совершенно равномерно. Концентрация молекул п была бы во всех точках одинаковой, следовательно, плотность газа р = тдП и давление p=knT были бы также одинаковыми во всех точках пространства.
3鹹册3鹹册Рис. 26.7.Рис. 26.7.Если бы, наоборот, действовало только поле силы тяжести, но не было теплового движения молекул, то они оказались бы прижатыми силами тяжести к нижнему дну сосуда, иными словами, пришли бы в состояние с минимальной потенциальной энергией. Эго является следствием общего закона: всякая система частиц
3鹹册
3鹹册
Рис. 26.7.
Рис. 26.7.
всегда приходит в состояние с минимальной потенциальной энергией.
Мы видим, что тепловое движение молекул стремится разбросать их по возможности более беспорядочно, так, чтобы они по возможности более равномерно заполнили все доступное для них пространство. Силовое же поле, наоборот, стремится по возможности упорядочить распределение молекул с тем, чтобы они заняли уровень с наименьшим значением потенциальной энергии. Под действием обоих этих факторов молекулы газа распределятся по всему сосуду, но их концентрация в разных точках окажется различной. А именно, наибольшая концентрация молекул окажется там, где их потенциальная энергия минимальна; в тех же участках, где потенциальная энергия велика, концентрация молекул окажется малой.
Т а б л и ц а 26.3
Высота над уровнем мор% м
Давление, Па
Плотность, кг/м*
Температура, ℃
Высота над уров* нем моря, м
Давление, Па
Плотность, кг/мл
Температура, ℃
0
101325
1,2250
15,0
8000
35600
0,52717
—37,0
1000
89 874
1,1117
8,5
10000
26 436
0,41271
—50,0
2000
79 495
1,0065
2,0
12 000
19 330
0,31083
—56,5
3000
70 108
0,90913
—4,5
14000
14 102
0,22675
—56,5
4000
61640
0,81914
—11,0
16 000
10 287
0,16542
—56,5
5000
54 020
0,73612
— 17,5
18000
7504,8
0,12068
—56,5
6000
47 181
0,66970
—24,0
20 000
5474,9
0,08804
—56,5
7000
41 061
0,58950
—30,5
В качестве примера можно рассмотреть характер изменения концентрации молекул в атмосфере Земли (и других планет). Опыт показывает, что по мере подъема над поверхностью Земли атмосферное давление и плотность воздуха убывают (табл. 26.3).
Заметим, что при исследовании атмосферы следует вводить поправку на изменение температуры газа с высотой, что несколько усложняет расчет.
Барометрическое распределение
Выведем выражение для закона распределения молекул в силовом поле. Для простоты рассуждений будем считать температуру газа постоянной во всех точках.
Для расчета введем понятие о вероятности нахождения молекул в данной точке силового поля, где потенциальная энергия молекулы равна U. Вероятность w равна отношению концентрации молекул в данной точке поля п к концентрации молекул % в той точке поля, где потенциальная энергия равна нулю:
5 = п/%・ (26.20)
Анализ характера воздействия силового поля и теплового движения молекул, проведенный в предыдущем параграфе, показывает, что вероятность нахождения молекулы в данной точке сосуда зависит от ее потенциальной энергии в этой точке и от температуры газа. Чем больше потенциальная энергия U, тем меньше вероятность того, что молекула окажется в этой точке. Чем выше температура, тем вероятнее, что молекулы распределятся более равномерно, т. е. тем больше вероятность найти молекулу в данной точке сосуда.
Введем вспомогательную переменную х, равную отношению потенциальной энергии молекулы U к средней энергии ее теплового движения е^^Т, т. е. х = UlkT. Тогда оказывается, что вероятность найти молекулу с данной энергией есть некоторая функция этой переменной:
з = /(%). (26.21)
Потенциальная энергия молекулы на некоторой высоте h=h&+hg равна сумме энергий: U^U^U^ Переменная
=各 + = %工 + %2・ Вероятность f (х) =f (%工 + xj・ Как доказывается в теории вероятностей, вероятность сложного события, состоящего из двух независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности: w = wx-w^ или
f (力 + xj = f (%)• "力). (26.22) Можно показать, что единственная функция, удовлетворяющая этому уравнению, это показательная функция вида
/(%) = а-а% (26.23)
Для проверки воспользуемся свойством показательной функции: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, т. е.
“-а(修+&)— a~aXt *а~аХл“-а(修+&)— a~aXt *а~аХл(26.24)(26.24)
“-а(修+&)— a~aXt *а~аХл
“-а(修+&)— a~aXt *а~аХл
(26.24)
(26.24)
Основание а> 1 может быть» выбрано совершенно произвольно. Это отразится лишь на численном значении коэффициента а. Обычно выбирается основание натуральных логарифмов — иррациональное число е = 2,71828... При а = е коэффициент а = L
Итак, вероятность найти молекулу в точке поля, где ее потенциальная энергия равна U, выразится так:
з = е-呆(26.25)
Знак минус в показателе появляется по следующим соображениям. Как уже указывалось, чем больше потенциальная энергия молекулы в данной точке, тем меньше вероятность того, что молекула там окажется. Следовательно, искомая вероятность является убывающей функцией. А при основании а> 1 показательная функция убывает, если ее показатель является отрицательным числом.
Сопоставив уравнения (26.20) и (26.25), получим выражение для концентрации молекул:
仁％e-若.(26・26)
Соответственно получим для плотности газа
p =p百行(26.27)
и для давления
и
р = р,Е.(26・28)
(26.29)(26.29)Если рассматривать распределение молекул в поле силы тяжести Земли (или другой планеты), то при h«R, где R ——радиус планеты, можно положить, согласно (18.21), что U = mQgh, где т0— масса молекулы, g ——ускорение силы тяжести и h — высота над поверхностью планеты. Для давления получится выражение
(26.29)
(26.29)
р=Рое~Т
График этой зависимости показан на рис. 26.8. Она называется
барометрическим распределением.
Аналогичное выражение получится и для плотности газа. Этот результат хорошо согласуется с данными эксперимента для атмосферы Земли.
Именно барометрическим распределением объясняется отсутствие атмосферы у Луны и крайняя степень разреженности атмосферы
Марса. Благодаря малой массе этих небесных тел у них относительно слабое поле тяготения: на Луне сила тяжести в 6 раз меньше, чем на Земле, на Марсе — в 2,6 раза. Но, как видно из (26.29),
при малом g резко возрастает вероятность того, что молекулы окажутся на больших высотах (рис. 26 9), где поле тяготения значительно слабее, чем на поверхности планеты. Скорость молекул может здесь оказаться больше второй космической скорости, и газ рассеется в мировом пространстве.
ГЛАВА 27
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ И ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Внутренняя энергия одноатомного идеального газа
Идеальный одноатомный газ является простейшей термодинамической системой, и его внутреннюю энергию можно легко вычислить.
Вспомним, что молекулы идеального одноатомного газа мы рассматриваем как материальные точки, взаимодействие между которыми столь мало, что им можно пренебречь. Отсутствие сил взаимодействия означает постоянство потенциальной энергии молекулярного взаимодействия (§ 19.5). Сумма энергий покоя самих молекул тоже постоянна, ибо сами молекулы при тепловых процессах не изменяются. Полагая в (20.2) 6^)+6$)+•・・+6俨)=const, получим, что внутренняя энергия идеального одноатомного газа представляет собой сумму кинетических энергий поступательного движения молекул плюс некоторая постоянная величина.
В термодинамике принято обозначать внутреннюю энергию снм・ волом U, а не ^0> как мы это делали в гл. 20. Итак,
U = К工 + К2 +• •・+ Kn + const,(27.1)
где К“ ^2,…，^^ — кинетические энергии поступательного дви- 238
жени я отдельных молекул. Учитывая, что средняя кинетическая энергия молекулы £々=(Ki 十 К*+・・•十 Kn)/N, а согласно (26.8) Eft = 3/2 kT9 получим
U = N?h + const — — NkT + const, (27.2)
где N -- общее число молекул в газе. Постоянное слагаемое в выражении (27.2) нередко опускают, поскольку во всех дальнейших расчетах оно не играет роли.
Из (27.2) следует, что внутренняя энергия идеального газа полностью определяется его абсолютной температурой. Она не зависит от того, с помощью какого процесса газ пришел в состояние с этой температурой.
Соответственно и изменение внутренней энергии идеального газа при переходе из состояния с температурой 7\ в состояние с температурой Т3 определяется только его начальным и конечным состояниями, но не зависит от характера процесса, с помощью которого раз переходит от первого ко второму состоянию：
力一力=g2々(7\ - T上). (27.3)
Работа при расширении идеального газа
Пусть идеальный газ заполняет некоторый цилиндр, перекрытый подвижным поршнем (рис. 27.1). При перемещении поршня на бесконечно малое расстояние Ах совершится элементарная работа АД =F-Дх. Из определения давления следует: F = pS; так как 5-Дх = =АР есть бесконечно малое изменение объема газа, то элементарная работа
А4=р・АК (27.4)
При расширении газа он совершает положительную работу против внешних сил
(АР>0). При сжатии же газа работа отрицательная, поскольку AVV。； ее совершают внешние силы, сжимающие газ.
Pi + Рз п(2) __ Р2 + Р3AN) — Pn+Pn+T2• Рср 一 2$ • * •» 〃cp 一 q •Pi + Рз п(2) __ Р2 + Р3AN) — Pn+Pn+T2• Рср 一 2$ • * •» 〃cp 一 q •Работа, совершаемая при изменении объема газа на конечную величину V2 — V\, находится следующим образом (см. § 18.1). Разбиваем полное изменение объема на элементы объема ДУЬ AV* ..., AVn・ Вычисляем средние значения давления на отдельных участках:
Pi + Рз п(2) __ Р2 + Р3AN) — Pn+Pn+T
2• Рср 一 2$ • * •» 〃cp 一 q •
Pi + Рз п(2) __ Р2 + Р3AN) — Pn+Pn+T
2• Рср 一 2$ • * •» 〃cp 一 q •
Рср
Тогда полная работа
А = ДЛХ + ДД2 -J- ... + A4/v =
=Рср^' А%. 4~рср * 厶匕 + ・・・十 Р^‘ “ АР#・(27.5)
Чем меньше выбранный элемент объема ДУ, тем точнее совпадет результат численного расчета с истинным значением искомой работы.
Графически работа изображается площадью криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком давления, а слева и справа крайними ординатами (рис. 27.2).
Следует обратить внимание на тот факт, что работа при изменении объема газа определяется не только начальным и конечным состояниями газа, но и характером процесса, с помощью которого
газ переходит от начального состояния к конечному. Для доказательства сравним рис. 27.2 и 27.3. Здесь начальные и конечные состояния газа одинаковые, тем не менее работы Л' и Л не равны между собой: 4'V%, поскольку промежуточные состояния в обоих процессах отличаются.
А это означает, что сила давления газа не является консервативной и работу силы давления нельзя рассматривать как разность потенциальных энергий (см. § 18,6).
Первое начало термодинамики и теплоемкость газа
Изменение полной энергии неподвижного газа сводится к изменению его внутренней энергии: Ad = AU = U%——U> Подставив в (21.9), получим
Q^U^U^ + A. (27.6)
Для одноатомного газа с учетом (27.3) это выражение для первого начала термодинамики примет вид
Q=^A^(「2-A) + 4 (27.7)
Количество теплоты, полученное газом, состоит из двух слагаемых. Одно из них — изменение внутренней энергии — определяется только начальным и конечным состояниями системы и не зависит от характера процесса, переводящего систему из начального состояния в конечное; второе слагаемое — работа — зависит от характера процесса, который происходит с газом. Естественно, 240
что и количество теплоты зависит не только от начального и конечного состояний, но и от характера исследуемого процесса.
Итак, количество теплоты и работа являются кол и честве иными характеристиками не состояния системы, а процесса, происходящего с ней. Так же как нельзя говорить о «запасе работы» в системе, нельзя говорить и о «запасе теплоты». Количество теплоты и работа суть количественные характеристики двух разных форм изменения энергии системы, а не какие-то особые виды энергии. Именно поэтому не имеет физического смысла термин «тепловая энергия», который нередко встречается в литературе.
называется отношение количествак ее массе и изменению ее темпера-彳(27.8)называется отношение количествак ее массе и изменению ее темпера-彳(27.8)Удельной теплоемкостью теплоты, полученного системой, туры:
называется отношение количествак ее массе и изменению ее темпера-
彳(27.8)
называется отношение количествак ее массе и изменению ее темпера-
彳(27.8)
где т — масса системы, 7\ — начальная и Т2 — конечная температуры. Удельная теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу с единичной массой для повышения его температуры на один градус.
Единицей измерения удельной теплоемкости в Международной системе единиц служит Дж/(кг- К). На практике используются и внесистемные единицы кал/(г*℃) и ккал/(кг-℃):
1 кал/(г-℃) = 1 ккал/(кг-℃) ^=4,1868-103 Дж/(кг- К).
Естественно, что теплоемкость, как и количество теплоты, зависит не только от начального и конечного состояния системы, но и от процесса, с помощью которого система переходит от начального состояния к конечному. Поэтому необходимо, указывая значение теплоемкости, оговаривать характер процесса, при котором это значение получено (т. е. измерено или вычислено).
Ниже будут вычислены теплоемкости идеальных газов при некоторых процессах.
Изохорный процесс
Изохорным называется процесс, происходящий при неизменном объеме газа. Из уравнения газового состояния (26.11) при условии V = const вытекает, что при изохорном процессе давление идеального газа прямо пропорционально его абсолютной температуре (закон Шарля):
年=佘. (27.9)
Очевидно, что при изохорном процессе газ работы не совершает, ибо при АУ = 0 и работа 4=0. Отсюда следует, что при изохорном процессе количество теплоты, полученное газом, идет целиком на изменение его внутренней энергии, Согласно (27.7) получим
Qv^U2-U^~Nk (Т2- Л). (27.10)
Здесь мы использовали принятое в термодинамике обозначение: если какой-либо параметр при данном процессе остается неизменным, то он служит индексом при интересующей нас величине. На
пример, обозначение Qy читается так: количество теплоты, полученное системой при постоянном объеме; с^ ——удельная теплоемкость при постоянном объеме (изохорная теплоемкость) и т. д.
Изохорную удельную теплоемкость определим согласно (27.8)
и (27.10):
(27.11)(27.11)3 Nh 3 h
(27.11)
(27.11)
C产勿6 -Tj = T ・ ^? = 万 ・兩
ибо частное от деления массы газа т на число молекул N даст массу одной молекулы: = m/N.
Пользуясь выражением (27.11), мы можем вычислить удельную теплоемкость любого одноатомного газа, т. е. газа, у которого молекула состоит из одного атома. К их числу относятся инертные газы (гелий, неон, аргон и др.), пары металлов и т. п.
Во многих случаях вместо удельной теплоемкости удобно пользоваться мол兄рно也 теплоемкостью Ст:
Gnv = Мсу,(27.12)
где М — молекулярная масса газа, т. е. масса одного киломоля. Масса киломоля равна произведению массы одной молекулы на чис» ло молекул в киломоле, т. е. на число Авогадро:
М = т^А・(27.13)
Подставив в (27.12) значения су и Л! из (27.11) и (27.13), получим
CmV = ^NAk^R.(27.14)
Полученное согласно (27.14) значение молярной теплоемкости одноатомных газов отлично совпадает с экспериментальными данными в очень широком интервале температур.
Изобарный процесс
Изобарным называется процесс, происходящий при постоянном давлении. Из уравнения газового состояния (26」1) при условии " =const вытекает, что при изобарном процессе объем идеального газа прямо пропорционален его абсолютной температуре (закон Гей-Люссака)^
Й = 4-(27.15)
Работа при изобарном расширении газа вычисляется совершенно элементарно. Действительно, поскольку р ~ const, то
A^piV^V^(27.16)
где V\ ——начальный и V2 ——конечный объемы. На графике эта работа выражается площадью прямоугольника (см. рис. 27.4)*
Эта работа может быть выражена через изменение температуры газа. Используя (26.11), имеем:
pVz = NkTZl pVt = NkTlt
следовательно
(27.17)(27.17)Ap=Nh(TLj
(27.17)
(27.17)
Количество теплоты, полученное идеальным газом, идет как на увеличенное внутренней энергии газа, так и на работу расширения. Согласно (27.7) имеем для одноатомного газа
Qp=U—Ap = ^ Nk(Ta-TJ + цтта= ^NkG — TJ. (27.18) Мы видим, что для изобарного нагревания газа требуется большее количество теплоты, чем для его изохорного нагре
вания в том же температурном интервале. Это естественно, ибо внутренняя энергия газа в обоих случаях изменяется на одну и ту же величину, но при изобарном процессе газ еще совершает работу расширения, а при изохорном процессе работа не совершается.
Очевидно, что изобарная теплоемкость больше изохорной;
для одноатомного газа
(27.19)(27.19)Qp 5 財ср =俏(3—71)
(27.19)
(27.19)
в то время как с? = ^ ・ 今(см. (27.11)). Соответственно молярная изобарная теплоемкость такого газа
Стр = %R = %R + R = Gv + R・(27.20)
Отношение изобарной теплоемкости к изохорной называется коэффициентом Пуассона:
, = c/Cv*(27.21)
Сопоставив (27.11) и (27.19), получим важный результат: для всех одноатомных газов коэффициент Пуассона имеет одно и то же значение,
y = * = 1,67.(27.22)
Эксперимент в весьма широком диапазоне температур, при котором одноатомный газ можно рассматривать как идеальный, блестяще подтверждает результат этого расчета.
Изотермический процесс
Как говорилось в § 26.1, изотермическим называется процесс, происходящий при неизменной температуре газа. Там же было показано, что соотношение между давлением и объемом газа при изотермическом процессе выражается законом Бойля и Мариотта (26.4), и были вычерчены графики изотермы на осях р — V и р — р.
Работа, совершаемая при изотермическом процессе, графически выражается площадью криволинейной трапеции. Элементарными методами эту работу вычислить нельзя, но для заданных числовых значений объемов и давлений всегда можно произвести численный расчет по методу, изложенному в § 27.2.
Рекомендуем читателю произвести расчет самостоятельно. Полученный результат можно проверить по формуле, которую приведем без доказательства:
4尸 2,3% 匕 1g (几/%) = 2,3^T 1g (兀/%).
При изотермическом процессе внутренняя энергия газа не меняется, что непосредственно следует из (27.3), ибо 7\ = 7\ = Т. Отсюда иногда делают неверный вывод: раз при изотермическом процессе температура не меняется, то газу якобы не нужно сообщать теплоту. Это неверное рассуждение! Из первого начала термодинамики (27.6) вытекает
Qt = 4t, (27.23)
т. е. при изотермическом процессе газу необходимо сообщить некоторое количество теплоты, в точности равное работе, которую с。- вершает газ.
Поскольку при изотермическом процессе газу сообщается теплота, а его температура при этом не меняется, то понятие изотермической теплоемкости, вообще говоря, не имеет смысла: в знаменатель дроби (27.8) нужно подставить 7\ — 7\ =0, а при делении на нуль получается бесконечность.
Если же процесс почти изотермический, т. е. происходит почти при неизменной температуре, то теплоемкость газа при этом выражается очень большим числом, ибо если знаменатель дроби стремится к нулю, то сама дробь неограниченно возрастает. Именно в этом смысле говорят, что при изотермическом процессе теплоемкость газа бесконечно велика.
Адиабатный процесс
Как говорилось в § 21.5, адиабатным называется процесс, происходящий в системе, которая не вступает в теплообмен с окружающей средой. Согласно данному определению AQaA=0. Отсюда следует (см. (27.8)), что и адиабатная теплоемкость газа равна нулю: Сад=°・
Для того чтобы процесс, происходящий с газом, можно было считать адиабатным, газ следует теплоизолировать, т. е. заключить его в адиабатную оболочку (типа сосуда Дьюара). Однако есть и другая возможность: процесс можно провести настолько быстро, чтобы не успел произойти теплообмен между газом и окружающей средой. Это возможно, поскольку теплообмен происходит значительно медленнее, чем сжатие или расширение газа.
При адиабатном расширении газ совершает работу за счет убыли его внутренней энергии (поскольку теплообмен с окружающей средой отсутствует). Соответственно при адиабатном сжатии газа его внутренняя энергия возрастает за счет работы внешних сил. А так как внутренняя энергия идеального газа целиком определяется его температурой, то ясно, что при адиабатном сжатии идеального газа его температура возрастает^ а при расширении — убывает.
Это широко применяется на практике. Так, если открыть вентиль баллона, в котором находится сжатый углекислый газ (при давлении около 40 атм), то последний станет адиабатно расширяться. При этом его температура падает до —80° С, и часть газа превращается в кристаллическую массу наподобие снега. Спрессовывая эту массу, получают «сухой лед».
В двигателях внутреннего сгорания типа «Дизель» при быстром адиабатном сжатии воздуха его температура возрастает до 500— 600° С, что приводит к самовоспламенению жидкого топлива, вбрызгиваемого в цилиндр в конце сжатия.
Поскольку адиабатный процесс происходит без теплообмена с окружающей средой, то для вычисления работы следует в выражении (27.6) положить <?ад=0・ Получим для одноатомного газа согласно (27.7):
4A =4^(几一北)， (27.24)
где 7\ — температура в начале и 7\ — температура в конце процесса. Воспользовавшись уравнением газового состояния (26.11), получим
Лад = ^Ет^ = J (Р^-Р^ (27.25)
ибо, согласно (27.22),
Выясним, как меняется давление идеального газа при адиабатном изменении его объема, и построим график адиабаты на осях р—V (рис. 27.5).
Пусть газ находится в состоянии, которое характеризуется объемом Ио, давлением р0 и температурой TQ. Расширим газ до объема Если расширение произвести изотермически, то давление p^3Qr^= PqVq/V^ Если же расширение произвести адиабатно,
Рис. 27.5.Рис. 27.5.
Рис. 27.5.
Рис. 27.5.
то давление упадет более резко, поскольку при адиабатном процессе не только возрастает объем, но и температура убывает. Из уравнения газового состояния рМ/Т&= p*VJTi получим
Но так как при адиабатном расширении TiVK, то р；Ур?зот. Вследствие этого график адиабаты на рис. 27.5 идет ниже графика изотермы.
Проделав аналогичное рассуждение для случая сжатия газа из состояния с параметрами p&t 匕，7° в состояние р2, У2» 7\, читатель убедится, что при этом благодаря повышению температуры р^>р|зот > и график адиабаты пройдет
уже выше графика изотермы.
Из графика видно, что при адиабатном расширении газ совершает меньшую работу, чем при изотермическом процессе (рис. 27.6). При адиабатном же сжатии газа внешние силы совершают большую работу, чем при изотермическом (рис. 27.7).
Связь между давлением и объемом идеального газа при адиабатном процессе выражается уравнением Пуассона^ которое мы при
водим без доказательства:
(27.26)
Теплоемкость двухатомного газа
Опыт показывает, что теплоемкости двухатомных газов (водорода, кислорода, азота и др.), а также многоатомных газов (углекислого газа, метана и т. п.) значительно больше теплоемкостей одноатомных газов. Кроме того, теплоемкости этих газов при разных температурах различны, в то время как теплоемкости одно246
атомных газов не зависят от температуры. Не имея возможности изложить здесь теорию теплоемкостей многоатомных газов, мы на примере водорода и кислорода выясним характер зависимости теплоемкости двухатомных газов от температуры, а затем изложим основные идеи квантовой теории этого явления.
При нормальном давлении точка кипения водорода равна 20,45 К. Очевидно, что вблизи этой температуры водород нельзя рассматривать как идеальный газ. Однако при более высоких температурах, начиная примерно с 30 К, этот газ при нормальном давлении ведет себя уже как идеальный.
Теплоемкость водорода в интервале температур порядка 30— 80 К не отличается от теплоемкости одноатомного газа. При повышении же температуры теплоемкость постепенно возрастает, а коэффициент Пуассона уменьшается. Соответствующие экспериментальные и расчетные данные приведены в табл. 27.1.
Точка кипения кислорода при нормальном давлении равна 90,25 К・ Начиная с температуры цорядка 100 К, кислород при нормальном давлении ведет себя как идеальный газ, изобарная молярная теплоемкость которого примерно равна Стр а ^ R、а коэффициент Пуассона у^ 1,4. С ростом температуры теплоемкость возрастает (см. табл. 27.2).
КЭкспериментВычисленоСр* ккал кмоль-КV页Су ВС? — С уR15027377312736,967,018,028,591,401,391,331,293,503,53 4,04 4,322,502,53 3,053,341,001,00 0,99 0,98КЭкспериментВычисленоСр* ккал кмоль-КV页Су ВС? — С уR15027377312736,967,018,028,591,401,391,331,293,503,53 4,04 4,322,502,53 3,053,341,001,00 0,99 0,98Таблица 27.2Таблица 27.2
К
Эксперимент
Вычислено
Ср* ккал кмоль-К
V
页
Су В
С? — С у
R
150
273
773
1273
6,96
7,01
8,02
8,59
1,40
1,39
1,33
1,29
3,50
3,53 4,04 4,32
2,50
2,53 3,05
3,34
1,00
1,00 0,99 0,98
К
Эксперимент
Вычислено
Ср* ккал кмоль-К
V
页
Су В
С? — С у
R
150
273
773
1273
6,96
7,01
8,02
8,59
1,40
1,39
1,33
1,29
3,50
3,53 4,04 4,32
2,50
2,53 3,05
3,34
1,00
1,00 0,99 0,98
Таблица 27.2
Таблица 27.2
На рис. 27.8 изображена зависимость изохорных теплоемкостей водорода и кислорода от температуры. Для сравнения показана также теплоемкость одноатомного газа.
Как и в случае одноатомного газа, изохорная теплоемкость характеризует количество теплоты, идущее на изменение внутренней энергии газа. Но при одной и той же температуре средние кинетические энергии поступательного движения одноатомных и многоатомных молекул совпадают. Следовательно, внутренняя энергия многоатомных газов представляет собой сумму энергий не только поступательного движения молекул, но и других видов движений: BpauigHti見 молекул и колебаний атомов внутри молекулы^
В классической молекулярной теории предполагалось, что молекула двухатомного газа представляет собой жесткую систему из двух шариков, расстояние между которыми не меняется (наподобие
Рис. 27.8.Рис. 27.8.
Рис. 27.8.
Рис. 27.8.
Рис. 27.9.Рис. 27.9.mu? mvy mal —丿①扌mu? mvy mal —丿①扌kT.kT.
Рис. 27.9.
Рис. 27.9.
mu? mvy mal —丿①扌
mu? mvy mal —丿①扌
kT.
kT.
гантели). Молекула может двигаться поступательно вдоль трех произвольных осей координат и вращаться вокруг двух из них, например Оу и Ог (рис, 27.9). Вращение вокруг оси Ох не вносит вклада
в энергию молекулы ввиду малого значения момента инерции молекулы относительно этой оси. Следовательно, энергия молекулы складывается из кинетической энергии трех поступательных движений и кинетической энергии двух вращений:
7 — tnvx J tnvy I mul , J吗 I J就
(27.27)
В классической молекулярной теории
доказывается, что на каждое из этих движений приходится в среднем одна и та же энергия, равная kT/2:
Подставив последнее выражение в (27.27), получим, что средняя энергия молекулы двухатомного газа
(27.28)(27.28)或=^论г
(27.28)
(27.28)
Отсюда следует, что внутренняя энергия одного киломоля двухатомного газа
Um = 4■“ 〃ЕТ + const = ^ RT + const.(27.29)
Изохорная молярная теплоемкость
CmV^~R.(27.30)
Сравнив последний результат с данными эксперимента (см. рис. 27.8), мы видим, что численные значения теплоемкостей двухатомных газов плохо согласуются с теоретическим значением (27.30). Так, для кислорода расхождение составляет около 20— 30%. Однако классическая теория обладает и более существенными недостатками — она не в состоянии объяснить следующие факты:
Почему теплоемкости двухатомных (и вообще многоатомных) газов возрастают с ростом температуры?
Почему при низких температурах теплоемкость водорода совпа- 35
дает с теплоемкостью одноатомных газов (т. е. CmV = ^ R, а не qR, как при более высоких температурах)?
Почему этот эффект проявляется у водорода, а у кислорода он отсутствует?
Почему двухатомные молекулы ведут себя как жесткие системы? Почему при соударениях не возбуждаются колебания атомов в молекуле?
Ответить на эти вопросы удалось только на основе квантовой теории теплоемкости.
§ 27.9. Понятие о квантовой теории теплоемкости газов
Энергия молекулы двухатомного газа может быть представлена как сумма кинетических энергий ее поступательного и вращательного движения и энергии колебания атомов внутри молекулы:
8 = ёХ + 囁 н + еколеб =藹 + 导 + £“еб， (27.31)
где р —— импульс молекулы, L — момент импульса, % — масса молекулы, J ——момент инерции. Изменение внутренней энергии газа сводится к изменению энергии поступательного и вращательного движения молекул и энергии колебаний. Однако согласно квантовой теории эти три компоненты энергии молекулы по-разному реагируют на изменение температуры газа.
Изменение кинетической энергии поступательного движения сводится к изменению импульса молекулы. Естественно, что изменение импульса должно быть не меньше неопределенности импульса, которую можно вычислить из соотношения (14.5). Полагая в (14.5) неопределенность координаты равной по порядку длине свободного пробега молекулы, А/а九弋10一？ м (см. § 25.3), получим неопределенность импульса
А/? 方/А/107/10т= Ют? кг-м/с.
Ей соответствует неопределенность в значении кинетической энергии молекулы
А(" + Ар)2户=2"А" + А炉 >ЗА炉
公 R℃T —--—2^ 勺 2加()
Неопределенности энергии соответствует неопределенность температуры АТпост，которую можно найти из соотношения
А%ост = з/а^АТпост*
Отсюда следует, что
aа。6 =器，(27.32)
Масса молекулы водорода mQ = 6 (^ ^^- = 3,32» 10"27 кг. Следовательно,
10—54
"「пост ^ 3,32.10-27. 1；38.10-й ^ 2 J0 5 К.
Фактически это означает, что энергия поступательного @6〃宛е&〃兄 может меняться при любом изменении температуры. Следовательно, квантовая теория в этом случае дает такой же результат, как и классическая статистика.
Изменение кинетической энергии вращательного движения молекулы сводится к изменению ее момента импульса. В квантовой теории доказывается, что изменение момента импульса не может быть любым ——оно кратно постоянной Планка. Отсюда следует, что момент импульса молекулы может, принимать ряд -значений *):
L] -方，Lg — 2方,• ■ ■ j ^n 孔方.
Соответственно и кинетическая энергия вращательного движения молекулы может принимать значения
⑴ Л?方2⑵ 以4万2
脸 F = 巡 FF и т- д-
Минимальное изменение кинетической энергии вращательного движения молекулы ДеврН =е^> — бвр = 3加/2乙 Этому изменению
энергии соответствует изменение температуры, которое следует из 3厶а Т3方2
равенства #△%=汀* откуда
(27.33)
Момент инерции молекулы водорода можно найти из следующих соображений. Представим себе эту молекулу в виде гантели (см. рис. 27.9); расстояние между центрами атомов /л；0,74-10-10 м;
масса атома водорода вдвое меньше массы молекулы и равна mt = =1,67-10_ 27 кг. Тогда
/н* =2恤厂2 5・ Юм кг-м2
(г = 〃2). Подставив в (27.33), получим, что для изменения кинетической энергии вращательного движения молекулы водорода температура газа должна измениться на
А% 5.1о-48」,з8.1О-05 ^14° К.
Итак, при температурах порядка 200 К молекулы при соударениях в состоянии изменить энергию своего вращательного движения, и поэтому CmV^4zR-
При температурах около 100 К лишь небольшая часть молекул, энергия которых, согласно распределению Максвелла (см. § 25.2), больше средней, в состоянии при соударениях изменить энергию вращения молекул. Поэтому при этих температурах y^<cmv<4^' А при температурах меньше 80 К процент молекул, способных при соударении изменить энергию вращения, оказывается столь малым, что фактически при изменениях температуры меняется кинетическая энергия только поступательного движения молекул. Естественно, что при этих температурах изохорная теплоемкость водорода такая же, как у одноатомного газа.
Совершенно иначе обстоит дело с теплоемкостью кислорода. Здесь масса атома в 16 раз больше массы атома водорода, а расстояние между центрами атомов 1^ 1,2-10~10 м; следовательно, момент инерции молекулы кислорода примерно в 40 раз больше момента инерции молекулы водорода. Согласно (27.33) изменение температуры газа, сопровождающееся изменением энергии вращения, составит для кислорода АТвр ^3 К・ А так как точка кипения кислорода при нормальном давлении равна 90 К, то при тех условиях, когда кислород можно рассматривать как идеальный газ, у него при столкновениях будут возрастать кинетические энергии как поступательного, так и вращательного движения молекул, что соответствует классической теории теплоемкостей двухатомных газов.
В предыдущих рассуждениях мы не учитывали энергии колебательного движения молекул, молчаливо предполагая, что при рассматриваемых температурах она является постоянной величиной. Причина такого положения вещей также хорошо объясняется на основе квантовой механики, где доказывается, что в первом приближении энергия колебания
£коле6 = %3 (孔 +"^) •
Здесь со ——собственная частота колебаний атомов в молекуле, а п — целое число: п = 0, 1, 2, 3, ... Отсюда следует, что минимальное изменение энергии колебания Деколеб =%з.
Собственные частоты колебаний молекул определяются оптическими методами. Для водорода соНя = 7,86-1014 рад/с; для кислорода соо2 = 2,94-1014 рад/с.
АТколебАТколебВычислим температуру, при которой за счет соударения между молекулами возрастает энергия колебаний. Получим 3/^^Т = = А%олеб = %9, откуда
АТколеб
АТколеб
(27.34)
Для водорода
АТ2・ 10 - 34.7,86.3 OQnn „
АТколеб ^ 3,1^38* ю~2^^ 3800 К»
для кислорода
AT2J0-34.2,94. 1014
^Тколеб ^3・ 1,38・ 10-23^ 1400 К・
Естественно, что в диапазоне температур порядка до 1300— 1500 К энергия колебаний в молекуле водорода слабо меняется и теплоемкость водорода возрастает не так быстро, как теплоемкость кислорода (см. рис. 27.8).
В молекуле же кислорода энергия колебаний возрастает при значительно более низких температурах. Уже при температурах порядка 700——900 К примерно половина молекул оказывается способной увеличить энергию колебаний, вследствие чего 盡卩^ ^3R, что больше классического значения для двухатомного газа, равного 2,5R. При температурах же порядка 1400—1500 К все молекулы должны при соударениях изменять энергию колебаний.
Можно вычислить предел, к которому в этом случае стремится изохорная теплоемкость кислорода, воспользовавшись тем же правилом, которое мы в § 27.8 применили для Чучета кинетической энергии поступательного и вращательного движений. При колебаниях меняется как кинетическая, так и потенциальная элергия молекулы. Оказывается, что их изменения одинаковы и равны каждое ЙТ/2. Взамен (27.28) получится выражение
Ek = ±.kT.(27.35)
Отсюда следует» что 79а
Cmv=q R, e加Р = ^к и y = 7=1,29.
Сравнив с табл. 27.2, мы видим, что полученный нами результат соответствуег эксперименту.
Итак, мы убедились, что на основе квантовых представлений можно объяснить характерные особенности поведения теплоемкостей двухатомных газов. Классическая же статистика не в состоянии объяснить все эти явления, хотя и позволяет в некоторых случаях получить предельные значения интересующих нас величин.
252
ГЛАВА 28
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Квазистатические процессы
В предыдущих главах, рассматривая различные процессы, происходящие с идеальным газом, мы говорили о его температуре, плотности, давлении. При этом молчаливо предполагалось, что во всех точках данного объема газа его давление, плотность и температура одинаковы. Эти величины называются термодинамическими параметрами состояния.
Строго говоря, равенство термодинамических параметров во всех точках системы возможно только при условии, что она находится в состоянии равновесия. Если же в системе происходят какие-либо процессы, то данное условие нарушается.
его давление, плотностьего давление, плотностьРис. 28.1,Рис. 28.1,Так, если слегка передвинуть поршень в цилиндре, то газ вблизи поршня слегка сожмется, и в этой области и температура возрастут. В других же участках параметры газа не успеют сразу измениться (рис. 28.1). Через некоторое время т, которое называется временем релаксации, нарушенное равновесие восстановится. При этом термодинамические параметры газа во всех точках примут новые, но повсюду вновь одинаковые значения.
его давление, плотность
его давление, плотность
Рис. 28.1,
Рис. 28.1,
Пусть сжатие происходит настолько медленно, что время его протекания
много больше времени релаксации. В этом случае весь процесс можно представить в виде суммы большого числа очень малых сжатий, причем так, что длительность каждого микросжатия окажется все же больше времени релаксации. Тогда в течение каждого из микросжатий в системе успеет установиться равновесие, и весь процесс будет представлять собой совокупность переходов через множество равновесных состояний.
Процессы, при которых система проходит через ряд положений равновесия, называются квазиспгатическими, т. е. как бы равновесными (от латинского quasi —— как будто, вроде).
Скорость изохорного, изобарного или изотермического процесса ничем не ограничена, так что эти процессы можно проводить сколь угодно медленно. А поэтому в сосуде небольших размеров, стенки которого обладают большой теплопроводностью, можно любой из з'Гнх процессов с наперед заданной точностью приблизить к квазистатическому.
Значительно труднее осуществить квазистатический адиабатный процесс. С одной стороны, он должен протекать настолько быстро, чтобы не было заметного теплообмена с окружающей средой. С другой стороны, время его протекания должно быть много больше
времени релаксации. Поскольку оба эти условия противоречивы, удовлетворить им одновременно нелегко, и процессы, происходящие на практике, лишь с известным приближением являются адиабатными и в то же время квазистатическими.
На графиках изображаются только квазистатические процессы, ибо каждая точка на графике характеризует какое-либо промежуточное состояние равновесия. Вопрос о методике изображения реальных, а не квазистатических процессов здесь не будет рассматриваться.
Обратимые процессы
Обратном называется процесс, который отвечает следующим условиям:
его одинаково легко можно провести в двух противоположных направлениях;
в каждом из этих случаев система проходит через одни и те же промежуточные состояния;
после проведения прямого и обратного процесса система и окружающие ее тела возвращаются к исходному состоянию.
Всякий процесс, не удовлетворяющий хотя бы одному из этих условий, является необратимым.
Обратимыми являются процессы, протекающие в системах, где действуют консервативные силы (§ 18.5).
Действительно, пусть абсолютно упругий шарик падает в вакууме на абсолютно упругую плиту. Пользуясь законами упругого удара (см. § 17.3), нетрудно показать, что шарик, упав на плиту, вернется после отражения в исходную точку, пройдя в обратном направлении все те промежуточные состояния, которые он проходил при падении. После окончания процесса шарик и все окружающие его тела вернутся в первоначальное состояние, и это может повториться сколько угодно раз.
Так же легко убедиться, что колебания маятника в вакууме или тела на абсолютно упругой пружине также представляют собой обратимые процессы.
Нетрудно убедиться, что все квазистатические тепловые процессы также обратимы. Рассмотрим для примера квазистатический изотермический процесс.
Пусть газ квазистатически и вместе с тем изотермически расширился и его объем возрос на малую величину ДК Поскольку при данном процессе система все время проходила через равновесные состояния, то очевидно, что в любой момент его можно направить в обратном направлении, т. е. сжать на ту же величину ЛК При этом вся система пройдет через те же промежуточные состояния, которые она проходила при расширении.
Как известно (см. § 27.6), газ при изотермическом расширении совершает работу, получая из окружающей среды путем теплооб* мена некоторое количество теплоты: Qr == Дг. Пусть эта работа по*
шла на увеличение потенциальной энергии какого-то тела массой т, которое поднимается на высоту Л. Тогда из закона сохранения энергии следует, что Qr = Ярасш— tngh. При обратном процессе тело опустится на ту же высоту 九；потенциальная энергия груза пойдет на совершение работы по сжатию газа; при этом газ отдаст окружающей среде путем теплообмена такое же количество теплоты, которое он получил при расширении.
Итак, после проведения процесса расширения, а затем сжатия газа он сам и все окружающие тела вернутся к начальным условиям, пройдя через одни и те же промежуточные состояния. Следовательно, квазистатический изотермический процесс обратим.
Аналогичные рассуждения позволят доказать обратимость и любых других квазистатических процессов, ибо в предыдущем рассмотрении важен был не характер теплообмена системы с окружающей средой, а равновесный способ прохождения системой всех промежуточных состояний, т. е. квазистатический характер процесса.
Необратимость реальных тепловых процессов
Рассмотренные примеры обратимых процессов представляют собой идеализацию реальных природных явлений. На самом деле в природе нет строго консервативных систем; например, в любой реальной системе действуют силы трения. В природе нет также строго квазистатических процессов, ибо все тепловые процессы протекают не бесконечно медленно, а с конечной скоростью. А отсюда следует, что все реальные процессы 8 природе необратимы^
Не следует, однако, думать, что понятие об обратимом квазиста- тическом процессе является бессодержательным, а потому излишним. Аналогично таким идеализациям, как материальная точка, точечный заряд, консервативная система и т. п., понятие об обратимом процессе оказывается весьма удобной идеализацией реальных процессов, позволяющей в ряде случаев упростить решение той или иной конкретной задачи. Следует только всегда вначале тщательно проверить, в какой степени применение этой идеализации законно, в какой степени результаты идеализированного расчета приближаются к результатам эксперимента.
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие необратимость реальных тепловых процессов.
Как показывает опыт, при диффузии выравнивание концентраций происходит самопроизвольно, без внешнего воздействия. Обратный же процесс сам по себе никогда не пойдет: сколько бы времени мы ни ждали, не получится так, чтобы, например, смесь газов разделилась на исходные компоненты или растворенное в жидкости вещество (соль, сахар, краска и т. п.) само по себе выделилось из этой жидкости.
Конечно, смесь можно разделить на исходные компоненты. Но при этом, во-первых, система не проходит через те промежуточные состояния, которые она проходила в процессе диффузии. А во-вто-
рых, возвращение системы к исходному состоянию приводит к существенному изменению свойств окружающих ее тел. Так, разделяя газовую смесь, возникшую при диффузии, на исходные компоненты (см. § 25.6), мы должны затратить энергию на работу насосов; точно так же, выделяя, скажем, соль из водного раствора путем дистилляции, мы расходуем энергию на испарение воды, что связано с изменением состояния окружающих данную систему тел.
Итак, диффузия является односторонним, а тем самым и необратимым процессом.
Опыт показывает, что теплообмен, как и диффузия, является односторонне направленным процессом. В результате теплообмена энергия передается сама собой всегда от тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой. Вследствие этого теплообмен всегда сопровождается выравниванием температур. Обратный процесс передачи энергии в форме тепла от холодных тел к горячим сам по себе никогда не происходит.
Одностороннее направление имеет также процесс превращения механической энергии во внутреннюю при неупругом ударе или при трении. Механическая энергия соприкасающихся тел превращается во внутреннюю, за счет чего их температура повышается. Однако сколько бы мы ни ждали, не произойдет обратный процесс самопроизвольного превращения внутренней энергии в механическую.
Необратимость и статистика
На первый взгляд необратимость тепловых процессов представляется парадоксальной. Действительно, все тепловые процессы в конечном счете сводятся к механическим —— к движению и взаимодействию молекул. Но ведь механические процессы обратимы; чем же вызвана необратимость тепловых явлений? Разрешить это
Рис. 282Рис. 28.3.
кажущееся противоречие удается с помощью молекулярной статистики, в которой методы теории вероятностей применяются для изучения процессов, происходящих в системе, состоящей из огромного множества частиц. Суть ее идей мы вначале рассмотрим на более простом примере модели сосуда с двумя сортами шаров.
Пусть на дне сосуда лежат два слоя шаров одинакового размера и одинаковой массы, но окрашенных в два цвета: снизу десять 256
черных шаров, сверху ——десять белых (рис. 28,2). При встряхивании сосуда они перемешаются и в каждом ряду получится набор черных и белых шаров, например такой, как на рис. 283 Сколько бы мы затем ни встряхивали сосуд, практически никогда не восстановится первоначальное состояние. Итак, процесс перемешивания шаров необратим —— при встряхивании ящика упорядоченное расположение самопроизвольно переходит в беспорядочное, а обратный процесс сам по себе практически никогда не идет.
В чем же причина необратимости этого процесса? Откуда шары «знают», что нужно располагаться в беспорядке, а не упорядоченно? Ответить на этот вопрос можно будет, если мы сможем подсчитать, сколько всего имеется возможных комбинаций для распределения десяти черных и десяти белых шаров в два слоя.
Для облегчения расчета обозначим как-то шары, например все белые — заглавными буквами алфавита, все черные — строчными:
Белые Л, Б, В, Г, Д, £, Ж, 3, И, К Т
Черные а, 6, % г, 0, % ж, з, 〃, к
Пусть в верхнем ряду лежат три белых шара и семь черных (рис. 28.3). Естественно, что в нижнем ряду их число будет обратным —семь белых и три черных, так что выбор какого-либо распределения шаров в верхнем ряду автоматически определяет их распределение в нижнем. Вычислим, сколько комбинаций шаров соответствует данному распределению. Из десяти белых шаров можно выбрать три шара разными способами: АБВ, АБЖ, 〃ЕК и т. д. Их число равно числу сочетаний, которые можно составить из 10 элементов по 3. Оно обозначается С； и равно
С；оС；о^^=120,^^=120,
С；о
С；о
^^=120,
^^=120,
Аналогично подсчитывается число способов, с помощью которых можно выбрать семь черных шаров из десяти:
「7109・8・7・6・5・4 — 10・9・8 —「з i
1・2・3・4・5・6・7 — 1・2・3 一°丿.
Поскольку черные шары могут выбираться независимо от белых (лишь бы их число было равно 10), то общее число комбинаций, с помощью которых можно осуществить распределение из трех белых и семи черных шаров в верхнем ряду, равно произведению числа сочетаний из белых и из черных шаров, т. е. равно CJ0*CJ0 — (120尸= = 14400.
Аналогично можно подсчитать число комбинаций, соответствующих расположению из двух белых и восьми черных шаров, из четырех белых и шести черных и т. д. Результаты подсчета сведем в табл. 28.1.
Таблица 28.1
Номер состояния
Расположение шаров в верхнем ряду
Число комбинаций, соответствующих данному состоянию
В процентах
белых
черных
1
10
0
d= 1
0,00054
2
9
1
С；。。：。= (GJ =10= 1。0
0,05446
3
8
2
c*%。= (*)2 =(*y= 2025
1,096
4
7
3
С；»：。— ©)123 j - 14400
7,794
5
6
4
М°У = (* 戶(^)5
23,87
6
5
5
м к / 10-9.8-7-6 \2
( 1.2 3 4.5 丿-63504
34,37
7
4
6
С!о-С!о = (С!о)2 = 44100
23,87
8
3
7
C：°q = (C；J = 14400
7,794
9
2
8
С；°・С：о = (%)2 = 2025
1,096
10
1
9
с；°У° = ©°)2= I。。
0,05446
11
0
10
сю'сю =1
0,00054
Всего184 756
100
Будем встряхивать сосуд и каждый раз при этом фотографировать возникшее распределение шаров. Если сделать большое число снимков, например миллион, то из них примерно 5—6 снимков будут соответствовать распределению, когда внизу лежат все белые, а сверху — все черные шары; столько же снимков дадут обратную картину; число же снимков, соответствующих распределению, когда в каждом ряду находится пять белых и пять черных шаров, будет равно примерно 344000!
Итак, система из десяти белых и десяти черных шаров может находиться в одиннадцати различных состояниях. Однако каждое из этих состояний может быть реализовано разным числом комбинаций шаров.
Термодинамической вероятностью данного состояния некоторой системы тел называется число комбинаций отдельных элементов системы^ с помощью которых реализуется это состояние.
Из табл. 28.1 видно, что наибольшая термодинамическая вероятность соответствует равномерному распределению черных и белых шаров в обоих рядах (состояние № 6) и состояниям № 5 и 7, близким к равномерному. Наименьшая же термодинамическая вероятность соответствует полностью упорядоченному расположению шаров (состояния № 1 и 11), а также состояниям № 2 и 10, близким к полной упор ядоченности.
Можно показать, что время пребывания некоторой системы 8 том или ином состоянии пропорционально термодинамической вероятности этого состояния. Тем самым Становится ясной причина необратимости процесса перемешивания шаров. При встряхивании сосуда шары располагаются случайным образом, и в принципе может возникнуть любая комбинация. Однако чаще всего реализуется то состояние, термодинамическая вероятность которого больше. Так, если сосуд с шариками непрерывно встряхивать в течение суток, то в состоянии № 6 система будет пребывать около 8 часов, в состоянии № 5 или № 7 — около 6 часов, а в состояниях № 1 или № 11 — всего лишь около 0,5 секунды!
Итак, необратимость процесса перемешивания шаров определяется термодинамической вероятностью тех состояний, е которых может. пребывать данная система. Самопроизвольно идет процесс перехода из состояния с малой термодинамической вероятностью в более вероятное состояние.
Обратный же процесс перехода из беспорядочного (и тем самым наиболее равномерного) распределения элементов системы (шаров) в упорядоченное состояние практически никогда сам по себе не происходит именно потому, что вероятность такого процесса совершенно ничтожна.
Аналогичный результат мы получим при анализе явлений в любой системе, состоящей из большого числа однородных элементов, например в системе, состоящей из множества молекул, движущихся беспорядочно.
Диффузия и термодинамическая вероятность
Явление диффузии во многом аналогично процессу перемешивания шаров, который был рассмотрен в предыдущем параграфе. Поэтому можно для объяснения причины необратимости этого явления воспользоваться тем же методом. Представим себе сосуд, разделенный пополам непроницаемой перегородкой; обе половины сосуда заполнены одинаковым числом молекул разных газов (рис. 28.4). Если убрать перегородку, то в результате диффузии самопроизвольно возникнет однородная смесь газов. Однако сколько бы мы ни ждали, смесь не разделится самопроизвольно на исходные компоненты.
Сравним вероятность «молекулярного беспорядка», соответствующего однородной смеси газов, с вероятностью «молекулярного порядка», соответствующего исходному распределению обоих газов по разным половинам сосуда.
Рис. 28.4.Рис. 28.4.Исходное распределение может быть реализовано только одним способом, следовательно, его термодинамическая вероятность равна единице. Однородную же смесь можно получить огромным числом способов: оно равно произведению числа сочетаний из ^ молекул водорода по N/2 молекул в каждой половине сосуда на такое же число сочетаний из N молекул кислорода по Л72 молекул в каждой половине. Итак, термодинамическая вероятность этого состояния
Рис. 28.4.
Рис. 28.4.
吃…L (*?)"•(28.1)
В обычных условиях даже в небольших объемах газа содер
жится колоссальное количество молекул, например в одном кубическом миллиметре — около 1016. При N^ 1016 термодинамическая вероятность состояния, соответств ующего однородной смеси газов, выражается огромным числом:
〜1пю15” однородч 〜7・
Отсюда ясна причина необратимости явления диффузии. Термодинамическая вероятность состояния однородной смеси несоизмеримо больше вероятности состояния, при котором обе компоненты смеси разделены. А поэтому система самопроизвольно, за счет беспорядочного движения молекул, переходит в наиболее вероятное состояние, соответствующее однородной смеси газов. Обратный же процесс разделения смеси на исходные компоненты настолько маловероятен, что практически он никогда не происходит.
Термодинамическая вероятность и другиетепловые процессы
Понятие термодинамической вероятности может быть применено и для объяснения причины необратимости процесса превращения механической энергии во внутреннюю при неупругом ударе. Однако, в отличие от случая диффузии, здесь подсчитать термодинамическую вероятность очень трудно, и мы ограничимся лишь качественной оценкой этой величины.
Пусть тело, движущееся со скоростью и, неупруго соударяется со стенкой. В первом состоянии все молекулы тела, участвуя в беспорядочном тепловом движении, вместе с тем движутся в одном направлении с одной и той же скоростью и. После неупругого удара тело останавливается, но его кинетическая энергия не пропадает ——
она расходуется на увеличение внутренней энергии тела и стенки:
K=UlU—Q, (28 ⑵
где К ― кинетическая энергия тела до столкновения, U2 ——U】—— изменение внутренней энергии тела, Q — количество теплоты, переданное стенке, воздуху и т. п.
Кинетическая энергия тела есть мера механического процесса —именно, процесса упорядоченного переноса всех молекул в одном направлении с одной скоростью. Такое состояние может быть реализовано одним способом, следовательно, его термодинамическая вероятность равна единице.
Переходу кинетической энергии тела во внутреннюю соответствует переход от упорядоченного движения к беспорядочному. Мы не можем элементарно подсчитать число комбинаций, соответствующих различному распределению молекул по всевозможным величинам и направлениям скоростей, характеризующих беспорядочное тепловое движение. Но можно уверенно сказать, что число этих комбинаций при огромном числе молекул исключительно велико. Следовательно, термодинамическая вероятность второго состояния выражается очень большим числом.
Итак, процесс превращения механической энергии во внутреннюю есть переход из состояния с малой термодинамической вероятностью в более вероятное состояние. При огромном числе молекул этот процесс идет самопроизвольно. Обратный процесс перехода внутренней энергии в механическую означал бы переход от более вероятного состояния к менее вероятному. При большом числе молекул такой процесс столь мало вероятен, что практически он никогда не произойдет. Именно поэтому процесс преобразования механической энергии во внутреннюю необратим.
Читатель легко убедится самостоятельно, что все рассуждения, примененные при анализе явления неупругого удара, можно применить и для рассмотрения процесса преобразования энергии при трении, при нагревании проводников электрическим током и т. п.
Аналогичные рассуждения позволяют выяснить и причину необратимости процесса теплообмена. Однако здесь мы этот вопрос рассматривать не будем, а сделаем это несколько более простым способом в § 28.8.
Термодинамическая вероятность и энтропия
Термодинамическая вероятность служит характеристикой направленности тепловых процессов. Сравнив вероятности двух состояний термодинамической системы, мы сразу установим направление процесса, который возможен в данной системе: это будет переход из менее вероятного в более вероятное состояние. Однако вычисление термодинамической вероятности является весьма сложной задачей, так как практически чрезвычайно трудно подсчитать число
различных комбинаций молекул, соответствующих тому или иному состоянию системы. Поэтому для термодинамических расчетов используется иная физическая величина, введенная Клаузиусом и названная им энтропией.
Энтропия, как и термодинамическая вероятность,— это физическая величина, характеризующая направленность процессов 6 природе.
Больцман установил, что энтропия пропорциональна логарифму термодинамической вероятности:
S = Klg/,(28.3)
где S — энтропия, W—термодинамическая вероятность н К — коэффициент пропорциональности. Планк доказал, что К = 2,3財 где k ——постоянная Больцмана. Если система переходит из одного состояния в другое, то с изменением термодинамической вероятности меняется и энтропия:
AS = Sg — Si = Klg 杯含一Klg 杯1 = Klg W J吃)，(28.4)
где индекс 1 относится к первому состоянию, индекс 2 — ко второму.
Выясним основные свойства энтропии — физической величины, играющей исключительно важную роль в термодинамике.
Прежде всего, энтропия системы полностью определяется состоянием, е котором находится система*, она не зависит от того процесса, с помощью которого система пришла в это состояние. В этом отношении энтропия аналогична энергии и отличается от работы или количества теплоты. Причина заключается в том, что каждое состояние системы определяется каким-то числом комбинаций молекул. Следовательно, ему соответствует определенная термодинамическая вероятность, а согласно (28.3) каждому значению вероятности соответствует одно определенное значение эл- тропии.
Далее, энтропия системы, состоящей из двух (или нескольких) независимых частей, равна сумме энтропий этих частей. И в этом отношении энтропия похожа на энергию, ибо при отсутствии взаимодействия между двумя частями системы ее энергия равна сумме энергий этих частей.
Для доказательства вычислим сперва термодинамическую вероятность. Пусть состояние первой части системы реализуется с помощью 步(D комбинаций молекул, второй части ——с помощью /⑶ комбинаций. Поскольку обе части независимы, то каждому сочетанию молекул в первой части системы могут быть поставлены в соответствие /⑵)сочетаний в другой части. Тогда число комбинаций молекул, с помощью которых реализуется состояние всей системы, равно /(2)・ /")・ Но это и есть ее термодинамическая вероятность. Итак,
杯=吃1).杯"(28.5)
Прологарифмировав выражение (28.5) и умножив полученное 262
равенство на К, получим
Klg/ = Klg 步⑴+ KlgW⑵
или, согласно (28.3),
S = Sd + S⑵.(28.6)
Наконец, очевидно, что при необратимых процессах, таких, как диффузия или превращение механической энергии во внутреннюю, энтропия возрастает. В самом деле, как было показано выше, при этих процессах возрастает термодинамическая вероятность, а тогда, согласно (28.4), растет и энтропия: если W%>Ki, то и S2>Si・
Энтропия и теплообмен
Пусть тело изотермически получает или отдает некоторое количество теплоты Q; при этом его энтропия меняется. Как показал Клаузиус, в этом случае изменение энтропии
(28.7)
где Si — энтропия начального состояния, S^ — энтропия конечного состояния, Т ——температура, при которой происходит теплообмен
Рис. 285Рис. 285Q ——отданное или полученное количество теплоты. При этом, согласно определению понятия «количество теплоты» (см. § 21.3), справедливо следующее правило знаков: Q> О, если тело при теплообмене получает энергию; Q<0, если тело при теплообмене теряет энергию, отдавая ее другому телу.
Рис. 285
Рис. 285
Вычислим изменение энтропии системы из двух тел, если между ними происходит теплообмен. Для простоты расчета положим, что эта система
окружена адиабатной оболочкой, так что теплообмен с окружающей средой исключен (рис. 28.5).
Согласно (28.6) имеем
AS = AS ⑴ + AS%AS = AS ⑴ + AS%(28.8),(28.8),
AS = AS ⑴ + AS%
AS = AS ⑴ + AS%
(28.8),
(28.8),
где ASm — изменение энтропии первого тела, a AS(®)— второго.
Пусть температура первого тела до теплообмена равна 7\, температура второго — Т3, причем Т2 V 7\. Как известно из опыта, при теплообмене энергия (в форме теплоты) передается всегда от горячего тела к холодному; тогда, согласно правилу знаков для количества теплоты, Q")=——Q, Q^^ = Q, ибо первое тело отдает энергию, а второе — получает. В результате теплообмена температуры тел изменятся и станут: у первого 7\ — А7\ = Тер, у второго
7\ + A7\ = Тер1. Изменение энтропии всей системы, согласно (28.7) и (28.8), равно
AS = #%=一•(28.9) 7 ⑴1 т(2)т(1)1 т(2)тЧ1).т(2)' 丿
4 cp 4 cp■* ср 4 cpер ■* ср
Но абсолютные температуры 丁!；)и Т^ ——положительные числа; согласно условию теплообмена Гс^ — Т'ср^О и Q>0. Итак, в выражении (28.9) правая часть ——существенно положительное число. Отсюда следует, что AS>0, т. е. энтропия замкнутой 优 адиабатически изолированной системы в результате теплообмена между ее составными частями возрастает.
Заметим, что рассмотренный процесс теплообмена необратима энергия (в форме тепла) сама собой переходит от горячего тела к холодному, что ведет к выравниванию температур во всех частях этой системы. Обратный же процесс передачи тепла от холодного тела к горячему сам по себе никогда не идет.
Итак, мы видим, что при необратимых процессах энтропия замкнутой и адиабатически изолированной системы возрастает,
А5необр>0.(28.10)
Наконец, покажем, что при обратимых процессах энтропия не меняется. Для этой цели исследуем в качестве примера квазиста- тический изотермический и адиабатный процессы расширения или сжатия газа.
Пусть газ квазистатически изотермически расширяется. При этом он совершает работу по подъему груза и получает некоторое количество теплоты из окружающей среды. Изменение энтропии всей системы
AS = ASC + AS「+ ASm，(28.11)
где индексы《с》，«г» и «м» относятся соответственно к среде, газу и механической системе. Но ASc =——Q/T и AS「=Q/T, ибо среда отдает энергию (в форме тепла), а газ столько же получает. Что же касается изменения энтропии механической системы, то оно равно нулю, ибо в консервативных системах при любых процессах термодинамическая вероятность и соответственно энтропия не меняются: ASM — 0. Подставив в (28.11), получим
AS=_# +争=0.
Очевидно также, что при квазистатическом адиабатном процессе энтропия системы не меняется: из условия адиабатности Q — Q следует, согласно (28.7), что и AS = 0・
(28.12)(28.12)Но кбазистатические процессы (как изотермический, так и адиабатный) обратимы. Следовательно, на этих примерах мы показали, что
(28.12)
(28.12)
ASo6p = 0・
Итак, мы получили весьма важный результат: при любых процессах энтропия не убывает,
AS^O. (28.13)
Здесь знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства —к необратимым.
Второе начало термодинамики
При рассмотрении реальных тепловых процессов мы убедились в том, что им присуща определенная направленность. Именно, все они самопроизвольно протекают таким образом, что их результатом является выравнивание термодинамических параметров: давления, температуры, плотности, химического состава и т. п. Между тем из основных законов природы ——законов сохранения импульса, момента импульса и энергии (в форме первого начала термодинамики) —направленность и, тем самым, необратимость тепловых процессов никак не вытекает.
В самом деле, первое начало термодинамики не накладывает запрета на процесс, при котором некоторое количество теплоты передавалось бы от холодного тела к горячему. Первое начало требует лишь одного: чтобы количество теплоты, отданное одним телом, в точности равнялось количеству теплоты, которое получит другое, иными словами, чтобы полная энергия замкнутой и адиабатически изолированной системы не изменилась. А вот вопрос о том, от какого тела к какому перейдет энергия при теплообмене, от горячего к холодному или наоборот, остается открытым: ответ на него из первого начала термодинамики не следует.
Точно так же, исходя из первого начала, нельзя объяснить необратимость процесса превращения механической энергии во внутреннюю при неупругом ударе, трении и т, п. Первое начало требует лишь одного: чтобы сумма механической и внутренней энергии замкнутой и адиабатически изолированной системы не изменилась. Но и здесь закон сохранения энергии допускает в равной мере возможность превращения как механической энергии во внутреннюю, так и внутренней в механическую. Истинное направление процесса на основе первого начала термодинамики предсказать нельзя.
Таким образом, мы пришли к выводу, что направленность и, тем самым, необратимость реальных тепловых процессов определяется не законами сохранения, а каким-то другим законом природы. Он называется вторым началом термодинамики.
Существуют различные формулировки второго начала термодинамики, эквивалентные друг другу: из любой из них все остальные можно вывести. Наиболее общая формулировка этого закона такова:
При любых процессах, протекающих, в замкнутой 〃 адиабатически изолированной макроскопической системе, ее энтропия не убывает, т, е. AS》0.
Из второго начала термодинамики следует принцип запрета, сформулированный Клаузиусом: невозможен процесс, единственным результатом, которого была бы передача энергии в форме тепла от холодного тела к горячему (см. также § 29.5).
Действительно, если бы такой процесс был возможен, то он сопровождался бы убылью энтропии (см. § 28.8). А это противоречит сформулированному выше второму началу термодинамики.
Следует обратить внимание на смысл слов «единственным результатом». Это значит, что передача энергии в форме тепла от холодного тела к горячему невозможна в том случае, когда больше никакие процессы в природе не происходят. Если же наряду с теплообменом происходит еще один процесс (называемый компенсирую- щам, см. § 29.4), то запрет, налагаемый вторым началом термодинамики, снимается и становится возможной передача энергии в форме тепла от тела с низкой температурой к телу с более высокой температурой. Условия, при которых происходит такой процесс, будут рассмотрены в § 29.7.
Статистический смысл второго началатермодинамики. Флуктуации
Законы сохранения имеют неограниченную область применения. Они одинаково справедливы как для микрочастиц, так и для макроскопических систем. Второе же начало термодинамики применимо только к макроскопическим системам, состоящим из огромного числа молекул.
Как мы видели, возрастание энтропии есть следствие роста термодинамической вероятности. Но молекулярная статистика вовсе не исключает принципиальной возможности процесса, при котором термодинамическая вероятность некоторой системы убывает, хотя такие процессы при большом числе молекул в системе и происходят крайне редко. Следовательно, мы не можем, хотя бы в принципе, исключить возможность процессов, при которых энтропия убьявает, как бы ни была мала вероятность их реализации на практике.
Отсюда следует необходимость уточнения формулировки второго начала термодинамики. С учетом идей молекулярной статистики его нужно формулировать так:
В замкнутой 优 адиабатически изолированной макроскопической системе наиболее вероятным является процесс, сопровождающи йся возрастанием энтропии.
Для макроскопических систем, состоящих из огромного числа молекул, второе начало термодинамики здесь дает такие же надежные результаты, как и законы сохранения. Что же касается микросистем, состоящих из сравнительно малого числа молекул, то в них вполне возможны отклонения истинных значений физических величин от их средних значений, называемые флуктуациями.
Броуновское движение и флуктуации
Результатом флуктуации давления является броуновское движение (см. § 25.3). Пользуясь законами динамики, нельзя объяснить, почему броуновское движение наблюдается на частицах, размеры которых составляют около 0,5—— 1 мкм, а частицы размерами более 5 мкм уже не участвуют в этом движении.
4О-*- -ч—оОВРис. 2864О-*- -ч—оОВРис. 286Предположим для простоты расчета, что броуновская частица имеет форму длинной и тонкой нити АВ (рис. 28.6).
4
О-*- -ч—о
О
В
Рис. 286
4
О-*- -ч—о
О
В
Рис. 286
Подсчитаем, какова вероятность интересующей нас флуктуации давления при различных размерах тела. Примем, что длина нити равна 5* 10*~7 м, а расстояние между молекулами газа ——около 10 А= 10~9 м. Тогда с обеих сторон нити расположится примерно 1000 молекул.
Если число молекул справа и слева одинаково, скажем, ^1— ^2= 500, то частица находится в равновесии. Если же слева окажется = 470, а справа 必=530 молекул, то давление справа окажется в 530/470— 1,13 раза
больше, иными словами, возрастет на 13%. Сравним вероятность такой флуктуации с вероятностью равновесного состояния.
Термодинамическая вероятность равновесного состояния равна числу сочетаний, которое можно составить из 1000 молекул по 500 молекул с каждой стороны нити:
m ^5оо1000-999-998503-502.501
Гравн = сюоо =i・2・3 二 498• 499• 500'
Термодинамическая же вероятность рассматриваемой флуктуации давления '™4701000-999533-532.531
呼=1.2-3 ... 468.469-470 '
Их отношение:
—呼тукт_С留8о __(1000.999 ,..532*531)(1-2.3 ... 469.470-471 ... 500) 1%авн = С罂厶 =(i・2・3 …469• 470) (1000*999 …—弘3 530 …5 01)'
Сократив одинаковые множители, получим
471・472・473 ... 498-499-500
501^502^503 .. . 528-529-530 '
Вычислить эту величину элементарными методами очень трудно, но можно определить ее границы. Для этого учтем, что 471/501 = 0,9401 и 2°°/5зо= 0,9 477. Следовательно,
0,940130 < ^ < 0,94773。， откуда следует:
0,157 < ^ < 0,174.
Более точный расчет дает w а 0,171 = 17%.
Итак, мы получили важный результат: для броуновской частицы размером около 0,5 мкм вероятность флуктуации давления на 13% составляет 0,171、17% от вероятности равновесного состояния. Следовательно, если такая частица в течение часа будет находиться в покое (равновесное состояние), то около 10 минут на нее будут действовать значительные силы, которые приведут частицу в движение. Полагая, что длительность «скачка» составляет около одной секунду, получим, что в течение часа броуновская частица совершит около 600 «скачков».
Рекомендуем читателю самостоятельно показать, что вдвое большая частица будет совершать всего около 100 скачков в течение часа.
Чтобы получить аналогичный «скачок» броуновской частицы размером 5 мкм, которую окружают при тех же условиях 10 000 молекул, необходимо, чтобы
слева расположилось 4700 молекул, а справа 5300 молекул. Флуктуация давле* ния опять оказалась бы равной 13%. Для вероятности флуктуации получим
w =w =W巾луктW巾луктС47ОО10000Г 50 00 10000С47ОО10000Г 50 00 100002,2-10-8.2,2-10-8.
w =
w =
W巾лукт
W巾лукт
С47ОО
10000
Г 50 00 10000
С47ОО
10000
Г 50 00 10000
2,2-10-8.
2,2-10-8.
Таким образом, вероятность флуктуации для этой частицы настолько мала, что ее практически можно положить равной нулю. Чтобы заметить только один «скачок», длящийся около секунды, за частицей следует наблюдать примерно 4,5- 107 с, или, поскольку 1 год — 3,16* 107 с,——около полутора лет! Совершенно ясно, почему частицы аналогичных или еще больших размеров в броуновском движении не участвуют.
Заметим, что наш расчет является весьма упрощенным. Но порядок величин, полученный выше, близок к истине.
Броуновское движение и постоянная Больцмана
Попытаемся оценить, куда переместится броуновская частица за время наблюдения /, которое значительно больше времени свободного пробега молекулы т. Для этой цели разобьем время наблюдения на большое число равных интервалов △/ = //% с таким расчетом, чтобы и эти интервалы были много больше времени сво
бодного пробега. Ниже мы оценим величину этого интервала.
За время А/ частица сместится на расстояние Л, которое мы назовем «шагом» частицы. На протяжении этого пути частица испытает огромное число ударов (А〃т^ 10й) со стороны окружающих ее молекул. А это означает, что каждый последующий «шаг» броуновской частицы абсолютно не зависит от направления
предыдущего «шага» и угол между ними меняется совершенно случайным образом.
Итак, мы никоим образом не в состоянии предсказать, где будет находиться броуновская частица в любой момент времени. Движение броуновской частицы, абсолютно хаотично.
Двигаясь беспорядочно, частица то отдаляется, то приближается к своему первоначальному положению (рис. 28.7). И так
как ее перемещения во всех направлениях равновероятны, то может показаться, что частица будет все время топтаться около своего начального положения. Однако опыт показывает, что это не так. Например, капля чернил в воде постепенно растекается. Частицы краски —— это и есть броуновские частицы. А это значит, что за достаточно большой промежуток времени они постепенно удаляются от первоначального положения. Среднее расстояние, на которое броуновская частица удаляется от начального положения за промежуток времени, значительно больший времени среднего пробега молекулы, называется средним квадратичным перемещением частицы. Метод вычисления этой величины предложили в 1904——1907 гг. А. Эйнштейн и М. Смолуховский.
