Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Метод конечных элементов, который начал интенсивно разрабатываться с середины 60-х годов, стал теперь достаточно эффективным способом численного решения целого ряда задач для уравнений в частных производных, в особенности для эллиптических нестационарных уравнений. Он очень удобен для программирования и позволяет учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче в тех случаях, когда удается получить теоретическое обоснование его применимости.
Многое еще предстоит сделать для совершенствования этого метода и расширения сферы его применения — прежде всего к нестационарным нелинейным задачам, для которых конечно-разностный метод остается пока основным способом получения численных решений. Но достигнутые уже сейчас уровень теоретической обоснованности и широта практических приложений метода конечных элементов делают весьма желательным обучение будущих специалистов по прикладной математике основам этого метода.
В нашей стране уже вышло немало книг, посвященных методу конечных элементов, в том числе и переводы трудов ведущих зарубежных ученых, но все это либо монографии для специалистов, либо учебные пособия для инженеров. Авторы настоящей книги предприняли одну из первых и, как нам кажется, весьма успешную попытку создать учебное руководство для студентов, обучающихся прикладной математике, и практических работников вычислительных центров, не знакомых еще с этим методом.
Прочитав книгу и, в особенности, решив хотя бы часть приведенных в ней задач, читатель приобретет определенные навыки проведения подготовительной работы, необходимой при решении конкретных задач методом конечных элементов,
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
а также получит достаточно ясное представление о теоретических основах метода. Немало интересного найдут в книге и специалисты — большой набор базисных функций, сравнительный анализ различных вариантов метода конечных элементов; большое внимание авторы уделяют применению метода для решения нестационарных задач.
Книга написана просто и ясно, на хорошем математическом уровне. В ней достаточно полно отражено то большое влияние, которое оказали на обоснование и развитие метода конечных элементов работы советских математиков. Дополнительная библиография поможет читателю получить об этом более детальное представление, а также лучше понять роль и место метода конечных элементов в прикладной математике.
При переводе были исправлены замеченные опечатки и мелкие погрешности, в библиографии некоторые зарубежные работы снабжены ссылками на их русские переводы, а переводы советских работ заменены оригиналами.
Н. Н・ Яненко
20 апреля 1979 г.
Энн и Фионе
ПРЕДИСЛОВИЕ
Можно считать общепризнанным, что метод конечных элементов является эффективным способом численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. Это в особенности верно для эллиптических уравнений, где сразу проявились его преимущества по сравнению с конечно-разностным методом. Метод конечных элементов служит хорошим примером весьма трудной темы, развитие которой стало возможным только благодаря тесному сотрудничеству между инженерами, математиками и специалистами по численному анализу. Принимая во внимание широту интересов его приверженцев, нетрудно понять, почему по методу конечных элементов не написано книги, которая отражала бы должным образом все возрастающий поток публикаций, ему посвященных. Целью нашей книги было заполнить пробел между хорошо известными работами Зенкевича (1976) и Стренга и Фикса (1977), в которых соответственно нашли отражение запросы инженеров и математиков. В старинном споре о сравнительных преимуществах методов конечных разностей и конечных элементов мы не становимся ни на одну сторону — нас вполне удовлетворяет, что есть два таких мощных метода численного решения дифференциальных уравнений с частными производными.
Большая часть книги доступна студентам соответствующих математических и инженерных специальностей. Для ее понимания не требуется специальных математических знаний, выходящих за рамки обычных курсов линейной алгебры и анализа. Исключением является гл. 5, которую при первом чтении можно опустить. Гильбертово пространство и понятия из функционального анализа используются на протяжении всей книги главным образом для унификации изложения материала. Но мы предполагаем, что у читателя есть определенные навыки практической работы с дифференциальными уравнениями в частных производных—только в этом случае наша книга будет для него действительно полезной. Так как отправной точкой для нас чаще являются не уравнения с частными производными, а тот илн иной вариационный принцип, то в книгу включена глава о вариационных принципах с детальными ссылками на более подробные руководства.
Мы надеемся, что книга окажется полезной и для специалистов, применяющих метод конечных элементов на практике. С учетом их интересов метод конечных элементов излагается в самых различных вариантах (а именно: в форме Ритца, Га- леркина, наименьших квадратов, коллокации), а в гл. 4 приводится большой набор возможных базисных функций, которые могут быть использованы в каждом из этих вариантов. Чтобы сбалансировать включение такого большого по объему практического материала, мы полностью опустили задачи на собственные значения. Некоторым оправданием этого шага служит то, что задачи на собственные значения в близкой нам трактовке подробно изложены в гл. 6 книги Стренга и Фикса (1977).
Библиография была ограничена только теми работами, на которые в книге делаются ссылки по существу. Более полная библиография по методу конечных элементов имеется в книге Уайтмена (1975). Учитывая возможный интерес читателя, мы включили в наш список литературы последние монографии и труды конференций, посвященные главным образом методу конечных элементов (см. Зенкевич (1975), Азиз (1972), Оден (1976), Стренг и Фикс (1977), Грам (1973), Ланкастер (1973, 1975), Миллер (1973, 1975), Уайтмен (1973, 1976), Уотсон (1974, 1976), де Бур (1974), Оден, Зенкевич, Галлагер и Тейлор (1974), Прентер (1975), Хаббард (1971)).
Большая часть материала этой книги излагалась в виде лекций для аспирантов и студентов математических специальностей в университетах Данди и Ливерпуля. Кроме того, первый автор по приглашению Института атомной энергии читал лекции по материалу гл. 2 и 4 в Институте высших исследований НАТО в Кьелере (Норвегия) в 1973 г., а второй ——лекции по материалу гл. 3, 5 и 6 в 1973 г. во время своего пребывания в Техническом университете Дании.
Мы весьма признательны нашим коллегам и бывшим студентам за те полезные обсуждения, которые проводились в процессе подготовки этой книги. Мы особенно благодарны Вобу Барнхиллу, Лотару Коллатцу, Дэвиду Гриффитсу, Дирку Лаури, Джеку Ламберту, Петеру Ланкастеру, Робину МакЛеоду, Гилу Стренгу, Юджину Уачспрессу, Джиму Уатту и Оле ку Зенкевичу. И, наконец, мы благодарны Роз Даджон и Дорин Мэнли, которые с большой тщате/ностью nepeneqa- тали рукопись. ~
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИ1
Аппроксимация кусочно-полиномиалкшыми функциями
Рассмотрим вначале задачу об аппроксимации вещественной функции f(x) на конечном интервале оси х. Один из простых способов решения этой задачи состоит в разбиении интервала на некоторое число неперекрывающихся подынтервалов и линейной интерполяции по значениям функции f(x) в граничных точках подынтервалов (см. рис. 1 (а)). Если имеется 言 подынтервалов [х/, x/+ij (i = 0,1,2,.. •，禮一1), то кусочно-линейная аппроксимирующая функция зависит только от значений функции //(=/(%；)) в узловых точках %/ (Z = =0,1,2, ...,п). В тех задачах, где f(х) задается неявно уравнением (дифференциальным, интегральным, функциональным и т. д.), значения 力 являются неизвестными параметрами задачи. В задаче интерполяции значения 厶 известны заранее.
На подынтервале [%/, x/+i] соответствующая часть аппроксимирующей функции описывается формулой
Pf (盼=% W % + b中 (盼力+1 (々 & % & %例)，(1.1) где
а^(X)= -^"^J- и pi+i (х) = -Хj„ (г =0, 1, 2, П — 1). xiXM xi
Следовательно, кусочная аппроксимирующая функция на интервале %q W % W 无莊 задается формулой
pi W = Z 也(%)%，
32)
где
% (*)=
i К] — Ко(%0 W * & х1)
к 0(%! ：^ 尤 ^^ 尤/：),
0日0《尤&m7)
S (盼=-
х1+1~х{ЗЕ力&打+'
(1.3)
% (%)=j玄-х界-1
I Xn Xn—1
（xoCxCx^J
（Xn_j《尤《力州）
являются пирамидальными функциями, изображенными на рис. 1 (Ь). Пирамидальные функции, заданные формулами (1.3), представляют простейший тип базисных функций. Отметим, в частности, что базисные функции(р((х) (i = 1, 2,・•・
Рис. 1 (а).Рис. 1 (а).
Рис. 1 (а).
Рис. 1 (а).
Рис. 1 (Ь) •
...,言—— 1) равны нулю вне интервала [хг-i,力用]или, как говорят, имеют локальный носитель. В этой книге будут строиться базисные функции различной степени сложности, однако всегда с локальными носителями. Основным свойством большинства базисных функций является то, что они равны единице в некоторой узловой точке и равны нулю в большинстве других узловых точек.
Вообще говоря, первые производные кусочно-полиномиальной аппроксимирующей функции pi (х), заданной формулой (1.2), отличаются от первой производной f(x) даже в узлах. Теперь попытаемся построить кусочную аппроксимирующую функцию, которая совпадала бы вместе с первой производной с f (х) в узловых точках xz (i=0, 1, 2, ..., п). Другими словами, мы должны построить кусочно-кубический полином рз(尤)，такой, что
Dkf(x^ = Dkp3(X1) (々 = 0, 1; f = 0, 1, 2n),
где D = d/dx. На подынтервале [九％叶门 соответствующая часть кубического аппроксимирующего полинома задается формулой
成)(х) = %(X)力 + ₽/+1(X)力+1 + 匕(%) f； + 6中(x) f；+l, (1.4)
где
S（X）=S（X）=(Z+i - x)7(A+i -乙)+ 2卜 一 a)]
S（X）=
S（X）=
(xi+l-xt)a'
₽/+i M =₽/+i M =(* 一匕)2 [(看+1 -七)+ 2 (乙+1 - X)](々+1-咽3
₽/+i M =
₽/+i M =
a 5=(一切2(~々+1)
0/ + 1 W =
(i = 0 1, 2, ...» n — 1) и штрих означает дифференцирование по х. Кусочная аппроксимирующая функция на интервале 力о W * 云尤器 задается формулой
Р3⑴=宫[噌⑴力+咽(X阅 (1-6)
где кубические полиномы ф?)(», <pf)(*) (i = 0, 1, 2, ..., n) легко получаются из (1.6). Базисные функции ф^0)(х) и ф£)(力) (i = 1, 2,, * 举,禮—1) изображены на рис. 2.
Базисные функции в выражениях (1.2) и (1.6) появляются при рассмотрении частных случаев кусочной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) для заданного разбиения интервала. Пусть теперь в общем случае П: 〃=%oV%iV・・・ …v 也=b есть произвольное разбиение интервала R = =[а, Ь] на оси х. Для целого положительного m и разбиения интервала П обозначим через Н = 〃(叫П, R) множество всех действительных кусочно-полиномиальных функций w (х), определенных на R, так, что w(x)个 Cm^[(R) и w(x) есть полином степени 2m — 1 на каждом подынтервале [xz-, x,+i] интервала R. Для любой заданной действительной функции ，(％) м м Cm-i(R)кусочная эрмитова интерполяция однозначно определяется как такой элемент р2m—1(%) мН, для которого
ь ь f(0《^《/n-l)
(1.7)
Частные случаи при m = 1, 2 уже были рассмотрены выше и привели к базисным функциям, входящим в выражения (1.2) и (1.6) соответственно. Оценки ошибок для кусочных эрмитовых приближений приводятся в работе Биркгофа, Шульца и Варги (1968).
В задачах, где требуется определить только f(х), часто бывает нежелательно вводить в качестве дополнительных параметров производные f (х) и тем самым заметно увеличивать порядок системы уравнений, которая должна решаться. Поэтому весьма желательным свойством кусочных функций является непрерывность производных в точках сшивки полиномов без введения значений производных в качестве дополнительных неизвестных параметров. Простейшим примером такого подхода представляется подбор на каждом подынтервале [修，％叶1] (i = 0, 1, 2, ..., п — 1) такой параболы, чтобы первые производные были непрерывны в каждой внутренней узловой точке Xi (i=l, 2, ..., и—1). Удобную форму такой
кусочной аппроксимации представляет квадратичный сплайн S0")=力 + 悬二£(X -x^ + ct{x-巧)(х-々+1)(1.8)
(t = 0, 1, 2, ..., п — 1),
где из непрерывности первых производных следует, что
с『+ с—=春(力+1 — 2厶 + Л-i) (f = 1, 2,…，n — 1), (1.9)
а разбиение интервала предполагается равномерным с шагом h. Система (1.9) представляет собой п——1 линейных соотношений относительно неизвестных коэффициентов с± (£ = =0, 1, 2,..., п ——1), и поэтому в случае квадратичных сплайнов остается свободным один коэффициент. Поскольку Sg产(尤)=2% (г = 0, 1, 2, ..., п—1), знание второй производной в любой точке полностью решает задачу.
Наибольшее признание получил кубический сплайн 】)，для которого при заданных значениях 力(г = 0, 1, 2, ..., п) на каждом подынтервале подбираются кубические полиномы, такие, чтобы первая и вторая производные были непрерывны во всех внутренних узловых точках. Если S^ (х) (/ = 0,1,2... ...,п—1) есть искомый кубический сплайн, то функция Sg*(%) должна быть линейной на [%〃&*}，и поэтому
S收x) j言三+*点含；(』。，1. 2,…，〃t),
где Ci, Cw+i являются значениями вторых производных в точках х〃 х^\ соответственно. Это обеспечивает непрерывность вторых производных во внутренних узловых точках. Используя дополнительные условия
sy)(z) = % )
…》，…，…)
И
S尸⑷= St(/) (£=1, 2,....九一1),
При /if 0 кубический сплайн равномерно сходится к аппроксимируемой функции при условии достаточной ее гладкости. Квадратичные сплайны таким свойством не обладают. Если, например, ма левом конце интервала задать вторую производную, то по мере приближения к правому концу эти сплайны начинают осциллировать, тем сильнее, чем меньше Л. — Прим, перев.
получим кубический сплайн в виде
S*⑴=謬(々+1 -尤f+需& - *，)3 +
+ (т~ 學){xi+i~x} + ^hL — —^1) (* 一 打)(1 • 1°)
(«= 0, 1, 2, ..n— 1),
где сетка предполагается равномерной, а м + 1 коэффициентов Ct [г = 0, 1, 2, ..., п) удовлетворяют системе п——1 линейных соотношений
с什 1 + 4虫 + q_i =故(力+i — 2〃 + /л) (/= I, 2, ..., n — 1).
(1.П)
Два свободных параметра в случае кубического сплайна часто исключают, полагая со = сп = 0, и поэтому другие параметры однозначно определяются из (1.11).
Более естественным представлением кубического сплайна при равномерном разбиении интервала / = [О, Ь] является выражение
S/ (仔)= «o + ai (т) +。2 (т)2 + аз (年Y +
П-1
+ 2>(卷7)：，(1.12)
s).
Нетрудно показать, что функция Si(x/h) и все ее производные, кроме третьей, непрерывны во всех внутренних узловых точках х/(I = 1, 2, ..., п — 1) при всех значениях п + 3 коэффициентов ао, «ь «2, «з, ₽s (s = 1, 2, .,., п — 1), Условие
S/(?) = h (/ = 0, 1, 2, п), (1.13)
дает п + 1 линейных соотношений для % + 3 коэффициентов, и поэтому остаются два свободных параметра. Система линейных уравнений сводится к виду, приведенному в упражнении 4. Если кубический сплайн (1.12) вместе с двумя свобод-
ными параметрами теперь представить в виде
S/(£) = £，© (书’(1」4)
где Ci(xi/h) = 1, Ci(Xj/h) = O(j Ф /),仏 / = 0, 1, 2, ..., п), то получается, что основные сплайны G (x/h) не имеют локального носителя и не являются удобными для практики базисными функциями.
Кубические сплайны с локальным носителем длины 4Л были предложены Шёнбергом (1969) как удобные базисные функции. Для узловых точек # = iW (i = 2, 3, ...» п — 2) они имеют вид
& (т)=｝ [｛专一《—2) ｝： — 4 ｛专 一 (£ 一 i) ｝： +
+ 6｛^--i｝； - 4｛专一0+1)｝： + ｛密一Q + 2)｝：]. (1.15)
Эти функции и две их первые производные равны нулю при —оо 之 x/h Wi ——2 и Z + 2 ^ x/h V -f-°°- Кроме того,
山(i —D = 8ji+1) = ；,当«)=1 « = 2, 3n-2).
Остальные функции &(%/九)，В｛ (х/Л), Bn-i (x/h), Bn(x/h) требуют специального рассмотрения. Полагая
(t) = £yA(t)(1-16)
и сопоставляя правые части (1.14) и (1.16), мы получим трехдиагональную систему линейных уравнений для определения коэффициентов у， (/ = 0, 1, 2, ..., п), входящих в (1.16). Большинство уравнений этой системы имеет вид
Yf + "(Y21+Yji) =力(i = 2, 3, ..о n —2).
Двумерная аппроксимация
Теперь рассмотрим задачу об аппроксимации действительной функции кусочными непрерывными функциями на ограниченной области R с границей OR. Область разбивается на некоторое число элементов. В этом разделе рассматриваются области, имеющие вид прямоугольника или многоугольника.
Прямоугольная область. Стороны такой области параллельны осям хи у, и она разбивается на такие же прямоуголь-
иые элементы прямыми линиями, параллельными осям. Пусть [xq, хт] X [у^ Уп\ есть прямоугольная область и [xit Xi+1]X X [Уь Ум] есть типичный прямоугольный элемент, где 尤屮 —— —Xi = Ai и 夕什1 一 ％= hz {0 ^ i ^ tn — 1, OWj《也一1) (см. рис. 3). Билинейная форма, приближающая функцию f(x, у) на прямоугольном элементе, имеет вид
р&)(х, 9)= % / (х, у) fl t + ₽/+1>/ (х,加力+1" +
+ Yi. /+1 (^, У)ft. /+i + ^/+1,/+> (^, У)f/+i,/+ь (Ы7) вде
^i.l (х, у)=磊(々+1 - х)(竹+1 -办
区+" (招y)=矗(Х -打)(勿+】-加，
Y/,/+i(^> У)=万М (打+i — ％)(9 -幻)
И
6中,卄 1 (%，y)=布%"(%—修)(д—y/)
(0 C i С /и — 1; 0&/W% — 1). Кусочная аппроксимирующая функция в области [%o, xm] X [yQ, у^] задается выражением
pi а,加==Z S <₽/,/ а, у) fi.j.(1.18)
Базисные функции ф 厶 /(х, ^)(1 ^ i ^ т — l\ l&j&%—1) обращаются в нуль всюду, за исключением прямоугольной области [尤 1,*+"Х[д/т, Улч], и поэтому имеют локальный носитель (см. упражнение 6 и рис. 3).
Только что рассмотренный случай является простейшим примером кусочной двумерной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные элементы, В общем случае для любого целого положительного числа / и любого разбиения прямоугольника R на прямоугольные элементы обозначим через Н = Н⑴(R) совокупность всех действительных кусочных полиномов g(xt у), определенных на R* так, что g(х, у)е Ci j(R) и g(xt у) есть полином степени 2/ — 1 по каждому переменному % м у на каждом прямоугольном элементе [尤詳尤мч]Х(У/,劣*1 (0WZ£/n—1; 0&/W 几一1) области А，Для любой заданной действительной функции f(x, у)^ С^1- l^(R) существует единственный кусочный эрмитов интерполянт Р2/-1 (^ у) е Я, определяемый условиями
Z>Gf(X" 勿)==!>9-现2,-1(々，勿)
при всех 0&", gW，— — LOWjW% — 1. Частный случай I = 1 был уже рассмотрен выше и дает билинейные базисные функции, вид которых указан в упражнении 6. Случай / = 2 разбирается в упражнении 7. Читателя, интересующегося получением оценок ошибок для двумерной эрмитовой интерполяции, мы снова отсылаем к работе Бирк- гофа, Шульца и Варги (1968),
где 力=f(修,夕)、「(i= 1, 2, 3). Коэффициенты а/(х, у) (/ = r 1, 2, 3) задаются формулами
5 (%, У)= "^~ (т23 + 刀妒 一 &зУ)，
。2 (%, У)= -^~(Ri + 电1尤 一 1з0)，(1.20)
。3 (%，У)—(Т12 + П12% —自 12力
где |С12з| есть удвоенная площадь треугольника, а
T* = 打勿一勺玖，
n" =弘一勿(‘，j= 1，2, 3).
Разумеется, функции (1.20) являются только частями полных базисных функций, связанных с вершинами треугольной сетки. Полная базисная функция относительно некоторой вершины получается путем суммирования частей, связанных с теми треугольниками, которые примыкают к этой вершине. Например, вершина 1 на рис. 4 имеет пять примыкающих тре- угольников, и поэтому базисная функция, соответствующая этой вершине, будет состоять из пяти частей. Полная базисная функция оказывается пирамидальной.
Упражнение 1. Покажите, что кубический полином рз(%), который принимает значения
Рз(0)= %‘ Рз⑴=3, Рз(°)= /о> 小1) = &
определяется формулой
р8(х) = (1 — x)(l + 2x)f0+x(l —х)2[о + х2(3 — 2х)^ +
+ x2(x—l) f[.
Упражнение 2. Используйте результат упражнения 1, чтобы получить коэффициенты в представлении (1.4) и тем самым получить базисные функции, входящие в (1.6).
Упражнение 3. Применяя намеченный б основном тексте метод, получите выражение для кубического сплайна в форме (1.10),где коэффициенты определяются соотношениями (1,11).
Упражнение 4. Применяя условие (1,13) к сплайну вида (1.12), покажите, что система уравнений для определения
входящих в (1.12) коэффициентов имеет вид
Р/-1 + 4Р； + pf+1 = 64f( (£ = 2, 3, ...» n — 2), 6аз+5В] +羯= "%2， 2a2 + 6a3 + ₽2 = dVb
5 +a2 +a3 = %总， «o=fo,
где fi есть обычный оператор взятия центральной разности.
Упражнение 5. Решите систему уравнений упражнения 4 при &1 = &2 = 0 и п = 4. Покажите с помощью (1.14), что в этом случае
5(书=(*一1)：_8(今一2)： + 37信-3)：.
Нарисуйте приближенный график основного сплайна C2(x/h) при —оо < x/h V +°° и покажите, что его носитель не является локальным.
Упражнение 6. Покажите, что для единичного квадрата при / = 1 базисные функции, соответствующие внутренним узлам, имеют вид
仔—(Z— 1)] [(j + 1) —|-]
Ф厶/(% у)=Ф厶/(% у)=(方一1《专《力; /<f С/+1) №+1)一*][告一0-1)]
Ф厶/(% у)=
Ф厶/(% у)=
[(/+l)-f][(/+l)-f]
a《帯R+l; /Cf</+1) О при всех других значениях аргументов,
где 1《j, j W /и — 1 н гтй = L
Упражнение 7. На единичном квадрате рассмотрите полином з з
g (х，9)= N £ ^Гу^
■0 s—0
Выразите все коэффициенты аГ5(0 W г, s W 3) через значения функций g, dg/dx, dg/dy и d2g/dxdy в четырех угловых точках квадрата. Покажите, что результаты этих вычислений могут быть использованы для нахождения базисных функций в случае / = 2 общей теории двумерной эрмитовой интерполяции на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные элементы.
Функциональные пространства
Этот параграф содержит введение в математические структуры, необходимые для понимания теоретических аспектов метода конечных элементов. Будет изложен только самый необходимый материал, а интересующемуся читателю мы рекомендуем обратиться к книгам Симмонса (1963) или Иосиды (1967).
Линейным или векторным пространством называется непустое множество X, в котором любые два элемента хну могут быть объединены операцией, называемой сложением, так что в результате получается некоторый элемент из X, обозначаемый как % + у, причем операция сложения удовлетво*- ряет следующим условиям:
х + у = у + х,
(П) х + (у + z) = (х+ у) + г,
существует нулевой элемент ф, такой, что(р + % = = х +(р = х для всех х,
для каждого х существует отрицательный элемент —х, такой, что х + (— х) = <р.
Еще одна необходимая для линейного пространства операция состоит в том, что любой элемент %wX может быть объединен с любым действительным числом или скаляром а. Операция эта называется умножением на скаляр и ее результат обозначается через ах. Умножение на скаляр должно удовлетворять следующим условиям:
а(л： + у)пал： + ау,
(а + ₽) х = ах + 旣，
(а₽)х = а(₽х),
1-х = х.
Одним из примеров линейного пространства является множество всех yV-мерных действительных векторов, для которых а 4- Ь = с определяется как а$ + &Е- = с( (i = 1, 2, ..., N) и аа = d как d, = ос〃/ (j = 1, 2……N).
Нормированное линейное пространство (и. л. п.) есть линейное пространство, для которого определена норма каждого элемента х, обозначаемая через ||%|| и удовлетворяющая следующим условиям:
11х||>0,
11 xj| = 0<=>х = 0,
(Ш) 1\х + у\Шх\1 + \\у1
(IV) ||ах|| = |а|||х||.
Таким образом, появляется понятие длины элемента в линейном пространстве. Полунорма удовлетворяет условиям (I), (III) и (IV), но не удовлетворяет условию (II).
Пространство с внутренним или скалярным произведением есть линейное пространство, на котором для каждой пары вектором определена действительная функция (%, у), удовлетворяющая условиям:
(ах + 附，z) = а (%, z) + ₽ (у, z),
(%, V)=(V. %),
(х, х)^0; (х, х) = 0<=>х = 0.
Упражнение 8. Покажите, что линейное пространство со скалярным произведением является линейным нормированным пространством относительно нормы
Ik II == (х,力吗
Затем убедитесь в справедливости правила параллелограмма ь +贝卩+" 一 g『=2m卩+2/代
Покажите также, что
4(% 加="+ g俨一"一y%
Пусть {%〃} есть последовательность точек в линейном пространстве со скалярным произведением. Тогда
{хп} называется последовательностью Коши, если для любого 8 > 0 найдется такое N = N^), что при всех п, m^N
^Xn — Xm II <8,
{%〃} называется сходящейся последовательностью, если в этом пространстве существует такая точка х, что для
каждого £ > 0 найдется такое N = N ®、что при всех п^ N
Упражнение 9. Покажите, что сходящаяся последовательность будет последовательностью Коши.
Чтобы показать, что обратное утверждение неверно, поступим следующим образом 】).
Рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на интервале [0, 1], определяемое естественными операциями сложения функций и умножения функции на число, и определим в нем скалярное произведение как интеграл от произведения функций на интервале [0, 1]. Как известно из анализа, пределом последовательности таких функций может быть и разрывная функция, что и показывает - неверность обратного утверждения.
• Пространство, для которого все последовательности Коши являются сходящимися, называется полным. Полное линейное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством.
До сих пор неявно рассматривались пространства, элементы которых являются точками на действительной оси, векторами или матрицами. Чтобы получить гильбертово пространство, удобное для метода конечных элементов, необходимо ввести такое пространство, в котором точки представляют собой функции. Наиболее употребительные функциональные пространства могут быть определены по аналогии с простейшим гильбертовым пространством, обозначаемым нерез 例便). Пусть для простоты R обозначает интервал (а,6) на действительной оси. Функция /(х) является точкой этого пространства только тогда, когда интеграл
ъ
，f(x)dx а
конечен. Такая функция называется измеримой2). Для любых двух точек 〃(％) и v(x) скалярное произведение определяется как
(弘 и)=, 〃 (尤)и (х) dx,
!) В оригинале по этому поводу приводится другой пример, который оказался ошибочным. 一 Прим, перев.
а норма как&
|| 〃俨=，以2 (х) dx.
Сложение определяется как (u + v) (л:) =〃(％) + п(х).
Упражнение 10. Покажите, что если ||и|| и ||v|| конечны, то скалярное произведение (и, о) также будет конечным.
Подмножество линейного пространства, которое само является линейным пространством, называется подпространством.
Упражнение 11. Пусть ^2 (R) — пространство, определенное выше. Будут ли подпространствами следующие его подмножества:
функций и, таких, что и(а) = 0.
функций и, таких, что (du/dx)x=a = 0 и и(Ь) — 0?
Упражнение 12. Пусть К есть подпространство линейного пространства 非，не совпадающее с ним самим, и пусть X — множество точек вида {г + й}, rde 尤——некоторая фиксированная точка, принадлежащая 非,но не принадлежащая К, а Л ——любая точка из К. Покажите, что множество X, обозначаемое через {%}㊉ К, не является линейным пространством.
Множество X называется линейным многообразием.
Отображение Т гильбертова пространства 非 на само себя называется линейным оператором, если
Т[х + у)^=Т(х) + Т (у) (для всех х, у ^ 非)，
Т (ах) = аГ (х)(для любого скаляра а).
Линейный оператор Т называется ограниченным^ если существует такая постоянная М > 0, что
]Тл:||<Л1||х|| (для всех х w 彌)，
и наименьшее из всех возможных М значение называется нормой оператора и обозначается через ||Т||; ясно, что 切仁嚮」晋卜上瑞{嗇}=門)e}，
U ||< 1
Ограниченный линейный оператор непрерывен: это означает, что если точка х является пределом последовательности {尤冷}, то точка Тх будет пределом последовательности {Гл:л}.
Пусть F — линейное отображение прямого произведения пространств 非1 X 非2 в пространство 非з, т. е. для любых 力】三
色施i,尤2曰施2 значение 尸(尤i,尤?)三％3 и 尸 линейно по каждому из аргументов; тогда F будет ограниченным, если существует такое Л1 > 0, что
II 尸 3,力2)眩 <Л1||Х1 ||ж|| X2 I阪，
и ||尸|| есть наименьшее из таких М Будем обозначать через 纟，施1；施2)пространство ограниченных линейных отображений из 施I в Ж- Пространство 2(非；R) ограниченных линейных функционалов называется двойственным к Ж и обозначается через Ж. Элементы пространства 纟後乂非；R) есть билинейные формы (заданные на 非).
Упражнение 13. Пусть Ew2(%iX%2；非з)； определим 尸三必(施1；施з), так, что при некотором фиксированном о 豆 W把2
F (ti) = E (u, и) (для всех 〃曰非0.
Докажите, что
II^IKII^III^U
Отметим, что в дальнейшем для краткости нижние индексы у норм операторов часто будут опускаться.
Теорема 1.1. (Теорема Рисса о представлении функционала) (см. Иосида, 1967, с. 132).尸三非'тогда и только тогда, когда существует единственный вектор и w 非，такой, что для всех и,三關
R(〃) = (〃，и)
II戶В紹=II网把■
Теорема Рисса устанавливает взаимно однозначное соответствие между 施 и 猶；такое соответствие называется изоморфизмом, а два пространства, связанные таким соответствием, т. е. имеющие одинаковую структуру, называются изоморфными. Из определения нормы оператора следует, что
1〕用阪=sup { Lj? l },|旧 II 声 0 I II " »第 J
а из теоремы 1.1 следует, что существует такой элемент ое 三施,для которого
戶(〃) = (〃，и).
Поскольку оказалось возможным сопоставить каждому элементу из 猶 единственный элемент из 非，не должна вызы-
вать недоумение и запись вида sup ｛毕产 II u II ^- о < IIм fl J
Линейный оператор Т, который отображает все гильбертово пространство 箔 на подпространство К, являющееся лишь частью 非，называется проекцией, если он отображает точки из К на самих себя, т. е. если
Ту = у (для всех у^К),
Упражнение 14. Какие из следующих линейных операторов будут проекциями?
Оператор 7\ отображающий двумерный вектор (^) в вектор (° 丿.
Оператор Q, отображающий пространство 纟KR), R= [а, 6], на пространство линейных функций путем линей* ной интерполяции по значениям в концах интервала.
Оператор S, переводящий пространство матриц порядка 2 X 2 в диагональные матрицы по формуле
Оператор S2, где S определен в (III).
Проекция Р называется ортогональной, если для всех * из пространства 非 и всех у из его подпространства К
(х — Рх, ^) = 0 (обозначается как (х — Рх) ± у),
т. е. если разность х — Рх ортогональна всем у из подпространства К. Говорят, что эта разность принадлежит ортогональному дополнению К, которое обозначается через К丄.
Лемма 1.1. Если 箔 есть гильбертово пространство, а К — любое его подпространство, то К丄 также будет гильбертовым пространством.
Лемма 1.2. Если Р есть ортогональная проекция гильбертова пространства 非 на некоторое подпространство К, то / — Р будет ортогональной проекцией Зё на К1 и для лю~ бого 尤三箔 существуют и ^ К и v G К丄,такие, что х = u+v, т, е. ^ё — К @ К丄.
Упражнение 15. Докажите лемму 1.1 и лемму 1.2.
Теорема L2. Ортогональная проекция гильбертова прост- ранства на подпространство единственна, а величина ||х — Рх||
является минимальным расстоянием от х до подпространства.:.
Доказательство, Допустим, что ортогональная проекция Р не единственна. Тогда существует другая ортогональная проекция Q, для которой
(х — Qx, у) = 0 (при всех gw К).
Так как Рх — Q% и К, то
0 = (х — Qx, Рх — Qx)=
=(х — Рх, Рх — Q%) + {Рх — Qx, Рх — Qx)=
= 0 + |g-QK 俨 >0,
поскольку Рх У= Q%, и получается противоречие. Следовательно, исходное предположение неверно и ортогональная проекция единственна.
Пусть теперь и есть любая точка в К, отличная от Рх. Тогда, как и выше,
(у — Рх) ± (х — Рх).
Следовательно,
|| X — U|F= ||(无一Рх) + (РХ ——U)『=
=|| х — Рх ||2 + 2 (х — Р%, Рс — 0)+1| Рл: — и 俨=
^x-Pxf + ^Px-v\?>^x-Px^
а это и является нужным для нас результатом.
Следствие (I). ||Px|j2 = (х, Рх) и ||х — Рх||2=||л:||2 — —(х, Рх).
Следствие (II). Для любого 尤三舒 существуют единствен- ные uQe К и vq^ к丄,такие, что % = 〃о + о。〃
min ||х —u[|2 = ||x —u0II2 = [| VoII2.(1.21)
"аK
В (1.21) можно поменять ролями К и К丄,и тогда получится другое минимизирующее соотношение
min И х — с II = II u0 II2.
Поскольку
IIXII2 = II Uo II2 + II 现 II2, последняя задача минимизации может быть сведена к нахождению
max {"”"一 о『}
ИЛИИЛИmax {2 (х, и) —1| и ||2},(1.22)
ИЛИ
ИЛИ
&WK丄
а эта задача имеет то же самое решение, что и задача (1-21). Линейный оператор Т называется положительно определенным, если
Например, отображениеНапример, отображение(»儂)(»儂)определенным, тогда как отображениеопределенным, тогда как отображениебудетG)будетG)положительноположительнобудетбудет(Гдг, х) > 0 (при всех х =# 0)】),и называется положительно полуопределенным, если(Гх,尤)》0 (при всех х =/= 0).
Например, отображение
Например, отображение
(»儂)
(»儂)
определенным, тогда как отображение
определенным, тогда как отображение
будет
G)
будет
G)
положительно
положительно
будет
будет
положительно полуопределенным, так как
(7х,斤)=a2
и обращается в нуль при а = 0 и произвольном В・ Сопряженным к Т называется такой оператор Т\ для ко
торого
(Гх, у) = (х, Гу) (при всех х, у).
Если (Гх,у) = (х> Ту), то Т называется самосопряженным оператором.
Аппроксимирующие подпространства
Рассмотрим гильбертово пространство 非，и ' пусть S = = {хь ...,尤汽} есть множество N элементов из 箔，Эти элементы называются линейно независимыми, если равенство
ai%i + ct2%2 + • • • + a“#拉=0
имеет место только при нулевых значениях коэффициентов а/ (i = 1, 2, ...» N). Если для каждого элемента 无 w 鑑 существуют такие коэффициенты 限 что
力=b[*[+ 圆*2+ • • • + ^^»
то говорят, что множество S образует базис в 非，а 非 есть Ммерное пространство.
Другие авторы используют в определении неравенство (Тх, х)》 > yll^ll2 при Y > 0.*
Например, пространство векторов вида
является дву-является дву-мерным пространством. Множество Si = {@ = ( ] ), е2 = »=(；)}о6разует в нем базис, точно так же, как и множество S2n{f 产表(；)， % =関^(—I)}* Об* этих базиса изображены на рис. 5.
является дву-
является дву-
Упражнение 16. Докажите, что в одном пространстве два различных базиса должны иметь одинаковое число элементов.
Рис. 5.Рис. 5.Важность конечномерных функциональных пространств становится понятной, если упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции рассматривать как элементы пространства 宓2(К)・ Например, если интервал R = [а, Ь] разбит точками Xi (i = 0, 1, ..., п), то можно построить множество эрмитовых функций, которые будут кусочно-линейными на этом интервале. Любое линейно независимое множество из (n + I) таких функций образует базис в пространстве 方п)(П, R). Нетрудно показать, что Н является полным подпространством в %(/?) (мы предлагаем читателю сделать это в качестве упражнения), и поэтому Н является (п + 1)- мерным подпространством в ^г (R)- Пирамидальные функции (1.3) представляются естественным базисом в Н для нахож-
Рис. 5.
Рис. 5.
Рис. 6.
дения параметров
fi (Z = 0, 1,...,矶
Упражнение 17. Пусть разбиение П задано точками х — =//4(I = 0, 1, ...» 4) и функции 2(%) определены как
4
2W = Eg噌窕 G —0, 1, ..., 4),
где если <х(/)= (а©,…，噌)，то а⑼(1, 1, 1, 1, 1),❶⑴二 = (1, 1/V2, 0, -1/V2, -1), а⑵= (1, 0, -1, 0, 1), а* = (1, -1/V2, 0, 1/д/2, -1), а(4)= (1, -1, 1, -1, 1).
На рис. 6 приведена функция °з(尤)на интервале [0, 1] вместе с функцией cos (3冗尤).
Постройте приближенные графики Di(x) (i = 0, 1, • • •» 4)•
Вычислите скалярные произведения (Di(x)t Q/(尤))и затем рассмотрите。,(尤)как базис в " н найдите коэффициенты gt в разложении
4-
g (» = Е giD{ (х).
*■0
Упражнение 18. Постройте базисы для пространства кубических сплайнов и пространства кусочно-линейных функций, заданных на треугольной сетке.
Все упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции являются частными случаями общей задачи приближения. Эта задача состоит в том, что каждому элементу f гильбертова простоанства 箔 ставится в соответствие единственный элемент f аппроксимирующего ^-мepнoгo подпространства К
(например, если К = //, то N =九 + 1). Элемент『называется ^-приближением 厶 Отображение / в / обычно является линейным и при наличии линейности представляет собой проекцию. Например, если К = Н, то j можно получить путем линейной интерполяции между точками разбиения. Это единственное отображение, являющееся также и проекцией.
Упражнение 19. Постройте отображение из ^(Z?) в Н、 которое не является проекцией.
Если аппроксимация любого элемента f w纟2(R) уже построена, имеет смысл задать вопрос о том, насколько она хороша. Аппроксимация является наилучшей, если элемент『三 w К оказывается таким, что норма ошибки f — J минимальна. В теореме 1.2 было показано, что если Р есть ортогональная проекция на К, то ||f — Р〃| является минимальным расстоянием от / до подпространства К, и поэтому f = Pf представляет собой наилучшую аппроксимацию. Так как предполагается, что К имеет конечную размерность, то это предположение может быть использовано для построения наилучшей аппроксимации. Пусть S = {fi, ..., In} образует базис в К・ Так как
(f —力 g) = 0 для всех g е К, то
для всех возможных последовательностей коэффициентов 0« (й = 1, ..., Л^), и поэтому
(f-f,浦=0信=1,・・・，仞・ (1.23)
Если f = Z ajf, то
(/,&)-£*% &)=о 信=i,ло.
Это может быть переписано как
(1.24)(1.24)гдегдеииGet = b.
(1.24)
(1.24)
где
где
и
и
G = [gik\ — [(fb fk)]t
a == {ai, • • • > a“}『
b = {(f,川一.•，亿з)汽
Матрица G называется матрицей Грама, а система (1.24) называется нормальной.
Упражнение 20. Покажите, что для 第=纟2(火)наилучшая аппроксимация『,определенная условиями (1.23), является также наилучшей в смысле метода наименьших квадратов. Отметим, что нормальную систему (1.24) не рекомендуется использовать для вычисления решения задачи по методу наименьших квадратов, так как с ростом ее порядка ее обусловленность быстро ухудшается.
ъ(и, 0)酬=，⑦(х) и (х) и (х) dx.ъ(и, 0)酬=，⑦(х) и (х) и (х) dx.Упражнение 21. Покажите, что можно определить гильбер* тово пространство ①罢(R) с помощью скалярного произведения
ъ
(и, 0)酬=，⑦(х) и (х) и (х) dx.
ъ
(и, 0)酬=，⑦(х) и (х) и (х) dx.
где w(x) ^ 0 есть подходящая весовая функция. Далее по- лучите нормальную систему, которая определяет наилучшую в смысле метода наименьших квадратов с весом аппроксимацию для функции f(x) из 招(/?).
Упражнение 22. Покажите, что для измеримых функций, имеющих измеримую первую производную, можно определить、 гильбертово пространство 舒，)(R) с помощью скалярного произведения°
(弘Si =，{"(%)力(%)+ 4’⑴『WJ dx
и нормы&
II « 111 = 5 {"2(X)+ 〃'2(X)} "*，
где штрих означает дифференцирование по х. Получите нормальную систему для нанлучшей аппроксимации функций f(х) из этого пространства. Пространство 箔£)(/?) представляет собой пример пространства Соболева.
Методы аппроксимации, включающие решение нормальной системы с целью получения ортогональной проекции функции на конечномерное подпространство, называются проекционными.
ГЛАВА 2
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Введение
Вариационные принципы встречаются во многих физических и других задачах, и методы приближенного решения таких задач часто основаны на соответствующих вариационных принципах. Математически вариационный принцип состоит в том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее (или большее) значение для реального состояния системы, чем для любого возможного состояния, допускаемого основными условиями системы. Подынтегральная функция зависит от координат, амплитуд поля и их производных, а интегрирование осуществляется по области, покрываемой координатами системы, среди которых, возможно, есть и время. Задача определения минимума интеграла часто сводится к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений с частными производными при соответствующих граничных условиях. Цель нашей книги не в том, чтобы рассматривать приближенные методы решения этих дифференциальных уравнений как способ решения исходных физических задач, сформулированных в виде вариационных принципов. Вместо этого мы намерены описать приближенные методы, которые основаны непосредственно на вариационных принципах.
В качестве примера таких экстремальных задач рассмотрим двойной интеграл
/(〃)=，，F&，9,弘以,u^dxdy./(〃)=，，F&，9,弘以,u^dxdy.(2.1)(2.1)
/(〃)=，，F&，9,弘以,u^dxdy.
/(〃)=，，F&，9,弘以,u^dxdy.
(2.1)
(2.1)
где и — непрерывная вместе со всеми производными до второго порядка функция, значения которой на границе области R заданы. Область R здесь — ограниченная область на плоскости (х, у). Сравнительно легко показать (см. Курант и Гильберт, 1951), что необходимое условие экстремума /(〃) состоит в том, что функция 〃(无，у) должна удовлетворять уравнению Эйлера ——Лагранжа
备凡“ +击尸切一几=°■(2用
Из многих решений этого уравнения выбирается то, которое удовлетворяет заданным граничным условиям. К примеру, для
尸=^■(成 + %) уравнение (2.2) сводится к уравнению Лапласа д2и I д2« с 而十可
Причина требования непрерывности вторых производных и теперь ясна; непрерывность обеспечивает существование уравнения Эйлера. Однако приближенные методы, основанные на минимизации /(〃)в виде (2.1), требуют только непрерывности и и кусочной непрерывности ее первых производных.
Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа: найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области R, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов^ которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут н队 иметь решений. Математически это выражается незамкну- тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи.