Для решения этой задачи обратимся к рис. 28.7. Здесь 厶—— «шаг» частицы; расстояния от частицы до первоначального ее положения в следующие друг за другом промежутки времени А/】, 厶片2， А/з， . • •, ^t^ обозначены соответственно через Ri, R^ R3,... ...,Rn (на рисунке обозначены только Ri = L, R2, R3 и Ri^). Углы, характеризующие направления последующих перемещений частицы, обозначены соответственно ①匕(р2,(р3,...,屮^一丿
На основе теоремы косинусов составим систему равенств:
R3 = R： + I/ — 2RL cos 屮у
个=R： + D — 2&厶 cos 屮 2,
Rn = Rn- \ + 厶2 — 2Rn-\L cos屮汽一 1.
Легко заметить, что при сложении левых и правых частей квадраты промежуточных перемещений сокращаются; останутся только R^ и R； = L2. Итак,
R% = NL? — 2L<R\ cos 5 + R2 cos屮2 + •…+ Rn-i coscpa-
Все слагаемые в скобках суть случайные величины, принимающие с равной вероятностью любые положительные и отрицательные значения. Следовательно, при большом числе наблюдений среднее значение суммы в скобках равно нулю. Отсюда следует выражение для квадрата среднего квадратичного перемещения, которое обозначается А2, А? или〈к〉：
А2-Ж2. (28.14)
Как показали Эйнштейн и Смолуховский, эту величину можно выразить через время наблюдения, свойства жидкости и размеры частицы. Сделаем приближенный, но зато достаточно простой расчет. Для этого вначале оценим промежуток времени А/.
Броуновская частица с массой т^ 10~14 кг и радиусом г^ ^ 10~ 6 м представляет собой объект одновременно и макроскопический, и микроскопический. С энергетической точки зрения это —— микроскопический объект, ибо частица участвует в тепловом движении и ее кинетическая энергия равна средней энергии теплового движения молекул, т. е. 3/2kT. Но с точки зрения импульса это ——макроскопический объект: импульс броуновской частицы p=V2mK = V2m*制?kT существенно больше импульса молекулы р^ = У2mQ*3/2kT. Отношение импульсов
Естественно, что столкновение молекулы с броуновской частицей похоже на абсолютно упругое столкновение частицы со стенкой (§ 17.3): молекула отскакивает от частицы практически с той же
скоростью в противоположном направлении, а импульс броуновской частицы меняется на малую величину Ар ^ 2Po. Потребуется огромное количество столкновений молекул с броуновской частицей, чтобы она «забыла» о первоначальном направлении своего движения и стала двигаться в другом направлении. Число этих ударов можно оценить так:
Nq* plpQ^ 10е.
Это позволяет оценить промежуток времени А/, в течение которого частица проходит один «шаг»:
Д/^7V0T^ Юб-10~10 = 10-4 с.
Естественно, что за время наблюдения порядка /^ 1 час число 《шагов》 составит
% = » 岳=次(28.15)
Поскольку с точки зрения силового воздействия броуновскую частицу можно рассматривать как макроскопический объект, то суммарное воздействие сталкивающихся с ней молекул можно приравнять силе вязкого трения 尸= 6nrqu (§ 11.8). Однако если воздействие силы вязкого трения на макроскопический объект сводится к его торможению, то в случае броуновской частицы эта сила на длине《шага》сначала затормозит частицу, а затем вновь разгонит ее до прежней скорости движения, но в другом направлении.
Итак, работа средней силы вязкого трения на длине 《шага» примерно равна удвоенному значению кинетической энергии теплового движения:尸ср£^2&互.
Подставив значения величин, имеем
у • блгп也2 • — kT.
Умножим обе части равенства на время наблюдения и учтем, что bt^ NL; получим: nr^NU^kTt.
Итак,
a2 = "厶2 =空九
Мы получили формулу Эйнштейна, пользуясь которой можно из результатов наблюдений за поведением броуновской частицы определить постоянную Больцмана, а затем и число Авогадро (§ 26.9). Такие опыты поставил в 1908——1913 гг. Ж* Б. Перрен, получивший впервые для числа Авогадро надежное значение:
6-102б<^<7-1026.
Эти классические работы сыграли огромную роль в обосновании статистической физики.
270
ГЛАВА 29ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ
Тепловые машины и развитие техники
Прогресс человечества теснейшим образом связан с развитием энергетики. Овладение новым источником энергии, открытие новых путей ее преобразования и использования — это обычно целая эпоха в истории материальной культуры.
Так, мощный расцвет промышленности в XIX в. был связан с изобретением первого теплового двигателя — паровой машины. Создание двигателя внутреннего сгорания послужило базой для развития автомобильного транспорта и самолетостроения. Газовая турбина буквально в последние два десятилетия вызвала переворот в авиации ——замену тихоходных самолетов с поршневым двигателем реактивными и турбовинтовыми лайнерами, скорость которых приближается к скорости звука, а в последнее время — и сверхзвуковыми. С помощью реактивных тепловых двигателей осуществлена вековая мечта человечества — выход в космическое пространство.
Основная доля электроэнергии вырабатывается тепловыми электростанциями, генераторы которых приводятся в действие паровыми турбинами. На атомных электростанциях энергия, выделяющаяся при ядерных реакциях, также преобразуется сначала в энергию пара, который приводит в движение паровую турбину, а последняя ——ротор генератора, в котором вырабатывается ток.
Из курса восьмилетней школы читатель знаком с устройством и принципом действия ряда тепловых двигателей, таких, как паровая машина, паровая турбина, двигатель внутреннего сгорания. В данной главе мы воспользуемся началами термодинамики для того, чтобы изучить общие свойства всех тепловых машин и назначение их основных узлов, а также выяснить параметры, определяющие к. п. д. этих машин и пути его повышения.
Тепловой двигатель
Все тепловые двигатели, независимо от их конструктивных особенностей, решают одну и ту же задачу —— превращение внутренней энергии s механическую. Для этой цели энергия, выделяющаяся при сгорании топлива или при ядерных реакциях, передается путем теплообмена какому-либо газу. Расширяясь, газ производит работу против внешних сил, приводя в движение какой-либо механизм.
Очевидно, что в тепловом двигателе газ не может беспредельно расширяться, ибо машина имеет конечные размеры. Следовательно, после расширения газ должен быть затем сжат так, чтобы он сам и все детали машины пришли в первоначальное состояние. После этого может быть произведено повторное расширение и т. д. Итак, мы пришли к выводу, что тепловой двигатель должен работать циклично^ в течение цикла за процессом расширения газа следует его сжатие до первоначального состояния.
Реальные тепловые двигатели обычно работают по так называемому разомкнутому циклу, когда газ после расширения выбрасывается, а сжимается новая порция. Однако это существенно не влияет на термодинамику процесса, и мы будем ниже рассматривать замкнутый цикл, когда расширяется и сжимается одна и та же порция газа.
Для того чтобы двигатель в течение цикла совершил полезную работу, необходимо, чтобы работа в процессе расширения была больше работы сжатия. В этом случае внешние тела, окружающие
двигатель, получат больше механической энергии, чем отдадут при сжатии. Покажем, что для этого температура газа при его сжатии должна быть ниже, чем при расширении. Для доказательства этого положения вновь обратимся к рис. 27.2 и 27.3 (стр. 240). Начальные
и конечные состояния газа при расширении и сжатии совпадают; следовательно, работа сжатия будет меньше работы расширения лишь в том случае, если во всех промежуточных состояниях давление в процессе сжатия будет меньше, чем при расширении. А это возможно лишь в том случае, когда во всех промежуточных точках температура газа в процессе сжатия ниже, чем при расширении.
Обратимся к рис. 29.1. Здесь рабо
та расширения численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком зависимости давления от объема в процессе расширения——кривой росши- рения. Работа сжатия ——площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой сжатия. Наконец, полезная работа изображается площадью, заштрихованной на рисунке; эта площадь ограничена графиком циклад.е. кривыми расширения и сжатия.
§29.3. Схематическое устройство и энергетический баланстеплового двигателя
На основе предыдущих рассуждений можно рассмотреть схему устройства и энергетические процессы, характерные для любого
постоянна и всегда нижепостоянна и всегда нижетеплового двигателя, независимо от его конструктивных особенностей.
постоянна и всегда ниже
постоянна и всегда ниже
Любой тепловой двигатель состоит из трех основных частей: рабочего тела, нагревателя и холодильника (рис. 29.2). Рабочим телом служит какой-либо газ (или пар), за счет расширения которого совершается работа. Рабочее тело получает некоторое количество теплоты @】от нагревателя —— тела, у которого за счет сгорания топлива или за счет ядерных реакций поддерживается постоянной высокая температура 7\. Наконец, при сжатии газ передает некоторое количество теплоты Q2 холодильнику——телу, температура которого Т? температуры нагревателя. За счет этого
давление газа при сжатии ниже, чем при расширении, что, как
показано в предыдущем параграфе, является необходимым условием успешной работы двигателя.
Заметим, что холодильником может служить и окружающая среда, как это имеет место в двигателях внутреннего сгорания и в реактивных двигателях,
Баланс энергии за цикл можно получить на основе первого начала термодинамики (27.6). Поскольку при завершении цикла рабочее тело приходит в первоначальное состояние, его внутренняя энергия не меняется: AU = U^— Ui = 0・ Отсюда
Qi = Q2 + ^ пол + ^потерь» (29.1)
где Qn0Tepb ——энергия, теряемая в процессе цикла на теплообмен с окружающей средой, на трение и т. п. Отсюда следует, что полезная работа, совершаемая двигателем за цикл,
Лол<^-^ (29.2)
где случа访 неравенства характеризует реальные машины, а случай равенства — идеальную машину, где нет потерь энергии.
Коэффициентом полезного действия двигателя п называется отношение полезной работы к энергии, которую рабочее тело получило от нагревателя, т. е. к количеству теплоты Qi：
4 ==1_卷. (29.3)
Из (29.3) следует, что даже у идеального теплового двигателя, работающего без потерь, к. п. д. принципиально ниже 100%. Он мог бы быть равен 100% только в том случае, если бы в течение цикла не отдавалась энергия холодильнику, т. е. если бы Q2 могло быть равным нулю. Но, как уже говорилось, это невозможно, ибо газ в процессе сжатия необходимо охладить, для чего необходимо передать холодильнику количество теплоты Q^#。.
Тепловой двигатель и второе началотермодинамики
На основе анализа принципа работы теплового двигателя Томсон и Планк пришли к выводу, который формулируется в виде принципа запрета:
Невозможен процесс, единственным результатом которого было бы охлаждение нагревателя и превращение полученного количества теплоты полностью в работу.
Можно показать, что запрет Томсона ——Планка является следствием второго начала термодинамики. Действительно, преобразование внутренней энергии в механическую есть процесс перехода системы из состояния с беспорядочным движением молекул в состояние их упорядоченного движения. Но при таком процессе энтропия сис-
273
темы должна убывать, а это противоречит второму началу термодинамики. Поэтому преобразование внутренней энергии в механическую не может быть единственным процессом. Параллельно с ним должен идти еще один процесс, ведущий к росту энтропии и компенсирующий убывание энтропии при преобразовании внутренней энергии в механическую.
Хотя при изотермическом расширении идеального газа работа целиком совпадает с полученным количеством теплоты (см. § 27.6), это не ведет к убыванию энтропии системы. Дело в том, что параллельно идет процесс расширения газа, сопровождающийся ростом энтропии. Этот компенсирующий процесс и снимает запрет, налагаемый вторым началом.
То же относится и к работе теплового двигателя. Действительно, здесь в течение цикла не только охлаждается нагреватель и совершается работа, но и часть энергии передается холодильнику. Вот этот компенсирующий процесс и снимает запрет, налагаемый вторым началом термодинамики на явление преобразования внутренней энергии в механическую.
Принцип запрета Клаузиуса (см. §28.9), принцип запрета Томсона——Планка и принцип возрастания энтропии являются тремя равносильными формулировками второго начала термодинамики.
Часто первое и второе начала термодинамики формулируют как законы, запрещающие создание вечных двигателей.
Первое начало', невозможен вечный двигатель первого рода (perpetuum mobile I), т. е. машина, которая совершала бы периодически работу, не получая энергию от других источников.
Второе начало: невозможен вечный двигатель второго рода (perpetuum mobile II), т. е. машина, которая совершала бы пер ио- дически работу только за счет охлаждения одного источника теплоты, например земного шара или океана, имеющих колоссальный запас внутренней энергии.
Цикл Карно
Для упрощения анализа принципа действия теплового двига、 теля и расчета его к. п. д. рассмотрим мысленный эксперимент, предложенный Карно.
Рабочим телом в идеализированной машине Карно является идеальный газ. В начале цикла рабочее тело имеет одинаковую температуру 7\ с нагревателем. Это состояние изображено на графике точ* кой 7 (рис. 29.3). Находясь в контакте с нагревателем, газ изотермически расширяется, получая количество теплоты Q» и приходит в состояние 2. Далее он расширяется адиабатно до состояния 3. Его температура уменьшается и становится равной Т2 — температуре холодильника. За расширением следует сжатие газа. Находясь в контакте с холодильником, газ под действием внешних сил изотермически сжимается из состояния 3 в состояние 4, передавая холодильнику количество теплоты Qa. Затем путем адиабатного 274
(29.4)(29.5)(29.4)(29.5)Лкарно =1 —患=1Лкарно =1 —患=1& — △& — △(29.6)(29.6)
(29.4)
(29.5)
(29.4)
(29.5)
Лкарно =1 —患=1
Лкарно =1 —患=1
& — △
& — △
(29.6)
(29.6)
сжатия температура газа повышается до первоначальной. Цикл замыкается, и рабочее тело возвращается в исходное состояние.
Цикл Карно представляет собой идеализацию цикла реальной тепловой машины. Предполагается, что здесь нет потерь энергии на теплообмен с окружающей средой, в машине нет трения, а процессы
расширения и сжатия газа идут квазистатически и, следовательно, обратимо. Отсюда следует, что общее изменение энтропии всей системы за цикл равно нулю.
Рассмотрим, как же меняется энтропия отдельных частей системы.
Естественно, что энтропия рабочего тела не меняется, ибо оно возвращается в исходное состояние. Не меняется и энтропия окружающих тел, поскольку они не участвуют в теплообмене, а механические процессы не вызывают изменения энтропии. Энтро
пия нагревателя, согласно (28.7),
убывает на величину ASHarp = —QJt\, а энтропия холодильника возрастает на величину Д5х0л = Qz厅2・ А так как изменение энтропии всей системы AS = 0, то
AS = ASHarp+ AS*。』=—* 十賢=0.
Отсюда следует, что QJTi = QJT\, или
Qz 一 Т2
Согласно (29.3) и (29.5) для идеальной машины, работающей по обратимому циклу Карно,
Мы получили фундаментальной важности результат: к, л. 5. идеальной машины, работающей по обратимому циклу Карно, определяется лишь температурами нагревателя и холодильника.
К. п. д. реального двигателя
Во всяком реальном двигателе существуют потери. Кроме того, происходящие в нем процессы необратимы. Естественно, что энтропия системы в течение этого цикла возрастает: Д5>0. Выражение (29.4) превратится в неравенство:
Д5=—^- + 4^>0.
1 1/ 2
(29.7)
Отсюда следует, что для необратимо работающего теплового двигателя
供>齐(29.8)
К.п.д. реальной машины, согласно (29.3), выражается неравенством т]< 1—^ . Если в этом выражении заменить вычитаемое, т. е. Q2/Q1, меньшей дробью Т^Т*, то неравенство лишь усилится. Итак,
(29 9)(29 9)/ 1?2
(29 9)
(29 9)
Мы видим, что к. n. d. реального теплового двигателя всегда меньше к.п.д. машины Карно, работающей s том же температурном интервале, т. е,
Т] < ПКарно. (29.10)
Следует обратить внимание на принципиальное отличие тепловых двигателей от механических или электрических машин. Совершенствуя последние, мы приближаем их к.п.д. к теоретическому предельному значению 100%. И хотя этот предел недостижим в реальных условиях, можно путем уменьшения потерь приблизиться к нему. Совершенствуя тепловые двигатели, мы приближаем их к.п.д. не к 100%, а к к.п.д. машины Карно, работающей в том же температурном интервале. Отсюда следует, что решающим фактором в процессе повышения к.п.д. теплового двигателя является повышение температуры нагревателя и снижение температуры холодильника.
Естественно, что снижение всякого рода потерь также служит повышению к.п.д. теплового двигателя, но наиболее эффективным методом является увеличение разности температур нагревателя и холодильника.
§ 29.7. Обратный цикл Карно
Цикл Карно обратим, следовательно, его можно провести в обратном направлении. Посмотрим, какой энергетический эффект получится в этом случае.
Пусть рабочее тело, состояние которого изображено на рис. 29.4 точкой /, адиабатно расширяется до состояния, изображенного точкой 4* При этом температура газа снизится до температуры холодильной камеры 7\，Далее рабочее тело изотермически расширяется до состояния 3, совершая работу расширения и поглощая от холодильной камеры количество теплоты Q2. Из состояния 3 в состояние 2 газ переходит путем адиабатного сжатия, и его температура повышается до температуры нагревателя 7工.Наконец, из состояния 2 в состояние 7 рабочее тело переходит путем изотермического сжатия
за счет работы, совершаемой внешними силами. При этом рабочее тело передает нагревателю некоторое количество теплоты Q〔.
Общая схема преобразования энергии показана на рис. 29.5.
Поскольку в обратном цикле сжатие рабочего тела совершается при более высокой температуре, чем расширение, работа сжатия больше работы расширения. Следовательно, за цикл внешние силы совершат положительную работу
Свнетн
^сж 'pacin〉。・
(29.11)
Согласно (27.23) Qx = ЛС1К, Q2 = ^рэсш- Подставив в предыдущее выражение, получим, ЧТО 力внешн = Q1 ——Q2, ИЛИ
Ql = Qa + "внетн*
(29.12)
3. Итак, в результате данного цикла некоторое количество теплоты переходит от холодного тела к телу с более высокой температу
рой. Может показаться, что это противоречит второму началу
也叩£/ж me/io (ашоарера)
Рабочей 三—Ap^ff
•才 1
Хш^шна^лжра
Рис. 29 5.
термодинамики (см. § 28,9). Однако нетрудно убедиться, что это не так. Переход энергии в форме тепла от холодного тела к горячему——это процесс, ведущий к уменьшению энтропии. Второе начало термодинамики запрещает такой процесс, если он единственный. Однако в рассматриваемом случае обратного цикла Карно происходит еще один процесс: превращение механической энергии окружающих тел во внутреннюю энергию нагревателя. А этот процесс сопровождается возрастанием энтропии.
Оказывается, что процесс возрастания энтропии за счет превращения механической энергии во внутреннюю компенсирует убыль энтропии при переходе теплоты от холодильника к нагревателю. Компенсирующий процесс снимает запрет, налагаемый вторым началом термодинамики, и делает возможным обратный цикл Карно.
4. Поскольку цикл Карно обратим, то полное изменение энтропии в течение цикла равно нулю Следовательно, соотношение (29.5) остается в силе и для обратного цикла Карно.
Если же обратный цикл провести необратимо, то выражение (29.7) несколько изменится. Взамен (29.7) получим
+(29.13)
откуда
後＜佘.(29.14)
Однако и в этом случае к. п. д. реального цикла ниже к. п. д. цикла Карно.
§ 29・8. Холодильная установка и тепловой насос
Если машина Карно является идеализацией теплового двигателя, то обратный цикл Карно служит идеализацией цикла двух других тепловых машин —— холодильной установки и теплового насоса.
Холодильная установка имеет своей целью поддержание в холодильной камере температуры, которая ниже температуры окружающей среды. Это оказывается возможным, если рабочее тело тепловой машины провести по обратному циклу, аналогичному обратному циклу Карно.
Рабочим телом в холодильной установке служат обычно па-ры легкокипящих жидкостей ——аммиак, фреон и т. п. К машине подводится энергия от электрической сети. За счет этой энергии и совершается процесс «перекачки теплоты» от холодильной камеры к более нагретым телам — именно, к окружающей среде.
Эффективность холодильной установки оценивается по холодильному коэффициенту
论—Qz/^внеши»(29.15)
т. е. по отношению количества теплоты, отнятого за цикл от холодильной камеры, к работе внешних сил.
Пользуясь соотношениями (29.12) и (29.14), читатель сможет самостоятельно получить выражение для холодильного коэффициента
где знак равенства относится к обратимому, а знак неравенства — к необратимому циклу.
Заметим, что чем меньше разность температур между холодильной камерой и окружающей средой, тем меньше нужно затратить механической (или электрической) энергии для «перекачки тепла» от холодного тела к горячему. Естественно, что в этом случае повышается и холодильный коэффициент, что видно из (29.15) и (29.16).
Следует обратить внимание и на тот факт, что холодильный коэффициент может быть больше 100%. Это ни в коей мере не противоречит тому факту, что к. п. д. теплового двигателя всегда значительно меньше 100%.
Холодильная установка может быть использована в качестве теплового насоса для отопительных целей.
Если отапливать помещение с помощью обычных электронагревателей, то количество теплоты, выделенное в нагревательных элементах, в точности равно расходу электроэнергии. Если же электроэнергию использовать для приведения в действие холодильной установки, в которой нагревателем служит отапливаемое помещение, а холодильной камерой ——наружная атмосфера, то отапливаемое помещение получит больше тепла, чем его выделилось бы при непосредственном преобразовании электроэнергии во внутреннюю в нагревателях типа электроплиток, электропечей и т. п.
В самом деле, при отсутствии потерь в машине количество теплоты, получен* ное отапливаемым помещением,
Qi = Qz + 4
где А — расход электроэнергии, Q^— количество теплоты, перекачиваемое от наружной атмосферы в помещение.
В реальной установке благодаря потерям Qt< Q2 + ^- Но все же и при наличии потерь можно при хорошей конструкции теплового насоса получить Qi> А.
Эффективность теплового насоса определяется коэффициентом перекачки тепла
K = Q"4(29.17)
т. е. отношением количества теплоты, которое получило отапливаемое помещение, к расходу электроэнергии.
Рекомендуем читателю, пользуясь предыдущими соотношениями, самостоя* тельно показать, что
g不$…(29.18)
Заметим, что при обратимом цикле коэффициент перекачки тепла всегда боль-- те 100%.
Итак, тепловой двигатель, холодильная установка и тепловой насос — это три типа тепловых машин, действие которых определяется первым и вторым началами термодинамики. В дальнейшем нам встретится еще ряд явлений, для объяснения которых мы будем пользоваться этими основными законами природы.
Г Л А В А 30
ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Термодинамические параметры движущегося газа
В данной главе основные законы термодинамики будут применены для изучения явлений в движущихся газах.
но и скоростью его движения.но и скоростью его движения.Рис. 30.1.Рис. 30.1.Состояние движущегося газа определяется не только его давлением, плотностью и температурой, Следовательно, скорость и, давление р, плотность р и температура Т — это четыре термодинамических параметра, изменением которых определяются все процессы, происходящие в газе.
но и скоростью его движения.
но и скоростью его движения.
Рис. 30.1.
Рис. 30.1.
Пусть газ течет по некоторой трубе. Тогда в каждом его сечении аермодинамические параметры будут различными (рис. 30.1).
Если в любом сечении трубы термодинамические параметры газа не зависят от времени, то такое движение называется установившимся или стационарным. Если же параметры со временем меняются, то это движение нестационарное.
Ниже будут рассмотрены только установившиеся течения газа со скоростями, много меньшими скорости света (v<^c).
Уравнение неразрывности
Расходом жидкости или газа называется масса вещества, которая протекает через поперечное сечение трубы в единицу времени:
Если скорость потока в некотором сечении площадью S равна и, то за время А/ через это сечение пройдет объем газа AV^ Sv АЛ Масса этого газа Am — pSvA/. Подставив в (30.1), получим для расхода следующее выражение:
ji = pSs(30.2)
Из закона сохранения массы для стационарного потока следует, что расход 6 любом сечении трубы один и тот же. В самом деле, если бы, например, в сечение Si на рис. 30.1 втекало ежесекундно больше газа, чем его вытекает из сечения S2, то масса газа внутри этого объема со временем возрастала бы. Это привело бы к возрастанию плотности и давления газа и в конечном счете к изменению скорости потока. А это означает нарушение условия стационарности.
Итак, для стационарных (установившихся) течений получается следующее уравнение:
piSi?i р2s2%.(30.3)
Данное уравнение выражает собой закон сохранения массы вещества; оно называется уравнением неразрывности струи、
В гидродинамике и газодинамике принята следующая терминология. Вещество, протекающее по трубе, принято называть жидкостью независимо от того, в каком агрегатном состоянии оно находится, жидком или газообразном. Различают сжимаемую жидкость (обычно это газ) и несжимаемую жидкость —— это так называемые капельные жидкости, а также газы в тех случаях, когда их сжимаемостью можно пренебречь (см. § 30.6).
У несжимаемой жидкости pi = р^ = const, откуда следует
SiVi = S2v2*(30.4)
Уравнение импульсов
При установившемся потоке импульс некоторой массы газа в данном сечении остается постоянной величиной. При переходе же в другое сечение импульс меняется за счет действия сил давления и сил внутреннего трения (вязкости).
Учет сил внутреннего трения представляет собой исключительно сложную задачу. Некоторые замечания по этому поводу будут сделаны в конце главы (см. § 30.17). Здесь же мы пренебрежем вязкостью газа и будем учитывать только силы давления. Жидкость,
в которой не учитываются силы внутреннего трения, называется идеальной,
Согласно основному уравнению динамики (7.4) изменение импульса в единицу времени равно действующей силе:
储一3 =也审"，(30.5)
где 尸i=p5 и F? = pg% 一 силы давления в сечениях S【и S2. Но согласно (30.1) и (30.2) Am А = pSs Подставив в (30.5),получим
%S] —' р2s2 — р2^2^2 — P1S]U；,
ИЛИ
Si (Pi + d若)=S2 (% + P戒).(30.6)
Формула (30.6) называется уравнением импульсов для потока идеальной сжимаемой жидкости.
§ 30・4・ Уравнение Бернулли
Применим к потоку газа закон сохранения энергии — первое начало термодинамики (21.9). Рассматривая газ как идеальную сжимаемую жидкость, мы не будем учитывать силы внутреннего трения. Процессы, протекающие в газе, будем считать адиабатными.
В сечении S】(см. рис. 30.1) масса газа Ат обладает кинетической энергией Л\ = Ати；/2 и внутренней энергией Ui = ^тсуТ^ в сечении S2 имеем соответственно К2 = Ат%/2 и U2 ^= ^mcvT2. Тогда изменение полной энергии газа при его переходе из сечения Si в сечение S2 выразится так:
、€ = (К? + /) - (^1 十。1)=宇 + Amcy7\ -^—\mcvTx.
Работа, произведенная газом,
4 =?2A匕-PiA%,
где А% и А% — объемы данной массы газа в сечениях Sx и S2 соответственно. Подставив в (21.9) и учитывая, что при адиабатном процессе теплообмена нет, т. е. Q =-0, имеем
^L_J^t 4- \тсчТ^-\тсчТх 十 рг 厶几一 р^ А匕=0.
Разделим обе части равенства на Ат и учтем, что А/тг/ДУ — р есть плотность газа. Перенеся все члены с индексом 1 в одну часть, а с индексом 2 — в другую, получим
号十с/7\十含=* ++ * •(30.7)
%Pl NР2
Формула (30.7) есть уравнение энергии для потока идеального газа, иначе она называется уравнением Бернулли.
Подставив в (30.7) значение давления р = RpT/M (см. (26.18)) и учитывая, что cf = cv + (R/M)t имеем
~- + срТ г = — + срТ 3.(30.8)
Используя значение (26.18), получим
龙t Мср 网 球,攸Р月％ 万十= 方十飞一-
Мер 彻 Y М Ср тл
Но ~-=―-—=——г, ибо — = у. Итак, 欠 cp—cv 丫一 1，су
^1 1 V Pi = ^1 I У Рэ2 丫一 1 pi 2 у— 1 р2
Это выражение для уравнения Бернулли нам понадобится в дальнейшем.
При движении идеальной несжимаемой жидкости ее плотность и температура остаются неизменными. Полагая в равенстве (30.7) Pi = р? р и Tj. ^3 Т2, имеем
学=岁+ 〃.(30.10)
Это и есть уравнение Бернулли для несжимаемой идеальной жидкости.
Скорость распространения упругих возмущений
Представим себе, что в каком-то слое неподвижного газа внезапно повысилось давление в результате быстрого сжатия или нагревания. За счет избытка давления этот слой станет расширяться, передавая импульс давления соседним слоям. Сжатие этих слоев будет передаваться все дальше, и в газе возникнет волна упругих возмущений.
Аналогичное явление можно наблюдать, если бросить в воду камень. Здесь также возмущение передается от слоя к слою, и по воде бежит круговая волна (рис. 30.2).
Фронтом волны называется поверхность, во всех точках которой термодинамические параметры (скорость, плотность, давление и температура) газа имеют одинаковые значения. Скоростью перемещения фронта волны (скоростью волны) w называется скорость передачи упругого возмущения от слоя к слою.
Для вычисления скорости волны удобно перейти к системе отсчета, которая движется вместе с фронтом волны.
Действительно, в системе отсчета xyz, связанной с невозмущенным газом, процесс распространения волны является неустановив- шимся, ибо параметры газа меняются со временем. В системе же отсчета %'夕z* движущейся вместе с фронтом волны, процесс установившийся, и к нему можно применить уравнения неразрывности,
импульсов и энергии, рассмотренные в предыдущих параграфах (рис. 30.3).
В движущейся системе отсчета невозмущенный газ набегает на фронт волны со скоростью и =——ш; сжатый газ отстает от фронта
волны и движется влево со скоростью 我i = Oi — w (рис. 30.4). Применив к потоку уравнения неразрывности (30.4) и импульсов (30.6), получим
р〃 = pm”р 十 p〃z = pi + Pi〃；・(30.11)
Выразив из первого равенства 〃工=p〃/pi и подставив во второе,
получим для скоростиполучим для скорости•：：q=~njG；•：：q=~njG；распространения фронтараспространения фронта"就§而近睁:ный грз-"就§而近睁:ный грз-Рис. 30.4.Рис. 30.4.волны выражениеволны выражение
получим для скорости
получим для скорости
•：：q=~njG；
•：：q=~njG；
распространения фронта
распространения фронта
"就§而近睁
:ный грз-
"就§而近睁
:ный грз-
Рис. 30.4.
Рис. 30.4.
волны выражение
волны выражение
р*—рPi—Рр*—рPi—Р
р*—р
Pi—Р
р*—р
Pi—Р
(30.12)
В газах возможны волны двух типов — ударные и звуковые.
Ударная волна характерна тем, что на фронте волны термодинамические параметры меняются скачком и разности давлений рг——р
283
и плотностей Pi ——р могут быть весьма значительными. Поэтому говорят, что фронт ударной волны представляет собой скачок уплотнения.
следующее выражение:следующее выражение:Звуковые волны представляют собой волны слабых возмущений. Разности давлений и плотностей представляют собой очень малые величины:、р《р и Ар«р. Поэтому можно в формуле (30.12) положить pi = р 4- Ар ^ р, н для скорости звуковой волны получится
следующее выражение:
следующее выражение:
(30.13)
Звуковые волны р а сп р остр а н яются довольно быстро, и при прохождении фронта волны через газ процесс его сжатия следует считать адиабатным. Это позволяет вывести более удобное выражение для вычисления скорости звуковой волны.
Воспользуемся выражением для работы при квазистатическом адиабатном расширении газа на малый объем ДЕ (см. (27.25)). Полагая 卩工=卩一Ар, & = =У — А匕 ра= р+ Др, уа— AV, имеем
4 _Pi%—p2%_(P - а口) (V-aУ)-(p + a。)(V + AU)•-2 (V Ap + 夕 AU)
一 ?一］ 一 y一］ 一 y—1*
С другой стороны, Я = pcp(V3——Ui)=2pAV. Приравняв эти выражения, получим
2рА』—2”Ар坪空
или
AV Др
y=一万
Появление знака минус вызвано тем, что при расширении газа объем возрастает, ДУ> 0, а давление уменьшается, следовательно, Др < 0. Масса газа /и= =рК При изменениях объема меняется и плотность, но масса газа сохраняется. Следовательно,
(Р + Ар) (V+AV)-(p-Ap) (V-AV).
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
2App н —2AV р, откуда следует, что относительное изменение объема равно относительному изменению плотности (по модулю):
若呼・(30.15)
Подставив в (30.14), имеем
吟=器(3。」6)
Скорость звука, согласно (30.13) и (30.16), выразится следующим образом:__
a=Jf，(30.17)
или, учитывая, что по уравнению газового состояния р = RrTIM (см. (26.18)), имеем
(30.18)(30.18)雾
(30.18)
(30.18)
Таким образом, скорость звука в идеальном газе целиком определяется его температурой.
Зная, что для воздуха у = 7/5 (двухатомный газ) и М = =29 кг/кмоль, рекомендуем читателю самостоятельно показать, что здесь скорость звука
ct = 2Q^T (в м/с).
Учет сжимаемости газа. Число Маха
Выше уже говорилось, что в некоторых случаях можно сжимаемостью газа пренебречь и полагать, что его плотность является постоянной величиной. Введем критерий, позволяющий оценить те условия, когда такое упрощение задачи допустимо.
Наибольшее возрастание давления в газе, очевидно, получится в том случае, когда он полностью затормозится. Пусть до торможения его скорость равна и, давление р и плотность р. После торможения скорость t\ 工 0, давление 厶=р + Ар и плотность 仇=р + Ар. Согласно уравнению Бернулли (30.9)
万十Y — 1万 —T — 1 I P + M丿•
Или так:
玄3)р + ар (际一万卜
Но согласно (30.13) и (30.17)爲=fl2, >^ = ^. Подставив в предыдущее равенство и учитывая, что Ар《р, имеем
2 Y—l P \? У P
Итак, относительное изменение плотности газа при торможении потока
Отношение скорости потока и к скорости распространения звука 。называется числом Маха:
М = £.(30.20)
Число Маха служит критерием сжимаемости газа. Именно, из (30.19) следует, что если число М мало, то Ар «р, и сжимаемостью газа можно пренебречь; если же число М велико, то плотность газа меняется существенно, т. е. сжимаемостью газа пренебречь нельзя.
Конус Маха
Источником звуковых волн является любое тело, движущееся в газе. Это тело, набегая на неподвижный газ, создает впереди себя область повышенного давления, что и служит причиной возникно
Рис. 30 5.Рис. 30 5.вения волны упругих возмущений. Форма этой волны существенно зависит от скорости движения тела.
Рис. 30 5.
Рис. 30 5.
Для простоты рассмотрим вначале точечный источник: тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Пусть скорость движения тела и меньше скорости звука, M=u/aV 1. Фронт звуковой волны представляет собой сферу, центр которой лежит в точке, где находился источнике тот момент, когда он возбудил волну. Пусть в начальный момент тело нахо-
дилосьвточкеОх, через секунду— в точке О2, еще через секунду 一 в точке Оз и т. д. (рис. 30.5). Через 4с тело будет находиться в точке Об. Фронт волны, вышедшей из точки。厶 есть сфера с радиусом & = 4а; из точки Оа — сфера с радиусом & = 3а; из точки
Рис. 30 6.
Оз — сфера с радиусом 2?3 = 2а и т. д. Из рис. 30.5 видно, что в этом случае тело все время движется внутри сферической волны, которая его опережает. Путь, пройденный телом за t секунд, равен / = "; он меньше радиуса сферической звуковой волны R=at.
Совершенно иной результат получится, если скорость точечного источника и больше скорости звука (М> 1). В этом случае тело пере-
гоняет звуковую волну: путь, пройденный телом за время /, т. е. / — п/, больше радиуса волны R=at (ряс 30.6). Действительно, пусть тело в первую секунду, находясь в точке 0力 излучает звуковую волну; через секунду, перегнав фронт волны, оно окажется в точке О2 и излучает там волну и т. д. Через 4 с оно будет находиться в точке Об, обогнав все волны, которые оно излучило за время движения. В этом случае волны, излучаемые телом в процессе движения, представляют собой семейство сфер, как бы вложенных в конус, в вершине которого находится движущийся точечный источник. Этот конус называется конусом слабых возмущений или конусом Маха, в честь ученого, который его первым описал. Угол раствора этого конуса, как видно из рис. 30.6, находится из соотношения sina = f = ^$(30.21)
Ударная головная волна
Рассмотренный в предыдущем параграфе случай точечного источника представляет собой весьма упрощенную идеализацию явлений, возникающих при движении в газе тела со скоростью, превосходящей скорость звука. На самом деле впереди тела, имеющего
Рис. 30 7.
конечные размеры, возникает ударная головная волна, или скачок уплотнения ——очень тонкий слой с размерами порядка длины свободного пробега молекул, на котором скачком меняются термодинамические параметры газа.
На скачке уплотнения плотность газа резко меняется. Это приводит к значительному изменению коэффициента преломления
(30.22)(30.22)Здесь u0= —w — скорость набегания невозмущенного газа иа скачок, % и р0—Здесь u0= —w — скорость набегания невозмущенного газа иа скачок, % и р0—давление и плотность невозмущенного газа, 〃=〃一w ——скорость газа за скачком,давление и плотность невозмущенного газа, 〃=〃一w ——скорость газа за скачком,(30.23)(30.23)
(30.22)
(30.22)
Здесь u0= —w — скорость набегания невозмущенного газа иа скачок, % и р0—
Здесь u0= —w — скорость набегания невозмущенного газа иа скачок, % и р0—
давление и плотность невозмущенного газа, 〃=〃一w ——скорость газа за скачком,
давление и плотность невозмущенного газа, 〃=〃一w ——скорость газа за скачком,
(30.23)
(30.23)
световых лучей, что позволяет с помощью специальных установок получить фотографию ударной головной волны. На рис. 30.7 изображена фотография косого скачка уплотнения, возникающего впереди клинообразного или конусообразного тела (при числе Маха М^2,5).
Скорость ударной головной волны известна: она совпадает со скоростью тела. Для определения разности давлений и плотности газа до и после скачка можно воспользоваться уравнениями, вь卜 веденными в §§ 30.2—30.4.
Мы ограничимся анализом явлений только на прямом скачке уплотнения.
Явления на прямом скачке уплотнения
В движущейся системе отсчета, связанной со скачком уплотнения,
Р况= Ро/,р + Р 况 2 = % + Ро 欣，
р и р ——его давление и плотность в этой области, w ——скорость тела (и головной волны) относительно Земли.
Уравнения (30.22) представляют собой уравнения неразрывности, импульсов и энергии.
Процесс сжатия газа на скачке уплотнения является адиабатным, но он не является квазистатическим, поскольку прохождение газа через скачок происходит настолько быстро, что не успевает произойти выравнивание параметров в соседних областях. Следовательно, здесь соотношение между давлением и плотностью газа не может выражаться уравнением Пуассона, которое описывает квазистатический адиабатный процесс.
Исключив из уравнений (30 22) скорости
получим после ряда несложных, но довольно длинных выкладок：
Это и есть уравнение ударной адиабаты, или уравнение Гюгоньо. График этой зависимости изображен на рис. 30.8. Для сравнения здесь же построены квазиста- тическая адиабата Пуассона и изотерма.
Ударное сжатие газа сопровождается резким возрастанием его температуры. Вследствие этого давление при ударном сжатии растет гораздо быстрее с ростом плотности, чем при квазистатическом адиабатном сжатии газа.
Так, согласно уравнению Пуассона, при квазистатическом адиабатном сжатии плотность газа может возрастать беспредельно. При ударном же сжатии есть предел для роста плотности. Действительно, в выражении (30.23) знаме
(30 24)(30 24)натель при ^=^ij обращается в нуль, что бессмысленно. Итак,р. < z±lРо Т-1'
(30 24)
(30 24)
Плотность одноатомного газа (у = 5/з) при ударном сжатии мбжет увеличиться не более чем в четыре раза. Плотность двухатомного газа (у = 7/&) возрастает не более чем в шесть раз, если считать, что колебания атомов в молекуле не возбуждаются. Если же учесть, что при высоких температурах в двухатомной молекуле возбуждаются и колебания (см. § 27.9), то окажется, что у 士 9/?, и плотность двухатомного газа может возрасти уже в восемь раз, но не более.
Поскольку процесс ударного сжатия газа ие является квазистатическим, то он необратим. Следовательно, ударное сжатие газа сопровождается возрастанием энтропии. Отсюда следует, что невозможно получить скачок разрежения, т. е. ударное расширение газа. В самом деле, ударное расширение должно былд бы сопровождаться убыванием энтропии, что противоречит второму началу термодинамики.
Итак, если газ ударно сжать, то его обратное расширение происходит не по ударной адиабате, а по адиабате Пуассона (рис. 30.9). По окончании процесса расширения газ в первоначальное состояние не вернется — при
одинаковой плотности его давление и температура будут значительно выше, чем в исходном состоянии.
Заметим, что работа, затрачиваемая на ударное адиабатное сжатие газа, значительно превосходит работу по его квазистатическому адиабатному сжатию. Причина заключается в том, что при ударном сжатии температура газа и, как следствие, его внутренняя энергия растут гораздо быстрее, чем при квазистатическом процессе.
§ 30,10. Волновое сопротивление
Так как перед телом, которое движется в газе со сверхзвуковой скоростью, возникает скачок уплотнения, то в зтом случае тело испытывает гораздо большее сопротивление, чем при движении со скоростью, меньшей скорости звука. ОднЬй из основных причин возникновения сопротивления является разность давлений на передней и задней кромках обтекаемого тела (см. § 11.8). Но при возникновении скачка уплотнения давление на передней кромке резко возрастает, всдедствие чего значительно увеличивается и сопротивление давления. Поскольку это сопротивление вызывается ударной волной, то оно называется волновым.
Для уменьшения волнового сопротивления передней кром肥 тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, придают заост* ренную форму — коническую (а) или оживальную (б) (рис. 30.16). а реактивным самолетам ——стреловидный профиль (рис. 30.11).
Дело в том, что если перед тупой вер- j飞шиной возникает прямой скачок
丿 ^^Ito^^^jл^уплотнения, то на заостренной кромке
^^^^^А力叩'""'Мобразуется косой скачок (рис. 30.7).
На прямом скачке скорость меняется гораздо сильнее, чем на косом скачке. А из уравнения импульсов (30.6) следует, что чем меньше меняется скорэсть потока, тем мень-
Рнс. 30.10.те и разность давлений. Именно по
этому волневое сопротивление на косом скачке уплотнения значительно меньше, чем на прямом.
Возникновение скачка уплетнения сопровождается аозрас- танием энтропии, при этом кинетическая энергия движущегося
Рис. 30 11.Рис. 30 11.
Рис. 30 11.
Рис. 30 11.
тела необратимо превращается во внутреннюю энергию газа. Это явление используется для торможения космических кораблей в ат- MooJ)epe.
Именно этот принцип Используется при мягкой посадке космических кораблей, возвращающихся, например, на Землю после облета Луны. Высокая точность, с которой осуществляется управление космическим кораблем, позволяет ввести его в атмосферу Зем* ли под вполне определенным углом. Это обеспечивает нужную степень торможения и вместе с тем не вызывает недопустимых перегрузок^
При торможении космического корабля атмосфера вокруг него очень сильно нагревается, до нескюльких десятков тысяч градусов. Поэтому космический корабль должен быть покрыт теплозащитным кожухом из термостойкого материала с малой теплопроводностью. Для этой цели используются специальные пластмассы.
§ ЗО.Пу Сойло
Труба, в которой при расширении жидкости происходит преобразование ее внутренней энергии в кинетическую, называется соплом. Нас интересует, при каких условиях вытекающий из сопла поток имеет максимальную скорость. Для несжимаемой жидкости задача решается элементарно: из (36.4) следует, что максимальная скорость получится в самом узком участке трубы. Для газа же результат существенно зависит от того, является ли поток дозвуковым (М<1) или сверхзвуковым (М>1)・
Рассмотрим два близких сечения» площади которых отличаются незначительно: Si=S — AS, 邑=$+厶$, причем AS<^S. Соответственно и А"«卩, Ар《р, Аи*и. Уравнение неразрывности (30.3) для этого случая запишется так：
(S—AS) (р—Ар) (и—Av) = (S+AS) (р+Ар) (и+A叭
Раскрьш скобки и приведя подобные члены, получим
2sp Ди+2ри AS 十2$и Др+2As Др Au = 0.
Разделим обе части равенства на 2Spu и учтем, что слагаемееРазделим обе части равенства на 2Spu и учтем, что слагаемее,AS А少 Др 《«так, если 亍 а 丁^方 в 10"3, то их произведение его можно отбросить. ОкончательноS・ Уравнение Бернулли (30.9) для нашего случая,AS А少 Др 《«так, если 亍 а 丁^方 в 10"3, то их произведение его можно отбросить. ОкончательноS・ Уравнение Бернулли (30.9) для нашего случая等齡。院…。等齡。院…。порядка 10-в), а поэтомупорядка 10-в), а поэтомупримет видпримет вид(30.2S)(30.2S)(и— Ди)22(и— Ди)22十 у—1 р—Др —2 寸十 у—1 р—Др —2 寸V "+А"产i汗& .V "+А"产i汗& .
Разделим обе части равенства на 2Spu и учтем, что слагаемее
Разделим обе части равенства на 2Spu и учтем, что слагаемее
,AS А少 Др 《
«так, если 亍 а 丁^方 в 10"3, то их произведение его можно отбросить. Окончательно
S・ Уравнение Бернулли (30.9) для нашего случая
,AS А少 Др 《
«так, если 亍 а 丁^方 в 10"3, то их произведение его можно отбросить. Окончательно
S・ Уравнение Бернулли (30.9) для нашего случая
等齡。院…。
等齡。院…。
порядка 10-в), а поэтому
порядка 10-в), а поэтому
примет вид
примет вид
(30.2S)
(30.2S)
(и— Ди)22
(и— Ди)22
十 у—1 р—Др —2 寸
十 у—1 р—Др —2 寸
V "+А"产i汗& .
V "+А"产i汗& .
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
2им = 々У pAp-pAR& у—1 р2—Др3 '
Но Ар《р, следовательно, слагаемое Др2 в знаменателе можно отбросить. Имеем
7-1 \ p p p /
Согласно (30,13) Др= а2Др, а из (30.17) следует,_что р/р= ^1у. Подставив в предыдущее выражение, получим
или окончательноили окончательноY—1 \V P P /Др и AuY—1 \V P P /Др и Au(30.26)(30.26)
или окончательно
или окончательно
Y—1 \V P P /
Др и Au
Y—1 \V P P /
Др и Au
(30.26)
(30.26)
Используя равенства (30.25) и (30.26), получим выражение, связывающее изменение скорости потока с изменением сечения сопла:
宇+式T)=。
илиили^(1—М2)——^.^(1—М2)——^.<30.27)<30.27)
или
или
^(1—М2)——^.
^(1—М2)——^.
<30.27)
<30.27)
Из данного выражения вытекает важное следствие: если М< 1, то знак Аи противоположен знаку AS; если же М> 1, то знак Av совпадает со знаком AS. Это означает, что скорость дозвукового потока возрастает при сужении сопла и уменьшается при его расширении. Наоборот, сверхзвуковой поток ускоряется при расширении сопла и замедляется при его сужении (табл. 30.1).
Максимальная скорость в наиболее узком участке сопла не превосходит скорость звука.
Таблица 30 1
Сужающееся сопло
Расширяющееся сопло S2>Stl AS>0
Дозвуковой поток М < 1
旳>班，a?〉0.
Поток \ скоряется
?2<近，д0<0.
Поток замедляется
Сверхзвуковой поток М > 1
?2<内，а?<0 Поток замедляется
@2^Л^
Поток ускоряется
Аналогия между соплом и тепловой машиной
Пусть сопло присоединено к некоторому резервуару (например, паровому котлу или камере сгорания газовой турбины), в котором поддерживаются постоянными давление 凡，плотность р0 и температура То идеального газа. Соответст вующие параметры окружающей атмосферы обозначим рат, раг, Тат. Газ, выходя из резервуара и протекая по соплу, ускоряется. Его скорость при истечении из сопла обозначим у. Эту скорость можно найти с помощью уравнения Бернулли (30.8), если учесть, что скорость газа в резервуаре “= 0.
万十'产таг = ерт q，
откуда следует выражение для кинетической энергии единичной массы газа ^ = с?(Т° — Та)(30 2&)
Максимальная скорость и соответственно максимальное значение кинетической энергии единичной массы газа было бы получено при условии Таг — 0, 292
т. е. если бы газ вырывался в вакуум, где температура равна абсолютному нулю:
= с?То・= с?То・(30.29)(30.29)
= с?То・
= с?То・
(30.29)
(30.29)
В этом случае внутренняя энергия газа полностью превратилась бы в кинетическую.
Найдем отношение истинного значения кинетической энергии единицы массы газа к максимальному значению этой величины:
刀=刀=唸КС唸КС(30.30)(30.30)
刀=
刀=
唸КС
唸КС
(30.30)
(30.30)
Полученное отношение равно к. п. д. цикла Карно для тепловой машины, работающей в том же интервале температур. Оно выражает максимальный коэффициент использования внутренней энергии газа в резервуаре.
Сопло Лаваля
Для того чтобы из сопла вытекал сверхзвуковой поток, необходимо, чтобы оно было специальным образом профилировано. В самом деле, газ вытекает из резервуара с малой скоростью, меньшей скорости звука. Следовательно, для ускорения потока, согласно (30.27), необходимо, чтобы сопло на начальном участке сужалось. При достаточно большой разности давлений скорость потока в самом узком сечении станет равной местной скорости звука. Если сопло дальше расширяется, то, согласно (30.27), поток будет продолжать ускоряться.
Сопло, работающее в данном режиме, называется соплом Лаваля (рис. 30.12). Такие сопла
применяются в паровых и газовых турбинах, в реактивных двигателях и ракетах.
При протекании газа через сопло Лаваля его давление, плотность и температура непрерывно уменьшаются; соответственно уменьшается и его внутренняя энергия. За счет этого непрерывно растет кинетическая энергия струи, и ее скорость может значительно превзойти скорость звука (см. рис. 30.12).
Реактивный двигатель
Сопло Лаваля является основным элементом любого реактивного двигателя. В самом деле, для получения большой реактивной силы тяги необходимо, чтобы скорость истечения струи была максимально большой (см. (15.8)). А большую, именно сверхзвуковую
293
скорость истечения газа можно получить только с помощью сопла Лаваля.
Реактивные двигатели бывают разных конструкций. Мы ограничимся рассметрением простейшего — прямоточного воздушнореактивного двигателя (ПВРД). Схематически двигатель данного типа изображен на рис. 30.13.
Прямоточный двигатель успешно работает и дает достаточно большую реактивную силу тяги в том случае, когда он движется со
Рис. 30 13.Рис. 30 13.
Рис. 30 13.
Рис. 30 13.
сверхзвуковой скоростью. ДЛя простоты рассуждений перейдем к системе" отсчета, связанной с двигателем. В этой системе отсчета поток воздуха набегает на входное сопло со скоростью, превосхедя- щей скорость звука. В области /, за входным соплом, образуете吼 один или несколько скачков уплотнения, и скорость газа стано-
Рис. 30.14.Рис. 30.14.вится меньше скорости звука. Двигаясь вдоль расширяющегося канала, дозвукевой поток еще больше тормозится —его скорость падает, а давление, плотность и температура возрастают. В области 2, называемой камерой
Рис. 30.14.
Рис. 30.14.
сгорания, в сжатый воздух вбрызгивается из резервуара 3 топливо. Энергия, выделившаяся при его сгорании, идет на увеличение внутренней энергии газа. Из каме
ры сгорания газ поступает в сопло Лаваля 4. Если правильно подобрать термодинамические параметры газа в камере сгорания, то в области наибольшего сужения сопла скорость потока станет равна местной скорости звука, и из выходного с@пла начнет вытекать
сверхзвуковой поток.
Заметим, что прямоточный двигатель очень прост в конструктивном отношении и весьма надежен. Однако он может работать
только в том случае, если его разогнать предварительно до сверхзвуковой скорости. 田я этой цели могут быть использованы стартовые ракеты.
На рис. 30.14 изображена схема турбокомпрессор кого воздушно-реактивного двигателя (ТКВРД). Он может работать на
любых, в том числе и на малых скоростях. В отличие от прямоточного двигателя, здесь сжатие воздуха достигается с помощью компрессора L Энергия потока за камерой сгорания 2 частично используется в газовой турбине 3, которая вращает кемпрессор, а иногда и пропеллер. Оставшаяся часть энергии используется для создания реактивной тяги в сопле 4, располеженнем за турбиной.
§ 30.15. Крыло самолета
Пластина, обтекаемая жидкостью или газом и профилированная таким образом, что подъемная сила значительно превосходи! силу сопротивления, называется крылом. В зависимости от того, для движения с какой скоростью предназначен® крыло, его форма
меняется: у самолетов, скорость кетсрых меньше скорости звука, профиль крыла имеет вид, изебраженный на рис. 30.15, а и б; у сверхзвуковых самолетов передняя кромка заостренная (рис. 30.15, 8) с тем, чтобы уменьшить волновое сопротивление (см. § 30.18).
Причину возникновения подъемной силы можно качественно объяснить на основании уравнения Бернулли. Поток газа, обтекая крыло, разветвляется. Крыло имеет
несимметричную форму: сверху оно выпуклое, снизу — слегка вогнутое или плоское. Благодаря этой несимметричности скорость потока над крылом и】 оказывается больше скорости под крылом и?, а давление р* соответственно меньше (рис. 30.16). Эта разность давлений и создает подъемную силу.
Подъемную силу можно увеличить разными способами.
Рис. 30.17.Рис. 30.17.
Рис. 30.17.
Рис. 30.17.
Прежде всего, можно сделать крыло сверху более выпуклым, а внизу — вогнутым (см. рис. 30.15, а). В этом случае поток под крылом замедлится, а над крылом его скорость возрастет. С увеличением разности скоростей возрастет и разность давлений, а вместе с этим и подъемная сила. Но крыло с таким профилем испытывает и большое сопротивление. Поэтому профили такого тапа характерны для тихоходных самолетов.
Можно создать некоторый угол между хордой крыла и направлением набегающего потока — так называемый угол атаки а (рис. 30.17), Это также приведет к замедлению скорости потока
под крылом и, как следствие, к росту подъемной силы. Но с увеличением угла атаки растет сила сопротивления. Кроме того, при больших углах атаки происходит отрыв потока от крыла, что ведет к уменьшению подъемной силы. Поэтому у современных самолетов угол атаки не превосходит 3—4°.
Наконец, подъемную силу можно увеличить путем увеличения скорости набегающего потока. Действительно, разность скоростей над верхней и под нижней поверхностями крыла при малых углах атаки и малой выпуклости крыла (см. рис. 30.15, б) невелика. Поэтому полусумма этих скоростей мало отличается от скорости набегающего потока, (v1 + vz)/2^v. Это позволяет привести формулу (30.10) к виду
Др (屯 + 6)(и? — Vi)^p^A^.
Следовательно, при больших скоростях потока подъемная сила будет велика даже в том случае, когда крыло имеет небольшую изогнутость и малые размеры. Именно такую форму имеют крылья современных скоростных самолетов. Это позволяет существенно уменьшить силу лобового сопротивления, что безусловно выгодно.
§ 30.16. Измерение давления и скоростив потоке жидкости
В этом параграфе мы рассмотрим случай дозвукового потока (М< 1), когда сжимаемостью газа можно пренебречь. Выясним, как можно измерить давление в движущейся жидкости с помощью неподвижного манометра и как по измерениям давления судить о скорости движения жидкости.
Рис. 30.18.Рис. 30.18.Рис. 30 19.Рис. 30 19.
Рис. 30.18.
Рис. 30.18.
Рис. 30 19.
Рис. 30 19.
Поместим в поток небольшую трубку удобообтекаемой формы, у которой в боковой поверхности имеется одно или несколько отверстий (рис. 30.18). Трубка такой формы практически не искажает поток, вследствие чего его скорость； а потому и давление существенно не меняются. Благодаря силам упругости жидкость поступает в трубку и поднимается на некоторую высоту h до тех пор, пока гидростатическое давление не уравновесит давление жидкости в потоке. Величина давления может быть вычислена по формуле р= pg/г Если давление в жидкости мало, то манометрическая трубка устанавливается наклонно, и тогда давление рассчитывается по формуле
р= pg/ sin а
(см. § 25.2).
Для измерения давления в газе трубку с помощью шланга присоединяют К обычному манометру для газов ——жидкостному или металлическому.
Поместим в ту же точку потока трубку, входное отверстие когорой обращено навстречу потоку,— так называемую трубку Пито. Столбик жидкости в манометрической трубке поднимается выше, чем в предыдущем случае (рис. 30.19), чго свидетельствует о росте давления. Действительно, в трубке Пито жидкость останавливается, и давление столбика жидкости в манометрической трубке урав- новешиваегся давлением заторможенной жидкости, а не давлением движущейся жидкости, как это имело место в предыдущем эксперименте. Давление заторможенной жидкости определяется по уравнению Бернулли (30.10), если в нем положить 02=%冰=0* "2= рторm-
Итак,
Рторм ~ р+^~ •(30 3!)
Часто давление заторможенной жидкости рторМ не совсем удачно называют полным давлением, давление в незаторможенной жидкости р ——статическим, а их разность рсорм— р = ру2/2 — динамическим давлением.
Скорость потока в некоторой точке измеряется с помощью трубки Пито —— Прандтля (рис. 30.20). Поскольку разность давлений в обеих манометрических трубках пропорциональна квадрату скорости потока, то можно манометр проградуировать непосредственно в единицах скорости.
При измерении скорости газового потока трубку Пито — Прандтля присоединяют к дифференциальному манометру, который регистрирует разность давлений и тем самым, согласно (30.31), скорость потока.
Шкала дифференциального манометра градуируется непосредственно в единицах скорости.
Из принципа относительности следует, что показания данного прибора не зависят от того, набегает ли поток жидкости на трубку или, наоборот, трубка движется в неподвижной жидкости или газе. На этом принципе основано использование трубки Пито — Прандтля для определения скорости движения самолета относительно воздуха или скорости судна относительно воды.
§ 30.17. Учет вязкости. Сопротивление трубопроводов
Рис. 30.21.Рис. 30.21.Пусть жидкость течет по трубопроводу с постоянным сечением. Применив к этому случаю уравнение неразрывности (30 3) н уравнение импульсов (30.6) и учитывая, чторх — р2 и Sx— S2, мы видим, что и давления одинаковы во всех сечениях, Pi=P2・ Мн получим парадоксальный результат: жидкость может якобы течь по трубопроводу без всякого перепада давлений, сама собой! Это полностью противоречит результатам эксперимента. Убеди! ься в этом можно с помощью несложной установки, схема которой изображена на рис. 30.21. Когда по трубопроводу протекает жидкость, то манометрические трубки регистрируют наличие перепада давления. Оказывается, что давление в начале трубопровода значительно больше, чем в его конце.
Рис. 30.21.
Рис. 30.21.
можетможетПричина расхождения между теорией и экспери ментом заключается в том, что при выводе уравнения (30.6) мы пренебрегли силами внутреннего трения, которые в данном случае играют существенную роль.
может
может
Теоретический расчет сил сопротивления
относительно небольших скоростей потока, точнее ——для чисел Рейнольдса Re — pud/刀W2320, где d 一 диаметр трубы, т] — вязкость жидкости (см. (11.14)). Заметим, что при этих числах Рейнольдса шероховатость стенок не влияет на силы сопротивления. При больших числах Рейнольдса как для гладких, так и дня шероховатых труб теоретический расчет сил сопротивления до сих пор сделать
не удалось, и здесь пользуются эмпирическими формулами, тщательно проверенными экспериментально.
3. Перепад давлений, т. е. разность давлений в двух сечениях, отстоящих
друг от друга на расстоянии /
,можно вычислить по формуле
Ар = %；•琮，(30 32)
где X — это коэффициент гидравлического трения.
При Re《2320 для любых труб——гладких и шероховатых —— справедливо
соотношение
入= 64/Re(30 33)
Для гладких труб (например, стеклянных) при Re> 2320 справедлива эм-
лирическая формула
入=異吧.(30 34)
у Re
Заметим также, что переход от ламинарного режима течения, где коэффициент гидравлического трения X следует формуле (30.33), к турбулентному, где справедливо соотношение (30 34), зависит не только от числа Рейнольдса, но и от ряда других факторон. Рассмотрение этого вопроса выходит за пределы возможностей данной книги.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ И АГРЕГАТНЫЕСОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
ГЛАВА 31МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ
・ Плотность и сжимаемость вещества
Как было показано в § 26 3, сравнив плотности вещества в твердом, жидком и газообразном состояниях, можно судить о расстояниях между молекулами в этих тепах. При этом оказывается, что расстояния между молекулами в жидком и твердом состоянии мало отличаются — всего лишь на несколько процентов, а в газах расстояние между ними (при не очень больших давлениях) примерно в 10 раз больше. Поэтому говорят, что в жидком и твердом состоянии молекулы вещества плотно упакованы. Плотная упаковка молекул приводит к тому, что жидкости и твердые тела сжимаются значительно слабее, нежели газы.
Пусть тело подвергается всестороннему сжатию или растяжению. В результате этого изменится его объем и, как следствие, его плотность. Обозначим через е относительное изменение объема: 沫=羊；(31.1)
знак минус в этой формуле объясняется тем, что при возрастании объема тела его плотность при неизменной массе уменьшается.
(31.2) деления(31 3) сжатия: (31.4)(31.2) деления(31 3) сжатия: (31.4)Избыточное по сравнению с атмосферным давление а иногда называется напряжением:
(31.2) деления
(31 3) сжатия: (31.4)
(31.2) деления
(31 3) сжатия: (31.4)
о = Ар.
Сжимаемостью вещества 0 называется частное от относительного изменения объема на напряжение:
r _ 8 — ДУ Ар
Р =— 7^ = р М *
Обратная величина называется модулем всестороннего
К =1/3
Как следует из (30.16), сжимаемость газа при адиабатном процессе
嶋=1/YP・(3L5)
299
(316)(316)Рекомендуем читателю, пользуясь уравнением газового состояния, самостоятельно показать, что при изотермическом процессе
(316)
(316)
бнзот = 1/。
При давлениях в газе порядка нескольких десятков атмосфер р^20 атм^2 106 Па изотермическая сжимаемость газов Р5-10-7 Па-1.
Сжимаемость жидкостей и твердых тел примерно в 103——105 раз меньше, чем у газов. Это видно из табл. 31 1, где приведены Плотности и сжимаемости некоторых жидкостей и твердых тел при аналогичных значениях избыточного давления (р^20 атм).
Таблица 31 1
Вещество
Плотность р, кг/м3
Сжимаемость В Па"1
Вещество
ность р кг/мэ
Сжимаемость
В Па-，
Вода (0° С)
999,9
48,9 IO-】】
Медь
8930
0,73 Ют】
Лед (0° С)
916,8
40
Алюминий
2690
1 ,37 10-11
Спирт ЭТИЛО
Алмаз
3500
0,23 吁口
вый (15° С)
790
76 10-11
Графит
2300
з.о ю-11
Ртуть (20° С)
13545,9
3,8 10-11
Молекулярные силы
Из анализа данных о сжимаемости жидкостей и твердых тел, а также из анализа ряда явлений, рассмотренных в начальном курсе физики (прилипание друг к другу хорошо пришлифованных твердых тел, смачивание твердых тел жидкостями и т. п ), вытекает, что между молекулами действуют значительные по величине силы, называемые молекулярными силами Эти силы обладают рядом интересных особенностей.
При удалении молекул друг от друга молекулярное взаимодействие проявляется в виде сил притяжения, при сближении на расстояния порядка линейных размеров самих молекул ——в виде сил отталкивания. Следовательно, существует определенное расстояние d между молекулами, когда силы отталкивания и притяжения уравновешены и их р а внодейств ующа я равна нулю. Система молекул, расположенных на расстояниях d друг от друга, находится в состоянии устойчивого равновесия, а энергия взаимодействия между молекулами в этом случае должна быть минимальной (см §§ 19 5, 19 6).
Молекулярные силы проявляются только в том случае, когда расстояния между молекулами весьма малы, порядка эффективных размеров самих молекул (см. § 25 3). При увеличении расстояния между ними в несколько раз силы становятся практически равными нулю.
Именно этим и объясняется тот факт, что при анализе явлений в газах, где расстояния между молекулами примерно в 10 раз больше, чем в жидкостях или твердых телах, можно в большинстве случаев пренебречь действием молекулярных сил.
Величина молекулярных сил не зависит от общего числа молекул. Так, плотность или упругие свойства жидкостей и твердых тел не зависят от размеров исспедуемого образца, капля воды и вода в океане при одинаковой температуре и одинаковом внешнем давлении имеют совершенно одинаковую плотность и сжимаемость, и т. п Этим молекулярные силы принципиально отличаются от гравитационных или кулоновских сил, где равнодействующая определяется действием всех тел, входящих в систему. Причина того, что молекулярные силы действуют только между соседними молекулами, будет выяснена в следующих параграфах.
Электрическое происхождение молекулярных сил
Тщательные исследования, проведенные рядом ученых в первой половине XX в , позволили прийти к выводу, что молекулярные силы имеют электрическое происхождение.
На первый взгляд такой результат может показаться странным, поскольку известно, что молекулы нейтральны, а электрическое взаимодействие характерно только для заряженных тел. Однако ранее было показано, что электрическое взаимодействие возникает и между диполями — нейтральными частицами с несимметрично расположенными зарядам% равными по величине, но противоположными по знаку (см § 10 4). Это позволяет понять природу электрического взаимодействия между молекулами.
Молекулы ряда веществ имеют симметричное строение, как эго схематически показано на рис 31 1. Здесь шарик, имеющий положительный заряд, изображает ядра атомов, входящих в молекулу, а отрицательно заряженная сфера — электронное облако этих атомов.
Рис 31 1Рис 31 1Рис 31 2Рис 31 2
Рис 31 1
Рис 31 1
Рис 31 2
Рис 31 2
Допустим, что молекула деформировалась так, что ее электронное об та ко несколько сместилось в сторону, как это изображено на рис 31 2. Такую деформированную молекулу можно в первом
приближении рассматривать как диполь с некоторым моментом Pe = ql・ В этом случае молекула создает вне себя электрическое поле, напряженность которого
时3
(см. (10.10)).
Поле этой молекулы вызовет деформацию близлежащих молекул. На положительное ядро молекулы действует сила отталки^
вання, направленная вдоль вектора напряженности, а на отрицательно заряженное электронное облако — силы, направленные в противоположную сторону (рис. 31.3). Эти силы и деформируют
молекулу.
Итак, молекула, имеющая дипольный момент ре, индуктирует (наводит) у соседних молекул дипольный момент р；.
Нетрудно убедиться, что индуктированный дипольный момент пропорционален напряженности поля. В самом деле, момент диполя р；нсГ, где ?——плечо индуктированного диполя. Напряженность внешнего электрического поля Е не превосходит 104—— —10е В/м, обычно оно значительно слабее. Напряженность поля,
создаваемого на орбите положительно заряженным ядром, £* = =е/4этеоГ2^； 10йВ/м (радиус атома г^ 10~10 м). Следовательно, снла 尸 1, действующая на электрон со стороны внешнего поля, значительно меньше силы 尸纟，с которой ядро действует на электрон. Поэтому смещение электронного облака оказывается значительно
меньше радиуса орбиты.
Из рис. 31.3 видно, что
Подставив значения F、=eE и 尸纟=©当= —е2/4л80г2, получим
Отсюда индуктированный дипольный момент
Рис. 31.3.р； = 〃' = 4п，з%Е = а%Е. (31.7)
Величина а ^ 4w” В нашем случаеВеличина а ^ 4w” В нашем случаеназывается поляризуемостью молекулы.
Величина а ^ 4w” В нашем случае
Величина а ^ 4w” В нашем случае
рб舒=警.(31.8)
Если две молекулы с одинаково ориентированными дипольными моментами р€ и ре находятся недалеко друг от друга, то они притягиваются (см. (10.7)): .
Если подстявить в эту формулу выражение для момента индуктированного диполя (31.8), то окончательно
⑶.9)
Мы получили очень важный результат: если молекулы индуктируют у ближайших соседей дипольный момент, то между нима возникает сила притяжения, обратно пропорциональная седьмой степени расстояния между ними.
5 Попытаемся оценить порядок сил молекулярного взаимодействия. Дипольный момент имеет величину примерно р& ^ 1@一帥 к〃・м, поляризуемость а=^ 10-38 м3, а расстояние между молекулами г^=3-10~10 м. Подставив в (31.9),5 Попытаемся оценить порядок сил молекулярного взаимодействия. Дипольный момент имеет величину примерно р& ^ 1@一帥 к〃・м, поляризуемость а=^ 10-38 м3, а расстояние между молекулами г^=3-10~10 м. Подставив в (31.9),получимполучим10-28.10-80 36冗・109-22103.10-7。~10-28.10-80 36冗・109-22103.10-7。~^5・10-"Н.^5・10-"Н.
5 Попытаемся оценить порядок сил молекулярного взаимодействия. Дипольный момент имеет величину примерно р& ^ 1@一帥 к〃・м, поляризуемость а=^ 10-38 м3, а расстояние между молекулами г^=3-10~10 м. Подставив в (31.9),
5 Попытаемся оценить порядок сил молекулярного взаимодействия. Дипольный момент имеет величину примерно р& ^ 1@一帥 к〃・м, поляризуемость а=^ 10-38 м3, а расстояние между молекулами г^=3-10~10 м. Подставив в (31.9),
получим
получим
10-28.10-80 36冗・109
-22103.10-7。~
10-28.10-80 36冗・109
-22103.10-7。~
^5・10-"Н.
^5・10-"Н.
На первый взгляд сила кажется малой Однако если учесть, что все тела со стоят из огромного множества молекул, то ясно, что их взаимодействие даст заметный эффект.