Одно очевидное преимущество вариационного подхода состоит в том, что нужно налагать менее жесткие требования на непрерывность решения. Этот парадокс разъясняется в разд. 1.3 книги Стренга и Фикса (1973) и в гл.'2 книги Клегга (1967). Полезным следствием более слабых требований непрерывности является то, что в вариационном подходе легче строить приближенные решения. Большая часть данной книги состоит в описании таких приближенных методов.
Оцениваемый в вариационном принципе интеграл берется по пространству, которое может иметь координату-время. Мы рассмотрим сначала вариационные задачи, не содержащие время. Эти вариационные задачи обычно выражают принцип минимума потенциальной энергии при нахождении состояния
устойчивого равновесия во многих классических задачах математической физики. В этой главе содержатся только те вопросы теории вариационных принципов, которые имеют отношение к главной теме книги. Никаких доказательств или подробных обсуждений здесь нет, и в случае особой заинтересованности читателю следует обратиться к соответствующим разделам книг Куранта и Гильберта (1951), Морса и Феш- баха (1958), Хилдебранда (1965), Шехтера (1971) и Клегга (1967).
22 Стационарные задачи
Дифференциальное уравнение, которое связано с вариационным принципом, известно как уравнение Эйлера — Лагранжа. Оно является необходимым, реже ——достаточным условием, которому должна удовлетворять функция, максимизирующая или минимизирующая определенный интеграл. В простейшей задаче вариационного исчисления требуется найти минимум интеграла
/ (〃)= \ 尸(х,証(х), 〃'(%)) dx,
где граничные значения 〃(尤о) и 〃(尤i) заданы, а штрих означает дифференцирование по %* Необходимым (но не достаточным) условием существования минимума является дифференциальное уравнение
dF d " = nди dx W —'
которому должна удовлетворять функция и, доставляющая минимум функционалу /(〃). Приведем обобщение этого факта для следующих ситуаций.
Случай двух неизвестных функций. Минимизируемый интеграл есть
/(〃，о) = F(х, 〃(尤)，и (%), /(%), иЛ(х)) dxt
где значения 〃(尤о), 〃(尤i), и(尤°), и(尤i) заданы. Необходимые условия таковы:
dF d"—
d〃dxdur—'
dFddFЛ
而一行石
Случай функции двух переменных. Минимизируется интеграл、
I (и) =^F (х, у, и (х, у), их (х, у), иу (х, у)) dx dy,
где 証 принимает заданные значения на границе области интегрирования R. Необходимое условие минимума:
dF д dF д dF — °ди дх дих ду диу —'
Наличие высших производных. В задачах со вторыми производными минимизируется интеграл
/ (w) = \ 尸(尤，〃(尤)，ur (x), 〃"(%))〃，
Xo
где значения u(x0),証，(尤о), 〃(尤i),証，(尤i) заданы, а соответствующее необходимое условие есть
dFd dF d2 dF ^
dudx ди/ 十 dx2 ди"—'
Условный экстремум. В таких вариационных задачах функция и(х) должна удовлетворять ряду дополнительных условий. Здесь ищется экстремум одного интеграла при условии, что другие интегралы сохраняют постоянные значения. Такие задачи называют изопериметрическими. В качестве примера рассмотрим задачу о нахождении экстремума интеграла
/(〃)= \ 尸(居 «(х), uf (х)) dx
при условии, что u(x) удовлетворяет уравнению
\ G (х, и (х), иг (х)) dx = а,(2.3)
где а—заданная константа. Необходимое условие экстремума заключается в том, чтобы
з(尸 + 九＜7)^ d仍 +九G)
ди dx W —，
где численное значение параметра 入 находится из условия (2.3). В качестве простого примера изопериметрической задачи приведем следующую. Необходимо найти форму провисающей однородной струны с закрепленными концами. Здесь
требуется найти кривую и（х）, проходящую через точки （х0,証о） и 3, 〃i） и минимизирующую интеграл
Xi
J "（1 +心1/2厶
при условии, что интеграл
，（I + 吟 1/2〃
имеет фиксированное значение.
Упражнение 1. Покажите, что длина кривой, соединяющей две точки （х0,証о） и （xi,証i）, есть
Xi
/（儿）=，（1 + ”）1/2 d%.
Используя соответствующее уравнение Эйлера ——Лагранжа, найдите путь наименьшей длины между этими точками.
Упражнение 2. Найдите кривую 〃（尤）,проходящую через две точки （尤о, 〃о） и （хь Ui） и дающую минимальную площадь поверхности вращения, при вращении кривой вокруг оси х.
Упражнение 3. Покажите, что уравнение
0也 _）_ ~也 ■[- 6 也 -I- A尤 " 2）= 0
dх2十ду2十友2十/ 1招协2丿и является необходимым условием минимизации интеграла
/ @）= U \ 扌（眩+ % + 磅—2uf a, у, z））dxdydz，
когда на поверхности GR、содержащей объем R, функция u（x, у, 2）задана.
Прежде чем идти дальше, дадим несколько примеров вариационных принципов и эквивалентных им уравнений Эйлера — Лагранжа. В этих примерах функции определяются в области R с границей дЦ.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
/ （«） = 5 $ T （吟 + %）d尤d从
wxx + Uyy = 0 （u задана на 0R）・
Нагруженная пластина с заделанным краем. (Бигар- монический оператор)
/(〃)= V $ [% + 2% + 端一 2”] dx dy
("=黑"=0 на 0R),
^хххх + 2aXX” 十 ^УУУУ = q (居 У)・
Здесь q(xr у) —нагрузка по нормали на пластину.
Теория упругости при малых деформациях, (Плоское напряженное состояние.)
/("，u)=，\41(1 -V)(成 + 吟)+ "(%+%y +
+ 4"(1 — V)(Uy+v^dxdy,
Wxx + vUxg + gll — v)(〃yg+i\y) = 0, («, и заданы на dR),
Qyg + "E*y + у (1 — ") (〃*y + %*) = O'
Радиация (e“) и диффузия молекул (и2).
/(〃)=，，J(uI + ^+ {2eU \dxdy, R I 后炉丿
uxx + w(/y = I 彦 (証 задана на OR).
Задача Плато. (Найти поверхность минимальной площади, ограниченную замкнутой кривой в трехмерном пространстве.)
/(九)=\\皆(1 十 w^ + w^Y'dxdy, ■
V(Y[) V(«) = 0, У[ = (1 + «x + «y)-1/2(“ задана на 以).
Неньютоновские жидкости.
"“)= \ \\^ ^Л ^y)i+S + cu\dx аУ
v(v2) Vu = c, 丫2 =(成 + 呀,(—^&s&o), (c — const),
(u задана на dR),
” р — плотность, « р — давление,” р — плотность, « р — давление,V(pV(p) = OV(pV(p) = OТечение сжимаемой жидкости.
” р — плотность, « р — давление,
” р — плотность, « р — давление,
V(pV(p) = O
V(pV(p) = O
.qp ——потенциал скорости.
Из этих задач первые три — линейные, четвертая — слабо нелинейная, последние три ——нелинейные.
2.3. Граничные условия
Стационарные задачи, описанные в предыдущем разделе, таковы, что искомая функция задана на границе и не может там варьироваться】). Однако во многих задачах функция не задана на границе, и применяют другие граничные условия. Рассмотрим, например, (Курант и Гильберт, 1951, стр. 163— - 164) вариационную задачу, состоящую в минимизации интеграла
/ (〃) =，F (х, и, 〃‘) dx,(2.4)
где и не задана в точках х = х0,尤i・ Необходимое условие минимизации /(〃) состоит в том, что 〃(尤)удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа
dFd " =0ди — dx dti —
и граничным условиям,
誥=0 (х = х0, Xi).
Последние известны как естественные граничные условия,, поскольку они следуют непосредственно из минимизации основного интеграла. Если граничные условия задачи не заданы непосредственно и не определены естественные граничные условия, минимизируемый функционал необходимо должным об* разом изменить..
Рассмотрим следующий модифицированный вид (2.4):
/ (м)=，F(x,乡，«Э dx+ [gi(x, «)]Х=Х1 —[go(x,喇х=х,,
Часто такие граничные условия называют главным^ в отличие он естественных, см. ниже. — Прим, перев.
где go (尤，証)и gi(%, 〃) — произвольные функции. Необходимым условием минимизации этого функционала является (см. Шех- тер 1971, с. 35) уравнение
dF d " =ndx duf —
с граничными условиями
黑+需a=/)•
Таким образом, с помощью функций go(%, и) и gi(%, 〃) можно получить подходящие граничные условия задачи. Например, вариационная задача, эквивалентная дифференциальному уравнению
〃” + f (х) = 0
с граничными условиями
—+ а〃 = 0 (尤=Xq), 〃‘ + р〃 = 0 (х =尤 1) имеет функционал
/(«)= ! [у 公2 — f (%) 4 dx + [у 8此 х — [yau2] •
Если теперь мы рассмотрим двумерную вариационную задачу, состоящую в минимизации интеграла
/(")= ”尸(％, У，弘 以，〃/ d% dy,
где 証 не задана на границе области R, необходимое условие минимума состоит в том, что и удовлетворяет дифференциальному уравнению
dF ^ "—且 —d〃 дх дих ду диу —
с естественными граничными условиями
d 尸 dy dF dx — „dux tZa G и dG
Рис. 7.
на кривой GR, являющейся границей R. Если угол между нормалью к OR н осью х равен а (см рис. 7), то cos а = =dy/do и sin а = —dx/do, где о означает длину дуги вдоль границы. В более общем случае двух искомых функций и и у (Хильдебранд, 1965, стр. 135) получается дополвиге^ъное уравнение Эйлера — Лагранжа для v
dFд dFа " — 0
dvдх dvxду dvy '
и дополнительное естественное граничное условие dF dydF dx八
dvx dodvy dor*
Если граничные условия не определяют явно граничные значения и (или и) или не являются естественными, то снова необходимо изменять функционал. Рассмотрим это на примере двумерной задачи со вторыми производными в подынтегральном выражении. Пусть требуется найти функцию и(х, у), доставляющую стационарное значение функционалу /(〃) =，、戶(尤,У，証,Uxi uy, uXXi uxy, uyy) dx dy +
+ \ G (& y, u, %,分6 4)do, dR
где д]дб и д/дп — операторы дифференцирования по направлениям касательной и нормали к кривой dR. Интегрирование по GR осуществляется так, что область R при движении вдоль dR оказывается слева (движение по dR против часовой стрелки). Необходимое условие минимума /(〃) 一 уравнение Эйлера —Лагранжа
ЛЛЛ2"2"2
尸U 一肃 ％ 一丽 Fuy + 代尸" + J^ &XU + 研 F" = Q
с граничными условиями
［尸也-糸F^ 黑 一p4 - 击f^J寨 一
t da \ "xx uyy) j dor da '
+4{4- f』{(竊У -(黑 У}}++1{(^г 尸 ％)竊-(靑F^ 黑}+
+ G^-iGu0 + ^GUaa^, (2.5)
翼■+弟•生 生=0. (2.6)
Функция G выбирается так, чтобы граничные условия (2.5) и (2.6) соответствовали естественным граничным условиям задачи.
Смешанные вариационные принципы 】)
Рассмотрим теперь теорию упругости при малых деформациях и принцип минимума потенциальной энергии, изложенный в примере (2) разд. 2.6. Этот принцип предполагает, что имеют место определенные соотношения между напряжением и деформацией и между деформациями и перемещениями, а также выполнены кинематические граничные условия.
Если ослабить два последних условия и рассматривать их как множество ограничений, то можно написать модифициро,- ванный функционал вида
/ (u, и,侬)=/р —№(%-票)аМх—・.
-旧陋一案一需加取_ R
—“〃一访 ％ do— \ (и —Z) 62 do —、(酬一也)％ du, (2.7) SdSdsd
где Ip ——функционал потенциальной энергии, oti, ..., &餡 Bi, 仇，p3一 множители Лагранжа. Независимыми варьируемыми величинами являются три перемещения, шесть деформаций и девять множителей Лагранжа. Из (2.7) можно получить много смешанных вариационных принципов. В частности, если
(Xi = %,・♦•* ССб = Тгх, Pi = %, р2 ==。切 Рз = 5，
')Этот раздел лучше читать после раздела 2.6. — Прим. nepeet
то получается принцип Ху — Васидзу, а при
а】=О%, . • ., % === &%
возникает принцип Рейснера ——Хелингера.
Функционал, связанный с принципом Рейснера — Хелинге* ра, можно записать как
/rh = /c- \Н (礬+ 嘗 + 嘗+ x)〃dx —
TNTNa% I a% I %zdx 十dy十 dza% I a% I %zdx 十dy十 dz卜 У)odx —卜 У)odx —
TN
TN
a% I a% I %zdx 十dy十 dz
a% I a% I %zdx 十dy十 dz
卜 У)odx —
卜 У)odx —
-№(等 + 譬 + 符+z"dx +
+ ) С% + Et%g + 北％# — X) U d.O +
+ \ (阮初 + tnOy 4- «^2 - y)"do +
+ 卜/% + m%z + 〃冤— Z)w da, (2.8)
где /с ——функционал дополнительной энергии.
Принципы Ху ——Васидзу и Рейснера ——Хелингера являются смешанными принципами и утверждают стационарность, а не экстремальность значений функционала для реальных состояний. Несмотря на это, в приближенных методах (например, в методе конечных элементов), основанных на смешанных вариационных принципах, достигается примерно одинаковая точность таких величин, как перемещения и напряжения, тогда как при использовании принципа минимума энергии хорошая точность может быть получена либо для перемещений, либо для напряжений, но не для обоих одновременно.
Более полное обсуждение смешанных вариационных принципов и полное определение величин, использованных в (2.7) и (2.8), имеется в книге Васидзу (1968) и Табаррока (1973).
Вариационные принципы в нестационарных задачах
Наиболее важным и фундаментальным из таких вариационных принципов, использующих и время в качестве независимой переменной, является принцип Гамильтона, из которого могут быть выведены основные уравнения для большого
числа физических явлений. Принцип Гамильтона утверждает, что реальное движение системы материальных то^ек с момента времени 力 до момента t\ таково, что интеграл по времени от разности кинетической и потенциальной энергий системы стационарен для траектории этого движения. Математически это означает, что интеграл от лагранжиана L
/=,厶山=J (Г - V)dt,
где 7 н V есть соответственно кинетическая и потенциальная энергии системы, имеет стационарное значение для реальной траектории по сравнению с близкими возможными траекториями. Для системы с п обобщенными координатами gi, ^2, • • • ...,qn связанные с этим принципом уравнения Эйлера — Лагранжа оказываются такими:
分(妥^一显伊一y)=。(Г = 1，2,…，班
На них обычно ссылаются как на уравнения Лагранжа движения системы.
- В качестве простого примера применения этой теории к сплошной среде рассмотрим случай гибкой струны, на которую действует постоянное натяжение т. Концы струны закреплены, и она совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия — интервала 0 & % W 1 оси %. Если 〃(％,/)——перемещение точки струны перпендикулярно оси %, то
7 =标(穿У也У=4р№ 黑у""，
ОQ
где р ——плотность струны и с2 = т/р. Уравнение Эйлера ——
является волновым уравнением. Таким образом, для струны волновое уравнение эквивалентно требованию минимальности усредненной разности полной кинетической и потенциальной энергий струны в предположении выполнения начальных и граничных условий задачи. Другими примерами применения этой теории служат колебания стержня, мембраны и пластины (Курант и Гильберт, 1951, стр. 215—221).
Вариационные принципы, включающие время как переменную, пока еще редко используются для численного реше-
ния эволюционных задач. Они обычно решаются полудискрет- ными методами Галеркина (см. гл. 6).
Теперь перейдем к нестационарным диссипативным системам и покажем, как можно построить для них вариационные принципы. Применяемый метод состоит во введении сопряженной системы с отрицательным трением. Энергия, теряемая диссипативной системой, передается сопряженной системе, и поэтому полная энергия обеих' систем сохраняется. Другой подход, основанный на ограниченных вариационных принципах, можно найти у Розена (1954). В качестве примера рассмотрим одномерный осциллятор с трением. Уравнение его движения есть
% + 月文 + п2х = 0 (^ > 0).
Требуется найти вариационный принцип, для которого уравнение Эйлера — Лагранжа совпадало бы с этим уравнением. Это невозможно сделать, но если мы рассмотрим также сопряженный осциллятор (описываемый координатой %*) с от- фицательным трением и с уравнением движения
х* —月扌 + n2x* = 0,то для построенного чисто формально лагранжиана
l =хх* - у ^ (Л - 尤北*)- 济尤尤*
уравнения Эйлера — Лагранжа совпадут с приведенными вьь ше уравнениями движения обоих осцилляторов.
Другим важным примером диссипативной системы является задача о диффузии тепла. В одномерном случае он占 определяется уравнением
ди д2и
Тогда сопряженную задачу определит уравнение du* — 52u* 亨=丽2 ・
Эти два уравнения являются уравнениями Эйлера ——Лагран* жа для формального лагранжиана
г ди ди* 1 / * 6% du*、
Двойственные вариационные принципы
До сих пор наши вариационные принципы были «односторонними», т. е. приближенное решение всегда давало оценку теоретического решения задачи либо сверху, либо снизу. Однако часто можно для задачи построить два вариационных
принципа так, что некоторая величина d дает минимум для одного и максимум для другого вариационного принципа. Если d" н d‘ 一 приближенные решения для принципов минималь* ности и максимальности соответственно, то
鼠 & d & d",
и поэтому мы имеем практический метод оценки величины d. Часто оказывается, что величина d имеет физический смысл.
Теперь мы дадим несколько примеров задач, в которых можно построить двойственные вариационные принципы.
Классическая задача Дирихле. Здесь минимизируется функционал
/ ⑷=\ \ "^ 依 + %)dx dy
на множестве непрерывных функций и(х, у), имеющих в области R кусочно-непрерывные первые производные и заданные значения и = f (о) на 6R, где о ——длина по dR, границе R. Двойственная задача состоит в максимизации функционала
J (о) = — \ \ 4■(磋 + 吗)dx dy —,疗(о) du
RdR
относительно непрерывных функций o(x, g) с кусочно-непре* рывными в R первыми производными, которые удовлетворяют естественным граничным условиям на dR* В этом примере
min / (и) = max J (о) = d.
Численная реализация этого двойственного принципа приводится в разд. 7.4 (С).
Упражнение 4. Поток несжимаемой невязкой жидкости параллелен оси %. Вычислите 1(и) и /(о) в этой задаче, считая R квадратом О V %, f/V 1, и покажите, что их экстремальные значения совпадают. (Отметим, что и есть функция тока, а V — потенциал течения.)
Упражнение 5. Покажите, что необходимыми условиями максимума /(у) являются уравнение Эйлера — Лагранжа
県 + о” = О
и естественные граничные условия
(на единицу площади) (X, У, Z)(на единицу площади) (X, У, Z)Теория упругости при малых деформациях (Васидзу 1968). Пусть изотропное тело в трехмерном пространстве занимает область R, ограниченную замкнутой поверхностью dR. Компоненты объемных сил (на единицу объема) обозначим через X, У, Z. Поверхность тела разбита на две части: So, на которой в качестве граничных условий заданы внешние силы ,и Sd, на которой заданы пе
(на единицу площади) (X, У, Z)
(на единицу площади) (X, У, Z)
ремещения (й, “ w); при этом dR = S(r + S& Тогда общая потенциальная энергия дается формулой
Ip=\\\W(&'办'％' Hz’ Ys Y附)dx —
—\ \\ (Xu + Уу + Zw) dx — ^ (Xu + yy -|- Zw) da,
где
厂 2(1 + v)(l — 2v)(以 + % + 吗У + 2 (1 + v)(成 + % + 媛)+
+，4(l：jlv)［网 + %)2 + (吗 + /)2 + (羯 + "J］；
а Е ——модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона для данной среды. Если объемные и поверхностные силы не изменяются в процессе вариаций, /р достигает минимума при реальных перемещениях. В этом состоит принцип минимума потенциальной энергии.
Дополнительная энергия имеет вид
4=㈠卜伍，5，%, %z，%, “)dx— \ (Х〃+УВ +Z初)®
R
где
$=费［(% + %+ %y+ 2 (1 + V)(脸 + 胃х+ %4 -
Если поверхностные перемещения остаются неизменными при вариациях, 1С достигает минимум при реальных напряжениях. Это ——принцип минимума дополнительной энергии. С помощью этих двух принципов удобно оценивать коэффициент прямого влияния или обобщенное перемещение (Пиан, 1970).
Упражнение 6. Покажите, что W = ^t если выполнены следующие линейные соотношения между напряжением и де-
формацией:
ЕЕх ~ ^х — V (и,十 ％)’ Egz = 2 ax lу) Y'Z，
七办=% — V (北 + %),= с(14 V)yZXJ
E% = % - v (% + %), Tm=立(「1* 寸
Упражнение 7. Покажите, что необходимыми условиями минимума потенциальной энергии
厶=\，[ 2(i+v；；1-2v) 5* + "У +
+ тД^Г (咬 + 吟)+ W^T(“g + %)?]“" ％ являются уравнения Эйлера — Лагранжа
(2 — 2v) ихх + (1 — 2v) Uyy + vXy = 0,
(2 — 2v) vffy + (1 — 2v) vxx + uxy = 0
и граничные условия
2 (1 — v) ux cos a + (1 — 2v) uy sin a + (1 — 2v) vx sin a +
+ 2vvy cosa — 0, 2vux sin a + (1 ——2v) uy cosa+ (1 — 2v) vx cos a +
十2(1 — v) Vy sin a = 0
на границе dR области R (см. рис. 7).
Течение сжимаемой жидкости (Севелл, 1969). Соответствующие объемные подынтегральные выражения, которые появляются в двойственных вариационных принципах, суть давление р и величина р + ру3, где р ——плотность, а и ——скорость жидкости. Здесь
p = p(S,瓦 n),
где и/ (i= 1, 2, 3) —составляющие скорости, й и Т)полная энергия и энтропия, приходящиеся на единицу массы соответственно. Из этих принципов следует, что
崙=7(』1' 2, 3), ^ = Р, * = _р7.
Здесь Qi = pvi (i = 1, 2, 3), а T—температура. Вводится функцияз
Р = Р (Qz, h, ri) = X QtVi + р,
для которой дРz. , о кдР
—=У£ 0=1, 2, 3), -^ = Р,
Двойственные вариационные принципы, включающие р и Р соответственно, могут усилить принципы экстремальности частных случаев течения сжимаемой жидкости.
Две попытки унификации двойственных принципов предприняты Севеллом (1969) и Артурсом (1970). Первый из них использует преобразования Лежандра (или инволютивные преобразования), второй ——каноническую теорию уравнений Эйлера — Лагранжа. Превосходный обзор двойственных вариационных принципов вообще содержится в статье Нобла и Севелла (1972).
ГЛАВА 3
МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ
Вариационная формулировка вместе с присущими ей более слабыми требованиями непрерывности естественно переносится на приближенные методы решения, называемые обычно прямыми методами (Курант и Гильберт, 1951, стр. 154; Нечас, 1967). Применение этих методов сводит задачу к нахождению стационарных точек функции конечного числа вещественных переменных.
В этой главе, однако, мы рассматриваем лишь одно семейство прямых методов, а именно методы конечных элементов. Дается описание различных классов методов конечных элементов совместно с немногочисленными примерами из обширной области их применения; в гл. 7 приводится дополнительно еще несколько примеров. Вопросы точности и сходимости методов обсуждаются в гл. 5.
Метод Ритца
Создателем классического прямого метода обычно считают швейцарского математика В. Ритца (1878——1909). Если требуется решить вариационную задачу
6/® = 0 ®(х)三第)，(3.1)
где X=(%L .. . , Xm} и 第——пространство допустимых функций, приближенное решение и может быть получено, если ограничиться функциями из некоторого TV-мерного подпространства Kn и %. Сразу ясно, что если стационарная точка в (3.1) дает экстремум, то мы получаем оценку этого экстремального значения. Другими словами, если
6/®) = О,
тогда и только тогда, когда
/ (%) = min / (у)=國
то
/(P)》d
для всех К е Kn.
Если функции 哂(х) (1 = 1, ..., N) образуют базис по斤 пространства Kn、то будем искать приближенное решение в видем
U (х) = £ %・屯(х),
причем значения искомых параметров должны быть такими, что I(U) стационарно относительно этих параметров а：(，= =1, 2, ..., Л^). Таким образом, получается система уравненийN
•^" /(4 a/①)=° (i = 1,…，")•
Применим, например, метод Ритца к решению следующей задачи. В области —｝丸<%, у < ^л решить уравнение
(3.2)(3.2а)(3.2)(3.2а)严" I @也 一 2 - 0дх2 十 0у22 —и
(3.2)
(3.2а)
(3.2)
(3.2а)
при условии, что
“(士 ^, у)=о (1^/Ку)
Построим кусочно-билинейное приближенное решение по методу конечных элементов, используя метод Ритца, примененный к соответствующему этой задаче вариационному принципу
6/(о) = 0, причем
I^^^^+v^+^^dxdy,(3.3)
где
R = (V，у) Х(~ J. у)-
В предыдущей главе было указано, что если на границе значения решения заданы (граничные условия Дирихле), то эти условия налагаются на пространство 第，тогда как в случае задания естественных граничных условий это не является обязательным. В данной задаче необходимо ограничиться пространством 第 функций, удовлетворяющих граничному условию и = 0.
Аппроксимирующие функции определены на 'области R、 разбитой на (Т + I)2 квадратных элементов посредством 2Т равно расположенных внутренних линий сетки, параллельных
осям (см. рис. 3). Тогда N( — T2) базисных функций 屮订(％, у) (i, j= 1, •・.，Т) подпространства Км определенных в гл. 1 (упражнение 6), принадлежат, очевидно, пространству 舒, так как они все обращаются в нуль на границе.
Приближенное решение имеет тогда вид
。("，力=Z Uii^n{x, у),(3.4)
где Uij — значение приближенного решения в точке (%с, у/)・ Условием стационарности является система уравнений
2 %/5/(",力)=0 (Л /=1П. (3.5) “\k, z-i/
Отсюда и из (3.3) получаем
X "m{(")(誓)+(需)(需)}右%+
近，/=1 R
+ 2 , \ ①〃 dxdy = 0.
Непосредственное вычисление интегралов приводит к уравнениям
i十1/+1 '
3U订一^ 2 2 %上+2部=0亿 j=i,…，T), A=f —1 ?== j— 1
где Uki = 0, если kt I — 0, T + i. Эти уравнения можно записать через разностные операторы так:
{&/g + 6〃%}U/ —2层=0 0, j=l, Т),
где бх, бх — центрированные разностные операторы второго порядка, а /%, 1У — операторы «правила Симпсона», определенные равенством
/支订=^"口f_1,+ 4U 订 + Ui^\j\
и аналогично для 1У. Приближенное решение в узловых точках, изображенных на рис. 8, приводится в табл. 1; вследствие симметрии необходимо изображать только одну восьмую области. Точное решение в этой задаче есть
"(居 y)=
=一得У + "2 + ^2 ^线 。:啰二觊 。。，侬
Если уравнение (3.2) снова решается в области — ^ V %, у<
< 芽，но заданы естественные граничные условия ди(X,
-2 丿=0 "О，
пространство допустимых функций 彌 содержит также функции, не равные нулю на границе. Аппроксимирующее подпространство также должно содержать такие функции, поэтому мы берем дополнительные базисные функции 屮订(％, у), соот-
Таблица /
Решение
ТочкаТ = 3ТочкаТ = 3у —_ 7у —_ 7Т = 15 ТочноеТ = 15 Точное12345678901234567890— 1.534— 1.473-1.321-1.459-1.308— 1.454— 1.304-0.950-0.907—0.897—0.894-0.370—0.362-0.359— 1.394— 1.381-1.376— 1.089-1.078-1.075-0.566—0.559-0.556-1.278-1.146-1.135— 1.132—0.666—S©-0.658—0.698—0.692-0.690— 1.534— 1.473-1.321-1.459-1.308— 1.454— 1.304-0.950-0.907—0.897—0.894-0.370—0.362-0.359— 1.394— 1.381-1.376— 1.089-1.078-1.075-0.566—0.559-0.556-1.278-1.146-1.135— 1.132—0.666—S©-0.658—0.698—0.692-0.690
ТочкаТ = 3
ТочкаТ = 3
у —_ 7
у —_ 7
Т = 15 Точное
Т = 15 Точное
1234567890
1234567890
— 1.534
— 1.473
-1.321
-1.459
-1.308
— 1.454
— 1.304
-0.950
-0.907
—0.897
—0.894
-0.370
—0.362
-0.359
— 1.394
— 1.381
-1.376
— 1.089
-1.078
-1.075
-0.566
—0.559
-0.556
-1.278
-1.146
-1.135
— 1.132
—0.666
—S©
-0.658
—0.698
—0.692
-0.690
— 1.534
— 1.473
-1.321
-1.459
-1.308
— 1.454
— 1.304
-0.950
-0.907
—0.897
—0.894
-0.370
—0.362
-0.359
— 1.394
— 1.381
-1.376
— 1.089
-1.078
-1.075
-0.566
—0.559
-0.556
-1.278
-1.146
-1.135
— 1.132
—0.666
—S©
-0.658
—0.698
—0.692
-0.690
аа
а
а
ветствующие граничным точкам (居， 刃)с 修，^/ = ± у • Такие функции не равны нулю самое большее на двух элементах, как показано на рис. 9(a), остальные же базисные функции отличны от нуля на четырех элементах (см. рис. 9(b)).
Упражнение 1. Используя метод Ритца и кусочно-билинейные базисные функции, вычислите коэффициенты уравнения
предполагая, что точка (х(, yi) есть (а) угловая точка и (Е) точка на стороне. Здесь берутся естественные граничные условия, / (и) задан в (3.3).
Системы уравнений
Метод Ритца можно применять и к решению систем дифференциальных уравнений с частными производными в теории упругости при малых деформациях. Вообще, если мы берем приближения вида
и = Z 0Mр”и = Z 0Mр”，=£е 也，=£е 也(3.6>(3.6>
и = Z 0Mр”
и = Z 0Mр”
，=£е 也
，=£е 也
(3.6>
(3.6>
и ищем стационарную точку функционала /(U, И) относительно I/ и К, то получаем М + М уравнений
纟I м£纟I м£% ) = 0 (2 = 1,…，М),% ) = 0 (2 = 1,…，М),% ) = 0 (/ == 1,...,也).% ) = 0 (/ == 1,...,也).(3.7)(3.7)
纟I м£
纟I м£
% ) = 0 (2 = 1,…，М),
% ) = 0 (2 = 1,…，М),
% ) = 0 (/ == 1,...,也).
% ) = 0 (/ == 1,...,也).
(3.7)
(3.7)
Граничные условия
Мы показали, как методом конечных элементов могут быть решены задачи двух различных типов. Вначале мы рассмотрели однородные граничные условия Дирихле w = 0. В этом случае все допустимые функции должны удовлетворять этим условиям. Затем мы рассмотрели однородные граничные условия Неймана ди/дп = 0. Здесь на допустимые функции никаких ограничений не накладывается, поскольку граничные условия являются естественными для функционала (3.3).
Граничные условия Дирихле
В общем случае граничные условия Дирихле необходимо вводить как дополнительные условия на аппроксимирующие функции. Это легко сделать если нам нужно решить в некоторой области R и Rm линейное дифференциальное уравнение
Au = f(3.8)
при условии, что
на границе dR, причем g является гладкой функцией, допускающей явное аналитическое продолжение внутрь /?, т* е. задана такая гладкая функция w, что
w = g•
на dR, a Aw определена всюду в R* В этом случае можно рассматривать приближенное решение вида
и(3.9)
где все 叫 равны нулю на dR (Синж, 1957)* Поскольку функции вида (3.9) образуют линейное многообразие, а не линейное пространство, часто для математического анализа удоб-
нее слегка изменить задачу. После такого изменения задача аппроксимации приобретает структуру классических приближений, описанных в разд. 1.3 и 1.5. Следует подчеркнуть, что численных расчетов это преобразование не затрагивает; меняется лишь математическая формулировка задачи. Следующее упражнение иллюстрирует это.
Упражнение 2. Пусть f = 0, g = —^ (%* + ^2), Л = —|р — —и уравнение (3.8) рассматривается в области —< х, У <^- Пусть
з(х, 9)= g(x, 9)= —^停 + 舅)。一 (ЗЛО) Решите уравнение
4 [о (х, 9)—扌(炉 + 力]=0,
窘+ 窘一2 = 0(3.11)
дх2 ' -ду2-'/
с условием и = 0 на границе. Используя решение этого уравнения, заданное табл. 1 или любым другим способом, вычислите решение в узловых точках, изображенных на рис. 8, и сравните это приближение с точным решением
〃(X, У)= — (у)2 _ ^ 匂2 —炉)+
g 寸(一严ch 丝:^.(2k _ n
十口乙(2左 一 1)3 ch(2A—1)п/2 cos
Другой подход к аппроксимации граничных значений
К сожалению, во многих практических задачах граничные условия Дирихле недостаточно гладки, чтобы гарантировать возможность явного аналитического продолжения. В таких задачах может оказаться удобным как-то аппроксимировать граничные данные, используя базисные функции 屮％ не обращающиеся в нуль на границе. Таким образом, мы получаем приближенное решение вида
где некоторые из а, фиксируются начальными данными* Их можно подобрать, например, так, что приближенное решение-
интерполирует граничные условия. Остальные параметры, соответствующие внутренним узлам, вычисляются по методу Ритца. Приближения такого типа не укладываются в рамках классической формулировки метода конечных элементов посредством вычисления вариаций, однако ниже, в гл. 5 показано, что, если все сделано правильно, точность аппроксимации не уменьшается. Широкое признание получил другой подход (Брамбл и Шатц, 1970; Бабушка, 1973; Нитше, 1971), в котором неоднородные граничные условия Дирихле вводятся с помощью так называемого функционала штрафа. Включая граничные условия в функционал, можно удалить все ограничения на аппроксимирующее подпространство Км. Например, если даны дифференциальное уравнение (3.2) и граничное условие и = g, можно использовать функционал
厶⑺=V { В [儡丫 + (器)2] + 2。} dx dg +
+ |^ 卜。一g)2do. (3.12)
dR
Ясно, что, если ограничений на аппроксимирующие функции нет, стационарная точка функционала (3.12) соответствует решению уравнения (3.2), удовлетворяющему етественному граничному условию
на dR. Неоднородные граничные условия Дирихле еще встретятся позднее в этой главе, когда будет описываться метод наименьших квадратов.
Неоднородные граничные условия Неймана или смешанные граничные условия могут быть включены в функционал аналогично (3.12) без внесения ограничений на аппроксимирующее подпространство.
Метод Канторовича (или полудискретный метод)
Другим подходом к применению прямых методов аппроксимации является получение приближенного решения вида
где неизвестные коэффициенты а( (i = 1,…，N) уже не скаляры, а функции одной из независимых переменных, напри- .мер, Xi； тогда q)( рассматриваются как функции оставшихся
т — 1 переменных, т. е.
U (% 1,%2，•一，%m) == ? 5 (% 1) Ф( (%2，%3，•…，%m)，
Этот метод часто связывают с именем Л. В. Канторовича (Канторович, 1933); он лежит в основе большинства конечноэлементных методов решения нестационарных задач, рассмотренных в гл. 6. В применении к краевым задачам метод Канторовича весьма похож на хорошо известный метод прямых (Березин и Жидков, 1962).
Рассмотрим метод Канторовича на простом примере получения приближенного решения уравнения (3.2) с граничными условиями (3.2а). Берется аппроксимирующее подпространство Ка, содержащее функции только одного аргумента у; по (3.2а) такие функции будут удовлетворять условиям
Ф^ (^)=叱(专)=0 (，=1, 2,").
Приближенное решение вида
V(X, 9)= 2 S (х) <р,匂)(3.13)
t=l
вычисляется путем минимизации функционала I (v) из (3.3) относительно неопределенных функций а( (1 = 1,2, ..., N), Чтобы сделать это, необходимо сначала переписать функцио^ нал / следующим образом:
2 <Мр，а“)= \ 尸(а】，a“)dx, \i = l /л
где л
尸 31, .% = 22^<а,а『J ^ ^~dy +
I=1/=1л
V2
+ 粤翁，屮例刼 +£а, \2^dy.(З.П)
лIi = l __巴
Это можно сделать, так как функции 你(i = 1, 2, …，N) известны, а интегралы в (3.14) можно вычислить точно. Чтобы получить стационарную точку функционала 7(ai, …，^),
3F daz3F daz=О (I =^ 1, ..., N),=О (I =^ 1, ..., N),мы поступим согласно процедуре, описанной в предыдущей главе, и получим уравнения Эйлера——Лагранжа, соответствующие вариациям каждой аг (х) (i = 1, ..., ^). Это необходимо делать с учетом того, что коэффициенты а, уже не просто скаляры. Поэтому они определяются из системы ^ уравнений
3F daz
3F daz
=О (I =^ 1, ..., N),
=О (I =^ 1, ..., N),
где штрих означает дифференцирование по х, а 尸Q,…，a“) определяется в (3.14). Поэтому неизвестные функции аг- (Z — =1, ..., ^), входящие в приближенное решение (3.13), получаются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
X ^ii-^di^ = bi « =「..，％),(3.15)
где
Q/= \ dy dy dy>
л
d"= 5 4)^/ d^Л
л
bi = — \ 2ф; dy,л
при условии, что а，(—у) =а, (£) ==0 (i=l, ..., N).
Упражнение 3. Решите систему уравнений (3.15), используя кусочно-линейные базисные функции tpt (i= 1,^),
определенные на интервале 1， "у] с равномерным раз
биением по формулам (1.3). Сравните результаты, полученные для различных значений М с приведенными в табл. 1.
Полудискретный метод можно применять к задачам как с неоднородными граничными условиями Дирихле, так и с естественными граничными условиями. Процедура усложняется, когда функционал нужно дополнить интегралами по границе.
Упражнение 4. Найдите функционал /(си, ..., оса), который можно было бы использовать для получения решения уравнения (3.2) в области —^" < 尤，^ < у при условии и = =g на границе.
Вообще говоря, при решении краевых задач полудискрет- ный метод эффективен только при условии, что получающаяся одномерная задача может быть решена непосредственно и точно. Несколько таких примеров есть у Эльсгольца (1958), с. 152. Применения к задачам с начальными данными имеют большее значение, и мы будем иметь с ними дело в гл. 6.
Метод Галеркина
Пока что в этой главе мы рассмотрели ряд методов аппроксимации решения 〃(х) линейного дифференциального уравнения
Au = f(3.16)
для х r Rm, удовлетворяющего определенным граничным условиям. Для всех этих методов, предполагалось, что дифференциальный оператор Л удовлетворяет таким условиям, что функция 以(х) является решением вариационной задачи
6/(〃) = 0(3.17)
для некоторого функционала /(〃). В этом случае можно показать (Михлин, 1976), что функционал может быть записан в виде
/(〃)= ^(4〃，幻一(〃，力，(3.18)
где
Q，S = \ \ 〃 (х) и (х) dx.
Обобщение этого результата на случай нелинейных операторов подробно рассмотрено Вайнбергом (1956). В нескольких примерах, приведенных в предыдущих разделах этой главы, был использован оператор Л = —^р* ^г вместе с функционалом
/Q) =，，｝(磴 + 吟 dx dy — \ \ uf dx dy, (3.19) rR
Используя теорему Грина (Курант и Гильберт, 1951, с. 241), это выражение можно получить (при определенных граничных условиях) из стандартной формы (3.18).
Упражнение 5. Укажите граничные условия для 〃(％,"), при которых справедлив переход от (3.18) к (3.19).
Использование интегрирования по частям ——т. е. теоремы Грина—для преобразования функционала из стандартной формы (3.18) к такому виду, при котором требуется меньшая гладкость допустимых функций 〃(х), является одной из основ успеха метода конечных элементов (Прентер, 1975, с. 229).
Аппроксимация Ритца U (х) = £ az(pf (х) решения вариа- i = 1
ционной задачи (3.17) может считаться решением уравнения
-^-I(U) = (AU, <р;)-(Ф;, f) = 0 (i=l, .... N) (3.20)
только тогда, когда мы имеем оператор А требуемого вида. Но даже если это не так и (3.20) не справедливо, система уравнений
(4U,叫)一回，f) = (4U — f,喃=0 «=「••，％) (3.21) все еще определяет приближенное решение U(х) для (3.16). В действительности систему (3.21) можно использовать, даже если оператор нелинеен. Таким образом, метод конечных элементов можно использовать для решения значительно более широкого класса задач, чем класс задач, допускающих вариационную формулировку. Однако все же желательно, чтобы (3.21) можно было бы интегрированием по частям преобразовать так, чтобы уменьшить требуемую гладкость функций <р/. Такие аппроксимации решения обычно связывают с именем русского математика Б. Г. Галеркина (1871 ——1945). Во многих советских учебниках о них говорят как о методе Бубнова — Галеркина (Михлин и Смолицкий, 1965; Вулих, 1967).
Слабые решения
Часто функцию 〃(х), которая удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
Au = f (х w R),
называют классическим решением, в отличие от слабого решения, которое удовлетворяет уравнению
(Aw, V)= (f, v) (для всех и w %)(3.22а)
и/ш
(以，/Ги) ~ (厶 V) (для всех и w 鑑) (3.22b)
Пространство 非 содержит все измеримые допустимые функции, которые обращаются в нуль на границе 0R; про такие функции иногда говорят, что они имеют компактный носитель, Пространство 第【и 第 содержит только те допустимые функции, для которых измерима.
Отсюда следует, что если оператор 4 имеет порядок 2々,то слабая форма (3.22а) требует, чтобы решение 〃 имело измеримые производные порядка 2幺 что в терминах пространства Соболева (см. гл. 5) можно Записать как 〃三非产(R). Однако вторая слабая форма задачи (3.22b) требует только, чтобы zzwZa(R); для пробных функций и ——наоборот. Дополнительное требование обращения в нуль и на границе обычно — как в гл. 5 — указывается как и w 拓^例(R).
С вычислительной точки зрения наиболее полезная слабая форма задачи, называемая далее галеркинской формой!), возникает из (3.22а) или из (3.22b) после 力 интегрирований по частям. В этой галеркинской форме требования гладкости минимальны в том смысле, что и w非产(R), 0 M 國0(R). Обычно в этом случае задача записывается так:
а (〃，и) = (f, и) (для всех и w 非2),(3.23)
где новое пространство пробных функций 非2, очевидно, удовлетворяет вложениям
а^ 1 U <5^2 U а^.
Например, галеркинская форма дифференциального опера- д 02
тора —— имеет вид
"也,。)=V [(*)(窮)+(需)(爲)]叁如，
где в этом случае k = I. Форма Галеркина дифференциально- @4@4@4
го оператора 万戸 + 2。产 °炉 + ~^г (см. гл. 2) выглядит так;а (а,。)=\\(黑 + ^)得 + 券)дхду.
Можно показать, что при достаточно внимательном отношении к граничным условиям слабое решение единственно и совпадает с классическим: один из таких результатов приводится в теореме 5.2 гл. 5. Существование и единственность слабых решений изучаются также в книгах Берса, Джона и Шехтера (1966), с. 206, Нечаса (1967), с. 23 и Лионса и Мад- женеса (1971), § 2.9. В этой книге предполагается, что пространства 非1, 非2, 匏 выбраны правильно, а тогда решения задач (3.22а), (3.22b) и (3,23) совпадают с требуемым классическим решением. Вообще единственной рассматриваемой
здесь слабой формой является форма Галеркина. Аппроксимация Галеркина U удовлетворяет системе
a(a⑦)=亿6)(2=1,…，N).(3.24)
Поскольку функции ф/ порождают конечномерное подпространство К“，утверждение, эквивалентное системе уравнений (3.24), есть
a(U,吩=亿 У) (для всех V^KNY (3.24а)
Заметим, что 〃 (или U) не обязательно из энергетического пространства, это требование накладывается только на и (или V). Так, если заданы неоднородные граничные условия Дирихле, то может быть удобным использовать аппроксима* цию вида
一U(x) = K(x) + Zam(x),
где функция W удовлетворяет граничным условиям.
В уравнениях Галеркина естественно предполагать, что приближение U и пробные функции V определяются одним множеством базисных функций <р/ (f = 1,…，N). В этом случае в задачах, в которых возможны как аппроксимации по Ритцу, так и аппроксимации по Галеркину, оба метода приводят к одному и тому же решению. Другая аппроксимация получается с использованием тех же базисных функций 屮,三 三 爲，но при пробных функциях, выраженных через некоторые ip/ е Ln (i = l, ..., N), где Kn и Ln ——разное подпространства пространства 鑑.
Метод наименьших квадратов можно рассматривать как метод этого типа с 取= 4(р» (i=l, ..., N). Использование двух множеств, ｛<р；｝ и ｛电｝, несовпадающих базисных функций для определения аппроксимации указанного выше вида из условий
a(U,峭=(厶崛(i = l,…，N) (3.25)
приводит различных авторов к развитию так называемых сопряженных аппроксимаций (см. Оден, 1976, и приведенную там библиографию) и к так называемому методу взвешенных невязок (см. Финлейсо-н и Скривен, 1967, и имеющиеся там ссылки). В разд. 7.4(E) на примере показано, что в некоторых практических задачах есть определенные вычислительные преимущества, связанные с выбором пробных функций другого вида, нежели приближенное решение. Однако ни здесь, ни в гл. 5 нет возможности для обсуждения теоретических выгод таких методов； для этого читателю следует обратиться к указанной литературе.
Метод Галеркина можно применить к решению нелинейных задач, но только в специальных случаях удается получить слабую форму с меньшими требованиями гладкости. Один из примеров такого рода — дифференциальное уравнение
备（"⑷黑）+备（g（"）紀+f（%’外=°-
Оно приводит к форме Галеркина
а（и, 6）= V [Р（⑺（若）（需）十 g（S （需）（需）]"х dy =
= （/，%） （i = 1, 2, ..., N）
Сопряженные формулировки
Вариационное исчисление можно распространить на широкий класс задач, допускающих применение метода Галеркина. В предыдущей главе был получен формальный лагранжиан диссипативной системы путем рассмотрения сопряженной задачи. Если ищутся приближенные решения как основной, так и сопряженной задач, то аппроксимация Галеркина находится из условия стационарности этого лагранжиана. Фактически （3.24） возникает как необходимое условие стационарности лагранжиана.
В качестве простого примера рассмотрим уравнение
■+第-+ 2察=0（3.26）
дх2 1 ду2 1 ду、，
в некоторой области R и Н при условии и = 0 на границе dR. Будем называть эту задачу основной. Сопряженной задачей будет решение сопряженного уравнения
*〃* _1_。虻—2 W — о（3 27）
в R при аналогичном граничном условии и* = 0.
Нетрудно убедиться в том, что （3.26） и （3.27） оказываются уравнениями Эйлера ——Лагранжа, соответствующими вариации функционала
/（〃，〃*）= m黑瑞+墨警+哈一〃*职厶数（3.28）
Следует, однако, помнить, что основное уравнение （3.26） получается из условия.
峭/（•〃，〃*） = 0,（3.29а）
а не из условия
6/(〃，〃*),(3.29b)
так как (3.29b) ведет к сопряженному уравнению.
Если мы ищем приближенное решение основной задачи в виде U = Z af(p;, то приближенное решение сопряженной
задачи необходимо получить в той же форме, U* = Z В通; t=1
другой вид сопряженной аппроксимации даст скорее (3.25), чем (3.24). Эти приближения можно найти как стационарную точку функционала (3.28) относительно неизвестных коэффициентов а『и R. Таким образом мы от (3.29а) приходим к
-^ци, U*) = 0 (i=l,…，N)，(3.30а)
а от (3.29b) — к
篇/(U, и*) = 0 «=1N).(3.30b)
Если мы рассматриваем функционал I(U, U*) из (3.28), приближенное решение основного уравнения получается из системы уравнений
u {(釣(霊)+(器)(需)+。(需)-(f)小 Хg。
(3.31)
(—，…，ю.
Более прямой способ получения аппроксимации Галеркина следует из слабой формы уравнения (3.26). Легко проверить, что слабой формой Галеркина уравнения (3.26) является
а(и, и) = 0 (для всех uw 爲)， где
。(…)=U {(黑)(黑)+(需)(紀+
+ " (瑞)-(需)v}dxdy<
а отсюда сразу получаем, что аппроксимация Галеркина, возникающая из системы уравнений
а(и,®) = 0 «=1,…，％),(3.32)
удовлетворяет уравнениям (3.31). Таким образом, на примере данной задачи показано, как одна и та же система уравнений может быть получена двумя математически разными спо-
собами: как слабая форма исходного дифференциального уравнения, или как условие стационарности некоторого функционала. Сопряженная задача, нужная для определения подходящего функционала, вообще говоря, является всего лишь математическим приемом и не имеет физического смысла. Поэтому в дальнейшем метод Галеркина исследуется на основе слабой формы уравнения, на другую же формулировку делаются только ссылки.
В качестве примера возьмем уравнение (3.26) в области
—у зх < х, ■兀 с граничными условиями
u (± У л, у) =0(I 川《彳П),
(3.33)(3.33)"(%,—戸)=。(|х К ул^,
(3.33)
(3.33)
и (х, п)=(备)2 —炉(I X I & ^ п) •
Применим к этой задаче метод конечных элементов Галеркина для получения приближенного решения на классе кусочнобилинейных функций, использованном ранее. Введем функцию
которая удовлетворяет граничным условиям, после чего найдем аппроксимацию Галеркина вида
и(X, 9)= .5严〃 (х，y) + w (%, у)
из системы уравнений (3.31). Результаты вычислений при различных сетках, описанных ранее, приводятся в табл. 2. На рис. 10 изображено положение точек, включенных в таблицу. Хотя здесь нет той симметрии, которая была ранее, необхо-
Та5лица 2
Решение
ТочкаТочкаТ = 3Т = 3Т = 7Т = 77 = 15 Точное7 = 15 Точное12 3 4 5612 3 4 566 4 4 10 52 2 3 0/60^ о^ а^ 3 о^ А^11 IX ^^v 11 ^^^ ^^^6 4 4 10 52 2 3 0/60^ о^ а^ 3 о^ А^11 IX ^^v 11 ^^^ ^^^2 4 0 9 3 72 17 0 3 1з з11 11 ^v ^* ^и ^и2 4 0 9 3 72 17 0 3 1з з11 11 ^v ^* ^и ^и11 9 о 1 82 15 13 0 9^^ ^м <-и 11-д ^и11 9 о 1 82 15 13 0 9^^ ^м <-и 11-д ^и10 5 1152 15 13 011 о 1 а о10 5 1152 15 13 011 о 1 а о
Точка
Точка
Т = 3
Т = 3
Т = 7
Т = 7
7 = 15 Точное
7 = 15 Точное
12 3 4 56
12 3 4 56
6 4 4 10 5
2 2 3 0/60^ о^ а^ 3 о^ А^
11 IX ^^v 11 ^^^ ^^^
6 4 4 10 5
2 2 3 0/60^ о^ а^ 3 о^ А^
11 IX ^^v 11 ^^^ ^^^
2 4 0 9 3 7
2 17 0 3 1
з з
11 11 ^v ^* ^и ^и
2 4 0 9 3 7
2 17 0 3 1
з з
11 11 ^v ^* ^и ^и
11 9 о 1 8
2 15 13 0 9
^^ ^м <-и 11-д ^и
11 9 о 1 8
2 15 13 0 9
^^ ^м <-и 11-д ^и
10 5 115
2 15 13 0
11 о 1 а о
10 5 115
2 15 13 0
11 о 1 а о
3 Зак, 672
Рис. 10.
димо рассматривать все еще только половину области. Точное решение уравнения (3.26), удовлетворяющее граничным условиям (3.33), выглядит так:
“(%, ,) = ±Л-У f sm 眸一产+у +
sin([2R-1产+1严子
ch([2&_[]2 + l)i/2g ) cos (2R — 1) x+ ch([2fe_i]2 +1)1/2 Л. J (-1)й-Ч2^-1)3 •
Здесь следует подчеркнуть, что во всех вариантах метода Галер кина система уравнений получается без особых затруднений.
Полудискретный метод Галеркина
Если метод Галеркина следует из вариационного принципа, получаемого с помощью введения сопряженной задачи, должно быть ясно, что, применяя метод, описанный в разд. 3.3, можно свести диссипативное уравнение с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Такой подход имеет небольшую ценность для решения краевых задач, и так как для задач с начальными данными нет вариационной формулировки, мы не рассматриваем подробно этот метод. Следующее ниже упражнение предназначено читателям, интересующимся данным методом.
Упражнение 6. Положим
2
④(X,勿=Z а； (%) % (у),(3.34а)
2
W(x, «) = Z ₽z (х) q)i (у),(3.34b)
где (pi и ф2 ——кусочно-линейные функции. Постройте функцио* нал /(w, w*), соответствующий уравнению (3.26) с граничными условиями (3.33), а затем, используя w(x, у) и w*(xt y)v указанные в (3.34а) и (3.34b), найдите решение уравнений
^₽/ («Ь 02, Рь ₽2)= 0 С = 1, 2),
т. е. определите полудискретное рй^шение Галеркина уравнения (3.26), удовлетворяющее (3.33). Сравните ваше решение с результатами, приведенными в табл. 2.
Метод переменных направлений Галеркина (ПНГ) для случая прямоугольных областей (Дуглас и Дюпон, 1971)
Когда метод конечных элементов применяется к одномерным линейным задачам, матрица получающейся системы линейных алгебраических уравнений имеет простой ленточный вид, тогда как задачи большей размерности дают блочно-ленточные матрицы, у которых каждый блок сам является ленточной матрицей. Например, в двумерном случае билинейная аппроксимация часто приводит к системе с матрицей вида
~DE -
CDE
G =•・•，
CDE
где С, D н Е — трехдиагональные матрицы.
Имеется несколько алгоритмов решения систем уравнений с ленточными матрицами, эффективных и дешевых (т. е. дающих максимальную точность при минимуме времени и памяти), однако такие методы менее эффективны и значительно дороже в применении к задачам с блочно-ленточными матрицами. Цель метода ПНГ в методе конечных элементов та же, что и в методе переменных направлений в разностных схемах, а именно свести систему уравнений многомерной задачи к последовательности систем, по форме аналогичных системам уравнений, возникающих в одномерных задачах (Митчелл^ 1967).
Для того чтобы применять метод ПНГ, необходимо предполагать, что базисные функции имеют форму тензорного произведения, т. е.
9〃(尤，У)= ЧМ尤)W(P) (£=1, ・・•，N%； j = l, ・・•，NJ
Матрицу G = {〃(<₽“, фа/)} можно тогда разложить так, что
а(Фо> Tfez) = ах (Фь Фй) Ьу (<р/, Ф/) + Ьх (фь(pft) ау ((₽,,(р0
仏左=1,N#; j, / = 1,・・.，NJ.
Если Л—(N X N)-матрица и В—(М X ЛГ)-матрица, то матричное тензорное произведение, обозначаемое Л 0 В, есть (NM X NM) -матрица '
(1\nB
_... ciNNB _
Теперь матрицу G можно записать как
G = Ах^ Ву+ Вх^> Ау,
если узлы упорядочены по столбцам. Система уравнений принимает вид
{Ах g ” + & ® Ау] а = Ь
и решается посредством итераций
九〃& + 4)® 也пВу + Ау) М")=
=кв* 一 4) ® &勺一儿)ad) + 2統b =中("1
в два этапа:
&成 + 4)8/"产e=屮(1),(3.35a)
‘Inx ® &丛 + Ay)。⑺=出叫(3.35b)
Можно расщепить эти уравнения так, что если ^р,с = =(аРь ..., ^pN^f (р = 1, •…,NQ ——столбец значений на сетке, а ар,& = (aip, ..., ал/#р)「(р~ 1, •・・,Ny) — строка значений на сетке, то (3.35а) переходит в
(У* + 4)^ = ^^ (Р=1,.... ^), a (3.35b) — в
(^пву + Ау')а^с = а^ (р=1,…，NJ.
Дуглас и Дюпон показали, что при подходящем выборе последовательности параметров итераций {Хп} метод ПНГ оказывается быстро сходящимся.
Метод коллокации
Метод коллокации во многих отношениях подобен методу Галер кина. Он предусматривает такой выбор коэффициентов а/ (i = 1,N) в представлении
что дифференциально.е уравнение удовлетворяется точно в некоторых определенных точках. Было показано (де Бур и Шварц, 1973; Лукас и Редин, 1972; Элберг и Ито, 1975), что для обыкновенных дифференциальных уравнений при правильном выборе точек коллокации метод подобен по точности методу Галеркина с тем же самым набором базисных функций ср； (i=l,…，N). Если, например, базисные функции являются эрмитовыми кусочно-полиномиальными функциями степени 2г — 1, точки коллокации на ка*ом подынтервале [х/, xl+i] берутся в нулях полинома Лежандра р (ix~ xi+\ - xi\
\々+1-々丿
Преимущества метода коллокации состоят в следующем:
Нет скалярных произведений, а значит, не нужно интегрировать, как в методах Галеркина и Ритца.
Окончательные алгебраические уравнения имеют меньше членов, чем соответствующие уравнения для аппроксимаций Галеркина.‘
Главный недостаток метода коллокации заключается в необходимости использовать базисные функции степени (по меньшей мере) 2尼 для дифференциального уравнения порядка 2 k.'
Методы, использующие коллокацию, были разработаны также и для эволюционных задач (Дуглас и Дюпон, 1973). Пример, включающий коллокацию, приводится в разд. 7.4(B).
3.5. Проекционные методы
Ранее в этой главе эквивалентность вариационного уравнения
(3.36)
и дифференциального уравнения
Au^f(3.37)
использовалась для получения приближенного решения Ритца вида
Параметры а/ (i=l, ..., N) определяются из вариационных уравнений
которые можно записать в более явной форме
2 а(<рь ф/)а/ = (фо f) (i = 1, ..., N).(3.38)
В разд. 1.3 показано, что если 舒一гильбертово пространство со скалярным произведением [,] и К“ ——любое N-мерное подпространство 鑑，то для любого 夕三鑑 его ортогональная проекция на Kn，
彳=X «/Фо(3.39)
такова, что
N
Е Е,叫а/ = ®, д] (£= 1, •・N),(3.40)
где 屮力(f = 1, ..., N) образуют базис Kn・ Отсюда следует, что q является единственной наилучшей аппроксимацией, как и в разд. 1.2. Теперь покажем, что не только (3.38) и (3.40) кажутся похожими, но и аппроксимации обладают аналогичными свойствами.
Пусть 舒一пространство допустимых функций, соответствующее дифференциальному уравнению Аи — f с заданными граничными условиями. Тогда энергетическое пространство 雍力 оператора Л данной задачи есть подпространство 鑑， содержащее все допустимые функции 〃(х) и и(х), такие, что функционал а(щ и), определенный в разд. 3.4, ограничен. Скалярное произведение в энергетическом пространстве Жа определяется как
(“，uL = а (м, и),
а норма, которую называют энергетической нормой,—— как 11〃 吟= (〃,％•
В этом определении предполагается, что если можно преобразовать скалярное произведение (,)д, используя интегри-
рование по частям, то именно преобразованная форма используется в определении энергетического пространства. Если это сделано, энергетическое пространство оказывается полным, а значит, гильбертовым.
Теорема 3.1. Если линейный оператор 4 положителен 〃 самосопряжен, приближенное решение Ритца дифференциального уравнения Au = f является ортогональной проекцией точного решения на аппроксимирующее подпространство энергетического пространства. Таким образом, аппроксимация Ритца есть наилучшая аппроксимация 6 смысле энергетического пространства.
Доказательство. Доказательство прямо следует из определения аппроксимации Ритца, данного в разд. 3.1. Наилучшая аппроксимация 汽
точного решения 〃о，в смысле энергетической нормы есть U 三 w Kn, такое, что
(U — «о, Ф/)л = ° 0= 1,N), т. е.
a (U 一 〃о, qp/) = 0 (1=1, ..., N). (3.41)
Если решение единственно, то (3.41) можно переписать как (3.38). Отсюда следует требуемый результат, если только а ― действительно норма. Можно показать (Михлин, 1976, с. 86), что билинейная форма а является нормой тогда и только тогда, когда (3.36) эквивалентно (3.37), а это завершает доказательство.
Приближенное решение Ритца уравнения (3.2), например, есть наилучшая аппроксимация точного решения в смысле полунормы Дирихле
(券У+蠲)卜叫住.
Упражнение 7. (I) Покажите, что для того, чтобы (,)д было скалярным произведением, а ||.||д ——нормой, оператор Л должен быть положительно определенным и самосопряженным.
Покажите, что а(〃，и) ограничена тогда и только тогда, когда и ||〃||а и ||少||厶 ограничены. Отсюда покажите, что 〃——элемент энергетического пространства тогда и только тогда, когда |Jw||a ограничена.
Упражнение 8. Покажите, что функционал /(и), соответствующий дифференциальному уравнению Au — f в области R с граничным условием и = 0, можно переписать как
I(v) = ^v-u^A-^u^fl(3.42)
ИЛИ
/(0)=11?1%一2(и, и^А,
где 〃о — точное решение дифференциального уравнения.
Упражнение 9. Укажите класс дифференциальных уравнений, для которых аппроксимация Ритца оказывается наилучшей в смысле нормы Соболева：
(靄 y+(需—叫
Метод наименьших квадратов
Метод Ритца дает наилучшую аппроксимацию решения линейного дифференциального уравнения Au = f в смысле энергетической нормы тогда и только тогда, когда оператор А ——положительно определенный и самосопряженный. Хотя метод Галеркина можно использовать для приближенного решения более широкого класса задач, мы уже не получим наилучшей аппроксимации того же типа. Чтобы получить «наилучшую аппроксимацию» в несамосопряженных задачах, необходимо переформулировать процедуру аппроксимации и ввести так называемый метод наименьших квадратов.
Напомним, что аппроксимация Ритца есть решение вариационной задачи
min IIU- 〃0 心，
где 〃о — неизвестное решение. Теоретически можно заменить энергетическую норму || JU на любую другую при условии, что нам требуется 4〃°, а не решение “о само по себе. Таким образом, мы можем определить аппроксимацию U как решение задачи
min II AU—Auq II2
U三Kn
или
min II AU-f^\
это и есть основа метода наименьших квадратов (Брамбл и Шатц, 1970; 1971). Если применить вариационное исчисление к вычислению необходимых условий стационарности такого
функционала, получается уравнение Эйлера ——Лагранжа, включающее оператор ДМ, т. е. получается уравнение более высокого порядка, чем исходное. По этой причине необходимо быть осторожными с утверждением, что решения задач совпадают, особенно когда заданы неоднородные условия Дирихле; таким образом, если только не налагаются дополнительные условия на аппроксимирующие функции, мы должны видоизменить функционал (см. разд. 3.2). Если мы полагаем 〃 =g на OR, аппроксимация по методу наименьших квадратов могла бы минимизировать, например,
V(4U-f)2dx + 4 ^(и-ё)Ч0
”RdR
при подходящем выборе 九.
Хотя подробное рассмотрение метода наименьших квадратов остается вне рамок этой книги, он снова упоминается в разд. 5.4(D). Численные эксперименты с методом наименьших квадратов можно найти в гл, 7.
ГЛАВА 4
БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ
В разд. 1.1. были построены элементарные базисные функции для прямоугольных и многоугольных областей, причем первые разбивались на прямоугольные элементы, а вторые — на треугольные. В данной главе базисные функции строятся для разнообразных по форме элементов в случаях двух и трех измерений.
Треугольник
Лагранжева интерполяция
Треугольник, или двумерный симплекс, является, вероятно, наиболее широко используемым конечным элементом. Одна из причин этого в том, что любую область в двумерном пространстве можно аппроксимировать многоугольниками, которые всегда можно разбить на конечное число треугольников. Кроме того, полный полином порядка т
т
пт (х, у) = 2 aki^y(4.1)
может быть использован для интерполяции функции, скажем U(x, у), по значениям в -у (т + 1) (т+ 2) симметрично расположенных узлах в треугольнике. Первые три случая этого общего представления для треугольника РуР^Рз с координатами вершин соответственно (%i,yi), (%2, №), (%з, Уз) таковы:
где小尸 nyi — y 2chгде小尸 nyi — y 2chlkt = xk — xh %I =力一lkt = xk — xh %I =力一УьУьГ1Г1ххDki = det 1 xk-1 X/Dki = det 1 xk-1 X/УУкУУк'ICfki = det 1-1'ICfki = det 1-1勺勺勺勺причем (/,幺 /) — произвольная перестановкапричем (/,幺 /) — произвольная перестановкаизизУ!yk > yi -.(1, 2, 3), aУ!yk > yi -.(1, 2, 3), a|Cjfeij—удвоенная площадь треугольника Р1Р2Р3； нетрудно|Cjfeij—удвоенная площадь треугольника Р1Р2Р3； нетруднозаметить, чтозаметить, что1 (/ = й) .О 0#=期厶&3).1 (/ = й) .О 0#=期厶&3).
где
小尸 nyi — y 2ch
где
小尸 nyi — y 2ch
lkt = xk — xh %I =力一
lkt = xk — xh %I =力一
Уь
Уь
Г1
Г1
х
х
Dki = det 1 xk
-1 X/
Dki = det 1 xk
-1 X/
У
Ук
У
Ук
'I
Cfki = det 1
-1
'I
Cfki = det 1
-1
勺
勺
勺
勺
причем (/,幺 /) — произвольная перестановка
причем (/,幺 /) — произвольная перестановка
из
из
У!
yk > yi -.
(1, 2, 3), a
У!
yk > yi -.
(1, 2, 3), a
|Cjfeij—удвоенная площадь треугольника Р1Р2Р3； нетрудно
|Cjfeij—удвоенная площадь треугольника Р1Р2Р3； нетрудно
заметить, что
заметить, что
1 (/ = й) .
О 0#=期厶&3).
1 (/ = й) .
О 0#=期厶&3).
Квадратичный случай (zn = 2). Теперь полином имеет вид
国(%, У) = £产閥(%,以(4.3)
где I// (/ = 1, ..,, 6)——значения U(x, у) в вершинах Р『(/ = =1, 2, 3) и в средних точках 匕(/ = 4, 5, 6) сторон 户們, АРз, Р3Р1 соответственно. Функции р^ (х, у) (/ == 1, 2, ..., 6) задаются формулами
pf)a, y) = pW(2p^~ 1)
(pg) (%, у) и р^ (х, у) — аналогично) и
Р0(%, У)= 4р^р^
(Р皆)(％，У)н Р§)(х, у) — аналогично). Снова видно, что
РТ^У^-{ \ {[^ (у，у6).
Особо отметим, что базисные функции р(^ (х, у) (/ = 1, ..., 6) можно выразить через базисные функции 府)(％, у) (/ = 1,2,3). Это верно почти для всех базисных функций, которые мы бу- дем рассматривать, и поэтому для упрощения формул мы будем писать просто р, вместо р“ (/= 1, 2, 3).
Кубический случай (ги = 3). Интерполирующий полином есть
ю
П3(х, y) = ^Ufp^ (х, у),(4.4)
где Uf (/ = 1, 2, 3) — значения U(х, у) в вершинах Р], Р2, Рз, 匕 0 = 4, 5,…，9) — в точках трисекции сторон, а С7ю — значение U (х, у) в центре тяжести треугольника. Базисные функ-
ции таковы:
Р0 (%, ^) = 4^1 (ЗР1 — 1) (ЗР1 — 2),
аналогично р^ (х, у) и р^} (х, у), pf* (^ ^)=4 Р1Р2(3Р1 — 0' Р 貝(%，^=ТР1Р2(3Р2— 0'
аналогично р^ (х, у), 噌(％, у), а Р例 0 У)= 27р]%Рз・
Десятый параметр может быть исключен с помощью линейного соотношения
Go = S
S4f
и получающаяся функция будет еще точно интерполировать квадратичные функции (Сьярле и Равьяр, 1972 а); это пример так называемого исключения внутренних параметров. Треугольники для /и = 1, 2, 3 показаны на рис. 11.
1 -6 1 -41 -6 1 -4Упражнение 1. Проверьте, что 9 и (%, у) = £] и/貝(х, у) интерполирует квадратичные полиномы точно, если =Р，)+ %隐(/= 1, ...» 9), где
1 -6 1 -4
1 -6 1 -4
0=1, 2, 3)
0 = 4, ・・・，9)
Упражнение 2, Покажите, что (1 (й = /)
乃з)(修，绘) = {о ；月*，(1</, Й^Ю).
Упражнение 3. Выразите 内3)(招 у) (/ = 5, 6, 7, 8, 9) через Р^ (%, у)(月=1, 2, 3) •
Вернемся теперь к общему случаю полного полинома т-го порядка (см. (4.1)). Этот полином имеет $ (m+1) (/л + 2} коэффициентов, которые могут быть выбраны так, чтобы полиномом интерполировал U (х, у) по значениям в ^-(加+ 1) X X (w + 2) симметрично расположенных точках треугольника
P1P2P3, координаты которых
X学,方嚮, (4.5)
где Bi, Р2, Рз — целые числа, удовлетворяющие условиям 0《 V M W т (力=1, 2, 3) и Pi + ₽2 + ₽з = ^. Эти точки включают три вершины треугольника РЕРз・ Остальные точки получаются разбиением каждой стороны треугольника на m равных.частей как точки пересечения прямых, параллельных сторонам треугольника и проходящих через точки разбиения. В результате получается разбиение треугольника на т2 равных треугольников, чьи вершины суть »(加+ 1) (m + 2) точек, описанных в (4.5). Если обозначить через* U, значение U (х, у) в такой точке, интерполирующий полином степени т можно выразить формулой
(т + 1) (м+2)
и (爲 у)=£ U/尸(X，у)，(4.6)
/=1
где суммирование осуществляется по всем точкам, а pF(x, У)— полиномиальная базисная функция степени т, принимающая значение 1 в точке, связанной с тройкой (Рь В2, Рз), и значение 0 во всех остальных узлах. Формула (4.6)— интерполяционная формула лагранжева типа.
Стандартный треугольник
Из формулы (4.2) легко вывести, что з
Z Pl(X, у)= 1,
линейные уравнения р/(х, z/) = 0 (/ = 1, 2, 3) представляют стороны треугольника Р2^з, Рз^ь 力鼻 соответственно и
Pi(x,y)= I (/ = 1, 2, 3) в вершинах R, А, Рз соответственно.
Иначе говоря, треугольник Р1Р2Р3 в плоскости (х, у) преобразуется в стандартный треугольник П1П2П3 в плоскости (Р1,Р2)по формулам (4.2), причем П： = (1, 0), П2 = (0, 1), П3 = (0, 0) (см. рис. 12). Обратное преобразование плоскости (Р1,Р2)в плоскость (х, у) выражается формулами
Х = Хз+ &3Р1 + 自23P2,.. _.
..(4.7)
У=Уз+"13Р1+1123Р2・
Поскольку все треугольники треугольной сетки в плоскости (х, у) могут быть преобразованы в этот стандартный треугольник, очень удобно работать со стандартным треугольником и в нужный момент выражать результат в терминах конкретного треугольника плоскости (х, у) с помощью линейного преобразования (4.7). Эта процедура будет использоваться неоднократно в этой главе и в следующей, когда будут встречаться треугольные элементы.
Рис. 12.
Геометрический метод построения базисных функций
Опишем теперь для треугольника в квадратичном и кубическом случаях простую геометрическую процедуру построения базисных функций, полученных из лагранжевой интерполяции. К примеру, в первом случае базисная функция р^ (х, у) должна быть равной нулю в узлах р/ (/ = 2, 3, ..., 6) и единице в узле Pi・ Прямая pi =0 проходит через точки 尸2,尸з и 「5, а прямая линия р： = -у проходит через точки Р&, Ре, и таким образом получается базисная функция р^ (х, у)= =Р] (2卩]—1). Функции °,)(х, у), р^(х, у) получаются аналогично. Базисная функция в узле, расположенном посредине стороны, скажем в Р4, получается из прямых р： = 0 и 卩2 = 0, которые проходят через точки ?2, Рз,「5 и Pi,尸3，Рб соответственно. Требуемая базисная функция, нормированная в точке Р4, естьр? (х, у) = 4Plp?； Функции р『(х, у) и р^ (х, у) получаются аналогично. В кубическом случае построения осуществляются аналогичным образом.
^-аппроксимирующие функции 】)
В общем случае функция интерполируется по значениям в % (zn + 1) (/и + 2) точках в треугольнике. На стороне треугольника интерполирующая функция сводится к полиному степени m от переменной s, которая измеряется вдоль стороны треугольника. Этот полином интерполирует U(х, у) по значениям в (加 + 1) точках на стороне треугольника и, значит, определен однозначно. Кроме того, при любой триангуляции каждая сторона (внутри области) принадлежит двум треугольникам. Если функция интерполирует в каждом треугольнике по (ги + 1) (т + 2) симметрично расположенным точ* кам, она представляется единственным полиномом от s степени 〃 на общей стороне. Это означает, что интерполирующая функция на полной треугольной сетке непрерывна на внутренних сторонах сетки и, таким образом, имеет на многоугольной области гладкость С°.
Э РМИТОВА ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Как альтернативу интерполяции функции U (х, у) на большом числе точек, симметрично расположенных в треугольни-
])С*-аппроксимирующими (или С*-гладкими) называются такие аппроксимации, у которых все производные до порядка 々 N 0 включительно непрерывны во всей области.——Прим, перев.
ке, можно рассматривать интерполяцию U(х, у) и некоторых ее производных по меньшему числу точек.
Класс полиномов, соответствующий этой задаче, содержит полные полиномы Gv(x, у) нечетной степени 2^+1 (v = 1, 2, 3, ...,), которые определяются значениями
Ж(Л) ("I&V； j=l, 2, 3),4
DlGv(P^ (|i|<v-l).《В)
Здесь Pi, 「2, Рз一вершины треугольника, а Р《—его центр тяжести; / =(必为)，где /：,电——неотрицательные целые чис- ла, I iI = 11 + t2 и D’G =。j ° 为•
дх ldy 2
Это пример мультииндексных обозначений производных. Первые два случая этого общего представления таковы:
Кубический случай (v = 1). Здесь полный кубический полином имеет десять коэффициентов, которые определяются по значениям функции и ее первых частных производных в вершинах и по значению функции в центре тяжести треугольника, причем однозначно. Поэтому в этом случае мы можем записать полином П3(х, у), данный в (4.4), в виде
4
G](x,力=2u/仰)(％ y)+
/=1
3
+ Е [彦)」俨(X, у) + 隅)3)(х,加(4.9)
где
伊)(х, У)=巧(Зр/ - 2р； - 7P也)，
qf(X, у) = 27Р]Р2%
ГТ(匕 У) = Pj^kPdPi- Р/) + 瓦Pl ⑸一 P/)l
a sp)a, ^) получается из r?)(居 у) заменой g на т]. В этих формулах (/,甩，)——любая циклическая перестановка (1, 2, 3). Этот элемент широко используется в методе конечных элементов.
Случай полинома пятой степени (v = 2). Полный полином пятой степени имеет 21 коэффициент; они однозначно определяются значениями функции и ее первых и вторых частных производных в вершинах и значениями функции и ее первых частных производных в центре тяжести. Этот элемент редко используется на практике и поэтому не рассматривается здесь подробно.
Упражнение 4. Покажите, что на стороне треугольника функция, заданная в (4.9), сводится к полиному степени 3 по переменной s, которая определяется вдоль стороны треугольника. Покажите также, что этот полином однозначно определяется значениями функции и ее первых частных производных в вершинах, являющихся концами стороны. Отсюда покажите, что интерполирующая функция этого элемента имеет гладкость С°.
В случае кубической эрмитовой интерполяции можно исключить значение U (х, у) в центре тяжести и еще точно интерполировать квадратичные полиномы. В этом случае делается замена
•з
a=4" 力 s+% 2⑴[(影方(%+自")+(岩)/%/+%/)],
где £⑴ обозначает суммирование по (/,归，/) для всех циклических перестановок (1, 2, 3).
Интерполирующий полином теперь имеет вид
з
G；(爲 4)= 2 U唄(х, у) + (嚷)啰(х, у) +
+ (院И"，切]，(4・1。) где
qf* (x, у) == p,・(Зр,. — 2P什 2P也)，(4.1 Oa)
用)*a, y) = Pj(P底/ + P^ki) + 击PiPkPi^ii + 編)(4.10b)
и (/,幺 l) — любая перестановка (1, 2, 3). Функции s$* получаются из (4.10b) заменой 自 на ”.
Упражнение 5. Проверьте, что квадратичные функции точно интерполируются сокращенным кубическим интерполян- том.
Упражнение 6. Используя линейное преобразование по формулам (4.7), покажите, что (4.10) в переменных стандартного треугольника имеет вид
з
G； @"2)= 2回暇+備)Г"備)用， /-1
гдегдеW 它 W I OU /；[ m
где
где
玩=配后+ ⑴3方0 = 1,2)
и функции 力尸，門尸 и s'>*(j=l, 2, 3) задаются формулами 歹* = Р； (3 - 2Р/) + 2Plp2%
P?(Pi - 9-Р1Р2Р3 0 = 1)
屮—’P”i + 4 Р1Р2Р3о = 2, 3),
‘屋(p2-1)一円p2P3 0 = 2)
s「— ’ P»2 + 4 ZP2P3 0 = 1，3).
Для доказательства можно воспользоваться соотношением
寂 Р1〃一 &"Пи = С削，
где (/,月，/)——любая перестановка (1, 2, 3).
Упражнение 7. В частном случае А = (1,0),尸2 = (0, I), Рз = (0, 0) найдите G!(х, у) из (4.10), а затем покажите, что производные от G* (х, у) по нормалям к сторонам описываются формулами
(芻)咤У (I —)【25 -(釣 1 + т (-^)! + 2% -
-4 (笠力-(器工-4% t (警)3 一 I (需)J +
+ "罢1 +(1一)(卷)3,
(徵)RR = X(1 _ X)[2a _ (^1 - y (詳)+ 2/ +
+ В (券)2 -(器h - 44 - !■ ( *)3 - 4 (器工]+
.+咽)中一喝l
(粵)。也=臬 т产 m - y 黑)1+y^i+a-
-7 (罢)2 - I (馭-24 -(說]+
4 W T)(券I + y1 + y)(罢)2»
где
Х = х + у, Y = y-x,含=找黑 +芻),dU — \ ( dU .dU\
Трикубическая интерполяция
Биркгоф (1971) предложил треугольный элемент, включающий двенадцатипараметрическое семейство всех полиномов четвертой степени, которые кубичны вдоль любой прямой, параллельной любой стороне треугольника. Относительно стандартного треугольника такое семейство выражается формулой
U(p, е a储彼，(4.口)
/+й<4 № причем
аз1 + сЦз ==(Х22-
Полином (4.11) называется трикубическим： Этот полином однозначно определяется по значениям U, dU/dp% 3U[Зр? и д2и°°
% W в каждой вершине. Здесь •分— смешанная производная, вычисляемая в каждой вершине по направлениям 「ns, параллельным смежным сторонам. Эту единственную интерполирующую функцию можно представить в виде
2少4唄团，办)] +(謀)№必，砌]，(4」2) /-»! LI Н IC1丿
где коэффициентами при <р； и ©/ служат значения соответствующих производных от [7 в вершине П； стандартного треугольника (рис. 12). Функции ф； и @/ имеют вид
吟。)=p； (3 - 2p/ + 6p也)，
[Р： (Pi - 1 - 4P2「з)0=1)
吟 °〉f 吻1 (1 + 2%)(/ = 2)
I p州1(1 + 2见)0 = 3),
[р?р2(1 + 2р3)(/ = 1)
吟 0 = ｛危А (% — 1 - 4/"з) (/ = 2)
I 区"2 0 + 2%)0 = 3),
©/ = 2р；р也，
где (/, k, /)——любая перестановка (1, 2, 3). Заметим, что здесь D* представляют производные в плоскости (pi,「2)・ Смешанные производные (d2U/drds) ； (; = 1, 2, 3) суть про-
d2U d2U d2Uс
сто -' ^7^' д^； соответственно, где Q =皮 一 т.
Единственная интерполирующая трикубическая функция п吧 конкретного треугольника на плоскости (х, у) получается из (4.12) с помощью линейного преобразования (4.2), т. е. подстановкой вместо рь р2, Рз их выражений из (4.2).
Упражнение 8. Покажите, что трикубические полиномы дают аппроксимирующую функцию гладкости С° (т. е. просто непрерывную) на сетке треугольных элементов.
С1 -АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ
Рассматриваемый здесь треугольный элемент использует полное семейство полиномов пятой степени. На плоскости стандартного треугольника полный полином пятой степени имеет вид
U(Pv = ^^iM-(4.13)
Коэффициенты а/ можно выразить через £VU(P/) (|i| ^ 2; j= 1,2,3) и HU/加(？)(/ = 4,5,6), где Л (/=1,2,3)- вершины, а Р『(/ = 4, 5, 6) — середины сторон. Функция U(Рь Р2), заданная в (4.13), сводится к полиному пятой степени по s вдоль каждой стороны треугольника, определенному однозначно 6 граничными условиями, а именно значениями U, dU/ds. -^2~，на концах каждой стороны. Нормальная про-
изводная на каждой стороне,凉，где п суть рг, Pi + Р2, Р\ соответственно, есть полином четвертой степени по s; он опре- ди д2и
деляется однозначно значениями и 方^ 曲 на концах каж- дои стороны и значением 京 в середине стороны. Отсюда видно, что полные полиномы пятой степени дают аппроксимирующую функцию на сетке треугольных элементов, непрерывную вместе со своими первыми производными на всей области. Про такую функцию говорят, что она имеет на области гладкость С1.
На самом деле параметры, соответствующие нормальным производным в серединах сторон, можно исключить без потери С!-гладкости на треугольной сетке. Это можно сделать, если предположить кубическое поведение нормальной производной вдоль каждой стороны, а это эквивалентно требова-
нию, что в (4.13)
а41 = %4，
5a50 +(Х32 + %з + 5cto5 = 0.
Таким путем от (4.13) мы приходим к семейству полиномов,, зависящему от 18 параметров, и однозначно определенная интерполирующая функция получается по формуле
з
U(Z，p?) = e屮&尸u用仇必)，(4.14)
Д (0 о) [/(10円一 15#+6р；+15成Р,) (7=1, 2)
"「) _i #(10",-15力+6用+30%p(踪 + 〃)) (/ = 3)
и (/,財 /) —циклические перестановки (1, 2, 3),
础，0) = Р； (— 4% + 7而—3pf —•■^ 医Рз)，
• 暇,0> = Pi?2(3 — 2历一^" % — "I "； + I" PiP2)'
破,。)=p期(3 — 2"з — 3"? + б%%)，
吟 D =/% (3 _ 2"i _ "I "2 _ "J 燭 + I"円必)，
限,1)=陽(一4% + 7质 — 3& - ^ 0也)-
吸 1)=「2啜3 - 2凸一3闲 + 6%%),
tpf, 1) = p：「2 (― 1 + Pl + -^ P2 + 4 p2 — 3 卩也)，
破，° — P1E (― 1 + 4 Pl + Рг + T Pl — т Pl「2)，
碣■ " = P1P2 成
4f °)=龙(В Pl (1 - Р1У + z Р詢з).
唠，。)= ；p紡須з+^Р河,
唠 а=}р冠(1 -Р1+ 2P2),
<P时 2)= }"；烤Рз + 扌 P汩;’
啖，2)=碇(4" % (1 — Ра)? + 4 Р；Рз)'
唠2)=差吻式1+2PLp2>
Корректирующие функции
В другом методе получения С^аппроксимирующей функции на треугольной сетке берется С°-аппроксимирующая функция из (4.10) и к ней добавляются корректирующие члены, которые повышают гладкость функции до С1. Эти корректив рующие функции должны обращаться в нуль на периметре треугольника и сводить нормальную производную функции вдоль сторон треугольника от квадратичной к линейной функции, разумеется, без потери непрерывности функции и ее первых производных внутри треугольного элемента.
Одно семейство корректирующих функций, широко используемых на практике (Зенкевич, 1967, с. 113), имеет вид
2 2
Р2, Рз) = ”；#_# •(4」5)
где (/,幺 /) —перестановка (1, 2, 3). Фактически Дюпюи и Гёль (1970) показали, что С!-гладкость получается, если к правым частям (4.10а) и (4.10b) добавить
6仇=2 [— 4+(2 — 3"^ cos 力)4 +(2 — 3 E~cos 力)4〕,
(4.15a)
=万[&& + 自“)4 +(3&/ + 5g/A + 6刀“ / sin 8, Ak +
+ (з编 + 5配 + 6%為舍 sin 0/)用，(4.15b)
где (/,財 /)——любая циклическая перестановка (1, 2, 3), 0/ — угол треугольника у вершины Р〃 а А/ — длина стороны, лежащей против вершины Р/； 6s； получается из (4.15b) заменой ? и г| на т] и g соответственно.
Упражнение 9. Покажите, что в случае Pi = (1,0), 「2 = — (0, 1) и Рз = (0, 0) дополнительные члены имеют вид
6«з = — 2 6依=—2 Mi = 4 Sri = 4 Ss2 = 4/ + 4B — 2C,
6Г2 = — 6S! = у Л — у ^ *•
M = g(彳+3回一@,丿
6s3 =我3才十 B-C),
гдегдеj_ ху2 (1 — % — у)? б _ 炉д(1 — х — у)?
где
где
—(i-G (无工 y)、(1一方)(% + ?)一，
р 一 炉疗(1 — % — У)
(「一X)(〜)，
Отсюда, используя результат упражнения 7, покажите, что нормальные производные линейны вдоль каждой стороны треугольника.
Другие корректирующие функции, указанные Клафом и Точером (1965), получаются так. Каждый треугольник разбивается на три треугольника с общей вершиной в центре тяжести. Корректирующие функции выражаются формулой
Р1Р2Р3 - т Р/ (3 ~ 5Р/) на G
Р2, Рз)= 4■威(Зр,-А) на тк (4.16)
TPf^Pk-Pi) на 彩，
где 7\ — треугольник напротив вершины Р/ и т. д., а (/,电 /)— любая перестановка (1, 2, 3). Добавки 8д『,6г； и 8s； получаются из (4.15а) и (4.15b) с Л/ из (4.16).
Упражнение 10. Для треугольника упражнения 9 найдите корректирующие функции 瓦 В, С из (4.16) и покажите, что на стороне, описываемой уравнением х = 0,
丽= — 69(1—办京=而=0,
на стороне с у = 0
需= -6x(1-%),翁=需=0,
и на стороне, точки которой удовлетворяют уравнению х -р
十9 = 1，
ЗХ — 2 U Y)' GX — ах — и.
где X = х + у и У = у — х. Покажите, что отсюда следует линейное изменение нормальных производных от g『+ 8q* " + »/ и 5； + 65/ вдоль сторон. (Указание. Используйте рх зультат упражнения 7.)
Упражнение 11. Пусть функции 4,(%, у) имеют вид
l+m+n^3
ga малых треугольниках 7V Проверьте, что
в вершинах DM/ = 0 (р| ^1) и
на сторонах
Му f о (р产 0)
I PkPi (р； = 0)
тогда и только тогда, когда
(!) А" = %%Рз+ 百(％// + %品 + а/) и
(ID А/ = р； (%咼 + 嗚必 + aklp^
для любых констант а；/, а；* и т. д., где (/, й, /)—любая перестановка (1, 2, 3).