Оценим, например, силу, которую нужно приложить, чтобы разорвать стержень с сечением I сма. 6н@ равна силе взаимодействия между двумя соседними молекулами, умноженной на число молекул, укладывающихся на площадке 1 сма при достаточно плотной упаковке. Поскольку расстояние между молекулами порядка 3* 10~工° м = 3・ 10一8 см, то искомое число молекул
Разрывающее напряжение
o = ]f 1 к r 5，10-口・10踵=5。104 па.
Из опыта известно, что прочность стали на разрыв равна примерно 105 Па. Наш ориентировочный и довольно грубый расчет дает по порядку величины правильный результат.
§314 График молекулярных сил
В предыдущем параграфе был рассмотрен простейший случай молекулярного притяжения ——взаимодействие между индуктированными диполями. На самом деле между молекулами могут возникнуть силы притяжения и по ряду других причин, которые мы здесь рассмотреть не можем, ибо строгая теория молекулярных сил может быть создана только на базе квантовой механики. Оказывается, что во всех случаях сила молекулярного притяжения обратно пропорциональна седьмой степени расстояния между молекулами:
九р = — 〃 儿(31.10)
Здесь, знак минус свидетельствует о том, что мы имеем дело с силой притяжения, а ——некоторый коэффициент, зависящий от строения молекулы и характера сил притяжения.
Как показывает опыт по сжатию тел, при значительном сближении молекул между ними возникают силы отталкивания. Происхождение этих сил также электрическое. Оказывается, что здесь
Рис 31 5Рис 31 5
Рис 31 5
Рис 31 5
начинают играть существенную роль силы отталкивания между положительно заряженными ядрами. Кроме того, здесь проявляются квантовомеханические эффекты, рассмотрение которых, выходит за рамки данной книги.
При сближении молекул сила отталкивания меняется очень быстро, значительно быстрее силы притяжения. Приближенно она может быть выражена в виде
/ = Ь"9. (31 11)
Здесь коэффициент b зависит от тех же причин, что и а. В квантовой
более точную формулу, на которой мы останавливаться не будем.
Естественно, чго на молекулу действует равнодействующая сила
/ = -^ + ^.(31 12)
Знак этой силы зависит от расстояния между молекулами Существует некоторое расстояние/*— 6?» при котором
силы отталкивания уравновешивают^силы притяжения. Из (31 12) следует, что f = 0, ес口н d^Vb/a При rVd равнодействую щая сила положительна, т. е. сила отталкивания превосходит притяжение; при 0 d мы имеем обратную картину — притяжение оказывается сильнее отталкивания и равнодействующая станет отрицательной.
Можно показать, что при г0 = ^ И9/7 = 1,134 d молекулы притягиваются с максимальной силой /макс^——仪/lid’ (рис. 31 4). При /"=l,5d сила притяжения уменьшается примерно в 3 раза, при 304
/• = 2d — в 16 раз и при г = 3d — почти в 250 раз. Если расстояние уменьшить до г = 0,М, то возникнет сила отталкивания /^ 5| /макС |, при 0,7 d — сила отталкивания /^ 140 |/макс|.
Такая сильная зависимость силы от расстояния означает, что молекулярные силы являются короткодействующими — молекулы взаимодействуют только со своими ближайшими соседями. Если изобразить молекулы в виде плотно упакованных шариков (рис. 31.5), что в общем соответствует упаковке молекул во многих жидкостях и твердых телах, то зачерненная молекула взаимодействует только с первым окружающим ее слоем С погрешностью, не превосходящей 6%, можно пренебречь взаимодействием молекулы со вторым, а тем более с третьим и далее лежащими слоями.
Этим и объясняются все особенности молекулярных сил, рассмотренные в § 31 2, в частности — независимость величины молекулярных сил от общего числа молекул в системе и отсутствие молекулярного взаимодействия в газах (кроме случая очень больших давлений).
Потенциальная кривая молекулярного взаимодействия
Зная характер молекулярных сил, можно построить график энергии молекулярного взаимодействия ——так называемую потен- ииальную кривую (см § 19.5). При этом следует учесть рассмотренные там свойства этой кривой.
Прежде всего, согласно (19 12) потенциальная кривая при「Vd должна быть наклонена к оси абсцисс под тупым углом, ибо здесь действует положительная сила отталкивания. Из этих же соображений при r>d кривая должна быть наклонена к оси абсцисс под острым углом, ибо здесь действует сила притяжения. А отсюда следует, что при r = d кривая имеет минимум.
Этим подтверждается высказанное в § 31 2 положение, что в состоянии равновесия система молекул обладает минимальной энергией.
Поскольку сила отталкивания меняется с расстоянием значительно сильнее силы притяжения, то потенциальная кривая оказывается несимметричной. Левее точки минимума, при 尸Vd, она спадает очень круто. Правее точки минимума, при r>d, она вначале возрастает, но по более пологой кривой, а затем ее рост вообще прекращается, ибо при r>2d сила взаимодействия практически равна нулю.
Как известно, нулевой уровень потенциальной энергии может быть выбран произвольно. Удобно положить, что потенциальная энергия равна нулю при бесконечном удалении молекул друг от друга. Тогда практически она станет равна нулю уже при
кривой позволяет судить окривой позволяет судить оПотенциальная кривая молекулярного взаимодействия изображена на рис. 31.6. Здесь Uq — минимальная энергия взаимодействия между молекулами, которой они бы обладали, если бы находились друг от друга на расстоянии d и покоились. Анализ этой
кривой позволяет судить о
кривой позволяет судить о
многих свойствах твердых тел и жид- костей. Одно из этих свойств, а именно прйчину их теплового расширения, мы рассмотрим в следующем пара* графе.
Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
Опыт показывает, что при повышении температуры объем твердых тел и жидкостей возрастает. Выясним
причину теплового расширения. При этом следует учесть, что хотя структура и сввйства твердых тел и жидкостей различны, о чем речь пойдет в последующих главах, для механизма теплового расшире-'
ния эти различия роли не играют.
В твердом теле или жидкости при заданной температуре моле
кулы находятся друг от друга на определенных расстояниях и 〃совершают колебания около по
ложений равновесия. Изобразим ?,彳d尸 на потенциальной кривой зна= '— чения полной энергии молекулы
для ряда значений температуры тела (рис. 31.7). Здесь е0 — так называемая нулевая энергия — минимальная энергия колебаний молекулы при абсолютном нуле температуры (§ 26.8); et и ей — энер гии колебани я молекулы при температурах Т工 и Т2. Из рис. 31.7 видно, что при абсолютном нуле молекулы колеблются около положений равновесия,
расстояние между которыми равно d. При повышении температуры тела энергия колебаний возрастает. Следовательно, если при температуре Tt молекула колеблется между точками Ах и Bi, то при температуре Т^ она станет колебаться между точками Ла и &• А так как потенциальная кривая имеет несимметричную форму, то точка В смещается вправо значительно сильнее, нем точка А влево. Отсюда следует, что положение равновесия при повышении температуры тоже смещается вправо. Иными словами, расстояние между молекулами при повышении температуры увеличивается за счет несимметричной формы потенциальной кривой молекулярного взаимодействия.
Нам удалось качественно объяснить механизм теплового расширения твердых тел и жидкостей. Однако пвлучить количественные зависимости из анализа потенциальной кривой молекулярного взаимодействия просто не удается. Поэтому обратимся к результатам эксперимента. Оказывается, что в небольшом интервале температур относительное изменение объема пропорционально изменению температуры:
АР/р = 0АТ, (31.13)
где АТ — изменение температуры и § — коэффициент объемного расширения, т. е. относительное изменение объема, приходящееся на один градус. Полагая AU = V — Ро, где Vo ——объем тела при температуре 力о = О° С, а АГ = Е —— 办=/——температура тела по шкале Цельсия, имеем
(U-匕)/匕=巾，(31.14)
откуда
以=匕(1+6)(31.15)
Аналегично для плотности тела получим
р = р о (1 — РО»(31.16)
Если нагреть длинный стержень, то его длина возрастет. Совершенно аналогичные рассуждения позволяют показать, что в небольшом интервале температур
2 =%(1+也(31.17)
где /0 — длина стержня при 0°С, / ——его длина при температуре 尸 С.Вели^ина а называется коэффициентом линейного расишрени兄 и представляет собой относительное изменение длины, приходящееся на один градус.
Покажем, что для твердых тел коэффициент объемного расширения втрое больше коэффициента линейного расширения.
Для этого учтем, что V— /久 Подставив в выражение (31.15), получим ^(1+^)3 =%(1十p)
Сократив на %= * и раскрыв скобки, имеем
B = 3(% + 3a" +a3外.
Для всех твердых тел коэффициент линейного расширения очень мал и по по* рядку равен 10~5——10~6 на 1℃. А это означает, что при малом интервале тем* пер атур (/^ 100° С) можно в равенстве отбросить члены, содержащие а3 и а3< Отсюда следует
₽-За, (31.18)
ГЛАВА 32
ДАЛЬНИЙ ПОРЯДОК
L Монокристалл
Давно было замечено, что некоторые твердые тела встречаются в природе в виде кристаллов — тел, грани которых представляют собой правильные многоугольники. Форма возникающих многогранников зависит от условий образования кристалла, но самым характерным свойством кристалла является постоянство углов между его ребрами и соответственно между гранями.
Так, кристалл поваренной соли может иметь форму куба, параллелепипеда или призмы, а также тела неправильной конфигурации (рис. 32.1). Но всегда в его вершине встречаются три ребра, образующие между собой прямые углы. Точно так же в вершине
кристалла кальцита (исландского шпата) встречаются три ребра, образующие один острый угол 78°08' и два тупых угла по 10Г52Л каждый (рис. 32.2).
В ряде кристаллов, таких, как исландский шпат или кварц, имеется некоторое определенное направление, называемое кристаллографической или оптической осью. На рис. 32.3 оптическая ось —— это направление, параллельное прямой 血N* О значении и роли этой оси будет рассказано в гл. 64.
Большой одиночный кристалл, имеющий более или менее правильнаю форму, называется монокристаллом (от греческого monos —— один). Характерной особенностью монокристалла является его анизотропия, т. е. различие его физических свойств в разных направлениях.
Анизотропия механических свойств монокристалла сказывается прежде всего в том, что его прочность в разных направлениях различна. Если, например, изготовить из некоторого монокристалла шар, а затем ударом разбить его, то он расколется на куски, грани которых образуют углы, характерные для данного вещества. А это и означает, что прочность монокристалла в этих направлениях минимальна.
Различной является н упругость монокристалла в разных направлениях. А так как скорость звука зависит от упругих свойств вещества и от его плотности, то, как показывает опыт, скорость распространения звука в монокристаллах в разных направлениях различна.
Анизотропия тепловых свойств монокристалла сказывается в том, что коэффициенты линейного расширения и теплопроводности имеют разные значения в разных направлениях. Эксперимент по измерению коэффициента теплового расширения малых образцов довольно сложен, и мы его здесь рассматривать не будем. Результаты измерений для некоторых монокристаллов представлены в табл. 32.1,
Таблица 32 1
Вещество
Ко入Lbu ент тинемного р а с lij 1реннн
вдоль оси
поперек оси
Кварц
Кадмий
Цинк (криста тл)
Олово (кристалл)
7,5 I0-6
52 10-6
Ь0g6
30,5 10-6
13,7 IL
20 IO —
13 ю-6
15,5 10-6
Экспериментально легко обнаружить различие в теплопроводности монокристалла в различных направлениях. Для этого вырежем, например, из кварца пластинку параллельно его оптической оси и покроем ее тонким слоем воска. Если прикоснуться к пластинке раскаленной иглой, то вблизи ее контакта с кварцем воск расплавится. Опыт показывает, что расплавленный участок имеет форму эллипса, большая ось которого направлена параллельно кристаллографической оси. А это означает, что тепл о п роводность кварца вдоль оси значительно больше, чем в перпендикулярном направлении; их отношение К"К丄—1,72, где Ku —теплопроводность вдоль оптической оси, К丄 ——теплопроводность в перпендикулярном направлении.
§ 32.2. Поликристалл
Из расплавов металлов можно получить монокристаллы, если принять специальные меры. Если же просто охладить, скажем, расплавленное железо, то полученное твердое тело не обладает анизотропией. Причину этого можно выяснить, если хорошо отшлифовать его поверхность и обработать ее кислотой, а затем изучить под микроскопом (рис. 32.4). Оказывается, что вещество состоит из отдельных зерен размерами порядка 103——104 А. Каждое
такое зерно ——это кристалл, который принял неправильную форму потому, что его росту помешали соседние кристаллики. Возникшая зернистая структура называется поликриста儿儿ическоИ (от греческого poly — много).
Поскольку кристаллографические оси всех зерен ориентированы совершенно беспорядочно, их анизотропия на больших расстояниях не может проявиться. Вследствие этого поликристалл изотропен — его свойства в среднем во всех направлениях одинаковы.
Огромное большинство твердых тел, встречающихся в природе — камни, песок, металлы, соли и т. поимеют поликристаллическую структуру. Возникновение крупных монокристаллов представляет собой исключительное явление, осуществляющееся при особо благоприятных условиях. Вместе с тем в прираде встречаются твердые тела типа стекла, которые не имеют зернистой структуры. Они называются аморфными. Строение и свойства этих тел будут рассмотрены в § 34.6.
Кристаллическая решетка. Дальний порядок
Еще в XVIII в. на основе изучения макроскопических свойств кристаллов было выдвинуто предположение, что кристалл состоит из ячеек правильной геометрической формы. Однако лишь в 1912 г. эта гипотеза была подтверждена М. Лауэ, открывшим явление дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Оказалось» что частицы, из которых состоит кристалл, образуют в пространстве правильную кристаллическую решетку. В этой решетке можно выделить некоторую ячейку минимальных размеров, характеризующуюся тем, что если ее переносить параллельно самой себе каждый раз на расстояние, равное ее ребру, то таким способом можно образовать сколь угодно большой монокристалл. Период кристалла равен длине ребра элементарной ячейки (см. § 62.7).
Вершина ячейки называется узлом кристаллической решетки; прямая, проходящая через узлы решетки,——узловой линией] плоскость, проходящая через узлы решетки, называется узловой пло~ скостью. Плоскости и линии, которые гуще всего усеяны узлами, образуют грани и ребра кристалла.
В 1881 г. Е. С. Федоров установил, что всего в природе возможны 230 рая- личных пространственных видов симметрии (федоровские группы), которые могут быть разбиты на 7 кристаллических систем или на 32 класса. Эти классы различаются формой ячейки — углами между ребрами и гранями и соотношениями между размерами ребер.
С помощью рентгеноструктурного анализа 他ла блестяще подтверждена классификаций, предложенная Ё. С. Федоровым. Оказалось, что в природе нет ни одного кристалла, который не принадлежал бы к той или иной федоровской группе.
Обычно в узлах кристаллической решетки размещаются цент* ры атомов, ионов или молекул. Как мы увидим ниже, не все атомы попадают при этом в узлы. Но важно то, что в кристаллической решетке наблюдается правильное, регулярное распределение вещества, а также электрических зарядов и связанных с ними электрических полей.
Величина периодов повторяемости очень невелика — в металлах, например, она составляет от 3 до 7 А, что соответствует нескольким атомным слоям, поскольку расстояние между двумя атомами в твердом теле равно примерно 1 А. Но даже в поликристаллах зерна имеют размеры порядка 103——104 А, монокристаллы же имеют гораздо большие размеры.
Мы приходим к выводу, что в кристаллических телах регулярное расположение элементов кристаллической решетки повторяется в пределах сотен, тысяч и десятков тысяч слоев. На этом основании и говорят, что в кристалле наблюдается дальний порядок в упаковке атомов или других частиц (ионов, молекул и т. п.), из которых построена ячейка кристалла.
Дефекты упаковки и блочная структуракристалла
Если бы кристалл имел идеальную структуру, то дальний порядок наблюдался бы на сколь угодно больших расстояниях. Однако такие идеальные кристаллы в природе не образуются. В реальном кристалле мы встречаемся с систематическими нарушениями дальнего порядка, которые возникают в процессе кристаллизации вещества.
Одним из важнейших видов нарушения регулярной структуры кристалла является дефект, который называется дислокацией или зацеплением.
Простая дислокация заключается в том, что в каком-либо участке кристалла образуется лишняя узловая плоскость (рис. 32.5). В результате кристалл оказывается разбитым на два блока, на линии раздела которых и лежит ядро дислокации, обозначенное знаком 丄.
Спиральная дислокация образуется в том случае, если линия узлов одного из блоков некоторой своей частью как бы соскользнет на один период выше или ниже своего нормального направления. Наибольшие искажения здесь также возникают вдоль оси дисло-
кации (рис. 32.6), в остальных участках, особенно вдали от оси, дальний порядок оказывается ненарушенным.
При наличии малого числа дислокаций образуется монокристалл, состоящий из больших блоков, в каждом из которых царит относительно идеальный дальний порядок. Часто эти блоки оказываются несколько повернутыми друг относительно друга, что изображено на рис. 32.7.
Нарушения дальнего порядка возможны и в том случае, если узловая точка окажется заполненной чужеродным атомом (рис. 32.8) или вакантной (рис. 32.9), а также если чужеродный атом внедрится между линиями узлов (рис. 32.10). Такие дефекты могут
Рис. 32 8.Рис. 3 2 9.Рис. 32 10Рис. 32 8.Рис. 3 2 9.Рис. 32 10
Рис. 32 8.Рис. 3 2 9.Рис. 32 10
Рис. 32 8.Рис. 3 2 9.Рис. 32 10
возникнуть как в месте возникновения дислокации, где они часто и являются причиной этого рода дефекта, так и внутри блока.
Наличие дефектов в кристалле сильно влияет на его свойства. Так, примеси в кристаллической решетке германия или кремния, составляющие всего лишь 0,1 %, практически никак не влияют на 312
структуру кристалла, но очень существенно — в тысячи раз — меняют его сопротивление. Причина этого явления будет рассмотрена в гл. 77.
В последующих параграфах мы рассмотрим, как влияют дефекты кристалла на некоторые его тепловые и механические свойства.
Движение дефектов и диффузия
Опыт показывает, что при длительном контакте двух твердых тел они диффундируют друг в друга. Особенно удобно следить за явлением диффузии в твердых телах с помощью «меченых атомов» —— радиоактивных изотопов данного вещества. Между тем нетрудно убедиться, что в идеальном кристалле диффузия почти невозможна. В идеальном кристалле все узловые точки заняты «своими» атомами, поэтому внедрение «чужеродного» атома в узловую точку должно сопровождаться значительной работой по вырыванию атома из узла, на что обычно энергии не хватает. Внедрение же чужеродного атома между узлами решетки также требует значительной энергии, ибо нужно «раздвинуть» соседей и преодолеть возникающие при этом весьма значительные силы отталкивания.
Совершенно иначе обстоит дело в реальном кристалле. Наличие дефектов типа дислокаций или вакансий в существенной мере облегчает процесс внедрения в кристалл чужеродных атомов. Эти атомы могут попасть либо в вакансию, либо в область простой или спиральной дислокации, причем энергии теплового движения оказывается вполне достаточно, чтобы атом мог попасть в дефектную область.
Аналогично обстоит дело и с дефектом типа замещения (см. рис. 32.8). Здесь при достаточно высокой температуре вполне вероятен процесс, при котором чужеродный атом и атом основного вещества меняются местами, что и приведет к перемещению чужеродного атома по кристаллу.
Итак, процесс диффузии в кристалле сводится к движению дефектов в решетке. Естественно, что чем более дефектна решетка, тем вероятнее диффузия. В частности, в поликристаллах при прочих равных условиях диффузия идет значительно быстрее, чем в монокристаллах.
Опыт показывает, что при повышении температуры кристалла диффузия ускоряется. Дело в том, что по мере роста температуры молекулы начинают более интенсивно колебаться, средние расстояния между ними возрастают, и при удачном перемещении двух соседних атомов или молекул в противоположных направлениях третий атом может как бы «протолкнуться» между ними, заняв новое место в решетке. Этим объясняется и принципиальная возможность диффузии в идеальном кристалле, хотя ее вероятность мала. Тем более высокая температура будет способствовать диффузии в кристалле с дефектами.
Движение дислокаций и деформация кристалла
Опыт показывает, что любые, даже упругие, а тем более пластические деформации кристалла связаны с перемещением (сдвигом) блоков кристалла друг относительно друга. И здесь важнейшую роль играет движение дислокаций.
Рис. 32.11.
Рассмотрим механизм деформации сдвига в бездефектном кристалле и в кристалле с простой дислокацией,
Допустим, что мы хотим вшвать сдвиг кристаллической решетки на один узел по плоскости АВ идеального кристалла. Нам придется передвинуть за один прием все атомы, т. е. установить атом / против 2‘, 2 против 3' и т. д. (рис. 32.11). Для этого нужно приложить значительное усилие, равное произведению силы сцепления между двумя атомами на общее число соприкасающихся атомов по всей площади сдвига.
Пусть теперь плоскость АВ совпадает с границей раздела двух блоков, на которой расположено ядро простой дислокации (рис.32.12). Здесь под действием силы слои 9, 4 н 5 практически сме- 3t4
щаъься не будут, слой 2 сместится на половину расстояния между узлами и встанет на свое «естественное» место против узла 3‘. И только слою / придется переместиться на полное расстояние между узлами, и то после того, как слой 2 уже сдвинется и перемещению первого слоя будет мешать только притяжение к слою /', но не отталкивание слоя 2. Как показывает расчет, здесь на сдвиг потребуется усилие примерно в сто раз меньшее, чем при отсутствии дислокаций.
Как мы убедились, при деформации кристалла частично увеличивается порядок в расположении атомных плоскостей и уменьшается число простых дислвкаций. Отсюда следует, что по мере того как кристалл падвергается дефврмациям, его прэчность должна возрастать. Опыт падазывает, что действительно такие деформации, как ковка, прокат и т. п., привадят к упрочнению материала, но далеко не в сто раз, как эт® следует из теории. Оказывается, что здесь важную роль играют спиральные дислокации, которые далеко не всегда исчезают при деформациях.
Пр@чн@сть кристаллов резко понижается за счет трещин, возникающих на его поверхности, по-видимому, в месте выхода дислокаций. Эти трещины снижают првчность на разрыв. Например, для кристаллов каменнвй соли разрывное напряжение падает с теоретическвго значения порядка 2-109 Па до 4,5* 10е Пв, т. е. примерно в 450 раз; для монокристалла цинка ——с 2-1010 Па до 5' 107 Па и т. п. Это подтвердили опыты акад. А. Ф. Иоффе. Он показал, что если все время растворять поверхность кристалла, снимая тем самым возникающие трещины и другие поверхностные дефекты, то прочность образца возрастает. Так, производя растяжение кристалла каменной соли в горячей воде, он наблюдал разрыв при напряжениях примерно (1,5—1,6)-109 Па, что весьма близко к теоретическому значению.
ГЛАВА 33
ПЛОТНАЯ УПАКОВКА ЧАСТИЦ
Типы кристаллических связей
До сйх пор мы рассматривали в основном геометрические характеристики кристалла, не вникая ни в природу частиц, образующих кристалл, ни в характер сил, удерживающих эти частицы на определенных расстояниях друг от друга. Между тем именно анализ физической природы этих сил позволяет понять как геометрию кристаллических решеток, так и различие в свойствах различных типов кристаллов. С точки зрения сил, действующих между частицами, образующими кристаллы, их можно условно разбить на четыре типа: ионные, атомные, молекулярные и металлические кристаллы. Ниже будет дан анализ характерных свойств этих типов кристаллов. Но предварительно мы должны сделать следующее замечание.
Как уже говорилось, условием устойчивого состояния любой системы частиц является минимальное значение ее энергии в данных условиях (см. §§ 19.5, 19.6). Это полностью относится к системе молекул, атамов или ионов, образующих кристалл: частицы расположатся на таких расстояниях друг от друга, чтобы их энергия была минимальной,— иными словами, на расстояниях, где сила притяжения равна силе отталкивания.
Ионные кристаллы. К их числу относится большинство неорганических соединений, например соли. В пространственной решетке этих кристаллов размещаются поочередно ионы противоположных знаков.
Механизм образования ионного кристалла объясним на примере поваренной соли NaCI. Атом натрия легко теряет один электрон, который присоединяется к атому хлора. Так возникают два иона с противоположными по знаку электрическими зарядами.
Образовавшиеся ионы имеют сферически симметричное электрическое поле, вследствие чего силы кулоновского притяжения, возникающие между ними, имеют одинаковую величину в любом направлении. Это позволяет рассматривать структуру ионного кристалла как систему шариков определенного радиуса, плотно упакованных в некоторую -пространственную решетку. Центры этих шаров располагаются на таком расстоянии, чтобы энергия взаимодействия ионов была минимальной,—— иными словами, чтобы сила притяжения уравновешивалась силами отталкивания.
Атомные кристаллы. Пространственная решетка в кристаллах данного типа образуется путем плотной упаковки атомов, чаще всего одинаковых. При взаимодействии одинаковых атомов ионы не образуются.
Типичными примерами таких кристаллов являются алмаз и графит —— два разных состояния углерода, а также некотор-ые неорганические соединения (сернистый цинк ZnS, окись бериллия ВеО и т. п.).
Атомы, расположенные в пространственной решетке, связаны ковалентными (иначе —— гомеопол ярными) силами квантовомеханического происхождения. Эти силы имеют резко выраженную пространственную направленность, вследствие чего взаимодействие между атомами будет зависеть от характера их ориентации друг относительно друга. Поэтому геометрию кристалла данного типа нельзя получить из анализа характера упаковки шаров.
Молекулярные кристаллы. К ним относится ряд неорганических, а также большинство органических соединений, у которых в процессе кристаллизации молекулы сохраняют свою индивидуальность. В узлах кристаллической решетки здесь находятся молекулы. Примерами могут служить кристаллы брома Вг2, йода J?, сухого льда ——твердой углекислоты СО2, а также нафталина, парафинов, жирных кислот и т. п. Характерным признаком кристаллов данного типа является то, что расстояние между частицами
внутри молекулы значительно меньше межмолекулярных расстояний в кристалле. Поэтому здесь можно каждую молекулу изобразить в виде тела, ограниченного частями сферических поверхностей, а сам кристалл —— как плотную упаковку молекул, построенных из срезанных шаров (рис. 33.1).
Между молекулами действуют ван-дер-ваальсовы силы типа сил взаимодействия между индуктированными диполями (см. § 31.3). Вследствие того, что эти силы довольно слабые, молекулярные кристаллы легко разрушаются за счет теплового движения молекул ——они плавятся при очень низких температурах, а также легко испаряются. Так, кристаллы йода при нормальном атмосферном давлении испаряются (возгоняются) при +39,6° С, а кристаллы сухого льда — при —78,5 С.
Металлические кристаллы. Как говорит само их наименование, данный тип связи представляет собой способ упаковки атомов металлов в кристаллическую решетку. При кристаллизации металлов их атомы сближаются и между ними возникают большие силы квантовомеханического происхождения. За счет этих сил электроны, находящиеся на внешних орбитах (валентные электроны), отделяются от атомов. Однако, в отличие от случая ионной связи, здесь электроны не могут присоединиться к другому атому и образовать отрицательный ион, ибо все атомы металла одинаковы. Поэтому валентные электроны коллективизируются —— они уже принадлежат не одному атому, как в случае ионной связи, и не паре соседних атомов, как при ковалентном взаимодействии, а всему кристаллу в целом.
Металлическая связь обеспечивается притяжением между ионной решеткой, образованной положительно заряженным ионами, и отрицательно заряженным электронным облаком, так называемым электронным газом.
Заметим, что наличие свободных электронов, способных под действием электрического поля перемещаться по кристаллу, обеспечивает хорошую электропроводность металлов.
В общем случае упаковка ионов в металлическом кристалле не может быть сведена к упаковке шаров, как это может быть сделано в случае ионной или молекулярной связи. Однако в некоторых случаях вполне целесообразно рассматривать металлические кристаллы как систему плотнейшим образом упакованных шаров одинакового радиуса.
Плотнейшая упаковка одинакюых шаров
Рассмотрим, как можно плотнейшим образом упаковать шары одинакового радиуса. На плоскости это будет фигура, изображенная на рис. 33.2. Здесь каждый шарик окружен шестью соседями —— это так называемая симметрия шестого порядка. Если мы начнем шары упаковывать в пространстве, то нам нужно такую же плоскую решетку несколько повернуть и сместить так, чтобы шары
второго слоя уложились в лунки первого слоя. Но при этом шары заполняют только половину лунок. В оставшиеся лунки шары попасть не могут. На рис. 33.3 показано, как укладываются друг на друга два слоя одинаковых шаров. Центры верхних шаров разместились над лунками, которые на рис. 33.2 отмечены черными точками.
Рис. 33.4.Рис. 33.4.Рис. 33.5.Рис. 33.5.
Рис. 33.4.
Рис. 33.4.
Рис. 33.5.
Рис. 33.5.
Аналогично может быть наложен сверху третий слой. Однако здесь возможны два варианта упакевки.
Центры шаров третьего слоя могут быть расположены над центрами первого слоя. В этом случае третий слой повторяет первый. Если теперь уложить четвертый слой над вторым, пятый — над третьим, шестой — над четвертым и т. д., то получится двухслойная плотнейшая упаковка одинаковых шаров ——так называе-
мая гексагональная упаковка. На рис. 33.4 изображена модель такой упаковки. Символически повторяемость слоев записывается так: АВАВАВ... Ячейка представляет собой прямую призму, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Высота призмы больше сторон оснований. Заметим, что не все атомы расположены в узлах решетки.
Плотнейшая гексагональная упаковка характерна для кристаллов бериллия, магния, скандия, цинка, кадмия и ряда других металлов, а также мн@гнх неорганических соединений.
Во втором варианте упаковки третий слой располагается так, что центры его шаров размещены над лунками первого слоя, не отмеченными точками, четвертый слой повторяет первый, пятый —— второй, шестой ——третий и т. д. Символически повторяемость слоев записывается так: АВС АВС АВС,,, На рис. 33.5 изображена упаковка данного типа. Ее ячейка представляет собой куб. Частицы находятся как в вершинах куба (узлах решетки), так и в центрах граней. Поэтому упаковка данного типа называется кубический гранеценпгрир^ванной. По данному типу строится решетка таких металлов, как никель, платина, медь, золото, сере6р@, алюминий, свинец, при высоких температурах — железо. Кобальт, например, встречается в виде кристаллов как с гексагональной, так и кубической гранецентриреванной решеткой. Такой полиморфизм характерен для ряда металлов и других веществ.
Возможны и более сложные многослойные комбинации плотнейших шаровых упаковок, но мы их рассматривать не будем.
Плотнейшие упаковки шаров с разными радиусами
Рис. 33.6.Рис. 33.6.позволил определитьпозволил определитьМы ограничимся рассмотрением только одного примера —— кристалла поваренной соли. Это, как уже говорилось, ионный
Рис. 33.6.
Рис. 33.6.
позволил определить
позволил определить
в вершинах (узлах) ив вершинах (узлах) ив центрах гранейв центрах гранейсерединах ребер — ионысерединах ребер — ионыкристалл. Рентгеноструктурный .анализ радиусы ионов: у хлора это 1,81 А, у натрия 0,98 А. Крупные ионы хлора образуют плотнейшую трехслойную упаковку, у которой большие пустоты заполнены меньшими по размеру ионами натрия (рис. 33.6). Оказывается, что каждый ион натрия окружен шестью ионами хлора и, наоборот, каждый ион хлора — шестью ионами натрия. При такой упаковке ионов образуется простая кубическая решетка. Ее ячейка представляет собой куб, у которого
в вершинах (узлах) и
в вершинах (узлах) и
в центрах граней
в центрах граней
серединах ребер — ионы
серединах ребер — ионы
расположены ионы одного знака, а в противоположного знака.
Как видно из рисунка, в кристалле нет молекул NaCl ——весь кристалл представляет собой одну гигантскую молекулу.
§ 33・4. Решетки, которые нельзя представитькак упаковку шаров
При высокой температуре атомы железа упакованы в плотнейшую трехслойную структуру —— гранецентрированный куб. Оказывается, что при комнатных температурах атомы железа упакованы иначе. Как показывает рентгеноструктурный анализ, здесь возникает кубическая решетка, у которой атомы железа располагаются в вершинах куба и в его центре; такая решетка называется объемноцентрированным кубом (рис. 33.7). Такая же кристаллическая решетка характерна для всех щелочных металлов: лития, натрия, калия, рубидия и цезия, а также для бария, хрома, молибдена, вольфрама. 一
Структура такого рода не может быть представлена в виде плотной упаковки шаров, ибо шары одинакового радиуса нельзя плотно уложить в куб, в центре которого находился бы шар такого же радиуса. По-видимому, здесь электронное облако положительного иона, возникшего после потери атомом валентного электрона, не имеет сферически симметричной структуры. Это не должно нас удивлять. Скорее, наоборот, удивительно то, что такие сложные системы, как атомы, могут во многих случаях вести себя как шары, плотно упакованные в пространственную решетку.
Физические свойства железа при разных типах упаковки его атомов различны. При плотнейшей гранецентрированной упаковке, когда каждый атом имеет 12 соседей, получается твердое, упругое железо; при объемноцентрированной упаковке, когда каждый атом имеет только 8 соседей, возникает мягкое, пластичное железо.
Четырехвалентные атомы, например углерод, могут связываться друг с другом ковалентными силами, имеющими резко выраженную пространственную направленность. Атомы углерода могут образовывать два типа пространственных решеток.
В первой из них, характерной для алмаза, четыре атома располагаются по вершинам правильного тетраэдра, в центре которого находится пятый атом. Ковалентные силы направлены от центрального атома к вершинам тетраэдра (на рис. 33.8 эти силы изображены 320
жирной линией). Как нетрудно подсчитать, угол между связями равен 屮=109°22'・ Длина связи по данным рентгеноструктурного анализа 1,54 А. Ясно, что такой характер упаковки атомов не может быть получен по типу плотной упаковки одинаковых
шаров.
Аналогичную с алмазом структуру имеют кристаллы кремния, германия и белого олова. Ячейка имеет форму куба, где атомы расположены не только в вершинах, но и в центрах граней и внутри
куба (рис. 33.9).
Второй тип упаковки атомов углерода, характерный для графита. изображен на рис. 33.10. Здесь каждый атом углерода также
с нимс нимсвязан с четырьмя соседями, но силы и направленность связей раз-
с ним
с ним
ные. Сильная связь возникает с тремя атомами, лежащими в одном слое под углами 120°;
слабая связь — с четвертым атомом, лежащим в соседнем слое.
Направление этой связи составляет 90° с плоскостью слоя. Ячейка имеет форму прямой шестиугольной призмы; длина ребер 1,42 А и 3,35 А. Поскольку расстояние между слоями в 2,36 раза больше расстояния между атомами внутри слоя, сила связи между слоями мала.
Разница в строении кристаллических решеток алмаза и графита и объясняет резкое различие их физических свойств. Алмаз является одним из самых твердых веществ в природе — он реже? стекло, а также любые твердые породы типа гранта, базальта и т. п. Графит очень мягок, он пишет на бумаге, ибо его слои могут легко скользить друг относительно друга. Алмаз — изолятор, в нем нет свободных электронов, графит является проводником электрического тока. Алмаз прозрачен, графит сильно поглощает свет. Плотность алмаза 3500 кг/м3, графита — 2100 кг/м3.
Как показали исследования, при давлении порядка 60 000 ат и температуре выше 1500° С кристаллическая решетка графита путем сближения и перегруппировки атомов может перейти в решетку алмаза. Практически эту проблему решили ученые Инсти-
32132111 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1
321
321
лорода, ними --лорода, ними --Рис. 33.11.Рис. 33.11.
лорода, ними --
лорода, ними --
Рис. 33.11.
Рис. 33.11.
тута физики высоких давлений АН СССР под руководством акад. Л. Ф. Верещагина. Разработанные в этом институте «алмазные» прессы позволили получить искусственные алмазы с твердостью примерно такой же, как и у естественных.
§ 33.5. Структура льда
Рентгеноструктурный анализ показывает, что кристаллы льда имеют весьма рыхлую структуру, изображенную на рис. 33.11. Здесь большие шарики с дырками условно изображают атомы кис-
маленькие перешейки между атомы водорода. Каждый
атом кислорода окружен четырьмя атомами водорода, атом водорода слу
жит связующим звеном между двумя соседними атомами кислорода. Формула для молекулы воды Н2О, конечно, сохраняется, но выделить в кристалле отдельную молекулу невозможно.
Структура льда, естественно, не является плотной упаковкой, в решетке имеются большие «дыры». При плавлении льда, когда кристалл рас
падается на отдельныепадается на отдельныемолекулы,молекулы,вещество уплотняется. По
падается на отдельные
падается на отдельные
молекулы,
молекулы,
этому плотность воды при 0° С и нормальном давлении больше
плотности льда при этих же условиях:
Рводы = 999,9 кг/м3, Рпьда = 916,8 кг/м\
§ 33.6. Полимеры
Высокополимерные вещества (кратко — полимеры} состоят из очень длинных молекул вида цепей. В каждой цепи имеется правильно повторяющаяся группа атомов, связанных ковалентными силами; эти же силы обеспечивают сцепление между группами
атомов в цепи. Так, например, молекула газа этилена С2Н4 имеет строение, изображенное на рис. 33.12. При высокой температуре и высоком давлении возникает полимерное вещество ——полиэтилен,
молекулярная цепочка которого может состоять из тысяч мономеров (рис. 33.13).
Упаковка таких длинных молекул в плотную структуру является довольно сложной задачей. Здесь имеются две возможности: либо цепи сворачиваются в плотный клубок (глобулу), либо они вытягиваются в длину и укладываются в пачку. Сами же глобулы или пачки образуют плотную упаковку аналогично плотной упаковке шаров.
Рис. 33 14.
Глобулы имеют размеры примерно от 100 до 300 Л, так что их можно наблюдать с помощью электронного микроскопа. На рис. 33.14 изображена электронная фотография глобулярного кристалла ——вируса мозаичной болезни табака. Аналогичную форму имеют кристаллы многих белков.
Мы видим, что глобулы упакованы по принципу плотной упаковки шаров. Вместе с тем рентгеноструктурный анализ дает несколько «размазанную» картину. Дело в том, что, в отличие от рассмотренных выше кристаллов, где все частицы, образующие кристалл, совершенно одинаковы, в глобулярном кристалле частицы обладают индивидуальностью. Глобулы различаются как длиной молекулярной цепи, которая у разных комплексов различна, так и характером свернутости этой цепи. Таким образом, хотя глобулярный кристалл и характеризуется дальним порядком, внутри каждой глобулы этот порядок нарушается.
Пачечные полимеры имеют иногда дальний порядок внутри пачки. Однако это довольно своеобразный порядок. Если изобразить молекулярную цепь в виде вытянутого эллипсоида, то эти эллипсоиды внутри пачки могут уложиться тремя способами (рис. 33.15). В первой пачке дальний порядок характерен как для ориентировки центров цепей, так и для ориентировки их направлений в про-
Рис. 33.15.Рис. 33.15.
Рис. 33.15.
Рис. 33.15.
сгранстве. Это ——кристалл： Во второй пачке порядок характерен только для центров цепей, ориентировка же самих цепей беспорядочная. Такая упаковка назы
вается газокристаллической. Наконец, в третьей пачке нет дальнего порядка — такая пачка называется жидкостной.
Сами пачки могут легко загибаться и сворачиваться. Этим объясняется высокая эластичность резины. По-видимому, пачки каучуковых молекул свернуты, и при растяжении происходит разворот пачечного клубка. После снятия внешней нагрузки клубок опять сворачивается, возвращаясь к состоянию с минимальной энергией.
При упаковке макромолекул часто образуется жесткая система типа сетки, поэтому данные полимеры называются сетчатыми. Сплошная сетка, охватывающая весь полимер, делает материал твердым и термостойким, неспособным течь или плавиться. Такие термореактивные пластики применяются для изготовления изделий, способных выдерживать относительно высокие температуры и большие
механические нагрузки.
Здесь нет возможности подробно осветить свойства полимеров. Полимерами является огромное множество материалов, от природных (древесина, каучук, белок, нуклеиновые кислоты) до синтетических (нейлон, капрон, плексиглас и т. п.). В настоящее время ведется интенсивное изучение гигантских молекул, их свойств, методов получения и применения. Новые открытия, которые назревают в
этой области, имеют отношение ие только к задачам химии, но и к проблемам биофизики и биологии, в частности к проблемам наследственности.
ГЛАВА 34
БЛИЖНИЙ ПОРЯДОК
Особенности жидкого состояния
В предыдущих главах были рассмотрены два предельных случая пространственной упаковки частиц ——газ и кристалл. Идеальный газ характеризуется большой степенью разрежения и полным беспорядком в пространственном распределении |частиц. Идеальный кристалл, наоборот, характерен более или менее плотной упаковкой частиц и полностью упорядоченным их расположением в некоторой пространственной решетке (дальний порядок).
Жидкость занимает некоторое промежуточное положение между кристаллом и газом. Молекулы (или другие частицы) упакованы в жидкости достаточно плотно, в особенности вблизи точки плавления, вследствие чего плотность жидкости всего лишь на 9——10% меньше плотности твердого тела, а у расплавленных металлов —— 324
всего лишь на 3%. Плотность воды даже больше плотности льда на 9%.
В то же время жидкости полностью изотропны, и обнаружить у них анизотропные зерна, такие, как у поликристаллов, не удается. Естественно, что это означает отсутствие в жидкости дальнего порядка.
До тридцатых годов текущего столетия считали, что структура жидкости полностью не упорядочена и по своему строению жидкость аналогична очень сильно уплотненному газу. Распространению этой точки зрения способствовала возможность применения в ряде случаев одинаковых законов в гидро- и газодинамике (см. гл. 30). Однако эта аналогия оказалась весьма поверхностной, основание?访 на сходстве только одного свойства ——текучести жидкостей и газов. Рентгеноструктурный анализ жидкостей (и аморфных тел) показал, что имеется определенный порядок в расположении частиц в жидкости, особенно вблизи точки затвердевания. Но этот порядок соблюдается только на небольших расстояниях, порядка двух-трех молекулярных слоев. Это позволяет говорить о ближнем порядке в жидкостной упаковке частиц. Оказывается, что на этой основе можно качественно объяснить многие свойства жидкостей, что будет сделано ниже. В то же время строго количественная теория жидкого состояния до сих нор в полной мере еще не создана.
Выдающуюся роль в развитии нового взгляда на структуру жидкостей сыграли работы Я. И. Френкеля. Он не только высказал идею о близости свойств жидкости и кристалла (вдали от критической точки, см. § 35.5), но и сумел получить отсюда ряд количественных зависимостей для процессов диффузии, вязкости и теплопроводности, а также для анализа процесса кристаллизации и свойств сплавов. Некоторое понятие о его идеях будет дано ниже.
§ 342 Структура жидкости и ее свойства
Несколько лет назад Дж. Д. Бернал выдвинул идею о том, что в жидкостях мы встречаемся с так называемой симметрией пятого порядка. Это означает, что в плоской модели (рис. 34.1) каждая частица имеет в среднем около пяти ближайших соседей, а в пространственной упаковке — около одиннадцати. Отсюда вытекает ряд интересных следствий.
Легко убедиться, что в такого рода упаковке может осуществиться только ближний порядок; дальний порядок здесь невозможен, так как плоскость можно покрыть сеткой, состоящей из правильных треугольников, квадратов и шестиугольников, но не пятиугольников. Точно так же пространство нельзя заполнить многогранниками, у которых грани были бы правильными пятиугольниками.
Отсюда следует, что пятиугольники, которые характеризуют упаковку частиц в жидкости, имеют несколько различные ребра. Если в кристаллах все частицы находятся друг от друга на рас-
стоянии d, где силы притяжения между ними уравновешены силами отталкивания (см. § 31.4), то в жидкостях расстояния между молекулами на одних ребрах несколько больше d, на других 一 меньше d, и лишь в среднем они близки к d.
Энергия взаимодействия между частицами зависит от расстояния между ними (см. § 31.5). Она имеет минимальное значение при г = =d, а при /•>& или r<Zd энергия взаимодействия возрастает.
Следовательно, при одной 〃 той же температуре внутренняя энергия кристалла меньше, чем энергия его расплава. Это позволяет понять, почему при плавлении кристалла к нему нужно подвести теплоту плавления Qnn =团九・ Здесь tn — масса вещества, Л ——удельная теплота плавления, т. е. энергия, которую нужно сообщить единице массы вещества, находящегося при температуре плавления, чтобы перевести его из кри
сталлического в жидкое состояние.
Сравнение внутренней энергии кристалла и его расплава позволяет объяснить причину того, почему при низких температурах жидкости, как правило, кристаллизуются. Здесь проявляется общий закон: стремление любой системы частиц к состоянию с минимальной энергией.
Многогранники, имеющие симметрию пятого порядка, при плотной упаковке не могут образовать правильную кристаллическую решетку. Они образуют некоторые компактные пространственные образования, плотность которых может быть даже больше плотности кристалла. Эти образования Бернал назвал псевдоядрами, т. е. ложными ядрами. Между 分тнмн ядрами обязательно должны возникнуть большие отверстия, или дырки по терминологии Френкеля. Наличие этих «дырок» компенсирует избыточную плотность ядер и приводит к тому, что плотность жидкостей обычно меньше плотности кристалла.
Псевдоядра не являются достаточно стабильными образованиями. Благодаря большому числу «дырок» частицы могут легко переходить от одного ядра к другому, образуя при этом многогранники различной формы. В результате жидкость, в отличие от кристалла, имеет не одну определенную структуру, а большое число эквивалентных, сходных друг с другом структур, соответствующих одному и тому же значению энергии системы. Поскольку энтропия системы определяется числом различных структур, соответствующих данному состоянию (см. § 28.7), то мы видим, что при одной и той же температуре энтропия кристалла значительно меньше энтропии его расплава.
Среднее время оседлой жизни
Структура жидкости непрерывно меняется. Причина заключается в том, что большое число «дырок» в жидкостной упаковке частиц способствует их перемещению. Частица жидкости колеблется около мгновенного положения равновесия в течение некоторого времени, которое Френкель образно назвал временем оседлой жизни. Затем она перескакивает на место дырки и присоединяется к другому псевдоядру. Эти процессы происходят случайным образом, разные частицы переходят из одного состояния в другое в течение разных промежутков времени, но при огромном числе частиц можно ввести понятие о среднем времени оседлой жизни т как о промежутке времени, в течение которого не меняется структурная конфигурация псевдоядер, характеризующая ближний порядок.
Среднее время оседлой жизни обратно пропорционально вероятности перехода частицы на место дырки, а дырки — на место частицы. Вероятность «переселения» можно подсчитать следующим образом.
Для того чтобы частица оторвалась от псевдоядра, она должна обладать кинетической энергией, превосходящей, работу, которую нужно затратить на преодоление молекулярных сил притяжения. Эта энергия называется энергией активации', обозначим ее 8. Чем больше энергия активации, тем меньше вероятность переселения частицы.
С другой стороны, при повышении температуры жидкости веро* ятность переселения возрастает. Температура характеризует сред* нюю кинетическую энергию молекул, но благодаря максвелловскому закону распределения частиц по скоростям всегда найдется некоторое число частиц, кинетическая энергия которых больше средней. При повышении температуры процент таких более быстрых молекул возрастает, следовательно, возрастает и процент частиц, энергия которых окажется большей, чем энергия активации. Тем самым возрастает и вероятность переселения.
Обозначим через % отношение энергии активации к средней кинетической энергии частицы (см. § 26.11):
% — ео/екин ^ %/右Г
(так как екин ^kT). Вероятность переселения w будет некоторой функцией этого отношени я:
w^f^lk Т) = f (%)・ (34.1)
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 26.11 (стр. 236), приведут нас к выводу, что вероятность «переселения» частицы на место дырки выражается показательной функцией вида
/ (х) =а~аХ.
Знак минус в показателе появляется по следующим соображениям. С ростом энергии активации или с понижением температуры вероятность переселения должна уменьшаться, как было показано ранее. Следовательно, функция w = f(x) должна быть убывающей. А при основании степени а> 1 показательная функция убывает, если показатель степени является отрицательным числом.
Итак, вероятность «переселения» частицы
и = е-万.(34.2)
При низких температурах показатель степени по модулю очень велик; при этом он будет отрицательным числом, и вероятность переселения будет близка к нулю (а~°° =0).
、При высоких температурах показатель сте-
\пени стремится к нулю, а вероятность пере-
\ 京селения частицы стремится к единице
0=1).
Среднее время оседлой жизни ча/二^^-стицы обратно пропорционально вероятно
сти ее переселения, так что т 〜\!w. Из (34.2) следует
IZР = М，(34 3)
Рис 34 2где т0 ——время оседлой жизни при е0 = 0
(или при неограниченном возрастании тем- перат^ры 7->оо). Графики зависимости вероятности переселения и среднего времени оседлой жизни частицы от температуры изображены на рис. 34.2. Видно, что с ростом температуры среднее время оседлой жизни очень быстро убывает, а вероятность переселения частицы на место дырки растет.
Диффузия в жидкостях
Наличие «дырок» между псевдоядрами позволяет качественно объяснить механизм явления диффузии и внутреннего трения в жидкости и выяснить характер зависимости коэффициента диффузии и вязкости от температуры.
Механизм диффузии в газах был выяснен в § 25.5. Там же было получено выражение для коэффициента диффузии: D =']&、где 九 ——средняя длина свободного пробега молекулы, v ——средняя скорость беспорядочного поступательного движения молекул (теплового движения).
Диффузия в жидкостях происходит гораздо медленнее, чем в газах. Но с повышением температуры коэффициент диффузии возрастает очень быстро. Опыты, проведенные с мечеными атомами, приводят к выводу, что коэффициент диффузии в жидкостях
(а также в кристаллах) меняется с ростом температуры по закону
(34 4)(34 4)D^A^.
(34 4)
(34 4)
Здесь А —■ некоторая постоянная, характерная для данного вещества, k —— постоянная Больцмана, Т —— абсолютная температура。
80 ——энергия активации. Для жидких металлов 80 имеет величину примерно 1—3 эВ. График зависимости коэффициента диффузии от температуры изображен на рис. 34.3.
Механизм диффузии в жидкостях, следуя идеям Френкеля, можно объяснить следующим образом. Обозначим среднюю длину свободного пробега частицы в жидкости через 6 (это по существу расстояние между псевдоядрами). Тогда средняя скорость перемещения частицы внутри жидкости и^6/т, где
П 1 а 6262 "爵П 1 а 6262 "爵(34.5)(34.5)т —— среднее время ее оседлой жизни. По аналогии с (25.10) имеем
П 1 а 6262 "爵
П 1 а 6262 "爵
(34.5)
(34.5)
Этот результат соответствует данным эксперимента (см. (34.4)).
Вязкость жидкостей
Сопоставим размерности плотности [р] ^ML~3, коэффициента диффузии [D] = UTT и вязкости [刀]=ML~VT~Y. Мы увидим, чю
откуда следует
•「KpD,(34.6)
где К ——некоторый безразмерный коэффициент.
Соотношение (34.6) хорошо выполняется для газов. Здесь, как следует из эксперимента, К^1 и
П pD ®/з 九up.(34.7)
С ростом температуры вязкость газов возрастает. В самом деле, подставив в (34.7) значения р二 mQnf 1 /по и v = КЗАТ/mQt получим
пТ /零.(347)
Итак, вязкость газов пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры.
Что касается жидкостей, то для них соотношение (34.7‘) оказывается несправедливым. Оно не выполняется даже качественно: в отличие от газов, вязкость жидкостей с ростом температуры не только не возрастает, но резко падает.
На этот факт впервые обратил внимание Френкель, который показал, что вязкость жидкостей должна быть обратно пропорциональна коэффициенту диффузии. Для доказательства воспользуемся уравнением (11.12), которое выражает зависимость силы сопротивления трения от вязкости, относительной скорости и характерных размеров тела, движущегося в жидкости.
При возникновении в жидкости градиента скоростей (см. § 11.7) псевдоядра скользят друг относительно друга. Возникающее при этом взаимодействие сводится к сопротивлению трения, которое испытывает «дырка», переходя от одного псевдо ядра к другому. Следовательно, в формуле (11.12) можно заменить скорость и средней скоростью перемещения дырок и, а характерный размер L —— размером дырки 6. Итак, сопротивление трения
F-Bnu6, (34.8)
где В ——некоторый числовой коэффициент. Но согласно (34.5) ub = 3D, следовательно,
F = 3Bv\D.
Последнее выражение можно записать так:
「/Ж「/Ж(34.9)
「/Ж
「/Ж
где f = FBB —— некоторая постоянная величина, имеющая размерность силы. Тем самым показано, что вязкость жидкостей обратно
Рис. 34.4.Рис. 34.4.пропорциональна коэффициенту диффузии. Подставив в (34.9) значение коэффициента диффузии из (34.4), получим
Рис. 34.4.
Рис. 34.4.
刀二%e(34.10) где t)q ——значение коэффициента вязкости при £о = О, т. е. при отсутствии энергии активации. Таким образом, как видно из (34.10), вязкость жид
костей действительно резко падает с ростом температуры. График этой зависимости показан на рис. 34.4, Такая зависимость коэффициента вязкости от температуры хорошо согласуется с
экспериментальными данными.
Заметим, что выведенные выше выражения для зависимости коэффициента диффузии (34.5) и вязкости (34.10) от температуры имеют смысл лишь в определенном интервале температур: от точки плавления до так называемой критической температуры 7\р，выше которой жидкость существовать не может (см. § 35.5). Это и показано на рис. 34.3 и рис. 344
Аморфные тела
В природе встречаются тела, которые по своим механическим свойствам близки к твердым, но у которых, по данным рентгеноструктурного анализа, молекулы имеют жидкостную упаковку, т. е. ближний порядок. К ним относится, например, стекло, а также разные смолы, вар, загустевший расплав сахара (леденец) и ряд других веществ. Особенностью этих веществ является отсутствие у них определенной точки плавления. При повышении температуры эти тела постепенно размягчаются, их вязкость падает и они начинают вести себя как обычные вязкие жидкости.
Отсутствие у этих веществ определенной точки плавления и дальнего порядка в упаковке молекул приводит нас к выводу, что аморфные тела ——это не твердые тела, а переохлажденные и вследствие этого очень вязкие жидкости.
Причина образования аморфных тел может быть понята, если воспользоваться идеей о существовании в жидкости компактных псевдо ядер, между которыми имеются скважины — «дырки». Может оказаться, что внутренняя энергия хорошо упакованных псевдоядер меньше внутренней энергии кристалла, и только благодаря наличию дырок, обладающих избытком энергии, суммарная внутренняя энергия жидкости оказывается больше, чем энергия кристалла.
При образовании кристалла часть молекул должна продиффун- дировать в дырки и тем самым образовать регулярную структуру — дальний порядок. Но при низкой температуре вероятность диффузии очень мала, ибо время оседлой жизни молекулы стремится к бесконечности (см. рис. 34.2). Поэтому при быстром охлаждении некоторых расплавов более вероятным оказывается образование аморфного тела, а не упорядоченной кристаллической решетки.
Заметим, что при аморфном состоянии тело обладает некоторым избытком энергии по сравнению с устойчивым кристаллическим состоянием. Поэтому аморфное состояние — это так называемое метастабильное, т. е. не вполне устойчивое состояние.
Естественно, что со временем аморфные тела кристаллизируются. Так, в леденце через некоторое время образуются кристаллики сахара. Этим объясняется, почему при длительном хранении варенья оно может «засахариться». Точно так же стекло «стареет» —— в нем образуются поликристаллические зерна. При этом оно теряет прозрачность и становится хрупким.
Энергия поверхностного слоя и поверхностноенатяжение жидкости
Частицы, находящиеся в поверхностном слое жидкости, обладают избытком энергии по сравнению с частицами, находящимися внутри жидкости. Внутри жидкости частица окружена в среднемZ ближайшими соседями (Z^l 1), а в поверхностном слое
она имеет вдвое меньше соседей (рис. 34.5). При температурах, близких к температуре плавления, энергия взаимодействия между двумя ближайшими молекулами ^^ UOt где U& ——глубина потенциальной ямы молекулярного взаимодействия (см. рис. 31.7). Отсюда следует, что энергия частицы внутри жидкости Евнутр ^ Z応^ частицы на поверхности епов
M/zZUx А так как 九一отрицательное число, то еппв>Евнутр. Итак, избыток энергии, которой обладает частица, находящаяся в поверхностном слое, по сравнению с энергией этой же частицы внутри жидкости, выразится так:
△£цов = Ejiob Евнутр '/zZU。=
Благодаря избытку энергии среднее расстояние между молекулами
возрастает (§§ 31.5, 31.6). А это означает, что поверхностный слой является более рыхлым, чем внутренние участки жидкости.
Пусть на единице площади поверхностного слоя содержится "'частиц. Поверхностный слой площадью S будет обладать избытком энергии
^лов = A£jio”S ^ №乳 SI Ug 卜(34.11)
(34.12)(34.12)На единицу площади приходится энергия
(34.12)
(34.12)
Эта величина называется поверхностной энергией жидкости.
Всякая система частиц стремится перейти в состояние с минимальной энергией. Для жидкости это сводится к тому, что при отсутствии внешних сил она будет принимать 款 такую форму, чтобы при заданном объеме она И имела наименьшую поверхность. В геометрии 缈 доказывается, что такой формой является , сфера. Этим и объясняется, что в состоянии 勿невесомости, условия которого рассмотрены
в § 7.3, капля жидкости имеет строго сферическую форму.
Стремление жидкости уменьшить свою по
верхность приводит к тому, что на границе между поверхностной пленкой и твердым телом возникают силы поверхностного натяжения. В этом позволяет убедиться простой опыт. Привяжем к проволочному кольцу нить, как это показано на рис. 34.6, а, и окунем кольцо в мыльный раствор. В образовавшейся мыльной пленке нить расположится случайным образом. Если теперь разрушить пленку по одну сторону нити, то оставшаяся пленка сократится так, чтобы ее поверхность стала мини-
мальной (рис. 34.6, б). Нить удерживается в натянутом состоянии силами поверхностного натяжения, направленными внутрь пленки по касательным к ее поверхности.
Поверхностным натяжением от называется отношение силы, с которой пленка действует на ограничивающий ее контур, к длине этого контура /:
а - F/L (34.13)
Давление под искривленной поверхностью жидкости
При контакте жидкости с твердым телом возможны случаи, когда жидкость либо смачивает, либо не смачивает это тело. Так, ртуть хорошо смачивает чистые поверхности металлов и не смачивает чистое стекло; вода смачивает чистое стекло и не смачивает жирные поверхности, и т. д.
Свободная поверхность жидкости на границе с твердым телом искривляется; в зависимости от характера смачивания образуется мениск той или иной формы. Смачивающие жидкости образуют
0夕Рис. 34.7.0夕Рис. 34.7.
0夕
Рис. 34.7.
0夕
Рис. 34.7.
вогнутый, несмачивающие — выпуклый мениск. Угол между смо- ченной поверхностью твердого тела и касательной к мениску в точке его пересечения с твердым телом называется краевым углом 0.
Если жидкость смачивает поверхность твердого тела, то краевой угол оказывается острым (рис. 34.7, а): 0<9<л/2. Если жидкость не смачивает поверхность твердого тела, то краевой угол тупой (рис. 34.7, б): л/2<0^л. Величина краевого угла зависит от химического состава твердого тела, жидкости и окружающего газа, от чистоты этих веществ и от их температуры. При идеальном смачивании 8 = 0, при идеальном несмачивании 8= л.
Искривленная поверхность оказывает на жидкость избыточное давление. Для расчета этого давления ограничимся случаем, когда жидкость находится в трубке, радиус канала которой равен г (рис. 34.8). Искривленная поверхность жидкости образует сферический сегмент, поверхность которого составляет с поверхностью трубки краевой угол 0.
На участок границы контакта жидкости с твердой стенкой длиной А/ действует сила поверхностного натяжения А尸= uAL Эта
сила направлена по касательной к поверхности жидкости. Разложим эту силу на две компоненты: △尸厶 направленную внутрь стенки, и △尸2 = AFcos|3 =——оД/ cos 0, направленную внутрь жидкости. Компонента AF2 вызывает давление, избыточное по сравнению с атмосферным.
Для вычисления избыточного давления следует силу давления 尸2=—а . 2лг cos 9 разделить на площадь круга S =冗产.Имеем
(34.14)(34.14)—尸2 —2п cos 0
(34.14)
(34.14)
Мы видим, что избыточное давление оказывается отрицатель- ннм, если краевой угол острый: при 0^ 0<л/2 имеем cos 0>О. Если же краевой угол тупой, т. е. л/2V®W叫 то cos 0<О и избыточное давление оказывается положительным.
Капиллярные явления
Трубки с узким каналом, диаметром около миллиметра и менее, называются капиллярами (от латинского capillus ——волос). Если такую трубку опустить в жидкость, которая ее смачивает, то жидкость внутри трубки поднимется выше свободной поверхности жидкости в широком сосуде (рис. 34.9, а). Несмачивающая жидкость, наоборот, опустится ниже ее уровня в сосуде (рис.34.9, б).
7分Рис. 34,9.7分Рис. 34,9.
7分
Рис. 34,9.
7分
Рис. 34,9.
Для вычисления высоты капиллярного подъема (или опускания) жидкости следует учесть, что жидкость в трубке будет находиться в равновесии, если сумма гидростатического давления pgk и давления под искривленной поверхностью р =——(2о cos 0)/г будет равна нулю:
厶 2а cos 0 八pgh；— = 0;
отсюдаотсюдаследуетследует九—2g cos 0九—2g cos 0rpgrpg(34.15)(34.15)
отсюда
отсюда
следует
следует
九—2g cos 0
九—2g cos 0
rpg
rpg
(34.15)
(34.15)
Мы видим, что в случае смачивающей жидкости, когда краевой угол острый (cos 0> 0), высота подъема положительна; в случае несмачивающей жидкости краевой угол тупой (cos 0<О) и высота капиллярного подъема отрицательна. Уровень несмачивающей жидкости в капиллярной трубке будет ниже ее уровня в широком сосуде.
Капиллярные явления часто встречаются в природе. Ими объясняется гигроскопичность ряда тел, т. е. их способность впитывать влагу. Такова причина гигроскопичности ваты, тканей, почвы, бетона. Последнее учитывается в строительной практике: между фундаментом здания и стенами прокладывается слой толя, смолы или другого вещества, что препятствует проникновению влаги по стенам в жилые помещения.
Подпочвенная влага по капиллярам почвы поднимается на поверхность и испаряется. Для сохранения влаги в почве следует капилляры разрушить. Это достигается путем ее вспашки и боронования.
Адсорбция. Эффект Ребиндера
Все рассуждения и расчеты, которые приводят к выводу о наличии у жидкости избытка энергии в поверхностном слое (см. § 34.7), справедливы и для твердых тел —— как аморфных, так и кристаллов. Имеется, правда, одно принципиальное отличие, вызванное анизотропией кристалла. На разных гранях кристалла находится разное число частиц (атомов, молекул или ионов), расстояния между этими частицами также различны. Отсюда следует, что поверхностная энергия и поверхностное натяжение различны на разных гранях монокристалла. Естественно, что в поликристаллах и аморфных телах нет анизотропии поверхности кого натяжения.
При отсутствии внешних сил форма жидкости полностью определяется силами поверхностного натяжения, и свободная жидкость принимает форму шара. У кристаллов, благодаря их ничтожной текучести, это не происходит. Однако отсюда вовсе не следует, что силы поверхностного натяжения не играют в кристаллах никакой роли. Оказывается, что они существенно влияют на такие механические свойства кристаллов, как твердость и прочность.
Некоторые вещества, называемые поверхностно-активными, легко концентрируются на поверхности другого вещества, образуя на нем очень тонкий слой, чаще всего мономолекулярный, т. е. слой толщиной в одну молекулу. Такое явление называется адсорбцией. Например, на поверхности воды хорошо адсорбируется бутиловый спирт, на поверхности цинка ——ртуть и олово, на поверхности ртути ——щелочные металлы цезий, калий, натрий. Оказывается, что адсорбция сопровождается резким уменьшением поверхностной энергии и тем самым ―■ уменьшением поверхностного натяжения.
Если в литре ртути растворить 0,48 г цезия, то поверхностное натяжение ртути уменьшится с 0,470 Н/м до 0,228 Н/м, т. е. более чем в два раза. А ведь концентрация цезия в ртути составит при этом 0,48-10~3 кг/13,6 кг, т. е. всего 3,5-10~^ %! Точно так же при 4% -ной концентрации бутилового спирта в воде ее поверхностное натяжение уменьшится вдвое.
Оказывается, что при адсорбции поверхностно-активных жидкостей на поверхности твердых тел механические свойства последних резко меняются, в частности, существенно уменьшается их прочность. Об этом свидетельствует следующий опыт.
Цинк при комнатных температурах очень пластичен, поэтому цинковую пластинку толщиной 2——3 мм можно легко согнуть под прямым углом, и при этом она ие сломается. Если перед изгибанием очистить поверхность цинка от окислов и
нанести на нее капельку ртути массой даже в несколько миллиграммов, то характер деформации существенно изменится. Из-под капли ртути побежит тонкая трещина, и пластина развалится на два куска (рис. 34.10).
Подобные явления наблюдались давно. В инженерной практике было известно немало случаев, когда прочность некоторых конструкций существенно снижалась, если эти конструкции работали не в воздухе, а в других средах. Иногда даже сорт смазки существенно влияет на прочность конструкции. Однако теории этого явления не было.
В 1928 г. академик П. А. Ребиндер выдвинул идею, что изменение прочности твердых тел при их взаимодействии с поверхностно-активными веществами
вызвано именно снижением поверхностного натяжения. В самых общих чертах это явление можно объяснить так.
Дефекты кристалла типа дислокации, границ зерен и микротрещин обладают избыточной поверхностной энергией. Поскольку при адсорбции поверхностно-активных веществ поверхностное натяжение уменьшается, то соответственно возрастает поверхность этих дефектов, так что полная энергия поверхностного слоя, равная произведению поверхностной энергии на площадь поверхности (см. (34.12)), остается неизменной. Рост поверхностей дефектов, естественно, приводит к уменьшению прочности тела.
Явление облегчения деформации и разрушения твердых тел в результате снижения поверхностной энергии этих тел при адсорбции нми поверхностно-активных веществ называется эффектом Ребиндера. Данный эффект имеет многочисленные
практические применения.
Оказалось, что при обработке металлов давлением или резанием во многих случаях применение поверхностно-активных веществ в качестве добавки к смазочно-охлаждающим жидкостям дает значительный выигрыш в скорости резания (иногда до 30——40%). Другим примером является метод адсорбционного понижения прочности при бурении скважин. Нефтяные скважины имеют глубину в несколько километров и проходят часто через скальные породы, обладающие высокой твердостью. Для того чтобы облегчить работу бура, в скважину закачивают растворы поверхностно-активных веществ. При этом процесс бурения заметно облегчается.
В настоящее время, особенно в связи с использованием в реакторах жидких металлов в качестве тепл оное ителей, возникла проблема изучения прочности металлов в присутствии расплавов других металлов. Аналогичные проблемы возникают в ракетной технике.
Правильный подбор металлических пар с учетом того, чтобы жидкая фаза по возможности менее адсорбировалась на твердой, позволяет избежать уменьшения прочности конструкций.
Наконец, недавно начали проводить интенсивные исследования с целью продления срока службы катализаторов. Катализаторы участвуют в химических реакциях лишь косвенно, сами они в реакцию ие вступают. Казалось бы, что они должны быть вечными. Между тем они интенсивно изнашиваются и потому в современной химической промышленности расходуются в огромных количествах. Устранить у катализаторов адсорбцию принципиально невозможно, иначе они перестанут быть катализаторами. Следовательно, здесь нужны иные пути повышения прочности. Один из них ——устранение внутренних напряжений в гранулах этих материалов, что достигается путем вибрационного прессования катализаторов из порошков. Второй путь ——подбор оптимального температурного режима в процессе их термической обработки.
Эффект Ребиндера представляет собой чрезвычайно общее явление, характеризующее физико-химию поверхностных явлений в твердых телах и дисперсных средах. Дальнейшая разработка теории поверхностных явлений и экспериментальные исследования в этой области позволят решить проблему создания материалов с заранее заданными свойствами, в частности материалов с повышенной прочностью.
ГЛАВА 35
ПАРЫ
Испарение
Как известно из опыта, жидкости способны испаряться, т. е. переходить в газообразное состояние. Скорость испарения оценивается числом молекул, переходящих с единицы поверхности в пар за единицу времени. У разных жидкостей QHa различна: эфир, налитый в блюдце, испарится при комнатной температуре в течение нескольких минут, вода при тех же условиях сохранится в течение нескольких часов, а ртуть ——несколько лет. Испарениё жидкостей происходит при любой температуре, но с ростом температуры скорость испарения очень быстро возрастает. Этим пользуются на практике: если нужно быстро высушить какую-либо вещь, то ее помещают рядом с нагретым телом, например с печкой или батареей отопления.
Испаряются не только жидкости, но и твердые тела; например, нафталин или камфара испаряются при комнатной температуре и нормальном давлении, минуя жидкое состояние. Точно так же испаряются кристаллы брома или йода, особенно если их по догреть^ Испаряется также лед. Если влажное белье развесить на морозе, то вода замерзает, а затем лед испаряется, и белье становится сухим.
Испарение кристаллических тел называется сублимацией или возгонкой.
Скорость сублимации также зависит от температуры и химической природы вещества. Молекулярные кристаллы, как бром или йод, испаряются легко, так как силы молекулярного притяжения, связывающие молекулы в кр иста л л ической решетке, явл яются весьма слабыми. Легко испаряется лед, имеющий очень рыхлую кристаллическую решетку. Наоборот, плотно упакованные ионные, ковалентные или металлические кристаллы испаряются очень плохо.