После этого докажите, что функции 4； заданные в (4.16), имеют С^гладкость на треугольнике Р\Р2Рз, если приравнять △尸 и т. д. и их производные вдоль внутренних линий раздела.
Последний набор корректирующих функций таков:
4(P1，Р2, Рз) = 7^р
тде (j, й, /)——циклическая перестановка (1, 2, 3). Биркгоф и Менсфилд (1974) использовали его для добавления к трику- бическому полиному с целью получить С^гладкоств на треугольной сетке. Это С^-гладкое семейство, зависящее от 15 параметров, легко выразить через значения U, dU/dph 3UJbp? в вершинах и 3U]дп、d2U/dsdn в серединах сторон, где d/ds и д/дп обозначают частные производные по направлениям сторон и нормалей соответственно. Айронс (1969) использовал некоторые корректирующие функции для добавления к полному полиному четвертой степени и таким образом получил семейство, зависящее от 18 параметров, которое также имеет С1-гладкость на треугольной сетке.
4.2. Прямоугольник
Области типа прямоугольника, т. е. области со сторонами, параллельными осям х и у, возникают во многих задачах физики и техники. Следовательно, прямоугольный элемент имеет большое значение и в этом параграфе для него строятся базисные функции.
Бикубические эрмитовы функции
В параграфе 1.1 мы использовали билинейные функции от хну для построения базисных функций (1.17), каждая из которых равна нулю вне области, составленной из четырех
прямоугольных элементов. На всей прямоугольной области кусочно-билинейные аппроксимирующие функции имеют С°- гладкость. В этом пункте мы рассмотрим бикубические полиномы
3 з
"з(х, у) = £ £a//V=(4」7)
&=»0
на единичном квадрате О W %, PWL Коэффициенты а* (О W j,々 W 3) можно однозначно найти по значениям 〃з, дН3 дНз д2Нз
"^，~^~，~дГду в четЬ1Рех вершинах, так что
%(Х, У)= й<1 石 …冲》)⑺我M)a)M3，(4.18)
где
<*(0 = (1 — /У" +%), 屮俨 «) = (1-/)2/, 电°)(/) = /2(з —2/), 吋)(/)=产(/-1).
Нижний индекс jk указывает значение в вершине с х = /, У н^瓦
Нетрудно увидеть, как можно изменить (4.18) для получения требуемой эрмитовой бикубической интерполирующей функции на прямоугольном элементе исходной области типа прямоугольника. Аппроксимирующая функция на всей области получается затем аналогично выводу (1.6). На этот раз каждому узлу прямоугольной области соответствуют четыре базисные функции. Для внутреннего узла, т. е. узла не на границе прямоугольной области, каждая базисная функция имеет своим носителем четыре прямугольных элемента. Для узла на границе, но не в углу, базисная функция имеет носителем два элемента, а для узла в углу — один прямоугольный элемент. Кусочно-бикубическая аппроксимирующая функция на всей прямоугольной области оказывается С* ^гладкой 1).
Упражнение 12. Используя (4.18), покажите, что базисные функции для DE^U (0 ^ /, /и ^ 1) в узле (0, 0) единичной ячейки получаются в форме тензорного произведения
①(Е, т) (%, у) = ф(о (х)(р(т)(у),
心/(1-炉(1 + 2/)(0&/&1)
* ()=1 (1 + /)2(1-2/) (—1&У0),
*(Т(1 +产(—1&У0).
Интересный прямоугольный элемент был описан Пауэллом (1973). Прямоугольник разбивается диагоналями на четыре треугольника, и предполагается, что на каждом треугольнике аппроксимирующая функция задается полной квадратичной по х и г/ функцией. Коэффициенты этих квадратичных функций можно выбрать так, что получится С!-гладкость на прямоугольной сетке.
Бикубические сплайны
В разд. 1.1 было показано, что одномерный кубический сплайн с локальным носителем длины 4Л имеет вид (1.15). Фактически этот сплайн, впервые предложенный Шёнбергом (1969), часто записывается как
m")二叁64信7)：,(4.19)
где 6 ——обычный оператор центральной разности, а константа выбрана так, что
\ Л1 (х) dx = 1.
Константа ； в (1.15) была выбрана с тем, чтобы以0) = 1.
В областях типа прямоугольника, разбитых на прямоугольные элементы, рассмотрим сплайны Шёнберга М (х) из (4.19)
用5)=融(普
Тензорное произведение М (х) и М(у) дает функцию с носителем из 16 прямоугольных элементов. Она оказывается базисной функцией в узле х — jh. у ■== kh для кубических сплайнов, если только узел не лежит на границе области и не примыкает к ней. Для граничных и примыкающих к границе уз-
лов нужно строить специальные базисные функции, если, конечно, решаемая задача не имеет естественных граничных условий (гл. 3, стр. 54). Полная аппроксимирующая функция в этом случае является С2- 2-гладкой.
Возможно, заслуживает упоминания то, что в маловероятном случае С4* 4-гладкости аппроксимирующей функции на прямоугольной области, если только она потребуется, могут быть использованы, подобно кубическим сплайнам, сплайны Шёнберга пятой степени
М(行=费2( j)：
Их тензорное произведение имеет носитель из 36 прямоугольных элементов, что делает эти сплайны довольно неудобными для работы.
В заключение этого короткого параграфа о прямоугольном элементе следует указать на то, что размер носителя сплайна увеличивается с ростом порядка сплайна, тогда как носитель эрмитовой функции остается всегда состоящим из четырех элементов, независимо от ее порядка, в то же время сплайны имеют гладкость 。2(”一1), 2«-i)против O-i,v-i для эрмитовых функций при степени полиномов 2” ——1.
Четырехугольник
Можно подумать, что четырехугольник является лучшей формой ячейки, чем треугольник, поскольку сетка в целом упрощается. Например, треугольная сетка всегда может быть упрощена объединением треугольников попарно в четырехугольники. К сожалению, однако, невозможно найти полином от % и у, который бы сводился к произвольной линейной форме вдоль четырех сторон общего четырехугольника, и поэтому не ясно, как можно построить кусочно-полиномиальную функцию от х и ^, которая имела бы С°-гладкость на четырехугольной сетке.
Лемма 4.1. Пусть 夕卜 俨2,夕з 〃 夕4 — точки в трехмерном пространстве, такие, что 乡/ = (%/, у〃 2/) (у = 1, 2, 3, 4), Тогда плоскость, проходящая через три точки 俨/,夕々 и 夕？ (j，^¥=/)， описывается уравнением
П/А/ = О,
где Hjki = —zCjkt + ZjDki — zkDji + ziDiki a &必 Dki u t. определены в разд. 4.1. Кроме того, поверхность
^kln^fkm — РП^тП/AZ = 0> (4・20)
Рис. 13.
где (/,瓦 /, m)——любая циклическая перестановка (1,2,3,4) проходит через четыре точки 乡卜 ^2,砂з и 彳4 и содержит прямые линии &俨2,俨2兔，乡з彳％ 乡4乡 1 при любых значениях a w р.
Из этой леммы ясно, что такие поверхности как (4.20), которые проходят через точки ^/ = (修，协，力)(/ = 1, 2, 3, 4), можно использовать для определения функций /(х, у) на четырехугольнике РР2Р3Р4, где Pj=(%j, у/, таких, что (1) /(%/, У}) = // и (II) f (х, у) изменяется линейно вдоль сторон 尸仍2,力2尸3, 2尸4,户4力 1 четырехугольника.
Таким образом, можно взять 俨『= (尤厶 у/, 1) и 乡々 = =(%走，勿，0)(々卢 /) и определить базисную функцию 屮/(尤，у), такую, что
(1 (/ = fe)
<₽/(/,%) = ( ° (『*团 (1 </，й<4).(4.21)
Упражнение 13. Пусть Р5 ——точка пересечения прямых PiA и 尸3尸4, а Ре ——точка пересечения прямых 尸2尸з и Р4Pl (рис. 13). Докажите, что прямая линия 尸5尸6 (。5£ = 0) такова, что
⑴丄竺(4 22а)
⑴&23十С]34&24&56口・/?编
н что существует такая константа % #= 0, для которой
(II) G34c234012 +С123cl24。34 =
=&23c234°14 + G34cl24°23 =九。56*(4.22Ь)
Отсюда покажите, что если aCkimCjkm = §СцщС^1, то базисные функции, определенные в (4.21), могут быть записаны
каккак以2 Dg Сfkl Сjim以2 Dg Сfkl Сjim
как
как
以2 Dg Сfkl Сjim
以2 Dg Сfkl Сjim
где PkPi и PiPm — стороны четырехугольника, не содержащие угол Р/, и где (/,电厶 т)——некоторая перестановка (1,2,3,4)- (Используйте формулы
(О C/巾！ 一Cklm~V С Пт — С 融加=°,(4.23а)
(II) С仰 一 Dkl + Dn - Dik = 0,(4.23b)
где (/,財 /, /n)——любая перестановка (1, 2, 3, 4).)
ИзОПАРАМЕГРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Билинейная аппроксимация
Наиболее общий метод использования четырехугольных элементов состоит в применении точечного преобразования четырехугольника в единичный квадрат и в использовании так называемой изопараметрической аппроксимации (Айронс, 1966; Зенкевич, 1975). Другими словами, угловые точки Pj = =(勺，协)0 =1,2, 3,4) четырехугольника преобразуются в четыре точки (1,1), (0,1), (0, 0) и (1, 0) (в плоскости (р, q)}. Стандартное преобразование есть
/ = pg/i + (l — р) ^2 + (1 —Р)(1 — д"з+р(1 —9)〃
(4.24)(4.24)(/ = х, у),
(4.24)
(4.24)
которое можно записать как
4
'1 = Е ф/* (р> <7)tj (t = x, у).(4.25)
Изопараметрическая аппроксимация получается, если определить аппроксимацию вида (4.25), а именно
4
и(р, 9)=2 叫)(Р，д)%・(4.26)
Упражнение 14. Покажите, что преобразование, обратное (4.25), может быть записано как
0234 + &34)р2 + (。34 + 012 — &23 — °234)Р + °23 =。(4.27а)
и
(&34 + a23)42 + (023 +041 一 С134 一С234)4 +。34 = 0，(4.27Ь)
Далее, используя (4.23а) и (4.23b), покажите, что функция р, определенная в (4,27а), эквивалентна поверхности вида
(4.20), проходящей через точки 夕『=(，，劣,％) с 迎=% = 0 н R = & = 1, если а = В, a g, определенная в (4.27b), эквивалентна такой же поверхности с % = & = 0, ^ = /2 = 1 и а = р.
Упражнение 15. Если требуется преобразовать четырехугольник PW2P3P4 в единичный квадрат, то выбор а = р не является единственно возможным. Покажите, что если 乡,(/= =1, 2, 3, 4) взяты как в упражнении 14, и aCkimCjkm = = ^CjimCjki, то новые координаты р и q можно определить так:
Упражнение 16. Покажите, что якобиан / преобразования (4.25) можно записать как
/ = (1 — Р)С12з+ (1 — 9)&34 +(Р + Q — 1) &24，
и докажите, что / > 0 для 0 W W 1.
Если билинейные полиномы, использованные в преобразовании (4.25), заменить на полиномы более высокой степени, можно ввести дополнительные точки, определяющие преобразование, и одновременно распространить изопараметрические аппроксимации на криволинейные четырехугольники.
Биквадратичная аппроксимация
Теперь добавим к четырем точкам А,=(尤/,劣)(/ = 1,2, 3, 4), которые соответствуют углам единичного квадрата в (р, ^-плоскости, точки Р/ (/ = 5, ..., 9), которые соответ-
ствуют серединам сторон (т> 1)，(°- т)> (4> °) н 0,4)и центру (4' т) соответственно (рис. 14). Биквадратич-
ное преобразование определяется
9
/ = ?［屮黑(p，9)勺
как
(/ = % 办
(4.28)
где 屮¥)= р (2р ——1) q (2q ——1) и аналогично определяются (р£)叫2)и 屮俨，ф^ = 4(1——р) pq Qq—1) и аналогично определяются 中伊屮黑 и 唠)，a 喏)=16P (1 - p)q(l - q).
Изопараметрическая аппроксимация тогда определяется формулой
9
U(p, q) = X^(P，q)Ui.(4.29)
С другой стороны, если преобразование определено по (4.25), а аппроксимация ——по (4.29), то это ——пример субпараметрической аппроксимации.
Стороны четырехугольника можно сделать прямыми подходящей расстановкой узлов Р5, Р6,「7 и「8 на сторонах. В частности, если они являются серединами , соответствующих сторон, а Р9 — центром тяжести четырехугольника, формулы (4.28) сводятся к (4.25).
Внутренний узел Р9 можно исключить аналогично тому, как исключались внутренние узлы из аппроксимаций, основанных на треугольных элементах, используя линейное соотношение
84
/=5/=1
Это дает функцию, которая все еще интерполирует квадратичные по р и q функции точно, но не имеет члена с p2q2. Ее можно записать как
8и (р，е)=耳 噌* (р, g) %8и (р，е)=耳 噌* (р, g) %(4.30)(4.30)
8
и (р，е)=耳 噌* (р, g) %
8
и (р，е)=耳 噌* (р, g) %
(4.30)
(4.30)
где ф^* = pq (2р + 2g ——3) и аналогично ①贤* (/ = 2, 3, 4),屮皆尸= = 4pg(l —р) и аналогично(р<2)* (/ = 6, 7, 8). Для изопарамет- рической аппроксимации с восемью узлами преобразование (х, у) в (р, е) будет также определяться по (4.30) заменой U поочередно на 尤 н у. Этот четырехугольник с восемью узлами
был использован Джорданом (1970) в качестве Элемента при решении задач, включающих плоское напряжение или деформацию.
Бикубическая аппроксимация
Полная бикубическая аппроксимация включает четыре внутренних узла (см. рис. 15) в дополнение к четырем угловым и восьми боковым узлам (по два на каждой стороне). Внутренние узлы могут быть исключены для получения аппроксимации, в которой нет членов с p2q2, p3Q2, /А/З и 户令3 Ее можно записать в виде
U3 e) = £i嚟*(〃 叫
где <р,)* = ^ (р2 + д2——р——g + 暂)pg и аналогично 齊)* Q
(/ = 2, 3, 4), ф^* = у р^ (1 — р) (Зр — 1) и аналогично 屮俨* (/ = 6, ... , 12).
Тетраэдр !)
Лагранжева интерполяция
Полный полином степени
пт(х, у, z)= £ ajuX^z'
/+й+/=о
Сравните с разд. 4.1.
можно использовать для интерполяции функции U(x, у, г) по (т + 1) (т + 2) (т + 3)
66■—~■———~!一- симметрично расположенным в тетраэд-
6
6
ре узлам. Первые три случая этого общего представления для тетраэдра 尸伊2尸з尸4 таковы:
Линейный случай {т = 1). Полином задается формулой
4
И] (х, у, z)=尸]U{p^ (х, у, г),
где U『(/ = 1, 2, 3, 4) —значения U(x, у, г) в вершинах 尸『и
Р「(％, У，* =77^7(七&打—^kin^ + ^мпУ — Ckinz)t
где-11Г jkin = det ]-1где-11Г jkin = det ]-1u劣 2/-力 уk 勿* У1 力 xrt Уп zn~u劣 2/-力 уk 勿* У1 力 xrt Уп zn~-1Akin = det 1-1Akin = det 1Ук 2ft-Ш ZiУп N/l-Ук 2ft-Ш ZiУп N/l-
где
-1
1
Г jkin = det ]
-1
где
-1
1
Г jkin = det ]
-1
u劣 2/-
力 уk 勿
* У1 力 xrt Уп zn~
u劣 2/-
力 уk 勿
* У1 力 xrt Уп zn~
-1
Akin = det 1
-1
Akin = det 1
Ук 2ft-
Ш Zi
Уп N/l-
Ук 2ft-
Ш Zi
Уп N/l-
и т. д., a (/,论，/, /г) —любая перестановка (1, 2, 3, 4). Заметим, что 專 I ГJkin I — объем тетраэдра 尸i尸2戶3「击
Квадратичный случай (zn = 2). Теперь полином та^ ков:
10
口2(*, У，г) == £ и}р^ (х, у, z),
где Uj (/ = 1, 2, 3, 4) — значения U(x, у, г) в вершинах р/, а 5 (/ = 5, ..., 10)——значения в серединах ребер. Выражение р}2) (через р%) имеет тот же вид, что и для треугольника (см. параграф 4.1).
Кубический случай (/и = 3). Здесь полином имеет вид
20
пз(х, у, z) = W 17/湾)(%, g, z),
где Uj (/ = 1, 2, 3,4) — как и выше, U/ (/ = 5, ..., 15) — значения U(x, у, г) в точках трисекции ребер, a U* (/ = 16,... …，20) — значения в центрах тяжести граней. Формулы для р?) (через р{^ имеют тот же вид, что и для треугольника (см. разд. 4.1).
4 Зак. 672
Эрмитова интерполяция
Кубическую аппроксимацию U (х, у, z) на тетраэдре мож!* но выписать подобно (4.9) — (4.10b) как
G] (х, у, z)=
4
=2 [⑵俨 + (豹"+ (劉严 + (黔方)+ ^(з)],(4.31)
где О/ (/ = 1, ..., 4) — значения U (х, у, г) в центрах тяжести граней, противолежащих вершинам Р『，и где
03)(X, д, 2)=夕/(3々一2р； — 7 (PR + ргр„ + РпРк» (4.32а) 寻)(х, у, z) = 27%円р“，
И
炉(%,, у, z) = р/ [陶е%(Р/ + Р„ - Р/) +
+ ^iiP^Pk + рп- Р/) + %пР“ (pft + PL %)]； (4.32b) 對)(居 у, г) получается из г^ (х, у, г) заменой 自 на % а /俨(х, у, г)——заменой & на & где 扌” =z；——zk. Как и для треугольника, мы писали "/ вместо "，) (/ = 1, 2, 3, 4) для упрощения формул.
Упражнение 17. Проверьте, что можно исключить значения U(尤，у,乞)в центрах тяжести граней и все еще точно интерполировать квадратичные функции, если сделать замену z =4 Z %+% Z"[(联)收+也)+
+ (^*) Ju+ 外*) + (^")也隽门在 + 如)]， где £⑴ означает суммирование (при фиксированном /) по (/, kt /, п) для всех возможных четных перестановок (1, 2,3,4). Покажите, что интерполирующий полином становится таким:
4
e；(му，zxZW,瞰+ (浆)严+ (微产+ (栗)J叫
где
4阱(％ 协 Z)0 Р, (3"/ — 2# + 2 (联〃 + pkpn 十 〃％)),
0 (& 协力=/(褊%+V/ + La) + tP/ {pkPt 匾/十晶)+
丑 т. д.丑 т. д.+ 4% (% + %)+ 〃/ (① + 镰)}
丑 т. д.
丑 т. д.
Шестигранник !)
Вообще говоря, в случае трехмерного пространства элемент с шестью четырехугольными гранями лучше тетраэдра. Локальные изопар.аметрические координаты (р, q, г) можно ввести как и для четырехугольных элементов в двумерном случае. Преобразование координат имеет вид
8
/ = Z 明(р, 9, Г)% (/ = X, 4, Z),(4.33>
/=1
где <pj!) = pqr, ф^ = (1 — p) qr и т. д., причем вершины пронумерованы как на рис. 16. При таком преобразовании произвольный шестигранник переходит в единичный куб в (р, д, г)-пространстве. Затем по формуле
8
и (〃 q, r)=耳咪)(",q, r)%(4.34)
определяется изопараметрическая аппроксимация. Можно получить и триквадратичную и трикубическую аппроксимации, если ввести дополнительные точки на ребрах и гранях, а также ряд внутренних точек. Точки на гранях и внутренние точки можно исключить подобно тому, как это было сделано в двумерном случае при исключении внутренних точек четырехугольника.
Упражнение 18. Вычислите базисные функции ф^ (р, д, г) (/ = 1, ..., 27) для триквадратичной изопараметрической аппроксимации на шестиграннике. Затем проверьте, что центры тяжести граней и самого шестигранника можно исключить и получить аппроксимацию вида
20
U{p, q, r)=£ qf)*(p, g, г)%(4.35}
которая точно интерполирует квадратичные функции, но не имеет членов с 状矿，夕2产，『2P2,尸夕勺 卩2a2, pq%产,р2^2г2 и для которой <р^* = pqr (2р + 2<7 + 2г — 5) и аналогично <р^)* (/ = =2,…,8),唠尸==4р"(1—р) и аналогично(р^2)* (/ = 10〕…，20).
Упражнение 19. Проверьте, что трикубическая аппроксимация на шестиграннике требует 64 узлов: восемь вершищ по две точки на каждом ребре, по четыре — на каждой грани и восемь точек внутри шестигранника. Затем проверьте, что узлы на гранях и внутренние узлы, могут быть исключены для получения аппроксимации, которая включает члены
с p/g^f/(j + 々 + / & 4), а также члены пятой степени ^qr9 рфг и pq^. так что
32
и (р, q, г) =£ 暇(р, % г) U/,(4.36)
и аналогичнои аналогичнои аналогичнои аналогичногде <р(3)* = у pqr [р2 + 炉 + 产一(р + g 十 г) + yj
и аналогично
и аналогично
и аналогично
и аналогично
叫з)* (/ = 2,…，SJ.acp^-jp^Cl-pJOp-l)
噌* 0=10,…，32).
Криволинейные границы
До сих пор базисные функции строились в основном для сеток с прямыми сторонами ячеек. В реальных двумерных н трехмерных задачах, однако, границы и поверхности раздела часто криволинейны. Цель этого параграфа заключается в получении базисных функций для сеток, составленных из элементов с криволинейными сторонами (двумерный случай), или с криволинейными поверхностями (трехмерный случай). Криволинейный элемент появился при расчете сооружений у Эргатодиса, Айронса и Зенкевича (1968), и библиографические разъяснения по этому вопросу можно найти у Зенкевича (1975). В двумерном случае, если граница области является ломаной линией, элементов с прямыми сторонами^ обычно треугольников или четырехугольников, вполне достаточно. Однако если некоторая часть границы (или линии раздела материалов) изогнута, желательны элементы по крайней мере с одной криволинейной стороной.
Вначале мы рассмотрим треугольный элемент с двумя прямыми и одной криволинейной сторонами. С помощью
этого элемента и треугольников с прямыми сторонами можно адекватно решить большинство плоских задач с криволинейными границами и линиями раздела.
Треугольники с одной криволинейной стороной
Рассмотрим треугольник Р\Р2Рз в (х,«/)-плоскости с прямыми сторонами 尸2尸з и АР, которые описываются уравнениями /(%, у)=0 и т(х, у) = 0 соответственно. Криволинейная сторона, проходящая через точки Pi и Р?, описывается уравнением F(x, у) = 0. Функции /(х, у), m(xt у) и F(x, у) нормированы так, что
/ (尤I, f/t) = ^ (也，Уб =戶(尤3, f/з) = L
Преобразование плоскости (х, у) в плоскость (/, т) выглядит так:
I— g£(Зз + Л 23х — &2з9),(4.37 а)
т = -^ (т31 + T3tx — ^{у).(4.37b)
В плоскости (/, т) получается треугольник PIP2P&, где Р[= (1, 0), Рг = (0, 1) и Рз = (0, 0), а криволинейная сторона Р(Р$ выражается уравнением
F (х (/, т), у(1, т)) = f (/, m) = 0.
Мы используем здесь / и m вместо "£)и 「，)(ср. с (4.2)), потому что треугольник PjPZPg с одной криволинейной стороной не является стандартным треугольником.
Теперь мы опишем один тип лагранжевой аппроксимации на криволинейном треугольнике Р〈Р，Р&, которая удовлетворяет следующим условиям:
Линейные полиномы интерполируются точно, т. е.
Х%= 1； 2^Ф< = /； £恤也=加， (4.38) г//
где <р( (/, т) — базисная функция, связанная с /-узлом. Так как преобразование (х, у) в (/, т) линейно, соотношения (4.38) означают, что линейные полиномы в плоскости (х, у) на треугольнике Р1Р2Р3 также интерполируются точно.
Базисная функция (рз(/, т), соответствующая Рз, равна тождественно нулю на криволинейной стороне Р$Р「
Получающаяся кусочно-гладкая функция, определенная на сетке треугольников, каждый из которых имеет самое большее одну криволинейную сторону,- непрерывна.
Нетрудно увидеть, что для выполнения (I) и (II) на гре* угольнике PIP6R необходимо иметь по крайней мере четыре узла. В простейшем случае берутся три вершины и дополнительная точка Pi = (Л, ^4) на криволинейной стороне.
Вначале мы построим базисную функцию фз, которая удовлетворяет (II), а затем используем (4.38) для построе* ния(pr, ф2 и ср* Применим геометрические рассмотрения, подобные тем, которые были привлечены к получению базисных функций для четырехугольника, и поэтому рассмотрим семейство поверхностей г(/, т)= 0, которое пересекает пло* скость (/, т) по кривой f(l, /и) = 0 и задается уравнением z (аг + 0/ + yzn + 6) + f (厶 /и) = 0.(4.39)
Если мы наложим на г условия
⑴色⑶⑴色⑶г = 1(/ = /п = 0),
⑴色⑶
⑴色⑶
z=l — / (m = 0)2 = 1 — т (/ = 0),
то можно определить р, у, 6 с помощью одной произвольной константы а, так что (4.39) перейдет в
az2+[a(/+m-l)+l 一哈斗一粵汨z~HQ, m) = 0. (4.40)
Теперь мы полагаем % = а, после чего остальные базис* ные функции определяются из (4.38) как
Ф1Ф1(1 —加4)/ + 厶加,- /4 I/41 — /4 '—加 41 '—厶—加 4(1 —加4)/ + 厶加,- /4 I/41 — /4 '—加 41 '—厶—加 4R =R =1 - / — tn1 — /4 —加41 - / — tn1 — /4 —加411(4.41)(4.41)
Ф1
Ф1
(1 —加4)/ + 厶加,- /4 I/4
1 — /4 '—加 41 '—厶—加 4
(1 —加4)/ + 厶加,- /4 I/4
1 — /4 '—加 41 '—厶—加 4
R =
R =
1 - / — tn
1 — /4 —加4
1 - / — tn
1 — /4 —加4
1
1
(4.41)
(4.41)
a = 0, базис*a = 0, базис*(4.42)(4.42)Упражнение 20. Проверьте, что если в (4.40) ная функция фз имеет вид
a = 0, базис*
a = 0, базис*
(4.42)
(4.42)
屮з - f(0,m)/(1 一 ⑺ + f (厶 0)/(1 -Z)-l
а если криволинейная сторона является коническим сечениемf (/, /и) = a/2 + Ыт + ст2 — (1 + а) / — (1 + с) /и + 1 = 0,
то
_。户 + bltn + с/М — (1 + а) / — (1 + с) /и + 1(4 43)
屮 з —I — al — ст*
и мы приходим к рациональным базисным функциям Уачсп* ресса (1971, 1973, 1974 и 1975).
Упражнение 21. Если криволинейная сторона ——отрезок гиперболы
f (/, /п) = b(tn — / — m + 1 = О, покажите, что базисные фу11Киии Ф/ (/ = 1, 2, 3, 4) суть полиномы, если а = 0.
Замечание. Кусочно-гиперболические дуги можно использовать для аппроксимации криволинейных границ или поверхностей раздела и получить все еще полиномиальные базисные функции.,'
ИзопарАМЕТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Квадратичная аппроксимация на стандартном треугольнике
Часто треугольные элементы с криволинейными границами преобразуют в стандартный треугольник, а потом используют изопараметрические аппроксимации. Проиллюстрируем этот подход вначале на примере общего криволинейного треугольника, изображенного на рис. 17. Преобразование (х, у)-плоскости в (р, ^)-плоскость задается формулой
6
/ =石噌(",д) // 〃 = X, у),(4.44)
где квадратичные базисные функции 严)(/ = 1,・••，6) определяются как в разд. 4.1, только "i и р2 заменены на " и q соответственно. Тогда изопараметрическая аппроксимация получается аналогично, т. е.
и(Р, д) = £严％(4.45)
Если мы рассмотрим частный случай треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной, так что % = =% 卜=刍寺 丄(f = x，")，To преобразование (4.44) сводится к
/ =叩夕 + ",(4.46а)
、 т = Врд + %(4.46b)
где а — 2(2/4—1) и B = 2(2g — 1). Обратное преобразование выглядит так:
Вр2 + (am — р/ + 1) р — / =0,(4.47 а)
財立十 @/ — a/«+ 1)g — zn = 0(4.47b)
<7<7
<7
<7
Упражнение 22. Покажите, что если Ц — т^ = R, то из (4.47а) и (4.47b) следует, что r(= 1 — р ——q) удовлетворяет уравнению
户一 <^_因己不一(2-叨=。(4.47С) и, следовательно, криволинейная сторона /(/, /и) = 0 заменяется кривой г = 0, описываемой уравнением
4詐一崎a(/-加)2 = °，(4.48)
которая оказывается параболой. Покажите далее, что если а = -?} 1 и f (/, т) определена по (4.48), то (4.40) перехо- дит в (4.47с) с заменой г на г. Объясните эту связь между йзопараметрической аппроксимацией и прямыми методами работы с криволинейными границами.
Упражнение 23. Покажите, что вообще криволинейная сторона г = 0 задается уравнением ”
(0/ — am)2 + (a + Р + ap — р2) / + (a + Р + ap — a2) m —
—(a + 3+ aP) = 0h где аир заданы выше.
Запрещенные элементы
Одним из неприятных моментов использования изопара； метрических координат для работы с криволинейными элементами является случай обращения в нуль якобиана /(= 1 + рр + ag) преобразования, заданного в (4.46а) и
(4.46b). Этот якобиан положителен для всех р, д, таких, что 0 ^ р, g, p + g& 1, если только точка (/% m j лежит в области 厶 т> ~t как показано на рис. 18. При других поло* жениях точки (^4, т^ в положительном квадранте (/, т" плоскости, включая и линии 〔=彳 и 加=彳，якобиан либо равен нулю, либо отрицателен для некоторых значений (", д)： (Джордан, 1970), и поэтому в этих «запрещенных» случаях изопараметрические координаты, вообще говоря, нельзя использовать для работы с криволинейными элементами (исключения из этого правила приводятся в разделе 7.4(F)). Причина этого заключается в том, что результаты, вычисленные с помощью изопараметрических координат (р, q), нельзя перенести обратно на (/, т)-плоскость, поскольку вследствие обращения в нуль якобиана где-то на элементе обратного преобразования нет.
Вместо использования изопараметрических координат мы можем работать прямо с I и т, применяя (4.40) и (4.4J). Если, как в упражнении 22, искривленная сторона определяется из (4.48) и a=(2R — 1)/2/?, уравнение (4.40) будет иметь вещественные корни, если только
尸(/, т; R) = ^l + m + ■ 2(2术三 1У У —也加》0. (4.49)
Рис. 19.Рис. 19.Нетрудно заметить, что при фиксированном R функция F(l, т; R) не имеет максимума или минимума внутри элемента или где-либо на (/, /и)-плоскости. Следовательно, наименьшее значение F(l, т; R) достигается на границе элемента при всех значениях R. В самом деле, из (4.48) еле*
Рис. 19.
Рис. 19.
Рис. 18.
дует, что
尸(/, m; R)=(々^ 二;У > О
для всех R на криволинейной стороне, и, конечно,尸 всегда положительно на сторонах / = 0 и /и = 0 в силу (4.49). Таким образом, условие (4.49) выполняется для всех R и для всех точек (/, т) элемента.
При использовании в этом примере изопараметрических координат значения R в области О V R V 彳 использовать запрещается. Может показаться, что при использовании (4.40) таких ограничений нет. Однако с помощью простых геометрических рассмотрений можно показать, что при 0 V R V } криволинейная граница пересекает оси / и /и в точках- между началом координат и единичными точками осей (см. рис. 19).
Упражнение 24. Для 0 V R V } найдите точки пересече* ния криволинейной стороны с осями / и /и между началом координат и единичными точками и покажите, что при 彳 эти точки стремятся к единичным точкам на соответствую^ щих осях.
Упражнение 25. Покажите, что квадратное уравнение (4.40) имеет вещественные корни при любых значениях а, когда тонка (/, /и) лежит на границе треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной стороной.
Кубическая аппроксимация на стандартном треугольнике
Однозначно определенный кубический интерполяционный полином на плоскости (р, q) может быть записан как
ю
U(p,q) = W『M，(4.50)
где базисные функции р?) (/ = 1, …，10) описаны в разд. 4.L Мы получим изопараметрическую аппроксимацию, если используем (4.50) для определения точечного преобразования (х, у) (или (/, /и)) в (р, д) заменой U на х и у (или / и /и) (см. рис. 20). В частном случае треугольника с двумя прямыми сторонами, у которого A, Р7 и Р& % — точки трисек*
ции сторон 尸2戶з и 戶3戶1 соответственно, мы получаем фор* мулы
Z = Р + ^ "9 (б/ю — 〃 一厶一1) + 等"2夕(Л — 2/I0) +'
+ ^/2(/5 - 2/io + g),(4.51)
m — q + -^pq (бгпю —人一恤 一 D +
+ 与 P2g (б4 — 2m 10 + g) + 号"d (^5 一 2m[0),
где Р； = ((, т) (/ = 4,5)—— точки на криволинейной . стороне, а (До, /Ию)——внутри треугольника. Из (4.51) следует, что преобразованная кривая, проходящая через точкиPJ, %, Р£ и Р£ оказывается кубической.
Упражнение 26. Покажите, что если /4 = /5 + у и т^ = =加5—区，то кубическая кривая вырождается в единственную параболу, проходящую через точки (1,0),(厶，也), (%,也5)и (0, 1). Если к тому же /4 = 2/ю и т^ = 2тюг то докажите, что формулы преобразования (4.51) сводятся к
/ = р + 9 «о — }) pq,m = q+^ {ml0 — у) pq
и что уравнение кривой из упражнения 23 при 4/4 ™ 9/ю—1 и 4恤=9恤0—1 задает параболу данного упражнения.
В статье Маклеода и Митчелла (1975) построены примеры разнообразных криволинейных сторон и получены соответствующие дуги парабол. Во всех примерах было обнаружено, что параболы близки к первоначальным кривым. Важно подчеркнуть то, что изопараметрические элементы вообще чрезвычайно чувствительны к деформации основной треугольной формы.
Ч ЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ОДНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СТОРОНОЙ
В разд. 4.3 для биквадратичной аппроксимации на четырехугольнике была дана формула (4.30). В частном случае четырехугольника с тремя прямыми и одной криволинейной сторонами (рис. 21), в котором Рб, 「7 и Р8一середины прямых сторон Р2Р3,厶匕 и Р^Р\ соответственно, формулы точечного преобразования, соответствующие (4.30), сводятся к
= р + (-\-Ц+ 4/5) pq + (2/! - 4Z5) ^(4
m — q+ (—3 — /И] + 4/^5)pg + (2 + 2mj — 4m5) p2^*
для изопараметрической аппроксимации, где
2 = ^17 "23 + ""—自23 办
6 =倪;(°34 + "34%一&&)■
Координату q можно исключить из (4.52) и получить
Гр3 + [Z — 77 + Ут] р2+ [1 + Хт - Z/] р - / = 0.
Кривая q = 1 задается уравнением
[П-У(1 - /п)12+(Т + ХТ- KZ) [Zl + (1 + X) (1 — т)] = 0.
(4.53)
Здесь X = —1 — Л + 4厶，У = 2厶一4/s, Z = 一3 — Ш\ + 4ms и T = 2 + 2/Hi — 4/И5. Эта кривая, конечно, — парабола. Следовательно, если, используются изопараметрические координаты, как определено формулами точечного преобразования, соответствующим и (4.30), криволинейная сторона заменяется дугой параболы, уравнением которой является (4.53).
Упражнение 27. Для случая четырехугольника с одной криволинейной стороной и с дополнительными узлами в точках трисекции всех прямых сторон (рис. 22) покажите, что
**
*
*
формулы точечного преобразования сводятся к
1 = р+ ^ [(у 厶一，5 + 2/6 一 普)pq —
一仏一/5 + 5/6)"初 + (/1 - 3/5 + 3/e)"/], 他=g + / [信 人一恨十2加6 一 告)pg -
—(mi — 4^5 + 5加6 ——2) f^q + (g ——3m5 + 3/n6 — 1)歯].
Затем покажите, что изопараметрическая координата q может быть исключена, чтобы получить уравнение четвертой степени по р, что кривая д=1—четвертого порядка по / н 俏,а кривые постоянных р ——прямые линии.
ТЕТрАЗДР с криволинейными гранями
Рассмотрим тетраэдр с четырьмя криволинейными гранями, у которого на каждом из шести искривленных ребер взят один промежуточный узел (см. рис. 23(a)). Стандартный тетраэдр в (р, ^, г)-пространстве „можно отобразить в (х, у, z)-пространство так, что его вершины и промежуточные узлы перейдут в соответствующие вершины и узлы произвольного наперед заданного искривленного тетраэдра. Это осуществляется с помощью точечного преобразования t — p (2р — 1)厶 + 4 (2g — 1)勾 + г (2г — 1) % + s (2s •— 1) 〃 +
+ 4Pб% + 4困力8 + 4夕亙6 + 4rg% + 4prf io + 4rs/7, (4.54)
где p + g + /* + s = L / = x, у, г. Для изопараметрического элемента интерполирующая функция также задается в виде
(4.54) с заменой ■/ на U. Так как большинство ограниченных областей в трехмерном пространстве можно приближенно разбить 1) на тетр аэдр ал ьн ые элементы либо с четырьмя плоскими гранями, либо с одной искривленной и тремя плоскими гранями, мы остановимся на последнем тетраэдре. Если плоские грани P6RPZ, RPfPZ и Р^Р^ лежат в плоскостях / = 0, /и == 0 и л = 0 соответственно, а вершины Р「Рб, Р£ на осях соответствуют / = 1, m = 1, n = 1, то мы приходим к рис. 23(b), где Рб, К и 修一середины соответствующих прямых ребер, a Ps — (R\, R\, 0), Р6 = (0, R2, R2) и Р；о = (Кз, 0, Кз)・ Теперь из (4.54) получаем формулы точечного преобразования
Z = p+2(2Ri — 1)“ + 2(2Рз— 1)“，
m = g + 2 (2R — 1) pg + 2 (2R? — 1)", (4.55) л = г + 2(2R3 — 1) pr + 2(2R2 — 1) “・
С помощью громоздких выкладок можно показать, что поверхность 1 — р — g — г = 0 оказывается многочленом четвертой степени по I, m и п.
Шестигранник с криволинейными гранями
Ограниченная область в трехмерном пространстве, имеющая криволинейную границу, может быть разбита на конеч^ ное число шестигранных элементов с криволинейными гранями. Точечные преобразования, основанные на изопарамет-
При таком разбиении куски границы области дублируются примыкающими к границе гранями элементов наподобие того, как это происхо* дит в апельсине. .
рических аппроксимациях типа (4.35) и (4.36), можно использовать для перехода от произвольного шестигранника к единичному кубу в (р, q. ^-пространстве. В преобразованном пространстве вычисления тогда выполняются обычным образом. К сожалению, формулы преобразования, соответствующие (4.35) и (4.36), столь сложны, что из них невозможно получить хоть какие-то представления о форме криволинейной поверхности, порождаемой точечными преобразованиями. Единственным утешением служит то, что это можно сделать, если провести поверхность через большое число точек, лежа^ щих на первоначальной криволинейной поверхности.
Замечание. Имеется большая потребность в базисных функциях» которые точно воспроизводят конкретные криволинейные стороны и поверхности в двумерном и трехмерном пространствах соответственно. Это особенно важно в задачах динамики невязкой жидкости, где «подделкам границы полностью изменяет поведение скорости вблизи границы. Хотя изопараметрический подход является улучшением по сравнению с заменой кривых линий, и поверхностей прямыми линиями и плоскостями соответственно, он все же основан на точечных преобразованиях и поэтому дает только аппроксимацию исходных кривых и поверхностей. Предварительные результаты, основанные на геометрических рассмотрениях для нахождения точных базисных 力ункнн访 криволинейных элементов, можно найти у Уачспресса (1975), Маклеода (1977), Маклеода и Митчелла (1972) и Барнхилла и Грегори (1976а) и (1976b).
ГЛАВА 5
сходимость АППРОКСИМАЦИИ
Введение
В гл. 3 было дано определение аппроксимации Галеркина. Было показано, что такая аппроксимация U удовлетворяет уравнению
a(U,P) = (f, Р) (для всех V е KN)y (5.1)
где Kn есть Ммерное подпространство пространства допустимых функций 壶.Если предположить, что интегралы вычисляются точно, то анализ ошибок для кусочно-гладких аппроксимаций вида
и(X)= £ ат (х)
сводится к двум основным моментам：
Доказательству того, что аппроксимация является иаилучшей илн почти наилучшей. В разд. 3.5 было показано, что аппроксимация Ритца будет наилучшей в энергетической норме, т. е.
№-Ul£= inf II"一引艮.(5.2)
В общем же случае удается показать лишь то, что аппроксимация Галеркина является почти наилучшей в некоторой Соболевской норме!): это означает, что
心—и|“к《С inf 11〃一近卜к(5.3)
住wKn
при некоторых г, С > О).
Оценке верхней границы правой части (5.3) в том специальном случае, когда элемент 证 wKn интерполирует решение. Если Kn есть пространство конечноэлементиых ап* проксимаций, то обычно существуют целое 々 = ^(К“)и постоянная С = С (Kg такие, что ошибка интерполяции огра*
ничена как
\\u-u\\r,R^Chk^-4u\\k+UR (г = 0, 1k) (5.4) при условии, что 〃曰爲")(/?)• Если предположить, что решение и удовлетворяет соотношению
а (и, и) = (f, и) (для всех и 曰爲)
и является элементом Соболевского пространства 為f *° (/?), неравенства (5.3) и (5.4) могут быть объединены для получения оценки порядка сходимости аппроксимации Галеркина U при стремлении h к нулю.
Если, как это обычно имеет место, интегралы получаются численно по некоторой квадратурной формуле, то приближенное решение не определяется более соотношением (5.1), а определяется его приближенным аналогом
例(％, Q = (f,吩力(для всех PwKm). (5.5)
При этом оказывается возможным получить оценку порядка сходимости с помощью (5.3) и (5.4), если справедливо неравенство
при некотором s > 0. Аппроксимация границы также приводит к некоторому изменению уравнений системы (5.1), как и использование несогласованных элементов, т. е. недопустимых функций U九壬第.Поэтому ясно, что анализ вопросов, порождаемых приближенным характером системы (5.5), имеет большое значение при практическом использовании метода конечных элементов.
Обозначения и вводные замечания
Билинейная форма а называется эллиптичной *) в 爲, если существует такая постоянная у > 0, что для всех 〃 w 第
а (〃, «) > YII« К
По аналогии с гл. 1 назовем ее ограниченной, если существует такая постоянная а > 0, что для всех 辽,uw 箔
|а(〃，v) Ka||tt|||| v||.
Большинство оценок погрешностей в этой главе выражается в терминах Соболевских норм. Такая норма определяется как
"磚R： 2产’鸣(R)，
I) Иногда говорят, что она коэрцнтнвна или положительно определена.
где в правой части использованы введенные ранее мульти* индексные обозначения. Полезным оказывается также понятие полунормы, определяемой производными только одного порядка:
I噸产整JIM曦(R).