Механизм испарения можно объяснить следующим образом. Молекула (или атом), находящаяся на поверхности жидкости или кристалла, втягивается внутрь силами молекулярного взаимодействия и тем самым удерживается на поверхности. Для того чтобы эта частица могла покинуть вещество, ее кинетическая энергия должна быть больше энергии испарения w0, которая равна той работе, которую нужно совершить, чтобы преодолеть силы молекулярного притяжения и удалить молекулу на такое расстояние от поверхности, где молекулярные силы уже не проявляются. Следовательно,
условием испарения будет sk^u0 или
团府住》/. (35.1)
Отсюда следует, что покинуть поверхностный слой могут не любые молекулы, а только более быстрые, скорость которых удовлетворяет условию (35.1). Это позволяет понять, почему при испарении происходит охлаждение жидкости. Мы знаем, что температура тела определяется средней кинетической энергией движения молекул. Естественно, что если из жидкости улетают наиболее быстрые молекулы, то средняя энергия оставшихся молекул уменьшается, что и означает понижение температуры.
Вероятность испарения можно найти с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые в § 34.3 позволили определить вероятность «переселения» частицы в «дырку». Получим, заменив е0 на а。：
吗 с“ар=е-务. (35.2)
Скорость испарения пропорциональна вероятности испарения, ибо чем вероятнее переход молекул с поверхности тела в пар, тем больше будет число молекул, переходящих в пар с единицы площади в единицу времени. Итак, скорость испарения G〜％1cli@р или
G = G°e~^・ (35.3)
В этом выражении Go пропорционально числу молекул, способных покинуть поверхностный слой, т. е. молекул, скорости которых удовлетворяют условию (35.1). Естественно, что с повышением температуры тела число таких молекул возрастает. Можно показать, что Go — ВГв, где В —— постоянная, зависящая от химического состава вещества, аМ/?. Подставив в (35.3), получим окончательное выражение для скорости испарения:
G = ВТ%"意. (35.4)
Насыщенный пар
Если достаточно большое количество жидкости поместить в закрытый сосуд, то часть ее испарится, и далее количество жидкости будет оставаться неизменным сколько угодно долго. Но процесс испарения прекратиться не может —— молекулы, энергия которых соответствует условию (35.1), будут все время покидать поверхность жидкости. Следовательно, наряду с процессом испарения непрерывно происходит компенсирующий его процесс конденсации пара в жидкость. Скорость конденсации определяется числом молекул, переходящих из пара в жидкость через единицу поверхности в единицу времени.
Таким образом, в закрытом сосуде через некоторое время устанавливается динамическое равновесие между процессами испарения 338
и конденсации. Скорость конденсации становится равной скорости испарения, и начиная с этого момента времени количество жидкости перестает уменьшаться.
Пар, находящийся в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью (или кристаллом), называется насыщенным (насыщающим )паром.
Вычислим, от каких параметров зависит концентрация молекул насыщенного пара. Для этого следует учесть, что скорость испарения, согласно (35.4), не зависит от концентрации молекул
пропорциональнапропорциональнапара над жидкостью, а скорость конденсации концентрации молекул пара — чем больше молекул содержится в единице объема над жидкостью, тем вероятнее, что молекула приблизится к поверхностному слою и будет им поглощена. Итак, скорость конденсации
пропорциональна
пропорциональна
g = M, (35.5)
где 0 — некоторый коэффициент, п—концентрация молекул пара.
При динамическом равновесии скорость конденсации равна скорости испарения. Приравняв правые части равенств (35.4) и (35.5), полу-
чим выражение для концентрации молекул насыщенного пара:
(35.6)(35.6)九на。 ==47气也Т .
(35.6)
(35.6)
Плотность насыщенного пара получим, умножив концентрацию на массу молекулы:
Рнас =^0^нас =Ат^ае kT .(35.7)
График этой зависимости изображен на рис. 35.1. Мы видим, что с ростом температуры плотность насыщенного пара резко возрастает.
Давление насыщенного пара
Подставив в формулу (26.10) выражение для концентрации молекул (35.6), получим выражение давления насыщенного пара
(35.8)(35.8)рнас =^нас^Т =力々丁°*1© *'.
(35.8)
(35.8)
График этой зависимости изображен на рис. 35.2. Для сравнения здесь же вычерчен график зависимости давления идеального газа от температуры (при постоянном объеме). Давление идеального газа растет линейно с ростом температуры, давление насыщенного пара возрастает значительно быстрее. Причина заключается в том, что у газа рост давления обусловлен только ростом кинетической энергии молекул, а у насыщенного пара с ростом температуры возрастает не только кинетическая энергия молекул, но и их концентрация.
Следует отметить, что выражение (35,8) не является вполне
строгим, посколькустрогим, посколькупри его выводе мы воспользовались формулой (26.10) для давления идеального газа, у которого силами молекулярного взаимодействия пренебрегают вследствие большого расстояния между молекулами. Между тем концентрация молекул насыщенного пара может оказаться довольно большой, расстояния между ними —— достаточно малыми, и влияние молекулярных сил может оказаться существенным. И все же выражение (35.8) в основном правильно передает свойства насыщенного пара. Об этом свидетельствует табл. 35.1, а также рис, 35.3, на котором изображен
строгим, поскольку
строгим, поскольку
график зависимости давления насыщенных паров воды от температуры, построенный по данным этой таблицы. Видно, что характер
Таблица 35.1
Давление и плотность насыщенного водяного пара
f ℃
мм рт. ст.
г/м3
f ℃
мм рт. ст.
г/м3
f ℃
мм рт. ст.
г/м3
—30
0,28
0,33
0
4,58
4,84
30
31,82
30,3
—29
0,31
0,37
1
4,93
5,22
31
33,70
32,1
—28
0,35
0,41
2
5,29
5,60
32
35,66
33,9
—27
0,38
0,46
3
5,69
5,98
33
37,73
35,7
—26
0,43
0,51
4
6,10
6,40
34
39,90
37,6
-25
0,47
0,55
5
6,54
6,84
35
42,18
39,6
—24
0,52
0,60
6
7,01
7,3
36
44,56
41,8
—23
0,58
0,66
7
7,51
37
47,07
44,0
—22
0,64
0,73
8
8,05
38
49,69
46,3
—21
0,70
0,80
9
8,61
39
52,44
48,7
—20
0,77
0,88
10
9,21
9,4
40
55,32
51,2
一19
0,85
0,96
II
9,84
10,0
45
71,88
65,4
—18
0,94
1,05
12
10,52
10,7
50
92,5
83,0
—17
1,03
1,15
13
11 ,23
11 ,4
55
118,0
104,3
—16
1,13
1,27
14
U ,99
12,1
60
149,4
130
—15
1,24
1,38
15
12,79
12,8
65
187,5
161
—14
1,36
1,51
16
13,63
13,6
70
133,7
198
—13
1,49
1,65
17
14,53
14,5
75
189,1
242
—12
1,63
1,80
18
15,48
15,4
80
355,1
293
—11
1,78
1,96
19
16,48
16,3
85
433,6
354
—10
1,95
2,14
20
17,54
17,3
90
525,8
424
—9
2,13
2,33
21
18,65
18,3
95
633,9
505
—8
2,32
2,54
22
19,83
19,4
100
760,0
598
—7
2,53
2,76
23
21,07
20,6
120
1489
1091
—6
2,76
2,99
24
22,38
21,8
140
2710
1890
-5
3,01
3,24
25
23,76
23,0
160
4636
3084
一4
3,28
3,51
26
25,21
24 (4
180
7521
4782
—3
3,57
3,81
27
26,74
25,8
200
11664
7099
—2
3,88
4,13
28
28,35
27,2
-1
4,22
4,47
29
30,04
28,7
этой зависимости в общем совпадает с тем, что дает теоретическая кривая (35.8).
Из выражения (35.8) следует, что давление насыщенного пара зависит только от его химического состава и температуры, но не зависит от величины свободного от жидкости объема сосуда, где находится пар.
Опыт подтверждает этот вывод, и его легко объяснить следующим образом.
Рис. 35.3.Рис. 35.3.
Рис. 35.3.
Рис. 35.3.
Допустим, что мы увеличим свободное пространство над жидкостью, подняв поршень в установке, изображенной на рис. 35.4. Вначале манометр зарегистрирует некоторое уменьшение давления, что свидетельствует об уменьшении концентрации молекул пара. Но при этом уменьшится скорость конденсации (см. (35.5)) и состояние динамического равновесия нарушится. А так как скорость испарения, которая зависит только от температуры, останется неизменной, то это приведет к частичному испарению какой-то части жидкости и к восстановлению состояния динамического равновесия между паром и жидкостью. При этом манометр покажет, что восстановится первоначальное значение давления насыщенного пара.
Аналогичный процесс будет наблюдаться при опускании поршня. При сжатии пара его концентрация возрастет и скорость конденсации превысит скорость испарения. Нарушенное динамическое равновесие восстановится за счет того, что часть пара конденсируется. При этом восстановится первоначальное значение концентрации молекул и давления пара, которые зависят только от температуры.
§ 35.4. Изотерма пара
В установке, изображенной на рис. 35.4, будем непрерывно выдвигать поршень. При этом жидкость будет все время испаряться, и при некотором объеме Vt жидкости в сосуде не станет. Давление насыщенного пара вплоть до объема 厂口 естественно, будет оставаться неизменным.
Если продолжать выдвижение поршня так, чтобы объем пара стал больше V\, то давление пара станет уменьшаться. В самом деле, если жидкость в сосуде исчезнет, то уменьшение концентрации молекул при расширении пара уже не будет компенсироваться испарением жидкости. Такой пар называется ненасыи^нным или 〃е- регретым. При неизменной температуре его давление уменьшается при увеличении объема примерно по закону Бойля ——Мариотта.
Проведем теперь обратный процесс: опуская поршень, станем сжимать перегретый пар. Его давление будет возрастать, и при V = % оно станет вновь равно давлению насыщенного пара. Если продолжать дальше уменьшать объем, то часть пара конденсируется, а давление будет оставаться равным давлению насыщенного пара.
Наконец, при некотором объеме 匕 V % весь пар конденсируется и поршень вплотную придвинется к поверхности жидкости. Дальнейшее уменьшение объема потребует колоссальных давлений, поскольку частицы в жидкости упакованы достаточно плотно и ее сжимаемость мала,
Графически весь описанный процесс изображен на рис. 35.5. Участок 0—7 соответствует перегретому пару, участок /—2 — насыщенному пару и участок 2—3 ——жидкости. Вся кривая называется изотермой пара или изотермой Эндрюса в честь ученого, который первый получил и исследовал изотермы такого рода.
Заметим, что процесс расширения и сжатия пара следует проводить достаточно медленно. Испарение жидкости сопровождается ее охлаждением (см. § 35.1), а конденсация пара — нагреванием жидкости. Постоянство температуры обеспечивается теплообменом 342
установки с окружающей средой. А так как теплообмен протекает довольно медленно, то столь же медленно следует перемещать поршень.
Произведем процесс сжатия пара при более высокой температуре 7\>Т. Мы заметим, что состояние насыщенного пара получится при новом объеме V；VV\ (рис. 35.6). Это легко объяснить: с ростом температуры давление насыщенного пара быстро нарастает (см. § 35.3), и для того, чтобы давление перегретого пара сравнялось с ним, следует объем пара существенно уменьшить.
В то же время полная конденсация насыщенного пара и касание поршнем поверхности жидкости произойдет при объеме %>%• Причина заключается в тепловом расширении жидкости, которая при более высокой температуре занимает больший объем.
§35・5・ Критическое состояние вещества
При повышении температуры область насыщенного пара уменьшается. Поэтому можно высказать предположение, что при некоторой температуре Ткр насыщенный пар вообще не образуется и перегретый пар при определенном объеме 匕《卩 и давлении ркр будет непрерывно переходить в жидкое состояние (см. рис. 35.6). Опыт подтверждает это предполо
жение. П| |1 [I
Рис. 35.7.Рис. 35.8,
Температура 7\口， соответствующая такому ссютоянию вещества, называется критической температурой, давление 卩长口 ——критическим давлением, а плотность ркр = т/Укр ——критической плотностью. Для воды, например, /кр 374° С, /?кр —218 атм, ркр — = 329 кг/м3.
К понятию о критическом состоянии вещества можно подойти и из несколько иных соображений. Как было показано, с ростом температуры плотность насыщенного пара очень быстро возрастает (см. § 35・2)・ Плотность жидкости при повышении температуры убывает за счет ее теплового расширения. Построив график зависимости плотности пара и жидкости от темп^эатуры (рис. 35.7), мы увидим, что при некоторой температуре они пересекаются.
Это позволяет дать такое определение: критической называется температура, при которой плотность насыщенного пара равна плотности жидкости.
Критическое состояние вещества можно наблюдать на опыте, предложенном М. П. Авенариусом (рис. 35.8). В запаянной стеклянной колбочке находится некоторое количество эфира. При низкой температуре видна резкая граница между жидкостью и насыщенным паром. Если сосуд нагреть, то уровень жидкости повышается, несмотря на то, что часть ее при нагревании испарилась. Это свидетельствует о существенном уменьшении плотности жидкости и возрастании плотности пара. При критической температуре граница между жидкостью и паром исчезает и весь объем вещества внутри сосуда становится мутным. Это вызвано тем, что при критической температуре за счет флуктуаций плотности во всем объеме непрерывно возникают и тут же испаряются микроскопические капельки жидкости. Они-то и рассеивают свет.
Выше критической температуры жидкость, а тем более кристалл не образуются даже при больших давлениях. Причина заключается в том, что здесь интенсивность теплового движения молекул (или атомов) оказывается настолько большой, что даже при относительно плотной их упаковке, вызванной большим давлением, молекулярные силы не могут обеспечить создание даже ближнего, а тем более дальнего порядка.
Это значит, что при сверхкритических температурах даже при очень больших давлениях возможно только газообразное состояние вещества, характеризующееся полной неупорядоченностью движения частиц, из которых оно состоит.
При очень высоких температурах и чудовищных давлениях, вызванных сильным гравитационным полем, в некоторых типах звезд, называемых «белыми карликами», вещество переходит в особое сверхплотное сосгаяние. При этом электроны отрываются от ядер, образуя электронный газ, наподобие тому, как это имеет место в металлических кристаллах. Однако между этими состояниями имеется существенное отличие.
В металлах атомы теряют только внешние (валентные) электроны, а возникшие ионы образуют пространственную кристаллическую решетку. В сверхплотном состоянии атомы лишаются всех электронов, и оставшиеся голые ядра, размеры которых примерно в 10 тысяч раз меньше размеров атомов, образуют очень плотную, но совершенно неупорядоченную упаковку. Плотность вещества при этом оказывается колоссальной, порядка 107— 108 кг/м3. Стакан такого вещества (200 см3) имел бы массу около 20 тонн (стакан ртути имеет массу около 3 кг).
И тем не менее данное состояние вещества, называемое сверхплотной плазмой, по своей структуре и свойствам ближе к газу, чем к кристаллу или жидкости. Но этот газ по своим свойствам резко отличается от идеального.
§ 35・6. Влажность воздуха
Абсолютную влажность воздуха f оценивают по массе водяных паров, содержащихся в 1 м3 воздуха при данных условиях, т. е. по плотности водяного пара. Для удобства вычислений плотность выражают не в единицах системы СИ, а в граммах на кубический метр:
/ = Рпар(г/м3). (35.9)
В метеорологии обычно абсолютную влажность оценивают не по плотности пара, а по его давлению, выраженному в миллиметрах ртутного столба, т. е.пола- 344
гак>т f — р (мм рт» ст.). Покажем, что численные значения этих величин при температурах, близких к комнатной, мало отличаются (см. табл. 35.1).
Согласно уравнению идеального газа р = *RT/M (см. (26.18)). Для водяного пара М = 18 кг/кмоль. Если давление выразить в миллиметрах ртутного столба (1 мм рт. ст. — 133,3 Па, см. § 26.2), а плотность — в граммах на 1 м3 (1 г/м?= = 10~3 кг/м3), то уравнение газового состояния для пара примет вид
133,3 р = 0,463рТ, откуда
р (мм рт. ст.) = рТ/288 (г/м3).
А так как комнатные температуры Т л; 300 К, то
р (мм рт. ст.) в р (г/м3).
Абсолютную влажность можно определить по точке росы. Так называется температура, при которой пары, не насыщавшие ранее воздух, станут насыщающими. Так, из табл. 35.1 следует, что если абсолютная влажность воздуха равна 5,60 г/м3, то при 2° С пары станут насы-
Точку росы определяют с помощью гигрометров (от греческого hygros — влажный). Гигрометр Ламберта изображен (схематично) на рис. 35.9. В сосуд А наливается эфир, и через него грушей продувается воздух. При интенсивном испарении эфира температура понижается; когда она станет равна точке росы, стенки сосуда запотевают. Кольцо К отделено от сосуда шайбой из материала, который плохо проводит тепло, поэтому оно не охлаждается. Контраст между блестящим кольцом и запотевшим сосудом облегчает регистрацию момента запотевания. Точку росы определяют по термометру 7\ ртутный шарик которого погружен в эфир.
Введенное выше понятие абсолютной влажности является недостаточным, ибо нас интересует не только абсолютное содержание влаги в воздухе, но и то, в какой степени влажность близка к состоянию насыщения. Поэтому вводится понятие относительной влажности В. Относительной влажностью называется отношение абсолютной влажности к плотности (в метеорологии — к давлению) насыщенного пара при данной температуре-.
В = //рнас //Рнас(35.10)
Измерив с помощью гигрометра точку росы и зная температуру воздуха, можно с помощью табл. 35.1 определить относительную влажность. Например, если точка росы равна 8° С, а температура воздуха 19° С, то относительная влажность
8=鵲^黑 ^50%.
Однако обычно относительную влажность определяют другими приборами ——волосяными, пленочными или полупроводниковыми гигрометрами, а также с помощью психрометров. Так называется прибор, состоящий из двух термометров; шарик одного из них обмотан батистом, конец которого опущен в сосуд с дистиллированной водой (рис. 35.10). Сухой термометр регистрирует температуру воздуха, влажный ——температуру испаряющейся воды. Мы уже говорили о том, что при испарении жидкости ее температура понижается (см. § 35.1). Очевидно, что чем суше воздух, т. е. меньше его относительная влажность, тем интенсивнее идет процесс испарения воды с влажного батиста и тем больше он охлаждается. Наоборот, если воздух содержит много паров и его относительная влажность велика, то испарение воды с батиста будет идти медленно и он будет слабо охлаждаться. Таким образом, разность показаний сухого и влажного термометров (так называемая психрометрическая разность) зависит от относительной влажности воздуха. С помощью специальных таблиц можно легко найти влажность воздуха по психрометрической разности.
ГЛАВА 36
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Изменение агрегатного состояния
Опыт показывает, что при нагревании твердых тел они плавятся, а затем испаряются; охлаждение вещества приводит к обратному процессу. Возможны случаи, когда при повышении температуры кристалла он не плавится, а сразу испаряется (сублимирует). Оказывается, что существенную роль здесь играет не только температура, но и величина давления над поверхностью вещества.
Агрегатное состояние вещества зависит от его температуры и давления над его поверхностью.
Переходы вещества из одного агрегатного состояния в другое, сопровождающиеся изменением характера упаковки частиц (дальний порядок, ближний порядок или полная неупорядоченность), называются фазовыми переходами первого рода.
Как показал акад. Л. Д. Ландау, существуют и фазовые переходы второго рода. При этих переходах меняются некоторые свойства вещества, но характер упаковки частиц не меняется, о чем свидетельствует рентгеноструктурный анализ. Некоторые фазовые переходы второго рода будут рассмотрены при изложении магнитных свойств вещества (см. гл. 42).
§ 362 Диаграмма перехода жидкость — газ
Рассмотрим несколько подробнее график функции (35.8), выражающей зависимость давления насыщенного пара от температуры (рис. 36.1). Здесь точка 4, лежащая на графике, соответствует двухфазному состоянию — насыщенному пару, расположенному над жидкостью и находящемуся с ней в состоянии динамического равновесия. Выясним, каким состояниям соответствуют точки В, С, D и Е, расположенные вне кривой.
Переход из состояния Л в состояние В происходит путем изотермического повышения давления. Но мы уже выяснили в § 35.4, что при изотермическом сжатии насыщенного пара он переходит в жидкость. Следовательно, точка В соответствует жидкости,
сжатой до давления, которое больше давления насыщенного пара при данной температуре. Легко убедиться, что точка С соответствует состоянию жидкости, температура которой ниже температуры насыщенного пара при данном давлении.
Таким образом, точки, лежащие над кривой, соответствуют жидкому состоянию вещества.
Переход из состояния А в состояние D совершается путем изотермического понижения давления. Как было показано в § 35.4, изотермическое расширение насыщенного пара приводит к испарению жидкости и дальнейшему превращению насыщенного пара в ненасыщенный, т. е. в газообразное состояние. Точка D соответствует газу, давление которого ниже давления насыщенного пара при данной температуре.
Точно так же нетрудно убедиться, что точка Е соответствует газообразному состоянию вещества, температура которого выше температуры насыщенного пара при данном давлении, т. е. перегретому пару.
Таким образом, точки, лежащие под кривой, соответствуют газообразному состоянию вещества.
Диаграмма перехода кристалл — газ
Давление насыщенного пара над кристаллом при его сублимации может быть выражено той же функцией (35.8), что и давле
энергией сублимацииэнергией сублимацииние пара над жидкостью, если заменить энергию испарения п0 w& и постоянную 4 —— новой постоянной В,
энергией сублимации
энергией сублимации
характеризующей это вещество. Мы получим такую же кривую, как на рис. 36.1, но с несколько другим наклоном. Оказывается, что в некоторой точке, соответствующей температуре 0, эти кривые пересекаются (рис. 36.2).
При повышении температуры кристалл превращается в газ. При повышении давления газ превращается в кристалл, поскольку упаковка частиц в кристаллах значительно более плотная, чем в газах.
Таким образом, диаграмма фазового перехода кристалл ——газ совершенно аналогична диаграмме перехода жидкость ―■ газ. И здесь точки, лежащие ниже и правее кривой (меньшее давление и высокая температура), соответствуют газообразному состоянию вещества; точки, лежащие выше и левее кривой (высокое давление и низкая температура),—— кристаллическому состоянию.
Диаграмма перехода кристалл — жидкость
Оба рассмотренных выше случая — переходы вещества из газообразного в жидкое или кристаллическое состояние и наоборот ■— имеют много общего. В обоих случаях повышение температуры способствует переходу в газообразное состояние, так как повышение температуры приводит к росту неупорядоченности молекулярного движения, что характерно именно для газа.
Точно так же повышение давления способствует переходу в более конденсированное состояние — жидкое или кристаллическое, так как при возрастании давления молекулы сближаются и возникающие при этом силы притяжения способствуют наведению какого-то порядка в их упаковке: ближнего при высокой температуре и дальнего при более низкой. В результате диаграммы, характеризующие оба этих перехода, очень похожи (рис. 36.2). Кривые, разделяющие области с разными агрегатными состояниями, наклонены здесь к оси абсцисс под острым углом.
Несколько слолснее обстоит дело с диаграммой фазового перехода жидкость —— кристалл.
Повышение температуры и здесь способствует переходу от более упорядоченного в менее упорядоченное состояние, т. е. от кристалла к жидкости. Поэтому на диаграмме область жидкого состояния лежит правее кристаллического. Что же касается влияния давления, то здесь возможны два случая.
У большинства веществ частицы в кр иста л л и чес ком состоянии упакованы более плотно, чем в жидком. Следовательно, у этих веществ повышение давления будет способствовать переходу от более《рыхлой» жидкостной упаковки частиц к более плотной кристаллической. Это значит, что в данном случае точки, соответствующие жидкому состоянию вещества, будут расположены правее и ниже кривой фазового перехода (более высокие температуры и меньшие давления), а точки, соответствующие кристаллическому состоянию,— левее и выше кривой (более низкие температуры и высокие давления). Диаграмма состояния и фазовых переходов такого вещества изображена на рис. 36.3.
Вместе с тем встречаются и вещества, у которых кристаллическая упаковка более «рыхлая», чем жидкостная. У этих веществ плотность кристалла меньше плотности жидкости.
Примером может служить вода, а также некоторые металлы и сплавы (висмут, серый чугун). Увеличение давления способствует уплотнению молекулярной упаковки и тем самым плавлению этих веществ. К такому же результату приводит и повышение температуры. В данном случае точки, соответствующие жидкому состоянию, располагаются правее и выше кривой фазового перехода (более высокие температуры и большие давления), а точки, соответствующие кристаллическому состоянию,— левее и ниже кривой (низкие температуры и малые давления).
Диаграмма состояния и фазовых переходов такого вещества изображена на рис. 36.4. Здесь кривая плавления наклонена к оси абсцисс под тупым углом.
Диаграмма перехода кристалл j кристалл
У любого вещества имеется только одно жидкое и одно газообразное состояние, но кристаллических состояний может быть несколько. Причина заключается в разной степени упорядоченности молекулярной упаковки в этих трех агрегатных состояниях*
Газообразному состоянию вещества соответствует полный молекулярный беспорядок. Такому распределению молекул (или атомов) соответствует очень большое число всевозможных перегруппировок молекул в пространстве. Однако физические свойства вещества при всех этих перегруппировках остаются неизменными. Поэтому им всем соответствует одно газообразное состояние.
Жидкое состояние характеризуется ближним порядком в молекулярной упаковке (гл. 34). Однако и здесь пространственная перегруппировка частиц не отражается на физических свойствах вещества. Поэтому у вещества имеется лишь одно жидкое состояние.
Совершенно иначе обстоит дело с кристаллическим состоянием вещества. Здесь оказываются вполне возможными различные способы пространственной упаковки частиц, различающиеся своими свойствами. Примеры такого рода были подробно рассмотрены в гл. 33.
Тот или иной порядок упаковки частиц в кристаллической решетке определяется условиями, при которых происходит кристаллизация, а именно ——температурой вещества и внешним давлением. При изменении этих условий меняется и характер упаковки частиц.
Таким образом, процессы перекристаллизации вещества, т. е. процессы перестройки кристаллической решетки при изменении внешних условий, являются также примерами фазовых переходов первого рода, и их можно изобразить с помощью диаграмм состояния.
Рассмотрим в качестве примера серу. При давлении 1 мм рт. ст. и температуре 95,5° С из паров серы выделяются как желтые, так и красные кристаллы. При меньших давлениях и более низких температурах ——только желтые кристаллы, при более высоких давлениях и температурах 一 только красные.
Аналогичная картина наблюдается при кристаллизации из расплава. При температуре 151° С и давлении 1288 ат из расплава одновременно выделяются кристаллы обоих сортов, при давлении свыше 1288 ат — только желтые, а при меньшем давлении ——только красные кристаллы. Диаграмма состояния и фазовых переходов изображена на рис. 36,5. Заметим, что масштаб на осях координат не выдержан из-за большого диапазона давлений и температур.
Тройная точка
На всех диаграммах состояния имеются характерные точки, где пересекаются три графика, соответствующие фазовым переходам. На рис. 36.3 и 36.4 это точки 0, где встречаются кривые, соответствующие переходам газ — жидкость, газ — кристалл и жидкость ——кристалл, т. е. процессам кипения, сублимации и плавления. На рис. 36.5 это точка @1 = 95,5° С, соответствующая переходам газ — кристалл I, газ ——кристалл II и кристалл I —кристалл II; точка 02 = 151° С, соответствующая переходам кристалл J —— кристалл II, кристалл I—жидкость и кристалл II—жидкость; точка 03 = 111° С, соответствующая переходам газ — кристалл II, газ —жидкость и жидкость — кристалл II. При этих 350
температурах и соответствующих им вполне определенных давлениях возможно сосуществование трех фаз, например газа, жидкости и кристалла.
Точка на диаграмме состояния, соответствующая условиям, при которых возможно сосуществование трех фаз (трех различных агрегатных состояний вещества), называется тройной точкой.
Поскольку тройная точка является вполне определенной постоянной для данного вещества, то она может служить эталонной
Рис. 36.5.
(реперной) точкой при построении температурной шкалы. В Международной системе единиц СИ тройная точка воды принята в качестве реперной точки для построения абсолютной шкалы температур. Именно, тройной точке воды приписывается температура точно 273,16 К.
Отсюда следует определение единицы измерения абсолютной температуры в Международной системе единиц (см. § 26.7): кельвин—это 27^ 历 часть термодинамической температуры тройной точки воды.
Изменение внутренней энергии при фазовыхпереходах первого рода
Фазовые переходы первого рода сопровождаются изменением внутренней энергии системы частиц, из которых построено тело. Рассмотрим с этой точки зрения процессы плавления и парообразования.
При кристаллической упаковке частицы колеблются около положений равновесия, расстояния между которыми соответствуют минимальному значению энергии взаимодействия при данной температуре вещества. При плавлении кристалла пространственная решетка разрушается и дальний порядок в упаковке частиц переходит в ближний. Обычно в этом случае происходит разрыхление
упаковки, расстояние между частицами возрастает, что ведет к возрастанию энергии взаимодействия между ними. Если же жидкостная упаковка оказывается более компактной, чем кристаллическая (как у воды), то расстояние между молекулами становится меньше расстояния, соответствующего минимуму энергии взаимодействия, что также приводит к возрастанию внутренней энергии.
Итак, плавление кристалла сопровождается возрастанием его внутренней энергии за счет увеличения энергии взаимодействия между частицами. Естественно, что при этом процессе телу необходимо сообщить некоторую энергию — так называемую теплоту плавления.
С помощью аналогичных рассуждений читатель самостоятельно убедится, что процессы, сублимации w парообразования также сопровождаются возрастанием внутренней энергии системы. Для этого следует учесть, что согласно условию, сформулированному в § 31.5, энергия взаимодействия частиц в газах считается равной нулю, а при плотной упаковке она отрицательна. Следовательно, при сублимации кристалла и при испарении жидкости требуется подвести к телу некоторую энергию ——теплоту фазового перехода (теплоту сублимации, теплоту парообразования).
Q= ЕоДГ.Q= ЕоДГ.При фазовых переходах изменяется энергия каждой молекулы. Чем из большего числа молекул состоит тело, тем больше энергии следует затратить на теплоту фазового перехода. Обозначив изменение энергии одной молекулы при этом процессе через е0 и число молекул через М имеем
Q= ЕоДГ.
Q= ЕоДГ.
(36.1)
Умножив и разделив правую часть равенства на массу молекулы 加о, получим
(36.2)(36.2)Q =包团d=入加.
(36.2)
(36.2)
Здесь Q — теплота фазового перехода, m = m^N — масса вещества, 入 E0/m0 — удельная теплота фазового перехода,
Расстояния между частицами при плавлении вещества меняются незначительно по сравнению с расстояниями между ними в кристалле. При испарении или сублимации расстояния между молекулами становятся примерно в 10 раз большими, чем в жидком или твердом состоянии. Отсюда следует, что удельная теплота парообразования должна быть значительно больше, чем теплота плавления. Так, для льда при нормальном атмосферном давлении удельная теплота плавления ХплаЕЛ =80 ккал^кг 3,35 * 105 Дж/кг, а удельная теплота парообразования при этом же давлении Zna =539 ккал/кг = 2,26- 106 Дж/кг.
Из закона сохранения энергии вытекает, что при обратном процессе (конденсации пара в жидкое или кристаллическое состояние или при кристаллизации расплава) внутренняя энергия соответственно уменьшается и теплота фазового перехода выделяется. Этот вывод подтверждается экспериментально.
Тело может получить теплоту фазового перехода за счет теплообмена с окружающей средой. В этом случае фазовый переход происходит при постоянной температуре, которая зависит от давления, при котором находится вещество. Температура фазового перехода может быть найдена с помощью диаграммы состояния. Так, из рис. 36.5 видно, что при нормальном атмосферном давлении сера ггла- внТся при 113° С и кипит при 446,6° С.
Из приведенных графиков видно, что с ростом давления температура кипения жидкости и сублимации кристалла возрастает, ибо здесь всегда из рг>рг следует, что и Т2> Т^ Что же касается точки плавления, то при возрастании давления она повышается у тех тел, где кристаллическая упаковка компактнее жидкостной (см. рис. 36.3).
Тела типа льда, у которых кристаллическая упаковка более «рыхлая», чем жидкостная, ведут себя иначе. Здесь с ростом давления точка плавления понижается, В самом деле, здесь из рАр工 следует 72V 7\ (см. рис. 36.4).
Если поступление энергии за счет теплообмена недостаточно, то теплота фазового перехода может быть получена только за счет изменения энергии молекулярного движения. Это сопровождается изменением температуры тела.
Такой процесс делает возможным, например, хранение сжиженных газов в сосуде Дьюара. Здесь теплообмен с окружающей средой сведен к минимуму (§ 21.5). Жидкость интенсивно испаряетсЯ/ что приводит к ее охлаждению. По этой причине сосуд Дьюара со сжиженным газом нельзя закупоривать. Закупорка приведет к прекращению испарения и тем самым ——к нагреванию жидкости до температуры окружающей среды. А так как эта температура вцше критической, то жидкость при этом сразу же перейдет в газообразное состояние, что приведет к взрыву.
Благодаря интенсивной сублимации сохраняется при атмосферном давлении твердая углекислота ——сухой лед. Его температура составляет ——75° С, хотя температура окружающей среды значительно выше.
Метастабильные состояния
Не следует думать, что как только изменится температура или давление, тело сразу же перейдет в новое агрегатное состояние, соответствующее диаграмме состояния. Только два фазовых перехода осуществляются при изменении температуры или давления без задержек ——это сублимация или плавление кристалла. Все остальные фазовые превращения часто задерживаются. Хотя температура и давление тела могут соответствовать новому агрегатному состоянию, фазовый переход может и не произойти.
Если тело находится в агрегатном состоянии, которое, согласно фазовой диаграмме, не соответствует его температуре и давлению, то говорят, что оно находится в мепгастабильном состоянии.
35335312 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1
353
353
Один из примеров метастабильного состояния был рассмотрен в § 34.6. Это аморфное состояние вещества, которое представляет собой переохлажденную жидкость. Возможно также состояние перегретой жидкости, переохлажденного пара, а также существование кристаллической решетки некоторого типа при условиях, когда более устойчивой является иной вид кристаллической упаковки.
Рассмотрим более подробно последний процесс. Перестройка крметаллической решетки при изменении внешних условий происходит при наличии сильной связи между частицами, плотно упакованными в пространственную решетку. Молекулам «тесно», им очень трудно перегруппироваться в новую кристаллическую решетку, которая лучше соответствует изменившимся условиям. В результате переход из одного кристаллического состояния в другое, как правило, задерживается. Так, если желтую серу при нормальном атмосферном давлении нагреть до 110° С, то она, согласно фазовой диаграмме (см. рис. 36 5), должна превратиться в красную. На самом деле это не происходит, и дальнейший нагрев до 113° С приведет к ее плавлению. При охлаждении расплавленной серы ниже 113° С она образует красные кристаллы, однако при их дальнейшем охлаждении ниже 110° С до комнатных температур они сразу в желтую серу не перейдут. Потребуется значительное время, порядка суток, пока красные кристаллы превратятся в желтый порошок.
Процесс перекристаллизации резко ускорится, если привести в контакт с красными Кристолами, находящимися в метастабиль- ном состоянии, небольшой желтый кристаллйк. Оказывается, что в этом случае частицам гораздо легче укладываться на готовые грани кристаллической решетки, стабильной при новых условиях.
В процессе возникновения новой кристаллической решетки из метастабильного кристалла существенную роль играют флуктуации. Именно они и образуют микроскопические зародыши стабильной кристаллической упаковки, вокруг которых начинается рост нового кристалла.
Так как микроскопические зародыши возникают одновременно в разных точках « ориейтарованы они беспорядочно, то более вероятным является образование поликристаллической структуры, а не монокристалла.
Наличие зародышей, которые служат центрами кристаллиза- ннн, облегчает переход переохлажденной жидкости в кристаллическое состояние- Так, расплавленный гипосулы|>Ит 峥湫口。осторожно охладить до 嘉знатно" температуры, и в таком переохлажденном состоянии ан может находиться сутками. Но достаточно бросить в него маленький кристаллик, как жидкость почти мгновенно кристаллизуется. Заметим, что при этом температура гипосульфита возрастает благодаря выделению теплоты плавления.
Что касается перегретой жидкости и переохлажденного пара, то о них речь пойдет в следующих параграфах.
Конденсация. Пересыщенный пар
Если при неизменном давлении понизить температуру пара ниже точки росы, то должна образоваться двухфазная смесь жидкость — насыщенный пар. Однако опыт показывает, что образова
ние капелек жидкости возможно лишь в том случае, если в газе имеются центры конденсации — пылинки, ио
ны, острия на поверхности
Рис. 36 8.Рис. 36 8.Рис. 36・9・
Рис. 36 8.
Рис. 36 8.
твердах тел и т. п. Если же центры конденсации отсутствуют, то капли жидкости не образуются и возникает метастабильное состояние — пересыпанный (переохлажденный) 図".
Пересыщенный пар можно получить и путем изотермического сжатия пара до давления, которое превосходит давление насыщенного пара при данной температуре. График зависимости давления пересыщенного пара от его объема показан на рис. 36.6.
Способность ионов играть роль центров конденсации используется в камере Вильсона (рис. 36.7). Камера Вильсона представляет собой стеклянный цилиндрический сосуд /, покрытый сверху стеклом 2. Снизу сосуд покрыт слоем черного влажного бархата или сукна (на сетке 3), над поверхностью которого образуется насыщенный пар. При быстром опускании поршня 4 происходит адиабатное расширение газа, что сопровождается понижением его температуры. За счет охлаждения пар становится переохлажденным (пересыщенным).
Заряженные частицы, образующиеся при радиоактивном распаде, например а- или р-частицы, пролетая в газе, создают на своем пути цепочку ионов. На зтнх ионах как на центрах конденсации образуются капельки жидкости. Таким образом, при полете частица оставляет за собой след (трек), который хорошо виден и может быть сфотографирован. На рис. 36.8 показаны фотографии треков а-частиц (короткие и жирные); на рис. 36.9 — треки §・ частиц (прерывистые и длинные).
Кипение. Перегретая жидкость
Испарение жидкости происходит с ее свободной повер хности при любой температуре. Чем выше температура, тем быстрее идет испарение.
Кипением называется процесс бурного парообразования не только с поверхности жидкости, но и по всему ее объему. Для этого жидкость должна быть нагрета до достаточно высокой температуры. При кипении важную роль играют пузырьки газа, имеющиеся в жидкости. Такие пузырьки образуются на границе жидкости и твердого тела. Пузырьки заполнены насыщенным паром жидкости.
При повышении температуры жидкости давление пара в пузырьке возрастает и его объем увеличивается. Выталкивающая сила, действующая на пузырек по закону Архимеда, возрастает с ростом его объема. При определенных условиях она станет больше силы сцепления между пузырьками и твердой стенкой. В этом случае пузырек отрывается от стенки, всплывает и лопается, выбрасывая пар.
Давление насыщенного пара рнас внутри пузырька, находящегося у поверхности жидкости, равно сумме внешнего давления на жидкость Рвнешн и давления под искривленной поверхностью:
Рнас ~ РвнешнН 『， (36.3)
где у — радиус пузырька, а — коэффициент поверхностного натя- 356
женин (§ 34.8). Если пузырек имеет размеры порядка нескольких миллиметров и больше, то вторым слагаемым в (36.3) можно пренебречь. Например, для воды при температуре 100° С величина
lc с 1 八。т т /12о 2・58,8・ IO-3 t i о п
0 = 58,8* 10-3 Н/м, и если 1 мм, то 丁 =——=118 Па.
В то же время нормальное атмосферное давление равно 1,01 • 105 Па, что примерно в 1000 раз больше. Следовательно, для достаточно больших пузырьков условие всплывания пузырька и его разрыва у поверхности жидкости запишется так:
Риас ^^ Рьнешн* (36.4) Это и есть условие кипения.
Итак, кипение жидкости возможно в том случае, если в ней имеются пузырьки достаточно больших размеров (для воды ——порядка миллиметра). Кипение начнется в том случае, когда давление насыщенного пара станет равно внешнему давлению над поверхностью жидкости.
Как мы уже установили, давление насыщенного пара определяется только температурой жидкости. Из условия (36.4) следует, что точка кипения зависит от внешнего давления — с ростом внешнего давления растет и точка кипения. Точка кипения воды при разных давлениях может быть найдена с помощью табл. 35.1 (сгр. 340).
Если в жидкости нет пузырь
ков, способствующих процессуРис- 36」°・
кипения, то ее можно перегреть
без того, чтобы кипение началось. Возникающее при этом мета- стабильное состояние называется перегретой жидкостью.
Перегретую жидкость можно также получить, если уменьшить внешнее давление над жидкостью так, чтобы оно стало меньше давления насыщенного пара при данной температуре. График зависимости давления перегретой жидкости от ее объема показан на рис. 36.6 (стр. 355).
Перегретая жидкость используется в пузырьковых камерах для визуализации треков релятивистских заряженных частиц, т. е. частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света. Такие частицы создают в газах очень мало ионов, и их трек в камере
Вильсона не виден. В жидкостях, где молекулы плотно упакованы, такие частицы создадут значительно больше ионов, чем в газах, и трек может быть зарегистрирован.
Принцип действия пузырьковой камеры аналогичен принципу действия камеры Вильсона. Релятивистская частица, проходя через нагретую жидкость, создает на своем пути цепочку ионов. Если резко понизить давление над жидкостью, то она переходит в перегретое состояние. Ионы служат центрами для вскипания. Возникшие пузырьки образуют трек вдоль пути следования частицы. Этот трек фотографируется (рис. 36.10). В качестве рабочей жидкости в пузырьковых камерах используются сжиженные водород, пропан или ксенон.
§ 36.11. Сжижение газов
1. Для того чтобы газ превратился в жидкость, его температура
должна стать ниже критической. Для таких газов, как хлор (/кр = 132,4° С), углекислый газ (/кр — 31, Г С), ксенон (/кр = 16,7° С) и некоторые
=144° С)
（厶
,аммиак
другие, критическая температура которых порядка комнатных, проблема сжижения решается довольно просто. Снизив их температуру ниже критической, их изотермически сжимают и получают жидкость. Гораздо труд
нее получить
« =_118$ С), = -147,1° С),
жидкий
кислород
азот &р = водород (4р = =—239,9° С) и в особенности жид-
кий гелий (4р = — 267,9° С). Здесь нужны специальные установки, позволяющие получить столь низкие температуры, зачастую, как у гелия, близкие к абсолютному нулю.
Имеется ряд методов, позволяющих решить проблему сжижения газов. Остановимся на одном из них —— охлаждении газов при совершении ими полезной работы путем адиабатического расширения. Холодильные машины, работающие на основе этого принципа, называются детандерами.
Акад. П. Л. Капица разработал весьма производительный турбодетандер—миниатюрную турбину, ротор которой приводится
во вращение предварительно сжатым газом.
2. Рассмотрим принцип действия установки для сжижения газа. Она состоит из компрессора, теплообменника и детандера (рис. 36.11).
Компрессор представляет собой поршневую машину, которая сжимает газ. Избыток тепла, возникающий при сжатии газа, отводится с помощью водяной системы охлаждения. Сжатый газ проходит по внутренней трубе теплообменника, у которого по наружной трубе большего диаметра навстречу течет охлажденный газ. Пройдя через теплообменник и охладившись, сжатый газ проходит через сопло Лаваля и попадает на лопасти ротора турбины, приводя последний во вращение. При адиабатном расширении газа совершается работа за счет уменьшения его внутренней энергии. При этом температура падает стольсильно,что часть газа сжижается и стекает в сосуд Дьюара. Другая часть охлажденного, но не успевшего ожижиться газа идет в теплообменник, где охлаждает вновь поступающую порцию сжатого газа, а затем поступает в компрессор и вновь сжимается.
Развитие методов получения сжиженных газов и, в связи с этим, низких температур привело к созданию криогенной техники. Сжиженные газы находят в настоящее время широкое применение как в физических исследованиях, где необходимы низкие температуры, так и в технике. Так, при испарении жидкого воздуха сперва улетучивается азот и остается чистый кислород. В настоящее время это самый дешевый метод получения чистого кислорода, широко применяемого в медицине, для автогенной сварки, для ускорения доменного процесса и для выплавки стали. Жидкий кислород в смеси с органическими горючими веществами (вата, хлопок, опилки) образует взрывчатые вещества (оксиликвиты), которые применяются в горнорудной промышленности. Их преимущество заключается в том, что если взрыва не произошло, то через некоторое время кислород испарится и взрывчатый патрон станет совершенно безопасным.
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ЭЛ ЕКТРОДИН АМИ КА
ГЛАВА 37
ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ В ВАКУУМЕ
§ 37.1. Силовые линии
В главах 10 и 18 было рассмотрено взаимодействие точечных электрических зарядов и диполей в вакууме. Для удобства вновь выпишем основные соотношения и вспомним их смысл.
Поле неподвижных зарядов ——электростатическое поле ——характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью Е и потенциалом ср. Согласно определению вектор напряженности
E = F[q,(37.1)
где q ——пробный заряд,尸——сила, действующая на пробный заряд в данной точке поля (см. § 10.5). Потенциал
(P = U/%(37.2)
где U -~■ потенциальная энергия пробного заряда в данной точке поля (см. § 18.7).
Если поле создается точечным зарядом Q, то напряженность (см. § 10.6)
Е=^(37.3)
и потенциал (см. § 18.8)
* 4эхеог
Очень наглядную картину электрического поля можно получить по методу силовых линий, который предложен Фарадеем.
Силовой линией (линией напряженности) называется некоторая линия (прямая или кривая), касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности. Силовой линии приписывается определенное направление, совпадающее с направлением вектора напряженности.
Если источником поля является точечный положительный заря% то вектор напряженности направлен вдоль радиуса-вектора, если 360
же источником поля служит отрицательный заряд, то вектор напряженности направлен в противоположную сторону (рис. 10.7). Отсюда следует, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
Не следует приписывать силовым линиям большего смысла, чем просто наглядной картины поля. Нельзя считать, что поле как бы «состоит» из силовых линий (как щетка состоит из волосков),——на самом деле через любую точку поля можно провести силовую линию, так что силовых линий бесчисленное множество.
Не следует отождествлять силовые линии с траекториями движения зарядов в поле; дело в том, что по касательной к траектории направлен вектор скорости, а направление скорости далеко не всегда совпадает с направлением силы и тем самым ——с направлением вектора напряженности. И конечно же недопустимо пытаться объяснять электрические явления с помощью «натяжения», «давления» и «взаимодействия» силовых линий, как это иногда прежде практиковалось в учебной литературе.
§ 372 Эквипотенциальные поверхности
Существует еще один метод изображения электростатических полей —— метод эквипотенциальных поверхностей. Эквипотен
некоторая поверхность, всенекоторая поверхность, всеРис. 37.1.Рис. 37.1.циальной поверхностью называется точки которой имеют одинаковое значение потенциала.
некоторая поверхность, все
некоторая поверхность, все
Рис. 37.1.
Рис. 37.1.
Так, если источником поля является точечный заряд, то из (37.4) следует, что эквипотенциальными поверхностями здесь будет семейство концентрических сфер с центром в точке, где расположен заряд. На рис. 37.1 изображено плоское сечение этой системы эквипотенциальных поверхностей; пунктиром проведены силовые линии.
Как видно из рисунка, направление силовой линии s каждой
точке поля нормально эквипотен
циальной поверхности. Докажем, что это —— общее свойство силовых линий, характерное для поля произвольного заряда или системы зарядов.
Для доказательства выберем на эквипотенциальной поверхности две близкие точки, расстояние между которыми равно А/. Вычислим работу, которая совершается при перемещении заряда q между этими точками.
Как известно (§ 18.7), работа по перемещению заряда между двумя точками поля равна произведению величины заряда на
раз ность потенциалов:
что aчто aРис. 37.2.Рис. 37.2.не равны. ” А так какне равны. ” А так какA —q (Фа.-^-фз)-(37.5)
что a
что a
Рис. 37.2.
Рис. 37.2.
не равны. ” А так как
не равны. ” А так как
Работа эта равна нулю, поскольку точки лежат на одной эквипотенциальной поверхности и фх = ф2; с другой стороны, эта работа может быть выражена и так (§ 18.1):
Д =F Alssa = qEkl cosa.(37.6)
Приравнивая оба выражения для работы, получим
qE Л/cosa — 0.
Но ни заряд, ни напряженность поля, ни расстояние между точ- Следовательно, cos a = 0, откуда вытекает, это произвольные две точки эквипотенциальной поверхности, то отсюда следует, что вектор напряженности направлен по нормали к этой поверхности.
Полученный результат имеет очень важное значение. На основании данного свойства можно по известной системе эквипотенциальных поверхностей построить систему силовых линий и, наоборот, по известной системе силовых линий построить систему эквипотенциальных поверхностей.
Так, можно построить картину однородного поля. Поле называется однородным, если во всех его точках вектор напряженности имеет одинаковую величину и направление, т. е. Е = const. Отсюда следует, что силовые линии во всех точках этого поля имеют одно и то же направление. А это возможно лишь в том случае, если они представляют собой систему па
,. Эквипотенциальные поверхности, соответст
венно, представляют собой систему параллельных плоскостей, перпендикулярных силовым линиям (рис. 37.2).
По картине силовых линий можно судить и о том, как меняется поле от точки к точке. Так, в поле точечного заряда силовые линии расположены гуще вблизи заряда, т. е. там, где модуль вектора напряженности велик (рис. 37.1). Наоборот, в однородном поле, где напряженность во всех точках одна и та же, густота силовых линий не меняется (рис. 37.2).
Связь между напряженностью и потенциалом
Пусть в некоторой точке поля построен вектор напряженности Е и проведена эквипотенциальная поверхность NlrNlt все точки которой имеют одинаковый потенциал 屮】(рис. 37.3). На 362
небольшом расстоянии Л« проведем новую эквипотенциальную
поверхность MzN2i все точки которой имеют потенциал <р2.
Работу по перемещению пробного заряда q на участке Ап вы
числим двумя способами, как это было сделано в предыдущем параграфе. Имеем
Д =g(中 1 —— 中2)= qE An.
Отсюда следует
E=T1^=_磐. (37.7)
Здесь Д(р = 5 — фх —изменение потенциала при перемещении на расстояние Дп по нормали к эквипотенциальной поверхности, т. е. вдоль силовой линии.
Из (37.7) следует наименование единицы измерения напряженности электрического поля в системе СИ — вольт на метр (В/м).
Полученный результат является не совсем точным, поскольку по формуле ДА — FA/cosa = FAn можно рассчитать только эле^ ментарную работу ——иными словами, работу силы на бесконечно
малом перемещении. Точное равенство получим, перейдя в выражении (37.7) к пределу при условии, что перемещение Ап стремится
к нулю:
(37.8)(37.8)Е= — lim ~ •
(37.8)
(37.8)
Итак, напряженность электрического поля характеризует изменение потенциала на единице длины 孔。направлению силовой линии. Заметим, что вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала.
В однородном поле напряженность поля является постоянной величиной, следовательно, в этом поле на заряд действует постоянная сила. Это позволяет пользоваться формулой (37.7) для любых достаточно длинных отрезков силовой линии. Итак, в однородном поле
Е = Qi —屮2)& (37.9)
Диполь в электрическом поле
Пусть диполь (§ 10.4) находится в однородном электрическом поле, так что вектор момента диполя образует угол а с направлением вектора напряженности (рис. 37.4). На диполь в данном случае действует пара сил. Момент этой пары равен произведению силы на плечо (§ 22.4): М ~ Fd ~qEl sin а. Но так как Pe = ql、то окончательно имеем
(37.10)363(37.10)363М ~реЕsina.
(37.10)
363
(37.10)
363
Итак, вращающий момент, действующий на диполь в электрическом
поле, равен произведению электрического момента диполя на напряженность полй и на синус угла между этими векторами.
Под действием вращающего момента сил диполь поворачивается и устанавливается так, что его электрический момент оказывается
параллельным вектору напряженности поля. В таком положении как вращающий момент, так и равнодействующая электрических сил равны нулю, следовательно, диполь будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. В этом же можно убедиться, вычислив энергию
диполя.
6 = U a + U B = q&B—夕中再.6 = U a + U B = q&B—夕中再.(37.11)(37.11)Энергия диполя в электрическом поле есть сумма энергий обоих зарядов, из которых он состоит:
6 = U a + U B = q&B—夕中再.
6 = U a + U B = q&B—夕中再.
(37.11)
(37.11)
Преобразовав несколько это выражение, получим
Здесь ql = pe——момент диполя,(屮人——(pB)/n = £ — напряженность поля и nil = cosa (см. рис. 37.4). Следовательно, энергия диполя в электрическом поле
S = —/Ecosa. (37.12)
Если угол а ==0, то энергия диполя оказывается минимальной: 6мнн = — р『,а вращающий момент равным нулю. Это означает, что диполь находится в состоянии устойчивого равновесия.
При а = л энергия диполя оказывается максимальной: 6макс= =ре£, а вращающий момент в этом случае будет равен нулю. Этому положению диполя соответствует, как видно, состояние неустойчивого равновесия (§§ 19.6 и 22.5).
Ориентирующее действие электрического поля на диполь используется для получения наглядных картин электрических полей. Из металлической фольги вырезают модели электродов и наклеивают их иа дно стеклянного сосуда. В сосуд наливают вязкую непроводящую жидкость (скипидар, глицерин, касторовое масло) и насыпают мелкие частицы, например стриженый волос, манную крупу и т. п. Затем между электродами создают большую разность потенциалов, порядка нескольких тысяч вольт. В электрическом поле частицы поляризуются, т. е.приобре- тают свойства миниатюрных диполей, и вытягиваются вдоль силовых линий поля (рис. 37.5). Мы видим из приведенных рисунков (выполненных по фотографиям), что вблизи заряженных шариков поле весьма неоднородное, а между параллельными пластинами возникает практически однородное поле, которое искажается только на краях.
В неоднородном поле на диполь, кроме вращающего момента, действует еще и равнодействующая сила. Причина заключается в том, что положительный и отрицательный заряды находятся
Рис. 37.5.Рис. 37.5.
Рис. 37.5.
Рис. 37.5.
в разных точках поля, имеющих различную) напряженность (рис. 37.6). Равнодействующая сила
尸=尸4 一尸8 =就4一9% = <7/巨卢，(37.13)
Но ql = ре есть момент диполя, напряженности, т. е. величина,Но ql = ре есть момент диполя, напряженности, т. е. величина,(Ел— Е^И = AE/AZ — градиент характеризующая изменение на(Ел— Е^И = AE/AZ — градиент характеризующая изменение на
Но ql = ре есть момент диполя, напряженности, т. е. величина,
Но ql = ре есть момент диполя, напряженности, т. е. величина,
(Ел— Е^И = AE/AZ — градиент характеризующая изменение на
(Ел— Е^И = AE/AZ — градиент характеризующая изменение на
F=Pe 弋. (37.14)F=Pe 弋. (37.14)
F=Pe 弋. (37.14)
F=Pe 弋. (37.14)
на единице дли-на единице дли-пряженности поля ны. Итак,
на единице дли-
на единице дли-
Под действием этой силы диполь втягивается в область более сильного поля.
По этой же причине к заряжен
ному телу притягиваются легкие
предметы ——клочки бумаги, пылинки, кусочки фольги и т. п. Под действием поля эти предметы приобретают дипольный момент, а затем уже втягиваются в область, где напряженность поля больше, т. е. ближе к наэлектризованному телу.
Плоский конденсатор
Плоский конденсатор представляет собой систему из двух плоских параллельно расположенных металлических пластин площадью S каждая. Расстояние между пластинами d много меньше их линейных размеров. В этом случае пластины можно считать бесконечно большими и пренебречь искажениями поля на их краях.
Пусть заряд на одной из пластин равен д, на второй пластине находится равный по величине заряд, но противоположного знака. Поверхностной плотностью заряда о называется отношение величины заряда к площади пластины:
o = g/S. (37.15)
Единица измерения поверхностной плотности в системе СИ: [о] = Кл/м2.
Поскольку поле между пластинами плоского конденсатора является однородным (рис. 37.2), то напряженность его во всех точках поля одна и та же. Опыт показывает, что напряженность поля пропорциональна поверхностной плотности заряда:
a =a80c,(37.16)
где 尼一некоторый безразмерный коэффициент. В более строгих курсах доказывается, что в системе СИ А = 1. Следовательно, связь между поверхностной плотностью заряда и напряженностью поля плоского конденсатора выражается так:
0 = £。e，(37.17)
Найдем выражение для разности потенциалов между пласти* нами конденсатора. Согласно (37.9) имеем
% —S = Ed・(37.18)
qdqdПодставив значения Ено, получим
qd
qd
(37.19)
Электроемкость
На примере плоского конденсатора видно, что разность потенциалов на его пластинах пропорциональна заряду пластин (37.19). Оказывается, что аналогичный результат получается для системы заряженных проводников произвольной формы. На этом основании вводится величина, называемая электрической емкостью системы (короче — электроемкостью). Электроемкостью системы проводников называется величина, численно равная отношению заряда к разности потенциалов:
(37.20)(37.20)с=3
(37.20)
(37.20)
Для плоского конденсатора, как это следует из (37.19) и (37.20), электроемкость равна
C = ^S/d.(37.21)
Единицей измерения электроемкости в системе СИ служит фарада — это электроемкость конденсатора, у которого изменение 366
заряда на 1 Кл вызывает изменение потенциала на 1 В:
Конденсаторы, применяемые в радиотехнике, имеют электроемкости, значительно меньшие фарады. Поэтому для их маркировки применяют дольные единицы: микрофарады (1 мкФ = 10~в Ф) и пикофарады (1 пФ = 10~12 Ф).
Из выражения (37.21) вытекает наименование (или размерность) электрической постоянной фарада на метр:
[e0J = lCd/S] = Ф- м/м = Ф/м.
§ 37.7. Энергия поля. Плотность энергии
Вычислим энергию конденсатора с электроемкостью С, у которого разность потенциалов между пластинами Аф = фх ——屮 Заряды на его пластинах равны по величине, но отличаются знаком: % =：—g, qz — q, Подставив эти величины в выражение (18.30), получим
(37.22)(37.22)(37.23)(37.23)步(?2Ф1+ 91Ф：
(37.22)
(37.22)
(37.23)
(37.23)
Учитывая, что С = д/Аср, получим окончательно
~~22c.
В рамках электростатики невозможно решить вопрос о том, где сосредоточена энергия: только ли на заряженных телах или во всех точках поля? Однако переменные поля могут существовать независимо от зарядов. При этом, как показывает опыт, переменные поля распространяются в виде электромагнитных волн, которые переносят энергию. Таким образом, само поле является носителем энергии.
Данную идею впервые высказал Максвелл. Он же ввел понятие о плотности энергии ^ ~ W/V как о величине, численно равной отношению энергии Wf содержащейся в некотором объеме У, к величине этого объема. Согласно Максвеллу, плотность энергии поля (в вакууме)
(37.24)
§ 37.8. Сила взаимодействия между пластинамиконденсатора
пластинах является постоянной величиной. Энергию конденсатора выразим через его электроемкость и заряд:
Мысленно передвинем одну из пластин на некоторое расстояние А/ = d2—4，тогда энергия конденсатора изменится:
Из определения энергии взаимодействия следует, что элементарная работа равна убыли энергии:
АЛ =沥］—W%, или так:
尸 Л/_9込/
Отсюда следует, что сила взаимодействия между пластинами конденсатора
尸=一們2£心.(37.25)
Знак минус показывает, что эта сила является сидой притяжения (см. §§ 10.2 и 31.4).
Преобразуем выражение (37.25), учитывая, что q = aS, гдеа— поверхностная плотность заряда. Получим
尸=—行 2s/2е().
Подставив значение о из (37.17), получим
尸=—£о£Л5/2.(37.26)
Поскольку сила, отнесенная к единице площади, есть давление, р = F0 то из (37.26) следует, что электрическое поле оказывает на пластину отрицательное давление (в вакууме):
Ро = —£о£*2/2 = —g.(37.27)
Итак, давление, которое электрическое поле оказывает на заряженные поверхности, равно плотности энергии электрического поля в той точке, где находится элемент данной поверхности, взятой с обратным знаком. Мы получили этот результат для поля плоского конденсатора. Однако, как показал Максвелл, этот результат справедлив для любых неоднородных полей.
Заметим, что если бы пластины конденсатора имели одинаковый по знаку заряд, то знак силы F и давления р был бы положительным, что соответствует силам стталкнва丑на.
Проводник в электрическом поле
Все гела по характеру их проводимости можно разделить на два класса: проводники и диэлектрики (иначе ——изоляторы). Проводники обладают тем свойством, что электрические заряды могу г свободно перемещаться по объему этих тел. В отличие от проводников, в диэлектриках заряды остаются в том месте, где они первоначально были распределены.
Внутри проводника напряженность поля равна нулю. Действительно, если бм поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без всякой затраты энергии от внешнего источника. Но это противоречит закону сохранения энергии. Итак, напряженность поля внутри проводника
Внутр
Отсюда следует, что все точки проводника имеют один и тот же потенциал, а поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. В самом деле, из
Евнугр = (%—6)/d = 0 следует, что 屮1 =屮2.
Выше было показано, что силовые линии поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Поэтому вблизи проводника силовые линии поля перпендикулярны его поверхности.-
Если внутри проводника имеется полость, то напряженность поля в этой полости равна нулю независимо от того, какое поле имеется вне проводника.
На этом принципе основано явление электростатической защиты. если прибор заключить в замкнутую металлическую поверхность, то никакие изменения внешнего электрического поля на этот прибор действовать не будут. Обычно для этой цели используется медная экранирующая сетка, которая заземляется, так что потенциал экрана сохраняется равным потенциалу Земли.
Если привести в соприкосновение два проводника, то происходит перетекание заряда с одного из них на другой до тех пор, пока их потенциалы не сравняются. Воспользуемся этим свойством, чтобы показать, что заряды располагаются только на внешней поверхности проводника.
Коснемся внешней поверхности заряженного тела незаряженным шариком, а затем этим же шариком коснемся электроскопа. Листочки электроскопа разойдутся. Это доказывает, что на шарик при его контакте с внешней поверхностью заряженного тела перетекает некоторый заряд. Если тем же шариком коснуться внутренней поверхности заряженного тела, а затем поднести его к электроскопу, то листочки последнего не расходятся. Это значит, что на внутренней поверхности заряженного тела зарядов нет.
Таким образом можно целиком передать заряд от заряженного шарика уже заряженному телу: для этого достаточно внести этот 369
шарик в полость проводника и коснуться им внутренней поверх-ности. Заряд с шарика должен полностью перейти на внешнююшарик в полость проводника и коснуться им внутренней поверх-ности. Заряд с шарика должен полностью перейти на внешнююааповерхность проводника,поверхность проводника,сам шарик — полностью разрядиться.Опыт подтверждает этот результат.
шарик в полость проводника и коснуться им внутренней поверх-ности. Заряд с шарика должен полностью перейти на внешнюю
шарик в полость проводника и коснуться им внутренней поверх-ности. Заряд с шарика должен полностью перейти на внешнюю
а
а
поверхность проводника,
поверхность проводника,
На данном свойстве основано действие электростатического ген^ ратора Ван-де-Граафа (рис, 37.7). Полый металлический шар I диамет" ром около 1,5—2 м помещается на изолирующей колонне 2 на высоте около 10 м над землей. Бесконечная резиновая лента 3 приводится во вращение с помощью двигателя 4. На ленту с помощью щетки 5 и электрода 6 подается заряд от небольшого выпрямителя. Заряд этот переносится внутрь шара, где гребенчатые щетки 7, припаянные к его внутренней поверхности, отводят заряд с ленты на внешнюю поверхность шара.
Принципиально можно таким путем получить сколь угодно высокий потенциал. Фактически величина по-
рИС1 37.7.тенциала ограничена изоляционными
свойствами колонны и окружающего воздуха. На практике в атмосфере сухого азота при давлении около 30 атмосфер достигается потенциал до нескольких миллио
нов вольт.
Определение заряда электрона
Еще в тридцатых годах прошлого столетия Фарадей на основе анализа открытых им законов электролиза (см. §§ 46.3, 46.4) пришел к выводу, что должны существовать «атомы электричества» — какие-то элементарные электрические заряды. Более четко эти идеи сформулировали в 1874 г. Г. Дж. Стони и в 1881 г. Г. Гельмгольц. Стони и предложил для этого элементарного электрического заряда наименование «электрон».
В конце XIX и начале XX в. Дж. Дж. Томсон, Ф. Ленард, В. Кауфман и др. показали, что катодные лучи (§ 48.6), частицы, испускаемые металлами при их нагреве (§ 47.1) и освещении (§ 68.1), а также бета-частицы, испускаемые некоторыми радиоактивными элементами, имеют одинаковые свойства. Оказалось, что все они заряжены отрицательно, а их удельный заряд (т. е. отношение заряда к массе покоя) — один и тот же и равен примерно 1011 Кл/кг.
Стало ясно, что на самом деле все эти виды излучений суть иучки электронов, получаемые разными способами. В связи с 370
этим возникла задача по возможности более точно найти заряд и массу покоя электрона.
Метод, основанный на исследовании характера движения заряженных микроскопических частиц в однородном электрическом позе, применил Р. А. Милликен. Измерения, начатые им в 1906 г.» продолжались до 1914 г.
Установка, которой пользовался Милликен, изображена на рис. 37.8. Здесь 1 ——плоский конденсатор с отверстием сверху, через которое в область между пластинами изредка попадают масляные капельки, создаваемые распылителем 2. Капелька освещается сбоку и наблюдается с помощью короткофокусного микроскопа 3. Рентгеновская трубка 4 включается периодически; лучи ионизируют капельку, создавая на ней заряд или меняя имеющийся заряд.
Рис. 37.8.
Как было показано в § 11.9, шарообразная капелька падает в воздухе равномерно со скоростью
u = 2r2g(p — po)/9r］；(37.28)
здесь р ——плотность масла, р0 — плотность воздуха,質一вязкость воздуха и 尸 —— радиус капли. Скорость движения капли определяется по времени, в течение которого она проходит между двумя нитями, натянутыми в поле зрения микроскопа. Остальные величины известны. Следовательно, по формуле (37.28) можно определить радиус капли.
Создадим между пластинами конденсатора электрическое поле с напряженностью Е. Если капля несет на себе заряд д, то кроме силы тяжести, архимедовой силы и силы сопротивления (см. § 11.9) на нее действует еще электрическая сила Fe = qE. Уравнение движения примет вид
44
у ЯГ3Р§—у "Зр 这 _6冗尸陋 + gE = 0,(37.29)
где “ 一 скорость капли в поле. Подставив значение радиуса капли из (37.28), получим окончательно:
(37.30)
В опытах регистрировалось изменение заряда капли под воздействием кратковременного рентгеновского облучения. Из (37.30) имеем
^2 八 £ Г 2g (р —Ро) ' '
Это выражение и служило расчетной формулой.
В работе Милликена возникли многочисленные трудности, в особенности с измерением вязкости воздуха. Оказалось, что для микроскопических капелек вязкость воздуха зависит от размеров капель, и пришлось ввести поправку, учитывающую эту зависимость. Для получения надежных результатов пришлось в жироких пределах варьировать условия эксперимента. Разность потенциалов менялась от 1700 В до 5000 В; давление в камере, где помещался конденсатор,— от нормального до 45 мм рт. ст.; в опытах использовались капельки с радиусом от 0,446 до 5,856 микрона.
В результате всех экспериментов получился следующий вывод: изменение заряда капельки всегда кратно элементарному заряду. Иными словами, Nq = Ne, где N — некоторое целое число, а элементарный заряд е = (1,5§2±0,0017)，10Т9 Кл —это И есть заряд электрона. В настоящее время для заряда электрона получено более точное значение:
е = (1,60210 土 0,00007)- 10'19 Кл.
ГЛАВА 38ДИЭЛЕКТРИКИ
Электрическое поле при наличии диэлектрика
Зарядим конденсатор до некоторой разности потенциалов Фо и отключим его от источника тока. Если мы заполним пространство между пластинами диэлектриком, то оказывается, что разность потенциалов уменьшится до значения(р<ф0, хотя заряд на пластинах не изменился.
Отсюда следует, что напряженность поля в диэлектрике Е =(p/d меньше напряженности поля f0 == ^/d, которую создавали те же заряды в вакууме. Отношение напряженности поля в вакууме Ео к напряженности поля в диэлектрике Е называется диэлектрической лроницаемостью вещества:
£ = Ео/Е・(38.1)
Из определения следует, что диэлектрическая проницаемость есть безразмерная величина (отвлеченное число).
Как же объяснить причину уменьшения поля в диэлектрике по сравнению с полем в вакууме? Напряженность поля в вакууме полностью определяется зарядами на пластинах конденсатора:
Е)= о7£(),(38.2)
Рис, 38.1.Рис, 38.1.где о ——поверхностная плотность свободных электрических зарядов. Уменьшение напряженности поля в диэлектрике можно объяснить, если предположить, что в диэлектрике под действием электрического поля возникает поляризационный заряд с поверхностной плотностью опол (рис. 38.1). Тогда
Рис, 38.1.
Рис, 38.1.
£• =(0 — 03)/%.(38.3)+
Возникновение в диэлектрике поля-十
ризационного заряда под действием внеш-+
него электрического поля называется по- ляризац ией ди электр и ков.+
十
Вектор поляризации十
Сущность явления поляризации за- + ключается в том, что частицы, из которых состоит диэлектрик (атомы или молекулы), приобретают дипольный момент, направленный вдоль силовых линий внеш
него поля. Механизм поляризации для некоторых типов диэлектриков будет рассмотрен ниже. Здесь же мы введем величину, характеризующую степень поляризации диэлектрика, — вектор поляризации.
(38.4)(38.4)Вектором поляризации Р называется дипольный момент единицы объема поляризованного диэлектрика. Чтобы его вычислить, необходимо найти векторную сумму дипольных моментов всех молекул или атомов, заключенных в единице объема вещества. Для простоты рассуждений положим, что диэлектрик однородный, следовательно, все его молекулы (или атомы) имеют один и тот же дипольный момент р$. Тогда вектор поляризации
(38.4)
(38.4)
P = Np/V "Ре，
где и ——концентрация молекул (или атомов).