Пространство Соболева 施货)(R) состоит из всех тех функций, для которых соответствующая Соболевская норма конечна. Через (и, и) будет обозначаться (если не оговорено ничего другого) скалярное произведение функций 〃(х) и и(х) в смысле пространства 宓依)：
з и) = Y а(X)и(X) dx・
Двойственное к 彌货)(R) пространство обозначается через 爲尸(/?), а соответствующая ему норма имеет вид
supи и兜产(R}supи и兜产(R}I 尸 3) I )iHGTrI 尸 3) I )iHGTr
sup
и и兜产(R}
sup
и и兜产(R}
I 尸 3) I )
iHGTr
I 尸 3) I )
iHGTr
В разделе 5.4 (В), где элемент F 三鑑^曾(R) будет определен для некоторого и 曰為产(R) как
尸⑷= (〃，и) (при всех 〃午徹产(R)),
можно положить, не внося двусмысленности в обозначения.
""一瓦r=""一瓦r=sup 「3叩U У сЛС 2 (Юsup 「3叩U У сЛС 2 (Ю
""一瓦r=
""一瓦r=
sup 「3叩
U У сЛС 2 (Ю
sup 「3叩
U У сЛС 2 (Ю
Упражнение 1. Докажите, что для любого и 三非产(R)
II “ U-E,R W II 〃 11^2 依)・
В следующих неравенствах обозначаемые через С по^ стоянные могут зависеть от области R н от пространства 詡 допустимых функций, но не будут зависеть от самих рас* сматриваемых функций. Предполагается, что /? является открытой ограниченной областью с гладкой (или кусочно-гладкой) границей dR, что R = R [) dR и, если не оговорено противное, R и R2. Для достаточно гладких функций, принадлежащих, скажем, пространству C*(R), иногда будет использоваться максимум-норма
Ml⑷L関旣{2叫8研
вместе с соответствующей полунормой 1叫沃=可旣{2"%砂
Для любого 右 > 0 определим пространство 彌货)(/?):
鑑产(/?) = {我：〃三彌罗(/?), и =——=...=:"在:.=0 на 0/?} и аналогично для любого конечномерного подпространства Лл и 為货)(/?) определим
Kn = Kn()^}(^
через R“ обозначается дополнение к Км в Kn・ Например, для любого подпространства Kn конечных элементов 尺川 будет подпространством, образованным только теми базисными функциями, которые соответствуют граничным узлам, т. е. обращаются в нуль во всех внутренних узлах.
Для краткости изложения различные дополнительные ограничения на область R при формулировке следующих лемм будут опущены. Эти ограничения не являются особенно обременительными и обычно выполнены, если граница будет достаточно гладкой между угловыми точками. Интересующийся читатель может обратиться к литературе, на которую в каждом случае имеются детальные ссылки. Предполагается, в частности, что лемма Соболева (см., например, Агмон, 1965, стр. 32 нли Иосида, 1965, стр. 242) применима к области А и Rm, т. е. что при А > г + 俏/2
II " % 庆)《 e П " Q К.
Лемма 5.1. При всех и 三鑑9)(R)
II “眩2《R)《О “ h, r・
Если % (>0) есть минимальное собственное значение для задачи, определяемой дифференциальным оператором Лапласа и однородными граничными условиями Дирихле, то С = l/к (Курант и Гильберт, 1953, стр. 386—392). Из леммы 5.1 следует, что для宓卜(/?) величины IHIlr н |.|鹏 бу- дут эквивалентными нормами. Лемма 5.1 является частным случаем более общих результатов：
Лемма 5.2 (Обэн, 1972, стр. 173).
II« 必(R)Е СI 叫,R (для всех « е 宓贺> (/?)).
Лемма 5.3 (Нечас, 1967, стр. 18).
M%R《CM%R《C｛喝 r+£J，，》x「｝｛喝 r+£J，，》x「｝(для всех "e為产(R)).(для всех "e為产(R)).
M%R《C
M%R《C
｛喝 r+£J，，》x「｝
｛喝 r+£J，，》x「｝
(для всех "e為产(R)).
(для всех "e為产(R)).
Теорема 5.1 (лемма Брамбла — Гильберта; Брамбл я Гильберт, 1970; Сьярле и Равьяр, 1972а). Пусть элемент 尸 Е 捲$Т7 (/?) таков, что 尸(")=0 для всех pwP在.Тогда существует такая постоянная С = C(R), что
I 戶(«) KCIIFIL^,.RI«|ft+1.R (для любого и w 箔货+"(/?))•
Доказательство. Можно показать (упражнение 2), что для любого и е <^2ft+1) (/?) существует такой полином р = ="(〃)R Pfe, что
U/y(〃 + ")dx = 0 (|Z|<^). R
Применяя теперь лемму 5.3, получим
IM+"%+l,R《a〃 + Pll+LR = C|〃ILH,R.
Тогда в силу линейности функционала 尸
尸(幻=尸(" + ")
и после объединения всех этих результатов будем иметь a(〃)i《iWLiRii〃+Piu,R《ciwLiRi〃iF,R.
Упражнение 2. Докажите индукцией по 財 что для любого и е 5^2ft+1)(R) существует такой полином р = p(ti)w Р储 что
V。(u + p)dx = 0(|i|<Z>).
Чаще всего лемма Брамбла ——Гильберта используется для получения оценок для билинейных форм. Например, пусть 箔 есть гильбертово пространство и F ——ограниченная билинейная форма с аргументами из 非尹"(R) н 爲，т. е.尸 w w2 OK+°(R)X 施;R). Тогда если
尸("，口)= 0
для всех uw 爲 при и^ Pk и функционал 尸iw 爲「f(R) определен для некоторого и н 舒 в виде
Fi (iz) = Л (ut и) (для всех “R 為尸"(/?)),
то лемма Брамбла——Гильберта приводит к оценке
•丨吊®IWC||/M-irI 叫+LR.
В разд. 1.2 (упражнение 13) показано, что для такого функционала
Hi II <11 ^1111^1^,
и объединение двух этих результатов приводит к неравенству
I 尸他 v)\^C\\F\\\\v\\^\u\k+liR.(5.6)
Упражнение 3. Используя лемму 5.3, доказать, что если 尸 w Z (爲紀+D (R) х М+1> (R)； R)такой, что
尸伍，U) = 0尸伍，U) = 0для всех и 三舒"(R), если UE»
尸伍，U) = 0
尸伍，U) = 0
для всех V wМ+1)(ю> если u^Pk, ТО
I 尸(“，v)KC||F|||u|ft+1, R| u|r+i,R.
Регулярные преобразования
Обычно базисные функции определяются на стандартном элементе Го, который может быть единичным квадратем или прямоугольным треугольником с единичными катетами, а затем вводится точечное преобразование для построения базисных функций на произвольном элементе Т (ср. с гл. 4). Поэтому естественно получать оценки погрешностей на стандартном элементе, если только они допускают обобщение на произвольные элементы.
В случае криволинейных элементов такое точечное преобразование обычно разбивается на два этапа путем введения промежуточного элемента 7V. Этот промежуточный элемент имеет те же вершины, что и криволинейный элемент 7, но стороны его уже прямолинейны. Поэтому То отображается на 7V линейным преобразованием I = F0(p), таким, что
/ = % + (厶一%з) Р + (工2 —厶)0 (^ == Л ш),
где p = (p, g)wTo и 1 = (/,гп)еТ‘. Тогда отображение T‘ на криволинейный элемент Т можно рассматривать как нелинейное возмущение линейного преобразования. Если х = = (%,у)еТ, то полное преобразование запишется в виде
x = F(p) = Fo(p)+R(p),
где Fo есть линейное преобразование, a F] — нелинейный поправочный член. Все рассмотренные в гл. 4 криволинейные
элементы могут быть представлены таким образом. Заметим, что построение некоторых элементов в разд. 4.6 проводилось с помощью другой последовательности преобразовав ний, в которой промежуточный элемент 7V имел криволиней* ные стороны и те же вершины, что и стандартный треугольник То.
Чтобы неравенства вида (5.6) можно было использовать для получения оценок порядка сходимости конкретных конечноэлементных аппроксимаций, часто бывает необходимо отобразить 箔旷(То) на 爲Р(Т) и обратить это отображение. Поэтому мы будем считать отображение F настолько гладким, чтобы нз иН 彌Г(Г), следовало бы, что sFw爲gV где сложный (нли составной) оператор и о F определен как
(uoF) (p) = u(F (р)) (для всех р е Го)-
Для упрощения обозначений мы часто будем писать и вместо ^ ° F и в случае необходимости и(р) или, например, и(х), чтобы исключить возможную двусмысленность. Предположим также, что обратное преобразование F-1 настолько гладко, что при и (р)三非黑(То) выполняется включение 幻仪)曰第?(7)..
Условие 5.1 (условие регулярности). Если v 三 雍^⑺ 〃 диаметр j) элемента Т есть 瓦 то существуют такие постоянные Со, G и С2, что
I U I，, Го & & {рТ* /(Р)}- "2 九吋 и 卜 Г>(5.7а)
I и 1г,Го>G(当/(Р)}-1/2hr\v\nT(5.7b)
И。<去《{湍需}《e。,еc)
где / обозначает якобиан преобразования х — F(р).
Заметим, что это условие предполагает положительность якобиана для всех р w То. В гл. 4 было показано, что якобиан всегда положителен, если отсутствуют так называемые запрещенные элементы.
】)Диаметром треугольного элемента является длина его наибольшей стороны, диаметром четырехугольного элемента является длина его наи* большей диагонали.
х =х =Если все сводится к линейному преобразованию =Fo(P), то якобиан будет константой и
х =
х =
Л = detЛ = detг дх丽四-дрг дх丽四-дрдх 粛 °У @9дх 粛 °У @9”1 修 УС =det 1 %2 %-1 %з Уз"”1 修 УС =det 1 %2 %-1 %з Уз"
Л = det
Л = det
г дх丽
四
-др
г дх丽
四
-др
дх 粛 °У @9
дх 粛 °У @9
”1 修 УС =det 1 %2 %
-1 %з Уз"
”1 修 УС =det 1 %2 %
-1 %з Уз"
и поэтому оценка (5.7с) становится тривиальной.
Условие регулярности выполняется для определенных нелинейных преобразований вида
x = F°(p) + &(p),
где Fi есть 《малое》 возмущение (см. упражнения 9 и 10). Если возмущающий член удовлетворяет некоторым условиям, то можно показать, что якобиан имеет вид
〃P)i + 4(P)，
где величина /【также《мала》,и поэтому выполняется уело* вие 5.1 (Сьярле и Равьяр, 1972; Зламал, 1974).
Упражнение 4. Докажите, что из (5.7b) следует, что если /г V 1, то
н叫2》с и叫*犷{農у / (р)}-叱
Упражнение 5. Докажите, что для любого и е 宅2(7) l|/wll^ (Го)^^ sup 7(p)}1/2||y||^(n.
Сочетание леммы Брамбла ——Гильберта с условием регулярности применяется главным образом (но, не исключительно) для оценки погрешности интерполяции. Столь же успешно это сочетание можно использовать для оценки ошибок, возникающих в результате применения численных квадратур, основанных на конечноэлементных разбиениях области интегрирования.
Упражнение 6. (I) Пусть E0(v) есть ошибка численного интегрирования на стандартном элементе для функции и е 鑑"D (То), и пусть квадратурная формула точна для полиномов степени не выше k. Покажите с помощью леммы Брамбла 亠 Гильберта, что"
Пусть теперь такая формула преобразована для ин-' тегрирования на произвольном элементе, полученном линейным преобразованием из стандартного элемента. Используя
условие регулярности, покажите, что ошибка интегрирования для и w 爲贤+°(Т) может быть представлена в виде 七式厶叫 и что
\EQ(Jov)\^Chk+i\v\k+l,T,
Упражнение 7. (I) Пусть 〃三 爲簣+"(То), з 三 Р「н Eq[uw｝ обозначает ошибку численного интегрирования на стандартном элементе произведения из. Введем еще билинейную форму El е Z (為货 + D (То) х ①2 (Го)； R)как
旦(〃，w) — E0(uw)
и предположим, что квадратурная формула точна для полиномов степени не выше г + 丸 Докажите, что тогда найдется такая постоянная С, что
I %(uw) |<С||ш匕(Л)| И lft+1. г,.
(Указание, Доказательство аналогично выводу неравенства (5.6) J
Пусть теперь такая квадратурная формула преобразована для интегрирования на произвольном элементе с помощью линейного преобразования. Покажите, что тогда ошибка численного интегрирования произведения двух функций “R 非货+" (Г) и ш е Рг может быть представлена в виде Eq(JqUW)н что
\EQ(Jouw)\^Chk+l\u 1在+1,了1|5|以丁).
В упражнениях 6 и 7 предполагалась линейность преобра* зований, и поэтому /о⑪(p)wP) когда u»(x)e Рг. При использовании нелинейных преобразований, как это будет в разделе 5.4 (А), необходимо рассматривать такие функции w(x), для которых 9(р)/(р) является полиномом. Дальнейшие детали по поводу видоизменения квадратурных формул для интегрирования на произвольных элементах изложены в разделе 5.4(A).
Упражнение 8. Докажите, что если х = F0(p), то найдут- с貝 такие постоянные & и С2, что
，，(49%&&"，，｛(■&)'+(芻丫｝/。厶(/=р‘〃) Гог
Н (嘗У “р》С^ 5 S ｛(芻У+(芻У｝厶 ах(/=р, 〃).
Рис. 24.
Докажите далее по индукции, что неравенства (5.7а) и (5.7b) останутся верными при г = 1, 2, …，если в них заменить IIуIIг, г на \v\тlт^
Упражнение 9. (а) Покажите, что если точки Р5 и 尸6 являются серединами сторон 尸2Р3 и Р1Р3 соответственно, то квадратичные изопараметрические элементы с одной криволинейной стороной (см. рис. 24(a)) задаются преобразованием
/ = /з+ (Л — ^з)p + (h — Qq+ 仏一丄抖)4pg (z = x, у)
(ср. с разд. 4.6).
(Ь) Покажите, что для такого преобразования
/(Р)= Л)+ '1(Р),
где
厶(p) = 4 (* 一4扌■*') {例 一 U)q 一 (У1「У3)"} +
+ 4 (弘一也 寺 红){(%1 -%3)Р 一(%2 一 %3)0}
Найдите достаточные условия, при которых
O<Jo — Ch^^J^Jo+C^i
т. е. / 产0(无2). Сравните ваши результаты с (5.19).
Зламал (1973) предложил для треугольных элементов с одной криволинейной, стороной другой, подход, который приводит к аналогичным оценкам, .(
Упражнение 10. Покажите； что если точ*ки Рб н Р7,「8 и Р》 делят на три равные части стороны Р2Р3 и Р1Р3 соответственно. (см. рйс. 24(b)), то преобразование, задающее кубические изопараметрические элементы； содержит нелиней-
ные члены
27Pg (1 — р — q) ^/10 —丄士g土％)十 ‘
+ ^用3P - D (" 中)+阳一 D (右一叁抖)](/ = %, у).
Полные аппроксимации
Условие регулярности содержит предположения о свой^ ствах преобразования, переводящего произвольный элемент в стандартный элемент. При объединении этих предположений с леммой Брамбла ——Гильберта можно получить оценки типа (5.4), т. е. определить порядок сходимости конечно* элементной аппроксимации. Поэтому основное значение лем^ мы Брамбла — Гильберта состоит в получении оценок для -ошибок интерполяции. Лемма одинаково хорошо может использоваться при оценке ошибок для любой формы аппрокси^ мации, представимой как проекция на пространство кусоч^ ных полиномов. Чтобы применить лемму, сначала необходимо сделать некоторые предположения относительно типов функций, лежащих в основе конечноэлементной аппроксима- дии.,
Для любого элемента Т обозначим через Кщ пространство, определяемое теми пробными функциями, которые от^ личны от нуля на Г. Другими словами, Кт есть сужение пространства пробных функций относительно элемента Т. Обозначим через К⑹ пространство таких функций и(р), для которых v(x)e К[т]. Это пространство ^oi имеет особо важ^ ное значение при анализе методов конечных элементов. Порядок метода определяется максимальной степенью поли^ нома (по р), для которого ошибка аппроксимации функцией из К(о] равна нулю. В общем случае эта степень совпадает с таким максимальным 々，для которого Р* сг К(0].
Например, если рассматривается аппроксимация кусочными кубическими полиномами (Лагранжа или Эрмита) на треугольной сетке (разд. 4.1), то преобразование 尸 будет линейным и Ку], К[т1 = Рз・ Для аппроксимации (4.14) (определяемые 18 параметрами полиномы пятой степени со сшивкой в С1) преобразование также будет линейным, но Р4 с: К(0], Кт и Р5 (строгое вложение), а для биквадратичной изопа- раметрической аппроксимации (4.29) Р2 и К(0] и Р4 (снова ■строгое вложение), но преобразование уже не будет линей* ным, т. е. К[г] не будет полиномиальным подпространством.
Для каждого элемента Т введем проекцию Пг иа Кн^, так что для любой достаточно гладкой функции и функция
Пгм(х) будет интерполировать 〃(х) на 7\ Интерполяция в этом контексте означает согласование всех узловых параметров, которыми определяется . конечноэлементная аппрок- симация. Для функций, заданных на стандартном элементе^ можно определить отображение П на Л(о] как
П (voF) =(nrv)oF.
Условие 5.2 (условие полноты). Для любого элемента Г диаметра Л существует такое 月 > 0, что 尸々 и ^[o] 〃 для проекции П нормы ||/ — П|| равномерно ограничены при всех Л.
Пример того, что нормы |)/ — П|| не будут равномерно ограничены, доставляют треугольные элементы, когда нормальная производная в точке стороны является параметром, а значение функции и тангенциальная производная ——нет, и некоторые треугольники стремятся к вырожденным при измельчении сетки, т. е. есть такие элементы, у которых наименьший угол стремится к нулю (Брамбл и Зламал, 1970). Мы снова вернемся к этому примеру в конце разд. 5.3.
В параграфе 5.3 предполагается, что можно определить пространство 匏产(R) для нецелых k так же, как и для. целых. Детальное обсуждение свойств такого пространства и смысла теоремы о следе выходит за рамки этой книги, и мы отсылаем интересующегося читателя к работам Обэна (1972), Лионса и Мадженеса (1972) или Нечаса (1967). Краткие сведения о наиболее важных свойствах этих пространств и об их приложениях можно найти в первой главе книги Варги (1971).
52 Сходимость аппроксимаций Галеркина
Продолжением результатов разд. 3.5 является доказательство того, что аппроксимация Галеркина для линейных задач в общем случае является почти наилучшей в смысле того определения, которое было дано в предыдущем параграфе. Основой такого доказательства служит обобщение леммы Лакса — Мильграма (Иосида, 1965, стр. 134):
Теорема 5.2 (Обэн, 1972, стр. 40). Если 第 есть гильбертово пространство, / w 箔'на — эллиптичная в 箔 ограниченная билинейная форма, то существует единственный вектор 〃三非，такой, что
a (uf V)—l(v) (для всех ин 第).
Для данного N-мерного подпространства К“ существует единственный вектор U 手 Kn, такой, что
a (U, V) = l(V) (для всех V 巨 KJ •
Более того,
^u — U^^C inf Иu — й犧.
Аналогичный результат может быть получен для некоторых нелинейных задач, допускающих применение теории моно- тонных операторов (Варга, 1971, гл. 4).
В качестве примера результатов, которые могут быть па лучены с помощью теоремы 5.2, рассмотрим аппроксимацию Ритца решения уравнения
亲(& (х, у) *) + 备(d2(X, у)器)+ f(X,加=о ((X, у) е R)
(5.8) с граничным условием
И (% у) = о ((X,⑺三 GR),(5.9)
где предполагается существование таких постоянных 6 и А, что
О < 5 & d| (х, у), d2(x,力 & А ((X,切 w R).
Для этого примера
/®) = (九？) и
心。)7, ｛山祭需+必器器｝ dxdg.
Так как
|а(")区А V ｛|票絹+ |芻黑1№姒
билинейная форма будет ограниченной, а поскольку а (и, м)>6| и кк，
то из леммы 5.1 следует, что она будет эллиптичной в^2*(/?).
Следствие теоремы 5.2. Если 〃 есть решение задачи (5.8)— (5.9) ¥ то аппроксимация Ритца U w К& и 為У' (R) такова, что ^u-U\[ltR^C inf ||M-u|lu R.
Упражнение 11. Докажите, что если (I) и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием и — g на dR и (II) ^ е Ж^ (7?) — любая такая функция, что © = g на OR, то аппроксимация Ритца U +⑵ при U ^Кы^ Ж^ (/?) такова, что
^-(U+w^^C inf 1|«-(й+ш)||11Д
Упражнение 12. Докажите, что если и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием 石* =g на OR, то существует такая аппроксимация Ритца U w K^^u^f^lR), что
II и — U к r《С inf II 以一й Hi, /?.
й w Kn
Отметим, что для существования решения необходимо предположение о совместимости f и g. Например, если в (5.8) di = &2= 1, то мы предположим, что
^f dxdy = —，gdd^f dxdy = —，gddRRdRdR
^f dxdy = —，gdd
^f dxdy = —，gdd
R
R
dR
dR
и так как решение определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого, то это последнее можно выбрать так, чтобы
^udxdy = 0R
(Нечас, 1967, стр. 256). Следовательно, для получения результата можно применить лемму 5.3 при /? = L
Если необходимо аппроксимировать граничные условия базисными функциями, принимающими на границе ненулевые значения, то указать границу ошибки еще возможно. Если
где % 三及川 и 爲f)(R), то U содержит только такие базисные функции, которые могут принимать ненулевые значения на границе, и полностью определяется граничивши данными. Из определений параграфа 5.1 следует, что U 三 尺丛
Лемма* 5.4. Если и есть решение_уравнения (5.8) с граничным условием и — g на dR и U ^ Kn выбрано так, что О\х, у)((尤,у)三 OR) есть фиксированная аппроксимация функции g, то конечноэлементная аппроксимация U = Uq* U при 三 К州 и 箔f)(R) такова, что
\ и ~ U \{f R^C \ и — (й + U) \{t ^для всех й е KN).
Доказательство. Так как
u -(乙+u) = 〃 一 U + t/0一 й
и UQ ——II 三 Kn, to результат непосредственно следует из леммы 5.3 и определений и и U.-
Если мы предположим, что существует гладкое продолжение g в R, то лемму 5.4 можно использовать также для получения оценок в терминах пространства 箔^)(R). Существует по крайней мере одно такое продолжение ——именно само решение 〃・
Теорема 5.3 (Файервезер, 1972, стр. 45). Пусть и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием и == g на OR и w 三施^ (R)—儿юбое гладкое продолжение g в R. Тогда конечноэлементная аппроксимация вида U — U\ + Wt аОе W ^ Kn есть аппроксимация w, a U\ е Kn, будет такой, “то II 〃一(G + Ю111, r《С {II 〃 一(仿 + 步)111, r + II 侬一犷卩i, J (5.10>
для любого Й 三 Kn.
Отметим, что если, например, граничное условие получается с помощью интерполяции, то правая часть (5.10) состоит из ошибки аппроксимации функции и ——⑪三%f)(R) и ошибки интерполяции функции ш, которая отлична от нуля на границе.
Аппроксимация границы и численное интегрирование
Построение конечноэлементной аппроксимации для задач, с интерполированными граничными условиями ——как это только что было ——это одно из основных нарушений вариационных принципов (Стренг, 1972), на которые приходится; постоянно идти при решении практических задач. Другие нарушения таковы: (I) искажение положения границы; (II) использование численного интегрирования для вычисления скалярных произведений и (III) применение несогласованных элементов. Несогласованные элементы будут детально рассмотрены в разд. 7.2. Если применяется любой из этих приемов, то приближенное решение не лежит более в Км ， не удовлетворяет условию
a(U, P) = (f, V) (для всех Р w КJ. (5.11}
Вместо этого решение U九三 К/, и удовлетворяет условию а“(％，乙) = (『，乙％ (Для всех Vh е Лй), (5.12)，
где обе части (5.12) и вид нового Л4-мерного пространства Кь которое может содержать функции, не являющиеся допустимыми для изложенных в гл. 3 классических вариацион* ных методов, зависят от характера нарушений вариационных принципов. Обычно бывает, что М^ N и К/13KM. Есла
久无=Kn> как в том случае, когда единственным отличием от классической формы вариационного метода является применение численного интегрирования, то решения обеих систем (5.11) и (5.12) будут линейными комбинациями функций Ф( (х) (г = 1, ..., X). Коэффициента такой комбинации для задачи (5.11) определяются из системы
Ga = b,(5.13)
где матрица жесткости G ={а(ф/, <р/)} и b = {(『，/)} (i, / = = 1, ..., ")• Для приближенной задачи (5.12)
G力％ = b力’(5.14)
где Gh={aft(q)i,(P/)} и bh = {(f, <р0 л}. Можно сравнить конкретные элементы &九 и Ь/1c соответствующими элементами G и b и получить оценку нормы ||U——〃九|| известным из линейной алгебры стандартным методом малых возмущений. К со жалению, этот метод в большинстве случаев позволяет полу^ чить лишь грубую оценку сверху для нормы ^U —— U九|| (Фикс, 1972). Если предположить, что приближенная билинейная @орма эллиптична в 第 и ограничена, то тогда теорема 5.2 не только обеспечивает существование единственного реше* ния, но и позволяет оценить степень приближения.
Упражнение 13. Покажите, что если 仪无 есть эллиптичная в Ж билинейная форма, то
% (U - “，唯)=(必 一 a) (U, rA)+ (/,必)-(f, Гл)л
для любого Wh е Kh. Тем самым докажите, что
Н(«Л - «) (U. rftw + I (f, ГЛ)- (f, гЛ)ЛI }
(5.15)
и получите аналогичную оценку для || и ——Uh ||^.
Упражнение 14. Покажите, что если а% есть ограниченная билинейная форма, то
I ah(Uh —乙，吗)I & а II 〃 一 ％ IIII 吃 II + I (f, W^ 一 аА (% W^\ для любых Vh. Wh 三 Kh. Докажите далее, что если а九 к тому же эллиптична в 第,то
для любого Vh 三 К% и существует такое С > 0, что
心一％ y с {厶喙j "一唳"+虐h {"小而屮} •
(5.16)
Отметим, что оценкой (5.15) можно пользоваться только тогда, когда Uh в некотором смысле близко к классической аппроксимации Галеркина. Это будет так, если Kh = Kn или /G = Kn ㊉{qbv+i, ...» ум}, где дополнительные (р( (х) (/ = =^ + 1, ..., М) обладают такими специальными свойствами, которые исключают их из числа допустимых для классической аппроксимации функций: например, они могут быть несогласованными. Оценка (5.16), наоборот, применима тогда, когда наше приближение существенно отличается от любой классической аппроксимации, как, например, в случае несогласованности всех элементов (разд. 5.4 (Е)).
Аналогичным образом метод малых возмущений может быть применен и тогда, когда (5.5) является системой вариационных разностных уравнений (см., например, работу Демьяновича, 1964).
Упражнение 15. Докажите, что если а九 и а такие билинейные формы, что а九 эллиптична в Кь а а ограничена, то
心—吸竹f з觀产一問山*+
+ sup+ sup（I ，,旷力九一亿№九）|（I ，,旷力九一亿№九）|}}}}(5.17)(5.17)
+ sup
+ sup
（I ，,旷力九一亿№九）|
（I ，,旷力九一亿№九）|
}}
}}
(5.17)
(5.17)
Ошибки аппроксимации '
Как показано в предыдущем разделе, аппроксимации Галеркина всегда почти оптимальны в некоторой норме. В частности, приближенные решения для задач второго порядка таковы, что
||〃一U|Ilr《C inf 11〃一仿 Ik &•
Оценки ошибки также могут быть получены в терминах дру・ гнх норм, в частности норм пространств 幺2(R) и 纟g(R)・ Оценки в 纟8(月)позволяют также доказать так называемое свойство сверхсходимости некоторых методов Галеркина, т. е. наличие в узлах более высокого порядка аппроксимации по сравнению с неузловыми точками (Дуглас, Дюпон и Уилер, 1974). Более подробно с этим вопросом можно познакомиться в работе де Бура (1974).
Пусть То есть стандартный элемент. Тогда большинство результатов о сходимости может быть получено с помощью следующей леммы о полиномиальной аппроксимации на 7о：
Лемма 5.5. Пусть П 三纟(鑑贺+D (");捲© (厶))(尼》,) есть проекция на К[叩 где 第Г (厶)口 勺团 口/\・ Тогда
||и — Пи||5《а|/ — П|||иЗ"。
ал4 всеx c/三 非俨+1)(7()).
Это значит, что если интерполяция точна для полиномов степени не выше 財 то ошибка интерполяции может быть выражена через (й + 1)-е производные интерполируемой функции. Операторы Пи/ — П переводят элементы пространства 雍货+D (7 j в элементы пространства 第扌)(Го), поскольку при конкретном применении леммы 尸 зависит от порядка дифференциального уравнения, a k зависит от свойств пробных функций. Значение |j/ ——П|| зависит от значений г и й, но предполагается, что эти нормы равномерно ограничены и, вообще говоря, необязательно знать точное значение нормы.
Доказательство леммы 5.5. Для любого G w 箔金一八(Г/ определим F w 第，л)(7。) так, что при любом о 三施贯干口 (То)
F (v) — G ([/ — П] и).
Тогда, применяя к 尸 лемму Брамбла — Гильберта, будем иметь
®[/ — П]и)|《С|/||——п|"+т
гдегде"5二:趴（啕"5二:趴（啕I G ([/ - 口] 5)1 ]II 切 11*4-1, T JI G ([/ - 口] 5)1 ]II 切 11*4-1, T J
где
где
"5二:趴（啕
"5二:趴（啕
I G ([/ - 口] 5)1 ]
II 切 11*4-1, T J
I G ([/ - 口] 5)1 ]
II 切 11*4-1, T J
Из двойственности пространств 第©(Го) и 第厂"(То) следует, что для любого 〃三第©(То)
II 〃 11г, То =II 〃 11г, То =工陶产｝工陶产｝
II 〃 11г, То =
II 〃 11г, То =
工陶产｝
工陶产｝
так что, в частности,
11(/-П) У〉г = "Р { J~ |]G|| ' - г
Объединяя теперь эти результаты, получим
II（/一 n）叫"。 《 eI 叫+1"书p ｛需｝ &
&С| ” hi"&С| ” hi"sup I sup ［鸟用1曲）击）,0 （5ё笫产（Tjt 口叫必乜几j" " j
&С| ” hi"
&С| ” hi"
5 Зак. 672
НО
|G([/-П] »OI<l|Gllll/-n ЦПз 恥ь 方
откуда сразу следует утверждение леммы.
Этот результат может быть объединен с условием регулярности для получения оценки ошибки интерполяции в области R.
Теорема 5.4. Предположим, что условие полноты справедливо для некоторого 々 > 0 〃 условие регулярности справедливо для всех г ^ k. Тогда если u w 第寶十"(R), й интерполирует и, то
IIм “ Hr. R & % * I 〃 lft+1, R，
где Л ограничивает диаметры элементов, составляющих раз- биение области R.
Доказательство. Если мы предположим, что область R разбита на элементы Т/ (/ = 1, ..., 5), то
s
II “ — " * R = EJI" — Пт产 R 7/.
Рассматривая типичный элемент 7, получим из леммы 5.5, что |1以一山||—《e||/ 一 n||| 叫+6..
Применяя затем условие 5.1 и результат упражнения 4, будем иметь
IIU - Им 11“ & СЛ6+1-г|| / — И III 〃 3".
Ввиду равномерной ограниченности всех операторных норм ||/ — П|| суммирование по всем элементам приводит к желаемому результату.
Этот результат может быть применен в том специальном случае, когда преобразование То в Т линейно и интерполяция конечноэлементными функциями точна для u w Р^. Тогда, в частности,
心-砥R&C的"I…
где 6 — интерполирующая функция. Такой тип оценки требует для задач второго порядка определения порядка конечноэлементной аппроксимации с помощью почти оптимальных неравенств параграфа 52 Отметим, что если рассматривать область только из одного элемента, то получается оценка ошибки для обычной интерполяции Лагранжа; это обстоя-
тельство будет использовано ниже, в разд. (5.4(B)). Лагранжевы (или эрмитовы) элементы из разд. 4.1 таковы, что преобразование То в Т линейно, базисные функции ф 三 Ра, интерполяция точна для и w Рк и Ко = К【т] = Ра. Поэтому если область R является многоугольником, граничные условия точно согласованы и интегралы вычислены аналитически, то для ошибки такой конечноэлементной аппроксимации задачи второго порядка будем иметь
||Ы-(/||1/?<СЛа|Ы|а+1>/?. (5.18)
Аналогичный результат справедлив для задач на прямоугольниках с прямоугольной сеткой: снова показатель степени точно интерполируемых полиномов определяет показатель степени у й в оценке (5.18).
Упражнение 16. Покажите, что исключение внутренних параметров из таких конечноэлементных аппроксимаций, как лагранжевы (или эрмитовы) кубические элементы, или исключение нормальных производных в серединах сторон 21-па- раметрической аппроксимации полиномами пятой степени со сшивкой в О уменьшает показатель степени у А в (5.18) на единицу.
Упражнение 17. Покажите, что биквадратичная и бикубическая субпараметрические аппроксимации (разд. 4.3), использующие билинейное преобразование для перевода произвольного четырехугольника в единичный квадрат, могут интерполировать точно полиномы второй и третьей степени соответственно по х и ^. Покажите, что если R является многоугольником, граничные условия точно согласованы и инте- гралы вычисляются аналитически, то оценка (5.18) справедлива при А = 2 и 3 соответственно.
Упражнение 18. Покажите, что оценка (5.18) справедлива для шестигранных субпараметрических элементов в трехмерном пространстве при условии, что область R допускает точное разбиение.
Криволинейные элементы
Сьярле и Равьяр (1972b) показали, что оценки вида (5.18) справедливы также для некоторых изопараметрических элементов с одной криволинейной стороной; в частности, они установили порядок сходимости для двух специальных случаев:
Квадратичные изопараметрические треугольные элементы могут быть представлены в виде (упражнение 9)
，= 〃 + (% —厶)Р+ (^2 一，з) 4 + (厶一九"^ “ ) 4Pg (/ —居 у)・
Так как интерполяция точна для полиномов второй степени по р и ^, то ошибка оценивается как
11〃一。111,我=0(")
при условии, что
{储-+了+仅-中丹J。伍2).(5.19)
Это эквивалентно тому, что
产4一 尸强，=0他2)，
де Р； есть середина хорды РА, а норма — это евклидово расстояние в R? Этому дополнительному условию всегда можно удовлетворить, если Л достаточно мало по сравнению с радиусом кривизны границы. Предполагается также, что граница может быть точно представлена с помощью дуг, допускающих параметризацию вида
/ = Лр(2р-1) + /2(1-р)(1-2р) + Мр(1-р)(5.20)
(/= %, у, ре [0, 1]).
Аналогичная оценка справедлива для биквадратичных изопа- раметрических аппроксимаций, определенных на четырехугольниках с одной криволинейной стороной, если выполнены такие же ограничения геометрического характера.
Кубические изопараметрические элементы могут быть представлены в виде (упражнение 10)
f =〃+(" — 4)р+«2 — »з)д+27Pg (1 — р—g)(厶0 — "+?+") +
+ ■! " [(3吁1)(g*)+画一 1石_中)]
(/=%,力
Так как интерполяция точна для кубических полиномов по р и д, то ошибка оценивается как
II «-^111^ = 0 (Л3)
при условии, что
\Р~Р^ = О{^ (/ = 4, 5)
и
II(A-P；) — (R-Р訓Ь =。")，(5.21)
и точка 尸【о выбрана так, что
(/=力，y)t (5.22)(/=力，y)t (5.22)f 1 + U + 厶丄(厶一4) + (% 一审)
(/=力，y)t (5.22)
(/=力，y)t (5.22)
厶。=344
де ^^(^ У^ и 耳(工；，弘)—точки, делящие хорду Р{Р2 на три равные части и прилежащие к Р4Hp5 соответственно. Дополнительное ограничение (5.21) в действительности выполняется при достаточно малом Л. Как и в предыдущем случае, оценка порождаемой конечноэлементной аппроксимацией ошибки справедлива лишь тогда, когда в граничном условии нет погрешности. Подобная же оценка имеет место для эрмитовой изопараметрической аппроксимации (Сьярле и Равьяр, 1972b) при выполнении совокупности условий, аналогичных (5.21) и (5.22).
Эти строгие ограничения на кривизну изопараметрических элементов могут оказаться необходимыми на практике, как показывают некоторые численные эксперименты (Бонд, Све- нелл, Геншелл и Уабартон, 1973), но комментируются они по-разному.
Во всех оценках сходимости для случая двух переменных предполагается, что наименьший угол 0 треугольной сетки остается отделенным от нуля при стремлении й к нулю. В аналогичных результатах для случая трех переменных или четырехугольных сеток на плоскости предполагается, что отношение остается ограниченным при стремлении й к нулю. Для любого элемента величина р определяется как диаметр наибольшей сферы (в R3) или окружности (в R2), лежащей внутри этого элемента. Если же таких предположений нельзя сделать, то оценка для ошибки интерполяции примет вид
||〃-Wr = 0(^9 (5.23)
в предположении, что величина ||/ — П|| равномерно ограничена по всем элементам. Оценка такого вида вводится потому, что в условии 5.1 второе неравенство (5.7b) теперь правильнее выражать через р, чем через Л (Сьярле и Равьяр, 1972а, Брамбл и Зламал, 1970). Для треугольных сеток
р а /г sin 0,
и поэтому в скобках правой части (5.23) будет стоять 厶左+1-,/($］口 8)。Еспн нельзя считать отношение у ограничен-
ным при стремлении Л к нулю, то может оказаться *), что величина ||/ —— П|| также не будет равномерно ограниченной, и поэтому, как показали Брамбл и Зламал, оценка для ошибки интерполяции может быть представлена в виде
II « — й llr( R < с (s： 8产 I “ hl, R
при некотором и ^ 1, что лучше оценки (5.18). Бабушка и Азиз (1976) отмечают, что лучше иметь дело с углами, стремящимися к 2л, чем с углами, стремящимися к нулю.
Оценки вида , 心—硯… (5.24)
для ошибки интерполяции могут быть получены с помощью теоремы Сарда о ядре для методов, использующих как прямоугольники, так и треугольники. Для некоторых видов кусочных полиномиальных аппроксимаций значения постоянных Ckt г из неравенства (5.24) могут быть получены численно. Результаты эти .также подтверждают, что оценки вида (5.23) не являются наилучшими из возможных (см. Барнхилл, Грегори и Уайтман, 1972, и цитируемые ими работы).
Оценки ошибки интерполяции в терминах максимум-полу- нормы I. I (ft)^ более правильные по сравнению с использующими соболевскую полунорму оценками вида (5.18), сначала получил Зламал, а затем Сьярле и Равьяр и Женишек (см. Сьярле и Равьяр, 1972а, и цитируемые ими работы).
Если решение не является достаточно гладким, величины |〃|也могут не существовать и нельзя получить оценку вида (5.18), даже если K【oinp&・ В таких случаях необходимо использовать показатель
月* = max {s : 〃 w 非0 (R)};
так как 月* & 財 то необходимо лишь переформулировать теорему 5.4, заменив k на 々* там, где это нужно; в остальном анализ проводится без изменений. Типичные задачи, для которых решение сингулярно или почти сингулярно, возникают в случае областей с вдавленными внутрь углами. Для решения таких задач были разработаны специальные приемы, которые кратко рассматриваются в разд. 7.4(F); другой подход приводится в гл. 8 книги Стренга и Фикса (1977) и в работе Уэйта (1976).
Одним нз примеров такого рода является 21-параметрическая аппроксимация полиномами пятой степени со сшивкой элементов в С1.
5.4. Ошибки возмущений
В оценках (5.16) и (5.17) содержатся два различных типа ошибок:
Первый член ' inf心一乙"
представляет собой ошибку аппроксимации и может быть оценен методами, изложенными в разд. 5.3.
Все остальные члены возникают из-за приближенного характера уравнения Галеркина (5.12). В этом параграфе мы попытаемся оценить эти дополнительные члены для различных видов возмущений.
Конечноэлементное решение называется оптимальным, если для него порядок ошибок возмущений не превосходит порядка ошибки аппроксимации (Нитше, 1972).
В своем исследовании квадратурных ошибок Хеболд и Варга (1972) назвали квадратурную формулу совместимой, если в результате ее применения получается оптимальная аппроксимация.
(А) Ч ИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Оценки ошибок интегрирования, осуществляемого численно с помощью стандартных квадратурных формул, были рассмотрены в упражнениях 6 и 7 разд. 5.1. В этом разделе мы рассмотрим этот вопрос более детально и получим оценки, справедливые при некоторых типах нелинейности в преобразовании, отображающем % на Т.
Квадратурная схема на стандартном элементе задается последовательностью точек pi w Тд (/=!,...,£) и последовательностью положительных весов 6/. Если возмущенная билинейная форма эллиптична в Ка, то условие 历 > 0 необходимо. Любой интеграл по стандартному элементу можно записать в виде
(р) d (р) = £ btu (рО + Ео (〃)，
где, как и раньше, £о есть оператор квадратурной ошибки для стандартного элемента. Чтобы получить квадратурную формулу для интегрирования на произвольном элементе, возьмем точки х/ = F(p/)巨 Т и веса р/ = Ь/(р/ где J есть якобиан преобразования F. Если обозначить через Е(и) квадра-
турную ошибку на элементе Т, то
Е（и） = ^ и（х） dx — ^ ₽/«（X,）=Т/ = 1
=，，〃 （р） / （р） dp — 2 V（P/） И （Р/）=瓦 W）.
В этом разделе, следуя Сьярле и Равьяру （1972с）, мы изучим ошибки возмущений для решения дифференциального уравнения‘
备（由"£）+备3墨）+，（招处=。（（招g） w R） （5.25） с граничным условием
〃（匕 у） = 0.
Предположим, что все ошибки возмущений возникают при вычислении скалярных произведений с помощью численного интегрирования. Поэтому все базисные функции ср удовлетворяют граничному условию и согласованы — для этой задачи cpw 症g）（R）. Предположим далее, что область R разбита на S элементов Г； （/ = 1, ..., S） и что для каждого элемента существует преобразование F/, отображающее на него стандартный элемент; якобиан преобразования F/ обозначим через 厶.
Поэтому нашей задаче будет соответствовать билинейная форма
а{и, y） = X$J{^i （翼）（黑）+ & （器）（務）} dx dy, /=1 Т/
и возмущенная форма будет иметь вид
{4 （黑）（霊）+ "2 （器）（芻）}x=F/{Pz）* где
Следовательно,
（a -aQ （", 。） = X {反 （必■^翁乙）+ 瓦（丛居黑厶）} ■ （5.26）
Таким образом, отдельные члены последней суммы имеют вид Eq(zw), где 2(р) и з(р) есть соответственно 由(芻) и (罂)//(нпн 厶(岩)н (芻)//)； пусть di и d2 являют- ся настолько гладкими, что,之曰 第货)(7о). Тогда для интегралов от произведений можно использовать оценку, полученную в упражнении 7, при условии, что (嘉)小(瓷),зМ
ся полиномами по р.
Аналогичным образом квадратурная формула применяется и к правой части уравнения Галеркина
@(〃，и)=(力 V), где
s
(Л ь) = 2 U f(x)u(x)d(x)・
■ 1 Гу
Отсюда следует, что 厶
(f, «)Л = Х Z MU (х) °(Х)}х』(〃)，
J = 1 Z = 1 и поэтому
伉。)一(/,叽=£& (2)/).(5.27)
Если снова f w 第货'(То) при некотором 玄 то для произведения такого вида можно применить оценки квадратурных ошибок при условии, что vJj есть полином по р. Вместе с тем мы получили оценки возмущений (5.26) и (5.27), которые могут быть использованы в (5.16) и (5.17) при выяснении вопроса о сходимости аппроксимации.