Размерность модуля вектора поляризации совпадает с размерностью поверхностной плотности заряда:
[P]^[NPelV]^l
Покажем, что модуль вектора поляризации равен поверхностной плотности поляризационного заряда. Для доказательства обратимся к рис. 38.1. Поляризованный диэлектрик можно рассматривать как диполь, несущий на себе поляризационный заряд(7ПОЛ = =оП0л5. Момент этого диполя равен ^пол d - on0JISd =оП0лУ. Разделив дипольный момент всего диэлектрика на его объем, мы получим согласно определению модуль вектора поляризации:
Р 一 С"。；!" ._ UflG^Sd — L/QQ K\
L '[7~ —^ 一 ° пол*[ОО.О)
Подставив в выражение (38.3) значение %。网=Р, получим £()Е = о — Р.(38.6)
. Введем вспомогательный вектор смещения D, модуль которого равен поверхностной плотности свободных зарядов: D=o. Получим
£o£"=Z)—Р ♦(38.7)
Учитывая, что в однородном и изотропном диэлектрике направления векторов напряженности и поляризации совпадают, мы видим, что и вектор смещения должен иметь то же направление. Отсюда следует, что равенство (38.7) можно записать в векторной форме:
(38.8)(38.8)D — qE+Р・
(38.8)
(38.8)
Электрическая восприимчивость
У большинства диэлектриков, за исключением некоторых типов кристаллов (которые называются сегнетоэлектриками), вектор поляризации пропорционален напряженности поля:
Р = нее0Е9(38.9)
Величина хе называется электрической восприимчивостью диэлектрика. Рекомендуем читателю путем анализа размерностей убедиться, что электрическая восприимчивость является безразмерной величиной.
Подставим в равенство (38,6) выражения для вектора поляризации и для поверхностной плотности свободных электрических зарядов 0=£oEo = ££qE； получим
е0£ = £ЕоЕ—乂 “оЕ・
Отсюда следует, что диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость вещества связаны соотношением
е = 1 +乂©・(38.10)
В качестве упражнения рекомендуем читателю показать, что векторы смещения и напряженности связаны соотношением
0=е%Е(38,11)
Энергия поля в диэлектрике
Напряженность электрического поля плоского конденсатора и разность потенциалов при наличии диэлектрика выразятся так:
e = ^十姦,ME
%-% = Ed = ^，(38.13)
Отсюда следует, что электроемкость плоского конденсатора при наличии диэлектрика между его пластинами равна
(38.14)(38.14)Су 9=8%S
(38.14)
(38.14)
ф1—ф2&
Выражение для энергии заряженного конденсатора (37.23) остается в силе. Выражение для плотности энергии изменится:
w =w =艺一竺_У —2У 一艺一竺_У —2У 一Ср?WСр?W880S(pa2d ・Sd880S(pa2d ・Sd8%屮& 15r.8%屮& 15r.
w =
w =
艺一竺_
У —2У 一
艺一竺_
У —2У 一
Ср?
W
Ср?
W
880S(pa
2d ・Sd
880S(pa
2d ・Sd
8%屮& 15r.
8%屮& 15r.
Ho q)/d = Е, следовательно,
(38.15)(38.15)w = eeo£*a/2.
(38.15)
(38.15)
Итак, при наличии диэлектрика плотность энергии электрического поля возрастает в е раз по сравнению с энергией поля в вакууме —если только при этом вектор напряженности поля сохранит неизменную величину. Если же неизменным окажется вектор смещения, то плотность энергии в е раз уменьшится. Действительно, в этом случае следует в (38.15) подставить согласно (38.11) значение Е = Z)/ee0; получим
^ = D2/2ee0. (38.16)
Выясним, как изменится сила взаимодействия между пластинами конденсатора, если пространство между ними заполнить газообразным или жидким диэлектриком. С помощью тех же рассуждений, что и в § 37.8, придем к выводу, что давление электрических сил р равно плотности энергии электрического поля, взятой с обратным знаком: р == — w (37.27).
Если пластины конденсатора отключены от источника тока, то заряд на пластинах конденсатора не изменится; следовательно, не изменится и вектор смещения, равный по определению поверхностной плотности заряда на пластинах (D — о). Сила взаимодействия
(38.17)(38.17)
(38.17)
(38.17)
Таким образом, в этом случае сила взаимодействия между пластинами при наличии диэлектрика в 8 раз меньше, чем в вакууме.
Если же пластины конденсатора остаются все время присоединенными к источнику тока, то разность потенциалов между пластинами не меняется, следовательно, не меняется и напряженность поля. В этом случае сила взаимодействия между пластинами конденсатора при наличии диэлектрика оказывается в 8 раз больше, чем в вакууме:
尸=pS = -u>S =—竽S =—瓷=£凡.(38.17')
Итак, сила взаимодействия между заряженными телами довольно сложным образом зависит от наличия между ними диэлект-
рика. Если при наличии диэлектрика вектор смещения не меняется, то сила взаимодействия окажется в е раз меньше, чем в вакууме; если не меняется вектор напряженности, то сила взаимодействия окажется в 8 раз больше, чем в вакууме.
Во всех других случаях только детальный анализ позволяет решить задачу о том, как наличие диэлектрика влияет на силу взаимодействия между заряженными телами. Общую формулу, аналогичную закону Кулона в вакууме, здесь написать нельзя.
Деформационная поляризуемость
При введении понятия о векторе поляризации мы допустили, что молекулы или атомы имеют дипольный момент, направленный вдоль напряженности поля (§ 38.2). Выясним механизм поляризации диэлектриков, т. е. причину возникновения у молекул или атомов дипольных моментов, ориентированных вдоль поля. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением механизма поляризации газов, когда можно пренебречь действием соседних молекул по сравнению с действием внешнего поля.
Оказывается, что возможны два механизма поляризации, причем у разных веществ, в зависимости от строения их молекул, преобладает тот или иной из них.
Атомы и молекулы многих веществ имеют симметричное строение, поэтому у
р.ис 382.них дипольный момент отсутствует. Под
действием внешнего электрического поля электронное облако атома смещается, симметрия его строения нарушается, и атом приобретает дипольный момент. Так как поляризуемость такого рода вызвана деформацией электронного облака атома? она называется деформационной или электронной поляризуемостью.
Простейшая модель такого атома изображена на рис. 38.2. В центре атома расположено положительно заряженное ядро, вокруг которого обращается электрон. Чтобы объяснить сферически симметричное строение атома, разумно предположить,что орбита электрона все время поворачивается, так что электрон довольно быстро перемещается по сфере, в центре которой расположено ядро. А так как центр положительно заряженного ядра и центр отрицательно заряженного электронного облака совпадают, то у атома нет дипольного момента.
Во внешнем электрическом поле на ядро и электрон действуют силы, направленные в противоположные стороны, вследствие чего орбита электрона смещается относительно ядра на расстояние /. Атом приобретает дипольный момент ре = е/. Как было показано (см. § 31.3), дипольный момент деформированного атома
& = е/ = 4"3£oE = aeof,(38.18)
где а ^ 4л/'3 называется поляризуемостью молекулы. Величина вектора поляризации
尸=пре = na80 Е. (38.19)
Сравнивая это выражение с (38.9) и (38.10), получим выражения для электрической восприимчивости и проницаемости вещества (газа) с неполярными молекулами:
хе = па; £ = 1 Т- 乂？ = 1 + па. (38.20)
Оценим полученный результат, приняв радиус атома равным примерно г^ 10~10 м, а концентрацию молекул газа n^2Jx X 1025 м~3. Для восприимчивости получим значение: хе^4лг3п^ ?^3・ 10-4. Порядок величины оказывается верным: электрическая восприимчивость водорода при нормальных условиях равна 2,6 х X Ю"4, гелия 0,5- 10~4, кислорода 5,2- 10~4, аргона 5,4- 10'4. Учитывая, что модель атома, использованная в наших рассуждениях, весьма примитивна, полученное согласие расчетных и экспериментальных данных следует считать хорошим.
Ориентационная поляризуемость
У ряда веществ молекулы благодаря несимметричному строению имеют дипольный момент и в отсутствие внешнего электрического поля. Примерами могут служить молекулы воды (дипольный момент рР = 6,36-10~30 Кл-м), аммиака (4,88-10-30 Кл-м), ацетона (9,30- 10~J0 Кл-м), этилового спирта (5,59-10~30 Кл-м), бензола (0,27- 10_у0 Кл-м). Молекулы такого типа называются полярными.
При отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул ориентированы совершенно беспорядочно. Следовательно, век гор поляризации, равный векторной сумме дипольных моментов единицы объема диэлектрика, при отсутствии внешнего поля ока- зызае1ся равным нулю. Если поместить вещество с полярными молекулами в электрическое поле, то молекула должна, во-первых, деформироваться, и ее дипольный момент должен измениться; во- вторых, за счет момента сил, который действует на любой диполь в электрическом поле (§ 37.4), молекула должна повернуться так, чтобы ее дипольный момент оказался ориентированным вдоль силовых линий поля. Первый эффект, вызванный деформацией молекул в поле, уже был рассмотрен в предыдущем параграфе. Кроме того, он обычно много слабее второго эффекта, который называется ориентационной поляризуемосгпью.
Степень ориентированности полярных молекул в электрическом поле определяется как напряженностью поля, так и температурой вещества. Под действием поля молекулярные диполи поворачиваются так, что момент диполя ориентируется вдоль поля. Тепловое движение разрушает этот порядок, разбрасывая моменты молекулярных диполей по всевозможным направлениям. Положение
здесь вполне аналогично характеру распределения молекул газа в поле тяжести, когда силовое поле как бы «прижимает» молекулы к поверхности Земли, а тепловое движение разбрасывает их по всевозможным направлениям (§§ 26.10 и 26.11). Так же, как и в случае действия поля тяжести, вероятность того, что молекулярйый диполь имеет в электрическом поле энергию 6, определяется согласно формуле (26.25) выражением w = eS/kT, где S=—pe£cosa — энергия диполя (37.12), Т ——абсолютная температура вещества, 々一 постоянная Больццана.
Сделаем упрощенный расчет. В отсутствие внешнего поля молекулярные диполи расположены совершенно беспорядочно, и мы можем считать, что дипольные моменты равномерно распределены по всем осям координат, так что в направлении любой оси располагается одна треть диполей: N^ = N^ = Nz = N& При этом в среднем половина диполей ориентирована вдоль, вторая ——против оси координат.
Поместим диэлектрик в электрическое поле, у которого вектор напряженности направлен вдоЛь оси абсцисс. В этом случае число диполей N+、направленных вдоль поля, несколько увеличится, число диполей Ng, направленных против поля, несколько уменьшится. Величина вектора поляризации
р 一 Ng —必
Согласно формуле (26.26) имеем
N* = Ae-R%N& = Ае-&2 盯《(38.22)
где Л ——некоторая постоянная. Для диполя, ориентированного вдоль поля, а = 0 н его энергия 3^ = — реЕ; для диполя, ориентированного против поля, а = л и его энергия ^а = реЁ.
Дипольные моменты молекул весьма малы (ре^ iq-зо Кл-м), поэтому даже в очень сильных полях (f ^ 10е В/м) энергия молекулярного диполя 杳《10"24 дж. Это значительно меньше энергии теплового движения при комнатных температурах:
6Т = 1,38・ 10-23.зоо^4.ion Дж.
Таким образом, отношение х =——SlkT оказывается очень малой величиной: |х|<10-3. При столь малых значениях х справедливо соотношение: 济^1+%・ Получим следующие выражения для числа диполей, ориентированных вдоль и против ноля:
М Р 4 (1 + 修)=4 (1 一负偿Т) = Л (1+РеЕ*Т), 1
N2^A(\+x^ = A (1 - ^2/АТ) = Л (l-peE/kT). J ( '^
Следовательно, в слабых полях справедливо равенство: N# = Ni + 十必=24 А так как N* = Nl3* то 24=N/3・ Итак,
4=N/6・(38.24)
Полученные значения для числа молекул, ориентированных вдоль поля ^^ и против поля N+、позволяют вычислить величину вектора поляризации. Подставив (38.23) и (38.24) в (38.21), получим
р (% —№) Ре = 24建£ = /V定£ = №；£/оо nr\
厂= V ~ VkT ~ Wkf—丿
Отсюда следует, что электрическая восприимчивость газа, состоящего из полярные молекул, имеет вид
е —5ё^Т *е —5ё^Т *(38.26)
е —5ё^Т *
е —5ё^Т *
Несмотря на то, что при выводе мы сделали ряд упрощающих предположений, полученный результат оказывается правильным.
constconstТот факт, что при неизменной концентрации молекул (следовательно, при неизменной плотности газа) электрическая восприимчивость при ориентационной поляризуемости меняется обратно пропорционально абсолютной температуре, называется законом Дебая:
const
const
(38.27)
Он надежно подтвержден экспериментально для ряда газов и паров.
Естественно, что этот закон не выполняется при низких температурах, где может оказаться, что реЕ^ kT. Но тогда и все наши рассуждения оказываются неверными.
ГЛАВА 39постоянный ток
Стороннее поле. Напряжение и э. д. с.
Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Если упорядоченное движение зарядов возникает в проводнике, то электрический ток называется током проводимости.
Можно указать на ряд факторов, способных вызвать упорядоченное движение зарядов. Прежде всего, это могут быть электрические (кулоновские) силы, под действием которых положительные заряды станут двигаться вдоль силовых линий поля, отрицательные заряды — против линий поля. Поле этих сил мы будем называть кулоновским, напряженность этого поля обозначим £кул.
Кроме того, на электрические заряды могут действовать и неэлектростатические силы, например, магнитные (гл. 41). Действие этих сил аналогично действию некоторого электрического поля. Назовем эти силы сторонними, а поле этих сил — сторонним полем с напряженностью £**.
Наконец, упорядоченное движение электрических зарядов может возникнуть и без действия внешних сил, а за счет явления диффузии или за счет химических реакций в источнике тока. Работа, расходуемая на упорядоченное движение электрических зарядов, совершается за счет внутренней энергии источника тока. И хотя здесь нет прямого действия каких-либо сил на свободные заряды, явление протекает так, как будто бы на заряды действует некоторое стороннее поле. Поэтому для общности рассуждения мы и в этом случае будем вводить эффективное стороннее поле
Энергетической характеристикой кулоновского поля служит потенциал. Введем величины, которые могли бы служить энергетической характеристикой стороннего поля. Согласно определению (см. § 18.7) разность потенциалов равна отношению работы, которую совершают кулоновские силы при перемещении некоторого заряда, к величине этого заряда:
Дф = ф1 —ф2 = Лкул//7. (39.1)
Если при перемещении заряда работа совершается не только кулоновскими, но и сторонними силами, то полная работа
4 = 4咿 + 4仃。「 (39.2) где Лкул ——работа кулоновских сил, Лстор ——работа, совершаемая за счет действия неэлектрических источников энергии ——например магнитными силами, или за счет изменения внутренней энергии при диффузии заряженных частиц, или за счет изменения внутренней энергии веществ, вступающих в химическую реакцию, или за счет энергии света (фотоэффект, см. § 68.1). Разделив левую и правую части равенства (39.2) на величину перемещаемого заряда, получим
Напряжением на данном участке цепи называется величина, равная отношению суммарной работы, совершаемой при перемещении заряда, к величине этого заряда:
и = A/q.(39.4)
Электродвижущей силой (или, сокращенно, э.д.с.) на данном участке называется величина, равная отношению работы, совершаемой неэлектрическими источниками энергии при перемещении заряда, к величине этого заряда:
6 = &тор/д.(39.5)
Из определений этих величин следует, что как напряжение, так и э.д.с. измеряются в системе СИ в вольтах.
Сопоставляя выражения (39.3), (39.4) и (39.5), получим
- Ф1 —中 2+3.(39.6)
Итак, напряжение на участке цепи равно сумме разности потенциалов и электродвижущей силы.
380
Возможны следующие частные случаи:
Если участок цепи однородный и на нем не действуют сторонние силы, то э. д. с. равна нулю и напряжение равно разности потенциалов:
%днор = Ф1一屮2・(39.7)
В замкнутой цепи напряжение равно алгебраической сумме э.д.с. В самом деле, пусть замкнутая цепь состоит из трех участков, тогда
% =%一屮z +品, 〃2 = % - % + 育2，〃3=①3 -①1 + 育y
Работа по перемещению заряда по замкнутой цепи равна сумме работ на участках; следовательно,
卫замкн 工 ％ + 卫2 + % =61 +育2 + 6з”(39.8)
Как было показано в § 37.3, напряженность кулоновского поля Е&уЛ =(①I — 口2)//・ Разделим выражение (39.6) на длину проводника /, получим
/•=虹押 +军.(39.9)
По аналогии величину иН назовем средней напряженностью сум- мирного поля и обозначим ее через
Е = 〃〃.(39.10)
Соответственно величину SH назовем средней напряженностью стороннего поля и обозначим ее через
尸= 6//.(39.11)
С учетом этих определений можно выражение (39.9) записать так:
Е = %“+&,(39.12)
т. е. напряженность суммарного поля есть сумма напряженностей кулоновского и стороннего полей.
Сила тока и плотность тока
Количественной характеристикой тока является величина, равная отношению заряда Ад, который переносится через поперечное сечение проводника за время А/, к этому промежутку времени:
力=第.(39.13)
Эта величина не очень удачно названа силой тока, хотя ничего общего с силой в общепринятом понимании она не имеет.
Точное значение силы тока мы получим, если в выражении (39.13) перейти к пределу при условии, что промежуток времени
381
Л/ бесконечно малый:
£=Нт 架.(39.14)
Если сила тока и его направление не меняются со временем, то он называется постоянным током. Для постоянного тока
f = g〃・(39.15)
Заметим, что в неразветвленной цепи постоянного тока сила тока во всех сечениях проводника одна и та же. В самом деле, заряд А%, втекающий через сечение проводника S〔 за время А/, должен быть равен заряду Л^2, вытекающему через сечение S? за то же время. В противном случае в объеме проводника между обоими сечениями стал бы накапливаться заряд, изменилось бы электрическое поле, а это, в свою очередь, привело бы к Изменению тока, что противоречит условию его постоянства. Но из А% =厶仇 следует: AgJA/ = AgJA/ или & = %, что и требовалось доказать.
Единицей измерения силы тока в системе СИ служит ампер (А) — это сила постоянного электрического тока, при котором через поперечное сечение проводника каждую секунду протекает заряд в одйн кулон:
1А = 1Кл/1с.
В некоторых случаях удобно воспользоваться величиной, называемой плотностью тока. Средняя плотность тока равна отношению силы тока к площади поперечного сечения проводника:
] = i/S.(39.16)
Единицей измерения плотности тока в системе СИ служит А/ма. На практике применяется 1 А/мм2 = 10е А/м2.
Выразим силу тока и плотность тока через скорость упорядоченного движения свободных зарядов в проводнике. Пусть концентрация свободных зарядов равна /г = АЛ7АР, где АР — часть объема проводника; злектркческн立 зарлд одного свободного носителя тока равен е и средняя скорость его упорядоченного движения равна у. Тогда за время А/ через сечение S переносится заряд Ад = = e^N — enJW — enSv^t. Сила тока
i=^ =enSu.(39.17)
Плотность тока
j = 〃S = e而.(39.18)
Эти выражения нам понадобятся в дальнейшем при рассмотрении ряда задач.
Оценим среднюю скорость упорядоченного движения электронов проводимости в металлах. Концентрация' свободных элект- 382
ронов должна здесь примерно совпадать с концентрацией атомов, 孔= 1028—юз» м-s. Наибольшая плотность тока.в металлических проводниках составляет около 10 А/мм2 = 107 А/м2. Тогда
—；[07
и =丄 res [А еб 6 • 10~3 М/С = 6 ММ/С.
еп I ,6・ 10-19, 1028//
Опыты подтверждают порядок полученной величины. Столь малая скорость упорядоченного движения электронов проводимости находится, на первый взгляд, в противоречии с тем, что при включении электрической цепи ток в ней устанавливается практически мгновенно. Однако ничего парадоксального в этом нет. Дело в том, что электрическое поле, созданное источником тока, возникает практически одновременно во всей цепи, поэтому одновременно к векторам скоростей теплового движения электронов в лрбом участке цепи прибавляется вектор скорости упорядоченного движения и, равный примерно 6 мм/с.
Закон Ома для однородного участка цепи
Читателю уже известен один из основных законов цепей постоянного тока — закон Ома для однородного участка цепи. Суть этого закона заключается в следующем. Пусть у нас имеется однородный проводник — им может служить кусок однородного металла постоянного сечения, все точки которого имеют одинаковую температуру. Если на концах этого проводника поддерживается неизменная разность потенциалов Aq)= q)i — ф2, то в проводнике течет ток г, сила которого пропорциональна этой разности потенциалов;
£ = GA<p = *.(39.19)
Итак, 6 однородном участке цепи сила тока пропорциональна разности потенциалов на его концах.
Коэффициент G называется электропроводностью участка. Обратная величина
R=^ =》(39.20)
называется электрическим сопротивлением участка цепи (или просто сопротивлением).
Сопротивление
Читателю известно, что сопротивление металлического проводника пропорционально его длине / и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:
R=^・(39,21)
Проводник, сопротивление которого определяется выражением (39.21), иногда называется резистором (от англ, resistance — сопротивление).
Величина р называется удельным сопротивлением вещества, из которого изготовлен проводник.
Обратная величина
Y = l/p(39.22)
называется удельной электропроводностью.
В Международной системе единиц сопротивление измеряется в омах. Ом — это сопротивление проводника, ток в котором равен 1 амперу, если на концах его поддерживается разность потенциалов 1 вольт:
1 Ом-1В/1 А.
Единицей измерения удельного сопротивления в системе СИ служит Ом-м:
Ip] = IRS/1]。Ом • м2/м = Ом • м.
На практике часто пользуются в миллион раз меньшей единицей:
1 Ом-мм3/м = 10-6 Ом・м.
В довольно широком интервале температур, далеких от абсолютного нуля, удельное сопротивление металлических проводников является линейной функцией температуры / (по шкале Цельсия):
р = Ро(1 +а/)^роа7\(39.23)
(В самом деле, так как а (4 — 5)-10-3 К"1~з К? то 1 +аЗ
Закон Ома в дифференциальной форме
Преобразуем несколько выражение для закона Ома на участке цепи. Для этого в формуле (39.19) выразим силу тока через плотность тока согласно (39.16), сопротивление выразим через свойства проводника согласно (39.21), а разность потенциалов —— через напряженность поля (37.9); получим jS = Е ISgl или, после сокращений, / = £/р. Выразив в этой формуле удельное сопротивление через удельную электропроводность согласно (39.22), получим
j = ?E(39.24)
Таким образом, плотность тока пропорциональна напряженности поля в данной точке проводника, Это выражение носит название закона Ома в дифференциальной форме.
384
Подставив в (39.24) выражение для плотности тока (39.18), имеем env = yEt откуда следует
” уЕ/еп.(39.25)
Итак, оказывается, что средняя скорость упорядоченного движения свободных зарядов в проводнике (например, свободных электронов в металлах) пропорциональна напряженности электрического поля в этом проводнике.
Отношение средней скорости упорядоченного движения свободного заряда к напряженности поля в проводнике называется подвижностью заряда:
b^=v/E = у/еп.(39.26)
Закон Ома для неоднородного участка цепии для замкнутой цепи
В формуле (39.24) фактически фигурирует напряженность кулоновского поля, поскольку это выражение было получено из закона Ома для однородного участка цепи, где действует только кулоновское поле. Однако совершенно безразлично, какое поле действует на заряды ——кулоновское, стороннее или суммарное. От“ сюда следует, что если на данном участке цепи действует не только кулоновское, но и стороннее поле (неоднородный участок цепи), то скорость движения зарядов и, соответствен но, плотность тока окажутся пропорциональными напряженности суммарного поля.
Подставив в (39.24) значение напряженности суммарного поля (39.10) и плотности тока (39.16), получим 〃$ = ?〃〃, откуда следует
it ip/"=话=看="R，it ip/"=话=看="R，(39.27)(39.27)
it ip/
"=话=看="R，
it ip/
"=话=看="R，
(39.27)
(39.27)
Итак, для неоднородного участка цепи закон Ома формулируется следующим образом: сила тока пропорциональна напряжению на участке и обратно пропорциональна его сопротивлению:
i = uJR*i = uJR*(39.28)
i = uJR*
i = uJR*
Подставив значение напряжения из (39.6), можно закон Ома написать и в такой форме:
(39.29)(39.29)；Ф1 -中2十育
(39.29)
(39.29)
При этом следует обратить внимание на знак э. д. с. Если направление вектора напряженности стороннего поля совпадает с направлением вектора напряженности кулоновского поля, то э.д-с. и разность потенциалов имеют одинаковый знак, в противном случае их знаки противоположны.
В замкнутой цепи разность потенциалов равна нулю, поскольку кулоновское поле является консервативным. Следовательно,
38538513 Б, М. Яворский, А. А. Пинский, т. 1
385
385
для замкнутой цепи закон Ома примет вид
i=6]R,(39.30)
Здесь под R следует понимать полное сопротивление цепи, включая и внутреннее сопротивление источника тока, под S— алгебраическую сумму э.д.с. Часто закон Ома для замкнутой цепи записывают в таком виде:
« = А.(39.31)
Здесь под R понимается сопротивление всех резисторов, образующих цепь (сопротивление нагрузки), а под г — внутреннее сопротивление источника тока,
§ 39・7・ Закон Джоуля — Ленца
На резисторах происходит необратимое преобразование энергии электрического тока во внутреннюю энергию проводника. Механизм этого явления мы выясним в § 44.6, здесь мы рассмотрим лишь некоторые количественные соотношения.
Если проводники неподвижны и в них под действием тока не происходит химических реакций, то температура проводника изменится. Изменение внутренней энергии проводника (количество теплоты) Q равно работе Л, которую совершает суммарное поле при перемещении зарядов:
Q = A =qu = /必(39.32)
Воспользовавшись законом Ома (39.28), получим два эквивалентных выражения:
Q =「Rt = WtlX(39.33)
Это и есть закон Джоуля —— Ленца. Заметим, что здесь количество теплоты Q выражено в джоулях, как это принято в Международной системе единиц.
Для расчета теплового действия тока можно, естественно, пользоваться обеими формулами (39.33). Если же нужно сравнить два резистора по характеру тепловых процессов, происходящих в них, то нужно предварительно выяснить: протекает ли по ним одинаковый ток или они находятся под одинаковым напряжением?
Если по двум резисторам протекают одинаковые токи, то согласно формуле
QiRj
больше возрастет внутренняя энергия резистора с ббльшим сопротивлением. С таким случаем мы встречаемся, например, в цепи с последовательным соединением резисторов.
Если же оба резистора находятся под одинаковым напряжением, то согласно формуле
Q = it]R
сильнее нагреется резистор с меньшим сопротивлением. Такой эффект, в частности, наблюдается при параллельном соединении резисторов.
Зарядка и разрядка конденсатора
Рассмотрим цепь, состоящую из резистора, конденсатора и источника тока (рис. 39.1). Пусть в начальный момент конденсатор не заряжен, тогда разность потенциалов между его обкладками равна нулю.
При замыкании цепи по проводнику потечет ток. В начальный момент ток 1ч = 8R поскольку конденсатор не заряжен. По мере зарядки конденсатора между обкладками возникнет разность потенциалов, и кулоновское поле будет противодействовать перемещению свободных зарядов, тем самым уменьшая ток в цепи. Согласно закону Ома имеем
Когда разность потенциалов между обкладками конденсатора станет равна э.д.с. источника, ток прекратится. График изменения потенциала и тока показан на рис. 39.2.
Точный расчет явлений в цепи элементарными методами невозможен. Однако, пользуясь законом сохранения энергии, можно оценить приближенно промежуток времени Af, в течение кото-力 • рого конденсатор заряжается,■夕 |，
В самом деле, работа, совершаемая 占—«---—am---»
источником тока за это время, равна изме- ./i^]
Рис. 39.1.
Рис. 39.2.Рис. 39.2.нению внутренней энергии резистора плюс изменение энергии конденсатора:
Рис. 39.2.
Рис. 39.2.
"сторм Q Ч_1/з^фа*
Конечный потенциал конденсатора равен э.д.с. источника, а работу источника и изменение внутренней энергии резистора можно выразить через среднюю силу тока:
%р 6А，=脸氏 А / +х/2c(^纟
илиилиД/зар ~ 2RC = 2t.Д/зар ~ 2RC = 2t.(39.34)(39.34)Приближенно можно положить, что Zcpw ij2 = 6【2R. Тогда
или
или
Д/зар ~ 2RC = 2t.
Д/зар ~ 2RC = 2t.
(39.34)
(39.34)
Произведение т— RC называется постоянной времени для цепи, состоящей из резистора и конденсатора, или иначе — временем релаксации. Эта величина служит характеристикой того промежутка времени, в течение которого в цепи устанавливается равновесное состояние.
Рекомендуем читателю самостоятельно оценить время, в течение которого заряженный конденсатор разряжается через резистор. Для этой цели следует приравнять энергию заряженного конденсатора изменению внутренней энергии резистора. Для простоты расчета положим £©卩* 32R; тогда окажется, что Д^разр^ 公？ 2RC * 2T.
ГЛАВА 40
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Взаимодействие токов. Магнитные силы
Натянем две длинные станиолевые ленты параллельно друг другу и присоединим их к источнику тока. Если по обоим проводникам потекут токи одинакового направления, то ленты притянутся друг к другу. Если же токи потекут по проводникам в противоположных направлениях, то они оттолкнутся друг от друга. Попытаемся выяснить причину этого явления.
В металлах имеются свободные электроны (электронный газ), распределенные внутри ионной решетки. Суммарный заряд положительно заряженной ионной решетки и отрицательно заряженного электронного газа равен нулю; заряды распределены в проводнике равномерно, так что у системы нет дипольного момента. Благодаря этому суммарная напряженность электрического поля ионной решетки и электронного газа вне проводника равна нулю и вокруг проводника отсутствует электрическое поле. Именно поэтому проводники при отсутствии тока не взаимодействуют друг с другом.
Однако при наличии тока, т. е. упорядоченного движения свободных электронов, между проводниками возникает сила взаимодействия. Это приводит нас к выводу, что силы взаимодействия между движущимися электрическими зарядами отличаются от сил взаимодействия между неподвижными зарядами.
Дополнительные силы взаимодействия, возникающие между движущимися электрическими зарядами, принято по историческим соображениям называть магнитными силами. Дело в том, что на проводник с током, расположенный вблизи постоянного магнита, действуют аналогичные силы.
Следует обратить внимание на тот факт, что на базе ньютоновской механики невозможно объяснить происхождение магнитных сил. В самом деле, в ньютоновской механике силы взаимодействия связаны только с ускорениями. Поэтому согласно ньютоновской механике силы взаимодействия между равномерно движущимися зарядами не должны были бы отличаться от сил взаимодействия между неподвижными зарядами, что не соответствует эксперименту.
Можно подойти к этому вопросу и с других позиций. В ньютоновской механике сила является функцией расстояния между взаимодействующими телами и их относительных скоростей. Но расстояния между электронами проводимости при возникновении тока не изменились; их относительная скорость друг относительно друга осталась равной нулю. Казалось бы, что и никаких сил возникнуть не должно.
Однако опыт св и детельствует о том, что при движении электронов между ними возникли силы, которых не было при отсутствии 388
тока. Тем самым показана ограниченность ньютоновской механики и непригодность ее представлений для трактовки магнитного взаимодействия.
В следующих параграфах мы покажем, что в рамках представлений теории относительности получается правильная трактовка магнитного взаимодействия. Полученные на этой основе закономерности оказываются в полном соответствии с экспериментом.
Закон преобразования для поперечного импульсаи поперечной силы
1. В главах 12 и 13 были выведены релятивистские преобразования для координат и времени — преобразования Лоренца (см. § 12.7), а также выражения для импульса и силы (см. §§ 13.1 и
13.2). Найдем преобразования для проекций импульса и силы вдоль оси апликат, т. е. для поперечного импульса 〃 поперечной силы.
Пусть некоторое тело (точнее — материальная точка) с собст
пульса на эту осьпульса на эту осьMl—〃北2Ml—〃北2(40.1)(40.1)尼=券.(40.2)尼=券.(40.2)венной массой т0 движется со скоростью иг = Аг/А/ вдоль оси ап- ликат. Тогда проекция ее им
пульса на эту ось
пульса на эту ось
Ml—〃北2
Ml—〃北2
(40.1)
(40.1)
尼=券.(40.2)
尼=券.(40.2)
Проекция силы на эту же ось
Рассмотрим, каковы будут
составляющие импульса р； и силы 尸;в другой системе отсчета, которая движется равномерно вдоль оси абсцисс со скоростью а (рис. 40.1).
Поскольку рассматривается движение тела только вдоль оси апликат, то абсцисса тела не меняется (尤=const). Согласно преобразованиям Лоренца здесь
А尸А尸А/НТ/С®А/НТ/С®(40.3)(40.3)
А尸
А尸
А/
НТ/С®
А/
НТ/С®
(40.3)
(40.3)
и проекция скорости тела на ось апликат в новой системе отсчета
〃；=* = ^ К1 - v7c2 =以尸 1-。2/愿(40.4)
Масса в новой системе отсчета:
тгтг(40.5)(40.5)
тг
тг
(40.5)
(40.5)
Заметим, что в формулах (40.3) и (40.5) фигурируют разные скорости. Дело в том, что часы мы считаем всегда покоящимися
относительно системы отсчета, поэтому в закон преобразования времени входит скорость движения одной системы отсчета относительно другой V. Тело же движется относительно обеих систем отсчета: относительно нештрихованной ——со скоростью иг, относительно штрихованной —— со скоростью 丫 = /。2十(〃；产(рис. 40.1). Именно эта скорость и входит в закон преобразования массы.
Имеем далее:
Подставив в (40.5), получим, учитывая (40.1):
т' = гr .(40.6)
/i —е"佇 Кl—ul/с»/1 7"/М
Найдем поперечный импульс в новой системе отсчета. Используя (40.4) и (40.6L имеем
р； = т'и；=• и? /1—va/c2 =掰吃=厶.(40.7) У 1—М/М
Итак, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой поперечный импульс не меняется,
Поперечная составляющая с»лн в новой системе отсчета имеет вид
F；=^ =崎 Kl-v2№ = Fz M 匸历反(40.8)
Итак, в отличие от ньютоновской механики, в теории относительности поперечная сила зависит от скорости, что и позволяет объяснить происхождение магнитных сил.
Взаимодействие между движущимися зарядами
Пусть два точечных заряда Q м g расположены на расстоянии г друг от друга и неподвижны относительно системы отсчета xot/ozo (рцс. 40.2, а). Между зарядами в этом случае действует кулоновская сила:
尸。2 =為・(40・9)
Рассмотрим, какие силы действуют между этими же зарядами в системе отсчета xyz, которая движется вдоль оси абсцисс вправо со скоростью s (рмс. 40.2, 6). Согласно (40.8) имеем
尸?=爲/1-圖愿(40.10)
Относительно системы xyz заряды Q и g движутся со скоростью V ———и()параллельно друг другу. Оказывается, что сила взаимодействия между зарядами в этой системе отсчета меньше, чем в системе отсчета &у(^а, относительно которой они покоятся.
Умножив числитель и знаменатель выражения (40.10) на
У1 ——v2/ca и разложив числитель на два слагаемых, получим
尸 =纟Q"・(40.11)
z 4几8l pi -厘户4冗%f紡］/'1-t)2/C2 '*
Первое слагаемое в этом выражении мы можем рассматривать как электрическую составляющую поперечной силы:
Fe =雙 $ = gE,(40.12)
4л80Г2 р 1 —и2/с2
отсчета xyz:отсчета xyz:где Е — напряженность поперечного электрического поля в системе
отсчета xyz:
отсчета xyz:
(40.13)(40.13)E — Fe _g
(40.13)
(40.13)
q 4л80г2 Н —吗?
Второе слагаемое в (40.11) можно рассматривать как магнитную составляющую поперечной силы:
Fm =——2L.(40.14)
4几8炉々2 p］一卄2俨
Разделив (40.14) на (40.12), получим отношение магнитной силы к электрической:
芸=4・(40.15)
Итак, магнитная составляющая поперечной силы значительно меньше электрической. Поэтому при вычислении силы взаимодействия между свободными зарядами можно в первом приближении пренебречь магнитными силами и вести расчет по известным форму-
391
лам электростатики. Однако в случае, когда заряды движутся в проводнике, электрические силы оказываются скомпенсированными (§ 40.1), и остается одна лишь магнитная сила. Именно этим и объясняется магнитное взаимодействие проводников с током, а также и другие случаи магнитных взаимодействий — в электромагнитах, электродвигателях и т. п.
Вектор индукции магнитного поля. Силовые линии
Выражение (40.14) запишем так:
尸“=敦福簿年亡丽=(40•⑹
где величина
8 =Q 夕■：=——••丁(40.17)
4пгог2с2 /1—v2/c2 4M H1—叫凄'
называется индукцией магнитного поля, а ц0 = 1/е0с2 — магнитной постоянной. Таким образом, аналогично тому, как для описания электрического взаимодействия было введено понятие об электрическом поле, введем для описания магнитного взаимодействия понятие о магнитном поле. А именно, положим, что вокруг движущегося заряда Q возникает магнитное поле; это поле, в свою очередь, действует на движущийся заряд q.
Вектор индукции является силовой характеристикой магнитного поля, аналогично тому, как вектор напряженности является силовой характеристикой электрического поля.
Индукция магнитного поля равна отношению магнитной силы к произведению заряда на его скорость, при условии, что заряд движется перпендикулярно вектору индукции:
8 =萨.(40.18)
Единица измерения индукции магнитного поля в системе СИ называется тесла (Т)——это индукция поля, которое действует на заряд 1 Кл, движущийся со скоростью 1 м/с перпендикулярно вектору индукции, с поперечной силой 1 Н:
I Т— Н*с — Н —Дж*с—В*с
—Кл*м —А-м —К小м® — м2 '
В системе СГС единицей измерения индукции магнитного поля служит гаусс (Гс): 1 Гс = 10-4 Т.
Направление вектора индукции магнитного поля определяется следующим образом. Пусть положительный заряд Q движется со скоростью к; радиус-вектор г перпендикулярен вектору 力 и направлен от заряда к точке поля; тогда вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы «> и г, и образует с ними правовинтовую систему: если винт с правой резьбой ввинчивать по направлению вектора 力,а рукоятку направить вдоль 392
радиуса-вектора г, то направление ее вращения совпадает с направлением вектора 8 (рис. 40.3). Это правило называется «правилом буравчика».
Для наглядного изображения электрических полей мы ввели понятие о силовых линиях поля (§ 37.1). Из этих же соображений введем понятие о силовой линии магнитного поля как о кривой, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.
Из соображений симметрии видно, 厂
что силовые линии магнитного поля,\
возникающего вокруг прямолинейно дви- />у、 \
жущегося заряда, представляют собой / 亦、\ \ концентрические окружности./ ^И^\ ]
40.5. Магнитное поле проводника [虱 \\Р^^^^®^К^
током
L Если по проводнику протекает ток, то вокруг него возникает магнитное поле, так сказать, в «чистом виде», без
электрической составляющей. Причину возникновения такого поля можно понять, исходя из механизма проводимости. Для определенности рассмотрим явления в металлическом проводнике.
Ток в металлическом проводнике —- это упорядоченное движение свободных электронов. Выше было показано (40.13), что напряженность поперечного электрического поля движущегося заряда несколько больше поля неподвижного заряда. Но скорость движения электронов проводимости ничтожно мала по сравнению со скоростью света (§ 39.2), так что практически напряженность электрического поля электронов проводимости и при наличии тока компенсирует напряженность поля ионной решетки, как это имело место при отсутствии тока. Нескомпенсированной окажется лишь индукция магнитного поля токов проводимости. Следовательно, в этом случае мы и наблюдаем магнитное поле в «чистом виде», без электрической составляющей (рис. 40.4).
Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в том, что в электролитах, где ток —— это упорядоченное движение положительных и отрицательных ионов в противоположных направлениях, механизм возникновения магнитного поля такой же: электрические составляющие поля компенсируют друг друга, а магнитные складываются.
Пусть ток I течет по проводнику в виде кольца радиуса а (рис. 40.5). Центр кольца совпадает с началом координат, проводник лежит в плоскости z/г, тогда ось абсцисс будет осью симметрии. Вычислим индукцию поля в произвольной точке на этой оси.
Индукция поля некоторого произвольного электрона может быть найдена по формуле (40.17). Полагая Q = е (заряду электрона)
и учитывая, что скорость электрона проводимости много меньше скорости света в вакууме, имеем
^В = ^.(40.19)
Вектор индукции АВ направлен перпендикулярно радиусу г0< Разложим этот вектор на два: вдоль оси симметрии AB tt = AB cos а и перпендикулярно оси симметрии А8丄=АВ sin а (рис. 40.5),
Для каждого электрона найдется симметричный электрон, расположенный на противоположном конце диаметра и движущийся в противоположном направлении. Из соображений симметрии видно, что
ДВ ц = ДВ и, ABj_ =—А8 丄.
Сложим векторы индукции полей, созданных всеми электронами проводимости. Ясно, что сумма всех поперечных проекций вектора индукции равна нулю. Остается лишь продольная составляющая вектора индукции, направленная вдоль оси симметрии:
ВII — Л^ДВц =N NBcusa、 (40.20)
где N ——число электронов проводимости в проводнике.
Пусть поперечное сечение проводника равно & тогда его объем V = 2nas, а число электронов в нем N = nV = 2冗nas. Учитывая, что cos а — а/л0» преобразуем выражение (40.20); получим
4端
Но ems = х есть сила тока в проводнике (39.17). Итак,
Е=型卢挛.(40.21)
В случае, если точка поля, где вычисляется вектор индукции, расположена вдали от центра кругового тока на расстоянии г = =/汽一а® »а, то можно приближенно положить г^% н заменить 394
2也曲冗022也曲冗02в выражении (40.21) расстояние от точки поля до проводника расстоянием от точки поля до центра кругового тока:
2也曲冗02
2也曲冗02
(40.22)
Полученная формула весьма напоминает выражение для напряженности электрического поля на оси электрического диполя: Ен =2pJ4ji£(/3 (см. формулу (10.10)). Последняя, кстати, также справедлива только для точек поля, расположенных вдали от центра диполя,
Магнитный момент
Назовем магнитным моментом плоской рамки с током произведение тока на площадь рамки:
рт = iS.(40.23)
Для кругового тока /^ =冗。％ где а — радиус круга. Единицей измерения магнитного момента в системе СИ является А-м2.
Магнитный кгомент можно рассматривать как вектор, приписав ему направление положительной нормали к площади рамки. Направление положительной нормали и, тем самым, вектора магнитного момента находится по правилу буравчика (правило Максвелла): если вращать рукоятку буравчика с правой резьбой по направлению тока, то поступательное движение винта покажет направление вектора магнитного момента (см. рис. 40.5).
Воспользовавшись понятием магнитного момента, можно выражение (40.22) записать в векторном виде:
瓦=也包(40.24)
Итак, на относительно больших расстояниях от рамки с током магнитное поле имеет такую же структуру, как и электрическое поле диполя (см. § 10.6); оно пропорционально магнитному моменту и обратно пропорционально кубу расстояния от источника поля до точки ПОЛЯ.
Воспользовавшись этой аналогией, напишем выражение для индукции магнитного поля в точке, лежащей в плоскости кругового тока, т. е. на перпендикуляре к вектору магнитного момента. Аналогично формуле (10.11) имеем
班=一需•(40.25)
Строгий расчет подтверждает правильность этого результата. Знак минус показывает, что направление вектора В^ противоположно направлению вектора магнитного момента.
Следует обратить внимание на тот факт, что вблизи рамки с током структура магнитного поля принципиально отличается от структуры электрического поля диполя. Электрический диполь
состоит из двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов. Силовые линии электрического поля начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном. Силовые линии магнитного поля замкнуты и охватывают рамку с током. Это хорошо видно на рис. 40.6, где изображены силовые линии поля электрического диполя и магнитного поля рамки с током. Однако на больших расстояниях, как видно из рисунка, форма силовых линий обоих полей одинакова.
Заметим также, что на больших расстояниях от рамки с током структура поля перестает зависеть от размеров и формы рамки. Увеличив площадь рамки и уменьшив соответственно во столько же раз ток, мы получим одно и то же поле, ибо магнитный момент при этом не меняется. Более того, оказывается, что и форма рамки перестает играть роль. Можно заменить круглую рамку квадратной, треугольной и т. п. — поле на больших расстояниях от рамки не изменится, если сохраняется магнитный момент.
Наконец, введем понятие о магнитном моменте циркулирующего заряда. Если заряд q движется равномерно по окружности со скоростью и, то возникающее вокруг него магнитное поле непрерывно меняется по направлению. Однако среднее значение вектора индукции на оси будет такое же, как будто бы по окружности течет ток i=g/T, где Т = 2乳r【v ——время одного оборота (период). Отсюда следует, что имеет смысл ввести понятие о магнитном моменте циркулирующего заряда:
冗*ди _ qvr2 1，一2 *冗*ди _ qvr2 1，一2 *
冗*ди _ qvr
2 1，一2 *
冗*ди _ qvr
2 1，一2 *
Итак, магнитный момент циркулирующего заряда pm =9^2.(40.26)
Или так:
~ =訪，加".(40.27)
Но L~tnvr—это момент импульса. Мы видим, что магнитный момент циркулирующего заряда пропорционален моменту импульса тела, несущего этот заряд:
% =說，(40.28)
Как момент импульса L, так и магнитный момент рт являются векторами, перпендикулярными плоскости орбиты. Если на орбите циркулирует положительный заряд, то векторы L и рт имеют одинаковое направление и образуют правый винт с направ-
Рис. 40.7.
лением вращения заряда. Если же на орбите циркулирует отрицательный заряд (например, электрон), то согласно (40.28) вектор магнитного момента имеет направление, противоположное направлению орбитального момента (рис. 40.7).
Напряженность магнитного поля
Наряду с вектором индукции В, который характеризует сн- ловое действие магнитного поля на движущиеся заряды, часто вводится вспомогательный вектор Н, называемый напряженностью магнитного поля. Напряженность определяется как отношение индукции поля в вакууме Во к магнитной постоянной pi0:
// =及/%.(40.29)
Заметим, что по аналогии с учением об электрическом поле, где силовой вектор Е называется напряженностью, а вспомогательный вектор D — смещением, следовало бы и в учении о магнетизме назвать силовой вектор В напряженностью магнитного поля, а вспо* могательный вектор 〃 ——магнитной индукцией или магнитным смещением. Путаница в терминологии возникла еще тогда, когда физический смысл векторов поля В и И был недостаточно ясен.
Согласно (40.29) и (40.21) напряженность магнитного поля на оси кругового тока
""=弊・(40.30)
В центре кругового тока, где 几=а, имеем
"鷗=〃2а・(40.31)
На основе этой зависимости можно определить единицу измерения напряженности магнитного поля в системе СИ: 1 ампер на метр
397
(А/м)—это напряженность магнитного поля в центре круговой рамки с радиусом 1 м, по которой течет ток 2 А.
В системе СГС применяется эрстед (Э):
3 =饗 А/м 80 А/м.
§ 40*8. Магнитное поле соленоида
Соленоидом называется цилиндрическая катушка, состоящая из большого
числа витков проволоки, намотанных на каркас вплотную друг к другу. Можно положить, что соленоид представляет собой систему круговых токов одинакового
радиуса, имеющих общую ось.
Рис. 40.8.Рис. 40.8.Напряженность магнитного поля на оси соленоида равна сумме напряженностей полей от каждого кругового тока. Направление вектора напряженности (и вектора индукции) определяется по правилу буравчика, как это показано на рис. 40.8.
Рис. 40.8.
Рис. 40.8.
Пусть общее число витков провода на соленоиде равно 切,а длина соленоида /. Тогда густота обмотки n = w!l —
это число витков на единице длины. Пусть
длина соленоида много больше его диаметра: Z》а. Оказывается, что в этом слу
чае поле внутри соленоида можно считать однородным, т. е. напряженность его (и индукция) во всех точках практически одна и та же:
〃 =Е(40.32)
Лишь вблизи концов соленоида поле начинает убывать, н на самом конце поле оказывается примерно в два раза слабее» чем внутри катушки:
"нонц ~ т/2.(40.33)
Инвариантность электрического заряда
1. Выше, анализируя природу магнитного взаимодействия, мы полагали, что электрический заряд во всех системах отсчета имеет одну и ту же величину, т. е. что электрический заряд является инвариантом. Выясним те основания, которые приводят нас к такому выводу.
Если допустить, что заряд не является инвариантом, а меняется при изменении скорости частицы, то по аналогии можно судить, что это изменение выражается такой же формулой, что и изменение длины, времени, массы и т. п. (см. § 13.3):
I Ag/q J 1 —К1 —№/。2 и2/2с1.(40.34)
Но скорость электрона в атоме (§ 16.7) составляет примерно 10е м/с, откуда следует
2・ На первый взгляд кажется, что это малая величина, которую трудно обнаружить. Однако более внимательный анализ показывает, что это не так.
398
В самом деле, при изменении температуры тела, а также при химических реакциях энергия электронов меняется в несколько раз (§§ 20.3—20.4). Аналогично меняется и скорость электронов. А так как сксфость ядра при этом не меняется, то не меняется и его заряд. Отсюда следует, что при изменении скорости электрона нарушилась бы нейтральность атома: если в некотором состоянии положительный заряд ядра компенсирует отрицательный заряд электронной оболочки, то в другом состоянии, когда скорость движения электронов меняется, эта компенсация нарушилась бы и атом оказался бы заряженным. И хотя изменение заряда одного атома было бы мало, макроскопический объем газа приобрел бы большой заряд.
Рассмотрим для примера 1 см3 газа. В нем содержится М = =2,7 • 1019 атомов (§ 26.9). Согласно (40.34) этот газ при нагреве приобрел бы избыточный заряд:
AQ = "Ад ^ ^ 2-9-1016 ^ 2• 10 К』・
Это сопровождалось бы возникновением электрического поля с потенциалом
AQ 丁 4ле0гAQ 丁 4ле0г2.10-»*Збл-109-4不］戸2.10-»*Збл-109-4不］戸^2-107 В.^2-107 В.
AQ 丁 4ле0г
AQ 丁 4ле0г
2.10-»*Збл-109
-4不］戸
2.10-»*Збл-109
-4不］戸
^2-107 В.
^2-107 В.
Но электрическое поле с потенциалом в десятки миллионов вольт легко обнаружилось бы! Однако ничего этого опыт не показывает.
Итак, допустив, что электрический заряд не является инвариантом, а меняется с изменением скорости частицы по формуле (40.34), мы пришли к абсурдным следствиям. Следовательно, это допущение ложно.
Тот факт, что ни при тепловых процессах, ни при химических реакциях нейтральность атома не нарушается, является убедительным доказательством инвариантности электрического заряда.
ГЛАВА 41
ЗАРЯДЫ И ТОКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Сила Лоренца
В предыдущей главе было показано, что на заряд, движущийся со скоростью ф перпендикулярно вектору индукции 笈,действует сила F = qvB (40.18). Она называется силой Лоренца. Направление силы Лоренца можно определить с помощью правила 4ево近 руки: если расположить левую руку так, чтобы вектор b входил в ладонь, а вектор v был направлен вдоль четырех пальцев, то отставленный большой палец покажет направление силы, с которой магнитное поле действует на положительный заряд
(рис. 41.i). На отрицательный заряд, движущийся в том же направлении и в таком же магнитном поли, действует сила в противопо
ложном направлении.
Опыт показывает также, что если заряд движется вдоль силовых линий поля, т. е. если векторы скорости и индукции поля па
раллельны или антипараллельны, то магнитное поле на этот заряд не действует.
Отсюда следует, что если вектор скорости движения заряда 力 составляет с вектором индукции 8 некоторый угол а#=л/2, то
можно вектор скорости разложить на две составляющие: продольную и н = 0 cos а и поперечную и丄= = vsina. Сила Лоренца определяется только поперечной составляющей скорости^
F = “丄8 = qvB sin а, (41.1)
Выражение для силы Лоренца может быть записано в векторной форме, если ввести понятие единичного вектора 九口 Модуль еди
ничного вектора равен единице: |л0| = 1, поэтому умножение единичного вектора на скаляр не изменит абсолютной величины последнего. Направление же единичного вектора выберем таким, чтобы он был перпендикулярен векторам © и В согласно правилу левой руки.
Сила Лоренца как вектор запишется следующим образом:
尸=noqvB sin а.(41.2)
Как известно, на электрический заряд действует не только магнитное, но и электрическое поле. Следовательно, если электрический заряд движется в электромагнитном поле, то действующая на него сила может быть представлена как векторная сумма электрической и магнитной составл яющих:
Fe + Fm=q (七 + 常卢8 sina).(41.3)
Данное выражение называется обобщенной силой Лоренца,
Следует отметить одно важное отличие электрической и магнитной составляющих обобщенной силы Лоренца. Как уже было показано в § 18.7, при перемещении электрического заряда в электрическом поле совершается работа, равная произведению заряда на разность потенциалов: Л =g(q\——屮 J・ Магнитная сила ——т. е. сила Лоренца в узком смысле —— работу не совершает. Действительно, элементарная работа ДА =F A/cosp, где § —— угол между йаправлением силы и направлением перемещения. Но сила Лоренца перпендикулярна перемещению заряда (凡 J_ к), следовательно, угол р = л/2 и работа А4=0.
Движение заряженных частиц в однородноммагнитном поле
Пусть частица, заряд которой q и собственная масса т0, влетает в однородное магнитное поле (b = const) с некоторой скоростью е перпендикулярно силовым линиям поля (рис. 41.2). Для
определенности положим, что частица имеет положительный за
ряд. На частицу действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору скорости. Вдоль вектора скорости никакие силы на частицу не
(41.4)(41.4)действуют. Следовательно, уравнение движения частицы можно записать так:
(41.4)
(41.4)
то мы зато мы за尸/ 1—и2/с2尸/ 1—и2/с2Из первого равенства следует, что модуль импульса не меняется: р = =mv = const. Поскольку
то мы за
то мы за
尸/ 1—и2/с2
尸/ 1—и2/с2
ключаем, что модуль скорости частицы 6 однородном магнитном
поле не меняется.
К этому же заключению можно прийти и иным путем, из закона сохранения энергии. В самом деле, в предыдущем параграфе было показано, что магнитные силы работы не совершают, следовательно, кинетическая энергия частицы в однородном магнитном поле не меняется. А это и свидетельствует о сохранении модуля скорости.
Из второго равенства (41.4) следует, что на частицу действует нормальная (центростремительная) сила. Следовательно, направление скорости будет все время меняться и частица будет двигаться по криволинейной траектории.
Покажем, что эта траектория представляет собой окружность. Для этой цели найдем радиус кривизны траектории:
(41 5)(41 5)nW— рqB^qB
(41 5)
(41 5)
Так как заряд и индукция поля постоянны, а модуль импульса, как было показано выше,— тоже постоянная величина, то г — =const. Но окружность есть геометрическое место точек, расстояние от которых до центра является постоянной величиной, т. е. линия с постоянной кривизной (/■ = const). Итак, заряженная частица, влетевшая 6 однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, движется, 6 поле равномерно 几。окружности 6 плоскости, перпендикулярной вектору индукции.
Вычислим период обращения частицы по этой траектории:
7 = 丁 =祺7 = 丁 =祺2冗加02冗加0qB J1 —炉］®qB J1 —炉］®(41.6)(41.6)
7 = 丁 =祺
7 = 丁 =祺
2冗加0
2冗加0
qB J1 —炉］®
qB J1 —炉］®
(41.6)
(41.6)
Мы видим, что при нерелятивистских скоростях (р<^^) период обращения частицы не зависит от ее скорости и радиуса. Если же скорость частицы близка к скорости света (релятивистские и ульт- рарелятнвистские скорости), то с ростом скорости растет и период обращения частвды.
Заметим, что проверка справедливости выражения (41.6) есть
%%одновременно и проверка справедливости одного из основных положений теории относительности — зависимости массы от скорости
%
%
/П =/П =Н 一呷度*Н 一呷度*Эту формулу мы ввели в § 13.1 без вывода. Много
/П =
/П =
Н 一呷度*
Н 一呷度*
численные эксперименты по исследованию характера движения заряженных частиц в магнитных полях позволили с большой степенью точности проверить справедливость формулы (41,6) и, тем самым, зависимость массы от скорости.
Определение знака заряда элементарных частиц
Отрицательно заряженная частица, имеющая такую же скорость, массу и абсолютную величину заряда, что и положительная, будет двигаться по такой же траектории, но с одним отличием: поскольку сила Лоренца изменит направление на противоположное, то и частица будет заворачивать в другую сторону (рис. 41.2). Следовательно, по направлению поворота частицы в магнитном поле можно определить знак ее заряда.
Так был обнаружен по・ зитрон (иначе — антиэлектрон), частица, не отличающаяся от электрона по массе, но имеющая, в отличие от электрона, положительный заряд. Позитрон был обнаружен К. Андерсоном в 1932 г. по характерному треку,
Рис. 41.3.который он оставляет в камере
Вильсона (§ 36.9), помещенной в магнитное поле. На рис. 41.3 изображена фотография трека позитрона, пронизывающего свинцовую пластинку /7, помещенную посреди камеры. Магнитное поле направлено на нас из-за плоскости рисунка.
Направление полета частицы определяется по кривизне траектории. Видно, что внизу радиус кривизны траектории больше, сле-
довательно, и скорость частицы там больше, чем над пластинкой. Отсюда мы заключаем, что частица движется снизу вверх и, пройдя сквозь свинец, теряет часть энергии. Определив таким образом направление вектора скорости и зная направление вектора индукции магнитного поля, мы найдем и знак заряда этой частицы; он оказался положительным. Аналогично определяется знак других элементарных частиц по фотографиям их треков в камере Вильсона или в пузырьковой камере.
Циклотрон
Для ряда исследований в ядерной физике необходимо иметь пучок частиц (электронов, протонов, положительных ионов) с очень большими энергиями. Задача ускорения частиц решается с помощью ускорителей.
Необходимым элементом ускорителя является электрическое поле со значительной разностью потенциалов. Именно это поле и ускоряет частицы, сообщая им кинетическую энергию К =舛，где <р — разность потенциалов, q — заряд частицы. Однако создание электрических полей с разностью потенциалов порядка миллиона вольт связано с колоссальными трудностями. Создание полей с еще большей разностью потенциалов принципиально невозможно из-за возникновения газового разряда. Между тем, для экспери
ментальных исследований в ядернойРис. 41.4.
физике необходимы частицы (например протоны) с энергией в десятки и сотни миллиардов электронвольт (10—100 ГэВ).
Единственный выход заключается в том, чтобы заставить частицу пройти ускоряющее электрическое поле не один раз, а несколько раз. Так, если протон пройдет 30 тысяч раз ускоряющее поле с потенциалом 22 000 В, то он приобретет энергию 660 МэВ. Для этой цели частица должна двигаться по замкнутой траектории или по спирали. Это возможно, если движущуюся частицу поместить в магнитное поле. Ускорители, работающие по этому принципу, называются циклическими ускорителями.
Первый циклический ускоритель, названный циклотроном, был разработан Э. Лоуренсом в 1930 г. Схема его устройства изображена на рис. 41.4.
В вакуумной камере размещаются два полуцилиндра, называемых дуантами. Вблизи центра камеры располагается источник положительных ионов, которые вбрызгиваются в пространство между дуантами. Для того чтобы ионы при своем движении не сталкивались с молекулами воздуха, в камере с помощью мощных
насосов поддерживается высокий вакуум ——давление, примерно в миллиард раз меньшее атмосферного (около 10-5 —— 10~6 мм рт. ст.). К дуантам подводится высокочастотна я переменная разность потенциалов с частотой порядка 1—10МГц (1 МГц = 106 колебаний в секунду). Средняя разность потенциалов — от нескольких сот до нескольких десятков тысяч вольт.
Вакуумная камера помещается между полюсами мощного электромагнита, где создается магнитное поле с индукцией 1,3—-1,6 Т. Вес стального сердечника электромагнита составляет несколько тысяч тонн; обмогки электромагнита питаются от генераторов мощностью несколько мегаватт.
Принцип действия циклотрона заключается в следующем. Положительный ион, попав в зазор между дуантами, приобретает кинетическую энергию Ki=p；/2m = qq, где <р ——разность потенциалов между дуантами, q ——заряд иона. Импульс иона при однократном воздействии поля
Pi =М2т^(р.
Под действием магнитного поля ион движется по полуокружности, радиус которой (см. (41.5))
PiV2mq^下/^ К2ф
Г qB qBV q В
ружности 『2 =ружности 『2 =Если в тот момент, когда ион опять попадет в промежуток между дуантами, электрическое поле изменит свою полярность, то частица получит еще одну порцию энергии. Ее кинетическая энергия станет равной /<2 = 2夕中，импульс рг = У ^mq^ и радиус полуок
ружности 『2 =
ружности 『2 =
• Сделав N оборотов, ион пройдет уско
ряющее поле 2N раз, следовательно, его конечная кинетическая энергия К = 2NqQ, а радиус конечной орбиты иона (радиус дуанта)
тумаке _ .旷2现《 =-qB — qB 一тумаке _ .旷2现《 =-qB — qB 一(41.7)(41.7)
тумаке _ .旷2现《 =
-qB — qB 一
тумаке _ .旷2现《 =
-qB — qB 一
(41.7)
(41.7)
Пусть требуется разогнать двукратно ионизированный ион бериллия до энергии К = 100 МэВ. Примем, что ускоряющий потенциал <р — 500 В, тогда N — К/2д(р = 50 000. Масса иоиа бериллия 恤=15,0 • 10~27 кг, заряд иона g = =2е = 3,2- 10~и Кл. При индукции поля В = 1,53 Т радиус дуанта
м.м.К 2・15・ 10-27.100.16 10-13
м.
м.
« = ~1,53-3,2.10-^~
Заметим, что конечная скорость иоиа составит
"荻 т/2-Ю0.1,6- 10-^
。= U ^= U •-• 15・1。e一=4,6•107 м/С.
т, е. примерно 15% от скорости света в вакууме.
Для того чтобы ион непрерывно ускорялся, необходимо, чТобы он попадал в ускоряющий промежуток между дуантами в тот
момент, когда электрическое поле изменит свою полярность. Следовательно, период изменения полярности ускоряющего электрического поля должен совпадать с периодом обращения иона. Это условие называется условием синхронизации. Согласно (41.6) условие синхронизации запишется так:
^поЛя = ЛоНа = 2лт/^В.(41.8)
Для рассмотренной выше задачи с ионом бериллия имеем
2л-15 -10~271 qq s 7 л о
Т = 3,2-Ю-1». 1,53 = ,93' ° с * 0'2 мкс.
Частота изменения полярности
1 Ю7
v=y = —^=5,2.106 Гц = 5,2 МГц.
Энергия частицы и условие синхронизации
В предыдущем параграфе мы не учитывали зависимости массы иона от скорости, т. е. считали, что ион движется со скоростью, много меньшей скорости света в вакууме. При этом период обращения частицы в магнитном поле является постоянной величиной, следовательно, и равный ему период изменения полярности ускоряющего электрического поля тоже является постоянной величиной. Обозначив его через То, имеем
То = 2nmMqB.(41.9)
Если при ускорении частицы ее скорость станет приближаться к скорости света в вакууме, то ее масса возрастет. Следовательно, возрастет и период ее обращения.
Разделим (41.6) на (41.9) и учтем, что т/т^ = тс^/т^ =^/^0 = =(君о + Ю/(^о, где 3 — полная энергия частицы, ^0 —— энергия покоя н К — кинетическая энергия. Тогда
т =乌 _ 君 о+К __ 1 I 三
г0加0 号0君0
Отсюда следует
7 = 7。(1+幫=需(1+含)・С」。)
Итак, период обращения частицы заметно изменится лишь в том случае, если кинетическая энергия частицы станет соизмерима с ее энергией покоя.
В рассмотренной выше задаче с ионом бериллия его энергия покоя
15. 10-27 О. 1 Л16
£о = т£= 15・Ю-27・9 ю^ Дж」？ ； б・10：二 =8400 МэВ.
а кинетическая энергия в конце цикла ускорения К =100 МэВ. Следовательно, период обращения частицы увеличится примерно на 1,2%, что почти не нарушит
405
условия синхронизаций. Если до такой же кинетической энергии ускорить протон, масса покоя (и энергия покоя) которого в 8,94 раз меньше массы иона бериллия, то здесь период обращения увеличится почти на 11%, что резко нарушит условие синхронизации и» тем самым, режим ускорения частицы.
Если попытаться в циклотроне ускорять протоны до кинетической энергии К = 1 ГэВ, то у нас ничего не выйдет. В самом деле, энергия покоя протона
^0= 1,67-Ю-27 кг-9-101в м2/с* = 1，67/^йо21()1018 = 0,938 ГэВ.
Следовательно, в этом случае K^Sq и 7^27°, т. е. период обращения протона при таких значениях энергии увеличится вдвое по сравнению с периодом обращения нерелятивистского протона. Если при этом период изменения полярности ускоряющего электрического поля остается неизменным, то протоны не будут в нужные моменты времени попадать в ускоряющее поле, т. е. они выпадут из синхронизма и их ускорение прекратится.
Итак, циклотрон пригоден для ускорения только нерелятивистских частиц, кинетическая энергия которых много меньше их энергии покоя или, что то же самое, скорость много меньше скорости света. Для получения релятивистских, а тем более ультрареляти- вистских частиц циклотрон непригоден.
Циклотрон совершенно непригоден для ускорения электронов, энергия покоя которых ^0 = 9-10~81 кг*9- 101в м3/с2 — 0,51 МэВ. Естественно, что уже при небольших энергиях, меньших даже 1 МэВ, электрон становится релятивистской частицей и выпадает из синхронизма. Поэтому циклотроны используют только для ускорения относительно тяжелых ионов. К достоинствам циклотрона относится то, что он работает в непрерывном режиме и может при этом ускорять одновременно много частиц.
Синхрофазотрон
Для получения релятивистских частиц с кинетическими энергиями в десятки гигаэлектрон-вольт в настоящее время используются приборы, называемые синхротронами или синхрофазотронами. Первый синхрофазотрон, ускоряющий протоны до кинетической энергии 10 ГэВ, был построен в 1957 г. в Советском Союзе в Объединенном институте ядерных исследований (г. Дубна). С тех пор в Советском Союзе, США и других странах созданы синхрофазотроны, в которых протоны разгоняются до весьма больших и все увеличивающихся значений кинетической энергии. В настоящее время в СССР крупнейшим является синхрофазотрон, построенный вблизи г. Серпухова.
Вычислим максимальный импульс и, соответственно, максимальный радиус орбиты протона в серпуховском синхрофазотроне. Из соотношения между энергией и импульсом частицы (16.8) 406
имеемимеем吋恤仪/而二就一/К低十26。）.吋恤仪/而二就一/К低十26。）.
имеем
имеем
吋恤仪/而二就一/К低十26。）.
吋恤仪/而二就一/К低十26。）.
Энергия покоя протона ^0 =0,938 ГэВ, а его кинетическая энергия в серпуховском синхрофазотроне достигает /С = 76 ГэВ. С ошибкой менее 1,5% можно положить, что кинетическая энергия совпадает с полной, т. е.苏=К, а импульс р = К0 Тогда максимальный радиус согласно (41.5) окажется равным
D 一 т%акс 一 НК (К + 2бо)〜 К ⑷ J 1 \
При индукции поля в зазоре В = 1,07 Т получим
« = 1,07L6.10-山.3.1()8 NJ/ m.
Создание сплошного электромагнита (как у циклотрона) с диаметром около полукилометра представляет собой практически невыполнимую задачу. Поэтому у синхрофазотрона магнитное поле создается в относительно узкой кольцевой камере и ускоряемые протоны движутся по окружности постоянного радиуса. Вакуумная камера синхрофазотрона в Дубне имеет ширину около полуметра. В Серпухове, благодаря применению нового метода фокусировки пучка протонов, ширина камеры менее 10 см.
Из этой особенности процесса ускорения протонов в синхрофазотроне вытекает ряд следствий.
Прежде всего, в отличие от циклотрона, синхрофазотрон не может начать процесс ускорения частиц «с нуля» — в его камеру необходимо ввести уже релятивистские протоны. В камеру синхрофазотрона в Дубне вводятся протоны, первоначально ускоренные линейным ускорителем до энергии 9 МэВ. В серпуховском синхрофазотроне начальная энергия протонов еще больше: 100 МэВ-
Далее, для того чтобы при возрастании энергии частиц радиус орбиты не менялся, необходимо согласно (41.5) с ростом импульса протона увеличивать индукцию магнитного поля так, чтобы их отношение оставалось постоянной- величиной. Этим синхрофазотрон принципиально отличается от циклотрона, где индукция магнитного поля в процессе ускорения частиц не меняется.
Наконец, необходимо менять соответственно и период изменения полярности ускоряющего электрического поля. В самом деле, период обращения частицы Т = 2几R/и. Поскольку радиус орбиты в синхрофазотроне не меняется, то с ростом скорости частицы период ее обращения убывает. Аналогично должен убывать и период изменения полярности ускоряющего электрического поля.
Рассчитаем некоторые характерные параметры синхрофазотроиа. Начальная кинетическая энергия протона К】~9 МэВ, конечная 裁纟=10 ГэВ. Максимальная индукция магнитного поля в зазоре, где находится вакуумная камера, 8макс=1，26 Т.
Радиус орбиты вычислим по (41.11); имеем
П 一 к2 _1010，1,6，1079一9…
“ 一 «бмакс — 1,6 • 10-19 • 1,26 ■ 3 • 108 — °'•
Период обращения частицы
Т = к=丁=к・(41.12)
Но импульс Р=~]^<§2 — 6^, следовательно
2jiR苏 ― 2nR
=cp赞—硝=cpl—硏/£ •(41」3)
Начальная энергия ^1=^0+ Ki= 938 + 9= 947 МэВ; начальный период:
Т\ =.2"・26,6一 = 4,05.1 о - 6 с = 4,05 мкс.
3-108 )< 1 — (938/947)2
Соответственно для конечной энергии S^S^^^ 0,938+10 = 10,938 ГэВ, а для периода
戏=—,2w・26,6 =о,57・ JO-8 с=0,57 мкс.
3-Ю8 Н1—(0,938/10,938)2
Итак, частота изменения ускоряющей разности потенциалов электрического поля должна меняться от 0,247 МГц до 1,75 МГц.