Если каждый элемент получается из стандартного элемента линейным преобразованием, то все якобианы являются константами, и если Wh (х) есть полином, то полиномами будут и 2^Х(Р' '*/'» и 旷比(Р)・ Можно показать, что на каждом элементе функции dWh (р)/(Эх/(р), dWh (Р)/^/(Р) и Fh(p)/(p) будут полиномами, если 取比(х) есть пробная конечноэлементная функция различных видов (Сьярле и Равьяр, 1972с).
Упражнение 19. Покажите, что для квадратичного изопа- раметрического элемента, приведенного в упражнении 9, функции J(др/дх)у J{др/ду), ](dq/dx) и J{dq/dy) линейны по р и д. Покажите далее, что для любой кусочно-квадратичной пробной функции Wh на каждом треугольнике функции
J(p)dWh{9)/^x и J(P)d^MP)/dy будут полиномами второй степени по р; покажите также, что /(р)%(р) есть полином четвертой степени.
Упражнение 20. Докажите, что если используются треугольные изопараметрические элементы степени 財 то на каждом треугольнике функции /, J(dwh/dx) и J(dWh/dy) будут полиномами степени 2(々——1) для любой пробной функции Wh- Докажите, что в общем случае JWh^ Р3Л-2 на каждом треугольнике.
Сделав предположение о полиномиальности J(p)dWh/dx, J(P)dWh/dy и /(р) Wh на каждом элементе, можно получить оценки возмущений (5.26) и (5.27).
Теорема 5.5. Предположим., что для любой пробной функции Wh е Kh на каждом элементе функции J(p)dWh/dx 〃 J(p)dWh/dy есть полиномы степени не выше rb а /(р) Wh — полином степени не выше г。, и что условие регулярности выполняется для всех s & max {rb r0}- Тогда если квадратурная формула точна на стандартном треугольнике для полиномов степени не выше 门 + s, то возмущение (5.26) билинейной формы ограничено как
№ -既 Л & W" У U2. R， (5.28)
где Vh, Wh 三 Kh есть любые пробные функции. Аналогично этому, если квадратура точна для всех полиномов степени не выше г。+ s—1, то возмущение (5.27) правой части ограничено как
及，踪{'}"1 & 次"II 川s+1，R (5・29)
для любой Wh 三 Kh при условии, что f 三非贺+" (R).
Если к примеру, применяются лагранжевы или эрмитовы элементы степени 加 преобразование Т в То линейно и на каждом элементе Jo(dWh/dx)^ Pa-i, ]Q(dWh/dy)^ Pk~\ и JoWh e 三 Pk- Поэтому n = k ——1, го = ^, и если используется квадратура, которая точна для всех полиномов степени не выше 2Л — 2, то в (5.28) и в (5.29) s = ^— 1. Тогда из (5.17) следует, что
II 〃 一 % 111. Л<С||«-Й lb, R + ^理必{ М“ 制":“ } +
где й интерполирует и. Как было показано в разд. 5.3 (след-' ствие из теоремы 5.4),
|[ 〃 一 й %*& &С/| 〃 k+i. к，
поэтому аппроксимация будет оптимальной и 打一им и0們，
так как добавочные члены (5.28) и (5.29) есть также O(hk).
Эта теорема не только указывает степень точности квадратурной формулы, обеспечивающую оптимальность аппроксимации, но указывает также, что минимальная степень, обеспечивающая сходимость при стремлении А к нулю, есть min{ri, го 一 1}. В предыдущем примере она равнялась k——1.
Доказательство теоремы 5.5. Ошибка в билинейной форме складывается из членов вида
分(弘‘)=反(。，*
где u(p)= di(dVh/dx) и w(p)= J(dWh/dx)t Если 侬三 P^ и квадратура точна для полиномов степени 门 + s, то из леммы Брамбла — Гильберта следует, что (см. упражнение 7)
1fos3)|《Q|wQg|UL+l.To'二
Считая коэффициент 由 достаточно гладким, получим с помощью (5.7b) и результата упражнения 5, что”
I Е。М) I & С产1礬LJ芻L,尸°产11唯h т11乙小「•
Просуммировав по всем элементам и поделив на |%|i,к, получим (5.28).
Справедливость (5.29) установим, следуя Сьярле и Равья- ру (1972с). Введем проекцию По на одномерное подпространство Ро функций ——констант на элементе 7°; так что для любой функции 〃三 22(То)
，(〃 一Пои) dp = О,
Типичный член в ошибке для правой части уравнений Галер- кина может быть записан как
备(f »卩)=当("卩 一 по]眩)+ 爲 (//[по]唯).
Так как /[/ — По] Wh 三 P〃 то из леммы Брамбла — Гильберта следует, что (см. упражнение 7)
I E0(fJ[l 一 По] %) j《С" [/ 一 n0J 唯必^I 儿,疗
Но По есть проекционный оператор, так что можно применить лемму 5.5, чтобы получить неравенство
II [/-п0] wh^}<c\wh\^
Поэтому из (5.7а) следует, что
I 瓦(f/ [/ 一 По] W^\<C{ sup 7 (p)}| f I” I Wh II「V
&C/Ofhrl|%lh,T. (5.30)
Аналогично этому, если / (p) e Pr, и 口。»力 есть константа, то
I £о(//[По^])|<С||7[ПоГл]必皿 I 儿+|,八 &
&C{sup/(p)}|| Wh\\^^\f\s+liT.^ pw(To)
^C^+'ll/IU^II Wh^-n-(5.31)
Объединяя (5.30) c (5.31), суммируя по всем элементам и деля на || 取也%, r, получим желаемый результат.
Упражнение 21. Рассматривая ошибки вида，叫/吗八hJ丿，
покажите, что если квадратура точна для полиномов степени 门 + s н произвольный элемент переводится в стандартный элемент линейным преобразованием, то возмущение (а ——口九) для задач четвертого порядка допускает оценку
при условии, что пробные функции согласованы и являются полиномами степени не выше чем 门 + 2 на каждом элементе.
Результаты, аналогичные теореме 5.5, были получены Фиксом (1972) при изучении влияния квадратурных формул на лагранжеву и эрмитову конечноэлементные аппроксимации на многоугольной области. Квадратурные формулы исследовались также Хеболдом и Варгой (1972), но только для прямоугольных областей и в предположении, что билинейная форма 口九 проинтегрирована точно.
Сьярле и Равьяр (1972с) применили результаты теоремы 5.5 к изопараметрическим аппроксимациям, определенным как на треугольниках, так и на четырехугольниках. Они показали также, как выбрать такую квадратурную формулу, чтобы билинейная форма ah была эллиптична в К储 и тем самым можно было обосновать применение оценки (5.17).
Однако эти результаты приводят к содержательным оценкам только тогда, когда используемые изопараметрические элементы имеют не более одной криволинейной стороны. Даже в этих случаях результаты определяются условиями, отмеченными в разд. 5.3. Большинство оценок квадратурных ошибок обобщается на случай Rm（m>2） для дифференциального уравнения
工 悬（统岩）+ f （x） = О. где
x =（打,.一,xm）.
Упражнение 22. Используя результаты упражнения 20, по* кажите, что изопараметрическая аппроксимация степени 々 оптимальна, если используется квадратурная формула, степень точности которой равна 4优一 1）.
（В） Интерполируемые граничные условия
Предположим теперь, что аппроксимирующее подпространство Kh содержит функции, не обращающиеся в нуль на границе, но что интегралы вычисляются точно. Поэтому можно использовать оценку ошибки （5.15）, в которой добавочным членом будет
罐（5・32）
Рассмотрим сначала приближенное решение уравнения а （и, и）=（厶办 где
。（〃，"） = h ｛（割讓）+ （黑）（芻）｝dx 弘，
что соответствует дифференциальному уравнению
S• +券+ 〃居外=0 （（*，切三R），
с граничным условием
w = 0 （（х, у）三 OR）.
Результаты этого раздела могут быть применены и в случае неоднородных граничных условий, если, как и в разд. 5.1, граничные значения допускают подходящее продолжение. Возможен и другой подход, использующий для оценки ошибок теорему 5.3.
Анализ методов, в которых граничные условия не удовлетворяются точно, почти всегда приводит к рассмотрению интегралов от граничных значений. Это относится также и к методам штрафов, описанным в разд. 5.4(0). Можно определить соболевское пространство 非货~° (OR) аналогично тому, как было определено пространство 非与*一°(火)в разд. 5.1. Из такого определения следует, например, что
dR'
а в силу теоремы о следе
Тогда из теоремы Грина следует, что
W^~-a(u, %) \^)Whdo ,
I dR
и, объединив эти два выражения, мы получим оценку вида
КА 叫)一。(〃，唯)I《СII 〃 ||ft+li r И Wh ||一,映・
Чтобы быть применимым к задачам второго порядка, выражение (5.32) должно содержать |［步九lh,氏,но не должно содержать II 步九||1_左，or. По этой причине Скотт (1975) ввел оценки вида
/咨｛晉言"Ci2(5.33)
для пробных функций Wh, которые близки к нулю на границе OR. Бергер, Скотт и Стренг (1972) установили справедливость (5.33) для частного случая 也=1, но они не смогли указать наилучший способ выбора пробных функций и обобщить этот результат. Из определения двойственного пространства следует, что оценка (5.33) эквивалентна неравенству
или тому, что при всех gw徹货-°(OR) и Wh ^Kh
，g% 甸《c胪+1/2|Н|",ак1ММк・(5.34)
Лагранжевы элементы
Сейчас мы установим справедливость (5.34) для одного частного вида интерполируемых граничных условий, рассмотренного Скоттом; при этом мы будем в основном придерживаться его метода. Пусть область R разбита на треугольные элементы и стороны элементов прямолинейны внутри R, а примыкающие к границе элементы могут иметь одну криволинейную сторону. В этом разделе предполагается, что (криволинейная) граница для любого граничного элемента 7/ может быть параметризована как
0& = {(/(0), У|(6))：e^ю,因}.
С целью упрощения алгебраических выкладок предположим, что для типичного граничного элемента Т координаты х и у выбраны так, что Э = х (рис. 25). Тогда для длины дуги а(х) будем иметь
о(х)= \ {1 + *严"о
Узлы интерполяции на искривленной стороне элемента определяются узлами {k + 1)-точечной квадратурной формулы Лобатто на интервале [0, 1], которые мы обозначим через g『 (i = l,...,月+ 1). Такая квадратурная формула рассматривается, например, в работе Дэвиса и Рабиновича (1967). Таким образом, для типичного элемента точками интерполяции будут (成产，у (戈产))1)(/ = 1，…，々 + 1).
Таблица 3
Таблица узлов квадратурной формулы Лобатто ”на интервале [0,1]
210,1
论=2О%/
й » 30%士 —"7=*,1
2“5_
论П4。//2土% ^**^,%, 1
Скотт показал, что это условие может быть несколько ослаблено без изменения окончательного результату.
Интеграл от граничных значений из (5.34) можно переписать в виде
^gW.da^X \gWhdo.(5.35)
dR/吗
Типичное слагаемое этой суммы может быть представлено как в
^z(x)w (х) dx,(5.36)
о
где
z(x) = g(x, у(х))芻
w(x) = Wh(x, у(х)).
Теперь введем полином 2(尤)三 Р^-2, интерполирующий %(尤)на интервале [0, 0]. Из теоремы 5.4 следует (если заменить k на k — 2 и /? =(0, 0) = /), что
IIz — 之||々&Ca-iIIzI",, (Vh-2),(5.37)
если z(x) и тем самым g(尤,у), и о(х) достаточно гладкие функции. Поэтому (5.36) можно представить как ввв
,z⑫ d尤=,(z —穹 9 d尤 +，乏侬 dx.(5.38)
о*оо
Так как интервал 7 = [0, 0] может быть переведен в стандартный интервал [0, 1] линейным преобразованием, то из леммы Брамбла — Гильберта (см. упражнение 23) следует, что
I J (z —2)йу^х|<С0/!-1||йу 11% s I Z к "
Но Wh(x9 у) обращается в нуль в 也 + 1 граничных точках интерполяции, и поэтому w(x) обращается в нуль в 也十]tqh-
ках интервала /, так что по теореме Ролля
|ку(х)|ССОй+11 max 4v }•
I [о, 1] J
Поскольку 0 не может превосходить диаметра элемента Т, из этого следует, что
丨5(切《c胪+可%匕戸(5.39)
Можно показать (см. упражнение 24), что
hk\\ W^-^C^W^ г.(5.40)
Объединяя два последних неравенства и интегрируя, будем иметь
||®||1?2(/)ССЛ3/2|| Wh\t г>
и поэтому
I，(z Т) з d“& Ci/2 II g |鼠,aRT II Wh h T， (5.41)
где dRi обозначает криволинейную часть границы элемента Т. Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части (5.38).
Так как функция ш(х) обращается в нуль в квадратурных точках Лобатто, интеграл, содержащий ш(х) как множитель в подынтегральном выражении, аппроксимируется нулем при использовании квадратуры Лобатто. Поэтому оценка квадратурной ошибки одновременно является и оценкой значения самого интеграла. Так как (尼 + 1)-точечная квадратура Лобатто точна для полиномов степени не выше 2尼——1, из леммы Брамбла — Гильберта следует (см. упражнение 6), что
，爱(尤)酬(X) dx 《 С俨Izw 匾"； о
HO 乏三 Pwt И w(x)= Wh(xt y(x)), где Wh e Pk на Г, и по, этому
1初2小4011现.""山「
Вместе с (5.37) это дает
牍妣2"《牍儿2,, +牍-zlUu&
《СП8取-1,0打，
Так как переход от 7 к стандартному элементу То является линейным, то из условия регулярности будет следовать, что
II唯心.
Объединяя эти четыре последние неравенства, получим
\zwdx ^Ch^WgW^^WW^^. (5.42) О
Суммируя теперь неравенства вида (5.41) и (5.42) по всем прилегающим к границе элементам, получим для ошибки возмущения оценку
\gWhda《Ci"211gli—aRlMMR(5・43)
dR
и, следовательно,-
{l(^i^544)
- Теорема 5.4 показывает, что для интерполяционных полиномов Лагранжа степени k ошибка интерполяции оценивается как
ll«-aili.«<CAft|M|A+1,Rl
и поэтому оценка ошибки для аппроксимации Галеркина имеет вид
U-Uh Hi. R《С WI 〃心 I, R + 胪”俘 II 〃 lb I, Q・(5.45)
Следовательно, конечноэлементная аппроксимация с такой интерполяцией граничных условий остается оптимальной до тех пор, пока ошибка возмущения будет более высокого порядка (по А), чем ошибка аппроксимации, Скотт (1975) и Чернука, Купер, Линдберг и Олсон (1972) предложили для треугольных элементов с криволинейными границами квадратурные формулы, сохраняющие порядок для кусочных квадратичных аппроксимаций. Такие аппроксимации изучались также Бергером (1973) с целью получения оценки ошибки в терминах нормы пространства ^2(/?)； он также проводил численную проверку порядков (1972). В противоположность интерполяции граничных данных по конечному числу значений можно строить аппроксимацию, точно воспроизводя их вдоль всей границы, если использовать смешанные функциональные интерполянты (Гордон и Уиксом, 1974). Некоторые сведения 。смешанных функциях будут изложены в разд. 7.3,
Упражнение 23. Используя, рассуждения, аналогичные приведенным в упражнении 6 (или в лемме 5.5), докажите, что из леммы Брамбла— Гильберта следует неравенство
0
(z-^wdx《C0fe-l|)侬电⑺【吗т,仆
о
где г 三尸左-2 интерполирует г на интервале / == (0, 0) и ⑫三 е^2(/) (Указание. Для доказательства рассмотрите функционал 戶鼻①(鑑货7(/) X £?(/); R), где
0
F(z, 5)=，(z —可 9 dx.)-о
Упражнение 24. Покажите, что для лагранжевых интерполяционных полиномов степени k на треугольниках с прямолинейными сторонами при 々=2 и / = 3 любая пробная функция W удовлетворяет неравенству
||U7||w_<CA-ft(|r|(li т.
Упражнение 25. Покажите, что оценка ошибки возмущения (5.44) справедлива также для частного вида эрмитовых кубических элементов, предложенных Скоттом (1975).
Аппроксимация границы
По-видимому, первые оценки ошибок для методов конечных элементов на приближенно заданных областях были получены советскими математиками (см., например, работу Оганесяна, 1966). Они получили оценки для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных сетках и рассматривали только приближенное решение для задач второго порядка с граничным условием
，黑+肌=Q(в》0),заданным на криволинейной границе. Они показали, что
но их доказательства слишком сложны и выходят за рамки этой книги. Для таких задач были получены оценки ошибки в терминах нормы пространства ga(R) (Оганесян и Руховец, 1969). Несколько позже было показано (Стренг и Бергер, 1971, Томе, 1973), что если Rh есть многоугольник, вписанный в RuR? (R%m/2 согласно Стренгу и Фиксу, 1977, пара-
граф 4.4), то для модельной задачи, определяемой уравнением
券 + 备■ + f(X,圻=0 ((х,切三 R) (5.46)
и граничным условием и = 0 на GR, справедлива оценка || 我 - uA ||i. r力=。(庐")，
где 〃九 есть решение возмущенной задачи, определяемой урав* нением
計 + 才 + f (爲切=о ((X, у) W &)(5.47)
п граничным условием 〃/： = 0 на 6/?也
Таким образом, если уравнение (5.46) решается прибли* женно путем разбиения многоугольной области Rh и после* дующего вычисления конечноэлементного решения уравнения (5.47), то, согласно результатам разд. 5.3,
П〃一。九h反自=0(舟
для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных разбиениях. Если аппроксимирующие функции содержат все полиномы степени 2 или выше, то, согласно тем же результатам, 11"一%h5。(产)，
Этот порядок аппроксимации может оказаться существенно ниже того, который получился бы только на основании результатов разд. 5.3, и происходит это из-за плохой аппроксимации вблизи границы; иногда это понижение интерпретируют, как эффект приграничного слоя. Можно воспользоваться принципом максимума, чтобы показать, что при наличии негладкой границы возмущения будут меньше внутри R. Не* которые резулыаты такого рода могут быть распространены на тот случай, когда Rh U R. Свойства сходимости конечноэлементных аппроксимаций вовне области изучались Нитше и Шатцем (1974), а также Брамблом и Томе (1974).
Бергер, Скотт и Стренг (1972) показали, что если область R в общем случае аппроксимируется областью Rh, которая не обязательно является многоугольником, так, что максимальное расстояние между двумя границами GRbOR" есть О"*), то соответствующий такому возмущению член в оценке (5.16) будет величиной порядка О(й*+1/2). Этому условию может удовлетворять аппроксимация границы кусочными полиномами степени k, например, путем интерполяции; можно пока- зать, что если для аппроксимации функций и интерполяции границы используются полиномы одинаковой степени, то
ошибка метода конечных элементов будет еще порядка O(hk) в терминах нормы пространства 箔旷)(/?九)， Аналогичный результат имеет место для изопараметрических аппроксимаций, так как Сьярле и Равьяр (1972с) показали, что заключения теоремы 5.5, будучи слегка измененными, остаются справедливыми и тогда, когда область задана приближенно. Похожий результат был получен Зламалом (1973, 1974). Задача Неймана рассматривалась несколькими авторами, например Стренгом и Фиксом (1973) и Бабушкой (1971).
Методы штрафов
К этой категории относятся все те методы, в которых неоднородное граничное условие Дирихле рассматривается в форме интеграла от граничных значений, добавляемого к соответствующему функционалу, а не в форме наложения некоторого условия на аппроксимирующие функции. Такие методы могут основываться на методе наименьших квадратов или на методе Ритца, или же на сочетании их обоих. Наиболее уасто употребляемый подход основывается на методе наименьших квадратов, для которого ошибки уже нельзя естественным образом получить в терминах соболевских норм, и приходится постоянно привлекать теорему о следе для оценки интегралов от граничных значений (см., например, гл. 6 в книге Варги, 1971).
Если мы предположим, что оценка ошибки интерполяции, приведенная в теореме 5.4, справедлива при некотором 々 > О, то можно получить и непосредственную оценку ошибки, но не в терминах соболевских норм.
Теорема 5.6. Если конечноэлементная аппроксимация удовлетворяет условию
①％ -f, А乙)=ft"3〈" - g,乙〉(для всех 乙 е К) (5.48) где
映
и если теорема 5.4 справедлива при некотором 尼>0, то имеет место неравенство
М" - аи忆阳+户勺+ 一 «电(湫卢以1II«|!ft+Ii r.
Доказательство. Так как
||前一4仿电的《e|| 我一五|践
для любой функции и — й е 非貝(R) и
11«-Й 以 0R) & С {『勺 « - Й 电(R) + 庐 2II « - Й 111, r}
(Агмон, 1965), то
沙" 一 40 电 (r)+ 俄211a 一 0 I以用 《
《c {II " 一硯,r + 九ru -仿 ( r + 无一2||" 一仿 I以J. (5.49)
Поэтому метод наименьших квадратов, заданный с помощью (5.48), является проекционным методом в том смысле, что
也一0仙1=3獣心_叫屮
где норма определена как
1|Ф^11=1|Л(р^(го+/г-3||(р|^(а/?).
Результат немедленно следует из неравенства (5.49) и теоремы 5.4 при г = 0, 1 и 2.
Можно доказать также, что
^u — UK 电(R)V °丛+’ П 〃 *i, r，
но доказательство выходит за рамки этой книги (Бейкер, 1973; или Брамбл и Шатц, 1970). Численный пример применения оценки такого частного вида будет приведен в разд. 7.4(A); другие примеры можно найти у Сербина (1975).
Другие авторы предлагают отличные от изложенного проекционные методы для решения уравнения (5.46); они основывают свои методы на использовании таких норм, как
IIФ % =«(Ф> <р) + /г-1|1ф 1匕(制
(Брамбл, Дюпон и Томе, 1972) и
IIФ С, = — а(Ф, <Р)— 2 (Л(р, <р) + /г2 II Л<р ll^(R) +
+ y{"w%r)+M需J} (Y>。)
{Брамбл и Нитше, 1973).
Такие методы допускают обобщение на задачи более высокого порядка и на задачи размерности большей двух. Пред-
лагаются также и методы, основанные на использобании стационарных точек функционалов, не являющихся положительно определенными (см., например, работу Томе, 1973). Методы штрафов изучались также Обэном (1972), с. 23.
Н ЕСОГЛАСОВАННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ*
Определим билинейную форму
0心S = £，，｛黑需+瑞需｝公姒/-1 〃
которая не совпадает с билинейной формой
0他S=V｛靠嚣+芻需｝dxdg，
если функция v терпит разрыв вдоль границ между элементами； различие между двумя формами а и。改 является основным моментом при изучении несогласованных элементов (см. разд. 7.2); в дополнение к этому определим полунорму, соответствующую форме ал, как
I « 1л == [«л («> 〃)产， а также норму
II硯= [EI： + IM『s(r)产
В качестве примера результатов, которые могут быть получены для несогласованных элементов, рассмотрим пространство Kh кусочно-линейных элементов, которые согласованы в серединах сторон треугольной сетки (дальнейшие детали снова можно найти- в параграфе 7.2). Для таких элементов ошибка при интерполяции линейных функций равна нулю, так что по аналогии с разд. 5.3
inf心一乙必《以1 〃底 3Kh
для любой функции 以 w 捲蹤(R). Поэтому, если несогласованная аппроксимация оптимальна, добавочный член
должен быть не больше, чем 0(h),
Применяя теорему Грина к каждому элементу, получим,, что
S
、伉％)— 纵) = 2 J ^Whda =
Q
где через Ei обозначена сторона между двумя соседними элементами сетки, а два слагаемых в последнем интеграле, отмеченные как [1] и [2] соответственно, есть предельные значения, соответствующие элементам по обе стороны линии разрыва Е} Применяя лемму Брамбла -™ Гильберта к функционалам вида
f(%%) = \ {(黑吗严+ (黑吗『} 加 (5.50)
(см. упражнение 27), можно показать (Крузей и Равьяр, 1973), что если
\ ОН" —『整} do = 0(5.51)
для всех Wh е 7＜用，то
kА吗)一*仅，恥)区0加以11, r II叫IL(5.52)
Упражнение 26. Покажите, что (5.51) выполняется для кусочно-линейных несогласованных элементов, описанных выше.
Отметим, что в разд. 7.2 будет показано, что (5.51) представляет собой кусочное тестирование несогласованных элементов для задач второго порядка. Сьярле (1973) получил аналогичные результаты для элементов, связанных с задачами об изгибе пластины. Сравнительный анализ несогласованных элементов для задач об изгибе пластины имеется у Ласко н Лесена (1975).
Упражнение 27. Предполагая выполненным условие (5.51), примените лемму Брамбла — Гильберта к функционалу (5.50) и докажите тем самым справедливость оценки (5.52).
Резюме
В этом разделе содержатся краткие выводы по некоторым из наиболее важных результатов разд. 5.2——5.4.】)
Хотя этот раздел может читаться без знакомства с предыдущими параграфами данной главы, приведенные в нем результаты существенно используют обозначения н определения разд. 5.[.
Первый результат относится к интерполяционным свойствам базисных функций, используемых в конечноэлементной аппроксимации, и называется условием полноты. Если в общем случае полином степени 应 интерполируется точно и решение и задачи второго порядка, заданной на двумерной области R, является достаточно гладким, так что 以 w 弟贤+D(R), то для аппроксимации Галеркина U 三 К“ справедлива оценка
心一и 111, Й<С||«-Й k R & с№ II м К+1, R, (5.53)
где Л есть диаметр наибольшего элемента н 〃 三 К“ интерполирует и. В этом контексте вид интерполирующей функции определяется типом используемой конечноэлементной аппроксимации; при.этом предполагается, что все узловые параметры интерполяции определены точно.
Если решение и не является столь гладким, как этого требует оценка (5.53), то показатель степени у Л в оценке ошибки уменьшается так, что при 以三%洋+d(/?) (6《良)
^-U^R^C^^uy+ltR. (5.54)
Оценка ошибки в такой модифицированной форме используется, например, тогда, когда какая-либо из младших производных имеет особенности внутри области R или на ее грани- це. Тот случай, когда Q'u (|i| W 1) имеет особенности на границе, подробно обсуждается в других работах (Стренг и Фикс, 1973, гл. 8, и Уэйт, 1976) и здесь рассматривается только вкратце в разд. 7.4(F).
Для аппроксимаций, построенных на элементах, у которых базисные функции не выражаются непосредственно через пространственные переменные 尤 н у, а определяются вместо этого с помощью преобразования к стандартному элементу с новыми переменными р н д, показатель степени у Л в (5.53) определяется немного иначе. Для таких аппроксимаций, в которые входят и весьма распространенные изопараметрические элементы, k есть степень полиномов по р н д, которые интерполируются точно.
При использовании криволинейных изопараметрических элементов важно помнить о тех строгих ограничениях, при которых справедливы оценки (5.53) и (5.54). Даже когда только одна сторона треугольного элемента заменяется отрезком квадратичной кривой, элемент будет близким к треугольному с прямолинейными сторонами только с точностью О (й2). Если криволинейная граница будет кубическим полиномом, то ограничения на элемент будут даже более строгими -^ детали изложены в разд. 5.3 на с. 132.
Если заданы граничные условия Дирихле, то необходимо добиться удовлетворения приближенным решением этих условий по всей длине границы, прежде чем применять оценки (5.53) или (5.54). Если же граничные условия интерполируются по конечному числу значений в граничных точках, оценка ошибки принимает вид
心一UKr《C"心底+门+A， (5.55)
где величина добавочного члена А определяется типом аппроксимации граничных данных. Оценкой (5.55) можно пользоваться также и тогда, когда область R аппроксимируется некоторым образом (например, многоугольником), когда применяется численное интегрирование или используются несогласованные элементы при построении аппроксимации. Все три приема можно рассматривать как отклонения от классического вариационного метода, и поэтому в анализе каждого из них есть много общего. Что же касается величины воз му* щения, то сходимость еще имеет место, если эта величина есть O(hs) (s > 0). Измененная возмущением аппроксимация называется оптимальной, если порождаемая возмущением ошибка есть 0(九矗),т. е. имеет тот же порядок малости, что и ошибка интерполяции.
Численное интегрирование
Можно показать, что для задач второго порядка, при решении которых используются элементы с прямолинейными сторонами, порождаемый численным интегрированием доба- вочный член есть
при условии, что квадратура точна для всех полиномов степени $ + 々一2; это означает, что сходимость имеет место для квадратурной формулы порядка 9 々——1, а оптимальность —— для квадратурной формулы порядка 2论一2. Если используются треугольные изопараметрические элементы с криволинейными сторонами, то в силу упомянутых выше ограничений для обеспечения оптимальности аппроксимации необходимы квадратурные формулы порядка 4(论——1), тогда как для сходимости достаточно формул порядка 3(々一1).
Интерполяция граничных условий
Если для каждого граничного элемента граничные условия согласованы только в конечном числе точек, то порядок соответствующего добавочного члена зависит от расположения этих точек интерполяции на границе. Аппроксимация будет оптимальной, если граничные данные согласованы в квадратурных точках Лобатто; это означает, что если граница элемента может быть задана параметрически как (х(0), г/(0)), (О W 0 W ®), то точки границы, по значениям в которых интерполируются граничные данные, определяются квадратурными точками Лобатто на интервале [О, 0J. Другим способом задания квадратурных точек является использование длины дуги вдоль границы в качестве параметра.
Аппроксимация криволинейных границ
Можно показать, что если для каждого граничного элемента граница аппроксимируется кривой, уравнение которой представляется полиномом степени 总 то граница отстоит от своего приближения на 0(力矗+】),и поэтому аппроксимация будет оптимальной. В противоположность этому, если границу аппроксимировать многоугольником, то соответствующий добавочный член будет величиной порядка О(й3/2), и сохраняется только сходимость.
Несогласованные элементы
Можно показать, что сходимость имеет место, если элементы выдерживают кусочное тестирование (см. гл. 7),
ГЛАВА 6
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
В гл. 3 мы построили семейство приближенных методов решения задач с граничными условиями; они сводятся к нахождению стационарной точки некоторого функционала, которая является также и точкой экстремума. В этой главе мы по возможности обобщим такие методы на задачи с начальными данными. Однако при рассмотрении вариационной формулировки эволюционных задач возникают дополнительные трудности. Например, в случае диссипативных систем после дополнения основной задачи сопряженной соответствующий им функционал /(и, и*) уже не будет обладать такими экстремальными свойствами. Даже в таких эволюционных задачах, для которых существует точная вариационная постановка, как, например, динамические системы Гамильтона, стационарная точка не является экстремальной.
Эти трудности привели различных авторов к предположению о том, что вариационные формулировки вряд ли окажутся полезными для решения нестационарных задач. Мы присоединяемся к этому мнению в особенности потому, что, как было показано в гл. 3, методом Галеркина можно пользоваться без какого-либо упоминания о вариационных принципах. Единственным оправданием изучения сопряженной задачи является желание рассмотреть диссипативные системы в рамках развитого здесь математического аппарата. Для подобных целей другие авторы предлагают так называемые ограниченные вариационные принципы или квазивариацион- ные принципы; такие принципы не имеют большого внутреннего смысла, а просто служат математическим обоснованием для применения метода Галеркина к диссипативным системам. Все формулировки одинаково хороши в этом отношении и одинаково несовершенны в смысле строгости, когда дело касается задач с начальными данными.
Принцип Гамильтона
В разд. 2.5 уравнения движения непрерывно распределенной динамической системы были получены как необходимые условия стационарности функционала. Покажем теперь, что если используется этот подход, то приближенное решение мо-
жет быть получено, как и в гл. 3, путем определения стационарного значения относительно аппроксимирующего подпространства функций. Поскольку уравнения движения таких динамических систем будут гиперболического или параболического типа, соответствующий функционал не будет положительно определенным. Следовательно, даже для консервативных систем стационарное значение не является экстремумом и невозможно получить наилучшую аппроксимацию. Примером такого функционала, соответствующего уравнению движения
翡”一器=。 (6.1)
для колеблющейся струны, является выражение
/(。)=昇j К(貌2一仪割2卜Х力(6.2)
打0
Граничные условия
Может показаться, что приближенное решение вида
и (х, ?) = £] а押 Jx, /)
для уравнения (6.1) получается путем непосредственного применения изложенного в разд. 3.1 метода Ритца к функционалу /(V), заданному формулой (6.2); к сожалению, это приводит к несовместности в граничных условиях.
Задача, определяемая линейным гиперболическим дифференциальным уравнением вида
势紐■ + 4/(х, ?) = 〃х,/) (/。＜/&幻(6.3)
при х 三 R и Rm с границей dR, где А есть линейный эллиптический дифференциальный оператор, аналогичный введенному в гл. 3, корректно поставлена в области RX [%,九],если заданы граничные и начальные условия
/) = 0
((х, t)qdRX (加厶))，
(6.3а)
u(x, /о) = Ио(х)
(xmR)
(6.3b)
ди (х, /0)
=% (х)
(х м R).
(6.3с)
Однако задача не будет корректной, если (6.3с) заменить условием при t =九，таким, например, как
〃 (х, а) = U, (х) (х w R).(6.3d)
Задача, определяемая уравнением (6.3) и условиями (6.3а), (6.3b) и (6.3d), возникает при определении стационарного значения такого функционала
/ (и； А), /1) =，{(»/,⑷一а е，и) + 2 (f, и)} dt, (6.4) где скалярное произведение обозначает то же самое, что и в главе 3.
Таким образом, перед вычислением решения Ритца для задачи, определяемой уравнением (6.3) и условиями (6.3а), (6.3b) и (6.3с), необходимо несколько видоизменить метод так, чтобы избежать введения граничного условия (6.3d). Мы не встретимся с этой трудностью, если воспользуемся полу- дискретным методом Канторовича, чтобы получить приближенное решение вида卅
t/ (х, /)=2 (/) Ф/ (х),
поскольку при этом уравнение (6.3) будет заменено системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций а( (/) (i = 1, ..., ^ (см. разд. 3.3). Условия (б.ЗЬ) и (6.3с) заменятся эквивалентными условиями
%(%)== q (z = 1, ..., ^)(6.5а)
и
-分业=必(i = l, .... N).(6.5b)
Мы отложим обсуждение полудискретного метода до последнего параграфа и вернемся вкратце к задаче о вычислении решения Ритца вида 汽
и(X, 0 = S am (х, f).(6.6)
Если функция 以(х, f) является решением уравнения (6.3) и удовлетворяет заданным условиям, то при любых Го и Ti, таких, что foV7oV7\Wfi, функция и(х, 0 доставляет стационарное значение интегралу /(д: Го, Л), где все допустимые функции удовлетворяют условиям
и (х, То)=以(х, То) (х е R) и
и(х, T1) = u(x, Т^ (XWR), и граничному условию
0(X,») = 0((X, f)三曲><&, T»
В частности, если взять разбиение интервала [/о, /1] точками /о == То V 勺 V • ■ • V 雷艮==f 1,
то решение уравнения (6.3) доставит стационарное значение каждому из функционалов
4 (f) = \ {(力，⑷一а(и, и)+ 2(/, и)}或(я=1К).
(6.7)
Отметим, что области задания функционалов по времени перекрываются. Используя функционалы (6.7) вместо функционала (6.4), можно построить метод решения в виде последовательных шагов, сводящихся к методу Ритца. А именно, считая решение известным на момент / = тп-ь попытаемся найти численно стационарную точку функционала /舞 и тем самым решение на момент / = тл+ь чтобы затем использовать его как известное условие. Чтобы осуществить это практически, представим задачу, так, как если бы граничное условие (6.3а) было задано вместе со значениями решения 〃(*,/) на моменты / = Tn-ь Тп+ь и затем решим ее относительно неизвестного решения на момент / = тп+ь Такой подход возможен при условии, что у нас имеется дополнительная информация о решении на промежуточном шаге f =工冷 Следовательно, для вычисления решения на момент t = Tn+i мы должны знать его на двух предыдущих шагах, т. е. при f = % н f = %т.
В качестве примера мы опишем один из способов вычисления конечноэлементного решения уравнения (6.1). Возьмем в области О W % W /, %т W f W 力* разбиение вида
О = Xq V %i VV 尤厶+1== Z,
где xz+i — xi = Дх (i = 0, 1, 2, ..., £), и будем также считать, что
t叶 I — тл = тл — тл_1 =
Теперь представим себе, что мы решаем краевую задачу, определяемую уравнением
备'—2需=о (0<x<Z; T„_i </<т„+1),(6.8)
и условиями
〃(*, t“+i) = "“+i(u) (0 < X < /),' (6.9а)
и(х, тп_!)= и„_1(х) (0<х</)(6.9b)
И
«(о, о = « (/，0 = ° (%_1 < Z < ^п+^(6.9с)
Чтобы получить приближенное решение этой задачи, определим в области (0 W a W /; t〃_i W f W Tn+i) билинейные базисные функции ф//(Х, /) (/=1, ..., L\ j = п ——1, п, п 4- 1), соответствующие точкам Р{ = (хр т,) (ср. с разд. 3.1), изображенным на рис. 26. Тогда приближенное решение запишется в виде$
и(х,/)=£ Zq№/)4(6.10)
где U\ есть значение этого решения в точке Р% При решении краевой задачи (6.8)——(6.9с) величины t/?+1 и U：~' (i = =1, ..., L) определяются из (6.9а) и (6.9b) соответственно, a Uf определяются из системы
鳥"2 2c=i,…，。(6.U)
叫 <3 Л /
Мн же пытаемся решить не краевую задачу, а задачу с начальными значениями. Следовательно, если величины U「 н U7(»==l, .. L) известны, система (6.11) должна быть использована для определения U；*L
Упражнение 1. Покажите, что пошаговый метод решения уравнения
器■一窮"=0 (0<FM<y幻
с использованием билинейных базисных функций, который был описан выше, приводит к системе разностных уравнений
Ш-Лл/()^ = 0,(6.12)
Где о： и 6^ есть операторы взятия центральных разностей второго порядка, 1хиЦ — операторы интегрирования по Симпсону, введенные в разд. 3.1, а г = Л^/Дх, и область разбита так, что
(/г = 0, ..., К) и х/+! — X/ == Дх (/ = 0, ..., L).
Начальные условия
В приведенном выше примере и вообще в пошаговых методах, получающихся аналогичным образом для задачи (6.3)― (6.3с), необходимо как-то получить приближенное решение при / = то и / = ть чтобы затем уже можно было использовать функционал /1(и) для нахождения решения при t = т2. Если между начальными и граничными условиями нет разрывов, то приближенное решение можно определить в виде
и (х, /) = «о(X)+ Z %<р； (х, /).(6.13)
Использование этого представления эквивалентно переходу к такой задаче (ср. с разд. 3.2), для которой начальное условие (6.3b) заменено условием
и (х, %) = 0 (х w R)
При наличии разрывов, т. е. когда
«о (х)，0 (х е OR), нельзя использовать приближение вида (6.13) и необходимо аппроксимировать и0(х) функцией вида
и(X, fo) н Е am (х, fo)
так, что либо U (х, /0) интерполирует ио(х), либо ошибка «о (х)——U (х, /0) минимизируется в некоторой норме. Точно так же необходимо аппроксимировать и второе начальное условие, так что
3。(X, /о) V ~ 3<Pf(X/о)___l色一^—
является хорошим приближением для ?о(х).
Поэтому в рассмотренном выше примере можно ввести начальные условия
lft = u0 (修)(1=1 ..., L)
И
—后一=u0(Xi) (z=I, …，£).
Такое использование принципа Гамильтона позволяет построить вполне работоспособный метод последовательных шагов для решения консервативных систем, хотя метаматиче- ская формулировка такого метода в ряде случаев не кажется слишком убедительной. Аналогичным образом пошаговый ме- .тод для приближенного решения гиперболических уравнений описывается у Нобла (1973).
62 Диссипативные системы
Как уже упоминалось в начале этой главы, различные авторы пытались получить вариационную формулировку для диссипативных задач. Некоторые из них пытались получить такой же общий вариационный принцип, который был бы справедлив для большого класса таких задач (Финлейсон и Скривен, 1967, и цитируемые ими работы), как принцип Гамильтона ——для консервативных систем. Основные недостатки подобных формулировок таковы:
Вариационные принципы проще всего получаются из основных уравнений, так что вариационная формулировка требует дополнительных усилий, но не дает дополнительной информации.
Участвующий в формулировке вариационного принципа функционал не имеет физического смысла и его стационарные значения никогда не являются настоящими экстремумами, которые могли бы быть использованы для получения оценок ошибки.
Как уже отмечалось в предыдущем разделе, имеется заметная несогласованность между вариационными задачами и задачами с начальными данными, которая постоянно игнорируется в большинстве так называемых вариационных формулировок эволюционных задач.
Мы подчеркнули достоинства и недостатки вариационных формулировок именно в этом месте книги ввиду большого разнообразия в литературе таких формулировок для диссипативных или необратимых задач и подчас противоречивой их трактовки. Мы не будем рассматривать конечноэлементное решение эволюционных диссипативных систем, получающееся исходя из сопряженной формы задачи, а вместо этого приведем два упражнения, которые могут быть выполнены интересующимся читателем.
Упражнение 2. Покажите, что при подходящем выборе аппроксимирующих функций функционал, соответствующий задаче, определяемой простейшим уравнением диффузии 器=■&(0<х</； /о<у/3
граничными условиями
〃 (0, /) = и (/, /)(х) = 0 (/о V Г《/1)
и начальным условием
W(X, /о) = Wo(х) (0<х</), имеет вид
/=m｛号*+票翼№或・
启0
Покажите далее, что уравнение
—di — дх2
является необходимым условием, для стационарности точки, определяемой из системы 6ь/(и, и*) = 0, если либо (I) функция 辽 считается известной при t = tQ и f =介,либо (II) у считается известной при / = /о и и* = 0 при £ =介・.
Замечание. Отсюда видно, что при вычислении стационарной точки функционала 1п нужно предположить, что функция □ (%, 丁〃—1) может принимать любые значения, тогда как w* (х, т«) = 0. Поэтому функция и*(х, /)——это не приближенное решение отдельной сопряженной системы, а скорее последовательность приближений для ряда отличных друг от друга сопряженных систем, соответствующих каждому из интервалов [т〃_1, т〃], причем для каждой такой системы должно выполняться условие
u*(%,%)=0 值=1,2，•一k)
при 0 0尤W厶
Упражнение 3. Покажите, что решая методом последовательных шагов уравнение
号—^^ = 0(0 < r < /； ZoVf《厶)，
как это было описано выше, и используя при этом билинейные» базисные функции, мы придем к системе разностных уравнений
А厶U? - у 蜀｛U产 + 2闻=0,(6.14)
где А/ есть оператор взятия разности вперед по f; /#, 6：— определенные ранее разностные операторы по 尤，а г = At/(Дх)2. Область разбита так, что %+】一％ = А/ (/г = 0, 1,・・・，К) и Xi+i — х( = Дх (i = 0, 1, 一，, N). Здесь читатель, знакомый
%6辭
с конечноразностными методами, может сравнить полученное выше разностное уравнение со стандартной конечноразностной аппроксимацией простейшего уравнения диффузии, такой, например, как схема Кранка — Николсона. Аналогичное сравнение можно провести между уравнением (6.12) и стандартными конечноразностными аппроксимациями волнового уравнения.
Другие «вариационные» приемы численного решения простейшего уравнения диффузии можно найти у Нобла (1973), а также в работе Чекки и Челла (1973).
6.3* Полудискретный метод Галеркина
Полудискретные методы, кратко упомянутые в разд. 6.1, позволяют обойтись без вариационной постановки эволюционных задач, включающей все независимые переменные. Они составляют основу наиболее употребительных методов решения таких задач. В гл. 3 различные модификации полудискрет- ного метода применялись к эллиптическим задачам, но там такой подход оказывается несущественным. Первым шагом является переход к дифференциальному уравнению в слабой форме ——как это было при рассмотрении методов Галеркина для эллиптических задач. Как и в гл. 3, здесь не делается попыток доказать эквивалентность классического и галеркин- ского решений дифференциального уравнения: будем считать, что решение единственно и совпадает с ними обоими.