За один оборот протон проходит один раз ускоряющее электрическое поле с максимальным потенциалом 2,2 кВ. Чтобы его кинетическая энергия достигла 10 ГэВ, он должен совершить N= 1010/2,2* 103 — 4,5- 10е оборотов. Весь цикл ускорения длится 3,3 с.
В отличие от циклотрона, работающего в непрерывном режиме ускорения, синхрофазотрон работает в импульсном режиме. Дело в том, что в камеру циклотрона можно все время вводить ионы, которые будут непрерывно ускоряться, так как индукция магнитного поля и период изменения полярности ускоряющего электрического поля не меняются в процессе ускорения.
У синхрофазотрона впуск частиц с определенной энергией в камеру возможен лишь в тот момент, когда магнитное поле минимально, а период изменения ускоряющего потенциала наибольший. Если частицы с заданной энергией впустить в камеру в другой момент, когда индукция магнитного поля увеличилась, а период изменения полярности ускоряющего поля уменьшился, то эти частицы не будут удовлетворять условию синхронизации и потому не будут ускоряться.
Итак, в синхрофазотроне ускоряется лишь определенная порция — «сгусток» частиц, и до тех пор, пока цикл ускорения этих частиц не закончится, новую порцию частиц в камеру впускать нельзя.
Важнейшей проблемой является выяснение возможности создания в синхрофазотроне устойчивого сгустка частиц, который не распался бы в процессе ускорения. Возможность создания такого устойчивого сгустка вытекает из принципа автофазировки, 408
который открыл в 1944 г. в Советском Союзе В. И. Векслер, а в 1945 г. в США Э. Мак-Миллан, Суть этого принципа заключается в следующем.
Если бы в синхрофазотроне ускорялись только те частицы, частота которых точно совпадает с частотой изменения поля, то не имело бы смысла создавать установку, так как число таких равновесных частиц ничтожно мало. Векслер показал, что ускоряться будет сгусток частиц, для которых условие синхронизации выполняется приближенно: Гцоля^ Тнона・ Эти частицы то разгоняются быстрее равновесных и опережают их — тогда поле начинает их тормозить; когда же их скорость станет несколько меньше скорости обращения равновесных частиц, поле опять станет их разгонять. В результате этого процесса частицы в сгустке ускоряются, но их энергия не возрастает монотонно, а колеблется около значения энергии равновесных частиц. Число частиц в сгустке на несколько порядков больше числа равновесных частиц.
Удельный заряд электрона
Удельным зарядом частицы называется величина elm®, т. е. отношение заряда частицы к ее массе покоя. Заряд частицы может быть определен весьма точно. Поэтому по известным значениям заряда частицы и ее удельного заряда можно вычислить ее массу покоя.
Рис. 41.5.
Электрический заряд любой элементарной частицы, как показывает опыт, всегда равен по абсолютной величине заряду электрона (или равен нулю). Заряд любого иона кратен заряду электрона.
Существует множество методов определения удельного заряда электрона. Рассмотрим один из них ——метод фокусировки в продольном магнитном поле.
Установка представляет собой осциллографическую трубку, которая помещается внутрь длинного соленоида, создающего здесь достаточно однородное магнитное поле с индукцией В (рис. 41.5). Электроны, вылетев из катода, разгоняются в электрическом поле
анода, потенциал которого равен <р. Скорость электрона найдем из условия etp = m№/2・
Разложим вектор скорости электрона на две составляющие一 поперечную и± = vsina и продольную vn = vcosa. На продольную составляющую магнитное поле не действует; следовательно, путь, пройденный электроном вдоль поля, равен
/ = иМ =加 cos а.
На составляющую и丄 действует сила Лоренца, которая при отсутствии vn заставила бы электрон двигаться по окружности. В итоге движение электрона происходит по винтовой линии. При малых углах (cos а^ 1) частицы будут фокусироваться практически в одной точке. В самом деле, фокусировка возникает при условии, что электрон, пройдя расстояние ，^и厶 успеет обернуться один или несколько раз, т. е. если / =пТ0 = 2лт0п/еВ (где м = 1, 2, 3,・・・)• При минимальной индукции поля электрон совершит один оборот, следовательно, / = 2пид/еВ. Подставляя и = $2© • ф//п, получим
е 8М(р
Потенциал анода, индукция магнитного поля и расстояние между управляющими электродами и экраном трубки легко определяются экспериментально либо вычисляются.
В результате тщательного анализа всех методов измерения удельного заряда электрона для него сейчас принято значение
〃惆=(1,75888± 0,000022). 1011 Кл/кг.
Отсюда следует, что собственная масса электрона
т0 = (9,1086± 0,0003) • 10"зг кг.
Удельный заряд иона
При определении удельного заряда иона встречаются значительные трудности, связанные с тем, что в пучке ионов содержатся частицы с весьма различными скоростями, что очень затрудняет их фокусировку. Нужно выделить из пучка ионы, имеющие одну и ту же скорость. Для этой цели часто применяется фильтр скоростей. В этой установке (рис. 41.6) вектор напряженности электрического поля перпендикулярен вектору индукции магнитного поля. На положительный нон, движущийся в скрещенных электрическом и магнитном полях, действуют две силы: электрическая сила F『qE, отклоняющая ион вниз, и сила Лоренца Fm = qvBf отклоняющая его вверх. Ион пролетит через щелевую диафрагму только в том случае, если направление его скорости не изменится; это возможно лишь при условии, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца: % = %, или qE = qvB. Итак, через щелевую диафрагму пройдут только те ионы, скорость которых удовлетворяет условию V — Е/В. Остальные ионы отфильтруются.
"中①用歹шпкшяшяя"中①用歹шпкшяшяяN 73 % 乃N 73 % 乃ГерманийГерманийМнМн7еллурРис. 41.7*7еллурРис. 41.7*Рис. 41.6.Рис. 41.6.
"中①用歹шпкшяшяя
"中①用歹шпкшяшяя
N 73 % 乃
N 73 % 乃
Германий
Германий
Мн
Мн
7еллур
Рис. 41.7*
7еллур
Рис. 41.7*
Рис. 41.6.
Рис. 41.6.
Имеющие одинаковую скорость ионы фокусируются затем с помощью электрических или магнитных полей. В некоторых масс- спектрографах для фокусировки применяется поперечное магнит
ное поле.
Ионы, вылетев из фильтра скоростей, движутся в поперечном однородном магнитном поле. Их траектории — полуокружности радиуса г = ют/д8丄(41.5), где д/пг •— удельный заряд иона ),
В丄 一индукция поперечного магнитного поля в масс-спектрографе. Поскольку скорость ионов и индукция поперечного поля — задай-
ные величиии, то радиус полуокружности целиком определяется удельным зарядам иона. Пучки
с разным значением удельного заряда иона фокусируются в разных точках.
Поместив в месте фокусировки пучков фотопластинку, можно зафиксировать эти точки, получив так называемый спектр масс (см., например, рис.4L7). Из соотношения q!m~v!rB^ следует, что отклонение данной полоски в спектре масс от точки входа пучка обратно пропорционально удельному заряду иона.
Для определения удельного заряда некоторого иона нужно масс-спектрограмму вначале протарировать с помощью ионов с известным удельным зарядом. Обычно для этой цели используются ионы углерода или кислорода.
С помощью масс-спектрографа было показано, что многие вещества представляют собой смесь изотопов (§ 88.1). На рис. 41.7 показана масс-спектрограмма изотопов цинка, у которых массы ядер относятся как 64 : 66 : 67 : 68 : 70, а также масс-спектрограм- мы германия и теллура.
Проводник с током в магнитном поле
1* Опыт показывает, что на проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила, направление которой определяется правилом левой руки,——тем же правилом, которое служит для
определения направления силы Лоренца. Причина возникновения этой силы совершенно ясна. Ток в проводнике ——это упорядоченное движение электронов. На каждый движущийся электрон магнитное поле действует с силой / = evB sin а (41.1). Сила, действующая на весь проводник, является векторной суммой элементарных сил Лоренца, действующих на каждый электрон.
Вычисление этой силы, которая называется силой Ампера, в общем случае весьма затруднительно. Вычислим силу, с которой однородное магнитное поле с индукцией В действует на прямолинейный проводник с током.
В этих условиях все электроны движутся в одном направлении, вследствие чего все элементарные силы Лоренца, действующие на отдельные электроны, направлены в одну сторону и вместо векторного суммирования нужно просто сложить модули ^сех элементарных сил. Если средняя скорость электронов равна и, длина проводника / и его сечение S, то сила Ампера
F = Nj = nSl ■ evB sin a.
Подставив значение силы тока согласно (39.17), получим
尸工 ИВ sin a, (41.15)
где a — угол между проводником и вектором индукции. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки (см. рис. 41.1); направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов.
Рамка с током в магнитном поле
Поместим в однородное магнитное поле прямоугольную рамку с током так, чтобы угол между направлением нормали к рамке и вектором магнитной индукции был равен а (рис. 41.8). Пользуясь
правилом левой руки, легко убедиться, что силы, действующие на участки рамки, перпендикулярные вектору индукции, создают вращающий момент. Для вычисления этого момента обратимся к рис. 41.8, б, где изображено поперечное сечение рамки.
Момент пары сил согласно формуле (22.14) равен произведению силы Ампера на плечо d:
М = Fd = Fa since, где а — ширина рамки. Подставив значение силы Ампера из (41.15), имеем
М = ilBasma — iSBsina,(41.16)
где S = al — площадь рамки. Согласно (40.23) произведение тока на площадь, обтекаемую током,— это магнитный момент рамки Рт・ Итак,
М=рт Bsina.(41.17)
Сравнив выражения (37.10) и (41.17), мы видим, что они совершенно аналогичны. В § 40.6 было выяснено, что рамка с током создает вокруг себя магнитное поле, аналогичное полю электрического диполя.
Таким образом, наблюдается весьма широкая аналогия между свойствами электрического диполя pe~ql и «магнитного диполя» Рт — iS%, т. е. рамки с током. На этом основании можно без доказательства, используя только аналогию, по формуле (37.12) написать выражение для потенциальной энергии «магнитного ди пол я»：
SnoT^= —pmBcosa.(41.18)
F= PmN .F= PmN .На основании этой же аналогии можно утверждать, что в неоднородном магнитном поле рамка с током будет втягиваться в область более сильного поля. Опыт подтверждает это предположение. Сила притяжения согласно (37.14) равна
F= PmN .
F= PmN .
(41.19)
Она пропорциональна магнитному моменту рамки и градиенту индукции магнитного поля.
ГЛАВА 42
МАГНЕТИКИ
Три типа магнетиков
Читателю известно, что на кусок железа, помещенный вблизи катушки с током, действует значительная сила притяжения. Известно также, что сила взаимодействия между двумя катушками с током существенно возрастает, если поместить в них железный сердечник. Аналогичными свойствами обладают, кроме железа, различные сорта стали, а также никель, кобальт и некоторые сплавы: пермаллой, альни, магнико. Все эти вещества называются ферромагнетиками (от латинского ferrum — железо).
В пятидесятых годах прошлого столетия Фарадеи показал, что все вещества обладают магнитными свойствами, но степень и характер их взаимодействия с полем у разных веществ различны. В связи с этим различают вещества с парамагнитными, диамагнитными и ферромагнитными свойствами.
По интенсивности взаимодействия с магнитным полем можнь все вещества разбить на два класса. К слабо магнитным веществам относятся все диамагнетики и парамагнетики. Эти вещества при любых температурах очень слабо взаимодействуют с магнитным полем. К сильно магнитным веществам относятся ферромагнетики и антиферромагнетики, которые при определенных температурах сильно взаимодействуют с полем.
Рис. 42.1. Рис. 42.2.Рис. 42.1. Рис. 42.2.
Рис. 42.1. Рис. 42.2.
Рис. 42.1. Рис. 42.2.
Парамагнетиками называются вещества, которые втягиваются в область более сильного поля. Если в U-образную стеклянную трубку налить парамагнитную жидкость и поместить одно колено между полюсами сильного электромагнита, то жидкость в этом колене поднимется (рис. 42.1). Стерженек из парамагнитного вещества, подвешенный на тонкой нити, ориентируется в магнитном поле вдоль силовых линий.
По своим свойствам парамагнетики несколько напоминают ферромагнетики, но сила их взаимодействия с полем в сотни и тысячи раз слабее. Поэтому для наблюдения парамагнитных эффектов необходимы сильные магнитные поля. Парамагнитными свойствами обладают платина, алюминий, вольфрам, все щелочные и щелочно-земельные металлы; из газов ——кислород и в слабой степени окись азота.
Диамагнетиками называются вещества, которые выталкиваются из магнитного поля. Так, если между полюсами электромагнита зажечь свечу, то пламя вытолкнется из поля (рис. 42.2). Стерженек из диамагнитного вещества, подвешенный на нити в сильном магнитном поле, устанавливается поперек силовых линий.
Заметим, что силы, действующие на диамагнетик в магнитном поле, на один-два порядка меньше сил, действующих на парамагнетик в этом же поле. Поэтому для наблюдения диамагнитных эффектов требуются очень сильные поля. К диамагнетикам относятся почти все газы (кроме кислорода), вода, серебро, золото, медь, алмаз, графит, висмут, многие органические соединения.
Магнитный момент атома
В начале XIX в. Ампер пришел к выводу, что магнитные свойства вещества можно объяснить, если допустить, что атомы представляют собой микроскопические элементарные магниты. Однако обосновать происхождение элементарных магнитных моментов Ампер не смог. Ядерная модель строения атома, которой мы уже пользовались для объяснения механизма деформационной поляризуемости (§ 38.5), поможет нам понять происхождение магнитных моментов атомов. В самом деле, электрон, циркулируя в атоме, представляет собой элементарный ток, обладающий магнитным моментом "旣 Кроме того, циркулирующий по орбите электрон имеет момент импульса, называемый орбитальным моментом импульса 厶°р6. Согласно (40.28) между этими величинами должна существовать следующая связь:
^^i^6*(42.1)
Здесь тс — масса покоя электрона, е ——его заряд.
Магнитный момент атома складывается из магнитных моментов электронов, движущихся вокруг ядра, и магнитного момента самого ядра. Однако опыт показывает, что магнитный момент ядра примерно в 2000 раз меньше магнитного момента электрона (§ 80.2). Поэтому при изучении магнитных свойств вещества пренебрегают магнитным моментом ядра и считают, что магнитный момент атома равен векторной сумме магнитных моментов электронов, циркулирующих вокруг ядра. Попытаемся оценить величину этого магнитного момента.
Пусть в пространстве выделено некоторое направление, например ось г. Это может означать, что вдоль этой оси направлено какое-либо магнитное поле. В квантовой механике доказывается, что проекция орбитального момента импульса на заданное направление может принимать только некоторые, вполне определенные значения:
豊=т加(42.2)
где Й-= 1,05450.10"8* Дж-с —— постоянная Планка, a m — целое число (см. § 72.4), Пользуясь соотношением (42.1), получим для проекции орбитального магнитного момента, которую мы обозначим р第\ следующее значение:
端6 =炭厶绊二m盛=叫・(42.3)
& Величина
Ия = А^(9,27334 士 0,00029)• 10-" А• м*(42.4)
называется магнетоном Бора. Она составлена из мировых
415
констант — заряда и массы электрона и постоянной Планка, и поэтому тоже является мировой константой.
Магнетон Бора ——это минимальное отличное от нуля значение проекции магнитного момента электрона на произвольное направление. А так как магнитный момент атома есть векторная сумма магнитных моментов электронов, то мы можем утверждать, что проекция магнитного момента атома на некоторую ось либо равна нулю, либо кратна магнетону Бора. Ниже мы увидим, что опыты подтверждают эту оценку.
Величины, характеризующие магнитное полев веществе
Для характеристики степени поляризации диэлектрика в электрическом поле была введена особая физическая величина —— вектор поляризации, равный дипольному моменту единицы объема поляризованного диэлектрика (§ 38.2). Аналогично введем величину, характеризующую степень намагниченности вещества в магнитном поле,— вектор намагниченности, или вектор намагничения.
Вектором намагниченности М называется магнитный момент единицы объема намагниченного вещества. Чтобы его вычислить, необходимо найти векторную сумму магнитных моментов всех атомов, заключенных в единице объема намагниченного вещества. Для простоты рассуждений положим, что вещество однородное и все его атомы имеют один и тот же магнитный момент рт. Тогда вектор намагниченности
М = 4 = прт(42.5)
где и — концентрация атомов. Единица измерения намагниченности совпадает с единицей измерения напряженности магнитного поля:
[М] у [Np^/V] = А • м?/мз = А/м = [//].
Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда однородное и изотропное вещество сплошь заполняет магнитное поле. Это можно реализовать^если на тороидальный сердечник из исследуемого вещества равномерно намотать обмотку, по которой течет ток. Вещество сердечника, естественно, намагнитится за счет действия магнитного поля тока.
Оказывается, что если вещество представляет собой парамагнетик или диамагнетик, то его вектор намагниченности пропорционален напряженности намагничивающего поля:
М = итН.(42.6)
Доказательство будет приведено в §§ 42.4 и 42.5, где мы рассмотрим механизм намагничивания вещества.
Коэффициент пропорциональности xm в выражении (42.6) называется магнитной восприимчивостью вещества. Читатель легко убедится, что магнитная восприимчивость является безразмерной величиной.
Вектор намагниченности определяет индукцию магнитного поля Ввещ, создаваемого намагниченным веществом. По аналогии с тем, как связана индукция поля токов с напряженностью этого поля (5Т0К — ц0Я), напишем соотношение между индукцией поля вещества и его намагниченностью: Ввещ^ц0Л1.
Индукция магнитного поля в веществе, которое сплошь заполняет магнитное поле, представляет собой векторную сумму индукций поля намагничивающих токов и поля намагниченного вещества:
ь= Вз + /皿=Но (〃+ М)・(42.7)
На основании (42.6) имеем
,В= но (Я + хтЯ) = ц0 (1 + хи) Я= цоИЯ. (42.8)
Величина
卩=1 +хт(42.9)
называется магнитной проницаемостью вещества.
Диамагнетизм
Попытаемся выяснить механизм диамагнитного эффекта. Для анализа используем модель атома гелия. Ядро этого атома имеет заряд 令=十2伉 а вокруг ядра обращаются два электрона. Опыт показывает, что атом гелия не имеет магнитного момента. Это можно объяснить, если мы предположим, что оба электрона
обращаются вокруг ядра с одинаковой скоростью по одинаковым орбитам, но в противоположных направлениях. Тогда их орбитальные магнитные моменты будут равны по величине, но противоположны по знаку, и суммарный магнитный момент атома окажется равным нулю (рис. 42.3).
14 В М. Яворский. А. А. Пииский, т. 1
Поместим атом гелия в магнитное поле с индукцией Во —卩。". Для простоты рассуждений положим, что вектор индукции перпендикулярен плоскости орбиты электрона (рис. 42.4). В этом случае на электрон действуют две силы — кулоновская сила притя* жени я к ядру и сила Лоренца* Их равнодействующая сообщает электрону центростремительное ускорение. Уравнения движения для обоих электронов примут вид
嘔=為一叫凡=w,]go)
Следует обратить внимание на тот факт, что в этом уравнении мн полагаем, что под действием магнитного поля меняется только скорость движения электрона, но не радиус орбиты.
Из уравнений (42,10) следует, что под действием магнитного поля скорость движения первого электрона уменьшилась» второго—— возросла. Соответственно изменяются и их магнитные моменты. Таким образом, под действием внешнего магнитного поля у атома наводится (индуцируется) магнитный момент
% =豳一%)=等—笋=普网—内).(42.11)
Заметим, что индуцированный магнитный момент р^ направлен противоположно направлению вектора индукции внешнего поля (рис. 42.4).
Разность скоростей найдем из (42.10), если вычтем из нижнего р авенства вер х не^:
6凡(3+内)=十侬一*)
или после сокращений
力一内==eBQr/m = er^H/m.(42.12)
Подставив в (42.11), получим для индуцированного магнитного момента
рт — еЧ^Н/2т.(42.13)
Учитывая, что векторы рт и Н направлены противоположно, перепишем (42.13) в векторном виде:
3-嗜〃 •(42.14)
Вектор намагниченности согласно (42.5) равен
==(42.15)
4〔8
Итак, здесь вектор намагниченности действительно пропорционален напряженности намагничивающего поля (см. (42.6)). Магнитная восприимчивость является отрицательной величиной:
Y" = —Y" = —或f咖因）2加或f咖因）2加
Y" = —
Y" = —
或f咖因）
2加
或f咖因）
2加
Оценим величину магнитной восприимчивости гелия. Радиус орбиты г = 0,5*Ют。м, концентрация атомов при обычных давлениях и = 2,69-1025^ м-3. Имеем
1,62.10-38.0,53 10-2。2,69 1025.4%
m餌= 1 2 931。一".107 = _1，2 .[0 -
Опыт дает для гелия значение магнитной восприимчивости хт ———2^25-10*9. Учитывая весьма приближенный характер нашей модели, следует признать такое совпадение расчета и эксперимента очень хорошим.
На модели атома гелия нам удалось объяснить механизм диамагнитных явлений. Обобщая, можно утверждать, что диамагнетиками являются все вещества, у которых атомы при отсутствии внешнего магнитного поля не имеют магнитного момента.
Так как радиусы электронных орбит у атомов разных веществ не отличаются очень сильно, то и магнитные восприимчивости разных веществ при одном и том же агрегатном состоянии примерно равны. В самом деле, магнитная восприимчивость азота равна —6,76-10~9, аргона T0,9・10f, водорода — 2,25-10"9 и т. и. У жидкостей и твердых тел концентрация атомов примерно в 1000 раз больше, соответственно возрастает и их магнитная восприимчивость. Так, у воды восприимчивость равна —9* 10~в, у серебра —25*10~в и т. п.
Парамагнетизм
Рассмотренный в предыдущем параграфе механизм намагничивания диамагнетиков сводится к наведению дополнительного магнитного момента у атома под действием внешнего магнитного поля. Это явление характерно для атомов любого вещества, следовательно, все вещества должны обладать диамагнитными свойствами. Откуда же берутся парамагнетики?
Оказывается, что в отличие от диамагнетиков, у которых магнитные моменты электронов внутри атома скомпенсированы, атомы парамагнетиков имеют нескомпенсированные магнитные моменты. Под действием внешнего магнитного поля эти магнитные моменты поворачиваются, стремясь расположиться вдоль силовых линий поля. Тепловое движение, естественно, расстраивает этот порядок.
Мы видим, что механизм намагничивания парамагнетиков вполне аналогичен механизму поляризации диэлектриков с полярными молекулами (§ 38.6). Если провести такие же рассуждения, как и при выводе формулы (38.25), получим выражение для 14*
намагниченностинамагниченностипарамагнетиков:парамагнетиков:ти =ти =代pmвq一 一 M^i 卩 0代pmвq一 一 M^i 卩 03々7 一 353々7 一 35я.я.(42.16)(42.16)
намагниченности
намагниченности
парамагнетиков:
парамагнетиков:
ти =
ти =
代pmвq一 一 M^i 卩 0
代pmвq一 一 M^i 卩 0
3々7 一 35
3々7 一 35
я.
я.
(42.16)
(42.16)
Магнитная восприимчивость парамагнетиков является положительной величиной:
v __ Mm 卩 о
constconst乂乂ттКак видно, при неизменной концентрации атомов (т. е. при неизменной плотности вещества) магнитная восприимчивость парамагнетиков меняется обратно пропорционально абсолютной температуре (закон Кюри):
const
const
乂
乂
т
т
Это явление подтверждается экспериментально.
Заметим, что выражение (42.16) справедливо при условии, если 卩涡0庆丁«3 т. е. если энергия диполя в магнитном поле 8m = Pm& много меньше энергии теплового движения частицы е =кТ. Поскольку 卩小^卩日=9,27・10~2& А・м* а максимально достижимая индукция магнитного поля Вмакс^ 1,3 Т, то при комнатных температурах это условие всегда выполняется. Лишь при очень низких температурах можно получить pmB0/kT^ 1; для этого парамагнетик следует охладить до температуры
公и к,公и к,〜РщВ、—卩冃Вмакс 一 9,27・ lord. 1,3
公и к,
公и к,
~— ~~—匸冢10不
т. е. близко к абсолютному нулю. В этом случае намагниченность парамагнетика будет близка к насыщению, так как все магнитные моменты атомов расположатся вдоль поля, а слабое тепловое движение это^порядок разрушить не сможет.
Оценим величину магнитной восприимчивости парамагнетиков при комнатных температурах. Для газов и = 2,69-1025 м-3; полагая ТяьгЗОО К, получим
〜2,69・ 102 5 9 27 2.〔о-®4冗〜
乂疣冬—2・1,38・1О=23・з6о・1о7 .
Опыт дает для кислорода при 20 ℃ значение магнитной восприимчивости 18,6-10~7, для окиси азота (NO) 0,8-10~7. У твердых парамагнетиков восприимчивость должна быть примерно в 1000 раз больше. Опыт дает для платины 2,58-10"4, для натрия 8,3- Ю-6; для лития 2,3-10~5, а для других материалов — значительно меньшие значения.
Итак, магнитная восприимчивость парамагнетиков примерно в сто раз больше восприимчивости диамагнетиков. Это позволяет объяснить, почему у парамагнетиков не проявляются диамагнитные свойства. Оказывается, что более сильный парамагнитный эффект перекрывает слабый диамагнитный.
§ 42・6・ Ферромагнетизм. Точка Кюри
В отличие от парамагнетиков и диамагнетиков, у которых
вектор намагниченности пропорционален напряженности намагни
чивающего поля, у ферромагнетиков намагниченность является весьма сложной нелинейной функцией напряженности. Для никеля
эта зависимость изображена на рис. 42.5. Для удобства изображения масштаб нарушен: область напряженности поля от 0,1 • 103 до 2-103 А/м растянута. Как видно из чертежа, намагниченность никеля сначала быстро нарастает с ростом напряженности магнитного поля. Затем наступает магнитное насыщение, когда намагниченность уже практически перестает зависеть от вели
чины намагничивающего поля.
Поскольку намагниченность ферромагнетика не пропорциональна напряженности намагничивающего поля, выражения (42.6) и (42.8) теряют смысл. Формально, однако, ими можно пользоваться, учитывая, что для ферромагнетиков магнитная восприимчивость хт = М!Н и магнитная проницаемость 卩=В/щН являются не постоянными величинами, а довольно сложными функция
ми напряженности намагничивающего поля.
Следующее важное отличие ферромагнетиков заключается в том, что если парамагнитные или диамагнитные свойства вещества проявляются в любом агрегатном состоянии, то ферромагнитные свойства наблюдаются только у кристаллов. В жидком или газообразном состоянии ферромагнитные вещества ведут себя как обычные парамагнетики. Отсюда следует, что ферромагнитные свойства некоторых веществ определяйся не особыми свойствами их атомов,—
последние ничем не отличаются от атомов парамагнетиков,— а особой структурой их кристаллической решетки. При изменении структуры решетки должны меняться и магнитные свойства ферромагнетиков. Опыт подтверждает это предположение.
Оказывается, что для каждого ферромагнетика имеется определенная температура — точка Кюри, выше которой ферромагнитные свойства исчезают и вещество становится обычным парамагнетиком. Для железа точка Кюри составляет 770℃, для никеля 360 ℃, а для пермаллоя (сплав 70% Fe и 30% Ni) всего лишь 70 ℃.
Как показал академик Л. Д. Ландау, точка Кюри у ферромагнетиков — это температура фазового перехода второго рода.
При фазовых переходах первого рода меняется структура вещества; например, прн плавлении кристалла дальний порядок меняется на ближний. В результате меняется внутренняя энергия и знтропн兄 тела, что требует затраты некоторой энергии — теплоты фазового перехода (см. гл. 36). Фазовые переходы второго
рода, например, исчезновение ферромагнитных свойств вещества при переходе через точку Кюри, не сопровождаются изменением агрегатного состояния. В частности, при этом кристаллическая решетка не разрушается, хотя тнп симметрии решетки меняется. В результате фазовые переходы второго рода не сопровождаются изменением энтропии и внутренней энергии тела, следовательно, здесь нет и теплоты фазового перехода.
Ландау показал, что при фазовых переходах второго рода скачком меняются такие характеристики вещества, как теплоемкость, коэффициент теплового расширения, сжимаемость и т. п.» что подтверждается экспериментом. На рис, 42.6 показаны графики изменения намагниченности и теплоемкости некоторого вещества. Как видно, при температуре 4,2 К намагниченность резко падает; следовательно, эта температура есть точка Кюри для данного вещества. При этой температуре теплоемкость вначале быстро возрастает, а затем падает.
Ферромагнетизм присущ только кристаллам, а последние обладают анизотропией (см. § 32.1), поэтому монокристалл ферромагнитного вещества должен обладать анизотропией намагничения —его магнитные свойства должны быть разными в разных направлениях. Опыт подтверждает это предположение.
На рис 42.7 изображены графики намагниченности монокристалла железа, имеющего решетку типа объемноцентрированного куба (см. § 33.4). Оказывается, что в направлении ребра куба намагниченность вещества при данном значении напряженности поля наибольшая (а), меньше она в направлении диагонали грани (б) и наименьшая намагниченность — в направлении пространственной диагонали куба (в). Поэтому ребро куба называется направлением легкого намагничивания, а диагональ куба — направлением трудного намагничивания.
Естественно, что в поликристалле ййизотропия намагниченности не проявляется, поскольку отдельные микрокристаллики ориентированы беспорядочно (см. § 32.2).
Тмстеремк:
Характерным свойством ферромагнетиков является гистерезис. Явление заключается в том, что намагниченность ферромагнетика зависит не только от напряженности намагничивающего поля в данный момент, но и от предварительного намагничивания образца. Поэтому вообще нельзя указать, какая намагниченность ферромагнетика соответствует данному значению напряженности намагничивающего поля, если не известно, в каком состоянии он до этого находился. То же, естественно, относится к значениям магнитной восприимчивости и проницаемости.
График рис. 42.5 характеризует ход первоначальной намагниченности, когда ферромагнетик был сначала нагрет выше точки Кюри и тем самым полностью размагничен, а затем охлажден и подвергнут намагничиванию. Совершенно иной вид будет иметь кривая намагниченности, если ферромагнетик был уже ранее намагничен.
Изготовим сердечник в форме тороида из размагниченного ф^РР0- магнетика и обмотаем его равномерно проводником. Меняя ток в обмотке,
мы тем самым меняем напряженность намагничивающего поля. Пусть напряженность поля возрастет до значения Hs (рис. 42.8). Этому значению поля соответствует намагниченность насыщения, равная Ms. Будем уменьшать ток в обмотке, уменьшая тем самым напряженность намагничивающего поля. Мы убедимся, что намагниченность сердечника в процессе размагничивания остается все время большей, чем в процессе намагничивания.
Когда ток в обмотке станет равен нулю, исчезнет и намагничивающее поле. Но намагниченность ферромагнетика не обратится в нуль — сердечник сохранит некоторую остаточную намагниченность Мг. И только в том случае, когда по обмотке будет пропущен ток обратного направления и Возникнет поле с напряженностью —Hct намагниченность сердечника обратится в нуль. Напряженность размагничивающего поля Нс называется коэрцитивной силой.
Кривая, изображенная на рис. 42.8, называется гистерезисной петлей.
В зависимости от химического состава, а также от характера тепловой и механической обработки материала (закалка, отжиг, прокат, холодная штамповка и т. п.) встречаются ферромагнетики с различными свойствами. Вещества с малыми значениями коэрцитивной силы называются «мягкими» магнитными материалами,
Рис. 42.9.Рис. 42.9.
Рис. 42.9.
Рис. 42.9.
высококоэрцитивные материалы — «жесткими». На рис. 42.9 изображены гистерезисные петли двух материалов: магнитно-мягкого железа (а) и высококоэрцитивной закаленной стали (б).
Форма гистерезисной петли определяет область применения того или иного ферромагнетика. «Мягкие» магнитные материалы
применяются для изготовления сердечников электромагнитов, где важно иметь большое значение максимальной индукции поля и малую коэрцитивную силу. Эти же материалы используются в ка-
честве сердечников трансформаторов и машин переменного тока (генераторов, двигателей): благодаря малой коэрцитивной силе они легко перемагничиваются. Такие же требования предъявляются к сердечникам магнитов ускорителей.
Магнитно-жесткие материалы используются для изготовления постоянных магнитов. Благодаря большому значению коэрцитивной силы и относительно большой оста
точной индукции эти магниты могут длительное время создавать сильные магнитные поля.
Постоянные магниты из высококоэрцитивных сплавов применяются в магнитоэлектрических измерительных приборах, в электродинамических репродукторах («динамиках») и микрофонах, в небольших генераторах (например, велосипедных), в микроэлектродвигателях и т. п.
Доменная структура ферромагнетиков
Особенности ферромагнетиков можно объяснить, следуя классической теории ферромагнетизма, предложенной П. Вейссом. Согласно этой теории, при температурах ниже точки Кюри ферро^ магнетик состоит из микроскопических областей, называемых доменами, в каждой из которых магнитные моменты атомов расположены строго в одном направлении, соответствующем направлению легкого намагничивания (см. § 42.6). Тем самым каждый домен оказывается намагниченным до насыщения независимо от наличия внешнего магнитного поля и от его величины.
Размеры доменов достигают 10"2 — 10-3 см, вследствие чего их можно наблюдать в микроскоп. Для того чтобы увидеть домены, на полированную поверхность ферромагнетика наносят каплю масла, в которой взвешены мельчайшие частицы ферромагнитного порошка (метод Акулова — Биттера). Частицы ферромагнитного 424
порошка концентрируются на границах доменов, где магнитное поле наиболее неоднородно (рис. 42.10).
При отсутствии внешнего магнитного поля домены в монокристалле располагаются так, что их магнитные поля замыкают друг друга и суммарное внешнее магнитное поле оказывается равным
Рис. 42.11.Рис. 42.11.Рис. 42.10.
Рис. 42.11.
Рис. 42.11.
а)6)6)Рис. 42.12.а)6)6)Рис. 42.12.нулю. На рис. 42.11 схематически изображены эти домены. Стрелками показаны направления векторов намагниченности внутри доменов. Как показали Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, такая система доменов в монокристалле характеризует состояние с минимальной энергией магнитного поля, что с точки зрения законов термодинамики обеспечивает устойчивое равновесие этой системы.
а)6)6)
Рис. 42.12.
а)6)6)
Рис. 42.12.
Объясним на основе этих представлений механизм намагничивания поликристаллического образца. Поликристалл состоит из отдельных зерен, у которых направления легчайшего намагничивания ориентированы беспорядочно. Каждое зерно разбивается на несколько доменов, направленных вдоль линии легчайшего намагничивания (рис. 42.12, а).
При включении слабого внешнего магнитного поля всегда найдется множество доменов, у которых направление вектора намагниченности совпадет с направлением внешнего поля. Эти домены будут обладать минимумом энергии и поэтому окажутся в состоянии устойчивого равновесия. Соседние домены обладают максимумом энергии. Поэтому энергетически выгодно, если магнитные моменты некоторых атомов изменят свое направление и присоединятся к тем доменам, энергия которых минимальна. Этот процесс называется смещением границ доменов (рис. 42.12, б).
По мере роста напряженности внешнего магнитного поля границы доменов сдвигаются все сильнее. При этом стенки доменов начинают встречать на своем пути дефекты кристалла ——дислокации, внедрения и т. п. (см. § 32.4). Эти дефекты препятствуют изменению направления магнитного момента у атомов, расположенных вблизи дефекта (препятствуют перемещению стенок домена). По мере роста поля потенциальная энергия атомов (магнитных диполей) вблизи дефекта возрастет настолько, что превысит энергию активации (см. § 34.3). В этом случае магнитные моменты атомов вблизи дефекта скачком изменят свое направление на противоположное —иными словами, стенка домена скачком срывается с места и движется до следующего дефекта. Таким образом, процесс намагничивания поли кристаллического вещества идет не плавно, а скачками. Это явление называется эффектом Баркгаузена.
Оно может быть обнаружено экспериментально. К пучку из никелевой проволоки подносят магнит； происходит скачкообразное намагничивание никеля, что приводит к скачкообразному изменению магнитного поля. Благодаря явлению электромагнитной индукции (гл. 43) в обмотке, навитой на никелевый пучок, возникают импульсы тока, которые хорошо слышны в телефоне.
Скачкообразный характер процесса намагничивания поли кристаллического ферромагнетика приводит к необратимым потерям энергии (перемещение дислокаций и других дефектов; возникновение упругих волн, энергия которых переходит во внутреннюю, и т. н.). Следовательно, и процесс намагничивания в сильных полях происходит необратимо. При уменьшении магнитного поля структура вещества не будет восстанавливаться: домены при размагничивании будут иметь другую форму и ориентировку по сравнению с процессом намагничивания. Это и является причиной гистерезисного эффекта.
В достаточно сильных полях все стенки доменов сдвинутся к границам кристаллических зерен, и каждоё зерно окажется намагниченным вдоль того направления легчайшего намагничивания, которое составляет наименьший угол с направлением внешнего поля (рис. 42.12, б)・ Если еще больше усилить напряженность намагничивающего поля, то магнитные моменты зерен начнут поворачиваться, выстраиваясь вдоль поля. Этот процесс требует сильных полей» в результате чего в этой области намагниченность меняется мало и рост кривой намагничивания замедляется.
Наконец, когда магнитные моменты всех зерен выстроятся вдоль поля, наступает магнитное насыщение — с ростом внешнего поля намагниченность вещества перестает возрастать.
Как видно, используя представления о доменной структуре ферромагнетиков, можно объяснить все особенности процесса их намагничивания. Точка Кюри оказывается той температурой, выше которой происходит разрушение доменной структуры.
Остается ответить на два вопроса. Прежде всего нужно объяснить, какие силы приводят к тому, что внутри домена магнитные моменты всех атомов самопроизвольно выстраиваются вдоль направления легкого намагничивания? А затем нужно найти причины того, почему одни вещества обладают ферромагнитными свойствами, а другие нет? Ответ на эти вопросы смогла дать только квантовая теория магнитных явлений.
Опыт Эйнштейна и де-Гааза
1. В предыдущих параграфах использовалось представление о том, что атомы парамагнитных и ферромагнитных веществ имеют магнитный момент и во внешнем магнитном поле эти моменты ориентируются вдоль поля. В § 42.2 мы выяснили, что отношение орбитального магнитного момента к орбитальному моменту импульса1. В предыдущих параграфах использовалось представление о том, что атомы парамагнитных и ферромагнитных веществ имеют магнитный момент и во внешнем магнитном поле эти моменты ориентируются вдоль поля. В § 42.2 мы выяснили, что отношение орбитального магнитного момента к орбитальному моменту импульсаравно половине удельного заряда электрона. Представляется весьма важным экспериментально проверить эти представления. Идея такого эксперимента была предложена в 1915 г. Эйнштейном, опыт в том же году он поставил вместе с де-Гаазом.Суть опыта такова. Подвесим стержень из ферромагнитного материала на тонкой нити и поместим его в катушку так, чтобы ось стержня и подвес точно совпадали с направлением вектора индукции намагничивающего поля. Пропуская ток через обмотку катушки, намагнитим стерженек до насыщения, а затем, изменив направление тока в катушке, намаг-равно половине удельного заряда электрона. Представляется весьма важным экспериментально проверить эти представления. Идея такого эксперимента была предложена в 1915 г. Эйнштейном, опыт в том же году он поставил вместе с де-Гаазом.Суть опыта такова. Подвесим стержень из ферромагнитного материала на тонкой нити и поместим его в катушку так, чтобы ось стержня и подвес точно совпадали с направлением вектора индукции намагничивающего поля. Пропуская ток через обмотку катушки, намагнитим стерженек до насыщения, а затем, изменив направление тока в катушке, намаг-нитим стержень до насыщения в противоположном направлении (рис. 42.13). Процесснитим стержень до насыщения в противоположном направлении (рис. 42.13). Процесс卢I JI II I卢I JI II IРис. 42.13.Рис. 42.13.перемагничивания заключается в том, что направления магнитных моментов атомов меняются на противоположные. Но вместе с изменением направления магнитного момента меняется и направление момента импульса электронов.Система электронов и положительных ионов, образующих кристаллическую решетку стерженька, является замкнутой, так как никакие механические моменты на нее не действуют. Но тогда сог* ласно известному закону сохранения (см. § 22.7) суммарный момент импульса электронов и ионной решетки не должен измениться. Аперемагничивания заключается в том, что направления магнитных моментов атомов меняются на противоположные. Но вместе с изменением направления магнитного момента меняется и направление момента импульса электронов.Система электронов и положительных ионов, образующих кристаллическую решетку стерженька, является замкнутой, так как никакие механические моменты на нее не действуют. Но тогда сог* ласно известному закону сохранения (см. § 22.7) суммарный момент импульса электронов и ионной решетки не должен измениться. Атак как при перемагничивании стерженька момент импульса элект-так как при перемагничивании стерженька момент импульса элект-
1. В предыдущих параграфах использовалось представление о том, что атомы парамагнитных и ферромагнитных веществ имеют магнитный момент и во внешнем магнитном поле эти моменты ориентируются вдоль поля. В § 42.2 мы выяснили, что отношение орбитального магнитного момента к орбитальному моменту импульса
1. В предыдущих параграфах использовалось представление о том, что атомы парамагнитных и ферромагнитных веществ имеют магнитный момент и во внешнем магнитном поле эти моменты ориентируются вдоль поля. В § 42.2 мы выяснили, что отношение орбитального магнитного момента к орбитальному моменту импульса
равно половине удельного заряда электрона. Представляется весьма важным экспериментально проверить эти представления. Идея такого эксперимента была предложена в 1915 г. Эйнштейном, опыт в том же году он поставил вместе с де-Гаазом.
Суть опыта такова. Подвесим стержень из ферромагнитного материала на тонкой нити и поместим его в катушку так, чтобы ось стержня и подвес точно совпадали с направлением вектора индукции намагничивающего поля. Пропуская ток через обмотку катушки, намагнитим стерженек до насыщения, а затем, изменив направление тока в катушке, намаг-
равно половине удельного заряда электрона. Представляется весьма важным экспериментально проверить эти представления. Идея такого эксперимента была предложена в 1915 г. Эйнштейном, опыт в том же году он поставил вместе с де-Гаазом.
Суть опыта такова. Подвесим стержень из ферромагнитного материала на тонкой нити и поместим его в катушку так, чтобы ось стержня и подвес точно совпадали с направлением вектора индукции намагничивающего поля. Пропуская ток через обмотку катушки, намагнитим стерженек до насыщения, а затем, изменив направление тока в катушке, намаг-
нитим стержень до насыщения в противоположном направлении (рис. 42.13). Процесс
нитим стержень до насыщения в противоположном направлении (рис. 42.13). Процесс
卢
I J
I I
I I
卢
I J
I I
I I
Рис. 42.13.
Рис. 42.13.
перемагничивания заключается в том, что направления магнитных моментов атомов меняются на противоположные. Но вместе с изменением направления магнитного момента меняется и направление момента импульса электронов.
Система электронов и положительных ионов, образующих кристаллическую решетку стерженька, является замкнутой, так как никакие механические моменты на нее не действуют. Но тогда сог* ласно известному закону сохранения (см. § 22.7) суммарный момент импульса электронов и ионной решетки не должен измениться. А
перемагничивания заключается в том, что направления магнитных моментов атомов меняются на противоположные. Но вместе с изменением направления магнитного момента меняется и направление момента импульса электронов.
Система электронов и положительных ионов, образующих кристаллическую решетку стерженька, является замкнутой, так как никакие механические моменты на нее не действуют. Но тогда сог* ласно известному закону сохранения (см. § 22.7) суммарный момент импульса электронов и ионной решетки не должен измениться. А
так как при перемагничивании стерженька момент импульса элект-
так как при перемагничивании стерженька момент импульса элект-
ронов меняется, то соответственно должен появиться момент импульса у самого стержня, так, чтобы их алгебраическая сумма сохранила первоначальное значение; благодаря этому стержень поворачивается вокруг оси, параллельной полю.
Так было экспериментально доказано наличие у атомов магнитного момента, вызванного внутриатомным движением электронов. Наличие магнитного момента приводит согласно (42.1) к появлению механического момента импульса.
В этом же году С. Дж. Барнетт показал, что существует эффект, в некотором смысле обратный эффекту Эйнштейна —— де-Гааза. А именно, он обнаружил, что если железный стержень привести в быстрое вращение, то он намагничивается. Из этого эксперимента также можно было найти отношение магнитного момента к моменту импульса.
Тщательный анализ результатов эксперимента показал, что как в опыте Эйнштейна и де-Гааза, так и в опыте Барнетта отношение магнитного момента к моменту импульса имеет ожидаемый знак, соответствующий отрицательному заряду электронов, но численное значение величины оказалось в два раза больше, чем по формуле (42.1), т. е.
*=^・ (42.17)
Можно предложить следующее объяснение полученного результата. Предположим, что у электрона имеется не только орбитальный магнитный момент, для которого справедливо соотношение (42.1), но и еще один магнитный момент —— спиновый, для которого выполняется соотношение (42.17). Если еще учесть, что орбитальные магнитные моменты могут быть скомпенсированы, то результаты опытов Эйнштейна — де-Гааза и Барнетта объясняются просто.
Оказалось, что наличие спинового магнитного момента у электрона непосредственно вытекает из опыта Штерна и Герлаха.
Опыт Штерна и Герлаха
В 1921 г. О. Штерн и В. Герлах поставили эксперимент по прямому измерению магнитных моментов атомов различных химических элементов. Для этой цели пучок атомов пропускался через магнитное поле с сильной неоднородностью, т. е. с большим значением градиента ЛВ/Аг. Для получения такого большого градиента использовался электромагнит с особой формой полюсных наконечников (рис. 42.14).
Атомы металла, испаряясь в печи /, проходят через диафрагму 2, образуя узкий пучок. В отсутствие магнитного поля этот пучок оставляет след в центре фотопластинки 3. Если включить магнитное поле, то вдоль оси г на атомы действует сила
(41.19), где Pmz — проекция магнитного момента на ось г. Под дей- 428
ствием этой силы атомы отклоняются вверх или вниз, в зависимости от того, направлена проекция магнитного момента вдоль или против оси. Измерив величину отклонения пучка и зная градиент индукции поля, можно вычислить проекцию магнитного момента атома.
Согласно классическим представлениям любые ориентации магнитного момента относительно оси г равновероятны, так что проекция магнитного момента может принимать любые значения от —Рт до +рт, включая нуль. Соответственно будет меняться и сила, действующая на атомы. А так как в пучке атомов очень много, то согласно классическим представлениям пучок должен размыться
Рис 42 14.Рис 42 14.
Рис 42 14.
Рис 42 14.
в широкую полоску. Оказалось, что такая размытая полоска никогда не возникает! Итак, предположение о равновероятной ориентации магнитных моментов в произвольных направлениях, лежащее в основе классической физики, не соответствует действительности.
Опыт показал, что атомы некоторых веществ вовсе не отклоняются в магнитном поле, например, атомы ртути. Это значит, что у этих атомов отсутствуют магнитные моменты; следовательно, все эти вещества должны быть диамагнетиками, что соответствует действ ительности.
(42.18)(42.18)Особенно интересный результат получился в опытах со щелочными металлами литием, натрием, калием (а также с алюминием и некоторыми другими). Здесь атомный пучок разделился на два, которые оба отклонились на одну и ту же величину, но в противоположные стороны (рис. 42.14). Отсюда следует, что проекция магнитного момента данного атома на ось г может иметь только два равных по величине и противоположных по знаку значения. Измерив величину этого отклонения, удалось показать, что в данном случае проекция магнитного момента атома равна магнетону Бора:
(42.18)
(42.18)
Pmz = ± Ив*
Спин электрона
Проанализируем подробнее результат, полученный со щелочными металлами, на примере лития. Литий ——третий элемент в периодической системе элементов Менделеева, и потому вокруг его ядра обращаются три электрона (§ 73.2). Но вместе с тем литий, как и все щелочные металлы, —одновалентный элемент. Это приводит нас к выводу, что один из электронов лития чем-то отличается от двух других. Как будет показано в § 73.1, два электрона лития находятся на той же орбите, что и два электрона гелия, а третий электрон находится на другой орбите.
Электроны, находящиеся на гелиевой орбите, не дают вклада в магнитный момент атома, так как их магнитные моменты скомпенсированы (§ 42.4). Следовательно, магнитный момент атома возникает за счет нес ком пенсирова иного магнитного момента валентного электрона. Но так как у атомов всех щелочных металлов имеется один валентный электрон, то все они должны иметь неском- пенсированный магнитный момент. В результате все щелочные металлы должны быть парамагнетиками, что и наблюдается.
Однако внимательный анализ показывает, что этот неском- пенсированный магнитный момент не может быть орбитальным моментом.
В 1925 г. С. Гаудсмит и Г. Уленбек в результате анализа ряда трудностей, существовавших в атомной физике (в том числе и с объяснением результатов опыта Штерна и Герлаха), пришли к выводу, что электрон должен обладать собственным моментом импульса, который был назван спином (от английского spin ——вращение вокруг собственной оси) (§ 72.5).
Обратимся к выяснению роли спияа в происхождении ферромагнетизма. С помощью расчетов, которые не могут быть приведены в данной книге, Я. И. Френкель и В. Гейзенберг показали, что при электростатическом взаимодействии электронов в веществе энергия взаимодействия состоит из двух частей: энергии кулоновского поля и еще одного слагаемого, характеризующего так называемое обменное взаимодействие,——чисто квантовомеханический эффект, не имеющий классического аналога (§ 74.3).
Оказывается, что при параллельной ориентации спинов энергия обменного взаимодействия отрицательна, что соответствует силам притяжения. Но ведь минимум энергии ——это условие устойчивого равновесия системы (см. § 19.6). Следовательно, в результате действия обменных сил спиновые моменты атомов должны были бы выстроиться в одном направлении, если бы этому не мешало тепловое движение.
У парамагнетиков энергия обменного взаимодействия меньше энергии теплового движения, вследствие чего эти вещества самопроизвольно намагнититься не могут. Что же касается ферромагнетиков, то у них при температурах ниже точки Кюри энергия обменного взаимодействия значительно больше энергии теплового
движения, в результате чего спины большой группы атомов ориентируются все в направлении легчайшего намагничивания, и тем самым образуются области самопроизвольного намагничивания, т. е. домены.
Антиферромагнетизм
При изучении свойств ферромагнетиков Ландау пришел в 1933 г. к выводу, что должны существовать вещества, у которых при низких температурах магнитные моменты ориентируются не параллельно, как это имеет место у ферромагнетиков, а антипараллельно, т. е. магнитные моменты у двух соседних атомов расположены противоположно друг другу. В 1938 г. было экспериментально обнаружено, что соединения MnO, MnS, Cr8O3, NiCr и ряд «других действительно обладают антиферромагнитными свойствами.
На рис. 42.15 изображена схема кристаллической решетки окиси марганца МпО. Светлыми кружочками без стрелок обозначены атомы кислорода, не имеющие магнитного момента; черными кружочками —парамагнитные атомы марганца; стрелками изображены направления их магнитных моментов. Видно, что в кристалле имеются два периода: период решетки (химический период), равный длине ребра куба, параллельным переносом которого можно построить всю кристаллическую решетку, и магнитный период, равный длине ребра того куба, параллельным переносом которого можно построить магнитную решетку. Используя явление дифракции нейтронов (§ 69.2), удалось экспериментально показать, что период магнитной решетки вдвое больше периода кристаллической решетки.
У антиферромагнетиков существует температура, аналогичная температуре Кюри у ферромагнетиков, выше которой разру-
таете я магнитный порядок, изображенный на рис. 42.15, и вещество превращается в обычный парамагнетик. Эта температура TN называется точкой Нееля\ она, как и точка Кюри, является температурой фазового перехода второго рода.
Но если выше точки фазового перехода ферромагнетики и антиферромагнетики ведут себя в основном одинаково — оба они превращаются в парамагнетики, то ниже этой температуры они ведут себя совершенно по-разному. У ферромагнетиков ниже точки Кюри .благодар я спонтанному намагни-
明 一•чиванию и образованию доменов
I ^\Ферромагнетик магнитная восприимчивость скач-
Iком возрастает в сотни и даже
I〈тысячи раз, и затем, вплоть до
I/\температур, близких к абсолютному
I / ^^^нулю, магнитная восприимчивость
/мало зависит от температуры. У
^^Ан而叫антиферромагнетиков при темпера-
、“^^、、、严聪即巾必 7 турах ниже точки Нееля возникает 行магнитный порядок, увеличивается
Рнс 42 16.число антипараллельных моментов,
'и его нама гн и ценность резко умень
шается; соответственно уменьшается и магнитная восприимчивость. По мере снижения температуры магнитный порядок становится все более совершенным, так как уменьшается энергия тепловых колебаний, которые мешают упорядоченной ориентации магнитных моментов. Следовательно, по мере приближения температуры антиферромагнетика к абсолютному нулю его магнитная восприимчивость также стремится к нулю (рис. 42.16).
Представим себе вещество с антиферромагнитным порядком, у которого половина атомов марганца заменена другими парамагнитными атомами, имеющими большой магнитный момент, например атомами железа. На рис. 42.17 эти атомы изображены черными кружочками большого радиуса с более длинной стрелкой. При температуре ниже точки Нееля эти вещества окажутся спонтанно 432
намагниченными, поскольку разность магнитных моментов двух соседних парамагнитных атомов не будет равна нулю.
Материалы с такими свойствами действительно существуют, их называют ферритами, а магнитные свойства ферритов ——ферримагнетизмом. Ферриты получают путем спекания порошков, состоящих из тщательно перемешанных окислов железа (Fe2O3) с окислами других металлов ——лития, никеля, марганца и т. д. В зависимости от состава и характера обработки можно получить ферриты с разнообразными свойствами. Так, коэрцитивная сила никель-цинковых ферритов составляет примерно 1 А/м, а у кобальтовых ферритов ——около 2-105 А/м. У магний-марганцевых ферритов гистерезисная петля близка к прямоугольной (рис. 42.18), что позволяет применять их в качестве элементов запоминающих устройств в электронных вычислительных машинах.
Магнитная индукция у ферритов значительно меньше, чем у металлических ферромагнетиков. Но ферриты обладают одним важным преимуществом: если металлические ферромагнетики являются хорошими проводниками электрического тока, то ферриты обладают сравнительно низкой электропроводностью. Это позволяет использовать ферриты в качестве сердечников устройств, работающих на токах высокой частоты, где применять стальные сердечники невозможно.
ГЛАВА 43ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Открытие Фарадея
Основываясь на том, что вокруг проводника с током возникает магнитное поле, Фарадей еще в 1821 г. пришел к выводу, что с помощью магнитного поля можно создать ток в проводнике. Об этом свидетельствует запись в его дневнике за этот год: «Превратить магнетизм в электричество». Однако лишь через десять лет, после напряженных исканий, ему наконец удалось решить эту задачу. Фарадей обнаружил, что если намотать на какой-либо сердечник две обмотки и в одной из них менять силу тока (например, замыкая или размыкая цепь), то во вторичной обмотке возникнет ток.
Затем он установил, что ток во вторичной обмотке резко усиливается, если сердечником является железо. Далее оказалось, что обмотку с током можно заменить магнитом и ток в катушке возникает либо при перемещении катушки относительно магнита, либо, наоборот, при перемещении магнита в катушке.
С открытием Фарадея началась новая эра как в теории электромагнетизма, так и в ее практических приложениях. Было окончательно обосновано единство электрических и магнитных явлений, что послужило толчком для разработки теории электромагнитного поля. Это удалось сделать Максвеллу в семидесятых годах прошлого
столетия. С другой стороны, открытие Фарадея послужило базой для развития современной электротехники, так как в основе действия всех современных электрических машин лежит явление электромагнитной индукции.
Явление электромагнитной индукции и сила Лоренца
Механизм возникновения индукционного тока в движущемся проводнике можно объяснить с помощью силы Лоренца. Пусть проводник, в котором имеются свободные положительные и отри
цательные зар яды.цательные зар яды.Рис. 43 1.Рис. 43 1.движется со скоростью и перпенди ку л яр но направлению вектора индукции В (рис. 43.1) В этом случае на заряды действует сила Лоренца Fm — quB, направленная согласно правилу левой руки (§ 41.1) вдоль проводника.
цательные зар яды.
цательные зар яды.
Рис. 43 1.
Рис. 43 1.
Под действием силы Лоренца происходит разделение зарядов: положительные заряды накапливаются на одном конце проводника, отрицательные——на другом. Эти заряды создают внутри проводника электростатическое кулоновское поле. Если проводник разомкнут, то движение зарядов под действием силы Лоренца будет происходить до тех пор, пока электрическая сила, действующая на
заряд со стороны кулоновского поля, не уравновесит силу Лоренца.
Мы видим, что действие лоренцовых сил аналогично действию некоторого электрического поля, которое было бы направлено
против кулоновского поля. Поскольку это поле вызвано не распределением зарядов, а неэлектростатическими (в нашем случае —— лоренцовыми) силами, то это поле является сторонним полем. Напряженность стороннего поля
£* = Fm/q= иВ・ (43 1)
Замкнем проводник, движущийся в магнитном поле, на внешнюю нагрузку, как это изображено на рис. 432 Опыт показывает, что в этом случае разность потенциалов окажется меньше,
чем при разомкнутой цепи; соответственно уменьшится и напряженность кулоновского поля внутри проводника.
Напряженность стороннего поля определяется лишь скоростью проводника и индукцией магнитного поля. Следовательно, она не изменится при замыкании цепи. Таким образом, если в разомкнутом проводнике напряженности кулоновского и стороннего поля равны, то в замкнутой цепи напряженность кулоновского поля меньше напряженности стороннего поля.
Проследим теперь за направлением движения носителей тока. Направление тока определяется направлением движения положительных зарядов вдоль поля, т. е. из области с более высоким потенциалом в область с низким потенциалом.
Во внешнем участке цепи положительные заряды движутся из области с потенциалом % в область с потенциалом фа под действием электрического поля с напряженностью Ввнешн- Работа, совершаемая этим полем при перемещении заряда, равна
Лнешн = ?(Ф1-ф2).(43.2)
Во внутреннем участке положительные заряды движутся из области с низким потенциалом(рг в область с более высоким потенциалом (р1в Это возможно потому, что в данном случае сторонние силы (силы Лоренца) больше кулоновских сил, которые противодействуют движению зарядов. Работа, совершаемая при перемещении заряда во внутреннем участке цепи, равна разности работ, совершаемых сторонним и кулоновским полями; кулоновские силы являются консервативными, и их работа не зависит от формы траектории (см. § 18.7). Итак, работа по перемещению заряда во внутреннем участке цепи
4нутр = 〃 (？ 一 Еку“) = д/иВ — 9(%—%).(43.3)
Электродвижущая сила индукции
Воспользовавшись уравнениями (39.11) и (43.1), получим выражение для э. д. с. индукции:
8 = Е*1 = иВ1.(43.4)
Заметим, что мы рассмотрели случай, когда вектор скорости перпендикулярен вектору индукции магнитного поля. Предоставляем читателю возможность доказать, что в общем случае
S = Blv sin а,(43.5)
где а —— угол между направлением вектора скорости и вектора индукции магнитного поля.
Вычислим работу, совершаемую при перемещении заряда по замкнутой цепи. Сопоставив выражения (43.3), (43.4) и (43.2), получим
儿амн — ^внешн + 4нутр = Я(Ф1~" Фа) + q^B — q (% — ф2)=
=qlvB = q^ = Дстор.
Отсюда следуетОтсюда следует3 ~ "замки /9,3 ~ "замки /9,(43.6)(43.6)
Отсюда следует
Отсюда следует
3 ~ "замки /9,
3 ~ "замки /9,
(43.6)
(43.6)
Итак, мы видим, что работа по перемещению заряда по замкнутой цепи равна работе сторонних сил. Это позволяет дать другое определение понятию э. д. с.: электродвижущая сила равна отношению работы, которая совершается при перемещении заряда по замкнутой цепи один раз, к величине перемещаемого заряда.
Явление индукции в неподвижном проводнике
Чтобы выяснить механизм явления электромагнитной индукции в неподвижном проводнике, воспользуемся схемой, изображенной на рис. 43.3. Здесь система отсчета xyz связана с замкнутым проводником, а система отсчета %'，'/ * с источником магнитного поля, например с постоянным магнитом. Пусть проводник и магнит приближаются друг к другу со скоростью V,
В системе отсчета xyz, связанной с проводником, заряды неподвижны относительно системы отсчета, следовательно, сила Лоренца на них действовать не может. Тем не менее при приближении магнита к проводнику в последнем возникает ток. Этот результат полностью соответствует принципу относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета равноправны и явления (в данном случае ток) определяются лишь относительной скоростью сближения проводника и магнита. Но все же нас интересует, какие силы в этом случае вызывают циркуляцию зарядов по проводнику?
Известно, что движение зарядов может возникнуть либо под действием электрических сил, либо под действием сил Лоренца. Поскольку в системе отсчета 尤〃z, связанной с проводником, силы Лоренца не действуют, мы заключаем, что ток в проводнике вызывается индуцированным электрическим полем, которого нет в системе Ny'z'.
Индуцированное электрическое поле обладает некоторыми особенностями:
Это поле не является кулоновским — оно вызвано не каким-то распределением зарядов, а приближением к проводнику магнита (т. е. источника магнитного поля).
В отличие от силовых линий кулоновского поля, которые начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах, силовые линии индуцированного поля замкнуты сами на себя. Поэтому данное поле называют вихревым.
Индуцированное поле не является консервативным, поскольку работа, совершаемая этим полем при перемещении заряда по замкнутой цепи, не равна нулю. Следовательно, энергетической характеристикой индуцированного поля является не потенциал, а электродвижущая сила индукции (э.д.с. индукции).
Напряженность индуцированного поля
Найдем напряженность индуцированного электрического поля. В системе отсчета х yz (рис. 43.3) на заряд действует сила Лоренца 尸加=qvB\ в системе хуг — электрическая сила Fe =qE. Соотношение между этими силами мы получили в § 40.2, а именно F' ~F р 1—у2/с2. Итак, qvB' = qE pl —宓陪 или
(43.7)(43.7)Е —— иВ'.
(43.7)
(43.7)
p1—0好.
Эле ктродв и ж уща я сила в системе хуг численно равна работе, совершаемой сторонними (в данном случае ——лоренцовьгми) силами при перемещении единичного заряда:占'=Frl/q = vBrl. В системе отсчета хуг э. д. с. численно равна работе, совершаемой индуцированным электрическим полем при перемещении единичного заряда по замкнутой цепи один раз, т. е. ^ = Fliq = El. Но длина проводника в обеих системах одна и та же, так как он расположен перпендикулярно направлению движения; напряженность индуцированного поля выражается формулой (43.7). Итак,
产 一 иВ" — £ (43
Обычно при явлении электромагнитной индукции скорость движения проводников значительно меньше скорости света, и практически э. д. с. в обеих системах отсчета совпадают.
Электромагнитное поле и принцип относительности
Анализ явления электромагнитной индукции с точки зрения двух разных инерциальных систем отсчета приводит нас вновь к тому же выводу, который был получен в § 40.3, а именно, что разделение единого электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие зависит от того, в какой системе отсчета описывается поле. В самом деле, в системе отсчета, относительно которой заряды покоятся (см. рис. 40.2), взаимодействие между ними осуществляется с помощью поля, которое мы называем электростатическим. Магнитного поля в этой системе отсчета нет. В другой системе отсчета, относительно которой заряды движутся, вза-
имодеиствие между ними осуществляется с помощью поля, которое можно разбить на две составляющие — электрическую и магнитную. Можно сказать, что в этой системе имеются два поля, электрическое и магнитное, и взаимодействие между зарядами в этой системе отсчета осуществляется с помощью обоих полей.
С аналогичным случаем мы встречаемся в установке, изображенной на рис. 43.3. В системе отсчета, связанной с магцитом, имеется только магнитное поле, и движение зарядов в проводнике возникает за счет сил Лоренца. В системе отсчета, связанной с проводником, кроме магнитного поля имеется вихревое электрическое поле, которое и создает ток.
Мы вновь приходим к выводу, что «электрические и магнитные поля не существуют независимо от состояния движения координатной системы». Эта формулировка принадлежит Эйнштейну и взята из его первой работы по теории относительности, которая появилась в 1905 г. под названием «К электродинамике движущихся тел».
Согласно Эйнштейну, для вычисления силы, которая действует на заряженное тело, нужно умножить величину заряда на напряженность электрического поля в той точке, где находится заряженное тело. При этом выражение для напряженности электрического поля должно быть преобразовано к системе отсчета, относительно которой исследуемое тело покоится.
Закон индукции Фарадея
Нам осталось рассмотреть явление электромагнитной индукции в том случае, когда и проводник, в котором возникает индукционный ток, и источник магнитного поля покоятся в данной системе отсчета. В фарадеевском опыте с двумя катушками, намотанными на какой-либо сердечник, ток во вторичной обмотке возникает лишь в том случае, если меняется магнитное поле, создаваемое током в первичной обмотке. Заметим, что способ изменения магнитного поля не играет никакой роли. Можно одну катушку перемещать ртносительно другой, можно с помощью рубильника включать или выключать ток в первичной обмотке, можно менять силу тока в первичной обмотке с помощью реостата —— результат будет один и тот же: при любых изменениях магнитного поля во вторичной обмотке возникнет индукционный ток. Нам уже известно, что в замкнутом проводнике циркуляция зарядов вызывается индуцированным электрическим полем. Таким образом, мы приходим к выводу, что любые изменения магнитного поля сопровождаются возникновением вихревого электрического поля. Такую трактовку явления индукции предложил Максвелл, и она оказалась весьма плодотворной.
Преобразуем формулу (43.5) так, чтобы она стала пригодной для вычисления э. д. с, индукции и в тех случаях, когда проводник неподвижен, а меняется магнитное поле. Для этой цели оказывается 438
необходимым ввести новую скалярную характеристику магнитного поля: поток вектора магнитной индукции, или, короче, магнитный поток Ф.
Пусть плоская площадка abed площадью S расположена в однородном магнитном поле пер пендикул яр но направлению силовых линий (рис. 43.4, а). Потоком вектора индукции В через данную площадку S называется произведение этих величин:
①= 8S・ (43.9)
Единица измерения магнитного потока в СИ — вебер (Вб); это магнитный поток, пронизывающий поверхность с площадью 1 ма.
расположенную перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией 1 Т:
1Вб = 1 м，
Используется еще единица максвелл; 1 Мкс ~ 10~8 Вб.
ЛФЛФПри перемещении проводника ab со скоростью v = Дх/Д/ в цепи индуцируется э.д.с. индукции 号=Blu = BlbxlNt* Выражение в числителе преобразуется так: Bi Ах = В/ (х2 — xJ = BS2 — —— BSi=^£—①i =——АФ (так как S2VsJ. Знак минус появился потому, что магнитный поток убывает. Э, д. с. индукции
ЛФ
ЛФ
(43.10)
Данное выражение выведено для случая, когда проводник движется относительно источников магнитного поля. В этом частном случае выражения (43. Ю) и (43.5) равноправны, рассчитать величину э. д. с. можно с помощью любого из них. Вместе с тем выражение (43.10) пригодно для описания явления электромагнитной индукции и в том случае, когда проводник неподвижен, а индуцированное электрическое поле возникает за счет изменения магнитного потока.
Итак, во всех случаях электромагнитной индукции 乱 Хс・ равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком. Это и есть закон Фарадея для явления индукции.
Правило Ленца
Выясним смысл знака в выражении (43.10). Будем считать э. д. с. положительной, если направление индуцированного электрического поля образует с направлением вектора В правовинтовую систему (рис. 43.4, а). Здесь при движении проводника магнитный поток убывает, скорость изменения магнитного потока ДФ/Д/<0 и э. д. с. 3 工一ДФ/Д/>0.
Читатель легко убедится в том, что при изменении направления движения проводника на противоположное магнитный поток возрастает, скорость изменения потока ДФ/Д/>0 и э. д. с. соответственно изменит знак (рис. 43.4, б).
Знак э. д. с. и соответствующее этому направление индуцированного тока можно найти с помощью весьма общего правила, которое сформулировал в 1833 г. Э. X. Ленц. Для вывода этого правила обратимся вновь к рис. 43.4, где пунктирной стрелкой обозначено направление вектора индукции В* магнитного поля, создаваемого индуцированным током. В случае, когда магнитный поток убывает, направления векторов 5 и 6* совпадают, что препятствует уменьшению магнитного потока (рис. 43.4, а). Во втором случае, когда поток возрастает, вектор В* направлен противоположно вектору Ь, что препятствует нарастанию магнитного потока (рис. 43.4, б). Таким образом, индуцированный ток имеет такое направление, что своим магнитным полем он препятствует изменению магнитного потока, вызывающему явление индукции. Это и составляет содержание правила Ленца.
Электромагнитная индукция и закон сохранения энергии
Правило Ленца тесно связано с законом сохранения энергии и фактически является следствием этого общего закона природы. В самом деле, индуцированное электрическое поле, перемещая заряды по цепи, совершает работу. Но работа есть мера изменения энергии (см. §§ 16.4 и 21.1). Какими же преобразованиями энергии сопровождается явление электромагнитной индукции?
Обратимся вновь к рис. 43.4. Как видно, движение проводника со скоростью V обеспечивается внешней силой 尸，направленной вдоль скорости. При этом в проводнике возникает индукционный ток, на который, как на всякий ток, действует сила Ампера 尸稱= =回 (41.15). Поскольку проводник движется равномерно, то это значит, что внешняя сила и сила Ампера равны по модулю (F = = %), но направлены в противоположные стороны.
Сравним работу внешней силы с работой, которую совершает индуцированное поле при перемещении зарядов по цепи. Работа внешней силы
(43.11)(43.11)Ямех = Fvt = iBlvt = qBlv,
(43.11)
(43.11)
Работа индуцированного поля (см, (39.5) и (43.5))
Лэл = 9君=gEs(43.12)
Итак, при отсутствии потерь работа внешней силы оказывается равной работе, совершаемой индуцированным полем при переме- щенйи зарядов по цепи. Таким образом, явление электромагнитной индукции с энергетической точки зрения есть процесс преобразования механической энергии в энергию индуцироваиного электрического поля. На этом принципе и основано действие индукционных генераторов электрического тока.
Самоиндукция
Вычислим магнитный поток, пронизывающий обмотку соленоида. Поток, пронизывающий один виток, равен, согласно определению, произведению площади, охватываемой витком, на индукцию магнитного поля, т. е. BS. Поскольку соленоид содержит w витков, то полный поток
①= 5BS.(43.⑶
Но 侬=九/, где Z — длина соленоида, ап — густота обмотки. С другой стороны, согласно (40.32) и (42.8) В =卩卩山=卩卩口订】.Подставив в (43.13), получим
Ф ~ 1Ц1оП28И — Li.(43.14)
Величина L, которая для длинного соленоида равна
L = RNoMs/,(43.15)
называется индуктивностью соленоида. Единицей индуктивности служит генри (Г)——это индуктивность соленоида, в котором при токе 1 А создается магнитный поток 1 Вб:
1 Г = 1 В6/1А.
При отсутствии в поле ферромагнитных материалов, а также в том случае, когда ферромагнетик находится в состоянии магнитного насыщения, индуктивность соленоида определяется только его размерами и густотой обмотки.
Из выражения (43.14) следует, что в случае, если ток в обмотке соленоида не меняется, то и пронизывающий его магнитный поток не меняется, и никакие индукционные явления здесь не происходят. Если изменить ток, то соответственно изменится и магнитный поток, и в соленоиде возникнет э. д. с. индукции. В данном случае ток наводит э. д, с. в той же цепи, где он протекает, поэтому данное явление называется самоиндукцией. Возникающую при этом э. д. с. найдем, сравнив выражения (43.10) и (43.14):
0а①①2 -①1r Eg—厶r Ai
Итак, э. д. с. самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока в обмотке:
Sl=-L^.(43.16)
Знак э. д. с. самоиндукции определяется согласно правилу Ленца. Если ток в цепи нарастает, то индуцированное поле должно препятствовать этому росту, следовательно, знак э. д. с, самоиндукции противоположен знаку разности потенциалов на концах обмотки. Если ток в цепи убывает, то индуцированное поле должно препятствовать этому убыванию, следовательно, знак э. д. с. окажется таким же, как и знак разности потенциалов на концах обмотки.
Энергия электромагнитного поля
В §§ 37.7 и 38.4 было показано, что электрическое поле является носителем энергии, которая распределена в поле с объемной плотностью
物一里_吧_色
Аналогичные выражения выведем для энергии магнитного поля. Пусть в некоторой катушке ток возрастает от нуля до некото-
W&k-色W&k-色Рис. 43.5.Рис. 43.5.рого значения /; соответственно и магнитный поток возрастает от нуля до значения ①=L/ (рис, 43.5). Как было показано в предыдущем параграфе, в этом случае возникает э. д. с. самоиндукции, которая препятствует нарастанию тока. Следовательно, внешний источник тока должен совершить работу против индуцированного поля, в результате чего энергия источника тока превращается в энергию магнитного поля. Изменение энергии магнитного поля равно по модулю элементарной работе, которая совершается при перемещении заряда
W&k-色
W&k-色
Рис. 43.5.
Рис. 43.5.
△q по замкнутой цепи:
△呼济—— aД = 一 Ag 6・△呼济—— aД = 一 Ag 6・(43 J7)(43 J7)
△呼济—— aД = 一 Ag 6・
△呼济—— aД = 一 Ag 6・
(43 J7)
(43 J7)
A% = Ag^ = iA①.A% = Ag^ = iA①.(43.18)(43.18)Учитывая, что ^ = — ДФ/Д/ (43.10), а ток i = А〃А/ (39.13), получим
A% = Ag^ = iA①.
A% = Ag^ = iA①.
(43.18)
(43.18)
На графике (рис. 43.5) эта величина изображена площадью заштрихованного прямоугольника. Полная энергия поля численно равна площади заштрихованного треугольника:
呼^ = /0>/2 =L/2/2. (43.19)
Как показал Максвелл, энергия магнитного поля рассредоточена по всему объему поля, так что плотность энергии
侬m侬mА呼济=n卩。%=中 aР 一 2 - 2卩卩qА呼济=n卩。%=中 aР 一 2 - 2卩卩q(43.20)(43.20)
侬m
侬m
А呼济=n卩。%=中 aР 一 2 - 2卩卩q
А呼济=n卩。%=中 aР 一 2 - 2卩卩q
(43.20)
(43.20)
Для вывода этого соотношения выразим в (43.19) индуктивность по формуле (43.15), а ток — через напряженность поля по (40.32); получим
h7 _ L* _ 卩从0九2，.中一цц0^З [/ W然一T一一w^ — — -2— ' ’
Отсюда непосредственно следует (43.20).
Аналогично тому, как в § 37.8 было получено выражение для силы взаимодействия между пластинами конденсатора (37.26), можно вычислить силу, с которой стальная пластинка притягивается к полюсам электромагнита:
В22р^В22р^S.S.(43.21)(43.21)
В22р^
В22р^
S.
S.
(43.21)
(43.21)
Данное выражение справедливо лишь в том случае, если индукция магнитного поля в зазоре между сердечником электромагнита и пластинкой не отличается от индукции поля в сердечнике, иными словами, если магнитный поток не рассеивается. Для этого зазор должен быть очень узким, так что его ширина должна быть много меньше диаметра сердечника электромагнита •
Мы уже неоднократно указывали, что разделение единого электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие определяется системой отсчета. Поэтому и выражение для плотности энергии электромагнитного поля следует писать в виде
(43.22)(43.22)ее0£2 )呻0屮
(43.22)
(43.22)
И лишь в некоторых специальных случаях, которые были рассмотрены выше, то или иное слагаемое может оказаться равным нулю.
Включение цепи с индуктивностью
Составим цепь постоянного тока из двух параллельных ветвей. В одну из них включим последовательно лампу накаливания и катушку с большой индуктивностью L и активным сопротивлением R, в другую ——такую же лампу и резистор с таким же сопротивлением. При замыкании рубильника мы заметим, что в цепи с резистором лампа вспыхивает сразу, в то время как в цепи с катушкой лампа разгорается постепенно, и лишь через некоторое время Af она станет гореть нормально. Таким образом, в цепи с индуктивностью ток нарастает постепенно, как это показано на рис» 43.6.
Причина заключается в том, что при нарастании тока в катушке возникает з. д. с. самоиндукции, которая согласно закону Ленца препятствует нарастанию
тока. Закон Ома в этой цепи запишется так:
—R — R— R Kt'
И лишь спустя время А/ ток достигнет максимального значения lK~^/R, и его рост прекратится.
Оценим время нарастания тока. Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая источником тока при перемещении заряда по цепи, частично идет на изменение внутренней энергии проводника (джоулево тепло), частично на увеличение энергии магнитного поля:
А = Q +呼掠，
или так:
&/cpA/=dpRA/+寸，
где /м~^^ — максимальная сила тока в цепи, /ср— средняя сила тока в течение промежутка времени AL Полагая приближенно, что /ср总，m/2=^72R, получим
庭！竺〜卷竺丄继1
2R ~4R2 十 2个 ,
Отсюда следует, что ток в цепи достигает максимального значения через промежуток времени, примерно равный
(43.23)(43.23)Af ^ 2L/7? —2т.
(43.23)
(43.23)
Как и в случае зарядки конденсатора (§39.8), выражение т = L/R называется постоянной времени для цепи, состоящей из катушки и резистора, или иначе временем релаксации. Эта величина служит характеристикой того промежутка времени, в течение которого в цепи устанавливается постоянный ток.
ГЛАВА 44
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Экспериментальные основы электронной теориипроводимости металлов
Мы уже неоднократно пользовались представлением о том, что проводимость металлов обусловлена наличием свободных элект^ ронов, которые могут легко перемещаться между ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Ознакомимся сейчас с экспериментами, лежащими в основе этих представлений.
Первые опыты были проведены Э. Рикке в 1901 г. Три цилиндра ——два медных и один алюминиевый ——с хорошо отшлифованными торцами ставились друг на друга и присоединялись к источнику тока. В течение года по проводникам протекал ток порядка 0,1 А, так что общий заряд, прошедший через проводники, превысил 3,5- 10е кулонов. Тем не менее никаких химических изменений в проводниках не произошло. Отсюда следует, что ток в металлах обусловлен движением частиц, не имеющих отношения к химической 444
структуре металлов. Этими частицами, естественно, не могут быть ионы, которые у разных веществ различны, а могут быть лишь электроны.
Решающий эксперимент поставили в 1916 г. Ч. Стюарт и Т. Толмен, измерив удельный заряд частиц, осуществляющих проводимость в металлах. Суть эксперимента заключалась в следующем. На катушку наматывался длинный проводник, присоединенный к гальванометру (рис. 44.1). Катушка приводилась в
00быстрое вращение и затем резко тормозилась.
0
0
В процессе торможения система отсчета, связанная с проводником, является неинерциальной. Как было показано (см. §§ 24.1—24.3), в неинерциальных системах отсчета на тела действует сила
Рис. 44.1.Рис. 44.1.
Рис. 44.1.
Рис. 44.1.
инерции 冗н = — m®， где w — ускорение системы отсчета. Под действием этой силы свободные частицы, находящиеся в металле, будут перемещаться в направлении движения проводника аналогично тому, как перемещается вперед пассажир при резком торможении вагона. При этом в проводнике возникает ток, направление которого зависит от знака этих частиц (рис. 44.2). Сила инерции является в данном случае сторонней силой, следовательно, э. д. с.
苏苏"стор — FHH/"стор — FHH/mwlmwl(44.1)(44.1)
苏
苏
"стор — FHH/
"стор — FHH/
mwl
mwl
(44.1)
(44.1)
где q — заряд свободной частицы, m ——ее масса, / — Длина проводника.
Поскольку длина проводника и величина ускорения при торможении известны, то удельный заряд частицы можно было бы определить, измерив э. д. с. Однако оказалось, что измерение э.д.с. связано с большими погрешностями, а гораздо точнее можно измерить полный заряд Q, протекающий через гальванометр при торможении проводника.
Согласно определению силы тока (39.13), можно записать: Q = 〃，где t ——время торможения. Но по закону Ома
t = @〕R = — mwl]qR,
где R — суммарное сопротивление проводника и гальванометра. Ускорение
w =(V— з)〃 = — з〃，
поскольку проводник после торможения останавливается. Итак, удельный заряд частицы равен
济_証・济_証・(44.2)
济_証・
济_証・
Знак заряда частицы определяется по знаку заряда Q, протекающего через гальванометр.
Опыт показал, что свободные частицы, осуществляющие проводимость в металлах, заряжены отрицательно. Их удельный заряд оказался равным: у меди 1,60- Ю11 Кл/кг, у серебра 1,49х X 10й Кл/кг, у алюминия 1,54 • 10n Кл/кг. Как видно, расхождение между полученными результатами и удельным зарядом электрона, равным 1,76-1011 Кл/кг, составляет от 9 до 15%, что для таких сложных опытов не выходит за пределы погрешностей. Отсюда можно с достаточной уверенностью утверждать, что ток в металлах есть результат упорядоченного движения свободных электронов.
Эффект Холла
Рис, 44.3.Рис, 44.3.В § 39.2 была выведена зависимость плотности тока от концентрации свободных электронов в проводнике. Оказалось, что с помощью явления, которое обнаружил в 1880 г. Э. Холл, эта концентрация может быть измерена. Сущность эффекта Холла заключается в следующем. Изготовим пластинку из однородного материала (например, металла) в виде параллелепипеда и за счет какого- либо источника тока создадим в этой пластинке однородное электрическое поле вдоль оси абсцисс; тогда по пластинке в этом направлении потечет ток. Любая плоскость, пер пенди ку л яр н а я оси абсцисс, является эквипотенциальной
Рис, 44.3.
Рис, 44.3.
поверхностью, и разность потенциалов между гранями У и 2 равна нулю (рис. 44.3). Если поместить эту пластинку в магнитное поле таким образом, что вектор индукции В окажется параллельным оси ординат, то между гранями J н 2 возникнет поперечная разность потенциалов, называемая холловской разностью потенциалов:
Дфн 二 Rh 写 >(44.3)
где d — толщина пластинки, i — сила тока нВ — индукция магнитного поля. Величина R〃 называется постоянной Холла.
Причина возникновения поперечной разности потенциалов заключается в следующем. Упорядоченное движение электронов в пластинке происходит в направлении, перпендикулярном вектору индукции магнитного поля, со средней скоростью и. На движущиеся электроны действует сила Лоренца Fm = eBv (41.1), которая смещает их к верхней грани пластинки (рис. 44.3). В результате на гранях пластинки возникает избыточный заряд: на верхней —— отрицательный, на нижней ——положительный. Таким образом, вдоль оси апликат начинает действовать электрическое поле с напряженностью £z, которое препятствует перемещению электронов к верхней грани. Равновесие восстановится, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца. Отсюда следует, что Fm = Fe или
eBv = еЕг.(44.4)
Холловская разность потенциалов
А中н = Е*= иВ/.(44.5)
Выразив из (39.17) среднюю скорость упорядоченного движения электронов через силу тока, v = i/enS — Hendl, и подставив в (44.5), получим
"中"=歹彳，(44.6)
Сравнивая (44.3) и (44.6), мы видим, что постоянная Холла определяется концентрацией электронов и зарядом носителей тока:
R〃 = l/叽(44.7)
Итак, определив из опыта постоянную Холла, мы легко вычислим концентрацию свободных электронов в веществе.
Подвижностью частицы b называется отношение средней скорости ее упорядоченного движения к напряженности электрического поля (39.26):
b =b/E = у/еп = yR*(44.8)
Следовательно, зная электропроводность металла и постоянную Холла, можно найти подвижность электронов проводимости. Результаты экспериментов для некоторых металлов приведены в табл. 44.1. Здесь р ——плотность металла, Л — его атомная масса, NA — число Авогадро (см. § 26.9).
Из таблицы видно, что одновалентные металлы —— литий и натрий — имеют в среднем около одного свободного электрона на атом; трехвалентный алюминий ——около трех свободных электронов; медь, которая бывает как одно-, так и двухвалентной,— несколько меньше полутора электронов на атом.
Подвижность электронов мала, следовательно, мала и скорость их упорядоченного движения. В самом деле, напряженность электрического поля в металлах редко бывает более 1 В/м, и средняя скорость упорядоченного движения и = ЬЕ не превосходит миллиметра в секунду, а чаще всего она значительно меньше.
Измерения постоянной Холла были произведены в очень широком интервале температур. Оказалось, что в металлах постоянная Холла не зависит от температуры, следовательно, и конментрсщи凡
Таблица 44.1
Постоянная
Электропроводность
Концентрация электронов
Холла
проводимости
RН，м3/Кл
V,
Ом-м
11
К
Алюминий
0,30-Ю-10
4,08-107
20,8-Ю28
Медь
0,55-Ю-^
6,41-Ю7
И ,4-Ю28
Литий
1,70-Ю-10
1,17-Ю7
3,67-1028
Натрий
2,50・10-ю
2,48-107
2,50-1028
Окись цинка
1 ,6・10-5
3,0-102
3,9-1023
Концентрация атомов
Среднее число свободных
Подвижность электронов
p^л 1 пл=—-中
на атом
•V=//
匕=丫r* S
〃 В-сек
Алюминий
6,03-1028
3,46
1,2- IO —
Медь
8,49-Ю28
1 ,34
3,5-10-3
Литий
4,6О1О28
0,80
2,0-10-3
Натрий
2,54 "(Я
0,99
6,2」0-з
Окись циика
^4-1028
^10-5
4,8-10-3
свободных электронов не зависит от температуры. Это означает, что тепловое движение не играет никакой роли в образовании свободных электронов в металлах.
Значительно более сложные явления наблюдаются при проведении опыта Холла с веществами, которые называются полупроводниками: селен, кремний, германий, окислы ряда металлов и т. п. В табл. 44.1 приведены характерные данные для одного полупроводника ——окиси цинка. Мы видим, что постоянная Холла здесь больше, чем у металлов, примерно в 105 раз; электропроводность в 105 раз меньше, примерно во столько же раз меньше и концентрация свободных электронов — следовательно, здесь лишь незначительное число атомов ионизировано. Но главное не в этом. Основная особенность полупроводников заключается в том, что постоянная 448
Холла с ростом температуры резко падает, следовательно, концентрация свободных электронов растет при увеличении температуры, полупроводника. Второй характерной особенностью полупроводников является то, что у некоторых из них эффект Холла имеет противоположный знак — при таких же направлениях тока и индукции магнитного поля, как на рис. 44.3, верхняя грань пластины заряжается положительно (рис.44.4). Единственное разумное объяснение можно дать, если предположить, что проводимость в этих веществах осуществляется за счет движения не отрицательных, а положительных зарядов (§77.2).
Мы приходим к парадоксу, который классическая электронная теория объяснить не может. Более подробно квантовая теория проводимости полупроводников будет рассмотрена в гл. 77.
Электронный газ
В 1900 г. П. Др уде создал электронную теорию проводимости металлов. Дальнейшее развитие этой теории на основе статистики Максвелла — Больцмана принадлежит Г. Лоренцу. С точки зрения теории Др уде — Лоренца совокупность свободных электронов можно рассматривать как некоторый идеальный газ, называемый электронным газом. Друде и Лоренц постулировали, что свойства электронного газа аналогичны свойствам обычного идеального газа.
Далее мы увидим, что аналогия между электронным газом и идеальным газом является весьма упрощенной, и как раз для металлов она приводит к ряду трудностей (см. гл. 75). Тем не менее в данной главе мы будем рассматривать совокупность электронов проводимости как идеальный газ, что позволит элементарными методами объяснить механизм ряда явлений, происходящих в металлах и полупроводниках.
Среднюю энергию теплового движения электронов рассчитаем по той же формуле, по которой вычисляется средняя кинетическая энергия молекул идеального одноатомного газа (см. формулу (26.8)):一 一
£ =疝2/2 = 3/2归7\(44.9)
При комнатных температурах (Т«300 К) получим
方 У • Ю5 м/с.
€ точки зрения квантовых представлений следует для вычисления средней кинетической энергии электрона проводимости воспользоваться формулой (16.26). Для скорости хаотического
44944915 Б. М. Яворский, А. А. Пинский, г. 1
449
449
движения электронов проводимости получим
- 、/т /"加経/3.2品 1/310-34. Ю10
и = у тг^ум/с.
Мы получили здесь практически тот же результат, что и по классическим представлен и ям.
Мы видим, что средняя скорость теплового движения электронов превосходит среднюю скорость их упорядоченного движения (см. §§ 39.3 и 44.2) примерно в 108 раз! На этой основе можно представить себе механизм возникновения тока. Пока в проводнике отсутствует электрическое поле, электроны беспорядочно движутся во всевозможных направлениях. При возникновении поля электроны начинают медленно перемещаться по направлению, противоположному направлению силовых линий поля. Это медленное упорядоченное движение часто называют «дрейфом»; оно практически не влияет на тепловое движение частиц.
Не следует смешивать скорость дрейфа электронов со скоростью электрического тока. Под скоростью тока понимают скорость передачи электрической энергии вдоль проводов. Опыт и теория показывают, что скорость тока весьма велика ——она равна скорости распространения электромагнитных волн (см. § 59.1). Энергию от источника к потребителю передает электромагнитное поле, проводник же с дрейфующими электронами служит лишь «направляющей» для потока энергии.
Вывод закона Ома из электронной теории
С помощью модели электронного газа можно выяснить, почему в металлах и полупроводниках выполняется закон Ома. Идея вывода заключается в следующем.
Рис. 44.5.
Пусть в металле имеется электрическое поле с напряженностью £. Тогда на электрон действует сила F =еЕ、и он будет двигаться с ускорением a = F/m ~еЕ/т до тех пор, пока не столкнется с ионом. Поскольку электрон участвует еще в тепловом движении, 450
то столкновения с ионами происходят нерегулярно; кроме того, нам не известно, сколько времени электрон находится в связанном состоянии с ионом. Поэтому график его упорядоченного движения можно изобразить примерно так, как это показано на рис. 44.5. За время △友 электрон пройдет вдоль проводника расстояние А%]= =оА洋/2; за время Д/2 — расстояние А%2 = аА%/2, и т. д. В течение значительного промежутка времени / он пройдет расстояние
А%1 + А% + • • • + А/ = у (А/； + А强++ А/^)・ (44.10)
Средняя скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника
v = x/t ^=йт/2,(44.11)
где
называется средним временем свободного пробега электрона. Учитывая, что а = еЕ/ту имеем
v^e^E/2m,(44.12)
Подставив значение средней скорости упорядоченного движения (44.11) в формулу (39.18)6 получим
片赛e二注・(44.13)
В металлах и полупроводниках удельная электропроводность у = г2ит/2т не зависит ни от плотности тока, ни от напряженности поля. Поэтому из (44.13) вытекает, что в этих веществах плотность тока пропорциональна напряженности поля, а это и есть закон Ома (39.24).
Подвижность электрона равна (§ 39.5)
b = v/E = гт/2т.(44.14)
Сопоставляя (44.14) с экспериментально полученными данными для подвижности (табл. 44.1), можно вычислить среднее время свободного пробега. Оно составит примерно 10~14 с. Это означает, что электрон совершает около 1014 столкновений в секунду с ионами кристаллической решетки.
Из (44.13) получим выражения для удельной электропроводности
(44.15)(44.16)(44.15)(44.16)—ё2ПГ一後几九
(44.15)
(44.16)
(44.15)
(44.16)
и удельного сопротивления
p _ y 一 е%т 一外几九
Анализ выражений (44.15) и (44.16) позволяет выяснить некоторые особенности металлов и полупроводников, в частности, зависимость электропроводности от температуры и структуры кристаллической решетки.
Электропроводность металлов и полупроводников
Из опыта известно, что электропроводность металлов примерно на пять порядков больше электропроводности полупроводников. Причину такой колоссальной разницы можно объяснить на основе электронной теории.
Расстояния между узлами кристаллической решетки у всех твердых тел примерно одинаковы, следовательно, и средние длины свободного пробега электронов проводимости в разных твердых телах не могут сильно различаться. С другой стороны, постоянная Холла у металлов меньше, чем у полупроводников, в 105 раз, следовательно, во столько же раз больше концентрация электронов проводимости. Но именно во столько же раз больше и их электропроводность (см. табл. 44.1), что полностью согласуется с формулой (44.15).
Удельное сопротивление чистых металлов в несколько раз меньше удельного сопротивления сплавов (табл. 44.2).
Таблица 44.2
р (при 0° С), Ом-мм2/м
а (от 0° С до 100° С), 10~а K~i
Алюминий Железо Медь Платина Родий Никель Хром
0,0245 0,089 0,0156 0,0981 0,043 0,0614 0,127
4,5
6,5
4,3
3,92
4,4
6,8
Платина—родий (90/10) Никель—хром (80/20) Сталь
Константан
0,187
1,03 0,12—0,45
0,48
1,66
1,0
3,3—1,5 0,02
В § 75.9 на основе квантовых представлений будет выяснена причина зависимости электропроводности тела от степени совершенства его кристаллической решетки. Оказывается, что наличие з решетке примесей и дефектов, а также особенности тепловых колебаний частиц твердого тела приводят к уменьшению длины свобод-
ного пробега электрона и тем самым ——к уменьшению электропроводности.
Опыт показывает, что при повышении температуры и при наличии примесей сопротивление полупроводников резко уменьшается, что принципиально отличает их от металлов. Причина заключается в том, что в полупроводниках при наличии примесей или при увеличении температуры значительно возрастает концентрация электронов проводимости, что следует из опытов по определению постоянной Холла в этих веществах. Увеличение концентрации электронов проводимости перекрывает эффект уменьшения длины свободного пробега, и сопротивление убывает.
Что касается причины того, почему в металлах концентрация электронов проводимости не зависит от температуры и примесей, а у полупроводников такая зависимость имеется, то на базе классической электронной теории это объяснить невозможно. Квантовые представления об этом эффекте будут изложены в гл. 75.
Вывод закона Джоуля — Ленца
В § 39.7 мы получили выражение (39.33) для расчета изменения внутренней энергии проводника, по которому протекает ток. Однако механизм нагревания проводника там не был раскрыт. На основе электронной теории это явление можно объяснить следующим образом.
Электрон, разгоняемый электрическим полем, приобретает к концу свободного пробега избыточную кинетическую энергию ^ = тимакс/2, где ииакС = ат ——максимальная скорость его упорядоченного движения. В конце свободного пробега электрон соударяется с ионом, масса которого в несколько тысяч раз больше массы электрона.
В результате удара избыточная энергия электрона передается иону, и последний начинает более интенсивно колебаться. Итак, возрастание внутренней энергии проводника с током есть результат бомбардировки ионной решетки электронами, которые ускоряются полем.
Количество теплоты рассчитаем следующим образом. Пусть длина проводника равна 厶 его поперечное сечение S； общее число электронов проводимости в нем N = /zSZ, где и — их концентрация. Изменение внутренней энергии равно произведению избыточной кинетической энергии электрона К на число электронов 7V и на число соударений Z, которые испытает электрон за время /:
Q = NZK・ (44.17)
Число соударений Z = 〃叫 где т ——время свободного пробега электрона. Подставив в (44.17), получим после преобразований:
Q；^LnSlL = ^E2Slt. (44.18)
Но напряженность поля можно вьтразить через напряжение на участке, воспользовавшись выражением (39.10): £ = 〃〃； вместе с тем согласно (44.16) г2ит/2т = 1/р, где р —— удельное сопротивление. Итак,
Q =脑"贵.(44.19)
Эта формула тождественна (39.33).
Механизм передачи энергии от электронного газа к кристалл маской решетке далеко не так прост, как он описан выше. В самом деле, почему при ударе электрона об ион последнему передается именно избыточная энергия упорядоченного движения, а не меньшая или большая энергия? Ведь, с одной стороны, нам известно, что электроны проводимости и в отсутствие тока в проводнике обладают огромной кинетической энергией, которая оценивается по формуле энергии локализованной частицы (§ 16.7). Учитывая, что концентрация электронов проводимости в металлах п 経 1029 м~3 (§ 44.2), получим
^ 10-19 дж ~ 1 эВ.^ 10-19 дж ~ 1 эВ.毋胪/з 〜Ю-68.2. ю19
^ 10-19 дж ~ 1 эВ.
^ 10-19 дж ~ 1 эВ.
Л = 2m2・9・10-з工
Максимальная избыточная энергия упорядоченного движения электрона, возникающая под действием электрических полей с напряженностью порядка £ в 1 В/м,Максимальная избыточная энергия упорядоченного движения электрона, возникающая под действием электрических полей с напряженностью порядка £ в 1 В/м,равнаравна©2 上 2 T2 2m©2 上 2 T2 2m2,56-10-38-1-10-282-9-10-^2,56-10-38-1-10-282-9-10-^10-36 д*.10-36 д*.Итак, избыточная энергия упорядоченного движения электрона составляет совершенно ничтожную часть его полной энергии (^изб/^ ^ Ю"17). Почему же именно этот избыток энергии дает тепловой эффект?С другой стороны, основываясь на законах сохранения энергии и импульса (см. §§ 17.2 — 17.4), можно показать, что при соударении электрона с ионом лишь небольшая часть кинетической энергии электрона ^эл превратится в кинетическую энергию иона ^011. Нетрудно убедиться, что при неупругом соударенииИтак, избыточная энергия упорядоченного движения электрона составляет совершенно ничтожную часть его полной энергии (^изб/^ ^ Ю"17). Почему же именно этот избыток энергии дает тепловой эффект?С другой стороны, основываясь на законах сохранения энергии и импульса (см. §§ 17.2 — 17.4), можно показать, что при соударении электрона с ионом лишь небольшая часть кинетической энергии электрона ^эл превратится в кинетическую энергию иона ^011. Нетрудно убедиться, что при неупругом соударенииАКнонАКнонтm十优тm十优при упругомпри упругомАКнон — 4mMк3口 一(m+m戸АКнон — 4mMк3口 一(m+m戸где m н М — массы электгде m н М — массы электрона и иона. Учитывая, что т/М^ 10~4, мы видим, что в обоих случаях практически — в 10-4. Почему же передается не эга часть кинетической энергии электрона, а всего лишь 10~17 его энергии, т. е. гораздо меньше?4. Качественно это явление объясняется следующим образом.Электроны проводимости и кристаллическая решетка образуют как бы два «газа» ——квантовый и классический, заполняющие один и тот же объем. Их температуры существенно различны. Температура решетки порядка 300 К ——500 К, температура электронного газа Гвыр= %2n^3l3kmх; 5000 К (§26.8). Несмотря на столь большую разницу в температурах, теплообмен между электронный! газом и решеткой при отсутствии юка не происходит. Дело в том, что благодаря соотношению неопределенностей энергия электронов проводимости не может стать меньше величины К =九2田、2m (см. формулу (16.26)), которая выражает собой минимальную величину энергии локализованной частицы.Ситуация существенно меняется при возникновении тока. За счет действия электрического поля электроны приобретают избыточную кинетическую энергию упорядоченного движения. И хотя этот избыток энергии крайне невелик, а соотрона и иона. Учитывая, что т/М^ 10~4, мы видим, что в обоих случаях практически — в 10-4. Почему же передается не эга часть кинетической энергии электрона, а всего лишь 10~17 его энергии, т. е. гораздо меньше?4. Качественно это явление объясняется следующим образом.Электроны проводимости и кристаллическая решетка образуют как бы два «газа» ——квантовый и классический, заполняющие один и тот же объем. Их температуры существенно различны. Температура решетки порядка 300 К ——500 К, температура электронного газа Гвыр= %2n^3l3kmх; 5000 К (§26.8). Несмотря на столь большую разницу в температурах, теплообмен между электронный! газом и решеткой при отсутствии юка не происходит. Дело в том, что благодаря соотношению неопределенностей энергия электронов проводимости не может стать меньше величины К =九2田、2m (см. формулу (16.26)), которая выражает собой минимальную величину энергии локализованной частицы.Ситуация существенно меняется при возникновении тока. За счет действия электрического поля электроны приобретают избыточную кинетическую энергию упорядоченного движения. И хотя этот избыток энергии крайне невелик, а соответствующее приращение температуры электронного газа составляет всего лишьветствующее приращение температуры электронного газа составляет всего лишьа■等…к,а■等…к,
Максимальная избыточная энергия упорядоченного движения электрона, возникающая под действием электрических полей с напряженностью порядка £ в 1 В/м,
Максимальная избыточная энергия упорядоченного движения электрона, возникающая под действием электрических полей с напряженностью порядка £ в 1 В/м,
равна
равна
©2 上 2 T2 2m
©2 上 2 T2 2m
2,56-10-38-1-10-28
2-9-10-^
2,56-10-38-1-10-28
2-9-10-^
10-36 д*.
10-36 д*.
Итак, избыточная энергия упорядоченного движения электрона составляет совершенно ничтожную часть его полной энергии (^изб/^ ^ Ю"17). Почему же именно этот избыток энергии дает тепловой эффект?
С другой стороны, основываясь на законах сохранения энергии и импульса (см. §§ 17.2 — 17.4), можно показать, что при соударении электрона с ионом лишь небольшая часть кинетической энергии электрона ^эл превратится в кинетическую энергию иона ^011. Нетрудно убедиться, что при неупругом соударении
Итак, избыточная энергия упорядоченного движения электрона составляет совершенно ничтожную часть его полной энергии (^изб/^ ^ Ю"17). Почему же именно этот избыток энергии дает тепловой эффект?
С другой стороны, основываясь на законах сохранения энергии и импульса (см. §§ 17.2 — 17.4), можно показать, что при соударении электрона с ионом лишь небольшая часть кинетической энергии электрона ^эл превратится в кинетическую энергию иона ^011. Нетрудно убедиться, что при неупругом соударении
АКнон
АКнон
т
m十优
т
m十优
при упругом
при упругом
АКнон — 4mMк3口 一(m+m戸
АКнон — 4mMк3口 一(m+m戸
где m н М — массы элект
где m н М — массы элект
рона и иона. Учитывая, что т/М^ 10~4, мы видим, что в обоих случаях практически — в 10-4. Почему же передается не эга часть кинетической энергии электрона, а всего лишь 10~17 его энергии, т. е. гораздо меньше?
4. Качественно это явление объясняется следующим образом.
Электроны проводимости и кристаллическая решетка образуют как бы два «газа» ——квантовый и классический, заполняющие один и тот же объем. Их температуры существенно различны. Температура решетки порядка 300 К ——500 К, температура электронного газа Гвыр= %2n^3l3kmх; 5000 К (§26.8). Несмотря на столь большую разницу в температурах, теплообмен между электронный! газом и решеткой при отсутствии юка не происходит. Дело в том, что благодаря соотношению неопределенностей энергия электронов проводимости не может стать меньше величины К =九2田、2m (см. формулу (16.26)), которая выражает собой минимальную величину энергии локализованной частицы.
Ситуация существенно меняется при возникновении тока. За счет действия электрического поля электроны приобретают избыточную кинетическую энергию упорядоченного движения. И хотя этот избыток энергии крайне невелик, а соот
рона и иона. Учитывая, что т/М^ 10~4, мы видим, что в обоих случаях практически — в 10-4. Почему же передается не эга часть кинетической энергии электрона, а всего лишь 10~17 его энергии, т. е. гораздо меньше?
4. Качественно это явление объясняется следующим образом.
Электроны проводимости и кристаллическая решетка образуют как бы два «газа» ——квантовый и классический, заполняющие один и тот же объем. Их температуры существенно различны. Температура решетки порядка 300 К ——500 К, температура электронного газа Гвыр= %2n^3l3kmх; 5000 К (§26.8). Несмотря на столь большую разницу в температурах, теплообмен между электронный! газом и решеткой при отсутствии юка не происходит. Дело в том, что благодаря соотношению неопределенностей энергия электронов проводимости не может стать меньше величины К =九2田、2m (см. формулу (16.26)), которая выражает собой минимальную величину энергии локализованной частицы.
Ситуация существенно меняется при возникновении тока. За счет действия электрического поля электроны приобретают избыточную кинетическую энергию упорядоченного движения. И хотя этот избыток энергии крайне невелик, а соот
ветствующее приращение температуры электронного газа составляет всего лишь
ветствующее приращение температуры электронного газа составляет всего лишь
а■等…к,
а■等…к,
именно- этот избыток энергии и нарушает термодинамическое равновесие. Возникает процесс теплообмена между «перегретым» электронным газом и кристаллической решеткой, и избыток энергии, получаемый электронным газом от электрического поля, передается решетке. Это и ведет к нагреву проводника, т. е. выделению тепла Джоуля —— Ленца.
§ 44,7. Контактная разность потенциалов
В конце XVIII в. А. Вольта заметил, что между двумя соприкасающимися металлами возникает контактная разность потенциалов. Происхождение этого скачка потенциала можно объяснить на основе электронной теории.
Рассмотрим два металла с разной концентрацией электронов (п1>и2). Поскольку в месте их контакта оба металла имеют одинаковую температуру, то и средняя скорость теплового движения электронов в этом месте одна и та же. Для простоты рассуждений положим, что длина свободного пробега у них примерно одинакова. За счет теплового движения электронов происходит их диффузия (см. §§ 25.4, 25.5). Число электронов, которые переносятся из первого металла во второй, равно одной шестой числа электронов, находящихся в слое толщиной 入,т. е. N工=HmSL Из второго металла в первый переносится №2=1/6孔2s九 электронов. Но по условию и1>и2, следовательно, второй металл приобретет больше электронов, чем он передаст первому.
Итак, в результате диффузии электронов один металл зарядится положительно, второй — отрицательно. Возникшее при этом электрическое поле будет препятствовать диффузии. Диффузия в данном случае играет такую же роль, как будто бы в месте контакта действует стороннее поле. Перетекание электронов из одного металла в другой прекратится, когда возникшая разность потенциалов уравновесит э.д.с. стороннего поля.
Качественно оценим контактную разность потенциалов из следующих соображений. Ток в контактном слое
__e(Nr-N^ _eXS , ч
Разность потенциалов, по закону Ома, равна произведению тока на сопротивление контактирующих слоев: А = А】+ Т?2 = (рЛ/S) + + (「2入/5)， где Pi и р2 — их удельные сопротивления. Учитывая (44.16), имеем
Итак,
Аф = ^ = ^^)ОУ.(44.20)
Подставив mu2 = 3kT и проделав несложные преобразования, получим
的=^偿/)・(44・21)
Мы видим, что контактная разность потенциалов зависит только от температуры и химического состава металлов. Квантовые представления об этом явлении изложены в § 78 Л-
Термоэлектричество
Составим замкнутую цепь из двух металлов и будем поддерживать во всех точках цепи одинаковую температуру. Оказывается, что при этом условии за счет контактных скачков потенциала ток в цепи возникнуть не может, ибо э. д. с. в этой цепи равна нулю:
/ = а"? + №『学偿一^ + ^一 紛=0.
Этот результат можно было предвидеть на основе первого и второго начал термодинамики. В самом деле, ток совершает работу, следовательно, для его создания необходим источник энергии. Это не может быть и энергия окружающей среды, ибо согласно второму началу термодинамики теплообмен между телами с одинаковой^ температурой не происходит (см. гл. 28).
Совершенно иной результат получится, если температуры спаев будут разными. Пусть, например, Т、>1\. Тогда выражение для э.д.с. примет вид
6 = Дф12 + А%| = ^ (^_^) (Л-Л). (44.22)
Мы видим, что здесь э. д. с. нулю не равна; поэтому в цепи возникнет термоэлектрический ток. Явление это было обнаружено Зеебеком в 1821 г.
Выражение (44.22) можно записать так:
6 = а (А—丁2)=а АТ. (44.23) Здесь а = — f 譽——§ )——постоянная величина, характеризующая свойства контакта данных двух металлов, э.д.с. 6 называется термоэлектродвижущей силой, а АТ —— это разность температур обоих спаев.
Термоэлектрическая э. д. с., возникающая при контакте двух металлов, очень мала. Хотя формула (44.22) была получена с помощью довольно грубых приближений, все же ее можно применять для качественной оценки величины этой э. д. с. Взяв АТ = 1 К, концентрации /г工 и п2, например, для меди и алюминия из табл. 44.1, получим
а=4(£-?)~1>л^(тт-й)я!1'2-10~4В/к=120мкВ/к-
Опыт дает для этой термоэлектрической пары металлов величину в 30 раз меньшую: а = 3,4 мкВ/К.
Если мы заменим один из металлов полупроводником, то термоэлектродвижущая сила должна существенно увеличиться, поскольку концентрации электронов в металлах и полупроводниках различаются на 4——5 порядков. Пользоваться формулой (44.22) здесь нельзя даже для качественных расчетов, но тот факт, что 456
термопара «металл — полупроводник» даст значительно большую термо-э д с го сравнению с термопарой «металл — металл», подтверждается экспериментально
Обычно термопары применяются для измерения температур, особенно в тех случаях, где применение жидкостных (например, ртутных) термометров исключается. Достоинством термопарных термометров является их высокая чувствительность; возможность присоединения к самописцам, автоматически записывающим изменение температуры с течением времени; малые размеры, малая собственная теплоемкость, а также широкий диапазон измеряемых температур —— от +2000° С до —200° С.
Вместе с тем термопары могут быть использованы и как источники тока. Правда, у них низкий к.п.д. (менее 1%) и малая э.д.с. Однако подобрав определенные типы полупроводников и соединив термопары последовательно в термобатарею, можно получить и достаточно большую э.д. с., порядка нескольких десятков вольт. Такие термобатареи были созданы под руководством акад. А. Ф. Иоффе. Они могут работать от любого источника тепла, например от керосиновой лампы, и питать радиоприемник.
На этом же принципе работает ядерная установка «Ромашка», представляющая собой малогабаритный адерный реактор на 49 кг урана. В активной зоне реактора температура достигает 1770b С. Стенки его выложены из нескольких тысяч кремний-германиевых пластин, играющих роль полупроводниковых термопар, соединенных в термобатарею. За счет разности температур внутри реактора и наружной атмосферы и создается термо-э.д.с. Установка эта, созданная в 1964 г. в Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова под руководством акад. М. Д. Миллионщикова, успешно прошла все испытания и оказалась вполне работоспособной.
С точки зрения термодинамики термопара вполне аналогична тепловой машине (см. гл. 29). Здесь есть два тела с разной температурой, играющие роль нагревателя и холодильника, а рабочим телом служит электронный газ. В отличие от обычной тепловой машины, где часть внутренней энергии нагревателя превращается в механическую, в термопаре она превращается в энергию электрического тока.
Известно, что если к тепловой машине подводить механическую энергию от внешнего источника, то она будет работать в режиме теплового насоса (или холодильной установки; см. § 29.8). По аналогии можно ожидать, что если через термопару пропустить ток от внешнего источника, то между спаями должна возникнуть разность температур. Такой эффект действительно наблюдается в эксперименте. Он называется эффектом Пельтье в честь ученого, который в 1834 г. обнаружил это явление.
Для получения более значительной разности температур здесь также следует применить полупроводниковые термопары. Термоэлектрические холодильники, использующие эффект Пельтье в полупроводниках, были созданы в 1954 г. группой ученых ленинградского Института полупроводников, которым руководил акад. А. Ф. Иоффе.
Работа выхода
Электроны, движущиеся внутри металла, могут иногда вылететь за его пределы, образуя над металлом «электронное облако». Часть этих электронов вновь возращаются в металл, другие снова его покидают. Явление это весьма похоже на испарение жидкостей (см. §§ 35.1, 35.2). Поверхность металла и электронное облако образуют двойной электрический слой, аналогичный плоскому конденсатору. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстояниям (d^l0~i°—■ 10-э м). Разность потенциалов в этом слое называется поверхностным скачком потенциала на границ: металл ——вакуум или контактной разностью потенциалов между металлом и вакуумом.
Для оценки этой величины проделаем следующий ориентировочный расчет. Представим себе, что электрон вылетел из металла; тогда в последнем возникнет положительный заряд, равный по модулю заряду электрона. Этот положительный заряд называется «электрическим изображением» электрона (рис. 44.6). Оказывается, что взаимодействие электрона с металлом равно взаимодействию между электроном и его «изображением», т. е. сводится к взаимодействию точечных зарядов, которое мы умеем рассчитывать. Согласно (37.4) имеем для контактного скачка потенциала (при 5-10-10 м):
〜 е 〜1,6 Ю-19-36л.1О9 〜
1,4 В.
рис 44.6.2. Для того чтобы электрон, на
ходящийся в металле, мог выйти за его пределы, он должен совершить работу против сил притяжения от своего «изображения» и против сил отталкивания от отрицательно заряженного электронного облака. Эта работа называется работой выхода Ло. Она равна, таким образом, той минимальной энергии, которую нужно сообщить электрону проводимости, чтобы он мог выйти из металла в вакуум. Мы можем положить, что работа выхода
4 = е%онт・4 = е%онт・(44.24)
4 = е%онт・
4 = е%онт・
Наш ориентировочный расчет дает для работы выхода величину Ло^ 1>5 эВ =2,4- 10-1э Дж. По порядку величины получился правильный результат, что видно из таблицы:
Ло, эВ
4, зВ
Литий, натрий, калий Цинк Вольфрам Платина Барий
Кальций
Цезий
Барий на вольфраме
Цезий на вольфраме
Потенциальная энергия электрона проводимости в металле меньше энергии свободного электрона. Полагая, что потенциальная энергия электрона в вакууме равна нулю, мы получим, что его энергия в металле U=——Ло ———е(рконт. Shy энергию можно изобразить графически, откладывая на оси абсцисс координату электрона, а на оси ординат —— потенциальную энергию (рис. 44.7). Здесь толщина «электронного облака» d сильно преувеличена. График имеет вид ямы, которая так и называется «потенциальная яма». Поэтому 458
обычно, желая указать, что электрон в металле имеет отрицатель
ную потенциальную энергию, говорят, что электрон находится в «потенциальной яме».
Для того чтобы электрон проводимости вылетел за пределы
металла, необходимо, чтобы его кинетическая энергия оказалась
больше работы выхода (или, в крайнем случае, равна ей). Эту энергию электрон может получить разными путями.
Один из путей ——освещение металла. Электрон, получив энергию от
световой волны, сможет совершитьРис. 44.7.
работу выхода. Это явление называет
ся фотоэлектронной эмиссией и будет рассмотрено в §§ 68.1 ——68.3.
Второй путь ——бомбардировка поверхности металла частицами,
имеющими энергию в несколько сотен электрон-вольт.
Третий путь ——повышение температуры металла. Явление ис
пускания электронов нагретым телом называется термоэлектронной эмиссией (§ 47.1).
ГЛАВА 45
ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Теплоемкость
Как было показано в §§ 27.4 — 27.5, для газов следует различать изохорную су и изобарную ср теплоемкости, которые значительно отличаются друг от друга (? = %/су^1,7——1,4). У твердых тел эти теплоемкости различаются очень мало: от 3% для меди и золота до 8% у щелочных металлов. Поэтому в дальнейшем мы не будем эти величины различать и станем говорить просто о теплоемкости твердого тела.
Рассматривая выражение для внутренней энергии идеального газа, мы пришли к выводу, что ее можно представить как сумму кинетических энергий молекул плюс постоянное слагаемое, поскольку сумма потенциальных энергий молекул и их энергий покоя является постоянной величиной (см. § 27.1). Иную картину мы имеем в твердом теле. Здесь частицы совершают колебания в узлах кристаллической решетки, а в колебательном процессе кинетическая энергия непрерывно переходит в потенциальную и наоборот. Отсюда следует, что средние значения кинетической и потенциальной энергии частицы твердого тела равны между собой (см. § 49.3):
%。丁 = Екнн = 3/財. (45.1)
Средняя энергия колебаний частицы есть сумма средних значений ее потенциальной и кинетической энергии:
£ ~ %нн + епот ~ З^Т.£ ~ %нн + епот ~ З^Т.(45.2)(45.2)
£ ~ %нн + епот ~ З^Т.
£ ~ %нн + епот ~ З^Т.
(45.2)
(45.2)
Внутренняя энергия одного киломоля простого вещества ра» на произведению средней энергии колебаний одного атома на число Авогадро. Используя соотношение (45.2), получим
Um - N^ 工 3NAkT = 3欠7\(45.3)
где R =8,31-103 Дж/(кмоль• К)1,98 ккал/(кмоль-К) — универсальная газовая постоянная (см. § 26.9).
Теплоемкость одного киломоля по определению равна
Ст= 3R а 5,94 ккал/(киломоль• К).(45.4)
Мы получили закон Дюлонга и Пти. установленный ими в 1819 Г.:
киломольная теплоемкость химически простых кристаллических тел приблизительно равна 6 ккал на киломоль • кельвин.
Удельная теплоемкость есть отношение киломольной теплоемкости к атомной массе элемента:
Ст 3R ЗМ/走 3 走
где 恤 —— масса одного атома.где 恤 —— масса одного атома.Объемная теплоемкость есть отношение килоатомной теплоемОбъемная теплоемкость есть отношение килоатомной теплоемкостикостик объемук объемукилоатома:Cm^3NAk = 3k 砲一寸килоатома:Cm^3NAk = 3k 砲一寸(45 6)(45 6)
где 恤 —— масса одного атома.
где 恤 —— масса одного атома.
Объемная теплоемкость есть отношение килоатомной теплоем
Объемная теплоемкость есть отношение килоатомной теплоем
кости
кости
к объему
к объему
килоатома:
Cm^3NAk = 3k 砲一寸
килоатома:
Cm^3NAk = 3k 砲一寸
(45 6)
(45 6)
Рис 45 LРис 45 L
Рис 45 L
Рис 45 L
где и ——объем элементарной ячейки кристалла.
На рис. 45.1 приведены килоатомные теплоемкости некоторых веществ —— изоляторов и металлов. Анализ экспериментальных
данных приводит нас к выводу, что закон Дюлонга и Пти является весьма приближенным; он выполняется лишь при достаточно высоких температурах. При низких температурах теплоемкость твердых тел быстро уменьшается и вблизи абсолютного нуля стремится к нулю.
Классическая теория не позволяет объяснить зависимость теплоемкости твердых тел от температуры. Впервые это явление объяснил в 1905 г Эйнштейн на основе квантовых пред
ставлений Полученная им формула качественно правильно передавала зависимость теплоемкости от температуры, изображенную на рис 45 1 Более точную теорию,также основанную на квантовых представлениях, разработал в 1912 г. Дебай В частности, он показал, что для каждого вещества имеется определенная характеристическая температура 0 (температура Дебая), начиная с которой начинает выполняться закон Дюлонга и Пти:
(45 7)
4<0
где а — скорость звука, d — характерное расстояние между частицами в кристаллической решетке.
Вычислим температуру Дебая для алюминия (а = 6400 м/с, d = 4 ¥.),
имеем
0 а0 а= 259 К,= 259 К,2 10-34 6400
0 а
0 а
= 259 К,
= 259 К,
1,38 10-2^ 4 10-10
что хорошо совпадает с экспериментальными данными (см рис 45.1). Малые значения теплоемкости алмаза при довольно высоких температурах означают, что для него температура Дебая много больше 1200 К (фактически © 注 2000 К)； это объясняется весьма большим значением скорости звука в алмазе и малыми расстояниями между атомами (а = 16000 м/с, d 工 1(54А).
Теплоемкость металлов
Совершенно неожиданным является результат, что закон Дюлонга и Пти применим к металлам н полупроводникам. В самом деле, в формуле (45.3) мы положили, что внутренняя энергия кристалла определяется только энергией колебаний частиц в узлах решетки. Но ведь в металлах и полупроводниках имеются электроны проводимости, совокупность которых мы рассматриваем как идеальный газ. Следовательно, здесь внутренняя энергия должна быть равна сумме энергии решетки и электронного газа.
Полагая, что средняя энергия теплового движения электронов £&л=з/2左Т и число свободных электронов, приходящихся на один атом, равно v, получим для одного килоатома:
〃=修^十 vN忌л =必(3左Т + ^ vkT ) = 3RT ( 1 + ^).
Отсюда следует выражение для молярной теплоемкости:
〃二 3R(1+^).(45.8)
Воспользовавшись результатами табл. 44.1, получим, что вклад электронов проводимости в теплоемкость полупроводников ничтожно мал, ибо здесь -^ 10~5. Что касается металлов (см. § 75.3), то их теплоемкость должна была бы значительно превосходить теплоемкость изоляторов. В самом деле, для алюминия согласно (45.8) получим С^ = 7,47?, для меди Ст = 5Я, для лития Ст = 4,27? и т. д. Однако это не соответствует экспериментальным данным, согласно которым закон Дюлонга и Пти справедлив и для металлов.
Теплопроводность изоляторов
Если на концах стержня поддерживать некоторую разность температур, то происходит передача энергии в форме тепла от горячего конца к холодному. Пусть длина стержня равна / и площадь поперечного сечения S. Температуру нагретого участка обозначим 7\, холодного —— Т2, ось абсцисс направим вдоль стержня.
461
Велнчнна 寸^^Велнчнна 寸^^называется градиентом температуры.называется градиентом температуры.пературы (закон Фурье):пературы (закон Фурье):Рис. 452Рис. 452AQ 夕 АТAQ 夕 АТ(45.9)(45.9)
Велнчнна 寸^^
Велнчнна 寸^^
называется градиентом температуры.
называется градиентом температуры.
пературы (закон Фурье):
пературы (закон Фурье):
Рис. 452
Рис. 452
AQ 夕 АТ
AQ 夕 АТ
(45.9)
(45.9)
Она показывает, как быстро меняется температура вдоль стержня. Величина AQ/S- А^ показывает, какое количество теплоты переносится через единицу площади поперечного сечения в единицу времени; она называется тепловым потоком.
Оказалось, что тепловой поток пропорционален градиенту тем
Знак минус появился потому, что тепловой поток является положительной величиной, а градиент температуры — отрицательной.
Величина К называется коэффициентом теплопроводности или просто те-
плопроводностью вещества. Единицей измерения теплопроводности в СИ слу
жит Вт/(м- К); внесистемные единицы:
1 ккал/(ч-м-℃) ^ 1,16 Вт/(м- К),1 кал/(с-см.℃)-419 Вт/(м・К).
Характерные значения теплопроводности некоторых изоляторов приведены в табл. 45.1.
Таблица 45.1
Вещество
Скорость звука а, км/с
Теплопроводность К, Бт/(м-К)
d, А
ЗАа Н
Пластмассы
2,0—2,6
0,1—0,4
5
0,3
Кирпич
3,6
0,6—1 ,1
—
Стекло
5,7—4,3
1,0—0,8
5
0,9—0,7
Хлористый натрий
4,75
7,1
2,82
2,4
Лед (-5 ℃)
3,23
2,2
3,2
1,3
Вода (20 ℃)
1,47
0,61
3,1
0,64
Ацетон (25 ℃)
1,17
0,16
5
0,19
Четыреххлористый углерод
0,93
0,11
5
0,15
Для анализа механизма теплопроводности рассмотрим два соседних слоя атомов (рис. 45.2). Пусть температура левого слоя равна 7\ = Т, правого Т\ = Т — АТ. Частицы, расположенные в этих слоях, имеют соответственно средние энергии %=З^Т и £2 = 3^(Т — АТ). Так как колебания частиц в одном слое происходят более интенсивно, чем в другом, то происходит передача энергии из левого слоя в правый.
Одна частица передает энергию Де = е2 — £】=——З^АТ. В слое площадью S содержится N = SI心 частиц, где d ——расстояние между частицами.
Следовательно, количество тепла NQ = N 块=——3kS\T/d2. Тепловой поток
AQ 3^aТ 3左 a% AT 3左0AT
^ = 一爾= (45.10)
Величина а= Ах/А/ представляет собой скорость передачи тепловых колебаний. В принципе она не отличается от скорости передачи из слоя в слой любых других упругих колебаний, т. е. от скорости звука.
Сравнив (45.9) и (45.10), мы видим, что коэффициент теплопроводности
3ka — 3^ad
где С — теплоемкость единицы объема вещества (см. § 45.1).
Выражение (45.11) позволяет качественно объяснить причину анизотропии теплопроводности в некоторых монокристаллах (см. § 32.1). Суть дела сводится к тому, что в монокристаллах расстояния между атомами и скорость звука в разных направлениях различны, вследствие чего разной окажется и теплопроводность.
Теплопроводность, рассчитанная по формуле (45.11), приведена в последней колонке табл. 45.1. Мы видим, что для пластмасс, аморфных тел и жидкостей получается неплохое совпадение теории и эксперимента. Для кристаллов теория дает значения теплопроводности, которые в несколько раз меньше экспериментальных.
Это можно объяснить, воспользовавшись соображениями, которые выдвинул Дебай в 1914 г. Звуковые волны, воспринимаемые человеческим ухом, имеют частоту в диапазоне примерно 20 Гц — 20 кГц, ультразвуки — от 20 кГц до 100 МГц. Эти волны, распространяясь в кристаллах, практически не рассеиваются, аналогично тому как свет, не рассеиваясь, проходит через прозрачные среды типа стекла или воды. Тепловые колебания имеют гораздо более высокую частоту, порядка 1010——1013 Гц (гиперзвуки). Оказывается, что такие высокочастотные волны интенсивно рассеиваются в кристаллах, аналогично тому, как свет рассеивается в мутных средах. Чем интенсивнее рассеяние звуковых волн, соответствующих тепловым колебаниям кристалла, тем медленнее идет процесс передачи тепла и тем меньше теплопроводность вещества. Основываясь на этих представлениях, Дебай получил для теплопроводности выражение
К = ~СаА, (45.12)
где Л —— среднее расстояние, которое звуковая волна проходит без рассеяния. Если ввести представление о том, что звуковые волны распространяются в виде некоторых элементарных порций, называемых квантами звукового поля, или фононами, то это — средняя длина свободного пробега фонона. Сравнив с (45.11), мы видим, что Л в 3d.
Рассеяние звуковых волн происходит на неоднородностях кристаллической решетки, совершенно аналогично рассеянию электронов проводимости (см. § 44.5). Неоднородность решетки является результатом наличия в ней дефектов, а также особого характера тепловых колебаний частиц в узлах решетки (§ 75.9). В аморфных телах и жидкостях имеется ближний порядок упаковки частиц, следовательно, большое число дефектов; поэтому здесь теплопроводность будет малой, что
и подтверждает эксперимент (см. табл 45 1) В кристаллах, где порядок упаковки частиц значительно выше и дефектов меньше, волна может пройти без рассеяния значительно большее расстояние Расчет дает для хлористого натрия при 0° С значение Л — 23 А а; 8 J, для кварца вдоль оптической оси при этой же температуре А = 40 А в 13 d и т. д Этим и объясняется расхождение между опытом и нашим элементарным расчетом для кристаллов по формуле (45 11).
С ростом температуры вещества усиливаются колебания частиц в узлах кристаллической решетки и уменьшается расстояние, которое звуковые волны проходят без рассеяния. Это должно привести к уменьшению теплопроводности, аналогично тому, как с ростом температуры уменьшается электропроводность (§ 44 5). Опыт подтверждает этот вывод, но при относительно высоких температурах При низких температурах теплопроводность убывает за счет резкого уменьшения теплоемкости (§ 45 1).
Теплопроводность металлов
Сравнительные данные о теплопроводности и электропроводности некоторых металлов при Т — 273 К приведены в табл. 452
Как видно, теплопроводность металлов очень велика. Она не сводится к теплопроводности решетки, следовательно, здесь должен действовать еще один механизм передачи тепла. Оказывается, что в чистых металлах теплопроводность осуществляется практически полностью за счет электронного газа, и лишь в сильно загрязненных металлах и сплавах, где электропроводность мала, вклад теплопроводности решетки оказывается существенным.
Таблица 45 2
Вещество
К, Вт/(м К)
V，Омт м'1
КВ
Медь
385
64,1 106
2,2 10~8
Алюминий
228
40,8 106
2,1 10-8
Натрий
135
23,8 IS
2,1 10-8
Для вывода рассмотрим два слоя металла, толщина каждого из которых равна средней длине свободного пробега электрона. За время т —1/й из одного слоя в другой переходит N =1/enSX электронов. Электроны, переходящие из левого слоя в правый, переносят энергию U^ = N%; встречный поток переносит энергию №空=N%. Согласно классической электронной теории средняя энергия электрона £ ~3/2kT. Отсюда следует:
Q = %= N ®-К) = +巽(7\ — 7\)• (45.13)
Тепловой поток
AQ _ J_ !, JL T1 - 72 %2-*1НАГ —' 出一/ ' ~ А/ ・
Поскольку х2—尤1 = 2九=2rA/, где й — средняя скорость теплового 464
движения электронов, то
錫九芸.(45.14)
Сравнив- (45.14) и (45.9), получим выражение для коэффициента теплопроводности электронного газа:
К =；泌/.(45.15)
По этой формуле мы не можем вычислить теплопроводность, так как длина свободного пробега электрона нам не известна. Однако, разделив (45.15) на (44.15), получим
К — nkuk 2打ш — kmt^
Y — 2e2nX — —? — *
Ho mW1 = 3左Т, следовательно
壮啰=2,23.10-87.(45.16)
Полученное выражение называется законом Видемана и Франца в честь ученых, которые в 1853 г обнаружили, что при одной и той же температуре отношение теплопроводности к удельной электропроводности у всех металлов одно и то же. Зависимость этого отношения от температуры показал Лоренц
Сопоставив экспериментальные данные табл. 45.2 с формулой (45.16), ж)жно убедиться, что практически теплопроводность металлов целиком определяется теплопроводностью электронного газа, которая при температурах, далеких от абсолютного нуля, в сотни раз превосходит теагюпроводность кристаллической решетки.
Таким образом, мы видим, что классическая электронная теория "позволяет не только качественно объяснить механизм теплопроводности металлов, но и получить количественные соотношения — закон Видемана и Франца, который хорошо согласуется с экспериментом.
Подведем итог. Идея Др уде ——Лоренца, согласно которой совокупность электронов проводимости в металлах можно рассматривать как идеальный газ, оказалась весьма плодотворной. На, этой основе оказалось возможным объяснить ряд явлений, связанных с электропроводностью и теплопроводностью металлов. Во всех этих случаях мы полагали, что электронный газ подчиняется статистике Максвелла ——Больцмана, как и обычный одноатомный идеальный газ, вследствие чего средняя энергия теплового движения свободного электрона еэл
Оказывается, что это предположение, позволяющее, например, отлично объяснить особенности теплопроводности металлов (закон Видемана и Франца), не позволяет получить правильных значений теплоемкости металлов. Справедливость для металлов закона Дюлонга и Пти можно объяснить, введя предположение, что
465
электронный газ не участвует в теплоемкости,—— но тогда не удастся объяснить особенности теплопроводности металлов.
Полученное противоречие показывает, что классическая электронная теория принципиально несостоятельна. Решение этой проблемы удалось получить на основе идей квантовой механики, и мы к ней вернемся в гл. 75.
ГЛАВА 46
электропроводность электролитов
§ 46.1. Электролитическая диссоциация
Опыт показывает, что электролиты — растворы солей, кислот и щелочей в воде — являются хорошими проводниками электрического тока. Ток в электролитах сопровождается электролизом —выделением вещества на электродах, погруженных в раствор. Таким образом, в отличие от металлов, обладающих электронной проводимостью, электролиты ——это проводники, электропроводность которых возникает за счет движения ионов.
Ни дистиллированная вода, ни растворяемое вещество в твердом состоянии (типа ионного кристалла) свободных ионов не содержат, и потому все они ——хорошие изоляторы. Следовательно, ионы возникают только в процессе взаимодействия молекул растворенного вещества с молекулами воды. Процесс распада молекул растворенного вещества на ионы под воздействием растворителя называется электролитической диссоциацией.
Причина диссоциации заключается в том, что молекула воды имеет большой дипольный момент (р©=6」・ 10~30 Кл м), вследствие чего на расстояниях, имеющих порядок расстояния между молекулами в жидкостях (厂^1 А = 10-10 м), вокруг нее возникает сильное электрическое поле. Согласно (37.9) имеем
ре 6 Ю-30 36л 109 Q п ①力——я一— 0 В. * 4леоA2 4л
Энергия взаимодействия иона натрия или хлора с молекулой воды примерно равна энергии взаимодействия между ионами в молекуле NaCl. Поэтому в процессе растворения соли за счет тепловых соударений происходит распад молекул на ионы:
NaCl^Na+ + Cl-.
Стрелки показывают, что процесс идет в двух направлениях* наряду с диссоциацией молекулы на два иона идет обратный процесс рекомбинации (воссоединения) ионов в нейтральную молекулу.
Положительные ионы, движущиеся к катоду, называются га- тионами, отрицательные — анионами, т. е движущимися к аноду.
Заметим, что если молекулы растворенного вещества не диссоциируют на ионы, то раствор не является проводником. Примером 466
могут служить водные растворы сахара и глицерина, которые являются хорошими изоляторами.
Рис 46 1.Рис 46 1.Молекулы воды обволакивают ион, образуя вокруг него сольватную оболочку (рис. 46 1). Это, во-первых, затрудняет рекомбинацию ионов, и при малых концентрациях раствора все молекулы растворенного вещества оказываются диссоциированными. Во-вторых, затрудн兄ется движение ионов —фактически в растворе движется не отрицательный ион, а сольват —— шарик, состоящий из иона и сольватной оболочки вокруг него, содержащей несколько слоев молекул растворителя.
Рис 46 1.
Рис 46 1.
Закон Ома и электропроводность электролитов
Если в электролит поместить два электрода и создать между ними разность потенциалов за счет источника тока, то возникнет упорядоченное дви
жение сольватов. Положительно заряженные сольваты станут двигаться к катоду со скоростью 。十,отрицательные ——к аноду со скоростью V-. По аналогии с (39.18) получим выражение для плотности тока в электролите.
/ =^q+n+v+(46.1)
Здесь q •— заряд иона, п ——концентрация ионов.
Из закона сохранения электрического заряда следует, что сумма зарядов положительных и отрицательных ионов равна нулю, следовательно:
q+n+ =q_n_ =qn = aqnQt(46.2)
Здесь п0 — концентрация молекул растворенного вещества; коэффициент диссоциации а ~ п/п0 есть отношение концентрации ионов к концентрации молекул вещества.
Плотность тока
/ =强(0+ + и_).(46.3)
Скорость упорядоченного движения сольвата можно найти из следующих соображений. На сольват действует электрическая сила Fe = qE и сила сопротивления трения Т = 6窮刀厂и, где г — радиус сольвата и 刀一• вязкость жидкости (см. § 11.8). Сольват движется равномерно, когда сила сопротивления уравновешивает электрическую силу: qE = бтуу. Отсюда получим выражение для скорости сольвата
qE
и для его подвижности (39.26)
6 ='=丄一£ 6лт]г '
Из (46.5) и (46.3) спедует, что для электролитов должен выполняться закон Ома:
j = qn (6+ + Ь_)Е =уЕ;(46.6)
это подтверждается опытами.
Электропроводность электролита равна
…一)=需(制).(46.7)
Она много меньше электропроводности металлов. Наибольшей электропроводностью обладают растворы кислот, так как радиус сольвата, возникающего вокруг иона водорода (протона), в 5—— 10 раз меньше радиусов других сольватов.
С ростом температуры электропроводность электролитов довольно быстро возрастает. Причина заключается в том, что с повышением температуры возрастает степень диссоциации раствора и уменьшается вязкость электролита.
Законы Фарадея
Ион — это частица (атом, молекула, группа атомов), потерявшая или присоединившая к себе один или несколько электронов. Если валентность данного элемента равна Z, то заряд иона q = Ze.
Число ионов, выделившихся на электроде, равно полному заряду Q, прошедшему через электролит, деленному на заряд иона:
N 工 Q/q = Q/Ze.
Для химического элемента масса иона т0 равна атомной массе элемента А, деленной на число Авогадро NА. Масса вещества, выделившегося на электроде, равна массе иона, умноженной на число ионов:
"恤N = 3•为忠•兵-(46 8)
Выражение (46.8) содержит в себе два закона, которые Фарадей сформулировал в 1832 г. на базе ряда экспериментов:
Первый закон Фарадея: масса выделившегося на электроде вещества пропорциональна электрическому заряду, протекающему чере^ электролит.
m = KQ — Kit,(46.9)
где /и ——масса вещества, Q ——заряд, t ——сила тока и f ——время. Величина К = m/Q показывает, какая масса вещества выделится
на электроде при прохождении через электролит заряда, равного одному кулону. Она называется электрохимическим эквивалентом вещества.
Второй закон Фарадея', электрохимические эквиваленты элементов прямо пропорциональны их химическим эквивалентам:
^ = -^•4；(46.10)
здесь А — атомная масса элемента, Z —• его валентность, A/Z — химический эквивалент — отношение атомной массы элемента к его валентности.
Число Фарадея
F == NАе = 9,6487 • 107 Кл/кмоль
численно равно электрическому заряду, который должен пройти через электролит, чтобы на электроде выделился один килограмм- эквивалент вещества. В самом деле, положив в выражении (46.8) т~АИ, получим Q =尸.Для одновалентного вещества это означает, что число Фарадея равно электрическому заряду, который должен пройти через электролит, чтобы на электроде выделился киломоль вещества.
Найдя из опыта число Фарадея и зная число Авогадро, можно вычислить заряд одновалентного иона, равный заряду электрона, по формуле:
e = F/N』・(46.11)
Гальванический элемент
Опыт показывает, что если металлическую пластину опустить в электролит, то между ними возникает разность потенциалов. Явление это аналогично возникновению контактной разности потенциалов между двумя металлами (§ 44.7), с той лишь разницей, что в электролите контактная разность потенциалов обусловлена диффузией ионов, а не электронов, как это имеет место при контакте металлов.
Диффузия ионов сопровождается химической реакцией между металлом и электролитом, что приводит к изменению внутренней энергии реагирующих веществ. Изменение энергии пропорционально числу прореагировавших атомов металла, иными словами —— пропорционально массе металла, растворившегося в электролите:
AU = Am,(46.12)
где U — внутренняя энергия, X ——удельная энергия химической реакции, т — масса вещества (см. §§ 20.4, 36.7).
Оказывается, что химическая реакция идет лишь в том случае, когда цепь замкнута и по ней течет ток. При этом происходит превращение энергии, выделяемой в результате химических реакций, в энергию электрического тока.
На основе этих соображений можно вычислить э.д.с. гальванического элемента. Из закона сохранения энергии следует, что энергия химических реакций, происходящих на аноде и катоде, равна работе, совершаемой сторонними силами при перемещении заряда по цепи:
А〃ан+ А^кат ~ 4ctop = Q€・ (46.13} Катодом гальванических элементов обычно служит цинк, и при его растворении в электролите выделяется энергия, т. е. Д(7кат>0. восстановительные реакции на аноде сопровождаются поглощением энергии, А〃ан之 °・ Используя соотношения (46.12) и (46.13), получим
入 ка?«кат —入 ан^ан = <23・ (46.14)
Но по закону Фарадея mJQ = К — электрохимическому эквиваленту. Итак,
КатМат —%анКан・ (46.15)
Для оценки величины э.д.с. элемента учтем, что удельная энергия взаимодействия цинка с серной кислотойZ = 6,96- 10вДж/кг, электрохимический эквивалент цинка К = 3,39・10-2 кг/Кл. Пренебрегая реакцией на аноде, получим приближенно
S 九К = 6,96・ К?. 3,39・ IO" = 2,36 В.
Опыт дает для элемента Грене и для кислотного (свинцового), аккумулятора(^^ 2 В, для щелочных аккумуляторов 1,8 В, для сухого элемента Лекланше 1,3 В. Как видно, порядок величины мы оценили правильно.
Аккумуляторы
Если в раствор серной кислоты опустить две свинцовые пластины, то э.Д.С. такого элемента, естественно, окажется равной нулю, что прямо следует из (46.15). Однако если некоторое время пропускать через раствор ток от постороннего источника, то на электродах возникает так называемая поляризационная э.д.с.
Причина ее возникновения заключается в следующем. При электролизе раствора серной кислоты (см. § 46.3, п. 2) на катоде выделяется водород, на аноде ——кислород. Водород на катоде вступает в реакцию замещения с солями свинца; в результате этой реакции в раствор уходит кислота, а на катоде восстанавливается чистый свинец. На аноде кислород вступает в окислительную реакцию со свинцом, образуя перекись свинца РЬО2.