В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение
^Д + Ли (х, /) = f (х, 0 (х, /) w R х 偽，3),(6.15)
где Д есть дифференциальный оператор второго порядка, который в двумерном случае имеет вид
ах2 0y2 •
Уравнение (6.15) дополняется начальным условием
w (х, /0) = и^ (х) (х w R}(6,15а)
и граничным условием
w (х, /) = 0 ((х, /) в OR X (h *)•(6.15b)
Соответствующая слабая форма задачи в обозначениях параграфа 3.4 такова, что при t е(/0, 6]
(罂，о)+°(% и) = (力 и) (для всех и(х)巨捲)(6.16)
совместно с начальным условием
(〃，吟“ = ®о, и) (для всех и (х)胃 第).(6.16а)
Ясно, что для этой модельной задачи (если вспомнить обозначения гл. 5) % =非'(R) и решение и е 5^ X С1 [/0» ^i]- Если заданы граничные условия более общего вида, то может оказаться необходимым модифицировать слабую форму задачи добавлением интегралов от граничных значений. Такая модификация функционалов рассматривалась в гл. 2, 3 и 5.
Полудискретная аппроксимация V теперь определяется из уравнения в слабой форме: это означает, что при f w (力，/J выполняется уравнение
(奈，V)+a (U, V) = (f, V) (для всех У (x)三 KJ (6.⑺ с начальным условием
“ “м = 3(ь У) (для всех V(x)wK").(6.17а)
Для модельной задачи K“u%g)(R). Если функции <р, (t = = 1, ..., N) образуют базис подпространства Kn、то можно дать эквивалентную формулировку: полудискретная аппроксимация при £ 三(％"i] удовлетворяет уравнению
(等，牝)+ a(G 喃=(厶也)0 = 1，•••，&) (6.18) и условиям
(U, <р±)= Зо, (р J (z = 1, ..., N),(6.18а)
Для этой модельной задачи снова следует, что У к U должны обладать одинаковыми свойствами (по х), так что U в К^Х X C'[fo, Л], а аппроксимация Галеркина имеет вид
и(X, /) = 2 % (0 叨(х).(6.19)
Al
Если заданы неоднородные граничные условия Дирихле, то аппроксимацию Галеркина можно представить в виде
U(x, /) = Г(х, /)+ £а,(/) <р,(х),
где 电 q Kn, a W(x, f) удовлетворяет граничным условиям. Как и для эллиптических задач, функция V должна только принадлежать энергетическому пространству, а на аппроксимацию U такого требования не накладывается.
Аппроксимация Галеркина определяется из системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функ-
ций а/(/) (i = 1, ..., N). Из (6.18) следует, что для тиодель- ной задачи эти уравнения могут быть записаны как
2{需(中厶0)+a也(也，也)} = (f, q)J (f= 1,.•.，N), (6.20>
а начальные условия (6.18a) примут вид
а『(％) = С/ (/ = 1, N)t(6.20a>
где
Z С/(W，伙)=(〃o,①f) (Z = 1, . •., N).(6.20b)
Определяемые из (6.20b) коэффициенты С/ (/ = 1, ..., N) удовлетворяют условию
w0 (х) — £ с,% (x)= min;
/7l®(R)
для определенных задач это обстоятельство момет быть использовано с целью замены (6.20b) другой аппроксимацией исходных данных или для изменения формы аппроксимации таким образом, чтооы точно удовлетворить начальному условию (разд. 6.1).
В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим простейшее уравнение диффузии
6〃 — д2и дГ — хх26〃 — д2и дГ — хх2(0 < х < /； / > 0),(0 < х < /； / > 0),
6〃 — д2и дГ — хх2
6〃 — д2и дГ — хх2
(0 < х < /； / > 0),
(0 < х < /； / > 0),
решение которого удовлетворяет условиям
и (0, /) = и (/, /) = 0 (/ > 0) и
и (х, 0) = ио (х) (0 < х < Z).
Приближенное решение этой задачи имеет вид
U (х, 0 = Zw (£)<₽“»,
где базисные функции удовлетворяют граничному условию, т.
Ф/(0) = Ф/ (0 = 0 (i=l, ..., АГ). (6.21)
Тогда система уравнений (6.20) примет вид
NM+叩"} = 0 (1=1,У),(6.22)
где
о
d订=\ q)£q)； dx.о
Хотя полудискретные методы разработаны теоретически главным образом в применении к параболическим уравнениям, они с таким же успехом могут применяться и к гиперболическим уравнениям, в особенности к уравнениям вида
察+ % 芻+ 4“ = 0 (九＞0),'
которые описывают затухающие механические колебания. Для таких задач полудискретная аппроксимация вида
и(х,/)= 2 %(/)%(х)
приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравне， ний второго порядка относительно неизвестных функций а/(/)\ Эту систему дополняют две последовательности начальных условий
%(fo) = / (£=1, ・・・，N) и
图般=必(i=l,^;
коэффициенты с『и di определяются заданными начальными значениями
〃(居 fo) = w0 (х) и
包卧=U°(X)
так, чтобы“
wo (х) — Ё (х)= min
III心2低)
И
方(х) — £ dm (x)= min
соответственно.
Нелинейные задачи
В гл. 3 мы привели пример нелинейного уравнения A(u)—f9 которое может быть решено методом Галеркина. В то же время нужно помнить, что преимущества метода Галеркина не могут быть полностью реализованы, если невозможно применить интегрирование по частям для упрощения скалярных произведений. Это верно и в том случае, когда мы применяем полудискретный метод Галеркина для решения нелинейного параболического уравнения
雰+43) = 0.
Рассмотрим в качестве примера такой же нелинейный член, как и в эллиптическом случае, а именно
4 (") = _ 含(" ⑷翼)一备(g (")芻)•
Чтобы применить полудискретный метод Галеркина к этому уравнению, сначала необходимо переписать уравнение в слабой форме
(參，也)+ а (^ Фг)= ° « = 1,・・・，N).
2 謂 d“+q(a)2 謂 d“+q(a)Затем второй член упрощается с помощью интегрирования по частям, после чего получится система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида
2 謂 d“+q(a)
2 謂 d“+q(a)
=0 (Z = 1, ..., N)
/=1
(ср. с (6.22) и с (6.37), где а = (аь …，а“)т. Вопрос о решении такой нелинейной системы обсуждается ниже в этой главе.
Упражнение 4. Опишите полудискретный метод Галеркина, построенный с помощью кусочно-линейных базисных функций, в применении к уравнению затухающих колебаний струны
>^^~ + 九 ^f2 -^т = 0 (0 < х < /; fo V £《f 1；九 > 0),
дополненному граничными и начальными условиями
и(0, /)== и(/, ^) = 0 (/о《/《/)
w (х, /о) = «о М ]
Упражнение 5. Опишите полудискретный метод в применении к уравнению
而_ —+((х, у, /) в /? X (加 h]),
дополненному начальными и граничными условиями
□(尤，У，%) = u0(乐 y)) 修修=方(%, у) j в а
°"(:'Е “= ZU, у, /) ((%, у, /)三dR X&)/]),
где dR есть граница области R = (%о V 尤 V %i)X(jo V у V V Ji), а /г является внешней нормалью к границе.
Упражнение 6. Покажите, что применение полудискретного метода Галеркина к линейному дифференциальному ^уравнению
仇Au = f
приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида
Ра + Qu + Ra = b,где матрицы 尸，Q и R не зависят от времени и с】Р = EQ.
Непрерывные по времени методы
Как показано в предыдущем разделе, полудискретный метод приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
4a + 8& + Ca = b(6.23)
с начальными условиями
а (/о) = Со(6.24а)
a(/o) = do,(6.24b)
если Л #= 0. Для линейных задач, у которых матрицы А, В и С постоянны, решение уравнения. (6.23) может быть получено стандартными аналитическими методами.
Если 4 = 0, то задача упрощается, и ее решение может быть записано в виде
a(O = C1b + exp(-/B-'C)(co-C_1b)
и выражено (Уэйт и Митчелл, 1971) в терминах решения задачи на собственные значения для уравнения
(АВ — С) и = 0.
Если же В = 0, то а(/) может быть выражено в терминах решения задачи на собственные значения для уравнения
(VX-C)u = 0.
Хотя и можно получить полное решение отдельной задачи на собственные значения, для больших систем вычисления будут очень дорогостоящими, и поэтому в таких случаях часто выгоднее аппроксимировать решение уравнения (6.23) небольшим числом одних преобладающих компонент. Такие компоненты обычно очень слабо изменяются относительно изменений во времени и соответствуют наименьшим по модулю собственным значениям. Конкретные собственные значения вместе с соответствующими собственными векторами могут быть вычислены методом обратной итерации (Уилкинсон, 1965, стр. 534) значительно дешевле по сравнению с полным решением задачи на собственные значения, и поэтому такой подход обладает определенным преимуществом при условии, что аппроксимация немногими преобладающими компонентами адекватна решаемой задаче. Такая аппроксимация является особенно подходящей, если (I) А =/= 0 и необходимо сглаживать осцилляции или (II) А = 0 и требуется знать стационарное состояние, а не процесс его установления.
Рассмотрим для примера уравнение
= @/ +(3g2(0 V %, у V 冗；'> 0)»(6.25)
решение которого удовлетворяет граничным условиям
〃 (х, 0, /) = и (х, л, /) = 0 (0《尤 & л),(6.26а)
и (0, z/, /) = 0 (0<^<л)(6.26b)
и
и (л, у, /) = sin у (0《у《л),(6.26с)
а также начальному условию
口(尤，弘 0)=彳 sing (0<х, ^<л).(6.26d)
Для построения конечноэлементного решения воспользуемся полудискретным методом и билинейным базисом. В данном случае необходимо специальным образом учесть то обстоятельство, что граничное условие (6.26с) является неоднородным (и гладким). Это можно сделать различными способами, и мы проведем некоторое сравнение их между собой. Будем
10*
искать аппроксимирующее решение в виде
U (х, y,t) = V (х, у, t) + W (修 у)「(6.27)
где функция&
V (х, у,。=，［匕『(Z)屮订(招 у)(6.28)
«сть кусочная билинейная аппроксимация решения уравнения 穿=書 + 訣一亲S也^ (0<х, у <щ />0) (6.29)
с однородными начальными и граничными условиями, а W(x, у) либо
W (хt у) =^ sin у,(6.30)
либо
W(x,y)= 2 ^^(х^),(6.31)
и коэффициенты с〃 определяются с помощью начального условия.
Относительные достоинства различных способов вычисления такой аппроксимации видны из рис. 27. Точное решение задачи есть
л (х, у, /) =^М- sin у+ — £，《二L)；］茂а+胧)"2 sin kx sin у.
、，力Sh Л1 Я 厶4 々(〔+々2)1/2少
Для способа (1) W(х, у) задается равенством (6.30), для способа (2b) W(xt у) задается в виде (6.31) и интерполирует начальное условие; для способа (2а) W(x, у) задается в виде (6.31), причем коэффициенты с〃 выбираются так, чтобы получилась наилучшая аппроксимация начального условия в 纟2(R)・
Дискретизация по времени
Для нелинейных задач уже нельзя получить решения в таком виде, как в предыдущем разделе, и такими решениями редко пользуются для задач, в которых граничные условия зависят от времени. В таких случаях необходимо получать численное решение пошаговым методом. Подробное изложение численных методов для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно найти у многих авторов (см：, например, Ламберт 1973), и мы рассмотрим только такие методы, которые являются подходящими для вычисления конечноэлементных решений. Система таких уравнений, как (6.23), может быть жесткой (Ламберт, 1973, стр. 231), а это означает^ что они могут быть решены с удовлетворительной точностью только некоторыми специальными методами (Лаури, 1977, Гопкинс и Уэйт, 1976).
Параболические уравнения с частными производными и соответствующие им системы первого порядка (по времени), вероятно, заслуживают наибольшего внимания, и наиболее распространенным способом их решения является так называемый метод Кранка — Николсона — Галеркина. В этом методе система дифференциальных уравнений
5& + Са = Ь (6.32) заменяется системой разностных уравнений
в { %+『“ } + с { “"У% } = Ь(тп+ 1/2)(п = 0,1,...), (6.33)
где ап аппроксимируют а (% + 孔А/) и 二+1/2 =力 + (孔 十 l/2) А^ (п = 0, 1,・・・). Такую форму аппроксимации решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений более точно можно назвать методом трапеций. Из (6.33) следует, что на каждом шаге вычислений необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений для нахождения значений ал+ь К сожалению, ситуация не так проста для нелинейных уравнений вида
(6.34)(6.34)Ва + а (а) = Ь,
(6.34)
(6.34)
которые получаются в результате применения полудискретно- го метода Галеркина к уравнениям вида
(6.35)(6.35)^- + A(u) = f.
(6.35)
(6.35)
Аппроксимация Кранка — Николсона —— Галеркина в случае (6.34) сведется к системе нелинейных уравнений для определения сх/нч, так что придется применять метод《предиктор —— корректора. Дуглас и Дюпон (1970) предложили ряд различных схем и провели их сравнительный анализ, но здесь мы можем лишь вкратце остановиться на типичном примере предлагаемых ими методов для решения уравнения (6.35) при
/(〃)=—曷(р® 黑)—品(д(〃)岩)• (б・зб)
В этом случае с (а)=①(а),…，сы (а))т и
Q(a) = f>M{p(S 碧芻+ 芻芻(6.37) /=1 R
(4=1, . .N).
Поэтому с (а) можно представить как
с (а) = D (а) а
и вместо (6.34) получить
За 十 £) (а) а = Ь;
тогда (6.33) заменится двумя уравнениями
В { ^др1} +。(吟{ ^2^ } = b &+I/2)(6.38) И
8{齿生}+八(59{%I产}=似%+向.(6.39)
Предиктор (6.38) дает первое приближение 0^+1, а затем можно дополнительно использовать корректор (6.39) для улучшения этого приближения.
Упражнение 7. Покажите, что полудискретный метод, использующий аппроксимацию Кранка — Николсона — Галеркина, в применении к простейшему уравнению диффузии 器一證=о (0<х</; ?о</</1)
в случае линейных базисных функций сводится к системе разностных уравнений
A厶U7 一 ^ 幾何产 + 片} = 0,(6.40>
где операторы Д/, /% и 忌，постоянная г и разбиение области такие же, как и в упр. 3 из разд. 6.2.
Одношаговый метод Галеркина (конечные элементы по времени),
Другой подход состоит в дискретизации уравнения (6.32} с помощью аппроксимации Галеркина, т. е. в получении приближенного решения в виде
a 叫/)=左呼)叫")(/)m=0, 1,...)(6.41)
на каждом подынтервале (тм, т^ + Af), где коэффициенты ар (/ = 1, ..., S) определяются из системы
(Вам + са* ^\ = (Ь, ^}п, (/ = 1, ...» S; (6.42)
п = 0, 1,...)
и условия непрерывности
а⑻(4) = W-D(W) (〃 = 1,幺...).(6.43)
z-я компонента вектора <и, и〉” есть
%+ат\ и, (?) и (/) dt,
где u = W),・•・，〃汽(/))т.
Заметим, что в представление (6.41) входят S + 1 базисных функций; тогда как система (6.42) содержит только S уравнений, и поэтому вид разностной аппроксимации зависит от способа упорядочения базисных функций.
、Разобьем подынтервал [工门,т〃 + Af] так, чтобы
тд =吋)< тр < ... < 喈)==тд + А/
и
守一唱=告 0 = i,…，S).
Предположим, что 屮『)(/ = 0, 1,・・・,S) образуют базис для лагранжевой интерполяции на [тл, + Д/|, т. е.
嘅(磅)) = {：，片：)5 = 0,1,...),
и q)^rt) (/) есть полиномы степени S на [т«, тл + AZ], Из (6.43) следует, что
噌)=喈一1)= %^(1(%) m=1, 2,...),
и поэтому при S ? 2 можно исключить a^n) (j=l,S — 1) из (6.42) и получить одно уравнение, связывающее а〃+[ % а^ (и = 0, 1,...).
Рассмотрим, например, тот случай, когда b = 0:
S = 1 (Комини, дель Гвидичи, Левис и Зенкевич, 1974). Тогда
{в + -|д/с}ап+1 = {в-^-(?}а„.(6.44)
S = 2. Тогда у
{/ 十暂 А/М 十急(А/)2 № } а〃+] = { / _ |_ А/М + 击(厶/尸 м2} а„, где М = С.
Можно показать (Халм, 1972), что некоторые хорошо известные разностные методы могут быть сформулированы как одношаговые методы Галеркина.
При использовании эрмитовой интерполяции получатся другие формулы. Другим возможным способом получения разностных схем является замена аппроксимации Галеркина (6.42) аппроксимацией в смысле метода наименьших квадратов.
Упражнение 8. Покажите, что если базисные функции расположены в обратном порядке, т е.
咪(%尸{:d, 1,…)，
и если b = 0 и 5 = 1, то разностное уравнение примет вид{ 8 + ^ С } % 十[={ 8 — -|- Л/С } %.
Упражнение 9. Можно получить другие системы разностных уравнений, если определить локальную аппроксимацию (6.41) с помощью системы
〈8&”)+Са?屮『% =〈Ь, "'〉“ (/= 1,…，S; /г = 0, 1,…)
вместо (6.42), где {(₽?)} и {“,)} отличны друг от друга. Покажите, что при b = О,
W,)(f)=l (п = О, I, ...; />") и
修(/) =芸(/-%)- 1 (“н。，1，…；Т"7&/&О получатся следующие разностные уравнения:
S = 1. Тогда
{ 5 + *y~ С }= { В —等 С }
S = 2. Тогда
{/ + ^m +粵m2}%+尸{/一^m+喑m2}a"，
где M = S-1C.,
Упражнение 10. Покажите, что если заменить (6.42) аппроксимацией в смысле наименьших квадратов, то при S = 1 и b = 0 получится разностное уравнение
{$¥+^【8С + cВ]+孚e2}%+l
={Е 中+ }【вс —询一^С2} %.
Метод переменных направлений Галеркина для параболических уравнений (Денди и Файервезер, 1975).,
В гл. 3 этот метод был применен к эллиптическим задачам. Аналогичным образом его можно применять и к параболическим задачам, определенным на прямоугольных областях. Если используемые базисные функции заданы в виде тензорного произведения, то для аппроксимации, определяемой линейным уравнением
隅’，) + а(а Ю = (А U) О。)，
получается (в случае двумерной задачи) алгебраическая система, которая может быть записана как (см. гл. 3, стр. 71) Вх ® By {° 叶戸冃 + (4 ®Ву+Вх® 4) {%+*%} = Ьп+1/2
仇=1,2,…)，(6.45)
где через 0 обозначается тензорное произведение. Если к левой части добавить член (^ Af) Лх® Л^ап+ь то (6.45) можно
заменить уравнением
(& + 等 /х)(Э(8g + 年 4/)% + 1=也，
которое может быть решено в два этапа, как и в эллиптическом случае (разд. 3.4).
Был предложен и ряд других методов, но при этом во многих случаях рассматривались только линейные задачи, например, в приложениях общих многошаговых методов (Зла- мал, 1975) и методов Норсетта (Семенич и Глэдвелл, 1974). Дюпон, Файервезер и Джонсон (1974) построили семейства трехслойных разностных схем для решения как линейных, так и нелинейных задач. Файервезер и Джонсон (1975) показали, что можно использовать локальную экстраполяцию Ричардсона, основанную на таких трехслойных схемах, а также на некоторых двухслойных схемах, предложенных Дугласом и Дюпоном (1970). Они рассмотрели также влияние интерполяции нелинейных коэффициентов, т. е. интерполяции таких функций, как р(и) и д(〃) в (6.36).
6.6. Сходимость полудискретных аппроксимаций Галеркина
Этот раздел содержит краткое изложение одной из оценок сходимости, полученных Томе и Уолбином (1975) и Уилером (1973) для модельной задачи, определяемой уравнением
黑="О' + 4^" «% 协 f) w R X (/о, /J), начальным условием
4(居 协 %) = 〃。 U, у)((居 у)三 R) и граничным условием
〃(％ 协 Q = °((居 У，/)三 OR X (/0, /1]).
При этом ограничение двумя измерениями не является существенным.
Отправная точка для анализа та же, что и в гл. 5; а именно, формулировка предположения об аппроксимирующих свойствах подпространства К#. Поэтому предположим, что теорема 5.4 справедлива и существует такое 々 N 1, что для любого 〃三鑑寶+"(R) ошибка, порождаемая интерполяцией и элементом й 三 К必 ограничена как
ll«-5|lr,R<Cftft+1-r||u||ft+1.^ (r^k).(6.46)
Если предположить, что нарушения вариационных принципов, отмеченные в гл. 5, отсутствуют, то полудискретная
аппроксимация Галеркина будет удовлетворять уравнению
(祭，P)+ a(U, Г) = 0 (для всех Pr^J. (6.47)
Если 〃 三宓货+" (ЮХ。】ро, /1], то из (6.46) следует, что проекция W ^ Kn У^ С1 [Zo, 6], которая при t 三[%, fj удовлет* воряет условию
а”，И) = а(u, V) (для всех PeKJ, (6.48) будет также удовлетворять неравенству -
IU — 取Hr. R &c/”f II 〃 *1,我(f E [血 /1]).(6.49)
Из (6.47) и (6.48) получим, что
для любого t w 卩°, ^]; при V = Ut ——Wt это дает
IIS-吃%(R)+ ；^a(U-吃 U-W) = (ut-Wt, s —吃).
Применяя неравенство Шварца к правой части, получим [\Ut-Wt\^2fR} + ^a(U-W, U-W)^
VI%-吃I以R)IM-吃 b(R).
Из (6.49) следует, что
II щ - Wt Ц^ 便)《 Chk II 4 11也+1.r， так что
^a(U-W, U-W) &С№ и “鳴+ь r,
и поэтому
a (U — 取，U — WX С№, с 三 с (以 (6.50)
Так как билинейная форма а эллиптична в 徹£) (разд. 5.2), то объединение (6.49) и (6.50) дает
^u-U^^Ch^, С^С(и).
Это оценка в непрерывной форме для аппроксимации Галеркина. Если уравнение (6.47) решается пошаговым методом, то должен быть рассмотрен дополнительный источник ошибок. Рядом авторов были получены оценки таких ошибок; дальнейшие ссылки по этому вопросу можно найти, например, у Денди (1975) или у де Бура (1974).
ГЛАВА 7
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Введение
Прежде чем применять метод конечных элементов в различных его формах к решению задач, полезно в сжатой форме сформулировать основные характеристики этого метода.
Метод может быть использОвай для решения как стационарных, так и нестационарных задач. Ограниченная пространственная или пространственно-временная область разбивается на некоторое число неперекрывающихся элементов. Аппроксимирующие функции, которые могут быть полиномами, рациональными дробями и т. д., относятся к конкретным элементам, и параметры при этих аппроксимирующих функциях согласованы так, чтобы обеспечивалась желаемая степень гладкости аппроксимации на стыках между соседними элементами. Тогда аппроксимирующая функция во всей области может быть выражена с помощью своих значений и значений своих производных в узловых точках области через базисные функции, которые отличны от нуля только на немногих элементах, расположенных вокруг соответствующих узлов. Более точно, аппроксимирующая функция для всей области имеет вид
и(х) = 2 \pi (х) Ui + qt (х)(券);+ " (x)(券);+ • • •］，(7・D
где X = (хь х2, ..., %т), функции р"х), gt(x),门(х) и т. д. имеют локальный носитель, a N есть число узловых точек в области. Функции pz(x), dqt(x)/dxb дг((х)/дх2 и т, д. принимают единичное значение в узле z. Во многих случаях (7.1) имеет упрощенный вид 幫
(7.2)
хотя есть задачи, для которых необходимо использовать представление (7.1) общего вида, особенно те, в которых требуется большая гладкость между элементами или повышенная точность в определении градиента решения. Построение базисных функций р((х), %(х), &(х) и т. д. является одним из наиболее важных и часто одним из самых трудных моментов
в методе конечных элементов. Это в особенности верно для задач с криволинейными границами и линиями раздела, особенностями и т. д., и для задач с производными высоких порядков. Вопросы построения базисных функций изложены •в гл. 4.
В конце этой главы мы увидим, как решаются некоторые, в основном физические и инженерные задачи методом конечных элементов в различных его формах (Ритца, Галеркина, наименьших квадратов, колокации). Разнообразные типы базисных функций и модификации основного метода будут использованы для того, чтобы подчеркнуть относительные преимущества тех различных приемов, которые объединяются под общим названием метода конечных элементов. Что касается базисных функций для задач, в которых требуется высокая степень гладкости между элементами (например, решение би- тармонического уравнения в смысле наименьших квадратов должно принадлежать пространствуй С3), то здесь будут при- менень! несогласованные элементы, и поэтому мы начнем эту главу с краткого описания некоторых используемых на практике несогласованных элементов.
Несогласованные элементы
До сих пор аппроксимация для всей области в методе конечных элементов строилась в предположении ее некоторой гладкости (или по крайней мере непрерывности) на стыках между соседними элементами. Для дифференциального уравнения порядка 2左 требовалась сшивка в С*-】 для методов Ритца и Галеркина или сшивка в С2*~ для метода наименьших квадратов. Если для тетраэдральных элементов сшивка в 0 достигается применением полиномов девятой степени, то нетрудно себе представить, каким сложным делом будет при 礼 > 1 построение элементов с требуемой степенью гладкости сшивки, т. е. построение согласованных элементов. Поэтому с вычислительной точки зрения желательно научиться использовать элементы с меньшей степенью гладкости на стыках, чем это формально требуется, т. е. несогласованные элементы.
Поскольку инженеры в меньшей степени по сравнению с математиками избегают применения на практике теоретически не обоснованных приемов, нет ничего удивительного в том, что несогласованные элементы были впервые предложены именно инженерами. Ими было предложено также так называемое кусочное тестирование для выбора таких несогласован-
ных элементов, которые обеспечивали бы сходимость конечноэлементной аппроксимации для данной задачи. В действительности кусочное тестирование является проверкой непротиворечивости несогласованного конечноэлементного метода^ используемого для решения конкретной задачи.
Кусочное тестирование (Айронс и Раззак, 1972)
Смысл кусочного тестирования состоит в следующем. Предположим, что пространство несогласованных базисных функций содержит все полиномы такого порядка г, какой имеет* ■старшая производная в энергетическом функционале (в обозначениях гл. 5 Рг и К%), и пусть граничные условия вдоль периметра произвольно взятой части элементов определены как значения произвольно взятого частного решения и ^ Рг на этой линии. Тогда кусочное тестирование считается выполненным, если приближенное решение %, вычисленное по методу конечных элементов в форме Ритца без учета разрывов на границах между элементами, совпадает с и на рассматриваемой части элементов. Таким образом, кусочное тестирование- выполнено, если при 〃三 В
% = 〃・ (7.3)，
В качестве иллюстрации применения кусочного тестирования к задачам второго порядка рассмотрим решение уравнения Лапласа на части элементов, образующей единичный квадрат и составленной из двух треугольных элементов- (рис. 28). Энергетический функционал содержит первые производные, и поэтому г = 1. На каждом треугольнике определим линейную функцию по ее значениям в серединах трех его
сторон. Тогда.
UE (х, //) = (!- 2%) Q —(1 — 2у)弘 + (1 + 2尤 一 2s 仆、
а" а，y) = -(l~ 2x) 4 + (1 — 2 s а + (1 — 2% + 2勿 4
для треугольников Т\ и 72 соответственно. Интерполянт на всем квадрате в общем случае разрывен вдоль границы раздела треугольников, и поэтому такие элементы являются несогласованными для метода Ритца.
В качестве примера возьмем на этой части элементов тестовое решение
и = х + у,
принимающее граничные значения
13
W1 = «4= у*卫2 = 〃3 = 3，
так что указанные интерполянты запишутся в виде
з У, y) = (- 1-上 + 3勿 + (1 + 2尤一2力4 (7.4a)
U⑶(匕 y) = (—l+3N — y) + (l -2尤+ 2у)4・(7.4b)
Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к минимизации энергетического функционала
\ \(ир + 爆吟办 dg + U(и?У +。俨)dx dy
■относительно U&, что дает
4 = 1.
Подставляя это значение в (7.4а) и в (7.4b), получим
3"(х, у) = U^ (х, у) = х + у,
и поэтому
叁="
；на всей рассматриваемой части. В действительности же это верно для любого и ^ Р\ и любой части таких элементов, т. е. такой несогласованный элемент выдерживает кусочное тестирование.
Упражнение 1. Проведите кусочное тестирование для элементов, изображенных на рис. 29, и покажите, что
7/ — 1 — а — а2 Н- 2аа必=~1 _ 2а + 2аЗ '
Рис. 29.
Докажите тем самым, что такие элементы выдерживают кусочное тестирование только при а = ]/г.
В качестве следующего примера применения кусочного тестирования рассмотрим задачу четвертого порядка, определяемую на квадратной области бигармоническим уравнением и заданием решения и его нормальной производной на границе. Разобьем квадрат обычным образом на прямоугольные треугольники равной площади и снова рассмотрим часть элементов в виде единичного квадрата, состоящего из двух треугольных элементов (рис. 30). Для бигармонического уравнения энергетический функционал содержит вторые производные, и поэтому г — 2. На каждом треугольнике определим квадратичную функцию по ее значениям в вершинах треугольника и по значениям ее нормальной производной в серединах
сторон. Такой элемент называется треугольником Морли. Ин- терполянты будут иметь вид
UE（居" = （1 —х~у + 2ху） Ux+^{x + y +х2 — 2ху — у2） U2+ +^（” + у — № — 2"у 十徜 а + у（1 — у） （4^）б — -矗（х+у-х2~2Ху-у2） （^-）5 + х（1-х） （4г）9 И .•
。⑵（X, у） = \^х — у+ у2 — х2—2ху） и2 + （\—х—у + 2ху） U3 +
+ ^^у — х — у2 + х2 — 2ху）。4 + х （х — 1）（浆力+ + 4（"Т）濁% +
+姦（一 2 + 3х + 3" 一炉-2хУ _ 徜（黑h
для треугольников Т\ и Тг соответственно, где л есть внешняя нормаль по отношению к 7】н внутренняя нормаль по отношению к 7V Снова интерполянт на всем единичном квадрате в общем случае разрывен вдоль границы между двумя треугольниками, и поэтому такие элементы являются несогласованными. Для задачи четвертого порядка элементы останутся несогласованными и тогда, когда интерполянт будет непрерывным на этой границе, а его нормальная производная к ней — нет.
В качестве примера возьмем на этой части элементов тестовое решение
〃=尤2 + yl•
принимающее граничные значения
〃]—0,〃2 ===辽 4 — 1,辽 3 — 2；
（黑）6=（券）厂。，（窦）7=（器）L；
тогда указанные интерполянты запишутся как
U。"％ У）=（尤 + У — 2^） — ；^（% + У）（1 — % 一 У）（靄）5（7・5а）
и
次]а，у） =（2 一 3尤一Зу + 2х2 + 2ху + 2y2） +
Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к минимизации энергетического функционала
5 \ （啞+ 2鸣+雰/）dx d" + V （嗯+ 2鸣+咽）公dy
Г|丁 2
относительно параметра （0辽/己孔）5, что дает
-（祭）5=^・
Подставляя это значение в （7.5а） и в （7.5b）, получим
U⑴（X, у） = U【2］（居 у）=尤2 + у2, и поэтому
% = 〃
на всей рассматриваемой части. В действительности же это верно для любого 〃曰戶2 в для любой части таких элементов, т. е. треугольник Морли выдерживает кусочное тестирование.
Упражнение 2. Покажите, что треугольный элемент, на котором полная квадратична只 функция определяется своими значениями в вершинах и в серединах сторон, не выдерживает кусочного тестирования для задачи четвертого порядка, описанной выше.
Хотя математическая проверка несогласованных элементов кусочным тестированием привлекательна сама по себе, с практической точки зрения достаточно осуществить такую проверку на вычислительной машине. Элементы считаются выдержавшими кусочное тестирование, если численное решение воспроизводит заранее известный ответ с учетом, конечно, влияния ошибок округления.
Необходимое и достаточное условие сходимости построенной на несогласованных элементах аппроксимации, которое эквивалентно кусочному тестированию, в обозначениях разд. 5.4（E） имеет вид равенства“
а& （Р，乙）=（f，乙）（при всех Vh м К0 （7.6）
для любого полиномиального решения р w Рг, где Рт и Kh, а г есть порядок старшей производной, входящей в а®
Но любое решение и удовлетворяет уравнению а （“，и） = （/, и）
при всех допустимых функциях и w 阳 н если оно также удовлетворяет уравнению
а （и, V,J = （f, Vh）（7.7）
при всех несогласованных функциях Vh 三 К”, то (7.6) примет вид'
«Л(Р，v^ = a(p,乙)(при всех Vh е^)(7.8)
(Стренг и Фикс, 1973, с. 207). Например, если задача сводится к минимизации
/⑻=，，[(黑了+(芻Уw姒
ТО
。(Р，”h｛聞(繫)+ (需)(醬)｝厶(、
Если область R разбита на неперекрывающиеся элементы Г； (/ = 1,2, ..., S), то тогда
。№心=驾)｛(雾)(礬)+ (需)(喲｝点吻
Физический смысл равенства (7.8) состоит в том, что разрывы на границах между элементами можно не учитывать при вычислении а(р, 14).
Для установления эквивалентности (7.3) и (7.8) удобно ввести полунорму
1«1л = [«Л (〃，а)] 2
Тогда можно получить оценки
\u-Uh\h^sup ｛”® 3’ 屮3：("/川｝(7.9)
и (ср. с (5.16))
I " 一0/《inf I " _ % 1厶 + sup」例("' /"(7.10) %vh1九к
при условии, что выполнено (7.7). Тогда (7.8) следует из (7.3) и (7.9). Обратно, из (7.8) и (7.10) следует, что
Ip —f4bl&inf|p —乙 |厶.
Vh
Правая часть этого неравенства равна нулю, так как Рг и и Кг, и мы получаем (7.3).
Упражнение 3. Убедитесь в справедливости (7.7) для несогласованных кусочно-линейных элементов с узлами в серединах сторон.
Для задач второго порядка можно дать следующую полезную для практики формулировку кусочного тестирования: кусочное тестирование выдержано, если
J(Vl"-421)rfa = 0,(7.11)
где Е есть любое внутреннее прямое ребро сетки, a Vh есть любая несогласованная функция, так что Й^1 и Р片 являются ее предельными значениями по разные стороны ребра Е (Браун, 1975).
В заключение отметим два несогласованных прямоугольных элемента, которые выдерживают кусочное тестирование:
Элемент Вильсона (Вильсон и др., 1971). На квадрате ° W X, У W 1 шесть функций образуют базис: четыре билинейные ху, х(1 ——у), у“ ——х), (1 ——х) (1 ——у) и две дополнительные 4x(1 ——х) и 4y(1 ——у). Последние функции дают возможность представить в этом базисе произвольный квадра~ тичный полином от двух переменных и тем самым повысить точность аппроксимации на каждом элементе.
Элемент Адина (Адини и Клаф, 1961). Для этого элемента с 12 степенями свободы неизвестными параметрами являются значения 辽,ди/дх и ди/ду в вершинах квадрата, а входящие в полный кубический полином функции вместе с х3у и ху3 образуют базис.
Упражнение 4. Покажите, что прямоугольные элементы Вильсона и Адини выдерживают кусочное тестирование для задач второго и четвертого порядка соответственно.
Смешанные интерполянты
Один из методов получения конечноэлементных аппроксимаций, точно удовлетворяющих граничным условиям Дирихле, состоит в том, что в решение задачи включается некоторый смешанный функциональный интерполянт, построенный по заданным граничным значениям (Гордон, 1971). В простейшем случае ——это билинейный смешанный интерполянт на квадрате.__
Если, например, f s C^2{R), где R = [О, А]Х[0, А], то функция
f(爲 9) = (1 -*)f(0, y) + ^f(h,切+ (1 —十)f(x, o)+
+ ii^, 1г}-hx, yl (7.12)
где
7(%, //) = (1 —*)(1 —先)f(0, 0) + (1 _£)*№，0) +
+ (1 ~T)if^ Л)+ ттПЛ> 九)，(7.13)
точно интерполирует f на всех четырех сторонах квадрата. Более того, Гордон и Холл (1973) показали, что
II D‘ (/ - » Qb - = O(h^^) (0<)/)<1), тогда как для простого билинейного интерполянта f
II Dp-力 |裳 _ = О (й2-1 “)(0 & I /1《1).
В качестве численного примера использования смешанных функциональных интерполянтов получим конечноэлементное решение задачи о потенциальном течении в области, представляющей собой единичный квадрат, с источником в точке х = 0.437, у = —k (也 > 0). Точным решением этой задачи является функция
и = log г,
где г2 = (х — 0.437)2 + ® +左)，Поэтому нам нужно найти приближенное решение уравнения
嘉 + 窈"=0 ((х，9)м(0, 1)X(0, D)，
удовлетворяющее условию и = log г на границе области.
Разобьем область на № квадратных элементов и применим метод Галеркина для нахождения приближенного решения, являющегося билинейным на не соприкасающихся с границей элементах и включающего билинейные смешанные ин- терполянты по граничным значениям на элементах, примыкающих к границе. Другими словами, мы ищем приближенное решение вида
U(x, y) = W(x, у)+ £ U咕执(х, у),(7.14)
где <р注(厶尼=1, .. •, N— 1) суть кусочные билинейные базисные функции, соответствующие точкам {j/N, k/N), а W (х, у) является кусочной билинейной смешанной функцией, которая отлична от нуля только на примыкающих к границе элементах и на каждом таком элементе представляет собой частный случай общей формы (7.12). Если элемент R со стороной А имеет два внутренних узла, а противоположная им
сторона (у = 0) является частью границы, то на R 听(х, 4) = (1 -f)/ (x, 0),
так как функция W линейна на трех других сторонах и равна нулю во внутренних узлах. Аналогично этому, если R есть угловой элемент с одним внутренним узлом и две его стороны * = 0 н g = 0 являются частями границы, то на R
^(ж,у) = (1 -f)/(x, 0) + (1 -f)f(O, у)-
一(1 -田0 一*)/© 0)-
Для сравнения эта задача решалась также с использованием аппроксимации, которая является билинейной на каждом элементе и в которой граничные условия интерполировались только по значениям в узлах. Численные результаты были получены для 16, 64, 144 и 256 элементов при k ~ 0.3, 0.2 и 0.1. В табл. 4 максимальные по модулю значения приближенных решений, выбранные каждый раз по сетке 16-ти элементов, сравниваются со значениями точного решения в соответствующих точках.
Таблица 4
Число элементов
Граничные условия
Дискретные
Точные
Дискретные
Точные
Дискретные
Точные
k=
=0.3
А=
=0.2
й«0.1
16
2.5747
2.5918
2.7590
2.7852
2.9756
3.0176
64
2.5875
2.5915
2.7822
2.7882
3.0200
3.0310
144
2.5896
2.5914
2.7859
2.7886
3.0281
3.0325
256 Точное
2.5904
2.5913
2.7872
2.7888
3.0306
3.0331
решение
2.5913
2.7888
3.0339
Упражнение 5. Проведите такие же вычисления для задачи с периодическими граничными условиями, когда точным решением является функция
и — sin 左%efy (fe = 2.4),и сравните ваши численные результаты с теми, которые былиполучены для этой задачи Маршаллом и Митчеллом (1973).
До сих пор мы строили смешанные функциональные интерполянты для прямоугольных элементов. Но они могут быть
построены также и для треугольных элементов, и мы отсы^ лаем интересующегося читателя к работам Барнхилла, Бирк- гофа и Гордона (1973), Барнхилла и Грегори (1976а) и (1976b) и Маршалла (1975).
Приложения
(А) 3 АДАЧИ о полях
Теперь мы рассмотрим решение методами конечных эле^ ментов некоторых типичных граничных задач о полях.
Задача /. (Уравнение Пуассона.)
Вернемся к задаче, впервые рассмотренной в гл. 3: найти решение уравнения
陋+丽=2
в области R удовлетворяющее граничному условию
辽=0,
на границе 眼 где R = (—^ , ^) X (—^，際)• В методе Ритца (м. Р.) минимизируется функционал
/ ⑺=Н {4"(底У+{^)+2io}dx з
тогда как в методе наименьших квадратов (м. н. к.) миними* зации подлежит функционал
J^=w^+^-~2ydx^* .
где о и © имеют вид (7.1) (или (7.2)) и удовлетворяют граничному условию на dR. В модификации Брамбла — Шатца (м. Б. III.) метода наименьших квадратов (разд. 5.4(D)) ми- нимизируется функционал
/®)= V (赛十券- 2)、*两+力一3卜2d0,%dk
где весовой множитель А-3 введен для того, чтобы оба интеграла имели одинаковую размерность, и уже не требуется, чтобы w удовлетворяла граничному условию на 3R、Величина h равна значению параметра аппроксимирующего подпространства.
Область R разобьем на квадратные элементы прямыми линиями, параллельными осям х и ^, и пусть расстояние между
соседними линиями равно 瓦 где h =冗/M Треугольные элементы получаются путем проведения в квадратах диагоналей с наклоном —1. Задача 1 была решена численно при 2 = 6 методом Ритца, методом наименьших квадратов и методом Брамбла — Шатца с использованием различных базисных функций. Максимальные ошибки для каждого случая приведены в табл. 5. В общем для метода наименьших квадратов
Таблица 5
Тип базисных функций
м. Р
м. н. к.
м. Б. Ш.
Билинейные на квадрате
0.03269
Кубические эрмитовы на квадрате
0.00063
0.00063
0.06294
Линейные на треугольнике
0.03116
Кубические на треугольнике
0.00007
0.00283
0.02935
Пятой степени на треугольнике
0.00041
0.00042
0.00321
Функции Клафа и Точера
0.00036
0.04052
0.03752
Функции Дюпюи и Гёля
0.00032
0.03395
0.03320
и метода Брамбла — Шатца они значительно больше, чем для метода Ритца. По-видимому, это объясняется плохой обусловленностью тех систем линейных уравнений, к которым сводятся методы наименьших квадратов.
Задача 2 (пластина с заделанным краем).
Найти решение уравнения
0%0切_g
d%4十 0%2刃2十0g4 一 d'
в области R, удовлетворяющее граничным условиям
на 3R、где R = (О, £)X(0, L). Мы рассмотрим тот случай, когда нагрузка q распределена по пластине равномерно. Если 侬max есть максимальное смещение пластины, то
Зшах = а舍厶*
и точное значение а равно 0.00127. Задача решалась только методом Ритца, и вычисленные при ^ = 6 и различных базисных функциях значения а приведены в табл. 6.
Авторы признательны М. Вайну за предоставленные им численные результаты, приведенные здесь в табл. 5 и 6. Дальнейшие подробности и численные результаты для этих и сходных с ними задач можно найти у Вайна (1973).
Таблица 6
Тип бависных функций
Эрмитовы кубические на квадрате 1^гбические на треугольнике Егятой степени на треугольнике Функции Клафа и Точера Функции Дюпюн и Гёля
0.00128
0.00136
0.00127
0.00117
0.00119
В) Задачи о точном управлении для параболических уравнений (Харли и Митчелл, 1976)
Теперь применим метод конечных элементов для решения задачи о точном управлении в случае линейного параболического уравнения. Пусть ^базисные функции состоят из кусочных бикубических полиномов, а дифференциальное уравнение удовлетворяется на каждом элементе в гауссовых квадратурных точках в смысле метода коллокации.