Итак, в результате зарядки аккумулятора возникает гальванический элемент с катодом из свинца и анодом из перекиси свинца. Концентрация серной кислоты в электролите возрастает. При разрядке аккумулятора идет обратный процесс: на электродах образуется сернокислый свинец, а концентрация электролита уменьшается. Аккумуляторы можно неоднократно разряжать и вновь заряжать.
ГЛАВА 47
ТОК В ВАКУУМЕ
Термоэлектронная эмиссия
Вакуум ——отличный изолятор, поскольку в нем отсутствуют свободные электрические заряды. Проводимость некоторого вакуумированного объема можно создать искусственно, если в этот объем вводить свободные заряды от какого-либо источника. Дл兄 этой цели используется явление термоэлектронной эмиссии —— излучение электронов с поверхности нагретого металла.
〜 Явление можно наблюдать с помощью следующего прибора. В стеклянном баллоне укрепляются два электрода: тонкая нить.
которая служит катодом, и цилиндрический электрод — анод (рис. 47.1, а). В баллоне создается4 высокий вакуум. Схематически эта лампа изображается так, как покат зано на рис. 47.1, 6.
Включим лампу в цепь, изображенную на рис. 47.2. Здесь Р ——рубильник, БН — батарея накала, БА ——батарея анода, т/——миллиамперметр. Если разомкнуть рубильник, то в цепи не будет тока даже в том случае, если потенциал анода довести до 300—400 В. При замыкании рубильника нить, которая служит катодом, раскаляется. При этом в цепи возникает ток. Отсюда мы заключаем, что из раскаленного катода вырываются отрицательна заряженные частицы. Измерение их удельного заряда привело к выводу, что это — электроны. Их называют термоэлектронами.
Явление термоэлектронной эмиссии аналогично испарению жидкости (см. §§ 35.1, 35.2). Так же как молекулы, энергия которых больше энергии испарения, вылетают из жидкости, так и электроны, энергия которых больше работы выхода, вылетают из металла. С ростом температуры число таких частиц очень быстро возрастает.
Наконец, так же как над поверхностью жидкости образуется насыщенный пар, так и вокруг катода образуется электронное облако.
С помощью термоэлектронной эмиссии может быть решена проблема прямого преобразования внутренней энергии нагретых
тел в энергию электрического тока. На этом принципе работает ядериая установка 《Топаз》, разработанная в 1970—1971 гг. в Советском Союзе.
«Топаз» — это малогабаритный ядерный реактор на уране {§§ 82.9, 82.10) с тепловой мощностью около 150 кВт. В массивном замедлителе из гидрида циркония прорезаются сквозные электрогенерирующие каналы в виде гирлянды из пяти электрогенерирующих элементов. В центре каждого элемента расположен цилиндрик из урана, покрытый герметической оболочкой из молибденового сплава. Этот стержень и служит катодом. Анодом служит цилиндр, отделенный от катода зазором в несколько долей миллиметра. За счет тепла, выделяющегося при ядер ной реакции в уране, поверхность катода разогревается до высокой температуры. Поток электронов, эмиттироваиных с поверхности катода, улавливается айодом. Во внешней нагрузке ток течет за счет разности потенциалов, возникающей между катодом и анодом.
В отличие от «Ромашки» (§ 44.8) реактор «Топаз» значительно мощнее Уже в экспериментальных установках в течение 1000 часов получена мощность от 5 до 10 кВт. По-видимому, в скором времени установки данного типа смогут войти в повседневную практику, наряду с другими типами маломощных атомных электростанций.
Диод и его характеристика
Лампа, рассмотренная в предыдущем параграфе, называется двухэлектродной электронной лампой или, короче, диодом.
Рис 47 3.Рис 47 3.Рис 47 4Рис 47 4Применяются лампы с прямым и косвенным накалом. В лампах с прямым накалом нить накала из вольфрама служит одновременно катодом. Для получения значительной эмиссии нить нагревают до температуры 2000—2500 К. В лампах с косвенным накалом катод представляет собой нике-
Рис 47 3.
Рис 47 3.
Рис 47 4
Рис 47 4
левую трубочку, покрытую слоем окиси бария, стронция или кальция. Работа выхода с поверхности такого катода в несколько раз меньше, чем с вольфрама. Это позволяет снизить температуру накала до 1000 К. Подогрев катода обеспечивается небольшой Спиралью, помещенной внутрь трубочки (рис. 47.3, а). На схемах лампа с косвенным накалом изображается, как показано иа рис. 47.3, 6.
Соберем цепь, изображенную на рис. 47.4. Резистор включен в схему так, что, перемещая скользящий контакт, можно менять потенциал анода от нуля (нижнее положение контакта) до напряжения на полюсах батареи анода. Резистор, включенный по этой схеме, называется потенциометром. Переключатель П позволяет получить на аноде либо положительный потенциал относительно катода (в положении, изображенном на,
схеме), либо отрицательный, если пе- |乙 / 一 ребросить контакты вверх
Меняя плавно потенциал анода и ре-7
гистрируя каждый раз величину анод-
кого потенциала и тока, получим значения функции, выражающей зависи-/
мость тока от потенциала. График этой/
функции называется вольтамперной ха-/и
рактеристикой диода. На рис 47 5/ [|.
изображены три характеристики, снятые / / I % при разных температурах катода.] J
Прежде всего бросается в глаза не- 。 〃。夕
линейность характеристики. Это значит, 厶 抬“
что изменения тока не пропорциональ-Рис 47 5
ны изменению потенциала анода, иными
словами, что здесь закон Ома не выполняется. Причина заключается в следующем.
Как известно (39 18), плотность тока / — env. В металлах и электролитах концентрация свободных зарядов (электронов или ионов) не зависит от тока, а средняя скорость движения зарядов пропорциональна напряженности поля. Отсюда и следует закон Ома (§ 44.4). Совершенно иначе обстоит дело в электронной лампе. Благодаря наличию вокруг катода электронного облака зависимость скорости зарядов от напряженности поля оказывается более сложной, и с ростом тока концентрация зарядов в электронном облаке уменьшается. В результате оказывается, что зависимость тока от потенциала на нарастающем участке характеристики выражается «законом трех вторых»:
ia-B^\
(47 1)(47 1)где В — некоторая константа, зависящая от размеров и формы электродов. Этот закон, полученный С А. Богуславским и И. Ленгмюром, мы приведем без вывода.
(47 1)
(47 1)
Начиная с потенциала ф5, ток перестает зависеть от потенциала анода, но зависит от температуры катода. Этот ток 厶 называется током насыщения, его величину можно вычислить из следующих соображений Максимальная плотность тока в лампе равна произведению заряда электрона на число электронов, ежесекундно вылетающих с единицы поверхности катода, т. е.
(47.2)(47.2)，S == eG,
(47.2)
(47.2)
где G — скорость испарения. Для ее вычисления мы можем воспользоваться формулой (35.4). При этом следует учесть, что для электронного газа согласно квантовомеханическим представлениям а =2. Подставив в (47.2), получим формулу Ричардсона — Дешмана:
(47.3)(47.3)js = BT2e-4/盯,
(47.3)
(47.3)
где Ло — работа выхода электрона (§ 44.9), Т — температура металла, В — некоторая постоянная, зависящая от рода металла, из которого изготовлен катод.
Если подать на анод отрицательный относительно катода потенциал (рг, то лампа запирается — анодный ток равен нулю. Это значит, что кинетической энергии электронов уже недостаточно, чтобы преодолеть действие поля, отталкивающего их от анода:
《绅广 (47.4)
Измерив запирающий потенциал <р「, можно определить максимальную кинетическую энергию (и скорость) электронов, покидающих катод.
Триод и его характеристика
Для того чтобы управлять электронным током в лампе, в нее вводится третий электрод ——сетка. Лампа с сеткой называется трехэлектродной электронной лампой или, короче, триодом. Сетка имеет вид проволочной спирали, помещенной между катодом и
анодом (рис. 47.6, а). На схеме триод с подогревным катодом изображается, как показано на рис. 47.6, 6. Все величины, относящиеся к сетке, отмечаются индексом g (англ, grid — сетка).
Соберем цепь по схеме рис. 47.7. Здесь резистор R& является потенциометром, с помощью которого регулируется потенциал анода, а резистор Rg— потенциометром для регулировки потенциала сетки. Если подвижный контакт установить в средней точке потенциометра Rg, то потенциал сетки окажется равным потенциалу катода, т. е. нулю. При перемещении скользящего контакта ниже средней точки мы подадим на сетку отрицательный потенциал, выше средней точки — положительный.
Зафиксировав некоторый потенциал анода, будем менять потенциал сетки от отрицательных до положительных значений, регистрируя каждый раз анодный ток. На основе этих измерений построим сеточную характеристику триода, выражающую зави-
симость анодного тока от потенциала сетки при заданном потенциале анода. Она изображена на рис. 47.8. Анализ этой характе-
ристики позволяет прийти к следующим выводам.
Характеристика нелинейна, следовательно, Ома несправедлив. Однаио на небольшом участке рактеристики можно в первом приближении пренебречь нелинейностью.
Далее, при положительных потенциалах сетки ток возрастает,при отрицательном — убывает. Явление это можно объяснить следующим образом. Если потенциал сетки равен нулю, то ток в лампе i。определяется
ививздесь законздесь законсерединесерединеха-ха-электронов умень-электронов умень-лишь потенциалом анода. Пусть на сетку подан положительный потенциал; тогда напряженности полей анода и сетки складываются, что приводит к росту скорости электронов и рассасыванию электронного облака. В результате ток увеличивается вплоть до тока насыщения is, При отрицательном потенциале сетки происходит обратный процесс — поле ослабевает, скорость
и
в
и
в
здесь закон
здесь закон
середине
середине
ха-
ха-
электронов умень-
электронов умень-
шается, а концентрация электронного облака растет. В результате ток в лампе убывает. Наконец, при некотором отрицательном по-
тенциале сетки 屮尸,зависящем от анодного напряжения, кинетическая энергия электронов оказывается недостаточной для преодоления отталкивающего действия сетки и электроны не могут прорваться в область между сеткой и анодом. Лампа запирается, т. е. ток в ней оказывается равным нулю.
Таким образом, меняя потенциал сетки, мы можем управлять то1юм в лампе. По этой причине данная сетка называется управляющей.
Электронно-лучевая трубка
. Специфическим электронным прибором является электроннолучевая трубка. Схема ее устройства изображена на рис. 47.9. Электроны, излучаемые подогревным катодом, проходят через сетку (управляющий электрод) и ускоряются двумя анодами. Вся эта система, называемая электронной пушкой, служит для того, чтобы создать на экране сфокусированный пучок электронов. Экран покрыт люшнесцирующим веществом (§ 79.2) и ярко светится под действием бомбардирующих его электронов.
Фокусировка электронного пучка осуществляется следующим образом. На управляющий электрод (сетку) подается отрицательный потенциал (от —20 до ——70 В).)Поле этого электрода сжимает
электронный пучок, выходящий из катода. На первый анод подается положительный потенциал от +250 до +500 В, а на второй анод — от +1000 до +2000 В В телевизионных трубках потенциалы еще выше. Меняя потенциалы управляющего электрода и анодов, можно изменить фокусировку и яркость пятна на экране трубки.
Дальше пучок проходит через систему управляющих электродов. Если подать, например, на верхнюю вертикально отклоняющую пластину положительный потенциал, а на нижнюю ——отрицательный, то электронный пучок отклонится вверх. При изменении полярности пучок отклонится вниз Таким образом, колебания
Рис 47 9
потенциала на этих пластинах вызывают -вертикальные колебания электронного пучка. Нетрудно убедиться, что колебания потенциала на горизонтально отклоняющих пластинах вызовут горизонтальные колебания электронного пучка.
Трубка, в которой смещение электронного пучка осуществляется за счет изменения электрического поля между управляющими пластинами, называется трубкой с электростатическим управлением. Существуют трубки с электромагнитным управлением, которые применяются, например, в телевизорах В этих трубках отсутствуют управляющие электроды, а на горловину трубки надеваются специальные катушки, по которым течет ток, величина и направление которого меняется. При изменении величины и направления вектора индукции магнитного поля соответственно меняется величина и направление силы Лоренца, отклоняющей электронный пучок.
ГЛАВА 48
ТОК В ГАЗАХ
. Ионизация и рекомбинация
. Для того чтобы газ стал проводником, его необходимо ионизировать, т. е. превратить нейтральные молекулы (или атомы) в ионы. Процесс ионизации заключается в том, что под действием некоторых лучей из молекул вылетают электроны, и тем самым мо- 476
лекулы превращаются в положительные ионы Таким образом, электрический ток в газах ——это встречный поток положительных ионов и свободных эчектронов
Ионизация может происходить под действием коротковолнового излучения — ультрафиолетовых, рентгеновских и гамма-лучей, а также альфа-, бета- и космических лучей Электропроводность, возникающая под действием внешнего излучения, называется несамостоятельной проводимостью.
Обозначим через No число молекул газа в исследуемом объеме У. Концентрация молекул 他=NjV Часть молекул ионизирована. Обозначим число ионов одного знака через N, их концентрация п = NIV.
Отношение числа ионов к общему числу молекул называется коэффициентом ионизации, а = NINq = n/n0 Обычно в газах при несамостояте льной проводимости степень ионизации газа очень мала10-12—10~10
Число нейтральных (неионизированных) молекул
№ = Nq — N = NqQ—b)^ М,
то же относится и к их концентрации пг ^п^.
Пусть в объеме V за счет действия каких-либо лучей возникло за время А/ некоторое число ионов
^N^^Nf M^^N^t^^nQV\tt(48 1)
где р ——коэффициент ионизации, зависящий от энергии ионизатора Наряду с процессом ионизации идет обратный процесс рекомбинации ионов (иначе ——молизации) Он заключается в том, что при столкновении положительного иона с электроном вновь образуется нейтральный атом или молекула. Число частиц, рекомбинировавших в объеме У за время Д/, пропорционально как числу положительных ионов, так и числу электронов. А так как число и тех, и других частиц равно N, то вероятность рекомбинации пропорциональна №. Кроме того, она пропорциональна времени △力 и обратно пропорциональна объему V — в самом деле, чем ближе расположены друг к другу ионы разных знаков, тем вероятнее их рекомбинация Итак,
А“рек =、N込t[V 二 丫緑丿 Д/.(48 2)
Здесь 丫 一 коэффициент рекомбинации, зависящий от природы газа.
"= / 卩%/T"= / 卩%/TЧерез некоторое время после начала ионизации газа скорость рекомбинации А儿ек ⑷ сравнится со скоростью ионизации 卜Nlbt и в газе установится динамическое равновесие Этому состоянию соответствует определенная концентрация ионов, которую можно найти, приравняв выражения (48 1) и (48 2)
"= / 卩%/T
"= / 卩%/T
(48 3)
477
Несамостоятельный разряд
Для исследования этого процесса рассмотрим явления в ионизационной камере, схема которой изображена на рис. 48.1. Корпус сосуда, наполненного газом, обычно служит катодом. Анод имеет форму стержня; он изолируется от корпуса хорошим изолятором из янтаря, фарфора или специальных пластмасс. Жесткое
излучение, типа рентгеновских, гамма- или космических лучей, проникает через стенки камеры. Мягкое излучение, типа бета- или
Рис. 48 2.Рис. 48 2.альфа-частиц, вводится через специальное окошко.
Рис. 48 2.
Рис. 48 2.
Подадим на электроды камеры значительную разность потенциалов —от нескольких сот до нескольких тысяч вольт, в зависимости от конструкции камеры. Меняя разность потенциалов и измеряя соответствующий ей ток, снимем вольтамперную характеристику газового разряда (рис. 48.2).
Если не обращать внимания на скачок тока на участке 5——4, то участок характеристики 0—1—2—3 очень похож на вольтамперную характеристику диода. Участок 0—1—2—3 называется областью несамостоятельного разряда; область 5——4 характеризует переход к самостоятельному разряду.
Как видно, в области слабых токов (участок 0—/) характеристика приближенно линейна, значит, здесь справедлив закон Ома. На участке /——2 закон Ома нарушается и рост тока происходит медленнее, чем рост потенциала. Наконец, на участке 2 ——3 ток не зависит от потенциала ——это так называемый ток насыщения is.
Для того чтобы объяснить особенности разряда при разных значениях потенциала, вычислим силу тока в камере. Для простоты рассуждений положим, что электроды камеры изготовлены в виде плоских пластин, расположенных параллельно друг другу на небольшом расстоянии d・ В этом случае поле между пластинами окажется однородным, а плотность тока во всех точках одинаковой. Так же, как и в электролитах, плотность тока выразится формулами (46.3) и (46.6):
j = еп (v+ +口一)=еп (6+ + Ь_)Е, (48.4)
где b+ — подвижность положительных ионов, b_ —— подвижность электронов, п = ап0 ——концентрация ионов.
Анализируя механизм тока в электролитах, мы из формулы (46.3) получили закон Ома, поскольку там концентрация ионов не зависела от тока. Иначе обстоит дело в газах. Здесь с ростом тока уменьшается концентрация ионов и зависимость тока от разности потенциалов оказывается довольно сложной функцией.
Рассмотрим, как изменится условие динамического равновесия между процессами ионизации и рекомбинации при наличии тока. За счет тока из объема между электродами за время Д/ уносится определенное число ионов:
АМгок — Q/e = i А〃е = jS А〃е.(48.5)
Условие динамического равновесия при наличии тока выглядит так:
AN = A% + A%・(48.6)
Подставив значения всех слагаемых, получим
BU = Y九少+拼.
Учитывая, что d = V/S — это расстояние между электродами, имеем окончательно
₽«о = Т«2 + ^.(48.7)
Итак, концентрация ионов оказалась функцией плотности тока. Исключив из системы равенств (48.4) и (48.7) концентрацию ионов п, получим некоторую функцию, выражающую зависимость плотности тока от напряженности поля. График этой зависимости и является вольтамперной характеристикой (см. рис. 48.2).
Рассмотрим два предельных случая, когда количество ионов, уносимых током, много меньше или много больше числа рекомбинирующих ионов.
Итак, пусть сперва 厶必。* « А%рек・ Тогда вторым слагаемым в правой части (48.6) можно пренебречь. Мы вновь вернемся к равенству (48.3). Следовательно, при слабых токах концентрация ионов от тока практически не зависит, вследствие чего плотность тока примерно пропорциональна напряженности поля. На характеристике этому соответствует почти линейный участок 0——1.
Пусть теперь, наоборот, ток настолько велик, что практически все ионы уносятся током и рекомбинация не успевает произойти. Тогда、Nго厉 NN心,и в равенствах (48.6) и (48.7) можно пренебречь первым слагаемым в правой части. Имеем
В% is/ed. (48.8)
Мы видим, что плотность тока не зависит от поля. Это и есть ток насыпания.
Сила тока насыщения
i$ =，sS = 0/1 卢 1А (48.9) Как видно, она пропорциональна объему ионизационной камеры, концентрации молекул газа (иными словами — давлению газа) и коэффициенту ионизации. Таким образом, с помощью ионизационной камеры, работающей в режиме тока насыщения, можно сравнить ионизирующую способность разных видов излучения. С этой целью ионизационные камеры широко применяются в ядер ной физике (§ 81.8).
Ударная ионизация
Как видно из графика рис. 48.2, при разности потенциалов превосходящей %, ток в газе скачком возрастает, в то время как в большом интервале разностей потенциалов от ф2 до <р3 ток оставался неизменным. Анализ выражения для плотности тока (48.4) позволяет прийти к выводу, что внезапный и резкий скачок величины тока может возникнуть лишь по одной причине: при разности потенциалов, превосходящей ⑶幻 скачком возрастает концентрация ионое. Причиной такого резкого скачка является ударная ионизация газа.
Для того чтобы ионизировать атом или молекулу, требуется некоторая энергия ^ион, величина которой зависит от химической природы газа. Для атомов водорода и кислорода ^ион — 13,6 эВ, для азота 14,5 эВ, для гелия 24,5 эВ, для атомов щелочных металлов —порядка 4——5 эВ. Если кинетическая энергия частицы, соударяющейся с атомом, превысит энергию ионизации, то при неупругом ударе возможна ионизация молекулы.
В газе кинетическая энергия К ионизирующей частицы возникает за счет работы 4 электрических сил, действующих на ион в электрическом поле:
K = A=F」eE3 (48.10) где Е — напряженность поля,九一длина свободного пробега иона. Как положительные ионы, так и электроны движутся в поле с одинаковой Напряженностью, но длина свободного пробега электрона оказывается много больше длины свободного пробега положительного иона. Следовательно, основную роль в ударной ионизации играют свободные электроны.
Вторая причина, по которой электроны являются более эффективными ионизаторами, заключается в том, что, благодаря закону сохранения импульса, при ударе лишь часть кинетической энергии может превратиться во внутреннюю (см §§ 21.7, 23 2). Оказывается, что чем меньше масса ионизирующей частацы по сравнению с массой молекулы, тем большая часть кинетической энергии сможет превратиться во внутреннюю и израсходоваться на ионизацию. Пусть масса ионизирующей частицы т, ее импульс р и до неупругого удара молекула с массой М покоится. Изменение внутренней энергии равно потере кинетической энергии:
где ^ = р2/2加—энергия ионизирующей частицы Масса иона равна массе молекулы, следовательно, Д^о=^2 Масса электрона в несколько тысяч раз меньше массы молекулы, поэтому в (48 11) отношение М/(М 十 m)v« 1 и А(^о ^ Итак, даже при одинаковой кинетической энергии электрон в качестве ионизатора оказывается эффективнее иона в два раза
При ударной ионизации и внешнем поле достаточной напряженности в газе создается ионная лавина Вторичные электроны, возникшие за счет ударной ионизации, также разгоняются полем и в свою очередь ионизируют встречные молекулы. В результате такого рода цепной реакции даже небольшое число электронов, возникших в процессе внешней ионизации, способно вызвать значительный разрядный ток.
Вместе с тем этот процесс еще нельзя назвать самостоятельным разрядом, ибо при прекращении действия внешнего ионизатора разряд обрывается, как только все ионы нейтрализуются на электродах. Для возникновения развитого самосто ятельно го разряда необходимо, чтобы и положительные ионы приобрели способность выбивать свободные электроны либо из молекул газа, либо из катода. Как следует из выражения (48.10), этого можно достичь либо за счет увеличения напряженности поля, либо за счет увеличения длины свободного пробега иона.
Счетчик Гейгера ——Мюллера
1. В процессе ударной ионизации происходит резкое возрастание числа пар ионов, примерно в 104 ——106 раз. Следовательно, если в газовом объеме возникнет даже одна пара ионов (один положительный ион и один электрон), то благодаря ударной ионизации их число возрастет в миллионы раз. В этом случае говорят, что ионизационная камера работает в режиме газового усиления.Газовое усиление используется в счетчиках Гейгера для счета отдельных частиц1. В процессе ударной ионизации происходит резкое возрастание числа пар ионов, примерно в 104 ——106 раз. Следовательно, если в газовом объеме возникнет даже одна пара ионов (один положительный ион и один электрон), то благодаря ударной ионизации их число возрастет в миллионы раз. В этом случае говорят, что ионизационная камера работает в режиме газового усиления.Газовое усиление используется в счетчиках Гейгера для счета отдельных частиц彳彳2±W2±WРис 48 3Рис 48 3П^. Иересчетно^ схемаП^. Иересчетно^ схема
1. В процессе ударной ионизации происходит резкое возрастание числа пар ионов, примерно в 104 ——106 раз. Следовательно, если в газовом объеме возникнет даже одна пара ионов (один положительный ион и один электрон), то благодаря ударной ионизации их число возрастет в миллионы раз. В этом случае говорят, что ионизационная камера работает в режиме газового усиления.
Газовое усиление используется в счетчиках Гейгера для счета отдельных частиц
1. В процессе ударной ионизации происходит резкое возрастание числа пар ионов, примерно в 104 ——106 раз. Следовательно, если в газовом объеме возникнет даже одна пара ионов (один положительный ион и один электрон), то благодаря ударной ионизации их число возрастет в миллионы раз. В этом случае говорят, что ионизационная камера работает в режиме газового усиления.
Газовое усиление используется в счетчиках Гейгера для счета отдельных частиц
彳
彳
2±
W
2±
W
Рис 48 3
Рис 48 3
П^. Иересчетно^ схема
П^. Иересчетно^ схема
радиоактивного излучения Благодаря выбору определенного режима работы счетчик считает каждую частицу в отдельности.
Чаще всего счетчик представляет собой герметически запаянную- стеклянную трубку, к внутренним стенкам которой прилегает катод К ——тонкий металлический цилиндр; анодом Л служит тонкая проволока, натянутая по оси счетчика (рис. 48.3). Для мягких бета- и альфа-частиц применяются счетчики, отличающиеся тем, что излучение поступает в рабочий объем счетчика с торца, затянутого тонкой пленкой.
Счетчик включается в регистрирующую схему. На корпус подается отрицательный потенциал, на нить —— положительный. Последовательно счетчику включается резистор с сопротивлением
48148116 В М Яворский, А. А. Пинский, т 1
481
481
несколько мегом. С резистора через разделительный конденсатор с емкостью несколько тысяч пикофарад сигнал подается на вход пе- ресчетной схемы.
Пусть в счетчик попала частица, создавшая на своем пути хотя бы одну пару ионов. Электроны, двигаясь к аноду (нити), попадают в поле с нарастающей напряженностью, их скорость стремительно возрастает, и на своем пути они создают ионную лавину.
Попав на нить, электроны снижают ее потенциал, вследствие чего по резистору течет ток. На его концах возникает импульс напряжения, который через конденсатор поступает на вход пересчет- ного устройства.
Высокий потенциал, который раньше целиком находился на аноде, переключается на резистор, и напряженность поля внутри счетчика уменьшается, вследствие чего уменьшается кинетическая энергия электронов (48.10). В связи с этим обрывается режим газового усиления. Таким образом, резистор играет роль гасящего сопротивления.
Благодаря тому, что подвижность положительных ионов меньше подвижности электронов, а также потому, что эти ионы движутся к катоду, где напряженность поля много меньше, чем у анода, скорость положительных ионов значительно меньше скорости электронов. В результате ноны достигают катода не ранее, чем через время т?а 10~4 с после начала разряда. В течение этого времени счетчик не способен регистрировать вновь поступающие в него частицы. В самом деле, пока положительно заряженное облако ионов заполняет рабочий объем счетчика, напряженность поля мала и ударная ионизация произойти не может. В связи с этим время т часто называют мертвым временем счетчика.
Разрешающая способность счетчика показывает, сколько частиц способен зарегистрировать счетчик в единицу времени как раздельные импульсы. Поскольку импульсы от двух частиц будут зарегистрированы раздельно, если они следуют друг за другом через промежуток времени, не меньший, чем мертвое время, то разрешающая способность равна около 104 импульсов в секунду.
Самостоятельный разряд. Плазма
Как уже говорилось, для того чтобы в газе возник самостоятельный разряд, недостаточно наличия одного лишь процесса ударной ионизации. Нужно еще, чтобы за счет процессов, происходящих в газе при разряде, непрерывно возникали электроны, которые после ускорения принимали бы участие в ударной ионизации. Таких процессов может оказаться несколько. Иногда они действуют одновременно, иногда один из них начинает играть доминирующую роль ——это зависит от давления газа, его температуры и напряженности поля. Рассмотрим важнейшие из них.
Термоэлектронная эмиссия с катода возникает в том случае, если катод имеет высокую температуру. Именно этот процесс обеспечивает дуговой разряд,
Вторичная электронная эмиссия с катода возникает в том случае, если кинетическая энергия положительных ионов оказывается достаточной, чтобы ударом выбить из катода электроны. Этот процесс обеспечивает тлеющий разряд (§ 48.6).
Термоионизация газа происходит в тех случаях, когда кинетическая энергия молекул газа превышает энергию ионизации:
盯〉＜^ИОв-盯〉＜^ИОв-(48.12)
盯〉＜^ИОв-
盯〉＜^ИОв-
Нетрудно убедиться, что ионизация газа при тепловых соударениях молекул возможна лишь при очень высоких температурах (^ион 10 эВ):
‘；左〜1,38。10-23~丄и I\.
Фотоионизация газа происходит под действием коротковолнового ультрафиолетового или рентгеновского излучения. Молекула газа, поглотив порцию энергии (квант излучения, § 68.3), которая больше энергии ионизации, выбрасывает электрон и превращается в положительный ион.
Ионизированный газ при значительной степени ионизации представляет собой фактически особое состояние вещества, отличное от газообразного, жидкого или кристаллического. Это четвертое состояние вещества называется плазмой.
Плазма, возникающая в результате ударной ионизации газа, называется газоразрядной. Ее отличительная особенность заключается в том, что практически здесь отсутствует обмен энергией между свободными электронами и ионами, и их средние кинетические энергии значительно отличаются. Последнее качественно объясняется тем, что длина свободного пробега электрона много больше, чем у иона,— примерно в 5—10 раз, вследствие чего электроны накапливают в электрическом поле примерно во столько же раз больше энергии.
По аналогии с температурой газа, которая вводится по формуле 右=3/2龙丁 (см. § 26.5), можно ввести ионную температуру и электронную температуру из равенств:
%он =3/2龙Тцон，^эл—^г^^эл*
Оказывается, что Тэл^;5000 К при Тионл;300 К.
Итак, газоразрядная плазма —это неравновесное или, как говорят, неизотермическое состояние вещества.
Высокотемпературная плазма, возникающая в результате термической ионизации, является равновесной или, другими словами, изотермической плазмой. Степень ее ионизации очень велика, благодаря чему она является очень хорошим проводником ——проводимость высокотемпературной плазмы сопоставима е проводимостью металлов.
Температура поверхности Солнца и звезд равна нескольким тысячам градусов, их недра разогреты до миллионов градусов. Отсюда следует, что значительная масса вещества Вселенной, сконцентрированная в звездах, находится в состоянии высокотемпературной плазмы.
§ 48,6. Тлеющий разряд
Этот вид разряда удобно наблюдать в газоразрядной стеклянной трубке с двумя электродами, расстояние между которыми около 0,5 м, а разность потенциалов ——около тысячи вольт. Оказыва-
ется, что при нормальном атмосферном давлении в трубке разряда нет (очень слабым несамостоятельным разрядом пренебрежем). При уменьшении давления газа примерно до 40—50 мм рт. ст. в трубке наблюдается узкий светящийся шнур; при давлении около
Рис. 48.4.Рис. 48.4.0,5 мм рт. ст. разряд сплошь заполняет трубку, причем положительный столб у анода разбивается на ряд слоев — страт. Наконец, при давлении около 0,02 мм рт. ст. свечение в трубке пропадает, но ярко начинает светиться стекло против катода.
Рис. 48.4.
Рис. 48.4.
Самостоятельный разряд, возникающий в газе при пониженном дав-
лении, называется тлеющим разрядом.
Исследования показали, что потенциал в разрядной трубке распределяется весьма неравномерно, как это изображено на рис. 48.4. Вблизи катода напряженность поля значительно больше, чем в светящемся столбе у анода. В результате заряды испытывают действие ускоряющей силы практически только в катодном темном пространстве, в области анодного свечения оци движутся практи
чески равномерно.
Электроны, разогнавшись в катодном пространстве, приобретают кинетическую энергию, достаточную для ударной ионизации газа. В результате этого в области анодного свечения образуется газоразрядная плазма, проводимость этой области резко увеличивается, а разность потенциалов падает. Энергия, выделяемая молекулами газа при рекомбинации ионов, и есть причина свечения газа. Характер свечения (его цвет) зависит от природы газа, заполняющего трубку. В свою очередь положительные ионы, разгоняясь в темном катодном пространстве, бомбардируют катод и ударом выбивают из него электроны. Естественно, что кинетическая энергия иона должна превосходить работу выхода электрона из катода, только в этом случае ион сможет выбить из катода электрон. Согласно (48.10) этого можно достичь либо путем увеличения напряженности электрического поля, либо путем увеличения длины свободного пробега иона. Разрежение газа как раз и служит этой цели.
Тлеющий разряд наблюдается в газосветных лампах. Неоновые, аргоновые, криптоновые, ртутные и натриевые лампы используются как специальные источники света в лабораториях, а также для рекламы. Заметим, что лампы из кварцевого стекла, заполненные парами ртути, являются источниками ультрафиолетового света.
Ионы, бомбардируя катод, вызывают местный разогрев металла на выступах. Последние расплавляются и испаряются. Возникшие
пары металла оседают на холодных поверхностях. Этим пользуются для катодного распыления металлов, что позволяет получить очень тонкие и прочные металлические покрытия на разных предметах. Таким методом получают высококачественные зеркала, полу- посеребренные пластины стекла и т. п.
При давлении газа менее 0,01——0,02 мм рт. ст. свечение газа в трубке прекращается. Это значит, что соударения электронов с молекулами газа, ионизация последних и обратный процесс рекомбинации происходят относительно редко. Поэтому основная масса
Рис. 48.5.Рис. 48.5.электронов, вылетев из катода и разогнавшись в катодном пространстве, летит далее свободно по инерции. Этим и объясняется тот факт, что электронный пучок в катодной трубке
Рис. 48.5.
Рис. 48.5.
движется прямолинейно и перпендикулярно катоду независимо от положения анода (рис. 48.5). Исторически это был первый метод получения пучка свободных электронов. Крукс, получивший в конце прошлого века эти лучи, назвал их катодными. В настоящее время этот термин сохраняется лишь по традиции и лучи называются электронными.
Если поместить катод внутри разрядной трубки и просверлить в нем отверстие (канал), то за катодом можно заметить слабо светящийся пучок (рис. 48.6). Исследования показали, что эти частицы —— положительные ионы, разогнанные полем в катодном пространстве и проскочившие по инерции через отверстие в закатодное пространство. Эти лучи называют анодными, закатодными или Качаловыми, Анодные лучи представляют собой источник положительных ионов того газа, которым заполнена трубка. Такие источники положительно заряженных ионов применяются в масс-спектрометрах (§ 41.8) и в ускорителях (§§ 41.4—41.6).
Плазма в магнитном поле
В отсутствие магнитного поля плазма ведет себя как обычный газ. Причина заключается в том, что плазма квазинейтральна. даже в достаточно малых (ио не микроскопических) объемах суммарный заряд электронов и положительных ионов равен нулю. Поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля явления в плазме описываются обычными уравнениями гидро- или газодинамики (см. гл. 30).
Если плазма находится в магнитном поле, то в ее поведении проявляется ряд особенностей, вызванных действием магнитного поля на движущиеся заряды.
Наука о поведении плазмы, а также других проводящих жидкостей (например, жидких металлов) в магнитном поле называется магнитной гидродинамикой, а при больших числах Маха (см. § 30.6) — магнитной газодинамикой. В дайной книге мы не сможем подробно остановиться на изложении этой новой, весьма интенсивно развивающейся области науки. Рассмотрим лишь некоторые основные понятия.
Пусть некоторый объем плазмы-движется со скоростью и поперек силовых линий поля с индукцией В. Тогда в этом объеме, как и в любом проводнике, наводится э.д.с. индукции (§ 43.2). Если характерный размер участка плазмы равен I, то э.д.с. согласно (43.5) равна ^= vBl. Сопротивление участка плазмы R= p〃Sf^〃”2= 1/у/. По закону Ома индуцированный в плазме ток
%нд =彦/R ^ уиВ/2. (48,13)
По правилу Ленца (§ 43.8) индуцированный ток взаимодействует с полем так, что возникающая сила взаимодействия препятствует перемещению плазмы. Таким образом, кроме обычных гидр оди на ми чески х сил, в плазме действуют еще и электромагнитные силы.
Точный учет этого взаимодействия связан с большими математическими трудностями. Однако оценить роль тех или иных сил можно с помощью некоторых безразмерных критериев, аналогичных числу Рейнольдса (см. § 11.8). Магнитное число Рейнольдса Re^ характеризует отношение магнитной индукции поля индуцированных токов к индукции внешнего магнитного поля:
J^ew = Винд/В. (48.14)
Для оценки этой величины учтем, что ^Инд—Но^инд~Но^инд^> гДе / ——характерный размер участка плазмы, а индуцированный ток выражается формулой (48.13). Подставив, получим
Зннд 卩oY^BZ, (48.15)
Rem = NoY〃・ (48.16)
Значительные магнитные числа Рейнольдса возникают либо при большой электропроводности плазмы, либо при значительных характерных размерах и скоростях. Последнее наблюдается особенно часто в астрономических масштабах и имеет большое значение в астрофизике.
При больших магнитных числах Рейнольдса (Re^》1) перемещение плазмы в магнитном поле должно приводить к возникновению очень сильного индуцированного магнитного поля, во много раз превосходящего внешнее магнитное поле. Это требует затраты энергии, которая может быть получена только за счет кинетической энергии плазмы. Следовательно, индуцированные токи, взаимодействуя с внешним магнитным полем, препятствуют перемещению плазмы поперек поля.
При Re^ 货 1 может оказаться, что плазма практически не может перемещаться относительно поля. В этом случае говорят, что магнитное поле вморожено в плаз- мр — перемещение плазмы сопровождается соответствующим изменением магнитного поля, так что плазма не пересекает его силовые линии. Наоборот, если менять внешнее магнитное поле, то при Re^» 1 плазма станет соответственно перемещаться, чтобы сохранилось условие вмороженности. Этим пользуются для сжатия и разогрева плазмы с помощью быстро нарастающего магнитного поля, что будет рассмотрено в следующем параграфе.
Вторым характерным критерием в магнитной гидродинамике является число Альфвена А1, равное отношению плотности энергии магнитного поля = =^2/2卩о к кинетической энергии единичного объема плазмы, т. е. к плотности кинетической энергии ри?/2:
明NoP”
Число Альфвена можно трактовать и иначе, как отношение давления магнитного поля рл =В2/2|10 к динамическому давлению (или напору) рдня —ри2/2 (см. §30.16).
При малых магнитных числах Рейнольдса возможно перемещение плазмы относительно поля; при этом возникают магнитные силы, которые можно оценить 486
по^закону Ампера (41.15). Подставив в эту формулу значение индуцированного тока из (48.13), получим
Fm = tBl yvB^P,(48.18)
Для оценки этой силы ее сравнивают либо с силой сопротивления трения Т*П历，либо с силой сопротивления давления R^p//?. Получим два новых критерия*
число Стюарта
N = FmIR = yB2l/pv = Al • Rew;(48.19)
число Гартмана
На = VT^iT = Bl Н而=KN^Re-(48.20)
Значение этих критериев можно понять из следующего примера. Если жидкость течет по трубе поперек магнитного поля, то при малых числах Гартмана или Стюарта магнитное поле слабо влияет на характер течения, и сопротивление движению возникает в основном из-за вязкости жидкости. Наоборот, при больших числах Гартмана или Стюарта вязкость жидкости отступает на второй план, сопротивление движению возникает в основном из-за взаимодействия жидкости с магнитным полем.
Сжатие и удержание плазмы
Одна из важнейших задач, которую можно решить с помощью плазмы, это осуществление управляемого термоядерного синтеза (§ 82.12). Термоядерные реакции могут начаться при температурах, не меньших ста миллионов градусов. Ясно, что возникающую при этом высокотемпературную плазму нельзя удержать ни в каком сосуде. Плазма либо прожжет стенку, либо отдаст ей энергию и охладится. Удержание плазмы возможно лишь с помощью магнитного поля. В самом деле, если магнитное давление рт = BW2卩о окажется больше давления газа р = пкТ, то магнитное поле удержит плазму. Условие удержания:
В2/2卩 Q》nhT.(48.21)
Концентрация частиц в термоядерной плазме n^ 1022 м-3. Отсюда для индукции удерживающего магнитного поля получим
В>/2щ»Т /2・4п・ 10-7・ 10叭 1,38・ 10-23.108 力 6 Т.
Создать такое стационарное поле пока не удается, но в импульсе достигаются и более сильные поля.
Сжимающее магнитное поле можно получить либо за счет внутренних токов в самой плазме, либо за счет внешнего магнитного поля, возникающего при протекании тока в проводах. Рассмотрим для примера идею одного эксперимента.
На рис. 48.7 изображена установка для сжатия плазменного шнура быстро нарастающим магнитным полем. Это явление называется тэта-пинч (от английского to pinch —— сжать, ущипнуть). Газ, находящийся в кварцевой трубке 7, ионизируется с помощью вспомогательного высокочастотного генератора 2 путем создания в газе тлеющего разряда. После возникновения плазмы в трубке
разрядное устройство 3 вызывает искру в разрядном промежутке 4, вследствие чего виток 5 подключается к конденсаторной батарее 6. При разряде конденсаторов через виток протекают огромные токи, порядка миллиона ампер. Вследствие этого внутри витка создается практически однородное магнитное поле, силовые линии которого направлены вдоль трубки (продольное поле). Индукцию этого поля можно оценить с помощью выражения За 卩()i/2a, которое получается из (40.21) при условии, что г。= а — радиусу витка.
Полагая а^0,1 м, 10ь А, получим В^4л-106/2- 107-0,1л; ^ 6 Т.
Быстро нарастающее магнитное поле сжимает плазму в очень узкий шнур. Процесс сжатия плазмы идет настолько быстро, что возникающая при этом ударная волна разогревает плазму свыше 10 миллионов градусов, т. е. до наиболее высоких температур, которые удалось получить в лаборатории.
Одним из недостатков тэта- пинча является утечка плазмы в торцы трубки. Бороться с
Рис. 48.7.утечкой плазмы через торцы
можно несколькими способами.
Можно, например, изготовить трубку в виде замкнутого кольца —тороида, у которого нет торцов. Такие установки созданы в ряде стран: в СССР «Альфа», в Англии «Зета». Однако в тороидальной установке есть свои недостатки ——здесь плазма отжимается магнитным полем к внешней стенке трубы.
Бороться с утечкой плазмы с торцов можно с помощью магнитных пробок. Так называются созданные на концах трубки участки с повышенной индукцией магнитного поля ——иными словами, с большой концентрацией силовых линий. Ионы и электроны, из которых состоит плазма, движутся в магнитном поле по винтовым линиям (§ 41.7), навивающимся на силовые линии. Вблизи магнитной пробки скорость продольного движения уменьшается, скорость вращения нарастает и ион, отразившись от магнитной пробки, возвращается опять в центральную часть камеры. Магнитные пробки используются в советской установке «Огра» ——одной из крупнейших установок данного типа в мире.
Основным недостатком всех существующих установок является малое время удержания горячей плазмы. Причина заключается в наличии целого ряда неустойчивостей плазмы, вследствие чего плазменный шнур начинает колебаться и изгибаться. Коснувшись стенок, плазма отдает им часть энергии и охлаждается. Кроме того, часть плазмы всегда утекает через магнитные пробки.
В настоящее время в ряде крупнейших лабораторий мира интенсивно исследуются различные методы стабилизации высокотемпературной плазмы. Достигнуты довольно крупные успехи. Однако до сих пор не удалось получить плазму с температурой Т^ 10е К, концентрацией n^ 1020 м-3 и временем удержания т^0,1 с.
Любопытно, что отдельные параметры уже достигнуты. Так, на Югра-Ь получена плазма с Т = 9* 106 К,т = 0,1 с, но с малой концентрацией: п^ 10й м~3. В установках с фокусированным пинчем (СССР, США) — плазма с Т = 2-105 К, п = 1026 м「но с малым временем удержания: т^； 2-10~7 с. По-видимому,со временем удастся преодолеть все неустойчивости и получить плазму с нужными параметрами, но когда это будет и каким образом удастся достичь этого результата ——пока еще не ясно.
§ 48<9, МГД-генератор
На тепловых электростанциях процесс преобразования внутренней энергии топлива в энергию электрического тока весьма сложен, а к.п.д. не превосходит 30%. Энергия топлива в топке и котле преобразуется в энергию пара, в паровой турбине энергия пара преобразуется в кинетическую энергию ротора. Ротор турбины вращается вместе с ротором генератора, вследствие чего в статоре возбуждается ток. Цепочка преобразований энергии «топка —— котел ——турбина ——генератор» оказывается достаточно сложной.
Рис. 48.8.
Низкий к,п.д. определяется в основном турбиной, у которой температура рабочего тела (пара) относительно низка (^750 ℃), а также потерями на всех этапах преобразования энергии.
Между тем, если раскаленные и в результате этого ионизированные газообразные продукты горения заставить двигаться поперек магнитного поля, то в этой плазме, как и в любом проводнике, возникнет э.д.с. индукции. Эту э.д.с. можно снять с плазмы с помощью соответствующих электродов.
На этом принципе и основан магнитогидродинамический генератор, сокращенно: МГД-генератор. Схема его устройства изображена на рис. 48.8. Газ, возникающий при сгорании топлива,
489
проходит через сопло Лаваля (см. § 30.13), вследствие чего его внутренняя энергия превращается в кинетическую. При движении газа в сильном поперечном магнитном поле возникает э.д.с. индукции —положительные ионы движутся к верхнему электроду, свободные электроны — к нижнему. Замыкая электроды на внешнюю нагрузку, получим в цепи ток.
Для анализа эффективности генератора нужно оценить его э.д.с., электрический и тепловой к.п.д.
Электрический к.п.д. равен отношению мощности, потребляемой внешней нагрузкой, к полной мощности:
i2R R
_ 低 + /一反二f7，
где R — сопротивление внешней нагрузки, г ——внутреннее сопротивление генератора. Для уменьшения внутреннего сопротивления генератора нужно повысить электропроводность плазмы. Это можно сделать путем повышения температуры плазмы, а также путем добавления в газ в качестве присадок паров щелочных металлов, имеющих малую работу выхода электрона. Применяются соли калия, реже ——цезия из-за его дороговизны.
Рабочие температуры газов в МГД-генераторе лежат выше 2000 К- Ниже этой температуры проводимость газа столь мала, что генератор вообще не работает.
Повышение температуры газа благотворно сказывается и на тепловом к.п.д. генератора (см. §29.5), который растет с ростом разности температур рабочего тела и окружающей среды. При температурах около 2000 К тепловой к.п.д. стремится к 90% (см. § 29.6). Кроме того, повышение температуры газа позволяет увеличить скорость движения газа в сопле Лаваля, вследствие чего растет э.д.с. Вместе с тем резко возрастает износ стенок сопла, ибо такие высокие температуры разрушают любые материалы.
Росту э.д.с. способствует также увеличение индукции магнитного поля. Для этой цели сопло МГД-генератора помещают в зазоре мощного электромагнита. Магнит с железным сердечником и с охлаждаемыми обмотками позволяет получить поле с индукцией до 2 Т , что соответствует магнитному насыщению железа.
В перспективе возможно применение магнитов без железа, но со сверхпроводящими обмотками (§ 75.10). Плотность тока в таких обмотках доходит до 2-108 А/м2, индукция поля ——до 6 Т. Но пока применение магнитов со сверхпроводящей обмоткой осложняется огромными трудностями поддержания в больших областях пространства температур жидкого гелия.
В настоящее время МГД-генераторы еще не вышли из стадии лабораторного эксперимента. В 1968 г. в Советском Союзе была создана полупромышленная установка. Сконструированный советскими учеными МГД-генератор в течение нескольких часов давал ток. В будущем, по-видимому, генераторы данного типа найдут широкое применение.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агрегатные состояния тела 170, 346
Адиабата идеального газа 244
—квазистатнческая 253
—ударная 288
Адиабатная оболочка 177
Адсорбция 335
Аккумуляторы 470
Аморфные тела 310, 331
Анизотропия 308
Аинон 466
Антиферромагнетизм 431
Газ идеальный 225
——,вырождение 231, 232
——,уравнение состояния 228
—электронный 317, 449
Гальванический элемент 469
——,электродвижущая сила 470
Генератор магнитогидродинамнческий 489
—электростатический Ван-де-Граафа 370
Гигрометр Ламберта 345
Гистерезис 423
Г рафик двнжен ия 19
—скорости равнопеременного движения 40
Барометрическое распределение 237
Ближннй порядок 324
Броуновское движение 215, 267—270
Вакуум 471
Вектор 32
—,абсолютная величина 33
—единичный 400
—намагниченности 416
—поляризации 373
—смещения 374
Вероятность термодинамическая 257, 260
— —,связь с энтропией 261
Вес тела 51
Весы крутильные 75
—пружинные 51
—рычажные 52
Взаимодействие гравитационное 46
—кулоновское 46
—обменное 430
—сильное 195
—слабое 195
—упругое 46
Влажность воздуха абсолютная 344
——относительная 346
Возгонка 337
Волна звуковая в газе 284
— круговая 282
一 ударная 283
一 —головная 287
— упругих возмущений 282
—,фронт 282, 284
Время, однородность 17
—релаксации 253, 387
—свободного пробега электрона 451
—собственное 112
Второе начало термодинамики 265
——一，статистический смысл 266
Вязкость газов 329
—жидкостей 330
Давление 150
—газа 222
— —,единицы измерения 223
——идеального 228
—заторможенной жидкости (полное) 297
—насыщенного пара 339
—под искривленной поверхностью жидкости 333
Дальний порядок 311
Двигатель тепловой 271
——,к. п. д. 273
Движение вращательное 15, 182
— дефектов в кристалле 313
——дислокаций в кристалле 314
— инерциальное 26
— механическое 15
—молекулярное 211
—относительное, переносное, сложное 38
—переменное (неравномерное) 19
—поступательное 15
— равномерное 19
—равнопеременное 40
—точки по окружности 43
—установившееся (стационарное) 279
—центра инерции 134
Деформация кристалла 314
—пластическая 46
—упругая 46
Диаграммы фазовых переходов 347 — 349
Диамагнетизм 414, 417
Диод 472
—,вольтампериая характеристика 473
Диполь 84, 363, Э64
—,плечо 84
—,электрический момент S4
—,энергия в электрическом поле 364
Динамометр 46
Дислокация 311
Диффузия 217
—в газах 218
—в жидкостях 328
—в кристаллах 313
Диэлектрики 369
Диэлектрическая восприимчивость 374
—проницаемость 372
Длина отрезка 30, 111
—свободного пробега молекул газа 215
———_ фонона 463
Домены 424
—,смещение границ 426
Дыркн (по Френкелю) 326
Дьюара сосуд 178
Единиц измерения системы 62 — 63
Единицы измерения основные 62 — 64
——производные 62—64
Жидкости, ближннй порядок 280
—,диффузия 328
—,дырочная теория 326
—,структура 325
Жидкость идеальная 281
—несжимаемая 280
一 перегретая 354, 357
—переохлажденная 353
—сжимаемая 280
Заряд электрический пробный 159
——точечный 81, 160
—электрона 372
——удельный 409
Изотерма идеального газа 223
—пара 342
Изотопы 220, 411
Изотропность пространства 16, 107
Импульс 57
—,закон сохранения 128
—локализованной частицы 143
Индуктивность единица измерения 441
—соленоида 441
Индукция магнитного поля 392
———,единица измерения 392
Ион 468
Ионизационная камера 478
Ионизация 476
—ударная 480
Ионная лавина 481
Испарение жидкости 337
——.вероятность 338
——,скорость 338
Закон Авогадро 232
—Бойля и Мариотта 222
—Видемана н Фраьца 465
—Гей Люссака 242
—Гука 47, 48
—движения 18
—Дебая 379
— Джоуля и Ленца 386, 453
т диффузии 219
—Дюлонга и Пти 460
—индукции Фарадея 439
—Кеплера второй 191
——первый 190
——третий 76
—Кулона 84
—Кюри 420
—Максвелла для распределения молекул по скоростям 214
—Ньютона второй (основной динамики) 55, 57, 116
——первый (закон инерции) 26
——третий 49
—Омг1 383—385
一 一 для электролитов 468
—преобразования для поперечного импульса 389
— — для поперечной силы 389
—сложения векторов переместительный 33
———сочетательный 33
— — скоростей классический 31, 37
一 ——一 в векторном виде 38
--——релятивистский 108
—сохранения нмнульса 128, 192
— — момента импульса 189, 192
一 一релятивистской массы 178
——электрического заряда 81
——-энергии 136, 178, 192
— — — в ньютоновской механике 162
—термодинамики второй 265
——первый 177
—«трех вторых» (Богуславского и Ленгмюра) 473
— тяготения Ньютона 74
—Фарадея второй 469
——первый 468
—Фурье 462
—Шарля 241
Заряд поляризационный 373
—электрический 81
—■ —, единицы измерения 83
——,инвариантность 398
— — иона удельный 410
Камера Вильсона 355
—пузырьковая 357
Капиллярные явления 334
Касательное напряжение 92
Катион 466
Катодное распыление металлов 485
—темное пространство 484
Кельвин 230, 351
Кипение 356
Колебания гармонические 70
—нулевые 232
Количество вещества 233
——,единицы измерения 233
—теплоты 175
——,единицы измерения 142, 176
Конденсатор, зарядка 386
—плоский 365—368
——при наличии диэлектрика 374—375
—.разрядка 387
Конденсация 338
Контактная разность потенциалов 455, 457,
469
Коиус Маха 286
— —,угол раствора 287
Концентрация частиц 143
Коэрцитивная сила 423
Коэффициент гидравлического трения 298
—диффузии 219
——в жидкостях и кристаллах 329
— ионизации 477
—перекачки тепла 279
—Пуассона 243
— расширения линейного 307
——объемного 307
—рекомбинации 477
—теплопроводности 462
——электронного газа 465
—трення покоя 91
——скольжения 93
—упругости 47
—холодильный 278
Криогенная техника 359
Кристаллизация 354
Кристаллическая решетка 310, 320, 321
— —,период 310
——,элементарная ячейка 310
Кристаллы 307
—атомные 316
—ионные 316
—льда 322
—металлические 317
— молекулярные 316
Критическое давление, плотность, температура 343
— состояние 343
Крыло 295
Лучи анодные 485
—катодные 485
Магнетон Бора 415
Магнитная восприимчивость 417
— — диамагнетиков 419
——па рама гиетиков 420
——ферромагнетиков 421
—газодинамика 486
—гидродинамика 486
— проницаемость 417
■—■ — ферромагнетиков 421
Магнитное насыщение 427
Магнитный поток 439
——,единицы измерения 439
Масса 54
—,измерение 131
—покоя (собственная) 11b, 169
— релятивистская 116, 180
——,закон со步анення 178
— электрона собственная 410
Масс спектрограф 411
Материальная точка 15
Мениск 333
Модуль всестороннего сжатия 299
Моль 233
Молярная масса 234
Молярный объем 234
Момент импульса 188
— —,единица измерения 188
——,закон сохранения 189
——и изотропность пространства 195
— — орбитальный электрона 415
—инерции 183, 184
—~, единица измерения 183
—一 тел простейшей формы 185
— магнитный 395
——атома 415
——спиновый электрона 428
——циркулирующего заряда 396
—силы 186
——,единица измерения 186
Монокристаллы 308
Мощность, единицы измерения 142
— мгновенная 141, 187
— средняя 141
Мюоны 112
Намагниченность вещества 416
——,единица измерения 416
— остаточная 423
Напряжение 299
—на участке цепи 380
Напряженность 77, 87, 360
—ноля магнитного 397
———стороннего 381
——суммарного 381
Невесомость 61
Одновременности относительность 106
Одновременность 106
Однородность времени 17, 108
——и сохранение энергии 195
— пространства 17, 107
— — и сохранение импульса 195
Опыт Варнетта 428
—Иоффе 315
—Кавендиша 75
—Кулона 81
Опыт Ламмерта 211
—Майкельсона 103
— Милликена 371
—Перрена 270
—Рикке 444
—Стюарта и Толмена 445
—Фарадея 433
—Штерна 211
—Штерна н Герлаха 428
—Эйнштейна и де Гааза 427
Ось координат 17
—кристаллографическая 308
Пар насыщенный 338
——,давление 339
——,плотность 339
—ненасыщенный (перегретый) 342
— пересыщенный (переохлажденный) 355
Парадокс близнецов 208
Парамагнетизм 414, 419
Параметры состояния термодинамические 253, 279
Паскаль 223
Паскаль секунда 96
Первое начало термодинамики 177, 240
Перемещение материальной точки 21
———при равнопеременном движении 42
—среднее квадратичное 268
Период 44
— обращения частицы 402, 405
Плавленые 351
Плазма 483
— в магнитном поле 485
—газоразрядная 483
——иоииая, температура 483
——электронная, температура 483
—изотермическая 483
—сверхплотная 344
—,условие удержания 487
Плечо силы }86
Плотная упаковка 299
——гексагональная 319
——кубическая гранецентрированная 319
——одинаковых шаров 318
——шаров с разными радиусами (простая кубическая решетка) 319
Плотность вещества 55
—заряда поверхностная 366
—идеального газа 233
—энергии поля 367, 375 443
Поверхностно активные вещества 335
Пограничный слой 97
Подвижность заряда 385
— частицы 447
Позитрон 402
Поле гравитационное 76
—диполя 87
—магнитное 392
—стороннее 379
—точечного заряда 87
—электрическое 86
—электромагнитное 438
—электростатическое 360
Поликристалл 309
Полимеры 322—324
Полиморфизм 319
Полиэтилен 322
Полупроводники 448
Поляризация диэлектриков 373
Поляризуемость молекулы 302, 3"
——деформационная 376
——ориентационная 377
Постоянная Больцмана 228, 232, 268
— времени электрической цепи 387
—магнитная 392
—Плаика 123
—тяготения (гравитационная) 74
—универсальная (молярная) газовая 234
Постоянная Холла 447
—электрическая 84
——,единица измерения 367
Потенциал гравитационного поля 161
—запирающий 474
—поля точечного заряда 160, 360
—электростатического поля 159, 3&0
一 一一,единицы измерения 160
Потенциальная кривая 164, 305
——一молекулярного взаимодействия 305
—яма 165, 459
Потенциометр 473
Поток тепловой 462
Правило левой руки 399, 412
—Ленца 440
—многоугольника 33
Преобразования Галилея 29
—Лоренца 110
Принцип автофазировки 409
— возрастания энтропии 265
—запрета Клаузиуса 266
— — Томсона — Планка 273
— инвариантности скорости света 104
—инерции 26
—относительности Галилея 28
——Эйнштейна 29. 103
—симметрии пространства — времени 195
—соответствия 115
—эквивалентности 203
Причина и следствие 113
Проводимость несамостоятельная 477
—самостоятельная 482
Проводники 369
Процесс адиабатный 177, 244
—изобарный 242
— изотермический 222, 244
—изохорный 241
—квазистатический 253
—компенсирующий 274
—необратимый 254
—обратимый 254
—тепловой 170
Псевдоядра 326
Психрометр 346
Психрометрическая разность 346
Пузырьковая камера 357
Путь пройденный 21
Работа 151
—внешней силы 173
—,выражение через потенциал 159
—выхода электрона 458
—гравитационной силы 155
—,единицы измерения 141
—,изображение на графике 152
—кулоновской силы 153
—при повороте тела 186
—при расширении газа 239
—упругой силы 153
—элементарная 146
Рабочее тело 272
Равновесие динамическое 339
— неустойчивое 167
—тела, имеющего ось вращения 187
—устойчивое 167
Радиус-вектор 32
Разведка гравиметрическая 79
Разделение газовых смесей 220
Разложение вектора 35
Размерности физических величин 62
Разряд дуговой 482
—несамостоятельный 478
——,вольтампериая характеристика 478
—самостоятельный 478, 482
—тлеющий 482, 484
Расход жидкости, газа 280
Расчет запаса топлива 132
Реактивный двигатель 293
Реактивный двигатель прямоточный 294
—' —турбокомпрессорный 294
Резистор 384
Рекомбинация нонов 466, 477
Самодиффузия 218
Самоиндукция 441
Световой год 128
Сжижение газов 358
——,детандеры 358
Сжимаемость 299
—газа при адиабатном процессе 299
——^при изотермическом процессе 300
— Ампера 412
—взаимодействия между диполями 85
—внешняя 48, 128
—внутренняя 127
—выталкивающая архимедова 100
—,измерение 46
—инерции 199
—коэрцитивная 423
—Лоренца 399
— — обобщенная 400
—нормального давления 91
—поверхностного натяжения 332
—подъемная 295
— равнодействующая 49
—сопротивления 97
—тока 381
—трения 46, 89
—тяги реактивная 132
—тяготения 46, 73
—тяжести 51
一 упругости 46
—уравновешивающая 49
—центростремительная 57
—электродвижущая 380
Силы ковалентные (гомеополярные) 316
—консервативные 156, 160
—магнитные 388
—молекулярные 300, 303
——,электрическое происхождение 301
—неконсервативные (диссипативные) 157
— сторонние 378
—центральные 204
Синхрофазотрон 406
Система отсчета 17
——гелиоцентрическая 28
— — геоцентрическая 27
——инерциальная 27
——неииерциальная 59, 61, 196
—тел адиабатически изолированная 177
——замкнутая 128, 177
———консервативная 162
Скаляр 31
Скачок уплотнения 284, 288
Скорость 36
—волны 282
—,единицы измерения 22
— звука в идеальном газе 285
—истечения 131
—космическая вторая 163
——первая 163
—мгновенная 23
—молекулы наиболее вероятная 213, 214
—начальная 40
—относительная 89
—света 101, 109
—средняя 22, 23
—一 квадратичная 222
——равнопеременного движения 43
— угловая 43, 182
——,единица измерения 43
——一,связь с линейной 43, 182
—установившаяся 100
Смазка 97
Событие, промежуток времени между событиями 111
Соленоид 398
Сольват 467
Соотношение неопределенностей 123
Сопло 291
—Лаваля 293
Сопротивление волновое 289
—трубопроводов 297
—• электрическое 383
——внутреннее источника тока 386
——,единица измерения 383
一 —，зависимость от температуры 384
一 —'металлического проводника 383
一 —удельное 384, 451
一 一一，единица измерения 384
Состояние метастабильное 331, 353
Спнн электрона 430
Сублимация 337
Счетчик Гейгера — Мюллера 481, 482
Температура 226, 227
—абсолютная 228
—,абсолютный нуль 231
—вырождения 231
—Дебая 460
—,измерение 228
—критическая 344
—,шкала абсолютная 230
—, — международная практическая (шкала
Цельсия) 230
Теорема Штейнера 184
Теория тяготения Эйнштейна 205
Теплоемкость газа 241—243
——двухатомного, классическая теория 246
———,квантовая теория 249
一 一，единицы измерения 176, 241, 242
——изобарная 243
— — изохорная 242
—металлов 461
—твердого тела 459, 460
Теплообмен 175
Теплопроводность 174, 175, 462
—,анизотропия 309, 463
—,единицы измерения 462
—изоляторов 461
— металлов 464
Теплота удельная парообразования 176, 352
—一 плавления 176, 326, 352
——реакции 176
一 — сгорания (удельная теплотворная способность) 176
—сублимации 352
—фазового перехода 352
Термодинамика 176
Термоионизация газа 483
Термометр газовый 228
Термопара 457
Термоэлектричество 456
Термоэлектродвижущая сила 456
Термоэлектроны 471
Ток электрический 379
——,единица измерения 382
——насыщения 473, 479
——,плотность 382
Точка Кюрн 421
—Нееля 432
—росы 345
— тройная 350
Траектория 17
Трение внешнее (сухое) 89
——внутреииее (жидкое или вязкое) 89, 95
——,коэффициент 96, 329
—качения 90, 94
—покоя 89, 90
—скольжения (кинематическое трение) 90,
Триод 474
—,сеточная характеристика 475
Трубка Пито 296
—Пито — Прандтля 297
Угол атаки 295
—краевой 333
—трения 92
Удар 144
——абсолютно неупругий 145, 150
■— упругий 147, 149
——центральный 147
Уравнение Бернулли 281
——для несжимаемой идеальной жидкости 282
—движения 58
— динамики основное 53, 57, 116
———для вращающегося твердого тела 188
•— — — для иеннерциальных систем отсчета 199
— импульсов для потока идеальной сжимаемой жидкости 281
—Клапейрона — Менделеева 234
—неразрывности струи 280
—Пуассона 246
Ускорение среднее 39
—,единица измерения 39
—мгновенное 39
—нормальное (центростремительное) 45
— свободного падения 53
—угловое 192
Ускорители 403
—циклические 403
Фазовые переходы второго рода 347, 421
——первого рода 347
Ферримагнетизм 433
Ферриты 433
Ферромагнетизм 412, 413, 421
—,классическая теория 424
Фильтр скоростей 410
Флук/уацин 266, 267, 354
Фонон 463
Формула Ричардсона — Дешмана 474
—Стокса 99
—Циолковского 133
—Эйнштейна (для броуновского движения) 270
Фотоионизация газа 483
Центр инерции (масс) 133
Центры конденсации 355
—кристаллизации 354
— парообразования 356
Цикл 271
—Карно 274
——,коэффициент полезного действия 275
——обратный 276
Циклотрон 403
—,условие синхронизации 405
Часов синхронизация 104
Частица локализованная 142
——,среднее значение импульса 142
——,средняя кинетическая энергия нерелятивистская 143
——,———ультрарелятивистская 143
Частота 44
Число Авогадро 234
—Альфвена 486
—Гартмана 487
—Лошмидта 233
—Маха 285
Число Рейнольдса 99, 297
一 _ магнитное 486
—соударений молекул за секунду 215
—Стюарта 487
—Фарадея 469
Электризация 81
Электрическая восприимчивость 374, 379
Электродвнжущая сила 3g0
一 一гальванического элемента 470
——■ индукции 435
——поляризационная 470
一 一самоиндукции 442
Электролиз 466
Электролитическая диссоциация 466
Электрон 84, 370
— валентный 317
—,заряд 372
—,магнитный спиновый момент 428
—,масса собственнея 410
—,орбитальный момент импульса 415
—,подвижность 385
—,работа выхода 458
Электронная пушка 475
Электронное облако 471
Электронно-лучевая трубка 475
Электронный газ 317, 449
Электропроводность 383
—металлов 452
—полупроводников 452
—удельная 384, 451
—электролитов 468
—,электронная теория 449
Электростатнческа я защита 369
Электрохимический эквивалент 469
Эмиссия вторичная электронная 482
—термоэлектронная 459, 471
—фотоэлектрон на я 459
Энергия активации 327
—внутренняя 168
Энергия внутренняя, изменение при де* формации тела 169
——,—при тепловых процессах 170
—一，—при химических реакциях 171
——,—при ядерных реакциях 172
—,единицы измерения 141, 142, 160
—испарения 337
—кинетическая 137, 138
——локализованной частицы 143
—колебательного движения молекул 251
—механическая системы 161
——,закон сохранения 162
—нулевая 232
—поверхностного слоя жидкости 332
—полная (релятивистская) 136
——,способы изменения 138, 174
— потенциальная 157, 164
——гравитационных сил 158
——кулоновских сил 158, 161
— —,нулевой уровень 159
— —тела в поле тяжести 159
——упругих сип 158
—электромагнитного поля 443
Энтропия 262
—,статистическое истолкование 262
Эффект Баркгаузена 426
—Допплера 122
—Пельтье 457
—Ребиндера 336
—Холла 446
Эффективное сечение соударения 216
Явление Зеебека 456
—самоиндукции 441
—электромагнитной индукции 434, 440
———в неподвижном проводнике 436
Ядерная реакция 172
—установка «Топаз» 472
——«Ромашка» 457
Б.М.ЯВОРСКИЙЛАПИНСКИЙ
ОСНОВЫФИЗИКИ
том 1
1. В § 12.11 было показано, что теория относительности не отменяет ньютоновскую кинематику, а включает ее в себя как предельный случай медленных движений. Результаты предыдущего параграфа приводят к выводу, что такое же положение имеет место и в динамике. А именно, мы показали, что при достаточно медленных движениях вполне допустимо пользоваться формулами ньютоновской механики, при анализе же быстрых движений правильные результаты дает только теория относительности.
Попробуем более точно ввести критерий того, какие движения следует считать медленными, а какие ——быстрыми.
1. Сопоставляя метод решения основной задачи динамики с соотношением неопределенностей Гейзенберга, мы видим, что они противоречат друг другу. Действительно, для определения закона движения необходимо максимально точное задание начальных условий; соотношение же неопределенностей показывает, что начальные условия могут быть заданы лишь приближенно, причем степень при
2. Пусть тело с массой /и поднимается на некоторую высоту й над поверхностью Земли (рис. 18.9). Полагая mt^m (масса тела), 团2 = М (масса Земли), t\ = R (радиус земного шара) н г? = R + /i,
1. Тепловыми называются процессы связанные с изменением температуры тела, а также с изменениями его агрегатного состояния —плавлением или затвердеванием, испарением или конденсацией. Подробно эти процессы будут рассмотрены ниже, здесь же мы
1. Воспользовавшись выражением для энергии заряженного
Б. М. ЯВОРСКИЙ, А. А. ПИНСКИЙ
ОСНОВЫ ФИЗИКИ
Том 1
ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ; ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ；МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА;МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ И АГРЕГАТНЫЕ
СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА; ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Scan by Hi-Сору
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
630.1 Я 22
УДК 630.10(075,4)
АННОТАЦИЯ
Введение новых программ по физике для средней школы, организация факультативных курсов физики, наличие физико-математических школ вызвали потребность-в пособиях, где основы физики излагались бы значительно шире и глубже, чем это может быть сделано в стабильном учебнике.
Данная книга является первой частью двухтомника, в котором излагаются основы физики на более Современной основе, чем это обычно принято. Вопросы механики связаны с теорией относительности и соотношением неопределенностей, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса—с принципами симметрии пространства и времени, основы термодинамики——с молекулярной статистикой и строением вещества, гидромеханика —с теорией ударных волн. От читателя требуется лишь основательное знание физики, алгебры и начал тригонометрии в объеме восьмилетней школы.
Книга предназначена для учащихся старших классов средней школы. Она может быть также полезна преподавателям физики школ и техникумов и студентам вузов.
© Издательство «Наука», 1974 г., с изменениями.
Яворский Борис Михайлович, Пинский Аркадий Аронович
ОСНОВЫ ФИЗИКИ, Т. 1
М., 1974 г., 496 стр. с илл.
Редактор В. Л, Григорова
Техн, редактор С. Я• ШклярКорректор Е. В. Сидоркина
Сдано в набор 25/Х 1973 г. Подписано к печати 21/II 1974 г. Бумага 60х90%@.
Физ. печ. л. 31. Условн. печ. л. 31. Уч.-изд. л. 31,29. Тираж 190 000 экз. Т-02985.
Цена книги 98 коп. Заказ № 821.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы11707 1, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28
я 20401—042
Я 053(01)-74
107-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 11