Рассмотрим уравнение теплопроводности
符=礬 + $(元/) (8 /)wQ = (0，1)义(0,7))， (7.15)
дополненное начальным условием
〃(尤,0) = 〃0(%)(% w[0, 1])(7.16)
и граничными условиями для £ w [О, Г], состоящими из условия
当雜= f(/)(7.17/
и либо условия
@iM = g(/)，(7.18а)
или же условия
0уи = р["(1，/)-G(/)],(7.18b)
где р есть константа. Функции qp(x, t) в (7.15) и f(f) в (7.17) заданы, а определить требуется граничную управляющую функцию g(f) (или G(f)) так, чтобы решение указанной выше системы в некоторый фиксированный момент времени Т в точности совпало с иа (х), т. е. чтобы
〃(%,「) = %(%) Ue [0, 1]),(7.19)
где Ud (х) есть заданная функция.
Область Q нормируем по времени так, чтобы Q — (0,1)Х Х(0,1), и разобьем ее на № квадратов со стороной-ft(= 1 /N), а приближенное решение U (х, /) представим через кусочные бикубические полиномы по х и / (см. разд. 4.2). Полное число коэффициентов в такой аппроксимации равно 4(^ + I)2, но, конечно, некоторые из них определяются с помощью функций 〃о(%), 〃d(尤)и f(f), и если число неизвестных коэффициентов есть Л^(<4(^ + I)2), то идеальным для метода коллокации был бы тот случай, когда U (х, /) удовлетворяет дифференциальному уравнению (7.15) в М точках, выбранных в области Q. Это дало бы М линейных уравнений относительно М неизвестных параметров. Будем получать эти уравнения по методу коллокации в квадратурных точках Гаусса для каждого элемента. Если на каждом элементе взять по четыре таких точки, то точность аппроксимации заданными базисными функциями будет наилучшей (ср. с разд. 3.4). При этом получится 4№ уравнений с М неизвестными, т. е. недоопределенная система. Это нежелательно, и поэтому мы возьмем по девять гауссовых узлов на каждом элементе, что даст 9№ уравнений с М неизвестными, т. е. переопределенную систему. Последняя решалась численно по методу наименьших квадратов — с деталями можно познакомиться в работе Харли и Митчелла (1977).
Здесь представлены численные результаты для двух таких задач, точные решения которых известны. Управляющая функция в первой задаче является составной частью граничного условия Неймана (7.18а), а во второй задаче ——составной частью смешанного граничного условия (7.18b). В обоих слу-
Таблица 7
Функция состояния
9
16
25
% < А2
100
100
100
% <А4
100
89
80
Таблица 8
Функция состоянияУправлиющаи функция
№
9
16
25
9
16
- 25
% <л2
94
98
92
100
.100
100
% <А4
60
50
40
50
28
20
чаях для функции состояния и функции управления вычислялись модули ошибок в рассматриваемых узлах. В табл. 7 и 8 приводится процент таких узлов от их общего числа, в которых модули ошибок были меньше чем й2 и й4.
Задача 1.
〃о(尤)=sin х+ cosх,
〃d (х) = е-1 (sin 尤 + cosx) и
f(f) = L・
Требуется найти функцию управления g(f) (см. (7.18а)), если точное решение имеет вид
и (х, 0 = с— (sin х + cos х) ((х, f) w Q) и
g(f) = e-f (cos ⑴ 一 sin ⑴)(/ e [0, 1]).
Задача 2.
器=礬 + е- {(4炉-l)sin (x2) - 2 cos(x2)} ((x, /)三 Q),〃o(%) = sin (x2),
ud (x) = e~J sin (x2) и
f(f) = O・
Требуется найти управляющую функцию G(t) при р = 2 (см. (7.18b)), если точное решение имеет вид
и (х, 0 = ?т sin (х2) ((х, f) w Q) и
G«) = eT(siri ⑴一cos ⑴)(/ e [0, 1]).
П РАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
В гл. 2 было приведено несколько примеров таких задач, для которых справедливы двойственные вариационные принципы. Почти во всех случаях численное решение таких задач с помощью метода конечных элементов основывается на принципе минимума, а не на принципе максимума. Вообще говоря, это происходит потому, что принцип минимума легче реализовать практически. Сейчас мы решим с помощью метода конечных элементов одну простую задачу, используя сначала принцип минимума, а затем принцип максимума, и сравним полученные результаты.
Выбранная нами задача состоит в нахождении функции м, которая удовлетворяет уравнению
鋁+筹=〃也切（（*，切三R） （7・20）
и граничному условию
〃 =g （（居 y）eOR）,（7.21）
где R есть единичный квадрат О W %, у W 1, а функция g задана на границе GR Noro квадрата. Область разобьем на треугольные элементы, как показано на рис. 31.
Принцип минимума для этой задачи сводится к нахождению
min/,U
где функции и удовлетворяют граничному условию, а
，=g，｛（需）2+（需y+标｝"""弘（7.22）
Если на каждом треугольнике решение аппроксимируется линейным интерполянтом, определяемым значениями 〃 в вершинах треугольника, то полный интерполянт U запишетсй в виде
U（x） = Е Ut^i （х）,
где ^ есть число узлов, а Ф((х) (i = 1,2, ..., ^)— кусочно-линейные базисные функции. Неизвестные значения Ui во внутренних узлах получаются путем минимизации (7.22) после замены и на U.
Принцип максимума (Артурс и Ривс, 1974) сводится к нахождению
max G,
где Ui = ди/дх, U2 = ди/ду, а
G= —^\{(礬 + 誉У + °"&}厶 3 +
+ ^{-U^dx + Uigdy}.(7.23)
Такая форма принципа максимума с использованием производных первого порядка аналогична принципу минимума дополнительной энергии для задачи о малых упругих деформациях из разд. 2.6. В то же время для аппроксимации Ui и U? на каждом треугольнике используются линейные функции. Неизвестные значения (Ui)» и (UQt получаются при нахождении максимума функционала (7.23) численным путем.
В качестве примера с помощью принципа минимума и принципа максимума решалась задача, для которой гранич-
Таблица Р
G
9
4.8872
4.8288
16
4.8563
4.8382
25
4.8416
Точное шенне
Ре-
4.8462
и в середине квадрата
^
Принцип
Принцип
минимума
максимума
9
2.0268
2.0295
25
2.0279
Точное
ре-
2.0281
шенне
ное условие получается из точного решения
Численные результаты приведены в табл. 9. С дальнейшими деталями можно познакомиться в работе Фримана и Гриффитса (1976).
Критическая температура детонирующего стержня
В этом примере полудискретная форма метода конечных элементов (разд. 6.3) применяется для определения критической температуры 9крит твердого детонирующего стержня, один конец которого поддерживается холодным (0 = 0i), а другой ——горячим (9 = 90). Критическая температура определяется так, что при 0о V Окрит мы со временем придбм к стационарному решению 9 ^ 90 на всем стержне, тогда как при 9о > Экрит в некоторой внутренней точке стержня со временем возникнет 9 > 0О, что и является признаком зажигания стержня.
Уравнение, описывающее предшествующий зажиганию процесс, может быть записано в безразмерных единицах (Кук, 1958) как
■f" = U + Cexp(r —%) (0<%<1, />0),
где Сиг являются константами; оно дополняется начальным условием“
0 (х, 0)=仇(0 < х < 1)
и граничными условиями
0 (0, 0 = 0о и
0(1, f) = E, где备 > 仇.
Задача сведется к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, если приближенное решение ищется в виде
в(%, о== L «»(о ф<(%),
где базисные функции <pt (i = 0, 1, •• •, N + 1) определены на интервале [0,1] с помощью равномерного разбиения. Функции а。и ^+1 определяются граничными условиями, а а((/) « = 1, 2, •・・,N) удовлетворяют системе уравнений
A^ =-人a+一唸(7.24)
где Л1 и Дг есть положительно определенные матрицы, точка означает дифференцирование по времени, a f (а) есть нелинейная векторная функция, компоненты которой имеют вид
dx (/ = 1, ..., ЛГ).dx (/ = 1, ..., ЛГ).
dx (/ = 1, ..., ЛГ).
dx (/ = 1, ..., ЛГ).
Система (7.24) является жесткой, и при ее численном решении необходимо проявлять осмотрительность. Она решалась с переменным по времени шагом методом, предложенным Т. Р. Гопкинсом, которому авторы признательны за предоставленные им численные результаты.
В численном примере полагалось, что решение станет стационарным, если 9(х, 10) V 90 для 尤 w (0, 1); напротив, если 9(х, /) ^ 0о для некоторого 尤三(0,1) и некоторого f W 10, то считалось, что произошло зажигание. Критическая температура находилась по методу деления отрезка пополам: если 0о = 0£ приводит к стационарному решению, а 90 = 9н (>G“ приводит к зажиганию, то вычисляется решение для 0о =
Линейные базисные функции
Таблица 10
е0
0.02440
0.03050
0.02745
0.02898
0.02821
0.02859
Время зажигания
ОО
0.90
ОО
4.74
ОО
6.04
Эо
0.02840
0.02850
0.02855
0.02857
0.02858
Время зажигания
ОО
ОО
8
ОО
6.5
Таблица 11
й
1/4
1/8
1/16
1/32
Линенныв: Л =
1
0.02857
0.02843
0.02839
■ N+1
2
0.02837
0.02841
0.02838
Эрмитовы кубические: Л
2
0.02822
0.02837
0.02837
=-* (0д+ 9я)и 9, или 0/. заменяется этим новым значением 9о в зависимости от того, приводит такое 0о к зажиганию или нет.
В табл. 10 и 11 приведены численные результаты, полученные при решении этой задачи с различными значениями ^ для кусочно-линейных, кусочно-квадратичных и эрмитовых кусочно-кубических базисных функций. Во всех случаях 01 = =0.0122, что примерно соответствует температуре 12 ℃, а бесконечное время зажигания означает то, что решение становится стационарным. Кусочно-квадратичные базисные функции изображены на рис. 33.
. Задачи о конвекционной проводимости
На неадекватность многих стандартных конечноэлементных методов в применении к задачам, содержащим как первые, так и вторые производные искомой функции, впервые обратил внимание авторов О. Зенкевич. Это в особенности так, если коэффициенты при первых производных оказываются сравнительно большими. Типичным примером такого рода служит задача о стационарном течении несжимаемой вязкой жидкости; здесь уравнение переноса завихрения в двумерном случае имеет вид
窘+諾Т(〃窮+嗚) =。， (7・25)
где ш обозначает завихрение, и и v являются компонентами скорости, а V есть коэффициент кинематической вязкости. Коэффициенты при первых производных в (7.25) по порядку величины эквивалентны числу Рейнольдса и поэтому принимают большие значения во многих практических задачах.
Чтобы показать те трудности, с которыми приходится сталкиваться при численном решении уравнения (7.25), рассмотрим одномерное модельное уравнение
4^"一 '霁=° (%w[0,⑴， (7.26)
где Л = ц/v положительно и предполагается постоянным. Разобьем интервал [0,1] на ^ равных частей длины h = \/N точками х = /4(I = 0, 1, ..., Af). В численных примерах использовались граничные условия
f 1 (х==0), "(о(I),f 1 (х==0), "(о(I),(7.27)(7.27)
f 1 (х==0), "(о(I),
f 1 (х==0), "(о(I),
(7.27)
(7.27)
получающиеся из точного решения
3(*)=合然■(7.28)
Решение Галеркина 呼 удовлетворяет системе уравнений (/',叫)+ 外呼，％) = 0 Q=l, 2,・・•，N — 1), (7.29) где
m⑶=2吃电⑴(7.30)
i-0
и штрих означает дифференцирование по 尤.Если предположить базисные функции 屮^ кусочно-линейными, то (7.29) сведется к системе разностных уравнений
(1 一%册)吃十1一2吃 + (1 +^kh)W^ = 0 (7.31)
(i = l, 2,…，^-l).
Эта система имеет точное решение
吃= 4+& —— (i = 0, 1,…，N),
и поэтому при
h>T
будут иметь место осцилляции.
Теперь заменим (7.29) системой-
(旷，^ + k(W\ 电)=0 Q=l, 2,从一 1),
где W снова имеет вид (7.30) с теми же самыми кусочно-линейными базисными функциями ф/, а в качестве пробных функций *ф( (i= 1, 2, ..., ^— 1) взяты асимметричные кусочно-линейные базисные функции, показанные на рис. 32. Такие функции были предложены Д. Ф. Гриффитсом и имеют вид
[4^(i+•?■-i) (%旬a一1)力，а-3川)， ^W=| 1 + a (i - 3-)(%w[(i —⑴力，(力 + &)川)，(7.32)
[_? (у — 1 — «) (% 三 l@ + 匕)九 « 十 1)川)，
где 0 & 自，n V 1 и а есть тангенс угла наклона среднего звена со знаком минус. Асимметричные функции ф/ совпадают со стандартными кусочно-линейными базисными функциями 屮上 при а = Е =刀=0. Теперь коэффициенты аппроксимации (7.30) будут удовлетворять системе разностных уравнений
[1 一昇左(1 +1(1 一6)]吃+1 -
一 [2 + 昇九 g (а + 1) + & (а - 1))]吃 +
+ [1 +уйЛ(1 + г!(1 + а))]^-1 = 0 (』1, 2儿一1),
\(7.33)
имеющей точное решение
■1 +feA + lfeAn(l + a)1
吃=4г + В2 —71 (』0, 1, 2N).
1-у ЙЛ-уйЛИ1-а)
(7.34
Разностные уравнения (7.33) имеют первый порядок точности, если自耍п к
Если ввести еще обозначение
.4告
то точное решение (7.34) перепишется в виде
1 + 4 ^+4 Ahh
^ = Л2 + В2 ―7у——
I — $ hh + 专 Akh
Следовательно, в конечноэлементном решении не будет осцилляций, если
л> 1
или
-ОО<Л<1
Отметим, что три стандартные конечноразностные аппроксимации уравнения (7.26) получаются в следующих случаях:
4=1(разность назад),
Л = 0(центральная разность),
4 = — 1 (разность вперед).
При Л = 0 получаются уравнения Галеркина (7.31); только они имеют второй порядок точности.
Наконец, мы получим решение Галеркина, используя кусочные квадратичные базисные функции, показанные на рис. 33. После проведения соответствующих выкладок получаются разностные уравнения
(1 -y*a)吃+1 - 4(2 -昇/г)吃+1/2+ 14% -
-4(2 +^々/i)呼£一1/2 + (1 + ^ 々九)吃.I = 0 0=1, 2,…，^-l) в целых узлах и
(4 - kH} Wi - 8Wi^+ (4 + kti} W^i = 0 (i = l, 2, ..., N)
в полуцелых узлах. После исключения неизвестных в пол у целых узлах получим систему разностных уравнений
(1 一^九 + /依歩)%+ ］一(2+喜62九2)Wi +
+ (1 +4^ + 17^2) ^_1 = 0 g=1, 2,…，N-1),
имеющую точное решениеимеющую точное решение吃=4+&吃=4+&\ + ^kh+~ ^i-4 “+.依淤\ + ^kh+~ ^i-4 “+.依淤
имеющую точное решение
имеющую точное решение
吃=4+&
吃=4+&
\ + ^kh+~ ^
i-4 “+.依淤
\ + ^kh+~ ^
i-4 “+.依淤
Это решение свободно от осцилляций при любых значениях А и ^.
Численные результаты приведены в табл. 12, где сравниваются конечноэлементные решения, полученные для линейных и квадратичных базисных функций. Для линейных функций были выбраны два случая, а именно 4 = 0 (центральное
разности) и Л = 1 (разности назад). Осцилляции видны в случае центральных разностей при Л = 1/20. Не вызывает сомнения то, что для этой частной задачи можно получить лучшую точность при том же объеме вычислений, уменьшая размеры элементов с приближением к правой границе. Однако в тех случаях, когда форма ответа не известна заранее, неравномерные сетки редко используются иа первой стадии работы над задачей. Дальнейшие подробности по этому вопросу можно найти у Кристи (1975).
(F) Сингулярные изопараметрические элементы
В разд. 4.6 было показано, что необходимо соблюдать осторожность при выборе узлов на изопараметрических элементах, чтобы нигде на элементе якобиан не обращался в нуль. Однако бывают такие ситуации, при которых обращение якобиана в нуль в отдельной точке может быть полезным. В этом разделе мы рассмотрим вкратце один случай применения таких изопараметрических элементов.
Если функция 〃(力,у) удовлетворяет уравнению
в области R, то в окрестности угловой точки границы 3R она может быть представлена в виде
我НW si口(V)亿35)
при некоторых постоянных ?/ (/ = 1, ...)» где ал есть величина угла, внутри которого лежит R, а (г, 0) есть полярные координаты с началом в вершине угла. Отсюда следует, что вблизи вершины врезающегося в область угла (а > I) про изводные главного члена в (7.35) неограниченно возрастают
Таблица /2
（尼 Sts 60）
九.1抬0
Точное решение
Решение для центральной разности
Решение для разности назад
Решение для квадратичных функций
0.90
0.9975
0.9600
0.9375
0.9941
0.95
0.9502
1.2000
0.7500
0.9231
1.00
0
0
0
0
Л = 1/40
Точное
Решение для
Решеине для
Решение для
центральной
разиостн
квадратичных
разности
назад
функций
0.90
0.9975
0.9996
0.9744
0.9974
0.925 '
0.9889
0.9971
0.93^）
0.98^
0.95
0.9502
0.9796
0.8400
0.9490
0.975
0.7769
0.8571
0.毗0
0.7742
1.00
0
0
0
0
при стремлении г к нулю. Следующие две ситуации имеют очень много общего: когда а = 2, т. е. область имеет разрез или трещину, и когда а = 3/2, т. е. область имеет прямоугольную «вмятину». Тогда главные члены разложения становятся пропорциональными М и 产加 соответственно. Одна из основных причин непригодности многих стандартных численных методов для решения таких задач состоит в том, что эти функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами （по г）.
Теперь мы приведем два примера таких изопараметриче- ских элементов, которые позволяют обойти эту трудность при условии, что угловая точка области является вершиной элемента, в котором другие узлы выбраны специальным образом.
Для приближения № могут быть использованы квадратичные элементы. Если /4 = у （厶 + /2）, % = *^ （3友 + 4） и /6 = j（3/3 + /0 （см. рнс. 17）, то изопараметрическое преобразование примет вид
f —匕=（（厶一％） Р + & —勾）0）（Р + ?） （f = х, у）,
и линейные по р и ^ функции будут иметь нужное поведение вида г】/{ где г есть расстояние до вершины Р3- Например,
вдоль Р1Рз (д = О)
产=(X — Хз)2 +(у — Уз)2 = (% — Хз)2 + (协一й)2) Р‘，
и поэтому р。戸/2. Якобиан этого преобразования можно представить в виде
2clгз(р + д)2,
и поэтому он обращается в нуль только в точке Рз (р = q = = 0).
Для приближения г2/3 в окрестности узла Рз могут быть использованы кубические элементы. Если узлы расположены правильно, то изопараметрическое преобразование примет вид
/ —，з = ((/1 —/з)р + «2 —/з)〃)(р + д)2 (/ = %，У).
По аналогии с предыдущим случаем можно убедиться, что линейные по р и 9 функции ведут себя как 戸戸，так что квадратичные функции будут иметь нужное поведение вида 尸色 Теперь якобиан преобразования запишется в виде
ЗС123 (р+ ?)4,'
и обратится в нуль только при р = g = 0.
Дополнительные подробности о сингулярных изоларамет- рических элементах, иллюстрацию их эффективности при проведении практических вычислений и обобщения такого подхода на различные особенности и на случаи более высоких размерностей можно найти в работе Уэйта (1976).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ')
Агмон (Agmon S.)
Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Van Mostrand, Princeton.
Адини, Клаф (Adini A., Clough R. W.)
Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method» Nat Sci. Found. Rept. G7337. Univ, of California, Berkeley.
Азиз (Aziz A. K. Ed.)
The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations, Academic Press, New York. Айронс (Irons В. M.)
Conf, on Use of Digital Computers in Structural Engineering, New- castls
Int J. Num. Meth. Eng. 1, 29.
Айронс, Раззак (Irons В. M., Razzaque A.)
(1972) сы. Азиз (1972), 557—587.
Артурс (Arthurs A. M*)
Complementary Variational Principles, Clarendon Press Oxford.
Артурс, Ривс (Arthurs A. M., Reeves R. 1.)
J. Inst. Math. Applies. 14, 1.
Бабушка (Babuska L)
Tech. Note BN-624, University of Maryland.
SIAM J. Numer. Anal., & 304.
Numer. Math., 20, 179.、
Бабушка, Азиз (Babuska I., Aziz A. K・)
SIAM J. Numer. Anal., 13, 214..
Бабушка, Зламал (Babuska L, Zlamal M.)'
SIAM J. Numer. Anal., 10, 863.
Барнхилл, Биркгоф, Гордон (Barnhill R. E., Birkhoff G., Gordon W.)
J. Approx. Theory, 8, 114.
Барнхилл, Грегори, Уайтман (Barnhill R. E., Gregory A., Whiteman J. R.)
в. Азиз (1972)，749—755.
Барнхилл, Грегори (Barnhill R. E., Gregory A.)
(1976a) Math. Comp, (to appear).
(1976b) J. Approx. Theory (to appear).
Бейкер (Baker G. A.)
Math. Comp., 27, 229.
Березин И. С., Жидков Н. П.
Методы вычислений, т. 2. — М.: Наука, 1962.
Бергер (Berger А. Е.)
см. Азнз (1972), 757—796.
Numer. Math., 21, 345.
При цитировании литературы номера страниц указываются по русскому переводу (если такой имеется), но указывается год выхода в свет оригинала.
Бергер, Скотт, Стренг (Berger А. Е., Scott R„ Strang GJ
Symposia Mathematica X. Academic Press, London.
Берс, Джои, Шехтер (Bers L., John F., Schechter M.)
Partial Differential Equations, Interscience New York. (Русский перевод: Берс Л., Джои Ф., Шехтер М. Уравнения с частными произвол- ными. — М.； Мир, 1966.)
Биркгоф, Шульц, Варга (Birkhoff G., Schultz М. Н” Varga R. S.)
Numer. Math., 11, 232.
Биркгоф (Birkhoff G.)
Proc. Nat. Acad. Sci., 68, 1162.
Биркгоф, Менсфилд (Birkhoff G., Mansfield L.)
J. Math. Anal. Applies, 47, 531.
Бонд, Свеиелл, Геишелл, Уабартон (Bond Т. J., Swanell R. D” Hen- shell R. D., Warburton G. BJ
J. Strain Anal., 8, 182.
де Бур (de Boor C.)
Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, Academic Press, New York.、
де Бур, Шварц (de Boor C., Swartz B.)
SIAM J. Numer. Anal., 10, 582.
Брамбл, Дюпон, Томе (Bramble J. H., Dupont I., Thomee V.)
Math. Comp., 26, 869.
Браыбл, Гильберт (Bramble J. H., Hilbert S. R.)
SIAM J. Numer. Anal., 7, "2.
Брамбл, Зламал (Bramble J. H., Zlamal MJ
Math. Comp., 24, 809.
Брамбл, Нитше (Bramble J. H., Nitsche J. A.)
SIAM J. Numer. Anal., 10, 81.
Брамбл, Шатц (Bramble J. H., Schatz A. H.)
Comm. P. Appld. Math., 23, 635.
Math. Comp., 25, L
Брамбл, Томе (Bramble J. H., Thomee V.)
R.A.LR.O., 8 (R-2), 5.
Браун (Brown J. H.)
Non Comforming Finite Elements and their Applications, M.. Sc. Thesis, Univ, of Dundee.
Вайн (Vine M.)
Applications of the Finite Element Method to Partial Differential Equations, Ph. D. Thesis Univ, of Dundee.
Вайнберг M. M.
Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М., ГИТТЛ.
Варга (Varga R. S.)
Functional Analysis and Approximation Theory in Numerical Analysis. SIAM Publication Philadelphia.尸
(Русский перевод: Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974.)
Васидзу (Washizu KJ ')
(1968) Variationl Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, London.
Ватсон (Watson G. A., Ed.)
Conf. Num. Soln. Diff. Equns, Dundee, Springer-Verla§ Lecture
Notes in Maths., 363./
Ватсои (Watson G. A. Ed.)
Conf. Num. Anal., Dundee. Springer-Verlag Lecture Notes in Maths- Вильсон, Тейлор, Доерти, Габусси (Wilson Е. L., Taylor R. U, Doher
ty W. P., Ghaboussi J.)
Univ, of Illinois Symposium.
Вулих Б. 3.
Введение в функциональный анализ. — М.: Наука.
Гопкиис, Уэйт (Hopkins Т. R., Wait R.)
Comp. Meth. Арр. Meeh. Eng., 9, 181.
Гордой (Gordon W. J.)
SIAM J. Numer. Anal., 8, 158.
Гордон, Уиксом (Gordon W. J., Wixom J. A.)
SIAM J. Numer. Anal.； 11, 909.
Гордой, Холл (Gordon W. J., Hall C. A.)
Numer. Math., 21, 109.
Граы (Gram J. G.)
Numerical Solution of Partial Differential Equations, Reidel Publishing Co., Boston, U. S. A.
Демьянович Ю. К-
Мат. сб., 5, 1452.
Денди (Dendy J. Е.)
SIAM J. Numer. Anal, 12, 541.
Денди, Файервезер (Dendy J. E., Fairweather G.)
SIAM, J. Numer. Anal., 12, 144.
Джордан (Jordan W* B.)
A. E. C. Research and Development Report KAPL-M-7H2.
Дуглас, Дюпон (Douglas J., Dupont T.)
SIAM J. Numer. Anal., 7, 575.
см. Хаббард (1971), 133—244.
Math. Comp., 27, 17.
(1975) Math. Comp., 29, 360.
Дуглас, Дюпон, Уилер (Douglas J., Dupont T., Wheeler M. F.) •
R. A. I. R. O*, 8 (R-2), 61.
Дюпои, Файервезер, Джонсон (Dupont T., Fairweather G., Johnson J. P.)
SIAM J. Numer. Anal., 11, 392.
Дюпюи, Гёль (Dupuis G., Goel J. J.)，
Inf. J. Num. Meth, Eng., 2, 563.
Девис, Рабинович (Davis P. J., Rabinowitz R.)
Numerical Integration, Blaisdell, Waltham, Mass.
Зенкевич (Zienkiewicz О. C.)
The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics, Me Graw-Hill, New York.
(Русский перевод: Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред.——М.: Недра, 1974.) (1971) The Finite Element Method in Engeneering Science, McGraw-Hill,
Зенкевич (Zienkiewicz О. C.)
New York.
(Русский перевод: Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975.)
Зламал (Zlamal М.)
SIAM J. Numer. Anal., 10, 227.
SIAM J. Numer. Anal., 11, 347.
Math. Comp., 29, 350.
Иосида (losida K.)
Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin.
(Русский перевод: Иосида К. Функциональныйанализ. — М.; Мир.
1967.)
Канторович 几 В.
Изв. АН СССР, 5, 647.
Клаф, Точер (Clough R. W., Tocher J. L.)
Proc. 1st Conf. Matrix. Methods in Structural Mechanics, Wright- Patterson A. F. B., Ohio.
Клегг (Clegg J. C.)
Calculus of Variations, Oliver and Beyd, Edinburgh.
Комиии, дель Гвидичи, Левис, Зенкевич (Comini G., del Guidici S., Lewis R. W., Zienkiewicz О. C.)
Ini. J. Num. Meth. Eng., 8, 613.
Кристи (Christie I.)
Conduction — Convection Problems. M. Sc. Thesis. Univ, of Dundee.
Крузей, Равьяр (Crouzeix M., Raviart P. A.)
R. A. I. R. O., 7, (R-3), 33.
Кук (Cook G. B.)
Proc. Roy. Soc. London. A. 264, 154.
Курант, Гильберт (Courant R, Hilbert D.)
Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, Interscience, New York.
(Русский перевод издания 1930 года: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1. — М.. — Л.: ГИТТЛ, 1951.)
Ламберт (Lambert J. D.)
Computational Methods in Ordinary Differential Equations, Wiley, London.
Ланкастер (Lancaster P., Ed.)
Proc. Conf, on Theory and Applications of Finite Element Methods, Univ, of Calgary.
Ласко, Лесен (Lascaux P., Lesaint P.)
R. A. I. R. O., 9 (R-l), 9.
Лаури (Laurie D. P.)
Inst. Math. Applies, 19, 119.
Лионс, Мадженес (Lions J. L., Magenes E：)
Non-Homogeneous Bondary Value Problems and Applications I, Springer-Verlag, Berlin.
(Русский перевод с французского издания 1968 года: Лионе Ж.-Л., Мад- жеиес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения.——М.: Мир, 1971.)
Лукас, Редин (Lucas Т. R.t Reddien G. W.)
SIAM, J. Numer. Anal., 9, 341.
Маклеод (McLeod R. J.)
J. Approx, Th., 19, 25.
Маклеод, Митчелл (McLeod R. J., Mitchell A. R.)
J. Inst. Math. Applies, 10, 382.
Маклеод, Митчелл (McLeod R. J., Mitchell A. R.)
J. Inst. Math. Applies., 16, 239*
Маршалл (Marshall J. A.)
Some Applications of Blending Function Techniques to Finite Element Methods, Ph. D. Thesis. Univ, of Dundee.
Маршалл, Митчелл (Marshall J. A., Mitchell A. R.)
J. Inst. Math. Applies, 12, 355.
Миллер (Miller J. J. H., Ed.)
Topics in Numerical Analysis I., Academic Press, New York.
Topics in Numerical Analysis II, Academic Press, New York.
Митчелл (Mitchell A. R.)
(1969) Computational Methods in Partial Differential Equatfons, Wiley, London.
Михлии С. Г.
Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука.
Михлин С. Г., Смолицкий X. Л.
Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — М.： Наука.
Морс, Фешбах (Morse Р. М., Feshbach Н.)
Methods of Theorethical Physics, McGraw-Hill, New York.
(Русский перевод: Мерс P. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики.—М.： ИЛ, т. 1, 1958, т. 2, I960.)
Нечас (Necas J.)
Les Methodes Directes en Theorie des Equations Elliptiques. Academia, Praejue.
Нитше (Nitsche J. A.)
Abhandt. d. Hamb. Math. Sem. 36, 9.
см. Азиз (1972. 603—627).
Нитше, Шатц (Nitsche J. A., Schatz A. H.)
(1974) Math. Comp., 28, 937.
Нобл (Noble B.)
см. Уайтмаи (1973), 143—152.
Нобл, Севелл (Noble В., Sewell М. J.)
J. Inst Math. Applies, 9, 123.
Обэн (Aubin J. P.)
Approximation of Elliptic Boundary Value Problems, Wiley, New York.
(Русский перевод： Обэн Ж--П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977.)、
Оганесян Л. А.
ЖВМ и М①，6, 116.
Оганесян Л. А., Руховец Л. А.
ЖВМ и 9, 153.
Оден (Oden J. Т.)
Finite Elements of Nonlinear Continua, McGraw-Hill, New York. (Русский перевод: Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976.)
Одеи, Зенкевич, Галлагер, Тейлор (Oden J. Т., Zienkiewicz О. С., Gallagher R. Н., Taylor С.) (Eds.)
Finite Element Methods in Flow Problems, Wiley, New York.
Пиан (Plan T. H. H.)
Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics, SIAM—AMS Proceedings Volume 2.
Пауэлл (Powell M. J. D.)-
Conference on Numerical Software, Loughborough.
Прентер (Prenter P. MJ
Splines and Variational Methods, Wiley, New York
Розеи (Rosen P.)
J. Chem. Phys., 21, 1220.
Розеи (Rosen P.)
J. App. Phys., 25, 336.
Севелл (Sewell M. J.)
Phill. Roy. Soc. (London), A265, 319.
Семенич, Глэдвелл (Siemenuich J, L.，Gladweell L)
Numer. Anal. Report 5, Manchester University.
Сербин (Serbin S. M.)
Math. Comp., 29, 777.
Симмонс (Simmons G. F.)
Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill. New York.
Синж (Synge J. L.)
The Hypercircle in Mathematical Physics, C. U. P., London.
Скотт (Scott R.)
SIAM J. Numer. Anal., 12, 404.
Стренг (Strang G.)
см. Азиз (1972), 489—710.
Стренг, Бергер (Strang G., Berger A. R.)
(1971) cm. Proc, American Math. Soc. Summer Inst, in Partial Diff. Equns, 199—205.
Стренг, Фикс (Strang G., Fix G.)
An Analysis of the Finite Element Method, Prentece Hall, New Jersey. (Русский перевод: Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977.)
Сьярле (Ciarlet Р. G.)
(1973а) Springer-Verlag Lecture Notes, 363, 21, Berlin.
(1973b) см. Уайтман (1973), 113—129.
Сьярле, Равьяр (Ciarlet P. G., Raviart P. A.)
(1972a) Arch. Rat. Meeh. Anal., 46, 177.
(1972b) Comp. Meth. Appl. Meeh. Eng., 1, 217.
(1972c) см. Азиз (197介，409—474.
Табаррок (Tabarrok В.)
Proc. Conf, on Theory and Applications of Finite Element Methods, Univ, of Calgary (Ed. P. Lancaster (1973))
Томе (Thomee U.)
J. Inst. Math. Applies., 11, 33.
Томе, Уолбин (Thomee V., Wahlbin L.)
SIAM J. Numer. Anal., 12, 378.
Уантмав (Whiteman J. R, Ed.)
The Mathematics of Finite Elements and Applications, Academic Press, New York.
Уайтман (Whiteman J. R.)
A Bibliography for Finite Elements, Academic Press, London.
The Mathematics of Finite Elements and Applications, Academic Press, New York.
Уачспресс (Wachspress E. L.)
Conf, on Appl. Num. Anal., Dundee, Springer-Verlag Lecture Notes in Math., 228, 223.
J. Inst. Math. Applies, 11, 83.
Conf. Num. Soln. Diff. Equns., Dundee, Springer-Verlag Lecture Notes in Math., 363, 177.
A Rational Finite Element Basis, Academic Press, New York.
Уилер (Wheeler M. F.)
SIAM J. Numer. Anal., 10, 723.
Уилкинсон (Wilkinson J. H.)
The Algebraic Eigenvalue Problem, O. U. P.( Oxford. (Русский перевод: Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений.—М.: Наука, 1970.)宀
Уэйт (Wait R.)'
Singular Isoparametric Finite Elements, J. Inst Math. Applies, 20, 133.
Уэйт, Митчелл (Wait R., Mitchell A. R.)
J. Inst. Math. Applies, 4, 241.
Файервезер (Fairweather G.)
Galerkin Methods for Differential Equations, CSIR Special Report
WISK96, Pretoria, South Africa..
файервезер, Джонсон (Fairweather G., Johnson J. Pj
Numer. MathM 23* 269,
Фикс (Fix G. L.)
см. Азиз (1972), 525—556.
Финлейсон, Скривен (Finlayson В. A., Scriven L. Е.)
Int. J. Heat. Mass. Trans., 10, 799.
Фриман, Гриффитс (Freeman L., Griffiths D. F.)
0976) Complementary Variational Principles and the Finite Element Method (to appear).
Хаббард (Hubbard B., Ed.)
Numerical Solution of Partial Differential Equations. II, SYNSPADE, 1970, Academic Press, New York,
Халм (Hulme B. L.)
Math. Comp., 26, 415.
Харли, Мнтчелл (Harley P. J., Mitchell A. R.)
J. Inst. Math. Applies, 18, 9.
Int. J. Num. Metn.Eng., 11, 345.
Хеболд, Варга (Herbold R. J., Varga R. S.)
Aeq. Math., 7, 36.
Хильдебранд (Hildebrand F. B.)
(1965) Methods of Applied Mathematics, Prentice Hall, New York.
Чекки, Челла (Cecchi M. M., Celia AJ
Proc. 4th Canadian Congress on Appld. Meeh. 767—768..
Чернука, Купер, Линдберг, Олсон (Chernuka М. W., Cowper G. R., Lindberg G. M., Olson M. D.)
Int. J. Num. Meth. Eng., 4, 49.
Шехтер (Schechter R. S.)
• (1967) The Variational Method in Engeneering, McGraw-Hill, New York. (Русский перевод: Шехтер P. С. Вариационный метод в инженерных расчетах.—М.: Мир, 1971.)
Шёнберг (Schoenberg I. J.)
Approximations With Special Emphasis on Spline Functions, Academics Press, New York.
Элберг, Ито (Ahlberg J. H., Ito T.)
Math. Comp., 29, 761.
Эльсгольц Л. Э.
Варнацнонное исчисление. M., ГИТТЛ.
Эргатодис, Айронс, Зенкевич (Ergatoudis I., Irons В. М., Zienkiewicz О. С.) (1968) Int. J. Solids Structures, 4, 31.
Список дополнительной литературы
С математической постановкой и теоретическими аспектами большей части рассматриваемых в книге задач можно познакомиться в следующих руководствах:
Владимиров В. С. Уравненння математической физики. — М.: Наука, 1971.
Годунов С. К- Уравнения математической физики.——М.: Наука, 1971.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики.——М.: Наука, 1966.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966.
Следующие работы посвящены в основном теоретическим аспектам метода конечных элементов:
Деклу Ж. Метод конечных элементов. Пер. с франц. — М.: Мнр, 1976.
Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — Л., — Издательство ЛГУ, 1977.
Оганесян Л. А., Ривкннд В. Я., Руховец Л. А. Вариацнонио-ранзост- ные методы решения эллиптических уравнений. В сб. «Дифференциальные
уравнения н их приложения». — Вильнюс: (часть 1 в вып. 5, 1973, часть 2 в вып. 8, 1974).
Сьярле Р. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Пер. с франц. — М.: Мир, 1980.
Следующие работы ориентированы на конкретные приложения:
Квитка А.力.，Ворошко Г1. П., Бобрицкая С. Д. Напряженно-деформи- роваиное состояние тел вращения. — Киев: Наукова думка, 1977.
Коннор Дж., Бреббна К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Пер. с англ. — М.: Судостроение, 1979.
Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭЦВМ, ч. 1, 2. Сб. под ред. А. Ф. Смирнова. — М.: Стройиздат, 1976,
Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. — М.: Судостроение, 1974.
Постнов В. А. Численные расчеты судовых конструкций. — Л.: Судостроение, 1977.
Розни Л. А. Основы метода конечных элементов в теории упругости.— Л.: Издательство ЛПИ, 1972.
Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.—М.: Стройиздат, 1977.
Снницын А. Н. Метод конечных элементов в динамике сооружений.— М.: Стройнздат, 1978.
Слесарев И, С., Снротин А. М. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1978.
Более подробное изложение вариационных принципов механики и нх связи с методом конечных элементов можно найти в упомянутой выше книге В. А. Постнова, а также в книге
Абовский Н. П., Андреев Н. Т., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. — М.: Наука, 1978.
В книге почти не затронуты вопросы о численных методах решения получаемых линейных систем. Представление об этих методах можно получить по следующим работам:
Дафф И. С. Обзор исследований по разреженным матрицам. ТИИЭР, т. 65, № 4, 1977.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных 、урав- неннй. — М.: Наука, 1978.
Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. Пер. с англ.——М.: Мир, 1977.
В третьей и шестой главах кйнги описывается метод переменных направлений Галеркина. Это отражает тот факт, что и в рамках метода конечных элементов стоит проблема создания экономичных схем. Большой материал по построению различных схем расщепления можно найти в следующих работах:
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.——М.: Наука, 1977.
Самарский А. А. Теория разностных схем.——М.: Наука, 1977.
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск, 1967.
Следующие сборники статей дают некоторое представление 氏 том, над чем работают советские специалисты, использующие метод конечных элементов:
Вариационно-разностные методы в математической физике. Сборник научных трудов. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974.
Вариационно-разностные методы в математической физике. Материалы Всесоюзной конференции. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978.
Вариационно-разностные методы решения задач математической физики. Труды 2-го Всесоюзного семинара. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976.
Метод конечных элементов в строительной механике.——Горький: Издательство ГГУ, 1975.
Разностные и вариационно-разностные методы. Труды семинара «Методы вычислительной и прикладной математики», вып. 2.——Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.
Замечания об истории возникновения и развития метода конечных элементов можно найтн в указанной выше книге А. Н. Синицына, а также в обзорной статье:
Зенкевич О. Метод конечных элементов: от интуиции к общности. Механика (сб. переводов), № 6, 1970.
920273232343841424449495456596974748891969900.12122328355211 I 11920273232343841424449495456596974748891969900.12122328355211 I 11
920273232343841424449495456596974748891969900.121223283552
11 I 11
920273232343841424449495456596974748891969900.121223283552
11 I 11
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Предисловие
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
Аппроксимация кусочно-полнномнальными функциями
Функциональные пространства ..........
Аппроксимирующие подпространства .......
ГЛАВА 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Введение
Стационарные задачи
Граничные условия ,
Смешанные вариационные принципы
Вариационные принципы в нестационарных задачах ..
Двойственные вариационные принципы ......
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ
Метод Ритца .
Граничные условия
Метод Канторовича (или полудискретный метод) ..
Метод Галеркина .
Проекционные методы
ГЛАВА 4. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ
Треугольник
Прямоугольник
Четырехугольник .
Тетраэдр
Шестигранник ..
Криволинейные границы
ГЛАВА 5. СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИЙ
Введение ...
Сходимость аппроксимаций Галеркина ......
Ошибки аппроксимации .............
•5.4. Ошибки возмущений
Резюме
ГЛАВА 6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 156
Принцип Гамильтона 156
Диссипативные системы162
Полудискретный методГалеркина164
Непрерывные по времени методы . . . . .... 169
Дискретизация по времени172
Сходимость полу дискретных аппроксимаций Галеркина 177
ГЛАВА 7. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ 179
Введение .. 179
Несогласованные элементы .■ . . .180
Смешанные интерполянты187
Приложения . . .. . ■ 190
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 206
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .212
Э. МИТЧЕЛЛ, Р. УЭЙТ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙС ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Научный редактор А. А. Бряндинская
Мл. научный редактор И. К* Недобой
Художник В. В. Кашлии
Художественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Л. П. ЧуркинаКорректор Н. В. Андреева
ИБ № 2219
Сдано в набор 01.04.80. Подписано к печати 23.12.80. Формат бОХЭО'/ю Вумага типографская № 2, Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 6,75 бум. л. Усл. печ. л. 13,50.
Уч-изд. л. 11,52. Изд № 1/0708. Тираж 12 000 экз. Зак. 672. Цена 8 5 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МНР”Москва, 1-й Рижский пер.» 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» . им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52； Измайловский проспект, 29.
1) Под формой Галеркина здесь понимаются и слабая постановка за дачи, и слабая форма уравнения и некоторый билинейный функционал.
')Определение пространств н норм Соболева дается на стр. 114.
Э Митчелл, Р. Уэйт
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
THE FINITE
ELEMENT METHOD IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
R. MITCHELL
Department of Mathematics, University of Dundee
and
R. WAIT
Department of Computational aud Statistical Science,
University of Liverpool
A Wiley — Inters©fence Publication
JOHN WILEY & SONS
Chichester * New York * Brisbane * Toronto
Э. Митчелл Р. Уэйт
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Перевод с английского
Е. КОНДРАШОВА и В. Ф. КУРЯКИНА
под редакцией
Н. Н, ЯНЕНКО
Издательству «Мир» Москва 1981
УДК 519sfr
М67
Предлагаемая книга посвящена методу конечных элементов и отличается от других книг по этой тематике простотой н компактностью изло-* ження, широтой охвата материала и методичностью изложения. В книге даются анализ различных вариантов метода н многочисленные примеры его применения к конкретным задачам. Приведено свыше ста упражнений различной степени трудности.
Книга полезна для специалистов, применяющих метод конечных элементов на практике, и студентов, спецналнзнрующнхся в области при* кладноб математики.
Редакция литературы по математическим наукам 1702070000
20204-027 少© 1977 by John Wiley and Sons, Inc. All Rights
MReserved. Authorized translation from EngHsch
' 'language edition publisched by John Wiley and
Sons, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1981